Контрольные работы по математическому анализу

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Центр Дистанционного Образования

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Для студентов заочного отделения экономических специальностей Методическая разработка

Нижний Новгород 2005 год

2 УДК 517 Контрольные работы по Математическому анализу для студентов заочного отделения экономических специальностей: Методическая разработка. / Сост. Е. Е. Манишина, Т. М. Митрякова. – Н. Новгород : ННГУ, 2005. – 34 c. В методической разработке содержатся задания по курсу «Математика», составленные в соответствии с программой по математике для студентов заочного отделения экономических специальностей ЦДО. Задания, входящие в методическую разработку могут быть использованы на практических занятиях, при проведении самостоятельных и контрольных работ, а также зачетов и экзаменов по данному курсу.

Составители: доцент кафедры довузовской подготовки подготовительного факультета Е. Е. Манишина, ассистент кафедры теории функций механикоматематического факультета Т. М. Митрякова Рецензент:

доцент кафедры теории функций механикоматематического факультета В. Н. Филиппов

© Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, 2005

3 СОДЕРЖАНИЕ 1. Тема – Предел функции

4

2. Тема – Производная функции

10

3. Тема – Исследование графика функции

14

4. Тема – Неопределенный интеграл

16

5. Тема – Определенный интеграл

22

6. Тема – Приложения определенного интеграла

26

7. Тема – Несобственные интегралы

30

8. Литература

33

4 ТЕМА – ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Определение. Число b называется пределом значений функции

y = f (x) , x ∈ X , в точке a , если для любой последовательности точек x n ∈ X ,

n = 1, 2,..., такой, что lim x n = a последователь-

{ f ( x n )}

ность

n →∞

значений

y = f (x)

функции

в

точках

x n , n = 1, 2,..., имеет своим пределом число b

lim f ( x n ) = b ,

n →∞

в этом случае пишут

lim f ( x) = b .

x→a

Приведенное определение включает и особые случаи, когда числа a и b будут заменены символами + ∞ и − ∞ :

lim f ( x) = +∞ , lim f ( x) = b , lim f ( x) = −∞ и т.д.

x →a

x → −∞

x → +∞

Одним из важнейших результатов является равенство lim

x →0

sin x = 1, x

которое носит название первого замечательного предела. А. Вычислить пределы : 1. lim

x →∞

2. lim

2 + x − 4x3 5 + x 2 + 3x 3 x 3 + 3x 2 + 2 x

x → −2

3. lim

x →∞

4. lim

x →5

x2 − x − 6

8 x 5 + 3x 3 + 2 4x 5 + 2x 3 − 3

x 2 − 3 x − 10 x 3 − 125

x 2 + 3x 4 − 5 x 6

5. lim

4 x + 5x 2 − 6x 6

x →∞

6. lim

x 3 − 3x − 2

x → −1

7. lim

x →∞

8. lim

x + x2

3x + 4 x 2 + 5 x 3 4 x − 5 x 2 − 3x 3 x 2 − 2x +1

x →1 2 x 2

− x −1

5

9. lim

x →∞

x 7 + 5 x 6 + 3x 5 4x 7 + 2x 5 − 4x 4 x 2 + 2x − 3

10. lim

x 3 + 27

x → −3

x + 3x 2 + 4 x 3

11. lim

2x 5 − 2x + 5

x →∞

x 2 + 2x +1

12. lim

x3 +1

x → −1

13. lim

x →∞

14. lim

15. lim

x →∞

2

3x − 6 x + 5 x 2 − 4x + 2 2

x − 2x

x→2

3 + 2x 2 − 7x 3 5 − 2x 2 + 4x 3

5 x 2 − 24 x − 5 x →5 x−5 2 4 1 3 2 x + x + x 2 5 17. lim 3 x →∞ 5 x 4 − 3 x 2 + 6

x 2 + 4x + 2 x 2 + 2x

x → −2 6

19. lim

x →∞

x8 + 4x 6 + x 5

21. lim

4x8 + 2x 5 − x 4

x →∞

x2 − x − 2

22. lim

x3 +1

x → −1 3

23. lim

24. lim

3

2 x 2 − 5 x − 12 x 3 − 64 3x 5 + 2 x 2 + 8

25. lim

26. lim

x →1

27. lim

5x 5 − 4x 2 + 3

x3 − x x3 − 1 34 x 5 + 24 x 2 − 4

x →∞

3

x 2 + 2x

x → −2

3

29. lim

x →∞

6

3

5 x5 − x2

x5 + x

x3 + 8

28. lim

30.

