Springer-Lehrbuch
Christian Ernst · Christian Riegler Gerald Schenk
Übungen zur Internen Unternehmensrechnung Dritte, überarbeitete Auflage
Mit 29 Abbildungen und 200 Tabellen
123
Professor Dr. Christian Ernst Universität Hohenheim Institut für Haushalts- und Konsumökonomik Fruwirthstr. 48 70599 Stuttgart
[email protected] Professor Dr. Christian Riegler Wirtschaftsuniversität Wien Abteilung für Integrierte Unternehmensrechnung Althanstr. 39-45 1090 Wien ¨ Osterreich
[email protected] Professor Dr. Gerald Schenk Berufsakademie Heidenheim Staatliche Studienakademie Wilhelmstr. 10 89518 Heidenheim
[email protected]
ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-540-68727-6 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 978-3-540-44073-4 2. Auflage Springer Berlin Heidelberg New York Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet ¨ uber http://dnb.d-nb.de abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich gesch¨ utzt. Die dadurch begr¨ undeten Rechte, insbesondere die der ¨ bersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der FunkU sendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielf¨ altigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielf¨ altigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zul¨ assig. Sie ist grunds¨ atzlich verg¨ utungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998, 2002, 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten w¨ aren und daher von jedermann benutzt werden d¨ urften. Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & V¨ ockler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: WMX Design GmbH, Heidelberg SPIN 11955696
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Geleitwort der Autoren der ,,Internen Unternehmensrechnung" zur dritten Auflage Wir freuen uns, dass nun bereits die dritte Neuauflage des begleitenden l~)bungsbuches zu unserer ,,lntemen Untemehmensrechnung" vorliegt. Der Bedarf ffir eine Neuauflage zeigt, dass unsere gemeinsame Absicht, den zahlreichen Benutzern der ,,Internen Untemehmensrechnung" zusfitzliche Aufgaben und Fallstudien zu den im Lehrbuch dargestellten Konzepten und Zusammenhfingen zur Verfiigtmg zu stellen, auf eine breite Resonanz stN3t. Von vielen wurde insbesondere auch die MOglichkeit begral3t, mit Hilfe des l~'bungsbuches in Vorlesungen oder Ubungen aus Zeitgranden nicht behandelte Teile des Lehrbuches selbst~indig erschliegen zu k6nnen. Die zahlreichen Uberarbeitungen und Erweiterungen, die das Lehrbuch bis zur gerade aktuellen sechsten Auflage durchlaufen hat, nutzten die Autoren des Ubungsbuches zu einer entsprechenden Anpassung der 15bungsaufgaben an das Lehrbuch. Wir danken ihnen daftir, weft damit die Einheitlichkeit von Lehrbuch und 15bungsbuch erhalten wird. Den Benutzem der ,,Ubungen zur Internen Unternehmensrechnung" wanschen wir bei der vorliegenden Neuauflage viel Erfolg und Spag beim L6sen der Aufgaben trod dem Verstehen der dahinter liegenden Konzepte.
RalfEwert und Alfred Wagenhofer
Frankfurt a. M. u. Graz, im Oktober 2006
Vorwort der Verfasser zur dritten Auflage Seit dem Erscheinen der letzten Auflage des l~lbungsbuches wurde das Lehrbuch ,,Interne Untemehmensrechnung" umfangreich t~berarbeitet. Dementsprechend wurde es notwendig, den Beispielbestand des lJbungsbuches an diese Weiterentwicklung anzupassen. So wurden zum einen Neuzuordnungen von bestehenden Beispielen in andere Kapitel, aber auch die Neuaufnahme von Aufgaben erforderlich. Zum anderen wurden Beispiele und eine Fallsmdie zu Themenfeldem, die nun in der aktuellen Version des Lehrbuchs keine Berftcksichtigung mehr finden, aus dem Beispielbestand des Obungsbuches ebenfalls herausgenommen, um insgesamt dessen Uml~ang weitgehend konstant halten zu k6nncn. Ffir die Unterst/itzung bei der lJberarbeitung dan_ken wir Frau Dr. Manuela Hirsch und Frau Mag. Verena Zach, Mitarbeiterinnen an der Abteilung fur Integrierte Untemehmensrectmung an der Wirtschal%universit~it Wien.
Allen Benutzem wanschen wir gutes Gelingen sowie vie1 Erfolg (und hoffentlich auch ein wenig Spal3) beim L6sen der Aufgaben.
Christian Ernst, Christian Riegler, Gerald Schenk
Frankfurt a. M., Heidenheim u. Wien, im Oktober 2006
Vorwort der Autoren der ,,Internen Unternehmensrechnung" Seit dem Erscheinen der ersten Auflage der ,,Internen Unternehmensrechnung" im Jahr 1993 wurde yon vielen Studenten und anderen Benutzem des Buehes verschiedentlich bedauert, dab die L6sungen zu den Problemen, die sich an die einzelnen Kapitel ansehlieBen, nur Dozenten zur VerPt~gung stehen. Die Verfasser gingen ursprt~nglich davon aus, dab die im Bueh vermittelten Lerninhalte normalerweise durch eine vorlesungsbegleitende l~bung erggnzt werden sollten. Erfahrungen haben gezeigt, dab viele Studierende den Band oft zur Ergfinzung und Vertiefung yon Veranstaltungen heranziehen, die auch auf anderen Lehrbtichem basieren. Ferner konnten wir feststellen, dab der Band oft als Gmndlagenwerk ffir Fragestelltmgen im Bereich von Diplomarbeiten verwendet wird, insbesondere was den informations6konomischen Teil angeht. Die Tatsache, dab die ,,Interne Unternehmensrechnung" mittlerweile in 3. Auflage erscheint, scheint daraber hinaus zu bestfitigen, dab zahlreiche Studenten, aber auch Praktiker das Buch zum Zwecke des Selbststudiums erworben haben. Durch die vorliegenden ,,()bungen zur Internen Untemehmensrechnung" wird dieser Zielgruppe Gelegenheit gegeben anhand zahlreicher Aufgaben und Fallstudien die Leminhalte des Buches selbst~indig zu vertiefen. Aus diesem Grund sind die Muster16sungen bewuSt ausffihrlich gehalten. Dies gilt insbesondere f'~r die Aufgaben und Fallstudien zur kritischen Analyse von Techniken des modemen Kostenmanagements wie dem Target Costing und den informationsSkonomischen Ans~itzen, da mit einem l~lbungsbuch zu diesen betriebswirtschaftliehen Themenkomplexen, zumindest im deutschsprachigen Raum, Neuland beschritten wird. Es schien uns daher sinnvoll, die Aufgabe der Zusammenstellung des Obungsbuches unseren Mitarbeitern anzuvertrauen, da sie neben uns t~ber die gr63te Erfahrung bei der Prgsentation der Lehrinhalte der ,Intemen Unternehmensrechnung" verffigen. Wir wfinschen den Benutzern der ,,Obungen zur Internen Unternehmensrechnung" viel SpaB und Erfolg bei der Arbeit mit dem vorliegenden Band und diesem Buch selbst eine ~hnlich weite Verbreitung wie dem Hauptwerk.
RalfEwert und Alfred Wagenhofer
Frankfi_trt a. M. u. Graz, im Januar 1998
Vorwort dcr Vcrfasser in den vorliegenden Band gehen die Erfahrungen ein, die die Verfasser im Laufe ihrer mehrj~hrigen Tfitigkeit als Mitarbeiter von Prof. Dr. Ralf Ewert und Prof. Dr. Alfred Wagenhofer, den Autoren der ,,Internen Unternehmensrechnung", im Rahmen von Llbungen und bei dem Entwurf von Klausuren erworben haben. Die ,,l~bungen zur Intemen Untemehmensrechnung" bestehen aus einem Aufgabentell, der sich an den einzelnen Kapiteln orientiert. Die dortigen Aufgaben sind, yon wenigen Ausnahmen abgesehen, auf eine Bearbeitungszeit von 30 bis 40 Minuten konzipiert und sollten nach Lekttire der jeweiligen Kapitel ohne besondere Probleme bew~tltigt werden kOnnen. Wesentlich umfangreicher sind dagegen die 13 Fallstudien des zweiten Teiles. Sie erfordern Bearbeitungszeiten zwischen 2 und 3 Stunden. Entsprcchend h6her ist die Komplexit~it der dort angesprochenen Fragestellungen. Teilweise wird in diesen Fallstudien auch Transferwissen verlangt. Als Beispiel seien bier die Ubertragung von Alternativkalkulation und Arbeitsgangverfal~'en auf VerhNtnisse der Kuppelproduktion sowie mehrstufige Abweichungsanalysen genannt. Den Abschlul3 bilden zwei sehr umfangreiche Fallstudien zur Agency-Theorie. In der ersten Fallstudie werden anhand des LEN-Modells einige wesentlichen Erkenntnisse der modemen InformationsSkonomie verdeutlicht. Die zweite analysiert ein kombiniertes Problem aus Moral Hazard und Adverser Selektion im Zusammenhang mit dem aktuellen Problem yon ,,Controlling im 6ffentlichen Sektor". Der Schwierigkeitsgrad dieser Fallstudien geht fiber das hinaus, was selbst im Rahmen von Examensklausuren von Studierenden verlangt werden kann. Ihr Zweck besteht vor allem darin, Ans~ttze zu prgsentieren, die ohne allzu hohen formalen Aufwand bewfiltigbar sind und sich auf viele Fragestellungen der [ntemen Untemehmensrechnung fibertragen lassen. Diese und andere schwierige Fallstudien sind mit einem ,,* " gekennzeichnet. Wir mOchten uns an dieser Stelle bei Herrn Prof. Ewert und Herrn Prof. Wagenhofer ganz herzlich dafter bedanken, dab sie uns bei der Zusammenstellung des Ubungsbuches und auftretenden Fragen stets mit Rat und Tat zur Seite standen und ihr Einverst~ndnis zur Publikation dieses Ubungsbuches gegeben haben. Femer gilt unser Dank unseren Kollegen Frau Dipl.-Kfm. Ulrike Stefani ~md Herm Dipl.-Kfm. J6rg Beil3el dafar, dab sie ebenfalls einige Aufgaben beigesteuert haben. Allen Benutzern wthasehen wit gutes Gelingen und viel Erfolg bei der LSsung der Aufgaben.
Christian Ernst, Christian Riegler, Gerald Schenk
Frankfurt a. M. und Graz, im Januar 1998
Inhaltsverzeichnis
Geleitwort der Autoren der ,,Intemen Unternehmensrechnung". ............................... V Vorwort .................................................................................................................... VII Vorwort der A u t o r e n der ,,Intemen Unternehmensrechnung" zur ersten Auflage .... IX Vorwort der Verfasser zur ersten Auflage ................................................................. XI Inhaltsverzeictmis ............................................................................. ....................... XIII Symbolverzeichnis ................................................................................................ XVII
Aufgaben
zu den Kapiteln der Internen Unternehmensrechnung
.... 1
Kapitel 1: Einleitung und [Jberblick .......................................................................
3
Aufgabe 1.1: Kosteninformation fttr Augendienstmitarbeiter aus Sicht der Entscheidungs- und Verhaltenssteuerungsfunktion .................................. 3 Aufgabe 1.2: Kosteninformationen aus der Sicht der Entscheidungs- und Verhaltenssteuerungsfunktion ................................................................... 7 Aufgabe 1.3: Risikoeinstellung und Entscheidung ................................................... 8
Kapitel 2: Die Kosten- und Leistungsreehnung als Entscheidungsrechnung ... 11 Aufgabe 2.1 : Kostenkonzeption I, Aktionsraum und das Konzept der starrerdflexiblen Planung ......................................................................... 11 Aufgabe 2.2: Pagatorische und wertm~ii3ige Kosten ................................................ 18 Aufgabe 2.3: Vergleich von Kostenkonzeption I I m i t Kostenkonzeption III und das Theorem von L O c k e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Aufgabe 2.4: Das Theorem von
LOcke
bei wechselnden Zinss/~tzen ...................... 24
Kapitel 3: Produktionsprogrammentseheidungen ............................................... 31 Aufgabe 3.1: Fehlerquellen von Vollkostenrechnungen ......................................... 31 Aufgabe 3.2: Produktionsprogrammplanung als Kopfnuss ..................................... 35 Aufgabe 3.3: Programmplanung und Opporttmitfitskosten ..................................... 37
xIv
Inhaltsverzeiclmis
Aufgabe 3.4: StOckweise lineare Deckungsbeitrgge ...............................................
42
Aufgabe 3.5: Eigenfertigung versus Fremdbezug trod Programmplanung .............. 47
Kapitel 4: Preisentscheidungen ..............................................................................
49
Aufgabe 4.1 : Preispolitik und Erfahmngskurve ......................................................
49
Aufgabe 4.2: Produktsubstitutionalit~it, optimale Preispolitik und Hinauskalkulieren aus dem Markt ....................................................
53
Aufgabe 4.3: Produktinterdependenzen und Fixkostenallokation ........................... 55 Aufgabe 4.4: Intertemporale Kosteneffekte und Programmplanung ....................... 61 Aufgabe 4.5: Intertemporale Kosteneffekte und Verhaltensanreize ........................ 65 Aufgabe 4.6: Angebotskalkulation bei Ausschreibungen .......................................
68
Kapitel 5: Entscheidungsrechnungen bei Unsicherheit. ................................. 71 Aufgabe 5.1: Varianten der deterministischen Break-Even-Analyse ...................... 71 Aufgabe 5.2: Stochastische Break-Even-Analyse ...................................................
74
Aufgabe 5.3: Preispolitik und Unsicherheit ............................................................
76
Aufgabe 5.4: Programmplanung bei risikoaversem Emscheidungstr~iger und stochastischen Deckungsbeitr~igen .............................................
78
Aufgabe 5.5: Gmndz~ige der State Preference Theorie und ,Spanning" Eigenschaft von Kapitalmgrkten. .......................................................
81
Aufgabe 5.6: Risikoanalyse durch Simulation ........................................................
84
Kapitel 6: Kostenmanagement ...............................................................................
91
Aufgabe 6.1: Kosten der Variantenvielfalt und Gesetz der ,,umgekehrten Erfahrungskurve" ...............................................................................
91
Aufgabe 6.2: Lebenszyklus-Kostenrechnung und Produktkalkulation ................... 94 Aufgabe 6.3: Target Costing ...................................................................................
96
Kapitel 7: Kontrollrechnungen ..............................................................................
99
Aufgabe 7.1: Methoden der Abweiehungsanalyse ..................................................
99
Inhaltsverzeichnis Aufgabe 7.2: Vergleich differenzierte und kumulative Methode bei Spezialabweichungen ......................................................................
XV
101
Aufgabe 7.3: Unterschiedliche Methoden der Erl6sabweichungsanalyse ............. 102 Aufgabe 7.4: Abweichungsauswertung mit Hilfe des Kontrollkartenverfahrens ........................................................................................
106
Aufgabe 7.5: Kosten und Nutzenvergleich von Auswertungen ............................
108
Aufgabe 7.6: Auswertungen bei Risikoaversion ...................................................
110
Aufgabe 7.7: Auswertungen und zeitliche Restriktion ..........................................
112
Aufgabe 7.8: Managerentlohnung und Likelihood Relation .................................
115
Aufgabe 7.9: Auswertungsstrategien in einem bin~en Ageney-Modell ............... 117
Kapitel 8: Koordination, Budgetierung und Anreize ........................................ 131 Aufgabe 8.1 : Weitzman-Schema bei Sicherheit und Unsicherheit ........................ 131 Aufgabe 8.2: Budgetierung, wahrheitsgem~iBe Berichterstattung, Offenlegungsprinzip und Osband-Reichelstein Schemata .............. 139 Aufgabe 8.3: Personelle Koordination und Managerentlohnung .......................... 152
Kapitel 9: Investitionscontrolling ........................................................................
157
Aufgabe 9.1 : Anreizschemata zur wahrheitsgem~iBen Berichterstattung .............. 157 Aufgabe 9.2: Wahrheitsgem~3e Berichterstattung und Groves-Schemata ............ 167
Kapitel 10: Kennzahlen als Performancemage ..................................................
171
Aufgabe 10.1 : Rentabilit~itskennzahlen ...................................................................
171
Aufgabe 10.2: Residualgewinn und Managerentlohnung .......................................
175
Aufgabe 10.3: Unterschiedliche Beurteilungsgr6Ben und Investitionsanreize ........ 177
Kapitel 11: Verrechnungspreise und Kostenallokation ..................................... 183 Aufgabe 11.1: Mehrstufige Verrechnungspreise .....................................................
183
Aufgabe 11.2: Duale Verrechnungspreise im Hirshleifer-Modell .......................... 186 Aufgabe 11.3: Kostenorientierte Verrechnungspreise und Wert yon Informationen ..................................................................................
188
Aufgabe 11.4: Marktorientierte Verrechnungspreise versus verhandlungsofientierte Verrechmmgspreise ..................................
190
xvI
Inhattsverzeichnis
Kapitel 12: Systeme der Kostenrechnung ...........................................................
191
Aufgabe 12.1: Heterogene Kostenverursachung und Funktionen yon Bezugsgr0Ben ..................................................................................
191
Aufgabe 12.2: Statistische Methoden der Kostenplanung ......................................
193
Aufgabe 12.3: Kostenstellenrechnung und Kostentr~igerrectmung in der GPKR ....................................................................................
196
Aufgabe 12.4: Traditionelle Kalkulationsverfahren versus prozessorientierte Kalkulation .........................................................
198
Aufgabe 12.5: Prozesskostenrechnung und Grenzplankostenrechnung .................. 20 t Aufgabe 12.6: Ergebnisrechnung mit dem Gesamt- und Umsatzkostenverfahren ...................................................................
206
Aufgabe 12.7: Mehrsmfige Deckungsbeitragsrechnung .........................................
207
Fallstudien zur Internen Unternehmensrechnung
.............................. 211
Fallstudie 1: Produktionsprogrammplanung und Opportunit~tskosten ................ 213 Fallstudie 2: Ausgewiihltes Planungsproblem der Orenzplankostenrechnung ..... 225 Fallstudie 3: Preisuntergrenzen in einem sequentiellen Modell ........................... 233 Fallstudie 4: Deterministische und stochastische Break-Even-Analyse im Ein- und Mehrproduktfall ...........................................................
247
Fallstudie 5: Produktionsprogrammplanung unter Unsicherheit und Entscheidungsrelevanz fixer Kosten ...............................................
259
Fallstudie 6: Ausgew/ihlte Aspekte des Zielkostenmanagements (Target Costing) ...............................................................................
267
Fallstudie 7: Abweichungsanalysen und deren Auswertung ................................
279
Fallstudie 8: Abweichungsanalysen bei mehrstufigen Produktionsprozessen und deren Auswermng mit Hilfe des Modells yon Bierman/Fouraker/Jaedieke
............................................................
Fallstudie 9: Grundztige der Prinzipal-Agent Theorie .........................................
289 299
Fallstudie 10: Grenzplankostenrechnung und Abweichungsanalysen.................... 307 Fallstudie 11: Agency-Theorie am Beispiel des LEN-Modells ..............................
313
Fallstudie 12: Controlling im 0ffentlichen Sektor ..................................................
335
Symbolverzeichnis
a
A A
Ab AR b B B C
c(x) C d
d" dv
Aktion, Arbeitsleistung Auszahlung Aktionsraum Abschreibung absolute Risikoaversion Beschgftigung; BezugsgrN3e; Beurteilungsgr~SBe (Verantwommgs-)Bereich Koalition Kosten; Kostensatz; Eigenfertigungskosten Kosten ~inderungsfaktor Kosten, zugerechnete Kosten (Sttick-)Deckungsbeitrag spezifischer (Stfick-)Deckungsbeitrag vorlfiufiger Deckungsbeitrag (vor bestimmten Kosten) modifizierter Deckungsbeitrag Verfahrensdeckungsbeitrag
A
dv D E EW
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F F
G H i
i I i,j,l,m,n K k k
KB KW
xw. :,:we g
L
spezifischer Verfahrensdeckungsbeitrag Deckungsbeitrag Einzahlung; Erl6s Ertragswert; Endwert Erwartungswertfunktion Dichtefunktion (kontinuierlich) Wahrscheinlichkcitsfunktion (kontinuierlich) (Index) FixGewinn (Index) hoch, grog (Index) IstZinssatz Investitionsauszahlung; Untersuchungskosten Laufindizes jeweils von 0 bzw 1, ..., I, J, L, M, N Kosten, Gesamtkosten variable Sfftckkosten vorlgufige variable Sttickkosten (vor bestimmten Kosten) (Index) kumuliert Kapitalbindung Kapitalwert Kapitalwert der Auszahlungen Kapitalwert der Einzahlungen Funktion Leismngen
XVIII L
LG LI LQ N OK OL P
P P Pr q r
R RG S
S SK t T ~g
U UA U,4 U~ f V
V
V V(a) vb W
W X
X Y Y z
~(~ Y 6 A
Symbolverzeiclmis (Index) niedrig, klein Lagrange-Funktion Likelihood-Funktion Liquidationserl6s (Restwert) Nutzen Opportunit~itskosten Operating Leverage (Index) Plan-; SollPreis pro Mengeneinheit Output Produktivit~itsparameter Wahrscheinlichkeit, dass eine Bedingung zutrifft Faktormenge, Verbrauch Preis pro Mengeneinheit Faktorinput Verrechnungspreis Residualgewinn Kompensationsschema Basisentlohnung Sicherheitskoeffizient Zeitindex von 0 bzw 1..... T Ende des Planungshorizontes Nutzenwert Nutzenfunktion Nutzenfunktion des Agenten, U A = U(s) - V(a) Reservationsnutzen des Agenten Nutzenfunktion des Prinzipal (Zahlungs-)121berschuss Direktverbrauchskoeffizient (Direktbedarfskoeffizient) Vektor der Mittelvorr~ite (Index) variabel Gesamtverbrauch (Gesamtbedar0 Disnutzen, private Kosten der Aktion a Kapazit~it, Mittelvorrat Direktverbrauchskoeffizient eines Bauteils Schlupfvariable Marktwert des Unternehmens; Wert Output in StOck oder in monet~irer Gr613e Kumulierte Sttickzahl EinflussgrOl3e; Information Wertebereich yon Informationen y (Index) zahlungswirksam Koeffizienten Bewertungsfaktor im Umweltzustand 0 Korrelationskoeffiziem; modifizierter Zinssatz kleiner Wert Abweichung; Differenz; Ver~inderung Zufallszahl
Symbolverzeiehnis
/7 0 0 K
2,/~, ( K
P o" "t
O ~p o
I A
Informationssystem; Elastizit~t Umweltzustand; Information; Typ Zustandsraum Kostenelastizit~it; Opportunit~itskosten Multiplikatoren (in Lagrange-Ans~tzen); Opportunit~itskosten Opportunitfitskosten (outputbezogene Optimalkosten) Aufzinsungsfaktor (p = 1 + i) Standardabweichung Zeitindex Wahrscheinlichkeit (diskrete Verteilung) kumulierte Wahrscheinlichkeit (diskrete Verteilung) (definiertes) Risikomaf3 Ergebnisfunktion eines Entscheidungsfeldes besonderer Wert; festgele~er Wert; Wertobergrenze; Durchschnitt Wertuntergrenze kritischer Wert; optimaler Wert optimaler Wert Zufallsvariable (ggf zur Verdeutlichung)
XIX
Aufgaben zu den Kapiteln der Internen Unternehmensrechnung
Kapitel 1:
Einleitung und Uberblick
Aufgabe 1.1:
Kosteninformation fiir Auflendienstmitarbeiter aus Sicht der Entscheidungs- und Verhaltenssteuerungsfunktion
Aufgrund seiner Schwfiche f~r edle Weine wird der frischgebackene Dipl.-Kfm. Sunny Strebsam in seinem ersten Job nach dem Studium als Vertriebsbeauftragter f/dr die Gutgldubig & SOhne GmbH t~itig. Diese [agert und beftillt 5-Liter Ffisschen eines besonders edlen Bordeaux und vertreibt diesen an exklusive Grogh'findler und Restaurants. Die sowohl Sunny als auch dem inhaber Jean Gutglgiubig zunfichst unbekannte Kostenfunktion lautet K = 1.000.000 + 80- x, wobei x die Anzahl der F~sschert bezeichnet. Je Ffisschen fallen also variable Kosten von 80 C an und die fixen Kosten belaufen sich in der Planungsperiode auf 1.000.000 C. Jean Gutgtdubig hat entschieden, dass Sunny kein Festgehalt, sondem aus Anreizgesichtspunkten 4% der von ihm pro Jakr getfitigten Umsfitze als Entlohnung erh~ilt. Ftir die Planung seiner Verkaufsstrategie geht Sunny von folgenden, nur ihm bekannten, Gegebenheiten aus. Kommt es zum Geschfiftsabschluss, nehmen die Kunden durchschnittlich 100 Ffisschen ab. Der Preis pro F~isschen hfingt allerdings vonder L~inge der Verkaufsgesprfiche ab. Aufgrund diverser Ferienjobs als Sommelier und in Weinhandlungen sch~itzt Sunny, dass ein Preis von p = 500 C durchschnittlich ein 4-standiges Gespr~ch rnit dem Kunden erfordert. Bei einem Preis von p = 260 C sind dagegen nur 2 h erforderlich und bei einen Preis v o n p = 100 C sogar nur 0,5 h. Er geht femer davon aus, dass er pro Jahr neben Papierkram, Verwaltung, Messebesuchen und Fahrzeiten 200 h reine Verkaufszeit zur Verfftgung hat. Da sich Weingrol3hgndler und Restaurateure i. d. R. sehr gut kennen, muss Sunny sich allerdings definitiv ffir eine Strategie entscheiden, d. h. entweder verkauft er allen Kunden z u p = 500 C oderp = 260 Coder p = 100 t~. a) Bestimmen Sie die optimale Verkaufsstrategie aus Sicht von Sunny Strebsam. b) Mit welchen Gewinnen fur Jean Gutgldubig sind Sunnys jeweilige Verkaufsstrategien verbunden und welche Strategie w~irde er selbst vorziehen? Diskutieren Sie ihr Ergebnis vor dem Hintergrund der Entscheidungs- bzw. Verhaltenssteuerungsfunktion, wenn die oben erl~iuterten Zusammenhfinge auf dem Absatzmarkt lediglich Sunny, nicht jedoch Jean bekannt sind.
4
Obungen zur Internen Unternehmensrechnung
c) Bisher verfiigte die Gutgli~ubig & S6hne GmbH lediglich fiber eine PlanVollkostenrechnung, die yon insgesamt 10.000 hergestellten bzw. abgesetzten F~sschen ausging. W a s w ~ e die Folge einer Zusatzvereinbarung, die es Surely untersagt, die daraus resultierenden Vollkosten beim Absatzpreis zu unterschreiten? d) Chef-Controller R. Edlich hat Jean GutglSubig endlich fiberzeugt, eine Grenzplankostenrechnung einzuffihren, wclche die oben genannten relevanten Kosten yon 80 C auch zutreffend ennittelt. Er fiberzeugt seinen Chef, dass dies die relevanten Grenzkosten seien, welche man Sunny als Preisuntergrenze vorgeben sollre. Was wfire die Folge dieser Vorgehensweise?
Musterl6sung Teilaufgabe a) Aus Sicht von Sunny ist entscheidend, dass die Anzahl der mOglichen Abschltisse v o n d e r L~inge der Verkaufsgespr~iche abh~ingt. Somit ergibt sich: •
Strategie 1: p = 500 C --~ 200 h / 4 h je Gespr~ich = 50 Kunden ---~x = 50. 100 = 5.000 F~isschen, Umsatz = p . x = 500. 5.000 = 2.500.000 C, Provision yon Sunny: 4% des Umsatzes = 100.000 6.
•
Strategie 2: p = 260 C - ~ 200 h / 2 h j e Gespr~ich = 100 Kunden ---~x = 100- 100 = 10.000 F~isschen, Umsatz = p . x = 260. 10.000 = 2.600.000 g, Provision von Sunny: 4% des Umsatzes = 104.000 C.
•
Strategie 3: p = 100 g ---> 200 h / 0,5 h j e Gesprfich = 400 Kunden ---~x = 400. 100 = 40.000 F~tsschen, Umsatz = p . x = 1 0 0 . 4 0 . 0 0 0 = 4.000.000 6, Provision von ,Sunny 4% des Umsatzes = 160.000 t~.
Hier nimmt mit sinkendem Preis der Umsatz und daher Sunnys Provision zu, er wfirde daher eindeutig fiir Strategie 3 optieren!
Teilaufgabe b) FUr Jean GutgMubig w~iren die einzelnen Strategien mit folgenden Periodenerfolgen ( p - k). x - K F - Prov. verknt~pft: •
Strategie 1: 2 . 5 0 0 . 0 0 0 - 8 0 . ( 5 0 . 1 0 0 ) - 1 . 0 0 0 . 0 0 0 - 1 0 0 . 0 0 0 = 1 . 0 0 0 . 0 0 0 g
•
Strategie 2: 2 . 6 0 0 . 0 0 0 - 8 0 . ( 1 0 0 . 1 0 0 ) - 1 . 0 0 0 . 0 0 0 - 1 0 4 . 0 0 0 = 6 9 6 . 0 0 0 C
•
Strategie 3 : 4 . 0 0 0 . 0 0 0 - 8 0 . ( 4 0 0 . 1 0 0 ) - 1 . 0 0 0 . 0 0 0 - 1 6 0 . 0 0 0 = - 3 6 0 . 0 0 0 6
Die Ffir Sunny optimale Strategie wfire ffir Jean Gutglciubig mit erheblichen Verlusten verbunden! A n diesem Beispiel l~isst sich der Unterschied zwischen Entscheidungsfunktion einerseits und Verhaltenssteuerungsfunktion andererseits gut verdeutlichen. Die Entscheidungsfunktion abstrahiert von Interessenkonflikten und Informationsproblemen zwischen den einzelnen Beteiligten einer U n t e m e h m u n g (bier Gut-
Kapitel 1 : Einleitung trod Oberblick
5
gldubig und Sunny), vielmehr fasst sie die Untemehmung als eine zielgerichtet handelnde Einheit auf. Hinsichtlich ,gunny warde dies bspw. implizieren, dass er sich stets im Interesse des Eigners verhglt, obwohl er durch Verkaufsstrategie 1 seine Entlohnung minimieren warde. Ferner k6nnte die den Erfolg der Untemehmung maximierende Strategie 1 implementiert werden, wenn Gutglgiubig ~iber dieselben In./brmationen hinsichtlich des Absatzmarktes verf'tigt wie Sunny. Trotz des nach wie vor bestehenden Interessenkonfliktes hinsichtlich der Verkaufsstrategien w~ire es ihm dann n~nlich m6glich, Sunny den Preis 500 C vorzugeben, wodurch das Ergebnis von Strategie 1 implementiert warde. Dies verdeutlicht auch, dass die in der Verhaltenssteuerungsfunktion analysierten Probleme nut d a n bestehen, welm Interessenkonflikte und asymmetrische Information gleichzeitig vorliegen. Dass davon in der Realit~it auszugehen ist, zeigt schon das Beispiel, da die der Entscheidungsfunktion implizit zugrunde liegenden engen Informationsannahmen nur gul3erst selten erfair sein d~irften. So ist damit zu rechnen, dass Gutgl~iubig Sunnyja gerade deshalb anstellt, well er sich dessen t~berlegenes Wissen fiber den Markt fttr Spitzenweine zunutze machen will. Verf(igt er tats~tchlich t~ber keinerlei relevante Infonnationen hinsichtlich der Marktgegebenheiten und der Kostensituation, wfire er Sunny ,,quasi ausgeliefert" und seine Rolle warde sich darauf beschr~nken, am Jahresende den auftretenden Verlust zur Kenntnis zu nehmen. Dies gitt deshalb, well er hie in der Lage w~re, zu beurteilen, was m6glich gewesen w~e, wenn sich Sunny in seinem Sinn verhalten h~tte. Die bewusst t~berzeichnete Entwicklung eines Gewinnes von 1.000.000 C ohne Informationsprobleme sowie eines Verlustes von -360.000 C mit Informationsproblemen soil dabei die hohe Bedeutung unterstreichen, die Problemen der Verhaltenssteuerung in der Realitfit zukommen dttrfte, f21berspitzt formuliert zeigt das Beispiel, dass die in der Unternehmung von Gutglaubig prinzipiell vorhandenen Erfolgspotentiale erst dann realisiert wcrden k61men, wenn es ihm gelingt, die aus seiner Beziehung zu Sunny resultierenden Anreiz- und Informationsprobleme in den Griff zu bekommen. Eine offensichtlichc L6sung bestande darin, Sunny fiber ein ProfitSharing am Untemehmensgewirm zu beteiligen und nicht auf Basis der Ums~itze zu entlohnen. Dies setzt allerdings voraus, dass die vorhandenen Anreizaspekte aberhaupt problematisiert werden, was innerhalb der Entscheidungsfunktion ex definitione unm6glich ist, da dort von ihnen abstrahiert wird. Wie Teilaufgabe c)-d) zeigen, k6nnen die dutch die Kosten- und Leistungsrechnung generierten Informationen aus Sicht der Verhaltenssteuerung als ein spezifisches Instrument zur L6sung dieser Probleme interpretiert werden.
Teilaufgabe c) Bei Strategie 2 ergeben sich Vollkosten (ohne Provisionskosten) in H6he von K = 1.000.000 + 80.10.000 = 1.800.000, was Sttick-Vollkosten von 180 C- entspricht. Werden diese (aber bspw. auch Vollkosten yon 190 (~, 160 C, 120 (~, etc.) Sunny als Preisuntergrenze vorgegeben, kann er die von ihm pr~iferierte Strategie 3 nicht mehr
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Obungen zur InternenUntemelmlensrechnung
verfolgen und wird sich daher fftr Strategie 2 entscheiden. Die eigentlich optimale Strategie 1 wird dadurch zwar verfehlt, jedoch wird zumindest der mit Strategie 3 verbundene Verlust vermieden. Insofern kalm die Vorgabe einer Preisuntergrenze in H0he der Stfmk-Vollkostcn als ein spezifisches Instrument verstanden werden, um das im Beispiel anatysicrte Anreiz- und In~brmationsproblem abzumildem. Problematisch ist hieran allerdings die starke SituationsabhEingigkeit des Ergebnisses, denn es w~ire ott~nsichtlich noch besser, Sunny eine Preisgrenze > 200 (~ vorzugeben, da dieser darm die Gewiml maximierende Strategie 1 w~hlen w~irde. Umgekehrt k6nnte die Zurechnung von Vollkosten jedoch auch vollkommen wirkungslos bleiben. Geht Gutgl~iubig etwa optimistisch von 50.000 abgesetzten F~schen aus, w~en die St/ick-Vollkosten K / x = (1.000.000 + 80.50.000) / 50.000 = 100 und Sunny k0nnte nach wie vor Strategie 3 verfolgen. Ferner lassen sich leicht Beispiele konstruieren, in denen der Eigner einen mittleren Preis vorzieht, die Vorgabe yon Vollkosten als Preisuntergrenzen den Vertrieb aber zu einer eher unvorteilhaften Hochpreisstrategie veranlasst, usw.. Forschungen im Rahmen der Verhaltenssteuerung sind beim derzeitigen Stand demnach in der Lage, Situationen zu identifizieren, in denen die Vorgabe yon Vollkosten als Preisuntergrenzen sinnvoll ist. Jedoch fehlt diesen Ergebnissen die Robustheit, welche etwa das Konzept entscheidungsrelevanter (Teil-) Kosten im Rahmen der Entscheidungsfunktion aufweist.
Teilaufgabe d) Die von Redlichs GPKR ermittelten Kosten von k = 80 stellen aus Sicht der Entscheidungsfunktion zweifellos die relevanten Kosten dar. Bspw. sollte ein (yon Sunnys Vertriebsanstrengungen unabh~ngiger) Zusatzauftrag, der direkt an Gutgl~ubig gerichtet ist, dama angenommen (abgelehnt) werden, wenn ffir den Preis pro F~isschen p > (<) 80 C gilt. Die Vorgabe dieser GrOBe als Preisgrenze w~re allerdings fatal, denn dann w~rde Surrey wiederum Strategie 3 w~hlen. Man beachte, dass sich der Informationsstand yon Sunny verfeinert hat. Neben der Vollkosteninformation 180 C verffigt er jetzt zusfitzlich noch fiber die Teilkosteninfomaation 80 C. Jedoch ist es gerade die Zusatzinformation 80 C, die es ihm erm6glicht, Gutgl~iubigs Position gegenfiber Teilaufgabe c) emeut dutch die Wahl von Verkaufsstrategie 3 auszubeuten. Ein solches Ergebnis kann in der Entscheidungsrechnung nie auftreten. Generiert eine Kostenrechnnng neben relevanten Teilkosten auch noch (kostenlose) Vollkosteninformationen, kann sich das nie nachteilig auswirken. Kurzfristige Entscheidungsprobleme w~rde man nach wie vor mit der Te]lkostenreetmung l~Ssen, die Vollkosteninformationen schaffen jedoch zusfitzliche M6glichkeiten etwa im HinNick auf verbesserte Bestandsbewertung yon Halb- und Fertigerzeugnissen, Teilnahme an 6ffentlichen Ausschreibnngen oder tangfristige Preisuntergrenzen, etc. Diese dutch kostenlose Zusatzinformationen erzeugten zusfitzlichen Handlungsm6glichkeiten k6nnen sich im Gegensatz zu Verhaltenssteuerang FUr einen einzelnen Entscheider jedoch nie naehteilig auswirken, da er ja nicht gezwungen ist, diese Aktionen auch durchzufi~hren. Er wird dies vielmehr nur tun, wenn dies mit Vorteilen fur ihn verbtmden ist.
Kapitel 1: Einleimngund l)berblick
Aufgabe 1.2:
Kosteninformationen aus der Sicht der Entscheidungs- und Verhaltenssteuerungsfunktion
Joe Erich, der Disponent der Trans Tours Sped#ion, ist Rtr die Einteilung von insgesaint 200.000 tkm Transportleistung verantwortlich. Die bisherige Auslastmlg seiner LKW ist schlecht und liegt bei 50 %. Da Erich anhand dieser GrN3e beurteilt wird, ist er an der Akquisition zus~itzlicher Auftr~ige interessiert. Sein Kollege R. Drei entscheidet t~ber die Auftragsannahme, wobei er von folgender Datensituation ausgeht: Die Periodenfixkosten der LKW betragen 1.000.000, variable Kosten von 7 fallenje tl~n an. Der durchschnittliche Erl6s je tkrn liegt bei 12. Erich steht in Verhandlung mit einem intemationalen Konzern, der aufgrund einer Spitzennachfrage kurzfristig 50.000 tkm zu einem Preis von 10 je tkm zukaufen m6chte. a) Ist die Annahme des Auftrages aus Untemehrnenssicht vorteilhaft? b) Die Leistung von R. Drei wird anhand des bl) durchschnittlichen Erl6ses b2) der durchschnittlichen vollen Kosten b3) des durchschnittlichen Deckungsbeitrages je tkm beurteilt. Wie lautet seine Entscheidung?
Musterl6sung: TeiIaufgabe a) Die A~mahme des Auftrages ist aus Gesamtuntemehmenssicht vorteilhaft, da in einer Situation der Umerbeschfiftigung zusgtzlicher Deckungsbeitrag erwirtschaftet wird. Teilaufgabe b)
bO Auftrag wird abgelehnt, da die Beurteilungsgr6Be verschlechtert wird: • durchschnittlicher Erl6s vor Auftragsannahme: 12 • durchschnittlicher Erl6s nach Auftragsannahme: 11,33 b2) Auftrag wird angenommen, da Beurteilungsgr/Sge verbessert wird: • durchschnittliche Kosten vor Auftragsannahme: 17 • durchschni~tliche Kosten nach Auftragsarmahme: 13,67
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13bungen zur Intemen Untemehrnensrechnung
b3) Auftrag wird abgelehnt, da Beurteilungsgr613e verschlechtert wird: • durchsclmittlicher Deckungsbeitrag vor Auftragsannahme: 5 • durchschnittlicher Deckungsbeitrag nach Auftragsannahme: 4,33
Aufgabc 1 . 3 :
Risikoeinstellung und Entseheidung
Die Spedition Joe Dujer in Schienendorf bei Graz steht vor einem grofAen Problem. Es steht Nr die betrachtete Periode nur mehr ein I,KW zur Disposition zur Verf'tigung, es sind allerdings zwei Auftragsanfragen vorhanden: Auftrag 1 : Transport A/Jr die Altwanderer AG Graz - Bukarest, wobei auch eine Fracht f~ir die Rtickfahrt garantiert wird. Bei I~lbemahme dieses Auftrages erzielt Joe einen Erl6s in H6he yon 175.000, Kosten fallen in H6he von 80.000 an. Auftrag 2: Transport ffir die Bleikamm - Knfirztaler A G FOx die Strecke Graz - Palermo, wobei allerdings v o m Auftraggeber keine Fracht far die Rtickfahrt garantiert wird. Ist es m6glich, vor Ort in Palermo einen Auftrag zu gewinnnen (Joe erwartet dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 %), dann erzielt das Untemehmen einen Erl6s yon 300.000 bei Kosten yon 150.000. Muss der L K W die Heimreise leer antreten, erzielt Joe einen Erl6s von 150.000, bei Kosten yon 100.000. a) FUr welchen Auftrag soll sich Joe bei Risikoneutralit~t entscheiden? b) Joe ist risikoavers mit der Nutzenfunktion U(G) = , ~ - . Welcher Auftrag ist vorteilhafter?
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Auftrag Altwanderer: E(U) = 175.000 - 80.000 = 95.000 Auftrag Bleikamm-Kn~rztaler: E(U) = 0,5 • (300.000 - 150.000) + 0,5 • (150.000 - 100.000) = 100.000 Die Annahme des Auftrages der Fim~a BIeikamm - Kniirztaler ist vorteilhafter.
Kapitel 1: Einleitung und Qberblick
Teilaufgabe b) Auftrag Altwanderer: E(U) = 175.000- 80.000 = ~
= 308,22
Auftrag Bleikamm-Kntirztaler: E(C0 = 0,5. ,/150.000 + 0,5. ~
= 305,45
Die A n n a h m e des Auftrages der Firma Altwanderer ist vorteilhaft.
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Kapitel 2:
Die Kosten- und Leistungsrechnung als Entscheidungsrechnung
Aufgabe 2.1:
Kostenkonzeption I, Aktionsraum und das Konzept der starren/flexiblen Planung
Die neu gegrfindete Multi-Media OHG (M&M) montiert einen speziellen Typ von Power-PC. S~mtliche Einzelteile werden fremd bezogen, und die M&M nimmt nur noch die Endmontage vor. f]ber die Nachfrage der ntichsten beiden Perioden herrscht jedoch Unsicherheit. Ftir eine gute Nachfragesituation hat die Marketingabteilung eine PreisAbsatzfunktion (PAF) yon p = 16. 0 0 0 - 1 5 - x ermittelt. Bei schlechter Absatzlage laute die PAF p = 10. 000 - 15. x. Ferner geht die Marketingabteilung von folgenden Wahrscheinlichkeiten ftir die Nachfrageentwieklung aus:
1. Periode Gut 0,6
1. Periode Schlecht 0,4
2. Periode Gut, falls erste Periode Gut 0,95
2. Periode Gut, Palls erste Periode Schlecht 0,2
Die Kostenfunktion der voll auszahlungswirksamen Kosten lautet in jeder Periode: 1.000.000 + 1000.x. Die Fixkosten sind die Mietkosten far eine Werkhalle, die nur angemietet wird, wenn tatsfichlich produziert wird. Zu entseheiden ist fiber die Beschaffungsstrategien hinsichtlich der Montagemaschine. Zu Beginn jeder Periode kann entweder eine kleine oder eine groBe Maschine gekauft werden. Die grof3e Maschine hat eine Kapazit~it von 500 Sttiek je Periode. Die kleine Maschine hat eine Kapazit~it von 300 Stfick je Periode. Die grol3e Maschine kostet 900.000 C, die kleine Maschine kostet 310.000 C. Erworbene Maschinen sind sofort zu bezahlen. Alle Zahlungen aus der Produktion fallen zum jeweiligen Periodenende an, Investitionsauszahlungen dagegen zu Beginn der Periode. Wird zu Beginn der ersten Periode nicht investiert, ist der Markt verloren, da bei Nichtabnatune einer Maschine zu Begilm yon t = 1 mit dem sicheren Konkurs des Maschinenherstellers zu rechnen ist. Der Kalkulationszinsfuf3 sei i = 0,1. a) Stellen Sie den Zustandsbaum des Problems dar und bestimmen Sie die zustandsabhgaagigen optimalen Mengen trod (voll zahlungswirksamen) Gewinne! b) Zfihlen Sie die grundsfitzlich m6glichen Handlungsstrategien der M&M auf (Aktionsraum)! Versuchen Sie anschliegend so viele Strategien wie m6glich zu elimi-
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Obungen zur Internen Untemehmensreclmung
nieren! Gehen Sie bei der Elimination von Strategien davon aus, dass die M&M sich ausschliel31ich an finanziellen Zielen orientiert und h~3here Zahlungsiiberschtisse niedrigeren vorzieht. (Hinweis: Argumentieren Sie bei der Eliminierung mit 0konomischen Plausibilitfitstiberlegungen, konkrete Vergleichsrechnungen sind nicht verlangt)! c) Ftir welehe Strategie entscheidet sich die M&M, wenn sie nach dem Prinzip der starren Planung vorgeht und den erwarteten Kapitalwert maximieren mOchte? d) F ~ welche Strategie optiert die M&M, werm sie bei gleicher Zielfunktion wie unter Teilaufgabe c) flexibel plant ? e) Worin besteht der Unterschied zwischen starrer und flexibler Planung? Argumentieren sie entscheidungstheoretisch! Welche Relation gilt zwischen der Zielerreichung bei starrer und flexibler Planung, wenn I) von Planungskosten abstrahiert wird, II) die Planungskosten mit dem Detaillierungsgrad der Planung steigen?
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Ftir das Planungsproblem der M&M lfisst sich folgender Zustandsbaum aufstellen: /
@
0,57
/
0,95 /
0,6.~
t=l
0,05
t=2
~
~
"
)
0,03 t=2
t=O O, 2 ~ _ _ ~ ~
0,4
@
0,08
t=2 t=l 0,8 0,32 t=2
Kapitel 2: Die Kosten- und Leistungsrechnung als Entscheidungsrectmung
13
Die Wahrscheinlichkeiten an den Endknoten geben die ex ante Wahrscheinlichkeiten t'lir die vier mBglichen Nachfrageentwicklungen in der Planungsperiode an. •
Maximaler Gewinn ohne Kapazit~tsproblem, gute Nachfragesituation:
Max G = (16.000 - 15. x). x - 1.000.000 - 1.000. x X
dG dx
- 15.000- 3 0 . x = 0
x = 500--~ G*(500) = 2.750.000 •
Maximaler Gewinn ohne Kapazit~itsproblem, schlechte Nachti'agesituation:
Max G = (10.000 - 15. x). x - 1.000.000 - 1.000 • x X
dG dx
- 9.000-30.x = 0
x = 300 ~ G*(300) = 350.000 •
Gewinn, gute Nachfragesituation, aber nur 300 Einheiten herstellbar, da nur kleine Maschine vorhanden: G* (300) = (16.000-15.300).300-1.000.000-1.000.300 = 2.150.000
In jeder Situation wird entweder dfe gewinnmaximale Menge oder an der Kapazit/itsgrenze produziert.
Teilaufgabe b) Seien Investitionsentscheidungen zum Zeitpunkt t m i t at (t = 1,2) bezeichnet. Dabei bezeichnet G den Kauf der grogen Maschine und k den Kauf der kleinen Maschine, 0 bezeichnet Nichtstun. Ferner steht der Untemehmung prinzipiell die M/3glichkeit often, je nach beobachteter Nachfragesituation in der ersten Periode eine unterschiedliche Folgeentscheidung ftir die zweite Periode zu treffen. M0gliche Strategien k0nnen also durch folgendes Tripel abschlieBend beschrieben werden: (a~; a2 I Gut; az I Schlecht) Prinzipiell stehen der M&M somit 19 Strategien zur Verft~gung. Sie sind in der folgenden Tabelle angegeben:
(0,0,0)
(G, k, k)
(k, 0, 0)*
(k, k, 0)*
(G, 0,0)*
(G,k, 0)
(k,G, 0)
(k, 0, k)*
(G, 0, G)
(G, 0, k)
(k, 0, G ) ( k ,
(G,G, 0)
(G,G,k)
(k,G,G)
(G,G,G)
(G,k,G)
(k,k,k)*
G, k)
(k,k,G)
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Ubungen zur Intemen Unternehmensrechnung
Folgende Alternativen kSnnen jedoch aufgrund von 6konomischen Plausibilitfitsfiberlegungen ausgeschieden werden. Man beachte in diesem Zusammenhmag jedoch, dass das Eliminieren von Strategien bereits an dieser Stelle schon konkrete Annahmen fiber das Pr~ferenzsystem der M&M hinsichtlich Arten- (nur finanzielle) und HOhenprgferenz (hShere Zahlungsfiberscht~sse besser als niedrige) erforderlich macht. Alle Altemativen mit mehr als einem G k6nnen eliminiert werden, derm mit der groBen Maschine kann die h6chstm6gliche, gewi~mmmximale Menge von x = 500 bereits hergestellt werden. Der Kauf zusfitzticher grol3er Maschinen wfirde 0berkapazit~iten schaffen, die Erl6sseite nicht ver~indem, aber zus~itzliche Investitionsauszahlungen verursachen. Dies kann nicht sirmvoll sein. Aus demselben Grund k6nnen alte Altemativen ausgeschieden werden, die Erweitermlgsinvestitionen um kleine Maschinen vorsehen, wenn in der ersten Periode bereits die grol3e Maschine gekauft wurde. Die obigen (2berlegungen lassen alle Alternativen abrig, bei denen zu Beginn die kleine Maschine gekauft wird. Jedoch k(3nnen dort alle Altemativen ausgeschieden werden, bei denen in der zweiten Periode eine groBe Maschine beschafft wird. Zwei kleine Maschinen reichen zur Deckung der gewinmnaximalen Nachfrage von x = 500 in der zweiten Periode aus, und die groBe Maschine verursacht h6here Investitionsauszahlungen. Alle Alternativen mit a2 = G werden daher von Altemativen mit a2 = k streng dominiert. Wie die weitere L6sung zeigen wird, fahren alle nicht ausgeschiedenen Strategien zu positiven Gewinnerwartungswerten, deshalb kann auch die Unterlassensaltemative ausgeschieden werden. Es verbleiben die mit ,,*" gekennzeichneten Strategien.
Teilaufgabe c) Grunds~ttzlich stehen far die L6sung des Planungsproblems verschiedene Verfahren zur Verffigung. Eine M6glichkeit ist die Vollenumeration. Far jede nicht unter Teilaufgabe b) vorab ausgeschiedene Strategie wird der Erwartungswert des Kapitalwertes mit Hilfe der ex ante Wahrscheinlichkeiten tar die vier Nachfrageentwicklungen berechnet, und die Entscheidung f~tllt zugmasten der Strategie mit dem h6chsten erwarteten Kapitalwert. Weitere L6sungsm6glichkeiten sind das auf dem Zustandsbaum basierende ,,Entscheidungsbaumverfahren" sowie die Anwendung der ,,linearen Programmierung". Da hier nur fanf Alternativen zu berticksichtigen sind, wird das Verfahren der Vollenumeration verwendet. Das Konzept der starren Planung berficksichtigt keine bedingten Handlungsstrategien, d.h. solche, bei denen sich das zweite und dritte Element des Tripels unterscheiden. Zum Beispiel: Kauf einer weiteren Maschine, werm Nachfrage in t = 1 gut, kein Kauf bei schlechter Nachfrage in t = 1 (k, k, 0). Bei starrer Planung der M&M sind also die drei Strategien (G, 0, 0), (k, 0, 0) sowie (k, k, k) zu bert~cksichtigen:
Kapitel 2: Die Kosten- und Leistungsreclmungals Entscheidungsrechnung
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Bezfiglich der Nachfrageentwicklung werden die F~ille (Gut, Gut), (Gut, Schlecht), (Schlecht, Gut), (Schlecht, Schlecht) nacheinander in den Zeilen der Tabellen analysiert. Strategie (G, 0, 0): I ZUI/I,1 ZO2/1,21 KW -900.000 2.500.000 2.272.727,27, 3.872.727,27 -900.000 2.500.000 289.256,198 1.889.256,2 -900.000 318.181,818 2.272.727,27 1.690.909,09 -900.000 318.181,818 289.256,198 -292.561,983
zO,
zO~
0,57 2.750.000 2.750.000 0,03 2.750.000 350.000 0,08 350.000 2.750.000 0,32 350.000 350.000
Der erwartete Kapitalwert dieser Strategie ist E(KW[ G, 0, 0) = 2.305.785,12. Strategie (k, O, 0):
I -310.000 -310.000 -310.000 -310.000
ZOj/1,1 1.954.545,45 1.954.545,45 318.181,818 318.181,818
Z02/1,21 1.776.859,5 289.256,198 1.776.859,5 289.256,198
KW 3.421.404,96 1.933.801,65 1.785.041,32 297.438,017
0,57 0,03 0,08 0,32
zO,
z02
2.150.000 2.150.000 350.000 350.000
2.150.000 350.000 2.150.000 350.000
Der erwartete Kapitaiwert dieser Strategie ist E(KW] k, 0, 0) = 2.246.198,35. Strate~ie (k, k, k):
I Z01/1,1 Z02/1,21 KW -310.000 1.672.727,27 2.272.727,27 3.635.454,55 -310.000 1.672.727,27 289.256,198 1.651.983,47 -310.000 36.363,64 2.272.727,27 1.999.090,91 -310.000 36.363,64 289.256,198 15.619,83
zo, 0,57 0,03 0,08 0,32
zo~
1.840.000 2.750.000 1.840.000 350.000 40.000 2.750.000 40.000 350.000
Der erwartete Kapitalwert dieser Strategie ist E(KW l k, k, k) = 2.286.694,21. Bei starrer Planung entscheidet sich die M&M also far die Strategie (G, 0, 0), d.h. den Kauf der grogen Maschine zu Beginn des Planungshorizontes. Bei dieser Strategie f~illt auf, dass man nach ihrer Wahl der Zukunft quasi ,,ausgeliefert" ist. Ist die Investitionsentscheidung gefallen, besteht keinerlei M6glichkeit mehr, den verbesserten Informationsstand beztiglich der Nachfrage in t = 2 zu Beginn der Periode 2 auszunutzen.
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Obungen zur lnternen Unternehmensrechnung
Teilaufgabe d) Derflexible Plan beriicksichtigt neben den Altemativen des starren Planes zus~itzlich die M6glichkeit bedingter Handlungsstrategien. Die M&M ist ja nicht gezwungen, durch die Strategie (G, 0, 0,) die Investitionspolitik irreversibel festzulegen. Vielmehr kann man ztm~tchst eine kleine Maschine kaufen, urn sich dann, abh~ingig von der eingetretenen Nachfragesituation in t = 1, far oder gegen eine Erweiterungsinvestition zu entscheiden. Diese Entscheidung karm dann auf Basis des verbesserten Informationsstandes zu Beginn der Periode 2 erfolgen. Dieses ,,Anpassungspotential" hat freilich seinen Preis, denn es kann der Fall auftreten, dass bei guter Nachfrage in t = 1 die gewinmnaximale Menge aus Kapazit~itsgrtinden nicht hergestellt werden kann. Die flexible Planung macht diesen Tradeoff zwischen u. U. nicht nutzbaren Chancen mad dern Vorteil, zuktinftige Entscheidungen auf Basis eines verbesserten Informationsstandes treffen zu k~innen, transparent. Keinesfalls kann also gefolgert werden, dass Entscheidungen m6glichst welt in die Zukunft versehoben werden soilten. Beispielsweise kann durchaus der Fall auftreten, dass im Rahmen eines flexiblen Planungsansatzes letztlich eine starre Alternative gewNalt wird. Dies w ~ e im Beispiel tendenziell um so eher der Fall, je geringer die Kapazitgt der kleinen Maschine im Vergleich zur groi3en Maschine ist oder je geringer die Preisdifferenz der beiden Maschinen ist.
Strategie (k, k, 0): I
ZOj/1,1
¢
ZOI
Z02
1840000
2750000
289.256,198 1.651.983,47
0,57 0,03
1840000
350000
1.776.859,5 1.785.041,32
0,08
350000
2150000
289.256,198 297.438,017
0,32
350000
350000
ZO2/1,21
KW
-310.000
1.672.727,27 2.272.727,27 3.635.454,55
-310.000
1.672.727,27
-310.000
318.181,818
-310.000
318.181,818
Der erwartete Kapitalwert dieser Strategie ist E(KW I k, k, 0) = 2.359.752,07.
Strate~ie (k, 0, k): ¢
zo,
zo2
1.776.859,5 3.421.404,96 289.256,198 1.933.801,65
0,57 0,03
2.150.000
2.150.000
2.150.000
350.000
36.363,64
2.272.727,27 1.999.090,91
0,08
40.000
2.750.000
36.363,64
289.256,198
0,32
40.000
350.000
[
ZOl /1,1
-310.000 -310.000
1.954.545,45 1.954.545,45
-310.000 -310.000
Z02/1,21
KW
15.619,83
Der erwartete Kapitalwert dieser Strategie ist E(KW I k, 0, k) = 2.173.140,5.
Kapitel 2: Die Kosten-und Leistungsreclmungals Entseheidungsrectmung
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Die optimale Strategie besteht also darin, zun~chst eine kleine Maschine zu kaufen und bei guter Nachfrageentwicklung in t - 1 eine weitere kleine Maschine anzuschaffen. Ist die Nachfrageentwieklung dagegen schlecht, wird auf die Erweiterungsinvestition verzichtet. Man sagt, dass diese Alternative eine gr613ere ,, ElastizitOt" als die starre Alternative aufweist, da die M6glichkeit besteht, in der Zukunfl eine optimale Anpassungsentscheidung zu treffen. Gegenaber der optimalen Alternative des starren Planes betrfigt die Differenz der erwarteten Kapitalwerte: A E ( K W ) = E ( K W I k, k ,0 ) - E ( K W [ G, 0, 0) = 53.966,21
Teilau£g, abe e)
Wird yon Planungskosten abstrahiert und bezeichnet Z die Zielerreichung und A den Aktionsraum, dann gilt offcnsichtlich immer: Z flex >_Z sta'~ , da A start c A flex
D.h. die Zielerreichung des flexiblen Planes entsprieht mindestens der Zielerreichung des starren Planes. Dies tiegt daran, dass der Aktionsraum des starren Planes eine Teilmenge des Aktionsraumes des flexiblen Planes ist. Kostenlos (Planungskosten = 0) zur Verffigung stehende zus~itzliche Aktionsm6gliehkeiten k6nnen sich aber nie nachteilig auf die Zielerreiehung auswirken. Entweder ist mit einer flexiblen Aktion, wie im Beispiel, tats~chlich eine h6here Zielerreichung verknfipff, dann sollte man sich far diese entscheiden und es gilt Z ll~x > Z ...... , oder aber die Analyse zeigt, dass tats~iehlich eine starre Aktion gew~hlt werden sollte, dann gilt Z ~ex = Z ..... . Allerdings sollte deutlich geworden sein, dass die Reinform der flexiblen Planung letztlich die Aufstellung yon Eventualpl~inen f't~rjede m6glich gehaltene Umweltentwicklung beinhaltet. Man hat gesagt, dass der Versuch einer vollstfindigen Erfassung des Zustands- und Aktionsraumes eines realistischen Planungsproblems dazu ffihren wfirde, dass ,,nur noch geplant und nichts mehr produziert wird". Deshalb haben sich eine ganze Reihe von Mischformen zwischen starrer und flexibler Planung entwickelt. In der Realit~tt sind Planungsrechnungen femer mit Kosten verbunden, die i. d. R. mit dem Umfang der Planung ansteigen. In diesem Fall sind keine Aussagen tiber die Vorteilhaftigkeit der flexiblen Planung mehr m~iglich. Es ist im Einzelfall zu entscheiden, ob die potentiellen Vorteile einer detaillierteren Planung die zusfitzlichen Planungskosten aufwicgen. Nimmt man ~ das konkrcte Beispiel vereinfachend an, dass die Kosten der starren Planung X betragen, dfirfen die znsfitzlichen Planungskosten K(P flex) des flexiblen Planes die Differenz der erwarteten Kapitalwcrte (53.966,21) nicht fibersteigen. Letztlich stellt sich hier aber wieder das Problem des optimalen Komplexionsgrades der Planung. Um einen starren mit einem flexiblen Plan zu vergleichen, mfissen n~imlich beide Plfine aufgestellt und durchgerechnet werden. Dann aber sind die entsprechenden Planungskosten bereits angefallen und
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l)bungen zur IntemenUnternehmensrechnung
man weir3 erst ex post, ob die detailliertere Planung unter Berficksichtigung yon Planungskosten 6konomisch vorteilhaft war.
Aufgabe 2.2:
Pagatorisehe und wertm~il~ige Kosten
Eine Untemehmung fertigt zwei Produkte mit den noch zu bestimmenden Mengen xl und x2. Die Preis-Absatz-Funktionen dcr beiden Produkte Pi (xj), i = 1,2 lauten:
pl(xl) = 2. 100 - 1 0 . x 1,'p2 (x2) = 1.050 - 20 .x 2 Lagerhalmng wird zur Vereinfachung ausgeschlossen. Die pagatorischen, variablen Kosten pro Stack sind voll zahlungswirksam und betragen k~ = 100 C/Sttick xl und k2 = 50 C/Stiick x¢. Fiir die Produktion von xj und x: wird ein bestimmter Rohstoffben6tigt, von dem in der Planungsperiode 2.000 kg zur Verftigung stehen. Eine Einheit (EtI) xl benOtigt 4 kg des Rohstoffes, eine Einheit x2 ben6tigt 16 kg des Rohstoffes. Beide Produkte werden auf einer Maschine bearbeitet, die in der Planungsperiode 720 h zur Verftigung steht. Eine EH xl benOtigt 10 h Bearbeitungszeit auf der Maschine, eine Einheit x2 benOtigt 5 h. Fixe Periodenauszahlungen fallen nicht an. a) Wie lautet das optimale Produktionsprogramm, wenn die Untemehmung keinerlei Restriktionen bezt~glich des Rohstoffes und der Maschine beachten m~isste? Welche Mengen xl, x: werden gefertigt und wie hoch ist der maximale Periodenerfolg G*? b) Wieviel Einheiten des Rohstoffes bzw. Maschinenstunden m(issen zur Ver~gung stehen, damit das obige Programm realisiert werden kann? c) Emlitteln Sie mit Itilfe des Lagrange-Verfahrens das optimale Produktionsprogramm unter Beracksichtigung der Restriktionen! Interpretieren Sie den erhaltenen Weft 2" 6konomisch! d) Bestimmen Sie das optimale Produktionsprogramm unter Verwendung yon wertmafligen Kosten! Erl~utern Sie anschliegend das Hauptproblem des Konzeptes der wertm~iBigen Kosten ffir ein solches Planungsproblem (Ermittlung der optimalen x~ *, x2 *)! e) Ein Leasinguntemehmen schickt ein Angebot fiber eine zum vorhandenen Aggregat technisch identische Maschine mit einer Kapazitfit von 405 h je Planungsperiode. Wie hoch darf die Leasingrate maximal sein, damit sich der Einsatz der zusfitzlichen Maschine lohnt?
Kapitel 2: Die Kosten- und Leistungsrechnung als Entscheidungsrechnung
19
Musterl~isung:
Teilaufgabe a) Das Planungsproblem ohne Restriktionen lautet:
MaxG= p(x,).x 1 + p ( x 2 ) . x 2 - k l . X l - k z . x 2 xlxz
= ( 2 . 1 0 0 - 1 0 . x l ) . x 1 + (1.050-20.Xz).X 2 - 1 0 0 - x 1 - 5 0 . x 2 OG
Oxl OG Ox2
- 2.000-20-x 1=0 - 1.000-40.x 2 =0
--+ X1 = 100; X; = 25; G* (100, 2 5 ) = 112.500
Teilaufgabe b) Um dieses Programm zu realisieren, mfissen die beiden potentiellen Engp~isse mit folgenden Kapazitfiten zur V e r ~ g u n g stehen: 4.x~ + 1 6 . x ~ = 800 k g < 2 . 0 0 0 kg 10.x~+5.x~ =1125h>720h Der Rohstoff ist nicht knapp, die Maschine ist knapp.
Teilaufgabe c) Bezieht man die knappe Kapazit~tt der Maschine in den Optimierungskalkt~l ein, ergibt sich folgender Lagrange-Ansatz:
Max L = ( 2 . 1 0 0 - 1 0 .xl).x 1 + (1.050- 20.x2)-x 2 - 1 0 0 . x I - 5 0 . x 2
xl x2,/;
+ 2 . (720 - 1 0 . x 1 - 5 . x2) 3L
- 2 . 0 0 0 - 20. x I - 1 0 . 2 = 0
Ox 1 OL
--=l.000-40-x 2-5.2=0 Ox 2 OL --=720-10.x O2
1-5-x 2 =0
x~* = 64, x~* = 16,' 2 **= 72 --~ G** = 97.920 Der Lagrange-Multiplikator A** bezeichnet die inputbezogenen Opportunitdtskosten (Schattenpreis) der knappen Maschine. Er gibt die Erfolgsver~inderung an, die aus einer infinitesimal kleinen Ver~inderung der Maschinenkapazit~it resultieren warde.
20
I3bungen zur Internen Unternehmensrechnung
Exkurs : Formal ergibt sich dieses Resultat, wenn man folgenden Ansatz f~r eine allgemeine Kapazitdit V > 0 der Masehine 16sen wiirde." Max L = ( 2 . 1 0 0 - 1 0 . x l ) .x 1 + (1.050- 2 0 - x 2 ) . x 2 - 1 0 0 .x 1 - 5 0 - x 2 X1 X2 ,~
+ 2 - ( ~ 7 - 1 0 . x 1 - 5.x2)
** =--.4/7,.x,2, = 1
xl
45
** 8 . ( 1 . 1 2 5 - / 7 ) 45
~-~. I7,. 2
Setzt man diese optimalen x 1 bzw. x 2 in Abhdingigkeit von U in die Zielfunktion ein, so erhdilt man."
c~G 3V
8G 3x,
3x i OG 3V ~ 3V
dG dV
=0
G(x~*(ff); x;* (/7)) = 4. V. (2.250 - / 7 ) 45
3G 3/7
8.(1125-V) 45
2
**
Der f~ir komparativ-statische Analysen wichtige Zusammenhang, class sich der Effekt einer exogenen Parametererh6hung (Kapazitdi 0 aufgrund der Optimalitditseigenschqft der x i ausschliefilich durch die direkte Ableitung naeh diesem Parameter ausdrticken lgisst, wird als ,, Envelopen-Theorem" bezeichnet. Teilaufgabe d) Die wertm~fiigen Kosten der beiden Produkte setzen sich aus deren pagatorischen Kosten sowie den mit den inputbezogenen Opportunitditskosten bewerteten Kapazit~itsbeanspruchungen der beiden Produkte zusammen. Man erh/~lt: k~w = 1 0 0 + 1 0 . 7 2 = 820 w
k2 = 5 0 + 5 . 7 2 = 4 1 0 In die wertmfiNgen Kosten fliel3t somit eine zutreffend ermittelte Bewertung der knappen Maschinenkapazit~tt ein und man erh~ilt das folgende unbeschrdinkte Opti-
mierungsproblem:
Kapitel 2: Die Kosten- und Leistungsrechnung als Entscheidungsreclmung
•
= p(xl).x,
21
+
XlX2
= (2.100-10. xl). x I +(1.050- 20. x2).x 2 - 8 2 0 .x 1-410 .x 2 OG = 1.280-20.x I =0 Ox1 3G 3x2
- 6 4 0 - 4 0 . x 2 =0
--> x~ = 64,' x 2 = 16 Die auf Basis der wertm~igen Kosten ermittelte L6sung entspricht genau der L6sung des Lagrange-Ansatzes bei einer Maschinenkapazitat yon 720 h. Wie gezeigt wurde, liegen sich die gewinnmaxJmalen Mengen der beiden Produkte auf Basis der wertmN3igen Kosten mittels eines einfachen, vom Entscheidungsfeld unabhdngigen, Optimierungsansatzes bestimmen. Diese scheinbare Vereinfachung fahrte dazu, dass ganze Kostenrechnungssysteme entwickelt wurden, die auf dem Konzept der wertm~igen Kosten beruhten. Beispiele sind etwa die sogenarmte ,,Grenzpreisrectmung" nach BOhm und WilIe. l Das Konzept der wertm~il3igen Kosten kann jedoch folgendem Zirkelschlussdilemma niemals entrinnen. Um die exakten werma~iBigen Kosten der beiden Produkte far eine Kapazitgt yon 720 h zu bestimmen, muss die optimale L/Ssung unter Einbezug des Entscheidungsfeldes (L6sung des Lagrange-Ansatzes unter Teilaufgabe c) ) bekmmt sein. Es macht nun wenig Sinn, zunfichst die optimale L6sung des Planungsproblems unter expliziter Berficksichtigung der Knappheit der Maschine zu ermitteln, um dann zu Kostengr6Ben zu gelangen, mit denen sich die optimale L6sung nochmals auf einfachere Weise berechnen lfisst. Die exakten wertmN3igen Kosten ergeben sich nfimlich quasi als Nebenprodukt einer bereits optimalen L6sung. Kennt man diese L6sung, werden wie auch immer geartete wertm~tBige Kosten nicht mehr ben/Stigt. Teilaufgabe e) Die zus~tzlichen 405 h erweitem die Kapazit~tt auf 1.125 h. Diese erlauben die Fertigung derjenigen Mengen, die zum unbeschr~inkten Gewinnmaximum unter Teilaufgabe a) ftihren, da die Maschinenkapazit~it dann nicht mehr knapp ist. Die Differenz der erzielbaren Gewinne betrfigt: A G = 112.500- 97.920 = 14.580 Die Leasingrate darf daher 14.580 E nicht tibersteigen.
1 Vgl. BOhm, H.-H., F. Wille: Deckungsbeitragsrechnung,Grenzpreisrechnungund Optimierung, 6. Aufl., M~inchen 1977.
22
Obungen zur InternenUntemehmensrechntmg
Aufgabe 2.3:
Vergleich von Kostenkonzeption II mit Kostenkonzeption III und das Theorem von Liicke
Die Steiroil GmbH erw~igt den Ankauf einer neuen Ktirbiskem61presse. Diese Presse weist eine jfihrliche Kapazit~it von 5.000 1 auf und kann 5 Jahre genutzt werden. Der Anschaffungspreis betrttgt 125.000,-, der Liquidationserl6s am Ende der Nutzungsdauer betr~gt 0, da die Presse spezielt ftir Steiroil entworfen wurde. Zur Produktion der 5.000 1 ben6tigt Steiroil 50.000 kg Ktirbiskeme im Wert von 75.000,-. Die variablen Lohnkosten betragen 65.000,- p.a., der Verkaufspreis je Liter betr~tgt 40,-. Der Absatzverlauf sowie die Zielein- und -verkfiufe sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: Periode Kerneinkauf
Bezahlung
Absatz
Bezahlung 4.000 1 sofort 1.000 1 aufZiel (Bezahlung in t = 3) Sofort
1
50.000 kg
Sofort
5.000 1
2
50.000 kg
30.000 kg sofort 20.000 kg auf Ziel (Bezahlung in t = 3) Sofort
4.000 1
10.000 kg sofort 40.000 kg auf Ziel (Bezahlung in t = 5) Sofort
3.000 1
3.000 1 sofort 3.000 1 aufZiel (Bezahlung in t = 5) Sofort
7.000 1
Sofort
50.000 kg
50.000 kg
50.000 kg
6.000 1
Die Abschreibung der Produktionsanlage in der Kostenrechnung erfolgt linear. Best~tnde an fertigen Produkten werden zu variablen Herstellkosten bewertet. Der Kalkulationszinssatz betrggt 10 %. a) Ermitteln Sie die Zahlungsreihe und die kalkulatorische Gewinnrcihe Rir dieses Projekt. b) Ermitteln Sie den Wert des gebundenen Verm6gens KBt am Ende jeder Periode und die Residualgewinne RGt. c) Ermitteln Sie den Kapitalwert der Zahlungsreihe sowie die Barwerte der kalkulatorischen Gewinm'eihe (aus Aufgabe 1) und der Residualgewinne.
Kapitel 2: Die Kosten- und Leisttmgsrectmungals Entscheidungsrechnung
23
Musterl6sung:
Teilaufgabe a) Zahlungsreihe des Pro ektes: Periode Einzahlungen: Barverkauf Forderungseingang Auszahlungen: Kern6lpresse L6hne Rohstoffe: Bareinkauf Tilgung Verbindlichkeit Einzahlungstiberschuss
0
1
2
160.000
160.000
65.000
4
5
120.000 40.000
120.000
280.000 120.000
65.000
65.000
65.000
65.000
75.000
45.000
75.000 30.000
15.000
75.000 60.0OO
20.000
50.000
-10.000
125.000
-125.000
40.000! 200.000
Kalkulatorische Gewinnreihe: Periode Erl6se Bestandsverfinderung Kosten: L6hne Rohstoffe Abschreibung Bestandsver~inderung Gewinn
0
1 200.000
2 160.000 28.000
65.000 75.000 25.000
65.000 75.000 25.000'
35.000
23.000
3 240.000
4 120.000 56.000
5 280.000
65.000 75.000 25.000 28.000 47.000
65.000 75.000 25.000
65.000 75.000 25.000 56.000 59.000
11.000
Teilaufgabe b) Ermittlung des gebtmdenen Verrn6gens: Periode Kem61presse
0
1
125.000
100.000
Fertige Erzeugnisse
75.000
3 50.000
28.000
Forderungen
40.000
Verbindlichkeiten KapitalbindungKBt
2
40.000
140.000
113.000
25.000 56.000
120.000
- 30.000 125.000
4
120.000 - 60.000
170.000
141.000
24
l:lbungen zur InternenUnternehmensrechnung
Ermittlung der Residualgewinne: Periode
1
0
Gewinne aus a) -
35.000
i . KBt_t
2
3
5 59.000
-12.500 -14.000 -11.300 -17.000
-14.100
22.500
9.000
47.000
4 11.000
Residualgewinn RGt
23.000
35.700
-6.000
44.900
Teilaufgabe c) * Kapitalwert der Zahlungsreihe: 78.495,79 * Barwert der Gewinne: 130.285,75 * Barwert der Residualgewirme: 78.495,79
A u f g a b e 2.4:
D a s T h e o r e m von s/itzen
Liicke
bei w e c h s e l n d e n Zins-
Die High Risk GmbH (II&R) ttberlegt, ob Sie den Maschinenpark ihres Zweigwerkes in der Bananenrepublik Costa Guana zur Erweitemng ihrer Produktpalette emeuem soll. Die Anlage dient zur Herstellung eines bestimmten Produktes. Folgende Daten sind bekannt: Nutzungsdauer: 5 Periodcn Liquidationserl6s: 0 Investitionsauszahlung: 120.000 E Die Anlage wird zun/ichst geometrisch-degressiv mit 30 % abgeschrieben. Sobald dies vorteilhaft ist, erfolgt ein Obergang zur linearen Methode. In den Perioden 1 und 2 k6nnen jeweils 5.000 Stfick mit Periodenauszahlungen yon 40.000 E hergestellt werden. Es handelt sich urn reine Akkordl6hne. In den Perioden 3, 4, 5 werden Lerneffekte wirksam. Es k6rmen jetzt 6.000 Sttick pro Periode mit periodischen Auszahlungen yon 24.000 E (mine Akkordl6tme) hergestellt werden. Das Produkt kann in j eder Periode zu einem Preis yon 15 G abgesetzt werden. Lagerbest~ndc werden zu variablen Kosten bewertet. Ftir Lagerzu- und -abgfinge wendet die H&R das LIFO-Verfahren an. Die H&R rechnet mit folgender Zinsentwicklung in Costa Guana: In den Perioden 1, 2 und 3 betr/igt der Zins 30 %. In den Perioden 4 und 5 wird ein Anstieg auf 50 % erwartet. Der far sicher erachtete Absatz der Produkte gestaltet sich wie folgt: t = 1 : Absatz 1.000 StCtck, Zahlung sofort.
Kapitel 2: Die Kosten- und Leismngsrechnungals Entscheidungsrechnung
25
t = 2: Absatz 9.000 Stiick, Zahlung sofort. Am Ende von t = 2 bestellen die Saum & Selig OHG trod die Unsicher & Kantonist AG jeweils 6.000 Stiick des Produktes zum Ende der Periode 5. Da sie mit der Zahlungsmoral dieser beiden Firmen leidvolle Erfahrungen gemacht hat, besteht die H&R auf einer Anzahlung in voller H6he des Rechnungsbetrages zum Ende der Periode 3. t = 3: Produktion fiir die Bestellung. t = 4: Produktion for die Bestellung. t = 5: Absatz 6.000 Sttick, Zahlung sofort. a) F/ihrt die H&R die lnvestition dutch, wean sie sich am Kapitalwert des Investitionsobjektes orientiert? b) Beantworten Sie die Frage aus Teilaufgabe a), wean sich die H&R am Barwert der abgezinsten Periodenerfolge orientiert! c) Erl~iutern Sie, wie der beobachtete Effekt zustande kommt[ Gehen Sie hierzu konkret auf die unterschiedliche Behandlung einzelner Gesch~tftsvort'Nle in der Zahlungsrechnung einerseits und der Periodenerfolgsrechnung andererseits ein! Gehen Sie ftir ihre Antwort davon aus, dass die H&R in ihrer Kosten- und Leismngsrechnung Gesch~iftsvorf'~ille analog zur Vorgehensweise in ihrer Bilanz naeh deutschem HGB behandelt. Analysieren Sie den jeweiligen Effekt auf den Barwert der Periodenerfolgsreihe im Vergleich zum Kapitalwert der Zahlungsreihe! Welthen Effekt h/itte eine rein lineare Abschreibung der Maschine? d) Zeigen Sie, wie unter Verwendung einer modifizierten Gewiangr6ge Fehler bei der Beurteilung des Investitionsobjektes vennieden werden k6nnen (konkrete Ausrechnung ist verlangt)!
MusterlSsung: Teilaufgabe a) 15bergfinge der Abschreibungen: Buchwert am geometrischAnfang der Periode degressive Abschreibung
Res~ buchwen
beilinearer Abscl~eibung
opfimale Abschreibung
84.000
24.000
36.000
120.000
36.000
84.000
25.200
58.800
21.000
25.200
58.800
17.640
41.160
19.600
19.600
19.600
19.600
19.600
19.600
120.000
26
Obungen zur Internen Untemehmensrechnung
Nach zwei Perioden erfolgt der Obergang auf die lineare Abschreibung. Die Zahlungsreihe lautet: Periode
Einzahlungen Auszahlungen
E-A
0
0
-120.000
-120.000
1
+15.000
- 40.000
-25.000
2
+135.000
- 40.000
+95.000
3
+180.000
- 24.000
+156.000
4
0
- 24.000
-24.000
5
+ 90.000
- 24.000
+66.000
Kapitalwert auf Basis der Zahlungsreihe:
KW(E-A): -120.000+
-25.000 (1,3)
95.000 (1,3)
156.000 (1,3) 3
-24.000 (1,3)3.(1,5)
66.000 (1,3)3.(1,5) 2
= -5.942,95 < 0 Das Projekt ist unvorteilhaft und sollte daher nicht durchgeffihrt werden.
Teilaufgabe b) Ermittlung der Periodenerfolge: t=l: Abschreibung
36.000 Umsatzerl6se
15.000
variable Kosten
40.000 Lagerbestandserh6htmg
32.000
Verlust
29.000
t =2: Abschreibung
25.200 Umsatzerl6se
variable Kosten
40.000
Lagerbestandsminderung
32.000
Periodenerfolg
37.800
135.000
Kapitel 2: Die Kosten- und Leistungsrechnung als Entscheidungsrechnung
27
t=3: Abschreibung
19.600 Umsatzerl0se 24.000 Lagerbestandserh6hung
variable Kosten
Verlust
0 24.000 19.600
/=4:
Abschreibung
19.600 Umsatzerl6se
variable Kosten
24.000 Lagerbestandserh6hung
0 24.000
Verlust
19.600
Abschreibung
19.600 Umsatzerl6se
270.000
variable Kosten
24.000
Lagerbestandsmindermag
48.000
/=5:
Periodenerfolg
178.400
Es gilt das Kongruenzprinzip, denn: 5
5
t=0
t=0
Barwert der Periodenerfolgsreihe: K W ( L - K):
-29.000 37.800 -19.600 (1,3) + -T--~--T~-2 (1,~) + - (1,3) 3
- 19.600
178.400
+ (1,3) 3 . ( 1 , 5 ) + (1,3) 3 . ( 1 , 5 ) ~
= 21.280,03 > 0 Auf Basis des ,,Kapitalwertes" der Periodenerfolge wtirde das Projekt durchgeftihrt (Fehle"ntscheidung). Teilaufgabe c)
Die durch die Periodisierung entstehenden Verwerfungen zwischen Zahlungs- und Periodenerfolgsreihe sind in der folgenden Tabelle veranschaulicht. ZR steht far Zahlungsreihe. PER f'tir Periodenerfolgsrechnung.
28
Obungen zur Intemen Untemehmensrechnung Periode
1
2
3
4
5
ZR:-120.000 PER: Investition
0 -36.000
0 -25.200
0 -19.600
0 -19.600
0 -19.600
Barwertunterschiede -120.000 -61.437,31 Differenz = 58.562,69
ZR:
15.000
135.000
180.000
0
90.000
191.556,66
PER: Zahlungen an die U.
15.000
135.000
0
0
270.000
146.040,05 Differenz =
ZR: PER: Kosten der Produktion
-40.000 - 8.000
-45.516,61 -40.000 -72.000
-24.000 0
-24.000 0
-24.000 -72.000
- 77.499,62 -63.322,718 Differenz -14.176,91 =27.222,88
KW(PERt)-KW(Zt) - Jede Art der Periodisierung der Investitionsauszahlung fiber Abschreibungen f'tthrt (unabh~ingig vom Abschreibungsverfahren) zu eincr ProjektiiberschOlzung auf Basis der Periodenerfolgsreihe relativ zur Zahlungsreihe. - Die Unterschiede zwischen Zahtungseingang und der Periodisierung einer geleisteten Anzahlung ftthren in diesem Fall zu einer Projektuntersch/~tzung bei der Gewinnreihe relativ zur Zahlungsreihe. - Die Periodisierung der Produktionskosten (Lagerbestandsfinderungen) f'tihrt in diesem Fall zu einer Projekttibersch~itzung auf Basis der Gewinnrcihe relativ zur Zahlungsreihe. - Insgesamt saldieren sich die Barwertuntersehiede genau zur Differenz zwischen dem Barwert der Gewinnreihe einerseits und dem Kapitalwert auf Basis der Zahlungsreihe andererseits. Wtkrde das Projekt rein linear abgeschrieben, ergfibe sich auf Basis der neuen Gewinnreihe [-17.000; 39.000; -24.000; -24.000; 174.000] ein Barwert von 26.992,87. Die Projektftbersch/itzung durch die Gewinnreihe t~illt demnach noch gravierender aus! Durch die lineare Abschreibung erhOht sich der Barwert der Abschreibungsreihe, d.h. er wird weniger stark negativ, woraus sich ceteris paribus eine st~irkere Projekt~berschfitzung ergibt. Der Grund daffir ist, dass bei geometrisch-degressiver Abschreibung fraher h6here Abschreibungen verrechnet werden, was den Barwert dieser Abscln'eibungsreihe gegen~ber dem tats/~chlichen Barwert der Investitionsauszahlung (-120.000) in die ,richtige' Richtung verschiebt.
Kapitel 2: Die Kosten- und Leistungsrechnung als Entscheidungsrechnung
29
TeiIaufgabe d) Ermittlung der Kapitalbindungen der Perioden 1-5: t
l
KB,=Z(L~-Kr)-Z(E~-A~ r=o
)
r=0
KB, =KB, , +(L, - K , ) - ( E ,
-4)
KB 1 = 0 KBo = KB_I +(Lo - K o ) - ( E o - Ao) KB o = 0 + (0 - O) - (0 - 120.000) = 120.000 KB, = KBo + ( ~ - K 1 ) - ( E 1 - A 1 ) KB~ = 120.000 + (-29.000) - ( - 2 5 . 0 0 0 ) = 116.000 USW,
Ermittlung der Residualgewimae (weehselnde Zinssfitze beaehten! !):
RG t : ( L t - K t ) - it(!)
• K~t_ 1
RG 1 = (-29.000) - 0,3. 120.000 = -65.000 RG z = (37.800) - 0,3.116.000 = 3000 USW.
Kapitalbindung und Residualgewinne: Periode
KBt
1=0
120.000
0
t=l
116.000
-65.000
1=2
58.800
3.000
t=3
-116.800
-37.240
t=4
-112.400
38.800
t=5
0
234.600
RGt
Kapitalwert a u f Basis der Residualgewinne:
KW(RG,)
-
-65.000 (1,3)
3000 ~- ~(1,3) - 2
-~
-37.240 (1,3) 3
+
38.800 234.600 F (1,3) 3 .(1,5) (1,3) 3. (1,5) 2
= -5.942,95 = K W ( E - A) < 0 --~ Ablehnung Der auf Basis der Residualgewinne berechnete Kapitalwert entsprieht dem Kapitalwert der Zahlungsreihe (Theorem yon L~icke).
Kapitel 3:
Aufgabe 3.1:
Produktionsprogrammentscheidungen
Fehlerquellen von Vollkostenrcehnungen
Der Untemehmer T. Redlich stellt die Produkte xj und x: her. Beide Produkte sind zu einem Preis yon Pl = P2 = 260 C absetzbar. Die variablen Kosten k pro Stack belaut~n sich auf70 • (140 C) far Material mid 80 C (40 C) far Akkordl6tme jeweils f ' ~ x l (x2). Daneben fallen a x e Materialgemeinkosten in H6he von 2.800 C und das Gehalt des Meisters Strebsam in H6he von 26.000 C an, der f'~ die Fertigung verantwortlich ist. Redlich kann nur zwei m6gliche Produktionsprogramme realisieren. Entweder fertigt er 200 (100) Stack von x~ (x:) oder alternativ 100 (200) Stack xl (x2). Er ist ein Anhfinger von Vollkostenrechnungen, da er ,,modemem Kram" wie dem Direct Costing oder der Grenzplankostenrechnung grunds~tzlich misstraut. Zur Ermittlung der S~ck-Vollkosten bedient sich Redlich des Verfahrens der elektiven Zuschlags-
kalkulation. a) Welche Fertigungsaltemative erweist sich als kostengttnstiger, wenn Redlich sich anhand eines Vergleichs der vafiablen Kosten air ein Verfahren entscheidet, und wie hoch ist die Kostendifferenz? b) Bestimmen Sie die Stt~ck-Vollkosten der beiden Produkte, wema Redlich bei Verwendung der elektiven Zuschlagskalkulation jeweils v o n d e r betrachteten Alternative hinsichtlich des Fertigungsprogramms ausgeht. Vergleichen Sie die Gesamtkosten der beiden Altemativen! Fahrt diese Vorgehensweise zur Gefahr einer Fehlentscheidung hinsichtlich des Produktionsprogramms? c) Sein Chef-Controller D. Oofweist Redlich darauf hin, dass die Vorgehensweise unter b) viel zu aufwendig seX. Er schl~igt vor, die Alternative 2 als Basisaltemative zu verwenden und die beiden Verfahren anhand der so ermittelten Vollkosten zu bewerten. Fatu-t diese Vorgehensweise zur Gefahr einer Fehlentscheidung hinsichtlich des Produktionsprogramms? d) Nehmen Sie an, dass sich Redlich Far Alternative 1 entschieden hat. Controller D. Oof kommt begeistert yon einer Messe zurt~ck und berichtet, dass man ein zal xl identisches Produkt zu einem Preis von 190 C auch fremdbeziehen k6n_nte und meint: ,,Chef, da k6nnen wir einen sauberen Schnitt machen und eine Menge Kosten sparen". Welche Auswirkungen h~itte eine solche Entscheidung auf die Kosten- und Erfolgssituation yon Redlichs Unternehmen, wenn er die 200 Einheiten von xl fremdbezieht ?
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f2bungen zur Internen Unternehmensrechnung
Musterliisung: Teilaufgabe a)
FOr die beiden Produkte ergeben sich folgende variable Kosten, ausdifferenziert nach variablen Material- und Fertigungskosten: Produkt
Variable
Variable
Materialkosten
Fertigungskosten
Summe
X1
70
80
150
X2
140
40
180
Da beide Fertigungsaltemativen zu identischen Erl6sen i. H. v. 78.000 C ffihren, sollte Redlich das kostengfinstigere Fertigungsprogramm realisieren. Die Aktionen sind: a I -~ 200 0 0 0 ) yon x 1(x~) a 2 ~ 100(200)yon x1(x2) Vergleich der variablen Kosten der beiden Verfahren: Produkt! Variable
Variable
Kosten at
Ko~ena2
Xl
30.000
15.000
x2
18.000
36.000
Gesamt
48.000
51.000
Redlich sollte sich aufgrund der niedrigeren relevanten Kosten for al entscheiden! Die Kostendifferenz zwischen al und a: betr~igt 48.000 - 51.000 = -3.000 C. In diesere Zusammenhang ist es natorlich unerheblich, ob man die Vollkosten gar nicht berficksichtigt oder aber als Block zu den variablen Kosten addiert, denn es gilt offensichtlich auch: +
+
00-79
_3 000
Der mit der Fertigung von al erzielbare Periodenerfolg ist: G = D - K F = 78.000- 48.000- 28.800 = 1.200 C
Durch die Ber~icksichtigung von Fixkosten als Block ergibt sich folglich keine Gefahr far Fehlentscheidungen, was in der Praxis der Vorgehensweise der einstufigen Deckungsbeitragsrectmung (siehe dazu Kapitel 12 der Internen Unternehmensrechnung) entspricht.
Kapitel 3: Produktionsprogranmlentscheidungen
33
Teilaufgabe b)
Werden die Gemeinkosten (GK)-Zuschlagssfitze for (fixe) Material- und FertigungsGK gem~iB Aufgabenstellung fOr die jeweils betrachtete Alternative ermittelt, ergibt sich: Alternative a:: 28.000 (variable Materialeinzelkosten) 2.800 (fixe Materialgemeinkosten) Zuschlagssatz M G K = 100.[2.800/28.000] = 10 % 20.000 (variable Fertigungseinzelkosten) 26.000 (fixe Fertigungsgemeinkosten) Zuschlagssatz F G K = 100-[26.000/20.000] = 130% Damit k6nnen die Sttick-Vollkosten (bier als Selbstkosten) der Produkte wie folgt kalkuliert werden: Produkt x : : 70. (1,1)+ 80. (2,3) =261 e Produkt x2: 140. (1,1) + 4 0 . (2,3) = 246 e Bewertung von Alternative al zu Vollkosten: Ka, = 261.200 + 246.100 = 76.800 e
Man beachte, dass dies exakt der Summe aus variablen und fixen Kosten dieser Alternative, d. h. deren Gesamtkosten, entspricht, denn es gilt: Kal = I ~ + K F = 48.000 + 28.800 = 76.800
Alternative a?: 35.000 (variable Materialeinzelkosten) 2.800 (fixe Materialgemeinkosten) Zuschlagssatz M G K = 100.[2.800/35.000] = 8 % 16.000 (variable Fertigungseinzelkosten) 26.000 (fixe Fertigungsgemeinkosten) Zuschlagssatz F G K = 100.[26.000/16.000] = 162,5% Produkt xl: 70. (1,08) + 80. (2,625) = 285,6 C
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Obungen zur Intemen Unternehmensrechnung
Produkt x2: 140 • (1,08) + 40 • (2,625) = 256,2 Bewertung von Alternative a2 zu Vollkosten: K~2= 285,6 .100 + 256,2 .200
Differenz der Gesamtkosten
79.800C=/C+/~vona2!
K~t I -- K a 2
=
76.800 - 79. 800 = -3.000 C. Dies entspricht
exakt der unter Teilaufgabe a) ermittelten Differenz. Offenbar gilt: •
Wenn die jeweils betrachtete Alternative Basis der Kostentschlfisselung ist, besteht keine Gefahr yon Fehlentscheidungen bei Verwendung einer StfickVollkostenrechnung, da die Schltisselungen wie gezeigt im Endeffekt neutralisiert werden.
•
In diesem Fall werden die Gesamtkosten der Altemativen also zutreffend ermittelt und die Verwendung von variablen Kosten oder Vollkosten Nhrt zur identischen optimalen Entscheidung (Realisierung von a j).
Das Problem dabei ist, dass in der Praxis kein Mensch so vorgeht, da es viel zu aufwendig und daher teuer w~tre, far jede betrachtete Alternative eine solche eigenst~ndige Kalkulation durchzuftihren. Femer w~tre in einem realen Unternehmen wohl mit erheblichen Akzeptanzproblemen zu rechnen, wenn unterschiedliche Kostens~itze ffir identische Produkte je nach betrachteter Alternative zur Anwendung kfimen.
