Министерство образования Российской федерации Воронежский государственный университет
Преобразование Лапласа. Свойства и применения пособие по специальному курсу для студентов по специальностям 010100 - математика и 510100 - математика
Воронеж 2004
2
Утверждено научно-методическим советом математического факультета 18 марта 2004 года Протокол № 8
Составители: Глушко А.В., Глушко В.П. Пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского госуниверситета Рекомендуется для студентов 3-6 курсов математического факультета всех форм обучения
3
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие написано на основе курсов лекций, прочитанных для студентов математического факультета в 2001-2003 годах. В первой лекции курса изучаются основные свойства преобразования Лапласа. Во второй лекции вычисляются преобразования Лапласа основных элементарных функций и вводится обратное преобразование Лапласа. В третьей лекции на основе первой и второй теорем разложения проводится вычисление обратного преобразования Лапласа для ряда функций. Примеры решения задач для уравнений с частными производными с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа приводятся в четвертой лекции курса. Наконец, заключительный раздел пособия содержит примеры двух заданий, которые обычно предлагаются студентам, прослушавших данных курс, для контроля усвоения материала. Здесь же приводятся решения предлагаемых заданий с соответствующими пояснениями. При изложении материала и решении заданий широко используется пакет символьных программ Mathematica. Комментарии к используемым командам пакета Mathematica можно найти в справочных изданиях, указанных в конце пособия в списке рекомендуемой литературы. Мы не затрагиваем в этом курсе вопросы, связанные с преобразованием Лапласа обобщенных функций. Читателю, интересующемуся этой проблемой, рекомендуем обратиться к книге В.С.Владимирова (см. список рекомендуемой литературы).
4
Лекция 1 1. Определение преобразования Лапласа. Оригинал и изображение. Пусть f@tD -интегрируемая на (0,T) при любом T>0 функция, равная нулю при t>0: f@tD =0 при t<0. Если эта функция при t>0 удовлетворяет оценке » f@tD » ≤ C
α t,
C > 0, α ≥ 0 , t > 0,
(1.1)
то можно рассмотреть интеграл F[p]=‡
∞
−p t
f@tD
t, p = σ +
ξ, σ > α, ξ ∈ R
Действительно, справедлива оценка »F[p]»≤‡
∞
0
(1.2)
0
» f@tD » ≤СŸ0
∞
−σ t
t = Ÿ0 » f@tD
−Hσ−αL t
∞
t=
С Hσ−αL
−α t
»
−Hσ−αL t
<∞
t≤ (1.3)
При выводе (1.3) была использована оценка (1.1). Из оценки (1.3), в частности, следует, что »F[p]»Ø0 s=Repض. Функция F[p] является аналитической функцией комплесной переменной p в полуплоскости Rep>a. Для того чтобы это проверить, находим пока формально F p
=‡
∞
0
f@tD H−tL
−p t
t
(1.4)
Как и при выводе (1.3), находим
» F @pD »≤ p ∞ ∞ Ÿ0 » f@tD −α t » t −Hσ−αL t t≤СŸ0 t −Hσ−αL t t= −С С −Hσ−αL t ) »∞ − ∞ −Hσ−αL t t)= Ÿ0 0 Hσ−αL (t Hσ−αL2
−С Hσ−αL
Ÿ0 t ∂t ∞
−Hσ−αL t
t
Последнее означает, что интеграл равномерно по Rep>a сходится и, „ F@ pD следовательно, производная ÅÅÅÅÅÅÅÅ „ ÅpÅÅÅÅÅÅÅ существует при Rep>a, и формула (1.4) справедлива при Rep>a. Интеграл (1.2) называется преобразование Лапласа функции f[t] и обозначается L[f]. В этом случае функция f[t] называется оригиналом, а функция L[f]=F[p] -изображением. Преобразование Лапласа можно связать с преобразованием Фурье. Действительно, из (1.2) имеем L[f][p]=‡ Ÿ−∞ g@tD ∞
∞
f@tD
0 − ξt
t,
−Hσ+ ξL t
t = Ÿ0 Hf@tD ∞
−σ t
L
− ξt
t=
5
где g[t]= f @tD ‰ -s t при t¥0 и g[t]=0 при t<0 ( преобразование Фурье берётся со знаком -). В дальнейшем все приводимые в тексте примеры будут отмечаться знаком "à". ‡ Найти преобразование Лапласа функции Хэвисайда q[t]=1 при t¥0 и q[t]=0 при t<0. Заметим, что оценка (1.1) для функции Хэвисайда q[t] выполняется при С=1 и a=0. Следовательно, преобразование Лапласа функции Хэвисайда существует и является аналитической функцией при Rep>0. L[θ][p]=‡ θ@tD ∞
−p t
0
t = Ÿ0
∞ −p t
t=
1 p
В пакете Mathematica функции Хэвисайда q[t] обозначается UnitStep[t]
Plot@UnitStep@tD, 8t, −10, 10
-5
5
10
Для нахождения преобразования Лапласа функции f[t] используется командa LaplaceTransform[f[t],t,p]. Здесь через t обозначается аргумент оригинала, через p -аргумент изображения. Найдём, например, преобразование Лапласа функции Хэвисайда LaplaceTransform@UnitStep@tD, t, pD 1 p
2. Свойства преобразования Лапласа L 2.1. Линейность L[λ1f1+λ2f2]=λ1L[f1]+λ2L[f2], λ1=const., λ2=const. В силу свойств интеграла L[λ1f1+λ2f2]=‡ λ2 ‡
∞
f2@tD 0
∞
Hλ1f1@tD + λ2f2@tDL
0 −p t
t =λ1L[f1]+λ2L[f2]
−p t
t =λ1‡
∞
f1@tD 0
−p t
t+
6
2.2. Дифференцирование изображения =‡
mF
pm
∞ 0
f@tD H−tLm
−p t
t, m=1,2,...; Rep>α
Для m=1 свойство 2.2 уже установлено. Для любого m свойство доказывается аналогично. 2.3. Преобразование Лапласа производных L@f HmL @tDD = p m L@fD@pD − Hp m−1 f@+0D + p m−2 f H1L @+0D + ... + f Hm−1L @+0DL ∞ ƒ ƒ ƒ ∞ ƒ − ƒ ‡ f@tD ∂t 0 ƒ ƒ ƒ 0
Для m=1 с помощью интегрирования по частям находим
L@f H1L @tDD = ‡ f H1L @tD ∞
p‡
−p t
t = f@tD
−p t
0
∞
−p t
f@tD
−p t
t=
t − f@+0D = p L@fD − f@+0D
0
При этом мы учли, что выполняются оценки
»f@tD
−p t »=»f@tD
σ > α и t→∞.
»
−σ t =»f@tD
−α t
»
−Hσ−αL t
≤С
−Hσ−αL t
→ 0 при
Для любого m свойство 2.3 устанавливается по
индукции. 2.4. Сдвиг преобразование Лапласа L@fD@p − p0 D =L@f
p0 t D@pD,
Rep>α+Rep0
Доказательство свойства 2.4. очевидно. 2.5. Преобразование Лапласа и преобразование подобия При любом k>0 спрведливо тождество L@f@ktDD@pD = L@f@k tDD@pD = ‡ f@k tD ∞
−p t
1 k
L@f@tDD@
t=
0
1 k
‡
p k
D
∞
f@τD
−p
τ k
0
τ=
1 k
L@f@tDD@
2.6. Сдвиг оригинала в преобразовании Лапласа L@f@t − t0 DD@pD = L@f@tDD@pD ∗ L@f@t − t0 DD@pD = ‡ f@t − t0 D ∞
t0
−p t
t=‡
∞
f@τD
−p t0 ,
−p τ−p t0
t0 > 0 τ = L@f@tDD@pD ∗
0
à Найти преобразование Лапласа функции Хэвисайда q[t-2].
−p t0
p k
D
7
LaplaceTransform@UnitStep@t − 2D, t, pD −2 p
p
2.7. Интегрирование оригинала в преобразовании Лапласа
LA‡
t
0
1 f@τD τE@pD = p L@f@tDD@pD
Доказательство. Обозначим g[t]=‡
t
f@τD τ
Очевидно, что g '@tD = f @tD и g@+ 0D = 0. Поэтому с помощью интегрирования по частям находим L@fD@pD = ‡ g '@tD ∞
0
g@tD
−p t
−p t
0
t=
∞ ƒ ƒ ƒ ∞ ƒ − ƒ ‡ g@tD ∂t 0 ƒ ƒ ƒ 0
−p t
t = p ‡ g@tD ∞
−p t
t = p L@g@tDD@pD
При этом мы учли, что g@+ 0D = 0 и в силу условия H1.1L 0
t t ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ −p t ƒ −σ t ατ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ g@tD ≤ ƒ ≤C‡ τ −σ t = ‡ f@τD τ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ 0 ƒ ƒ ƒ 0 ƒ C H α t − 1L −σ t ≤ α C −Hσ−αL t → 0 при t → ∞, σ − α > 0, α > 0 α t ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ −p t ƒ −σ t ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ g@tD ≤ f@τD τ ≤ C t −σ t → 0 при t → ∞, ‡ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ 0 ƒ σ > 0, α = 0
Отсюда находим LA‡
t
1 f@τD τE@pD = L@g@tDD@pD = p L@f@tDD@pD
2.8. Преобразование Лапласа от дроби f@tD ê t 0
L@f@tD ê tD@pD = ‡ F@zD z, F@zD = L@fD@zD ∞
Доказательство. Обозначив F@pD = L@f@tD ê tD@pD, найдём ∑p F@pD = L@H-tL f @tD ê tD@pD = -L@f @tDD@pD = - F@pD . Последнее равенство проинтегрируем по любому пути от p до любой точки z = Rez = ¶ p
Φ@pD − Φ@∞D = ‡
∞
F@zD
z
Учитывая, что в силу H1.3L F@¶D = 0, получаем требуемое свойство 2.8 p
8
2.9. Преобразование Лапласа свёртки f * g. L@f@tD ∗ gD@pD = L@f@tDD@pD L@gD@pD,
где Hf ∗ gL@tD = ‡
Доказательство. Обозначим ψ@tD = ‡
t
f@t − τD ∗ g@τD
τ
0
t
f@t − τD ∗ g@τD
τ
0
Очевидно, что y@tD = 0 при t < 0, и справедлива оценка при t Ø ¶ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ψ@tD ƒ ƒ ƒ ƒ
t ƒ ƒ ƒ 2 ƒ ƒ ≤C ‡ ƒ ƒ ƒ 0 ƒ
α Ht−τL
ατ
∗
2
τ=C t
αt
Hα+∂L t
C2
≤
∂
при любом ¶ > 0. Для доказательства последнего неравенства мы использовали также оценку 1 t ‰ -¶ t § max t ‰ -¶ t = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ‰ ¶ÅÅ . Отсюда при Rep > a + ¶ 0§t<¶ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ L@ψ@tDD@pD ƒ ƒ ƒ C2
ƒ ∞ ƒ ƒ ƒ ƒ ≤ ƒ ‡ ƒ ƒ 0 ƒ
∂ Hσ − α − ∂L
ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ψ@tD ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ
‡
t=‡
−p t
ψ@tD
0
∞
0
‡
∞
i j j‡ f@t − τD k τ
∞
∞ 0
t≤
C2 ∂
‡
∞
−Hσ −α−∂L t
−p t
i j j‡ f@sD k 0 ∞
∞
‡
t
f@t − τD ∗ g@τD τ
z ty z ∗ g@τD {
0
t=
0
z sy z ∗ g@τD {
−p s
−p t
τ= −p τ
τ = L@f@tDD@pD L@gD@pD
Здесь мы воспользовались теоремой Фубини и поменяли порядок интегрирования. Лекция 2 3. Вычисление преобразования Лапласа основных функций 3.1. f@tD =
λt
. Rep > Reλ, λεÂ
L@f@tDD@pD = ‡
∞
λt
∗
−p t
0
t=‡
3.2.f@tD = Sin@ω tD, ωεℜ
По формулам Эйлера имеем Sin@ω tD =
t=
0
, σ −α−∂>0
Таким образом, при Rep > a Ψ@pD = ‡
−σ t
1 2
H
ωt
−
− ωt
L
∞ 0
−Hp−λL t
t=
1 p−λ
9
Поэтому с помощью 3.1. L@Sin@ω tDD@pD = HL@
1 2
ωt
D@pD − L@
1 1 i j − j p+ ω k p− ω
1 2
L@Sin@ω tDD@pD =
− ωt
D@pDL =
ω y z z= 2 p + ω2 { ω
p2 + ω2
3.3.f@tD = Cos@ω tD, ωεℜ L@Cos@ω tDD@pD =
p p2 + ω2
Доказательство аналогично. 3.4.f@tD = Sinh@ω tD, ωεℜ
По определению гиперболических функций Sinh@w tD = H‰ - ‰ -w t L ê 2. Поэтому wt
L@Sinh@ω tDD@pD =
1 2
HL@
ωt
D@pD − L@
−ω t
D@pDL =
1 i 1 1 j − j 2 k p−ω p+ω
ω y z z= 2 p − ω2 {
ω p2 − ω2
L@Sinh@ω tDD@pD =
3.5.f@tD = Cosh@ω tD, ωεℜ p L@Cosh@ω tDD@pD = p2 − ω2
Доказательство аналогично. 3.6. f@tD = tm
λt
. Rep > Reλ, λεÂ, m = 1, 2, ...
