Независимый Московский Университет Математический Колледж
I А.В. Чернавский
Полиэдры, симплексы и теория степени отображения
J
ЗДАТЕЛЬСТВО
мкнму
Настoщu бропцора со.цер*в'1' nepep~
_ДО- - .
ПОJщенные записи .аекциЙ, ПроЧИТ&l!НЫХ авторо'"
на
] курсе Maтeмa'1'lI'fecKoro KOJIJ1e,цJ11aHMY ВlleCeJUiем семестре 1993 го.ца 11 рамках Ос:вQJlЖlГО J()'рС."ВВ&.цеиие
11 '1'ОПo.lОГIlIO".
В••
НачнеК.Q того, гообраЗИА.
деииа
ЧТо проанализируем построеnие теории
ABYMP.pH~IX
мно-
Мы выделили ДМ (введем:это со~ращение для :экономии места)
~aK К4асс топологических
пространств,
удовдетворяющих локальному тре-
боваlfИIQ существоваlfИ$! базиса ··открытых нн')жесrв ГОtlеоморФныхоблё.С'1'ЯК плоекости ..( плюс некоторые
дополнительные топологические
требования,
которые сейчас для нас lfeBa)l(Hbl) .. Эfот класс играет большуюроль в аналиэе,· ·особеlfНО ко~пле~сном, где ДМ служат, Например, графиками многомеРНЫХО'1'ображений КQмплексноЙсферы в себя, оп;:>еделенны::многочленами О'1'двук переменных. ПервыЙвопрос, кt)торыЙ тут 50зникает, - :это классификация чЛеИОВэтого сеliеЙства ..пространств. Как о,:,с,ждеСТf\ИТЬ ИI1Икак различить две поверхности появившиеся в разных tleCTax тельства?·Дляреwения этой. заДачи б.ыливведены прежре всег(')
одного
доказа-
некоторые
У.онс-
ТРУI
или IIИr.:тов.Мебиуса.
В рамках ~тих методов было построено два. каН~НИЧ$СКИХ набора дм (ориентируемыхи ·не~ри~нт••• руемЫх).·и .БЫЛОпоказано t'еомеrрнче.скИми nepeCT~ Р9Йками,
Что каждое ДМ (полученноеданн~м методом) кожет быть "приве-
дeHO'~к ОдноЙИ:J канонических форм, в .частности,
инО гомеоморфноодnой
~З >эти.хформ•. Чт06w·пок.азат.ьраЗ.lЩчИе( т. е. н&<гомеоморфность i каwоничесж~Х Форм, t'80IlеТРllчjtСКИХ nepp.cfpoeK ...мало. СВОЙ<;:ТВIt..зТих проотр~н~т8,J(оторьlес-однойстороны 1'0ке~к~рФ~зм.х (т; .•• ~wлибlol ТОПОQоrИ:iес!
Нужно указать. та~ие сс>хранялисьбы nj:>K другоЙ легко "рове-
ря.пИСЬ~Ы,.lIаоснОIS.г.океТРИЧI!СКJfХКОКСТJ:!УI<ЦКА, использованных нами nPHrJ~,.poeHHH .ЦМ. ТакнеС~ОЙства·.моt'УТ· .':',,".'-,
иметь· аксноматическийхарактер(связность,
конпактнС)с:ть" л.окальиа~С8JtЗН~СТЬ; с;:уще<::'t'вование РitзБИВfiЮЩИХточек, каК'Нl'lIрим •.р,УОТ~ftз~аа.~Тllичие О1'.ОКРУI\(НООТИ, и др. ) .&озножности та~9ГОI1~дхо.цаД080.l1ьноогр.ннчjtlflol~Гораздоб04ее моЩНЫМ является 118@А.В. ЧернlЦICX_Й, 1994.
@И8дате.аЫТllOМК НМУ, 1994.
ilIOд •.•.и~ •• РЩtIОIlО •.....•.
·сопос..-а8.l1еННft .заданнону опреАf!IIениоfl .конструщие(r
npqcTPaHCTIiYaJ1t'ебраliческого объекта так,
чтобы,
во-первых,
по конс-
- з nя дм :это оказываеТСЯliесущественн!.IМ, так как для ко~к~асси Фикации. ~. . них. обе к.пассификtЩИИСОЕ падают, что следует именно из ТОГО, что они n.
класс~ФИЦИРУЮТСЯ ф-ундаментальнойгруппой. краем,
3'1'0 было бы'не так:
уже
I<ОЛЬЦО
Но если бы мы ДGПУСТИг.и ДМ с
и лист Мебиуса инеюТ один и тот
же гомотопичеСI<ИЙтип (такой, как у ОI<РУ~НОСТИ).а тор с дырой имеет. тот же гомотопически~ тип. что и диск с двумя дырами (проверьте). Кубы всех. размерностей имеют гомотопнчеСI<ИЙтип точки.
МЫувидим позже. чт~
сферыразныхразмерностейгомотопичеСI<И не Зl<виваленТНЫ, но фундаментальная группа бессильна различить их, начиная с разнерности 2 . . Все 3'1'0ставит перед нами много важных ~опррсов. Довольно очевидно. что первое,
что хотелосЬ бы - зто получить топологическую КЛI\ССИфЮfа-
цию многоQбразийразмерности
больше двух по аналогии с построенной
...классификациеn ' .•• дм ."Эт а 3'ад'ача .. не. выполнена уже ДЛЯ трехмерных мщ)гообразиА,
а
для
многообразИЙ размернuсти больше трех она ие МQжетбыть
решена 8TaKO~ форме, например, потому, что для каждой группы с I<онечным ЧИОЛОМ образующИХи соотношений имеется мно~ообразие любой размерности больше З, для которого :эта груп~а является фундаментальнойгруппой.
Еолибы мы могли различить многообразия. то могли бы и группы. а
3'1'0, как Г080РИЛОСЬ,невозможно. Тем не кенее в общей "роблеке клаССИфИI<АЦИИ сделано очень много,
в
особенносТИ В период с конца 5()-Х годов прим"рно ДО 1980 r. Мы не будем здесь касаться 3ТОЙпроблемы-, но нашей задачей будет подготови~ь технический аппарат, который позволяет конструиров~ть инварианты и выяснятьстроение группы.
таких ТОПО./lогическихпространств,
как многообразия. В
топологин многообразнй икеются два OCHOBH~X подхода к построению тако-
'1'0;-1, но непосредственно с ней работать трудно,·. т'-К Как иетольконет
ro аппарата. Один,- 3'1'0.обобщениетриангуляциЙ. которые оказались нам оченьполезныttи при анализе строения дм, .ДругоЙ - :это ИСПОJlьзuвание
простого и удобного алгоритма для выяснеиия,
rлМКо0.СТРV\sТ'iрымногообразия
'Рундll1fеU1n4АЬНttJlгруппа,
I(nнечно, являетсЯ ТОПОЛОГИЧf>сХJtIt ~IIBl:ipllaHw когдада •• ~уппw,
заданw
ные обраЗУЮЩhНИ и СQотноarенияltи, изоиорфны,.,нодок~з,но, "1'0, 1'aXO~ оl5щеге> алгоритма вообще не руществуе". Впрочен, ДЛЯ·· ДМ переход х ·.·П~· ·кокнутироВАННс.Й rpynn.a
(т •••
Дt'баалеliне .с~отно.,ни.
КОМ"УТИРО8.-ниЯ
(грубо говоря. возможности преДСТАВИТЬ многооБРАзиеглаДi<ОЙмногомерной .,оверхностью в Аффинном пространстве большоЙРА~Мерности). ЭТИдва подхода, которые долгое время рассматривались
лишь как
всех образующих) Дает для аРИ9нтируемыхДМоаОбоднуюа6eJlе.уtр)'nпус
технические приемы,
21< образуlOЩИКИ (где.К
самостоятельное ~начение и приток существенно различными. Ие всякое ТОПОl\огичеСkОекн()гообразиетриангулируеКQ, не всякое триангулируемое
CYMI\}'
- число ручек).
свободной а~л.вой
а.дляиеориентиру,,,IiIXJlМПРЯК)tJJ·
группы ранга I<-~,с группойпор.",ка
а , ·rA.k
ЧИС/jО листа»· Мебиуса•. Дл.•• абеле.ых групп JtеJtао.орфкост,,!~кнх устанааливается без труда (nопrюбуйт.с,цемТ •• э'l'осаки)./'> ••. ···
.•-
rpynn.
Фундаментальиая.rpYi1na,· как и многне ..инвариант•• и~у••а•••••.. ~. 1'OdblJow гии, являетои ие тол"ко тополоrи,,'СХИМ,•'но д••• rOJlО'1'ОПJl"8t!.К"~"Иla.SрИантои, т ••• существеико .н.ане. тонкии, ••. ем хо'l'елос•• &lал.~оги ••8С':'
более или кенее зк8ивалект.НЫQ,оУ.азапись имеющими
имеет ГЛаДКУQСТРУКТУРУ, икеlOтqя различные гладкие структуры даже НА сферах (начин.~сразttерности 7). Последнее означает, что возможныдве !,ладкне поверхност}! гоиеоиорфныесфере и, значит, гомеоморфны. ДРУ(' тот'. гомеоморф.измнельзя 8ыбрат" дифференцируемwм но ..ТАКИе, что •.•.
другу,
в,обестоРОНW.
01
3аданиР.. Сформулируйте в этом обсуждении. Целью этого цикла лекций является построение кусочКо . линеЙq9ЙТ.ех~ .I!Шill,
Т.е,
выяснение
опреде~ение для многомерногоолучая
OCHOBiIblX'
понятия-rриангуляции
и
свойств :Э'tОГО. пою:тия. При этом мы ес;:тественны" об...,
разом будем р~ссматривать в качестве основного
класса
топологических
пространств те, которые могут быть триангулированы•. Они называlOТСЯ пo~ лиэдрl1НU. это, конечно, гораздо более широкий класс,чеи·нноаО06раlJиJl. (Впрочем, как мы уже сказали, гулироаано,
не ~сякое многообраэиеКQЖеТ6ыть триан-
но :это лишь очень зкзотические
одномерные ПОJ1ИЗДРЫ зто ГJlадких многообразий. еще С1дну зада'IУ: мнсгообраЗlfе.
графы.
мноrообраэия~)
Например,
Мы не будем здесь касаться те)i:НИКИ
ЭТО- задача другого цикла.
'Но МЫэдесь
построим теориlOстепени 9тображеqия хногообразия в
Это инвариант гомотопического КлаСса отображения, кото"
р~й однако позволит решить существенно тоriологическиепроблеиы будет состоять наша третья задача):
доказать'топологическую
(9 3ТОМ,
инвар~ант-
ность размерности (.в част,НОСТИ, негомеоморфность аффинныхпространС:тв разной размерности), ориентируеиости, области в Rn (если подмиожестiю RП гомеоморфноего открытому подмножеству, то
оно
сакооткрыто)"
него-
меаморфностьсфер разных размерностей и др.
в
основном
эт~
топологический
Значение их СООТОИТ атом,
чтобыпрй-,
с;:мыслтаким важне~шимnонятияк kaK .ноrоо~раSИ.i
кр~й многообразия, размерность, 0~И8нтируекость и др. суть КУСОЧКО ЛИНеЙНогоподхода заКЛlOчаетсяв ток, ляек себе пространство собранным из кусков,
Лцра1fида
над
п-сu:нnлеХСО1f
кажА~
НЗ
сами точки
(11+1)-сuнnлеJCС.
называются
вершuнакu сикnлекс~.
ЯВЛЯеТСЯ
Любое их подмножество вершин п-симплекса ба
сама является а-симплексом, называемымего з-граныо
n
б
•
Сам СI1НJ1лекс н
пустое ПQдмможестаоСЧНТ&IOтсяего H~co6cтBeHHЫHи гранЯМИ. Всего у п-симллекса (очевидно) 2n+1 Г9аней, включая две несобственные. Кажд~п...,с;:нмnлекс ПОроЖдает единственную п-nлоскость, содерж~щуlO его (несущаR
это линейная оболачка любого из "+1 реперов,
плоскость):
как описано.
аффинное пространсТВ03ТОЙ линейной оболочки, пространство,
(строго
говоря,
но мы и дальше будем позволять себе не про~одить
саки симплексw взаимно однозначно отображаются друг на друга.
ЛЮЩИХаффиННЫХ простраНСТа,
нимальный кусок наЭI!Iвается сикплексом. ,ДаДКJIС1'rц>rоеОП"Аenени••
п~оскости с помощыовыбора'реnера описанным способом. БQJlееудобны, чем реперы, так называемые6арицентрические
НаПОI1НИМ, что .k независu:ныnи, ЛОМ
точак
ты,
в афф"ннок I1РОС'.!'РaJlОТ" наЭl>QSaI)тСя'дцнейно
если линейно ие~авн~на
в одиой из :JТИХ"l'очек и с KOH~
с радиусами,,:ве~торами. ДлЯ
воотальных
которых равна 1:
финномпространстве наэываеТСII n""СШlIlJUtItСОК.· лехо - отреЗQIC ,2-сикплекс:" _.
(n+l)"СИИМ8КО
их до несущей
возькек
координа-
в
несущей
точки плоскости
прои.аВОJlьногонабора нз "+1 чисел «1'
сумка
IlXt-1,
QПRiцелени~. :выпуклая. оболочка rt+1 линейно НеэаJ»lСКМWxточ.к ваф"'СИКnЛf!lкса.
однозначно:
nлос;:кости с;:имnлексапроизволJ,Ноеначало ното.*дествии
рядка точек несуществеи).
иой раЭlfеРНOt;tmь"
при необходимости дополняя
которые определены п~симпл,ксом
система из К-1 век торо. с (Вli!БOрКАЧала
эт~го
Благодаря этому, кы можемрассматривать симплексы неЗ8ВltСИМО от объем-
МЮIИМ8ЛЬНЫМ носителем линейи')й структуры даНнойраЭJlерНоСТИ.ТаКОЙ
С:юm.t_~
зто
которая есть векторное
разлlt'lИЯ.) ЕСЛИданы два'п-симnлекса и в КАЖДОМ выбран такой репер, то эти~однозначно задан линейный изомс:рФнзмих несущих плоскостей, при котором
K~OPЫX
ест ••
также линейно неЭАВИСИliО и выпуклая оболочка а+l
построекны~ на вершинах симплекса,
теоремы были.цоказаны около 1912 года гОлландс:жии
М8те~атикон Лейтзенои Брауэром. дать
Рис.1.
решим
\fи_n.КАЭIII.аетОЯ,ликей"'-
В чаОТIlОО1'Jt,O-СИИnЛ.КQ~тотOtUtа,
1-СИlln-
треуrольниlC.:,Э-ОИ1(nЛ.КС:"'Пкранкд-~';вСюе';;
nОЛучаися
Kak
!<оординаТII/ТОЧКИ(T.e~e.
nираиида
H-Дn-(!liМПЛ-СОJl.
.
I~Vl'"
- .'верщ~w с,,~п;nе~ц;:,.( '1"0'1"8" (?та.~~"цт~~~Щt
радиус-вектора)
Т~Ч.I'I.
•
с:илу
ИХ радиус-.екторы).
двум разным
nинеАноЙ н.зависимости
вершин
-
(ПрОБер!> ТА!
6 -
~. 7 -
ЕСли 1-ая I<оординатараВНII нуто.
См•. рис.:г).
то соответс-
симnлекоа
а симплеI<Си на саком деле до линер;но~о отображения несущиХ
твующие точки лежат на неСУЩейплоскости .. грани, •.ПРОТИ80ле-цеR. 1-0Й вершине. НеСуЩие плоскости (П-1)-граНIiIЙJ)«збивuт иеС:УJl!УIO nпOCKO(:TЬ
плосkО(:теЙ.
л-симплеКса на 2D-1 облаСТIiIЙ, . впредеЛа~КОТ()РЫХkООРДlrIнатыие ••ен"lO'1'
OCT~ЬKЫXвеРЩИНнОе .ооответствие взаимно одкозначно.
знаков.
В частности,
строго
ПОЛО:4<ител,ьным каборам от,,'UШтточхк.
жащие СТро.о вкутри самого. симплекса:
меньше 1. ' Все 3'1'0 легко представить себе, центрические коордикаТЫкок
простракстве,
ле-
8 этан случаеkоордкнатыстроr~ .если сооБР":iКТЬ, что бари-
3'1'0 координаТЫ'1'ОЧеJ< плоскости 8
проходящеА через концы BekTopo••
(П+1)- ••е""
Нам особенно
важно
(n+1).;.ciимплекса цп-симnлекс:
знать,
точек06разуIOТ. семеЙствоотреЗI<ОВ. НЯlOщкхточки одкой п-грани ются изоморфно на образ,
как
устроено
две вершины отображаются
отображение f\
одну.
а на
поэтому прообразы
параЛJ1ельныХодному ребру и соеди·
с точками ДРУГОА. эТИ две п-грани
ото~ража-
а остальные СQдержатдве склеивающиеся верши-
ным отобраЖIЩТСЯна его (n-1) -.rрани.
СМ. РМО.4.
дини~ноrо ~пера.
См. рис.З.
Рис. 4. СщtnлициаАI>ное
на Рис.2.
Облас_и
с oдиHa~08ы~и
ОфО6ражение
(n+ 1.) -си11nдежса
n~СЩfnде1<С.
н.бора~и
I<ОО1Х'ина ••
Еолк вершины си~плекса
"'t
жества, Ь
Ка
tокаждая.точка
б
разбить на Ава непересекающихся подмно-
х симплекса однозначно оп~еделит по 1'очке
соотвe:i'ств)ФЩихгранях
и~:
(х
этих rранеЙ баРИцентричесхие координаты точки и дом~о~ить их на множктельтак.
чтобы сумны координ,т
d
и
нужно взять отвечающие вершинам общий
В каждой грани стали 1. Сама точ-
ка х БУДе1'лежать на отрезке (а.Ь). Например: .• х-~vt+щ
i.,~+СХэ Vз+«. y,-(~
Y1~~Y2 ) +(<<З Vз+а. У.,\)=
(а..+~)а+(«З+<<' )Ь, '".1
Рис.). оарицен.ричеС1<це1<оординааы (nН) -JfврНQIt
nрос1/:раНС:lIl8е,
~
Каl
ограничеНнМе
rAea~«tVl/(
••.••···.i.
.•......•.••. >
......•..•....••.. 1<оордына-м •
пересекаться
на 1.I.fOC1
ес;:т"д-йй"
ТОДЬКО'вобщихконцах,
(п-1)-Г~Ни. ~
•• Проверьте сделаки••еутвеР)lCД8КИR.
с помощью6арнц&нтри"еСJ(It~'J
npoдоJIQ8't~Я·.Д()
отобраЬИИЯ
'.' ..•.. "
.....
COOIII"IIC•• иe
Джой.ндвухснкплеКСО8
р.
