Типовой расчет по теории функций комплексного переменного

Министерство образования Российской Федерации Донской государственный технический университет

Кафедра «Высшая математика»

Типовой расчет по теории функций комплексного переменного

Ростов-на-Дону 2000 г.

Составители: Братищев А.В., Виноградова И.Ю., Краплин М.А., Поркшеян В.М.

Типовой расчет по теории функций комплексного переменного. / ДГТУ, Ростов-на-Дону, 2000, 23 с.

Задания для типового расчета охватывают различные разделы теории функций комплексного переменного. Предназначены для студентов всех специальностей, на которых изучается теория функций комплексного переменного.

Печатается по решению методической комиссии факультета «Автоматизация и информатика».

Рецензент: ст. преп. Шевченко Н.П.

©Издательский центр ДГТУ, 2000.

Тип I. Найти все значения Z и изобразить их на комплексной плоскости: 1. а) z 6 + 64 = 0 , 2. а) z 5 − i − 3 = 0 , 3. а) z 5 + 1 + 3i = 0 ,

(

)

б) z 4 + 4 z 2 + 3 = 0 б) z 4 + 5 z 2 + 6 = 0 б) z 4 + 5 z 2 + 4 = 0

4. а ) z = 4 16 cos1200 + i sin1200 ,

б) z 4 + 6 z 2 + 5 = 0

1 3 5. а) z 4 − − i = 0 , 2 2 4 6. а) z = cos800 + i sin800 , 7. а) z 4 − 2 + 2i = 0 , 8. а) 1 + 81z 4 = 0 ,

б) z 6 − z 3 − 12 = 0

(

)

б) z 6 + z 3 − 6 = 0 б) z 6 + 5 z 3 + 6 = 0 б) z 6 + 4 z 3 + 3 = 0

9. а) z = 4 625 cos1600 + i sin1600 ,

б) z 4 − 6 z 2 + 5 = 0

10. а) z 4 − 4i + 4 = 0 , 11. а) 625 z 4 + 1 = 0 , 12. а) z 5 + i − 1 = 0 , 13. а) 16 z 4 + 81 = 0 ,

б) z 6 + 3z 3 − 4 = 0 б) z 8 + z 4 − 6 = 0 б) z 4 − 4iz 2 − 3 = 0 б) z 4 + iz 2 + 6 = 0

(

)

14. а) z = 4 16 cos1000 + i sin1000 ,

б) z 4 + 6 z 2 + 8 = 0

15. а) z = 5 1 − 3i , 3 i 16. а) z 4 + − = 0 , 2 2 4 17. а) z = 4 − 4i , 18. а) z 4 + 1 + 3i = 0 ,

б) z 4 − 6iz 2 − 8 = 0 б) z 6 + 2 z 3 − 15 = 0

(

)

б) z 4 − 5 z 2 + 4 = 0 б) z 6 − iz 3 + 6 = 0

19. а) z = 4 81 cos1200 + i sin1200 ,

б) z 4 − 5iz 2 − 4 = 0

20. а) z = 5 −1 + 3i , 21. а) z 4 + 625 = 0 ,

б) z 4 − 7 z 2 − 8 = 0 б) z 4 − 3iz 2 − 2 = 0

(

)

22. а) z = 4 16 cos500 + i sin 500 ,

б) z 6 + 5 z 3 + 4 = 0

23. а) z = 5 1 + 3i , 24. а) z 4 + 5 + 5i = 0 , 25. а) z 5 + i + 1 = 0 ,

б) z 4 − 3z 2 − 4 = 0 б) z 6 + iz 3 + 2 = 0 б) z 4 + iz 2 + 2 = 0

(

)

26. а) z = 4 81 cos 400 + i sin 400 ,

б) z 6 + iz 3 + 6 = 0

3 i + =0, 2 2 28. а) z 5 + 243 = 0 ,

б) z 4 + 2 z 2 − 8 = 0

27. а) z 5 +

б) z 4 − 2iz 2 + 8 = 0

1 3 29. а) z 5 − − i = 0 , 2 2 5 30. а) z + i = 0 , 31. а) z 5 − i = 0 , 32. а) z = 6 1 − 3i , 33. а) z 4 + 16 − 16i = 0 , 34. а) z 5 = 32 cos 2400 − i sin 2400 ,

б) б) б) б) б)

35. а) 256 z 4 − 625 = 0 ,

б) z 4 + 4 z 2 − 5 = 0

(

)

б) z 4 − 6iz 2 − 8 = 0 z 6 − 7iz 3 − 12 = 0 z6 − 4z3 + 3 = 0 z 2 − iz + 12 = 0 z 6 − z 3 − 12 = 0 z 4 − 3iz 2 + 18 = 0

Тип 2. Найти образ линии (области) при указанном отображении w = f ( z ) 1. Imz = Re z − 2, w =

3. z − 1 ≤ 1, w =

⎧0 < Imz < 2π , w = ez 2. ⎪⎨ ⎪⎩ Re Z < 0

z z +i

1 z

2 5. Re z ≤ Imz, w = − i z 7. 0 ≤ Imz ≤ 2, w = z 2 − 3 ⎧ 0 < Re z < 1 9. ⎪⎨ , w = z2 ⎪⎩0 < ImZ < 1

11. −2 ≤ Imz ≤ 0, w = ( z + 2i )

2

13. 2Re z − 2 Imz − 1 ≥ 0, w = z 2 ⎧ Imz ≤ 0 2 , w = ( z − 2i ) 15. ⎪⎨ ⎪⎩Re Z ≤ 0

17. 0 < Imz < 1, w =

z −i z

π 1 19. arg z = − , w = 4 z −i 1 21. z − 1 ≤ 1, w = + i z

23. Imz < 1, w =

π

4z z +1

π

1 2 2 z z +i 27. Re z ≤ Imz + 1, w = z 25. −

≤ arg z 3 ≤

, w=

π 1 4. arg z 2 = − , w = 2 z ⎧ Imz ≥ 0 2 , w = ( z + i) 6. ⎪⎨ ⎪⎩Re z ≤ 0 1 8. z ≤ 2, w = z −1 π 1 10. arg z = , w = 4 z +i 1 12. Re z + 2 Imz ≤ 1, w = z 2 14. 1 ≤ Re z ≤ 2, w = z − 1 ⎧2 ≤ z ≤ 4 16. ⎪⎨ , w = iz + 1 ⎪⎩ Im ≥ 0 z +i 18. z + 1 < 3, w = z−2 z 20. Re z < 1, w = z +1 22. arg z =

