Zahlentheoretische Analysis: Wiener Seminarberichte 1980-82

Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

Zahlentheoretische Analysis Wiener Seminarberichte 1980-82

Herausgegeben von Edmund Hlawka

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo

Herausgeber Edmund Hlawka Institut fiir Analysis, Technische Mathematik und Versicherungsmathematik, Technische Universit~t Wien Wiedner Hauptstra6e 8-10, 1040 Wien, Austria

AMS Subject Classification (1980): 10 K05, 05A15, 52A 22, 65-XX. 69-XX ISBN 3-540-15189-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo ISBN 0-38?-15189-3 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin Tokyo CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek. Zahlentheoretische Analysis: Wiener Seminarberichte / hrsg. von Edmund Hlawka. - Berlin; Heidelberg; NewYork; Tokyo: Springer, 1985. (Lecture notes in mathematics; Vol. 1114) ISBN 3-540-15189-3 (Berlin ...) ISBN 0-387-15189-3 (New York...) NE: Hlawka, Edmund [Hrsg.]; GT This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to "Verwertungsgesellschaft Wort", Munich. © by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1985 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2146/3140-543210

V 0 R W0 R T

Der v o r l i e g e n d e

Band e n t h ~ I t

mathematischer Institute

Vortr~ge,

verschiedener

die

Universit~ten

meinschaft

im Z e i t r a u m von 1980 - 1982 in

Damit w i r d

eine Tradition

fortgesetzt,

in d e r B i b l i o t h e k wahrt.

im J a h r e

1956 m i t

unter anderen:

sind

statt.

Arbeitsge-

der S t r u d l h o f g a s s e

in

den

V o r t r ~ g e wurden

Institutes

- lange aufbe-

f a n d a u f meine Anregung h i n Die d a m a l i g e n V o r t r a g e n d e n waren

das Ehepaar P r o f e s s o r H. R e i t e r ,

einer

Hans Hahn am

Die A u s a r b e i t u n g e n e i n i g e r

groBem E r f o l g

G. D i r a c ,

Leider

Wien i n

Arbeitsgemeinschaft

W. N~bauer, K. P r a c h a r , Schmidt.

von P r o f .

des Seminars - des s p ~ t e r e n

Eine ~ h n l i c h e

in

Wien g e h a l t e n w u r d e n .

die

M a t h e m a t i s c h e n S e m i n a r der U n i v e r s i t ~ t 20er J a h r e n begonnen w u r d e .

von A n g e h ~ r i g e n bzw. G~sten

G.J.

Fischer,

Rieger,

in d e r Z w i s c h e n z e i t

L.

J.

Hejtmanek,

Schmetterer,

W.M.

zwei d e r d a m a l i g e n V o r t r a g e n d e n

von uns g e g a n g e n . Im W i n t e r s e m e s t e r

1980/81 wurde d i e s e T r a d i t i o n

und im W i n t e r s e m e s t e r 1982

fortgesetzt.

semester

1981/82 sowie

Der e i n z i g e

1981/82 d e r O r t

Wien in das I n s t i t u t

fur

im d a r a u f f o l g e n d e n

Unterschied

Analysis,

Bezirk

Der T r a d i t i o n gilt

allen

und d i e

ich j e t z t

C. B u c h t a , hofer,

A.

H. R i n d l e r ,

wurde,

entsprechend trugen j~ngere

H.G.

mit

die

Feichtinger,

W. R u p p e r t ,

will:

W. F l e i s c h e r ,

J.

also

vonder

Strudlhof-

Bezirk.

Semestern v o r g e t r a g e n G. B a r o n , F.

W. N a r k i e w i c z ,

R. S c h n a b l ,

der U n i v e r s i t ~ t

K o l l e g e n v o r und mein Dank

diesen drei

Namen a n f U h r e n

Kovacec, V. L o s e r t ,

H. Z a s s e n h a u s .

in

dab im W i n t e r -

T e c h n i s c h e M a t h e m a t i k und V e r -

in d i e G u ~ h a u s s t r a ~ e im 4.

Vortragenden,

Sommersemester

bestand darin,

vom m a t h e m a t i s c h e n I n s t i t u t

s i c h e r u n g s m a t h e m a t i k d e r TU Wien v e r l e g t gasse im 9.

w i e d e r aufgenommen

haben

N. B r u n n e r ,

Haslinger,

P. K i r s c h e n -

W.G. Nowak, H. P r o d i n g e r ,

SchoiBengeier,

R. T i c h y ,

F.

Vogl,

IV Die b e h a n d e l t e n Themen s i n d aus dem I n h a l t s v e r z e i c h n i s

ersichtlich,

a b e r i n s b e s o n d e r e wurden Themen z u r T h e o r i e d e r G l e i c h v e r t e i l u n g , reellen

und k o m p l e x e n A n a l y s i s ,

Zahlentheorie,

der W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h u n g

Mathematik besprochen. wurden von Herrn Doz. Dr.

Herrn

Weise b e r e i t

und im k l e i n e n

Prof,

erkl~rt

Arbeitsberichte

Kreis

diese

Vortr~ge

in

der

Arbeitsgemeinschaften

von Herrn

Doz. T i c h y

verteilt.

Eckmann von E T H - Z U r i c h , hat,

der a n a l y t i s c h e n

und d e r G r u n d l a g e n

dieser

S c h o i B e n g e i e r bzw.

