Bruchmechanik: Mit einer Einführung in die Mikromechanik, 5. Auflage

Bruchmechanik

Dietmar Gross • Thomas Seelig

Bruchmechanik Mit einer Einführung in die Mikromechanik 5., erweiterte Auflage

1C

Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross Festkörpermechanik Technische Universität Darmstadt Hochschulstraße 1 64289 Darmstadt [email protected]

Prof. Dr.-Ing. Thomas Seelig Institut für Mechanik Universität Karlsruhe (KIT) Kaiserstraße 12 76131 Karlsruhe [email protected]

ISBN 978-3-642-10195-3 e-ISBN 978-3-642-10196-0 DOI 10.1007/978-3-642-10196-0 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1992, 1996, 2001, 2007, 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: eStudio Calamar S.L. Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort zur fu ¨ nften Auflage Dieses Buch ist aus Vorlesungen u ¨ber Bruchmechanik und Mikromechanik hervorgegangen, die wir f¨ ur H¨orer aus den Ingenieur- und den Naturwissenschaften halten. Sein Ziel ist es, den Studierenden eine Hilfe beim Erlernen der Grundlagen dieser F¨acher zu bieten. Zugleich soll es dem Fachmann in der Industrie den Einstieg in diese Gebiete erm¨oglichen und ihm das R¨ ustzeug zur Behandlung entsprechender Fragestellungen zur Verf¨ ugung stellen. Das Buch u uhrt in die ¨berdeckt die wichtigsten Teile der Bruchmechanik und f¨ Mikromechanik ein. Dabei kam es uns darauf an, die wesentlichen Grundgedanken und Methoden sauber darzustellen, um damit ein tragf¨ahiges Fundament f¨ ur ein weiteres Eindringen in diese Gebiete zu schaffen. Im Vordergrund steht die Beschreibung von Bruchvorg¨angen mit Hilfe der Mechanik, wobei aber auch werkstoffkundliche und materialspezifische Aspekte gestreift werden. Inhaltlich werden zun¨achst die kontinuumsmechanischen und ph¨anomenologischen Grundlagen zusammengestellt. Es folgt ein Einblick in die klassischen Bruch- und Versagenshypothesen. Ein betr¨achtlicher Teil des Buches ist dann der linearen Bruchmechanik und der elastisch-plastischen Bruchmechanik gewidmet. Weitere Kapitel befassen sich mit der Kriechbruchmechanik sowie der Bruchdynamik. In einem umfangreicheren Kapitel werden die Grundlagen der Mikromechanik und Homogenisierung bereitgestellt. Schließlich werden noch Elemente der Sch¨adigungsmechanik und der probabilistischen Bruchmechanik abgehandelt. In den ersten beiden Auflagen umfasste das Werk ausschließlich die Bruchmechanik. Ab der dritten Auflage wurde der Inhalt auf die Mikromechanik ausgeweitet. Sie hat aufgrund der zunehmenden Verkn¨ upfung von bruch- und sch¨adigungsmechanischen Fragestellungen mit mikromechanischen Modellierungen eine besondere Bedeutung erfahren. Die vorliegende Neuauflage haben wir genutzt, um eine Reihe weiterer Erg¨anzungen vorzunehmen. Aufgegriffen haben wir unter anderen Themen wie die Rissinitiierung an Kerben, Koh¨asivzonenmodelle, den Peel-Test, die Fragmentierung oder die Verzerrungslokalisierung bei der duktilen ¨ Sch¨adigung. Zu einigen Kapiteln haben wir daneben Ubungsaufgaben angef¨ ugt. Gedankt sei an dieser Stelle allen, die zur Entstehung dieses Buches beigetragen haben. Eingeschlossen sind auch die, von denen wir selbst gelernt haben. Wie sagt es Roda Roda so sch¨on ironisch: “Aus vier B¨ uchern abzuschreiben ergibt ein f¨ unftes gelehrtes Buch”. Danken m¨ochten wir auch Frau Dipl.-Ing. Heike Herbst f¨ ur die Anfertigung der meisten Zeichnungen. Nicht zuletzt sei dem Verlag f¨ ur die gute Zusammenarbeit gedankt. Darmstadt und Karlsruhe im Januar 2011

Dietmar Gross Thomas Seelig

Inhaltsverzeichnis

Einf¨ uhrung

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1 Einige Grundlagen der Festk¨ orpermechanik 1.1 Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Spannungsvektor . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . 1.2 Deformation und Verzerrung . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Verzerrungstensor . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Verzerrungsgeschwindigkeit . . . . . . . . 1.3 Stoffgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Elastizit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Viskoelastizit¨at . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Plastizit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Energieprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Prinzip der virtuellen Arbeit . . . . . . . . 1.4.3 Satz von Clapeyron, Satz von Betti . . . . 1.5 Ebene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Lineare Elastizit¨at, Komplexe Methode . . 1.5.3 Idealplastisches Material, Gleitlinienfelder 1.6 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Klassische Bruch- und Versagenshypothesen 2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Versagenshypothesen . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Hauptspannungshypothese . . . . . . . 2.2.2 Hauptdehnungshypothese . . . . . . . 2.2.3 Form¨anderungsenergiehypothese . . . . 2.2.4 Coulomb-Mohr Hypothese . . . . . . . 2.2.5 Drucker-Prager-Hypothese . . . . . . . 2.3 Deformationsverhalten beim Versagen . . . . . ¨ 2.4 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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VIII 3 Ursachen und Erscheinungsformen des Bruchs 3.1 Mikroskopische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Ober߬achenenergie, Theoretische Festigkeit 3.1.2 Mikrostruktur und Defekte . . . . . . . . . 3.1.3 Rissbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Perkolation . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Makroskopische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Rissausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Brucharten . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Lineare Bruchmechanik 4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Das Rissspitzenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Zweidimensionale Rissspitzenfelder . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Modus I Rissspitzenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Dreidimensionales Rissspitzenfeld . . . . . . . . . . . . . . 4.3 K-Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 K-Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Integralgleichungsformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Methode der Gewichtsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Risswechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5 Spannungsintensit¨atsfaktoren und Kerbfaktoren . . . . . . 4.5 Die Bruchz¨ahigkeit KIc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Energiefreisetzung beim Rissfortschritt . . . . . . . . . . . 4.6.2 Energiefreisetzungsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Nachgiebigkeit, Energiefreisetzungsrate und K–Faktoren . 4.6.4 Energiesatz, Griffithsches Bruchkriterium . . . . . . . . . . 4.6.5 J-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Kleinbereichsfließen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Gr¨oße der plastischen Zone, Irwinsche Rissl¨angenkorrektur 4.7.2 Qualitative Bemerkungen zur plastischen Zone . . . . . . . 4.8 Stabiles Risswachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Gemischte Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Rissinitiierung an L¨ochern und Kerben . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Erm¨ udungsrisswachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12 Der Grenzfl¨achenriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 Piezoelektrische Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13.2 Der Riss im ferroelektrischen Material . . . . . . . . . . . ¨ 4.14 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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IX 4.15 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5 Elastisch-plastische Bruchmechanik 5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Dugdale Modell . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Koh¨asivzonenmodelle . . . . . . . . . . . 5.4 Rissspitzenfeld . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Idealplastisches Material . . . . . 5.4.2 Deformationstheorie, HRR−Feld 5.5 Bruchkriterium . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Bestimmung von J . . . . . . . . . . . . 5.7 Bestimmung von Jc . . . . . . . . . . . . 5.8 Risswachstum . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1 J–kontrolliertes Risswachstum . . 5.8.2 Stabiles Risswachstum . . . . . . 5.8.3 Station¨ares Risswachstum . . . . 5.9 Konzept der wesentlichen Brucharbeit . . ¨ 5.10 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . 5.11 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Kriechbruchmechanik 6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Bruch von linear viskoelastischen Materialien . . . . . . . . . . 6.2.1 Rissspitzenfeld, elastisch-viskoelastische Analogie . . . 6.2.2 Bruchkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Risswachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Kriechbruch von nichtlinearen Materialien . . . . . . . . . . . 6.3.1 Sekund¨ares Kriechen, Stoffgesetz . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Station¨arer Riss, Rissspitzenfeld, Belastungsparameter 6.3.3 Kriechrisswachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 Dynamische Probleme der Bruchmechanik 7.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Einige Grundlagen der Elastodynamik . . . . . . . . . . . 7.3 Dynamische Belastung des station¨aren Risses . . . . . . . 7.3.1 Rissspitzenfeld, K-Konzept . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Energiefreisetzungsrate, energetisches Bruchkonzept 7.3.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Der laufende Riss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Rissspitzenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Energiefreisetzungsrate . . . . . . . . . . . . . . . .

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X 7.4.3

Bruchkonzept, Rissarrest . . 7.4.4 Beispiele . . . 7.5 Fragmentierung . . . 7.6 Literatur . . . . . . .

Rissgeschwindigkeit, Rissverzweigung, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8 Mikromechanik und Homogenisierung 8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Ausgew¨ahlte Defekte und Grundl¨osungen . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Eigendehnungen, Eshelby-L¨osung, Defekt-Energien . . . . 8.2.2 Inhomogenit¨aten, ¨aquivalente Eigendehnung . . . . . . . . 8.3 Effektive elastische Materialeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Grundlagen; RVE-Konzept, Mittelungen . . . . . . . . . . 8.3.2 Analytische N¨aherungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Energieprinzipien und Schranken . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Homogenisierung elastisch-plastischer Materialien . . . . . . . . . 8.4.1 Grundlagen; plastische Makroverzerrungen, Fließbedingung 8.4.2 N¨aherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Thermoelastisches Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 8.6 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9 Sch¨ adigung 9.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Spr¨ode Sch¨adigung . . . . . . . . . . . . . 9.4 Duktile Sch¨adigung . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Porenwachstum . . . . . . . . . . . 9.4.2 Sch¨adigungsmodelle . . . . . . . . . 9.4.3 Bruchkonzept . . . . . . . . . . . . 9.5 Entfestigung und Verzerrungslokalisierung 9.6 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10 Probabilistische Bruchmechanik 10.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Statistisches Bruchkonzept nach Weibull . 10.3.1 Bruchwahrscheinlichkeit . . . . . . 10.3.2 Bruchspannung . . . . . . . . . . . 10.3.3 Verallgemeinerungen . . . . . . . . 10.4 Probabilistische bruchmechanische Analyse 10.5 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Sachverzeichnis

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Einfu ¨ hrung

Unter Bruch versteht man die vollst¨andige oder teilweise Trennung eines urspr¨ unglich ganzen K¨orpers. Die Beschreibung entsprechender Ph¨anomene ist Gegenstand der Bruchmechanik. Von Interesse f¨ ur den Ingenieur ist dabei in erster Linie die Betrachtung der Vorg¨ange aus makroskopischer Sicht. Hierf¨ ur hat sich die Kontinuumsmechanik als Werkzeug bestens bew¨ahrt. Mit ihrer Hilfe k¨onnen Bruchkriterien und Konzepte erstellt werden, die eine Vorhersage des Verhaltens erm¨oglichen. In der Regel erfolgt die Trennung des K¨orpers, indem sich ein oder mehrere Risse durch das Material fortpflanzen. Die Bruchmechanik befasst sich deshalb in starkem Maße mit dem Verhalten von Rissen. Risse unterschiedlicher Gr¨oßenordnung oder Defekte, die zu Rissen f¨ uhren, sind in einem realen Material fast immer vorhanden. Eine der Fragen, deren Beantwortung die Bruchmechanik erm¨oglichen soll, lautet: breitet sich ein Riss in einem K¨orper bei einer bestimmten Belastung aus und f¨ uhrt damit zum Bruch oder nicht? Andere sind die nach der Rissentstehung, nach der Bahn eines sich ausbreitenden Risses oder nach der Geschwindigkeit mit der die Ausbreitung erfolgt. Zur Beschreibung des mechanischen Verhaltens von Festk¨orpern verwendet die Kontinuumsmechanik Gr¨oßen wie Spannungen und Verzerrungen. Diese sind allerdings nicht immer unmittelbar f¨ ur die Beschreibung von Bruchvorg¨angen geeignet. Dies liegt zum einen daran, dass diese Gr¨oßen an der Rissspitze unbeschr¨ankt groß werden k¨onnen. Zum anderen kann man dies schon alleine aus der Tatsache folgern, dass sich zwei Risse unterschiedlicher L¨ange auch dann unterschiedlich verhalten werden, wenn sie der gleichen Belastung ausgesetzt sind. Bei einer Laststeigerung wird sich der l¨angere Riss bereits bei einer geringeren Last ausbreiten, als der k¨ urzere. Aus diesem Grund f¨ uhrt man in der Bruchmechanik zus¨atzliche Gr¨oßen ein, wie zum Beispiel Spannungsintensit¨atsfaktoren oder die Energiefreisetzungsrate, welche den lokalen Zustand an der Rissspitze bzw. das globale Verhalten des Risses bei der Ausbreitung charakterisieren. F¨ ur das Verstehen von Bruchvorg¨angen ist eine zumindest teilweise Einsicht in die mikroskopischen Mechanismen n¨ utzlich. So macht zum Beispiel ein Blick in die Mikrostruktur verst¨andlich, wie ein Materialdefekt sich soweit vergr¨oßert, bis man ihn als makroskopischen Riss ansehen kann. Mit der Bedeutung der Mikromechanismen ist auch die wichtige Rolle zu erkl¨aren, welche die Werkstoffwissenschaften und die Materialphysik bei der Entwicklung der Bruchmechanik gespielt haben und weiterhin spielen werden. In zunehmenden Maße werden heute die mikroskopischen Prozesse mechanisch modelliert und mit Hilfe von Kon-

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Einf¨ uhrung

tinuumstheorien erfasst. Spezialgebiete, wie die Sch¨adigungsmechanik oder die Mikromechanik sind aus diesen Bem¨ uhungen entstanden und stellen inzwischen wichtige Werkzeuge in der Bruchmechanik dar. So bildet die Mikromechanik den theoretischen Rahmen zur systematischen Behandlung von Defekten und ihrer Auswirkung auf unterschiedlichen Gr¨oßenskalen. Die Bruchmechanik kann nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt werden. H¨aufig unterscheidet man die lineare Bruchmechanik von der nichtlinearen Bruchmechanik. Die erste beschreibt Bruchvorg¨ange mit Hilfe der linearen Elastizit¨atstheorie. Hiermit kann insbesondere der spr¨ode Bruch erfasst werden, weshalb die lineare Bruchmechanik auch als Spr¨odbruchmechanik bezeichnet wird. In der nichtlinearen Bruchmechanik werden Bruchvorg¨ange beschrieben, die wesentlich durch ein inelastisches Materialverhalten gepr¨agt sind. Je nachdem, ob sich das Material elastisch–plastisch verh¨alt oder viskose Effekte eine Rolle spielen, kann man dabei noch in elastisch–plastische Bruchmechanik und in Kriechbruchmechanik untergliedern. Eine andere Einteilung orientiert sich am betrachteten Material. So unterscheidet man verschiedentlich eine Bruchmechanik von metallischen Werkstoffen, mineralischen Werkstoffe oder Kompositwerkstoffen. Werden im Gegensatz zur deterministischen Beschreibung von Bruchvorg¨angen statistische Methoden herangezogen, so spricht man von statistischer Bruchmechanik. Die Geschichte der Bruchmechanik reicht in ihren Wurzeln bis zu den Anf¨angen ¨ der Mechanik zur¨ uck. Schon Galileo Galilei (1564-1642) hat 1638 Uberlegungen zum Bruch von Balken angestellt, die ihn zu dem Schluss f¨ uhrten, dass hierbei das Moment das entscheidende Maß f¨ ur die Beanspruchung ist. Mit der Entwicklung der Kontinuumsmechanik im 19. Jahrhundert kam es zur Aufstellung einer Reihe verschiedener Festigkeitshypothesen, die zum Teil noch heute als Bruchkriterien Verwendung finden. In ihnen werden Spannungen oder Verzerrungen zur Charakterisierung der Materialbeanspruchung herangezogen. Entsprechende Bem¨ uhungen erfolgten seit Anfang dieses Jahrhunderts insbesondere im Zusammenhang mit der Entwicklung der Plastizit¨atstheorie. Im Jahre 1920 legte A.A. Griffith (1893–1963) einen ersten Grundstein f¨ ur eine Bruchtheorie von Rissen, indem er die f¨ ur den Rissfortschritt erforderliche Energie in die Beschreibung einf¨ uhrte und damit das energetische Bruchkonzept schuf. Ein weiterer Meilenstein war die 1939 von W. Weibull (1887-1979) entwickelte statistische Theorie des Bruchs. Der eigentliche Durchbruch gelang aber erst 1951 G.R. Irwin (1907-1998), der zum erstenmal den Rissspitzenzustand mit Hilfe von Spannungsintensit¨atsfaktoren charakterisierte. Das daraus folgende K–Konzept der linearen Bruchmechanik fand rasch Eingang in die praktische Anwendung und ist inzwischen fest etabliert. Seit Anfang der 60er Jahre wird an Problemen der elastisch–plastischen Bruchmechanik sowie weiterer Teilgebiete gearbeitet. Eine verst¨arkte Einbindung der Sch¨adigungsmechanik und der Mikromechanik erfolgt seit dem vergangenen Jahrzehnt. Trotz großer Fortschritte ist die Bruchmechanik ein noch l¨angst nicht abgeschlossenes Gebiet sondern nach wie vor Gegenstand intensiver Forschung. In starkem Maße angetrieben wurde und wird die Entwicklung der Bruchme-

Einf¨ uhrung

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chanik aus dem Bestreben, Schadensf¨alle an technischen Konstruktionen und Bauteilen zu vermeiden. Dementsprechend wird sie als Werkzeug u ¨berall dort angewendet, wo Bruch und ein damit verbundenes Versagen mit schwerwiegenden oder gar katastrophalen Folgen nicht eintreten darf. Typische Einsatzgebiete finden sich in der Luft- und Raumfahrt, der Mikrosystemtechnik, der Reaktortechnik, dem Beh¨alterbau, dem Fahrzeugbau oder dem Stahl- und Massivbau. Daneben wird die Bruchmechanik in vielen anderen Gebieten zur L¨osung von Problemen verwendet, wo Trennprozesse eine Rolle spielen. Beispiele hierf¨ ur sind die Zerkleinerungstechnik, die Geomechanik und die Materialwissenschaften.

1 Einige Grundlagen der Festk¨ orpermechanik

In diesem Kapitel sind einige wichtige Begriffe, Konzepte und Gleichungen der Festk¨orpermechanik zusammengestellt. Es versteht sich, dass diese Darstellung nicht vollst¨andig sein kann und sich nur auf das Notwendigste beschr¨ankt. Der Leser, der sich ausf¨ uhrlicher informieren m¨ochte, sei auf die Spezialliteratur verwiesen; einige Angaben hierzu finden sich am Ende des Buches. Wie der Name schon andeutet, verfolgt die Festk¨orpermechanik das Ziel, das mechanische Verhalten von festen K¨orpern einer Analyse zug¨anglich zu machen. Sie basiert auf der Idealisierung des in Wirklichkeit diskontinuierlichen Materials als ein Kontinuum. Seine Eigenschaften sowie die mechanischen Gr¨oßen k¨onnen damit durch im allgemeinen stetige Funktionen beschrieben werden. Es ist klar, dass die darauf aufbauende Theorie ihre Grenzen dort hat, wo der diskontinuierliche Charakter des Materials eine Rolle spielt. So sind Begriffe wie Spannungen und Verzerrungen nur dann physikalisch sinnvoll anwendbar, wenn sie auf Bereiche bezogen sind, die hinreichend groß im Vergleich zu den charakteristischen Abmessungen der vorhandenen Inhomogenit¨aten sind (zum Beispiel bei makroskopischen Bauteilen aus polykristallinen Werkstoffen groß gegen¨ uber der Korngr¨oße). Hierauf ist insbesondere bei der Anwendung der Kontinuumsmechanik auf mikroskopische Bereiche zu achten. Die Darstellung erfolgt im wesentlichen in kartesischen Koordinaten unter Verwendung der Indexschreibweise bzw. der symbolischen Notation. Sie beschr¨ankt sich außerdem meist auf isotrope Materialien sowie auf kleine (infinitesimale) Deformationen.

1.1 1.1.1

Spannung Spannungsvektor

Wirken auf einen K¨orper ¨außere Kr¨afte (Volumenkr¨afte f , Oberfl¨achenkr¨afte t), so werden hierdurch verteilte innere Kr¨afte - die Spannungen - hervorgerufen. Um sie zu definieren, denken wir uns den K¨orper im augenblicklichen (deformierten) Zustand durch einen Schnitt getrennt (Bild 1.1a), u ¨ber welchen die beiden Teilk¨orper durch entgegengesetzt gleich große Fl¨achenlasten aufeinander einwirken. Ist ΔF die Kraft auf ein Fl¨achenelement ΔA der Schnittfl¨ache, so beschreibt der Quotient ΔF /ΔA die mittlere Fl¨achenbelastung f¨ ur dieses Element. Den Grenzwert ΔF dF t = lim = (1.1) ΔA→0 ΔA dA

D. Gross, T. Seelig, Bruchmechanik, DOI 10.1007/978-3-642-10196-0_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

6

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

bezeichnet man als Spannungsvektor in einem Punkt der Schnittfl¨ache. Seine Komponente σ = t · n in Richtung des Normaleneinheitsvektors n (senkrecht √ zum Fl¨achenelement dA) heißt Normalspannung; die Komponente τ = t2 − σ 2 senkrecht zu n (tangential zum Fl¨achenelement dA) nennt man Schubspannung (Bild 1.1b). Der Spannungsvektor t in einem Punkt h¨angt von der Orientierung des Schnittes, das heißt vom Normalenvektor n ab: t = t(n). Wir betrachten zun¨achst drei Schnitte senkrecht zu den Koordinatenachsen x1 , x2 , x3 , denen die Spannungsvektoren t1 , t2 , t3 zugeordnet sind (Bild 1.1c). Ihre kartesischen Komponenten werden mit σij bezeichnet, wobei die Indizes i, j die Zahlen 1, 2, 3 annehmen k¨onnen. Der erste Index kennzeichnet die Orientierung des Schnittes (Richtung der Normale), w¨ahrend durch den zweiten Index die Richtung der Komponente zum Ausdruck kommt. Danach sind σ11 , σ22 , σ33 Normalspannungen und σ12 , σ23 etc. Schubspannungen. Es sei angemerkt, dass es manchmal zweckm¨aßig ist eine andere Notation zu verwenden. Unter Bezug auf die Koordinaten x,y,z bezeichnet man die Normalspannungen h¨aufig mit σx , σy , σz und die Schubspannungen mit τxy , τyz etc. x3

t

τ

σ31

t dA

n

dA

n

σ33 σ32

σ13

σ

σ11 σ12

σ23

t2

σ21

σ22

x2

x1 a)

b)

c)

Bild 1.1 Spannungsvektor F¨ ur das Vorzeichen von Spannungen gilt folgende Vereinbarung: Komponenten sind positiv, wenn sie an einer Schnittfl¨ache, deren Normalenvektor in positive (negative) Koordinatenrichtung zeigt, in positive (negative) Richtung wirken. Mittels der Komponenten l¨asst sich zum Beispiel der Spannungsvektor t2 in der Form t2 = σ21 e1 + σ22 e2 + σ23 e3 = σ2i ei ausdr¨ ucken. Analog gilt t1 = σ1i ei oder allgemein tj = σji ei . (1.2) Darin sind e1 , e2 , e3 die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinaten x1 , x2 , x3 . Außerdem wurde Gebrauch von der Einsteinschen Summationsvereinbarung gemacht. Danach ist u ¨ ber einen Ausdruck zu summieren, wenn in ihm ein und derselbe Index doppelt vorkommt; der betreffende Index durchl¨auft dabei der Reihe nach die Werte 1, 2, 3.

7

Spannung

1.1.2

Spannungstensor

Die neun skalaren Gr¨oßen σij sind die kartesischen Komponenten des Cauchyschen Spannungstensors σ (A.L. Cauchy, 1789-1857). Man kann ihn in Form der Matrix ⎞ ⎛ σ11 σ12 σ13 (1.3) σ = ⎝ σ21 σ22 σ23 ⎠ σ31 σ32 σ33 darstellen. Durch den Spannungstensor ist der Spannungszustand in einem Punkt, d.h. der Spannungsvektor f¨ ur jeden beliebigen Schnitt durch den Punkt, eindeutig bestimmt. Um dies zu zeigen, betrachten wir das infinitesimale Tetraeder nach Bild 1.2a. Die Orientierung der Fl¨ache dA ist durch den Normalenvektor n bzw. durch seine Komponenten ni gegeben. Das Kr¨aftegleichgewicht liefert dann zun¨achst t dA = t1 dA1 + t2 dA2 + t3 dA3 (etwaige Volumenkr¨afte sind von h¨oherer Ordnung klein). Mit t = ti ei , dAj = dAnj und (1.2) erh¨alt man daraus ti = σij nj

bzw.

t=σ·n,

(1.4)

wobei der Punkt in der symbolischen Schreibweise die einfache Indexsummation (hier u ¨ber j) kennzeichnet. Mit dem Spannungstensor σ liegt demnach der Spannungsvektor t f¨ ur jeden Schnitt n fest (hier und im weiteren wollen wir Tensoren und Vektoren alternativ durch ihre Symbole oder durch ihre Komponenten kennzeichnen und beide Schreibweisen oft parallel benutzen). Es sei angemerkt, dass (1.4) eine lineare Abbildung zweier Vektoren darstellt, durch welche σ als Tensor zweiter Stufe charakterisiert ist. Aufgrund des Momentengleichgewichts, auf das wir hier nicht eingehen wollen, ist der Spannungstensor symmetrisch: σij = σji . (1.5) Das heißt, die Schubspannungen in aufeinander senkrecht stehenden Schnitten sind einander paarweise zugeordnet. t1

x3

dA1 t2

x3

t

n

x3

x2

x2 dA3

dA2

x2 x1

dA x1

t3

x1 b)

a) Bild 1.2 Spannungszustand

8

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

In manchen F¨allen ist es notwendig, den Spannungstensor bzw. seine Komponenten in einem zum x1 , x2 , x3 -Koordinatensystem gedrehten System x1 , x2 , x3 (Bild 1.2b) anzugeben. Der Zusammenhang zwischen den Komponenten bez¨ uglich des einen und des anderen Systems ist durch die Transformationsbeziehung  σkl = aki alj σij .

(1.6) xk -

gegeben. Darin kennzeichnet aki den Kosinus des Winkels zwischen der und der xi -Achse: aki = cos(xk , xi ) = ek ·ei . Ein besonderes Achsensystem ist das Hauptachsensystem. Es ist dadurch ausgezeichnet, dass in Schnitten senkrecht zu den Achsen nur Normalspannungen und keine Schubspannungen auftreten. Das bedeutet, der Spannungsvektor ti und der zugeh¨origer Normalenvektor ni sind jeweils gleichgerichtet: ti = σni = σδij nj . Darin sind σ die Normalspannung im Schnitt und δij das Kronecker-Symbol (δij = 1 f¨ ur i = j und δij = 0 f¨ ur i = j). Gleichsetzen mit (1.4) liefert das homogene lineare Gleichungssystem (σij − σδij )nj = 0

bzw.

(σ − σ I) · n = 0 ,

(1.7)

wobei I den Einheitstensor mit den Komponenten δij darstellt. Es hat nur dann eine nichttriviale L¨osung f¨ ur die nj , wenn seine Koeffizientendeterminate verschwindet: det(σij − σδij ) = 0. Dies f¨ uhrt auf die kubische Gleichung σ 3 − Iσ σ 2 − IIσ σ − IIIσ = 0 ,

(1.8)

wobei die Gr¨oßen Iσ , IIσ , IIIσ unabh¨angig vom Koordinatensystem, d.h. Invarianten des Spannungstensors sind; sie lauten Iσ = σii = σ11 + σ22 + σ33 , IIσ = (σij σij − σii σjj )/2

IIIσ

2 2 2 + σ23 + σ31 , = −(σ11 σ22 + σ22 σ33 + σ33 σ11 ) + σ12    σ11 σ12 σ13    = det(σij ) =  σ21 σ22 σ23  .  σ31 σ32 σ33 

(1.9)

Die drei L¨osungen σ1 , σ2 , σ3 von (1.8) sind s¨amtlich reell. Sie werden als Hauptspannungen bezeichnet. Je einer Hauptspannung ist eine Hauptrichtung (Normalenvektor nj in Hauptachsenrichtung) zugeordnet, die sich aus (1.7) ermitteln l¨asst. Man kann zeigen, dass die drei Hauptrichtungen senkrecht aufeinander stehen. Die Hauptspannungen selbst sind Extremwerte der Normalspannung in einem Punkt. Bez¨ uglich des Hauptachsensystems kann der Spannungstensor durch ⎞ ⎛ σ1 0 0 (1.10) σ = ⎝ 0 σ2 0 ⎠ 0 0 σ3 dargestellt werden.

9

Spannung

In Schnittfl¨achen, deren Normale jeweils senkrecht auf einer der Hauptachsen steht und mit den beiden anderen einen Winkel von 45◦ einschließt, treten extremale Schubspannungen auf. So wirkt zum Beispiel im Schnitt mit der Normalen senkrecht zur σ3 -Richtung eine Schubspannung τ3 = ±(σ1 −σ2 )/2. Allgemein sind die sogenannten Hauptschubspannungen gegeben durch τ1 = ±

σ2 − σ3 , 2

τ2 = ±

σ3 − σ1 , 2

τ3 = ±

σ1 − σ2 . 2

(1.11)

Sind σ1 die maximale und σ3 die minimale Hauptspannung, so ist demnach die maximale Schubspannung σ1 − σ3 . (1.12) τmax = 2 Von praktischer Bedeutung sind noch die Oktaederspannungen. Hierunter versteht man die Normal- und die Schubspannung in Schnitten, deren Normale mit den drei Hauptachsen gleiche Winkel einschließt. Es gilt σ1 + σ2 + σ3 σii Iσ = = , 3 3 3  1 = (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 . 3

σoct = τoct

(1.13)

Die Spannung σoct kann man auch als mittlere Normalspannung deuten: σm = σkk /3 = σoct . Vielfach ist es n¨ utzlich, den Spannungstensor additiv zu zerlegen: σij =

σkk δij + sij 3

bzw.

σ = σm I + s .

(1.14)

Darin beschreibt 13 σkk δij eine Beanspruchung durch eine allseitig gleiche Spannung σm . Wegen der Analogie zum Spannungszustand in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit wird dieser Anteil als hydrostatischer Spannungszustand bezeichnet. Den Tensor s nennt man Deviator . Durch ihn bzw. durch seine Invarianten Is = 0 , 1 1 sij sij = [(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ] 2 6 1 2 2 2 = [(σ11 − σ22 )2 + (σ22 − σ33 )2 + (σ33 − σ11 )2 ] + σ12 + σ23 + σ31 , 6 1 IIIs = sij sjk ski 3 IIs =

(1.15)

wird die Abweichung des Spannungszustandes vom hydrostatischen Zustand cha2 rakterisiert. Durch Vergleich mit (1.13) erkennt man: IIs = 32 τoct .

10

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

Zur grafischen Veranschaulichung des Spannungszustandes werden h¨aufig die Mohrschen Spannungskreise herangezogen (O. Mohr, 1835-1918). Hierbei handelt es sich um die Darstellung der Normalspannung σ und der zugeh¨origen Schubspannung τ als Spannungsbildpunkte in einem σ-τ -Diagramm f¨ ur alle m¨oglichen Schnitte. Geht man von einem Hauptachsensystem aus, so gilt mit (1.4) σ2 + τ 2 = ti ti = σ12 n21 + σ22 n22 + σ32 n23 , σ = ti ni = σ1 n21 + σ2 n22 + σ3 n23 . Damit l¨asst sich unter Beachtung von ni ni = 1 zum Beispiel die Identit¨at (σ −

σ2 + σ3 2 σ2 + σ3 2 ) + τ 2 = −σ(σ2 + σ3 ) + ( ) + (σ 2 + τ 2 ) 2 2

in der Form (σ −

σ2 − σ3 2 σ2 + σ3 2 ) + τ 2 = n21 (σ1 − σ2 )(σ1 − σ3 ) + ( ) 2 2

(1.16)

schreiben. Man kann dies formal als Gleichung eines “Kreises” mit dem Mittelpunkt bei σ = (σ2 + σ3 )/2, τ = 0 und einem von n1 abh¨angigen Radius auffassen. Wegen 0 ≤ n21 ≤ 1 betr¨agt der minimale Mittelpunktsabstand der Spannungsbildpunkte (σ2 − σ3 )/2 = τ1 (f¨ ur n1 = 0), w¨ahrend der maximale Ab¨ ur n1 = ±1) ist. Analoge Uberlegungen k¨onnen an zwei stand σ1 + (σ2 − σ3 )/2 (f¨ weiteren Gleichungen durchgef¨ uhrt werden, die sich aus (1.16) durch zyklische Vertauschung der Indizes ergeben. Ordnet man die Hauptspannungen nach ihrer Gr¨oße (σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ), so erh¨alt man zusammengefasst eine Darstellung nach Bild 1.3. Spannungsbildpunkte befinden sich danach nur in dem schraffierten Gebiet bzw. auf den Kreisen vom Radius τi . Die Kreise selbst entsprechen dabei jeweils Schnitten, deren Normale senkrecht zu einer der drei Hauptachsen steht. τ τmax σ, τ τ3 τ1 σ3

σ2

σ1

Bild 1.3 Mohrsche Spannungskreise

σ

11

Deformation und Verzerrung

1.1.3

Gleichgewichtsbedingungen

Auf einen beliebigen Teilk¨orper, der aus einem K¨orper herausgeschnitten ist, wirken im allgemeinen u ¨ ber die ¨ber das Volumen V verteilte Volumenkr¨afte fi sowie u Oberfl¨ache ∂V verteilte Fl¨achenkr¨afte (Spannungsvektor) ti . Kr¨aftegleichgewicht herrscht dann, wenn die Resultierende dieser Kr¨afte verschwindet:   ti dA + fi dV = 0 . (1.17) ∂V

V

Mit ti = σij nj und unter Anwendung des Gaußschen Satzes σ dV ergibt sich hieraus V ij,j  (σij,j + fi ) dV = 0 .

∂V

σij nj dA =

(1.18)

V

Vorausgesetzt ist dabei, dass die Spannungen und ihre Ableitungen stetig sind; letztere sind durch Indizes nach dem Komma gekennzeichnet: σij,j = ∂σij /∂xj . Da das betrachtete Volumen V beliebig ist, folgt aus (1.18), dass f¨ ur jeden Punkt des K¨orpers die Gleichgewichtsbedingungen σij,j + fi = 0

bzw.

∇·σ+f =0

(1.19)

erf¨ ullt sein m¨ ussen. Dabei haben wir in der symbolischen Schreibweise den Vektoroperator ∇ = (∂/∂xj ) ej verwendet. Aus (1.19) erh¨alt man unmittelbar die Bewegungsgleichungen, wenn man die bei der Bewegung auftretenden Tr¨agheitskr¨afte −ρu¨i als zus¨atzliche Volumenkr¨afte auffasst: σij,j + fi = ρ u¨i . (1.20) Darin ist ρ die Dichte; u ¨ber eine Gr¨oße gesetzte Punkte kennzeichnen Ableitungen nach der Zeit. Auf die Momentengleichgewichtsbedingung wollen wir hier nicht n¨aher eingehen. Sie f¨ uhrt auf die in (1.5) schon erw¨ahnte Symmetrie des Spannungstensors.

1.2 1.2.1

Deformation und Verzerrung Verzerrungstensor

Zur Beschreibung der Kinematik eines deformierbaren K¨orpers werden u ¨blicherweise der Verschiebungsvektor und ein Verzerrungstensor herangezogen. Zu ihrer Erkl¨arung betrachten wir einen beliebigen materiellen Punkt P , dessen Lage im undeformierten Zustand (zum Beispiel zur Zeit t = 0) durch die Koordinaten (Ortsvektor) Xi gekennzeichnet wird (Bild 1.4). Ein zu P benachbarter Punkt Q

12

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

Q

Q

dXi x3

x1

Xi x2

P

ui

dxi P

xi

Bild 1.4 Deformation im Abstand dS hat die Koordinaten Xi + dXi . Unter der Wirkung der Belastung verschiebt sich P nach P  bzw. Q nach Q . Ihre aktuelle Lage (zur Zeit t) ist durch die Raumkoordinaten xi bzw. xi + dxi gegeben. Die Verschiebung von P nach P  wird durch den Verschiebungsvektor ui = xi − Xi

(1.21)

ausgedr¨ uckt. Unter der Voraussetzung, dass eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen xi und Xi besteht, kann man den Verschiebungsvektor ui und den Ortsvektor xi als Funktionen der materiellen Koordinaten Xi auffassen: ui = ui (Xj , t) ,

xi = xi (Xj , t) .

(1.22)

Zur Herleitung eines geeigneten Deformationsmaßes vergleichen wir nun die Abst¨ande der benachbarten Punkte im deformierten und im undeformierten Zustand. Es ist zweckm¨aßig hierzu die Abstandsquadrate ∂xk ∂xk dXi dXj ∂Xi ∂Xj = dXk dXk = dXi dXj δij

ds2 = dxk dxk = dS 2

heranzuziehen. Mit (1.22) erh¨alt man

wobei

ds2 − dS 2 = 2 Eij dXi dXj ,

(1.23)

1 ∂ui ∂uj ∂uk ∂uk Eij = ( + + ) 2 ∂Xj ∂Xi ∂Xi ∂Xj

(1.24)

ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe ist. Man nennt ihn Greenschen Verzerrungstensor (G. Green, 1793-1841). Es l¨asst sich zeigen, dass f¨ ur hinreichend kleine (infinitesimale) Verschiebungsgradienten (∂ui /∂Xj  1) die Ableitung nach den materiellen Koordinaten Xj durch die Ableitung nach den Ortskoordinaten xj ersetzt werden kann: ∂ui /∂Xj → ∂ui /∂xj = ui,j . Beachtet man, dass in diesem Fall das Produkt

13

Deformation und Verzerrung

der Verschiebungsgradienten in Eij von h¨oherer Ordnung klein ist, so erh¨alt man aus (1.24) den infinitesimalen Verzerrungstensor 1 εij = (ui,j + uj,i) . 2

(1.25)

Man kann ihn in Form der Matrix ⎛

⎞ ε11 ε12 ε13 ε = ⎝ ε21 ε22 ε23 ⎠ ε31 ε32 ε33

(1.26)

darstellen, die wegen εij = εji symmetrisch ist. Geometrisch lassen sich die Komponenten ε11 , ε22 , ε33 als Dehnungen (bezogene L¨angen¨anderungen) und ε12 , ε23 , ε31 als Gleitungen (Winkel¨anderungen) deuten. Hingewiesen sei in diesem Zusammenhang auf die technische Notation. Unter Bezug auf ein x, y, z-Koordinatensystem finden dort h¨aufig die Bezeichnungen εx , εy , εz f¨ ur die Dehnungen und γxy /2, γyz /2, γzx /2 f¨ ur die Gleitungen Verwendung. Die Eigenschaften des Verzerrungstensors k¨onnen wir sinngem¨aß vom Spannungstensor u ¨bertragen. So existiert ein Hauptachsensystem, in dem die Gleitungen verschwinden und nur die Hauptdehnungen ε1 , ε2 , ε3 auftreten. Daneben gibt es die drei Invarianten Iε , IIε , IIIε des Verzerrungstensors. Die erste charakterisiert dabei geometrisch die Volumendehnung (bezogene Volumen¨anderung): Iε = εV = εkk = ε1 + ε2 + ε3 .

(1.27)

Wird der Verzerrungstensor entsprechend εij =

εkk δij + eij 3

bzw.

ε=

εV I +e 3

(1.28)

zerlegt, so beschreibt der erste Anteil die Volumen¨anderung, w¨ahrend durch den Deviator e eine Gestalt¨anderung (bei gleichbleibendem Volumen) ausgedr¨ uckt wird. Angegeben sei noch die zweite Invariante des Deviators. Sie lautet in Analogie zu (1.15) IIe =

1 1 eij eij = [(ε1 − ε2 )2 + (ε2 − ε3 )2 + (ε3 − ε1 )2 ] . 2 6

(1.29)

Bei gegebenen Verzerrungskomponenten liegen mit (1.25) sechs Gleichungen f¨ ur die drei Verschiebungskomponenten vor. Soll in einem einfach zusammenh¨angenden Gebiet das Verschiebungsfeld (bis auf eine Starrk¨orperbewegung) eindeutig sein, so k¨onnen die Verzerrungen nicht unabh¨angig voneinander sein; sie m¨ ussen den sogenannten Vertr¨aglichkeitsbedingungen (Kompatibilit¨atsbedingungen) gen¨ ugen. Letztere ergeben sich aus (1.25) durch Elimination der Verschiebungen zu (1.30) εij,kl + εkl,ij − εik,jl − εjl,ik = 0 .

14 1.2.2

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

Verzerrungsgeschwindigkeit

Der Verzerrungstensor ist nicht immer geeignet, die Deformation bzw. die Bewegung eines deformierbaren K¨orpers zu beschreiben. In manchen F¨allen, wie zum Beispiel in der Plastizit¨at, ist es vielmehr zweckm¨aßig, Verzerrungs¨anderungen bzw. Verzerrungsgeschwindigkeiten zu verwenden. Wir gehen hierzu vom Geschwindigkeitsfeld vi (xj , t) aus (Bild 1.5). Die Relativgeschwindigkeit zweier Partikel, die sich zur Zeit t in den benachbarten Raumpunkten P  und Q befinden, wird durch ∂vi dxj = vi,j dxj (1.31) dvi = ∂xj ausgedr¨ uckt. Hierdurch ist der Geschwindigkeitsgradient vi,j als Tensor zweiter Stufe definiert, den man gem¨aß 1 1 vi,j = (vi,j + vj,i ) + (vi,j − vj,i ) = Dij + Wij 2 2

(1.32)

zerlegen kann. Q x3

x1

vi +dvi dxi

x2

P

xi

vi

Bild 1.5 Verzerrungsgeschwindigkeit Der symmetrische Anteil 1 Dij = (vi,j + vj,i ) 2

(1.33)

wird als Verzerrungsgeschwindigkeitstensor bezeichnet. Er charakterisiert die zeitliche Verzerrungs¨anderung der momentanen Konfiguration. Das sogenannte nat¨ urliche Verzerrungsinkrement ergibt sich mit ihm zu d ij = Dij dt .

