М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те...
4 downloads
183 Views
237KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т М а те ма ти че ски й фа культе т К а фе др а те о р и и функци й и ге о ме тр и и М е то ди че ски е ука за ни я по высше й ма те ма ти ке Д ля студе нто в 1 кур са дне вно го о тде ле ни я фа культе та ге о гр а фи и и ге о эко ло ги и
Со ста ви те ль Уксусо в С.Н.
В о р о не ж 2002
С О Д ЕР Ж А Н И Е В ве де ни е … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..2 Пр о гр а мма 1-го се ме стр а … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...3 Ли не йна я а лге б р а … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 Пр и ме р ный ва р и а нтко нтр о льно й р а б о ты№ 1… … … … … … … … … … … … … … .6 В е кто р на я а лге б р а … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...7 Пр и ме р ный ва р и а нтко нтр о льно й р а б о ты№ 2… … … … … … … … … … … … … … .8 Ана ли ти че ска я ге о ме тр и я… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..8 Пр и ме р ный ва р и а нтко нтр о льно й р а б о ты№ 3… … … … … … … … … … … … … … 11 М а те ма ти че ски й а на ли з… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .11 Пр е де л функци и … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..11 Пр о и зво дна я функци и … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 Пр и ме р ный ва р и а нтко нтр о льно й р а б о ты№ 4… … … … … … … … … … … … … … 16 Пр о гр а мма экза ме на … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..16 По лно е и ссле до ва ни е функци и и по стр о е ни е гр а фи ка … … … … … … … … … … ..17 Д о ма шняя ко нтр о льна я р а б о та № 1… … … … … … … … … … … … … … … … … … ..20 Не о пр е де ле нный и нте гр а л… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 22 Опр е де ле нный и нте гр а л… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 24 Пр и ме р ный ва р и а нтко нтр о льно й р а б о ты№ 2… … … … … … … … … … … … … … 26 Ф ункци и не ско льки х пе р е ме нных… … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26 Пр и ме р ный ва р и а нтко нтр о льно й р а б о ты№ 3… … … … … … … … … … … … … … 27 Д и ффе р е нци а льные ур а вне ни я… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .27 Ли те р а тур а … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..28
В В Е Д Е НИ Е Д а нные ме то ди че ски е ука за ни я со ста вле ныдля студе нто в 1-го кур са фа культе та ге о гр а фи и и ге о эко ло ги и . В ысша я ма те ма ти ка и зуча е тся на фа культе те в те че ни е двух се ме стр о в. В пе р во м се ме стр е студе нтыпи шутче тыр е ко нтр о льные р а б о ты. В случа е по ло ж и те льных о це но к о ни по луча ю тза че тпо со о тве тствую щ и м те ма м. В ко нце се ме стр а студе нтысда ю тза че т. Д ля это го о ни о б яза ныо тчи та ть те те мы, по ко то р ым по луче ныне удо вле тво р и те льные о це нки (пр о пущ е нные ко нтр о льные р а б о ты та кж е не о б хо ди мо о тчи тыва ть). В случа е успе шно го на пи са ни я все х ко нтр о льных р а б о т(на удо вле тво р и те льно и выше ) за че твыста вляе тся а вто ма ти че ски . В о вр е мя ле тне й экза ме на ци о нно й се сси и студе нтысда ю тэкза ме н. Пр о гр а мма экза ме на по высше й ма те ма ти ке пр и ве де на в да нных ме то ди че ски х ука за ни ях. Э кза ме на ци о нный б и ле тсо сто и ти з двух во пр о со в и за да чи . К р о ме то го , во вто р о м се ме стр е студе нтыпи шуто дну до ма шню ю и две а уди то р ные ко нтр о льные р а б о ты. Отуспе шно го на пи са ни я эти х р а б о тза ви си тко ли че ство до по лни те льных во пр о со в на экза ме не . В да нных ме то ди че ски х ука за ни ях пр и во дятся та б ли цыпр о и зво дных и и нте гр а ло в, а та кж е о сно вные пр а ви ла ди ффе р е нци р о ва ни я и и нте гр и р о ва ни я. По ка ж до й те ме р а зо б р а ныпр и ме р ына и б о ле е ти пи чных за да ч и пр и ве де ныпр и ме р ные 2
ва р и а нтыко нтр о льных р а б о т. К р о ме то го , в ме то ди че ски х ука за ни ях пр и ве де ны 30 ва р и а нто в до ма шне й ко нтр о льно й р а б о ты№ 1, ко то р ую студе нтыо б яза нывыпо лни ть во вто р о м се ме стр е . Но ме р ва р и а нта о пр е де ляе тпр е по да ва те ль.
П рограм м а 1-го се м е стра Опр е де ли те ли 2-го , 3-го и n-го по р ядка . Спо со б ыи х вычи сле ни й. Ре ше ни е си сте м ли не йных ур а вне ни й ме то до м К р а ме р а . М е то д Г а усса р е ше ни я си сте м ли не йных ур а вне ни й. М а тр и цыи де йстви я на д ни ми . Ре ше ни е си сте м ли не йных ур а вне ни й с по мо щ ью о б р а тно й ма тр и цы. Д е ка р то ва и по ляр на я си сте мыко о р ди на тна пло ско сти . Д е ка р то ва си сте ма ко о р ди на тв пр о стр а нстве . 7. В е кто р ына пло ско сти и в пр о стр а нстве . К о о р ди на тыве кто р о в. 8. Пр о сте йши е о пе р а ци и на д ве кто р а ми : умно ж е ни е ве кто р а на чи сло , сло ж е ни е и вычи та ни е ве кто р о в. 9. Ска ляр но е пр о и зве де ни е ве кто р о в и е го пр и ло ж е ни я. Пр о е кци я ве кто р а на ве кто р . 10.В е кто р но е пр о и зве де ни е ве кто р о в и е го пр и ло ж е ни я. 11.Сме ша нно е пр о и зве де ни е ве кто р о в и е го пр и ло ж е ни я. 12.Ур а вне ни е ли ни и на пло ско сти . Алге б р а и че ски е ли ни и . 13.Пр яма я ли ни я на пло ско сти . Ра зли чные ви дыур а вне ни я пр ямо й ли ни и . 14.Уго л ме ж ду двумя пр ямыми . Ра ссто яни е о тто чки до пр ямо й. 15.К р и вые вто р о го по р ядка : о кр уж но сть, элли пс, ги пе р б о ла , па р а б о ла . 16.Пр е де л чи сло во й по сле до ва те льно сти и функци и . ∞ 0 17.Ра скр ыти е не о пр е де ле нно сте й ви да , , (0 ⋅ ∞ ) и (∞ - ∞ ). ∞ 0 18.Пе р вый и вто р о й за ме ча те льные пр е де лыи сле дстви я и з ни х. 19.Пр о и зво дна я функци и . Т а б ли ца пр о и зво дных и пр а ви ла ди ффе р е нци р о ва ни я. 20.Пр о и зво дна я о б р а тно й, не явно й функци и и функци и , за да нно й па р а ме тр и че ски . 21.Ло га р и фми че ско е ди ффе р е нци р о ва ни е . 22.Д и ффе р е нци а л функци и и е го пр и ме не ни е к пр и б ли ж е нным вычи сле ни ям. 23.Пр а ви ло Ло пи та ля вычи сле ни я пр е де ло в. Ра скр ыти е не о пр е де ле нно сте й ви да 00 , ∞ 0 и 1∞ . 1. 2. 3. 4. 5. 6.
( ) ( ) ( )
24.Ф о р мулыТе йло р а и М а кло р е на .
