Распределение Максвелла: Компьютерные лабораторные работы по молекулярной физике

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА

Кафедра физики

Любутина Л.Г. № 181к − «РАПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА» (КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ)

2

Лабораторная работа №181к РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА

Цель и содержание работы Целью работы является изучение на компьютерной модели максвелловского распределения молекул идеального газа по величинам скоростей. Содержанием работы является: • Получение на основе компьютерной модели максвелловского распределения молекул газа по скоростям при различных температурах. • Изучение зависимости наиболее вероятной скорости молекул газа от температуры. • Определение массы молекул в данной модели.

Краткая теория работы Вопрос о распределении молекул по скоростям включает распределение молекул, как по направлениям, так и по величине (модулю) скорости. Ответ на первый вопрос очевиден: в отсутствие внешнего поля, распределение молекул по направлениям скорости является равномерным (все направления движений молекул равновероятны). Основным является вопрос о законе распределения молекул по абсолютным значениям скоростей. Этот закон был установлен Максвеллом для физической макросистемы при соблюдении следующих условий: 1) состояние системы равновесно (при T=const); 2) внешние поля отсутствуют; 3) движение частиц системы подчиняется законам классической механики. Функция распределения Максвелла F(v) имеет вид: 3

mv 2

 m  2 − 2 kT F (v ) =  4πv 2  e  2πkT  3

µv 2

(1)

 µ  2 − 2 RT 4πv 2 (2) или F (v ) =   e  2πRT  Здесь v – скорость, m – масса молекулы, µ – молярная масса газа, k=1,38⋅10-23Дж/К – постоянная Больцмана, R=8,314 Дж/(К⋅моль) – газовая постоянная, T – температура.

3

Максвелловская функция распределения F(v) позволяет найти dNv относительную долю молекул , величина скорости которых лежит в N интервале (v, v+dv). В эквивалентной интерпретации – найти вероятность dPv того, что модуль скорости произвольной молекулы окажется в пределах от v до v+dv: dPv =

dNv = F ( v )dv N

(3)

Таким образом, F(v) имеет смысл плотности вероятности и позволяет вычислять средние значения любой физической величины, являющейся функцией от скорости молекул. Так, средняя арифметическая, или средняя скорость равна: ∞ 1 8 kT 8 RT 〈 v〉 = ∫ vdN = ∫ vF ( v )dv = = πm πµ N 0

(4)

Для средней квадратичной скорости получается формула: ∞

< v 2 >= ∫ v 2 F ( v )dv = 0

3kT ; m

vкв= 〈v 2 〉 =

3kT 3 RT = m µ

(5)

Наиболее вероятной скоростью vвер называется скорость, при которой максвелловская функция распределения достигает максимума. Формула для dF(v) vвер получается из условия = 0 и имеет вид: dv vвер=

2kT 2 RT = m µ

(6)

Формула для функции распределения Максвелла F(v) значительно v упрощается, если перейти к относительной скорости u = . В этих vв переменных функция распределения Максвелла f (u) имеет вид: f (u )=

4

π

u 2e−u

2

(7)

Число молекул ∆N, относительные скорости которых заключены в пределах от u1 до u2, может быть найдено из формулы:

4

u1

∆N = N ∫ u2

4

π

2

u 2 e − u du

(8)

В нижеприведенной таблице приведены относительные количества ∆N , вычисленные по формуле (8) для различных интервалов молекул N скоростей. Таблица 1 ∆N v Доля молекул , имеющих различную относительную скорость u = N vв u