Buchta h e r g e s t e l l t

Dank g i l t

der K o m b i n a t o r i k ,

der

Mein b e s o n d e r e r

der sich

die

und Herrn

in

Lecture

liebensw~rdiger

Notes a u f z u -

nehmen. Um das Buch n i c h t

zu u m f a n g r e i c h zu g e s t a l t e n ,

wurden n u r d i e

aufgenommen, d i e a n a l y t i s c h - z a h l e n t h e o r e t i s c h e tr~ge,

die

inzwischen

in

Zeitschriften

Methoden b e n U t z e n .

erschienen

verliegenden

Lecture

Notes e n t w e d e r n i c h t

bzw.

und m i t

neuen E r g e b n i s s e n v e r s e h e n .

Ich

gekUrzt hoffe,

dab d i e L e s e r d i e s e r

haben w e r d e n ,

wie es damals bei

Vortr~ge

in den L e c t u r e

den H~rern d i e s e r

sondere Herrn

Wien 1984

Doz.

Dr.

Notes danke i c h a l l e n R. T i c h y ,

der die

wurden

Vor-

in d i e

oder umgearbeitet

der L e k t U r e d i e s e l b e

FUr das Zustandekommen der neuen Fassung d i e s e r lichung

sind,

aufgenommen

bei

Vortr~ge

Vortr~ge

Vortr~ge

Freude

der F a l l

war.

zur V e r ~ f f e n t -

V o r t r a g e n d e n und i n s b e -

Koordination

Edmund Hlawka

durchgefUhrt

hat.

I N H A L T S V E

RZE

I CHN

I S

C. Buchta: ZUFALLIGE POLYEDER - EINE OBERSICHT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W. F l e i s c h e r :

EIN DISKREPANZBEGRIFF FOR KOMPAKTE RAUME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F, H a s l i n g e r : NEWTON'SCHE INTERPOLATIONSPOLYNOME UND GLEICHVERTEILUNG . . . . . . . .

I 14 16

E. Hlawka: OBER EIN PRODUKT, DAS IN DER INTERPOLATION ANALYTISCHER FUNKTIONEN IM EINHEITSKREIS AUFTRITT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

E. Hlawka: BEMERKUNG ZUM LEMMA VON DU BOIS-REYMOND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

E. Hlawka: BEMERKUNG ZUM LEMMA VON DU BOIS-REYMOND 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

P. K i r s c h e n h o f e r : ASYMPTOTISCHE UNTERSUCHUNGEN ZUR DURCHSCHNITTLICHEN GESTALT GEWISSER GRAPHENKLASSEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P. K i r s c h e n h o f e r , H. P r o d i n g e r und R.F. T i c h y :

OBER DIE ZIFFERNSUMME

NATORLICHER ZAHLEN UND VERWANDTE PROBLEME . . . . . . . . . . . . . . . . . . P° K i r s c h e n h o f e r und R. F. T i c h y : GLEICHVERTEILUNG IN DISKRETEN R~UMEN . . . . . . . V. L o s e r t :

55 66

GLEICHVERTEILUNG VON FOLGEN, DIE DURCH ADDITIVE HALBGRUPPEN DEFINIERT SIND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V. L o s e r t :

40

77

GLEICHVERTEILTE FOLGEN UND FOLGEN, FOR DIE FAST ALLE TEILFOLGEN GLEICHVERTEILT SIND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W.G. Nowak: EINIGE BEITR~GE ZUR THEORIE DER GITTERPUNKTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84 98

H. P r o d i n g e r : DIE BESTIMMUNG GEWISSER PARAMETER BEI BIN~REN B~UMEN MIT HILFE ANALYTISCHER METHODEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

R. Schnabl: OBER EINE C~-FUNKTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

J. S c h o i B e n g e i e r : DER NUMERISCHE WERT GEWISSER REIHEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

J, S c h o i B e n g e i e r : OBER DIE DISKREPANZ DER FOLGEN (n~)

148

........................

R.F. T i c h y : BEMERKUNG ZU EINEM LEMMA AUS DER VARIATIONSRECHNUNG . . . . . . . . . . . . . .

154

ZUFALLIGE POLYEDER

-

EINE OBERSICHT

Christian Buchta

1. DIE KONVEXEHOLLE VON ZUFALLSPUNKTENIM EUKLIDISCHEN RAUM Um die Mitte des vorigen Jahrhunderts hat Sylvester die Frage aufgeworfen, wie groB die Wahrscheinlichkeit p i s t , dab sich vier aus einem ebenen konvexen K~rper K "beliebig" (das heiBt unabh~ngig voneinander nach der Gleichverteilung) gew~hlte Punkte zu einem konvexen Viereck verbinden lassen. Man sieht leicht (vgl. z.B. Czuber [25]), dab p=I-4F3(K ) g i l t , wobei F3(K) den Erwartungswert des Fl~cheninhalts der konvexen HUlle von drei Zufallspunkten bezeichnet. (Der Fl~cheninhalt von K sei 1.) Durch verh~Itnism~Big einfache Rechnungen erh~It man F3(Dreieck) 3~ T~ ' F3(Paralle11 289 logramm) = T4-4F' F3(regulares Sechseck) = SrS-SlT, F3(Ellipse ) = TSTz. Diese Resultate stammen von Woolhouse [68], Crofton [24] und Deltheil [26]. 1939 zeigte Alikoski [2], dab