Teilaufgabe c) Mit a2 als Basisaltemative w~irden die Gesamtkosten von at unter Verwendung der fftr a2 emaittelten Vollkostens~ttze berechnet:
K falsCh= 285,6.200 + 256,2.100 = 82.740 t~ ¢ K v + KFvon at ¢/1
Da die (zutreffend ermittelten) Gesamtkosten Ka2 unverfindert 79.800 C betragen, wfirde jctzt die unvorteilhafie Alternative a2 realisiert! Diese ffihrt letztlich (trotz eines eigentlich vorhandenen Erfolgspotentials yon 1.200 C) zu einem Verlust i. H. v. 1.800 ¢. Diese Vorgehensweise entspricht der oft anzutreffenden Verwendung yon Vollkostenrechnungen in der Praxis, wo fiblicherweise die Stiick-Vollkosten einer Basisalternative ermittelt werden (etwa ein geplantes Produktionsprogramm) und dann mit diesen Stfick-Vollkosten andere Allernativen bewertet werden. Die Fehler entstehen also nicht durch Verwendung yon Vollkosten per se, sondern durch den im Beispiel verdeutlichten Effekt.
Kapitel 3: Produktionsprogranmlentscheidungen
35
Fazit aus Teilaufgaben a)-c): •
Berficksichtigung van Fixkosten als Block ist unsch~dlich und birgt keine Gefahr van Fehlentscheidungen!
•
Berechnung van Stfick-Vollkosten auf Basis der jeweils betrachteten Alternative ist unsch~idlich mad birgt keine Gefahr van Fehlentscheidungen!
•
Fehlerquellen ergeben sich hingegen, wenn Stiick-Vollkosten einer Basisalternative ermittelt werden, mit denen dam1 andere Alternativen ftir Entscheidungszwecke bewertet werden.
Teilaufgabe d) Neben dem so genannten ,,Hinauskalkulieren aus dem Markt" (siehe dazu Kapitel 4 - Preisentscheidungen der Internen Unternehmensrechnung) sind Fehler bei Entscheidungen tiber Eigenfertigung oder Fremdbezug (Make or Buy) ein typisches Resultat der Verwendung yon Sttick-Vollkosten. Aus a) ist bekannt, dass die Realisierung van aj einen Periodenerfolg van 1.200 C beschert. Der Beschaffungspreis van xl bei Fremdbezug betr~gt laut Aufgabenstellung 190 C und liegt damit f~ber den variablen Kosten van 150 6. Controller Oaf hat jedoch die Stack-Vollkosten van xl i. H. v. 261 (~ (bei Realisierung van al) for seine Argumentation herangezogen! Warde Redlich seinem Ratschlag folgen, resultiert folgender Periodenerfolg bei Fremdbezug van 200 Stack xl: 200'(260 - 190) (Deckungsbeitrag fremdbezogenes xl) + 100-(260 t~ - 180 t?) (Deckungsbeitrag x2) - 28.800 • (unver~nderte Fixkosten) = - 6.800 C < 1.200 C --->Fehlentscheidung.
Aufgabe 3.2:
P r o d u k t i o n s p r o g r a m m p l a n u n g als K o p f n u s s
Ein Unternehmen stellt die zwei Produkte xl und x: her. Van xl k6nnen maximal ~1 St~ick, van x: maximal x2 Stfick abgesetzt werden. Beide Produkte beanspruchen bestimmte Fertigungszeiten auf zwei Maschinen. Produkt x~ ben6tigt vll Zeiteinheiten auf Maschine 1 und v2~ Zeiteinheiten auf Maschine 2. Far x2 sind die entsprechenden Werte vt: und v22. Maschine 1 steht in der Planungsperiode V1 und Maschine 2 V2 Zeiteinheiten zur VerNgung. Es gilt v o = konstmat > 0 (i = l , 2 , j =1,2). Die St~ickdeckungsbeitr~tge der beiden Produkte betragen dr > 0 und d2 > 0. Die fixen Kosten betragen KF
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Ubungen zur Internen Unternehmensreclmung
Welche der folgenden 5 Aussagen sind wahr bzw. falsch? A)Ist Yl = 100, 2-2 = 100, v t l = 1,v:~ = 1, vl: = 3, v:2 = 3, Vt = V2 = 130, d l = 12, d2 = 15, dann stellt die Untemetnnung 100 Einheiten xl und 30 Einheiten x2 her. B) Wenn die konkreten Werte unter (A) bis auf v:l = k > 1 und U~ = 800 weiter gelten, dann muss k > 2,4 sein, damit das Programm x t = 100 und x 2 = 10 den Deckungsbeitrag naaximiert. C)Gilt vu'Yl + v12"~2 = ~ und v2~'~1 + v n "2-2 < ~ , stellt die Untemehmung ~1 Einheiten xl und 2-2 Einheiten x: her und erzielt einen Deckungsbeitrag von
D) G i l t v H - ~ + v 1 2 . y 2 < ~ , v : l
"~
+v:2"x2
> ~ ,dl >d2,vu>vl:,v2~
und ist v:t'Y~ < U2, dram lautet das optimale Produktionsprogramm x t = 21 und
E) Gilt VH'Xl ~1 V12"2-z > V~, v21 "2-1 + vn'2-z > V2, V1 = Vz, d~ > d2, v21 < v22, vH = b.v:l und vie = b "vn mit b < 1. Weiterhin ist v u ' ~ l > ~ , v21.xl > V22, vip'S2 < ~ , vn'~2 < V2. In diesem Fall stellt die Untemehmung ~ / vu Einheiten x~ her, sofem sie ihren Deckungsbeitrag maximieren m6chte.
Musterl~sung: Aussage (A) ist falseh. Gemgl3 den Angaben lauten die beiden identischen Mehrproduktrestriktionen x 1 + 3 . x 2 < 130. Entscheidungskriterium sind daher die spezifischen Deckungsbeitr~ige cl1 = 12 / 1 = 12 > 1 5 / 3 = 5 = d~. Es werden zwar 100 Sttick x 1 hergestellt (Absatzrestriktion xl), abet die verbleibenden 30 Kapazit~itseinheiten bei den Maschinen reichen nur noch for 3 0 / 3 = 10 Einheiten x2 aus. Aussage (B) ist falseh. Restriktion 1 kann wegen der Oberkapazit~tt von 800 weggelassen werden. Das genannte Programm ist dann optimal, wenn der spezifische Deckungsbeitrag yon xl h6her ist als der yon x2. Folglich: 12 / k > 15 / 3 --~ k < 2,4. Der Parameter k muss also kleiner und nicht gr6Ber als 2,4 sein. Aussage (C) ist fMseh. In der Aufgabe steht der gesamte Periodenerfolg und nicht der Deckungsbeitrag (ohne K f ). Aussage (D) ist w a h r . Restriktion 1 ist nicht bindend (Oberkapazit~it), deshalb spielen deren Beanspruchungskoeffizienten keine Rolle. Entscheidungskriterium ist der spezifische Deckungsbeitrag ftir die Beanspruchung der Maschine 2. Aus den Bean-
Kapitel 3: Produktionsprograrmnentscheidungen
37
spruchungskoeffizienten yon Maschine 2 und der Relationen der absoluten Deckungsbeitrgge ergibt sich ein hOherer spezifischer Deckungsbeitrag far xj. Die Angabe v21 •xl < V2 besagt, dass noch Restkapazit/it der knappen Maschine zur Vert'ligung steht. Diese reicht genau zur Herstellung von ( ~ - ~ 1 . v 2 1 ) / v 2 2
Einheiten x 2
aus, denn die Absatzh6chstmenge von x2 ist wegen v21 • ~ + v22 •~2 > ~ nicht herstellbar.
falsch. Aufgrund der Angaben folgt, dass Maschine 2 den eigentIichen Engpass darstellt, weil v2i > b . v21 = v11, v22 > b . v22 = v12, da b < 1. Weil der Aussage (4) ist
spezifische Deckungsbeitrag von x~ auf Maschine 2 h6her ist als derjenige f~ir x2, folgt far die deckungsbeitragsmaximale Produktionsmenge von x: : x~ = ~ / v,1.
Aufgabe 3.3:
Programmplanung und Opportunit~itskosten
Ihren ersten Arbeitstag bei der Horiba GmbH, Hersteller weltweit vertriebener Sfi13igkeiten, hatten Sie sich anders vorgestellt. Auf Dr~ingen unzufriedener Gesellschafter soll der maroden Geschfiftsentwicklung durch ein leistungsf~higeres Controlling gegengesteuert werden. Ihr Vorg~inger hatte bereits Versuche in dieser Richtung unternommen, sah sich aber dann durch konkrete Planungsaufgaben tiberfordert und wechselte letzten Monat eilends zur S c h a u m & Schltiger Consulting AG. Der Schreibtisch ist ein Chaos, der PC gibt keinen Mucks von sich, so dass sie sich mit den vorhandenen Informationen begn~gen mfissen. Zu allem 0berfluss teilt Ihnen die Sekretgrin mit, dass bereits ffir heute 16 Uhr eine Krisensitzung einberufen wurde, bei der yon lhnen konkrete L6sungsvorschlfige ffir bestimmte Fragestellungen erwartet werden. Nach Durchsicht des Schreibtisches finden Sie folgende Informationen vor:
38
Obungen zur IntemenUnternehmensrechnung
Produkt
Bearbeitungszeit, Verpackungsanlage (Min.) w~
benOtigte Gummimasse je P~ckchen in g, w2
Deckungsbeitrag, (~je PLtckchen
Absatzobergrenzen
B~r/klein
8
400
0,6
4.000 (w3)
8
1.200
1,2
4.000 (w4)
4
300
0,4
1.200 (ws)
1
800
0,8
4.000 (w6)
36.000 Min.
2.400 kg
X1
B~ir/grof3 X2
Colafl~ischchen x3 Tiere (bunter Zoo) x4 Kapazit~it
Unter der Tabelle steht: wi : Zu den RestriktionengehOrende Schlupfvar/ab~n q~cihenfo(ge der spezifischen Deckungsbeitrdge nicht gleich !!
Femer finden Sie eine richtig berechnete, aber unvollstfindige L6sung des Problems. Ffir eine Neuberechnung bleibt keine Zeit !
xl
x2
x~
1
x~
olI I
x3 x4
wl
w2
w3 w4
w5
w6
9
0
2/15
9
0
0 -29/60
0
0
?
0
0
0
0
0
1
0 1.20C
?
0
? -1/15
1 1/3
0
0
-2/15
0
64C ?
x4
0
w4
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
w3
0 -13/15
0
0 -2/15
1/6
1
0
?
0
w6 0 -1 1/15
0
0
1/15
?
0
0
2/15
1
0
?
2/75
?
0
0
1/300
0
Z
?
RS
?
?
?
Nach einem Blick auf die L6sung verfliegt Ihre Panik, denn Sie wissen, dass Sie sich gleich in der ersten Sitzung als f~thiger und kompetenter Controller erweisen werden. a) Vervollst~indigen Sie das Endtableau aufgrund Ihrer Kenntnis der Zusammenhfinge f'tir eine solche LOsungsstruktur! Begr/fnden Sie die eingesetzten Werte jeweils
Kapitel 3: Produktionsprogrammentscheidungen
39
kurz tinter Verwendung folgender Systematik: (Zeile xj ; Spalte x2), eingesetzter Weft: .... Begrtindung: b) Gesellschafter N. Orgler m6chte wissen, ob es sich prinzipiell lohnt, Zusatzauftr~ige tiber bis zu 500 P~ickchen von zwei weiteren StiBprodukten x5 und x6 anzunehmen. Ftir die beiden Produkte gelten folgende Daten: Produkt
Rohstoffbedarf in g je Sttick
Deckungsbeitrag in t~ je Stfick
xs
Verpackungsaggregat, Min. je Stack 1,5
300
0,35
x6
6
900
1
Sollen die Zusatzauftr~ige prinzipiel| angenommen werden? K6nnen Sie Aussagen dartiber treffen, in welchem Umfang die Zusatzauftr~ige angenommen werden, falls dies vorteilhaft ist? c) Far welches Intervall der zur Verftigung stehenden Gummimasse V2 (Schlupfvariable w2) ver~indern sich die inputbezogenen Opportunit~ttskosten (Schattenpreise) in der obigen L6sung ceteris paribus nicht?
Musterl/isung: Teilaufgabe a) (Z; xl), Wert: 0, Begrtindung: xl ist Tell der optimalen L6sung, deshalb muss in der Spalte ein Einheitsvektor stehen.
(x~; x2), Wert: +13/15, Begrtindung: Der gesuchte Wert ,,?" gibt an, in welchem Urnfang xl unter Beachmng des Gesamtsystems eingeschrfinkt werden muss, wenn x2 in die Basis aufgenommen wird. Aus w3, der zu xl geh6renden Absatzrestriktion ist bekannt, dass sich in diesem Fall die nicht abgesetzte Menge yon xl um den mit (-1) multiplizierten Koeffizienten 13/15 erh6ht. Der gesuchte Wert ergibt sieh dann daraus, dass das Verh~iltnis einer nicht ausgesch6pften Absatzrestriktion zu Produktionseinschr~inkungen immer 1:1 betragen muss, wobei die Koeffizienten untersehiedfiche Vorzeichen haben.
(X4," X2), Wert: 1 1/15, Begrfindung: Analog zu (Xl; x2). (Z; x2), Wert: 13/75, Begrtindung: x2 ist nicht in der optimalen L6sung enthalten. Herstellung des Produktes impliziert deshalb einen nichtnegativen Koeffizienten in der Zielzeile. Die beiden zuvor gefundenen Koeffizienten (x~; x2) und (x4; x2) geben an, in welchem Umfang xl und x4 eingeschr~inkt werden mtissten, wema x2 in die Ba-
40
Obungen zur lntemen Untemehmensrechnung
sis aufgenommen wird. Die gesuchten inputbezogenen Opportunitfitskosten der Fertigung yon x2 sind dann: d2- 13/15.dl - 16/15.d4 = 1,2 - 0,52 - 0,8533 = -0,1733 --~ 13/75.
(xl; x3), (x3; x3), Werte: 0 / 1, BegrOndung: x3 ist Teil der optimalen LOsung, deshalb muss in der Spalte x3 ein Einheitsvektor stehen, wobei die 1 natOrlich bei dem Produkt selbst auftreten muss.
(X4. X4), Welt: 1, Begrtindung: Siehe (x3: x3). (Z, x4) , Wert: 0, Begrtindung:
X 4 ist Teil der optimalen L6sung, deshalb muss in der Spalte x4 ein Einheitsvektor stehen
(xl," w2), Wert: -1/6, Begrtindung: Der gesuchte Wert gibt an, wie unter Beachtung des Gesamtsystems x¢ angepasst werden wtirde, werm eine zusgtzliche Einheit Kapazit~it bei der Gummimasse zur Verftigung sttinde. Dies zus~ttzliche Einheit Gummimasse wiarde dazu ftihren, dass dadurch die nicht ausgesch6pfte Absatzrestriktion w3 um 1/6 vermindert wttrde (positiver Koeffizient). Dies impliziert aber, dass in diesem Fall xl erh6ht wtirde.
(w6; w2), Wert: -I 1/3, Begrfindung: Jedes zus~itzliche Kilogramm Gummimasse ftthrt zu einer Einschr~inkung von Produkt x4 um 1 1/3 Einheiten. Deshalb muss sich die nicht ausgesch6pfte Absatzrestriktion von x4 (w6) entgegengesetzt entwickeln. (w3; ws), Wert: 29/60, Begriindung: Analog zu (w6; w2 ). (Z; w2), Wert: 29/30, Begrandung: Stt~nde ein Kilogramm Gummimasse mehr zur Verfttgung, w~irde x4 um 1 1/3 Einheiten ausgedehnt und xl urn 1/6 Einheiten eingeschr~nkt (bzw. umgekehrt, bei einem kg weniger). Der Effekt auf den Deckungsbeitrag ist somit: +4/3.0,8 - 1/6.0,6 = +0,9667 = 29/30. Dies sind die inputbezogenen Opportuniteitskosten (Schattenpreis) der Rohstoffrestriktion. (x; RS), Weft: 3.820, BegNndung: xl ist Teil des optimalen Produktionsprogramms. Andererseits ist w3, d.h. die Absatzrestriktion von xl Teil der optimalen LOsung und damit nicht knapp (Einheitsvektor in der Spalte w3). Femer ist bekalmt, dass die beiden Mehrproduktrestriktionen vollstfindig ersch6pft sind (positive Schattenpreise Spalte w~ und w2). Die optimale Menge xl, l~sst sich daher alternativ wie folgt bestimmen: Aus Restriktion 1: 36.000 - 4"x3 (= 1.200)- 1. x 4 (= 640) = 30.560 --~ x 1 = 30.560 / 8 = 3.820
Kapitel 3: Produktionsprogrammentscheidungen
41
Aus Restriktion 2: 2.400 - 0,3. x~ (= 1 . 2 0 0 ) - 0, 8. x~ (= 640) = 1.528 ~ x~ = 1.528 / 0, 4 = 3.820
(w3; RS), Wert: 180, Begrtindung: Aus xl* = 3.820 folgt sofort, dass noch 4.0003.820 = 180 Einheiten x 1 abgesetzt werden kOnnten.
(w4; RS), Wen: 4.000, BegrCmdung: x2 ist nicht im oplimalen Produktionsprogramm enthalten. Daraus folgt sofort, dass die nicht abgesetzte Menge x2 gleieh 4.000 sein IIIUSS.
(w6; RS), Wert: 3.360, Begriindung: w6 ist die Schlupfvariable der Absatzrestriktion von x 4. Da x~ = 640, folgt sofort, dass 4.000 - 640 = 3.360 Einheiten Absatzpotential ungenutzt bleiben.
(Z; R,S), Wert: 3.284, Begr~indung: der Gesamtdeckungsbeitrag ist nat~Mich: 3.820.0,6 + 1.200.0,4 + 640.0,8 = 3.284.
Teilaufgabe b) Ob der Zusatzauftrag prinzipiell angenommen werden sollte, ergibt sich aus den outputbezogenen Optimalkosten bzw. den modifizierten Deekungsbeitr~igen der zusfitzlich berficksichtigten Produkte. 1st deren modifizierter Deckungsbeitrag Null, ware die Annahme des Zusatzauftrages erwagenswert. In welchem Umfang dies geschieht, kann allerdings erst gesagt werden, nachdem das Programm unter expliziter Einbeziehung eines solchen Produktes neu durchgerechnet wurde. Ist der modifizierte Deckungsbeitrag negativ, sollte der Zusatzauftrag jedoch keinesfalls angenommen werden. Far xs: 0,35 - 1,5.2/75 - 0,3.29/30 = 0,35 - 0,33 = 0,02 > 0 (Annahme) F~ir x6: 1- 6.2/75 - 0,9.29/30 = 1 - 1,03 = -0,03 < 0 (Ablehnung).
Teilaufgabe c) Sensitivit~itsanalyse: Ansatz: 0,4.xl + 1,2.x2 + 0,3.x3 + 0,8.x4 + w2 = 2.400 + A d~ > 0 = Kapazitatserh6hungen ~- Verringerungen w2 A < 0 = Kapazit~itsreduktionen g Erh6hungen w2 Aus dem Endtableau folgt unter Beriicksichtigung der ceteris paribus Annahme: 3.820 +1/6.w2 > 0
42
Obungen zur Intemen Untemehmensreclmung
640 - 4/3.w2 > 0 180 - 1/6.w2> 0 3.360 + 4/3.w:> 0 lm Fall von positiven (negativen) Vorzeichen der Koeffizienten vor w2, wird die Einhaltung der Nichtnegativitgtsbedingungen also potentiell durch Kapazit~itserh6hungen (Kapazitgtsverringerungen) gef~hrdet. Somit:
A ~M~ _ Max (-3.820.6; -3.360.3/4) = Max (-22.920, -2.520) =-2.520 (maximal zulgssige Kapazit~itserh6hung) A ~ M~'= Min (640.3/4; 180.6) = Min (480; 1.080) = 480 (maximal zul~issige Kapazit~tsverringerung). Uz daft daher ceteris paribus im Intervall (2.400-480; 2.400 + 2.520) = [1.920; 4.920] variieren, damit die obige L6sung stabil bleibt.
Aufgabe 3.4:
Stiickweise lineare Deckungsbeitr~ige
Die Br(ider Werner und Peter Plattmacher haben in einem der neuen Bundeslgnder das ehemalige Werk ,,VEB Gartenschmuck" geerbt, das einst ihrem GroBvater geh6rt hat. Mit grol3em Erfolg haben sie seit 1992 die Produktion avantgardistischer Gartenzwerge aufgenommen. Im Moment umfasst die Produktpalette das Modell ,,Kitsch" (xl) und alas Modell ,,Geschmacklos" (x:). An fixen Kosten fallen fiir die Planperiode Fertigungsl6hne in H6he yon 200.000 C an. Folgende Information stehen bezfiglich der beiden Gartenzwergmodelle zur Verffigung: Produkt
Kitsch Geschmack- KapazitNen los
Preis in ~
305
288
Bedarf an Farbe in 1j e Zwerg
0,5
0,8
1500 1
Kunststoffbedarf in kg j e Zwerg
2,5
4
6800 kg
8
2
2080 h
1000
1000
Kosten je 1 Farbe
10
10
Kosten je kg Kunststoff
20
20
Maschinenzeiten in h Absatzobergrenzen
Als frischgebackener Jung-ControUer sind Sie seit einer Woche bei dem nun unter der Bezeichnung ,,Design Dwarf GmbH & Co KG" firmierenden Unternehmen an-
Kapitel 3: Produktionsprogrammentscheidungen
43
gestellt. Ihre erste Aufgabe besteht darin, die beiden Brfider hinsichtlich des optimalen Produktions- und Absatzprogramms zu beraten. a) Leiten Sie aus den Angaben das optimale Produktions- und Absatzprogramm her und bestimmen Sie den daraus resultierenden Periodenerfolg (Hinweis: Ganzzahligkeitsbedingungen sind zu vemachlgssigen) b) W~ihrend der st~irmisch verlaufenden Sitzung bezichtigt der kaufm~nnische Leiter Werner Plattmacher seinen Bruder der absoluten Unt'fihigkeit. Die Annahme konstanter Preise fiber die Absatzpotentiale der beiden Zwerge sei keinesfalls realistisch. Peter Plattmacher habe sich ja schlie/31ich das komplizierte Rabattsystem aberhaupt erst ausgedacht und solle es demnach auch entsprechend ber~icksichtigen. Noch gestern habe ihn sein Bruder darauf hingewiesen, dass tblgende Preisstaffelung realistisch sci: *
Das Untemehmen gew~ihrt far Kitsch einen angestogenen Rabatt. l Der Preis l'dr diesen Zwerg betrggt 305 (~ fttr eine Absatzmenge bis einschliel31ich 100 Stfick, far eine Menge fiber 100 bis einschlieNich 700 Stack gilt dagegen ein Absatzpreis von 285 ~ und far die letzten 300 Stack sind sogar nur noch 275 ~ erzielbar.
*
Die ersten 500 Stfick von Geschmacklos sind zu einem Preis yon 288 C absetzbar, bei den zweiten 500 Stfick handelt es sich dagegen um ein Angebot der Warenhauskette Raffle, his zu 500 Stfick zum Preis yon nur noch 128 C je Stack abzunehmen. Bestimmen Sie erneut das optimale Produktions- und Absatzprogramm und den daraus resultierenden Periodenerfolg!
c) Peter Plattmacher verteidigt sich vehement und bezichtigt seinerseits seinen Bruder der Unl~,ihigkeit. Der ktimmere sich mehr um seine Spielbankbesuche als um die aktuelle Firmenpolitik. Die Daten des Rabattsystems seien l~ngst veraltet. Eine Redakteurin der Zeitschrift ,,Up to Date" h~tte ibm, Peter Plattmacher, erst gestern versichert, dass sich das Modell Kitsch nach den ersten 100 abgesetzten Stack zum Preis von 305 t~ zu einem absoluten Verkaufsschlager mausem w~rde, so dass ein Preis von 1055 C a b dieser Verkaufszahl durchsetzbar erscheint. Beim Modell ,,Geschmacklos" sei dagegen mit keinerlei Pmdemngen zu rechnen. Ein Preis von 288 ~ fttr die gesamten 1000 Stack erscheint realistisch. Auf3erdem habe Werner wohl auch den letzten Inventurbericht nicht gelesen. In Wahrheit I Im hier unterstellten Fall eines ,,angestoflenen Rabattes" wirkt der Preisnachlass erst ab der angegebenen Menge f~r den Kunden. Ein einzelner Kunde mtisste also unabh~ngig von seiner Gesamtabnahmemenge den Preis yon 305 C ftir die ersten 100 Sttick bzw. 285 C Ptir das 101. bis 700. Stack bezahlen, usw. Davon zu unterscheiden ist der ,,durchgerechnete Rabatt". Dabei wird ein einheitlicher Rabattsatz auf die Gesamtst~ickzahl bzw. meist den Gesamtumsatz gew~ihrt. Dies hat nattMich Auswirkungen auf Aussehen und L~sung des Entscheidungskalktils, da man sich als Kunde bspw. durch Bestellmengen, die geringfligig tiber den Rabattgrenzen liegen, Vorteile mr die gesamte Abnahmemenge sichern kann. Probleme eines solchen durchgerechneten Rabatts flir ein Produkt lassen sich i. d. R. jedoch nicht mehr mit dem obigen einfachen Standardansatz l~Ssen.
44
Ubungen zur Intemen Untemehmensrechnung stfinden ntimlich 1700 1 Farbe und 7000 kg Kunststoff zur Verftigung. Allerdings sei nur yon 2000 h Maschinenzeit auszugehen. Andert sich far diese neuen VerhNmisse das optimale Produktions- und Absatzprogramm? Andert sich der Periodenerfolg?
Musterl6sung:
Teilaufgabe a) Deckungsbeitr~ige fiir d1=305-
5 Farbe
Kitsch (xl) und Geschmacklos (x2):
50
=250t~/Sttick
Kunststoff
d2 = 288-8-80
= 200 e / S t t i c k
(]berprt~fung der Restriktionen: Restriktion I (Farbe): 0,5-1.000 + 0,8.1.000 = 1.300 < 1.500 (nicht knapp) Restriktion 2 (Kunststoff): 2,5.1.000 + 4.1.000 = 6.500 < 6.800 (nicht knapp) Restriktion 3 (Maschine): 8.000 + 2.000 = 10.000 > 2.080 (knapp) Spezifische Deckungsbeitr~ige, optimales Programm und Periodenerfolg: e f t - 2 5 0 - 31,25 (2),
ct2 _ 200 _ 100 (1)
8
2
FUr x 2• = 1.000 sind 2.000 h n6tig --~ x 1• = 8 0 =10 8
G* = 2 0 0 . 1 . 0 0 0 + 1 0 . 2 5 0 - 2 0 0 . 0 0 0
= 2.500 C
Teilaufgabe b) Es liegen degressive Deckungsbeitr~ge vor, deshalb kann die Quasi-Produktregel angewendet werden. Die folgende Tabelle zeigt die Quasi-Produkte und die mit ihnen verbtmdenen Deckungsbeitr~ge: Produkt
Xla
Xlb
X:c
X2a
X2b
d
250
230
220
200
40
Koeffizient
8
8
8
2
2
cl
31,25
28,75
27,5
100
20
Rangfolge
2
3
4
1
5
Kapitel 3: Produktionsprogrammentscheidungen
45
Optimales Produktionsprogramm: , • 1.080 Ftir x2a = 500 sind 1.000 h n6tig --> x I 8
, • 135 --> xla = 100, Xxb = 35
G* = 200.500 + 250.100 + 35. 2 3 0 - 200.000 = -66,950 C
Teilaufgabe c) Jetzt liegen progressive Deckungsbeitrdge vor. Deren Problematik kann nicht mehr mit den Standardverfahren angegangen werden, derm man muss erst unvorteilhafte Produkte mit geringen (hier spezifischen) Deckungsbeitr~tgen herstellen, um sp~iter in den Genuss der h6heren zu gelangen. Die folgende Tabelle stellt die neue Situation dar: Produkt
x;a
Xlb
x2
d
250
1.000
200
Koeffizient
8
8
2
31,25
125
100
3
1
2
Rangfolge
Anwendung des Kriteriums "durchschnittlicher spezifischer Deckungsbeitrag":
~tlb -- ( Cllb -- ~[la )"
Xla~-V31 V3
= 125 - (93, 75). 800 = 87, 5 < 100 = d2 2.000 Nach diesem Kriterium wtirden 1.000 Stfick x2 gefertigt und der Gewinn betr/~gt G* = 2 0 0 - 1 . 0 0 0 - 200.000 = 0. F~ir welche Kapazit/it der Maschine V3 stimmen durchschnittlicher spezifischer Decktmgsbeitrag von x; und der spezifische Deckungsbeitrag yon x2 aberein?
1 2 5 - ( 9 3 , 7 5 ) .800 far 800
-
(93, 75). 800__= 1O0 V3
--~ V3~it = 3.000 In der vorliegenden Aufgabe ist diese Grenze allerdings bedeutungslos. Dies erkennt man wie folgt: V3 = 2.000
46
Ubungen zur Intemen Untemehmensrechnung
Optimales P r o g r a m m It. Entscheidungsregel ,,durchschnittlicher spezifischer Deckungsbeitrag": Programm 1 (nur x2): D* = 200.000 Alternativ m~Sgliches Programm:
Programm2(nurxi):xl=
2.000 8
= 2 5 0 - + D = 250.100 + 1.000.150 = 175.000 g
Ffir die gegebene Kapazitfit ist das mit der Entscheidungsreget ,,durchschnittlicher spezifischer Deckungsbeitrag" bestimmte Programm 1 also tatsfichlich besser als Programm 2. V3 = 2.500 Programm 1 (erst x 2, dann x 1): x 2 = 1.000, x I -
Programm2(nurxl):xl=
2.500
500
- 62,5 --~ D* = 215.625 C
= 312,5 - + D = 250-100 + 1.000-212,5 = 237.500 g-
8
Obwohl die kritische Grenze noch nicht erreicht ist, wgre es bereits far eine Kapazit~tt von V3 = 2. 500 besser, ausschlieNich xl herzustellen. Die Grande dafiir sin& *
Absatzrestriktion fiir x2 binder bereits ab einer Kapazit/it von V3 = 2.000. Zungchst mfissen dann die sehr unvorteilhafien ersten 100 Stfick yon xl gefertigt werden.
*
Die extremen Preisdifferenzen bei x116sen somit regelrechte Sprfinge in der Vorteilhafiigkeit aus. So beschert bereits Einheit 101 yon xl einen zusgtzlichen Deckungsbeitrag yon 1000 t?.
Aufgrund der w i r k s a m e n Absatzrestriktion ffir x2 berechnet sich tier kritische Mittelvorrat
t'Ctr 2.000 < V3 < 2. 800 bier wie folgt:
j ~it
j
= 2.266, 66
Bereits ab diesem W e f t ist die ausschlieBliche Fertigung von xl (Kitsch) vorteilhafl, da die Absatzrestriktion f'dr x2 (Geschmaeklos) bindet und bei Fertigung yon x2 dann zun~ichst die unvorteilhafien 100 ersten Stfick yon xl gefertigt werden mtissten.
Kapitel 3: Produktionsprogrammentscheidungen
Aufgabe 3.5:
47
Eigenfertigung versus Fremdbezug und Programmplanung
Benno Strebsam, der Controller der Rent a Dent Zahntechnik GmbH, hat ein Buch tiber Lean Management gelesen und beschlossen, die Gewinnwirkung der Auslagerung einzelner Produktionsschritte zu iiberprfifen. Folgende Daten hat er bereits zusammengetragen: Produkt Verkaufspreis variable Kos- Variable Kosten Eigenfer- ten Fremdbetigung zug
Produktionskoeffizient
Max. Absatzmenge
1
4.500,-
2.000,-
?
5
1.000
2
6.000,-
4.000,-
4.800,-
2,5
2.000
3
1.800,-
600,-
500,-
1
4.000
4
3.500,-
1.900,-
4
3.000
5
3.900.-
2.100,-
3
5.000
Die Fertigungsstelle ,,Schleifen und Atzen" stellte bisher den Engpass mit einer Kapazitgt yon 30.000 Stunden in den Produktionsfiberlegungen des Untemehmens dar. Die Tabelle gibt den Produktionskoeffizienten (Stunden je Produkteinheit) in diesem Engpassbereich wieder. Der (m6gliche) Zulieferer von Produkt 1 hat bisher noeh kein Anbot erstellt, die Produkte 4 und 5 k6nnen wegen ihres hohen Innovationsgrades nicht fremdbezogen werden. a) Wie hoch dtirfen die Kosten des Fremdbezuges je Produkteinheit 1 sein, damit das Unternehmen unter der Zielsetzung der Deckungsbeitragsmaximierung indifferent ist zwischen Eigenfertigung und Fremdbezug? Wie hoch ist der in dieser Situation erzielte Deckungsbeitrag? b) Wie lautet das umsatzmaximale Produktionsprogramm? c) Bei Durchffihrung einer Werbekampagne k6nnten 1.000 Stfick P5 zus~itzlich abgesetzt werden. Wie viel darf diese Aktivitfit maximal kosten? Dabei berficksichtigen Sie bitte, dass Ihnen der potentielle Zulieferer yon Pl nun sein Angebot mit 3.000,- je Einheit P1 ~ibermittelt hat. (Diese Zusatzinformation gilt nur ffir diesen Unterpunkt !)
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Ermittlung des vorl~ufigen Produktionsprogramms ohne PI:
48
I]bungen zur Intemen Unternehmensrechnung
Produkt
2
3
4
5
d bei Eigenfertigung
2.000
1.200
1.600
1.800
d bei Fremdbezug
1.200
1.300 400
600
spezifischer d spezifischer d d e r Eigenfertigung Reihung Vorlgufiges Programm
320
*
3
FB
1.200
2
1
3.000
5.000
* ftlr Produkt 3 gilt: d bei Freradbezug > d bei Eigenfertigung, daher erfolgt jedenfalls ein Fremdbezug (FB). Soll P1 selbst produziert werden, ergibt sich ein Kapazit~itsbedarf von 5.000 Stunden. Dadurch verdr~tngt P 1 1.200 Stack P2 (verdr~hlgter Deckungsbeitrag der Eigenfertigung 960.000) und 500 Stack P4 (verdrRngter Deckungsbeitrag 800.000). Damit das Untemehmen in dieser Situation indifferent ist zwischen Eigenfertigung und Fremdbezug yon P1 muss gelten: 1.760.000 = 1.000 - [(4.500 - 2.000) - (4.500 -p(Fremdbezug))]
Ergebnis: p(Fremdbezug) = 3.760 Mit dem Absatzprogramm wird ein Deckungsbeitrag yon 23.100.000 erzielt.
Teilaufgabe b) Entscheidungskalkt~l analog zu a) spezifischer Preis bzw. spezifischer Preis der Eigenfertigung.
Ergebnis: 3.000 Stack P4 und 5.000 Stack P5. Die Restkapazitgt ist beliebig belegbar,
Teilaufgabe c) Zus~tzlicher Deckungsbeitrag von 1.800.000 abzt~glich verdrgngter Deckungsbeitrag yon 960.000 ergibt die maximalen Kosten der Werbeaktivit~it yon 840.000.
Relevante Fallstudien: • Fallstudie 1 (Produktionsprogrammplanung und Opportunit~itskosten) • Fallstudie 2 (Ausgew~thltes Planungsprobtem der Grenzplankostenrechnung)
Kapitel 4:
Preisentscheidungen
Aufgabe 4.1:
Preispolitik und Erfahrungskurve
Die ELCH AG hat ein neuartiges umweltfreundliches Fertighaus entwickelt, von dem bisher bereits vier St/ick verkauft wurden (wobei die E L C H A G auch den Prototypen verkauft hat). Die Montagestunden je Haus k6nnen durch Lemeffekte verringert werden, wobei yon einer Lemrate ~z = 1 ausgegangen wird. Die Ma-
-(23/4 /2)
terialkosten je Fertighaus betragen 900.000 C, an Materialgemeinkosten werden 25% der Materialkosten veranschlagt. Die Fertigungslohnkosten je Montagestunde (f'~ir alle Arbeiter gemeinsam) betragen 15.000 C, die Fertigungsgemeinkosten werden als Zuschlag in H6he von 40 % auf die Fertigungslolmkosten verrechnet. Der Verwaltungs- und Vertriebskostenzuschlagssatz betr~igt 5% der variablen Herstellkosten. F~ir die Erzeugung der ersten drei Fertigh~tuserwurden durchschnittlich 480 Stmaden je Fertighaus aufgebracht. a) Errechnen Sie die notwendigen Montagestunden f ~ das erste Fertighaus! b) Wie viele Montagestunden werden fgr die Aufstellung des •
bl) siebenten
•
b2) sechzigsten Fertighauses ben6tigt?
c) Nach Fertigstellung der ersten 3 Fertigh~iuser bekommt die E L C H A G ein Angebot der Green Planet Touristic Inc. In Angola soll eine 6kologische Feriendorfanlage im Sinne des ,,sanften Tourismus" erstellt werden. Dieser Auftrag umfasst 4 Fertighauser. Die Elch AG rechnet mit auftragsfixen Kosten in H6he von 250.000 C. Ermitteln Sie die kurzfristige Preisuntergrenze far den Auftrag sowie die durchsclmittliche Preisuntergrenze pro Fertighaus des Auftrages. d) Bei welcher St~ickzahl betr~igt die Montagezeit nur mehr 1/8 der Montagezeit des ersten Fertighauses? e) Nehmen Sie im Gegensatz zu Teilaufgabe a)-d) an, dass die ELCH AG neben dem Fertighaus noch einen Oko-Whirlpool anbietet. Sie rechnet damit, auf absehbare Zeit Monopolanbieter auf dem Markt flu: den Oko-Whirtpool zu sein. Sie geht davon aus, dass sich die Nachfrage nach dem Whirlpool gem~ii3 folgender Preis-Absatz-Funktion entwickelt: (100.000) 2 X =
]3 2
50
I0bungen zur Intemen Untemehmensrechnung Die Grenz-Produktionskosten des ersten Whirlpools betrugen 10.000 C und die Kostenelastizit/it betr/~gt tq = 0, 25. Wie hoch ist der gewimamaximale Preis der
ELCHAG? Zeigen Sie femer, dass dieser Preis tats/~chlich den Gewinn der ELCH AG im Whirlpool-Markt maximiert. f) Wie hoch w/~re die Produktionsmenge, wenn die E L C H A G den Lerneffekt ignoriert und von linearen variablen Kosten in H6he von k = 10.000 ausgeht? Welche Konsequenzen ergeben sich daraus ffir eine periodenbezogene Kostenrectmung, die yon linearen Zusammenh~ingen ausgeht (bspw. GPKR )?
Musterl~isung Teilaufgabe a) Bezeichne X d i e Montagestunden des ersten Fertighauses: c~=l-
23 / 4 2
---~t¢ -
LN(1 - ~z) LN(2)
=-0,25
Ansatz: X . (1.0,25 + 2 -0,25 + 3 -°'25) = 2,60073. X Weiterhin bekannt: Z
Montagestunden 3
= 480 ~ 1440 Montagestunden
Folglich: 2, 60073. X = 1440 --~ X _=553, 69 Montagestunden ft~r erstes Fertighaus
Teilaufgabe b) Ansatz: X . 7 -°'25 __.-340,40 X . 6 0 -°'25 ~ 198,95
Teilaufgabe c) Die Montagestunden des Auftrages ergeben sich aus der folgenden Tabelle:
Kapitel4: Preisentscheidungen Fertighaus Nr.
1.Fertighaus
51
Montagestunden = 553,69. FH Nr -°'25
4
553,69
391,52
5
553,69
370,27
6 7
553,69 553,69
353,78 340,40
Summe Kosten je Montagestunde
1.455,97 15.000 C
Fertigungskosten des Aufta'ages
21.839.568,49
Kalkulation der Preisuntergrenze des Auflrages: MEK MGK (25%) FEK FGK (40%) variable Herstellkosten Verw. & Vertrieb
je Hans 900.000,00
Auftrag 3.600.000,00 900.000,00 21.839.568,49 8.735.827,40 35.075.395,89 1.753.769,79
(5%) variable Selbstkosten auftragsfixe Kosten Preisuntergrenze
36.829.165,69 250000,00 9.269.791,42 37.079.165,69
Man beachte, dass die Preisuntergrenze je Haus nur der Vollst/indigkeit halber angegeben w~de. Sie ist ftir sich allein genommen nicht aussagekr~tftig. Reduziert das Touristikuntemehmen etwa den Auftrag auf drei Hfiuser, wiirde sich die Preisuntergrenze erh6hen, da der Lemeffekt beim vierten (bzw. insgesamt siebten) Haus nicht mehr wirken k6nnte!
Teilaufgabe d) Mit dem Symbol ,?' sei das gesuchte Haus bezeichnet. Ansatz: 553, 69. ?-o,25 _ 553, 69 ~ ?-025 = 1 -+ ? = 84 = 4. 096 8 8
52
0bungen zur Internen Unternehmensrechnung
Teilaufgabe e) Aus den Angaben des Aufgabenteils folgt fox beliebige Mengen x des Whirlpools die Grenzkostenfunktion K' (x) = 10.000. x-°'25. Die Umkehrfunktion zur angegebenen Prcis-Absatz-Funktion liefert den optimalen Preis in Abhangigkeit der Menge: (100.000) 2 x -
p2
100.000 --~ P -
~x
Es handelt sich um eine multiplikative Preis-Absatz-Funktion. Der Erl6s ist:
100.000
p,x--
x -- 100. 000.
~x
Die gewinnmaximale Menge folgt aus ,,Grenzerl6s = Grenzkosten". Es ist zu beachten, dass die Kosten bereits als Grenzkosten vorliegen. Man erh~It: d(100.000.,,/~) _ 50.000
dx
4;
Gewinnmaximum: 50.000 p,
-
-
10.000 X1/4
100.000
-
50.000 X 1/4 . X 1/4
(1)
10.000 ~ x* - - -~x = 5 ---~ =625 X 1/4
= 4.000
Dies ist tats~ichlich die gewinnmaximale Menge bzw. der gewinnmaximale Preis. Das ergibt sich aus der hinreiehenden Bedingung ~ r ein Maximum: d(50.000 ~. ~ x
10.000) ~ )_-25.000+2500 dx x ~'5 x 5/4
-25.000 2500 xl,5 + x--3TZ- x=625= - 0 , 8 < 0
Teilaufgabe J) Variable Kosten k = 10.000 Bedingung fOr ein Gewimamaximum: 50.000
4;
10.000 ---~~f~ = 5 ---~x* = 2 5
-
p* =20.000
Kapitel 4: Preisentscheidungen
53
Die optimale Menge unter Berticksichtigung von Lemeffekten ist 25-mat so hoch wie unter der Annahme linearer Zusammenh~inge. Der optimale Preis ohne Berticksichtigung der Lemeffekte wfirefiinfmal so hoch wie bei entsprechender Bert]cksichtigung der Lerneffekte. Ein periodenbezogenes Kostenrechnungssystem (etwa die GPKR), welches yon rein linearen Kostenzusammenh~ingen ausgeht, kann bei Vorliegen von Lemeffekten somit zu Ergebnissen ffihren, die nahezu nichts mehr mit dem tatsfichlichen Optimum zu tun haben.
Aufgabe 4.2:
Produktsubstitutionalit~it, optimale Preispolitik und Hinauskalkulieren aus dem Markt
Der Nobelheurige Schweiger in Wuch b. Peiz bietet zu Mittag seinen Businessg~tsten zwei teure, aber exquisite 8 g~ingige Mentffolgen zur Auswahl an. Die Absatzmenge Ment~ 1 (,,Variationen vom Land", Produkt 1) folgt der Preis - Absatz - Funktion xl = 150 - 3pl +p2, bei variablen Kosten kl = 40. Die Absatzmenge des Mittagsmentis 2 (,,Put aus der Natur", Produkt 2) folgt der Preis - Absatz - Funktion x2 = 400 - 4p2 + 2pl, bei variablen Kosten von 50. Die anteiligen Fixkosten des Untemehmens betragen in der betrachteten Periode (= 1 Kalendertag) 2.560. a) Welche Form von Produktinterdependenz liegt vor ? b) Ermitteln Sie die isoliert optimalen Mengen Xl, x2 und Preise Pl, p2 und den dabei erzielten Gewinn der Schweiger KEG! c) Emlitteln Sie die optimalen Mengen x~, x2 und Preise p/, p : und den dabei erzielten Gewinn der Schweiger KEG! d) Die Schweiger KEG bietet ab sofort nur mehr Men~t 2 an. Ermitteln Sie die optimale Menge x2 und Preis Pz e) Welcher Effekt tritt nun auf, wenn Schweiger zu einer ,,cost-plus" Preisbildung der Form Vollkosten je Ment~ plus 10 % Gewinnaufschlag tibergeht und die gesamten Fixkosten anteilig Ment~ 2 zurechnet? Zeigen Sie diesen Effekt far die Beispielsituation, indem Sie ausgehend v o n d e r optimalen Menge unter d) eine Fixkostenallokation vomehmen und Preise und Mengen ftir die folgenden drei Tage berechnen. L6sungshinweis: Falls notwendig, runden Sie bitte die Preise auf ganze (~-Betr~ige
a.y.
54
Obungen zur Internen Unternehmensrechnung
MusterlOsung: Teilaufgabe a) Substitutionalitfit
Teilaufgabe b) D : = (p: - 4 0 ) . (150 - 3pl
+P2)
dD~ _ 270 - 6pl + P2 = 0
clp~
daraus folgt: p2 = -270 + 6p:
D2 = (P2 - 5 0 ) . (400 - 4p2 + 2 p l ) dD2 = 6 0 0 - 8 p 2 + 2pl = 0
dp2
E i n s e t z e n d e r L 6 s u n g aus erster G l e i c h u n g .
Ergebnis: p l = 60, xl - 6 0 , p 2 = 90, x2 = 160, G e w i n n = D1 + D2 - K F = 5.040
TeilauJ~,abe c) Gge., = - 2 6 . 0 0 0 + 170pl + 560p2 - 3pl 2 - 4 p : 2 +
3pip2 - 2 . 5 6 0
CGge' - 170 - 6pl + 3p2 = 0
g~Gges = 560 + 3p~ c~2
8p2 = 0
A u s erster G l e i c h u n g folgt: p2 = -56,67 + 2p:, in z w e i t e G l e i c h u n g e i n s e t z e n .
Ergebnis (Preise wie im LOsungshinweis gerundet.t) : p l = 78, x; = 1 6 , p 2 = 100, x : = 156, G e w i n n = 5.848
Kapitel 4: Preisentscheidungen
55
Teilaufgabe d) p j = 0, xl = 0, De verfindert sich zu: D2 = (P2 - 50) • (400 - @2)
dD2 = 600 - 8p2 = 0
dp~
Ergebnis: p: = 75,x: = 100
Teilaufgabe e) H i n a u s k a l k u l i e r e n aus d e m M a r k t
Ansatz (Preise wie im LOsungshinweis gerundet.t) : A u s g a n g s p u n k t t = 0 : x 2 = 100
-
Startpreis: (2.560/100 + 50) • 1,1 = 84, zu d i e s e m Preis w e r d e n 64 Ment~ 2 verkauft
-
n e u e r Preis ffir den n/~chsten Tag: (2.560/64 + 50) - 1,1 = 99, zu d i e s e m Preis w e r d e n 12 Ment~ 2 v e r k a u f i usw.
Ergebnis: t - 1:x:=64; p 2 = 84 t - 2 : x 2 = 4; p2 = 99 t = 3: x: = 0, P2 = 759
Aufgabe 4.3:
Produktinterdependenzen
und Fixkostenallokation
(Ulrike Stefani) Eine U n t e m e h m u n g gliedert sich in z w e i B e r e i c h e B~ (i = 1,2), w o b e i j e d e r Bereich B~ ein Produkt x~ herstellt. D i e mOglichen P r e i s - A b s a t z - F u n k t i o n e n , d e n e n sich das U n t e m e h m e n a m M a r k t gegent~ber sieht, lauten wie folgt: x~ = 400 - 2 p l + p : x2 = 200 - 4 p 2 + p l .
Die P r e i s - A b s a t z - F u n k t i o n e n sind s o w o h l der Zentrale als auch den b e i d e n Bereic h e n bekannt. Die v a r i a b l e n K o s t e n pro Stttck x 1 bzw. x 2 b e t r a g e n
k! = 2 k2=4.
56
Obungen zur Intemen Untemehmensrechnung
a) Beschreiben Sie anhand der Vorzeichen in den beiden Preis-Absatz-Funktionen (+), welche m6glichen Formen von Interdependenzen zwischen den Produkten x~ und x 2 vorliegen k~Snnten. b) Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass substitutive Interdependenzen zwischen den Produkten x~ und x2 vorliegen. Welche deckungsbeitragsmaximalen Mengen x, und Preise p~ ,~arden sich ergeben, wema die Zentrale den Bereichen die aus ihrer Sicht optimale Wahl dieser Gr~JBen vorschreiben warde? Wie hoch ist der sich hieraus ergebende maximale Deckungsbeitrag? c) Welche Preise und Mengen wghlen die beiden Bereiche jeweils, wenn sie den Deckungsbeitrag in ihrem Bereich isoliert maximieren? Welche Bereichsdeckungsbeitr~ge resultieren hieraus? Ist ein solches Vorgehen f'ar die Zentrale vorteilhaft? d) Kann die Wahl der aus Sicht der Zentrale optimalen Preise und Mengen far die beiden Bereiche ein Nash-Gleichgewicht darstellen? e) Die Zentrale versucht, den Bereichen durch die Zurechnung fixer Kosten Anreize zur Wahl der aus ihrer Sicht optimalen Preis-Mengen-Kombinationen zu bieten. Wie hoch mt~ssten die zugerechneten Fixkostcnanteile pro abgesetzter Einheit jeweils far die Bereiche sein, wenn man unterstellt, dass die Zentrale die H6he der f'ar die Bereiche optimalen Preise kennt? f) Welcher Gesamtbetrag an Fixkosten miisste verrechnet werden, damit die Bereiche ihre isolierten Entscheidungen im [nteresse der Zentrale treffen? In welchem Verhgltnis werden diese Fixkosten auf die Bereiche aufgeteilt? Welches Problem tritt auf, wenn insgesamt nur 7.000 C an fixen Kosten vorhanden sind? g) Chef-Controller H. Astig in der Zentrale wendet jetzt zu Recht ein, dass man realistisch gesehen ja die Preis-Mengen-Kombinationen der beiden Bereiche gar nicht keime. Er vertritt allerdings die Ansicht, dass die Zurechnung von Fixkosten bei substitutiven Beziehungen zwischen den Produkten hie schaden k6rmte. 0berprafen Sie die Behauptung von/-L. Astig, wenn B1 Fixkosten von 68 C je St/ick und B: Fixkosten von 66 t~ je Sttick zugerechnet wfirden. Gehen Sie bei Ihrer Antwort davon aus, dass insgesamt 14.100 C an Fixkosten in der Unternehmung angefallen sind! h) Wie beurteilen Sie vor dem Hintergmnd Ihrer Ergebnisse aus e)-g) im Allgemeinen die Zuschlt~sselung fixer Kosten zur Verbesserung yon Preisentscheidungen, wenn Aspekte der Verhaltenssteuerung zu beracksichtigen sind?
Musterl~isung: Teilaufgabe a) xl = 400 - 2 Pl + P: x2 = 200 - 4p2 +p~
Kapitel 4: Preisentscheidungen
57
Je h6her der Preis des jeweils anderen Produktes, desto gr6Ber ist die nachgefragte Menge des jeweils betrachteten Produktes: Es liegen demnach substitutive Beziehungen vor. xl = 400 - 2 p t -P2
x2 = 200 - 4 p 2 - p z Je h6her der Preis des jeweils anderen Produktes, desto geringer die nachgefragte Menge des betrachteten Produktes: Es liegen somit komplementgire Produktbeziehungen vor.
TeilauJ~(abe b) Dz =(1ol - 2 ) ' ( 4 0 0 - 2 " P L +Pz)+(P2 - 4 ) ' ( 2 0 0 - 4 " P z +P~) Dz = 400. pl - 2 . p 2 + 214.p2 - 4 . p ~ +2-p~ "Pz - 1 . 6 0 0 aDz = 4 0 0 - 4. Pl + 2. P2 = 0
Op,
aDz - 2 1 4 - 8 . p 2 + 2 . p ~ = 0
ap2 p~ = 129,571; P2 = 59,143 ~ x~ = 200; x 2 = 93
D*z = D;z + D~z = 2 5 . 5 1 4 , 3 2 7 + 5 . 1 2 8 , 2 4 4 = 3 0 . 6 4 2 , 5 7
Teilaufgabe c) D 1 = ( p , - 2 ) - ( 4 0 0 - 2 - p ~ +P2) D I = 404. Pl - 2- p~ + Pl" Pz - 8 0 0 - 2. P2 0Dj = 4 0 4 - 4. pl + Pz = 0
ap,
Reaktionsfunktion Bereich 1: Pl = 1 0 | + 0 , 2 5 ' p 2 /)2 -- (P2 - 4). (200 - 4 "P2 + Pl) D z = 216. P2 -4.p~ +Pl "Pz - 8 0 0 - 4 . Pl
01)2 - 2 1 6 - 8 " P 2 + P l = 0
ap2
Reaktionsfunktion Bereich 2: P2 = 2 7 + 0,125.p~
58
Obungen zur Internen Untemehmensrechnung
LOsung des durch die beiden Reaktionsfimktionen gegebenen Gleichungssystems ergibt: p; =111,226; p; = 4 0 , 9 0 3 --', x; = 218,451; x~ = 1 4 7 , 6 1 4 /)1 = 23.860,529; D 2 = 5.447,399 --~ Dg¢~ = D 1 + D 2 = 29.307,928 < D z Der gesamte Deckungsbeitrag ist im Vergleich zur zentralen Optimierung gesunken! Teilaufgabe d)
Angenommen, B~ rectmet damit, dass B2 den aus Sicht der Zentrale optimalen Preis p; = 59,143 setzt. W~ire die unter a) ennittelte L6sung ein Nash-Gleichgewicht des Spiels zwischen den beiden Bereichen, mfisste die Wahl von p~ = 129,571 die optimale Reaktion yon B1 auf p~ = 59,143 sein. Im Fall von p; = 59,143, w~hlt BI je-
doch aufgrund der unter c) ermittelten Reaktionsfunktion folgenden Preis, folgende Menge und erzielt folgenden Deckungsbeitrag: p~ = 101 + 0,25.59,143 = 115,786 ~ p~ = 129,57t -> x~ = 227,571 --->D~ = 25.894,451 > D~z = 25.514,327 Gegeben p; = 59,143, warde BI den Preis Pl = 115,786 setzen, well es damit gegentiber dem aus Sicht der Zentrale optimalen Preis p ; = 59,143 einen h6heren Bereichsdeckungsbeitrag erzielt. Deshalb kann die unter b) ermittelte LOsung kein Nash-Gleichgewicht sein. Teilaufgabe e)
Wenn man fixe Kosten zurechnet, gelangt man eher zu den insgesamt optimalen Preisen, da die isoliert ermittelt optimalen Preise unter Teilaufgabe c) zu gering ausfallen. D~ = (PI - K~). (400 - 2. Pl + 1)2)
=
400. Pl - 2. p~ + p~. 202 400. K1 + 2- K~. p~ - K~. P2 - -
~DI = 4 0 0 - 4 . p ~ +P2 + 2 . K I = 0
Op,
p~ = 100 + 0, 25 . p ; + 0 , 5 . K l
D 2 = (I) 2 - K 2). (200 - 4.172 + Pl) = 200. P2 - 4. p22 + p~- l) 2 - 200. K 2 + 4. K 2 • P2 - K2" Pl 3D2 - 2 0 0 - 8 . p 2 +p~ + 4 . K 2 = 0
,vp2
p; = 2 5 + 0 , 1 2 5 " p ; +0,5"K2
Kapitel 4: Preisentscheidungen
59
Einsetzen von Pt und p~ aus Teilaufgabe b) ergibt: 129,571 = 100 + 0,25 • 59,143 + 0,5/(1 -'-') K 1 = 29,571 Der Fixkostenanteil, der Bereich 1 zugerecNaet werden mfisste, betragt folglich 29,571 - 2 = 27,571 pro Mengeneinheit. 59,143 = 25 + 0,125 • 129,571 + 0,5Ke ----) K2 = 35,893 Der Fixkostenanteil, der Bereich 2 zugerechnet werden mtisste, betr~igt 35,893 - 4 = 31,893 pro Mengeneinheit.
Teilaufgabe J) 27,571 • 200 + 31,893 • 93,01 = 8.480,568 mfissten an Fixkosten verrechnet werden, um zu einer optimalen Entscheidung zu gelangen. Bezeichne oc den Anteil, der an Bereich 1 verrechnet wird: 2 + ( a . 8.480,568):200 = 29,571 c~ = 0,65 An B2 mt~sste dann ein Anteil yon (1-o0 = 0,35 verrechnet werden. Sind insgesamt nur 7.000 ~ an Fixkosten vorhanden, k/3rmte die L/Ssung unter e), selbst bei Kennmis der Zentrale fiber die optimalen Preis-Mengenkombinationen, so nicht implementiert werden, da wohl kein Bereich die Zurechnung irgendwelcher fiktiven, d. h. die tatsachlichen Fixkosten fibersteigenden Betrgge akzeptieren wfirde.
Teilaufgabe g) Zun~tchst ist zu beachten, dass bei Zuschlfisselung fixer Kosten Gr6gen resultieren, die Bereichsgewinnen fitmlicher sind aLs Bereichsdeckungsbeitr~tgen. Somit ergeben sich flir Fixkosten yon 14.100 folgende Periodenerfolge der Untemehmung bei zenttaler (isolierter) Optimierung:
G z -- D z - K f -- 30.642,57 -14.100 = 16.542,57 Gges = Dges
-
K I = 29.307,928-14.100 = 15.207,928
L6st man das Gleichungssystem der Teilaufgabe e) nach p~ und P2 auf, dann erMlt man allgemein: 4 - ( 4 . K , +K2 +850 ) Pt =
31
2.(K, +8.K2 +600 ) ; P2 =
31
Aus der Aufgabenstellung folgt K I = K~ = 70. Es ergeben sich die folgenden Preise, Mengen, ,Bereichsgewinne' sowie der folgende Periodenerfolg der Unternehrnung:
60
lSlbtmgenzur Intemen Unternehmensrechnung Pl = 154,839; P2 = 79,355; xl = 169,68; x 2 = 37,42 G~ -- 14.395,231; G 2 -- 350,052 ~ G l + G 2 = 14.745,265 Zugerechnete Fixkosten:
169,68-68+37,42.66 = 14.007,74 < 14.100 Nicht zugerechnte Fixkosten: 14.100-14.007,74 = 92,258 G = 14.745,265 - 9 2 , 2 5 8 ~ 14.653 < Gge~= 15.207,928 Die vorgeschlagene Fixkostenzurechnung warde das Ergebnis keinesfalls verbessere! Die tiberhOhte Fixkostenzurechnung f'tthrt dazu, dass beide Bereiche jetzt wesentlich weniger als die optimalen Mengen unter b) herstellen. Der resultierende Periodenerfolg ist geringer als derjenige, der sich bei isolierter Optimierung durch die beiden Bereiche ergeben hgtte. Der Aussage, dass eine Zurechnung von Fixkosten bei substitutiven Beziehungen zwischen den Produkten ,, nie schadet", ist daher mit Skepsis zu begegnen.
Teilaufgabe h) substitutive Produkte: Wie in Teilaut~abe e) illustriert wurde, sind Simationen denkbar, in denen die Zuschltisselung fixer Kosten tendenziell zu einer ,,besseren" Entscheidung f't~hrt, da die isoliert ermittelten Preise zu gering sind. Wie Teilaufgabe g) gezeigt hat, k6nnten durch fiberhOhte Zurechnungen fixer Kosten jedoch auch leicht Situationen entstehen, in denen der sich dann ergebende Periodenertblg geringer ist als derjenige, der bei isolierter Optimierung erzielt wiirde. Um solche Fehler zu vermeiden, wt~rde die korrekte Bereclmung der anzulastenden Fixkostenanteile also voraussetzen, dass die Zentrale die optimalen Preis-Mengen-Kombinationen bereits kennt. Wema das der Fall ist, k6nnte sie diese Werte den Bereichen aber auch verbindlich vorschreiben und dies ggf. entsprechend t~berwachen, d.h. die Zurechnung von Fixkosten zur Verhaltenssteuerung erfibrigt sich. komplement~re Produkte: Die isoliert ermittelten Preise fallen zu hoch aus. Die Zurechnung fixer Kosten verschfirft das Problem. Man mfisste die Bereiche von Kosten entlasten, um zu optimalen Entscheidungen zu kommen. Es ist schwer vorstellbar, wie dies praktisch implementiert werden kOnnte.
Kapitel 4: Preisentscheidungen
Aufgabe
4.4:
61
Intertemporale Kosteneffekte und Programmplanung
Ein Unternehmen der chemischen Industrie ist alleiniger Anbieter eines bestimmten Produktes. Die Unternehmung m6chte far zwei Perioden ihre optimale Produktionsund Absatzstrategie bestimmen. Die Marktforschungsabteilung legt folgende Daten vor: t = 1; p(xl) = 11.000-11 .xl; K(x1) -- 100.000 + 4.400. x 1 t = 2; p(x2) = 12.100-12,1 .x2; K(xl ,x2) = 104.000 + 4.840. x~ -(1-0,001 .Xl) Dabei bezeichnen xl, x 2 die Produktionsmengen in den Perioden 1 und 2. Durch
p(xj) und K(...) (/ =1,2) sind die deterministische Preis-Absatz-Funktion bzw. Kostenfunktion derj-ten Periode gegeben. Die Erl6se und Kosten fallen jeweils am Periodenende an und sind in voller H6he zahlungswirksam. Lagerhaltung findet nicht statt. Der sichere Kapitalmarktzinssatz betr~igt i = 0,1 und die Untemchmung maximiert den Kapitalwert der Zahlungstiberschasse aus Sicht des Beginns der Periode 1. a) Welche Art von intertemporaler AbhSngigkeit liegt far diese Untemehmung vor? b) Wie lautet das optimale Produktions- und Absatzprogramm, wenn die Untemehmung die Produktionsmenge far jede Periode einzeln optimiert? c) Wie lautet das optimale Produktions- und Absatzprogramm der kapitalwertmaximalen L6sung? Wie sind die Abweichungen zu Teilaufgabe b) erkl/irbar? (Hinweis: Ftir c) ist die L6sung tiber ein Gleichungssystem zu bestimmen!) d) Die L6sung unter Teilaufgabe c) weist in diesem Fall eine Besonderheit auf. Zeigen Sie formal, wie sie zustande kommt? Kommentieren Sie generell die Auswirkungen des Kalkulationszinsfusses i auf die optimalen Mengen in den einzelhen Perioden. e) Bestimmen Sie die L6sung unter Teilaufgabe c) alternativ mit Hilfe der dynamischen Programmierung!
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Es gilt: c(xi) = -0,001 .x 1 ~ c'(x~) = -0,001 < 0 Mit zunehmender Menge xl nehmen die Grenzkosten der zweiten Periode ab, d.h. es liegt ein Lerneffekt vor.
62
t ~ u n g e n zur Intemen Untemetmaensrectmung
Teilaufgabe b) Optimiert die Untemehmung in jeder Periode einzeln, ergibt sich folgender Ansatz ( q = (1 + i ) ) ~ r d i e P e r i o d e n 1 u n d 2: Periode 1 :
G~ = p, (~,). Xl - K ( - kl. x~ M a x G, = ( ( 1 1 . 0 0 0 - 11 . x l) .x~ - 1 0 0 . 0 0 0 - 4 . 4 0 0 .x~ )- q xi
M a x G l = ( ( 6 . 6 0 0 - 11. x~). x~ - 1 0 0 . 0 0 0 ) . q ~ xl
dGl - ( 6 . 6 0 0 - 2 2
"x~).q-I = 0
dx 1 --4 x~ = 3 0 0 P e r i o d e 2:
G~ = p~ (x~). x2 - K~~ - ks (xl)" x2
MaxG 2 = ((12.100-12,1.x2).x
2 -104.000-4.840.(1-0,001.x~).x2).q-2
x 1 = 300
MaxG 2 = ((12.100-12,1.x2).x
2 -104.000-3.388.x2).q
-2
x2
dG2 = ( 1 2 . 1 0 0 - 3 . 3 8 8 - 2 4 , 2 dx2
. x 2 ) . q -2 -- 0
• 8.712 x2 - - - 360 24,2
Teilaufgabe c) Maximiemng
des Kapitalwertes
der (hier den Zahlungsfiberschfissen
den) Gewinne fiber beide Perioden:
M a x K W ( G) -_ _G1_ ( xI ) -t G~ (x~, x2) x. x2
(1 + i)
G 1 = (6.600-11
(1 + i) z
.x~). x~ - 1 0 0 . 0 0 0
G 2 = ( ( 1 2 . 1 0 0 - 12,1. x 2). x 2 - 1 0 4 . 0 0 0 - 4 . 8 4 0 . (1 - 0, 0 0 1 . x~). x 2 ) G 2 = 7 . 2 6 0 . x 2 - 12,1. x 2 + 4 , 8 4 . x ~ . x 2 - ] 0 4 . 0 0 0
M a x K W ( G) =
( 6 . 6 0 0 - 11. x 1). x I - 1 0 0 . 0 0 0
~,x2 -t
7.260. x 2
(1,1) -
-
12,1. x~ + 4, 8 4 . x 1 • )c2 (1,1) 2
-
-
104.000
emsprechen-
Kapitel 4: Preisentscheidungen
63
Optimierung:
cYKW -
OXl
cTKW 3x 2
6.600-22.x I (1,1)
~
4, 84.x~ (1, l) 2
- 0
7 . 2 6 0 - 2 4 , 2 . x 2 + 4,84.x~ = 0 (1,1) 2
6.000-20.x~ + 4 . x 2 = 0 6.000 +4.x~ - 2 0 . x 2 = 0 ---~xI = x 2 =375 Die Menge der ersten Periode tibersteigt die optimale Menge bei isolierter Optimierung in Periode 1. Dies beschreibt den Effekt einer ,,Investition in Erfahrung", d. h. die Untemehmung weicht bewusst v o n d e r Menge ab (xl = 300), welche den Gewinn der ersten Periode maximiert, um sp~itere Lerneffekte auszunutzen.
Teilaufgabe d) Eine einfache Umformung der Gewinngleichungen ergibt:
G
(lO.O00.(l+i)-(l+i).lO.x).x,-
(1+i)
100.000- 4.000.(1 + i).x,
(1+i)
(1G+'i)--(10.000-10.x,).x, -4.000.x,
100.000(1+i)
G~ =(lO.O00-10.x2).x2-4.0OO.x~.(1-O, OOl.x,)
(1+02
-
104.000 (1+i)~
Die entscheidungsrelevanten Gr6Ben Absolutglied der PAF, Steigung der PAF und zahlungswirksame St~ickkosten wachsen ftir den Spezialfall i = 0,1 yon Periode zu Periode gem~il3 dem KalkulationszinsfuB. Deshalb sind die produzierten Mengen in beiden Perioden gleich hoch. Generell gelten ftir das Beispiel folgende Zusammenh/~nge:
x~ (i) > x~ (i) flit i < 0,1 x~ (i) < x~ (i) far i > 0,1 dx--t-'< 0; Lira(x; (i)) = 300; Lim{x;(i)) = 360
di
i. . . .
i. . . .
Je h6her der KalkulationszinsfufS, um so geringer sind die optimalen Mengen in t = 1 und t = 2 und n~ihern sich far sehr hohe Werte von i den in Teilaufgabe b) ermittelten Mengen bei isolierter Optimierung an. Grunds~itzlich ist folgender tradeoff zu beachten: •
Fiir geringe i sind Abweichungen von der isoliert optimalen Menge xl = 300 weniger gravierend, da sie aufgrund des dann stark wirkenden Lemeffektes durch entsprechend h6here Gewilme in t = 2 kompensiert werden, welche ihrerseits nur wenig abdiskontiert werden. FOr diese iist die L6sung demnach
64
Ubungen zur Internen Unternehmensreclmung durch das Hauptmotiv ,,Ausnutzen von Lemeffekten" gekennzeichnet. Je geringer i, um so eher sind starke Abweichungen yon Xl = 300 optimal, was wiederum h6here Mengen x; (i) aufgrund des Lerneffektes bedingt. Im Fall hoher i verteuert sich das Ausnutzen von Lemeffekten entsprechend, denn Verzerrungen gegenfiber der eigentlieh optimalen Periodenmenge xl = 300 ftihren heute zu Gewinneinbugen, beseheren aber erst in der Zukunfi Mehrgewinne aufgrund des Lemeffektes, die datm sehr stark abdiskontiert werden. Je hgher also der Kalkulationszinsful3, um so weniger ist die Unternehmung bereit, zugunsten ktinftiger strategiseher l~berlegungen (Lemeffekte) auf heutige Gewiame zu verziehten. Dies w~tre etwa ein Beispiel far die negativen Auswirkungen einer sehr starken Inflation. Im Extremfall i ~ oo spielt der Lemeffekt dieselbe ,,passive" Rolle wie bei isolierter Optimierung, d. h. er wird zwar bei der Festlegung der optimalen Menge in t = 2 berticksichtigt, ver~ndert die optimale Menge in t = 1 jedoch nicht.
Teilaufgabe e) Dynamische Optimierung: Periode 2: Ermittlung der optimalen Produktionsmenge x; (x~), d. h. in Abhfingigkeit v o n d e r noch nicht spezifizierten Ausgangsentscheidung x 1 . G 2 = 6.000.x 2 - 1 0 . x 2 + 4 . X l "X2
104.000 (1+02
dG2 = 6.000 - 20- x 2 + 4. xl = 0 dx~ x;(x~) = x , + 300 5
Periode 1 : Ermittlung der optimalen Produktionsmenge x 1 , welm beriicksichtigt wird, dass zu Beginn der Periode 2 die
optima& Folgeentscheidung x; (x l) getroffen wird.
Kapitel 4: Preisentscheidungen
65
KW(Xl, x2) = KW(xl, xz (xl)) = K W ( x 1) = 6.000. x~ - 1 0 .x~
100.000 - 6 "- 0 0 0 "+x 2 ( 1 + i )
= 6.000. xj - 10. x~
100.000 +6.000. (1+0
X
4 . x I. ~ - + 3 0 0
104.000 (1 + i)2
- 10.x~ + 4 . x I .x 2 +300 - 1 0 .
+300
1
+
) 104.000 (1+i)2
=7.200.xj-9,6-xf
100.000
(1 + i)
104.000 (1 + 02
-
+900.000
d K W ( x l ) - 7 . 2 0 0 - 1 9 , 2 . x I = 0 ~ x I = 375 dx 1 Durch das sog. Roll-Forward kann jetzt der konkrete Wert yon x 2(xl) ermittelt wer-
den, --+x 2 =
+300
Aufgabe 4.5:
=(75+300)=375
Intertemporale Kosteneffekte und Verhaltensanreize
Der Medienkonzern Wime Tarner ~iberlegt, den Schlagers~inger Roberto Schnulznig zu engagieren. Da Roberto lediglich das Lied ,,Bergfeuer" in seinem Repertoire hat, kann er lediglich t'tir sehr kurze ,,Special Guest" Auftritte eingesetzt werden. Der Preis j e Auflritt folgt der Preis-Absatz-Funktion p, (x,) = 10.100 - 50x,, mit x, = Anzahl der Auftritte und t = 1,2. K, = 20.000+x,(100+25X,_l) beschreibt den Verlauf der zahlungswirksamen Kosten. Roberto hat bisher noch keine Auftritte absolviert. Falls Roberto von Wime Tarner engagiert wird, erh~ilt dieser zu Beginn der Kooperation (in t = 0) eine All-Inclusive Honorarzahlung in H6he von 500.000. Nach zwei Perioden besteht keine Nachfrage mehr nach Robertos Lied und die Zusammenarbeit wird jedenfialls beendet. Abzinsungseffekte, die aus dem unterschiedlichen zeitlichen Anfall der Zahlungen resultieren, werden yon Wime Tarrier vemachl~issigt (das heigt, Wime Tarner rechnet vereinfachend mit einem Zinssatz yon i = 0). a) Ermitteln Sie die aus der Sicht von Wime Tamer optimale Zahl der Auftritte far beide Perioden. Ist die Zusammenarbeit mit Roberto f'@ Wime Tarrier 6konomisch sinnvoll?
66
Obungen zur Intemen Untemehmensrechnung
b) Zur Betreuung des Kttnstlers werden PR-Manager eingesetzt, die a u f Grund der aufreibenden Tfitigkeiten jeweils nur eine Periode t/itig sind und deren Beurteilung anhand des erzielten Einzahlungs~iberschusses erfolgt. Gehen Sie davon, dass Roberto von Wime Tarner bereits engagiert wurde, und die beiden Manager nun autonom die Anzahl der Auftritte ft~r die jeweilige Periode festlegen k6nnen. Ermitteln Sie fttr den Manager der Periode 1 bzw. Periode 2 die sukzessiv isoliert optimale Zahl der Auftritte Robertos. c) Ist die Wahl der aus der Sicht von Wime Tarner optimalen Zahl der Auftritte ftir die beiden Manager ein Nash Gleichgewicht? d) Welchen Effekt h~itte die (zus~itzliche) Verrechnung nicht zahlungswirksamer Kosten im Kalkfil des Managers von Periode 1 sowie des Managers von Periode 2? e) Welcher Betrag an nicht zahlungswirksamen Kosten masste verrechnet werden, damit beide Manager ihre isolierten Entscheidungen im Interesse yon Wime Tarher treffen?
Musterl~isung: Teilaufgabe a) EZOc~ , = 10.O00x 1 + 10.O00x 2 - 50x~ - 50x~ - 25x I •x 2 40.000 -
-
8EZO~,, - - 10.000-100x I -25x 2 = 0
-
-
Ox2
- 1 0 . 0 0 0 - 1 0 0 x 2 - 25x~ = 0
--+ x~ = x 2 = 80 Die optimale Zahl an Auftritten ist identisch far beide Perioden und betr~igt jeweils 80. Die Zusammenarbeit zwischen Wime Tarner und Roberto ist 6konomisch sinnvoll, da i = 0 und die Bedingung: EZI~Iges > A mit 460.000 + 300.000 > 500.000 erfallt wird.
Kapitel 4: Preisentscheidungen
67
TeilauJgabe b) EZ(]I = 10.000xl - 50x 2 - 20.000 dEZ(]I = 10.000-100x~ = 0 --->x 1 = 100
EZfd 2 = 7.500x 2 - 50x22 - 20.000 dEZfd2 - 7 . 5 0 0 - l OOx2 = 0 dx 2 - + x 2 = 75 Die sukzessiv isoliert optimale Zahl an Auftritten wird von den PR-Managern f'tir Periode 1 mit 100 und ftir Periode 2 mit 75 festgelegt.
Teilaufgabe c) Nein. Manager 1 w~ihlt eine andere Zahl an Auftritten als ffir das U n t e m e h m e n optimal, wie die L6sung b) zeigt. Sein Gewinn bei sukzessiv isoliert optimaler Vorgehensweise betr~igt 480.000, der den Gewinn bei der ffir Wime Tarrier optimalen Menge yon 460.000 tibersteigt.
Teilaufgabe d) Da die von Manager 1 festgelegte Zahl an Auflritten, die bei sukzessiv isolierter Vorgehensweise zu hoch ist, 16st eine (zus~itzliche) Allokation nicht zahlungswirks a n e r Kosten eine Bewegung hin zur optimalen Menge ftir Wime Tarner aus. Umgekehrt ist eine zusfitzliche Allokation nicht zahlungswirksamer Kosten ftir Manager 2 zu beurteilen. Die yon M a a a g e r 2 sukzessiv isoliert optimal ermittelte Auftrittsanzahl ist bereits zu gering, eine weitere Zurechnung nicht zahlungswirksamer Kosten verstfirkt diesen Effekt. Konsequenz ist eine Bewegung weg y o n der fiir Wime Tarher optimalen Menge.
Teilaufgabe e) EZUl = 1 0 . 1 0 % - 5 0 g -
.xl - 20.000
dEZ(]l = 10.100 - k - 100x I = 0
dx,
---~xI = 8 0 einsetzen ~
k = 2.100
Die zahlungswirksamen Kosten betragen 100, der Rest a u f k = 2.100 ergibt die ertbrderliche H6he der zu verrechnenden nicht zahlungswirksamen variablen Kosten
68
Ubungen zur InternenUnternehmensrechnung
in H6he von 2.000. Dann w~ihlt Manager 1 die flit Wime Tamer optimale Zahl an Auftritten. Ausgehend yon dieser Zahl an Auftritten w~hlt Manager 2 ohne zus~itzliche Verrechnung nicht zahlungswirksamer Kosten die optimale Menge ffir Wime Tarrier in Periode 2.
Aufgabe 4.6:
Angebotskalkulation bei Ausschreibungen
Carlo Studentnig fertigt Anstecknadeln mit dem Logo seines Bundeslandes. Es erfolgt die 6ffentliche Ausschreibung tines Auftragcs fiber 100 Sttick, der ohne Engpfisse gefertigt werden k6nnte. Folgende Informationen stehen zur Verfiigung: Die variablen Kosten je Anstecknadel betragen 10, die vollen Kosten je Anstecknadel 21. Das Umrtisten des Stanzger~ites ist mit einmaligen Kostcn von 100 verbunden, das notwendige Einscannen einer Vorlage mit 750. Die Kosten der Anboterstellung betragen 125. Aufgrund bisheriger Erfahrungen mit 6ffentlichen Ausschreibungen geht Carlo yon folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung der Auflragserteilung aus:
(P(p) =
P 33
0 _
a) Welche Kosten sind f~ir die Ermittlung des optimalen Angebotspreises nicht entscheidungsrelevant? b) Ennitteln Sie den ft:r den risikoneutralen Carlo optimalen Angebotspreis! Soll Carlo ein Angebot abgeben? c) Ennitteln Sie den optimalen Angebotspreis, wenn Carlos Untemehmen voll ausgelastet ist und Auftrfige mit einem Deckungsbeitrag von 250 verdr~ingt werden und eine Konditionalstrafe yon 50 fgllig wird! Soll Carlo ein Angebot abgeben?
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Nicht entscheidungsrelevante Kosten sind die Fixkosten (weil Unterbesch~iftigung) und die Kosten der Angeboterstellung (sunk costs). Teilaufgabe b) Die relevanten Sttickkosten betragen 10 + scheidungsproblem:
100+750 - 18,5. Damit lautet das Ent100
Kapitel 4: Preisentscheidungen
E(D) = (p -
69
D
18, 5). (1 - ~3 )
dE(D)_l_2P+ dp 33
18,5 = 0 33
p = 25, 75 Der optimale Angcbotspreis betr~igt 25,75, die Wahrscheinlichkeit ~ ( p ) , den Auftrag zu erhalten damit 21,97 %. Der erwartete Deckungsbeitrag im Zeitpunkt der Entscheidung fiber eine Angebotslegung betr~tgt damit: D = 0, 2197. (25, 75 - 18, 5). 100 = 159, 28. Da dieser die Kosten der Angebotserstellung von 125 fibersteigt, ist die Abgabe eines Angebotes daher ffir misch sinnvoll.
Carlo 6kono-
Teilaufgabe c) Die relevanten Stfickkosten betragen nun 10 +
100+750+250+50 100
= 21,5. Damit
lautet das Entscheidungsproblem: E(D) = (p - 21, 5). (1 - P )
dE(D)_l_2p+21,5:0 dp 33 33 p = 27,25 Der optimale Angebotspreis betr~igt nun 27,25, die Wahrscheinlichkeit ~ ( p ) , den Auftrag zu erhalten sinkt damit auf 17,42 %. Der erwartete Deckungsbeitrag im Zeitpunkt der Entscheidung fiber eine Angebotslegung betrfigt nun: D = 0,1742. (27, 25 - 21, 5). 100 = 100,17 und ist geringer als die Kosten der Angebotserstellung. Die Abgabe eines Angebotes ist daher ffir mehr sinnvoll.
Carlo 6konomisch
Relevante Fallstudien:
Fallstudie 3 (Preisuntergrenzen in einem sequentiellen Modell)
nicht
Kapitel 5:
Entscheidungsrechnungen bei Unsicherheit
Aufgabe 5.1:
Varianten der deterministischen Break-EvenAnalyse
Carlo Studentnig plant, beim Schulfest seines kleinen Bruders einen Getrfinkestand zu betreiben und zur Erfrischung das Getr~nk Eskimoflipp (Leitungswasser mit Eiswiirfel) anzubieten. Da die Wettervorhersage den Fortbestaald der Hitzewelle verspricht, rechnet Carlo mit einem Absatz yon mindestens 75 Litern und NSchstens 83 Litem. Carlo portioniert dem G~istewunsch entsprechend jede beliebige Nachfragemenge flexibel in Bechem. Die Fixkosten belaufen sich auf 12, wovon 3 nicht zahlungswirksam sind. Der Verkaufspreis je Liter betr~igt 0,27, bei variablen Kosten von 0,12. a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der Erreichung der Break-Even-Menge, der Menge zur Deckung der zahhmgswirksamen Fixkosten sowie der Menge zur Erreichung eines Mindestgewimles von 0,3. b) Carlo geht nach Durchsicht der G~isteliste von einer Planmenge von 82 Litem aus. Ennitteln Sie Sicherheitskoeffizienten und Operating Leverage bezogen auf die Break-Even-Menge und bezogen auf die Break-Even-Menge der zahlungswirksamen Fixkosten. c) Carlo erwtigt, einen gr613eren Stand mit Gehilfen zu betreiben und daftir das Sortiment zu erweitem. Er geht dabei von folgenden Absatzmengen in Litern, Preisen und variablen Kosten seiner Getrgnke aus: Eskimoflipp
Kir Royal
Tomatensaft
Wudbeiserbeer
Preis
0,27
9
4
7
var. Kosten
0,12
5
2
5
82
30
50
39
Absatzmenge
Ermitteln Sie den Break-Even-Umsatz nach der optimistischen und pessimistischen Variante sowie nach der Variante mit konstantem Produktmix, wenn die Fixkosten 150 betragen.
72
l]bungen zur Intemen Untemehmensrectmung
Musterl6sung: T e i l a u f g a b e a)
F(x)
x-75 83-75
Break-Even-Menge: =
12 0,15
= 80 Liter
Break-Even-Menge, zahlungswirksame Kosten: =
9 0,15
= 60 Liter
* Wahrscheinlichkeit des Erreichens der Break-Even-Menge: P r = 1 - F(80) = 0,375
• Wahrscheinlichkeit des Abdeckens der zahlungswirksamen Fixkosten betr~igt 1. • Wahrscheinlichkeit des Erreichens eines Mindestgewimaes von 0,3: P r = 1 - F(82) = 0,125.
T e i l a u f g a b e b)
Bezogen auf Break-Even-Menge: S K = 82 - 80 . 100 = 2,44 %
82 Der geplante Absatz kalm um 2,44 % zurackgehen, ohne dass C a r l o in die Ver|ustzone ger~it. OL - - -
1
0, 0244
- 40,98
Die relative Gewiim~nderung betr~igt das 40,98-fache der relativen Umsatz~inderung. Bezogen auf die Menge zur Abdeckung der zahlungswirksamen Fixkosten: SK = 26,83 % Der geplante Absatz kann um 26,83 % zurtickgehen, erst dann kann C a r l o seine zahlungswirksamen Fixkosten nicht mehr abdecken. O L = 3,73
Die relative Gewinn~inderung betr~igt das 3,73 fache der relativen Umsatz~nderung, wenn ausschlieBlich die zahlungswirksamen Fixkosten bei der Gewirmermittlung bert~cksichtigt werden.
Kapitel 5: Entscheidungsrechnungbei Unsicherheit
73
Teilaufgabe c) Eskimoflipp
Kit Royal
Tomatensaft
Wudbeiserbeer
0,15
4
2
2
0,555555
0,444444
0,5
0,285714
DB DB/E
Reihung in der optimistischen Variante (beginnend mit dem Produkt mit der h6chsten Deckungsbeitrag-Umsatz-Relation): O Eskimoflipp I~ Tomatensaft O Kir Royal • Wudbeiserbeer Break-Even-Umsatz: Kumulierter Gewinn
Produkt
Kumulierter Umsatz
-150 - 137,7
Eskimoflipp
22,14
-37,7
Tomatensaft
222,14
0
Kir Royal
306,97
Reihun~ in der pessimistischen Variante (beginnend mit dem Produkt mit der niedrigsten Deckungsbeitrag-Umsatz-Relation): O Wudbeiserbeer t~ Kir Royal O Tomatensaft O Eskimoflipp Break-Even-Umsatz: Kumulierter Gewinn
Produkt
Kumulierter Umsatz
-150 -72
Wudbeiserbeer
273
0
Kir Royal
435
Variante mit konstantem Produkmlix: 310,3 Deckungsbeitrag-Umsatz-Relation des Absatzprogramms - - - 0,405547 765,14 Break-Even-Umsatz = 369,87
Ubungen zur Internen Untemehmensrechnung
74
Aufgabe 5.2:
Stoehastisehe Break-Even-Analyse
Der Getr:ankestand Ice T. vertreibt als einziges Produkt den Energy Drink ,,Cool man". An j~ahrlichen Fixkosten (Standmiete, div. Abgaben etc.) fallen 49.000,- an. Der Verkaufspreis fiir eine Dose des Energy Drinks betr~igt 12,-, bei variablen Kosten von 5,- je Dose. Die Absatzmengen sind im Intervall [2.000, 20.000 Dosen] gleichverteilt. a) Ermitteln Sie die Dichtefunktion f(x) und die Verteilungsfunktion F(x) der Absatzmengen und bestimmen Sie die Break-Even-Wahrscheinlichkeit! b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten, mit der Ice T. einen Gewinn in H6he von bl) 28.700,b2) 93.800,erwirtschaftet. c) Wie hoch ist der Erfolg, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % iiberschritten wird? d) Ein bekannter Interpret w~ire bereit, das Lied ,,It's cool man" als Werbemagnahme vor dem Getr~tnkestand zu intonieren und anschliel3end eine Autogrammstunde abzuhalten. Daftir wtirden zus~itzliche Kosten in H6he von 8.400,- anfallen und die Absatzobergrenze wtirde auf 24.000 bei ansonsten unver~inderten Daten angehoben werden. Wie lautet ihre Entscheidung unter dem Kriterium einer d l) Wahrscheinlichkeitsmaximierung far einen Mindestgewinn von 28.700. d2) Ergebnismaximierung f'tir die vorgegebene Wahrscheinlichkeit in H/She von 72%. e) Wie ver~indert sich die Entscheidung unter d2), wenn dutch den Auftritt x_anstelle von 2.000 Dosen den Wert 4.000 annimmt?
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Dichtefunktion ~x) -
20.000 - 2.000
Verteilungsfunktion F(x) =
x - 2.000 20.000- 2.000
Break-Even-Wahrscheinlichkeit = 1 - F(7.000) = 0,722222
Kapitel 5: Entscheidungsrechnung bei Unsicherheit
75
Teitaufgabe b)
bl) Wahrscheinlichkeit Gewinn von 28.700:
Pr = 1 - F ( 1 1 . 1 0 0 ) = 0 , 4 9 4 4 4 4
b2) Wahrscheinlichkeit Gewinn yon 93.800:20.400 enthalten,
Sttick n i c h t i n D e f i n i t i o n s m e n g e
Pr = 0
TeilauJgabe c) x - 2.000 1 - 0,6
--
2 0 . 0 0 0 - 2.000 x ~ 9.200 Dosen G(9.200) = 15.400
Teilaufgabe d)
dt) * ohne Werbung: •
Pr = 1 - F ( l l . 1 0 0 ) = 0 , 4 9 4 4 4 4 x - 2.000
mit Werbung: neue Verteilungsfunktion:
2 4 . 0 0 0 - 2.000
Pr = 1 - F ( 1 2 . 3 0 0 ) = 0 , 5 3 1 8 1 8 E n t s c h e i d u n g : M a l 3 n a h m e durchf'lihren.
Ergebnis ohne Werbung: G = 7. [20.000 - 0,72. (20.000-2.000)] - 49.000 = 280 Ergebnis mit Werbung: G = 7. [24.000- 0,72. (24.000-2.000)]- 57.400 = -280 Entscheidung: Magnahrne nicht durchftihren.
Teilaufgabe e) E r g e b n i s m i t W e r b u n g : G = 7 - [ 2 4 . 0 0 0 - 0,72 • ( 2 4 . 0 0 0 - 4 . 0 0 0 ) ] - 5 7 . 4 0 0 = 9 . 8 0 0 Entseheidung: Maf3nahme durchfiihren
76
Aufgabe 5.3:
Obungen zur lntemen Unternehmensrechnung
Preispolitik und Unsicherheit
Der Junguntemet~rter Carlo Studentnig erw~tgt, sein Umemehmen zu vergr6f~em. Ausgangspunkt sind folgende lJberlegungen: Carlo kOnnte einen Schneepflug der Marke ,,Mammut Gigant" ankaufen, wobei sich folgende Gewinnsituation in Abhfingigkeit der Schneesituation ergibt: Leichte Schneef~ille
mittlere Schneef~ille
schwere Schneeffille
Gesamterl6se
400.000,-
1.400.000,-
2.000.000,-
Gesamtkosten
1.300.000,-
1.200.000,-
1.300.000,-
Altemativ kOnnte Carlo einen kleinen Traktor einsetzen, wobei folgende Planwerte ermittelt wurden: leichte Schneef~ille
mittlere Schneef~ille
schwere Schneet~ille
Gesamterl6se
250.000,-
600.000,-
950.000,-
Gesamtkosten
400.000,-
500.000,-
600.000,-
Carlo besitzt gute Kontakte zur Wetterwarte auf der Hohen Scharte, und KarlMichael Belle-MiTdi hat exklusiv far den Betrachtungszeitraum eine Vorhersage zur Verfagung gestellt: Leichte und mittlere SclmeeP~ille sind mit einer Wahrscheinlichkeit vonje 30 % zu erwarten. a) Erstellen Sie far den risikoneutralen Carlo zur L6sung des Problems einen Entscheidungsbaum[ Wie soll er sich entscheiden? b) Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit leichter Sctmeef~ille sein, damit Carlo zwischen den beiden Alternativen indifferent ist und mittlerer und leichter Schneefall weiterhin gleich wahrscheinlich sind? c) Die Stadtverwalmng als Auftraggeber der Schneer~iumtmgsarbeiten ist an einer einheitlichen ,,Mammut-Gigant" Staffel seiner Gesch~iftspartner interessiert. Daffir wfire sie auch bereit, eine Subvention im Falle leiehten Sclmeefalls zu zahlen. Wie hoch mfisste diese mindestens sein, dmnit Carlo indifferent in der Fuhrparkgestaltung ist?
Kapitel 5: Entscheidungsrechnung bei Unsicherheit
Musterl6sung: Teilaufgabe a)
0,4 0,3 0,3
0,4
K a u f des Traktors 6konomisch sinnvoller, da EU(Traktor) > EU(Mammut-Gigant).
Teilaufgabe b) Ansatz: (1 - 2 . p ) . 700.000 + p . 200.000 + p . (-900.000) = (1 - 2 . p ) . 350.000 + p . 100.000 + p . (-150.000)
Ergebnis: p = 0,2593
Teilaufgabe c) Ansatz : 0 , 4 - 700.000 + 0,3 • 200.000 + 0,3 • (-900.000 + Subv.) = 125.000
Ergebnis: Die erforderliche Subvention betrfigt 183.333,33.
77
Obungen zur InternenUnternehmensrechnung
78
Aufgabe 5.4:
Programmplanung bei risikoaversem Entscheidungstriiger und stochastischen Deckungsbeitr~igen
Sarah Strebernig bereitet fttr den Weihnachtsmarkt zwei Teemischungen zum Ausschank vor: Produkt 1 ist eine FrUchteteemischung, Produkt 2 Gltthwein. Die erzielbaren Preise fin- die beiden Produkten sind abh~ngig vom Wetter, Sarah geht in ihrer Planung vereinfachend von zwei m{Sglichen Zustanden, warme (Zustand 0i) und kalte (Zustand 02) Temperaturen aus. Die wetterabhangigen Deckungsbeitr~ige und die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zust~inde betragen. Zustand 01
Zustand 02
Wahrscheinlichkeit far die Zustfinde
0,6
0,4
Deckungsbeitrag Produkt 1 (xl) je Liter
31
33
Deckungsbeitrag Produkt 2 (x2) je Liter
20
45
Zur Verfeinerung der Endprodukte wird far jede Teemischung eine exquisite Gew~irzkombination verwendet, v o n d e r im betrachteten Zeitraum 2.100 kg zur Verfagung stehen. Jede Teemischung ben6tigt je Liter Tee jeweils 2 kg dieser Gewiirzkombination. Far beide Produkte existieren keine Absatzobergrenzen, und es fallen keine Fixkosten an. Die Festlegung des Produktionsprogramms muss vom Amt far Weihnachtsdekoration (MA 2412) genehmigt werden und erfolgt, bevor der tats~tchtiche Umweltzustand bekannt wird. Die Nutzenfunktion von Sarah ist logarithmisch und weist folgende Fon~ auf: U(D) = ln(D). a) Ermitteln Sie ftir Sarah das nutzenmaximale Produktionsprogramm, wobei die Produktionsmengen der Teemischungen beliebig teilbar sind. b) In Ab~andcrung der obigen Datensituation betrfigt nun der Deckungsbeitrag yon Produkt 1 mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit 31,- oder 33,-. Der Deckungsbeitrag von Produkt 2 betrfigt mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % 20,-, mit 60 % 45,-. Die Deckungsbeitrgge der beiden Produkte sind nun stochastisch unabh~ingig. Ermitteln Sie far Sarah das nutzenmaximale Produktionsprogramm far diese ge~_nderte Datensituation.
