ВВЕДЕНИЕ Данный сборник задач является дополнением к конспекту лекций по разделу "Дифференциальное исчисление". Полезно прорабатывать материал одновременно по конспекту лекций и данному сборнику задач. Если на какието контрольные вопросы Вы не можете ответить, еще раз прочитайте соответствующий параграф конспекта лекций; посмотрите, как делаются похожие примеры в конспекте лекций или в настоящем сборнике задач; обратитесь к соответствующей литературе, указанной в конспекте лекций; обратитесь в МТУСИ за консультацией. Контрольные задания советуем начинать делать после проработки всего материала. В конце данного сборника задач дан пример решения и оформления одного из вариантов контрольного задания №2..
ГЛАВА I. ДИФ ФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ф УНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1.1. Производная. Ее геометрический и физический смы сл. Правила дифференцирования. Производны е основны х элементарны х функций Конт рольны е вопросы и примеры 1. Дайте определение производной. 2. Приведите примеры использования производной в механике, физике и технике. 3. Дайте определение мгновенной скорости вращения. 4. Каков геометрический смысл производной? 5. С помощью определения производной найдите производные следующих функций: y = x 2 , y = cos x , y = arcsin x . 6. Дайте определение правой производной. 7. Чем отличается правая производная от левой? 8. Правая и левая производная существуют в данной точке. Существует ли в этой точке производная? 9. Приведите пример функции, для которой правая и левая производные в данной точке существуют, а производная не существует. 10. Если в данной точке производная существует, то будет ли функция непрерывной в этой точке? Докажите Ваше утверждение. 11. Приведите пример функции, которая непрерывна в данной точке, но не имеет производной в этой точке? 12. Запишите наизусть правила дифференцирования. 13. Запишите наизусть производные основных элементарных функций. 14. Чему равна производная от функций: y = 2 1999 , y = sin10 , y = cos20 ? Задачи и примеры с решениями 1. С помощью определения найти производную от функции f ( x ) = x .
Подсчитать значения f ¢ ( 1 ) , f ¢ ( 4 ) . Решение. По определению f ¢ ( x ) имеем f ¢ ( x ) = lim
Dx ® 0
f ( x + Dx ) - f ( x ) x + Dx - x ( x + Dx - x )( x + Dx + x ) = lim = lim = D x ® 0 D x ® 0 Dx Dx Dx ( x + D x + x )
( x + Dx - x ) 1 = lim = Dx ® 0 Dx ( x + Dx + x ) Dx ® 0 ( x + D x + x )
= lim
f ¢ ( 1 ) =
1 1 = ; x + x 2 x
1 1 1 1 = ; f ¢ ( 4 ) = = . 2 1 2 2 4 4
2. Дана функция f ( x ) = x . Найти правую и левую производные в точке x=0. Существует ли в этой точке производная? Решение. f п ¢р ( 0 ) = lim
Dx ®+0
f ( 0 + Dx ) - f ( 0 ) 0 + Dx - 0 Dx = lim = lim = 1 . D x ®+ 0 D x ®+ 0 Dx Dx D x
f ( 0 + Dx ) - f ( 0 ) 0 + Dx - 0 ( - Dx ) = lim = lim = -1 . Dx ®-0 Dx ®-0 Dx ®- 0 Dx Dx D x
f л ¢( 0 ) = lim
Производная в точке x=0 не существует, так как правая и левая производные в этой точке не равны. 3. Точка движется по прямой, проходя путь S ( t ) = 3 t 2 + 2 t + 1 за время t. Чему равна средняя скорость точки за время от t=1 до t=3? Чему равна скорость движения точки в момент t=1? Решение. Средняя скорость V ср равна DS S ( 3 ) - S ( 1 ) ( 3 × 3 2 + 2 × 3 + 1 ) - ( 3 × 1 2 + 2 × 1 + 1 ) 34 - 6 28 V с р = = = = = = 14 . D t ( 3 - 1 ) 2 2 2 ¢ ¢ V ( t ) = S ¢ ( t ) = ( 3 t 2 + 2 t + 1 ) = 3 × ( t 2 ) + 2 × t ¢ + 0 = 6 t + 2 .
