Arbeitsbuch Statistik 5. Auflage (Springer-Lehrbuch)

Springer-Lehrbuch Angelika Caputo · Ludwig Fahrmeir Rita Künstler · Stefan Lang Iris Pigeot-Kübler · Gerhard Tutz Ar...

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Springer-Lehrbuch

Angelika Caputo · Ludwig Fahrmeir Rita Künstler · Stefan Lang Iris Pigeot-Kübler · Gerhard Tutz

Arbeitsbuch Statistik Fünfte, verbesserte Auflage

123

Dr. Angelika Caputo Novartis Pharma AG 4056 Basel Schweiz [email protected] Prof. Dr. Ludwig Fahrmeir Universität München Institut für Statistik Ludwigstraße 33/II 80539 München [email protected]

Prof. Dr. Stefan Lang Universität Innsbruck Institut für Statistik Universitätsstraße 15 6020 Innsbruck Österreich [email protected] Prof. Dr. Iris Pigeot-Kübler Universität Bremen ZWE BIPS Linzerstraße 10 28359 Bremen [email protected]

Dr. Rita Künstler [email protected]

Prof. Dr. Gerhard Tutz Universität München Institut für Statistik Akademiestraße 1/IV 80799 München [email protected]

ISBN 978-3-540-85082-3

e-ISBN 978-3-540-85083-0

DOI 10.1007/978-3-540-85083-0 Springer-Lehrbuch ISSN 0937-7433 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c 2009, 2005, 2003, 2001, 1999 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Umschlaggestaltung: WMX Design GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de

Vorwort Das vorliegende Arbeitsbuch dient zur Vertiefung der Lehrinhalte des 1997 in erster Auﬂage im Springer-Verlag erschienenen Lehrbuchs Statistik – Der Weg zur Datenanalyse von L. Fahrmeir , R. K¨ unstler, I. Pigeot und G. Tutz. Es enth¨ alt einen Großteil der im obigen Buch bereitgestellten Aufgaben und deren L¨ osungen. Erg¨ anzend werden Aufgaben mit L¨osungen angegeben, die ¨ sich in Ubungen bew¨ ahrt haben oder in Klausuren zum Einsatz kamen. Dabei werden s¨ amtliche Kapitel des Lehrbuchs abgedeckt, d.h. im einzelnen werden Aufgaben zu Methoden der deskriptiven und explorativen Datenanalyse, der induktiven Statistik, der Regressions- und Varianzanalyse sowie der Analyse von Zeitreihen und zu den Grundlagen der Stochastik gestellt. Bei den L¨ osungen wird auf die entsprechenden Abschnitte des Lehrbuchs verwiesen, um so eine Nutzung beider Materialen als Lehreinheit zu erm¨oglichen. Selbstverst¨ andlich kann diese Aufgabensammlung auch unabh¨angig vom obigen Lehrbuch zur Ein¨ ubung statistischer Methoden genutzt werden. Als Erweiterung zu diesen Aufgaben, die mit Papier und Bleistift gel¨ost werden k¨onnen, dienen Computeraufgaben, die in umfassender Weise bestimmte Themenkomplexe anhand gr¨ oßerer Datens¨ atze behandeln. Die Datens¨atze entstammen realen Fragestellungen, die im ersten Kapitel des Lehrbuchs ausf¨ uhrlich vorgestellt werden. Sowohl die Originaldaten als auch die L¨osungen der Computeraufgaben k¨ onnen via Internet http://www.stat.uni-muenchen.de/∼fahrmeir/uebbuch/uebbuch.html abgerufen werden. Bei der Erstellung dieser Aufgabensammlung sind zahl¨ reiche Aufgaben aus fr¨ uheren Ubungen und Klausuren eingeﬂossen, deren Urheber uns im einzelnen nicht mehr bekannt waren. Ihnen allen gilt unser ganz besonderer Dank. Bedanken m¨ ochten wir uns zudem bei all denjenigen, die uns reale Daten zur Verf¨ ugung gestellt haben. F¨ ur die sorgf¨altige Erstellung eines großen Teils des LATEX-Manuskripts sei Thomas Billenkamp, Anne Goldhammer, Dieter Gollnow, Alexander Jerak, Tobias Lasser, Rainer Vollnhals und Dietmar Walbrunn herzlich gedankt. Schließlich gilt unser Dank dem Springer-Verlag f¨ ur die stets gute Zusammenarbeit und besonders Herrn M¨ uller f¨ ur die Anregung zu diesem Arbeitsbuch. M¨ unchen im April 1999

Angelika Caputo Ludwig Fahrmeir Rita K¨ unstler Stefan Lang Iris Pigeot Gerhard Tutz

vi

Vorworte

Vorwort zur zweiten Auflage Bei der vorliegenden Auﬂage handelt es sich um eine durchgesehene und korrigierte Version der Erstauﬂage des Buches. Wir bedanken uns bei R¨ udiger Krause und G¨ unter Rasser f¨ ur Hinweise auf Fehler und f¨ ur Verbesserungsvorschl¨ age. M¨ unchen im Oktober 2000

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Vorwort zur dritten Auflage Die vorliegende Auﬂage enth¨ alt ein zus¨ atzliches Kapitel (Kapitel 15), das kapitel¨ ubergreifende Aufgaben enth¨ alt. Bei der Bearbeitung werden Methoden aus unterschiedlichen Abschnitten des Buches ben¨otigt. Wir bedanken uns bei Jochen Einbeck, G¨ unter Raßer und unseren Studenten f¨ ur Hinweise auf Fehler und Verbesserungen. M¨ unchen im M¨ arz 2002

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Vorworte

vii

Vorwort zur vierten Auflage In dieser Auﬂage sind zahlreiche Aufgaben an das Eurozeitalter angepaßt. Die Aufgaben zum M¨ unchener Mietspiegel basieren nicht mehr auf dem Mietspiegel von 1994, sondern dem aktuellen Mietspiegel f¨ ur M¨ unchen 2003. Einige Fehler in den L¨ osungen der Aufgaben wurden beseitigt. Wir bedanken uns bei Jochen Einbeck und unseren Studenten f¨ ur Hinweise auf Fehler und Verbesserungen. M¨ unchen im Juli 2004

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Vorwort zur fu ¨nften Auflage Diese Auﬂage enth¨ alt im Vergleich zur vierten Auﬂage circa 50 Seiten neue Aufgaben mit dazu geh¨ orenden L¨ osungen. Einige weniger interessante bzw. veraltete Aufgaben wurden gestrichen. Wir bedanken uns bei Oliver Joost, Sylvia Schmidt, Nikolaus Umlauf und Peter Wechselberger f¨ ur die Unterst¨ utzung bei der Erstellung der neuen Aufgaben. Innsbruck und M¨ unchen im Juli 2008

Angelika Caputo Ludwig Fahrmeir Rita K¨ unstler Stefan Lang Iris Pigeot Gerhard Tutz

Inhaltsverzeichnis

1.

Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2.

Univariate Deskription und Exploration von Daten . . . . . . .

5

3.

Multivariate Deskription und Exploration . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.

Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.

Diskrete Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.

Stetige Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.

Mehr u ¨ber Zufallsvariablen und Verteilungen . . . . . . . . . . . . . 153

8.

Mehrdimensionale Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9.

Parametersch¨ atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

10. Testen von Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 11. Spezielle Testprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 12. Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 13. Varianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 14. Zeitreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 ¨ 15. Ubergreifende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 16. Computeraufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

1 Einfu ¨ hrung

Aufgaben Aufgabe 1.1 Diskutieren Sie die im Rahmen des M¨ unchener Mietspiegels erhobenen Merkmale Nettomiete, Wohnﬂ¨ ache, Baualter, Zentralheizung, Warmwasserversorgung, Lage der Wohnung und Ausstattung des Bads hinsichtlich ihres jeweiligen Skalenniveaus. Entscheiden Sie zudem, ob es sich um diskrete oder stetige bzw. quantitative oder qualitative Merkmale handelt. (L¨osung siehe Seite 3)

Aufgabe 1.2 Um welchen Studientyp handelt es sich bei (a) dem M¨ unchener Mietspiegel, (b) den Aktienkursen, (c) dem IFO-Konjunkturtest? (L¨osung siehe Seite 3)

Aufgabe 1.3 Eine statistische Beratungsﬁrma wird mit folgenden Themen beauftragt: (a) (b) (c)

Qualit¨ atspr¨ ufung von Weinen in Orvieto, ¨ Uberpr¨ ufung der Sicherheit von Kondomen in der Produktion, Untersuchung des Suchtverhaltens Jugendlicher.

Als Leiterin oder Leiter der Abteilung Datenerhebung sollen Sie zwischen einer Vollerhebung und einer Stichprobenauswahl zur Gewinnung der ben¨otigten Daten entscheiden. Begr¨ unden Sie Ihre Entscheidung. (L¨osung siehe Seite 3)

2

1. Einf¨ uhrung

Aufgabe 1.4 Eine Firma interessiert sich im Rahmen der Planung von Parkpl¨atzen und dem Einsatz von firmeneigenen Bussen daf¨ ur, in welcher Entfernung ihre Besch¨ aftigten von der Arbeitsst¨ atte wohnen und mit welchen Bef¨orderungsmitteln die Arbeitsst¨ atte u ¨berwiegend erreicht wird. Sie greift dazu auf eine Untersuchung zur¨ uck, die zur Erfassung der wirtschaftlichen Lage der Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter durchgef¨ uhrt wurde. Bei der Untersuchung wurden an einem Stichtag 50 Besch¨ aftigte ausgew¨ahlt und zu folgenden Punkten befragt: – – – – –

Haushaltsgr¨ oße (Anzahl der im Haushalt lebenden Personen), monatliche Miete, Bef¨ orderungsmittel, mit dem die Arbeitsst¨atte u ¨ berwiegend erreicht wird, Entfernung zwischen Wohnung und Arbeitsst¨atte, eigene Einsch¨ atzung der wirtschaftlichen Lage mit 1 = sehr gut, . . . , 5 = sehr schlecht.

(a) Geben Sie die Grundgesamtheit und die Untersuchungseinheiten an. (b) Welche Auspr¨ agungen besitzen die erhobenen Merkmale, und welches Skalenniveau liegt ihnen zugrunde? (c) Welcher Studientyp liegt vor? (L¨osung siehe Seite 3)

1. Einf¨ uhrung

3

L¨ osungen L¨ osung 1.1 Nettomiete, Wohnﬂ¨ ache und Baualter sind verh¨altnisskalierte, stetige und quantitative Merkmale. Bei den Merkmalen Zentralheizung, Warmwasserversorgung und Ausstattung des Bads handelt es sich um nominalskalierte (oder ordinalskalierte), diskrete und qualitative Merkmale. Die Lage der Wohnung ist ordinalskaliert, diskret und qualitativ.

L¨ osung 1.2 (a) Bei dem Mietspiegel handelt es sich um eine Querschnittstudie. (b) Die Aktienkurse stellen eine Zeitreihenanalyse dar. (c) Hier liegt eine L¨ angsschnittstudie vor.

L¨ osung 1.3 ¨ (a) Da bei der Uberpr¨ ufung der Weine die Untersuchungseinheit zerst¨ort wird, kann nur eine Stichprobe gezogen werden. (b) In diesem Fall ist eine Vollerhebung unerl¨ aßlich. (c) Da nicht alle s¨ uchtigen Jugendlichen untersucht werden k¨onnen, muß man sich hier auf eine Stichprobe beschr¨ anken.

L¨ osung 1.4 (a) Die Mitarbeiter der Firma stellen die Grundgesamtheit dar, die 50 ausgew¨ ahlten Mitarbeiter sind die Untersuchungseinheiten. (b) Die Auspr¨ agungen und das Skalenniveau der erhobenen Merkmale entnimmt man folgender Tabelle: Merkmal Haushaltsgr¨ oße Miete Bef¨ orderungsmittel Entfernung Einsch¨ atzung der Lage

Auspr¨ agungen 1,2,3,4, . . . , (Obergrenze) IR+ 0 Bus, Bahn, Auto usw. IR+ 0 1, 2, 3, 4, 5

(c) Es handelt sich um eine Querschnittstudie.

Skalenniveau verh¨altnisskaliert verh¨altnisskaliert nominalskaliert verh¨altnisskaliert ordinalskaliert

2 Univariate Deskription und Exploration von Daten

Aufgaben Aufgabe 2.1 Abbildung 2.1 zeigt die Verteilung der Buchstaben A-Z in Texten, die in deutscher Sprache verfasst sind. (a) Bestimmen sie (approximativ) die relative H¨auﬁgkeit, mit der Vokale und Konsonanten in Texten der deutschen Sprache vorkommen. (b) Bestimmen Sie (approximativ) die relative H¨auﬁgkeit, mit der die Buchstaben A-X in Texten der deutschen Sprache vorkommen. (c) Welche der Ihnen bekannten Lagemaße sind zur Beschreibung der Verteilung der Buchstaben geeignet, welche sind nicht geeignet (mit Begr¨ undung)? Bestimmen Sie die von Ihnen gew¨ahlten Lagemaße. Abbildung 2.2 zeigt die Verteilung der Buchstaben A-Z f¨ ur einen l¨angeren deutschen Text, der in einer Geheimsprache verfasst wurde. Der folgende kleine Ausschnitt gibt den ersten Satz des Textes in Geheimsprache wieder: IEL XCEIN DGFIZA 90 RELFAIL. Bei der verwendeten Geheimsprache wurden die Buchstaben des Alphabets zuf¨ allig permutiert. Beispiel: Dem urspr¨ unglichen Buchstaben a wird der Buchstabe g zugewiesen, dem Buchstaben b der Buchstabe t, usw. (d) Wie k¨ onnte man die statistischen Informationen in den Abbildungen 2.1 und 2.2 nutzen, um den verschl¨ usselten Text zu dekodieren? (e) Versuchen Sie obigen Textauschnitt zu entschl¨ usseln. (L¨osung siehe Seite 24)

Aufgabe 2.2 Um die Berufsaussichten von Absolventen des Diplomstudiengangs Soziologie einsch¨ atzen zu k¨ onnen, wurde am Institut f¨ ur Soziologie der LMU ein

6

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

Relative Häufigkeiten

0 .02 .04 .06 .08 .1 .12 .14 .16 .18 .2

Rel. Häufigkeiten der Buchstaben in der Deutschen Sprache

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Abbildung 2.1. S¨ aulendiagramm der relativen H¨ auﬁgkeiten des Auftretens der Buchstaben A-Z in Texten, die in deutscher Sprache verfasst sind.

Relative Häufigkeiten

0 .02 .04 .06 .08 .1 .12 .14 .16 .18 .2

Rel. Häufigkeiten der Buchstaben in einem codierten Beispieltext

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Abbildung 2.2. S¨ aulendiagramm der relativen H¨ auﬁgkeiten des Auftretens der Buchstaben A-Z bei dem in einer Geheimsprache verfassten deutschen Text.

spezieller Fragebogen konzipiert, der insgesamt 82 Fragen umfaßt. Der Fragebogen deckt zahlreiche inhaltliche Aspekte ab wie etwa den Studienverlauf, den Studienschwerpunkt, m¨ ogliche Zusatzqualifikationen, aber auch Aspekte zur Person. Der in den folgenden beiden Tabellen abgedruckte Teildatensatz mit 36 Absolventen und f¨ unf Variablen soll nun f¨ ur eine erste Analyse mit Hilfe von graphischen Verfahren dargestellt werden.

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

G S E

: : :

D

:

N

:

Person i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

7

Geschlecht (1 = weiblich, 2 = m¨annlich) Studiendauer in Semestern Engagement im Studium mit 5 Kategorien: 1 = sehr engagiert .. . 5 = gar nicht engagiert Ausrichtung der Diplomarbeit mit 4 Kategorien: 1 = empirisch-Prim¨ arerhebung 2 = empirisch-Sekund¨ arerhebung 3 = empirisch-qualitativ 4 = Literaturarbeit Note der Diplompr¨ ufung

G 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1

S 12 13 12 12 9 12 14 10 18 10 13 15 13 16 14 13 13 17

E 1 3 5 2 3 2 5 1 3 3 4 4 2 3 3 2 2 1

D 3 4 4 3 4 1 3 4 3 4 4 3 2 3 4 3 4 4

N 2 2 3 3 2 1 5 2 1 3 3 2 2 2 2 2 2 3

Person i 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

G 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2

S 12 15 13 13 15 13 15 12 14 10 12 17 11 14 11 13 11 7

E 2 2 3 4 1 3 4 2 1 2 3 2 1 3 2 2 3 1

D 2 3 4 3 4 2 4 4 3 4 3 3 4 2 1 4 4 4

N 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2

(a) Erstellen Sie eine H¨ auﬁgkeitstabelle f¨ ur das Merkmal “Note”, bestehend aus den absoluten, relativen und kumulierten H¨auﬁgkeiten. (b) Erstellen Sie nun ein S¨ aulen- und ein Kreisdiagramm des Merkmals “Note”. (c) Zeichnen Sie den Box-Plot zu den Studiendauern der Absolventen. (d) Unterteilen Sie die Stichprobe in Absolventen mit Pr¨adikatsexamen (Note 1 oder 2) und Absolventen ohne Pr¨ adikatsexamen (Note 3 und schlechter). Zeichnen Sie nun f¨ ur beide Gruppen getrennt das S¨aulendiagramm der Studiendauer, und interpretieren Sie das Ergebnis. (e) Erstellen Sie die empirischen Verteilungsfunktionen der jeweiligen Studiendauer der Absolventen mit und ohne Pr¨adikatsexamen. Wieviele Se-

8

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

mester ben¨ otigten die 25 % schnellsten Studenten in jeder Teilstichprobe h¨ ochstens? Wieviele Semester brauchen dagegen die 25 % langsamsten Studenten mindestens? (L¨osung siehe Seite 25)

Aufgabe 2.3 Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der Privathaushalte in M¨ unchen aufgeteilt nach ihrer Haushaltsgr¨ oße (Stand: 1995). Haushaltsgr¨ oße 1 2 3 4 5

Anzahl der Haushalte 380131 182838 87444 52033 20235 722681

(a) Bestimmen Sie zun¨ achst die relativen H¨ auﬁgkeiten, und zeichnen Sie anschließend ein S¨ aulendiagramm f¨ ur die angegebenen Daten. (b) In der S¨ uddeutschen Zeitung konnte man (nicht ganz w¨ortlich) folgende Zeilen nachlesen: In nahezu 100 Jahren haben sich die Lebensformen stark gewandelt. Anfang dieses Jahrhunderts war das Miteinander in der Großfamilie Normalit¨at. Fast die H¨alfte der Bev¨olkerung wohnte in Haushalten mit f¨ unf und mehr Personen. Ganz anders heute: mehr als die H¨alfte der Bev¨olkerung lebt allein. K¨ onnen Sie dieser Aussage zustimmen? Zeichnen Sie dazu ein S¨aulendiagramm mit dem prozentualen Anteil der Personen, die in 1-5 Personenhaushalten leben. (L¨osung siehe Seite 31)

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

9

Aufgabe 2.4 Die folgende Graphik zeigt f¨ ur n = 100 Beobachtungen eines Merkmals X die empirische Verteilungsfunktion: F (x) 1

6

s

........................................................................

s

c

....................................

0.8

s

c

....................................

0.5

s

c

c 1

2

....................................

0.2

....................................

0

3

4

5

x

(a) Welche verschiedenen Merkmalsauspr¨ agungen wurden f¨ ur X beobachtet? (b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Graphik sowohl die relative als auch die absolute H¨ auﬁgkeitsverteilung von X. (c) Berechnen Sie x ¯ und s˜2 . (d) Es wird eine Stichprobe mit zehn weiteren Beobachtungen erhoben. Alle zehn Beobachtungen haben den Wert X = 4. Wie lautet die neue relative H¨ auﬁgkeitsverteilung f¨ ur die nunmehr n = 110 Beobachtungen? (L¨osung siehe Seite 32)

Aufgabe 2.5 Welche der folgenden Graphiken k¨ onnen keine empirischen Verteilungsfunktionen darstellen? Begr¨ undung!

10

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

(a)

6

F (x)

s

........................................................................

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

1

2

3

c 4

x

−0.2 (b)

6

F (x) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

s

.......................................................................... ... .... .... ... . . . .. .... .... ... ........................................

.. ... .. ... ... ... ... ..

1 −0.2

s c 2

s

3

4

x

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

(c)

6

F (x)

s

...........................................................................................................

1 0.8 0.6

s

c

....................................

0.4 s

0

c

....................................

0.2 .... ... .. ..

c 1

2

3

4

x

−0.2 (d)

6

F (x)

s

........................................................................

1 0.8 0.6

s

c s

....................................

0.4 0.2 0 −0.2

c

....................................

s

c

....................................

c 1

....................................

2

3

4

x

11

12

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

(e)

6

F (x)

s

...........................................................................................................

1 0.8 0.6

s

c

....................................

0.4 0.2

s

c

....................................

0 −0.2

1 c

2

3

4

x

....................................

(L¨osung siehe Seite 32)

Aufgabe 2.6 Um die zuk¨ unftige Bonit¨ at eines potentiellen Kreditnehmers absch¨atzen zu k¨onnen, wurden von einer großen deutschen Bank Daten von fr¨ uheren Kreditkunden erhoben. Neben der Bonit¨ at der Kunden wurden unter anderem die folgenden Merkmale erhoben: X1 Laufendes Konto bei der Bank (nein (kein Konto) = 1, mittel (Konto mit mittlerem Verm¨ ogen) = 2, gut (Konto mit großem Verm¨ogen) = 3), X2 Laufzeit des Kredits in Monaten, ohe in DM, X3 Kredith¨ X4 R¨ uckzahlung fr¨ uherer Kredite (gut/schlecht), X5 Verwendungszweck (privat/beruflich), X6 Geschlecht (weiblich/m¨ annlich).

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

13

Die folgende Tabelle gibt f¨ ur 300 schlechte (Y = 1) und 700 gute (Y = 0) Kredite jeweils die Prozentzahlen der Auspr¨agungen einiger ausgew¨ahlter Merkmale an: X1 : laufendes Konto nein mittel gut X3 : Kredith¨ ohe in DM 0 < . . . ≤ 500 500 < . . . ≤ 1000 1000 < . . . ≤ 1500 1500 < . . . ≤ 2500 2500 < . . . ≤ 5000 5000 < . . . ≤ 7500 7500 < . . . ≤ 10000 10000 < . . . ≤ 15000 15000 < . . . ≤ 20000 X4 : Fr¨ uhere Kredite gut schlecht X5 : Verwendungszweck privat beruflich

Y =1 45.0 39.7 15.3 Y =1 1.00 11.33 17.00 19.67 25.00 11.33 6.67 7.00 1.00 Y =1 82.33 17.66 Y =1 57.53 42.47

Y =0 19.9 30.2 49.7 Y =0 2.14 9.14 19.86 24.57 28.57 9.71 3.71 2.00 .29 Y =0 94.85 5.15 Y =0 69.29 30.71

(a) Stellen Sie die Information aus obiger Tabelle auf geeignete Weise graphisch dar. Beachten Sie dabei insbesondere die unterschiedliche Klassenbreite des gruppierten Merkmals “Kredith¨ohe in DM”. (b) Berechnen Sie die N¨ aherungswerte f¨ ur das arithmetische Mittel, den Modus und den Median der Kredith¨ ohen. (L¨osung siehe Seite 33)

Aufgabe 2.7 Die folgende Abbildung zeigt zwei Histogramme der Monatsmittel der Zinsen deutscher festverzinslicher Wertpapiere mit einj¨ahriger Laufzeit (im Zeitraum Januar 1967 bis Januar 1994). Woraus resultiert ihre unterschiedliche Gestalt?

14

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

0.3

A n t e i l

0.2

0.1

0.0

. .. . . ......................... .................... . .. . . ......................... ......................... .......... .......... ............... ......................... ......................... .................... .................... .................... ............... .................... .................... .................... .................... .......... .................... . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... ......... .......... .......... .......... .......... .......... . .................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... ..... ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... ..... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

4

6

8

10

12

14

Zinsen 0.3

A n t e i l

0.2

0.1

0.0

.......... .......... .......... .......... .. ............. ........ ........ .......... .......... .......... .......... .......... .......... . . . ............ .......... ......... ............ ............ ............ ............ ............. ......... ............ . . .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... ....... ........ ........ ........ ........ ....... ....... ........ ........ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ........ ..... ............. ............ . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............. ............. ............ .......... ....... ....... ....... ....... ........ ........ ........ ........ ....... ....... ....... ....... ........ ........ ........ ............. ............. ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............. ............. ............ ............ ............ . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . .. ............. ............. ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............. ............. ............ ............ ............ .. ... ... .. ...

4

6

8

10

... .. ... .. ... .. ...

12

14

Zinsen

(L¨osung siehe Seite 36)

Aufgabe 2.8 Bestimmen Sie aus dem folgenden Stamm-Blatt-Diagramm der Zinss¨atze deutscher festverzinslicher Wertpapiere den Median, sowie das untere und das obere Quartil der dargestellten n = 325 Zinss¨atze.

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten Einheit 3 3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13

15

2 = 0.032 23334 55566667788999 00112233333333444 5555555555666778888888999 0000000000111111111111112222222333344444 5555555556666677777888889999999 00000011111112222223333334444444 5555567777788888899999999 00 66678899 001222234 55555556667777788888999999 00000112222233333333334444444 55567777788 0011122233 9 13 5 024 6 1

(L¨osung siehe Seite 36)

Aufgabe 2.9 Um die Entwicklung der Telefonkosten X des letzten Jahres zu analysieren wird Tochter B¨ arbel von ihrem Vater beauftragt, die mittleren Telefonkosten und deren Streuung zu berechnen. Die Rechnungen betrugen jeweils in Euro: Jan 35.46 Jul 31.44

Feb 33.60 Aug 30.18

Mrz 40.44 Sep 41.04

Apr 34.20 Okt 33.60

Mai 36.18 Nov 38.16

Jun 36.84 Dez 132.30

(a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der monatlichen Telefonkosten. (b) B¨ arbel, die im Monat Dezember auf Anraten ihrer Freundinnen h¨auﬁg bei den teuren 0190-Talklines angerufen hat, ist entsetzt u ¨ ber den hohen Mittelwert und bef¨ urchtet Taschengeldentzug durch den Vater. K¨onnen Sie B¨ arbel aus der Patsche helfen? (c) Wieviele Einheiten wurden im Mittel jeden Monat telefoniert? Eine Einheit kostet 0.06 Euro und die monatliche Grundgeb¨ uhr betr¨agt 12.30 Euro. Bestimmen Sie ferner die Standardabweichung der pro Monat telefonierten Einheiten. (L¨osung siehe Seite 36)

16

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

Aufgabe 2.10 Die neugegr¨ undete Firma SAFERSEX hat sich auf die Herstellung von Kondomen spezialisiert. Insgesamt sind n = 9 verschiedene Kondomtypen im Angebot. In der folgenden Tabelle sind jeweils die Preise (X) f¨ ur eine Packung (mit 10 Kondomen) aufgef¨ uhrt: xi Preis in Euro

x1 3.75

x2 4.43

x3 5.50

x4 3.50

x5 3.00

x6 3.00

x7 6.50

x8 6.25

x9 2.50

(a) Bestimmen Sie den Durchschnittspreis f¨ ur eine Packung Kondome (arithmetisches Mittel). Bestimmen Sie auch den h¨auﬁgsten Preis (Modus). (b) Bestimmen Sie auch die 25, 50 und 75 Prozent Quantile x0.25 , x0.5 und x0.75 . (c) Welchen Verteilungstyp (symmetrisch, links oder rechtssteil) vermuten Sie aufgrund Ihrer Ergebnisse in (a) und (b)? Begr¨ undung! (d) SAFERSEX will nun die Preise ihrer Kondome mit den Preisen der alteingesessenen Firma ENJOY vergleichen, die ebenfalls Kondome herstellt. F¨ ur die Preise (Y ) von ENJOY gilt: y¯ = 6.10, y0.25 = 4.60, y0.5 y0.75

= 5.50, = 7.60,

y(1) y(n)

= 3.80 = 8.80

(minimaler Wert), (maximaler Wert).

Zeichnen Sie nun f¨ ur beide Merkmale X und Y jeweils einen Boxplot in dieselbe Graphik, und vergleichen Sie beide Boxplots. (e) Wie ¨ andern sich x ¯, x0.5 und xmod , wenn SAFERSEX die Preise aller 9 Kondomtypen um jeweils 20 % erh¨ oht? ur die teuerste Kon(f) Wie ¨ andern sich x ¯, x0.5 und xmod , wenn der Preis f¨ dompackung (= ˆ x7 = 6.50) verdoppelt wird? Es reicht anzugeben, ob die Werte gr¨ oßer oder kleiner werden oder gleich bleiben. Begr¨ unden Sie Ihre Antwort! (L¨osung siehe Seite 37)

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

17

Aufgabe 2.11 Elf Filialen eines Kaufhauskonzerns erzielten 2002 folgende Ums¨atze (in Mio Euro): Filiale i Umsatz xi

1 110

2 75

Hinweis:

3 70

11 i=1

4 65

xi = 910,

5 55 11

6 70

7 140

8 90

9 90

10 55

11 90

x2i = 81700

i=1

(a) Geben Sie das arithmetische Mittel, die (empirische) Standardabweichung und den Variationskoeﬃzienten an. (b) Zeichnen Sie die zugeh¨ orige empirische Verteilungsfunktion. (c) Bestimmen Sie graphisch das untere und obere Quartil sowie den Median. Zeichnen Sie den zugeh¨ origen (einfachen) Box-Plot. (d) Geben Sie eine lineare Transformation yi = a · xi der xi an, so daß die empirische Varianz der y-Werte gleich 1 ist. Wie ¨andern sich die Quartile und der Median? Welchen Wert besitzt der Variationskoeﬃzient der yWerte (Begr¨ undung oder Berechnung)? (L¨osung siehe Seite 38)

Aufgabe 2.12 Der Markt f¨ ur Computerhersteller l¨ aßt sich in drei Kategorien einteilen: Billiganbieter (Kategorie 1), Direktanbieter (Kategorie 2) und Markenhersteller (Kategorie 3). In einer von Greenpeace gesponsorten Studie wurden alle angebotenen Computer hinsichtlich ihres Stromverbrauchs untersucht. Es ergaben sich die folgenden mittleren Stromverbr¨ auche und Standardabweichungen, geschichtet nach Herstellerkategorie:

Kategorie 1 2 3

absolute H¨ auﬁgkeiten der Klasse j : nj 45 35 50

x ¯j 2.3 kW 1.6 kW 1.4 kW

s˜j 0.3 0.4 0.2

(a) Interpretieren Sie obige Tabelle. (b) Berechnen Sie das arithmetische Mittel x ¯ und die Standardabweichung s˜ f¨ ur den gesamten Datensatz. (L¨osung siehe Seite 39)

18

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

Aufgabe 2.13 Zeigen Sie, daß sich die Summe der Abweichungen der Daten vom arithmetischen Mittel zu null aufsummiert, d.h. daß n

(xi − x ¯) = 0

gilt.

i=1

(L¨osung siehe Seite 40)

Aufgabe 2.14 Beweisen Sie, daß das arithmetische Mittel bei Schichtenbildung durch 1 nj x ¯j n j=1 r

x ¯=

bestimmt werden kann, wenn r Schichten mit Umf¨angen n1 , . . . , nr und arithmetischen Mitteln x¯1 , . . . , x ¯r vorliegen. (L¨osung siehe Seite 40)

Aufgabe 2.15 Die Fachzeitschrift Mein Radio und Ich startet allj¨ahrlich in der Weihnachtswoche eine Umfrage zu den H¨ orgewohnheiten ihrer Leser. Zur Beantwortung der Frage “Wieviele Stunden h¨ orten Sie gestern Radio?” konnten die Teilnehmer zehn Kategorien ankreuzen. In den Jahren 1950, 1970 und 1990 erhielt die Redaktion folgende Antworten: Stunden 1950 1970 1990 Stunden 1950 1970 1990

[0,1) 5 6 35 [5,6) 18 27 4

[1,2) 3 7 24 [6,7) 21 13 2

[2,3) 10 5 13 [7,8) 27 5 1

[3,4) 9 20 8 [8,9) 12 3 0

[4,5) 13 29 9 [9,10) 3 2 1

(a) Bestimmen Sie aus den gruppierten Daten die Lagemaße arithmetisches Mittel, Modus und Median. (b) Wie dr¨ ucken sich die ge¨ anderten H¨ orgewohnheiten durch die drei unter (a) berechneten Lagemaße aus? (L¨osung siehe Seite 40)

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

19

Aufgabe 2.16 Die folgende Zeitreihe beschreibt die Zinsentwicklung deutscher festverzinslicher Wertpapiere mit einj¨ ahriger Laufzeit im Jahr 1993: Monat Zinsen (%) Monat Zinsen (%)

Jan 7.13 Jul 5.99

Feb 6.54 Aug 5.76

Mrz 6.26 Sep 5.75

Apr 6.46 Okt 5.45

Mai 6.42 Nov 5.13

Jun 6.34 Dez 5.04

Berechnen Sie den durchschnittlichen Jahreszinssatz. (L¨osung siehe Seite 41)

Aufgabe 2.17 Bernd legt beim Marathonlauf die ersten 25 km mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 17 km/h zur¨ uck. Auf den n¨achsten 15 km bricht Bernd etwas ein und schaﬀt nur noch 12 km/h. Beim Endspurt zieht Bernd nochmals an, so daß er es hier auf eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 21 km/h bringt. (a) Berechnen Sie Bernds Durchschnittsgeschwindigkeit u ¨ ber die gesamte Strecke von 42 km. (b) Wie lange war Bernd insgesamt unterwegs? (L¨osung siehe Seite 41)

Aufgabe 2.18 Gegeben sei eine geordnete Urliste x1 ≤ . . . ≤ xn eines Merkmals X. (a) Zeigen Sie, daß f¨ ur die Fl¨ ache F unter der Lorenzkurve F =

gilt, wobei V =

n

1 (2V − 1) 2n

vj die Summe der kumulierten relativen Merkmals-

j=1

summen ist. (b) Zeigen Sie unter Verwendung von Teilaufgabe (a), daß f¨ ur G∗ G∗ = gilt. (L¨osung siehe Seite 42)

n + 1 − 2V n−1

20

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

Aufgabe 2.19 F¨ unf Hersteller bestimmter Großger¨ ate lassen sich hinsichtlich ihrer Marktanteile in zwei Gruppen aufteilen: Drei Hersteller besitzen jeweils gleiche Marktanteile von 10 Prozent, der Rest des Marktes teilt sich unter den verbleibenden Herstellern gleichm¨ aßig auf. Zeichnen Sie die zugeh¨orige Lorenzkurve, und berechnen Sie den (unnormierten) Gini-Koeﬀizienten. Betrachten Sie die Situation, daß in einer gewissen Zeitperiode vier der f¨ unf Hersteller kein Großger¨ at verkauft haben. Zeichnen Sie die zugeh¨orige Lorenzkurve, und geben Sie den Wert des Gini-Koeﬀizienten an. (L¨osung siehe Seite 42)

Aufgabe 2.20 In einer Branche konkurrieren zehn Unternehmen miteinander. Nach ihrem Umsatz lassen sich diese in drei Klassen einteilen: f¨ unf kleine, vier mittlere und ein großes Unternehmen. Bei den mittleren Unternehmen macht ein Unternehmen im Schnitt einen Umsatz von 1.5 Mio Euro. Insgesamt werden in der Branche 15 Mio Umsatz j¨ ahrlich gemacht. Bestimmen Sie den Umsatz, der in den verschiedenen Gruppen erzielt wird, wenn der Gini-Koeﬀizient 0.42 betr¨ agt. (L¨osung siehe Seite 44)

Aufgabe 2.21 In einer Großgemeinde gibt es zehn Facharztniederlassungen, die sich bez¨ uglich ihres Einkommens in drei Gruppen mit kleinem, mittlerem und großem Einkommen einteilen lassen (wobei einfachheitshalber angenommen wird, daß innerhalb jeder Gruppe das gleiche Einkommen erzielt wurde). Im ¨ Jahre 2002 erzielten alle Arzte zusammen ein Gesamteinkommen von insgesamt 1.5 Millionen Euro. Allein 40 Prozent davon entﬁelen auf die einzige große Facharztniederlassung, w¨ ahrend die f¨ unf kleinen Niederlassungen nur ein Einkommen von insgesamt 300.000 Euro erzielten. (a) Bestimmen Sie die Werte der Lorenzkurve, und zeichnen Sie diese anschließend. Berechnen Sie außerdem den Gini-Koeﬃzienten. (b) Die gr¨ oßte Facharztniederlassung konnte im darauﬀolgenden Jahr ihr Einkommen nocheinmal um 50 Prozent steigern, w¨ahrend der Umsatz der u ¨brigen Niederlassungen stagnierte. Wie ¨andern sich die Lorenzkurve und der Gini-Koeﬃzient?

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

21

(c) Wir schreiben inzwischen das Jahr 2004. Um der großen Facharztniederlassung Paroli zu bieten, schließen sich die 4 mittleren zu einer Praxisgemeinschaft zusammen. Bestimmen Sie wiederum die Lorenzkurve und den Gini-Koeﬃzienten. (L¨osung siehe Seite 45)

Aufgabe 2.22 Wir betrachten den Umsatz von vier Unternehmen. Bei welchen der in Abbildung 2.3 abgedruckten Kurven handelt es sich um Lorenzkurven? Welche Kurven k¨onnen keine Lorenzkurven darstellen? Bestimmen Sie gegebenenfalls den normierten Ginikoeﬃzienten. Begr¨ unden Sie Ihre Antwort genau.

.75

1

0

.25

.25

.5

u

u

c

d

v 0

0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1

v

v .5

.5

.75

1

u

Abbildung 2.3. Vier m¨ ogliche Lorenzkurven.

(L¨osung siehe Seite 48)

.75

1

.75

1

0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1

.25

0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1

0

v

b

0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1

a

0

.25

.5

u

22

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

Aufgabe 2.23 F¨ ur die Nettomieten von Wohnungen des M¨ unchner Mietspiegels, das Lebensalter von Magenkrebspatienten und Renditen der BMW-Aktie sind die folgenden Schiefemaße und das W¨ olbungsmaß nach Fisher bestimmt worden, wobei die Information verlorenging, welche Ergebnisse zu welchen Daten geh¨ oren: g0.25 gm γ

0.16 1.72 6.58

0.06 −0.17 8.01

0.00 −0.49 0.17

-2

0

•

40

50

60

Alter in Jahren

70

80

•

•

• •••••••• •••••• ••••••• • • •••••••• ••••••• •••••• ••••• • • • • ••• ••••• •••••• •••• •••• • • •••• •••••• ••• ••••• • ••• •••

•

•

2

-2

Quantile der Standardnormalverteilung

-1

0.05 -0.05

Renditen der BMW-Aktie

•

-0.15

•

• -2

0

2

Quantile der Standardnormalverteilung

(L¨osung siehe Seite 49)

0

1

2

Quantile der Standardnormalverteilung

•• • •• ••• •• • • •• ••••• ••••• •••• ••••••• •••••• • • • • • • • •• • • •••••• •••••• ••••• ••••••• ••• ••••••••• ••• ••• •••••••• ••• •••••• •••• •••• ••• ••••• ••••••••••••••••• •••• ••••••••••••••• ••••••••• • • • • • •• ••••• •••••• ••• ••• •• •• •

•• •

• 30

1500 500

Nettomiete in DM

2500

• • •• • • • ••• • ••• • •• ••• •••• ••• ••• • • •••• ••••• ••••• •••• ••• • • • ••••• •••• ••••••• ••••••••••• ••••••• • • • • • ••••••••••• •••••••••••• •••••• •••••••••••• • • •••••

90

K¨ onnen Sie mit Hilfe der folgenden NQ-Plots die Werte den einzelnen Datens¨ atzen zuordnen? •

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

23

Aufgabe 2.24

0.25 0.15 0.05 0.0

0.0

0.05

0.15

0.25

Die folgende Abbildung zeigt zwei Kerndichtesch¨atzer der Zinsen deutscher festverzinslicher Wertpapiere (siehe auch Aufgabe 2.16), wobei die Bandbreite gleich 1 bzw. 2 gew¨ ahlt wurde. Welche Bandbreite geh¨ort zu welcher Graphik?

4

6

8

(L¨osung siehe Seite 49)

10

12

14

4

6

8

10

12

14

24

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

L¨ osungen L¨ osung 2.1 (a) Durch Ablesen aus Abbildung 2.1 erh¨ alt man die relativen H¨auﬁgkeiten: f (A) ≈ f (E) ≈

0.065 0.175

f (I) ≈ f (O) ≈

0.075 0.025

f (U ) ≈

0.045

Daher betr¨ agt die relative H¨ auﬁgkeit der Vokale etwa f (Vokale) = 0.065 + 0.175 + 0.075 + 0.025 + 0.045 = 0.385. ¨ Durch Ubergang zum Gegenereignis ergibt sich die relative H¨auﬁgkeit f¨ ur Konsonanten: f (Konsonanten) = 1 − 0.385 = 0.615. (b) Durch Ablesen erh¨ alt man die relative H¨ auﬁgkeit der Buchstaben Y und Z: f (Y ) ≈ 0 und f (Z) ≈ 0.01. Somit ist die relative H¨auﬁgkeit f¨ ur die Buchstaben A-X etwa f (A − X) = 1 − 0 − 0.01 = 0.99. (c) Von den bekannten Lagemaßen kommt nur der Modalwert in Frage. Median und arithmetisches Mittel sind nicht geeignet, da es sich um ein nominalskaliertes Merkmal handelt. Zur sinnvollen Berechnung des Median ist ein mindestens ordinalskaliertes Merkmal n¨otig, f¨ ur das arithmetische Mittel wird sogar ein metrisches Merkmal ben¨otigt. Der Modus ist die Beobachtung mit der gr¨oßten relativen H¨auﬁgkeit, also hier der Buchstabe E mit f (E) ≈ 0.175. (d) In hinreichend großen Stichproben sollten die beobachteten relativen H¨ auﬁgkeiten in etwa mit den in Abbildung 2.1 dargestellten u ¨bereinstimmen. Ein Vergleich der H¨ auﬁgkeiten in Abbildung 2.2 mit denen in Abbildung 2.1 l¨ asst also R¨ uckschl¨ usse auf den verschl¨ usselten Buchstaben zu. Beispiel: Der Buchstabe I kommt in dem verschl¨ usselten Text mit Abstand am h¨ auﬁgsten vor, daher entspricht er wahrscheinlich dem Buchstaben E. Am zweith¨ auﬁgsten kommt der Buchstabe L vor, k¨onnte also dem in Texten deutscher Sprache am zweith¨auﬁgsten auftauchenden Buchstaben N entsprechen. Auf diese Weise lassen sich zumindest die h¨ auﬁgsten Buchstaben entschl¨ usseln und der Rest aus dem Kontext bzw. durch Probieren herausﬁnden. (e) Verschl¨ usselte Buchstaben: A=T I =E

C=P L=N

D=D N =L

E=I R=M

F =U X =S

G=A Z=R

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

25

Damit heißt der entschl¨ usselte Satz: EIN SPIEL DAUERT 90 MINUTEN.

L¨ osung 2.2 (a) Man erh¨ alt folgende H¨ auﬁgkeitstabelle f¨ ur das Merkmal Note: Note 1 2 3 4 5

absolute H. 2 22 11 0 1 36

relative H. 2/36 22/36 11/36 0 1/36 1

kumulierte H. 2/36 24/36 35/36 35/36 1

(b) Das S¨ aulendiagramm f¨ ur das Merkmal Note hat die folgende Gestalt:

Zur Erstellung des Kreisdiagramms bestimme man zun¨achst die Winkel, die zu den einzelnen Noten geh¨ oren und der folgenden Tabelle entnommen werden k¨ onnen: Note 1 2 3 4 5

Winkel in Grad (fi · 360) 20 220 110 0 10

26

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

Mit den Angaben aus der Tabelle ergibt sich das Kreisdiagramm als:

Note 5:. 2.8 %

Note 1: 5.6 %

......... ....... ......... ....... ........ ......... ............................................................. ............ ............... . ............... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ..... .. ....... ...... ............. . ................. ... ...... ...... ...... ................ ... ............ ... ...... ..... .. .. .. ..... .... .. .. .. .... .... . . . . . . . . . .. .. ... ... .. . . . ... . . .. .. ... .. ... . . . . . ... ... ... . . . . . ... . .. ... . ... . ... . .. .. . . .. . ... . . . .. .. .. ... .. .. .. . . .. .. ... ... .... .. .. .. .. .. .. .. .... ... .. .. .. ... .. .... .. ... ... ...... ...... .. .. ..... ... ... . .... . . . . .... . . . .. .... . . . ... . . . . . . .... . ... . . . . . . . . .... ... . . . . . . . . ... ... ... ....... ... ...... ... ... ...... .. ... ....... .. . ... ............ . .. ....... ... ... ... ... ... ... .... ... . . . ... .... ..... ..... ..... ...... ..... ...... ...... ....... ...... . . . . . . ......... . ........ ............. .............................................