Musterli~sung: Teilaufgabe a) Das Optimierungsproblem lautet: Max LG = 0, 6. ln(3 lx 1 + 20x 2) + 0, 4. ln(33xI + 45x 2) - A. (2xl + 2x 2 - 2.100) u.d.B.: xj > 0, i =1,2.
Kapitel 5: Entscheidungsrechnung bei Unsicherheit
79
Die Optimalit~itsbedingungen lauten:
OLG 18,6 13,2 --+ 3x1 3 I x t + 2 0 x 2 33x~ + 4 5 X 2 OLG - -
12
18
-
Ox2 0LG
+
31x 1 + 2 0 x 2
-
22=0
2A
=
0
33xl + 4 5 x 2
2x l - 2 x 2 + 2 . 1 0 0 = 0
Die L6sung des Gleichungssystems lautet: A = 0,00048, x 1 = 1.598, 86, x 2 = -548, 64 Diese ftihrt zu einer nicht zul~issigen negativen Menge far x2, das optimale Produktionsprogramm lautet daher: xl = 1.050, x2 = O, Sarahs erwarteter Nutzen betr~igt EU(D) = 10,4155
Hinweis zur vereinfachten LOsungsermittlung: Ober die Armalune, dass die Restriktion voll ausgesch6pft wird, ergibt sich der Zusammenhang xl = 1.050 - x2, der in die Zielfimktion eingesetzt zum vereinfachten Optimierungsproblem M a x E U ( D B ) = 0, 6. ln(32.550 - 1 lx 2) + 0, 4. ln(34.650 + 12x 2) u.d.B.: x, >_ 0, i =1,2 f'tthrt. Die Optimalit~itsbedingung lautet dram:
OEU(DB)
6,6
_
Ox2
3 2 . 5 5 0 - 1 lx 2
-t
4,8
-0
34.650 +12x 2
Die L6sung der Gleichung fahrt zur selben nicht zul~issigen negativen L6sung wie oben, x2 = - 548,64 und damit zum selben optimalen Produktionsprogramm.
Teilaufgabe b) Durch die ge~inderte Datensituation sind nun vier m6gliche Deckungsbeitragskombinationen m6glich. Das Optimierungsproblem lautet nun:
Max L G = 0,2 • l n [ 3 1 x / + 20x2] + 0,2 • l n [ 3 3 x / + 20x2] + 0,3 • ln[3 l x l + 45x2] + 0,3 • i n [ 3 3 x / + 45x2] - )~[2xl + 2x2 - 2.100] u.d.B.: xi > 0, i =1,2.
80
0bungen zur Internen Unternehmensrechnung
Die O p t i m a l i t / i t s b e d i n g u n g e n lauten:
OLG
6,2
6,6
9,3
9,9
cqxt
31x I + 2 0 x 2
33x~ + 2 0 x 2
31x: + 4 5 x 2
33x~ + 4 5 x 2
8LG
- -
Ox2
~LG
4
-
4
~
31x 1 + 2 0 x 2
13,5
÷
33xl+20x 2
13,5
~
31x 1 + 4 5 x 2
22. = 0
22
= 0
33x~+45x 2
- 2x~ + 2x 2 - 2100 = 0
Die L 6 s u n g e n des G l e i c h u n g s s y s t e m s lauten: { Z = 0,00048, x: = 4 0 1 , 4 1 7 x 2 = 648,583 } bzw. die b e i d e n nicht zul~issigen L6sungen { 2 = 0 , 0 0 0 4 8 , x I = - 1 . 7 6 8 , 2 1 , x 2 = 2 . 8 1 8 , 2 1 } u n d { 2. = 0, 00048, x~ = 3.665,96, x 2 = - 2 . 6 1 5 , 9 6 }.
Dies fiShrt zu d e n zul~ssigen P r o d u k t i o n s p r o g r a m m e n : P r o d u k t i o n n u r xl: xz = 1.050, x2 = 0, EU(D) = 10,4218. P r o d u k t i o n n u r x2: xl = 0, x2 = 1.050, EU(D) = 10,4388. Beide Produkte i m P r o g r a m m : xr = 401,417, x2 = 648,583, EU(D) = 10,4511.
Der Vergleich der N u t z e n e r r e i c h u n g zeigt die Optimalit~it der ,,inneren" L6sung, Sa-
rah erzielt d e n grN3ten erwarteten N u t z e n m i t d e m P r o g r a m m xl = 401,417, x2 = 648,583.
Hinweis zur vereinfachten LOsungsermittlung: W i e d e r u m tiber die A t m a h m e wie unter a), dass die Restriktion r o l l ausgesch6pft wird, ergibt sich der Z u s a m m e n h a n g x~ = 1.050 - x2, der in die Z i e l f u n k t i o n eingesetzt wird. Das O p t i m i e r u n g s p r o b l e m lautet darm
Max E U ( DB) = 0, 2. in(32.550 - 1 lx 2) + 0, 2- ln(34.650 - 13x 2) + 0, 3- ln(32.550 + 14x 2) +0, 3. ln(34.650 + 12x2) u.d.B.: x, >_0, i =1,2. Die O p t i m a l i t g t s b e d i n g u n g lautet:
dLG dx2
- -0,2
11 32.550-11x 2
0,2
13 34.650-13x 2
+0,3.
14 32.550+14x 2
+-0,3.
12 34.650 + 12x2
Die L 6 s u n g e n des G l e i c h u n g s s y s t e m s f a h r e n zur s e l b e n L 6 s u n g wie oben.
Kapitel 5: Entscheidungsrechnungbei Unsicherheit
81
Allgemeiner Hinweis zur LOsung unter b) : Im Gegensatz zur Teilaufgabe a) gestaltet sich die L6sung des Gleichungssystems der Optimalitfitsbedingungen sehr schwierig und bedarf i.d.R, der Untersttitzung durch eine geeignete Software! Also bitte verzweifeln Sie nieht an der Suche nach gemeinsamen Nennem und der ansehliel3enden Umfommng und Aufl6sung der Gleichungen. Gratulation, wenn Sie es ohne ,,technische" Unterstfitzung geschafft haben!
Aufgabe 5.5:
Grundziige der State Preference Theorie und ,,Spanning"-Eigenschaft yon Kapitalm~irkten
Auf einem Kapitalmarkt, der die ,,Competitivity"-Eigenschaft erfallt, k6rmen drei Wertpapiere unbegrenzt gehandelt werden. Leerverk~iufe sind zul~ssig. Die Wertpapiere weisen folgende zustandsabh~ngige Rt'lckflussstruktur auf:
WP1 = [2, 4, 6], WP2 = [1, 1, 4], WP3 = [2, 0, 0]. WP1 kostet heute 3,6 GE, WP2 2 GE und WP~ ? GE. Femer ist bekannt, dass sich risikolose Anlagen mit i = 25 % verzinsen. a) Weisen Sie nach, dass dieser Kapitalmarkt die ,Spanning"-Eigenschaft erNllt! b) Bezeichne A die N ( = Anzahl der Wertpapiere) x M (= Anzahl der Umweltzustgnde) Matrix der Rf3ckflussstrukturen eines Kapitalmarktes mit ,,Spraining". Sei R der N x 1 Spaltenvektor einer gewanschten R~ickflussstruktur und __VeinN x 1 Spaltenvektor von Anteilen an den N Wertpapieren. Leiten Sie eine Matrizengleichung zur Bestimmung der v c V ab. c) Der Investor A'. Ngstlich m6chte ein Portefeuille mit folgender Rfickflussstruktur zusammenstellen: [100, 100, 100]. Wie viel Wertpapiere WP~, WP: und WP3 muss er dafttr erwerben bzw. leer verkaufen? d) Bestimmen Sie aus den vorhandenen Informationen den heutigen Preis von WP3! e) Wie viel kosten die Rackflussstrukturen [1, 0, 0], [0, 1, 0] und [0, 0, 1] auf diesem Kapitalmarkt? Wie bezeichnet man solche Wertpapiere? f) Die High Risk Corporation rectmet mit einer Rtickflussstruktur von [2000, 500, 2500] aus ihrem gegebenen Investitionsprogramm. Ferner erw~gt sie, ein Investitionsprojekt mit einer Investitionsauszahlung Io = 500 und der Rfickflussstruktur [1000, 1000, 200] zu realisieren. Welchen Wert h~ttte eine Aktie der High Risk Corporation vor Durchf0hrung der Investition? Soilte die Investition durchgefahrt werden?
82
Obungen zur IntemenUntemehmensrectmung
Musterl6sung: Teilaufgabe a)
,,Spanning" liegt vor, were1 die Riiekflussvektoren der 3 Wertpapiere linear unabhdngig sind. Ein Weg, dies zu zeigen, ist der Nachweis, dass die Determinmate der Matrix A nicht 0 wird. Far das Beispiel gilt:
DETA =
[i4i] 2:64 1
=2.(16-6)=20>0
0
Der Kapitalmarkt im Beispiel erFtillt also die ,,Spanning"-Eigenschaft. Sofern Leerverk/~ufe zulfissig sind, l~isst sich j e d e beliebige R~ekJlussstruktur aus WPt - WP3 herstellen. Mathematisch l~iuft dies darauf hinaus, dass ein durch A gegebenes Gleichungssystem eineindeutig 16sbar ist. Okonomisch bedeutet dies, dass dumb beliebige 6konomische Entscheidungen der Marktteilnehmer keine Oberschussstrukturen entstehen dtirfen, die sich nicht aus bereits vorhandenen Wertpapieren zusammenstelten lassen. Angesichts der sehr hohen Zahl yon in der Realitfit m6glicher Umweltzust~inde im Verh~iltnis zu real gehandelten Wertpapieren mag dies unrealistisch erscheinen. Neuere Forschungen auf dem Gebiet der Finanzierungs- und Kapitalmarkttheorie deuten jedoch darauf hin, dass sich dutch Finanzderivate (Optionen, etc.) M~trkte in diesem Sirra ,,vervollst~ndigen" lassen. Teilaufgabe b)
Wenn M = N Umweltzust~nde existieren, mtissen also auch N linear unabh~tngige Rtickflussvektoren existieren. Mma erh~ilt folgendes lineares Gleichungssystem in Matrizenschreibweise: A ' x V = R --+ V = A '-1 x R
Man erh~tlt also den gewanschten Vektor, indem die Inverse der transponierten Matfix der Rticldlussstrukturen yon links an den Rtickflussvektor multipliziert wird. Die v bemltworten dabei die Frage, in welchem Verh~iltnis die einzelnen Wertpapiere des Marktes erworben bzw. leer verkauft werden mtissen, um eine gewanschte Rtickflussstruktur herzustellen. Teilaufgabe c)
Die L6sung yon ,4] Ngstlichs Problem ergibt sich also aus folgendem Ansatz:
Kapitel 5: Entscheidungsrechnung bei Unsicherheit
A=
[i 4 it 1
--+ A ' =
0
83
fili] iool ivll 1
; _R=~100[; _V= v 2
4
[100~
v3
-F6
A'-~= 0
I-°
V3
=
_
1],,I]
1
5 1
2
lO
lO_1
,
lO
0 V2
_3
1
- 73 1
2
10
0
~2
r~ool
~o
× 11001 = -2o 1 [lOO/ 30
10
Um die sichere Riickflussstruktur [100, 100, 100] zu erwerben, muss A. Ngstlich also heute 30 WPI und WP3 erwerben und -20 WP2 leer verkaufen. Tritt bspw. Umweltzustmad 01 ein, dalm erh~ilt er 2 - 30 - 1.20 + 2 • 30 = 100. Analoges gilt f~ir 02 und 03.
Teilaufgabe d) A. Ngstlich hat ein risikoloses Portefeuille erworben, welches ihm unabh~ingig vom Umweltzustand 100 GE einbringt. Wenn WP1 heute 3,6 Geldeinheiten (GE) kostet und WPe 2 GE kostet und die sichere Anlage sich mit 25 % verzinst, muss fttr dieses Portefeuille gelten: (30-3,6 - 2 0 . 2 + 30. W3). 1,25 = 100 ~ W3 = 0,4
Teilaufgabe e) Gefragt ist nach den Bewertungsfaktoren ,6, (0,) (i =1,2,3). Diese ergeben sich aus der L6sung des folgenden linearen Gleichungssystems:
2./?~ +4./72 + 6 . f l 3 - 3 , 6 = 0 /?~ + fl2 + 4" /73 - 2 = 0 2-/?~ - 0 , 4 = 0 --+/?~ = 0 , 2 ; , 8 2 = 0 , 2 ; / ? 3 = 0 , 4 1 zur Kontrolle : fl ~+p 2+/? 3= 0,8 = - - --> i = 0,25 1+i
84
l~lbungenzur Internen Unternehmensrechnung
Teilaufgabe J) Der heutige Marktwert einer Aktie der High Risk w ~ e : 0,2 • 2.000 + 0,2 • 500 + 0,4 • 2.500 = 1.500 Das Investitionsprojekt hat die Riickflussstruktur [1.000, 1.000, 200] und eine Investitionsauszahlung y o n Io = 500. A u f g m n d der Eigensehafl der Wertadditivitgit kann es unabh~ingig v o m Basisprogramm beurteilt werden --~ Marktwert des Projektes: 0,2 • 1.000 + 0,2 • 1.000 + 0,4 • 200 - 500 = -20. Das Investitionsprojekt ftihrt zu einer Marktwertverminderung und sollte deshalb unterbleiben.
Aufgabe 5.6:
Risikoanalyse durch Simulation
Stan L. und Oliver H. wollen die Gourmet GmbH grfinden, urn ein Internet-Service Unternehmen zu er6ffnen. Diese nimmt per E-Mail Auftr~ige fiir individuell belegte Sandwiches an, die den Kunden im Frankfitrter Bankenviertel dann per Fahrradkutier zugestellt werden. Obwohl die beiden von ihrer Idee begeistert sind, ist der ins Auge gefasste Venture Capitalist S. Ceptic wohl nur durch harte Fakten und solide Planungsrechnungen zu fiberzeugen, das ben6tigte Startkapital gegcn eine Unternehmensbeteiligung yon 20% zur Verftigtmg zu stellen. S. Ceptie verhalte sieh dabei risikoneutral und wiirde sich dann beteiligen, wenn der Erwartungswert der w6chentlichen Gewinne der Gourmet GmbH positivist. Da diese Aufgabe Stan und Oltie fiberfordert, wenden sie sich gegen ein entsprechendes Zahlungsverspreehen an Sie, urn die ben6tigten Daten zur Verftigung zu stellen. Sie ihrerseits wenden sich an die Firrna Cube Consult und erhalten naeh entsprechender Zahlung folgende Wahrscheinlichkeitstabelle l°th" die Bestilnmungsfaktoren der w6chentlichen Gewinne und einen Zufallsgenerator in Gestalt eines norrnalen Wt~rfels. Bez~glich der Wahrscheinlichkeitseinschfitzungen gilt:
Parameter Preisp Menge x Var. Kosten k
Niedrig
Mittel
Hoch
Pr (p = 4) = 1/6
Pr (p = 5) = 1/2
Pr (p = 8) = 1/3
Pr (x = 1000)= 1/3
Pr (x = 5000)= 1/3
Pr (x = 10.000)= 1/3
Pr (k = 0,4) = ]/3
Pr (k = 0,8) = 1/3
Pr (k = 2) = 1/3
Die sicheren w6chentlichen Fixkosten for Mieten und Hilfspersonal zum Belegen der Sandwiches belaufen sich auf 20.000 C. Laut A n w e i s u n g Cube Consult werfen Sie den Wt~rfel jeweils dreirnal, wobei der erste W u r f den Preis, der zweite die Menge und der dritte die variablen Kosten bestimmt. Insgesamt tlihren Sie I0 Simulationsl~iufe dutch. Dabei erhalten Sie folgende Ergebnisse:
Kapitel 5: Entscheidungsrechnungbei Unsicherheit
85
Simulationslauf 1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
Wurfl(Preis)
1
1
1 4
1
1
5
2
3
4
Wurf2(Menge)
2
6
1 3
2
1
6
3
3
3
Wurf3(Kosten) 2
4
1 2
2
2
6
3
2
1
Sie kommen zu dem Schluss, dass bei der Cube Consult zwar gute Simulationsexperten, jedoch schlechte Betriebswirte sitzen. Nach Ihrer Einsch~itzung bestehen Abhgingigkeiten zwischen Preis und absetzbarer Menge an Sandwiches. Deutet das Ergebnis des ersten Wurfes auf einen niedrigen Preis bin, resultiert die Wahrseheinlichkeitsverteilung [0, 1/6, 5/6] far eine geringe/mittlere/hohe Menge. Resultiert aus dem ersten Wurf der mittlere Preis, ergibt sieh dagegen die Verteilung [0, 1, 0] far eine geringe/mittlere/hohe Menge und im Fall des hohen Preises die Verteilung [5/6; 1/6, 0] far eine geringe/mittlere/hohe Menge. Zwischen den Staekkosten einerseits und Menge und Preis andererseits bestehen dagegen keine Abh~ingigkeiten, ferner betragen die sieheren Fixkosten unver~tndert 20.000 C.
Hinweis: Stellen Sie zur Beantwortung der folgenden Teilaufgaben den Zusammenhang zwischen Wahrseheinliehkeitsverteilungen und resultierenden Simulationsergebnissen systematisch her, d. h. niedrigen Werten der Variablen Preis/Menge/Kosten sollten niedrige Augenzahlen der Wftrfe entspreehen bzw. hohen Werten hohe Augenzahlen! a) Berechnen Sie aus den Angaben die Gewiimverteilung der w6chentlichen Gewinne bei der vorgeschlagenen Vorgehensweise der Cube Consult. Welche Annahme liegt dieser Vorgehensweise implizit zugrunde? Ermitteln Sie mit Hilfe Ihrer Resultate den Erwartungswert des Gewinnes pro Woche far Stan und Ollie. Wird der risikoneutrale S. Ceptic unter diesen Bedingungen das Venture Kapital zur Verfagung stellen? b) Beantworten Sie Teilaufgabe a) far die von Ihnen revidierte Einschiitzung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen! c) Welche Komponente des Grundmodells der Entscheidungstheorie ist vor dem Hintergrund der Ergebnisse der Teilaufgaben a) und b) zus~tzlich erforderlieh, um letztendlich zu einer konkreten Entscheidung, d. h. Durehfahrung bzw. Nichtdurehfahrtmg der Untemehmensgrtindung auf Basis der Wahrseheinlichkeitsverteilung der monatlichen Gewinne zu gelangen? d) Versuchen Sie die obige Teilaufgabe a) mit Hilfe des Zufallszahlengenerators eines Tabellenkalkulationsprogramms zu 16sen. Wie viele Simulationsl~iufe sind n6tig, urn stabile Ergebnisse hinsichtlich der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Gewinne zu erhalten?
86
Obungen zur Intemen Untemehmensrectmung
Musterl6sung:
Teilaufgabe a) Folgender Zusa_mmenhang zwischen Wtirfen und Auspr~tgung der Parameter wird unterstellt: •
Preis p: Augenzahl: 1-+ p = 4, Augenzahl: 2,3,4 --~ p = 5, Augenzahl: 5,6 ---~p = 8.
•
Menge x: Augenzahl: 1,2---~ x = 1.000, Augenzahl: 3,4 --~ x = 5.000 Augenzahl: 5,6 ~ x = 10.000.
•
Variable Kosten k: Augenzahl: 1,2---~ k = 0,4, Augenzahh 3, 4 ~ k = 0,8, Augenzahl: 5,6 --~ k = 2.
Unter Berticksichtigtmg dieser ZusammenNinge ergibt sich f~ir die 10 durchgefahrten Simulationsl~tufe und fixen Kosten K F = 20.000 (~: Simulationslauf
l
2
3
4
5
P
4
4
4
5
4
X
1.000
10.000
1.000
5.000
1.000
K
0,4
0,8
0,4
0,4
0,4
G
-16.400
12.000
-16.400
3.000
-16.400
Simulationslauf
6
7
8
9
10
P
4
8
5
5
5
X
1.000
10.000
5.000
5.000
5.000
K
0,4
2
0,8
0,4
0,4
G
-16.400
40.000
1.000
3.000
3.000
Interpretiert man die auftretenden relativen H~iufigkeiten der Gewinne als Wahrscheinlichkeiten, ergibt sich: Pr(G = - 16.400) = 0, 4; Pr(G = 1.000) = 0,1; Pr(G = 3.000) = 0, 3; Pr(G = 12.000) = 0,1; Pr(G = 40.00) = 0,1 Der Erwartungswert far den w6chentlichen Gewirm, den dung gem~il3 Aufgabenstellung zugrunde legt, ist dann:
S. Ceptic seiner Entschei-
E(G) = 0,4. (-16.400) + 0,1.(1.000) + 0,3. (3.000) + 0,1 .(12.000) +0,1. (40.000) = - 3 6 0 < 0 -+ Ablehnung
Kapitel 5: Entscheidungsreclmungbei Unsicherheit
87
Unter diesen Bedingungen, wird sich S. Ceptic also nicht an der Gourmet GmbH beteiligen. Die Empfehlung der Cube Consult ist aus folgenden Gffmden problematisch: * Empfehlung geht davon aus, dass Preis, Menge und variable Kosten stochastisch unabhangig sind! •
Dies ist in der Realit~it sehr fraglich, denn bei Gtiltigkeit einer normalen PreisAbsatz-Funktion f'tihren hohe (niedrige) Preise tendenziell zu geringeren (h6heren) abgesetzten Mengen
•
Solche Abh~ingigkeiten mtissten daher in der Simulation berticksiehtigt werden.
Teilaufgabe b) Diese Simulation bezieht die o. g. stochastischen Abhfingigkeiten durch die Belqicksichtigung bedingter Verteilungen in die Oberlegungen ein. In Abh~ingigkeit vom Wurf ftir den Preis, ergeben sich jeweils andere Verteilungen far die Menge g e m ~ den Wirkungszusammenh~tngen einer normalen Preis-Absatz-Funktion: * Wenn Augenzahl erster Wurf = 1 (---~p = 4), dann folgt die Absatzmenge der Verteilung [0; 1/6, 5/6], d. h. resultiert beim zweiten Wurf eine 1 (die Zahlen 26), ist als Menge 5.000 (10.000) anzusetzen. * Wenn Augenzahl erster Wurf = 2-4 (--~ p = 5), dann folgt die Absatzmenge der Verteilung [0; 1, 0], d. h. unabhLngig vom Resultat des zweiten Wurfs ist die mittlere Menge 5.000 anzusetzen. * Wenn Augenzahl erster Wurf = 5 oder 6 (---~p = 8), dann folgt die Menge der Verteilung [5/6, 1/6, 0], d. h. resultiert beim zweiten Wurf 1-5 (eine 6), ist als Menge 1.000 (5.000) anzusetzen. Die Beriicksichtigtmg dieser Zusammenh~inge fftr die 10 Simulationslfiufe ftihrt zu folgender Tabelle, wobei die variablen Kosten aufgrund der unterstellten stochastischen Unabh~ingigkeit von Preis/Absatzmenge einerseits und variablen Kosten andererseits unver~indert bleiben. Simulationslauf
1
2
3
4
5
P
4
4
4
5
4
X
10.000
10.000
5.000
5.000
10.000
K
0,4
0,8
0,4
0,4
0,4
G
16.000
12.000
-2.000
3.000
16.000
Simulationslauf
6
7
8
9
10
P
4
8
5
5
5
X
5.000
5.000
5.000
5.000
5.000
K
0,4
2
0,8
0,4
0,4
G
-2.000
10.000
1.000
3.000
3.000
88
ISbungenzur IntemenUnternehmensrechnung
Interpretiert man die auftretenden relativen H~tufigkeiten der Gewinne als Wahrscheinlichkeiten, ergibt sich: Pr(G = -2.000) = 0, 2; Pr(G = 1.000) = 0,1; Pr(G = 3.000) = 0, 3; Pr(G = 10.000) = 0,1; Pr(G = 12.000) = 0,1; Pr(G = 16.000) = 0,2
S. Ceptic entscheidet sich anhand von: E(G) = 0,2. (-2.000)+ 0,1 .(1.000) + 0,3.(3.000) + 0,1. (10.000) +0,1.(12.000)+ 0,2.(16.000)=6.000 > 0 --~ Annahme Jetzt w~irde S. Ceptic das Geld zur Verftigung stellen.
Teilaufgabe e) Analog zur analytischen Risikoanalyse liefert auch die Simulation letztlich nur Informationen fiber die Verteilung der interessierenden Variablen. Bevor eine endgfiltige Entscheidung getroffen werden kann, sind daher Kennmisse fiber das Pr~iferenzsystem des Entscheiders notwendig. In der Aufgabe wurden diese konkretisiert durch Orientierung des S. Ceptic am w6ehentlichen Gewinn (Arten- und H6henprfiferenz) sowie die Annabme der Risikoneutralit~tt (Risikopr~iferenz). Es versteht sich von selbst, dass andere Artenpr~iferenzen (Kapitalwert des Engagements, etc.) sowie andere Risikoprfiferenzen (Bemoulli-Prinzip) zu anderen Entscheidungen fiihren k6nnen.
Teilaufgabe d) Naturgemfi~ kann zu dieser Aufgabe keine "klassische" Musterl6sung angeboten werden. Im Folgenden wird eine m6gliche Vorgehensweise unter Verwendung yon Microsoft Excel ©vorgestellt. * Im Fall der Teilaufgabe a) sind zun~ichst insgesamt N = 33 = 27 Auspr~igungen der Zufallsvariable Gewinn m6glich, da bspw. jeder Preis kombiniert mit drei Mengen auftreten kann, wobei jede einzelne Menge wiederum mit drei Ausprfigungen der variablen Kosten vorkommen kann. * Bezeichnej = n, m, h, die niedrige, mittlere und hohe Auspr~gung der Variablen. Die obigen 27 M6glichkeiten lassen sich in der Aufgabe auf 25 reduzieren, weil der Gewinn 10.000 sowohl durch ( p ~ - k h ) . x h - K s als auch durch (Ph -kh )'xm - KF auftreten kann. Analog gilt, class ein Gewinn von 16.000 aus
(Ph -km )" xm - KF sowie (p, - kn).x h - K F resultieren kann. * Mit Hilfe des Zufallszahlengenerators yon Excel © (Menii ExtrasiAnalyseFunktionen) wurden far jede der drei Variablen jeweils 8.000 Zufallszahlen generiert und die entsprechenden Gewinne berechnet. Die folgende Tabelle zeigt die 25 m6glichen Auspr~igungen des Gewinnes aufsteigend sortiert, die H~iufig-
Kapitel 5: Entscheidungsrechnung bei Unsicherheit
89
keit ihres Auftretens, die relative Hfiufigkeit und den resultierenden Erwartungswert der Gewinne. Die Zufallszahlengenerierung flir 8.000 Werte wurde ~ n f m a l wiederholt, wobei sich die resultierenden Erwartungswerte um nieht meln" als 5% unterschieden, so dass dieses Simulationsergebnis als relativ robust bezeichnet werden kann. Ein Problem unter Verwendung bedingter Verteilungen wie in Teilaufgabe b) karm mit den Standardfunktionen nicht mehr gel6st werden. Ein entsprechendes Programm l~isst s i c h j e d o c h otme grol3e Mtihe in Visual B a s i c © erstellen.
Nummer M~glicher Gewinn Absolute H~ufigkeit
Relative Haufigkeit, interpretie~ als
1
-18.000
153
0,019125
2
-17.000
396
0,0495
3
-16.800
155
0,019375
4
-16.400
173
0,021625
5
-15.800
473
0,059125
6
-15.400
430
0,05375
7
-14.000
301
0,037625
8
-12.800
301
0,037625
9
-12.400
310
0,03875
10
-10.000
165
0,020625
11
-5.000
432
0,054
12
-4.000
158
0,01975
13
-2.000
147
0,018375
14
0
155
0,019375
15
1.000
398
0,04975
16
3.000
437
0,054625
17
10.000
729
0,091125
18
12.000
162
0,02025
19
16.000
433
0,054125
20
18.000
333
0,041625
21
22.000
427
0,053375
22
26.000
456
0,057
23
40.000
307
0,038375
24
52.000
278
0,03475
25
56.000
291
0,036375
Summe
8.000
1
Erwartungswert
5.309,7
90
t~ungen zur IntemenUntemehmensrechnung
Selbstverst~ndlich tassen sich Nr die resultierende Verteilung auch noch weitere Momente wie bspw. die Varianz berechnen, falls ein risikoscheuer Entscheidungstrgger gegeben ist. In der folgenden Grafik ist obige Tabelle in Histogrammdarstellung abgebildet.
8OO 700 600 500 400
300 200 100
G 0 O 0 0
~ ~ 0 0
~ ~ 0 0
~ O 0 0
~ ~ ~ 0
O O 0
O O 0
O O
~ O 0
O O 0
O ~ 0
O O 0
O O 0
Klasse
Relevante Fallstudien:
• Fallstudie 4 (Deterministische und stochastische Break-Even-Analyse im Einund Mehrproduktthll) • Fallstudie 5 (Produktionsprogrammplanung unter Unsicherheit und Entscheidungsrelevanz fixer Kosten)
Kapitel 6:
Aufgabe 6.1:
Kostenmanagement
Kosten der Variantenvielfalt und Gesetz der "umgekehrten Erfahrungskurve"
Als neu ernanntem Controlling-Chef des soeben fusionierten Automobilkonzerns Chraimler-Dysler Corporation (C&D) bereitet Ihnen die ungeheure Variantenvielfalt des neuen Unternehmens innerhalb der einzelnen Fahrzeugklassen groBe Sorgen. Dabei f~tllt Ihnen ein Ordner aus Ihrer Smdienzeit in die ttgnde, in dem Nr die angebotene Variantenvielfalt ein Gesetz der "umgekehrten Erfahrungskurve" formuliert wurde. Dieses Gesetz besagt, dass sich die Grenzkosten pro Stack mit jeder Verdoppelung der Variantenzahl um einen konstanten Prozentsatz erh6hen. Sie beschliegen, dieses Gesetz auf das Problem der Variantenvielfalt im Segment Pickup Trucks anzuwenden. Dabei bezeictmen K ' ( 1 ) ( K ' ( X ) ) die Grenzkosten pro Stttck, wenn 1 (X) Varianten von Pickups angeboten werden, z die Anzahl der Verdoppelungen und 0 < oc < 1 den konstanten Prozentsatz. Das Gesetz lfisst sich dann formulieren als:
a) Leiten Sie aus dem obigen Zusammenhang eine Grenzkostenfunktion ftir eine beliebige, (d. h. nicht nut verdoppelte) Variantenzahl her. b) Konkret gelte for Pickups (in 1.000 g) K'(1) = 10 und a = 0, 25. Bestimmen Sie die Grenzkosten ~ r 20 angebotene Varianten. c) Nehmen Sie an, dass die Marktforschung folgenden funktionalen Zusammenhang t'0r die Beziehung zwischen Umsatz und angebotener Variantenzahl ermittelt hat: Umsatz ( X ) = 100. X - X 2 . Bestimmen Sie graphisch die optimale Variantenanzahl flit Pickups, welche die C&D anbieten sollte. d) Wie hoch w~re der Gesamtgewinn der C&D bei Beracksichtigung (Vemachl~issigung) des Gesetzes der umgekehrten Erfahrungskurve? (Hinweis: Ermitteln Sie R~r Ihre L6sung die Gesamtkosten mittels einer N~iherungsl{Ssung unter Verwendung yon Integralen).
92
Ubungen zur Internen Untemehmensrechnung
Musterl~sung
Teilaufgabe a) Aus X = 2 z folgt dutch Logarithmieren (Logarithmus naturalis verwendet): Z--
In(X)
l (2)
Logarithmieren von (1 + a ) z ftihrt auf:
z.ln(l+~z)=ln(X) , , ln(l+~Z)=ln(X).K ln(2) "ln(l+tz)=ln(X)' /n(2) Konstante ~c
Die Gr6Be ~c bezeichnet dabei die Kostenelastizitgit der VariantenvielJalt, d. h. die relative Kostenerh6hung bei einer Erh6hung der Variantenzahl. Weiter erh~ilt man:
ln(1 +a)" =In(Y).K
~ ( 1 +cz)" = yz,(x)~ = X ~
Fttr die gesuchte allgemeine Grenzkostenfunktion ergibt sich schlieBlich:
x'(x)=K'(1).x Teilaufgabe b) Ft~r die angegebenen Werte im Markt f'tir Pickups ergibt sich: t< - In (1, 25) _ 0,321928 /n(2) K ' ( 2 0 ) = 10.20 °'3219z8 = 26, 23 (gerundet) Die Grenzkosten (in 1.000 C) haben sich gegent~ber der Fertigung von nur einer Variante also mehr als verdoppelt!
Teilaufgabe c9 Die optimale zu fertigende Variantenzahl ergibt sich aus der folgenden Bedingung: !00-4.X= Qrenzulrlsatz
K'(X)=K'(1).X
~
Grenzkasten
Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei K' bereits um eine Grenzkostenfunktion handelt. Wie man schnell erkennt, ist diese Gleichung analytisch nicht explizit 16sbar, da X linear bzw. mit dem Exponent tc auftritt. Folgende Graphik liefert eine Nfiherungsl6sung f'tir das gesuchte Ergebnis:
Kapitel 6: Kostenmanagement
93
c 100
Effekt vemachl~issigt 90 80 70 60 50 40 30 20
~ ' ~ - ' ~
K'(1) =10
10
"-.z
0
-
0
7
5
10
-
15
20
-
r
r
25
30
35
r ~
40
45
50
Unter Berticksichtigtmg des Gesetzes der umgekekrten Erfahrungskurve sollten 34 Varianten von Pickups angeboten werden. Wtirde der Effekt vemachlgssigt ergibt sich dagegen eine wesentlich h6here Variantenzahl yon 100 - 2. X = 10 ~ X = 45.
Teilaufgabed) Zur Bestimmung der gesuchten Gewinne mtissen die Gesamtkosten bestimmt werden. Ftir die Fertigung der optimalen Variantenzahl von 34 bzw. 45 bei Vernachl~issigung des Effektes ergeben sich folgende Ums~tze bzw. Gesamtkosten: 34
Umsatz(34)= 2.244;
IlO.X°'32'92"dX=Y92,82~G=l.451,18
K(34)=
8 0
1
45
Umsatz(45)=2.475;
K(45)= I10.X°'3a'928dX=l151,8~G=l.323,2 1
Bei V e m a c h l ~ i s s i g u n g d e s E f f e k t e s sinkt d e r G e w i n n also u m 128.600 (~.
94
Obungen zur InternenUntemehmensreclmung
Aufgabe 6.2:
Lebenszyklus-Kostenrechnung und Produktkalkulation
Die Max und Moritz Backmittet GmbH erzeugt Biovollkombackmittel far B~icker. Die Entwicklungsabteilung arbeitet an einer neuen, sensationellen Komspitzbackmischung. Dr. Wo(fMo, der Leiter, m6ehte erstmals eine lebenszyklusorientierte Kostenbetrachtung erstellen und erh~ilt aus der Controllingabteilung folgende Tabelle mit lnformationen fiber die laufenden Kosten der Sparte ,Komspitz" sowie die geplanten Einzelkosten je kg der neuen Backmischung ,,Erdbeergold", emfittelt aufgrund der Entwieklungsunterlagen: laufende Periodenkosten Rohstoffe Oetreide Mehl Wasser Erdbeeren Hefe Lagerbewirtschaftung :Extruder Mischen Verpacken Verwalmng Vertrieb
davon far Entwicklung Erdbeergold
GE geplant je kg Erdbeergold
200.000 50.000 5.000
2 0,3 0,1
15.000 40.000 110.000 60.000 80.000 40.000 80.000
0,1
1 15.000 25.000 5.000 10.000 8.000 20.000
0,5 0,8
Die Vorlaufkosten for ,,Erdbeergold" werden erkl~irt mit: Im Lager musste ein Silo for die Ganzjahreslagerung yon Erdbeeren adaptiert werden. Der Extruder musste im Probelauf auf die Konsistenz der Erdbeeren justiert werden, ebenso die Mischanlage. Die Verpackungsmaschine muss eine neue SackgrSBe befiillen, da die neue Backmischung sehr leicht ist. In den Verwaltungskosten ist der Schriftverkehr mit der Lebensmittelaufsichtsbeh6rde zur Genehmigung des neuen Produktes enthalten, im Vertrieb diverse Testesser zur Ermittlung der optimalen Mischung und erste Werbeaktivitfiten. Die Kosten je kg wurden vonder Controllingabteilung aus der laufenden Kostenrechnung unter Verwendung geeigneter BezugsgrSgen bereits in Geldwerte umgerechnet. An Nachlaufkosten erwartet Wolf Mo 40.000, da sieh die Max und Moritz bereit erkl~irt hat, die Fenster der B~iekereien yon den Erdbeergoldautklebem reinigen zu lassen, um dem Unmut ~iber die Kleber der letzten Produktein~hmng vo~zubeugen. a) Ermitteln Sie die Selbstkosten je kg ,,Erdbeergold" einmal mit, einmal ohne Berticksichtigung der Vorlauf- und Nachlaufkosten, wenn die Max und Moritz eine
Kapitel 6: Kostemnanagement
95
Zuschlagskalkulation verwendet. Die Zuschlagss~tze far die Verrechnung der Gemeinkosten sollen jenen der laufenden Periode olme Berticksichtigung der Vorlaufkosten entsprechen, wobei als Bezugsgr613e ffir die Verrechnung der Lagerkosten die Getreidekosten, zur Verrechnung der Verwaltungs- und Vertriebskosten die Herstel|kosten dienen. Andere a|s die ange~hrten Vorlauf- und Nachlaufkosten werden nicht erwartet. Insgesamt wird die Absatzmenge bis zur Einstellung der Produktlinie auf 100.000 kg gesch~itzt. b) Welche Gefahr birgt eine anteilige Verrechnung der Vorlaufkosten in den korrespondierenden Kostenarten anstelle einer pauschalen Verrechnung wie unter a) vorgenommen. MusterlSsung:
Teitaufgabe a) Ermittlung der Zuschlagsatze: 25.OO0 Lagerbewirtschafttmg: = - • 100 = 12,5% 200.000 92.000 Verwaltung/Vertrieb: = - .100=18,22% 505.000 Selbstkosten je kg ,,Erdbeergold": Rohstoffe
3,5
Lagergemeinkosten
0,25
Fertigung
2,3
Herstellkosten
6,05
Verwaltung/Vertrieb
1,10
Vorlauf-/Nachlaufkosten*
1,23
Selbstkosten
8,38
* Ermittlung der anteiligen Vorlauf-/Nachlaufkosten: 123.000 - 1,23 je kg 100.000 kg
Teilaufgabe b) Die Verwaltungs- und Vertriebsgemeinkosten werden als Zuschlag auf die Herstellkosten verrechnet. Anteilige Vorlaufkosten sind bei einer Verrechnung auf die einzelnen Kostenarten an dieser Stelle wieder auszusondern, ansonsten werden auch diese Vorlaufkosten mit Gemeinkosten belastet.
Obungen zur InternenUnternehmensrechnung
96
Target Costing
Aufgabe 6.3:
Dr. WolfMo m6chte seine lebenszyklusorientierte Produktkalkulation mit den Ergebnissen des Target Costing Proiektes vergleichen, das vor Beginn des Entwicklungsprojektes durchgefi~hrt wurde. Seine Unterlagen zeigen folgendes: Eine far Osterreich repriisentative Kundenbefragung zeigt als Ergebnis far die einzelnen Komspitzfunktionen: SfittigungsgefCthl
35 %
Bissfestigkeit
20 %
GesundheitsgeRthl
10 %
Design
12 %
Exotischer Geschmack
18 %
Verarbeitungsm6glichkeit zu Semmelbr6sel
5%
Getreide
Sfittigungs- Bissfestig- Gesundge~hl keit heitsgeflihl 85 % 70 % 60 %
Erdbeeren
10 %
Hefe Verpackungsmaterial
5%
30 %
10 %
Design 5% 15 %
10 % 20 %
Exotischer VerarbeitungsGeschmack m6glichkeit 20 % 60 % 80 %
20 % 20 %
80%
Kostenanalysen zeigen folgenden Zielkostenanteil: Getreide
65 %
Erdbeeren
20 %
Hefe
5%
Verpackungsmaterial
10 %
a) Ermitteln Sie die Bedeutung von Getreide, Erdbeeren, Hefe und Verpackungsmaterial far das Endprodukt aus Kundensicht. b) Ermitteln Sie die entsprechenden Zielkostenindices. Welche Amderungen wiirde aufgrund der Indizes der Anwender dieser Heuristik vorschlagen?
Kapitel 6: Kostenmanagement
97
Musterlfisung:
Teilaufgabe a) Getreide: 56,95 % = 0,35 • 0,85 + 0,2 • 0,7 + 0,1 • 0,6 + 0,12 • 0,05 + 0,18 • 0,2 + 0,05 • 0,6 = 0,5695 Erdbeeren: 27,7 % = 0,35 • 0,1 + 0,2 • 0,3 + 0,1 • 0,1 + 0,12 • 0,15 + 0,18 • 0,8 + 0,05 • 0,2 = 0,277 Here: 3,75 % = 0,35 • 0,05 + 0,1 • 0,1 + 0,05 • 0,2 = 0,0375 Verpackungsmaterial:
11,6 %
= 0,1 • 0,2 + 0 , 1 2 - 0,8 = 0,116
Teilaufgabe b) Bedeutung in %
Kostenanteil in %
Zielkostenindex
Kommentar*
Getreide
56,95 %
65 %
0,88
zal teuer
Erdbeeren
27,7 %
20 %
1,385
zu billig
Hefe
3,75 %
5%
0,75
zu teuer
Verpackungsmaterial
11,6 %
10 %
1,16
z u billig
* Allerdings ist aufgrund dcr Informationslage nicht bekannt, ob ein Einsparbcdarf tlberhaupt gegeben ist.
Relcvante Fallstudien: Fallstudie 6 ( A u s g e w g h l t e A s p e k t e des Z i e l k o s t e n m a n a g e m e n t s (Target Costing))
Kapitel 7:
Kontrollrechnungen
Aufgabe 7.1 :
Methoden der Abweichungsanalyse
In der Kostenstelle S 470 der SchnolIford AG rechnete man im abgelaufenen Quartal mit einer Erzeugung yon 10.000 Paar des Produktes Nahtlos-Strumpf Ffir die Erzeugung dieser Menge ben6tigt man 4.000 Nyloneinheiten, die zu einem Planpreis yon 50,- je Einheit eingekauft werden sollen. In der Nachkalkulation wird festgestellt, dass in der Istsituation auch tats~,chlich die geplante Menge erzeugt wurde, allerdings musste dabei ein Verbrauch yon 4.100 Nyloneinheiten festgestellt werden, die pro Einheit zu einem Preis von 80,- gekauft wurden. Errechnen Sie die relevanten Kostenabweichungen (Ist-Soll-Vergleich) nach der a) differenzierten Methode, b) kumulativen Methode, c) symmetrischen Methode und d) alternativen Methode!
Musterl6sung: Der Vergleich der Istkosten von 328.000 (= 4.100 • 80) mit den Plankosten (identisch mit den Sollkosten, da die Planbesch~tftigung der Istbesch/~ftigung entspricht) von 200.000 (= 4.000 • 50) zeigt eine Gesamtabweichung yon 128.000 Mehrkosten.
Teilaufgabe a) iPreisabweichung Mengenabweichung Abweichung zweiter Ordnung
= (80 - 50). 4.000 =
120.000 Mehrkosten
= (4.100 - 4.000) • 50 =
5.000 Mehrkosten
= ( 8 0 - 5 0 ) . ( 4 . 1 0 0 -4.000) =
3.000 Mehrkosten
Gesamtabweichung
128.000 Mehrkosten
Teilaufgabe b) Abweichungsermittlung beginnend mit der Preisabweichung: Preisabweichung
-- 328.000 - 50 • 4.100 =
123.000 Mehrkosten
Mengenabweichung
= 50 • 4.100 - 200.000 =
5.000 Mehrkosten
Gesamtabweichung
128.000 Mehrkosten
100
Obtmgen zur Internen Unternehmensrechnung
D i e A b w e i c h u n g z w e i t e r O r d n u n g ist hier zur G g n z e in der P r e i s a b w e i c h u n g enthalten. A b w e i c h u n g s e r m i t t l u n g begimaend mit der M e n g e n a b w e i c h u n g : Mengenabweichung
= 328.000 - 80 • 4.000 =
8.000 M e h r k o s t e n
Preisabweichung
= 80 • 4.000 - 200.000 =
120.000 M e h r k o s t e n
Gesamtabweichung
128.000 M e h r k o s t e n
Die A b w e i c h u n g z w e i t e r O r d n u n g ist nun zur G~inze in der M e n g e n a b w e i c h u n g enthalten.
Teilaufgabe c) Preisabweichung
= (80 - 5 0 ) . 4.000 + [(80 - 50)
Mengenabweichung
= ( 4 . 1 0 0 - 4 . 0 0 0 ) . 50 + [ ( 8 0 5 0 ) . ( 4 . 1 0 0 - 4.000)]/2 =
121.500 M e h r k o s t e n
• ( 4 . 1 0 0 - 4.000)]/2 =
Gesamtabweichung
6.500 M e h r k o s t e n 128.000Mehrkosten
Teilaufgabe d) A u s g e h e n d von den Istkosten: Preisabweichung
= 328.000 - 5 0 - 4 . 1 0 0 =
123.000 M e h r k o s t e n
Mengenabweichung
= 328.000 - 80 • 4.000 =
8.000 M e h r k o s t e n
Gesamtabweichung
131.000 M e h r k o s t e n
D i f f e r e n z z u r G e s a m t a b w e i c h u n g : 3.000 M e h r k o s t e n
A u s g e h e n d v o n den Plankosten: Mengenabweichung
= 50 • 4.100 - 200.000 =
5.000 M e h r k o s t e n
Preisabweichung
= 80 • 4.000 - 200.000 =
120.000 M e h r k o s t e n
Gesamtabweichung "\ \
'\
D i f f e r e n z zur Ges~xntabweichung: 3.000 M i n d e r k o s t e n
125.000 M e h r k o s t e n
Kapitel 7: Kontrollreclmungen
Aufgabe 7.2:
101
Vergleich differenzierte und kumulative Methode bei Spezialabweichungen
Die 6sterreichische Niederlassung des intemationalen Pharmakonzems CABI fertigt h~3chst wirksame Nasentropfen zur Milderung der Leiden bei Heuschnupfen. Al Lergie, der amerikmnische Controller, wertet die Produktionszahlen der vergangenen Abreehnungsperiode aus, wobei die Kostenstellenleiterin folgende Datensituation in ihrem Bericht meldet:
Produktionsmenge in Fl~tschchen Ausbeutegrad Intensit~it (Flfischchen/Stunde)
Plan Ist 17.000 17.000 40 % 30 % 200 250
Der geplante variable Maschinenstundensatz betr~tgt 900,-. Am Ende der Abrechnungsperiode wurde weiters festgestellt, dass insgesamt 250 Maschinenstunden angefallen sind. Der Anfall von (darin enthaltenen) 23,3 Stunden wird yon der Kostenstellenleiterin damit erkl~trt, dass ein Mitarbeiter beim Verlassen der Fabrik irrtamlich vergessen hat, seine Zeitkarte auszustempeln. a) Ermitteln Sie die zutreffenden Kostenabweichungen nach der differenzierten Abweichungsanalysemethode! Ftihren Sie eine Kontrolle Ihrer Ergebnisse tiber den Vergleich mit der Gesamtabweichung durch! b) Ermitteln Sie die zutreffenden Kostenabweichungen nach der kumulativen Abweichungsanalysemethode (Plan - Ist - Vergleich)!
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Ausbeutegradabweichung: I 17.000 900. •(200.0,3)
17.000 ] = 63.750 Mehrkosten ( ~ )
Intensit~ttsabweichung: / - -17.000 -F 900" L(250. 0,4)
17.000 ]/ ~38o250 Minderkosten (200.0,4)]
102
l)bungen zur Internen Unternehrnensrechnung
Gemischte Abweichung:
E [1
900. 17.000. - - ~ + 2 - - ~
" - 0,4
0 , 3 ] J - - - 1 2 " 7 5 0 Minderkosten
Verbrauchsabweichung:addititive Verknapfung: Soll~unden:
17.000 250.0,3
- 226,7
Iststunden: 250 Verbrauchsabweichung: 23,3333 • 900 = 21.000 Mehrkosten Kontrolle fiber Gesamtabweichung: 1) Istkosten - Sollkosten = 225.000 - 191.250 = 33.750 Mehrkosten 2) Summe der emfittelten Abweichungen = 33.750 Mehrkosten
Teilaufgabeb) 17.000 Plankosten = Sollkosten 1: = 9 0 0 . - = 191.250 200-0,4 17.000 Sollkosten 2 : = 9 0 0 . - - 200.0,3 Sollkosten 3: = 9 0 0 -
17.000 250.0,3
255.000
- 204.000
Istkosten zu P l a n p r e i s e n : = 9 0 0 . 2 5 0 = 225.000
Ergebnis." Ausbeutegradabweichung: = 63.750 Mehrkosten Intensit~itsabweichung: = - 51.000 Minderkosten Verbrauchsabweichung: = 21.000 Mehrkosten Gesamtabweichung: = 33.750 Mehrkosten
Aufgabe 7.3:
Unterschiedliche Methoden der Erl6sabwcichungsanalyse
Giinther X Weiger produziert auf seiner Plantage in Wuch bei Peiz naturtriiben biologischen Apfelsafl. Die Produktionskosten des Apfelsafles folgen der Funktion K(x) -- 8.000.000 + 6000x, die Preis-Absatz-Funktion l~isst sich im preispolitisch relevanten Bereich fiber die Funktion p(x) = 22.800 - 6x ann~hem (x wird in der Dimension
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
103
1.000 Liter gemessen). Aufgrund dieser Funktionen errechnet GO.nther den optimalen Planpreis und die optimale Planmenge. Am Ende der Periode stellt G f m t h e r fest, dass er einen Istpreis p' = 15.600 erzielen konnte, die Absatzmenge x' betrug 1.200. a) Ermitteln und interpretieren Sie die gesamte Erl6sabweichung und zerlegen Sie diese in die zutreffenden Teilabweichtmgen nach der differenzierten Methode der Abweichungsanalyse ohne Berticksichtigung der gegenseitigen Abh~ingigkeit yon Preis und Menge fiber die Preis-Absatz-Funktion! Welche Schl~isse ergeben sich far die Beurteilung der realisierten Preis- sowie Absatzpolitik? b) Ermitteln und interpretieren Sie die gesamte Erl6sabweichung und zerlegen Sie diese in die zutreffenden Teilabweichungen nach der symmetrischen Methode der Abweichungsanalyse ohne Berticksichtigung der gegenseitigen Abh~ingigkeit von Preis und Menge fiber die Preis-Absatz-Funktion! Welche Schltisse ergeben sich far die Beurteihmg der realisierten Preis- sowie Absatzpolitik? c) Ermitteln und interpretieren Sie die zutreffenden Abweichungen nach der diffcrenzierten Methode der Abweichungsanalyse unter Berficksichtigung der gegenseitigen Abh~ingigkeit von Preis und Menge fiber die Preis-Absatz-Funktion! Welche Schlfisse ergeben sich nun far die Beurteilung der realisierten Preis- sowie Absatzpolitik? d) Ausgehend von a) berficksichtigen Sie nun zus~itzlich den Branchenpreis pm und das Marktvolumen xm. Die entsprechenden Plan- und Istinformationen betragen: p~ = 15.000,p~ = 14.000,x~ = 8.000,xim = 7.000. Ermitteln und interpretieren Sie die Branchenpreisabweichung, die Marktvolumensabweichung, die relative Preisabweichung sowie die Marktanteilsabweichung. Ermitteln Sie alle Abweichungen 2. Ordnung und t'tihren Sie die Kontrolle fiber die Gesamtabweichung durch! e) Ausgehend yon c) berficksichtigen Sie nun zus~itzlich den Branchenpreis p,, und das Marktvolumen x,, wie in d) angefahrt. Ermitteln und interpretieren Sie die Branchenpreisabweichung, die Marktvolumensabweichung, die Marketingeffektivit~ttsabweichung sowie die Preiseffektivit~itsabweichung!
Musterl6sung: Teilaufgabe a) : G~nthers Optimierungsproblem lautet:
Max G = 22.800x - 6x 2 - 6.000x - 8.000.000 dG
--=16.800-12x dx
=0
daraus ergibt sich: x v = 1.400, pP = 14.400.
104
Obungen zur lntemen Untemelmaensrechnung
Die Abweichungen ermittelt Gf~nther wie folgt: Gesamte Erl6sabweichung: = 15.600 • 1 . 2 0 0 - 14.400 • 1.400 = - 1.440.000 (Mindererl6se) Preisabweichung = ( 1 5 . 6 0 0 - 14.400). 1.400 = 1.680.000 (Mehrerl6se) Mengenabweichung = ( 1 . 2 0 0 - 1.400) • 14.400 = - 2.880.000 (Mindererl6se) Abweichung 2. Ordnung = ( 1 5 . 6 0 0 - 14.400). ( 1 . 2 0 0 - 1 . 4 0 0 ) = - 240.000 (Mindererl6se) Beurteilung: gute Preis- und schlechte Mengenpolitik.
Teilaufgabe b) : Berechnungen wie umer a), die Abweichung 2. Ordnung wird je zur Ittilfte der Preisbzw. der Mengenabweichung zugeschlagen. Giinther erh~ilt dann folgende Abweichtmgen: Die Preisabweichung betr~igt 1.560.000 (Mehrerl6se), die Mengenabweichung - 3.000.000 (MindererlOse), beide zusammen ergeben die gesamte Erl0sabweichung v o n - 1.440.000 (Mindererl~3se). Beurteilung: gute Preis- und schlechte Mengenpolitik.
Teilaufgabe c)." Ftir den Istpreis p' = 15.600 ergibt sich aus der Preis-Absatz-Funktion eine Sollabsatzmenge von )d = 1.200. Giinther berechnet nun die Abweichungen wic folgt: Preisabweichung = (15.600 - 14.400) - 1.400 + 14.400 • (1.200 - 1.400) = -
1.200.000 (Mindererl6se) Mengenabweichung = ( 1 . 2 0 0 - 1.200). 14.400 = 0 Abweichung 2. Ordnung = (15.600 - 14.400)- (1.200 - 1.400) = - 240.000 (Mindererl0se)
Beurteilung: schlechte Preis-, neutrale Mengenpolitik.
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
105
Teilaufgabe d) : B e r e c h n u n g der BasisgrOgen: Marktvolumen Plan
M~ktanteil
Branchenpreis
1.400
15.000
8.000
8.000 1st
7.000
RelativerPreis 14.400 15.000
1.200
14.000
7.000
15.600 14.000
Daraus ermittelt GUnther f o l g e n d e A b w e i c h u n g e n : Branchenpreisabweichung 1.400 = (14.000 - 15.000) • 8.000 • - 8.000
14.400 - 15.000
1.344.000 ( M i n d e r e r l 6 s e )
Marktvol umenabweichmag 1.400 = (7.000 - 8 . 0 0 0 ) . 1 5 . 0 0 0 . - 8.000
14.400
-
2.520.000 ( M i n d e r e r l 6 s e )
15.000
A b w e i c h u n g 2. O r d n u n g e x o g e n e Gr6Ben 1.400 = (14.000 - 1 5 . 0 0 0 ) . (7.000 - 8 . 0 0 0 ) . - 8.000
14.400 - - 168.000 (Mehrerl6se) 15.000
Marktanteilsabweichung .1.200 1.400 14.400 - • 8 . 0 0 0 . 1 5 . 0 0 0 = - 411.428,57 ( M i n d e r e r l 0 s e )
= ( 7.O(d - 8 . ~ d
)" 15.000
Relativer Preis-Abweichung .15.600 14.400. 1.400 - • 8.000 • 15.000 = 3.240.000 ( M e h r e r l 6 s e ) =
-
15-
-0-d )
8.ooo
A b w e i c h u n g 2. O r d n u n g e n d o g e n e Gr6Ben 1.200 1.400 15.600 14.400. - ( ). ( ~ ) . 8 . 0 0 0 . 1 5 . 0 0 0 = - 66.122,45 (Minder14.000 7.000 8.OO0 13.uuu erl~Sse) 1.200 A b w e i c h u n g 2. O r d n u n g e x o g e n e - e n d o g e n e G r 6 g e n = ( 7 . 0 0 0 •
14.400
.
(14.000 .
7 . 0 0 0 - 15.000 .
.
8.000)=
15.600 14.000
506.448,98 ( M i n d e r e r l 6 s e )
G e s a m t e r l 6 s a b w e i c h u n g - 1.440.000 (Mindererl6se)
1.400 8.000
106
(21btmgenzur Intemen Untemehmensrechnung
Teilaufgabe e) Berechnung des Marktanteils bezogen auf die Solhnenge ergibt: x~" =
1.200 8.000 "
Die beiden folgenden Abweichungen ermittelt Gfinther unver~indert zu d): Branchenpreisabweichung 1.400 = (14.000 - 1 5 . 0 0 0 ) . 8 . 0 0 0 . - 8.000
14.400 - 15.000
1.344.000 (Minderer16se)
Marktvolumenabweichung 1.400 =(7.000-8.000). 15.000.-8.000
14.400 15.000
-
2.520.000 (Mindererl6se)
Als neue Abweichungen ermittelt G~nther nun: Marketingeffektivit~itsabweichung 15.600 1.200 15.600 1.200. = (14.000 " 7.00----0- 14.00---~ " 8 . ~ )" 15.000.8.000 = 2.865.306,12 (Mehrerl6-
se) Preiseffcktivit/~t sabweichung .15.600 1.200 14.400 = ( 1 4 . 0 0 0 " 8.000 - 15.000
1.400 --). 8.000
t 5 . 0 0 0 . 8 . 0 0 0 = - 102.857,14 (Minderer-
16se)
Aufgabe 7.4:
Abweichungsauswertung mit Hilfe des KontroUkartenverfahrens
Die Portogebfihren des Warenversandes machen dem Good Ear CD Versand schwer zu schaffen. Die Geschfiflsleitung beauftragt Sie, ein Kontrollkartenverfahren zur Fundierung einer Auswertungsentscheidung einzusetzen und stellt folgende Informationen zu Verfiigung: Die Portospesen verhalten sich in AbNtngigkeit des Umsatzes aus dem CD Verkauf, aus diesem Grund wurde die Verh~iltniszahl Portospesen zu Umsatz zuletzt wochenweise aufgezeichnet. Frfihere Untersuchungen ffdaren zur Annahme, dass diese Verhfiltniszahl nomlalverteilt mit Erwammgswert 0,062 und Varianz 0,0001 ist. Die letzten sieben Wochen zeigen folgendes Bild:
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
Kalenderwoche
Portogebiihren/Umsatz
40
0,046
41
0,07
42
0,065
43
0,064
44
0,072
45
0,078
46
0,077
107
a) Legen Sie die obere und untere Kontrollgrenze so fest, dass der Fehler erster Art mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % auftreten kann. Soll eine Abweichungsauswertung durchgefikhrt werden? Begrtinden Sie Ihre Empfehlung anhand einer Grafik. b) Welche zukfinflige Entwicklung der Verhfiltniszahl Portospesen zu Umsatz erwarten Sie aufgrund der bisherigen Beobachtungen?
Mustcrliisung:
Teilaufgabe a) Ermittlung der oberen und unteren Kontrollgrenze: Die Vorgabe einer 5 % Fehlerwahrscheinlichkeit ffihrt fiir diese Verteilung zu: • obere Kontrollgrenze: = ~t + 1,96(y = 0,062 + 1,96 • ~
= 0,0816
• untere Kontrollgrenze: = Ix - 1,96cy = 0,062 - 1,96 • ~
= 0,0424
Ergebnis: Graphische Darstellung: Portogebtihren/Umsatz 0~09 Obet~ Kot+tmlJ~+me
0~08 0,07
0~06 0,05 Unlere Kontrellgrenze
Of)4 ON3 0,02 0NI 0 40
41
42
43
44
45
46
KNen~he
108
0bungen zur IntemenUnternehmensrechnung
Empfehlung aufgrund der Graphik: Keine Auswertung, da die Realisationen innerhalb der Kontrollgrenzen liegen.
Teilaufgabe b) Die Datem'eihe lfisst einen Trend in Richttmg obere Kontrollgrenze erkennen, so dass der Sehluss auf einen systematisehen, kontrollierbaren Fehler gerechtfertigt erscheint und fftr die n~chsten Beobachtungen ein Oberschreiten der Kontrollgrenze erwartet werden kann. Die Geschgftsleitung k6nnte sich aus diesem Grund bereits jetzt Nr eine Auswertung entscheiden.
Aufgabc 7.5:
Kostcn und Nutzcnvergleich von Auswertungen
Carlo Studentnig arbeitet in den Sommerferien als DJ in einer GroBdiskothek. Das Trockeneisaggregat zur Erzeugung der Nebeleffekte bereitet ibm allerdings, gerade im Hinblick auf die nfiehste Open Air Veranstaltung, groBe Sorgen, da die Stromverbrauehswerte weit t~ber jenen der Gebrauchsan[eitung liegen. Um die Fehlerursache zu identifizieren und zu beheben, hat Carlo folgende Strategien ermittelt: Generaleheck dureh einen Servicemitarbeiter des Herstellers zu Kosten yon 18.000. Dieser Teehniker findet kontrollierbare Fehlemrsachen mit Sicherheit, die Reparatur kostet zus~ttzlich 10.000. Ian Stein, ein befreundeter Physikstudent und begnadeter Bastler, w~rde das Aggregat um 8.000 durehchecken. Bei Vorliegen einer kontrollierbaren Fehlerursache wttrde er diese mit einer Wahrseheinlichkeit yon 70 % erkennen und eine Reparatur urn 6.000 durchftthren. Allerdings wtirde Ian mit einer Wahrscheinlichkeit yon 30 % eine kontrollierbare Fehlerursache tibersehen. Falls Carlo nichts unternimmt, liegen die Stromkosten weiterhin um 60.000 tiber dem Planwert, falls eine kontrollierbare Fehlerursache vorliegt. a) Formulieren Sie allgemein die Kostenerwammgswerte der Carlo znr Verfligung stehenden Strategien in Abhgngigkeit von ~, der Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung eine kontrollierbare Ursache besitzt. b) Ermitteln Sie die kritischen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Strategien und die jeweils optimale Strategie far die einzelnen Bereiche von ~. e) Der (risikoneutrale) Carlo vermutet eine Wahrseheinliehkeit ¢ von 50 %. Wie wird sich Carlo entscheiden? Ennitteln Sie die erwarteten Kosten der einzelnen Strategien. d) Welche (reparatumnabh~ingigen) Kosten dtirfen c.p. far den Servicetechniker anfallen, damit Carlo bei ~b= 50 % indifferent ist zwischen der Beauftragung yon Ian Stein und der des Technikers.
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
109
Musterl~sung: Teilaufgabe a) E(OK) = 6 0 . 0 0 0 . ~b E(Ian Stein) = 8.000 + [4.200 + 18.000] • ~b E ( S e r v i c e ) = 18.000 + 10.000 • ¢
Teilaufgabe b) Kritische W a l n ' s c h e i n l i c h k e i t z w i s c h e n den A l t e m a t i v e n (1) ,,Ohne K o r r e k t u r " und (2) ,,Ian Stein": 6 0 . 0 0 0 . ¢12 = 8.000 + [4.200 + 18.000]. ~12 ¢12 = 0,2116 Kritische W a h r s c h e i n l i c h k e i t z w i s c h e n den A l t e m a t i v e n (2) ,Jan Stein" und (3) ,,Servicetechniker": 8.000 + [4.200 + 18.000] • ¢23 -- 18.000 + 10.000- ¢a3 ¢:3 = 0,8197 Strategien: •
Keine Auswertung
¢t • [0, 0,2116]
• ,jan Stein"
¢~ • [0,2116, 0,8197]
•
¢~ • [0,8197, 1]
Servicetechniker
Teilaufgabe c) Carlo wird sich laut Ergebnis b) ffir Ian Stein entscheiden. Ein V e r g l e i c h der erwarteten K o s t e n zeigt:
E(OK) = 60.000 • 0,5 = 30.000 E(lan Stein) = 8.000 + 22.200 • 0,5 = 19.100 E ( S e r v i c e ) = 18.000 + 10.000 • 0,5 = 23.000
110
f2bungen zur Internen Untemehmensrectmung
Teilaufgabe d) Ansatz: 8.000 + 22.200 • 0,5 = x + 10.000.0,5 x = 14.100
Aufgabe 7.6:
Auswertungen bei Risikoaversion
Eine im Untemehmen Murkserati durchgeffihrte Abweichungsanalyse hat zu folgenden kontrollrelevanten Verbrauchsabweichungen (Absolutbetrfige) gefiihrt: At = 200 A2 = 100 A3 = 400 Dem ffir die Auswertung der Abweichmagen zustfindigen Controller HR. Zwei ist zum einen bekamat, dass jeder Abweichung ein bestimmter Betrag an relevanten Auswertungskosten AKi zugeordnet werden kann, zum anderen weil3 er auch aus jahrelanger Erfahrung, dass zwischen der H6he der einzelnen Abweichungen und den Auswertungsertr~gen AE(&) folgende Beziehung besteht:
AE(A~) = c~,. &
(i = 1,2,3)
Die einzelnen AK~ und oc, nehmen folgende Werte an:
AKI = 20;
AK2 = 20;
AK3 = 10
c~1 = 0,2;
a2 - 0,5;
~3 - 0,05
Die Auswertungsentscheidung soll in dieser Periode erstmals modellgestiitzt erfolgen. U.R. Zwei st613t dabei in der Literatur auf das Modell von Bierman/Fouraker/Jaedicke, das Jim1 aber hinsichtlich der Risikoeinstellung im vorliegenden Fall unangemessen erscheint, weil sich die Untemehmung risikoscheu verh~tlt. Ihre Risikonutzenfunktion U(Z) sei eine exponentielle Funktion der Form: - - -1- a
U ( Z ) = - e 20 +1 wobei Z die im jeweiligen Umweltzustand an die Untemehmung flieBenden Oberschfisse aus der Auswertungsentscheidung bezeichnet (wird eine Abweichung nicht ausgewertet, ist demnach Z = 0). Welche der angegebenen Abweichungen wertet der Controller U.R. Zwei unter obigen Annahmen (insbesondere also Maximierung des Erwartungsnutzens unter Verwendung der obigen Nutzenfunktion, wobei fiber die Auswertung jeder Teilabweichung isoliert entschieden wird) aus, falls die Wahrscheinlichkeiten ¢i, dass die Abweichungen auf nicht kontrotlierbaren Tatsachen beruhen, jeweils 30 % betragen
Kapitel 7: Kontrollrectmungen
111
(¢i = 0,3 mr i = 1,2,3)? Welche Abweichungen wertet er nicht aus (Begranden Sie Ihre Antwort!)?
MusterlOsung: Die Handlungsalternativen mit den entsprechen Ertr~igen sind in folgender Tabelle erfasst:
Abweichungsursache
Kontrotlierbar
Aktion
Nicht kontrollierbar
(1-¢)
Auswerten
AE - AK
- AK
0
0
Nicht auswerten
Der Nutzen, den die Untemehmung bei der Durchfahrung einer Auswertung erfahrt, muss mindestens so grog sein wie der Nutzen, den sie erf'ahrt, falls sie die Auswertung nicht durchfOhrt. (1 - ¢). U ( A E - A K ) + (~. U ( - A K ) >_g ( o ) AE(Aj) = 0,2 • 200 = 40 AE(A2) = 0,5 • 100 = 50 AE(A3) = 0,05 • 400 = 20 Auswertung A/: !
0,7. U(40 - 20) + 0,3- g(-20)_> g ( o ) 1
I
r . . . .
1
f)
0,7 • ( - e ?7(4° 2o~ + 1) + 0,3. ( - e -~~-2°) + l ) _ > - e :o +1 Da -0,07308040396 < 0 keine Auswertung. Auswertung k2: 0,7. U ( 5 0 - 20) + 0,3. U(-20)_>U(0) Da 0,028324338 > 0 Auswertung. Auswertung A3: 0,7. U ( 2 0 - 10) + 0,3. U(-10)_>U(0) Da 0,080812156 > 0 Auswertung.
Literatur: Bierman, H. Jr., L. E. Fouraker und R. K. Jaedicke: A Use of Probability and Statistics in Performance Evaluation, in: The Accounting Review 1961, S. 409-417.
112
Aufgabe 7.7:
l)bungen zur Internen Untemehmensreclmung
Auswertungen und zeitliehe Restriktion
Eine Abweichung sei mit einer Wahrscheinlichkeit ~ auf kontrollierbare und mit einer Wahrscheinlichkeit (1-¢) auf nieht kontrollierbare Ursachen zurfickzuf'tihren. Gegeben sei folgendes Modell zur Auswertung von Abweichungen: Wird eine Untersuchung der Abweichung mit Kosten von I durehgeffihrt, so soll sie mit Sieherheit aufdeeken, ob die Abweichung eine kontrollierbare oder nicht kontrollierbare Ursache besitzt. Ist die Abweichung kontrollierbar, wird eine Korrektumaagnahme gesetzt, die selber wieder Kosten K verursacht. Man kann als weitere Strategie auf die Untersuchung auch verziehten und sofort KorrekturmaBnahmen setzen, die im Fall, dass die Abweichung kontrollierbar ist, effektiv sind, und andernfalls ins Leere gehen. Dabei wird angenommen, dass die Korrekturmal3nahmen den Fehler immer beheben k6nnen. Wird schlieBlich nichts untemommen, entstehen Kosten OK, wenn die Abweichungen auf kontrollierbaren Ursachen beruhen. Vergleichen Sie zun~chst die Altemativen ,, Untersuchung und ggf." Korrektur" und ,, nichts unternehmen "! Zeigen Sie in allgemeiner Form auf, i) unter welehen Bedingtmgen es niemals gfinstig ist, eine Untersuchung durchzufiihreD,
ii) unter welchen Bedingungen es niemals gtinstig ist, nichts zu untemehmen! Vergleiehen Sie nun die beiden Alternativen ,, Untersuchung und gg~. Korrektur" und ,, sofortige Korrektur"! Zeigen Sie in allgemeiner Form auf, i) unter welchen Bedingungen immer untersueht wird, ii) unter welehen Bedingungen stets ohne Untersuchung die KorrekturmaBnahme gesetzt wird, gleiehgfiltig, ob sie greift oder nicht! Es soll nun angenommen werden, dass die H6he von OK von der H6he der Abweichung abh~ingt. Es sei O K = OK(A) - m • A mit A als Abweiehung trod m > 0 als konstantem Faktor. Zeigen Sie in allgemeiner Form auf, wie das hier betraehtete Modell mit in der Praxis tibliehen Entseheidungsregelungen korrespondiert, wonach nur solehe Abweichungen weiter ausgewertet werden, die einen bestimmten absoluten Wert tibersteigen! Eine Abweiehtmgsanalyse hat zu folgenden kontrollrelevanten Abweiehungen gefiihrt: At = 625 A 2 - 1.200 A3 = 1.750 A4 = 1.000
Es gelte weiterhin: OKj - OKi(A 3 = m~- Ai
(i = 1,2,3,4).
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
113
Die einzelnen ¢~ und mi netmaen folgende Werte an: ~t = 0,5;
¢: -0,4;
~3 - 0,4;
~4 = 0,7;
ml = 0,8;
m2 = 0,5;
ms = 0,4;
m4 = 0,4.
Es sol1 angenommen werden, dass bei der Auswertung der vier Abweichungen keine (Grenz-) Kosten anfallen ( / = 0; K = 0), dass jedoch ftir Auswertungszwccke insgesaint nur 20 Smnden zur Verftigung und unvollstandige Auswertungen nicht m6glich sind (d.h. eine Abweichung wird entweder ausgewertet oder nicht ausgewertet). Welche Abweichungen werden ausgewertet und wie hoch ist der erwartete Auswertungsertrag, wenn zwischen der Abweichungsh6he Ai und der zur Auswertung ben6tigten Zeit t, nachfolgende funktionale Beziehungen bestehen (die Angabe erfolgt in Minuten)? tl(&) = 375 + 0,2 • A1 t2(A:) = 180 + 0,1 .A2 t3(t,~)
= 0,2
•
t,3
t4(A4) = 1O0 + O, 1 • A4
Musterl~sung: Teilaufgabe a) Die Entscheidungsregel lautet: Untersuchung und ggf. Korrektur, falls ~ > - OK- K" OK
K Teilaufgabe b) Die EntscheidungsregeI lautet: Untersuchung und ggf. Korrektur, falls ~ <
K-I K
I=0 I>_K Teilaufgabe c9 Vergleich der Altemativen ,,Untersuchung and ggt: Korrektur" tend ,,nichts unternehnlen":
Durch Einsetzen von OK~(A 0 = mi • & in die Entscheidungsregel in Teilaufgabe a) erhNt man: I ¢> m.A~
114
Obungen zur Intemen Untemehmensrechnung
Eine einfache Umformung fiihrt schlieBlich zu:
I+¢.K
A > - ¢-m
Vergleich der Alternativen ,,sofort korrigieren" und ,,nichts unternehmen": K Die Entscheidungsregel lautet: Sofortige Korrekturmagnahmen, falls ~b> OK Durch Einsetzen von OKi(Ai) = mi • Ai in diese Entscheidungsregel erhalt man: K A>-¢.m
Teilaufgabed): OK1 = 0 , 8 . 6 2 5 = 500 01(2 = 600 OKs = 700 0[£4 = 400 tl(Aj) = 375 + 0,2 • 625 = 500 tXA2) = 300
O(~s) =
350
t4(A4) = 200 Insgesamt stehen 1.200 Minutcn f'gr Auswertungszwecke zur Verftigung. Die Auswertung aller vier Abweichungen ist jedoch nicht m6glich, weil 500 + 3 0 0 + 350 + 200 = 1.350> 1.200 M6glich sind folgende Kombinationen: A1, A2, A3:500 + 300 + 350 = 1.150 < 1.200 A1, A2, A4: 1.000 < 1.200 At, As, A4:1.050 < 1.200 A2, As, A4:850 < 1.200 Zu untersuchen ist im Folgenden, welche Kombination den h6chsten Auswertungserfolg erbringt: At, A2, A3:0,5 • 500 + 0,4 • 600 + 0,4. 700 = 770 At, A2, A4:770 At, A3, A4:810 A2, A3, A4:800 Es werden also die Abweichungen At, As mad A4 ausgewertet.
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
l 15
Eine Reihung der Auswertungen gem~iB den spezifischen Deckungsbeitr~tgen Nttte zu einem falschen Ergebnis gefahrt. Da die Auswertung van Az den niedrigsten spezifischen Deckungsbeitrag der vier Auswertungen erbringen wfirde, warden nach der entsprechenden Entscheidungsregel die Abweichungen A:, As und A4 ausgewertet werden, was jedoch nur zu cinem Auswertungserfolg van 800 f'tihren wfirde.
Aufgabe 7.8:
Managerentlohnung und Likelihood Relation
Ein risikoneutraler Untemehmer beschaftigt den risikoscheuen Manager R.A. Vers, der den Produktionsprozess steuert. In Abh~ngigkeit des Arbeitseinsatzes van R.A. Vers ergeben sich folgende Outputwahrscheinlichkeiten: Output x = 500
Output x = 4.000
Arbeitseinsatz aL
0,7
0,3
Arbeitseinsatz aH
0,2
0,8
Die Wahl des hohen Arbeitseinsatzes ah, verursacht dem Manager persiSnliche Kosten des Disnutzens V(aH) in H6he van 100. V(aD sowie der Reservationsnutzens U ~ des Managers betragen 0. Die Nutzenfunktion des Managers hat die Form
U~(s,a) = ~
,
jene des Untemehmers UP(x, s) = x - s .
a) Der Arbeitseinsatz des Managers ist beobachtbar. Welches Arbeitsniveau ist far den Untemel~ner mit der grN3tm6glichen Nutzenerreichung verbunden? Welche Entlohnung ist notwendig, um dieses Aktivit~itsniveau zu induzieren? b) Nur der Output der Aktivit/it ist allgemein beobachtbar. Emlitteln Sie das aus der Sicht der Unternehmensleitung optimale Aktivit~ttsniveau und die optimale Managerentlohnung. c) Warum ist die Entlohnung bei Nichtbeobachtbarkeit des Arbeitseinsatzes tar den Output x = 4.000 h6her als far x = 500.
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Die Untemehmensleitung bietet dem Manager eine Entlohnung der Arbeitsleistung an, die genau das Erreichen des Reservationsnutzenniveaus U A = 0 gewahrleistet, d.h far den Arbeitseinsatz aL gilt:
s(aL) = O, EUP(x,s(aL)) = 1.550, EUA(s(aL),V(aL)) = 0
116
13bungen zur Internen Untemehmensrechnung
far den Arbeitseinsatz s(an) = 100,
an gilt:
EUP(x,s(an)) - 3.200, EUA(s(an),V(aH)) = 0
Die Untemehmensleitung wird die Erbringung des hohen Arheitseinsatzes vertraglich vereinbaren und bei Vertragserfallung eine Entlohnung von 100 leisten.
Teilaufgabe b) Die Motivation des niedrigen Arbeitseinsatzes fahrt bei Nichtbeobachtbarkeit des Arbeitsniveaus zur selben L6sung wie unter a), damit: s(aL) = o, ~Ue(x,s(aL)) = 1.550, EU~(s(aL),V(aL)) = 0 Die Motivation des hohen Arbeitseinsatzes erfordert das Beachten der Teilnahmebedingung sowie der Aktionswahlbedingung im Rahmen der Untemehrnenszielverfolgung. Dadurch ergibt sich als Optimierungsproblem: min
s(x=5OO),s(x=4000)
0,2.
s(x = 500) + 0,8. s(x = 4.000)
u.d.N.:
0,2. ~/s(x = 500) - 1 0 0 + 0,8.x/s(x = 4 . 0 0 0 ) - 1 0 0 > 0
O,2. x/s(x = 500) - 100 + O, 8. ~ls(x = 4.000) - 100 _> 0,7.
x/s(x = 500) + 0,3. ~/s(x = 4.000)
Ergebnis (Die L6sungsemlittlung erfolgte mit Softwareuntersttitzung dutch MS Excel ©- Solver): s(x = 500) =106,7849 s(x = 4.000) = 331,6472 EU4(s(x),V(aH)) = 12,6969 EUe(x,s(x))
= 3.013,33
Far die Unternehmensleitung ist die Erbringung des hohen Arbeitseinsatzes mit einer h6heren erwarteten Nutzenerreichung verbunden. Zur Motivation dieses Aktivit~itsniveaus wird eine outputabNingige Entlohnung vertraglich vereinbart.
Teitaufgabe c) Die Likelihood Relation zeigt, dass ffir den Output x = 4.000 eher die Vermutung - > - - 0, 2 gilt, dass eine hohe Arbeitsintensitat gewahlt wurde: -0,8 0,3 0,7 '
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
Aufgabe 7.9:
117
Auswertungsstrategien in einem biniiren AgencyModell
Die Meltdown AG betreibt ein Kernkraftwerk in Osteuropa. Far die kommende Planperiode werden die beiden quantitativ messbaren, monet~ir bewertbaren lDberschtisse x L und x H far m6glich gehalten. Es gilt x L < x H. Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens dieser Oberschfisse hgngt allerdings vom Sorgfaltsniveau a des technischen Direktors lsotop ab. A'otop empfindet bei Anstrengungen a Arbeitsleid. Es wird angenommen, dass Isotop nur ein hohes Anstrengungsniveau aH oder ein niedriges Anstrengungsniveau aL erbringen karm. Es gilt V ( a L ) = O , V ( a u ) = 1. Die Konstellation der ZahlungstiberscNisse und Wahrscheinlichkeiten sei so, dasses der Vorstandsvorsitzende Plutonium immer vorteilhaft findet, Isotop zu einem hohen Anstrengungsniveau zu motivieren. Plutonium ist risikoneutral, der risikoscheue Iso-
top bewertet Zahlungen gem~iB U(s(xi)) = ~
, i = L , H . Sein Reservationsnut-
zen ist U A = 0. Folgende Tabelle fasst die Situation zusammen. Dabei gilt stets
XL
aL ~
¢I ¢2
XH
1 -1-
¢1
02
a) Was wird in diesem Agency-Model1 durch ~1, ~ ausgedrfickt? b) Bestimmen Sie die second best L6sung dieses Szenarios ohne Auswertung. Welcher Zusammenhang besteht zwischen ¢1, ¢2 mid der Entlohnung von Isotop? Welcher Zusammenhang besteht zwischen ¢1, ~2 und der Zielerreichung yon Plu-
tonium? Interpretieren Sie diese Zusammenhfinge 6konomisch. c) Bezfiglich m6glicher Auswertungsstrategien stehen Plutonium die beiden folgenden Alternativen zur Verfagung. Er kann entweder auswerten, wenn er xL beobachtet, oder auswerten, wenn er xH beobachtet. Eine perfekte Informationstechnologie sei dagegen zu teuer. Gleichgtiltig, ob nut bei x L oder nur bei x H ausgewertet wird, entstehen Auswertungskosten v o n / 7 > 0. Durch die Auswertung wird verifizierbar aufgedeckt, ob aH oder aL erbracht wurde. Wie verfindert die M6glichkeit der Auswertung die Situation unter Teilaufgabe b)? Bestimmen Sie die optimale Auswertungsstrategie far 01 = 2 / 3, ¢~2 = 1/ 3 und far ~bI = 2 / 3 , ~b2 = 0,5. Kommentieren Sic lhr Ergebnis. d) Wie hoch sind der Grenzpreis bzw. die h~chsten Auswertungskosten, die Plutonium gerade noch in Kauf nehmen warde, um die Zusatzinformation der Auswertung zu erhalten? Gehen Sie zur Beantwortung dieser Frage v o n d e r Oberschussstruktur x L = - 1 0 , x H = 30 und den beiden konkreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Teilaufgabe c) aus.
1t 8
Obungen zur InternenUntemehmensrechnung
MusterlSsung: Um dem Leser ein stfindiges ,,Wer ist wer?" zu ersparen, werden in der Musterl6sung die Begriffe Agent (Isotop) und Prinzipal (Plutonium) verwendet.
Teilaufgabe a) 01, Ca geben die Wahrscheinlichkeiten ffir das Auftreten des niedrigen Uberschusses XL in Abhgngigkeit davon an, ob der Agent ein hohes oder niedriges Anstrengungsniveau gew~ihlt hat, d.h. 0~ = 01(x1~[aL), 02 = ca(xt, l a , ) • Sie geben Aufschluss dart~ber, inwieweit der Agent durch die hohe Anstrengung das Ergebnis im Sinne der stochastischen Dominanz erster Ordnung verbessem kann. Dieser Zusammenhang wird oft im Sinne einer stochastischen Produktionsfunktion interpretiert. Hohe Differenzen 01 - 02 besagen dama, dass der Agent eJne hohe (stochastische) Produktivitat besitzt. Aufgrund der Nutzenfunktion folgt, dass die Entlohnung des Agenten nicht negativ werden darf. Dies bedeutet, dass die maximal m6gliche Sanktion gegentiber dem Agent s o = 0 betrfigt. Dadurch l~isst sich die Situation eines beschrfinkt haftenden Angestellten recht maschaulich darstellen.
Teilaufgabe b) Der risikoneutrale Prinzipal maximiert unter der Bedingung, dass aH gewahlt werden soil, die (2rberscht~sse xi abztiglich der Entlohnung des Agenten unter BerOcksichtigung der Teilnahme- (TB) und Anreiznebenbedingung (AB). Die Zielfunktion ist: M a x Z = ca. x L + (1 - c a ) . x ~ - 0 2 " s ( x L ) - (1 - c a ) . s ( x H)
Min 02" s(xr) + (1 - Ca)" S(XH) Maximierung des Nettoiiberschusses entspricht hier also der Minimierung der Kosten der Entlohnung. Aufgrund der Nutzenfunktion des Agenten l~isst sich die Zielfianktion als quadratisch in den Nutzenwerten der Entlohnung darstellen, w~ihrend die TB/AB linear in den Nutzenwerten der Entlotmung verl~iuft, d.h. ut = ~ ~ s(xi) = u~. Das Problem lautet dann:
Min 02" u~ + (1 - ca). u~ 02 "uL +(1-02)"UH --1 _>0(TB) 02" UL + (1 -- ca). USr -- 1 > 01 "UL + (1 -
01)" MH
u,>_0(i:LH) Aus der AB folgt:
-1->O(AB) >o
(AB)
Kapitel 7: Kontrollreclmungen
119
TB - AB:
(1- 41)'U-~q q-el "UL > 0 Far jede beliebige nichtnegative Kombination aus uL > 0 und uH > 0 impliziert die Einhaltung von AB die Einhaltung yon TB, insbesondere folgt, dass die strikte Einhaltung der AB einen tiber den Reservationsnutzen hinausgehenden Erwartungsnutzen des Agenten bedingt. Somit ist AB die bindende Restriktion. Ist die AB als Gleichung erf'allt, erh~ilt man:
Eingesetzt in die Zielfunktion folgt: M i n K = 4 ~ . ~ + (1 - 4 ~ ) u 2
OK _ 2 . u H + 2"42 = 0 _ + u H = 42 >0 8b/H 42 -- 41 41 -- 42 Diese ,,innere" L6sung ist aber unzul~issig, da sie die Nichtnegativit~ttsbedingung far u L verletzt, denn: ~2--1
m < 0
uL - 41 -¢2 Optimal ist deshalb folgende Randl6sung des Agency-Problems: 1
uH:
_l,uL:0 41
~2
An dieser Stelle gilt: AB=O, TB = I 1-42 1 - 1 > 0
t¢~ -42) 2I Die erwarteten Kosten der Entlohnung sind dan_n: K Min _
1-42 (41-~2) 2
Unter der Annahme ¢I - 42 > 0 lassen sich die folgenden komparativ-statischen Ergebnisse herleiten.
120
0bungen zur InternenUnternehrnensrechnung
OK
+02-2 -
802
>0
J
7o Die erwarteten minimalen Kosten des Prinzipals steigen mit zunehmender Wahrscheinlichkeit dafter, dass auch bei aH der niedrige Uberschuss auftritt. Je geringer also die Produktivit~t des Agenten (~1-~2), verstanden in dem Sinne, dass auch durch hohe Sorgfalt schlechte Ergebnisse relativ wahrscheinlich sind, d e s t o hOher sind die Kosten des Prinzipals. Seine Begrfindung findet dieses paradox anmutende Ergebnis letztlich in der AB dieser Randl6sung. Da der Agent bei Beobachtung von XL die Entlohnung UL = SL = 0 erh~ilt, gilt: (1-02).u H -1 >_(1-4a).uH (AB) Je geringer die Ffihigkeit des Agenten ist, die Wahrscheinlichkeit far das schlechte Ergebnis im Sinne der stochastischen Dominanz erster Ordnung negativ zu beeinflussen, desto h6her muss ihn der Prinzipal vergfiten, urn ihn zu aH ZU veranlassen. Der Grund liegt darin, dass der Agent im Falle yon aH ein k o n s t a n t e s Arbeitsleid empfindet, mit wachsendem 02 aber die Wahrscheinlichkeit sinkt, bei erwanschtem Verhalten die hohe Belohnung zu erhalten. Dem kann der Prinzipal nur dadurch begegnen, dass er UHmit wachsendem ¢2 immer welter erhSht. Die Ableitung von u~ nach 02 best~itigt dieses Ergebnis. du*H
1
~7~¢2
(41 -- 42 )2
>0
Steigt dagegen far ein gegebenes ¢2 die Wahrscheinlichkeit Rir den niedrigen f.)berschuss, wenn aL erbracht wurde, impliziert dies einen Anstieg der Produktivit~it des Agenten. Deshalb sinken die erwarteten Kosten im Intervall [¢1; 02 [ .
d K ~m
N
<2 2-(¢2 -1) ;0
In der folgenden Abbildung sind die minimalen Kosten in Abhangigkeit von 02 bei einer gegebenen Wahrscheinlichkeit 4L= 2/3 abgetragen. Man erkennt, dass sie ftir eine sehr geringe Produktivitat (42 in der Nahe yon 41= 2/3) des Agenten schnell exorbitant hoch werden.
Kapitel 7: K o n t r o l l r e c h n u n g e n
121
K Min 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0
+
I
I
I
I
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
I
42
Teilaufgabe c)
W~thlt der Prinzipal eine der beiden Auswertungsstrategien ,,Nur auswerten, wenn x~ beobachtet wurde" (i = H, L), k6rmen folgende F/ille auftreten. Es wird das relevante xi beobachtet. Die Auswertung zu K o s t e n / 7 deckt eindeutig auf, ob aL oder an erbracht wurde. Wurde aL erbracht, kann das Verhalten des Agenten mit der Sanktion s o = 0 belegt werden. Wurde aH erbracht, erh~tlt der Agent die Entlohnung si, die ibm den Nutzen der Entlolmung u, stiflet. Wird der jeweils andere Oberschuss beobachtet, der zu keiner Auswertung fahrt, erh~ilt der Agent je nach beobachtetem Oberschuss SL bzw. sh'. Auswertungsstrategie: Nur bei XL auswerten. TB und AB sind dann: 42" uL + (1 - 42)' ull - 1 >_0 (TB)
42 "uL +(1 - ~ 2 ) ' u . -1 _>¢~-s o +(1 -~l).Un (AB) =0
(41 - O ~ ) . . + (42)'"L -1 _>0 (AB) >o
>o
Die Wahrscheinlichkeit des Agenten, die hohe Entlohnung zu erhalten, betr~gt unver~indert (1 - ¢h ) bei erwfinschtem Verhalten und (1 - 41 ) bei unerwfinschtem Verhalten. Ist UL > 0, erhfilt er diese Entlohnung jedoch nur noch dann, wenn er sich in erwanschter Weise verhalten hat. Abstrahiert man zun~ichst von Auswertungskosten, verbilligt sich deshalb zun~ichst die Einhaltung der AB aus Sicht des Prinzipals. In der umgeformten AB erkennt man dies daran, dass UL nicht mehr v o n d e r Differenz der Wahrscheinlichkeiten, hier interpretiert als die stochastische Produktivit/it des Agenten, abh~ingt, sondem nur noch yon der Wahrscheinlichkeit ftir den schlechten Umweltzustand, wenn tatsfichlich aH erbracht wurde.
122
Obungen zur Intemen Unternehmensrechnung
Die Differenz zwischen TB und AB 01=
2/3
betr~igt:
(1-¢i)'u H >0 Ftir jedes u H > 0 impliziert dies, dass die Einhaltung der AB den Prinzipal st~irker bindet als die TB. Aus der AB erh~ilt man: 1 - u ~ " (¢1 - 02.)