V( 1 ) = 6 × 1 + 2 = 8 . 4. Найти угловой коэффициент касательной к кривой y = cos x
æ p ö в точке ç ; 0 ÷ . è 2 ø æp ö æ p ö Решение. y ¢ ( x ) = - sin x ; k = tga = y¢ ç ÷ = - sin ç ÷ = - 1 . è 2 ø è 2 ø 5. Доказать, что функция f ( x ) = 3 x 2 не имеет производной в точке x0=0.
Решение. Найдем предел 2
2
3 3 ( 0 + Dx ) - 3 0 2 ( Dx ) f ( x 0 + Dx ) - f ( x 0 ) 1 lim = lim = lim = lim 3 . Dx ® 0 Dx ® 0 Dx ® 0 Dx ® 0 D x Dx Dx Dx
Данный предел, а значит и производная f ¢ ( x ) в точке x0=0, не существует, так как при Dx®0 и Dx>0 предел равен +¥, а при Dx®0 и Dx<0 предел равен ¥. График функции f ( x ) = 3 x 2 показан на рис. 1.1.1. 6. Используя правила дифференцирования и табличные
Рис. 1.1.1
формулы, найти производные следующих функций: 1 а) y = 7 ; x б) y = x 3 × sin x ; в) y =
sin x + cos x . sin x - cos x
Решение. а) y =
1 1 1 - 7 = = x . 1 7 x x 7
¢ æ - 7 1 ö 1 - 7 1 -1 1 - 8 7 y ¢ = ç x ÷ = - x = - x = è ø 7 7
1 8 7
7 × x
=-
1 . 7 x × 7 x
б) y = x 3 × sin x ; ¢ ¢ ¢ y ¢ = ( x 3 × sin x ) = ( x 3 ) sin x + x 3 ( sin x ) = 3 x 2 × sin x + x 3 × cos x .
в) y =
sin x + cos x ; sin x - cos x
¢ ( ¢ ¢ sin x + cos x ) ( sin x - cos x ) - ( sin x + cos x )( sin x - cos x ) æ sin x + cos x ö y ¢ = ç ÷ = = è sin x - cos x ø ( sin x - cos x ) 2 æç (sin x)¢ + (cos x )¢ ö÷(sin x - cos x ) - (sin x + cos x )æç (sin x )¢ - (cos x )¢ ö÷ ø è ø= = è 2 (sin x - cos x ) ( cos x - sin x )( sin x - cos x ) - ( sin x + cos x )( cos x + sin x ) = = sin 2 x - 2 sin x cos x + cos 2 x 2
2
- ( cos x - sin x ) - ( cos x + sin x ) = = 1 - sin 2 x
= -
cos 2 x - 2 sin x cos x + sin 2 x + cos 2 x + 2 sin x cos x + sin 2 x = 1 - sin 2 x
=-
2 2 = . 1 - sin 2 x sin 2 x - 1
Задачи и примеры без решений 1. С помощью определения найти производную от следующих функций: а) f ( x ) = x 3 - 2 x
Ответ: f ¢ ( x ) = 3 x 2 - 2
б) f ( x ) = 3 x - x 2
Ответ: f ¢ ( x ) =
в) f ( x ) = cos x
Ответ: f ¢ ( x ) = - sin x
г) f ( x ) = sin 2 x
Ответ: f ¢ ( x ) = sin 2 x
1 3 × 3 x 2
- 2 x
2. T температура тела в момент t. Нагретое тело помещается в среду с более низкой температурой. Что следует понимать под: а) средней скоростью охлаждения тел за время Dt; б) скоростью охлаждения в данный момент? (Ответ: а)
DT dT DT ; б) = lim ). D t ® 0 D t dt D t
3. Для следующих функций найти правую и левую производные в точке x0. Построить графики функций. а) f ( x ) = 1 - x ; x 0 = 0 б) f ( x ) = cos x ; x 0 =