(1.34)

Wenn die Verzerrungen f¨ ur alle Zeiten klein sind, dann k¨onnen Dij bzw. d ij durch die zeitliche Ableitung des Verzerrungstensors ε˙ij bzw. durch dεij ersetzt werden. Dies wollen wir im folgenden meist voraussetzen. Angemerkt sei wieder, dass auf Dij bzw. d ij alle Eigenschaften, die beim Spannungstensor diskutiert wurden, sinngem¨aß zutreffen. Daneben gelten auch die Kompatibilit¨atsbedingungen, wenn in (1.30) εij durch Dij bzw. durch d ij ersetzt wird. Der schiefsymmetrische Anteil Wij in (1.32) beschreibt die augenblickliche Drehgeschwindigkeit (Spin), auf die wir hier jedoch nicht weiter eingehen.

15

Stoffgesetze

1.3

Stoffgesetze

Wir beschr¨anken uns im weiteren auf kleine (infinitesimale) Verzerrungen, was f¨ ur eine große Klasse von Problemen zul¨assig ist und die Formulierung von Stoffgesetzen stark vereinfacht. 1.3.1 1.3.1.1

Elastizit¨ at Linear elastisches Material

In Verallgemeinerung des einachsigen Hookeschen Gesetzes σ = E ε (R. Hooke, 1635-1703) sind bei einem linear elastischen Material die Verzerrungen und die Spannungen im dreiachsigen Fall gem¨aß σ=C:ε

bzw.

σij = Cijkl εkl

(1.35a)

miteinander verkn¨ upft. Dabei kennzeichnet der Doppelpunkt bei der symbolischen Schreibweise die Summation u ¨ber zwei Indexpaare (hier k, l). Der Elastizit¨atstensor C (Tensor vierter Stufe) charakterisiert mit seinen Komponenten Cijkl die elastischen Eigenschaften des Materials. Man kann zeigen, dass es im allgemeinsten Fall einer Anisotropie maximal 21 voneinander unabh¨angige Konstanten gibt; dabei gelten die Symmetrien Cijkl = Cjikl = Cijlk = Cklij . L¨ost man (1.35a) nach den Verzerrungen auf, so lautet das Elastizit¨atsgesetz ε=M :σ

bzw.

εij = Mijkl σkl .

(1.35b)

ur Darin ist M = C −1 der Nachgiebigkeitstensor mit den Komponenten Mijkl , f¨ welche die gleichen Symmetrieeigenschaften wie f¨ ur Cijkl gelten. Im Fall eines isotropen Materials ist C durch alleine zwei unabh¨angige Konstanten festgelegt (isotroper Tensor): Cijkl = λ δij δkl + μ (δik δjl + δil δjk ) .

(1.36)

Damit erh¨alt man aus (1.35a) das Elastizit¨atsgesetz σij = λ εkk δij + 2 μ εij ,

(1.37)

worin λ und μ die Lam´e schen Konstanten sind (G. Lam´e, 1795-1870). Ihr Zusammenhang mit dem Elastizit¨atsmodul E, dem Schubmodul G, der Querkontraktionszahl ν (Poissonsche Konstante, S.D. Poisson, 1781-1840) und dem Kompressionsmodul K ist in Tabelle 1.1 gegeben. L¨ost man das Elastizit¨atsgesetz (1.37) entsprechend (1.35b) nach den Verzerrungen auf, so gilt mit den Beziehungen nach Tabelle 1.1 εij = −

ν 1+ν σkk δij + σij . E E

(1.38)

16

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

Tabelle 1.1 Beziehungen zwischen den elastischen Konstanten Zugrunde liegendes Konstantenpaar μ, K E, G E, ν

λ, μ λ

λ

K − 23 μ

G(E − 2G) 3G − E

μ

μ

μ

G

K

λ + 23 G

K

GE 3(3G − E)

Eν (1 + ν)(1 − 2ν) E 2(1 + ν) E 3(1 − 2ν)

μ(3λ + 2μ) λ+μ λ 2(λ + μ)

9K μ 3K + μ 3K − 2μ 2(3K + μ)

E

E

E 2G − 1

ν

E ν

Eine weitere m¨ogliche Schreibweise des isotropen Elastizit¨atsgesetzes folgt durch Trennung in den hydrostatischen (volumetrischen) und den deviatorischen Anteil. Mit (1.14), (1.28) und den Beziehungen nach Tabelle 1.1 ergibt sich σkk = 3 K εkk ,

sij = 2 μ eij .

(1.39)

Ein anisotropes Material verh¨alt sich nicht in allen Richtungen gleich. Wir wollen uns hier auf zwei F¨alle beschr¨anken. Bei Orthotropie hat der Werkstoff aufeinander senkrecht stehende Vorzugsrichtungen. Fallen sie mit den Koordinatenrichtungen zusammen, so lautet das Elastizit¨atsgesetz in Matrizenform ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ 0 0 h11 h12 h13 0 σ11 ε11 ⎢ ⎢ ε22 ⎥ ⎢ h12 h22 h23 0 ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ σ22 ⎥ ⎢ ε33 ⎥ ⎢ h13 h23 h33 0 ⎥ ⎢ σ33 ⎥ 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ . (1.40) ⎢ ⎢ 2 ε23 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ 0 0 h44 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ σ23 ⎥ ⎣ 2 ε31 ⎦ ⎣ 0 0 0 0 h55 0 ⎦ ⎣ σ31 ⎦ 0 0 0 0 0 h66 2 ε12 σ12 Dabei h¨angen die 9 von Null verschiedenen Nachgiebigkeiten hij mit den Tensorkomponenten Mijkl und den technischen Konstanten Ei (Elastizit¨atsmoduli), νij (Querdehnzahlen), μij (Schubmoduli) wie folgt zusammen: 1 , E1 1 h22 = M2222 = , E2 1 h33 = M3333 = , E3 h11 = M1111 =

ν12 ν21 =− , E1 E2 ν23 ν32 h23 = M2233 = − =− , E2 E3 ν13 ν31 h13 = M1133 = − =− , E1 E3 h12 = M1122 = −

1 , μ23 1 h55 = M3131 = , μ31 1 h66 = M1212 = . μ12 h44 = M2323 =

(1.41)

17

Stoffgesetze

Zeigt ein orthotropes Material keine Abh¨angigkeit der Materialeigenschaften bei einer Drehung um eine Achse (zum Beispiel die x3 -Achse), dann nennt man es transversal isotrop. Aufgrund der dann herrschenden Beziehungen zwischen den Nachgiebigkeiten h11 = h22 ,

h13 = h23 ,

h44 = h55 ,

h66 = 2(h11 − h12 )

(1.42)

wird ein solches Material durch nur 5 unabh¨angige Konstanten charakterisiert. Erw¨armt man ein spannungsfreies Material um die Temperaturdifferenz ΔT , so f¨ uhrt dies zu thermischen Dehnungen εth , die in erster N¨aherung proportional zur Temperatur¨anderung sind: εth = k ΔT

εth ij = kij ΔT .

bzw.

(1.43)

Darin stellt k den Tensor der W¨armedehnungskoeffizienten dar, welcher bei thermisch isotropem Material durch einen einzigen Parameter gegeben ist: kij = k δij . Fasst man die elastischen und die thermischen Verzerrungen zu den Gesamtverzerrungen ε zusammen, so erh¨alt man das Duhamel-Neumann-Gesetz (J.M. Duhamel, 1797-1872, F. Neumann, 1798-1895) σ = C : (ε − εth ) . 1.3.1.2

(1.44)

Form¨ anderungsenergiedichte

Bei einem elastischen Material ist die bei einer Deformation pro Volumeneinheit geleistete Arbeit εkl U = σij dεij (1.45) 0

unabh¨angig vom Deformationsweg. In diesem Fall ist der Integrand dU = σij dεij ∂U ein vollst¨andiges Differential (dU = ∂ε dεij ), und es gilt ij σij =

∂U . ∂εij

(1.46)

Man bezeichnet U = U(εij ) als Form¨anderungsenergiedichte oder spezifisches elastisches Potential. Neben U(εij ) kann man eine spezifische Erg¨anzungsenergie oder spezifische  (σij ) einf¨ uhren. Sie ist definiert durch Komplement¨arenergie U σkl  = σij εij − U = εij dσij . U

(1.47)

0

Analog zu (1.46) gilt εij =

 ∂U . ∂σij

(1.48)

18

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

Im Spezialfall des linear elastischen Materials folgt die Form¨anderungs- bzw. die Komplement¨arenergiedichte durch Einsetzen von (1.35a) und (1.35b) in (1.45) und (1.47) zu = U =U

1 1 1 σij εij = ε : C : ε = σ : M : σ . 2 2 2

(1.49)

Sie l¨asst sich unter Verwendung von (1.14), (1.28) und (1.39) in zwei Teile aufspalten: 1 U = K ε2kk + μ eij eij = UV + UG . (1.50) 2 Darin ist UV = 12 Kε2kk = 12 KIε2 die Volumen¨anderungsenergiedichte (=Energieanteil infolge reiner Volumendehnung), w¨ahrend UG = μ eij eij = 2 μ IIe die Gestalt¨anderungsenergiedichte (=Energieanteil infolge reiner Gestalt¨anderung) beschreibt. 1.3.1.3

Nichtlinear elastisches Material

Ist ein Material isotrop, so h¨angt die Form¨anderungsenergiedichte U nur von den Invarianten Iε , IIε , IIIε des Verzerrungstensors ab. Dabei lassen sich IIε , IIIε auch durch die Invarianten IIe , IIIe des Deviators ersetzen: U = U(Iε , IIe , IIIe ). Mit Iε = εij δij , IIe = 12 eij eij , IIIe = 13 eij ejk eki und (1.46) kann man demnach ein allgemeines nichtlineares Elastizit¨atsgesetz in der Form σij =

∂U ∂U ∂U δij + eij + eik ekj ∂Iε ∂IIe ∂IIIe

(1.51)

angeben. F¨ ur viele Materialien kann man annehmen, dass sich die Form¨anderungsenergiedichte (wie beim linearen Material) entsprechend U = U1 (Iε ) + U2 (IIe ) aus einem Volumen¨anderungsanteil und einem Gestalt¨anderungsanteil zusammensetzt. In diesem Fall reduziert sich (1.51) auf σij =

dU1 dU2 δij + eij , dIε dIIe

(1.52)

woraus sich durch Zerlegung in den hydrostatischen und den deviatorischen Anteil die folgenden Gesetzm¨aßigkeiten ergeben: σkk = 3

dU1 = f (εkk ) , dIε

sij =

dU2 eij = g(IIe) eij . dIIe

(1.53)

Wird das Material zus¨atzlich noch als inkompressibel angesehen (εkk = 0), so entf¨allt in (1.53) die erste Gleichung. Die Funktion g(IIe ) kann man dann durch das einachsige Spannungs-Dehnungs-Verhalten σ(ε) des Materials ausdr¨ ucken. Zu diesem Zweck definieren wir zun¨achst eine einachsige Vergleichsspannung oder effektive Spannung σe folgendermaßen: ein dreiachsiger Spannungszustand σ

19

Stoffgesetze

(bzw. s) ist hinsichtlich der Materialbeanspruchung ¨aquivalent zu einem einachur beide gleich ist. Hiermit ergibt sich aus sigen Spannungszustand σe , wenn IIs f¨ (1.15) mit σ1 = σe , σ2 = σ3 = 0 der Zusammenhang σe2 =

3 3 sij sij = s : s . 2 2

(1.54a)

Analog sehen wir beim inkompressiblen Material einen dreiachsigen Verzerrungszustand ε (bzw. e) als ¨aquivalent zu einer einachsigen Dehnung εe an, wenn IIe in beiden F¨allen gleich ist. Dies f¨ uhrt mit (1.29) und ε1= εe , ε2= ε3= −ε1 /2 auf die Definition der einachsigen Vergleichsdehnung oder effektiven Dehnung ε2e =

2 2 eij eij = e : e . 3 3

(1.54b)

Bildet man nun unter Verwendung von (1.53), (1.54a,b) das Produkt sij sij , so folgt g = 23 σe /εe und damit schließlich sij =

2 σe eij . 3 εe

(1.55)

Als Beispiel betrachten wir einen einachsigen Spannungs-Dehnungs-Zusammenhang in Form eines Potenzgesetzes: ε = B σn

bzw.

σ = b εN .

(1.56)

Darin sind n = 1/N und B = 1/bn Materialkonstanten. Seine dreidimensionale Verallgemeinerung lautet unter der Voraussetzung der Inkompressibilit¨at eij =

3 B σen−1 sij 2

bzw.

sij =

2 N −1 eij . bε 3 e

(1.57)

Die Form¨anderungsenergiedichte und die spezifische Komplement¨arenergie ergeben sich in diesem Fall zu U=

1.3.2

n sij eij , n+1

= U

1 sij eij . n+1

(1.58)

Viskoelastizit¨ at

Viskoelastische Materialien kombinieren elastisches mit viskosem Verhalten. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass das Materialverhalten zeitabh¨angig bzw. eine Funktion der Belastungs- oder Deformationsgeschichte ist. Typische viskoelastische Effekte sind Kriech- und Relaxationserscheinungen, wie sie zum Beispiel bei Polymeren oder im h¨oheren Temperaturbereich auch bei St¨ahlen auftreten.

20

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

1.3.2.1

Linear viskoelastisches Material

Das Stoffgesetz von linear viskoelastischen Materialien unter einachsiger Beanspruchung kann alternativ durch t ε(t) = −∞

t

dσ J(t − τ ) dτ , dτ

E(t − τ )

σ(t) = −∞

dε dτ dτ

(1.59)

ausgedr¨ uckt werden. Darin sind J(t) bzw. E(t) Materialfunktionen, die das Verhalten bei einer pl¨otzlich aufgebrachten, konstanten Spannung σ0 bzw. konstanten Dehnung ε0 beschreiben. Man bezeichnet J(t) = ε(t)/σ0 als Kriechfunktion oder Kriechnachgiebigkeit und E(t) = σ(t)/ε0 als Relaxationsfunktion (Bild 1.6). Sie sind miteinander durch die Beziehung d dt

t J(t − τ ) E(τ ) dτ = 1

(1.60)

0

verkn¨ upft. Die untere Grenze bei den Integralen in (1.59) deutet an, dass das Verhalten des Materials zum Zeitpunkt t von der gesamten zuvor durchlaufenen Spannungs- bzw. Dehnungsgeschichte abh¨angt. E Eg

J Je

Jg

Ee t

a)

t

b)

Bild 1.6 a) Kriechfunktion, b) Relaxationsfunktion Bei isotropem Materialverhalten ist es zweckm¨aßig, die dreidimensionale Verallgemeinerung von (1.59) in den hydrostatischen und den deviatorischen Anteil zu trennen. Dabei setzt man h¨aufig die bei vielen viskoelastischen Materialien zu beobachtende Tatsache voraus, dass die Volumendehnung rein elastisch erfolgt (σkk = 3Kεkk ). F¨ ur den deviatorischen Anteil gilt dann eij =

1 2

t Jd (t − τ ) −∞

dsij dτ , dτ

t sij = 2 −∞

G(t − τ )

deij dτ . dτ

(1.61)

21

Stoffgesetze

Die Kriechfunktion Jd (t) und die Relaxationsfunktion G(t) h¨angen wieder wie im einachsigen Fall zusammen. Integrale vom Typ (1.59), (1.61) nennt man Faltungsintegrale. F¨ ur ihre Behandlung bietet sich die Laplace-Transformation an. Die Laplace-Transformierte f¯(p) einer Funktion f (t) ist definiert als ∞ f¯(p) =

f (t) e−pt dt .

(1.62)

0

Wendet man die Transformation zum Beispiel auf die zweite Gleichung von (1.61) an, so ergibt sich unter der Annahme, dass die Verzerrungsgeschichte zum Beispiel zum Zeitpunkt τ = 0 beginnt, ¯ e¯ij . s¯ij = 2 p G(p)

(1.63)

Durch Vergleich mit (1.39) erkennt man, dass das transformierte viskoelastische Materialgesetz und das Elastizit¨atsgesetz die gleiche Form haben. Dies trifft auch auf weitere Gleichungen, wie die Gleichgewichtsbedingungen oder die kinematischen Beziehungen zu. Man spricht aus diesem Grund von der elastisch– viskoelastischen Analogie, aus der sich das Korrespondenzprinzip herleitet. Danach erh¨alt man die Laplace-transformierte L¨osung eines viskoelastischen Problems aus der L¨osung des entsprechenden elastischen Problems, indem man die elastischen Konstanten geeignet durch Kriech- bzw. Relaxationsfunktion ersetzt ¯ (z.B. G → p G(p)). Die endg¨ ultige L¨osung folgt dann durch R¨ ucktransformation. 1.3.2.2

Nichtlinear viskoelastisches Material, Kriechen

Zur Beschreibung des nichtlinear viskoelastischen Verhaltens bedient man sich h¨aufig formaler, pragmatisch begr¨ undeter N¨aherungen. Hierzu geh¨ort zum Beispiel der f¨ ur Polymere gedachte Ansatz (H. Leaderman, 1943) t J(t − τ )

ε(t) = −∞

d(σf ) dτ . dτ

(1.64)

Darin ist f (σ) eine zus¨atzliche Materialfunktion. Sie charakterisiert die Abh¨angigkeit der Kriechdehnung von der Gr¨oße der angelegten konstanten Spannung ¨ von (1.64) auf den dreidiσ0 in der Art ε(t) = σ0 f (σ0 )J(t). Eine Ubertragung mensionalen Fall kann sinngem¨aß wie beim linearen Material erfolgen. Wegen seiner praktischen Bedeutung sei hier noch auf das Kriechen metallischer Werkstoffe eingegangen. Man unterscheidet dabei zwischen prim¨arem, sekund¨arem und terti¨arem Kriechen. Das sekund¨are Kriechen zeichnet sich dadurch aus, dass im einachsigen Fall die Dehnungsgeschwindigkeit ε˙ unter festgehaltener Spannung σ zeitlich konstant ist; sie h¨angt nur von der Gr¨oße der Spannung

22

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

ab: ε˙ = ε(σ). ˙ Zur Beschreibung dieser station¨aren Kriechbewegung finden unter anderen die Ans¨atze von Norton-Bailey (F.H. Norton, R.W. Bailey, 1929) ε˙ = B σ n

(1.65)

oder von Prandtl (L. Prandtl, 1875-1953) ε˙ σ = [sinh( )]n ε˙ σ

(1.66)

sowie modifizierte Ans¨atze der Art d σ σ ε˙ = C ( )m + ( )n ε˙ d t σ σ

(1.67)

Verwendung. Darin sind B, C, n, m, σ und ε˙ Materialkonstanten. Die Stoffgesetze f¨ ur viskoses Fließen und elastisches Verhalten weisen h¨aufig eine analoge Struktur auf. So erh¨alt man zum Beispiel (1.65) aus (1.56), indem man die Verzerrungen durch die Verzerrungsgeschwindigkeit ersetzt. Setzt man voraus, dass die Ausdr¨ ucke (Arbeitsraten) σkl  = ε˙ij dσij , D

ε˙kl D=

0

 σij dε˙ij = σij ε˙ij − D

(1.68)

0

unabh¨angig vom Integrationsweg sind, so gelten die zu (1.48), (1.46) analogen Beziehungen  ∂D ∂D ε˙ij = , σij = . (1.69) ∂σij ∂ ε˙ij  ij ) als Fließpotential und D(ε˙ij ) als spezifische Form¨andeMan bezeichnet D(σ rungsenergierate; die Gr¨oße σij ε˙ij stellt die spezifische Dissipationsleistung dar. Nimmt man an, dass das Material inkompressibel ist (ε˙kk = 0) und das Fließpotential nur von IIs abh¨angt, so liefert (1.69) e˙ ij =

 dD 3 ε˙e sij = sij dIIs 2 σe

(1.70)

mit σe = ( 32 sij sij )1/2 und ε˙e = ( 23 e˙ ij e˙ ij )1/2 . Zum Beispiel lauten dann das auf drei Dimensionen verallgemeinerte Nortonsche Kriechgesetz e˙ ij =

3 B σen−1 sij 2

(1.71)

und die zugeh¨orige spezifische Form¨anderungsenergierate sowie das Fließpotential D=

n sij e˙ ij , n+1

= D

1 sij e˙ ij . n+1

(1.72)

23

Stoffgesetze

Diese Beziehungen sind vollkommen analog zu den Gleichungen (1.57), (1.58) f¨ ur das nichtlinear elastische Verhalten entsprechend einem Potenzgesetz; man muss nur die Verzerrungen durch die Verzerrungsraten ersetzen. Als Folge hiervon sind auch die L¨osungen f¨ ur zugeordnete Randwertprobleme analog. Das heisst, man kann die L¨osung eines nichtlinear elastischen Problems auf ein zugeordnetes Kriechproblem u ¨bertragen, indem man die Verzerrungen durch die Verzerrungsraten ersetzt. 1.3.3

Plastizit¨ at

¨ Uberschreitet die Materialbeanspruchung eine bestimmte Grenze, so kommt es insbesondere bei metallischen Werkstoffen zu plastischem Fließen. Hierbei zieht im Unterschied zur Viskoelastizit¨at eine Belastungs¨anderung meist eine unmittelbare (zeitunabh¨angige) Deformations¨anderung nach sich. Plastisches Fließen hat unter anderem zur Folge, dass nach einer Entlastung bleibende Deformationen auftreten. Bei der Beschreibung eines elastisch-plastischen Materialverhaltens wird u ¨ blicherweise angenommen, dass sich die Verzerrungen und damit auch die Verzerrungsinkremente additiv aus einem elastischen und einem plastischen Anteil zusammensetzen: ε = εe + εp , dε = dεe + dεp . (1.73a) Bezieht man die Verzerrungsinkremente auf ein zugeordnetes Zeitinkrement dt, dann l¨asst sich dies auch in der Form ε˙ = ε˙ e + ε˙ p

(1.73b)

ausdr¨ ucken. F¨ ur den elastischen Anteil setzt man dabei einen linearen SpannungsDehnungs-Zusammenhang zum Beispiel in Form von (1.35a) voraus. Mit (1.73a) lautet somit das Elastizit¨atsgesetz σ = C : εe = C : (ε − εp ) .

(1.74)

Als Stoffgesetz f¨ ur den plastischen Anteil finden sowohl Formulierungen in den Verzerrungsinkrementen (inkrementelle Theorie) als auch in den totalen Verzerrungen (Deformationstheorie) Verwendung. Beide machen h¨aufig Gebrauch von der Annahme, dass keine plastischen Volumen¨anderungen auftreten: εpkk = 0; dies hat dann εp = ep zur Folge. 1.3.3.1

Fließbedingung

Wir nehmen an, dass f¨ ur plastisches Fließen ein bestimmter Zustand vorliegen muss, der durch die Spannungen σij gegeben ist. Eine solche Fließbedingung kann durch F (σ) = 0 (1.75a)

24

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

ausgedr¨ uckt werden, was sich auch als Darstellung einer Fl¨ache (=Fließfl¨ache) im neundimensionalen Raum der Spannungen σij deuten l¨asst. Ein Spannungszustand auf der Fließfl¨ache (F = 0) charakterisiert danach Fließen, w¨ahrend Punkte innerhalb der Fließfl¨ache (F < 0) elastischem Verhalten zugeordnet sind. Die erweiterte Form der Fließbedingung F (σ) ≤ 0

(1.75b)

beschreibt danach die Menge aller u ¨berhaupt m¨oglichen (zul¨assigen) Spannungszust¨ande. Die Fließfl¨ache kann ihre Lage und Form im Verlauf des Fließvorganges ver¨andern. Spezialf¨alle sind die selbst¨ahnliche Aufbl¨ahung (isotrope Verfestigung) und die reine Translation (kinematische Verfestigung). Bleibt die Fließfl¨ache unver¨andert, so nennt man das Material idealplastisch. Aufgrund des Prinzips der maximalen plastischen Arbeit, auf das wir noch eingehen werden, ist die Fließfl¨ache konvex. Die Fließbedingung kann bei isotropem Material nur von den Invarianten Iσ , IIσ , IIIσ oder, was gleichbedeutend ist, nur von Iσ , IIs , IIIs abh¨angen. Ber¨ ucksichtigt man, dass bei vielen Materialien (insbesondere bei metallischen Werkstoffen) der hydrostatische Anteil des Spannungszustandes nur zu elastischer Volumen¨anderung f¨ uhrt und den Fließvorgang nicht beeinflusst, so folgt aus (1.75a) die Fließbedingung F (IIs , IIIs ) = 0 . (1.76) Aus der F¨ ulle der M¨oglichkeiten, welche (1.76) bietet, seien hier nur zwei bew¨ahrte und weit verbreitete Fließbedingungen herausgegriffen. Die von Misessche Fließbedingung (R. von Mises, 1883–1953) lautet 1 sij sij − k2 = 0 . 2

(1.77a)

1 [(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ] − k2 = 0 6

(1.77b)

F = IIs − k2 = 0

bzw.

F =

Mit (1.15) l¨asst sie sich auch in der Form F =

¨ ausdr¨ ucken. Danach tritt Fließen auf, wenn IIs einen Wert k2 erreicht. Aquivalent hierzu sind die Aussagen, dass f¨ ur Fließen eine bestimmte Oktaederschubspannung τoct erforderlich ist bzw. dass beim linear elastischen Material die Gestalt¨anderungsenergiedichte UG begrenzt ist. Durch (1.77b) ist im dreidimensionalen Raum der Hauptspannungen eine Kreiszylinderfl¨ache definiert, deren Mittelachse√ mit der hydrostatischen Geraden σ1 = σ2 = σ3 zusammenf¨allt und deren Radius 2k betr¨agt (Bild 1.7a). Beim idealplastischen Material ist k konstant. Mit der Fließspannung σF unter einachsigem Zug (σ1 = σF , σ2 = σ3 = 0) und der Fließschubspannung τF f¨ ur reinen Schub (σ1 = −σ3 = τF , σ2 = 0) gilt dann √ der Zusammenhang k = σF / 3 = τF . Im Fall einer isotropen Verfestigung h¨angt

25

Stoffgesetze

k von den plastischen Deformationen ab. Dann ist σF durch die aktuelle Fließ√ spannung zu ersetzen: k = σ/ 3. Aus (1.77a) ergibt sich damit die einachsige Vergleichsspannung σe = ( 32 sij sij )1/2 , die wir schon in (1.54a) kennengelernt haben; sie wird auch von Misessche Vergleichsspannung genannt.

σ3

Tresca

hydrostatische Achse

σ2 Tresca

σF

σ2

σF

v.Mises

σF

−σF

σ1 σF

v.Mises −σF σ1

a)

b)

Bild 1.7 Fließbedingungen nach von Mises und Tresca Im Spezialfall des ebenen Spannungszustandes (σ3 = 0) folgt aus (1.77b) die Fließbedingung (1.78) σ12 + σ22 − σ1 σ2 = σF2 . Die zugeh¨orige Fließkurve ist eine Ellipse (Bild 1.7b). Die Fließbedingung von H.E. Tresca (1868) geht von der Annahme aus, dass plastisches Fließen auftritt, wenn die maximale Schubspannung einen bestimmten Wert annimmt: F = τmax − k = 0. Mit den Hauptschubspannungen nach (1.11) muss daher eine der Bedingungen σ1 − σ3 ± 2k = 0 ,

σ2 − σ1 ± 2k = 0 ,

σ3 − σ2 ± 2k = 0

(1.79)

erf¨ ullt sein. Die zugeh¨orige Fließfl¨ache im Raum der Hauptspannungen ist ein hexagonales Prisma, dessen Mittelachse die hydrostatische Gerade ist (Bild 1.7). Beim idealplastischen Material ist der Zusammenhang zwischen k und den Fließspannungen σF (einachsiger Zug) und τF (reiner Schub) durch k = σF /2 = τF gegeben. 1.3.3.2

Inkrementelle Theorie

Im weiteren wird vorausgesetzt, dass der Werkstoff dem Prinzip der maximalen plastischen Arbeit (1.80) (σij − σij0 ) dεpij ≥ 0 gen¨ ugt. Darin sind σij der tats¨achliche Spannungszustand auf der Fließfl¨ache und σij0 ein Ausgangszustand innerhalb oder auf der Fließfl¨ache. Dieses Prinzip l¨asst

26

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

sich dahingehend interpretieren, dass unter allen Spannungszust¨anden σ ˜ij , welche die Fließbedingung erf¨ ullen, die tats¨achlichen Spannungen σij die plastische Arbeit σ ˜ij dεpij zum Extremum machen. Diese Extremalaussage kann in der Art ∂ [˜ σij dεpij − dλ F (˜ σij )] = 0 ∂ σ˜ij

f¨ ur

σ ˜ij = σij

(1.81)

formuliert werden, wobei dλ ≥ 0 ein noch freier, Lagrangescher Multiplikator ist. Hieraus ergibt sich die Fließregel dεpij = dλ

∂F , ∂σij

(1.82a)

die wir auch in den folgenden Formen schreiben k¨onnen: ∂F ε˙pij = λ˙ ∂σij

bzw.

∂F ε˙ p = λ˙ . ∂σ

(1.82b)

Ohne im einzelnen darauf einzugehen sei angemerkt, dass aus dem Prinzip der maximalen plastischen Arbeit bzw. aus der Fließregel Konsequenzen erwachsen. Zu ihnen geh¨oren unter anderen die erw¨ahnte Konvexit¨at der Fließfl¨ache und die Normalenregel. Letztere besagt, dass die plastischen Verzerrungsinkremente normal zur Fließfl¨ache gerichtet sind (vgl.(1.82a,b)). Legt man die von Misessche Fließbedingung (1.77a,b) zugrunde, so folgt aus (1.82a,b) dεp = dλ s. Die Hauptrichtungen von dεp stimmen demnach mit denen des Deviators s und folglich auch mit denen von σ u ¨berein. Der Faktor dλ kann bestimmt werden, indem wir die einachsige Vergleichsspannung σe = ( 32 sij sij )1/2 und unter Ber¨ ucksichtigung der plastischen Volumenkonstanz ein einachsiges Vergleichsverzerrungsinkrement dεpe = ( 23 dεpij dεpij )1/2 einf¨ uhren. Aus dεpij dεpij = p 3 2 (dλ) sij sij erh¨alt man dann dλ = 2 dεe /σe und damit dεpij =

3 dεpe sij 2 σe

bzw.

ε˙ p =

3 ε˙pe s. 2 σe

(1.83a)

ur verfestigendes Material schreibt man F¨ ur idealplastisches Material ist σe = σF ; f¨ (1.83a) unter Verwendung des plastischen Tangentenmoduls g = dσe /dεpe = σ˙ e /ε˙pe auch h¨aufig in der Form dεpij =

3 sij dσe 2 g σe

bzw.

ε˙ p =

3 σ˙ e s. 2 g σe

(1.83b)

Durch Zusammenfassen der elastischen und der plastischen Verzerrungsinkremente entsprechend (1.73a,b) ergibt sich schließlich als Stoffgesetz im Fließbereich (F = 0, dσe > 0) das sogenannte Prandtl-Reuss-Gesetz ε˙kk =

1 σ˙ kk , 3K

e˙ =

3 σ˙ e 1 s˙ + s. 2μ 2 g σe

(1.83c)

27

Stoffgesetze

Geht man von der Trescaschen Fließbedingung in der Form F = σ1 −σ3 −k = 0 aus (σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ), so liefert die Fließregel in Hauptachsenrichtung dεp1 = dλ ,

dεp2 = 0 ,

dεp3 = −dλ .

(1.84)

Hierdurch wird ebenfalls die Bedingung plastischer Volumenkonstanz erf¨ ullt. 1.3.3.3

Deformationstheorie

In der Deformationstheorie wird angenommen, dass zwischen den plastischen Verzerrungen und den deviatorischen Spannungen die Beziehung εp = λ s

(1.85)

besteht, wobei der Faktor λ vom Spannungszustand und den plastischen Verzerrungen abh¨angt. Er ergibt sich unter Zugrundelegung der von Misesschen Fließbedingung mit der Vergleichsspannung σe = ( 32 sij sij )1/2 und der plastischen Vergleichsverzerrung εpe = ( 23 εpij εpij )1/2 zu λ = 3εpe /2σe . Fasst man nach (1.73a) die elastischen und die plastischen Verzerrungen zusammen, so erh¨alt man das finite Hencky-Ilyushin-Gesetz   1 1 3 εpe e= σkk , + εkk = s. (1.86) 3K 2 μ 2 σe Durch Vergleich von (1.86) mit (1.55) erkennt man, dass die Deformationstheorie ein plastisches Materialverhalten wie ein nichtlinear elastisches Verhalten beschreibt. Sie ist dementsprechend nicht in der Lage zum Beispiel Entlastungsvorg¨ange ad¨aquat zu modellieren. Physikalisch sinnvoll kann sie nur im Bereich monoton wachsender Belastung angewendet werden. Dabei ist sie insbesondere dann gut geeignet, wenn eine Proportionalbelastung vorliegt, das heisst wenn gilt s = P s0 .

(1.87)

Darin sind s0 ein Bezugsspannungszustand (zum Beispiel bei der Endbelastung) und P ein skalarer Belastungsparameter. Man kann zeigen, dass in diesem Fall die Deformationstheorie und die inkrementelle Theorie a¨quivalent sind. Als hinreichend gute Approximation des realen Stoffverhaltens spezialisiert man h¨aufig die allgemeine Beziehung (1.85) durch das Potenzgesetz (1.56) bzw. (1.57). Dieses f¨ uhrt immer zu einer Proportionalbelastung nach (1.87), wenn die Belastung eines K¨orpers oder Teilk¨orpers durch einen einzigen Lastparameter P (z.B. durch eine Kraft) vorgegeben ist. F¨ ur die Verzerrungen und die Verschiebungen ergibt sich in diesem Fall εp = P n εp 0 ,

u = P n u0 .

(1.88)

Darin sind εp 0 und u0 die zum Bezugsspannungszustand s0 zugeordneten plastischen Verzerrungen und Verschiebungen. Sind dementsprechend die Spannungen

28

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

und Verzerrungen f¨ ur eine bestimmte Last bekannt, so kennt man sie auch f¨ ur alle anderen Lasten. An dieser Stelle sei angemerkt, dass die Eigenschaften des Potenzgesetzes sinngem¨aß von der Deformationstheorie auf Kriechvorg¨ange u ¨bertragen werden k¨onnen. Aufgrund der Analogie der Stoffgesetze f¨ ur nichtlinear elastisches Verhalten und f¨ ur das Kriechen (vgl. Abschnitt 1.3.2.2) m¨ ussen nur die Dehnungen durch die Dehnungsraten und die Verschiebungen durch die Geschwindigkeiten ersetzt werden, d.h. es gelten dann die Beziehungen s = P s0 ,

1.4

ε˙ p = P n ε˙ p 0 ,

u˙ = P n u˙ 0 .

(1.89)

Energieprinzipien

Im folgenden sind einige klassische Energieprinzipien f¨ ur deformierbare K¨orper zusammengestellt. Dabei wird davon ausgegangen, dass bei Zustands¨anderungen des K¨orpers die materielle Oberfl¨ache unver¨andert bleibt. Ein etwaiges Risswachstum ist hier also ausgeschlossen. Der k¨ urzeren Schreibweise wegen nehmen wir noch an, dass als ¨außere Kr¨afte nur Oberfl¨achenkr¨afte und keine Volumenkr¨afte wirken. Letztere k¨onnen sinngem¨aß aber ohne weiteres ber¨ ucksichtigt werden. 1.4.1

Energiesatz

¨ Der Energiesatz der Kontinuumsmechanik besagt, dass die Anderung der Gesamtenergie (innere Energie + kinetische Energie) eines K¨orpers dem Energiefluss in den K¨orper entspricht. Dies kann alternativ in Form der Gleichungen t2 E˙ + K˙ = P + Q ,

(E + K)2 − (E + K)1 =

(P + Q) dt

(1.90)

t1

ausgedr¨ uckt werden. Darin sind E die innere Energie, K die kinetische Energie und P die Leistung der ¨außeren Kr¨afte. Sie sind gegeben durch    1 E = ρ e dV , K= ρ u˙ · u˙ dV , P = t · u˙ dA , (1.91) 2 V

V

∂V

wobei e die spezifische innere Energie ist. Durch Q wird der Energietransport in den K¨orper beschrieben, welcher nicht durch P erfasst wird (zum Beispiel W¨armetransport); wir wollen ihn hier nicht n¨aher festlegen. F¨ ur ein elastisches Material l¨asst sich ρ e mit der Form¨anderungsenergiedichte U identifizieren. Im Spezialfall einer quasistatischen Belastung (K = 0) und f¨ ur Q = 0 lautet dann der Energiesatz a . Πi2 − Πi1 = W12

(1.92)

29

Energieprinzipien

Hierbei wurden die Abk¨ urzungen  i

a W12

U dV ,

Π = V

 u2 = [ t · du] dA ∂V u1

(1.93)

f¨ ur die Form¨anderungsenergie des K¨orpers und f¨ ur die Arbeit der ¨außeren Kr¨afte zwischen den Zust¨anden 1 und 2 eingef¨ uhrt. Man nennt Πi auch elastisches Potential . 1.4.2

Prinzip der virtuellen Arbeit

Wir betrachten einen K¨orper im Gleichgewicht, auf dessen Teiloberfl¨achen ∂Vt ˆ vorgeschrieben sind. Die bzw. ∂Vu die Belastungen ˆt bzw. die Verschiebungen u statischen und die kinematischen Grundgleichungen hierf¨ ur lauten σij,j = 0 εij =

1 (ui,j 2

+ uj,i)

in V ,

σij nj = tˆi

auf ∂Vt ,

in V ,

ui = uˆi

auf ∂Vu .

(1.94)

ullt die Gleichgewichtsbedingungen Ein statisch zul¨assiges Spannungsfeld σ (1) erf¨ und die Randbedingungen auf ∂Vt . Analog gen¨ ugt ein kinematisch zul¨assiges Verschiebungsfeld u(2) bzw. Verzerrungsfeld ε(2) den kinematischen Beziehungen und den Randbedingungen auf ∂Vu . Multipliziert man nun die Gleichgewichtsbedingung f¨ ur σ (1) mit den Verschiebungen u(2) und integriert u ¨ber das Volumen V , so erh¨alt man aus (1.94) unter Verwendung des Gaußschen Satzes den allgemeinen Arbeitssatz    ˆt(1) · u(2) dA + ˆ (2) dA . σ(1) : ε(2) dV = t(1) · u (1.95) V

∂Vt

∂Vu

Aus (1.95) lassen sich verschiedene Gesetzm¨aßigkeiten herleiten. Verwendet man als Kraftgr¨oßen die zu einem Gleichgewichtszustand geh¨origen wirklichen Gr¨oßen und als kinematische Gr¨oßen die virtuellen Verschiebungen δu bzw. virtuellen Verzerrungen δε aus der Gleichgewichtslage, dann erh¨alt man das Prinzip der virtuellen Arbeit (Prinzip der virtuellen Verr¨ uckungen) δW i = δW a 

mit

 σ : δε dV ,

δW i = V

(1.96) ˆt · δu dA .

δW a =

(1.97)

∂Vt

Die virtuellen Verr¨ uckungen sind dabei als gedacht, infinitesimal und kinematisch zul¨assig zu verstehen. Befindet sich ein K¨orper im Gleichgewicht, so ist nach diesem Prinzip die bei einer virtuellen Verr¨ uckung geleistete Arbeit δW i der inneren Kr¨afte gleich der Arbeit δW a der a¨ußeren Kr¨afte.

30

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

¨ F¨ ur ein elastisches Material entspricht die Arbeit der inneren Kr¨afte der Anderung des elastischen Potentials. Nach (1.45) ist n¨amlich σ : δε = δU, woraus mit (1.97) und (1.93) die Beziehung δW i = δΠi folgt. Sind zus¨atzlich noch die ¨außeren Kr¨afte aus einem Potential herleitbar, so wird δW a = −δΠa , und man erh¨alt aus (1.96) δΠ = δ(Πi + Πa ) = 0 . (1.98) In der Gleichgewichtslage nimmt das Gesamtpotential Π demnach einen Station¨arwert an. Man kann zeigen, dass es sich dabei um ein Minimum handelt, sofern das Potential konvex ist: Π = Πi + Πa = Minimum .