По свойству 2.2 имеем L@f@tDD@pD = ‡
H−1L ‡
∞
m
0
H−tL
m
∞
tm
λt
0
λt
∗
−p t
∗
−p t
t=
t = H−1L
m m
pm
L@
λt
D@pD =
1 y m! i j z j z= k p−λ { Hp − λLm+1 m! L@f@tDD@pD = Hp − λLm m! В частности, L@tmD = ÅÅÅÅpÅmÅÅÅÅÅ Hl = 0L. 3.7. f@tD = tm Sin@ω tD. Rep > 0, ωεℜ, m = 1, 2, ... f@tD = tm Cos@ω tD. Rep > 0, ωεℜ, m = 1, 2, ...
H−1L
m
m
pm
Как и в примере 3.6., находим для функции g@tD = tm ‰ Â
wt
10
L@g@tDD@pD = H−1L
H−1L
m
L@H−tL
m
ω t
D@pD = H−1L
m m
pm
L@
ω t
D@pD =
m m
pm
p i j + j pm k p2 + ω2
H−1Lm H−1L
L@Cos@ω tD +
Sin@ω tDD@pD =
m
1 i j j pm k p − ω m
m
ω p2
+
ω2
y z z= {
1 Hp + ωLm+1 y z = m! z = m! m+1 { Hp2 + ω2 Lm+1 Hp − ωL
Применим далее к левой и правой частям поученного равенства операции вещественной и мнимой части, считая p вещесвенным и положительным. m
L@t Cos@ω tDD@pD = m ! ReA L@tm Sin@ω tDD@pD = m ! ImA
Hp +
ωLm+1
E
H3.1L
Hp +
ωLm+1
E
H3.2L
Hp2 + ω2 Lm+1 Hp2
+
ω2 Lm+1
Как было показано в лекции 1, стоящие в левых частях этих равенств преобразования Лапласа, являются аналитическими функциями в полуплоскости Rep>0. Кроме того, правые части в этих равенствах очевидно аналитичны в полуплоскости Rep>0. Две аналитичны в полуплоскости Rep>0 функции, совпадающие на вещественной полупрямой, совпадают всюду в этой полуплоскости. Таким образом, равенства (3.1) и (3.2) установлены в полном объёме. Для конкретных m правые части в (3.1) и (3.2) могут быть найдены с помощью пакета Mathematica. Приведём пример. ‡ Найти преобразования Лапласа L@t6 Cos@w tDD и L@t6 Sin@w tDD. Для
этого вначале воспользуемся формулами (3.1) и (3.2). ComplexExpandA
Hp +
∗ ωL7
Hp2 + ω2 L7
E
p7 21 p5 ω2 35 p3 ω4 7 p ω6 − + − + Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7
7 p6 ω 35 p4 ω3 21 p2 ω5 ω7 i j − + − j Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 k Hp2 + ω2 L7
y z z {
11
L@t6 Cos@ω tDD@pD = p7 21 p5 ω2 35 p3 ω4 7 p ω6 i 6! j − + − j Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 k Hp2 + ω2 L7
y z z {
L@t6 Sin@ω tDD@pD = 35 p4 ω3 21 p2 ω5 ω7 i 7 p6 ω 6! j − + − j Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 k Hp2 + ω2 L7
y z z {
Этот же результат получается с помощью команды LaplaceTransform LaplaceTransform@t6 Cos@ω tD, t, pD LaplaceTransform@t6 Sin@ω tD, t, pD
H720 p Hp6 − 21 p4 ω2 + 35 p2 ω4 − 7 ω6 LL ë Hp2 + ω2 L
7
−H720 ω H−7 p6 + 35 p4 ω2 − 21 p2 ω4 + ω6 LL ë Hp2 + ω2 L
7
Сравним полученные ответы
p7 21 p5 ω2 35 p3 ω4 7 p ω6 i j SimplifyA6 ! j − + − j j 7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 k Hp2 + ω2 L H720 p Hp6 − 21 p4 ω2 + 35 p2 ω4 − 7 ω6 LL ë Hp2 + ω2 L E
y z z z z− {
7
0
35 p4 ω3 21 p2 ω5 ω7 i 7 p6 ω j j − + − SimplifyA6 ! j j 7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 k Hp2 + ω2 L H720 ω H−7 p6 + 35 p4 ω2 − 21 p2 ω4 + ω6 LL ë Hp2 + ω2 L E
y z z z z+ {
7
0
3.8. Пусть функция f[t]=0 при t<0 и является периодической с периодом Т>0 при t>0. Обозначим g[t]=f[t] при 0§t§Т и g[t]=0 при t<0. Очевидно, f[t]=g[t]+f[t-Т]. L[f[t]][p]=L[g[t]][p]+L[f[t-Т]][p]=L[g[t]][p]+‰ - p T L[f[t]][p] Отсюда находим (1-
−p T )L[f[t]][p]=L[g[t]][p]
L[f[t]][p]= L@f@tDD@pD =
H1−
L@g@tDD@pD H1− −p T L
−p T L
1
‡
Т
f@tD ∗ 0
−p t
t
12
‡ Приведём пример такой функции. Положим
f38@t_D = IfAt ≥ 0, CosA
t t π J − IntegerPartA ENE, 0E; 2 2 2
Plot@f38@tD, 8t, −0.5, 6.5<, PlotRange → 80, 1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
L@f38@tDD@pD → SimplifyA‡
2
H1 −
2
CosA 0
π 4
3
1
4
−p 2 L
tE ∗
‡
5
6
2
−p t
f38@tD ∗
t
0
−p t
tE
16 p + 4 −2 p π 16 p2 + π2 L@f38@tDD@pD =
H1 −
1
−p 2 L
∗
16 p + 4
−2 p
π
16 p2 + π2
4. Обратное преобразование Лапласа Теорема 4.1 (основная). Пусть функция f[t] удовлетворяет условию (1.1) и F[p] её изображение. Тогда в любой точке t>0, в которой функция f[t] дифференцируема, справедлива формула представления f[t]=
1 2π
‡
σ+ ∞
σ− ∞
F @pD
pt
p, σ>α
(4.1)
Доказательство. Рассмотрим функцию g[t]=f[t]*‰ -s t (s>a). Очевидно, функция g[t] интегрируема на (0,¶) и дифференцируема в точке t>0. Рассматривая F[p] как преобразование Фурье функции g[t], применим формулу обращения преобразования Фурье
13
g[t]=
1 2π
‡
∞ −∞
F @σ +
ξD
ξt
ξ=
1 2π
‡
σ+ ∞ σ− ∞
F @pD
−σ t
pt
p
После умножения последнего равенства на ‰ s t получаем (4.1). Формула (4.1) называется формулой обратного преобразования Лапласа, или формулой Меллина. Теорема 4.1 обладает тем недостатком, что для её примения требуется
14
предварительно обладать информацией о свойствах исходного оригинала f[t]. В следующей теореме устанавливается формула обращения при достаточных условиях только на изображение F[p]. Теорема 4.2. Пусть F[p] аналитическая в полуплоскости Rep>a функция, удовлетворяющая условиям 4.2.1. При любом s>a существует интеграл J1=‡
∞
» F @σ +
ξD »
ξ
4.2.2. Для GR = 8z » Â; » z » = R; Rez ≥ s ≥ s0 > a<-дуги окружности радиуса R с центром в точке (s,0) MR = max pŒGR »F[p]»Æ0 при RÆ• Тогда F[p] есть изображение функции f[t], представленной формулой (4.1) (s≥s0 >a). Доказательство. Рассмотрим прямоугольный контур G[s1,s2,r] (см. рис.4.1). По теореме Коши интеграл J[s1,s2,r] по контуру G[s1,s2,r] равен нулю. Перейдём к пределу в J[s1,s2,r] при rض. Легко убедиться, что интегралы по верхней и нижней сторонам прямоугольника стремятся к нулю при rض, а интегралы по боковым сторонам в пределе оказываются равными по величине. Таким образом, интеграл (4.1) не зависит от выбора s¥s0 >a. Докажем, что построенная по формуле (4.1) функция f[t] действительно является оригиналом заданной функции F[p]. Прежде всего заметим, что для интеграла (4.1) справедлива оценка −∞
»f[t]»≤
σt
2π
‡
∞
−∞
ƒ ƒ ƒ ƒ F @σ + ƒ ƒ ƒ ƒ
ξD
ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ
ξ
Отсюда следует, что интеграл (4.1) равномерно по tœ(0,Т) сходится. Докажем, что f@tD =0 при t<0. Для этого рассмотрим интеграл JR по замкнутуму контуру gR в полуплоскости Rep ¥ s0 (s0 >a), состоящему из дуги окружности GR радиуса R и отрезка прямой (см. рис.4.2). По теореме Коши ‡
γR
F @pD
pt
p =0
В силу леммы Жордана интеграл по дуге окружности стремится к нулю при t<0 и Rض. Оставшийся интеграл в пределе переходит в интеграл по прямой Rep=s, равный нулю при t<0. Следовательно, f@tD =0 при t<0.