/~L --
¢2
Eingesetzt in die Zielfunktion ergibt sich: M i n K = ¢2 " U2L +
(1 -- ¢2)" U~
K=¢z..1--UH'(¢~-¢2)
+(1_¢2).U 2
¢2 4.UH .01 +2.UH - 2-¢1 + 2 = 0 02
3K_2"u~'¢~
d~/H
¢2
¢1 --02 = ¢1 --~ 2> 0 --->UH = 02--2"¢t'02 +¢2 (01--02)2+¢2--02 Diese ,,imlere" LSsung f'lihrt zu einem ebenfalls positiven uL > 0. =
1-¢~
,,L (¢ _¢2)2+¢ _¢:
>UH>0
Die Nichtnegativit~itsbedingungen bezfiglich der Nutzen der Entlolmung werden also eingehalten. In diesem Szenario erhfilt der Agent also eine h O h e r e Vergfitung, wenn der sehlechte Umweltzustand eingetreten ist, denn diese Entlotmung wird nur bezahlt, wenn der Prinzipal auswertet und feststellt, dass tats~ichlich an geleistet wurde. Damit dies tats~ichlich optimal ist, muss angenommen werden, dass der Agent keine MSgliehkeit hat, Obersehtisse zu verniehten. Sonst kSnnte er versueht sein, durch sinnlose Ausgaben A = x H - x L den schlechteren Umweltzustand vorzuspiegeln, obwohl tatsfichlich xn vorliegt. Die minimalen erwarteten Kosten der Entlohnung sin& KMi, =
1- ¢2
= Z/L
Die erwarteten Kosten dieser Auswertungsstrategie entsprechen dem Nutzen der Entlohnung UL. Der Auswertungsertrag gegentiber Teilaufgabe b) betr~igt: AK-
1-¢ 2
1-¢ 2
_02)2+¢2_#
>0
Kapitel 7: Kontrollrectmungen
123
Ohne Auswertungskosten woxde also immer ausgewertet. Unter Berttcksichtigung yon Auswertungskosten wird ausgewertet, wenn:
AK-I-I=
1-02
1-¢2
/7_>0
(01-02) 2 (¢1-02)2+02-4 Es l~sst sich leicht ~iberp~fen, dass m6gliche Randoptima dieses Problems, d. h. uz = 0; uH > 0 oder u H = 0; u a > 0 zu h6heren erwarteten Kosten des Prinzipals f'lihren. Im ersten Fail resultiert dieselbe L6sung wie unter Teilaufgabe b) mit h6heren erwarteten Kosten (s.o.). FOx den zweiten Fall ergibt sich K = u L = 1/ ¢2, wobei AB und TB als Gleichungen erfallt sind. Die resultierenden erwarteten Kosten sind jedoch slels hOher als diejenigen der inneren L6sung uL > u H > 0 (Der Leser ist eingeladen, dies selber zu tiberprt~fen). Analysiert man den Einfluss von zunehmendem ¢2 bei gegebenem 01 (geringere Produktivitfit des Agenten), erhfilt man:
8uH =
0, "(¢~ -1)
< 0; OuL -
-(O1-1) 2
<0
Hier offenbart sich ein wichtiger Unterschied zum Fall ob3~e Auswertungsm6glichkeit. Kann der Prinzipal bei Beobachtung von xL auswerten, erm6glicht ibm dieser Umstmld sowohl die positive Entlohnung u H im Fall x/t als auch die positive Entlohnung (u i [a = a H ) far den Fall, class der Agent bei Beobachtung von xL tats~ichlich aH erbracht hat, an der Produktivit6t des Agenten auszurichten, d. h. der Nutzen der Entlohnung und damit die Entlohnung selbst sinkt mit abnehmender Produktivitgt (h6heren 02) fOx beide m6glichen Oberschfisse. Die Ableitung der erwarteten Kosten der Entlohnung nach 02 bei der Auswertungsstrategie xL ist somit ebenfalls negativ, da deren Wert bier mit uL abereinstimmt. Ohne Auswertung nehmen die erwarteten Kosten des Prinzipals also mit abnehmender Produktivitgt des Agenten zu, w~hrend sie bei der Auswertungsstrategie xL mit abnehmender Produktivit~it abnehmen. Es lfisst sich nun zeigen, dass die erwarteten Kosten der Entlohnung ohne Auswertung fiberproportional in 02 zunehmen, w~hrend sie im Fall der Auswertung bei xL ttberproportional in 02 abnehmen. Da der Erwartungswert der ErlOse aber nur linear in 02 t'~itlt, folgt daraus, dass der Wert der Monitoring-Information (Auswertung) um so h6her ist, je geringer die Produktivit~t des Agenten far eine gegebenen Agency-Beziehung ist. Fttr x L = -10, x~v = 30, ¢~1= 2 / 3 sind die erwarteten Nettofiberschiisse des Prinzipals in der folgenden Abbildung abgetragen. E(GIx L) steht dabei vereinfachend far den erwarteten Gewinn, wenn die Strategie ,,Auswerten, falls xL" verfolgt wird und
124
Obungen zur Intemen Untemehmensrechnung
E(G) 2nd bezeictmet den Erwartungswert der I~lberschtisse, wenn nicht ansgewertet wird (L6sung Teilaufgabe b)). 3O T
25
20
ol
L)
15
(G]x L j - E~
.
/
.5 ~
Die Kurve der m6glichen Auswertungsertr~tge beschreibt dabei zwei m6gliche Szenarien. In einer klassischen 6konomischen Agency-Beziehung wie ,,EignerManager" wird der risikoneutrale Prinzipal die Agency-Beziehung gar nicht eingehen, falls sein erwarteter Nettotiberschuss negativ wird. Dies ist ohne Auswertung ab einer kritischen Produktivitgt ~ der Fall. Ab diesem Punkt wird der Wert der Entlohnungs- und AuswertLmgsstrategie an der Unterlassensalternative gemessen. Die Kurve der Auswertungsertr~tge weist far solche Situationen also einen Knick auf und ist ab diesem Punkt identisch mit E(GIx L). Ferner sinkt sie ab 4£ mit abnehmender Produktivit/it des Agenten. Es sind aber durchaus Agency-Beziehungen denkbar, wo das Argument positiver Gewinne nicht anwendbar ist. Dies ist regelmgBig ftk Agency-Beziehungen der Fall, wo die 6konomische Effizienz nicht das Haupt-, sondem nur ein, we~m auch wichtiges Nebenziel, darstellt. Solche Agency-Beziehungen sind oft im Non-Profit Sektor einer 0konomie anzutreffen. Als Beispiel sei die AgencyBeziehung zwischen dem Krankenhaustr~iger und dem Chefarzt einer Abteilung far Schwerstbrandverletzte genannt. Hauptzweck sind hier nicht Zahlungs[iberschasse, sondern die Behandlung von Verbrennungsopfem. Trotzdem hat der Tr/ager ein Interesse, dass die notwendigen Leistungen m6glichst effizient erbracht werden. Bei einem gegebenen Bedarf Ftir Brandbetten wird er die Agency-Beziehung aber auch eingehen, wenn mit einer defizit~iren Entwicklung der Abteilung gerechnet wird. Es sei in diesem Zusammenhang ferner an die zentrale Bedeutung der Annahme erinnert, dass es der Prinzipal stets vorteilhaft findet, an zu implementieren. Insbesondere die gegen unendlich hohe Werte strebenden Entlohnungskosten in Teilaufgabe b) zeigen, dass diese Annahme hier ftir sehr geringe Produktivitgten, ~ ~ ~ irgendwann zwangsl/iufig verletzt sein wird. Dieses Problem ist hier durch die l~berschuss-
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
125
struktur exogen vorgegeben. Je h6her die Differenz x H - x L , um so eher sind auch geringe Senkungen yon ~ aus Sicht des Prinzipals noch lohnend. Nicht umsonst wurde zur Illustration das Beispiel eiries gravierenden Umfalls in einem Kernkraftwerk herangezogen. Exkurs zur Annahme der Vorteilhaftigkeit der Ausfibung von Anreizen: Fiir die bisherige Analyse war die Annahme gesetzt worden, class es aus Sicht des Prinzipals stets vorteilhaft ist, den Agenten zur Erbringung des Anstrengungsniveaus an zu motivieren. Ob dies tats{iehlich sinnvoll ist, kann ohne Kenntnis der konkreten Uberschussstruktur [xL, x~:] nicht beantwortet werden. Da der Agent im Fall yon aL im Beispiel kein Arbeitsleid empJindet (V(aL)=O) , wird der Prinzipal
werden sollen. Der erwartete Oberschuss des Prinzipals wEire in diesem Fall = aL ) =¢,-xL +(1-¢~,).xfl. Fiir die Werte xL - -10, XH - 30 und ¢, = 2 t 3
E(G[a
wurde bspw. E(G]a = a L )=10/3 resultieren. Mit (ohne) AuswerlungsmOglichkeit w~irde sich die Grenze fiir die Vorteilhaftigkeit der Anreizgewgihrung aus der LOsung der fotgenden Gleichungen ergeben: •
E(O(¢2)lxL)=E(G(:2)ia=aL)=lO/3
•
F,(G(:2))a~"=E(G(~2)ia=aL)=IOI3
Wi~hrend sich die erste Gleichung analytisch lOsen lgisst und ein kritisches Cz von 0,627062 resultiert, kann die zweite nur numerisch gelOst werden. Es ergibt sich ein kritisches 02 = 0, 432. Ob Anreize #berhaupt ausgefibt werden sollen, hi~ngt also yon der AuswertungsmOglichkeit ab. Bezieht man diese (2berlegungen in das Schaubild ein, resultiert f # r die Werte des Beispiels folgende Grafik:
30 25 20 15 10
\
E(zI.=.D
5
tfi2
oi 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
126
Obungen zur IntemenUnternehmensrechnung
Man erkennt einen einigermaJ3en ~berraschenden Verlauf der Nachfragekurve (entspricht dem Auswertungsertrag nach der AuswertungsmOgtichkeiO. Ausgehend yon ~k2 = 0 steigt die Zahlungsbereitschaft ffir die AuswertungsmOglichkeit konvex an, d. h. der Wert der Zusatzinformation steigt mit sinkender Produktivitdt des Agenten. Wie man erkennt, liegt die maximale Zahlungsbereitschafi an der Stetle, an der ohne AuswertungsmOglichkeit auf Anreize verziehtet wiirde ((k2 ~ O,432). Danach bemisst sich der Auswertungsertrag relativ zum erwarteten, (konstanten) Erfolg des Prinzipals ohne Anreize und fdllt streng monoton mit weiter sinkender Produktivitdt des Agenten. Die Zahlungsbereitschafi sinkt auf O, wenn auch mit der Auswertungsmdglichkeit auf Anreize verzichtet w~rde (#2 = 0, 627062). Werden zuscitztich konstante Auswertungskosten 17 ber#cksichtigt, ,,verkompliziert" sich die Situation weiter. Gilt etwa fiir das Beispiel /7 = 10/3, wfirde der Prinzipal die Auswertungsmdglichkeit lediglich im Intervall 02 ~ [0,3; 0,55] naehfragen, ansonsten wgire seine Zahlungsbereitschafi O. Fiir 42 <0,3 wiirde dabei die second best LOsung E ( G ) 2"d implementiert, ff~r 42 > 0, 55 auf Anreize verzichtet. Altemativ kann der Prinzipal nur bei Beobachtmlg yon xH auswerten. In diesem Fall lauten die TB und AB: ¢2 "uL + (1--42)'UH -1 > 0(TB) 42 "btL + (1-4z)" uH -1 > 41 "uL + ( 1 - ¢~)'So(AB) =0
Wiederum umfasst die Entlohnung des Agenten eine Sanktion im Falle yon aL, wenn xH beobachtet wurde, sowie eine Vergtitungskomponente u~ die dann bezahlt wird, wenn die Auswertung erbringt, dass er sich in erv~nschter Weise verhalten hat. Die umgeformte AB lautet in diesem Fall: (1- 4 2 ) ' u . +(42 - 4,)'UL --1 _>0 (AB) >0
<0
Die Differenz zwischen TB und AB betr~igt ¢~. u L > 0. Wird dem Agenten eine nichtnegative Entlohnung uL gezahlt, impliziert die Einhaltung von AB automatisch die Einhaltung yon TB. hn Falle einer Randl6sung sind AB, TB und die Nichtnegativit/itsbedingung u L > 0 als Gleichungen erftillt. Aus AB folgt: uH "(¢2 - 1 ) + 1 bl L
--
(42
Kapitel 7: Kontrollreclmungen
127
Die Ableitung der inneren L6stulg erfolgt analog zur bisherigen Vorgehensweise. Sie lautet: <0 uH -
¢2
, uL =
>,~-----~,
~2 - ¢ 1
(¢,-o2)2+o2-o22
< 0
Die ,,innere LOsung" verletzt wiederum die Nichtnegativit~itsbedingung f'lir den Nutzen der Entlohnung uL. Es ergibt sich emeut eine Randl6sung mit: ,
,
1
UL = O , u H
KMO,(cIxH)
1_¢2
1
1-¢2
Im Untersehied zur Strategie ,,Nieht Auswerten" erzielt der Prinzipal in dieser L6sung (Auswertung bei x~) dadurch einen Vorteil, dass er bei der Festsetzung der Entlohnung u~ nicht m e h r die relative (¢1-¢2), sondern die absolute Produktivit~it (1 -
¢2) des Agenten ber~icksichtigen muss. Ohne Auswertung betrug die L6sung fiir
uH in Teilaufgabe b) ja: u~b) _
1
¢',-¢2 Die Entlohnung des Agenten t~r xL ist hier also stets niedriger als in Teilaufgabe b). Unter Berticksiehtigung der optimalen L6sung lautet die im Optimum bindende AB: (1 - ¢ 2 ) '
ua' - 1 ___0 ( A B ) : ( T B ) .
Wie man sieht, bleibt im Falle der Auswertungsstrategie xL das Problem erhalten, dass der Prinzipal Nr eine geringer werdende Produktivitfit des Agenten quasi ,,gezwungen" ist, bei Beobachtung von xH dem Agenten Vergiitungen zuzugestehen, die entgegen seiner Produktivitfit verlaufen, tun die erwt~nschte Aktion aH zu implementieren. Die Auswertungsstrategie xL ffihrt hingegen dazu, dass der Prinzipal die Entlohnungen an der Produktivit~it ausrichten kann, indem die Vergiitung bei sinkender Produktivit/~t ebenfalls sinkt. Die Auswermngsstrategie xH erm6glieht es dagegen, fiir eine g e g e b e n e Situation ¢1, ¢2 bez(iglich der Entlohnung yon einer relativen auf eine absolute Produktivitfitsorientierung iiberzugehen, was mit niedrigeren Entlohnungen einher geht. Daraus ergibt sich natttrlich die Frage, ob eindeutige Aussagen bez~iglich einer bestimmten Auswermngsstrategie mOglich sind, die tulabh~ngig vonder Produktivi~t des Agenten ist. Zur Beantwortung dieser Frage wird die optimale Auswertungsstrategie fur die beiden kol~creten Wahrscheinlichkeits- bzw. Produktivit~tskonstellationen ~ = 2 / 3, ¢2 = 1 / 3 (Bsp. far eher hohe Produktivit~tt) und ~1 = 2 / 3, ¢2 = 0,5 (Bsp. ftir eher geringe Produktivit/it) berechnet.
128
l]bungen zur InternenUntemehmensrechnung
¢~ = 2 / 3, ¢z = 1 / 3
keine Auswertung
Auswertung xL Auswertung XH
u~:
0
2
0
uH
3
1
1,5
K Min*
6
2
1,5
[~prit
-
4
4,5
Lohnt sich die Auswertung grunds~itzlich und sind die Auswerttmgskosten H w i e unterstellt ftir beide Strategien gleich hoch, dann wird ftir diese Agency-Situation, in welcher der Agent eine relativ hohe Produktivit~tt aufweist, nur bei XHausgewertet. ¢I1 = 2 / 3, 02 = 0,5
keine Auswertung
uL
0
1,8
0
uH
6
0,6
2
K MJ~*
18
1,8
2
16,2
16
[~krit
Unter
Auswertung xL Auswertung xH
der
Bedingung,
dass
die
Auswerttmg
gmndsfitzlich vorteilhaft ist
H < Flk~it), wfirde der Prinzipal sich bier ftir die Strategie ,,Auswertung bei
X L"
entscheiden. Eindeutige Aussagen beztiglich der Vorteilhaftigkeit einer bestimmten Auswerttmgsstrategie lassen sich deshalb nicht treffen. Generell kann man folgende Zusammenh~tnge zeigen: Je ungtinstiger also die Ausgangssimation des Agency-Problems (hohe ~bI ) ist und je geringer die stochastische Produktivit~it des Agenten, desto eher ist die Strategie ,,Auswerten bei xL" vorteilhaft. Die 6konomische Begrtindung dafOr ist, dass far die L6sung bei der Auswertung von xH das Problem weiterbesteht, dass sich die H6he der Entlohnung des Agenten entgegengesetzt zu seiner Produktivit~it entwickelt. Die Auswertungsstrategie xL erlaubt dagegen eine Orientierung an der Produktivit~it des Agenten, denn sowohl u L als auch u H sinken in Oz. Far eine entsprechend ungtinstige Ausgangssituation und eine geringe Produktivitfit des Agenten fiberwiegt dieser Vorteil der Orientierung an der Produktivitgt den Vorteil, der sich aus der Strategie xH ergibt (Orientierung an absoluter statt relativer Produktivit~t und dadurch verringerte u/t ).
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
129
Teilaufgabe d) Ftir die Antwort wurden die Ergebnisse des Exkurses der letzten Teilaufgabe zur grunds~itzlichen Vorteilhafligkeit der Gewfihrung von Anreizen berticksichtigt (Sie sind selbst eingeladen, die Antwort zu finden, wenn der Prinzipal tats~ichlich stets aH implementieren m6chte). Der Erwartungswert der Bruttofiberschtisse betrfigt far die beiden Szenarien, sofem der Agent aH erbringt: 1/3.(-10)+2/3.30=
16,67
0,5. (-10) + 0,5.30 = 10 •
Ftir die gfinstige Situation bei hoher (stochastischer) Produktivitfit des Agenten entspricht der Grenzpreis far die Auswertungsinformation genau dem in der vorigen Teilautgabe abgeleiteten ] - f k n t = 4, 5. Dies liegt daran, dass in diesem Fall tats~ichlich die beiden Altemativen ,,Verzicht auf Auswertung und tnduzierung yon a j ' und ,Auswertung bei Beobachtung von x11 und Induzierung von azz" (optimale Auswertungsstrategie) verglichen werden. Dies impliziert Konstanz des Bruttotiberschusses 16,67, weswegen es ausreicht die Kosten der Alternativen zu vergleichen. Ein grunds~itzlicher Verzicht auf Anreize (aL start all) wiirde n~imlich zu E(G]a = a L )=10/3 zu ~ihren, wfihrend aus der Strategie ,,Verzicht auf Auswertung und Induzierung yon all" E(G) 2nd=16,67- 6 = 10,67 > 10/3 resultiert.
•
Anders verhNt es sich im Zahlenbeispiel far die eher ungtinstige Situation bei niedriger Produktivit~it des Agenten. Trotz der getroffenen Annahme, dass aH implementiert werden soll, w~ire dies aus Sicht des Prinzipals hier ngmlich nicht rational. Wie im Exkurs erl~tutert, k0nnte er sich im Beispiel durch den Verzicht auf Anreize (aL statt all) den Oberschuss E(GIa = a L ) = 10/3 > 0 sichem, w~ihrend die Alternative ,,Verzicht auf Auswertung und Induzierung yon all" mit dem Verlust E(G) 2~d=16,67 - 18 = -4/3 < 10/3 verbunden w~tre. In diesem Fall sind die zu vergleichenden Altemativen hinsichtlich ihrer erwarteten Bruttotiberschfisse nicht mehr identisch und es ergibt sich ein gegenfiber der reinen Kostenbetrachtung stark verringerter Grenzpreis von (10-1, 8) - 10 / 3 = 4, 86. Der erste Term beschreibt dabei den erwarteten Oberschuss der dann optimalen Strategie ,,Auswertung bei Beobachtung yon XL und Induzierung yon all", der zweite die Zielerreichung beim Verzicht auf Anreize.
130
f.)bungen zur Internen Unternehmensrechnung
Relevante Fallstudien: • Fallstudie 7 (Abweichungsanalysen und deren Auswertung) • Fallsmdie 8 (Abweichungsanalysen bei mehrstufigen Produktionsprozessen und deren Auswertung mit Hilfe des Modells yon Bierman/Fouraker/.laedicke) • Fallstudie 9 (Grundz~ge der Prinzipal-Agent Theorie) • Fallsmdie 10 (CJrenzplankostenrechnung und Abweichungsanalysen)
Kapitel 8:
Koordination, Budgetierung und Anreize
Aufgabe 8.1:
Weitzman-Sehema bei Sieherheit und Unsicherheit
Die Brfider Leo und Frank Weifibier beschlieBen eine Weltreise zu machen und die Familienbrauerei ,,Kronkorken-Pils" far ein Jahr einem kompetenten Manager zu tibergeben. Es melden sich drei Bewerber, Herr Braumeister ZapJhahn, Frau Dipl.Ing. (Brauereiwesen) Altbier und Mister Buddweiser, der einen MBA der Foam University in Kentucky erworben hat. Trotz der beeindruekenden Titel lassen die Qualifikationen der drei Bewerber keinen Riickschluss auf das Periodenergebnis am Ende des Jabxes zu. Nehmen Sie zungchst an, dass die drei Manager siehere Erwartungen bez~iglich ihrer zukttnftigen Ergebnisse haben.
Leo WeiJ3bierhat einst als westdeutscher Berater das Brauereikombinat ,,Rote Hopfenstaude'" in der Sowjetunion mit aufgebaut und erzfihlt seinem Bruder, dass man damals mit folgendem Entlohnungsschema gute Erfahrungen gemacht hat.
~400 + 0,5. ~ + 0,25. (x - J?), falls x ->
s(x,~) = [400 + 0,5. ~ + 0,75. (x - J?), falls x _<2 Dabei bezeichnet x das am Periodenende erzielte Ergebnis und )7 den von den Managem am Periodenanl?ang abgegebenen Ergebnisbericht mit ~ {1.000, 2.000, 3.000,...10.000}. Die drei potentiellen Kandidaten k6nnten folgende 12Ibersch~isse erwirtschaften: ZapJhahn: 2.000
Attbier: 5.000 Buddweiser: 8.000 a) Wie berichten die drei Bewerber und welchen der drei Kandidaten stellen die Brfider WeiJ3bierbei sicheren Erwarmngen ein? Gehen Sie nun davon aus, dass die Erwammgen der drei Kandidaten tiber ihre erzielbaren Ergebnisse am Ende der Weltreise der Brfider Weiflbier unsicher sind. Die Bfiider wissen jedoch, dass sich die Verteilungsfunktion der Ergebnisse eines jeden der drei Bewerber F(X)m aus zwei Gleichverteilungen G(x) und H(x) zusammensetzt. Es gilt:
132
Ubungen zur Internen Unternehmensrechnung
F(x)m = G, "G(x) + (1 - g,,,). H(x), m = 1,2,3 1
Far 1.000 _<x _<1.500 g(x) =. 500 0 sonst.
1 h(x) =
f'~ 500 _<x _<1.500
t.ooo
0 sonst. Die drei Kandidaten kennen ihren jeweiligen Parameter G, (Qualit~ttsindex), die Gebriider Weiflbier jedoch nicht. b) Welche wahrscheinlichkeitstheoretische Beziehung besteht zwischen den Verteihmgen? Welche Ergebnisse berichten die drei Bewerber jetzt, wenn das Entlohnungsschema unter Teilaufgabe a) beibehalten wird, und welchen Bewerber wfihlen die GebrCtder Weiflbier? Gehen Sie davon aus, dass die Brtider Weifibier risikoneutral und an maximalen Erwartungswerten des Periodenergebnisses interessiert sind. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Bericht 2 und dem Erwartungswert der Ergebnisse? Die einzelnen Parameter sind ~ot= 0,1 (Zapfhahn), ~o2 = 0,25 (Altbier), (a3 = 0,5 (Buddweiser). c) Die ttausbank der G e b ~ d e r WeiBbier ist von dem Gedanken wenig angetan, dass die Geschicke der Kronkorken-Pils von einem angestellten Gesch~iftsRihrer gelenkt werden sollen. Sie bestehen darauf, dass der gew~hlte Bewerber auch itmen denselben Bericht wie den Brtidern Weiflbier zukommen l~isst. Um die grogzfNigen Kreditlinien in der Zeit ihrer Abwesenheit nicht zu gef~ihrden, h~ilt es Leo Weifibier far ratsam, den letztlich gew'ahlten Bewerber dazu zu veranlassen, die Erwartungen der Gesch'aftsentwicklung in m6glichst rosigen Farben zu schildem. Leiten Sie zur Beantwortung dieser Frage eine allgemeine Gleichung far den Bericht in Abhangigkeit von den Parametem cq, de, o~2 des Weitzman-Schemas 400 + d - :~ + cq. (x - :~), falls x > :~ s ( x ' x ) = ~ 4 O O + d 2+~z 2 . ( x - . ~ ) , f a l l s x < _ 2
I
mit O < czI
her. Untersuchen Sie dann anhand von Beispielrechnungen, welchen Einfluss die Parametergestaltung auf den abgegebenen Bericht hat. Achten Sie abet darauf, dass immer 0 < c~1 < d~ < c~2 gelten muss. Welche wichtige Frage wird in der gesamten Aufgabenstellung nicht bedicksichtigt?
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Die folgende Tabelle gibt die Entlohnung for alle Bericht()?)-Uberschuss (x) Kombinationen an:
Kapitel 8: Koordination, Budgetierung und Anreize
Bericht(Zeile)/
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
133
10000 Zeilenmax.
Ergebnis (Spalte) 1000
900
650
400
I50
-100 -350 -600 -850 -1100 -1350
900
2000
1150 1400 1150 900
650
150
-100
-350
-600
1400
3000
1400 1650 1900 1650 1400 1150 900
650
400
150
1900
4000
1650 1900 2150 2400 2150 1900 1650 1400
5000
1900 2150 2400 2650 2900 2650 2400 2150
1150
900
2400
1900
1650
2900
6000
2150 2400 2650 2900 3150 3400 3150 2900 2650
2400
3400
7000
2400 2650 2900 3150 3400 3650 3900 3650 3400
3150
3900
8000
2650 2900 3150 3400 3650 3900i4150 4400 4150
3900
4400*
9000
12900 3150 3400 3650 3900 4150 4400 4650 4900
4650
4900
10000
3150 3400 3650 3900 4150 4400 4650 4900 5150
5400
5400
400
D i e fett e i n g e t r a g e n e n W e r t e z e i g e n , d a s s es f'tir die drei B e w e r b e r tats~ichlich optim a l ist, w a h r h e i t s g e m f i l 3 fiber ihre e r z i e l b a r e n U b e r s c h t i s s e z u b e r i c h t e n . D i e B r t i d e r
Weiflbier e n t s c h e i d e n
s i c h n a t t i r l i c h t'tir M i s t e r
Buddweiser, d a
er die h 6 c h s t e n O b e r -
schfisse e r w i r t s c h a f t e n wird.
TeilauJgabe b) Die beiden Dichtefunktionen len:
g(x)
und
h(x)lassen
sich w i e folgt g r a p h i s c h darstel-
Obungen zur Intemen Untemehmensrechnung
134
g(x) h(x) 0,002
0,0018
g(x)
0,0016 0,0014 0,0012 0,0011
h(x)
t
o,oo08
E(H(x))
0,0006
\
0,0004!
E(G(x))
\
/1 /
///
/
0,0002 [i I
0 , 500
I
X
I
750
1000
1250
1500
Die entsprechenden Verteilungsfunktionen haben folgendes Aussehen:
c__;(x),H(x) 1 0.9 0.8 0.7
H(x)// /
0.6 t o,5
7
0.4 + 0,3 7 0.1 0
IX
t
500
700
900
1100
1300
1500
Daraus ergibt sich: H ( E ) = Pr (x <_x)H > Pr (x <-x ) c = G(-Y) ---~Pr(x>-2) H = l - H ( Y ) < P r ( x > - 2 ) c ~ = l - G ( 2 ) ft~r V Y ~ ] 500, 1.500 [
Kapite I 8: Koordination, Budgetierung und Anreize
13 5
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ergebnis 2 tiberschritten wird, ist also fOr G(x) stets h6her als fOr H(x) . Mithin dominiert G(x) H(x) im Sinne tier sto-
chastischen Dominanz erster Ordnung. Die drei Manager maximieren durch Abgabe ihres Berichtes ~? ihre erwartete Entlohnung: .~
1.500
fO,75.(x-Yc).f(x)mdX+ fO,25.(x-Sc).f(X)mdr.
M axE(s(2,,~))=400+0,5.)?+
500
Exkurs: Leibnitz'sche Regel zur Ableitung eines Parameterintegrats: g(~)
h(w) h(w)
Unter Verwendung dieser Regel ergibt sich ffir die Ableitung von E(s(Yc, fc)) nach dem Bericht ~? (notwendige Bedingung P0r denjenigen Bericht, welcher den Erwartungswert der Entlohnung aus Sicht des Managers maximiert):
&?
=0,5+
-0,75"f(x)mdX+l'O, 75"(Yc-Sc)'f(~)m 500 1.500
=~0
+ I-0,25"f(x)mdX-l'O, 25"(Sc-Sc)'f(~c)m=O 20 o 5 - 0 75
(0,5-0,25) (0,75-0,25)
25
- 0,5 ---~~* = F-1 (0,5)
Man erh~ilt folgende Information aus diesem Procedere: Der Wert der relevanten Verteilungsfunktion an der Stelle des optimalen Berichtes ist 0,5. Die relevante Ver-
136
Ubungen zur Intemen Unternehmensrectmung
teilungsfunktion F (X)m unterscheidet sich dabei j e nach Bereich von x, in welchem die Berichte liegen. Man erhNt9 (1)
F(x)m = 0 fttr x < 500
(2)
F(x)m =(l-q)m).H(x)ffir5OO<_x<_l.O00
(3)
f ( x ) , , =~o,, .G(x)+(l-~om).H(x)farl.OOO<_x<_l.500
(4)
F (x), n = 1 t'tir x -> 1.500
Dabei gilt, dass far F(:?*)m = 0,5 und 0 < (Pro < 1 die Berichte in jedem Fall im Intervall (3) liegen (vgl. die obere Abbildung rome). So wttrde ein Manager mit (Pro =0(~% = 1) den Erwartungswert yon I I ( x ) ( G ( x ) ) ,
d. h. 1.000 (1.250), berich-
ten. Ft~r 0 < ~o,, < 1 liegen die optimalen Berichte daher im Intervall (3). Deshalb ist die relevante Verteilungsfunktion: F (x)~ = ~o,,. G(~) + (1 - ~o,o).H(x). Man ermittelt: 0,5 = F ( 2 )m =(P,, .G(2 )+(1-~,~)./-/(~*) 0,5=09,, .(5100 .~*
_
2/+(1-cp,~).(1.000 .~. - 0,51 1
/
:~* = (.1' 5" (Pro_+1/. 1.000
k
d~* -
-
-
)
500 - - > 0
@m 0
Hier wird die zentrale Aussage des Weitzman-Schemas bei Unsicherheit deutlich. Manager mit einem hoheren Qualit~tsindex ~o,n geben den Gebradern Weiflbier hO^*
^*
here Berichte 5.m ab, d.h. (a1 > q92 -+ x I > x e . Da der Bericht im Beispiel streng monoton in ~ w~ichst, existiert zu ~*(g'm) eine eineindeutige Umkehrfunktion ~om'(o?*), mittels derer die Gebriider WeiJ3bier unmittelbar auf den Qualit~itsindex schlieBen k51men. Im hier betrachteten Fall lautet sie:
1 Die st~indigeVerwendung des _<-Zeichensist zul~issig,da bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeit Nr ~ = x exakt 0 betr~tgt.
Kapitel 8: Koordination,Budgetierungund Anreize
137
0,5=(0m"I5100'3~*-2]+(1- (pro).(1. ~00 .~*-0,5) 0-0,00,.~') ~'~ = ( 0 , 0 0 1 ~ ' - 1 , ~ ) Die drei Bewerber geben somit folgende Berichte ab: Bewerber
(Om
x m ((/9m )
ZapJhahn 0,1 1.045,45 A ltbier 0,25 1.100 Buddweiser 0,5 1.166,67" Wiederum werden die Gebrtider Weiflbier Mister Buddweiser engagieren. Der die Br0der Weiflbier interessierende Ergebniserwartungswert betrfigt:
E(F (x)m , £C(~m),(Dm)=¢m" E(G(x)) + (1 - qO~)"E(H(x)) E(F ( x ) , ;(q~), q~m)= ~ (;)" 1250 + (1 - q~m(;))" 1.000 _(1-0'001"~) E(F(X)m,fC(Cpm),~m)=__ (~-0-~.-~_1-~).1250+
((0,001.~-1,5))(1-0'001'~) ].1000 1
E(F (x)m, Jc(fDm),~om)= (0, 75" ~ - 1.250) (0,001.A-I,5) Die Gebrfider Weif3bier k~3rmen also mittels einer intelligenten Interpretation des Berichtes auf die sie eigentlich interessierende Gr6Be schlieBen. Wie man anhand yon x(q~m) leicht fiberlegt, wiirden ein Manager mit (p,, = 0 und ein Manager mit (p,, = 1 genau den Ergebniserwartungswert (1.000/1.250) berichten. Ftir 0 < fom < 1 gilt dieses Ergebnis allerdings nicht mehr. Mister Buddweiser berichtet bspw. x3 = 1.166, 67. Der zu diesem Bericht gehSrende Ergebniserwartungswert ist jcdoch 1.125. Buddweiser berichtct also zu optimistisch. Die folgende Graphik zeigt den Zusammenhang zwischen Ergebniserwartungswert und den Berichten der Bewerber:
13 8
Obungen zur Intemen Untemehrnensrechnung
x (~om)
1400 1200
2
1000 800
E( Fm( x),X(~m),CPm )
600 400 200 I
0
i
0,25
0,5
I
I (Pro
0,75
Teilaufgabe c) Soll Mister Buddweiser aufgrund der die Hausbank betreffenden {Sberlegungen insgesamt optimistischer berichten, mOssen die Anreizparameter des WeitzmanSchemas ver~_ndert werden. Denn allgemein gilt far ein Weitzman-Schema ja: s(x,~) = 1 4 0 0 + ~ ' k + ° q . ( x - S ) mit 0 <~1 < ~
--+ F ( x )m =
(~-cq)
Aus dem Ansatz: (d~-al) (0~2 --al)
2)+0 (1 3 0,1
erh/ilt man: ^, x3 -
500.(4.o~ - 9 . o ~ l + 5 . ~ 2 ) 3. (c~2 - o~1)
-->
500. ( 4 . 0 , 5 - 9.0,25 + 5.0,75) 3. (0,75 - 0,25)
= 1.166,67(Bericht Buddweiser) Dieser Zusmnmenhang gilt aber nur far Intervall (3). Sie sind eingeladen, mit diesem Zusammenhang etwas zu experimentieren. Die Beziehung zwischen c~2 und at ist komplex, da diese Gr6gen in Zfihler und Nenner auftauchen. Am einfachsten kann Weiflbier daher einen optimistischeren Bericht induzieren, indem er o? erh6ht. Stein d bspw. auf 0,6, ist die Relation 0,25 < 0,6 < 0,75 weiter erfallt. Femer ist
Kapitel 8: Koordination,Budgetierungund Anreize
139
(0,6 - 0,25) ( 0 , 7 5 - 0 , 2 5 ) - 0,7>0,5, so dass die relevante F ( X ) m weiterhin im Intervall (3) liegt. B u d d w e i s e r warde dann wie folgt berichten: ~ne~ _ 5 0 0 . 4 . 0 , 6 - 9 . 0 , 2 5 + 5 . 0 , 7 5 ) = 1.300 3.(0,75-0,25) Somit wgre der Zweck erfullt, Buddweiser zu einem optimistischeren Bericht zu veranlassen. Ein grundsgtzliches Problem wird hier jedoch deutlich. Das WeitzmanSchema ist ein exogen vorgegebener Mechanismus, der auf bestimmte, erw~nschte Wirkungen (wahrheitsgemgge Berichterstattung) hin untersucht wird. Wie das Beispiel zeigt, haben Ver~inderungen der Parameter abet natfirlich Auswirkungen auf die erwartete Entlohnung des Managers und mithin auf die erwartete Zielerreichung der Brfider Weiflbier. Diese werden sich n~imlich nicht am Bruttoerwartungswert, sondem am Netto~berschuss orientieren. An keiner Stelle wird untersucht, wie die Parameter etwa optimal festzulegen sind, um die Zielerreichung der Brfider zu maximieren.
Aufgabe 8.2:
Budgetierung, wahrheitsgem/i6e Beriehterstattung, Offenlegungsprinzip und OsbandReichelstein Schemata*
Eine Untemetunung besteht aus der risikoneutralen Unternehmensleitung (Prinzipal) und einem ebenfalls risikoneutralen Manager (Agent). Ffir die aktuelle Periode ist fiber das Kostenbudget mr ein bestimmtes Projekt zu entscheiden. Der konstante, fixe Ertrag N des Projektes sei dabei so hoch, dass sich seine Durcht'tthrung f~r den Prinzipal in jedem Fall lohnt. Weiterhin ist die Kostenfunktion des Projektes bekannt. Sie lautet K -- 0 - a. Dabei bezeichnet 0 e [0, Ol mit t~ > _0 die zur Verffigung stehende kostenrelevante Technologie. ttierunter fallen bspw. ben6tigte Ressourcen far das Projekt, deren Faktorpreise oder Zeiterfordemisse. Die Gr0ge a bezeichnet kostenreduzierende Anstrengungen des Agenten. Sie verursachen bei dem Agenten jedoch Arbeitsleid gemN3 der Beziehung V(a) = 0, 5. a 2 , ferner fordert der Agent einen Mindestnutzen in H0he von U A ___U = 0 aus der Vertragsbeziehung zum Prinzipal. Der gesamte Nutzen des Agenten ergibt sich aus seiner monet~en Entlohnung abzttglich des Disnutzens der Anstrengungen gemfil3 U A = S - 0, 5. a 2 , wobei S die Entlolmung bezeichnet. Der residualanspruchsberechtigte Prinzipal erMlt den Gewinn G = N - K - S . Zwei Szenarien werden im Folgenden unterschieden:
140
l)bungen zur Internen Unternehmensrechnung
First Best: Prinzipal und Agent kennen 0 und k6nnen die realisierten Projektkosten K ex post sowohl zweifelsfrei beobachten als auch verifizieren. Nicht beobachtbar ffir den Prinzipal sind jedoch die kostenreduzierenden Anstrengungen a des Agenten. Second Best: Die Kosten K sind far beide weiterhin beobacht- und verifizierbar. Die Anstrengungen des Agenten sind weiterhin nicht beobachtbar. Im Unterschied zum First Best kennt jetzt jedoch nur noch der Agent die tats~tchliche Ausprfigung yon 0 • E_0,OI. Der Prinzipal verfagt lediglich fiber eine Verteilungsfunktion F(O) fiber 0 mit stets positiver Dichtefunktion f(O) > 0 ftir 0 • I0,tgl. Ftir diese gilt: t!
F(O)=
-2
ffir0<_0=2 ffir0ff=3
a) Bestimmen Sie in Abh~.ngigkeit von 0 die Projektkosten, die Entlohnung des Managers sowie den Gewinn des Prinzipals im First Best. b) Liegt es im Interesse des Agenten, einen wahrheitsgemi~flenBericht 0 B fiber das tats~ichlich vorliegende 0 abzugeben, wenn der Prinzipal im Second Best weiterhin die im First Best optimale Managerentlohnung einsetzt? Gehen Sie bei Ihrer L/3sung davon aus, dass der Prinzipal nach Erhalt des Berichtes ein Kostenbudget K(O ~) =0 s -1 festlegt, das der Agent einhalten muss, um seine Entlohnung S zu erhalten. Uberprfifen Sic ffir Ihre Antwort den Nutzen des Agenten bei wahrheitsgem~iger Berichterstattung einerseits und einer st~indigen Abgabe des Berichtes 0 B = t~ andererseits[ c) Beantworten Sic Teilaufgabe a) Far die Second Best Situation, wenn der Prinzipal den Agenten zur Abgabe eines wahrheitsgem6fien Berichtes 0 B** = 0 veranlassen mOchte. Welche Rolle spielen die Aussagen des Offenlegungsprinzips far diese Problematik? Kommentieren Sic auftretende Unterschiede zu a), insbesondere hinsichtlich der realisierten Projektkosten f'~ Technologien 0 < 0- sowie der Managervergtitung. Worin bcsteht der grtmds~itzliche Unterschied zum First Best? (Hinweis: Dieser Aufgabenteil ist schwierig und Nachschlagen in der Musterl6sung ausdrficklich erlaubt). d) Betrachten Sic die unter Teilaufgabe c) ermittelte Second Best LSsung. Unter welcher Bedingung k6nnen Sie zeigen, dass das optimale Kostenbudget K (0)** (die optimalen Anstrengungen des Agenten a (0)**) in 0 streng monoton steigt (f~illt)?
Kapitel 8: Koordination,Budgetierungund Anreize
141
e) Zeigen Sie, dass die VergtRung S(K) des Agenten in K streng monoton Rillt und konvex verlfiuft ( d S / d K < 0 und d2S/dK 2 >0)! Zeichnen Sie S(K) in ein KS-Koordinatensystem ein und berechnen Sie die Entlohnung des Agenten sowie Steigung und Gleichung der Tangenten am S(K) f'~ K =1, K = 2, K = 3. Kommentieren Sie Ihr Ergebnis! (Hinweis: Bestimmen Sie zur Ermittlung der gesuchten Eigenschaften yon S(K) zun~chst die Umkehrfunktion O(K)" zu K(O)*'). f) Zeigen Sie, dass sich die unter Teilaufgabe c) ermittelte L6sung tats/~chlich durch das folgende Ment~ linearer Kontrakte (Osband-Reichelstein-Schema) implementieren l~isst: I(Oe,K)= S'* ( O B ) - - V ' ( a **( o B ) ) . ( K ( 0 ) - K ' * (OB)). g) Hat die L6sung unter c) noch Bestand, wenn der Agent seinem Prinzipal zutiefst misstraut und damit rechnet, dass dieser sich ex post an gemachte Gehaltszusagen nicht h/ilt?
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Die Tatsache, dass der Prinzipal a nicht beobaehten kann, spielt im First Best keine Rolle. G e m ~ der Beziehung a = 0 - K kann er ngmlich bei Kenntnis yon 0 und K eindeutig auf den yore Agenten geleisteten Arbeitseinsatz schlieBen. In dieser Situation maximiert der Prinzipal seinen Gewinn aus der Vertragsbeziehung, wobei er lediglich darauf achten muss, dass die sog. Teilnahmebedingung (sog. Individual Rationality) des Agenten eingehalten wird. Da der Nutzen des Objektes gegeben ist, minimiert der Prinzipal die ihm aus der Prqjektdurchffihrung und Vergtitung des Agenten entstehenden Kosten: Max G( O) = N - K - S --~ Min C( O) = K +S(K ( O, a(K, 0))) C
K
u. d. Nebenbedingtmg:
U A = S(K) - O,5. a(K(O, a(K, 0)) 2 > U = 0 Da die Entlohnung S(K) aus Sicht des Prinzipals einen Kostenfaktor darstellt, wird er im Fall der symmetrisehen Information dem Agenten nie mehr als seinen Reservationsnutzen zubilligen. Daraus ergibt sich:
S(K) - O,5. a(K( O, a(K, 0)) 2 = 0 --~ S(K) = O,5. a(K( O, a(K, O))z Setzt man diese Beziehung und den Zusammenhang a = 0 - K in die Zielfunktion ein, folgt (* bezeichnet optimale Werte im First Best):
MinC(O)= e + O , 5 . ( O - K ) 2 K
OC OK
1-(O-K)=O---~K*(O)=O-1
--~a = I V 0
142
0bungen zur Intemen Unternehmensrechnung
Die Kostenvorgabe des Agenten betragt somit 0 - 1 , so dass die Kosten zwischen K(2) = 1 und K(3) = 2 linear in 0 ansteigen. Um dieses Kostenbudget einzuhalten, muss der Agent in jedem Technologiezustand Anstrengungen in H6he von a* = 1 leisten und erh~ilt daftir eine Vergtttung in H6he von S = 0,5, die ihm einen Nutzen yon U A = 0 stiftet. Der Gewinn des Prinzipals betr~gt G* (0) = N - (0 - 1) - 0, 5.
Teilaufgabe b) Im Second Best karm der Prinzipal aus der Kostenbeobachmng nieht mehr auf das Anstrengungsniveau des Agenten schliefSen, da der Agent ~iberhOhte tats~chliche Projektkosten stets mit dem Verweis auf eine ungtinstige Technologie rechtfertigen k/Snnte. Verh~tlt sich der Prinzipal wie in Yeilaufgabe a), setzt er das Kostenbudget far das Projekt in Abh~ngigkeit vom abgegebenen Technologieberieht 0 B des Agenten lest, d.h. K(O ~) = 0 ~ - 1 und verg~itet ihm weiterhin S = 0,5. Far die vom Agenten tatsgchlieh zu leistenden Anstrengungen, werm er 0 B beriehtet hat und der tats~ichliche Technologiezustand 0 ist, gilt dann:
a(O 08)
= 0-(0R-l)
__~ Oa(O0 ~) DOe
1<0__+08" =0
=3.
Unabh~ingig vom tats~ichlichen Technologiezustand, sinken die erforderlichen Anstrengungen, um das Kostenbudget
K(O 8) =0 B -1
zu erreichen, mit zunehmender
H6he des abgegebenen Beriehtes, weswegen der Agent stets 0 B* = U = 3 und damit die ungtinstigste Teehnologiesituation berichten wird. Far gegebenes 0 und die Vergfitung S = 0,5 betr~igt sein Nutzen dann:
=
(a(O 0 --3t) -
OUA
- - - ~ - - = 2 - 0 < 0 ft~r 0 _>2 00
Ftir alle Technologien auger der ungtinstigsten, erzielt der Agent einen strikt positiyen Nutzen aus der Falschberichterstatmng 0 8 = 3, wobei dieser Nutzen mit steigendem 0 abnimmt. Dies ist auch intuitiv plausibel, denn je gtinstiger die tats~tchliche Teclmologieumgebung 0 relativ zur unganstigsten ist, um so weniger Anstrengungen sind seitens des Agenten erforderlich, um das Kostenbudget K - 0 8 - 1 = 0--1 zu erreichen und um so h6her ist sein aus der Falschberichterstattung resultierender Nutzen. Der Prinzipal wfirde hier mr jede Auspr~igung der Technologie denjenigen Gewinn erzielen, den er im First Best f~r die ung'tinstigste Technologie erhfilt, d. h. G(O) = N - ( O - 1 ) - 0 , 5 = N - 2 , 5 V 0 ~ [_0,0-~.
Kapitel 8: Koordination,Budgetierungund Anreize
143
Fazit: Die Beibehaltung der First Best Vergtimng des Agenten im Second Best fahrt zu: •
Gesunkenen Gewinnen flJr den Prinzipal
•
Einem strikt positiven Nutzen des Agenten f'tir alle 0 < O. Dieser Nutzen wird im Folgenden als Informationsrente des Agenten, d. h. sein aus seinem Wissensvorsprung resultierender Vorteil, bezeichnet.
Teilaufgabe c) Der folgende Ausdruck gibt den Nutzen des Agenten wieder, wenn er 0 B berichtet und der tats~ichliche Technologiezustand 0 ist:
Soll der Agent zu einer wahrheitsgem~en Berichterstattung 0s**= 0 veranlasst werden, muss fiirjedes 0 c[0_,0] gelten:
UA(O,O)>_UA(O,O B)
VO B SO
Diese Bedingtmg wird als Anreiznebenbedingung (sog. Incentive Compatibility Constraint) bezeichnet und ist in dieser allgemeinen Form mathematisch schwer zu handhaben. Deshalb wird die Anreiznebenbedingung in die folgende, wesentlich einfacher zu handhabende Bedingung ttberffihrt. Soll der Bericht 0 e = 0 eine optimale Strategie des Agenten darstellen, muss fftr seinen Grenznutzen hinsichtlich des optimalen Berichtes an dieser Stelle im Sinne einer notwendigen Bedingung erster Ordnung gelten:
8uA(o'08=O) = 0 Das Offenlegungsprinzip (Revelation Principle) besagt nun, dass ftir jeden Vertrag mit Falschberichterstattung seitens des Agenten ein ftir beide Seiten nutzen~iquivalenter, d.h. dieselbe Allokation yon Agentermutzen und Gewilm des Prinzipals induzierender, Vertrag existiert, welcher den Agenten zur wahrheitsgem~if3er Berichterstattung veranlasst. Aus der Klasse aller m6glichen Vertr~ige kann sich die Analyse nun einschrO_nkend auf solche Vertr~ige konzentrieren, welche den Agenten zu einer wahrheitsgem~if3en Berichterstattung veranlassen, ohne dass die Gefahr besteht, Vertr~ige aus der Betrachtung auszuschliel3en, welche eine Partei bei unver~ndertem Nutzen der jeweils anderen oder gar beide besser stellen w(irden (Pareto-Kriterium).
144
Ubungen zur Internen Unternetunensrechnung
Dieser Gedanke erlaubt folgende Umformung des Nutzens des Agenten: 2
uA (o, oB )= S(O~ )-O,5.(O-K(OB ))2 --~
dO
O0~
dO
00
'-0 gcm~gOffcnlegungsprinzip(
= -V'(a(O,K))=-(O-K(O)).I < 0 Dies besagt, dass eine die Anreiznebenbedingung erfallende Entlohnung des Agenten die Eigenschaft aufweisen muss, dass sich dessen Nutzen mit Verbesserungen der tats/ichlich vorhandenen Technologie (0 wird kleiner) erhOht. Angesichts der Ergebnisse aus Teilaufgabe b) ist dies auch nicht tiberraschend, denn dort wurde ja gezeigt, dass der Nutzen des Agenten aus der Falschberichterstattung um so gr6ger ist, je gtinstiger die tatsgchlich vorliegende Technologie relativ zur berichteten ist. Soll der Agent zur wahrheitsgemfigen Berichterstattung angehalten werden, muss die Entlohnung ihm diesen Vorteil des ,Schummelns' ersetzen. Da dieser Vorteil wie gezeigt mit einer besseren Technologie steigt, muss auch sein Nutzen aus der Vergtitung mit sich verbessemder Technologie ansteigen.
Exkurs: Diese Bedingung eines in der Tecknologie falIenden Nutzens des Agenten ist f~r sick allein genommen nur notwendig, nicht jedoch hinreichend fiir die universelle Einhaltung der Anreiznebenbedingung. Gilt jedoeh zusiitzlich dK/dO < O, d. h. die Projektkosten yidlen streng monoton in der Technologie, ist das Kostenminimierungsproblem des Prinzipals (s.u.) strikt konvex und die oben abgeleitete Bedingung auch hinreichend. Auf einen detaillierten Nachweis wird hier verzichtet, jedoch wird weiter unten gezeigt, dass die optimale LOsung diese Bedingung tatsdchlich erffillt. Im Second Best minimiert der Prinzipal seine erwarteten Kosten inklusive etwaiger Informationsrenten U A (0) an den Agenten unter Beachtung der Teilnahme- und Anreiznebenbedingung. Man erh~ilt:
:2 Unter inkaufnahme einer kleinen ,,Unsauberkeit" in tier Notation soll dutch die Schreibweise 08 = 0 verdeutlicht werden, dass sich die Herleitung dieser zentralen Bedingung auf eine Situation bezieht, in welcher die notwendige Bedingung erster Ordnung gem~tg Offenlegungsprinzip far einen wahrheitsgem~en Bericht des Agenten erfallt ist.
Kapitel 8: Koordination, Budgetierung trod Anreize
M~, E (C (0)) = I[X(O) + O,S. (0- X(O)) ~ K,U A
145
+VA(O)I'S(O)dO
0
unter den Nebenbedingungen: U A (0)> 0 (Teilnahme)
du =-(o-K(o/).l~0(~oiz) dO
Die Infonnationsrente eines Agenten in der Technologieumgebung 0 ergibt sich dann durch Integration der Anreiznebenbedingung fiber 0 :
0
=0
Die Teilnahmebedingung des Agenten kann dabei durch U A ( 0 ) > 0 ~ U A ( 6 ) = 0 ersetzt werden, denn bei allen besseren Technologien 0 < 5 ist sein Nutzen aufgrund der Informationsrenten der Anreiznebenbedingung positiv. Die erwarteten Renten, welche der Prinzipal fiber alle 0 ~EO, G~ zugestehen muss, ergeben sich dann zu:
E(UA)
=
x-K
x
dx
O)dO.
O_kO
Partielle Integration dieses Ausdrueks f'tihrt unter Beachtung der Regeln zur Ableitung eines Parameterintegrals (vgl. Exkurs der vorigen Aufgabe zum WeitzmanS c h e m a bei Unsicherheit) auf: g
E(VA)= ~(0
x-K(x ~
+ 0
I((O-X(O)).F(O))cle o
=0 Nr~ undt7
g dO. o_
Setzt man diesen Ausdruck in die Zielfunktion des Prinzipals ein und leitet punktweise (d. h. fiir jedes 0 unter Wegfall des Integrals) nach K ab, so erh~ilt man:
146
Obungen zur InternenUntemehmensrechnung
MinE(C(O))= ~K(O)+O,5-(O-K(O))2+(O-K(O)).~I. f(O)dO o OE(C(O)) F(O) OK f(O) F(O) F(O) --+K(O)** =O-l+7~--',a(O)** = 1- f(e----~. K,U A
Far die Gleichverteilung der Aufgabe gilt dabei
F(O)/f(O)=(O-2).
Folgende
Ergebnisse lassen sich unmittelbar ablesen: •
Far alle 0 mit _0_< 0 _<0 gibt der Prinzipal im Optimum des Second Best
Kostenbudgets vor V0 e I_0,0~ ; (wobei •
•
als im First Best, weil
R(O) = F (0) /
hOhere
f (0) = ( 0 - 2) > 0
R(O) >_0 far beliebige stetige Verteilungen gilt).
Far 0=_0 stimmen First Best und Second Best L6sung hinsichtlich der Projektkosten und induzierten Anstrengungen ttberein (sog. no distortion at the top, d. h in der ganstigsten Kostensitution werden first best Anstrengungen induziert). Je ung0nstiger die tats~ichliche Technologie ist, um so stgirker f'~illt die aus, denn R' = 1 > 0 ; (wobei R' _>0 fox viele der in den Wirtschaftswissenschaften eingesetzten stetigen Verteitungen gilt, u.a. Normal- und Gleichverteilung).
BudgeterhOhung gegentiber dem First Best •
Durch die Induzierung yon weniger Anstrengungen mittels h6herer Kostenbudgets ftir schlechte Technologien kann der Prinzipal die Informationsrenten des Agenten begrenzen! Die h6heren Kostenbudgets fahren dazu, dass der Agent weniger Anstrengungen untemehmen muss, um sie einzuhalten. Dies folgt aus der Gleichung far
a(O)**.
(So werden bspw. f'fir 0 = 0 = 3
keinerlei
Anstrengungen (a** = 0) mehr induziert.) Durch diese geringeren Anstrengungen verringert sich jedoch auch sein Vorteil aus asymmetrischer Information und damit die Informationsrente, welche ihm aufgrund der Anreiznebenbedingung gew~ihrt werden muss. Wie Teilaufgabe b) gezeigt hat, resultiert der Vorteil ja direkt aus den Anstrengungsreduktionen, die ihm eine gute Technologieumgebung gegenaber einer relativ schlechteren erm6glicht. •
W~ihrend im First Best die Zielsetzung des Prinzipals offenbar ausschlieBlich darin besteht, den Agenten zu m6glichst hohen Anstrengungen zu motivieren, ist die Second Best Situation durch einen tradeoffzwischen Anreizen far Anstrengungen einerseits und Begrenzung yon Informationsrenten andererseits gekennzeichnet.
Kapitel 8: Koordination, Budgetierungtend Anreize
147
TeilauJgabe d) Fiir die Ableimng von
K(O)** und a(O)** naeh 0 gilt:
dK(O)** - I + R ' ( 0 ) > 0 ; da(O)** _ R ' ( 0 ) < 0 . dO dO Weist die Verteilung der Technologie, also F (0), die sog. monotone hazard rate Eigenschaft R'(0)>_0 auf, steigt (fallen) das Kostenbudget (die optimalen Anstrengungen) streng monoton mit sich verschlechtemder Technologie. Dies zeigt ferner, dass die oben im Exkurs genannte Bedingung dK / dO < 0 ~ r die ermittelte L6sung tats~ichlich erfallt ist.
Teitaufgabe e) Die Gesamtverg~itung des Agenten setzt sich zusammen aus der Vergatung des zur Erreichung von K (0)** notwendigen anstrengungsniveaus
a(O)** und seiner Infor-
mationsrente. Man erh~itt ft~r die konkrete Verteilung der Aufgabe: o=3 t
** "~2
S(O)=0,5.[a(O) ) + fja(x)**dx x =uA(o) 3
-- o,5.(1-(o-2))2 + I(1-(o-2))do 0
:(02-6"0+9)
f ~ r 0 e [ 2 , 3 I.
Da K (0)" streng monoton in 0 f~llt, existiert eine eineindeutige Umkehrfunktion
O(K)** mit der Gleichung O(K)" = 0 , 5 . K + 1 , 5 . Substituiert man diese in S(O), erhNt man far das gesuchte S(K) = O,25. K 2 -1, 5. K + 2, 25. Die folgende Tabelle zeigt far verschiedene Auspr~tgungen der Teclmologie das resultierende Kostenbudget, das optimale Anstrengungsniveau des Agenten, seine Gesamtvergfitung und deren AufschlOsselung in verggitetes Arbeitsleid einerseits und Informationsrente andererseits sowie den Gewinn des Prinzipals:
148
0bungen zur internen Unternehrnensrechnmag
0=2
0=2,5
0=3
X(O)**
1
2
3
a(O)"
1
0,5
0 o
U a**
0,5
0,125
0
1
0,25
0
N-2,25
N-3
S(K**) G= N - K * * - S ( K )
N-2
Man bcachte, dass im Beispiel ftir die ungtinstigste Tcchnologie keinerlei Anstrengungen induziert werden, da dies aufgrund der dann h6heren Informationsrenten t'tir bessere Technologien zu teuer wgre. Ferner ist aufgrund der Informationsrenten auch im Fall der besten Tectmologie der Gewinn des Prinzipals im Second Best nattirlich geringer als im First Best, obwohl die Anstrengungen des Agenten gleich sind. Fttr die gesuchten Ableitungen gilt: d S ( K ) = O , 5 . K - 1 , 5 < O ~ r l < K <3
dK d2S(K) =0,5 > 0 ~ r 1 < K < 3 dK 2 Die Vergiitung des Agenten f~llt also tats/ichlich streng monoton und verl~iuft strikt konvex in K. Diese strikt konvexe Entlohnungsfunktion S (K**) l~isst sich durch die Familie ihrer Tangenten ersetzen. Die gesuchten Tangenten an S(K**) lassen sich wie folgt konstruieren, was am Beispiel K = 1 verdeutlicht wird: *
Steigung von S(1) und der Tangente stimmen tiberein, man erh~ilt b = -1 (b = Steigung der Tangente)
* Funktionswert von Tangente und S(1) stimmen tiberein, man erhNt: S (1) = t = A - 1. l ~ A = 2 (A = Achsenabschnitt der Tangente). Ftir die drei gesuchten Tangenten ergibt sich also:
K=I--~T=2-K K = 2 -~ T = l,25-O,5. K K=3-+T=0 Beachten Sie, dass die Steigung dieser Tangenten folgende Eigenschaft aufweist:
Kapitel 8: Koordh~ation,Budgetierungund Am-eize
149
b = - V '(a**(K**)) = -a** (K**) . Die (negative) Steigung dieser Tangenten entspricht genau dem vom Agenten empfundenen Grenzarbeitsleid ~ r das zur Erreichung des Kostenbudgets K** notwendigen Anstrengungsniveaus. Weiterhin gilt offensichtlich, dass am Berahrpunkt die jeweilige Tangente dem Agenten denselben Nutzen wie S(K) stiftet, w~hrend dieser Nutzen far alle h{3heren oder geringeren Werte von K geringer ausf'~illt. Die folgende Abbildung zeigt die Vergtitungsfunktion und die zugehOrigen Tangenten l'ar K = 1 und K = 2.
S~ 0,8 0,6
...."...
0,4 0,2
•"
0
, 1,5
K 2
2,5
3
Aufgrund dieser Zusammenh~tnge l~isst sich die nichtlineare Verg~itungsfunktion des Agenten durch ein sog. Men~ linearer Kontrakte ersetzen, welches ihn einerseits dazxt veranlassen soll, tiber die Technologie wahrheitsgem~.g zu berichten und andererseits die zum wahrheitsgem/iBen Technologiebericht passenden Anstrengungen zu untemehmen. Dieses Ment~ hat die Form:
l(OB,K) = S''(OB)--V'(~''(oB))'( K(O) K''(O~))" T M
Zu beachten ist, dass dieses Menti nur ex post, d. h. nach Abgabe des Berichtes finear in den realisierten Kosten K(O) verlfiuft. Ex ante weist es eine betrfichtliche Komplexitgt hinsichtlich der notwendigen Informationen zur Festlegung yon S**(OB) (konvexe Funktion, s.o.) und V'(a**(0B)) auf.
Teilaufgabe J) Hier ist zu zeigen, dass das obige Men~ linearer Kontrakte den Agenten tats~iehlieh veranlasst, die Wahrheit zu sagen und das zum wahrheitsgemfiBen Bericht passende Anstrengungsniveau zu untemehmen, d.h. die Second Best L6sung zu implementieren. Der Agent maximiert im Falle eines Mentis linearer Kontrakte folgende Zielfunktion:
z(o , K)-0,5 a 2:
v'(a"
1-0,5 a2
150
l)bungen zur InternenUntemelmlensrechnung
Unter Verwendung der Ergebnisse der Teilaufgaben c) und d) ergibt sich far die konkrete Verteilungsannahme: ,
00~a/a= ( 1 - ( 0 " - 2 ) ) - a
= 0 - ~ a = (1- (0" - 2 ) ) = 1 -
R(OB) = a**(0 B)
Die Ableitung nach dem Anstrengungsniveau zeigt, dass der Agent stets das zu seinem Bericht passende Anstrengungsniveau w~ihlen wird. Die Ableitung nach dem optimalen Bcricht ist:
9J__l=O_a_2.0 e + 3 - - 0 - , -~0-0 ~ =0~0
o-(1-
oB-2
-ROB +3
B*' =0.
Dies zeigt, dass die Second Best L6sung tats~chlich durch das obige Ment~ linearer Kontrakte implementiert werden kann. Die folgende Abbildung zeigt das Problem der Berichtswahl ~ r einen Agenten bei Verwendung eines Mentts, wenn die tats~tchliche Technologie 0 = 2 , 2 5 , 0 = 2,5, 0 = 2,75 ist und der Zusammenhang a**(O~) far die Aktionswahl beracksichtigt wird. Wie man erkennt, kann sich der Agent weder durch einen zu optimistischen noch einen zu pessimistischen Technologiebericht besser stellen. Intuitiv liegt dies an folgender Eigenschaft des Meniis linearer Kontrakte (allgemeiner Nachweis erfolgt fiber die Konvexitfit von V(a)): * Im Fall eines zu optimistischen Berichtes 0 ~ < 0 wtirde zwar die FixvergOtung S**(OB) ansteigen, jedoch muss der Agent damn mit einer Budgettiberschreitung
(K(O) z'-K**(O~)) >0
rechnen, an tier er gemfil3
-V'(a**(OB)) beteiligt
wird
und welche die Steigerung des Fixums aberkompensiert. * Im Fall eines zu pessimistischen Berichtes 0 B > 0 kann der Agent zwar mit einer positiven Zahlung aus tier Budgetunterschreitung (K(0) ~' -K**(OB))< 0 rechnen, an der er gem~l~
-V'(a**(OB)) partizipiert, jedoch wird dies von der Absen-
kung des Fixums bei zu pessimistischer Berichterstattung tiberkompensiert.
Kapitcl 8: Koordination,Budgetierungund Anreize
151
0,6 lg') 0,5
""-. 0,4 1
r;(oB = o) "''''''S
0,3 0,2
0 = 225
'" " ' ' ' ' - .
0,1 0 2,5
2,75
3
-0,1 -0,2 -0,3
TeiIaufgabe g) Nach Abgabe des wahrheitsgem~tl3en Berichtes k6nnte der Prinzipal versucht sein, dem Agenten die zu seinem Typ passende Informationsrente vorzuenthalten und ihm analog zum First Best nur das entstehende Arbeitsleid vergttten (d.h. Ua = 0). Antizipiert der Agent ex ante eine solche ex post Verhaltensweise des Prinzipals, ware wahrheitsgemgf3e Berichterstattung far ihn jedoch nicht l~tnger optimal. Die Anwendung des Offenlegungsprinzips beruht also u. a. auf der Annahme, dass sich der Prinzipal glaubwi~rdig verpflichten kann, einem Agenten in der Technologieumgebung 0 die ihm zustehende Informationsrente U A(0) auch zu bezahlen. Dies k6nnte u.a. durch Gerichte sichergestellt werden, die abgeschlossene Vergtitungsvertr~ige durchsetzen. Eine weitere M6glichkeit ware der Aufbau von Reputation durch den Prinzipal, geschlossene Vertr~ige auch einzuhalten. Streng genommen kann dies allerdings nicht einfach angenommen werden, sondem wiirde die explizite Modellierung mehrperiodiger Zusammenhfinge mit der MOglichkeit des Reputationsaufbaus voraussetzen. Femer ist auf den Umstand hinzuweisen, dass in diesem Modelltyp Situationen denkbar sind, in denen es flir beide Seiten rational ware, den Vertrag nachzuverhandeln.
152
Aufgabe 8.3:
Obungen zur InternenUnternelmlensrechnung
Personelle Koordination und Managerentlohnung
Die Untemehmensleitung (Prinzipal) fibertrfigt einem Manager (Agenten) die Verantwortung far einen Produktionsprozess. Die Nutzenfunktion der Unternetunensleitung hat die Form UP(x,s) = x - s(x), jene des Managers U4(x,O) = s(x) - V(x, 0). Im Zeitpunkt des Vertragsabschlusses liegt far beide Akteure die Information t~ber die m6glichen Umweltzust~inde 0~ [i = 2; 0t = 1, 02 = 2] vor. Die Kosten des Disnutzens V(x, O) folgen der Funktion
, der Reservationsnutzen des Managers U ~ betrfigt
0. Das Erreichen des Reservationsnutzens ist dem Manager far jedes 0 zu garantieren, da der Unternehmensleitung aufgrund der K~ndigungsm6glichkeit des Managers nur eingeschrSnkte Sanktionsm6glichkeiten zur Verffigung stehen. a) Ermitteln Sie die in dieser Situation untemehmensnutzenmaximale Produktionsmenge x, welm die tatsfichliche Realisation des Umweltzustandes vor Produktionsbeginn von beiden Akteuren beobachtet werden (,,first best" L6sung). b) Welche Konsequenzen ergeben sich far die Entlohnung, wenn die Information t~ber die tats~ichliche Realisation des Umweltzustandes lediglich dem Manager vorliegt. Motiviert die Entlohnung unter a) den Manager zur Produktion der jewefts unternehmensnutzenmaximalen Mengen? c) Ermitteln Sie die untemehmensnutzenmaximalen Mengen in der Situation asymmetrischer Informationsverteilung (,,second best" L6sung), wenn die Untemehmensleitung den Eintritt beider Umweltzust~nde tar gleich wahrscheinlich hfilt. d) Wie ver~tndert sich der Erwartungsnutzen der Unternehmensleitung, wenn in der Situation asymmetrischer Informationsverteilung die ,,first best" Mengen anstelle der ,,second best" Mengen vorgegeben werden? e) Welchen Einfluss haben die a priori Eintrittswahrscheinlichkeiten p(Oi) auf die Produktionsmengen?
Kapitel 8: Koordination,Budgetierungund Ameize
153
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Das Optimierungsproblem lautet: max EU e = x(O,) - V(x, ,0,)
u.d.B. : ~(x(O,)) - V(x, (o,), o,) = ~(x(O, )) -
>_ o
(Teilnalvnebedingung)
Der Manager ist bereit, fiir das Untemehmen t~ttig zu werden, wenn der Reservationsnutzen genau erreicht wird. Daher wird der Prinzipal keine dartiber hinausgehende Entlohnung anbieten. Das Erreichen des Reservationsnutzens wird dem Manager garantiert, indem in jedem Umweltzustand eine Entlohnung in HOhe der Kosten des Disnmzens V erfolgt, die Teilnahmebedingung ist als Gleichung erfttllt. Daraus folgt: s(x(O,)) =["~,x,(Oi)')2. O, ) Damit kann das Optimierungsproblem vereinfacht werden zu: max,, EU p = x ( O , ) - ( ~ )
2
Die Optimalitfitsbedingung lautet: d E U ~ = 1 - 2x, (0,) = 0 d~,(O,) O7
Ergebnis: Die umweltzustandsabhgngigen Produktionsvorgaben and Entlohnungszahlungen lauten entsprechend der Optimalit~itsbedingung:
Oi xi(O,)*
1 1
2 2
s(x/O)*)
1
1
154
f,)bungenzur InternenUnternehmensrectmung
Teitaufgabe b) Die Unternehmensleitung karm nur x, nicht jedoch 0 beobachten. Der Manager wird daher auch in Situation 02 die Produktion von xl* bevorzugen, da er in diesem Fall 3 einen Nutzen von - - tiber dem Reservationsnutzen realisiert. Die Unternehmenslei16 tung, die dieses Verhatten antizipiert, muss daher die Entlohnung im Umweltzustand
02 auf 19 erhOhen, um die Produktion yon x2* zu motivieren. 16
Teilaufgabe c) Bei der Formulierung des Optimierungsproblems ist nun neben der Teilnahmebedingung auch die Aktionswahlbedingung zu beracksichtigen. Das Problem lautet nun: max EU P = 0, 5. IxI - s(x I)] + 0, 5. Ix2 - s(x 2)] xl,x2
u.d.B. : s(xl )_ x~
>_0
(Teihaat~nebedingung 1)
s( x 2) - ( x2 / 2 >_0
(Teilnahmebedingung 2) 2
s(x,)- (011 xl >-s(x2)- 101/ x~
(Anreizbedingung 1)
s(x 2) -
(Anreizbedingung 2)
>__s(x L) -
Die zu Grunde liegende Literatur (vgl. z.B. Sappington (1983)) zeigt, dass Teilnahmebedingung 1 mad Anreizbedingung 2 die jeweils strengeren Restriktionen sind. Da sie in Gleichungsform erfallt sind, folgt aus Teilnahmebedingung 1 s(xl)= x~
und aus Anreizbedingung 2
Durch Einsetzen dieser Entlohnungen in die Zielfunktion ergibt sich das vereinfachte Optimierungsproblem:
m~x EU~=0,5. ~, ~
+0,5. x~ % )
tO,)
g~
Kapitel 8: Koordination, Budgetierung und Anreize
OEU p
1
7
2
&~ - ~ - ~ ' x l =0
OEU~ _ I c3x2
::~ Xl* = -7
Xz - o
2
155
~x2'=2
4
Ergebnis." Oi
1
2
xi*
2
2
s(xi*)
4
52
49
49
7
Teilaufgabe d)
1
2
xs = ~ , x2 = 2
xl = 7 ' x2 = 2
E(x,)
E(s,) EcP
Differenz
5
16
3
4
14
28
23
28
231
32
49
1.568
17
196
441
32
343
10.976
Teilaufgabe e)
max
gwP= P(Ol)" x1- ~-1
OEU p
q- P(O2)" X2 -[~-2 )
~ [9t )
1 - p(O,) - 2. p(01) . x 1 - 2. p(02) • x, + 7 " P(O2)'xl = 0 Z
&l damit: x~ =
p@) [2. p ( o l ) + 3 . p(O2)]
[ 12 ] e j]
156
Obungen zur Intemen Unternehmensrechnung 1
Die optimale Menge xl ist umso gr6Ber, je geringer p(02). Z.B bei p(02) = ~ ergibt sichxI* = 14 beip(02) 31 ' _
OEU P -
Ox2
_
=
7 einxl* von 2 8 25
_ _
-
-
°
p(O~)_2, p(O2).x2 = 0 4
damit in der Beispielsituation: x2 = 2, immer unabh~ingig von p(O1) trod p(02).
Literatur:
Sappington, D.: Limited Liability Contracts between Principal and Agent, in: Journal of'Economic Theory 1983, S. 1-21.
Relevante Fallstudien:
• Fallstudie 11 (Agency-Theorie am Beispie| des LEN-Modetls) • Fallstudie 12 (Controlling im 6ffentlichen Sektor)
Kapitel 9:
Investitionscontrolling
Aufgabe 9.1:
Anreizschemata zur wahrheitsgemiiflen Berichterstattung (d6rg BeiJ3el)
Seit einem Monat arbeiten Sie als Trainee in der GutlaufGmbH. Die GutlaufGmbH produziert Laufschuhe und m6chte geme ihr Angebot um Laufbekleidung erweitern. Dazu wurde vom Management beschlossen, die Sparte ,,Runningdress" des Sportartikelherstellers Ruma zu abemehmen. Um die finanzwirtschaftliche Planung far das n~ichste Jahr zu konkretisieren, soll der Spartenmanager der noch zu Ruma geh6renden Sparte nach den Gewinnaussichten seiner Sparte for das ngchste Jahr befragt werden. Die Verantwortliehen befttrchten allerdings, dass der Spartenmanager nicht wahrheitsgemN3 beriehten k6nnte, um die 0bernahme nicht zu geffihrden (oder vielleieht gerade um sie zu geffihrden). Sie teilen dem Abteilungsleiter Finanzen mit, dass Sie ein Entlolmungsschema kennen, das bei Unsicherheit und risikoneutralem Spartenmanager zur Meldung des Erwartungswertes des Gewinns ftthren wird. Der Abteilungsleiter bittet Sie auf der n~chsten Sitzung der Abteilungsleiter dieses Schema kurz vorzustellen. a) Sie m6chten den Abteilungsleitem geme das Anreizschema nach Osband und Reichelstein vorstellen. Dabei gehen Sie beispielhaft davon aus, dass ein Fixum von 10 GE (Geldeinheiten) gezahlt wird und l(x)= 0,005 .x 2 sei. Da das alleinige Vorstellen der Entlohnungsfunktion bei den Praktikem auf wenig Begeisterung stoBen wird, entwerfen Sie folgende Beispieltabelle, mit deren Hilfe Sie zeigen, dass der Bericht des Erwartungswertes ffir den Spartenmanager stets vorteilhaft ist. £
0
40
80
120
160
0 40 80 120 160 mit: ~ = Bericht des Managers; E[x] = yon Itmen angenommene Erwartungswerte des Gewirms.
158
Obungen zur InternenUnternehmensrechnung
Nach einem Jahr sind Sie u.a. wegen der erfolgreichen Verwendung des von Ihnen vorgeschlagenen Belohnungssystems zum Assistenten des Abteilungsleiters Controlling aufgestiegen. Die l~lbernahme des Bereichs ,,Runningdress" hat stattgefunden und das Management hat beschlossen, der GuttaufGrnbH eine neue Organisationsstruktur zu geben. Es sollen zwei Sparten gebildet werden: Sparte 1: Schuhe, Sparte 2: Bekleiduag. Die beiden Sparten sollen als InvestmentCenter geflihrt werden. Ihr Abteilungsleiter schlggt auf der Abteilungsleiterversammlung vor, dass die Ressourcenallokation anhand der Berichte der Spartenmanager durchgefahrt werden soll. Damit die Spartenmanager wahrheitsgem~tB berichten, soll das bereits bew~ihrte Anreizschema nach Osband und Reichelstein verwendet werden. Sie wollen Ihrem Chef nicht in den Rttcken fallen und schaffen es, die Entscheidung fiber das Belohnungssystem auf die ngchste Sitzung zu verschieben. b) Welche Ver~inderung der Ausgangssituation f'~hrt dazu, dass ein Verwendung des bisher eingesetzten Anreizschemas nicht vorteilhaft sein muss? Da Sie damit gute Erfahnmgen gemacht haben, bereiten Sie auch diesmal wieder ein Beispiel vor. Dabei gehen Sie zur Vereinfachung in einem einperiodigen Kontext davon aus, dass in den beiden Sparten nur in Tranchen yon jeweils 50 investiert werden kann und die Spartenmanager das Ergebnis mit Sicherheit kennen. Aufgrund der Obernal~ne k6nnen nur 150 Geldeinheiten investiert werden. Beispielhaft fiihren Sie folgende InvestitionsmOglichkeiten auf, wobei die beiden Spartenmanager die maximal zu erreichende Rendite des jeweils anderen Bereiches kemaen. fJberschasse Spa~e Schuhe
Spa~e Bekleidung
1 = 50
80
62,5
I = 100
140
120
I = 150
195
175
c) Zeigen Sie, wie die Zentrale bei symmetrischer Information die knappen Mittel verteilt und wie ein Spartenmanager bei asymmetrischer Information dutch Manipulation seiner Zahlen die optimale Allokation verhindern kann (Vorsicht: Sollte der Bericht nicht mit dem Spartenergebnis am Jahresende fibereinstimmen, erh~ilt der Manager eine Entlohnung von 0.). Als alternativen L6sungsansatz schlagen Sie das Profit-Sharing-System vor. Der erzielte Residualgewinn soll als Beurteilungsgr6ge herangezogen werden. Dabei verwenden Sie folgendes Beispiel: Die beiden Bereiche verftigen t~ber eine l~berschussfunktion, wobei die folgenden Informationen allseits bekannt sind:
xz(Iz)=O,I'(A'I 1 -0,025"I 2) mitAt = 16 undA2 = 31
Kapitel9: Investitionscontrolling
159
x : ( I 2 ) : O , l . ( B . I 2 - 0 , 0 5 - I ~ ) m i t B1 : 31 und B: : 46 Allerdings wissen nur die Spartenmanager, welchen Wert A bzw. B in ihrer Sparte tatsfichlich armimmt, die anderen Beteiligten halten das Eintreten eines Parameters f~r gleichwahrscheinlich. Die Zentrale kann maximal V--- 300 GE an die Bereiche verteilen. d) Definieren Sie den Begriff ,~ash-Gleichgewicht" far ein Spiel mit zwei Akteurent e) Zeigen Sie den Abteilungsleitcrn, dass die wahrheitsgemfiBe Berichterstattung der !21berschussfunktion beim Profit-Sharing stets ein Nash-Gleichgewicht ist. Gehen Sie dabei yon einem Kapitalmarktzins yon 10 % und einer Beteiligung der beiden Manager am Residualgewima vonjeweils 10 % aus! f) Geben Sie eine Antwort auf die Frage des Abteilungsleiters Finanzen, warum bei der Berechnung des Residualgewinns nicht die Knappheit des Kapitals dutch eine Erh6hung des Zinssatzes be~cksichtigt wird! g) Der Abteilungsleiter Finanzen hat mit seiner Frage in Aufgabe f) die Idee der pretialen Lenkung in die Versammlung eingebracht. Wie hoch mfisste der Zinssatz bei A =31 und B = 46 sein, damit bei pretialer Lenkung die optimale Kapitalallokation erreicht wird? Warum kann in der geschilderten Situation nicht die pretiale Lenkung als Lenkungsinstrument verwendet werden? Der Assistent des Abteilungsleiters Finanzen (ein Konkurrent um die yon Ihnen angestrcbte Position des Controllingleiters) schlfigt das Groves-Schema als Belohnungsfunktion vor, denn bei diesem Schema g~ibe es nicht noch andere NashGleichgewichte. h) lAberprfifen Sie, ob es sich bei der Berichterstattung A =16und/~=31 um ein weiteres Nash- Gleichgewicht beim Profit-Sharing handelt. i) Erw~tgen Sie kurz die Vor- und Nachteile des Groves-Schemas im Gegensatz zum Profit-Sharing, gehen Sie dabei besonders auf die Bedeutung der innerbetrieblichen Kommunikation ein.
Musterlfisung: Teilaufgabe a) Wird der Spartenmanager der Sparte ,,Runningdress" nach dem Osband und Reichelstein Schema mit der angegebenen Funktion entlohnt, dann ergeben sich fftr die angefahrte Tabelle die folgenden Zahlen:
160
Obungen zur IntemenUnternehmensrechnung
0
40
80
120
160
0
10
2
-22
-62
-118
40
10
18
10
-14
-54
80
10
34
42
34
10
120
10
50
74
82
74
160
10
66
106
130
138
mit: 2 = Bericht des Managers; E[x] = yon Ihnen angenolmneneErwartungswertedes Gewimas Es zeigt sich, dass der Spartemnanager immer dann das h6chste Einkommen erzielt, wenn er den tats~ichlich vorliegenden Erwartungswert berichtet. Der risikoneutrale Spartenmanager wird, wenn er nur eine monet~ire ZielgrN3e besitzt, sich c.p. stets far den wahrheitsgem~igen Bericht entscheiden.
Teilaufgabe b) Durch die ver~inderte Situation k6nnen die Spartenmanager durch den Bericht die Ressourcenallokation beeinfiussen und damit indirekt den Gewinn, der in ihrer Sparte erzielt wird. Der Bericht beeinflusst also den erwarteten Gewirm bzw. die Gewinnverteilung. Der jeweilige Spartenmanager wfinscht solange zus~ttzliche Investition in seinen Bereich bis der Grenzresidualgewirm null betr~igt, selbst wenn dadurch eine niedrigere Grenzrendite als in dem anderen Bereich realisiert wird. Dies resultiert daraus, dass als Bemessungsgrundlage seiner Entlohnung nur der Residualgewinn seines Bereichs dient. Diese grunds~itzliche Problematik, die stets bei der Existenz von Verbundeffekten aufiritt, bestand in Teilaufgabe a) nicht. Anreizschema wie das Profit Sharing oder das Groves Schema haben als wesentliches Merkmal, dass der Bericht nicht direkt die Beurteilungsgr613e und somit nicht direkt die Entlohnung beeinflussen kann.
Teilaufgabe c) Symmetrische Information: Die Zentrale wird die Mittel so aufteilen, dass sic den Endwert maximiert. Dazu wird sie jede Tranche (50 GE) dort einsetzen, wo diese die h6chste Rendite erwirtschaftet. Die Grenzrenditen der Investitionsm6glichkeiten sind in der folgenden Tabelle angegeben:
Kapitel 9: Investitionscontrolling
161
Grenzrenditen Sparte Schuhe
Sparte Bekleidung
I = 50
60%
25%
1 = 100
20%
15%
1 = 150
10%
10%
Die Zentrale wird die ersten 50 GE der Sparte Schuhe (60 %), die zweiten 50 GE der Sparte Bekleidtmg (25 %) und die dritten 50 GE wieder der Sparte Schuhe (20 %) zuteilen. Die Entlolmung der Manager bei wahrheitsgemfiBer Berichterstattung ergibt sich damit wie folgt:
ssc~,.h,,(x) = S +/(140) = 10 + 98 = 108 SBekt~,a..g(X) = S + l(62,5) = 10 + 19,5313 = 29,5313 Asymmetrische InJbrmation: Der Manager der Sparte Schuhe wird die Vorgehensweise der Zentrale antizipieren. Kennt er die h6ehste Grenzrendite der anderen Sparte, so kalm er durch Falschberiehterstatttmg die gesamten Finanzmittel in seinem Bereich binden und somit seine Entlolmung erh6hen. Eine m6glicher falscher Bericht k6rmte wie folgt aussehen: Spa~e Schuhe Uberschgsse
Grenzrendite
I = 50
65
30%
I = 100
130
30%
I = 150
195
30%
Geht die Zentrale v o n d e r wahrheitsgem~iBen Berichterstattung der Manager aus, so wird sie das gesamte Kapital der Sparte Schuhe zur Verfagung stellen. Die Entlohnungen ergeben sich dann wie folgt:
Ssch.h, (X) = _S+/(195) = 10 + 190,125 = 200,125
SBdrleidung(X) =
S -t- l ( 0 ) -- 10
Fttr den Spartenmanager der Sparte Schuhe ist die Falschberichterstattung also vorteilhaft under kann ex post nicht der Lfige tiberffthrt werden.
162
Ubungen zur Internen Unternehmensrechnung
Teilaufgabe d) Ein Nash-Gleichgewicht Akteuren gilt:
(al*, ae*) liegt
dann vor, w e n n in einer Situation mit zwei
U 1 (a 1., a 2.) _> U 1 (a 1, a 2.) V a 1 ~ A I
U2 (a I*, a 2.)
> U 2 (a t*, a 2) V a 2 ~ A 2
Teilaufgabe e) Zuerst ist zu ermitteln, wie die Zentrale in Abh~ingigkeit der Berichte die Ressourcen verteilt. Es ist zu tiberprtifen, ob hier eine Knappheit der Finanzmittel vorliegt. Dazu sind die isolierten Investitionsoptima der einzelnen Bereiche in Abh~ingigkeit yon den Parametern zu ermitteln. Konstellation 1: A = 16, B = 31:
EW(I,) = 0,1. (16. I,
- 0, 025./12) - [,. (1 + i)
OEW(I')-I,6-O, O051~-I,I=O ~ ai, EW(I2) = 0,1.(31-I 2 - 0 , 0 5 . I 2 2 ) - 1 2 0EW(I2)-3,1-0,0112-1,1~0
I7 =100 .(1 + i)
~ I£ = 200
Bei Konstellation 1 liegt also n o c h keine Knappheit vor, es werden allerdings alle Mittel verwendet. Bei allen anderen Konstellationen liegt aber eine Knappheitssituation vor, da die Renditen mindestens eines Bereiches gr6Ber sind als bei Konstellation 1. D a n n ist die optimale Kapitalallokation mit Hilfe eines Lagrange-Ansatzes zu ermitteln, analog z u m Vorgehen bei simultanen Planungsans~itzen. Max L(I~, 12 , 2) = 0,1. [(A. I t - 0,025.12 ) + (B. 12 - 0,05. I~)] + 2 . (300 - I, - 12) I
OL
OI1 OL O12
'~ - 0,1.(A_0,0511)_2-_-
0
/ = 0,1 .(B-O,112)-~.=O
OL ! - 300-I l -12 =0 35t N a c h einigen U m f o r m u n g e n ergibt sich folgender Ausdruck: 12 = 1 0 . ( B - A ) + 0 , 5 . I daraus folgt:
l
Kapitel 9: lnvestitionscontrolling
11 =
163
6 0 0 - 20. ( B - A) 3
Durch das Einsetzen der verschiedenen Kombinationen von A und B kann die jeweils optimale Kapitalallokation ermittelt werden. Es ergeben sich folgende Verteilungen der Finanzmittel: Bericht der Spartenmanager
Kapitalallokation durch die Zentrale Bereich 1
Bereich 2
(A = 16, B = 3 1 )
100
200
(A = 16, B = 46)
0
300
(A =31, B = 3 1 )
200
100
(A = 31, B = 46)
100
200
Nun muss noch errechnet werden, welche Ergebnisse bei einer bestimmten Situation, z.B.: A = 16 und B = 31, in Abh~ngigkeit vonder Kapitalallokation bzw. den Berichten erzielt werden. Dazu muss die jeweils einem Bereich zugeteilte Kapitalmenge in die tats~ichliche Gewinnfunktion eingesetzt werden. Die Entlohnung der beiden Manager soll f'tir die Situation A -- 16 und B = 31 und die abgegebenen Berichte = 31 und/} = 31 dargestellt werden. Aufgrund der Berichte kommt es zur folgenden Kapitalallokation durch die Zentrale: I / = 200 m l d ~ = 100 Daraus ergeben sich folgende Oberscht~sse: x, ( 2 0 0 ) = 0 , 1 . 0 6 . l,-0,025.112 )= 220 und x2 (100 ) =0,1.(31. [2 - 0 , 0 5 . I~)= 260 Daraus ist wiederum die Belohnung der beiden Manager zu errechnen:
Dieses Vorgehen ist far jede m0gliche Kombination von A und B und alle m0glichen Berichte durchzufahren. Die Ergebnisse sehen wie folgt aus:
164
Obungen zur Intemen Untemehmensrechnung
A = 16und B = 3 1 : (~,JB)
31
46
15
2:2,5
31 37,5
46 15 37,5
31 A =31 undB = 31: (AJB) 16 31
I
A = 16 trod B = 46: (A/B) 16 3t
31 52, 5 30
A °- 31 und B = 46: (~s) 16 3t
31 67,5 60 ~ !
46 2~ 52,5
4s
60
Die schraffierten Felder geben jeweils die Entlohnung beider Manager bei wahrheitsgem~il3er Berichterstattung wieder, es handelt sich gem~tg der Definition in Aufgabe d)jeweils um ein Nash-Gleichgewicht Die Knappheit des Kapitals wird durch die Zentrale berficksichtigt. Ihr werden die Gewinnfunktionen gemeldet und sie optimiert dann den Endwert.
Teilaufgabej) Der Zinssatz, der bei dezentraler Entscheidungsfindung zu dem selben Ergebnis fahren wtirde, steht erst nach der Optimiemng durch die Zentrale fest. Dann ist das Problem bereits gel6st, der Zinssatz wird nicht mehr ben0tigt.
TeilauJ)abe g) Der gesuchte Zinssatz ergibt sich bei der Optimierung durch die Emfittlung von X. Bei A= 31 und B = 46 betr~igt er 160 %, da X = 2,6.
Teilaufgabe h) Geht die Zentrale weiterhin yon der wahrheitsgem/iBen Berichterstattung der Bereichsmanager aus, so kommt es weiterhin zu einer berichtsabh~ingigen Ressourcenallokation. Die Zentrale teilt je nach abgegebenem Bericht die Investitionsmittel analog zu Teilaufgabe e) den beiden Bereichen zu.
Kapitel 9: Investitionscontrolling
165
Zu berechnen sind die Erwartungswerte der Berichtsstrategie von Bereich 1(2) bzw. Bereichsmanager 1(2) unter der Annahme, dass B ereich 2(1) stets 31 (16) berichtet. Ztm~ichst sollen die Berichtsm6glichkeiten des Managers des Bereichs 1 untersucht werden, vorausgesetzt Manager 2 berichtet stets /} -31. Dann l~sst sich an der folgenden Tabelle erkermen, dass der Manager 1 mit seinem Bericht eine von zwei Kapitalallokationen erzielen kaml: Berichte des Spartelmlanagers 1
B = 31
= 16
(100,200)
=31
(200,100)
Es ist nun zu untersuchen, welche der Kapitalallokationen ffir den Bereichsmanager 1 abh~ingig v o n d e r in seinem Bereich vorliegenden Situation (A = 16 oder A = 31) vorteilhaft ist. Da der Bereichsmanager 2 annahmegemN3 B = 31 berichtet, sind aus Sicht des Bereichsmanagers 1 die beiden m6glichen Situationen in Bereich 2 (B = 31 und B = 46) gleich wahrscheinlich. Es sind also stets Erwartungswerte zu betrachten. Situation 1,A = 16: Berichtet der Manager 1 auch A = 16, so induziert er die Kapitalallokation (/t=100, /2=200). Dies flihrt in Bereich 1 zu einem 0berschuss von 135. In Bereich 2 ist der Oberschuss yon dem tats~ichlich vorliegenden B abhangig. Bei B = 31 wird ein Oberschuss von 420 erzielt, B = 46 ein (Sberschuss yon 720. Aus diesen Zahlen ergibt sich die erwartete Belohnung air Manager 1 wie folgt:
EIs , (RG)I A = 16, A = 161 = 0,1. [135 + 0, 5. (420 + 720) -
300-1,1] = 37, 5
Ntm ist zu t~berprafen, ob es fftr Manager 1 besser ware i] =31 zu berichten und damit eine andere Kapitalallokation zu induzieren. Dies k6nnte vorteilhaft sein, da diese Kapitalallokation vielleicht einen h0heren Erwartungswert erzielt.
E[s 1(RG)IA = 31, A = 16] = 0,1. [220 + 0, 5. (260 + 410) -
300.1,1] = 22, 5
In der ersten Situation ist es also far den Bereichsmanager vorteilhaft, ~] = 16 zu berichten. Situation 2, A =31 : Erneut sind die beiden Berichtsm6glichkeiten zu fiberprafen: E Is I(RG)I A = 16, A = 311 = 0,1. [285 + 0, 5. (420 + 720) - 300.1,1] = 52, 5
E[s~(RG)IA= 31,A= 31]=O,l'[520+ 0,5"(260+ 410)- 300" l, 1]= 52,5
166
Ubungen zur Internen Untemehmensrechnung
E[s~( RG)l f4 -- 31,A = 31] -- O,I.[ 520 + O,5 .(260 + 410)- 300.1,1] = 52,5 In der zweiten Situation ist der Manager 1 indifferent zwischen seinen zwei Berichtsmtiglichkeiten. Als Zwischenergebnis ist festzuhalten: Wenn Manager 2 stets /} = 31 berichtet, ist es f~ir Manager 1 vorteilhaft, stets .d = 16 zu berichten. Nun ist f'dr Manager 2 zu ~iberprgfen, ob es ffir ihn vorteilhaft ist, stets /} =31 zu berichten, vorausgesetzt Manager 1 berichtet stets A = 16. Auch Manager 2 kann mit seinem Bericht eine von zwei Kapitalallokationen wfihlen:
Berichte des Spartenrnanagers 2 = 16
/} = 31
B = 46
(100, 200)
(0, 300)
Situation 1, B =31 :
E Is2 (RG)]/} = 31, B = 31] = 0,1. [0, 5. (135 + 285) + 420 - 300. I, 1] = 30 E[s2(RG)IB- 46, B= 31] =0,1-[0,5.(0+0)+480-300.1,1]--15 In Situation 1 ist es also vorteilhaft for Manager 2,/~ =31 zu berichten. Situation 2, B = 46: E Is2 (RG)]/~ = 31~B = 46] = 0,1. [0, 5. (135 + 285) + 720 - 300-1,1] = 60 E Is2 (RG)I/} = 46, B = 461 = 0, I. [0, 5. (0 + 0) + 930 - 300.1,1] = 60 In Situation 2 ist Manager 2 indifferent zwischen seinen Berichtsm6glichkeiten. Also ist es unter der Voranssetzung, dass Manager 1 stets ~] = 16 berichtet, auch t'tir Manager 2 vorteilhaft, stets B = 31 zu berichten. Da dies far beide Manager gilt, handelt es sich bei der Berichterstattung .d = 16 und /} = 31 um ein weiteres Nash-Gleichgewicht.
Teilaufgabe i) Vorteile: Die wahrheitsgemage Berichterstattung ist far die Manager eine dominante Strategie und es existieren grunds~tzlich keine weiteren Nash-Gleichgewichte auger der wahrheitsgemggen Berichterstattung. Das ergibt sich spieltheoretisch daraus, dass jedes Gleichgewicht in dominanten Strategien (Resultat beim Groves-Schema) ein Nash-Gleichgewicht ist, w~thrend der Umkehrschluss nicht gilt.