(1.99)

Dies ist das Prinzip vom Station¨arwert (Minimum) des Gesamtpotentials. Es l¨asst sich auch in folgender Form ausdr¨ ucken: unter allen zul¨assigen (mit den kinematischen Randbedingungen vertr¨aglichen) Deformationen machen die wahren Deformationen das Potential Π zu einem Station¨arwert (Minimum). Angemerkt sein, dass das Potential bei einem linear elastischen Material und festen Spannungs- oder Verschiebungsrandbedingungen tats¨achlich konvex ist, in der Gleichgewichtslage also ein Minimum annimmt. Aus (1.95) ergibt sich das Prinzip der virtuellen Komplement¨ararbeit (Prinzip der virtuellen Kr¨afte), wenn man als Verschiebungsgr¨oßen die wirklichen Verschiebungen bzw. Verzerrungen einsetzt und als statisch zul¨assige Kraftgr¨oßen ¨ virtuelle Anderungen aus der Gleichgewichtslage verwendet. Dann folgt i = δ W a , δW wobei i = δW



a = δW

ε : δσ dV , V

(1.100)  ˆ · δt dA u

(1.101)

∂Vu

die Komplement¨ararbeiten der inneren und ¨außeren Kr¨afte sind. In Analogie zum Vorhergehenden f¨ uhren wir bei elastischem Material das innere Komplement¨arpotential  i = U  dV Π (1.102) V

 a,  a = −W ein. Existiert zus¨atzlich noch ein ¨außeres Komplement¨arpotential mit Π so ergibt sich aus (1.100)  a) = 0 .  = δ(Π i + Π δΠ

(1.103)

In der Gleichgewichtslage nimmt also auch das Komplement¨arpotential einen Sta konvex ist, was tion¨arwert an. Es handelt sich dabei um ein Minimum, wenn Π bei linear elastischen Systemen zutrifft:  =Π i + Π  a = Minimum . Π

(1.104)

31

Ebene Probleme

Man nennt dies das Prinzip vom Station¨arwert (Minimum) des Komplement¨arpotentials. Danach machen unter allen zul¨assigen (mit den statischen Randbedingungen vertr¨aglichen) Spannungsfeldern die wahren Spannungen das Komplement¨arpotential zu einem Station¨arwert (Minimum). 1.4.3

Satz von Clapeyron, Satz von Betti

Wir f¨ uhren jetzt in (1.95) als statische und kinematische Gr¨oßen die wirklichen, aktuellen Gr¨oßen ein. Setzt man die ¨außeren Kr¨afte als Totlasten voraus (t = t(x)), so entspricht die rechte Seite von (1.95) der Arbeit W a dieser Kr¨afte vom undeformierten zum aktuellen, deformierten Zustand. Da Totlasten ein Potential besitzen, gilt zudem W a = −Πa . F¨ ur ein linear elastisches Material wird die linke Seite von (1.95) mit σ : ε = 2 U und (1.94) zu 2 Πi . Damit erh¨alt man den Satz von Clapeyron (B.P.E. Clapeyron, 1799-1864) 2 Πi + Πa = 0 .

(1.105)

Im Sonderfall eines inkompressiblen nichtlinear elastischen Materials in Form des Potenzgesetzes (1.56) erh¨alt man unter Verwendung von (1.58) f¨ ur die linke Seite i Π und damit von (1.95) zun¨achst n+1 n n+1 i Π + Πa = 0 . n

(1.106)

Wir betrachten nun nochmals den Fall eines linear elastischen Materials mit dem Elastizit¨atsgesetz σij = Cijkl εkl (vgl.(1.35a)). Wegen der Symmetrie des (1) (2) (2) (1) Elastizit¨atstensors (Cijkl = Cjikl = Cijlk = Cklij ) gilt allgemein σij εij = σij εij . Integration u ¨ ber das Volumen liefert mit dem Arbeitssatz (1.95) den Satz von Betti (Reziprozit¨atstheorem, E. Betti, 1823-1892)   t(1) · u(2) dA = t(2) · u(1) dA . (1.107) ∂V

∂V

Danach sind f¨ ur zwei verschiedene Belastungszust¨ande (1), (2) eines K¨orpers die Arbeiten der Randlasten des einen Zustandes an den Verschiebungen des anderen Zustandes jeweils gleich.

1.5 1.5.1

Ebene Probleme Allgemeines

Probleme der Festk¨orpermechanik sind vielfach ebene (zweidimensionale) Probleme, oder sie k¨onnen n¨aherungsweise als solche beschrieben werden. Besonders wichtig f¨ ur die Anwendungen sind der ebene Verzerrungszustand (EVZ) und der

32

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

ebene Spannungszustand (ESZ). Daneben besitzt der longitudinale (,,nichtebene”) Schubspannungszustand noch eine gewisse Bedeutung. Zu ihrer Darstellung bedienen wir uns im weiteren der technischen Notation mit den Koordinaten x, y, z, den Verschiebungen u, v, w, den Verzerrungen εx , γxy , . . . und den Spannungen σx , τxy , . . . . Der ebene Verzerrungszustand ist dadurch gekennzeichnet, dass die Dehnungen bzw. Verschiebungen in einer Richtung (z.B. in z-Richtung) verhindert sind. In diesem Fall sind w, εz , γxz , γyz , τxz , τyz Null, und alle anderen Gr¨oßen h¨angen nur von x und y ab. Die Gleichgewichtsbedingungen (ohne Volumenkr¨afte), die kinematischen Beziehungen und die Kompatibilit¨atsbedingungen reduzieren sich dann auf ∂σx ∂τxy ∂τxy ∂σy + =0, + =0, (1.108) ∂x ∂y ∂x ∂y εx =

∂u , ∂x

εy =

∂v , ∂y

γxy =

∂u ∂v + , ∂y ∂x

∂ 2 γxy ∂ 2 εx ∂ 2 εy + = . 2 2 ∂y ∂x ∂x∂y

(1.109) (1.110)

Auch das Stoffgesetz vereinfacht sich. So erh¨alt man zum Beispiel aus (1.38) f¨ ur ein isotropes, linear elastisches Material εx =

1−ν 2 ν 1−ν 2 ν τxy (σx − σy ) , εy = (σy − σx ) , γxy = E 1−ν E 1−ν G

(1.111)

sowie σz = ν(σx + σy ). Beim ebenen Spannungszustand wird angenommen dass σz , τxz , τyz , γxz , γyz verschwinden und die restlichen Spannungen und Verzerrungen von z unabh¨angig sind. Ein entsprechender Zustand tritt n¨aherungsweise (nicht exakt) in Scheiben auf, deren Dicke klein ist im Vergleich zu den Abmessungen in der Ebene und die nur durch Kr¨afte in der Ebene belastet werden. Die Gleichgewichtsbedingungen, die kinematischen Beziehungen und die Kompatibilit¨atsbedingung stimmen mit den Gleichungen (1.108 – 1.110) des EVZ u ¨berein. Die Verschiebungen u, v, w sind jetzt allerdings im allgemeinen von z abh¨angig. Das Stoffgesetz lautet im Fall der linearen Elastizit¨at bei Isotropie εx =

1 (σx − νσy ) , E

εy =

1 (σy − νσx ) , E

γxy =

τxy ; G

(1.112)

außerdem gilt Eεz = −ν(σx + σy ). Die Gleichungen (1.112) weichen von (1.111) nur durch ge¨anderte Elastizit¨atskonstanten ab. L¨osungen von Randwertproble¨ men des EVZ k¨onnen demnach durch Anderung der elastischen Konstanten auf den ESZ u ¨bertragen werden und umgekehrt. H¨aufig ist es erforderlich, die Spannungen in einem zum x, y-System um den Winkel ϕ gedrehten ξ, η-System anzugeben (Bild 1.8). Die entsprechenden Trans-

33

Ebene Probleme

formationsbeziehungen erh¨alt man aus (1.6) zu 1 1 (σx + σy ) + (σx − σy ) cos 2ϕ + τxy sin 2ϕ , 2 2 1 1 (1.113) ση = (σx + σy ) − (σx − σy ) cos 2ϕ − τxy sin 2ϕ , 2 2 1 τξη = − (σx − σy ) sin 2ϕ + τxy cos 2ϕ . 2 Sie k¨onnen auch durch den Mohrschen Kreis in Bild 1.8 veranschaulicht werden. σξ =

τ τmax

τxy 2ϕ

η

y

ση

ξ ϕ

2ϕ

σy

σξ σ1

σx

σ2

τξη ∗

σ

x −τmax Bild 1.8 Mohrscher Spannungskreis Eine Hauptrichtung ist sowohl im EVZ als auch im ESZ durch die z-Richtung gegeben. Die beiden anderen liegen in der x, y-Ebene; die hierzu geh¨origen Hauptspannungen und Hauptrichtungen sind durch  σx + σy σx − σy 2 2τxy 2 , σ1,2 = tan 2ϕ∗ = (1.114) ± ( ) + τxy 2 2 σx − σy bestimmt. In Schnitten unter ϕ∗∗ = ϕ∗ ± π/4 tritt die Hauptschubspannung  σ1 − σ2 σx − σy 2 2 = ( ) + τxy τ3 = (1.115) 2 2 auf. Sie ist f¨ ur σ1 ≥ σz ≥ σ2 auch die maximale Schubspannung τmax . Die hier angegebenen Formeln f¨ ur die Spannungen k¨onnen sinngem¨aß auf die Verzerrungen, die Verzerrungsinkremente und die Verzerrungsgeschwindigkeiten u ¨bertragen werden. Der nichtebene oder longitudinale Schubspannungszustand zeichnet sich dadurch aus, dass alle Gr¨oßen bis auf w, γxz , γyz , τxz , τyz verschwinden; diese sind wiederum unabh¨angig von z. Die Gleichgewichtsbedingung, die kinematischen Beziehungen und die Kompatibilit¨atsbedingung lauten in diesem Fall ∂τxz ∂τyz + =0, ∂x ∂y

γxz =

∂w , ∂x

γyz =

∂w , ∂y

∂γxz ∂γyz = . ∂y ∂x

(1.116)

34

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

F¨ ur linear elastisches Material gilt das Stoffgesetz γxz = τxz /G ,

γyz = τyz /G .

(1.117)

Seiner Einfachheit wegen wird der longitudinale Schubspannungszustand h¨aufig als Modellfall herangezogen. In der Plastizit¨at und Viskoelastizit¨at werden die Deformationen in der Regel nicht unmittelbar durch die totalen Verschiebungen und Verzerrungen sondern durch deren Inkremente bzw. durch Geschwindigkeiten beschrieben. In diesem Fall sind in den vorhergehenden Gleichungen die kinematischen Gr¨oßen sinngem¨aß zu ersetzen. 1.5.2

Lineare Elastizit¨ at, Komplexe Methode

Zur L¨osung von ebenen Problemen der linearen Elastizit¨atstheorie existiert eine Reihe von Verfahren. Eines der fruchtbarsten ist die Methode der komplexen Spannungsfunktionen, die hier kurz erl¨autert werden soll. Bei diesem L¨osungsverfahren werden die Spannungen und Verschiebungen als Funktionen der komplexen Variablen z = x + iy = reiϕ bzw. der konjugiert komplexen Variablen z = x − iy = re−iϕ aufgefasst. Man kann dann zeigen, dass L¨osungen der Grundgleichungen des EVZ und des ESZ aus nur zwei komplexen Funktionen Φ(z) und Ψ(z) konstruiert werden k¨onnen. Ihr Zusammenhang mit den kartesischen Komponenten von Spannung und Verschiebung ist durch die Kolosovschen Formeln σx + σy = 2[Φ (z) + Φ (z)] , σy − σx + 2iτxy = 2[zΦ (z) + Ψ (z)] ,

(1.118a)

2 μ (u + iv) = κΦ(z) − zΦ (z) − Ψ(z) , mit

 κ=

3 − 4ν EVZ (3 − ν)/(1 + ν) ESZ

(1.118b)

gegeben. Vielfach ist es zweckm¨aßig, Polarkoordinaten r, ϕ (Bild 1.9) zu verwenden; dann gilt σr + σϕ = 2[Φ (z) + Φ (z)] , σϕ − σr + 2iτrϕ = 2[zΦ (z) + Ψ (z)z/z] ,

(1.119)

2μ(ur + iuϕ ) = [κΦ(z) − zΦ (z) − Ψ(z)]e−iϕ . Bei der Formulierung von Randbedingungen werden verschiedentlich noch die Beziehungen zwischen Φ, Ψ und den resultierenden Kraftkomponenten X, Y auf

35

Ebene Probleme

uglich des Ursprungs ben¨otigt (Bild den Bogen AB bzw. deren Moment M bez¨ 1.9).Es gelten B X + iY =

 B (tx + ity )ds = −i Φ(z) + Ψ(z) + zΦ (z) , A

B

A

(x ty − y tx )ds = −Re [zzΦ (z) + zΨ(z) −

M=

(1.120)





Ψ(z)dz]B A

.

A

z y

t

ty

B r

ds

tx

ϕ x

s A

Bild 1.9 Komplexe Ebene L¨osungen des longitudinalen Schubspannungszustandes lassen sich besonders einfach darstellen. In diesem Fall k¨onnen die Spannungen und die Verschiebung aus alleine einer komplexen Funktion Ω(z) gewonnen werden: τxz − iτyz = (τrz − iτϕz )e−iϕ = Ω (z) , μ w = Re Ω(z) . 1.5.3

(1.121)

Idealplastisches Material, Gleitlinienfelder

Die L¨osung von Randwertproblemen der Plastomechanik gelingt in vielen F¨allen nur unter Einsatz numerischer Methoden, wie zum Beispiel des Verfahrens der Finiten Elemente. Eines der wenigen Verfahren, das eine weitgehend analytische Behandlung zul¨asst, ist die Gleitlinientheorie. Sie erlaubt die Untersuchung von Spannungen und Deformationen im Fall des ebenen Verzerrungszustandes bei Vorliegen eines starr-idealplastischen Materials, f¨ ur das wir hier die von Misessche Fließbedingung zugrunde legen wollen. ur die Aus der Bedingung dεpz = 0 folgt zun¨achst mit dεpij = dεij und (1.83a) f¨ Spannung sz = 0 bzw. σz = σ3 = (σx + σy )/2 = σm . Die Fließbedingung (1.77b) vereinfacht sich damit zu 2 (σx − σy )2 + 4τxy = 4k 2 ,

(1.122)

36

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

womit f¨ ur die Hauptspannungen σ1 = σm + k, σ2 = σm − k und f¨ ur die maximale Schubspannung τmax = k gelten. Die Fließbedingung stellt zusammen mit den Gleichgewichtsbedingungen (1.108) ein hyperbolisches System von drei Gleichungen f¨ ur die drei Unbekannten σx , σy und τxy dar. y β-Linie

yβ

α-Linie xα

σm

φ

k σm

φ

x Bild 1.10 Gleitlinien Es ist nun zweckm¨aßig ein orthogonales Netz von α- und β-Linien einzuf¨ uhren, deren Richtungen in jedem Punkt mit den Hauptschubspannungsrichtungen u ¨bereinstimmen (Bild 1.10). Da letztere mit den Richtungen maximaler Gleitungs¨anderung zusammenfallen nennt man sie Gleitlinien. Es sei angemerkt, dass diese Linien die Charakteristiken des hyperbolischen Gleichungssystems sind. Bezeichnet man den Winkel zwischen der x-Achse und der Tangente an die α-Linie (=Hauptschubspannungsrichtung) mit φ, so folgen mit (1.114) die Beziehungen σx = σm − k sin 2φ ,

σy = σm + k sin 2φ ,

τxy = k cos 2φ .

(1.123)

Sie erf¨ ullen die Fließbedingungen identisch. Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingungen (1.108) liefert ∂φ ∂φ ∂σm − 2 k cos 2φ − 2 k sin 2φ = 0, ∂x ∂x ∂y ∂σm ∂φ ∂φ − 2 k sin 2φ + 2 k cos 2φ = 0. ∂y ∂x ∂y Da die Wahl des Koordinatensystems x, y beliebig ist, k¨onnen wir auch ein lokales System xα , yβ verwenden, dessen Achsen in Richtung der Tangenten an die α- bzw. an die β-Linie zeigen (Bild 1.10). Mit φ = 0 vereinfachen sich die obigen Beziehungen dann zu gew¨ohnlichen Differentialgleichungen entlang der Gleitlinien: d d (σm − 2 k φ) = 0 , (σm + 2 k φ) = 0 . dxα dyβ

37

Ebene Probleme

Integration liefert die Henckyschen Gleichungen (H. Hencky, 1885-1952) σm − 2 k φ = Cα = const

entlang α-Linie ,

σm + 2 k φ = Cβ = const

entlang β-Linie .

(1.124)

Sie erlauben bei gegebenen Spannungsrandbedingungen die Bestimmung von Cα , Cβ und damit des Gleitlinien- und Spannungsfeldes. Liegen dagegen kinematische Randbedingungen vor, so reichen die Gleichungen (1.124) nicht aus. Es m¨ ussen dann noch die kinematischen Beziehungen herangezogen werden. Darauf soll hier jedoch nicht n¨aher eingegangen werden. Ohne Herleitung sei auf zwei geometrische Eigenschaften des Gleitlinienfeldes hingewiesen. Nach dem 1. Henckyschen Satz ist der Winkel zwischen zwei Gleitlinien einer Familie (α) im Bereich des Schnittes mit Gleitlinien der anderen Familie (β) konstant. Befindet sich danach in einer Familie ein Geradenst¨ uck, so besteht die gesamte Familie aus Geraden (z.B. parallele Geraden, F¨acher). Der 2. Henckysche Satz besagt, dass bei Fortschreiten l¨angs einer Gleitlinie sich der Kr¨ ummungsradius der orthogonalen Schar proportional zur zur¨ uckgelegten Strecke ¨andert. Erw¨ahnt sei noch, dass eine Gleitlinie auch eine Unstetigkeitslinie f¨ ur die Normalspannung tangential zur Gleitlinie bzw. f¨ ur die Tangentialgeschwindigkeit sein kann. Analog zum ebenen Verzerrungszustand l¨asst sich der longitudinale Schubspannungszustand behandeln. Hier lauten die Fließbedingung und die Gleichgewichtsbedingung ∂τxz ∂τyz 2 2 τxz + τyz = k2 = τF2 , + =0. (1.125) ∂x ∂y Wir f¨ uhren nun wieder α-Linien ein, deren Richtung φ die Schnitte kennzeichnet, in denen die Fließspannung τF auftritt; auf β-Linien k¨onnen wir verzichten. Mit τxz = −τF sin φ ,

τyz = τF cos φ

(1.126)

liefert dann die Gleichgewichtsbedingung dφ =0 . dxα

(1.127)

Die α-Linien sind demnach Geraden. Die Fließregel dεij = dεpij = dλ sij nach Abschnitt 1.3.3.2 l¨asst sich in diesem Fall mit ∂w ∂w , 2 ε23 = γyz = (1.128) 2 ε13 = γxz = ∂x ∂y als  d

∂w ∂x



∂(dw) = 2 dλ τxz , = ∂x

 d

∂w ∂y

 =

∂(dw) = 2 dλ τyz ∂y

(1.129)

38

Einige Grundlagen der Festk¨orpermechanik

schreiben. Ersetzt man das x, y-Koordinatensystem durch das gleichberechtigte xα , yβ -System, so nimmt sie mit (1.126) und φ = 0 die Form ∂(dw) =0, ∂xα

∂(dw) = 2 dλ τF ∂yβ

(1.130)

an. L¨angs der α-Linie sind die Verschiebungs¨anderungen dw danach konstant. Geht man von einem undeformierten Anfangszustand aus, so erfahren also beim Fließen alle Punkte auf einer α-Linie die gleiche Verschiebung w.

1.6

Literatur

Altenbach, J., Altenbach, H. (1994). Einf¨uhrung in die Kontinuumsmechanik. Teubner, Stuttgart Betten, J. (2001). Kontinuumsmechanik. Springer, Berlin Betten, J. (2002). Creep Mechanics. Springer, Berlin Chakrabarty, J. (1987). Theory of Plasticity. McGraw-Hill, New York Christensen, R.M. (1982). Theory of Viscoelasticity. Academic Press, New York Doghri, I. (2000). Mechanics of Deformable Solids. Springer, Berlin Eschenauer, H., Schnell, W. (1993). Elastizit¨atstheorie. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim Fung, Y.C. (1965). Foundations of Solid Mechanics. Prentice-Hall, Englewood Cliffs Gould, P.L. (1994). Introduction to Linear Elasticity. Springer, New York Hill, R. (1983). The mathematical theory of plasticity. Clarendon Press, Oxford Khan, A.S. and Huang, S. (1995). Continuum Theory of Plasticity. John Wiley & Sons, New York Lemaitre, J. and Chaboche, J.-L. (2000). Mechanics of Solid Materials. Cambridge University Press, Cambridge Lubliner, J. (1990). Plasticity Theory. Macmillan Publ. Comp., New York Maugin, G.A. (1992). The Thermomechanics of Plasticity and Fracture. Cambridge University Press, Cambridge

39 Mußchelischwili, N.I. (1971). Einige Grundaufgaben zur mathematischen Elastizit¨atstheorie. Hanser, M¨ unchen Nadai, A. (1963). Theory of Flow and Fracture of Solids, Vol. 1 & 2. McGrawHill, New York Rabotnov, Y.N. (1969). Creep Problems in Structural Members. North Holland, Amsterdam Sokolnikoff, I.S. (1956). The Mathematical Theory of Elasticity. McGraw-Hill, New York

2 Klassische Bruch- und Versagenshypothesen

In diesem Kapitel soll ein kurzer Einblick in einige klassische Bruch- und Versagenshypothesen f¨ ur statische Materialbeanspruchung gegeben werden. Das Wort klassich deutet in diesem Zusammenhang an, dass die meisten dieser Festigkeitshypothesen, wie sie auch genannt werden, schon ¨alteren Datums sind. Sie gehen teil¨ weise auf Uberlegungen Ende des 19. bzw. Anfang des 20. Jahrhunderts zur¨ uck, und sie sind untrennbar mit der Entwicklung der Festk¨orpermechanik verbunden. Durch die moderne Bruchmechanik wurden sie, was die Forschung betrifft, etwas in den Hintergrund gedr¨angt. Wegen ihrer weiten Verbreitung, die nicht zuletzt mit ihrer Einfachheit zusammenh¨angt, haben sie jedoch eine beachtliche Bedeutung.

2.1

Grundbegriffe

Festigkeitshypothesen sollen eine Aussage dar¨ uber machen, unter welchen Umst¨anden ein Material versagt. Ausgangspunkt sind dabei Experimente unter speziellen, meist einfachen Belastungszust¨anden. Als Beispiel sind in Bild 2.1 zwei typische Spannungs-Dehnungs-Verl¨aufe f¨ ur Materialien unter einachsigem Zug schematisch dargestellt. Bis zu einer bestimmten Grenze verhalten sich viele Werk¨ stoffe im wesentlichen rein elastisch. Bei duktilem Verhalten treten nach Uberschreiten der Fließgrenze plastische Deformationen auf. Die Bruchgrenze wird in diesem Fall erst nach hinreichend großen inelastischen Deformationen erreicht. Im Gegensatz dazu ist spr¨odes Materialverhalten dadurch gekennzeichnet, dass vor dem Bruch keine bemerkenswerten inelastischen Deformationen auftreten. σ

σ Bruch

σB

Bruch

σB Fließen

σF

a)

ε b) Bild 2.1 Materialverhalten: a) duktil, b) spr¨od

D. Gross, T. Seelig, Bruchmechanik, DOI 10.1007/978-3-642-10196-0_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

ε

42

Klassische Bruch- und Versagenshypothesen

Abh¨angig von der Problemstellung kennzeichnet man h¨aufig die Festigkeit bzw. das Versagen eines Materials durch die Fließgrenze oder durch die Bruchgrenze. Gemeinsam ist beiden, dass sich an ihnen das Materialverhalten drastisch ¨andert. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass duktiles bzw. spr¨odes Verhalten keine reinen Stoffeigenschaften sind. Vielmehr hat der Spannungszustand einen wesentlichem Einfluss auf das Materialverhalten. Als Beispiel sei nur erw¨ahnt, dass ein hydrostatischer Spannungszustand bei Materialien, die als plastisch deformierbar gelten, im allgemeinen zu keinen inelastischen Deformationen f¨ uhrt. Unter bestimmten Beanspruchungen kann sich ein solcher Werkstoff also durchaus spr¨ode verhalten. Wir nehmen nun an, dass sowohl f¨ ur den betrachteten einfachen Belastungszustand als auch f¨ ur eine beliebig komplexe Beanspruchung das Verhalten des Materials und damit auch die Versagensgrenze alleine durch den aktuellen Spannungszustand oder Verzerrungszustand charakterisierbar sind. Dann kann die Versagensbedingung durch F (σij ) = 0

oder

G(εij ) = 0

(2.1)

ausgedr¨ uckt werden. Wie die Fließbedingung, die ja durch (2.1) miterfasst wird, kann man die Versagensbedingung F (σij ) = 0 als Versagensfl¨ache im sechsdimensionalen Raum der Spannungen bzw. im dreidimensionalen Raum der Hauptspannungen deuten. Ein Spannungszustand σij auf der Fl¨ache F = 0 charakterisiert dabei Versagen infolge Fließen oder Bruch. Eine Versagensbedingung der Art (2.1) setzt voraus, dass der Materialzustand beim Versagen unabh¨angig von der Deformationsgeschichte ist. Dies kann mit hinreichender Genauigkeit auf das erstmalige Einsetzen des plastischen Fließens bei duktilen Materialien oder auf den Bruch von spr¨oden Werkstoffen zutreffen. Daneben muss das Material bis zum Erreichen der Versagensgrenze als Kontinuum ohne makroskopische Defekte aufgefasst werden k¨onnen. Das bedeutet insbesondere, dass nicht etwa makroskopische Risse das Verhalten eines Werkstoffes bestimmen. Der Deformationsprozess bei plastisch verformbaren Werkstoffen – hierzu z¨ahlt man h¨aufig auch Beton oder geologische Materialien – nach Erreichen der Fließgrenze kann durch die Fließregel beschrieben werden. Die Kinematik des Bruches bei spr¨odem Materialverhalten wird durch letztere nicht bestimmt. Einfache kinematische Aussagen sind dann im allgemeinen nur bei speziellen Spannungszust¨anden m¨oglich.

2.2

Versagenshypothesen

Es ist formal m¨oglich, beliebig viele Versagenshypothesen vom Typ (2.1) aufzustellen. Im folgenden sind einige g¨angige Bedingungen zusammengestellt, von denen ein Teil auf bestimmte Materialklassen mit technisch hinreichender

43

Versagenshypothesen

Genauigkeit angewendet werden kann. Ein Teil hat allerdings nur noch historische Bedeutung. Auf die von Misessche und die Trescasche Fließbedingung wird hier nicht nochmals eingegangen; sie sind in Abschnitt 1.3.3.1 diskutiert. 2.2.1

Hauptspannungshypothese

Diese Hypothese geht auf W.J.M. Rankine (1820–1872), G. Lam´e (1795–1870) und C.L. Navier (1785–1836) zur¨ uck. Nach ihr wird das Materialverhalten durch zwei Kennwerte – die Zugfestigkeit σz und die Druckfestigkeit σd - bestimmt. Versagen wird angenommen, wenn die gr¨oßte Hauptnormalspannung den Wert σz oder die kleinste Hauptnormalspannung die Grenze −σd erreicht, das heißt, wenn eine der Bedingungen    σz , σz , σz , (2.2) σ1 = σ2 = σ3 = −σd , −σd , −σd erf¨ ullt ist. Die zugeh¨orige Versagensfl¨ache im Raum der Hauptspannungen ist durch die Oberfl¨ache eines W¨ urfels gegeben (Bild 2.2a). Als Versagenskurve f¨ ur den ebenen Spannungszustand (σ3 = 0) ergibt sich ein Quadrat (Bild 2.2b). σ3 σz −σd

σ3 = 0 σ2

−σd

σ2 σz σz σ1

σz −σd

σ1 b)

a)

Bild 2.2 Hauptspannungshypothese Die Hauptspannungshypothese soll in erster Linie das spr¨ode Versagen von Werkstoffen beschreiben. Bei Zugbeanspruchung verbindet man mit ihr im allgemeinen die kinematische Vorstellung einer Dekoh¨asion der Schnittfl¨achen senkrecht zur gr¨oßten Hauptspannung. Die Hypothese vernachl¨assigt den Einfluss von zwei Hauptspannungen auf das Versagen; sie ist nur recht eingeschr¨ankt anwendbar. 2.2.2

Hauptdehnungshypothese

Bei der von de Saint-Venant (1797–1886) und C. Bach (1889) vorgeschlagenen Hypothese wird angenommen, dass Versagen eintritt, wenn die gr¨oßte Hauptdehnung einen kritischen Wert εz annimmt. Setzt man linear elastisches Verhalten

44

Klassische Bruch- und Versagenshypothesen

bis zum Versagen voraus und f¨ uhren wir mit σz = Eεz die kritische Spannung σz ein, so folgen die Versagensbedingungen σ1 − ν(σ2 + σ3 ) = σz ,

σ2 − ν(σ3 + σ1 ) = σz ,

σ3 − ν(σ1 + σ2 ) = σz . (2.3)

Die Versagensfl¨ache wird in diesem Fall durch eine dreifl¨achige Pyramide um die hydrostatische Achse mit dem Scheitel bei σ1 = σ2 = σ3 = σz /(1 − 2ν) gebildet (Bild 2.3a). Die Versagenskurve f¨ ur den ebenen Spannungszustand ist in Bild 2.3b dargestellt. hydrostatische Achse

σ3 −σd

σ3 = 0

σz σ2

−σd

σ2 σz

−σd σz

σz

σ1

σ1

−σd a)

b) Bild 2.3 Hauptdehnungshypothese

Nach dieser Hypothese m¨ usste Versagen unter einachsigem Druck bei einem Betrag σd = σz /ν auftreten. F¨ ur die meisten Werkstoffe widerspricht dies der experimentellen Erfahrung. 2.2.3

Form¨ anderungsenergiehypothese

Die Hypothese von E. Beltrami (1835-1900) postuliert Versagen, wenn die Form¨anderungsenergiedichte U einen materialspezifischen kritischen Wert Uc erreicht: U = Uc . Dabei wird in der Regel von linear elastischem Verhalten bis zum Versagen ausgegangen. F¨ uhrt man mit Uc = σc2 /2E eine einachsige Versagensspannung σc ein und dr¨ uckt man U = UV + UG unter Verwendung von (1.50) durch die Hauptspannungen aus, so ergibt sich (1 + ν)[(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ] + (1 − 2ν)(σ1 + σ2 + σ3 )2 = 3σc2 . (2.4) Die entsprechende Versagensfl¨ache ist ein Rotationsellipsoid um die hydrostati sche Achse mit den Scheiteln bei σ1 = σ2 = σ3 = ±σc / 3(1 − 2ν). Nach dieser Hypothese kommt es bei hinreichend großen hydrostatischem Druck immer zum Versagen; dies steht in Widerspruch zu experimentellen Ergebnissen. L¨asst man in U den Anteil UV der Volumen¨anderungsenergiedichte weg (inkompressibles Material), so geht die Beltramische Hypothese in die von Misessche Fließbedingung u ¨ ber.

45

Versagenshypothesen

In neuerer Zeit wurde die Form¨anderungsenergiehypothese in modifizierter Form wieder zur Verwendung in Rissausbreitungskriterien vorgeschlagen (vgl. S-Kriterium, Abschnitt 4.9). 2.2.4

Coulomb-Mohr Hypothese

Diese Hypothese soll vor allem das Versagen infolge Gleiten bei geologischen und granularen Materialien, wie zum Beispiel Sand, Gestein oder B¨oden beschreiben. Solche Materialien k¨onnen Zugspannungen nicht oder nur in beschr¨anktem Maße aufnehmen. Zur physikalischen Motivierung gehen wir von einer beliebigen Schnittfl¨ache aus, in welcher die Normalspannung −σ (Druck) und die Schubspannung τ herrschen. Das Coulombsche Reibungsgesetz – angewandt auf die Spannungen – postuliert Gleiten, wenn τ einen kritischen Wert annimmt, der proportional zur Druckspannung −σ ist: | τ |= −σ tan ρ. Darin ist ρ der materialabh¨angige Reibungswinkel . F¨ ur −σ → 0 folgt aus diesem Gesetz auch | τ |→ 0; Zugspannungen k¨onnen in diesem Fall nicht auftreten. Vielfach setzt Gleiten f¨ ur σ = 0 allerdings erst bei einer endlichen Schubspannung ein. Auch k¨onnen die Materialien h¨aufig beschr¨ankte Zugspannungen aufnehmen. Es bietet sich dann an, von der modifizierten Gleitbedingung | τ |= −σ tan ρ + c

(2.5)

auszugehen. Diese ist als Coulomb-Mohr-Hypothese bekannt (C.A. Coulomb (1736– 1806); O. Mohr (1835–1918)). Den Parameter c bezeichnet man als Koh¨asion. σ3

τ A 2Θ σ3

σ2

τ σ σ1 A

a)

c

−σd σz

ρ

−σd σ

hydrostatische Achse

σ2

σ2

σ3 = 0 σz −σd

σ1 σz

σz σ1

c/ tan ρ

−σd

−σd b)

c)

Bild 2.4 Coulomb-Mohr-Hypothese Im σ-τ -Diagramm entsprechen der Gleitbedingung (2.5) zwei Geraden, welche die Einh¨ ullende der zul¨assigen Mohrschen Kreise bilden (Bild 2.4a). Gleiten tritt f¨ ur diejenigen Spannungszust¨ande ein, bei denen der gr¨oßte Mohrsche Kreis die Einh¨ ullende gerade tangiert. F¨ ur die zugeh¨origen Hauptspannungen liest man die

46 Bedingung

Klassische Bruch- und Versagenshypothesen

  | σ1 − σ3 | c σ1 + σ3 = − sin ρ 2 tan ρ 2

(2.6)

ab. Hieraus ergibt sich zum Beispiel die Zugfestigkeit bei einachsiger Beanspruchung mit σ1 = σz und σ3 = 0 zu σz = 2c cos ρ/(1 + sin ρ); analog folgt die Druckfestigkeit mit σ1 = 0 und σ3 = −σd zu σd = 2c cos ρ/(1 − sin ρ). Angemerkt sei noch, dass (2.6) als Spezialfall f¨ ur ρ → 0 die Trescasche Fließbedingung beinhaltet (vgl. Abschnitt 1.3.3.1). Es ist manchmal zweckm¨aßig, anstelle der Parameter ρ und c die Materialkennwerte σd und κ = σd /σz zu verwenden. Aus (2.6) ergibt sich dann, dass f¨ ur Gleiten eine der folgenden Bedingungen erf¨ ullt sein muss:    κσ2 − σ1 κσ3 − σ2 κσ1 − σ3 (2.7) = σd , = σd , = σd . −σ1 + κσ3 −σ2 + κσ1 −σ3 + κσ1 Hierbei wurden die Hauptspannungen nicht von vornherein ihrer Gr¨oße nach geordnet. Die zugeh¨orige Versagensfl¨ache ist eine sechsfl¨achige Pyramide um die hydrostatische Achse (Bild 2.4b). Ihr Scheitel befindet sich bei σ1 = σ2 = σ3 = σd /(κ − 1). Die Versagenskurve im ebenen Spannungszustand wird durch das in Bild 2.4c dargestellte Sechseck gebildet. Wie eingangs erw¨ahnt, nimmt man an, dass Gleiten in Schnitten stattfindet, in welchen (2.5) erf¨ ullt ist. Ihnen entsprechen in Bild 2.4a die Punkte A und A . Die Normale der Gleitebene liegt demgem¨aß in der von der gr¨oßten Hauptspannung σ1 und der kleinsten Hauptspannung σ3 aufgespannten Ebene. Sie schließt mit der Richtung von σ1 die Winkel Θ1,2 = ±(45◦ − ρ/2)

(2.8)

ein. Die mittlere Hauptspannung σ2 hat nach dieser Hypothese keinen Einfluss auf das Versagen und den Versagenswinkel. Hingewiesen sei noch auf die Tatsache, dass Versagen entlang der durch (2.8) bestimmten Fl¨ache nur dann eintritt, falls dies auch kinematisch m¨oglich ist. Das Ergebnis (2.8) f¨ ur die Orientierung der Versagensfl¨ache wird unter anderem in der Geologie dazu benutzt, um unterschiedliche Typen von Verwerfungen der Erdkruste zu erkl¨aren. Dabei wird davon ausgegangen, dass alle Hauptspannungen Druckspannungen sind (|σ3 | ≥ |σ2 | ≥ |σ1 |) und in vertikaler Richtung (senkrecht zur Erdoberfl¨ache) bzw. horizontaler Richtung wirken. Eine NormalVerwerfung wird danach mit einer Situation erkl¨art, bei der die vertikale Hauptspannung betragsm¨aßig gr¨oßer ist als die in horizontaler Richtung wirkenden Hauptspannungen (Bild 2.5a). Bei einer Schiebe-Verwerfung wird dagegen angenommen, dass die vertikale Druckspannung die betragsm¨aßig kleinste Hauptspannung ist (Bild 2.5b). Schließlich bringt man eine durchlaufende Verwerfung in Verbindung mit einem vertikalen Druck σ2 , der betragsm¨aßig zwischen der gr¨oßten und der kleinsten Hauptspannung liegt (Bild 2.5c).

47

Versagenshypothesen

σ3

σ1

σ2

σ3

σ1

σ3

θ a)

θ

σ1

θ

b)

c)

Bild 2.5 Verwerfungen Aus Experimenten geht hervor, dass die Coulomb-Mohr-Hypothese das Verhalten verschiedener Materialien zwar im Druckbereich gut, doch im Zugbereich weniger gut beschreibt. Verantwortlich hierf¨ ur kann in verschiedenen F¨allen eine ¨ Anderung des Versagensmechanismus gemacht werden. Dies trifft insbesondere dann zu, wenn im Zugbereich Versagen nicht infolge Gleiten eintritt, sondern mit einer Dekoh¨asion der Schnittfl¨achen senkrecht zur gr¨oßten Zugspannung verbunden ist. Eine M¨oglichkeit zur Verbesserung der Versagensbedingung besteht dann zum Beispiel darin, die Versagensfl¨ache durch Normalspannungsabschnitte (tension cutoff ) zu modifizieren (Bild 2.6). hydrostatische Achse

σ3 −σd

σ3 = 0 σ2

σz −σd

−σd

σ2 σz

σ1 σz

σz σ1 −σd

−σd a)

b) Bild 2.6 Tension cutoff

Die Hypothese (2.5) geht von einem linearen Zusammenhang zwischen τ und σ aus. Eine Verallgemeinerung der Art | τ |= h(σ)

(2.9)

wurde von O. Mohr (1900) vorgeschlagen, wobei die Funktion h(σ) experimentell zu bestimmen ist. Letztere stellt im σ-τ -Diagramm die Einh¨ ullende der zul¨assigen Mohrschen Kreise dar (Bild 2.7). Wie schon bei der Hypothese (2.5) hat auch hier die mittlere Hauptspannung σ2 keinen Einfluss auf das Versagen. Insofern

48

Klassische Bruch- und Versagenshypothesen

kann man beide als spezielle (nicht allgemeine) Formen einer Versagensbedingung F (σ1 , σ3 ) = 0 ansehen. τ

τ = h(σ)

σ3

σ2

σ1

σ

Bild 2.7 Mohrsche Versagenshypothese

2.2.5

Drucker-Prager-Hypothese

Nach der Hypothese von D.C. Drucker (1918-) und W. Prager (1903-1980) kommt es zum Versagen, wenn die Bedingung  (2.10a) F (Iσ , IIs ) = α Iσ + IIs − k = 0 erf¨ ullt ist. Darin sind Iσ , IIs Invarianten des Spannungstensors bzw. seines  Deviators und α, k Materialparameter. Mit σm = σoct = Iσ /3 und τoct = 2 IIs /3 kann man (2.10a) ¨ahnlich wie die Mohr-Coulomb-Hypothese deuten. Versagen tritt danach ein, wenn die Oktaederschubspannung τoct einen Wert annimmt, der linear von der mittleren Normalspannung σm abh¨angt (vgl. (2.5)):  √ (2.10b) τoct = − 6 α σm + 2/3 k . Die durch (2.10a,b) aufgespannte Versagensfl¨ache im Raum der Hauptspannungen bildet einen Kreiskegel um die hydrostatische Achse mit dem Scheitel bei ur den ebenen σ1 = σ2 = σ3 = k/3α (Bild 2.8a). Die zugeordnete Versagenskurve f¨ Spannungszustand (σ3 = 0) ist eine Ellipse (Bild 2.8b). Wie die Coulomb-MohrHypothese findet die Drucker-Prager-Hypothese als Fließ- bzw. Bruchbedingung vorwiegend Anwendung bei granularen und geologischen Materialien. F¨ ur α = 0 geht sie in die von Misessche Fließbedingung u ¨ber. Experimente zeigen, dass in manchen F¨allen die Beschreibung der Versagensbedingung mittels zweier Materialparameter nicht hinreichend ist. Sie muss dann geeignet modifiziert werden. Als Beispiel sei eine M¨oglichkeit der Erweiterung der Drucker-Prager-Hypothese angegeben, welche verschiedentlich Anwendung findet:  F (Iσ , IIs ) = α Iσ + IIs + β Iσ2 − k = 0 . (2.11)

49

Deformationsverhalten beim Versagen

Darin ist β ein weiterer Materialkennwert. hydrostatische Achse

σ3 σz −σd

σz =

k √ α + 1/ 3

−σd σz

σz −σd

a)

σ2

σ2

σ1

−σd =

σ1

k √ α − 1/ 3

b) Bild 2.8 Drucker-Prager-Hypothese

2.3

Deformationsverhalten beim Versagen

Die Versagensbedingungen alleine lassen keinen unmittelbaren Schluss auf das Deformationsverhalten bzw. die Kinematik beim Versagen zu. Aussagen hieru ¨ber kann man nur dann machen, wenn mit der Versagenhypothese a priori eine bestimmte kinematische Vorstellung verbunden ist, oder wenn man eine solche Annahme zus¨atzlich einf¨ uhrt.

