Явление локализации волновых процессов и резонансы

МАТЕМАТИКА ЯВЛЕНИЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ И РЕЗОНАНСЫ В. А. БАБЕШКО Кубанский государственный университет, Краснодар

ВВЕДЕНИЕ

PHENOMENON OF WAVE PROCESS LOCALIZATION AND RESONANCES V. A. BABESHKO

A popular review of a new physical phenomenon, which has been discovered by the author together with his colleagues, the RF-resonance in semi-infinite bodies with inhomogeneities, is presented.

© Бабешко В.А., 2001

Дано популярное изложение обнаруженного автором совместно с коллегами нового физического явления – высокочастотного резонанса полуограниченных тел с неоднородностями.

134

www.issep.rssi.ru

Волновые процессы – самые загадочные явления природы. Трудно найти протекающий во времени природный процесс, который нельзя было бы промоделировать или приблизить набором гармонических функций. Квантово-механическая модель реального мира, которую многократно рассматривали авторы статей в СОЖ, вообще немыслима без них. Многие природные процессы, такие, как распространение акустических, электромагнитных, гидродинамических волн, волн оптического диапазона, их детальное изучение и использование на практике, были и остаются мощными рычагами научно-технического прогресса общества. Простейшее представление о волновых процессах мы получили в детстве, когда приходилось наблюдать удивительную картину распространения волн от брошенного в лужу камня. Если оказывалось, что лужа не очень большая, то можно было наблюдать отражение волн от границ лужи и дальнейшее их распространение навстречу тем волнам, которые двигались от места падения камня. Через некоторое время картина исчезала, вода в луже успокаивалась. Если бы мы хотели наблюдать за процессом распространения волн непрерывно, то для этого достаточно взять длинную палку, опустить один ее конец в центр лужи, держа другой в руке, и совершать вертикальное перемещение погруженным концом палки, возбуждая непрерывный поток волн. Если бы ваши движения концом палки оказались достаточно периодичными во времени, то можно было бы наблюдать взаимодействие волн, движущихся от погруженного в лужу конца палки и отраженных от границ лужи волн. Можно наблюдать пучности и впадины на поверхности воды в луже, причем процесс как бы застывает на месте. Это явление называется интерференцией волн. В оптике это явление используют для экспериментального подтверждения волновой природы света, вызывая его интерференцию. Другое изучаемое в курсе физики средней школы волновое явление – это дифракция волн. С ее проявлением можно опять-таки познакомиться на рассмотренном выше примере волн. Допустим, лужа мелкая

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 1 1 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА настолько, что погруженный в нее кирпич, поставленный на боковое ребро, будет частично выходить из воды. Сориентируем его расположение таким образом, чтобы грань кирпича наибольшей площади вначале была бы обращена к источнику волн, то есть перпендикулярна направлению их движения, а в другом положении, после поворота кирпича вокруг вертикальной оси на прямой угол, – параллельна. Во втором случае грань кирпича наименьшей площади обращена к источнику волн. Вызвав волны колеблющимся концом палки, можно наблюдать, что в первом случае непосредственно за погруженным кирпичом волны отсутствуют, вода покоится, в то время как во втором случае волны попросту огибают препятствие и покоящейся поверхности за кирпичом уже не будет. В школьном курсе физики изучали это явление. Назвав расстояние между вершинами двух ближайших гребней волн длиной волны, описанные выше дифракционные картины объясняют соотношением размера препятствия, стоящего на пути распространения волны, с ее длиной. Если размер препятствия больше длины волны, то такое препятствие не огибается волной, как в описанном выше первом случае. Если длина волны больше размера препятствия, то имеет место второй случай: волны огибают препятствие, проникают в его тыльную область. Для понимания дальнейшего нам предстоит познакомиться еще с некоторыми понятиями, связанными с волновыми процессами и вибрацией. В дальнейшем все объекты, в которых рассматривается возбуждение волн, будем называть системами. Познакомимся с явлением резонанса. С ним мы сталкиваемся, когда, положив ладонь на поверхность воды в тазу с водой, раскачиваем воду, совершая ладонью периодические вертикальные движения. Можно заметить, что отраженные от края таза волны, взаимодействуя с волнами, движущимися от источника, создают картину стоячих волн. Здесь образуются окружности, их называют узловыми линиями, на которых жидкость покоится, а между ними происходит ее вертикальное колебание, чередуются гребни и впадины. Изловчимся таким образом совершать периодическое вертикальное колебательное движение ладонью, подталкивая движение воды под ладонью, пока не наступит момент, когда волнение в тазу оказывается настолько значительным, что вода выплеснется из таза. Это и есть наступление резонанса. Если до наступления резонанса вертикальное движение рукой прекратить, убрав руку, то картину стоячих волн в тазу с водой можно будет наблюдать еще некоторое время. Это так называемые собственные колебания жидкости. Через некоторое время волнения прекратятся, если вновь не начать раскачивать жидкость ладонью. Находись в тазу вместо воды вязкая жидкость, например подсолнечное масло, волнение прекратилось бы гораздо быстрее, чем в случае воды.