π 3

, w=

z _

z

24. z − 2 ≥ 1, w = 2 z − i ⎧0 ≤ Re z ≤ ln 2 26. ⎪⎨ , w = ez ⎪⎩ 0 ≤ Imz ≤ 2π 3 28. z + 2 ≤ 3, w = z −1

29. −

π 6

≤ arg z ≤

π 6

⎧ Imz ≥ 0 30. ⎪⎨ , w = ( iz − 2 ) ⎪⎩Re z ≤ 0

, w = z3

⎧ π π ⎪− < Re z < 32. ⎨ 2 2 , w = eiz ⎪ 0 < Im z < 1 ⎩

31. Re z + Im z ≤ 1, w = z + z z +i z 35. 1 < Re z < 2, w = z 2 + 2 z 33. z − i ≤ 1, w =

34. arg z 2 =

π

2

, w = 1− z3

Тип 3. Вычислить значение функции w = f ( z ) в точке z0 . 1. w = cos 2 z, z0 = 1 + i 3. w = 2 z , z0 = 1 + i z 5. w = sin , z0 = 3 + i 2 7. w = cosz, z0 = 5 + 2i 9. w = Ln ( z + 1) , z0 = −i 11. w = sin z, z0 = 3 − 2i 13. w = cos z, z0 = 2 − 5i 15. w = Lnz, z0 =

− 3+i 2

z−2 , z0 = 2 − 2i 3 19. w = chz, z0 = −5 + 2i 17. w = sh

2. w = Lnz, z0 = −1 − i 4. w = shz, z0 = 3 − 2i 6. w = chz, z0 = −1 + i z

⎛1 3 ⎞ 8. w = ⎜ + i ⎟ , z0 = 3 − 4 i ⎜2 2 ⎟ ⎝ ⎠

z 2

10. w = sh , z0 = − 3 + i 12. w = chz, z0 = −2 − 2i 1 3 14. w = z 3−2i , z0 = − i 2 2 16. w = 3z −1, z0 = i 18. w = sin 2 z, z0 = 3 + 4i 20. w = cos z, z0 = 4 + 3i

z

⎛ 3 i⎞ 21. w = ⎜ + ⎟ , z0 = −2i ⎜ 2 2⎟ ⎝ ⎠

22. w = Lnz, z0 = −4 + 4i

23. w = ( −2 + 2i ) , z0 = 4i 3z + 2 , z0 = 1 + i 25. w = sh i 3−i 27. w = ch , z0 = −1 − i z 29. w = Lnz, z0 = −3 − 3i

24. w = 5z +1, z0 = −i 2 26. w = sin , z0 = 3 + 4i z

31. w = cos z 2 , z0 = 1 + i 33. w = Zniz, z0 = 1 + i

32. w = z 2−i , z0 = 1 − i 34. w = Shiz, z0 = 3 − 2i

z

28. w = cos ( z + 2 ) , z0 = −1 + 3i 30. w = z1−3i , z0 = −i

35. w = ( 3 + 3i ) , z0 = −i z

Тип 4. Сходятся ли ряды: 1. а)

(2 − i)

∞

∑ n=1

n

∞

ni e б) ∑ n=1 n n

,

3n

(1− i ) , 2. а) ∑ n=1 3i n

∞

⎡

( −1) 3. а) ∑ ⎢ n n=1 ⎢ ∞ ⎢

б) ⎤

n−1

⎥ + i2 ⎥ , n ⎥

⎢⎣

4. а)

∞

∑ n =1

⎥⎦

cos nϕ − i sin nϕ , n3

n (1+ i ) 5. а) ∑ 2n n=1 ∞

∞ ⎡ ⎢ 6. а) ⎢ n=1 ⎢ ⎣

∑

in , ∑ n =1 n ( n + i )

11. а)

∞

∑ n =1 ∞

∑ n =1 ∞

(3 + 4i )

,

6n

(3 + i )

2n

,

9n

∑

(2 − i)

n

∑ n=1 n(n + 1) n ∞ ⎛ 2−i ⎞

⎜ ∑ ⎜ n=1 ⎝

∞

∞

∑ n =1 ∞

∑ n =1

2

⎟ ⎟ ⎠

5

3n

( −1) ∑ n =1

n⎛

(1 + i )

1 i ⎞ −3 ⎟ ⎜ n⎠ ⎝ n n

3n / 2 ⎛1 ⎞ ⎜ +i⎟ ⎝2 ⎠

2n

3n

(i sin nϕ ) б) ∑ 2 n =1 n ( 3n + 1) ∞

n

∞

e3in б) ∑ n =1 ( n + 1) n + 1

n

⎛ 1 + 2i ⎞ 12. а) ⎜ ⎟ , n =1 ⎝ 2i ⎠

∞

(1− i ) б) ∑ n n=1 3 + n

б)

n

(3 − 6i)n ∑ 7n n=1

∞

б)

∞

∞

n

б)

n!

cos n − i sin n 3n2 + 1

б)

n

∑ n =1

∑ n =1

,

i ⎤⎥ ⎥ , ⎥⎦

( 2i ) , 7. а) ∑ n n =1 3 ( n + 1) n ∞ (3 + i ) 8. а) ,

10. а)

б)

n+1

( 2n − i ) 2n

∞

9. а)

б)

∞

б)

∞

∑ n =1

sin n + i cos n (n + 1)2

⎡ −1 n ⎤ ( ) i ⎥ ⎢ 13. а) , − 2 n + 1⎥ n =1 ⎢ n + 1 ⎣ ⎦ ∞

∑

(cos ϕ + i sin ϕ ) n , 14. а) ∑ (n + 1) 2 n =1 ∞

n(2 − i) 15. a) ∑ 3n n =1 ∞

n+2

n

∑

17. а)

( 3i )

∑n n =1

2

,

б)

⎡ i ( 3n − i ) ⎤ 18. а) ∑ ⎢ ⎥ , 5n ⎦ n =1 ⎣ 2n ∞ ⎛ 3−i ⎞ 19. а) ∑ ⎜ ⎟ , n =1 ⎝ 1 + 2i ⎠ n

22. а)

∞

2

+1

,

∑ n!( 3 − 2i ) n =1

б)

∑ 3 n(n + 1) ∞

∞

∑

n

n

2n

( −1 − i )

n

n2 + 3

3n б) ∑ n n =1 n !(2 + i ) ∞

⎛ 1 ⎞ б) ∑ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ 3 − i ⎠ ∞

∑ n =1

,

in

∞

б)

n

n

∑ (3 + i )

n =1

n +1

5n

n

⎛ i ⎞ б) ∑ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ i − 1 ⎠ ∞ 3n б) ∑ n n =1 ( 3 + 4i )

n

(2 + i) , 27. а) ∑ n =1 n ( n + 2 )