F3(regul~res m-Eck) = 9c°s2m+52c°s m +44 36m2 sin2

(

_~) m=

Blaschke [8], [9] bewies fur beliebige konvexe K~rper K die Absch~tzung 35 48~2

I F3(K) ~I-~ '

wobei das linke Gleichheitszeichen fur Kreis und Ellipse, das rechte fur das Dreieck g i l t . Die Verteilungsfunktion (und damit auch die h~heren Momente) des Fl~cheninhalts eines zuf~lligen Dreiecks wurde von Alagar [1] bestimmt, f a l l s K ein Dreieck i s t , und von Henze [35] in den F~llen eines Kreises und eines Parallelogramms. Die h~heren Momente des Fl~cheninhalts eines zuf~lligen Dreiecks in einem Dreieck sowie in einem Parallelogramm hatte zuvor bereits Reed [49] berechnet. R~nyi und Sulanke [50], [51] haben 1963 einen neuen Weg eingeschlagen und begonnen, das asymptotische Verhalten der Erwartungswerte der Eckpunktzahl (En), des Umfangs (Ln) und des Fl~cheninhalts (Fn) der konvexen HUlle von n Punkten fur n ~

zu un-

tersuchen. Der Fall, dab K eine konvexe Scheibe mit glattem Rand i s t (das heiBt, dab die Randkurve genUgend oft differenzierbar und ihre KrUmmung K positiv und beschr~nkt i s t ) , wurde von den beiden Autoren ersch~pfend behandelt; es ergeben sich folgende Werte ( L i s t die L~nge des Umfangs und F der Fl~cheninhalt von K):

En

~

I-~-) 113 r / -~-)

(n-+~o) ,

0 L <413 { ~ )2/3 I ds - + 0 (-~ln) 0 L I <1/3 ds ( ~ ) 2 / 3 + 0 (1"~

('1 ~1/3 L - Ln = \-1-2") r (~) F - Fn

L I <113 ds I-~) 1/3

( ~ ) 1/3 I" ( ~ ) :

(n-+oo) , (n-+~o)

t~)

0

"

Im F a l l , dab K ein (allgemeines) Polygon i s t , gelingt R~nyi und Sulanke nur die asjnnptotische Berechnung des Erwartungswerts der Eckpunktzahl: m

En : - ~ (log R+C) + ~ log

i ~ i Fi

Fm

+ 0(i)

(n ~ )

.

Dabei bedeutet m die Zahl der Seiten von K, F den Fl~cheninhalt und Fi den Fl~cheninhalt des von den Ecken Si_ I, Si und Si+ I (So := Sm, Sm+1 := SI) gebildeten Dreiecks. C : 0,5772~.. i s t die Eulersche Konstante. Die entsprechenden Erwartungswerte fur den Umfang und den Fl~cheninhalt berechnen R~nyi und Sulanke nur fur das Quadrat. FUr ein allgemeines Polygon werden diese Erwartungswerte in [ I I ] bestimmt: Ist K ein konvexes Polygon mit m Seiten, den Winkeln aI . . . . . am und dem Fl~cheninhalt F, dann g i l t fur die Differenz zwischen dem Umfang Lvon K und dem Erwartungswert Ln des Umfangs der konvexen HUlIe von n in K gew~hlten Zufallspunkten L - Ln =

1/2 (i!1

ix))

V-s~na i

\--~-)

+ 0 n-~_~)

(n-+~o)

fur beliebiges festes ~ > O, wobei i/sina

I

0

d1+I

. m

Die auftretende Konstante Z i=1

(. _

)

~-l(~i)

wird in [16] ngher untersucht. Sie i s t

unter allen konvexen m-Ecken bei festem m genau dann minimal, wenn a l l e Winkel gleich groB sind; sie strebt gegen unendlich, wenn das Polygon ausartet. FUr die Differenz zwischen dem Fl~cheninhalt F von K und dem Erwartungswert Fn des Fl~cheninhalts der konvexen Hi~lle von n in K gew~hlten Zufallspunkten erh~It man mit derselben Methode 2mF log n + 0 1(I~ F - Fn = ~ n \n/

(n ~ )

Man gewinnt so ein Resultat, das man auch aus dem eben erw~hnten Ergebnis von R~nyi und Sulanke betreffend den Erwartungswert der Eckpunktzahl mit Hilfe der von Efron [28] gezeigten Relation

F - Fn = ~

F

En+1

f o l g e r n kann. Betrachten w i r nun wieder eine f ~ t e Zahl n z u f ~ l l i g e r hen konvexen KSrper K gew~hlt werden. Groemer [29],

Punkte, welche aus einem ebe-

[30] hat nachgewiesen, dad der

Erwartungswert Fn(K ) des Fl~cheninhalts der konvexen HUIle von n solchen Punkten genau dann sein Minimum unter a l l e n konvexen K~rpern K mit F l ~ c h e n i n h a l t i annimmt, wenn K eine E l l i p s e i s t ,

und in diesem Fall g i l t 27 Jr

F n ( E l l i p s e ) = I + ~2 ( 2 ~I

(x-sinx)

(vgl.

[13])

n sinxdx

0 FUr n = 3 gewinnt man so die l i n k e Seite der Ungleichung von Blaschke: T~z 35 175 23023 175 23023 F3(K ) ~ ; weiters F4(K ) ~TF~Z , F5(K ) ~72-~z - ~ , F6(K ) ~1~-~7 -~-3-0-4-~F . . . . . In [12] wird Fn(K ) f u r b e l i e b i g e konvexe m-Ecke K und a l l e natUrlichen Zahlen n bestimmt: ES wird jedem Seitenpaar (s i , sj) l(i,j,n)

(1 ~ i < j ~ m) f u r jedes n e i n e Zahl

zugeordnet, die sich aus den L~ngen der beiden Seiten, i h r e r Lage zueinander

sowie n errechnet, und durch diese Zahlen Fn(K ) ausgedrUckt:

Fn(K) = 1 - ~

i

Z i<j

I(i,j,n+l) .

