Моделирование физических явлений на ЭВМ. Методическое пособие. Ч.IV

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Кафедра физики

Кандауров И. В., Мезенцев Н. А., Мешков О. И., Пиндюрин В. Ф.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ НА ЭВМ Методическое пособие Часть IV Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений

Новосибирск 2000

Пособие является составной частью серии учебно-методических материалов по курсу «Моделирование физических явлений на ЭВМ», преподаваемого учащимся Специализированного учебно-научного центра Новосибирского государственного университета (СУНЦ НГУ). В настоящем пособии рассматриваются численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений на примерах задач динамики материальной точки, переходных и стационарных процессов в электрических цепях. Предлагается набор задач для самостоятельного решения.

Рецензенты: доцент кафедры физики CУНЦ НГУ Харитонов В.Г. профессор кафедры теор. физики НГУ, к.ф.- м.н. Коткин Г.Л.

 Новосибирский государственный университет, 2000 г. Подготовлено при поддержке ФЦП «Интеграция», проект «Современные компьютерные технологии в ранней профессиональной ориентации и подготовке физиков-исследователей» (рег. № 274)

1

СОДЕРЖАНИЕ Введение

3

Решение задач динамики материальной точки

4

Двумерное движение в декартовой системе координат

5

Двумерное движение в полярной системе координат

6

Численное решение дифференциальных уравнений динамики

9

Простой метод Эйлера

9

Погрешности численного решения

12

Модифицированный метод Эйлера

13

Методы второго порядка точности

14

Примеры задач на моделирование движения

17

Пример моделирования одномерного движения

17

Пример моделирования двумерного движения

20

Моделирование переходных процессов в электрических цепях

24

О физической правдоподобности численного моделирования

28

Задачи на решение дифференциальных уравнений

31

Движение тел в атмосфере. Баллистика

31

Колебательные процессы

37

Движение в центральном поле

44

Движение заряженной частицы в электрическом и магнитном полях

50

Процессы в электрических цепях

53 61

Рекомендуемая литература

2

ВВЕДЕНИЕ Обыкновенные дифференциальные уравнения используются для математического описания самого широкого круга явлений. К таким явлениям относятся: движение небесных тел и искусственных космических объектов, движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях, переходные процессы в электрических цепях, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, модели развития экономики и так далее. Лишь для сравнительно немногих дифференциальных уравнений решения могут быть найдены аналитически (т. е. могут быть выражены через известные функции). В тех же случаях, когда аналитическое решение не может быть найдено, на помощь приходят приближенные численные методы. Существует достаточно большое количество методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, разной степени сложности и с разной степенью точности. В предлагаемом вашему вниманию учебном пособии рассматриваются лишь простейшие из них, на примерах задач динамики материальной точки, задач о переходных процессах и установившихся токах в электрических цепях. Несмотря на свою простоту, рассматриваемые численные методы применимы к весьма широкому кругу задач и позволяют достаточно эффективно получать полезную информацию о свойствах физической системы в тех случаях, когда аналитическое решение задачи затруднено либо невозможно вовсе.

3

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В классической динамике движение тела (материальной точки) массой

m под действием силы F описывается уравнением Ньютона:

m !r! = F (r, r!,t ) , где

r − радиус-вектор, проведенный к материальной точке из начала систе-

мы координат;

r! и !r! есть, соответственно, первая и вторая производные

радиус-вектора по времени (скорость и ускорение материальной точки), а

F (r, r! , t ) – вектор результирующей силы, которая в общем случае является функцией координат, скорости и времени. Данное векторное уравнение может быть переписано в виде системы скалярных уравнений для конкретной системы координат, например, декартовой или полярной. Обычно система координат выбирается, исходя из свойств задачи, таким образом, чтобы количество переменных в уравнениях Ньютона было минимальным. Например, задача о плоском движении математического маятника с постоянной длиной нити подвеса в декартовой системе описывается с помощью двух координат

x и y, а в полярной системе

координат, начало которой совпадает с точкой подвеса, − только одной координатой

ϕ – углом отклонения маятника от вертикали.

Для исследования одномерного движения, при котором координата

x

в процессе движения изменяется в ограниченных пределах, удобно пользоваться понятием фазовой плоскости. По горизонтальной оси фазовой плоскости откладывается координата, а по вертикальной – скорость тела в текущий момент времени t. Состояние тела в каждый момент времени бражается на фазовой плоскости точкой, с текущими координатой

4

t изо-

x и ско-

ростью

v. Использование фазовой плоскости полезно при исследовании пе-

риодического движения и других финитных (ограниченных) движений.

Двумерное движение в декартовой системе координат В плоской декартовой системе координат векторное уравнение Ньютона записывается в виде системы из двух скалярных уравнений:

m !x! = Fx m !y! = F y 

.

Здесь Fx , Fy − проекции результирующей силы F, которые в общем случае являются функциями переменных переменных

x, y, vx , vy , t . Относительно

x и y уравнения представляют собой систему двух диффе-

ренциальных уравнений второго порядка. Простым приемом введения еще двух независимых переменных – скоростей натами

vx и vy, связанных с коорди-

x, y уравнениями v x = x! и v y = y! , можно свести систему

двух уравнений второго порядка к системе четырех уравнений первого порядка:

1 ! v Fx = x  m   v! y = 1 F y  m   x! = v x  y! = v . y  Обратите внимание, что в этой системе слева стоят первые производные переменных, а в правой части − функции от этих переменных. 5

Двумерное движение в полярной системе координат Связь координат в полярной и декартовой системах можно записать в следующем виде:

 x = r cos ϕ   y = r sin ϕ , где

r, ϕ − длина радиус-вектора и угол между ним и горизонтальной осью

(Рис.1). Переменные

r и ϕ могут зависеть от времени.

Для вывода в полярных координатах уравнений движения, подобных уравнениям Ньютона в декартовых координатах, дважды продифференцируем по времени соотношения Y

Fy m

r

0

между полярными и декарто-

Fr

F

выми

Fx

получим:

первого

Fϕ

ϕ

координатами.

После

дифференцирования

 x! = r! cos ϕ − r ϕ! sin ϕ   y! = r! sin ϕ + r ϕ! cos ϕ .

X

После второго дифференцироРис. 1

вания, соответственно:

 !x! = !r!cos ϕ − 2 r!ϕ! sin ϕ − r ϕ !! sin ϕ − rϕ! 2 cos ϕ  !! cos ϕ − rϕ! 2 sin ϕ .  !y! = !r!sin ϕ + 2 r!ϕ! cos ϕ + r ϕ Проекции

Fx и Fy силы F в декартовой системе координат связаны с

проекциями

Fr и Fϕ этой же силы в полярной системе координат сле-

дующими соотношениями:

6

 Fx = Fr cosϕ − Fϕ sinϕ F  y = Fr sinϕ + Fϕ cosϕ , или

 Fr = Fx cosϕ + F y sinϕ F  ϕ = F y cosϕ − Fx sinϕ . Знак проекции вектор

Fr положительный, если проекция силы на радиус-

r совпадает с направлением радиус-вектора. Знак проекции Fϕ по-

ложительный, если проекция силы на перпендикуляр к радиус-вектору направлена по вращению от оси X к оси Y (против часовой стрелки на Рис. 1). Уравнения Ньютона после соответствующих подстановок имеют вид:

!! sin ϕ − r ϕ! 2 cos ϕ) = Fr cos ϕ − Fϕ sin ϕ m ( !r! cos ϕ − 2 r! ϕ! sin ϕ − r ϕ !! cos ϕ − r ϕ! 2 sin ϕ) = Fr sin ϕ + Fϕ cos ϕ m( !r!sin ϕ + 2 r! ϕ! cos ϕ + r ϕ Почленно сложим первое и второе уравнения, предварительно умножив верхнее на

cos ϕ , а нижнее – на sin ϕ ; получим:

m!r! = Fr + mr ϕ! 2 . Теперь из второго уравнения вычтем первое, умножив предварительно на

sin ϕ верхнее уравнение и на cos ϕ – нижнее; получим: !! = Fϕ − 2m r! ϕ! . mrϕ Получившаяся система из двух уравнений

7

m !r! = Fr + m r ϕ! 2  !! = Fϕ − 2 m r! ϕ! m r ϕ представляет собой уравнения Ньютона, записанные в полярной системе координат. Вид этих уравнений значительно более сложный, чем уравнений в декартовой системе, и поэтому использование полярных координат для решения задачи должно быть оправдано. Так, для движения тела в центральном поле компонента силы

Fϕ = 0, и уравнения движения имеют вид:

m!r! = Fr + m r ϕ! 2  !! = −2 r! ϕ! , r ϕ Легко показать, что второе уравнение выражает закон сохранения момента импульса:

!! + 2 r!ϕ! = rϕ

( )

1d 2 !! + 2 r!ϕ! = 0 , то r ϕ! , но, поскольку rϕ r dt

r 2 ϕ! = r v ϕ = const , где

vϕ есть тангенциальная (перпендикулярная радиус-вектору) состав-

ляющая скорости движения. Для математического маятника с постоянной длиной подвеса (т. е.

!r! = 0, r! = 0, r = R0 = const ) уравнения движения также упрощаются в полярной системе координат:

!! = − ϕ

!! = Fϕ = − m g sinϕ , или: m rϕ

g sin ϕ , R0

где угол ϕ отсчитывается от положения равновесия (вертикали).