⎡i 1 ⎤ ⎢ n + n(n + 1) ⎥ ⎣ ⎦

( 3i )

∞

∞

⎡i(n + i) ⎤ 24. а) ∑ ⎢ ⎥ , 2n ⎦ n =1 ⎣ ∞ i ⎞ ⎛ 1 − ⎟, 25. а) ∑ ⎜ 2 3n ⎠ n =1 ⎝ n + 5n ∞ i 2n , 26. а) ∑ n n =1 (1 + i ) ( n + 2)

28. а)

n

2n б) ∑ n n =1 n !(1 + i )

n =1

1

∞

∞

∑ (−1)

∞

б)

n

∑ ( 2n + i )

∞

n2

∞

n =1

n

n =1

9n / 2

n ( n + 1) (2 + i ) n б) ∑ 2n n =1

б)

∑ 3 (2n + 1) , n =1

23. а)

(5 + i )

n

∞

3n

⎛ 1+ i ⎞ 20. а) ∑ ⎜ ⎟ , + i 2 ⎝ ⎠ n =1 ∞ en 21. а) ∑ , n n =1 ( 2 + i ) ∞

en

(2 + i)

n =1

∞

∞

n =1

n

+1

∑

n

⎛3+i ⎞ б) ∑ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ 6 ⎠ 2n ∞ 2 + i) ( б) ∑ n =1 n( n + 1)

⎡ ( i + n ) 2i ⎤ ⎢ ⎥ , 16. а) 3 n ⎥⎦ n =1 ⎢ ⎣ ∞

б)

∞

∑ n =1

(3 − i )

∞

,

∞

б)

∞

3n

( 0,5 + 0,5i ) in

⎛i+2⎞ б) ∑ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ i − 3 ⎠ ∞

3n

n

( i − 3) б) ∑ n =1 ( 2n )! n ∞ n ( n + 2 )( 0,3 + 0,3i ) б) ∑ ( 2n + 1)( n + 3) n =1

n

⎛ 2n + i ⎞ 29. а) ∑ ⎜ ⎟ , 3 ni ⎠ n =1 ⎝ ∞

30. а)

∞

∑

(1 − 4i )

31. а)

∞

n2

∑ (1 − i ) n =1

32. а) 33. а)

∞

∑

n

e2 n

n =1

,

, n

(i − 2)

n =1

n!

∞

n+i

б)

∞

∑ ( 0,3 − 0,4i )

3n

n =1

3n

i⎞ ⎛ б) ∑ ⎜1 + ⎟ n⎠ n =1 ⎝ 2n ∞ ⎛ i ⎞ б) ∑ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ i + 1 ⎠

,

n =1

⎛ 2−i ⎞ б) ∑ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ 2 + i ⎠ ∞

i ⎞ ⎛ n + 2 ⎟, 34. а) ∑ ( −1) ⎜ 2 ⎝ n +1 n ⎠ n =1 n

n

⎛ 2 n − n 2i ⎞ 35. а) ∑ ⎜ 2 ⎟ , n =1 ⎝ n + 1 ⎠ ∞

n2

∞

∑ n ( n + 1) , ∞

2n

∞

n

2

2n + ni б) ∑ n =1 ( 2n + 1)! ∞

Тип 5. Проверить выполнение условий Коши-Римана и там, где они выполняются, найти производные: 1. f ( z ) = iz 2 + 3. f ( z ) = e 2 z

1 z

2. w = 3r sin ϕ − 3ir cos ϕ 4. f ( z ) = z 2 + z

5. f ( z ) = z ⋅ ImZ

6. f ( z ) = ze z

7. f ( z ) = z ⋅ z

z2 8. f ( z ) = + iz 3 10. f ( z ) = 2 z − z 2 12. f ( z ) = sh 2 z

9. f ( z ) = cos5 z

11. f ( z ) = z ⋅ ImZ 13. f ( z ) = e

z +3 2

15. f ( z ) = ( z + 1) e z 17. w = r (cos 2ϕ + i sin 2ϕ ) 2

19. f ( z ) = z 2 − 3z

14. f ( z ) = ze z −2 16. f ( z ) = z 2 + z 2

18. f ( z ) = e ImZ 20. f ( z ) = z

i z

z z

21. f ( z ) = ( z + 1) e z

22. f ( z ) =

23. f ( z ) = sin 4 z

24. f ( z ) = cos

z 3 26. f ( z ) = z Re Z

25. f ( z ) = 5 z + z 2 z 27. f ( z ) = ch 2 29. f ( z ) = e

28. w = ln r + iϕ

z −4 3

30. w = r 3e3iϕ

31. f ( z ) = ( z − 1) − ( z + 1) 3

32. f ( z ) = ( Re z − Lmzi )

3

33. f ( z ) = ( z + 1)( z − 1) 35. f ( z )

( Im z ) − ( Re z ) = 2

34. f ( z ) = e z 2

3

2

i

2i

Тип 6. Найти аналитическую функцию f ( x, y ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) , если: 1. U ( x, y ) = 2 ( x 2 − y 2 ) − 3 x + 3 y, 2. V ( x, y ) = y +

f (1, 2 ) = −3 + 5i

x x + y2 2

3. U ( x, y ) = ( e x + e − x ) ⋅ sin y, 4. U ( x, y ) = x 2 − y 2 + xy,

f ( 0,0 ) = i

f ( 0,0 ) = 7i

5. V ( x, y ) = 2 xy + 3 x 2 − 3 y 2 + 7

6. U ( x, y ) = x 4 − 6 x 2 y 2 + y 4 − 8 x,

f (1,1) = −12 + 6i

7. U ( x, y ) = ( x 2 − y 2 ) − 2 x (1 + 2 xy 2 ) 2

8. U ( x, y ) = e−2 y cos 2 x − 3 x, f (π ,0 ) = 1 − 3π 1 9. U ( x, y ) = 3 x 2 − 3 y 2 + cos y ( e x − e − x ) 2 3 10. V ( x, y ) = x − 8 xy + 3 ( x 2 − y 2 − xy 2 ) 11. U ( x, y ) = 4 ( x 2 − y 2 ) − 3 xy ( x + 2 ) + y 3

1 12. V ( x, y ) = 6 xy + sin y ( e x + e − x ) 2 2 13. U ( x, y ) = x − y 2 + e x cos y, f ( 0,0 ) = −5i