3

x + x2 + 5 x 5 x5 − 2 x

x→4

2 x2 + 3 x3 3

x 2 − 2x − 3

x →∞

16. lim

18. lim

x →3

x2 −9

x →∞

9 x 4 + 3x − 7 3

20. lim

lim

x →∞

3

x5 + 4 x2 + 5 x 3

5 x5 − 4 x + 3 33 x 2 + 73 x + 23 x 4 55 x 3 + 8 x

6 B. Вычислить пределы :

⎛ x3 x 2 ⎞⎟ − x → ∞⎜ 2 x 2 − 1 2 x + 1 ⎟ ⎝ ⎠

1. lim ⎜

13. lim ⎛⎜ x − x 2 − x + 1 ⎞⎟ x → +∞⎝

3 ⎞ ⎛ 2 − 2 ⎟ x → −4⎝ x + 4 x − 16 ⎠

6 ⎞ ⎛ 1 − 2 2. lim ⎜ ⎟ x →3⎝ x − 3 x − 9 ⎠

14. lim ⎜

3 ⎞ ⎛ 1 3. lim⎜ − ⎟ x →1⎝ 1 − x 1 − x 3 ⎠

15. lim ⎜

2 ⎞ ⎛ 1 4. lim ⎜ − 2 ⎟ x → 2⎝ x − 2 x −4⎠ 2 ⎞ ⎛ 1 − 2 5. lim⎜ ⎟ x →1⎝ x − 1 x − 1 ⎠ 4 ⎞ ⎛ 1 + 2 6. lim ⎜ ⎟ x → −2 ⎝ x + 2 x −4⎠ 7. lim ⎛⎜ x 2 + 3 x − x ⎞⎟ x → +∞⎝

⎠

5 ⎞ ⎛ 3 − ⎟ x → −1⎝ x + 1 x 3 + 1 ⎠

8. lim ⎜

4 ⎞ ⎛ 2 − 3 9. lim ⎜ ⎟ x → −3⎝ x + 3 x + 27 ⎠ 10. lim ⎛⎜ x − x 2 − a 2 ⎞⎟ x → +∞⎝ ⎠

⎛ x3 x 2 ⎞⎟ − x →∞⎜ x 2 + 1 x − 1 ⎟ ⎝ ⎠

11. lim ⎜

1 ⎞ ⎛ 4 − 2 12. lim ⎜ ⎟ x →5⎝ x − 5 x − 25 ⎠

⎠

5 ⎞ ⎛ 7 − 2 ⎟ x →8⎝ x − 8 x − 64 ⎠

16. lim ⎛⎜ x − x → +∞⎝

x 2 + 2 x ⎞⎟ ⎠

12 ⎞ ⎛ 1 − 3 ⎟ x → 2⎝ x − 2 x −8⎠

17. lim ⎜

18. lim ⎛⎜ x 2 + 1 − x 2 − 4 x ⎞⎟ x → −∞⎝

⎠

⎛ sin x

⎞ − tg 2 x ⎟ π ⎠ x → ⎝ cos x

19. lim ⎜

2

2

6 ⎞ ⎛ 1 − 2 ⎟ x → 4⎝ x − 4 x − 16 ⎠

20. lim ⎜

21. lim ⎛⎜ x 2 + 3 − x ⎞⎟ x → +∞⎝

⎠

⎛ x4 x 2 ⎞⎟ − x →∞⎜ x 3 − 3 x − 1 ⎟ ⎠ ⎝

22. lim ⎜

23. lim ⎛⎜ x 2 + x + 1 − x 2 − x ⎞⎟ x → +∞⎝

6 ⎞ ⎛ 1 − 2 ⎟ x − 4 x − 16 ⎠

24. lim ⎜ x → 4⎝

⎠

7 25. lim ⎛⎜ x − x 2 + 3 x + 5 ⎞⎟ x → +∞⎝

3 ⎞ ⎛ 8 − 2 ⎟ x → 6⎝ x − 6 x − 36 ⎠

26. lim ⎜

⎞ ⎛ x3 ⎟ 27. lim ⎜ x − ⎟ x →∞⎜ x 2 + 1 ⎠ ⎝

⎠

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 1 ⎟ 28. lim ⎜ − x →0⎜ sin 2 x 2 x⎟ 4 sin ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 29. lim ⎛⎜ x 2 + 2 x − 4 − x 2 + 3 x ⎞⎟

⎠

x → +∞⎝

⎛ 3x 2 (2 x − 1)(3 x 2 + x + 2) ⎞⎟ − ⎟ x → ∞⎜ 2 x + 1 4x 2 ⎝ ⎠

30. lim ⎜

C. Вычислить пределы, используя первый замечательный предел : 1. lim

x→0

2. lim

tg 5 x

tg 5 x x

9. lim

sin 3 x

10. lim ctg 5 x ⋅ x

x→0 sin 4 x

tg 7 x x→0 2 x

3. lim

sin 8 x x→0 sin 3 x

4. lim

sin 7 x 5. lim x → 0 3x

x→0 tg 6 x x→0

11. lim 3 x ⋅ ctg x→0

12. lim tg 3 x ⋅ ctg 4 x x→0

ctg 2 x x→0 ctg 7 x

13. lim

x sin 2 6. lim x→0 x

14. lim

5x x→0 tg 2 x

x→ 0

7. lim

9x x→0 sin 4 x

8. lim

x 2

x →0

15. lim 16. lim

tg 2 x 2

x ⋅ ctg 3 x sin 2 5 x 4x2 tg 5 x

x→0 tg 6 x

17. lim

x→0

1 − cos 2 3 x 5x 2

8 25. lim tg 5 x ⋅ ctg 7 x

7 x3

18. lim

x→0 1 − cos

2

4x

26. lim

sin 5 x 19. lim x→0 tg 7 x 20. lim

2x

x→0

tgx

x → 0 3x

2

⋅ ctg 4 x

sin 2 3 x x → 0 tg 5 x

2

tg 2

x→0

27. lim

x 3

sin 28. lim

tg 3 x x→0 4 x

21. lim

x→0

x 4

x2

29. lim ctg 6 x ⋅ x 2

ctg 6 x 22. lim x→0 ctg 3 x

x →0

2

1 − cos 2 x x→0 5x

23. lim

30. lim

2x2

x → 0 1 − cos 2 3 x

7x2 x→0 sin 3 x

24. lim

D. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя : 1. lim

x→0

4 x 3 − 3x 2

sin x

sin 3 x x→0 ln( x + 1)