Говорит,
естьt;жойк
что 6
вершины и
представляется объединением таких
пиранид, 06ЩИНО<:"~8аНМ.МКО1'орыхслужкт один из ких, .а веРlIIинапро~е-
.tay
·QТo6pu*Ни ••• { ••• ·).и,·
tсч.•t"l)
!j)(Ia. "t) ••
лежащих на (Х и
(CQeдинение)СФ •.•. Наприиер,n-синплекс
rае'1'друrОй'i> ~; Портройте двухсимплехсоа
•. ' .•·.•• ··.·i .i.·· естественное
отображение
пр.мого
произведення
и отрезка на джо~н ЗтихсинплеКСО8 (куба ка TeT~3ДP).
- 9 -
8unухамемаоrо~раИИ8k8
l(окnлексы
выпуклая оболочка кQнечного ~ножества..,точек 8аффиино•• простракстМ, называется 8ьtпуклынкногограннuкокили cew.i.se
1inear).
pl-,/(JlеllJкОЙ(отаиrЛИЙ(':J<оrоР~.-
Те ТОЧКИ"ХQ1'орые.при 8ЗIIТИИ8ЫПУКЛОЙ оБОЛОЧI<И' HeOKa~'
зываlOТСЯВНУ'l'риникакогооrрезка,
лежаЩе,ГО 8 ииоrоtраккике,
называlll.ТСJl
его вершинами. , " ". Очевидно, каждый 8ЫI1УJl.ЛЫЙ· иногоrраНИИI<М являеТОJf,линеЙН1il)l образо~; сикплекс~
с
тем же числом 8ершин.
Образ кесущей плоскостисимnл.Кс~
при ~акciн ОТQбраженииназывается неоущей пЛОСКОСТ.IQ·
МНОГОГР8;Ииика,а
ее размерность ра3мерностыо М,. Точкимногог~аННИl<а Д~Ятся ние и граНИЧНЫGПОотноwениlOк несущей плоскости. если ,'lOб"й отреЗОI<ху ,где
у таЮltе лежит 8 М, продолжаетоя до ,oTpe:tKa,
лежащего в М и содержащего х внутри .се(5Я. границу
или
край
на8нутрен-
Точка х 8ИУТр8ННIIJI,
многогранника
М.
[раничнwеТОЧI<К
обраЗЛ!Обойграни
отображении ка Н также CSудетмногогранимхон.
Тенэмих,
обраэ)'lO'I'
СИМl1лексапри котор ••• ле*ат
ка границе Н и вершины КОТОРЫХ ЯВЛЯlOтсяаеРшинамиМ,иазыаaJOтсJtr.paHJI,-
ИИ
М.
Граница М оостоит I-IЗ граней.
несущей плоокости непуста ,если,
&.!утренкостькиогогранника:
КОНечно, оксан.
ВЫПУК(lыемногогранники 'удобнее сикnлексо. произведение Кроме того. гограННИI\.
и
8
_го
не пуст."
·'I'.М,···· напри~ер.
что '.'
пересечениетаюке' ВВЛIlIOТCJt выпуклыми ~••огограНИКl<аик•.
линейный образ 8ЫПуклого многогранника ссть .wпуклblЙиио~ Как
ИДЛlIсИмnлеl(СОII,перес.ч.ние
многогранника ест!> его гран.
( к.6.
~устая),
даухГраией...пуJUktГО м для ~
_.го ~о.•••и хон
и
представляется конусом с аеРШННОЙ8.3ТС)ЙТС)ЧI<. o<:нoUliИеи. СОО1'оцик из тех его граней,которые qвеЗАН9Й
н. сОД.рЖа1',х.эТо
ПР_ДСТ.8Л.I(М.~Н&.ЫllAеt'C.If
кон:;::rRYКЦИ'Й'
Выпуклый многогранника кик местом тС'чек, аида 1:81Х1(с.
аффМниом npостраист ••• :ilалllе'i'ОJlг~метри_о-
удовлеТВОРJiIOЩИХ конечноJC}''.числу линеймых м_ра.".,8'
(Линейныерааенотаа,
ОпределJfDЩН.и.оY\llYlOмосItООТIi,·
можно эакенить.парами !1ииейныхЖtр~аеtlств.)
Э'l'ОOnP.А..п.ет.роль~ .1t01'O"
руlO выпуклые МИQгогранники играlO'I' 8 ТItopМИОnТКJQt--ЦММ-.дрyrмх
"РМ.:-.
JlаднЫХдисциплинах .06ра1'НО, 'I'aKe.J!система Иераимоr8 onP-дeJi •• 1',-М",; пуклый ИНQ1"Qгранник,если Мно_ество реlllений оrР6.мк'С.ио.tто '8COIIkШ>~НЯ'I'!>за опреДеЛ8НИО •........... ' .. ' .. Т_ОРИIIвыпуkЛЫХммогоrраИИI(КОвна 1t't'Ot.lKe1аа.аtiчи ••• fC.,. будеи в'
н••
уму6лIlТЬСJi. ХоТЯ и буде. ~ЛIo$оаа1'••с.ttt'и
,'"
.о .щ.н.
•• ·no..е....~<.
.kIWJJ..:-Докажите еР,МАИ"".· Y'1'aep-ДеИМЯМ1'аue<то, ч'l'Оh8реое" ••••.••, pl-асЛ8ТI<И с nЛQСkОСТЫО ЛI060ЙРii3Ме»НQС1'ММЛМ ·c~OcJtOOt'IttO aM;.eNJt ",
называется
п-жокплексок
конечная
система
симплексов ра~мерностей не больше n, каждые два из которых пересекают-
ся
по
общей для них грани (может быть,
(линейноА)раэмерностыо ности
n ,.Ноие
комплекса,
большей..
"устой).
Число n называется
если он содержит симплексы размер-
ЧТо(5ыотличить зто понятие от других типов
комплексов, ЧаСТОговорят СИМП1ициальный комплгкс. Например, l-комплексы k(п06раэуют ся
k-ос1llOS
это '- графы.
Симплексы размерностей не БОЛLШ~
комплекса. ВершинЫсимплексов комплекоа называlOТ-
sертинаКUКОМПлеl<са, 1-0имплексы его ребранu.
Симплексы, не являlO-
'щиеоя собственными граНIIКИДРУГИХ симплексов комплекса, называlOТСЯ его глаSНlJltu
сиКплексами:· Среди них все его п-симплексы (но не обяэатеliЬНО
только они) • в.'lCомnлексе удобно ввести барuцентрическuе для 3Toro вершины комплекса - V1 ту ~ ,
У..
Для точки х комплекса примем,' что
вершиной симплекса,
а1 (х)
внутри которого лежит х,
барнцентрическими координатамих
эанумеруем
1Соординаты:
~опоставим i-ой -о,
вершине координа-
ес.:лиV1 не является
а осталоные
а
являются
на зтом симплексе.
~амечание. По существу мы построили сейчас комплекс из~у.орфныйданH~MY, которыЙ состоит
из тех гранейсимплекса
. число вершин комплекса, ординатаНЕа
раэмерности Н+l,
где N -
которых хот" бы одна 6арицен'грическая ко-
равна нулю.
утверждение становится строгим после сле~
'дующих определений: ,оzще,!!елеиие. Отображение сикплексов) ни'и
в комплекс L (как множеств
нОзыва.етсясинплuцuалънын
, если оно
не повышаетраэмеРНQСТИ. (Точнее:
граНl;t(~),прич~м
вершиныпереходятв
имнО одноэначно"
то
переsодит грани в гра-
если а - гpaHb~,
то :((а)
-
вершины,) Е~ли к тому же :( вэа-
оно называется синnАuцuаЛЪНilН
UЗО1fОрфUЗНОН,
а
конплексыназываютсяиЭIfОРФНЫКU, если существует симплициальный изо~ морфизмодного из HifX и~другой. 'Заметьте, что КОМПОЗИЦИII двух сииплициальных отображений сама является СИМП./fиЦиаЛьныИ от.ображением. 'При синплициальнок отображении вершины переходят 8 8ершины. Обрат'· Ho,aepl1lUHH08COOmB8l11CJIISиe
продолжается до СИМПJ1ИЦНального отображения
однозначно, Но не всеТАа: ДЛIlЗТОГО нужно, чтобы на образы Вi'!ршннKa*~ дo~o симплексавК какзамеч~но
был так ••
н в L натянут симплекс •
выш4ll,для к аждогс;) комплекса имеется изоморфный, распо-
-
10 -
ложенный на границе симплекса большой ра~мернос~и.
н.трудно
что для каждого п-комплекса существует изоморфный ,8 раllстве размерности 2n+1:
показать,
аффинном прост-
Теорема. дл~ любого п-комплекса К существует изоморфно. симплициал~ное отображение f:K~L, rAeL лежит BR2n+1 • Например, граф 5сегда помещается в RЗ,.но H8BcerAa • а2 • доказатеЛЬСТAQ. Пусть Vl - как-то тавик им взаимно однозначно точки жении.
Это значит,
Ul
занумерованные вершиныК.
что любые k из НИХ, где k(2п+1,линейно
(см. выше в. разделе о симплексе).
Сопос~
в R2n+1находящиеся 8 06щеlf полон.зависимы
Набор с таким сВОЙством Bc.rAa можно
получить из .'1юбогонабора точек в нужном числе .с.к6ль угодно малым.их СДВИL"ом. Действительно, если для Первых 1 точек зто. ужCl верно, то 1+1-ая точка не будет с ними в общем положении, нечном наборе'плоскос~еЙ, емлющегопространства. малымсдвигом. Для ТО'-lек
Uj
,размерности которых меньше размерности объС этих ПЛОскостей ее МОЖНо сдвинуть· как угодно
( Проверьте)
.Uj,
["де k
могут пересекаться только по общей
Вспомните, что для двух ПЛОСl<остеЙ собqеЙТОЧI<Ой
ти линейной оБОЛОЧI<И 06ъед~нения).
В .Т8.I<ОI( случае верШИННО8 соответс-
твие Vj ~11j очевидно продолжается досикплициальногоотображеммяи J1яется ИЗОМОРфИЗМО}I. ДaJtьщенам понадобится обобщение П.:lнятия комnлеl<са: l11fогограННU1i.ое
наЗовем объединение
а комплекс включаются также все его грани.
1
I
МНОl'огранниковв нвкотором аФФИнномпростраllСТВ8, ptlX могут пересечься т()лько по общей грани,
$18-
крдыеД8.ИЗ
.IФТ()-
и с ка-дык кноrограИlUtкох Это nOНЯТИенам буд.тну*ио
только как техничеСl<ое, мы не будвмзанима1'ЬОЯ специАЛьНО_со ИЗУЧ8МИем, отметим ТQЛЬКОпрост.Йшие свойства. Выпуклый многограННИI<порождает КомплеJ(сСВОИХграней, несобственные. Мы ИНОгДа6YA18k оБОЗНl\ча1'Ь, 181:'0 той'._ многогранник.
ВlCЛIOчая две
б)"1tвой.'.'IIt().M саМ
для I<раТl<оt;тиKOMMel
кдетОЧНillf,
а сами
abll1ylU1bl.
миоtоrраttН.tt<ИКЛ.'1'каю.~,
бы уточнить, pl-l<леТl<ами. , .• ' .., ... Поле:JНоСТьввеДенин таких комnЛекс()ааид"аИII
", Toro,
'»
ч1'Qхо,,,
сечение выпуклых Мнnгогранников я&..'lStе,..ся UПУКЛЫК,О1'О"8'1'а. единеинА И разНоСТИ (точнее,
что-
"ер.-
AllII 06,.••
э"Мыкания ра:SМОQ'/И).Мцлу ••.•••••.••и. оп."
МномеСТВё,"ок-
образуют систему замкнутую по отноше-
НИюк таким операЦИЯМ,как мы увидим в следующейлекции. Сейчас сделаем такое замечание: ~. Пусть даны два комплекса. Множества многограНЧИI<ОВ,Образованных соответственно пересечениями и произведениями всевозможных пар многограННИI<ОВ, в которых ОДин член пары берется из одного,
другой из
другого I<омплеl<са, образуют комплексы, (называэмые "ересечением и "роизведением данных комплеI<СОВ). Мы покрем дальше, что I<аждыйклеточньоЙкомплекс кожет быть "одраз,делен до симплициального. ~. Очень полезный способ построения комплекса выпуклых иногограННИI<ОВ основан на КОНСТРУI<ЦИИ так называемых 06Aa~ •• Й дирихАв: для каждой ТОЧI<И этого
сумма их размерностей равна суМме раЗl«ерностИ'пересечения mpa:imephoC-:
пуКЛblХ
ВЫСl<азываний1<множествам рещений линеЙНыхнеравенств. рываемыеклеточными конплексами,
КОнечного множества точек в
в общем положении ЛlOбыед.а k-симплекса,
вершиныих берутся среди точек грани.
всли она Лежит на ко-
- 11
рации приходится рассмаТривать, хотя бы в применении праЕИЛ исчисления
3ВКЛИДО80Мпространстве
рассмотрик
набора множество тех точек пространства,
находятся от нее не Дальше.
для
которые
чем от других точек набора. Покажите, что
те ИЗ этих областей, которые ограничены, являются ВЫIIУКJ:ЫМИ мно;:-огранНИkаии и образуют со своими гранями комплекс выпуклых многогранникоп.
",' ..(::'~·~:Y.;' <;,,::
",:"
седнм)(Кf1етках,поиндукцииполучается требуемый резул::::~ 'Теgрека. J\юБЫедве триангуляции аффИнногополиэдра
Лехция 2. XOНn"'EJ(ClIl н ЛО.•IIЭДPfl
полиэдры аффинноrо комплекса
1< назызаетсяобъединение
входящих в него симплексов. Обозначение: 11<1 АффИНным полиэдрок назызается подмножество аффинноГОпространства, которое ~IОЖНО предстаЗIfТ!> телом некоторого аффинного комплекса. мы БУд~м опускатьслозо
__.:,",
((i><· ..••. / ••.•.•. ' номер.ом-,~:Э:ОМУ :)та операция согласована на совеРЩ)lНОЙ q наи~еН1>ЩИМ
- 12
определения. Телок
.•.• :,·,,?;~~,;'и\:',':,i_,
общее под-
р~зделение 'i< •.••.••.•...•....•.•.•...•••..• ' 119KA"~X~lJbPT!}g ••..Пересечениедвух •симnдексов - ОДИН:з M:::::~B:P~::: из другой ТРИI!iНгУЛЯЦ)lИ - еСТЬ ВЫЛУl<лый.много::-ранник, такИХ пересе'lеНИЙ является комплексом БЫПУКJ!ЫХ клетоК (см. рис.5). Поэтому можно, Kal< ИВ предыдущемрассужцении, применить звездную коне-
(Пока ТРУI<ЦИЮ.
аффинный.)
Три~нгуляцией полиэдра называется любой .аффИННЫЙкомплекс,
телом
КО'горого он служит. Таким образом отношение междУ полиэдрами и комплексамИ можно ЗИТ!>схемой: триаНГУ'nJlЦИJl
по.аиэдр_.
комплеl<с те.nо
ПОНЯТИ9полиэдра
занимает
промежуточНОеположение ие*АУ топологи-
чеСКЮl1fпространствами -. объектами топологии - и компдексаки -
фИИИТ-
ными объектами, с помощьюкоторых удобно ~зодить ИН8арианты·и вообще сделат!> изучен:.!е пространств конструктивным •.
РиС.5.
пересечение триангуляций не есть триангудяция, но есть ялеmoчный Конпдвкс.
Две различные триангуляuии одного полиздра могут быть мМО со"даоованными между собой. поотому оказывается полезным переходит. КПОДРаз-
< ..
деленинм•. < ..•...•.• ОпреАедсние. Пусть 11<1 1= 11<21· 1<1называетсяnодр.эдеllенU8К 1
8 СИJU1Лехс. КОМПЛо?кса К2• Обозначение: 1<1 <1<2.' Звездная КОНСТРУКЦИЯ позволяет ПОС1'роитьсимnл"ци~льное ПОJXpаэде.п.ние комп.аекса выпуклых многогранников,
8 частности,
прЯКОГОпро"за'Ае~
иия и пересечения двух СИМILФИциал.ных комплеl<С08 (которыесаии являются только клеточныни,
но не
ПО оебе
сииnлнцнальными I
мы
ТехничеQI<Иочен!> поЛеЗНОследующееОбобщениеЭТl.>горассуждения: Т,ореМА. Если 8по.ttиздре Р имеется конечное чисМ выпуклых ранников "1'
то сущеСТfJуеттриангудяЦИЯ т полиэдра Р,
многог-
некоторые под-
комллеl<СЫкотороЙ триангулируlOТ "1 • ·ДОКАэаrenьстм, Мы, I<онечно, считаем, что·Р лежит в некотором афФИнномn~OCTpaHCTBe R". Добаlilим к l
1<аждуюнесущуюллоскосТ" дололним до (N-l)-меРНI;IЙ
плоскости.
лреведем это построение Т81<, чтобы Ке 8ЗОДИТЬновых аеРlllИи,,,то~уде'r
l<аж.цая.••т.акая плОСI<ОСТЬопределяет два полупространства. рассмотрим все80зможные пересечеltия'этихполупрсстранс;:тв. orpaHIt'ieHHble пересече-
дальше очень важно."
ниJi. 06разуlO1'комплект. выпуклых многогранников
.,
Пусть 1<- клеТОЧНЫЙ комллекс. что его i-остоз,
т.е.
.•.'
.' •.• ,'.
Занумеруем его веРШИНЫ:Vk'Допустми.
комллеl<С8сех е"О многогранников разМерносТИ н.
больше i, уже триангулирован с тем" 'IIe вершинами, ЧТО И'IJ<. 8о$.1«8М ЛРОИЗSОJ1ЬНУIU клетку 81+1 и 8 ней верщнну с наииеньшин ИQМ8рои: УЗ' Прикениl'I звеЭДИУlOl<ОНСТРУI<ЦИЮ к з1+1иv.1'I1pИ с:н,ллеI<Сbl- джоины VЗ С сикплехсаки держат
v з'
ДЛя
тех граней,
Этом .1 +1, ра~.,.с.и.
'1'8)(t"раней а .1 +1
:<отор", СОАержа ••• '11.1'
J(0ТOP'"
ОНа та" •••
н. соал.''1'С.
(докажите!),
н.который
подк()мплеI<С< котороГо(). nOl
.., 14 тельно стандартных теоретико~множестве~ных КОНСТРУКЦИЙ Н, относительно логических
тем
'ОаМЫМ,
операций исчислеНИЯ8ЫСК,азывакиЙ.
peTpaK'I;OMСI.\О!ilАзвездыво ВТОрО!4барицентрическом подразделении К. (Напомним,ЧТО А,4ежащее
Варицентри~еское ПодраЭА8А8иае Определение. Звездой
си1fnЛfiJ~саб:IJкомrtлеkО$кна30
состоящий из всех симпдексов, ней.