8

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ

Простой метод Эйлера Методы численного решения дифференциальных уравнений динамики рассмотрим на примере задачи об одномерном движении материальной точки под действием силы. Это движение описывается уравнением Ньютона:

1 F ( x,v,t ) , m

!x! = где сила

F (x, v, t) − некоторая известная функция, которая в общем случае

может зависеть от координаты, скорости и времени. Перепишем данное уравнение второго порядка в виде системы из двух дифференциальных уравнений первого порядка, введя в качестве новой переменной скорость v = x! :

1 ! v == m F ( x,v,t )   x! = v .  Предположим также, что нам известны значения координаты и скорости в начальный момент времени

x ,v

t =0

t = 0:

= x0 , v0 ;

и требуется найти координату и скорость частицы в произвольный момент времени. Подобная постановка проблемы типична для задач динамики и называется задачей с начальными условиями.

9

Для того, чтобы эту задачу можно было решать численно с помощью компьютера, необходимо перейти от дифференциальных уравнений (т. е. уравнений, оперирующих бесконечно малыми приращениями координат, скоростей и времени) к уравнениям, в которые входят хотя и малые, но все же конечные разности величин. Исходя из определения производной

f ( t + ∆ t ) − f (t ) df = lim , dt ∆t →0 ∆t можно записать следующие конечно-разностные уравнения для двух близких моментов времени

t и t+∆ t:

1  v ( t + ∆ t ) − v (t ) = F ( x, v, t )  m ∆t    x (t + ∆t ) − x (t )  = v ( x, t ) .  ∆t При стремлении к нулю интервала ∆ t разностные уравнения переходят в дифференциальные, таким образом, при условии достаточной малости ∆ t , мы можем использовать эти разностные уравнения вместо дифференциальных для приближенного решения нашей задачи. Перейдем в разностных уравнениях от непрерывного изменения времени к пошаговому с шагами равной величины ∆ t (вообще говоря, шаги не обязаны быть равными, здесь мы выбираем их такими лишь с точки зрения простоты). Пронумеруем шаги в возрастающем порядке и введем следующие обозначения:

t i = i ⋅ ∆ t – время, соответствующее шагу с номером i;

xi, vi – координата и скорость на i-том шаге, а Fi ≡ F (v i , xi , t i ) – действующая на этом шаге сила. В результате нашу систему разностных

10

ующая на этом шаге сила. В результате нашу систему разностных уравнений можно переписать в следующем виде:

1  vi +1 − vi = Fi  m ∆t  x −x i  i +1 = vi  ∆t или, после очевидного преобразования,

Fi   v i +1 = vi + ∆ t m   x = x + v ∆t . i i  i +1 Подставляя известные начальные значения

x0 и v0 в правые части

уравнений, слева получим координату и скорость в момент

i = 1; затем, еще

раз подставив в правые части уравнений уже новые, только что найденные значения

x1 и v1, найдем скорость и координату в момент времени i = 2,

и так далее. Повторяя цикл вычислений необходимое число раз, мы можем вычислить координату и скорость частицы в любой интересующий нас момент времени. Подобный последовательный вычислительный процесс носит название итерационного, и легко может быть воплощен в компьютерной программе, а рассмотренная выше разностная схема представляет собой простейший способ численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Стоит заметить, что впервые данный метод был предложен великим математиком 18 столетия Леонардом Эйлером и, соответственно, в его честь носит название «метод Эйлера». Разумеется, в те далекие времена не было никаких компьютеров, и вычислительные итерации производились исключительно вручную, с помощью пера и бумаги!

11

Погрешности численного решения Легко увидеть, что если движение происходит с постоянным ускорением (F = const), то метод Эйлера дает точное решение дифференциального уравнения движения. Если же сила, действующая на тело, изменяется в процессе движения, погрешность вычисления координаты и скорости (возникающая вследствие замены «точного» дифференциального уравнения приближенным, разностным) будет составлять на каждом отдельном шаге величину, 2

пропорциональную ∆ t . Другими словами говорится, что метод Эйлера имеет второй порядок локальной погрешности. С практической же точки зрения больший интерес представляет глобальная погрешность метода, или расхождение численного решения с «точным» после некоторого достаточно большого числа шагов. Приняв во внимание тот факт, что полное число шагов на всем отрезке времени решения задачи есть величина, обратно пропорциональная ∆ t, а локальные ошибки вычисления, возникающие на каждом шаге, могут (в худшем случае) суммироваться, допустимо сделать вывод, что глобальная точность вычислений будет на порядок хуже, чем локальная – пропорциональна всего лишь первой степени ∆ t . Как уже говорилось выше, для того, чтобы численное решение сходилось к «точному» решению дифференциального уравнения, величина ∆ t должна быть выбрана достаточно малой, такой, чтобы приращения координаты и скорости на каждом шаге были много меньше самих соответствующих величин на этом шаге. Чем меньше ∆ t, тем точнее расчеты, однако выбор слишком малого шага ведет к росту количества шагов-итераций и, следовательно, требует больших затрат компьютерного времени. Кроме того, при совсем уж малых ∆ t начинают играть роль ошибки машинного округления чисел, связанные с тем, что компьютер сохраняет лишь ограниченное

12

число значащих цифр в мантиссе. Оптимальную величину шага по времени следует выбирать отдельно в каждом конкретном случае, исходя из вида дифференциальных уравнений и требуемой точности вычислений. На практике критерием выбора шага может служить его малость по сравнению с характерным временем, имеющимся в задаче, – например, периодом колебаний маятника или периодом обращения тела по орбите. Если в задаче присутствует несколько характерных времен, следует, очевидно, ориентироваться на наименьшее из них. Метод Эйлера привлекателен своей простотой и легкостью реализации в компьютерной программе, однако его существенным недостатком является неустойчивость – монотонное накопление ошибок по ходу итерационного процесса и, как следствие, нарастающее отклонение вычисляемой траектории движения от истинной. Неустойчивость метода Эйлера приводит к несохранении энергии в тех задачах, где эта величина должна оставаться постоянной – например, в задаче о свободных колебаниях маятника, или о движении частицы в не зависящем от времени центральном поле. Данное обстоятельство ведет к качественно неправильному, с точки зрения законов физики, поведению численного решения задачи при большом числе итераций. Например, амплитуда колебаний маятника, свободно качающегося в поле тяжести, не будет оставаться неизменной, а будет постепенно увеличиваться, как если бы на маятник действовала раскачивающая сила!

Модифицированный метод Эйлера В случае, когда движение имеет периодический, колебательный характер и сила зависит только от координаты F ≡ F(x), неустойчивости численного решения можно избежать с помощью небольшой модификации метода Эйлера:

13

Fi   v i +1 = vi + ∆t m   x = x + v ∆t . i i +1  i +1 Отличие этой схемы от обыкновенного методаь Эйлера заключается в том, что для вычисления «новой» координаты денная скорость

xi+1 используется вновь най-

vi+1, а не «старая» скорость vi. Данный видоизмененный

метод имеет прежний (второй) порядок локальной погрешности, однако глобальная ошибка вычисления энергии здесь уже не нарастает монотонно, а меняет знак каждую четверть периода колебаний (или обращения по орбите), оставаясь, таким образом, суммарно нулевой в среднем за период движения. Это обстоятельство позволяет проводить итерационный процесс достаточно долго, не боясь накопления ошибок и отклонения траектории движения от истинной.

Методы второго порядка точности. Во многих задачах, – например, когда сила, действующая на тело, изменяется в широком диапазоне, или когда эта сила явным образом зависит от скорости движения, расчет по методу Эйлера может оказаться неудобным из-за необходимости выбора слишком малого шага ∆ t для сохранения необходимой точности вычислений. В этом случае целесообразно применение более аккуратных численных методов. Попробуем построить разностную схему, имеющую второй порядок глобальной погрешности (напомним, что метод Эйлера является методом первого порядка). Для построения метода второго порядка примем во внимание тот факт, что ранее при вычислении «новой» координаты

xi+1 мы использовали зна-

чение скорости, взятое на краю текущего шага ∆ t – в начале шага в про-

14

стом методе Эйлера ( vi ), или в конце шага в модифицированном ( vi+1) . Представляется интуитивно понятным, что точность расчетов можно повысить, если для вычисления координаты использовать среднее арифметическое от значений скорости на краях шага:

x i +1 = x i +

1 (v i + v i +1 ) ∆t . 2

Здесь для вычисления скорости vi+1 воспользуемся формулой Эйлера:

v i +1 = v i + x i +1

1 Fi ∆t . Подставив это выражение в предыдущее, получим: m

1 ∆t 2 = x i + v i ∆t + Fi . m 2

Как видно, отличие от простого метода Эйлера заключается в третьем члене правой части уравнения. Аналогичным образом, для более аккуратного расчета скорости можно взять среднее значение ускорения на шаге:

v i +1 = v i +

1 ∆t ( Fi + Fi +1 ) . m 2

Если сила не зависит от скорости явным образом, т.е.

F ≡ F ( x, t ) , то

окончательно разностную схему для метода второго порядка глобальной точности относительно ∆ t можно записать в следующем виде:

 1 ∆t 2 x x v t Fi = + ∆ +  i +1 i i m 2    Fi +1 = F ( xi +1 , ti +1 )   v = v + 1 ( F + F ) ∆t i i i +1  i +1 m 2

15

В случае же, когда скорость явным образом входит в выражение для силы F ≡ F(x, v, t), дело обстоит несколько сложнее. Действительно, чтобы найти

vi+1, мы должны предварительно вычислить силу Fi+1 , но величина

Fi +1 ≡ F ( xi +1 , vi +1 , ti +1 ) сама зависит от vi+1 ! Чтобы разрешить эту ситуацию, можно предварительно «грубо» вычислить

vi+1 методом Эйлера и

применить найденную скорость для вычисления силы

Fi+1. Далее, в свою

очередь, используя это «предварительное» значение

Fi+1, найдем уже

«уточненное» значение ние

vi+1 и, затем, наконец, найдем окончательное значе-

Fi+1, которое и будем использовать в начале следующей итерации:   x i +1   v*  i +1  *  Fi +1    v i +1   Fi +1 

= x i + vi ∆t + = vi +

1 ∆t 2 Fi m 2

1 Fi ∆t m

= F ( x i +1 , v i*+1 , t i +1 ) = vi +

1 ∆t ( Fi + Fi*+1 ) m 2

= F ( x i +1 , v i +1 , t i +1 )

.