6. lim

sin 5 x x→0 tg 6 x

7. lim

tg 3 x x→0 ln(1 + x )

8. lim

e x −1 x→0 sin 4 x

9. lim

2. lim

3. lim

4. lim

5. lim

x

x→0 e2x

sin 3 x x→0 x

x −1 x →1 ln x

10. lim

−1

tg 3 x x)

x→0 ln(1 +

x→0

1 − cos x x2

9

11. lim

x→0

tgx − sin x x − sin x

21. lim

x→0

12. lim

ln x x

22. lim

13. lim

tgx tg 3 x

23. lim

x→∞

π x→ 2

e2x − 1 x → 0 sin 3 x

sin 5 x x → 0 ln( x + 3)

ln x x→0 ctgx

24. lim

x − sin x x3

x→0

1 − cos ax x → 0 1 − cos bx

25. lim 26. lim

e ax − e bx 17. lim x→0 sin x

27. lim

x − arctgx x3

x→0

1 − tgx π x → cos 2 x

19. lim

x→0

20. lim

x →1 1 −

x3

−1

2 x − arctg 3x x3 + 2x 2

e x −1 x→0 sin 5 x

28. lim

x→0

29. lim

x→0

4

ln x

2x2

x →0 e3x

16. lim

18. lim

ln 3 x

x→0 ctg 4 x

14. lim

15. lim

sin 2 x 4x

1 − cos 3x 4x2 tgx − sin 2 x 4 x − sin 3 x

sin 2 30. lim

x→0

x2

x 4

10 ТЕМА – ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ Определение.. Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции Δy = f ( x + Δx) − f ( x) к вызвавшему его приращению аргумента Δx , при стремлении приращения аргумента к нулю :

f ( x + Δx) − f ( x) Δy = lim Δx →0 Δx →0 Δx Δx Если этот предел конечный, то функция y = f ( x) называется диффеlim

ренцируемой в точке x ; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке. Если же предел равен + ∞ или − ∞ , то будем говорить, что функция y = f ( x) имеет в точке x бесконечную производную, однако при дополнительном условии, что функция в этой точке непрерывна.

dy df ( x) , или . Наdx dx

Производная обозначается y ′ , или f ′( x) , или

хождение производной называется дифференцированием функции. A. Найти производные от функций : 1. y =

x4 − 3x 2 + 6 x − 2 4

2x5 3 2. y = − +x x 3 3. y = 4. y =

1 2 1 + 2− 3 x x 3x 1

x

+2 x

1 5. y = + 23 x − 23 x

( 7. y = (

6. y = x +

⎛ ⎝

3 3

)

2

a+ x

8. y = ⎜⎜1 − 9. y =

x

x

2

1 ⎞ ⎟⎟ 3 x⎠ −

)

2

2

5 4

x3

10. y = 2tgx − 3 cos x 11. y = 7 sin x + 5e x

11 12. y =

x + ctgx

23. y =

2 sin x −

5

13. y = ln x + 2 x 3 14. y = e x −

x 3

ex 5

−

ln x 3

4

18. y = x + ctgx 19. y = e x −

1 1 + ln x 2x 3

20. y = sin x −

2 3

24. y = 5 x + 33 x + 25 x 25. y = e x + cos x − sin x

x

cos x 15. y = 1 − 4 16. y = 2 sin x − 6tgx 17. y =

x

1⎞ ⎟ x⎠

⎛

1 ⎞ ⎟⎟ x⎠

27. y = ⎜⎜ 3 x +

⎝

28. y =

2

⎛ ⎝

26. y = ⎜ 2 x 2 +

2 3

x

+

3 4

x

5

2

+ x4

⎛ 1 1 ⎞ 29. y = ⎜ −4 ⎟ ⎜3 2 x ⎟⎠ ⎝ x 30. y = e x +

21. y = 3 x − 24 x 22. y =

ctgx 5

2

1 ln x + x 3

tgx + ln x 4

B. Найти производные от функций : 1. y = sin x ⋅ cos x 2. y = ( x 2 + x) ln x

6. y = (sin x − cos x )

2

7. y =

x −1 x +1

8. y =

x2 − 2x sin x

9. y =

cos x x+2

3. y = tgx ⋅ e x 4. y = ctgx ⋅ cos x

⎞ ⎛x + x⎟ ⎠ ⎝2

5. y = sin x ⋅ ⎜

12

10. y = 11. y = 12. y =

tgx

21. y =

x x

e − 3x 4 cos x

22. y = cos x ⋅ ⎜

x 2 + 3x − 1

23. y = sin x ⋅ tgx

(

15. y =

⎞ ⎛x + x2 ⎟ 3 ⎠ ⎝

2

x −1

13. y = sin x + e x 14. y =

24. y = ctgx ⋅ cos x

)

2

25. y = (3 x + 2) 2 e x

(x − 1)2

26. y =

ln x

18. y =

tgx + cos x

(

e x − 2 sin x x − cos x

28. y = 29. y =

tgx + cos x

30. y =

4

x sin x

)