Л ине йная алге бра Пр и ме р 1. Ре ши ть си сте му ли не йных ур а вне ни й: 1) ме то до м К р а ме р а ; 5 x − y + 2 z = −2, 2) ме то до м Г а усса . 2 x + 3 y − 4 z = 19, x + 2 y + 3z = 1. Ре ше ни е . 1) М е то д К р а ме р а . В ычи сли м гла вный о пр е де ли те ль си сте мы: 3
5 −1
2
∆ = 2 3 − 4 = 5 ⋅ 3 ⋅ 3 + (− 1)⋅ (− 4) ⋅1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 − 1⋅ 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ (− 1) ⋅ 3 − 2 ⋅ (− 4)⋅ 5 = 1 2 3 = 45 + 4 + 8 − 6 + 6 + 40 = 97. Т а к ка к ∆≠0, то си сте ма и ме е те ди нстве нно е р е ше ни е , ко то р о е мо ж но на йти по фо р мула м К р а ме р а :
x=
∆x , ∆
y=
∆y , ∆
z=
∆z , ∆
где ∆x, ∆y, ∆z по луча ю тся и з о пр е де ли те ля ∆ путе м за ме ны1-го , 2-го и ли 3-го сто лб ца , со о тве тстве нно , на сто лб е ц сво б о дных чле но в.
− 2 −1 ∆x = 19 1
5 −2
2
3 − 4 = 97, ∆y = 2 2 3 1
Т а ки м о б р а зо м, x =
97 = 1, 97
y=
19 1
5 −1 − 2
2
− 4 = 291, ∆z = 2 3 1
293 = 3, 97
z=
3 2
19 = −194. 1
− 194 = −2. 97
2) М е то д Г а усса . З а пи ше м си сте му в ма тр и чно й фо р ме , пе р е ста ви в ме ста ми
1 2 3 1 1-е и 3-е ур а вне ни я: 2 3 − 4 19 . 5 −1 2 − 2 В ычте м и з вто р о го ур а вне ни я пе р во е ур а вне ни е , умно ж е нно е на 2. И з тр е тье го ур а вне ни я вычте м пе р во е ур а вне ни е , умно ж е нно е на 5. По лучи м:
1 2 3 1 0 − 1 − 10 17 . 0 − 11 − 13 − 7 1 1 2 3 В ычте м и з тр е тье го ур а вне ни я вто р о е , умно ж е нно е на 11: 0 − 1 − 10 17 0 0 97 − 194
4
.
x + 2 y + 3z = 1, М ы по лучи ли си сте му: y + 10 z = −17, 97 z = −194. И з по сле дне го ур а вне ни я на хо ди м z = -194 / 97= -2. По дста ви м z во вто р о е ур а вне ни е и на йде м y = -17 + 20 = 3. По дста ви в y и z в пе р во е ур а вне ни е , на йде м x = 1 – 6 + 6 = 1.
x = 1, Отве т: y = 3, z = −2. Пр и ме р 2. На йти пр о и зве де ни е ма тр и ц AB и BA:
5 3 1 6 0 A = − 2 0 4 , B = − 4 4 . 3 −1 6 1 3 Ре ше ни е . 1) Д ля то го что б ына йти пр о и зве де ни е AB, не о б хо ди мо стр о ки ма тр и цы A умно ж и ть на сто лб цыма тр и цы B:
5 3 6 0 1 A⋅ B = − 2 0 4 ⋅− 4 4 = 3 −1 6 1 3 1 ⋅ 0 + 5 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 − 11 29 1 ⋅ 6 + 5 ⋅ (− 4 ) + 3 ⋅ 1 = − 2 ⋅ 6 + 0 ⋅ (− 4 ) + 4 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 = − 8 12 . 3 ⋅ 6 + (− 1) ⋅ (− 4) + 6 ⋅ 1 3 ⋅ 0 + (− 1) ⋅ 4 + 6 ⋅ 3 28 14 2) Пр о и зве де ни е BA не сущ е ствуе т, т. к. ко ли че ство сто лб цо в ма тр и цы B не со впа да е тс ко ли че ство м стр о к ма тр и цы A. Пр и ме р 3. На йти о б щ е е р е ше ни е си сте мыли не йных ур а вне ни й:
2 x + 2 y + z + u + 5v = 6, 4 x + 3 y + 3z − u + 8v = 15, 2 x + y + z + u + 2v = 7. Ре ше ни е . Об щ е е р е ше ни е си сте мына йде м ме то до м Г а усса , для че го за пи ше м си сте му в ма тр и чно м ви де :
5
2 2 1 1 5 6 ΙΙ − 2⋅ Ι 2 2 1 1 5 6 ΙΙ ⋅(−1) 2 2 1 1 5 6 Ι − 2⋅ ΙΙ 4 3 3 − 1 8 15 ↔ 0 − 1 1 − 3 − 2 3 ↔ 0 1 − 1 3 2 − 3 ↔ 2 1 1 1 2 7 ΙΙΙ − Ι 0 − 1 0 0 − 3 1 ΙΙΙ + ΙΙ 0 0 − 1 3 − 1 − 2 ΙΙΙ⋅(−1) 3 − 5 1 12 2 0 2 0 0 4 − 2 6 Ι÷2 1 0 0 2 − 1 3 Ι − 3⋅ ΙΙΙ ↔ 0 1 − 1 3 2 − 3 ↔ 0 1 0 0 3 − 1 ↔ 0 1 0 0 3 − 1. 0 0 1 − 3 1 2 0 0 1 − 3 1 2 ΙΙ + ΙΙΙ 0 0 1 − 3 1 2 И та к, мыпо лучи ли сле дую щ ую си сте му:
x + 2u − v = 3, y + 3v = −1, и ли z − 3u + v = 2,
x = 3 − 2u + v, y = −1 − 3v, z = 2 + 3u − v .
В ыб и р а я пр о и зво льно u и v ,мыпо лучи м б е счи сле нно е мно ж е ство р е ше ни й.
x = 3 − 2u + v, Отве т: y = −1 − 3v, - о б щ е е р е ше ни е си сте мы. z = 2 + 3u − v
П рим е рныйвариант контрольнойработы № 1 1. Ре ши ть си сте му ли не йных ур а вне ни й: 1) ме то до м К р а ме р а ; 2) ме то до м
Г а усса .
3x + 2 y + 4 z = −5, 2 x − 3 y + z = −7, − 3x + 4 y + 2 z = −1.
2. На йти пр о и зве де ни е ма тр и ц AB и BA:
3 − 4 A= 3 −1
0 1 2 4
− 5 0 −1 2 . B = , − 4 3 2 1
3. На йти о б щ е е р е ше ни е си сте мы:
x + 2 y − 6 z + 2t = 1, 2 x + 4 y + z + 3t = −2, − 3x + 2 y + 6 z − 5t = 3.