14. U ( x, y ) = 2 x + y − 3 x 2 + 3 y 2 ,

f (1,1) = 3

15. U ( x, y ) = 3 x3 − 9 xy 2 + 2 x 2 − 2 y 2 + x − 7 y

16. V ( x, y ) = 2 ( y 2 − x 2 ) − 3 y + 5 x, 17. U ( x, y ) = 3 x +

f ( 0,0 ) = 7

y x2 + y 2

18. V ( x, y ) = ( e 2 x + e −2 x ) ⋅ cos 2 y

19. V ( x, y ) = y 2 − x 2 + xy + 2 x,

f (1,1) = 2 + 3i

20. U ( x, y ) = 2 xy + 3 y 2 − 3 x 2 + 5 y

21. U ( x, y ) = y 3 + 6 xy 2 − 3 x 2 y − 2 x3

22. V ( x, y ) = ( y 2 − x 2 ) 2 − 2 y (1 + 2 x 2 y ) 23. V ( x, y ) = e −3 x ⋅ sin 3 y − 5 x + 1

24. U ( x, y ) = x 4 − 6 x 2 y 2 + y 4 + 7 x,

f (1,1) = 3 + 9i

ex sin y 2 26. V ( x, y ) = 3 xy ( y + 2 ) − 4( y 2 − x 2 ) − x3 25. V ( x, y ) = 5 y 2 − 5 x 2 +

27. U ( x, y ) = e5 x cos5 y − x 2 + y 2 , f ( 0,0 ) = 1 + 2i x 28. V ( x, y ) = 2 − 4y x + y2 29. U ( x, y ) = x 3 − 3xy 2 + 7 x 2 − 7 y 2 − x e x + e− x 30. V ( x, y ) = cos y + x 2 − y 2 2 2 31. U ( x, y ) = x − y z − 2 y, f ( 0,0 ) = 0

32. V ( x, y ) = e x cos y, 33. U ( x, y ) = y − 2 xy,

f ( 0,0 ) = 0 f ( 0,0 ) = i

34. V ( x, y ) = x 3 − 3xy 2 − x,

f (1,0 ) = 0

35. U ( x, y ) = e x ( x cos y − y sin y ) ,

f ( 0,0 ) = 0

Тип 7. Вычислить интегралы: ( 2,3)

1. а)

∫ ( z + Imz ) dz ,

по прямой, соединяющей точки.

( 0,1)

( 0,1)

б)

∫ L

z 2

e dz , z2 + 4

⎧ x = 2cos t где L – эллипс ⎨ ⎩ y = sin t.

z 2 dz в) ∫ 2 , L ( z + 1) ( z + 3 )

где L – окружность z = 2 .

1+i

∫ (1 − 2 z ) dz

2. а)

по параболе y = x 2 .

0

0

z2 + 1 dz , б) ∫ 2 z − 1 L

где L – контур квадрата с вершинами: А (-1,-1); В (-1,1); С (1,1); D (1,-1).

iz

в)

e dz ∫L z 3 + 5z 2 + 6 z , Re z z dz

⎧ x = cos t , по четверти окружности ⎨ ⎩ y − 1 = sin t.

ch( z + i )dz ∫L z 3 + 27 ,

где L – контур квадрата с вершинами:

(1,1)

∫

3. а)

_

(0,0)

б)

в)

где L - окружность z + 1 = 1,5 .

∫ (z L

zdz , 2 + 16 )( z 2 − 2 )

А (-4,-2); В (-4,2); С (0,2); D (0,-2). x2 где L – эллипс + y2 = 1. 9

( − a ,0)

∫

4. а)

⎧ x = a cos t , по верхней части эллипса ⎨ ⎩ y = b sin t.

( z + 2Re z )dz

( a ,0)

x sh dz б) ∫ 2 3 , z − 3z L

где

L

–

контур

прямоугольника

с

вершинами: А (1,-1); В (1,1); С (4,1); D (4,-1). в)

∫ (z L

2

sin zdz , + 1) ( z − i )

где L – окружность x 2 + y 2 = 2 y .

(1,1)

∫

5. а)

вдоль линии y =| x | .

| z | dz

( −1,1)

z sin dz б) ∫ 2 5 , , z + 25 L в)

∫ L

e3 z dz z( z − 1 −

6. а) ∫ Imzdz , L

где L – окружность x 2 + ( y − 5) 2 = 1.

π 6

,, i)2

⎧−1 ≤ Re z ≤ 3, где L – контур квадрата ⎨ ⎩−2 ≤ Imz ≤ 2. ⎧ x = 1 + cos t , где L – окружность ⎨ ⎩ y = sin t.

e z dz б) ∫ 3 , z + z 9 L

где L – контур треугольника с вершинами: Z1 = i, Z 2 = −1 − i, Z 3 = 1 − i.

( z 2 + 1)dz ∫L (3z + 2)2 z , ,

в)

где L - эллипс x 2 + 4 y 2 = 4 .

⎧−2 ≤ Re z ≤ 2 7. а) ∫ ( Imz − Re z )dz , где L – граница множества ⎨ ⎩−1 ≤ Imz ≤ 1. L sh 2 zdz где L – окружность x 2 + y 2 = 0,25 . б) ∫ , z ( z + i) L e z dz в) ∫ 2 , z + 2iz + 3 L 8. а) ∫ Re( z ) 2 dz , L

где L - эллипс16 x 2 + y 2 = 16 . ⎧0 ≤ Re z ≤ 4 где L – граница множества ⎨ ⎩0 ≤ Imz ≤ 8.

z cos dz б) ∫ 2 3 , , z − 3iz L

где L – окружность | z − 3i |= 2 .

( z 3 + z 2 + 1)dz , в) ∫ 4 2 z + 2 z − 8 L

⎧ x = cos t , где L – эллипс ⎨ ⎩ y = 3sin t.

i

2i

0

0

9. а) ∫ sin zdz + ∫ cos 2 zdz. б)

sh( z + 1)dz ∫L z 2 − 7 z + 10 ,

⎧ x = 4cos t , где L – эллипс ⎨ ⎩ y = 2sin t.

в)

e z +1dz ∫L ( z − 2)( z 2 + 4) ,

⎧−1 ≤ x ≤ 1, где L – контур прямоугольника ⎨ ⎩−3 ≤ y ≤ 3.