оимплексов,
которые
эвезды
н"э~веМOQ.80kУПИ(lC't'"JJC.x .ее
назовемобъедииеиие
Если в комплексе К даны симплекс б применить
ИЭИХ г~ .• Это 'J;'aue
не содержат 61.\ качеС'1'ве сзоеЙi-р.~и.
подкоиплекс К. Зsеэдоi.i подкокплвкса можи"
•• М цодкоиМекс,
имеющихбвкачеОТЗfJrрани~k
stK 6 .. Границей
Обозначение:
и
8 ~TOM CffНПЛ.К~,
звездную. KO,",CTPYKЦНjI) с .$ерlllИlfbйх
BK~.OM. <Щl(пnексе
звезды б. Мы ПОЛУЧИМ подраэдenениек,.котороенаЗО8ем ~e~~Jlbl~(fA"<6. ПОСТРОИМ.такназываемое 6арицеН1lIpIAЧet:;кое·rЮдраэдеJl8ни •. I(О~ЛJ1.коаК. Для
все
Э1'ОГОвозЬ!сем внутри каждого .СitJtl1Jleкоаб 8 К Оарице••"р .(1'ОЧ~:f> барицентрические координа~ы которой рав!щ) .- За'l'еИ 8 nOp.IЩхе .-юэ-
растания размернос'гей' симплексов. примении к каждему" конструкцию,
беря 8 качества
'К
них .• вe3JtiiYlO
_$
НО8ыхвершинвершииыs.
Обо.кач.ине:
ет
непрерывное отображение
(рис. 6).
в В, является ретРВ1<тОI1
в
в А,
Ре'l'ракциЯ.Jl8ЛJlе'J'СЯдеформационной, отображениlO В при гомотопин,
В, если существу-
переnодящее каждую точку А в себя. если она гомотопна
ТОЖl1ествР.нному
которая каждую точку А оставляет
непод-
$ИЖНОЙ. ) Док@з@теЛЬСIВ9.Барицентрическое подразделение К обладает следующим заМечательным свойствОМ;
эаезд ero сикялаkО08.
точкаХ
- 15 в 8ид~()тдельного утвеР"'денi,(Я: T.op,eK~' ЛУС'I;I>L - ПОДl<омплексК. 'Х'огда I L I является деформационным
если вершины его симплекса лежат в
самсимnЛекqлежит в tLI. Из .•этого' свойств ••. вытекаеТ,
ILI,
то и
что каждый симплекс звезды ~L в ~K ЯВ-
ляется ДЖQЙНОК двух., СВОИХ· ГРаней,
одна из которых лежит в
I L 1,
а дру-
гая не имеет BILI ни одной вершинw. Лоэтому каждый нз этих симпдексовtlOJCPblTсемействомотрезков, один конец каЖДОl'Оиз которых лежит н/\
ILI.
а другой нет.
Qчевидно, отрезки
его концов' (см.' ·рио.-7). HHlfh.pece~aeT Лоэтому, •.... если·
г.емеЙства непрерывно за"исят
Граница второго барицентрического
ka-ДЬ!Йиэ Э1'ихотреэков
в одной внутренней
от
подразделеего
точке.
мы в КаЖДОМ из зти~ отрезков· стянем его пересечение с
звеЗДQЙ (, 8~2K равномерно к концу его на IL1, ТО "олучится ~еформация.' впроцессе которой заезда 80 втором барицентрическом подразделениибуДетдвигаться
по себе и сожмется в
результате
на
ILI.
(Зачем
нужНо·б.,лО·переХОДИТЬ.I<Овторому барицентрическому подразделению?)
>-
РиС.6.
варицеитРU'lеСl
.
-."
,,".
•тIOP/lЭд'е,ll8НЦ-.·о_
.•••«оа •
", '::::-"',.._'i'~::,: : .".,--' Важное свойство барицентрического
110.ц~\lд.4еки.
оостон •••
в каждом СИКn'l1еКСекаl<сим..п••НАSI'ц"lина ~.БРll(аltJt6I(И'I.'И JiIilK(3)
УItНQжаеТСllна
комПДекеа •
110ЗТОМ)' ,
достаТФчное числораэ, CitltnдekCOiJ) ~.
локажите,
аа8КОRIII ••
ТО
1teflf-ОСllll>
tt.ro
ТОЛ".ОО~,~~'1'.И
ПРОИЗ8()ДИ1'ЬС5~1tТРК""J(о.
еСЛК
кожно. сдег,ат."
Другое важное
tteиыilеe 1· ••
'fИспо
\'OJJ~.
•••• ~~""ltn-
,,~з.указ
1'p1iIамrуляци•• 'ltаk.сих-ц._,I(иаМ8ТР
••нноечиC,/l'О,И-Н~ ••• ~.(
кс:п! подразде-,енцu
дeфQРI1ируетс~
на неао.
fI<)Дpa:tДeJleИfЦI
меньше J1W>6orl);lJaД~НИОI'О ~CII ••
С80ЙсТВОбарицентрических
$it.здааО8ZЮРО;ff6ариqентриЧ8<: поджоипдексас_роzо
имеетс.1l{tО./JеЗflАЯконструкция, 80зl>мем в
n~1.)/n.
~драздел.киАСфОрItУЛНРУ.М
комплексе
KOTc:?PWXO" Яi\.tIяется,
,0БО(ilЦaощая, в часrности, К
сНмпл.екс б,
3'1'0 рассу.-
затем 8сеснмплеkСW 61 ,
и барицентры Y,y~ ~тихсиltплеkСОIl.
Р",сс-
~ 16 -
мотрим подкомплекс в ~K,
состоящий из всех симплексов с верwинамиvи
V1' назовР.мего двойственной звездоЙ К
каждая кле~ка прообраза ли-
б
H~e звезды ко всем симплексам К образуют
рl~отображениями полиэдров,и
сечение двух звезд либо ПУСТо, либо есть
Iкl
дает с
(см.рис.
комплексов и оно служит тог."
8).
что к<:,мпозициярl-отображе-
рl-от06ражений КОМП4ексоврl-кле-
:r'QPe!\a. Пусть.f: Ik\"'ILI-(непрерывное) от~бра)f.ениетел комплексов pl-кле'i'ОХ,линейноотображающее каждую рl-клетку К в некоторую рl-клетку L. Существуюттакие сиплициалыolеeподразделения К и L .,.S и Т С:ООТВ'1fтС;).fИНДУЦИРУElТСИМПЛИnИальиое отображение 5 в Т (которое ~аl<*е6удеМобоЗlolачатi>f). (МЫМ~*ElмскаэаТЬВ3ТQмслучае, что " трио.нrулируемо.) Докаэ,тепьство.Таk 1<0.1< fотображо.ет клетки ~ из К линейно,
Рис.В.
звездный
комплекс,
двойственный
Рассмотрим теперь любой подкомплекс L в К верJ:1ИНЫ которых не лежат в симплексах L.
раЗЫ'rакже являются pl-клетками.МЫ!lидели,
и
Комплекс этих
твеннын к
ЭТИсимплексы 06рt'ЭУIIJТпод~
звезд обозначим L" и наЗОВеИaro комnлекООМ д.OЙc~ не npииадлежащийми L,
является ДJКОЙНОМ двух своих граней - одна на L, тому
покрыт
киt.",
друtая на L" - ИnOЭ~
семеЙСТВ;:IМ отреЗI<ОВ, которые MorYT попармоп4tJ)eсекатьоя
только своики концаки на этих гранях. Эти семейстааН-Прерывио п.~о~ дят
APyr в друга при .nepexoAe к соседнИМсииriлекс~и (т.к.непрерывко
изменяются концы отрезков). дении,
IK!\ILI
сечеl!l1~f-1(л')()Je,
СЛедоватеЛьНо,к.к
деформируетсяна IL"
даформируетсяна
1,
ив
причен CTpOrQ,
ПРеДЫДущем расоуж~ ~
IKI\IL",
c~гo
ILI.
в ,частности,
рl-отображением отаНГЛИЙСitогорiесеwise
каждый СИИПЛSI(С изК
l.1near),
«:ли СУlI\ест-
L соотВ. ПОЛИЗДРО8Р.И Q, Ч1'О!,от06ражает
.r.l1неЙноНг.некоторый сиюiлекс н'а Ж;;
о•••аиДКО, при
этом П9рождаеТСR симплициальноеотображение К в L~ Для
комплекса рl-клеток
м.б. "ус-
вершиныв'веРШИНЫ.'l';МЫ'показали выше, что имеется
т •• :f",идуцирУетсимпл",циальноеотображение
что и у него.
Тогда
н,который симплекс ИЗ Т, 5в Т.
(MOII[KO обобщить..• 3'1'0утверждени, ; если полиэдр Р покрыт рl-кле'fками, котС;)рые .линеЙ~оотобр~аIC)ТСЯ.Д~HHЫM ,непрерывным отображением f : ~O 1(аждая~ ~!lOIOpl~J(.(le~KY·B Q,TO тельство сохр~и~.~силу.) ЧТОБЫ~'tвеР*дать" что
fтриангу"лируеио,
.«
как вuше.
Доказа-
,
ПО.l1~эдрывме.с'1'е с рl-0тображениями образуют
чтС;)бы .•бlrlЛаопределена композиция рl-отобра*.ний:
ДОК~!j!тельСtво. Пуст••
Займемсятеперь отображениямиIlолиэдроа:
вуют такие триангуляции Ки
есть рl-кпетка,
,ТеореМа~ ~оипо~иция,рl-С;)Т06Ражен",й есть рl-ото6ражение.
комnлекоов • D0488дРО_
определение, Отобрщкениеf:Р"'Qназывается·ХусO'lНО Аци.LiR"" щенно:
рl-:-клетка из К,
трианrУ{lяцИяSкомПпексаК'стемижевершинани; 1<ажд.ыйсимпле~~ ИЗ.'5лин"й~о~тображаетсяно.
ка"~()риlI!НУ"НО". Категории
rAelJe·-
таЯ,.lIиНеЙН90ТОбрг..о.ющаяся на Л'. эти п.ресечения. обра$УЮТклеточно. подразделение 1(', клеr1<ИкотороrолинеЙНО,отuбражаioтся на симплексы Т, и,
L.
Заметим, что каждый симплекс иЗ ~K,
их об-
допускает триангу-
Jiяцию'r~ 8 которой оказываlOТСЯ триангулирово.ннымика.'«даятакая клетка {(ае) ита~же каЖДаякле'fкаЛиэL. Для симплекса Л' из Т ка*Д08 пер.--
все
комплекс в ~K, состоящий из звезд тех симплексОВК, которые н- л•••• т в L.
чтоlLI
(см. предЫдущую лекцИD) рl-О~о6р&"нн.и
с: Р"'+Ои
НОВ~ТСЯРИКl}Лiщиальныкисоот •• ~ТриаНГУЛЯЦИИQ,$Iсно,.Ч'rО9
9: Q-t~ -рl-отображения,
lфТОР",. ста-
В'!:'Рианrуля,цияхК, L, L', М. Здесь L и L' пинейноот06раlU,тпересечения
сиипл.к.,.
'. ,.....иL~8(,)ИиплекСыМ.8,оилу преДWДУlllейо;-йремы; ИИ'IOТОЯ триангуляцииL"и МffПOJlиздро8РИ Q,C::OOTB. ,вltоторыхgсимnлициально и ко· Торые подразцеляlO,!:, соо.,. ,L, L''''" •..... Рlitс;:сиотрим теrt.рьп.р.с •••• ННя·прообраЗО.снмnл,ксс>. И3 L"
О сикn-
- i~ ,..
- 18."
лексами
иЗ
К. Эти пересечения образуют клеточное
чем они линейно отображаются на сим~леКСЫ'L".
набораПОД'М!fо*ествконечного множества М,
В силу
предыдущего мы
можемсимплициально подразделить этот клеточный кокплекс, вых вершин,
не )вводя но-
шинами. Такая схема реализуется'как
и, как и в предыдущей'теореме, f 6удет,линейно отоБРаЖать
симплексы :.>тогоподразделения К" на,СИМПЛCitксы L", можно обобщить на
ситуаци~,
'l'оrдаКОКПОЗИЦИJl q!
~ие остается тем же. снстему'рl-0тображений, 60е ~исло полиэдров.
Рассужде-'
схема
абстрактные ~ комплексы
Более тоге, можно триа~гулировать сразуцелу» если она напраелена, Т.е. для каждого полиэдра
имеется только одно "'го отображение, Для
в
ненаправленной сисТCitмы утверждение перестает
Нашусхему связи компрексов
ции,
мы автоматически ввели класс топo.nогических прост.,.
8
ли многообразие топологяческим полиэдром? ИGвестио, гладICИХмного06разиЙ.
сдруг,ОЙ стороны мо.мО llСЮта'"
о топологической характ.ризациикласса
Т.е.
,какоАсимnлексявляется
то они должны иметь изоморфныеподразделения.
лучаемое"з -
топo.norи".ских
триангуля-
Но понятие произкомплексы.
Зато
каждогоиз
СкежвитеПерЬ, НМ,
по-
них последовательиостыо,зве~дных подразделений.
что два абсrpактных комплек~а кох6имаmoрно эквивалеНJI/-
если они имеют изоморфныекратные звездные подразделения. Tei>peMII
Александера утверждает, чт~ ДВl1аффинныхполиэдра рl-гомеоморфны, если
задача далеКIi\ОТПОЛl'fогоотвота. можно указать,
Если даны кахие-то
длядвух;' трианrУЛЯL\ИЙПолиэдра-существует общее подразделение,
IIOnpoС, наnptll•• р,
Б аффинном комплекс. име.тся схема граничных ОТно.ениЙ кеждусккп~ Лексами,
каждой из этих категорий имеется свое естественное отношение Мзо-
на них легко перенести Понятие звездного по'дразделения. Поэтому Полезно слеДУlOЩ8е утверждение принадлежащееДж.Алек~андеру:
ICа'l'егориитопологических полиэдров рассмаtривaIOТсяНеnpeрыВиые.
ПОЛliэдров.эта
ПР'"БО
Вольного подразде~е~ия не переносится на а6страктные
h(>JluэдРОlfТOnО-
лему триангулируемости кноr;ообразий можно сформулкров&тькак,'
вопрос
ТОПО,lОГИЧ.
комплексов. По определеииlO,два·полиэдрj'l рl-гонеоморфны, если •.•только
логическое пространство гомеоморфноеаффИнному" ПОЛIf~ДРУ .()т06puе~ия
и
топологические полиэдры
тело
еслн они ИИеютизоморфныетриангуляции.
а с другой к ФИнитизну.
которые им гомеоморфны:назовем IIIOlIологuческЩt
что это верно для
реапизаuия
полиэдры ~
- гомеОИОрфИзм"кусочнолинейныЙ в СJlучае их pl-реаЛ!olзации. Существенчтобы ОТНОlllениеpl-гомеОМОрфизмаможно был,) бы выразить ,на ЯЗЫI<&
расширить
стороны к ТОПОЛОГИ'lеским пространствам,
вить
взаимоотноwения между
но,
ров можно взять OTpe~OK.
будет
симплекса, размерность
морфизма: для комплекс~в это симплициальныйизоморфизм, для полиэдров
жений одного полиэдра в два разных полиэдра, причем в качестве полиэд-
ранств,
триангуляuия
аФФинные ~ комплексы
реализаuия
но в него может отобрэ,;lИТЬСЯЛЮ-
быть верным. Можно построить пример уже для системы ИЗ двух рl-отобра-'
аффинныеполиэдры,
схен&, аффинногокомпле1<са,именно,
В реэультате мы получаем четыре катег~рии, которымииогут быть изображены такой схемой:
КОГда имеются,два
рl-Qтображения полиэдров Рl и Р2В один И ,тот жеполи,эдрQ.
который С каждым ПОДмно-
под~омп~екса ICОМПлекса,составленногоизграней которого равна числу верш"н минус 1.
будет 'синплициальнымотображением К" вМ". Это рассуждение
Е
жеством входят все меньшиеподмножества. Элементысамого М служат вер-
rраиЬD l(ахоl'О;
и только если какие.,.нибудь ИХ ТР,иангуляции (и тогда Jlюбые) комбинаторно 'эквивалентмы.
Мыне остамавпиваемся на доказательство этой техни-
Беря подобную схему как таков)'D,ПОЛУЧИМ аБСIlРаК8НJi\!JЮJtпАеilСI.ХОН."..,'
чески'аажной теОреМЫ. Как прикер ОТметимследующееутверждение:
н~й набор симплексов разных размерностейс
TO'lKa полиэдра являетеявершиной в' двухе,ГО триангуляциях,
ухазаииеи 'дЛя
снмпn'КОО.
если
1'0 ее звез-
соседних размерностей, являеТСЯЛIfс:икnлекс меньшейра:iJC8JЖОСТ"rра""'lI)
ды 8 этих 1'риангутIЦИЯХ1<омбина1:0РНО :эквивалентны•.
симплекса большеЙразмерности• СИмплекс эдесь,вClУIlPiОС\'И.~то~"
Сандероо"а, указаинуlO в конце.)
мент 'Конечного ,МНОЖ8сrва, , сиабженнЫЙцелы.м .',"МСЛОм- ,erc> palt"'paloCT"". ИнфОрмаL\ияогранях может БЫТЬ,эадаifаиабором l'IаllipШlUffци-НЦl.Щlэлемент а" 1зравен 1, если сикплекс6n - 11 Я8Ляетс~rран~ смиnлекoi.6"зи
ц~й полиэдра к общемуподразделению. Это важно салгорит~ичаской
равеи О иначе .\fтоб •••"або'l'pактиЫй Jtомплек~деАСТВМ1'.л"нС)еWllCU~оА1te-.
лексов, ТО,можно было бы перебором решатьвопрос .0 ICомбинаторной::;кви-
,которого
аффинного .-оиnлекеа,
матрнцами инцидентности, только,
нужны Опр.дел.ММ •••. ООО'1НOhIЩ.
,на хоторых мы не
ОСtаиа-ЛМ"'.iICИ,·'
",то а6С'1'ракт~аЯСХенааффик ••огО хонnлеi<с.n~",,4t1'QJI
1I8-ЯУ
SаМ.ТИИ
•.• КФi
••.••
(См. книгу Рурка н
Естественно возникает вопрос об оценке
числа звездных ,подраЭДелеf!ИЙ нужных,
чтобы перейти от двух триаю'УЛЯт~чICИ
зрения:, еСЛИбы например, имелась оцеНlCаэтого числа через число симпв~ен'1'НОС'1'И триангуляций.
~oгдa, скажек, данная триангуляция комбина-
торнс>. эt<вивалентна симплексу сказать,
что эт~алгоритмическая
или его границе?