6
В е кторная алге бра Пр и ме р 4. Д а на пи р а ми да ABCD: A( 2; 4;-1 ), B( 3; 2; 0 ), C( 1;-3; 2 ), D( 5;-1; 3 ). На йти : 1) уго л BCD; 2) пло щ а дь гр а ни ABC; 3) о б ъе м пи р а ми ды. Ре ше ни е . 1) На йде м ко о р ди на ты ве кто р о в CB и CD , о б р а зую щ и х уго л BCD :
a = CB = ( 3 − 1; 2 − (− 3); 0 − 2 ) = ( 2; 5 − 2 ), b = CD = ( 5 − 1; − 1 − (− 3); 3 − 2 ) = ( 4; 2; 1 ). Уго л BCD на йде м по фо р муле : cosϕ =
a ⋅b , где a ⋅ b -ска ляр но е пр о и зве a ⋅ b
де ни е ве кто р о в a и b . Т а ки м о б р а зо м,
2 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2 + (− 2 ) ⋅ 1 8 + 10 − 2 = ≈ 0,65. 2 2 2 2 2 2 4 + 25 + 4 ⋅ 16 + 4 + 1 2 + 5 + (− 2 ) ⋅ 4 + 2 + 1
cos ∠BCD =
Сле до ва те льно , ∠BCD = arccos 0,65. 2) Пло щ а дь гр а ни ABC на хо ди м по фо р муле :
1 ⋅ AB × BC , 2 где AB × BC − ве кто р но е пр о и зве де ни е ве кто р о в AB и BC. S ∆ABC =
AB = ( 3 − 2; 2 − 4; 0 − (− 1)) = ( 1; − 2; 1 ). BC = ( 1 − 3; − 3 − 2; 2 − 0 ) = (− 2; − 5; 2 ). i
j
k
−2 1 1 1 1 −2 AB × BC = 1 − 2 1 = i ⋅ − j⋅ +k⋅ = i − 4 j − 9k . −5 2 −2 2 − 2 −5 −2 −5 2
( )
1 1 Сле до ва те льно , S ∆ABC = ⋅ 12 + ( −4) 2 + ( −9) 2 = ⋅ 1 + 16 + 81 ≈ 4,95 е д 2 . 2 2 1 3) Об ъе м пи р а ми ды на хо ди м по фо р муле : V = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ AD , где 6 AB ⋅ AC ⋅ AD -сме ша нно е пр о и зве де ни е ве кто р о в AB = ( 1; − 2; 1 ), AC = (− 1; − 7; 3 ) и AD = ( 3; − 5; 4 ). 1 −2 1 AB ⋅ AC ⋅ AD = − 1 − 7 3 = −28 − 18 + 5 + 21 − 8 + 15 = −13. ⇒ 3 −5 4
( )
V = − 13 = 13 е д 3 . 7
Пр и ме р 5. Д а но : |a |=3; |b |=2; уго л ме ж ду ве кто р а ми a и b р а ве н π/3. На йти уго л ϕ ме ж ду ве кто р а ми 2a − b и a + 3b . Ре ше ни е . 1) На йде м ска ляр но е пр о и зве де ни е
(2a − b ; =2 a
2
(2a − b ;
a + 3b ).
a + 3b ) = 2a 2 + 6(a ; b ) − (a ; b ) − 3b 2 = 2a 2 + 5(a ; b ) − 3b 2 = 2 π 1 + 5 a ⋅ b ⋅ cos − 3 b = 2 ⋅ 9 + 5 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ − 3 ⋅ 4 = 21. 3 2
2)
2a − b =
(2a − b )2 =
4a 2 − 4(a ; b ) + b 2 =
4⋅9 − 4⋅3⋅2⋅
3)
a + 3b =
(a + 3b )2 =
a 2 + 6(a ; b ) + 9b 2 =
9 + 6 ⋅3⋅ 2 ⋅
cosϕ =
(2a − b ; a + 3b ) 2a − b ⋅ a + 3b
=
1 + 4 = 28. 2
1 + 9 ⋅ 4 = 63. 2
21 21 1 = = . 28 ⋅ 63 42 2
1 π Отве т: ϕ = arccos = . 2 3
П рим е рныйвариант контрольнойработы № 2 1. Д а ныве р ши ныпи р а ми ды: A( 2; -3; 5 ); B( 0; 6; -2 ); C( 3; 1; -5 ); D( 2; 1; 1 ). На йти ∠ABC; S∆ABC; Vпи р . 2. Д о ка за ть, что ве кто р ыa=( 2;-3; 1 ),b=( 3; 2;-4 ) и c=(-1;-5; 3 ) ле ж а тв о дно й пло ско сти (ко мпла на р ны).
А налитиче ская ге ом е трия Пр и ме р 6. Д а н тр е уго льни к A( 2; 7 ), B(-5; 7 ), C( 5; 3 ). На йти : 1) ур а вне ни я сто р о н; 2) ур а вне ни е и дли ну ме ди а ныAM; 3) ур а вне ни е и дли ну высо тыBD; 4) ур а вне ни е б и ссе ктр и сыAK; 5) то чку пе р е се че ни я ме ди а ныAM с высо то й BD и уго л ме ж ду ни ми . Ре ше ни е . 1) Ур а вне ни я сто р о н AC и BC на йде м, и спо льзуя ур а вне ни е пр ямо й, пр о хо дящ е й че р е з две то чки : x − x1 y − y1 = . x2 − x1 y2 − y1 x−2 y−7 x−2 y−7 Ур а вне ни е AC : ; − 4 x + 8 = 3 y − 21. = = ; 5−2 3−7 3 −4 И та к, AC : 4 x + 3 y − 29 = 0.
8
x+5 y−7 = ; 5+5 3−7 И та к, BC : 2 x + 5 y − 25 = 0. Ур а вне ни е BC :
x+5 y−7 = ; 10 −4
− 2 x − 10 = 5 y − 35.
Ур а вне ни е AB на хо ди тся е щ е пр о щ е . Нуж но то лько за ме ти ть, что вто р а я ко о р ди на та то че к A и B о ди на ко ва и р а вна 7. Сле до ва те льно , ур а вне ни е AB : y = 7 и ли y − 7 = 0. 2) На йде м то чку M – се р е ди ну сто р о ны BC:
x
x +x −5+5 = B C = = 0, M 2 2
y
y +y C = 7 + 3 = 5. = B M 2 2
Со ста ви м ур а вне ни е ме ди а ны AM :
x−2 y−7 = ; 0−2 5−7
x−2 y−7 = . −2 −2
И та к, AM : x − y + 5 = 0. Д ли ну ме ди а ны на йде м ка к р а ссто яни е ме ж ду двумя то чка ми :
AM =
(x A − xM )2 + (y A − yM )2 =
2 2 + 2 2 = 8 = 2 2 (е д.).
3) Опр е де ли м угло во й ко эффи ци е нт сто р о ны AC. Д ля это го ур а вне ни е 4 29 4 AC за пи ше м в ви де y = − x + . Сле до ва те льно , k AC = − . 3 3 3 1 3 k BD = − = (усло ви е пе р пе нди куляр но сти пр ямых BD и AC). k AC 4
Со ста ви м ур а вне ни е высо ты BD, и спо льзуя ур а вне ни е пр ямо й, пр о хо дящ е й че р е з за да нную то чку B и с угло вым ко эффи ци е нто м k: y – y0 = k⋅( x - x0 ). 3 Т о е сть, y − 7 = ⋅ (x + 5), и ли 4 y − 28 = 3x + 15. BD : 3x − 4 y + 43 = 0. 4 Д ли ну высо ты BD на йде м ка к р а ссто яни е то чки B до пр ямо й AC по ax0 + by0 + c фо р муле : d = , где ax+by+c=0 – о б щ е е ур а вне ни е пр ямо й AC, а a2 + b2 (x0; y0) – ко о р ди на тыто чки B. И та к,
BD =
4 ⋅ (− 5) + 3 ⋅ 7 − 29 − 20 + 21 − 29 28 = = (е д.). 2 2 5 25 4 +3
9
4) На йде м о сно ва ни е б и ссе ктр и сы (то чку K), и спо льзуя то , что то чка K де ли т о тр е зо к BC на ча сти , пр о по р ци о на льные пр и ле ж а щ и м сто р о на м тр е уго льни ка :
BK AB = , где AB = (− 5 − 2 )2 + ( 7 − 7 )2 = 7, AC = KC AC BK 7 Сле до ва те льно , =λ = . KC 5
( 5 − 2 )2 + ( 3 − 7 )2 = 5.