Zur I l l u s t r a t i o n ein Beispie[: Es sei K ein Dreieck. Da Fn(K) invariant gegenUber affinen Abbildungen von K i s t , k~nnen wir uns darauf beschr~nken, das gleichseitige Dreieck (mit Fl~cheninhalt 1) zu betrachten. FUr dieses i s t l(l,2,n)

= I(2,3,n) = l(l,3,n)

=

-E- ' k=l

woraus Fn(Dreieck ) = 1 - ~ 2 folgt,

I also F3 = ~

, F4 =

n Z k=l ~

1

-F

43 3 ' F5 = ~ ' F6 = ~ - 0 ' " "

Der h~herdimensionale Fall ( d )

3) i s t w e i t .weniger gut untersucht. Kingman [38] hat

g e z e i g t , da6 f u r den Erwartungswert V(d) des Volumens der konvexen HUIIe von d + I Zud+l f a l l s p u n k t e n in e i n e r d-dimensionalen Kugel mit Volumen 1

v(d) d+l -1 d+1 = Yd+l Y(d+l) 2 g i l t • (Dabei i s t yp = 2-(p+I) r(p+l) {r(~ +1)} -2 • FUr natUrliche Zahlen p i s t dazu

die rekursive Definition Yo := ~I ' Yp+l := {2~(p+l)yp}-I ~quivalent.) FUr Ellipsoide (mit Volumen I ) ergibt sich derselbe Wert, fur andere konvexe K~rper stets ein gr~Berer (Groemer [29]). Diese Aussage l ~ t

sich wie im zweidimensionalen Fall auf eine

beliebige Zahl z u f ~ l l i g e r Punkte verallgemeinern (Groemer [30]), allerdings kennt man V~ d)" fur n > d + 1 nur im dreidimensionalen Fall (vgl. [13], wo diese Werte aus einer Arbeit von Efron [28] gefolgert werden). In diesem Zusammenhang i s t auch auf ein Res u l t a t von Sch~pf [62] zu verweisen. In der L i t e r a t u r mehrmals erw~hnt wird das Problem, den Erwartungswert V4 des Volumens der konvexen HUlIe yon v i e r in einem Tetraeder (mit Volumen i ) gew~hlten Zufallspunkten zu bestimmen (siehe z.B. Alagar [ i ] , I Henze [35], Kinqman [38], Klee [39], Reed [49]); die Vermutung__ von Klee, daB V4 =~'~T g i l t , wurde durch Monte Carlo-Experimente widerlegt: ~F i s t der dem tats~chlichen Weft am n~chsten kommende Stammbruch (vgl. [39]). In [15] wird f u r den Erwartungswert Vn des Volumens der konvexen HUIIe von n solchen Punkten ein Integralausdruck angegeben, aus dem 1 - Vn ~

l°gn2n

(n-~)

gefolgert wird. Hinzuweisen i s t auch auf die Arbeiten von Reed und Ruben [49], [55]. FUr beliebige dreidimensionale konvexe K~rper K i s t nur die Beziehung V5 = ~ V4 bekannt (siehe [14]); f u r n ) 5 h~ngt das Verh~Itnis von Vn+I zu Vn von K ab. (Das entsprechende Resultat in der Ebene i s t die Relation V4 = 2V3. ) Asymptotische Untersuchungen in h~heren Dimensionen wurden - abgesehen vom erw~hnten Tetraeder - bisher offenbar nur f u r streng konvexe K~rper K, deren RandhyperflNche BK dreimal s t e t i g differenzierbar i s t , durchgefUhrt. FUr beliebiges d sind die Differenz zwischen der mittleren Breite B von K und dem Erwartungswert an d e r m i t t leren Breite der konvexen HUIIe von n in K z u f ~ l l i g gew~hlten Punkten sowie der Erwartungswert Sn d e r Seitenfl~chenzahl dieses Polyeders bekannt: 2 {d +112/(d+l) B-Bn ~T-~T~d ~d_i] F(i~-I-) I "(d+2)/(d+l) ~ fV~2/(d+l)a°~'-6-} :

+ o

-"n-'' '[1-

@K 2 d-I Sn ~ Pd Pd2-1 [ d + 1 1 ( d 2 + l ) / ( d + l ) r ( - ~ - ) d(d+l)!PdZ \Pd_l-----/

I

/ n \(d-l)/(d+l) K1/(d+l) do~---~-)

(n ~ )

,

(n~)

•

BK

dabei bedeutet V das Volumen yon K, K die Gau~-Kronecker-KrUmmung von @K, o das Oberfl~chenmaB auf ~K und Pd das Volumen der d-dimensiona]en Einheitskugel. Diese Resultate stammen von Schneider und Wieacker [60], [67] und verallgemeinern h i n s i c h t l i c h der Seitenfl~chenzahl ein Ergebnis von Raynaud [48]. Im Fall d = 3 hat Uberdies Wieacker [67] fur die Differenz zwischen dem Volumen V von K und dem Erwartungswert Vn des Volumens der konvexen HUIIe von n in K z u f ~ l l i g gew~hlten Punkten