В общемслучае можно
проблема неразреШИиа, хотя как
~з
- 21 для сфер положительный ,е. n .новикову • Переходя к ТОПОЛОГИЧ,еским поЛИ,здрам, .tbl сталкиваемая С", прОблемой, названной
гии"
на заре топологии "основной
аипотезой
IIOlf6uНаmOрноЙ
(ее часто называют по-немецки Hauptverll\utung):
6удут
ЛИ
морфные полиэдры рl-гомеоморфны? Теперь извест~о, '1'1'0ответ случае о'грицателен уже ДЛJ'lнекоторыХ 4-мерных )Iноrо06р&зиЙ. Но построение таких примеров требует специальной технИКИ, о 1<оторойэдесь кы не кожем говорить.
иер. Введем в3.жную·для дальнейшего вым в начале, 20-Х го,дов; Пусть имеется конеЧНQе,не
",' обязательноотКрытое,.П()Кpblтие ранства Х (или любая конечнаясистема.егоподмно.еств).поотроtlМ
~. прОСТ"'
,леке ТО1'даи только тогда,' KorAa COOTвeTCTBYlDJЦм~к.нтыпо~рытия
пе'"
Ч',l'ОПОC;lтроеНН08 отображение непрерывно.
WAu.
КомnлеКQ есть Нерв стстемы звезд С80ИХвершин. .'э,клочание 31'08 лекции докажем ~днуиз классических теорем Брауэ-
коип':
леке, КОТОРЫЙ назовем нервокзтогО noкрытия (или п~ЙСИС1'екы).I<аждому элементу покрытия сопоставим веРIIIИНУ.На веРlllииы'наТRrизаеТСЯСИМП":
Jlок~ите,
рес> наретрегируакости
ку6ана
его границу,
K~ ИЭвеСТН~йтеореме оиеподви.нойточке. тато.спе~Й
лекции,
ноиыдокажем
которая ЭК8ивалентна шир~~
Она легко следует из резульее теперь,
ресек;;.IOТСЯ. Если хметрическое ПРОС'l'ранс'l'1!lO,а покptlТИ8 ОТkpъlто.,,',ТОле1'КО
с основным приекОм.
построить непр~рывное отображение х ,8 3ТОТПOnllэдр,прикс>тор<>м.пр<>об-
ДО14эаТlAkСТао' Напомним, что ретракцией MHQIt8CT8aна евоеподмножеотво не,ПОnВИ.И,ое ь м
раз зве-зды кажДОЙвеРШИRылежит!i coo'i'.etcTBYJO"eM~ИТ.ПОКРЫТИJl •• НапомниИ, что функция рл(х)"'р(х,А), rAe А": nOДKНOMCT80BX, ар •. метрика,
непрерывна,
кажДОГО
элемента
f1(x)",P(X,X\U1).
причем
в ТО"lиQCтииа эа••••J<аиииА вХ. опред-т.н
Ч
ДлЯ
неnp8рывиу1О' ФУНК.
Н. о)'ществует ретракции куба 1" на его край.
nОСТpQиисначала 'так ~HOгO
1k'-:
(х)-1
ц f1 (Х)*О 11U~. (Сиете.а
такими,СВОЙС'L'вами на!JызаеТсЯра&6цеНШtrrе(JцНUЩI,noдflUВU"M".
отображеиие
этого подиножест-
назwа,енуn полулинейнуn оППроксимацИnнепре-
9(xJ*I1
'Р. (Х)-!1 (x)/Ij(fll (х).
называется ToulCax "
отс>ОражеНиR ,! тела Прс>ИЭ80льноrокомплекса I< в аП:
Затем поло-м:
Очевидно, что 0(" (Х)(1,' с
р-о
ПОlCрытия U1
fOорем.
чтобы познаКОМИТЬСR '
Г~e Vi ~а8рЩИМWK~
a~(x)
фуакций
Тогда
С
DaH~OIfY
QтреИИТСJl1( f •. обыЧНОМ oMwc'ne ..
совпадает
9
f
f(v1 )(11(х),
- барицент~ические ~оординатw комплекса 118ерlllинах и прииttме .•tьчении триангуляции ~
Тепер•• 8иес'tо k l1aс:ЮмотриктриаНГУЛЯЦИJOкуба,0& &МесТОа" его границу.
У нее,
,~ОеТИ I(а~ой
цравда. нет 1'лобал"кой линейной структуры, точ~и.ст,
еОЛИ Л8*"т .. 1)т.а ТОЧКА. '
чае "
лохал"н~я
линеАная структура,
.uy.•••• H .( п- 1) -грани. ~•• _,..
но 8 ОКр8СТ-
80 всяком слу-
Но м•• ХОТИМраССМОТреТЬ
f .ВИ'~ ..... 8uRtОfК9СТИ ЦQIPIОГОрrXю6PА3аgДЦО8tочки. Пуоть х - центр какой-4Иб<> Jn-1)..,г~и"" u •.. ее иалаJl .аРО8ая Oi
~~
иелку~тр"анrУЛЯЦИJOкуба.что
если е. оииплеJlС пересекает np<>Q(S-
Х, T~ 06раэ;tТОI'Q,<щимекСА лежит 8П.
ЭакеJJКМ "е".р •• tнаоииnлeксах,
пересеКaJOlIIИХ (-1х,
ап.~ксиJUЩИIQ 9, моторая, оче8ИДНО ,сохреняет ,цw. ост_те. ;.
','
На ПОIJУЛWИ_~
СllQйстаа (:
ТОЧI(" 1'ра••••••
иепС)Д8IUIИWИiJ·" еQ.ilИ06раэ с:имnлеl(са ОО4ер*"т Х,'W
QN,QO-
-
- 22 -
·lIеICЦ••
н
держится в U. МЫножем считать.
э.
23
-
ПСЕВДОМ1{ОГООБРАЗНЯ
СТЕПЕНЬ
ОТОБРАЖЕНИЯ
что <:1иахоДИТСЯ11общемположении относительНО Х,
что зиачит,
что на х отображаются только точки n м {П+l}-симплексов. остальные симплексы имеЮТменьсую размернOQТЬН сумка Действительно. ПОЭТОМУ мы могли выбрать хане Gтихобраих обраЗО8 нигде Не плотна,
лиздр, иие~щиЙтриангуляцию со следующимиС80йствами: 1) КАЖДЫЙ(П-l)-симплекс является грань!О ровно двух п-симплексов,
зов.
(Д8а п-симплеКСА с общей (П-1)-грань!О будут на;)ЫВАТЬСЯ соседями).
пое-доикоrоо6ра$ •• Определение. Цсевдонногоо6раэиен
2) для
каждых двух
называется по-
n-симплексов 61.62 сущеСТ8ует цепочка ИЗ ".
и
(П-l)-оимплексов. соединяющаяих. в которой КАЖДЫЙ (П-l)-симплекс являетСII гранью ровно двух п-симплексов и каждый п-симплекс, крома 6\ ,62'
имеет двух соседей, А 61 и 62 по одному (свойство сильной С883-
J!2QD1, см•• напр.,
рис.l0.)
3) каждый СИмПлексслу*ит граныо хотя бы одного п-мерного. (Т.е. СЛАВНЫМИ симплексами - не служащимисобственными гранями других сииплексов - ЯВЛЯЮТСЯ только п-мерные.) (два п-симПЛеКСА соседа раЗВQраЧИ8аются8 8ЫПУКЛЫЙ миогогранник иа Рис.l0.
Рассмотрим теперь прообраз х при отображении 9.
(п+ 1) -симплекса.
друга.
На
содержит х, п-сикплексу
т.к.
9 неподвижиа в
~.
точкаХ
границы.
06ра:Н(ОТОРОГО К
единстаенному
прикыкает р08НО ОД"" (n+l)-еимплеке изнутри куба. И3 сказаииогО слеДУет, что проQ6раз х I1pt10т06рцении
границы,
содержащемух,
триангуЛАЦИЮп-симnлекса
ПУСТIoкаждоР.верwине v триангуляциИ поставлена • соответствие ТОЙ минималloНОЙграни БП, которая содержит V (а "'стноети, симплекса СООТ8етСтвуlOТ самИ се6е). цки, (т. е. 6n). ~. ницу
вершкнам которого
I
ление. (ЗнаЧИТ, С80йство быть псеедомного06разнем есть свойство полиэдра, а не только комплекса.) Покажите, что инвариаитное определение такое:
за
исключением точек
икеет окрестность,
6.
Пусть Ааи
аер-ИН&
(vO,Vj"",Vk).
••
четкая,
pgHHW
6.
УПQр~ДОЧИ" множество
ero
вершин:
Д8а таких порядка отличаются ка переСТАНО8КУ.Если она что оки С8язаны поло-ите~ьно, если нечетная, то отри·
Мио*есТ80 асех порядков разбивается НА Д8а класса:
внутри
со~отрИЦ.тел.ио. ОриеН"4ией
erorpa-
••ест"
теореке о существованми иеПОД8И*КОЙТО"КМ ун-п~-
РЫ8ИОГО отображения куба 8 себя.
аО•• ДОlШоrо06ра8ВЙ.
каждого класса ПОРЯДКИ св.за)lЫ ПОЛОжИТельно, а порядки из ра;)ных Кl1ас-
соответстlitующее сикnлици.;\llloНоеOT06palll.eHHe ""еет ...•С\6ра,ом•..•• о•• 11 числосимплексо •• ото6р~*аIOЩИХСII иас.6 .Н•••• ТНО.
эквивалентно
k-сикпд.кс
ска.ем,
цател~ко,
отвечаlOТ попарно разлмчнwe &ер.мн" симплекса
КII
(П-2)-мерносо подпonнздра каждая точка
pl-гокеоморфнуlO открытому кубу.
op.eкupy.мoo'l'.
тогдаиайдеТСlIсииnл.кстрнаНГУJlII-
что теорека о керетрагируемостмкуба
псе8домногообразием ТОСДа н
СНачала: чтО значит QриеИТИРО8ать си"п~екс? .
Sоле. точко:
Покажите,
по~тому в силу 1) внутренние
f
n Расскотрим
8,
обраэуlOТв псевдомногообразии связиое
Аффинный кокплеJ<С Я8ляется
9. есть конечнозвекная ЛОИАная, у котоpQЙ кожеТ СЫ'l'1o TQ.lJIoKO O~M"
конец. ПрОТИl:lоречие ........•...... Э§,АаЧА(Лемма Шперне~а).
как на рис.
'tолысo ТОСДа, КОГДАпсееДОМНОГО06разием является каждое его подразде-
и два отрезка 8.ИИХ продол*аlOт.друr
граиице кожет быть толloКОодинп-сикплекс,.
и (П-1)-симплексов
(П-2)-КеРНОСQподполиздра, псе8докногообразие является Многообразием.)
К кажДОМУп-симnлекСУ, лежащеМУ8НУ'!'РМ куба,. пр••-
мыкает ровно Д84 (П+1)-СИJФлекса,
например,
точки 8ce~ "-
открытое подмножеСТ80, каждая точка которого имеет окрестность гомеоморфную (кусочне линейно) области 8 Rn: значит, ИСКЛIOЧАЯточки
ОН состоит И3 01'-
RеЗКО8, ПО ОДНОМУ11тех (п+1 )-СИМПllексах, 8 обра;)е которых хле*мт (см. рис. '10). Каждый такой отрезок соед.иияеТД8е TO••K.t на д.вух п-гре"! .Ш(
п-плоскости,
~
СЦИnАе*с. назо•••
nOllQИтеЛloноrо.
8ыбор одного из зтих
классов
Б
~a-
Каждому порядку вершиifв
- 24СИJilnдехсепоставим.
-
Опре.QМ'ИИ'.
первую вершину (с номерок о)п.щМем За Ma'~MO" а векторы репера с сохранением порядка (и кои.рОе).
"-ль
репе-
О~•• ИДио,·Д8.
.1'0
что один можно перевесТИ 8 друrоЙ.
плоскости
ПО
висииыми,
симплекса,
см. рис.
ко 8 ка~ ••Й
ИОМеlfТ
(Инач-:опредeJtИтель
11.
координа'l' к друrой ПОЛОJOlтелен. )Т. (Конечко,
Henpepwвмo пере". остамяя
88К1'ОРМ••еза-
симплекса.
сительно
связи ориентир)'ICI/ЦИХ ПОрЯДК08"РIUИИИ flOnO-МТет.иlilXреа.,о
npинер
проекти.ка.
.И.х о
иеориеитируемоrо
наэыеается
ПОЛОЖИ-
плоскость.
можио 'прииять и АРУrоеооr~иМ8,ОТJIO"
(Лист Мебиуеа имеет край,
кра8К 'речь впереди.)
TKp~.Мoгo ••
случая.
Прос-
а о псевдомноrообра-
,
fУЛИодно
t.iВL~Кlt9риеlfrИRYеиq, #XJJIQ 2,
0."01'0 оnpeд-.п...иоrосоr-
ориеН1'ациlOего края.
(псеВДО)ИИОГообразия хорошо изеестен:
НaIК8 поспе"УlOщееПОО1'роеиие т,ории
И1'мруfO't
плоскость
но в каждом рассу~е ••ии ЯУЖНОnpидер-иваться
l1J2JUJ.t.R.ориеитация~HnдeKca индуцирует тайш"й
перехода от одНоЙсиот •••••
е. ЭТМреneрм одикакОВО ••
~5 -
п-псевдонногооБРВI3UJl
но соглаccl.~ины'' 8ыбор ориентаций всех ero n-симплексов· ('1' • е. cor.1100"14" ори,нтацииЛlO6ых двухсоседов).
ра, отвечаlOщие положитеЛI>ИОсвязанным порядкаИ. I1QЛОЖltТe.fJЬМОС8I1эак ••• том смысле,
ориенмцией
СТеП@КИбудет в.стись
нз DIYX псевдоиногообраЗи8
для
для ориеи" 01'ображеНИ8
10. чеОЫ§ ,числа. надо замени1''' на вычеты по но'"
лашеifИЯ.)
терма ,nOO~ИИ.Т.ОРИИ
0'1' ••••
О'l'06рарк"
отеПени HlllrtpOвeAeM 8 несколько
111&1'08:
1" Сна~ела e>nредалинстепень снмплициалЬИО1'оотображения как алге6раи-окое
'ЧiICЛ~ ,rфOoбраэоз OAНOi"O ,n-симплекса.
2.ПОх",к,
"1'1'0
р.ЭУ~Ьтат ме эависи'I' от вwбор« симплекса.
j,onp.делимстепеиlo
н.преры~ноrоотобрuеиия
как степен •• '1'0 СИмn-
щЩИаЛ"нoIt.аnnРОJ(сииа~и , ЧТОбы ~01Cab."Ь иаза8ИСИМоет •• реэультата
••
ЯрКД-'I'СЯ ".стк
ка.
В
•• ми.мхI, ••••изучим ero
ориектации иее
раосмоТрение rоиотonии
от а••бора аппроксимации, и
о
циlO БD - t: T0tiOM
1
Я8Ляется rраИ"JG lS1i 'то ориеитаЦиЯIS1i ииДУЦИРУет.••••••• I
доrоворнмся
при n>1 брать ОРИеНТИpylOll&ИЙnор"докб-, "Р" КО-
ПОСлеАНЯЯ имина
оохраним т.-1?) .
ме' npиgплеllttt
и будемсчнтать Заметим,
"смотрит" ~.D'
ero ори.кти~1_kК
ток СМысле,'ЧТО
Если Д&А п-симnлe"са
сагА.оаван""
этой Общей rрави.
П'ренести IWD,rpaKIt. ~.
АЛЯ
(P'-s.
ooтanIo"IIIX
•••••
('11'0 .ела ••••• реп.ра" ' •
и
r
ОИМnЛекса.
110ложные ОРИЕ!мта.ЦИИИ8 их
ка
порядок
ИидуцироваИ!iW80РИ8ИТации асех (n-1)-rpaн8Йf',
соrласоааииымив
ориентации
f9J.::J...
что П9C.l18ДИИЙ :PKTOPC:OOTPТOT.~ro·
енутр," этого
.,:
ОРИ!"ТИРП-НЙ,
npo..ери1'ьnQOJlQд ••
что ••
rpaии.
3ТО.О4У
то ••••••
•••••••••••
и.одиоrОn':СКJlМ"са.~ "у.••••р•••••••••
"
nOДКомn.nексе,
,••••••,их ~ИО
.••ой ~.~-
можно построить,
ма КОТОIЮм Данное
отображени,
ре, 6-поi:жкnпиц-Алыцlн,, ',' '6'.Jt- С:ИЖ1ЛИЩСЦ1оИbl8 аппроксикацl4И rокqтопиы и, по п. 5, МЫ можем $"'."'1''' roмoтonНlO 7:M1XI~ М8*,У ники синnлициальиы~ отображением .:fllsXI""Мi;'~"""KC r на (fttXO)U("eXO)' НааОВ8МФ симnдициаль••ой r~ОП"'А,
еСЛИ'ониинАУЧМРytO'1'tIpOТИSOJ104O"'''еoplieНП_ ремр
~и"яоТобрauни.flа"
СНКnДИЦИ&ЛI>НОЙ апп-
нашенQJ1Учэ.., чтоаппроксикациlO
ИIII
ПОКАЖек~что .с.пи~васикnлициальиых
rомотопиw,ТО Иl<ст.l1еИи ~BKЫ. коррекtмocти' иааеrоonpеделення степекИ.
кмеот, o6щy1D(n-1)-rрамь.
закаТИМ.
н.
дОJ;аза•.••
~
KaJ!Дыa ДРН8""Х
общеЙ (п:-2)-
·
pcN(С:НIt.ц-tИ~
с краем,
СQOтнощакияс ориеитацией края.
,1~' ОТД8ЛI!!,КО'КЫ ааАнекся ф60БЩенкойтеоремой О
Если6f1"
нкмк прямое произае-
lSQл.е "ирокоепокятие.псе8ДОНИОi"ообраэия
"_
••_мы: К$)"ЧЮl'ОСМО8Кwe 080йстеа
~~,~-НЫ.hрИхcжnоакцw ••••••••
~"Ии.равиа
,. •••• *1)' nocal:tToto,
та.•" 8pay.:~rlt~"'.oa '~ан"иOo-r""
tIOo'rllfll.
O'rобрuеииЯ симп-
31'0 эаВерlllИТ доказательство СТеПени (Степени
rОКОТОПИIIIХ
отепеии УНИOlt&а)ТСЯ,01'.П'И" ТО*"'8С1+1, а nОС1'ояииоJ;'О - О. отепем. 1I0000оп.,.RТК
кдокааательстау
ИнвариаНТНОСТИ o04aC'tJI.