Д ля на хо ж де ни я ко о р ди на т то чки K и спо льзуе м фо р мулы де ле ни я о тр е зка в да нно м о тно ше ни и :
7 − 5 + ⋅ 5 − 25 + 35 10 5 x +λ⋅x 5 = C = x = B = = . K 7 5 7 12 6 1+ λ + 1+ 5 7 7 + ⋅ 3 35 + 21 56 28 yB + λ ⋅ y 5 = C = y = = = . K 7 1+ λ 5+7 12 6 1+ 5 Со ста ви м ур а вне ни е AK, и спо льзуя ко о р ди на тыто че к A и K:
x−2 y−7 x−2 y−7 = ; = ; 5 28 5 − 12 28 42 − −2 −7 6 6
x−2 y−7 = . −7 − 14
2 ⋅ ( x − 2 ) = y − 7; 2 x − 4 = y − 7. И та к, AK: 2 x − y + 3 = 0. 5) На йде м то чку О пе р е се че ни я ме ди а ны AM с высо то й BD, р е ши в си сте му: x − y + 5 = 0, 3x − 4 y + 43 = 0,
− 3 x + 3 y − 15 = 0, − y + 28 = 0, 3x − 4 y + 43 = 0,
y = 28, x − 28 + 5 = 0, x = 23. 0 0
И та к, то чка O и ме е тко о р ди на ты: O( 23; 28 ). Д ля на хо ж де ни я угла ме ж ду пр ямыми ли ни ями BD и AM во спо льзуе мся фо р муло й:
k −k 3 2 1 , где k = k = , BD 4 1 1+ k ⋅ k 1 2 k =k = 1 (т. к. А М и ме е т ур а вне ни е y = x + 5). 2 AM 3 1 1− 1 4 = 4 = 1, И та к, tgϕ = ϕ = arctg . 3 7 7 7 1 + ⋅1 4 4
tgϕ =
10
Пр и ме р 7. На йти ко о р ди на тыфо кусо в и эксце нтр и си те тэлли пса : 4x2+9y2=1. Ре ше ни е . В ка но ни че ско м ви де ур а вне ни е элли пса выгляди тсле дую щ и м о б р а x2 y2 + = 1. И з это го ур а вне ни я ви дно , что б о льша я по луо сь элли пса р а вна зо м: 1 4
1 9
1 1 1 1 = , а ма ла я по луо сь р а вна b = = . Ра ссто яни е о тце нтр а элли пса до 4 2 9 3 1 1 5 е го фо кусо в на хо ди м по фо р муле : c = a 2 − b 2 = − = . Т а ки м о б р а зо м, 4 9 6 5 5 фо кусыэлли пса и ме ю тко о р ди на ты: F1 = − ; 0 , F2 = ; 0 . 6 6 a=
Э ксце нтр и си те тэлли пса на йде м по фо р муле : ε =
c 5 2 5 = ⋅ = ≈ 0,75. a 6 1 3
П рим е рныйвариант контрольнойработы № 3 1. Д а н тр е уго льни к A( 1; 2 ), B( 4; 6 ), C( 0; 2 ). На йти : 1) ур а вне ни я сто р о н; 2) ур а вне ни е и дли ну ме ди а ны AM; 3) ур а вне ни е и дли ну высо ты BD; 4) ур а вне ни е б и ссе ктр и сы AK; 5) то чку пе р е се че ни я ме ди а ны AM с высо то й BD и уго л ме ж ду ни ми . 2. На йти ко о р ди на тыфо куса и ур а вне ни е ди р е ктр и сыпа р а б о лы y = 2x2+ 6x-5.
М ате м атиче скийанализ П ре де л функции 4 x 2 + 3x − 8 . Пр и ме р 8. На йти пр е де л lim x →∞ 2 x 2 + x 4 + 3 x
∞ Ре ше ни е . Д ля р а скр ыти я не о пр е де ле нно сти ви да р а зде ли м чи сли те ль ∞ и зна ме на те ль др о б и на ста р шую сте пе нь x (т.е . на x2). По лучи м: 3 8 3 8 − 4+ − x x2 x x2 4 ∞ = = lim = lim = , lim 3 x →∞ 2 x 2 + x 4 + 3 x ∞ x →∞ x 4 + 3x x →∞ 2 + 1 + 3 2+ x3 x4 3 8 3 та к ка к пр и x → ∞ выр а ж е ни я , и стр е мятся к нулю . x x2 x3 4 x 2 + 3x − 8
4+
11
x3 − 8 Пр и ме р 9. На йти пр е де л lim . x →2 x 2 + 6 x − 4 Ре ше ни е . Пр и по дста но вке вме сто x чи сла 2 мы по луча е м не о пр е де ле н0 но сть ви да . Д ля р а скр ыти я это й не о пр е де ле нно сти сна ча ла и зб а ви мся о т 0 и р р а ци о на льно сти в зна ме на те ле др о б и , а за те м р а зло ж и м выр а ж е ни я, стр е мящ и е ся к нулю , на мно ж и те ли : x3 − 8
x3 − 8
⋅ x 2 + 6 x + 4
0 = = lim lim x→2 x 2 + 6 x − 4 0 x→2 x 2 + 6 x − 4 ⋅ x 2 + 6 x + 4
x 3 − 8 ⋅ x 2 + 6 x + 4
= lim x→2
x 2 + 6 x − 16
= lim x →2
=
(x − 2 )⋅ x 2 + 2 x + 4 ⋅ x 2 + 6 x + 4 = lim
( x − 2 ) ⋅ (x + 8 )
x→2
=
(x 2 + 2 x + 4 )⋅
x 2 + 6 x + 4 = 12 ⋅ 8 = 48 = 9,6. 10 5 (x + 8 )
Пр и ме р 10. На йти пр е де л
cos 2 x . limπ 2 x→ π 2 − x 2
0 Ре ше ни е . М ы и ме е м де ло с не о пр е де ле нно стью ви да . 0 π π Пр о и зве де м за ме ну x − = t , то гда x = t + и t → 0. 2 2
π cos 2 t + 2 sin 2 t sin t 0 2 = = = lim = lim = 1, lim 2 0 tlim →0 (− t )2 t →0 t 2 t →0 t x→π π 2 − x 2 sin t Т а к ка к lim = 1 (пе р вый за ме ча те льный пр е де л). t →0 t cos 2 x
П роизводная функции
Пр о и зво дно й функци и y = f (x) в то чке x на зыва е тся пр е де л о тно ше ни я пр и р а щ е ни я функци и к пр и р а щ е ни ю а р гуме нта , ко гда пр и р а щ е ни е а р гуме нта стр е ми тся к нулю : 12
f ( x + ∆x ) − f ( x ) . ∆x
f ′( x ) = lim ∆x → 0
Таблица производных:
( x )′ = 2 1 x .
′ 1. (x n ) = n ⋅ x n−1.
1′ .
′ 2. (a x ) = a x ⋅ ln a.
′ 2′. (e x ) = e x .
1 . 3. (log a x )′ = x ⋅ ln a
1 3′. (ln x )′ = . x
4. (sin x )′ = cos x.
5. (cos x)′ = − sin x.
6. (tgx )′ =
7. (ctgx )′ = −
1 . cos 2 x
8. (arcsin x )′ = 10. (arctgx)′ =
1 1− x2 1
1+ x2
.
.
1 . sin 2 x
9. (arccos x )′ = − 11. (arcctgx)′ = −
1 1− x2 1 1+ x2
.
.
О сновные правила диффе ре нцирования:
1. (c ⋅ f (x ))′ = c ⋅ f ′(x ). 2. (u(x ) ± v(x ))′ = u ′(x) ± v′(x ).
3. (u (x ) ⋅ v(x ))′ = u ′(x) ⋅ v(x ) + u(x ) ⋅ v′(x ). ′ u( x ) u ′(x ) ⋅ v( x ) − u ( x ) ⋅ v′( x ) 4. . = v( x ) v 2 (x ) 5. ( f (ϕ ( x )))′ = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x ), где u = ϕ ( x ). Пр и ме р 11. На йти пр о и зво дную функци и y = Ре ше ни е .
13
cos x 2 . arctg 4 x + e x
′ cos x 2 ⋅ arctg 4 x + e x − arctg 4 x + e x ′ ⋅ cos x 2 = y′ =
(
) (
)
(arctg 4 x + e x )2
′ − sin x 2 ⋅ x 2 ⋅ arctg 4 x + e x − (arctg 4 x )′ + e x =
(
( )′ ⋅ cos x 2
)
(arctg 4x + e x )2
(
.