Поглощение энергии, называемое диссипацией, является причиной затухания волн и причиной отсутствия столь выраженного резонанса, как в случае воды. Вода также обладает вязкостью, хотя и малой, и именно вязкость является причиной затухания стоячих волн при прекращении воздействия. Если бы вместо воды была идеальная жидкость, без вязкости, стоячие волны в тазу с этой жидкостью можно было бы наблюдать неограниченно долго, а резонанс характеризовался бы неограниченным гребнем волны. Аналогичное представление о резонансе дает и грузик, подвешенный на пружине, когда в такт вертикального раскачивания грузика он периодически нами подталкивается, что вызывает с каждым толчком все больший и больший размах колебаний грузика. Размах колебания грузика относительно положения статического равновесия, то есть положения, которое грузик занимает в состоянии покоя, называют амплитудой колебания. Время между двумя ближайшими одинаковыми положениями грузика называется периодом его колебания, а обратная величина, умноженная на 2π, – частотой колебания грузика. Наши периодические подталкивания грузика называются вынуждающими воздействиями. Если для данного выбранного грузика и данной пружины частота наших подталкиваний совпадает с частотой колебания грузика, то в результате наступает явление резонанса, состоящее в резком росте амплитуды колебания грузика без возрастания величины вынуждающего воздействия. Похожая трактовка резонанса имеет место и в случае колебания воды в тазу. В этом случае вынуждающее воздействие осуществляет движущаяся на поверхности воды рука, а амплитуды колебания связаны уже с каждой точкой площади поверхности воды в тазу. Разница в том, что в случае пружинки существует только одна резонансная частота колебания грузика и обусловлено это тем, что лишь об одной точке, для которой рассчитывается амплитуда колебания, идет речь, то есть о грузике. В случае таза с водой таких точек уже двумерное множество, заполняющее площадку. Оказывается, и резонансных частот будет уже счетное множество, а не одна, как в случае единственного грузика, причем для каждой из этих частот можно вызвать колебания с очень большой амплитудой. Теперь нам предстоит обсудить еще одну серию экспериментов, наглядность которых уже менее очевидна, но без которых в дальнейшем мы не обойдемся. Рассмотрим случай, когда длина пружинки, на которой подвешен грузик, очень велика и практически ее можно считать полубесконечной. В этом случае вызвать резонанс такого типа, какой возникал в случае пружинки ограниченной длины, уже невозможно. Невозможно вызвать резонанс и в глубоком и неограниченно простирающемся водоеме, например в озере, если подобно тому, как в тазу с водой, попытаться

БАБЕШКО В.А. ЯВЛЕНИЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ И РЕЗОНАНСЫ