0 ÷ 0,5

0,5 ÷ 1,5

1,5 ÷ 2

2÷3

>3

∆N ,% N

8,1

70,7

16,6

4,6

0,04

Методика и порядок измерений Запустите программу. Выберите раздел «Термодинамика и молекулярная физика», затем компьютерную модель «Распределение Максвелла». Нажмите кнопку с изображением страницы во внутреннем окне. Прочитайте теорию и запишите необходимое в свой конспект лабораторной работы. Закройте окно теории, нажав кнопку с крестом в правом верхнем углу внутреннего окна. Внимательно рассмотрите рисунок на экране дисплея (аналогичный рисунок приведен на следующей странице). Обратите внимание на систему частиц, движущихся в замкнутом объеме слева во внутреннем окне. Молекулы абсолютно упруго сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Их количество около 100, и данная система является хорошей «механической» моделью идеального газа. В процессе работы можно останавливать движение всех молекул (при нажатии кнопки вверху) и получать как бы «мгновенные фотографии», на которых более ярким свечением выделяются частицы (точки), скорости которых лежат в заданном диапазоне ∆v вблизи выбранной скорости v (т.е. частицы со скоростями в интервале от v до v+∆v). Для продолжения наблюдения за движением частиц надо нажать кнопку . Запишите в тетрадь значение ∆v, указанное на экране.

5

Получите у преподавателя допуск для выполнения измерений.

Выполнение эксперимента 1. Нажмите кнопки

, «СТАРТ» и «ВЫБОР» и установите температуру Т1

из диапазона 160K < Ti < 960K. Для выбранной температуры запишите приведенные в окне значения средней vср и квадратичной vкв скоростей и определите примерный диапазон скоростей (vmin< v
6

Повторите измерения еще не менее двух раз. Для получения новых «мгновенных фотографий» нажимайте кнопку и через 10−20 секунд кнопку . 4. Увеличивая предыдущую скорость на 200 м/с (для более высоких температур можно увеличивать скорость на 300÷400 м/с) и переходя к следующим диапазонам скоростей (vi, vi+∆v, где vmin
Таблицы 2,3,4,5. vi, м/с

v1

Результаты измерений при Ti = ____K v2

v3

……

……

vmax

∆ Ni (∆Nv)1 (∆Nv)2 (∆Nv)3 <∆Nv> 〈 ∆Nv 〉 ∆v

Дополнительное задание. 1. Выбрать произвольную температуру Т5 и вычислить для нее значение наиболее вероятной скорости vв (для этого можно использовать приведенные в окне значения средней vср или квадратичной vкв скоростей).

2. Для всех указанных в таблице 6 диапазонов относительной скорости ui, вычислить и записать соответствующие значения скоростей vi=vв⋅ui. 3. Провести измерения (∆Nu)i для относительной скорости ui (для всех приведенных в таблице диапазонов).

7

4. Выбрать новое значение для температуры Т6. Повторить все измерения (как в пунктах 1,2). Результаты записать в таблицу 7, аналогичную таблице 6. v : Таблицы 6,7. Результаты измерений для относительной скорости u = vв T= ui vi=vв⋅ui, м/с ∆N1 ∆N2 ∆N3 <∆Nu>

0.2

0.5

K;

0.8

м/с,

vв=

1.1

1.4

1.7

2.0

2.3

Обработка результатов измерений 1. Для каждого из выбранных диапазонов скоростей (vi, vi+∆v) вычислите и запишите в таблицы 2,3,4,5 средние значения числа частиц <∆Nv>, 〈 ∆Nv 〉 . скорости которых лежат в рассматриваемых диапазонах, и ∆v 2. Постройте на одном рисунке графики зависимости

〈 ∆Nv 〉 от скорости для ∆v

различных температур. 3. Для каждой температуры определите по построенным графикам экспериментальное значение наиболее вероятной скорости молекул vвер и занесите полученные данные в таблицу 8. 4. Вычислите для каждой температуры квадрат наиболее вероятной скорости молекул (vвер)2 и занесите в таблицу 8. 5. Постройте график зависимости квадрата наиболее вероятной скорости молекул от температуры v в2 (T ) . ∆( T ) 6. По данному графику определите значение массы молекулы m = 2k ∆v в2 ∆( T ) µ = 2R или молярной массы . ∆v в2

8

Таблица 8. Наиболее вероятные скорости Ti, К

T1

T2

T3

T4

vвер., м/с vвер., (vвер.)2

7. Подберите газ, масса молекулы которого достаточно близка к измеренной массе молекулы (см. нижеприведенную таблицу). Табличные значения для масс молекул различных газов Газ