p 2
ì x + 1 , если x £ 0 в) f ( x ) = í 2 ; x 0 = 0 î x - 4 x + 3 , если x > 0
Ответ: f л ¢( 0 ) = 1, f пр ¢ ( 0 ) = - 1 æ p ö æ p ö Ответ: f л¢ç ÷ = - 1 , f пр¢ ç ÷ = 1 è 2 ø è 2 ø Ответ: f л ¢( 0 ) = 1, f пр ¢ ( 0 ) = - 4
4. Найти угловой коэффициент касательной к кривой y=y(x) в точке M0(x0; y0). а) y = sin x , M0(0; 0)
Ответ: k = 1
æ p 1 ö б) y = cos 2 x , M 0 ç ; ÷ è 4 2 ø
Ответ: k = -1
в) y = 2 x - x 2 , M0(1; 1)
Ответ: k = 0
5. Доказать, что функция f(x) не имеет производной в точке x0. а) f ( x ) = 5 x 3 ; x 0 = 0 2
б) f ( x ) = 3 ( x - 1 ) ; x 0 = 1 6. Используя правила дифференцирования и табличные формулы, найти производные следующих функций:
1) y = x 6 - 3 x 5 + 4 x 2 - 7 ;
Ответ: y ¢ = 6 x 5 - 15 x 4 + 8 x
2) y = x 3 × 5 x 4 ;
Ответ: y ¢ =
19 2 5 4 x × x 5
3 x + 4 3) y = 2 ; x - 6 x + 6
Ответ: y ¢ =
- 3 x 2 - 8 x + 42 ( x 2 - 6 x + 6 ) 2
4) y =
1 + t ; 1 - t
1
Ответ: y ¢ =
t (1 - t )
2
5) y = 3 sin x - 5 cos x ;
Ответ: y ¢ = 3 cos x + 5 sin x
6) y = ctg x - tg x ;
4 Ответ: y ¢ = - 2 sin 2 x
7) y =
x - (1 + x 2 ) arctg x ; 2
Ответ: y ¢ = - xarctg x
8) y =
e x ; x 3
Ответ: y ¢ =
e x ( x - 3 ) x 4
9) y = e x ( x 2 - 4 x + 4 ) ;
Ответ: y ¢ = e x ( x 2 - 2 x )
x5 10) y = x ln x - ; 5
Ответ: y ¢ = 5 x 4 ln x
11) y = ln a log a x - ln x × lg x ;
Ответ: y ¢ =
12) y = x - th x ;
Ответ: y ¢ = th 2 x
x 2 13) y = ; sh x
2 x × sh x - x 2 ch x Ответ: y ¢ = sh 2 x
5
1 2 ln x - x x ln 10
1.2. Производная сложной функции Конт рольны е вопросы и примеры 1. Какая функция называется сложной? Приведите несколько примеров сложной функции. 2. Сформулируйте правило нахождения производной сложной функции. Задачи и примеры с решениями 1. Найти y ¢ от функции y =
x 3 + 1 . x 4 - x
Решение. Исходную функцию можно представить в виде дроби u y = , где u = x 3 + 1 ; v = x 4 - x . v
Используя правило дифференцирования дроби, получаем ¢ ¢ ¢ u ¢v - u v ¢ x 3 + 1 x 4 - x - x 3 + 1 x 4 - x æ u ö y¢ = ç ÷ = = . 2 v 2 è v ø x 4 - x
(
)(
) (
(
)(
)
)
Используя правила дифференцирования суммы, степени и постоянной величины, получаем y ¢ =
3 x 2 (x 4 - x ) - (x 3 + 1 )(4 x 3 - 1 )
(x - x ) 4
2
=
3 x 6 - 3 x 3 - 4 x 6 + x 3 - 4 x 3 + 1 - x 6 - 6 x 3 + 1 = . 2 2 x 2 (x 3 - 1 ) x 2 (x 3 - 1 )
2. Найти y ¢ для функции y = 2 x × sin 2 x . Решение. Исходную функцию представим в виде произведения y = u × v , где u = 2 x ; v = sin 2 x .