2

e x − 2tgx x − ctgx sin x ⋅ e x x2

x 3

x3 − 2x

27. y = cos x + e x

ln x − 3x 16. y = tgx 17. y =

sin x − 4 x ctgx

ctgx ( x 2 − x)

19. y = ( x + 1) 2 e x 20. y =

2x − 3 4x2 + 1

C. Найти производные от сложных функций : 1. y = sin 3

3x 4

5. y = ctg 3 ( x − 2 x 2 ) 6. y = 3 sin 3 x

2

2. y = cos 5 x

7. y = ( x 2 − 3 x + 2)

3. y = sin 3 x ⋅ cos 5 x 4. y = (tg 3 x + cos 2 x )

2

13

8. y = 9. y =

20. y =

e 2 x − e −3 x

21. y = (tg 4 x + 3) 3

x +1 4

10. y = ln( x + 3 x − 2) 11. y = (sin 4 x + 1) 5 12. y =

13. y =

14. y = 15. y =

16. y =

3

(2 x − sin 3 x) 2

23. y = 24. y =

sin x + 1 25. y =

cos x − 1 2

x +1 ln(1 − 2 x) 7

27. y =

tg 2 x + 5 2

ln(3 x ) 1 − sin 2 x (x − x2 )

18. y = 4

ax − 1 1 + bx

ln x − 5 2x + 1

1 (1 + cos 2 x ) 3 ln 2 x + 1 sin(3 x) 1 3

(ln 2 x − tg 3x) 4

26. y = sin(3 x) ⋅ e 4 x

1 (1 + cos 4 x)

sin(3x + 1) cos 2 x

22. y =

1

17. y =

19. y =

sin(2 x − 1) cos x + 1

sin 5 x cos 4 x

28. y =

2 −3x

1 − 2x4 ln( x − x 2 )

tg 1 + 3 x 2 cos 5 x sin 2 x

29. y = 3 3 x e −3 30. y = ln(cos(3x 2 − 2 x))

14 ТЕМА - ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ Определение. Функция y = f (x) имеет экстремум ( максимум или минимум ) в точке x0 , если f ( x0 ) является наибольшим или наименьшим значением функции в некоторой двусторонней окрестности этой точки. Необходимое условие существования экстремума.. Функция

y = f (x) имеет экстремум в точке x0 , если первая производная функции y = f (x) в этой точке равна нулю y ′ = 0 или не существует. Достаточные условия существования экстремума.. Если функция

y = f (x) непрерывна в точке x0 и имеет в некоторой окрестности x0 кроме, может быть, самой точки x0 , конечную производную и если при переходе через x0 : •

y ′ меняет свой знак с + на -, то точка x0 - точка максимума ;

•

y ′ меняет свой знак с - на +, то точка x0 - точка минимума ;

•

y ′ не меняет знака, то экстремума нет.

A. Исследовать функции и построить графики : 1. y = 2. y = 3. y = 4. y =

x 1+ x

2

1 1− x

2

x x2 −1 x2

6. y =

7. y = x 2 + 8. y =

1 x2

x3 3 − x2

9. y ( x − 1) = x 3

x2 −1

5. y = 32 x 2 ( x 2 − 1) 3

1 + 4x2 x

10. y =

( x − 1) 2 ( x + 1) 3

15

11. y = 12. y =

2x −1 ( x − 1) 2 x3 2( x + 1) 2

13. y ( x 3 − 1) = x 4 14. y = ( x 2 − 1) 3 15. xy = ( x 2 − 1)( x − 2) 16. y =

3

x2 − x

17. y 3 = x 2 ( x 2 − 4) 3 18. y 2 = x 2 − x 4 19. y = x 1 − x 20. y =

3 − x2 x+2

21. у =

x 2 − 6 x + 13 x−3

22. y = 4 x −

x3 3

23. y = 1 − 3 ( x − 4) 2 24. y = x 2 (1 − x) 25. y =

x5 − x 4 + x3 5

26. y =

x ( x − 1)( x − 4)

27. y = x 3 ( x + 2) 2 28. y =

( x − 1) 2 ( x 2 + 1)

29. x 2 y 2 = 4( x − 1) 30. x 2 y 2 = ( x − 1)( x − 2)

16 ТЕМА - НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение. Функция

y = F (x) называется первообразной для

функции y = f (x) на некотором промежутке, если для всех значений

x из этого промежутка выполняется равенство F ′( x) = f ( x) .

∫ f ( x)dx

Определение. Неопределенным интегралом

называется

множество всех первообразных функций F ( x) + C для данной функции y = f (x) (где C - произвольная постоянная ) :

∫ f ( x)dx = F ( x) + C Отыскание неопределенного интеграла по данной подинтегральной функции или восстановление функции по ее производной называется интегрированием этой функции. Одним из приемов для интегрирования функций является метод, основанный на следующей формуле :

∫ udv = uv − ∫ vdu , где u = u (x) и v = v(x) - функции, имеющие непрерывные производные u ′(x) и v′(x) . Формула называется формулой интегрирования по частям неопределенного интеграла. A. Вычислить интегралы :

2⎞ ⎛ 2 ⎜ 2 x − 4 x + ⎟dx x⎠ ⎝

1.

∫

2.

∫(

3.

∫ ⎜⎝

⎛3

sin x + cos x

4.