15
Покажем, наконец, что преобразование Лапласа в точке p=q (Req>a) совпадает с F[q]. С помощью формулы Коши находим при a
∞
f@tD 0
1 2π −1 2π
Ÿσ−
−q t
t=‡
F @pD ‡ ∞
Ÿσ−
σ+ ∞ F @pD ∞ p−q
0
∞
σ+ ∞
∞
1 i j j j k2π
Hp−qL t
‡
0
p=
‡
1 2π
σ+ ∞
σ− ∞
t
pt
y z pz z {
−q t
t=
p=
F @pD p−q
γR
F @pD
p=F[q]
При выводе мы учли, что интеграл по прямой можно заменить на интеграл по замкнутуму контуру gR , так как »
1 2π
‡
ΓR
F @pD p−q
p »≤
1 2π
‡
ΓR
»F @pD» »p−q»
p≤
MR 2 π R 2 π HR−»q»L
→0 при
R→∞
Замечание 4.1. Мы используем лемму Жордана в следующей формулировке Лемма Жордана. Пусть t > 0 и СR + - полуокружность радиуса R в полуплоскости Rez¥0. Если функция g[z] удовлетворяет условиям 10 функция g@zD непрерывна при Rez ≥ 0 , » z … ¥ R0 > 0
20 MR = maxzœСR + » g@zD » Ø 0 R Æ •
Тогда
‡
СR
+
g@zD
−z t
zÆ0
при R Ø ¶
Доказательство леммы будет приведено в дальнейшем. 5. Пример на вычисление преобразования Лапласа Задача. Найти преобразования Лапласа функции f @tD = t-b , 0 < b < 1 L@f@tDD@pD =
H5.1L
Γ@1 − βD p1−β
Здесь введена гамма - функция Γ@zD = ‡ tz−1 ∗ ∞
−t
t, Rez > 0.
Рассмотрим вначале L@f @tDD@pD при р > 0. С помощью простой замены переменной находим 0
1 L[f[t]][p]=Ÿ0 t-b * ‰- p t „ t= ÅÅÅÅppÅÅ Ÿ0 t-b * ‰-t „ t= ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅ t-1+H1-bL * ‰-t „ t = p1-b Ÿ0 ¶
G@1-bD ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ p1-b
b
¶
¶
16
Пусть далее pœÂ и Rep>0. Для определённости будем считать p=r ‰ Âj , 0 < j < ÅÅÅÅp2 (случай - ÅÅÅÅp2 <j<0 рассматривается аналогично). Положим
s=t*‰ -Âj ê r, 0
Γ[1-β]=lim∂→0 ‡
∞
t−β ∗
t =lim∂→0 Ÿ∂ r Hp sL−β ∗
−pt
∂r ∞ p1−β *lim∂→0 Ÿγ@∂,∞D
∞
s−β ∗
−p s
−Hp sL
Hp sL =
s,
(5.2)
где g[¶,R]-отрезок луча r*‰ -Âj , ¶§r
−p s
s=0
(5.3)
Оценим интеграл по дуге G[R] окружности радиуса R y=arg[s]œ(-j
R1−β ‡
0
−p s
s …≤»‡
0
−ϕ
−r R Cos@ϕ+ψD
HR
L
ψ −β
ψ≤ R1−β
∗
−p HR
−r R Cos@ϕD →0
ψ
L
HR
ψ
ƒ ƒ ƒ ƒ Lƒ ≤ ƒ ƒ ƒ ƒ
при R→∞
−ϕ
Аналогично доказывается »ŸΓ@∂D s−β ∗
−p s
s …→0 при
∂→0
Переходя к пределу при Rض, ¶Ø0 в равенстве (5.3), получаем lim∂→0 ‡
0=lim∂→0 R→∞ ŸΓ@∂,RD s−β ∗
∞
t−β ∗
−pt
−p s
s=lim∂→0 Ÿγ@∂,∞D s−β ∗ ∞
−p s
s-
t
∂r
Отсюда и из (5.2) окончательно устанавливаем (5.1). Лекция 3 В начале лекции мы приведём доказательство леммы Жордана, а также несколько эквивалентных формулировок этой леммы.
17
Лемма Жордана . Пусть t > 0 и СR + - полуокружность радиуса R в полуплоскости Rez¥0. Если функция g[z] удовлетворяет условиям 10 функция g@zD непрерывна при Rez ≥ 0 , » z » ¥ R0 > 0
20 MR = maxz∈С+ » g@zD » → 0
R→∞
R
‡
СR +
g@zD
−z t
при R → ∞
z→0
Доказательство. Сделаем замену переменной интегрирования z=R‰ Âj p (- ÅÅÅÅp2 § j § ÅÅÅÅÅ2Å ). Тогда справедлива оценка интеграла »‡
СR
+
−z t
g@zD
2 MR R ‡
π 2
z»≤ MR R‡
−
−t R Cos@ϕD
0
π 2
−t R Cos@ϕD
π 2
ϕ=2 MR R ‡
π 2
ϕ=
−t R Sin@ϕD
ϕ
0
ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ g@zD ‡ ƒ ƒ ƒ ƒ СR +
Как известно, при 0§j§ ÅÅÅÅp2 Sin[j]¥ ÅÅÅÅp2 j. Продолжим оценку интеграла
MR π t
−z t
z » ≤ 2 MR R ‡
π 2
0
−t R
2 π
ϕ
ϕ= MRt π H1 −
−t
RL ≤
→0
при Rض. Лемма доказана. Лемма Жордана (вариант 2). Пусть t > 0 и СR - - полуокружность радиуса R в полуплоскости Rez§0. Если функция g[z] удовлетворяет условиям 10 функция g@zD непрерывна при Rez ≤ 0 , » z … ¥ R0 > 0 20 MR = maxz∈С−R » g@zD » → 0
Тогда
‡
СR −
g@zD
zt
R→∞
z→0
при R → ∞ +
Лемма Жордана (вариант 3). Пусть t > 0 и СR - полуокружность радиуса R в полуплоскости Imz¥0. Если функция g[z] удовлетворяет условиям
18
10 функция g@zD непрерывна при Imz ≥ 0, » z … ¥ R0 > 0 20 MR = maxz∈С+ » g@zD » → 0
R→∞
R
Null
Тогда
‡
+ СR
g@zD
zt
при R → ∞
z→0
-
Лемма Жордана (вариант 4). Пусть t > 0 и СR - полуокружность радиуса R в полуплоскости Imz§0. Если функция g[z] удовлетворяет условиям 10 функция g@zD непрерывна при Imz ≤ 0, » z … ¥ R0 > 0 20 MR = maxz∈С− » g@zD » → 0
Тогда
R
‡
− СR
g@zD
− zt
R→∞
z→0
при R → ∞
Доказательство вариантов 2-4 полностью повторяет доказательство самой леммы Жордана. Лемма Жордана (вариант 5). Пусть t > 0 и СR - HaL - полуокружность радиуса R с центром точке (a,0) в полуплоскости Rez§a ( a может быть как положительным, так и отрицательным). Если функция g[z] удовлетворяет условиям 10 функция g@zD непрерывна при Imz ≤ a, » z … ¥ R0 > 0 20 MR = maxzœС−R HaL » g@zD » Ø 0 R Æ • Тогда ‡
− СR HaL
g@zD
zt
z→0
при R → ∞
Для доказательства варианта 5 леммы Жордана следует лишь в интеграле сделать замену переменной интегрирования z-a=z и воспользоваться вариантом 2 леммы Жордана. 6. Первая теорема раложения. Пусть F[p]- целая регулярная при p=+¶ функция. В этом случае F[p] можно разложить в ряд Лорана
19
C F[p]= ‚ pnn ∞
n=0
Так как F[p] изображение Лапласа, то F[p]Ø0 при Repض (см. лекцию 1). Это означает, что коэффициент C0 =0. В силу свойства 3.6 m! L @tm D = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ Hl = 0L и поэтому обратное преоразование Лапласа pm+1 1 t L -1A ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ E = ÅÅÅÅ mÅ!ÅÅÅ . Следовательно, можно рассмотреть pm+1 m
L-1 @F@ pDD
1 tn = ‚ Cn L-1 A ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ E = ⁄¶ n=0 Cn+1 ÅÅÅÅ !Å n+1 n p n=1 ¶
Воспользуемся далее неравенством Коши для коэффициентов ряда Лорана »Cm »§MRm при некоторых M>0 и R>0 Тогда tœR »f[t]»§»⁄¶ n=0 Cn+1 ÅÅÅÅÅ!ÅÅÅ »§‚ »t»n n
MR ‚
¶
¶
n
n=0
»t» Rn ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ §MR ‰ R »t» n!
¶
»t» … Cn+1 … ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ §‚ n!
n=0
»t» M R-n-1 ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ § n! n
n
n=0
Таким образом, ряд сходится во всей плоскости и определяет целую функцию f[t]. Пример на применение первой теоремы разложения 1
Найти оригинал f[t] по её изображению F[p]= p-2 m+1 * „ - ÄÄÄÄ4 ÄpÄÄÄÄ , m=1,2,... 1 = ‚ ÅÅÅÅ ÅÅ zk . Поэтому k! ¶
. Как известно,
‰z
H-1 ê 4L H-1 ê 4L ÅÅÅÅÅÅÅ = ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ . Следовательно, по первой теореме F[p]=‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k ! pk+2 m-1 k ! pk+2 m-2+1 ¶
k
k=0
k=0 ¶
k
k=0
раложения функция f[t] представима в виде суммы f[t]=‚
∞ k=0
H−1 ê 4Lk HkL !
tk+2 m−2 Hk+2 m−2L!
,
которую можно записать также через гипергеометрическую функцию H−1 ê 4Lk FullSimplifyA„ k! ∞
k=0
∗
tk+2 m−2
Hk + 2 m − 2L !
, t > 0E
t2 H−1+mL Hypergeometric0F1RegularizedA−1 + 2 m, −
t E 4
20
Для конкретных m=1,2,... эта функция представима через функции Бесселя ∞
FullSimplifyA„ è!!! tD
k=0
BesselJ@0,
PlotABesselJA0,
H−1 ê 4Lk k!
∗
tk k!
, t > 0E
è!!!! t E, 8t, 0, 100<E
1 0.8 0.6 0.4 0.2
20
40
60
80
100
-0.2 -0.4
∞
FullSimplifyA„
è!!! tD
k=0
4 t BesselJ@2,
H−1 ê 4Lk k!
PlotA4 t BesselJA2,
∗
tk+2
Hk + 2L !