σ1

σ1

τ σ

σ1 a)

b) Bild 2.9 Bruch߬achen

Beim Versagen infolge Bruch wird ein K¨orper in zwei oder mehrere Teile getrennt. Dies geht einher mit der Schaffung neuer Oberfl¨achen, d.h. der Bildung von Bruchfl¨achen. Der dabei ablaufende kinematische Vorgang kann mit einfachen Mitteln nicht beschrieben werden. Nur bei hinreichend gleichf¨ormigen Spannungszust¨anden lassen sich Aussagen treffen, die sich an experimentellen Erfahrungen

50

Klassische Bruch- und Versagenshypothesen

orientieren. Letztere zeigen zwei Grundmuster der Bildung von Bruchfl¨achen. Beim normalfl¨achigen Bruch f¨allt die Bruchfl¨ache mit der Schnittfl¨ache zusammen, in der die gr¨oßte Hauptnormalspannung wirkt; diese muss eine Zugspannung sein (Bild 2.9a). Wird die Bruchfl¨ache dagegen von Schnitten gebildet, in denen eine bestimmte Schubspannung (z.B. τmax , τoct etc.) einen kritischen Wert annimmt, so spricht man von einem scherfl¨achigen Bruch (Bild 2.9b). Abh¨angig vom Spannungszustand und vom Materialverhalten treten diese beiden Typen auch in vielf¨altigen Mischformen auf. Kennzeichnet “Versagen” das Einsetzen von Fließen, so entspricht die Versagensbedingung einer Fließbedingung. Im Rahmen der inkrementellen Plastizit¨at lassen sich dann die beim Fließen auftretenden Deformationen mit Hilfe der Fließregel dεpij = dλ ∂F/∂σij beschreiben (vgl. Abschnitt 1.3.3.2). F¨ ur die von Misessche und die Trescasche Fließbedingung sind die entsprechenden Gleichungen in (1.83a) und (1.84) zusammengestellt. Als Beispiel seien hier noch die inkrementellen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen f¨ ur das Drucker-Prager-Modell angegeben. Vorausgesetzt sei dabei, dsss die Fließfl¨ache unabh¨angig von der Deformationsgeschichte ist (ideal plastisches Material). Die Fließregel liefert in diesem Fall mit (2.10a,b), Iσ = σkk = σij δij und IIs = 12 sij sij formal das Ergebnis   sij p √ dεij = dλ α δij + . (2.12) 2 IIs Auf die Bestimmung von dλ sei hier verzichtet. Es sei angemerkt, dass nach (2.12) im allgemeinen plastische Volumen¨anderungen auftreten; f¨ ur das entsprechende Inkrement ergibt sich dεpkk = 3α dλ. Experimente legen allerdings nahe, dass bei granularen Materialien die assoziierte Fließregel nicht g¨ ultig ist. Fließen erfolgt hier also nicht senkrecht zur Fließfl¨ache. Gleichung (2.12) sollte folglich f¨ ur solche Werkstoffe nicht verwendet werden.

2.4

¨ Ubungsaufgaben

Aufgabe 2.1 a) Leiten Sie f¨ ur das rotationssymmetrische ebene Problem eines linear-elastischen dickwandigen Zylinders (Innenradius ri , Außenradius ra ) unter Innendruck p die Spannungsverteilung her. Verwenden Sie dazu die komplexen Potentiale Φ(z) = Az

,

Ψ(z) =

B . z

ri p

b) Bestimmen Sie potentielle Versagensorte im Zylinder gem¨aß dem Hauptnormalspannungskriterium und dem Hauptschubspannungskriterium.

ra

Klassische Bruch- und Versagenshypothesen

51

L¨ osung a)

σϕϕ (r) = p

(ra /r)2 + 1 = σ1 > 0 (ra /ri )2 − 1

σrr (r) = −p

(ra /r)2 − 1 = σ2 < 0 (ra /ri )2 − 1

σrϕ = 0 b) Versagen nach dem Hauptnormalspannungskriterium findet wegen σϕϕ = σ1 > 0 auf Fl¨achen senkrecht zur Umfangsrichtung (d.h. in radialer Richtung) statt. Die Hauptschubspannungslinien verlaufen wegen σrϕ = 0 u ¨ berall im Zylinder unter 45◦ zur radialen (bzw. Umfangs-) Richtung; sie sind demnach durch die Differentialbeziehung dr = rdϕ gegeben, deren L¨osung ϕ(r) = ϕ0 + ln(r/ri ) logarithmische Spiralen beschreibt.

2.5

Literatur

Gould, P.L. (1994). Introduction to Linear Elasticity. Springer, New York Paul, B. (1968). Macroscopic Criteria for Plastic Flow and Brittle Fracture. In Fracture – A Treatise, Vol. 2, ed. H. Liebowitz, pp. 315-496, Academic Press, London Nadai, A. (1950). Theory of Flow and Fracture of Solids, Vol. 1. McGraw-Hill, New York

3 Ursachen und Erscheinungsformen des Bruchs

Die Ursachen und Erscheinungsformen des Bruchs sind sehr vielgestaltig. Dies liegt daran, dass die Ph¨anomene entscheidend von den mikroskopischen Eigenschaften des Werkstoffes bestimmt werden, welche wiederum von Material zu Material stark variieren. In diesem Buch steht die kontinuumsmechanische Beschreibung des makroskopischen Bruchverhaltens im Vordergrund. Hierf¨ ur ist es jedoch vorteilhaft, einen gewissen Eindruck vom mikroskopischen Geschehen zu besitzen. Aus diesem Grund sind in diesem Kapitel sowohl einige mikroskopische als auch makroskopische Aspekte zusammengestellt. Erstere haben allerdings nur exemplarischen Charakter und orientieren sich an Erscheinungen in kristallinen bzw. polykristallinen Materialien, zu denen unter anderen die Metalle z¨ahlen.

3.1 3.1.1

Mikroskopische Aspekte Ober߬ achenenergie, Theoretische Festigkeit

Bruch ist die Trennung eines urspr¨ unglich ganzen K¨orpers in zwei oder mehrere Teile. Dabei werden die Bindungen zwischen den Bausteinen des Materials gel¨ost. Auf mikroskopischer Ebene sind dies zum Beispiel die Bindungen zwischen Atomen, Ionen, Molek¨ ulen etc.. Die Bindungskraft zwischen solchen zwei Elementen kann durch eine Beziehung a b F =− m+ n (3.1) r r ausgedr¨ uckt werden (Bild 3.1a). Darin sind a, b, m, n (m < n) Konstanten, die vom Typ der Bindung abh¨angen. F¨ ur kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage d0 kann F (r) durch einen linearen Verlauf approximiert werden; dies entspricht einem Stoffgesetz, wie es sich makroskopisch im Hookeschen Gesetz manifestiert. Bei der L¨osung der Bindung, d.h. der Trennung der Elemente, leistet die Bindungskraft eine materialspezifische Arbeit W B , die negativ ist. Infolge der Trennung a¨ndert sich zum Beispiel bei einem idealen Kristall die Gittergeometrie in ¨ der unmittelbaren Umgebung der neugeschaffenen Oberfl¨ache. Diese Anderung ist auf einige Gitterabst¨ande ins Innere hinein beschr¨ankt. Sieht man von etwaigen dissipativen Vorg¨angen ab, und betrachtet man das Material vom makroskopischen Standpunkt als Kontinuum, so kann man die Arbeit der Bindungskr¨afte als Oberfl¨achenenergie (= gespeicherte Energie an der Oberfl¨ache) wiederfinden.

D. Gross, T. Seelig, Bruchmechanik, DOI 10.1007/978-3-642-10196-0_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

54

Ursachen und Erscheinungsformen des Bruchs

σ

F F

σ

Hooke

σc r d0

d0 + x

d0 r

WB

d0

a)

a

σ

x

b)

Bild 3.1 Theoretische Festigkeit Diese ist definiert als Γ0 = γ 0 A ,

(3.2)

0

worin A die neugeschaffene Oberfl¨ache und γ die spezifische Oberfl¨achenenergie sind. Im weiteren betrachten wir als Beispiel den Trennvorgang von zwei Atomebenen eines Kristallgitters, wobei wir f¨ ur die dabei auftretende Spannung σ einen Verlauf ¨ahnlich zur Bindungskraft annehmen (Bild 3.1b). Dieser kann im Zugspannungsbereich durch eine Beziehung σ ≈ σc sin (πx/a) approximiert werden. F¨ ur kleine Verschiebungen x folgt hieraus σ ≈ σc πx/a. Gleichsetzen mit dem Hookeschen Gesetz σ = Eε = Ex/d0 liefert f¨ ur die bei der Trennung zu u ¨berwindende Koh¨asionsspannung oder sogenannte Theoretische Festigkeit σc ≈ E

a . πd0

(3.3)

Nehmen wir zus¨atzlich noch an, dass die Bindung f¨ ur a ≈ d0 vollst¨andig gel¨ost ist, so erh¨alt man die Absch¨atzung σc ≈

E . π

(3.4)

Aus der Arbeit der Spannung l¨asst sich mit den getroffenen Annahmen auch die Oberfl¨achenenergie γ 0 bestimmen. Unter Beachtung, dass bei der Trennung zwei neue Oberfl¨achen geschaffen werden, ergibt sich zun¨achst ∞

a σ(x)dx ≈

2γ 0 = 0

σc sin

2a πx dx = σc . a π

(3.5)

0

Mit a ≈ d0 und (3.4) folgt hieraus γ0 ≈

Ed0 . π2

(3.6)

Mikroskopische Aspekte

55

Wendet man die Beziehungen (3.4) und (3.6) auf Eisen bzw. Stahl an, so errechnen sich mit E = 2, 1 · 105 MPa und d0 = 2, 5 · 10−10 m die Ergebnisse σc ≈ 0, 7 · 105 MPa , γ 0 ≈ 5 J/m2 . Entsprechenden Werten kann man allerdings nur bei defektfreien Einkristallen (Whiskern) nahekommen. Bei realem, polykristallinem Material ist die Bruchfestigkeit dagegen um zwei bis drei Zehnerpotenzen geringer. Gleichzeitig u ¨ bersteigt der Energiebedarf bei der Schaffung neuer Bruchoberfl¨achen den Wert nach (3.6) um mehrere Zehnerpotenzen. Die Ursachen hierf¨ ur liegen in der inhomogenen Struktur des Materials und vor allem in seinen Defekten. An dieser Stelle sei angemerkt, dass die Bindungskraft (3.1) aus einem Wechselwirkungspotential Φ(r) hergeleitet werden kann: F = −∂Φ/∂r. Ein typisches Potential f¨ ur die Wechselwirkung von Atomen ist das Lennard-Jones Potential (J. Lennard-Jones, 1924) A B ΦLJ (r) = − 6 + 12 . (3.7) r r Sein erster Term beschreibt die anziehenden van der Waal’s-Kr¨afte w¨ahrend der zweite Term f¨ ur die nahwirkenden, abstoßenden Kr¨afte verantwortlich ist. Obwohl es oft die wirkenden Kr¨afte nicht genau widergibt, wird dieses Potential h¨aufig f¨ ur grundlegende Untersuchungen verwendet. Hierzu geh¨oren insbesondere molekulardynamische Simulationen, die auch Trennprozesse auf der Mikroskala einschließen. 3.1.2

Mikrostruktur und Defekte

Polykristallines Material besteht aus Kristallen (K¨orner), die entlang der Korngrenzen miteinander verbunden sind. Die einzelnen Kristalle haben anisotrope Eigenschaften; die Orientierung ihrer kristallografischen Ebenen bzw. Achsen ¨andert sich von Korn zu Korn. Die Eigenschaften der Korngrenzen weichen zudem von denen der K¨orner zum Beispiel aufgrund von Ausscheidungen ab. Neben diesen Unregelm¨aßigkeiten im Materialaufbau enth¨alt ein reales Material von Anfang an eine Anzahl von Defekten unterschiedlicher Gr¨oßenordnung. Von der charakteristischen L¨ange einer oder mehrerer Kornabmessungen k¨onnen zum Beispiel durch den Herstellungsprozess bedingte Einschl¨ usse mit stark abweichenden Materialeigenschaften, Hohlr¨aume oder Mikrorisse sein. Aus physikalischer Sicht spricht man dabei meist von Defekten auf der Mesoskala. Hinzu kommen die Defekte auf der Mikroskala, worunter Fehler im Kristallgitter selbst verstanden werden. Man unterscheidet dabei Punktimperfektionen (Leerstellen, Zwischengitteratome, Fremdatome), Linienimperfektionen (Versetzungen) und Fl¨achenimperfektionen (Kleinwinkelkorngrenzen, Großwinkelkorngrenzen, Zwillingsgrenzen). Eine besondere Rolle hinsichtlich des mechanischen Verhaltens spielen die Versetzungen. Die Geometrie dieser Gitterst¨orung ist in Bild 3.2a f¨ ur die Stufen-

56

Ursachen und Erscheinungsformen des Bruchs

versetzung und in Bild 3.2b f¨ ur die Schraubenversetzung dargestellt. Charakterisiert werden kann eine Versetzung durch den Burgers-Vektor b (J.M. Burgers (1895-1981)): bei der Stufenversetzung steht b senkrecht auf der Versetzungslinie, bei der Schraubenversetzung zeigt b in Richtung der Versetzungslinie (Bild 3.2a,b). Es sei angemerkt, dass Versetzungen ein Eigenspannungsfeld bewirken, dem eine elastische Energie zugeordnet werden kann (vgl. Abschnitt 8.2.1).

Versetzungslinie Versetzungslinie b

b

a)

b) τ τ

Gleitebene

τ

τ c)

d) Bild 3.2 Versetzungen

Unter der Wirkung von Schubspannungen kommt es in der Umgebung der Versetzungslinie zur Umordnung der Atome und damit zu einer Verschiebung der Versetzung (Bild 3.2c). Die dabei geleistete Arbeit wird im wesentlichen als W¨arme (= Gitterschwingung) dissipiert. Die Bewegung von Versetzungen hat ein “Abgleiten” der Gitterebenen zur Folge und kann zur Bildung einer neuen Oberfl¨ache f¨ uhren (Bild 3.2d). Auf diesen mikroskopischen Mechanismus ist das makroskopisch plastische Materialverhalten zur¨ uckzuf¨ uhren. Die Versetzungsbewegung innerhalb eines Kristalls ist dabei h¨aufig nicht gleichf¨ormig verteilt, sondern in Gleitb¨andern lokalisiert. In der Regel k¨onnen Versetzungen nicht unbesch¨ankt wandern. Vielmehr stauen sie sich an Hindernissen, wie zum Beispiel Einschl¨ ussen

Mikroskopische Aspekte

57

oder Korngrenzen auf. Makroskopisch macht sich dieser Versetzungsstau als Verfestigung bemerkbar. Im Gegensatz zu kristallinen Materialien liegen in amorphen Festk¨orpern wie Gl¨asern oder zahlreichen Kunststoffen die einzelnen Atome und Molek¨ ule v¨ollig ungeordnet vor. Dadurch lassen sich keine St¨orungen eines regelm¨aßigen Gitters mehr wie Versetzungen oder Korngrenzen identifizieren; Defekte sind im wesentlichen durch eingeschlossene Fremdpartikel oder Mikroporen gegeben. Charakteristisches Merkmal polymerer Materialien (Kunststoffe) ist ihr Aufbau aus langen Molek¨ ulketten, die im Fall einer amorphen Mikrostruktur regellos verkn¨auelt sind. Der Zusammenhalt zu einem Festk¨orper wird durch zwei Arten von Kr¨aften bzw. Bindungen gew¨ahrleistet: a) den intramolekularen Kr¨aften zwischen benachbarten Atomen innerhalb einer Polymerkette aufgrund kovalenter chemischer Bindungen und b) den deutlich schw¨acheren intermolekularen van der Waals-Kr¨aften zwischen Atomen unterschiedlicher Ketten. Aufgrund von lokalen Verschlaufungen oder auch chemischen Bindungen bilden die Molek¨ ulketten ein verzweigtes dreidimensionales Netzwerk. Mikroskopische Deformationen unter der Wirkung einer ¨außeren Belastung finden zun¨achst in Form von Rotationen einzelner Kettensegmente und die Verstreckung der Ketten statt. Die Aufl¨osung intermolekularer Vernetzungspunkte und das Reißen von Ketten stellen mikroskopische Sch¨adigungsmechanismen dar, die bevorzugt an Heterogenit¨aten des Molek¨ ulnetzwerks sowie an eingeschlossenen Fremdpartikeln (z.B. Staubk¨orner) ¨ auftreten. Ahnlich wie im Fall kristalliner Materialien kommt es dabei zur lokalen Bildung von Mikroporen. Mit zunehmender Deformation findet die Porenbildung lokalisiert in d¨ unnen Zonen senkrecht zur makroskopischen Hauptbelastungsrichtung statt, wobei das Polymermaterial zwischen den Poren zu sogenannten Fibrillen (B¨ undeln aus Molek¨ ulketten) verstreckt wird (Bild 3.3). Dieser mesoskalige Sch¨adigungsmechanismus wird als Crazing bezeichnet und stellt in Kunststoffen h¨aufig die Vorstufe zur Bildung von Mikrorissen dar. Letztere entstehen aus Craze-Zonen durch das Reißen der Fibrillen.

Bild 3.3 Craze-Zone in thermoplastischem Kunststoff

58

Ursachen und Erscheinungsformen des Bruchs

In mehrphasigen Werkstoffen wie faser- oder partikelverst¨arkten Kompositen aber auch Beton und Asphalt ist die bruchmechanisch relevante Mikrostruktur durch die gezielt heterogene Zusammensetzung gegeben. Die maßgeblichen mikroskopischen Sch¨adigungsmechanismen, die zu einer Rissbildung f¨ uhren k¨onnen, sind der lokale Bruch der u ¨ blicherweise spr¨oden Verst¨arkungspartikel (-fasern) sowie deren Grenzfl¨achenabl¨osung von der umgebenden Matrix. Das Zusammenwachsen dieser mesoskaligen Defekte zu einem makroskopischen Riss spielt sich in der Regel auf einem r¨aumlich wesentlich weiter ausgedehnten Bereich ab als bei unverst¨arkten Kunststoffen oder polykristallinen Metallen. 3.1.3

Rissbildung

In polykristallinen Werkstoffen gibt es beim Deformationsprozess unterschiedliche Mechanismen der Bildung von Mikrorissen im zun¨achst rissfreien Material. Eine Trennung der Atomebenen ohne begleitende Versetzungsbewegung kommt in dieser Reinheit kaum vor. Mikrorissbildung und -ausbreitung ist praktisch immer mit mehr oder weniger stark ausgepr¨agten mikroplastischen Vorg¨angen verbunden.

a)

b) Bild 3.4 a) transkristalliner Riss, b) interkristalliner Riss

Ein wichtiger Mechanismus bei der Bildung von Mikrorissen ist der Stau von Versetzungen an einem Hindernis. Er bewirkt eine hohe Spannungskonzentration, die zur L¨osung der Bindungen entlang bevorzugter Gitterebenen und damit zu einem Spaltriss (cleavage) f¨ uhren kann. Durchl¨auft ein solcher Riss mehrere K¨orner, so ¨andert sich die Orientierung der Trennfl¨ache entsprechend den lokalen Vorzugsrichtungen der Kristalle (Bild 3.4a). Man bezeichnet solch einen Bruch als transkristallin. Bei hinreichend schwachen Bindungen entlang der Korngrenzen kommt es – beg¨ unstigt durch Versetzungsstau und Korngrenzengleiten – dort zur Separation. Man spricht dann von einem interkristallinen Bruch (Bild 3.4b). Beide genannten Brucharten verlaufen makroskopisch spr¨od . Sie sind mit keinen oder nur sehr geringen makroskopisch inelastischen Deformationen verbunden, und sie ben¨otigen eine geringe Energie. Ein Versetzungsstau bewirkt nicht nur eine Spannungskonzentration, sondern man kann ihn auch als die Ursache f¨ ur die Bildung submikroskopischer Poren und L¨ocher verantwortlich machen. Dies ist in Bild 3.5 schematisch dargestellt:

Mikroskopische Aspekte

59

Bild 3.5 Bildung und Wachstum von Poren

die Vereinigung von Versetzungen f¨ uhrt zur Bildung und zum Wachstum von Hohlr¨aumen. Kristalline Werkstoffe sind h¨aufig mehrphasig; sie enthalten eine hohe Zahl von Partikeln, die an den Korngrenzen oder in den Kristallen eingebettet sind. In ihrer Umgebung kommt es bei hinreichender Mobilit¨at der Versetzungen vor einer Mikrorissbildung zun¨achst zu plastischen Deformationen. Der damit verbundene Versetzungsstau f¨ uhrt dann zur Bildung und zum Wachstum von Hohlr¨aumen um die Partikel: deren Bindungen zur umgebenden Matrix werden gel¨ost. Mit zunehmender makroskopischer Deformation wachsen die L¨ocher durch mikroplastisches Fließen an, vereinigen sich und f¨ uhren auf diese Weise zur Separation (Bild 3.6). Entsprechende Bruchoberfl¨achen zeigen eine typische Struktur von Waben oder Gr¨ ubchen (dimples), die durch mikroplastisch stark verformte Zonen getrennt sind. Die f¨ ur so einen Bruch erforderliche Energie ist um ein vielfaches gr¨oßer als die des Spaltbruchs.

Bild 3.6 Bruch durch Lochbildung und -vereinigung

Die Lokalisierung der Gleitvorg¨ange in Gleitb¨andern kann ebenfalls Anlass zur Rissbildung sein. Insbesondere bei hinreichend großer wechselnder Belastung f¨ uhrt sie an der ¨außeren Oberfl¨ache oder an Inhomogenit¨aten zu Extrusionen und Intrusionen (Bild 3.7). Ergebnis der zunehmenden “Aufrauhung” der Oberfl¨ache ist die Bildung eines Erm¨udungsrisses.

60

Ursachen und Erscheinungsformen des Bruchs

Bild 3.7 Bildung eines Erm¨ udungsrisses 3.1.4

Perkolation

Defekte in einen realen Material sind im allgemeinen nicht in perfekt regelm¨aßiger r¨aumlicher Anordnung verteilt (Bild 3.8a). Daher kommt es in einer solchen Mikrostruktur mit zunehmendem Anteil an Defekten (z.B. Volumenanteil oder Rissdichte) zwangsl¨aufig zur Bildung sogenannter Cluster, d.h. lokalen Anh¨aufungen von Defekten (Bild 3.8b; siehe auch Bild 3.6). In einem Cluster sind mehrere Defekte physikalisch so miteinander verbunden (z.B. zusammengewachsene Mikrorisse oder -poren), dass sie sich wie ein einzelner gr¨oßerer Defekt auswirken. Solange solche Cluster isoliert in der umgebenden Matrix vorliegen, ist ihr Einfluss auf das makroskopische Verhalten eines heterogenen Materials begrenzt. Jedoch wird bei einem kritischem Defektanteil fc , der sogenannten Perkolationsgrenze, die Situation erreicht, dass ein zusammenh¨angendes Cluster sich durch die gesamte Mikrostruktur erstreckt (Bild 3.8c). Je nach Defekttyp erfahren die makroskopischen physikalischen Eigenschaften eines Materials dabei drastische ¨ Anderungen. Im Fall von Mikroporen oder -rissen beispielsweise kann die maa)

b)

c)

Bild 3.8 Zunehmender Defektanteil f in irregul¨arer Mikrostruktur: a) isolierte Defekte: f1  fc , b) einzelne (isolierte) Cluster: f2 < fc , c) Perkolationsgrenze f = fc

61

Makroskopische Aspekte

krokopische Permeabilit¨at (Durchl¨assigkeit) eines Festk¨opers gegen¨ uber Fluiden an der Perkolationsgrenze von Null auf einen endlichen Wert springen (und f¨ ur f > fc weiter ansteigen), w¨ahrend die makroskopische elastische Steifigkeit nach einer kontinuierlichen Abnahme f¨ ur f > fc v¨ollig verschwindet. Die Perkolationsgrenze h¨angt maßgeblich von der Defektgeometrie ab, aber auch davon, ob die Defektverteilung als r¨aumlich (dreidimensional) oder eben (zweidimensional) betrachtet wird. Wegen der vielf¨altigen physikalischen Bedeutung wird das Ph¨anomen der Perkolation nicht nur experimentell sondern auch theoretisch mit statistischen Methoden und massiven Computersimulationen untersucht. Einige auf diese Weise ermittelte Perkolationsgrenzen sind in Tabelle 3.1 angegeben. Der Aspekt der Perkolationsgrenze in Zusammenhang mit analytischen mikromechanischen Modellen wird auch in Abschnitt 8.3 diskutiert. Tabelle 3.1 Perkolationsgrenzen fc Defekttyp Kugeln (3D) 0.289 ... 0.3 zuf¨allig orientierte W¨ urfel (3D) 0.217 ... 0.28 Kreisscheiben (2D) 0.67 ... 0.68 zuf¨allig orientierte Quadrate (2D) 0.625 ... 0.67

3.2 3.2.1

Makroskopische Aspekte Rissausbreitung

Aus makroskopischer Sicht betrachten wir das Material im weiteren als Kontinuum, das a priori rissbehaftet ist. Dabei kann es sich entweder um einen tats¨achlich vorhandenen makroskopischen Riss gegebener geometrischer Konfiguration handeln, oder um angenommene, hypothetische Risse von eventuell sehr kleiner Gr¨oße. Letztere sollen die makroskopisch nicht sichtbaren, im realen Material jedoch immer vorhandenen Defekte oder Mikrorisse nachbilden. Die Frage der Rissentstehung in einem anfangs ungesch¨adigten Material wird bei dieser Betrachtungsweise ausgeklammert. Sie l¨asst sich mit den Mitteln der klassischen Kontinuumsmechanik nicht beantworten. Eine Beschreibung der Rissentstehung ist nur mit der Kontinuums-Sch¨adigungsmechanik m¨oglich, welche die mikroskopische Defektstruktur mitber¨ ucksichtigt (vgl. Kapitel 9). Ein Bruchvorgang ist immer mit einem Risswachstumsprozess verbunden. Beide kann man nach verschiedenen ph¨anomenologischen Gesichtspunkten klassifizieren. Die typischen Phasen im Verhalten eines Risses bei einer Belastung werden folgendermaßen gekennzeichnet. Solange der Riss seine Gr¨oße nicht a¨ndert,

62

Ursachen und Erscheinungsformen des Bruchs

spricht man von einem station¨aren Riss. Bei einer bestimmten kritischen Belastung bzw. Deformation kommt es zur Rissinitiierung, das heißt der Riss beginnt sich auszubreiten; er wird instation¨ar. Bei der Rissausbreitung unterscheidet man verschiedene Arten. Man nennt ein Risswachstum stabil , wenn f¨ ur eine Rissvergr¨oßerung eine Erh¨ohung der ¨außeren Belastung erforderlich ist. Im Gegensatz dazu ist ein Risswachstum instabil , wenn ein Riss sich von einem bestimmten Punkt an ohne weitere Erh¨ohung der ¨außeren Last spontan ausbreitet. An dieser Stelle sei schon darauf hingewiesen, dass im stabilen bzw. instabilen Risswachstum nicht nur Werkstoffeigenschaften zum Ausdruck kommen. Ganz wesentlich gehen auch die Geometrie und die Art der Belastung des K¨orpers ein. Eine Rissausbreitung unter konstanter Belastung, die sehr langsam, kriechend erfolgt (z.B. mit 1 mm/s oder weniger), heißt subkritisch. Unter Wechselbelastung kann sich sich Riss in kleinen “Schritten” fortpflanzen (z.B. mit 10−6 mm pro Zyklus): dies ist dann ein Erm¨udungsrisswachstum. Findet die Rissausbreitung mit Geschwindigkeiten statt, die in die Gr¨oßenordnung der Schallgeschwindigkeit kommen (z.B. 600 m/s oder mehr), so nennt man sie schnell . Kommt solch ein schneller Riss wieder zum Stillstand, so bezeichnet man dies als Rissarrest. Zur weiteren Kennzeichnung unterscheidet man noch zwischen quasistatischer und dynamischer Rissausbreitung. Die Tr¨agheitskr¨afte spielen bei ersterer keine Rolle, sind aber bei der zweiten nicht zu vernachl¨assigen. 3.2.2

Brucharten

Der Bruchvorgang ist beendet, wenn die Rissausbreitung zum Stillstand gekommen ist, oder wenn - was h¨aufiger eintritt - eine vollst¨andige Trennung des K¨orpers in zwei oder mehrere Teile erfolgt ist. Nach den typischen Erscheinungen teilt man das Gesamtereignis Bruch in verschiedene Arten ein. Bei einem duktilen Bruch (Z¨ahbruch) ist die dem Bruch vorhergehende bzw. die ihn begleitende plastische Deformation groß. Bei einachsiger Zugbelastung von metallischen St¨aben ohne makroskopischen Anriss treten dabei inelastische Dehnungen von mehr als 10% auf. Bei K¨orpern mit einem Anriss sind diese Dehnungen h¨aufig auf die Umgebung der Rissspitze bzw. die Umgebung der Bruchoberfl¨ache konzentriert. Der zugeh¨orige mikroskopische Versagensmechanismus bei metallischen Werkstoffen ist plastisches Fließen mit Hohlraumbildung und -vereinigung. Von einem Spr¨odbruch spricht man, wenn makroskopisch nur kleine inelastische Deformationen auftreten (= verformungsarmer Bruch) oder diese Null sind (= verformungsloser Bruch). In diesem Fall sind an zugbelasteten St¨aben ohne Anriss plastische Dehnungen von <2...10% zu beobachten. Bei Bauteilen mit Anriss sind diese Dehnungen auf einen kleinen Bereich in unmittelbarer Umgebung der Rissspitze bzw. auf die unmittelbare Umgebung der Bruchoberfl¨ache beschr¨ankt. Der mikroskopische Versagensmechanismus bei Metallen ist dabei entweder eingeschr¨anktes plastisches Fließen mit Hohlraumbildung oder der Spaltbruch.

Makroskopische Aspekte

63

Einen Bruch, der durch Rissfortpflanzung unter zyklischer Belastung zustande kommt, nennt man Erm¨udungsbruch oder Schwingbruch. Ein Bruch infolge Kriechrisswachstum ist ein Kriechbruch. Ein weiteres Unterscheidungsmerkmal ist die Orientierung der Bruchfl¨ache (vgl. Abschnitt 2.2.6). Beim normalfl¨achigen Bruch oder Trennbruch liegt die Bruchfl¨ache senkrecht zur gr¨oßten Hauptnormalspannung (Zug). Von einem scherfl¨achigen Bruch spricht man, wenn die Bruchfl¨ache mit einem Schnitt großer Schubspannung zusammenf¨allt. Beide Arten k¨onnen auch kombiniert auftreten. Ein typisches Beispiel hierf¨ ur ist ein Trennbruch mit sogenannten Scherlippen (Bild 3.9).

Bild 3.9 Trennbruch mit Scherlippen Die Art des Bruchverhaltens ist stark von verschiedenen Faktoren, wie Temperatur, Spannungszustand oder Beanspruchungsgeschwindigkeit abh¨angig. So verhalten sich zum Beispiel viele Werkstoffe bei hinreichend niedrigen Tempera¨ turen spr¨od, dagegen oberhalb einer Ubergangstemperatur duktil. Auch kann je nach Spannungszustand das plastische Fließen mehr oder weniger stark behindert sein. Abh¨angig davon neigt ein Bruch eher zu spr¨odem oder zu duktilem Verhalten. Die Orientierung der Bruchfl¨ache wird gleichfalls dadurch beeinflusst. So ist das Auftreten der erw¨ahnten Scherlippen darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, dass in ihrem Bereich (Rand) vor dem Bruch ein Spannungszustand (dem ESZ nahekommend) vorlag, der das plastische Fließen wenig behindert. Eine charakteristische Gr¨oße bei Bruch kann die Arbeit der Bindungskr¨afte bei der Schaffung einer Bruchoberfl¨ache sein. Das trifft insbesondere dann zu, wenn die zum Bruchvorgang geh¨origen Prozesse der Bindungsl¨osung (z.B. Lochbildung mit großen mikroplastischen Deformationen) auf die unmittelbare Umgebung der makroskopischen Bruchfl¨ache beschr¨ankt sind. Diese Fl¨ache ist aufgrund der mikroskopischen “Zerkl¨ uftung” kleiner als die wahre Bruchoberfl¨ache. Es bietet sich dann an, in Analogie zur Oberfl¨achenenergie eine effektive Bruchfl¨achenenergie Γ einzuf¨ uhren: Γ = γA . (3.8) Darin sind γ die spezifische Bruchfl¨achenenergie und A die makroskopische Bruchfl¨ache.

64

3.3

Ursachen und Erscheinungsformen des Bruchs

Literatur

Anderson, T.L. (1995). Fracture Mechanics; Fundamentals and Application. CRC Press, Boca Raton Blumenauer, H., Pusch, G. (1993). Technische Bruchmechanik. DVG, Leipzig Broberg, K.B. (1999). Cracks and Fracture. Academic Press, London Gittus, J. (1975). Creep, Viscoelasticity and Creep Fracture in Solids. Applied Science Publishers, London Hellan, K. (1985). Introduction to Fracture Mechanics. McGraw-Hill, New York Herzberg, R.W. (1976). Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials. John Wiley & Sons, New York Knott, J.F. (1973). Fundamentals of Fracture Mechanics. Butterworth, London Lawn, B. (1993). Fracture of Brittle Solids. Cambridge University Press, Cambridge Liebowitz, H. (ed.) (1968). Fracture – A Treatise, Vol. 1. Academic Press, London Riedel, H. (1987). Fracture at High Temperature. Springer, Berlin Schwalbe, K.H. (1980). Bruchmechanik metallischer Werkstoffe. Hanser, M¨ unchen Suresh, S. (1991). Fatigue of Materials. Cambridge University Press, Cambridge Yang, W. and Lee, W.B. (1993). Mesoplasticity and its Applications. Springer, Berlin

4 Lineare Bruchmechanik

4.1

Allgemeines

Wir wenden uns nun der Beschreibung des Verhaltens eines Risses zu. Aus makroskopischer, kontinuumsmechanischer Sicht fassen wir diesen als einen Schnitt in einem K¨orper auf. Seine einander gegen¨ uberliegenden Berandungen sind die Rissoberfl¨achen; man nennt sie auch Rissflanken oder Rissufer (Bild 4.1). Sie sind in der Regel belastungsfrei. Der Riss endet an der Rissfront bzw. an der Rissspitze. Hinsichtlich der Deformation eines Risses unterscheidet man drei verschiedene Riss¨offnungsarten, die in Bild 4.2 dargestellt sind. Modus I kennzeichnet eine zur x, z-Ebene symmetrische Riss¨offnung. Bei Modus II tritt eine antisymmetrische Separation der Rissoberfl¨achen durch Relativverschiebungen in x-Richtung (normal zur Rissfront) auf. Schließlich beschreibt Modus III eine Separation infolge Relativverschiebungen in z-Richtung (tangential zur Rissfront). Die mit den verschiedenen Riss¨offnungsarten zusammenh¨angenden Symmetrien sind zun¨achst nur lokal, d.h. f¨ ur die Umgebung der Rissspitze, definiert. In bestimmten F¨allen k¨onnen sie jedoch auch f¨ ur einen gesamten K¨orper zutreffen.

Rissober߬ achen

Rissfront

Bild 4.1 Bezeichnungen Eine wichtige Rolle f¨ ur die kontinuumsmechanische Beschreibung spielt die Gr¨oße der Prozesszone. Hierunter versteht man die Region in der Umgebung einer Rissfront (Risspitze), in welcher der mikroskopisch recht komplexe Prozess der Bindungsl¨osung stattfindet, der mit den Mitteln der klassischen Kontinuumsmechanik in der Regel nicht beschrieben werden kann. Soll die Kontinuumsmechanik auf den gesamten rissbehafteten K¨orper angewendet werden, muss demnach vorausgesetzt werden, dass die Ausdehnung der Prozesszone vernachl¨assigbar klein ist im Vergleich zu allen charakteristischen makroskopischen Abmes-

D. Gross, T. Seelig, Bruchmechanik, DOI 10.1007/978-3-642-10196-0_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

66

Lineare Bruchmechanik

sungen des K¨orpers. Eine solche Lokalisierung des Bruchprozesses ist in sehr vielen F¨allen gegeben. Sie ist zum Beispiel typisch f¨ ur metallische Werkstoffe und die meisten spr¨oden Materialien. Allerdings tritt sie nicht in allen F¨allen ein. So kann die Prozesszone bei Beton oder bei granularen Materialien eine erhebliche Gr¨oße haben und unter Umst¨anden sogar den gesamten K¨orper umfassen.

Modus I

Modus III

Modus II

y

y

y x

x

x

z

z

z

Bild 4.2 Riss¨offnungsarten In der linearen Bruchmechanik wird ein rissbehafteter K¨orper im gesamten Gebiet als linear elastisch angesehen. Etwaige inelastische Vorg¨ange innerhalb oder außerhalb der Prozesszone um die Rissspitze m¨ ussen deshalb auf eine kleine Region beschr¨ankt sein, die aus makroskopischer Sicht vernachl¨assigt werden kann. Dementsprechend ist die lineare Bruchmechanik in erster Linie zur Beschreibung des Spr¨odbruchs geeignet (vgl. Abschnitt 3.2.2). Eine fundamentale Bedeutung kommt dem Rissspitzenfeld , d.h. den Spannungen und Deformationen in der Umgebung einer Rissspitze zu. Obwohl dieses Feld, wie schon erw¨ahnt, nicht direkt den Zustand in der Prozesszone beschreibt, bestimmt es doch indirekt die Vorg¨ange, welche in ihr ablaufen. Im nachfolgenden wird das Rissspitzenfeld f¨ ur den Fall eines isotropen linear elastischen Materials unter statischer Belastung n¨aher untersucht.

4.2 4.2.1

Das Rissspitzenfeld Zweidimensionale Rissspitzenfelder

Wir betrachten das zweidimensionale Problem eines K¨orpers, der einen geraden Riss enth¨alt. Dabei interessieren wir uns nur f¨ ur das Feld innerhalb einer kleinen Umgebung vom Radius R um eine Rissspitze (Bild 4.3). Es ist zweckm¨aßig, hierzu die dargestellten Koordinaten mit dem Ursprung in der Rissspitze einzuf¨ uhren.

67

Rissspitzenfeld

y

r ϕ x R

Bild 4.3 Umgebung der Rissspitze Longitudinaler Schub, Modus III Das einfachste ebene Problem ist das des longitudinalen (nichtebenen) Schubspannungszustandes. Hierbei treten nur Verschiebungen w senkrecht zur x, yEbene auf, was zu einer Modus III Riss¨offnung f¨ uhren kann. Das Rissspitzenfeld l¨asst sich in diesem Fall unter Verwendung einer komplexen Funktion Ω(z) ermitteln (vgl. Abschnitt 1.5.2). Als Ansatz f¨ ur die L¨osung w¨ahlen wir Ω(z) = Az λ ,

(4.1)

worin A eine noch freie, im allgemeinen komplexe Konstante ist. Den ebenfalls unbekannten Exponenten λ nehmen wir als reell an. Damit die Verschiebung an der Rissspitze nichtsingul¨ar ist, wird außerdem λ > 0 vorausgesetzt; hiermit ist dann auch die Form¨anderungsenergie beschr¨ankt. Den Sonderfall λ = 0 klammern wir zun¨achst aus; er entspricht nach (1.121) einer spannungsfreien Starrk¨orperverschiebung. Aus (4.1) errechnet sich nach (1.121) mit z = reiϕ 2iτyz = Ω (z) − Ω (z) = Aλr λ−1 e−i(λ−1)ϕ − Aλrλ−1 ei(λ−1)ϕ . Die Randbedingungen verlangen, dass die Rissufer (ϕ = ±π) belastungsfrei sind: τyz (±π) = 0. Dies f¨ uhrt auf das homogene Gleichungssystem Ae−iλπ −Aeiλπ Aeiλπ

=0,

−Ae−iλπ = 0 .

(4.2)

Eine nichttriviale L¨osung existiert, wenn seine Koeffizientendeterminante verschwindet. Die “Eigenwerte” λ ergeben sich danach wie folgt: sin 2λπ = 0

→

λ = n/2

n = 1, 2, 3, . . . .

(4.3)

Einsetzen dieses Resultats in eine Gleichung aus (4.2) liefert schließlich A = (−1)n A.

68

Lineare Bruchmechanik

Zu jedem der unendlich vielen Eigenwerte λ geh¨ort eine Eigenfunktion vom Typ (4.1), welche die Randbedingungen erf¨ ullt. Die Eigenfunktionen k¨onnen beliebig superponiert werden: Ω = A1 z 1/2 + A2 z + A3 z 3/2 + . . . .

(4.4)

Dementsprechend lassen sich die Spannungen ταz mit α = x, y und die Verschiebung w in folgender Form darstellen: ταz = r−1/2 τˆαz (ϕ) + (1)

w − w0 = r1/2 wˆ (1) (ϕ)

(2)

(3)

τˆαz (ϕ) + r1/2 τˆαz (ϕ)

+... ,

+ rwˆ (2) (ϕ) + r3/2 wˆ (3) (ϕ) + . . . .

(4.5)

(1)

Hierin sind τˆαz (ϕ), wˆ (1) (ϕ), . . . Funktionen vom Winkel ϕ, die bis auf jeweils einen Faktor festgelegt sind. Durch w0 soll eine m¨ogliche Starrk¨orperverschiebung erfasst werden. N¨ahert man sich der Rissspitze (r → 0), dann kann das Feld alleine durch den dominierenden ersten Term in (4.4) bzw. in (4.5) beschrieben werden; er geh¨ort zum kleinsten Eigenwert λ = 1/2. Die zugeordneten Spannungen und Verschiebungen sind durch      τxz − sin (ϕ/2) r KIII 2KIII √ = sin (ϕ/2) (4.6) , w= G 2π 2πr cos (ϕ/2) τyz gegeben. Danach haben die Spannungen an der Rissspitze eine Singularit¨at vom Typ r −1/2 . Das singul¨are Rissspitzenfeld ist durch (4.6) bis auf den Faktor KIII festgelegt. Dieser wird als Spannungsintensit¨atsfaktor oder kurz als K-Faktor bezeichnet, wobei der Index auf die Modus III Riss¨offnung hindeutet. Man kann KIII als Maß f¨ ur die “St¨arke” des Rissspitzenfeldes ansehen, welches letztlich durch ihn vollst¨andig charakterisiert wird. Umgekehrt l¨asst sich KIII aus (4.6) bestimmen, wenn in der Umgebung der Rissspitze die Spannungen oder Verschiebungen bekannt sind. Nach (4.6) gilt zum Beispiel √ KIII = lim 2πr τyz (ϕ = 0) . (4.7) r→0

Wie die Spannungen und Verschiebungen h¨angt die Gr¨oße des K-Faktors von der geometrischen Form des K¨orpers und von seiner Belastung ab. Der zweite Term in (4.5) geh¨ort zum Eigenwert λ = 1. Er f¨ uhrt auf die nichtsingul¨aren Spannungen und Verschiebungen  (2)   τxz τ τ , w(2) = T r cos ϕ = T x , (4.8) = τT G G τyz wobei τT eine noch unbestimmte konstante Schubspannung ist. Dieser Beitrag zum gesamten Feld ist unmittelbar an der Rissspitze von untergeordneter Bedeutung. In einiger Entfernung von der Rissspitze kann er jedoch nicht vernachl¨assigt werden.