∫

x + 2) 2 dx

5.

∫ cos

1⎞ x 2 − ⎟dx x⎠

6.

3 dx

∫

2

x

x3 + 2 x

dx

dx

17 7. 8.

9.

10.

11.

12. 13. 14. 15. 16.

17.

18.

∫( ∫

x + 3 x )dx

( x 2 − 1) 2

19.

dx

x3

⎛ 1 1 ⎜ + ⎜ x 4 3 x ⎝

⎞ ⎟dx ⎟ ⎠

∫

⎛ e−x e x ⎜1 − 2 ⎜ x ⎝

⎞ ⎟dx ⎟ ⎠

∫

⎛ e − x ⎞⎟ e x ⎜1 + dx ⎜ cos 2 x ⎟ ⎝ ⎠

∫

∫

3 − 2ctg x 2

cos x 3

∫

2 − cos 3 x

∫

∫ sin 2 x

23.

25.

2

∫

sin 2 x

(1 − x ) 3 4

x 3

26.

dx 27.

2

dx

( x − x) 4

28.

2

dx

x 2

⎛ x 1 ⎞⎟ ⎜ − ⎜ 2 3 x ⎟ dx ⎝ ⎠

29.

3

x2

3dx

∫

( x 2 − 9) 2

∫

(3 x 2 − 1) 2

∫

34 x − 24 x 3

∫

⎛ 5 3 ⎞ ⎜⎜ − 4 ⎟⎟ dx x⎠ ⎝ 2x

∫

⎛3 2 1 ⎞ ⎜⎜ x + ⎟⎟ dx x⎠ ⎝

∫

⎛ 1 − x 2 + 3x 3 ⎞ ⎜ ⎟dx ⎜ ⎟ x ⎝ ⎠

∫

⎛ 33 x + 2 x 5 ⎞ ⎜ ⎟dx ⎜ ⎟ x 4 ⎝ ⎠

∫

1 − sin 3 x

dx

cos 2 x

x 2 − 4 x3 + 4 x5

21.

24.

x 2 + 2 x − 3 ⎞⎟dx ⎠

4 − tg x

∫

dx

4

∫

22.

3 ⎞

2

20.

2

∫ ⎛⎜⎝ 5

∫

⎛1

∫ ⎜⎝ x + x 2 + x3 ⎟⎠dx

x4

x 3

3

dx dx

x

dx 2

2

sin 2 x

dx

dx

18 2

30.

∫

⎛ x + x3 ⎞ ⎜ ⎟ dx ⎜ x ⎟⎠ ⎝

B. Вычислить интегралы, используя замену переменной :

∫ (3x + 2) 2. e −3 x dx ∫

1.

3. 4.

∫

dx

∫ cos 2 4 x

∫ 6. ∫

∫

dx

5.

8. 9.

10.

11. 12.

dx

2x sin dx 3

dx 3x + 1

7.

4

13.

∫ 4 (7 x + 5) dx

14.

⎛ e −2 x e 2 x ⎜1 − 3 ⎜ x ⎝

17.

∫ sin 2 (6 x + 1) ∫

x⎞ ⎛ ⎜ e 3 x − e 2 ⎟dx ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫ ctg (3x)dx

∫ cos

dx 2

(2 − 9 x)

∫

3 x)dx

5 − sin 3 (4 x + 1) sin 2 (4 x + 1)

3 − tg 2

x 3 dx

18.

∫

19.

∫

20.

∫ tg (2 x − 1)dx

21.

∫ sin

22.

⎞ ⎟dx ⎟ ⎠

3 5 (5 x + 1) dx

∫ 16. (tgx + cos ∫

∫ 3 7 x + 5dx dx

∫

15.

3 − 5 x dx

4x + 3

3

∫

sin 2

x 3

2

3

⎛ 5x 1 ⎞ ⎜ + ⎟ dx ⎝ 2 3⎠

3dx 2

( 2 x − 1)

⎛ e 2 x + e −3 x ⎜ ⎜ 3 ⎝

⎞ ⎟dx ⎟ ⎠

dx

19

23.

∫

24.

∫

(7 x + 3)2 dx

5

dx ( 4 x + 1)

3

∫ (3x + 5 ) dx 26. ctg (5 x − 2)dx ∫ 27. sin( 4 x − 1)dx ∫ 25.

∫ 3 − 8x

29.

∫ (3 − 2 x)

30.

∫

4

3

dx

28.

4dx

6 5

7

⎛x ⎞ ⎜ + 2 ⎟ dx ⎝3 ⎠

C. Вычислить интегралы по частям :

∫ x sin xdx 2. x cos 2 xdx ∫ 3. xe 3 x dx ∫ 4. ( x − 4) sin 2 xdx ∫ 5. xe − x dx ∫

1.

x x sin dx 2

∫ 7. x cos(3 x − 1)dx ∫ 8. x sin 5 xdx ∫ 9. x e − x dx ∫

6.

2

2

2

∫ ln xdx 11. x ln( x − 1) dx ∫ 12. ( x + 3) sin xdx ∫ 13. ( x − 2) cos xdx ∫ 14. ( x − 5)e 2 x dx ∫ 15. x 2 sin( 2 − 5 x)dx ∫ 16. x 2 cos(4 x + 1)dx ∫ 17. ln( x 2 + 1)dx ∫ 18. x 2 ln(1 + x)dx ∫

10.

