Расчетные задания по математическому анализу для студентов заочного отделения факультета вычислительной математики и кибернетики

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ , ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСОЙ ФЕДЕРАЦИИ НИЖЕГОРОДСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра численного и функционального анализа РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ ФАКУЛЬТЕТА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

НИЖНИЙ НОВГОРОД 1999

УДК.519.6 РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ ФАКУЛЬТЕТА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ/Составители Фокина В.Н.,Федоткин А.М.Н.Новгород: Нижегородский Государственный Университет,1999-12-23

Составители : Фокина В.Н. ; Федоткин А.М. Рецензент: к.ф-м.наук,доцент НГТУ Билюба В.Н.

О ВЫПОЛНЕНИИ И ЗАЩИТЕ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. 1. 2.

Решение задач и теоретических упражнений необходимо представить в письменной форме. Во время защиты студент должен уметь отвечать на теоретические вопросы, пояснить решение примеров, решить примеры аналогичного типа. РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ «ПРЕДЕЛЫ»

1.Определение числовой последовательности и ее предела . Ограниченные и неограниченные последовательности. 2.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Теоремы о связи последовательности,имеющей предел и бесконечно малой. 3. Понятие предела функции в точке, подпоследовательности и неопределенности. 4. Предел суммы, произведения,частного. 5. Первый замечательный предел. 6. Второй замечательный предел. 7. Понятие непрерывной функции. 8. Непрерывность суммы,произведения,частного. 9. Непрерывность сложной функции. 10. Эквивалентные бесконечно малые функции. Теоремы о замене бесконечно малых функций эквивалентными.

Задание 1 1.

Доказать по определению,что

lim xn = a n→∞ Пример решения задачи :

xn = (n+1)/(n+2)

Нужно доказать, что

∀ε > 0 ∃N (ε ), ∀n > N ⇒ | xn − 1 |< ε |

n +1 1 − 1 |= <ε n+2 n+2

(1)

, когда n > 1/ ε -2 , возьмем за N=[1/ ε -2] , тогда (1)

выполняется. Варианты:

n +1 1 − 2n 4n + 3 1.2 x n = 2n − 4 3n 2 1.3 x n = 2 − n2 5n + 1 1.4 x n = 10n − 2 1.1 x n =

a=-1/2 a=2 a=3 a=1/2

2 − 3n 2 4 + 5n 2 8 − 4n 2 1.7 x n = 10 + 16n 2 8n − 1 1.8 x n = 4n + 2 5 − 2n 2 1.9 x n = 2 n +3

1.6 x n

=

a=-3/5 a=-1/4 a=2 a=-2/3

1.5 x n

1 − 2n 2 2 + 4n 2

=

a=1/2

1.10

8 + n2 1 − 10n 2

xn =

a=-1/10

Задание 2 2.

Вычислить пределы числовых последовательностей Пример:

n2 − 3 = lim 2 n →∞ n + 5

1 − 3 / n2 =1 lim 2 n →∞ 1 + 5 / n

Варианты: 2.1

(3 − n) 2 lim 3 3 n →∞ ( n + 1) − ( n − 1)

2.6

n 3 − (n − 1) 3 2.2 lim 4 4 n →∞ ( n + 1) − n 2.3

2.4

lim 3n

lim n →∞

3 2

lim n →∞

1 + n3 lim 3 3 n →∞ ( n + 1) + ( n − 1) n →∞

2.5

2.7

(7 + n) 2 − (n + 2) 2 lim 2 2 n →∞ (3n + 2) + ( 4n + 1)

2.8

2.9

− 4 n2 + 4

n + 3 − n2 − 3

3

n +1 − 4 n4 + 5

n2 + 6 − n −1

3

n3 + 2 + n + 1

3

n − n2 + 5 3

n →∞

n − 9n 2

2

lim

2

n2 +1

( 2 − n) 3 − ( n + 7) 3 lim 3 3 n →∞ (5n + 20) + (3n + 1)

(71 + n) 4 − (3n + 2) 4 2.10 lim 4 4 n →∞ (31n + 2) + ( 42 n + 1)

Задание 3. 3.

Вычислить пределы числовых последовательностей Пример:

lim ( n →∞

n − 1 − n + 1) = lim n →∞

n −1− n −1

n −1 + n +1

−2

lim

=

n −1 + n +1

n →∞

=0

Варианты: 3.1

lim (n −

3

n3 − 5) n * n

lim (

3.6

n →∞

3.2

lim (

n( n − 2 ) − n 2 − 3 )

lim (

n − 3n + 2 − n)

lim (

n 3 + 2 − n 3 − 1) n 3 + 8

3.7

n →∞

3.3

lim (n +

lim (

3.8

lim (

n + 2 − n − 3)

3.9

lim (

n + 7 − n − 8) n3

n →∞

3

n3 + 5 − 3 3 + n3 ) * n 2

n →∞

Задание 4. 4.