Используя правило дифференцирования произведения, получаем ¢ ¢ ¢ y ¢ = ( u × v ) = u v ¢ + uv ¢ = ( 2 x ) × sin 2 x + 2 x × ( sin 2 x ) .
Используя табличную формулу
(a x ) ¢ = a x × ln a , получаем
(2 x ) ¢ = 2 x × ln 2 . Функция y = sin 2 x сложная функция. Представим ее в виде y = sin u , где u = 2 x . Используя правило дифференцирования сложной функции y x ¢ = y u ¢ × u x ¢ , получаем
( sin u ) ¢ = cos u × u x¢ = cos 2 x × ( 2 x ) ¢ = cos 2 x × 2 = 2 cos 2 x . Подставляя полученные результаты в формулу (*), получаем y ¢ = 2 x × ln 2 × sin 2 x + 2 x × 2 × cos 2 x = 2 x ( ln 2 sin 2 x + 2 cos 2 x ) . В дальнейшем нужно освоить более короткую запись решения: ¢ ¢ ¢ ¢ y ¢ = ( 2 x × sin 2 x ) = ( 2 x ) sin 2 x + 2 x ( sin 2 x ) = 2 x × ln 2 × sin 2 x + 2 x × cos 2 x ( 2 x ) =
= 2 x × ln 2 × sin 2 x + 2 x cos 2 x × 2 = 2 x ( ln 2 × sin 2 x + 2 cos 2 x ) . 3. Найти y ¢ для функции
( x + 1 ) . y = ln cos 3
(*)
Решение. Представим функцию в виде сложной функции y = ln u , где u = cos(3 x + 1 ) . Тогда 1 1 ¢ ¢ ¢ y¢ x = (ln u ) x = (ln u ) u × u ¢x = × u ¢x = × (cos (3 x + 1 )) x . u cos (3 x + 1 )
( x + 1 ) сложная функция. Представим ее в виде Функция y = cos 3 y = cos u , где u = 3 x + 1.
Тогда y x ¢ = ( cos u )
¢ x
= ( cos u )
¢ u
( x + 1 ) × ( 3 x + 1) ¢ = × u x ¢ = - sin u × u x ¢ = - sin 3
= - sin ( 3 x + 1 ) × 3 = -3 sin ( 3 x + 1 ) .
Подставляя это выражение в формулу (**), получаем y x ¢ =
1 × [ - 3 sin ( 3 x + 1 ) ] = -3 tg ( 3 x + 1 ) . cos ( 3 x + 1 )
Краткая запись решения: ¢ y ¢ = (ln cos ( 3 x + 1 ) ) =
1 1 ¢ ¢ ( × ( cos ( 3 x + 1 ) ) = - sin ( 3 x + 1 ) ) × ( 3 x + 1) = cos ( 3 x + 1 ) cos ( 3 x + 1 )
= -3 tg( 3 x + 1 ) . 4. Найти y ¢ для функции x y = arctg . 2 Решение. Используем короткую запись решения. ¢ æ x ö y ¢ = ç arctg ÷ = 2 ø è
=
1
1
¢ x ö æ × ç arctg ÷ = 2 ø x è
2 arctg 2
¢ 1 æ x ö × 2 × ç ÷ = x æ x ö è 2 ø 2 arctg 1 + ç ÷ è 2 ø 2 1
1 1 1 = . 2 × x 2 x x 2 2 arctg 1 + (4 + x ) arctg 2 4 2 ×
Задачи и примеры без решений 1. Найти производные от следующих функций. 1. y =
x 2 + 3 ; x 3 - x
Ответ: y ¢ =
2. y =
1 ; x + 3 x - 1
Ответ: y ¢ =
2
- x 4 - 10 x 2 + 3 . 2 x 2 ( x 2 - 1 ) 2 x + 3
( x 2 + 3 x - 1 ) 2
.
(**)
3. y = 2 3 x 2 - 3 4 x 3 ;
Ответ: y ¢ =
4 9 - . 3 3 x 4 4 x
4. y =
sin x ; 1 + cos x
Ответ: y ¢ =
1 . 1 + cos x
5. y =
3
(1 + cos 2 x) 2 ;
æ p 6. y = ln tgç è 2
xö ÷ ; 2 ø
x
8. y = e
2 sin 2 x 3
3 1 + cos 2 x
.