Note 3: 30.5 %

Note 2: 61.1 %

(c) Box-Plot der Studiendauer

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

27

(d) Das S¨ aulendiagramm des Merkmals Studiendauer f¨ ur Studierende mit Pr¨ adikatsexamen hat folgende Gestalt:

Entsprechend erh¨ alt man das S¨ aulendiagramm des Merkmals Studiendauer f¨ ur Studierende ohne Pr¨ adikatsexamen:

28

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

Zum Vergleich sei hier das S¨ aulendiagramm des Merkmals Studiendauer mit allen Daten angegeben:

Interpretation: Die Verteilung der Studiendauer ohne Pr¨adikat ist gegen¨ uber der Verteilung der Studiendauer mit Pr¨adikat etwas nach rechts verschoben. Absolventen ohne Pr¨ adikatsexamen studieren also im Mittel etwas l¨ anger als Absolventen mit Pr¨ adikatsexamen. (e) Zur Erstellung der empirischen Verteilungsfunktionen der jeweiligen Studiendauer werden zun¨ achst die entsprechenden H¨auﬁgkeitstabellen ermittelt. H¨ auﬁgkeitstabelle des Merkmals Studiendauer: mit Pr¨adikat Studiendauer 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

hi 1 0 1 2 2 5 6 2 2 1 1 1 24

fi 0.0417 0 0.0417 0.0833 0.0833 0.2083 0.25 0.0833 0.0833 0.0417 0.0417 0.0417 1

F (xi ) 0.0417 0.0417 0.0833 0.1667 0.25 0.4583 0.7083 0.7917 0.8750 0.9167 0.9583 1

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

29

H¨ auﬁgkeitstabelle des Merkmals Studiendauer: ohne Pr¨adikat Studiendauer 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

hi 0 0 0 1 1 2 3 2 2 0 1 0 12

fi 0 0 0 0.0833 0.0833 0.1667 0.2500 0.1667 0.1667 0 0.0833 0 1

F (xi ) 0 0 0 0.0833 0.1667 0.3333 0.5833 0.75 0.9167 0.9167 1 1

Zum Vergleich: H¨ auﬁgkeitstabelle des Merkmals Studiendauer mit allen Daten Studiendauer 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

hi 1 0 1 3 3 7 9 4 4 1 2 1 36

fi 0.0278 0 0.0278 0.0833 0.0833 0.1944 0.25 0.1111 0.1111 0.0278 0.0556 0.0278 1

F (xi ) 0.0278 0.0278 0.0556 0.1389 0.2222 0.4167 0.6667 0.7778 0.8889 0.9167 0.9722 1

Aus der entsprechenden H¨ auﬁgkeitstabelle l¨aßt sich nun die Verteilungsfunktion des Merkmals Studiendauer f¨ ur Studierende mit Pr¨adikatsexamen ermitteln als:

30

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

Die Verteilungsfunktion des Merkmals Studiendauer f¨ ur Studierende ohne Pr¨ adikatsexamen hat folgende Gestalt:

Zum Vergleich sei nachfolgende Verteilungsfunktion des Merkmals Studiendauer mit allen Daten dargestellt:

Der nachfolgenden Tabelle k¨ onnen Sie entnehmen, wie viele Semester die 25 % schnellsten/langsamsten Studierenden h¨ochstens/mindestens ben¨ otigen: schnellsten langsamsten

mit Pr¨ adikat 11 14

ohne Pr¨adikat 12 15

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

31

L¨ osung 2.3 Man erh¨ alt folgende Tabelle mit den relativen H¨auﬁgkeiten: Haushaltsgr¨ oße 1 2 3 4 5

rel. H. der Haushalte (a) 0.526 0.253 0.121 0.072 0.028 1

rel. H. der Personen (b) 0.2885 0.2776 0.1991 0.158 0.0768 1

(a) Mit obigen Angaben erh¨ alt man das folgende S¨aulendiagramm der Haushalte:

(b) Entsprechend zeichnet man das S¨ aulendiagramm der Personen:

32

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

Aus dem S¨ aulendiagramm ist abzulesen, daß lediglich 28.85 % aller Personen in Single-Haushalten leben, demnach ist die Behauptung der S¨ uddeutschen Zeitung nicht korrekt.

L¨ osung 2.4 (a) F¨ ur X wurden vier Merkmalsauspr¨ agungen beobachtet, n¨amlich X = 1, X = 2, X = 3 und X = 4. (b) Als absolute und relative H¨ auﬁgkeitsverteilung von X erh¨alt man: x 1 2 3 4

fj 0.2 0.3 0.3 0.2 1

hj 20 30 30 20 100

(c) Das arithmetische Mittel und die empirische Varianz berechnen sich als: x ¯ s˜2

= 1 · 0.2 + 2 · 0.3 + 3 · 0.3 + 4 · 0.2 = 2.5, = (1 − 2.5)2 · 0.2 + (2 − 2.5)2 · 0.3 +(3 − 2.5)2 · 0.3 + (4 − 2.5)2 · 0.2 = 1.05.

(d) Die relative H¨ auﬁgkeitsverteilung von X nach 10 weiteren Beobachtungen ergibt sich als: x 1 2 3 4

fj 0.18 0.27 0.27 0.27 1

L¨ osung 2.5 (a) Hier liegt eine korrekte empirische Verteilungsfunktion vor. (b) Diese Darstellung ist nicht korrekt, da es sich nicht um eine Treppenfunktion handelt. (c) Hier liegt erneut eine korrekte empirische Verteilungsfunktion vor. (d) Diese Darstellung ist nicht die einer empirischen Verteilungsfunktion, da die dargestellte Funktion nicht monoton steigend ist. (e) Auch diese Darstellung ist nicht korrekt, da die Funktion nicht ausschließlich gr¨ oßer oder gleich null ist.

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

33

L¨ osung 2.6 (a) F¨ ur die Variablen X1 , X4 und X5 werden S¨aulendiagramme erstellt. Die Variable X3 wird in zwei Histogrammen graphisch dargestellt. Variable X1 : laufendes Konto

Variable X4 : Fr¨ uhere Kredite

34

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

Variable X5 : Verwendungszweck

Zur Erstellung der Histogramme f¨ ur die Variable X3 wird zun¨achst die folgende Tabelle ermittelt:

Klasse [0, 500) [500, 1000) [1000, 1500) [1500, 2500) [2500, 5000) [5000, 7500) [7500, 10000) [10000, 15000) [15000, 20000)

Breite dj 500 500 500 1000 2500 2500 2500 5000 5000

H¨ ohe: Y = 1 0.00002 0.00022 0.00034 0.00019 0.0001 0.000044 0.0000268 0.000014 0.000002

H¨ohe: Y = 0 0.0000428 0.0001828 0.0003972 0.0002457 0.00011428 0.00003884 0.00001484 0.000004 0.00000058

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

Mit Hilfe der Tabelle erh¨ alt man schließlich die folgenden Graphiken: Histogramm f¨ ur das Merkmal Kredith¨ ohe: schlechte Bonit¨at (Y = 1)

30 :

Ho e he 2 0 :

1 0 0 0 10 0 05 :

:

0

.. .... ... .. .... .. .... ... .. .... ... .. .... ... .. .... ... .. .... ... .. .... .. .... ... .. .... ... .. .... ... .. .... .. . . . ... .... .... ....

.. ...... .... .. ...... .... .. ...... .. ...... .... .. ...... .... .. ...... .... .. ...... .... .. ...... .... .. ...... ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ......

0

Y

.................... .............................. .................... .......... .............................. .................... .......... .............................. .................... .......... .............................. .................... .......... .............................. .................... ....................

=1

.............................. .......... .............................. . . . . . . . . . . ........................................ .................... ............................................................ ............................ ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................

2500 5000 10000 15000 Histogramm zur Kreditwurdigkeit

20000

Histogramm f¨ ur das Merkmal Kredith¨ ohe: gute Bonit¨at (Y = 0)

40 :

Ho e he

30 :

20 1 0 0 0 0 10 :

:

05 :

0

.... ... .. .... ... .. ...

0

.... ... .. .... ... .. .... ... .. .... ... .. .... .. .... ... .. .... ... .. .... ... .. .... ... .. .... ... .. ...

...... .. ...... .... .. ...... .... .. ...... .... .. ...... .... .. ...... .... .. ...... .. ...... .... .. ...... .... .. .............. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... .................. ............ ...... ............

Y

.................... .................... .......... .............................. .......... .............................. .................... .......... .............................. .................... .......... .............................. .................... .......... .............................. .................... .......... .............................. ....................

=0

.............................. .......... .............................. .................... . . . . . . . . . . .................... ........................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2500 5000 10000 15000 Histogramm zur Kreditwurdigkeit

20000

35

36

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

(b) Die N¨ aherungswerte f¨ ur die Lagemaße werden wie folgt berechnet. Arithmetisches Mittel: x ¯Y =1

= 0.01 · 250 + 0.1133 · 750 + . . . + 0.01 · 17500 = 3972.625,

x ¯Y =0 x ¯

= 0.0214 · 250 + 0.0914 · 750 + . . . + 0.0029 · 17500 = 3117.18, = 0.3 · 3972.625 + 0.7 · 3117.175 = 3373.81.

Modus und Median: Y =1 Y =0 Gesamt

xmod 3750 3750 3750

xmed 3750 2000 2000

L¨ osung 2.7 Die unterschiedliche Gestalt der Histogramme resultiert aus den unterschiedlichen Klassenbreiten.

L¨ osung 2.8 Der Median und die beiden Quantile ergeben sich mit n = 325 wie folgt: 325 · 0.5 = 162.5 ⇒ xmed 325 · 0.25 = 81.25 ⇒ x0.25 325 · 0.75 = 243.75 ⇒ x0.75

= x(163) = x(82) = x(244)

= = =

0.064, 0.051, 0.085.

L¨ osung 2.9 (a) Arithmetisches Mittel, Varianz, Standardabweichung ergeben sich als: x ¯ s˜2x

= 43.62 Euro, = 724.76 Euro2 ,

s˜x

= 26.92 Euro.

(b) Verwende als Mittelwert den ausreißerunempﬁndlichen Median: xmed = 35.82 Euro (vergleiche dazu x ¯ohne Dez. = 35.56 Euro). (c) Sei Y = Anzahl der telefonierten Einheiten, d.h. Y =

1 X − 12.30 Euro = X − 205 . 0.06 Euro 0.06

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

37

Unter Verwendung der Regeln f¨ ur lineare Transformationen erh¨alt man 1 x ¯ − 205 = 522 , 0.06 1 s˜x = 448.69 . 0.06

y¯ = s˜y

=

L¨ osung 2.10 (a) Als Durchschnittspreis und als h¨ auﬁgsten Preis ermittelt man x ¯ = xmod =

4.27, 3.00.

(b) Bestimme zun¨ achst eine geordnete Urliste: x(i) Preis (Euro) x(i) Preis (Euro)

x(1) 2.50 x(6) 4.43

x(2) 3.00 x(7) 5.50

x(3) 3.00 x(8) 6.25

x(4) 3.50 x(9) 6.50

x(5) 3.75

Mit Hilfe der geordneten Urliste erh¨ alt man = = =

x0.25 x0.5 x0.75

x(3) x(5) x(7)

= = =

3.00, 3.75, 5.50.

(c) Wegen x ¯ > xmed > xmod lassen die Lageregeln in Abschnitt 2.2.1 in Fahrmeir et al. (2004) auf eine linkssteile Verteilung schließen. (d) Box-Plot: ENJOY .............................................................................. ... ... ... ... ... .... .. ... ... ... .. ... ... ... ...................... . ................................... . ... .. ... .... .... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . ...........................................................................

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7

8

9

10

Box-Plot: SAFERSEX ................................................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . .... . ............................... . . ................ . .. . .. .. ... .... ... .... ... ... ... ... ... ... . . .. . . ...............................................................

2

3

4

5

6

38

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

Die Kondome von ENJOY sind im Mittel teurer als Kondome von SAFERSEX. Außerdem streuen die Preise von ENJOY mehr als die Preise von SAFERSEX. (e) Deﬁniere Z = Preis der Kondome nach der Preiserh¨ohung = 1.2X. Damit erh¨ alt man z¯ z0.5 zmod

= = =

5.12, 4.50, 3.60.

(f) x ¯ wird gr¨ oßer, x0.5 und xmod bleiben gleich, da sich in der geordneten andert. Urliste lediglich x(9) ¨

L¨ osung 2.11 (a) Die geforderten Maßzahlen berechnen sich wie folgt: x ¯ = s˜2

=

s˜ = υ

=

910 = 82.7273, 11 n 1 2 81700 − 82.72732 = 583.4666, x − x¯2 = 11 i=1 i 11 24.1551, s˜ = 0.292. x ¯

(b), (c) Die empirische Verteilungsfunktion hat die folgende Gestalt, wobei in der graphischen Darstellung die Quantile eingezeichnet sind:

F (x)

1.00 6 0.75 0.50 0.25

•......................................... •.................................................................

•...........................................

....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...... .. ... .. . .................................... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .. .... ............. . ... . ..... ... ... ........... .. . ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .... ... .. ..... . ....................... ... ... ... ... ... .. .. .. .. ........ ......... ....... . . .. . ... ... ....... . . . . . .... .... ........... . . .. .. ... .. .. .. ... ... ... ... .. ... . 0.25 ...

•

•

0

x

•

•

-

50

100

= 65

x0.75 = 90

xmed = 75

150

x

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

39

Der Box-Plot der Ums¨ atze ergibt sich wie folgt: ............................................................ ... ... ..... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ......................... . ............................................................................................................... ... ... .... .... .... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .........................................................

50

70

90

110

130

150

1 1 xi . F¨ ur die Quartile und den Variati(d) Setze yi = , d.h. a = = s˜ s˜ 24.155 onskoeﬃzienten erh¨ alt man:

y0.25

=

ymed

=

y0.75

=

υy

=

65 x0.25 = 24.155 24.155 75 xmed = 24.155 24.155 90 x0.75 = 24.155 24.155 1 s˜y s˜x = = y x/˜ sx x

= 2.69, = 3.105, = 3.726, = υx = 0.292.

L¨ osung 2.12 (a) Den geringsten Stromverbrauch weisen Ger¨ate von Markenherstellern auf. Auch Computer von Direktanbietern haben einen geringeren Stromverbrauch als Computer von Billiganbietern, die mit Abstand den gr¨oßten Stromverbrauch aufweisen. Die Streuung ist bei Direktanbietern am gr¨ oßten, gefolgt von den Billiganbietern und den Markenherstellern. (b) Das arithmetische Mittel und die empirische Standardabweichung bestimmt man als: x ¯ = = s˜2

=

= s˜ =

1 (45 · 2.3 + 35 · 1.6 + 50 · 1.4) 45 + 35 + 50 1.76, 1 45 · 0.32 + 35 · 0.42 + 50 · 0.22 + 130 1 45 · (2.3 − 1.76)2 + 35 · (1.6 − 1.76)2 + 50 · (1.4 − 1.76)2 130 0.247, √ s˜2 = 0.497.

40

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

L¨ osung 2.13 Es gilt n

(xi − x¯) =

i=1

= = =

(x1 − x ¯) + (x2 − x ¯) + . . . + (xn − x ¯) x1 + x2 + . . . + xn − n · x¯ 1 x1 + x2 + . . . + xn − n · (x1 + x2 + . . . + xn ) n 0.

L¨ osung 2.14 Es bezeichnen xj1 , . . . , xjnj die Daten in der j-ten Schicht, j = 1, . . . , r. Dann gilt f¨ ur das arithmetische Mittel x¯

=

= =

1 (x11 + x12 + . . . + x1n1 + n x21 + x22 + . . . + x2n2 + ... xr1 + xr2 + . . . + xrnr ) 1 (n1 · x¯1 + n2 · x ¯ 2 + . . . + nr · x ¯nr ) n r 1 nj x ¯j . n j=1

L¨ osung 2.15 (a) Man bestimmt die folgenden Lagemaße: x ¯1950

=

x ¯1970

=

x ¯1990

=

x1950 med

=

x1970 med

=

x1990 med

=

x1950 mod

=

1 (0.5 · 5 + · · · + 9.5 · 3) = 5.71, 121 1 (0.5 · 6 + · · · + 9.5 · 2) = 4.63, 117 1 (0.5 · 35 + · · · + 9.5 · 1) = 2.13, 97 1 · (0.5 − 0.48) = 6.12, 6+ 0.17 1 · (0.5 − 0.32) = 4.72, 4+ 0.25 1 · (0.5 − 0.36) = 1.56, 1+ 0.25 7.5,

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

x1970 mod x1990 mod

= =

41

4.5, 0.5.

(b) An den im Laufe der Jahre kleiner werdenden Lagemaßen l¨aßt sich ablesen, daß die Leser der Zeitschrift immer weniger Zeit mit Radioh¨oren verbringen.

L¨ osung 2.16 Die monatlichen Zinss¨ atze ri sind Wachstumsraten. Den durchschnittlichen Jahreszins f¨ ur 1993 erh¨ alt man als geometrisches Mittel der Wachstumsfaktoren xi = 1 + ri : Monat Jan Feb Mrz Apr Mai Jun xi 1.0713 1.0654 1.0626 1.0646 1.0642 1.0634 Monat Jul Aug Sep Okt Nov Dez xi 1.0599 1.0576 1.0575 1.0545 1.0513 1.0504

x¯geom

1

= (x1 · x2 · . . . · x12 ) 12 1

= (1.0713 · 1.0654 · . . . · 1.0504) 12 = 1.0602. Der durchschnittliche Jahresumsatz betr¨ agt somit 6.02 Prozent.

L¨ osung 2.17 (a) Als sinnvoller Durchschnittswert f¨ ur Bernds Laufgeschwindigkeit wird ein gewichtetes harmonisches Mittel bestimmt. Seien dazu li = L¨ange des i-ten Streckenabschnitts und xi = Geschwindigkeit auf dem i-ten Streckenabschnitt, i = 1, 2, 3. Dann gilt: x ¯har =

l1 + l2 l1 l2 x1 + x2

+ l3 25 + 15 + 2 = 25 15 2 = 14.916. l3 + x3 17 + 12 + 21

Bernds durchschnittliche Laufgeschwindigkeit betr¨agt somit 14.9 km/h. (b) Bernd war 42/14.916 = 2.816 Stunden unterwegs.

42

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

L¨ osung 2.18

j

(a) Es gilt mit uj = j/n, vj =

F

= = =

i=1

xi /

n i=1

n xi , V˜ = i=1 xi :

1 1 u1 v1 + (u2 − u1 )v1 + (u2 − u1 )(v2 − v1 ) + . . . 2 2 n 1 1 u1 v1 + (ui − ui−1 )vi−1 + (ui − ui−1 )(vi − vi−1 ) 2 2 i=2 n 1 1 xi 11 1 v1 + vi−1 + 2n n 2 n V˜ i=2

=

n−1 n v1 1 1 + vi + xi 2n n i=1 2nV˜ i=2

=

n vn 1 x1 v1 1 − + V − xi + 2n n n 2nV˜ 2nV˜ i=1

= = =

1 v1 1 v1 − 2vn + V − + 2n n 2n 2n −2vn 1 1 1 1 + V + = V − 2n n 2n n 2n 1 (2V − 1). 2n

(b) Daraus folgt G=

1 1 1 1 − (2V − 1) / = (n + 1 − 2V ) 2 2n 2 n

und damit G∗ =

n + 1 − 2V n G= . n−1 n−1

L¨ osung 2.19 Aus den Angaben erstellt man die folgende Tabelle: j

uj

x 5 j

j=1

1 2 3 4 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

xj

0.1 0.1 0.1 0.35 0.35

vj 0.1 0.2 0.3 0.65 1.0

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

43

Mit Hilfe der Tabelle erh¨ alt man folgende Lorenzkurve:

Den Gini-Koeﬃzienten erh¨ alt man mit

G

=

2

n

n

j=1 n

jxj

j=1

xj

2 n+1 xj n+1 = j − n n j=1 n j=1 nxj n

−

2 6 (1 · 0.1 + 2 · 0.1 + 3 · 0.1 + 4 · 0.35 + 5 · 0.35) − 5 5 = 0.3. =

Haben vier der f¨ unf Hersteller kein Großger¨ at verkauft, so ergibt sich die Tabelle: j

uj

x 5 j

j=1

1 2 3 4 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 0 0 0 1.0

xj

vj 0 0 0 0 1.0

und daraus der Gini-Koeﬃzient als G=

2 6 · 5 · 1 − = 0.8. 5 5

44

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

Die Lorenzkurve ist gegeben durch

L¨ osung 2.20 Aus den Angaben erstellt man die folgende Tabelle: klein mittel groß

hi 5 4 1

fi u i 0.5 0.5 0.4 0.9 0.1 1

h i ai 5 · a1 6 a3 Summe = 15

Damit berechnet sich aus dem Gini-Koeﬃzient G = 0.42 mit k j=1 (uj−1 + uj )hj aj G = −1 k j=1 hj aj 0.5 · 5a1 + 1.4 · 6 + 1.9a3 = −1 15 1 = (2.5a1 + 1.9a3 ) − 0.44 = 0.42. 15 Daraus folgt 2.5a1 + 1.9a3 = 12.9. Ferner gilt 5a1 + 6 + a3 = 15, d.h. a3 = 9 − 5a1 . In obige Gleichung eingesetzt ergibt sich: 2.5a1 + 1.9(9 − 5a1 ) ⇐⇒ ⇐⇒

7a1 a1

= 12.9 = 4.2 = 0.6.

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

45

Man erh¨ alt a3 = 9 − 5 · 0.6 = 6. Die f¨ unf kleinen Unternehmen erzielen somit zusammen einen Umsatz von 3 Mio Euro, die vier mittleren erreichen zusammen 6 Mio Euro, und das gr¨oßte erwirtschaftet alleine 6 Mio Euro. L¨ osung 2.21 (a) Bezeichne xi den Umsatz der i-ten Facharztniederlassung. Jede der 5 kleinen Praxen hat einen Umsatz von 0.3/5 = 0.06 Mio Euro . Die große Praxis hat insgesamt 0.6 Mio Euro Umsatz. Schließlich haben die 4 mittleren Praxen zusammen einen Umsatz von 1.5−0.3−0.6 = 0.6 Mio Euro , jede einzelne also 0.15 Mio Euro Umsatz. Als Tabelle ergibt sich: Praxis i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ui 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

xi 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.15 0.15 0.15 0.15 0.6

xi 0.06 0.12 0.18 0.24 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 1.5

vi 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1

0.8 0.2

0.4

0.6

(0.9 ; 0.6)

(0.5 ; 0.2)

0.0

Anteile des Gesamteinkommens

1.0

Die Lorenzkurve hat die Form:

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Anteile der Niederlassungen

1.0

46

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

Mit den Formeln aus Aufgabe 2.18 ergibt sich: G∗ =

11 − 2 · 3.4 n + 1 − 2V = = 0.46 n−1 9

mit V =

10 i=1

Aus der H¨ auﬁgkeitstabelle Klasse klein mittel groß

hi 5 4 1

ai 0.06 0.15 0.6

ui 0.5 0.9 1

h i ai 0.3 0.6 0.6

vi 0.2 0.6 1

ergibt sich der Gini-Koeﬃzient aus k G = = = G∗

=

j=1 (uj−1 k j=1

+ uj )hj aj

−1 h j aj 0.5 × 0.3 + 1.4 × 0.6 + 1.9 × 0.6 −1 0.3 + 0.6 + 0.6 0.42, n 10 G= 0.42 = 0.46. n−1 9

(b) Die neue Tabelle hat die Form: Praxis i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ui 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

xi 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.15 0.15 0.15 0.15 0.9

xi 0.06 0.12 0.18 0.24 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 1.8

vi 0.033 0.066 0.099 0.133 0.166 0.25 0.33 0.41 0.5 1

vi = 3.4.

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

47

0.8 0.6 0.2

0.4

(0.9 ; 0.5)

(0.5 ; 0.166)

0.0

Anteile des Gesamteinkommens

1.0

Die Lorenzkurve ist damit gegeben durch:

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Anteile der Niederlassungen

Unter Ber¨ ucksichtigung der Formeln aus Aufgabe 2.18 berechnet sich der Gini-Koeﬃzient als G∗ =

11 − 2 · 2.987 11 − 2V = = 0.558 9 9

mit

V =

10

vi = 2.987.

i=1

Ein Vergleich der beiden Gini-Koeﬃzienten zeigt, daß die Konzentration zunimmt. (c) Es gibt nunmehr nur noch sieben Praxen, f¨ unf kleine Praxen mit einem Umsatz von jeweils 0.06 Mio Euro, eine mittlere mit 0.6 Mio Euro Umsatz und eine große Praxis mit 0.9 Mio Euro Umsatz. Klasse klein mittel groß

ni 5 1 1

jew. Umsatz 0.06 0.6 0.9

Als Tabelle ergibt sich: Praxis i 1 2 3 4 5 6 7

ui 0.143 0.286 0.429 0.571 0.714 0.857 1

xi 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 0.6 0.9

xi 0.06 0.12 0.18 0.24 0.3 0.9 1.8

vi 0.033 0.066 0.099 0.133 0.166 0.5 1

48

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

0.8 0.6 0.2

0.4

(0.85 ; 0.5)

(0.71 ; 0.166)

0.0

Anteile des Gesamteinkommens

1.0

Damit erh¨ alt man als Lorenzkurve:

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Anteile der Niederlassungen

Der Gini-Koeﬃzient bestimmt sich durch G∗ =

8−2·2 2 8 − 2V = = 6 6 3

mit

V =

7

vi = 2.

i=1

(Hinweis: Im vorliegenden Fall lassen sich keine allgemeinen Aussagen treﬀen, d. h. die Konzentration kann zu- oder abnehmen.)

L¨ osung 2.22 Graﬁk a) ist eine Lorenzkurve. Es handelt sich um eine monotone konvexe Kurve. Das kleinste Unternehmen hat einen Umsatz von 10%, das 2. kleinste von 20%, das N¨ achste einen Umsatz von 30% und das gr¨oßte Unternehmen von 40%. Graﬁk b) ist ebenfalls eine Lorenzkurve. Die Funktion ist wieder monoton und konvex. Die drei kleinsten Unternehmen haben keinen Umsatz, das gr¨ oßte Unternehmen macht 100% des Umsatzes (maximale Konzentration). Graﬁk c) stellt keine Lorenzkurve dar, da die Funktion nicht durch den Punkt (1,0) gehen darf. Graﬁk d) ist ebenfalls keine Lorenzkurve, da die dargestellte Funktion nicht monoton steigend ist. Der Ginikoeﬃzient f¨ ur die Lorenzkurve aus Graﬁk a) ist gegeben durch G∗ =

4 + 1 − 2(4 + 1 − 2(0.1 + 0.3 + 0.6 + 1) 1 n + 1 − 2V = = . n−1 3 3

2. Univariate Deskription und Exploration von Daten

49

F¨ ur Graﬁk b) erhalten wir G∗ =

4 + 1 − 2(0 + 0 + 0 + 1) = 1. 3

Zur Berechnung von G∗ haben wir die Ergebnisse aus Aufgabe 2.18 verwendet.

L¨ osung 2.23 Ein Momentenkoeﬃzient von gm = 1.72 in der linken Spalte weist auf eine linkssteile Verteilung hin, genauso wie ein positiver Quartilskoeﬃzient von olbungsmaß γ = 6.58 spricht f¨ ur eine u g0.25 = 0.16. Das W¨ ¨ berdurchschnittlich gew¨ olbte Verteilung. Dies triﬀt unter den drei Datenbeispielen auf die Nettomieten zu, die in dem NQ-Plot eine unsymmetrische linkssteile Verteiur lung zeigen. In der mittleren Spalte stehen g0.25 = 0.06 und gm = −0.17 f¨ eine eher symmetrische Verteilung, die aber aufgrund von γ = 8.01 relativ spitz ist und u ugt. Wegen ¨ ber breitere Enden als die Normalverteilung verf¨ der vielen Ausreißer triﬀt dies auf die Renditen der BMW-Aktie zu. In der rechten Spalte weist ein negativer Momentenkoeﬃzient gm = −0.49 auf eine rechtssteile Verteilung hin, die wegen γ = 0.17 wenig gew¨olbt ist. Dies paßt zu der Lebensalterverteilung der Magenkrebspatienten, die um den Median eher symmetrisch ist, so daß g0.25 = 0 gilt, aber aufgrund des hohen Alters mehrerer Patienten ansonsten eine rechtssteile Gestalt zeigt.

L¨ osung 2.24 Das rechte Bild zeigt einen glatteren Verlauf des Kerndichtesch¨atzers, was einer gr¨ oßeren Bandbreite, hier also 2, entspricht. Dem linken Bild liegt die kleinere Bandbreite gleich 1 zugrunde.

3 Multivariate Deskription und Exploration

Aufgaben Aufgabe 3.1 In der sogenannten Sonntagsfrage wird regelm¨ aßig die folgende Frage gestellt: “Welche Partei w¨ urden Sie w¨ahlen, wenn am n¨achsten Sonntag Bundestagswahl w¨are?” . F¨ ur den Befragungszeitraum 11.1.–24.1.1995 ergab sich die folgende Kontingenztafel M¨ anner Frauen

CDU/CSU 144 200 344

SPD 153 145 298

FDP 17 30 47

Gr¨ une 26 50 76

Rest 95 71 166

435 496 931

Bei der Untersuchung des Zusammenhangs zwischen dem Geschlecht und der Parteipr¨ aferenz betrachte man die sich ergebenden (2 × 2)-Tabellen, wenn man die CDU/CSU jeweils lediglich einer anderen Partei gegen¨ uberstellt. Bestimmen und interpretieren Sie jeweils die relativen Chancen, den χ2 Koeﬃzienten und den Kontingenzkoeﬃzienten. (L¨osung siehe Seite 61)

Aufgabe 3.2 In einem Experiment zur Wirkung von Alkohol auf die Reaktionszeit wurden insgesamt 400 Versuchspersonen zuf¨ allig in zwei Gruppen aufgeteilt. Eine der beiden Gruppen erhielt dabei eine standardisierte Menge Alkohol. Abschließend ergab sich die folgende Kontingenztabelle

ohne Alkohol mit Alkohol

gut 120 60

Reaktion mittel stark verz¨ogert 60 20 100 40

52

3. Multivariate Deskription und Exploration

(a) Bestimmen Sie die Randh¨ auﬁgkeiten dieser Kontingenztabelle, und interpretieren Sie diese, soweit dies sinnvoll ist. (b) Bestimmen Sie diejenige bedingte relative H¨auﬁgkeitsverteilung, die sinnvoll interpretierbar ist. (c) Bestimmen Sie den χ2 - und den Kontingenzkoeﬃzienten. (d) Welche relativen Chancen lassen sich aus dieser Kontingenztafel gewinnen? (L¨osung siehe Seite 62)

Aufgabe 3.3 Die im folgenden gegebene Kontingenztafel mit relativen H¨auﬁgkeiten ist unvollst¨ andig. Vervollst¨ andigen Sie die Tabelle unter der Annahme, daß die beiden Merkmale unabh¨angig sind. a1 a2

b1 0.16

b2

b3 0.8 0.06

(L¨osung siehe Seite 63)

Aufgabe 3.4 (a) Zeigen Sie χ2 = n

k m (fij − fi. f.j )2 fi. f.j i=1 j=1

(b) Wie ¨ andert sich χ2 , wenn der Stichprobenumfang verdoppelt wird (bei gleichbleibenden relativen H¨ auﬁgkeiten)? (L¨osung siehe Seite 64)

Aufgabe 3.5 Der Fachserie 16 “Bildung und Wissenschaft” des statistischen Bundesamts 1998 k¨ onnen Sie folgende gemeinsame Verteilung der Merkmale Schulart und Staatsangeh¨ origkeit von Sch¨ ulern an bayerischen weiterf¨ uhrenden Schulen entnehmen:

3. Multivariate Deskription und Exploration

Schulart Hauptschule Realschule Gymnasium

53

Staatsangeh¨origkeit deutsch ausl¨andisch 173244 145917 154255 7323 290057 10043

Bestimmen Sie (a) die gemeinsame Verteilung von Schulart und Staatsangeh¨origkeit und die Randverteilung der beiden Merkmale in relativen H¨auﬁgkeiten. (b) die bedingten Verteilungen der Schulart gegeben die Staatsangeh¨origkeit. Beschreiben Sie mit Hilfe der berechneten Verteilungen, welcher Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen der Tendenz nach besteht. (c) Beurteilen Sie diesen Zusammenhang mit einem geeigneten statistischen Maß. (L¨osung siehe Seite 64)

Aufgabe 3.6 In einer Studie zur Auswirkung von Fernsehprogrammen mit gewaltt¨atigen Szenen auf das Sozialverhalten von Kindern wurden ein Aggressivit¨atsscore Y , die Zeitdauer in Minuten X, w¨ ahrend der das Kind pro Tag gew¨ohnlich solche Sendungen sieht, und das Geschlecht Z des Kindes mit 1 = weiblich und 0 = m¨ annlich erfaßt. Sowohl der Aggressivit¨atsscore als auch die Zeitdauer lassen sich wie metrische Variablen behandeln. Nehmen wir folgende Beobachtungen f¨ ur eine zuf¨ allig ausgew¨ ahlte Kindergartengruppe an: i yi xi zi

1 4 10 0

2 5 50 0

3 2 30 0

4 6 70 0

5 6 80 0

6 8 60 0

7 7 90 0

8 2 40 1

9 7 10 1

10 3 20 1

11 5 30 1

12 1 50 1

13 3 60 1

(a) Zeichnen Sie ein Streudiagramm f¨ ur die 13 Kinder, und berechnen Sie den Korrelationskoeﬀizienten nach Bravais-Pearson zwischen X und Y ohne Ber¨ ucksichtigung des Geschlechts. (b) Zeichen Sie nun f¨ ur Jungen und M¨ adchen getrennt jeweils ein Streudiagramm, und berechnen Sie f¨ ur beide Geschlechter den Korrelationskoeﬀizienten. (c) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse aus (a) und (b). Welche Art von Korrelation beobachten Sie hier, und wie ¨ andert sich Ihre Interpretation des Zusammenhangs zwischen aggressivem Verhalten und dem Beobachten gewaltt¨ atiger Szenen im Fernsehen? (L¨osung siehe Seite 66)

54

3. Multivariate Deskription und Exploration

Aufgabe 3.7 Ein Medikament zur Behandlung von Depressionen steht im Verdacht, als Nebenwirkung das Reaktionsverm¨ ogen zu reduzieren. In einer Klinik wurde deshalb eine Studie durchgef¨ uhrt, an der zehn zuf¨allig ausgew¨ahlte Patienten teilnahmen, die das Pr¨ aparat in verschiedenen Dosierungen verabreicht bekamen. Das Reaktionsverm¨ ogen wurde mit Hilfe des folgenden Experiments gemessen: Der Patient mußte einen Knopf dr¨ ucken, sobald er ein bestimmtes Signal erhalten hat. Die Zeit zwischen Signal und Knopfdruck wurde als Maß f¨ ur das Reaktionsverm¨ ogen betrachtet. Es ergeben sich folgende Werte f¨ ur die Dosierung X in mg und die dazugeh¨ orige Reaktionszeit Y in Sekunden: i xi yi

1 1 1

2 5 6

3 3 1

4 8 6

5 2 3

6 2 2

7 10 8

8 8 5

9 7 6

10 4 2

(a) Was sagt das Streudiagramm u ¨ ber den Zusammenhang von X und Y aus? (b) Passen Sie eine Gerade an die beobachteten Datenpunkte unter Verwendung der Kleinste-Quadrate Methode an. Beurteilen Sie die G¨ ute Ihrer Anpassung. Nutzen Sie, daß der Korrelationskoeﬃzient nach Bravaisagt. Was sagt dieser Wert u Pearson rXY hier 0.8934 betr¨ ¨ ber den Zusammenhang von X und Y aus? (c) Ein Patient wird mit einer Dosis von 5.5 mg des Medikaments behandelt. Welche Reaktionszeit prognostizieren Sie? (d) Wie l¨ aßt sich der in (b) gesch¨ atzte Steigungsparameter interpretieren? Hinweis: 10

xi = 50,

i=1

10

x2i = 336,

i=1

10 i=1

yi = 40,

10 i=1

yi2 = 216,

10

xi yi = 262.

i=1

(L¨osung siehe Seite 69)

Aufgabe 3.8 Bei einer Studie zur Situation ausl¨ andischer Kinder in deutschen Kinderg¨ arten wurden zehn ausl¨ andische Kinder eines M¨ unchner Kindergartens untersucht. Dabei interessierte vor allem, welche Bedeutung der Erwerb der deutschen Sprache f¨ ur die Integration der Kinder in die Gruppe hat. Dazu wurde der Grad der Integration u ¨ ber verschiedene Variablen, wie zum Beispiel die Anzahl der Spielkontakte mit deutschen Kindern, erfaßt. Jedes Kind erhielt einen Integrationsscore auf einer Skala von 0 (v¨ollige Isolation) bis 10 (v¨ ollige Integration). Außerdem nahmen die zehn Kinder an einem Sprachtest teil. In diesem Test konnten die Kinder 0 (keinerlei Kenntnisse der deutschen Sprache) bis 20

3. Multivariate Deskription und Exploration

55

(mit gleichaltrigem deutschen Kind vergleichbare Kenntnisse der deutschen Sprache) Punkte erzielen. Die Tabelle zeigt die Ergebnisse f¨ ur die zehn Kinder: Kind Ergebnis des Sprachtests Integrationsscore

1 15 9

2 4 0

3 10 8

4 7 7

5 20 10

6 5 2

7 0 1

8 3 3

9 8 4

10 12 6

(a) Tragen Sie die Daten in ein Streudiagramm ein. (b) Berechnen Sie den Rangkorrelationskoeﬃzienten nach Spearman. Verteilen Sie dazu zun¨ achst die R¨ ange in beiden Datenreihen. (c) In einem anderen Kindergarten ergab sich f¨ ur vier ausl¨andische Kinder folgendes Streudiagramm: Integrationsscore 10

6 c

5

c c

1

c 1

5

10

15 Ergebnis Sprachtest

Welchen Wert w¨ urden Sie hier f¨ ur den Rangkorrelationskoeﬃzienten erwarten (Rechnung ist nicht erforderlich)? W¨are der Korrelationskoeﬃzient von Bravais-Pearson hier kleiner, gleich oder sogar gr¨oßer als der von Spearman? Begr¨ unden Sie Ihre Antworten. (L¨osung siehe Seite 70)

56

3. Multivariate Deskription und Exploration

Aufgabe 3.9 Bei der Untersuchung des Zusammenhangs zwischen zwei Variablen X und Y ergaben sich folgende Beobachtungen i xi yi

1 1 −.09

2 2 2.37

3 3 3.14

4 4 4.26

5 5 5.48

6 6 4.77

7 7 7.3

8 8 6.45

9 9 9.14

10 10 11.13

11 20 0

Wenn nur die ersten zehn Beobachtungen ber¨ ucksichtigt werden, erh¨alt man als Korrelationskoeﬃzient nach Bravais-Pearson rXY = 0.9654 und als Rangkorrelationskoeﬁzient nach Spearman rSP = 0.9758. (a) Zeichnen Sie zun¨ achst ein Streudiagramm zwischen Y und X unter Ber¨ ucksichtigung aller Daten (also auch der elften Beobachtung). (b) Bestimmen Sie nun beide Korrelationskoeﬃzienten unter Ber¨ ucksichtigung aller elf Daten. Verwenden Sie dabei folgende Gr¨oßen, die man bei der Berechnung der Korrelationskoeﬃzienten mit lediglich den ersten y = 383.46 , zehn Datenpunkten erhalten hat: x ¯ = 5.5 , y ¯ = 5.396 , x i i 2 2 xi = 385 , yi = 388.88 . (c) Interpretieren Sie die in (a) und (b) erhaltenen Ergebnisse. (L¨osung siehe Seite 71) Aufgabe 3.10 Die folgende Graphik zeigt das Streudiagramm zwischen zwei Merkmalen y und x. Insgesamt sind f¨ unf Punkte abgebildet, die alle auf einer Geraden liegen. y

6 c

5 c

4 c

3 c

2 1

c

0 1

2

3

4

5

x

3. Multivariate Deskription und Exploration

57

(a) Welchen Wert nehmen rXY und rSP an? (b) Wie ¨ andern sich rXY und rSP , wenn (b1) alle yi (i = 1, . . . , 5) quadriert werden? (b2) der Punkt (x, y) = (5, 5) ersetzt wird durch (8,5), d.h. der Punkt nach rechts verschoben wird? (b3) alle yi (i = 1, . . . , 5) mit −1 multipliziert werden? (b4) alle yi und xi (i = 1, . . . , 5) mit −1 multipliziert werden? (L¨osung siehe Seite 72) Aufgabe 3.11 Wir betrachten den folgenden Datensatz mit n = 11 Beobachtungen der Variablen X1 , X2 , Y1 , Y2 , Y3 und Y4 (Anscomb Daten): x1 10.00 8.00 13.00 9.00 11.00 14.00 6.00 4.00 12.00 7.00 5.00

x2 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 19.00 8.00 8.00 8.00

y1 8.04 6.95 7.58 8.81 8.33 9.96 7.24 4.26 10.84 4.82 5.68

y2 9.14 8.14 8.74 8.77 9.26 8.10 6.13 3.10 9.13 7.26 4.74

y3 7.46 6.77 12.74 7.11 7.81 8.84 6.08 5.39 8.15 6.42 5.73

y4 6.58 5.76 7.71 8.84 8.47 7.04 5.25 12.50 5.56 7.91 6.89

Tabelle 3.1. Datensatz mit den Beobachtungen der Variablen X1 , X2 , Y1 , Y2 , Y3 und Y4 .

(a) Die empirische Kovarianzmatrix der Variablen X1 , X2 , Y1 , Y2 , Y3 und Y4 besitzt die folgende Gestalt:

X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4

X1 11.00 −5.50 5.50 5.50 5.50 −2.12

X2

Y1

Y2

Y3

Y4

11.00 −3.57 −4.84 −2.32 5.50

4.13 3.10 1.93 −2.02

4.13 2.43 −1.97

4.12 −0.64

4.12

Die Matrix gibt die empirischen Kovarianzen zwischen allen beteiligten Variablen an. Aufgrund der Symmetrie der Kovarianz m¨ ussen die Elemente oberhalb der Diagonalen nicht angegeben werden. Zum besseren

58

3. Multivariate Deskription und Exploration

15 10

y2 5 0

0

5

y1

10

15

Verst¨ andnis beachten Sie bitte noch das folgende Ablesebeispiel. Die empirische Kovarianz zwischen X1 und Y1 betr¨agt 5.50, d.h. s˜X1 ,Y1 = 5.50. Die Varianzen der Variablen beﬁnden sich auf der Diagonalen der obigen Kovarianzmatrix. Die Varianz s˜2X1 von X1 ist beispielsweise 11.00. (i) Berechnen Sie unter Zuhilfenahme der gegebenen Kovarianzmatrix die Korrelationskoeﬃzienten (nach Bravais-Pearson) rX1 ,Y1 , rX1 ,Y2 , rX1 ,Y3 und rX2 ,Y4 . Runden Sie bitte Ihre Ergebnisse auf die zweite Nachkommastelle. (ii) Interpretieren Sie Ihre bisherigen Ergebnisse? (b) Abbildung 3.1 zeigt die Streudiagramme der Variablenpaare (X1 , Y1 ), (X1 , Y2 ), (X1 , Y3 ) und (X2 , Y4 ). Zus¨ atzlich wurden die jeweiligen Regressionsgeraden bestimmt. Diese sind bei allen Variablenpaaren identisch, d.h. die gesch¨ atzten Regressionsparameter sind genau gleich mit Werten α ˆ = 3 und βˆ = 0.5. (i) Zeichnen Sie die Regressionsgeraden in Abbildung 3.1 ein. (ii) Wie ¨ andert sich Ihre Interpretation aus Aufgabenteil (a), wenn Ab¨ bildung 3.1 in Ihre Uberlegungen einﬂießt? Welches Fazit k¨onnen Sie ziehen?

0

5

10

15

20

0

5

10

15

20

15

20

10

y4 5 0

0

5

y3

10

15

x1

15

x1

0

5

10

x1

15

20

0

5

10

x2

Abbildung 3.1. Streudiagramme f¨ ur X1 vs. Y1 , X1 vs. Y2 , X1 vs. Y3 und X2 vs. Y4 .

(L¨osung siehe Seite 72)

3. Multivariate Deskription und Exploration

59

Aufgabe 3.12 Shepard und Cooper haben Experimente entwickelt, mit denen sich die Vorstellung r¨ aumlicher Bewegungen n¨ aher untersuchen l¨aßt: Die Versuchsteilnehmer sollten jeweils zwei vom Computer erzeugte perspektivische Strichzeichnungen miteinander vergleichen. Bei einigen Zeichnungen waren die beiden Objekte identisch, aber aus verschiedenen Perspektiven dargestellt. Die Probanden mußten nun m¨ oglichst schnell die beiden Figuren miteinander vergleichen und dann kenntlich machen, ob sie gleich sind oder nicht. Sei X die Drehung einer Zeichnung in der Bildebene, gemessen in Grad, und Y die Reaktionszeit in Sekunden. Beobachtet wurden folgende Werte: xi yi

0 1.15

20 1.65

40 2.00

60 2.46

80 2.77

100 3.15

120 3.66

140 3.95

160 4.45

180 4.69

Nehmen Sie an, daß sich der Zusammenhang zwischen X und Y durch folgende Beziehung beschreiben l¨ aßt: yi = α + βxi + i ,

i = 1, . . . , 10.

(a) Sch¨ atzen Sie α und β aus den obigen Beobachtungen. Wie sieht damit die gesch¨ atzte Regressionsgerade aus? (b) Was l¨ aßt sich u ute der Modellanpassung sagen? Berechnen Sie ¨ber die G¨ dazu das Bestimmtheitsmaß. (L¨osung siehe Seite 74)

Aufgabe 3.13 In einem Schwellenland wurde eine Studie durchgef¨ uhrt, die den Zusammenhang zwischen Geburtsgewicht von Kindern und zahlreichen sozio¨okomischen Variablen untersucht. Hier sei speziell der Zusammenhang zwischen dem Geburtsgewicht und dem monatlichen Einkommen von Interesse. Es wurden acht Kinder zuf¨ allig ausgew¨ ahlt und f¨ ur diese sowohl das Geburtsgewicht Y in Pfund als auch das monatliche Einkommenen X der Eltern in 1000 Einheiten der Landesw¨ ahrung erfaßt. Die Daten sind in der folgenden Tabelle zusammengefaßt. Kind i Einkommen xi Geburtsgewicht yi

1 2.7 5

2 1.9 6

3 3.1 9

4 3.9 8

5 4.0 7

6 3.4 6

7 2.1 7

8 2.9 8

(a) Tragen Sie die Beobachtungen in ein Streudiagramm ein. (b) Man m¨ ochte nun anhand des Einkommens mit Hilfe eines linearen Regressionsmodells yi = α + βxi + εi , i = 1, . . . , n, das Geburtsgewicht vorhersagen.

60

3. Multivariate Deskription und Exploration

Sch¨ atzen Sie die Regressionsgerade, und zeichnen Sie diese in das Streuungsdiagramm. Ein Ehepaar verdient 3 × 1000 Einheiten der Landesw¨ahrung im Monat. Welches Geburtsgewicht prognostizieren Sie? (c) Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß. Was sagt es hier aus? Glauben Sie, daß das Einkommen zur Vorhersage des Geburtsgewichts geeignet ist (mit Begr¨ undung)? Hinweis: 8

xi = 24,

i=1

8

x2i = 76.1,

8

i=1 8

xi yi = 170.3,

i=1

(L¨osung siehe Seite 75)

i=1 8 i=1

yi = 56,

8

yi2 = 404,

i=1

yˆi2 = 393.3, SQR = 10.7.

3. Multivariate Deskription und Exploration

61

L¨ osungen L¨ osung 3.1 Zun¨ achst betrachtet man die (2 × 2)-Tabelle, die sich ergibt, wenn man die CDU/CSU der SPD gegen¨ uberstellt: CDU/CSU SPD M¨ anner 144 153 297 Frauen 200 145 345 344 298 642 Daraus berechnet man γ χ2 K K∗

0.9412 144/153 = = 0.6828, 200/145 1.3793 642 · (144 · 145 − 153 · 200)2 = 5.7745, =

297 · 344 · 298 · 345 5.7745 = = 0.0944, 642 + 5.7745 K K 0.0944 = 0.1335 mit = = = √ Kmax M−1 0.5 =

M = min{2, 2} = 2.