Подобный метод носит название «прогноз-коррекция» и позволяет сохранить второй порядок глобальной точности вычислений в задачах, где действующая сила зависит от скорости. Легко понять, что рассмотренные нами методы численного решения дифференциальных уравнений движения естественным образом обобщаются на случаи двухмерного и трехмерного движения. Для этого надо лишь записать те уравнения, что мы вывели для одномерного движения, отдельно для каждой из координат и проекций скорости. 16

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ НА МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ

Пример моделирования одномерного движения В качестве примера рассмотрим решение задачи о математическом ма-

m свободно, без движения, висит в поле тяжести

ятнике. Масса

g = 9,8 м/с2 на нерастяжимом невесо0

X

мом подвесе длиной

ϕ

времени

T

R0

рость

R0 . В момент

t = 0 массе сообщают ско-

v0. Требуется нарисовать траек-

торию маятника на фазовой плоскости в

Y

координатах (ϕ,

Fϕ

ϕ! ), где ϕ – угол от-

клонения маятника от вертикали, а

mg

ϕ! –

угловая скорость.

Рис. 2

Для вывода уравнений движения используем уже известные нам уравнения Ньютона в полярной системе координат. Обратите внимание на изменение знака

Fϕ по сравнению с ранее

полученными формулами – это связано с выбранным направлением осей координат (см. Рис. 2):

m !r! = Fr + m r ϕ! 2  !! = − Fϕ − 2 m r! ϕ! m r ϕ

,

Так как подвес нерастяжим, то движения вдоль радиуса не происходит:

!r! = 0, r = R0 = const , и для решения задачи достаточно только второго уравнения. Легко найти, что

Fϕ = mg sin ϕ , таким образом, уравнение

движения можно записать в виде: 17

!! = − Ω 2 sin ϕ ; ϕ где

Ω = g R0 есть циклическая частота колебаний малой амплитуды.

Введем новую переменную

ω = ϕ! Ω и запишем систему уравнений в виде:

! = −Ω sinϕ ω  ϕ! = Ω ω . Поскольку в задаче имеется характерное время, шаг численного интегрирования

∆t удобно задавать в единицах этого времени: ∆t = δ·Ω -1, где

δ << 1. Соответственно, разностная схема по модифицированному методу Эйлера запишется в виде:

ωi +1 = ωi − δ ⋅sin ϕ  ϕi +1 = ϕi + δ ⋅ ωi +1

.

Необходимые начальные условия при

ϕ(0) = 0  ω (0) = v 0 Параметры

gR0

t=0:

.

v0, R0 , δ будем вводить с клавиатуры. Для контроля

правильности счета будем выводить текущую величину полной энергии поделенную на массу

E,

m маятника:

E ϕ! 2 R02 = + g R0 (1 − cos ϕ) . m 2 Поскольку трение в системе отсутствует, полная энергия сохраняется и величина

E m должна оставаться постоянной, равной v02 2 . Сохране18

ние энергии с заданной точностью в процессе вычислений может служить критерием правильности выбора величины шага интегрирования. Вариант программы: uses Crt, Graph; var Gd, Gm, X, Y, X0, Y0, i : Integer; V0, R0, w, Om, phi, t, d, dt, E, Xm, Ym : real; const g=9.81; {ускорение свободного падения } begin DirectVideo:=False; ClrScr; textcolor(green); {------Ввод начальных значений параметров задачи---------------------} writeln('МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК:'); write('Начальная скорость: V0 [м/с] ='); readln(V0); write('Длина подвеса: R0 [м] ='); readln(R0); write('Шаг интегрирования : d ='); readln(d); Om :=sqrt(g/R0); {-------Задание масштаба по X, Y и времени---------------------------------} Ym :=150/V0*R0*Om; Xm :=150/pi; dt := d/Om; {инициализация графики} Gd :=Detect; InitGraph(Gd,Gm,'c:\bp\bgi '); if GraphResult <> grOk then Halt(1); {------Построение осей координат и экранных надписей----------------} X0 := GetMaxX div 2; Y0 := GetMaxY div 2; SetColor(blue); Line(0,Y0,2*X0,Y0); Line(X0,0,X0,2*Y0); SetColor(red); OutTextXY(2*X0-30,Y0+20,'Phi'); OutTextXY(X0-20,10,'W'); {--------задание начальных условий--------------------------------------------------------} t := 0; phi := 0; w := V0/(R0*Om); {--------интегрирование уравнений движения модифицир. методом Эйлера--}

19

repeat w := w - sin(phi)*d; phi := phi + w*d; t := t + dt; {----вывод точки на фазовой плоскости на дисплей---------} X := X0+round(Xm*phi); Y := Y0-round(Ym*w); PutPixel(X,Y,white); gotoXY(64,3); write('t = ',t:4:1); {вывод текущего времени ... } gotoXY(64,4); E := g*R0*(0.5*sqr(w)+1-cos(phi)); write('E = ',E:8:5); {... и контроль энергии} until KeyPressed; CloseGraph; end.

Пример моделирования двумерного движения В этом примере рассмотрим движение материальной точки в гравитационном поле сферически симметричного массивного тела (движение спутника в поле тяжести Земли). Пусть радиус Земли равен R0 , спутник в начальный момент находился на высоте H над поверхностью, и ему была сообщена скорость с компонентами

v0 x и v0 y . Требуется нарисовать траек-

торию движения спутника. Запишем уравнение движения Ньютона в векторном виде:

m!r! = − γ

Mm r ⋅ ; r2 r

и по проекциям в декартовой системе координат:

Mm  !! m x = − γ  r2  m!y! = − γ Mm  r2

x = r y r

,

где

r = x2 + y2 .

20

Эту же систему уравнений можно переписать в виде:

 !x! = −Ω 2 (R0 r )3 ⋅ x ,   !y! = −Ω 2 (R0 r )3 ⋅ y где

Ω=

g есть циклическая частота обращения спутника вокруг Земли R0

по круговой орбите с радиусом, равным радиусу Земли

R0 , a g = γ

M R02

есть ускорение свободного падения на поверхности Земли. Введем новые переменные:

x! = Ω u x ; y! = Ω u y , и получим

систему из четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

u! = −Ω (R r )3 ⋅ x 0  x u! y = −Ω (R0 r )3 ⋅ y    x! = Ω u! x   y! = Ω u! y 

.

Так как в уравнениях очевидным образом присутствует характерное время

Ω -1, шаг интегрирования удобно задать в единицах этого времени:

∆t = δ ⋅Ω -1 , где δ<<1. Соответственно, разностная схема по модифицированному методу Эйлера будет иметь вид:

21

u x i +1 = u x i − δ ⋅ (R0 r )3 ⋅ x  u y i +1 = u y i − δ ⋅ (R0 r )3 ⋅ y    xi +1 = xi + δ ⋅ u x i +1 y = y + δ ⋅u . i y i +1  i +1 Зададим начальные условия при

t=0:

x (0) = 0; y (0) = R0 + H ; u x (0) = v0 x Ω −1 ; u y (0) = v0 y Ω −1 . Параметры км/сек;

v0x , v0y , δ , H будем вводить с клавиатуры (v0 , v0y – в

δ – в долях единицы;

H – в км); при этом g = 9,8⋅10-3 км/с ,

R0 = 6380 км. Известно, что в определенном диапазоне начальных скоростей спутника его траектория должна быть эллипсом. Как правило, возникает желание «заставить» спутник летать на экране побыстрее. Однако, можно удостовериться, что при одинаковых начальных

v0x , v0y , H, но разных δ , траектории спутника заметно отличаются друг от друга – при слишком больших

δ траектория перестает быть замкнутой,

хотя и может остаться ограниченной в пространстве (финитной). Если начальные условия подобраны таким образом, что орбита спутника имеет заметную эллиптичность, то ошибка в расчетах сильнее всего накапливается при движении спутника вблизи перигея орбиты, где его ускорение максимально. При неправильном выборе шага спутник может даже увеличивать скорость после каждого оборота и, в конце концов, навсегда улететь от Земли (по крайней мере, за пределы экрана!). Правильность выбора шага по времени следует контролировать по сохранению полной энергии спутника.