Kapitel 9: Investitionscontrolling
167
Naehteile: Durch die innerbetriebliche Kommunikation kann es vor allem in mehrperiodigen Situationen zu Absprachen (kollusivem Verhalten) der Manager kommen. Diese werden i.d.R, zu h6heren Agency Costs t~Jhren, und in bestimmten F~illen kann dadurch die optimale Allokation der Ressourcen verhindert werden.
Aufgabe 9.2:
Wahrheitsgemiille Berichterstattung und GrovesSchemata (Ulrike Stefani)
Gegeben sei ein Unternehmen mit einem verftigbaren Kapital von K = 400 und zwei Bereichen ( / = 1,2), deren risikoneutrale Manager rein finanzielle Interessen verfolgen. Jeder Bereich verfftgt ~iber Investitionsm{Sglichkeiten, f'fir die sich zustandsabh~ingige Erfolgsfunktionen aufstellen lassen, die den Zusammenhang zwischen investierten Mitteln und ZahlungsCtberschiissen angeben. Jeder Manager weir3 zwar, welcher von zwei gleich wahrscheinlichen Umweltzust~nden (,,gut" oder ,sehlecht") in seinem Bereich vorliegt, kennt aber nicht die Situation im jeweils anderen Bereich. Die Zentrale hat keine Informationen tiber die in den Bereichen vorherrschende Konstellation. Die ver~'tigbaren Mittel sollen in Tranchen von jeweils 100 den Bereichen zugeordnet werden, und zwar in Abh'angigkeit von den Berichten, die die Manager der Zentrale fiber die Erfolgsaussichten ihres Projektes machen. Dabei m6ehte die Zentrale die Zahlungsfiberschttsse aus der Vergabe der finanziellen Mittel an die Manager maximieren. Folgende Tabelle gibt eine l~lbersicht fiber die zustandsabh~agigen Erfolgsfunktiohen es (kj.) der beiden Bereiche (/ = 1,2) bei guten (G J) und schleehten (S J) Erfolgsaussichten in Abh~ingigkeit yon der HOhe der jeweils investierten Mittel kj: G2
s~
ecl (kl)
S1 es¢(l~)
eG2(l~2)
es2(k2)
100
2k~
0,8kl
1,5k2
1,3k2
200
1,9kl
0,6k~
1,4k2
1,lk2
1,2k2+10
0,9k2
G1
300
1,6kl
0,5kl
400
1,3ki+10
0,4k1+10
1,1k2+15 0,7k2+30
a) Wie wgxde die optimale Kapitalallokation der Zentrale ffir jede m6gliche Kombination der Umweltzustfinde erfolgen, wenn sic genaue Kenntnis fiber die in den Bereichen vorliegenden Erfolgsfunktionen h~itte? Ermitteln Sic jeweils auch den Bruttoerfolg der Untemehmung (vor Entlohnung der Manager), der mit der optimalcn Allokation erzielbar ist.
168
0bungen zur InternenUnternehmensrechnung
b) Gehen Sie nun wieder vom Vorliegen von Infonnationsasymmetrie aus und unterstellen Sie, dass die Manager gem~iI3dem Groves-Schema mit einem Parameter von 0,2 entlohnt werden. Ist die wahrheitsgemfil3e Berichterstattung der Manager in jeder m6glichen Kombination von Umweltzust~inden ein Nash-Gleichgewicht? Welche zus~itzlichen Eigenschaften haben die vorkommenden NashGleichgewichte? c) K6nnen die beiden Bereichsmanager ihre Position evtl. durch Absprachen o.a. verbessem? d) Die Manager behaupten der Zentrale gegentiber, dass sie das angewandte Entlohnungsschema unfair finden, lhr Bonus setze sich schliel31ich nicht nur ans ihrem eigenen Erfolg, sondern auch aus den Aktionen ihres Kollegen zusammen, f'tir die sie nun wirklich nicht verantwortlich gemacht werden k6nnen. Wie beurteilen Sie dieses Argument?
Musterl6sung: TeilauJ),abe a) Aus den Erfolgsfunktionen resultieren folgende zustandsabh~tngigen Erfolgswerte: U
Sj
G2
~e
100
200
80
150
130
200
380
120
280
220
300
480
150
370
270
400
530
170 1455 I
310
Die folgende Tabelle gibt far jede Kombination m6glicher Umweltzust~inde den Ertrag einer zusfitzlichen Zuteilung von 100 seitens der Zentrale an die jeweiligen Manager an: G1
S1
G2
iS2
100
200
80
150
130
200
180
40
130
90
300
100
30
90
50
400
50
20
85
40
Daraus ergibt sich folgende zustandsabh~ingige Zuweisung finanzieller Mittel an die Bereiche (Bereich 1; Bereich 2):
Kapitel 9: Investitionscontrolling
Gl
c_2
s2
(200;200)
(300;100)
S 1 (0;400)
169
(100;300)
Der Bruttoerfolg ergibt sich wie folgt: c2
s
G 1 660
610
S1
350
455
Teilaufgabe b) Annahme: es liegt (G1;G 2) vor: Die Entlohnung der Manager in Abh~ingigkeit von ihrem Bericht und dem des jeweils anderen Managers lassen sich far diese Situation in folgender Tabelle zatsammenfassen (der Index ' kennzeichnet, dass es sich um eine Berichtsgr6Be handelt): G 2'
! S 2'
G 1' (132;132) (122;126) if'
(91;91)
(94;90)
Annahme: es liegt (G~;S2) vor: G 2'
S 2'
G I'
(132;120)
(122;122)
S1'
(91;62)
(94;70)
Annahme: es liegt (ff,'G 2) vor: G 2'
8 2,
G ~' (80;132) (56;126) 8"
(91 ;91)
(70;90)
170
Obungen zur Intemen Unternehmensrechnung
Annahme: es liegt (S1,'Se) vor: G 2'
S 2'
Gv
(80;120)
(56;122)
Sv
(91;62)
(70;70)
Wahrheitsgem~il3e Berichterstattung ist hier in jeder Situation ein Nash-Gleichgewicht in dominanten Strategien. Wahrheitsgem/~Be Berichterstattung ist daher auch das Gleichgewieht des Gesamtspiels. (Dominant beste Politik: Die gew~hlte Alternative ffihrt fiir jeden m6glichen Zustand wenigstens zur gleichen Zielerreichung wie die anderen Alternativen). Dartiber hinaus ist wahrheitsgem~iBe Beriehterstattung bier das einzige Nash-Gleichgewicht. (In anderen Situationen k6nnen wegen Indifferenzrelationen jedoch auch mehrere Nash-Gleiehgewichte vorkommen).
TeiIaufgabe c) Die Entlohnung eines Managers ist bei gegebener Kapitalallokation urn so h6her, je h~her der Bericht des anderen Managers ausffillt. Die Position der Manager kann dutch Absprachen tiber die Beriehtspolitik zu Lasten der Zentrale verbessert werden (Allokation bleibt unver~andert, die Durchsetzung der optimalen Politik wird f'~ die Zentrale jedoch viel teurer). Bei Seitenzahlungen kann die optimale Kapitalallokation nicht mehr gew~arleistet werden.
Teilaufgabe d) Vgl. Kapitel 9 im Lehrbuch Interne Unternehmensrechnung.
Kapitel 10:
Kennzahlen als PerformancemaBe
Aufgabe 10.1:
Rentabilit~itskennzahlen
Anna Gauby ist Gesch~tftsfahrerin der GreenhillsMove! GmbIL Um die Erfolgssituation ihres Untemehmens besser einsch~itzen zu k6nnen, hat sie beschlossen, unterschiedliche Rentabilit/itskennzahlen zu ermitteln. Aus diesem Grund hat sie folgende Informationen der Bilanz des Untemehmens entnommen und in der folgenden Tabelle ftir die vorgesehenen intemen Auswertungen tibersichtlich zusammengestellt (alle nachfolgenden Betr/ige in TEUR): Immaterielles Anlageverm6gen
3.000 Eigenkapital
Sachanlageverm6gen: Grund und Boden
20.000
Rficklagen
6.000
17.000
Geb/iude
13.000
Maschinen
20.000
Finanzanlageverm6gen
19.000 Riickstellungen
10.500
Vorr/ite
4.000 Lieferverbindlichkeiten
10.000
Lieferforderungen
9.000 Finanzierungsverbindlichkeiten
46.000
Wertpapiere
7.000 Passive Rechnungsabgrenzung
Liquide Mittel
1.000
Aktive Rectmungsabgrenzung Summe Vema6gen:
1.000
500 93.500 Summe Kapital:
93.500
Weiters stehen aus der Gewirm- mid Verlustrechung des Unternehmens folgende Informationen zur Verfligung: Umsatzerl6se
95.000
- Materialaufwand
-25.000
-PersonNaufwand
-30.000
- Abschreibungen
-8.000
- Sonstiger Aufwand
Betriebsergebnis
-15.000
17.000
172
12Poungenzur Internen Unternehmensrechnung
+ Finanzertrag
1.500
- Finanzaufwand
- 2.200
Ergebnis der gewShnlichen Geschiiftst~itigkeit
16.300
- Ertragsteuer
- 4.075
Jahresiiberschuss
12.225
a) Ermitteln Sie auf Grund dieser Informationen den ROI, den ROCE und den R O N A der GreenhiIlsMove! GmbH. Gehen Sie dabei vereinfacht davon aus, dass die liquiden Mittel nicht verzinslich sind, die ROcklagen zur G~nze dem Eigenkapital sowie die Rt~ckstellungen zur G~knze dem nichtverzinslichen Fremdkapital zuzurechnen sind. Der Ertragsteuersatz betragt 25 %. b) Dartiber hinaus stehen folgende weitere Informationen zur Verffigung: •
Die kumulierten Abschreibungen des Sachanlageverm6gens betragen: Grund und Boden 0 Gebaude 2.000 Maschinen 5.000
•
Anlageinvestitionen wurden in diesem Jahr im Ausmag von 1.000 vorgenommen.
•
Die Preissteigerungen im abnutzbaren Anlageverm6gen ftihrten dazu, dass zur identischen Ausstattung des Unternehmens heute ein die historischen Anschaffungskosten um 3.900 ttbersteigender Betrag investiert werden mttsste.
•
Der Kapitalmarktzins betr~gt 10 %.
•
Das UmlaufvermOgen ist im betrachteten Jahr um 3.000 gesunken, die langfristigen ROckstellungen sowie die Lieferverbindlichkeiten sind im selben Zeitraum um insgesamt 1.600 zur0ckgegangen.
•
Finanzertrag und Finanzaufwand waren zur G~inze zahlungswirksam.
Ermitteln Sie den Brutto-CFROI sowie den CFROI der GreenhillsMove. t GmbI41.
MusterlSsung: Teilaufgabe a): Ermittlung des ROI." Ergebnis nach Steuem: = Jalu'esfiberschuss = 12.225 Zinsaufwand nach Ertragsteuer: = 2.200. (1 - 0, 25) = 1.650 Gesamtkapital: = 93.500 ROI =
12.225 + 1.650 93.500
= 14,84 %.
Kapitel 10: Kennzahlen als Perfonnancemage
173
Ermittlung des RONA: Investiertes Kapital: = Eigenkapital + verzinsliches Fremdkapital = 20.000 + 6.000 + 46.000 = 72.000 RONA =
12.225+1.650
= 19,27 %
72.000
Ermittlung des ROCE: Betriebsergebnis - (fiktive) Ertragsteuem auf das Betriebsergebnis: = 1 7 . 0 0 0 . ( 1 - 0 , 2 5 ) = 12.750 Investiertes Kapital - Verzinsliches Verm6gen: = Eigenkapital + verzinsliches Fremdkapital - FinanzanlagevermSgen - Wertpapiere = 20.000 + 6.000 + 46.000 - 19.000 - 7.000 = 46.000 ROCE - 12.75____~0 _ 27,72 % 46.000
Teilaufgabe b) : Ermittlung der Bruttoinvestitionsbasis (Brutto investiertes Kapital) : Buehwert des Eigenkapitals Rficklagen
20.000 6.000
Finanzierungsverbindlichkeiten
46.000
Buchwert des investierten Kapitals
72.000
Kunmlierte Abschreibungen des abnutzbaren Sachanlageverm6gens
7.000
Inflationsanpassung des abnutzbaren Sachanlageverm6gens
3.900
Bruttoinvestitionsbasis
82.900
Ermittlung des Brutto-Cashflows: Jahresfaberschuss
12.225
Abschreibungen
8.000
Verminderung des UmlaufvermOgens Verminderung der Rtickstellungen und Lieferverbindlichkeiten Zinsaufwand Steueranpassun~ Zinsaufwand Bmtto-Cash_flow
23.275 Brutto-CFROI = - - 28,08%. 82.900
3.000 -1.600 2.200 -550 23.275
174
Ubungen zur lnternen Unternehmensrechnung
Ermittlung der Nutzungsdauer des abnutzbaren SachanlagevermOgens." Diese ergibt sieh aus der Gegenfiberstellung der historischen Anschaffungskosten des abnutzbaren Anlageverm6gens (Buchwert + kumulierte Abschreibungen) und dem Betrag einer Periodenabschreibung:
-
40.000
~
5 Jahre
8.000
Ermittlung des mehrperiodigen CFROI: Unterstellter fiktiver Zahlungsstrom: t = 0: - Bruttoinvestitionsbasis: - 82.900 t = 1 bis t = 4: j e w e i l s identischer Brutto-Cashflow: 23.275 t = 5: Brutto-Cashflow + Nettowert des nicht abnutzbaren Anlageverm6gens: = 23.275 + 39.000 = 62.275 Ansatz zur rechnerischen Ermittlung: - 8 2 . 9 0 0 + 23.275. (1 + C F R O I ) -~ + 23.275. (1 + CFROI) -2 + 23.275. (1 + C F R O | ) -3 +23.275. (1 + C F R O I ) -4 + 62.275. (1 + CFROI) -5 = 0
--) Gleichung nach C F R O I aufl6sen ffthrt zu: CFROI = 2 1 , 1 1 % .
Vereinfachte Ermittlung des CFROI: Ennittlung der 6konomischen Abschreibung: Buchwert des abnutzbaren Sachanalgeverm6gens Kumulierte Abschreibungen des abnutzbaren SachanlagevermOgens lnflationsanpassung des abnutzbaren Sachanlageverm6gens Aktueller Wiederbeschaffungswert des abnutzbaren SachanlagevermSgens
Abschreibungsrate ab -
0,1 = 0,1638 (1+0,1) 5 - 1
Okonomische Abschreibung = 43.900.0,1638 = 7.190,82
CFROI =
23.275-7.190,82 82.900
= 19,4 %.
33.000 7.000 3.900 43.900
Kapitel 10: Kermzahlenals Performancemage
Aufgabe 10.2:
175
Rcsidualgewinn und Managerentlohnung
Die Unternehmensleimng well3, dass ein Bereichsmanager ein [nvestitionsprojekt mit einer Laufzeit yon 4 Perioden durchftihren kann. Die Investitionsauszahlung betr~igt C 5.500.000, der Liquidationserl6s entspricht den Abbmch- und Entsorgungskosten. Die Untemehrnensleimng kennt die absolute H{She der Einzahlungstiberscht~sse nicht, bekannt ist ihr lediglich die Struktur des Niveaus der zeitlichen Verteilung der Einzahlungstiberschfisse E, die sich in den 4 Perioden relativ zueinander wie 2,5E:4E: 1E:0,5E verhalten. Der Zinssatz des Unternehmens betr~igt 12 %. a) Ermitteln Sie, wie hoch das Niveau der Einzahlungsaberschtisse sein muss, damit die Durchffihrung des Investitionsprojekts ffir das Unternehmen von Vorteil ist. b) Der Manager weil3, dass das Niveau der Einzahlungstiberschfisse E = £ 835.000 betr'agt. Der risikoneutrale Manager erh~ilt in jeder Periode einen Bonus in H6he von 30 % des Residualgewinns. Die Untemehmensleitung verwendet zur Ermittlung des Residualgewinns eine lineare Abschreibung. Der Manager zinst auf Grund seiner Zeitpr~iferenzen die Entlohnungszahlungen mit 25 % ab. Ermitteln Sie die Entlohnung in jeder Periode und den Barwert der Entlohnung zum Zeitpunkt, in dem fiber die Investition entschieden wird. Ist die Durchffihrung des Investitionsprojektes aus der Sicht der Untemehmensleitung vorteilhaft? Ist die Durchffihrung des Investitionsprojektes aus der Sicht des Bereichsmanagers vorteilhaft? c) Ermitteln Sie die optimalen Abschreibungsraten nach dem relativen Beitragsverfahren. d) Die Unternehmensleitung setzt bei der Ermittlung des Residualgewinns nun die Abschreibung nach dem relativen Beitragsverfahren an. Ermitteln Sie die Entlohnung des Bereichsmanagers in jeder Periode und den Barwert der Entlohnung zum Zeitpunkt, in dem tiber die Investition entschieden wird. Ist die Durchftihrung des Investitionsprojektes aus der Sicht der Untemehmensleitung vorteilhaft? Ist die Durchftihrung des Investitionsprojektes aus der Sicht des Bereichsmanagers vorteilhaft?
Musterl6sung: Teilaufgabe a): Damit das Projekt vorteilhaft fftr das Unternehmen ist, muss zumindest ein Kapitalwert von null erzielt werden. Damit dies erf~llt wird, muss die Summe der diskontierten Einzahlungs~berschfisse der Anschaffungsauszahlung entsprechen. Demnach gilt l~r das efforderliche Niveau der Einzahlungstiberschfisse:
176
Obungen zur Internen Untemehmensreclmung
5.500.000 = 2,5E.1,12 -1 + 4 E .1,12 -2 + E .1,12 -3 + 0,5E.1,12 -4 E
5.500.000 =852.652,68 6, 45045765
Das Niveau der Einzahlungsiiberscht~sse E muss damit mindestens C 852.652,68 betragen, damit das Projekt far das Untemehmen vorteilhaft ist.
Teilaufgabe b): Die Durchf'dhrung des Projektes ist ftir das Untemehmen nicht vorteilhafl, da das erforderliche Niveau der Einzahlungsfiberschtisse, das in TeiIauJ~Iabe a) ermittelt wurde, nicht erreicht wird: 835.000 < 852.652,68. Der Manager nimmt eine Beurteilung der Projektvorteilhaftigkeit allerdings auf Grund des Barwertes der erzielbaren Entlohlmngszahlungen vor. Als BeurteilungsgrN3e dient der Residualgewinn. Die H6he der Residualgewinne in den einzelnen Perioden betr~igt: t=2
t=3
t=4
3.340.000
835.000
417.500
t=l
Einzahlungsiiberschuss
2.087.500
Abschreibung
-1.375.000 -1.375.000 -1.375.000 -1.375.000
Gewinn
712.500
1.965.000
-540.000
-957.500
Gebundenes Kapital KB
4.125.000
2.750.000
1.375.000
0
- i. KB,_I
-660.000
-495.000
-330.000
-165.000
Residualgewinn
52.500
1.470.000
-870.000
-1.122.500
30 % Managerbonus
15.750
441.000
-261.000
-336.750
Die letzte Zeile der Tabelle enthglt die projektbezogenen Bonuszahlungen an den Manager. Diskontiert man diese mit dem Zinssatz des Managers in H6he von 25 %, ergibt sich der Barwert dieser Entlohnungszahlungen von 23.275,2. Da der Barwert der Bonuszahlungen positiv ist, ist die Projektdurchf'tihrung fOr den Manager vorteilhaft.
Teilaufgabe c): Die optimale Abschreibungsrate nach dem relativen Beitragsveffahren ergibt sieh t-1
aus der Bestimmungsgleichung ab; - T
Ot
r=l
ergeben sich die optimalen Abschreibungsraten:
i. (1- ~ ab r ) . Durch Einsetzen
Kapite110: Kennzahlenals Performmlcemage t=l Abschreibungsraten
t=2
t-3
177 t=4
0,2675694 0,53221937 0,13100241 0,06920882
Teilaufgabe d): Die gew~ihlte Abschreibungsmethode vergndert sowohl den Periodengewinn als auch das gebundene Kapital in den einzelnen Perioden. Die Residualgewinne lauten nun: t=l
t=2
t=3
t=4
Einzahlungs~berschuss
2.087.500
3.340.000
835.000
417.500
Abschreibung
-1.471.632 -2.927.207
Gewinn Gebundenes Kapital KB - i. KB,
1
Residualgewinn 30 % Managerbonus
-720.513
-380.648
615.868
412.793
114.487
36.852
4.028.368
1.101.161
380.648
0
-660.000
-483.404
-132.139
-45.678
-44.132
-70.611
-17.652
-8.826
-13.239,6
-21.183,3
-5.295,6
-2.647,8
Auf Grund der gewNalten Abschreibungsmethode ist der Residualgewinn in jeder Periode nun negativ. Dadurch entf~illt ftir den Manager der Anreiz, ein ftir das Unternehmen nicht vorteilhaftes lnvestitionsprojekt durchzufahren. Der Barwert der projektbezogenen Bonuszahlungen ist negativ und betr~igt - 27.944,9. Ftir den Manager ist daher die Projektdurchftihrung ebenfalls nicht vorteilhaft.
Aufgabe 10.3:
Unterschiedliche BeurteilungsgrSBen und Investitionsanreize (Barbara Pirchegger)
Ein Untemehmen in der Bau-Industrie besteht aus mehreren GescNiftsbereichen, die als Investment-Center organisiert sind. Der Gesch~ftsbereich B erzeugt derzeit T~irst6cke aus einer Metall-Holz Konstmktion. Der Leiter des Bereichs B, Franz Schraubstock, steht vor der Entscheidung, ein weiteres Produkt in das Produktionsprogramm aufzunehmen, und zwar Fensterrahmen, die aus den selben Materialien gefertigt werden k6nnten wie die Ttirst6cke. Die relevanten Informationen far das Projekt, das eine Laufzeit von ftinf Jahren haben soll, sch~itzt Franz wie folgt ein: Ftir die Produktion der Fensterrahmen mtisste eine Maschine angeschafft werden, deren Anschaffungskosten 1.000.000 betragen wiarden. Ft~r die Montage und die Inbetriebnahme veranschlagt Franz weitere 200.000. Die Abschreibung der Maschine sollte linear erfolgen. Die Anschaffungskosten der Maschine kOrmten zur Hfilfte (500.000) mittels Kredit finanziert werden, der tiber die folgenden fanf Jahre in gleichert Raten zu jeweils 100.000 getilgt wiirde. Zinsen von 8 % p.a. sind far den jewefts zu Jahresbeginn offenen Kreditbetrag zu zahlen. Der verbleibende Rest der
178
Obungen zur InternenUnternehrnensrechnung
Anschaffungsauszahlung k6nnte aus dem laufenden Budget finanziert werden. Au13erdem w~rden sieh die variablen L6hne und variablen Gemeinkosten um 130.000 pro Jahr erh6hen. Far die geplante Produktion yon 3.500 Rahmen pro Periode writden welters Rohstoffkosten i.H.v. 50.000 entstehen. Die Erl/Sse far einen Rahmen sch~itzt Franz auf 150 pro Fenster. In der Branche sind allerdings Zielverk~iufe tiblich. Franz reehnet damit, dass nur die H~ilfte des Absatzes von geplanten 3.500 Fenstem sofort bezahlt wird. Die H~ilfte der auf Ziel verkauften Fenster darfte in der unmittelbar folgenden, der Rest in der darauf folgenden Periode bezahlt werden. Franz Schraubstock wird zum Teil leistungsorientiert entlohnt. Seine Entlohnungsfunktion lautet: S(b) = S + c~ . b, mit a >0.
S steht far einen fixen Gehaltsbestandteil und b ist die leistungsorientierte Beurteilungsgr6Be, a ist der positive Gewichtungsfaktor far die leismngsabhfingige Entlohnun& Der Referenzzinssatz des Unternehmens betr~igt i = 0,1. a) Soll Franz Schraubstock die Produktion von Fensterrahmen in sein Programm aufnehmen, wenn er anhand des Residualgewinns (b = RG) seines Bereiches entlohnt wird, sein Referenzzinssatz jenem des Gesamtunternehmens entspricht und er davon ausgeht, dass er fiber die Laufzeit des Projektes hinaus im Untemehmen besch~iftigt sein wird? b) Welche Investitionsentscheidung wird Franz treffen, wenn er anhand des Bereiehsgewinnes (b = G) entlohnt wird und i =0,1 gilt? c) Angenommen, Franz plant das Untemehmen am Ende tier dritten Periode, gerechnet vom gegenwfirtigen Zeitpunkt, zu verlassen. Welche Entscheidmlg w~rde er in Bezug auf die Fensterproduktion treffen, wenn er anhand des Residualgewinns entlohnt wild. d) Welche lnvesfitionsentscheidung triffl Franz, wenn er vorhat, im Untemehmen zu bleiben, sein pers6nlicher Referenzzinssatz jedoch nieht 10 % sondern nur 5 % betr~gt u n d e r auf Basis des Residualgewinns oder alternativ auf Basis des Gewirms entlohnt wird? e) In welcher der obigen Situationen entsprieht Franz Schraubstocks Verhalten den Interessen des Gesamtuntemehmens? Diskutieren Sie die Ergebnisse jeder einzelnen Aufgabe gesondert. Welche Ergebnisse sind allgemeingt~ltig, welche zuffillig? Begr~nden Sie Ihre Antworten!
Kapitel 10: Kennzahlen als PerformancemaBe
179
Musterlfisung: Teilaufgabe
a):
Ermittlung der Periodengewinne:
t=l
t=2
t=3
t=4
t=5
ErlOse
525.000
525.000
525.000
525.000
525.000
Abschreibung
-240.000
-240.000
-240.000
-240.000
-240.000
Fremdkapitalzinsen
-40.000
-32.000
-24.000
-16.000
-8.000
L6hne/Gemcinkosten
-130.000
-130.000
-130.000
-130.000
-130.000
Rohstoffe
-50.000
-50.000
-50.000
-50.000
-50.000
Gewinn
65.000
73.000
81.000
89.000
97.000
Ermittlung des gebundenen Kapitals: t-0
t=l
t=2
t=3
AK + ANK
1.200.000
960.000
720.000
480.000
Kredit
-500.000
-400.000
-300.000
-200.000
Forderung
262.500
393.750
393.750
700.000
822.500
813.750
673.750
t=4
t=5
t=6
t=7
AK+ANK
240.000
0
0
0
Kredit
- 100.000
0
0
0
Forderung
393.750
393.750
131.250
0
Kapitalbindung K B
533.750
393.750
131.250
0
Kapitalbindung K B
Ermittlung der Residualgewinne: t--0
t=l
t=2
t=3
0
65.000
73.000
81.000
-70.000
-82.250
-81.375
0
-5.000
-9.250
-375
t=4
t=5
t=6
t=7
Gewinn
89.000
97.000
0
0
- i . KB,_~
-67.375
-53.375
-39.375
-13.125
Residualgewinn
21.625
43.625
-39.375
-13.125
Gewinn - i • KB,.1
Residualgewinn
180
Ubungen zur Intemen Untemehmensrechnung
Der Barwert der Residualgewinnreihe betr/igt 424,67. Da Franz den selben Diskontierungsfaktor wie das Unternehmen verwendet und fiber die gesamte Projektlebensdauer im Unternehmen verbleibt, wird er das Projekt durchffihren. Er erh~lt einen positiven Anteil c~ am positiven Barwert des Projektes. Auf Grund des Kongruenzprinzips ffihrt eine Ermittlung des Kapitalwertes der Zahlungsreihe des Projektes zum selben Ergebnis wie der Barwert der Residualgewinnreihe.
Teilaufgabe b): Die Ermittlung der Periodengewinne erfolgte bereits in Teilaufgabe a). Der Barwert dieser Gewinnreihe betr~gt 301.295,55. Franz wird, da er denselben Diskontierungsfaktor wie das Untemehmen verwendet und fiber die gesamte Projektlebensdauer im Untemehmen verbleibt, das Projekt durchfahren, denn er erh~tlt einen positiven Anteil am positiven Barwert. TeilauJgabe c) : Der ftir Franz relevante Zeitraum zur Beurteilung des Projektes betr~igt nun lediglich drei Perioden, damit: t=0 Gewima
0
- i. KB,.I Residualgewinn
0
t=l
t=2
t=3
65.000
73.000
81.000
-70.000
-82.250
-81.375
-5.000
-9.250
-375
Der Barwert der Residualgewinnreihe betr~igt - 12.471,83. Obwohl Franz den selben Diskontierungsfaktor wie das Unternehmen verwendet, fahrt die kttrzere Dauer bei der Beurteilung der Projektvorteilhaftigkeit zu einem negativen Barwert, an dem Franz nicht beteiligt werden m6chte. Daher wird er das Projekt nicht durchfahren.
Teilaufgabe d): Die Periodengewinnreihen und Residualgewinnreihen des Projektes wurden in Teilaufgabe a) ermittelt. Es/~ndert sich nun aus der Sicht von Franz der zur Barwertermittlung seiner Entlohnung heranzuziehende Diskontierungsfaktor. Wird die Residualgewinnreihe mit dem Zinssatz von 5 % diskontiert, ergibt sich ein Barwert von 213,52, an dem Franz t~ber ~zbeteiligt wird. In diesem Fall ftit~ der geringere Referenzzinssatz dazu, dass das flir das Untemehmen vorteilhafte Projekt nicht durchgefghrt wird. Wird die Periodengewinnreihe mit dem Zinssatz von 5 % diskontiert, ergibt sich ein Barwert von 347.311,32. In diesem Fall entscheidet sich Franz trotz des abweichenden Referenzzinssatzes far eine Projektdurchfahrung.
Kapitel 10: Kennzahlenals PerformancemaBe
181
Teilaufgabe e): Ad Teilaufgaben a) und b): Bei Entlohmng auf Basis des Residualgewinnes wie auch auf Basis des Periodengewimaes wird eine ft~r das Unternehmen vorteilhafte Investition durchgefiihrt. Dies ist natiirlich im Interesse der Zentrale. Der Residualgewinn ist in der zu Grunde gelegten Situation (identischer Referenzzinssatz, identischer Planungshorizont) immer anreizkompatibel. Die Beurteilungsgr6ge Periodengewinn fahrt allerdings nur zufallig zur for das Unternehmen vorteilhaften L6sung.
Ad Teilaufgabe c): Franz trifft die Entscheidung nicht im Sinne des Unternehmens. Der Residualgewinn kann bei Vorliegen unterschiedlicher Planungshorizonte nur in bestimmten F~illen unter Verwendung eines spezifischen Berechnungsmodus (relative marginal benefit depreciation schedule) eine Entscheidung in 0bereinstimmung mit den Unternehmenszielen motivieren.
Ad Teilaufgabe d): Franz handelt hier bei Entlohnung auf Basis des Residualgewinnes nicht im Sinne der Zentrale, bei abweichenden Referenzzinssfitzen kann diese Beurteilungsgr6Be das gewiinschte Verhalten nicht sicherstellen. Bei Entlohnung auf Basis des Periodengewinns verh~ilt sich Franz ,,zuf~illig" im Silme des Unternehmens.
Aufgaben zu den Kapiteln der Internen Unternehmensrechnung
Kapitel 11:
Verrechnungspreise und Kostenallokation
Aufgabe 11.1: MehrstufigeVerreehnungspreise Das Profit Center ,,Htech 4" fertigt Steuerungschips far Alarmanlagen und liefert diese ausschlieBlich konzemintem an die Profit Center ,,Heim", ,,Gewerbe" und ,,Industrie", die diesen Bauteil in der Produktion der zentralen Schalteinheiten verwenden. Da im vergangenen Jahr eine dem neuesten Stand der Teehnik entspreehende vollautomatisierte Fertigungsstral3e in Betrieb genommen wurde, die das bisher verwendete, personalintensive Produktionsverfahren abl6ste, ist ein Verkauf dieser Steuerungschips am extemen Markt zur Sicherung eines technologisehen Vorsprunges yon der Konzemleitung untersagt worden. Diese Automatisierung der Produktion brachte ftir Htech eine erhebliche Anderung der Kostenstruktur mit sich. Die stark angestiegenen j~arlichen Fixkosten belaufen sich nun auf 20.000.000,-, wobei der Dimensionierung der Anlage der geschatzte Bedarf der abnehmenden Profit Center zugrunde gelegt wurde. Die folgende Tabelle zeigt diesen gemeldeten Bedarf an Steuerungseinheiten der Bereiche und die variablen Kosten der Erstellung einer Einheit des jeweiligen Endproduktes, der jeweiligen zentralen Schalteinheit: Bereich
Helm
Sttickzahl Steuerungschip
10.000
variable Kostenje Steuerungschip
400,-
variable Kosten Endfertigung der Steuerungseinheit
4.000,-
Gewerbe 6.000 480,6.000,-
Induswie 500 730,10.200,-
Die Kapazit/it der Fertigungsanlage ist mit 8.000 Produktionsstunden im Jahr beschr/inkt. In dieser Zeit ist es m6glich, genau den oben gemeldeten Bedarf der drei Abnehmer zu befriedigen. a) Die Konzemleitung legt als Verrechnungspreis die Vollkosten des liefernden Bereiches fest, wobei als Basis far die Verteilung der Fixkosten die geplante Stiickzahl gefertigter Steuerungschips dient. Ermitteln Sie den Vollkostenverrechnungspreis je Steuerungschip! b) Welche Auswirkung auf das Bereichsergebnis von Htech hat es, wenn tats/ichlich die folgenden Mengen abgenommen wurden:
0bungen zur lnternenUnternehmensrechnung
184
Bereich Sttickzahl Steuerungschip
Heim
Gewerbe
Industrie
8.000
6.100
750
c) Die Leitung von Hlech ist mit den mit diesem Verrechnungspreisverfahren gemachten Erfahrungen des ersten Jahres ttberhaupt nicht zufrieden und stellt ein zweismfiges Verrechnungspreisschema zur Diskussion. Zur Messung der Kosten der Kapazit~ttsbereitstellung soll die Fertigungszeit bezogen auf den geme|deten Bedarf im Zeitpunkt der Kapazit~tsdimensionierung dienen. Aufgrund der unterschiedlichen Anforderungen ergeben sich folgende st~ickbezogenen (je Steuerungschip) Fertigungszeiten fttr die drei Bereiche: Bereich
Heim
Gewerbe
Industrie
Fertigungszeit je Steuerungschip
0,4 Std.
0,6 Std.
0,8 Std.
Ermitteln Sie die aufgrund dieses Verrechnungspreisschemas den einzelnen Bereichen zugerechneten Kosten! Welche Reaktionen der drei Profit Center Manager erwarten Sie, wenn Sie die Kostenauswirkungen eines Uberganges anhand der Plan- bzw. Istdaten der vergangenen Periode beurteilen? d) Der Bereich ,,Heim" befindet sich aufgrund einer stark gesunkenen Marktnachfrage in einer Situation der Unterbesch~tigung. Da tritt eine amerikanische Konzemtochter mit einem kurzfristigen, einmaligen Zusatzauftrag fiber 1.000 Steuerungseinheiten an den Bereichsmanager heran, wobei pro Einheit ein Kaufpreis in H6he von 5.300 angeboten wird. Aufgrund der Konzernrichtlinien darf die amerikanische Tochter die Produkte auf keinem vom Bereich ,,Heim" bearbeiteten Markt anbieten bzw. vice versa. Beurteilen Sie die Vorteilhaftigkeit der Annahme dieses Auftrages an_hand des ,alten" bzw. neu vorgeschlagenen Verrechnungspreisschemas.
MusterlSsung: TeilauJgabe a) :
Bereich
var.
fix
VP voll
Heim
400
1.212,1212
1.612,1212
Gewerbe
480
1.212,1212
1.692,1212
Industrie
730
1.212,1212
1.942,1212
Kapitel 11: Verrectmungspreiseund Kostenallokation
185
Teilaufgabe b) Bereichsergebnis Htech:
Helm Gewerbe Industrie Summe
Planerl6se
Isterl6se
16.121.212,1
12.896.969,7
10.152.727,3
10.321.939,4
hreim Gewerbe ~ndustrie Fixkosten Summe
971.060,6
1.456.590,9
27.245.000
24.675.500
Plankosten
Istkosten
4.000.000
3.200.000
2.880.000
2.928.000
365.000
547.500
20.000.000
20.000.000
27.245.000
26.675.500
Plan
Ist
0
-2.000.000
Ergebnis
Teilaufgabe c) gemeldete Fertigungszeit in % Kap. Zugerechnete Fixkosten VPvar
(Ieim Gewerbe [ndustrie
0,5
10.000.000
400
0,45
9.000.000
480
0,05
1.000.000
730
An die Bereiche verrechnete Kosten: Planmenge neu
Istmenge alt
neu
alt
[4eim Gewerbe [ndustrie
14.000.000 16.121.212,1
13.200.000 12.896.969,7
11.880.000 10.152.727,3
11.928.000 10.321.939,4
1.365.000
971.060,6
1.547.500
1.456.590,9
Summe
27.245.000
27.245.000
26.675.500
24.675.500
Teitaufgabe d) • Entscheidungskriterium Verrechnungspreis ,,alt": Zusatzauflrag wird abgelehnt, da 5.300 < 5.612 • Entscheidungskriterium Verrechnungspreis ,,neu": Zusatzauflrag wird magenommen, da 5.300 > 4.400 und in der Situation der Unterbesch/fftigung Fixkosten abdeekt werden.
Obungen zur Intemen Unternehmensrechnung
186
Aufgabe
11.2:
Duale Verreehnungspreise im Hirshleifer-Modell
Bereich 1 (,,Antriebsteehnik") und Bereich 2 (,,TGV~') sind Teil des Unternehmens TrOdT, eines Spielwarenerzeugers, der sich auf die originalgetreue Nachbildung von Eisenbatmsystemen im Magstab H0 spezialisiert hat. Bereich 1 liefert die Antriebstechnik for die Lokomotive T G V an Bereich 2, ein externer Markt Nr diese Leistung existiert nicht. Bereich 2 nimmt die Endmontage vor und verkauft das fertige Eisenbahnsystem an Spielwarengrol~h~indler. Die Kosten des Bereiches 1 folgen X3
der Funktion Kl(x) = 2.500 + - - . Bereich 2 hat eine Kostenfunktion der Form K2(x) 9 = 1.500 + 4x 2, fOr das fertige Produkt existiert im preispolitisch relevanten Bereich X2
eine Preis-Absatz-Funktion in Formp(x) = 564,5833 - - - . 12 a) Emlitteln Sie den optimalen Verrechnungspreis far Bereich 1 nach Hirshleifer. Zeigen Sie, dass die Bereiche die gewinnoptimale Menge aus Sicht des Gesamtuntemehrnens wfihlen. Wie hoch sind die Bereichserfolge und der Gesamtunternehmenserfolg? b) Ermitteln Sie fiir diese Datensituation die dualen Verrechnungspreise, mit denen die Unternehmensleitung die aus der Sicht des Gesamtuntemehmens gewirmoptimale Menge motivieren kann. Wie hoch sind die Bereichserfolge und der Gesamtunternehmenserfolg? Welche Rolle kommt der Zentrale im Rahmen der dualen Verrechnungspreise zu?
Musterlfisung: Teilaufgabe a) Die gewinnoptimale Menge ffir das Gesamtunternehmen ergibt sich ans: X3
X3
Goes= 564,5833x - - - - 2.500 - - - - 1.500 - 4x 2 12 9 dGG~ - 564,5833 - 8x - 7x2 - 7x z + 96x - 6.775 -- 0 dx 12 Ergebnis: x* = 2 5 , p * = 512,5. Gesamtuntemehmenserfolg: = 4.576,3881 Verrechnungspreis f'or die Leistung des Bereiches 1 ergibt sich aus: X2
RI = K'~(x = 25) = - - = 208,3333 3
Kapitel 11: Verreclmungspreise und Kostenallokation
187
E r m i t t l u n g der g e w i n n o p t i m a l e n M e n g e n fgr die B e r e i c h e u n d d e r B e r e i c h s e r f o l g e : B e r e i c h 1: X3
G1 = 2 0 8 , 3 3 3 3 x - 2.500 - - 9 X2
dG1 - 208,3333 - - - = 0, d a m i t x* = 25 dx 3 B e r e i c h s e r f o l g GI: = 972,2221 B e r e i c h 2: X3
G2 = 5 6 4 , 5 8 3 3 x - - - - 1.500 - 4x 2 - 208,3333x 12 X2
dG2 = 356,25 - 8x - - - = x 2 + 32x - 1.425 = 0, d a m i t x* = 25 dx 4 B e r e i c h s e r f o l g G2 = 3 . 6 0 4 , 1 6 6 7 Die S u m m e der B e r e i c h s g e w i n n e e n t s p r i c h t d a m i t d e m G e s a m t u n t e m e h m e n s g e w i n n (bei g e r i n g e r R u n d u n g s d i f f e r e n z ) .
Teilaufgabe b) A l s R e f e r e n z l 6 s u n g d i e n t w i e d e r u m die z e n t r a | e L 6 s u n g , die s i c h d u r c h M a x i m i e r u n g d e s G e s a m t g e w i n n e s ergibt (siehe d a z u a)):
Ergebnis: x* = 25, G e s a m t u n t e m e h m e n s e r f o l g : = 4.576,3881 B e r e i c h 1 erh~lt als V e r r e c h n u n g s p r e i s x2
1.500
12
x
Gj = x . (564,5833 -
RI: = 564,5833
x2
1.500
12
x
- 4x
x3 - 4x) - 2.500 - - 9
dG1 - 564,5833 - 8x - 7x2 - 0 dx
12
e n t s p r i c h t d e m O p t i m i e r u n g s p r o b l e m des G e s a m t u n t e r n e h m e n s , d a m i t x* = 25.
Ergebnis: R1 = 352,5, G1 = 4 . 5 7 6 , 3 9
188
0bungen zur [ntemen Unternehmensrechnung
Bereich 2 leistet als Verrechnungspreis R:: X3
2.500
xz
x
9 X2
G2 = 564,5833x - 1--2 - 1.500 - 4x z - x . ( 2.500 + _ _ ) x 9 dG2 - 564,5833 - 8 x - 7x2 - 0
dr
12
entsprichtdemOptimierungsproblemdes Gesamtuntemehmens, damitx* = 25. Ergebnis:
R: = 169,4444, G: = 4.576,388
Die Zentrale hat den Ausgleichsverlust zwischen der Leistung von Bereich 2 Far das Zwischenprodukt und jenem Betrag, den Bereich 1 dafttr erh~ilt, zu tragen. Dieser Ausgleichsverlust entspricht der H6he des Gesamtgewinnes: = (352,5 - 169,4444) • 25 = 4.576,39. (Rundungsdifferenzen ftthren dazu, dass dieser Ausgleichsverlust nicht exakt mit G1 und G: t~bereinstimmt).
Aufgabe 11.3:
Kostenorientierte Verreehnungspreise und Wert von Informationen
An TrOOT wird folgender Auftrag herangetragen: Ein Liebhaber m6chte eine Nachbildung der ,,Krokodil", einer Gfiterzuglok, die sich in den Schweizer Alpen bew~hrt hat. Dazu mfisste Bereich 1 (,¢lntriebstechnik") einen Motorblock liefem. Da es sich um eine Sonderanfertigung handelt, kann Bereich 1 nur eine Kostensch~itzung vorlegen: mit 30 %iger Wahrscheinlichkeit wird mit variablen Kosten von 3.000 gerechnet, mit 70 % mit variablen Kosten yon 5.000. Die Endfertigung ~bemimmt Bereich 3 (,,G~tertransporte"), wo variable Kosten yon 4.000 mit 40 %iger Wahrscheinliehkeit und 7.000 mit 60 % mlfallen. Der Kunde ist bereit, fRr die ,,Krokodil" 10.000 zu bezahlen. Beide Bereiche ver~gen fiber ausreichend Kapazit~it. Alle Entscheider sind risikoneutral. a) Bereich 3 entscheidet dezentral ~iber die Auftragsannahme. Welche Entscheidung wird der Bereichsleiter treffen? b) Die Unternehmensleitung von TrOOT entscheidet zentral fiber die Auftragsannahme. Wie lautet die Entscheidung?
Kapitel 11: Verrechnungspreiseund Kostenallokation
189
c) Die Unternehmensleitung von TrOOT entscheidet zentra! tiber die Auftragsannahme, erhfilt allerdings vor der Enscheidung kostenlos Kenntnis t~ber die exakte Kostensimation der Bereiche. Wie lautet die Entscheidung? d) Die Untemehmensleitung kSmlte dureh Infonnationsbeschaffung die Kosten der beiden Bereiche exakt ermitteln. Wie hoch dttrfen die Infomlationsbeschaffungskosten sein?
Musterliisung:
Teilaufgabe a) Kosten Bereich 1
Kosten Bereich 3
Wahrscheinlichkeit
Deckungsbeitrag
3.000
4.000
0,12
3.000
3.000
7.000
0,18
0
5.000
4.000
0,28
1.000
5.000
7.000
0,42
-2.000
E(D) = - 200, Bereich 3 wird den Auftrag nicht annehmen. Teilaufgabe b) Auch die Untemehmensleitung entscheidet auf der Grundlage des erwarteten Deckungsbeitrages. Auch sie wird in dieser Informationslage den Auftrag ablehnen.
Teilaufgabe c) Wahrscheinlichkeit
Deckungsbeitrag
Entscheidung
0,12
3.000
Auftrag annehmen
0,18
0
Indifferent
0,28
1.000
Auftrag annehmen
0,42
-2.000
Auftrag ablehnen
Teilaufgabe d) Durch die Informationsbeschaffung ist es m(Sglich, eine Auftragsannahme in der Situation mit negativen Deckungsbeitrag zu vermeiden. Die max. Informationsbeschaffungskosten betragen 0,42 • 2.000 = 840.
190
Aufgabe I1.4:
T.)bungen zur Intemen Unternehmensrechnung
Marktorientierte Verreehnungspreise versus verhandlungsorientierte Verreehnungspreise
Bereich 1 der TrOOT liefert bereits seit Jahren einen PrfizisionsttirschlieBer fftr das Modell ,,Metro" an Bereich 7 (,,Untergrundbahnen"). Mittlerweile wurden auch exteme AbsatzmOglichkeiten bei Uhrmachem tltr diesen Mechanismus aufgetan. Am Markt w~irde Bereich 1 far das Produkt 100 erzielen, bei variablen Selbstkosten von 65. Allerdings muss Bereich 1 die Zustellung zu den Uhrmachem abernehmen, was zu zus/~tzlichen Kosten von 2 fahrt. D a ~ b e r hinaus rechnet der Bereichsleiter 1 mit Zahlungsausf~tllen von 10 % des Umsatzes und aufgrund von notwendigen h6heren Lagerbest~nden mit zus~tzlichen kalkulatorischen Zinskosten von 3 je Stack. Bereich 7 k6nnte den Bauteil ebenfalls zu 100 am Markt beschaffen, muss allerdings, da TrOOTiso-zertifiziert ist, Qualittitseingangstests durchfahren, mit Kosten von 4 je Stack. Transport und Versichertmg kosten 2 je Stack. Die variablen Kosten der Endfertigung der Metro betragen im Bereich 7 600, bei einem Verkaufspreis des Endproduktes yon 1.000. a) Ermitteln Sie als Verrechnungspreis den modifizierten Marktpreis, der dem Grenzpreis des liefemden bzw. den Grenzkosten des beziehenden Bereiches entspricht. b) Ermitteln Sie den Verrechnungspreis bei gleictun~iger Aufteilung des Vorteils eines intemen Transfers. c) Zeigen Sie aus verhandlungsorientierter Sicht den Einigungsbereich far die Ermittlung des Verrechnungspreises aus Gesamtunternehmens- und aus Bereichssicht.
Musterl~sung: Teilaufgabe a) • Grenzpreis des liefemden Bereichs: = 100 - 2 - 10 - 3 = 85 • Grenzkosten des beziehenden Bereichs: = 100 + 4 + 2 = 106
Teilaufgabe h) Verrechnungspreis: = 85 + 10,5 = 95,5
Teilaufgabe c) • Aus Unternehmenssicht: Untere Grenze: = Grenzkosten Bereich 1 = 65 Obere Grenze: = vorl~iufiger Deckungsbeitrag Bereich 7 = 400 • Aus Bereichssicht siehe a): Untere Grenze: = 85, Obere Grenze = 106
Kapitel 12:
Systeme der Kostenrechnung
Aufgabe 12.1:
Heterogene Kostenverursachung und Funktionen von BezugsgrSl~en
Die Bleikamm-Kn~rztaler AG in Saatkorn erzeugt Zigarettenpapier in unterschiedlichen L~ingsformaten und far untersehiedliche Zigarettenmodelle. In der betrachteten Kostenstelle werden auf der PM "Beppo 4" Papiersorten in Serie gefertigt. Folgende Plandaten stehen zur Verftigung: Produkt Produktionsmenge Seriengr613e in Rfiststunden t/Serie in t je Serie "Lord" 60.000 6.000 1 "Light" 40.000 2.000 1,2 "Jute" 80.000 4.000 2 "A 3" 90.000 4.500 0,8
Ausffihrungsminuten jet 0,5 0,25 0,4 0,2
Die Planrastkosten betragen 54.000,- die geplanten Ausf0hrungskosten 450.000,-. Am Ende der Abrechnungsperiode wird ermittelt: Produkt "Lord" "Light" "Jute" "A 3"
Produktionsmenge in t 70.000 50.000 60.000 50.000
Seriengr6Be in t/Serie 7.000 2.000 5.000 5.000
a) Zeigen Sie, dass heterogene Kostenverursachung vorliegt, indem Sie den wirtschaftliehen Vorgabewert (Sollkosten) far die Istsituation unter Verwendung von zwei Bezugsgr6f3en vergleiehen mit dem Vorgabewert basierend auf einer Bezugsgr6Be ,,Ausffihmngsstunden". b) Welehe Art yon Heterogenitfit liegt vor? e) Zeigen Sie beispielhaft die doppelte Funktion der Bezugsgrtff3e ,,Ausflihrungsstunden" anhand des Produktes ,,Lord".
192
Ubungen zur Internen Unternehmensrectmung
Mustcrl~isung: T e i l a u f g a b e a)
Ermittlung der g e p l a n t e n Auspr~igung der Bezugsgr6Ben: Ausffihrungsstunden: = TAP = (60.000 • 0,5 + 40.000 - 0,25 + 80.000 • 0,4 + 90.000 • 0,2) / 60 = 1.500
Rt~ststunden: = 60.000 40.000 80.000 90.000 Tff'= ~ u4 " . 1~+ --2~25-~ ;z.uuu u u "1'2 6 + ~.4.uuu ' 02 0 + ~ ' 0 ' 8
= 90
E r m i t t l u n g der v a r i a b l e n K o s t e n je Bezugsgr6Beneinheit: • bei einer p a u s c h a l e n Bezugsgr6Be A u s f i i h r u n g s s t u n d e n : kAP _ 504.000 _ 336 j e A u s f 0 h r u n g s s t u n d e 1.500 bei zwei Bezugsgr6Ben: ~P-
450.000 m 1.500
- 300 j e A u s f a h r u n g s s t u n d e
kA p _ 54.000 = 600 j e Rtiststunde
90 E r m i t t l u n g der M e n g e n k o m p o n e n t e far d e n K o s t e n v o r g a b e w e r t : TAs = (70.000 • 0,5 + 50.000 • 0,25 + 60.000 • 0,4 + 50.000 • 0,2) / 60 = 1.358,33 TS -
70.0013.1 + 5 0 . 0 0 0 . 1 , 2 + 6 0 . 0 0 0 . 2 + 5 0 . 0 0 0 . 0 , 8 = 72 7.000 2.000 5.000 5.000
Ergebnis:
Sollkosten bei einer pauschalen Bezugsgr6Be A u s f a h r u n g s s t u n d e n : K s = 1.358,33 • 336 = 456.398,88
Sollkosten bei 2 BezugsgrOBen: KA s = 1.358,33 • 300 =407.499 KR s = 7 2 . 600 = 43.200 K s = KA s + KR s = 450.699
Kapite112: Systemeder Kostenrechntmg
193
Der Kostenvorgabewert bei Verwendung einer BezugsgrN3e ist um 5.699,88 zu hoch.
Teilaufgabe b) Es liegt verfahrensbedingte Heterogeniffit vor.
Teilaufgabe c) • Erste Funktion: Kostenverursachungsmagstab far Planung und Kontrolle:
KAs (Lord) = (70.000 • 0,5 / 60) • 300 = 175.000, womit ein sinnvoller Vergleich mit den Istkosten erm6glicht wird. • Zweite Funktion: Verursachungsgerechte Beziehung zum Kostentr~tger. So sind 300 auf 1 t Lord zu verrechnen: 0,5 • - - = 2,5. 60
Aufgabe 12.2:
Statistische Methoden der Kostenplanung
Die Firma Tiere & Nerz mOchte eine Kostenplanung des Produktionsprozesses von Stoffteddyb~en, der einen Drei-Sehicht Betrieb umfasst, durchfahren. Folgende bereinigte Istinformationen stehen zur Verfiigung: Erzeugbare Mengen: * im 1-Schicht Betrieb:
insgesamt 10.000 Teddyb~en
* im 2-Schicht Betrieb:
insgesamt 18.000 Teddyb~iren
• irn 3-Schicht Betrieb:
insgesamt 24.000 Teddyb~'en
Die fixen Kosten betragen 800.000. Bei Einffihnmg einer zweiten Schicht erh6hen sich diese auf 1.000.000, bei Einl'tihrung einer dritten auf 1.500.000. Die Gesamtkosten betragen bei Erzeugung der jeweils maximalen Mengen: * bei 1-Schicht Betrieb:
1.800.000
* bei 2-Schicht Betrieb:
3.200.000
* bei 3-Schicht Betrieb:
4.800.000
a) Ermitteln sie die lineare Gesamtkostenfunktion far jede Schicht und stellen Sie diese graphisch dar! b) Wie hoch sind die Plankosten fth" 20.000 Teddyb~en? c) Ermitteln Sie die Gesamtkostenfunktion Rtr die dritte Schicht aufgrund nachfolgender Daten nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate: Stack
bereinigte Gesamtkosten
19.000
3.900.400,-
21.000
4.280.000,-
194
l)bungen zur Internen Unternehrnensrechnung
22.000
4.467.000,-
20.500
4.159.000,-
Musterl~sung:
Teilaufgabe a) Verwendung des Hoch-Tiefpunkt-Verfahrens: 1. Schicht mit Wertepaaren: (800.000, 0); (1.800.000; 10.000) 2. Schicht mit Wertepaaren: (2.000.000, 10.000); (3.200.000, 18.000) 3. Schicht mit Wertepaaren: (3.700.000, 18.000); (4.800.000, 24.000) 1. Schicht: k-
1.800.000 - 800.000 10.000 - 0
K(x) =
= 100
800.000 + 1 0 0 . x
x ~ [0, 10.000]
2. Schicht: k=
3.200.000- 2.000.000 18.000-10.000
K(x) = 500.000
= 150
+ 150.x
x ~ ]10.000, 18.000]
3. Schicht: k=
4.800.000- 3.700.000 24.000-18.000
K(x) = 400.000
= 183,33
+ 183,33 • x
x ~ ]18.000, 24.000]
Kapite112: Systeme der Kostenrechnung
195
Graphische L6sung: Kosten
5.00~.000 3. S c h i c l ~ 4.000000
3.000000
2.000000
1.000.000
10.000
20 000
25000 Teddybaren
Teilaufgabe b) K(20.000) = 4.066.600
Teilaufgabe c) x- g
K
K- R
x
1
19.000
-1.625
3.900.400
-301.200
489.450.000
2.640.625
2
21.000
375
4.280.000
78.400
29.400.000
140.625
3
22.000
1.375
4.467.000
265.400
364.925.000
1.890.625
4
20.500
-125
4.159.000 ~
-42.600
5.325.000
15.625
Z
82.500
0
16.806.4001
&- ~). (K- K)
(x- g)2
n
0
889.100.000 4.687.500
2 - 82.500 = 20.625, K ' - 16.806.400 - 4.201.600 4 4
Ergebnis: k = Y.(x - 2). ( K - K ) _ 889.100.000 = 189,67 Z(x - 2 ) 2
4.687.500
K F = R" - k. ~ = 4.201.600 - 189,67 • (20.625 - 18.000) = 3.703.716,25
196
Ubungen zur Internen Untemehmensrechnung
K(x) = 3.703.716,25 + 189,67-x
x e ]18.000, 24.000]
Anmerkung: Die durchschnittliche Produktionsmenge von 20.625 liegt im Bereich der dritten Schicht. Diese wird nur gefahren, wenn die beiden Schichten zuvor voll genutzt werden. Daher sind die Kosten der Schichten eins und zwei bei der Ermittlung der Kosten far die dritte Schicht Fixkosten (dies illustriert die graphische L6sung sehr treffend[).
Kostenstellenrechnung und Kostentriigerrechnung in der GPKR
Aufgabe 12.3:
Der Planbetriebsabrechnungsbogen der G.P.K. Ostenrechnung GmbH liefert folgende Informationen ~iber die geplanten variablen Gemeinkosten f~ir die kommende Periode: Hilfskostenstellen Transport Energie
Fertigungsstellen I II
Verwaltung Vertrieb
L~Shne/Gehiilter
150
70
0
0
150
200
Material Abschreibung Zinsen prim/ire Gemeinkosten
50 80 120 400
50 400 600 1.120
800 150 150 1.100
300 80 120 500
30 10 20 210
300 20 30 550
Die Hilfskostenstelle ,,Transport" erbringt betriebliche Transportleistungen far die anderen Kostenstellen, die Hilfskostenstelle ,,Energie" versorgt die betrieblichen Teilbereiche mit Strom. Folgende Leistungsbeziehungen werden geplant:
Transport
Transport an
Energie an
0 tkm
100 kwh
Energie
50 tkm
80 kwh
Fertigungsstelle I
170 tkm
900 kwh
Fertigungsstelle II
250 tkm
800 kwh
Verwaltung
30 tkm
250 kwh
Vertrieb
2.200 tkm
50 kwh
Summe Leistung
2.700 tkm
2. 180 kwh
Kapitel 12: Systeme der Kostenrechnung
197
a) Ftihren Sie die Sekundgrkostenrechnung durch und bestimmen Sie die Grenzkostens~itze far die Leistungen der beiden Hilfskostenstellen. b) Als Bezugsgr6Ben dienen in den Fertigungsstellen I und II die Lohneinzelkosten (Lotmeinzelkosten Fertigungsstelle I = 400, Lohneinzelkosten Fertigtmgsstelle II = 600), die Herstellkosten f'tir Verwalmng und Vertrieb. Ermitteln Sie die Selbstkosten ffir einen Auftrag, der zu geplanten Lohnkosten von 3 (7) in der Fertigungsstelle I (lI) fahrt.
Musterlfisung:
TeiIaufgabe a) (1) 2.700 • CTransport= 400 + 100 • CEnergie (2) 2.100 • CE,crgie= 1.120 + 50 • CTransport aus (2) folgt: CTr~poa = 42 • CEn~rgi~- 22,4 und durch Einsetzen in (1) erhNt man:
Ergebn~gerundet: CTransport = 0 , ]
6804943,
CEnergie =
0,53733451.
Durchf't~hrung der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung, indem die Mengenverbr~ktche mit den ermittelten Kostensgtzen CTra,sport und CEnergiemultipliziert werden (Werte gemndet!). Da die Hilfskostenstellen von allen Kosten entlastet werden sollen, wird auch der Eigenverbrauch der Energiestelle entsprechend weiterverteilt. Hilfskostenstellen Prim~ire Gemeinkosten Umlage Transport Umlage Energie Summe Gemeinkosten
Fertigung
Verw.
Vertr.
500
210
550
28,57
42,01
5,04
369,71
-1.128,4
483,6
429,87
134,33
26,87
0
1.612,17
971,88
349,37 946,58
Transport
Energie
I
II
400
1.120
1.100
- 453,73
8,4
53,73 0
Teilaufgabe b) Ermittlung der Zuschlagss~itze: 1.612,17 Fertigungsstelle I: = - • 100 = 4 0 3 , 0 4 % 4OO
198
Obungen zur IntemenUntemehrnensreclmung
Fertigungsstelle II: - 971,88.100 = 161,98 % 600 349,37 Verwaltung: - - • 100 = 9,75 % 3.584,05 946,58 Vertrieb: - - - . 100 = 26,41% 3.584,05 Selbstkosten fiir den geplanten Auftrag: Fertigungslohnkosten I Fertigungsgemeinkosten I Fertigungslohnkosten II
3 12,09 7
Fertigungsgemeinkosten II
11,34
Herstellkosten
33,43
Verwaltung
3,26
Vertrieb Selbstkosten
A u f g a b e 12.4:
8,83 45,52
Traditionelle Kalkulationsverfahren orientierte Kalkulation
versus prozess-
Die BMAG in Amshofen hat beschlossen, ein Kostenmanagementsystem einzuftihren und beauftragt damit Carlo Studentnig. Bisher praktiziert die BMAG eine einstufige Divisionskalkulation (Bezugsgr6Be: produzierte Endprodukteinheiten). Carlo schwankt zwischen einer Zuschlagskalkulation mit den Bezugsgr6gen Fertigungsmaterial f'ar die Materialgemeinkosten, Fertigungslohn fiir die Fertigungsgemeinkosten und Herstellkosten far Verwaltung und Vertrieb oder der Einfiihrung einer Prozesskostem'echnung. Aus diesem Grund hat er bereits die Informationen in der folgenden lJbersichtstabelle gesammelt:
Kapite112: Systemeder Kostenrechnung
Produkt
Produktionsmengen EH
Cost Driver Aludose
1.000
Alufolie
1.000
iGesamtkosten
Produkt Cost Driver
Aludose
Einkauf
Lager/ Transport
Anzahl Bestellungen
Anzahl Abfassungen
4
50
199
Fertigungsmaterial/EH
Fertigungs16hne/EH
2.000
700
3
70
3.500
900
600.000
850.000
5.500.000
1.600.000
HilfslOhne
Produktion- Produktion- Verwaltung Ausffihrung R~isten
Anzahl Wartungen
Maschinenstunden je EH
Anzahl Rt~stvorgfinge
Anzahl Bestellungen
Anzahl Ausgangsfrachten
6
7
4
50
20
30
10
490.000
390.000
Aluiblie 900.000
3.200.000
640.000
Vertrieb
Ermitteln Sie die Selbstkosten einer Aludose und einer Alufolie a) mittels einer einfachen Divisionskalkulation, die die Endprodukteinheiten Aludosen und Alufolie gleich gewichtet, b) mit Hilfe einer Zuschlagskalkulation, c) nach den Erkenntnissen einer Prozesskostenrechnung.
MusterlOsung: Teilaufgabe a) Gesamtkosten
14.170.000
Gesamtmenge
2.000
Kosten Aludose
7.085.000
Kosten Alufolie
7.085.000
Kosten je EH Aludose
7.085
Kostenje EH Alufolie
7.085
200
Obungen zur Intemen Unternehmensrechnung
Teilaufgabe b) Ermittlung der Zuschlags~itze: 1.450.000 Materialgemeinkosten (MGK) = - • 100 = 26,363636%. 5.500.000 Fertigungsgemeinkosten (FGK) =
4.740.000 1.60~000 880.000
Verwaltung und Vertrieb (V/V) =
13.290.000
• 100 = 2 9 6 , 2 5 %
• 100= 6,62152%
Ergebn#: Aludose
Alufolie
Fertigungsmaterial
2.000.000
3.500.000
MGK in % FM
527.272,73
922.727,27
700.000
900.000
2.073.750
2.666.250
Fertigungsl6hne FGK in % FL HSK
5.301.022,73 7.988.977,27
V/V in % I t S K
351.008,27
528.991,73
Selbstkosten
5.652.031
8.517.969
Kostenje EH
5.652,031
8.517,969
TeiIaufgabe c) Ermittlung der Prozesskostens~ttze:
•
600.000 Einkauf: - 7
•
Lager/Transport:
85.714,2857je Bestellung 850.000
- 7.083,3333je Abfassung
120 900.000
•
Hilfsl6hne:
•
Produktion/Ausfdhrung:
11
- 81.818,1818je Wartung 3.200.000
- 200 je Maschinenstunde
16.000 •
640.000 Produktion/Rt~sten: - = 80.000 je Rt~stvorgang 8
•
490.000 Verwaltung: - - 6.125 je Bestellung 80
•
Vertrieb:
390.000 30
- 13.000 je Ausgangsfracht
Kapite112: Systemeder Kostenrechnung
201
Ergebn#: Aludose
Alufolie
Fertigungsmaterial
2.000.000
3.500.000
Einkauf
342.857,14
257.142,86
Lager/Transport
354.166,67
495.833,33
Fertigungsl6hne
700.000
900.000
490.909,09
409.090,91
1.400.000
1.800.000
Riistkosten
320.000
320.000
Verwaltung
306.250
183.750
Vertrieb
260.000
130.000
Gesamtkosten
6.174.182,9
7.995.817,1
Kosten je EH
6.174,1829
7.995,8171
Hilfsl6hne Maschinenkosten
Aufgabe 12.5:
Prozesskostenrechnung und Grenzplankostenrechnung
Die Vergleichs & Verfahren GmbH stellt elektrische Rasenmgher und elektrische Sensen ft~r steil gelegene Grundstficke her. Vor zwei Jahren hat der Controller R. Edlich eine Grenzplankostenrechnung eingeffihrt. Ftir die abgelaufene Planungsperiode liegen folgende Daten vor: Elektrom~iher Elektrosensen Produktionsmenge
200
200
Verkaufspreis je ME
900 t~
1.895 t~
Materialeinzelkosten
25.000 t~
100.000 t~
Fertigungseinzelkosten
90.000 C
180.000 t?
Zuschlagsbasis fOr die darfiber hinaus anfallenden variablen Materialgemeinkosten in H6he von 50.000 • trod die variablen Fertigungsgemeinkosten in H6he von 90.000 t~ sind die jeweiligen Einzelkostenbetrfige. Daneben fallen fixe Materialgemeinkosten in H6he von 16.666,67 C und fixe Fertigungsgemeinkosten in H6he yon 22.500 t~ an. Es soll nun eine Entscheidung fiber einen kurzfristigen Zusatzanflrag yon 40 Elektrosensen getroffen werden.
202
Obungen zur InternenUnternehmensrechntmg
a) Bestimmen Sie die Deckungsbeitr~tge der beiden Produkte. Sollte der Zusatzauftrag angenommen werden ? Der neu eingetretene Jung-Controller Hans Dampfwendet gegen die Ergebnisse unter a) ein, dass die GPKR ohnehin sowohl praktisch wie theoretisch ausgedient habe. Sinnvolles Unternehmens- und Gemeinkosten-Management im neuen Jahrtausend kSnnte nur mit Hilfe der Prozesskostenrechnung erfolgen. Nach einigen Tagen rastloser Arbeit und Analysen in den Kostenstellen legt er R. Edlich folgende Ergebnisse vor:
Hauptprozess ,,Auftragsabwicklung"
Hauptprozess ,,Produkterstellung"
Kostenstelle Material
Kostenstelle Fertigung
Teilprozess: Bestellung Cost Driver: Zahl der Auftr~ige
Teilprozess: Fertigungssteuemng Cost Driver: Zahl der Auftr~ige
Teilprozess: Eingangslogistik Cost Driver: Anzahl Bauteile
Teilprozess: Qualit~itssicherung Cost Driver: Anzahl Bauteile
Dampfnimmt die Zureehnung alIer Gemeinkosten der beiden Kostenstellen auf die jeweiligen Teilprozesse gem/if3 dcr jeweiligen Zeitbeanspruchung der Mitarbeiter in den Kostenstellen vor. In der Materialstelle entfallen 25 % der Zeit auf Bestellung, 50 % der Zeit auf die Eingangslogistik und 25 % der Zeit auf leistungsmengenneutrale (lmn) T~itigkeiten. Ftir die Fertigungsstelle ermittelt Dampfdie folgende Zeitbeanspruchung: 20 % Par Fertigungssteuerung, 60 % f'tir Qualit~itssicherung und 20 % ftir leistungsmengenneutrale T~itigkeiten. In der abgelaufenen Periode betrug die durchschnittliehe Auftragsgr6Be beim Elektromfiher 10 und bei der Elektrosense 40. Der Elektrom~iher besteht aus 42 Bauteilen, die Elektrosense aus 8 Bauteilen. Dampf unterstellt weiterhin, dass die leistungsmengenneutralen Kosten im gleiehen Verhiiltnis wie die leistmlgsmengeninduzierten (lmi) Kosten den Teilprozessen zugerechnet werden k6nnen. Nehmen Sie dazu an, dass die lmi-Kosten den variablen Gemeinkosten und die lmn-Kosten den fixen Gemeinkosten entsprechen. b) Bestimmen Sie die Gesamtprozesskostens~tze der Teil- und Hauptprozesse und berechnen Sie unter Verwendung dieser Werte den ,,Deckungsbeitrag" des Zusatzauftrages. Sollte er angenommen werden? Welche Effekte ver~adem das Ergebnis im Vergleich zu a)? (Hinweis: Es resultieren keine geraden Werte, rechnen Sie auf zwei Kommastellen genau!) e) Halten Sie den Einsatz der Prozesskostenrechnung f ~ die Fragestellung: ,,Annahme yon Zusatzauftr~tgen" generell ~ r sirmvoll? Bitte begranden Sie Ihre Antwort.
Kapitel 12: Systeme der Kostenrechnung
203
Musterl~isung:
Teilaufgabe a) Fttr die Grenzplankostenrechnung ergibt sich: Produkt Materialeinzelkosten Materialgemeinkosten (Zuschlagssatz: 50.000/125.000 = 0,4) Fertigungseinzelkosten Fertigungsgemeinkosten (Zuschlagssatz: 90.000/270.000 = 0,333) variable Kosten Verkaufspreis Deckungsbeitrag
Elektromfiher (xl) 125 (~ 50 t~
Elektrosense (x2) 500 200 C
450t~ 150(~
900t~ 300C
775 ~ 900 t~ 125 (~
1.900 1.895 C -5 C
Auf Basis der GPKR hat die Elektrosense einen negativen Deckungsbeitrag. Die Fertigung yon zus~tzlichen Elektrosensen ist daher prinzipiell unvorteilhafl.
Teilaufgabe b) Zun~ichst sind die der Prozesskostenrechnung zugrunde liegenden Mengen der Cost Driver ,,Anzahl der Auflrfige" und ,,Anzahl Bauteile" zu bestimmen. Bei einer durchschnittlichen Auftragsgr613e yon 10 StrUck beim Mfiher und 40 bei der Sense ergeben sich 200/10 (xl) + 200/40 (x2) -- 25 Auflr~ige. Die Anzahl der Bauteile betr~gt 200.42 (xl)+ 200.8 (x2) = 10.000 Teile. Setzt man die lmi-Kosten gleich den variablen Gemeinkosten, erfolgt die Verteilung der variablen Gemeinkosten von 50.000 in der Materialstelle im Verhgltnis 1 : 2 auf Bestellen und Eingangslogistik, d. h. 16.666,67 far Bestellen und 33.333,34 auf Eingangslogistik. Laut Aufgabenstellung verteilt Dampf die fixen Gemeinkosten der Materialstelle von 16.666,67 im selben Verh~ltnis auf die Prozesse, d. h. 5.555,56 auf Bestellen und 11.1111,11 auf die Eingangslogistik. FOx die Materialstelle ergibt sich also:
204
Ubungen zur Internen Unternehmensreclmung
Prozess
Bestellen Eingangslogistik
Cost Driver
lmiKosten
25 Auftr~i- 16.666,67 ge 10.000 33.333,34 Teile
lmn-
Kosten 5.555,67 11.111,11
Prozesskostensatz (lmi) 666,67/ Auftrag 3,34 / Teil
Prozesskostensatz (Gesamt) 888,89/ Auftrag 4,44/Teil
Die lmi-Kosten der Fertigungsstelle in H0he von 90.000 werden im Verh~tlmis 1 : 3 auf die Prozesse ,,Fertigungssteuerung" und ,,Qualit~itssichemng" verteilt, d.h. 22.500 far Fertigungssteuerung und 67.500 far Qualit;a'tssicherung. Da die fixen Gemeinkosten im selben VerhNtnis aufgeteilt werden, entfallen 5.625 auf Fertigungssteuerung und 16.875 auf Qualitgtssicherung. Ftir die Fertigungsstelle ergibt sich also: Prozess
Fertigungssteuemng Qualit~itssicherung
Cost Driver
lmiKosten
lmn-
Prozess-
Kosten
25 Auftr~ige 10.000 Teile
22.500
5.625
kostensatz (Imi) 900 / Auftrag
67.500
16.875
6,75/Teil
Prozesskostensatz (aesamt) 1.125 / Auftrag 8,44 / Teil
Der Prozesskostensatz ffir den Hauptprozess Auflragsabwickltmg betr~igt somit 1.566,67 (lmi) je Auftrag und 2.013,89 (Gesamt, lmi+hnn). FOr den Hauptprozess Produkterstellung sind die entsprechenden Werte 10,09 (lmi) und 12,89 (lmi+lmn). Kalkuliert man den Zusatzauftrag ftir die 40 Sensen mit den Imi-Kostens/itzen, gilt: Produkt Materialeinzelkosten Fertigungseinzelkosten Auftragskosten Bauteilabh~ing. Kosten Gesamt Verkaufspreis ,,Deckungsbeitrag"
Elektrosense (x2) 20.000 36.000 1.566,67 3.228,8 60.795,47 75.800 15.004,53
Die Annahme des Zusatzauftrages erscheint jetzt vorteilhaft. In diesem Beispiel wird unterstellt, dass die lmi-Kosten den variablen Gemeinkosten entsprechen. Verhalten
Kapite112: Systemeder Kostenrechnung
205
sich die Kosten tats~ichlich proportional zu den Auftr~igen und Bauteilen, d. h. den Prozessmengen, wtirde eine genauere Kostenzurechnung erreicht, denn die Sense hat nur eimnalig Auftragskosten zu tragen (ein Auftrag umfasst im Standardfal! 40 Sensen). Weiterhin tr~igt die Prozesskostenrechnung dem Umstand Rechnung, dass die Sense wesentlich weniger teileintensiv als der MNaer ist. Sie erh~tlt deshalb wesentlich niedrigere teileabh~tngige Kosten zugerechnet als mater der Zuschlagskalkulation der GPKR (Komplexit~ttseffekt). Unter den besonderen Gegebenheiten des Beispiels k~3nnte sich die Annahme des Zusatzauftrages tats~ichlich als vorteilhaft erweisen, sofem diese Proportionalit~ttsannahme erftillt ist. Inwieweit dies abet tatsachlich der Fall ist, beruht eben auf diesen ziemlich willktirlich getroffenen Proportionalit~itsannahmen, so dass der Verwendung der Prozesskostenrechnung als Entscheidungsrechnung fur kurzt?istige Zusatzauftr~ige mit Skepsis zu begegnen ist. Zum selben Resultat gelangt man, wenn man die Vorteilhaftigkeit des Auftrages auf Basis der Gesamtprozesskostens~itze ermittelt. Dann resultiert: Produkt Materialeinzelkosten Fertigungseinzelkosten Auftragskosten Bauteilabh. Kosten Gesamt Verkaufspreis ,,Deckungsbeitrag"
Elektrosense (x2) 20.000 36.000 2.013,89 4.124,8 62.138,69 75.800 13.661,31
Hier enth~tlt der Gesamtprozesskostensatz proportionalisierte Fixkosten.
TeilauJgabe c) Normalerweise enthalten die lmi-Kosten und erst recht die lmn-Kosten proportionalisierte Fixkosten. Sie sind deshalb fdr kurzfristige Entscheidungen ungeeignet. Dies ist aber auch nicht die Intention der Prozesskostenrechnung. Diese begreift sich eher als strategisches Kostenrechnmagssystem mit einer mittel- bis langfristigen Orientierung.
206
Aufgabe 12.6:
l]bungen zur Internen Unternehmensreclmung
Ergebnisrechnung mit dem Gesamt- und Umsatzkostenverfahren
Carlo Studentnig fertigt handisch original Mozartperiacken. A u s dem letzten Jahr liegen 25 Perticken a u f Lager, die mit variablen Herstellkosten yon 640 bewertet wurden. Ftir dieses Jahr plant Carlo folgende variablen Kosten j e Periicke: Fertigungsmaterial 340, Fertigungsl6hne 150 und Fertigungsgemeinkosten 100 % der Fertigungsl6hne. Die fixen Kosten der Fertigung betragen 100.000, die fixen Kosten der Verwalmng (des Vertriebs) 40.500 (75.000). Der Verkaufspreis betrfigt 1.700,- + 20 % USt. je Perticke. A m Ende der Planperiode soll ein geplanter Lagerbestand yon 10 Perticken erreicht werden, dessen Bewertung wiederum zu variablen Herstellkosten erfolgen soll. a) Erstellen Sie die Ergebnisrechnung ft~r diese Plansituation nach dem Umsatzkostenverfahren, wenn Carlo einen Mindestgewinn von 500.000 seiner Planung zugrunde legt. b) Erstellen Sie die Ergebnisrechnung far diese Plansituation und identischer MindestgewinnhOhe nach dem Gesamtkostenverfahren.
Musterliisung: Teilaufgabe a) Ermittlung der geplanten Absatzmenge: 500.000 = ( l . 7 0 0 - 640) • x - 215.500 x = 675
Ergebn~: Erl6se
= 1.700 • 675 =
1.147.500
- Fertigungsmaterial
= - 340 • 675 =
- 229.500
- Fertigungsl6hne
= - 150. 675 =
- 101.250
- Fertigungsgemeinkosten
= - 150 • 675 =
- 101.250
Deckungsbeitrag - Fixkosten Ergebnis
715.500 - 215.500 500.000
Kapite112: Systeme der Kostenreclmung
207
Teilaufgabe b) Ermittlung der g e p l a n t e n Produktion: Anfangsbestand
25
Produktion
Y
- Absatz
675
Endbestand
10, damit: P r o d u k t i o n y = 660 Perticken
Ergebnis." Erl6se
= 1.700 • 675 =
1.147.500
'- Bestandsverfinderung
= - 15 • 640 =
- 9.600
- Fertigungsmaterial
= - 340 • 660 =
- 224.400
I_ F e r t i g u n g s l 6 h n e
= - 150 - 660 =
- 99.000
- Fertigungsgemeinkosten
= - 150 • 660 =
- 99.000
I
Deckungsbeitrag
715.500
1- F i x k o s t e n
- 215.500
Ergebnis
Aufgabe 12.7: Die
500.000
Mehrstufige Deckungsbeitragsrechnung
KOnigssee GmbH p r o d u z i e r t
und vertreibt R u c k s g c k e . D a s U n t e m e h m e n besteht
aus den b e i d e n F e r t i g u n g s b e r e i c h e n , , K u n s t s t o f f ' und ,,Leder". I m F e r t i g u n g s b e r e i c h ,,KunststofP' w e r d e n die R u c k s a c k m o d e l l e K2 und Yeti, i m B e r e i c h , L e d e r " die M o d e l l e W a t z m a n n , A m b r o s und (3hi gefertigt. F a r die n~ichste P e r i o d e geht die Ge;ch~tftsleitung v o n f o l g e n d e n P l a n w e r t e n aus: Produkt
K2
Yeti
Watzmann
Ambros
Ohi
Variable Herstellkosten der P e r i o d e
45.500
24.500
180.000
24.000
36.000
Variable V e t triebskosten
17.000
1.000
21.500
2.000
1.500
500
300
500
200
300
200
130
560
200
210
der Periode Verkaufspreis pro Stttck Produktionsmenge = Absatzmen~e
208
Ubungen zur InternenUntemehmensreclmung
AuBerdem liegen folgende Informationen vor: Ffir das Modell Ambros sind jedes Jahr fixe Lizenzgebtihren in H/3he von 1.200 zu zahlen. Ftir das Modell 13hi soll eine eigene Werbeveranstaltung durchgefahrt werden, die Kosten in HShe von 3.500 verursacht. Zu berticksichtigen ist weiterhin, dass die Modelle K2, Yeti, Watzmann und Ohi yon einem eigens damit beauftragten Designerbtiro entworfen wurden, an das j~ihrlich ~ r jedes dieser vier Modelle ein fixer Betrag zu entrichten ist. Ftir die Modelle K2 und Watzmaim wurde jeweils ein Betrag yon 8.000 vereinbart, fiir Yeti und Ohi sind jeweils 5.000 zu zahlen. Die variablen Herstellkosten far den Fertigungsbereich ,,Kunststoff' betragen 30.000, far den Fertigungsbereich ,Leder" 78.000. Sie werden im Verhgltnis der den Rucksackmodellen direkt zurechenbaren Herstellkosten auf die in jedem Bereich produzierten Rucksackmodelle verteilt. Fixe Fertigungskosten fallen im Fertigungsbereich ,,Kunststoff~' in HShe von 6.000 an, im Fertigtmgsbereich ,,Leder" in HShe von 10.300. Ffir die zentrale Verwaltung und Gesch~iftsfahrung des Gesammnternehmens entstehen schliel31ich lixe Kosten in H6he von 15.000. a) Stellen Sie eine mehrstufige Deckungsbeitragsrechnung auf und berechnen Sie das Periodenergebnis! b) Welchen Vorschlag zur Verbesserung der Gewinnsituation warden Sie alleine aufgrund der Ergebnisse der Teilaufgabe a) machen? Wie wfirde sich dieser Vorschlag auf den geplanten Periodengewinn auswirken? e) Setzen Sie sich kritiseh mit dem unter b) gemachten Vorschlag auseinander! d) Begrtinden Sie an dem hier vorliegenden Beispiel die erh6hte Aussageffihigkeit der mehrstufigen gegenfiber der einstufigen Deekungsbeitragsrechnung! e) Bestimmen Sie Nrjedes Produkt die kurzfristige Preisuntergrenze! f) Nennen Sie mSgliche Erweiterungsaltemativen einer mehrstufigen Deckungsbeitragsrechnung!
Kapitel 12: Systeme der Kostenreclmung
209
Musteri6sung:
Teilaufgabe a) Yeti
Watzmann
100.000
39.000
280.000
40.000
63.000
45.500
24.500
180.000
24.000
36.000
Variable Vertriebskosten
17.000
1.000
21.500
2.000
t.500
Variable Herstellkosten der Bereiche
19.500
10.500
58.500
7.800
11.700
DB I
18.000
3.000
20.000
6.200
13.800
8.000
5.000
8.000
1.200
8.500
10.000
-2.000
12.000
5.000
5.300
K2
Erl6s Variable Herstellkos-
Ambros
Ohi
ten
Fixe Herstellkosten DB II Fixe Herstellkosten der Bereiche
-6.000
-10.300
DB III
2.000
12.000
Fixe Kosten der Gesamtuntemehmung
15.000
Gewinn
- 1.000
Teilaufgabe b) Wttrde man das Produkt Yeti aufgrund seines negativen Deckungsbeitrages aus dem Produktionsprogramm entfernen, wtirde gem~iB der mehrstufigen Deckungsbeitragsrechnung in Teilaufgabe a) der Gewinn um 2.000 zunehmen.
Teilaufgabe c) Die mehrstufige Deckungsbeitragsrechnung kann nur erste Hinweise zum Erfolgsbeitrag eines Produktes oder einer Produktgruppe geben. Sie kann nicht eine langfristige Aspekte berticksichtigende Investitionsrechnung ersetzen. Weiterhin sind beispielsweise Absatzinterdependenzen zwischen den einzelnen Produkten zu beachten.
210
Obungenzur InternenUnternehmensrechnung
Teilaufgabe d) Da in einer einstufigen Deckungsbeitragsrechnung alle Fixkosten zuletzt als undifferenzierter Block abgezogen werden, wfire die in Teilaufgabe a) gemachte Aussage bezt~glich des Produktes Yeti nicht m6glich gewesen. Der Deckungsbeitrag I des Produktes Yeti warja noch positiv.
Teilaufgabe e) K2 Summe der variablen Kosten Kurzfristige Preisuntergrenze
82.000 410
Yeti
Watzmann
Ambros
Ohi
36.000
260.000
33.800
49.200
276,92
464,28
169
234,29
TeiIaufgabe J) M6gliche Erweiterungsalternativen sind beispielsweise: • Gliederung der Fixkosten nach ihrer zeitlichen Beeinflussbarkeit (Abbaubarkeit) • Detailliel~ere Darstellung der Auszahlungswirksamkeit der Fixkosten • Integration des Kontrollaspektes in die Ergebnisreclmung durch das Einffigen yon Abweichungen
Fallstudien z u r Internen Unternehmensrechnung
Fallstudie 1:
Produktionsprogrammplanung und Opportunit itskosten
Die Fallstudie analysiert ein Programmplanungaproblem und Opportunitgitskosten bei MOglichkeit zur intensitcitsmgifligen Anpassung. Die Toys & Fun AG fertigt 3 verschiedene Modelle von Spielzeugsegelbooten far Kinder. Es handelt sich um die Modelle "Jolle", "Schoner" und "Dreimaster". In einero ersten Arbeitsgang werden aus einem Spezialkunststoff die Rtimpfe der drei Segelboote gepresst. Die Pressen stehen in ausreichendem Umfang zur Verftigung. Allerdings k6nnen yon dem Spezialkunststoff maximal 1.300 kg in der Planperiode beschafft werden. Das Modell "Jolle" hat einen Massivrumpf und ben6tigt 4 kg Kunststoffje Rumpf. Beim Modell "Schoner" und "Dreimaster" konnte die Verfahrensentwicklung auf eine sparsamere Schalenbauweise iabergehen. Der "Schoner" ben6tigt 3 kg Kunststoffje Rumpf, der "Dreimaster" 2 kg Kunststoffje Rumpf. Ein Kilogramm Kunststoffkostet C 4. In einem zweiten Arbeitsgang werden die Rtimpfe mit den n6tigen Bohrungen versehen, an denen sparer Masten, Takelage und diverse Kleinteile befestigt werden. Die variablen Kosten je Bohrung h~ingenyon der Intensit~itde (BohrungerdMin.) ab, mit welcher der Bohrautomat betrieben wird. Es gilt:
k,(d2) = 4 d f -16 d2 +18, kv(d2) = variable Kosten pro Bohrung. Die nachfolgende Tabelle gibt dabei die Anzahl der ben6tigten Bohrungen far die drei Modelltypen an. Modell
ben6tigte Bohrungen
Jolle
20
Schoner
30
Dreimaster
40
Der Bohrautomat steht in der Planperiode 15.000 Minuten zur Verfagung. Far das Anbringen der Masten, Kleinteile und Segel hat die Toys & Fun vor zwei Jahren vonder Sayonara Inc., Tokyo ein hochrnodernes Aggregat erworben. Auch hier h~ngen die variablen Kosten je bestacktes Tell vonder IntensiN't d3 (Bestt~ckte Teile je Stunde) ab, mit der das Bestackungsaggregat betrieben wird. Es gilt:
k~ (ds) = 0,025 d32 -0,2 d3 + 1,4, kv(d3) = variable Kosten je bestt~cktes Teil.
214
Ubungen zur IntemenUnternehmensrechnung
Die Tabelle gibt die von den einzelnen Booten ben6tigte Anzahl der bestfickten Teile an: Modell
Anzahl der zu best~ickenden Teile
Jolle
20
Schoner
24
Dreimaster
32
Der Bestackungsautomat steht in der Planperiode 2.250 h zur Verfagung. Gleichzeitig mit dem Kauf wurde far die zus~tzliche Summe von C 200.000 ein Wartungs- trod Reparaturvertrag mit der Sayonara Ltd. abgeschlossen. Mit dieser Summe sind s~mtliche Wartungs- und Reparaturarbeiten w~hrend der gesch~tzten Lebensdauer der Maschine abgegolten, allerdings ist im Wartungsvertrag zu lesen:
"... wird das Aggregat mit einer anderen, insbesondere grOfieren Intensital als der von uns empfohlenen Optimalintensitdt betrieben, sind die Vereinbarungen des Wartungsvertrages hinfdllig und jede Reparatur- bzw. Wartungsstunde wird gesondert mit C 250 in Rechnung gestel#..." Bei dem noch sehr anf~tlligen Aggregat rechnet die Toys & Fun mit 100 Reparaturstunden pro Plmmngsperiode. Die Toys & Fun glaubt, yon der "Jolle" maximal 200 und vom "Schoner" maximal 100 Sttick in der Planperiode absetzen zu k&men. Beim Modell "Dreimaster" handelt es sich um ein neues Produkt. Die Marktforschtmg hat ermittelt, dass in der Planungsperiode maximal 400 Stack abgesetzt werden k6nnen. Zur Sicherstellung einer als hinreichend erachteten Markteinfahrung sollte jedoch ein Mindestabsatz von 50 StrUck des "Dreimasters" nicht unterschritten werden. Segel, Masten sowie Kleinteile werden von einem Hersteller in Holland fremd bezogen. Der Teilebedarf ergibt sich aus folgender Tabelle. Der erste Wert gibt dabei die Anzahl tier ben0tigten Teile an, der Wert in Klammern den Einkaufspreis pro struck. Segel
Masten
Kleinteile
Jolle
3
(C2,5)
1 (t~0,5)
10 (C 1)
Schoner
5
(C 2,5)
2 (~ 0,5)
10 (C 1)
Dreimaster
9
(C 2,5)
3 (~ 0,5)
15 (~ 1)
Die Jolle karm zu einem Preis yon ~ 118 abgesetzt werden, ftir den Schoner betrggt der Absatzpreis (~ 161,5 und fox den Dreimaster ~ 179. a) Ermitteln Sie zun~tchst die St(ickdeckungsbeitr~ige der drei Segelboote und stellen Sie das Planungsproblem der Toys & Fun dar, wenn die Aggregate 2 und 3 mit den kostenoptimalen Intensitfiten betrieben werden.
Fallstudien zur InternenUnternehmensrechnung
215
b) Beg~nden Sie dann (unter Verwendung von konkreten Zahlenwerten) /Skonomisch, warum die Intensit~tten in den Stellen Bohren und Best~icken tats~hlich vorab festgelegt werden k/Snnen. (Hinweis: Gehen Sie dabei insbesondere auf die Effekte ein, die mit einer Erh6hung der IntensiNten verbunden sind und analysieren Sie deren Wirkungen auf den Gesamtdeckungsbeitrag! Unter welchen Voraussetzungen ist diese MaBnahme sinnvoll? Gehen Sie davon aus, dass die Stelle Besttieken zum Engpass wird und argumentieren Sie mit einer Intensitgt yon 5 besttickten Teilen/h in Stelle 3). c) Wie lautet das optimale Produktions- und Absatzprogramm der Toys & Fun und welcher Deckungsbeitrag wird mit diesem Programm erzielt? d) Die Warenhauskette "Kindergltiek" fragt an, ob die Toys & Fun kurzfristig 100 Sttick des Modells "Piratenschiff' liefem kann. Die Unternehmensleitung m6ehte wissen, ob und in welcher HOhe der Zusatzauftrag angenommen werden sollte. Wie 10sen Sie das Problem, wenn der Abnehmer bis zu 100 Sttick abnimmt? Wie gehen Sie vor, wenn der Abnehmer entweder die vollen 100 Sttick abnimmt, oder den Auftrag anderweitig vergibt ? (Hinweis: Stellen Sie nur die Planungsans,,itze dar, eine konkrete Berechnung ist nicht verlangt). Die Daten ftir das Piratenschiff k6nnen der folgenden Tabelle entnommen werden. Abnahmepreis
(~ 180
Ktmststoffbedarf
2,5 kg
Bohrungen
30
Bestackungen
36
Masten
3 Sttick
Segel
10 StiJck
Kleinteile
20 Sttick
e) K6nnen Sie eine Aussage tiber die Erfolgs~inderung bei der Toys & Fun maehen, wenn vom Modell "Schoner" 150 start 100 Einheiten abgesetzt werden k6nnen? Begrtindmlg und ggf. Nachweis!
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Restriktion 1 (Kunststoff): 4.xl + 3.x2 + 2.xs < 1300 (kg) Absatzrestriktionen: xl -< 200, x2 < 100, x~ < 400
216
Llbtmgen zur Internen Untemehmensrechnung
W e g e n 4.200 + 3.100 + 2.400 = 1900 > 1300 stellt der Kunststoff einen potentiellen Engpass dar. Restriktion 2 (Bohren): Bestimmung der optimalen Intensit~it: k~(d2) = 4 . d 2 - 1 6 . d 2 + 1 8 k ~ ' = 8 . d 2 - 16 = 0 --~ d 2 = 2 Bohrungen / Min. Kosten pro Bohrung:
kv(2 ) = 4 . 4 - 1 6 . 2 + 18 = 2 E/Bohrung Koeffizienten der Restriktion 2: v21 =
20 Bohrungen 2 BohrungerdMin.
= 10 Min., "922 = 15 Min., v23 = 20 Min.