V - Vn ~ ~[~ I K1/4 dok-~/V~1/2 j (n ~ ~) aK und fur den Erwartungswert Ender Eckpunktzahl dieses Polyeders En

~Tp~ 35

I

KI/4 d~LV / n11/2 )

(n ~ ~)

aK gezeigt. In h~heren Dimensionen sind die entsprechenden Resultate nur fur die Kugel bekannt (Wieacker [67]). In [18] werden die Erwartungswerte der Oberfl~che, der m i t t l e r e n Breite und der SeitenfINchenzahl der konvexen HUlle einer beliebigen Zahl n yon Zufallspunkten in einer d-dimensionalen Kugel e x p l i z i t angegeben. Beispielsweise ergibt sich fur den Erwartungswert der Oberfl~che eines zuf~lligen Simplex (n = d + 1) in einer Kugel mit Oberfl~che I d+l d -I T Yd+I Yd(d+1) " Das hier gel~ste Problem kann auch als Verallgemeinerung der von Apsimon [ 3 ] , Deltheil [26], Hammersley [34], Lord [42] und Watson [65] untersuchten Frage nach der Verteilung des Abstands zweier in einer Kugel gew~hlter Zufallspunkte angesehen werden. Erw~hnt sei in diesem Zusammenhang auch eine Arbeit von Hall [33], in der unter Zuhilfenahme eines Resultates von Baddeley [4] die Wahrscheinlichkeit bestimmt wird, dab ein Zufallsdreieck in einer Kugel spitzwinkelig i s t ; vgl. dazu auch [151. Ein entsprechendes Ergebnis f u r ein Zufallsdreieck in einem Rechteck stammt von Langford [40]. Vom Standpunkt der Approximation i s t es gUnstiger, die Zufallspunkte nicht im Inneren des K~rpers K zu w~hlen, sondern auf seiner Randhyperfl~che. Auf diesen Gesichtspunkt wird in [19] eingegangen: Es werden zun~chst die Erwartungswerte der Oberfl~che, der mittleren Breite und der Seitenfl~chenzahl der konvexen HUIIe einer beliebigen Zahl n von Zufallspunkten am Rand einer d-dimensionalen Kugel e x p | i z i t e r m i t t e l t und sodann i h r asymptotisches Verhalten fur n ~

untersucht. Dabei zeigt sich, dab die Oberfl~-

che und die m i t t l e r e Breite des Zufallspolyeders mit der Geschwindigkeit O(-T~T(~dz-i-y) gegen die Oberfl~che beziehungsweise die m i t t l e r e Breite der Kugel streben. Dagegen ergibt sich im F a l l , dab die Zufallspunkte im Inneren der Kugel gew~hlt werden, bloB die Konvergenzordnung 0~( _ -. ~ ' -

)

Die Seitenfl~chenzahl strebt schneller

nach unendlich, wenn die Punkte am Rand gew~hlt werden: O(n) t r i t t an die S t e l l e yon O(n(d-1)/(d+l)).Das asymptotische Ergebnis betreffend die m i t t l e r e Breite l~Bt sich auf den Fall ausdehnen, dab die Zufallspunkte am Rand eines beliebigen hinreichend glatten konvexen K~rpers gew~hlt werden. Das Auftreten der Konvergenzordnung

mor, nsw r ;

,onver ozor nun

Ann~herung hinreichend g l a t t e r konvexer K~rper durch bestapproximierende Polyeder,

wenn die Hausdorffmetrik oder die Symmetrische-Differenz-Metrik als AbstandsmaB verwendet wird (vgl. Betke und Wills [7], Bronstein und Ivanov [10], Dudley [27], Gruber und Kenderov [32], Schneider [58] sowie Schneider und Wieacker [61]). In der Literatur (Miles [43], Ruben [54]) wird auch die VerteilungdesVolumenszuf~lliger Simplices untersucht, deren Eckpunkte zum Teil im Inneren und zum Teil am Rand einer Kugel gew~hlt werden. Andere Verteilungen als die Gleichverteilung wurden bisher nur sporadisch betrachtet. Zu erw~hnen sind die Arbeiten von R~nyi und Sulanke [50] sowie von Efron [28] betreffend die Normalverteilung; weiters die Untersuchungen von Carnal [22], der rotationssymmetrische Verteilungen studiert hat. 2. DIE KONVEXEHDLLE VON ZUFALLSPUNKTENAUF KOMPAKTENMETRISCHENMANNIGFALTIGKEITEN

Es liegt nahe, den kompakten Bereich des Euklidischen Raumes, aus dem die Zufallspunkte ge~6hlt werden, dutch eine kompakte metrische Mannigfaltigkeit zu ersetzen. Eine Teilmenge K einer kompakten metrischen Mannigfaltigkeit heiBt konuex (vgl. Bangert [6], Walter [64]), wenn fur je zwei Punkte x,y E K alle geod~tischen Linien (das heiBt alle Kurven minimaler L~nge auf der Mannigfaltigkeit, die x und y verbinden) ganz in K enthalten sind. Die konvexe HUlle einer Menge ist die kleinste konvexe Menge auf der Mannigfaltigkeit, welche die Menge enth~It. Im Fall der d-dimensionalen Sphere S(d) = {x E Ed+l:l[x[i : 1} (Ed+l bezeichnet den (d+l)-dimensionalen Euklidischen Raum) ist die Metrik durch die minimale Euklidische L~nge aller Kurven auf S(d), die zwei Punkte verbinden, definiert. Eine konvexe Menge auf S(d) ist entweder in einer Halbsph~re enthalten oder mit der Sphere ident. Die konvexe HUlle von n Punkten auf einer Sphere ist fast sicher in einer Halbsph~re enthalten, wenn die Punkte selbst diese Eigenschaft haben. Von Wendel [66] wurde die Wahrscheinlichkeit p~d)," dab n auf der Sphere unabh~ngig nach der Gleichverteilung gew~hlte Punkte in einer gemeinsamen Halbsph~re liegen, bestimmt;

p.d) _

1

~

k=o

(n~l).