22

Вариант программы: uses Crt, Graph; var Xs, Ys, X0, Y0, Gd, Gm : integer; Vx0, Vy0, Vx, Vy, a, x, y, r, H, Om, t, dt, d, R03, S : real; const g=0.00981; {ускорение своб. падения на поверхности Земли, [км/с**2] } R0=6380.0; {радиус Земли, [км]} begin DirectVideo:=False; ClrScr; textcolor(green); {--------ввод начальных значений параметров задачи------------------} writeln('ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА'); write('Начальная скорость: Vx0[км/сек] ='); read(Vx0); gotoxy(21,3); write('Vy0[км/сек] ='); readln(Vy0); write('Начальная высота H[км] ='); readln(H); write('Шаг интегрирования d ='); readln(d); S :=0.006; {масштабирующий множитель для экрана 640 X 480} Om:=sqrt(g/R0);{циклическая частота обращения по орбите радиуса R0} dt:=d/(Om*3600); {шаг по времени [час]} {--инициализация графического режима----------------------------------} Gd:=Detect; InitGraph(Gd,Gm,'c:\bp\bgi'); if GraphResult <> grOk then Halt(1); {рисование осей координат, Земного шара и т.д.} X0 :=GetMaxX div 2; Y0 :=GetMaxY div 2; SetColor(blue); Line(0,Y0,X0-round(R0*S),Y0); Line(X0+round(R0*S),Y0,2*X0,Y0); Line(X0,0,X0,Y0-round(R0*S)); Line(X0,Y0+round(R0*S),X0,2*Y0); SetColor(3); SetFillStyle(1,3); PieSlice(X0,Y0, 0, 360, round(R0*S)); {--------задание начальных условий----------------------------------------------} t :=0; Vx :=Vx0/Om; {масштабирование скорости} Vy :=Vy0/Om;

23

x :=0; y :=R0+H; r :=y; R03:=R0*R0*R0; {--------интегрирование уравнений движения мод. методом Эйлера---} repeat a := -R03/(r*r*r)*d; Vx := Vx+a*x; Vy := Vy+a*y; x := x+Vx*d; y := y+Vy*d; r:=sqrt(sqr(x)+sqr(y)); {----вывод результатов на экран------} Xs:=X0+round(x*S); Ys:=Y0-round(y*S); PutPixel(Xs,Ys,14); t:=t+dt; H:=r-R0; gotoXY(63,3); write('t[час] = ',t:5:1); gotoxy(63,4); write('H[км] = ',H:6:1); if H <= 0 then {контроль высоты полета спутника} begin SetColor(red); OutTextXY(X0-50,10,'ПАДЕНИЕ На Землю!!! (нажмите ENTER)'); ReadKey; CloseGraph; Halt(1); end; until KeyPressed; CloseGraph; end.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ Дифференциальные уравнения, описывающие изменение токов в электрических цепях, получают использованием правил Кирхгофа для участков цепи. Первое правило Кирхгофа основано на законе сохранения заряда и утверждает, что алгебраическая сумма токов, которые протекают через узел, равна нулю при условии, что втекающие токи взяты со знаком плюс, а вытекающие − со знаком минус: 24

N

∑ Ik

=0 .

k =1

Второе правило (правило контуров) следует из свойства потенциальности электрического поля. Из правила следует, что в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма падений напряжений Ui на элементах в этом контуре равна алгебраической сумме приложенных в нем ЭДС Ek : N

M

i =1

k =1

∑U i = ∑ Ek . При использовании второго правила выбирается определенное направление обхода контура. Токи Ik , текущие по направлению обхода, считаются положительными. ЭДС Ek источников тока считаются положительными, если они создают токи, направленные в сторону обхода контура. Если в электрической цепи необходимо определить N различных токов, то с помощью многократного использования первого и второго правил Кирхгофа для различных контуров и узлов составляется N независимых уравнений для определения этих токов. В качестве примера рассмотрим процесс установления

R E

тока во времени при включении в

C

момент

L

t = 0 источника постоян-

ного напряжения в цепи, состоящей из сопротивления R , емко-

сти C и индуктивности L , соединенных последовательно (см. рисунок). Поскольку в этой цепи нет ветвления, то достаточно применить только второе правило Кирхгофа для времени t ≥ 0 : 25

IR + Здесь:

Q = E − LI! . C

LI! – ЭДС самоиндукции, которая возникает в индуктивности L

при изменении тока

I. Учтем, что I = Q! , (Q – заряд), и запишем наше

уравнение в виде системы уравнений:

1 ! (EC − IRC − Q ) I = LC  Q! = I . Для удобства дальнейших вычислений введем новую переменную:

J = I Ω , где

Ω =1

LC есть циклическая частота собственных

колебаний LC-контура, и перепишем систему уравнений в виде:

 J! = Ω (EC − J ⋅ RCΩ − Q ) . ! Q = Ω J Начальные условия в момент времени в цепи и заряда на емкости:

t = 0 определяются отсутствием тока

Q (0) = 0;

J (0) = 0.

Решение системы будем проводить модифицированным методом Эйлера, рассчитаем зависимости напряжений на элементах L, R и C от времени. Шаг по времени, как мы уже это делали в предыущих примерах, удобно выразить в долях характерного времени, имеющегося в задаче: где δ<<1. Параметры R, L, C и

∆t = δ ⋅Ω -1 ,

δ будем вводить с клавиатуры.

Вариант программы: Uses Crt, Graph; var Gd, Gm , Um, Ts, X0, Y0 : Integer; R,L,Q,I,DI,t,Om,Tmax,T0,Tm,d,dt,UR,UC,UL : real;

26

const EDS = 1.0 {Bольты}; Umax = 2.0 {Bольты }; C = 1E-6 {Фарады}; begin DirectVideo:=False; ClrScr; {---------ввод значений параметров задачи------------------------------------} textcolor(yellow); writeln('---Электрическая R-C-L цепь---'); writeln; write('Сопротивление: R[Ом] ='); read(r); write('Индуктивность: L[Гн] ='); read(L); write('Интервал вывода T/To ='); read(T0); write('Шаг интегрирования d ='); read(d); {----------инициализация графического режима-----------------------------} Gd:=Detect; InitGraph(Gd,Gm,' '); if GraphResult <> grOk then Halt(1); {--------построение координатных осей и надписей-----------------------} X0:=GetMaxX div 2; Y0:=GetMaxY div 2; SetColor(blue); Line(0,0,0,2*Y0); Line(0,Y0,2*X0,Y0); SetColor(red); OutTextXY(5,5,'UR'); SetColor(white); OutTextXY(5,20,'UL'); SetColor(green); OutTextXY(5,35,'UC'); TextColor(green); gotoxy(70,16); write('T/To=',T0:2:2); {--------вычисление масштабирующих множителей---------------------} Om:=1/sqrt(L*C);{циклич. частота собственных колебаний LC-контура} dt:=d/Om; Tmax:=2*pi*T0/Om; {временной отрезок проведения расчетов} Um:=round(Y0*0.5); Tm:=round(2*X0/Tmax); SetColor(6); OutTextXY(5,Y0-round(EDS*Um)-15, 'ЭДС');

27

Line(0,Y0-round(EDS*Um),2*X0,Y0-round(EDS*Um)); {--задание начальных данных---------------------------------------------} t:=0; Q:=0; I:=0; {--решение уравнений модифицированным методом Эйлера--} while t <= Tmax do begin DI:=-(I*R*C*Om + Q - EDS*C); I:=I+DI*d; Q:=Q+I*d; UR:=I*R*Om; UC:=Q/C; UL:=L*DI*Om*Om; t:=t+dt; {-----вывод графиков------------------------------------------------} Ts:=round(Tm*t); PutPixel(Ts,Y0-round(UR*Um),red); PutPixel(Ts,Y0-round(UC*Um),green); PutPixel(Ts,Y0-round(UL*Um),white); end; CloseGraph; end.

О ФИЗИЧЕСКОЙ ПРАВДОПОДОБНОСТИ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Отправным пунктом численного моделирования является разработка идеализированной математической модели рассматриваемой физической системы. Затем необходимо определить алгоритм для реализации данной модели на компьютере. Естественно, возникают вопросы: — Насколько реально математическая модель описывает физическое явление? — Как убедиться в том, что уравнения, определяющие модель явления, правильно решены численно? Большая часть задач данного пособия представляет собой сильно идеализированные модели физических процессов, которые, однако, позволяют составить достаточно полное представление о лежащих в их основе фунда-

28

ментальных физических законах. Правильно применяя эти законы, можно детализировать до бесконечности любую модель реального физического процесса, вводя все новые и новые параметры. Например, в задаче 1.4 данного Пособия вычисляется дальность полета снаряда с учетом сопротивления воздуха, встречного ветра и изменения атмосферного давления с высотой, т.е во внимание принимается достаточно много факторов, влияющих на точность выстрела. Известно, однако, что при стрельбе на расстояния свыше

10 км следует учитывать и вращение Земли, при этом поправка будет иметь разный знак в северном и южном полушариях. Численное решение задач 3.1 – 3.7, моделирующих движение тел в центральном поле, позволяет построить вполне разумные траектории обращения спутника вокруг планеты или самой планеты в системе двойной звезды и даже рассчитать посадку космического корабля на Луну. Однако, при этом предполагается, что центр притяжения (планета, звезда) представляет собой точку – идеализированный объект, а движение происходит в плоскости, в то время как орбита «настоящего» искусственного спутника Земли существенно трехмерна, и при ее расчетах необходимо учитывать форму земного шара (геоида). Ответ на второй вопрос частично разобран в разделе, где обсуждается точность применяемых численных методов. Вообще говоря, универсального алгоритма, позволяющего стопроцентно убедиться в том, что полученное решение правильно, не существует. Перечислим несколько способов проверки корректности вычислений: 1) Проверка законов сохранения (энергии, импульса, момента импульса) в задачах, где силы, действующие на тело, консервативны, т.е не вызывают изменения полной энергии системы. Это задачи на движение тела в поле тяжести (при отсутствии трения или вынуждающей силы), движение тела в центральном поле, движение заряда в стационарном магнитном поле.