1 Ответ: y ¢ = - . cos x 3 Ответ: y ¢ ln 2 × ln 3 × 2 ( ) × 3 x .
3 7. y = 2 ( ) ;
(
Ответ: y ¢ = -
x
)
ln x 2 + x + 1
;
2
9. y = 2 sin x ;
Ответ: y ¢ =
e
(
) ( × 2 x + 1 )
ln x 2 + x + 1
2 ln ( x 2 + x + 1 ) × ( x 2 + x + 1 )
.
Ответ: y ¢ = ± ln 2 × 2 ( ± sin x ) × cos x +, если x Î [2 pk ; p + 2p k ] , если x Î ( - p + 2 pn ; 2 p n ) .
10. y = ln arctg 1 + x 2 ;
Ответ: y ¢ =
x
(2 + x 2 )
1 + x 2 arctg 1 + x 2
x x 11. y = e 3 × cos 2 ; 3
1 x æ x 2 x ö Ответ: y ¢ = e 3 ç cos 2 - sin ÷ . 3 è 3 3 ø
12. y = x × arcsin ln x ;
Ответ: y ¢ = arcsin ln x +
13. y = ln
1 + x 2 ; 1 - x 2
x ln x
Ответ: y ¢ =
1 1 - ln 2 x
.
.
2 x . 1 - x 4 x
ln x - 1 ln 2 . ln 2 x
14. y = 2 ;
Ответ: y ¢ = 2 ln x ×
15. y = e ax ch b x ;
Ответ: y ¢ = e ax (ach bx + bsh b x ) .
16. y = ln x ( x ¹ 0 ) ;
1 Ответ: y ¢ = . x
2. Показать, что функция y = xe - x удовлетворяет уравнению xy ¢ = (1 - x 2 ) y .
3. Доказать, что производная четной функции нечетная функция, а производная нечетной функции четная функция. 4. Доказать, что производная периодической функции есть периодическая функция.
5. Даны функции f ( x ) = ln(1 - x ) и g ( x ) = tg x . Найти g ¢ ( 0 ) . f ¢ ( 0 )
Ответ: 1.
1.3. Производная обратной функции Конт рольны е вопросы и примеры 1. Какая функция называется обратной функцией по отношению к функции y=f(x)? Какому условию должна удовлетворять функция y=f(x), чтобы иметь обратную функцию? 2. Какие функции будут обратными по отношению к функциям: y = 3 x - 1; y = x 2 ( x ³ 0 ) ; y = ln x ( x > 0 ) ; y = x 3 ; y = cos x ( 0 £ x £ p ) ? 3. Запишите формулу для производной функции, обратной по отношению к функции y=y(x). Задачи и примеры 1. Найти производную x ¢ y , если y = x + ln x . Решение. y x ¢ = 1 +
1 x + 1 = . x x
Поэтому x ¢y =
x , x + 1
где x и y связаны уравнением y = x + ln x . 2. Доказать, что 1
(arctgx ) ¢ = 1 + x
2
.
æ p p ö Решение. рассмотрим функцию y = tg x , где x Î ç - ; ÷ . Ей соответствует è 2 2 ø æ p p ö обратная функция x = arctg y . Для всех x Î ç - ; ÷ функция y = tg x непрерывна, è 2 2 ø монотонна и имеет производную y x ¢ =
1 æ p p ö ¹ 0 при x Î ç - ; ÷ . 2 è 2 2 ø cos x
Таким образом, функция y = tg x удовлетворяет условиям теоремы о производной
обратной функции. В соответствии с этой теоремой x ¢y = (arctg y )
¢ y
=
1 = y x ¢
1
( tg x )
=
¢
1 1 1 = . 2 = æ 1 ö 1 + tg x 1 + y 2 ç ÷ è cos 2 x ø
Итак,
(arctgy ) ¢
y
=
1 . 1 + y 2
=
1 n 1 + x 2
Заменяя y на x, получаем окончательно
(arctgx ) ¢
x
3. Зная, что
(e x ) ¢ = e x , доказать, что 1 x
( ln x ) ¢ = . 4. Зная, что 1
(ctgx ) ¢ = - sin
2
x
,
доказать, что 1
(arcctgx ) ¢ = - 1 + x
2
.