)
1 x ⋅ cos x 2 − sin x 2 ⋅ 2 x ⋅ arctg 4 x + e x − ⋅ 4 + e 2 1 + (4 x ) Отве т: y ′( x ) = . 2 x arctg 4 x + e
(
)
Пр и ме р 12. На йти пр о и зво дную y′(x) не явно й функци и :
xy 2 + sin ( x + y ) − 3 x = 0. Ре ше ни е . Пр о ди ффе р е нци р уе м да нно е р а ве нство по x:
1 ⋅ y 2 + x ⋅ 2 y ⋅ y′ + cos( x + y ) ⋅ (1 + y ′) − 3 x ⋅ ln 3 = 0. Ра скр о е м ско б ки :
y 2 + 2 xy ⋅ y′ + cos( x + y ) + y′ ⋅ cos( x + y ) − 3 x ⋅ ln 3 = 0. y′ ⋅ (2 xy + cos(x + y )) = 3 x ⋅ ln 3 − y 2 − cos( x + y ). Отве т:
y′ =
3 x ⋅ ln 3 − y 2 − cos( x + y ) . (2 xy + cos( x + y ))
Пр и ме р 13. На йти пр о и зво дную функци и y = (arcsin x )(ctg 2x ). Ре ше ни е . Ло га р и фми р уя да нно е р а ве нство , по лучи м не явную функци ю : ln y = ctg 2 x ⋅ ln (arcsin x ). Д и ффе р е нци р уе м да нно е р а ве нство по x и на хо ди м y′(x):
14
1 1 1 1 ⋅ y′ = − ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x + ⋅ ⋅ ctg 2 x. 2 y arcsin x 1 − x 2 sin 2 x 1 1 1 ⇒ y′ = y ⋅ − ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x + ⋅ ⋅ ctg 2 x . sin 2 2 x arcsin x 1 − x 2 1 1 1 Отве т: y′ = (arcsin x )ctg 2 x ⋅ − ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x + ⋅ ⋅ ctg 2 x . sin 2 2 x arcsin x 1 − x 2 Пр и ме р 14. На йти пр о и зво дную y′(x) функци и , за да нно й па р а ме тр и че ски :
y = 8 ⋅ sin 3 t , 3 x = 4 ⋅ cos t.
( (
) )
′ y ′(t ) 8 ⋅ sin 3 t t 8 ⋅ 3 ⋅ sin 2 t ⋅ cos t 2 ⋅ sin t = =− = −2 ⋅ tgt. = Ре ше ни е . y ′( x ) = 2 x′(t ) cos t 3 ′ ⋅ ⋅ ⋅ − 4 3 cos t ( sin t ) 4 ⋅ cos t t y′( x ) = −2 ⋅ tgt , Отве т: 3 x = 4 ⋅ cos t. Пр и ме р 15. В ычи сли ть
4 16,6
пр и б ли ж е нно , с по мо щ ью ди ффе р е нци а ла .
Ре ше ни е . Ра ссмо тр и м функци ю y = 4 x . Пусть x0 = 16,
x1 = 16,6.
y0 = y( x0 ) = 4 16 = 2.
То гда ∆x = x1 - x0 = 16,6 − 16 = 0,6. 3
1 − y′( x0 ) = ⋅ x 4 4
= x =16
1
( )
3 4 ⋅ 4 16
=
1 1 = . 4 ⋅ 8 32
Д ля на хо ж де ни я y1 = 4 x1 = 4 16,6 во спо льзуе мся фо р муло й: y1 ≈ y0 + dy ( x0 ), где dy ( x0 ) = y ′( x0 ) ⋅ ∆x - ди ффе р е нци а л функци и . Т а ки м о б р а зо м,
4 16,6
≈2+
1 ⋅ 0,6 ≈ 2 + 0,019 = 2,019. 32
15
П рим е рныйвариант контрольнойработы № 4 На йти пр е де л функци и :
3x + 4 x + 1 2
1.
lim
x→∞
На йти пр о и зво дную y′(x):
4
5 x + 3x − 1 2
,
x 2 − 12 − 2 2. lim , x → 4 3x + 4 − x sin 3 x 3. lim , x →π sin 5 x
(
)
1.
y = arccos 4 x − tg 2 2 x ⋅ e - x ,
2.
y = (ctg 3x )
3. в)
3x
,
x - y + lg
x = 0, y
y = arcctg t , 4 . г) x→2 x = lg(1 + t ). 5. В ычи сли ть пр и б ли ж е нно , с по мо щ ью ди ффе р е нци а ла : 3 27,34. З а да нную р а б о ту выста вляе тся две о це нки : о дна по пр е де ла м, др уга я по пр о и зво дным. 1
4. lim ( x − 1) x − 2 .
П рограм м а экзам е на 1. По няти е мо но то нно сти функци и . Д о ста то чные усло ви я во зр а ста ни я и уб ыва ни я функци и . 2. По няти е экстр е мума функци и . Не о б хо ди мо е усло ви е экстр е мума . 3. Д о ста то чные усло ви я экстр е мума . 4. В ыпукло сть, во гнуто сть гр а фи ка функци и . Т о чки пе р е ги б а . 5. Д о ста то чные усло ви я выпукло сти , во гнуто сти . Не о б хо ди мо е и до ста то чно е усло ви я пе р е ги б а . 6. Аси мпто тыпло ско й кр и во й. На хо ж де ни е ве р ти ка льных, го р и зо нта льных и на кло нных а си мпто т. 7. По лно е и ссле до ва ни е функци и и по стр о е ни е е е гр а фи ка . 8. Пе р во о б р а зна я функци и . Т е о р е ма о б о б щ е м ви де все х пе р во о б р а зных. По няти е не о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 9. Сво йства не о пр е де ле нно го и нте гр а ла . “ Не б е р ущ и е ся” и нте гр а лы. 10.Т а б ли ца и нте гр а ло в. 11.Пр о сте йши е пр и е мыи нте гр и р о ва ни я. По две де ни е мно ж и те ля по д зна к ди ффе р е нци а ла . 12.З а ме на пе р е ме нно й в не о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 13.И нте гр и р о ва ни е по ча стям в не о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 14.И нте гр и р о ва ни е выр а ж е ни й, со де р ж а щ и х ква др а тный тр е хчле н в зна ме на те ле . 15.И нте гр и р о ва ни е тр и го но ме тр и че ски х функци й. 16.З а да ча о пло щ а ди кр и во ли не йно й тр а пе ци и . 17.Опр е де ле ни е о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 18.Осно вные сво йства о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 19.Ф о р мула Нью то на -Ле йб ни ца . 20.З а ме на пе р е ме нно й в о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 16
21.И нте гр и р о ва ни е по ча стям в о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 22.В ычи сле ни е пло щ а де й с по мо щ ью о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 23.В ычи сле ни е дли ныдуги пло ско й кр и во й. 24.В ычи сле ни е о б ъе ма те ла с и зве стным по пе р е чным се че ни е м. 25.Об ъе м те ла вр а щ е ни я. 26.Не со б стве нные и нте гр а лыпе р во го р о да . 27.Не со б стве нные и нте гр а лывто р о го р о да . 28.Опр е де ле ни е функци и не ско льки х пе р е ме нных, е е ге о ме тр и че ски й смысл. 29.Об ла сть о пр е де ле ни я функци и не ско льки х пе р е ме нных. 30.Ли ни и ур о вня функци и двух пе р е ме нных, и х ге о ме тр и че ски й смысл. 31.Ч а стные пр о и зво дные пе р во го по р ядка . 32.Пр о и зво дна я по на пр а вле ни ю и гр а ди е нтфункци и не ско льки х пе р е ме нных, и х ге о ме тр и че ски й смысл. 33.Д и ффе р е нци а л функци и не ско льки х пе р е ме нных и е го пр и ме не ни е к пр и б ли ж е нным вычи сле ни ям. 34.Ч а стные пр о и зво дные высши х по р ядко в. 35.Э кстр е мум функци и не ско льки х пе р е ме нных. Не о б хо ди мо е усло ви е экстр е мума . 36.Д о ста то чно е усло ви е экстр е мума функци и двух пе р е ме нных. 37.Д и ффе р е нци а льные ур а вне ни я. Опр е де ле ни е по р ядка ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я, р е ше ни я, о б щ е го р е ше ни я и ча стно го р е ше ни я. 38.З а да ча К о ши . 39.Д и ффе р е нци а льные ур а вне ни я пе р во го по р ядка . Ур а вне ни я с р а зде ляю щ и ми ся пе р е ме нными . 40.Одно р о дные ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я пе р во го по р ядка . 41.Ли не йные ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я пе р во го по р ядка . 42.Пр о сте йши е случа и по ни ж е ни я по р ядка ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я. 43.Ли не йные ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я вто р о го по р ядка с по сто янными ко эффи ци е нта ми .