135

МАТЕМАТИКА вызвать стоячие волны. Их просто не будет, а возбуждаемые рукой, совершающей вертикальные периодические движения на поверхности воды, волны будут удаляться от источника, и поскольку не встречают границ, то не будут отражаться, будут попросту затухать. Оказывается, волны как физические объекты, возникшие в результате движения сплошной среды, переносят энергию. Если волна стоячая, то энергия этой волны не переносится, если же волна бегущая, как в случае водоема типа озера, то энергия этими волнами уносится и, таким образом, система теряет энергию, подобно тому, как в случае сильно вязкой жидкости происходит диссипация энергии. Таким образом, сложилось мнение, что две характеристики системы, в которой возникают волны, такие, как вязкость, поглощающая энергию, и неограниченная протяженность системы, например озеро с удаленными берегами, оказывают одинаковый эффект на характер резонансов – его отсутствие для воздействий с ограниченной энергией. Причина – диссипация, утрата энергии системами. Это мнение бытовало до конца 1980-х годов. Здесь нужно иметь в виду, что речь идет о волнах с малой амплитудой, так называемых линейных колебаниях, наиболее распространенных в технике, акустике, геофизике, радиофизике, для которых эффект нелинейного взаимодействия, когда энергия передается от одной волны к другой и появляются кратные частоты колебаниям, пренебрежимо мал. ОГРАНИЧЕННЫЕ, НЕОГРАНИЧЕННЫЕ И ПОЛУОГРАНИЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ В предыдущей статье были изложены основные сведения о распространении волн в деформируемых средах. Было отмечено, что в изотропных средах существуют объемные волны – продольные и поперечные, а при наличии ограничивающей тело поверхности – поверхностные волны. Если деформируемая среда является слоистым телом, то на границах слоев могут возникать волны Стонли, названные в честь их первооткрывателя. Они сконцентрированы непосредственно на границе и быстро затухают по мере удаления от линии раздела. Остановимся на главных особенностях распространения волн в деформируемых средах. Оказывается, характер поведения волн существенно зависит от области, занимаемой деформируемой средой, которую в дальнейшем ради простоты будем считать идеально упругой и изотропной. Это означает, что всякая деформация тела после снятия воздействия полностью исчезает, то есть тело полностью восстанавливается в первоначальных размерах. Изотропность означает сохранение одинаковых деформационных свойств материала по всем направлениям. Допустим, тело имеет ограниченные размеры (его можно вложить в сферу конечного радиуса). Если такое

136

тело подвергнуть вибрации вдоль поверхности, то существует счетное множество частот колебаний, которые являются резонансными для данного тела, так что при приближении к этим частотам амплитуды колебания начинают неограниченно возрастать. Характерно также, что колебания точек внутри тела происходят синхронно с колебаниями поверхности тела. Такое колебание точек системы называют колебанием без сдвига фазы колебания. Энергия при колебании такого тела сохраняется в системе. Другой пример упругого тела, неограниченного, представляет собой неограниченное пространство, из которого изъята ограниченная область, описанная выше. Подвергнув вибрации, как и в предыдущем случае, внутреннюю границу такого тела, мы возбудим в нем волны, которые будут уходить от источника колебаний на границе в бесконечность, унося из системы энергию, то есть превращая ее в систему с диссипацией энергии. В таком теле ни при какой частоте колебания источника резонансы не наступают. Колебания точек при удалении от границы происходят с отставанием по фазе в сравнении с колебанием точек на поверхности. Наконец, промежуточное место между этими двумя телами занимают так называемые полуограниченные тела. К ним относятся такие тела, которые занимают области типа слоя, слоистой среды, слоистого цилиндра. Характерной их особенностью является при их измерении в трехмерном пространстве наличие как ограниченных размеров (толщина слоя), так и неограниченных – вдоль границы слоя или цилиндра. Если источник возбуждения волн расположен на границе такого тела, например слоя, то при его гармоническом колебании в слое возбуждаются волны, уносящие энергию на бесконечность. Возбуждаемые волны имеют разные длины, причем количество волн, всегда конечное, растет с увеличением частоты источника. Эти волны называются модами волн. Физический смысл установившегося колебания упругого слоя, в котором распространяются моды волн, состоит в том, что колебание слоя понимается в предположении, что с момента начала колебания и до момента наблюдения прошло неограниченное время и волны распространяясь уходят в бесконечность и обратно не возвращаются. Это положение было сформулировано физиком А. Зоммерфельдом (Sommerfeld) и называется принципом Зоммерфельда. Позже он был расширен применительно к средам более сложной природы советским физиком Л.И. Мандельштамом и формулируется в терминах излучения не волн, а энергии. Таким образом, установившееся колебание среды – это картина поведения системы по прошествии бесконечного промежутка времени. По этой причине полная энергия в слое, включающая кинетическую и потенциальную, оказывается неограниченной как результат закачивания в упругий слой энергии от источника с