29

2) Проверка решения на «предельный случай», если это возможно. Для этого какому-то из параметров задачи придается такое значение, что поведение всей системы становится вполне очевидным. Естественно, правильно работающий численный алгоритм должен описывать такую ситуацию. Например, можно «выключить» силу трения в задаче о полете снаряда или «остановить» колебания, либо вращение в задаче 2.4 о маятнике Фуко. Этот прием может оказаться полезным и при решении задач на моделирование процессов в электрических цепях. Можно также упростить модель до состояния, допускающего получение аналитического решения, и сравнить его с численным расчетом. 3) Проверка сходимости решения к какому-то пределу при уменьшении шага по времени в 2, 4 или более раз. Вычисления должны совпадать с точностью до первых

n десятичных знаков в зависимости от применяемого ме-

тода. 4) Обращение задачи во времени. Для этого, рассчитав поведение модели на каком-то временном отрезке, следует принять за начальные условия текущие значения переменных и поменять знаки векторов скоростей в задаче на обратные. При этом автоматически изменятся знаки у всех сил, зависящих от скорости. Система должна вернуться в исходное состояние через тот же временной интервал, если в расчетах не происходит накопления ошибки. Например, при «обращении» задачи о полете снаряда в атмосфере сила тяготения знак не меняет, но сила трения становится ускоряющей. При правильно работающем алгоритме снаряд вернется в точку старта, воспроизведя траекторию полета в обратном направлении, и будет иметь в момент t=0 скорость, равную по модулю той, с которой был выпущен.

30

Следует, однако, иметь в виду, что в некоторых классах задач даже накопление ошибок округления* при вычислениях способно приводить к сильным изменениям решения. Это является принципиальной особенностью этих задач, независящей от выбора численного алгоритма. Разумеется, неустойчивый алгоритм приведет к более быстрому накоплению ошибки, однако «истинную» траекторию иногда нельзя получить при любом выборе шага интегрирования. Соответственно, проверка с помощью обращения времени здесь неприменима и следует пользоваться другими приемами. К таким задачам относится, например, расчет движения планеты в системе двойной звезды (задача 3.4). Легко убедиться, что очень малые отличия в начальных условиях для планеты приводят к радикальному расхождению траекторий, если продолжать вычисления достаточно долго, хотя полная энергия системы при этом может сохраняться с хорошей точностью.

ЗАДАЧИ НА РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Движение тел в атмосфере. Баллистика. Задача 1.1 Тело бросается под углом α к горизонту и с начальной скоростью На тело действует сила тяжести

v0 .

mg . Используя простой метод Эйлера,

постройте траекторию полета тела и график дальности полета по горизонтали как функции угла бросания. Сравните численные результаты с точными формулами: *

Ошибка округления – ошибка, связанная с конечной точностью представления действительных чисел в компьютере – ЭВМ сохраняет лишь ограниченное количество значащих цифр в мантиссе числа с плавающей точкой. 31

v 02 L= sin (2α) ; g

y = x ⋅ tg α − x 2

g v02

cos 2 α

(0 ≤ x ≤ L) .

Дополнительные вопросы: Постройте график длины траектории как функции угла бросания. При каком угле траектория имеет максимальную длину? Задача 1.2 Тело бросается под углом α к горизонту и с начальной скоростью

v0 .

На тело действует сила тяжести и сила трения о воздух, пропорциональная скорости полета. Движение описывается уравнением:

m!r! = mg − cv ,

где

m – масса тела, и c – коэффициент трения.

Уравнения движения в декартовых координатах:

m!x! = −c ⋅ x!  m!y! = −mg − c ⋅ y! . Постройте траекторию движения тела. Сравните полученный ответ с точным аналитическим решением, которое существует для этой задачи:

где

x(t ) =

  g vt v0 cos α ⋅ 1 − exp −  g  vt 

y (t ) =

  vt (v0 sin α + vt )1 − exp − g g  vt 

vt =

 t    

;

  mgt t   − ,  c 

mg есть установившаяся скорость падения. c

32

Дополнительные вопросы: а) Для заданных

v0 , α , c , m найдите наибольшую высоту подъема. Срав-

ните численные результаты с точным ответом

h=

vt v2 v v 0 sin α − t ln ( 1 + 0 sin α) g g vt

б) Проведите расчет максимальной дальности полета по горизонтали, используя как простой метод Эйлера, так и метод второго порядка точности «прогноз-коррекция».

Уменьшая

шаг

интегрирования ∆ t ,

добейтесь

-3

сходимости результата с относительной точностью 10 . Сравните число шагов интегрирования, необходимое для достижения такой точности для каждого из методов. Задача 1.3 Для большинства тел, движущихся в атмосфере с дозвуковыми (но не исчезающе

малыми)

скоростями,

имеет

место

следующий

закон

торможения:

FТ =

1 ρ CD A⋅ v 2 = k ⋅ v 2 , 2

где FT – сила торможения, направленная против скорости, ρ – плотность атмосферы,

CD – коэффициент обтекания тела (CD ≤ 1), A – площадь

поперечного сечения тела,

v – скорость движения.

Смоделируйте движение парашютиста, совершающего затяжной прыжок с высоты H = 3 км. Плотность атмосферы 1,2 кг/м3, масса парашютиста 80 кг, эффективная площадь торможения при нераскрытом парашюте

0,3 м2, при раскрытом парашюте – 60 м2, коэффициент CD = 0,95. Уравнения движения:

33

m!y! = − mg + k 0 y! 2 ,

(t

m!y! = − mg + k (t ) y! 2 ,

( t0

m!y! = − mg + k1 y! 2 ,

(t

k (t ) = k 0 +

k1 − k 0 ⋅ (t − t 0 ) T

≤ t 0 );

( t0

< t ≤ t1 ); > t1 ); < t ≤ t1 );

где t 0 и t1 , соответственно, моменты начала и завершения раскрытия купола

парашюта;

T = t1 – t 0 = 1 с – время

раскрытия

коэффициент сопротивления, когда парашют не раскрыт;

купола;

k0 –

k1 – коэффициент

сопротивления при раскрытом куполе. Для заданного

t 0 нарисовать графики ускорения, скорости и высоты пара-

шютиста в зависимости от времени, а также график скорости в зависимости от высоты. Дополнительные вопросы: а) Постройте график скорости приземления в зависимости от момента раскрытия купола t 0 . Найдите максимально допустимую задержку по времени от начала прыжка до начала раскрытия купола и минимально допустимую высоту начала раскрытия, исходя из безопасной скорости приземления

6 м/с. б) Сравните расчетные скорость и перемещение парашютиста на участке

t < t0 с точным аналитическим решением∗ ∗

Гиперболические синус (сокращенно обозначается sh), косинус (ch) и тангенс (th) x

определяются формулами: sh = 1 / 2 ( e − e th =

−x

e x − e− x ex + e− x

34

x

) , ch = 1 / 2( e + e

− x

)и

g v (t ) = v t ⋅ th   vt где

vt = v (t 0 → ∞) =

 t  ; 

s(t ) =

m  g ln  ch  k 0   v t

 t   ; 

mg есть установившаяся скорость падения. k0 Задача 1.4

В 1918 г., во время Первой мировой войны, немцы обстреливали Париж из специально сконструированной большой пушки. Масса снаряда составляла 104 кг при диаметре снаряда 20 см и начальной скорости вылета

1800 м/с. Рассчитайте траекторию полета снаряда «Парижской пушки» с учетом сопротивления воздуха. Уравнение движения:

m!r! = mg − k v v , или в декартовых координатах: m!x! = −k x! 2 + y! 2 ⋅ x!  m!y! = − mg − k x! 2 + y! 2 ⋅ y! . Коэффициент торможения

1

k = ρ 0 C D A , ρ 0 =1,2 кг/м3; CD = 0,2 . Под 2

каким углом к горизонту надо стрелять для достижения максимальной дальности? Какова эта дальность?: Дополнительные вопросы: а) Нарисовать графики изменения кинетической, потенциальной и полной энергии снаряда. б) Как изменится угол наибольшей дальности стрельбы и дальность полета снаряда, если учесть изменение плотности воздуха с высотой по барометрической формуле: 35

ρ = ρ 0 exp ( − y / 8000 ) (y – высота в метрах). Какой максимальной высоты достигает снаряд в полете? Задача 1.5 Под каким углом к горизонту следует устанавливать реактивный снаряд с начальной массой m0 = 120 кг для достижения максимальной дальности полета ? Нарисуйте траекторию полета снаряда. Конечная масса

mk = 15 кг.

λ = 10 кг/с. Скорость истечения газов vg = 1800 м/с. Коэффициент сопротивления воздуха c = 0.0075 кг/м. Начальная скорость снаряда v0 = 20 м/с.

Расход топлива в секунду

Уравнения движения в декартовой системе:

x!  ! ! m t x v ( ) = λ − c x! 2 + y! 2 ⋅ x! g  2 2 x! + y!  при t ≤ T,  y! m(t ) !y! = − m(t ) g + λ v g − c x! 2 + y! 2 ⋅ y!  x! 2 + y! 2 m !x! = −c x! 2 + y! 2 ⋅ x! k  m k !y! = − mk g − c x! 2 + y! 2 ⋅ y! где

T=

при t > T,

m0 − mk − время работы двигателя. λ

Дополнительные вопросы: а) Как изменится угол и дальность полета, если учесть изменение плотности воздуха с высотой по барометрической формуле:

36

ρ = ρ 0 exp( − y / 8000)

(y – высота в метрах),

б) Определить величину недолета, если в момент выстрела подул встречный ветер со скоростью

vw = 10 м/с . 2. Колебательные процессы Задача 2.1

Нарисовать траекторию движения шарика, лежащего на горизонтальном столе (Рис. 3). К шарику прикреплены пружины с жесткостями kx и ky и одинаковыми длинами

Y

l в нерас-

тянутом состоянии. Пружины вза-

(X0, Y0)

имно перпендикулярны в положении равновесия. В момент времени kx

t = 0 шарик удерживается в точке с

X

0

координатами

X0

Y0

,

относительно положения равнове-

ky

сия, после чего отпускается.