M

Entsprechend erh¨alt man die (2 × 2)-Tabelle CDU/CSU vs. FDP: CDU/CSU FDP M¨ anner 144 17 161 Frauen 200 30 230 344 47 391 mit

γ = 1.2706, χ2 = 0.5528, K = 0.0376, K ∗ = 0.0532.

Abschließend ergibt sich die (2 × 2)-Tabelle CDU/CSU vs. Gr¨ une als: CDU/CSU Gr¨ une M¨ anner 144 26 170 Frauen 200 50 250 344 76 420 mit

γ = 1.3846, χ2 = 1.5112, K = 0.0599, K ∗ = 0.0847.

62

3. Multivariate Deskription und Exploration

L¨ osung 3.2 (a) Man erh¨ alt die folgende Kontingenztafel inklusive Randh¨auﬁgkeiten; bei den Werten in Klammern handelt es sich um die absoluten H¨auﬁgkeiten, wenn Unabh¨ angigkeit vorliegt. Diese werden in der L¨osung von Teilaufgabe (c) ben¨ otigt.

ohne Alkohol mit Alkohol

gut 120 (90) 60 (90) 180

Reaktion mittel stark verz¨ogert 60 20 (80) (30) 100 40 (80) (30) 160 60

200 200 400

Die 400 Personen wurden jeweils zu gleichen Anteilen in die beiden Gruppen mit und ohne Alkohol eingeteilt. Insgesamt zeigten die allermeisten Versuchspersonen eine gute oder mittlere Reaktionszeit. Lediglich 60 (15 Prozent) zeigten eine stark verz¨ ogerte Reaktionszeit. (b) Als bedingte relative H¨ auﬁgkeitsverteilung, gegeben die Person war alkoholisiert, ergibt sich:

mit Alkohol

gut 0.3

Reaktion mittel stark verz¨ogert 0.5 0.2

1

Entsprechend ermittelt man als bedingte relative H¨auﬁgkeitsverteilung, gegeben die Person war nicht alkoholisiert:

ohne Alkohol

gut 0.6

Reaktion mittel stark verz¨ogert 0.3 0.1

1

Ein Vergleich der beiden relativen H¨ auﬁgkeitsverteilungen zeigt, daß die Reaktionszeiten bei alkoholisierten Personen insgesamt schlechter sind als in der Gruppe ohne Alkohol. W¨ ahrend in der Gruppe der nicht alkoholisierten Personen insgesamt 60 Prozent eine gute Reaktionszeit aufweisen, sind dies in der Gruppe der alkoholisierten Gruppe lediglich 30 Prozent. (c) Die Assoziationsmaße berechnen sich als χ2

K K∗

(60 − 80)2 (20 − 30)2 (120 − 90)2 + + + 90 80 30 (60 − 90)2 (100 − 80)2 (40 − 30)2 + + = 36.67, 80 30

90 36.67 = 0.29, = 400 + 36.67 0.29 = = 0.41. =

1 2

3. Multivariate Deskription und Exploration

63

(d) Relative Chancen lassen sich jeweils f¨ ur (2 × 2)–Tafeln berechnen: – F¨ ur die Kategorien der Reaktion gut / mittel ergibt sich 120/60 = 3.33. 60/100

γ=

– F¨ ur die Kategorien gut / stark verz¨ ogert erh¨alt man γ=

120/20 = 4. 60/40

– F¨ ur die Kategorien mittel / stark verz¨ ogert erh¨alt man γ=

60/20 = 1.2. 100/40

L¨ osung 3.3 Die fehlenden Werte ergeben sich unter Beachtung der Unabh¨angigkeit aus den folgenden Berechnungen: f2· = 1 − 0.8 = 0.2, f·1 · 0.8 = 0.16 ⇒ f·1 = 0.2, f21 f22

= 0.2 − 0.16 = 0.04, = 0.2 − 0.04 − 0.06 = 0.1,

f2· · 0.2 = 0.1

⇒

f·2 = 0.5,

f12 f·3

= 0.5 − 0.1 = 0.4, = 1 − 0.2 − 0.5 = 0.3,

f13

= 0.3 − 0.06 = 0.24.

Schließlich erh¨ alt man die vollst¨ andige Tabelle: a1 a2

b1 0.16 0.04 0.2

b2 0.4 0.1 0.5

b3 0.24 0.06 0.3

0.8 0.2 1

64

3. Multivariate Deskription und Exploration

L¨ osung 3.4 (a) Es gilt:

χ2

=

k m (hij − i=1 j=1

= n

hi. h.j 2 n ) hi. h.j n

=

k m n2 (fij − fi. f.j )2 nfi. f.j i=1 j=1

m k (fij − fi. f.j )2 fi. f.j i=1 j=1

(b) Teilaufgabe (a) entnimmt man, daß sich bei Verdoppelung des Stichprobenumfangs auch χ2 verdoppelt.

L¨ osung 3.5 (a) Mit n = 780839 ergeben sich folgende relative H¨auﬁgkeiten:

Schulart

Hauptschule Realschule Gymnasium

Staatsangeh¨origkeit deutsch ausl¨andisch 0.222 0.187 0.198 0.009 0.371 0.013 0.791 0.209

0.409 0.207 0.384 1

Als Berechnungsbeispiel dient die erste Zelle. Man erh¨alt 173244 780839 = 0.222. (b) Die bedingte Verteilung der Schulart gegeben die Staatsangeh¨origkeit deutsch ist gegeben als

Schulart

Hauptschule Realschule Gymnasium

deutsch absolut relativ 173244 0.281 154255 0.249 290057 0.470 617556 1

F¨ ur die erste Zeile ergibt sich beispielsweise 173244 617556 = 0.281. Die bedingte Verteilung der Schulart unter der Bedingung, daß die Staatsangeh¨ origkeit ausl¨ andisch ist, ergibt sich dagegen als

Schulart

Hauptschule Realschule Gymnasium

ausl¨andisch absolut relativ 145917 0.894 7323 0.045 10043 0.061 163283 1

3. Multivariate Deskription und Exploration

65

Die bedingten Verteilungen der Schulart gegeben die Staatsangeh¨origkeit unterscheiden sich deutlich von der Randverteilung der Schulart. Die Wahl der Schulart h¨ angt also von der Staatsangeh¨origkeit ab: W¨ahrend nur etwa 28 % der deutschen Sch¨ uler die Hauptschule besuchen, sind es unter den ausl¨ andischen fast 90 %. Bei den Gymnasiasten stehen 47 % bei den deutschen Sch¨ ulern nur etwa 6 % bei den ausl¨andischen gegen¨ uber. (c) Die beiden Merkmale “Schulart” und “Staatsangeh¨origkeit” sind nominal skaliert. Damit ist der Kontingenzkoeﬃzient K bzw. der korrigierte Kontingenzkoeﬃzient K ∗ ein geeignetes Zusammenhangsmaß. Zur Berechnung von K ∗ wird zun¨ achst die Gr¨oße χ2 basierend auf den ˜ ij ermittelt: unter Unabh¨angigkeit erwarteten Besetzungszahlen h

deutsch 173244 154255 290057 617556

Hauptschule Realschule Gymnasium

ausl. 145917 7323 10043 163283

319161 161578 300100 780839

Unter Unabh¨angigkeit erwartet deutsch ausl. 252420.53 66740.48 127790.06 33787.94 237345.11 62754.51

Als Berechnungsbeispiel dient auch hier wieder die erste Zelle: ˜ 11 = h1. · h.1 = 319161 · 617556 = 252420.53. h n 780839 Damit ist χ2

=

k 3 m 2 ˜ ij )2 (hij − h (hij − ˜hij )2 = ˜ ij ˜ ij h h i=1 j=1

i=1 j=1

2

=

(10043 − 62754.51)2 (173244 − 252420.53) + ... + 252420.53 62754.51 24835.23 + 93929.82 + 5480.81 + 20729.08

=

+11706.77 + 44275.76 200957.47.

=

Daraus ergeben sich K=

χ2 = n + χ2

200957.47 = 0.452 780839 + 200957.47

und mit M = min{k, l} = 2 2 K∗ =

χ n+χ2 M−1 M

K 0.452 = 0.639. = = 0.707 1 2

Es besteht also ein deutlicher Zusammenhang zwischen der Staatsangeh¨ origkeit und der Schulart.

66

3. Multivariate Deskription und Exploration

L¨ osung 3.6 (a) Das Streudiagramm f¨ ur die 13 Kinder hat folgende Gestalt:

Der Korrelationskoeﬃzient von Bravais-Pearson berechnet sich unter Verwendung der folgenden Hilfsgr¨ oßen: x ¯ = 13

x2i

=

46.15 , y¯ = 4.54 , 13 13 2 35600 , yi = 327 , xi yi = 2950

i=1

i=1

i=1

als 13

xi yi − 13 · x¯y¯

rXY = 13 = 0.3316 . 13 x2 − 13 · x¯2 · y 2 − 13 · y¯2 i=1

i

i=1

i

i=1

3. Multivariate Deskription und Exploration

67

(b) Die Streudiagramme f¨ ur Jungen und M¨ adchen getrennt sind von der folgenden Form:

Der Korrelationskoeﬃzient von Bravais-Pearson f¨ ur die Jungen berechnet sich unter Verwendung folgender Hilfsgr¨ oßen: x ¯ =

55.71 , y¯ = 5.43 ,

68

3. Multivariate Deskription und Exploration 7

x2i

=

7

26500 ,

i=1

yi2 = 230 ,

i=1

als

7

7

xi yi = 2360

i=1

xi yi − 7 · x¯y¯

rXY = 7 = 0.722. 7 x2 − 7 · x ¯2 · y 2 − 7 · y¯2 i=1

i

i

i=1

i=1

Entsprechend berechnet sich der Korrelationskoeﬃzient von BravaisPearson f¨ ur die M¨ adchen unter Verwendung folgender Hilfsgr¨oßen: x ¯ 6

x2i

= 35 , y¯ = 3.5 , 6 6 = 9100 , yi2 = 97 , xi yi = 590

i=1

i=1

als

6

i=1

xi yi − 6 · x ¯y¯

rXY = 6 = −0.715. 6 x2 − 6 · x ¯2 · y 2 − 6 · y¯2 i=1

i

i=1

i

i=1

(c) Ohne Ber¨ ucksichtigung des Geschlechts scheint zun¨achst nur ein schwacher Zusammenhang zwischen Aggressivit¨at und Fernsehdauer zu bestehen. Jedoch zeigt Teilaufgabe (b), in der zus¨atzlich zwischen den beiden Geschlechtern unterschieden wird, daß der Zusammenhang nur verdeckt war (verdeckte Korrelation). Dabei scheint bei Jungen eine positive Korrelation zwischen Aggressivi¨ at und Zeitdauer zu bestehen, d.h. je l¨anger gewaltt¨ atige Szenen im Fernsehen angesehen werden, desto gr¨oßer die Aggressivit¨ at. Bei M¨ adchen hingegen besteht genau der umgekehrte Zusammenhang, l¨ angere Zeitdauern vermindern augenscheinlich die Aggressivit¨ at.

3. Multivariate Deskription und Exploration

69

L¨ osung 3.7 (a) Aus den Daten ergibt sich folgendes Streudiagramm: y

6

c

8 7 c

6

c

c c

5 4 3

c

2

c

1

c 1

c c

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

Im Streudiagramm ist ein starker, positiver, linearer Zusammenhang von X und Y zu erkennen. Die Reaktionszeit scheint mit wachsender Dosis des Medikaments zuzunehmen. (b) Betrachtet man das Regressionsmodell yi = α + βxi + i , i = 1, ..., 10, ergeben sich folgende Sch¨ atzer f¨ ur die Regressionsparameter: 262 − 200 62 x y¯ 262 − 10 · 5 · 4 x y − n¯ i 2i = = = 0.72, = βˆ = x2 336 − 10 · 25 336 − 250 86 xi − n¯ α ˆ = y¯ − βˆ x ¯ = 4 − 0.72 · 5 = 4 − 3.6 = 0.4. Damit ergibt sich die gesch¨ atzte Regressionsgerade zu yˆ = 0.4 + 0.72x. Zur Beurteilung der G¨ ute der Anpassung ist das Bestimmtheitsmaß geeignet: 2 R2 = rXY = 0.798 ≈ 0.8, d.h., daß etwa 80 % der Gesamtvarianz durch das Regressionsmodell erkl¨ art werden. Die Anpassung des Modells an die Daten ist also sehr gut. (c) F¨ ur einen Patienten, der mit einer Dosis von 5.5 mg behandelt wird, prognostiziert man eine Reaktionszeit von 0.4+0.72·5.5 = 4.36 Sekunden. (d) Eine Erh¨ ohung der Dosis des Medikaments um 1 mg erh¨oht die Reaktionszeit im Mittel um βˆ = 0.72 Sekunden.

70

3. Multivariate Deskription und Exploration

L¨ osung 3.8 (a) Mit den Daten f¨ ur die zehn Kinder erh¨ alt man folgendes Streudiagramm: Integrationsscore 10 6 c

c 5

c c

c 1 c

c

c

c c

1

5

15 20 Ergebnis Sprachtest

10

(b) Da keine Bindungen vorliegen, kann zur Berechnung des Rangkorrelationskoeﬃzienten rSP die Kurzformel 6 d2i rSP = 1 − n(n2 − 1) verwendet werden. Mit den Werten der Arbeitstabelle Kind i Rang Sprachtest Rang Integrationsscore |di | d2i

1 9 9 0 0

2 3 1 2 4

3 7 8 1 1

4 5 7 2 4

5 10 10 0 0

6 4 3 1 1

7 1 2 1 1

8 2 4 2 4

9 6 5 1 1

10 8 6 2 4

erh¨ alt man rSP = 1 −

120 6 · 20 = 1− = 1 − 0.12 = 0.88. 10 · 99 990

(c) Hier w¨ are rSP = 1, da ein streng monoton wachsender Zusammenhang vorliegt. Der Korrelationskoeﬃzient rXY w¨are echt kleiner als rSP (also hier < 1), da die Punkte nicht auf einer Geraden liegen.

3. Multivariate Deskription und Exploration

71

L¨ osung 3.9 (a) Das Streudiagramm unter Ber¨ ucksichtigung aller elf Datenpunkte hat folgende Gestalt:

(b) Unter Ber¨ ucksichtigung der Angabe erh¨ alt man x¯ 11

xi yi

=

10 · 5.5 + 20 10 · 5.396 + 0 = 6.82 , y¯ = = 4.91 , 11 11

= 383.46 + 0 = 383.46 ,

i=1 11

x2i

= 385 + 202 = 785 ,

i=1

11

yi2 = 388.88 + 0 = 388.88

i=1

und damit 11

xi yi − 11 · x¯y¯

rXY = 11 = 0.0844 . 11 x2 − 11 · x¯2 · y 2 − 11 · y¯2 i=1

i

i

i=1

i=1

Zur Berechnung von rSP erstelle man folgende Tabelle: i rg(xi ) rg(yi ) d2i

1 1 1 0

2 2 3 1

3 3 4 1

4 4 5 1

5 5 7 4

6 6 6 0

7 7 9 4

8 8 8 0

9 9 10 1

10 10 11 1

11 11 2 81

72

3. Multivariate Deskription und Exploration

Damit erh¨ alt man: 6· rSP = 1 −

11

d2i

i=1

(112

− 1) · 11

=1−

6 · 94 = 0.573 . (121 − 1) · 11

(c) Augenscheinlich besteht ein starker linearer Zusammenhang zwischen Y und X. Die elfte Beobachtung scheint ein Ausreißer zu sein. Vergleicht man die berechneten Korrelationskoeﬃzienten, so zeigt sich, daß die Ausreißerbeobachtung einen enormen Einﬂuß auf den Wert von rXY besitzt. Wird zus¨ atzlich die elfte Beobachtung bei der Berechnung ber¨ ucksichtigt, reduziert sich rXY von 0.9654 zu 0.08844, so daß rXY ¨außerst sensibel auf Ausreißer reagiert. Weitaus unempﬁndlicher gegen¨ uber Ausreißern verh¨ alt sich der Rangkorrelationskoeﬃzient nach Spearman. Zwar reduziert sich auch rSP , allerdings weniger drastisch.

L¨ osung 3.10 (a) rXY = rSP = 1 (b)(b1) rXY bleibt positiv, wird aber kleiner, da der perfekte lineare Zusammenhang durch das Quadrieren verloren geht. rSP ¨andert sich nicht, da die yi lediglich monoton transformiert werden (die R¨ange ¨andern sich nicht). (b2) rXY wird etwas kleiner (bleibt aber positiv), da kein perfekter linearer Zusammenhang mehr besteht. Da sich die R¨ange durch die Verschiebung des Punktes nicht ¨ andern, gilt weiterhin rSP = 1. neu neu (b3) rXY = rSP = −1 · rXY = −1. andert, da sich die Vorzeichen¨anderungen (b4) rXY und rSP bleiben unver¨ gegenseitig aufheben.

L¨ osung 3.11

(a) Die Korrelationskoeﬃzienten berechnen sich wie folgt: rX1 ,Y1

=

rX1 ,Y2

=

rX1 ,Y3

=

rX2 ,Y4

=

5.50 Cov(X1 , Y1 ) √ = √ = 0.82 11.00 4.13 V ar(X1 ) V ar(Y1 ) 5.50 √ √ = 0.82 11.00 4.13 5.50 √ √ = 0.82 11.00 4.12 5.50 √ √ = 0.82 11.00 4.12

3. Multivariate Deskription und Exploration

73

15 10

y2 5 0

0

5

y1

10

15

Da der Korrelationskoeﬃzient die Intensit¨at des linearen Zusammenhangs zweier Variablen misst, folgern wir, dass in allen vier F¨allen die St¨ arke des linearen Zusammenhangs gleich groß ist. (b) Die geforderten Regressionsgeraden sind in der folgenden Abbildung 3.1 eingezeichnet. Die Streudiagramme zeigen, dass ein linearer Zusammen-

0

5

10

15

20

0

5

10

15

20

15

20

10

y4 5 0

0

5

y3

10

15

x1

15

x1

0

5

10

x1

15

20

0

5

10

x2

Abbildung 3.2. Regressionsgeraden f¨ ur X1 vs. Y1 , X1 vs. Y2 , X1 vs. Y3 und X2 vs. Y4 .

hang lediglich f¨ ur die Variablenpaare (X1 , Y1 ) und (X1 , Y3 ) gegeben ist. Zwischen Y1 und X1 besteht ein starker linearer Zusammenhang. Zwischen X1 und Y3 hingegeben besteht ein perfekter linearer Zusammenhang, der lediglich durch einen Ausreißer gest¨ort ist. Ohne den Ausreißer w¨ urde der Korrelationskoeﬃzient den Wert 1 annehmen. Zwischen X1 und X2 besteht ein perfekter nichtlinearer (vermutlich quadratischer) Zusammenhang, w¨ ahrend zwischen X2 und Y4 eigentlich kein Zusammenhang besteht. Durch den weit vom Zentrum entfernten Ausreißer entsteht lediglich ein Scheinzusammenhang. Abschließend k¨ onnen wir folgendes Fazit ziehen: Korrelationskoeﬃzienten und Regressionsgeraden sollten niemals ohne die dazu geh¨orenden Streudiagramme interpretiert werden.

74

3. Multivariate Deskription und Exploration

L¨ osung 3.12 (a) Die KQ-Sch¨ atzer f¨ ur α und β sind gegeben als (Abschnitt 12.1.2 in Fahrmeir et al., 2004) xi yi − n¯ (xi − x ¯)(yi − y¯) x y¯ ˆ = 2 , β = (xi − x¯)2 xi − n¯ x2 α ˆ =

y¯ − βˆx ¯.

Mit den Hilfsgr¨ oßen x ¯ = 90, y¯ = 2.993, 114000 berechnen sich diese als

xi yi = 3345.6,

βˆ =

3345.6 − 10 · 90 · 2.993 651.9 = 0.01975, = 114000 − 10 · 902 33000

α ˆ =

2.993 − 90 · 0.01975 = 1.2155.

x2i =

Die gesch¨ atzte Regressionsgerade lautet somit yˆ = 1.2155 + 0.01975x. (b) Gesucht ist das Bestimmtheitsmaß R2 . Dieses l¨aßt sich berechnen als 2 (b1) R2 = r XY oder (ˆ yi − y¯)2 SQE . = (b2) R2 = 2 SQT (yi − y¯) Der erste Weg scheint hier der schnellere zu sein. Es gilt: rXY

=

sXY sX · sY

1 xi yi n−1 (

− n¯ x y¯) 1 1 x2i − n¯ x2 ) n−1 ( yi2 − n¯ y2) n−1 ( x y¯ xi yi − n¯ = 2 . x2 y2 xi − n¯ yi2 − n¯ 2 2 yi − n¯ y 2 = 12.90821. Damit Mit yi = 102.4887 berechnet man erh¨ alt man insgesamt =

651.9 √ = 0.999, rXY = √ 33000 12.90821 woraus folgt:

R2 = 0.997,

d.h. es werden 99.7 % der Gesamtstreuung durch die Regression erkl¨art, d.h. daß die Zeit, die f¨ ur die Erkennung ben¨otigt wird, fast zu 100 % durch die vorgegebene Drehung vorhergesagt werden kann.

3. Multivariate Deskription und Exploration

75

L¨ osung 3.13 (a) Man erh¨ alt folgendes Streudiagramm: yi 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1

2

3

4

xi

(b) Zu bestimmen sind βˆ und α ˆ mit (xi − x xi yi − n¯ ¯)(yi − y¯) x y¯ ˆ β = = 2 , (xi − x¯)2 xi − n¯ x2 α ˆ = y¯ − βˆx ¯. Mit y¯ = 56/8 = 7, x¯ = 24/8 = 3 ergibt sich: βˆ = α ˆ =

170.3 − 168 2.3 170.3 − 8 · 7 · 3 = = = 0.56, 76.1 − 8 · 9 76.1 − 72 4.1 7 − 0.56 · 3 = 5.32

und damit folgende Regressionsgerade: yˆ = 5.32 + 0.56x. F¨ ur x = 3 erh¨ alt man yˆ = 5.32 + 0.56 · 3 = 7. Bei einem Einkommen von 3000 Einheiten w¨ urde man somit ein Geburtsgewicht von 7 Pfund prognostizieren. (c) Das Bestimmtheitsmaß kann beispielsweise als Quadrat des Korrelationskoeﬃzienten ermittelt werden mit xi yi − n¯ x y¯ rXY = 2 2 2 ( xi − n¯ x )( yi − n¯ y2) 2.3 2.3 = √ √ = 2.025 · 3.464 4.1 12 = 0.33,

76

3. Multivariate Deskription und Exploration

woraus folgt:

2 = R2 = 0.332 = 0.1089. rXY

Das R2 betr¨ agt lediglich 0.1089, d.h. nur 10 % der Variabilit¨at wird durch die Regression erkl¨ art. Insgesamt ist zwar tendenziell ein leichter Zusammenhang zwischen Geburtsgewicht und Einkommen zu sehen. Es ist aber eher anzunehmen, daß auch Variablen, die wiederum auch vom Einkommen abh¨ angen, das Geburtsgewicht beeinﬂussen.

4 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgaben Aufgabe 4.1 Ein Experiment bestehe aus dem Werfen eines W¨ urfels und einer M¨ unze. (a) Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum Ω an. (b) Zeigt die M¨ unze Wappen, so wird die doppelte Augenzahl des W¨ urfels notiert, bei Zahl nur die einfache. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine gerade Zahl notiert wird? (L¨osung siehe Seite 83)

Aufgabe 4.2 In einer Gruppe von 150 Studierenden sind 40 im 1. Studienjahr, die H¨alfte der 30 Studierenden im 4. Studienjahr wohnt in M¨ unchen, 26 der 35 im 2. Studienjahr wohnen nicht in M¨ unchen, 8 im 3. Studienjahr wohnen in M¨ unchen und ein Drittel derjenigen, die in M¨ unchen wohnen, ist im 4. Studienjahr. Erstellen Sie aus diesen Angaben eine (2 × 4) Kontingenztafel. Berechnen Sie unter der Annahme, daß jeder Student mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgew¨ ahlt werden kann, die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur die folgenden vier Ereignisse: Ein zuf¨ allig ausgew¨ ahlter Student A: wohnt in M¨ unchen B: ist im 2. Studienjahr C: wohnt nicht in M¨ unchen und ist im 3. Studienjahr D: wohnt in M¨ unchen und ist noch nicht im 4. Studienjahr. (L¨osung siehe Seite 83)

78

4. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 4.3 Aus einer Grundgesamtheit G = {1, 2, 3, 4} wird eine reine Zufallsstichprobe vom Umfang n = 2 gezogen. Betrachten Sie die beiden F¨alle “Modell mit Zur¨ ucklegen” und “Modell ohne Zur¨ ucklegen”. (a) Listen Sie f¨ ur beide F¨ alle alle m¨ oglichen Stichproben auf. (b) Wie groß ist jeweils f¨ ur ein einzelnes Element die Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen? (c) Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, daß die Elemente 1 und 2 beide in die Stichprobe gelangen? (L¨osung siehe Seite 84)

Aufgabe 4.4 Wir betrachten drei faire sechsseitige W¨ urfel. Auf den Seiten der drei W¨ urfel sind folgende Augenzahlen aufgedruckt: W¨ urfel A: 6,6,2,2,2,2 W¨ urfel B: 5,5,5,5,1,1 W¨ urfel C: 4,4,4,3,3,3 (a) W¨ urfel B wird zweimal hintereinander geworfen. i) Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum zur Beschreibung dieses Zufallsexperimentes an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur die Elementarereignisse. ii) Bezeichne S die Zufallsvariable Summe der beiden Augenzahlen“. ” Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (S = 6) und P (S ≤ 10). (b) Zwei Personen spielen gegeneinander. Jeder Spieler w¨ahlt einen der drei W¨ urfel A, B oder C aus und wirft einmal. Der Spieler mit der h¨ochsten geworfenen Augenzahl gewinnt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass urfel B i) Spieler 1 gewinnt, wenn Spieler 1 W¨ urfel A und Spieler 2 W¨ gew¨ ahlt hat, ii) Spieler 1 gewinnt, wenn Spieler 1 W¨ urfel B und Spieler 2 W¨ urfel C gew¨ ahlt hat, iii) Spieler 2 gewinnt, wenn Spieler 1 W¨ urfel A und Spieler 2 W¨ urfel C gew¨ ahlt hat. (c) Ist es aufgrund ihrer Ergebnisse aus Aufgabe (b) m¨oglich eine Aussage zu treﬀen, welcher der drei W¨ urfel der Beste“ ist. ” (L¨osung siehe Seite 84)

4. Wahrscheinlichkeitsrechnung

79

Aufgabe 4.5 Aus einer Gruppe von drei M¨ annern und vier Frauen sind drei Positionen in verschiedenen Kommissionen zu besetzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit f¨ ur die Ereignisse, daß mindestens eine der drei Positionen mit einer Frau besetzt wird bzw., daß h¨ ochstens eine der drei Positionen mit einer Frau besetzt wird, (a) falls jede Person nur eine Position erhalten kann? (b) falls jede Person mehrere Positionen erhalten kann? (L¨osung siehe Seite 85)

Aufgabe 4.6 Zeigen Sie: Sind A und B stochastisch unabh¨ angig, dann sind auch A und B stochastisch unabh¨ angig. (L¨osung siehe Seite 86)

Aufgabe 4.7 Eine Gruppe von 60 Drogenabh¨ angigen, die Heroin spritzen, nimmt an einer Therapie teil (A = station¨ ar, A = ambulant). Zudem unterziehen sich die Drogenabh¨ angigen freiwillig einem HIV-Test (B = HIV-positiv, B = HIV-negativ). Dabei stellen sich 45 der 60 Personen als HIV-negativ und 15 als HIV-positiv heraus. Von denen, die HIV-positiv sind, sind 80 % in der station¨ aren Therapie, w¨ ahrend von den HIV-Negativen nur 40 % in der station¨ aren Therapie sind. (a) Formulieren Sie die obigen Angaben als Wahrscheinlichkeiten. (b) Sie w¨ ahlen zuf¨ allig eine der 60 drogenabh¨ angigen Personen aus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß diese (b1) an der station¨ aren Therapie teilnimmt und HIV-positiv ist, (b2) an der station¨ aren Therapie teilnimmt und HIV-negativ ist, (b3) an der station¨ aren Therapie teilnimmt. (c) Berechnen Sie P (B|A), und fassen Sie das zugeh¨orige Ereignis in Worte. (d) Welcher Zusammenhang besteht zwischen P (A|B) und P (A), wenn A und B unabh¨angig sind? (L¨osung siehe Seite 87)

80

4. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 4.8 An einer Studie zum Auftreten von Farbenblindheit nimmt eine Gruppe von Personen teil, die sich zu 45 % aus M¨ annern (M ) und zu 55 % aus Frauen (M ) zusammensetzt. Man weiß, daß im allgemeinen 6 % der M¨anner farbenblind (F ) sind, d.h. es gilt P (F |M ) = 0.06. Dagegen sind nur 0.5 % der Frauen farbenblind, d.h. P (F |M ) = 0.005. Verwenden Sie diese Information zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit, daß eine per Los aus der Gruppe ausgew¨ ahlte Person eine farbenblinde Frau ist, d.h. zum Berechnen von P (F ∩ M ). Bestimmen Sie außerdem P (M ∩ F ), P (M ∩ F ), P (F ) und P (M |F ), und beschreiben Sie die zugeh¨ origen Ereignisse in Worten. (L¨osung siehe Seite 87) Aufgabe 4.9 Um sich ein Bild der Situation des weiblichen wissenschaftlichen Nachwuchses zu machen, befragt die Frauenbeauftragte einer Universit¨at das gesamte weibliche wissenschaftliche Personal. Die 80 Frauen werden danach befragt, ob sie eine Vollzeitbesch¨ aftigung haben (A: Vollzeit, A: Teilzeit), und ob sie ihre Promotion abgeschlossen haben (B: Promotion abgeschlossen, B: Promotion nicht abgeschlossen). Die Ergebnisse der Befragung sind in folgendem Venn-Diagramm dargestellt:

35 ................................................ ................................................................. ........... . . .................. ........ ........................ ........... ....... ....... ........ ........ ...... ...... ....... ....... ..... ..... . .... . . . . . . . . ... ... ... ... ... . . ... . . ... . . ... . . . . .. .. .... .... . ... ... ... .... .. . .. . . . ... ... .. .. . . .... . . .... .. ... . . ..... . . ..... . . . . .. ...... ... ...... ...... ....... ...... ........ ......... ............... .......... ........ .. ... ......... .............. ........................................................... ......................................................................

A

B

20

15

10

Ω (a) Geben Sie die beiden folgenden Ereignisse in Worten wieder, und ermitteln Sie die zugeh¨ origen Anzahlen: (A ∪ B), Ω \ B. (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine zuf¨allig aus dem wissenschaftlichen Personal ausgew¨ ahlte Frau (b1) eine Vollzeitbesch¨ aftigung hat? (b2) eine Vollzeitbesch¨ aftigung hat und ihre Promotion abgeschlossen hat? (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine aus dem vollzeitbesch¨aftigten wissenschaftlichen Personal ausgew¨ ahlte Frau ihre Promotion abgeschlossen hat?

4. Wahrscheinlichkeitsrechnung

81

(d) Sind die Ereignisse A und B unabh¨ angig? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort. (L¨osung siehe Seite 88)

Aufgabe 4.10 Ein Laboratorium hat einen Alkohol-Test entworfen. Aus den bisherigen Erfahrungen weiß man, daß 60 % der von der Polizei kontrollierten Personen tats¨ achlich betrunken sind. Bez¨ uglich der Funktionsweise des Tests wurde ermittelt, daß – in 95 % der F¨alle der Test positiv reagiert, wenn die Person tats¨achlich betrunken ist, – in 97 % der F¨ alle der Test negativ reagiert, wenn die Person nicht betrunken ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine Person betrunken ist, wenn der Test positiv reagiert? (L¨osung siehe Seite 88)

Aufgabe 4.11 An den Kassen von Superm¨ arkten und Kaufh¨ausern wird ein zus¨atzliches Ger¨ at bereitgestellt, mit dem die Echtheit von 100 Euro-Scheinen gepr¨ uft werden soll. Aus Erfahrung weiß man, daß 15 von 10000 Scheinen gef¨alscht sind. Bei diesem Ger¨ at wird durch Aufblinken einer Leuchte angezeigt, daß der Schein als falsch eingestuft wird. Es ist bekannt, daß das Ger¨at mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.95 aufblinkt, wenn der Schein falsch ist, und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.1, wenn der Schein echt ist. Wie sicher kann man davon ausgehen, daß der 100 Euro-Schein tats¨achlich falsch ist, wenn das Ger¨ at aufblinkt? (L¨osung siehe Seite 89)

Aufgabe 4.12 Jeder Mensch besitzt unver¨ anderliche Blutmerkmale. Man unterscheidet die vier Blutgruppen A, B, AB und 0 und den Rhesusfaktor R+ und R−. Blutgruppe A tritt bei 42 %, B bei 10 %, AB bei 4 % und 0 bei 44 % der Menschen auf. Menschen mit Blutgruppe A und Menschen mit Blutgruppe 0 haben mit Wahrscheinlichkeit 0.85 Rhesusfaktor R+. Dagegen tritt bei Menschen mit Blutgruppe B Rhesusfaktor R+ nur noch mit Wahrscheinlichkeit 0.8 auf und bei Menschen mit Blutgruppe AB sogar nur noch mit Wahrscheinlichkeit 0.75.

82

4. Wahrscheinlichkeitsrechnung

(a) Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Auftreten des Rhesusfaktors R+. (b) Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Bayes die Wahrscheinlichkeit, daß ein Mensch mit Rhesusfaktor R+ der Blutgruppe AB angeh¨ort. (L¨osung siehe Seite 89)

4. Wahrscheinlichkeitsrechnung

83

L¨ osungen L¨ osung 4.1 (a) Der Ergebnisraum Ω ist gegeben als Ω

= {(1, W ), (2, W ), (3, W ), (4, W ), (5, W ), (6, W ), (1, Z), (2, Z), (3, Z), (4, Z), (5, Z), (6, Z)}.

1 Damit ist |Ω| = 12 und somit pω = 12 . (b) Das beschriebene Experiment l¨ aßt sich wie folgt in einer Tabelle veranschaulichen: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 W W W W W W Z Z Z Z Z Z Ergebnis notierte 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 Augenzahl

Ist A das Ereignis “Eine gerade Zahl wird geworfen”, d.h. A = {(1, W ), (2, W ), (3, W ), (4, W ), (5, W ), (6, W ), (2, Z), (4, Z), (6, Z)}, dann ist |A| = 9, und es ergibt sich P (A) =

9 3 |A| = = . |Ω| 12 4

L¨ osung 4.2 Als (2 × 4) Kontingenztafel ergibt sich: Studienjahr 2 3 4

Wohnort

1

M¨ unchen

13

9

8

15

45

nicht M¨ unchen

27

26

37

15

105

40

35

45

30

150

Allgemein gilt nach der Abz¨ ahlregel: P (E) = d.h.

P (A) =

# g¨ unstiger Ereignisse |E| = , # m¨ oglicher Ereignisse |Ω|

45 = 0.3, 150 und

35 37 = 0.23, P (C) = = 0.246 150 150 30 13 + 9 + 8 = = 0.2. P (D) = 150 150 P (B) =

84

4. Wahrscheinlichkeitsrechnung

L¨ osung 4.3 (a) Beim Ziehen mit Zur¨ ucklegen ist der Ergebnisraum Ω gegeben als Ω

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}.

Beim Ziehen ohne Zur¨ ucklegen ergibt sich Ω als Ω

=

{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}.

(b) Beim Ziehen mit Zur¨ ucklegen gilt 7 f¨ ur i = 1, 2, 3, 4. 16 F¨ ur das Ziehen ohne Zur¨ ucklegen erh¨ alt man P (i ist in Stichprobe) =

P (i ist in Stichprobe) =

1 6 = 12 2

f¨ ur i = 1, 2, 3, 4.

(c) Zieht man mit Zur¨ ucklegen ist P (1 und 2 sind in Stichprobe) =

2 1 = 16 8

und beim Ziehen ohne Zur¨ ucklegen P (1 und 2 sind in Stichprobe) =

1 2 = . 12 6

L¨ osung 4.4

(a) Als Ergebnisraum ergibt sich Ω = {(1, 1), (1, 5), (5, 1), (5, 5)}. Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten f¨ ur die Elementarereignisse berechnen wir zun¨ achst die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur die Augenzahlen 1 und 5 bei einmaligem W¨ urfeln. Oﬀenbar gilt P ({1}) = 1/3 und P ({5}) = 2/3. Wegen der Unabh¨ angigkeit der einzelnen W¨ urfe erhalten wir somit 1 3 1 P ({1, 5}) = P ({1}) · P ({5}) = 3 2 P ({5, 1}) = P ({5}) · P ({1}) = 3 2 P ({5, 5}) = P ({5}) · P ({5}) = 3

P ({1, 1}) = P ({1}) · P ({1}) =

1 3 2 · 3 1 · 3 2 · 3 ·

1 , 9 2 = , 9 2 = , 9 4 = . 9 =

4. Wahrscheinlichkeitsrechnung

85

Damit ergeben sich die gesuchten Wahrscheinlichkeiten f¨ ur die Zufallsvariable S zu P (S = 6) = P ({(1, 5), (5, 1)}) =

2 2 4 + = 9 9 9

und P (S ≤ 10) = 1. (b) Die Wahrscheinlichkeiten berechnen sich wie folgt: i) Wir beschreiben das Zufallsexperiment durch geordnete Paare, wobei der erste Eintrag das Ergebnis von Spieler 1 darstellen soll. Der Ergebnisraum ist also gegeben durch Ω = {(2, 1), (2, 5), (6, 5), 6, 1)}. Analog zu Aufgabe a) erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten P ({2, 1)}) = 2/9, P ({2, 5)}) = 4/9, P ({6, 5)}) = 2/9 und P ({6, 1)}) = 1/9. Spieler 1 gewinnt bei den Ergebnissen (2, 1), (6, 5) und (6, 1) und wir erhalten P (Spieler 1 gewinnt) = 5/9. ii) Analog zu i) erhalten wir P (Spieler 1 gewinnt) = 6/9. iii In zu ii) analoger Rechnung ergibt sich P (Spieler 2 gewinnt) = 3/9. (c) Den Ergebnissen i) und ii) der Aufgabe b) entnehmen wir, dass W¨ urfel urfel B gegen¨ uber W¨ urfel C u A W¨ urfel B u ¨ berlegen ist und W¨ ¨ berlegen. Eigentlich w¨ urde man erwarten, dass damit auch W¨ urfel A gegen¨ uber W¨ urfel C u ¨ berlegen ist. Die Ergebnisse aus Teil iii) wiedersprechen jedoch dieser (naheliegenden) Vermutung. W¨ urfel C ist W¨ urfel A u ¨ berlegen. Die vorliegenden W¨ urfel besitzen also eine Art Intransitivit¨atseigenschaft. Damit ist der Spieler, der den ersten W¨ urfel w¨ahlt immer im Nachteil, da sein Gegner Unabh¨ angig von der Wahl des ersten Spielers immer einen u urfel aussuchen kann. Entscheidet sich Spieler 1 f¨ ur W¨ urfel ¨ berlegenen W¨ A, so w¨ ahlt Spieler 2 W¨ urfel C. W¨ ahlt Spieler 1 W¨ urfel B so kann sein Gegner W¨ urfel A w¨ ahlen. Wenn Spieler 1 mit W¨ urfel C spielt kann Spieler 2 mit W¨ urfel B werfen.

L¨ osung 4.5 Die Grundgesamtheit ergibt sich hier als G = {M, M, M, F, F, F, F }, und damit ist |G| = 7. Die drei Positionen sind nach dem Zufallsprinzip zu besetzen. Das entspricht einer Ziehung aus G vom Umfang n = 3. (a) Falls jede Person nur eine Position erhalten kann, liegt eine Ziehung ohne Zur¨ ucklegen vor, bei der die Anzahl m¨ oglicher Stichproben berechnet wird als 7! N! = = 7 · 6 · 5 = 210. (N − n)! 4!

86

4. Wahrscheinlichkeitsrechnung

(a1) Bezeichnet man mit A das Ereignis “Mindestens eine der 3 Positionen wird mit einer Frau besetzt”, d.h. “1, 2 oder alle 3 Positionen werden mit einer Frau besetzt”, dann ist das Ereignis A gegeben als “Keine der 3 Positionen wird mit einer Frau besetzt”. Die Anzahl uhren, ergibt sich als Anzahl aller m¨ oglichen Stichproben, die zu A f¨ aller Permutationen der drei M¨ anner, also als 3! = 3 · 2 · 1 = 6. 6 = 0.0286, und es folgt P (A) = 1 − P (A) = Damit ist P (A) = 210 1 − 0.0286 = 0.9714. (a2) Bezeichnet man mit B das Ereignis “H¨ochstens eine der 3 Positionen wird mit einer Frau besetzt”, d.h. “1 oder keine Position wird mit einer Frau besetzt”, dann entspricht B den folgenden Ergebnissen mit der jeweiligen Anzahl von M¨ oglichkeiten: (M, M, M ) : (M, M, F ) :

6 M¨oglichkeiten, 3 · 2 · 4 = 24 M¨oglichkeiten,

(M, F, M ) : (F, M, M ) :

3 · 4 · 2 = 24 M¨oglichkeiten, 4 · 3 · 2 = 24 M¨oglichkeiten.

78 Insgesamt erh¨ alt man: |B| = 78 und damit P (B) = 210 = 0.3714. (b) Falls jede Person mehrere Positionen erhalten kann, liegt eine Ziehung mit Zur¨ ucklegen vor, bei der die Anzahl m¨oglicher Stichproben berechnet wird als N n = 73 = 343. 27 = (b1) Hier ergibt sich f¨ ur |A| = 3 · 3 · 3 = 27 und damit P (A) = 1 − 343 1 − 0.0787 = 0.9213. (b2) B entspricht den folgenden Ergebnissen mit der jeweiligen Anzahl von M¨ oglichkeiten:

(M, M, M ) : 3 · 3 · 3 = 27 M¨oglichkeiten, (M, M, F ) : 3 · 3 · 4 = 36 M¨oglichkeiten, (M, F, M ) : 3 · 4 · 3 = 36 M¨oglichkeiten, (F, M, M ) : 4 · 3 · 3 = 36 M¨oglichkeiten. Insgesamt erh¨ alt man: |B| = 135 und damit P (B) =

135 343

= 0.3936.

L¨ osung 4.6 Zu zeigen ist, daß P (A ∩ B) = P (A)P (B) =⇒ P (A ∩ B) = P (A)P (B). Nun gilt aber: P (A ∩ B) = =

P (B) − P (A ∩ B) = P (B) − P (A)P (B) P (B)[1 − P (A)] = P (B)P (A).

4. Wahrscheinlichkeitsrechnung

87

L¨ osung 4.7 (a) Aus den Angaben ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: P (B) = 45 15 60 = 0.75, P (B) = 60 = 0.25, P (A|B) = 0.8 und P (A|B) = 0.4. (b) Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind (b1) P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B) = 0.8 · 0.25 = 0.2, (b2) P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B) = 0.4 · 0.75 = 0.3, (b3) P (A) = 0.2 + 0.3 = 0.5. (c) Diese bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet sich als: P (B|A) =

0.2 P (A ∩ B) = = 0.4. P (A) 0.5

Eine zuf¨ allig unter den Personen, die in station¨arer Behandlung sind, ausgew¨ ahlte Person ist HIV positiv. (d) Sind A und B unabh¨ angig, dann gilt P (A|B) = P (A).

L¨ osung 4.8 Bezeichnen M das Ereignis “Mann” und F das Ereignis “Farbenblind”. Dann erh¨ alt man aus den Angaben P (M ) = 0.45, P (F |M ) = 0.06, P (M ) = 0.55 und P (F |M ) = 0.005. Daraus berechnet man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten wie folgt: – P (F ∩ M ) = P (F |M ) · P (M ) = 0.005 · 0.55 = 0.00275. – M ∩ F : “Eine zuf¨ allig ausgew¨ ahlte Person ist weiblich und nicht farbenblind” mit P (M ∩ F ) = =

P (F ∩ M ) = P (F |M ) · P (M ) = [1 − P (F |M )] · P (M ) (1 − 0.005) · 0.55 = 0.995 · 0.55 = 0.54725.

– M ∩ F : “Eine zuf¨ allig ausgew¨ ahlte Person ist m¨annlich und farbenblind” mit P (M ∩ F ) = P (F |M ) · P (M ) = 0.06 · 0.45 = 0.027. – F : “Eine zuf¨ allig ausgew¨ ahlte Person ist farbenblind” mit P (F )

= P (F |M ) · P (M ) + P (F |M ) · P (M ) = P (F ∩ M ) + P (F ∩ M ) = 0.00275 + 0.027 = 0.02975,

wobei diese Formel zur Berechnung von P (F ) gerade aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit resultiert. – “Eine unter den farbenblinden Personen zuf¨allig ausgew¨ahlte Person ist weiblich” mit P (M |F ) =

P (M ∩ F ) 0.00275 = = 0.09244. P (F ) 0.02975

88

4. Wahrscheinlichkeitsrechnung

L¨ osung 4.9 Betrachtet werden die Ereignisse A: “Vollzeit”, A: “Teilzeit”, B: “Promotion abgeschlossen” und B: “Promotion nicht abgeschlossen”. (a) Die gesuchten Ereignisse und deren Anzahlen lauten: • (A ∪ B) = A ∩ B: “Weibliches wissenschaftliches Personal, das weder die Promotion abgeschlossen noch eine Vollzeitbesch¨aftigung hat” mit |A ∪ B| = 35. • Ω \ B = B: “Weibliches wissenschaftliches Personal, das die Promotion nicht abgeschlossen hat” mit |B| = 50. (b) Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten lassen sich direkt mit der Abz¨ahlregel ermitteln als: 35 = 0.4375. (b1) P (Vollzeitbesch¨ aftigung) = P (A) = 80 (b2) P (Vollzeitbesch¨ aftigung und Promotion abgeschlossen) 20 = 0.25. = P (A ∩ B) = 80 (c) Diese bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet sich mit Hilfe der Ergebnisse 20/80 20 P (A ∩ B) = = = 0.571. aus (a) als: P (B|A) = P (A) 35/80 35 (d) Will man die Frage beantworten, ob A und B unabh¨angig sind, so ist zu pr¨ ufen, ob P (A ∩ B) = P (A) · P (B) oder ob P (B|A) = P (B). Hier gelten beispielsweise P (A ∩ B) = 0.25 = P (A) · P (B) = 0.4375 · 0.375 = 0.164 und

30 = 0.375 = 0.571 = P (B|A). 80 Also sind die Ereignisse A und B nicht unabh¨angig voneinander. P (B) =

L¨ osung 4.10 Bezeichnen B das Ereignis “Person ist betrunken” und P das Ereignis “Test ist positiv”. Dann ergibt sich aus den Angaben der Aufgabe P (B) = 0.6, P (P |B) = 0.95, P (B) = 0.4, P (P |B) = 0.97 und somit P (P |B) = 0.03. Mit Hilfe des Satzes von Bayes berechnet man daraus: P (B|P ) =

P (P |B) · P (B) P (B ∩ P ) = P (P ) P (P |B) · P (B) + P (P |B) · P (B)

=

0.95 · 0.6 0.57 0.57 = = 0.95 · 0.6 + 0.03 · 0.4 0.57 + 0.012 0.582

=

0.979.