1'омеОНОрФИ:ана
ОСНО8КЫХ р.эуль-
ОРИ8ИТИРУености,
I'С»СО't(lnИ••8СКОЙ ма*фнкаЦiIJI
раэ.".. 0'1'001*-
~ 26 ~
- 27еТСЯ прикы!<ание к ним одного или двух п,·сикплеI<СО8(а не 06яза'r8ЛЬНО
жеииА сферы в себя и их следствий.) ~TaK. пусть
дано
непрерывное отображение (:".~2'
ГА. "1 и "2 ~
ориентированные л- псевдомног.оо6разия. П.1.
Пусть
снача~а 9 - симплицИально. отображение и 6 -проиэволь-
двух) • Краем дМ псевдомногообразия (П-l)-с"иплексов.
ный л-симплекс из "2' пусть 01 .62' ...• Ор - все. сиМпЛексы из "1' отоб~ ражающиесяНА 6. Сопоставин каждомуО. число dl• равное 1 или -1 в за-
Ha~o было бы скаэаты
висиности от того.
ЛW8ется автом.атически.)
переходит ЛИ npl1 отображеНИИ·9 ориеитнрующий поря-
док его вершин в порядок вершин 6,
определяющийданную ориеНТаЦИЮ или
протнвоположную ей •. (Число d1 можно назвать степенью отображения 6.) сунну всех dl назовен ствпеньр 9 над $. п.2.
Возьнемв
М2 два л-симплекса 61 и
62
С общей (Л-l)-гранью
61 • 6n-1
(П-1)-симплексов
чем
отображающиесяна
у
6"-1.)
6" - 1.•
это могут
быт••
Поэтому множество всех. этих
n~"
распадается на связные цепочки. состоящие из чередуо-
щихсS[ "-
и (П-1.)-симплексов
замкнута.
МЬ!игнорируем ее. В противном случае на. двух ее концах име-
ются (П-l)-симплексы.
(при п••1 это ломаные).
ЦепоЧк«
отобраЖ«lOЩе-
Легко провеРИТI>.ЧТО если они оба ·отобража-
ЮТС$[на тот же оимплекс 61 или 62' го знака,
Еслизта
к которым примыкает по п-симплексу.
муся или на 61 или на 62'
Int
(точнее и Дока-
что 3ТоТ подполиздр не измекиТСЯ при подразделении - это продеДополнение к краю Н называетсЯ внутренность»
М.
Край Распадается
на
куски
СОС80ЙСТ80М. СИЛЬНОЙ С8ЯЗНОСТИ. но не
t'ообра.ЭЮI •
(возь",ем 8 попнам торе. прямоугольнУЮ попоску.
ПО./10жные стороны которой лежат на граничном торе.
только п- и (Л-1)-симплексы. У каждого л-симплекса имеется ровно две (Л-1) -грани. отображающиесяна 6n-l• (ДеЙствнтелIoНО.у п-симплекса·· н. одну вершину больше.
"':
подпОАиэдр. пo~pытыйэтин под~онплексон,
обязател.IoНОудовлеТ80ряющиепервому свойству из определения псевдомно-
и покажем. что степени 9 над нини равны. Рассмотрим все симплексы.
зат •••
М с кра.м называется объединение всех
1<которым пр"иыкает по одному п-сикпле!(су.
то отепени 9 на них ПРОТИ80ПОЛОЖНО-
а если они отображаlOТСЯна разные СИНП./1ексlol,ТО одного эна-
две противо-
а две другие внутри.
Со.Меи в точку l<аждыЙотрезок параллеЛIoНЫЙ внутренним сторонам. чим трехмерное псевдокиогообразие C.l<paeM. край которого
ряет условио 1 определенияпсевдомноrообрази)!.) определение орнентац~иостаеТся прежнИк. Если ориентированы Аомноt'о06рази.
и компонента .еГО края.
то скажем,
Полу-
не удовлетвопсев-
что эти ориентации
IЗможит.льно 9QглаС08АНЫв случае, .оли это так для какой-либо (и тогДА для любой) парwсикnлексов 6"". ое:бn, r де бn -. принадЛеЖиТэтой компоненте. В важном для ет края.
наСС:ЛУЧёkе.KorAa M-LXI,
мы имеем:
Где L ориентировано и не име-
dM~LXoULX1. причем М также ориентируеМО и
ОРК8нтация "противоположным
o6pa:JoMсогласоаанас
любая
ориентациями LXO ••
ка. Цепочки первого вида H~ дают вклада 8степениg над 6. и 62. « цепочки второго ВИДаустанавливаlOтравенство нежду степеНЯJlиg над н
иии •• Ормента.цию" будем аыбираТ," положительно согласоаанной с ориент.-
62' В силу СВОЙСТВ.СНЛl>нОЙ связности "2.0тепени 9 над всеми п-с~мплексами окаЗlolваютсяравными. Это число мы и приним.ем за степен. си.п-
цией LXl (и отрнцательно~ориентацней ~.пpqlJ8рьтесделанны.утвержденИя
б .
Aиц~aAЬHoгo
omoCp •• eHиR g.
LXl .•
полу~енные из данной ориентацииL
nрк естестаеннОМ .отождествлеLXO). о ориентации LXI.
(Рассмот-
рите отреЗОII вида хХI,nе.ресеКalQЩИЙ.ТОIIl>kО симплексы даух старших ра:а-
(Вопрос: испольэовАЛИЛи МЫСИЛI>НУЮСВЯЗНОСТI> ".1) Пуоть (:М."'Н2 - непрерwвное.отображеиие псеадом:~огообразий и 9 - ~бая симnлициальная «ппpqксикация ( в н.которы:<
"epJ.lOCT'-Й :) 8 наруwеиме устаиовленного выше порядка обратимся к П.6: п.6.ПУС'l'ьF:М.Х(О;1}~2 - СИКММЩ1АЛьное отображение (сммппициаль-
триангуляциях м. и Н2, (т,е. степень t как степен •• 9:
н.я
п.З.
п •••
QПреlllJ1tние.
.
"ео f • deg 9. Чтоб~ Двигаться дал••••. (д~K.~aTь незаВИСИМООТIo'рпределенмя 'от
выбора аппроксимации), ем.
9 сикnпициа./1ЬНО и ГОМОТОПIiО~).определи"
м•• ДQ./ЦIH." определит•• поеВДОМНОГО06разияс· ·IIP.-
(Нам ну.ен сейчао толькоелучаАМХI,
нопон.ти.зТоэ.елу*и
•• ет
еол.е широкого иаучения,) Оnределени_ QтлиЧаетСЯOT~~MHOгOдля no•• -ДОМ!fогообраэийCМI:a К••••• толь КО..Т Н. что ДЛ.(П,,:l)-еиJl.М.КСО.ДОП)'ок~..••••••...
*
..
tCKQTOnKR), tд•.... М1.И мi ориентированные n-псеадомноrообразиЯ 6еэ Кр6$1.·пок.ажем,чtос1еg f • 44199, где (-,1.><0, g-FI.х •.. '.8о3I>К8" .с:имплекс611в "2· и рассмотри. все симплексw. отображаlOlIIмеСJl n Н" .негС)• Их р&.зиермостмn иn+ 1• Вели какой-либо (n+ 1)-симплекс 6 •••. отображен н.611,тоо~иовремеино
6"Н·,
та.
хах
aeplllКJoI
ун.го
И«ffеrо
• 00~лИ60симnпекс разкерн()(:'l'И.потображен сtlмnлеltсw
{д"
млиод"нf.
ото6ра*ены ровно Д8е n-Гр6ни
иа.<>дну 60Лl>l1Iе.·чеJ( у иа
таКQО'l'обра.ен"
б", н.
бr..
ЕСЛи"
то прикыаIoщи ••
б-
ка-
11.мну
(ОСТ.ОII(аЯОJf •• ,.ииа
-
D
должна перейти ., одну из вершин·Б на цепочки,
она лежит целиком внутри ~I
либо ведут от
МХС')
к· .ИХ1•
(См.
nepвoro вида рассмотрим два ее п-симплекса,
Возь"ем ориентирующийрепер ИХ! ВТQчке так,
Еспи
и мае' не
Остальные цепочки либо начинаются и кончаю1'СJfна однойи·
.той же компоненте края, цепочки
Поэтому прообраэ 6I'1распад •• тея
в которых чередуются симплексы размермости п+1 и П.
цепочка оказывается замкнутой, интересует.
!.
пер по цепоqке до BToPQro симплекса на крае. последний,вектор БУДеТ смотреть наружу.
pifO. 12.) Длll
лежаЩИеНа Kp~e.
oAHoro 1«113ТиХ СИI«Мекс:оа,
чтобы. последний вектор смотрел .,нутрьМХI.
Если пранести этоtре~ то,
Kfi.
Это значит.
леrко
видет.,
что если ориенти~
ровать эти симплексы соrласованно с ориентацией СОДержащейих. к~noненты
края,
то их степ~ни над 6А будут противоположны.
подсчете· степени f над
БА
29 -
висит-от·вЫборасимплициальной. аппроксимации.
~ 28 -
ЗНаЧИТ,
ДлЯ
31'01'0
ДOCTaT~HO
за-
будучи обе г,оиотопныки
М\ilТИ'1'Ь;чтодве~ИМl1лициальные аппроксимации, и, следовательно, остаданномуотображеНИIO'f, rOMoTOnHbl между собоЙ,
еТС1f~РИК':НН1'ьследующую ..теорему: Теорема... о' си!,плициаЛЬНQЙаnnрокСИМ~ЩИИв относительноМ варианте. 'пуст~данонепрерывноеотображение Hl1lieKI;ITOP~M подконпл~ксек
f:L"'M комплексов, симплициальное
в L.Существует
подразделение L'
комплекса лц Lr:>;"НОСUllleJlЬНО к, (т.е • J{e подразделяющеесимnл.ексыиз К) и т:::: : :: альное с11'ображение g: L' ...• M 1'омотопное f относительно К (т. е. кпри'~~~хtпереJ(с:ДЯТВf(t»,причем для каждой точки х из L образ XnPI4Bc~x tлеJЩ1'насииnлексе в М, содержащем(х). ....• я:сн~,ЧТО.Rа~ем.случае в качествеL мы ДОЛЖНЫ взять М1XI, чее;ТВ8М . :..М2' а в качеС1'ве 1<-(М1ХО)ЩМ1Хl).
в
ка-
ДоказаТеЛЬСТВОэтоЙ теореиыдовольНо кропотливое и мы докажем в об-
они дадут О,
щ.и.иДеТClл~ко~бсоЛ!Отныйее мы1\ы8едемиужкы~аксJ1учайй
в~риант.(т:е.
без подкоиплекса К).
Затем
иза6с:олютноrо варианта, но рассуждением,
которое.JlОжf:iт·6ы'ть~именено воБЩек слу~ае, что будет оставлено в качес::Т$8заАачи•. > ••... ", .. ' в ка",.5: lJ2l<аlliТ§ЛьСивоТеоремыо сИКnЛИЦИМhНОЙ аП[JРQксимации . .ч.ОТ,,8.LIнывозькекКратноебарицеliтрическое подразделение L, повторени~еС1'ОЛЬJ<Ь~~.ЧТ06Ы()6Р~ЗЫ звезд 'вершнн L', отображались в звезДЫ М,III"нм.зтоlюэмо*:но,т.!<;>виутре!{нос:ти звезд вершин М образуют конеЧ"О.ОТ1(РЫТ~I1QКI>.rrие.<~(опреДeJ1яекое
усЛовиями «1>0,
rAe «1 -
барицеtl'tPИ~~скаЯ.1<Офрдииата.связаиная.сt~ОЙ8ершиной комплекса М), а диаметр•• ~itnле!(сови,Сifим",эве:Jдвершикстремятся к нулю при послев оставшемся случае цепочки с концами на противополQжны'коипс)н4I1t.,. тах края МЫполучии аналоrично.
ЧТОорнеНТИРУlOi{poIА репер. ИХ!,
иие!О:Iptй
на ?днои конце послеДl.ИЙвек1'Ор СМОТр1fЩИЙ ВНУТР'" перейдет надруrои конце в репер с последнии вектором СМОТРЯIIИм.иаружу.,Так'хах на двух компонентах J<раянNдуцированыориентаЦиИ Рротнвоnоложногq3Нака (относительно исходной ориентации М). вклад одного знака в степени fи над
БА,
"Ы Получаем. что
9 над БА.
эти -.сималеко...д&дУr
Если отбросить П-СИКlJJiексw
лежащнена концах цеПочек. ведущих от одной кокпреентw кра. к
AOВaT8J1b~~J( бариЦа~тричеСКОКnQдразделени.комnлекса. Фиксируем-rеперьот06рuеине веplllИfI концлекеа L' в вершинЫкомплекса М} вм,ЧТО
8О~ьие" в качес1;ве образа вершиММv в L' одну из таких вершин u ••
llиЭ.даСодержит образ IIВ8ЗДЫv.Это
отображение ерпродол-
о:
. жается. ДО<С:икмнЦtlальноrоот06раж-иия если· (ао ' ••• ,8q ) вершины одноrосиммекса МtI L',тоиерус:то nерееечеН"8 их ЗНIIД (саМ сикnлекс) И 1'а~~и8nус:tос:од.рЩ
•••
rоО6раз
перасечеиие звезд st ер(а1). Тогда
а МИК•• ТСЯ с::иtоtllехс{ер(au) •••• ,tp(8q»И . nPOA~TЬ
.ершииное СООТ88ТСТВИе ермож-
до. еиимиЦкaлl>ноt" •"т06раа8КИЯ,
которое иы и приие.
за.
ней же, то цепочки соеДИNЯIOЩИе pa3HWeI
ooxpaHe~
Эначи'т. иЫ
*"T~ ТО t(x)
f ••deg g. Верненев J
ДЛЯ
,СЛИХ~ТОЧlCа
8f(f\at чтобы доказать. ,Ч1'Она••
Qп~дел~ИИе СТеПеИИне •••
L,
а
лежит. На••••••••
~) ••
KuдoA
(ее. ~.;
"рIlИNW
v на L' f(at
,as.} - см.шп.КQ L',
у)
лежи'"
8
at ср(у).
внутри KOТQporo ОКа ле~
8.n,.at
"al)·~t
g(ao,,:8q)
значltТ,
с(х)
и ч(х)
соединяет
в зток
ремещая
ч(х)
ht (х)~Цч(х)
кежду
по
вернекся двукя
гообразия
зависит
I>ABH()KepH()ne-
{(х),
нак.требуется
отображенияки
М2 на сикПлИциальноа.
на М1ХО и МIХ1 совпадало
т.е.
заменяют
91
hl :Ll"'M2 (i~O и l),rAe подразделенияки Мl XiCOOT.B.
:М1Х[О, 3.J"'M2 СПОКоЩЫОДоказанной
иgl'
гокотопныки
симплициаЛЬ-i
им СИМI1ЛИЦИаЛЬНЫМИ
отображенияки
L1 получаютсякрат~ыми Пр~ зток
таковы,'
ЧТО образ того
построить
каждого
симплекса
симплекса. из MIXi,
симплициаЛhНУЮ гокотопию
ражениями 9 и h (индеКС
К,
в которой
нее кратным Ь.
Для
барицентрическим
юершин l( определнм
отрезок ции :
весь
на d6XI)
построение
ее границе
задано
в симплексе
9 (6).
б
Ф
симплексе
ка*дую границы
и h(vX1).
гомотопии~,
пираииду этой
построенн!>!е
~K, полученная
VXI,
.отображая
м',
внутрь
ч(6);
для
В резУЛ~Тате
, , ..что. двух
de9'.t' •• k.
При, deg9
аппроксимация
степеИЬЮ.Н,ОС1'~ькые~о)Кно OJI. на бll.с
~Э"ОJf~11Леltс() •.
Пусть
ра:tиыКМ ЗНАка"и.
ДокаЗАТЬ
'::.(1'.1(
распрОстна
ПОЛУЧИТСЯ
\
симплексов,.
с ПОСТ:"
ГОIIClТ~ПНИF,получимтребу-
JIID.
отображения
...тождественного
.a·"~НOCTM.,~~.~rSlr
ite,...•.••
неорнентируемо, (для
CIt4~у~
которых
мы
+1~-1).
должны
для лlOбого непрерыв.ного заменить
•• ~It",.ИJC~НО.
·1It8.~.ИИй:~Р." НАПОИН"М,
отображеНИJ1 псев-
что если·одно
,целые ЧИСЛа вычетами
из
них.
по моДулlO
z,
МЫ. "'Ч-.Н,СJC.Г9СЛед~
каждая
сикплексов,
пара
лежаЩИХ
наборы положисимплексов
(Н.помним,
р!11ща 1 или
1) • псевдомногообразия постоянному
не qтягиваеио,
ЧТо,
образ например,
равна
без
ну-
т .• , тождест-
Более'fОГО,
при егогокотonии ••
с
ч!
гомеоморФизма
r.oMoTonHoro
.ot'~АЖеНИ •..•К•.. ГОaiОТО.ПНО ·постоянному.
, ••• 't~>ПС~.АОItИОГоо6разм
в
отображающиеся
1 отобранных
~т06ра*ения
"'flс>л~~а,М.ЧТОnР@ВДOllliогооtWазие
~HH"
которые. f
отображающихся
отобранные из
ciтепеt{ьто*д~с~венного
..•...TaI<xa1C.C'1'eneHI\
,Еl
УТВIIРЖДение доказано.
, что ...степень
Jt~a~'tOK.TaJ(.);<
т.еорему об ОТНОСИТельной (:~мплициальнойaf'JПрохс,,~
8 псеВДОМНОГообразИе.
.только
.•ут.ер*деННSlt::ледует
~.ИИ.ОУ"'~СJ//а.ННО''F.ft.
гомотопиlO между СИМПЛИЦИАльнымиотображеНИЯИИ91 и
ИТАК, мы определили, deg f
положительных
J(J)aJlра.в•••. l,~ОТ.П.Н~~~О6Ра*екия
(СМ,ВЫше) в Полной общности.
донногообразия
q (1)'
•..
9 отобра-
Для каждого
Ч l'
при вычисл.еНИИ степени
6. ,6_ ; ..Останутся·
Положим
оТображающих-
пар.
1'еЛ1t1l"ХСИ~М.I
HlIзtQr",
которые
пары Е.,С,
.•.I
сохраняя
отображаlOщиеся со
по k симплексов,
ОчеВliДИО, .• что
сте-
k и lиеотрицательны.
- одна из таких.
симплексы
их
и для 9,
f
на пары симплексов,
5.,5_
5~П!lозьмем.все
6t 11, •• "~l"'.i.~r~kl
ИflА
{.
симплициальиые,
L та же и для
разбить
разиым ЗНаком,
тождественное
все
время покры-
для DlУТОВСКОГО
...•••.•••.•.••..• '. •••••• K•• C••
гМр}'е-,q.'Н&.о~к~~й)~
~.