Рис. 3

Уравнения движения:

m !x! = − k x (l + x)

m!y! = − k x y

(l + x) 2 + y 2 − l (l + x) 2 + y 2

(l + x ) 2 + y 2 − l (l + x ) 2 + y 2

− kyx

− k y (l + y )

(l + y) 2 + x 2 − l (l + y) 2 + x 2

(l + y ) 2 + x 2 − l (l + y ) 2 + x 2

;

.

Дополнительные вопросы: а) Нарисовать графики изменения потенциальной энергии первой и второй пружин от времени. 37

б)

Как

изменится

стол

Fтр = −µmg

движение

шарика,

если

включить

трение

о

v ? v Задача 2.2

Нарисовать траекторию движения математического маятника массой

m = 1 г в фазовом пространстве (зависимость угловой скорости ϕ! от угла отклонения ϕ ). Маятник движется под действием силы тяжести и силы со стороны заряженной нити. Массе

m сообщен заряд Q = 100 ед. СГСЭ.

Длина жесткого невесомого стержня, на котором закреплена масса

X

0 T

ϕ L

Q⋅E

l Q

L-l τ Y

mg

на

m , рав-

l = 100 см. (Рис.4). Внизу,

на

расстоянии

L = 120 см, перпендикулярно плоскости колебаний маятника расположена заряженная нить с линейной плотностью заряда τ. В момент времени

t = 0 шарик удерживался под углом Рис. 4

ϕ0 к вертикали.

Уравнение движения:

!! = ml ϕ

 2 τ Q ( L − l cos ϕ)  mg − −   sin ϕ l 2 sin 2 ϕ + ( L − lcos ϕ) 2  l 2 sin 2 ϕ + ( L − l cos ϕ) 2  2 τ Q l sin ϕ cos ϕ

Дополнительные вопросы: а) Как изменится характер движения, если ввести силу трения

38

Fтр = − α ⋅ v ?

б) Нарисовать графики изменения потенциальной и полной энергии маятника от времени. Задача 2.3 Нарисовать фазовое движение (зависимость скорости от координаты) массы

m = 1 кг, прикрепленной к пружине. Пружина и масса лежат на гори-

зонтальном столе. Пружина является нелинейной, и сила упругости вычисляется по формуле

Fs = − kx + bx 2 . В момент времени t = 0 масса нахо-

дится в положении равновесия и ей сообщается скорость v0 в направлении

x. Уравнение движения:

m!x! = − kx + bx 2 .

Дополнительные вопросы: а) Определить частоту колебаний массы при разных значениях

v0 .

б) Как изменится фазовое движение, если на покоящуюся массу в момент времени

t = 0 подействует постоянная сила F0, растягивающая пружину? Задача 2.4

Рассмотреть колебания сферического маятника длины

l вблизи по-

верхности Земли с учетом вращения Земли (маятник Фуко). Получить численное решение системы уравнений движения и построить траекторию маятника в плоскости XY . Пояснения: Возьмем прямоугольную систему координатных осей, связанную с Землей. Начало координат поместим в точке подвеса маятника, ось Z направим вертикально вниз, ось Y − по касательной к меридиану на юг, а ось X − 39

по касательной к параллели на восток. Будем рассматривать только малые колебания маятника, когда

x и y малы по сравнению с l .

На маятник действуют сила тяжести

mg и реакция нити N, проекции

которой на оси координат будут:

−N

x , l

−N

y , l

−N

а также Кориолисова сила инерции где

z , l

J = - 2m [ω v ] ,

m − масса, v − скорость маятника, ω − угловая скорость вращения

Земли (эта сила возникает во вращающейся системе координат).

i Учитывая, что

j

k

[ω v] = 0 − ω cos θ − ω sinθ , x! y! z!

где i , j , k − единичные векторы (орты), направленные по осям X, Y, Z, соответственно, а θ − широта точки земного шара, в которой подвешен маятник, получим:

   x m!x! = − N  l  − 2mω(−cos θ ⋅ z! + sin θ ⋅ y! )       y m!y! = − N   + 2mω sin θ ⋅ x! l   z  . m!z! = mg − N  l  + 2mω cos θ ⋅ x!   С учетом малости колебаний маятника примем

z = l , тогда в третьем

уравнении системы !z! = 0 . Отбрасывая в правой части этого уравнения сла40

гаемое, содержащее малый множитель ляя значения N = mg , кращая на

ω , будем иметь N = mg . Подстав-

z = l , z! = 0 в другие два уравнения системы и со-

m , получим:

  gx   !x! = − l  − 2ω sin θ ⋅ y!      !y! = − gy  − 2ω sin θ ⋅ x! .   l   Дополнительные вопросы: Вид траектории маятника зависит от выбора начальных условий. Если маятник стартует с некоторой начальной скоростью v ≠ 0 и углом отклонения

ϕ = 0, то траектория имеет вид «розочки», плавно закругляется по достижении

ϕ = ϕmax и периодически возвращается в точку старта. Если маятник

стартует при

v = 0 и ϕ0 = ϕmax, то траектория не проходит через точку,

соответствующую достижении

ϕ = 0, и имеет точки заострения при периодическом

ϕ = ϕmax.

а) Дайте качественное объяснение обоим видам траектории, основываясь лишь на кинематических соображениях (см. задачу 7 в пособии II «Кинематика материальной точки»). Для простоты представьте, что маятник подвешен на одном из полюсов Земли. б) Найдите начальные условия

ϕ0 ≠ 0, v0(ϕ0), при которых траектория

маятника будет проходить через точку, соответствующую

41

ϕ = 0.

Задача 2.5 (Маятник с параметрической раскачкой) Математический маятник с длиной l0 = 1 м совершает малые колебания в поле тяжести Земли с максимальным отклонением угла от вертикали

ϕ = 0,1 рад (при t = 0 положим ϕ = 0,1 и ϕ! = 0) . В момент времени t = 0 длина нити начинает меняться по закону: l = l 0 + a sin( ω t ) , где a, ω – задаваемые величины. Задание: 1). Исследовать фазовое движение маятника (в координатах

ϕ, ϕ! ) при раз-

ω.

ϕ = [−20, 20] ,

ных

значениях

a

и

Использовать

масштаб

ϕ! = [−10, 10]. 2). При каких

ω наблюдается значительное увеличение амплитуды ϕ при

малых значениях

a?

3). При каких значениях

a и ω маятник может совершить полный оборот? Задача 2.6

(Маятник на упругой подвеске) На упругой нити с длиной D в нерастянутом состоянии и с коэффициентом жесткости мени

k висит тело массы m = 1 кг. В начальный момент вре-

t = 0 телу сообщается горизонтальная скорость v0

Задание: 1). В координатах (x,

y) нарисовать траектории движения тела в процессе

колебания при разных начальных скоростях и коэффициентах жесткости

42

нити. Параметры

D и k являются задаваемыми величинами:

2). При тех же условиях исследовать характер фазового движения в координатах

( x, x! ) . Задача 2.7 (Автогенератор)

На бесконечной ленте транспортера, движущейся с постоянной скоростью

u, находится тело массой m = 1 кг (Рис. 5). Тело прикреплено к не-

подвижной стенке пружиной с жесткостью

k = 40 Н/м. Коэффициент трения

µ тела

о ленту транспортера описывается

k

выражением

m = 1 кг

u

  1 µ = 0,5 µ 0 1 + 2 2  1 + (v − u) v0 

Рис. 5

где ния покоя;

µ0 = 0,6 − коэффициент тре-

v0 = 0,1 м/сек; v − скорость тела. В начальный момент t = 0

тело покоилось в начале координат (x = 0). Задание: 1). Нарисовать траекторию движения тела на фазовой плоскости (скорость тела в зависимости от координаты

v

x тела). Скорость u ленты транспорте-

ра − вводимый параметр.

43

2). Какой вид имеют траектории тела на фазовой плоскости при

u = 10; 1;

0,5; 0,1 м/сек ? Чему равна координата xs среднего смещения тела при этих значениях

u ? Каковы периоды колебаний тела ?

3). Построить график зависимости времени установления стационарных колебаний тела

от величины

скорости

u

ленты

транспортера

для

u = [0,5 … 1,2] м/сек.

3. Движение в центральном поле

Задача 3.1 Нарисовать траекторию движения тела массы

m = 1 в центральном

поле, в котором сила притяжения равна

F = −Arα ⋅

r , r

где α− произвольный параметр, а В начальный момент

r – радиус-вектор тела (r = x 2 + y 2 ) .

t = 0 тело находится на расстоянии R0 и ему

сообщается перпендикулярная радиус-вектору скорость

v0 .

Дополнительные вопросы: а) Рассмотрите случаи движения при α = −2 и α = 1 . б) Каковы были бы «видимые» последствия отклонения силы гравитации от известного закона? в) Как изменится траектории движения тела, если параметр A линейно растет со временем по закону A=A0 + B t, при этом α = −2 ?