1+ 2 i

10. а)

∫ (iz

2

+ 3 z )dz.

i

zeiz dz б) ∫ 3 , z + 8 L в)

⎧2 ≤ Re z ≤ 3, где L – контур прямоугольника ⎨ ⎩−1 ≤ Imz ≤ 2.

cos π zdz 2 2 ∫L ( z − 1)2 ( z 2 + 1) , где L – окружность ( x − 1) + y = 0, 25. (0,4)

11. а)

∫

(2,0)

Im[( z + i ) 2 ]dz , по дуге параболы y = 4 − x 2 .

sh 2 zdz , 3 + z L

∫ 4z

б)

где L – окружность | x − i |=

3 . 4

sin zdz ∫L ( z 2 + 1)( z 2 + 9) , где L – контур треугольника с вершинами: О (0,0); А (4,4); В (-4,4).

в)

(1,3)

∫

12. а)

z ⋅ Im zdz. ,

по прямой, соединяющей точки.

( −1,1)

z 3

∫z

б)

e dz , + (1 + i ) z

2

L

где

L

–

контур

ромба

с

вершинами

точках: Z1 = 2, Z 2 = i, Z 3 = −2, Z 4 = −i. в)

∫z

L (0,1)

∫

13. а)

ch 2 zdz , + 3iz + 4

где L – окружность | Z |= 5 .

2

по дуге эллипса x = 2cos t , y = sin t .

z Re zdz ,

( −2,0)

во втором квадрате. б)

sin( z + π i )dz ∫L ( z + 1)(e z + 2) ,

где L – окружность ( x − 1) 2 + y 2 = 1.

( z 2 + 3)dz , где L – контур прямоугольника в) ∫ 2 2 z ( z + 2 iz + 3) L

⎧−1 ≤ Re z ≤ 3, ⎨ ⎩−2 ≤ Im ≤ 2.

(1,2)

∫

14. а)

по дуге параболы y = 2 x 2 во втором квадрате.

(4 z + z )dz ,

(0,0)

zeiz dz б) ∫ 2 z − (3 + 4i ) |L| = 2 в)

∫z

3

L

dz , + 2iz + 3 z

где L – эллипс 16 x 2 + y 2 = 16 .

1+i

15. а)

∫ ( z + Re z )dz

−1−i

б)

∫

|L − 2 i| =1

в)

cos( z −

π 2

по прямой, соединяющей точки.

i )dz

4z2 + π 2

.

zdz ∫L ( z 2 − 4)( z 2 + 9) , где L – контур прямоугольника

⎧−3 ≤ Re z ≤ 4, ⎨ ⎩−4 ≤ Im z ≤ 2.

−1+i

16. а)

∫ (2 z − z )dz

1−i

по прямой, соединяющей точки.

в

x2 y2 где L – эллипс + = 1. 36 16

ze z dz б) ∫ 2 , z + 25 L

( z 2 + 1)dz в) ∫ 2 , где L – окружность | z − 2 − 4i |= 5 . ( z + 16)( z − 1) L 1+ 2 i

∫ (3z − 5)dz

17. а)

по параболе y = x 2 + 1.

i

⎧ −1 ≤ Re z ≤ 1, где L – контур квадрата ⎨ ⎩−1 ≤ Im z ≤ 1.

( z 3 − 1)dz б) ∫ , 2 z − i L

e 2 z dz , где L – окружность | z + 1|= 2. в) ∫ 3 2 z + z + z 9 14 L ⎧ x = cos t , по четверти окружности ⎨ ⎩ y = 1 + sin t. ⎧ −2 ≤ Re z ≤ 1, где L – контур прямоугольника ⎨ ⎩−3 ≤ Im z ≤ 3.

(1,1)

∫

18. а)

z Im zdz ,

(0,0)

s h 2 zdz ∫L z (iz − 5) , z sin dz 2 8 , где L – окружность x 2 + ( y − 8 ) = 64 . в) ∫ 2 ( z + 64)( z − 8i ) L

б)

( −3,0)

⎧ x = 3cos t , по верхней части эллипса (Im z − z ) dz , ⎨ ∫ ⎩ y = 2sin t. (3,0)

19. а) б) в)

cos zdz ∫L z 2 + zi ,

∫ L

1 где L – окружность | z |= . 2

e z dz z( z + 1 +

π 2

, i)2

⎧−2 ≤ Re z ≤ −0,5, где L – контур прямоугольника ⎨ ⎩ −2 ≤ Im z ≤ 2.

(2,1)

20. а)

∫ | z − 1| dz,

вдоль линии y =| x − 1| .

(0,1)

( z 3 − 1)dz , б) ∫ 2 z − i L

⎧ −1 ≤ Re z ≤ 1, где L – контур квадрата ⎨ ⎩−1 ≤ Im z ≤ 1.

e2 z dz в) ∫ 3 , z + 9 z 2 + 14 z L

где L – окружность | z + 1|= 2.

(1,1)

21. а)

∫

(2 z + Re z )dz по параболе x = y 2 .

(0,0)

б)

cos zdz ∫L z 2 + 2 zi ,

где L – окружность | z + 2i |= 1 .

в)

⎧ x = 2cos t , zdz , где L – эллипс ⎨ ∫L ( z + 1)(2 z − i)2 ⎩ y = sin t. _

22. а) ∫ ( z + 3 z )dz , 2

где L

- отрезок прямой, соединяющий точки

L

Z1 = 1 и Z 2 = 2 + i. б)

chzdz . 2 3 z z + |L −1| =1,5

∫

e z + 2 dz , в) ∫ 2 z iz 6 5 + − L 23. а) ∫ Im( z 2 )dz , L

e 2 z dz , б) ∫ 3 z + 4z z

⎧ −1 ≤ Re z ≤ 1, где L – граница множества ⎨ ⎩−6 ≤ Im z ≤ 0. ⎧ 0 ≤ Re z ≤ 1, где L – граница множества ⎨ ⎩0 ≤ Im z ≤ 2. где L – контур треугольника с вершинами: Z1 = i, Z 2 = −1 − i, Z 3 = 1 − i.

в)

sin π zdz , где L – окружность | z − 2 − 2i |= 3. 2 2 + 4)

∫ ( z − 2) ( z

L 3i

24. а) ∫ (cos z + i sin 2 z )dz. 0

б)

sin izdz ∫L z 2 − 6 z + 5 ,

в)

e 2 z dz ∫L ( z − 1)( z 2 + 1) ,

⎧ x = 4cos t , где L – эллипс ⎨ ⎩ y = 2sin t. ⎧−2 ≤ Re z ≤ 2, где L – контур квадрата ⎨ ⎩ −2 ≤ Im z ≤ 2.

2 +i

∫ (2iz − z

25. а)

2

)dz.