Weiters zeigten Cover und Efron [23], dab der Erwartungswert des Volumens ~d) der konvexen HUlle n solcher Punkte unter der Bedingung, dab alle Punkte in einer gemeinsamen Halbsph~re liegen,

v~d) = \fn-l~d) / (2 k=O ~ \/ nk- l );~ = \fn-1~ / \( 2n Pn(d)~) d ] betr~gt. (Dabei ist das Oberfl~chenmaB auf der Sphere zu 1 normiert.) Mithin kennt man den Erwartungswert V~ d)" des Volumens der konvexen HUlle von n auf S(d) zuf~llig und gleichverteilt gew~hlten Punkten:

Das entsprechende Problem fur den Torus wird in [20] studiert. Der d-dimensionale Torus T(d) i s t der Quotientenraum Ed/zd, wobei Zd das System a l l e r Gitterpunkte des ddimensionalen Euklidischen Raumes Ed bezeichnet. Durch p(x,y) = infIIx-y+III wird eine

I~Z~ Lebesgue-MaB Metrik auf T (d) definiert. (T(d),~d) , wobei ~d fur das d-dimensio6ale steht, i s t zum d-fachen Produkt von (T(1),Ul) isomorph: d (T(I)

I

I c T (I) heiBt ~nd~me~iom~e ZJ_le, wenn I ein Teilintervall yon [0,I) oder das Komplement eines T e i l i n t e r v a l l s von [0,I) i s t . Eine d-d~mem~ion~e Ze2~e i s t das Cartesische Produkt yon d eindimensionalen Zellen. Zu jeder konvexen Teilmenge K ~ T (d) gibt es eine kleinste Zelle Z(K), die K enth~It. Z(K) i s t das Cartesische Produkt yon d eindimensionalen Zellen mit L~nge l < # oder L~nge l = 1. Es bezeichne t = t(K) die Anzahl der eindimensionalen Zellen der L~nge l = 1; t(K) wird der Typ yon K genannt. Die konvexe HUlle von n zuf~llig und g l e i c h v e r t e i l t auf T (d) gew~hlten Punkten i s t mit Wahrscheinlichkeit

eine konvexe Menge vom Typ t. Der Erwartungswert des Volumens der konvexen HUIIe unter der Bedingung, dab diese eine konvexe Menge vom Typ t i s t , betr~gt

v~d) (t)

~n+l~ d-t

= k~}

(d-t)

Wn

'

wobei W~d) den Erwartungswert des Volumens der konvexen HUlle von n Zufallspunkten im O- ,mens on

en

,n,e

swOr,e

ze c,ne

,).

den Erwartungswert V~d) des Volumens der konvexen HUlle yon n auf T(d) unabh~ngig und g l e i c h v e r t e i l t gew~hlten Punkten: =

Z (d){n+1~ d-t (I-2n-~_ )t

t:o

t:o

W(d-t)

kT}

ZU bemerken i s t , dab man W~I) = ~ n-1 durch elementare Rechnungen erh~It; W2) wird in [12] explizit bestimmt:

fur W~3) wird in [20] ein Integralausdruck angegeben.

3. DER DURCHSCHNITTZUFALLIGER HALBR/~UME Auch die Untersuchung z u f ~ l l i g e r Polyeder, die als Durchschnitt z u f ~ l l i g e r Halbr~ume erzeugt werden, i s t untrennbar mit den Namen R~nyi und Sulanke verbunden. Die beiden Autoren studieren in [52] eingehend den ebenen Fall. Sie betrachten einen beschr~nkten konvexen Bereich K der Ebene, der in seinem Inneren einen konvexen Bereich B enth~It, und w~hlen n z u f ~ l l i g e Geraden, die den Bereich K, nicht aber den Bereich B treffen. (Die Geraden werden unabh~ngig voneinander gew~hlt; ihre Verteilung i s t durch das bewegungsinvariante Euklidische Geradenma~ d e f i n i e r t . ) Der Durchschnitt jener dutch die Geraden definierten Halbr~ume, die B enthalten, i s t ein konvexes Polygon. I s t die Randkurve von B genUgend oft differenzierbar und ihre KrUmmungKpositiv und beschr~nkt, so ergibt sich fur den Erwartungswert En der Eckpunktzahl des Zufallspolygons LI

/2~ I/3

( n ~i/3 ?I~),, JI K2/3 ds ~[~-[~j + 0(i)

En=

(n ~ )

;

0 dabei bedeuten L1 und L2 den Umfang von B und Ko Ist hingegen B ein konvexes m-Eck, dann erh~It man En = - ~ log n + 0(I)

(n ~ ~) .