П олное иссле дование функции и построе ние графика 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
С хем а общ е го иссле дования функции: На йти о б ла сть о пр е де ле ни я функци и D( y ) . На йти о б ла сть зна че ни й функци и E ( y) (е сли это во змо ж но ), то чки пе р е се че ни я гр а фи ка функци и с о сями ко о р ди на т, уча стки зна ко по сто янства . Опр е де ли ть че тно сть и ли не че тно сть функци и . Опр е де ли ть пе р и о ди чно сть функци и . На йти ве р ти ка льные , на кло нные и ли го р и зо нта льные а си мпто ты. На йти кр и ти че ски е то чки пе р во го р о да . На йти кр и ти че ски е то чки вто р о го р о да . З а по лни ть та б ли цу и ссле до ва ни я. По р е зульта та м и ссле до ва ни я по стр о и ть гр а фи к функци и .
17
Пр и ме р 16. Пр о ве сти по лно е и ссле до ва ни е и по стр о и ть гр а фи к функци и x2 − 3 y= . x−2 Ре ше ни е . 1. Об ла сть о пр е де ле ни я D ( y ) = (− ∞; 2 ) ∪ ( 2; + ∞ ). 2. Пусть x = 0, то гда y = 1,5. Пусть y = 0, то гда x = ± 3 . Т о е сть то чки ( 0; 3/2 ) и ( ± 3 ; 0 ) – являю тся то чка ми пе р е се че ни я гр а фи ка функци и с о сями ко о р ди на т. Е сли x ∈ − ∞; − 3 ∪ 3; 2 , то y(x) < 0.
(
(
)
) (
)
Е сли x ∈ − 3; 3 ∪ ( 2; + ∞ ), то y(x) > 0. 3. Ф ункци я о б щ е го ви да , т. е . не являе тся ни че тно й, ни не че тно й. Д е йстви те ль-
( − x )2 − 3 x2 − 3 . y (− x ) = =−
Т о е сть y(-x) ≠ y(x) и y(-x)≠ - y(x). −x−2 x+2 4. Ф ункци я не являе тся пе р и о ди че ско й, та к ка к о на и ме е тто лько о дну то чку р а з р ыва . 5. а ) На йде м ве р ти ка льные а си мпто тыгр а фи ка функци и . В е р ти ка льные а си мпто тыб ыва ю тто лько в то чка х р а зр ыва вто р о го р о да . В на ше м случа е по до зр и те льно й являе тся то чка x = 2. На йде м о дно сто р о нни е пр е де лы: x2 − 3 + 1 x2 − 3 + 1 = = lim = (− ∞ ), lim = (+ ∞ ). x→2−0 x − 2 x→2+ 0 x − 2 −0 + 0 Сле до ва те льно , пр яма я ли ни я x = 2 – являе тся ве р ти ка льно й а си мпто то й. б ) Ур а вне ни я на кло нных (го р и зо нта льных) а си мпто тгр а фи ка функци и б уде м и ска ть в ви де : y=kx+b, где k и b о пр е де ляю тся по фо р мула м: y( x ) k1,2 = lim , b1,2 = lim ( y ( x ) − k ⋅ x ). Е сли x→+∞ мына хо ди м пр а вую x → ±∞ x x → ±∞ а си мпто ту, а е сли x→-∞ - ле вую . Пр и k = 0 и b ≠ ∞ мы по луча е м го р и зо нта льную а си мпто ту, пр и k ≠ 0 – на кло нную , а пр и k=∞ и ли b=∞ (и ли не сущ е ствую т) -а си мпто та о тсутствуе т. В на ше м случа е 3 1− 2 2 x −3 x −3 ∞ x 2 = 1, k1,2 = k = lim = = lim = lim 2 2 x → ∞ ( x − 2) ⋅ x x →∞ x − 2x ∞ x →∞ 1− x 3 2 2 2− x2 − 3 x − 3 − x + 2 x 2 x − 3 ∞ x = 2. b = lim = lim = = lim − 1 ⋅ x = lim 2 x→∞ x − 2 x →∞ x → ∞ x → ∞ x−2 x − 2 ∞ 1− x Т а ки м о б р а зо м, пр яма я y = x + 2 - являе тся на кло нно й а си мпто то й. 6. На йде м пе р вую пр о и зво дную функци и : ′ x 2 − 3 2 x ⋅ (x − 2) − x 2 − 3 2 x 2 − 4x − x 2 + 3 x 2 − 4 x + 3 = . y ′ = = = 2 2 2 x − 2 ( ) ( ) ( 2 ) x − 2 x − 2 x − но ,
(
)
18
1− 3 9−3 = 6. = 2, y( x2 ) = 1− 2 3−2 И та к, кр и ти че ски ми то чка ми 1-го р о да являю тся то чки x = 1 и x = 3. Т о чка x=2 кр и ти че ско й не являе тся, т. к. о на не пр и на дле ж и то б ла сти о пр е де ле ни я функци и . 7. На йде м вто р ую пр о и зво дную функци и : ′ x 2 − 4 x + 3 (2 x − 4 ) ⋅ ( x − 2 )2 − 2 ⋅ ( x − 2 ) ⋅ x 2 − 4 x + 3 = y ′′ = = 2 4 ( x − 2 ) ( x − 2 ) (2 x − 4 ) ⋅ ( x − 2 ) − 2 x 2 − 4 x + 3 = 2 x 2 − 8 x + 8 − 2 x 2 + 8 x − 3 = 2 ≠ 0. = ( x − 2 )3 ( x − 2 )3 (x − 2)3 К р и ти че ски х то че к вто р о го р о да функци я не и ме е т. 8. Со ста ви м та б ли цу и ссле до ва ни я функци и : y ′ = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = 3.
y( x1 ) =
(
(
)
)
x 1 ( 1; 2 ) (-∞; 1 ) + 0 y′(x) y″(x) y(x) В о зр а ста е т, max Уб ыва е т, выпукла я. y=2. выпукла я.
2 Не сущ . Не сущ . Не сущ .
9. Пр стр о и м гр а фи к функци и :
19
( 2; 3 ) 3 ( 3; ∞) 0 + + + + Уб ыва е т, min В о зр а ста е т, во гнута я. y=6. во гнута я.
Д ом аш няя контрольная работа № 1. Пр о ве сти по лно е и ссле до ва ни е и по стр о и ть гр а фи к сле дую щ и х функци й:
1. a) y =
9 , 2 x −9
b) y = e 2 x − x . 2
2. a ) y = x ⋅ ln x, 3. a) y =
4. a ) y
b) y =
x , x−4
1 = ex,
5. a) y = x ⋅ e
x2 2
,
x2 + 1 6. a) y = 2 , x −1
2 − x2
.
b ) y = ln(1 + x 2 ).
b) y =
−
2x
4x 4 + x2
b) y = x 2 +
.
1 x2
.