, t > 0E
è!!!! t E, 8t, 0, 100<E
100 75 50 25
20 -25 -50
40
60
80
100
21
Заметим, что все эти функции могут быть найдены в пакете Mathematica с помощью команды InverseLaplaceTransform InverseLaplaceTransformA è!!! BesselJ@0, t D InverseLaplaceTransformA è!!! 4 t BesselJ@2, t D
1 p
−
∗
1 4p
, p, tE
1
− 4p
p3
, p, tE
7. Вторая теорема разложения. Пусть F[p]- мераморфная функция, регулярная в полуплоскости Rep¥a (мераморфной называется аналитическая функция, имеющая лишь конечное число полюсов в любой конечной части плоскости). Предположим, что 7.1. Существует система окружностей Cn : » p » = Rn с центрами точке (b,0), b>a R1 < R2 < R3 < ... Æ •, n Æ • таких, что max pŒCn »F[p]»Æ0 Rn Æ • 7.2. При любом s>a ‡
∞
−∞
» F @σ + ξ D »
ξ<∞
Тогда функция F[p] является изображением функции f[t]=‚
Res @F @pD p
pk
k
pt
D ,
(7.1)
где сумма берётся по всем полюсам pk функции F[p] (вычет в точке pk обозначается Res ). p k
Доказательство. Пусть b>a. Рассмотрим систему замкнутых контуров gRn , состоящих из полуокружностей CRn радиуса Rn с центром точке (b,0), расположенных в полуплоскости Rep§b, и отрезка [b-ÂRn ,b+ÂRn ]. По лемма Жордана (вариант 5) ‡
F@pD
pt
p→0
при
CRn
По теореме Коши при любом n ‡
F@pD CRn
pt
p=0
Rn → ∞ ,
t>0
(7.2)
22
По формуле (4.1) f[t]=
‡
1 2π
b+ ∞
F@pD
pt
p, b>a
b− ∞
Однако, учитывая (7.2), можно также записать f[t]=
1 2π
limn→∞ ‡
b+ R n
F@pD γRn
pt
p=
b− R n
С другой стороны, ‡
pt
F@pD p=‚
pk
1 2π
Res @F@pD p k
limn→∞ ‡
F@pD
pt
p
γRn
p t D,
где сумма берётся по всем полюсам pk функции F[p], находящимся внутри контура gRn . Переходя к пределу при nض, получаем требуемое равенство (7.1). Замечание. В пакете Mathematica формула (7.1) записывается в виде f[t]=⁄ pk Residue@F @pD
p t,
8p, pk
(7.1)
R@pD Следствие. Пусть F@pD = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , где R@pD и Q@pD - многочлены Q@pD
Hне имеющие общих нулейL, причём степень R@pD строго меньше степени Q@pD. Т огда F@pD удовлетворяет условиям второй теоремы раложения. Если обозначить различные корни знаменателя p1, p2, p3, ... pl, , а через m1 , m2 , m3 , ... ml - их кратности соответственно, то по формуле H7.1L и по правилам нахождения вычетов R@pD f@tD = ‚ Res A pk Q@pD
‚ l
pt
E=
pk
∂mk −1 1 R@pD ∗ ∗ mk −1 A Q@pD p Hmk − 1L ! ∂
pt
ƒ ƒ ƒ ƒ ∗ Hp − pk Lmk E ƒ ƒ p=pk ƒ ƒ ƒ ƒ
H7.3L,
В частности, если все корни знаменателя простые, то формула H7.3L приобретает более простой вид k=1
R@pD f@tD = ‚ Res A pk Q@pD pk
E =‚ l
pt
k=1
R@pk D ∗ pk t Q '@pk D
Пример на применение второй теоремы разложения. Найти p2 +5 оригинал f[t] по её изображению F[p]= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ . Знаменатель H p+2L2 *H p-1L
23
изображения имеет один простой корень p1 = 1 и один корень кратности 2: p2 = -2. По формуле (7.3) находим f[t]= R@p1 D∗ p1 t Q'@p1 D ∂ A R@pD∗ p−1 ∂p
+ pt
A R@pD∗ Q@pD E …p=−2 ∂ ∂p
pt
∗ Hp − p2 L2 E …p=p2 =
R@1D∗ t Q'@1D
+
Учитывая, что Q'[p]= 2 H-1 + pL H2 + pL + H2 + pL2 и
Hp +1L*‰ 2 pt 2 3 ∑p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ p-1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ‰ H-1 + p H-2 + tL - p H-1 + tL - t + p tL ê H1 - pL , 2
pt
отсюда получим ‰ pt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ê. p Ø 1+ f[t]=Hp2 + 1L * ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 H-1+pL H2+pL+H2+pL2
(‰p t H-1 + p H-2 + tL - p2 H-1 + tL - t + p3 tL ê H1 - pL2 /.pØ-2) 2 ‰t ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ19 ‰-2 t H7 - 15 tL = ÅÅÅÅ 9
8. Пример на вычисление обратного преобразования Лапласа è!!!! 1 Задача. Найти оригинал функции F@pD = ÄÄÄÄÄ „ -m p , m > 0. p В силу теоремы 4.1 оригинал существует и может быть найден по формуле f[t]=
1 2π
‡
σ+ ∞
σ− ∞
F @pD
pt
p=
‡
1 2π
σ+ ∞
σ− ∞
1 p
−m
è!!!! p
pt
p, σ>0
Рассмотрим замкнутый контур GR (см. рис. 8.1), состоящих из полуокружности CR - радиуса R с центром точке (s,0), расположенной в полуплоскости Rep§s; отрезка [s-ÂR,b+ÂR]; отрезков, лежащих на берегах разреза g: Imp=≤0,-R+s§Rep§-r; окружности C r : »p»=r
По лемме Жордана
pt
p=0
(8.1)
ΓR
‡
− СR HσL
F@pD
pt
p→0
при
R→∞
Действительно, если p=R ‰  j , то следует положить è!!!! è!!!! è!!!! è!!!!  ÅÅÅÅj2Å j p = R ‰ (0§»j»
24
прежде всего заметим, что è!!!! è!!! è!!!! è!!! j=p: p=-r, p = r  (r§r
−
1 π
‡
ŸΓR F@pD
R−σ
−r t
pt
∗
ρ
‡
1 2π
p =
è!!!! SinAm r E r
R−σ
−r t
∗
‡
pt
F@pD
p=
Cρ
m
è!!!! r
+ r
ρ
−m
è!!!! r
r =
r
Для интеграла по C r легко устанавливаем 1 2π
−
‡
1 2π
π
ϕ
tρ
−m
è!!!! ρ
ϕ 2
ϕ→1 при
ρ→0
−π
Поэтому после перехода в (8.1) к пределу при Rض и rØ0 найдём, учитывая теорему 4.1, 1 f[t]=1- ÅÅÅÅ pÅ ‡
¶
SinAm
è!!! rE
‰ -r t * ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ r ÅÅÅÅÅÅÅÅ „ r
0
После замены переменной интегрирования r=x2 в последнем интеграле находим f[t]=1-
2 π
‡
∞
− x2 t ∗ Sin@m xD x
0
x
Рассмотрим далее интеграл J[t,m]=‡
∞
0
− x2 t ∗ Sin@m xD x
и найдём производную по m
∑m J@t, mD = ‡
¶
x
2
‰ - x t * Cos@m xD „ x
0
Подсчитаем последниий интеграл с помощью пакета Mathematica IntegrateA
− x2 t
∗ Cos@m xD, 8x, 0, ∞<E
IfAIm@mD == 0 && Re@tD > 0,
∞ è!!! π , ‡ è!!! 2 t 0
−
m2 4t
−t x2
Cos@m xD xE
25
Таким образом, при условии Im@mD = 0 и Re@tD > 0 получаем значение интеграла ∂m J@t, mD =
è!!! π è!!! 2 t
−
m2 4t
Последнее уравнение проинтегрируем J@t, mD = m − y è!!! m 2 y 4t π −I 2 è!!! è!!! ! M t y = π ‡ ‡ è!!! 2 t 0 0 2
по m, замечая, что J@t, 0D = 0, y i j j è!!! k2 t
y è!!! 2 è!!!t! z z= π ‡ { 0 m
Если воспользоваться стандартным обозначением z 2 2 Erf @xD = è!!! ‡ e−t d t, то можно окончательно установить π 0 è!!!! 2 t 2 2 f@tD = 1 − π J@t, mD = 1 − è!!! ‡ π 0 m
−x2
x = 1 − ErfA
−x2
x
m è!!! E 2 t
Лекция 4 9. Пример решения задачи для уравнения с частными производными с помощью преобразования Лапласа Задача. Найти решение уравнения свободных колебаний конечной струны ∂t,t u@x, tD - ∂ x,x u@x, tD ä 0, 0 < x < 1, t > 0, H9.1L при условиях H9.2L u x=0 = 0; ∂ x u x=1 = Sin@w tD; ut=0 = 0; ∂t ut=0 = 0. Решение. Применим преобразование Лапласа L по переменной t. Используя свойства преобразования Лапласа, получим U[x,p]=L[u[x,t]] L@∑x,x u@x, tDD=∑x,x L@u@x, tDD = ∑x,x U@x, pD L@∑t,t u@x, tDD = p2 U[x,p]-pu[x,+0]-H∑t u@x, tDLt=+0 = p2 U@x, pD Ux=0 = L@u@x, tDDx=0 = 0 w ÅÅÅÅÅÅÅ ∑x U@x, pDx=1 = L@∑x u@x, tDx=0 D = L@Sin@w tDD = ÅÅÅÅÅÅÅÅ p2 +w2 Таким образом, решение задачи (9.1)-(9.2) свелось к решению граничной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения w ÅÅÅÅÅÅÅ (9.3) ∑x,x U@x, pD - p2 U@x, pD==0, Ux=0 =0, ∑x U@x, pDx=1 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ p2 +w2
26
Найдём вначале общее решение обыкновенного дифференциального уравнения DSolve@∂x,x U@x, pD − p2 U@x, pD
88U@x, pD →
px
−p x
C@1D +
0, U@x, pD, xD
C@2D<<
Определим постоянные C[1] и C[2] из граничных условий. Вначале найдём производную ∑x U@x, pD ∂x U@x, pD → ∂x H
UH1,0L @x, pD →
px
px
−p x
C@1D +
p C@1D −
−p x
C@2DL
p C@2D
После этого составим уравнения для определения постоянных H
H
−p x
px
C@1D +
px
p C@1D −
C@2D ê. x → 0L == 0
−p x
p C@2D ê. x → 1L ==
C@1D + C@2D == 0 p
p C@1D −
−p
p C@1D −
99C@1D →
−p
p2 + ω2
ω p2 + ω2
p C@2D ==
SolveA9C@1D + C@2D == 0, p
ω
p C@2D ==
ω p2 + ω2
=, 8C@1D, C@2D<E
ω , C@2D → − 2 p L p Hp2 + ω2 L H1 + H1 +
2 pL
p
ω == p Hp2 + ω2 L
p
Таким образом, решение задачи (9.3) после некоторых упрощений принимает вид U@x, pD →
9C@1D →
H1 +
px
C@1D + p ω
2 pL
−p x
C@2D ê.