Auf die Ahnlichkeit dieser Resultate mit den in Abschnitt 1 erw~hnten Ergebnissen sei hingewiesen; der genaue Zusammenhang wurde von Ziezold [69] untersucht. Besonders interessant - auch im Hinblick auf Anwendungen - i s t der Fall, dab B zu einem Punkt ausartet, also der Durchschnitt von Halbr~umen betrachtet wird, die a l l e den Ursprung enthalten. R~nyi und Sulanke wiesen fur diese Situation im ebenen Fall (d=2) 2 (n ~

En ~-2-

~)

nach. Wolfgang Schmidt [57] gelang es zu zeigen, dab der Erwartungswert E~d) der Eckpunktzahl des entstehenden Zufallspolyeders auch fur d > 2 gegen einen endlichen Wert strebt, wenn die Zahl n der zuf~lligen Halbr~ume gegen unendlich geht. Sulanke und Wintgen [63] errechneten schlieBlich diesen Wert: d]

2

(n

(Pd bezeichnet wie oben das Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel.) Ein Resultat von Schneider [59] besagt, dab dieser Wert unter allen Verteilungen maximal i s t , bei denen die AbstSnde der Hyperebenen vom Ursprung g l e i c h v e r t e i l t sind, die Orientierung dagegen beliebig i s t ; mit anderen Worten: E(d) wird bei isotropen Verteilungen maximal. n

Zu v ~ l l i g anderen Ergebnissen gelangt man, wenn man voraussetzt, dab die Abst~nde der

Hyperebenen vom Ursprung a l l e gleich seien. Kelly und Tolle [36] zeigten fur den Erwartungswert E~ d)" der Eckpunktzahl eines solchen Polyeders, das durch isotrop vert e i l t e Hyperebenen erzeugt wird, die asymptotische Absch~tzung d d(d-6)/2 n,< E~d) ~.-" Bd d (d-5)/2 n , wobei ~ und B von d und n unabh~ngige Konstanten sind. In [17] wird dieses Resultat verbessert. Es wird E~ d)" fur beliebige natUrliche Zahlen d und n e x p l i z i t angegeben und

E d) ~

2

-(d-l) ¥(d-l) 2 r d - i

n

n~)

gefolgert. (Dabei i s t wie oben yp = ~-(p÷l)

r(p+l) {r ( ~ + i ) } - 2 . )

Zu erw~hnen i s t in diesem Zusammenhang auch eine Arbeit von Pr~kopa [47], der lineare Ungleichungssysteme mit zuf~lligen Koeffizienten betrachtet und den Erwartungswert der Eckpunktzahl des L~sungspolyeders untersucht. Eine andere Methode zur Erzeugung zuf~lliger Halbr~ume wurde von Carlsson und Grenander [21] diskutiert: Die beiden Autoren betrachten einen ebenen hinreichend glatten konvexen K~rper K, dessert Randkurve in der Form (x(m), y(m)), 0 < m < 2,, dargestellt wird. Sie w~hlen nach einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung n Winkel, betrachten fur jeden Winkel die zugeh~rige Tangente an K und definieren als Zufallspolygon den Durchschnitt jener von diesen Tangenten erzeugten Halbr~ume, die K enthalten. Untersucht wird das asymptotische Verhalten der Differenz zwischen dem Fl~cheninhalt des Zufallspolygons und dem Fl~cheninhalt von K, wenn die Zahl n der z u f ~ l l i gen Halbr~ume gegen unend'lich strebt.

4. SCHLUSSBEMERKUNGEN Als Anwendungsbeispiel zu Abschnitt 1 i s t das "Poisson forest problem" yon D.G. Kendall (vgl. Ripley und Rasson [53]) zu nennen, das in der Aufgabe besteht, aus der Realisierung eines ebenen homogenen Poisson-Prozesses in einer kompakten konvexen Menge diese Menge zu bestimmen. Die Ergebnisse in Abschnitt 3 sind insbesondere fur die l i neare Programmierung von Interesse (vgl. z.B. Kelly und Toll e [36], Pr~kopa [47],

R~nyi und Sulanke [52], Sulanke und Wintgen [63]). Hinweise auf die Literatur zu verwandten Fragen findet man in der Monographie von Kendall und Moran [37] sowie in den Erg~nzungen dazu von Moran [44], [45], L i t t l e [41] und Baddeley [5]; weiters im Buch von Santal6 [56]. Altere Werke stammen von Czuber [25] und Deltheil [26]. Auf neuestem Stand i s t der Dberblicksartikel von Gruber [31], welcher der Approximation konvexer K~rper im allgemeinen gewidmet i s t und

10 die stochastische Approximation in diesem gr~Beren Zusammenhang d a r s t e l l t . Besonders zu erw~hnen sind die Diplomarbeiten von Wieacker [67] und MUller [46]. LITERATUR [ I]

V.S. Alagar: On the d i s t r i b u t i o n of a random t r i a n g l e . J. Appl. Prob. 14 (1977), 284-297.

[ 2] H.A. Alikoski: Ober das Sylvestersche Vierpunktproblem. Ann. Acad. Sci. Fennicae 51 (1939), 1-10. [3]

H.G. Apsimon: A repeated i n t e g r a l . Math. Gaz. 42 (1958), 52.

[ 4] A. Baddeley: Integrals on a moving manifold and geometrical p r o b a b i l i t y . Adv. Appl. Prob. 9 (1977), 588-603. [ 5] A. Baddeley: A fourth note on recent research in geometrical p r o b a b i l i t y . Adv. Appl. Prob. 9 (1977), 824-860. [ 6] V. Bangert: Konvexe Mengen in Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Math. Z. 162 (1978), 263-286. [ 7] U. Betke, J.M. Wills: Diophantine approximation of convex bodies. Manuskript, Siegen 1979. [8]

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13

[64] R. Walter: Konvexit~t in riemannschen Mannigfaltigkeiten. Jber. d. Dt. Math.Verein. 83 (1981), 1-31.