20

x

∫ x sin 2 dx 20. (3 x − 1)e − x dx ∫ 21. (2 − 4 x) sin 5 xdx ∫ 2

19.

2

xe −4 x dx 2

∫ 23. x cos(7 x + 5)dx ∫ 22.

24.

xdx

∫ cos

2

4x

25.

xdx

∫ sin

2

5x

∫ (2 x + 4)e dx 27. ( x − 3) cos 4 xdx ∫ 28. ( x + 4)e −2 x dx ∫ 29. ( x + 1) 2 e x dx ∫ 30. 7 x 2 sin 3 xdx ∫ 3x

26.

D. Вычислить интегралы от дробно-рациональных функций : 1.

x+2

∫x

2

dx

−9

8.

x2 − 4x + 1

2.

∫

3.

∫ ( x + 1)(2 x + 1) dx

4. 5.

x3 − 4x

dx

x

∫

2 x 2 + 41x − 91 dx ( x − 1)( x + 3)( x − 4)

∫x

x −3 2

− 16

dx

x2 + 4x

6.

∫ x 3 − 25x

7.

∫x

( x + 2) 2

−9

dx

dx

∫ 2x

x 2

− 3x − 2

x2 −1

9.

∫ 4 x 3 − x dx

10.

∫x

11. 12.

dx

∫x

x 4

− 3x 2 + 2 2x2 − 5

4

− 5x 2 + 6

dx dx

x 2 − 3x + 2

∫ x( x

2

+ 2 x + 1)

3 − x2

13.

∫ x( x 2 − 64) dx

14.

⎛ x + 2 ⎞ dx ⎟ ⎜ ⎝ x −1 ⎠ x

∫

2

dx

21

15. 16.

17. 18.

19.

20.

21. 22.

x3 + 1

∫x

3

dx

− x2

23.

∫

x2 −1 dx ( x − 3)( x + 2)

∫

x5 + x 4 − 8

x3 − x ( x + 1) 3

∫x

2

−x

3x 2

dx

dx

25.

∫x

3

dx

26.

∫x

2

5x3 + 2 x 2 − 4 x + 1

27.

∫ x 3 − 2 x 2 + x dx

28.

∫x

3

29.

∫x

4

30.

∫ ( x + a)( x + b)

x3 − 4x

dx

x2 + 2x − 6

∫ ( x 2 − 9)( x + 1) 2

∫ x( x + 3) ∫ ( x − 1)

∫

24.

∫

3x 2 + 2 x − 3

2

( x − 2)

x5 2

( x 2 − 1)

dx

x−4 dx ( x − 2)( x − 9)

∫x

2x + 7 2

+ x−2

dx

2

dx

− a3

dx

5x + 2 + 2 x + 10

dx

2x 2 − 5x + 1

7 x − 15 − 2 x 2 + 5x x +1 + 4x2 + 4 dx

dx

dx

22 ТЕМА - ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение. Определенным интегралом функции у = f (x) на интервале [a, b] называется число, которое может быть найдено по формуле Ньютона-Лейбница : b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) , a

где F (x) некоторая первообразная функции у = f (x) на интервале

[ a , b] . A. Вычислить интегралы : 9

1

1.

∫ (3x

2

− 2 x + 1)dx

7.

4

2

dx

∫x

8.

2

1

9.

3

π 2

8

∫ (cos x − 1)dx −

π 2

∫ 3(

x

)dx

dx 3

x2

⎛

2

+

2

− ax)dx

∫ ⎜⎝ x 1

x − x)dx

1 ⎞ ⎟dx x4 ⎠

a

2

1⎞ ⎛ 6. ⎜ x + ⎟ dx x⎠ ⎝ 1

∫

∫ 1

11.

1

2

10.

2

9

5.

∫ (1 + e 0

4

4.

x − 3 x )dx

3

dx

∫x

∫( 1

1

3.

x (1 + x )dx

4

0

2.

∫

12.

∫ (x 0

23 8

⎛3 13. ⎜ x 2 + ⎜ 1⎝

∫

3

1 ⎞⎟ dx ⎟ x2 ⎠

3

22.

0

1

4

14.

∫

∫ (1 +

2

x ) dx

23.

π

16.

∫ 0

∫1

π 6

π 4

dx

∫ cos

2

2x

24.

25.

dx

∫

3

0

26.

(3x + 8) 4

∫0

1 + x dx

2a

19.

∫ a

∫ 2

1

2ax

(3 − x) 4

π 3

21.

∫ 0

28.

dx 5

dx

∫π sin 2 3x 9

dx

−13

20.

27.

dx

∫0 4x + 1 π 6

1

2 − x 2 dx

∫0 sin 4 xdx 1

1

18.

4 − x2 2

(sin x + 3) dx

π 8

17.

dx

∫ 0

0

15.

x 3 e dx

sin 3 xdx

∫0

dx (1 + 3 x) 3

8

29.

∫3 4⎛

1 + x dx

x ⎞ − ⎜ 4 30. e − 2e 2 x ⎟dx ⎜ ⎟ ⎠ 0⎝

∫

24 B. Вычислить интегралы по частям и от дробно-рациональных функций : π

1

1.

∫0

xe − x dx

3

2.

∫2 2 x 2 + 3x − 2 π 3

3.

dx

9.

e−3

10.

xdx

∫π sin 2 x 2

5.