44

Задача 3.2 (Распад спутника) Спутник, вращающийся по замкнутой орбите вокруг планеты, распадается на 64 осколка равной массы. Скорость скорости

спутника

vs

на

случайную

vi каждого из них отличается от малую

величину

так,

что

0,95 ≤ vi v s ≤ 1,05 (угловое распределение изотропно). Рассмотреть динамику системы, не учитывая столкновения и притяжения между осколками. Дополнительные вопросы: Попробуйте предсказать, как поведут себя осколки спутника, до написания программы. Прежде чем «взорвать» спутник, убедитесь, что его пол-2

ная энергия сохраняется с относительной точностью не хуже 10 на протяжении оборота вокруг планеты. Осколки спутника «перемешиваются» быстрее, если его орбита имеет заметную эллиптичность. Задача 3.3 (Притяжение двух тел) Тела с массами

m и М движутся в поле взаимной гравитации. По-

стройте траектории движения тел. Начало координат удобно поместить в точку центра масс системы. Дополнительные вопросы: а). Попробуйте предсказать вид траектории до написания программы. Рассмотрите случаи с нулевым и ненулевым начальным импульсом системы тел. б). Оцените с помощью вашей программы максимальное смещение Земли под действием притяжения Луны. Центр масс системы покоится. Масса Зем-

45

23

ли равна 7,33⋅10

кг. Среднее расстояние Земля-Луна равно 384400 км.

Масса Луны составляет приблизительно 1/84 от массы Земли. Задача 3.4 (Движение планеты в поле тяжести двойной звезды) Две звезды равной массы вращаются по круговой орбите вокруг центра масс (Рис. 6). В плоскости вращения звезд движется планета под действием сил гравитации. Масса планеты много меньше масс звезд (ее притяжение не возмущает движения звезд). В начальный момент времени планета

Y

находится на расстоянии R от цен-

αv R -R0 /2

αR

v0 R0 /2

X

тра масс и имеет скорость

v0,

вектор которой составляет угол

αv

с осью X. Радиус-вектор R на планету из центра масс системы звезд

Рис. 6

имеет угол

αR к оси X .

Задаваемые параметры:

γ M0 = 100 − произведение гравитационной постоянной на массу звезды; R0 = 100 − расстояние между звездами в условных единицах; R − начальное расстояние от центра масс до планеты (в тех же единицах); αR − задаваемый начальный угол положения планеты(см. Рис. 6); v0 − задаваемая начальная скорость планеты (условные единицы / сек); αv − начальный угол наклона вектора скорости планеты. Задание: 1). Нарисовать траектории планеты в системе двойной звезды.

46

2). Исследовать устойчивость движения планеты в системе двойной звезды в зависимости от ее начального расстояния до центра масс, величины и направления начальной скорости планеты. 3). При каких условиях планета является спутником одной либо обеих звезд? Задача 3.5 (Вращающаяся гравитирующая система)

16 гравитирующих тел массы M равномерно

Ω

расположены на окружности радиуса

R (Рис. 7).

Как будет выглядеть процесс сжатия этой систеR

мы, если она вращается как целое со скоростью Ω ? Как повлияет на процесс сжатия наличие у тел начальной скорости, радиально направРис. 7

ленной от центра окружности? Задача 3.6 (Посадка на Луну) Космический аппарат с общей

Y

массой V0

Луна

Луне и в некоторый момент X

аппарат Рис. 8

m0 = 100 кг приближается к t = 0 нахо4

дится на расстоянии R0 = 10 км от ее центра и имеет скорость

V0 = 0,8

км/сек, направленную перпендикулярно радиус-вектору

из

центра

Луны

(Рис. 8). Радиус Луны Rm = 1740 км, ускорение свободного падения на поверхности Луны

g = 1,62 м/сек2. Аппарат имеет запас топлива m0t = 40 кг для

реактивного тормозящего двигателя. Скорость истечения рабочих газов из 47

реактивного двигателя составляет времени

u = 2 км/сек, расход топлива в единицу

µ! = dµ dt может регулироваться. В момент t = 0 реактивный

тормозящий двигатель включается. Задание: 1). Нарисовать траекторию движения аппарата при произвольном 2). Какой расход топлива

μ! .

μ! нужно задать, чтобы прилуниться в точку с ко-

ординатами (−Rm, 0) ? Сколько топлива при этом будет затрачено? Сколько времени потребуется для прилунения из начальной точки? Какова полная скорость прилунения ? 3). Построить график зависимости полного затраченного топлива

mt от рас-

хода μ! для выполнения прилунения в произвольной точке. Пользуясь графиком траектории движения аппарата, объяснить качественно ход зависимости

mt ( μ! ) . Какое минимальное количество затраченного топлива mt необ-

ходимо для выполнения прилунения в произвольной точке ? Задача 3.7 (Двухимпульсный маневр Хофмана-Цандера) Искусственный спутник вращается по круговой орбите вокруг Земли на расстоянии 300 км от поверхности планеты. Каким образом можно перевести его на круговую орбиту с радиусом R = 12000 км? Смоделируйте на компьютере маневр перелета с одной орбиты на другую. Переход осуществите с помощью двух импульсов тяги – мгновенных приращений скорости спутника. Каково минимально возможное число импульсов для осуществления орбитального перехода? Как должен быть направлен вектор импульса тяги относительно вектора текущей скорости спутника для достижения наименьших затрат энергии на переход? 48

Задача 3.8 (Борьба с астероидом-убийцей) Существует полуфантастический проект по избавлению земной цивилизации от гибели из-за возможного столкновения нашей планеты с астероидом. Авторами проекта предлагается складировать на Луне ядерные боеприпасы и в нужный момент взорвать их, придав тем самым Луне некоторую дополнительную скорость в заданном направлении. Это позволит затормозить или ускорить движение Земли на ее орбите вокруг Солнца и, тем самым, изменить момент встречи с орбитой астероида. Постройте приближенную модель системы Солнце – Земля – Луна, используя приведенные ниже параметры. Солнце можно считать неподвижным. Оцените в мегатоннах тротилового эквивалента дополнительную кинетическую энергию, которую нужно сообщить Луне, чтобы Земля за год «ушла» от своего нормального положения на траектории на 1000 км. Энергия взрыва 1 Мт тринитрото15

25

луола равна приблизительно 4.2·10 Дж. Масса Луны Мл = 7,36·10 27

г,

33

масса Земли Мз = 5,98·10 г, масса Солнца МС = 1,9·10 г, расстояние

RЗЛ = 3,84·1010 см,

Земля – Луна

расстояние

Земля – Солнце

13

RЗС = 1,49·10 см. Считать, что планеты вращаются по круговым орбитам. 7

Период обращения Земли вокруг Солнца составляет 3,16·10 сек., а Луны 6

вокруг Земли – 2,36·10 сек.

49

4. Движение заряженной частицы в электрическом и магнитном поле Задача 4.1 Нарисовать траекторию движения электрона во взаимноперпендикулярных электрическом ной скорости

Ey и магнитном Bz полях в зависимости от началь-

v0 частицы, вектор которой лежит в плоскости XY.

m0 = 9,1⋅10-31 кг − масса электрона, q = −1,6⋅10-19 К − заряд электрона, Ey = 105 В/м − напряженность электрического поля, Bz = 0,1 Т − величина магнитной индукции. Уравнения движения:

m0 !x! = qBy!  m0 !y! = qE − qBx! . Дополнительные вопросы: а) Нарисовать график зависимости кинетической энергии электрона от времени при различных

v0 .

б) Нарисовать траекторию движения электрона в случае, если электрическое поле ограничено в пространстве прямоугольником со сторонами 2a и 2b. В начальный момент времени электрон находился в центре прямоугольника. Задача 4.2 (Отражение от магнитной пробки) Частица с зарядом

Hz = 0,

e движется в магнитном поле с компонентами:

H x = H 0 = const , H y = H 0 ( y y 0 )2 .

50

Начальная скорость частицы v направлена под углом

α к оси X.

Действующая на частицу сила Лоренца F = e[vH] имеет компоненты:

Fx = − e( H y v z ); F y = e( H x v z ); Fz = e( v x H y − H x v y ) . Рассмотреть движение частицы в плоскостях YZ и YX в зависимости от угла

α. Задача 4.3 (Циклотронный резонанс) В начале координат покоится электрон. По оси Z направлено одно-

t = 0 включается электрическое

родное магнитное поле B = 0,1 Т. В момент

поле E = E0⋅sin(2πf t) , направленное по оси X;

E0 = 1000 В/м, частота f

− вводимый параметр. Задание: 1). Нарисовать траекторию движения

r ( t) в плоскости X, Y и график кине-

тической энергии W ( t) электрона за время

t = 3,57 нсек.

2). Построить график кинетической энергии бирает за время поля. Частоту

W электрона, которую он на-

t = 3,57 нсек, в зависимости от частоты f электрического

f удобно выражать в ГГц, энергию W – в эВ. Интересующий

диапазон частот

f = [2,5 , 3,1] ГГц. Какую максимальную энергию Wmax

набирает электрон ? При какой частоте fmax это происходит ? 3. Какую максимальную энергию

Wmax электрона (за произвольное время)

можно получить при f = 2,52 ГГц ? Используя график траектории электрона, объяснить качественно получаемый результат.

51

Задача 4.4 (Движение электронов в магнетроне) Модель магнетрона представляет собой два соосных цилиндра, помещенных в однородное магнитное поле, силовые линии которого параллельны осям цилиндров. Цилиндры поддерживаются под разным потенциалом. Внутренний цилиндр является катодом, с поверхности которого испускаются электроны. Считать, что начальная скорость электронов равна нулю. Задаваемые величины:

R1 = 0,02 м − радиус внутреннего цилиндра магнетрона; R2 = 1 м − радиус внешнего цилиндра магнетрона; V – разность потенциалов между цилиндрами в Вольтах; B – индукция магнитного поля в Тесла. Задание: 1). Нарисовать траектории электронов в магнетроне при различных значениях напряженности магнитного поля B. 2). При каких значениях магнитного поля B возможно попадание электрона на анод (внешний цилиндр)?