4 − n3 )

n →∞

n →∞

3.5

3

n →∞

2

n →∞

3.4

n + 2 − n − 3) n

n →∞

Вычислить пределы функций.

3.10

lim ( n →∞

n + 2 − 3 n − 3 )n

x2 −1 Пример : lim 2 = x → −1 x + 3 x + 2

lim x→

( x − 1)( x + 1) ( x − 1) = = -2 lim ( x + 1)( x + 2 ) x → −1 ( x + 2)

Варианты: 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

( x 2 − 2 x − 1)( x + 1) lim x 4 + 4x 2 − 5 x → −1 x 2 − 3x − 2 lim x2 + x x → −1 x4 −1 lim 4 2 x →1 2 x − x − 1 x 2 + 3x + 2 lim 3 2 x → −1 x + 2 x − x − 2 ( x + 1) 2 − (3x + 1) lim x2 + x3 x →0

x 3 − 4 x 2 − 3x + 18 lim 3 2 x →3 x − 5 x + 3 x + 5 ( x 2 − 1)( x + 3) 4.7 lim 3 2 x → −1 x − 2 x + 2 x + 1 3 x−6 +2 4.8 lim x+2 x → −2 x −1 4.9 lim 2 x → −1 x − 1 3 x −1 4.6

4.10

lim x →3

1 + x − 2x

Задание 5 5.

5. Вычислить пределы функций. Пример:

x

y

5x

lim sin 5 x = lim 5 sin 5 x = 0.2* lim sin y = 0.2 x →0

x →0

x →0

3x 2 − 5 x lim sin 3x x →0 cos 2 x − cos x 5.2 lim 1 − cos x x →0

5.1

1 − cos x x sin x x →0 2 x sin x 5.4 lim x →0 1 − cos x 1 − cos 2 x 5.5 lim x →0 cos 7 x − cos 3 x 5.3

lim

x3 lim 3 x → 0 sin 5 x x4 5.7 lim 2 x →0 1 − cos x x4 5.8 lim 2 x →0 (1 − cos x ) cos 5 x − 1 5.9 lim x →0 cos 4 x − cos 5 x cos 3 x − cos 4 x 5.10 lim x →0 cos 7 x − cos 8 x 5.6

Задание 6 6.

6. Вычислить пределы функций. Пример:

lim x →0

x ln(1 + x) ln(1 + x) =1 = lim x x e −1 x →0 x (e − 1)

Варианты:

6.1

ln(1 + sin x) lim sin 4 x x →0

6.6

lim x →1

x2 − x +1 −1 ln x

6.2

ln(1 + x 2 )

lim 1 − x →0

6.3

x +1 2

1 − cos x lim 3x − 1) 2 x →0 (e

4+ x −2 3arctgx x →0 9 ln(1 − 2 x) 6.5 lim 4arctg 4 x x →0

6.4

lim

lim π

6.7

x→

6.8

lim x→2

cos 3 x + 1 sin 2 7 x

x2 − x +1 −1 ln(5 − 2 x)

3 − 10 − x sin 3πx x →1 ln(2 x − 5) 6.10 lim sin πx e −1 x →3

lim

6.9

РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ «ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ» 1.Понятие производной функции в точке.Производные от функций у=exp(x),y=x**n, y=cos(x). 2.Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой. 3. Дифференцируемость функции. 4. Правила дифференцируемости. 5. Производная сложной функции. 6.Производная обратной функциию. 7. Производные высших порядков. 8. Дифференциал функции. 9. Дифференциалы высших порядков. 10. Дифференцирование функций ,заданных параметрически. 11. Основные свойства дифференцируемых функций(теоремы Ферма,Ролля,Коши,Лагранжа) 12. Правло Лопиталя. 13. Формула Тейлора. Задание 1 1 Исходя из определения производной,найти f`(0) 1. 6.

1 2 x 2 + x 3 cos , x ≠ 0 x 0 x=0 2.

1 5 x + x 2 sin , x ≠ 0 x 0 x=0 7.

5 sin x 2 cos , x ≠ 0 x 0 x=0 3.

1 arctg ( x 3 − x 2 sin ), x ≠ 0 x 0 x=0 8.

ln(1 + 2 x + x ) ,x ≠ 0 x 0 x=0 2

4.

3

ln(cos x)1 ,x ≠ 0 x 0 x=0 9.

2

e x − cos x ,x ≠ 0 x 0 x=0 5.