гомотопна
- сте-
ИЗ опреде-
равнапроизведению
дпя определенности
пусть
из них
следует
возьме.мсимпл~кс •.БI' в " ивсе симплексы 51n , • , • ,5р п, жает ка 6n '••. ВЫ.берем из них l( скажем, 51n , • , • ,51 n ),
(т. е.
92 . наци
f
отображений
этом триангуляция =.1И
HIЦ оимпл.ксаии
и • Tpe($oBa/IoCb
коип()ненткрая.
ббозначемия,
опредеЛИТЕ:ЛЯ его
Главное
это.пряко
qi"'<degf .' deg g,f:K"'L, 9: L"'M, всеж:озаменим данные отображения.на
(.,с_ .. ,цАстмуJtЬ,
В()ЗЬМаК там ..
затем
т.К,·. симплициальная
пен~й:.~е~ .nPI9~e
знаку
понятия.
отображений.
1'еор,ко. .. степень.кокпозиции
такой
с вершиноЙ'W носнованиеи
клетки.
вН'
из
причеМ.Образ.ле~т клеТ.ки:
пе~"я,
равна
базисах.
L,R()JJO~тельно;остальныераэбliваlOтсяна
Далеедействуемпоиндук-
в
орltентирующих
у~а*еиосновныесвойстваВ8еденного
ОТ06ра~а.'1'как.го,н()тберемизних
М2"'"';
мы имееК ~ЫПУКflуюклетку6ХI
вышесииплициальнойаппро~симациеЙ
вмую симплициальнуlO
ОтОб-
"I';М'
что над .et;o .границеЙ.
отображение
BcerOMXI.
как
и накоторо~сим.пли~иально
на отрезках
в 1<.и предполагаем,
сикплициаль ное отображение
роенной
триаtlrуляция
ее в любую верШинУ симплекс"
симплициальнона
110кажеll,
на· МХО взята .•. триангуляция
Продолжим 3'1'0 отображение
раним
Соединяя
Ф
проведено • Тогда
'W И отобразим
паЖит.
Положик,также
подразделением
сииплициальное
точку
произвопьном
а наМХ1
g(vXO)
междуgl
между такимисимплициальныки
гокотопию
в общий образ
'беРеМ сииnлекс
из Ll в котор6мон
МХ! и пусть
симплициальноg,
гомо.топ"и
барицент-
.•• hl OCTI.\aTC$Iв оБРl.\зе при. ото.б-
МЫ можем оп~стить).
Возьмем прямоеПРОИЗЕедение
nceBAqMHO-
оtображениеF'
мы кожем получить"
катрИЦIliВ
-
.•••линейногоот06ражеНl1Я
П@Ю'.9пин~кова.у.гокотопных
Ч2 одн6го
рическими
раженииgl
беря
э,аменить ГОМОТОПИID
glИ
бы счо
аппроксикации
которые
отрезок,который
от х.и,
в
~'iCTeneHb
требуемую, rом()топиlO ht.
к нашей ситуации.
синпЛtщиальныки
гокотопии,
из М.
отрезку
мы получик
теоремы о сикплициальной ные
сикплексе
непрерывно
зтоку,
М1 в другое
которое
в однок
сикплексе,
)+(l-t)f(x),
Теперь F
лежат
-31
30 -
P••. (oTI
ICК"ТС •• nOIlHaJl· ГОМОtОDИЧ§СХ1Д8 804tбll;РеЭУЛltтат ~.K ••
такой
же.
как
клagсиФика-
для окружности.,
- зз иметь разный знак.
В частности,
ДQполнениек сумме всех симплексов 51
переводитсяв южныйполюс Z. Возьмем какую-нибудь пару 0~n,5_n и по (П-1)-грани
Теорема. Множество л-Сферы в
себя
'. об' ' .. ; '.. ' ... 0'1' ражений находится 80 взаимно однозиачном соответствии с
и O_n-I В каждом из этих симплексов, которые отображаются на одну грань бn-I в бn• ЕСЛИ' гомотопно "придвинуть" 0_n К O~n так, чтобы совпали точки ~тих гранеЙ, переходящие в одну иту же точку бn-1, то симплексы займут
жестаом целых чисел. Соответствие задается (::тепеньюото~ражения.·
симметричное положение относительно общей грани,
отображаются 'На бn с разными знаками.
ОДНачасть этой теоремы уже доказана. Нужно показать,' что если пени равны, то отображения гомотопны И что существуют О'l'ображения любой степенью. Мы покажем, ЧТО кажДоеотображеtiие сферыв себя
так,
быть лрогомотопировано в отображение некоторого канониЧеского' которое может быть построено для каждой степени . n "... ' .' " ' ..•. РаСС.IОТРИМ на S снстему меридианов, ведущих из.сеsеРНОГОПОЛDсаN
жению
Uol,
06щyQ
граНЬ o_n-l ~
заключенного
в D~,
раВ1fомернорасТягивает навесь
сжимает все южное полушарие в точку Z.Возьмемдля
Ikl
построить
чтобы остаЛЬН1,IIесимплеКС!>l 01 оставались неподвижнымии дополнение
.
меридиан и
заданного k
поскольку ОНИ
эту гомотопию легко
-,
-
ко6ЪеДинению этих симплексов переходило в дополн~ните к новому
в южныйполос Z. paCCMOTP~M каноничеСКУЮГО~ОТОПИQ·$~:Sn~Sn, .пере"ОДJl~ щую северное полушарие D~ на всю сферу, которая половину каждогокери,: диана,
5~n-l
в. sn
поло-
кроме последнего момента, когда часть дополнения сожмется в Еслиобоз~ачить
построенную гомотопию
Ut
(детали
з~ого построения оставляются в качестве упражнения), то мы можемзамеНить е1 На отображ.ниеУ, равное еl вне <>_nи равное еlиl-1 на 5_n Онс>отличаетс:и от 81 тем, что пара O~n,o_n (мы сохраняем за ними то же ОбознаЧение) становится симметричной относительно общей грани, симметричныеточки отображаlOТСЯ в одну точку в бn.
причем
попарно не пересекающихсядисков D~nc естественнымиотобраJl(ен~ями
Ь1 на D~, полученнымиКОМПОЭИЦиямисфернческих растяжений,6трlU<ений и
изометрий; deg ы1 равна 1 или -.1 Для вcexiJ:' эаВИСИМОСТИотзнака)<. Каноническое отображение pk :Sn:-Sn определим 110 част ям:'На Днске D l равно КОМПОЗИЦИИ 81ы1' а все дополнение кобъединениlO эти)!: дисков реводитв точкуz . Очевидно, deg Pk" k. пусть теперь дано непрерывное отображециеg:sn:-sn, взять симплициал~ным. Пусть степень 9. равна k, для пусть k~O. Возьмеи симплекс 6~триангуJiяции обраэа, . '.. держит N внутри себя. Пусть р: 5n"'5n .гомеоморФизк, .. КО'tОрыйна
Рис.Н.
меридиане неПОДВИЖен в КОНцах, точку ..пересечения e~o с грацицей реводит в пересечение с экватором н линеен на двух дополнительных резках. В частности, р(бn ).ф~. Очевидно, ргомот~пEiнтождеству чит, рчгокотопно
Ч.
,
'
теперь npoизвольиый отрезок Ia [~ , а_] ортогонал:,ный ЭТОЙ
с
..
св на 6 св
ПОЛо-ительно,
остальныераз()бье~напары
с разными знаками.Закетим,
rдe z
6k,ОТОБР• .шцих-"
б~,6..,
61'
I'.ТQЧКУ
на 1'.
y(~).
отображая его На I '.[a~ ,Ь),
а.",
Ко.", линейно ГОКОТОПНО ото6ражениlOвсего отрезка
5еря КОИПО31ЩИ1D 3тОЙ гокотопии,
Проведенной одновре-
1I.И~М~8С:.Х.та1<ИХ OTpe3~QB, и отображения У, .. мы получим гокотопИlO/ которая переводит отображениеv в отОбражение, КОТОР9еотличается от, V
отображается на дополнение k бn, Рассмотрим ГОJlот()пиюе~.8~Р9.()иаП8: реаодит pg в отображение е1, которое устроено >К&К каноническое'"ос темотлич",.м, что на P
склаДlolвает01'pe!)oKI пополам,
CQlU1aДaeTCV
ОТОбра*~"lI\иХ'"
чтодополн.н~.ко6ъединеНИЮ8Сех
(ск.рис.
Отображеиие v на этом отрозке МОЖНО представить КОМПОЗИЦией WZ,
Возьмек все .П~СИМ11Лексы ..61..•... 6q., . которые gОТОбражает.н~бni(в образе и прообразе рассматриваlOтся,·вообl1lеговоря,разныетриангуп.яЦИи Сферы)•nВыберемиз этих симплексов k, с:кааем, 61' .:.,
концами на ~раиицаХ o~n,5_n н с сереДИНОЙ Ь на O~n-l
.
Т8",:что
О'1'06р.жаетнаIllУ пару n-СИJlплеКСО8а точку
пос:тpQ4ablиедля80еХ таки:к пар,
Z.
Повторяя
iS'fO
. мы привеДек наша о·.('о6ра.ение к канокИ-
-
34
-
ческому виду.
- 35-
ЗадаЧа. ЛОКазать,
что Дlilа каноничеСf<ИХотображения одной
отличающиеся наборами ДИСКОВ,гомотопны. ~. Sk гомотопически не .эквивалентн8, sП,если Указание. ЕсЛи Х гомотопичеСf<ИЭКВИ$алентноУ,
nвны)~
в точкехи 060эначимciеgхf, 'l'оЧнее,.ciеgхfестЬ·dеgх9" '. ГДеЧ симплициально на окрестности U{f-1 ви и.·rOMOTQnHO· f при гомотопииht таl<ОЙ, что ДЛЯ всех х из
k;.
топичеСКИХl<лассов [Z,X] и [Z,Y) для любого пространства Z находятся естественном ВЗаИМНОоднозначном соответст~ии, сравните [Sk,Sk] [Sk ,sn J, k
в и
типа,
что
И
сфера.
x} .
.
U1имеен : С 1ht ( х)лежитв. U. Заметим; "Tode9'xf не изменится, если заменить IJ на меньшуюокрестRостьполиоrопрообраза точки х при отображении [. ... чтобы ни н~тся, ..если По.цвергиуть·[. ~омотопии так,
U неripоходил через х ... ~.Еслидве точки мо*но соедИНИТЬДУГОЙ, полный прообраз КОТО.... п· f в этих точках равны, роАлежит: a'U,To ЛОl<альные.сте ени I
В конце прошлого века А.Луанкаре степеиьот06ражеиus
выдвинул гипотезу, что ~peXMepHoe многооБРазие с ТОЙЖе фундаментальной груrтой, как у сферы, т, е.тривиапьн.оЙ,гонеоМОрфНо сфере. (В :этон случае гомотопический тип определяется гипотеза
до
сих
пор не доказана.
Она таl<же не измеодин момент образ
в
гJ)аНИЦl>l
ЗамечанШL.2..-гипотезе Луанкаре .. ХотясфеРbl разного ..гомотопичеС!(QГО типа негомеоморфны, это не значит, что неТДРУГt\ХННОГ096разий того Ц гомотопического
.1
фундаментальной группой.)
псеа.цоииогОо6раз~ с краем
Эта
Из сказанного
Для двумерных нногоо6разий топько
домиогоо6разиАс
сфера имеет .т}:Iивиальнуn фундаментмьнуlOГРУППУ. Для размерностей больше трех соответствующее утверждение оказало<;:ь верным: много06р~зие pa~MepHOCTH большетре~ rокотопичес~ого !;!Ь!гомеонорФно (даже pl-гgмеоnoрФно) ей.
1ИПа gФе-
сл.едует, ЧТО степень определена для ото6ражений псевкраек f:L"'M,
если рассматривать ее для точек,
полный
I1ро60раз ХОТ9рыхлежитс't'рого внутриL. Еспидано отображение, которое . . Й к.р.аЙ,.. и е·<:л.и ...края. такж.е являются псевдонногообразияпере:SO.ци1'к"" в МИ, ТОilмее'1'С.Я,во,.перВЫХ, стеnенЬ.отоCSражениянад внутренностью (ло1tаЛы'-е степени над ТОЧКАНИвнутреliНQСТИравны) и, кроме того,
степень
о~еllия.·над~ажit.С)Й .КОМI10неliТОЙ ·.·края• ПОk",ЗltТI> •.. ЧТО· степень отображения над ВНу't'реииостыо p~BHa
..шш ..
Вернемся венства
к
нашену определеннlOстепени,
точнее, к доказательству
ра-
степени ГОНОТОПНЫХ'отображениЙ. ДлЯ:ЭТ()ГQдоказат:ельства су-
щественнын было рассмотрение точек лиwьв QкреСТНОСтИПОЛНОГО "ро06раза ОДНОЙточки из обр~за. Действйтельно, сначаДамы бj)али симплиЦИanь.,. НУЮ
аппроксинацию отобра)f!ения~ а эаtемпрообраз
аппроксимация
одногосимплеl<са;
Если
береТСЯО'I'иоснтельио д()статочномеЛl<ОЙ триангуляции,
симплекс содержит даниую ТОЧl<уliнутрисе6я,
а
то его.полНЫЙ прообраэде-
жит в заданной окрестности полного прообразаТQЧКИ.
Это оrнос:ится и к
cWепеии отображения над каждоЙ J(Оjш~нентой края, ~''''rаЦиtsXJCeздок"огооcsразия.иегокрlЦI ее. (8I(аст"ости~еCJЩrtРО06разиеМilе.'1'
МН1iО'1'~раже~кя разиа нуЛlO') .... ..'~'.-Н80ущеСТIIУ.f р.тра1<ции.пс.вдомноrо6разия (Э'tOoOQбщ.ИИ.1'~~.ИJolОJlе~'fPaгируеио<;:тикУбана
m'•.•. Мз пре.цъUcУщеАзuа.ЧИ,.1(онечно,
ЧТОны но*ен
отображения и ••хгонQтолии псевдомногообраэиЙ.
ПОВ10риrь·· наши .раосуждения,
когда
эада~ы на областях (О1'l<рытыхподмножествах)
пусть х
область другогопсездониогообразия 1'OA.>lj(e размернос1'И и ТОЧl<а в V npиченt-1х KQMnaKTHO.Степень ()ТОбр~ж.ния [,
поДсчитаннуlO так,
:азеДIiIКпок"ти.
JlОI
доказwвanась :эта теорема.)
раQЛиI(ИWКИ топологически инаарнаиткыми спооо6ами, льгИЧ8СККХ npocтpaHaт•• з~кну~"и
огран~чеин~ 1)1'М определения
которые оказываются
н. СО8падаютДЛЯ ДQст:ато'lНОcпOlККыX1'опо-
однако для такого
xatc .itOJl~Ч80мерrllolе lSo~naKfW( . paHC~')
край,
l'а••• р*«оО1'. DРКIРU9СIИ. этр поиятие кожет быть ваеДено
логи ••~сtcМ Н.завИСИМЫХИ,т•••
опредепение, Пусть зацаноотобраJlCениеf :U~V области одного псе~щ()И'; ного06разияв
Вна'lМ.
с l<paeK на
его кра.Й пряко сле-
оно коже1. быть доказано. и непос-
ре#отseннот.и.ераСс:~ениен,которым
определениостепени и 1<ДОl<азаrельс:твуравенства степени при. ности отобраJi(ениЙ. Оrl::юдаследует,
ес.!!и согласование
одиНаКОВОзобразе и прообракрая, а образ икеет, тосте-
310
,ажного хлаоса npoС1'рансти
8·'1'QtfИОС'fИnpoqTpAHCT:aa гоиеоморфные
.поДJtКОж.с"в&м 1C0m-ечионернwX аФФИllНIoIХ ПРОСТ-. JQ р41r.ультат .• мы ограЮI"lИИС'
ДlUOт одии И ТОТ
случаем 'l'аХИХ,подмножеСТ8аффИнншtпростраио't& и рАссмотрим тОЛ.КО од-
-36но определение,
лринадлежащее Лебегу
(автору
интеграла
Лебега).
Если'мелкостьпокрытия
Qпределение. пусть Х - компактное подмножество аффИННого пространсn тва R • Его разnерностью по Ле6вгу dim Х назовем наименьшее целое чис-
I:2t!,
ло
угоё?Но~4Л1JЙ
d такое,
покрытие
Задача.
открытое
напоминают
покрытие
Х можно вписать
конечное
п~комплекса
по Лебегу
отображением
в'У,
звездами
о кирпичной
то dim Х его
укладке,
<
dimY.
вершин имеет
п-полиэдра
не больше. n.
см.рис.14.
пространства
важную характеризацию
вытекает,
wrеется
d+1.
Если Х содержится
размерность
выше
во всякое
кратности
Покрытие чит,
что
т.е.каждая
е
n+1.
Rn обычно
случае
покрытия,
Зна-
ПОСТРоеННЫМ·
чтобы доказать
х
на полиэдр
угодно
ШИНд~таТQЧНО иечное'
угодно ли
х
р4вна
нал:wй сдвигХ
k,
k.
раэнерности
f является
~1Ш!i:.
не большее 2&.
Отсюда
mo существует
С/(ОЛЬ
nокажем обратное:
наполиэдРР4знерности
k,
если
mo ле6е-
Х не больше k. рассмотреть
мелкОЙ триангуляции
:К,
покры;ие
на весь
то отображение на расстояние,
раэнерность
ДеЙ~Т8ИТ.ЛЬНО, достаточно
р&экерности
компакта.
сдвигается
лебегОВ4
сдfjиг
гое4 pa3HepH~ть кратность
воспользуемся
в нерв его
размерности
ЧТО если
сколь
меньше Е,
точка
кратность'
'.полиэдра
(она,
с другой
полиэдр). мелКИМ, Т.е.
достаточно,
прообразы
открытых
такОГО полиэдра.
которого
не более
звезд
вер-
они образуют
ко-
чем на единицу
возможно,
.меньше, если отображение
стороны,
это
вписанным
покрытие
8 любое наперед
M~Ы 8еличинасдвига
MO>l\HO
заданное
и келкость
больше идет
сделать
покрытие
триангуляции
не
сколь Х,
ес-
полиэдра.
(Проверьте;JтО.утверждение.) , ЭТо рас~ждениеп.с.Апександрова,(начало У3РQВСКОЙтеории ности
стеt1енипозволяет
20-х
доказать
годов)
основные
с помощью Бра-
теоремы о размер-
Rn И инвариаНТНQ~ТИ области. РаэиеРИОCl'1'ЬRn уже'энаем,
Рис.14.
"Кирпичная
укладка".
размерность
сдвиг
9
тогда' пусть этого
Х
покрытия,
качеств~
Rn,
компактв
реализованный
вершины К,
(и1)
- его
"вблизи
открытое
Х".