4. Wahrscheinlichkeitsrechnung

89

Damit kann man bei einem positiven Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 97.9 % davon ausgehen, daß die Person tats¨achlich betrunken ist.

L¨ osung 4.11 Bezeichnet man mit A das Ereignis “100 Euro Schein ist falsch” und mit B das Ereignis “Ger¨ at blinkt auf”, dann ergibt sich mit dem Satz von Bayes: P (A|B) =

P (A|B) · P (A) . P (A|B) · P (A) + P (A|B) · P (A)

15 Da hier P (A) = 10000 = 0.0015, P (A) = 1 − P (A) = 0.9985, P (B|A) = 0.95 und P (B|A) = 0.1 gegeben sind, erh¨ alt man

P (A|B)

= =

0.001425 0.95 · 0.0015 = 0.95 · 0.0015 + 0.1 · 0.9985 0.001425 + 0.09985 0.001425 = 0.0141. 0.101275

Blinkt das Ger¨ at, kann man also nur mit einer Sicherheit von 1.4 % davon ausgehen, daß der Schein gef¨ alscht ist.

L¨ osung 4.12 Aus der Angabe entnimmt man folgende Wahrscheinlichkeiten: P (A) = 0.42, P (B) = 0.10, P (AB) = 0.04 und P (0) = 0.44. Zudem erh¨alt man P (R+|A) = 0.85, P (R + |0) = 0.85, P (R + |B) = 0.80 und P (R + |AB) = 0.75. (a) Nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt sich damit P (R+) = P (R + |A)P (A) + P (R + |B)P (B) + P (R + |AB)P (AB) + P (R + |0)P (0) = 0.85 · 0.42 + 0.8 · 0.1 + 0.75 · 0.04 + 0.85 · 0.44 = 0.357 + 0.08 + 0.03 + 0.374 = 0.841. (b) Der Satz von Bayes liefert dann P (AB|R+) =

P (R + |AB) · P (AB) 0.03 = = 0.036, P (R+) 0.841

d.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von 3.6 % kann man bei einem positiven Rhesusfaktor davon ausgehen, daß die betreﬀende Person Blutgruppe AB hat.

5 Diskrete Zufallsvariablen

Aufgaben Aufgabe 5.1 Sie und Ihr Freund werfen je einen fairen W¨ urfel. Derjenige, der die kleinere Zahl wirft, zahlt an den anderen so viele Geldeinheiten, wie die Diﬀerenz der Augenzahlen betr¨agt. Die Zufallsvariable X beschreibt Ihren Gewinn, wobei ein negativer Gewinn f¨ ur Ihren Verlust steht. (a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X, und berechnen Sie den Erwartungswert. (b) Falls Sie beide die gleiche Zahl w¨ urfeln, wird der Vorgang noch einmal wiederholt, aber die Auszahlungen verdoppeln sich. W¨ urfeln Sie wieder die gleiche Zahl, ist das Spiel beendet. Geben Sie f¨ ur das modifizierte Spiel die Wahrscheinlichkeitsfunktion f¨ ur Ihren Gewinn bzw. Verlust Y an. (L¨osung siehe Seite 100)

Aufgabe 5.2 In einer Urne beﬁnden sich N = 4 Kugeln, welche die Zahlen 2, 4, 8 und 16 tragen. Es werden nach dem Modell mit Zur¨ ucklegen n = 2 Kugeln entnommen. Man deﬁniert die Zufallsvariable X als den Durchschnitt der beiden Zahlen, die die beiden entnommenen Kugeln tragen. (a) Z¨ ahlen Sie die 16 m¨ oglichen Ergebnisse des Zufallsvorgangs in Form von Zahlenpaaren auf, und bestimmen Sie die m¨oglichen Auspr¨agungen von X. (b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeits- und die Verteilungsfunktion von X. (c) Bestimmen Sie den Median, das 25 %- und das 75 %- Quantil. (L¨osung siehe Seite 101)

92

5. Diskrete Zufallsvariablen

Aufgabe 5.3 Gegeben ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion: x P (X = x)

−1 0.2

1 0.1

2 0.7

(a) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion von X, und berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. (b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y = 2 + 4X, und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion von Y . (c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von Y und zwar direkt aus der Verteilung von Y sowie anhand der Ergebnisse u ¨ ber Erwartungswerte und Standardabweichungen von linear transformierten Zufallsvariablen. (L¨osung siehe Seite 102)

Aufgabe 5.4 Die Firma Dr. L. GmbH hat sich auf die Produktion von Statistiklehrb¨ uchern spezialisiert. F¨ ur die Produktion des neuesten Titels Datenfreie Stati” stik“ hat die Firma die Wahl zwischen den zwei Standorten Leipzig und Dresden. Leider h¨ angt die j¨ ahrliche Produktion an B¨ uchern von vielen zuf¨alligen Faktoren ab und kann nicht genau bestimmt werden. Bezeichne L die Zufallsvariable produzierte St¨ uckzahl in Leipzig“ und D die Zufallsvariable ” produzierte St¨ uckzahl in Dresden“. Die beiden folgende Tabellen geben die ” Wahrscheinlichkeitsfunktionen f¨ ur die j¨ ahrliche Produktion in Leipzig und Dresden (in 1000 St¨ uck) an. l P (L = l)

2 0.4

3 0.3

4 0.2

5 0.1

Tabelle 5.1. Wahrscheinlichkeitsfunktion f¨ ur die j¨ ahrliche Produktion (in 1000 St¨ uck) in Leipzig.

d P (D = d)

1 0.1

2 0.4

3 0.4

4 0.1

Tabelle 5.2. Wahrscheinlichkeitsfunktion f¨ ur die j¨ ahrliche Produktion (in 1000 St¨ uck) in Dresden.

(a) Bestimmen Sie f¨ ur beide Standorte die Wahrscheinlichkeit, dass

5. Diskrete Zufallsvariablen

93

– mehr als 3000 B¨ ucher produziert werden. – mindestens 4000 B¨ ucher produziert werden. – zwischen 3400 und 4500 B¨ ucher produziert werden. (b) Bestimmen Sie f¨ ur beide Standorte die erwartete Anzahl an produzierten B¨ uchern. (c) F¨ ur welchen Standort entscheiden Sie sich, wenn Sie die erwartete Anzahl an produzierten B¨ uchern maximieren wollen. (d) Die Kosten f¨ ur jedes produzierte Buch sind f¨ ur die beiden Standorte unterschiedlich. In Leipzig entstehen 11 Euro pro Buch, in Dresden entstehen nur 60 Prozent der Kosten in Leipzig. Jedes produzierte Buch bringt einen Erl¨ os von 15 Euro. F¨ ur welchen Standort entscheiden Sie sich, wenn Sie den erwarteten j¨ ahrlichen Gewinn maximieren wollen (genaue Begr¨ undung)? (L¨osung siehe Seite 104)

Aufgabe 5.5 Aus einer Urne mit 4 Kugeln, die die Zahlen −3, −1, 1 und 3 tragen, wird zweimal mit Zur¨ ucklegen gezogen. Man bestimme die Verteilung der Summe der Zahlen auf den gezogenen Kugeln ( = X). (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Summe echt positiv ist? (b) Wie lautet die Verteilung von Z = X 2 ? (c) Sei Y die Zufallsgr¨ oße “Summe der quadrierten Zahlen auf den gezogenen Kugeln”. Wie lautet die Verteilung von Y ? (d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß Y echt gr¨oßer X 2 ist? (L¨osung siehe Seite 105)

Aufgabe 5.6 Die diskrete Zufallsvariable X kann nur die ganzzahligen Werte zwischen −3 und +4 annehmen. Ihre Verteilungsfunktion F (x) lautet an diesen Werten: x F (x)

−3 0.05

−2 0.15

−1 0.30

0 0.40

1 0.65

2 0.85

3 0.95

4 1

(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (−1 < X ≤ 3), P (−1 < X < 3), P (−1 ≤ X < 3) und P (−1 ≤ X ≤ 3). (b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von Y = X 2 . (L¨osung siehe Seite 107)

94

5. Diskrete Zufallsvariablen

Aufgabe 5.7 Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x) und Verteilungsfunktion F (x). Sei ferner der geordnete Wertebereich von X gleich x1 < x2 < . . . < xn . Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? (a) Unter Umst¨ anden kann f (xi ) < 0 sein. f (xi ). (b) F (x) = xi <x

(c) P (X > x) = 1 − F (x). (d) F (xi ) = 1. xi

(e) Ist xi < xj so ist F (xi ) ≤ F (xj ). ur i = 2, . . . , n. (f) f (xi ) = F (xi ) − F (xi−1 ) f¨ ur alle i = 1, . . . , n. (g) f (xi ) < F (xi ) f¨ (h) f (x1 ) = F (x1 ). (L¨osung siehe Seite 107)

Aufgabe 5.8 Zwei faire W¨ urfel werden unabh¨ angig voneinander geworfen. Bezeichne X1 die Augenzahl des ersten und X2 die des zweiten W¨ urfels. Geben Sie f¨ ur die daraus abgeleiteten Zufallsvariablen Y und Z zuerst jeweils den Tr¨ager TY und TZ an. Sind Y und Z stochastisch unabh¨angig oder abh¨angig? (a) Y = X1 , Z = 2 · X2 . (b) Y = X1 , Z = X1 + X2 . (c) Y = X1 + X2 , Z = X1 − X2 . (L¨osung siehe Seite 108)

Aufgabe 5.9 Sind die beiden Zufallsvariablen X und Y , die die Augensumme bzw. die Diﬀerenz beim Werfen zweier fairer W¨ urfel angeben, unabh¨angig? (L¨osung siehe Seite 109)

Aufgabe 5.10 Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der diskreten Gleichverteilung auf dem Tr¨ ager T = {a, a + 1, a + 2, . . . , b − 2, b − 1, b}. (L¨osung siehe Seite 109)

5. Diskrete Zufallsvariablen

95

Aufgabe 5.11 Bestimmen Sie den Median der geometrischen Verteilung mit dem Parameter π = 0.5. Vergleichen Sie Ihr Resultat mit dem Erwartungswert dieser Verteilung. Was folgt gem¨ aß der Lageregel f¨ ur die Gestalt des Wahrscheinlichkeitshistogramms? Skizzieren Sie das Wahrscheinlichkeitshistogramm, um Ihre Aussage zu u ufen. ¨ berpr¨ (L¨osung siehe Seite 110)

Aufgabe 5.12 Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit Erwartungswert E(X) und Varianz V ar(X). Sei ferner der geordnete Wertebereich von X gleich x1 < x2 < . . . < xn . Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? (a) V ar(X) ≥ 0. (b) E(X) ≥ x1 . (c) V ar(X) ≥ x1 . (d) V ar(X) ≥ E(X). (e) V ar(X) ≤ E(X 2 ). (f) V ar(X) ≤ E(X)2 . (L¨osung siehe Seite 111)

Aufgabe 5.13 Sei X eine diskrete, um null symmetrische Zufallsvariable. Zeigen Sie, daß dann E(X) = 0 gilt. Verallgemeinern Sie diese Aussage auf Zufallsvariablen, die um einen Punkt c symmetrisch sind. (L¨osung siehe Seite 112)

Aufgabe 5.14 Welche Verteilungen besitzen die folgenden Zufallsvariablen: (a) Die Anzahl der Richtigen beim Lotto “6 aus 49” (X1 ). (b) Die Anzahl der Richtigen beim Fußballtoto, wenn alle Spiele wegen unbespielbarem Platz ausfallen und die Ergebnisse per Los ermittelt werden (X2 ). (c) Die Anzahl von Telephonanrufen in einer Auskunftstelle w¨ahrend einer Stunde (X3 ).

96

5. Diskrete Zufallsvariablen

(d) In einer Urne mit 100 Kugeln befinden sich 5 rote Kugeln. X4 sei die Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe, wenn 10 Kugeln auf einen Schlag entnommen werden. (e) Die Anzahl der Studenten, die den Unterschied zwischen der Binomialund der hypergeometrischen Verteilung verstanden haben, unter 10 zuf¨ allig ausgew¨ ahlten H¨ orern einer Statistikveranstaltung, an der 50 Studenten teilnehmen (X5 ). (f) Die St¨ uckzahl eines selten gebrauchten Produkts, das bei einer Lieferfirma an einem Tag nachgefragt wird (X6 ). (L¨osung siehe Seite 112)

Aufgabe 5.15 Eine Teetrinkerin behauptet schmecken zu k¨ onnen, ob der Tee beim Eingießen auf die Milch gegeben wurde oder umgekehrt. Sie erkl¨art sich auch zu einem Experiment bereit. Eine Person f¨ ullt zehn Tassen mit Milch und Tee. Bei jeder Tasse entscheidet sie rein zuf¨ allig, ob zuerst die Milch oder zuerst der Tee in die Tasse gegeben wird. Nachdem alle Tassen gef¨ ullt sind, wird die Teetrinkerin ins Zimmer gelassen und darf probieren. Nehmen Sie an, sie r¨ at nur und tippt bei jeder Tasse (jeweils unabh¨angig von den anderen) mit Wahrscheinlichkeit 0.5 auf die richtige Reihenfolge von Tee und Milch. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, daß sie mindestens achtmal richtig tippt? (L¨osung siehe Seite 113)

Aufgabe 5.16 In einer T¨ ute beﬁnden sich zehn Pralinen: vier aus Nougat und sechs aus Marzipan. Hein, der absolut keine Nougat-Pralinen mag, darf nun drei Pralinen zuf¨ allig (ohne Zur¨ ucklegen) ausw¨ ahlen. (a) Wie ist die Anzahl X gezogener Marzipan-Pralinen verteilt? Wieviele Marzipan-Pralinen kann Hein erwarten? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß Hein (b) genau 3 Marzipan-Pralinen zieht? (c) mindestens 1 Marzipan-Praline zieht? (L¨osung siehe Seite 113)

5. Diskrete Zufallsvariablen

97

Aufgabe 5.17 Ein Student, der keine Zeit hat, sich auf einen 20-Fragen-Multiple-ChoiceTest vorzubereiten, beschließt, bei jeder Frage aufs Geratewohl zu raten. Dabei besitzt jede Frage f¨ unf Antwortm¨ oglichkeiten. (a) Welche Verteilung hat die Zufallsvariable, die die Anzahl der richtigen Antworten angibt? Wieviele Fragen wird der Student im Mittel richtig beantworten? (b) Der Test gilt als bestanden, wenn zehn Fragen richtig beantwortet sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Studenten, den Test zu bestehen? Wo m¨ ußte die Grenze liegen, wenn die Chance des Studenten, die Klausur durch Raten zu bestehen, gr¨ oßer als 5 % sein soll? (L¨osung siehe Seite 114)

Aufgabe 5.18 Ein Großh¨ andler versorgt acht Gesch¨ afte, von denen jedes eine Bestellung f¨ ur den n¨ achsten Tag unabh¨ angig vom anderen Gesch¨aft mit Wahrscheinlichkeit π = 0.3 aufgibt. (a) Wie viele Bestellungen laufen mit gr¨ oßter Wahrscheinlichkeit ein? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Zahl der Bestellungen um h¨ ochstens eine vom wahrscheinlichsten Wert ab? (c) Der Großh¨ andler kann an einem Tag nicht mehr als sechs Gesch¨afte p¨ unktlich beliefern. Die anderen Gesch¨ afte erhalten die Lieferung versp¨ atet. (c1) Wie wahrscheinlich ist es, daß nicht alle Gesch¨afte p¨ unktlich beliefert werden k¨onnen? (c2) Wieviele Gesch¨ afte erhalten die Lieferung im Schnitt zu sp¨at? (L¨osung siehe Seite 114)

Aufgabe 5.19 Bei einem Fußballspiel kommt es nach einem Unentschieden zum Elfmeterschießen. Zun¨ achst werden von jeder Mannschaft f¨ unf Elfmeter geschossen, wobei eine Mannschaft gewinnt, falls sie h¨ aufiger getroﬀen hat als die andere. Nehmen Sie an, daß die einzelnen Sch¨ usse unabh¨angig voneinander sind und jeder Sch¨ utze mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.8 triﬀt. Wie groß ist unf pro Mannschaft) zu die Wahrscheinlichkeit, daß es nach zehn Sch¨ ussen (f¨ einer Entscheidung kommt? (L¨osung siehe Seite 115)

98

5. Diskrete Zufallsvariablen

Aufgabe 5.20 Aus Erfahrung weiß man, daß die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß bei einem Digitalcomputer eines bestimmten Typus w¨ ahrend 12 Stunden kein Fehler auftritt, 0.7788 betr¨ agt. (a) Welche Verteilung eignet sich zur n¨ aherungsweisen Beschreibung der Zufallsvariable X = Anzahl der Fehler, die w¨ahrend 12 Stunden auftreten? (b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß w¨ahrend 12 Stunden mindestens zwei Fehler auftreten. (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei vier (voneinander unabh¨angigen) Digitalcomputern desselben Typus w¨ahrend 12 Stunden genau ein Fehler auftritt? (L¨osung siehe Seite 115)

Aufgabe 5.21 Von den 20 Verk¨ auferinnen eines mittelgroßen Gesch¨aftes sind vier mit l¨angeren Laden¨ oﬀnungszeiten einverstanden. Ein Journalist befragt f¨ ur eine Do¨ ¨ kumentation der Einstellung zu einer Anderung der Oﬀnungszeiten f¨ unf Angestellte, die er zuf¨ allig ausw¨ ahlt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ¨ sich keine der Befragten f¨ ur l¨ angere Oﬀnungszeiten ausspricht? Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau bzw. mindestens zwei der ausgew¨ahlten Angestellten bereit, l¨ anger zu arbeiten? (L¨osung siehe Seite 116)

Aufgabe 5.22 Zeigen Sie f¨ ur zwei unabh¨ angige bin¨ are Zufallsvariablen X ∼ B(1, π) und Y ∼ B(1, ρ) die Linearit¨ at von Erwartungswert und Varianz: E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) ,

V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y )

sowie die Produktregel f¨ ur Erwartungswerte: E(X · Y ) = E(X) · E(Y ). (L¨osung siehe Seite 116)

5. Diskrete Zufallsvariablen

99

Aufgabe 5.23 Eine diskrete Zufallsvariable X nimmt nur die Werte 0, 1 oder 2 an. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x) = P (X = x) von X h¨angt von einem Parameter θ ∈ [0, 1] ab: P (X = 0) = 0.36, P (X = 1) = 0.64 · θ, P (X = 2) = 0.64 · (1 − θ). F¨ ur welchen Wert von θ ist X binomialverteilt? (L¨osung siehe Seite 118)

Aufgabe 5.24 F¨ ur welchen Wert von π hat eine binomialverteilte Zufallsvariable X ∼ B(n, π) bei festem n maximale Varianz? (L¨osung siehe Seite 118)

Aufgabe 5.25 Eine R¨ uckversicherung will die Pr¨ amien f¨ ur Versicherungen gegen Großunf¨ alle kalkulieren. Aus Erfahrung weiß sie, daß im Mittel 3.7 bzw. 5.9 Großunf¨ alle im Winter- bzw. Sommerhalbjahr vorfallen. (a) Welche Verteilungsannahme erscheint f¨ ur die Zufallsvariablen X

= Anzahl der Großunf¨ alle im Winterhalbjahr

Y

= Anzahl der Großunf¨ alle im Sommerhalbjahr

sinnvoll? (b) Wie wahrscheinlich ist es, daß im Winterhalbjahr nicht mehr als zwei Großunf¨ alle vorfallen? Wie wahrscheinlich ist es im Sommerhalbjahr? (c) Wie wahrscheinlich ist es, daß sowohl im Winter- als auch im Sommerhalbjahr nicht mehr als zwei Großunf¨ alle vorfallen? Welche Annahme unterstellen Sie dabei? (L¨osung siehe Seite 118)

100

5. Diskrete Zufallsvariablen

L¨ osungen L¨ osung 5.1 Ein geeigneter Ergebnisraum ist Ω={

(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1),

(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2),

(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3),

(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4),

(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5),

(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6) }

mit |Ω| = 62 = 36. (a) Abz¨ ahlen liefert die Wahrscheinlichkeitsfunktion in Tabellenform: x P (X = x)

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

F¨ ur den Erwartungswert gilt: E(X) = −5 ·

2 1 1 −4· + ...+ 5 · = 0. 36 36 36

(b) Es gilt: P (Y = −10) = P (Y = −8)

=

P (Y = −6)

=

P (Y = −5)

=

P (Y = −4)

=

P (Y = −3)

=

P (Y = −2)

=

P (Y = −1)

=

P (Y = 0)

=

1· 1 6 36 1· 2 6 36 1· 3 6 36 1 36 2 1 36 + 6 3 36 4 1 36 + 6 5 36 1 1 36 · 6

= = = = 4 · 36

= =

5 · 36

= = =

1 216 2 216 3 216 6 216 16 216 18 216 29 216 30 216 6 216

=

P (X = 10)

=

P (X = 8)

=

P (X = 6)

=

P (X = 5)

=

P (X = 4)

=

P (X = 3)

=

P (X = 2)

=

P (X = −1)

5. Diskrete Zufallsvariablen

101

L¨ osung 5.2 Die Urne enth¨ alt vier Kugeln mit den Zahlen 2, 4, 8, 16. Daraus wird zweimal mit Zur¨ ucklegen gezogen, d.h. G = {2, 4, 8, 16}, N = 4 und n = 2. Dabei interessiert die Variable X = Durchschnitt der Zahlen der beiden entnommenen Kugeln. (a) Der Ergebnisraum ist gegeben als Ω

{(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 16), (4, 2), (4, 4), (4, 8), (4, 16),

=

(8, 2), (8, 4), (8, 8), (8, 16), (16, 2), (16, 4), (16, 8), (16, 16)}. Damit besitzt X folgende Auspr¨agungen: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16. (b) Die Wahrscheinlichkeits- und die Verteilungsfunktion von X lauten: x

2

3

4

5

6

8

9

10

12

16

P (X = x)

1 16

2 16

1 16

2 16

2 16

1 16

2 16

2 16

2 16

1 16

F (x)

1 16

3 16

4 16

6 16

8 16

9 16

11 16

13 16

15 16

1.

(c) • Bestimme den Median x0.5 mit P (X ≤ x0.5 ) ≥ 0.5 und P (X ≥ x0.5 ) ≥ 1 − 0.5 = 0.5. Dazu betrachte zun¨ achst x = 6: 8 = 0.5 und P (X ≥ 6) = 10 Hier gelten P (X ≤ 6) = 16 16 ≥ 0.5. 9 F¨ ur x = 8 erh¨ alt man entsprechend P (X ≤ 8) = 16 ≥ 0.5 und P (X ≥ 8 8) = 16 = 0.5. Der Median ist also nicht eindeutig bestimmt. Alle Zahlen zwischen 6 und 8 sind Median. Per Konvention w¨ahlt man den kleinsten Wert, d.h. x0.5 = 6. • Bestimme x0.25 mit P (X ≤ x0.25 ) ≥ 0.25 und P (X ≥ x0.25 ) ≥ 1 − 0.25 = 0.75. Betrachte zun¨ achst x = 4: 4 Hier gelten P (X ≤ 4) = 16 = 0.25 und P (X ≥ 4) = 13 16 = 0.8125 > 0.75. 6 = 0.375 ≥ F¨ ur x = 5 erh¨ alt man entsprechend P (X ≤ 5) = F (5) = 16 12 0.25 und P (X ≥ 5) = 16 = 0.75. Damit sind alle Zahlen zwischen 4 und 5 unteres Quartil; w¨ahle per Konvention x0.25 = 4. • Bestimme x0.75 mit P (X ≤ x0.75 ) ≥ 0.75 und P (X ≥ x0.75 ) ≥ 1 − 0.75 = 0.25. Betrachte zun¨ achst x = 10: Hier gelten P (X ≤ 10) = F (10) = 13 16 = 0.8125 ≥ 0.75 und P (X ≥ 5 = 0.3125 ≥ 0.25. Das obere Quartil ist eindeutig: x0.75 = 10. 10) = 16

102

5. Diskrete Zufallsvariablen

L¨ osung 5.3 (a) Die Verteilungsfunktion von X lautet −1 0.2 0.2

x P (X = x) F (x)

1 0.1 0.3

2 0.7 1

und hat folgende graphische Darstellung: F (x)

6

1

s

........................................................................

0.5 s .s .......................................................................c

c

....................................

0.3 0.2

c −1

....................................

−2

0

1

2

3

x

Der Erwartungswert von X ergibt sich als E(X) =

∞

xi · P (X = xi ) =

i=1

=

3

xi · P (X = xi )

i=1

−1 · 0.2 + 1 · 0.1 + 2 · 0.7 = 1.3.

Die Varianz von X ist gegeben als: V ar(X) = mit

2

E(X ) =

E(X 2 ) − [E(X)]2 1 · 0.2 + 1 · 0.1 + 4 · 0.7 = 3.1.

Damit ergibt sich die Varianz von X zu V ar(X) = 3.1 − 1.32 = 1.41, und man erh¨ alt f¨ ur die Standardabweichung von X: V ar(X) = 1.187.

5. Diskrete Zufallsvariablen

103

(b) Mit Y = 2 + 4X ergibt sich f¨ ur die Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion von Y y P (Y = y) F (y)

−2 0.2 0.2

6 0.1 0.3

10 0.7 1

und die folgende graphische Darstellung der Verteilungsfunktion F (y) 1

6

s

......................................................

0.5 0.3 0.2

s .s ..............................................................................................................................................c

c

......................................................

c −2

..................

0 1

5 6

10

y

(c) Die Berechnung von E(Y ) und V ar(Y ) kann • zum einen u ¨ ber die Verteilung von Y erfolgen: E(Y ) = 2

E(Y ) = Damit ist V ar(Y ) = und V ar(Y ) =

−2 · 0.2 + 6 · 0.1 + 10 · 0.7 = 7.2, 4 · 0.2 + 36 · 0.1 + 100 · 0.7 = 74.4. 74.4 − (7.2)2 = 22.56 4.75.

• und zum anderen anhand der Ergebnisse f¨ ur X: E(Y ) =

2 + 4 · E(X) = 2 + 4 · 1.3 = 7.2,

V ar(Y ) = V ar(Y ) =

16 · V ar(X) = 16 · 1.41 = 22.56, 4 · V ar(X) = 4 · 1.187 = 4.75.

104

5. Diskrete Zufallsvariablen

L¨ osung 5.4

(a) F¨ ur Leipzig erh¨ alt man P (L > 3) = P (L = 4) + P (L = 5) = 0.2 + 0.1 = 0.3, P (L ≥ 4) = P (L = 4) + P (L = 5) = 0.3, P (3.4 ≤ L ≤ 4.5) = P (L = 4) = 0.2. Entsprechend ergibt sich f¨ ur Dresden: P (D > 3) = P (D = 4) = 0.1, P (D ≥ 4) = P (D = 4) = 0.1, P (3.4 ≤ D ≤ 4.5) = P (D = 4) = 0.1. (b) Es gilt: E(L) =

E(D)

2 · P (L = 2) + 3 · P (L = 3) + 4 · P (L = 4) + 5 · P (L = 5)

= =

2 · 0.4 + 3 · 0.3 + 4 · 0.2 + 5 · 0.1 3

=

1 · P (D = 1) + 2 · P (D = 2) + 3 · P (D = 3) + 4 · P (D = 4)

= =

1 · 0.1 + 2 · 0.4 + 3 · 0.4 + 4 · 0.1 2.5

In Leipzig werden also im Durchschnitt 3000 B¨ ucher hergestellt, in Dresden 2500. (c) Die erwartete Produktionsmenge ist in Leipzig h¨oher als in Dresden. Daher entscheidet man sich f¨ ur Leipzig. (d) Bezeichne GL die Zufallsvariable Gewinn in Leipzig“ und GD die Zu” fallsvariable Gewinn in Dresden“. Es gilt: ” GL = (15 − 11) · 1000 · L = 4000 · L E(GL) = =

4000 · E(L) = 4000 · 3 12000 Euro

und GD E(GD)

= (15 − 0.6 · 11) · 1000 · D = 8400 · D = 8400 · E(D) = 8400 · 2.5 = 21000 Euro.

5. Diskrete Zufallsvariablen

105

Da der erwartete Gewinn in Dresden h¨ oher ist, entscheiden wir uns f¨ ur Dresden. L¨ osung 5.5 Ein geeigneter Ergebnisraum ist Ω={

(−3, −3), (−1, −3), (+1, −3), (+3, −3),

(−3, −1), (−1, −1), (+1, −1), (+3, −1),

(−3, +1), (−1, +1), (+1, +1), (+3, +1),

(−3, +3), (−1, +3), (+1, +3), (+3, +3) }

mit |Ω| = 42 = 16. (a) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X erh¨alt man mit folgender Tabelle: x

–6 (−3, −3)

P (X = x)

–4 (−3, −1) (−1, −3)

–2 (−3, 1) (1, −3) (−1, −1)

1

2

3

0 (−3, 3) (3, −3) (−1, 1) (1, −1) 4

1 16

2 16

3 16

4 16

2 (3, −1) (−1, 3) (1,1) 3

2

1

3 16

2 16

1 16

Damit folgt P (X > 0) =

2 1 6 3 + + = . 16 16 16 16

(b) Es gilt 2, P (X = 6) + P (X = −6) = 16 4, P (Z = 16) = P (X = 4) + P (X = −4) = 16 6, P (Z = 4) = P (X = 2) + P (X = −2) = 16 4. P (Z = 0) = P (X = 0) = 16 Damit erh¨ alt man als Wahrscheinlichkeitsfunktion ⎧ 2 f¨ ur z = 36 ⎪ ⎪ 16 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 4 f¨ ur z = 16 16 f (z) = 6 ⎪ f¨ ur z = 4 ⎪ 16 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4 f¨ ur z = 0 16 P (Z = 36) =

4 (3, 1) (1,3)

6 (3, 3)

106

5. Diskrete Zufallsvariablen

und als Verteilungsfunktion ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ F (z) =

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

0 f¨ ur 4 16 10 16 14 16

−∞ <

z

<

0

f¨ ur

0

≤

z

<

4

f¨ ur

4

≤

z

<

16

f¨ ur

16 ≤

z

<

36

1 f¨ ur

36 ≤

z

< +∞.

(c) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y entnimmt man folgender Tabelle: y

2 (−1, −1) (−1, +1) (+1, −1) (+1,+1)

P (Y = y)

4 4 16

=

1 4

10 (−3, −1) (−1, −3) (+3, −1) (−1, +3) (+3,+1) (+1,+3) (−3, +1) (+1, −3) 8 8 16

=

18 (−3, −3) (−3, +3) (+3, −3) (+3,+3)

4

1 2

4 16

=

1 4

Damit erh¨ alt man als Wahrscheinlichkeitsfunktion f¨ ur Y ⎧ 4 f¨ ur y = 18 ⎪ ⎪ ⎨ 16 8 f¨ ur y = 10 f (y) = 16 ⎪ ⎪ ⎩ 4 f¨ ur y = 2 16 und als Verteilungsfunktion ⎧ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 4 16 F (y) = 12 ⎪ ⎪ 16 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1

f¨ ur

−∞ <

y

<

2

f¨ ur

2

≤

y

<

10

f¨ ur

10 ≤

y

<

18

f¨ ur

18 ≤

y

<

+∞.

5. Diskrete Zufallsvariablen

107

(d) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ermittelt man wie folgt: P (Y > X 2 ) =

P (Y = 2 , X 2 = 0)+ P (Y = 10 , X 2 = 0) + P (Y = 10 , X 2 = 4)+ P (Y = 18 , X 2 = 0) + P (Y = 18 , X 2 = 4)+ P (Y = 18 , X 2 = 16)

= =

4 2 2 16 + 0 + 16 + 16 + 0 + 0 8 16 .

L¨ osung 5.6 (a) Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten lassen sich direkt u ¨ ber die angegebenen Werte der Verteilungsfunktion berechnen, und zwar als: P (−1 < X ≤ 3) =

F (3) − F (−1) = 0.95 − 0.3 = 0.65,

P (−1 < X < 3) =

F (2) − F (−1) = 0.85 − 0.3 = 0.55,

P (−1 ≤ X < 3) =

F (2) − F (−2) = 0.85 − 0.15 = 0.7,

P (−1 ≤ X ≤ 3) =

F (3) − F (−2) = 0.95 − 0.15 = 0.8.

(b) Die Verteilungsfunktion entnimmt man folgender Tabelle: y = x2 fY (y) FY (y)

0 0.1 0.1

1 0.4 0.5

4 0.3 0.8

9 0.15 0.95

16 0.05 1.0

L¨ osung 5.7 (a) f (xi ) < 0 ist falsch, denn f (xi ) = P (X = xi ). Wahrscheinlichkeiten sind aber nach dem Axiom K1 von Kolmogorov immer gr¨oßer oder gleich null. f (xi ) ist falsch (richtig w¨ are F (x) = f (xi )). Betrachte (b) F (x) = xi ≤x

xi <x

als Gegenbeispiel die Zufallsvariable X mit P (X = 1) = 1 (Einpunktverteilung). Hier gilt: f (xi ) = 0. F (1) = 1 = xi <x

108

5. Diskrete Zufallsvariablen

(c) P (X > x) = 1 − F (x) ist richtig, denn P (X > x) = 1 − P (X ≤ x) = 1 − F (x). (d) F (xi ) = 1 ist falsch (richtig w¨ are f (xi ) = 1). xi

xi

(e) F (xi ) ≤ F (xj ) ist richtig, denn F (xj ) =

P (X ≤ xj )

P (X ≤ xi ) + P (xi < X ≤ xj ) F (xi ) + P (xi < X ≤ xj ). ≥0 (f) f (xi ) = F (xi ) − F (xi−1 ) ist richtig, denn = =

F (xi ) = = =

P (X ≤ xi ) P (X ≤ xi−1 ) + P (X = xi ) F (xi−1 ) + f (xi ).

(g) f (xi ) < F (xi ) ist falsch. Betrachte als Gegenbeispiel wieder die Einpunktverteilung (siehe Teilaufgabe (b)). f (xi ) = f (x1 ). (h) f (x1 ) = F (x1 ) ist richtig, denn F (x1 ) = i≤1

L¨ osung 5.8 (a) TY = {1, 2, . . . , 6}, TZ = {2, 4, 6 . . . , 12}. Die Zufallsvariablen Y und Z sind stochastisch unabh¨angig, da sie aus zwei unabh¨ angigen W¨ urfelw¨ urfen hervorgehen. (b) TY = {1, 2, . . . , 6}, TZ = {2, 3, 4, . . . , 12}. Die Zufallsvariablen Y und Z sind stochastisch abh¨angig, da z.B. 1 = 1 · 2 = P (Y = 1) · P (Z = 3) P (Y = 1 , Z = 3) = 36 6 36 (c) TY = {2, 3, 4, . . . , 12} TZ = {−5, −4, . . . , 3, 4, 5} Die Zufallsvariablen Y und Z sind stochastisch abh¨angig, da z.B. 1 · 1 = P (Y = 2) · P (Z = −5) P (Y = 2 , Z = −5) = 0 = 36 36

5. Diskrete Zufallsvariablen

109

L¨ osung 5.9 urfels und W2 = Augenzahl des 2. W¨ urfels. Seien W1 = Augenzahl des 1. W¨ Dann gilt X = W1 + W2 und Y = W1 − W2 . Betrachten Sie P (X = 12, Y = 0) = P (W1 + W2 = 12, W1 − W2 = 0) = P (W1 = 6, W2 = 6) 1 1 1

= · = P (X = 12) · P (Y = 0). = 36 36 6 Also sind X und Y stochastisch abh¨ angig.

L¨ osung 5.10 Sei X auf T = {a, a + 1, . . . , b − 1, b} gleichverteilt. Der Einfachheit halber sei ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit a, b > 0. Dann lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion 1 f¨ ur x ∈ T f (x) = b−a+1 0 sonst. Somit ist E(X) =

b x=a

= = =

x·

b 1 1 = x b−a+1 b − a + 1 x=a

1 (a + b + a + 1 + b − 1 + . . .) b−a+1 1 b−a+1 (a + b) · b−a+1 2 a+b . 2

Dieses Ergebnis gilt auch wegen der Symmetrie der Verteilung. Zur Berechnung der Varianz betrachten wir die Zufallsvariable Y = X − a. Dann gilt wegen der Regeln f¨ ur lineare Transformationen V ar(Y ) = V ar(X) und ferner E(Y ) = E(X) − a =

a + b − 2a b−a = . 2 2

110

5. Diskrete Zufallsvariablen

Mit E(Y 2 ) =

b−a k=0

= =

1 1 = y2 b−a+1 b−a+1 b−a

y2 ·

k=0

1 b−a (b − a + 1)(2(b − a) + 1) b−a+1 6 b−a (2(b − a) + 1) 6

gilt dann V ar(Y )

= E(Y 2 ) − (E(Y ))2 (b − a)2 b−a (2(b − a) + 1) − = 6 4 4(b − a)2 + 2(b − a) − 3(b − a)2 = 12 (b − a)2 + 2(b − a) = V ar(X). = 12

L¨ osung 5.11 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet f (x) = 0.5x−1 · 0.5 = 0.5x . Daraus erh¨ alt man die Wahrscheinlichkeiten P (X ≤ 1) = 0.5 und P (X ≤ 2) = 0.75. Also gilt F (1) = 0.5, d.h. xmed = 1. Wegen 1 = xmed < E(X) = 2 liegt eine linkssteile Verteilung vor. Wahrscheinlichkeitshistogramm 0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0 1

2

3

4

5

6

7

5. Diskrete Zufallsvariablen

111

L¨ osung 5.12 (a) V ar(X) ≥ 0 ist richtig, es gilt sogar V ar(X > 0) (außer wenn n = 1). (b) E(X) ≥ x1 ist richtig. Denn sei δi = xi − x1 ≥ 0 ,

i = 1, . . . , n,

dann gilt E(X) =

n

(x1 + δi ) · P (X = xi )

i=1

= x1 ·

n

P (X = xi ) +

i=1

=1

n

δi · P (X = xi )

i=1

>0

> x1 , (c) V ar(X) ≥ x1 ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist z.B. die Einpunktverteilung mit P (X = x1 = 1) = 1. In diesem Fall gilt V ar(X) = 0 < x1 = 1. (d) V ar(X) ≥ E(X) ist falsch, betrachte als Gegenbeispiel wieder die Einpunktverteilung aus Teilaufgabe (c). (e) V ar(X) ≤ E(X 2 ) ist richtig, denn E(X 2 ) =

V ar(X) + (E(X))2 . ≥0

(f) V ar(X) ≤ E(X)2 ist falsch, da z.B. mit x1 = −1 , x2 = 0 , x3 = 1 und P (X = xi ) = 31 E(X)2 = 0 < folgt.

2 = V ar(X) 3

112

5. Diskrete Zufallsvariablen

L¨ osung 5.13 X ist symmetrisch um 0, d.h. f (−x) = f (x) f¨ ur alle x ∈ T . Dann gilt:

E(X) =

xf (x)

x∈T

=

x∈T ,x<0

=

−xf (−x) +

x∈T ,x>0

=

x∈T ,x>0

=

xf (x) + 0 · f (0) +

xf (x)

x∈T ,x>0

xf (x)

x∈T ,x>0

−xf (x) +

xf (x)

x∈T ,x>0

f (x) · (−x + x)

x∈T ,x>0

=

0.

Sei Y eine diskrete Zufallsvariable und symmetrisch um c. Dann gilt: Z = Y − c ist symmetrisch um 0 und E(Z) = 0 = E(Y − c) = E(Y ) − c, woraus E(Y ) = c folgt.

L¨ osung 5.14 (a) Da die Lottozahlen ohne Zur¨ ucklegen gezogen werden, gilt X1 ∼ H(6, 6, 49). (b) Da die Einzelergebnisse voneinander unabh¨angig sind und die Wahrscheinlichkeit, ein Einzelergebnis richtig zu tippen, jeweils 1/3 betr¨agt, gilt X2 ∼ B(11, 1/3). (c) Falls eher selten angerufen wird, ist, da die einzelnen Anrufe als unabh¨ angig angesehen werden k¨ onnen, X3 P o(λ)-verteilt. Dabei ist λ die mittlere Anzahl von Anrufen pro Stunde. (d) Ziehen auf einen Schlag entspricht dem Modell ohne Zur¨ ucklegen, d.h. X4 ∼ H(10, 5, 100). (e) Befragungen entsprechen in der Regel dem Ziehen ohne Zur¨ ucklegen, d.h. orer den Unterschied verstanden haben. X5 ∼ H(10, M, 50), wobei M H¨ (f) Ist λ die Anzahl, die im Mittel an einem Tag nachgefragt wird, dann gilt X6 ∼ P o(λ).

5. Diskrete Zufallsvariablen

113

L¨ osung 5.15 Mindestens acht richtige Tips sind gleichbedeutend mit h¨ochstens zwei falschen Tips. Die Anzahl X der falschen Tips unter den zehn Versuchen ist hier aufgrund der Unabh¨ angigkeit binomialverteilt mit den Parametern π = 0.5 (Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen falschen Tip in einem Versuch) und n = 10 (Anzahl der Versuche insgesamt). Damit ist die Wahrscheinlichkeit, daß h¨ ochstens zwei Tips falsch sind, gegeben durch: P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2). Mit Hilfe der Binomialverteilung ergeben sich diese Wahrscheinlichkeiten als 10 P (X = 0) = 0.50 · 0.510 = 0.000977, 0 10 P (X = 1) = 0.51 · 0.59 = 0.009766, 1 10 P (X = 2) = 0.52 · 0.58 = 0.043945. 2 Und damit ist schließlich P (X ≤ 2) = 0.054688. Alternativ erh¨ alt man dieses Ergebnis direkt mit der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung (Tabelle B in Fahrmeir et al., 2004): P (X ≤ 2) = F (2) = 0.054688.

L¨ osung 5.16 (a) Da hier ohne Zur¨ ucklegen gezogen wird, ist die Anzahl X der gezogenen Marzipan-Pralinen hypergeometrisch verteilt mit den Parametern n = 3 (Anzahl der Z¨ uge), M = 6 (Anzahl der Marzipan-Pralinen in der T¨ ute) und N = 10 (Anzahl der Pralinen insgesamt). 6 Der Erwartungswert von X ist gegeben durch E(X) = n· M N = 3· 10 = 1.8. Hein kann also im Schnitt mit 1.8 Marzipan-Pralinen rechnen. (b) Mit Hilfe der hypergeometrischen Verteilung ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, genau drei Marzipan-Pralinen zu ziehen, als 64 M N −M P (X = 3) =

3

N 0 n

= 3100 = 0.167. 3

114

5. Diskrete Zufallsvariablen

(c) Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Marzipan-Praline zu ziehen, berechnet sich als: 64 P (X ≥ 1) = 1 − P (X < 1) = P (X = 0) = 1 − 0103 = 0.967. 3

L¨ osung 5.17 (a) Die Zufallsvariable X = Anzahl der richtigen Antworten ist binomialverteilt mit den Parametern n = 20 und π = 0.2. Es gilt E(X) = 20 · 0.2 = 4. (b) Die Wahrscheinlichkeit, den Test zu bestehen, berechnet sich zu P (X ≥ 10) = 1 − P (X ≤ 9) = 1 − 0.9974 = 0.0026. Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur X ≤ 9 liest man aus Vertafelungen der Biomialverteilung ab. Die Grenze k, bei welcher die Wahrscheinlichkeit, die Klausur zu bestehen, mehr als 5 % betr¨ agt, berechnet sich wie folgt. Es muß P (X ≥ k) = 1 − P (X < k) > 0.05 ¨ gelten. Aquivalentes Umformen dieser Bedingung liefert ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

P (X < k) < 0.95 P (X ≤ k − 1) < 0.95 FX (k − 1) < 0.95 k−1=6 k = 7.

Die Grenze m¨ ußte also bei k = 7 liegen.

L¨ osung 5.18 Sei X die Zufallsgr¨ oße “Anzahl der Bestellungen”. X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 8 und π = 0.3. Die Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion von X ergibt sich aus folgender Tabelle:

x P (X = x) FX (x)

0 0.0576 0.0576

1 0.1977 0.2553

2 0.2965 0.5518

3 4 0.2541 0.1361 0.8059 0.942

5 6 0.0467 0.01 0.9887 0.9987

7 0.0012 0.9999

8 0.0001 1

(a) Der Modus der Verteilung von X ist bei x = 2 (siehe obige Tabelle).

5. Diskrete Zufallsvariablen

115

(b) P (1 ≤ X ≤ 3) = P (X ≤ 3) − P (X = 0) = 0.8059 − 0.0576 = 0.7483 (c) Zu den Versp¨atungen gilt: (c1) P (“keine p¨ unktliche Lieferung”) = P (X = 7) + P (X = 8) = 0.0012 + 0.0001 = 0.0013. (c2) Sei Y die Zufallsgr¨ oße Anzahl der Gesch¨afte, die versp¨atet beliefert ” werden“. Dann gilt f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsfunktion ⎧ ur y = 0 ⎪ ⎪ P (X ≤ 6) = 0.9887 f¨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ P (X = 7) = 0.0012 f¨ ur y = 1 f (y) = ⎪ ⎪ P (X = 8) = 0.0001 f¨ ur y = 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 sonst. Damit folgt E(Y ) = 1 · 0.0012 + 2 · 0.0001 = 0.0014. L¨ osung 5.19 Seien X1 = Anzahl von Treﬀern der Mannschaft A und X2 = Anzahl von Treﬀern der Mannschaft B sowie Y = Anzahl von Sch¨ ussen bis zur Entscheidung. Nach 2 · n Sch¨ ussen gilt X1 ∼ B(n, 0.8) und X2 ∼ B(n, 0.8). Insbesondere lautet die Verteilung nach f¨ unf Sch¨ ussen pro Mannschaft in Tabellenform: x 0 1 2 3 4 5 P (Xi = x), i = 1, 2 0.0003 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.3277 Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur ein Unentschieden nach insgesamt zehn Sch¨ ussen betr¨ agt somit P (X1 = X2 ) = =

0.00032 + 0.00642 + 0.05122 +0.20482 + 0.40962 + 0.32772 0.3198

Also gilt P (Y = 10) = 1 − 0.3198 = 0.6802. L¨ osung 5.20 (a) X ∼ P o(λ) mit Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x) =

λx −λ ur x = 0, 1, 2, . . . e f¨ x!