10.

x 2 cos 0

cos( x) − cos 3x ,x ≠ 0 x 0 x=0

4x + x 3 / 3, x ≠ 0 3 x=0

5 arctg 4 x 2 cos , x ≠ 0 x 0 x=0

задание 2 Найти производную

2x + 4 x +1 2x + 3 2 y = ln cos 2x + 1 1 y = ln sin

3 y = ln cos 1 − e 4 y=

4x

x (cos ln x + sin ln x) 2

x 2 5 y = ln x 1 − tg 2 1 + tg

6 y = ln ln tgx

2

7 y = ln ln ln x 2

3

8 y = ln (1 + cos x) 2

9 y = ln

10 y = ln

ln x 1 sin x

ln x 1 cos x

задание 3 Найти производную 1 y = arctg

tgx − ctgx 2

2 y = arctg 3 y = arccos

1+ x2 −1 x 2 x −4

x + 16 4+ x x2 4 4 y= arctg + 2 x x3 (1 + x)arctg x 1 5 y= + 2 x 3x x 4

4

6 y=

3+ x x x(2 − x) + 3 arccos 2 2

7 y=

x2 x2 arccos x − 2 + 1− x2 3 2

8 y = 1 − x − x arcsin 1 − x 2

1 x2 −1 )arctg 2 3x x 2 10 y = 1 + 2 x − x arcsin 1+ x 9 y = (2 x − x + 2

задание 4 Найти производную 1. y = ( arс sin x )

x

2

6 y = (sin

x)x

2. y = (ln x )

7 y = ( x + 4)

3x

3. y = ( x + 1) 2

4. y = ( x − 5)

2

8 y = (ln x )

cos x

5x2

10 y = (cos 2 x )

5. y = (сtgx) задание 5 Найти производную 1. y = xсosx

2

sin x

9 y = ( x sin x )

sin x

y ′′′ = ?

tgx

x ln 4 x

y ′′′ = ?

6 y = x sin x 2

ln x y4 = ? x 2 3. y = ( 2 x + 5) ln x y ′′′ = ? 2 4. y = x sin( x + 5) y ′′′ = ? −ч 5. y = ( 4 x + 3) 2 y ′′′ = ? 2. y =

y = (3x + 4) cos(2 x + 1)

7

y ′′′ = ? 9 y = ( 4 x − 1) ln x y ′′′ = ? 2 2 x +1 10 y = ( 4 x + 5)e y ′′′ = ?

8 y = (3 x + 1)3

−x

2

задание 6 Найти производную n-го порядка. 1. y = xe

6 y = sin(3 x + 1) + cos 5 x

2x

2. y = ln(5 x + 1)

4x + 7 2x + 3 2x 4. y = 7 1+ x 5. y = 1− x 3. y =

7 y=

x+5 x+3

8 y = log 2 ( x + 5) 9 y=3

5 x+4

10 y =

x 9(4 x + 9)

задание 7 Разложить указанную функцию в ряд по степеням x. . 1. y = xe 2.

2x

2

4. y = sin 4 x 3

5. y = ln

4+ x 4− x

x −x 2 5 7 y= x + 6 − x2 x2

6 y = 2 x cos

y = x sin 4 x

3. y = cos 2 x

y ′′′ = ?

8 y=

2

4 − 5x 9 9 y= 20 − x − x 2 10 y = x 3 27 − 2 x

задание 8 Применяя правило Лопиталя вычислить:

3x 2 − 5 x 1 lim sin 3x x →0 cos 2 x − cos x 2 lim 1 − cos x x →0

x3 6 lim 3 x → 0 sin 5 x x4 7 lim 2 x →0 1 − cos x

1

3

lim ln(cos x)

x2

8

x →0

tgx − x

lim x − sin x x →0

1 1 4 lim ( − ) sin 5 x 5 x x →0 1 − cos 2 x 5 lim x →0 cos 7 x − cos 3 x

9

cos 5 x − 1

lim cos 4 x − cos 5 x x →0

cos 3 x − cos 4 x

lim cos 7 x − cos 8 x

10

x →0

задание 9 Вычислить приближенно:

1

y = arcsin x, приx = 0.97

2

y = 3 3 x + cos x , приx = 0.01

x + 5 − x2 , приx = 0.98 2 7 y = 1 + x + sin x , приx = 0.01

3

y = x 2 + 5 , приx = 1.97

8

4

y = arctgx, приx = 1.004

5 y=

1 2x + x + 1 2

6 y=

y = 4 x − 3 , приx = 1.78 1 9 y= , приx = 1.58 2x + 1

, приx = 1.016

10

y = x 2 + x + 3 , приx = 1.98

Построить графики функций 1

y = ( x − 7)e arctgx

2

y = x 2 e 3− 4 x x +3 x −1

3

y = xe

4

y = ( x − 2)e 2 x − x2

5

y = 2 x + ln(3e 2 x − 8)

6 7

y = 3 x − 8e x

y = x + ln 8

1 + 3e 2 x 1 + e2x

y = ( x + 5)e

1 x −1

x − 4 −x e x +1 −x 3 10 y = sin xe 9

y=