Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл: Лекции по математическому анализу

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿ Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê Êàôåäðà òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà

Â.Å.ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ, Ï.À.×ÀËÎÂ

ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

Ðîñòîâ-íà-Äîíó

Îãëàâëåíèå 1

Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1

Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë è åãî îñíîâíûå ñâîéñòâà .

5

1.3

Òàáëèöà îñíîâíûõ íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ . . .

8

1.4

Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ . . . . . . . . . . . 10

1.5

Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé . . . . . . . . 15

1.6

Ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ . . . . . . 25

1.7

Èíòåãðèðîâàíèå â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ íåêîòîðûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé . . . . . . . . . 26

1.8

Èíòåãðèðîâàíèå äðîáíî-ëèíåéíûõ èððàöèîíàëüíîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.9

Èíòåãðèðîâàíèå áèíîìèàëüíûõ äèôôåðåíöèàëîâ . . 31

1.10

Èíòåãðèðîâàíèå êâàäðàòè÷íûõ èððàöèîíàëüíîñòåé ïîñðåäñòâîì ïîäñòàíîâîê Ýéëåðà . . . . . . . . . . . 33

1.11

Êîíòðîëüíûå âîïðîñû, çàäà÷è, óïðàæíåíèÿ . . . . . 35

Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû

1

. . . . . . . . . . . . . . . . 42

2

Îãëàâëåíèå

1 Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë  êóðñå äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ áûëè ââåäåíû ôóíäàìåíòàëüíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà  ïðîèçâîäíàÿ è äèôôåðåíöèàë; áûëè óñòàíîâëåíû îñíîâíûå ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ) âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.  ýòîì ðàçäåëå áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó, "îáðàòíóþ"ïî îòíîøåíèþ ê îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, à èìåííî, ïî èçâåñòíîé ïðîèçâîäíîé îòûñêèâàòü ñàìó ôóíêöèþ. Ýòî îäíà èç çàäà÷, ê êîòîðîé ñâîäÿòñÿ ìíîãèå çàäà÷è ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè, ôèçèêè è ò.ä. Ïðåäïîëîæèì, íàïðèìåð, ÷òî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè x íàì èçâåñòíà ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü f (x) äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè âäîëü îñè Oy. Òðåáóåòñÿ íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ýòîé òî÷êè. Ìû çíàåì, ÷òî ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü f ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè F , çàäàþùåé çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè. Òàêèì îáðàçîì, îòâëåêàÿñü îò ìåõàíè÷åñêîãî ñìûñëà çàäà÷è, ìû ïðèõîäèì ê ïîíÿòèþ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè, à çàòåì è íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Èñòîêè èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ óâîäÿò íàñ â àíòè÷íûé ïåðèîä è ñâÿçàíû ñ ìåòîäîì èñ÷åðïûâàíèÿ Åâäîêñà è Àðõèìåäà. Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå ïîëó÷èëî â ðàáîòàõ È.Íüþòîíà è Ã.Ëåéáíèöà. Èìåííî îíè óñòàíîâèëè ñâÿçü ìåæäó äèôôåðåíöèðîâàíèåì è èíòåãðèðîâàíèåì. Ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ óäàëîñü ðåøèòü ìíîãèå çàäà÷è òåîðåòè÷åñêîãî è ïðèêëàäíîãî õàðàêòåðà, ñòîÿâøèå ïåðåä íàóêîé òîãî âðåìåíè. Îäíàêî çàäà÷à èíòåãðèðîâàíèÿ îêàçàëàñü òðóäíåå çàäà÷è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Îïåðàöèÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, êàê èçâåñòíî, íå âûâîäèò èç êëàññà ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, à îïåðàöèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè íå âñåãäà ïðèâîäèò ê ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè. Íà-

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

3

Z

Z Z ex sin x cos x ïðèìåð, èíòåãðàëû dx , dx , dx, n ∈ N, íå âûðàæàxn xn xn þòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Ïîýòîìó ÷ðåçâû÷àéíî âàæíî óìåòü âûïîëíÿòü èíòåãðèðîâàíèå òàì, ãäå îíî âîçìîæíî â ¾êîíå÷íîì âèäå¿, òî åñòü íå âûâîäèò èç êëàññà ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, è ïðèîáðåñòè èçâåñòíûå òåõíè÷åñêèå íàâûêè â èíòåãðèðîâàíèè çàäàííûõ ôóíêöèé.

1.1 Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèÿ Ïîíÿòèå ïåðâîîáðàçíîé (èëè ïðèìèòèâíîé ) ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç âàæíåéøèõ â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå.

Îïðåäåëåíèå 1.1 Ïóñòü f : (a, b) −→ R. Ôóíêöèÿ F íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèåé (èëè ïðîñòî ïåðâîîáðàçíîé) äëÿ ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b), åñëè â ëþáîé òî÷êå ýòîãî èíòåðâàëà ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà è èìååò ïðîèçâîäíóþ F 0 , ðàâíóþ f . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè f íà ïîëóïðÿìîé èëè íà âñåé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé. Ïðè îïðåäåëåíèè ïåðâîîáðàçíîé íà ñåãìåíòå èñïîëüçóþò ïîíÿòèÿ îäíîñòîðîííèõ ïðîèçâîäíûõ.

Çàìå÷àíèå 1.1 Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ F äëÿ ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b) íåïðåðûâíà íà ýòîì èíòåðâàëå.

√

Ïðèìåð 1.1 Ôóíêöèÿ F (x) = 1 − x2 ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ

x íà èíòåðâàëå (−1, 1), ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ F 1 − x2 äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (−1, 1) è F 0 (x) = f (x) â êàæäîé òî÷êå

ôóíêöèè f (x) = −

x ∈ (−1, 1).

Ïðèìåð 1.2 Ôóíêöèÿ F (x) = ln x ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè

1 íà ïîëóïðÿìîé (0, +∞), òàê êàê íà ýòîé ïîëóïðÿìîé ôóíêöèÿ x F äèôôåðåíöèðóåìà è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî F 0 (x) = f (x). f (x) =

4

Îãëàâëåíèå

1 ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêx íà êàæäîé ïîëóïðÿìîé (0, +∞) è (−∞, 0), ïîñêîëü-

Ïðèìåð 1.3 Ôóíêöèÿ F (x) = arctg

1 1 + x2 êó ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà íà ïîëóïðÿìîé (0, +∞) è íà ïîëóïðÿ-

öèè f (x) = −

ìîé (−∞, 0) è F 0 (x) = f (x) â êàæäîé òî÷êå x ∈ (0, +∞) x ∈ (−∞, 0). Íî F íå ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f íà âñåé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé, òàê êàê F ðàçðûâíà â òî÷êå x = 0. Ïóñòü F  ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèÿ Φ, çàäàííàÿ ðàâåíñòâîì Φ(x) = F (x)+C , ãäå C  ëþáàÿ ïîñòîÿííàÿ, ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå

(a, b). Ïîýòîìó âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ ïåðâîîáðàçíóþ íà èíòåðâàëå (a, b), èìååò íà ýòîì èíòåðâàëå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïåðâîîáðàçíûõ. Ñâÿçü ìåæäó ïåðâîîáðàçíûìè äëÿ îäíîé è òîé æå ôóíêöèè óñòàíîâëåíà â ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè.

Òåîðåìà 1.1 Åñëè F è Φ  ëþáûå ïåðâîîáðàçíûå äëÿ ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b), òî ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C òàêàÿ, ÷òî âñþäó íà èíòåðâàëå (a, b) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Φ(x) − F (x) = C . Äðóãèìè ñëîâàìè, äâå ïåðâîîáðàçíûå äëÿ îäíîé è òîé æå ôóíêöèè ìîãóò îòëè÷àòüñÿ ëèøü íà ïîñòîÿííóþ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ G íà (a, b) ïî ïðàâèëó: G(x) = Φ(x) − F (x). Ôóíêöèÿ G äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a, b) êàê ñóììà äâóõ äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé, ïðè÷åì âñþäó íà ýòîì èíòåðâàëå

G0 (x) = Φ0 (x) − F 0 (x) = f (x) − f (x) = 0. Ïî òåîðåìå î ïîñòîÿíñòâå ôóíêöèè, èìåþùåé íà èíòåðâàëå ðàâíóþ íóëþ ïðîèçâîäíóþ (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû Ëàãðàíæà), ôóíêöèÿ G ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé íà èíòåðâàëå (a, b). Ñëåäîâàòåëüíî, G(x) = Φ(x)−F (x) =

C.

Ñëåäñòâèå 1.1 Åñëè F  îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ ôóíêöèé äëÿ ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b), òî ëþáàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ Φ äëÿ ôóíêöèè f íà èí-

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

5

òåðâàëå (a, b) çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì Φ(x) = F (x)+C , ãäå C  íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.

1.2 Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë è åãî îñíîâíûå ñâîéñòâà Îïðåäåëåíèå 1.2 Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïåðâîîáðàçíûõ ôóíêöèé äëÿ äàííîé ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b) íàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f (íà ýòîì èíòåðâàëå) è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì Z f (x) dx.

Z  îáîçíà÷åíèè

Z f (x) dx çíàê

íàçûâàåòñÿ çíàêîì íåîïðåäåëåííîãî

èíòåãðàëà , âûðàæåíèå f (x) dx  ïîäûíòåãðàëüíûì âûðàæåíèåì , à ñàìà ôóíêöèÿ Zf  ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé . Çíàê

íàçûâàåòñÿ çíàêîì íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ïîòîìó, ÷òî

äåéñòâèå îáðàòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèþ ìíîãîçíà÷íî, òî åñòü ñîïðîâîæäàåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ. Ïóñòü F îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ ôóíêöèé äëÿ äàííîé ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a, b). Òîãäà, â ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.1, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Z f (x) dx = F (x) + C, (1.1) ãäå C  ëþáàÿ êîíñòàíòà. Òåïåðü ðàññìîòðèì ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, ñðàçó ñëåäóþùèå èç îïðåäåëåíèÿ 1.2.

Ñâîéñòâî 1 Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà èíòåðâàëå (a, b), òî íà ýòîì èíòåðâàëå ïðîèçâîäíàÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò ôóíêöèè f ðàâíà ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, òî åñòü µZ ¶0 f (x) dx = f (x).

(1.2)

Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèé ïåðâîîáðàçíîé è íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà (îïðåäåëåíèÿ 1.1 è 1.2).

6

Îãëàâëåíèå

Ñâîéñòâî 2 Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà èíòåðâàëå (a, b), òî äèôôåðåíöèàë íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò ôóíêöèè f ðàâåí ïîäûíòåãðàëüíîìó âûðàæåíèþ, òî åñòü Z d f (x) dx = f (x) dx.

(1.3)

Ýòî ñâîéñòâî ñëåäóåò èç ñâîéñòâà 1.

Z Ðàâåíñòâî (1.3) ïîêàçûâàåò, ÷òî çíàêè äèôôåðåíöèàëà d è èíòåãðàëà âçàèìíî ñîêðàùàþòñÿ, åñëè çíàê äèôôåðåíöèàëà ñòîèò ïåðåä çíàêîì èíòåãðàëà.

Ñâîéñòâî 3 Åñëè ôóíêöèÿ F : (a, b) −→ R  äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a, b), òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Z dF (x) = F (x) + C.