p Hp2 + ω2 L
, C@2D → −
H1 +
2 pL
p
ω
p Hp2 + ω2 L
ω + H1 + 2 p L p Hp2 + ω2 L H1 +
2 pL
ω p Hp2 + ω2 L
ω + 2 p H1 + L p Hp2 + ω2 L H1 + −p x −p p 2 2 −H ωL ê HH + L p Hp + ω LL +
2 pL
ω → p Hp2 + ω2 L
U@x, pD → −
p−p x
p−p x
U@x, pD → − H
px
ωL ê HH
−p
+
p
L p Hp2 + ω2 LL →
p+p x
p+p x
H
− −p x L ω H −p + p L p Hp2 + ω2 L px
=
27
H
−p x L
ê. H −p + p L p Hp2 + ω2 L 8H p x − −p x L → 2 Sinh@p xD, H −p + p L → 2 Cosh@pD< U@x, pD →
U@x, pD →
px
−
ω
ω Sech@pD Sinh@p xD p Hp2 + ω2 L
Впрочем, нахождение общего решения, определение постоянных и упрощение решения может быть поручено пакету Mathematica с помощью команды FullSimplifyA
DSolveA9∂x,x U@x, pD − p2 U@x, pD 0, HU@x, pD ê. x → 0L == 0, ω =, U@x, pD, xEE H∂x U@x, pD ê. x → 1L == p2 + ω 2
99U@x, pD → U@x, pD =
ω Sech@pD Sinh@p xD == p3 + p ω2 ω Sinh@p xD
p Hp2 + ω2 L Cosh@pD
Перейдём к анализу найденной формулы представления для U[x,p]. Прежде всего заметим, что p=0 не является полюсом функции U[x,p] (устранимая особенность). Действительно, для любого x>0 при pØ0 имеем Simplify@Series@Sinh@p xD, 8p, 0, 3
x3 p2 x+ + O@pD3 6 Пусть p=s+ x, Rep=s¥a, где a - любое положительное число. Два простых полюса функции U[x,p] находятся в точках p=≤ w (w>0) Solve@p2 + ω2
88p → − ω<, 8p →
0, pD ω<<
1 Нам остаётся найти полюсы функции Sech[p]= ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ Cosh@ pDÅÅ . Для этого найдём H » Cosh@pD »L2 . Как известно, Cosh[s+Âx]=Cosh[s]Cos[x]+Â Sinh[s]Sin[x]. Поэтому
» Cosh@pD »2 = » Cosh@σ + ξD »2 = » Cosh@σD Cos@ξD + Sinh@σD Sin@ξD »2 = HCosh@σD Cos@ξDL2 + HSinh@σD Sin@ξDL2 ≥ Sinh@σD2
28
Здесь мы учли, что Cosh[s]¥Sinh[s] при любом seÑ. Следовательно, Cosh[p] может обратиться в нуль лишь при s=0. Поскольку при s=0 Cosh[p]=Cosh[Âx]=( ‰ Â x + ‰ -Â x )/2=Cos[x], то нули функции Cosh[Âx] (и следовательно, полюсы функции Sech[p]) определяются нулями xk = ≤Hk - 1 ê 2L p функции Cos[x]. Обозначим nk = Â (k - 1/2)p, k=1,2,...Тогда для нахождения обратного преобразования Лапласа u[x,t]=L -1 @U@x, pDD можно воспользоваться второй теоремой разложения, в силу которой Sinh@p xD u [ x , t ] = ResidueA ω Sech@pD ∗ pt , 8p, p Hp2 +ω2 L Sinh@p xD ResidueA ω Sech@pD ∗ pt , 8p, − ω<E+ p Hp2 +ω2 L
‚ ResidueA ∞
k=1 ∞
‚ ResidueA
k=1
ω Sech@pD Sinh@p xD p Hp2 +ω2 L ω Sech@pD Sinh@p xD p Hp2 +ω2 L
pt ,
∗
pt ,
∗
ω<E +
8p, νk <E+
8p, −νk <E
(9.4)
Предположим, что все полюсы функции U[x, p] простые. Для этого достаточно предположить, что w ∫ Hk - 1 ê 2L p, k = 1, 2, ...Обозначим h[p,x,t]=w Sinh[p x] ‰ pt /p q[p]=H p2 + w2 LCosh[p] Как известно, для любого простого полюса p=a вычет можно подсчитать по формуле ResidueA
h@p,x,tD q@pD
Поэтому ResidueA ResidueA ResidueA
h@p,x,tD q@pD h@p,x,tD q@pD h@p,x,tD q@pD
H−1Lk
3
I8
H−1Lk
, 8p, , 8p, , 8p,
H− 12 +kL π t
HH−1 + 2 kL π3 ResidueA h@p,x,tD q@pD −I8
, 8p, a<E=
− H−
1 2
h@a,x,tD q'@aD
tω h@ ω,x,tD ωD = 2 ωSin@x Cos@ωD q'@ ωD − t ω Sin@x ωD ω,x,tD − ω<E= h@− q'@− ωD =− 2 ω Cos@ωD h@νk ,x,tD νk <E = = q'@νk D
ω<E =
1 2
+ kL π xDM ë
− 4 H−1 + 2 kL π , 8p, −νk <E =
+kL π t
ω Sin@H−
HH−1 + 2 kL3 π3 − 4 H−1 + 2 kL π
ω Sin@H−
ω2 L
1 + 2 ω2 L
h@−νk ,x,tD q'@−νk D
kL π xDM ë
=
При выводе мы учли, что ∂p HHp2 + ω2 L Cosh@pDL = 2 p Cosh@pD + Hp2 + ω2 L Sinh@pD
29
FullSimplifyA
2 2 h@p, x, tD ë I2 p Cosh@pD + Hp + ω L Sinh@pDM ê. p →
ω,
t > 0 && 0 < x < 1 && ω > 0E
2 2 FullSimplifyAh@p, x, tD ë I2 p Cosh@pD + Hp + ω L Sinh@pDM ê.
p→−
ω, t > 0 && 0 < x < 1 && ω > 0E
tω
− −
Sec@ωD Sin@x ωD 2ω t ω Sec@ωD Sin@x ωD 2ω FullSimplifyA
2 2 h@p, x, tD ë I2 p Cosh@pD + Hp + ω L Sinh@pDM ê. p →
Hk − 1 ê 2L ∗ π,
k ∈ Integers && t > 0 && 0 < x < 1 && ω > 0E
2 2 FullSimplifyAh@p, x, tD ë I2 p Cosh@pD + Hp + ω L Sinh@pDM ê.
p→−
Hk − 1 ê 2L ∗ π, k ∈ Integers && t > 0 && 0 < x < 1 && ω > 0E
H−1Lk
1 + kN π xEN í 2 HH−1 + 2 kL3 π3 − 4 H−1 + 2 kL π ω2 L 1 1 J8 H−1Lk − H− 2 +kL π t ω SinAJ− + kN π xEN í 2 HH−1 + 2 kL3 π3 − 4 H−1 + 2 kL π ω2 L
−J8
H−
1 2
+kL π t
ω SinAJ−
Таким образом, из (9.4) получаем u[x,t]=− ‚ II8 ∞
k=1
H−1Lk
tω
Sec@ωD Sin@x ωD 2ω H−
HH−1 + 2 kL I8 H−1Lk −
3
1 2
+kL π t
− tω
+ 1 2
− 4 H−1 + 2 kL π H− +kL π t ω Sin@H− ω Sin@H−
π3
1 2
HH−1 + 2 kL3 π3 − 4 H−1 + 2 kL π
Sec@ωD Sin@t ωD Sin@x ωD ω ∞
Sec@ωD Sin@x ωD 2ω
+ kL π xDM ë
ω2 L
-
=
− + kL π xDM ë
1 2 ω2 LM
+‚ H2 H−1Lk ω Sin@Hk − 12 L π tD Sin@H k − 12 L π xDL ê k=1 HHk − 1 ê 2L ∗ π ∗ HHk − 1 ê 2L2 π2 − ω2 LL
(9.5)
Последнюю формулу, представляющую решение в виде ряда, можно считать окончательной. Для построения графика решения u[x,t] задачи можно ограничиться конечным числом слагаемых в сумме (9.5). Введём обозначение
30
u0@n_, ω_, x_, t_D := 1 ChopAEvaluateA HSec@ωD Sin@t ωD Sin@x ωDL + ω n 1y 1y i i i y j2 H−1Lk ω SinAj jk − z z π tE SinAj jk− z z π xEz zì ‚ j 2 2 k k { k { { k=1 HHk − 1 ê 2L ∗ π ∗ HHk − 1 ê 2L2 π2 − ω2 LLE, 10 ^ −5E
Plot3D@u0@10, 1, x, tD, 8x, 0, 1<, 8t, 0, 4<, PlotRange → 880, 1<, 80, 4<, 8−1.2, 1.8<<, PlotPoints → 835, 45<, BoxRatios → 84, 3, 2<,
AxesLabel → 8"x", "t", "u"<, PlotLabel → StyleForm@"Graphic u@x,tD", FontFamily → "Times−Bold", FontSize → 12D, ViewPoint −> 8−2.880, 0.930, 1.030<, Shading → FalseD 1 Graphic u@x,tD
x
0.75
0.5 0.25 0
1 u 0
-1
4
3
2
1
0
t
Заметим, что увеличение числа слагаемых в u0[n,w,x,t] с n=10 до n=20 практически не изменяет график функции. При желании сумму, входящую в (9.5), можно представить через гипергеометрические функции. Для этого введём обозначение ∞ 1y 1y i i i y θ := ‚ j j2 H−1Lk ω SinAj jk − z z π tE SinAj jk− z z π xEz zì 2 2 k k { k { { k=1
HHk − 1 ê 2L ∗ π ∗ HHk − 1 ê 2L2 π2 − ω2 LL
и применим следующую команду g@expr_D := Block@8Sum<, e = MapAt@FunctionExpand, expr, 1D; eD
31
вместе с простыми функциями подстановки, а также упрощения FullSimplifyA
g@θD êê. 9ArcTanA 2 H− π t− π xL E → ArcTan@ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! − ArcTanhA − π t− π x E → ArcTanh@ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ArcTanhA − − π t+ π x E → ArcTanh@ 1
y_
ArcTanh@ ArcTan@
π y_
D→
D→
1 2
LogA−
y
D, Cos@π yD
1 − Sin@π yD
π Hxê2−tê2L π Hxê2−tê2L
− π y_
x > 0 && t > 0E
1
2 1
LogA−
D,
D,
D,
E,
E, 1 + Sin@π yD y ArcTanh@ y_ D → LogA TanA EE, 2 2 è!!!!!!!!!!!!!!!! ! !!!!!! ! π Hxê2−tê2L − − π t+ π x → , !!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!! ! !!!!! π Hxê2+tê2L è!!!!!!!!!!!!!!!! , − π t− π x → − π t+ π x →
ArcTan@
D→
ArcTan@
− π Hxê2+tê2L
Cos@π yD
− π Hxê2−tê2L
=,
32
1 2πω
J
1 J π2 − 4 ω2
− πt
πJ
1 2
π Ht+xL
J−Hπ + 2 ωL Hypergeometric2F1A1,
1 ω 3 ω − , − , 2 π 2 π
E − Hπ − 2 ωL Hypergeometric2F1A 1 ω 3 ω 1, + , + , − − π Ht−xL E + π Ht−xL 2 π 2 π 1 ω 3 ω J−Hπ + 2 ωL Hypergeometric2F1A1, − , − , − π Ht−xL E − 2 π 2 π 1 ω 3 ω Hπ − 2 ωL Hypergeometric2F1A1, + , + , − π Ht−xL ENN + 2 π 2 π 1 1 ω 3 ω π Ht−xL − π Ht+xL 2 JHπ + 2 ωL Hypergeometric2F1A1, − , − ,− E+ 2 π 2 π 1 ω 3 ω Hπ − 2 ωL Hypergeometric2F1A1, + , + , − − π Ht+xL EN + 2 π 2 π −
1 2
− π Ht−xL
π H3 t+xL
JHπ + 2 ωL Hypergeometric2F1A1,
Hπ − 2 ωL Hypergeometric2F1A1,
1 ω 3 ω − , − ,− 2 π 2 π
π Ht+xL
E+
1 ω 3 ω + , + , − π Ht+xL ENNN + 2 π 2 π 1 1 ω 3 ω π H3 t+xL 2 JHπ + 2 ωL Hypergeometric2F1A1, − , − , − π Ht+xL E + 2 π 2 π 1 ω 3 ω Hπ − 2 ωL Hypergeometric2F1A1, + , + , − π Ht+xL ENNN + 2 π 2 π 1 1 JLogA− CosA π Ht − xLEE − LogA− CosA π Ht + xLEE + 2 2 1 1 LogAJ CosA π Ht − xLEN í J−1 + SinA π Ht − xLENE − 2 2 1 LogA1 + SinA π Ht − xLEE − LogA 2 1 1 1 J CosA π Ht + xLEN í J−1 + SinA π Ht + xLENE + LogA1 + SinA π Ht + xLEENN 2 2 2
Сумма последних трёх слагаемых равна нулю. Для доказательства этого утверждения достаточно провести следующую цепочку тождественных преобразований 1 1 π Ht − xLEE − LogA− CosA π Ht + xLEE + 2 2 1 Cos@ 2 π Ht − xLD 1 E − LogA1 + SinA π Ht − xLEE − LogA 1 2 −1 + Sin@ 2 π Ht − xLD
LogA− CosA
33
LogA
Cos@ 12 π Ht + xLD 1 E + LogA1 + SinA π Ht + xLEE → 1 2 −1 + Sin@ 2 π Ht + xLD
Cos@ LogA Cos@ LogA LogA
1 2 1 2
− Cos@ 12 π Ht − xLD π Ht − xLD E + LogA 2 E− π Ht + xLD 1 − Sin@ 12 π Ht − xLD
− Cos@ 1 − Sin@ Cos@