5. Процессы в электрических цепях

Задача 5.1 Для изображенной на Рис. 9 схемы нарисовать график зависимости выходного напряжения

uout от времени.

52

На вход схемы подается импульс напряжения:

R uin

iC

u = 1 B , 0 ≤ t ≤ T uin (t ) =  0 , t >T . 0

iL

C

L

uout

C = 250 мкФ, L = 100 Гн; R и T − вводимые параметры. Рис. 9

Выходной сигнал описывается урав-

нениями:

u out (t ) = L

di L ; dt

d 2iL dt

2

=

1  u in (t ) 1 di L 1  − − iL . C  RL R dt L 

Дополнительные вопросы: а) T = 10 сек; при каких R возможно получение выходного сигнала, близкого по форме к производной от входного сигнала? б)T = 10 с; при каких R возникает колебательный режим в выходном сигнале; каков при этом период колебаний? в) При каких R и T на выходе схемы возможна передача формы входного сигнала без заметных искажений? Задача 5.2 Исследовать возникновение элек-

R

K

трической дуги на ключе К при его

E

размыкании (Рис. 10). Вольт-амперная

L

характеристика дуги задается соотношением

Рис. 10

V = A + B /I

напряжение на дуге, 53

,

где

V–

I – ток дуги,

ние на дуге, I – ток дуги, A = 30 В, B = 100 В⋅А, L = 10 Гн, R = 10 Ом,

E = 100 В. Ток в цепи описывается уравнением

L

dI B + RI + A + = E . dt I

Нарисовать график зависимости тока в цепи от времени после размыкания ключа

К.

Дополнительные вопросы: а) Какие установившиеся значения будут иметь ток I и напряжение V дуги при указанных параметрах ? б) При каких значениях

R возможно возникновение устойчивой дуги ?

в) Как зависит процесс изменения тока в цепи от величины L ? Задача 5.3 Нарисовать график зависимости напряжения на электрической лампочке с сопротивлением

R от времени (Рис. 11). В момент времени t = 0 на схему

подается

напряжение

E(t) = E0 cos(2πf t + ϕ), где ϕ – произвольная фаза.

R

R = 10 Ом,

E(t) L

f = 50 Гц.

Рис. 11

U R = RI ,

L = 0,7 Гн, E0 = 220 В,

L

Напряжение UR на лампочке описывается уравнениями:

dI + RI = E (t ) . dt

54

Дополнительные вопросы:

I и напряжения UR установятся в цепи ?

а) Какие значения амплитуд тока б) При каких значениях фазы

ϕ в цепи не возникнет переходных процессов?

в) Если лампочка перегорает при

UR > 18 В, то при каких значениях фазы

ϕ это может происходить ? г) Как изменяется время установления переходных процессов в цепи с изменением величины индуктивности

L?

Задача 5.4 (RC−генератор)

R2

C2 Ks Uin

E0 C1

G

Uout

R1

Рис. 12

Имеется электронная схема, показанная на Рис. 12. Схема включает в себя управляемый генератор Э.Д.С. – G (аналог усилителя). Напряжение с выхода генератора Uout зависит от напряжения на его входе Uin как:

U out = KU in ; K = K 0 exp (− U in U 0 ) , где K0 и U0 – константы. Входное сопротивление генератора бесконечно, выходное равно 0.

R1 = R2 = 100 кОм,

C1 = C2 = 10 мкФ, U0 = 10 В. 55

Конденсатор C1 вначале заряжен до напряжения E0 . В момент

t = 0 ключ

Ks замыкается, E0 и K0 − вводимые параметры. Задание: 1). Нарисовать график зависимости выходного напряжения схемы времени на интервале

Uout( t ) от

t = [0, T] , где: Т − вводимый параметр. Масштаб по

Uout также сделать вводимым параметром. 2). Пусть

E0 = 10 мВ. При каком минимальном значении K0crit наступает

устойчивая генерация колебаний ? При каких

K0 форма сигнала с выхода

схемы близка к синусоиде? Чему равна частота колебаний (в Гц) ? При каких значениях

K0 сигнал с выхода схемы близок к прямоугольным импульсам ?

3). Чему равна максимальная амплитуда установившихся колебаний Как

Umax ?

Umax зависит от E0 ? Задача 5.5 (Полупроводниковый детектор) Имеется

электронная

схема,

показанная

на

Рис. 13,

где

D–

полупроводниковый диод, вольт-амперная характеристика которого дается выражением UD = 25ln (10 ID + 1), где UD – напряжение на диоде (в мВ), ID – ток через диод (в мА), C = 15 мкФ,

E(t)

R = 200 Ом.

D C

R

Рис. 13 56

На вход схемы подается электрический сигнал:

E (t ) = E 0 [1 + α cos ( 2πf 1 t )]⋅ sin (2π f 2 t ) где:

E0 = 150 мВ, α = 0,7, f1 = 100 Гц, f2 = 1000 Гц. Задание:

1). Построить графики входного сигнала E(t) и выходного напряжения на резисторе

Uout на интервале Т = [0, 2 /f1] .

2). Чему равен период колебаний выходного сигнала? Какова амплитуда выходного сигнала? 3). Что произойдет, если f1 = f2 = 1000 Гц? Чему равны амплитуда и период выходного сигнала в этом случае ? 4). Где используются подобные устройства ?

Задача 5.6 (Связанные контуры) Есть два связанных между собой электрических контура с индуктивностями L и емкостями C1,

C, C2. (Рис. 14). При этом L = 0,1 Гн, C1 = C2= 0,3 мкФ, C = 1,8 мкФ.

L C1

В начальный момент t = 0 напря-

L

C

C2

жения на емкостях равны VC1 = 100 B,

VC = VC2 = 0; токи в цепях отсутствуют. Рис. 14

Задание:

1). Нарисовать графики зависимостей напряжений на емкостях времени на интервале

VC1 и VC2 от

Т = [0, 35] мсек. Чему равны характерные частоты

колебаний? 57

2). Что произойдет, если увеличить емкость

C в два раза? Как изменятся

характерные частоты? 3). Что произойдет, если увеличить емкость

C2 в два раза (остальные пара-

метры − по условию задачи)? 4). Нарисовать график зависимости напряжения пряжения менении

VC2 на емкости C2 от на-

VC1 на емкости C1. Исследовать поведение зависимости при из-

C и C2 . Задача 5.7 (Резонанс напряжений)

Имеется цепь из последовательно соединенных индуктивности L =

1 Гн, сопротивления R = 30 Ом и емкости C= 10 мкФ. На вход схемы подано синусоидальное напряжение

E(t) = E0 sin (2π f t) ,

где: E0 = 100 В, частота f − задается. До подачи напряжения на схему емкость была не заряжена. Задание: 1). Нарисовать зависимости от времени: тока I в цепи, напряжения на индуктивности UL , напряжения на емкости UC . Использовать интервал по времени Т = [0, 200] мсек. 2). Построить график зависимости амплитуды тока При какой частоте

I в цепи от частоты f .

f ток в цепи максимален (резонанс)? Чему равно резо-

нансное значение тока? Какие напряжения при этом возникают на индуктивности и емкости ?

58

Задача 5.8 (Резонанс токов) Имеется электрическая цепь, показанная на Рис. 15. Элементами цепи являются сопротивление

R = 30 Ом, индуктивность L = 1 Гн и емкость

C = 10 мкФ. На схему подано синусоидальное на-

I E(t)

R

IC

IL L

C

E(t) = E0 sin (2π ft),

пряжение

где

E0 = 100 В, частота f − задается. До подачи напряжения на схему емкость была не заряжена. Задание:

Рис. 15

1). Нарисовать зависимости от времени полного тока

тока через емкость

I , тока через индуктивность IL ,

IC . Использовать интервал по времени Т = [0, 200]

мсек. 2). Построить график зависимости амплитуды полного тока При какой частоте

I от частоты f .

f ток в цепи минимален (резонанс) ? Чему равно резо-

нансное значение полного тока ? Чему равны при этом значения токов через индуктивность IL и емкость IC ?

59

Задача 5.9 (Связанные электрические контуры) Два

электрических

контура

(Рис. 16)

с

индуктивностями

L1 = L2 = 1 мкГн и емкостями C1 и C2 связаны индуктивным образом, с

L12 L1

C1

L2

C2

коэффициентом

связи

k = L12 / L1 L2 , где L12 – взаимная индуктивность контуров.

Рис. 16 емкости

Емкость

C1 = 25 мкФ, величины

C2 и коэффициента связи k − задаваемые параметры. В момент

замыкания ключа (t = 0) напряжения на емкостях равны:

U1 = 1 В, U2 = 0,

а токи в цепях отсутствуют. Задание: 1). Нарисовать графики зависимостей напряжений на емкостях от времени в интервале T = [0, 20] мс при различных значениях 2). Рассмотреть случай

C2 = C1 , и k =

k и C2 .

2n , где n = 1, 3, 5, 7… . n +1 2

3). Чему равны максимальные и минимальные величины напряжений на емкостях при

k = 0,1 и C = 22,5 мкФ ?

60

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 1: Современная наука о природе, законы механики. М.: «Мир», 1976. 2. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 2: Пространство, время, движение. М.: «Мир», 1976. 3. С.Г.Калашников. Электричество. М.: «Наука», 1977. 4. Л.А.Арцимович, С.Ю.Лукьянов. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. М.: «Наука», 1978.

61