69

Rissspitzenfeld

EVZ und ESZ, Modus I und Modus II F¨ ur den ebenen Verzerrungszustand (EVZ) und den ebenen Spannungszustand (ESZ) bestimmen wir das Rissspitzenfeld unter Verwendung der zwei komplexen Funktionen Φ(z) und Ψ(z) (vgl. Abschnitt 1.5.2). Die Vorgehensweise ist dabei analog zum longitudinalen Schub. Als L¨osungsansatz findet Φ(z) = Az λ ,

Ψ(z) = Bz λ

(4.9)

Verwendung, wobei der Exponent λ wieder als reell und positiv angenommen wird. Aus (4.9) bestimmen wir nach (1.120) zun¨achst σϕ + iτrϕ = Φ (z) + Φ (z) + zΦ (z) + Ψ (z)z/z = Aλr λ−1 ei(λ−1)ϕ + Aλr λ−1 e−i(λ−1)ϕ

(4.10)

+Aλ(λ − 1)r λ−1 ei(λ−1)ϕ + Bλrλ−1 ei(λ+1)ϕ . ullt Entlang der Rissufer ϕ = ±π m¨ ussen die Randbedingungen σϕ + iτrϕ = 0 erf¨ sein. Sie liefern unter Beachtung von e−iπ = eiπ = −1 das homogene Gleichungssystem Aλe−iλπ +Aeiλπ +Be−iλπ =0, Aλeiλπ

+Ae−iλπ

Ae−iλπ

+Aλeiλπ

+Beiλπ

Aeiλπ

+Aλe−iλπ

+Be−iλπ = 0 .

+Beiλπ

=0,

(4.11)

=0,

Die letzten beiden Gleichungen sind dabei das konjugiert Komplexe der ersten beiden. Durch Nullsetzen der Koeffizientendeterminante erh¨alt man eine Eigenwertgleichung, die auf die gleichen Eigenwerte wie beim longitudinalen Schubspannungszustand f¨ uhrt: cos 4λπ = 1

→

λ = n/2

n = 1, 2, 3, . . . .

(4.12)

Setzt man dies in eine Gleichung aus (4.11) ein, dann ergibt sich noch B = −nA/2 − (−1)n A. Die Spannungen σij und Verschiebungen ui mit i, j = x, y k¨onnen wieder als Summe der zu den Eigenwerten geh¨origen Eigenfunktionen dargestellt werden: σij = r−1/2 σ ˆij (ϕ) + (1)

ui − ui0 = r1/2 uˆ(1) i (ϕ)

(2)

(3)

(2)

(3)

σ ˆij (ϕ) + r 1/2 σ ˆij (ϕ) + . . . ,

(4.13)

+ rˆ ui (ϕ) + r 3/2 uˆi (ϕ) + . . . .

Darin beschreibt ui0 eine m¨ogliche Starrk¨orperverschiebung. F¨ ur r → 0 dominiert der erste, in den Spannungen singul¨are Term. Es ist zweckm¨aßig das zugeordnete Feld in einen symmetrischen und in einen antisymmetrischen Anteil bez¨ uglich der x-Achse aufzuspalten. Das symmetrische singul¨are Feld entspricht einer Modus I

70

Lineare Bruchmechanik

Riss¨offnung, w¨ahrend das antisymmetrische Feld zu einer Modus II Riss¨offnung f¨ uhrt. Die entsprechenden Rissspitzenfelder (Nahfelder) lassen sich in der folgenden Form darstellen: Modus I: ⎧ ⎫ ⎫ ⎧ σ 1 − sin (ϕ/2) sin (3ϕ/2) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ x ⎪ ⎬ ⎬ ⎨ KI = √ σy cos (ϕ/2) 1 + sin (ϕ/2) sin (3ϕ/2) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2πr ⎩ ⎭ ⎭ ⎩ τxy sin (ϕ/2) cos (3ϕ/2)      cos (ϕ/2) u r KI , (κ − cos ϕ) = 2G 2π sin (ϕ/2) v Modus II: ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ σ − sin (ϕ/2)[2 + cos (ϕ/2) cos (3ϕ/2)] ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ x ⎪ ⎬ ⎨ KII σy sin (ϕ/2) cos (ϕ/2) cos (3ϕ/2) = √ , ⎪ ⎪ ⎪ 2πr ⎪ ⎩ ⎭ ⎭ ⎩ τxy cos (ϕ/2)[1 − sin (ϕ/2) sin (3ϕ/2)]      sin (ϕ/2)[κ + 2 + cos ϕ] u KII r . = 2G 2π cos (ϕ/2)[κ − 2 + cos ϕ] v

(4.14)

(4.15)

Dabei gilt EVZ : ESZ :

κ = 3 − 4ν , κ = (3 − ν)/(1 + ν) ,

σz = ν(σx + σy ) , σz = 0 .

(4.16)

Danach liegt die Verteilung der Spannungen und Deformationen in der Umgebung der Rissspitze eindeutig fest. Sie wird exemplarisch f¨ ur den Modus I in Abschnitt 4.2.2 diskutiert. Die “St¨arke” (Amplitude) des Rissspitzenfeldes wird durch die Spannungsintensit¨atsfaktoren KI und KII bestimmt. Diese h¨angen von der Geometrie des K¨orpers (einschließlich Riss) und von seiner Belastung ab. Sie lassen sich aus den Spannungen oder Deformationen ermitteln, sofern diese bekannt sind. Nach (4.14) und (4.15) gelten zum Beispiel die Beziehungen √ √ KII = lim 2πr τxy (ϕ = 0) . (4.17) KI = lim 2πr σy (ϕ = 0) , r→0

r→0

F¨ ur gr¨oßere Abst¨ande r von der Rissspitze kann der zweite Term in (4.13), der zum Eigenwert λ = 1 geh¨ort, nicht vernachl¨assigt werden. Die zugeh¨origen nichtsingul¨aren Spannungen und Verschiebungen lauten ⎧ ⎫(2) ⎧ σ σ ⎪ ⎪ ⎨ x ⎪ ⎨ T ⎬ σy 0 = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭ 0 τxy

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

 ,

u v

(2)

σ = T 8G



(κ + 1) x (κ − 3) y

 ,

(4.18)

71

Rissspitzenfeld

wobei σT eine noch unbestimmte konstante Spannung ist. Da sie transversal (l¨angs zum Riss) wirkt, nennt man sie kurz T-Spannung. Aus (4.18) erkennt man, dass dieser Anteil des Feldes symmetrisch zur x-Achse ist und nur zur Modus-I Riss¨offnung beitr¨agt. Die T-Spannung spielt eine wichtige Rolle wenn KI Null oder hinreichend klein ist. Sie repr¨asentiert dann den dominanten Teil des Modus-I Feldes. Das Feld in der Umgebung einer Rissspitze eines geraden Risses mit lastfreien Rissflanken wird nach (4.5) und (4.13) aus einer Summe von Eigenfunktionen gebildet. Von ihnen dominiert der singul¨are erste Term (= Nahfeld), wenn man sich der Rissspitze n¨ahert (r → 0); f¨ ur einen hinreichend großen Abstand r d¨ urfen die h¨oheren Terme allerdings nicht vernachl¨assigt werden. Es l¨asst sich zeigen, dass das Nahfeld von der gleichen Form (4.6), bzw. (4.14), (4.15) ist, wenn die Rissufer belastet sind (Bild 4.4a) oder wenn Volumenkr¨afte auftreten. Dies trifft auch auf einen Riss zu, der im Bereich der Rissspitze gekr¨ ummt ist (Bild 4.4b).

y

r ϕ x

a)

b)

Bild 4.4 a) Rissuferbelastung, b) gekr¨ ummter Riss ur eine Rissspitze. Singul¨are Spannungen Die r −1/2 –Singularit¨at ist typisch f¨ mit einem eventuell anderem Typ der Singularit¨at k¨onnen aber auch bei vielen anderen Problemen der linearen Elastizit¨at auftreten. Als Beispiel sei hier nur eine “riss¨ahnliche” Spitzkerbe betrachtet, deren Flanken einen Winkel 2α bilden (Bild 4.5a). Der Ansatz (4.9) f¨ uhrt mit (4.11) und den Randbedingungen (σϕ + iτrϕ )ϕ=±α = 0 wieder auf ein homogenes Gleichungssystem. Dieses unterscheidet sich von (4.11) nur dadurch, dass an Stelle des Winkels π nun der Winkel α auftritt. Durch Nullsetzen der Koeffizientendeterminante erh¨alt man die Eigenwertgleichung sin 2λα = ±λ sin 2α . (4.19) In Bild 4.5b ist der daraus resultierende kleinste Eigenwert dargestellt (auf die Angabe h¨oherer Eigenwerte und der Eigenfunktionen sei hier verzichtet). Im Fall 2α ≤ π ist λ = 1; aus (4.9) folgen dann keine Spannungssingularit¨aten (vgl. auch (4.11)). F¨ ur die “einspringende Ecke” π < 2α < 2π liegt λ im Bereich 1/2 < λ < 1, und im Grenzfall 2α = 2π (Riss) ergibt sich das schon bekannte Ergebnis λ = 1/2. Hierzu geh¨oren dann entsprechend (4.9) Spannungssingularit¨aten vom Typ σij ∼ rλ−1 . Damit l¨asst sich zum Beispiel die Spannung σy unmittelbar vor

72

Lineare Bruchmechanik

λ y

r α

1

ϕ 1/2

x α

π/2

α

π

b)

a)

Bild 4.5 a) Spitzkerbe, b) kleinster Eigenwert der Kerbspitze im Fall einer Modus I Belastung in der Form K∗ σy = √ I xλ−1 2π

(y = 0, x > 0)

(4.20)

darstellen. Darin ist KI∗ ein verallgemeinerter Modus I Spannungsintensit¨atsfaktor. Bei einer Rundkerbe mit endlichem Kerbradius k¨onnen die Spannungen ebenfalls sehr groß werden. Im Gegensatz zum Riss oder zur Spitzkerbe gehen sie im Kerbgrund jedoch nicht gegen Unendlich sondern bleiben beschr¨ankt (siehe Abschnitt 4.4.5). 4.2.2

Modus I Rissspitzenfeld

Das Modus I Rissspitzenfeld kann durch die Beziehungen (4.14) beschrieben werden. Danach sind die Spannungen σij (und entsprechend dem Hookeschen Gesetz auch die Verzerrungen εij ) singul¨ar vom Typ r −1/2 , d.h. sie wachsen mit r → 0

σij σϕ (0)

a)

r

π/2

π ϕ

ϕ

σϕ 1/2

v+ v−

σr 1

σy

τrϕ

σϕ

τrϕ

x, r b)

Bild 4.6 Modus I Rissspitzenfeld

σr

73

Rissspitzenfeld

unbeschr¨ankt an. Als Beispiel hierf¨ ur ist in Bild 4.6a der Verlauf von σy vor der Rissspitze (ϕ = 0) schematisch dargestellt. Die Verschiebungen zeigen ein r1/2 Verhalten. Dieses f¨ uhrt entlang der Rissflanken (ϕ = ±π) f¨ ur positives KI zu einer parabelf¨ormigen Riss¨offnung (Bild 4.6a): KI v = v(±π) = ± 2G ±



r (κ + 1) . 2π

(4.21)

¨ (DurchIst KI negativ, dann kommt es nach (4.14) formal zu einer “Uberlappung” dringung) der Rissufer. Physikalisch ist dies nicht m¨oglich. Vielmehr sind beim Rissschließen die beiden Rissufer in Kontakt und u ¨ ben Kr¨afte aufeinander aus. Manchmal ist es zweckm¨aßig, das Nahfeld nicht durch seine kartesischen Komponenten (4.14) sondern durch ¨aquivalente oder abgeleitete Gr¨oßen zu beschreiben. So erh¨alt man zum Beispiel durch Korrdinatentransformation die Spannungskomponenten in Polarkoordinaten (vgl. 1.114)): ⎫ ⎧ ⎧ ⎫ 5 cos (ϕ/2) − cos (3ϕ/2) ⎪ σ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎨ r ⎪ ⎬ KI 3 cos (ϕ/2) + cos (3ϕ/2) . σϕ = √ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎩ ⎭ 4 2πr ⎪ sin (ϕ/2) + sin (3ϕ/2) τrϕ

(4.22)

Ihre Winkelabh¨angigkeit ist in Bild 4.6b dargestellt. Die Hauptspannungen in der x, y-Ebene und die Hauptrichtungen – hier mit α bezeichnet – errechnen sich aus (1.114) zu 

σ1 σ2



KI =√ cos (ϕ/2) 2πr





1 + sin (ϕ/2)

,

1 − sin (ϕ/2)

α=±

π 3 + ϕ. 4 4

(4.23)

Die dritte Hauptspannung ist durch σz gegeben; sie ist nach (4.16) im EVZ und im ESZ unterschiedlich: KI cos (ϕ/2) (EVZ) , σ3 = 2ν √ 2πr

σ3 = 0 (ESZ) .

(4.24)

Danach ist σ1 die gr¨oßte Hauptspannung, die kleinste kann je nach Spannungszustand und Winkel ϕ entweder σ3 oder σ2 sein. Mit den Hauptspannungen l¨asst sich unmittelbar die maximale Schubspannung bestimmen. Aus τmax = (σmax − σmin )/2 ergibt sich ESZ:

τmax = σ1 /2 

EVZ: τmax =

(σ1 − σ2 )/2

fu ¨r

sin (ϕ/2) ≥ 1 − 2ν ,

(σ1 − σ3 )/2

fu ¨r

sin (ϕ/2) ≤ 1 − 2ν .

(4.25)

74

Lineare Bruchmechanik

4.2.3

Dreidimensionales Rissspitzenfeld

In verschiedenen F¨allen muss der dreidimensionale Charakter eines Rissproblems beachtet werden. Dies ist im allgemeinen der Fall, wenn die Rissfront gekr¨ ummt ist. Beispiele hierf¨ ur sind ein pfennigf¨ormiger Innenriss oder ein halbelliptischer Oberfl¨achenriss (Bild 4.7a). Aber auch bei einem Riss mit gerader Rissfront in einer ebenen Scheibe mit endlicher Dicke hat man es genaugenommen mit einem r¨aumlichen Problem zu tun: der Spannungszustand ¨andert sich im Rissfrontbereich u ¨ber die Dicke. Es l¨asst sich zeigen, dass im dreidimensionalen Fall das Rissspitzenfeld lokal vom gleichen Typ ist, wie bei ebenen Problem. Es setzt sich im allgemeinen aus den Nahfeldern der drei Moden zusammen, wobei hinsichtlich der Deformationen beim Modus I- und beim Modus II-Anteil vom EVZ auszugehen ist. Legt man in einen beliebigen Punkt P der Rissfront ein lokales Koordinatensystem nach Bild 4.7b, dann gilt f¨ ur r → 0 σij = √

1 ˜ijI (ϕ) + KII σ˜ijII (ϕ) + KIII σ ˜ijIII (ϕ)] . [KI σ 2πr

(4.26)

Darin sind σ ˜ijI (ϕ), . . . Winkelfunktionen, die durch (4.14), (4.15) und (4.6) festgelegt sind. Das Feld in der Umgebung der Rissfront wird danach durch die Spannungsintensit¨atsfaktoren KI , KII , KIII vollst¨andig charakterisiert. Letztere k¨onnen sich entlang der Rissfront ¨andern: KI = KI (s), . . .. Rissfront

y s rϕ P

A

z

x

b)

a)

Bild 4.7 Zum dreidimensionalen Rissspitzenfeld Die Darstellung (4.26) gilt entlang der Rissfront mit Ausnahme einiger besonderer (singul¨arer) Punkte. Zu ihnen z¨ahlen zum Beispiel ein Knickpunkt in der Rissfront oder ein Punkt, in dem eine Rissfront auf eine freie Oberfl¨ache trifft (vgl. Punkt A in Bild 4.7a). Dort k¨onnen dann Spannungssingularit¨aten auftreten, die nicht vom Typ r−1/2 sind.

4.3

K-Konzept

Wir beschr¨anken uns bei den folgenden Betrachtungen zun¨achst auf den f¨ ur die Anwendungen wichtigsten Fall einer reinen Modus I Riss¨offnung. Das zugeh¨orige Rissspitzenfeld ist, wie schon erw¨ahnt, durch den Spannungsintensit¨atsfaktor

K-Konzept

75

KI eindeutig charakterisiert. Dieses KI -bestimmte Feld dominiert in einem nach außen begrenzten Bereich um die Rissspitze, der in Bild 4.8 schematisch durch den Radius R gekennzeichnet ist. Außerhalb von R k¨onnen die h¨oheren Terme nicht vernachl¨assigt werden. plastische Zone

KI –bestimmtes Feld

r rp ρ R

Bild 4.8 K-Konzept Die G¨ ultigkeit des KI -bestimmten Feldes ist aber auch nach innen begrenzt, weil die lineare Elastizit¨atstheorie unterhalb einer bestimmten Schranke von r die tats¨achlichen Gegebenheiten nicht mehr richtig beschreibt. Dies schon alleine deshalb, weil kein reales Material unbeschr¨ankt große Spannungen ertr¨agt. Die formal auftretenden singul¨aren Verzerrungen widersprechen zudem den Voraussetzungen der linearen Elastizit¨at (kleine Verzerrungen). Bei den meisten realen Materialien kommt es vielmehr aufgrund der zur Rissspitze hin stark ansteigenden Spannungen zu plastischem Fließen oder allgemeiner, zu inelastischen Deformationen. Außerdem befindet sich an der Rissspitze die kleine, aber immerhin endliche Prozesszone. Ihre charakteristische Abmessung ist in Bild 4.8 mit ρ, diejenige der plastischen Zone mit rp bezeichnet. Wir setzen nun voraus, dass das KI -bestimmte Gebiet groß ist im Vergleich zur eingeschlossenen Region (= black box), welche nicht durch das Nahfeld beschrieben wird (ρ, rp  R). Dann kann man davon ausgehen, dass die in ihr ablaufenden Vorg¨ange alleine durch das umgebende KI -bestimmte Feld gesteuert werden. Dies ist die Hypothese, die dem K-Konzept zugrunde liegt: der Zustand in der Prozesszone bzw. an der Rissspitze kann indirekt durch KI charakterisiert werden. Der Spannungsintensit¨atsfaktor wird, ¨ahnlich wie die Spannungen selbst, als eine Zustandsgr¨oße angesehen, die ein Maß f¨ ur die “Belastung” im Rissspitzenbereich ist. Mit dem Spannungsintensit¨atsfaktor steht damit eine Gr¨oße zur Verf¨ ugung, welche die Formulierung eines Bruchkriteriums erlaubt. Danach kommt es zum Einsetzen des Rissfortschrittes (Bruch), wenn der Spannungsintensit¨atsfaktor KI eine materialspezifische kritische Gr¨oße KIc erreicht: KI = KIc .

(4.27)

Unter diesen Umst¨anden liegt in der Prozesszone ein kritischer Zustand vor, welcher zur Separation f¨ uhrt. Dabei haben wir stillschweigend angenommen, dass der Prozesszonenzustand allein durch die aktuelle Gr¨oße von KI bestimmt ist und nicht etwa von der Belastungsgeschichte der Rissspitze abh¨angt.

76

Lineare Bruchmechanik

Die Gr¨oße KIc auf der rechten Seite von (4.27) nennt man Bruchz¨ahigkeit. Sie ist ein Materialkennwert, der in geeigneten Experimenten bestimmt wird (vgl. Abschnitt 4.5). Entsprechend (4.22) hat ein K-Faktor die Dimension [Spannung]·[L¨ange]1/2 ; er wird in Vielfachen der Einheit Nmm−3/2 bzw. MP a mm1/2 angegeben. Die Verwendung von Spannungsintensit¨atsfaktoren in einem Bruchkriterium geht auf G.R. Irwin (1951) zur¨ uck. Im Kriterium (4.27) f¨ ur reinen Modus I wird die Beanspruchung der Rissspitze alleine durch KI charakterisiert. Entsprechende 1-parametrige Bruchkriterien lassen sich auch f¨ ur reinen Modus II bzw. f¨ ur reinen Modus III aufstellen: KII = KIIc

(Modus II) ,

KIII = KIIIc

(Modus III) .

(4.28)

Im Fall einer gemischten Beanspruchung durch KI , KII und KIII muss dagegen von einem allgemeinen Bruchkriterium f (KI , KII , KIII ) = 0

(4.29)

ausgegangen werden (siehe Abschnitt 4.9).

4.4

K-Faktoren

Es gibt sehr viele Methoden zur Bestimmung von K-Faktoren. Da letztere direkt mit den Feldgr¨oßen zusammenh¨angen, sind grunds¨atzlich alle Verfahren anwendbar, welche in der linearen Elastizit¨at zur Bestimmung der Spannungen und Deformationen existieren. Manchmal ist es allerdings notwendig, sie auf die Besonderheit von Rissproblemen (Spannungssingularit¨aten) zuzuschneiden. Analytische Methoden werden haupts¨achlich verwendet, wenn man an L¨osungen in geschlossener Form interessiert ist. Diese sind allerdings nur bei relativ einfachen Randwertproblemen zu erzielen. Bei komplizierteren Problemen ist man auf numerische Methoden angewiesen. Hierbei werden zum Beispiel Finite Elemente Verfahren, Randelementverfahren oder Differenzenverfahren verwendet. Daneben k¨onnen auch experimentelle Methoden, wie Dehnungsmessungen im Rissspitzenbereich oder die Spannungsoptik herangezogen werden. Eine sachgerechte Behandlung aller Verfahren w¨ urde den Rahmen dieses Buches sprengen. Diesbez¨ uglich sei der Leser auf die Spezialliteratur verwiesen. Im folgenden werden nur einige L¨osungen f¨ ur ausgew¨ahlte Risskonfigurationen und Belastungen diskutiert. Anschließend wird beispielhaft auf eine Integralgleichungsformulierung von Rissproblemen, auf die Methode der Gewichtsfunktionen sowie auf ein Verfahren zur Untersuchung von vielen Rissen eingegangen. 4.4.1

Beispiele

Als einfachsten Fall betrachten wir zuerst einen geraden Riss R der L¨ange 2a in einer unendlich ausgedehnten Ebene unter einachsigem Zug σ (Bild 4.9a). Hier und

K-Faktoren

77

σ

σ (1)

y x −a

+a

x

= R

R

σ

a)

(2)

y

y

x +a

+ −a σ

σ σy = σx

y

A v

−a −a b)

σ

−σ

+a

u A

x +a

x c)

Bild 4.9 Einzelriss unter Belastung σ bei vielen anderen Rissproblemen ist es zweckm¨aßig, die L¨osung durch Superposition zweier Teill¨osungen zu erzeugen. Teilproblem (1) betrifft die elastische Ebene ohne Riss unter der gegebenen Belastung σ. Entlang des gedachten Schnittes R (1) tritt dabei die Spannung σy |R = σ auf. Beim Teilproblem (2) wird die elastische Ebene mit Riss alleine entlang der Rissufer durch genau diese Spannung, (2) allerdings mit umgekehrten Vorzeichen, belastet: σy |R = −σ. Die Randbedingung des Ausgangsproblems (belastungsfreie Rissufer) ist nach Superposition der (1) (2) Teill¨osungen erf¨ ullt: σy |R = σy |R + σy |R = 0. Beim Teilproblem (1) ist kein Riss und dementsprechend auch kein Spannungsintensit¨atsfaktor vorhanden. Dies bedeutet, dass die K-Faktoren des Ausgangsproblems und des Teilproblems (2) u ¨bereinstimmen. Unter Verwendung der komplexen Methode lassen sich die L¨osungen der Teilprobleme und des Ausgangsproblems folgendermaßen darstellen: √ Φ = Φ(1) + Φ(2) , Φ(1) (z) = 14 σz , Φ(2) (z) = 12 σ[ z 2 − a2 − z] , (4.30) √ Ψ = Ψ(1) + Ψ(2) , Ψ(1) (z) = 12 σz , Ψ(2) (z) = − 12 σa2 / z 2 − a2 . F¨ ur das Teilproblem (2) erh¨alt man daraus zum Beispiel f¨ ur die Spannungen entlang der x-Achse (Bild 4.9b) ⎧ |x| < a ⎨ −1 (2) (4.31) τxy =0, σy(2) = σx(2) = σ x ⎩ √ − 1 |x| > a . 2 2 x −a

78

Lineare Bruchmechanik

Die Verschiebungen des oberen (+) und des unteren (−) Rissufers (|x| ≤ a) ergeben sich zu (Bild 4.9c) √ 4Gv ± = ±(1 + κ)σ a2 − x2 . (4.32) 4Gu± = −(1 + κ)σx , Den Spannungsintensit¨atsfaktor kann man direkt aus dem komplexen Potential Φ ermitteln. Hierzu betrachten wir zun¨achst eine Rissspitze, die sich an einer beliebigen Stelle z0 befindet. Nach den Kolosovschen Formeln in Verbindung mit (4.14), (4.15) gilt allgemein f¨ ur r → 0 bzw. z → z0 2Φ (z) + 2Φ (z) = σx + σy = 2(2πr)−1/2 [KI cos (ϕ/2) − KII sin (ϕ/2)] = (2πr)−1/2 [(KI − iKII )e−iϕ/2 + (KI − iKII )e−iϕ/2 ] . Mit reiϕ = z − z0 ergibt sich hieraus die Darstellung 2Φ (z) = (KI − iKII )[2π(z − z0 )]−1/2 oder umgekehrt

(z → z0 ) ,

√ √ KI − iKII = 2 2π lim z − z0 Φ (z) . z→z0

(4.33)

F¨ ur das konkrete Beispiel tritt aufgrund der Symmetrie nur eine Modus I Belastung auf (KII = 0), die an beiden Rissspitzen gleich ist. Einsetzen von (4.30) in (4.33) liefert den Spannungsintensit¨atsfaktor √ KI = σ πa . (4.34) In einem weiteren Beispiel werde nun der Riss nach Bild 4.10a an den Rissufern durch entgegengesetzte Einzelkr¨afte belastet. Wirkt nur P (Q = 0), dann lauten die komplexen Potentiale  a2 − b2 P , Ψ (z) = −zΦ (z) . (4.35) Φ (z) = 2π(z − b) z 2 − a2 Durch sie werden alle Randbedingungen erf¨ ullt. Die zugeh¨origen KI -Faktoren (KII ist aus Symmetriegr¨ unden Null) an der rechten (+) und an der linken (−) Rissspitze ergeben sich aus (4.33) zu  a±b P ± KI = √ . (4.36) πa a ∓ b Analog erh¨alt man f¨ ur eine Belastung nur durch Q (reiner Modus II)  Q a±b ± ± KII = √ KI = 0 , . πa a ∓ b

(4.37)

K-Faktoren

79

y

b P

Q P a a

P

Q

2b

y c c

P

x

σ x

P

a)

2a

P

a

a

c)

b)

τ p(x) y τ x a

τ

a

τ

τ 2a

2a

d)

f)

e)

τ

Bild 4.10 Rissbelastungen Die L¨osungen (4.36), (4.37) kann man als Grundl¨osungen verwenden, mit deren Hilfe man weitere L¨osungen konstruieren kann. So folgt f¨ ur eine Rissbelastung nach Bild 4.10b durch Superposition & '  a+b a−b P P 2a . (4.38) + =√ √ 2 KI = √ πa a−b a+b πa a − b2 Unter Zuhilfenahme dieses Resultats errechnet sich f¨ ur die Rissbelastung nach Bild 4.10c  a   a dx a π c √ = 2σ KI = 2σ − arcsin . (4.39) π π 2 a a2 − x2 c

Im Sonderfall c = 0 ergibt sich hieraus das schon bekannte Ergebnis (4.34). Auf ur einen Riss ¨ahnliche Art erh¨alt man unter Verwendung von (4.36) die L¨osung f¨ unter der beliebigen Belastung nach Bild 4.10d: KI±

1 =√ πa

 +a a±x p(x) dx . a∓x

(4.40)

−a

Genauso kann man bei Schubbelastungen vorgehen. So ergibt sich mit (4.37) f¨ ur einen Riss unter reiner Schubbelastung (Modus II) nach Bild 4.10e √ (4.41) KII = τ πa .

80

Lineare Bruchmechanik

σ

σ

y 2a 2b

x

2a 2b σ

σ b)

a)

Bild 4.11 a) Kollineare Rissreihe, b) Scheibenstreifen mit Innenriss ur und f¨ ur den Fall nach Bild 4.10f stimmen u Der KII -Faktor hierf¨ ¨berein. Bild 4.11a zeigt eine periodische Reihe von kollinearen Rissen gleicher L¨ange 2a im unendlichen Gebiet unter einer Zugspannung σ. Hierf¨ ur lautet die L¨osung in komplexen Potentialen Φ (z) =

σ ( 2



1

sin (πa/2b) 1− sin (πz/2b)

2 ,

Ψ (z) = −zΦ (z) .

(4.42)

Der Spannungsintensit¨atsfaktor KI folgt hieraus mit (4.33) zu √ KI = σ πa



2b πa tan . πa 2b

(4.43)

Hiernach steigt KI stark an, wenn sich die Rissspitzen einander n¨ahern. Dies ist auf die gegenseitige Wechselwirkung der Risse zur¨ uckzuf¨ uhren (vgl. Abschnitt 4.4.4). Kommen sich die Rissspitzen sehr nahe (a → b), so ergibt sich mit der Bezeichnung c = b − a aus (4.43) das Ergebnis  KI = σ

4b π



b c

f¨ ur

cb.

(4.44)

Man kann (4.43) auch als eine N¨aherung f¨ ur die Konfiguration in Bild 4.11b verwenden, wenn die R¨ander hinreichend weit von den Rissspitzen entfernt sind. In der Tabelle 4.1 sind K–Faktoren f¨ ur einige F¨alle zusammengestellt. L¨osungen f¨ ur viele weitere Konfigurationen sind in den einschl¨agigen Handb¨ uchern f¨ ur Spannungsintensit¨atsfaktoren zu finden. Angaben hier¨ uber finden sich im Literaturverzeichnis.

81

K-Faktoren

Tabelle 4.1

K–Faktoren

σ



τ

1

τ



KI KII

2a



σ τ

=



√ πa

σ

b PQ

2



Q P 2a

KI± KII±



 =

P Q



1 √ πa



a±b a∓b

σ τ

2b

3



KI KII

2a

τ



 =

σ τ





 πa 2b tan 2b

σ

P

4

Q



Q b

P

KI KII

=

P Q

 √

2 2πb

σ

5

√ KI = 1, 1215 σ πa

a σ

√ KI = σ πa FI (a/b) 6

σ

2b

2a

σ FI =

1 − 0, 025(a/b)2 + 0, 06(a/b)4  cos (πa/2b)

82

Lineare Bruchmechanik

K–Faktoren (Fortsetzung)

Tabelle 4.1

7

σ

b

σ

a

σ

σ b

8

√ ) 2b tan πa GI (a/b) KI = σ πa πa 2b 0, 752+2, 02 a +0, 37(1−sin πa )3 b 2b GI = cos πa 2b

a σ

σ

√ ) 2b tan πa GI (a/b) KI = σ πa πa 2b 0, 923 + 0, 199(1 − sin πa )4 2b GI = cos πa 2b

σ 9

KI =

a

2 √ σ πa π

σ σ σ KI =

10 b

11

a

MT P

MT 2b

2a

P

   2 √ σ πa 1 − 1 − (b/a)2 π

√  KI = P 2 πa 1 − a/b GI (a/b) πa √  KIII = 2M3T πa 1 − a/b GIII (a/b) πa GI = 12 (1+ 2ε + 83 ε2 − 0, 363ε3 +0, 731ε4) 5 ε3 + 35 ε4 GIII = 83 (1+ 2ε + 83 ε2 + 16 128 +0, 208ε5 ) ,

σ a

12

θ σ

ε = a/b

√ KI (θ) = σ πa FI (θ) 2 (1, 211 − 0, 186√sin θ ) FI = π 10◦ < θ < 170◦

83

K-Faktoren

4.4.2

Integralgleichungsformulierung

Ein m¨oglicher Ausgangspunkt zur L¨osung von Rissproblemen ist deren Formulierung durch Integralgleichungen. Von den verschiedenen Arten, welche dabei existieren, sei hier nur eine diskutiert. Ihr Grundgedanke besteht in der Darstellung eines Risses durch eine Versetzungsbelegung. Zur Vorbereitung der Formulierung betrachten wir zun¨achst die aus den komplexen Potentialen Φ(z) = A ln z , Ψ(z) = A ln z (4.45) folgenden Verschiebungen und Spannungen, wobei wir A hier speziell durch die reelle Gr¨oße A = −Gby /π(κ+1) ersetzen:     u (κ − 1) ln r − cos 2ϕ −by = , 2π(κ + 1) (κ + 1) ϕ − sin 2ϕ v ⎧ ⎫ ⎧ σ ⎪ ⎪ cos ϕ + cos 3ϕ ⎨ x ⎪ ⎬ −by G ⎨ σy 3 cos ϕ − cos 3ϕ = ⎪ ⎪ π(κ + 1) r ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ τxy − sin ϕ + sin 3ϕ

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

(4.46) .

W¨ahrend die Verschiebung u bei einem Umlauf von ϕ = 0 bis ϕ = 2π keine ¨ Anderung erf¨ahrt, tritt bei v ein Verschiebungssprung (Diskontinuit¨at) der Gr¨oße v(0) − v(2π) = v + − v − = by auf. Die Potentiale (4.45) beschreiben danach eine Stufenversetzung mit einem Verschiebungssprung in y-Richtung (Bild 4.12, vgl. Abschnitt 3.1.2). Entlang der x-Achse wirken dabei die Spannungen σy = σx = −2Gby /π(κ + 1)x, τxy = 0. Soll ein allgemeiner Verschiebungssprung um by in y- und um bx in x-Richtung beschrieben werden, dann muss die Konstante A in (4.45) zu A = G(by − ibx )/π(κ + 1) gesetzt werden. y r ϕ

by x

Bild 4.12 Verschiebungssprung infolge Stufenversetzung Als konkretes Problem sei im weiteren der schon zuvor untersuchte Riss unter der Rissuferbelastung σ (Druck) nach Bild 4.13a betrachtet. Dabei stellen wir uns nun den Riss erzeugt vor durch eine kontinuierliche Verteilung von Versetzungen, welche im Bereich −a ≤ t ≤ +a auf der x-Achse angeordnet sind (Bild 4.13b).

84

Lineare Bruchmechanik

y

y

σ x +a

−a

dby x t +a

−a

σ b)

a)

Bild 4.13 Riss als Versetzungsverteilung Mit den Umbenennungen by → dby = μdt, x → x − t, z → z − t erh¨alt man dann aus (4.45), (4.46) zum Beispiel f¨ ur die Spannung σy entlang der x-Achse und f¨ ur das Potential Φ die Darstellungen 2G σy (x, 0) = − π(κ + 1) G Φ (z) = − π(κ + 1) 

+a −a

+a −a

μ(t)dt , x−t

(4.47)

μ(t)dt . z−t

(4.48)

In unserem Fall ist die Spannung σy im Rissbereich bekannt: σy = −σ. Gleichung (4.47) stellt dementsprechend eine singul¨are Integralgleichung f¨ ur die unbekannte Verteilung μ dar. Ihre L¨osung lautet μ(x) =

x σ(κ + 1) √ . 2G a2 − x2

(4.49)

Hiermit ist das Problem im Prinzip gel¨ost, da sich aus μ die Potentiale Φ und Ψ durch Integration bestimmen lassen. So erh¨alt man aus (4.48) Φ (z) = −

σ 2π

+a −a

  xdx σ z √ √ = −1 , 2 (z − x) a2 − x2 z 2 − a2

(4.50)

woraus man dann unter anderem den Spannungsintensit¨atsfaktor ermitteln kann. Ist man nur am Spannungsintensit¨atsfaktor interessiert, so kann dieser auch unmittelbar aus μ bestimmt werden. Entlang des Risses gilt n¨amlich μ = dby /dx = d(v + − v − )/dx. Unter Verwendung der Nahfeldformeln (4.14) ergibt sich daraus f¨ ur die rechte Rissspitze der Zusammenhang 2G √ √ 2π a − x μ(x) . x→a κ + 1 √ Einsetzen liefert das bekannte Ergebnis KI = σ πa. KI = lim

(4.51)

85

K-Faktoren

Die Integralgleichungsformulierung ist nicht nur auf gerade Risse anwendbar. Man kann sie ohne weiteres auf gekr¨ ummte Risse, auf berandete Gebiete und auf beliebige Belastungen erweitern. Sie bietet sich zudem als Ausgangspunkt f¨ ur numerische Verfahren zur Behandlung von Rissproblemen an. 4.4.3

Methode der Gewichtsfunktionen

F¨ ur viele geometrische Konfigurationen sind K-Faktoren f¨ ur bestimmte Belastungen zum Beispiel aus Handb¨ uchern bekannt. Wie man hieraus K-Faktoren f¨ ur andere Belastungen ermitteln kann, soll hier gezeigt werden. Wir wollen uns dabei auf ebene Modus I-Probleme beschr¨anken.

(1)

(1)

σy

(2)

(2)

σy

x a

x

ε

a

ξ

ε ξ

a)

b) Bild 4.14 Anwendung des Bettischen Satzes

Ausgangspunkt ist der Satz von Betti (vgl. Abschnitt 1.4.3)   (1) (2) (2) (1) ti ui dA = ti ui dA A

(4.52)

A

mit ti = σij nj , den wir auf die zwei Konfigurationen in Bild 4.14 anwenden. Abgesehen von der Belastung unterscheiden sich beide nur dadurch voneinander, dass die Rissl¨ange der Konfiguration (2) um den kleinen Betrag ε gr¨oßer ist. Da (4.52) nur auf geometrisch gleiche Konfigurationen angewendet werden kann, denken wir uns die Konfiguration (1) vor der Rissspitze entlang der x-Achse um die Strecke ε aufgeschnitten. Die dort wirkenden Normalspannungen sind √ (1) (1) durch die Nahfeldformeln (4.14) gegeben: σy (ξ) = KI (a)/ 2πξ. Analog gilt f¨ ur die Verschiebung v im unbelasteten Bereich 0 ≤ ξ ≤ ε der Konfiguration (2): + 1 K (2)(a+ε)(ε − ξ)/2π. Mit den Bezeichnungen aus Bild 4.14 und v (2) (ξ) = κ2G I unter Ber¨ ucksichtigung der Symmetrie folgt dann aus (4.52)  a ε (1) KI (a) κ + 1 (2) ε−ξ (1) (2) √ σy (x) v (x,a+ε)dx + KI (a+ε) dξ 2G 2π 2πξ 0 0 a = σy(2) (x) v (1) (x) dx . 0

86

Lineare Bruchmechanik

Daraus erh¨alt man mit den Entwicklungen v (2) (x, a+ε) = v (2) (x, a)+

∂v (2) ε+. . . , ∂a

(2)

(2)

(2)

KI (a+ε) = KI (a) +

dKI ε+ ... da

und unter Beachtung von a

ε (

a σy(1)

(2)

σy(2)

v (x, a) dx =

0

(1)

v (x, a) dx ,

0

πε ε−ξ dξ = ξ 2

0

nach Grenz¨ ubergang ε → 0 das Ergebnis a σy(1)

∂v (2) κ + 1 (1) (2) dx + K (a) KI (a) = 0 . ∂a 8G I

(4.53)

0

Wir fassen nun die Konfiguration (2) als bekannte Referenzkonfiguration auf, w¨ahrend f¨ ur die Konfiguration (1) der Spannungsintensit¨atsfaktor gesucht wird. Mit den Umbenennungen (2)

KI , v (2) → KIr , v r , ergibt sich dann KI = −

8G 1 κ + 1 KIr

(1)

KI , σy(1) → KI , σy a σy

∂v r dx . ∂a

(4.54)

0

Darin bezeichnet man den Ausdruck [8G/(κ + 1)KIr ]∂v r /∂a als Gewichtsfunktion; mit ihr wird die gegebene Belastung σy bei der Integration “gewichtet” um den zugeh¨origen K–Faktor zu bestimmen. Die Formel (4.54) gilt zun¨achst nur f¨ ur einen Riss mit einer Rissspitze. Man kann sie aber auch auf einen Riss mit zwei Rissspitzen anwenden. Die Integration hat dann u ¨ber die gesamte Rissl¨ange zu uglich derjenigen Rissspitze vorzuerfolgen, wobei die Ableitung ∂v r /∂a nur bez¨ nehmen ist, f¨ ur die der K–Faktor bestimmt werden soll (die andere Rissspitze ist festzuhalten). Bei einem symmetrisch belasteten Riss mit KI+ = KI− reduziert sich (4.54) auf die Integration u ¨ ber die halbe Rissl¨ange. Als Beispiel wollen wir K f¨ u r den Riss nach Bild 4.15a mit der RissflankenbelaI  stung σy = −σ0 1 − x2 /a2 bestimmen. Als Referenzlastfall verwenden wir den Riss mit einer konstanten Belastung σyr = −σ (vgl. Abschnitt 4.4.1). Hierf¨ ur √ √ gelten KIr = σ πa und 4Gv r = (1 + κ)σ a2 − x2 . Einsetzen in (4.54) liefert unter Beachtung der Symmetrie das Ergebnis 8G 1 √ KI = κ + 1 σ πa



a σ0 0

1−

x2 1 + κ 2 √ σa √ dx = σ0 πa . 2 a 4G π a2 − x2

(4.55)

87

K-Faktoren

y

y

σy x +a

−a

x

p a b)

a)

Bild 4.15 Zur Methode der Gewichtsfunktionen H¨aufig ist f¨ ur eine Referenzbelastung σyr zwar der Spannungsintensit¨atsfaktor r KI bekannt, doch die Referenzverschiebung v r unbekannt. In solchen F¨allen ist es m¨oglich, unter Verwendung eines Verschiebungsansatzes zu N¨aherungsl¨osungen f¨ ur KI zu gelangen. Um dies zu zeigen, nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Referenzbelastung u ¨ ber die Rissl¨ange konstant ist: σyr = −σ = const F¨ ur die Referenzverschiebung verwenden wir den zweigliedrigen Ansatz (PetroskiAchenbach-Ansatz)   √ 1+κσ (a − x)3/2 √ vr = √ 4f (a) a (a − x)1/2 + h(a) (4.56) a 8 2 G mit

√ KIr = σ πa f (a) ,

(4.57)

der sich an der Nahfeldl¨osung orientiert. Die Funktion h(a) wird dabei aus der Bedingung der Selbstkonsistenz bestimmt. Danach muss f¨ ur σy = σyr auch KI = r KI sein. Aus (4.54) folgt dann (KIr )2

8G = σ 1+κ

a

∂v r dx ∂a

a (KIr )2

bzw.