LogA
1 2
1 2 1 2
π Ht + xLD
π Ht + xLD
2
E → LogA
Cos@ Cos@
− E − LogA π Ht − xLD Cos@
Cos@ Cos@
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
π Ht − xLD E+ π Ht + xLD
− E→ π Ht + xLD
π Ht − xLD Cos@ 12 π Ht + xLD E + LogA E→0 Cos@ 12 π Ht − xLD π Ht + xLD
Следовательно, функция q может быть представлена в виде g1@θD = FullSimplifyA i j j k
1
1
i πj jH−π − 2 ωL Hypergeometric2F1A k 1 ω 3 ω 1, − , − , − π Ht−xL E − Hπ − 2 ωL 2 π 2 π 1 ω 3 ω yy i j + , + , − π Ht−xL Ez zz z+ jHypergeometric2F1A1, 2 π 2 π {{ k 1 1 i i j j − π t+ 2 π H3 t+xL π j jHπ + 2 ωL Hypergeometric2F1A 2 2 π −4ω k k 1 ω 3 ω 1, − , − , − π Ht+xL E + 2 π 2 π 1 ω 3 ω yy y Hπ − 2 ωL Hypergeometric2F1A1, + , + , − π Ht+xL Ez zz zz z, 2 π 2 π {{{ t > 0 && x > 0E 2ω
− π t+ π Ht−xL+
1 J − 4 ω2 L
Hπ2
1 2
2πω
π Ht+xL
− πt
J
1 2
π2
− 4 ω2
π H3 t−xL
J−Hπ + 2 ωL Hypergeometric2F1A1,
1 ω 3 ω − , − , − π Ht−xL E − 2 π 2 π 1 ω 3 ω Hπ − 2 ωL Hypergeometric2F1A1, + , + , − π Ht−xL EN + 2 π 2 π 1 1 J 2 π H3 t+xL JHπ + 2 ωL Hypergeometric2F1A π2 − 4 ω2 1 ω 3 ω 1, − , − , − π Ht+xL E + Hπ − 2 ωL 2 π 2 π 1 ω 3 ω Hypergeometric2F1A1, + , + , − π Ht+xL ENNNN 2 π 2 π
После этого формула представления решения (9.5) принимает вид
34
1
u@x_, t_D = 2ω
J
Hπ2
ω
1 − 4 ω2 L
− πt
J
1 2
HSec@ωD Sin@t ωD Sin@x ωDL + g1@θD
π H3 t−xL
J−Hπ + 2 ωL Hypergeometric2F1A1,
3 ω − ,− 2 π
π Ht−xL
E−
Hπ − 2 ωL Hypergeometric2F1A1, 1 J π2 − 4 ω2
1 2
π H3 t+xL
1,
1 ω 3 ω + , + ,− 2 π 2 π
JHπ + 2 ωL Hypergeometric2F1A π Ht+xL
1 ω 3 ω − , − ,− 2 π 2 π
Hypergeometric2F1A1,
1 HSec@ωD Sin@t ωD Sin@x ωDL ω
1 ω − , 2 π
π Ht−xL
E + Hπ − 2 ωL
1 ω 3 ω + , + ,− 2 π 2 π
EN +
π Ht+xL
ENNNN +
В случае, когда при некотором целом k w 2 = Hk - 1 ê 2L2 p 2 формула H9.5L несколько усложняется, однако доказательство принципиально не изменяется. 10. Второй пример решения задачи для уравнения с частными производными с помощью преобразования Лапласа Задача. Найти решение уравнения распространения тепла в полубесконечном стержне, на конце которого x=0 поддерживается температура q[t], а в начальный момент t=0 температура стержня была равна нулю. ∂t u@x, tD − a2 ∂x,x u@x, tD 0 < x < ∞, t > 0, H10.1L при условиях ut=0 = 0.
ux=0 = q@tD;
0,
H10.2L
Решение. Будем предполагать, что как заданная функция q[t], так и искомая функция u[x, t] и её производная по t растут при tض не быстрее C ‰ a t . Это позволяет применить к (10.1) и (10.2) преобразование Лапласа L. После этого задача (10.1)-(10.2) переходит в эквивалентную задачу ∂x,x U@x, pD −
p a2
U@x, pD
0;
U@0, pD
Q@pD,
(10.3)
35
При выводе (10.3) мы использовали свойство 2.3 и учли, что ut= 0 = 0. Здесь U[x, p]= Lu[x, t], Q[p]= Lq. Далее решаем дифференциальное уравнение p ÅÅ U@x, pD ã 0 ∑x,x U@x, pD - ÅÅÅÅ a2 DSolveA∂x,x U @x, pD −
99U@x, pD →
è!!!! p x a
C@1D +
−
U @x, pD
p a2
è!!!! p x a
0, U@x, pD, xE
C@2D==
Поскольку нас интересует решение U[x,p], ограниченное при Repض и 0 < x <1, то постоянную C[1] следует положить, равной нулю, а постоянную C[2] определим из граничного условия U[0, p]==Q[p]: J‰ - ÅÅÅÅÅÅÅÅaÅÅÅÅÅÅ C@2DN è!!!! p x
xØ0
== Q@ pD; C@2D == Q@ pD.
−
Следовательно, U[x,p]=C[2] Теперь для нахождения
è!!!! p x a
−
= Q[p]
è!!!! p x a
.
u[x, t]=L-1 @U@x, pDD =L-1 AQ@ pD ‰- ÅÅÅÅÅÅÅÅaÅÅÅÅÅÅ E è!!!! p x
можно воспользоваться формулой Меллина (4.1). Однако проще воспользоваться уже установленной при решении задачи в разделе 8 формулой LA1 −
‡
2 è!!! π
2
m è!!!! t
−x2
xE =
0
1 p
−m
è!!!! p
(10.4)
В нашем случае m Ø ÅÅÅÅxa , формула (10.4) приобретает вид LA1 − ErfA
x è!!! 2a t
EE=
−
è!!!! p x a
(10.5)
p
Далее заметим, что предел при tØ+0 функции 1 - Erf A ÅÅÅÅÅÅÅÅxè!! ÅÅÅÅÅÅ E равен
нулю, так как Erf @+¶D = 1. Поэтому по свойству 2.3 −
è!!!! p x a
= p (
LA∂t I1 − ErfA
−
è!!!! p x a
p
x è!!! 2a t
) = pLA1 − ErfA
EME = LA
x è!!! 3ê2 π t
−
2a
x2 4 a2 t
x è!!! 2a t
E
2a
EE =
t
36
è!!!! p x
Таким образом, произведение Q@ pD ‰- ÅÅÅÅÅÅÅÅaÅÅÅÅÅÅ можно записать в виде Q@pD
−
è!!!! p x a
u[x,
x è!!! 3ê2 π t
−
= Lq*LA
2a
x2 4 a2 t
t]=L−1 AQ@pD
−
E и следовательно,
è!!!! p x a
E=
L−1 ALq
∗ LA
x è!!! 3ê2 π t
−
2a
x2 4 a2 t
EE
В силу свойства 2.9 последнее выражение можно представить через свёртку u@x, tD = ‡
t 0
x2 4 a2 τ
x è!!!! 3ê2 2a π τ t −
x è!!!! 2a π
−
‡
0
q@t − τD x2 4 a2 τ
τ3ê2
τ=
q@t − τD
τ
37
Рисунки к доказательствам теорем и решениям примеров Imp
Рис.4.1 к теореме 4.2 σ1+ ρ
σ2+ ρ
α
Rep
σ1− ρ
σ2− ρ
38
Imp
Рис.4.2 к теореме 4.2 σ+ R
R
α
Rep
σ− R
Imp
Рис.5.1 к разделу 5 p
r
ϕ −ϕ
R Rep
39
Imp σ+ R
Rep
σ− R
Рис.8.1 к разделу 8
Для полноты изложения приводим соответствующие команды на построение приведённых выше рисунков в пакете Mathematica.
40
‡ d41@a_, b_, δ1_, δ2_D := Graphics@Line@88δ1, −δ2<, 8δ1, b − δ2<
‡ d41@a_, b_, δ1_, δ2_D := Graphics@Line@88δ1, −δ2<, 8δ1, b − δ2<
41
Show@8d41@a, b, δ0, δ2D, d41@a, b, δ1, δ2D, d45@r, δ1D, d46@r, δ1D, d410, d421, d422, d416, d417<, Axes → True, Ticks → False, AxesLabel → 8 " Rep ", " Imp "<, PlotRange → 88−1, 26<, 8−17, 20<<, AspectRatio → AutomaticD
<< Graphics`Arrow` ‡ d56@σ_, r_, ϕ_, m_D := Graphics@8Thickness@mD, Line@88σ Cos@ϕD, −σ Sin@ϕD<, 8r Cos@ϕD, −r Sin@ϕD<
42
<< Graphics`Arrow` ‡ d51@σ0_, r0_, ϕ0_D := Graphics@Circle@8σ0, 0<, r0, 8−Pi + ϕ0, −Pi ê 2
43
11. Два задания на применение преобразования Лапласа ЗАДАНИЕ 1 1. По графику функции найти её преобразование Лапласа. Применить к полученному изображению обратное преобразование Лапласа и восстановить график. Сравнить восстановленный и исходный графики. f11
1
1
2
3
4
têa
-1
2. С помощью обратного преобразования Лапласа найти оригинал по заданному изображению 4 p+5 t11 = Hp−2L Hp2 +4 p+5L 3. Спомощью прямого и обратного преобразований Лапласа найти решение следующей задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка a0 y''@tD + a1 y '@tD + a2 y@tD ä f @tD, y@0D ä v0 , y '@0D ä v1 , a0 Æ1, a1 Æ-1, a2 Æ0, f @tD Æ t 2 + 1 ê H1 + „t L, v0 Æ 0, v1 Æ 1. Провести аналитическую проверку решения. 4. С помощью прямого и обратного преобразований Лапласа найти решение следующей задачи Коши для системы уравнений первого порядка. Провести аналитическую проверку решения и построить двумерный график решения на фазовой плоскости.
x '@tD ä b1 1 x@tD + b1 2 y@tD + f1 @tD; y'@tD ä b2 1 x@tD + b2 2 y@tD + f2 @tD; x@0D ä x0 ; y@0D ä y0 ; b11 = 1; b12 = 3; f1 = 2; b21 = 1; b22 = -1; f2 = 1; x0 = -1; y0 = 2.
5. Частица массы m совершает прямолинейные колебания по оси ox под действием восстанавливающей силы f=-kx , пропорциональной смещению x, и возмущающей силы h=a*cos(t). В момент t=0 частица находится на расстоянии x0 от положения равновесия и обладает скоростью v0 . Найти с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа закон движения частицы x(t).
44
k = m; a = m ê 3; x0 = 1 ê 2; v0 = 0. Провести аналитическую проверку решения. ЗАДАНИЕ 2 1. По графику функции найти её преобразование Лапласа. Применить к полученному изображению обратное преобразование Лапласа и восстановить график. Сравнить восстановленный и исходный графики. f21
1
1
2
3
4
têa
-1
2. С помощью обратного преобразования Лапласа найти оригинал по p заданному изображению t21 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hp+1L Hp2 +p+1L 3. С помощью прямого и обратного преобразований Лапласа найти решение следующей задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка a0 y''@tD + a1 y '@tD + a2 y@tD ä f @tD, y@0D ä v0 , y '@0D ä v1 , a0 Æ1, a1 Æ2, a2 Æ1, f @tD Æ Sin@3 * tD + Cosh@2 * tD ê H1 + Exp@-tDL2 , v0 Æ 3, v1 Æ 1. Провести аналитическую проверку решения. 4. С помощью прямого и обратного преобразований Лапласа найти решение следующей задачи Коши для системы уравнений первого порядка. Провести аналитическую проверку решения и построить двумерный график решения на фазовой плоскости. x '@tD ä b1 1 x@tD + b1 2 y@tD + f1 @tD; y '@tD ä b2 1 x@tD + b2 2 y@tD + f2 @tD; x@0D ä x0 ; y@0D ä y0 ; b11 = 1; b12 = 3; b21 = 1; b22 = -1; f1@tD = t - Sin@tD; f2@tD = ÄÄÄÄ12Ä * HCosh@tD - Cos@tDL; x0 = -1; y0 = 2.