Wegen P (X = 0) = f (0) = e−λ = 0.7788 gilt λ = − log 0.7788 = 0.25, also X ∼ P o(0.25).

116

5. Diskrete Zufallsvariablen

(b) Man berechnet P (X ≥ 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) 0.251 = 1 − 0.7788 − 0.7788 = 0.0265. 1! (c) Sei Y = Anzahl der Fehler, die bei vier Computern w¨ahrend 12 Stunden auftreten. Dann ist Y die Summe von vier unabh¨angigen P o(0.25)verteilten Zufallsvariablen, also Y ∼ P o(1).

L¨ osung 5.21 ¨ Sei X = Anzahl der Angestellten, die sich f¨ ur l¨angere Oﬀnungszeiten aussprechen. Dann gilt X ∼ H(5, 4, 20) und 416 1 · 4368 0 205 = P (X = 0) = = 0.2817, 15504 5 416 6 · 560 2 203 = P (X = 2) = = 0.2167, 15504 5 P (X ≥ 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) 416 = 1 − 0.2817 −

1

204 5

4 · 1820 = 1 − 0.2817 − 15504 = 1 − 0.2817 − 0.4696 = 0.2487.

L¨ osung 5.22 Da X ∼ B(1, π) hat X die Wahrscheinlichkeitsfunktion 1 x 1−x x = 0, 1 x π (1 − π) f (x) = 0 sonst mit Erwartungswert E(X) =

1

x · f (x) = 0 + 1 ·

x=0

und E(X 2 ) =

1 x=0

1 π(1 − π)0 = π 1

x2 · f (x) = 0 + 1 · 1 = π,

5. Diskrete Zufallsvariablen

117

also mit der Varianz V ar(X)

=

E(X 2 ) − (E(X))2 = π − π 2

=

π(1 − π).

Entsprechend hat Y ∼ B(1, ρ) den Erwartungswert ρ und die Varianz ρ(1−ρ). Die Zufallsvariable Z = X + Y hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung Z =X +Y P (Z = z)

0 1 2 (1 − π)(1 − ρ) π(1 − ρ) + ρ(1 − π) π · ρ

mit Erwartungswert E(Z) = 0 + 1 · π(1 − ρ) + ρ(1 − π) + 2 · π · ρ = π−π·ρ+ρ−ρ·π+2·π·ρ=π+ρ und E(Z 2 ) = = =

0 + 1 · π(1 − ρ) + ρ(1 − π) + 4 · πρ π−π·ρ+ρ−ρ·π+4·π·ρ π + 2 ·π ·ρ + ρ,

also mit der Varianz V ar(Z)

= E(Z 2 ) − (E(Z))2 = π + 2 · π · ρ + ρ − (π + ρ)2 = π − π 2 + ρ − ρ2 = π(1 − π) + ρ(1 − ρ) .

Damit gilt E(X + Y ) =

E(X) + E(Y ) und

V ar(X + Y ) =

V ar(X) + V ar(Y ) .

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von V = X · Y entnimmt man folgender Tabelle: V =x·y 0 1 P (V = v) (1 − π)(1 − ρ) + π(1 − ρ) + ρ(1 − π) π · ρ Damit erh¨ alt man E(V ) = 0 + 1 · πρ = π · ρ. Also gilt E(X · Y ) = E(X) · E(Y ).

118

5. Diskrete Zufallsvariablen

L¨ osung 5.23 Es gilt P (X = 0) = 0.36. Soll X binomialverteilt sein, so muß P (X = 0) = (1 − π)2 = 0.36 gelten, woraus π = 0.4 folgt. Weiterhin folgt wegen P (X = 1) = 0.64 · θ 2 π(1 − π) = 2 · 0.4 · 0.6 = 0.64 · θ 1 und damit durch Auﬂ¨ osen nach θ 3 . 4 binomialverteilt, d.h. X ∼ B(2, 0.4). θ=

X ist also f¨ ur θ =

3 4

L¨ osung 5.24 Es gilt V ar(X) = n · π · (1 − π) = n · π − n · π 2 . Diﬀerenzieren und Nullsetzen liefert die Gleichung n − 2 · n · π = 0, d.h. die Varianz wird f¨ ur π =

1 2

maximal.

L¨ osung 5.25 (a) X und Y sind Poisson-verteilt, d.h. X ∼ P o(λ) und Y ∼ P o(μ). (b) Die Wahrscheinlichkeiten daf¨ ur, daß nicht mehr als zwei Großunf¨alle auftreten, berechnen sich jeweils als: P (X ≤ 2) = = = P (Y ≤ 2) = = =

P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) 0 3.7 3.71 3.72 e−3.7 · + + 0! 1! 2! −3.7 e · (1 + 3.7 + 6.845) = 0.285, P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2) 0 5.91 5.92 5.9 −5.9 + + e · 0! 1! 2! −5.9 e · (1 + 5.9 + 17.405) = 0.0666.

(c) Man kann annehmen, daß X und Y unabh¨angig sind. In diesem Fall folgt P (X ≤ 2 , Y ≤ 2) = P (X ≤ 2) · P (Y ≤ 2) = 0.285 · 0.0666 = 0.0188.

6 Stetige Zufallsvariablen

Aufgaben

Aufgabe 6.1 Eine stetige Zufallsvariable X habe Dichte 1 − |x| f¨ ur − 1 ≤ x ≤ 1 f (x) = 0 sonst. ¨ (a) Uberpr¨ ufen Sie, ob die Dichte wirklich die Normierungseigenschaft f (x)dx = 1 besitzt. (b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F (x), und skizzieren Sie deren Verlauf. (c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (|X| ≤ 0.5). (L¨osung siehe Seite 129)

Aufgabe 6.2 Sei X eine stetige Zufallsgr¨ oße, f¨ ur die −4 x P (X ≥ x) = 1

f¨ ur x ≥ 1 sonst

gilt. (a) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X. (b) Berechnen Sie die Dichte f (x) von X. (c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X. (L¨osung siehe Seite 131)

120

6. Stetige Zufallsvariablen

Aufgabe 6.3 Von einer stetigen Zufallsvariable X, die von abh¨ angt, sei die Verteilungsfunktion gegeben: ⎧ ⎨ 0 1 F (x) = (x + 2) + 18 θ(x2 − 4) ⎩ 4 1

einem Parameter θ ∈ − 12 , 12 f¨ ur f¨ ur f¨ ur

x < −2 −2 ≤ x ≤ 2 x > 2.

(a) Wie lautet die Dichte f (x) von X? (b) Welche spezielle Verteilung liegt f¨ ur θ = 0 vor? (c) Berechnen Sie den Erwartungswert von X in Abh¨angigkeit von θ. (L¨osung siehe Seite 132)

Aufgabe 6.4 Das statistische Bundesamt h¨ alt f¨ ur die Wachstumsrate des Bruttosozialproduktes X alle Werte im Intervall 2 ≤ x ≤ 3 f¨ ur prinzipiell m¨oglich und unterstellt f¨ ur ihre Analyse folgende Funktion c · (x − 2) , 2 ≤ x ≤ 3 f (x) = 0 , sonst. (a) Bestimmen Sie c derart, daß obige Funktion die Dichtefunktion einer Zufallsvariable X ist. (b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X. (c) Berechnen Sie P(2.1 < X) und P(2.1 < X < 2.8). (d) Berechnen Sie P(−4 ≤ X ≤ 3|X ≤ 2.1), und zeigen Sie, daß die Ereignisse {−4 ≤ X ≤ 3} und {X ≤ 2.1} stochastisch unabh¨angig sind. (e) Bestimmen Sie den Erwartungswert, den Median und die Varianz von X. (L¨osung siehe Seite 132)

Aufgabe 6.5 Die Firma LS (Low Sales) m¨ ochte mittels einer einmalig durchgef¨ uhrten Werbeaktion den Umsatz des Unternehmens punktuell steigern. Der Basisumsatz uhrung der geplanten WerbeakU0 sowie der Werbeeﬀekt W , der bei Durchf¨ tion realisiert w¨ urde, werden als unsicher angenommen. Die Zufallsvariablen angig vorausgesetzt. Die WahrscheinlichkeitsdichU0 und W seien als unabh¨ ten der Zufallsvariablen U0 und W sind in Abbildung 6.1 dargestellt. Der zu agt 1637.5 Euro. erwartende Basisumsatz E(U0 ) betr¨

6. Stetige Zufallsvariablen

121

Der Umsatz U1 , der nach Durchf¨ uhrung der Werbeaktion zu beobachten w¨are, erg¨ abe sich durch: U1

= U0 (1 + W ).

Die Kosten f¨ ur die geplante Werbeaktion betragen 100 Euro.

−1000

0

0

.5

.0001

.8

f(u)

f(w)

.0003

2.8

.00045

(a) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion FU0 (u) f¨ ur den bisherigen Umsatz. (b) Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: – Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Umsatz U0 von h¨ochstens 3250 Euro, – Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Umsatz U0 von mindestens 1500 Euro, – Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Umsatz U0 zwischen 2000 und 5000 Euro, – Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen positiven Werbeeﬀekt, – Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen negativen Werbeeﬀekt. (c) Bestimmen Sie den erwarteten Werbeeﬀekt. (d) Bestimmen Sie den zu erwartenden Umsatz nach Durchf¨ uhrung der Werbeaktion. W¨ urden Sie der Firma LS aufgrund Ihrer Ergebnisse die Durchf¨ uhrung der Werbeaktion empfehlen?

0

1000

2000 Umsatz u

4500

5500

−.4

−.2

0

.25

.5

.7

Werbeeffekt w

Abbildung 6.1. Wahrscheinlichkeitsdichte fU0 (u) f¨ ur den Basisumsatz (links) und Wahrscheinlichkeitsdichte fW (w) f¨ ur den Werbeeﬀekt (rechts).

(L¨osung siehe Seite 134)

122

6. Stetige Zufallsvariablen

Aufgabe 6.6 Die Dichte einer stetigen Zufallsvariable X besitzt folgende Gestalt: f (x)

0.5

0

1

2

3

4

5

6

x

Bestimmen Sie (a) (b) (c) (d) (e) (f)

E(X), P (X < 3), P (0 < X < 3), P (X > 3), P (1 < X < 7), F (3).

(L¨osung siehe Seite 138)

Aufgabe 6.7 Sei X eine beliebige stetige Zufallsvariable mit Dichte f (x) und Verteilungsfunktion F (x). Sind die folgenden Aussagen richtig oder unter Umst¨anden falsch? (a) f (x) ≤ 1 f¨ ur alle x. (b) F (x) ≤ 1 f¨ ur alle x. ∞ (c) f (t)dt = 1 − F (x). x

(d) Ist xi < xj so ist F (xi ) ≤ F (xj ). (L¨osung siehe Seite 139)

6. Stetige Zufallsvariablen

123

Aufgabe 6.8 An der M¨ unchener U-Bahn-Station “Universit¨at” verkehren zwei Linien tags¨ uber jeweils im 10-Minuten-Takt, wobei die U3 drei Minuten vor der U6 f¨ ahrt. Sie gehen gem¨ aß einer stetigen Gleichverteilung nach der Vorlesung zur U-Bahn. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß als n¨achstes die Linie U3 f¨ ahrt? (L¨osung siehe Seite 139) Aufgabe 6.9 Sei X eine zum Parameter λ exponentialverteilte Zufallsvariable. Zeigen Sie die “Ged¨ achtnislosigkeit” der Exponentialverteilung, d.h. daß P (X ≤ x|X > s) = P (X ≤ x − s) f¨ ur x, s ∈ IR mit s < x gilt. (L¨osung siehe Seite 139) Aufgabe 6.10 In einem Institut der Universit¨ at M¨ unchen ist der einzige Fotokopierer aus¨ gefallen. Uber die Zeit X (in Stunden), die ein Techniker ben¨otigt, um den Fotokopierer zu reparieren, ist bekannt, daß diese einer Exponentialverteilung mit Parameter λ = 3 folgt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß der Techniker (a) h¨ ochstens eine Viertelstunde, (b) zwischen 0.5 und 0.75 Stunden, (c) mehr als 1 Stunde f¨ ur die Reparatur ben¨ otigt. (L¨osung siehe Seite 140) Aufgabe 6.11 In Aufgabe 5.20 wurde die Zufallsvariable X betrachtet, die die Anzahl der Fehler, die w¨ ahrend 12 Stunden an einem Digitalcomputer auftreten, beschreibt. (a) Welche Verteilung hat unter den gegebenen Voraussetzungen die Zufallsvariable Y =Wartezeit auf den n¨ achsten Fehler? (b) Wie lange wird man im Mittel auf den n¨ achsten Fehler warten? (c) W¨ ahrend 12 Stunden ist kein Fehler aufgetreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich in den n¨ achsten 12 Stunden ebenfalls kein Fehler ereignet?

124

6. Stetige Zufallsvariablen

(L¨osung siehe Seite 140)

Aufgabe 6.12 Beweisen Sie die Markov-Ungleichung P (X ≥ c) ≤

E(X) c

f¨ ur jede positive Zahl c, falls X nur nichtnegative Werte annimmt. (L¨osung siehe Seite 141)

Aufgabe 6.13 Die Erlang-n-Verteilung wird h¨ aufig zur Modellierung von Einkommensverteilungen verwendet. Sie ergibt sich als Summe von n unabh¨angigen mit Parameter λ exponentialverteilten Zufallsgr¨ oßen. Beispielsweise hat f¨ ur n = 2 die Dichte die Form 2 −λx λ xe , x≥0 f (x) = 0 , sonst. (a) Zeigen Sie, daß f (x) tats¨ achlich eine Dichtefunktion ist. (b) Zeigen Sie, daß 0, x < 0 F (x) = 1 − e−λx (1 + λx) , x ≥ 0 die zugeh¨ orige Verteilungsfunktion ist. (c) Berechnen Sie den Erwartungswert, den Median und den Modus der Erlang-2-Verteilung mit Parameter λ = 1. Was folgt gem¨aß der Lageregel f¨ ur die Gestalt der Dichtefunktion? Skizzieren Sie die Dichte, um Ihre Aussage zu u ufen. ¨berpr¨ (d) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Erlang-nVerteilung f¨ ur beliebige n ∈ N und λ ∈ IR+ . (L¨osung siehe Seite 141)

Aufgabe 6.14 Sei Y eine stetige, um c ∈ IR symmetrische Zufallsvariable. Zeigen Sie, daß dann E(Y ) = c gilt. (L¨osung siehe Seite 143)

6. Stetige Zufallsvariablen

125

Aufgabe 6.15 In einer Klinik wird eine Studie zum Gesundheitszustand von Fr¨ uhgeburten durchgef¨ uhrt. Das Geburtsgewicht X eines in der 28ten Schwangerschaftswoche geborenen Kindes wird als normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 1000 g und Standardabweichung 50 g angenommen. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein in der 28ten Schwangerschaftswoche geborenes Kind ein Gewicht zwischen 982 und 1050 g hat? (b) Bestimmen Sie das 10 %-Quantil des Geburtsgewichts. Was sagt es aus? (c) Geben Sie ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall an, in dem mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % das Geburtsgewicht liegt. (L¨osung siehe Seite 143) Aufgabe 6.16 Ein genormter Leistungstest sei normalverteilt mit μ = 150, σ = 36. (a) Skizzieren Sie die Dichte dieser Verteilung. (b) Zeichnen Sie jeweils die folgenden Wahrscheinlichkeiten als Fl¨ache unter der Dichte ein, und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, Werte zu erreichen, die (b1) kleiner sind als 140, (b2) nicht im Bereich von 114 bis 190 liegen, (b3) gr¨ oßer sind als 175, (b4) kleiner als 200 und gr¨ oßer als 130 sind. (c) Bestimmen Sie den 10 %-Quantilswert, und fassen Sie in Worte, was er aussagt. (d) Der Leistungstest wird nun an 49 Personen unabh¨angig voneinander durchgef¨ uhrt. Wie wahrscheinlich ist es, einen Mittelwert kleiner als 140 zu beobachten? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem aus (b1). Wie erkl¨ aren Sie sich den Unterschied? (L¨osung siehe Seite 144)

Aufgabe 6.17 Die t¨ aglichen Ver¨anderungen des Kurses eines Wertpapieres (in EUR) seien normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz 3. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kurs an einem Tag um mindestens 2 EUR steigt? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit betr¨ agt die absolute t¨agliche Ver¨anderung des Kurses h¨ ochstens 1 EUR?

126

6. Stetige Zufallsvariablen

(c) Gehen Sie davon aus, dass das Wertpapier mit einem Kurs von 2 EUR gestartet ist und dass die t¨ aglichen Ver¨ anderungen unabh¨angige Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . mit der gleichen Verteilung N (0, 3) sind. – Welche Verteilung hat die Zufallsvariable Y = Kurs des Wertpapiers ” nach 10 Tagen“? – Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Kurs an vier aufeinanderfolgenden Tagen um jeweils mindestens 0.50 EUR f¨allt. (d) Es sei Z die Anzahl der Tage einer Woche (5 Tage), an denen der Kurs des Wertpapieres f¨ allt. – Welche Verteilung hat Z? – Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Woche der Kurs h¨ auﬁger steigt als f¨ allt? (L¨osung siehe Seite 148)

Aufgabe 6.18 Ein Anleger besitzt das Verm¨ ogen v. Er m¨ ochte einen Betrag x in eine risikobehaftete Anlage investieren mit normalverteilter Rendite R ∼ N (μ, σ 2 ). Der Restbetrag v − x wird zum festen Zinssatz z risikofrei investiert. (a) Bestimmen Sie das Endverm¨ ogen W in Abh¨angigkeit von v, R, x und z. Welche Verteilung besitzt W ? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit w¨ achst das Verm¨ogen um mindestens 5 Prozent, wenn v = 10000, μ = 0.03, σ 2 = 0.0009, z = 0.04 und x = 5000 gilt. (c) Wie ¨ andert sich die in (b) berechnete Wahrscheinlichkeit, wenn – μ erh¨ oht wird, – z erh¨ oht wird, oht wird. – σ 2 erh¨ Es reicht die Angabe, ob die Wahrscheinlichkeit gr¨oßer oder kleiner wird. (d) Nach dem Erwartungsnutzenprinzip existiert f¨ ur jeden Anleger eine Nutzenfunktion u, die verschiedene Portfolios aufgrund des zugeh¨origen Nutzenerwartungswertes beurteilt. Ein Portfolio P mit Rendite RP wird dann durch die Funktion E(U (Rp )) bewertet. Gehen Sie davon aus, dass unser Anleger mit einer exponentiellen Nutzenfunktion U (W ) = − exp(−W/a) sein Endverm¨ ogen beurteilt. Der Parameter a > 0 wird dabei als Risikoaversionskoeﬃzient bezeichnet.

6. Stetige Zufallsvariablen

127

– Wie w¨ urde man prinzipiell ansetzen, um E(U (W )) zu berechnen. – Bestimmen Sie den optimalen Anlagebetrag x f¨ ur die Anlage in das risikobehaftete Wertpapier. Dabei d¨ urfen Sie benutzen, dass aus W ∼ 2 N (μW , σW ) σ2 E(U (W )) = μW − a W 2 folgt. – Wie ¨ andert sich der berechnete optimale Anlagebetrag in Abh¨angigkeit - vom Anfangsverm¨ ogen, - von Erwartungswert und Varianz der unsicheren Anlage, - vom Zinssatz der sicheren Anlage, - vom Risikoaversionskoeﬃzienten. (L¨osung siehe Seite 149)

Aufgabe 6.19 Seien X1 , X2 , . . . , Xn unabh¨ angig und jeweils normalverteilt mit Mittelwert μ und Varianz σ 2 . ¯ = (a) Wie ist X (b) Wie ist

1 n (X1

+ X2 + . . . + Xn ) verteilt? ¯ −μ √ X n· σ

verteilt? (c) Wichtige p-Quantile der Standardnormalverteilung sind in folgender Tabelle gegeben: p Zp

75 % 0.67

90 % 1.28

95 % 1.64

97.5 % 1.96

99 % 2.33

Berechnen Sie an Hand dieser Tabelle die 1, 2.5, 5, 10, 25, 50, 75, 90, ¯ f¨ 95, 97.5 und 99 % Quantile der Verteilung von X ur n = 5, μ = 1 und 2 σ = 25. (d) Leiten Sie schließlich an Hand dieser Berechnungen zentrale Schwan¯ ab. Geben Sie auch die Wahrscheinlichkeit α an, kungsintervalle f¨ ur X ¯ mit der X nicht in dem jeweiligen Intervall liegt. (L¨osung siehe Seite 150)

128

6. Stetige Zufallsvariablen

Aufgabe 6.20 Da Tagesrenditen von Aktien oft Ausreißer enthalten, wird zu ihrer Modellierung h¨ aufig anstelle einer Normalverteilung eine t-Verteilung verwendet. Beispielsweise lassen sich die Renditen der Aktie der M¨ unchner R¨ uckversicherung (= X) nach der Transformation Y = (X − 0.0007)/0.013 durch eine t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad gut approximieren. Wie groß ist demnach die Wahrscheinlichkeit, eine Rendite gr¨oßer als 0.04 zu erzielen? Wie groß w¨ are diese Wahrscheinlichkeit, wenn f¨ ur X eine N (0.0007, 0.0132)Verteilung zugrunde gelegt w¨ urde? Geben Sie ferner f¨ ur das Modell mit Normalverteilungsannahme ein zentrales Schwankungsintervall an, in dem mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % die Tagesrenditen liegen. Warum kann bei Annahme einer t-Verteilung f¨ ur X kein zentrales Schwankungsintervall berechnet werden? (Vergleiche zu dieser Aufgabe auch das entsprechende Beispiel in Fahrmeir et al., 2004, in Abschnitt 2.1.2.) (L¨osung siehe Seite 151)

6. Stetige Zufallsvariablen

129

L¨ osungen L¨ osung 6.1 Durch Auﬂ¨ osen des Betragszeichens erh¨ alt man: 1 + x f¨ ur −1 ≤ x ≤ 0 f (x) = 1 − x f¨ ur 0 < x ≤ 1. Die folgende Skizze zeigt die Gestalt obiger Dichte:

f (x) 1...................

.. ... .... .... ... . . . ... .... ... .... .... . . .... ... .... ... .... . . .... ... .... .... ... . . .

.... .... ... .... ... .... .... ... .... ... .... ... .... .... ... .... ... .... .... ... .... ... ..

A

−1

B

0

1

x

1 (a) f ist symmetrisch um null. Es gen¨ ugt daher

f (x)dx = 0

1

1 zu zeigen: 2

1 f (x)dx

(1 − x) dx

=

0

0

= =

x− 1−

1 x2 2 0

1 1 = . 2 2

Ein Blick auf die graphische Darstellung der Dichte zeigt, daß der Wert des Integrals u ¨ ber f auch ohne explizite Anwendung der Integralrechnung bestimmt werden kann. Die Fl¨ ache unter der Dichte ist n¨amlich gegeben durch die Fl¨achen A und B der beiden rechtwinkligen Dreiecke (siehe Skizze). Daf¨ ur gilt A = B = 0.5 · Grundﬂ¨ ache · H¨ ohe = 0.5 · 1 · 1 = 0.5, womit ebenfalls gezeigt wurde, daß f tats¨ achlich die Dichte einer stetigen Zufallsvariable ist.

130

6. Stetige Zufallsvariablen

(b) Die Verteilungsfunktion berechnet ⎧ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f (t) dt ⎪ ⎪ ⎨ −1 F (x) = x ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ + f (t) dt ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎩ 1

=

=

sich als f¨ ur

x < −1

f¨ ur

−1 ≤ x ≤ 0

f¨ ur

0 <x≤1

f¨ ur

x >1

⎧ 0 ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎨ x + x2 − (−1 + 12 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

1 2

2 + x − x2

1

⎧ 0 ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎨ x + x2 + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

1 2

1 2 2

+ x − x2

1

f¨ ur f¨ ur

x

< −1

−1 ≤ x ≤ 0

f¨ ur

0

<x≤1

f¨ ur

x

>1

< −1

f¨ ur

x

f¨ ur

−1

≤x≤0

f¨ ur

0

<x≤1

f¨ ur

x

>1

Auch bei dieser Teilaufgabe ist eine rein graphische L¨osung m¨oglich. Die folgende Skizze zeigt den Verlauf von F (x):

F (x)

1.0

0.5

........................................................... ............. ....... ...... ....... . . . . . . ..... ..... ..... ..... .... . . . ... .... ... ... ... . . ... .... .... ... .... . . . . ..... .... ..... ...... ....... . . . . . .... ......... ........................

−1

0

1

x

(c) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit l¨ aßt sich u ¨ ber die Verteilungsfunktion ermitteln: P (|X| ≤ 0.5) = P (−0.5 ≤ X ≤ 0.5)

6. Stetige Zufallsvariablen

131

= 2 · (F (0.5) − F (0)) 1 1 1 1 3 = 2·( + − − )= . 2 2 8 2 4

L¨ osung 6.2 (a) Es gilt P (X ≥ x) = 1 − P (X ≤ x) = 1 − F (x) und damit

F (x) =

1 − x−4 0

x≥1 sonst.

f¨ ur

(b) Die Dichte von F (x) erh¨ alt man als Ableitung der Verteilungsfunktion: ∂ 4 · x−5 f¨ ur x ≥ 1 f (x) = F (x) = 0 sonst. ∂x (c) Erwartungswert und Varianz bestimmt man als ∞

−5

x·x

E(X) = 4 ·

∞ dx = 4 ·

1

∞

x−4 dx

1

1 = 4 · − · x−3 3 1 1 4 = 4· 0− − = , 3 3 2

∞

E(X ) = 4 ·

2

−5

x ·x 1

∞ dx = 4 · ∞

1 = 4 · − · x−2 2 1 1 = 4· 0− − = 2, 2 V ar(X)

x−3 dx

1

2 4 2 16 = . =2− = E(X ) − E(X) = 2 − 3 9 9 2

2

132

6. Stetige Zufallsvariablen

L¨ osung 6.3 (a) Die Dichte von X erh¨ alt man als Ableitung der Verteilungsfunktion: f (x)

∂ F (x) ∂x 1 1 ∂ 1 1 ( · x + + · θ · x2 − · θ) ∂x 4 2 8 2 1 1 + · θ · x. 4 4

= = =

(b) F¨ ur θ = 0 ergibt sich f (x) = 14 , d.h. es liegt eine (stetige) Gleichverteilung vor. (c) Der Erwartungswert von X berechnet sich als 2 E(X) = −2

2 = −2

= = = =

1 1 x · ( + · θ · x) dx 4 4 1 1 ( x · + · θ · x2 ) dx 4 4

3 2 2 1 x2 x 1 · + ·θ· 4 2 −2 4 3 −2 1 8 −8 1 4 4 ·( − )+ ·θ·( − ) 4 2 2 4 3 3 1 16 0+ ·θ· 4 3 4 θ· . 3

L¨ osung 6.4 3 (a) Damit f (x) Dichte ist, muß

f (x) dx = 1 gelten. Dies ist ¨aquivalent zu 2

3 c · (x − 2) = 1 2

3 2 c · x2 − 2x = 1 2 ! " 4 9 ⇔ c· 2 −6− 2 +4 =1

⇔

6. Stetige Zufallsvariablen

133

1 2 ·c= 1 c = 2.

⇔ ⇔

(b) F¨ ur die Verteilungsfunktion erh¨ alt man ⎧ f¨ ur ⎨ 0 x2 − 4x + 4 f¨ ur F (x) = ⎩ 1 f¨ ur

x <2 2 ≤x≤3 x > 3.

(c) Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich u ¨ ber die Verteilungsfunktion bestimmen als P (X > 2.1)

= = =

P (2.1 < X < 2.8) = = =

1 − P (X ≤ 2.1) = 1 − F (2.1) 1 − (2.12 − 4 · 2.1 + 4) 1 − 0.01 = 0.99, P (X ≤ 2.8) − P (X ≤ 2.1) F (2.8) − F (2.1) 0.64 − 0.01 = 0.63.

(d) Die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet sich als: P (−4 ≤ X ≤ 3 | X ≤ 2.1) = = = =

P (−4 ≤ X ≤ 3 , X ≤ 2.1) P (X ≤ 2.1) P (−4 ≤ X ≤ 2.1) P (X ≤ 2.1) F (2.1) − F (−4) F (2.1) 1.

Die stochastische Unabh¨ angigkeit der Ereignisse l¨aßt sich nachweisen, indem man zeigt, daß die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das gemeinsame Ereignis mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten u ¨bereinstimmt: P ({−4 ≤ X ≤ 3} ∩ {X ≤ 2.1}) = =

P (−4 ≤ X ≤ 2.1) F (2.1)

=

P (−4 ≤ X ≤ 3) · P (X ≤ 2.1)

=

1 · F (2.1).

(e) F¨ ur den Erwartungswert erh¨ alt man 3 E(X) = 2

(2x2 − 4x) dx

134

6. Stetige Zufallsvariablen

= = =

3

2x3 4x2 − 3 2 2 2 · 27 4 · 9 2 · 8 4 · 4 − − + 3 2 3 2 16 . 6

Der Median berechnet sich als F (xmed ) − 4xmed + 4

= 0.5 = 0.5

(xmed − 2)2 √ ⇔ xmed = 0.5 + 2

= 0.5

⇔

x2med

⇔

= 2.707.

Die Varianz ermittelt man, indem man zun¨achst E(X 2 ) berechnet als 3

2

E(X ) =

(2x3 − 4x2 ) dx

2

= = =

3

2x4 4x3 − 4 3 2 2 · 81 4 · 27 2 · 16 4 · 8 − − + 4 3 4 3 43 , 6

woraus sich die Varianz ergibt als V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 =

43 − 6

16 6

2 =

1 . 18

L¨ osung 6.5 (a) Zur L¨ osung des Aufgabenteil a) ergeben sich mehrere L¨osungsans¨atze, die sich erheblich in ihrer Zeitintensit¨ at unterscheiden. Hier zun¨achst der u osungsweg. Durch Ablesen der Werte aus der in der Aufgaben¨ bliche L¨ stellung dargestellten Dichte f¨ ur den Umsatz U0 erhalten wir: ⎧ 0.0003 0 ≤ u < 1000 ⎪ ⎪ ⎨ 0.00045 1000 ≤ u < 2000 fU0 (u) = 0.0001 2000 ≤ u < 4500 ⎪ ⎪ ⎩ 0 sonst

6. Stetige Zufallsvariablen

135

Die Verteilungsfunktion FU0 (u) erh¨ alt man dann durch die Anwendung der Deﬁnition der Verteilungsfunktion: 1. Fall: x < 0 x FU0 (x)

=

fU0 (u) du = 0 −∞

2. Fall: 0 ≤ x < 1000 x FU0 (x)

=

fU0 (u) du −∞

0

x

=

fU0 (u) du + −∞ x

=

fU0 (u) du 0

0.0003 du 0

=

0.0003x

3. Fall: 1000 ≤ x < 2000 x FU0 (x)

=

fU0 (u) du −∞ 1000

=

x

fU0 (u) du + −∞

fU0 (u) du 1000

=

0.3 + 0.00045(x − 1000)

=

−0.15 + 0.00045x

4. Fall: 2000 ≤ x < 4500 x FU0 (x)

=

fU0 (u) du −∞ 2000

=

x

fU0 (u) du + −∞

fU0 (u) du 2000

=

0.75 + 0.0001(x − 2000)

=

0.55 + 0.0001x

136

6. Stetige Zufallsvariablen

5. Fall: x > 4500 x FU0 (x)

=

fU0 (u) du −∞ 4500

= −∞

=

x

fU0 (u) du +

fU0 (u) du 4500

1

Folglich erhalten wir die folgende Verteilungsfunktion f¨ ur den Umsatz U0 (siehe Abbildung 6.2): ⎧ 0 u<0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ≤ u < 1000 ⎨ 0.0003u −0.15 + 0.00045u 1000 ≤ u < 2000 FU0 (u) = ⎪ ⎪ 0.55 + 0.0001u 2000 ≤ u < 4500 ⎪ ⎪ ⎩ 1 u > 4500 Nun der deutlich k¨ urzere L¨ osungsweg. Da die Dichte des bisherigen Umsatzes eine Treppenfunktion darstellt, ist diese auf ihrem Wertebereich st¨ uckweise konstant. Daher ist die Verteilungsfunktion st¨ uckweise linear. Es reicht also die jeweiligen Anfangs- bzw. Endpunkte dieser linearen Bereiche zu bestimmen und anschließend zu verbinden. Der erste von Null verschiedene Abschnitt auf dem die Dichte von U0 den gleichen Wert annimmt ist [0, 1000]. Der Anfangspunkt ist gegeben durch die Fl¨ ache, die zwischen der x-Achse und der Dichte auf dem Intervall [−∞, 0] liegt. Da die Dichte auf diesem Bereich identisch Null ist, ist auch die zugeh¨ orige Fl¨ ache gleich Null. Der Endpunkt ist gegeben durch die Fl¨ ache, die zwischen der x-Achse und der Dichte auf dem Intervall [0, 1000] liegt. Also m¨ ussen wir lediglich die Fl¨ache eines Rechtecks berechnen, welches durch die Eckpunkte des betrachteten Intervalls und dessen H¨ ohe gegeben ist. Die H¨ ohe betr¨ agt 0.0003. Also erhalten wir die Fl¨ ache (1000 − 0)0.0003 = 0.3. Hieraus folgt, dass die Werte der Verteilungsfunktion auf [0, 1000] linear sind mit Anfangspunkt 0 und Endpunkt 0.3. Die weiteren Werte der Verteilungsfunktion erhalten wir durch das gleiche Prinzip, indem wir den Endpunkt des vorherigen Bereichs als Anfangspunkt des aktuellen Bereichs setzen und den Endpunkt des aktuellen Bereichs als die Fl¨ ache des relevanten Rechtecks zuz¨ uglich des aktuellen Anfangspunktes. Also betrachten wir den Bereich [1000, 2000]. Auf diesem Bereich nimmt die Dichte den Wert 0.00045 an. Die resultierende Fl¨ ache betr¨ agt somit (2000 − 1000)0.00045 = 0.45. Also lautet der Endpunkt des Wertebereichs auf [1000, 2000] 0.75. Somit ist FU0 auf [1000, 2000] linear mit Anfangspunkt 0.3 und Endpunkt 0.75. Als letzten Abschnitt betrachten wir [2000, 4500]. Die relevante Fl¨ache ist beschrieben durch (4500−2000)0.001 = 0.25. Somit ist FU0 auf [2000, 4500] linear

6. Stetige Zufallsvariablen

137

0

.3

f(u)

.75

1

mit Anfangspunkt 0.75 und Endpunkt 1. Auf dem Intervall [4500, ∞] ist die Dichte identisch Null, somit w¨ achst die Verteilungsfunktion auf diesem Bereich nicht weiter an, hat also den Wert 1. Eine graﬁsche Darstellung der resultierenden Verteilungsfunktion f¨ ur den bisherigen Umsatz U0 ist in Abbildung 6.2 zu ﬁnden.

−1000

0

1000

2000 Umsatz u

4500

5500

Abbildung 6.2. Verteilungsfunktion FU0 (u) f¨ ur den bisherigen Umsatz.

(b) Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten berechnen sich wie folgt: 0.25 2

P (U0 ≤ 3250)

= FU0 (3250) = 0.75 +

P (U0 ≥ 1500)

= 1 − P (U0 < 1500) = 1 − FU0 (1500)

= 0.875,

= 1 − ( 0.45 2 + 0.3) = 1 − 0.525 = 0.475, P (2000 ≤ U0 ≤ 5000) = P (U0 ≤ 5000) − P (U0 < 2000) = FU0 (5000) − FU0 (2000) = 1 − 0.75 = 0.25, P (W > 0)

= 1 − P (W ≤ 0) = 1 − FW (0) = 1 − 0.1 = 0.9

P (W < 0)

= FW (0) = 0.1.

(c) Der Erwartungswert f¨ ur den Werbeeﬀekt l¨ asst sich auf zwei Arten bestimmen. Die naheliegende L¨ osung ergibt sich durch Einsetzen in die Formel

138

6. Stetige Zufallsvariablen

f¨ ur den Erwartungswert stetiger Zufallsvariablen: #∞

E(W ) =

−∞ #0

wfW (w)dw

0.25 0.5 # # 0.5w dw + 2.8w dw + 0.8w dw −0.2 0 0.25 0 0.25 0.5 2 2 2 = 0.5 w2 + 2.8 w2 + 0.8 w2

=

−0.2

0

=

−0.01 + 0.0875 + 0.075

=

0.1525

0.25

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable mit st¨ uckweise konstanter Dichte l¨ asst sich auch noch anders bestimmen, n¨amlich als gewichtete Summe der jeweiligen Intervallmitten, wobei mit den Wahrscheinlichkeiten f¨ ur jedes Intervall gewichtet wird. Wir erhalten also E(W )

= −0.1 · P (−0.2 ≤ W ≤ 0) + 0.125 · P (0 ≤ W ≤ 0.25)+ 0.375 · P (0.25 ≤ W ≤ 0.5) = −0.1 · 0.2 · 0.5 + 0.125 · 0.25 · 2.8 + 0.375 · 0.25 · 0.8 = 0.1525

(d) Nach Aufgabenstellung gilt: U1 = U0 (1 + W ). Wegen der stochastischen Unabh¨ angigkeit von U0 und W und unter Verwendung der Ergebnisse aus Aufgabenteil c) gilt dann f¨ ur den Erwartungswert von U1 : E(U1 ) =

E(U0 (1 + W ))

= =

E(U0 + U0 W ) E(U0 ) + E(U0 )E(W )

= =

1637.5 + 249.72 1887.22

Da E(U1 ) − 100 > E(U0 ) w¨ are die Durchf¨ uhrung der Werbeaktion sinnvoll.

L¨ osung 6.6 Bei der L¨ osung der Aufgabe sollte die Symmetrie der Dichte um den Wert 3 ausgenutzt werden. (a) Aufgrund der Symmetrie der Dichte ergibt sich unmittelbar E(X) = 3. (b) P (X < 3) = 0.5.

6. Stetige Zufallsvariablen

(c) (d) (e) (f)

139

P (0 < X < 3) = 0.5. P (X > 3) = 0.5. P (1 < X < 7) = 1. F (3) = P (X ≤ 3) = 0.5.

L¨ osung 6.7 (a) f (x) ≤ 1 ist falsch. Betrachte als Gegenbeispiel die stetige Gleichverteilung zwischen a = 0 und b = 0.1. Hier gilt 10 f¨ ur 0 ≤ x ≤ 0.1 f (x) = 0 sonst. (b) F (x) ≤ 1 ist nach Deﬁnition richtig. ∞ (c) f (t) dt = 1 − F (x) ist richtig, denn x

∞ f (t) dt = P (X ≥ x) = 1 − P (X ≤ x) = 1 − F (x). x

(d) F (xi ) ≤ F (xj ) ist richtig, da F monoton wachsend ist.

L¨ osung 6.8 Mit Wahrscheinlichkeit 0.7 ist als letztes eine U6 gefahren, so daß als n¨achstes mit Wahrscheinlichkeit 0.7 eine U3 f¨ ahrt.

L¨ osung 6.9 F¨ ur s < x gilt mit der Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung P (X ≤ x|X > s) = = = = =

P (s < X ≤ x) P (X > s) P (X ≤ x) − P (X ≤ s) P (X > s) λx 1 − e − 1 + e−λs 1 − 1 + e−λs 1 − e−λ(x−s) P (X ≤ x − s).

140

6. Stetige Zufallsvariablen

L¨ osung 6.10 Sei X die Zeit in Stunden, die ben¨ otigt wird, um den Fotokopierer zu reparieren mit X ∼ Ex(3).

Dann ist f (x) =

und F (x) =

3e−3x 0

1 − e−3x 0

f¨ ur x ≥ 0 sonst, f¨ ur x ≥ 0 sonst.

Damit ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten (a) P (X ≤ 0.25) = F (0.25) = 1 − e−3·0.25 = 1 − 0.4724 = 0.5276. (b) P (0.5 < X ≤ 0.75) = F (0.75) − F (0.5) = 1 − e−3·0.75 − (1 − e−3·0.5 ) = e−1.5 − e−2.25 = 0.2231 − 0.1054 = 0.1177. (c) P (X > 1) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − F (1) = 1 − (1 − e−3·1 ) = 0.0498.

L¨ osung 6.11 (a) Wegen X ∼ P o(0.25) ist die Wartezeit Y exponentialverteilt mit Parameter λ = 0.25. agt die mittlere Wartezeit auf den n¨achsten (b) Wegen E(Y ) = λ1 = 4 betr¨ Fehler 4 · 12 = 48 Stunden. (c) Aufgrund der Ged¨ achtnislosigkeit der Exponentialverteilung (vgl. Aufgabe 6.9) gilt: P (Y ≤ 24|Y > 12) = P (Y ≤ 12) = 1 − e−12/4 = 1 − e−3 = 0.95. Mit 95 % Wahrscheinlichkeit tritt somit auch in den n¨achsten 12 Stunden kein Fehler auf.

6. Stetige Zufallsvariablen

141

L¨ osung 6.12 Es gilt ∞ c · P (X ≥ c)

c · f (x) dx

= c

∞ x · f (x) dx

≤ c

∞ ≤

x · f (x) dx = E(X), 0

wobei die erste Ungleichung wegen c > 0 und f (x) ≥ 0 gilt und zudem nur u ¨ber x ≥ c integriert wird.

L¨ osung 6.13 (a) F¨ ur λ ≥ 0 gelten f (x) ≥ 0 und ∞

2

λ ·x·e

−λx

∞ =λ

0

λ · x · e−λx = λ ·

0

1 = 1, λ

da das Integral gerade dem Erwartungswert der Exponentialverteilung entspricht. Folglich erf¨ ullt f (x) die beiden Bedingungen an eine Dichtefunktion. (b) F¨ ur x > 0 gilt mit der Produktregel der Diﬀerentialrechnung ∂ F (x) ∂x

∂ (1 − e−λx (1 + λx)) ∂x = λe−λx (1 + λx) − λe−λx =

= λ2 xe−λx = f (x). Außerdem gilt f (x) = 0 und folglich P (X ≤ x) = 0 f¨ ur x ≤ 0. Wegen F (x) = 0 f¨ ur x < 0 und F (0) = 1 − e0 = 1 − 1 = 0 gilt F (x) = P (X ≤ x) auch f¨ ur x ≤ 0. Insgesamt ist also F (x) die zugeh¨orige Verteilungsfunktion. (c) F¨ ur n = 2 und λ = 1 ist xe−x , x ≥ 0 f (x) = 0 sonst. Dann gilt:

142

6. Stetige Zufallsvariablen

∞

∞ x · f (x) dx =

E(X) = 0

x2 e−x dx = E(Y 2 ),

0

wobei Y eine zum Parameter λ = 1 exponentialverteilte Zufallsvariable darstellt. Wegen 1 1 = V ar(Y ) = E(X 2 ) − (E(Y ))2 = E(Y 2 ) − 2 2 λ λ folgt E(X) = 2/λ2 = 2. F¨ ur den Median gilt F (xmed ) = 0.5, also 1 − e−xmed (1 + xmed ) = ⇐⇒

e

−xmed

(1 + xmed ) =

0.5 0.5.

Diese Gleichung l¨ aßt sich numerisch l¨ osen. Man erh¨alt xmed = 1.7 (vgl. die Abbildung der Verteilungsfunktion). F¨ ur den Modus gilt ∂ f (x)|x=xmod = 0, ∂x also e−xmod − xmod e−xmod = ⇐⇒ e−xmod (1 − xmod ) = ⇐⇒ xmod =

0 0 1.

Wegen xmod < xmed < E(X) liegt eine linkssteile (rechtsschiefe) Verteilung vor. Die folgende Skizze zeigt den Verlauf der Dichte und der Verteilungsfunktion: Verteilungsfunktion F(x)

Dichte f(x)

1.0 0.3

0.8 0.6

0.2

0.4 0.1

0.2 0.0

0.0 0

1

2

3 x

4

5

6

0

Modus<Median<Erwartungswert 1 2 3 4 5

6

x

(d) Sei X Erlang-n-verteilt mit Parameter λ. Dann gilt X = Y1 +Y2 +· · ·+Yn , ur i = 1, . . . , n unabh¨ angig und exponentialverteilt sind mit wobei die Yi f¨ Parameter λ. Folglich gelten

6. Stetige Zufallsvariablen

143

n n n E(X) = E( Yi ) = E(Yi ) = λ i=1 i=1

und n n n V ar(X) = V ar( Yi ) = V ar(Yi ) = 2 . λ i=1 i=1

L¨ osung 6.14 Betrachte die Zufallsvariable Y − c. Dann ist X symmetrisch um 0, d.h. f (−x) = f (x) f¨ ur alle x ∈ IR. Weiter gilt: ∞ E(X) =

xf (x)dx −∞

0

∞

=

xf (x)dx + −∞ ∞

xf (x)dx 0

∞

−xf (−x)dx +

= 0 ∞

−xf (x)dx +

= 0

xf (x)dx

0 ∞

xf (x)dx 0

∞ f (x) · (−x + x)dx

= 0

=

0.

Wegen Y = X + c gilt dann E(Y ) = E(X) + c = 0 + c = c.

L¨ osung 6.15 Den Angaben entnimmt man, daß f¨ ur das Geburtsgewicht X ∼ N (1000, 502) gilt.

144

6. Stetige Zufallsvariablen

(a) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit l¨ aßt sich nach Standardisierung u ¨ber die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bestimmen als P (982 ≤ X ≤ 1050) = P (X ≤ 1050) − P (X ≤ 982) X − 1000 = P ≤1 50 X − 1000 −P ≤ −0.36 50 = Φ(1) + Φ(0.36) − 1 = 0.8413 + 0.6406 − 1 = 0.48190. (b) Das 10 %-Quantil ermittelt man als x0.1 = μ + σ · z0.1 = 1000 + 50 · (−1.28) = 936. (c) Das gesuchte Intervall ist gegeben durch μ ± σz0.975 = 1000 ± 50 · 1.96. Man erh¨ alt also als Intervall I = [902, 1098].