1

ch 4 zdz , 9 2 L z + 16 2 ( z − 1)dz в) ∫ 4 , 2 z + 13 z + 36 L

б)

∫

где L – окружность | z + i |= 0,5. ⎧ x = cos t , где L – эллипс ⎨ ⎩ y = 2,5sin t.

(1,1)

26. а)

∫

Re( z 2 )dz

вдоль окружности x 2 + y 2 = 2 по

( 2 ,0)

кратчайшему пути.

( z − i ) 2 dz , б) ∫ 3 z + 1 L

где L – контур прямоугольника ⎧−1,5 ≤ Re z ≤ −0,5, ⎨ ⎩ −1 ≤ Im z ≤ 1.

в)

cos 2 zdz ∫L ( z 2 − 4)( z − i)2 , где L – контур треугольника с вершинами: А (0,-2); В (-2,2); С (2,2). (1,3)

∫

27. а)

_

(Re z + z )dz

по прямой, соединяющей точки.

( −1,1)

б)

z 2

e dz , 2 + iz

∫z L

где L – контур ромба с вершинами: i i Z1 = 2; Z 2 = ; Z 3 = −2; Z 4 = − . 2 2

в)

shzdz ∫L z 2 + 4iz + 5 , _

28. а) ∫ z z dz , L

cos

где L – окружность | z |= 6. по ломаной АВС: А (1,0); В (4,0); С (5,1).

πz

dz 2 б) ∫ , z − + ( )( 1) z i e L

где L – окружность x 2 + ( y − 1) = 1. 2

e z dz , где L – контур прямоугольника в) ∫ 2 2 z z + iz + ( 3 4) L

⎧−2 ≤ Re z ≤ 2, ⎨ ⎩ −1 ≤ Im z ≤ 2.

(1,2)

29. а)

∫

(2 z − 3 z 2 )dz , где L – отрезок прямой.

( −1,1)

( z + 1)e z dz б) ∫ 2 |L| =1 z + ( 2 − i 2) в)

dz ∫L z 3 + 4iz 2 + 5 z , (0;0)

30. а)

∫

_

( z + 5 z ) dz

⎧ x = cos t , где L – эллипс ⎨ ⎩ y = 6sin t.

по прямой, соединяющей точки.

( −2;2)

б)

sin izdz ∫ 4z2 + π 2 . |L −1| =1

в)

( z + 5)dz ∫L ( z 2 − 9)( z 2 + 49) , где L – контур прямоугольника

⎧−4 ≤ Re z ≤ 4, ⎨ ⎩ −2 ≤ Im z ≤ 8.

(4;2)

∫

31. а)

| z − 2 | dz

вдоль линии y =| x − 2 | .

(0;2)

e z dz , б) ∫ 2 ( 3 ) z z + i L

где L - | z − 2i |= 3 .

z2 + 1 , в) ∫ 4 z + 4z2 + 4 L

где L - x 2 + ( y − 2) 2 = 4 .

32. а) ∫ Re z 3dz , L

б)

cos π i dz , 3 + 4z2

∫z L

z4 , в) ∫ 2 1 z + z + L

⎧ 0 ≤ x ≤ 1, где L – контур квадрата ⎨ ⎩0 ≤ y ≤ 1. где L - | z − i |= 2 . ⎧ −2 ≤ x ≤ 0, где L – контур прямоугольника ⎨ ⎩−2 ≤ y ≤ 2.

(0,1)

∫

33. а)

( z 3 − z )dz

по отрезку прямой, соединяющей точки.

(1,0)

ez б) ∫ 4 dz . z + z2 |L| = 2 в)

z −3 ∫ e z + i dz | L + 2 i| = 2

.

(1,1)

34. а)

∫

( z 2 z + z )dz

по отрезку прямой, соединяющей точки.

(0,1)

б)

sin π z ∫ ( z − 2)2 ( z + 1) . |L + 2 i| =3

z2 − z + 1 dz , в) ∫ z + z +1 L (2,2)

35. а)

∫

(2,1)

z2 + z 2 dz z⋅z

б)

e2 z dz. z ∫ e 1 − |L −3| = 4

в)

z 2 ⋅ dz ∫L z 4 + 1 ,

⎧−2 ≤ x ≤ 1, где L – контур прямоугольника ⎨ ⎩ 1 ≤ y ≤ 2. по отрезку прямой, соединяющей точки.

⎧ x = 1 + cos ϕ , где L – ⎨ ⎩ y = sin ϕ .

Тип 8. Найти область абсолютной сходимости степенного ряда: ∞ ( z + i )3n ( z − 3 + 2i ) n 2. ∑ . . 1. ∑ n n(n + 1) n =1 n( n + 1)8 n =1 ∞ ∞ n ⋅ 3n (1 − i ) 2 n 4. ∑ 3. ∑ . . n zn n =1 ( z − 1 + i ) n =1 ∞

( z − 3i ) n+1 (2 + i ) 2 n 5. ∑ . n ! n =1 ∞ [(4 − 3i ) z ]n 7. ∑ . n + i ( 2 2 ) n =1 ∞ ( z + 3i ) n 9. ∑ . 3 n =1 ( n + i ) ∞ 2n ( z + 1) n 11. ∑ . n n =1 (2n + 3)3 ∞

( z − 2 + 3i ) n . ∑ 4n ( n + i ) n =1 ∞ ( z − i)n ∞ n2 15. ∑ +∑ . n n 2 ( z − i ) n =1 n =1 ∞ ( z + 2 − 3i ) n 17. ∑ . 2n n =1 ( n + 3)(1 + 2i ) 13.

∞

n

n

∞ 1 ⎛ z −1⎞ 6. ∑ ⎜ + . ⎟ ∑ n 4 ( z − 1) ⎝ ⎠ n =1 n =1 n ∞ 2 (n + 1) 8. ∑ . 2n − ( z 2 i ) n =1 ∞

(n + 2)ln n n . n ( z + i ) n =1 ∞ ( z − 3i ) n+1 (2 + i ) 2 n 12. ∑ . n ! n =1

10.

∞

∑

( z − 1 + 2i ) − n . ∑ 1 + in n =1 ∞ ( z − i)2 n 16. ∑ . n ( n + 1)( n + 2)4 n =1 ∞ (n + 1)(2 + i ) n 18. ∑ . n n =1 ( z + 2 − i ) 14.