отвечающей множеству
и1,
покрытие
и К - нерв
Последнее означает, берется точкаRn,
что
в
лежащая
в и1. Симплексы К могут пересекаться .~ Rn не по общей грани, но их объединение будет, очевидно, полиэдром, размерНОСТЬКQТОРОГО (линейная)
меньше кратности
Полный про06раз как
описано
выше,
каждой лежит
элементов
покрытия.
прообраза
не больше,
его
покрытия точки (если
К при отображении не пуст)
Отсюда следует,
(:X~K,
в пересечении
инеется
точек
м~ая
гонотопня
зтогокуаа,
которая
открытогоr.лотного
Мекьше.
n
что диаметр.каждого
чем максимальный
если точка
что
ht(X).(l~t)X+tg(x)
она меньше n.
тождественного
"снимает",Qбраз
Множества,
.Т.К.
с некоТОРЫХ точек аффинный полиэдр
в Rn).
не может покрытьобласти.
диаметр
nOCTpQeHROM,
такого
полного
Э.l1ементов покрыткя(т
•••
из К
лежит
в
пересечении
нескольких
то нужно взят.ь несколько таких пересечений . Чтобы не воH дО с оценками, мы можем расширить ИС~ОДНQе простраНСТ80 пространства RN+m столь высокойраэмерности,' что приводяК в нем малым.
.R
зиться
вершин в общее положение , мы уб••~рем его
самопересечения.)
об
"еорема ВСАtI lJ lJ
-
В таком
Тог-
случае
01'06(даже с
размерности
степень
тож-
nil!k.
~р8аИ'1'ИОС'1'8
на noCltHo.'«8C1I8QУатfl.1IO Ныно.ек
кая сТеПеНь
зтON
ме
v таце
предположить,
тоЧКИ дополнения
но.lIOCтроить
а· ТfI
Olll1tpAlll108 nOBJfHo.eCIIIBO
'1'очitаКМV совпадiulТ. деле,
Допустим,
Д8стаеиноtоото6ражеНИSlне 1, а О! 1u.A.!IA. Rn и Rk ие гоиеоморфны ,если
соответству~щих
симплексов,
сдвигом
п-куб.
,раuния
она не большеп.
куба меньше n. Значит, существует сколь YГOДH~ малЫЙ в Rn на полиэдр размерности (линейной) меньше п. Но
на 1.
мелкость). (Насамои
"11'0
да И
f
ах
К
Т.е.
куль.
иеи.е'1'ото6ра*ения
06..&0'1'8
r -
отl<РЫJ/Ю
20неОНОрфН08
отображение
а тfI.
U И, VС8ЯЭНЫ. Тогда
всли. J(aK Угодно
У,
rоиотопиlO •.
ТИ ЭТОЙ ТОЧ1(И.
что
и
степени
БЛИЭКQ от ТОЧКИ х И3
ТОЧКИ, не принадлежащие образу,
TorAa
ока
ко,ор&я
нуль 8 каждой точкеV. "сиииает"
Над дополиениеик
f над всеки V
имеются
то лок~.-
Тогда
803НО*-
06р&э с ЛlDбоА точки
V и при
лобой
заданной
окреСТНОС-
39 -
в-
тором Вс:е.пРеобрд.зованмЯкоординат имеют степень 1.
- 38 -
этом случае для
ВОзьмем"кубильяж" аП, Т.е. Пр08едем для каждой КООРДинатнойплоскости все параллельные ей плоскости, отстоящие от нее на цеЛОЧМСЛенное кратное некоторого заДанного числа d. Мы получиираЗбиение аП на кубы'
любой связной карты ее преобразования ~ООрДИНатс картами
01 со стороной d.
ности карт iзанкнутыеЦепочки
Лрогомотопируем f над каждым такик кубом,
его над прообразами ПР08еденныхплоскостей,
так,
не меняя
что внутри
каждого
щего
атдаса,
oAHOrO ЗНака
В частности, 'невозможны дезориентирующие
ПреобраЗ08ания равна
где St - деформацияRn'UtXl' которая в каждом кубе OtpaBHOMepHO"еремещает точки по радиусам из хl на границу куба. В результата мы полу-
Связное
Е-сдвиг
V на полиэдр размерности менЬшеп,
Qрцентациейнногоо6раэия
кроне оДНОЙпары ДЛ$! которой
наЗЫ8аеТС$! выбор
меньше
т.орека жордаиа-Врауэра орему.,Жордаиа•
теорема Жордана (топологический
верждения (тополоrический.обраЗ,О'l'резка разбиаает
Теоремы о размерности аП и инвариантности области ДаЮТ ВОЗМожность построить топологически инвариантные ПОНятияМНОГОобразия,края многообразия, ориентируемости.
требуют
мости Точек).
ТОПОЛОГическоепространство, гомеоморфную области в аП
еще наличие счетной базы открЫтых множеств н ОТДели-
ЭТО.определеиие ПОЛУЧает тОПОЛОГический смысл только
после доказательства ти не гомеоморфны.
того,
что аФФинныепростраНСТ8аРllЗНОЙразмернос-
МногООбразиен с I<раеlfраэнерности
п наЗЫ8аеТСRпростраНСТ80, каЖДая
точка которого
имеет окрестность гомеоморфную открытому подмножеСТ8У замкнутого полупростраНСТ8а аП+, его крайес:'I'Ь Подииожество точек, не имеющихокрестности гомеоморфнойоблаСТИ'ВRD• Это определение ираэделение
точек на внутренние и тоЧки кра" имеет сиысл
каЗАтельстВа теоремwоб инвариантности облас:ти. гомеоморфноRn•
только
~'частности,
после доцn+
не
Атласок многообразия Называе'l'СЯеГо покрытие ОТКРЫТЫМИ ПоДнножес:т~ ванн,
для каждого из kОТОРЫХФиКснрованtомеоморФизм на область BRn n или R+ • Эти гомеморфизмыназыааю'l'СRкар •• ии а~ласа, или АокаЛЬНWlfи сис_иами
координат.
Для даух карт, возникает гомео"орфизм ·между двуня
образами их общей части; 'зтОт локальных координат.
rОМенорфизlCиаЗ"ваеТСR nре06раЭО$аниен
Многообразие называется opиeH.иp1~1f~ ••
ориентирующеrо атласа.
ЕщеQдиа'l'80реМа Брауэра обобщает на п~нерный случай знаменитую теnЛОС1<ОСТИ разбивает ее на две связныеобдасти)
СА.детв ••.
(обычно
степень
Несвязное, многообразие ииеет две (или ни одной) ориентации. из ориентируемых коипонент, имеет 2k ориентаций.
лебеГоВа
V гомеоиорфно U , которое
содержит п-мерный шар, который имел бы тогда тоже размерность п, что ПрОТИ80речитдоказанному 8ыше.
МногообразиеН ра3Nерностипназывается каждая точка которого икеет окрестность,
последователь-
8 которых 8се соседи имеют преоб-
причем (мОЖно ВЗЯТЬ
СКОЛЬугодно малым, если выбрать достаточно малымd.Значит, размерность v меньше п, что не80ЗМОЖНО, т.к.
карт,
разО8ание координат степени 1
куба О1 появится точка х! не покрытая образомU. Сохраняя обозначение f для прогомотопированного отображения, подвергнем его гомоТопин Stf,
чим
ориентирую-
с которыми ОНа имеет непустое пересечение имеют степень
если оио имеет а'l'лас,
в
ко-
ее
не
ЛО1<цьноа неконцевых 'I'очках,
образ
разбивает
осноаой тополоrИческоrоанализа
в
плоскости,
но
замыкания дополнительных
областей К образу окружности гомеоморфныдиску и др.) дикой
окружности
и сопутствующие ей ут-
является
н~обхо-
Д8умерных многообразий.
Напри-
кер, , .9Tporoe определение ЧИCJIаС8ЯЗНОСТИОСН08анО на
Использова.нии
этих резуЛьтатов. Перенесениетеоремы $ордана На п~мерныЙ случай
было осущеСТ8лено
врауэрен, КОТОРЫЙдокаэa.tl,что тополоrический образ (П-l)-мерной сферы В.RD,(ИnИ8Sn) разбиаает ее иа две связные области, общей границей ,хоторых он яаляется. '.' с другнМи УТ8ерждениямидело обстоит существенно ОЛО*не•• Замкнутые дополнительные области не обязаны быть гомеокорФиы n-~ер1tоиушару ••'.,СООтsетствующиевложения называются дижини. (см. рис. 15.) вложеНИебудетру'lНJUf, Т.е. области будут rомеоморфнышару, если , о••Ибудут jQt'l'ЬДО
лоt<4I1ЬНО'
1tАосItЩfи,
т •••
rомеоморфизм аложения можно продод-
rоиеОМОрфиЗМА окрестностей Для
(теорекаВРАуна)
каждой точки (n-1)-меРIiОЙ сферы
- 40 -
peTpaKТW(служащие ретрактами лlO:-' бых "ространст.,
в которые они могут быть вложены).
Например, к этим
простраНСТ8амотносится отрезок и вообще любой куб и любой стягиваемы.Аполиздр.'(СМ., например, "Теорию ретрактов" Борсука) • Вторая половина ретракции, котрая будет построена, именно,
расп-
ростраиеиие ее, иа, (n-1)~мерный полиздр связана с другим свойством сфе"("-2) -.с8язностыо'
ры '" ••
.
Под o-связностыо
Т.е.возможность РиС.15.
. Иначезто
Оростейшее
(пара
в рl-категории дера 20-Х годов:
для рl~зложений s2 в 53 известен р~зультат
АпеКсан-
заиыкаНИЯДополнительныхобластей Рl-гомеоморфныку-
бу. в "-мерном случае обобщение этого Pl -вложения 5n -1 в 5n рl-гомеоморфными п-кубу •.
результат~ HeBepHO~' ИмеlOТСЯ области которых
План нашего док~зательства теоремы Жордана-Брауэрабудет сле~уIOЩИЙ. Пусть q - гомеоморфноевложение стандартнойсфеРЫ5n-1 .; края шара вВ '.,
.
- в эвклидово пространство а. Это зложениелегко распространяется до . непрерывного отображенияВn; Каждыйрадиус линеflноотображается врадиус-вектор
образа своего конца на. Сфере. Пре,ttполагая,что теорема неверна и образ сферыне раЗбиваеТRn, мы Прогомотonируемпродолж~нное отображение q(сохраняя тоже обозначение эа продолжением) в' таКОе ото~:~жение, q(S ) плlOС
которое ,переводит образ шара в некоторуlO окрестность' ("-l)-мерный полиэдр вне зт.ойокрестностИ. (Этот потtэдр
будет частыо ("-1) -мерного остова ку.бильяжа пространства. ) Затем.мы Покажем, что взятая ок-рестность q (5n -1 ) ретрагируется Hziq(Sn -1)и ,.эта ретракция продолжается на вееь продеформироваННЫЙОбраЗlllара;ЕСЛитеперь взять композицию q, Деформации, ретракции И q",1,TO, . Самоесущественное в этом плане доказательства построение ретракции' ныА ПОЛИ3ДР· Перво. означает, . что сФера ОТносится к ранств,
на ("-l)-иер'классу
'I1РОСТ-
которые назыВаlOТСЯ а6СО.4IDТИlDПlохреСТИОСТJ(1DПI ретра~Т._.l1ри
ЛlOбоиее гомеоморфномзложении.в произвольное~ространство окрестность
нек~торая
образа будет иметь реТ.ракцИJO на 31'01'образ •.', Теория таких
пространств играеТ8ажиуlO роль в топологИи.
Кклассу
ЛlOбоеотображение )-сферы
06о6щениемзтого свойства являетсяпонятие
Непосредственным
k-связности:
любое отобра-
жеNие k-сферы'продолжается до отображения (k+1)-wapa. 'Сфераразмернос-
ти "-1 k-связнадля
Мыувидим в нашемдоказатель-
8сех k от ()AOn-2.
,C~BeCTaHдapTHoe.использование зтогосвойства для индуктивного продолженияяоостоваМДанного отображения в сферу. свойства Сферы.
'l8Oрева.' Сферазn-1 k-С8язна яри ":1<К<"-1. ДОКаsаТ".ОТ80.ЗозЬмем оТображения q к-сферы, Как rр~~иц симплексов).
любуюсимплициальнуюаппроксимаЦИIO данного
используя л»бые триангуляции
сфер
(например,
Эта аппроксимация r гомотопна данному отобра-
Ж-Кi(IO, Что позволяет продолжить его до отображения h прямого произзеА.IUI~,Ic-сФерына отрезок(h
совпаДает с q и r на нижнем и верхнем слое
npoиз•• деииясоответственно).·
Имеется точка,
r.
~OTO~
не покрыта от06РАЖением
~оАVи
отоб~зик
ОТр.зок KOHY~
ГДек
каждый
- точка \с-сферы, на отрезок меридиана от
(очеаидио,иепреРWВНЫк06раэок)
АrctuIН
IOжныйполюс,
v в северныА ПОЛlOс •. За1'емлинейно отобразим
[V,И],
полос. до образа х.
~""ИOl'Q
например,
Возьмем конус над k"'сферой с верши",
Это позволяет ~родолжить отображение r ДО'отображения конуса.
Значит, мы 1'10-
itепрерыаиое nРОДOЛJItCiaииеот06ражеиия ЧДО отображения объедине-
тur.nрЯNОГО. nроизвед4iН,ИЯ k-сферына отреЗОI<с коиусом над его верхним
ретракциlOшарана его краА, что, как мы ЗНаем.,невозможно. окрестности образа .СферыНа этот образ и продолжение ее
можно сказать так:
продолжается до отображения отрезка.
Сна.чалаПрИ8е~еМиехитроедоказательствозтого
Займемся доказательством теоремы Жордана - Брауэра;
n
точек)
мы. понимаем линейную
сое,ttинить любыедве точки в данном ПРОСТ-
ANR (i!lбсолютнык;
окресткостных peTpa~T08) ОтнОсятCJIвсе конечные.Полиэдры. О~ОБО.;Jиа~
САОе.~~1'ОQf$,..единен~еГомеоморфно(~+l)-шару,
цтолегУ.о установит чи.••
"• ...ель. теперь.мы. можем.. переЙТИХJSыnолнеНИlOиашегоплана Доказательства 'NOp8~.ордаи.а-sрауэраi ",1.
Ауотъ даИОSД()Jr8нuеq ('1'••• гоиеоморфноеотображен"е
'~~"'1a
nPOcтpaHCTao~;.
TO\itXy:V .а
R"и
".~aox ,
-'
A~C:T.O.
о
•
Ото6раэимцентро
Линейно О'r06"ЗИИkЦДЫАРЦМУci
IIIlфа с концом
[v#qх].Мы nOЛУЧИмnpoдOli8еиие q до отобра*ения СохраNмиэа 31'и. nродоломием 060значение q. -'
_.
'
-
••
_
на образ>
П-шара а nРОИЗI>ОЛЬНУ(l х на сф.~
k-lIара!':,' \
"\:,;'
;}!",
'i~:,~!
::'~/
-
,~' 42
;этой
Z. Возьмем достаточно мелкий кубильяж ,ение его ,на равнЫе кубы плоскостями, координатной оси равен d,
Проведеннымиортогокально каждой
через равныепр?межутки.
его величину МЫуточним позже.
Пустьдиа~етр Возьмем точку
101,
каждого куба не покрытуlO
образом. Используем теперь допущение, что образ Сферыне разбивает пространства. Внутри каждого куба возьмем по точке А1,нележащей на образе сферы (что возможно, меньше n и, значит, ти области).
в силу того,
что разкерност~зтого
он Нигде не ПЛОТеНв силу теоремы об инвариантнос-
Так как дополнение к сфере С:Ii\ЯЗНОИ 9ТКРЫТО,ОНОлинейн,О
связно (как должно быть известно читателю) ~,значит. в
этом
Q6раза
которая Лежит
в кубе "е-
ресекаюшемся с образом ,шара. Можно провести ,эти ЛОманые,так, 'чтQ6ы они в сумме составляли дерево. зуя
(При n больwекдвух
кож}{о считат~,и~по.l!Ь~
калые сдвиги в общее I1Qложе}{ие,чтозтилоканые
гой.)
Теперь мы кожем сдвинуть 06pa~ шара вдоль зтого, дерева так, что-
полиэдра.
Обозначим этот
т.е • совокупность гра.неЙ кубоВ кубильяжа, которые' пересекают
4., Теперь проверин
D
нашем частном случае,
что сфера язляется ок:-
рестностнымретрак1'ОН пространства .ttn • Рассм~тримбесконечнуlO триангуляцию дополнения к образу сферы в прос:траRс-rве;диаметрысимплексов котор~й стренятся к нулю при приближении
к образу сферы.
Она строится так.
сферы счетное иножесiво точек, служит сан образ сферы, рихле,:",т:е.
для
Возьмек в дополнении :е Rn к
предельным множеством которого
и построим для
этой системы точек области ДиRn, которые лежат от
каждой ТОЧКИ!Jозьмемвсе точки
нее недальше,чемоткакоЙ"нибудь
другой точки того же множества. Хо-
JIOШQиэаестно (ЧИ'1'атель'долженсукет!> проверить что ;этиобластиобра"уют
пересекаIOТСЯТОЦ.'-
ко в общемКОНЦе101, а при n'"2 проще в случае,еслизтило~аныепересе_ каются, закенить часть однойизних до точки пересечения на час'1'ЬДру-
,..
(П-l)-мернОГо
ДОПOliнениек d-о-крестности образа сферы и в то же время пересекают образ шаfJа;че~(lР •.
ЛlOбыедве точки
дополнении могут быть соединены в нем конечнозвенной ломаной.
Соединим такой .Ломаной 101 с кажДОЙ,точкой а.l'
полиэдр"
43
сферы инекоторого
к
"ятся,
нулю
кокплсксвыпуклых
это
самостоятельно),
клеток.
диаметры их стре-
ПРI1приближении к сфере. Добааляяпри
необходимости новые
ТQЧКИ, леГkо ПОЛУЧИТЬ,что зти Клетки не будут пересекать образа Сферы.
С ПОМОЩЬ1ОКОНИЧ8СКОЙКОНСТРУКЦИИ ПРИМ8не}{ноЙ к хлеткам послеДова-
бы оно не пересекалось с новым образом шара; (Для:)того НУЖНО взять' окрестность дерева, гомеокорфную п-шару и достаточно' тесную, т.е. сдвигающуюся на него малык СДвИгом и не пересекаlOщуюобраэ Используя гомеоморфизмэтой окрестности сшарои построить ее
''1'-ЛЬКО80зрастаlOщей раз~ерности'МЫПОЛУЧИМтриангуляцию,
физм на границе,
,
себя, который придвинет пересечение ее с оБРазом шара к ее "освободив" ОТ этого пересечения дерево, Детали могут быть
оставлены ЧИТателю. окрестность ДОJlЖнабыть}{астолько тесной, ~ересекаться с образом сферы н проходить По тем. Же.кубам.