5. Частица массы m движется прямолинейно под действием восстанавливающей силы f=-kx , пропорциональной смещению x и направленной в противоположную сторону, и силы сопротивления q=rv, пропорциональной скорости v. В момент t=0 частица находится на расстоянии x0 от положения равновесия и обладает скоростью v0 . Найти с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа закон
45
движения частицы x(t). k = m; r = 2 m; x0 = 1; v0 = 0. Провести аналитическую проверку решения. Решение задания 1 1.1. Выпишем аналитическое представление функции f11. f11@a_D = −HUnitStep@tD − UnitStep@−a + tDL + t J − 2N ∗ H UnitStep@−a + tD − UnitStep@−3 a + tDL + a UnitStep@−3 a + tD; Найдём её преобразование Лапласа g11@a_D = LaplaceTransform@f11@aD, t, pD −
1 3 −3 a p + − p p
−a p
p
+
−a p
H1 + a pL − a p2
−3 a p
H1 + 3 a pL a p2
Далее вычислим обратное преобразование Лапласа полученной функции h11@a_D = InverseLaplaceTransform@g11@aD, p, tD t UnitStep@−3 a + tD − a t UnitStep@−a + tD UnitStep@−a + tD + a
−1 + 3 UnitStep@−3 a + tD −
Построим график функции h11 , а также график исходной функции при a=1. p11 = Plot@h11@1D, 8t, 0, 4<, PlotRange → 8−1, 1<, AspectRatio → 0.4, Ticks → 881, 2, 3, 4<, 8−1, 1<<, PlotLabel → "h11", AxesLabel → 8"têa", None
1
1
-1
2
3
4
têa
Plot@f11@1D, 8t, 0, 4<, PlotRange → 8−1, 1<, AspectRatio → 0.4, Ticks → 881, 2, 3, 4<, 8−1, 1<<, PlotLabel → "f11", AxesLabel → 8"têa", None
46 f11
1
1
2
3
4
têa
-1
1.2. Найдём обратное преобразование Лапласа заданной функции t11 =
4p+5
Hp − 2L Hp2 + 4 p + 5L
;
s11 = Simplify@ ComplexExpand@InverseLaplaceTransform@t11, p, tDDD 1 17
−2 t
H13
4t
− 13 Cos@tD + 16 Sin@tDL
Для проверки найдём преобразование Лапласа функции s11 и сравним его с t11. Simplify@LaplaceTransform@s11, t, pD − t11D 0
1.3. В этом заданиии задача Коши для уравнения второго порядка имеет вид 8 a0 y ''@tD + a1 y '@tD + a2 y@tD == f@tD, y@0D == v0 , y '@0D == v1 < ê. 8a0 −> 1, a1 → 0, a2 → −1, f@tD → 6 ∗ −t + Tanh@tD, v0 → 3, v1 −> 1< 8−y@tD + y @tD == 6
−t
+ Tanh@tD, y@0D == 3, y @0D == 1<
После применения преобразования Лапласа с учётом начальных условий получаем уравнение для определения изображения Y решения. LaplaceTransform@−y@tD + y @tD == 6 −t + Tanh@tD, t, pD ê. 8LaplaceTransform@y@tD, t, pD −> Y, y@0D → 3, y @0D −> 1< −1 − 3 p − Y + p2 Y ==
6 + 1+p
1 p 2+p J−2 − p PolyGammaA0, E + p PolyGammaA0, EN 2p 4 4
Замечая, что в полученном уравнении для Y участвуют спецфункции PolyGamma, решим это уравнение.
47
Y130@pD =
i j−2 − 1+p 2p k p 2+p y p PolyGammaA0, E + p PolyGammaA0, Ez, YEE 4 4 {
Y ê. FirstASolveA−1 − 3 p − Y + p2 Y ==
−
6
+
1
1 6 J−1 − 3 p − − 2 −1 + p 1+p 1 p 2+p J−2 − p PolyGammaA0, E + p PolyGammaA0, ENN 2p 4 4
Упростим запись последнего выражения. Y131@pD = Expand@Y130@pDD 1 6 1 3p − + + − 2 2 2 p H−1 + p L H1 + pL H−1 + p2 L −1 + p −1 + p PolyGamma@0, 2 H−1 + p2 L
p 4
D
PolyGamma@0, 2+p 4 D + 2 2 H−1 + p L
y130@tD = Simplify@ComplexExpand@ InverseLaplaceTransform@Y13@pD, p, tDDD 1 4
−t
H12
2t
−π−
2t
π − 12 t −
t 2 H1 + 2 t L Arg@1 − D + 2 H1 + 2 t L Arg@1 + t 2t DD + 2 Log@Abs@1 − 2 Log@Abs@1 − t 2t DD − 2 Log@Abs@1 + 2 Log@Abs@1 +
D+ DD − t DDL t
t
Для дальнейших упрощений следует вычислить абсолютную величину и t и 1+ t . Хотя эти величины аргумент комплексных чисел 1 − легко находятся и "вручную", мы используем для полноты изложения программу Mathematica, содержащую также функции Abs[] и Arg[] Вначале следует вызвать подпакет << Algebra`ReIm` и затем воспользоваться командой
48
t ê: Im@tD = 0; Off@Set::"write"D; ρ13 = 9Arg@1 − Arg@1 +
t
Abs@1 −
t
Abs@1 +
t
9Arg@1 −
Abs@1 −
t
D → ArcTanA
D → ArcTanA
Re@1 − t
Im@1 + Re@1 +
D → SqrtARe@1 − D → SqrtARe@1 +
tD
Im@1 − D
tD
tD
E,
E,
D + Im@1 −
D E,
t 2
t 2
t 2
t 2
D + Im@1 +
D E=
t D → −ArcTan@ t D, Arg@1 + D → ArcTan@ è!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!! t t D → 1 + 2 t , Abs@1 + D → 1 + 2t= t
t
D,
Поэтому y130[t] можно преобразовать к виду y13@t_D = Simplify@y130@tD ê. ρ13D 1 4
−t
H−
2t
H−12 + πL − π − 12 t + 4 H1 +
2t
L ArcTan@
t
DL
Для проверки введём операцию l13@y_D := Simplify@8D@#@tD, t, tD − y@tD − H6 −t + Tanh@tDL, #@0D − 3, HHD@#@tD, tDL ê. t → 0L − 1< &@yDD После этого проверим, является ли функция y13 решением задачи l13@y13D
80, 0, 0<
Последнее показывает, выполняются.
что
уравнение
и
два
начальных
условия
1.4. Запишем рассматриваемую систему уравнений первого порядка в виде eq14 = H8D@x@tD, tD, D@y@tD, tD< == 88b11 , b12 <, 8b21 , b22 <<.8x@tD, y@tD< + 8f1 , f2
1, b12 −> 3, f1 → 2, b21 → 1, b22 → −1, f2 → 1< 8x @tD, y @tD< == 82 + x@tD + 3 y@tD, 1 + x@tD − y@tD<
Применим к системе уравнений eq14 преобразование Лапласа. Учитывая начальные условия, найдём
49
leq14 = LaplaceTransform@ 8x @tD, y @tD< == 82 + x@tD + 3 y@tD, 1 + x@tD − y@tD<, t, pD ê. 8LaplaceTransform@x@tD, t, pD → X, LaplaceTransform@y@tD, t, pD −> Y, x@0D → −1, y@0D → 2< 81 + p X, −2 + p Y< == 9
2 1 + X + 3 Y, + X − Y= p p
Система leq14 имеет решение {X14[p],Y14[p]}
X14@pD = X ê. First@Solve@leqv14, 8X, Y
−H−5 − 7 p + p2 L ê Hp H−4 + p2 LL
Y14@pD = Y ê. Last@Solve@leq14, 8X, Y
Отсюда с помощью обратного преобразования Лапласа найдём решение исходной задачи. 8x14@t_D, y14@t_D< = Simplify@ComplexExpand@ InverseLaplaceTransform@8X14@pD, Y14@pD<, p, tDDD 9
1 H−10 − 13 8
−2 t
+ 15
2t
L,
1 H−2 + 13 8
−2 t
+5
2t
L=
Проведём проверку полученного решения {x14[t], y14[t]}. Для этого введём операцию l14 := Simplify@8D@#1@tD, tD − #1@tD − 3 ∗ #2@tD − 2, D@#2@tD, tD − #1@tD + #2@tD − 1, #1@0D + 1, #2@0D − 2
Решение задачи найдено. Если рассматривать решение системы как параметрически заданную кривую на плоскости {x,y}, то для иллюстрации можно воспользоваться графическими средствами системы Mathematica ParametricPlot@8x14@tD, y14@tD<, 8t, 0, 1<, PlotRange → AllD
50
4.5 4 3.5 3 2.5
2
4
6
8
10
12
1.5. В соответствии со вторым законом Ньютона движение частицы описывается дифференциальным уравнением m x''[t]ã-k x[t]+a*Cos[t]. В нашем случае k=m и r=m/3. Поэтому Hm x ''@tD
−k x@tD + a ∗ Cos@tDL ê. 8k → m, r → m ê 3<
1 m x££ @tD == ÅÅÅÅÅ m Cos@tD - m x@tD 3
После сокращения на m приходим к дифференциальному уравнению с начальными условиями eq15 = x @tD == 8x@0D
1
3 x0 , x '@0D
Cos@tD − x@tD;
v0 < ê. 8x0 → 1 ê 2, v0 → 0<
8x@0D == 1 ê 2, x @0D == 0<
Учитывая начальные условия, с помощью преобразования Лапласа из уравнения eq15 получим LaplaceTransform@eq15, t, pD ê. 8LaplaceTransform@x@tD, t, pD → X, x@0D → 1 ê 2, x @0D → 0< −
p p + p2 X == −X 2 3 H1 + p2 L
Отсюда находим X15@pD = X ê. FirstASolveA− −
p 2
+ p2 X ==
p
3 H1 + p2 L
− X, XEE
−5 p − 3 p3 6 H1 + p2 L2
Обратное преобразование Лапласа позволяет получить решение x15@t_D = Simplify@ComplexExpand@InverseLaplaceTransform@X15@pD, p, tDDD 1 H3 Cos@tD + t Sin@tDL 6
51
Проверим, является ли функция x15[t] действительно решением задачи. Для этого введём операцию проверки l15 := Simplify@8D@#@tD, t, tD + #@tD − Cos@tD ê 3, #@0D − 1 ê 2, HHD@#@tD, tDL ê. t → 0L
Применим её к функции x15[t] l15@x15D
80, 0, 0<
Решение правильное. Решение задания 2 2.1. Выпишем аналитическое представление функции f21. f21@a_D = J1 − J
t a
N ^ 2N ∗ HUnitStep@tD − UnitStep@−a + tDL +
2 t i y j z z j 1 − J − 2N z ∗ HUnitStep@t − aD − UnitStep@−2 ∗ a + tDL + j a k { HUnitStep@t − 2 ∗ aD − UnitStep@−3 ∗ a + tDL − t J − 4N ∗ HUnitStep@−3 ∗ a + tD − UnitStep@−4 ∗ a + tDL a
Найдём её преобразование Лапласа g21@a_D = LaplaceTransform@f21@aD, t, pD
а затем найдём обратное преобразование Лапласа полученной функции. h21@a_D = InverseLaplaceTransform@g21@aD, p, tD t UnitStep@−4 a + tD t2 − 4 UnitStep@−4 a + tD + + a2 a t UnitStep@−3 a + tD 3 UnitStep@−3 a + tD − + a 4 t UnitStep@−2 a + tD 4 UnitStep@−2 a + tD − + a t2 UnitStep@−2 a + tD 4 t UnitStep@−a + tD − 4 UnitStep@−a + tD + a2 a
1−
Построим графики функций h21 и f21 при a=1.