2
b) y = x ⋅ e − x .
7. a) y =
1 , x2 + 2x
b) y = x ⋅ e 2 x −1.
8. a) y =
x2 −1 , x2 + 2
b) y = ln( x 2 + 2 x + 2).
9. a) y =
1 − 2x , x −x−2
b) y = ( x + 4) ⋅ e 2 x .
2
3x 10. a ) y = 2 , 2x − 1
ex b) y = . x
11. a ) y =
x3 − 4 , 4x2
b) y = x 3 ⋅ e − x .
12. a ) y =
2 , x + x +1
b) y = x − ln x.
2
20
2
x + 1 13. a) y = , x − 1
b) y = x 2 ⋅ ln x.
14. a ) y = x − ln x,
b) y =
15. a) y
1 x + =e 2,
(
)
1 ex −1
( x − 1)2
b) y =
16. a ) y = ln 2 x 2 + 3 ,
17. a) y =
x
,
2 18. a) y = x 2 + , x
3x 2 1 + 2x2
.
.
b) y =
x 3 + 16 . x
b) y =
4 x3 + 5 . x
b) y = x ⋅ e − x .
19. a) y =
x 3 + , 3 x
b) y = ( x − 2) ⋅ e3 − x .
20. a ) y =
8 , x2 − 4
b ) y = ln
21. a ) y =
22. a) y =
23. a ) y = 24. a ) y =
2x
b) y =
,
x −9 2
2x − 1
(x − 1)
2
(
8 , 9 + x2 3 + 2x − x
x 3 − 32 25. a) y = , x2
ln x . x
)
b) y = ln x 2 − 4 .
,
4
1+ x . 1− x
b) y = x 2 ⋅ e − x .
, 2
b) y = ln
x . x −1
e 2( x +1) b) y = . x +1
21
26. a ) y =
x , 3 − 2x2
b) y = x ⋅ e − 3 x .
27. a ) y =
4 , 4 − x2
b) y = x ⋅ e x .
x2 + 1
28. a ) y =
x −2 2
1
29. a ) y = 30. a) y =
x 2 − 2x 3x , x −4 2
(
)
b) y = ln x 2 + 2 x − 2 .
,
,
b) y =
1 x e −3 .
(
)
b) y = ln x 2 + 5 .
Н е опре де ле нный инте грал Таблица инте гралов:
x n +1 + C (n ≠ −1), n +1 ax x 3. ∫ a ⋅ dx = + C, ln a 5. ∫ sin x ⋅ dx = − cos x + C , dx = tgx + C , 7. ∫ cos 2 x dx x = arcsin + C , 9. ∫ a a2 − x2 1. ∫ x n ⋅ dx =
11. ∫
dx a −x 2
2
=
1 a+x ⋅ ln + C, 2a a−x
2.
∫
dx = ln x + C , x
4. ∫ e x ⋅ dx = e x + C , 6. ∫ cos x ⋅ dx = sin x + C , dx 8. ∫ 2 = −ctgx + C , sin x dx x 1 = ⋅ arctg + C, 10. ∫ 2 a a + x2 a 12.
∫
dx x +a 2
= ln x + x 2 + a + C.
С войства не опре де ле нного инте грала:
1. 2.
∫ α ⋅ f ( x )dx = α ⋅ ∫ f ( x )dx, ∫ ( f ( x ) ± ϕ ( x )) ⋅ dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ ϕ ( x )dx. Ф орм ула инте грирования по частям :
∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du.
22
x3 ⋅ dx. Пр и ме р 17. На йти не о пр е де ле нный и нте гр а л ∫ cos 2 x 4 Ре ше ни е . Умно ж и м и р а зде ли м по дынте гр а льную функци ю на 4 и вне се м мно ж и те ль 4x3 по д зна к ди ффе р е нци а ла : x3 1 4 x3 1 dx 4 ∫ cos 2 x 4 ⋅ dx = 4 ⋅ ∫ cos 2 x 4 ⋅ dx = 4 ⋅ ∫ cos 2 x 4 = =
1 dt 1 1 tgt C ⋅∫ = ⋅ + = ⋅ tgx 4 + C. 2 4 cos t 4 4 x +1 ⋅ dx. x+4 x + 4 = t . То гда
Пр и ме р 18. На йти не о пр е де ле нный и нте гр а л Ре ше ни е . Пр о и зве де м за ме ну пе р е ме нно й
∫
∫
x +4=t x +1 (t − 4 )2 + 1 ⋅ 2 ⋅ (t − 4 ) ⋅ dt = ⋅ dx = x = (t − 4 )2 =∫ t x+4 dx = 2 ⋅ (t − 4 ) ⋅ dt
(t
)
− 4t + 17 ⋅ (t − 4 ) ⋅ dt t 3 − 4t 2 + 17t − 4t 2 + 16t − 20 = 2⋅∫ =2⋅∫ ⋅ dt = t t 20 t 3 − 8t 2 + 33t − 20 = 2⋅∫ ⋅ dt = 2 ∫ t 2 − 8t + 33 − ⋅ dt = 2 ⋅ ∫ t 2 ⋅ dt − t t 2
− 16 ⋅ ∫ t ⋅ dt + 66 ⋅ ∫ dt − 40 ⋅ ∫ =
2⋅
(
x+4 3
)3 − 16 ⋅ (
x+4 2
dt 2t 3 16t 2 = − + 66t − 40 ⋅ ln t + C = 3 2 t
)2 + 66 ⋅ (
)
x + 4 − 40 ln
(
)
x +4 +C =
3 2 2 = ⋅ x + 3x ⋅ 4 + 3 x ⋅ 16 + 64 + 8 ⋅ x + 8 x + 16 + 66 x + 264 − 3
(
− 40 ln
(
)
3
)
2 x + 4 + C = ⋅ x 2 + 16 x + 138 x − 40 ln 3 3
2 Отве т: ⋅ x 2 + 16 x + 138 x − 40 ln 3
(
(
)
x + 4 + C1 ,
)
x +4 +C.
Пр и ме р 19. На йти не о пр е де ле нный и нте гр а л ∫ x ⋅ e 3x dx . Ре ше ни е . В о спо льзуе мся фо р муло й и нте гр и р о ва ни я по ча стям. Д ля это го о б о зна чи м x че р е з u, а e2xdx че р е з dv:
23
3x ∫ x ⋅ e dx =
u=x
dv = e 3 x dx 3x
1 e du = dx v = ∫ e3 x dx = ⋅ ∫ e3 x d (3x ) = 3 3 3x 3x x⋅e 1 e = − ⋅ + C. 3 3 3
=
x ⋅ e3x 1 − ⋅ ∫ e 3 x dx = 3 3
О пре де ле нныйинте грал Пр и ме р 20. В ычи сли ть о пр е де ле нный и нте гр а л:
1 − 2x = t 0
Ре ше ни е :
∫
−4
1− t2 1 , dx = − dt x ⋅ dx 1 − t2 1 31− t2 = = −∫ ⋅dt = ∫ ⋅ dt = 2 21 t 1 − 2x 3 2t x = −4 ⇒ t = 9 = 3 x=
x = 0 ⇒ t = 1 =1 3 3 1 1 dt = ⋅ ∫ − ∫ t ⋅ dt = ⋅ ln t 2 2 1 t 1
3 1
t2 − 2
3
1
1 = ln 3 − 0 − 9 + 1 = ln 3 − 2. 2 4 4
Пр и ме р 21. В ычи сли ть о пр е де ле нный и нте гр а л:
π 4
∫ x ⋅ sin 3x ⋅ dx 0
π 4
u = x dv = sin 3xdx
π
1 Ре ше ни е . ∫ x ⋅ sin 3x ⋅ dx = = − ( x ⋅ cos 3x ) 04 + 1 3 du = dx v = − cos 3x 0 3 π 4
π
2π 1 3π 2π 2 1 π 3π 1 . + ∫ cos 3xdx = − cos + 0 + sin 3x 04 = + sin −0= + 24 18 9 24 9 4 30 12 4 Пр и ме р 22. В ычи сли ть пло щ а дь зе ме льно го уча стка , о гр а ни че нно го ли ни ями :
y = −3x 2 − 5 x + 8, y = x − 1, x = −2.