(1.4)

×òîáû óñòàíîâèòü ýòî ñâîéñòâî äîñòàòî÷íî â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû (1.1) âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàâåíñòâîì dF (x) = f (x) dx. Z Èç ôîðìóëû (1.4) ñëåäóåò, ÷òî çíàêè èíòåãðàëà è äèôôåðåíöèàëà

d âçàèìíî ñîêðàùàþòñÿ è â ñëó÷àå, êîãäà çíàê èíòåãðàëà ñòîèò ïåðåä çíàêîì äèôôåðåíöèàëà, íî ïðè ýòîì ê ôóíêöèè F äîáàâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ C . Ñëåäóþùèå òðè ñâîéñòâà ÿâëÿþòñÿ ïðîñòåéøèìè ïðàâèëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïåðâûå äâà èç íèõ îáû÷íî íàçûâàþò ëèíåéíûìè ñâîéñòâàìè èíòåãðàëà.

Ñâîéñòâî 4 Åñëè ôóíêöèè f è g èìåþò ïåðâîîáðàçíûå íà èíòåðâàëå (a, b), òî è ôóíêöèÿ f + g èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà ýòîì èíòåðâàëå è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Z Z Z Z (f + g) (x) dx := (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx.

(1.5)

Ñâîéñòâî 5 Åñëè ôóíêöèè f èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà èíòåðâàëå (a, b), òî è ôóíêöèÿ kf , ãäå k  ëþáàÿ êîíñòàíòà, èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà ýòîì èíòåðâàëå è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Z Z kf (x) dx := k f (x) dx.

(1.6)

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

7

Êàæäîå èç ðàâåíñòâ (1.5) è (1.6) ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê ðàâåíñòâî ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòåé ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîãî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî.

Äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâ 4 è 5. Ïóñòü F è G  ïåðâîîáðàçíûå íà èíòåðâàëå (a, b) äëÿ ôóíêöèé f è g ñîîòâåòñòâåííî, è C  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ïî òåîðåìå îá àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ íàä äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè ôóíêöèè F + G è C F ÿâëÿþòñÿ ïåðâîîáðàçíûìè ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ôóíêöèé f + g è C f íà èíòåðâàëå (a, b). À ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ÷àñòî áûâàåò ïîëåçíûì ïðè íàõîæäåíèè íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ.

Ñâîéñòâî 6 Ïóñòü ôóíêöèÿ F  îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (c, d), òî åñòü Z f (t) dt = F (t) + C.

È ïóñòü a è b  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì a 6= 0. Òîãäà

Z

1 f (ax + b) dx = F (ax + b) + C. a

(1.7)

Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî íà èíòåðâàëå (c, d) ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî F 0 (x) = f (x). Ó÷èòûâàÿ ýòî è ïðèìåíÿÿ òåîðåìó î ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè, íàõîäèì

µ

¶0 1 1 F (ax + b) = · F 0 (ax + b) · a = f (ax + b). a a

1 F (ax + b) ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêa öèè f (ax + b) íà èíòåðâàëå (c, d). Ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèÿ

8

Îãëàâëåíèå

1.3 Òàáëèöà îñíîâíûõ íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ Èñïîëüçóÿ òàáëèöó ïðîèçâîäíûõ ïðîñòåéøèõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, ñîñòàâèì òàáëèöó îñíîâíûõ íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ.

Z 1)

0 dx = C; Z

2)

1 dx = x + C; Z

3)

Z

xα dx =

xα+1 +C α+1

(α 6= −1);

dx = ln |x| + C (x 6= 0); x Z Z ax x + C (0 < a 6= 1), ex dx = ex + C; 5) a dx = ln a Z 6) sin x dx = − cos x + C; Z 7) cos x dx = sin x + C; Z ³ ´ π dx = tg x + C x = 6 + πk, k ∈ Z ; 8) cos2 x 2 Z dx = − ctg x + C (x 6= πk, k ∈ Z) ; 9) sin2 x  Z  arcsin x + C, dx 10) √ = (−1 < x < 1); 1 − x2  − arccos x + C,  Z  arctg x + C, dx = 11) 1 + x2  − arcctg x + C; Z ³ ´ √ dx 12) √ = ln x + x2 + 1 + C; x2 + 1 Z ¯ ¯ √ dx ¯ ¯ = ln ¯x + x2 − 1¯ + C (|x| > 1); 13) √ x2 − 1 ¯ ¯ Z dx 1 ¯¯ 1 + x ¯¯ 14) = ln ¯ + C (|x| 6= 1) . 1 − x2 2 1 − x¯ 4)

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

9

Ê ýòèì ôîðìóëàì ïðèñîåäèíèì íåñêîëüêî ôîðìóë äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé:

Z 15)

sh x dx = ch x + C; Z

16)

ch x dx = sh x + C; Z

dx = th x + C; 2 Z ch x dx = − cth +C (x 6= 0). 18) sh2 x Z Ïðèìåð 1.4 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë (5x − 13)75 dx. 17)

Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâî 6 è ôîðìóëó 3), ïîëó÷àåì Z

1 (5x − 13)76 (5x − 13)76 (5x − 13) dx = +C = + C. 5 76 380 75

Èçó÷àÿ äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ëþáîé ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé, òî åñòü, îïåðàöèÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íå âûâîäèò èç êëàññà ýëåìåíòàð-

íûõ ôóíêöèé. Ñ îïåðàöèåé èíòåãðèðîâàíèÿ äåëî îáñòîèò èíà÷å. Èçâåñòíî, ÷òî èíòåãðàëû îò íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé íå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè. Ïðèìåðàìè òàêèõ èíòåãðàëîâ ñëóæàò Z Z Z ¡ 2¢ ¡ ¢ ◦ −x2 ◦ ◦ 1. e dx, 2 . cos x dx, 3 . sin x2 dx, Z Z Z cos x sin x dx ◦ ◦ ◦ (0 < x 6= 1), 5 . (x 6= 0), 6 . (x 6= 0). 4. ln x x x Ïåðâûé èç ýòèõ èíòåãðàëîâ íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ïóàññîíà èëè

èíòåãðàëîì îøèáîê (øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå, â òåîðèè òåïëîïðîâîäíîñòè); âòîðîé è òðåòèé èíòåãðàëû íàçûâàþòñÿ èí-

òåãðàëàìè Ôðåíåëÿ (ïðèìåíÿþòñÿ â îïòèêå); ÷åòâåðòûé, ïÿòûé è øåñòîé íîñèò íàçâàíèÿ, ñîîòâåòñòâåííî, èíòåãðàëüíûé ëîãàðèôì, èíòåãðàëüíûé

êîñèíóñ è èíòåãðàëüíûé ñèíóñ. Ââèäó âàæíîñòè äëÿ ïðèëîæåíèé, ýòè ôóíêöèè èçó÷åíû ñ òàêîé æå ïîëíîòîé, êàê è ïðîñòåéøèå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Äëÿ íèõ ñîñòàâëåíû òàáëèöû è ïîñòðîåíû èõ ãðàôèêè.

10

Îãëàâëåíèå

1.4 Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ Ýòîò ìåòîä ïðèìåíÿåòñÿ â ñëó÷àÿõ, êîãäà ôóíêöèþ f : X −→ R ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ôóíêöèé fj : X −→ R,

j = 1, 2, . . . , n, òàêèõ, ïåðâîîáðàçíûå êîòîðûõ ëåãêî ïîñòðîèòü, òî åñòü f = α1 f1 + α2 f2 + . . . + αn fn . Òîãäà ïî ñâîéñòâàì 5 è 4, ïîëó÷èì

Z f (x) dx =

n X

Z αj

fj (x) dx.

j=1

Ïðèìåð 1.5 Âû÷èñëèòü Z

x3 + 1 dx, (x + 2)50

x 6= −2.

Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà, ðàçëîæèì ôóíêöèþ x3 + 1 ïî ñòåïåíÿì ñóììû x + 2, ïîëó÷èì ¡ ¢3 x3 + 1 = (x + 2) − 2 + 1 = (x + 2)3 − 6(x + 2)2 + 12 (x + 2) − 7. (1.8) Áëàãîäàðÿ (1.8), ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìà â âèäå

x3 + 1 1 1 1 1 . 50 = 47 − 6 48 + 12 49 − 7 (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x + 2)50 À òîãäà, ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâî 6, ïîëó÷àåì

Z

Z 1 1 dx+ 47 dx − 6 (x + 2) (x + 2)48 Z Z 1 1 +12 dx = 49 dx − 7 (x + 2) (x + 2)50 1 6 1 1 =− + C. 46 + 47 − 48 + 46(x + 2) 47(x + 2) 4(x + 2) 7(x + 2)49 x3 + 1 dx = (x + 2)50

Z

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

11

Èíòåãðèðîâàíèå çàìåíîé ïåðåìåííûõ Èçëîæèì îäèí èç ñèëüíåéøèõ ïðèåìîâ èíòåãðèðîâàíèÿ  ìåòîä

çàìåíû ïåðåìåííîé èëè ïîäñòàíîâêè . Îí îñíîâàí íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè.

Òåîðåìà 1.2 Ïóñòü ôóíêöèÿ ϕ : (α, β) −→ (a, b)  äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (α, β), à ôóíêöèÿ g èìååò ïåðâîîáðàçíóþ G íà èíòåðâàëå

(a, b), òî åñòü

Z g(t) dt = G(t) + C.

(1.9)

¡ ¢ Òîãäà íà èíòåðâàëå (α, β) ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé g ϕ(x) ϕ0 (x), ¡ ¢ èìååò ïåðâîîáðàçíóþ ðàâíóþ G ϕ(x) , òî åñòü Z ¡ ¢ ¡ ¢ g ϕ(x) ϕ0 (x) dx = G ϕ(x) + C. (1.10)

Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ

¡ ¢ G ϕ(x) äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (α, β). Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî äèô-

ôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè è ó÷èòûâàÿ, ÷òî G0 (t) = g(t) íà èíòåðâàëå (a, b), ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî

¡ ¡ ¢¢0 ¡ ¢ ¡ ¢ G ϕ(x) = G0 ϕ(x) ϕ0 (x) = g ϕ(x) ϕ0 (x). ¡ ¢ Ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèÿ G ϕ(x) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ¡ ¢ äëÿ ôóíêöèè g ϕ(x) ϕ0 (x) íà èíòåðâàëå (α, β). Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü èíòåãðàë Z f (x) dx.

(1.11)

Êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå, â ðÿäå ñëó÷àåâ óäàåòñÿ íàéòè òàêóþ ôóíêöèþ ¡ ¢ ϕ, ÷òî ôóíêöèÿ f ïðåäñòàâèìà â âèäå f (x) = g ϕ(x) ϕ0 (x), ãäå ôóíêöèè

g è ϕ óäîâëåòâîðÿþò âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû 1.2, ïðè÷åì ïåðâîîáðàçíàÿ G äëÿ ôóíêöèè g ëåãêî íàõîäèòñÿ. Òîãäà, íà îñíîâàíèè òåîðåìû 1.2, ïîëó÷àåì

Z

Z f (x) dx =

¡ ¢ ¡ ¢ g ϕ(x) ϕ0 (x) dx = G ϕ(x) + C.