L¨ osung 6.16 Sei X = die Punktzahl des Leistungstests mit X ∼ N (150, 362). (a) Dann gilt: f (x)

= =

Daraus folgt: f (150) =

1 1 (x − μ)2 √ · exp − · 2 σ2 2πσ 1 (x − 150)2 1 √ · exp − · . 2 362 2π36 1 1 √ · = 0.0111. 36 2π

F¨ ur x = 150 + 36 = μ + σ erh¨ alt man: f (150 + 36) = =

1 √ 2π 1 √ 2π

1 (150 + 36 − 150)2 1 exp − · 36 2 362 1 · e−1/2 = 0.0067. 36 ·

6. Stetige Zufallsvariablen

145

Eine Skizze der Dichte sieht folgendermaßen aus: f (x) 0.0111

6 .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ................. . . ... .. .... ... . .... ... ... ... ... .. .. . ... ... ... ... .... ... .. . ... . . ... .. .... ... . ... ... . .. . . ... .. . . ... . .... ... .. . . . ... ... ... .... ... ... . ... ... . ... . .. . . ... .. . . ... .. .. . ... .. .. ... . . ... .. . . . ... .. . ... .. .. . . ... . . . ... . . . .. ... . . . . ... .. . . . .... ... ... . . ...... . . ... ......... . . . . . . . . . .................................. .................................. ..

μ = 150

x

(b)(b1) Diese Wahrscheinlichkeit berechnet sich als: X − 150 140 − 150 P (X < 140) = P < 36 36 = P (Z < −0.28) = 1 − P (Z < 0.28) = =

1 − Φ(0.28) 1 − 0.6103

=

0.3897

und l¨ aßt sich wie folgt als Fl¨ ache unter der Dichtefunktion skizzieren: f (x)

6 ............... .... ... ... ..... .. .. ... . ... ... . ... ... . . ... .... ... ... . ... . . ... .... . ... ... . ... . ... ... . ... ... . . . ......... . ... . . ......... . . . ... ......... ... . ... ........... ... ......... . ... . ... ... .... . ... . .. ... . . .... . ... . . . . ... . . .... . ... . . . ... ... . ... . ... . . . . ... .. . . . . ... .. .. . ... . ... . .. . . ... .. . . . . ... . . ... ... . . . . ... .. .. . . . . .... . . .. . . . ...... . . . ... . .. . . . ........ . . . . . . ................................... ..................................... ..

P (X < 140)

140

x

146

6. Stetige Zufallsvariablen

(b2) Man erh¨ alt P (X < 114 ∨ X > 190) =

=

P (X < 114) + P (X > 190) 114 − 150 190 − 150 Φ +1−Φ 36 36 Φ(−1) + 1 − Φ(1.11)

= =

1 − Φ(1) + 1 − Φ(1.11) 2 − 0.8413 − 0.8665

=

0.2922.

=

Diese Wahrscheinlichkeit l¨ aßt sich analog darstellen als: f (x)

6 ........... ... ..... ... ... ... ... ... .... ... . . ... .. . ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... . . ... . ... . ... . ... ... .. . ... ... ... .. ... . ..... .. ... ... ...... . . . . . ... ... ... .... ... .. ... ... .... . ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... . . ...... . .. ......... . . . .... ....... .. . .... ... .... ... ... . .. ... .. . . . . . ... . . .. . .. ... ... . ... . . . . ... . . .. . ... ... . . .. . .. . ..... . . . . . ...... . . ... . . . . . . . . ........ . .... . . . .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................

P (X < 114)

P (X > 190)

114

190

(b3) Hier ergibt sich: P (X > 175) = 1 − P (X ≤ 175) 175 − 150 = 1−Φ 36 = 1 − Φ(0.69) = 1 − 0.7549 = 0.2451.

x

6. Stetige Zufallsvariablen

147

Die Skizze dieser Wahrscheinlichkeit hat folgende Gestalt: f (x)

6 ...... .... ...... ... ... ... ... ... .. . ... .. . ... .. . ... .. .... . ....... . . .. .... .. .... ... . ... .... .. ... .. .... .. .. ... ... ... .... .... ... .. . ... ... .... . ... .. ... ... ... ... ..... .. ... .. ... ... .... .... ... . ... ... .. ........ ... ... ... ... . .... .... .. . . ..... .. .. . . . ..... . .. ... ... . ...... . . . . .. ... . ....... . . .... . . . . . . . ............. . ... . . . . . . .................................... . . . .................................. .

P (X > 175)

175

x

(b4) Analog zu oben l¨ aßt sich diese Wahrscheinlichkeit berechnen als: 200 − 150 130 − 150 P (130 < X < 200) = Φ −Φ 36 36 = Φ(1.39) − Φ(−0.56) = 0.9177 − 1 + Φ(0.56) = =

0.9177 − 1 + 0.7123 0.63

mit der folgenden Darstellung: f (x)

6

P (130 < X < 200)

... ... ... .............. . . .. .... ...... . .. .. ... . ... ... ... .. . ..... .... . .. .... ...... ... . .... .... .. . . .. ... . ..... .. .... .. . .... . .. . . .... . .... ... . . .... . .. ... ... . ..... . .... ... . .... . .. . . . . . ..... . .... ... . . ..... ... .... ... . . ...... . .... ... . . . ...... . . . . ... .... . .... ... .. .. . . . ... ..... . . .... ... . . ... ..... . .. . . . .. .... . .. . . . . ... . .. . . ... ... ... .. .... . . . . . .. . ..... . ... . . . . . ....... . . . . . . . . . .... . .............. . . . . . . . . . . . . ......................... ............................. . .

130

200

x

(c) Gesucht ist hier das 10 %-Quantil x0.1 mit P (X ≤ x0.1 ) = 0.1. Zur Berechnung nutzt man aus, daß x0.1 = z0.1 · σ + μ, wobei z0.1 das 10 %Quantil der N (0, 1).

148

6. Stetige Zufallsvariablen

Aus Tabelle A in Fahrmeir et al. (1998) l¨aßt sich das 90 %-Quantil der Standardnormalverteilung ablesen: z0.9 = 1.2816 =⇒ z0.1 = −1.2816 =⇒ x0.1 = −1.2816 · 36 + 150 = 103.8624, d.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % sind die im Leistungstest erreichten Punktezahlen kleiner gleich 103.8624. (d) Der Leistungstest wird an n = 49 Personen unabh¨angig durchgef¨ uhrt, ur jede der 49 Personen mit Xi u.i.v. d.h. X1 , ..., X49 = Punktzahlen f¨ ¯ = 1 49 Xi . Es gilt: X ¯ ∼ N (150, 362 ), gem¨ aß N (150, 362). Betrachte X i=1 49 49 woraus folgt: 140 − 150 ¯ P (X < 140) = Φ = Φ(−1.94) 36/7 = 1 − Φ(1.94) = 1 − 0.9738 = 0.0262. ¯ Werte kleiner als 140 annimmt, ist mit Die Wahrscheinlichkeit, daß X 0.0262 wesentlich kleiner als die 0.3897 f¨ ur jedes einzelne Xi . Das liegt 2 ¯ daran, daß X eine kleinere Varianz besitzt ( σn ) als Xi (σ 2 ). Das bedeutet, daß sich die Wahrscheinlichkeitsmasse st¨arker um μ konzentriert und dadurch extreme Werte mit geringerer Wahrscheinlichkeit auftreten.

L¨ osung 6.17 Sei X die Zufallsvariable t¨ agliche Ver¨ anderung in Euro“. Es gilt X ∼ N (0, 3) ” und somit √X3 ∼ N (0, 1). (a) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet sich wie folgt: P (X ≥ 2) = =

1 − P (X ≤ 2) = 1 − P ( √X3 ≤

√2 ) 3

1 − Φ(1.15) = 1 − 0.8749 = 0.1251.

(b) Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur eine absolute Ver¨anderung von h¨ochstens 1 EUR betr¨ agt P (|X| ≥ 1) = P (−1 ≤ X ≤ 1) = Φ( √13 ) − Φ(− √13 ) = 2 · Φ(0.58) − 1 = 2 · 0.7190 − 1 = 0.438. (c) Der Kurs Y nach 10 Tagen ist gegeben durch Y = 2 + X1 + . . . + X10 . Die Summe unabh¨ angiger normalverteilter Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt. Außerdem gilt E(Y ) = 2 + 10 · E(X) = 2 + 10 · 0 = 2 und

6. Stetige Zufallsvariablen

149

V ar(Y ) = 10 · V ar(X) = 10 · 3 = 30, so dass wir Y ∼ N (2, 30) erhalten. Die Wahrscheinlichkeit, dass an 4 Tagen der Kurs um mindestens 0.50 EUR f¨allt, errechnet sich wie folgt: P (X1 ≤ −0.5, X2 ≤ −0.5, X3 ≤ −0.5, X4 ≤ −0.5) =

P (X1 ≤ −0.5)4

=

√ )4 Φ( −0.5 3

=

(1 − Φ(0.29))4

=

0.0222.

Dabei haben wir die Unabh¨ angigkeit der Zufallszahlen X1 − X4 ausgenutzt. (d) Die Zufallsvariable Z ist Binomialverteilt mit Parametern n = Anzahl der Tage = 5 und π = P ( Kurs f¨ allt“) = P (X < 0) = Φ(0) = 12 . ” 1 Es gilt also Z ∼ B(5, 2 ) Damit der Kurs an 5 Tagen h¨auﬁger steigt als f¨ allt, muss er an mindestens 3 Tagen steigen. Wir erhalten P (Z ≥ 3) = = =

P (Z = 3) + P (Z = 4) + P (Z = 5) 5 5 5 0.55 + 0.55 + 0.55 3 5 5 (10 + 5 + 1) · 0.55 = 0.5.

¨ Alternativ l¨ asst sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit durch einfache Uberlegung bestimmen: An f¨ unf Tagen kann der Kurs nicht gleich oft steigen und fallen. Da die Wahrscheinlichkeit f¨ ur ein Fallen des Kurses genau 1 betr¨ a gt, m¨ u ssen aus Symmetriegr¨ u nden die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur 2 h¨ auﬁger Steigen bzw. h¨ auﬁger Fallen gleich groß sein, d.h. beide gleich 1 2.

L¨ osung 6.18 (a) Das Endverm¨ogen ist gegeben durch W

=

x(1 + R) + (v − x)(1 + z)

= ∼

x + xR + v − x + (v − x)z N (xμ + v + (v − x)z, x2 σ 2 ).

(b) Mit den gegebenen Werten erhalten wir als Verm¨ogen W

∼ N (5.000 · 0.03 + 10000 + 5000 · 0.04, 50002 · 0.032 ) = N (10350, 1502).

Damit berechnet sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie folgt:

150

6. Stetige Zufallsvariablen

P (W ≥ 10500) = 1 − P (W ≤ 10500) 10500 − 10350 = 1−Φ 150 = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587. (c) Eine Erh¨ ohung von μ, z oder σ 2 erh¨ oht jeweils die Wahrscheinlichkeit eines mindestens 5 prozentigen Wachstums. (d) Der erwartete Nutzen berechnet sich prinzipiell durch ∞ E(U (W )) = −∞

! w" · f (w) dw, − exp − a

wobei f (w) die Dichte einer N (xμ + v + (v − x)z, x2 σ 2 ) Verteilung ist. Unter Ausnutzung der angegebenen Formel f¨ ur E(U (W )) erhalten wir E(U (W )) = xμ + v + (v − x)z − a

x2 σ 2 . 2

Diﬀerenzieren nach x und Nullsetzen liefert ∂E(U (W )) = μ − z − axσ 2 = 0. ∂x Auﬂ¨ osen nach x liefert den optimalen Anlagebetrag xopt =

μ−z . aσ 2

Der optimale Anlagebetrag wird wie folgt von den jeweiligen Gr¨oßen beeinﬂusst: – xopt ist unabh¨angig vom Anfangsverm¨ ogen v. – xopt ist umso gr¨ oßer, je gr¨ oßer die erwartete Rendite μ der unsicheren Anlage. xopt steigt linear mit μ. – xopt sinkt linear mit steigendem Zinssatz z der sicheren Anlage. – xopt sinkt mit steigender Varianz σ 2 der unsicheren Anlage. – xopt sinkt mit steigendem Risikoaversionskoeﬃzient a.

L¨ osung 6.19 ¯ gilt X ¯ ∼ N (μ, σ2 ). (a) F¨ ur das arithmetische Mittel X n ¯ ¯ ¯ = σ2 , ist √n X−μ gerade die standardisierte Form von X, (b) Da V ar(X) n σ und damit gilt: ¯ −μ √ X ∼ N (0, 1). n σ

6. Stetige Zufallsvariablen

151

¯ ∼ N (1, 5). Die Quantile sind folgender Tabelle zu entnehmen: (c) Es gilt X

75 90 95 97.5 99

p % % % % %

Zp 0.67 1.28 1.64 1.96 2.33

¯p X 1−p 2.498 25 % 3.862 10 % 4.667 5% 5.383 2.5 % 6.210 1%

¯ 1−p X −0.498 −1.862 −2.667 −3.383 −4.210

Betrachte als Berechnungsbeispiel f¨ ur p = 99 % und p = 1 % (siehe Formeln in Abschnitt 6.3.1, Fahrmeir et al., 1998): √ ¯ 0.99 = 1 + 5 · 2.33 = 6.21, X √ ¯ 0.01 = 1 + 5 · (−2.33) = −4.21. X (d) Beispielsweise ist ein 90 % Schwankungsintervall gegeben durch: I90 = [−2.667 , ↑ 5% Quantil ¯ von X

4.667] ↑ 95 % Quantil ¯ von X

¯∈ Es gilt α = P (X / I90 ) = 0.1. V¨ ollig analog erh¨ alt man weitere zentrale Schwankungsintervalle.

L¨ osung 6.20 (a) Wir beginnen zuerst mit der Annahme, daß X normalverteilt ist. Dann gilt Y = X−0.0007 ∼ N (0, 1), und es folgt 0.013 P (X > 0.04) = = = =

1 − P (X ≤ 0.04) 1 − P Y ≤ 0.04−0.0007 0.013 1 − P (Y ≤ 3.023) 1 − 0.9987 = 0.0013.

Das zentrale Schwankungsintervall ist gegeben durch μ ± σ · z0.995 = 0.0007 ± 0.013 · 2.57. Man erh¨ alt also als zentrales Schwankungsintervall I = [−0.03271, 0.03411].

152

6. Stetige Zufallsvariablen

(b) Empirische Analysen zeigen, daß eine t-Verteilung besser zur Modellierung von Renditen geeignet ist. Wir treﬀen deshalb die Verteilungsannahme Y ∼ t(1). Damit folgt P (X > 0.04) = 1 − P (Y ≤ 3.023) ≈ 1 − 0.9 ≈ 0.1. Ein zentrales Schwankungsintervall kann hier nicht berechnet werden, weil die t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad keinen Erwartungswert besitzt.

7 Mehr u ¨ber Zufallsvariablen und Verteilungen

Aufgaben Aufgabe 7.1 Welche approximativen Verteilungen besitzen die folgenden Zufallsvariablen? (a) Der Frauenanteil an der Gesamtzahl der Besch¨aftigten liegt im Land NRW bei 41.4 % (Ende M¨ arz 1990). X1 sei die Anzahl der Frauen unter 100 zuf¨ allig ausgew¨ ahlten Besch¨ aftigten dieses Landes. (b) Eine Pharmagroßhandlung beliefert t¨ aglich 500 Apotheken. Die Wahrscheinlichkeit einer Reklamation betr¨ agt bei allen Apotheken (unabh¨ angig voneinander) 0.02. X2 sei die Anzahl der Reklamationen an einem Tag. (c) Der spiels¨ uchtige Willi verbringt seine Abende oft an einem Spielautomaten, bei dem ein Spiel 50 Pfennig kostet. Die Zufallsvariable X = Gewinn (in DM) hat folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion: P(X = −0.5) = 0.6 ,

P(X = 0) = 0.2 ,

P(X = 1) = 0.2.

Sei X3 der Gewinn bei 100 Spielen. (d) Ein Mann, der jeden Morgen mit dem Bus zur Arbeit f¨ahrt, hat oftmals das Pech, daß die ankommenden Busse u ullt sind und weiterfahren. ¨berf¨ Er weiß aus Erfahrung, daß die Anzahl der an einem Morgen vorbeifahrenden Busse Poisson-verteilt ist mit Erwartungswert 1. Sei X4 die Anzahl der pro Halbjahr (=100 Arbeitstage) vorbeifahrenden Busse. (L¨osung siehe Seite 156)

Aufgabe 7.2 Die Studie zum Gesundheitszustand von Fr¨ uhgeburten aus Aufgabe 6.15 wurde an mehreren Kliniken durchgef¨ uhrt, so daß insgesamt 500 Kinder teilgenommen haben. Welche Verteilung besitzt die Anzahl der Kinder, die weniger

154

7. Mehr u ¨ ber Zufallsvariablen und Verteilungen

als 980 g wiegen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß genau 175 Kinder der Studie ein Geburtsgewicht kleiner als 980 g aufweisen? (L¨osung siehe Seite 156)

Aufgabe 7.3 In der Situation von Aufgabe 5.21 befragt der Journalist zuf¨allig f¨ unf der 200 Angestellten eines Kaufhauses. Wie lauten ann¨ahernd die gesuchten Wahrscheinlichkeiten, wenn der Anteil der Angestellten, die bereit sind, l¨anger zu arbeiten, wieder gleich 0.2 ist? Welche approximative Verteilung hat die interessierende Zufallsvariable ferner, wenn 40 Personen der ganzen Warenhauskette mit 1000 angestellten Verk¨ auferinnen befragt w¨ urden? (L¨osung siehe Seite 156)

Aufgabe 7.4 In einem sehr fruchtbaren Land erntet ein Bauer jede Woche 700 Salatk¨opfe. Sein Bruder, der in einem ¨ außerst unfruchtbaren Land lebt, kann von seinem Feld w¨ ochentlich lediglich 40 Salatk¨ opfe ernten. Aus langj¨ahriger Erfahrung ist bekannt, daß ein Prozent der Salatk¨ opfe von der sch¨adlichen Salatfraßraupe befallen werden. Welche Verteilungsmodelle eignen sich jeweils zur Approximation der Anzahl der w¨ ochentlich von der Raupe befallenen Salatk¨opfe? Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens zwei, aber nicht mehr als sechs Salatk¨ opfe befallen sind. (L¨osung siehe Seite 157)

Aufgabe 7.5 Ihr kleiner Neﬀe bastelt eine 50-teilige Kette, deren einzelne Glieder im Mittel eine L¨ ange von 2 cm mit einer Standardabweichung von 0.2 cm aufweisen. Welche Verteilung hat die Gesamtl¨ ange der Spielzeugkette? (L¨osung siehe Seite 158)

Aufgabe 7.6 Die Nettomiete von Zwei-Zimmer-Wohnungen eines Stadtteils sei ann¨ahernd symmetrisch verteilt mit Erwartungswert 570 und Standardabweichung 70. Es wird eine Zufallsstichprobe von 60 solcher Wohnungen gezogen. Geben Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyscheﬀ ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall an, in dem das Stichprobenmittel mit 95 % Wahrscheinlichkeit liegt. (L¨osung siehe Seite 158)

7. Mehr u ¨ ber Zufallsvariablen und Verteilungen

155

Aufgabe 7.7 Eine Fertigungslinie stellt Fußb¨ alle her, deren Durchmesser im Mittel normgerecht ist, aber eine Standardabweichung von 0.4 cm aufweisen. B¨alle, die mehr als 0.5 cm von der Norm abweichen, gelten als Ausschuß. Wie groß ist der Ausschußanteil h¨ ochstens? (L¨osung siehe Seite 158)

Aufgabe 7.8 Wie kann man mit Hilfe von normalverteilten Zufallszahlen t-verteilte Zufallszahlen simulieren? (L¨osung siehe Seite 158)

Aufgabe 7.9 Bestimmen Sie den Quartilskoeﬀizienten der geometrischen Verteilung mit π = 0.5 sowie der Exponentialverteilung mit dem Parameter λ = 0.5. (L¨osung siehe Seite 159)

156

7. Mehr u ¨ ber Zufallsvariablen und Verteilungen

L¨ osungen L¨ osung 7.1 a

(a) X1 ∼ B(100, 0.414) ∼ N (100 · 0.414, 100 · 0.414 · 0.586) = N (41.4, 24.26). a (b) X2 ∼ B(500, 0.02) ∼ P o(500 · 0.02) = P o(10). (c) Sei Yi = Gewinn bei einem Spiel, i = 1, . . . , 100. Es gilt = E(Yi ) V ar(Yi ) =

−0.5 · 0.6 + 1 · 0.2 = −0.1, 0.25 · 0.6 + 0.2 − 0.01 = 0.34.

Damit folgt X3 =

100

a

Yi ∼ N (−10, 34).

i=1 a

(d) X4 ∼ P o(100) ∼ N (100, 100).

L¨ osung 7.2 Zun¨ achst gilt: X − 1000 ≤ −0.4 = Φ(−0.4) P (X < 980) = P (X ≤ 980) = P 50 = 1 − Φ(0.4) = 1 − 0.6554 = 0.3446.

Damit ist Y = Anzahl der Kinder mit weniger als 980 Gramm binomialverteilt mit Y ∼ B(500, 0.34446), und es gilt (unter Ber¨ ucksichtigung der Stetigkeitskorrektur) 175 + 0.5 − 500 · 0.3446 P (Y = 175) ≈ Φ √ 500 · 0.3446 · 0.6554 175 − 0.5 − 500 · 0.3446 −Φ √ 500 · 0.3446 · 0.6554 = Φ(0.3) − Φ(0.21) = 0.6179 − 0.5832 = 0.0347.

L¨ osung 7.3 Exakt gilt X ∼ H(5, 40, 200). Wegen n/N = 5/200 = 0.025 ≤ 0.05 kann die hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung approximiert a alt man mit Hilfe der Tabelle werden, d.h. X ∼ B(5, 0.2). Dann erh¨

7. Mehr u ¨ ber Zufallsvariablen und Verteilungen

P (X = 0) ≈

0.3277,

P (X = 2) ≈ P (X ≥ 2) ≈

0.9421 − 0.7373 = 0.2048, 1 − P (X ≤ 1) = 1 − 0.7373 = 0.2627.

157

F¨ ur n = 40 und N = 1000 ist wegen n/N = 0.04 ≤ 0.05, nM/N = 40 · 0.2 = 8 ≥ 5 und n(1 − M/N ) = 40 · 0.8 = 32 ≥ 5 die Faustregel zur Approximation a der H(40, 200, 100) durch die Normalverteilung erf¨ ullt, d.h. X ∼ N (8, 6.4)

L¨ osung 7.4 Sei X1 = Anzahl der befallenen Salatk¨ opfe im fruchtbaren Land und entspreopfe im unfruchtbaren Land. Unter chend X2 = Zahl der befallenen Salatk¨ der Annahme, daß die Salatk¨ opfe unabh¨ angig voneinander befallen werden, gilt X1 ∼ B(700, 0.01) und X2 ∼ B(40, 0.01). Wegen nπ = 700 · 0.01 ≥ 5 und n(1 − π) = 700 · 0.99 = 693 ≥ 5 sind die Faustregeln f¨ ur die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung erf¨ ullt und man erh¨alt a

X1 ∼ N (nπ, nπ(1 − π)) = N (7, 6.93). Dar¨ uber hinaus kann die Verteilung von X1 wegen π = 0.01 ≤ 0.05 und n = 700 > 30 auch durch die Poisson-Verteilung approximiert werden, d.h. a

X1 ∼ P o(7). Unter Zuhilfenahme der Normalapproximation erh¨alt man P (2 ≤ X1 ≤ 6) = = =

√ √ Φ( 6+0.5−7 ) − Φ( 1+0.5−7 ) 6.93 6.93 Φ(−0.19) − Φ(−2.09) 1 − 0.5753 − 1 + 0.9817 = 0.4064.

Dagegen erh¨ alt man unter Ber¨ ucksichtigung der Poissonapproximation P (2 ≤ X1 ≤ 6) = 0.0223 + 0.05212 + 0.0912 + 0.1277 + 0.149 = 0.4423. aßt sich nicht durch eine Normalverteilung approxiDie Verteilung von X2 l¨ mieren, jedoch wegen n = 40 ≥ 30 und π = 0.01 ≤ 0.05 durch eine PoissonVerteilung. Es gilt also a

X2 ∼ P o(40 · 0.01) = P o(0.4). Damit erh¨ alt man P (2 ≤ X2 ≤ 6) = 0.0536 + 0.0071 + 0.0007 + 0 + 0 = 0.0615.

158

7. Mehr u ¨ ber Zufallsvariablen und Verteilungen

L¨ osung 7.5 ange des i-ten Gliedes. Dann gilt E(Xi ) = 2 und V ar(Xi ) = 0.04 Sei Xi = L¨ f¨ ur alle i = 1, . . . , 50. Nach zentralen Grenzwertsatz ist dann die Gedem 50 samtl¨ ange der Kette Y = i=1 Xi approximativ normalverteilt mit Erwartungswert E(Y ) = 50 · 2 = 100 und Varianz V ar(Y ) = 50 · 0.04 = 2.0.

L¨ osung 7.6 Sei Xi = Nettomiete der i-ten Wohnung in der Stichprobe mit E(Xi ) = 570 ¯ = 1 60 Xi hat dann den und V ar(Xi ) = 4900. Das Stichprobenmittel X i=1 60 ¯ = 570 und die Varianz V ar(X) ¯ = 4900/60 = 81.67. Erwartungswert E(X) Nach der Ungleichung von Tschebyscheﬀ gilt f¨ ur c > 0 ¯ − 570|) < c) ≥ 1 − 81.67 . P (|X c2 ¯ mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit in dem gesuchten Intervall Da X I liegen soll, folgt 1 − 81.67/c2 = 0.95 und c = 81.67/0.05 = 40.41, also I = [529.6, 610.4].

L¨ osung 7.7 Sei X = Abweichung des Durchmessers des Fußballs vom Normwert mit E(X) = 0 und V ar(X) = 0.16. Dann gilt nach der Ungleichung von Tschebyscheﬀ 0.16 P (|X| > 0.5) ≤ = 0.64, 0.25 d.h. der Ausschußanteil betr¨ agt h¨ ochstens 64 %.

L¨ osung 7.8 Angenommen, man verf¨ ugt u ¨ ber Zufallszahlen x, z1 , . . . , zn , die als Realisationen von unabh¨ angigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen angesehen n werden k¨ onnen. Dann erh¨ alt man mit z = zi2 eine χ2 (n)-verteilte Zufallsi=1 zahl, und t = x/ z/n kann als t(n)-verteilte Zufallszahl betrachtet werden.

7. Mehr u ¨ ber Zufallsvariablen und Verteilungen

159

L¨ osung 7.9 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der geometrischen Verteilung f¨ ur π = 0.5 entnimmt man unter Zuhilfenahme von P (X = x) = 0.5x folgender Tabelle: x P (X = x)

1 2 3 ··· 0.5 0.25 0.125 · · ·

Wegen P (X ≤ 1) = 0.5 ≥ 0.25 und P (X ≥ 1) = 1.0 ≥ 0.75 gilt x0.25 = 0.5. Ferner erh¨ alt man xmed = 1 und x0.75 = 2, also

γ0.25

= =

(x0.75 − xmed ) − (xmed − x0.25 ) x0.75 − xmed (2 − 1) − (1 − 1) = 1. 2−1

Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit Parameter λ = 0.5 lautet F (X) = 1 − e−0.5x (x > 0). Folglich gilt 1 − e−0.5xp ⇐⇒ −0.5xp ⇐⇒ xp

= = =

p log(1 − p) −2 log(1 − p)

und damit x0.25 = 0.575, xmed = 1.386 und x0.75 = 2.773. Daraus ergibt sich

γ0.25

= =

(2.773 − 1.386) − (1.386 − 0.575) 2.773 − 0.575 0.576 = 0.262. 2.198

8 Mehrdimensionale Zufallsvariablen

Aufgaben Aufgabe 8.1 Die gemeinsame Verteilung von X und Y sei durch die folgende Kontingenztafel der Auftretenswahrscheinlichkeiten gegeben:

X

1 2

1 0.25 0.10

Y 2 0.15 0.15

3 0.10 0.25

Man bestimme (a) (b) (c) (d)

den Erwartungswert und die Varianz von X bzw. Y , die bedingten Verteilungen von X|Y = y und Y |X = x, die Kovarianz und die Korrelation von X und Y , die Varianz von X + Y .

(L¨osung siehe Seite 165)

Aufgabe 8.2 Gegeben sind zwei diskrete Zufallsvariablen X und Y . Die Zufallsvariable X ¨ kann die Werte 1, 2 und Y die Werte −1, 0 und 1 annehmen. Uber die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y ist folgendes bekannt:

1

−1 p

yj 0 0.1

1 0.5

xi 2

0.2 0.35

(a) Bestimmen Sie p so, daß X und Y unkorreliert sind. Berechnen Sie dazu zun¨ achst E(X) und E(Y ) und zudem E(XY ) in Abh¨angigkeit von p.

162

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

(b) Sind X und Y unabh¨ angig? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort. (L¨osung siehe Seite 166)

Aufgabe 8.3 X und Y seien zwei abh¨ angige Zufallsvariablen. Die Randdichte von X und die bedingten Dichten von Y gegeben X = 1 bzw. X = 2 sind folgendermaßen gegeben: xi

1

2

P (X = xi )

1 5

4 5

−1

0

1

P (Y = yj | X = 1)

1 4

1 4

2 4

P (Y = yj | X = 2)

1 3

1 3

1 3

yj

Bestimmen Sie (a) die gemeinsame diskrete Dichte von X und Y , (b) die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Z = X + Y , (c) E(Z) und V ar(Z) (c1) direkt u ¨ ber die Verteilung von Z, (c2) u ¨ ber die Verteilungen von X und Y . (L¨osung siehe Seite 167)

Aufgabe 8.4 Gegeben sei die von einem Parameter c abh¨ angige Funktion cx + y f¨ ur 0 ≤ x ≤ 1 und 0 ≤ y ≤ 1 f (x, y) = 0 sonst. (a) Bestimmen Sie c so, daß f (x, y) eine Dichtefunktion ist. (b) Berechnen Sie die Randdichten und Randverteilungsfunktionen von X und Y . (c) Sind X und Y voneinander unabh¨ angig? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort. (d) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F (x, y) . (L¨osung siehe Seite 169)

Aufgabe 8.5 Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und Y sei bestimmt durch x+y ur x, y ∈ {0, 1, . . .} e−2λ λx!y! f¨ f (x, y) = 0 sonst.

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

163

(a) Man bestimme die Randverteilungen von X und Y . (b) Man bestimme die bedingten Verteilungen von X|Y = y und Y |X = x und vergleiche diese mit den Randverteilungen. (c) Man bestimme die Kovarianz von X und Y . (L¨osung siehe Seite 170) Aufgabe 8.6 Die Zufallsvariable X besitze folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion: 1 i ∈ {1, . . . n} n P (X = i) = 0 sonst. Die Zufallsvariable Y kann nur die Auspr¨ agungen 1, 2 oder 3 annehmen, wobei gilt: – P (Y = 1) = 2 · P (Y = 2) = 4 · P (Y = 3). – X und Y sind stochastisch unabh¨ angig. (a) Bestimmen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariable (X, Y ). (b) Berechnen Sie P (X > n2 , Y ≤ 2). (c) Berechnen Sie E(X · Y ). (L¨osung siehe Seite 171) Aufgabe 8.7 Der T¨ ursteher einer Nobeldiskothek entscheidet sequentiell. Der erste Besucher wird mit der Wahrscheinlichkeit 0.5 eingelassen, der zweite mit 0.6 und der dritte mit 0.8. Man betrachte die Zufallsvariable X: “Anzahl der eingelassenen Besucher unter den ersten beiden Besuchern” und Y : “Anzahl der eingelassenen Besucher unter den letzten beiden Besuchern”. (a) Man gebe die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und Y an. (b) Man untersuche, ob X und Y unabh¨ angig sind. (L¨osung siehe Seite 172) Aufgabe 8.8 Ein Anleger verf¨ ugt zu Jahresbeginn u ¨ber 200000 Euro. 150000 Euro legt er bei einer Bank an, die ihm eine zuf¨ allige Jahresrendite R1 garantiert, welche gleichverteilt zwischen 6 % und 8 % ist. Mit den restlichen 50000 Euro spekuliert er an der B¨ orse, wobei er von einer N (8, 4)-verteilten Jahresrendite R2 (in %) ausgeht. Der Anleger geht davon aus, daß die Renditen R1 und R2 unabh¨ angig verteilt sind.

164

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

(a) Man bestimme den Erwartungswert und die Varianz von R1 und R2 . (b) Man berechne die Wahrscheinlichkeiten, daß der Anleger an der B¨orse eine Rendite von 8 %, von mindestens 9 % bzw. zwischen 6 % und 10 % erzielt. (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Anleger bei der Bank eine Rendite zwischen 6.5 % und 7.5 % erzielt? (d) Man stelle das Jahresendverm¨ ogen V als Funktion der Renditen R1 und R2 dar und berechne Erwartungswert und Varianz von V . (e) Angenommen, die beiden Renditen sind nicht unabh¨angig, sondern korrelieren mit ρ = −0.5. (e1) Wie lautet die Kovarianz zwischen R1 und R2 ? (e2) Wie w¨ urden Sie die 200000 Euro aufteilen, um eine minimale Varianz der Gesamtrendite zu erzielen? Wie ¨andert sich die zu erwartende Rendite? (L¨osung siehe Seite 173)

Aufgabe 8.9 Von den Zufallsvariablen X und Y ist bekannt, daß V ar(X) = 1, V ar(Y ) = 4 und V ar(3X +2Y ) = 13 gelten. Wie groß ist dann der Korrelationskoeﬃzient ρ(X, Y )? (L¨osung siehe Seite 175)

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

L¨ osungen L¨ osung 8.1 (a) Es gelten P (X = 1) = 0.25 + 0.15 + 0.10 = 0.5, P (X = 2) = 0.10 + 0.15 + 0.25 = 0.5 und damit E(X) = E(X 2 ) =

1 · 0.5 + 2 · 0.5 = 1.5, 1 · 0.5 + 4 · 0.5 = 2.5,

woraus man berechnet: V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 = 2.5 − 2.25 = 0.25. Analog erh¨ alt man E(Y ) E(Y 2 ) V ar(Y )

= 1 · 0.35 + 2 · 0.3 + 3 · 0.35 = 2 , = 1 · 0.35 + 4 · 0.3 + 9 · 0.35 = 4.7 , = 4.7 − 4 = 0.7 .

(b) Die bedingte Verteilung von X gegeben Y = y berechnet sich als:

fX (x | y = 1) =

fX (x | y = 2) =

⎧ 0.25 ⎪ ⎪ ⎨ 0.35 = 0.71 ⎪ ⎪ ⎩ 0.10 = 0.29 0.35 ⎧ 0.15 ⎪ ⎪ ⎨ 0.30 = 0.50

⎪ ⎪ ⎩ 0.15 = 0.50 0.30 ⎧ 0.10 ⎪ ⎪ ⎨ 0.35 = 0.29 fX (x | y = 3) = ⎪ ⎪ ⎩ 0.25 = 0.71 0.35

f¨ ur x = 1 f¨ ur x = 2, f¨ ur x = 1 f¨ ur x = 2. f¨ ur x = 1 f¨ ur x = 2.

165

166

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

Ebenso erh¨ alt man als bedingte Verteilung von Y gegeben X = x: ⎧ 0.25 ⎪ ⎪ = 0.50 f¨ ur y = 1 ⎪ ⎪ 0.50 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 0.15 fY (y | x = 1) = = 0.30 f¨ ur y = 2 ⎪ 0.50 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0.10 = 0.20 f¨ ur y = 3, 0.50 ⎧ 0.10 ⎪ ⎪ = 0.20 f¨ ur y = 1 ⎪ ⎪ 0.50 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 0.15 fY (y | x = 2) = = 0.30 f¨ ur y = 2 ⎪ 0.50 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0.25 = 0.50 f¨ ur y = 3. 0.50 (c) Es gilt E(X · Y ) = =

1 · 0.25 + 2 · (0.15 + 0.1) + 3 · 0.1 + 4 · 0.15 + 6 · 0.25 0.25 + 0.5 + 0.3 + 0.6 + 1.5 = 3.15 .

Damit erh¨ alt man Cov(X, Y ) = = =

E(X · Y ) − E(X) · E(Y ) 3.15 − 1.5 · 2 0.15

und folglich Cov(X, Y ) 0.15 ρ(X, Y ) = =√ = 0.359. 0.25 · 0.7 V ar(X) · V ar(Y ) (d) F¨ ur die Varianz von X + Y gilt: V ar(X + Y ) = =

V ar(X) + V ar(Y ) + 2 · Cov(X, Y ) 0.25 + 0.7 + 2 · 0.15 = 1.25.

L¨ osung 8.2 (a) Zun¨ achst werden die Erwartungswerte von X und Y sowie von E(XY ) in Abh¨ angigkeit von p berechnet, wobei man f¨ ur X und Y jeweils die Randwahrscheinlichkeiten verwendet, f¨ ur die p keine Rolle spielt.

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

E(X) = E(Y ) = und

E(XY ) = = =

167

0.5 · 1 + 0.5 · 2 = 1.5, 0.35 · (−1) + 0.35 · 1 = 0 (−2)(0.35 − p) + (−1)p + 1(0.4 − p) + 2(p − 0.05) −0.7 + 2p − p + 0.4 − p + 2p − 0.1 2p − 0.4.

Nun ist Cov(XY ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = 2p − 0.4 = 0 ⇐⇒ ⇐⇒

2p = 0.4 p = 0.2.

(b) X und Y sind nicht unabh¨ angig voneinander, da beispielsweise P (X = 1, Y = −1) = =

p = 0.2 = 0.175 = 0.5 · 0.35 P (X = 1)P (Y = −1).

L¨ osung 8.3 (a) Es gilt allgemein f¨ ur die gemeinsame diskrete Dichte: P (X = xi , Y = yj ) = P (Y = yj |X = xi ) · P (X = xi ). Daraus ergibt sich z.B.: P (X = 1, Y = −1) = P (Y = −1|X = 1) · P (X = 1) =

1 3 1 1 · = = 4 5 20 60

und insgesamt:

1 xi

2

−1

yj 0

1

3 60 16 60 19 60

3 60 16 60 19 60

6 60 16 60 22 60

12 60 48 60

= =

1 5 4 5

}

Randverteilung von X wie in Aufgabenstellung

1

Randverteilung von Y

(b) F¨ ur Z = X + Y ergibt sich die Verteilung von Z als zi

0

1

2

3

P(Z = zi )

3 60

19 60

22 60

16 60

168

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

(c) Die Berechnung von E(Z) und V ar(Z) erfolgt (c1) zun¨ achst u ¨ ber die Verteilung von Z: E(Z) = E(Z 2 ) = V ar(Z)

=

19 22 3 +1· +2· +3· 60 60 60 19 22 3 +1· +4· +9· 0· 60 60 60 2 4.18¯ 3 − (1.85) = 0.7608.

0·

16 = 1.85, 60 16 = 4.18¯3, 60

(c2) und anschließend u ¨ ber die Verteilungen von X und Y : 4 9 1 +2· = , 5 5 5 4 17 1 , 1· +4· = 5 5 5

1·

E(X) = E(X 2 ) = und es ergibt sich V ar(X) =

E(Y ) = E(Y 2 ) =

17 5

− ( 95 )2 =

4 25 .

19 19 22 3 +0· +1· = , 60 60 60 60 19 22 41 19 +0· +1· = , 1· 60 60 60 60

−1 ·

3 2 und damit ist V ar(Y ) = 41 60 − ( 60 ) = 0.6808. Da Cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y ) und

E(X · Y )

3 6 16 3 +1·0· +1·1· + 2 · (−1) · 60 60 60 60 16 3 16 +2·1· = , +2·0· 60 60 60

= 1 · (−1) ·

berechnet sich die Kovarianz von X und Y zu Cov(X, Y ) =

3 9 3 1 − · =− . 60 5 60 25

Damit ergeben sich insgesamt: E(Z) = E(X) + E(Y ) = und

V ar(Z)

3 9 + = 1.85 5 60

= V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y ) 2 4 + 0.6808 − = 25 25 = 0.7608.

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

169

L¨ osung 8.4 (a) Damit f (x, y) eine Dichtefunktion ist, muß diese gr¨oßer gleich 0 sein, was oﬀensichtlich erf¨ ullt ist, und zudem muß gelten: 1

11 f (x, y) dx dy = 1 ⇔ 0 0

⇔

0

1 ! 0

⇔

"

c + y dy = 1 ⇔ 2

cx2 + yx 2

x=1

dy = 1 x=0

c y2 y+ 2 2

y=1

=1 y=0

c 1 + = 1 ⇔ c = 1. 2 2

(b) Die Randdichten berechnen sich als: ⎧ 1 y=1 ⎪ ⎪ 1 2 ⎪ ⎪ y (x + y) dy = xy + ⎪ ⎪ ⎨ 2 y=0 0 fX (x) = 1 = x + f¨ u r 0 ≤ x ≤ 1 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 sonst, ⎧ 1 ⎪ ⎨ y+ f¨ ur 0 ≤ y ≤ 1 2 fY (y) = ⎪ ⎩ 0 sonst. Als Verteilungsfunktionen von X und Y erh¨alt man somit: ⎧ 0 f¨ ur x < 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 x ⎪ x ⎪ ⎪ v 1 1 ⎨ + v v+ dv = 2 2 2 0 FX (x) = ⎪ 0 ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ = x 2+x f¨ ur 0 ≤ x ≤ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 f¨ ur x > 1, ⎧ 0 f¨ ur y < 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 2 y +y FY (y) = f¨ ur 0 ≤ y ≤ 1 ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 f¨ ur y > 1.

170

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

(c) Da gilt

1 1 x+ · y+

fXY , = 2 2 sind X und Y nicht unabh¨ angig. (d) Es gilt: fX · fY =

x

xy (u + v)du dv = 0 0

0

x = 0

= Damit folgt:

u=y

dv u=0

1 2 1 2 1 y v + yv 2 ( y + yv)dv = 2 2 2

v=x v=0

1 2 1 1 y x + yx2 = (y 2 x + x2 y). 2 2 2

⎧ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 2 ⎪ ⎪ ⎪ (y x + x2 y) ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎨

F (x, y) =

1 2 u + uv 2

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

f¨ ur x < 0 ∨ y < 0 f¨ ur 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1

FX (x)

f¨ ur 0 ≤ x ≤ 1 ∧ y > 1

FY (y)

f¨ ur 0 ≤ y ≤ 1 ∧ x > 1 f¨ ur x ≥ 1 ∧ y ≥ 1.

1

L¨ osung 8.5 (a) Die Randdichten von X und Y lassen sich wie folgt berechnen, wobei f¨ ur x ∈ {0, 1, . . .} gilt: fX (x)

=

∞

e−2λ

y=0

=

e−λ

∞ λx+y λx −λ λy = e−λ e x!y! x! y=0 y!

λx x!

und f¨ ur y ∈ {0, 1, . . .} gilt: fY (y) =

∞

e−2λ

x=0

= e−λ

∞ λx+y λy −λ λx = e−λ e x!y! y! x=0 x!

λy . y!

F¨ ur x = y = 0 gilt fX (0) = 0 und fY (0) = 0. Man erh¨alt somit f¨ ur die Randdichten jeweils eine Poisson-Verteilung mit Parameter λ.

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

171

(b) Man betrachte zun¨ achst die bedingte Verteilung von X|Y = y. F¨ ur y ∈ {0, 1, . . .} gilt: −2λ x+y e λ /(x!y!) = e−λ λx /x! f¨ ur x = 0, 1, . . . e−λ λx /y! fX (x|Y = y) = 0 sonst. Analog berechnet man die bedingte Verteilung von Y |X = x, d.h. f¨ ur x ∈ {0, 1, . . .} gilt: −λ x e λ /y! f¨ ur y = 0, 1, . . . fY (y|X = x) = 0 sonst. Damit ist also: f¨ ur y ∈ {0, 1, . . .},

fX (x|y)

=

fX (x)

fY (y|x)

=

fY (y) f¨ ur x ∈ {0, 1, . . .}.

(c) Nach (b) sind X und Y unabh¨ angig. Daraus folgt unmittelbar Cov(X, Y ) = 0.

L¨ osung 8.6 (a) Es gilt 4 2 1 , P (Y = 2) = , P (Y = 3) = . 7 7 7 Damit erh¨ alt man unter Ber¨ ucksichtigung der Unabh¨angigkeit von X und Y als gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion: ⎧ 4 ⎪ ⎪ f¨ ur x ∈ {1, . . . , n} , y = 1 ⎪ ⎪ 7n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎨ f¨ ur x ∈ {1, . . . , n} , y = 2 7n f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ f¨ ur x ∈ {1, . . . , n} , y = 3 ⎪ ⎪ ⎪ 7n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 sonst. P (Y = 1) =

172

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

(b) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet sich als " ! ! n" n = P X> · P (Y ≤ 2) P X > ,Y ≤ 2 2 2 ! ! n "" 6 = 1−P X ≤ · 2 7 n 6 · = 1− 2 n 7 ⎧ 1 6 3 ⎪ ⎪ · = f¨ ur n gerade ⎪ ⎨ 2 7 7 = ⎪ n−1 6 ⎪ ⎪ ⎩ 1− f¨ ur n ungerade. · 2n 7 (c) Es gilt E(X) = E(Y )

=

n+1 , 2 4 2 1 11 ·1+ ·2+ ·3 = , 7 7 7 7

woraus man erh¨ alt: E(XY ) = Cov(X, Y ) + E(X)E(Y ) = 0 +

11(n + 1) n + 1 11 · = . 2 7 14

L¨ osung 8.7 (a) F¨ ur den Tr¨ ager TXY , d.h. die m¨ oglichen Auspr¨agungen von X, Y gilt: TXY = {(0, 0) , (0, 1) , (1, 0) , (1, 1) , (1, 2) , (2, 1) , (2, 2)} . Weiterhin gilt: P (X = 0, Y = 0) = P (“kein Besucher wird eingelassen”) = 0.5 · (1 − 0.6) · (1 − 0.8) = 0.04, P (X = 0, Y = 1) = P (“der letzte Besucher wird eingelassen”) = 0.5 · (1 − 0.6) · 0.8 = 0.16, P (X = 1, Y = 0) = 0.5 · 0.4 · 0.2 = 0.04, P (X = 1, Y = 1) = 0.5 · 0.6 · 0.2 + 0.5 · 0.4 · 0.8 = 0.22, P (X = 1, Y = 2) = 0.5 · 0.6 · 0.8 = 0.24, P (X = 2, Y = 1) = 0.5 · 0.6 · 0.2 = 0.06, P (X = 2, Y = 2) = 0.5 · 0.6 · 0.8 = 0.24.