1.4. Логарифмическая производная Примеры и задачи 1. Найти производную y ¢ от функции y = 3 x
1- x × sin 2 x × cos 3 x . 1 + x 3
Решение. Производную y ¢ проще найти, если предварительно прологарифмировать функцию: ln y =
1 1 ln x + ln (1 - x ) - ln (1 + x 3 ) + 2 ln sin x + 3 ln cos x . 3 2
Находим производную от левой и правой части, учитывая, что y функция от x. 1 1 1 1 1 1 1 1 ( - 1 ) ( - sin x) . × y ¢ = × + × × 3 x 2 + 2 × cos x + 3 × 3 y 3 x 2 1 - x sin x cos x (1 + x ) y ¢ 1 1 3x 2 = + 2 ctg x - 3 tg x . ( - x ) 1 + x 3 y 3 x 2 1
æ 1 ö 1 3 x 2 y ¢ = y ç + 3 + 2 ctg x - 3 tg x ÷ . è 3 x 2 ( x - 1 ) 1 + x ø y ¢ =
3
æ 1 ö 1- x 1 3x 2 2 3 x + 3 × sin x × cos x ç 3 + 2 ctg x - 3 tg x ÷ . 1 + x è 3 x 2 ( x - 1 ) 1 + x ø
2. Найти производную y ¢ от функции x 2
y = ( sin x ) .
( x) Решение. ln y = x 2 × ln sin y ¢ ¢ ( x ) + x 2 × (ln sin ( x ) ) ¢ = ( x 2 ) × ln sin y y ¢ 1 ( x ) + x 2 × ( sin x ) ¢ = 2 x × ln sin y sin x y ¢ 1 ( x ) + x 2 = 2 x × ln sin × cos x y sin x y ¢ ( x ) + x 2 × ctgx = 2 x × ln sin y
( x ) + x 2 ctgx ) y ¢ = y ( 2 x ln sin y ¢ = ( sin x )
x 2
( x ) + x 2 ctg x ) . × (2 x ln sin
3. Найти производные от функций: æ sin x ö Ответ: y ¢ = x sin x ç + cos x × ln x ÷ . è x ø
1. y = x sin x ; x
x
æ 1 ö 2. y = ç1 + ÷ ; x ø è
1 ö é æ 1 ö 1 ù æ Ответ: y ¢ = ç 1 + ÷ êln ç 1 + ÷ . è x ø ë è x ø 1 + x ú û
3. y = x x ;
Ответ: y ¢ = x x (1 + ln x ) .
2 3 4. y = ( x + 3 ) ( x - 1 ) ( x + 4 ) ;
3 1 ù é 2 2 3 Ответ: y ¢ = ( x + 3 ) ( x - 1 ) ( x + 4 ) ê + + . ë x + 3 x - 1 x + 4 ú û
5. y =
x ( x - 1 ) ; x - 2
Ответ: y ¢ =
x 2 - 4 x + 2 3 2 x ( x - 1 )( x - 2 )
.
1.5. Производная от функции, заданной неявно 1. Найти производную y ¢ от функции y = y ( x) , заданной неявно x 2 + y 2 = xy . Решение. Дифференцируем обе части равенства, учитывая, что y = y ( x) функция от x:
2 x + 2 yy ¢ = y + xy ¢ 2 yy ¢ - xy ¢ = y - 2 x y ¢(2 y - x ) = y - 2 x
y ¢ =
y - 2 x , где 2 y - x
x и y связаны соотношением x 2 + y 2 = xy . 2. Найти производную y ¢ от функции y = y ( x) , заданной неявно. 1. x 3 + y 3 = 8 ;
Ответ: y ¢ = -
2. x 2 + xy 2 + y 3 = 0 ;
Ответ: y ¢ = -
x 3. xy = arctg ; y
Ответ: y ¢ =
y 4. x 2 + y 2 = arctg ; x
Ответ: y ¢ =
x 2 . y 2 y ( 3 y + 2 x ) 2 x + y 2
.