p21 = Plot@h21@1D, 8t, 0, 5<, PlotRange → 8−1, 1<, AspectRatio → 0.4, Ticks → 881, 2, 3, 4<, 8−2, −1, 1<<, PlotLabel → "h21", AxesLabel → 8"têa", None<, PlotRange → AllD
52 h21
1
1
2
3
4
têa
-1
Plot@f21@1D, 8t, 0, 5<, PlotRange → 8−1, 1<, AspectRatio → 0.4, Ticks → 881, 2, 3, 4<, 8−2, −1, 1<<, PlotLabel → "f21", AxesLabel → 8"têa", None<, PlotRange → AllD f21
1
1
2
3
4
têa
-1
Сравните (визуально) графики функций f2103 и h103. 2.2. Найдём обратное преобразование Лапласа заданной функции p
; Hp + 1L Hp2 + p + 1L s22 = InverseLaplaceTransform@t22, p, tD
t22 =
è!!! 3 t − −t + −tê2 CosA E+ 2
−tê2
SinA è!!! 3
è!!!! 3 t 2
E
Найдём преобразование Лапласа функции s22 и рассмотрим разность Simplify@LaplaceTransform@s22, t, pD − t22D 0
Ответ 0 означает, что функция s22 найдена правильно. 2.3. В этом примере мы вначале введём функции реализации, которые упрощают процедуру построения решения и его проверку. eq@a0_, a1_, a2_D := H a0 ∗ # ''@tD + a1 ∗ # '@tD + a2 ∗ #@tDL &
m@a0_, a1_, a2_, f_, v0_, v1_D := Expand@Block@8Y<, Last@Y ê. Solve@ LaplaceTransform@eq@a0, a1, a2D@yD == f@tD, t, pD ê. 8LaplaceTransform@y@tD, t, pD → Y, y@0D → v0, y @0D → v1<, YDDDD
53
l@a0_, a1_, a2_, f_, v0_, v1_, y1_D := Simplify@8Heq@a0, a1, a2D@y1D − f@tDL, Hy1@tD − v0L ê. t → 0, HD@y1@tD, tD − v1L ê. t → 0
В нашем случае параметры задачи следующие. a230 = 1; a231 = 2; a232 = 1; Cosh@2 ∗ tD f23@t_D = Sin@3 ∗ tD + ; v230 = 5; v231 = 1; H1 + Exp@−tDL ^ 2
С помощью функции реализации находим m@a230, a231, a232, f23, v230, v231D 21 1 + − 2 H1 + 2 p + p2 L 2 H−2 + pL H1 + 2 p + p2 L 3 5p 1 + + + 2 2 2 p H1 + 2 p + p L 1 + 2 p + p2 H−1 + pL H1 + 2 p + p L PolyGamma@0, 1 + p2 D 3 − + 2 H1 + 2 p + p2 L H9 + p2 L H1 + 2 p + p2 L p PolyGamma@0, 1 + 2 H1 + 2 p + p2 L
p 2
D
+
1+p PolyGamma@0, 1+p 2 D − p PolyGamma@0, 2 D 2 2 2 H1 + 2 p + p L 2 H1 + 2 p + p L
Для того чтобы упростить вычисления, разобьём полученное выражение на три однотипных и подсчитаем обратное преобразование Лапласа от каждого из них отдельно. После элементарных упрощений получим Y231@pD = ApartA 21
2 H1 + 2 p + p2 L 3
1
1
2 H−2 + pL H1 + 2 p + p2 L H−1 + pL H1 + 2 p + p2 L 5p 3 + E; + 2 p H1 + 2 p + p2 L 1 + 2 p + p2 H9 + p2 L H1 + 2 p + p2 L
Y232@pD = − Y233@pD =
+
PolyGamma@0, 1 +
p 2
−
D − PolyGammaA0,
2 H1 + 2 p + p2 L
p IPolyGamma@0, 1 +
p 2
1+p 2
D − PolyGammaA0,
2 H1 + 2 p + p2 L
E
1+p 2
+
; EM
;
y23@t_D = Simplify@ ComplexExpand@InverseLaplaceTransform@Y231@pD, p, tDD + ComplexExpand@InverseLaplaceTransform@Y232@pD, p, tDD + ComplexExpand@InverseLaplaceTransform@Y233@pD, p, tDD, t > 0D 1 −t H3379 + 1350 t − 225 2 t + 50 3 t + 150 π2 + 900 4170 t − 54 t Cos@3 tD − 900 Log@2D + 1800 t Log@2D + 900 Log@1 + t D + 1800 PolyLog@2, − t D − 72 t Sin@3 tDL
54
В представлении функции y23[t] использована спецфункция 0 Log@1-yD PolyLog@2, -‰t D = Ÿ-‰t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ „ y . Поскольку эта функция зависит от y вещественного аргумента, а всё выражение не содержит комплексных переменных, то использование такого представления вполне допусимо. Проведём проверку построенного решения l@a230, a231, a232, f23, v230, v231, y23D 80, 0, 0<
Последнее означает, что y23[t] действительно является решением задачи. 2.4. Вначале введём данные задачи
9b411 = 1, b412 = 3, b421 = 1, b422 = −1, f41@t_D = t − Sin@tD, 1 f42@t_D = ∗ HCosh@tD − Cos@tDL, x40 = −1, y40 = 2=; 2
и функции реализации eq2@b11_, b12_, b21_, b22_D := 8#1 @tD − b11 ∗ #1@tD − b12 ∗ #2@tD, #2 @tD − b21 ∗ #1@tD − b22 ∗ #2@tD< & m2@b11_, b12_, b21_, b22_, f1_, f2_, x0_, y0_D := Flatten@Solve@LaplaceTransform@ eq2@b11, b12, b21, b22D@x, yD 8f1@tD, f2@tD<, t, pD ê. 8LaplaceTransform@x@tD, t, pD → X, LaplaceTransform@ y@tD, t, pD −> Y, x@0D → x0, y@0D → y0<, 8X, Y
После этого с помощью функции реализации найдём преобразования Лапласа компонент искомого решения 8X24@pD, Y24@pD< = 8X, Y< ê. m2@b411, b412, b421, b422, f41, f42, x40, y40D
9−
1 + p + 4 p2 − 5 p3 − 5 p6 + p7 −1 − p + 3 p2 + p4 + p5 − 2 p6 , − = p2 H−4 + p2 L H−1 + p2 L H1 + p2 L p2 H1 + pL H−4 + p2 L H1 + p2 L
Применение обратного преобразования Лапласа позволяет получить решение исходной задачи.
55
x24@t_D = First@Simplify@ComplexExpand@ InverseLaplaceTransform@8X24@pD, Y24@pD<, p, tDDDD y24@t_D = Last@Simplify@ComplexExpand@ InverseLaplaceTransform@8X24@pD, Y24@pD<, p, tDDDD 1 H−20 − 131 80
−2 t
−2 t
+ 40
1 H393 240
−t
− 20 −t
+ 71
− 20 2t
t
+ 71
2t
− 20 t + 40 Cos@tD + 16 Sin@tDL
− 60 t − 24 Cos@tD + 24 Sin@tDL
Проведём проверку построенного решения {x24[t], y24[t]} с помощью введённой выше функции l2. l2@b411, b412, b421, b422, f41, f42, x40, y40, x24, y24D 80, 0, 0, 0<
Таким образом, найденные функции {x24[t], y24[t]} действительно представляют решение задачи, которое можно проиллюстрировать графиком на плоскости {x,y}. ParametricPlot@8x24@tD, y24@tD<, 8t, 0, 1<, PlotRange → AllD 2.2
-1
1
2
3
4
5
1.8 1.6 1.4
2.5. По известному закону механики движение частицы описывается уравнением m x''[t]ã-k x[t]-r x'[t]. В нашем случае k=m и r=2m и поэтому m x ''@tD
−k x@tD − r x '@tD ê. 8k → m, r → 2 ∗ m<
m x @tD == −m x@tD − 2 m x @tD
После сокращения на m приходим к уравнению eqv25 := x ''@tD
−x@tD − 2 ∗ x '@tD
Кроме того, к уравнению eq25 следует присоединить начальные условия 8x@0D
x0 = 1, x '@0D
v0 = 0<
Применим к уравнению eq25 преобразование Лапласа. начальные условия, находим
Учитывая
56
LaplaceTransform@eq25, t, pD ê. 8LaplaceTransform@x@tD, t, pD → X, x@0D → 1, x @0D → 0< −p + p2 X
−X − 2 H−1 + p XL
Следовательно, в образах Лапласа решение имеет вид
X25@pD = X ê. First@Solve@−p + p2 X == −X − 2 H−1 + p XL, XDD 2+p 1 + 2 p + p2
Применив обратное преобразование Лапласа, отсюда находим x25@t_D = Simplify@ComplexExpand@InverseLaplaceTransform@X25@pD, p, tDDD −t
H1 + tL
Покажем, что x25[t] действительно является решением задачи. l25 := Simplify@8D@#@tD, t, tD + 2 ∗ D@#@tD, tD + #@tD, #@0D − 1, HHD@#@tD, tDL ê. t → 0L
57
Рекомендуемая литература 1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С.Владимиров. –М.: Наука, 1988. – 512с. 2. Свешников А.Г. Теория функций комплексной переменной / А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов. –М.: Наука, 1970. – 304с. 3. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю.В.Сидоров, М.В.Федорюк, М.И.Шабунин; Под ред. Ю.В.Сидорова. –М.: Наука, 1982. – 488с. 4. Капустина Т.В. Компьютерная система «Mathematica 3.0» для пользователей: Справочное пособие / Т.В. Капустина. –М.: Солон-Р, 1999. – 240с. 5. Дьяконов В. Mathematica 4: Учебный курс / В.Дьяконов. –СПБ: Питер, 2001. – 656с.
58
Содержание Предисловие Лекция 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Определение преобразования Лапласа. Оригинал и изображение 2. Свойства преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Лекция 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Вычисление преобразования Лапласа основных функций . . . . . . 4. Обратное преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Пример на вычисление преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . . Лекция 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Первая теорема разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Вторая теорема разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Пример на вычисление обратного преобразования Лапласа . . . . Лекция 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Пример решения задачи для уравнения с частными производными с помощью преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . . 10. Второй пример решения задачи для уравнения с частными производными с помощью преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . . Рисунки к доказательствам теорем и решения примеров . . . . . . 11. Два задания на применение преобразования Лапласа . . . . . . . . . Решение задания 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Решение задания 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 4 4 5 8 8 12 15 16 18 21 23 25 25 34 37 43 45 51 57
59
Составители: Глушко Андрей Владимирович Глушко Владимир Павлович Редактор
Тихомирова О.А.