(1.12)

12

Îãëàâëåíèå Ýòîò ïðèåì íàõîæäåíèÿ èíòåãðàëà (1.11) è íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì çà-

ìåíû ïåðåìåííîé èëè ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè .

Z

Ïðèìåð 1.6 Âû÷èñëèòü

dx (1 +

x2 ) cos2

(arctg x)

.

Ðåøåíèå. Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé. Ïîëîæèì t = arctg x. Òîãäà dt = dx è ïî ôîðìóëå (1.12) ïîëó÷àåì 1 + x2 Z Z dx dt = = tg t + C = tg (arctg x) + C = x + C. 2 2 (1 + x ) cos (arctg x) cos2 t

Z

Ïðèìåð 1.7 Âû÷èñëèòü

x dx . 16x4 − 1

Ðåøåíèå. Ñäåëàåì çàìåíó t = 4x2 . Òîãäà dt = 8x dx. Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó 14), ïîëó÷àåì

Z

x dx 1 = 16x4 − 1 8

Z

¯ ¯ ¯ ¯ dt 1 ¯¯ 1 − t ¯¯ 1 ¯¯ 1 − 4x2 ¯¯ = ln ln +C = + C. t2 − 1 16 ¯ 1 + t ¯ 16 ¯ 1 + 4x2 ¯

Z

Ïðèìåð 1.8 Âû÷èñëèòü

dx . (x2 + 1)2

Ðåøåíèå. Ïîëàãàÿ t = arctg x, íàõîäèì x = tg t, dx = x2 + 1 = tg2 t + 1 =

dt . Òàê êàê cos2 t

1 , cos2 t

ïîëó÷àåì

Z

Z ¢ 1 ¡ 1 + cos(2t) dt = cos t dt = 2 ¶ µ µ ¶ 1 1 1 tg t = t + sin(2t) + C = t+ 2 +C = 2 2 2 tg t + 1 µ ¶ x 1 arctg x + 2 + C. = 2 x +1

dx = 2 (x + 1)2

Z

2

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

13

Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì Ê ÷èñëó âåñüìà ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ îòíîñèòñÿ

ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì .

Òåîðåìà 1.3 Ïóñòü êàæäàÿ èç ôóíêöèé u è v äèôôåðåíöèðóåìà íà ìíîæåñòâå X è, êðîìå òîãî, íà ýòîì ìíîæåñòâå ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè v · u0 . Òîãäà íà ìíîæåñòâå X ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ è äëÿ ôóíêöèè u · v 0 , ïðè÷åì ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Z Z 0 u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u0 (x) dx.

(1.13)

Ôîðìóëà (1.13) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì . Òàê êàê v 0 (x) dx = dv è u0 (x) dx = du, ôîðìóëó (1.13) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå Z Z u dv = uv − v du. (1.14)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ u · v â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà X èìååò ïðîèçâîäíóþ

(u(x)v(x))0 = u(x)v 0 (x) + v(x)u0 (x)

(1.15)

è ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè uv 0 + vu0 íà ìíîæåñòâå X . Èç ðàâåíñòâà (1.15) íàõîäèì

u(x)v 0 (x) = (u(x)v(x))0 − v(x)u0 (x)

(1.16)

Ïîñêîëüêó ïåðâîîáðàçíàÿ ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.16) ñóùåñòâóåò, ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ è ëåâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà. Ïðîèíòåãðèðîâàâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.16) ïî ïåðåìåííîé x ïîëó÷àåì (1.13) (èëè ÷òî òîæå ñàìîå (1.14)).

Z

Ïðèìåð 1.9 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë

x sin x dx.

Ðåøåíèå. Ïîëîæèì u = x, dv = sin x dx. Íàõîäèì du = dx, v = − cos x. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1.13) ïîëó÷àåì Z Z x sin x dx = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + C.

14

Îãëàâëåíèå

Ïðàâèëî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ìîæíî ïðèìåíÿòü ïîâòîðíî. Ðàññìîòðèì ïðèìåð.

Z

Ïðèìåð 1.10 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë

(arccos x)2 dx.

Ðåøåíèå. Ïîëàãàÿ u = (arccos x)2 , dv = dx, íàõîäèì

dx , v = x. Òîãäà ïîëó÷àåì 1 − x2 Z Z x arccos x 2 2 √ (arccos x) dx = x (arccos x) + 2 dx. 1 − x2

u = −2 arccos x √

(1.17)

Ê ïîñëåäíåìó èíòåãðàëó â (1.17) ñíîâà ïðèìåíèì ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ x dx è íàõîäèì du = ïî ÷àñòÿì. Òåïåðü ïîëàãàåì u = arccos x, dv = √ 1 − x2 √ dx −√ , v = − 1 − x2 . Ïðîäîëæàÿ ðàâåíñòâî (1.17), ïî ôîðìóëå (1.13) 1 − x2 ïîëó÷àåì

Z

µ

Z √ 2 dx (arccos x) dx =x (arccos x) + 2 − 1 − x arccos x − 2

2

¶ =

√ =x (arccos x)2 − 2 1 − x2 arccos x − 2x + C.

Ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ïî ñðàâíåíèþ ñ èíòåãðèðîâàíèåì ïóòåì çàìåíû ïåðåìåííîé, èìååò áîëåå îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ, íî ïðè óìåëîì èñïîëüçîâàíèè ýòîò ñïîñîá ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ïåðâîîáðàçíûå äëÿ ìíîãèõ ôóíêöèé. Îñîáåííî ýôôåêòèâíî èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì ïðèìåíÿåòñÿ ê èíòåãðàëàì âèäà

Z (1.18)

P (x) ϕ(x) dx,

ãäå P (x)  àëãåáðàè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, à ϕ(x) îòíîñèòñÿ ê îäíîìó èç ñëåäóþùèõ äâóõ êëàññîâ ôóíêöèé:

1)

ln x,

2) ex ,

arccos x, cos x,

arcsin x,

sin x.

arctg x,

arcctg x;

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

15

Åñëè ôóíêöèÿ ϕ(x) ïðèíàäëåæèò ïåðâîìó êëàññó, ïîëàãàþò u = ϕ(x),

dv = P (x) dx, à åñëè æå îíà ïðèíàäëåæèò âòîðîìó êëàññó, òî ïîëàãàþò u = P (x), dv = ϕ(x) dx. Îòìåòèì, ÷òî èíòåãðàëàìè âèäà (1.18) íå èñ÷åðïûâàþòñÿ âîçìîæíîñòè ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð.

Ïðèìåð 1.11 Âû÷èñëèòü èíòåãðàëû Z

I1 =

ax

e cos(bx) dx

è

I2 =

Z eax sin(bx) dx.

(1.19)

Ðåøåíèå. Ïðîèíòåãðèðóåì èíòåãðàë I1 ïî ÷àñòÿì. Ïîëîæèì u = eax , dv = cos(bx) dx. Òîãäà du = a eax dx, v = ïîëó÷àåì

1 a I1 = eax sin(bx) − b b

Z

1 sin(bx) è ïî ôîðìóëå (1.13) b

1 a eax sin(bx) dx = eax sin(bx) − I2 . b b

(1.20)

Àíàëîãè÷íî ïîñòóïèì ñ èíòåãðàëîì I2 . Ïîëîæèì u = eax , dv = sin(bx) dx. 1 Çàòåì íàéäåì du = a eax dx, v = − cos(bx) è, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó èíòåb ãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì Z a 1 a 1 ax eax cos(bx) dx = − eax cos(bx) + I1 . (1.21) I2 = − e cos(bx) + b b b b Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííóþ èç óðàâíåíèé (1.20) è (1.21), îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ I1 è I2 , íàõîäèì ¢ eax ¡ I1 = 2 a cos(bx) + b sin(bx) + C, a + b2 ¢ eax ¡ I2 = 2 a sin(bx) − b cos(bx) + C. a + b2

(1.22)

1.5 Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé Ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè çàíèìàþò îñîáîå ìåñòî â àíàëèçå, ïîñêîëüêó ïåðâîîáðàçíàÿ ëþáîé òàêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé è èíòåãðèðîâàíèå ìíîãèõ ôóíêöèé, îòëè÷íûõ îò ðàöèîíàëüíûõ, ñâîäèòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé. Íî äëÿ èçëîæåíèÿ òåîðèè èíòåãðèðîâàíèÿ ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé íàì ïîòðåáóþòñÿ íåêîòîðûå ýëåìåíòàðíûå ñâåäåíèÿ î êîðíÿõ àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ.

16

Îãëàâëåíèå

Àëãåáðàè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû è èõ êîðíè Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåí P ñòåïåíè n

P (z) = c0 z n + c1 z n−1 + . . . + cn−1 z + cn , ãäå c0 ,c1 ,. . .,cn  íåêîòîðûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, ïåðâîå èç êîòîðûõ îòëè÷íî îò íóëÿ (â äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî c0 = 1).

Îïðåäåëåíèå 1.3 Êîìïëåêñíîå ÷èñëî a íàçûâàåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà P , åñëè ìíîãî÷ëåíà P â òî÷êå z = a îáðàùàåòñÿ â íóëü, òî åñòü

P (a) = 0. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî åñëè ÷èñëî a ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà n-é ñòåïåíè P , òî ýòîò ìíîãî÷ëåí ïðåäñòàâèì â âèäå

P (z) = (z − a)ψ(z),

(1.23)

ãäå ψ  íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíü n − 1.

Îïðåäåëåíèå 1.4 Êîðåíü a ìíîãî÷ëåíà P íàçûâàåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè α, åñëè íàéäóòñÿ ÷èñëî α ∈ N è ìíîãî÷ëåí ψ òàêèå, ÷òî ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå

P (z) = (z − a)α ψ(z),

(1.24)

ïðè÷åì ψ(a) 6= 0. Îòìåòèì, ÷òî åñëè êîðåíü a ∈ R ìíîãî÷ëåíà P ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, òî è ìíîãî÷ëåí ψ  ìíîãî÷ëåí ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè.

Ïðåäëîæåíèå 1.1 Åñëè a = u + iv êîìïëåêñíûé êîðåíü êðàòíîñòè α ìíîãî÷ëåíà P ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, òî è ñîïðÿæåííîå åìó ÷èñëî a = u − iv ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà P êðàòíîñòè α. Ïðè÷åì ìíîãî÷ëåí P (ñòåïåíè n) ïðåäñòàâèì â âèäå α

P (z) = (z 2 + pz + q) ψ(z),

(1.25)

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

17

ãäå p = −2u, q = u2 + v 2 , à ìíîãî÷ëåí ψ  ìíîãî÷ëåí ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåíè n−2α, íå îáðàùàþùèéñÿ â íóëü íè ïðè z = a, íè ïðè z = a. Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî âñÿêèé àëãåáðàè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí P n-é ñòåïåíè ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñëåäóþùåãî ïðîèçâåäåíèÿ

P (z) = (z − a1 )α1 (z − a2 )α2 . . . (z − ar )αr × β

β

× (z 2 + p1 z + q1 ) 1 (z 2 + p2 z + q2 ) 2 . . . (z s + ps z + qs )βs ,

(1.26)

ãäå âñå ÷èñëà a1 , . . . , ar , p1 ,q1 , . . . , ps ,qs ∈ R, α1 , . . . , αr , β1 , . . . , βs ∈ N, ïðè÷åì

α1 + . . . + αr + β1 + . . . + βs = n.  äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìíîãî÷ëåíû òîëüêî ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè è îïðåäåëåííûå íà R.