2 2 y (1 - x - y ) × . x (1 + x 2 + y 2 )
y + x x 2 + y 2 x - y x 2 + y 2
.
1.6. Производная от функции, заданной параметрически Конт рольны е вопросы и примеры 1. Приведите несколько примеров функций, заданный параметрически. 2. Как в параметрической форме записать функцию y = 1 - x 2 , где x £ 1? 3. Какой кривой соответствует функция ì x = a cos t í î y = b sin t
(0 £ y £ p ) ?
Примеры и задачи 1. Найти y x ¢ для функций, заданных параметрически: ì x = a ( t - sin t ) 2. í (0
ì x = ln t 1. í (t>0) 3 î y = t
Решение. 1). Используя формулу y x ¢ =
y t ¢ , x t ¢
получаем
(t 3 ) ¢
3 t 2 y x ¢ = = = 3 t 3 . ¢ 1 æ ö ( ln t ) ç ÷ è t ø ì y x ¢ = 3 t 3 Ответ: í î x = ln t
(t>0).
t t 2 sin cos a sin t sin t 2 2 = ctg t . 2). y x ¢ = = = = ¢ a (1 - cos t ) 1 - cos t t 2 [a ( t - sin t ) ] 2 sin 2 2
[a (1 - cos t ) ]¢
t ì ¢ ï y x = ctg Ответ: í 2 ïî x = a (t - sin t ). 2. Найти y x ¢ для функций, заданных параметрически: 3
ïì x = a cos t 1). í 3 îï y = a sin t
(0
ì x = arcsin ( t 2 - 1 ) ï 3). í t ï y = arccos î 2
( 0 < t < 2 )
1 ì ïï x = t + 1 2). í 2 ï y = æç t ö÷ ï è t + 1 ø î ì x = a sht 4). í î y = b ch t
(t¹1)
(t>0)
1.7. Приложения производной Конт рольны е вопросы и примеры 1. Запишите уравнения касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке M0(x0; y0). 2. Вспомните из курса аналитической геометрии, как находится угол между двумя прямыми. 3. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости? Примеры и задачи с решениями 1. Записать уравнения касательной и нормали к заданной кривой в точке M0. 1). y =
1 x
M0(1; 1)
2). y 4 = 4 x 4 + 6 xy
M0(1; 2)
ì x = t cos t 3). í î y = t sin t
p ö p æ ç 0 < t < ÷ , t 0 = . è 2ø 4
Решение: 1). Здесь функция задана явным образом. находим производную: ¢ 1 æ 1 ö y ¢ ( x ) = ç ÷ = - 2 . è x ø x Используя уравнение касательной
( y - y ) = y ¢( x )( x - x ) , 0
0
0
получаем (при x0=1 и y0=1) 1
( y - 1 ) = æçè - 1 ö÷ø ( x - 1 ) 2
y - 1 = -( x - 1 ) y + x - 2 = 0 . Используя уравнение нормали
( y - y ) = 0
1 y ¢( x 0 )
( x - x ) , 0
получаем 1
( y - 1 ) = - ( - 1 ) ( x - 1 ) y - 1 = x - 1 y - x = 0 y = x .