Restriktion 2: 10-xl + 15-x2 + 20.xs < 15.000 Min. D a 10.200 + 15.100 + 20.400 = 11.500 < 15.000 gilt, ist die zweite Restriktion nicht knapp, insbesondere kann es sich nicht lohnen, den Bohrautomat mit einer anderen als der optimalen Intensit~it d S = 2 zu betreiben. Restriktion 3: (Besttickungsautomat): W i e t'dr den Bohrautomat ermittelt man d3* = 4 best~ickte Teile/h als optimale Intensitat und erhfilt Kosten yon 1 C/bestticktes Teil. Die Koeffizienten sind vsl = 5 h, v32 = 6 h u n d v3s = 8 h. Die Restriktion lautet also: 5.xl + 6.x2 + 8.x3 < 2.250 h Wegen 5.200 + 6.100 + 8.400 = 4800 > 2.250 stellt der Besttickungsautomat einen potentiellen Engpass dar. Die Deckungsbeitr~ige der drei Segelschiffe ergeben sich dann zu:
Fallstudien zur Internen Unternehmensreclmung
Produkt
Jolle
Schoner
Dreimaster
Rohstoff
16
12
8
Bohren
40
60
80
Bestficken
20
24
32
Segel
7,50
12,5
22,5
Masten
0,5
1
1,5
Kleinteile
10
10
15
variable Kosten
94
119,5
159
Absatzpreis
118
161,5
179
Deckungsbeitrag
24
42
20
217
Wenn der Bestfickungsautomat mit Optimalintensit~it betrieben wird, lautet das Planungsproblem der Toys & Fun daher (xi >-0): Max 24.x I + 4 2 . x 2 + 2 0 . x 3 4.x1+ 3 . x 2 + 2 . x 3 <1.300 IO.Xl+ 15.x2+20.x 3 _<15.000 5.x1+
6 . x 2 + 8 . x 3 _<2.250
x1
< 200 x2
_<100 x 3 < 400 x3 >50
Teilaufgabe b) Die 200.000 C fiir den Wartungsvertrag sind "Sunk Costs" flit die Planungsperiode, daher erfolgt keine Berficksichtigung im Planungsproblem. Falls die Toys & Fun die Intensit~it erh6ht, treten zwei Effekte auf. Effekt 1: Durch Erh61mngen der Intensit~it verringern sich die Bedarfskoeffizienten der Produkte in der Stelle Bestficken. Das hat zur Folge, dass potentiell mehr Produkte produziert werden k6nnen. Dabei bleibt das Verh~iltnis der Koeffizienten zueinander konstant. Beispiel: Aufgrund der Restriktion 5.xl + 6.x2 + 8.x3 < 2.250 k6nnen alternativ h~Schstens 450 Einheiten xl oder 375 Einheiten x2 oder 281,25 Einheiten x3 gefertigt werden. Wird die Intensit~it d3 auf 5 erh6ht, lautet die Restriktion 4.x~ + 4,8.x2 + 6,4.x3 < 2.250. Dann k6nnten alternativ h6chstens 562,5 xt oder 468,75 x2 oder 351,625 x3 gefertigt werden.
218
Obungen zm-InternenUntemetmlensrechntmg
Effekt 2: Durch die erh6hte Intensit~tt verringern sich die Deckungsbeitr~tge j e St~ick, da nicht mehr mit der kostengtinstigsten Intensit~tt produziert wird. Dies beeinflusst die Produkte jedoch nicht im gleichen Verh~iltnis, da sie den Best~ickungsautomat unterschiedlich stark beanspruchen. Wird die Intensitfit ds auf 5 erhOht, ergeben sich Kosten je bestticktes Tell von k, (5) = 0, 025.25 - 0, 2.5 + 1,4 = 1,025 C. Die neuen Deckungsbeitr~ige sind dann: Produkt
Jolle
Deckungsbeitrag d3=5
23,5
Schoner Dreimaster 41,4
19,2
Gesamteffekt: Es lassen sich mehr Produkte mit geringeren Stackdeckungsbeitr~igen herstellen. Voraussetzung fiir die Vorteilhafligkeit der Intensittitserh6hung ist, dass der zus~itzliche Erl6s dutch die Mehrproduktion gr6ger ist als die Erh6hung der variablen Kosten aufgrtmd der suboptimalen Intensitfit. (Exkurs: Ohne die weiteren Einschr~inkungen dutch die Aufgabenstellung wfire dies hier der Fall. Wenn Sie den linearen Planungsansatz f'tir die Intensit~it d3 = 5 durchrechnen, resultiert ein maximaler Deckungsbeitrag von 11.318,75. Dieser ist gr613er als derjenige bei Optimalintensit~tt 4. Sie sind eingeladen, dies nachzuprfifen!) Dies wird besonders deutlich, wenn man die Produkte anhand der spezifischen Deckungsbeitr~ige der Bestiickungsmaschine vergleicht. Produkt d
Jolle
Schoner
Dreimaster
Ids = 4
24/5 = 4,8
42/6 = 7
20/8 = 2,5
I d3= 5
23,5/4=5,875
41,5/4,8 =8,625
19,2/6,4= 3
Dutch die Intensitatserh6hung steigen die spezifischen Deckungsbeitr~ge aller drei Produkte. Dies bedeutet, dass die Erh0hung ~ r sich allein genommen wirtschaftlich w~re, wenn sich die Besttickungsmasehine letztendlich als knapp erweist. FOr die vorliegende Aufgabenstellung kann sich dies allerdings nie lohnen. Dies kann wie folgt verdeutlicht werden. Wfiren die Restriktionen 1 und 3 unwirksam, warden die Absatzh6chstmengen produziert und zwar mit den Sttickdeekungsbeitr~gen der optimalen Intensit~ten. Daraus ergibt sieh ein Deekungsbeitrag von: Deckungsbeitrag = 200.24 C + 100.42 ~ + 400.20 C = 17.000 E Dieser Deckungsbeitrag stellt in jedem Fall eine Obergrenze der m6gliehen Deckungsbeitr~ige dar. Eine Intensit/~tserh6hung der Bestfiekungsmaschine ist aber h6chstens bis zu dem Punkt sinnvoll, an dem die Absatzobergrenzen aller drei Produkte binden. Da aber dort zu geringeren St~ickdeckungsbeitr/~gen produziert wird, muss der dann erzielbare Gesamtdeekungsbeitrag geringer als 17.000 E sein.
Fallstudien zur Intemen Unternehmensrechnung
219
Erh61mngen der Intensit/it fahren aber dazu, dass der Wammgsvertrag hinf~illig wird. Ftir d3 > 4 entstehen Zusatzkosten yon 100 Reparaturstunden zu je 250 C/h = 25.000 tL Diese liegen bereits h6her als der maximal erzielbare Deckungsbeitrag bei nicht knappen Restriktionen 1 und 3, so dass sich d3 > 4 far die Toys & Fun niemals lohnen kann. Teilaufgabe c)
Der Standardansatz der linearen Programmierung kann hier nicht unmittelbar angewandt werden, weil fth" den Dreimaster eine Absatzmindestmenge von 50 gilt. Man kann aber die Kapazitfitsbeanspruchung dieser 50 Einheiten x~ vorab yon den vorhandenen Kapazit~tten abziehen und dann das Planungsproblem far die Restkapazitat 15sen.
Xl
X2
XS
W1
4
3
2
Wl W2 W3 W4 W5
1
0
0
0
0
1.200
RS
W2
5
6
8
0
1
0
0
0
1.850
17/3
1
0
0
0
0
1
0
0
200
W4
0
1
0
0
0
0
1
0
100
Ws
0
0
1
0
0
0
0
1
350
Z
-24
-42
-20
0
0
0
0
0
0
Nach drei Iterationen erh/flt man:
X1
X2
X3 W1
W2
W3
W4
W5
RS
1
-1/4
-11/4
-3/2
0
37,5
W1 0
0
0
X3
0
0
1
0
1/8
-5/8
-6/8
0
31,25
Xt
1
0
0
0
0
1
0
0
200
>(2 0
1
0
0
0
0
1
0
100
W5 0
0
0
0
-1/8
+5/8
6/8
1
318,75
Z
0
0
0
2,5
11,5
27
0
9.625
0
Das optimale Produktionsprogramm lautet: xl =200, x2 =100, x3 = 5 0 + 3 1 , 2 5 = 8 1 , 2 5 Der maximale Deckungsbeitrag ist: 9625 + 50 (xs). 20 = 10.625.
220
Ubungen zur InternenUntemehmensrechnung
Teilaufgabe d) Die LOsung erfolgt fiber den modifizierten Deckungsbeitrag des neuen Produktes. Zuerst ist der absolute Deckungsbeitrag des Piratenschiffes zu bestimmen. Produkt
Piratenschiff
Kunststoff
10
Bohrungen
60
Besttickungen
36
Masten
1,5
Segel
25
Kleinteile variable Kosten
20 152,5
Absatzpreis
180
Deckungsb.
27,5
Anmerkung: IntensitfitserhOhungen k6nnen sich nicht lohnen, da mit dem neuen Produkt maximal 27,5.100 = 2.750 an Deckungsbeitrag erwirtschaftet werden. Die Argumentation unter b) bleibt deshalb weiter gtiltig. Besttickungskoeffizient und Standardgrenzpreis des Piratenschiffes: 36 Bestiickungen =9h 4 Bestiickte / Teile/Stunde Die inputbezogenen Opportunit~itskosten (Schattenpreis) des Bestiickungsautomaten betragen 2,5 (aus dem Endtableau). Somit: 27,5 - 9.2,5 = 5 > 0 Daher sollte das Piratenschiff im optimalen Produktionsprogramm enthalten sein. Unklar ist jedoch, in welcher Menge es produziert werden sollte. Zun~ichst ist zu pr~ifen, ob die Restriktion 2 (Bohren) welter vemachl~issigt werden kann. Dies ist der Fall, denn das Piratenschiff ben6tigt 30/2 = 15 Minuten Bohrzeit, somit: lO.xl + 15.x2 + 20.xs + 15.x4 <- 15.000 ---M0.100 + 15.200 + 20.400 + 15.100 = 13.000 < 15.000. Das neue Planungsproblem bei zwischen 0 und 100 frei w~hlbarer Menge des Piratenschiffes ist (x~ >_0):
Fallstudien zur Intemen Untemelnnensrectmmag
221
Max 24 .x 1 + 4 2 . x 2 + 2 0 . x 3 + 2 7 , 5 - x 4 4.x I +3.x 2 +2.x3+
2,5.x4<1.300
5.x I +6.x 2 +8.x 3
+ 9 . x 4<2.250
x1
< 200 x2
_<100 x3
<400
x3
_>50 x 4 _<100
Kann der Auftrag nur in voller H6he erfallt werden, sind die Restriktionsbeanspruchungen des Piratenschiffes und der Mindestabsatzmenge von x3 (Dreimaster) vorab yon den vorhandenen Kapazitfiten abzusetzen. ArtschlieBend werden die Restkapazitfiten optimal a u f Schoner, Jolle und Dreimaster verteilt. Annahmekriterium ist Deckungsbeitragatt (ohne 100 x4 ) < Deckungsbeitrag~e~ (mit 100 x4 ). Der Ansatz iautet (x~ _> 0):
Max 24. x~ + 42- x 2 + 20. x 3 4 . x I + 3 . x 2 +2.x3_<950 lO-x~ + 1 5 . x 2 + 2 0 . x 3 _<12.500 5 . x a + 6 . x 2 +8.x3_<950 xI
_< 200 x2
_<100 x 3 _<350
Teilaufgabe e) Hier handelt es sich um eine Fangfrage. Die inputbezogenen Opportunit~ttskosten (Schattenpreis) der Absatzrestriktion des Schoners (x2) betragen 27. Man k6nnte nun vermuten, dass der zusgtzliche Deckungsbeitrag 50-27 = 1.350 betragt. Damit stiege der Gesamtdeckungsbeitrag a u f 9.625 + 1.350 = 10.975 + 50.20 (x3) = 11.975. Diese L6sung ist aber falsch, denn far 50 zus~tzlich absetzbare Schoner verliert das Endtableau seine G~ltigkeit. Dies kann man wie folgt zeigen. A u s dem Endtableau erg i n sich ceteris paribus ~ r Variationen von w4 :
222
f2Voungen zur Internen Unternehmensrechnung
w1=37,5
3 +S-w 4
(1)
x 3=31,25
6 +~.w a
(2)
6 w5 = 3 1 8 , 7 5 - ~ . w 4
(3)
x2 = 1 0 0
(4)
- 1 . w4
Folgender Grundgedanke ist wichtig. Sei dazu beispielhaft die Gleichung (4) analysiert. x z + w 4 =100 --+ x 2 + w4 = 100 + 0, 0 > 0 --+ ErhOhung, 0 < 0 ~ Verknappung X2 +~t,4 - 0 = 100
Erh6hungen der Absatzobergrenzen gehen also mit Verminderungen der Schlupfvariable w4 einher und Verminderungen der Absatzobergrenze mit Erh6hungen yon w4. Damit auf Basis des Endtableaus argumentiert werden karm, dtirfen sich die zur Diskussion stehenden AbsatzerhOhungen nur in einem Bereich bewegen, der sicherstellt, dass die Nichtnegativitfitsbedingungen eingehalten werden. Erh6hungen der Absatzmenge des Schoners gef'ahrden also potentiell die Nichtnegativitgt von (1) und (2). Somit gilt: 3 w I = 37,5 + 2 " W4 >- 0
(1) --ff A X2 _< 25
6 x3 =31,25+~.w 4 >0
( 2 ) - - f A x 2 <41,67
Die Absatzmenge des Schoners dm'f also maximal um 25 Einheiten erh6ht werden, sonst wird die Nichtnegativit~tt yon (1) verletzt. Dann muss das Problem neu durchgerecbaaet werden und es resultiert ein anderes Endtableau mit anderen inputbezogenen Opportunit~itskosten. Wegen Ax2 = 50, sind Aussagen ~iber die Erfolgs~inderung nicht m6glich, ohne das Problem neu durchzurechnen. Ansatz: xl
x2
x3
wl
w2 w3 w4 w5
RS
W1
4
3
2
1
0
0
0
0
1.200
W2
5
6
8
0
1
0
0
0
1.850
W3
1
0
0
0
0
1
0
0
200
W4
0
1
0
0
0
0
1
0
150
W5
0
0
1
0
0
0
0
1
350
Z
-24
-42
-20
0
0
0
0
0
0
Fallstudien zur Internen Unternehmensrechnung
223
Die optimale L6sung dieses Ansatzes ist: *
*
*
.
*
x I = 186, 36, x 2 = 150, x 3 -- 2, 27, Deckungsbeltrag = 10. 818 C (ohne 50 xs). In dieser L6sung sind sowohl die Restriktion Rohstoff (Schattenpreis Wl: 4,182) als auch die Bestt~ekungsmaschine (inputbezogene Opportunit~itskosten w2: 1,455) knapp. Die inputbezogenen Opportunit~itskosten der Absatzrestriktion yon x2 sinken auf 20,72.
Fallstudie 2:
Ausgew/ihltes Planungsproblem der Grenzplankostenrechnung
Die Fal&tudie untersucht ein integriertes Planungsproblem, dessen Ldsung mit Hilfe yon Instrumenten der GPKR abgeleitet werden kann
Die neu gegrttndete Silicone Inc. in Boulder, Colorado bestttckt und vertreibt seit 1.1.01 drei verschiedene Typen von Leiterplatten (xl. x2, x3). Alle Leiterplatten durchlaufen nacheinander die Fertigungsstellen Bohren (Fertigungsbereich I) und Best~cken (Fertigtmgsbereich II). Die Bohrung kann alternativ manuell oder vollautomatisch erfolgen. Die Bestttckung mit Chips, Widerst~tnden und Kondensatoren kann alternativ manuell, teilmanuell oder vollautomatisch vorgenommen werden. Die Silicone Inc. hat ihre Kostenstellen entsprechend in ein System von Hilfs- und Hauptkostenstellen untergliedert. Es gilt: Hilfskostenstellen:
KS1: Fuhrpark; KS2: Reparaturwerkstatt; KS3: Werkskantine; KS4: Zentrale Beschaffung und Verwaltung. Hauptkostenstellen: Fertigungsbereich I: KSs: Bohrerd manuell; KS6: Bohren/automatisch. Fertigungsbereich II: KS7: Bestfickerd manuell; KSs: Bestacken/teilmanuell; KS9: Bestticken/vollautomatisch. Beztiglich der Hilfskostenstellen liegen folgende Informationen vor: KS1 (Fuhrpark), Bezugsgr6ge: 100.000 Plankilometer, davon: 10.000 km fifr KS2, 10.000 km fitr KS3 und 80.000 km for KS4. KS2 (Reparatur), Bezugsgr6Be: 3.000 geplante Reparaturstunden, davon: 300 h Ffir KS1; 150 h for KS3; 100 h for KS4, 210 h far KSs; 100 h fOr KS6, 500 h for KS7, 640 h for KSs, 1000 h for KSg. KS3 (Kantine), Bezugsgr6f3e: 1.000 geplante Mahlzeiten, davon: 100 fOr KS2, 50 fOr KS4, 300 for KSs, 100 for KS6, 300 f~r KS7, 100 ffir KSs, 50 for KS9 KS4 (Beschaffung): die Summe aus prim~ren und sekundfiren Plangemeinkosten wird im Verh~iltnis der von ihnen bezogenen Reparaturstunden auf KS7, KSs und KS9 verteilt.
226
Obungen zur IntemenUntemehmensrechmmg
Weiterhin ist Ihnen das Ergebnis der Kostenartenrechnung bekannt. Die prim~ren, variablen Gemeinkosten entnehmen Sie bitte der nachfolgenden Tabelle: KS1 59.400
KS2 117.300
KS3 1.500
KS4 44.450
KS5 KS6 KS7 KS8 KS9 466.680 194.300 324.500 339.620 372.250
Beziaglich der Produkte sind Ihnen folgende Daten bekannt: - geplante Absatzpreise je Sttick:pl = 1.130 ,p2 = 1.450 ,p3 = 1.800 - Absatzh6chstmengen: xl -< 300, x2 <-600, x3 < 600. - Stticklisten (die Zahl ohne Klammem bezeichnet den Bedarf, die Zahl in Klammere bezeichnet den Planbeschatthngspreis): Produktart
Platine
Speicherchips
X!
1 (50)
X2
1 (60)
X3
1 (45)
12 (20) 10 (2o) 10 (20)
elektronische Kleinteile 30 (1)
Verpackung
30 (1) 20 (1)
1 (5) 1 (5) 1 (5)
Bearbeitungszeiten (Stunden) in den verschiedenen Kostenstellen: Produkt
xI x2 xj
Bohren/ manuell KSs 2 5 4
Bohrerd automatisch KS6 3 4 7/6
Best./ manuell KS7 4 6 7
Best./ teilmanuell KS8 1,5 2 3,5
Best./ vollautomat. KS9 4 1 2
a) Verschaffen Sie sich mit Hilfe einer geeigneten Graphik eine Obersicht tiber die Leistungsbeziehungen zwischen den Kostenstellen. b) 0berlegen Sie, auf wie viel verschiedene Arten sich eine Leiterplatte jeweils herstellen lasst. W~ilalen Sie hierzu bitte auch geeignete Indizes. Jeweils eine dieser M6glichkeiten sei im Folgenden als Variante bezeichnet. c) Ftihren Sie mit Hilfe der vorgegebenen Daten die Sekundarkostenrechnung far die Silicone Inc. durch und berechnen Sie die variablen Plankostensfitze der verschiedenen Verfahren. Verwenden Sie hierzu bitte beiliegenden BAB. Die Silicone Inc. geht davon aus, dass sich die Kosten in KS5, KS6, KS7, KS8 und KS9 proportional zu den Fertigungsstunden in diesen Stellen verhalten. Aufgrund yon Planungsrechnungen, denen die Absatzhdchstmengen zugrunde liegen, plant die Silicone Inc. mit folgenden konkreten Werten Far diese Bezugsgr6ge (= Planbe-
Fallstudienzur IntemenUnternehmensrechnung
227
zugsgr6/3e): KSs: 3.000 h, KS6:2.000 h, KS7:3.000 h, KSs: 1.250 h, KS9:1.000 h. d) Beantworten Sic bitte kurz folgende Fragen: I: Von welcher Art der Kostenverursachung geht die Silicone Inc. in diesem Beispiel t'tir die Hauptkostenstellen aus? Begr0ndung! II: Angenommen, es g~ibe nur zwei verantwortliche Ingenieure, einen flit den Bereich "Bohren" und einen ~ir den Bereich "Bestticken". Welche Art yon Kostenverursachung lage vor, wenn die Silicone Inc ihre Kostenstellen nach Verantwortungsbereichen gegliedert h~itte. Welche BezugsgrN3e(n) wtirde(n) sich in diesem Fall anbieten? III: Welches Verfahren bei der Wahl der PlanbezugsgrN3e in den Hauptkostenstellen wendet die Silicone Inc. hier an? Welches grunds~itzliche Problem tritt hierbei auf? e) Gehen Sie zun~ichst davon aus, dass in den einzelnen Hauptkostenstellen folgende KapazitOten zur Verftigung stehen: KS5:10.000 h, KS6:5.000 h, KST: 5.000 h, KSs: 3.000 h, KS9:3.000 h. Wie lautet in diesem Fall das optimale Produktionsprogramm der Silicone Inc.? Welche Varianten der einzelnen Produkte werden gefertigt und wclchen Deckungsbeitrag erzielt die Silicone Inc. mit diesem Programm ? t') Nehmen Sie altemativ an, dass in KS6 nur noch 2.000 h zur Verftigung stehen und beantworten Sic erneut die Fragen der Teilaufgabe e).
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Die folgende Graphik verdeutlicbt die Leistungsbeziehungen zwischen den Kostenstellen wobei die Kostenstellen aus Platzgrtinden mit K bezeichnet werden:
Dbungen zur lntemen Unternehmensrechnung
228
~10' k m " ~
50 E
300 E
100 E
300E
IOOE
50E
1
300t
5
E
loo
210h
lOOh
Nl0h
640h
1000h
1
Zwischen den Kostenstellen KS1 (Fuhrpark), KS2 (Reparaturwerkstatt) und KS3 (Kantine) liegen gegenseitige Leistungsbeziehungen vor. Das Treppenverfahren ist daher nicht anwendbar. Teilaufgabe b)
Fttr jedes Produkt sind 6 Kombinationen m6glich (Varianten). Da der Index frei wS~hlbar ist, bezeichnet abweichend zum Lehrbuch xij k im folgenden die i-te Produktart (i = 1,2,3), j-tes Verfahren Stufe 1 (j =1,2), k-tes Verfahren Stufe 2 ( k = 1,2,3). Ft~r die drei Produktarten ergibt sich: xi t t , xi 12, x, 13, x~ 2 z, x, 2 2 , xi 2 3 ( i = 1,2,3). Teilaufgabe c)
Zun~tchst sind die Kostens~itze far einen Plankilometer, eine Plam'eparaturstunde und eine Planmahlzeit iiber das Gleichungsverfahren zu ermitteln. Die Sekundgrkostenrechnung for K4 - K9 kann dann mittels des Treppenverfahrens erfolgen. Ein mOglicher Ansatz rechnet die Leistungsmengen in Leistungsanteile urn, d..h. welchen Anteil ihrer Leistungen gibt Kostenstelle v an Kostenstelle w ab. G K sind die jeweiligen Gesamtkosten einer Kostenstelle. Der Ansatz lautet dann: G K 1 = 59.400 + 0,1- G K 2 G K 2 = 117.300 + 0,1. GK1+ 0,1. G K 3 G K 3 = 1.500 + 0,1. G K 1 + 0,05. G K 2
Lasung dieses Gleichungssystems mit einem Standardverfahren ergibt: GK1 = 72.000, GK2 = 126.000, GK3 -- 15.000
Division dutch die gesamte Leistungsmenge einer Kostenstelle ergibt die Kostens~itze pro Leistungseinheit: kj = 72.000 E / 100.000 km = 0,72 E/km
Fallstudien zur Intemen Unternehmensrechnung
229
k2 -- 126.000 E / 3000 h = 42 (~/h k3 = 15.000 t ? / 1 0 0 0 Essen = 15 t?/Essen. D m n i t ergibt sich f o l g e n d e Sekund/irkostenrechnung ffir die Silicone Ltd:
-
oo
,XZ
o -4
o
~
cq
tr~
"7
§ m
--
e,:
,6
tt3
N
:.o
¢o
230
0bungen zur lntemen Untemetunensrechnung
Teitaufgabe d) Frage I: Die Silicone Inc. geht hier von homogener Kostenverursachung aus, da die Kosten in den Kostenstellen K5 - K9 allein v o n d e r Bezugsgr6Be "Fertigungsstunden" abhfingen. Frage II: Wt~rde die Silicone Inc. die Einteilung der Kostenstellen nach Verantwortungsbereichen vomehmen, g~tbe es nur zwei Kostenstellen, n~nlich "Bohren" und "Bestticken". hmerhalb dieser Kostenstellen lgge dram verfahrensbedingte Heterogeniti~t vor. Die Kosten wttrden zwar weiterhin yon der Zeit abhfingen, jedoch unterscheidet sich die Kostenverursachung in Abh~ngigkeit der eingesetzten Verfahren. Als BezugsgrOBe warden sich dann Fertigungsstunden, differenziert nach den einzelnen Verfahren anbieten. Frage III: Die Silicone Inc. nimmt die quantitative BezugsgrOBenwahl engpassbezogen vor. Das Problem dabei ist, dass man willkfirlich annimmt, dass die Absatzh6chstmengen den Engpass darstellen. Optimiert man anschlieBend das Produktionsund Absatzprogranma unter Einbeziehung der Verfahrenswahl mit diesen Gr6gen, kann der Fall auftreten, dass sich letztlich andere Restriktionen als der eigentliche Engpass erweisen.
Teilaufgabe e) Fttr die drei Leiterplatten ermittelt man die folgenden vorlaufigen Deckungsbeitrgt'ge ~/..
Produkt
xt
X2
X3
Platine
50
60
45
Chips
240
200
200
Kleinteile
30
30
20
Verpackung
5
5
5
325
295
270
P
1.130
1.450
1.800
d
805
1.155
1.530
Als ngchstes ist die Matrix der verfahrensspezifischen Kosten aufzustellen. In der folgenden Tabelle bezeichnet ein " * " d a s jeweils kostengtinstige Verfahren ~h" ein Produkt.
Fallstudien zur Internen Unternehmensrechnung
231
Produkt
Verfahrenl/ Stufe I
V e r f a h r e n 2/ Stufel
Verfahren 1/ Stu~2
V e r f a h r e n 2/ Stufe2
Verfahren 3/ Stufc2
Xl
2.160 - 320
3 . 100 - 300*
4,125 - 500
1,5-320 - 480 *
4-465 - 1.860
X2
5 . 160 800
4 . 100 = 400*
6 , 125 750
2,320 640
1-465 465*
X3
4 . 160 640
7 / 6 . 100 = 116,67"
7 . 125 875*
3.320= 1120
2-465 930
Ein zweckm~Nges Vorgehen lautet wie folgt: In Schritt 1 werden die deckungsbeitragsmaximalen Varianten ermittelt, in Schritt 2 ist zu prafen, ob dieses Produktionsprogramm innerhalb der vorhandenen (Zeit-) Restriktionen gefertigt werden kann. Daraus ergibt sich: - xl wird in der Variante x122 hergestellt. - x2 wird in der Variante x223 hergestellt. - xs wird in der Variante x321 hergestellt. Ftir dieses Programm sind folgende Zeiten in den einzelnen Stellen erforderlich: Bohren, automatisch:
3.300 (xl) +4.600 (x2) + 7/6.600 (xz) = 4.000 h < 5.000 h
Bestficken, manuell:
7.600 (xz) = 4200 h < 5.000 h
Bestficken, teilmanuell:
1,5-300 (Xl) = 450 h < 3.000 h
Bestficken, vollautomatisch:
1-600 (x2) = 600 h < 3.000 h
Da keine Stelle zum Engpass wird, kann das deckungsbeitragsmaximale Programm realisiert werden. Produktvaxiante
d
ko~engfin~igstes
kostengttnsfigstes
Bohren
Bestacken
d i e Stfick
xj
805
300
480
25
x:
1155
400
465
290
x3
1530
116,67
875
538,34
Gesamtdeckungsbeitrag: 3 0 0 . 2 5 (xl) + 600-290 (x2) + 600.538,34 (x3) = 504.500 C
Teilaufgabe J) Stehen in der Stelle Bohren automatisch nur noch 2.000 h zur Verf~gung, wird diese Stelle zum Engpass. Die Entscheidung muss dam1 anhand der verfahrensspezifischen Deckungsbeitrfige erfolgen.
232
(2!bungen zur lnternen Unternehmensrechnung
Ersatz Variante x122 durch x112: (320-300) / 3 = 6,67
(3)
Ersatz Variante x223 durch x213: (800-400) / 4 = 100
(2)
Ersatz Variante x321 durch x3H: (640-116,67)/(7/6) = 448,57
(1)
Die Zahlen geben die Rangfolgeziffem der Zuteilung a u f die Stelle Bohren, automatisch an. Somit:
x321:7/6.600 = 700 h, Restkapazit~t 1.300 h in der Stelle Bohren, automatisch x223:1300 / 4 = 325 Sttick. Da ftir den Deckungsbeitrag von xe¢3 1155 - 800 - 465 = - 110 < 0 gilt, wird diese Variante der Leiterplatte x2 n i c h t hergestellt.
xt22 wird durch x112 ersetzt0 da der Deckungsbeitrag yon x112= 8 0 5 - 3 2 0 - 480 = 5 > 0.
Der Gesamtdeckungsbeitrag sinkt auf: 600.538,34 + 325.290 + 300.5 = 418.750 e.
Fallstudie 3:
Preisuntergrenzen in einem sequenticllen Modell
Die Fatlstudie behandelt das Problem yon dynamischen, kurzfristigen Preisuntergrenzen in einem sequentiellen ModelL
Die Existenz & Minimum Inc. (E & M) in Hongkong setzt in Auftragsfertigung f~r drei groBe Computerhersteller PC's zusammen. Dies sind die Cut-Throat Inc., USA, die Mediocre AG, Deutschland und die Generous Inc. in GroBbritarmien. In der laufenden Planungsperiode reclmet die E & M damit, viermal einen Auftrag angeboten zu bekommen. Die vorhandene Kapazit~it der E & M reicht jedoch zur Annahme von h6chstens zwei Auftr~igen aus. Ein einmal angenommener Auftrag muss auch ausgeNhrt werden. In jeder Periode bietet eine der drei Firmen der E & M genau e i n e n Auftrag an. Ex ante, d.h. vor Erteilung des Auftrages durch eine der drei Firmen zu den Auftragserteilungszeitpunkten 1,2,3,4 herrscht jedoch Unsicherheit dartiber, welche Firma das sein wird. Dies ist deshalb wichtig, weil die Auftr~ige je nach anbietender Firma zu unterschiedlichen Deckungsbeitr~igen fiihren. Die Planungsabteilung ist jedoch in der Lage, folgende, Rir alle vier Angebotszeitpunkte konstante Wahrscheinlichkeitsverteilung anzugeben. Anbietende Finna
Deckungsbeitrag
Wahrscheinlichkeit ~ D e , ) (i =1,2,3)
Cut-Throat (1)
$ 30
0,2
Mediocre (2)
$ 80
0,5
Generous (3)
$120
0,3
Jeder angenommene Auftrag verursacht variable Kosten yon $1.000 a) Verschaffen Sie sich zungchst Klarheit aber die Menge der effizienten Aktionen der E & M und begrtinden Sie, warum bestimmte Aktionen von vornherein als ineffizient ausgeschieden werden k6nnen. Verwenden Sie bitte folgende Symbolik: A(ccept) = ein Auftrag wird angenommen; R(efuse) = Ablehnung b) Stellen Sic das Entscheidungsproblem der E & M mit Hilfe eines Entscheidungsbaumes dar und bestimmen Sie: - den Verlauf der Preisuntergrenzen, -
die Opportunit~itskosten,
234
Obungen zur InternenUntemehmensrechnung
- den maximalen erwarteten Deekungsbeitrag der E & M aus Sicht der Stufe 1. c) Vor Eingang des ersten Angebotes geht der E & M ein Angebotskatalog der Investment Goods Inc., Singapur zu. Diese bietet an: MaschinenstraBe 1, erlaubt die Bearbeitung von zwei zusfitzlichen Auftr~igen (Kapazit~it + 2) in der Planungsperiode, Preis: $135. Maschinenstrage 2, erlaubt die Bearbeitung yon einem zus~itzlichen Auftrag (Kapazitfit + l) in der Planungsperiode, Preis: $ 75. Ist die Annahme eines dieser Angebote vorteilhaft ftir die E & M? Begrfindung! Der rasante Preisverfall auf dem Billig-PC-Markt ftihrt im folgenden Planungszeitraum bei wiederum vier m6glichen Auftragseingangen und einer Kapazit~it yon zwei zu einem Absinken des Deckungsbeitrages des Cut-Throat Auftrages auf $ 10. Der Marktftihrer Generous bietet indessen Ger~ite yon solch bestechender Qualit~it an, dass er kr~iftige Preiserh6hungen am Markt durchsetzen konnte. Da Generous abet auf die Kapazitgten der E & M angewiesen ist, besteht auch ftir diese ein Spielraum far Preisverhandlungen und damit einen erh6hten Deckungsbeitrag je Auftrag. Der Deekungsbeitrag der Mediocre AG betr~igt unver~ndert 80. Ebenso bleiben die ursprtingliehen Wahrscheinlichkeiten unverS_ndert. Insgesamt kann die E & M den Erwartungswert der Deckungsbeitr~ige stabil halten. d) Bestimmen Sie den neuen Deckungsbeitrag des Generous-Auftrages. e) Ermitteln Sie die Varianz der Verteilung aus Teilaufgabe a) und der neuen Verteilung. Kommentieren Sie Ihre Ergebnisse. f) Ermitteln Sie erneut den Verlauf der Preisuntergrenzen, die Opportunit~ttskosten und den maximalen ex ante Deektmgsbeitrag der optimalen Strategie. Vergleichert Sie diese mit Ihren ursprtingliehen Ergebnissen. Gehen Sie insbesondere auf die Entwicklung der OpportuniNtskosten in Stufe 2 ein. Sind generelle Aussagen hinsiehtlich der Entwicklung der Opportunit~itskosten m6glich? Interpretieren Sie die auftretenden Effekte 6konomisch (Hinweis: die L6sung bleibt von Ihrer Struktur her stabil, Sie k6nnen also mit dem Entscheidungsbaum yon Teilaufgabe b) weiter arbeiten).
MusterlSsung: Teilaufgabe a) Da alle Deckungsbeitr~ige positiv sind, karm es sich nicht lohnen, am Ende des Planungszeitraumes noch freie Kapazit~tten zu haben. Alle Altemativen, die dies beinhalten, werden daher yon den Alternativen dominiert, welche die vorhandene Kapazit~t voll ausnutzen. Sie k~nnen deshalb vorab ausgeschieden werden.
Fallstudienzur lntemenUntemehmensrechnung
235
Teilaufgabe b) Da die Darstellung des gesamten Entscheidungsbaumes zu untibersichtlich w~ire, werden die einzelnen Stufen getrennt analysiert. Runde Knoten steilen zuf~illige Ereignisse (welche Firma erteilt den Auftrag) dar, Quadrate stehen far Situationen, an denen fiber Auftragsannahme oder -ablehnung entschieden werden muss. Die Zahl in den Quadraten gibt die jeweilige Entscheidungsstufe an. Die kleinen Quadrate mit abgerundeten Ecken stellen die Konsequenzen einer erfolgten Entscheidung dar. Far die alphabetische Bezeictmung der Zufallsknoten gilt: Knoten
Bedeutung
A
Ausgangsknoten
B
Beginn Stufe 2 bei einer Restkapazit~it
C
Beginn Stufe 2 bei zwei Restkapazit~iten
D
Beginn Stufe 3 bei einer Restkapazitfit
E
Begima Stufe 3 bei zwei Restkapazitgten
F
Beginn Stufe 4 bei einer Restkapazitat
Den Grunds~itzen der dynamischen Optimierung folgend, ist es zweckm~igig, solche Probleme retrograd zu 10sen. Zun~ichstwird daher das Optimum der Stufe 4 far eine verbleibende Kapazit~it bestimmt. Mit zwei freien Kapazitfiten in die Stufe 4 zu gehen, kann gem~13 a) niemals vorteilhaft sein. Anschliegend wird dann Stufe 3 unter der Bedingung optimiert, dass in Stufe 4 die optimale Folgeentscheidung getroffen wird, usw. Die optimale Strategie ist daher eine Folge bedingter Handlungsanweisungen, die einerseits yon den bereits getroffenen Entscheidungen (bisher angenommene bzw. abgelehnte Aufira'ge) abh~ingt, andererseits den Inforrnationsstand zum jeweitigen Entscheidungszeitpunkt (welcher Aufirag ist eingegangen) ber~icksichtigt (Prinzip derflexiblen Planung). Die Methode stellt ferner sicher, dass eine optimale Ausgangsentscheidung getroffen wird.
236
12Zbungenzur Intemen Untemetmaensrechnung
Entscheidung in Stufe 4 bei einer Restkapazit~t
[]
R 0
Da alle Auftr~ige einen positiven Deckungsbeitrag haben, ist es sinnvoll, in der letzten Periodejeden eingehenden Auffrag anzunehmen, da ansonsten ein Deckungsbeitrag yon 0 erzielt wird. Grunds~tzlich gilt: Stimmen Anzahl der noch eingehenden Auffrfige und Restkapazit~it fiberein, sind die Opportunit~tskosten der Annahme stets 0. Durch die Annahme wird ein erwarteter Deckungsbeitrag (ex ante) von E(DB 4) = 0,2- 30 + 0,5.80 + 0,3.120 = $ 82 erzMt. Er gibt gewissermaBen den "Weft" des Knotens F aus der Sicht der Stufe 3 an. Hat man bspw. in Stufe 3 noeh eine freie Kapazit~it zur Verf'figung, weil in Stufe 1 oder 2 bereits ein Auffrag angenommen wurde, so ff~hrt die Annahme in Stufe 3 zur entgangenen Chance, mit der ffeien Kapazit~it in Stufe 4 einen erwarteten Deckungsbeitrag yon $ 82 zu erwirtsehaften. Diese $ 82 stellen somit die Opportunitditskosten der Auftragsannahme in Stufe 3 dar. Der in 3 realisierbare Deckungsbeitrag muss daher mit diesem Weft verglichen werden, welm man eine richtige Entscheidung beztiglich Auftragsannahme oder Ablehnung in Stufe 3 treffen mOchte. Diese Situation ist im folgenden Ausschnitt des Entscheidungsbaumes dargestellt:
Fallstudien zur InternenUnternehmensrechnung
237
Entscheidung in Stufe 3 bei einer Restkapazit~t
R
0,2 /
82
~
0,5
[]
93,4
80
R
0,3 A
~
120
82 Die Berticksichtigung der Opportunitfitskosten f'tihrt dazu, dass in Stufe 3 nur der Auftrag mit dem h6chsten Deckungsbeitrag (120) yon der Fa. Generous' angenommen wird. Ffir die beiden tibrigen Auftr~ige l~isst die optimale Nutztmg der einen freien Kapazit~it in Smfe 4 (A~mahme jedes Auftrages) einen h6heren Deckungsbeitrag erwarten. Der "Weft" des Knotens D aus Sicht der Periode 2 betr~igt somit
E(DB3) = 0,3 .$ 82 + 0,5-$ 82 + 0,3 .$120 = $ 93,4. Die Preisuntergrenze aus der Sicht der Stufe 3 gibt an, wieviel ein etwaiger vierter Auftrag eines eventuellen weiteren Nachfragers (Zusatzauftrag) mindestens erbringen muss, damit er aus Sicht des Beginns der Stufe 3 angenommen wird. Sie entspricht den variablen Kosten yon $ 1.000 und den Opportunitgitskosten des optimalen Einsatzes der freien Kapazit~it in Stufe 4, insgesamt also $ 1.082. Generell gilt: Sind alle Deckungsbeitrfige positiv und steht weniger Restkapazit~it zur Verfiigung als noch Auftrfige eingehen, liegt die (kurzfristige) Preisuntergrenze h6her als die reinen variablen Kosten. Wurde bereits zweimal ein Auftrag in Stufe 1 oder 2 abgelehnt, wird aus Sicht des Beginns der Stufe 3 ktinftig jeder Auftrag angenommen. Dieser erbringt zweimal einen erwarteten Deckungsbeitrag in H6he von $ 82. Der "Wert" des (nicht abgebildeten) Knotens E betr~igt somit $164. Er wird fox die Annahme- oder Ablehnungsentscheidung in Smfe 2 ben6tigt.
238
Obungen zur InternenUntemehmensrectmung
In dieser Stufe muss man unterscheiden, ob in Smfe 1 bereits ein Auftrag angenommen wurde, oder ob noch die vollen zwei Kapazitfiten zur Verfagung stehen, denn hiervon h~ngen die Oppommit~tskosten der Auftragsannahme auf Stufe 2 ab. Sei zunfichst der Fall einer Restkapazitgt in Smfe 2 untersucht:
EntscheidunginStufe2beieinerRestkapazit~it
I
~
N
~
-
~
~
93,4
93,4
Wird bei einer freien Kapazitfit in Stufe 2 ein Auftrag angenommen, k6nnen kttnftig keine Auftr~ige mehr angenommen werden. Damit w/Jrde man sich die Chance entgehen lassen, bei optimalem Einsatz der freien Kapazitfit in den Folgeperioden (d.h. Annahme des Generous-Auftrages in 3, sonst Ablehnung; Annahme jedes Auftrages in 4, wenn zuvor abgelehnt wurde) einen erwarteten Deckungsbeitrag von $ 93,4 zu erwirtschaften. Die Opportunitfitskosten sind somit $ 93,4, die Preisuntergrenze far den Auftrag eines eventuellen vierten Nachfragers betrtige $1093,4. Wiederum wird in dieser Situation nut der Auftrag mit dem h6chsten Deckungsbeitrag mngenommen. Der "Weft" des Knotens B aus Sicht der Periode 1 betr~igt
E(DB2lAnnahme in 1 erfolgt) = 0,2 .$ 93,4 + 0,5 .$ 93,4 + 0,3 .$120 = $101,38. Generell gilt: Je geringer die vorhandene Kapazitgit reIativ zu noch bestehenden Aufiragseingi~ngen ist, desto hOher sind im Allgemeinen die Opportunitgitskosten der Annahme. Dies ist auch plausibel. Je mehr Aufiragseingange noch ausstehen, um so Offer bietet sich (potentiell) die MOglichkeit, an den guten Au.firag (120) heranzukommen. Dieser EJJ~kt Idsst die Opporlunitatskosten ansteigen.
Fallstudien zur InternenUntemehmensrechntmg
239
Etwas anders stellt sich die Situation dar, wenn bisher kein Auftrag angenommen wurde. Jetzt ist n~imlich zwischen den "Werten" von zwei Knoten zu w~thlen. Nimmt man einen Auflrag jetzt an, hat man in Periode 3 und 4 nur noch eine Kapazit/it zur Verf'tigung. Bei optimaler Strategie (s.o.) erzielt man hiermit einen erwarteten Deckungsbeitrag von $ 93,4 (Knoten D) und erMlt den Deckungsbeitrag des angenommenen Auftrages. Lehnt man den Auftrag in 2 ab, ist es optimal, in 3 und 4 jeden Auftrag anzunehmen (Knoten E). Dieser verspricht einen erwarteten Deckungsbeitrag yon 2. $ 82 = $164. Entscheidungskriterium ist somit D B 2 + $ 93,4 > $164. Die Opportunit~tskosten betragen $164 - $ 93,4 = $ 70,6. Die Preisuntergrenze flit einen Zusatzauftrag betrfigt folglich $ 1.070,6 .Verglichen wird also die Situation "Beginn der Periode 3 mit zwei Restkapazit~iten" (E(DB) = $164) mit der Situation "Beginn der Periode 3 mit nur noch einer Kapazitfit" (E(DB) = $ 93,4). Ein potentieller vierter Auftrag mOsste, um angenommen zu werden, also mindestens diese Differenz in den Erwartungswerten erbringen.
Entscheidung in Stufe 2 bei zwei Restkapazit~ten
~
93,4+30
A~.~K~
93,4+80
164
Im Unterschied zur vorigen Situation wird diesmal der mittlere Aut~rag (Mediocre) angenommen. Zu Beginn der Periode 1 ist wiederum zwischen den "Werten" von zwei Knoten zu entscheiden. Wird bereits beim ersten Auftragseingang ein Auftrag angenommen, steht fftr die drei zuktinftigen Auftragseing/~nge nm" noch eine Restkapazit~it von 1 zur Verftigung. Wird diese Kapazitgt optimal genutzt, resultiert ein erwarteter Deckungsbeitrag von $ 101,38 (Knoten B) in den Folgesmfen. Wird in der ersten Periode abgelehnt, resultiert Knoten C, der bei optimalem Einsatz der beiden
240
Ubungen zur ImernenUnternehmensrechnung
Kapazit~tten einen erwarteten Deckungsbeitrag yon $ 183,52 erbringt. Die Opportunitfitskosten der Annahme betragen somit $183,52 - $101,38 = $ 82,14. Folglieh betr~igt die Preisuntergrenze $ 1.082,14. Entscheidungskriterium fiber Annahme oder Ablehnung ist somit DB1 +$101,38 > $183,52? In der ersten Stufe wird deshalb der Generous-Auftrag angenommen, die anderen Auftr~ige aber abgelehnt.
EntscheidunginStufe1 ~
]
101,38+30
183,52
~
183,52
--....o,3 ~
~'101,38+'120 183,52
Die optimale Strategie lautet also: - Annahme des Generous-Auftrages in Stufe 1, sonst Ablehnung. - Amlahme Generous in Stufe 2, falls in Stufe 1 Generous-Auftrag angenommen, Ablehnung der anderen Auftrgge. - Annahme Generous oder Mediocre in Stufe 2, Ablehnung Cut-Throat, falls in der ersten Stufe nieht Generous angenommen wurde. - Annahme jedes Auftrages in Stufe 3, sofem Restkapazit~tt = 2. - Annahme Generous, Ablehnmag der anderen Auftr~tge in Stufe 3, sofem Restkapazit~t = 1. - Almahme jedes Auftrages in Stufe 4, sofern noch Restkapazitfit vorhanden. Aus dieser Strategie resultiert ein maximaler Zukunftserfolgswert yon:
E(DB*) = 0,2- $183,52 + 0,5. $183,52 + 0,3. $ 221,38 = $194,87
Fallstudienzur InternenUnternehmensrechnung
241
In der folgenden Tabelle sind die Preisuntergrenzen nochmals systematisch dargestellt: Stufe
Restkapazit~it
= 1
Restkapazitgt
= 2
1
nicht m6glich
1.000+82,14 = 1.082,14
2
1.000+93,4 - 1.093,4
1.000+70,6 = 1.070,6
3
1.000+82 = 1.082
1.000+0 =1.000
4
1.000+0
nicht optimal
Teilaufgabe c) Der Kauf von zwei zus~ttzlichen Kapazit~iten ~qlrde es erlauben, in jeder Periode einen Auftrag anztmehmen, da Kapazit~iten und m6gliche Auftragseing~inge iibereinstimmen. Es resultiert:
E(DB*IKap.= 4) = 4 .$ 82 = $ 328. Der Grenzpreis fiir die Kapazitgtserweitertmg wfire deshalb $328-$194,87 = $133,13. Das Angebot ist ftir die E & M folglich uninteressant. Die Fragestellung 2 (Kauf einer zus~itzlichen Kapazit/it) k6nnte im Prinzip wieder mittels eines Entscheidungsbaumes (4 Auflragseing~inge, 3 Kapazit~iten) gel6st werden. Mittels einiger Vortiberlegungen kann das Problem jedoch schneller gel6st werden. Da alle Deckungsbeitrtige positiv sind, kann es sich niemals lolmen, mehr Restkapazit~iten zu haben, als Auflragseing~inge vorhanden sind. Daraus ergibt sich aber, dass im Zeitablauf maximal ein Auflrag abgelehnt werden sollte. Wird bspw. bereits der erste Auflrag abgelelmt, sollte in den Folgeperioden jeder Auftrag angenommen werden. Im Einzelnen ergibt sich daraus: Stufe 4: Bei einer Restkapazitfit: L6sung analog zu Knoten F in Teilaufgabe b). Der "Wert" des Knotens F betr~igt wiederum $ 82, die Opportunitatskosten sind 0. Stufe 3: Bei zwei Restkapazitiiten betr~igt der erwartete DB:
E(DB) = 2 .$ 82 -- $164 Dns bedeutet, class j eder Auftrag angenommen wird. Bei einer Restkapazit~it entspricht die Entscheidung derjenigen des Knotens D in Teilaufgabe b). Zu vergleichen ist der optimale Einsatz der letzten Kapazitfit in Stufe 4 (Annabme des Auftrages) mit den Deckungsbeitr~igen der Stufe 3. Es wird nur der Generous-Auftrag angenommen, die beiden anderen werden abgelehnt. Der Weft des Knotens D betr~igt wiederum $ 93,4, die OpportunitStskosten sind $ 82 und die Preisuntergrenze deshalb $1.082.
242
Obungen zur InternenUnternehmensrechnung
Stufe 2: Bei drei Restkapazitgten (in 1 wurde abgelehnt), betr~igt der erwartete Deckungsbeitrag:
E(DB) = 3. $ 82 = $ 246. Bei zwei Restkapazit~ten entspricht die Entscheidung dem obigen Knoten C, d.h. der gute (Generous)und der mittlere (Mediocre) Auflrag werden angenommen, der schlechte Auftrag (Cut-Throat) wird abgelehnt. Der "Wert" des Knotens C ist wieder $183,52. Die Opportunit~ttskosten betragen $ 70,6 und die Preisuntergrenze betr~igt $ 1.070,6. Die Situation des Knotens B kann dagegen nicht auftreten, denn wenn in Stufe 1 bereits ein Auftrag angenommen wurde, sind ja noch zwei Kapazit~iten vorhanden. Stufe 1: Hier liegt der eigentliche Unterschied zu Teilaufgabe b). Wird ein Auftrag in der ersten Stufe abgelehnt, wird ktinflig jeder Auftrag angenommen. Der Erwartungswert dieser Strategie betrfigt $ 246. Wird dagegen in der ersten Stufe angenommen, erh~ilt man den Deckungsbeitrag des ersten Auflrages. Setzt man die verbleibenden zwei Kapazit~iten dann optimal ein, resultiert ein erwarteter Deckungsbeitrag von $ 183,52. Entscheidungskriterium ist somit DB1+$183,52 >_$ 246. Auf der ersten Stufe werden deshalb der Generous und der Mediocre-Auflrag angenommen! Der erwartete Deckungsbeitrag der optimalen Strategie lautet:
E(DB* IKap.= 3) = 0,2. $ 246 + 0,5. $ (183,52 + 80) + 0,3. $ (183,52 + 120) = $ 272,016. Die Opportunit~ttskosten der Annahme auf der ersten Stufe sind daher $ 246 - $183,52 = $ 62,48. Folglich betrfigt die Preisuntergrenze $1.062,48. Ffir die Entscheidung tiber den Zukauf von einer Kapazit~it sind die maximalen erwarteten Deckungsbeitr~ige der beiden Szenarien (2 Kapazitfiten o. 3 Kapazit~iten) zu vergleichen. Die Differenz betr~igt$ 272,016-$194,87 = $ 77,146. Da diese Steigerung des erwarteten Deckungsbeitrages den geforderten Preis $ 75 u m $ 2,146 fibersteigt, sollte die zus~itzliche Kapazit~it beschaffl werden.
Teilaufgabe d) Da der erwartete Deckungsbeitrag laut Aufgabenstellung stabil bleibt, gilt:
E(DB,eu) = 0,2. $10 + 0,5. $ 80 + 0,3. $ X = $ 82 X bezeichnet dabei den gesuchten neuen Deckungsbeitrag des Generous-Auftrages. L6st man nachXauf, ergibt sich X = D B ~ . . . . . . . $133,34. =
Fallstudienzur InternenUnternehmensrechnung
243
Teilaufgabe e) Die Varianz der ursprfinglichen Verteilung betr~igt: cr~ = 0,2.302 +0,5.802 +0,3-1202 -822 = 976 ffir die neue Verteilung: 0-2 = 0,2.102 +0,5.802 + 0,3.(133,34) 2 -822 = 1.829,34 Bei konstantem Erwartungswert hat sich somit das Risiko, gemessen durch die Varianz der Deckungsbeitr~ige, fast verdoppelt.
TeilauJgabefl Die Frage zielt darauf ab, wie sich die Preisuntergrenzen bei zunehmendem Risiko ver~ndern. Die L6sungsstruktur ist identisch zur Teilaufgabe b). Deshalb werden hier nut die Oppormnitfitskosten in der folgenden Tabelle angegeben. Stufe
Restkapazit~it = i
Restkapazit~tt = 2
1
nicht m6glich
82,54
2
97,46
66,6
3
82
0
4
0
nicht optimal
Der maximale erwartete Deckungsbeitrag der optimalen Strategie betr~gt $ 205,958. Besonderes Augenmerk ist auf die Entscheidungen der Stufe 2 zu legen. Ein Vergleich mit den Opportunit~itskosten unter b) zeigt, dass die Opportunitgtskosten bei zunehmendem Risiko steigen (Restkapazit~it = 1), aber auch abnehmen k6nnen (Restkapazit~it 2). Eine generelle Aussage ist daher nieht m6glich. Die folgenden beiden Entscheidungsbaumausschnitte stellen die ge~nderte Situation in Stufe 2 vergleichend dar:
244
Obungen zur lntemen Unternehmensrechnung
Entscheidung in Stufe 3 be, einer Restkapazitiit tl0 R
0,2/
97,4• 93,4
~-@82
A _ ~ I ~ 80
o,s
I~----~~R
~
~
82
0,3 A ~
~ 8
Entscheidungin Stufe2be, einer Restkapazit~it
~
o,s
I
~
[
]
~01',1388~
2
30110 ~
93,4197,4
,, A ~ 1 ~
~
~
~
133,34
80180
93,4,97,4
-
~
~
93,4/97,4
Fallsmdien zur Internen Unternehmensrechnung
245
Hier kann der erste Effekt (steigende Opportunit~itskosten bei steigendem Risiko) verdeutlicht werden. Auf der dritten Stufe betrfigt der Erwartungswert bei Auftragsablehnung (Mediocre und Cut-Throat) und einer Restkapazit~it unver~indert $ 82. Bei Auftragsannahme (Generous) werden dagegen $ 133,34 statt $ 120 erzielt. Das hOhere Risiko ist also nur insofern relevant, als es den Deckungsbeitrag des besten Aufirages bei unver~indertem Entscheidungsverhalten ansteigen ta'sst. Der Erwartungswert auf Stufe 3 steigt auf $ 97,4 start vormals $ 93,4. Dieser Effekt setzt sich anf Stufe 2 fort. Bei unver~indertem Annahme-/Ablehnungsverhalten steigt der Wert des Knotens B auf $ 108,18. Vergleicht man dieselbe Stufe (2) f'tir die beiden unterschiedlichen Verteilungen der Deckungsbeitrgge, ftihrt dieser Effekt zu einem Anstieg der Opportunit~itskosten. Der zweite Effekt (sinkende Opportunit~tskosten bei steigendem Risiko) kann anhand der Stufe 2 bei zwei Restkapazit~iten erl~tutert werden. Entscheidung in Stufe 2 bei zwei Restkapazit~lten
93,4 + 30 97,4 + 10
A
[]
R 1641164
~
190,72
~
[]
.._....---@
93,4÷ 80 97,4 ÷ 80
~
164 164
~
93,4 + 120 97,4 ÷ 133,34 164 164
Dieser zweite Effekt h~ingt mit dem ersten eng zusammen. Wie bereits erl~iutert, l~isst der erste Effekt den Erwartungswert des Knotens D auf $ 97,4 ansteigen. Sind Kapazit~iten noch relativ reichlich (2) im Vergleich zu noch eingehenden Auftr~igen vorhanden (3), Ftihrt dies ceteris paribus zu einer geringeren Differenz zwischen den I~oten E (Ablehnung), der in seinem "Wert" unver~tndert bleibt, und D (Am~ahme). Sie sinkt auf $ 1 6 4 - $ 97,4 = $ 66,6. Wird in Stufe 2 abgelehnt, muss kt~nftig jeder Auftrag angenommen werden. Nimmt man dagegen jetzt an, kann man zukanftig aus zwei Chancen eine auswghlen. Die Annahme ist folglich bei Opportunit~itskosten
246
Obungen zur Internen Unternehmensrechnung
m6glich, die um den Vorteil der Knappheit unter dem Erwartungswert von $ 82 liegen. Da dieser Vorteil aber mit h6herem Risiko steigt (Effekt 1), m~issen die Oppormnit~itskosten sinken.
Fallstudie 4:
Deterministische und stochastische Break-Even-Analyse im Ein- und Mehrproduktfall
Die Fallstudie behandelt Aspekte der deterministischen und stochastischen BreakEven-Analyse im Ein- und Mehrproduktfall. Ferner werden die Bedeutung yon Risikoprdiferenzen und das Konzept der stochastischen Dominanz erster Ordnung analysiert. Als Folge des weltweiten Preisverfalles im PC-Markt bietet die bereits bekalmte Cut-Throat-Electronics nur noch ein Produkt an, das Notebook "Pocket 2000". FOx dieses Produkt gelten folgende Daten: Absatzpreis p
$ 2.000
variable Kosten pro Stack k~
$1. 100
axe Kosten KF
$ 9.000.000
Zun~ichst geht die Cut-Throat Electronics yon sicheren Erwartungen beztiglich der Absatzmenge x aus. a) Berechnen Sic fox diese Daten die Break-Even-Menge und den Break-EvenUmsatz far das "Pocket 2000". Wieviel Einheiten des Notebooks m0.ssten abgesetzt werden, welm die C. Z einen Mindestgewinn von G = $ 900.000 erwirtschaften will? b) Wie ~indert sich die Break-Even-Menge, welm ceteris paribus jeweils die Fixkosten, Absatzpreise oder die variablen Kosten um eine infinitesimal Heine Einheit erh6ht werden (es gilt: p > k~, > 0; K F > 0) ? Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse ~konomisch. c) Die Kapazit~it der C.T. reicht zur Herstellung yon maximal 14.000 Sttick des "Pocket 2000" aus. Berechnen Sie ffir diesen Weft den "Sicherheitskoeffizienten" (SR) und den "Operating Leverage" (OL). Wo~ber sollen diese beiden Werte Auskunff geben? Gehen Sie bei Ihrer Begr0xldung davon aus, dass die Absatzmenge x tats~ichlich im Intervall [0,10.000] gleichverteilt ist. Wie grol3 ist die Wahrscheinlichkeit dafdr, tats~ichlich einen Gewinn G > 0 zu machen?
248
l)btmgen zur IntemenUntemehmensrechnung
d) Ftir die n~chsten drei J~tare wird mit einer jiihrlichen Steigerungsrate der variablen Kosten von 2%, sowie einer j~thrlichen Steigerung der Fixkosten um 5% gerechnet. Die (sehr optimistische) Cut-Throat rechnet damit, in jeder Periode soviel "Pocket 2000" absetzen zu k6nnen wie zur Erzielung eines Mindestgewinnes von $ 900.000 in der ersten Periode erforderlich waren. Berechnen Sie die Preise, die in den Perioden 1 bis 3 jeweils erforderlich sind, damit die C.T. in jeder Periode einen I) Gewinn yon $ 900.000 macht, II) der Gewinn, ausgehend von $ 900.000, injeder Periode um 10 % steigen soil. Da die Verwendung des SR bzw. OLder Leitung der C.T. angesichts der Ergebnisse des Teiles c) doch etwas zu gewagt erscheint, entschliel3t sie sich, das Risiko nun doch in Form von Wahrscheinlichkeitsverteitungen in ihre Uberlegungen einzubeziehen. Zunfichst wird davon ausgegangen, dass allein die Absatzmenge unsicher ist. Nach umfangreichen Sch~ttzungen kommt die Planungsabteilung zu dem Schluss, dass die Absatzmenge mit dem Erwarmngswert /l = 11.000 und der Standardabweichung o-= 2.000 normalverteilt ist, also: x ~ N(11.000,2.000). e) Berechnen Sie aus der Verteilung der Absatzmenge die Verteilung der Gewinne Mr das "Pocket 2000" und begranden Sie diese Verteilung. Wie wird diese Vorgehensweise allgemein bezeichnet ? f) Beantworten Sie mit Hilfe einer Tabelle der Standardnormalverteilung oder eines Mathematikprogrmnmes folgende Fragen: •
Wie hoch ist die Break-Even-Wahrscheinlichkeit?
•
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit Far einen Mindestgewinn yon $ 900.000?
•
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dat'tir, dass der Gewinn zwischen $ 0 und $ 900.000 liegt?
g) Zwischen welchen beiden Gewinnwerten schwankt der Gewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73 %? h) Welches Problem wiirde auftreten, wenn auger der Absatzmenge auch die Deckungsbeitr~ige unsicher w~ren ? Die C. Z tiberlegt, ob es vorteilhaft wgre, ihr Produktsortiment um zwei weitere Notebooks (P2, P3) zu erweitem, deren Absatzmengen ebenfalls unsicher sind. Beide Produkte erzielen denselben Deckungsbeitrag ($ 900) wie das "Pocket 2000". Die Aufnahme von P2 bzw. P3 ftihrt zu (zus~ttzlichen) produktfixen Kosten K2 F, K3 F von jeweils $ 9.000.000. Die Absatzmengen g~ und x2 sind normalverteilt nach: 2"z ~ N(11.000,500) 2"3 ~ N(11.000,500) Es gelten allerdings unterschiedliche Korrelationskoeffizienten (k) zwischen den Verteilungen der Absatzmengen bzw. Gewinne. kl,2 = 0,6, kl, 3 = -0,6, k2,3 = -1
Fallstudien zur lntemen Unternehmensreclmung
249
i) Gehen Sie zun~ichst davon aus, dass entweder P2 oder P3 ins Produktionsprogramm aufgenommen werden k6nnen. Ermitteln Sie erneut die Verteihmg der Gewirme ffir beide Alternativen. Durch welchen Effekt unterscheiden sich die Gesamtvarianzen? Berechnen Sie mittels Tabelle/Programm folgende Wahrscheinlichkeiten (i = 0 Basisprogramm, nur P1; i = 1(2), P1 und zus~itzlich P2 oder
P3): Pr(Gi, > -1.000.000), Pr(Gli ___-500.000), Pr(Gl, >_0); Pr(Gl, > 900.000), Pr(G~i > 2.000.000), Pr((~li > 5.000.000) j) Far welche Alternative entscheidet sich die C.T., wenn sie folgende Entscheidungsregeln anwendet? I: W~ihle die Alternative, bei der die Wahrscheinlichkeit far G >__0 am N3chsten ist. II: W~ihle die Alternative mit dem h0chsten G , der mit einer Wahrscheinlichkeit von 39,74 % tiberschritten wird. Wie entscheidet sich die C.T. zwischen den beiden Alternativen, "Addition von P2" oder "Addition von/gs", wenn sie: •
risikoneutral ist und sich am Erwartungswert des Gewinnes orientiert,
•
eine spezielle Art der Risikoscheu an den Tag legt und sich ausschlieBlich an Erwartungswert und Varianz des Gewinnes orientiert (At- o- -Prinzip)?
k) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten unter h) erneut far den Fall, dass sowohl P2 als auch P3 gemeinsam mit P~ produziert werden k6nnen. 1) Betrachten Sie die Verteilung der Gewinne tar folgende Altemativen:
al
Herstellung von Pz und/92
a2
Herstellung von P1 und Ps
a3
Herstellung Pt, P2 und/'3
K6nnen Alternativen vorab ausgeschieden werden, wenn Ihnen nur bekannt ist, dass die C.T. mehr Gewinn weniger Gewinn vorzieht und ansonsten tiber ihre Risikoeinstellung nichts bekannt ist? Vergleichen Sie hierzu al mit as ftir die Wahrscheinlichkeit, einen Gewinn gr613er als 8.100.000 zu erzielen, und a2 mit a3 ftir die Wahrscheinlichkeit, einen geringeren Verlust als -4.700.000 zu erzielen. Verwenden Sie femer Ihre Ergebnisse aus 11)!
250
¢dbungenzur Intemen Untemehrnensreclmung
M u s t e r l O s u n g :
Teilaufgabe a) Break-Even-Bedingung:
G=(p-kv).x-K
F=O
Break-Even-Menge:
KF
9.000.000
(p-kv)
900
- 10.000 StrUck
Break-Even-Umsatz:
U---
K~
9.000.000
- 20.000.000
Break-Even-Menge mit Mindestgewinn:
G--(p-kv).x-X
;? -
K F +G
-- ( p - k~ )
~ =C_
9.900.000
900
- 11.000 Stack
Teilaufgabe b) Komparative Statik: Kr
(p-k~) ~¢J?
OK F -
-
-
1 -( p-- k>v )0 ;
8X - KF Oft KF Op-(p-kv) 2 <0; 3 k v - ( P - k v ) 2 >0
Gestiegene Fixkosten, konstanter Sttickdeckungsbeitrag---> mehr Einheiten absetzen f'tir G = 0. Gestiegener Preis: Ceteris paribus erh6ht sich der Sttickdeckungsbeitrag--~ weniger x flit G = 0. Gestiegene variable Kosten: Ceteris paribus vermindert sich der Stfickdeckungsbeitrag--> m e h r x ffir G = 0.
Fallstudien zur Intemen Untemetu~aensreclmung
251
Teilaufgabe c) Sicherheitskoeffizient (g/~ngige Interpretation): Um wieviel Prozem kann die Absatzmenge, ausgehend von einer gegebenen Menge x, sinken, otme dass ein Verlust entsteht? p.x-p.~ p. x
SK:
x-~ - - x- -
1-x
~
10 = 1 - M = 0,2857
Die H6chstabsatzmenge kaml also um 28,57 % untersehritten werden, bevor die C. T. einen Verlust macht. Operating-Leverage: Relative Gewinn~nderung im Verh/iltnis zu einer relativen Umsatz/inderung: AG OL-
d.Ax -
AE
p. Ax
E
p.x x
-
- (d.x-KF).Ax
x---
d
1
KF
d
-
l--
- (d.x-KF)
1 x
-
SK
x
1
OL - - - 3,5 0,2857 Interpretation: W e n n sieh der Umsatz, ausgehend von x = 14.000, um 1 % erh6ht, steigt der Gewinn um 3,5 %. W e n n die Naehfrage j e d o c h tats~iehlieh im Intervall [0, 10.000] gleieh verteilt ist, werden diese beiden MaBe allerdings zur blogen Makulatur. Die Verteilungsfimktion lautet dann: 0flir x < 0 F(Y~)=~ 1 -x f'0x 0 < x < 10.000 |10.000 U ffir x > 10.000 Man ermittelt: W ( G > 0) = 1 - W(2 ~< .~) = 1 - F(2") = 0 Die Wahrscheinlichkeit fiir einen Gewirm betrggt exakt 0. In d i e s e m Licht erscheinen SK und OL h6chst fragwiirdig, wenn die Unsicherheit explizit in Form von Wahrscheinlichkeitsverteilungen in die Betraehtung einbezogen wird.
252
Obtmgen zur Internen Unternehmensrechnung
Teilaufgabe d) Der entsprechende Preis erreehnet sich allgemein aus: (l+a)'
-KF+(I+fl)t.G
13 -
~?
+ (1 + z ) ' . k v
Ftir Tell 1) ist ~z= 0,05;/3 = 0; Z = 0,02, f'tir Teil 2) gilt a = 0,05;/3 = 0,1; Z = 0,02. Man erh~lt folgende Tabelle der kritischen Preisforderungen:
0
2.000
2.000
1
2.062,9
2.071,09
2
2.128,3
2145,5
3
2.196,3
2.223,37
Teilaufgabe e) Da die Absatzmengen risikobehaftet sind, ist auch der Gewinn stochastisch und ergibt sich zu:
~=d.~_K
~"
Da die Zufallsvariable Gewinn sieh aus einer linearen Transformation der Zufallsvariable "Absatzmenge" ergibt, ist der Gewinn normalverteilt mit:
E ( G) = Atd = d . At -
K F
=
900.11.000- 9.000.000 = 900.000
Var (G) = o.2 = d 2 "o.2 = 9002.(2.000) 2 = (1.800. 000) 2 Es handelt sich hier um ein Beispiel der analytischen Risikoanalyse, im Gegensatz zur Simulationstechnik (etwa Monte-Carlo-Verfahren).
Teilaufgabe J) Zu der normalverteilten Zufallsvariable (] l~isst sich die sog. standardisierte Zufallsvariable ~" gemgig folgender Transformation berechnen: -
d-#c O.G
Diese ist normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Standardabweichung 1. Mit einer Tabelle dieser Standardnormalverteilung oder einem Mathematikprogramm ermittelt man dann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten. Beispielsweise ergibt sich die Break-Even-Wahrscheinlichkeit zu:
Fallstudienzur lnternenUnternehmensrechnung
253
W(dli ~ 0)= 1- W(Gli _<0)= 1-¢010--~/G 1 k~c
J
= 1 - ¢D( - 0, 5 ) = 1 - (1 - ¢ o ( 0 , 5 ) ) = @ ( 0 , 5 ) = 0, 6 9 1 5
Analog:
W(0 <~Eli -1.000.000)
0,8544
Pr(Gl,0 >_-500.000)
0,7817
Pr((~l,o >_0)
0,691462
Pr((~l,o _>900.000)
0,5
Pr((~l,o _>2.000.000)
0,2706
Pr((~l,o _>5.000.000)
0,01136
Teilaufgabe h) W~iren die Deckungsbeitr~tge ebenfalls tmsicher und normalverteilt, erg~ibe sich der Gewinn als Produkt zweier normalverteilter Zufallsvariablen. Dieses Produkt ist nicht mehr normalverteilt mid far dieses Problem existieren nut noch eher unbefriedigende mualytische Ansgtze. I.d.R. wird man die Verteilung des Gewinnes fiber Simulationstechniken bestimmen.
Teilaufgabe i) Unter der Beachtung der ReproduktiviNtseigenschafl der Normalverteilung gilt, dass eine Summe bzw. Differenz zweier normalverteilter Zufallsvariablen ebenfalls normalverteilt ist. Ffir den hier vorliegenden Fall zweier Produkte erh~ilt man: 1,2 = d , .
+ d2.
ist normalverteilt mit:
- K,
-
254
121bungenzur IntemenUnternehmensrechnung
m,~ =d,.& + ¢ . & - x # - x ; 0-0~,2 = d~ .%2 +d22 .%2 +2.Cov(~l,~_2) 4 1 , 2 -- d~
.%2 +d~ . %2 + 2 . k 1, 2 . 4 . 4 . % . o - ~ 2
Far die gemeinsame Produktion von Produkt P1 und P2 ergibt sich:
kt01,2 = 1.800.000
4,~ =(2.mi.071,2) ~ Da das Risiko von P2 positiv mit Pt korreliert ist, ergibt sich neben dem verdoppelten Erwartungswert ein Gesamtrisiko des neuen Programmes, das hOher ist als die Summe der Einzelrisiken. Man erhglt folgende Wahrscheinlichkeiten fOr das neue Programm P1 und Pe: Pr(G1,a >_-1.000.000)
0,9086
Pr(G1.2 >-500.000)
0,8632
Pr(GI, 2 > 0)
0,8042
Pr(G~,2 >_900.000)
0,6658
Pr(G1,3 > 2.000.000)
0,462028
Pr(Gl, 2 _>5.000.000)
0,0638
Analog ergibt sich for die gelneinsame Herstellung von P1, P J: /2G ,,~ = 1.800.000 01,2 = (1.571.782, 4) 2
0 -2
Bei verdoppeltem Erwartungswert ergibt sich hier aufgmnd der negativen Korrelation ein niedrigeres Gesamtrisiko als im Fall des urspNnglichen Produktionsprogrammes. Analog dem Grtmdgedanken der Portfolio-Selektion kann dutch gemeinsame Produktion von P1 und P3 Risiko "wegdiversifiziert" werden. Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten ergeben sieh zu:
Fallstudien zur Intemen Untemehmensreel~atmg
Pr(G1,3 >_-1.000.000)
0,9626
Pr(GL.3 >-500.000)
0,9283
Pr(G1,3 >_0)
0,8739
Pr(GI,3 >_900.000)
0,71654
Pr(G1,3 > 2.000.000)
0,44937
Pr(G1.3 > 5.000.000)
0,02087
255
Teitaufgabe j) Entscheidungskriterium I: (Wahrscheinlichkeitsmaximierung bei vorgegebener Ergebnish6he). Die C. Z entscheidet sich fiir das Programm, bei dem die Wahrscheinlichkeit, einen positiven Gewinn zu machen, am h6chsten ist. Aus den Tabellen ergibt sich eine Entscheidung t'tir die gemeinsame Fertigung von P~ und P3. Entscheidungskriterium II: (Ergebnismaximierung bei vorgegebener Wahrscheinlichkeit). Aus einer Tabelle der Standardnormalverteilung ergibt sich gem/~i3 _ G - Pc~ Rir die gesuchte Wahrscheinlichkeit von 39,74 %, also ein z-Wert von (7 G
0,26. Damit ermittelt man: G L = 900.000 + 0,26.1.800.000 = 1.368.000 =
2.346.278,8
G1, 3 --
2.208.663,4
G1, 2
*
Die C.T. entscheidet sich f/Jr die gemeinsame Fertigung von P~ und P2. Risikoneutralit/~t: Gemeinsame Fertigung von P1 und P2 oder PC und P3 dominiert die ausschliegliche Fertigung von P1, da der Erwartungswert des Gewinnes doppelt so hoch ist. Zwischen diesen beiden Altemativen ist die C.T. allerdings indifferent. Spezielle Risikoscheu: (kt-or)-Prinzip: In diesem Fall ffillt die Entscheidung eindeutig zugunsten der gemeinsamen Fertigung von P~ und P3, denn dieses Programm weist neben einem gleich hohen Erwartungswert wie PI, P2 das geringste Risiko auf.
Teilaufgabe k) K6nnen alle drei Produkte gleichzeitig produziert werden, ergibt sich aufgrund der
ReproduktivitOtseigenschaft der Normalverteilung:
Diese Zufallsvariable ist normalverteilt mit:
256
Obungen zur Internen Unternehmensrechnung
=all'& 0.5G ],2,3
Xl
+d3"& x2
x3
+ 2. Cov(G 1, 02) + 2. Cov(G t, G 3) + 2. Cop(d2, d 3) Nach Einsetzen: P c ..... = 2.700.000 0 .2 = (1.800.000) 2 (71,2,3 Die gesuehten Wahrscheinliehkeiten sind dann:
Pr(GI,z,3 >-1.000.000)
0,9801
Pr(Gi,2,3 >_-500.000)
0,962
Pr(Gl,z, 3 > 0)
0,9332
Pr(G1,2,3 > 900.000)
0,8413
Pr(Gl,z, 3 > 2.000.000)
0,65 i32
Pr(GI,,2,3 > 5.000.000)
0,1006
Teilaufgabe l) Nach einem Blick auf die ermittelten Wahrscheinlichkeiten in den vier Tabellen k6nnte man vemmten, dass die gemeinsame Produktion aller drei Produkte stets vorgezogen wttrde. Denn die Wahrscheinlichkeiten dieser Gewinnverteilung liegen stets fiber denjenigen von al und a2 Dies ist aber ein Trugschluss. Wenn nur bekannt ist, dass die C. Z mehr Gewinn weniger Gewinn vorzieht, ist das einzige Kriterium zum Ausschluss von Altemativen die stochastische Dominanz erster Ordnung. FUr zwei Gewinnverteilungen a und b muss nach diesem Kriterium gelten:
W(G > G), > ( > ) W ( G > G)bVG. Wenn diese Ungleichung erftillt ist, dominiert Verteilung a Verteilung b (streng) im Sinne der stochastischen Dominanz erster Ordnung. Vergleich yon a3 mit al an der Stelle G = 8.100.000 : W(G > 8.100.000)~ 3 = 0,001349 < W(G > 8.100.000)a ~ = 0,001356 Zusammen mit den Tabellen far a3 mad al ---* keine stochastische Dominanz erster Ordnung zwischen a~ und al.
Fallstudien zur lntemen Untemehmensrechnung
257
Vergleich von a3 mit a2 an der Stelle G = -4.700.000 W((~ _> -4.700.000~ = 0,999980 < W(G > -4.700.000),~ = 0,999982 Zusammen mit den Tabellen f'tir a3 und a2 ---~keine stochastisebe Dominanz erster Ordnung zwischen a3 und a2. Dass zwischen al und a2 keine stochastische Dominanz erster Ordnung vorliegt, ergibt sich bereits aus den Tabellen f'tir al und a2. Fazit: Ohne Kermtnis der RisikoprN'erenz der C. T. kann keine der drei Altemativen ausgeschlossen werden. Es 1/isst sich allerdings zeigen, dass a3 ao in diesem Sinne dominiert (nicht verlangt).
Fallstudie 5:
Produktionsprogrammplanung unter Unsicherheit und Entscheidungsrelevanz fixer Kosten
Die Fallstudie behandelt Aspekte der Programmplanung unter Unsicherheit und der Entscheidungsrelevanz von Fixkosten, insbesondere die Entscheidungsrelevanz der Fixkosten in Abhi~ngigkeit vom unterstellten Kapitatmarktszenario. Eine Unternehmung stellt zwei Produkte her, deren Deckungsbeitr~ge und Fixkosten unsicher sind. Die Deckungsbeitr~ge, Fixkosten und Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zustfinde k6nnen Sie der nachstehenden Tabelle 1 entnehrnen.
Wahrscheinlichkeit fttr die Zustfinde Deckungsbeitrag Produkt 1 (x~) Deckungsbeitrag Produkt 2
Zustand 1 (01)
Zustand 2 (02)
0,5
0,5
12
22
5
40
192
1.000
(X2) Fixkosten
Beide Produkte k6mlen tmbeschrfinkt abgesetzt werden. Zu ihrer Herstellung wird eine Maschine ben6tigt, die im Planungszeitraum 1.000 h zur Verffigung steht, xl ben6tigt vier Stunden Bearbeitungszeit je Stfick auf dieser Maschine und x2 ben6tigt fiinfStunden. Die Fest|egung des Produktionsprogramms muss irreversibel erfolgen, bevor der tats~chliche Umweltzustand bekannt wird Daneben existiert ein Kapitalmarkt, an dem zwei Wertpapiere in beliebiger Menge ge- und verkauft werden k6nnen. Femer k6nnen die Wertpapiere in beliebiger Stfickelung gehandelt werden und sog. Leerverkfiufe sind zulgssig. Entnehmen Sie die relevanten Informationen bitte der folgenden Tabelle: Heutiger Preis
Rt~ckfluss t~
Rt~ckfluss 02
Wertpapier 1
0,75
5
1
Wertpapier 2
1
10
1
260
Ubungen zur InternenUnternehmensrechnung
a) Welches Produktionsprogramm realisiert die Untemehmung, wenn sie den Erwarttmgswert der unsicheren Gewinne maximieren mOchte? b) Welches Produktionsprogramm realisiert die Unternehmung, wenn sie den Erwarmngsnutzen von Zahlungen aus dem Produktionsprogramm maximiert und sich dabei an der Nutzenfunktion U = ~ orientiert? Zeigen Sie, unabh~tngig yon Ihrer L/3sung, mit Hilfe der beiden Bedingungen erster Ordnung und einem Lagrange-Multiplikator A, dass das yon Ihnen ermittelte Programm tats~ichlich optimal ist. Begr~lden Sie dann 6konomisch den Unterschied zum Programm unter a) (Hinweis: bei der 6konomischen Begffmdung gentigt eine verbale Darstellung der Effekte) [ c) Ermitteln Sie aus den Angaben das marktwertmaximalc Produktionsprogramm. d) Zeigen Sie, dass es fftr das Untemehmen tats~ichlich vorteilhaft ist, das marktwertmaximale Programm zu realisieren. Argumentieren Sie bei Ihrer Antwort mit Kapitalmarkttransaktionen! Etwaige tiberschtissige Mittel zum Beginn der Periode werden sicher angelegt. Erkl~en Sie schematisch, wie die sichere Anlage in diesem Fall aussieht. e) Wie lautet das marktwertmaximale Programm, wenn die Unternehmung zur Fertigung von xl und x2 zus~itzlich einen knappen Rohstoff einsetzt, von dem in der Planungsperiode 1.000 kg zur Verffigung stehen. Produkt xl ben6tigt 1 kg des Rohstoffes mad x2 10 kg des Rohstoffes je Stack. f) Erl~iutem Sie, warum die Untemehmung bei Marktwertmaximierung die Fixkostenstruktur K f = 92 und K f = 1.100 gegentiber der ursprtinglichen Fixkostenstmktur K ( = 192 und K f = 1.000 ablehnen wtirde, obwohl der Erwartungswert der Fixkosten unver~ndert 596 betr~igt. g) Wiederum sei nur die ursprangliche Restriktion relevant. Nehmen Sie aber alternativ an, dass die Fixkostenstruktur K ( = 1.000 und K~- = 3.000 vorliegt. Kolmnt es zu Anderungen im marktwertmaximalen Programm? (BegrUndung!) h) An beiden Produkten mtissen nach der Fertigstellung Qualit~itsprtifungen dutch produktunabhfingig vergtitete exteme Experten vorgenommen werden. Diese Kosten beeinflussen somit den Fixkostenblock. Dieser entspreche dem der Teilaufgabe g), d.h. K f =1.000, K f = 3.000. Wird Produkt x2 hergestellt, ver~indem sich die Fixkosten in beiden Umweltzust~inden nicht. Wird dagegen xl gefertigt, rechnet die Unternehrnung damit, dass der Bedarf fOr Qualit~ttsprtifungen im ZuKF 3000 stand 02 gem~B dem funktionalen Zusarm~enhang K f (x 1) = (1 + x 1) - (1 + x 1) im Zeitablauf sinkt, ist es vorteilhaft, Ver~nderungen am Produktionsprogramm vorzunehmen, wenn das Unternehmen den Marktwert maximiert? Interpretieren und begrfinden Sie Ihre L6stmg!
Fallsmdien zur Internen Untemehmensrechnung
261
MusterlSsung: Teilaufgabe a) Erwartungswertmaximienmg: Entscheidungskriterium ist der "'erwartete spezifische Deckungsbeitrag". Die Fixkosten sind irrelevant. Die erwarteten spezifisehen Deekungsbeitr~ige sind: E(a~) = 0,5.12 +40,5.22 = 4,25 < 4,5 - 0,5.5 +50,5.40 = E(d2 ) Das Produktionsprogramm, welches den erwarteten Gewinn maximiert, lautet demnach (x~* = 0, x2 * = 200).
TeilauJ~labe b) Bei Maximierung des Erwartungslmtzens und der Nutzenfunktion U = 4 ~ die Lagrangefunktion:
lautet
Max LG = 0 , 5 - / 1 2 .x I + 5. x 2 - 192 + 0,5. ~/22. x a + 40. x 2 - 1.000 + 2 - (1.000- 4. x I - 5. x 2) XI~X 2 ~ 0
Sind beide Produkte im optimalen Produktionsprogramm enthalten, folgt wegen stets positiver Deckungsbeitfftge x 2 = 2 0 0 - 0,8 .x~. Eingesetzt in die Zielfunktion ergibt sich:
Max LG = 0,5. ~/8 .x I + 808 + 0,5. ~/7.000 - 10.x a Die Ableitung nach xl ist:
dLG
8
dxl - 4.~/8.x 1 + 8 0 8
10 4.,jT.000-10.x l
=0
448.000 - 640. x 1 = 800- x I + 80.800 367.200 = 1.440.x I ~ x~ = 255 Dies steht aber im Widerspruch zur Fertigtmgsrestriktion, wonach maximal 1.000/4 = 250 Einheiten xl hergestellt werden kt~nnen. Es liegt also eine sogenannte RandtOsung vor und das optimale Produktionsprogramm lautet: xl = 2 5 0 u n d x : = 0.
262
Ubungen zur Internen Untemehmensreclmung
Der Nachweis, dass dies tatsachlich optimal ist, gestaltet sich wie folgt: OLG
12
OXl
4. @ 2 . x l + 5 . x 2 - 1 9 2
8LG
5
cTx2
4.~12.x l+5.x 2-192
OLG x,=250;x2=0
x1
OLG x,=2so;x2=o
cTx2
12 - 4 . ~ - 4. ~
5
+ +
22 _ 4.~/22.x I + 4 0 . x 2 - 1.000 40 4.~/22.x t + 4 0 . x 2-1.000
22 + 44. ~ 5 0 0 - -
4-2.=0 -5.i=0
4.2=0~A~0,0347
40 + 4- 4-~-~0 - 5.0,03471 = -0,00083 < 0
Die Herstellung von x2 wtirde die Zielerreichung der Untemehmung vermindem. Deshalb ist das oben ermittelte Programm tatsgchlich optimal. Das Arrow-Pratt-Marl der Wurzelfunktion ist A P M - -U"/U' = 1/(2.G). Je geringer der Gewinn, desto risikoscheuer ist die Untemehmung. Hohe Fixkosten verringern den Gewinn und verschieben die Bewertung der Oberschtisse in Bereiche hoher Risikoaversion. Dies ftihrt dazu, dass das sicherere Produkt xt vermehrt auf Kosten yon x2 produziert wird. Hier sind die Fixkosten also so hoch, dass die Produktion des unsichereren Produktes x2 ganz aufgegeben wird. Produkt x2 erzielt dagegen hohe Deckungsbeitr~tge in Zustand 02, wenn die Fixkosten ebenfalls hoch sind. Dies wiirde tendenziell die Produktion von x2 begtinstigen. Dieser positive Effekt aus der Herstellung yon x2 wird hier jedoch vom ersten Effekt dominiert. Teilaufgabe c)
Aus den gegebenen Preisen der beiden Wertpapiere sind die (heutigen) Bewertungsfaktoren ~ r jeweils eine zuktinftige Geldeirtheit im Zustand 01 bzw. 02 zu ermitteln. Dies geschieht ~iber folgendes Gleichungssystem:
(1) 5.pl+p2-0,75=o
(2) lO.Pl+P2-1=o 1
"'~ /~1 = 0 ' 0 5 " /~2 = 0,5 " - - - ~ ' - - - -
(1+i)
+f12=0,55
i=9=0,gi 11
Entscheidungskriterium ftir die Produktionsentscheidung sind in diesem Falle die Marktwerte der spezifischen Deckungsbeitr~ige der beiden Produkte. Sie lauten: W(cl, ) = 0,05-12 + 0,5.22 _ 2,9 < 4,05 - 0,05.5 + 0,5-40 = W(c~2) 4 5 Bei Marktwertmaximierung ist wiederum das Programm xl = 0 und x2 = 200 optimal.
Fallstudien zur Internen Unternehmensrechnung
263
Teilaufgabe d) Sei A die Matrix der Rackflttsse und A" deren Transponierte. Werm O1 und 02 eine beliebige, gewiinschte Rtickflussstruktur bezeichnen, ergeben sich die gesuchten Verh~iltnisse v~ und v2, in denen die beiden Wertpapiere erworben bzw. leer verkauft werden miJssen, zu:
-
-
-
-
V2
-- [ 0,2
-- 1
02
Die R~3ckflussstruktur und der Marktwert des marktwertmaximalen Programmes sind darm: 0 m(01) = (200- 5 - 192) = 808 /Qm (02 ) = (200" 40 - 1.000) = 7.000 W(~STm) = 0,05. 808 + 0,5.7.000 = 3.540,4 Die Rfickflussstruktur und der Marktwert des erwartungsnutzenmaximalen Progrmnmes betragen dagegen:
(2E(U)"a~(oI) = (250" 12-- 192) = 2. 808 oE(U)max (02) = ( 2 5 0 . 2 2 -- 1. 000) = 4.500
W(() e(uJ'"x) = O,05" 2. 808 + 0, 5" 4. 500 = 2. 390, 4 Um diese Oberschussstrukturen zu duplizieren, sind folgende Portefeuilles aus den beiden Wertpapieren zusammenzustellen: V = A' -J x O '~ Portefeuille 1 :
[11 r
v 2 =[_ 0,2
69.192 -ljXL7000j =
5 34.192 5
V = A ' - I x/~E(U)max
Portefeuille 2:
E'I
v2 - [ _ 0 , 2
42.192 - 1 x[_4.500j=
5 19.692 5
264
Ubungen zur Internen Unternehmensrechntmg
Wenn das Untemehmen das Portefeuille 1 leer verkauft trod gleiehzeitig das Portefeuille 2 erwirbt und das marktwertmaximale Programm fertigt, sind die Oberschusspositionen am Ende der Periode ftir 0r und 02 : ~(0~) = 808 - 808 + 2.808 = 2.808 U(O2) = 7.000 - 7.000 + 4.500 = 4.500 Das marktwertmaximale Prograrnm liefert bspw. in 01 einen Zahlungsttberschuss von 808, der jedoch zur Bedienung des Leerverkaufs ben6tigt wird. 2.808 Geldeinheiten fallen aus dem gekauften Portefeuille an. Im Zeitpunkt 0 sind jedochJ?eie Mittel in H6he yon 3.540,4 - 2.390,4 = 1.150 verfiigbar. Dies ist die Differenz zwischen den heutigen ErlOsen f'tir das leer verkaufte Portefeuille und dem Kaufpreis des Portefeuilles, das die erwartungsnutzenmaximale Oberschussstmktur dupliziert. Der sichere Zinssatz betr/igt i = 9/11. Die siehere Anlage erbringt dann zus~itzliche Geldmittel in H6he von 1.150.9/11 = 940,91. Fertigung des marktwertmaximalen Programms ist also strikt vorteilhaft, da es bessere Konsumm6glichkeiten implizieren wtirde. Ein sicheres Wertpapier existiert zwar auf dem Kapitalmarkt nicht, jedoch l~isst sich die sichere Oberschussstrtcktur 2.090,91 aus einem entsprechenden Portefeuille herstellen. Seine Zusammensetzung ist: V = A '-1
x/~rSicher
sicheres Portefeuille:
r o9o9,7
v2
L 0,2
- 1 x L2090,91 j
Teilaufgabe e) Im Lehrbuch ist erwNant, dass ein wesentlieher Vorteil der Marktwertmaximierung darin besteht, dass sieh die bekannten Planungsans~itze unter Sicherheit in modifizierter Form weiter anwenden lassen. Hier tritt eine weitere Mehrproduktrestriktion auf, die zu einer unterschiedlichen Rangfolge der Marktwerte der Deekungsbeitr~tge ftihrt, denn es gilt: W(St1) = 2,9 < 4,05 = W(d 2) Restriktion 1 W(~I ) _ 11,6 _ 11,6 > 1
20,25 10
- 2,025 = W(d 2 ) Restriktion 2
Die L6sung dieses Problems ist daher mit dem Simplex-Algorithmus zu bestimmen. Die Zielfunktion besteht aus der Maximierung der Marktwerte der Deckungsbeitr~ige. Folgendes Ausgangstableau l~isst sich aufstellen:
Fallstudien zur Internen Untemehmensrechnung xl
x2
wl
w2
RS
4
5
1
0
1.000
Restriktion 1 Restriktion 2
1
10
0
1
1.000
Zielzeile
-11,6
-20,25
0
0
- 509,6
265
Dabei bezeichnet der negative Koeffizient in der Spalte RS den Marktwert der Fixkosten 0,05.192 + 0,5.1.000 = 509,6. 1. Iteration:
Restriktion 1
x/
x2
wl
w2
RS
3,5
0
1
-0,5
500
x2
0,1
1
0
0,1
100
Zielzeile
-9,575
0
0
2,025
1515,4
2. Iteration (Endtableau): x~
x2
wl
7/2
RS
xl
1
0
2/7
-1/7
142,8571
x2
0
1
-2/70
8/70
85,71543
Zielzeile
0
0
2,7357
0,6571
2.883,257
Unter Berticksichtigung der zus~itzlichen Restriktion werden in einem marktwertmaximalen Programm also beide Produkte hergestellt. Das Produktionsprogramm lautet xj = 142,8571, x2 = 85,71543 und der maximale Marktwert betr~igt 2883,257. Die inputbezogenen Opportunitfitskosten geben dann Marktwertsteigerungen an, die sich aus der Lockerung der j eweiligen Restriktion ergeben.
Teilaufgabe J) Die Fixkostenstruktur K~ F = 92,/£2 F = 1.100 verschiebt 100 Fixkosten von dem Zustand, in dem der Markt negative Geldbetr~ige sehr niedrig bewertet (0,05), in den Zustand, in dem der Markt negative Betrage hoch bewertet. Der Marktwert der Fixkosten steigt yon 509,6 auf 0,05.92 + 0,5.1.100 = 554,6. Dies ftihrt c. p. zu einem sinkenden Marktwert.
Teilaufgabe g) Die Erh6hung des Fixkostenblocks hat keine Konsequenzen, denn Fixkosten, gleichgtiltig ob deterministisch oder stochastisch, spielen bei der Marktwertmaximierung aufgrund der Wertadditivitiit keine Rolle.