Водород

Гелий

Неон

Азот

Кислород

Масса молекулы m, 10-27 кг

3.32

6.64

33.2

46.5

53.12

8. Сравните полученные результаты с теоретическими. Для этого на одном рисунке постройте графики полученных Вами и теоретических 〈 ∆N v 〉 (можно для какой-то одной температуры). зависимостей ∆v Теоретические зависимости можно срисовать с экрана монитора компьютера, подобрав соответствующий масштаб по осям координат. 9. На основе полученных данных найдите средние арифметические и квадратичные скорости для различных температур и сравните их с ранее записанными теоретическими значениями vср и vкв, (см. пункт 1 раздела «Выполнение эксперимента»). 10. Запишите ответы и сделайте выводы.

Дополнительное задание. 1. Для выбранных температур T5 и T6 вычислите и запишите в таблицы 6, 7 средние значения числа частиц <∆Nu> для различных диапазонов относительной скорости. 2. Для температур T5 и T6 постройте на одном рисунке графики функции распределения f(u) для относительных скоростей.

9

3. Найдите число молекул ∆N, относительные скорости которых заключены в следующих интервалах: 1) 0>u>0,5; 2) 0,5>u>1,5; 3) 1,5>u>2,0 и сравните ваши результаты с теоретическими.

Контрольные вопросы 1. Что такое максвелловский закон распределение молекул по скоростям?. Для каких условий он получен? Напишите формулу для функции распределения Максвелла F(v). 2. Каковы особенности графика функции распределения Максвелла F(v)? 3. Какие из нижеприведенных формул являются функцией распределения dN v dN v dN v dPv Максвелла F(v): а) ; б) ; в) ? ; г) N dv Ndv dv 4. Что такое функция распределения? Как найти долю молекул, скорости которых лежат в интервале от v1 до v2? 5. Как найти вероятность того, что скорость произвольно взятой молекулы находится в интервале от v1 до v2? 6. Как оценить долю молекул, скорости которых лежат в достаточно малом интервале (v, v+∆v)? 7. Сравните относительное число молекул, скорости которых меньше vвер, с долей молекул, скорости которых соответственно больше vвер. 8. Чему равна площадь под кривой максвелловской функции распределения? Зависит ли она от: а) числа молекул; б) температуры; в) молярной массы? dN v dN v ; б) ? Зависят ли они: а) от dv Ndv числа молекул газа; б) от температуры; в) от молярной массы газа?

9. Чему равны площади под кривыми а)

10. Сравните графики максвелловской функции распределения для газа, находящегося при различных температурах. 11. Сравните графики функции распределения Максвелла для двух различных газов (m1> m2), находящихся при одинаковых температурах. 12. Напишите формулу для функции распределения Максвелла f(u), где v u= − относительная скорость. vв

10

∆N v , относительные скорости которых u = N vв заключены в пределах от u1 до u2?

13. Как найти долю молекул

14. Как найти число молекул ∆N, относительные скорости которых

u=

v vв

заключены в пределах от u1 до u2? 15. Как вычисляется среднее значение некоторой физической величины <А>, если известна ее функция распределения f(A)? 16. Как получить формулу для вычисления средней арифметической скорости. 17. Как получить формулу для вычисления средней квадратичной скорости. 18. Напишите условие для нахождения наиболее вероятной скорости молекул. 19. Напишите выражения для а) средней скорости молекул идеального газа; б) средней квадратичной скорости; в) наиболее вероятной скорости. 20 Вычислите, на сколько процентов отличаются следующие скорости молекул идеального газа: а) средняя квадратичная скорость от средней арифметической; б) средняя арифметическая от наиболее вероятной скорости; в) средняя квадратичная от наиболее вероятной скорости.

Литература 1. Савельев И.В. Курс общей физики, кн. 3. Молекулярная физика и термодинамика. –М.: ООО «Издательство АСТ», 2005. § 2.6. 2. Иродов И.Е. Физика макросистем. –М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. §§ 2.1, 2.2. 3. Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.2. −М.: Наука, 2002. § 73. 4. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. −М.: Наука, 1969. §55.