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 1 1 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА ограниченной мощностью, но продолжающегося в течение бесконечного промежутка времени. И вот здесь начинают проявляться особенности полуограниченного тела, в котором при колебании можно обнаружить свойства тела как ограниченного, так и неограниченного. Именно: в полуограниченном теле, как и в ограниченном, имеют место резонансы, например в слое толщинные, но при этом полная энергия является бесконечной. В ограниченном теле она конечная. Кроме того, происходит утечка энергии из системы за счет переноса ее на бесконечность распространяющимися волнами, подобно картине в неограниченном теле. Следствием этого является сдвиг фаз в полуограниченном упругом теле. РЕЗОНАНС В ПОЛУОГРАНИЧЕННОМ ТЕЛЕ С КОНЕЧНОЙ ЭНЕРГИЕЙ В начале 1980-х годов возник вопрос: возможно ли колебание полубесконечного тела с конечной энергией, подобно ограниченному телу, какие условия обеспечивают такое колебание? Если это возможно, то в полуограниченных телах окажется возможным резонанс при наличии конечной энергии. Глубокое исследование этих вопросов выполнил академик И.И. Ворович [1]. Он установил, что полуограниченное тело при наличии неоднородностей или нагрузок специального вида может колебаться с конечной энергией. Он сформулировал в общем виде условия, которые обеспечивают конечность энергии в таком упругом теле. Теперь возник вопрос, какие реальные физические объекты – трещины, включения или иные неоднородности могут обеспечить выполнение условий, сформулированных в [1]. В работах автора и работах, выполненных в соавторстве, рассмотрены как плоские, так и пространственные задачи о колебании упругих слоев при наличии неоднородностей типа плоского жесткого включения или трещины, произвольно расположенных в слое, но ориентированных таким образом, что их собственные плоскости оказываются параллельными плоскости слоя. Доказано, что при определенных соотношениях между параметрами, характеризующими свойства материала упругой среды, размеры слоя, размеры неоднородности, в слое возникает волновой процесс, при котором моды волн, уносящих энергию на бесконечность, исчезают. Волновой процесс оказывается локализованным в зоне неоднородностей, а система имеет конечную энергию. Колебания полуограниченного тела происходит так же, как и ограниченного, сдвиг фаз отсутствует. Путем варьирования параметров, в том числе и частоты колебания источника волнового процесса, можно достигнуть резонанса такого же, как и в ограниченном теле.

В основе исследования лежит выявление тонких свойств интегральных уравнений, порождающих описанные выше задачи. С учетом решений этих уравнений сформулированы условия, обеспечивающие наличие локализации волнового процесса и последующего резонанса. Возвращаясь вновь к началу статьи, важно отметить, что виновником описанных выше явлений локализации и резонансов с конечной энергией являются неоднородности – трещины, включения, находящиеся в упругом слое, или жесткие штампы, колеблющиеся на его поверхности [2]. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Таким образом, наряду с явлениями дифракции волн, вызываемыми неоднородностями в той среде, где волны распространяются, могут возникать и более сложные явления, причиной которых являются определенным образом ориентированные неоднородности. Явление было обнаружено во всех полуограниченных областях, где имеет место распространение волн для сред различной природы. Не исключено, что неоднородности могут порождать и другие пока не открытые свойства волновых процессов даже для проблем распространения волн в линейной постановке. В случае же нелинейных волн, когда их амплитудные значения гораздо более велики, даже при отсутствии неоднородностей имеют место такие явления, как образование уединенных волнсолитонов, вызывающих цунами, уединенных вихрей, порождающих смерчи, называемые также “торнадо”, и другие явления. Нет сомнения в том, что рассмотрение указанных проблем в средах, содержащих неоднородности, приведет к обнаружению еще более неожиданных явлений, возможно объясняющих наблюдаемые, но пока непонятные эффекты. ЛИТЕРАТУРА 1. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 319 с. 2. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 3. С. 74–83.

Рецензент статьи Н.В. Баничук *** Владимир Андреевич Бабешко, доктор физико-математических наук, профессор, ректор Кубанского государственного университета, академик Российской академии наук. Область научных интересов – механика деформируемого тела, теория волновых процессов, математическое моделирование экологических и геоэкологических процессов. Автор и соавтор четырех монографий, 250 статей, нескольких изобретений, соавтор научного открытия.

БАБЕШКО В.А. ЯВЛЕНИЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ И РЕЗОНАНСЫ

137