24
Ре ше ни е . По стр о и м да нные ли ни и в де ка р то во й си сте ме ко о р ди на т:
З е ме льный уча сто к и зо б р а ж е н за штр и хо ва нным. На йде м то чку А пе р е се че ни я па р а б о лыс пр ямо й y = x - 1. Д ля это го р е ши м си сте му: y = −3 x 2 − 5 x + 8, y = x − 1.
x − 1 = −3x 2 − 5 x + 8. ⇒ 3x 2 + 6 x − 9 = 0. ⇒ x 2 + 2 x − 3 = 0. ⇒ x1 = −3, x2 = 1. Т а ки м о б р а зо м, xB = −3, x A = 1. И ско мую пло щ а дь на йде м по фо р муле : b
S = ∫ ( f 2 ( x ) − f1 ( x )) ⋅ dx. a
S = ∫ (− 3x 1
−2
2
− 5 x + 8 − ( x − 1)) ⋅ dx = ∫ (− 3x 2 − 6 x + 9 )⋅ dx =
3x 3 6 x 2 = − − + 9 x 2 3
1
−2
1 −2
(
= − x − 3x + 9 x 3
2
)
25
1 −2
( )
= −1 − 3 + 9 − (8 − 12 − 18) = 27 е д 2 .
П рим е рныйвариант контрольнойработы № 2 1. На йти не о пр е де ле нный и нте гр а л:
∫
а)
arccos 2 xdx 1− x
2
,
б)
e
∫ x ⋅ ln x ⋅ dx,
г)
1
∫ 4
д)
∫ 1
( x + 1 )dx,
в)
∫ x sin 2 xdx,
( x − 2 )dx,
е)
∫ cos
x −1
x +5
3
x ⋅ sin 2 xdx.
2. С по мо щ ью о пр е де ле нно го и нте гр а ла вычи сли ть пло щ а дь зе ме льно го уча y = x 2 + 8 x − 7, стка , о гр а ни че нно го ли ни ями : y = x + 1.
Ф ункции не сколькихпе ре м е нных x πx + y ⋅ sin + 3 4 y в то чке y 4 М( 4; 2 ) и пр о и зво дную по на пр а вле ни ю ве кто р а l = ( 8;−6 ). Ре ше ни е . На йде м ча стные пр о и зво дные Пр и ме р 23. На йти гр а ди е нт функци и z = 3 ln
πx π 3 πy πx 3y 1 1 ⋅ ⋅ + y ⋅ cos ⋅ + 0 = + ⋅ cos , 4 4 2x 4 4 x y 2 x
z x′ = и
2
34 − 1 3y + sin πx + 3 4 ⋅ 1 ⋅ y 3 = − 3 + sin πx + . z y′ = ⋅ x ⋅− y2 2 3 4 3 4 y x 3⋅ y
В ычи сли м зна че ни я ча стных пр о и зво дных в то чке М:
z x′
3 π 3 π = + ⋅ cosπ = − ≈ −1,2. 8 2 M 8 2
z y′
34 3 3 1 7 = − + sin π + = − + 0 + = − ≈ −1,17. 2 2 3 6 M 3⋅3 4
Т а ки м о б р а зо м, гр а ди е нто м функци и б уде т ве кто р :
grad z = z x ′ ; z x ′ = (− 1,2; − 1,17 ). M M Пр о и зво дную по на пр а вле ни ю ве кто р а l на йде м по фо р муле : 26
∂z grad z ⋅ l = . ∂l l ∂z − 1,2 ⋅ 8 + (− 1,17 ) ⋅ (− 6 ) − 2,58 = = = −0,258. 10 ∂l 64 + 36
П рим е рныйвариант контрольнойработы № 3 1. На йти о б ла сть о пр е де ле ни я функци и z = ln( x-y ). 2. На йти ча стные пр о и зво дные функци и z = x3+2xy2+x2y-2 в то чке A(1; 2) и пр о и зво дную по на пр а вле ни ю ве кто р а l, и дущ е му о тто чки A к то чке B=(2; 1). 3. В ычи сли ть пр и б ли ж е нно , с по мо щ ью ди ффе р е нци а ла ( 0,98 )2⋅( 1,04 )2. 4. На йти все вто р ые ча стные пр о и зво дные функци и z = xy − y 2 . 5. На йти экстр е мумыфункци и z = 2x2- y2+xy-2x.
Д иффе ре нциальные уравне ния Пр и ме р 24. Ре ши ть за да чу К о ши : 2
y(0) = 0.
y′ + 2 xy − x ⋅ e − x = 0;
Ре ше ни е . 1) На йде м о б щ е е р е ше ни е ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я. Д а нно е ур а вне ни е пе р во го по р ядка являе тся ли не йным. Сле до ва те льно , пр о и зве де м сле дую щ ую за ме ну пе р е ме нно й: y ( x ) = u ( x ) ⋅ v( x ),
y ′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′.
Т о гда 2
2
u ′ ⋅ v + u ⋅ (v′ + 2 x ⋅ v ) − x ⋅ e − x = 0.
u ′ ⋅ v + u ⋅ v′ + 2 x ⋅ u ⋅ v − x ⋅ e − x = 0, и ли
По дб е р е м те пе р ь та кую функци ю v(x), что б ы v′+2xv=0. Т о е сть v(x) б уде м и ска ть ка к р е ше ни е ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я с р а зде ляю щ и ми ся пе р е ме нными : dv dv dv x2 = −2 xv, = −2 x ⋅ dx, = − 2 xdx , ln v = − 2 ⋅ + C. ∫v ∫ dx v 2 2
Пр и С = 0 по лучи м: ln| v | = -x2. Сле до ва те льно , v = e − x . Пр и та ко м выб о р е функци и v(x) и схо дно е ди ффе р е нци а льно е ур а вне ни е пр и ме т ви д: u ′ ⋅ e − x = x ⋅ e − x , и ли u ′( x ) = x. 2
2
27
x2 + C . Т а ки м о б р а зо м, Сле до ва те льно , u ( x ) = ∫ x ⋅ dx = 2 x2 2 y( x ) = u( x ) ⋅ v( x ) = + C ⋅ e− x . 2 2) Д ля р е ше ни я за да чи К о ши во спо льзуе мся на ча льным усло ви е м y(0)=0. Т о гда
C ⋅ e0 = 0. ⇒ C = 0. ⇒ y( x ) =
x2 − x2 ⋅e . 2
x2 − x2 Отве т: y ( x ) = ⋅e . 2
Л И ТЕР А ТУ Р А 1. К удр явце в В .А., Д е ми до ви ч Б.П. К р а тки й кур с высше й ма те ма ти ки . Ф и зма тги з, 1978. 2. М и но р ски й В .П. Сб о р ни к за да ч по высше й ма те ма ти ке : Уче б . по со б и е для втузо в. – 13-е и зд. – М .: На ука . Г л. р е д. фи з.-ма т ли т., 1987. – 352 с. 3. Ш и па че в В .С. Осно вывысше й ма те ма ти ки : Уче б . по со б и е для втузо в / По д р е д. а ка д. А.Н. Т и хо но ва .– 2-е и зд. сте р е о ти пно е – М .: В ысш. шк., 1994.– 352 с. 4. Ш и па че в В .С. Сб о р ни к за да ч по высше й ма те ма ти ке : Уче б . по со б и е ./ – М .: В ысш. шк., 1994.– 192 с.
Со ста ви те ль ст. пр е п. Уксусо в Се р ге й Ни ко ла е ви ч Ре да кто р Т и хо ми р о ва О.А.
28