∞

n

∞ (1 + i ) n ⎛ z +1⎞ 19. ∑ ⎜ . ⎟ +∑ n n =1 ⎝ 2 ⎠ n =1 ( z + 1)

( z + 2i ) 20. ∑ . n n =1 ( n + 1)( −2i )

(2 + i ) 2 n 21. ∑ . n ( z − 1) n =1

⎛ 2 − 2i ⎞ n 22. ∑ ⎜ ⎟ ⋅z 3 4 i + n =1 ⎝ ⎠ ∞ ( z − 1 + i)n 24. ∑ . 3 n =1 ( n + 2i )

∞

∞

23.

∞

n =1

25.

∞

∑ ( z − i) n =1

2n

i n ln(n + 1) n

.

.

(3 + i ) 2 n ( z + 1 − 2i ) n . ∑ n(n + 1) n =1 ∞ ( z − 2 + i)− n 29. ∑ . 2 − in n =1 ∞ ( z − i)n 31. ∑ . n n =1 (1 + i ) ⋅ n ! 27.

∞

n

∞

e 2 n+1 (n + 2)

∑ ( z + i)

∞

26.

∞

∑ n =1

4n ( z + i ) n

( 3n + 1) 2n

.

( z + 1 − 2i ) n . ∑ n n =1 3 ( n − 2i ) ∞ ( z + i − 1) n ∞ 3n 30. ∑ + . ∑ 3 n n ( z + i − 1) n =1 n =1 n ∞ (2 + 2i ) 32. ∑ . 2n n =1 ( z + 2) 28.

∞

( z − 1) n 33. ∑ 2 n . n =1 n 2

( z + i ) n ∞ (n + 1)! 34. ∑ − n + ∑ . n 2 n =1 n =1 ( z + i )

∞

∞

n

⎛ 1+ i ⎞ n 35. ∑ ⎜ ⎟ ⋅z . 3 i − ⎝ ⎠ n =1 ∞

Тип 9. Функцию f ( z ) разложить в ряд Лорана по степеням ( z − a ) в области D (точка а и область D указаны в скобках). − z − 8i , (a = 0; 2 <| z |< 3). z + iz + 6 (−2 + i ) z + 1 − 2i , (a = −i; 0 <| z + i |< 2). ( z) = z2 + 1 (3 + 2i ) z − 4(1 + 3i ) , (a = 0; 2 <| z |< 4). ( z) = z 2 − 2iz + 8 4iz + 18 , (a = −3i; 0 <| z + 3i |< 6). ( z) = 2 z +9 (5 + 3i ) z + 6 + 5i , (a = 0; 1 <| z |< 2). ( z) = z 2 − iz + 2 (4 + i ) z + 5 , (a = 2i; 2 <| z − 2i |< 3). ( z) = 2 z − 5iz iz + 25 , (a = i; 4 <| z − i |< 6). ( z) = 2 z + 25 −iz + 6 ( z ) = 2 , (a = 2i; 0 <| z − 2i |< 4). z +4 (3 − 2i ) z + 10 − 21i , (a = −5i; 0 <| z + 5i |< 12). ( z) = z 2 − 2iz + 35 (2 + 3i ) z − (3 + 4i ) , (a = −i; 0 <| z + i |< 3). ( z) = z 2 − iz + 2 (5 + 3i ) z − 5 − 6i , (a = −1; 2 <| z + 1|< 3). ( z) = 2 z − 3z + 2 10iz − 8 , (a = −i; 1 <| z + 1|< 3). ( z) = 2 z +4 (3 + 5i ) z + 15 + 6i , (a = 0; 2 <| z |< 3). ( z) = z 2 − iz + 6 5 z − 10i , (a = i; 2 <| z − i |< 3). ( z) = ( z − 4i )( z + i )

1. f ( z ) = 2. f 3. f 4. f 5. f 6. f 7. f 8. f 9. f 10. f 11. f 12. f 13. f 14. f

2

(5 + 2i ) z − 6 − 5i , (a = 0; 1 <| z |< 3). z 2 + 2iz + 3 (−7 + 3i ) z − 6 + 14i , (a = −i; 1 <| z + i |< 3). ( z) = z2 + 4 (3 + 2i ) z + 2 + 15i , (a = 0; 1 <| z |< 5). ( z) = z 2 + 4iz + 5 (2 − 3i ) z + 3 + 14i , (a = −2i; 1 <| z + 2i |< 5). ( z) = ( z + i )( z + 7i ) (2 + 3i ) z + 10 − 9i , (a = −1; 0 <| z + 1|< 4). ( z) = 2 z + 2 z − 15 3iz + 19i , (a = −1; 2 <| z + 1|< 3). ( z) = 2 z + z−6 (−3 + 2i ) z + 6 − 6i , (a = −i; 1 <| z + i |< 4). ( z) = ( z + 2i )( z − 3i ) (3 + 7i ) z − 7 − 3i , (a = −3i; 2 <| z + 3i |< 4). ( z) = z2 + 1 (3 + 5i ) z − 40 − 6i , (a = 0; 2 <| z |< 8). ( z) = 2 z + 6iz + 16 (2 + i ) z − 4 − 8i , (a = i; 3 <| z − i |< 5). ( z) = z 2 + 16 (2 + 3i ) z − 23 , (a = 0; 1 <| z |< 10). ( z) = ( z + i )( z − 10) (2 + 5i ) z − 15 − 14i , (a = −3i; 0 <| z + 3i |< 10). ( z) = z 2 − 4iz + 21 (2 + 7i ) z + 21 + 6i , (a = i; 2 <| z − i |< 4). ( z) = z2 + 9 (3 + i ) z − 3 , (a = −2i; 1 <| z + 2i |< 2). ( z) = 2 z + 3iz 3iz + 8 , (a = 2i; 0 <| z − 2i |< 2). ( z) = 2 z − 6iz − 8 (2 + 3i ) z + 18 , (a = −3; 0 <| z + 3 |< 5). ( z) = ( z + 3)( z − 4i ) (1 + i ) z − 2 , (a = 0; 1 <| z |< 4). ( z) = ( z − 1)( z + 4i ) (1 − i ) z − i , (a = −3; 2 <| z + 3 |< 5). ( z) = 2 z + 3 z − 10 z +2−i , (a = i; 0 <| z − i |< 2). ( z) = 2 z − 4iz − 3 iz + 2 − i , (a = −1; 2 <| z + 1|< 4). ( z) = 2 z −9

15. f ( z ) = 16. f 17. f 18. f 19. f 20. f 21. f 22. f 23. f 24. f 25. f 26. f 27. f 28. f 29. f 30. f 31. f 32. f 33. f 34. f

35. f ( z ) =

(2 − i ) z + i , (a = 0; 3 <| z |< 4). ( z + 4i )( z − 3) Тип 10.