Ðàçëîæåíèå ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè íà ïðîñòåéøèå Îïðåäåëåíèå 1.5 Ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ

R(x) :=

P (x) . Q(x)

(1.27)

Ïðè ýòîì äðîáü (1.27) íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà P , ñòîÿùåãî â ÷èñëèòåëå, ìåíüøå ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà Q, ñòîÿùåãî â çíàìåíàòåëå.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü íàçûâàåòñÿ íåïðàâèëüíîé. Îòìåòèì, ÷òî âñÿêàÿ íåïðàâèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü âñåãäà îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâèìà â âèäå ñóììû ìíîãî÷ëåíà è ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî, íàïðèìåð, ïîäåëèòü ñòîëáèêîì ÷èñëèòåëü èñõîäíîé äðîáè íà åå çíàìåíàòåëü.

Ïðèìåð 1.12 Ïðåäñòàâèòü íåïðàâèëüíóþ ðàöèîíàëüíóþ äðîáü x3 + 3x2 + 4x + 1 x2 + x + 1

18

Îãëàâëåíèå

x3 + 3x2 + 4x + 1 x2 + x + 1 x+2 x3 + x2 + x 2 2x + 3x + 1 2x2 + 2x + 2 x−1 Ðèñ. 1: Äåëåíèå ñòîëáèêîì

â âèäå ñóììû ìíîãî÷ëåíà è ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè.

Ðåøåíèå. Ðàçäåëèì ñòîëáèêîì ÷èñëèòåëü äðîáè íà çíàìåíàòåëü (ñì. ðèñ. 1). Ñëåäîâàòåëüíî,

x3 + 3x2 + 4x + 1 x−1 =x+2+ 2 . 2 x +x+1 x +x+1

Ëåììà 1.1 Ïóñòü ÷èñëî a ∈ R ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè α çíàìåíàòåëÿ ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè (1.27), òî åñòü

Q(x) = (x − a)α ϕ(x),

(1.28)

ãäå ϕ(a) 6= 0. Òîãäà äëÿ ýòîé äðîáè ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå:

R(x) =

ψ(x) A . α + (x − a) (x − a)α−k ϕ(x)

(1.29)

P (a) ∈ R, k ∈ N, à ψ  íåêîòîðûé ìíîϕ(a) ãî÷ëåí (ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè), ïðè÷åì ïîñëåäíÿÿ äðîáü â  ýòîì ïðåäñòàâëåíèè A =

ïðàâîé ÷àñòè (1.29) ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü A P (x) − . Q(x) (x − a)α Ïðèâîäÿ åå ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïîëó÷àåì

A Φ(x) P (x) − Aϕ(x) P (x) − = , α = α Q(x) (x − a) (x − a) ϕ(x) (x − a)α ϕ(x)

(1.30)

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

19

ãäå Φ îáîçíà÷àåò ìíîãî÷ëåí, çàäàííûé ðàâåíñòâîì Φ(x) = P (x) − Aϕ(x). Ïîñêîëüêó Φ(a) = P (a)−Aϕ(a) = 0, ÷èñëî a ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà

Φ íåêîòîðîé êðàòíîñòè k ≥ 1, òî åñòü Φ(x) = (x − a)k ψ(x),

(1.31)

ãäå ψ(a) 6= 0. Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå ìíîãî÷ëåíà Φ â âèäå (1.31) è (1.30), ïîëó÷àåì

P (x) A ψ(x) − . α = Q(x) (x − a) (x − a)α−k ϕ(x)

(1.32)

Òåì ñàìûì ðàâåíñòâî (1.29) äîêàçàíî. À òàê êàê äðîáü, ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè (1.32) ÿâëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ äâóõ ïðàâèëüíûõ äðîáåé, òî îíà ñàìà ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé.

Ëåììà 1.2 Ïóñòü çíàìåíàòåëü ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè (1.27) èìååò êîìïëåêñíûå êîðíè a = u + iv è a = u − iv êðàòíîñòè α, òî åñòü α

Q(x) = (x2 + px + q) ϕ(x),

(1.33)

ãäå ϕ(a) 6= 0, ϕ(a) 6= 0, p = −2u, q = u2 + v 2 . Òîãäà äëÿ ýòîé äðîáè ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå:

R(x) =

P (x) Mx + N ψ(x) = 2 . α + Q(x) (x + px + q) (x2 + px + q)α−k ϕ(x)

(1.34)

 ýòîì ïðåäñòàâëåíèè M è N  íåêîòîðûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, k ∈ N, à ψ  íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðè÷åì ïîñëåäíÿÿ äðîáü â ïðàâîé ÷àñòè (1.34) ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü, êàê îáû÷íî, Re (A) è Im (A) îáîçíà÷àþò âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà A. Ïîëîæèì µ µ ¶ µ ¶ ¶ 1 P (a) P (a) P (a) u M = Im , N = Re − Im . v ϕ(a) ϕ(a) v ϕ(a) Òåïåðü ðàññìîòðèì ðàçíîñòü

Mx + N P (x) − 2 . Q(x) (x + px + q)α

20

Îãëàâëåíèå

Ïðèâåäåì ýòó ðàçíîñòü ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.

P (x) Mx + N P (x) − (M x + N )ϕ(x) − 2 . α = Q(x) (x + px + q) (x2 + px + q)α ϕ(x) Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ Φ(x) = P (x) − (M x + N )ϕ(x) ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè ïðåäñòàâëåíèå

P (x) Mx + N Φ(x) − 2 . α = 2 Q(x) (x + px + q) (x + px + q)α ϕ(x)

(1.35)

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî Φ(a) = 0. Ïîýòîìó ÷èñëî a ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Φ íåêîòîðîé êðàòíîñòè k , à ïî ïðåäëîæåíèþ 1.1 è ÷èñëî a òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ýòîãî ìíîãî÷ëåíà êðàòíîñòè k . Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîãî÷ëåí Φ ðàçëàãàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå k

Φ(x) = (x2 + px + q) ψ(x), ãäå ψ  íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, íå îáðàùàþùèéñÿ â íóëü ïðè x = a è x = a. Âñòàâëÿÿ ýòî ïðåäñòàâëåíèå â ôîðìóëó (1.35), ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå (1.34). È ïîñêîëüêó ðàçíîñòü äâóõ ïðàâèëüíûõ äðîáåé, â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé äðîáüþ, ψ(x) äðîáü ïðàâèëüíàÿ. (x2 + px + q)α−k ϕ(x) Ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå ëåìì 1.1 è 1.2 ê ïðàâèëüíîé äðîáè (1.27) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó óòâåðæäåíèþ.

P (x)  ïðàâèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü ñ âåùåQ(x) ñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, çíàìåíàòåëü êîòîðîé èìååò âèä

Òåîðåìà 1.4 Ïóñòü

Q(x) =(x − a1 )α1 (x − a2 )α2 . . . (x − ar )αr × β

β

×(x2 + p1 x + q1 ) 1 (x2 + p2 x + q2 ) 2 . . . (xs + ps x + qs )βs .

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

21

Òîãäà äëÿ ýòîé äðîáè ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå íà ñóììó äðîáåé: (1)

(1)

(1)

P (x) A2 Aα1 A1 + + = 2 + ... + Q(x) x − a1 (x − a1 ) (x − a1 )α1 (2) (2) (2) A1 A2 Aα2 = + + ... + + x − a2 (x − a2 )2 (x − a2 )α2 (r) (r) (r) A1 A2 Aαr + = + + ... + x − ar (x − ar )2 (x − ar )αr (1) (1) (1) (1) M x + N1 M2 x + N2 + 21 + + ...+ x + p1 x + q1 (x2 + p1 x + q1 )2 (1) (1) (s) (s) Mβ1 x + Nβ1 M1 x + N1 + + + ... + 2 x + ps x + qs (x2 + p1 x + q1 )β1 (s) (s) (s) (s) Mβs x + Nβs M2 x + N2 + + ... + , (x2 + ps x + qs )2 (x2 + ps x + qs )βs (1)

(1)

(r)

(1)

(1)

(s)

(1.36)

(s)

ãäå A1 , A2 , . . . , Aαr , M1 , N1 , . . . , Mβs , Nβs ∈ R. Äëÿ êîíêðåòíîãî îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ïîñòîÿííûõ, íàçûâàåìûõ íåîïðåäåëåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, íóæíî ïðèâåñòè âñå äðîáè â (1.36) ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, à çàòåì ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ x â ÷èñëèòåëÿõ. Ïîëó÷èì ñèñòåìó

α1 + α2 + . . . + αr + 2 (β1 + β2 + . . . + βs ) ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òàêèì æå ÷èñëîì íåèçâåñòíûõ, êîòîðûìè ÿâëÿþòñÿ ïåðå÷èñëåííûå íåîïðåäåëåííûå êîýôôèöèåíòû. Äðîáè, ñòîÿùèå â ïðàâîé ÷àñòè (1.36) íàçûâàþò ïðîñòåéøèìè ðàöè-

îíàëüíûìè äðîáÿìè .

Ïðèìåð 1.13 Ðàçëîæèòü äðîáü

x+3 íà ïðîñòåéøèå. (x − 1)(x2 + 1)2

Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî òåîðåìå 1.4, ðàçëîæåíèå èìååò âèä Bx + C Dx + E x+3 A + 2 + = . 2 x−1 x +1 (x − 1)(x2 + 1) (x2 + 1)2 Ïðèâîäÿ ðàâåíñòâî (1.37) ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïîëó÷àåì

x+3 = (x − 1)(x2 + 1)2 2 A(x2 + 1) + (Bx + C) (x − 1)(x2 + 1) + (Dx + E) (x − 1) = . (x − 1)(x2 + 1)2

(1.37)

22

Îãëàâëåíèå

Ñðàâíèâàÿ â ÷èñëèòåëÿõ êîýôôèöèåíòû ïðè x4 , x3 , x2 , x1 è x0 , ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé

x

4

x3 x2 x1 x0

¯ ¯ ¯ A ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2A ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A

+B

= 0,

−B +C

= 0,

+B −C +D

= 0,

−B +C −D +E = 1, −C

−E = 3.

Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, íàõîäèì A = 1, B = −1, C = −1, D = −2, E = −1. Ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì

x+3 1 x+1 2x + 1 − 2 − . 2 = 2 x − 1 x + 1 (x2 + 1)2 (x − 1)(x + 1)

Èíòåãðèðîâàíèå ïðîñòåéøèõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé Ïîñêîëüêó âñÿêàÿ íåïðàâèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü ïðåäñòàâèìà â âèäå ñóììû ìíîãî÷ëåíà è ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè, à èíòåãðèðîâàíèå ìíîãî÷ëåíà íå ñîñòàâëÿåò òðóäà, íóæíî íàó÷èòüñÿ èíòåãðèðîâàòü ëèøü ïðàâèëüíûå ðàöèîíàëüíûå äðîáè. Íî ââèäó òåîðåìû 1.4 äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óìåòü èíòåãðèðîâàòü ïðîñòåéøèå ðàöèîíàëüíûå äðîáè. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèÿ, ïðîñòåéøèå ðàöèîíàëüíûå äðîáè áûâàþò ñëåäóþùèõ ÷åòûðåõ òèïîâ:

I. II.

A , x−a A , α > 1, (x − a)α

III. IV.

Mx + N , 2 x + px + q Mx + N (x2 + px + q)β

p2 > 0, 4 p2 q− > 0, β > 1. 4

q− ,

Äîêàæåì, ÷òî êàæäàÿ èç ÷åòûðåõ óêàçàííûõ äðîáåé èíòåãðèðóåìà â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâî 6 è ôîðìóëû 4 è 3, ñðàçó íàõîäèì èíòåãðàëû îò äðîáåé ïåðâîãî è âòîðîãî òèïîâ:

Z

A dx = A ln |x − a| + C; x−a

Z

A A + C. α dx = − (x − a) (α − 1) (x − a)α−1

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

23

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà îò äðîáè òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî òèïîâ, p2 ó÷èòûâàÿ, ÷òî q − > 0, ïðåîáðàçóåì êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí x2 + px + q : 4   !2 µ ¶ µ ¶ à ³ ´ 2 2 2 p p p  2x + p p x2 + px + q = x + + q− = q− + 1 . 2 4 4 4q − p2 Òåïåðü, äåëàÿ â èíòåãðàëå Z

Mx + N (x2

+ px + q)β

dx,

2x + p ãäå β ∈ N, çàìåíó ïåðåìåííîé, ïîëàãàÿ t = p , ïðåîáðàçóåì åãî â 4q − p2 èíòåãðàë âèäà: Z Et + F dt. (1.38) (t2 + 1)β Ïîýòîìó ïðè β = 1, òî åñòü â ñëó÷àå äðîáè òðåòüåãî òèïà, èìååì Z Z Z ¢ Et + F E 2t dt E ¡2 dt = dt + F = ln t + 1 + F arctg t + C. t2 + 1 2 t2 + 1 t2 + 1 2 Îñòàëîñü âû÷èñëèòü èíòåãðàë îò äðîáè ÷åòâåðòîãî òèïà, êîòîðûé ìû ïðåîáðàçîâàëè â èíòåãðàë âèäà (1.38). Ïðåäñòàâèì ýòîò èíòåãðàë â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè äâóõ èíòåãðàëîâ:

Z

E dt = β 2 (t2 + 1) Et + F

Z

Z

2t dt (t2 + 1)

β

+F

dt (t2 + 1)β

.

(1.39)

Î÷åâèäíî, ÷òî

Z

2t dt (t2

+ 1)

β

=−

Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:

1 (β − 1) (t2 + 1)β−1 Z

Kβ =

+ C.

dt

. + 1)β Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòîãî èíòåãðàëà âûâåäåì ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó, ñâî(t2

äÿùóþ âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà Kβ ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà Kβ−1 , è òåì ñàìûì, ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà K1 . Äåéñòâèòåëüíî, Z Z 2 dt (t + 1) − t2 Kβ = = dt = (t2 + 1)β (t2 + 1)β Z Z Z dt t2 t dt = − dt = Kβ−1 − t · . β−1 β 2 2 2 (t + 1) (t + 1) (t + 1)β

24

Îãëàâëåíèå

Ê ïîñëåäíåìó èíòåãðàëó ïðèìåíèì ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Ïît dt 1 ëîæèì u = t, dv = . Òîãäà du = dt, v = − . β 2 (t + 1) (β − 1) (t2 + 1)β−1 Ñëåäîâàòåëüíî, Z t 1 dt Kβ = Kβ−1 + − = β−1 2 (β − 1) 2 (β − 1) (t2 + 1) (t2 + 1)β−1 t 2β − 3 = + Kβ−1 . β−1 2 (β − 1) 2 (β − 1) (t2 + 1) Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà íóæíî âîçâðàòèòüñÿ ê ïåðåìåííîé x. Ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëÿì ïðîäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îá èíòåãðèðîâàíèè ðàöèîíàëüíîé äðîáè.

Òåîðåìà 1.5 Âñÿêàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü èíòåãðèðóåìà â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.

Z

Ïðèìåð 1.14 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë

x+3 dx . (x − 1)(x2 + 1)2

Ðåøåíèå. Ïîëüçóÿñü ðåçóëüòàòîì ïðèìåðà 1.13 è ïðèìåíÿÿ èçëîæåííóþ òåîðèþ, ïîëó÷àåì Z x+3

Z

Z Z dx x+1 2x + 1 dx = − dx − dx = 2 2 x−1 x +1 (x − 1)(x2 + 1) (x2 + 1)2 Z Z Z Z 2x dx dx 2x dx 1 dx − − = ln |x − 1| − = 2 − 2 2 2 2 2 x +1 x +1 (x + 1) (x + 1)2 Z 1 x 1 dx 1 2 = ln |x − 1| − ln(x + 1) − arctg x + 2 − − = 2 2 2 x + 1 2(x + 1) 2 x +1 1 3 1 x = ln |x − 1| − ln(x2 + 1) − arctg x + 2 − + C. 2 2 2 x + 1 2(x + 1)

Ïðèìåð 1.15 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë Z

3x4 + 7x3 + x2 − x − 2 dx . x4 − 1

Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ïîäûíòåãðàëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü íåïðàâèëüíàÿ, ñíà÷àëà âûäåëèì åå öåëóþ ÷àñòü è ïîëó÷èì ¶ Z Z µ 3x4 + 7x3 + x2 − x − 2 7x3 + x2 − x + 1 dx = 3+ dx. x4 − 1 x4 − 1

(1.40)

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

25

Îñòàâøóþñÿ ïðàâèëüíóþ äðîáü ðàçëîæèì íà ïðîñòåéøèå ðàöèîíàëüíûå äðîáè, ïðèìåíÿÿ ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Òàê êàê x4 −1 =

(x − 1)(x + 1)(x2 + 1), òî ðàçëîæåíèå èìååò âèä 7x3 + x2 − x + 1 A B Cx + D = + + 2 . 4 x −1 x−1 x+1 x +1 Ïðèâîäÿ ïîëó÷åííûå äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïîëó÷àåì

7x3 + x2 − x + 1 = x4 − 1 A(x + 1)(x2 + 1) + B(x − 1)(x2 + 1) + (Cx + D) (x − 1)(x + 1) = . x4 − 1 Òåïåðü ñðàâíèì êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ x â ìíîãî÷ëåíàõ, ñòîÿùèõ â ÷èñëèòåëÿõ. ¯ ¯ 3 ¯ A x ¯ ¯ x2 ¯ A ¯ ¯ 1 ¯ A x ¯ ¯ 0 ¯ A x

+B +C −B +B −C −B

=

7,

+D =

1,

= −1, −D =

1.

Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàõîäèì A = 2, B = 1, C = 4, D = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,

Z Z Z dx dx 3x4 + 7x3 + x2 − x − 2 dx = 3 dx + 2 + + 4 x −1 x−1 x+1 Z ¡ 2 ¢ x +4 dx = 3x + 2 ln |x − 1| + ln |x + 1| + 2 ln x + 1 + const . x2 + 1 Z

1.6 Ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ Äàëåå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå êëàññû ôóíêöèé, îòëè÷íûõ îò ðàöèîíàëüíûõ, íî èíòåãðèðóåìûõ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ. Äëÿ èçëîæåíèÿ ýòîãî ìàòåðèàëà íàì ïîòðåáóåòñÿ ïîíÿòèå ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ.

26

Îãëàâëåíèå

Îïðåäåëåíèå 1.6 Ìíîãî÷ëåíîì n-ñòåïåíè îò äâóõ ïåðåìåííûõ x è y íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå âèäà

Pn (x, y) = a0,0 + a1,0 x + a0,1 y + a2,0 x2 + a1,1 xy + a0,2 y 2 + . . . + a0,n y n , ãäå a0,0 ,a1,0 ,a0,1 ,. . .,a0,n  íåêîòîðûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà.

Îïðåäåëåíèå 1.7 Ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé äâóõ ïåðåìåííûõ íàçûâàåòPn (x, y) , ãäå Pn (x, y) è Qm (x, y)  ïðîèçâîëüíûå Qm (x, y) ìíîãî÷ëåíû îò äâóõ ïåðåìåííûõ x è y ñòåïåíè n è m ñîîòâåòñòâåííî.

ñÿ îòíîøåíèå âèäà

Ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõ x è y áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì R(x, y). Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè R(x, y)  ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ x è y , à R1 (t), R2 (t) è R3 (t)  ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé t, òî âûðàæåíèå R (R1 (t), R2 (t)) R3 (t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ îäíîé ïåðåìåííîé t. Îòìåòèì äâà ýëåìåíòàðíûõ ñâîéñòâà ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ: (I) Åñëè ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ R(u, v) íå ìåíÿåò ñâîåãî çíà÷åíèÿ ïðè èçìåíåíèè çíàêà îäíîãî èç àðãóìåíòîâ, íàïðèìåð, u, òî åñòü, åñëè

R(−u, v) = R(u, v), òî ýòà ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó R(u, v) = R1 (u2 , v), ãäå R1  íåêîòîðàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñâîèõ äâóõ àðãóìåíòîâ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ R(u, v) ñîäåðæèò ëèøü ÷åòíûå ñòåïåíè ïåðåìåííîé u. (II) Åñëè æå ïðè èçìåíåíèè çíàêà îäíîãî èç àðãóìåíòîâ, íàïðèìåð,

u, ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ R(u, v) òàêæå ìåíÿåò çíàê, òî åñòü R(−u, v) = −R(u, v), òî îíà ïðèâîäèòñÿ ê âèäó R(u, v) = R2 (u2 , v)u.

1.7 Èíòåãðèðîâàíèå â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ íåêîòîðûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé Ðàññìîòðèì èíòåãðàë

Z R (sin x, cos x) dx.