0

8G da = σ 1+κ

0

a v r dx 0

und nach Einsetzen √ a 20 5 2π af 2 (a) da − f (a) . h(a) = 2a2 3

(4.58)

0

Als Beispiel hierzu betrachten wir den einseitigen Randriss mit dreiecksf¨ormiger Rissflankenbelastung nach Bild √ 4.15b. F¨ ur den Referenzlastfall unter konstanter Belastung gilt KIr = 1, 1215 σ πa , d.h. f = 1, 1215 = const (vgl. Tabelle 4.1, Nr.5). Einsetzen von (4.56) und der Belastung σy = −p(1 − x/a) in (4.54) liefert schließlich als N¨aherung f¨ ur den K–Faktor √ KI 0, 435 p πa . (4.59)

88

Lineare Bruchmechanik

√ Der exakte Wert betr¨agt KIex = 0, 439 p πa . Begn¨ ugt man sich beim Ansatz (4.56) nur mit√dem ersten Glied (h = 0), dann erh¨alt man die gr¨obere N¨aherung KI 0, 480 p πa . 4.4.4

Risswechselwirkung

H¨aufig hat man es nicht nur mit einem Riss sonderen mit mehreren Rissen oder mit einem System aus sehr vielen Rissen zu tun. Ist der Abstand der Risse groß im Vergleich zu ihrer L¨ange, so beeinflussen sie einander nur wenig. Man kann dann jeden einzelnen Riss in erster N¨aherung so behandeln, als g¨abe es die anderen Risse nicht. Liegen die Risse dagegen hinreichend dicht beieinander, so kann die Wechselwirkung zwischen ihnen je nach geometrischer Konfiguration zu einer Vergr¨oßerung oder zu einer Verkleinerung der Rissspitzenbelastung, d.h. der K–Faktoren f¨ uhren. Man spricht in diesem Fall von Verst¨arkungs- oder von Abschirmeffekten. Exakte L¨osungen f¨ ur solche Probleme sind nur in wenigen Sonderf¨allen m¨oglich. Aber auch numerische Verfahren unterliegen starken Einschr¨ankungen; sie sind im allgemeinen nur bei einer geringen Risszahl praktikabel. Ein Beispiel, f¨ ur das eine exakte L¨osung existiert, ist die kollinearen Rissreihe nach Bild 4.11a bzw. nach Tabelle 4.1, Nr.3. Bei Ann¨aherung der benachbarten Rissspitzen (a → b) wachsen hier die K–Faktoren unbeschr¨ankt an (Verst¨arkung).

y “1“

2

x

1

−a

+a b

c

¨ Bild 4.16 Zur Definition des Ubertragungsfaktors Im folgenden wollen wir das Prinzip eines Verfahrens kennenlernen, das auf M. Kachanov (1983) zur¨ uckgeht, und mit dessen Hilfe gute N¨aherungsl¨osungen auch f¨ ur komplexe Risssysteme gewonnen werden k¨onnen. Zur Vorbereitung betrachten wir nach Bild 4.16 einen Riss 1, auf dessen Rissflanken eine konstante Einheitsbelastung wirkt. Die L¨osung f¨ ur dieses Problem ist bekannt (vgl. Abschnitt 4.4.1), und wir k¨onnen die Spannungen in jedem Punkt oder entlang jeder beliebigen Linie bestimmen. So ergibt sich zum Beispiel nach (4.31) entlang der Linie 2 (x-Achse) die Normalspannung (die Schubspannung ist dort Null) σy (x) = f12 (x) = √

x −1. − a2

x2

(4.60)

89

K-Faktoren

¨ Ihren Mittelwert im Intervall (b, c) bezeichnen wir als Ubertragungsfaktor : Λ12

1 = f12  = c−b

√

c f12 (x)dx = b

√ c2 − a2 − b2 − a2 −1. c−b

(4.61)

Er beschreibt die globale Belastung der Linie 2 infolge einer Einheitsbelastung des Risses 1 und ist alleine durch die geometrische Konfiguration bestimmt. Zur Erkl¨arung des Verfahrens von Kachanov beschr¨anken wir uns im weiteren der Einfachheit halber auf zwei kollineare Risse unter einer reinen Modus I Belastung durch die Zugspannung σ0 (Bild 4.17). Da wir nur an den Spannungsintensit¨atsfaktoren interessiert sind, gen¨ ugt es, das System mit den Rissflanken∞ belastungen p∞ = p = σ zu untersuchen. Die L¨osung hierf¨ ur l¨asst sich formal 0 1 2 durch Superposition zweier Teilprobleme erzeugen. Beim ersten ist nur der Riss 1 1 (x) vorhanden. mit der noch unbekannten Rissflankenbelastung p1 (x) = p∞ 1 +p ¨ Dabei beschreibt p1 (x) die Anderung der Belastung des Risses 1 aufgrund der Existenz des Risses 2. Entlang dessen Linie tritt infolge der Belastung p1 (x) die Spannung σ2 (x) auf. Diese ersetzen wir nun n¨aherungsweise durch die Spannung p1 f12 (x), welche infolge einer konstanten Rissbelastung durch den Mittelwert p1  zustande kommt. Wir ber¨ ucksichtigen danach hinsichtlich der Auswirkung

σ0 1

σ0 p∞ 1 = σ0

2

+

=

p∞ 1

˜1 (x) p1 (x) = p∞ 1 +p

p∞ 2

p∞ 2 = σ0

p2 (x) = p∞ ˜2 (x) 2 +p +

= σ2 (x) ≈ p1 f12 (x)

σ1 (x) ≈ p2 f21 (x)

p1 

p1 (x) =

+

Bild 4.17 Verfahren von Kachanov

90

Lineare Bruchmechanik

auf den Riss 2 nur die mittlere (globale) Belastung des Risses 1. Beim zweiten Teilproblem gehen wir entsprechend vor. Nach der Superposition f¨ uhren damit die Randbedingungen f¨ ur beide Risse p1 (x) − p2  f21 (x) = p∞ 1 ,

p2 (x) − p1  f12 (x) = p∞ 2

auf die Darstellungen p1 (x) = p∞ 1 + p2  f21 (x) ,

p2 (x) = p∞ 2 + p1  f12 (x) .

(4.62)

Die darin noch unbekannten Mittelwerte p1  und p2  bestimmen wir aus der Bedingung, dass die Gleichungen (4.59) selbstkonsistent sein m¨ ussen, d.h., dass sie auch zur Bildung der Mittelwerte selbst verwendet werden k¨onnen: p1  = p∞ 1 + p2  f21  ,

p2  = p∞ 2 + p1  f12  .

Diese Selbstkonsistenz-Gleichungen stellen ein lineares Gleichungssystem f¨ ur ¨ p1 , p2  dar, das unter Verwendung der Ubertragungsfaktoren nach (4.58) in der Form p1  − Λ21 p2  = p∞ 1 , (4.63) −Λ12 p1  + p2  = p∞ 2 geschrieben werden kann. Nach seiner L¨osung liegen die Rissbelastungen p1 (x) und p2 (x) entsprechend (4.62) fest, und wir k¨onnen mit Hilfe von (4.40) die Spanur die einzelnen Risse bestimmen. nungsintensit¨atsfaktoren KI± f¨ Treten nicht nur zwei sondern n Risse unter einer Modus I Belastung auf, so ergibt sich in Verallgemeinerung von (4.63) das Gleichungssystem (δji − Λji) pj  = p∞ i ,

i = 1, . . . , n

(4.64)

mit Λij = 0 f¨ ur i = j. Wenn die Risse auch eine Modus II Belastung erfah¨ ren, dann muss dies in den Ubertragungsfaktoren und in den Randbedingungen ber¨ ucksichtigt werden. Man erh¨alt in diesem Fall bei n Rissen 2n Gleichungen f¨ ur die jeweils n Mittelwerte der Normal- und der Schubbelastungen. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir die in Bild 4.18a dargestellten zwei gleich großen, kollinearen Risse. Hierf¨ ur ergibt sich aus (4.63) unter Beachtung von Λ12 = Λ21 = Λ, p1  = p2  = p (Symmetrie!) p − Λ p = p∞ wobei

bzw.

 Λ=

p =

2(1 + κ) √ −1 . 1+ κ

p∞ , 1−Λ

91

K-Faktoren

σ 2l p∞ = σ0 y p∞ = σ0

2a d

x

ϕ

2a

2a

2a

κl a)

σ

b) Bild 4.18 Zwei gleich große Risse

Nach (4.62) und (4.60) liegt damit die Rissbelastung zum Beispiel des rechten Risses (Koordinatentransformation beachten) fest: ' & 2x + 1 + κ ∞ −1 . p(x) = p + p  2 (x + κ)(x + 1) Einsetzen in (4.40) liefert schließlich f¨ ur die K–Faktoren die N¨aherungsl¨osung   1 1 ± 0 KI = KI 1+ [±4E(α) ∓ 2κ(κ+1)K(α) − π(1−κ)] . (4.65) 1−Λ 2π(1−κ) √ ur einen einzelnen (ungest¨orten) Riss Hierin sind KI0 = σ0 πa der K–Faktor f¨ und K(α) bzw. E(α) die vollst¨ √andigen elliptischen Integrale erster bzw. zweiter Art mit dem Argument α = 1 − κ2 . In der Tabelle 4.2 sind einige Ergebnisse der N¨aherungsl¨osung den exakten Werten gegen¨ ubergestellt. Man erkennt, dass der Fehler selbst bei recht kleinen Rissabst¨anden gering ist. Tabelle 4.2 Vergleich der N¨aherungsl¨osung mit exakten Werten κ

KI+ /KI0

(KI+ /KI0 )exakt

KI− /KI0

(KI− /KI0 )exakt

0,2 0,05 0,01

1,052 1,118 1,175

1,052 1,120 1,184

1,112 1,452 2,134

1,112 1,473 2,372

Zum Abschluss wollen wir f¨ ur dieses Beispiel noch den Sonderfall betrachten, dass der Rissmittenabstand d = 2(κl + a) groß ist im Vergleich zu den Rissl¨angen: d  a. Aus (4.60) erh¨alt man in diesem Fall zun¨achst durch Reihenentwicklung

92

Lineare Bruchmechanik

f¨ ur x  a entlang der x-Achse die Spannung f12 = σy ≈ 12 (a/x)2 . Sie kann im Bereich der Risslinie 2 mit x ≈ d als konstant angesehen werden: f12 = Λ12 = σy ≈ 12 (a/d)2 . Hiermit ergibt sich p ≈ p∞ [1 + 12 (a/d)2 ], und wir erhalten f¨ ur die K-Faktoren   1 * a +2 KI ≈ KI0 1 + . (4.66) 2 d Sie unterscheiden sich in erster N¨aherung an der linken bzw. an der rechten Rissspitze nicht. Auf gleiche Weise folgt f¨ ur die allgemeinere Risskonfiguration nach Bild 4.18b   a2 KI ≈ KI0 1 + 2 (2 cos 2ϕ − cos 4ϕ) , 2d (4.67) 2 a 0 KII ≈ KI 2 (− sin 2ϕ + sin 4ϕ) . 2d Man erkennt, dass die Wechselwirkung der Risse mit zunehmenden Abstand d sehr schnell abklingt. So ergibt sich f¨ ur d = 10 a bei kollinearen Rissen (ϕ = 0) nur noch eine KI -Vergr¨oßerung um 1/200 bzw. bei u ¨bereinander liegenden Rissen (ϕ = π/2) eine KI -Verkleinerung um 3/200. Die Ursache hierf¨ ur liegt im Abklingverhaltens der Spannungen von einem Riss, der entsprechend Bild 4.16 belastet ist. Dieses ist im ebenen Fall f¨ ur r  a allgemein vom Typ (a/r)2 . Im dreidimensionalen Fall zum Beispiel eines kreisf¨ormigen Risses klingen die Spannungen f¨ ur große Abst¨ande (r  a) dagegen mit (a/r)3 , d.h. noch schneller ab. Bei gleichen Rissabst¨anden ist dementsprechend die Wechselwirkung im 3D-Fall deutlich geringer als im ebenen Fall. Bei der Ausbreitung wechselwirkender Risse treten mitunter interessante Ph¨anomene auf, wovon wir eines kurz diskutieren wollen. Wir betrachten dabei eine Scheibe, in der sich zwei kollineare, gerade Risse befinden (Bild 4.19). Experimente zeigen, dass diese Risse unter einer Zugbelastung zun¨achst wie erwartet aufeinander zu laufen. Mit geringer werdendem Abstand lenken sich die einander n¨aher kommenden Rissspitzen jedoch ab und vereinigen sich nicht auf dem

Bild 4.19 Wechselwirkung zweier aufeinander zu laufender Risse

93

K-Faktoren

k¨ urzesten Weg. Vielmehr laufen die beiden Rissspitzen aufgrund ihrer Wechselwirkung in einem gewissen Abstand umeinander herum und vereinigen sich erst sp¨ater mit dem jeweils anderen Riss. Bild 4.19 zeigt das Ergebnis einer numerischen Simulation, die diesen Vorgang recht deutlich wiedergibt. Auch wenn sich solche krummlinigen Rissbahnen nur numerisch berechnen lassen, l¨asst sich das beobachtete Ph¨anomen qualitativ mit den Ergebnissen (4.67) f¨ ur die Risskonfiguration nach Bild 4.18b erkl¨aren. Wie in Abschnitt 4.9 erl¨autert wird, ist der Winkel, um den eine sich ausbreitende Rissspitze abgelenkt wird, maßgeblich durch den KII -Faktor bestimmt. Dieser ¨andert sich nach (4.67) mit dem Winkel ϕ, d.h. mit der relativen Lage der Rissspitzen und erf¨ahrt einen Vorzeichenwechsel. F¨ ur kleine Winkel ϕ ist KII positiv, was eine anf¨angliche Ablenkung des linken Risses in Bild 4.19 nach unten und des rechten Risses nach oben bewirkt: die Rissspitzen weichen sich danach aus. F¨ ur gr¨oßere Winkel ϕ wird KII dagegen negativ, und die beiden Risse werden aufeinander zu gelenkt. 4.4.5

Spannungsintensit¨ atsfaktoren und Kerbfaktoren

An riss¨ahnlichen Kerben mit einem hinreichend kleinem Kerbradius treten ¨ahnlich wie in der Umgebung von Rissspitzen oft sehr große Spannungen auf. Allerdings bleiben die Spannungen im Kerbgrund im Gegensatz zur Rissspitze immer beschr¨ankt und sind nicht singul¨ar. Man spricht in diesem Fall von Spannungskonzentration und erfasst die durch die Kerbe hervorgerufene Spannungserh¨ohung gegen¨ uber einer Nennspannung durch einen sogenannten Kerbfaktor. Eine genauere Analyse zeigt, dass zwischen den Spannungsfeldern in der Umgebunge einer Rissspitze und der Umgebung eines Kerbgrundes enge Beziehungen bestehen, die hier kurz diskutiert werden sollen. σ y

y b

ρ

x a

a)

σ

x

a

b)

Bild 4.20 Elliptisches Loch unter einachsigem Zug Als typisches Beispiel betrachten wir zun¨achst das in Bild 4.20a dargestellte elliptische Loch mit den Halbachsen a und b in einer unendlich ausgedehnten Ebene unter einachsigem Zug σ senkrecht zur großen Halbachse a. Ohne auf die Herleitung einzugehen l¨asst sich zeigen, dass die maximale Randspannung in den

94

Lineare Bruchmechanik

Scheiteln x = ±a der Ellipse auftritt und den Betrag    * a a+ =σ 1+2 σmax = σ 1 + 2 b ρ

(4.68)

hat. Darin ist ρ = b2 /a der Kr¨ ummungsradius im Scheitel, vgl. Bild 4.20b. Man erkennt, dass die Spannungserh¨ohung umso gr¨oßer ist, je kleiner das Halbachsenverh¨altnis b/a bzw. je kleiner ρ/a ist. F¨ ur sehr enge Ellipsen (b  a bzw. ρ  a) vereinfacht sich (4.68) zu  a σmax = 2σ . (4.69) ρ Im Grenzfall b → 0 bzw. ρ → 0 entartet das elliptische Loch zu einem Riss der L¨ange 2a, und die Maximalspannung w¨achst u ¨ber alle Grenzen. Um den Zusammenhang zwischen dem Rissspitzenfeld und dem Kerbspannungsfeld herzustellen, betrachten wir in Bild 4.21a die unmittelbare Umgebung des Scheitels. Dort entspricht der Rand dem einer tiefen Kerbe mit einer parabelf¨ormigen Kontur. Legen wir den Koordinatenursprung in den Brennpunkt der Parabel, dann wird sie alternativ durch x=

ρ y2 + 2 2ρ

ρ oder z = (1 − i η)2 , 2

−∞ < η < ∞

(4.70)

mit z = x + iy = r eiϕ beschrieben. Das zugeh¨orige Modus I Kerbspannungsfeld ergibt sich durch Superposition zweier Felder. Eines ist das Rissspitzenfeld einer Rissspitze im Koordinatenursprung, das durch (4.14) gegeben ist. Dieses Spannungsfeld ruft entlang der Parabelkontur eine Randbelastung hervor, die durch ein zweites Feld mit den komplexen Potentialen Φ (z) = 0 ,

Ψ (z) =

ρKI √ 2z 2πz

(4.71)

gerade zu Null reduziert wird; d.h. der Rand der Parabelkerbe ist dann belastungsfrei. Das Kerbspannungsfeld ergibt sich damit aus der Summe von (4.14) und den Spannungen aus (4.71): ⎧ ⎧ ⎫ ⎫⎤ ⎡ ϕ sin 3ϕ ⎪ 3ϕ ⎪ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ 1 − sin cos ⎪ ⎪ ⎪ σ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ 2 ⎪ ⎨ x ⎪ ⎬ ⎨ ⎬ ⎬⎥ KI ⎢ ρ ϕ⎨ ⎥ ⎢ ϕ 3ϕ 3ϕ √ σy = − ⎥ . (4.72) ⎢cos 1 + sin 2 sin 2 − cos 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎦ 2 2r ⎣ 2πr ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭ ⎭ ϕ 3ϕ 3ϕ τxy sin 2 cos 2 sin 2 Die Intensit¨at des Kerbspannungsfeldes ist demnach eindeutig durch den Spanur die nungsintensit¨atsfaktor KI eines zugeordneten Risses festgelegt. So folgt f¨ maximale Randspannung σmax = σy im Kerbgrund (r = ρ/2, ϕ = 0) 2KI σmax = √ . πρ

(4.73)

Die Bruchz¨ ahigkeit KIc

95

y

ρ π−α

x

ρ

a)

y

r

ρ/2 ρ/2

b)

r x

(1 − π/2α)ρ

Bild 4.21 a) parabelf¨ormige Kerbe, b) V-f¨ormige Kerbe Diese allgemein g¨ ultige Beziehung erlaubt es bei gegebener Belastung, aus dem Modus I Spannungsintensit¨atsfaktor f¨ ur einen Riss auf die maximale Spannung in einer entsprechenden tiefen Kerbe mit bekanntem Kerbradius zu schließen. Umgekehrt kann man aus der Beziehung KI = lim

ρ→0

1√ πρ σmax 2

(4.74)

bei Kenntnis von σmax den Spannungsintensit¨atsfaktor bestimmen. Analog gelten im reinen Modus II bzw. Modus III: KII = lim

ρ→0

1√ πρ σmax , 2

KIII = lim

ρ→0

1√ πρ τmax . 2

(4.75)

Einen gleichartigen Zusammenhang gibt es zwischen dem verallgemeinerten ur eine scharfe Spitzkerbe nach Bild4.5 (vgl. auch Spannungsintensit¨atsfaktor K ∗ f¨ (4.20)) und der maximalen Randspannung σmax in einer abgerundeten V-f¨ormigen Kerbe mit dem Kerbradius ρ nach Bild 4.21b: K∗ σmax = √ I f (α) ρλ−1 . 2π

(4.76)

¨ Darin h¨angen ur α = π (Riss) √ f (α) und λ vom Offnungswinkel der Kerbe ab. F¨ gelten f = 2 2 und λ = 1/2.

4.5

Die Bruchz¨ ahigkeit KIc

Die Bestimmung der Bruchz¨ahigkeit KIc eines Werkstoffes erfolgt in der Regel in genormten Versuchen (z.B. nach dem ASTM–Standard E399-90), auf deren Details hier nicht n¨aher eingegangen werden soll. Verwendung finden dabei unterschiedliche Probenformen, von denen zwei in Bild 4.22 dargestellt sind. Die Proben m¨ ussen u ugen, welcher bei metallischen Werkstoffen ¨ber einen Anriss verf¨ von einem Kerb ausgehend durch eine geeignete Schwingbeanspruchung erzeugt

96

Lineare Bruchmechanik

F F

a

a

F W

W

F/2

B b)

a)

F/2

B

Bild 4.22 a) Kompakt-Zugprobe (CT), b) 3-Punkt-Biegeprobe (3PB) wird. Aus der gemessenen Belastung, bei welcher die Rissausbreitung einsetzt, l¨asst sich dann mittels des Zusammenhanges zwischen Spannungsintensit¨atsfaktor, Belastung und Rissl¨ange die Bruchz¨ahigkeit ermitteln. Damit aus Messungen tats¨achlich geometrieunabh¨angige Bruchz¨ahigkeiten gewonnen werden k¨onnen, haben die Proben die Bedingungen der linearen Bruchmechanik zu erf¨ ullen. Danach muss die plastische Zone klein sein im Vergleich zu allen relevanten Abmessungen einschließlich der Gr¨oße des KI -bestimmten Gebietes (vgl. Abschnitte 4.3 und 4.7). Dies wird durch die Gr¨oßenbedingung 2  KIc (4.77) a, W − a, B ≥ 2, 5 σF gew¨ahrleistet, wobei f¨ ur σF die Streckgrenze Re eingesetzt wird. Unter diesen Umst¨anden ist dann auch gesichert, dass in der Umgebung der Rissfront im wesentlichen der EVZ vorherrscht. Wie sich eine Verringerung der Probendicke auf den kritischen Spannungsintensit¨atsfaktor auswirkt, ist in Bild 4.23a dargestellt. Die wesentliche Ursache f¨ ur das Ansteigen des Kc –Wertes ist dabei die Abnahme ¨ der Fließbehinderung, welche mit der Anderung des Spannungszustandes einhergeht (vgl. Abschnitt 4.7.2). KIc

Kc

KIc

a)

B

b)

T

Bild 4.23 a) Einfluss der Probendicke, b) Einfluss der Temperatur

97

Energiebilanz

Die Bruchz¨ahigkeit eines Werkstoffes h¨angt von zahlreichen Faktoren ab. Zu ihnen geh¨oren unter anderen die Eigenschaften der Mikrostruktur (z.B. Korngr¨oße), die Vorgeschichte der Belastung, die W¨armebehandlung und das Umgebungsmedium (z.B. Luft oder Wasser). Bild 4.23b zeigt schematisch den signifikanten Einfluss der Temperatur bei vielen Metallen. In der Tabelle 4.3 sind Anhaltswerte f¨ ur die Bruchz¨ahigkeiten einiger Werkstoffe zusammengestellt. Zuverl¨assige Werte f¨ ur ein zum Einsatz gelangendes Material sollten allerdings immer an diesem selbst bestimmt werden. Tabelle 4.3 Bruchz¨ahigkeiten einiger Werkstoffe Material hochfeste St¨ahle 30CrNiMo8 (20o ) 30CrNiMo8 (−20o ) Baust¨ahle Ti-Legierungen Ti6Al4V Al-Legierungen AlCuMg AlZnMgCu1,5 Al2 O3 -Keramik Marmor Glas Beton

4.6 4.6.1

√ KIc/[MPa mm ] 800. . . 3000 3650 2000 1000. . . 4000 1200. . . 3000 2750 600. . . 2000 900 950 120. . . 300 40. . . 70 20. . . 40 5. . . 30

Rp0,2/[MPa] 1600. . . 2000 1100 <500 800. . . 1200 900 200. . . 600 450 500

Energiebilanz Energiefreisetzung beim Rissfortschritt

Wir betrachten einen rissbehafteten elastischen K¨orper, auf den entlang des Randes ∂Vt ¨außere Lasten wirken bzw. bei dem entlang des Randes ∂Vu die Verschiebungen vorgeschrieben sind (Bild 4.24). Von den ¨außeren Lasten sei vorausgesetzt, ur Totlasten oder Federkr¨afte dass sie ein Potential Πa besitzen, was zum Beispiel f¨ zutrifft. Infolge eines Rissfortschrittes um die Fl¨ache ΔA (bzw. um die L¨ange Δa im ebenen Fall) gehe nun das System von der urspr¨ unglichen Gleichgewichtslage 1 in eine ¨ neue Gleichgewichtslage 2 u stellen wir uns folgendermaßen ¨ ber. Diesen Ubergang realisiert vor: wir denken uns den K¨orper im Zustand 1 entlang ΔA geschnitten und fassen die dort wirkenden Spannungen als a¨ußere Kr¨afte auf. Diese werden

98

Lineare Bruchmechanik

111 000 000 111 ΔA

∂Vt

a

111111 000000 000000 111111 Δa

∂Vu

Bild 4.24 Rissfortschritt und Energiefreisetzung nun quasistatisch auf Null reduziert, so dass am Ende der Zustand 2 erreicht ist. Dabei wird von ihnen eine Arbeit ΔWσ geleistet, die kleiner oder h¨ochstens ¨ gleich Null ist. Daneben leisten die ¨außeren Kr¨afte auf ∂Vt beim Ubergang vom a Zustand 1 zum Zustand 2 eine Arbeit W12 , welche durch die Potentialdifferenz a ausgedr¨ uckt werden kann: W12 = −ΔΠa = −(Πa2 − Πa1 ). Aus dem Energiesatz (vgl. Abschnitt 1.4.1) folgt damit a ΔΠi = Πi2 − Πi1 = W12 + ΔWσ = −Πa2 + Πa1 + ΔWσ ,

bzw. mit Π = Πi + Πa ΔΠ = ΔWσ ≤ 0 .

(4.78)

Beim Rissfortschritt nimmt danach die mechanische Energie Π des Systems ab. Die freigesetzte Energie steht f¨ ur den Bruchprozess zur Verf¨ ugung. Ausdr¨ ucklich sei darauf hingewiesen, dass ΔWσ nicht mit der Arbeit ΔW B der Bindungskr¨afte beim Rissfortschritt verwechselt werden darf. Letztere wird beim Trennprozess zwischen den Bausteinen des Materials geleistet und ist dementsprechend eine materialspezifische Gr¨oße (vgl. Abschnitte 3.1.1 und 3.2.2). Wir wollen kurz zwei Sonderf¨alle betrachten. Sind entlang des gesamten Randes die Verschiebungen festgehalten, dann ist ΔΠa = 0, und es wird ΔΠi = ΔWσ . Ist dagegen die ¨außere Belastung eine Totlast, so folgt bei linear elastischem Materialverhalten mit dem Satz von Clapeyron (2Πi + Πa = 0) das Ergebnis −ΔΠi = ΔΠa /2 = ΔWσ . Als Beispiel hierzu sei die Energie¨anderung bestimmt, wenn in einer zun¨achst rissfreien, unendlich ausgedehnten Ebene unter einachsigem Zug σ ein Riss der L¨ange 2a gebildet wird (Bild 4.25). Unter Verwendung der Verschiebung √ v = (1 + κ)σ a2 − x2 /4G des oberen Rissufers errechnet sich zun¨achst die Arbeit ΔWσ bei der Riss¨offnung (am oberen und am unteren Rissufer wird die gleiche Arbeit geleistet): a 1 1+κ ΔWσ = −2 σvdx = −σ 2 a2 π . (4.79) 2 8G −a

99

Energiebilanz

σ

σ y

x 2a

σ

σ

Bild 4.25 Energiefreisetzung bei der Rissbildung Hieraus erh¨alt man f¨ ur den Fall, dass im Unendlichen die Lasten konstant bleiben (Totlasten) (4.80) ΔΠ = −ΔΠi = ΔΠa /2 = −σ 2 a2 π(1 + κ)/8G . Werden dagegen im Unendlichen die Verschiebungen festgehalten, so gilt ΔΠ = ΔΠi = −σ 2 a2 π(1 + κ)/8G .

(4.81)

Zwar ist ΔΠ in beiden F¨allen gleich, die ΔΠi unterscheiden sich jedoch durch die Vorzeichen. Angemerkt sei an dieser Stelle, dass man ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit das Potential f¨ ur den Ausgangszustand (Ebene ohne Riss) zu Null setzen kann. Dann beschreibt (4.80) bzw. (4.81) das Potential Π der Ebene mit Riss. Außerdem sei darauf hingewiesen, dass die Ausdr¨ ucke (4.79)–(4.81) Arbeiten bzw. Energie¨anderungen pro Einheitsdicke darstellen (ebenes Problem). 4.6.2

Energiefreisetzungsrate

Die auf einen infinitesimalen Rissfortschritt dA bezogene freigesetzte Energie −dΠ nennt man Energiefreisetzungsrate (energy release rate): G=−

dΠ . dA

(4.82a)

Beim ebenen Problem ist dΠ auf die Einheitsdicke bezogen, und man schreibt daher dΠ , (4.82b) G=− da wobei da eine infinitesimale Rissverl¨angerung ist. Die Energiefreisetzungsrate hat die Dimension einer Kraft (pro Einheitsdicke); sie wird deshalb auch als Rissausbreitungskraft (crack extension force) bezeichnet. Im linear elastischen Fall kann die Energiefreisetzungsrate durch die Spannungsintensit¨atsfaktoren ausgedr¨ uckt werden. Wir wollen dies an Hand des Modus I

100

Lineare Bruchmechanik

F

F

a

KI (a+Δa) y x

KI (a)

y

x

a

Δa

Δa

Bild 4.26 Energiefreisetzungsrate beim Modus I zeigen. Einen Rissfortschritt um die kleine L¨ange Δa denken wir uns wieder dadurch erzeugt, dass die l¨angs des Schnittes Δa wirkenden Spannungen quasistatisch auf Null reduziert werden (Bild 4.26). Vor √ dem Rissfortschritt wirkt dort nach (4.13) die Normalspannung σy (x) = KI (a)/ 2πx (Glieder h¨oherer Ordnung k¨onnen wegen des sp¨ateren Grenz¨ uberganges Δa → 0 unber¨ ucksichtigt bleiben). Die Verschiebung der oberen bzw. der unteren Rissflanke entlang Δa nach dem κ + 1 ± K Rissfortschritt ergibt sich laut (4.21) zu v (x) = ± 2G I (a+Δa) (Δa − x)/2π. Damit erh¨alt man 1 ΔWσ = ΔΠ = − 2

Δa σy (v + − v − ) dx

0 Δa

= −

(4.83)

KI (a) κ + 1 √ KI (a+Δa) 2πx 2G



Δa − x dx 2π

0

κ+1 = − KI (a) KI (a+Δa) Δa , 8G woraus f¨ ur Δa → 0 das Ergebnis κ+1 2 dΠ = KI = G=− da 8G



KI2 /E

ESZ

(1 − ν 2 )KI2 /E

EVZ

(4.84)

folgt. Analog lassen sich die Energiefreisetzungsraten f¨ ur reine Modus II- und f¨ ur reine Modus III Belastung bestimmen. Es gilt: G=

κ+1 2 K 8G II

(Modus II) ,

G=

1 2 K 2G III

(Modus III) .

(4.85)

Im Fall einer allgemeinen Rissbelastung, bei der alle drei Moden auftreten, erh¨alt man damit f¨ ur die Energiefreisetzungsrate pro Einheitsl¨ange der Rissfront G=

1 1 2 (K 2 + KII2 ) + K . E I 2G III

(4.86)

101

Energiebilanz

Dabei ist E  = E/(1 − ν 2 ) im EVZ bzw. im dreidimensionalen Fall und E  = E im ESZ. Im reinen Modus I besteht nach (4.84) eine eindeutige Beziehung zwischen KI und G. Analoges gilt im reinen Modus II bzw. Modus III. Im Rahmen der linearen Bruchmechanik sind demnach das K-Konzept und ein Kriterium G = Gc

(4.87)

f¨ ur reine Moden ¨aquivalent. Darin ist Gc ein Materialkennwert, der Risswiderstand oder Risswiderstandskraft genannt wird. Wegen des unmittelbaren Zusam2 menhangs Gc = KIc /E  wird er h¨aufig genau wie KIc auch als Bruchz¨ahigkeit bezeichnet. Man kann (4.87) folgendermaßen interpretieren: zum Einsetzen des Bruchvorganges kommt es, wenn die bei einem Rissfortschritt freigesetzte Energie der ben¨otigten Energie entspricht. Dieses energetische Kriterium wurde in einer etwas modifizierten Form von A.A. Griffith (1921) aufgestellt. Wir werden in Abschnitt 4.6.4 nochmals darauf zur¨ uckkommen. Eine andere Interpretation von (4.87) orientiert sich an der Deutung von G als (verallgemeinerte) Kraft. Danach muss beim Einsetzen des Risswachstums die Rissausbreitungskraft gleich der Risswiderstandskraft sein. Zum Abschluss wollen wir noch die Energiefreisetzungsraten f¨ ur zwei Anwendungsbeispiele bestimmen. Die in Bild 4.27a dargestellte Konfiguration kann als Modell f¨ ur eine Klebe- oder Schweißverbindung zweier d¨ unner Schichten (Streifen) unter einer Zugbelastung F angesehen werden. In hinreichendem Abstand von den Rissspitzen herrschen f¨ ur h  2b außerhalb und innerhalb des Verbindungsbereichs jeweils Spannungszust¨ande, die sich u ¨ber die L¨ange nicht ¨andern. Ein Rissfortschritt um da der linken oder der rechten Rissspitze f¨ uhrt zu einer gleich großen Verl¨angerung bzw. Verk¨ urzung dieser Bereiche. Unter Annahme einer Totlast und Verwendung der Beziehungen der Stab- und Balkentheorie (die in diesem Fall exakt sind), ergibt sich mit dem Biegemoment M = F h/2 und und dem Fl¨achentr¨agheitsmoment I = Bh3 /12 zun¨achst    F2 M2 F2 7F2 + − da = da . dΠi =    2 E (B h) 2 E I 2 E (2 B h) 4 E B h

F

h h

da

(1)

F

x

(2)

h x

2b a)

b) Bild 4.27 Beispiele zur Energiefreisetzungsrate

ε0

102

Lineare Bruchmechanik

Darin ist B die Breite der Schicht. Wegen dΠ = −dΠi = dΠa /2 und dA = B da liefert (4.82a) damit im EVZ G=

7 (1 − ν 2 ) F 2 4 E B2 h

bzw.

G=

7 (1 − ν 2 ) σ 2 h . 4E

(4.88)

Hierbei wurde mit σ = F/Bh die mittlere Spannung in einer Schicht eingef¨ uhrt. Entgegen dem ersten Anschein liegt in diesem Fall keine reine Modus II Belastung vor. Aus diesem Grund lassen sich die Spannungsintensit¨atsfaktoren auch nicht einfach  aus√G bestimmen. Ohne n¨aher darauf einzugehen erh¨alt man KI ≈ −KII ≈ 7/9 σ h. Bild 4.27b zeigt einen Riss in der Verbindungsebene zwischen einer d¨ unnen Schicht (1) und einem Tr¨agermaterial (2). Dabei wollen wir annehmen, dass der Tr¨ager (2) eine konstante Dehnung εx = ε0 erf¨ahrt, die der Schicht (1) aufgezwungen wird. Setzen wir den EVZ voraus, dann herrscht in ihr f¨ ur |x|  h rechts von der Rissspitze die konstante Spannung σ = Eε0 /(1 − ν 2 ), und links ist die Schicht spannungsfrei. Bei einer Rissfortpflanzung um da verk¨ urzt sich in der Schicht der Bereich mit der konstanten Spannung, w¨ahrend sich der Zustand im Tr¨ager nicht ¨andert. Damit wird 1 σ 2 (1 − ν 2 ) B h dΠi = − σ ε0 B h da = − da . 2 2E Da keine ¨außeren Kr¨afte wirken, gilt dΠ = dΠi , und es folgt aus (4.82a) unter Beachtung von dA = Bda die gesuchte Energiefreisetzungsrate zu G=

(1 − ν 2 ) σ 2 h . 2E

(4.89)

Wie im vorhergehenden Beispiel liegt auch hier kein reiner Modus II vor, weshalb die Spannungsintensit¨atsfaktoren nicht aus G bestimmt werden k¨onnen. Es sei angemerkt, dass durch diese Konfiguration die Delamination einer d¨ unnen Schicht (Film) auf einem Substrat modelliert werden kann. Auf Risse zwischen zwei verschiedenen Materialien werden wir in Abschnitt 4.11 noch n¨aher eingehen. 4.6.3

Nachgiebigkeit, Energiefreisetzungsrate und K–Faktoren

Im linear elastischen Fall steht die Energiefreisetzungsrate mit der Nachgiebigkeit bzw. mit der Steifigkeit des K¨orpers in Zusammenhang. Wir zeigen dies am Beispiel des ebenen Modus I Rissproblems, bei dem ein K¨orper der Dicke B durch eine vorgegebene Einzelkraft F (Totlast) belastet ist (Bild 4.28a). Mit Πa = −F uF und Πi = F uF /2 lautet in diesem Fall das Gesamtpotential 1 Π = Πi + Πa = − F uF . 2

103

Energiebilanz

uF

F

F a

a+da

-dΠ

a

uF b)

a)

¨ Bild 4.28 Anderung der Nachgiebigkeit beim Rissfortschritt Zwischen der Verschiebung uF des Kraftangriffspunktes und der Last F gilt dabei die Beziehung uF = C F . Darin ist C die Nachgiebigkeit oder Compliance (= reziproke Steifigkeit). L¨asst man einen Rissfortschritt zu, dann a¨ndern sich C und uF (Bild 4.28b): C = C(a), uF = uF (a). Damit erh¨alt man Π = −F 2 C(a)/2, und es folgt G=−

F 2 dC dΠ = . B da 2B da

(4.90)

Man kann zeigen, dass dieses Ergebnis unabh¨angig von der Art der Belastung ist. So k¨onnte zum Beispiel die Kraft F auch u ¨ ber eine Feder auf den K¨orper wirken, oder es k¨onnte anstelle der Kraft die Verschiebung uF festgehalten sein. Im reinen Modus I erh¨alt man aus (4.90) unter Verwendung von (4.84) f¨ ur den Spannungsintensit¨atsfaktor F 2 E  dC KI2 = (4.91) 2B da mit E  = E im ESZ und E  = E/(1−ν 2 ) im EVZ. Man kann diese Beziehung zum Beispiel benutzen, um Spannungsintensit¨atsfaktoren experimentell zu ermitteln. Hierzu werden die Nachgiebigkeiten eines K¨orpers bei Rissl¨angen bestimmt, die sich um die kleine Differenz Δa unterscheiden. Daneben erlaubt (4.90) in verschiedenen F¨allen die einfache Herleitung von N¨aherungsformeln f¨ ur K-Faktoren. Als Beispiel hierzu betrachten wir eine DCB-Probe (Double Cantilever BeamProbe), die in bruchmechanischen Experimenten Verwendung findet (Bild 4.29). Fasst man die beiden Arme jeweils als Kragtr¨ager der L¨ange a auf, so gilt nach der Balkentheorie (ohne Ber¨ ucksichtigung des Schubes) uF = 2F a3 /3EI, woraus 3 mit I = Bh /12 die Compliance C = uF /F = 8a3 /EBh3 folgt. Daraus errechnet sich bei Annahme eines ESZ √ Fa KI = 2 3 . (4.92) B h3/2

104

Lineare Bruchmechanik

F h uF a B Bild 4.29 DCB-Probe 4.6.4

Energiesatz, Griffithsches Bruchkriterium

Ein Bruchvorgang in einem K¨orper geht mit irreversiblen Prozessen der Bindungsl¨osung einher. Es ist zweckm¨aßig, die dabei auftretenden und speziell an den Bruchprozess gebundenen Energieformen in der Energiebilanz (1.90) als separate Terme zu ber¨ ucksichtigen. Hierzu geh¨oren zum Beispiel die Oberfl¨achenenergie, die Energie, welche f¨ ur die großen mikroplastischen Deformationen in der Prozesszone ben¨otigt wird, aber auch etwaige chemische oder elektromagnetische Energieformen (vgl. Kapitel 3). Ohne sie hier n¨aher zu konkretisieren, fassen wir sie in Γ zusammen. Dann kann man den Energiesatz allgemein in der Form E˙ + K˙ + Γ˙ = P + Q

(4.93)

schreiben. Er muss sowohl beim Einsetzen als auch im weiteren Verlauf des Bruchprozesses erf¨ ullt sein. Wegen der Irreversibilit¨at des Prozesses ist Γ˙ ≥ 0. Der Bruchvorgang spielt sich in der Prozesszone ab, deren Volumen in vielen F¨allen als vernachl¨assigbar klein im Vergleich zum Volumen des K¨orpers angesehen werden kann (Bild 4.30). Es liegt dann nahe, die Energiebilanz (4.93) aufzuspalten in den Teil f¨ ur die Prozesszone und den Teil f¨ ur den restlichen K¨orper: Γ˙ = −P ∗ ,

Prozesszone : K¨orper :

E˙ + K˙ = P + Q + P ∗ .