266
Obungen zur Internen Unternehmensrechnung
Teilaufgabe h) In diesem Aufgabenteil wird ein eher "strategisch" ausgerichteter Effekt zwischen den stochastischen Fixkosten und dem Produktionsprogramm analysiert. Hierdurch soll verdeutlicht werden, dass sich aufgrund der Linearitgit des Ansatzes der Marktwertmaximierung auch komplexere Fragestellungen noeh relativ einfach 16sen lassen. Die Zielfunktion ist: 3.000 LG = 11,6. x 1 + 20,25. x 2 - 0,05.1.000 - 0,5. (1 + x 1) + A.. (1.000 - 4. x I - 5. x 2) x 2 = 200 - 0,8. x 1
LG = - 4 , 6 . x 1 + 4.000 8 LG Ox1
1.500 -4'6+(1+xl)2
1.500 (1 + x 1) , 0---~xl
1/~-.500 "V! 4,6 - 1
17,057---~x 2
186,3544
Um den Fixkostendegressionseffekt ausztmutzen, ist es jetzt vorteilhaft, in gewissem Umfang xl herzustellen. Die Ableitung nach Xl l~isst sich ftir die strategische Oberlegung sehr anschaulich interpretieren. -4,6 ist der Marktwertverlust, den die Herstellung einer Einheit x~ unter Bert~cksichtigung der Fertigungsrestriktion naeh sich ziehen wih'de. Er entspricht den inputbezogenen Opportunit~tskosten (Schattenpreis) der Herstellung einer Einheit x~ anstatt x2 bei ausgesch6pfter Kapazit~tt, d.h. 11,6 (4/5).20,25 = -4,6. Fttr konstante Fixkosten unterbleibt also die Fertigung yon xl. Die Grenzfixkostenerspamis aus der Fertigung yon xl ist 1.500/(l+xD 2 im Zustand 02. Das Produkt xl wird also so lange ins Produktionsprogramm aufgenommen, bis die Grenzfixkostenerspamis den inputbezogenen Opportunit~itskosten entspricht.
Fallstudie 6:
Ausgew ihlte Aspekte des Zielkostenmanagements (Target Costing)
Die Faltstudie untersucht einige Aspekte des derzeit oft diskutierten ZieIkostenmanagements. U. a. werden das Zielkostendiagramm, die Market into Company Merhode und der Einfluss asymmetrischer Information zwischen Zentrale und Konstrukteuren analysiert. Seit Jahren bewegt sich das alteingesessene Unternehmen Schaufele & Pfleiderer (S & P) in den roten Zahlen. Der kiirzlich eingetretene Juniorchef Fritz Pfleiderer, ein MBA-Absolvent der European Economic Academy in Bingen, m6chte neuen Wind in die Geschicke der S & P bringen. Fiir die Neuentwicklung eines Produktes, das aus 5 Komponenten besteht, soll bei der S & P erstmals das Konzept des Zielkostemnanagements angewandt werden. Von ibm verspricht sich Fritz die L6sung aller Probleme. Er zieht die Unterlagen einer alten Case-Study aus seinen Studientagen heraus und ermittelt ftir das neue Produkt folgende Werte: Komponente
Kostenanteil (absolut)
Nutzenanteil (in %)
Zielkostenindex
1
1.000 C
6,67
?
2
2.000 C
13,33
?
3
3.000 t~
20
?
4
4.000 t~
26,67
?
5
5.000 C
33,33
?
Standard Cost
15.000 C
100 %
?
Die Daten der von Dipl.-Kfm. R. Edlich geleiteten Marktforschungsabteilung haben "Allowable Costs" yon 12.000 ~ ergeben. Laut Fritz' damaliger Case-Study wurde anschlieBend ein Zielkostendiagramm entwickelt. Nach langer lSberlegung, legt Fritz per Ftkhrtmgsentscheidung den q-Wert far das Zielkostenkontrolldiagramm auf q = 30 % fest und gelangt sornit zu folgender Abbildung:
268
Obungen zur IntemenUntemehmensreclmung
Kostenanteil in % 120
Zielkostenzone
I
100
80-
60-
40
20-
% 0 0
I
l
/
I
I
I
~
I
I
10
20
3g
40
50
60
70
80
90
I 1O0
a) Tragen Sie die ermittelten Werte der Zielkostentabelle in geeigneter Form in die Abbildung ein. Welche Feststellung wird Fritz vermutlich machen? b) Erl~iutem Sie anhand der Ergebnisse unter a) zwei wesentliche Schwttchen des Zielkostenkontrolldiagramms. c) Unter anderem lassen sich Zielkosten investitionstheoretisch interpretieren. Es liege eine Sicherheitssituation vor und der Marktpreis p sei gegeben. Ferner gilt: T-- Laufzeit des Projektes p = Preis x = sichere, identische Absatzmenge far jede Periode q = (1+i) (i = sicherer Kalkulationszinsfug) kv = sichere, variable Kosten, konstant in jeder Periode K F = Fixkosten
I = Investitionsauszahlung Am Ende der Laufzeit ist das [nvestitionsobjekt wertlos. Leiten Sie mit Hilfe der angegebenen Symbolik eine allgemeine Beziehung zwischen dem Marktpreis p und einem dynamischen Vollkostensatz her. Wie hoch sind aufgrund dieser Beziehungen die Zielkosten und welcher Bestmldteil der traditionellen Vorgehensweise des Target Costing l~isst sich in diesem Zusammenhang nicht theoretisch schltissig integrieren ? d) Wtirde die S&P far T=2 p=26006 x = 100
Fallstudien zur InternenUnternehmensrechnung
269
q = 1,2 kV=25 K F = 10.000 e I = 100.000 das Projekt durehffthren? e) Wie sind ihre Ergebnisse unter c) zu modifizieren, weml Sie einen geplanten Mindestkapitalwert K W in die Analyse einbeziehen? Wie hoch sind in diesem Fall die Zielkosten? Wfirde die Untemehmung bei einem geforderten K W = 400.000 C far die konkreten Werte unter d) das Projekt weiterhin durchfahren? Worin liegt die Okonomische Problematik eines solchen Mindestkapitalwertes im untersuehten Szenario? Argumentieren Sie mit dem konkreten Ergebnis aus d). Fritz Pfleiderer wird die Methode des Zielkostenmanagements allm/ihlich suspekt. Zu allem Oberfluss weist itm der erfahrene Dipl.-Kfm. G. Ewiefi darauf hin, dass
seine ganzen bisherigen Oberlegungen einen wichtigen Faktor ~ibersehen haben. Konstruktionsanstrengungen, um die Zielkosten zu erreichen, mtissen vom Ingenieur Tiifiet erbracht werden. Der freiberuflich t/itige T~ftel gilt als der fahrende Experte far kostensenkende Konstruktionsantrengungen. Entsprechend hoch sind seine Honorarforderungen. G. Ewiefi bemerkt, dass v611ig unklar ist, in welchem AusmaB T~fiel zu solchen Anstrengungen angehalten werden soll. Nach diesem Einwand wgchst Fritz Pfleiderer das Zielkostenmanagement des neuen Produktes fiber den Kopf. Er setzt G. Ewiefi als Projektleiter ein und widmet sich selbst eher strategischen Fragen. G. Ewieft geht davon aus, dass far das neue Produkt folgende Kostenfunktion gilt: K=k.x=
-a
.x
Dabei bezeichnet c > 0 eine Konstante, 0 > 0 einen Technologieparameter, x die Produktionsmenge des Produktes und a die Konstruktionsanstrengung des Tiifiel. Die Nachfrage nach dem Produkt kann durch folgende lineare Preis-AbsatzFunktion (PAF) abgebildet werden. x ( p ) = A - p, A > 0
Weiterhin geht G. Ewiefi davon aus, dass TiifieI bei Konstruktionsanstrengungen Arbeitsleid gem~il3 folgender Funktion empfindet: V(a) = a 2
Ftir seine Konstmktionsanstrengungen erh~ilt TiifieI das Honorar s. Tiifiel wird ferner nur zur Mitarbeit bei der S & P bereit sein, wenn die Vergtitung durch das Unternehmen ihm mindestens seinen anderweitig am Beratungsmarkt erzielbaren Nutzen U garantiert. Dieser sei U = 0. FOr die Nutzenfunktion des T~fiel gelte: U = s- V(a)
270
I~oungen zur IntemenUnternehmensrechnung
G. Ewieft geht davon aus, dass sowohl er als auch Titfiel V(a), A, c und 0 kennen sowie K, p, und x zweifelsfrei beobachten k6nnen. Die Konstruktionsanstrengungen a des Tafiel sind dagegen durch G. Ewieft nicht beobachtbar. f) Formulieren Sie aufgrund dieser Angaben die Gewinnfunktion der S & P. Gehen Sie davon aus, dass in dieser Gewinnfunktion stets U = 0 gilt, da der Nutzen von Tiiflel ein Kostenfaktor Far G. Ewieft ist. g) Liegt aufgrund der Unbeobachtbarkeit von a eine far das Problem relevante Form der asymmetrischen Information zwisehen G. Ewie/l und Titfiel vor? h) Ermitteln Sie aus der Gewinnfunktion die Bedingtmgen erster Ordnung far den optimalen Preis p und die optimalen Sttickkosten k und interpretieren sie diese 6konomisch. Verwenden Sie hierzu die atlgemeine Formulierung der PAF, d.h.
x(p). i) Als Fritz Pfleiderer Ihre Ergebnisse tinter h) zu Gesieht bekommt, ist er begeistert. Er glaubt, dass sich die sogenannte Subtraktionsmethode des Target Costing gem~il3 Market-Into-Company direkt aus der Bedingung erster Ordnung far den Preis ergibt. Bei dieser Methode wird vom Marktpreis p ein Zielgewinn z abgezogen. Die daraus resultierenden Stfickkosten k sollen insgesamt eine optimale Politik sicherstellen, d.h. p - z = k. Leiten Sie einen solchen Zusammenhang aus der Bedingung erster Ordnung tar den Preis her. Erscheint Ihnen Pfleiderers Optimismus gerechtfertigt? j) Bestimmen Sie den optimalen Preis und die optimalen Stfickkosten allgemein und far die konkreten Werte c = 100.000, A = 10.000. Der Technologieparameter k/Jnnte dabei die beiden Werte 0l = 20 trod 02 = 25 annehmen. Begffmden Sie 5konomisch, warum far die bessere Teehnologie 02 = 25 hOhere Konstruktionsanstrengungen untemommen werden, obwohl die bessere Technologie "sowieso" schon zu geringeren Sttickkosten fahrt. k) Nehmen Sie jetzt an, dass G. Ewiefi den Technologieparameter nicht mehr kennt, sondem nur mit Wahrscheinlichkeit v davon ausgeht, dass 01 = 20 vorliegt. Tiff-
tel kennt dagegen den wahren Wert 0 genau. Nehmen Sie an, dass G. Ewiefi sich von Titfiel einen Bericht 0 B fiber 0 vorlegen Nsst. G. Ewiefi setzt diesen Bericht in die Kostenfunktion K = (c / 013 - a).x ein und bestimmt wie unter h) (insbesondere U = 0 )
einen optimalen Preis p*(O 8)
und optimale Stfickkosten
k* (0B). Diese Sttickkosten erh~ilt Tiiftel dann als Vorgabe (Kostenbudget). Besteht far T~ftel bei diesem Arrangement ein Anreiz, wahrheitsgemN3 ~iber 0 zu berichten, falls 02 = 25 der wahre Technologiezustand ist? Berectmen Sie hierzu den Nutzen von T~fiel bei wahrheitsgemgl3er Berichterstattung und bei Falschberichterstattung. Begrttnden Sie Ihre Resultate 6konomisch.
Failsmdien zur lnternen Unternehmensrechnung
271
Musterl6sung:
Teilaufgabe a) Zur Bestimmung des Zielkostenindex sind zun~tchst die prozentualen Kostenanteile zu bestimmen. Diese bestimmen sich aus dem Verh~tltnis des absoluten Kostenanteils zu den "Standard- oder Drifting Costs" yon 15.000 t~. Komponente 1 :
1.000 15.000
- 0, 0667; Komponente 2 :
2.000 15.000
- 0,1333, usw.
Der Zielkostenindex ist dann das Verh~iltnis von Kostenanteil (in %) zu Nutzenanteil (in %). Man erNilt: Zielkostenindex
1 1 1 1 1 1 Alle Komponenten haben einen Zielkostenindex yon 1.
Teilaufgabe b) Kritik 1: Ergibt sich aus Teilaufgabe a). Die Standardkosten von 15.000 t~ t~bersteigen die Zielkosten in H6he von 12.000 • um 3.000 C. Trotzdem scheint sich aus dem Zielkostendiagramm zu ergeben, dass keinerlei Handlungsbedarf vorliegt. Kritik 2: Willkttrliche Festlegung des Parameters q. Warum soll etwa bei einer Komponente mit einem Kostenanteil von 20 % und einem Nutzenanteil yon 30 % nichts unternommen werden?
272
Obungen zur Internen Untemehmensrechnung
Teilaufgabe c) Investitionstheoretische Betrachtung: 7-
t=l
-_E(p- k ~). x - K ~ l eBF(q,r) >_i p > k V+
KF
+
I.WGF(q,T)
X
-~ p = ff fftr K W = O
X
¢, RBF_qr-1,.WGF - i.qr
1_
i.q r
RBF
qr_l
Man erMlt einen dynamischen Vollkostensatz, der durch das Produkt mindestens gedeckt sein muss, damit die Investition vorteilhaft ist. Verwirklicht werden alle Projekte mit K W > 0, so dass letztlich gilt p = / ~ . Often bleibt, wie in einer solchen Vorgehensweise ein Zielgewinn sinnvoll untergebracht werden kann. Teilaufgabe d)
Man erhfilt for das konkrete Zahlenbeispiel: 100. 000. / (1, 2)2_"0, 2] /£=25+10"000~ ~ (1'2)2-1)-779,55 100 100 Da p = 2.600 > 779,55, ist das Projekt vorteilhaft. Teilaufgabe e)." Unter Einbeziehung eines Mindestkapitalwertes lautet der Ansatz: r
t=l
p>_kv + K F + ( I + K W ) . W G F ( q , T ) X
X
/~' = 25 + 100 + (500. 000. WGF(1, 2,2) _ 3.397, 72 > 2.600 = p 100 Bei einem geforderten Mindestkapitalwert von 400.000 wird das Projekt unterlassen. Hierbei offenbart sich die Problematik dieser Vorgehensweise. FOx das Projekt gilt
Fallstudien zur Internen Untemehmensrectmung
273
gem~B Teilaufgabe d) offensichtlich KW > 0. Ohne zus~itzliche Angaben sollte es also durchgefiihrt werden. Z w a r kann man einen Mindestkapitalwert bspw. mit Kapitalknappheit begranden, in j e d e m Fall sollte dieser Mindestkapitalwert sich dann aber endogen aus d e m Model1 ergeben und nicht einfach exogen eingef'tihrt werden.
Teilaufgabe J) Mma ermittelt aus der Aufgabe folgende Zielfunktion der
S & P:
G=p.x(p)-K-s u. d. Nebenbedingung: U = s - a 2 _>U = 0 ~ s = a 2 (siehe unten)
--~ G= p. x ( p ) - I o - a ) . x ( p ) - a 2 G=p.(A-p)-
-a
.(A-p)-a2;
G =p.(A-p)-k.(A-p)-
a=-~-k
-k
Dies gilt, well nach Aufgabenstellung U = 0 gilt. Dann ist U = s - a 2 = 0 --~ s = a z . Die 6konomische Begr~indung (nicht gefragt) folgt aus Teilaufgabe g). Kann G. Ewiefi a implizit aus d e m Zusammenhang a = e / O - k beobaehten, wird er Tiifiel nie mehr als seinen Reservationsnutzen zubilligen.
Teilaufgabe g) Es liegt keine fiir das Problem relevante Form der asymmetrischen Information zwischen TiifieI und G. Ewieft vor. Denn G. Ewieft kann bei Kenntnis von O, x und K = k . x gemfii3 a = c / 0 - k eindeutig auf a schliel3en. Die Gr613e a ist also implizit beobachtbar.
Teilaufgabe h) Die beiden Bedingungen erster Ordnung unter Verwendung der allgemeinen P A F
x( p )sind G = p . x ( p ) - k. x ( p ) OG --=p.x'+x-k.x'=O Op =-x+2. Ok
-k
=0
-k
274
f2Poungenzur Internen Unternehmensreclmung
Die Bedingung far den Preis ist die bekannte Bedingung far den optimalen Preis eines Monopolisten, d. h. "GrenzerlOs = Grenzkosten". Die Bedingung far die Stt~ckkosten k besagt, dass das Grenzhonorar des T~ftet fox Konstruktionsanstrengungen V' (a) = 2. (c / 0 - k) im Optimum der Grenzersparnis -x aus diesen Anstrengungen entsprechen muss.
Teilaufgabe i) Die Subtraktionsmethode lautete laut Aufgabenstellung p - ~ -- k. Dividiert man die Bedingung erster Ordnung ~ r den optimalen Preis durch - x ' , erh~tlt man: =P--
X
Op
X
= ~C- a
Hieraus erkl~rt sich Pfleiderers Begeisterung, denn durch diese Formuliemng scheint die Subtraktionsmethode in ihrer Reinform bestfitigt zu werden. Vom marktbestimmten Preis p muss ein Zielgewinn ( x / - x ' ) > 0 abgezogen werden, um zu Sttickkosten k zu gelangen, die letztendlich eine optimale Politik sicherstellen. Dabei hfingt die linke Seite ausschliei31ich vom Absatzmarkt ab und scheint somit die Market into Company Methode zu rechtfertigen. Das erweist sich jedoch als Trugschluss, denn diese Gleichung l~sst vollkommen often, welcher Preis eigentlich gew~hlt werden soll. Die Sttickkosten k sind n~xnlich nicht gegeben, sondern far sie existiert eine eigene Optimierungsbedingung. Dies wird schnell Mar, wenn man die Optimalbedingung far die S~ckkosten in die Optimalbedingung fOx den Preis einsetzt. Es ergibt sich:
[2(O J=k
Um zu einer optimalen Politik zu gelangen, m(issen die beiden Bedingungen erster Ordnung simultan gel6st werden. Dies ergibt sich daraus, dass die optimalen Anstrengungen erst dram bestimmt werden k61men, wenn die optimale Menge bekannt ist et vice versa. Erst nach L6sung des Gesamtsystems l~tsst sich der oben beschriebenen Zusammenhang sinnvoll ausfallen, doch kann die optimale L6sung niemals mit der Subtraktionsmethode allein gefunden werden. Diese L6sung hgngt letztlich von Faktoren innerhalb des Unternehmens, insbesondere den Anstrengungen a, aber auch den Gegebenheiten des Absatzmarktes ab. Letztlich sprechen die beiden Bedingungen also viel eher f'OXeinen "Into and Out of Company"-Ansatz.
Fallstudien zur Internen Untemehmensrechnung
275
Teilaufgabe j) Zur Herleitung einer allgemeinen L6sung verwendet man folgende Gewinnfunktion:
G=p.(A-p)-k.(A-p)-
-k
Die Bedingungen erster Ordnung sind:
dG -A-2.p+k=O dp dG-
L6sung dieses Gleichungssystems ergibt:
p* -
A.O+2.c 4.c-A.O k* = 3.0 " 3.0
A.O-c ;--+ a" - - 3.0
Ffir die beiden konkreten Auspr~igungen der Technologie ergibt sich: Gr6Be p*
0 = 20
0 = 25
6.666,67
6.000
k*
3.333,34
2.000
a*
1.666,67
2.000
Die hOheren Konstruktionsanstrengungen im Fall der besseren Technologie 0 = 25 lassen sich wie folgt begriinden: Eine bessere Technologie ~hrt bereits far sich genommen zu geringeren Stfickkosten/Grenzkosten. Diese haben aber einen geringeren Preis und eine h6here Menge x zur Folge. H6here Mengen x erh6hen jedoch die Grenzersparnis aus Konstruktionsanstrengungen a. Deshalb ist es vorteilhaft, gerade fttr gfinstige Technologien hohe Konstruktionsanstrengungen zu untemehmen.
Teilaufgabe k) Jetzt liegt tatsfichlich asymmetrische Information zwischen G. Ewieft trod Tiifiel vor, denn T~ifiet kann nicht mehr aus den ex post beobachteten Stfickkosten auf das tatsgchliche Anstrengungsniveau schlieBen, wenn er 0 nicht kennt. Die Aufgabenstellung gibt an, dass sich G. Ewiefi wie im Fall der symmetrischen Information verh/ilt. Fall 1: Tiiftel berichtet wahrheitsgemfil3 0 B = 0 = 25.
276
Obungen zur Imemen Unternehmensrechnung
Aus Teilaufgabe j) folgt dann: Gr6Be
0 = 25
p*
6.000
k*
2.000
a*
2.000
T @ e l erhielte eine Stfickkostenvorgabe von k* = 2.000 und ein Honorar in H~She von V(2.000) = 2.0002 . Er mfisste Anstrengungen yon a = 100.000 / 25 - 2.000 = 2.000 erbringen und sein Nutzen betr~igt U = s - V ( a ) = 20002 - 20002 = 0. Fall 2: Tiifiel berichtet falsch, 0 ~ =
201o= 25.
Aus Teilaufgabe j) folgt dann:
Gr/313e
0 = 20
p*
6.666,67
k*
3.333,34
a*
1.666,67
Er erhielte die Kostenvorgabe k* = 3.333,34 und das Gehalt s = (1.666,67) 2 . Damit man ihn ex post nicht der offensichtlichen Falschberichterstattung fiber~hren kann, muss aus seiner Sicht gelten: a = 100.000 / 25 - 3.333,34 = 666,67.
T~ftel kann also die ftir den schlechten Technologiezustand gedachten Stfickkosten k* = 3.333,34 mit Anstrengungen erreichen, die um 1.000 niedriger sind als diejenigen, die n6tig gewesen w~iren, wenn tats~tchlich der schlechte Technologiezustand vorgelegen hare. Der Nutzen des Tafiel ergibt sich dann zu: U = s - V(a) = (1.666,67) 2 - (666,67) 2 > 0 Dieser Nutzen ist positiv, weil das vergfitete Arbeitsleid deutlich fiber dem tats/ichlich empfundenen liegt. Tafiel erzielt eine 6konomische Rente aus der asymmetrischen Information, d. h. einen die Vergfitung seines Arbeitsleides tibersteigenden Betrag. Deshalb ist Falschberichterstattung bei diesem Arrangement far ihn dominant besser.
Fallsmdien zur InternenUnternehmensrechnung
277
Hinweis: Sie kOrmen der Fallstudie "Controlling im 6ffemlichen Sektor" sowie dem Modell zu Verrechnungspreisen bei asymmetrischer Information in Kapitel 11 des Lehrbuchs entnehmen, wie sich G. Ewieft in diesem Szenario verhalten sollte.
Fallstudie 7:
Abweichungsanalysen und deren Auswertung
Die vorliegende Fallstudie befasst sich mit Abweichungsanalysen in der Fertigungsund in der Vertriebsabteilung eines Unternehmens. Die einzetnen Analysemethoden werden anhand unterschiedlicher Bezugssysteme und BezugsgrO'flen variiert. Auflerdem ist ein Modell zur Auswertung yon Abweichungen zu analysieren. In der Rayer AG, einem Unternehmen der kunststoffverarbeitenden Industrie, soll dem Kontrollaspekt verstfirkt Rechnung getragen werden. Deshalb werden in verschiedenen Unternehmensteilbereichen Abweichungsanalysen durchgeRihrt. a) In der Fertigungsabteilung Nhrten teehnische Schwierigkeiten an einer Masehine zu einer Verschlechterung des Ausbeutegrades von in Serie gefertigten Spezialfolien. Um die ursprtinglich geplante Menge von 10.000 Spezialfolien zeitgerecht an den Abnehmer liefem zu k6~men, wurden die aufgetretenen Probleme fiber eine Erh6hung der Intensit~it zu korrigieren versucht. Die Plan- und tstdaten der Fertigungsabteilung lauten im einzelnen wie folgt:
Plan
Ist
10.000 Sttick
10.000 Stack
Seriengr613e (Sttick je Serie) s
25
40
Dauer eines Umrtistvorgangs t (Stunden)
0,6
0,6
Ausbeutegrad a
80%
50%
Intensitgt (Sttick/Stunde) z
100
160
Rtiststundensatz (variable Kosten) r
400
400
Maschinensmndensatz (variable Kosten) m
600
600
Produktionsmenge x
FOJaren Sie auf der Basis eines Ist-Soll-Vergleichs mit Planbezugsgr~Jl~en far die Rtistkosten Abweichungsanalysen gem~iB allen Ihnen beka~mten Methoden durch! Beachten Sie dabei auch unterschiediiche Reihenfolgen der Einzelabweichungen! b) Fahren Sie mit Hilfe der Daten aus Teilaufgabe a) auf der Basis eines Soll-IstVergleichs mit Istbezugsgr~llen far die Ausftihrungskosten Abweichungsanalysen gemfig der alternativen Methode und gem~tl3der kumulativen Methode durch! Beachten Sie auch hier unterschiedliche Reihenfolgen der Einzelabweichungen!
280
l)bungen zur IntemenUnternehmensrechnung
c) Ftihren Sie nun auf der Basis eines Ist-Soll-Vergleichs mit Planbezugsgr~flen ftir die R~istkosten eine Abweichungsanalyse gem~iB der kumulativen Methode durch unter der Annalvne, dass der Istrtiststundensatz r t den Wert 500 annimmt, alle anderen Angaben aus Teilaufgabe a) jedoch unverLrtdert gelten! Beachten Sie dabei wiederum unterschiedliche Reihenfolgen der Einzelabweichungen[ d) Die Rtiststundensatzabweichung Ar soll einer genauen Auswertung unterzogen werden. Die Unternehmung ver~gt tiber eine Auswertungsmagnahme, welche die tats~ichlichen Abweichungsursachen perfekt aufzudecken imstande ist und Auswertungskosten in HOhe von A K > 0 verursacht. Es wird davon ausgegangen, dass die Abweichung entweder nur kontrollierbare oder nur nicht kontrollierbare Ursachen haben kann. Dabei sei ~ (0 < ¢ < 1) die Wahrscheinlichkeit daffir, dass die Abweichung Ar auf nicht kontrollierbaren Ursachen beruht. Hat die Abweichung kontrollierbare Ursachen, dann bestehen Eingriffsm6glichkeiten seitens des Unternehmens. Aus der Behebung der Fehlerursachen kann in diesem Fall ein Auswertungserfotg in H6he von A E > 0 erzielt werden. Weiterhin sei unterstellt, dass die Auswertungskosten A K unabh~tngig vonder AbweichungshOhe sind, dass aber der Auswertungserfolg A E linear yon der Abweichungsh6he abh~tngt. Es sei also: AE(Ar) - ~z.lAr[
(cz> 0)
(1) Stellen Sie die beiden Handlungsaltemativen "Auswerten" (Alternative I) und "Nicht auswerten" (Alternative II) in Form einer geeigneten Entscheidungsmatrix dar. (2) Zeigen Sie in allgemeiner Form for einen risikoneutralen Entscheider auf, welchen Wert die Wahrscheinlichkeit ¢ maximal annehmen darf, damit Alternative I gegentiber Alternative II vorteilhaft ist! Unterstellen Sie dabei, dass 0 < A K < AE!
(3) Zeigen Sie in allgemeiner Form ftir einen risikoneutralen Entscheider auf, welchen Wert die Abweichungsh6he mindestens annehmen muss, damit Alternative I gegentiber Alternative II vorteilhaft ist! FOr welche Altemative entscheidet sich ein risikoneutraler Entscheider, falls A K = 400; cz = 10; ~ = 0,7 und Ar = 100? Wie beurteilen Sie die Aussageffihigkeit des bier verwendeten Auswertungsmodells beziiglich der in der Praxis h/iufig verwendeten Entscheidungsregel, nut solche Abweichungen weiter auszuwerten, die einen bestimmten absoluten Weft ~ibersteigen? e) Nicht nur in der Fertigungsabteilung, sondem auch in der Vertriebsabteilung wetden Abweiclmngsanalysen notwendig. Zeigen Sie mit Hilfe der Produktdaten in nachstehender Tabelle auf, wie rich die Gesamterl6sabweichung eines bestimmten Produktes auf der Basis eines Soll-Ist-Vergleichs mit IstbezugsgriiBen nach der differenzierten Methode in eine exteme (nicht kontrollierbare) und eine interne Abweichung zerlegen l~isst! !nterpretieren Sie kurz das Ergebnis! Welche zus~itzlichen Informationen ben6tigen Sie, dmnit Sie die interne Abweiehung welter zerlegen k6nnen? Warum sind Sie auf diese Informationen angewiesen?
Fallstudien zur Intemen Unternehmensrechnung
Plan
281
Ist
Produktpreis p
306
294
Absatzmenge x
6.000
6.270
B r a n c h e n p r e i s pm
340
300
M a r k t v o l u m e n Xm
60.000
66.000
f) Z e i g e n Sie auf, wie sich die e x t e m e A b w e i c h u n g in Teilaufgabe e) a u f der Basis eines S o U - I s t - V e r g l e i c h s m i t Istbezugsgr~JBen n a c h der s y m m e t r i s c h e n Methode welter zweckmgBig zerlegen l~tsst! Ftir welche F u n k t i o n der K o n t r o l l e ist diese A u f s p a l t u n g nicht y o n Interesse? Begr~ndung!
Musterl~sung: T e i l a u f g a b e a)
x 1 Rfistkosten = - - . - - t . r , w o b e i x i = xP; a
Setze c~ = -
1
t t -- tP;
r t = r v.
s
1
u n d fl = - :
a
s
Rt~stkosten = x . t . r . a . / 3
1
1
Plan: 1 0 . 0 0 0 . 0 , 6 . 4 0 0 . . . . = 120.000 0,8 25 1 1 Ist: 1 0 . 0 0 0 . 0 , 6 . 4 0 0 . . . . = 120.000 0,5 40 A ~ = ~z~ - o~~ -
1
1
0,5
0,8
1
1
40
25
a,/3 =/3' -/3p . . . .
0,75
0,o15
Differenzierte Methode :
Ausbeutegradabweichung:
1
x . t . r . AP ~ • t i p = 2 . 4 0 0 . 0 0 0 . 0 , 7 5 . 5
= 72.000
SeriengrOBeabweichung:
1
x - t - r . ~zp . Ap f l ~ 2.400.000 .-y-2. ( - 0,015) -- - 4 5 . 0 0 0
282
ISPoungenzur Internen Untemehmensrectmung
Abweichung hOherer Ordnung: x. t. r. APa
•
Symmetrische
APfl
2.400. 000.0, 75. ( - 0, 015) = -27. 000
=
Methode
:
Ausbeutegradabweiehung: 72.000-
27.000 2
- 58.800
Seriengr6Beabweichung: -45.000
Alternative
27.000 - 2
Methode
-58.500
:
Ausgehend yon den Istkosten: Ausbeutegradabweichung: x.t.r
.a ~ .fit
. a p .fit = 45.000
- x.t.r
Seriengr6Beabweichung: x . t . r . a ~ • fit
_ x . t . r . a i . tip
= -72.000
Ausgehend von den Plankosten: Ausbeutegradabweichung: x . t . r . oc' . f l ;
-
x . t . r . o~ p . t i p
= 72.000
Seriengr6Beabweichung: x.t.r.a
m . fl'
Kumulative
-
x.t.r.a
Methode
m .tip
=-45.000
:
Zun~chst Ausbeutegradabweichung: Ausbeutegradabweichung: x.t.r.oc
~ . fl'
- x.t.r.o~
p . fl~
=45.000
S eriengr613eabweichung: x.
t.r.
ce p • f i t
_ x.
t. r. a p • tip
= -45.000
Zunachst Seriengr6Beabweichung: Seriengr6Beabweichung: x .t .r .d
. flz - x . t . r .a
t .tip
= -72.000
Fallstudien zur Internen Unternehmensreclmung
Ausbeutegradabweichung: x.t.r.~
~ .tip
Teilaufgabe
-
. t i p = 72.000
x.t.r.~P
b) x
1
a
z
A u s f f i h r u n g s k o s t e n = - - . - . m , w o b e i x i = xP; 1 Setzea=-und
Z=-:
a
m I = raP.
1 z
A u s f f i h r u n g s k o s t e n = x . m . ~z. Z
1
1
P l a n : 10.000. 6 0 0 . . . . = 75.000 0,8 100
1
1
Ist: 10.000. 6 0 0 . . . . = 75.000 0,5 160 A'a=aP-a
N Z
i_
= Z I' -
Alternative
Z i -
Methode
1
1
0,8
0,5
1
1
100
160
-
0,75
0,00375
:
Ausgehend von den Plankosten: Ausbeutegradabweichung: x.
m.
~z p • Z p -
x.
m.
~z ~ • Z p
= -45.000
Intensit~tsabweichung. x . m.
c~ ~ . Z I' -
x . m.
a t' . Z
~ = 28.125
Ausgehend yon den Istkosten: Ausbeutegradabweichung: x.t.aP.Z
t -x-t.~z
i .Z i =-28.125
Intensit~tsabweichung: x.
t . ~z' • Z t'
Kumulative
- x - t . c ( • Z ~ = 45.000
Methode
:
Zunfichst Abspaltung der Ausbeutegradabweiehung: Ausbeutegradabweichung: x .m .~ P •Z p -
x . m.
cc ~ • Z p
= -45.000
283
284
13bmagen zur I n t e m e n U n t e m e h m e n s r e c h n u n g
Intensit~t s a b w e i c h u n g : x.t.ai
.Z p-
* =45.000
x.t.~.Z
Zunfichst A b s p a l t u n g der lntensit~itsabweichung: lntensit~tsabweichung: x.m.oe
. Z ~ = 28.125
~ . Z p - x.m-d'
Ausbeutegradabweichung: x . t.~z p • Z * - x - t . ~z* • Z ~ = -28.125
Teilaufgabe
e) x
1
a
s
Rtistkosten = - - - - . t- r , w o b e i nur x i = x p und t* = tp, d.h. in dieser Teilaufgabe l i e g e n drei E i n z e l a b w e i c h u n gen vor.
1
1
Ist: 1 0 . 0 0 0 . 0 , 6 . 500 . . . . = 150.000 0,8 25 Plan: 120.000
Kumulative
Methode :
Reihenfolge a-~ fl~r: Ausbeutegradabweichung: X "t " r i "OJ i . f l i - - x . t . r i . a p . f l i =
56.250
S eriengrSl3eabweichung: x.t
. r i .~z p - f l ' - x .t . r ' - a p . f i e = - 5 6 . 2 5 0
Rttststundensatzabweichung: x.t
. r i .~z p . f l p - x . t . r
p . a p . t i p = 30.000
R e i h e n f o l g e a ~ r ~ fl: A u s b e u t e g r a d a b w e i c h u n g : 56.250 R f i s t s t u n d e n s a t z a b w e i c h u n g : 18.750 Seriengr613eabweichung: -45.000 R e i h e n f o i g e fl--~ a - ~ r : SeriengrSl3eabweichung: -90.000 A u s b e u t e g r a d a b w e i c h u n g : 90.000 R i i s t s t u n d e n s a t z a b w e i c h u n g : 30.000
Fallstudienzur InternenUntemehmensrectmung
285
Reihenfolge fl--~r--->~: Seriengr6Beabweichung: -90.000 R/iststundensatzabweichung: 48.000 Ausbeutegradabweichung: 72.000 Reihenfolge r--->c~--->/3: Rt~ststundensatzabweichung: 30.000 Ausbeutegradabweichung: 45.000 Seriengr6Beabweichung: -45.000 Reihentblge r--~/~--->a: Rfiststundensatzabweichung: 30.000 Seriengr6geabweichung: -72.000 Ausbeutegradabweichung: 72.000 T e i l a u f g a b e d)
(1) Folgender Tabelle k6nnen die zustandsabh~ngigen Ergebnisse der beiden Aktionen enmommen werden: Abweichungsursache Aktion Auswerten Nicht auswerten
kontrollierbar
nicht kontrollierbar
(1-¢)
¢
AE - AK
- AK
0
0
(2) Eine Auswertung lohnt sich dann und nut dann, wenn gilt: (1-qk).(AE-AK)+(k-(-AK) > 0 Wenige Umformungen fffihren zu: AE - AK
AK
AE
AE
~_< - - = I - - -
(3) AE
= a . An eingesetzt in Ungleiehung (2) fflhrt zu:
¢<_ A r . ~ -
AK
A r .ct
Wenige Umformungen ffihren schlief31ich zu:
286
Obungen zur Intemen Unternetmaensrechnung
AK dr > - aO-¢)
Zahlenbeispiel: AK
400
~.(1-0)
10.0,3
133,33
Da dieser Quotient gr6ger ist als Ar = 100, ist eine Auswertung nicht vorteilhafi. Falls Abweichungen auf kontrollierbaren und nicht kontrollierbaren Ursachen beruhen, ist die in der Praxis h~ufig verwendete Entscheidungsregel, nut solche Abweichungen weiter auszuwerten, die einen bestimmten absoluten Wert tibersteigen, mit der in der Aufgabensteltung beschriebenen Modellstruktur theoretisch begrtindbar. Teilaufgabe e)
Gesamtabweichung: AE = 3 0 6 . 6 . 0 0 0 - 294.6.270 = -7.380 Somit ist bei gegebenem Bezugssystem das Ergebnis besser als geplant.
pP PP p~
pP
306 340
xp
0,9
xP
p~ 294 -0,98 - p~ - 300 -
x,,P
6.000 60.000 =0'1
xi 6.270 i __ Xr -- Xm' -- 66.000 = 0,095
a e = ( p f . x f ) . ( p ~ . x ~ ) - ( p ~ .x~).(p~ . x ; ) Interne Abweichung: ' ' "X., ' = -61.380 (p~ .x~ - p ; "Xr)'Pm
Exteme Abweichung: e ? - - P mi ' X ~i ) ' P r ' 'X (Pm'Xm
r' = 55.860
Abweichung h6herer Ordnung: p
p
i
p
i
i
( p ~ . x~ - Pr" x'r)" (P~" x~ - p~ -x~ ) = -1.860
Trotz einer ungfmstigen Marktsituation ist insgesamt eine gtinstige Gesamtabweichung entstanden. Das interne Ergebnis ist besser als geplant (Vorzeichen beachten!). Aufgrund der Interdependenzen yon Preis- und Absatzmenge ben6tigt man fox die weitere Zerlegung der internen Abweichung die Preis-Absatzfunktion des betrachteten Produktes im monopolistischen Bereich des Unternehmens. Mit der PreisAbsatz-Funktion kann man sodann die Sollgr/513e ~ r den Marktanteil aufgrund der Preis~inderung ermitteln.
Fallstudien zur Internen Unternehmensrechnung
287
Teilaufgabe J) Branchenpreisabweichung: i
AHO
( p ; . x ~ ) . ( p ~ - p i ). xo + - 2
- 234.612
Marktvolumenabweichung:
+ - - -(p;.x~).p'~ • (x2 _ x ~ . ) AHO 2
-178.752
Dabei ist:
AHO = (p'~ • x~~)" (P,oP - P~,,) ' ( xp - x,,i ) = - 2 2 . 3 4 4 Die hier v o r g e n o m m e n e weitere A u f s p a l t u n g ist n u r i m R a h m e n der E n t s c h e i d u n g s f u n k t i o n der K o n t r o l l e v o n Interesse; nicht h i n g e g e n zur V e r h a l t e n s s t e u e r u n g , da die e x t e m e A b w e i c h u n g v o n den Verantwortlichen nicht b e e i n f l u s s b a r ist.
Fallstudie 8:
Abweichungsanalysen bei mehrstufigen Produktionsprozessen und deren Auswertung mit Hilfe des Modells von Bierman/Fouraker/Jaedicke*
Diese Fallstudie befasst sich zungichst mit Abweichungsanalysen bei mehrstufigen Produktionsprozessen gemgiJ3 der Vorgehensweise nach Kloock/DOrner (1988). In einem zweiten Schritt werden Abweichungen einer Auswertung unterzogen. Hierzu wird insbesondere das Modell yon Biermann/Fouraker/Jaedicke verwendet. Ein Unterrlehmen der chemischen Industrie kauft am Markt zwei Chemikalien (R1 und R2) ein und stellt daraus zwei marktg~tngige Absatzprodukte her. In einem chemischen Prozess reagieren die Chemikalien zu einem Zwischenprodukt z3, welches anschliel3end zu den Endprodukten x4 und x5 weiterverarbeitet wird. Um zu x4 zu gelangen, muss allerdings noch eine gewisse Menge der Chemikalie R1 dem Zwischenprodukt beigemengt werden, xs hingegen ergibt sich direkt aus der Weiterverarbeitung von z3. Femer ist zu beachten, dass eine bestimmte Menge x4 eingesetzt werden muss, um z3 zu erhalten. Folgende Graphik bietet einen Oberblick tiber die Produktionsstmktur:
V14
...~V13
X4
V34
~43
.~35 ~23
X5
290
Obungen zur Internen Umemehmensrechnung
Die Untemehmung geht yon folgenden Plan- und Istdaten aus: EinflussgrN3e
Planwert
Istwert
1/3
1/2
V13 VI4
½3 v34 V35
v43
Beschaffungspreis R1 (rl) Beschaffungspreis R2 (r2)
12
10
Absatz X4
200
300
Absatz x5
400
200
a) Ermitteln Sie s/~mtliche kontrollrelevanten Abweichungen erster Ordnung auf der Basis eines Soll-lst-Vergleiehs mit lstbezugsRriiBen. Weisen Sie anschlieBend diese Abweichungen den jeweils Verantwortlichen zu! Es gilt: Leiter Einkauf RI:
Herr Sdure
Leiter Einkauf R2:
Frau Base
Leiter Produktion z3:
Herr Dr. Knallgas
Leiter Produktion x4:
Frau Dipl.-Ing. Insektizid
Leiter Produktion xs:
Herr Dr. Pestizid
Leiter Vertrieb:
Herr Dipl.-Kfm. Heiflluft
b) W~thrend davon ausgegangen wird, dass die Abweichungen in den Verm~twortungsbereichen von Herrn Sdure, Frau Base, Frau Inselctizid und Herrn Heifllufi zu 100% auf nicht kontrollierbaren Ursachen beruhen, t~berlegt sich die Unternehmensleitung, ob Rir die vier Abweichungen in den Verantwortungsbereichen yon Hem1 Dr. Knallgas und Herin Dr. Pestizid Abweichungsauswertungen vorgenommen werden sollen. (Hinweis: Gehen Sie - unabNingig davon, welche Werte Sie ftir die Abweichungen in Teilaufgabe a) errechnet haben - bei dieser und den folgenden Teilaufgaben yon nachstehenden vier Abweichungen aus: AI = 6.000; A2 = 2.000; A3 = 7.000; A4 = 3.000! Die hier gew~ihlte Indizierung hat keinen Bezug zu Teilaufgabe a)!). Es ist bekmmt, dass zwischen der H6he der einzelnen Abweichungen Ai und den Auswertungsertr~tgen AE(A 0 folgende Beziehung besteht: AE(&) = ~z, A,
(i = 1,2,3,4)
Fallstudien zur InternenUmernehmensrechnung
291
Der Nachwuchscontroller J. Fuchs erh~ilt den Auftrag, sich ein geeignetes Auswertungsmodell zu tiberlegen. J. Fuchs beschlieBt, die Auswertungen mit Hilfe des Modells yon Bierman/Fouraker/Jaedicke vorzunehmen. Dabei geht er yon folgenden Annahmen aus: • die Unternetmmng ist risikoneutral • die Auswertungskosten der einzelnen Abweichungen AK~ betragen: AK~ = 150; AK2 = 100; AK3 = 300; AK4 = 200. • die (xi nehmen folgende Werte an: c~1= 0,1; c~2= 0,2; c~3= 0,1; c~4= 0,2 • die Wahrscheinlichkeiten daftir, dass die Abweichungen auf nicht kontrollierbaren Ursachen beruhen (4i), sehen wie folgt aus: 41 = 42 = 43 = 0,6; 44 = 0,5. Welche der angegebenen Abweichungen werden unter obigen Annatunen gem~iB dem Modell von Bierman/Fouraker/Jaedicke ausgewertet, welche nicht? e) Der direkte Vorgesetzte yon Fuchs, Abteilungsleiter Stuffz, ist der Ansicht, dass sich die Unternehmung risikoscheu verh~ilt. Er unterstellt als Risikonutzenfunktion U(Z) eine exponentielle Funktion der Form
U(Z) = - e
1 ---.Z
300
+ 1,
Z bezeichnet die im jeweiligen Umweltzustand an die Untemehmung flieBenden Obersch~isse aus der Auswertungsentscheidung (wird eine Auswertung nicht ausgewertet, ist demnach Z = 0). Welche der angegebenen Abweichungen w/irde Herr Stuffz auswerten, wenn er bis auf die AImahme der Risikoneutralitgt alle anderen Annahmen aus Teilaufgabe b) beibeh~ilt? d) Der Chefcontroller G.E. Schieden stellt lest, dass das Modell von Bierman/Fouraker/Jaedieke nicht unmittelbar anwendbm" ist, da es bestimmte Kostenkomponenten nicht berticksiehtigt. Eine n~here Analyse zeigt auf, dass die eigentliche Untersuchung einer Abweichung Ai tats~ichlieh Kosten in H6he von AK, verursacht, dass jedoch KorrekturmaBnahmen (ffir den Fall, dass die Abweichung auf kontrollierbaren Ursachen bemht) zusfitzliche Kosten in H6he von KKi nach sich ziehen. Die fibrigen Annahmen yon Fuchs (Teilaufgabe b)) stellen sich als richtig heraus. (1) Stellen Sie die beiden Handlungsalternativen "Untersuchung und gegebenenfalls Korrektur" (Alternative I) und "Nichts untemehmen" (Alternative II) unter Berticksichtigung dieser Information in einer geeigneten Entscheidungsmatrix dar! (2) Zeigen Sie in allgemeiner Form far einen risikoneutralen Entseheider auf, welchen Wert die Wahrscheinlichkeit ¢, maximal annehmen darf, damit Altemafive I gegen(iber Alternative II vorteilhaff ist! Unterstellen Sie dabei, dass 0 < AK,
+ KK~ < AE~I
292
Obungen zur InternenUnternetmmnsrechnung
(3) Zeigen Sie in allgemeiner Form far einen risikoneutralen Entscheider auf, welchen Wert die Abweichungsh6he mindestens annehmen muss, damit Alternative I gegenttber Alternative II vorteilhafl ist! (4) Far welche Alternative entscheidet sich ein risikoneutraler Entscheider jeweils bei den einzelnen Abweichungen aus Teilaufgabe b) unter Berticksichtigung der Zusatzinformationen aus Teilaufgabe d) und der Annahme, dass KKj = 200; KK2 = 150; KK3 = 250; KK4 = 250 ?
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Zur Durchfithamg einer Abweichungsanalyse nach Kloock/DOrner werden zun~ichst folgende Werte benOtigt: k~; k~ ; k'5
(Istkosten der Zwischen- und Endprodukte)
g;;
(Istgesamtbedarf der Zwischen- und Endprodukte)
g~ ; g;
Diese fehlenden Werte lassen sich durch eine Matrizenrechnung der folgenden Form ermitteln: g=Vxg_+x (E-V) x g = x g=(E-V)
"1 × x
Istbedarfsmatrix: -00
3
60-
00
3
00
0
13
V=O
0
000,500 00
(E - V) =
0
00
-1 0
-3
0
1
-6
0
-3
0
00
1
-1
0
00
-0,5
1
0
00
0
0
1
-
i012183i
Fallstudien zur Internen Unternehmensrechnung
( g - V)-' =
1 0 0 0
6 2 1 0
6 2 2 0
293
18
Die Gesamt(ist)bedarfsmengen ergeben sich folglich aus: -1 0 0 0 0
0 12 1 6 0 2 0 1 0 0
18 366 18 2 6 2 3 0 1
0 0 0
-_ [ 2.6oo, 5.400,1.8oo 1.2oo, 200]
300 200
Die sekund~iren Kosten (Kosten der Zwischen- und Endprodukte) errechnen sich wie folgt: 36 [4; 10]x[ 1 2 1 8 6 1 8 1 =[108; 132; 324] Damit sind alle ben6tigten Werte f'tir eine Abweichungsanalyse nach Kloock/D6rner bekannt:
"Y13
vl4 ve3 v34 v35 v43
rl r2 k3
Plan
Ist
Ai
2 4 2
3 6 3
-1 -2 -1
2 2
1 3
1 -1
2/6 3 12
3/6 4 10 108 132 324 1.800 1.200 200 300 200
-1/6 -1 2
k4
k5 g3 84 gs x¢ X5
200 400
-100 200
294
r~bungen zur Intemen Unternehmensrechnung
N u n lassen sich f o l g e n d e kontrollrelevante A b w e i c h u n g e n ermitteln:
Preisabweichungen: Beschaffung R1 ( V e r a n t w o r t u n g s b e r e i c h Herr Siiure):
A~rl • vi3. g; = ( - 1 ) . 3.1.800 -- - 5 . 4 0 0 A'rl" vi4" g'4 = ( - 1 ) . 6.1.200 = - 7 . 2 0 0 Beschaffung R2 ( V e r a n t w o r t u n g s b e r e i c h Frau Base): i
#
Nr2 "v23 "g3 = 10.800
Direktverbrauehsabweichungen: Stelle 3 ( V e r a n t w o r t u n g s b e r e i e h Herr Dr. Knallgas): fii . A,v~ 3 . g'3 = - 7 . 2 0 0 r 2' • Nv23 • g~ = - 1 8 . 0 0 0 k ] - A'v43 • g; = - 3 9 . 6 0 0 Smile 4 ( V e r a n t w o r t u n g s b e r e i c h Herr lnsektizid): r[ • Nv~4 • g'4 = - 9 . 6 0 0 ki3 "Atv34 "gl4 = 129.600 Stelle 5: ( V e r a n t w o r t u n g s b e r e i c h Herr Dr. Pestizid)
k~. A~v35 - g~ = -21.600
Absatzabweichungen ( V e r a n t w o r t u n g s b e r e i c h Herr Heifllufi): r 1' • v14 • A'x 4 = - 2 . 4 0 0
k~ .v34 • N x 4 = -10.800 k~. v3s- A' x s = - 6 4 . 8 0 0
Teilaufgabe b) Die I t a n d l u n g s a l t e r n a t i v e n im Model1 v o n Bierman/Fouraker/Jaedicke sind in folgender Tabelle dargestellt:
Fallstudien zur Intemen Untemehmensrechnung Abweichungsursache
295
kontrollierbar
nicht kontrollierbar
(1-¢)
O
AE - AK
- AK
0
0
aktion Auswerten Nicht auswerten
Eine Auswertung lohnt sich dann und nur dalm, wenn gilt: ( 1 - ~). (AE - A K ) + ~ . ( - A K ) >. 0
Naeh dem Einsetzen yon AE(Ai) = at ' A, ftihren wenige Umfomamlgen dieser Ungleichung schliel31ich zu: AK
4 > _c~(1-~) -Im einzelnen bedeutet dies: 4=6.000>
A2 = 2.000 >
AK1 -3.750 °:1(1-~1) AK z
Auswertung Auswertung
= 1.250
°:2(1-¢2) A3 = 7.000 <
& = 3.000 >
AK3 - 7.500 c~3(1 - ~ 3 )
AK4
- 2.000
Keine Auswertung ~ Auswertung
a4(1--~ 4) Teilaufgabe c) Bedingung f'~ die Durchf'tihrung von Auswertungen: Der Nutzen, den die Entscheidungstrgger bei der Durchftihrung einer Auswertung erfahren, muss mindestens so groB sein wie der Nutzen, den sie erfahren, falls sie die Auswertung nicht durchfiihren. AE(A;) = 0,1 • 6.000 = 600 AE(A2) = 400 AE(A3) = 700 AE(A4) = 600 Bedingung ffir AI: 0,4. U ( 6 0 0 - 150) + 0,6- U(-150)_>U(O)
296
I)bungen zur Intemen Unternehmensrechnung 1
1
t
1
0,4, (--e -3~'{600-150)+ 1) "4-0,6" ( - e -~'(-I5°) + 1) ~_- e - ~ ° + 1
0,4.0,776869839 + 0,6 • (-0,648721271) _> 0 Bedingung nicht erftiltt, da -0,078484827 < 0
Keine Auswertung
Bedingung Rtr A2: 0,4. U(400 - 100) + 0,6-U(-100) _>U(0) Bedingung erffillt, da 0,015474777 > 0
Auswertung
Bedingung f'~ A3: 0,4. U(700 - 300) + 0,6. U(-300) >U(0) Bedingung nicht erftillt, da -0,736407952 < 0
Keine Auswertung
Bedingung far A4: 0,5. U(600 - 200) + 0,5. U(-200) >_U(0) Bedingung nicht ert'tillt, da -0,10566559 < 0
Keine Auswertung
T e i l a u f g a b e d)
(1) Die Handlungsalternativen mit den entsprechen Ertr~tgen sind in folgender Tabelle erfasst: Abweichungsursache
kontrollierbar
aktion
nicht kontrollierbar
(1-~b)
Auswerten
AE - AK - KK
- AK
0
0
Nicht auswerten
(2) Das Unternehmen wertet dann und nur dann aus, wenn gilt: (1 - ¢). ( A E - A K - K K ) - ¢ . A K > 0
Nach einigen Umformtmgen erh~ilt man: ¢<
AE - AK - KK AE-KK
¢<_1
AK AE-KK
oder
Fallstudien zur IntemenUnternehmensrechnung
297
(3) AE(Ai) = czi. A, in Ungleichung aus (2): Nach einigen Umformungen erh~tlt man:
A>
AK + KK(1 -(b) ~z.(1-¢i)
(4) Durch Einsetzen der entsprechenden Werte in die Ungleichung aus (3), erhfilt man die Ergebnisse der Zahlenbeispiele: A: = 6.000 > 5.750
Auswertung
A2 = 2.000 = 2.000
Auswertung
As = 7.000 < 10.000
Keine Auswertung
A4 = 3.000 < 3.250
Keine Auswertung
Li/eratur:
Bierman, It. Jr., L. E. Fouraker und R. K. Jaedicke: A Use of Probability and Statistics in Performance Evaluation, in: The Accounting Review 1961, S. 409-417. Kloock, J. und E. DOrner: Kostenkontrolle bei mehrstufigen Produktionsprozessen, in: OR Spektrum 1988, S. 129-143.
Fallstudien z u r Internen Unternehmensrechnung
Fallstudie 9:
Grundziige der Prinzipal-Agent Theorie
Die Faltstudie untersucht die wesentlichen Zusammenhdnge im Grundmodell der PrinzipaI-Agent Theorie. Ferner wird eine explizit lOsbare Variante des Grundmodells analysiert. Zur Diskussion steht ein Prinzipal-Agent Modell mit zwei m6glichen Aktivit~itsniveaus a H und a L des Agenten. Es gilt a H > a L . Insgesamt h/ilt der Prinzipal, abh~ingig vom Umweltzustand 0 i (i = 1,2,3,4), drei m6gliche Bruttoaberschasse xt am Ende des (einperiodigen) Planungszeitraurnes air m6glich. Die Wahrscheinlichkeit far das Auftreten hoher I~lberschasse hgngt allerdings davon ab, ob der Agent ein hohes (/q) oder ein niedriges (L) Anstrengungsniveau realisiert hat. Die Nutzenfunktion des Agenten sei mit uA= U A( s ( x ) - V(a)), die des Prinzipals mit U p = U P ( x - s ( x ) ) bezeichnet. Das Symbol s(x) steht dabei far die Entlohnungsfunktion des Agenten und V(a) far das empfundene Arbeitsleid. Kommt der Vertrag nicht zustande, k6nnte der Agent alternativ am Markt ein Nutzmmiveau U A erzielen. Es gilt for beide Nutzenfunktionen U'> 0, U " < 0. Weiterhin gilt V'> 0, V"_> 0. Ansonsten gelten die fiblichen Aimahrnen des Gmndmodells der Prinzipal-Agent Theorie. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der f]berschasse lautet: 0r
02
Os
04
0(0t) = 0,3
0(02)= 0,2
0(03)= 0,4
0(04)= 0,1
Agent leistet aL
1.000
1.000
5.000
6.000
Agent leistet a~v
1.000
5.000
6.000
6.000
Umweltzustand Wahrscheinlichkeit
Die Zahlenwerte bezeichnen die 13berschtisse, ¢(0) die Wahrscheinlichkeit far das Auftreten des Umweltzustandes 0,. Damit l~isst sich folgendes Problem des Prinzipals aufstellen:
300
(Abungen z u r Internen U n t e m e h m e n s r e c h n u n g
?
Max = ~ U p (x, - s ( x , ) ) . L , j = H , L
,(x,)
u. d. Nebenbedingungen: ?
(1) ~V~(s(x,)). f,, -v(a,,) >_0 ~ i=l ?
(2)
?
~ U A(s(x,)). f , - V(a H) > ~_, U A(s(x,)). f,L - V(aL) i-1
i=1
¢(x, aj ) bezeichnet dabei die bedingte Wahrscheinlichkeit tar I~lberschuss xi, wenn der Agent das Anstrengungsniveau a: gewahlt hat (Hinweis: Die durch '?' gekennzeichneten Obergrenzen der Summation sollen Sie selbst bestimmen). a) Erl~tutem Sie kurz die 6konomische Bedeutung der beiden Nebenbedingungen (1) und (2) (verbale Begrgndung geniigt). b) Leiten Sie aus der gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung die far die Modellformulierung ben6tigten bedingten Wahrscheinlichkeiten f j ab! c) Unter der Annahme, dass der Prinzipal nur die Nebenbedingung (1) beachten muss, gilt f'dr die optimale L6sung: 2 , - U e ' ( x ' - s ( x j ) ) Vi
gA'(s(x,)) Dabei bezeichnet 2. den Lagrangemultiplikator der Nebenbedingung (1). Welche Aussagen lassen sich bezt~glich der Entlotmung s (x,) treffen, wenn I: U e" =O;
U A"
II: U e'
U A'=0,
III: U e = _ 1 . ~ (-pNO), U A = _ 1 . ~ (-,.s(,:)) gilt? p c~ Dabei bezeichnet NU den Nettotiberschuss des Prinzipals. d) Nehmen Sie jetzt altemativ an, dass beide Nebenbedingungen zu berficksichtigen sind, aber folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung der lSTberschtisse gilt: Umweltzustand Wahrscheinlichkeit Agent leistet aL Agent leistet aH
01
02
Os
04
¢(Ot) = 0,3
~(0:) = 0,2
~(03) = 0,4
¢(04) = 0,1
500
1.000
5.000
6.000
1.000
5.000
6.000
6.000
Fallstudien zur InternenUnternehmensrechnung
301
Erl~iutern Sie, warum in diesem Fall nicht die (komplizierte) second best L6sung zu bestimmen ist. Kommentieren Sie femer eine wesentliche Eigenschaft des Vertrages, den der Prinzipal dem Agent in diesem Fall anbieten wird. Untersuchen Sie den konkreten Fall eines risikoneutralen Prinzipals und eines risikoscheuen Agenten. Von welcher Annahme muss hier ausgegangen werden? 0rientieren Sie Ihre Argumentation an einem realen Arbeitsverh~tltnis. Es gelte wieder die ursprtingliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Das empfundene Arbeitsleid des Agenten sei jetzt dutch die Funktion V(a)= b. a 2, b > 0 konkretisiert. Die hohe (niedrige) Arbeitsleistung sei a H = 8 ( a L = 5 ). Femer gilt: U(s(xi))
- ui
V i
Die Prgferenzen des Agenten werden durch folgende Logarithmusfunktion beschrieben:
U(s) = LN(s), s > 0 Der Reservationsnutzen des Agenten betr~igt ~-A = 0. Der Prinzipal kann das Anstrengungsniveau des Agenten nicht beobachten (second best Situation). Ferner sei der Prinzipal risikoneutral. e) Bestimmen Sie fiir diesen Fall den Nutzen des Agenten und sein Gehalt, wenn der risikoneutrale Prinzipal den Agenten durch eine geeignete Vergtitung zu einem hohen Anstrengungsniveau a , motivieren m6chte. Welche Eigenschaft weist die Vergfitung des Agenten auf und welche Zusatzannahme muss getroft?n werden, damit diese Vergfitung tatsgchlich optimal ist? f) Welchen Einfluss hat der Parameter b auf den (erwarteten) Nutzen des Agenten und des Prinzipals?
MusterlSsung: Teilaufgabe a) In der deutschen Literatur wird die erste Nebenbedingung meist als Teilnahrnebedingung (engl. Individual Rationality) bezeichnet. Sie besagt, dass dem Agent im Erwartungswert zumindest sein Reservationsnutzenniveau U-A gew~hrt werden muss, um ihn zur Mitarbeit in der Prinzipal-Agent Beziehung zu motivieren, ffA wird dabei oft als der alternativ am Arbeitsmarkt erzielbare Nutzen des Agenten interpretiert, sofern es sich um eine Arbeitgeber/Arbeitnehmer Situation handelt. Im deutschen Sprachraurn wird die zweite Nebenbedingung meist als Anreiznebenbedingung (engl. Incentive Compatibility) bezeiclmet. Sie ist nur dann relevant, wenn der Prinzipal das Anstrengungsniveau des Agenten nicht beobachten kann (second best). Sie l~isst sich wie folgt interpretieren: M6chte der Prinzipal den Agent
302
Obungen zur Internen Unternehmensrechnung
zur hohen Anstrengung a H veranlassen, muss der Entlohnungskontrakt so gestaltet werden, dass sich der Agent bei Wahl yon a H i m Erwartmlgswert des Nutzens der Entlohnung zumindest nicht schlechter stellt als bei Wahl von a L.
Teilaufgabe b)
Die gesuchten Verteilungen ergeben sich zu (damit ist '?' = 3): Oberschuss
X1
=1.000
f~.
x2 = 5.000 x3 = 6.000
0,5
0,4
O, 1
0,3
0,2
0,5
Teilaufgabe c)
Ausgangspunkt der Uberlegungen ist die Beziehung: ,,~ = UP'(xi - s(xi)) V i
u~'(=(x,)) Aus ihr lisst sich folgender Zusammenhang herleiten: g " ' (x, - s ( x , ) ) - .Z. U A ' ( s ( x , ) ) = 0 A' OUP'(xj S(X~ )) 2 . U (s(x, ))
= (UP") • (1 - s '(x, )) - Z. U A"(s(x,)). s '(x,) = 0
Oxs = uP'.O-s'(x,))= UP'+ ( U P''
.u~°(s(x,)).s'(xD
. U A" . s , = U p" U A" ~
(_U P" _U~"'~
U P"
_U p"
_-Vm=+Tj.=,rP --)
s'
-
-
-
Dabei bezeichnen r p ( r A) die sogenannte absolute Risikoaversion (Arrow-PrattMaB) der Nutzenfunktionen von Prinzipal (Agent). Die Beziehung besagt, dass die Ableitung der Entlohnung nach x~ dem Quotienten aus der absoluten Risikoaversion des Prinzipals an der Stelle x~ und der Summe der absoluten Risikoaversionen von
Fallstudien zur lnternenUntemehmensrechnung
303
Prinzipal und Agent an der Stelle x i entspricht. Abgesehen von einigen Sonderf~illen (s.u.) h~ingt dieser Quotient jedoch von xi ab, denn far die meisten strikt konkaven Nutzenfunktionen wie etwa die Wurzel- oder Logarithmusfunktion gilt: ~ r P (x~ - s(x i )) s'=
p
_
+
Hieraus ergeben sich also im Allgemeinen Vergfitungen, die nichtlinear in den 13berschtissen verlaufen. Wie man ferner erkennt, nimmt bereits im first best die L6sung die Gestalt einer Differentialgteichung an, da s mad die Ableitung s' in den Ausdruck eingehen. Einzig far die Spezialt'fille der Aufgabe lassen sich die L6sungen ohne allzu grogen formalen Aufwand bestimmen. I: U P'=O;
U A"<0:
Dies bedeutet, dass der Prinzipal risikoneutrat (r p
=
0), der Agent dagegen risiko-
scheu (r A > 0) ist. Damit ergibt sich s' = 0. Da nut die Ableitung einer Konstanten zum Wert 0 fahrt, ergibt sich daraus eine Fixvergfitung far den Agent. Dies ist auch unmittelbar einleuchtend, denn in der analysierten first best Situation spielt bekanntlich nur die optimale Risikoteilung eine Rolle. Im Optimum wird das Risiko also v o n d e r Partei getragen (Prinzipal), die dazu aufgmnd ihrer Risikopr~tferenzen am besten in der Lage ist. Formal folgt dies daraus, dass far einen risikoscheuen Agent stets gilt SJfZ <_E ( s ( x ) ) , wobei SAZ far das Sieherheits~iquivalent einer risikobehafteten Entlohnungsstruktur steht. Der Prinzipal stellt sich also im Fall der reinen Risikoteilung besser, wenn er statt einer Lotterie yon unsicheren Vergt~tungen eine sithere Zahlung SA'Z anbietet. II: U p ' < 0 ;
U A''=O:
Dies impliziert einen risikoneutralen (rA= 0) Agenten und einen risikoscheuen (r P > 0) Prinzipal. Daraus ergibt sich s' = r p / r p = 1. Das bedeutet, dass die Entlotmung des Agenten FOxj eden Oberschuss xi die Steigung 1 aufweist. Erwirtschaftet der Agent also eine zusgtzliche Einheit Uberschuss, steigt seine Entlotmung um eine Geldeinheit. Dies impliziert, dass der Agent zum Residualanspruchsberechtigten der von ihm erwirtschafteten l~lberschtisse gemacht wird. Dies ist die sogenmmte Verpachtungsldsung. Der Agent pachtet das Untemehmen far eine fixe Zahlung yore Prinzipal und erh~ilt alle anfallenden Uberscht~sse aus dem Produktionsprozess abztiglich des Fixums. Wiederum tr~igt die Partei das Risiko (Agent), die dazu am besten in der Lage ist. FOr den Prinzipal gilt SAZ < E ( x - s(x)). Da er das Recht der Vertragsgestaltung besitzt (Contract Design), stellt er sich dann am besten, wenn er I Vergleicheauch die Ausf-dhrungendes Lehrbuchsin Kapitel 5.
304
LTbungenzur InternenUntemehmensrechnung
die sichere Pachtzahlung P im Kontrakt - P + 1. x so festlegt, dass der Agent im Erwartungswert gerade seinen Reservationsnutzen erh/ilt. III: U p = - l . o ( - ~ N v ) , U A = _ 1 . 6 (.... (x,)/ NU bezeichnet dabei den Nettotiberschuss des Prinzipals mit N O = x - s ( x , ) . Exponentielle Nutzenftmktionen besitzen die Eigenschaft der so genannten "konstanten absoluten Risikoaversion'. Das bedeutet, dass ihr Arrow-Pratt-Mag unabhNagig yon xi ist. Es gilt: _ U r' Up. - f l ;
re-
_ U A" r A= UA. =c~
Somit:
pP s' (r p + r a)
/3 _ konstant ~ 0 < s < 1 fl+o~
Die Vergtitung des Agenten ist in diesem Fall linear in den (2berschit'rsen und der Agent ist mit einem Anteil, der kleiner ist als 1, an diesen Uberschtissen beteiligt. Je risikoscheuer der Agent relativ zum Prinzipal ist, desto geringer ist der variable Vergfitungsbestandteil, der dem Agent Risiko aufbtirdet. Dies folgt aus: O,S" '
-r P
or A (r" +rA) 2
<0
Teilaufgabe d)
Aus der neuen Verteilung folgt: Uberschuss xj =500
x2 = 1.000
xs
= 5.000
X4 = 6.000
fL
0,3
0,2
0,4
0,1
,f,H
0
0,3
0,2
0,5
Diese neue Verteilung verletzt die ffir gew6hnlich getroffene Annahme eines "Constant Support" der Oberschtisse, die Ftir die ursprtingliche Verteilung erftillt war. Diese Annahme besagt, dass sich durch die Aktionen des Agenten zwar die Wahrscheinlichkeiten ftir das Auftreten bestimrnter Uberschttsse andem kOnnen, aber nicht die I[lberschOsse selber, wie das far die neue Verteilung der Fall ist. Ein (3-bero schuss yon 500 kaml n~tmlich nur mit einer positiven Wahrscheinlichkeit auftreten, wenn der Agent das niedrige Anstrengungsniveau erbracht hat. Der Prinzipal kann dann bspw. einen Kontrakt vereinbaren, der eine sehr hohe Strafzahlung des Agen-
Fallstudien zur Intemen Untemehmensrechnung
305
ten far den Fall vorsieht, dass der Uberschuss xz = 500 beobachtet wird. Wird der Konta'akt darm so gestaltet, dass der Agent bei der Erbringung yon a N im Nutzenerwartungswert gerade seinen Reservationsnutzen erh~ilt, und ist diese Strafe hinreichend hoch, kann der Agent stets dazu veranlasst werden, a H zu wfihlen. Dies folgt daraus, dass der Agent stets mit positiver Wahrscheinlichkeit mit der hohen Strafe rechnen muss, wenn er nur a L erbringt und somit der Erwarttmgswert der Entlohnung im Falle a L stets unter den Erwartungswert der Entlohnung im Falle a H "gedrtiekt" werden kann. Wenn der Agent aber dazu gezwungen werden kann, stets a H zu erbringen bedeutet dies, dass die Anreiznebenbedingung bedeutungslos ist. Folglich kann der Prinzipal dureh einen solchen Kontrakt die first best L6sung implementieren. Geht man von einem risikoneutralen Prinzipal und einem risikoscheuen Agenten aus, ergibt sicb formal ( f H = 0 ) : 4
w " (s TM (x,)). A,, - v(a , )(= A) i=2 4
> ~ U A (s TM (x,)). f,,L - V(az)(= B) + f L" UA (Strafe) i=2
U A(Mindeststrafe) = (A - B) Da zu einer strikt konkaven Funktion U A eine eineindeutige Umkehrfunktion existiert, l~isst sich aus diesern Ausdruek eine Mindeststrafe berechnen, for welche die obige Ungleichung stets erffillt ist. Wie man unmittelbar ablesen kann, f~illt die Mindeststrafe um so h6her aus, je geringer die Wahrscheinlichkeit t~tir das Auftreten des (Abersehusses ist, d e r n u r bei a/, auftreten kann. Der Agent kann also u. U. nur mittels der Androhung immens hoher Strafen veranlasst werden, a n zu w~ihlen. Die Frage einer etwaigen besehr~inkten Haftung bzw. Zahlungsf~thigkeit des Agenten bleibt hier also ausgeklammert. W ~ e der Agent bspw. gar nicht in der Lage, eine Strafe in Millionenh6he aufzubringen, w~ire diese Drohung nicht glaubwfirdig. Teilaufgabe e) Im Anhang 1 des Kapitels 8 des Lehrbuchs werden ftir die diskrete, explizit 16sbare Variante des Grundmodells die Ausdrficke ftir den Nutzen des Agenten uj, den Lagrange-Multiplikator A, der Teilnahmebedingung und den Lagrange-Multiplikator p der Anreiznebenbedingung hergeleitet. Mit der hier verwendeten Symbolik lauten sie: A=2.(UA+b.a~);
:t=
2"b'(aH-aL) 3 1 1
u,
• 2~+ p .
-
306
Ubungen zur lnternen Unternehmensrechnung
Die relevanten Daten sowie der Nutzen der Entlohnung des Agenten ergeben sich aus der nachstehenden Tabelle: Uberschuss xl =1.000
fn
0,5
0,4
Xs = 6000 0,1
0,3
0,2
0,5
x2 = 5000
L~
0,6
0,5
5
t/i*
1.186-b 49
211.b 49
5.476- b 49
5.850.b Ferner sind ,~ = 128. b, ,u - - - . Die konkreten Vergfitungsbetr~ige ergeben sich 49 aus der Umkehrfunktion der Nutzenfunktion des Agenten gem~iB s, = ~"'. Im vorliegenden Beispiel ist also das so genannte "Monotone Likelihood Ratio Property" nicht erffillt. Die Likelihood-Relationen fallen zun~ichst yon 0,6 auf 0,5, urn dama wieder auf 5 zu steigen. Deswegen f'~illt der Nutzen und somit auch die Vergfitung des Agenten beim lJbergang von xl = 1.000 auf x2 = 5.000 zun~tehst ab, um dann beim ~bergang auf x3 = 6.000 wieder anzusteigen. Die Vergfitung ist somit nicht monoton wachsend in den l)berscNissen. Damit eine solehe Verg~itung tatstichlich optimal ist, muss angenommen werden, dass der Agent keine M6glichkeit hat, (Abersehfisse zu vemichten. Sonst k6nnte er bspw. im Fall x2 = 5.000, 4.000 Geldeinheiten Nr sinnlose Ausgaben verschwenden, um in den Genuss der h6heren Entlohnung im Fall x / = 1.000 zu gelangen.
Teilaufgabe J) Wie man leicht erkermt, ist der Nutzen und damit die Vergtitung des Agenten streng monoton wachsend im Parameter b, der das AusmaB des empfundenen Arbeitsleides beschreibt. Der Agent erh~lt im Erwammgswert stets seinen Reservationsnutzen d A, der yon b unabhgngig ist. Dies folgt daraus, dass im Optimum 2 > 0 gilt. Ffir ihn tritt ex ante also keine Ver~inderung ein. Eine NutzeneinbuBe erleidet allerdings der Prinzipal, da der Agent f'tir h6heres empfundenes Arbeitsleid eine h6here Vergtitung fordert. Formal erkennt man dies an den Ausdrticken f'tir 2 u n d / z Diese lassen sich als "Schattenpreise" der Teilnahmebedingung und Anreiznebenbedingung interpretieren. Die Einhaltung der Restriktionen verteuert sich also f'tir den Prinzipal mit wachsendem b.
Fallstudie 10: Grenzplankostenrechnung und Abweichungsanalysen
Der erste Tell dieser Fallstudie behandelt ausgew~ihlte Fragestellungen der Grenzplankostenrechnung. Im zweiten Teil der Fallstudie werden verschiedene Methoden der Abweichungsanalyse einge~ibt. Die Schrupp AG, ein Unternehmen der metallverarbeitenden Industrie, produziert die vier versehiedenen Produkte P1, P2, P3 und P4. W/ihrend die Produkte P1 und P2 im Fertigungsbereich I hergestellt werden, werden die Produkte P3 und P4 im Fertigungsbereich II produziert. Die detaillierte Kostenstelleneinteilung der Schrupp AG kann nachstehender Tabelle enmommen werden. Ebenfalls ersichtlieh in dieser Tabelle sind die primgren, variablen Gemeinkosten der jeweiligen Kostenstelle. Kostenstelle
Summe prim~tre, variable Gemeinkosten
HilfskostensteUen: KS1: KS2: KS3: KS4:
Strom Wasser Repa7atur Fuhrpark
45.000 60.000 15.000 80.000
Hauptkostenstellen, Fertigungsbereich h KS5: Bohren I KS6: Drehen
405.510 155.850
Hauptkostenstellen, Fertigungsbereich II: 273.640 277.000
KS7: Bohren I1 KS8: Walzen
Beztiglich der Hilfskostenstellen liegen folgende Informationen vor: KS1 (Strom): Planbezugsgr6Be:
300.000 kWh Stromverbrauch, davon:
30.000 kWh f'tir KS2, 20.000 kWh ~ r KS3, 2.000 kWh for KS4, 25.000 kWh Rir KS5, 33.000 kWh ffir KS6, 90.000 kWh Ftir KS7, 100.000 kWh f~Jr KS8.
308
l)bungen zur Intemen Unternehmensreclmung
KS2 (Wasser): PlanbezugsgrSI3e:
55.000 m 3 Wasserverbrauch, davon: 1.250 m 3 flit KS1, 2.000 m 3 ffir KS3, 500 m 3 far KS4, 12.250 m 3 far KS5, 18.000 m 3 far KS6, 8.000 m 3 far KS7, 13.000 m 3 far KS 8.
KS3 ( R e p a r a t u r w e r k s t a t 0 : PlanbezugsgrN3e:
400 geplante Reparaturstunden, davon: 40 h far KS1, 20 h far KS2, 10 h f'~ KS4, 100 h far KS5, 160 h Far KS 6, 30 h far KS7, 40 h ~ r KS8
KS4 (Fuhrpark): Planbezugsgr613e:
103.000 Plankilometer, davon 1.125 km f~ir KS3, 51.300 tar KS5, 50.575 tar KS7
Die Produktionsmengen xi (i = 1,2,3,4) von P1, P2, P3 und P4 werden wie folgt geplant: xl = 600; x2 = 200; x3 = 1.000; x4 = 500. Die in den einzelnen Kostenstellen geplanten Maschinenstunden pro Produkteinheit P1, P2, P3 und P4 sind folgender Tabelle zu entnehmen:
Produkt
KS5
KS6
KS7
KS8
PI P2
6
P3 P4 Kapazit~itsbeschr~tnkungen liegen nicht vor. Das Unternehmen geht davon aus, dass sich die Kosten in KS5 - KS8 proportional zu den geplanten Maschinenstunden in den Stellen verhalten. a) Ftihren Sie mit Hilfe des Stufenleiterverfahrens die Sekund~kostenrectmung ftir die Schrupp AG durch (Reihenfolge gem~it3 der Numerierung der Hilfskostenstellen) und berechnen Sie sodann die geplanten Maschinenstundens~itze der einzelnen Hauptkostenstellen! b) Berechnen Sie fox P1, P2, P3 und P4 die variablen Herstellkosten pro Sttick, wenn Ihnen - zusatzlich zu den Erkenntnissen aus Teilaufgabe a) - bekannt ist, dass far die Herstellung der Produkte die vier Inputfaktoren R1, R2, R3 und R4 notwendig sind. Folgende Tabelle gibt Ihnen den Planbedarf des jeweiligen Inputfaktors pro Produkteinheit P1, P2, P3 und P4 an:
Fallstudien zur Intemen Unternehmensrechnung
Produkt
R1
P1
R2
R3
R4
309
3 kg
P2
1 kg
2 kg
4 kg
P3
2 kg
3 kg
2 kg
P4
3 kg
2 kg
4 kg
Die Planbeschaffungspreise yon RI, R2, R3 und R4 werden dabei wie folgt angenommen: rt = 50 C/kg; r: = 60 C/kg; rs = 35 E/kg; r4 = 40 E/kg. c) Am Periodenende stellt sich heraus, dass im Falle der Kosten far den Inputfaktor R2 die Istwerte von den Planwerten (vgl. Teilaufgabe b)) abweichen. Der Beschaffungspreis von R2 ist auf 50 C/kg gesunken. Ftir die gesamte Produktion von P1 werden tats~ichlich 1.900 kg an R2 verbraucht. Ffihren Sie mit Hilfe dieser Daten Ftir die Kosten des Inputfaktors R2 auf Basis eines Soll-Ist-Vergleichs mit Istbezugsgr5flen eine Abweichungsanalyse mit zwei Einflussfa~ktoren gemgl3 den vier Methoden der Abweichungsanalyse dutch! Beracksichtigen Sie dabei alle m6glichen Reihenfolgen der Ermittlung yon Teilabweichungen[ d) Ffihren Sie nun auf Basis eines Soll-Ist-Ver~leiehs mit Istbezugsgr~gen eine gegent~ber Teilaufgabe e) "detailliertere" Abweichungsanalyse mit drei Einflussfaktoren gem&il3 der kumulativen Methode durch, wenn sich am Periodenende herausstellt, dass der Beschaffungspreis von R2 auf 50 e/kg gesunken ist, und dass nur 475 Mengeneinheiten von P1 hergestellt werden konnten, woffir jeweils 4 kg des InpuflZaktors R2 ben6tigt wurden. Berficksichtigen Sie auch hier alle m6glichen Reihenfolgen der Ermittlung von Teilabweichungen!
Musterlfisung: Teilaufgabe a)
Die Verrechnungss~itze nach dem Stufenleiterverfahren ergeben sich wie folgt: KSI:
45.000 C - 0,i5 C/kWh 300.000 k w h
KS2:60.000 C+30.000 kWh.0,15 C/kWh = 1,2 55.000 m 3 - 1.250 m 3
C/m 3
310
KS3:
KS4:
I)bungen zur Intemen Untemehmensrechnung 15.000 t3 + 20.000 k W H . 0,15 13tkWH + 2.000 m 3" 1, 2 13Im3 400 h - 40 h - 20 h
= 60 13/h
80.000 13+2.000-0,15 t?/kWH + 500 m 3 .1,2 C / m 3 +10 h . 6 0 C/h 103.000 k m - l . 1 2 5 km
= 0,8 13/km
Mit Hilfe des nachfolgenden BAB k6nnen sodann die Sekund~irkostenrectmung durchgef'lihrt und die Maschinenstundens~itze berechnet werden.
Kostenstelle
KS 1
KS2
Summe prim~tre, 45.000 60.000 variable Gemeinkosten Umlage KS1
%
Umlage KS2
4.500i ~>
Umlage KS3 Umlage KS4
KS3
KS4
KS5
KS7
KS8
15.000 80.000 405.510 155.850 273.640 277.000
3.000
300
3.750
4.950
13.500
15.000
2.400
600
14.700
21.600
9.600
15.600
%
600
6.000
9.600
1.800
2.400
41.040
E
KS6
--
40.460
--
471.000 192.000 339.000 310.000
Maschinenstunden
3.000
Maschinenstundensatz
157 •/h
Teilaufgabe b) Herstellkosten pro Sttick: P I : 3 h . 157 13/h + 3 h . 96 C/h + 3 k g . 60 13/kg = 939 13 P2:
1.318 13
P3:
635 13
P4:
978 13
2.000
3.000
5.000
96 t~/h 113 (~/h
62 C/h
Fallstudien zur Ialternen Unternehmensrechnung
Teilaufgabe c) r i = 50 C/kg;
r p = 60 C/kg
q f = 1.900 kg;
qP = 1.800 k g
K ~= 1.900 • 50 = 9 5 . 0 0 0 Kp = 1 . 8 0 0 . 6 0 = 1 0 8 . 0 0 0 AiK = K p - K ' = 13.000 Air = r ~ - / = 10 Aiq = q~' - q' = - 100
Differenzierte Methode : P r e i s a b w e i c h u n g : J r ' q i= 19.000 Mengenabweichung:/Aiq
= -5.000
A H O : Air'Aiq = - 1000
Symmetrische Methode: P r e i s a b w e i c h u n g : 19.000 - 1.000/2 = 18.500 Mengenabweichung:-5.000-
1.000/2 = - 5 . 5 0 0
Alternative Methode : A u s g e h e n d v o n d e n P l a n k o s t e n KP: Preisabweichung: 108.000 -/
qP = 18.000
M e n g e n a b w e i c h u n g : 1 0 8 . 0 0 0 - r P q i-= - 6 . 0 0 0 A u s g e h e n d y o n d e n I s t k o s t e n Ki: P r e i s a b w e i c h u n g : r P q t - 9 5 . 0 0 0 = 19.000 Mengenabweichung:/"
qP - 9 5 . 0 0 0 = - 5 . 0 0 0
Kumulative Methode : A b s p a l t u n g zun~tchst d e r P r e i s a b w e i c h u n g : Preisabweichung: 108.000 -/ Mengenabweichung:/qP
qP = 18.000
- 95.000 = -5.000
Abspaltung zun~chst der Mengenabweichung: M e n g e n a b w e i c h u n g : 108.000 - r ° q
i= - 6.000
P r e i s a b w e i c h u n g : r p q i _ 9 5 . 0 0 0 = 19.000
311
312
Obungen zur Internen Untemehmensrechnung
Teilaufgabe
d)
r ° = 60;
r i = 50;
v ° = 3;
vi
b v = 600;
b ~= 475;
Kp
= 4;
= 108.000
K / = 95.000 A'K
=
13.000
Air = r ° - r ~= 10 Aiv = v p - v i = -1 Ai b
= b p - b ~= 125
Reihenfolge
r--+v--+b:
P r e i s a b w e i c h u n g : 108.000 - r ~' vp ' b p = 18.000 Verbrauchsabweichung:
r i"
Besch~iftigungsabweichung: Reihenfolge
vp ' 0 ° - r i' v i b p = -30.000 r i" v i" b p - r ~ " v ~ " b i
r--~b---~v:
P r e i s a b w e i c h u n g : 18.000 Besch~iftigungsabweichung: 18.750 V e r b r a u c h s a b w e i c h u n g : -23.750 R e i h e n f o l g e b--~r---~v: B e s c h f i f t i g u n g s a b w e i e h u n g : 22.500 P r e i s a b w e i c h t m g : 14.250 V e r b r a u c h s a b w e i c h u n g : -23.750 R e i h e n f o l g e b---~v---~r: Besch~iftigungsabweiehung: 22.500 V e r b r a u c h s a b w e i c h u n g : -28.500 P r e i s a b w e i c h u n g : 19.000 Reihenfolge
v---~r---~b:
V e r b r a u c h s a b w e i c h u n g : -36.000 P r e i s a b w e i c h t u l g : 24.000 B e s c h ~ f t i g u n g s a b w e i e h u n g : 25.000 Reihenfolge
v---~b---~r:
V e r b r a u c h s a b w e i c h u n g : -36.000 Besch~iftigungsabweichung: 30.000 P r e i s a b w e i c h t m g : 19.000
= 25.000
Fallstudie 11: Agency-Theorie am Beispiel des LEN-Modells*
In der folgenden Fatlstudie werden einige wesentliche Erkenntnisse der Okonomischen Agency-Theorie anhand des sogenannten LEN-Modells analysiert. Untersucht werden insbesondere die Beschaffung zusdtzticher Information vor dem Hintergrund des Controllability Principles sowie die Steuerung mehrerer Aktionen. Die Maschinenbaufirma T~ifiel & SOhne in Tratmstein fertigt und verkauft eine neue Art von Werkzeugmaschine. Dieses Modell "Fancy 2000" ist ein voll computergesteuertes Aggregat im Hochpreissegment des Marktes. Die Maschine wird durch zwei selbst~tndige Generalvertreter in Europa und Nordamerika vertrieben. FOr das Verkaufsgebiet Europa ist Herr Schraubenschliissel und far Nordamerika Mister Screwdriver zustandig. Ihre Aufgabe als Chef-Controller ist der Entwurf eines geeigneten Vergtitungssystems far die beiden Vertreter aufgrund agency-theoretischer Erkennmisse. Ausgangspunkt ihrer l)berlegungen ist folgende Variante des Grundmodells der Agency Theorie:2
Max I(x-L(x))" f(xla)dx ~(UA(L(x)). f(xla)dx-V(a) >_U A - v ' ( a ) -- 0
Dabei bezeichnet L(x) die Vergtitung der Vertreter, V(a) ist eine Arbeitsleidfunktion mit V'> 0, V"_> 0 und a bezeichnen die Verkaufsanstrengungen der Vertreter.
T@et & SShne werden als risikoneutral angenommen. Die tibrigen Symbole entsprechen tier Darstellung im Lehrbuch.
2 Diese Darstetlung ist bereits ein Spezialfall des Gnmdmodells und wird als so genannter "First Order-Approach" bezeictmet. Dieser Ansatz setzt voraus, dass die allgemeine Anreiznebenbedingung dutch ihre erste Ableitung ersetzt werden kann. Dies ist zulgssig, wenn das Aktionswahlproblem des Agenten strikt konkav in a ist. Nur darm ist die notwendige Bedingung such hinreichend, vgt. hierzu Rogerson(1985).
314
Obungen zur Intemen Untemehmensrechnung
Dieses Grundmodell wird jetzt wie folgt konkretisiert: a/2 Die Arbeitsleidfunktion der Vertreter sei V ( a i ) - 2 Welter wird unterstellt, dass die Gesch/fftsleitung der Tafiel & SOhne jeweils nur am Jahresende den erzielten Gesamtgewinn der beiden Handelsvertreter beobachten kann. Sie hat jedoch keine M/Jglichkeit, Zwischenverkaufsergebnisse zu beobachten. Aufgrund dieses Umstandes lasst sich die Beschrankung auf lineare Vergtitungskontrakte der Form L ( x ) = S + s . x auch theoretisch begrtinden. 3 Dabei bezeichnet S ein Fixum und s einen variablen Vergiitungsanteil. Die Pr~iferenzen der beiden Vertreter lassen sich durch eine exponentielle Nutzenfimktion abbilden. Es gilt: U A = _U~.(L(~-v(~) = _U~-(s+~-~-r~) Dabei ist r der konstante Risikoaversionskoeffizient der beiden Vertreter. Der aus dem Verkauf der Maschinen erzielbare Bruttogewinn x (vor Berttcksichtigung der Vertreterentlohnung) h~ngt yon den Verkaufsanstrengungen der Vertreter, abet auch stochastischen Komponenten wie der allgemeinen wirtschaftlichen Lage, Wechselkursrelationen, Konkurrenzangeboten und Kundenpr~fferenzen ab. Diese Faktoren werden in einer Zufallsvariable ~ zusammengefasst, die mit Erwartungswert p = 0 und Standardabweichung o- normalverteilt ist. Es gilt also: Y=a+g. Aufgrund dieser Annahmen sind die Anwendungsvoraussetzungen des sogenannten LEN-Modells (L(inearit~t), E(xponentielle Nutzenfunktion), N(ormalverteilung) der Zufallsvariablen) erft~llt. FOr den Nutzenerwartungswert der Entlohnung der beiden Vertreter lfisst sich dann schreiben:
+•l
-r. S+s.(a+e)-~
2"2
Jdz=-~ ~
2
2 )
2 .~f~.o"
Der zweite Term bezeichnet dabei die Dichteftmlaion einer nach /t = 0 trod cr normalverteilten Zufallsvariablen. Aus Griinden der Ubersichtlichkeit wurde bisher auf eine Indizierung verzichtet. Im weiteren Verlauf bezeichnet der Index i = 1,2 die Werte fiir S c h r a u b e n s c h l ~ i s s e l u n d S c r e w d r i v e r .
3 Nur so kann sichergestellt werden, dass der Agent das VergUtungssystemnicht strategisch ausbeuten kann, indem er etwa bei einer konkavenVergiatungsformjegliche Anstrengungen einstellt, wenn er hohe Zwischenergebnissebeobachtet. Zu diesem Punkt vgl. Ewert/Wctgenhofer (1993).
Fallstudien zur IntemenUntemehmensrechmmg
315
a) Formulieren Sie das Agency-Problem unter Verwendung von Sicherheits~iquivalenten urn. b) Wie hoch sind das Fixum Si, der variable Vergfimngsbestandteil si, das Sicherheits~iquivalent des Nutzens der Agenten und der erwartete Gewirm der Tgifiel & SOhne aus der Verkaufst~itigkeit, wenn die Firmenleitung das Anstrengungsniveau der beiden Vertreter beobachten kann und a 1 = a 2 = a , r 1 = r 2 = r sowie o-j = o-2 = o- gilt (Symmetrieannahme)? Femer seien die Risiken cr auf dem europ~tischen bzw. amerikanischen Markt zwar gleich hoch, aber stochastisch unabh~ingig. Beglqinden Sie ihre Antworten 6konomisch. c) Beantworten Sie Teilaufgabe b) ftir den Fall, dass die Verkaufsanstrengungen nicht beobachtbar sind und nur fiber das Vergiitungssystem L(x) = S + s. x gesteuert werden kOnnen. Wie hoch sind die Agency-Costs? Worin liegt der grunds~itzliche Unterschied der beiden Szenarien? d) Wie ~indert sich der optimale variable Vergtittmgsanteil, wenn I: die Varianz o-2 = o_2 zunimmt? II: die Vertreter "risikoscheuer" werden, d. h. r~ = r nimmt zu? Wie verfindert sich der erwartete Gewinn der Firmenleitung, wenn die Varianz o-2 (die Risikoscheu r) der Vertreter zunimmt? Was gilt ~ r den Spezialfall o-,.2= 0 ~ r die Ergebnisse unter c)? Interpretieren Sie ihre Antworten 6konomisch.