6.

7.

dx

∫1 x 2 − 7x + 12

11.

12.

2

14.

dx

∫1 x 2 − 4x − 5 xdx

dx

∫1 x 2 − 3x − 4

x

xe 2 dx dx

∫1 6 x 2 − x − 1 3

π 2

4

8.

∫0 1

15.

dx

∫1 3x 2 + x − 2 2

∫π cos 2 x 3

xdx

∫0 sin 2 2 x 4

13.

∫0 ln( x + 1)dx

dx

∫0 x 2 + 6x + 5 π 8

e−1

π 3

∫0 ln( x + 3)dx

1

4

4.

∫0 x sin xdx

16.

∫0 x cos xdx 2

17.

dx

∫1 x 2 − 2x − 3

25 π

18.

∫0 x

5

2

sin xdx

1

19.

dx

∫0 3x 2 + 10 x + 3

25.

e−4

26.

4

20.

∫2 x e 3

21.

dx

27.

dx

∫2 x 2 + 8x + 7 π 2

22.

23.

∫2

2x 2 + 5x x3 − 9x

e−5

24.

2x +1

∫1 4 x 2 + 3x − 1 dx 4π

28.

x

∫2π( x + 1) cos 4 dx 2

∫0 x sin 2 xdx 4

∫0 ln( x + 4)dx

3

2 −2 x

dx

∫2 3x 2 + 6 x + 3

dx

∫0 ln( x + 5)dx

29.

3

30.

dx

∫1 ( x + 1)( x + 2)( x + 3) dx

∫2 x 2 + 2x + 1

26 ТЕМА – ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = y (x) , осью x2

ОХ и прямыми x = x1 и x = x2 , равна

S=

∫ y( x)dx

x1

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции x = x( y ) , осью y2

ОУ и прямыми y = y1 и y = y 2 , равна

S=

∫ x( y)dy

y1

Объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиком функции y = y (x) , осью ОХ и прямыми x = x1 и x = x2 , равен x2

∫ πy

V=

2

( x)dx

x1

Объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиком функции x = x( y ) , осью ОУ и прямыми y = y1 и y = y 2 , равен y2