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

173

Damit erh¨ alt man die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion zusammen mit den Marginalverteilungen in Tabellenform, wobei es sich bei den Werten in Klammern um die Produkte der Marginalverteilungen handelt, also um die gemeinsame Verteilung bei Unabh¨angigkeit:

0 X

1 2

0 0.04 (0.016) 0.04 (0.04) 0 (0.024) 0.08

Y 1 0.16 (0.088) 0.22 (0.22) 0.06 (0.132) 0.44

2 0 (0.096) 0.24 (0.24) 0.24 (0.144) 0.48

0.2 0.5 0.3 1

(b) X und Y sind nicht unabh¨ angig, da z.B. P (X = 0, Y = 1) = 0.16 = P (X = 0) · P (Y = 1) = 0.2 · 0.44 = 0.088 .

L¨ osung 8.8 (a) Man erh¨ alt 4 1 (8 − 6)2 = = , 12 12 3 V ar(R2 ) = 4.

6+8 = 7, 2 E(R2 ) = 8,

E(R1 ) =

V ar(R1 ) =

(b) Da R2 als N (8, 4)-verteilt angenommen wird, gilt P (R2 = 8) = 0. F¨ ur die anderen Wahrscheinlichkeiten berechnet man P (R2 ≥ 9) = = = P (6 ≤ R2 ≤ 10) = = = = (c) P (6.5 ≤ R1 ≤ 7.5) = 1 ·

1 2

1 − P (R2 ≤ 9) R2 − 8 9−8 1−P ≤ 2 2 1 − Φ(0.5) = 1 − 0.692 = 0.308, P (R2 ≤ 10) − P (R2 ≤ 6) R2 − 8 R2 − 8 P ≤1 −P ≤ −1 2 2 Φ(1) − (1 − Φ(1)) = 2Φ(1) − 1 2 · 0.841 − 1 = 0.682. = 0.5.

174

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

(d) Das Jahresendverm¨ ogen V l¨ aßt sich darstellen als R1 R2 V = 150000 · 1 + + 50000 · 1 + 100 100 = 200000 + 1500 · R1 + 500 · R2 mit E(V ) = = V ar(V ) = =

200000 + 1500 · E(R1 ) + 500 · E(R2 ) 214500, 15002 · V ar(R1 ) + 5002 · V ar(R2 ) 1750000.

(e)(e1) Die Kovarianz von R1 und R2 erh¨ alt man als Cov(R1 , R2 ) = ρ · V ar(R1 ) · V ar(R2 )

1 ·2 = −0.5 · 3 = −0.577. (e2) Sei x das Verm¨ ogen, das bei der Bank angelegt wird. Dann gilt f¨ ur das Verm¨ ogen V = 200000 +

x · R1 (200000 − x) · R2 + , 100 100

und die Varianz ergibt sich durch V ar(V )

=

x2 (200000 − x)2 · V ar(R ) + · V ar(R2 ) 1 1002 1002 2 · x · (200000 − x) · Cov(R1 , R2 ). + 1002

Zur Minimierung der Varianz wird diese Summe diﬀerenziert und gleich null gesetzt: 2x · V ar(R1 ) − 2 · (200000 − x) · V ar(R2 ) !

+(400000 − 4x) · Cov(R1 , R2 ) = 0 . Auﬂ¨ osen nach x ergibt schließlich x ≈ 166891 , d.h. 166891 Euro werden bei der Bank angelegt. F¨ ur das zu erwartende Verm¨ ogen erh¨ alt man dann: E(V ) = =

200000 + 1668.91 · E(R1 ) + 331.09 · E(R2 ) 214331.09 Euro.

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

L¨ osung 8.9 Es gilt 13 =

V ar(3X + 2Y )

=

V ar(3X) + V ar(2Y ) + 2 · Cov(3X, 2Y )

= =

9 · V ar(X) + 4 · V ar(Y ) + 2 · 3 · 2 · Cov(X, Y ) 9 + 16 + 12 · Cov(X, Y ) .

Damit folgt Cov(X, Y ) = −1 und schließlich Cov(X, Y ) −1 1 ρ(X, Y ) = = =− . 1·2 2 V ar(X) · V ar(Y )

175

9 Parametersch¨ atzung

Aufgaben Aufgabe 9.1 In einem F¨ unf-Familienhaus wohnen die Familien ’A’, ’B’, ’C’, ’D’ und ’E’ (die Familiennamen sind aus Datenschutzgr¨ unden anonymisiert worden). Von diesen Familien ist das Durchschnittseinkommen pro Monat erfaßt worden: Lfd. Nr.

Familie

1 2 3 4 5

A B C D E

monatl. Durchschnittseinkommen (netto) xi in Euro 1500 1250 1750 1750 1250

(a) Berechnen Sie das Durchschnittseinkommen μ dieser f¨ unf Familien. (b) Ziehen Sie alle m¨ oglichen Stichproben vom Umfang n = 3 ohne Zur¨ ucklegen aus dieser Grundgesamtheit vom Umfang N = 5, und sch¨atzen Sie in jeder Stichprobe das Durchschnittseinkommen, d.h. berechnen Sie x ¯. ¯ (c) Bestimmen und zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von ¯ X. (d) Welche Schl¨ usse k¨ onnen Sie aus (b) und (c) ziehen? (L¨osung siehe Seite 185)

Aufgabe 9.2 Die Suchzeiten von n Projektteams, die in verschiedenen Unternehmen dasselbe Problem l¨ osen sollen, k¨ onnen als unabh¨angig und identisch exponentialverteilt angenommen werden. Aufgrund der vorliegenden Daten soll nun

178

9. Parametersch¨ atzung

der Parameter λ der Exponentialverteilung mit der Maximum-LikelihoodMethode gesch¨ atzt werden. Es ergab sich eine durchschnittliche Suchzeit von x¯ = 98 . Man stelle die Likelihoodfunktion auf, bestimme die ML-Sch¨atzfunktion f¨ ur λ und berechne den ML-Sch¨ atzwert f¨ ur λ . (L¨osung siehe Seite 187)

Aufgabe 9.3 Die durch die Werbebl¨ ocke erzielten t¨ aglichen Werbeeinnahmen eines Fernsehsenders k¨ onnen als unabh¨ angige und normalverteilte Zufallsvariablen angesehen werden, deren Erwartungswert davon abh¨angt, ob ein Werktag vorliegt oder nicht. F¨ ur die weitere Auswertung wurden folgende Statistiken berechnet (alle Angaben in Euro) : Werktage (Mo–Fr) (n = 36) : Wochenende (Sa–So) (n = 25) :

x ¯ = 72 750 s = 16 350, x ¯ = 187 750 s = 26 350.

Man gebe jeweils ein Sch¨ atzverfahren zur Berechnung von 99 %-Konﬁdenzintervallen f¨ ur die wahren t¨ aglichen Werbeeinnahmen an Werktagen bzw. Wochenenden an und berechne die zugeh¨ origen Sch¨atzungen. (L¨osung siehe Seite 187)

Aufgabe 9.4 Eine Grundgesamtheit besitze den Mittelwert μ und die Varianz σ 2 . Die Stichprobenvariablen X1 , . . . , X5 seien unabh¨angige Ziehungen aus dieser Grundgesamtheit. Man betrachtet als Sch¨ atzfunktionen f¨ ur μ die Stichprobenfunktionen T1 T2 T3 T4 T5

¯ = 1 (X1 + X2 + . . . + X5 ), = X 5 1 (X1 + X2 + X3 ), = 3 1 1 (X1 + X2 + X3 + X4 ) + X5 , = 8 2 = X1 + X2 , = X1 .

(a) Welche Sch¨ atzfunktionen sind erwartungstreu f¨ ur μ ? (b) Welche Sch¨ atzfunktion ist die wirksamste, wenn alle Verteilungen mit existierender Varianz zur Konkurrenz zugelassen werden? (L¨osung siehe Seite 188)

9. Parametersch¨ atzung

179

Aufgabe 9.5 Zur Sch¨ atzung eines unbekannten Parameters θ stehen f¨ unf Sch¨atzfunktionen T 1 − T 5 zur Auswahl. Die Sch¨ atzfunktionen haben in Abh¨angigkeit vom Stichprobenumfang n folgende statistische Eigenschaften: T1 T2 T3 T4 T5

Bias(T 1) = 0 Bias(T 2) = 0 Bias(T 3) = 1 Bias(T 4) = −2 Bias(T 5) = 0

V ar(T 1) = V ar(T 2) = V ar(T 3) = V ar(T 4) = V ar(T 5) =

1 n 1 15 1 n 1 n 1 5

(a) Bestimmen Sie die MSE’s f¨ ur die Sch¨ atzverfahren T 2, T 3 und T 5. Sind die Verfahren konsistent? (b) Die f¨ unf Sch¨atzverfahren wurden mit einem Stichprobenumfang von n = 50 insgesamt 300 mal durchgef¨ uhrt, d.h. es wurden 300 Stichproben vom Umfang n = 50 gezogen und die Sch¨ atzer T 1 − T 5 jeweils berechnet. Abbildung 9.1 zeigt f¨ ur die f¨ unf Sch¨ atzverfahren Histogramme der realisierten Sch¨ atzer. Ordnen Sie den Sch¨ atzverfahren die dazu passenden Histogramme zu (mit ausf¨ uhrlicher Begr¨ undung). (c) Wie ¨ andert sich die Gestalt des Histogramms von Sch¨atzverfahren T 1 wenn der Stichprobenumfang n erh¨ oht wird. (L¨osung siehe Seite 188)

Aufgabe 9.6 Aus einer dichotomen Grundgesamtheit seien X1 , . . . , Xn unabh¨angige Wiederholungen der X mit P (X = 1) = π, P (X = 0) = 1 − π. Zufallsvariable n Bezeichne π ˆ = i=1 Xi /n die relative H¨ auﬁgkeit. (a) Man bestimme die erwartete mittlere quadratische Abweichung (M SE) f¨ ur π ∈ {0, 0.25, 0.5, 0.75, 1} und zeichne den Verlauf von M SE in Abh¨ angigkeit von π. (b) Als alternative Sch¨ atzfunktion betrachtet man √ n n √ 0.5. π ˆ+ T = √ n+n n+ n Man bestimme den Erwartungswert und die Varianz dieser Sch¨atzfunktion und skizziere die erwartete mittlere quadratische Abweichung. (L¨osung siehe Seite 189)

180

9. Parametersch¨ atzung

(b)

0

0

.2

1

.4

2

.6

.8

3

1

4

(a)

0

1

2

3

−1

0

1

2

3

Realisierte Schätzer

(c)

(d)

2 0

0

1

.5

1

3

1.5

4

Realisierte Schätzer

2

−1

−1

0

1

2

3

−1

0

Realisierte Schätzer

1

2

3

Realisierte Schätzer

0

1

2

3

4

(e)

−1

0

1

2

3

Realisierte Schätzer

Abbildung 9.1. Histogramme der 300 realisierten Sch¨ atzer T 1, T 2, T 3, T 4 und T 5.

9. Parametersch¨ atzung

181

Aufgabe 9.7 Bei der Analyse der Dauer von Arbeitslosigkeit wurde der Zusammenhang zwischen Ausbildungsniveau und Dauer der Arbeitslosigkeit untersucht. Unter den 123 Arbeitslosen ohne Ausbildung waren 86 Kurzzeit-, 19 mittelfristige und 18 Langzeitarbeitslose. (a) Man sch¨ atze die Wahrscheinlichkeit, daß ein Arbeitsloser ohne Ausbildung kurzzeitig, mittelfristig oder langfristig arbeitslos ist, und gebe f¨ ur jede der Sch¨ atzungen ein 95 %- und 99 %-Konﬁdenzintervall an. (b) Wieviel gr¨ oßer m¨ ußte der Stichprobenumfang sein, um die L¨ange der Konﬁdenzintervalle zu halbieren? (L¨osung siehe Seite 190)

Aufgabe 9.8 Wir betrachten Konﬁdenzintervalle zum Niveau 95% f¨ ur μ bei einem normalverteilten Merkmal mit ebenfalls unbekannter Varianz. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (a) Die Breite der Konﬁdenzintervalle ist zuf¨allig. d.h. bei wiederholter Durchf¨ uhrung des Experiments sind die realisierten Intervalle unterschiedlich breit. (b) Bei wiederholter Durchf¨ uhrung des Experiments f¨allt der Parameter μ mit 95% Wahrscheinlichkeit in das Konﬁdenzintervall. (c) Bei wiederholter Durchf¨ uhrung des Experiments u ¨ berdeckt das Konﬁdenzintervall den Parameter μ mit 95% Wahrscheinlichkeit. (d) Als realisiertes Konﬁdenzintervall erh¨ alt man [0.2; 0.6]. Mit 95 prozentiger Wahrscheinlichkeit liegt der wahre Parameter in diesem Intervall. (e) Mit wachsendem Stichprobenumfang nimmt die L¨ange der Konﬁdenzintervalle im Mittel ab. (f) Unter- und Obergrenze eines Konﬁdenzintervalls sind zuf¨allig. (L¨osung siehe Seite 190)

Aufgabe 9.9 ¨ Der Bundeskanzler stellt mal wieder die Vertrauensfrage. Uber die Wahrscheinlichkeit π, dass ein Bundestagsabgeordneter dem Kanzler das Vertrauen ausspricht gibt es unterschiedliche Aussagen. In Kreisen der Opposition geht man von π = 0.3 aus, die meisten Regierungsmitglieder gehen von π = 0.6 aus und in den Medien ist von π = 0.5 die Rede. Um sicher zu gehen, f¨ uhrt der Bundeskanzler eine Zufallsstichprobe vom Umfang n = 5 (mit Zur¨ ucklegen) unter den 601 Bundestagsabgeordneten durch. Von den 5 befragten

182

9. Parametersch¨ atzung

Abgeordneten w¨ urden ihm die ersten drei das Vertrauen aussprechen, die anderen beiden nicht. (a) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood Sch¨atzer f¨ ur π. (b) W¨ urde sich der in (a) berechnete Maximum-Likelihood Sch¨atzer a¨ndern, wenn anstelle der ersten drei Abgeordneten der erste, dritte und f¨ unfte befragte Abgeordnete das Vertrauen aussprechen w¨ urde (und die anderen beiden nicht). Begr¨ undung! (c) Gehen Sie jetzt davon aus, dass 301 der 601 Abgeordneten das Vertrauen aussprechen. Im Vorfeld werden ohne Zur¨ ucklegen f¨ unf Abgeordnete befragt. Bestimmen Sie (eventuell durch geeignete Approximation) die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Abgeordnete das Vertrauen aussprechen. (L¨osung siehe Seite 191)

Aufgabe 9.10 Sei x eine Realisation einer binomialverteilten Zufallsvariable, d.h. X ∼ ¯ = X/n gesch¨atzt werden. B(n, π) . Der Anteilswert π soll durch X ¯ ist Maximum-Likelihood-Sch¨atzer f¨ (a) Zeigen Sie: X ur π . ¯ erwartungstreu f¨ (b) Ist X ur π ? ¯ f¨ (c) Wie groß muß n sein, damit die Varianz von X ur alle m¨oglichen Werte von π kleiner als 0.01 ist? ¯? (d) Wie groß ist der M SE von X (L¨osung siehe Seite 192)

Aufgabe 9.11 Zeigen Sie, daß f¨ ur die empirische Varianz S˜2 gilt: Eσ2 (S˜2 ) = (n − 1)/n σ 2 . (L¨osung siehe Seite 193)

Aufgabe 9.12 (a) Die Suchzeit X nach der Ursache eines Defekts in einem technischen Ger¨ at werde als exponentialverteilt mit Parameter λ angenommen. Es sei bekannt, daß die mittlere Suchzeit 100 Tage betr¨agt. (a1) Geben Sie den Parameter λ der Exponentialverteilung an. (a2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Suchzeit zwischen 90 und 110 Tagen liegt?

9. Parametersch¨ atzung

183

(b) Die Suchzeiten bei n Ger¨ aten k¨ onnen als unabh¨angig und identisch exponentialverteilt angenommen werden. Aufgrund der vorliegenden Daten soll nun der Parameter λ der Exponentialverteilung mit der MaximumLikelihood-Methode gesch¨ atzt werden. Es ergab sich eine durchschnittliche Suchzeit von x ¯ = 98. (b1) Stellen Sie die Likelihoodfunktion auf. (b2) Bestimmen Sie die ML-Sch¨ atzfunktion f¨ ur λ. (b3) Berechnen Sie den ML-Sch¨ atzwert f¨ ur λ. (L¨osung siehe Seite 193)

Aufgabe 9.13 In der folgenden Tabelle sind die L¨ angen der Kelchbl¨atter xi und Bl¨ utenbl¨ atter yi von n = 12 Pﬂanzen einer Art gegeben. i xi yi

1 7.8 2.4

2 6.9 2.1

3 5.4 1.7

4 5.8 1.9

5 6.3 2.0

6 7.2 2.3

7 5.1 1.5

8 6.1 1.9

9 5.8 1.8

10 7.4 2.3

11 6.4 2.1

12 6.6 2.0

Fassen Sie die xi und die yi als Realisationen von 12 unabh¨angigen Zufallsvariablen auf, die alle dieselbe Verteilung wie X: “L¨ange der Kelchbl¨atter” bzw. Y : “L¨ ange der Bl¨ utenbl¨ atter” besitzen. (a) Sch¨ atzen Sie die Erwartungswerte und die Varianzen von X und Y anhand der obigen Daten. ¨ (b) Uberlegen Sie sich sinnvolle Sch¨ atzer f¨ ur die Kovarianz und die Korrelation zwischen X und Y , und berechnen Sie diese. Was l¨aßt sich u ¨ ber den Zusammenhang von X und Y sagen? (L¨osung siehe Seite 194)

Aufgabe 9.14 F¨ ur die Durchf¨ uhrung eines Entwicklungshilfeprojekts soll in einem Entwicklungsland zun¨ achst der Anteil der Personen ermittelt werden, die unter dem Existenzminimum leben. In einer Pilotstudie mit n = 50 Personen wurden 30 als “arm”, d.h. als “unter dem Existenzminimum lebend” eingestuft. (a) Sch¨ atzen Sie aus obigen Angaben den Anteil der Armen in diesem Land. (b) Berechnen Sie ein n¨ aherungsweises 90 %-Konﬁdenzintervall f¨ ur den Anteil der armen Bev¨ olkerung in diesem Entwicklungsland. (c) Berechnen Sie ein 95 %-Konﬁdenzintervall f¨ ur den Anteil der Armen, und vergleichen Sie es mit dem in (b) berechneten.

184

9. Parametersch¨ atzung

(d) In einer weiteren Zufallsstichprobe werden n = 200 Personen befragt. Auch bei dieser gr¨ oßeren Stichprobe ergab sich ein Anteil von 0.6 an Personen, die unter dem Existenzminimum leben. Geben Sie ebenfalls ein 95 %-Konﬁdenzintervall an, und vergleichen Sie es mit dem in (c) berechneten. Womit l¨ aßt sich der Unterschied erkl¨aren? (e) Bestimmen Sie den notwendigen Stichprobenumfang, damit der gesch¨atzte Anteil Armer in der Bev¨ olkerung mit 90 % Sicherheitswahrscheinlichkeit um weniger als 5 Prozentpunkte vom wahren Wert abweicht. (L¨osung siehe Seite 195)

9. Parametersch¨ atzung

185

L¨ osungen L¨ osung 9.1 In diesem Fall entsprechen die f¨ unf Familien der Grundgesamtheit. (a) Das Durchschnittseinkommen dieser f¨ unf Familien ist damit der Parameter μ der Grundgesamtheit mit 5

μ=

1 1 xi = · 7500 = 1500. 5 i=1 5

(b) In der folgenden Tabelle sind alle m¨ oglichen Stichproben und die jeweils resultierenden Sch¨ atzwerte f¨ ur μ aufgef¨ uhrt: Stichprobe ABC ACD ADE ABD ABE ACE BCD BDE CDE BCE

x¯ = 1 3 (1500 +

1250 + 1750) =

1 3 xj 3 j=1

1500 1666.67 1500 1500 1333.33 1500 1583.33 1416.67 1583.33 1416.67

¯ kann f¨ (c) X unf Auspr¨ agungen annehmen, wobei gilt Anzahl g¨ unstiger Ereignisse ¯ =x . P (X ¯) = Anzahl m¨ oglicher Ereignisse Es gibt zehn m¨ ogliche Ereignisse. Daraus ergibt sich die Wahrscheinlich¯ als: keitsverteilung von X x ¯ ¯ = x¯) P (X

1333.33 0.1

1416.67 0.2

1500 0.4

1583.33 0.2

1666.67 0.1

Dabei ist beispielsweise 4 unstiger Ereignisse ¯ = 1500) = Anzahl g¨ = = 0.4. P (X Anzahl m¨ oglicher Ereignisse 10

186

9. Parametersch¨ atzung

Graphisch l¨ aßt sich diese Wahrscheinlichkeitsverteilung als Stabdiagramm veranschaulichen: ¯ =x P (X ¯)

6

0.4

0.2 ... ... .. ... ... ... ... .

0.1

..... ... .. ... ... .. ..... .. ... ... ... ... ... ... .

1333.33 1416.67

.... ... .. ... ... ... ... ... ... .... .. ... .... .. ... ... .... .. .. ..... .. ... ... ... ... ... ... ... .

1500

.... .. .. .... ... .... .. ... ... ... ... ... ... ... .

... ... .. ... ... ... ... .

1583.33 1666.67

x ¯

¯ berechnet sich als Der Erwartungswert von X ¯ = E(X)

1333.33 · 0.1 + 1416.67 · 0.2 + 1500 · 0.4 + 1583.33 · 0.2 + 1666.67 · 0.1 = 1500.

Mit ¯ 2) = E(X =

1333.332 · 0.1 + 1416.672 · 0.2 + 15002 · 0.4 + 1583.332 · 0.2 + 1666.672 · 0.1 2258333.30

¯ ergibt sich f¨ ur die Varianz von X ¯ = E(X ¯ 2 ) − [E(X)] ¯ 2 = 2258333.30 − 15002 = 8333.33 V ar(X) und f¨ ur die Standardabweichung ¯ = 91.29. V ar(X) (d) Zum einen wird in (b) klar, daß das Ergebnis der Sch¨atzung, also die ¯ je nach gezogener Stichprobe unterschiedlich ist, also Realisation von X, vom Zufall abh¨ angt. Zum anderen zeigt die Abbildung in (c), daß das wahre μ weder systematisch u atzt wird. Die Sch¨atzungen “pendeln” sich ¨ ber- noch untersch¨ ¯ bei μ ein. Dies erkennt man auch am Wert von E(X).

9. Parametersch¨ atzung

187

L¨ osung 9.2 ur x = (x1 , . . . , xn ) ergibt sich die Sei Xi die Suchzeit des i-ten Teams. F¨ Likelihoodfunktion f (x | λ) =

n $

λe−λxi = λn e−λ

xi

.

i=1

Zur Bestimmung des ML-Sch¨ atzers wird diese nach λ diﬀerenziert und gleich null gesetzt: nλn−1 e−λ

xi

− λn e−λ

xi

n

!

xi = 0

i=1 n

1 xi = 0 ⇔ λ = . ⇔ n−λ x ¯ i=1 ˆ = Man erh¨ alt also allgemein λ Beispiel gilt

1 x ¯

als ML-Sch¨atzer f¨ ur λ. Im vorliegenden

ˆ = 1 = 0.01. λ 98 L¨ osung 9.3 Ein 99 % Konﬁdenzintervall f¨ ur μ unter Normalverteilung und unbekannter Varianz ist gegeben durch (vgl. Abschnitt 9.4.1 in Fahrmeir et al., 2004) ¯ − t0.995 (n − 1) · √s , X ¯ + t0.995 (n − 1) · √s . X n n F¨ ur n > 30 erh¨ alt man ein approximatives Konﬁdenzintervall durch ¯ − z0.995 · √s , X ¯ + z0.995 · √s . X n n Somit erh¨ alt man f¨ ur die Werktage 16350 16350 , 72750 + 2.58 · 72750 − 2.58 · = [65719.5, 79780.5] 6 6 als approximatives Konﬁdenzintervall und f¨ ur das Wochenende 26350 26350 , 187750 + 2.7969 · 187750 − 2.7969 · = [173010.34, 202489.66] 5 5 als Konﬁdenzintervalle.

188

9. Parametersch¨ atzung

L¨ osung 9.4 ¨ (a) Zur Uberpr¨ ufung, welche Sch¨ atzfunktionen erwartungstreu sind f¨ ur μ, werden deren Erwartungswerte unter Verwendung bereits bekannter Resultate (s. etwa Abschnitt 9.2.1 in Fahrmeir et al., 2004) berechnet: E(T1 ) = μ , E(T2 ) = μ , 1 1 1 1 E(T3 ) = 4μ + μ = μ + μ = μ , 8 2 2 2 E(T4 ) = μ + μ = 2μ , E(T5 ) = μ . Mit Ausnahme der Sch¨ atzfunktion T4 sind also alle Sch¨atzfunktionen erwartungstreu f¨ ur μ . (b) Zun¨ achst berechnet man den jeweiligen M SE, der bei den erwartungstreuen Sch¨ atzern mit der Varianz u ¨bereinstimmt: 1 1 5σ 2 = σ 2 , M SE(T1 ) = V ar(T1 ) = 25 5 1 2 1 2 M SE(T2 ) = V ar(T2 ) = 3σ = σ , 9 3 1 1 1 2 1 2 5 2 2 4σ + σ 2 = σ + σ = σ , M SE(T3 ) = V ar(T3 ) = 64 4 16 4 16 M SE(T4 ) = V ar(T4 ) + (Bias(T4 ))2 = 2σ 2 + (2μ − μ)2 = 2σ 2 + μ2 , M SE(T5 ) =

V ar(T5 ) = σ 2 .

ur alle σ 2 den kleinsten M SE und Damit besitzt die Sch¨ atzfunktion T1 f¨ ist somit unter den angegebenen Funktionen T1 bis T5 am wirksamsten. L¨ osung 9.5 (a) Die MSE’s sind gegeben durch M SE(T2 )

= V ar(T2 ) + Bias2 (T2 ) =

1 15

M SE(T3 )

= V ar(T3 ) + Bias2 (T3 ) =

1 n

+ 1,

M SE(T5 )

= V ar(T5 ) + Bias2 (T5 ) =

1 5

+ 0 = 15 .

+0=

Keines der Sch¨ atzverfahren T2 , T3 und T5 ist konsistent, da lim M SE(T2 ) =

1

= 0 15

lim M SE(T3 ) =

1 = 0

lim M SE(T5 ) =

1

= 0. 5

n→∞

n→∞

n→∞

1 15 ,

9. Parametersch¨ atzung

189

(b) Drei der Sch¨atzverfahren sind erwartungstreu und zwei Sch¨atzverfahren sind verzerrt. Damit m¨ ussen drei der f¨ unf Histogramme um den selben Wert schwanken. Es handelt sich um die Histogramme in den Abbildungen b), c) und d), die alle um den Wert 2 schwanken. Damit korrespondiert Histogramm b) mit dem unverzerrten Sch¨atzer mit der gr¨oßten Varianz, also T5 . Histogramm c) korrespondiert mit dem unverzerrten Sch¨ atzer mit der zweitgr¨ oßten Varianz, also T2 . Histogramm d) ist demnach dem Sch¨ atzer T1 zuzuordnen. T3 korrespondiert zu Histogramm a), da T3 einen positiven Bias besitzt. T4 korrespondiert zu Histogramm e), da T4 einen negativen Bias besitzt. (c) Die Histogramme werden mit wachsendem Stichprobenumfang immer steiler und sind immer mehr auf einen Wert (2) konzentriert.

L¨ osung 9.6 ¯ = π und V ar(X) ¯ = 12 nπ(1 − π) = π(1 − π)/n gilt f¨ (a) Wegen E(X) ur die n mittlere quadratische Abweichung: ¯ + Bias(X) ¯ 2 = V ar(X)

¯ M SE(X)

= π(1 − π)/n. Daraus ergibt sich π M SE

0 0

1/4

1/2

3/4

3/16 n

1/4 n

3/16 n

1 0

¯ ist eine konkave Funktion u Der M SE(X) ¨ ber [0, 1] mit dem Maximum bei π = 0.5. Weiterhin ist diese Funktion spiegelsymmetrisch um π = 0.5. (b) Man erh¨ alt unter Ausnutzung bekannter Rechenregeln f¨ ur Erwarungswert und Varianz: √ √ 1 n n √ √ E(ˆ π) + 0.5 = √ (nπ + n0.5), E(T ) = n+n n+n n+n 2 n √ V ar(T ) = V ar(ˆ π) n+n 2 n n √ π(1 − π)/n = √ π(1 − π), = n+n ( n + n)2 M SE(T ) = V ar(T ) + Bias(T )2 = V ar(T ) + (E(T ) − π)2 2 √ 1 n √ = √ π(1 − π) + n0.5) − π (nπ + ( n + n)2 n+n √ √ 1 = √ (nπ(1 − π)) + (nπ + n0.5 − ( n + n)π)2 2 ( n + n)

190

9. Parametersch¨ atzung

= = =

√ 1 √ (nπ(1 − π) + ( n(0.5 − π))2 ) 2 ( n + n) 1 √ (nπ − nπ 2 + n(0.25 − π + π 2 )) ( n + n)2 0.25n √ . ( n + n)2

Der M SE(T ) ist konstant, d.h. nicht abh¨angig von π. Als Funktion entspricht er einer Parallele zur π-Achse.

L¨ osung 9.7 (a) Es gilt: π ˆkurz π ˆmittel π ˆlang

= = =

86/123 ≈ 19/123 ≈ 18/123 ≈

0.699, 0.154, 0.146.

Ein approximatives Konﬁdenzintervall f¨ ur die Anteilswerte πi , i = kurz, mittel und lang ist gegeben durch

π ˆi (1 − π ˆi ) π ˆi ± z1− α2 n (vgl. Abschnitt 9.4.2 in Fahrmeir et al., 2004). In der folgenden Tabelle sind die 95 %- und die 99 %-Konﬁdenzintervalle f¨ ur πkurz , πmittel und πlang abgedruckt:

95 % 99 %

πkurz πmittel πlang [0.61814, 0.78024] [0.09060, 0.21835] [0.08388, 0.20881] [0.59250, 0.80587] [0.07039, 0.23855] [0.06412, 0.22857]

(b) F¨ ur die Breite b der Konﬁdenzintervalle gilt

π ˆi (1 − π ˆi ) α . b = 2 · z1− 2 n Um die Breite zu halbieren, muß also n vervierfacht werden.

L¨ osung 9.8 Allgemein ist das 95% Konﬁdenzintervall f¨ ur μ bei normalverteiltem Merkmal mit unbekannter Varianz gegeben durch ¯ + t1−α/2 (n − 1) √S ]. ¯ − t1−α/2 (n − 1) √S , X [X n n

9. Parametersch¨ atzung

191

(a) Die Breite des Intervalls ist S B = 2t1−α/2 (n − 1) √ . n

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Die darin enthaltenen Standardabweichung S ist eine Zufallsvariable und damit auch die Breite B des Konﬁdenzintervalls. Die Aussage ist also richtig. Der Parameter μ ist nicht zuf¨ allig, kann also auch nicht in das Konﬁdenzintervall fallen. Zuf¨ allig ist per Konstruktion das Konﬁdenzintervall. Die Aussage ist somit falsch. Dies ist die korrekte H¨ auﬁgkeitsinterpretation von Konﬁdenzintervallen. Das zuf¨ allige Intervall u ¨ berdeckt in 95 Prozent der F¨alle den unbekannten Parameter. Nach Durchf¨ uhrung des Experiments sind Wahrscheinlichkeitsaussagen nicht mehr sinnvoll. Das realisierte Intervall ist eine nicht zuf¨allige Gr¨oße. Die Aussage ist also falsch. Diese Aussage ist richtig, da die Breite reziprok von n abh¨angt und dar¨ uberhinaus die Standardabweichung im Durchschnitt bzw. tendenziell mit wachsendem Stichprobenumfang kleiner wird. Etwas formaler m¨ usste man E(B) bestimmen und zeigen, dass E(B) mit wachsendem n kleiner wird. Die Grenzen des Konﬁdenzintervalls h¨ angen von den zuf¨alligen Gr¨oßen ¯ und S ab, so dass diese tats¨ X achlich zuf¨ allig sind. Die Aussage ist somit korrekt.

L¨ osung 9.9 (a) Deﬁniere f¨ ur i = 1, . . . , 5 die Zufallsvariablen: 1 i–te befragte Abgeordnete spricht Vertrauen aus Xi = 0 sonst. Es gilt Xi ∼ B(1, π) mit π ∈ {0.3, 0.5, 0.6}. Der ML Sch¨atzer kann durch die folgenden beiden Schritte bestimmt werden: 1. Bestimmung der Likelihood L(π) = π 3 (1 − π)5−3 = π 3 (1 − π)2 2. Likelihood in Abh¨ angigkeit von π πOp

= 0.3

L(0.3) = 0.01323

πMed

= 0.5

L(0.5) = 0.03125

πRia

= 0.6

L(0.6) = 0.03456

192

9. Parametersch¨ atzung

Damit ist π ˆ = 0.6 der ML–Sch¨ atzer. (b) Der ML–Sch¨ atzer ist unabh¨ angig von der Reihenfolge der ja/nein Antworten (siehe Likelihood). Damit ¨ andert sich der Sch¨atzer nicht. (c) Sei X = Anzahl Vertrauensfrage mit ja“. Es gilt X ∼ H(5, 601, 301). ” Diese hypergeometrische Verteilung kann durch eine Binomialverteilung a = 0.5 . Damit erh¨alt man approximiert werden, d.h. X ∼ B 5, 301 601 5 P (X = 3) = 0.53 (1 − 0.5)2 = 0.3125. 3

L¨ osung 9.10

(a) Die Likelihood ist gegeben durch L(π) = nx π x (1 − π)n−x . Diﬀerenzieren von L(π) und Nullsetzen liefert ! n x−1 ∂L(π) = · xπ (1 − π)n−x + π x (n − x)(1 − π)n−x−1 · (−1) = 0 . x ∂π Durch Auﬂ¨ osen nach π erh¨ alt man π ˆML = ¯ = (b) Da E(X) (c) Es gilt

x . n

1 1 ¯ ist erwartungstreu f¨ E(X) = nπ = π, ist X ur π . n n V ar(X) = nπ(1 − π) ≤

1 n. 4

Damit folgt ¯ V ar(X)

= V ar =

X n

1 1 . V ar(X) ≤ 2 n 4n

Es muß gelten 1 ≤ 0.01 , 4n so daß schließlich n ≥ 25 folgt.

¯ = V ar(X) ¯ + Bias(X) ¯ 2 = 1 π (1 − π). (d) M SE(X) n

9. Parametersch¨ atzung

193

L¨ osung 9.11 Der Erwartungswert von S˜2 leitet sich wie folgt her: n 1 ¯ 2 E(S˜2 ) = E (Xi − X) n i=1 n 1 2 2 ¯ +X ¯ = E X − 2Xi X n i=1 i =

n & 1 % ¯ + E(X¯2 ) E(Xi2 ) − 2E(Xi X) n i=1

=

n n n n n 2 1 1 E(Xi2 ) − 2 E(Xi Xj ) + 2 E(Xi Xj ) n i=1 n i=1 j=1 n i=1 j=1

n n n 1 1 E(Xi2 ) − 2 E(Xi Xj ) n i=1 n i=1 j=1 n 1 1 1 E(Xi2 ) − 2 E(Xi Xj ) − 2 = n n n

=

i=j

i=1

= = =

n n−1

n2

1 E(Xi2 ) + 2 E(Xi )E(Xj ) n i=1 i=j

(n − 1)n 1 E(X 2 ) + 2 n(n − 1)E(X)2 2 n n & n−1 2 n−1% 2 E(X ) − E(X)2 = σ . n n

L¨ osung 9.12 1 (a)(a1) Es gilt: E(X) = λ1 . Da E(X) = 100, folgt λ = 100 = 0.01. (a2) Die Suchzeit liegt zwischen 90 und 110 Tagen mit einer Wahrscheinlichkeit von:

P (90 ≤ X ≤ 110) = =

P (X ≤ 110) − P (X ≤ 90) 1 − e−λ·110 − 1 − e−λ·90

=

e−90/100 − e−110/100 = 0.07369.

(b)(b1) Die Likelihoodfunktion lautet hier L(λ) =

n $ i=1

λ · e−λxi = λn ·

n $ i=1

e−λxi ,

194

9. Parametersch¨ atzung

woraus man die Log-Likelihood direkt erh¨alt als: l(λ) = log L(λ) = n · log(λ) − λ

n

xi .

i=1

(b2) Zur Bestimmung des ML-Sch¨ atzers wird die Log-Likelihood zun¨achst diﬀerenziert mit n xi l (λ) = − λ und anschließend gleich null gesetzt und nach λ aufgel¨ost: n ! l (λ) = 0 = xi ⇔ ˆ λ ˆ = n = 1 . ⇔ λ xi x ¯ Die ML-Sch¨ atzfunktion lautet 1/¯ x. (b3) Der ML-Sch¨ atzwert f¨ ur λ ergibt sich hier zu 1/¯ x = 1/98 = 0.0102.

L¨ osung 9.13 (a) Die Sch¨ atzungen f¨ ur die Erwartungswerte von X und Y sind 12

x ¯=

1 1 · 76.8 = 6.4 xi = 12 i=1 12

y¯ =

1 1 · 24.0 = 2.0. yi = 12 i=1 12

und

12

Die Varianzen von X und Y werden durch 12 12 1 1 2 2 2 2 sX = (xi − x¯) = x − 12 · x ¯ 11 i=1 11 i=1 i = =

1 1 (498.92 − 12 · 6.42 ) = · 7.4 11 11 0.673

und 12

s2Y

1 1 1 = (yi − y¯)2 = (48.76 − 12 · 22 ) = · 0.76 = 0.069 11 i=1 11 11

gesch¨ atzt.

9. Parametersch¨ atzung

195

(b) Als Sch¨ atzer f¨ ur die Kovarianz und die Korrelation bieten sich die entsprechenden deskriptiven Maße an, d.h. f¨ ur die Kovarianz 12 12 1 1 sXY = (xi − x ¯)(yi − y¯) = xi yi − 12 · x ¯y¯ 11 i=1 11 i=1 = =

1 1 (155.91 − 12 · 6.4 · 2.0) = · 2.31 11 11 0.21

und damit f¨ ur die Korrelation rXY

=

sXY 0.21 0.21 √ =√ = sX · sY 0.2155 0.0673 0.069

= 0.9745, d.h. zwischen Kelch- und Bl¨ utenbl¨ attern besteht ein nahezu vollst¨andiger, positiver, linearer Zusammenhang.

L¨ osung 9.14 In der Stichprobe vom Umfang n = 50 werden 30 Personen als arm eingestuft. (a) Eine Sch¨ atzung des Anteils der Armen ergibt sich mit diesen Angaben zu 30 3 π ˆ= = = 0.6. 50 5 (b) Da n = 50 ≥ 30, ist die Faustregel erf¨ ullt. Es kann also mit Hilfe der Normalverteilung ein approximatives 90 %-Konﬁdenzintervall bestimmt werden. Dieses ist gegeben durch ( '

π ˆ (1 − π ˆ) π ˆ (1 − π ˆ) , π ˆ + z1−α/2 · . π ˆ − z1−α/2 · n n Hier ergibt sich mit π ˆ = 0.6, α = 0.1, z1−α/2 = z0.95 = 1.6449, n = 50 ˆ (1 − π ˆ )/n = 0.6 · 0.4/50 = 0.06928 das Intervall und π [0.486 , 0.714]. (c) Nun sei α = 0.05, d.h. es ist eine gr¨ oßere Sicherheit verlangt. Mit z1−α/2 = z0.975 = 1.96 erh¨ alt man das Intervall [0.464 , 0.736]. Dieses Konﬁdenzintervall ist etwas breiter als das unter (b) berechnete, d.h. f¨ ur den Wunsch nach mehr Sicherheit “zahlt” man mit gr¨oßerer Sch¨ atzungenauigkeit.

196

9. Parametersch¨ atzung

(d) Seien nun n = 200, π ˆ = 0.6, α = 0.05, z0.975 = 1.96 und π ˆ (1 − π ˆ )/n = 0.6 · 0.4/200 = 0.034641. Mit diesen Werten erh¨alt man [0.532 , 0.668]. Dieses Konﬁdenzintervall ist viel k¨ urzer als das unter (c) errechnete. Diese Erh¨ ohung der Sch¨ atzgenauigkeit wird durch die Vergr¨oßerung des Stichprobenumfangs erzielt. (e) Will man nun den Anteil von Armen auf f¨ unf Prozentpunkte genau mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90 % sch¨atzen, so reicht dazu ein Stichprobenumfang n mit n≥ also n = 271 aus.

!z

1−α/2

2d

"2 =

1.6449 2 · 0.05

2 = 270.57,

10 Testen von Hypothesen

Aufgaben Aufgabe 10.1 Eine Verbraucherzentrale m¨ ochte u ufen, ob ein bestimmtes Milchpro¨ berpr¨ ¨ dukt Ubelkeit bei den Konsumenten ausl¨ ost. In einer Studie mit zehn Personen wird bei sieben Personen nach dem Genuß dieses Milchprodukts ei¨ ¨ ne auftretende Ubelkeit registriert. Uberpr¨ ufen Sie zum Signiﬁkanzniveau α = 0.05 die statistische Nullhypothese, daß der Anteil der Personen mit ¨ Ubelkeitssymptomen nach dem Genuß dieses Produkts in der Grundgesamtheit h¨ ochstens 60 % betr¨ agt. Geben Sie zun¨ achst das zugeh¨orige statistische Testproblem an. (L¨osung siehe Seite 203)

Aufgabe 10.2 Bisher ist der Betreiber des ¨ oﬀentlichen Verkehrsnetzes in einer Großstadt davon ausgegangen, daß 35 % der Fahrg¨ aste Zeitkarteninhaber sind. Bei einer Fahrgastbefragung geben 112 der insgesamt 350 Befragten an, daß sie eine Zeitkarte benutzen. Testen Sie zum Niveau α = 0.05, ob sich der Anteil der Zeitkarteninhaber ver¨ andert hat. Formulieren Sie die Fragestellung zun¨achst als statistisches Testproblem. (L¨osung siehe Seite 204)

Aufgabe 10.3 Eine Brauerei produziert ein neues alkoholfreies Bier. In einem Geschmackstest erhalten 150 Personen je ein Glas alkoholfreies bzw. gew¨ohnliches Bier, und sie sollen versuchen, das alkoholfreie Bier zu identiﬁzieren. (a) Das gelingt 98 Personen. Testen Sie anhand dieser Daten die Hypothese, alkoholfreies und gew¨ ohnliches Bier seien geschmacklich nicht zu unterscheiden (α = 0.1).

198

10. Testen von Hypothesen

(b) Unter den befragten Personen waren 15 Besch¨aftigte der Brauerei. Von diesen gelingt neun die richtige Identiﬁzierung. Man u ufe die Hypo¨berpr¨ these aus (a) f¨ ur diese Subpopulation mit einem exakten Testverfahren. (L¨osung siehe Seite 204)

Aufgabe 10.4 Nehmen Sie an, ein Test zur Messung der sozialen Anpassungsf¨ahigkeit von Schulkindern sei genormt auf Mittelwert μ = 50 und Varianz σ 2 = 25. Ein Soziologe glaubt, eine M¨ oglichkeit zur Organisation des Unterrichts gefunden zu haben, die den Umgang der Sch¨ uler miteinander u.a. durch vermehrte Teamarbeit f¨ ordert und damit die soziale Anpassungsf¨ahigkeit erh¨oht. Aus der Grundgesamtheit aller Sch¨ uler und Sch¨ ulerinnen werden 84 zuf¨allig ausgew¨ ahlt und entsprechend dieses neuen Konzepts unterrichtet. Nach Ablauf eines zuvor festgelegten Zeitraums wird bei diesen Kindern ein mittlerer Testwert f¨ ur die soziale Anpassungsf¨ ahigkeit von 54 beobachtet. (a) L¨ aßt sich damit die Beobachtung des Soziologen st¨ utzen? D.h. entscheiden Sie u ber die Behauptung des Soziologen anhand eines geeigneten ¨ statistischen Tests zum Niveau α = 0.05. Formulieren Sie zun¨achst die Fragestellung als statistisches Testproblem. (b) Was a ¨ndert sich in (a), wenn (b1) der Stichprobenumfang n = 25, (b2) der beobachtete Mittelwert x¯ = 51, (b3) die Standardabweichung σ = 9, (b4) das Signiﬁkanzniveau α = 0.01 betr¨ agt? (L¨osung siehe Seite 205)

Aufgabe 10.5 Von einer Zufallsvariable X mit Erwartungswert E(X) = μ ist bekannt, dass sie mit Varianz σ 2 = 4 normalverteilt ist. Aus einer i.i.d. Stichprobe X1 , · · · , X15 vom Umfang n = 15 ist das arithmetische Mittel x = 1.5 errechnet worden. (a) Testen Sie die Hypothese H0 : μ = 1 zweiseitig mit α = 0.05 gegen die Alternativhypothese H1 : μ = 1. (b) In der folgenden Abbildung sind vier G¨ utefunktionen des Tests in (a) f¨ ur verschiedene Stichprobenumf¨ ange gegeben. Ordnen Sie die folgenden Stichprobenumf¨ ange • n1 = 100

10. Testen von Hypothesen

199

• n2 = 15 • n3 = 5 • n4 = 30 jeweils einem G¨ utefunktionsgraphen zu. Die Zuordnung tragen Sie bitte in der Legende von Abbildung 10.1 ein, indem Sie jedem Linienmuster das entsprechende n zuordnen. Begr¨ unden Sie Ihre Zuordnung ausf¨ uhrlich!

0

.2

g(mu) .4 .6

.8

1

Gütefunktionen verschiedener Stichprobenumfänge

−3

−2

−1

0 n= n=

Abbildung numf¨ angen.