(1.41)

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

27

Ýòîò èíòåãðàë âñåãäà ìîæåò áûòü ðàöèîíàëèçèðîâàí ñ ïîìîùüþ òàê íàx çûâàåìîé óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêè t = tg . Äåéñòâèòåëüíî, ïðè òàêîé 2 çàìåíå èìååì

sin x =

2t = R1 (t), 1 + t2

cos x =

1 − t2 = R2 (t), 1 + t2

dx =

2 dt = R3 (t)dt. 1 + t2

Ïîýòîìó èíòåãðàë (1.41) ïðåîáðàçóåòñÿ â èíòåãðàë

Z R (R1 (t), R2 (t)) R3 (t)(t) dt, òî åñòü â èíòåãðàë îò ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé t. x Ïîñêîëó ïîäñòàíîâêà t = tg ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé, îíà ÷àñòî 2 ïðèâîäèò ê ãðîìîçäêèì âûêëàäêàì. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî ðàññìîòðåòü íåñêîëüêî ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, â êîòîðûõ èíòåãðàë (1.41) ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ äðóãèõ ïîäñòàíîâîê, ïðèâîäÿùèõ ê áîëåå ïðîñòûì âûêëàäêàì. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå òðè ñëó÷àÿ. 1) Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â èíòåãðàëå (1.41) ïðè çàìåíå cos x íà

− cos x ìåíÿåò çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé. Òîãäà, ñîãëàñíî ñâîéñòâà (II), ýòà ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìà â âèäå

¡ ¢ e sin x, cos2 x cos x. R (sin x, cos x) = R Òåïåðü ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ïîäñòàíîâêà t = sin x ïðèâîäèò ê èíòåãðàëó îò ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé t. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ýòîé çàìåíå ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ïðåîáðàçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì

¡ ¢ e sin x, cos2 x cos x dx = R (sin x, cos x) dx = R ¢ ¡ ¢ ¡ e sin x, 1 − sin2 x d(sin x) = R e t, 1 − t2 dt = R1 (t) dt. =R 2) Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â èíòåãðàëå (1.41) ïðè çàìåíå sin x íà

− sin x ìåíÿåò çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé.  ýòîì ñëó÷àå ïîäñòàíîâêà t = cos x ðàöèîíàëèçèðóåò ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàëå (1.41). Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ïðèâåäåííîìó â ñëó÷àå 1).

28

Îãëàâëåíèå

3) Ïóñòü òåïåðü ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â èíòåãðàëå (1.41) ïðè îäíîâðåìåííîé çàìåíå sin x íà − sin x è cos x íà − cos x íå ìåíÿåò ñâîåãî çíàêà, òî åñòü (1.42)

R(−u, −v) = R(u, v).

Äîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå èíòåãðàë (1.41) ìîæåò áûòü ðàöèîíàëèçèðîâàí ïîäñòàíîâêîé t = tg x. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ³u ´ ³u ´ R(u, v) = R v, v = R1 ,v , v v ³u ´ ³u ´ R(−u, −v) = R (−v), −v = R1 , −v . v v

(1.43) (1.44)

Êîìáèíèðóÿ (1.42)  (1.44), ïîëó÷àåì ³u ´ ³u ´ R1 , −v = R1 ,v . v v Íî òîãäà, ñîãëàñíî ñâîéñòâó (I), ³u ´ ³u ´ R1 , v = R2 , v2 . v v Îòñþäà è (1.43) ïîëó÷àåì

R(u, v) = R2 Ïîýòîìó

Z

Z R (sin x, cos x) dx =

³u v

´ , v2 .

¡ ¢ R2 tg x, cos2 x dx.

Ïîëàãàÿ t = tg x, íàõîäèì x = arctg t è dx =

dt . 1+t2

(1.45)

Òîãäà, ïðîäîëæàÿ

(1.45), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì

Z

µ

Z R (sin x, cos x) dx =

R2

1 t, 1 + t2

¶

dt . 1 + t2

Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëÿì ñàìîñòîÿòåëüíî äîêàçàòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå èíòåãðàë (1.41) ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ è ïîäñòàíîâêîé t = ctg x.

Ïðèìåð 1.16 Ñëåäóþùèå èíòåãðàëû ðàöèîíàëèçèðîâàòü äâóìÿ ñïîñîáàìè  ïðèìåíÿÿ óíèâåðñàëüíóþ ïîäñòàíîâêó è îäíó èç ÷àñòíûõ ïîäñòàíîâîê: Z a)

dx ; sin x (cos x + 3)

Z b)

dx . sin x + 2 sin x cos x + 3 cos2 x 2

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

29

Ðåøåíèå. a) Ïðèìåíèì óíèâåðñàëüíóþ ïîäñòàíîâêó. Z

dx = sin x (cos x + 3)

Z 2t 1+t2

2 dt ¡ 1−t2 ¢ = + 3 (1 + t2 ) 1+t2

Z

1 + t2 dt . 2t (2 + t2 )

Òåïåðü ïðèìåíèì ïîäñòàíîâêó, ðåêîìåíäóåìóþ òåîðèåé. Ïðè sin x = u è cos x = v ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò âèä R(u, v) =

1 . u(v+3)

Ïîñêîëüêó R(−u, v) = −R(u, v) ìîæíî ñäåëàòü çàìåíó t = cos x. Òîãäà èìååì

Z

dx =− sin x (cos x + 3)

Z

− sin x dx =− 2 sin x (cos x + 3)

Z

dt (1 −

t2 ) (t

+ 3)

.

1 + t2 è (1−t21)(t+3) ïðåä2t (2 + t2 ) ñòàâëÿþò ñîáîé ñóììó äâóõ ïðîñòåéøèõ äðîáåé  ïåðâîãî è òðåòüåãî Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî êàæäàÿ èç ôóíêöèé

âèäà. Ñëåäîâàòåëüíî óíèâåðñàëüíàÿ ïîäñòàíîâêà è ïîäñòàíîâêà t = cos x ïðåîáðàçóþò ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ ê ¾îäíîòèïíûì ¿ ðàöèîíàëüíûì ôóíêöèÿì.

b) Ïîëàãàÿ t = tg x2 , ïîëó÷àåì Z

dx = 2x sin x + 2 sin x cos x + 3 cos Z 2 dt ³¡ = = ¢ ¡ 1−t2 ¢2 ´ 2 2t 1−t2 2t 2) + · + 3 (1 + t 1+t2 1+t2 1+t2 1+t2 Z 2 2 (1 + t ) dt = . 3t4 − 4t3 − 2t2 + 4t + 3 2

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê ïðè sin x = u è cos x = v ïîäûíòåãðàëü1 íàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä R(u, v) = 2 , ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî u + 2uv + 3v 2 R(−u, −v) = R(u, v). Ñîãëàñíî òåîðèè, öåëåñîîáðàçíî ñäåëàòü çàìåíó

t = tg x, áëàãîäàðÿ êîòîðîé, ïîëó÷àåì Z

dx = 2 sin x + 2 sin x cos x + 3 cos2 x

Z t2

dt . + 2t + 3

Î÷åâèäíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå âòîðîé çàìåíû ïîëó÷åíà áîëåå ïðîñòàÿ ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ, ÷åì â ñëó÷àå óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêè.

30

Îãëàâëåíèå

1.8 Èíòåãðèðîâàíèå äðîáíî-ëèíåéíûõ èððàöèîíàëüíîñòåé Äðîáíî-ëèíåéíîé èððàöèîíàëüíîñòüþ íàçûâàþò ôóíêöèþ âèäà

Ã

r

R x,

n

ax + b cx + d

! (1.46)

,

ãäå a, b, c, d  íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå ÷èñëà,ïðè÷åì ad − bc 6= 0, à n ∈ N. Äîêàæåì, r÷òî èíòåãðàë îò ôóíêöèè (1.46) ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ ïîäñòàax + b íîâêîé t = n . Äåéñòâèòåëüíî òîãäà íàõîäèì cx + d

tn =

ax + b , cx + d

x=

dtn − b = R1 (t), a − ctn

dx =

n(ad − bc)tn dt = R2 (t)dt. (a − ctn )2

Ïîýòîìó

Ã

r

R x,

n

Z

ax + b cx + d

!

Z

Z

dx =

R (R1 (t), t) R2 (t)dt =

e dt. R(t)

Ïðèìåð 1.17 Ðàöèîíàëèçèðîâàòü èíòåãðàë Z

q 3

q 4

q

5x+1 x−3

+

5x+1 x−3

+

q 3

5x+1 x−3 5x+1 x−3

dx.

Ðåøåíèå. Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â ýòîì èíòåãðàëå èìååò âèä (1.46) ñ a = 5, b = 1, c = 1, d = −3 è n = 12 (n ðàâíî íàèìåíüøåìó îáùåìó q 12 5x+1 , íàêðàòíîìó ÷èñåë 2, 3, 4). Äåëàÿ ðåêîìåíäîâàííóþ çàìåíó t = x−3 õîäèì

x=

3t12 + 1 , t12 − 5

dx = −

192dt (5 − t12 )2

è ïîëó÷àåì

Z

q 3

q 4

q

5x+1 x−3

+

5x+1 x−3

+

q 3

5x+1 x−3 5x+1 x−3

Z dx = −192

t4 + t6 dt = −192 t3 + t4

Z

t (1 + t2 ) dt. 1+t

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

31

1.9 Èíòåãðèðîâàíèå áèíîìèàëüíûõ äèôôåðåíöèàëîâ Áèíîìèàëüíûì äèôôåðåíöèàëîì íàçûâàþò âûðàæåíèå âèäà

xm (a + bxn )p dx, ãäå a è b  ëþáûå ïîñòîÿííûå, à m, n, p  íåêîòîðûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà. Âîïðîñ î ðàöèîíàëèçàöèè èíòåãðàëîâ îò áèíîìèàëüíûõ äèôôåðåíöèàëîâ áûë ïîëíîñòüþ ðåøåí â ñåðåäèíå 19-ãî âåêà Ïàôíóòèåì Ëüâîâè÷åì ×åáûø¼âûì. Ìû ïðèâåäåì çäåñü äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè åãî òåîðåìû.

Òåîðåìà 1.6 (Ï.Ë.×åáûø¼â) Áèíîìèàëüíûé äèôôåðåíöèàë èíòåãðèðóåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ÷èñåë

m, n è p âûïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé: 1◦ . p ∈ Z,

2◦ .

m+1 ∈ Z, n

3◦ .

m+1 + p ∈ Z. n

Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè.  ñëó÷àå 1◦ áèíîìèàëüíûé äèôôåðåíöèàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äðîáíî-ëèíåéíóþ èððàöèîíàëüíîñòü âèäà √ R (x, r x) dx, ãäå r  íàèìåíüøåå Z îáùåå êðàòíîå çíàìåíàòåëåé ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë m è n. Ïîýòîìó √ ñòàíîâêîé t = r x.

xm (a + bxn )p dx ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ ïî-

 ñëó÷àå 2◦ , äåëàÿ çàìåíó z = xn è ââîäÿ îáîçíà÷åíèå q = ïîëó÷àåì

Z

1 x (a + bx ) dx = n

− 1,

Z

n p

m

m+1 n

z q (a + bz)p dz.

(1.47)

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðåîáðàçîâàëè èñõîäíûé èíòåãðàë â èíòåãðàë îò ¡ √ ¢ äðîáíî-ëèíåéíîé èððàöèîíàëüíîñòè âèäà R z, s a + bz dz , ãäå s  çíàìåíàòåëü ÷èñëà p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàë îò áèíîìèàëüíîãî äèôôåðåíöèàëà ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ ïîñòàíîâêîé

t=

√ s

a + bz =

√ s

a + bxn .

32

Îãëàâëåíèå

Z xm (a + bxn )p dx ïîëîæèì q =

 ñëó÷àå 3 ïîñëå çàìåíû z = x â ◦

m+1 n

n

+ p − 1 è áóäåì èìåòü Z

µ

Z

1 x (a + bx ) dx = n n p

m

z

q

a + bz z

¶p dz.

Ñëåäîâàòåëüíî è â ýòîì ñëó÷àå èñõîäíûé èíòåãðàë ïðåîáðàçîâàí â èíòåãðàë îò äðîáíî-ëèíåéíîé èððàöèîíàëüíîñòè. Ïîýòîìó îí ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ ïîñòàíîâêîé

r

a + bz = z

s

t=

r s

a + b, xn

ãäå s  çíàìåíàòåëü ÷èñëà p.