2). Здесь функция задана неявным образом, дифференцируем обе части равенства, учитывая, что y=y(x) есть функция от x: 4 y 3 y ¢ = 16 x 3 + 6 ( y + x y ¢) 4 y 3 y ¢ - 6 xy ¢ = 16 x 3 + 6 y 2 y ¢(2 y 3 - 3 x ) = 2 8 ( x 3 + 3 y)
y ¢ =
8 x 3 + 3 y . 2 y 3 - 3 x
При x0=1 и y0=2 получаем y ¢( M 0 ) =
8 + 6 14 = . 16 - 3 13
Используя уравнение касательной, получаем (при x0=1 и y0=2):
( x - 1 ) ( y - 2 ) = 14 13 13 y - 26 = 14 x - 14
14 x - 13 y + 12 = 0 . Используя уравнение нормали, получаем
( y - 2 ) = - æ 141 ö ( x - 1 ) ç ÷ è 13 ø
14 y - 28 = -13 x + 13 13 x + 14 y - 41 = 0 . 3). Функция задана параметрически. Находим производную y x ¢ =
При t =
При t =
p 4
p 4
¢ y t ¢ ( t sin t ) sin t + t cos t = = x t ¢ ( t cos t ) ¢ cos t - t sin t
2 p + × 2 4 y x ¢ ( M 0 ) = 2 p - × 2 4
получаем
имеем x 0 =
p
p p 2 × cos = × = 4 4 4 2
2 2 = 4 + p . 2 4 - p 2
2 p p p ; y 0 = × sin = 8 4 4
2 p . 8
Используя уравнение касательной, получаем æ 2 p ö 4 + p æ 2 p ö ç y ÷= çx÷ 8 ø 4 - p è 8 ø è
( 4 - p ) (8 y - 2 p ) 8
=
( 4 + p )(8 x - 2 p ) 8
( + p ) x - 8 4 ( - p ) y + 2 p ( 4 - p ) - 2 p ( 4 + p ) = 0 8 4
( + p ) x - 8 4 ( - p ) y - 2 2 p 2 = 0 8 4 ( + p ) x - 4 4 ( - p ) y - 2 p 2 = 0 . 4 4 Используя уравнение нормали, получаем æ 2 p ö 1 æ 2 p ö ç y ÷=çx÷ , 8 ø 8 ø æ 4 + p ö è è ç ÷ è 4 - p ø что, после несложных выкладок, дает
( 4 - p ) x + ( 4 + p ) y - 2 2 p = 0 . 2. Найти угол j между касательными к кривым y 1 = x 2 и y 2 = в точке их пересечения (см. рис. 1.7.1).
1 x
Решение. Находим точку пересечения кривых: 1 x 2 = ; x
x 3 = 1 ; x 0 = 1 ; y 0 = 1 . M0(1; 1) точка пересечения кривых. Находим производные:
Рис. 1.7.1
¢
1 ¢ æ 1 ö y 1 ¢ ( x ) = ( x 2 ) = 2 x ; y 2 ¢ ( x ) = ç ÷ = - 2 . è x ø
x
Находим угловые коэффициенты касательных: k 1 = tga 1 = y 1 ¢ (1 ) = 2 × 1 = 2 ; k 2 = tga 2 = y 2 ¢ (1 ) = -
1 = - 1 . 1 2
Угол j между касательными определяем из формулы tgj =
k 2 - k 1 - 1 - 2 = = 3. 1 + k k 1 + 2 × ( - 1 ) 1 2
j = arctg3 .
Примеры и задачи без решений 1. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции y=f(x) в точке M0 1. y = x 2 - 5 x + 4
M0(1; 10)
Ответ: 7 x + y - 3 = 0 , x - 7 y + 71 = 0 .
2. y = ln x
M0(1; 0)
Ответ: x - y - 1 = 0 , x + y - 1 = 0 .
3. x 3 + y 2 + 2 x - 6 = 0 M0(1; 3)
Ответ: 5 x + 6 y - 13 = 0 , 6 x - 5 y + 21 = 0 .
3 2 ïì x = t - t + 1 4. í 2 ï î y = t + 1
Ответ: 2 x - y = 0 , x + 2 y - 5 = 0 .
t 0 = 1
2. Под каким углом пересекаются кривые y = x 2 и y = x 3 ? Ответ: в точке M0(0; 0) кривые касаются ( j 0 = 0 ), в точке M1(1; 1) кривые 1 пересекаются под углом j 1 = arctg . 7
3. В какой точке касательная к кривой y = x 2 - 7 x + 3 параллельна прямой 5 x + y - 3 = 0 ?
Ответ: M0(1; 3).