1 mu

2

3

4

5

n= n=

10.1. G¨ utefunktionen basierend auf verschiedenen Stichprobe-

(c) Bestimmen Sie ein Konﬁdenzintervall f¨ ur μ zur Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05, wenn f¨ ur eine Stichprobe vom Umfang n = 15 das arithmetische Mittel x = 1.5 errechnet wurde. (d) Welche Auswirkung hat eine Erh¨ ohung des Stichprobenumfangs auf das in (c) berechnete Konﬁdenzintervall, wenn angenommen wird, dass das arithmetische Mittel x und die Varianz σ 2 unver¨andert bleiben? (L¨osung siehe Seite 206)

Aufgabe 10.6 Betrachten Sie einen Gauß-Test f¨ ur H0 : μ = 0 gegen H1 : μ = 0 zum Niveau α = 0.05. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

200

10. Testen von Hypothesen

(a) Betr¨ agt der p-Wert 0.02, dann wird die Nullhypothese abgelehnt. (b) Betr¨ agt der p-Wert 0.02, dann ist H1 mit Wahrscheinlichkeit 0.98 wahr. (c) Wird H0 aufgrund der Teststatistik abgelehnt, dann ist die Nullhypothese mit absoluter Sicherheit falsch. (d) Die Wahrscheinlichkeit einer Fehlentscheidung ist 5%. (L¨osung siehe Seite 207)

Aufgabe 10.7 Aufgrund einer Theorie u ¨ ber die Vererbung von Intelligenz erwartet man bei einer bestimmten Gruppe von Personen einen mittleren Intelligenzquotienten (IQ) von 105. Dagegen erwartet man bei Nichtg¨ ultigkeit der Theorie einen mittleren IQ von 100. Damit erh¨ alt man das folgende statistische Testproblem: H0 : μ = 100 gegen H1 : μ = 105 . Die Standardabweichung des als normalverteilt angenommenen IQs sei σ = 15. Das Signifikanzniveau sei mit α = 0.1 festgelegt. (a) Geben Sie zun¨ achst allgemein f¨ ur eine Stichprobe vom Umfang n = 25 • den Ablehnungsbereich eines geeigneten statistischen Tests, • den Annahmebereich dieses Tests und • die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 2. Art an. (b) Welchen Bezug haben die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur den Fehler 1. Art und f¨ ur den Fehler 2. Art zur G¨ utefunktion dieses Tests? (c) Sie beobachten in Ihrer Stichprobe einen mittleren IQ von 104. Zu welcher Entscheidung kommen Sie? (L¨osung siehe Seite 208)

Aufgabe 10.8 Im Rahmen einer großangelegten Studie u ¨ ber “Frauen und Schwangerschaft“ interessiert u.a. das Alter von Frauen bei der Geburt des ersten Kindes. Es wird vermutet, daß das Durchschnittsalter Erstgeb¨arender bei u ¨ ber 25 Jahren liegt. ¨ Zur Uberpr¨ ufung dieser Hypothese werden 49 M¨ utter zuf¨allig ausgew¨ahlt und nach ihrem Alter bei der Geburt des ersten Kindes befragt. Es ergab sich ein Durchschnittsalter von x ¯ = 26. ¨ (a) Uberpr¨ ufen Sie zum Niveau α = 0.05 die statistische Nullhypothese H0 : μ ≤ 25 gegen die Alternative H1 : μ > 25. Gehen Sie davon aus, daß das Alter Erstgeb¨ arender normalverteilt ist. Dabei ist die Varianz mit σ 2 = 9 aus Erfahrung bekannt. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.

10. Testen von Hypothesen

201

(b) Wie ist der Fehler 1. Art deﬁniert, und was sagt er hier aus? (c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 2. Art unter der Annahme, daß μ = 27 das wahre Alter Erstgeb¨arender ist. (d) Bestimmen Sie ein 95 %-Konﬁdenzintervall f¨ ur das Alter Erstgeb¨arender. (L¨osung siehe Seite 209)

Aufgabe 10.9 Ein Marktforschungsinstitut f¨ uhrt j¨ ahrliche Untersuchungen zu den Lebenshaltungskosten durch. Die Kosten f¨ ur einen bestimmten Warenkorb beliefen sich in den letzten Jahren auf durchschnittlich 600 Euro. Im Beispieljahr wurde in einer Stichprobe von 40 zuf¨ allig ausgew¨ahlten Kaufh¨ausern jeweils der aktuelle Preis des Warenkorbs bestimmt. Als Sch¨atzer f¨ ur den aktuellen Preis des Warenkorbs ergab sich ein mittlerer Preis von 605 Euro. Die Variahriger Erfahrung bekannt. Gehen Sie von anz σ 2 = 225 sei aufgrund langj¨ einer Normalverteilung des Preises f¨ ur den Warenkorb aus. (a) Hat sich der Preis des Warenkorbs im Vergleich zu den Vorjahren signifikant zum Niveau α = 0.01 erh¨ oht? Wie lautet das zugeh¨orige statistische Testproblem? (b) Was sagt der Fehler 2. Art hier aus? Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 2. Art unter der Annahme, daß 610 Euro der tats¨achliche aktuelle Preis des Warenkorbs ist. Geben Sie zun¨achst die allgemeine Formel f¨ ur die G¨ utefunktion des obigen Tests in diesem konkreten Testproblem an. (c) Wie groß m¨ ußte der Stichprobenumfang mindestens sein, um bei einem Niveau von α = 0.01 eine Erh¨ ohung des mittleren Preises um 5 Euro als ¨ signifikant nachweisen zu k¨ onnen? Uberlegen Sie sich dazu eine allgemeine Formel zur Bestimmung des erforderlichen Stichprobenumfangs. (L¨osung siehe Seite 210)

Aufgabe 10.10 Betrachten Sie eine Stichprobe aus Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn mit Xi ∼ B(1, π), i = 1, . . . , n. Das interessierende Testproblem sei H0 : π ≤ 0.5

gegen

H1 : π > 0.5.

F¨ ur eine Stichprobe vom Umfang n = 10 wird der exakte Binomialtest mit dem Ablehnungsbereich C = {6, 7, . . . , 10} durchgef¨ uhrt. (a) Welches Niveau besitzt der Test?

202

10. Testen von Hypothesen

(b) Bestimmen Sie die G¨ utefunktion des Tests an den Stellen π = 0, 0.05, 0.1, . . . , 1, und skizzieren Sie diese. (L¨osung siehe Seite 211)

Aufgabe 10.11 Der Wirt einer Kneipe in Schwabing denkt u ¨ber ein Handy-Verbot in seinem Lokal nach. Er vermutet, daß mehr als 50 % seiner G¨aste ein derartiges Verbot begr¨ ußen w¨ urden. Um seine Behauptung zu st¨ utzen, plant er die Durchf¨ uhrung einer Befragung seiner G¨ aste zu diesem Thema. Anschließend m¨ ochte er einen statistischen Test zum Niveau α = 0.1 durchf¨ uhren. An der Befragung sollen 15 zuf¨ allig ausgew¨ ahlte G¨aste teilnehmen und danach befragt werden, ob sie ein Verbot begr¨ ußen w¨ urden oder nicht. ¨ (a) Welcher Test ist zur Uberpr¨ ufung der Fragestellung geeignet? Geben Sie den Test an, d.h. formulieren Sie die Hypothesen, geben Sie die Testgr¨ oße und deren exakte Verteilung an, und bestimmen Sie daraus den Ablehnbereich des Tests. (b) Wie groß ist in dem von Ihnen angegebenen Test die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 1. Art maximal? (c) Angenommen, der wahre Anteil der G¨aste, die ein Verbot begr¨ ußen w¨ urden, w¨ are nur 45 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit w¨ urde der in (a) angegebene Test trotzdem die Vermutung des Wirts best¨atigen? (d) Der Wirt hat die Befragung durchgef¨ uhrt. Neun der 15 Befragten haben angegeben, daß sie ein Verbot begr¨ ußen w¨ urden. Zu welcher Entscheidung hinsichtlich der Vermutung des Wirts kommen Sie aufgrund dieses Ergebnisses? uhrte (e) Ein anderer Wirt interessierte sich f¨ ur dieselbe Fragestellung und f¨ eine Totalerhebung durch. Dabei ermittelte er den wahren Anteil der G¨ aste, die ein Handy-Verbot begr¨ ußen w¨ urden als π = 65 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 2. Art, wenn der tats¨achliche Anteil auch f¨ ur die Kneipe des ersten Wirts 0.65 betr¨agt? (f) Durch welche Verteilung l¨ aßt sich die in (a) gefragte Verteilung der Testgr¨ oße approximieren? L¨ osen Sie die Teilaufgaben (a) bis (e) nun auch mit Hilfe dieser approximierenden Verteilung. (L¨osung siehe Seite 212)

10. Testen von Hypothesen

203

L¨ osungen L¨ osung 10.1 Die Verbraucherzentrale m¨ ochte die Bef¨ urchtung u ufen, daß das Milch¨berpr¨ ¨ ¨ produkt Ubelkeit hervorruft, also daß der Anteil der Personen mit Ubelkeitssymptomen u ¨ ber ein bestimmtes Maß, hier 60 %, hinausgeht. Damit lautet das statistische Testproblem: H0 : π ≤ π0 = 0.6

gegen

H1 : π > π0 = 0.6.

Wenn H0 verworfen wird, ist folgende Aussage der Verbraucherzentrale zul¨ assig: “Wir haben herausgefunden, daß das Milchprodukt mit einer Si¨ cherheitswahrscheinlichkeit von 1 − α Ubelkeit hervorruft.” Bei der Wahl eines geeigneten Tests und seiner Durchf¨ uhrung sind folgende Aspekte zu beachten: ¨ • Das Merkmal (Ubelkeit: Ja/Nein) ist bin¨ ar, • die Hypothese ist u ¨ ber einen Anteil formuliert, d.h. es ist der Binomialtest zu w¨ ahlen, und zwar der exakte (vgl. Abschnitt 10.1.1 in Fahrmeir et al., 2004), da n · π0 = 10 · 0.6 = 6 ≥ 5, aber n · (1 − π0 ) = 10 · 0.4 < 5, ¨ • die Pr¨ ufgr¨ oße ist somit die Anzahl der Personen mit Ubelkeit, kurz be H0 zeichnet mit Xi , wobei gilt: Xi ∼ B(10, 0.6), • der Ablehnungsbereich ist durch “große” Werte von Xi und α = 0.05 festgelegt. Bei der Bestimmung des kritischen Werts nutze man aus, daß f¨ ur π > 0.5 gilt: B(x|n, π) = P (X ≤ x|n, π) = 1 − B(n − x − |n, 1 − π), d.h. man erh¨ alt hier B(x|10, 0.6) = 1 − B(10 − x − 1|10, 0.4). Gesucht ist nun x, so daß P (X ≥ x|0.6) ≤

0.05

P (X ≥ x − 1|0.6) >

0.05.

und

Da P (X ≥ x|0.6) = = =

1 − P (X < x|0.6) = 1 − P (X ≤ x − 1|0.6) 1 − [1 − B(10 − (x − 1) − 1|10, 0.4)] B(10 − x|10, 0.4),

gilt: P (X ≥ 10|0.6) = B(0|10, 0.4) = 0.006

< 0.05,

P (X ≥ 9|0.6) = B(1|10, 0.4) = 0.0464 < 0.05, P (X ≥ 8|0.6) = B(2|10, 0.4) = 0.1673 > 0.05.

204

10. Testen von Hypothesen

Damit ist neun der kritische Wert, woraus sich der Ablehnungsbereich C = ¨ {9, 10} ergibt. Also kann erst bei neun oder zehn Personen mit Ubelkeit in einer Stichprobe vom Umfang zehn die Nullhypothese zum Niveau α = 0.05 verworfen werden, d.h. diese Werte sind zu “unwahrscheinlich”, wenn H0 wahr w¨ are. ¨ Da in diesem Beispiel nur sieben Personen Ubelkeitssymptome aufweisen, kann H0 nicht verworfen werden, d.h. es kann also nicht entschieden werden, ¨ daß das Milchprodukt Ubelkeit ausl¨ ost.

L¨ osung 10.2 Das statistische Testproblem lautet hier H0 : π = π0 = 0.35

H1 : π = π0 = 0.35.

gegen

Es handelt sich also um einen Test auf den unbekannten Anteil in der Grundgesamtheit. Da der Stichprobenumfang sehr groß ist, kann der approximative Binomialtest (vgl. Abschnitt 10.1.2 in Fahrmeir et al., 2004) angewendet werden, denn 350 · 0.35 = 122.5 > 5

und

350 · (1 − 0.35) = 227.5 > 5.

Damit lautet die Pr¨ ufgr¨ oße ) ) ) Xi − nπ0 )) ) |Z| = ) ), ) nπ0 (1 − π0 ) ) wobei H0 zum Niveau α = 0.05 verworfen wird, falls |z| > z1−α/2 = z0.975 = 1.96. xi = 112 ergibt sich Mit n = 350, π0 = 0.35 und ) ) ) 112 − 122.5 ) ) = | − 1.177| = 1.177. |z| = )) √ 350 · 0.35 · 0.65 ) Da z = 1.177 > 1.96, kann H0 zum Niveau α = 0.05 nicht verworfen werden, d.h. die Beobachtung von 112 Zeitkarteninhabern spricht nicht daf¨ ur, daß sich der Anteil an Zeitkarteninhabern ver¨ andert hat.

L¨ osung 10.3 (a) Untersucht wird das Hypothesenpaar H0 : π = 0.5,

H1 : π > 0.5.

10. Testen von Hypothesen

205

Als Teststatistik wird diejenige des approximativen Binomialtests verwendet: 98 − 150 · 0.5 x − nπ = 3.75. = √ z= nπ(1 − π) 150 · 0.52 Der Vergleich mit z0.9 = 1.28 ergibt, daß H0 zugunsten von H1 verworfen wird. (b) F¨ ur den exakten Binomialtest bei n = 15 ergibt sich f¨ ur X ∼ B(15, 0.5) der p-Wert als: P (X ≥ 9) = 1 − P (X ≤ 8) = 1 − 0.696 = 0.304. Die Nullhypothese ist wegen 0.304 > α = 0.10 nicht abzulehnen.

L¨ osung 10.4 (a) Die Forschungshypothese lautet: “Die neue Form der Unterrichtsorganisation erh¨ oht die soziale Anpassungsf¨ ahigkeit.” Damit ergibt sich das statistische Testproblem als: H0 : μ = 50 gegen H1 : μ > 50. Da σ 2 = 25 bekannt und n = 84 groß ist, kann der approximative GaußTest verwendet werden, d.h. also folgende Pr¨ ufgr¨oße Z=

¯ − μ0 √ X , n σ

wobei große Werte von Z f¨ ur H1 sprechen. Genauer wird H0 zum Niveau α = 0.05 verworfen, falls z > z1−α = z0.95 = 1.64. √ Da z = 84 54−50 = 7.33 > 1.64, kann H0 zum Niveau α = 0.05 ver5 worfen werden, d.h. man entscheidet aufgrund des Testergebnisses, daß der Vorschlag des Soziologen tats¨ achlich zu einer Erh¨ohung der sozialen Anpassungsf¨ ahigkeit f¨ uhrt. (b) Der in (a) durchgef¨ uhrte Test ver¨ andert sich wie folgt, falls = 4 > 1.64, d.h. H0 kann noch (b1) n = 25 : Damit ergibt sich z = 5 54−50 5 verworfen werden, es ist aber bei der Verwendung des approximativen Tests Vorsicht geboten. √ = 1.83 > 1.64, d.h. selbst (b2) x ¯ = 51 : Damit ergibt sich z = 84 51−50 5 dieser geringe Unterschied von einem Punkt f¨ uhrt noch zur Verwerfung von H0 , aber die Frage ist, ob dieser Unterschied noch von inhaltlicher Relevanz ist. √ (b3) σ = 9 : Damit ergibt sich z = 84 54−50 = 4.07 > 1.64, d.h. H0 9 kann noch verworfen werden. Man sieht recht deutlich, daß sowohl eine Verringerung von n (b1) als auch eine Erh¨ohung von σ (b3) zu einer gr¨ oßeren “Unsicherheit” in dem beobachteten Ergebnis f¨ uhrt und sich dementsprechend in der Pr¨ ufgr¨oße niederschl¨agt.

206

10. Testen von Hypothesen

(b4) α = 0.01 : Damit ergibt sich z = 7.33 > z0.99 = 2.33, d.h. H0 h¨atte auch noch zu einem kleineren Niveau verworfen werden k¨onnen. Das Fazit lautet: Eine Verkleinerung von n, eine Verringerung des Aboßerung von σ und eine Verkleinerung von α stands zu H0 , eine Vergr¨ bewirken jeweils eine “Verknappung” des Testergebnisses.

L¨ osung 10.5 (a) Es handelt sich wegen der bekannten Varianz um einen Gaußtest. Die Teststatistik ist gegeben durch √ √ (1.5 − 1) 15 (x − μ) n = = 0.968. t= σ 2 Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls |t| > t1−α/2 = 1.96. Da t = 0.968 < 1.96 kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden. (b) Abbildung 10.1 zeigt die Zuordnung der Stichprobenumf¨ange zu den entsprechenden G¨ utefunktionen. Mit wachsendem Stichprobenumfang n

0

.2

g(mu) .4 .6

.8

1

Gütefunktionen verschiedener Stichprobenumfänge

−3

−2

−1

0 n= 5 n= 30

1 mu

2

3

4

5

n= 15 n=100

Abbildung 10.2. Zuordnung der G¨ utefunktionen zu den verschiedenen Stichprobenumf¨ angen.

wird der Test bei festem α trennsch¨ arfer. Angenommen der wahre Mittelwert l¨ age bei 2. F¨ ur n = 5 w¨ are die Wahrscheinlichkeit die H0 Hypothese

10. Testen von Hypothesen

207

abzulehnen bei ≈ 0.2. Im Fall von n = 100 w¨are diese Wahrscheinlichkeit bereits bei 1. (c) Das Konﬁdenzintervall berechnet sich durch: σ σ [x − t(1− α2 ) √ , x + t(1− α2 ) √ ] = n n =

2 2 [1.5 − 1.96 √ , 1.5 + 1.96 √ ] 15 15 [0.49, 2.51]

(d) Die Breite B des Intervalls ist gegeben durch σ B = 2 · t(1− α2 ) √ . n Durch die Erh¨ ohung des Stichprobenumfangs verringert sich also die Breite des Konﬁdenzintervalls.

L¨ osung 10.6 (a) Die Testentscheidung kann aufgrund des p-Werts getroﬀen werden. Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls der p-Wert kleiner als das Signiﬁkanzniveau ist. Die Aussage ist also richtig. (b) Beim p-Wert handelt es sich um die Wahrscheinlichkeit die realisierte Teststatistik oder einen in Richtung H1 extremeren Wert zu erhalten, unter der Annahme, dass H0 wahr ist. Eine Aussage u ¨ ber den Wahrheitsgehalt von H1 ist damit nicht verbunden. Die Behauptung ist also falsch. (c) Bei Testentscheidungen handelt es sich stets um Entscheidungen unter Unsicherheit. Absolute Sicherheit ist nicht m¨oglich, d.h. Fehlentscheidungen sind grunds¨ atzlich m¨ oglich. Der Test wird lediglich so konstruiert, dass die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art klein ist (hier 5%). Die Aussage ist also nicht korrekt. (d) Auch diese Aussage ist falsch. Der Begriﬀ Signiﬁkanzniveau bzw. vor allem Irrtumswahrscheinlichkeit suggeriert, dass die Gesamtfehlerrate 5% betr¨ agt. Tats¨achlich kann die Gesamtfehlerrate ohne Zusatzinformation nicht bestimmt werden und sogar deutlich h¨oher als das Signiﬁkanzniveau sein. Hierzu ein Beispiel: Nehmen wir an Nullhypothese und Gegenhypothese sind je mit Wahrscheinlichkeit 50% wahr. Dar¨ uber hinaus besitze der Test eine Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 1. bzw. 2. Art von 5% bzw. 10%. Dann ist die Fehlerwahrscheinlichkeit gegeben durch P (Fehler) = 0.5 · 0.05 + 0.5 · 0.1 = 0.075, also h¨ oher als das Signiﬁkanzniveau.

208

10. Testen von Hypothesen

L¨ osung 10.7 (a) Ein geeigneter Test f¨ ur das vorliegende Problem ist der Gauß-Test mit der Teststatistik Z=

¯ − 100 ¯ − μ0 √ ¯ − 100 X X X · n= ·5= . σ 15 3

Unter H0 gilt: Z ∼ N (0, 1). H0 wird demnach abgelehnt, falls z > z1−α = z0.9 = 1.28, und beibehalten, falls z ≤ 1.28. Um die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 2. Art berechnen zu k¨onnen, muß zun¨ achst die Verteilung der Teststatistik unter H1 bestimmt werden. ¯ ∼ N (μ1 , σ 2 ) und folglich Unter H1 gilt X √ μ1 − μ0 5 Z ∼N ,1 = N ,1 . n· σ 3 Damit erh¨ alt man P (H0 beibehalten |μ = μ1 ) = =

P (Z ≤ 1.28|μ = μ1 ) = Φ

1.28 − 1.¯6 1

Φ(−0.38¯6) = 0.3498

als Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 2. Art. (b) Betrachtet man die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten, so lassen sich diese umschreiben als P (Fehler 1. Art)

= P (H0 wird abgelehnt |μ = μ0 ) = α = g(μ0 ) und

P (Fehler 2. Art)

= P (H0 beibehalten |μ = μ1 ) = 1 − P (H0 ablehnen |μ = μ1 ) = 1 − g(μ1 ).

(c) F¨ ur x¯ = 104 erh¨ alt man z= d.h. H0 wird abgelehnt.

104 − 100 4 = = 1.¯3 > 1.28, 3 3

10. Testen von Hypothesen

209

L¨ osung 10.8 (a) Das statistische Testproblem lautet hier: H0 : μ ≤ 25

gegen

H1 : μ > 25.

Da die Zufallsvariable X: “Alter Erstgeb¨ arender” als N (μ, 9)-verteilt vorausgesetzt wird, kann folgende Pr¨ ufgr¨ oße verwendet werden: Z=

¯ − μ0 √ X , n σ

wobei H0 zum Niveau α = 0.05 verworfen werden kann, falls z > z1−α = oße berechnet sich hier mit x ¯ = 26, μ0 = 25, z0.95 = 1.64. √ Die√Testgr¨ σ = 3 und n = 49 = 7 als z=

26 − 25 · 7 = 2.333. 3

Da 2.333 > 1.64, kann H0 verworfen werden. D.h. die Vermutung, daß das Alter Erstgeb¨arender gr¨ oßer als 25 Jahre ist, kann zum Niveau α = 0.05 best¨ atigt werden. (b) Der Fehler 1. Art entspricht dem Ereignis “Lehne H0 ab, obwohl H0 wahr ist”, d.h. H0 wird f¨ alschlicherweise verworfen. Hier bedeutet der Fehler 1. Art, daß man sich daf¨ ur entscheidet, daß das Alter Erstgeb¨arender u ahrend Frauen bei der Geburt des ersten Kindes in ¨ ber 25 Jahre liegt, w¨ Wirklichkeit j¨ unger sind. (c) Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 2. Art l¨aßt sich wie folgt bestimmen, wobei ein Fehler 2. Art dann eintritt, wenn H0 angenommen wird, obwohl H1 : μ = 27 zutriﬀt: P (Fehler 2. Art) = = = = = . =

P (H0 annehmen|μ = 27) ¯ X − 25 · 7 < 1.64|μ = 27 P 3 ¯ X − 27 + 27 − 25 P · 7 < 1.64|μ = 27 3 ¯ X − 27 27 − 25 P · 7 < 1.64 − ·7 3 3 P (Z < −3.02¯ 6) = Φ(−3.02¯6) 0.

(d) Das 95 %-Konﬁdenzintervall f¨ ur das Alter ist aufgrund der obigen Annahmen gegeben als ¯ − z0.975 · √σ , X ¯ + z0.975 · √σ ] [X n n

210

10. Testen von Hypothesen

und berechnet sich hier als [26 − 1.96 ·

3 3 , 26 + 1.96 · ] = [25.16 , 26.84]. 7 7

L¨ osung 10.9 (a) Sei X der Preis des Warenkorbs mit X ∼ N (μ, 225). Es soll H0 : μ ≤ 600 gegen H1 : μ > 600 getestet werden. Verwende dazu den Gaußtest (vgl. Abschnitt 10.1.3 in Fahrmeir et al., 2004) mit der Teststatistik Z=

¯ − 600 √ X 40. 15

H0 wird abgelehnt, falls z > z0.99 = 2.3263. Im vorliegenden Fall gilt z=

605 − 600 √ 40 = 2.108 < 2.3263, 15

d.h. H0 wird beibehalten. Der Preis des Warenkorbs hat sich also nicht signiﬁkant ver¨ andert. (b) Allgemein handelt es sich beim Fehler 2. Art um die Wahrscheinlichkeit, H0 beizubehalten, obwohl H1 zutriﬀt. Hier bedeutet dies, daß der Preis f¨ ur den Warenkorb tats¨ achlich gestiegen ist, w¨ahrend der Test f¨alschlicherweise H0 (Preis kleiner gleich 600 Euro) beibeh¨alt. F¨ ur die explizite Berechnung des Fehlers 2. Art muß die Verteilung von Z im Falle μ = 610 berechnet werden. Es gilt X ∼ N (610, 225) und damit 610 − 600 √ Z ∼N · 40, 1 ∼ N (4.216, 1). 15 Damit erh¨ alt man f¨ ur den Fehler 2. Art P (Z ≤ 2.3263|μ = 610) = = =

Φ 2.3263−4.216 1 Φ(−1.89) = 1 − Φ(1.89) 1 − 0.9706 = 0.0294.

(c) Es muß

605 − 600 √ · n > 2.3263 15 ¨ gelten. Aquivalentes Umformen dieser Bedingung liefert 1 √ n > 2.3263 3 · ⇔ n > 48.7. z=

Der Stichprobenumfang muß also mindestens n = 49 betragen.

10. Testen von Hypothesen

211

L¨ osung 10.10 Seien X1 , ..., Xn u.i.v. mit Xi ∼ B(1, π). Das statistische Testproblem ist gegeben als: H0 : π ≤ 0.5 gegen H1 : π > 0.5. Seien n=10 und der Ablehnbereich gegeben als C = {6, 7, ..., 10}. (a) Bei der Bestimmung der maximalen Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler wahr ist, ist folgende 1. Art, d.h. f¨ ur die Ablehnung von H0 , obwohl H0 ¨ Xi im AblehnungsUberlegung anzustellen:H0 wird abgelehnt, falls bereich liegt, also falls Xi ≥ 6, wobei 10

H

Xi ∼0 B(10, 0.5).

i=1

Damit berechnet man 10 P Xi ≥ 6|π ∈ H0

=

i=1

10 10 π k (1 − π)10−k k k=6

≤

=

10 10 0.5k (1 − 0.5)10−k k k=6 10 P Xi ≥ 6|0.5 i=1

=

1−P

=

1−P

10

Xi < 6|0.5

i=1 10

Xi ≤ 5|0.5

= 1 − 0.6230

i=1

=

0.377.

(b) Die Bestimmung der G¨ utefunktion erfordert die Berechnung folgender Wahrscheinlichkeit in Abh¨ angigkeit von π: 10 10 Xi ≥ 6|π = 1 − P Xi < 6|π g(π) = P i=1

= 1−P

10 i=1

Xi ≤ 5|π .

i=1

212

10. Testen von Hypothesen

Man erh¨ alt π g(π) π g(π) π g(π)

0 0.0000 0.35 0.0949 0.7 0.8497

0.05 0.0000 0.4 0.1662 0.75 0.9219

0.1 0.0001 0.45 0.2616 0.8 0.9672

0.15 0.0014 0.5 0.3770 0.85 0.9901

0.2 0.0064 0.55 0.5044 0.9 0.9984

0.25 0.0197 0.6 0.6331 0.95 0.9999

0.3 0.0473 0.65 0.7515

F¨ ur π > 0.5 beachte man bei der Berechnung: 10 10 P Xi ≥ 6|π = 1 − P Xi ≤ 5|π i=1

= 1−

1−P

i=1

= P

10 −

i=1 10

10 −

10

Xi ≤ 10 − 5 − 1|1 − π

Xi ≤ 4|1 − π .

i=1

Die Skizze der G¨ utefunktion hat folgende Gestalt, wobei die gepunktete Linie die maximale Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 1. Art anzeigt: g(π) 6 0.9984 0.8497 0.6331 0.3770 0.1662 0.0473

.......... .................................. .. ........ ....... ...... ...... . . . . ..... ..... .... .... .... . . .. ... ... ... ... . . .. ... ... ... ... . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ... .... . . . ... . .... ... . .... . ..... . . . . . . ...... ...... . . . . . . .... . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................

0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

π

L¨ osung 10.11 (a) Es handelt sich hier um einen Test auf den Anteil eines dichotomen Merkmals. Damit ist der Binomialtest geeignet. Das statistische Testproblem lautet hier: H0 : π ≤ 0.5 gegen H1 : π > 0.5. Als Testgr¨ oße verwendet man die Anzahl X der G¨aste, die ein Verbot begr¨ ußen. X ist unter H0 binomialverteilt mit den Parametern n = 15

10. Testen von Hypothesen

213

und π = 0.5. Große Werte der Testgr¨ oße X sprechen f¨ ur H1 und f¨ uhren somit zur Ablehnung von H0 . Zur Festlegung des Ablehnungbereichs ist die kleinste Zahl c gesucht, f¨ ur die folgende Bedingung gilt P (X > c|π0 = 0.5) ≤ α = 0.1. Dies ist gleichbedeutend mit P (X ≤ c|π0 = 0.5) ≥ 0.9. Aus der Tafel der Binomialverteilung (Fahrmeir et al., 2004, Tabelle B) bestimmt man

und

P (X ≤ 9|π0 = 0.5) =

0.8491 < 0.9

P (X ≤ 10|π0 = 0.5) =

0.9408 > 0.9.

Damit ist c = 10, und der Ablehnungsbereich C des Tests ist gegeben durch C = {x : x > 10} = {11, 12, 13, 14, 15}. (b) Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn H0 abgelehnt wird, obwohl H0 wahr ist. Zur Bestimmung der maximalen Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Eintreten des Fehlers 1. Art gen¨ ugt es, den ung¨ unstigsten Fall, d.h. π0 = 0.5 zu betrachten: P (X > 10|π0 = 0.5) = 1 − P (X ≤ 10|π0 = 0.5) = 1 − 0.9408 = 0.0592. Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Eintreten des Fehlers 1. Art ist also maximal 0.0592. Damit wird das Niveau des Tests nicht ausgesch¨opft. (c) Geht man davon aus, daß der wahre Anteil der G¨aste, die ein HandyVerbot begr¨ ußen w¨ urden, π = 0.45 ist, ergibt sich f¨ ur die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von H0 : P (X > 10|π = 0.45) = 1 − P (X ≤ 10|π = 0.45) = 1 − 0.9745 = 0.0255. (d) Der Wert neun liegt nicht im Ablehnungsbereich C des Tests. H0 kann also nicht verworfen werden. Der Wirt kann nicht davon ausgehen, daß der Anteil der G¨ aste, die ein Handy-Verbot begr¨ ußen w¨ urden, gr¨oßer als 50 % ist. (e) Geht man nun davon aus, daß der wahre Anteil der G¨aste, die ein HandyVerbot begr¨ ußen w¨ urden, π = 0.65 ist, ergibt sich mit Y = n − X f¨ ur die Wahrscheinlichkeit der Beibehaltung von H0 : P (X ≤ 10|π = 0.65) = = = =

P (n − X ≥ 5|π = 0.65) P (Y ≥ 5|πY = 0.35) 1 − P (Y ≤ 4|πY = 0.35) = 1 − 0.3519 0.6481.

214

10. Testen von Hypothesen

Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 2. Art ist also fast 65 %. Das Ergebnis “H0 wird beibehalten” ist demnach unter π = 0.65 nicht unwahrscheinlich und somit nicht besonders u ¨ berraschend. (f) Da hier nπ0 = n(1 − π0 ) = 15 · 0.5 = 7.5 > 5 ist, ist eine Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung m¨oglich. Genauer bedeutet dies a X ∼ N (nπ0 , nπ0 (1 − π0 )). Damit erh¨ alt man X − nπ0 a Z= ∼ N (0, 1). nπ0 (1 − π0 ) (f1) Der Test l¨ aßt sich also alternativ anhand der standardnormalverteilten Testgr¨ oße Z durchf¨ uhren, wobei H0 verworfen wird, falls z > z1−α bzw. falls x > nπ0 + nπ0 (1 − π0 ) · z1−α . Da hier α = 0.1 ist, ergibt sich mit z1−α = z0.9 = 1.29 die Entscheidungsregel: √ Verwirf H0 , falls x > 15 · 0.5 + 15 · 0.5 · 0.5 · 1.29 = 9.997. Damit ist der Ablehnungsbereich C = {x : x > 9.997} = {10, 11, 12, 13, 14, 15}. (f2) Die maximale Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 1. Art ist P (X > 9.997|π0 = 0.5) = 1 − P (X ≤ 9.997|π0) 9.997 − 7.5 ) = 1 − P (Z ≤ 1.936 = 1 − Φ(1.29) = 1 − 0.90 = 0.10. Das Niveau wird also hier voll ausgesch¨opft. (f3) F¨ ur π = 0.45 ergibt sich f¨ ur die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von H0 : P (X > 9.997|π = 0.45) = = = =

9.997 − 15 · 0.45 ) 1 − P (Z ≤ √ 15 · 0.45 · 0.55 3.247 1 − P (Z ≤ ) 1.927 1 − Φ(1.685) = 1 − 0.954 0.046.

(f4) Da 9 ∈ / C, kann H0 auch hier nicht verworfen werden.

10. Testen von Hypothesen

215

(f5) Geht man nun wieder davon aus, daß der wahre Anteil π = 0.65 ist, erh¨ alt man 9.997 − 15 · 0.65 ) P (X ≤ 9.997|π = 0.65) = Φ( √ 15 · 0.65 · 0.35 9.997 − 9.75 = Φ( ) 1.847 0.247 = Φ( ) = Φ(0.134) 1.847 = 0.552. Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 2. Art betr¨agt hier also fast 55 %, und damit kommt man zu derselben Interpretation des Ergebnisses wie beim exakten Binomialtest.

11 Spezielle Testprobleme

Aufgaben Aufgabe 11.1 Von einem Intelligenztest X ist bekannt, daß er normalverteilte Werte liefert und V ar(X) = 225 gilt. Zu testen ist aus einer Stichprobe vom Umfang n = 10 die Nullhypothese E(X) ≤ 110. (a) Welchen Ablehnungsbereich erh¨ alt man bei einem geeigneten Testverfahren? W¨ ahlen Sie dazu α=0.05. (b) Wie lautet die Testentscheidung, wenn x ¯ = 112 resultiert? (c) Wie groß ist der Fehler 2. Art, wenn der tats¨achliche Erwartungswert 120 betr¨ agt? (d) Welchen Ablehnungsbereich erh¨ alt man, wenn die Varianz nicht bekannt ist, daf¨ ur aber s2 = 230 berechnet wurde. Wird H0 abgelehnt? (L¨osung siehe Seite 225)

Aufgabe 11.2 In einer Untersuchung u ahrungsverhalten nehmen 32 zuf¨allig aus¨ ber das Ern¨ gew¨ ahlte Personen teil. Ein Aspekt der Untersuchung ist der Vergleich von ﬂeischloser und nicht ﬂeischloser Ern¨ ahrung. Dabei lautet die Forschungshypothese, daß Personen mit ﬂeischloser Ern¨ ahrung im Mittel weniger Kalorien am Tag zu sich nehmen als Menschen, die sich nicht ﬂeischlos ern¨ahren. Von den 32 Personen in der Stichprobe ern¨ ahren sich 12 ﬂeischlos. F¨ ur diese Gruppe ergibt sich ein Stichprobenmittelwert von x¯1 = 1780 Kalorien pro Tag, w¨ ahrend die 20 Personen in der Stichprobe, die sich nicht ﬂeischlos ern¨ahren, im Mittel x ¯2 = 1900 Kalorien zu sich nehmen. Außerdem ergeben sich die zugeh¨ origen gesch¨ atzten Standardabweichungen als s1 = 230 und s2 = 250. Man kann davon ausgehen, daß die Kalorienmenge, die eine Person am Tag zu sich nimmt, eine normalverteilte Zufallsgr¨ oße ist. Außerdem nimmt man an, daß die Varianz dieser Zufallsgr¨ oße bei Personen mit ﬂeischloser Ern¨ahrung mit der bei Personen mit nicht ﬂeischloser Ern¨ahrung u ¨ bereinstimmt.

218

11. Spezielle Testprobleme

¯ ein geeigneter Punktsch¨atzer? (a) F¨ ur welchen Parameter ist die Statistik X Welche Eigenschaften besitzt dieser Sch¨ atzer in diesem Fall? (b) Berechnen Sie jeweils ein 95 % Konﬁdenzintervall f¨ ur die durchschnittliche Kalorienmenge f¨ ur die beiden Gruppen. (c) Wie beurteilen Sie die obige Forschungshypothese aufgrund der in (a) berechneten Konﬁdenzintervalle? ¨ (d) Welcher Test w¨ are zur Uberpr¨ ufung der Forschungshypothese geeignet? Begr¨ unden Sie Ihre Wahl ausf¨ uhrlich, und f¨ uhren Sie den Test zum Niveau α = 0.05 durch. (L¨osung siehe Seite 226)

Aufgabe 11.3 Der Kinderschutzbund f¨ uhrt eine Untersuchung zur Situation von Pﬂegekindern durch. Dabei interessiert vor allem, ob das Pﬂegekind in einer Familie mit weiteren Kindern im Mittel besser integriert wird als bei Pﬂegeeltern ohne eigene Kinder. An der Studie nehmen acht Pﬂegeeltern teil, die auch eigene Kinder haben, und sechs Pﬂegeltern, die keine eigenen Kinder besitzen. Mit Hilfe eines Fragebogens wird ein Integrationsscore ermittelt, der umso h¨ohere Werte annimmt, je besser das Pﬂegekind in die Familie integriert wird. Folgende Scores wurden ermittelt: Pﬂegeeltern mit eigenen Kindern xi ohne eigene Kinder yj

8 12

13 9

16 13

Scores 20 24 11 19

17 15

18

25

(a) Sie m¨ ochten die obige Fragestellung mit einem statistischen Test u ¨berpr¨ ufen. Welcher Test ist dazu geeignet? (Normalverteilungsannahme ist hier nicht gegeben!) Begr¨ unden Sie kurz Ihre Wahl. ¨ (b) Uberpr¨ ufen Sie die obige Fragestellung mit dem von Ihnen in (a) genannten Test zum Niveau α = 0.1. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. (L¨osung siehe Seite 227)

Aufgabe 11.4 Wie lauten Annahme- und Ablehnungsbereich der Tests in Aufgabe 10.7 und 10.9, wenn die Standardabweichungen σ unbekannt sind. Gehen Sie jeweils von einer beobachteten empirischen Standardabweichung von s = 15 aus. Bestimmen Sie f¨ ur Aufgabe 10.9 auch den p-Wert. (L¨osung siehe Seite 227)

11. Spezielle Testprobleme

219

Aufgabe 11.5 Mendel erhielt bei einem seiner Kreuzungsversuche von Erbsenpﬂanzen folgende Werte: 315 runde gelbe Erbsen, 108 runde gr¨ une Erbsen, 101 kantige gelbe Erbsen, 32 kantige gr¨ une Erbsen. Sprechen diese Beobachtungen f¨ ur oder gegen die Theorie, daß das Verh¨altnis der 4 Sorten 9:3:3:1 sein m¨ ußte (α = 0.05)? (L¨osung siehe Seite 228)

Aufgabe 11.6 F¨ ur den Tagesabsatz an Normalbenzin einer Selbstbedienungstankstelle an 240 Werktagen ergab sich folgende Tabelle: Tagesabsatz (in 1000 Litern) bis 7 bis 8 bis 9 bis 10

Anzahl der Werktage 32 120 211 240

Man pr¨ ufe die Hypothese, der Tagesabsatz an Normalbenzin besitze die Dichtefunktion ⎧ 1 f¨ ur 6 ≤ x ≤ 8 ⎨ 4 x − 32 f (x) = − 41 x + 52 f¨ ur 8 ≤ x ≤ 10 ⎩ 0 sonst (Dreiecksverteilung) zu einem Signiﬁkanzniveau von α = 0.05. (L¨osung siehe Seite 229)

Aufgabe 11.7 In einer empirischen Studie zum Rauchverhalten wurden 10 Raucher befragt, wieviele Zigaretten sie durchschnittlich pro Tag rauchen. Es wurden folgende Angaben gemacht: 26

34

5

20

50

44

18

39

29

19.

¨ (a) Uberpr¨ ufen Sie anhand des Vorzeichen-Tests zum Niveau α = 0.1, ob der Median der Anzahl der gerauchten Zigaretten gr¨oßer ist als 25. ¨ (b) Uberpr¨ ufen Sie die Hypothese aus (a) auch mit Hilfe des WilcoxonVorzeichen-Rang-Tests zum Niveau α = 0.1.

220

11. Spezielle Testprobleme

(c) Nehmen Sie nun an, daß f¨ ur die durchschnittliche Anzahl der gerauchten Zigaretten pro Tag eine Normalverteilung unterstellt werden kann. F¨ uhren Sie zum Niveau α = 0.1 einen geeigneten parametrischen Test durch. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit denen aus (a) und (b). (L¨osung siehe Seite 230) Aufgabe 11.8 In einer Universit¨ atsklinik wird eine umfangreiche Studie u ¨ber Behandlungsverfahren bei Patienten mit chronischen Schmerzen durchgef¨ uhrt. Dazu wird u.a. der Beﬁndlichkeitszustand der Patienten zu verschiedenen Zeitpunkten der Behandlung mit Hilfe eines Fragebogens erhoben. Erfaßt wird beispielsweise die H¨ auﬁgkeit und Intensit¨ at des Auftretens der Schmerzen und der psychische Zustand der Patienten. Aus all diesen Variablen wird ein standardisierter Score gebildet, der ein Maß f¨ ur die Beﬁndlichkeit darstellt. Im Rahmen der Studie soll nun getestet werden, ob davon ausgegangen werden kann, daß der Beﬁndlichkeitsscore eine standardnormalverteilte Zufallsgr¨ oße ist. In einer Stichprobe von 50 Patienten ergab sich f¨ ur den Beﬁndlichkeitsscore folgende gruppierte H¨ auﬁgkeitsverteilung: i 1 2 3 4 5

Klasse Ki [−2.5, −1.5) [−1.5, −0.5) [−0.5, 0.5) [0.5, 1.5) [1.5, 2.5)

absolute H¨auﬁgkeit 6 10 5 7 22

(a) Zeichnen Sie ein Histogramm f¨ ur die Verteilung des Beﬁndlichkeitsscores in der Stichprobe zu der oben angegebenen Klasseneinteilung. Beurteilen Sie aufgrund des Histogramms die Hypothese, daß der Score standardnormalverteilt ist. (b) F¨ uhren Sie f¨ ur die obige Fragestellung den χ2 -Anpassungstest zum Niveau α = 0.05 und der Klasseneinteilung: (−∞, −1.5),

[−1.5, −0.5),

[−0.5, 0.5),

[0.5, 1.5),

[1.5, ∞)

durch. Formulieren Sie dazu zun¨ achst das statistische Testproblem. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. (L¨osung siehe Seite 231) Aufgabe 11.9 Auf zwei Maschinen A und B wird Tee abgepackt. Auf Stichprobenbasis soll nachgewiesen werden, daß die Maschine A mit einem gr¨oßeren durchschnittlichen F¨ ullgewicht arbeitet als die Maschine B (α = 0.01).

11. Spezielle Testprobleme

221

(a) Man weiß, daß die F¨ ullgewichte der beiden Maschinen ann¨ahernd nor2 2 = 49 g2 und σB = 25 g2 . Eine Zufallsstichprobe malverteilt sind mit σA vom Umfang nA = 12 aus der Produktion der Maschine A liefert ein durchschnittliches F¨ ullgewicht von x ¯A = 140 g. Eine Zufallsstichprobe aus der Produktion der Maschine B vom Umfang nB = 10 ergibt ein durchschnittliches F¨ ullgewicht von x ¯B = 132 g. Man f¨ uhre einen geeigneten Test durch. (b) Die Varianzen seien nun unbekannt, aber man kann davon ausgehen, daß sie gleich sind. Man erh¨ alt als Sch¨ atzungen der Standardabweichungen uhre mit den Resultaten aus (a) einen sA = 5 und sB = 4.5. Man f¨ geeigneten Test durch. (L¨osung siehe Seite 233)

Aufgabe 11.10 Nach einem Schlaganfall ist die Motorik der Patienten h¨auﬁg erheblich gest¨ ort. In einem großen REHA-Zentrum beﬁndet sich eine neue REHAMaßnahme zur Verbesserung der Feinmotorik in der Entwicklung. Die Feinmotorik soll mittels zehn verschiedener Geschicklichkeits¨ ubungen gemessen werden, die die Patienten sowohl vor als auch nach der REHA-Maßnahme absolvieren m¨ ussen. Es werden jeweils die als erfolgreich eingestuften Aufgaben gez¨ ahlt. Von Interesse ist zu erfahren, ob die Patienten nach der REHAMaßnahme tats¨ achlich bessere motorische F¨ ahigkeiten haben. ¨ Uberpr¨ ufen Sie diese Frage mittels eines geeigneten statistischen Tests zum Niveau α = 0.05 (Annahme der Normalverteilung ist hier nicht gegeben) anhand der f¨ ur elf zuf¨ allig ausgew¨ ahlte Schlaganfallpatienten ermittelten An¨ zahlen an erfolgreich absolvierten Ubungen: Patient vor REHA nach REHA

1 7 5

2 4 4

3 7 8

4 3 1

5 3 9

6 3 7

7 5 5

8 2 1

9 7 10

10 3 1

11 2 7

(L¨osung siehe Seite 234)

Aufgabe 11.11 Bei f¨ unf Personen wurde der Hautwiderstand jeweils zweimal gemessen, einmal bei Tag (X) und einmal bei Nacht (Y ). Man erhielt f¨ ur das metrische Merkmal Hautwiderstand folgende Daten Xi Yi

24 28 21 27 20 25 15 22

23 18

222

11. Spezielle Testprobleme

(a) Die Vermutung in Forscherkreisen geht dahin, daß der Hautwiderstand nachts absinkt. L¨ aßt sich diese Vermutung durch die vorliegende Untersuchung erh¨ arten? Man teste einseitig mit einem verteilungsfreien Verfahren (α = 0.05). (b) Man u ufe die Nullhypothese aus (a), wenn bekannt ist, daß der ¨berpr¨ Hautwiderstand normalverteilt ist. (L¨osung siehe Seite 235)

Aufgabe 11.12 100 zuf¨ allig ausgew¨ ahlte Studenten der LMU M¨ unchen wurden im Dezember 1997 nach ihrem Studienfach und nach ihrer Einstellung zum Studentenstreik befragt. Dabei ergaben sich folgende H¨ auﬁgkeiten: Einstellung Studienfach Naturwissenschaften Geisteswissenschaften