Вычислить следующие несобственные интегралы: ∞

∞

cos3 z 1. ∫ 2 dz. ( z + 1) 2 −∞

2.

∞

cos 2 z ∫ ( z 2 + 4)2 dz. −∞ ∞

cos z dz. 3. ∫ 2 2 + + ( z 1)( z 4) 0

4.

cos 2 z ∫0 ( z 2 + 25)2 dz.

∞

∞

cos z dz. 5. ∫ 2 2 + ( z 9) 0 ∞

∫ (z

7.

−∞ ∞

9.

z dz. + 1)3

dz ∫−∞ z 4 + 10 z 2 + 9.

8.

∫ (z

∞

13.

∫ (z 0 ∞

15.

∫ (z

−∞ ∞

17.

2

0

10.

z2 + 1 ∫0 z 4 + 10 z 2 + 21dz. ∞

12. 14.

dz . + 1)(4 z 2 + 1)

16.

dz ∫−∞ ( z 2 + 25)2 ( z 2 + 1). ∞

z2 + 1 19. ∫ dz. 2 2 (4 z + 1) 0

sin 2 z ∫ z 2 − 2 z + 2dz. −∞

18.

cos 2 z dz. + 1)( z 2 + 16)

cos 4 z dz. 2 + 25) 2

∫ (z

cos 4 z ∫0 (9 z 2 + 1)2 dz.

z2 20. ∫ 4 dz. z +1 0 ∞

22.

∫z

2

−∞ ∞

24.

sin z dz. − z +1

sin z ∫ z 2 − 4 z + 5dz. −∞ ∞

26.

dz ∫−∞ z 4 + 7 z 2 + 12. ∞

∞

sin 3 z dz. 27. ∫ 2 − + z 4 z 5 −∞

2

∞

∞

cos z dz. 25. ∫ 2 − + z 6 z 10 −∞

∫ (z

0 ∞

∞

23.

2

0 ∞

∞

z2 dz. 21. ∫ 2 2 ( z 9) + 0

sin 2 z dz. + z +1

∫z

−∞ ∞

dz . + 1) 2 (9 z 2 + 1) 2

cos 2 z dz. + 9)( z 2 + 4)

2

∞

∞

z 2 cos 2 z dz. 11. ∫ 2 2 + ( z 1) 0

dz . + 5z 2 + 4

4

−∞ ∞

2

2

∫ (z

6.

28.

∫ 0

(z

2

+ 1) cos z

( z 2 + 9) 2

dz.

∞

dz 29. ∫ 2 . 2 ( z 1)( z 9) + + −∞

∞

z2 30. ∫ 2 dz , a > 0 2 2 ( z + a ) 0

∞

dz . 31. ∫ 2 ( z + 4) 2 ( z 2 + 1) −∞

∞

32.

∞

z2 + 1 dz. 33. ∫ 4 z + 16 0 ∞

35.

sin z ∫ z 2 + 8z + 40dz. −∞ ∞

34.

cos 2 z ∫−∞ z 2 + 9 dz.

z sin z dz. 4 + 81

∫z 0

Тип 11. Найти число корней уравнений в указанных областях. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

z 4 − 5 z + 1 = 0, 1 <| z |< 2. 5 4 3 z + z + 2 z − 8 z − 1 = 0, Re z < 0. 4 3 2 z + 2 z + 3 z + z + 2 = 0 в каждом квадрате. z 4 − 3 z + 1 = 0, | z |< 1. 6 z − 6 z + 10 = 0, | z |< 1. 5 3 3 2 z − z + 3 z − z + 8 = 0, | z |< 1. z 4 − 8 z + 10 = 0, 1 <| z |< 2. z 6 + z 5 + 6 z 4 + 5 z 3 + 8 z 2 + 4 z + 4 = 0, Re z > 0. 8 5 z − 5 z − 2 z + 1 = 0, | z |< 1. 4 3 2 z + z + 4 z + 2 z + 3 = 0 в каждом квадрате. z 3 − 12 z + 2 = 0, | z |< 2. 7 z − 2 z − 5 = 0, Re z < 0. 2 z z + 0,3e = 0, | z |< 1. 2 z 4 − 5 z + 2 = 0, | z |< 1. z 4 + z 3 − 4 z + 1 = 0, 1 <| z |< 2. 4 3 2 2 z − 3 z + 3 z − z + 1 = 0 в каждом квадрате. z 4 − 9 z + 1 = 0, | z |< 2. z 9 − 2 z 6 + z 2 − 8 z − 2 = 0, | z |< 1. 4 3 2 z + 2 z + 3z + z + 2 = 0, в Re z > 0 и в первом квадрате. z −2 e = z, | z |< 1. z 4 − 5 z + 1 = 0, | z |< 1. z 4 + z 3 + 4 z 2 + 2 z + 3 = 0 в каждом квадрате.

23. z 2 + 3e z = 0, | z |< 1. 24. z 7 − 5 z 4 + z 2 − 2 = 0, | z |< 1. 12 25. z − z + 1 = 0, Re z < 0. 26. z 4 − 8 z + 10 = 0, | z |< 1. 27. z 6 + z + 3 = 0 в каждом квадрате. | z |< 1. 28. z 8 − 4 z 5 + z 2 − 1 = 0, 29. z + e − z = 2, Re z > 0. 30. z ⋅ e1− z = 1, | z |< 1. 31. Определить области плоскости (α , β ), α , β ∈ R 2 , в которых число корней многочлена z 3 + (α + β ) z 2 + (α − β ) z + α , имеющих положительную действительную часть, постоянно. Для каждой области найти это число. 32. Доказать, что при фиксированном R < 1 и достаточно больших n Pn ( z ) = 1 + 2 z + ... + n ⋅ z n−1 , n = 1,2,..., не имеют нулей в круге полиномы | z |< 2 .

Составители: Братищев А.В., Виноградова И.Ю., Краплин М.А., Поркшеян В.М.

Типовой расчет по теории функций комплексного переменного.

Редактор: Литвинова А.А. ЛР № 020639 от 26. 04. 96. В набор 6. 07. 2000 В печать 17. 07. 2000 Объем 15 усл. п.л., 1,3 уч.-изд.л. Офсет. Формат 60 x 84/16 Бумага тип № 3. Заказ № ………………Тираж 130 Цена…………… Издательский центр ДГТУ Адрес университета и полиграфического предприятия: 344010, Ростов-на-Дону, пл. Гагарина,1.