(4.94)

Darin beschreibt −P ∗ den Energietransport in die Prozesszone hinein. Beschr¨anken wir uns dabei auf mechanische Energieformen, dann ist er gegeben durch  P ∗ = ti u˙ i dA . (4.95) AP

Ein Bruchvorgang ist mit der laufenden Bildung einer neuen Oberfl¨ache verbunden. So wird das Material zwischen zwei um die Zeit dt benachbarten Zust¨anden 1 und 2 entlang der Bruchfl¨ache dA getrennt. Dabei verschiebt sich die Prozesszone, und alle Punkte von dA durchlaufen eine “Entlastungsgeschichte” vom

105

Energiebilanz

Ap dA dA+

ti

dA− Bild 4.30 Bruchprozess und Energiebilanz Zustand 1 zum v¨ollig entlasteten Zustand 2 (ti = 0). Die hierbei geleistete Arbeit (=Energiefluss in die Prozesszone) kann durch  (2) [ ti dui ] dA dWσ = P dt = ∗

(4.96)

dA± (1)

ausgedr¨ uckt werden. Darin deutet dA± an, dass die Arbeit der Kr¨afte an beiden gegen¨ uberliegenden Fl¨achen zu bilden ist. Gleichzeitig erf¨ahrt bei der Bildung ¨ von dA die Bruchenergie eine Anderung dΓ, die proportional zu dA ist: dΓ ∼ dA. Stellt man sie sich im Zustand 2 (nach vollzogener Trennung) als Bruchfl¨achenenergie entlang der Oberfl¨ache dA± verteilt vor, dann gilt (vgl. Abschnitt 3.2.2) dΓ = Γ˙ dt = 2 γ dA .

(4.97)

Darin wird die spezifische Bruchfl¨achenenergie γ h¨aufig als Konstante angesehen. Sie kann allerdings auch eine Funktion von der Bruchgeschichte sein, d.h. zum Beispiel eine Funktion der Rissverl¨angerung Δa: γ = γ(Δa). Der Klarheit halber sei noch einmal die unterschiedliche physikalische Bedeutung von Γ˙ und P ∗ betont. Bei der Verschiebung der Prozesszone um dA (= Risswachstum) wird die Energie dΓ durch die Schaffung neuer Bruchfl¨achen in andere Energieformen(z.B. W¨arme, Oberfl¨achenenergie) umgewandelt. Man kann dies auch als Definition der Prozesszone ansehen. Dagegen beschreibt P ∗ die Wirkung des umgebenden Kontinuums auf die Prozesszone. Wir kommen nun auf den Spezialfall des elastischen K¨orpers zur¨ uck, in dem ein “langsamer”, quasistatischer Bruchprozess abl¨auft. Die Prozesszone identifizieren wir hier mit der plastischen Zone, d.h. mit dem gesamten kleinen Bereich um die Rissspitze, in dem inelastische Vorg¨ange auftreten. Dementsprechend beinhaltet Γ jetzt sowohl die f¨ ur den Trennprozess als auch die f¨ ur den inelastischen Deformationsprozess in der plastischen Zone erforderliche Energie. Die kinetische Energie K und der nichtmechanische Energietransport Q spielen keine Rolle. Die innere Energie E kann durch die Form¨anderungsenergie Πi ersetzt werden; von den a¨ußeren Kr¨aften wollen wir annehmen, dass sie ein Potential Πa haben. Mit

106

Lineare Bruchmechanik

˙ = dΓ und P dt = −dΠa lautet der Energiesatz (4.93) dann ˙ i dt = dΠi , Γdt Π dΠi + dΠa + dΓ = 0

bzw.

dΠ dΓ + =0 . dA dA

(4.98)

¨ Danach ist beim Bruchvorgang die Anderung der Summe aus dem Potential Π der ¨außeren und inneren Kr¨afte sowie der Bruchenergie Γ Null. F¨ uhrt man die Energiefreisetzungsrate nach (4.82a) ein, dann l¨asst sich (4.98) mit (4.97) und der Bezeichnung Gc = 2γ auch in der Form (4.87), d.h. G = Gc

(4.99)

schreiben. In anderen Worten: beim Einsetzen und beim darauffolgenden Verlauf des quasistatischen Rissfortschrittes muss die freigesetzte Energie gleich sein der f¨ ur den Bruchprozess ben¨otigten Energie. Von A.A. Griffith wurde die energetische Beziehung (4.98) zum ersten Mal als Bruchbedingung verwendet; sie wird deshalb auch als Griffithsches Bruchkriterium bezeichnet. Allerdings hat Griffith Γ nicht als Bruchfl¨achenergie sondern als reine Oberfl¨achenenergie angesehen und damit den Bruchvorgang formal als reversibel betrachtet. Daneben hat er den Energiesatz (4.98) nur auf das Einsetzen des Risswachstums und nicht auf dessen weiteren Verlauf angewendet. In Abschnitt 4.6.2 wurde schon darauf hingewiesen, dass das K–Konzept und das energetische Kriterium in der linearen Bruchmechanik vollst¨andig ¨aquivalent sind. In der praktischen Anwendung wird allerdings meist dem K–Konzept der Vorzug gegeben. Ein wesentlicher Grund hierf¨ ur ist die einfachere Handhabbarkeit; so sind f¨ ur viele geometrischen Konfigurationen und Lastf¨alle die K– ¨ Faktoren in Handb¨ uchern verf¨ ugbar. Ein anderer liegt in der Ubertragbarkeit des Grundgedankens von dominanten, singul¨aren Rissspitzenfeldern auf die nichtlineare Bruchmechanik, d.h. auf inelastisches, nichtlineares Materialverhalten. Es gibt allerdings in der linearen Bruchmechanik auch F¨alle, in denen das energetische Kriterium bevorzugt wird. Ein Beispiel hierf¨ ur sind Interface-Risse, wie sie in Kompositwerkstoffen oder Laminaten h¨aufig auftreten (vgl. Abschnitt 4.11). Zur Illustration des energetischen Bruchkriteriums (4.98) betrachten wir nochmals den geraden Riss in der unendlich ausgedehnten Ebene unter einachsigem Zug σ nach Bild 4.31. Bezogen auf die Einheitsdicke gelten hierf¨ ur nach (4.80) und (4.97) bei konstantem γ Π = −σ 2 a2 π

1+κ , 8G

Γ = 4aγ .

Aus (4.98) folgt damit die Bedingung d(Π + Γ) =0 da

;

4γ = 2σ 2 πa

1+κ 8G

.

(4.100)

107

Energiebilanz

Γ Π

σ

Γ

Π+Γ ac

2a σ

a Π

b)

a)

Bild 4.31 Griffithsches Bruchkriterium Ist die aktuelle Rissl¨ange gegeben, dann erh¨alt man daraus die f¨ ur den Bruchvorgang erforderliche kritische Spannung ( 16Gγ . (4.101a) σc = π(1 + κ)a Umgekehrt ergibt sich aus (4.100) bei vorgegebener Spannung eine kritische Rissl¨ange ac , bei der Risswachstum eintritt: ac =

16Gγ . π(1 + κ)σ 2

(4.101b)

Die gleichen Ergebnisse erh¨alt man nat¨ urlich auch mit dem K–Konzept. In einem anderen Beispiel wollen wir untersuchen, unter welchen Umst¨anden es zum Aufreißen einer d¨ unnen Schicht (Film) (1) der Dicke h kommt, die auf ein Tr¨agermaterial (2) (Substrat) aufgebracht ist (Bild 4.32). Man spricht in diesem Zusammenhang von einer Kanalbildung (channeling). Dabei nehmen wir an, dass in der Schicht vor dem Versagen eine konstante Zugspannung σ herrscht und beim Aufreißen der Verbund zwischen Schicht und Tr¨ager erhalten bleibt. In guter N¨aherung k¨onnen wir dann die Schicht wie einen schubelastischen Balken behandeln, der senkrecht zur Zeichenebene querdehnungsbehindert ist. Ohne auf die ¨ Details der (elementaren) Herleitung einzugehen, errechnen sich die Anderung der Form¨anderungsenergie bzw. des Gesamtpotentials sowie die Bruchfl¨achenenergie bei vollst¨andigem Durchreißen der Schicht zu √ 2 σ 2 h2 (1 − ν 2 ) Π≈ , Γ = 2 γ h = Gc h . (4.102) 16 E Die energetische Bruchbedingung (4.98) liefert damit bei gegebener Spannung und Bruchz¨ahigkeit eine kritische Schichtdicke √ hc ≈ 4 2

Gc E . − ν 2)

σ 2 (1

(4.103)

108

Lineare Bruchmechanik

σ

σ (1)

σ

σ (1)

h

(2) x

(2)

Bild 4.32 Kanalbildung in einer d¨ unnen Schicht Soll die Schicht unter Zugspannungen nicht aufreißen (dΠ+dΓ < 0), so ist danach die Schichtdicke h durch hc immer nach oben begrenzt: h < hc . Zugspannungen infolge des Herstellungsprozesses oder aufgrund von thermischen Einwirkungen lassen sich aber in Bauteilen zum Beispiel der Mikrosystemtechnik oft nicht vermeiden. An dieser Stelle sei noch eine andere Interpretation des energetischen Bruchkriteriums angesprochen, die auf dem verallgemeinerten Kraftbegriff beruht. Dabei wird G als Kraft aufgefasst, die den Riss vorw¨arts zu treiben sucht (=Rissausbreitungskraft). Der Rissausbreitung entgegen wirkt der Materialwiderstand Gc (=Risswiderstandskraft). Damit ein quasistatischer Rissfortschritt stattfinden kann, muss die “Gleichgewichtsbedingung” (4.99) erf¨ ullt sein. Letztere kann man u ¨brigens auch noch in Form des (verallgemeinerten) Prinzips der virtuellen Verr¨ uckungen formulieren. Hierzu f¨ uhren wir einen virtuellen (d.h. einen gedachten und infinitesimalen) Rissfortschritt δA durch. Hierbei leistet die Rissausbreitungskraft die virtuelle Arbeit GδA = −δΠ und die Risswiderstandskraft die Arbeit Gc δA = 2γδA = δΓ. Gleichung (4.98) f¨ uhrt damit auf δ(Π + Γ) = 0 .

(4.104)

Schließlich sei noch auf ein einfaches Modell f¨ ur die Rissausbreitung hingewiesen. Es besteht in der Coulombschen Reibung eines K¨orpers auf einer rauhen Unterlage (Bild 4.33), wobei wir die Bewegung des K¨orpers mit einer Rissausbreitung gleichsetzen. Der K¨orper verharrt in Ruhe, solange die angreifende Kraft kleiner ist als die Haftgrenzkraft (, = keine Rissausbreitung f¨ ur G < Gc ). Sind angreifende Kraft und Haftgrenzkraft bzw. Reibkraft gleich, dann kommt es zum Einsetzen und zum weiteren Verlauf von Bewegung unter Gleichgewichtsbedingungen (= , Rissfortschritt f¨ ur G = Gc ).

11111111 00000000 00000000 11111111

rauh

F

Bild 4.33 Coulombsche Reibung als Rissausbreitungsmodell

109

Energiebilanz

Der Energiesatz (4.93) gilt auch dann, wenn große inelastische Bereiche auftreten. In diesem Fall ist es allerdings nicht mehr m¨oglich, den gesamten plastischen Bereich als Prozesszone aufzufassen. Vielmehr ist es in diesem Fall erforderlich, ˙ und f¨ die Energieanteile f¨ ur den Bruchprozess (Γ) ur die inelastischen Deformationen außerhalb der Prozesszone sauber zu trennen. Dies kann zum Beispiel im Rahmen eines Koh¨asivmodells erfolgen (siehe Abschnitt 5.3). Hierbei wird die Dicke der Prozesszone vernachl¨assigt und sie als reine Fl¨ache AP aufgefasst. Außerhalb der Prozesszone AP verh¨alt sich das Material inelastisch (z.B. elastischplastisch). Entlang der Fl¨ache AP findet der Bruchprozess statt, wobei f¨ ur die Koh¨asivspannungen ein materialspezifisches Trenngesetz gilt. Diesem Trenngesetz entsprechend leisten die Spannungen dann eine bestimmte Brucharbeit. Als Anwendung des energetischen Bruchkriteriums untersuchen wir im folgenden den sogenannten Peel-Test, der h¨aufig zur experimentellen Bestimmung der spezifischen Bruchfl¨achenenergie d¨ unner Schichten (Filme) auf einem Substrat (z.B. Klebverbindungen) eingesetzt wird. Wir betrachten dazu gem¨aß Bild 4.34a einen elastischen Film der Querschnittsfl¨ache A = Bh (B Breite, h Dicke), der von einem starren Tr¨agermaterial abgezogen wird. Der Abl¨osevorgang sei dabei als station¨ar angenommen, d.h. die Kraft F (Totlast) und der Winkel ϕ seien konstant. Bei einer Abl¨osung des Films um Δa verschiebt sich der Angriffspunkt der Kraft F in Richtung der Kraft um Δu = Δa(1 − cos ϕ + ε). Darin ist ε = F/EA die konstante Dehnung im bereits abgel¨osten Teil des Films. Mit der a¨ußeren Ar¨ beit ΔW = −ΔΠa = F Δu, der Anderung der im abgel¨osten Film gespeicherten Energie ΔU = ΔΠi = F 2 /(2EA)Δa und der Bruchfl¨achenenergie ΔΓ = γBΔa folgt aus der Energiebilanz (vgl. 4.98)) ΔU − ΔW + ΔΓ = 0 zun¨achst

F2 F − F (1 − cos ϕ + ) + γB = 0 . 2EA EA

a)

b)

(4.105)

20 15

F Δu ϕ

h Δa

hE = 1, 10, 100, 1000 γ

F 10 Bγ 5 0

0

Bild 4.34 Peel-Test

30

ϕ

60

90

110

Lineare Bruchmechanik

Aufl¨osen nach der Abzugskraft liefert - . 2γ 2 F = EA + (1 − cos ϕ) − (1 − cos ϕ) . Eh

(4.106)

F¨ ur den Sonderfallall eines unendlich steifen Films (E → ∞) ergibt sich aus (4.105) F = γB/(1 − cos ϕ). In entdimensionierter Form (F/Bγ) ist die Abzugskraft als Funktion des Abzugswinkels ϕ f¨ ur verschiedene Werte des dimensionslosen Parameters hE/γ in Bild 4.34b dargestellt. Danach ist die erforderliche Abzugskraft umso gr¨oßer, je gr¨oßer der Steifigkeit EA des Films und je kleiner der Abzugswinkel ϕ ist. 4.6.5

J-Integral

Mit den K–Faktoren und der Energiefreisetzungsrate G haben wir schon Parameter eingef¨ uhrt, die zur Beschreibung des Bruchverhaltens verwendet werden k¨onnen. Eine weitere Gr¨oße ist das J–Integral. Obwohl dieser Parameter in der linearen Bruchmechanik ¨aquivalent zu K bzw. zu G ist, hat er doch eine herausragende Bedeutung. Sie beruht unter anderem darauf, dass J im Gegensatz zu K und G auch bei inelastischem Materialverhalten angewendet werden kann (vgl. Kapitel 5, elastisch-plastische Bruchmechanik). 4.6.5.1

Erhaltungsintegrale vom J-Typ

Wir betrachten einen K¨orper aus homogenem, elastischem Material mit der Form¨anderungsenergiedichte U(εij ), auf den keine Volumenkr¨afte wirken (fi = 0). Das Material kann dabei beliebig nichtlinear und anisotrop sein; der Einfachheit halber wollen wir aber kleine Verzerrungen annehmen. Dann ist der J–Integral–Vektor definiert als   Jk = bkj nj dA = (U δjk − σij ui,k ) nj dA , (4.107) ∂V

∂V

wobei ∂V eine geschlossene Oberfl¨ache mit dem Normalenvektor nj ist (Bild 4.35a). Den Ausdruck bkj = U δjk − σij ui,k (4.108) bezeichnet man als Konfigurationsspannungstensor oder Eshelby-Spannungstensor und verschiedentlich auch als Energie-Impuls-Tensor der Elastostatik. Bildet man seine Divergenz, indem man nach xj differenziert, so ergibt sich mit (1.46), (1.19) und (1.25) ∂U ∂εmn bkj,j = δjk − σij,j ui,k − σij ui,kj ∂εmn ∂xj (4.109) = σmn um,nk − σij ui,kj = 0 .

111

Energiebilanz

nβ dc C

nj ∂V

x3

x1

x2 x1

x2 b)

a)

Bild 4.35 J-Integral Hiermit folgt nach dem Gaußschen Satz Jk = 0

(4.110)

f¨ ur jede beliebige Fl¨ache ∂V , die ein defektfreies Material ohne Singularit¨aten oder Diskontinuit¨aten von bkj einschließt. Ist das Material inhomogen oder sind von ∂V zum Beispiel Diskontinuit¨aten wie etwa ein Riss eingeschlossen, dann ist Jk im allgemeinen von Null verschieden. Gleichung (4.110) stellt einen speziellen Erhaltungssatz der Elastizit¨atstheorie dar, von dem man an verschiedenen Stellen sinnvoll Gebrauch machen kann. Wendet man (4.110) zum Beispiel auf einen schubstarren Balken an, der nur an den Enden A und B durch die Schnittgr¨oßen M (Biegemoment) und Q (Querkraft) belastet ist, so erh¨alt man −

M2 MA2   + B + QA wA + QB wB =0. 2EI 2EI

Darin sind EI die Biegesteifigkeit des Balkens und w die Neigung. Neben (4.107) existieren noch zwei weitere Oberfl¨achenintegrale mit solchen Eigenschaften:  Lk = klm (xl bmj + ul σmj ) nj dA , ∂V 

M =

 bij xi +

 1 σij (2 − α) ui nj dA . 2

(4.111)

∂V

Hierbei sind Lk ein Vektor und M ein Skalar; klm ist der Permutationstensor und α = 3 f¨ ur den r¨aumlichen Fall bzw. α = 2 im ebenen Fall. Analog zu (4.110) folgt durch Anwendung des Gaußschen Satzes Lk = 0

(4.112)

112

Lineare Bruchmechanik

f¨ ur jede geschlossene Fl¨ache ∂V , die ein defektfreies Material einschließt, sofern dieses isotrop und homogen ist. Dar¨ uber hinaus l¨asst sich zeigen, dass Jk = 0 und Lk = 0 auch f¨ ur endliche Deformationen zutreffen. Im Gegensatz dazu gilt M =0

(4.113)

nur im Spezialfall der linearen Elastizit¨at bei infinitesimalen Verzerrungen. Bei ebenen Problemen h¨angen die Feldgr¨oßen nur von x1 und x2 ab. In diesem Fall entarten die Oberfl¨achenintegrale zu Konturintegralen l¨angs einer geschlossenen Kurve C (Bild 4.35b). F¨ ur den J–Integral-Vektor erh¨alt man dann  Jα = (U δαβ − σiβ ui,α ) nβ dc , (4.114) C

wobei die griechischen Indizes die Werte 1, 2 durchlaufen. 4.6.5.2

Verallgemeinerte Kr¨ afte

Wir wollen nun die mechanische Bedeutung des J–Integrals (4.107) untersuchen, wenn von ∂V eine Diskontinuit¨atsfl¨ache AD eingeschlossen wird (Bild 4.36a). Eine ¨ solche liegt vor, sofern bkj bzw. eine der Gr¨oßen U, σij , ui,k sich beim Uberschreiten der Fl¨ache AD sprungartig ¨andert. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn AD der Rand des elastischen K¨orpers ist, der durch die Randlasten ti = σij nj belastet ist; links von AD befinde sich also kein Material. Wir nehmen nun an, dass der Rand AD um ein konstantes Inkrement dsk verschoben wird (Translation von AD ), wobei die ¨außere Belastung ti unver¨andert bleibe. Eine solche Verschiebung kann man sich dadurch erzeugt vorstellen, dass Material “weggenommen” oder “hinzugef¨ ugt” wird. Hierdurch erf¨ahrt die Gesamtenergie des Systems eine ¨ Anderung dΠ. Diese besteht aus der im Streifen der Dicke dsk nk gespeicherten Form¨anderungsenergie  dΠi =

U dsk nk dA AD

sowie aus der Differenz    dΠa = − ti ui (xk + dsk ) dA + ti ui (xk ) dA = − σij ui,k dsk nj dA AD

AD

AD

des Potentials der ¨außeren Kr¨afte, wobei ui (xk +dsk ) = ui (xk )+ui,k dsk (Bild 4.36b). Damit erh¨alt man  dΠ = dΠi + dΠa = dsk (U δjk − σij ui,k ) nj dA . AD

113

Energiebilanz

dsk AD

dsk

dA

ti

ti nj

dsk A1

A2

Jk ∂V xk +dsk

xk

Jk

nk dsk

∂V

∂V c)

b)

a)

dsk

Bild 4.36 Verallgemeinerte Kr¨afte Da nach (4.110) Integral u ¨ ber die geschlossene Fl¨ache A1 + AD das entsprechende verschwindet ( A1 . . . + AD . . . = 0) und da ∂V = A1 + A2 mit A2 . . . = 0, kann man dies auch in der Form   (4.115) dΠ = −dsk (Uδjk − σij ui,k )nj dA = −dsk (Uδjk − σij ui,k )nj dA A1

∂V

oder dΠ = −Jk dsk

(4.116)

schreiben. Das Ergebnis (4.116) gilt nicht nur f¨ ur dieses Beipiel, sondern man kann es auf beliebige Diskontinuit¨atsfl¨achen (Fl¨achendefekte) und Singularit¨aten (Punktdefekte) etwa aufgrund von Versetzungen ausdehnen (Bild 4.36c). In anderen Worten: die Energie¨anderung eines elastischen Systems infolge einer translatorischen Verschiebung eines Punkt- oder Fl¨achendefektes kann durch das “wegunabh¨angige” Integral Jk beschrieben werden, wobei der Integrationsbereich (Fl¨ache ∂V ) den Defekt umschließen muss, sonst aber beliebig ist. In diesem energetischen Sinn kann man Jk als Kraft auffassen, die auf den Defekt wirkt; sie wird als verallgemeinerte Kraft, als materielle Kraft oder als Konfigurationskraft bezeichnet. Analog beschreibt das wegunabh¨angige Integral Lk ein verallgemeinertes Moment oder Konfigurationsmoment auf einen Defekt. Es f¨ uhrt zu einer Energie¨anderung des Systems, wenn der Defekt eine Drehung (Rotation) erf¨ahrt. Schließlich charakterisiert das M–Integral die Energie¨anderung aufgrund eines selbst¨ahnlichen Defektwachstums (z.B. Radiusvergr¨oßerung eines kugelf¨ormigen Loches). Als einfachstes Beispiel hierzu betrachten wir einen Bimaterial-Stab mit konstantem Querschnitt A unter einachsigem Zug nach Bild 4.37, der bei AD einen Sprung im Elastizit¨atsmodul hat. Die Konfigurationskraft auf AD bestimmen wir unter Verwendung der gestrichelt angedeuteten Integrationsfl¨ache. Dann erh¨alt man mit der Form¨anderungsenergie U = σ2 /2E, der Stabkraft N = σA und dem

114

Lineare Bruchmechanik

σ

E1

x2 x1

1

AD

σ

J1 E2 ds

2

Bild 4.37 Bimaterial-Stab unter Zugbelastung Hookeschen Gesetz u1,1 = σ/E das Ergebnis  2  2   N N − J1 = − σA u1,1 − σA u1,1 2EA 2EA 2 1

  2 N 1 1 , = − 2A E1 E2

(4.117)

J2 = J3 = 0 , wobei nur die Fl¨achen senkrecht zu x1 einen Beitrag liefern. Verschiebt sich die Sprungstelle des Elastizit¨atsmoduls um ds, so folgt eine Energie¨anderung   N2 1 1 ds . (4.118) − dΠ = −J1 ds = 2A E2 E1 Man kann dieses Beispiel auch als einfachstes Modell f¨ ur eine Phasentransformation im Einkristall ansehen. Hierbei verschiebt sich ebenfalls die Grenze zwischen zwei Phasen mit unterschiedlichen elastischen Eigenschaften. 4.6.5.3

J-Integral als Rissspitzenbeanspruchungsparameter

Wir wenden nun den J–Integral–Vektor auf das ebene Problem eines Risses an, dessen Rissufer belastungsfrei sind (Bild 4.38a). Dabei w¨ahlen wir eine beliebige Kontur C, die an den gegen¨ uberliegenden Rissufern startet bzw. endet und welche die Rissspitze uml¨auft. Dann beschreiben J1 bzw. J2 nach (4.115), (4.116) die Energie¨anderung (Energiefreisetzung) des Systems, wenn die von der Kontur eingeschlossenen Rissufer (= Diskontinuit¨atslinie) zusammen mit der Rissspitze (= Singularit¨at) in x1 - bzw. in x2 -Richtung verschoben werden. W¨ahrend eine Verschiebung in x2 -Richtung nur formal, gedanklich m¨oglich ist, entspricht einer Verschiebung da in x1 -Richtung eine kinematisch m¨ogliche Rissfortpflanzung. Das zugeh¨orige Konturintegral   J = J1 = (U δ1β − σiβ ui,1 ) nβ dc = (U dy − ti ui,x dc) (4.119) C

C

bezeichnet man als J–Integral , wobei der Index 1 weggelassen wird.

115

Energiebilanz

x2 x1

da

x C

a)

y

C+

y

C C2

C−

ρ C1

b)

x

c)

Bild 4.38 J-Integral In seiner energetischen Interpretation entspricht J der Energiefreisetzungsrate beim Rissfortschritt in einem elastischen K¨orper: J =G=−

dΠ . da

(4.120)

Aufgrund dieses Zusammenhanges kann man J auch als Bruchparameter verwenden; ein Bruchkriterium J = Jc (4.121) ist gleichwertig zum energetischen Kriterium (4.99). Liegt lineares Materialverhalten vor, so folgt aus (4.120) und (4.86) J=

1 2 1 (K 2 + KII2 ) + K E I 2G III

(4.122)

mit E  = E/(1 − ν 2 ) im EVZ und E  = E im ESZ. Damit ist (4.121) auch ¨aquivalent zum K–Konzept, sofern eine reine Modus I-, eine reine Modus II- oder eine reine Modus III-Belastung vorliegt. Die Bedeutung von J als Bruchparameter kann man auch begr¨ unden, ohne auf die energetische Interpretation zur¨ uckzugreifen. Zu diesem Zweck w¨ahlen wir nach Bild 4.38b zur Bestimmung von J zwei verschiedene Konturen C1 und C2 . Dann − gilt nach (4.110) f¨ ur die geschlossene Kontur C1 + C + + C 2 + C unter Beachtung des Richtungssinnes zun¨achst C1 . . .+ C + . . .− C2 . . .+ C − . . . = 0. Die Integrale . . ., C − . . . verschwinden unter den getroffenen Annahmen C+ (gerade unbelastete Rissufer) wegen Udy = 0 und ti = 0, womit schließlich C1 . . . = C2 . . . folgt. Das J–Integral ist demnach wegunabh¨angig. Es ist ein charakteristischer Parameter f¨ ur den Zustand in unmittelbarer Umgebung der Rissspitze unabh¨angig davon, ob die Kontur durch diesen Bereich verl¨auft oder nicht. Dies trifft sowohl im linear als auch im nichtlinear elastischen Fall zu. Die Wegunabh¨angigkeit von J kann bei der Berechnung der Rissbeanspruchung f¨ ur konkrete Risskonfigurationen vorteilhaft genutzt werden. So w¨ahlt man bei numerischen Rechnungen mit Finiten Elementen oder mit der Randelementmethode den Integrationsweg zweckm¨aßig in hinreichender Entfernung von der Rissspitze. Auf eine aufwendige, genaue Berechnung der Feldgr¨oßen im Rissspitzenbereich kann dann n¨amlich verzichtet werden. Auf diese Weise erfolgt bei Modus I

116

Lineare Bruchmechanik

Problemen die numerische Bestimmung von K–Faktoren in vielen F¨allen unter Verwendung der Beziehung 1 (4.123) J = G =  KI2 E u ¨ber die Berechnung des J–Integrals. Die Wegunabh¨angigkeit des J–Integrals ist nur unter den genannten Umst¨anden gew¨ahrleistet. Sind die Rissufer belastet oder ist der Riss gekr¨ ummt, so ist J im allgemeinen wegabh¨angig. Dies trifft bei J2 u ¨ brigens schon beim unbelasteten, geraden Riss zu. Einen “wegunabh¨angigen”, den Rissspitzenzustand charakterisierenden Parameter erh¨alt man unter solchen Umst¨anden nur, wenn man die Kontur auf die Rissspitze zusammenzieht (Bild 4.38c):  J = J1 = lim (Udy − ti ui,x dc) . (4.124) ρ→0

C

Dann gilt im linear elastischen Fall nach wie vor die Beziehung (4.122). Hiervon kann man sich u ur die Kontur einen Kreis w¨ahlt ¨berzeugen, indem man in (4.124) f¨ und die Nahfeldl¨osung nach Abschnitt 4.2.1 einsetzt. Auf die gleiche Weise l¨asst sich die y-Komponente der verallgemeinerten Kraft auf die Rissspitze bestimmen; man erh¨alt 1 J2 = −  KI KII . (4.125) E Das J–Integral l¨asst sich auch auf dreidimensionale Rissprobleme anwenden, bei denen die Rissbeanspruchung entlang der Rissfront ver¨anderlich ist. Als Beispiel hierzu betrachten wir den in Bild 4.39 dargestellten Fall eines ebenen Risses mit gerader Rissfront. Die auf ein Element Δl der Rissfront wirkende verallgemeinerte Kraft in x1 -Richtung bestimmt man zweckm¨aßig, indem die Integration von (4.107) u ¨ber die Oberfl¨ache des scheibenf¨ormigen K¨orpers einschließlich seiner Deckfl¨achen ausgef¨ uhrt wird, der durch die erzeugende Kontur C in der x1 , x2 -Ebene gebildet wird. L¨asst man im Grenzfall die Elementl¨ange (=Dicke der Scheibe) gegen Null gehen, so heben sich die Integrale u ¨ber die Deckfl¨achen gegenseitig auf, und es bleibt nur das Konturintegral (4.105). Dies ist nun allerdings von der Position auf der Rissfront abh¨angig: J = J(x3 ). Mit den gleichen

x2

Δl

x2

x3 x1

x1 C

Bild 4.39 J beim dreidimensionalen Rissproblem

117

Kleinbereichsfließen

Argumenten wie im ebenen Fall kann man die Wegunabh¨angigkeit von J auch hier zeigen. Bedingung daf¨ ur, dass das J–Integral als Rissspitzenparameter verwendet werden kann, ist eine Kontur, welche die entsprechende Rissspitze uml¨auft. W¨ahlt man im Gegensatz dazu eine geschlossene Kontur um den ganzen Riss, dann beschreibt Jk nach Abschnitt 4.6.5.2 die Energie¨anderung des Systems bei einer Translation des Risses als Ganzes. Analoges gilt f¨ ur Lk bzw. f¨ ur M bei einer Rotation bzw. bei einer selbst¨ahnlichen Rissvergr¨oßerung. Solche “Bewegungen” eines Risses sind von Ausnahmen abgesehen kinematisch nicht m¨oglich, weshalb auch die Bedeutung dieser Integrale gering ist.

4.7 4.7.1

Kleinbereichsfließen Gr¨ oße der plastischen Zone, Irwinsche Rissl¨ angenkorrektur

In der linear elastischen Bruchmechanik wird vorausgesetzt, dass die plastische Zone klein ist im Vergleich zum K-bestimmten Gebiet (vgl. Abschnitt 4.3). Man spricht dann von Kleinbereichsfließen. Dabei umfasst die plastische Zone die gesamte Region, in der das Stoffverhalten vom linear elastischen Verhalten abweicht. Die Bestimmung der Gr¨oße und der Form dieser Zone f¨ ur ein “nichtlineares” Material ist im allgemeinen keine einfache Aufgabe. Wir wollen deshalb hier f¨ ur den Modus I nur eine Absch¨atzung auf der Basis der elastischen Nahfeldl¨osung durchf¨ uhren, wobei wir das Stoffverhalten in der plastischen Zone als idealplastisch annehmen. Eine auf G. Irwin zur¨ uckgehende erste N¨aherung f¨ ur die Ausdehnung der plastischen Zone vor der Rissspitze erh¨alt man, indem man nach Bild 4.40a die elastische Spannungsverteilung durch die dargestellte elastisch-plastische Spannungsverteilung ersetzt. Diese wird in der plastischen Zone als konstant angenommen, w¨ahrend sie im elastischen Bereich durch die (nach rechts verschobene) elastische Nahfeldl¨osung gegeben sei. Dann fordern wir zun¨achst, dass die Trescaund plastischem sche Fließbedingung σ1 −σ3 = σF an der Grenze von elastischem √ Bereich erf¨ ullt ist. Hieraus folgen mit σ1 = σy = KI / 2πx und mit σ3 = 2νσ1 im EVZ bzw. σ3 = 0 im ESZ f¨ ur den plastischen Bereich  σy = ασF ,

1/α =

und durch Einsetzen x1 =

1 2π



1 − 2ν 1

KI ασF

(EVZ) (ESZ)

2 .

Die L¨ange x2 ergibt sich aus der Bedingung, dass die resultierenden Kr¨afte infolge der rein elastischen Spannungsverteilung bzw. infolge der elastisch-plasti-

118

Lineare Bruchmechanik

σy

x1

σ

α σF 2a

x1 x2 a)

σ

x

2rp

b)

Bild 4.40 Absch¨atzung der Gr¨oße der plastischen Zone schen Spannungsverteilung gleich sein m¨ ussen: ∞ 0

KI √ dx = ασF (x1 + x2 ) + 2πx

∞

x1 +x2



KI 2π(x − x2 )

dx .

Dies liefert x2 = x1 , womit sich die L¨ange 2rp = x1 + x2 der plastischen Zone zu ⎧  2 1 KI ⎪ ⎪ (EVZ) , ⎪ ⎨ 3π σF 2rp = (4.126)   ⎪ ⎪ 1 KI 2 ⎪ ⎩ (ESZ) π σF √ errechnet. Dabei wurde im EVZ der Wert α = 3, d.h. ν = 0, 21 gew¨ahlt. Nach (4.126) ist bei gleicher Rissbeanspruchung (gleiches KI ) die plastische Zone im EVZ wesentlich kleiner als im ESZ. Dies ist auch experimentell best¨atigt. Gleichung (4.126) bietet die M¨oglichkeit, die Gr¨oßenbedingung (4.77), welche bei der Bestimmung zul¨assiger KIc–Werte eingehalten werden muss, in anderer Form zu schreiben. Unter Voraussetzung eines EVZ erh¨alt man f¨ ur den kritischen Fall (KI = KIc ) durch Einsetzen  0, 02 {a, W −a, B} . rpc <

(4.127)

Erg¨anzt man die rechte Seite um m¨oglicherweise auftretende weitere Geometrieparameter, dann vermittelt diese Beziehung einen Eindruck von der Gr¨oße der plastischen Zone, die im Rahmen der linearen Bruchmechanik allgemein noch zul¨assig ist. Die L¨ange x2 = rp charakterisiert die Translation des elastischen Nahfeldes infolge plastischen Fließens. Ein entsprechend verschobenes Nahfeld wird aber auch von einem um rp verl¨angerten, fiktiven Riss im rein elastischen Fall hervorgerufen. G. Irwin hat deshalb vorgeschlagen, Fließen in erster N¨aherung im

119

Kleinbereichsfließen

Bruchkriterium dadurch zu ber¨ ucksichtigen, dass von einer um rp korrigierten effektiven Rissl¨ange ausgegangen wird: aeff = a + rp .

(4.128)

Man nennt diese Vorgehensweise Irwinsche Rissl¨angenkorrektur . Wendet man (4.128) √ zum Beispiel auf einen Riss nach Bild 4.37b an, dann ergibt sich mit KI = σ πa und (4.126) im ESZ &  2  2 ' 1 KI 1 σ aeff = a + =a 1+ . (4.129) 2π σF 2 σF Setzt man dies in das K–Kriterium ein, so folgt f¨ ur die kritische Spannung KIc KIc = σc = √ . πaeff π[a + (1/2π)(KIc/σF )2 ] 4.7.2

(4.130)

Qualitative Bemerkungen zur plastischen Zone

Genaue Aussagen u ¨ber die Form der plastischen Zone sowie u ¨ber die in ihr auftretenden Spannungen und Deformationen lassen sich nur durch die L¨osung des entsprechenden elastisch–plastischen Randwertproblemes machen. Eine solche ist selbst f¨ ur einfach Stoffmodelle (z.B. elastisch–idealplastisch) und Probleme des EVZ oder ESZ nur mit numerischen Methoden m¨oglich. Einen groben Eindruck von der Form der plastischen Zone kann man erhalten, wenn man den Rand dieser Zone mit der Kontur identifiziert, entlang welcher die Spannungen des elastischen Nahfeldes gerade die Fließbedingung erf¨ ullen. Auf diese Weise erh¨alt man zum Beispiel mit der von Misesschen Fließbedingung (1.77b) (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 = 6k 2 = 2σF2 , und den Hauptspannungen (4.23), (4.24) im Modus I die Kontur ⎧ 2 ϕ EVZ ⎨ [3 sin 2 + (1 − 2ν)2 ] 2 KI 2 ϕ rp (ϕ) = cos 2πσF2 2⎩ ϕ ESZ . [3 sin2 2 + 1]

(4.131)

Zum Vergleich sind im Bild 4.41a die Konturen dargestellt, die sich nach der von Misesschen und nach der Trescaschen Hypothese ergeben, wobei im EVZ die Querdehnzahl ν = 1/4 gew¨ahlt wurde. Beide Hypothesen zeigen einen deutlichen Gr¨oßenunterschied zwischen EVZ und ESZ. Auf diesem Resultat basiert auch das Hundeknochenmodell nach Bild 4.41b f¨ ur ur die Form der plastischen Zone in “dicken” Platten (B  rp ). Dabei geht man f¨ die Umgebung der Rissfront davon aus, dass im Innern n¨aherungsweise ein EVZ vorherrscht (ε33 ≈ 0), w¨ahrend der Spannungszustand an der Oberfl¨ache dem

120

Lineare Bruchmechanik

ESZ Tresca

rp EVZ

v.Mises

ϕ

B x3

a)

b) Bild 4.41 Plastische Zone

ESZ nahekommt (σ3i ≈ 0). Dreidimensionale numerische Untersuchungen zeigen allerdings, dass die Gr¨oße der plastischen Zone an der Oberfl¨ache durch dieses Modell meist u ¨bersch¨atzt wird. Im EVZ treten nach (4.25) die maximalen Schubspannungen gr¨oßtenteils in ur das plastiSchnitten auf, deren Normale in der x1 , x2 -Ebene liegt. Dies legt f¨ sche Fließen einen Gleitmechanismus nahe, wie er in Bild 4.42a dargestellt ist. Entsprechende Gleitprozesse f¨ uhren zur Abstumpfung (blunting) einer urspr¨ ung¨ lich scharfen Rissspitze und damit zur “Offnung” eines Risses. Im Gegensatz zum EVZ tritt τmax im ESZ in Schnitten unter 45◦ zur x1 , x2 -Ebene auf. Dementsprechend wird in “d¨ unnen” Platten (rp  B) eher ein Gleitmechanismus nach Bild 4.42b auftreten. Dieser beschr¨ankt die Ausdehnung der plastischen Zone in x2 -Richtung auf die Gr¨oßenordnung der Plattendicke und beg¨ unstigt eine streifenf¨ormige Ausbildung in x1 -Richtung (Bild 4.42c). Auf diesen Mechanismus ist auch die Einschn¨ urung vor der Rissspitze zur¨ uckzuf¨ uhren, die man in diesem Fall beobachtet.

x2

≈B

x1

2rp B a)

b)

c)

Bild 4.42 Gleitmechanismus: a) im EVZ, b) und c) im ESZ

121

Stabiles Risswachstum

Die Bruchz¨ahigkeit KIc ist nach Abschnitt 4.6 direkt mit der f¨ ur den Bruch2 prozess ben¨otigten Energie verbunden: KIc ∼ Gc . In diese geht auch die gesamte Energie ein, welche f¨ ur den Deformationsprozess in der plastischen Zone ben¨otigt wird. Damit l¨asst sich die Abh¨angigkeit der Bruchz¨ahigkeit von der Dicke B nach Bild 4.23a qualitativ erkl¨aren. F¨ ur B  rp (dicke Proben) herrscht entlang der Rissfront n¨aherungsweise ein EVZ vor, der nur eingeschr¨anktes plastisches Fließen zul¨asst. Dem entspricht eine geringe plastische Energiedissipation und folglich ein ur B  rp (d¨ unne Proben) dominiert dagegen der ESZ mit gr¨oßerer kleines KIc . F¨ plastischer Zone und geringerer Deformationsbehinderung. Folge ist eine gr¨oßere plastische Energiedissipation und damit ein gr¨oßerer KIc -Wert.