Ïðèìåð 1.18 Ðàöèîíàëèçèðîâàòü èíòåãðàë Z

³ 1 ´ 35 3 x 4x − 3 dx. 7 15

Ðåøåíèå. Â äàííîì ïðèìåðå m = p 6∈ Z,

m+1 n

=

22 5

6∈ Z, à

m+1 n

+p =

22 5

7 , 15

n = 13 , p = 35 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî

3 5

= 5 ∈ Z. Ñëåäîâàòåëüíî ìû èìå-

+

åì ñëó÷àé 3◦ . Ñîãëàñíî òåîðèè, íóæíî äåëàòü çàìåíó (s  çíàìåíàòåëü ÷èñëà p)

r t=

s

a +b= xn

r 5

−3 1

x3

+ 4.

Îòñþäà íàõîäèì

µ x=

3 4 − t5

¶3 =

27 , (4 − t5 )3

dx =

405t4 dt. (4 − t5 )4

Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ x è dx â èñõîäíûé èíòåãðàë, ïîëó÷àåì

Z x

7 15

³

Z µ ´ 35 4x − 3 dx = 1 3

=3645

3 4 − t5 Z

¶ 75 µ

¶ 35 3 405t4 − 3 dt = 4 4 − t5 (4 − t5 )4

t7 dt. (4 − t5 )6

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

33

1.10 Èíòåãðèðîâàíèå êâàäðàòè÷íûõ èððàöèîíàëüíîñòåé ïîñðåäñòâîì ïîäñòàíîâîê Ýéëåðà Êâàäðàòè÷íîé èððàöèîíàëüíîñòüþ íàçûâàþò ôóíêöèþ âèäà

³ √ ´ R x, ax2 + bx + c ,

(1.48)

ãäå a, b è c  íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. Êîíå÷íî, ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí ax2 + bx + c íå èìååò ðàâíûõ êîðíåé. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ, â êîòîðûõ èíòåãðàë îò êâàäðàòè÷íîé èððàöèîíàëüíîñòè

Z

³ √ ´ 2 R x, ax + bx + c dx

(1.49)

ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ.

1∗ . Ïóñòü a > 0. Â èíòåãðàëå (1.49) ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé, ïîëàãàÿ √

√ ax2 + bx + c = t ± x a.

Òåïåðü âîçâûñèâ îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà â êâàäðàò, ïîëó÷àåì

√ bx + c = t2 ± 2 atx. Îòñþäà íàõîäèì

x=

√ √ t2 − c √ = R1 (t), ax2 + bx + c = t ± aR1 (t) = R2 (t), b ∓ 2 at dx = R10 (t)dt = R3 (t)dt.

Ïîýòîìó Z

Z ³ √ ´ 2 R x, ax + bx + c dx = R (R1 (t), R2 (t)) R3 (t)dt.

2∗ . Ïóñòü c > 0.  ýòîì ñëó÷àå ïîëîæèì √

ax2 + bx + c = xt ±

√

c.

Ïîñëå âîçâûøåíèÿ ýòîãî ðàâåíñòâà â êâàäðàò, ïîëó÷èì

√ ax2 + bx = x2 t2 ± 2 cxt.

(1.50)

34

Îãëàâëåíèå

Òåïåðü ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà íà x, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, íàõîäèì √ b ∓ 2 ct x= 2 = R1 (t), t −a

√

ax2 + bx + c = tR1 (t) ±

√

c = R2 (t),

dx = R10 (t)dt = R3 (t)dt. Ñëåäîâàòåëüíî ìû ñíîâà ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (1.50).

3∗ . Ïóñòü êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí ax2 + bx + c èìååò âåùåñòâåííûå êîðíè x1 è x2 . Ïî ïðåäïîëîæåíèþ x1 6= x2 . Òîãäà èìååì √ Ïîëîæèì

ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).

√

(1.51)

ax2 + bx + c = t(x − x1 ).

Êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ, âîçâûøàÿ îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà â êâàäðàò è ó÷èòûâàÿ (1.51), íàõîäèì

x=

√ t2 x1 − ax2 = R (t), ax2 + bx + c = t (R1 (t) − x1 ) = R2 (t), 1 t2 − a dx = R10 (t)dt = R3 (t)dt.

È îïÿòü ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (1.50). Äîêàæåì, ÷òî èíòåãðàë (1.49) âñåãäà ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ (ñëåäîâàòåëüíî âñåãäà áåðåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ), ïî êðàéíåé ìåðå, îäíîé èç ïîäñòàíîâîê Ýéëåðà. Äåéñòâèòåëüíî, âîçìîæíû âñåãî äâà âàðèàíòà:

(i). Êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí ax2 + bx + c íå èìååò âåùåñòâåííûõ êîðíåé; (ii). Êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí ax2 + bx + c èìååò âåùåñòâåííûå êîðíè. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî åñëè êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí ax2 +bx+ c íå èìååò âåùåñòâåííûõ êîðíåé, òî åãî çíàê ñîâïàäàåò ñî çíàêîì a. Íî ïî ñìûñëó ýòîò êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí ïîëîæèòåëåí (èç íåãî èçâëåêàåòñÿ êâàäðàòíûé êîðåíü). Ïîýòîìó a > 0. Ñëåäîâàòåëüíî â ñëó÷àå (i) èíòåãðàë (1.49) ðàöèîíàëèçèðóåòñÿ ïåðâîé ïîäñòàíîâêîé Ýéëåðà. À ñëó÷àé (ii) î÷åâèäåí (ðàáîòàåò òðåòüÿ ïîäñòàíîâêîé Ýéëåðà).

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

35

Z

Ïðèìåð 1.19 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë

x

√

x2

dx . +x+1

Ðåøåíèå. Êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí x2 + x + 1 âåùåñòâåííûõ êîðíåé íå èìååò, íî îáà è êîýôôèöèåíò ïðè x2 , è ñâîáîäíûé ÷ëåí ïîëîæèòåëüíû. Ïîýòîìó ãîäÿòñÿ äâå ïåðâûõ ïîäñòàíîâîê Ýéëåðà. Ïðèìåíèì, íàïðèìåð, ïåðâóþ ïîäñòàíîâêó, òî÷íåå ïîëîæèì

√

x2 + x + 1 = t − x.

Ñîãëàñíî èçëîæåííîé òåîðèè, èìååì

t2 − 1 x= , 2t + 1

√

x2

t2 + t + 1 +x+1= , 2t + 1

2 (t2 + t + 1) dx = dt. (2t + 1)2

Òîãäà ïîëó÷àåì Z Z dx 2t + 1 2t + 1 2 (t2 + t + 1) √ = · · dt = t2 − 1 t2 + t + 1 x x2 + x + 1 (2t + 1)2 ¯ ¯ √ ¯ ¯ Z ¯ ¯ 2 ¯ ¯ dt t − 1¯ ¯x + x + x + 1 − 1¯ ¯ √ =2 = ln ¯ + C = ln ¯ ¯ + C. ¯ x + x2 + x + 1 + 1 ¯ t2 − 1 t + 1¯

1.11 Êîíòðîëüíûå âîïðîñû, çàäà÷è, óïðàæíåíèÿ 1. Ñóùåñòâóåò ëè ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ, íå èíòåãðèðóåìàÿ â êëàññå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé? 2. Âåðíî ëè, ÷òî âñå ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè èíòåãðèðóåìû â êëàññå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé? 3. Âåðíî ëè, ÷òî âñå ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè èíòåãðèðóåìû â êëàññå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé? 4. Âåðíî ëè, ÷òî ñóùåñòâóþò ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè, íå èíòåãðèðóåìûå â êëàññå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé? 5. Âåðíî ëè, ÷òî âñÿêàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà â êëàññå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé?

36

Îãëàâëåíèå 6. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Ôóíêöèÿ F : (a; b) → R íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè

f : (a; b) → R íà èíòåðâàëå (a; b), åñëè F çàäàíà ôîðìóëîé F (x) = C f (x), ãäå C - ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà. 7. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Ôóíêöèÿ F : (a; b) → R íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè

f : (a; b) → R íà èíòåðâàëå (a; b), åñëè â ëþáîé òî÷êå x ∈ (a; b) 0

ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà è å¼ ïðîèçâîäíàÿ F íåïðåðûâíà â èíòåðâàëå (a; b). 8. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Ôóíêöèÿ F : (a; b) → R íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè

f : (a; b) → R íà èíòåðâàëå (a; b), åñëè â ëþáîé òî÷êå x ∈ (a; b) 0

ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà è èìååò ïðîèçâîäíóþ F (x) ðàâíóþ

f (x). 9. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Ôóíêöèÿ F : (a; b) → R íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè

f : (a; b) → R íà èíòåðâàëå (a; b), åñëè íàéä¼òñÿ òî÷êà x ∈ (a; b) â 0

êîòîðîé ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà è èìååò ïðîèçâîäíóþ F (x) ðàâíóþ f (x). 10. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Ôóíêöèÿ F : (a; b) → R íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè

f : (a; b) → R íà èíòåðâàëå (a; b), åñëè â ëþáîé òî÷êå x ∈ (a; b) 0

ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà è èìååò ïðîèçâîäíóþ F (x) ðàâíóþ

f (x) + C, ãäå C 6= 0. 11. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a; b) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé F, äëÿ êîòîðûõ 0

ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî F (x) = f (x) + C, äëÿ ëþáîãî x ∈ (a; b), ãäå

C - ïîñòîÿííîå ÷èñëî, çàâèñÿùåå îò F (x).

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

37

12. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a; b) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé F, äèôôåðåíöèðóåìûõ â èíòåðâàëå 0

(a; b) è èìåþùèõ ïðîèçâîäíóþ F (x), ðàâíóþ f (x). 13. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a; b) íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ ôóíêöèÿ g(x) = f (x) + C. 14. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a; b) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé g(x) = f (x) + C. 15. Âåðíî ëè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå? Íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a; b) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ â èíòåðâàëå (a; b) ôóíêöèé

F (x) = f (x) + C. Z 16. Âåðíî ëè, ÷òî d

f (x)dx = f (x)?

17. Ïóñòü ôóíêöèÿ f èìååò ¶ ïåðâîîáðàçíóþ F íà èíòåðâàëå (a; b). Âåðíî µZ f (x)dx = ëè, ÷òî d 0

a) F (x)? b) F (x)? c) F (x)dx? d) d F (x)? e) F (x) + C?

18. Ïóñòü ôóíêöèè F è Φ ïåðâîîáðàçíûå ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (a; b). Ñïðàâåäëèâî ëè ðàâåíñòâî

a) F (x) = Φ(x)?

b) F (x) + Φ(x) = C?

19. Ïóñòü ôóíêöèè f è g èìåþò ïåðâîîáðàçíûå F è G íà èíòåðâàëå

(a; b). Âåðíî ëè, ÷òî ôóíêöèÿ f + g òàêæå èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà èíòåðâàëå (a; b) è

38

Îãëàâëåíèå

Z (f (x) + g(x))dx = 0

a) F (x) + G(x)?