Problembereich "Zus~itzliche Information und Controllability-Principle" Aufgrund [hrer Ergebnisse zu Teilanfgabe c) beurteilen Sie die M6glichkeit einer erfolgreichen Steuerung der Verkaufstgtigkeit der beiden Vertreter ~iuBerst skeptisch. Es ist n~nlich davon auszugehen, dass die stochastischen Einflfisse auf die Gewinne eher hoch sein werden (or,2 ist sehr hoch), Der neu eingestellte Dipl.-Kfm. Pfiffig empfiehlt Ihnen, die beiden Vertreter j eweils zusatzlich anhand eines Branchenindex der j~ihrlichen, durchschnittlichen Gewinne der deutschen Maschinenbauindustrie insgesamt zu vergtiten. Dieser Index misst auf j~ihrlicher Basis die Abweichungen zwischen den durchschnittlichen Gewinnen des aktuellen Jahres und des Vorjahres. Entrtistet wenden Sie ein, dasses doch wohl nicht angehen kOnne, die Vertreter anhand einer GrOge zu vergtiten, auf die diese "tiberhaupt keinen" Einfluss haben. Ihrer Ansicht nach widerspricht so eine Vorgehensweise s~mtlichen gesunden Controlling-Grunds~tzen, da sie das Controllability Principle geradezu auf den Kopf stellt. Schliel31ich sollten Mitarbeiter nur anhand von Gr6Ben beurteilt werden, die sie auch beeinflussen kOrmen. Pfiffig entgegnet: "Aus dem Blickwinkel der Agency-Theorie betrachtet, liegen sie da vollig daneben Chef Moment, ich zeig 's Ihnen..." Der zur Debatte stehende Index habe folgende Form:
316
I)bungen zur InternenUnternehmensrechnung
Die Zufallsvariable 2"3 sei mit Erwartungswert ¢t = 0 und Standardabweichung o-3 normalverteilt und von der Beurteilungsgr6Be 2~i = a i + ~ nicht stochastisch tmabh~ingig. Der Korrelationskoeffizient zwischen 2, und 2 3 sei k, wobei -1 < k < 1 und k ~ 0 gelten soll. Zwar beeinflussen auch die Verkaufsanstrengungen von Schraubenschliissel und Screwdriver den Index, jedoch wird dieser Einfluss zur Vereinfachung als vernachl~issigbar gering angenommen. Das yon Pfiff~g vorgeschlagene Verg~itungssystem ist somit:
L = S i +s, "~i + s 3 " ~ Ansonsten bleiben die oben getroffenen "LEN-Annahmen" weiter gtiltig. e) Wie lautet das modifizierte Agency-Problem unter Verwendung von Sicherheits~iquivalenten? f) Bestimmen Sie die optimalen Verkaufsanstrengungen, die variablen Vergtitungss~itze sowie den erwarteten Gewinn der Firmenleitung aus der Verkaufst~itigkeit fiir den Fall der symmetrischen Information tiber a i . g) Beantworten Sie Teilaufgabe f) erneut Rir den Fall der asymmetrischen Information tiber a~. Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit Teilaufgabe f) und c) und begrtinden Sie eventuell auftretende Unterschiede 0konomisch. Kommentieren Sie Ihr Ergebnis auch vor dem Hintergrtmd der Aussagen des Controllability Principle. h) Was wtirde die Tiiftel & SOhne maximal far die Verwendung des Verkaufsindex bezahlen, wenn dieser vom Zentralverband nur entgeltlich zum Preis P zur Verf'tigung gestellt wird? Wie ver~ndert sich ceteris paribus dieser Preis, wenn I: o-7 steigt? II: der Korrelationskoeffizient k zunimmt?
Problembereich "Steuerung mehrerer Aktionen (multi-tasking)" Angesichts der Ergebnisse unter e)-h) beschleicht Pfiffig ein gewisses Unbehagen. Zwar k6nnen durch geeignete Anreize die Vertreter scheinbar zu gewtinschten Anstrengungen motiviert werden, aber Pfiffig tiberlegt, dass es schlieNich nicht nur die Verkaufsanstrengungen sind, welche die T~itigkeit von Herr Schraubenschlu'ssel und Mister Screwdriver ausmachen. Sie sollen neben der Verfiul3erung noch eine ganze Reihe von Aufgaben wie Marktbeobachtung, Bearbeitung von Reklmnationen, technical support und ~ihnlichem leisten. Er erinnert sich an einen Satz, den er einmal auf einem Vortrag zu erfolgsabhfingigen Vergfitungsformen w~thrend seiner Studentenzeit geh6rt hat: "Getting people to chase money will produce nothing but people chasing money." Der Vortragende hatte damals das Beispiel yon sttickabhfingigen Akkordl6tmen genmmt. Er hatte einen Fall erl~tutert, wo die Vorteile des erhfhten Outputs der Arbeiter letztlich von den zus~itzlichen Kosten einer versch~irften Qualitatssicherung tiberkompensiert wurden, da mit der Einftihrung der Sttickl6hne die
Fallstudien zur Intemen Unternehmensrechnung
317
Ausschussquote um 40 % gestiegen war. Pfiffig beschlieBt, das Vergtitungsproblem unter diesem Aspekt nochmals erneut zu analysieren. Mit a 4 werden im Folgenden die yon den Vertretem erwarteten Aktivit~iten neben der Verkaufst~itigkeit bezeichnet. Zur Vereinfachung wird angenommen, dass sie den Erfolg ebenfalls linear beeinflussen, d. h. :~, = a t + a 4 +~,. Die Arbeitsleidfunktion der beiden Vertreter lautet nun V(a~ , a 4 ) = 0,5-
(a 2 + a i • a 4 + a 2 ).
Die beiden T~i-
tigkeiten stellen aus Sicht der Vertreter also unvollkommene Substitute dar. W~ihrend es ffir die Verkaufstatigkeit eine eindeutig verifizierbare Bemessungsgrundlage gibt (erzielte Gewinne p. a.), ist dies ftir a 4 nicht der Fall. Wie sollte man etwa beurteilen, ob im Falle yon Problemen mit der Maschine der technical support "schnell und zuverET"ssig" zur Stelle war, wie es im Werbeprospekt der Tiifiel & SOhne versprochen wird. Diese Gr613e kann somit nicht zum Teil des Vergtitungsvertrages gemacht werden. Ansonsten gelten s~aatliehe "LEN-Annahmen" weiter. i) Stellen Sie das Agency-Problem in dieser Situation emeut mit Hilfe yon Sicherheitsaquivalenten dar. j) Zu welchem Niveau der Tfitigkeiten a, und a 4 veranlasst die Tiifiel & SOhne die beiden Vertreter im Fall der Beobachtbarkeit der T~itigkeiten (first best)? Wie hoch ist in diesem Fall der erwartete Gewinn der Taflel & Sohne aus den beiden T~ttigkeiten? k) Welchen Einfluss h~itte ein zus~itzlicher Ertrag Z = a~ • a 4 auf die Ergebnisse unter Teilaufgabe j)? 1) Beantworten Sic Teilaufgaben j) und k) m r den Fall der asymmetrischen Information tiber das Anstrengungsniveau (second best). m)Skizzieren Sie den Einfluss der Entwicklung einer Gr6Be 2"4 = a 4 + 2"4 auf die second best L6stmg unter 1). Die Gr613e g4 sei normalverteilt m i t / t = 0, cr4 > 0 und von Y, stochastisch unabh~ingig.
Musterlfisung:
Teilaufgabe a) Das Sicherheitsaquivalent ist definiert als de~enige sichere Betrag, der denselben Nutzen stifler wie die unsicheren Zahlungen aus einer Lotterie. Man erh~tlt also folgenden Ansatz:
U ~ (SA'Z") = E ( U ~ ) ~ SAZ = U A(E(U ~))-' SA.ZA = - 1 . L N ( E(UA) ) F
S.~'Zj ! = s i . a i + S,
(12
F
318
Ubungen zur InternenUnternelmaensreelmtmg
Das Sicherheits~iquivalent der Entlohnung der Vertreter setzt sich also zusammen aus dem Erwartungswert der Entlohnung abztiglich des empfundenen Arbeitsleides aus den Verkaufsanstrengungen und abziaglich einer Risikoprdmie. Aufgrund der Annahmen des LEN-Modells ist die Maximiertmg yon SA'ZA ~iquivalent zur Maximierung des Erwartungsnutzens der Entlohnung. Wie man sofort erkennt, verl~iuft SA'Z~ strikt konkav in den Verkaufsanstrengungen. Die folgende Aktionswahlbedingung beschreibt daher das globale Maximum von 5~'ZA hinsichtlich der Verkaufsanstrengungen aus Sicht der Vertreter Schraubenschliissel und Screwdriver. OS.~Z A - - Oa~
st - a j = 0
Auf gleiche Weise wie oben l~isst sich ein Sicherheits~tquivalent des Mindestnutzens U/ bestimmen, das den Vertretem (ira Erwartungswert) mindestens gew/ihrt werden muss, damit sie zur Zusammenarbeit mit der T#fiel & SOhne bereit sind. Dieses Sicherheitsfiquivalent wird im Folgenden als m° bezeichnet. Die Teilnahmebedingung lautet daher: sjfZA=s.a,+S~
a} 2
r.(s2.o.})>_mO' 2
Die risikoneutrale Fimaenleitung der Tiifiel & SOhne maximiert den Erwartungswert des (Netto-)Gewinnes abztiglich der Vertretervergiitung aus der Agency-Beziehung. Dieser lautet: 2 d
p
=
~2 2 i
-
s i • ~;
-
Si
i=l 2
-~
E(O ~)
= ~
~, - ~, . a, - s ,
i-1
Das Agency-Problem unter Verwendung yon Sicherheits~quivalemen lautet daher: 2
Max E(O ~ ) : ~ ,
-
~, .~,
- s,
l=l
u. d. Nebenbedingungen:
(I),
s,.a,
+s,-aZ-~-~-r.(s}.g)>_m°~ 2 2
(2)~ s, - a s = 0
Teilaufgabe b)
Were1 die Firmenleitung der Tiifiel & Sdhne die Verkaufsanstrengungen direkt beobachten kann, braucht die Aktionswahlbedingung (2) nicht beachtetet zu werden, da die Firmenleitung (Prinzipal) den beiden Vertretern (Agenten) das gew/anschte
Fallstudienzur IntemenUnternehmensrechnung
319
Ausmag an Verkaufsanstrengungen direkt vorschreiben kann. Somit ist ausschlieBlich die Teilnahmebedingung (1) relevant. Femer gilt, dass diese Bedingung als Gleichung erffillt sein muss, denn h6here SA'Z A mindem den Gewinnerwartungswert der Firmenleitung aus der Verkaufst/itigkeit. Da im vorliegenden Grundmodell annahmegem/g3 keine Interdependenzen zwischen den beiden Verkaufsgebieten existieren, genfigt es, den Fall eines Vertreters zu untersuchen (Symmetrieamlahme). L6st man (1) nach S~ anf, ergibt sich: S, = - s i .a~
2
2
Setzt man diesen Ausdruck in den Gewinnerwartungswert der Zentrale aus der Ttttigkeit eines Agenten ein, resultiert: 2
M a x E ( G ) = a i . . ai. ,.~, 2
. .
r, 2
2. s~
CY~
o
- - I'Yli
Die optimalen Werte ergeben sich dann aus der Ableitung dieser Zielfunktion nach a, und s,. 2
MaxE(G,)=a, ~,,, dE(d,)
a~ 2
ri o . ~ . s i2_ 2
m~,
,
1-a~ = 0
da,
- -r.o-~.s~___O~m~ =0 8s t
Verkaufsanstrengungen in einem der beiden Teilm~irkte sollten bis zu dem Punkt ausgedehnt werden, an dem deren Grenzertrag 1 ihren Grenzkosten (= Grenzarbeitsleid des Vertreters) entspricht. Kann die Firmenleitung die Verkaufsanstrengungen direkt beobachten, entt~llt das Anreizproblem und die einzige Aufgabe eines effizienten Verg/itungsvertrages besteht in einer optimalen Risikoteilung zwischen Prinzipal und Agent(en). Da die Firmenleimng risikoneutral, die Vertreter jedoch risikoscheu sind, ist es nicht zweckm/~Big, den Vertretem t~ber s, Risiko aufzubarden, da sie hierfttr eine Risikopr'Jmie fordern, die den Gewinnerwartungswert der Firmenleitung aus der Verkaufst~tigkeit mindert. Wie im agency-theoretisehen Grundmodell erhalten die Vertreter eine Fixverg~tung und die Firmenleitung tr~gt das gesamte Risiko. Durch Einsetzen erNtlt man das optimale Fixum, SA'Z *A sowie E(G~)' : s; =
+
SA'Z'A = m o
2
E(d,)* = ½- m °
320
l]bungen zur Intemen Untemehrnensreclmung
Teilaufgabe c)
Kann die Firmenleitung die Verkaufsanstrengungen nicht direkt beobachten, muss sic die Aktionswahlbedingung (2) zus/itzlich berticksiehtigen. Wie man aus dem umformulierten Agency-Problem unter Teilaufgabe a) sofort erkennt, ist eine reine Fixvergfitung der Vertreter in diesem Fall nicht mehr optimal, denn die Aktionswahlbedingung zeigt, dass die Verkaufsanstrengungen nut dutch den variablen Vergfitungsanteil gesteuert werden k6nnen. Ist dieser 0, unternehmen die Vertreter auch keinerlei Verkaufsanstrengungen. Die L6sung fttr dieses Szenario erNtlt man wiederum durch Aufl6sen von (1) nach&, Einsetzen v o n & in die Zielfunktion und dem anschlieBenden Einsetzen yon (2) in die Zielfunktion:
s}
MaxE(G,)=s, ~,
2
OE(G,) = l - s , - r . o Os1
r,.cr}.s}_m o 2
-2 .s, = 0
** 1 --+s t - - - > 0 l+r.er 2 Ftir das optimale Fixum SA'Z **A und E(G, ) ** gilt: 87* ----//20 '
(1 - r. 0"2) 2.(1+r.o-}) 2'
1
E(0,)** = 2.(1 +r.cr})
sAZ,.A = m o ;
o
ms <
l_m 7 :E(G,)*Vc~} >0
In der second best Situation erftillt das Vergfimngssystem eine Doppelfimktion. Wtihrend seine Zielsetzung im first best allein darin bestmad, eine optimale Risikoteilung zwischen Prinzipal und Agent(en) herzustellen, besteht bei asymmetrischer Information ein Tradeoff zwischen Anreizgew(~hrung und Risikoteilung. Damit die Vertreter tiberhaupt zu Verkaufsanstrengungen zu motivieren sind, muss der variable Vergiitungsanteil positiv sein. Das bedeutet aber, dass den risikoscheuen Vertretem Risiko aufgebtirdet wird. Diesen Tradeoff erkennt man insbesondere an der ge~nderten Optimalbedingung Rir den variablen Vergfitungsanteil. Wird dieser um eine infinitesimal kleine Einheit erhSht, erh6hen sich die Verkaufsanstrengungen des Agenten um denselben Betrag und erbringen den Grenzerfolg 1. Gleichzeitig steigt abet der an ihn abzuf'tihrende Anteil s t und die ihm zu gew~hrende Risikoprfimie gem~B r. o-} .s~ aus Sicht der Zentrale. Das resultierende Vergtitnngsschema stellt also eihen Kompromiss in dem Sinne dar, dass eine Abwtigung zwischen Risikoteilung und Anreizen vorgenommen wird. Da die Firmenleitung im first best das gewinnmaximale Anstrengungsniveau durchsetzen konnte und zudem eine optimale Risikoteilung erfolgte, muss der erwartete Gewinn aus den Verkaufsanstrengungen im Fall der unbeobachtbaren Anstrengungen stets geringer sein. Dies kann man anhand des
Fallstudien zur Internen Untemehmensrechnung
321
Vergleiches von E(G;)* mit E((~;)** erkennen. Die resultierende Gewinneinbulde wird als Agency-Costs bezeichnet und ergibt sich zu:
E(G,)"-E(G,)'"
= 1 2
1 2.(1 + r . o - ? ) > 0V °'2 > 0
Wie man unsehwer erkennen kann, steigen die Agency-Costs ceteris paribus mit h6herem Risiko or;2 und h6herer Risikoaversion r der Vertreter.
Teilaufgabe d) Komparativ-statische Analyse der second best L6sung. Far die gesuchten Ableitungen ergibt sich: <0; 2
<0. dr
2
Steigen ceteris paribus das Risiko oder die Risikoaversion der Vertreter, so verteuern sich Verkaufsanstrengungen aus Sicht der Zentrale, weil beide Parameter die Risikoprgmie erh6hen. Deshalb ist es dann rational, fiber einen gesenkten variablen Vergfitungsanteil geringere Verkaufsanstrengungen zu induzieren. Die gesuchten Ableitungen beztiglich des erwarteten Gewinnes der Firmenleitung ergeben sich aus dem sogenannten Envelopentheorem: 4
d E ( G , ) _ dE((7,) __ds~ 4 dE(G,) &r2; ds, rift? &r 2
dE(G;) _ dcr 2
1 r ' s 2, < 0 2
-0!
dE(G~) _ dr
1 2
•o
.g < o
H6heres Risiko bzw. h6here Risikoaversion beeinflussen die Zielerreichtmg der Firmenleitung negativ, da diese beiden Parameter Verkaufsanstrengungen der Vertreter aus ihrer Sicht verteuern. Gilt or,2 = 0, dann betrfigt der optimale variable Anteil s i = 1. Setzt man diesen in die oben ermittelten second best Werte ein, so zeigt sich, dass damit first best Anstrengungen induziert werden und E(G,)" = E(G,)*' gilt. Die Agency-Costs sind dann 0. Erh6ht ein Vertreter seine Anstrengungen urn eine Einheit, erh6ht sich seine Entlotmung um genau denselben Wert. Durch diese Beteiligung werden also maximale Anreize ausgetibt. Dies ist auch unmittelbar einleuchtend, well in diesem Sze4
Der formale Nachweis dieses Theorems fiber die "Eirthfillende" ist recht anspruchsvoll. Intuitiv besagt es hier, dass Pmderungen des erwarteten Gewhmes aufgrund infmitesimaler Erh~Shungen yon o2 nieht flir alle mOglichen erwarteten Gewinne untersueht werden, sondern nur f'tir solche, in denen der Prinzipal s,'* optimal festlegt. Deshalb k0nnen alle indirekten Effekte auf den erwarteten Gewinn vernachl~tssigtwerden.
322
Ubungen zur InternenUnternehmensrechnung
nario der Risikoteilungsaspekt wegen cr~ = 0 keine Rolle spielt. Durch geeignete Festlegung des Fixums kann die Zentrale dann sicherstellen, dass das Sicherheits~tquivalent der Entlohnung des Vertreters unverandert m° betr~igt. Offenbar kann also eine first best L6sung *tamer dann implementiert werden, werm einer der be*den Aspekte "Risikoteilung" oder "Anreizgew~thrung" keine Rolle spielt. Teitaufgabe e)
Die Umformulierung des Agency-Problems unter Verwendung von SicherheitsSquivalenten verlfiuft analog zu Teilaufgabe a). Es *st lediglich die Bestimmungsgleichung ftir die Varianz einer Summe stochastisch abh~ingiger, normalverteilter Zufallsvariablen zu beachten. Man erhfilt: 2
M a x E ( G e) : ~ _ a i - s i .a, - S , i=1
u. d. Nebenbedingungen: (1)i s , . a , +S, (2),
a2~ - r . ( s 2 . 0 . 2 2 2
+ 2.k.s,.s3.0.,.0.3 +s2.0.2)>m°
s,-a, = 0
Die Gr6ge 2~3 hat keinen Einfluss auf die Aktionswahl der Vertreter, beeinflusst aber offensichtlich die Risikopramie. Teilaufgabe J)
Zur Ermittlung der first best L6sung *st wiederum nur die im Optimum als Gleichung erfiillte Teilnahmebedingung zu beachten. Aufl6sen von (1)~ nach Si und Einsetzen in die Zielfunktion ergibt: Max E(G) = ai 01,s, ,s 3
a; 2
2
2
0
r.(s~.0.2, + 2 . k . s i .s 3 .0" 3 • 0.i + s3" 0"3 ) - m, 2
OE(G) = 1- at = 0 3a, = -r.
s , . 0., - r . k . s 3 • 0.3" 0., = 0
8s i
3E(d) ds3
, • --~S i =S 3 = 0 -
. r . s 3.o- 3 - r . k . s ~ . c r 3.0.,
0
Der Verkaufsindex wird nicht verwendet und die variablen Vergtitungsanteile sind wiederum 0. Die Begrtindung *st identisch zu Teilaufgabe b). Die risikoscheuen Vertreter erhalten eine Fixvergtitung, da die risikoneutrale Firmenleitung die Verkaufsanstrengungen direkt vorsehreiben kann und das gesamte Risiko allein tragen sollte.
Fallsmdien zur Intemen Unternehmensrechnung
323
Teilaufgabe g) In diesem Fall ist neben der nach Si anfgel6sten Teilnahmebedingung die Aktionswahlbedingung in die Zielfunktion einzusetzen. Man erh~ilt folgendes Optimierungsproblem: a t = s, eingesetzt:
MaxE(d)=st
OE(d)= 1 8s~
s~
r (s~.crZ +2.k.st.s3.cr3.cr, +s2.cr~)_mO
s, - r. s,. cr~ - r . k .s 3 .o"3 .o-, = 0
OE(d)
~ = -r
.s 3 -o- 3 -r
.k-s~
. o - 3 .cr~ = 0
Os3
•,
---~S t
=
1 1+ ( 1 - k 2 ) . r . c r ~
> 0 ---~ S 3**
--~ s 3 -
crt'k's'
o-t . k . s ,
0-3 <(>) 0 ftir k > ( < ) 0
0-3
Die optimale lineare Entlohnung besteht in diesem Fall aus einem variablen Vergfitungsanteil s,**, der wegen -1 < k < 1 und k ~ 0 stets hOher ausf~illt als in der second best L6sung unter Teilaufgabe c), und einer Beteiligung am Index, dessen Vorzeiehen yon der Korrelation zwischen den beiden Zufallsvariablen bestimmt wird. Sind der Erfolgsindex der Branehe und der Erfolg von Tiifiel & SOhne positiv (negativ) korreliert, ist s~* negativ (positiv). Durch diese Gr6Be wird insgesamt ein Versiche-
rungseffekt beztiglich der Entlohnung far den Vertreter erzielt. Ist der Erfolg etwa aufgrund einer fiul3erst schlechten Gesamtbranchenentwicklung (niedrige Realisatiohen von ~ ) sehr gering, ist bei positiver Korrelation tendenziell damit zu rechnen, dass der Index, der ja Abweichungen zum Vorjahr misst, aufgrund der positiven Korrelation negativ wird. Die sehr geringe variable ex post Vergtitung w0rde dann durch eine positive Zahlung s 3 (< 0). x3(< 0) > 0 ergfinzt. Diese ex ante Diversifikation des Vergfitungsrisikos senkt die Grenzrisikopr~imie, was man anhand der Bedingungen erster Ordnung far s,, s 3 erkennt. Diese geringere Grenzrisikopramie fahrt aber aus Sicht der Firmenleitung dazu, dass es vorteilhaft ist, den Agenten tiber einen h6heren variablen Vergtitungsanteil s i zu h6heren Verkaufsmastrengungen zu veranlassen. Man kann zeigen, dass es sich bei (1-kZ)-cr 2 urn die bedingte Varianz der Zufallsvariablen g, handelt, wenn zuvor das Signal 2 3 beobachtet wurde. Das bedeutet, dass der Prinzipal sich so verhalt, als ob er zuerst das Signal Y3 beobachtet, um dann, basierend auf diesem verbesserten Informationsstand, den variablen Vergfitungsanteil s t letztendlich festzulegen. In diesem Sinne ist 2"3 informativ bezfiglich der eigentlich interessierenden T~itigkeit a~ des Agenten. Es handelt sich somit um einen Spezialfall des bekannten inforrnations6konomisehen Resultates, demzufolge die Verwendung zus~itzlicher, kostenloser Information den Prinzipal nie schlechter stellen kann als der Verzieht auf die Verwendung dieser Information. Dies ergibt
324
Obungenzur IntemenUntemehmensrectmung
sich daraus, dass die Verwendung der zus~ttzlichen Gr613e den Aktionsraum des Prinzipals erweitert. Er hat weiterhin s~tmtliche M6glichkeiten der Vergtitung unter Teilaufgabe c) und zus~itzliche M6glichkeiten, die sich aus Verwendung der Vergt~tungsgrundlage x3 ergeben. Da abet keine zus~itzlichen Kosten anfallen, kann er sich dadurch nie schlechter stellen. Gegebenenfalls kann er sich ja immer dat'tir entscheiden, 2"3 nicht zu verwenden. Im vorliegenden Modellzusammenhang ist die erwartete Zielerreichung des Prinzipals allerdings dominant besser. Sind die beiden Zufallsvariablen bspw. vollkommen positiv (k = +1) bzw. vollkommen negativ (k = - 1 ) korreliert, ergibt sich s i = 1 und es resultiert die first best LOsung. Allgemein ist der erwartete (Netto-)Gewinn der Finnenleitung aus der Verkaufst~itigkeit: E(~,(s,,s~))
=
1
2.(1 +r.(1-k2).crT)
0
1
m~ > 2 . ( l + r . c r ~ )
0
~
**
m, =E(G,(s~))
Abgesehen vom ausgeschlossenen Fall k = 0 ist dieser erwartete Gewinn stets hOher als derjenige in Teilaufgabe c). Werm die beiden Zufallsvariablen unkorreliert w~iren ( k = 0), w~ire x3 nicht informativ tiber die T~tigkeit a,, weshalb sich keine Verbessemngen des erwarteten Gewinnes erzielen lassen wtirden. AuBer ftir den Fall der vollstfindigen positiven (negativen) Korrelation k =1 (k = - 1 ) , ist der erwartete Gewilm jedoch stets geringer als bei symmetrischer Information. Ftir -1 < k < 1 und k ;~ 0 k6nnen durch Verwendung von ~3 also die Agency-Costs reduziert, aber nicht g~nzlich vermieden werden, so dass inamer noch eine echte second best L6sung vorliegt. Es ist offensichtlich, dass die Agency-Costs um so geringer sind, je starker positiv bzw. negativ die Korrelation zwischen den beiden Zufallsvariablen ausffillt. Fasst man E(G i (si ,s 3))** ceteris paribus als Funktion von k auf, erh~ilt man eine nach oben ge6ffnete Parabel mit einem Minimum bei k = 0. Die grN3ten (erwarteten) Erfolge lassen sich somit durch das modifizierte Vergt~tungsschema erzielen, wenn es sich bei der Taftel & SOhne urn ein relativ typisches Unternehmen der Branthe handelt, das tendenziell denselben Risiken ausgesetzt ist, wie sie fftr den Index gelten, oder aber wenn die Tafiel & SOhne ein extrem atypisches Untemehmen der Branche ist, dessen Verkaufslage dann besonders gut ist, wenn es der Branche als Ganzes tendenziell schlecht geht. Das Ergebnis zeigt, dass der eindeutige VerstoB gegen das Controllability Principle, der sich aus der Verwendung der Gr613e ~ ergibt, bis auf den ausgeschlossenen Fall k = 0, zu h6heren erwarteten Gewinnen aus der Verkaufst~itigkeit f'tihrt. Dies liegt daran, dass sich dieses Prinzip vor allem am Aspekt der Anreizgew~ihrung orientiert, und Anreize sollten tats~ichlich nur ausgetibt werden, wenn die T~itigkeit des Agenten das Ergebnis auch beeinflussen kann. Ansonsten wirken sie kontraproduktiv. Dieser Aspekt wird besonders oft in verhaltenswissenschaftlichen Ans~ttzen zu Vergtitungsfragen betont. Im Zusammerdmng des Tradeoffs zwischen Anreizgewfihrung und Risikoteilung der Agency-Theorie ist dieses Prinzip allerdings zu modifizieren. Obwohl die Gr6Be Y~
Fallstudien zur Internen Untemehmensrechnung
325
keine direkten Anreizwirkungen beztiglich a i entfaltet, ist sic informativ tiber diese T~itigkeit. Diese Zusatzinformation verrnindert die Grenzrisikopr~imie far den Prinzipal und erm6glicht somit h6here Anreize. Im informationsOkonomischen Zusammenhang ist das Controllability Principle daher wie folgt zu modifizieren: Als Bemessungsgmndlagen sollten nur solche Gr6Ben verwendet werden, die beztiglich der interessierenden T~itigkeiten informativ im obigen Sinne sin& Gilt k = 0, ist 2 3 in diesem Sinne nicht informativ, far k ~ 0 ist sic infomaativ.
Teilaufgabe h) Steht Z~ nicht mehr kostenlos zur Verftigung, sind bekanntlich keine allgemeingtiltigen Aussagen mehr dartiber m/3glich, ob diese Information beschafft bzw. FOr die Vergtitung eingesetzt werden sollte. In diesem Fall sind die Kosten der zus~itzlichen Informationen mit den durch sic generierten erwarteten (Zusatz-) Ertragen zu vergleichen. Man erh~ilt folgendes Entscheidungskriterium: 1
0 _p_>
2.(1 + r . ( l _ k2).0-2)
mi
1
2.(1+r.0-~) - m °
k 2 .r.cr 2
pkrit =
2. (1 + r . (1- k2). or2). (1+ r •0-2) Ftir k = 0, ist dieser Preis nattirlich 0, well die Ti~fiel & Sdhne kein Geld far wertlose Informationen ausgibt. Unter Verwendung der Quotientenregel erhNt man die beiden folgenden komparativ-statischen Ergebnisse:
OPk''
k . r . 0-[ > (<) O, wenn k > (<) 0 (1 + r. (1 - k 2)- 0-2)2
8k ~P~" 80-~
- -
k 2 • r. (0-,4 -r 2 .(k 2 - 1) +1) 9 r 2 2 2 2 2.(1+ . ( l - k ) .0-~).(1+r.0-,) .
Sehr leicht interpretierbar ist der Zusammenhang zwischen Preis der Informationsbesehaffung und Korrelationskoeffizient. Far positive Korrelation fahrt eine infinitesimal kleine Erh6hung des Korrelationskoeffizienten zu einer geringeren Grenzrisikopr'mnie, damit zu einem h6heren variablen Vergtitungsanteil und h6heren Verkaufsanstrengungen, die letztlich einen h6heren erwarteten Gewinn aus der Verkaufst~itigkeit nach sich ziehen. Die Information wird wertvoller und deshalb steigt der Preis, den man f'tir sie zu zahlen bereit ist. Ftir negative Korrelation sinkt der Wert der Information mit zunehmendem k, deshalb sinkt der Grenzpreis. Der Zusammenhang zwischen dem Grenzpreis der tnfomaationsbeschaffung und der Varianz 0-2 ist dagegen zun~tchst unklar. Das Vorzeichen wird durch den Ausdruck in Klammem im Z~ihler bestimmt. Der erste Term dieser Klammer ist eindeutig negativ, da k nut zwischen + 1 und -1 variieren kann, der zweite positiv. Trotzdem lassen sich einige Schl~isse ziehen.
326
Obungen zur IntemenUnternehmensrechnung Sind die beiden Grfl3en ~ und 23 vollkommen positiv oder negativ korreliert (k = +1), w~chst der Grenzpreis streng monoton in or,2 und konvergiert far cr~ --~ m gegen P = 1/ 2. Dies liegt daran, dass der erwartete Gewinn des Prinzipals analog zu Teilaufgabe d) streng monoton in ~r~ f'Nlt (Envelopentheorem). Wie oben gezeigt, kann bei vollkommener Korrelation der beiden GrSBen jedoch die first best L6sung implementiert werden. Je gr613er also cr~ ausf~illt, um so gr613er ist die erwartete Gewinnsteigerung des Prinzipals durch Implementierung der first best L6sung und daher auch seine Zahlungsbereitschaft fOr die Zusatzinformation. Man kann femer zeigen, koeffizienten k ~ ] 0,1 [ mum erreicht und dE(G~(s~,s3))**/d~r~< 0
dass der Grenzpreis f~ir einen gegebenen Korrelationszun~chst ansteigt, for eine kritische Varianz ein Maxidanach streng monoton ffillt. Zusfitzlich zu (s. o.) l~isst sich mit etwas mehr "formalem Aufwand"
zeigen, dass dieser erwartete Gewinn konvex fallend in der Varianz ist. Ausgebend von or,2 = 0 betr~igt der Grenzpreis daher ebenfalls 0, da die Ttttigkeit a~ dann faktisch beobachtbar ist und der Index nicht bentitigt wird. Ftir ~r2 = 0 unterscheiden sich die erwarteten Gewinne des Prinzipals mit und ohne Verwendung der Zusatzinfomlation folglich nicht und entsprechen den first best erwarteten Gewinnen. Ffir relativ geringe Varianzen f~illt aber, je nach H6he des positiven Korrelationskoeffizienten, der erwartete Gewinn durch Verwendung der GrOl3e 2~3 bei zunehmendem Risiko wesentlich weniger stark ab als bei Verzicht auf die Verwendung dieser Gr6Be. Dies f'tihrt dazu, dass der Grenzpreis for 2"3 ztmgchst ansteigt. Letztlich verliert aber mit weiter steigender Varianz cr~ die Zusatzinformation an Wert, da auch die bedingte Varianz ( l - k 2 ) - o -2 for sehr hohe cr~ nur noch eine sehr unvollkommene Steuerung der Ttttigkeit des Agenten mit entsprechend niedrigen erwarteten Gewinnen zul~isst. Dieser Effekt ist far das letztendliche Absinken des Grenzpreises verantwortlich, wobei dieser fox endliche Varianzen aber immer positiv bleibt. In den beiden folgenden Schaubildem ist das Argument graphisch veranschaulicht.
Fallstudien zur Intemen Untemehmensrechnung
327
E(G(si )) , E ( G ( s i, s3 )) 0,12 0,1 0,08 i
0,06 0,04
0,02
"" • •
2
0 0
[
I
20
40
""~
...................
60
r .........
80
100
r .........
120
r .........
140
r .........
r ....
160
o'i 2
180
FOr einige konkrete Parameteramaahmen beschreibt Kurve 1 den erwarteten Gewinn bei ansteigender Varianz unter Verwendung yon 2~3. Kurve 2 ist der erwartete Gewinn ohne Verwendung des Index. Der Grenzpreis P, den Tfifiel & SOhne ffir die Verwendung des Index zu zahlen bereit sind, erreicht sein Maximum ~ r diejenige kritische Varianz, an welcher der Abstand der beiden Kurven am gr6Bten ist. Dort ist, bei gegebenem Korrelationskoeffizient, der Weft der Zusatzinfonnation am h6chsten. Der Verlauf des Grenzpreises bei zunel~nendem Risiko ist in der folgenden Graphik ftir zwei unterschiedliche Korrelationskoeffizienten veranschaulicht. P
0,05 ~ 0,045
jJ~ _
f~
J
k = 0,9
/
0,04
/
0,035
/
/
/
/
0,03 0,025
÷
0,02 0,015 0,01
/
0,5
k =
0,005 0
T
1,5
3
4,5
6
7,5
9
¢3.i2
328
Obungen zur Internen Untemehrnensrechnung
Teilaufgabe i)
Fiir das modifizierte Agency-Problem mit zwei Aktionen lauten die Teilnahme- und Aktionswahlbedingungen fiJr einen Vertreter:
sAz/ =s, .,, +s- .(a~,+ a t da, 8sAz'~ 8sd& da, -
2.
r
2 .st2>mO
.a4 + a 4 ) - ~ - o ,
t
a~-O,5.a 4+s~=O
4
2
--). a I = . . . ~ . si~ a 4 = - - - - ~ .
st
a4 - O ' 5 " a t =O
Der erwartete (Netto-)Gewinn der Tqfiel & SOhne aus der Verkaufstatigkeit eines Vertreters ist: E(G) = ai + a 4
- s i •a i - S i
Wie man anhand der Aktionswahlbedingungen erkennen kann, hat die Be~cksichtigung der Gr6Be a 4 gravierende Konsequenzen. Ftir einen positiven variablen Vergtitungsanteil wird das Niveau der zweiten T~itigkeit negativ und ffthrt zu EinbuBen im erwarteten Gewinn des Prinzipals. Dies impliziert nicht, dass der Agent dem Prinzipal absichtlich schadet, sondem bildet nur den plausiblen Effekt ab, dass Artreize ftir eine kontrahierbare Aktion dazu Rihren k6nnen, class der Agent andere (nicht kontrahierbare) Ttitigkeiten vemachl~tssigt, was mit Kosten far den Prinzipal verbunden ist. In manchen Modellen zu dieser Problematik wird von einem Basisniveau a-4 ausgegangen, das der Agent von sich aus bereit ist zu erbringen, urn negative Aktivit~ttsniveaus zu verrneiden. Dies verkompliziert lediglich die Darstellung, andert aber nichts an den Modellaussagen. Teilaufgabe j)
Die first best LOsung ergibt sich wie tiblich aus Einsetzen der (bindenden) Teilnahmebedingung in den erwarteten (Netto-)Gewinn und Optimierung beztiglich ai~a4~s
i 1
2
2.
r
2
2
a,,Maxa4,s, E(G,) = a t + a 4 - - ~ . (a, + a t .a 4 + a4)--~.rr , .s t -m, dE(Gt)da~
a~-Oo5.a 4+1=0]
dE(~t) -
a4-0,5"a,+l=0
[ ,
69a 4
dE(~,)
ds,
= r . rr,2 .s, = 0 ~ s, = 0
, =2.1
a' =a4
3
o
Fallstudien zur IntemenUntemehmensreclmung
329
Kann die Firmenleitung die beiden T~ttigkeiten beobachten, legt sie diese so fest, dass die Grenzkosten der T~ttigkeit ihrem Grenzertrag entsprechen. Aufgrund derselben Grenzertr~ige 1 ist das gewanschte Niveau gleich hoch. Wiederum erhalten die Vertreter ein Fixum, da die risikoscheue Firmenleitung das gesamte Risiko tragen sollte. Setzt man die optimale L6sung in den erwarteten Gewinn ein, ergibt sich nach einigen Umformungen:
J
Der erwartete Gewinn ist h O h e r als der first best Gewinn bei ausschliel31icher Berficksichtigung der VerkaufstNigkeit. Das liegt daran, dass durch a 4 eine zus~tzliche Ertragsm6glichkeit geschaffen wird, die aufgrund der Beobachtbarkeit dieser Gr6ge auch vollst~hadig ausgenutzt werden kmm. Im first best ffihrt die Berficksichtigung dieser Gr6f3e also zu Steigerungen des erwarteten Gewinnes des Prinzipals und wird deshalb von ihm begraN.
Teilaufgabe
k)
Treten zus~itzlich Aspekte der verbundenen Produktion Z =
aca 4
auf, wird dieser
Effekt noch verstarkt. Die Aktionswahl- und Teilnatmlebedingungen bleiben unver~indert. Der erwartete Gewirm ist: E(G)
= a , . a 4 + ai + a 4 - s i • a, - S i
Der L6sungsweg ist analog zu Teilaufgabe j), weshalb hier nur die L/Ssung selbst angegeben wird: ai
= a 4=2,5"/ = 0
E(d,)* = 2 - m ° > 2 - m ° Aufgrund der zus~itzlichen ErtragsmOglichkeiten durch die verbundene Produktion induziert der Prinzipal nochmals h6here Aktivit~itsniveaus und steigert so den erwarteten Gewinn. Teitaufgabe
l)
Grunds~tzlich anders stellt sich die Situation dar, wenn die Leitung der T f i f i e l & S d h n e die T~itigkeiten nicht beobachten kann. Setzt man neben der Teilnahmebedingung die Aktionswahlbedingtmgen in den erwarteten Gewinn ein, so ergibt sich:
330
Qbungen zur Intemen Untemehmensreclmung
Max E(G,)
=72 "s' - 72 s
dE(G,) _ 2 Os~ 3 ,,_ -+s,
z
r
z
-m°
4.s _r.cr?.s =0 3 1
1
,1,5.r.G2 + 2, < -1+ -r'cr2, rail Multi-tmsking
E(G,)** --
Nur eine Aktion
1 ,(4' 5"r'er2 +6 ) mit Multi-tasking
mO <
(1 1 mi ,(2"r'°-2 + 2 ), Nur eine Aktion
Im Vergleich zum first best Dst die Berticksichtigung der nicht kontrahierbaren Gr6Be a 4 unerwiinschte Substitutionsprozesse aus. Vergleicht man die resultierende Zielfunktion mit der Zielfunktion tenter Teilaufgabe c) bei nur einer Aktivit~it, zeigt sich, dass der Ertrag der Verkaufst~itigkeit gesunken ist. Wird der variable Vergfitungsanteil um eine infinitesimale Einheit erh6ht, erh6ht der Agent das Niveau der Verkaufsanstrengungen um 4/3, senkt aber gleichzeitig das Aktivit~ttsniveau der Tfitigkeit a 4 um 2/3, was zu (erwarteten) Gewinneinbul3en fiihrt. Da der Ertrag beider T~itigkeiten 1 ist, verbleibt ein Nettoertrag der Verkaufstgtigkeit von 2/3. Darttber hinaus steigen die Kosten auf 2/3. s~. Im second best ftihrt das Auftreten der nicht durch das Vergtitungssystem steuerbaren Gr6Be zu einer Situation v e r r i n g e r t e r Ertrage bei erhOhten Kosten der Anreizgewghrung. Diese verschlechterte Situation ver'~ndert aber den T r a d e o f f z w i s c h e n Risikoteilung und Anreizgewahrung zugunsten verringerter Anreize. Insgesamt ergibt sich also ein niedrigerer erwarteter Gewinn als im Fall der Teilaufgabe c) bei erh6hten Agency-Costs. Dass die Agency Costs h6her sein mfissen als bei ausschlieBlicher Berficksichtigung der Verkaufslfitigkeit, ergibt sich einfach daraus, dass der erwartete Gewinn im first best h6her ist als in Teilaufgabe b), aber fiir den second best Fall geringer ist als in Teilaufgabe c). Dieser Effekt verstfirkt sich natiirlich mit dem Auflreten der verbundenen Produktion. Steht einzig 2" als Bemessungsgrundlage zur Verfagung, ist das Niveau von a 4 immer negativ. Der zusfitzliche Ertrag der first best Situation verwandelt sich dann in h6here Kosten, derm je st~irkere Anreize t~ber s t ausgeObt werden, um so h~Sher ist a~ und um so st~trker negativ wird a 4 , so dass der negative Term a i • a 4 betragsm~t13ig zunimmt. Die Aktionswahlbedingungen der Vertreter ver~tndem sieh dagegen im second best durch das Auftreten von a i . a 4 wiederum nicht. Die LOsung ergibt sich in diesem Fall aus:
Fallstudien zur lntemen Untemehmensrechnung
331
MsaxE(~ri ) =~.S, 2 _14s: r z .s~ -m~° 9 ' - 2 "°-i dE((~,) _ 2 ds, 3 ,,
28 • S l - r ' O ' 2 i "S i = O 9 1
---> S~ =
1,5.r.o-7 ~
14
<
3, Multi-tasking verbundene Produlaion
E(G,)" -
1
1,5.r.o-~ +2 , ,
< -
Multi-t'asking
-
1
l+r.o-~ ~
Nut eine Atdion
1 < 1 < 1 (4,5.r-or, 2+14) (4,5.r.cr 7+6) (2-r.o-}+2) Multi-tasking verbundene Produktion
Multi-tasking
Nur eine Aktion
Das Auftreten des Verbundeffektes ffthrt also zu einem weiteren Absinken des variablen Vergtitungsanteils und einem nochmaligen Absinken des erwarteten Gewirmes bzw. einem Anstieg der Agency-Costs. Je wichtiger der Verbundeffekt, desto st~irker sinkt der variable Verg0.tungsanteil und der erwartete Gewiim. Anreize werden in diesem Modell nur noch ausgetibt, weil die beiden T~itigkeiten ftir den Agenten unvoltkommene Substitute darstellen. Anreize bewirken, dass der Agent die T~itigkeit a~ stiirker ausdehnt als er das Niveau von a 4 reduziert. Auf diese Weise kann eine gewisse Verbesserung des Ergebnisses relativ zum Fall des vollstO_ndigen Verzichtes auf Anreize erreicht werden.
Im Ergebnis ff~hrt das A uftreten nicht kontrahierbarer, aber fiir den Prinzipal wichtiger GrOfien wie a 4 also tendenziell dazu, dass Anreize fiir relativ gut beobachtbare und kontrahierbare Bemessungsgrundlagen reduziert werden miissen, um unerwiinschte Substitutionsprozesse zu vermeiden. Dies ware ein m6glicher Erkl~irungsansatz far empirische Ergebnisse, die off feststellen, dass erfolgsabhfingige Vergtitungsformen in der Praxis weit seltener auftreten, ats es die Erkenntnisse der Agency-Theorie vermuten lassen warden. Bspw. liege sich Z = a,- a 4 als ein strategischer Effekt interpretieren, der die langfristigen Konsequenzen solcher Substitutionsprozesse misst. Von besonderer Relevanz diirfte er immer dann sein, wenn langfristige Qualit~its- und Reputationseffekte zu beachten sind. Die folgende Tabelle zeigt einige Agency-Beziehungen, in denen dieser Effekt vermutlich eine grol3e Rolle spielt:
332
Obungen zur InternenUnternehmensrechnung
Gr6ge a4
Prinzipal
Agent
Gr6Be xi
Besitzer einer
Mechaniker
Kundenumsatz j e
Qualit~tt der Repara-
Mechaniker
tur
wirtschaftliehes
Behandlungsqualitgt
grogen Autowerkstart Krankenhaustr~tger
Chefarzt
Ftthren der Abteilung Eigner
Manager
Umsatz, kurzfris-
Marktbeobachtung,
tiger Gewiim,
R&D, langfristige
ROI, etc.
Positionierung der Unternehmung
TOV
TOV-
Anzahl kontrol-
SorgP~iltigkeitder
Ingenieur
lierter Fahrzeuge
Hauptuntersuehung
Mit Ausnahme der Eigner-Manager Beziehung sind erfolgsabh~ngige Vergatungen in diesen Beziehungen (bisher) kaum anzutreffen, da die Gefahr unerwanschter Substitutionseffekte sehr hoch sein dttrfte. Aber selbst in der klassischen EignerManager Agency-Beziehung wird oft argumentiert, dass hohe, am eher kurzfristigen Erfolg orientierte Verg0tungsbestandteile (etwa Quarterly Earnings) dazu fiihren k6nnen, dass langfristigen, strategischen Oberlegungen zu wenig Beachtung geschenkt wird. Andererseits sind auch Agency-Beziehungen denkbar, in deren Rahmen sich bestimmte Tgtigkeiten als komptementdr erweisen k6nnen. Vergtitet beispielsweise elne Bank einen Finanzberater anhand der Kundenumsgtze und ist sie femer an einer hohen Qualit~t der Beramngsgespr~iche interessiert, kann eine hohe Beratungsqualitat auch durchaus im Interesse des Agenten liegen, da man yon einem positiven Zusammenhang zwischen Ums~itzen und Beratungsqualitfit ausgehen kann. Dagegen warde eine alleinige Vergfitung anhand der Zahl der pro Monat beratenen Kunden wohl zur oben skizzierten Problematik f0hren. Dies unterstreicht die zentrale Bedeutung der Wahl einer geeigneten Bemesstmgsgrundlage, welm dadurch mehrere T~tigkeiten des Agenten gesteuert werden sollen.
Teilaufgabe l) Es sollte offensiehtlich geworden sein, dass eine Bemessungsgrundlage 2"4 = a 4 + 2~4 das oben genannte Problem entsch~irft. Der Agent trifft seine Aktionswahl dama anhand von:
Fallsmdien zur IntemenUntemehmensrechnung 1
2
2
r
M a x S A ' Z A = s , . a t + s 4 • a 4 + S, - - ~ . ( a t + a , . a 4 + a 4 ) - - ~ a~,a4 = -a,
ai
-
2
+ s~
tYSftZ A
4.s i -2.s --~ a i -
--
a t
-
+
3
2
333 2
9
2
0
(s i • 0-i + s g . cy 4 ) - m r
4.s 4 - 2 - s ,
4 ,a t-
3
st
a i
Dutch die zus~itzliche Gr6Be hat der Prinzipal die M6glichkeit, die Substitutionsentscheidung zu beeinflussen. Insbesondere existieren Kombinationen der beiden variablen Beteiligungen, die zu positiven Niveaus der AMivit~ttsniveaus fiihren (z. B. s i = 0,3, s 4 = 0,2 ). Dies ist aufgrund der bisherigen Uberlegungen um so eher der Fall, je pr~iziser die beiden Bemessungsgrundlagen 2 t (2 0) fiber a t (a 4) Aufschluss geben (geringe 0-2, 0-2 ). Die Analyse hat gezeigt, dass sich bei Vorliegen yon Verbundeffekten der A r t a t • a 4 5 betfiichtliche Erfolgszuw~tchse realisieren liel3en, wenn es (mittels eines geeigneten Anreizsystems) gelingt, die unerw~insehten Substitutionseffekte zu begrenzen bzw. zu beseitigen. Als wichtiges Ergebnis lfisst sich festhalten, dass eine erfolgreiche Steuerung mehrerer, komplexer T~ttigkeiten einerseits yon einer "informativen" Bemessungsgrundlage abhgngig ist und andererseits beim Vorliegen yon asymmetrischer Information Aspekte der Risikoteilung und Anreizgew~hrung zu bertieksichtigen sind. In diesem Sinne verhalten sich die Mehr-Aktionen Agency-Theorie und Forschungsanstrengungen zur besseren Operationalisiertmg komplexer Gr6gen wie etwa der medizinischen Ergebnisqualitfit (a4) komplementfir zueinander. Literatur: Ewert,
und A . W a g e n h o f e r : Linearit~it und Optimalit~it in 6konomischen AgencyModellen - Zur Rechtfertigung des LEN-Modells, in Z e i t s c h r i f t f i i r B e t r i e b s w i r t s c h a f t , 63. Jg. (1993), S. 373-391. R.
W.: The First-Order Approach to Principal-Agent Problems, in: m e t r i c a 1985, S. 1357-1367.
Rogerson,
Econo-
A.: Anreizsysteme in Agency-Modellen mit mehreren Aktionen, in: Betriebswirtschaft 1996, S. 155-165.
Wagenhofer,
Die
5 Diese Analysekann allerdings wesentlichkomplexerausfallen, da in diesem Fall das Produkt zweier normalverteilterZufallsvariablenauftritt, das in der Regel nicht mehr norrnalverteiltist.
Fallstudie 12: Controlling im iffentlichen Sektor*
Die Fallstudie analysiert Probleme asymmetrischer Information und die EinsatzmOglichkeiten yon Osband-Reichelstein-Schemata bei der Vergabe eines OJ~ntlichen Auftrages an einen einzigen Anbieter.
Das deutsche Wissenschaftsministerium erw/igt den Ban eines eigenen Weltraumlabors "'Germlab". Aus politischen Granden soll der Auftrag an ein deutsches Unternehmen vergeben werden. Der einzige in Frage kommende Anbieter ist die German Satellite A G (G,g) mit Sitz in Oberpfaffenhofen. Bisher erfolgte die Vergabe dutch das Ministerium stets auf Basis sogenarmter Kostenplus-Vertr~ige. Dem Anbieter wurden dabei seine entstandenen Kosten zuz~iglich eines prozentualen Gewinnzuschlages erstattet. Bei der ersten ministeriumsintemen Besprechung zum "Germlab"Projekt meldet der frisch gebackene Regierungsrat Peter Pfiffig schwere Bedenken gegen diese Vorgehensweise an, denn das beauftragte Untemehmen k6nnte durch "hohe Kosten" hohe Gewinne realisieren. Er erh~ilt daraufhin von seinem sichtlich beeindruckten Chef, Staatssekretar Redlich, den Auftrag, Vorschlfige far altemative Gestaltungen der Verg~ltung der GS anszuarbeiten. Gehen Sie davon aus, dass sich die Kostenfunktion far das "Germlab" vereinfachend wie folgt darstellen l~isst: C = O ~- a , i
=o, u
Dabei bezeichnet 0 ~ einen Technologieparameter, der das Kostenausgangsniveau festlegt, und a > 0 sind die Anstrengungen der GS, diese Ausgangskosten zu senken. Weiterhin sei angenommen, dass diese Anstrengungen der GS Opportunitgtskosten der Form V(a) = b . a 2 , b > 0 verursachen. 6 Es gilt also V'> 0 und V"> 0, d.h. diese Opportunit~tskosten nehmen mit zunehmenden Anstrengungen tiberproportional zu. Femer sei die Funktion V sowohl der GS als auch dem Ministerium bekannt. Die wohldiversifizierte GS sei risikoneutral und orientiere sich an folgender additiv separabler Nutzenfunktion: U = t - V(a)
6 Durch diese Anstrengungen werden in der GS Ressourcen gebunden, die sie ansonsten etwa flir die Annahme anderer Regierungsauftrggeeinsetzen k/~nnte.
336
Obungen zur Intemen Untemehmensrechnung
Die Variable t bezeiehnet dabei einen monetaren Nettotransfer, d. h. einen die reine Erstattung der Projektkosten fibersteigenden Geldbetrag. Der Vertrag mit dem Ministerium muss bei der G S zu einem mindestens gleich hohen Nutzenniveau ffihren wie anderweitig verffigbare Alternativen, etwa die Annahme eines anderen Aufirages des Verteidigungsministeriums. Dieser sog. Reservationsnutzen sei bier auf 0 normalisiert und l~isst sich fonnal durch eine sogenmmte Teilnahmebedingung (engl. Individual Rationality Constraint) ausdrficken. Sie lautet: U>U-,
U-=0
Der Technologieparameter kaml dabei zwei m6gliche Ausprfigungen 0 ~ und 0 ° annehmen, wobei 0" < 0 ° gelten soll. Der Nutzen des Weltraumlabors sei "N = konstant" und es gilt N - O i > 0, d. h. der Bau des Weltraumlabors wird unabh~ngig vom Technologiezustand und etwaigen Anstrengungen der Kostenreduktion far vorteilhaft gehalten. Pfiffig ist sich bewusst, dass der Staat seinen Bfirgem gegentiber f~r einen m6glichst effizienten Einsatz von Steuermitteln verantwortlich ist. Er geht deshalb davon aus, dass der Nutzen der Btirger genau dann maximiert wird, wenn das Raumlabor (unter Beachtung der Teilnahmebedingung) m6glichst kostengtinstig hergestellt wird. Das Problem l~isst sich also durch folgende Zielfunktion ausdrticken: Z=N-(C+t)
Nettmen Sie zun~ichst an, dass PfiJfig davon ausgeht, dass der Technologieparameter 0 i sowohl der G S als auch dem Ministerium bekannt ist. Femer k6nnen beide Vertragsparteien die tats~tchlich entstandenen Kosten C ex post zweifelsfrei beobachten. Das Anstrengungsniveau a ist dagegen dutch das Ministerium nicht beobachtbar. a) Zu welchen Kosten wttrde das Labor hergestellt, wenn das Ministerium der GS einen Kostenplus-Kontrakt der Form (1 + 6 ). C anbietet, wobei 6 > 0 einen positiven Gewinnzuschlag bezeichnet? Welche Anstrengungen a unternimmt die GS und wie hoch ist ihr Nettotransfer? Was folgt daraus far die Effizienz von Kostenplus-Vertr~igen Far die Vergabe 6ffentlicher Auftrgge? b) Was folgt aus dem beiden Vertragsparteien bekannten 0 ~ und Beobaehtbarkeit von C ffir das Anstrengungsniveau a ? e) Bestimmen Sie das aus Sicht des Ministeriums optimale Anstrengungsnivean a, die daraus resultierenden Kosten C des Raumlabors, die H6he des Nettotransfers t und das Nutzenniveau der GS. Verwenden Sie hierzu die konkrete Funktion V(a) = b. a 2 .
d) Zeigen Sie, dass der Kontrakttyp t(C) = b. (a*)2 _ ( C - C*) genau die unter Teilaufgabe e) ermittelte L6sung implementiert. Dabei bezeietmet C die ex post tats~ichlich entstandenen Kosten und C,* a* die unter Teilaufgabe c) ermittelten minimalen Kosten bzw. optimalen Anstrengungen. Wie wfirden Sie diesen Kontrakttyp charakterisieren und 6konomisch interpretieren? Kommentieren Sie Ihr
Fallstudien zxtrIntemen Untemehmensrechnung
337
Resultat vor dem Hintergrund der derzeit vorherrschenden Kostenplus-Vergtitung. e) Nennen Sie einige Argumente, die in der Realitgt gegen den unter d) analysierten Kontrakttyp sprechen. Netmlen Sie jetzt altemativ an, dass die GS weiterhin 0 i genau kennt. Das Ministerium weig dagegen nur, dass der gute Tectmologiezustand O" mit Wahrscheinlichkeit v und der schlechte Technologiezustand 0 ° mit Wahrscheinlichkeit (1 - v) vorliegt, d. h. im folgenden wird der Fall der asymmetrischen Information fiber 0 t untersucht. P.fiffig fiberlegt, ob es in diesem Fall nicht am besten wfire, wenn die besser informierte GS vorab einen Bericht 0 B tiber die Technologie i. S. einer Kostensch~itzung abgibt und die Festlegung eines Kostenbudgets f0x das Projekt sowie der endgt~ltigen Vergfitung dann anhand dieses Berichtes erfolgt. Nehmen Sie an, dass das Ministerium sich in diesem Fall zunfichst wie im Szenario der symmetrischen Information verh/~lt. f) Untersuchen Sie, ob die GS unter diesen Umst~nden einen Anreiz hat, wahrheitsgemN3 0 ~ -- 0" zu berichten, wenn ihr bekannt ist, dass tats/~chlich der gute Technologiezustm~d vorliegt. Was folgt daraus ffir ein Kostenerstattungssystem bei asymmetrischer Information? Versuchen Sie, aufgrund dieser Ergebnisse den Planungsansatz des Ministeriums bei asymmetrischer Information herzuleiten. (Hinweis: Die folgenden Aufgabenteile sind schwierig und gelegentliches Nachschlagen in der Musterl6sung ist ausdracklich erlaubt). g) Wie hoch sind die optimalen Projektkosten, die Anstrengungen zur Kostenreduktion sowie der Nutzen der GS in den beiden Technologiezust/~nden O" und 0°? Vergleichen Sic ihr Ergebnis mit Teilaufgabe c)! h) Berechnen Sie die Kosten C , die optimalen Anstrengungen a t , den Nettotransfer t i , den Nutzen U i, den ex post realisierten Nutzen des Raumlabors Z ~ -- N - C ~ sowie den ex ante erwarteten Projektnutzen E ( Z ) . Nehmen Sie die Berectmungen jeweils t'OXdie Situation der symmetrischen Intbrmation, Far die unter g) ermittelte L6sung und ffir den Fall, dass das Ministerium bei asymmetrischer Information dieselbe Politik wie im Fall der symmetrischen Information verfolgt, vor. Verwenden Sic hierzu den konkreten Datenkranz 0 u = 8, 0 ° = 10, b = 0,25, N = 20, v = 0,1. i) Nun geht es, ~ihnlich wie bei Teilaufgabe d), um die Frage, ob und ggf. wie die unter g) ermittelte L0sung bei asymmetrischer Information durch einen bestimmten Vertragstyp direkt implementiert werden kann. Der Vertrag soil einerseits sicherstellen, dass die Teilnahmebedingung der GS in beiden Tectmologiezustanden er~llt ist, andererseits muss er gewahrleisten, dass das Untemehmen keinen Anreiz hat, bei Vorliegen des guten Technologiezustandes so zu tun, als ob der schlechte Technologiezustand vorliegt, et vice versa. Pfiffig erwagt der GS die folgenden beiden Kontrakte anzubieten (so genanntes "Mena linearer Kontrakte",
338
Obungen zur Internen Unternehmensrechnung
siehe auch Aufgaben zu Kapitel 9). Dabei bezeichnet a u die optimalen Anstrengungen bei asymmetrischer Information im guten Technologiezustand und a ° den analogen Wert fro" den schlechten Technologiezustand (L6sung Teilaufgabe g)). C u und C ° sind die entsprechenden Projektkosten. Etwaige Informationsrenten werden mit R abgekorzt (Hinweis: Beachten Sic, dass diese Werte keine Variablen sind, sondern durch die LOsung unter g) festgelegt werden). I
u x2
Kontrakt 1" b . l a ) + R - 2 . b . a
u
.((7-6")
Konn'akt 2: b.( a° ) 2 - 2 . b . a ~ - ( C - C ' ) j) In einem etwas anderen Zusammenhang erscheinen solche Anreizschemata auch im Letu'bueh. Wie nennt man sie? Ist dieses "Menti linearer Kontrakte" in der Lage, die L/Ssung unter g) zu implementieren? (Hinweis: Prafen Sie, ob die beiden Kontrakte die Teilnahmebedingung erfallen und Rir die GS kein Anreiz besteht, sich bei Vorliegen von Teehnologie 0" wie im Fall von Technologie 0 ° zu verhatten und umgekehrt). Wo genau liegt das Problem? k) Wie kann das Problem unter Teilaufgabe j) beseitigt werden ? Charakterisieren Sie den erhaltenen Vertrag vor dem Hintergrund von Festpreiskontrakten versus Anreizkontrakten. Ein Anreizkontrakt hat die Form F i x u m - l . ( C - C r) C r, 0 < l < 1, C r bezeichnet ein Kostenziel.
Musterl6sung:
Teilaufgabe a) FOr den Kostenplus-Kontrakt gilt: 6- C + C --+ t = 8. C. Einzige Entseheidungsvariable der GS ist a. Sie wird bei diesem Vertrag das Anstrengungsniveau a so festlegen, dass der Nettotransfer t maximiert wird. Ihre Zielfunktion lautet daher: Max U = t - V(a) = 6. C - V(a) = 6. (0 i - a) - V(a) (l
Der maximale Nutzen ergibt sich aus: OU Oa
---
8 - V'(a) < 0
Hier offenbaren sich sehr anschaulieh die perversen Anreize, die yon KostenplusVertr/igen ausgehen. Durch Anstrengungen zur Kostensenkung vcarde sich die GS selbst schaden, da jede ErhOhung von a zu einer (Grenz-) Nettotransfereinbuge yon - 6 fiihrt und dartiber hinaus noch Opportunit~itskosten verursaeht. Das Problem hat somit nur die RandlOsung a" = 0. Die Kosten betragen 0 r , sind also jeweils maximal. Die Teilnahmebedingung ist wegen 6 . 0 i > 0 stets ergillt, und die GS realisiert ein (Rand-) Maximum an Nettotransfer. Wie leieht klar wird, ist diese LOsung abet
Fallstudien zur Internen Unternehmensrechnung
339
far das Ministerium sehr ineffizient, da dieser Vertrag "sicherstellt", dass das Labor stets zu maximalen Kosten produziert wird.
Teilaufgabe b) Die Unbeobachtbarkeit yon a ist unerheblich, sofern das Ministerium C beobachten kann und 0 i kennt. Aus dem Zusammenhang C = 0 i - a folgt durch einthche Umformung n~mlich sofort a = 0 i - C . Das bedeutet, dass das Ministerium aus 0 ~ und C eindeutig auf a schliegen kann. Die Anstrengungen sind also faktisch beobaehtbar.
Teilaufgabe c) Bei Beobachtbarkeit von C und Kelmtnis yon 0 i 16st das Ministerium far beide Technologiezustgnde folgendes Problem:
MaxZ = N-(C U,C
+ f ) --->M i n ( C + t ] U,C
~
J
u. d. Nebenbedingung:
U'=t'-V(a')>_O
i=u,o
L6st man die Nutzenfunktion der GS nach t auf, ergibt sich U + V(a) = t. Der Nettotransfer wirkt sich somit erhOhend auf die Projektkosten aus. Es ist deshalb aus Sicht des Ministeriums nicht rational, der GS mehr als den unbedingt nStigen Nettotransfer zur Einhaltung der Teilnahrnebedingung zukommen zu lassen. Das bedeutet, dass die Nebenbedingung im Optimum als Gleichung erftillt sein muss, d. h. U ~= 0 --~ t = V(a). Das Problem 1/isst sich darm wie folgt darstellen:
M a x Z = N - ( C +t) = N - ( O j - a + U i +V(a))= N - ( C ~+U s +b.(O ~ - C ' ) 2) U ,C
= N-(C'
+b.(O'-C') 2)
Die Bedingung erster Ordnung lautet: 7
dZ =-l+2.b.(0 dC ~
i-C)=0
bzw. C ? = 0 i - - - 1; 2b
a • = 1 ; t' = - -1 ~4b
--~ Z ' * = N - ( O ' - 2 . b + ~ . b
)=N-
OS-4. b ,
Ut, -
1 4.b
1 _ 0 4.b
7 Das Problem ist streng konkav. Deshalb ist die notwendige Bedingung far ein Maximum auch hinreichend.
340
l)bungen zur InternenUnternelmaensreclmung
Ft~r beide Technologiezust~nde wfirden somit Konstruktionsanstrengungen in H6he von a' = 1 / (2. b) festgelegt und das Raumlabor zu Kosten von C* = Or - 1 / (2. b) hergestellt, wobei nattMich Z u > Z ° reduktion werden bis zu dem Pmkkt einsparungen (-1) genau den durch V' entsprechen, die das Ministerium
bzw. C" < C ° gilt. Anstrengungen zur Kostenm~ternommen, an dem die marginalen Kostensie hervorgerufenen Grenzopportunitgtskosten der GSja vergfiten muss.
TeiIaufgabe d) Unter dem oben angegebenen Kontrakt legt die GS die Anstrengungen a wie folgt lest, wobei G ihren Gewinn bezeiclmet:
8G --=l-2.a.b=O---~a= Oa
1 =a'; 2. b
82G Oa2
2.b<0
Der vorliegende Vertrag l~isst sieh wie folgt charakterisieren. Die GS erMlt ein Fixum in H6he der unter c) ermittelten optimalen Opportunitfitskosten und hat Kostenabweichungen in voller HOhe selbst zu tragen. Durch a, die von a* abweichen, wfirde sich das Untemehmen quasi selbst bestrafen, denn das Fixum b. (a')2 und damit ein Nutzenniveau yon 0 erhNt die GSja nut dann, wenn a = a* gilt. Sowohl ftir zu niedrige Anstrengungen a t-) als aueh t'ar zu hohe Anstrengungen a (+) gilt aufgrund der strengen Konkavit~tt des Problems er(a ~-~) < ~r(a*) bzw. er(a ~+)) < ~r(a*). Intuitiv lisst sich dies an folgender Eigenschaft dieses Kontraktes zeigen. * Im Falle zu geringer Anstrengungen fetllt die vom Unternehmen roll zu tragende negative Kostenabweiehung -(C(a ~-)) - C * ) < 0 linear, wilhrend die Opportunit~itskosten nur unterproportional abnehmen. •
F ~ Ctberh6hte Anstrengungen resultiert zwar eine positive Kostenabweichung, -(C(a (+~)- C * ) > 0, jedoch steigen die Opportunititskosten in diesem Fall tiberproportional an.
Ein solcher Kontrakt wird als Festpreiskontrakt (engl. Fixed Price-Contract) bezeichnet. Das Untemehmen erhNt eine vorab festgelegte Vergtitung und hat Kostenabersehreitungen voll zu tragen. Bemerkenswert ist, dass dieser Kontrakttyp offenbar in diametralem Gegensatz zur derzeitig vorherrschenden Kostenplus-Praxis bei der Vergabe 6ffentlicher Auftrgge steht.
Teilaufgabe e) M6gliche Argumente sind: Unsicherheit: Das hier vorgestellte Modell ist deterministisch. FOr ein Projekt yon der Dimension eines Weltraumlabors sind die zukrmftigen Kosten zum Zeitpunkt
Fallstudienzur IntemenUnternetunensreelmung
341
des Projektbeginns h6chst unsicher und i. d. R. von einer HGhe, die bei Fehlplanungen das gesamte Untemehmen gef'0hrden warden. Warden solche Projekte ausschlieglich auf Festpreisbasis vergeben, darfte es dem Staat schwer fallen, tiberhaupt Firmen zu finden, die zur Projektabemahme bereit sind. Streng genommen gilt dieses Argument jedoeh nur far risikoscheue Untemehmen, die in diesem Fall horrende Risikopr~ien fordem warden. Keinesfalls kann aus diesem Argument heraus jedoeh die Vorteilhaftigkeit eines reinen Kostenplus-Vertrages begrfindet werden (siehe aueh unten, asymmetrische Information). Verhandlungen: Das Modell unterstellt implizit, dass das Recht der Vertragsgestaltung (engl. Contract-Design) vollst:indig beim Ministerium liegt. Es bietet einen Vertrag an, und die GS kann nur annehmen oder ablehnen. In der Realit:it werden langwierige Verhandlungen die Regel sein, und in die letztendliehe Einigung werden die Vorstellungen beider Seiten einflieBen (Verhandlungsl6sungen), denn als einziger Anbieter verfagt auch die GS tiber eine gewisse Verhandlungsmaeht. Dvnamik: Das Modell beracksichtigt nicht, dass im Zuge einer in der Realit~it lange wNlrenden und unsicheren Projektrealisierung beiden Seiten zusatzliche Informationen fiber die Kosten zugehen werden. Insbesondere ist das Argument, dass man ja mit einem Festpreiskontrakt beginnen k6nnte und dann ggf. neu verhandelt, nicht stichhaltig. In diesem Fall w~,re der Festpreiskontrakt blol3e Makulatur, da die strategisch handelnde Untemehmung antizipieren wttrde, dass sie gerade durch Kostenaberschreitungen einen Spielraum fttr Neuverhandlungen schaffen wfirde. Ein solches Problem mfisste spieltheoretisch angegangen werden. Teitaufgabe J)
Liegt tats~ichlich der gute Teehnologiezustand vor und wfirde die GS wahrheitsgem/ig OB =Ou beriehten, erh:ilt Sic C ~ +t(O") = O " - 1 / ( 2 . b ) + l / ( 4 . b ) vergatet und erzielt ein Nutzenniveau yon U-= 0. Beriehtet die GS dagegen falseh, oB= 0 °, warden ihr Kosten in H6he von C ° = 0 ° - 1 / ( 2 . b ) vorgegeben. Damit sic dann nicht ex post der offensichtlichen Falschberichterstattung tiberfiihrt werden kann, muss aus ihrer Sicht gelten: O" - a " : 0 ° - ( 1 / 2 . b ) --> 0" - 0 " = 1 / ( 2 . b ) - a " > 0 (!) --->a" <(1/2.b) Das Nutzenniveau der GS im Fall der Falsehberiehterstattung ist dan_u:
Falschberichterstattung w~ire far die GS strikt vorteilhaft, denn sie kama die zum schleehteren Teetmologieniveau passenden Kosten C o mit geringeren Anstrengun-
342
0 bungenzur InternenUnternehmensrechnung
gen erreichen, als wenn die Technologic tats~ichlieh unvorteilhaft wgre. Die Unter-
nehmung erzielt eine "6konomische Rente", d. h. einen die Vergtitung der Opportunitfitskosten t~bersteigenden (Nutzen-)Vorteil aus asymmetrischer Information. Ein Kostenerstattungssystem im Fall der asymmetrisehen Information muss also dem Umstand Rechnung tragen, dass die GS nut dann wahrheitsgemi~fl berichtet, wenn ihr der Vergt~tungskontrakt den potentiellen Vorteil aus asymmetrischer Information verg~itet. Umgekehrt muss das Erstattungssystem ebenfalls sicherstellen, dass kein Anreiz besteht, den guten Technologiezustand zu berichten, wenn tats~tchlieh der schlechte vorliegt. Formal fahrt das dazu, dass dem Planungsproblem des Ministeriurns die beiden folgenden Nebenbedingungen hinzuget'dgt werden mt~ssen. Sic wetden als Anreiznebenbedingungen oder "Incentive Compatibility Constraints" bezeichnet. U" > t ° - b ( O " - C ° ) 2 U~ >t"-b(O ° -C") 2
Da das risikoneutrale Ministerium die Technologie nicht mehr kennt, wird es den erwarteten "Gewinn" (Projektnutzen abzUglich Projektkosten) maximieren, wobei zwei Teilnahmebedingungen und zwei Anreiznebenbedingungen zu beachten sind. Der Planungsansatz lautet: Max
E(Z)=
C" ,C ° , U u ,U °
v.(N-(C"
+b.(O" - C " ) 2 + U " ) ) + ( 1 - v ) . ( N - ( C
° +b.(O ° - C ° ) 2 +U°))
u. d. Nebenbedingungen:
(:)U" >-U=0 (2) U ° _>U=0 (3) U" >_t ° - b .(0 ~ - C ° ) 2 (4) U ° >_t" - b . ( O ° - C " ) 2 Dies ist eine vereinfachte Darstellung des allgemeinen Ageney-Modells bei gleichzeitigem Vorliegen yon "Hidden Action" (Ministerium kann a nicht beobaehten) und "Hidden Information" (Ministerium kennt 0 t nicht). Im Folgenden wird ein recht allgemeiner LOsungsansatz £0r das oben entwickelte Agency-Modell prasentiert. Zungehst k6nnen an dem Problem folgende Vereinfachungen vorgenommen werden. Zuerst wird gezeigt, dass die Einhaltung der Nebenbedingungen (2) und (3) automatisch dazu ftthrt, dass auch (1) erfallt ist. Deshalb ist es zul~ssig, Bedingung (1) wegzulassen. Aus Bedingung (3) folgt n~nalich: u" >_t° - b . ( o ° - c ° ) 2 +b.(o ° - c ° ) 2 - b . ( o ° - C ° ) 2 ---~ U" > U° + b.(O° - C ° ) 2 - b . ( O " - C ° ) z
Fallstudien zur Intemen Untemehmensrechmmg
343
Geht man davon aus, dass es sich f'dr das Ministerium nicht lohnen kann, im schlechten Technologiezustand mehr als U ° = 0 (2) zuzulassen, folgt: U" > b.(O° - C ° ) 2 - b . ( O ~ - C ° ) 2 >0
Wenn bei Vorliegen der schlechten Technologieumgebung der GS ein Mindestnutzen yon 0 einger~iumt werden muss, daxln ist das Nutzenniveau fftir die bessere Technologie in jedem Fall gr6Ber als Null, da die Opportunitfitskosten b. a 2 streng monoton in a wachsen. Andererseits kalm es sich nicht lohnen, der GS im schlechten Technologiezustand mehr als unbedingt n6tig, d. h. gerade ihren Reservationsnutzen zu vergtiten. Weiterhin besteht ein "Kunstgriff' bei der LOsung dieses Modelltyps darin, die Anreiznebenbedingung f'tir den schleehten Technologiezustand zun/ichst wegzulassen und sp~iter zu zeigen, dass sie yon der ennittelten optimalen L6sung erftillt wird. Man erh~ilt also das reduzierte Problem: Max
E(Z) =v.(N-(C
'~ +b.(0" -C~) 2 +U"))
C ~ ,C ° ,U" ,U °
+(1-v).(N-(C
° +b.(O ° - C ° ) 2 +U°))
u. d. Nebenbedingungen: (2)
U ° >0
(3)
U" >_t° - b ( O " - C ° ) 2
Bedingung (3) lgsst sich wie folgt urnformen: u" >_t° - b . ( o " - c ° ) 2 (3) u" >_u ° + b . ( o ° - C ~ ) 2 - b . ( o ~ - c ° ) ~ U ~ >U°+b.(O°-C°) 2-b.(O"-C°+O °-0°) 2 U" - U s >_b. ( o o£ _ : ~o) 2 - b . ( o zo_ : ~ o - ( o ° - o " ) ) 2 > o _a o
_a o
U "-U ° >b.(a°) 2-b.(a °-(O n-0")) 2 >0 =&U
8AU - 2 . b . a ° - 2 . b . ( a ° - ( 0 ° - O " ) ) = 2 . b . ( O° - 0 " ) > Oa°
O!
In dieser Darstellung wird der zentrale Unterschied zum Fall der symmetrischen Information deutlich. Jede Erh6hung des Anstrengungsniveaus a ° i m schlechten Technologiezustand ffihrt zu einer ErhOhung der Informationsrente, die der GS im guten Technologiezustand ~berlassen werden muss, damit ffir sie kein Anreiz besteht, unwahrheitsgem/g3 zu berichten. Wenn das Ministerium durch einen Festpreisvertrag versucht, maximale Anreizwirkung bezaglich der Kostenreduktionsanstrengungen zu induzieren, tlihrt dies dazu, dass der GS im gtinstigen Tectmologiezustand sehr hohe Renten zugebilligt werden mtissen, die im Erwartungswert die Projektkosten erh6hen. Dies bedeutet 6konomisch, dass sich kostenreduzierende An-
344
l)bungen zur IntemenUntemehrnensrechnung
strengungen im gtinstigen Technologiezustand um die Informationsrente verteuem. Das Ausmag dieser Rente kann jedoch nur fiber die im ungiinstigen Technologiezustand abgeforderten Anstrengungen beeinflusst werden! Die reine Orientierung an einer mOglichst efjqzienten Projekterstellung (hohe a) weicht hier einem Tradeoff zwischen mOglichst hoher Anstrengung einerseits und dem Ziel der Begrenzung der Informationsrente andererseits. Dies ist ein erster Hinweis darauf, dass Festpreis-
kontrakte bei asymmetrischer Information mit zu hohen Informationsrenten einher gehen k6nnen und letztlich ihre Optimalit~it einNiBen. Informationsrenten stellen aus Sicht des Ministeriums Kostenfaktoren dar. Deshalb werden (2) und (3) an der Stelle der optimalen L6sung als Gleichungen erftillt sein (bindende Restriktionen). Somit ergibt sich der folgende Optimierungskalktil des Ministeriums. Dabei bezeichnen Variablen mit "*" die L6sung bei symmetrischer Information und solche mit "**" die LOsung bei asymmetrischer Information. Max
E(Z)=v.(N-(C
~ +b.(O u - C u ) 2 +U"))
C" ,C ° , U " , U °
+ ( 1 - v ) . ( N - ( C ° +b.(O ° - C ° ) 2 +U°))
Im schlechten Technologiezustand erh/ilt die GS keine Rente, im guten Technologiezustand die oben abgeleitete Rente. U ° = 0; g ~ = b .(a °) 2 - b .(a ° - ( 0 ° -O~)) 2 = b. (0 ° - C ° ) 2 - b . (0 ° - C ° - ( 0 ° - 0 " ) ) 2
Damit ergibt sich folgender Optimierungsansatz: Max E ( Z ) = C ~ ,C °
v.(N-(C"
+ b. (0" - C " ) 2 +b.(O ° - C ° ) 2 - b . ( O ° - C ° - ( 0 ° - 0 ~ ) ) 2 )
+(1-v).(N-(C
° +b.(O ° - C ° ) 2)
Leitet man nach C" ab, ergibt sich: OZ - v.(-l + 2.b.(O u -C"))=O; ©C" -~ C~,, = C u~ = 0 u _
1 2.b
_ _ ;
a"*'
=
a u* =
1 2.b
_ _
Gegent~ber der Situation bei symmetrischer Information treten im g~instigen Technologiezustand also keine Ver~inderungen auf. Die Ableitung naeh C ° ist:
Fallstudien zur Intemen Untemetunensrechnung OZ
--= ,yC °
v.(2.b.(O ° -C°)-
--> C °** = 0" - - - +1 2.b
2.b.(O ~ -C°))+(1-v).(-l
1 . ( 0 ° _ O~ ) , C 1-v 1
C°**_C°*=_(O°_O")+
345
+ 2.b.(O ° -C°)) =0
°" = OO _ _ _1
2.b
.(Oo_O,)>O___>fflrv>O___>aO**
1-v
Die optimale L6sung 1/isst sich wie folgt charakterisieren. Berichtet die G S eine gute Technologieumgebung, werden dieselben Anreize wie im Fall der symmetrischen Information induziert und das Raumlabor wird zu denselben Kosten erstellt. Allerdings verteuert sich die Produktion hier um die positive Informationsrente, d.h. der Nettotransfer t "** ist grOBer als der Nettotransfer t" *. Berichtet die G S dagegen eine schlechte Technologieumgebung, erh/ilt sie keine Infonnationsrenten, aber sie produziert zu hOheren Kosten als im Fall der symmetrischen Information. Denn um die Informationsrente im guten Technologiezustand zu begrenzen, werden im schlechten Technologiezustand weniger starke Anreize ausget~bt. Dies fahrt zu reduzierten Anstrengungen a °** < a °* . AbschlieBend ist noch zu zeigen, dass die vemachl~tssigte Nebenbedingung (4) far die ermittelte L6sung stets erflillt ist. Bedingung (4) l~sst sich wie folgt umsclu-eiben: U o >t "_b.(O ~-C") 2 o > _ u ~ + b . ( O '~ _ C , , ) 2 _ b . ( O , ' _ C , , )
2
Sei far i = u , o ; j = u,o; i , j : f (o j - c ') = b. (o ~- c') 2 - b. (o j - c' - (o ° -o" ))2
o >_u" - ( b . ( o ° - C " ) 2 - b . ( o ° - C ' - ( o
° - o " ) ) 2)
O>_U"-f(O °-c")
u ° - u ° = u " = b . ( o ° - c o ) 2 - b . ( ( o ° - c o - ( o ° - o ~ ) ) 2 = f ( o ° - c °) O> f ( O ° - c ° ) -
f(O °-C")
Dies ist abet ffir die oben abgeleitete L6sung stets erfiillt, delta f i s t monoton waehsend in a ~ (s.o.) und damit monoton fallend in C ~ und aus der optimalen L6sung iblgt C ~'* = C ~* < C °*" . Teilaufgabe h)
Die verlangten L6sungen mit den konkreten Werten k6nnen nachstehender Tabelle entnommen werden.
346
Obungen zur Intemen Untemehmensrechnung
0= 8
(syntax. Inf.)
0 = 10
(sylrml. Inf.)
0= 8
(asymm. Inf.)
0 = 10
(asymm. Inf.)
Verhalten
Verhalten
wie bei wie bei symm. Info. symm.Info. 0=8 0=10
C
6
8
6
8,22
6
8
d
2
2
2
1,777
2
2
t'
1
1
1,77
0,7901
2
1
U/
0
0
0,77
0
1
0
Z' (ex post)
13
11
12,22
10,98
12
E(Z) =
11,1111
11 11,1
O,1.Z(O")+ 0,9.Z(O °) Wie oben erlfiutert, werden im Fall der symmetrischen Intbrmation dieselben Anreize beztiglich der Anstrengungen gesetzt und t'tir beide Zustande jeweils nut die Opportunit~itskosten vergtitet, was gerade die Einhaltung der Teilnahmebedingung sicherstellt. Im Fall der optimalen L6sung bei asymmetrischer Information und einem guten Technologiezustand untemimmt die GS weiterhin Anstrengungen yon a* = 2, so dass die Projektkosten C" = 8 - 2 unver~tndert 6 betragen. AIlerdings fallen zus~itzliche Kosten in Form yon Informationsrenten an (0,77), wodureh der ex post Ertrag des Projektes auf 12,22 f~tllt. Im sehlechten Technologiezustand werden dagegen geringere Anstrengungen veranlasst (1,77 statt 2) und das Labor wiirde zu h6heren Kosten erstellt. Dies geschieht, well Anstrengungen im schlechten Technologiezustand die Renten im guten Technologiezustand verteuern. Der erwartete Projektertrag bei dieser Vorgehensweise betr~igt 11,111. In den letzten beiden Spalten ist gezeigt, was gesch~ihe, wenn das Ministerium weiterhin wie bei symmetrischer Information vorginge. Zwar kann im schlechten Technologiezustand der Projektertrag wieder auf 11 gesteigert werden, aber daffir steigen im guten Technologiezustand die Renten auf 1. Dieser Rentenzuwachs (0,222) ist gr6Ber als der zus~itzliche Projektertrag im schlechten Technologiezustand (0,02). Deshalb ist diese Vorgehensweise unvorteilhaft.
Teilaufgabe i) Der Struktur nach handelt es sich um sogenannte Osband-Reichetstein-Schemata, wobei die Opportunit~ttskosten b.a 2 zuztiglich etwaiger Informationsrenten das Fixum bestimmen und deren Ableitung 2.b.a an der Stelle der gewfinschten Anstrengungsniveaus einen Teilungspm'ameter fox Kostentiberschreitungen (-untersehreitungen) innerhalb eines ex post in den realisierten Kosten Bnearen Vergtitungskontraktes festlegt. Zun~ichst wird gezeigt, dass diese beiden Kontrakte die
Fallstudien zur Intemen Untemehmensrechnung
347
Teilnahmebedingungen erf'fillt. Liegt der gute Tectmologiezustand 0" vor und w~hlt die GS Kontrakt 1, 16st sie fblgendes Problem: M a x G ( a ) = b . ( a" )2 + R - 2 . b - a '~ . ( C - C " ) - b . a
2
a
=b.(a")2+R-2.b.a".(0"-a-0"
+a")-b.a 2
=b.(a°)2+R-2.b.a".(a"-a)-b.a aG
= 2 .b.a" -2.b.
~
a = 0 --~ a = a" = a"** = a"*
Oa G(a ~) = R > 0
Kontrakt 1 stellt also sicher, dass die GS ihre positive Rente R = R(a °) > 0 erh~tlt, wodurch die Teilnahmebedingung erffillt wird. Liegt der schlechte Technologiezustand 0 ~' vor und wghlt die GS Kontrakt 2, dann gilt: M a x G ( a ) = b .( a ° )2 _ 2. b. a °. (C - C °) ~
a 2 b
~
a
:b.(a°)2-2.b.a°.(a°-a)-b.a -
c~G=2.b.a°-2.b.a Oa -
=
O-+a
=
a ° - a °" --
2 c a
o,
G(a °) = 0
Weiterhin hat die G S bei Vorliegen des schlechten Zustandes 0 ° keinen Anreiz, Kontrakt 1 zu wghlen. Dies kann man wie folgt zeigen: MaxG(a) = b-(a~) 2 + R - 2 . b . a ~ . ( C - C ~ ) - b . a
~
a
=b.(aU)2+R-2.b.aU.(O°-a-O
~+a~)-b.a 2
= b . ( a , )2+ R _ 2 . b . a u . ( O ° - O ~ +a ' ~ - a ) - b . a 2 3G =2.b.a"-2.b.a Oa
= O---~a = a " -~a' ' -
= a ~"
Wttrde die GS bei Vorliegen des schlechten Technologiezustandes Kontrakt 1 w~hlen, dann untemimmt sie auch die zu diesem Kontrakt passenden Anstrengungen zur Kostenreduktion. Der Gewinn der GS w~e dann:
348
l)bungen zur Intemen Unternehmensrechnung
G(a"lO°)=b.(a")2+R - 2 . b . d ' . ( O ° - a " - O G(a~lO°)=R-2.b.a'~.(O°-Ou)
u +a")-b.(a") 2
R(a°)=b.(a°)2-b.(a°-(O°-O"))2
10°)--
(0o_0 )
Nach einigen weiteren Umformungen erh/ilt man:
G(a"lo°): 2.b.a° .(O°-O")-b.(O ° -0") 2 - 2.b.a ~ .(O ° -O") a" = a"** = a ~* =
l
2.b
>
aO _ ao**
-
--~2.b.a" =l;O<_2.b.a ° <1
G(a"[O°): 2.b.a°.(O°-O")-2.b • 1.(O°-O")-b.(O°-O")2 2.b ' 20 Da aber bereits 2.b2~ .
(0 ° -0")< (0 ° - 0 ~) ~ G(a" tO°) < 0
<1
Liegt 0°vor, dann besteht also kein Anreiz ftir die GS, den ihr nicht zugedachten Kontrakt 1 zu w/~hlen. Die Anreiznebenbedingung w~ire in diesem Fall also erfallt. Leider ist dies im umgekehrten Fall nicht so, denn bei Vorliegen von 0 ~ ist es far die GS strikt vorteilhaft, den ihr nicht zugedachten Kontrakt 2 zu wghlen. Dies kann man wie folgt zeigen:
MaxG(a) = b.(a° ) 2 - 2 . b . a ° . ( C - C ° ) - b . a
2
ct
=b.(a°)2-2.b.a°.(O"-a-O
OG Oa
° +a°)-b.a 2
=b.(a°)2-2.b.a°.(O"-O
° +a°-a)-b.a
2.b.aO_2.b.a=O_~a=aO
aO**caO,
2
Der erwartete Vorteil aus der Wahl von Kontrakt 2 statt Kontrakt 1 ist:
G(a ° O~)=b.(a")2+2.b.a°.(O°-O~)-b.(a°)
2
G(a ° O")=2.b.a°.(O°-O")>O R(a°)=b.(a°) 2 -b.(a°-(O°-O")) R(a°)=b.(a°)2-b.(a°)2+
2
2.b.a°.(O°-O")-b.(O°-O")
R(a °) = 2 . b . a ° .(0 ° - O " ) - b . ( O ° - 0 " ) 2, aber R(a °) < G ( a ° O" ),
2
Fallstudien zur InternenUnterneNnensrechnung
349
Fazit: Das vorgeschlagene Menti linearer Kontrakte verletzt die Anreiznebenbedingung far den guten Technologiezustand. Indem sie Kontrakt 2 wghlt, ergibt sich Nr die G S bei Vorliegen des gt~nstigen Technologiezustandes ein h/Sherer Nutzen als die far diesen Zustand vorgesehene Rente bei Kontrakt 1. Ein Menti linearer Kontrakte aus O s b a n d - R e i c h e l s t e i n - S c h e m a t a ist somit bei Vorliegen einer bin~iren Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht optimal. In tier folgenden Graphik wird das Problem des Mentis linearer Kontrakte far die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung v und ( l - v ) verdeutlicht. Es wurden dieselben konkreten Werte wie bei Teilaufgabe h) verwandt. Indifferenzkurven und das M e n d linearer K o n t r a k t e
1
3
JC
5
6
7
8
9
10
Dabei bezeichnen (1) die Indifferenzkurve (IDK), die bei Vorliegen von 0 ° zu einero Nutzen von 0 flihrt ( t - b - ( 0 ° - C ) 2 = 0 ), (2) die IDK, welche bei Vorliegen von O" zu einem Nutzen in H6he der Rente R ffihrt ( t - b . ( O " - C )
2 = R), (3) die
IDK, die bei Vorliegen von O" zu einem Nutzen von ( 2 . b. a °. (0 ° - 0") > R ) fiihrt. Gerade (4)bildet Kontrakt 2 ab, ( b . ( a ° ) 2 - 2 . b . a ° . ( C - C ° ) )
und (5)Kontrakt 1,
Damit die gewfinschten Konstmktionsanstrengungen implementiert werden k6nnen, muss Kontrakt 1 eine Tangente an IDK 2 an der Stelle C = O" -a"**sein (Punkt B), und Kontrakt 2 muss eine Tangente an IDK 1 an der Stelle C = 0 ° - a °** sein. (Punkt A). Punkt C zeigt aber, dass B f ~ 0 = 0" nicht mehr optimal ist, denn durch Wahl yon Kontrakt 2 kann die G S an der Stelle C = 0" -a°**die h6her gelegene Indifferenzkurve 3 erreichen, welche ihr einen hOheren Nutzen erbringt. Deshalb ist das Ment~ der linearen Kontrakte in diesem Fall ungeeignet.
350
Obungen zur Internen Untemehmensrechnung
Teilaufgabe j )
Ein geeigneter Kontrakttyp muss sicherstellen, dass der G S bei Vorliegen yon 0 = 0 u die M6glichkeit entzogen wird, dutch Wahl desjenigen Kontraktes, der fiir den Zustand 0 = 0 ° vorgesehen ist, einen h6heren Nutzen als die Infomlationsrente R zu erzielen. Dies ist gleichbedeutend zu der Aussage, dass keine h6here Indifferenzkurve als 2 far 0 = 0" erreichbar sein darf. Dies ist relativ leicht zu bewerkstelligen, denn es gilt stets 0" - a .... < 0 ° - a °*" . Wenn die GS es vorteilhaft findet, bei guter Technologie Kontrakt 2 zu wNalen, wird sie ex post immer zu niedrigeren Kosten als an der Stelle A produzieren. Man erkelmt dies daran, dass Punkt C links von Punkt A in der Graphik liegt. Das Problem kann bspw. dutch folgendes geknicktes A n r e i z s c h e m a beseitigt werden:
Kontrakt 3: I b ' ( a " )2+ R - 2 . b . a '~ . ( C - C )
falls C < C °**
{ b . ( a ° )2 _ 2 . b . a ° " ( C - C ° ) falls C = C °.* Bis auf die Einhalmng der Anreiznebenbedingung far 0 = O" bleiben die formal hergeleiteten Aussagen unter i) weiterhin gfiltig. Liegt der schlechte Technologiezustand vor, wghlt die G S Punkt A und unternimmt Anstrengungen a °** , denn sie hat keinen Anreiz im Segment C < C °'' zu produzieren, da sie dort nur Indifferenzkuryen erreichen kann, die niedriger als 1 sind. Der geknickte Vertrag erfttllt somit die Teilnahmebedingung (1) und die Anreizbedingung (4). Anders als das Men0 linearer Kontrakte ist der geknickte Vertrag aber auch anreizkompatibel im Falle 0 = 0" . Dies folgt einfach aus der Tatsache, dass im Segment C < C °'' die Wahl a = a" = a "** den Nutzen der GS maximiert. Die suboptimale Aktion a °** muss deshalb in diesem Abschnitt mit einem geringeren Nutzen als R verbunden sein. Der Vollst~indigkeit halber soll dies auch noch formal gezeigt werden. Es gilt C = 0" - a °** < 0 ° - a o*,, dann ist die Vergatung: G(a ° O")=R+b.(a")2-2.b.a".(a"-a°)-b.(a°) G(a ° O")=R-b.(a")2+2.b.a".a°-b.(a°)
2 2
Der Vertrag lfisst sich wie folgt charakterisieren. Far alle C < C °*' liegt fin Festpreiskontrakt vor. Far C = C ° " h a t der geknickte Vertrag jedoch die Steigung - 2 . b. a ° < 1. Es handelt sich somit um einen Anreizvertrag (Incentive Contract), der die G S nicht zu 100 % fOr Kostenfiberschreitungen verantwortlich macht. Dies geschieht, um sicherzustellen, dass geringere a °'' als a o, im Fall der asymmetrischen Information erbracht werden, weil damit die Informationsrenten im Fall 0 = 0 ~ reduziert werden k6nnen.
Fallsmdien zur internenUnternehmensreclmung
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Fazit: Bei asymmetrischer Information k6nnen, abweichend zum Fall der symmetrischen lnfomaation, Vertr~ige theoretisch begrtindet werden, die einem Single Source Provider nicht die gesamte Kostenverantwortmlg aufbfirden. Der Gnmd liegt im Tradeoff zwischen Anreizen und Informationsrenten. Literatur:
Laffont, J.-J. und J. Tirole: A Theory of Incentives in Procurement and Regulation, Cambridge, MA 1993.