чтобы не
по, "оторым
роходит C~MOдерево.) Мы получаем после построенной деформацииноаое отображение Шара, которое по-прежнему будем обозначатьq, которое совпадает с дан,НЫКало.ением на, граничнойсфере, и ,для, ку60'в н'. ' " ' .,',' • лежащих а d-окрестности образа сферы•. кесодеРЖI1Т точехаi • Теперь а Каждом кубе хУбилья~а, который пересехается с НОВЫМ образом отображе}{ия q шара, проведем операция "аыметания": проехтируя' 3.
из точки а1'
сдвинеи все точки обра~а Ч,
попаВшие в этот" куб на
е-ГО
IIYD Э,ОТКОИПl18ХС,симплексы МИТ\>СЯХнул~при
точек,
если ,О.НИ каходятсяна
ClIWCIieнетрикипростраистаа
Rn),
ч·
По-прежнему сохраняем за новым отображением обозна-
Оно отобраJltает l8ap ТаК,
исходным 8Ложением,
него
что.награничной
сфере совпадает с,
образ лежит а объединенин d-окр-'стн~сти
015-
обычной сферы. расстоянии,
же
двумя
В частности,
на не••
ме}{ьшек HElKOTOpOro с>о (а
Теперь сдвинем каждую Берщину постро-
еЙКОЙтриаНГУl1ЯЦИИВодну из.ближаЙIIIИХТQчекqsП-l СКJlllлеJ(са••
о~ьмеилНнейноеотоБРaJIеииме его на
•
Для ПрОИЗ:З0ЛЬНОГО
8ЫПУКЛУЮ
оболочку 015-
р'эов.ершинs.("выпуклая 060лочка" опер.деляется как обычно, с замеН()йотреЭК0'8'н,"дуги большнх кругов. Она определе}{аОДНОЗНii\ЧНО,если .• еpiltииЫДОС'l'&ТОЧИО6лИЭJ<И и ас. расстояния меньше диаметра сферы.) Яс110, , ~OHa
соседних симплексах определение согласовано 11что ОНО'1'0*-
део'i'•• нИо ПРОДоJtЖае'1'СЯ На точки образа "сферы.
J(у.~млi:.п."К.отор",.
ч;:,ние
подразделяlO-
теми
:Onределекы "ДУГи 60ЛЬDlИХКРУ~()8", которые,ОДНОЗИаЧНОсоединяlOТ пары
ности
остова кубнльяжа.
обладать
ПРИБЛИ~~~ИИ х образу сферы.
переllес.мнаэто'tобразм~трику
'*'l'pаКЦНlOd-ОКРеС'1'иос:rиоб~эа
иметь ОБРазоМ,(п-~)"мерный ПОЛИЭДР'"ЧаСТЬ (П-l).-мерного
будут
Овойо'1'''МИ: .,'ие будут пересекать образ сферыи диаметры их будут crpe-
границу. Все 3ТИ проекции можио ,провести OДHOB~MeHHO ИПОЛУЧИ'rь."овое отображение, которое не иэменитq на06РАзе сферы, а вне erod,..oxpeCTбудет
котрой
~. "Ос'l'а."сяпродолжить
3'1'0О'r06р•• еиие ма т.
пе.~каЮтс.
ПОС~ЩiОЙ.ОКpeQ"иос:тм~рааа ~, f~д",С5Р~И1'I!-ПРОД~Инеnо *Irt~o
от~ии8.р~н"
мw
получае••
требуемую
сферJolнанего. грани
(n-1 ) -ООТОва
С' 06рааом ,••аРа ,,И ,""ступают за предем,:: сф.pw,КИЩl8йиа
НегО Р8ТрахЦtф.
ИНДУКЦИИ. начав,
J(y6JщЬЯ••• 8qsl'-1.
о
того,
_:.'1:
чтспроюt.,:,\
ПредI'1ОЛОХ;ИИ, ЧТОКW
у.' :i~~ '
.,.. 44
-
-45
продолжили ретракцию ~a грани размерности k-1, границы каждой k-грани
не ПОКРЫ8.ает 8сей сферыqsn-1,
держит севеРНОГОПОЛJOса qN.
СКажем, Н.есо"'
В этом случае Mы можемотождествнть.цопол-
нение к qN с эвклидовык простраНСТJ:lОМ и можек ИспользоваТI>'его ную структуру. шара,
Для каждой k-грани
кубильяжа,
линей-
i<отораЯПерсекает С>6раз
:lI!.W:Н.;
слеДУlOщееутвержденне: Если компахт К 11Rn разбивает аП,
то он не является ретрак-
том замыкания ни одной из ограниченных компонент своего дополнения. ДОjSазат@Дьqтво.Эаметим,ч'fо неограничемная компонента только одна, т. к. 'знебольшсtо
кы имеем теперь уже продолжеНИеретракциинаграиицуэтойграни
-
Докажексначал/!
куба все точки лежат в одной
компоненте.
Допустим,
н может быть. еще на некоторую ее.часть, если эТа грань переСеК4ет d-окрестносТI> образа сферы. В таком случае мы приходик к такой задаче.
что 1<.есть ре.тракт замыкания какой-то из ограниченных компонент. Пусть r. эта ретрахция. Можн.опродолжить r на все RП , оставив все точки вне
~адача. Дано отображение гэамкнутого подкножества Fk-куба лидово л-пространство. Нужно ПрОДОJ'lжить его на весь куб •.
~той компоненты' неподвижными. Тогда
Это построение
можно провести аналогично тому,
ретракция окрестности образа сферына него. множеству F в кубе так,
в эвк-
как. lIыщестроипась
Триангулируем дополнение к вершиныЭТой триангуляции
возьмем одну из ближайшихточек х в Fиотобразим эту вершину в ТОЧАУ qx. Затем продолжимлинейно это отображение на весь симплекс. Ясно, что новое отображение склеиваетсксо старых и дает его продолжение весь куб (на самсм деле .в выпуклую с;>болочкуобраза. F) .' .. Так как у нас имеетс;я тоЛЬко конечное ЧИСЛограней, на которые требуется продолжить ретракцию, мы получим продолжение на очередной ОС" тов. При этом новое продолжение ретракции не будетпокрывать полюса, поэтому инДукцию можно продолжить. Итак, преДПОJ'iоженне, что образ Сферывэвклидовом ет связное дополнение, край, Т.е.
северного
Но если нее
привело к возможности ретракции
шара на
v
его
к противоречию. Теорема ЖоРДана-Брауэрадоказана •
не
одна иэ точек нашей компоненты, не покрытая образок г,
можно спроектировать образ куба на его границу,
получится ретракция куба на его границу,
что,
то
В результате
как мы знаем, невозмож-
но. Лемкадоказана. ДoK,~aT.пЬCTBOтеоремм 3. 1<убесть абсолlOТНЫЙ ретракт и, значит, являетсяретрактом любого пространства, которое его содержит. В частнос~;.:о6ъединение
вЛоженного куба с любой из компонент его дополнения
~траГИРУ1!lТСЯна него. дополнения, вает пространства.
Согласно лемме" он не может иметь ограниченных а неограииченная'ТOnЬКО одна, Т.е.
KOMl1OHeHT.
МЫооалалиоь здесь на то,
пространстве име-
в себя, причем ее точки
будут покрыты образом, а граница куба остамется неподзижиоЙ.
чтобы СИМПJ'Iексw стрекились к нулю при прибли-
жении к F и не пересекались с F.ДлякаждоЙ
кы получим отображение большого
куба, СОДержащегок и.всlO эту компоненту,
что куб есть
да.
Но
в
.'постр<)ить требуеНУID ретракцию кожно тем же методом,
он не разби-
нашей ситуации который был наки
}'*е ДВажДы8ышеИОПОJiЬЗОваи. иад.емоя·, что, читатель оправится с приме. нениекэтого
Ме'l'одаздеоь самоотоятельно.
Теорема Жордана-Браузра имеет'несколь~о естеС'1'венным.образом няющихее утверждений;
,.ДРISа.!lIТIЛ!tQIIО:теоремм ~. Если не 80ясфера входит в границу НекоТОР<)Акомпоненты своего допonнения, ТО. Н8Йсуществует rонеоморфный
Теорема 1. Гомеоморфныйобраз СВязных открытых множества.
образ.' к)"6&,. JtОТОРЫЙI;:ОДержит эту. границу •. Тогда соответотвуlDЩУIo3 компо-
сферы'
неН'1"УIIОЖNО ретрагирова'1'Ь на зтоткуб
Теорема 2. Гомеоморфный образ сферыслужит ненты своего дополнения (т.е. каждая er() дnя
точек каждой компоненты дополнения).
.aKoR:-ли60 друrой
Ны докажем второе и третье утверждения•. Перзоетребуе't
кplt.йиdкер8
на сферу.
По лемме
Ка самемделе эти резул'ь'fатыго"" к изучеНИt!>:!<ОТО-,
кокпонеИ'l'е(116Т.Оptlке
д.е) •.•......
';
*ордаиа-Eiрауэра компонект по
.;
~1'дQ!Sа\lа'l'8J1~отМТе"Щ'.М1.
более кро-
f
Мм, A-па811'
потливых рассуждений, если следовать развитой ЗДесь технике' и кы огра.,.. ничимся лишь наброском доказательства,
значит,
кой вCI80КОИ8ЧНООТИ ДО Сферы и ВЫ~ИНУ.и:.t ПОЛУЧИВII.ЙОЯ сферы ТОЧКУ 8
ТеореМа 3. Гомеоморфный образ куба любой размерности бивает ПростраНСТВа,т,е. имеет. связное ДOnОлнение ..
раздо проще ВЫводитьИЗ результатов.теории гоколоtий, рой, кы наДее!fСЯ, вполне подготовлен наш Чита'l'ель.
и,
:.tтc> н., Ко.ет быть компа1<'I'наякомnоиеИ'l'а.Но еслк речь идет о некокпатной ХоКnОИ8НТ8, 'I'O.е КО*"О пре8рl11'итьв кокnaктнуо, дОПОЛНИ8 a'I точ-
лиIIы~а8~.ц..неeэ&меч&иия, OCIт&$ЛЯЯ детали
интереСYJDЩему-:
и приrлаlllаJJе~о переЙТКIt иэучеНИIDгоколоrИЧ8СltоА теории, 8:1t0'1'~АttТИУТ8ержДеIlИ":.1IЛ-'I'С. ОЧ8НItЧ&СТИЫМИ случаями IIKoro 60n ~xTeop ••• (теорекы. ДвОЙС'l'МНИOClТ'" лп.ксаидера И др. )
с::;r~tа'1'.ЛD
,
допУстим, что . ;,".:"" '
06раэ ' ••• ' '
pa;i np~-пon"ки ч:5" '. ' .C;:,,;.'.,,~..,,'-;
. , . "
-1 ..•sn
рааОк".т • '
n-оф ~-
\
.)
~ 47 -
ровно на три компоненты.
46 -
эт!'континуумы
Испол~зуя развитуlO нами вышетехнИ1(УpeTpa!i-
ций, читатель легко построит два продолжения зтоговложения n
жений шара В , ограниченного сфероЙ, образ каждого из которых ПоКрЫ8а~ а ДРУГИеразные);
Вместе эти два отображен,ИЯдадут отображение л-сферы на себя, должно имет~ ВСlOдуодну и ту·же степень.
что
точкой
состоит из конечного числа симплексов, которые можно разбить·иа
пары с
от06ражениесферыв
классификации отображений сфер.
что
две
симплексов одной пары, отображаlOщиесяв. одну ~paHb, соединены призмоЙ• в отобраЖение,
которое ВСlOпризму отображает на их образ
гомотопиlOможно "сдуть" продолжить до
в две компоненты,
гомотопии
диска,
не меняя
покрытые образом
ПИЙ, а для нашего читателя, - упражнение в технике ,развитой
i
г.оиото-
выше.
Теперь иы можеИ,как раньше в доказательстае о гомотопностиотображений сферы одной степени,
прогонотопироватьотображение
виесте с двумя л-сииплексаиивзятой
пары,
не
неняя
на
на Прl1зие
границе
зтого
объединения, в отображение, переводящееего образ в границу п-симnлекса. В результате через конечное число таких шагоа мы перестроии отображение в n-сикплекса
такое,
образ
НАЩ.
kOToporo не буде"СО,QержаТЬ$"утренности
в одной и~ двух областей.
Тогда, .как и вышеможно постро-
ить гонотопию, освобождаlOЩУIO 01' образа ВСIOКОМП0не~ту· д()полнеl:lи~,•..•..•• в которой лежит.этот симплекс. Точно так )ltеможно поётупитloи СО второй коипонентоЙ. В
реЗУЛЬТате иы
корфное на границе, Т.е.
получик отображение lUараHaqsn
гокео,-
Окажется возможнойретракция шара l:Ia.ro
I<рай
ЭамечаIlИ'. Свойство быть полной границей каждой своей кокпонентыне обеспечивает, как зто ,803"0.;10.
ии СТраННОдлячи.татеJ1я, то,
чтci КОМ-
понент должно 6"1'10НО6опы,. двух •• ИКОIOТС~. пример••,riостроеННЬjе.
На-
чале века польским топологом Кнастеро" К0I:IТИНУУКЫ (связные .• 1(0)1,"11.\(+11."" подмио.оства) 11плоскости .\(оторые раз6ивают плоскость l:Ia л~~ое··задан.• ное чмсло компон.нт и СЛУЖАТполной границей каждой и::, этих компонент.
себя:
что
каждая точка сферы переходит в ту точку,
ров (8с~ра8НОВНfilIIII«ИХ·ИЛИ.8нутренних). ;iМача(.следс:твИепред~дущих .двух заДаЧ).
ДИСJ(а, и
Возиожность такого продолжения - стандартныЙ результат теории
(предполагается,
в
ииесФер •• гокотопное от06РажениlOопределенному полем нормальных векто-
Эту
отображеНИена ег6 границе.
в каждой точке которой поде
•..•• ~ •. ДОk~эать,., "'ТО стеПенl> поля нормальных к сфере векторов, смотрящих наружу, равна}, а смотрящих внутрь (_l)n. . ШЩ. пол~касательных(ненулевых) векторов определяет отобрах:е-
(П-l)-грани
Отображение этой призмы легко прогомотопировать, не меняя на этих двух гранях,
сфера sn-l,
ЭТО еехторное
ля (чащеее.~аЗlllваlO'I.'индексом поля относительно начала).
построеНI1ИгомотопическоЙ
Можносчитать,
UKTOp.
КОТОpylO.укажетприложеиныЙв.неЙ ВеКТОР, если его перенести ларалпельно в ~аЧaJ1o.степенЬэтого отображения назовем степенью векторного по-
противоложнымиориентациями. КаждуlOпару можно "устранить"р~ссуждением подобнымтому, которое использовалосьпри
своего полного развития построения достаточно широ-
векторыиепрерЫВНО завиСЯТ от точек приложения) определяlOТнепрерывное
лежащейв одноЙ из двух покрытых'ком-
что продолженное отображение надзтой
длЯ
прозеденненулевой
Аппроксимируем одно из отображеНИЙДИСkасимплициальнымна прообрапонент. Мы можек считать,
требует
ких.раНОК("теории расслоений"). пуст •• в RЬвзятастандартная
степень каждого из двух продолженныхотображений будет равна НУЛIO. зе окрестности некоторой точки,
В заКЛlOчениемы отметим несколько фактов из очень большоЙтемы, KO~ торая
которое
Из этого легко .вывести,
"Общеевве-
дение в теорию иножеств и функций". Векториые поля и степ.и.
до отобр~-
.
ет замыкания двух компонент (одна компонента общая,
-
описаны, наприиер, в книге П.с.дЛександрова
Если л нечетно,
то на
СФеJ)еSn71. ие существует ненулевоrо поля касательных векторов. ДпЯ
так.:
П-3:JТУ'i'еорек:(оБЫЧно
НАЗЫВают"теоремой о еже", формулируя
.е
"е*О
иел~ЭЯпрнчеса'l'Ь". • ~(r.oepQJfa 06 антuпобах).
Если с:тепень отображения сфер" в
себ~ . не••••••• на, . то найдут:я. две диаметрально.ПРОТи80положные ТОЧКИ, ко'I'ор••еикеотдиаtiетрanьио
ПРОТИЗClпо~ожиые06разw. (Иначе отображение
rОКОТQП}fе>от06ражениlO,переводящемукаждую антиподальнуlO пару в 1'o,I
одну
) ••..•••••..•••...•.••.••...... •..Отображение четном.риоЙ .сферы в . себя либо ииеет неПОДВИЖНУЮ
то~ку,ЛК60д",.диакетрально
ПРО'rивополо~ныеточки с общимобразок.
веК'1'ориweпол~. Q точки зрения степени расскотремы в книге n.с.АЛеl<~НдРОаа "~омбинаториая топология" (В rлавенаписанной Х.Хоп.. fl()Ap06"O'
фок).
- 48 -
ААепсей Випторови'Ц
Чернавcпuй,
ФuэuпО-А&атеА&атtl'Цеспw: науп РЕКОМЕНДУЕМАЯ ПИТЕРАТУРА
1.
и Б.САНДЕРСОН. МИР. 1974.
К.РУРК
пологи~.
2. З.W.Аlехапdеr.
ТЬе combtnatortal
AпnalB or HatbeтaticB,
30 (1930),
3. ;J.H.C.Whitehead. т-groups, (1939),
ProceвdingB
Введенне в кусочно линейкYJO.то- "
Simp1iC:ial or
London
theory
о! complexeB.
292-320,
вравее,
nuclei,
and
Soci.ty,
Hatheтatical
45
243-327.
Л.В.КЕЛДЫШ. ТОПQлогичес:киеало•• ния 8 Труды математического института НАУКА. 1966. -4.
раНСТ80.
5. E.C.Zeeman. SeAlinar oncombinatorial
topology
Institut de Huat.s Etudes $ientifiques (Paris), о! Warwick (Coventry,England). 1963-1966. 6. ;J.Stall ing8. Institut •. 1968.
Not.8
оп
polyhedral
(notes).
\1niversit,y
topolog,y.
Tata
ОГЛАВЛЕ;НИЕ;
Лекция 1. Симплексы и комплексы •• Лекция 2. КоМпЛексы н полиэ~ры ••••••••••.••••• Лекция 3. Псевдомного06разня и CTen.H~ отображения ••• Лекция 4. Теоремы &рауэра •••••••• , ••••••.••••••••••
икниу,
, lbД&тщ.ство OneтcTIМ!IIIIWi , 06VJ0I
и
3 B~.
Москза.l994г. и••aiк.IВ В.М. 1).pu, 200 за.
alПУСК
дOtCтOP