0

b) F (x) + G (x)? c) (f (x) + g(x))dx? Z 0 0 d) dF (x) + G(x)? e) (F (x) + G (x))dx? 20. Ïóñòü ôóíêöèè f è g èìåþò ïåðâîîáðàçíûå F è G íà èíòåðâàëå

(a; b). Âåðíî ëè, ÷òî Z ôóíêöèÿ f · g òàêæå èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà èíòåðâàëå (a; b) è f (x)g(x)dx = Z f (x)g(x)dx =

a) F (x)G(x) + C? µZ ¶ Z b) C F (x)G(x)? c) F (x)dx G(x) + F (x) G(x)dx? µZ ¶ Z d) f (x)dx G(x) + F (x) g(x)dx? 21. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ ϕ èìååò ðàöèîíàëüíóþ ïåðâîîáðàçíóþ, à ôóíêöèÿ ψ ðàöèîíàëüíóþ ïðîèçâîäíóþ, òî ôóíêöèÿ f (x) =

ϕ(x)ψ(x) èíòåãðèðóåìà â êëàññå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. 22. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ ϕ èìååò ðàöèîíàëüíóþ ïåðâîîáðàçíóþ, òî ôóíêöèÿ f (x) = ϕ(x) arcsin x èíòåãðèðóåìà â êëàññå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. 23. Äîêàçàòü, ÷òî îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ ÷¼òíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ íå÷¼òíîé ôóíêöèåé. 24. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ íå÷¼òíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíîé ôóíêöèåé. 25. Ïðè êàêèõ a, b, c, d

Z

ax + b dx = cx + d

a) R1 (x) + A ln R2 (x) + B,

b) A ln R(x) + B,

c) R(x) + C,

ãäå R1 , R2 è R  ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè, A, B, C ∈ R?

Z

P (x) dx, Q(x) ãäå P è Q  ìíîãî÷ëåíû è ìíîãî÷ëåí Q èìååò òîëüêî äåéñòâèòåëü-

26. ×åðåç êàêèå ôóíêöèè ìîæåò áûòü âûðàæåí èíòåãðàë íûå êîðíè?

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

39

Z

P (x) dx, Q(x) ãäå P è Q  ìíîãî÷ëåíû è ìíîãî÷ëåí Q èìååò òîëüêî êîìïëåêñíûå

27. ×åðåç êàêèå ôóíêöèè ìîæåò áûòü âûðàæåí èíòåãðàë êîðíè? 28. Äîêàçàòü, ÷òî

Z

√ √ P ( n x)dx = Q( n x),

ãäå P è Q  ìíîãî÷ëåíû. Z dx 29. Ìîæåò ëè èíòåãðàë ïðè a 6= 0 áûòü ðàöèîíàëüíîé 2 ax + bx + c ôóíêöèåé? Z dx 30. Ìîæåò ëè èíòåãðàë ïðè a 6= 0 èìåòü âèä: ax2 + bx + c

a) α ln |R(x)|,

b) α arctg R(x),

c)α ln |R(x)| + R1 (x),

ãäå α 6= 0, à R(x) è R1 (x)  ðàöèîíàëüíûå (îòëè÷íûå îò êîíñòàíòû) ôóíêöèè? 31. Z Êàêèì äîëæíî áûòü ÷èñëî b2 − 4ac (a 6= 0) ÷òîáû èíòåãðàë dx èìåë âèä: α ln |R(x)|, ãäå R(x)  ðàöèîíàëüíàÿ 2 ax + bx + c ôóíêöèÿ? Z Ax + B dx ïðè A 6= 0 è a 6= 0 èìåòü âèä: 32. Ìîæåò ëè èíòåãðàë ax2 + bx + c

a)

ln(ax2 + bx + c) + C? b) α ln(ax2 + bx + c) + R(x),

c) α ln |R(x)|,

d) α ln(ax2 + bx + c) + β arcsin R(x),

ãäå R(x)  ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ (îòëè÷íàÿ îò êîíñòàíòû) è α 6=

0, β 6= 0? Z 33. Ïðè êàêîì óñëîâèè èíòåãðàë îíàëüíóþ ôóíêöèþ?

Z 34. Ïðè êàêîì óñëîâèè èíòåãðàë öèîíàëüíóþ ôóíêöèþ?

ax2 + bx + c dx ïðåäñòàâëÿåò ðàöèx3 (x − 1)2 αx2 + 2βx + γ dx ïðåäñòàâëÿåò ðà(ax2 + 2bx + c)2

40

Îãëàâëåíèå

Z

α sin x + β cos x dx = Ax + B ln |a sin x + b cos x| + C, a sin x + b cos x b ãäå A, B, C  ïîñòîÿííûå, x 6= kπ − arctg . a

35. Äîêàçàòü, ÷òî

36. Äîêàçàòü, ÷òî Z α sin x + β cos x + γ dx = a sin x + b cos x + c

Z

=Ax + B ln |a sin x + b cos x + c| + C

dx , a sin x + b cos x + c

ãäå A, B, C  íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû. 37. Äîêàçàòü, ÷òî

Z

αsin2 x + 2β sin x cos x + γcos2 x dx = a sin x + b cos x Z dx =A sin x + B cos x + C , a sin x + b cos x ãäå A, B, C  íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû, x 6= kπ − b arctg . a Z 38. Íàéòè èíòåãðàë f (x)dx, ãäå

  1 − x2 , åñëè |x| ≤ 1, a) f (x) =  1 − |x|, åñëè |x| > 1;    1, åñëè − ∞ < x < 0,   b) f (x) = x + 1, åñëè 0 ≤ x ≤ 1,     2x, åñëè 1 < x < +∞. Z 39. Íàéòè èíòåãðàë a)

Z 00

xf (x)dx; b)

40. Íàéòè f (x), åñëè f 0 (x2 ) =

f 0 (2x)dx.

1 (x > 0). x

41. Íàéòè f (x), åñëè f (0) = 0, à   1, ïðè 0 < x ≤ 1, f 0 (ln x) =  x, ïðè 1 < x < +∞.

1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

41

42. Äîêàæèòå óòâåðæäåíèå. Åñëè ïåðâîîáðàçíàÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè f íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé, à ϕ - ýëåìåíòàðíàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíê0

öèÿ, òî ôóíêöèÿ f (ϕ(x))ϕ (x) ýëåìåíòàðíàÿ, íî íå èíòåãðèðóåìàÿ â êëàññå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.

Z 43. Ïðè êàêèõ ðàöèîíàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà q èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé?

√

1 + xq dx

42

Îãëàâëåíèå

Ëèòåðàòóðà [1] Á.Ì.Áóäàê, Ñ.Â.Ôîìèí, Êðàòíûå èíòåãðàëû è ðÿäû, Ì.:Íàóêà, 1967. [2] Ë.È. Âîëêîâûñêèé, Ã.Ë. Ëóíö, È.Ã. Àðàìàíîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ ïî

òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, Ì.:Íàóêà, 1970. [3] Â.Ãðýíâèëü è Í.Ëóçèí, Êóðñ äèôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ-

÷èñëåíèÿ. ×àñòü II. Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå, Ì.-Ë.: ÎÍÒÈ, 1934. [4] Á.Ï. Äåìèäîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêî-

ìó àíàëèçó (äëÿ óíèâåðñèòåòîâ è ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ), Ì.:Íàóêà, 1961. [5] Â.À. Çîðè÷, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòè I,II, Ì.:Íàóêà, 1981, 1984. [6] Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòè

I,II, Ì.:Íàóêà, 1971, 1973. [7] Â.À. Èëüèí, Â.À. Ñàäîâíè÷èé, Áë.Õ. Ñåíäîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíà-

ëèç, Ì.:Íàóêà, 1979. [8] À.Í. Êîëìîãîðîâ, Ñ.Â.Ôîìèí, Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíê-

öèîíàëüíîãî àíàëèçà, Ì.:Íàóêà, 1968. [9] Ì.Ë. Êðàñíîâ, À.È. Êèñåë¼â, Ã.È. Ìàêàðåíêî, Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ.

Ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. ... Ì.:Íàóêà, 1971. [10] Í.Í.Ëóçèí, Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå, Ë.: Ñîâåòñêàÿ Íàóêà, 1949. 43

44

Ëèòåðàòóðà

[11] È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, À.Ô. Êàëàéäà, Ìàòåìàòè÷å-

ñêèé àíàëèç. ×àñòè I,II, Êèåâ:Âèùà øêîëà, 1983, 1985. [12] È.È.Ëÿøêî, À.Ê.Áîÿð÷óê, ß.Ã.Ãàé, Ã.Ï.Ãîëîâà÷, Ñïðàâî÷íîå ïîñîáèå

ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, Êèåâ:Âèùà øêîëà, 1984, 1986. [13] È.À.Ìàðîí, Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå â ïðè-

ìåðàõ è çàäà÷àõ, Ì.: Íàóêà, 1973. [14] Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ (â ïÿòè òîìàõ), Ì.: Ñîâåòñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ, 1977-1985. [15] È.Ï. Íàòàíñîí,

Òåîðèÿ

ôóíêöèé

âåùåñòâåííîé

ïåðåìåííîé.

Ì.:Íàóêà, 1974. [16] È.Í.Ïåñèí, Ðàçâèòèå ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà, Ì.: Íàóêà, 1966. [17] Ä.À. Ðàéêîâ, Îäíîìåðíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ì.:Âûñøàÿ øêîëà, 1982. [18] ß.È.Ðèâêèíä, Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå â çà-

äà÷àõ, Ìèíñê: Âûøýéøàÿ øêîëà, 1971. [19] Ó. Ðóäèí, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, Ì.:Ìèð, 1966. [20] À.Ã.Ñâåøíèêîâ, À.Í.Òèõîíîâ, Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðå-

ìåííîé, Ì.:Íàóêà, 1974. [21] Â.È.Ñîáîëåâ, Ëåêöèè ïî äîïîëíèòåëüíûì ãëàâàì ìàòåìàòè÷åñêî-

ãî àíàëèçà, Ì.:Íàóêà, 1968. [22] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñ-

ëåíèÿ. Òîìà I,II,III, Ì.:Íàóêà, 1969, 1962, 1969. [23] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîìà I,II, Ì.:Íàóêà, 1968.

Ëèòåðàòóðà

45

[24] Ì.Ã.Õàïëàíîâ, Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1965. [25] Ã.Å. Øèëîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííî-

ãî. ×àñòè 1-2, Ì.:Íàóêà, 1969.

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü äðîáü ðàöèîíàëüíàÿ, 17 íåïðàâèëüíàÿ, 17 ïðàâèëüíàÿ, 17 ïðîñòåéøàÿ, 21 ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, 13 ôóíêöèÿ ïîäûíòåãðàëüíàÿ, 5 èíòåãðàë íåîïðåäåëåííûé, 5 ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, 13 ïîäñòàíîâêè, 11, 12 ðàçëîæåíèÿ, 10 çàìåíû ïåðåìåííîé, 11, 12 îáîçíà÷åíèÿ Z f (x) dx, 5 Z ,5 ïåðâîîáðàçíàÿ, 3 ïîäñòàíîâêà óíèâåðñàëüíàÿ, 27 âûðàæåíèå ïîäûíòåãðàëüíîå, 5 çíàê íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, 5

46