4.8

Stabiles Risswachstum

Wir betrachten einen geraden Riss in der Ebene unter reiner Modus I-Belastung. Beim Einsetzen und weiteren Verlauf des Risswachstums muss die Bruchbedingung erf¨ ullt sein, welche sich zum Beispiel nach (4.99) als G = Gc ausdr¨ ucken l¨asst. Der Risswiderstand Gc ist dabei in den seltensten F¨allen konstant, sondern nach Bild 4.43a meist eine vom Rissfortschritt Δa = a − a0 abh¨angige, monoton ansteigende Funktion: Gc = R(Δa) . (4.132) Man bezeichnet R(Δa) als Risswiderstandkurve (crack resistance curve) oder kurz als R–Kurve. So kann der Risswiderstand bei Metallen ausgehend vom Initiierungswert Gci bei der Ausgangsrissl¨ange a0 im Verlauf eines Risswachstums von 1 bis 2 Millimetern auf ein mehrfaches von Gci anwachsen. Eine Ursache hierf¨ ur ist die “Bewegung” der plastischen Zone beim Rissfortschritt. Dabei durchlaufen die materiellen Punkte recht unterschiedliche Spannungsgeschichten (Belastung, Entlastung), und die Gr¨oße sowie die Form der plastischen Zone ¨andern sich. Auf eine detaillierte Beschreibung dieses recht komplexen Vorganges verzichtet man h¨aufig, indem man die R(Δa)-Kurve aus Experimenten bestimmt. Man fasst sie

R, G

Gc

F2

G∗

R(Δa) Gci

Gci Δa

a)

Fc

b)

F1

G(F, a)

a0

Bild 4.43 Stabiles Risswachstum

a∗ Δa

a

R(Δa)

122

Lineare Bruchmechanik

damit insgesamt als eine materialspezifische Funktion auf, die den quasistatischen Rissfortschritt eindeutig charakterisiert. Aufgrund des Anstiegs von R ist es m¨oglich, einen Riss u ¨ber den Initiierungswert hinaus zu belasten. Folge ist ein Rissfortschritt, dessen Gr¨oße durch die Gleichgewichtsbedingung G(F, a) = R(Δa) (4.133) zwischen Rissausbreitungskraft und Risswiderstand festgelegt ist (Bild 4.43b). Darin deutet der Parameter F die Abh¨angigkeit der Rissausbreitungskraft von der Belastung an. Die Gleichgewichtslage ist stabil , sofern bei fester Last der Risswiderstand mit zunehmender Rissl¨ange st¨arker ansteigt, als die Rissausbreitungskraft:  ∂G  dR < . (4.134)  ∂a F =const da Dann muss n¨amlich die Last erh¨oht werden, um den Riss weiter voranzutreiben. Dies ist in Bild 4.43b durch die Schar von G-Kurven f¨ ur unterschiedliche Lasten (F1 < F2 < . . .) angedeutet. Die Grenze des stabilen Risswachstums ist erreicht, wenn der kritische Fall  dR ∂G  = (4.135)  ∂a F =const da eintritt. Bei weiterer Laststeigerung ist die Gleichgewichtsbedingung (4.133) nicht mehr erf¨ ullt; der Riss beginnt sich dynamisch auszubreiten. Die kritische Belastung Fc bzw. der zugeh¨orige Wert G ∗ h¨angt sowohl von der Rissgeometrie und der Art der Belastung als auch von der R–Kurve ab. Man kann die eben gemachten Aussagen auch auf formalem Weg erhalten. Dabei gehen wir davon aus, dass wir es mit einem System zu tun haben, dessen Gesamtenergie“ durch das Gesamtpotential Π und die Bruchfl¨achenenergie Γ ” gegeben ist: Π∗ (a) = Π(a) + Γ(a) (vgl. Abschnitt 4.6.4). Die Gleichgewichtslage eines solchen Systems ist durch die Bedingung dΠ∗ /da = 0 gekennzeichnet. Dem entspricht mit G = −dΠ/da und R = dΓ/da die Gleichung (4.133). Auskunft u ¨ber die Stabilit¨at gibt die zweite Ableitung. F¨ ur d2 Π∗ /da2 > 0 ist das System in der ¨ Gleichgewichtslage stabil, bei d2 Π∗ /da2 = 0 findet der Ubergang zur Instabilit¨at statt. Dies sind genau die Aussagen von (4.134) und (4.135). Die Untersuchung des stabilen Risswachstums muss nicht auf der Basis des energetischen Konzepts erfolgen. Wegen der in der linearen Bruchmechanik ge¨ gebenen Aquivalenz von K, G und J kann sie vielmehr mit jeder dieser Gr¨oßen durchgef¨ uhrt werden. Im weiteren wollen wir dG/da f¨ ur den rissbehafteten K¨orper nach Bild 4.44 bestimmen, der durch eine Feder mit vorgegebener Verschiebung uF belastet ist. Mit den Nachgiebigkeiten C(a) und CF von K¨orper und Feder gilt zun¨achst f¨ ur die angreifende Kraft und f¨ ur die Verschiebung von P F =

uF , C(a) + CF

uP = CF =

C uF . C + CF

(4.136)

123

Stabiles Risswachstum

F uF CF uP

P a C(a)

Bild 4.44 Stabilit¨at des Risswachstums Damit lautet das Potential u2F 1 1 1 Π = F uP + F (uF − uP ) = , 2 2 2 C(a) + CF und man erh¨alt durch Differenzieren C u2 dΠ , = F G= − da 2 (C + CF )2   u2 C  (C + CF ) − 2C 2 F2 2C 2 dG d2 Π  = − = − 2 = F C , da da 2 (C + CF )3 2 C + CF

(4.137)

wobei C  = dC/da. In dG/da gehen also nicht nur die Eigenschaften des K¨orpers, sondern auch die Art der Belastung (CF ) ein. Aus (4.137) kann man noch Ergebnisse f¨ ur die beiden Sonderf¨alle CF = 0 und CF → ∞ herleiten. Nach (4.136) entspricht der erste einer Belastung des K¨orpers durch eine in P vorgeschriebene Verschiebung uF , der zweite einer von C(a) unabh¨angigen Last (=Totlast). Man erh¨alt ⎧ 2 ⎪  2C 2 ⎨ C − f¨ ur CF = 0 , F dG C = (4.138) da 2 ⎪ ⎩  C f¨ ur CF → ∞ . Bei einer zunehmenden Belastung des K¨orpers in P durch Totlasten (CF → ∞) wird der Instabilit¨atspunkt danach immer fr¨ uher erreicht als bei einer zunehmenden Belastung durch vorgegebene Verschiebungen (CF = 0). Als Beispiel betrachten wir die DCB–Probe nach Bild 4.29. Mit der Nachgiebigkeit C(a) = 8a3 /EBh3 (vgl. Abschnitt 4.6.3) errechnet sich ⎧ 48F 2 a ⎪ ⎪ f¨ ur CF = 0 , − ⎪ ⎨ EBh3 dG (4.139) = da ⎪ 2 ⎪ 24F a ⎪ ⎩ + f¨ ur CF → ∞ . EBh3

124

Lineare Bruchmechanik

Bei Belastung durch vorgegebene Verschiebungen (CF = 0) ist das Risswachstum also immer stabil.

4.9

Gemischte Beanspruchung

Wir haben uns bisher im wesentlichen auf Bruchkriterien und Rissprobleme im Falle einer reinen Modus I Belastung konzentriert. Dabei konnten wir davon ausgehen, dass ein Rissfortschritt in Richtung der Tangente an der Rissspitze erfolgt, ein gerader Riss sich also in Richtung seiner L¨angsachse ausbreitet. Wir wollen uns nun mit Bruchkriterien bei gemischter Beanspruchung (mixed mode loading) befassen, bei welcher Modus I und Modus II u ¨ berlagert sind; Modus III soll nicht auftreten. Dann wird der kritische Zustand (=Bruch) durch den Einfluss beider Moden bestimmt. Außerdem setzt die Rissfortpflanzung unter einem bestimmten Winkel zur Tangente an der Rissspitze ein (Bild 4.45). Bei spr¨odem Material ergibt sich dabei meist eine Richtung, bei der sich die neugeschaffenen Rissoberfl¨achen wie bei einer Modus I Belastung ¨offnen.

−ϕ0 Bild 4.45 Rissausbreitung bei gemischter Beanspruchung Beim Auftreten beider Moden kann der Zustand an der Rissspitze im Rahmen der linearen Bruchmechanik durch die Spannungsintensit¨atsfaktoren KI und KII charakterisiert werden. Ein mixed mode Bruchkriterium l¨asst sich damit allgemein folgendermaßen ausdr¨ ucken (vgl. (4.29)): f (KI , KII ) = 0 .

(4.140)

¨ Ahnlich wie bei den Versagenshypothesen in Abschnitt 2 ist es m¨oglich, beliebig viele Bruchkriterien vom Typ (4.140) aufzustellen. Tats¨achlich existieren auch viele Hypothesen, die je nach Materialklasse bzw. je nach dominierendem mikroskopischen Versagensmechanismus mehr oder weniger gut mit experimentellen Ergebnissen u ¨bereinstimmen. Im folgenden sind einige h¨aufig verwendete Kriterien zusammengestellt, die auch Aussagen u ¨ber die Rissfortschrittsrichtung machen. Energetisches Kriterium Nach (4.87) bzw. (4.99) setzt der Bruchvorgang f¨ ur G = Gc

(4.141)

125

Gemischte Beanspruchung

2 ein, wobei G = (KI2 +KII2 )/E  . F¨ uhrt man mittels Gc = KIc /E  die Bruchz¨ahigkeit f¨ ur den Modus I ein, so l¨asst sich (4.141) auch in der Form 2 KI2 + KII2 = KIc

(4.142)

schreiben. Dieses Kriterium geht von der Annahme aus, dass die Rissfortpflanzung unabh¨angig von der Gr¨oße des Modus II Anteiles immer in tangentialer Richtung erfolgt. Dies trifft in der Regel nur f¨ ur KII  KI mit hinreichender Genauigkeit zu, weshalb (4.142) auch nur recht eingeschr¨ankt verwendet werden kann. Kriterium der maximalen Umfangsspannung Diesem Kriterium, das von F. Erdogan und G.C. Sih (1963) stammt, liegen zwei Annahmen zugrunde: (a) der Riss breitet sich in radialer Richtung ϕ0 , senkrecht zur maximalen Umfangsspannung σϕmax aus, und (b) Rissfortschritt wird initiiert, wenn im Nahfeld die Spannung σϕmax = σϕ (ϕ0 ) im Abstand rc vor der Rissspitze den gleichen kritischen Wert annimmt, wie im reinen Modus I. F¨ ur die Umfangsspannung (vgl. Abschnitte 4.2.1 und 4.2.2)      1 3ϕ 3ϕ ϕ ϕ − KII 3 sin + 3 sin KI 3 cos + cos σϕ = √ 2 2 2 2 4 2πrc gelten damit die Bedingungen  ∂σϕ  =0, ∂ϕ  ϕ0

KIc σϕ (ϕ0 ) = √ , 2πrc

woraus die beiden Gleichungen KI sin ϕ0 + KII (3 cos ϕ0 − 1) = 0 ,     3ϕ0 3ϕ0 ϕ0 ϕ0 + cos − KII 3 sin + 3 sin = 4KIc KI 3 cos 2 2 2 2

(4.143)

folgen. Aus der ersten ergibt sich der Ablenkwinkel ϕ0 . Mit ihm ist durch die zweite festgelegt, wann Versagen eintritt. In den Bildern 4.46a,b sind die entsprechenden Ergebnisse f¨ ur KI , KII ≥ 0 dargestellt. So ergeben sich zum Beispiel im reinen Modus II (KI = 0) f¨ ur den Ablenkungswinkel cos ϕ0 = 1/3 bzw.  ϕ0 = −70, 6◦ und f¨ ur die kritische Belastung KII = 3/4 KIc = 0, 866 KIc. S–Kriterium Die Form¨anderungsenergiedichte in der Umgebung der Rissspitze l¨asst sich im EVZ mit der Nahfeldl¨osung (4.14), (4.15) in der Form 0 1 / 2 U = (1 − ν)(σx2 + σy2 ) − 2νσx σy + 2τxy 4G (4.144) 2 S 11 = a11 KI2 + 2a12 KI KII + a22 KII2 = r r

126

Lineare Bruchmechanik

1

−ϕ0

(4.142) (4.146) ν = 1/3

KII KIc

KI /KIc

(4.146) ν = 1/3

60◦

(4.147) (4.143)

(4.143) (4.147)

a)

90◦

30◦ 1

b) KII /(KI + KII )

1

Bild 4.46 Gemischte Beanspruchung: a) Bruchkriterien, b) Ablenkungswinkel ausdr¨ ucken, wobei 16πGa11 = (3 − 4ν − cos ϕ)(1 + cos ϕ) , 16πGa12 = 2 sin ϕ (cos ϕ − 1 + 2ν) ,

(4.145)

16πGa22 = 4(1 − ν)(1 − cos ϕ) + (1 + cos ϕ)(3 cos ϕ − 1) . Von G.C. Sih (1973) wurde nun angenommen, dass (a) der Riss in diejenige radiale Richtung ϕ0 w¨achst, in der die St¨arke S der singul¨aren Form¨anderungsdichte ein Minimum ist, und dass (b) Risswachstum einsetzt, wenn S(ϕ0 ) einen kritischen Wert Sc erreicht. Letzterer kann durch die Bruchz¨ahigkeit KIc f¨ ur den reinen 2 Modus I ersetzt werden (dann ist ja ϕ0 = 0): Sc = a11 (ϕ0 = 0)KIc . Damit lauten das Richtungs- und das Bruchkriterium   dS  d2 S  =0 mit >0, dϕ ϕ0 dϕ2 ϕ0 (4.146) / 0 1 − 2ν 2 2 2 KIc . a11 KI + 2a12 KI KII + a22 KII ϕ0 = 4πG Der Ablenkungswinkel und die Versagenskurve sind in Bild 4.46 dargestellt. W¨ahlt man ν = 1/3, so liefert diese Hypothese im reinen Modus II f¨ ur den Ablenkungsur die kritische Belastung winkel  cos ϕ0 = 1/9 , d.h. ϕ0 = −83, 62◦ und f¨ KII = 9/11 KIc = 0, 905 KIc . Das S–Kriterium l¨asst sich auf vielf¨altige Weise modifizieren. So kann es zweckm¨aßig sein, nicht von der Form¨anderungsenergiedichte U, sondern von der Volumen¨anderungsenergiedichte UV oder von der Gestalt¨anderungsenergiedichte UG auszugehen. Hierauf sei jedoch nicht n¨aher eingegangen. Kinken−Modell Dieses Modell geht davon aus, dass die Rissspitze unter gemischter Belastung abknickt, d.h. innerhalb des KI , KII –bestimmten Nahfeldes einen kleinen “Kin-

127

Gemischte Beanspruchung

kI , kII ϕ KI , KII − Feld Bild 4.47 Kinken-Modell ken” (Haken) bildet (Bild 4.47). Physikalisch l¨asst sich der Kinken als Ersatz f¨ ur etwaige radiale Mikrorisse in der Umgebung der makroskopischen Rissspitze interpretieren. An der Spitze des Kinken ist das Feld wieder singul¨ar und kann durch die Spannungsintensit¨atsfaktoren kI , kII charakterisiert werden. M.A. Hussain, S.L. Pu und I. Underwood (1972) haben angenommen, dass (a) der Kinken sich unter einem Winkel ϕ0 ausbildet, f¨ ur den die Energiefreisetzungsrate 2 G = (kI2 + kII )/E  maximal ist, und dass (b) Risswachstum einsetzt, wenn diese Energiefreisetzungsrate einen kritischen Wert Gc erreicht. Die Richtungs- und die Versagensbedingung lauten danach  dG  =0, G(ϕ0 ) = Gc , (4.147) dϕ ϕ0 2 wobei Gc = KIc /E  . Die L¨osung dieser Gleichungen setzt die Ermittlung von kI (ϕ), kII (ϕ) und damit die L¨osung des entsprechenden Randwertproblems voraus. Dieses ist nur numerisch m¨oglich; Bild 4.46 zeigt die Ergebnisse f¨ ur Ablenkungswinkel und Versagenskurve. Eine N¨aherungsl¨osung f¨ ur kI (ϕ), kII (ϕ) l¨asst sich in der Form √ √ kI C11 KI +C12 KII +D1 σT πε , kII C21 KI +C22 KII +D2 σT πε (4.148a)

mit 1 ϕ 3ϕ (3 cos + cos ) , 4 2 2 1 ϕ 3ϕ C22 = (cos + 3 cos ) , 4 2 2 D1 = sin2 ϕ , C11 =

ϕ ϕ sin , 2 2 ϕ 2 ϕ C21 = sin cos , 2 2 D2 = − sin ϕ cos ϕ . C12 = −3 cos2

(4.148b)

angeben, wobei ε die Kinkenl¨ange kennzeichnet. Die hier diskutierten Bruchkriterien gehen nicht auf den mikroskopischen Versagensmechanismus ein. Dieser kann je nachdem ob der Modus I oder der Modus II dominiert recht unterschiedlich sein, was Auswirkungen auf das Bruchverhalten hat. Aus diesem Grund ist die Anwendbarkeit dieser Kriterien eingeschr¨ankt, und sie d¨ urfen hinsichtlich ihrer physikalischen Interpretation nicht u ¨berstrapaziert

128

Lineare Bruchmechanik

werden. So versagen die Kriterien oft schon bei einer reinen Modus II Belastung. Aufgrund der fehlenden Riss¨offnung “verhaken” sich n¨amlich die mikroskopisch rauhen Rissoberfl¨achen, was zu ver¨anderten Verh¨altnissen an der Rissspitze f¨ uhrt. Die tats¨achlich vorliegende Rissspitzenbelastung ist dann geringer als durch KII (berechnet unter der Annahme unbelasteter Rissufer) ausgedr¨ uckt wird. Um lastfreie Rissufer zu sichern, sollte demnach eine gewisse minimale Risssoffnung vorliegen (KI > 0). Außerdem sind die Bruchkriterien grunds¨atzlich nur f¨ ur KI ≥ 0 physikalisch sinnvoll. Kommt es zum Rissschließen, so existiert kein Modus I Rissspitzenfeld mehr, sondern es liegt eine reine Modus II Rissspitzenbelastung vor (KI = 0). Ein Beispiel hierf¨ ur sind Risse unter kombinierter Druck- und Scherbelastung (=Scherriss). Aufgrund der erw¨ahnten Reibungs- bzw. Verhakungseffekte sind dann zwar die Bruchkriterien kaum anwendbar; verwendbar bleiben aber weiterhin die Richtungskriterien f¨ ur den Rissablenkungswinkel. Da die verschiedenen Hypothesen unterschiedlich gut auf unterschiedliche Werkstoffe angewendet werden k¨onnen, ist vorgeschlagen worden, auf eine physikalisch motivierte Bruchhypothese ganz zu verzichten und statt dessen einen formalen, einfachen Ansatz zu verwenden. Eine M¨oglichkeit hierf¨ ur ist die Darstellung  μ  ν KII KI + =1, (4.149) KIc KIIc bei dem die vier Parameter KIc , KIIc , μ, ν aus Experimenten ermittelt werden m¨ ussen. Hingewiesen sei noch darauf, dass die verschiedenen Hypothesen sich bei kleinem Modus II–Anteil (KII  KI ) nur wenig voneinander unterscheiden. Dies trifft insbesondere f¨ ur den Ablenkungswinkel ϕ0 zu. So liefern in diesem Fall (4.143), (4.146) und (4.147) das gleiche Ergebnis ϕ0 ≈ −2

KII . KI

(4.150)

Als einfaches Beispiel zur gemischten Beanspruchung betrachten wir den schr¨agen σ 2a

−ϕ0

√ σc πa KIc

−ϕ0

3

π/2

2

γ

1 σ a)

b)

π/2 γ

c)

Bild 4.48 Schr¨ager Riss unter einachsigem Zug

π/2 γ

129

Rissinitiierung an L¨ ochern und Kerben

Riss unter einachsigem Zug nach Bild 4.48a. Hierf¨ ur gilt √ KI = σ πa cos2 γ ,

√ KII = σ πa sin γ cos γ .

(4.151)

Wendet man das Kriterium der maximalen Umfangsspannung nach (4.143) an, so ergeben sich die in Bild 4.48b,c dargestellten Ergebnisse f¨ ur den Ablenkungswinkel ϕ0 und die kritische Spannung σc . Es ist bemerkenswert, dass sich letztere f¨ ur nicht zu große γ nur schwach ¨andert.

4.10

Rissinitiierung an Lo ¨chern und Kerben

An Spannungskonzentratoren wie L¨ochern, Kerben oder Ecken treten in der Regel große Spannungen auf, die h¨aufig zur Bildung eines Risses f¨ uhren. Sind die maximalen Spannungen beschr¨ankt wie beim elliptischen Loch (vgl. Abschnitt 4.4.5) oder bei der Kerbe mit endlichem Kerbradius, d.h. wenn keine Spannungssingularit¨aten auftreten, dann liegt es nahe, die Rissinitiierung an diesen Stellen mit Hilfe eines klassischen Versagenskriteriums zu beschreiben; siehe Kapitel 2. Es zeigt sich allerdings, dass die klassischen Versagenskriterien hier Grenzen haben, da sie den experimentell beobachtbaren Gr¨oßeneffekt nicht beschreiben k¨onnen. Hierunter versteht man die Abh¨angigkeit der Versagensspannung von der absoluten Gr¨oße des Spannungskonzentrators. So betr¨agt zum Beipiel die maximale Randspannung σmax beim kreisf¨ormigen Loch im unbeschr¨ankten Gebiet unter einachsigem Zug σ gerade das dreifache der angelegten Spannung: σmax = 3σ. Nach der Hauptspannungshypothese (2.2) m¨ usste Versagen bei bekannter Zugfestigkeit σz dementsprechend unabh¨angig von der Gr¨oße des Lochs immer dann eintreten, wenn die Bedingung σmax = σz erf¨ ullt ist, d.h. bei der angelegten Spannung σ = σz /3. Dies trifft auf hinreichend große L¨ocher auch in guter N¨aherung zu. Wird das Loch jedoch kleiner und kleiner, dann nimmt die f¨ ur ein Versagen erforderlich Zugspannung σ immer mehr zu bis sie im Grenzfall eines mikroskour dieses pisch kleinen Loches genau die Zugfestigkeit σz erreicht. Die Ursache f¨ anscheinend paradoxe Verhalten ist in der Mikrostruktur des Materials zu suchen, die auf der Mikroskala lokale Schwankungen (Fluktuationen) des Spannungszustandes verursacht, siehe auch Kapitel 8. Wird die charakteristische Abmessung des Spannungskonzentrators immer kleiner und nimmt sie die charakterististische L¨ange der Mikrostruktur an, so wird der Spannungskonzentrator selbst Bestandteil der Mikrostruktur. Aus makroskopischer Sicht geht dann der Unterschied zwischen den Spannungsfluktuationen infolge der vorhandenen Mikrostruktur und der St¨orung des Spannungszustandes infolge des vorhandenen Spannungskonzentrators verloren. Anschaulich gesprochen geht die Spannungskonzentration am mikroskopischen Loch im mikroskopischen “Rauschen” des Spannungszustandes unter - das mikroskopische Loch wird makroskopisch nicht mehr wahrgenommen. Das eben Gesagte gilt sinngem¨aß auch f¨ ur Kerben mit endlichem Kerbradius deren absolute Gr¨oße selbst¨ahnlich verkleinert wird.

130

Lineare Bruchmechanik

An V-f¨ormigen Spitzkerben oder scharfen Ecken tritt immer eine Spannungssingularit¨at auf, deren St¨arke durch verallgemeinerte Spannungsintensit¨atsfaktoren chrakterisiert wird, d.h. zum Beipiel im Modus I durch KI∗ , siehe Abschnitt 4.2.1. Die unmittelbare Anwendung der klassischen Festigkeitshypothesen ist hier nicht zielf¨ uhrend. Diese sagen ja aufgrund der Spannungssingularit¨at ein Versagen selbst bei der geringsten ¨außeren Belastung vorher, was im Widerspruch zur Erfahrung steht. Aus diesem Grund ist unter anderem vorgeschlagen worden, ∗ zu postuin Analogie zum Riss ein Versagenskriterium in der Form KI∗ = KIc lieren. Nachteil einer solchen Vorgehensweise ist, dass eine so verallgemeinerte ∗ ¨ Bruchz¨ahigkeit KIc vom Offnungswinkel der Kerbe anh¨angig ist und dementsprechend keinen intrinsischen Materialparameter darstellt. Weiterer Nachteil ist, dass man im Unterschied zum Riss keinen Zusammenhang zwischen einem auf diese Weise verallgemeinerten K ∗ -Konzept und einem energetischen Kriterium herstellen kann. Es l¨asst sich n¨amlich zeigen, dass die Energiefreisetzungsrate G bei Rissinitiierung an einer Spitzkerbe, aber auch an einer abgerundeten Kerbe, Null ist. Hierzu nehmen wir ¨ahnlich zu Abschnitt 4.6.2 an, dass ausgehend von der Kerbe ein kleiner Riss der L¨ange Δa entsteht. Die hierdurch hervorgerufene Energie¨anderung k¨onnen wir bestimmen, indem wir in (4.84) nur die Spannungsverteilung vor einem Riss durch die entsprechende Spannungsverteilung vor einer Spitzkerbe (d.h. im Modus I durch (4.20)) oder vor einer abgerundeten Kerbe ersetzen. Der Grenz¨ ubergang Δa → 0 f¨ uhrt dann immer (außer beim Riss) auf G = 0. Ein Rissinitiierungskriterium, das die genannten Nachteile nicht hat, wurde von D. Leguillon vorgeschlagen. Es geht von der Annahme aus, dass sich bei der Initiierung spontan ein Riss endlicher L¨ange Δac bildet. Damit dies geschieht, muss zum einen ein Spannungskriterium F (σij ) ≥ 0 u ¨ber die ganze L¨ange von Δac erf¨ ullt sein, f¨ ur welches in der Regel das Hauptspannungskriterium (2.2) in der Form σ1 ≥ σz (4.152a) verwendet wird. Gleichzeitig muss das energetische Kriterium G ∗ = Gc

(4.152b)

erf¨ ullt sein, wobei ΔΠ (4.153) Δac die inkrementelle Energiefreisetzungsrate und Gc der Risswiderstand sind. Man erkennt, dass das hybride Kriterium (4.152a,b) die beiden Grenzf¨alle eines Risses und eines homogenen Spannungszustandes richtig beschreibt. Im Fall eines Risses ist das Spannungskriterium (4.152a) immer erf¨ ullt, und Rissinitiierung wird durch das energetische Kriterium (4.152b) kontrolliert. Im anderen Grenzfall eines homogenen Spannungszustandes in einem hinreichend großen K¨orper wird das Versagen alleine durch das Spannungskriterium (4.152a) kontrolliert. Vorteil G∗ = −

Erm¨ udungsrisswachstum

131

des Kriteriums von Leguillon ist, dass es mit den beiden bekannten Materialkennwerten, σz und Gc auskommt. Es hat sich auch gezeigt, dass Gr¨oßeneffekte durch das Kriterium befriedigend wiedergegeben werden. Die konkrete Anwendung ist allerdings nicht so einfach wie es im ersten Moment erscheint und meist nur mittels numerischer Methoden wie der FEM m¨oglich. Grund hierf¨ ur ist, dass die Gr¨oße und die Richtung von Δac zun¨achst unbekannt sind und neben der gesuchten kritischen ¨außeren Belastung einer Kerbkonfiguration iterativ bestimmt werden m¨ ussen. Wegen der beiden Materialparameter im Kriterium von Leguillon kann man es in die Klasse der Zweiparameterkriterien einordnen. Da es außerdem bei der Initiierung von einem endlichen Rissfortschritt ausgeht, spricht man auch manchmal von einer finiten Bruchmechanik. Es gibt noch eine Reihe anderer Zweiparameterkriterien. So lassen sich auch die Koh¨asivzonenmodelle als zweiparametrige Modelle auffassen, sofern das Koh¨asivgesetz mittels nur zweier Parameter charakterisiert wird, vgl. Abschnitt 5.3. Hierauf wollen wir hier jedoch nicht weiter eingehen.

4.11

Ermu ¨dungsrisswachstum

Wird ein Bauteil mit einem Riss statisch beansprucht, so tritt keine Rissausbreitung (=Bruch) auf, solange die Rissl¨ange bzw. die Belastung unterhalb der kritischen Gr¨oße liegt. Bei schwingender Beanspruchung stellt man dagegen ein Risswachstum in “kleinen Schritten” schon bei Belastungen weit unterhalb der kritischen statischen Last fest (vgl. Abschnitt 3.2.1). Man spricht in diesem Fall von Erm¨ udungsrisswachstum (fatigue crack growth). Es wird in der Regel durch die Risswachstumsrate da/dN charakterisiert, wobei N die Lastspielzahl ist. Ursache f¨ ur das Erm¨ udungsrisswachstum sind die komplexen inelastischen Vorg¨ange, welche sich bei einer periodischen Belastung in der Prozesszone bzw. in der plastischen Zone abspielen. Bei metallischen Werkstoffen erf¨ahrt dort zum Beispiel ein materielles Teilchen plastisches Fließen abwechselnd unter Zug und unter Druck (plastische Hysterese). Damit verbunden sind wechselnde Eigenspannungsfelder sowie eine zunehmende Sch¨adigung des Werkstoffes (z.B. Hohlraumbildung) bis zur vollst¨andigen Trennung. Wir beschr¨anken uns im weiteren auf eine zyklische Modus I Beanspruchung. Sind die Bedingungen der linearen Bruchmechanik erf¨ ullt (Kleinbereichsfließen), so kann das Erm¨ udungsrisswachstum unter Verwendung des K–Konzeptes beschrieben werden. Einer periodischen Belastung ist dann ein periodisch ver¨anderlicher Spannungsintensit¨atsfaktor zugeordnet, dessen Schwingbreite ΔK (Bild 4.49a) als zyklischer Spannungsintensit¨atsfaktor bezeichnet wird. Misst man f¨ ur einen Werkstoff die Risswachstumsraten in Abh¨angigkeit von ΔK, so ergibt sich qualitativ der in Bild 4.49b dargestellte Verlauf. Unterhalb eines Schwellenwertes ΔK0 breitet sich der Riss nicht aus; dieser Wert ist meist kleiner als KIc /10. Der mittlere Bereich der Kurve zwischen ΔK0 und KIc l¨asst sich bei logarithmischer

132

Lineare Bruchmechanik

da dN   mm Lsp

K

10−2

Kmax

10−4 ΔK

Kmin

10−6

ΔK t

a)

b)

(4.140)

ΔK0

KIc

ΔK

Bild 4.49 Erm¨ udungsrisswachstum Auftragung durch eine Gerade mit dem Anstieg m approximieren. Danach wird das Risswachstum empirisch durch die Gleichung da = C (ΔK)m dN

(4.154)

beschrieben; sie wird nach P.C. Paris (1963) auch Paris–Gesetz genannt. Die Konstanten C und m h¨angen dabei vom Werkstoff und verschiedenen Einfl¨ ussen wie Temperatur, Umgebungsmedium oder mittlerem Spannungsintensit¨atsfaktor ab. F¨ ur metallische Werkstoffe sind Exponenten im Bereich m ≈ 2 . . . 4 typisch. Es gibt viele verschiedene Ans¨atze, um die experimentellen Ergebnisse besser als nach (4.154) zu erfassen. So wird unter anderen die R.G. Foreman–Beziehung (1967) C (ΔK)m da = , (4.155) dN (1 − R)KIc − ΔK verwendet, wobei R = Kmin /Kmax . Daneben existiert eine Reihe von Modellen, die eine vereinfachte Beschreibung des im Detail recht komplexen Vorganges der Erm¨ udungsrissausbreitung erm¨oglichen sollen. Eines dieser Modelle geht zum Beispiel davon aus, dass der Rissfortschritt bei jedem Zyklus proportional zur Gr¨oße der plastischen Zone ist. Wegen rp ∼ KI2 (vgl. (4.126)) f¨ uhrt dies auf da/dN ∼ (ΔK)2 , d.h. auf einen Exponenten m = 2. Die Kenntnis der Risswachstumsrate da/dN erm¨oglicht es, eine Lebensdauervorhersage zu machen. Dies geschieht, indem man die erforderliche Lastspielzahl ur die Nc bestimmt, damit ein Riss die kritische L¨ange ac erreicht. Als Beispiel f¨ Vorgehensweise betrachten wir ein Bauteil, das durch ein konstantes Δσ schwingend √ belastet ist. Der zyklische Spannungsintensit¨atsfaktor sei durch ΔK = Δσ πa F (a) gegeben, wobei F (a) von der Geometrie des Bauteiles abh¨angt (vgl. Abschnitt 4.4.1, Tabelle 4.1). Geht man vom Paris–Gesetz (4.154) aus, so erh¨alt

133

Der Grenz߬ achenriss

man damit durch Integration die Zahl der Lastzyklen um einen Riss der Ausgangsrissl¨ange ai auf die L¨ange a anwachsen zu lassen: a da 1 /√ (4.156) N(a) = 0m . C (Δσ)m πa F (a) ai

Durch Einsetzen der kritischen Rissl¨ange ac folgt schließlich Nc .

4.12

Der Grenz߬ achenriss

Wir haben uns bisher nur mit Rissen in homogenen Materialien besch¨aftigt. Von betr¨achtlichem praktischen Interesse sind aber auch Risse, die in der Grenzfl¨ache von zwei Materialien mit unterschiedlichen elastischen Konstanten auftreten. Sie werden als Grenzfl¨achenrisse, Bimaterialrisse oder Interface-Risse bezeichnet. Beispiele hierf¨ ur sind Risse in Materialverbunden, in Klebeverbindungen oder Risse in den Grenzfl¨achen von Kompositwerkstoffen (Laminate, Faser-MatrixVerbunde etc.). Auf solche Risse kann das K-Konzept nicht unbesehen angewendet werden, weil das Rissspitzenfeld hier nicht die gleiche Form wie bei homogenen Materialien hat. Es ist von vornherein ebenfalls nicht klar, inwieweit f¨ ur solche Risse Parameter wie G oder J in Bruchkonzepten Verwendung finden k¨onnen.

E1 , ν 1 y

r ϕ x

E2 , ν2 Bild 4.50 Spitze eines Bimaterial-Risses Wir betrachten zun¨achst das Feld an der Spitze eines Bimaterial-Risses, der in der Grenzfl¨ache zwischen den Materialien mit den elastischen Konstanten E1 , ν1 und E2 , ν2 liegt (Bild 4.50). Hierbei k¨onnen wir uns auf den EVZ beschr¨anken, da ein ESZ in der Umgebung der Grenzfl¨ache kaum zu realisieren ist. Um das Rissspitzenfeld zu bestimmen, benutzen wir wieder die komplexe Methode (vgl. Abschnitt 4.2.1), die nun aber in der oberen (1) und in der unteren (2) Halbebene getrennt angewendet werden muss. Als L¨osungsansatz verwenden wir Φ1 (z) = A1 z λ ,

Ψ1 (z) = B1 z λ ,

Φ2 (z) = A2 z λ ,

Ψ2 (z) = B2 z λ ,

(4.157)

wobei der Exponent λ im Unterschied zu Abschnitt 4.2.1 jetzt auch komplex sein kann. Damit die Verschiebungen an der Rissspitze nichtsingul¨ar werden und die

134

Lineare Bruchmechanik

Form¨anderungsenergie beschr¨ankt bleibt, setzen wir Re λ > 0 voraus. Die Rand¨ und Ubergangsbedingungen (1)

(1)

(σϕ + i τrϕ )ϕ=π = 0 ,

(2)

(σϕ + i τrϕ )ϕ=0 = (σϕ + i τrϕ )ϕ=0 ,

(2)

(1)

(σϕ + i τrϕ )ϕ=−π = 0 ,

(2)

(u + i v)ϕ=0 = (u + i v)ϕ=0

f¨ uhren auf ein homogenes Gleichungssystem f¨ ur die vier komplexen Konstanten A1 . . . B2 (4 Real- und 4 Imagin¨arteile). Durch Nullsetzen der 8 × 8 Koeffizientendeterminante erh¨alt man eine Eigenwertgleichung mit der L¨osung  1/2 + n + i ε n = 0, 1, 2, . . . , (4.158) λ= n worin ε=

1 μ2 κ1 + μ1 ln 2π μ1 κ2 + μ2

(4.159)

mit μi = Ei /2(1+νi ) und κi = 3−4νi die sogenannte Bimaterialkonstante ist. An der Rissspitze r → 0 dominiert das Feld, das zum Eigenwert mit dem kleinsten Realteil, d.h. zu λ = 1/2 + i ε (4.160) geh¨ort. Nach den Kolosovschen Formeln (1.118a) oder (1.120) und unter Beachtung von r i ε = ei ε ln r zeigen dementsprechend die Spannungen und Verschiebungen ein Verhalten der Art σij ∼ r −1/2 cos(ε ln r) ,

ui ∼ r1/2 cos(ε ln r) ,

(4.161)

wobei der Kosinus auch durch den Sinus ersetzt werden kann. Das typische √ √ singul¨are 1/ r-Verhalten der Spannungen bzw. das r-Verhalten der Verschiebungen tritt also auch an der Bimaterial-Risssitze auf. Mit Ann¨aherung an die Rissspitze oszillieren die Gr¨oßen aber zunehmend (oszillierende Singularit¨at). Wir wollen hier nicht das komplette Rissspitzenfeld angeben, sondern wir beschr¨anken uns auf die Spannungen im Interface und auf die Riss¨offnung: (σy + i τxy )ϕ=0 =

K (r/2a)i ε √ , 2πr

c1 + c2 K (r/2a)i ε (v − v ) + i (u − u ) = 2 cosh πε 1 + 2 i ε +

−

+

−



(4.162a) r . 2π

Hierin sind 2a eine beliebige Bezugsl¨ange (z.B. die Rissl¨ange), K = K1 + i K2

(4.162b)

ein komplexer Spannungsintensit¨atsfaktor und c1 = (1 + κ1 )/μ1 ,

c2 = (1 + κ2 )/μ2 .

(4.162c)

135

Der Grenz߬ achenriss

Danach ist das Rissspitzenfeld eindeutig durch den modifizierten komplexen Spannungsintensit¨atsfaktor K = K (2a)−i ε charakterisiert. Mit dem Betrag und dem Phasenwinkel ) |K| = K12 + K22 , tan ψ = K2 /K1 (4.163) l¨asst er sich auch in der Form K = |K| ei ψ (2a)−i ε

(4.164)

schreiben. Neben den beiden Spannungsintensit¨atsfaktoren K1 und K2 tritt also noch eine L¨ange 2a auf, die mit der Bimaterialkonstante ε gewichtet wird. Deswegen ist eine einfache Aufspaltung in Modus I und Modus II hier zun¨achst nicht m¨oglich. Die Spannungsintensit¨atsfaktoren K1 , K2 k¨onnen daher auch nicht ohne weiteres diesen Moden zugeordnet werden. Man erkennt dies deutlich, wenn man die Spannungen im Interface nach (4.162a) in reeller Form darstellt:     K1 cos[ε ln (r/2a)] − K2 sin[ε ln (r/2a)] σy 1 . (4.165) =√ 2πr K1 sin[ε ln (r/2a)] + K2 cos[ε ln (r/2a)] τxy Der Spannungsintensit¨atsfaktor K1 beschreibt danach im Interface nicht nur Normalspannungen sondern auch Schubspannungen. In gleicher Weise sind K2 sowohl Schub- als auch Normalspannungen zugeordnet. Dementsprechend sind beim Bimaterialriss beide Moden (genau genommen) untrennbar miteinander verbunden. Nur im Grenzfall des homogenen Materials (c1 = c2 , ε = 0) reduzieren sich K1 , K2 auf KI , KII , und die beiden Moden sind dann separierbar. Aus (4.162a) geht hervor, dass die Riss¨offnung mit Ann¨aherung an die Rissspitze zunehmend oszilliert. Da eine Durchdringung der Rissufer physikalisch nicht m¨oglich ist, muss es folglich vor der Rissspitze zum Rissuferkontakt kommen. Die angegebene L¨osung kann also nur außerhalb des Kontaktbereiches das Rissspitzenfeld sinnvoll beschreiben. Im weiteren bestimmen wir noch die Energiefreisetzungsrate G = −dΠ/da f¨ ur einen Rissfortschritt im Interface (vgl. auch Abschnitt 4.6.2, Gleichung (4.84)). Sie ergibt sich aus dΠ 1 = − lim Δa→0 2Δa da

Δa [σy (v + − v − ) + τxy (u+ − u− )] dx 0

mit (4.162a) und (4.162c) zu G=

(c1 + c2 ) (K12 + K22 ) . 16 cosh2 (πε)

(4.166)

Danach ist zwar G durch die beiden Spannungsintensit¨atsfaktoren eindeutig bestimmt. Umgekehrt lassen sich aber aus G nur der “Betrag” (K12 + K22 )1/2 und nicht etwa die einzelnen Komponenten K1 und K2 ermitteln.

136

Lineare Bruchmechanik

Man kann zeigen, dass die Energiefreisetzungsrate auch aus dem J-Integral  (4.167) J = G = (U dy − ti ui,xdc) C

bestimmt werden kann. Dieses ist wegunabh¨angig, solange der Riss gerade ist, belastungsfreie Rissufer hat und sich die elastischen Konstanten in x-Richtung nicht ¨andern. Als einfachstes Beispiel eines Grenzfl¨achenrisses, f¨ ur das sich eine L¨osung in geschlossener Form finden l¨asst, betrachten wir den Riss im unendlichen Gebiet unter Innendruckbelastung nach Bild 4.51a. Wegen der Kompliziertheit der komplexen Potentiale sei exemplarisch nur Φ1 angegeben: ' & i ε σ z + a z − 2 i ε a √ −1 . Φ1 = 1 + e2πε z−a z 2 − a2 Die Spannungsintensit¨atsfaktoren an der rechten Rissspitze ergeben sich zu  √ K1 = σ π a , √ K = (1 + 2 i ε) σ πa (4.168) bzw. √ K2 = 2 ε σ π a .

σ μ1 , ν 1

(1)

y