∫ πx

V=

2

( y )dy

y1

A. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями : 1. y = − x 2 + 4,

y=0

2. x = − y 2 + 3,

x=0

3. xy = 4,

x = 1,

4. y = x 2 + 2, 5. y = sin x, 6. x + 5 = y 2 ,

x = 4,

y=0

x = −1, x = 2, x = 0,

x=0

x = π,

y=0

y=0

27 7. y 2 = 2 x + 1,

x − y −1= 0

8. xy = 7,

y =8− x

9. y = x 2 ,

y = 2− x

10. y = 4 − x 2 ,

y = x+2

11. x = y 2 − 4,

y = −x − 2

12. xy = 4,

y = 5− x

13. y = x 2 ,

y − 2 − x2

14. y 2 = 2 x + 4, 15. y 2 = x 3 , 16. xy = 6,

x=0

y = 8, x = 0 y = x − 1,

x = 6,

17. x = 4 − y 2 ,

y=x−2

18. y = 6 x − x 2 ,

y=0

19. y = x 2 + 2, 20. xy = 5,

y = 4 − x,

x = 2,

x = 5,

21. y = x 2 + 2,

y = 4 − x,

22. y =

x = 0,

x + 1,

23. y = x 2 + 1, 24. x = y 2 ,

x = 4,

y=0

25. y = x 3 ,

x = 2,

y=0

26. y 2 = 4 x, 27. y = x 2 − 3,

x = 6, x=4

y = x + 4, y=0 y=x+4

x = 3,

y=5

y=0

y=0

y=0

y=0

28 28. xy = 6,

y=7− x

29. x = 4 − y 2 ,

y=2−x π x=− , 2

29. y = cos x,

30. y = x 2 + 4 x,

x=

π , 2

y=0

y=x+4

B. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями : 1. y = − x 2 + 4,

y = 0,

2. x = − y 2 + 5,

x = 0, x = 4 вокруг оси ОХ

3. xy = 3,

x = 1,

4. y = x 2 ,

x = −4,

5. y = x 2 + 1, 6. xy = 4,

x = 3,

x = 1,

9. ( y − 1) 2 = x, 10. y = cos x,

y = 7 вокруг оси ОУ

x = 4,

7. y 2 = ( x + 4) 3 ,

y = 0 вокруг оси ОХ

x = 0 вокруг оси ОХ

y = 1,

8. y 2 = 4 − x,

y = 3 вокруг оси ОУ

y = 0 вокруг оси ОХ

x = 0 вокруг оси ОУ

x = 0 вокруг оси ОУ x = 0,

y = 2 вокруг оси ОХ

y = −1 вокруг прямой y = −1 при − π ≤ x ≤ π

11. y = x − x ,

x = −4,

y = 0 вокруг оси ОУ

y = 0 вокруг оси ОХ при 0 ≤ x ≤ π

12. y = sin x, 13. y = x 2 ,

x = 7,

y = 0 вокруг оси ОХ

14. y = x 3 ,

x = 0,

y = 8 вокруг оси ОУ

15. x 2 − y 2 = 1,

x = ±2 вокруг оси ОХ

29 16. y = x 2 ,

y = 4 вокруг прямой x = 2

17. ( y − 3) 2 + 3x = 0,

x = −3 вокруг оси ОХ

18. x = y 2 ,

x = 1,

y = 0 вокруг оси ОХ

19. xy = 2,

x = 1,

x = 2,

20. y = x 3 ,

x = 2,

y = 0 вокруг оси ОХ

21. y = x 2 ,

x = 2,

y = 0 вокруг оси ОХ

22. y = e x ,

x = 0,

x = 3,

23. x 2 − y 2 = 4, 24. y = sin x, 25. y = x 3 ,

y = 0 вокруг оси ОХ

y = 0 вокруг оси ОХ

y = ±2 вокруг оси ОУ

x = 0,

y = −2,

x=

π , 2

y = 0 вокруг оси ОУ

y = 2 вокруг оси ОУ

26. x = 4 − y 2 ,

x = 0 вокруг оси ОХ

27. y = x 2 − 5,

y = −2 вокруг оси ОУ

28. y =

x,

x = 0,

29. y = e x ,

x = 1,

30. x = y 3 ,

x = −2,

y = 3 вокруг оси ОУ x = 7,

y = 0 вокруг оси ОХ

x = 3 вокруг оси ОХ

30 ТЕМА – НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Определение. Несобственным интегралом от функции y = f ( x) , определенной на промежутке [a,+∞) и интегрируемой по любому отb

резку [a, b] называется предел интеграла

∫ f ( x)dx при b → +∞ : a

+∞

∫

b

f ( x)dx = lim

b→+∞

a

∫ f ( x)dx . a

b

Если существует конечный предел lim

b→+∞

∫ f ( x)dx , то несобственный a

+∞

интеграл

∫ f ( x)dx называется сходящимся, если же предел не сущеa

ствует или он бесконечный, то интеграл называется расходящимся. b

Аналогично определяется интеграл

∫ f ( x)dx , а именно

−∞ b

∫

b

f ( x)dx = lim

a→−∞

−∞

∫ f ( x)dx . a

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется следующим образом : +∞

с

+∞

−∞

−∞

с

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ,

где с – любое действительное число.

31 A. Вычислить интегралы или определить их расходимость : +∞

1.

+∞

dx

∫x

11.

2

1

+∞

2.

1

+∞

3.

4.

12.

+∞

13.

5

1

∫

+∞

e − x dx

15.

cos xdx

0

16.

x

∫x

+∞

∫

17.

∫ xe

+x −x

dx

2

∫xe 2

−

x 2 dx

0

dx + 2x − 3

+∞

18.

dx

∫ x ln

2

e

3

x 2 e − 2 x dx

1

∫

15

+∞

19.

∫ 0

+∞

10.

dx 2

+∞

∫−∞e dx 4

9.

dx

1

+∞

8.

∫x

+∞

0

7.

2x

1

+∞

∫

∫e 0

0

6.

ln xdx x

+∞

14.

+∞

5.

∫

e2

dx

∫x

∫ sin 2 xdx 0

x

1

+∞

x

+∞

dx

∫

dx 3

1

dx x

∫

∫

dx 3

( 2 x − 3) 4

2

x

xe − x dx

32 +∞

20.

∫

14

+∞

dx 4

( x + 2)

5

26.

21.

∫e

22.

∫x

dx

27.

5

+∞

23.

∫ 2

+∞

24.

∫x 1

+∞

25.

dx − 6x + 8 dx 4x + 1

dx

ln x

∫ cos 3xdx π 2

∫

10

2

− 4x + 4

+∞

0

+∞

dx 2

4

+∞

−5 x

∫x

1

28.

∫−∞e

dx

(3x − 5) 3 4 x +1

+∞

29.

∫ 4x 0

dx dx

2

+ 4x + 1

+∞

30.

∫ (3x + 2) 0

6

dx

33 ЛИТЕРАТУРА 1. 2. 3.

4.

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1985. – 383 с. Бугров Я. С., Никольский С. М. Сборник задач по высшей математике. – М.: Физматлит, 2001. - 304 с. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. – М.: Высшая школа, 1999. - 304 с. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 2. – М.: Высшая школа, 1999. - 416 с. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть 1. – М.: Наука, 1998. – 616 с. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть 2. – М.: Наука, 1998. – 448 с. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1. – М.: Физматлит, 2002. - 400 с. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 2. – М.: Физматлит, 2002. - 424 с. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1971. - 352 с. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1. – М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 416 с. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. – М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 544 с. Сахарников Н. А. Высшая математика. Л.: изд-во Ленинградского ун-та, 1973. – 472 с. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 1. – СПб.: Лань, 2002. – 448 с. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 2. – СПб.: Лань, 2002. – 464 с.

34 15. 16.

Шипачев В. С. Математический анализ. – М.: Высшая школа, 1999. – 176 с. Шипачев В. С. Сборник задач по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2004. – 304 с.

35

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для студентов заочного отделения экономических специальностей Методическая разработка

Составители : доцент кафедры довузовской подготовки подготовительного факультета Е. Е. Манишина, ассистент кафедры теории функций механикоматематического факультета Т. М. Митрякова

___________________________________________ Подписано к печати

.

Печать офсетная. Бумага оберточная. Тираж 300 экз. Заказ

Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л.

.

Бесплатно.

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского. 603600, ГСП-20, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23.

Типография ННГУ, 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.