[65] G.N. Watson: A quadruple integral. Math. Gaz. 43 (1959), 280-283. [66] J.G. Wendel: A problem in geometric probability. Math. Scand. 11 (1962), 109-111. [67] J.A. Wieacker: Einige Probleme der polyedrischen Approximation. Diplomarbeit, Freiburg im Breisgau 1978. [68] W. Woolhouse: Educational Times, 1867. [69] H. Ziezold: Ober die Eckenzahl zuf~lliger konvexer Polygone. Izv. Akad. Nauk Armjan. SSR Ser. Mat. 5 (1970), 296-312.

I n s t i t u t f u r Analysis, Technische Mathematik und Versicherungsmathematik Technische Universit~t Wien Wiedner HauptstraBe 6-10 A - 1040 WIEN

EIN DISKREPANZBEGRIFFFOR KOMPAKTE RAUME W. Fleischer-F

Abstract. This note is a summary of the paper "Charakterisierung einer Klasse linearer Operatoren" by W. Fleischer, published in Sitzungsberichte der Osterr. Akad. Wiss., math.-naturw. KI., 191 (1982), 157-163.

Man betrachte fur f aus LI[0,I] die Funktion Tf Uber [0,1] mit (Tf)(x) = I S C[o,y)~)f(y)dy. Dabei sei C[o,y)die charakteristische Funktion des Intervalles[O,y). 0 x2 Wegen ](Tf)(xl)-(Tf)(x2) ] = IS f(y)dyl und l(Tf)(x)I ~ l~H1 ist T ein beschr~nkter xI linearer Operator von LI[0,I] in C[0,I]. Bezeichnetm ~ie endliche Folge (xl,x 2. . . . . XN) (0 ~ x n < I fur alle N n) und LN das beschr~nkte lineare Funktional aus (LI) * I

durch LN(f) = ~

?

L (Tf) (Xn ) n:1 1

so g i l t :

LN(f) = N 1

N

~ n=l

N

I

definiert

(*)

S (Tf) (x)dx, 0

1

1 1

- S S C[o,y)(X)f(y)dy O0

S C[o,y)(Xn)f(y)dy 0 1

dx =

1

OS ~I nZ1=C[o'y)(Xn)f(y)dy - OSf(Y) SOC[o'y)(X)dxdy = I

N

S (~ Z C [ o , ~ n) " y)f(y)dy. Wegen (LI) * = L~ ist somit IiLN[I: o n=1 N

O~y
n!1

C[o,y)(X n) - YI-

Der letzte Ausdruck i s t aber gerade die Diskrepanz D~(m) der Folge m . FUr den Begriff der Diskrepanz und die Ubrigen Bezeichnungen dieser Arbeit seien die BUcher Uber Gleichverteilung von Kuipers-Niederreiter und E. Hlawka genannt. Bekannt-

15

l i c h i s t die unendliche Folge w = (Xl,X2,X 3 . . . . ) mit 0 < x n < I f u r a l l e n gleichverteilt,

wenn l i m

IILNI I =

N~

genau dann

l i m D~ = 0 g i l t . N-~

Die Gleichung D~ = IILNII kann als AnlaB zu der folgenden D e f i n i t i o n angesehen werden. Dazu sei X ein kompakter Raum mit abz~hlbaerer Basis, C(X) der mit der Supremumsnorm v o l l s t ~ n d i g e Raum der s t e t i g e n Funktionen UberX und B ein separabler n o r m i e r t e r Raum. Nun bezeichne T einen beschr~nkten l i n e a r e n Operator von B in C(X) und ~ = (x n) eine Folge in X. Sei weiters p ein WahrscheinlichkeitsmaB auf X und das Funktional LN analog zu (*) d e f i n i e r t . DEFINITION. T heiI3t Diskrepanzoperator, f a l l s ~ i s t , wenn lim

IILNI I = 0 g i l t .

genau dann g l e i c h v e r t e i l t zum Ma(~ ~T,p~ IILNII heiI3e d i e Diskrepanz uN t~) der Folge ~ . Es g i l t

N-~

der SATZ I. I s t T kompakt u n d O >

= C(X), so s t e l l t

T einen Diskrepanzoperator dar.

[bezeichne die abgeschlossene HUIIe des l i n e a r e n Teilraumes~/TB,1>von C(X), der vom Wertebereich TB von T und der Funktion i d e n t i s c h g l e i c h I aufgespannt wird.] Dieser D i s k r e p a n z b e g r i f f e n t h ~ I t a l l e bekannten B e g r i f f e als S p e z i a l f ~ l l e . Es kUnnen a l l e Diskrepanzoperatoren c h a r a k t e r i s i e r t werden. Das i s t Hauptaufgabe e i n e r A r b e i t , die in den Sitzungsberichten ersch~enen i s t ( v g l . obiges Z i t a t ) . SATZ 2. I s t der Operator T kompakt und ~ , I > dann A - g l e i c h v e r t e i l t

= C(X), so i s t die Folge w = (x k) 9enau

zu p, wenn lim IILNI 1 = 0 g i l t . N-~o

SATZ 3. I s t w = (x k) genau dann A - g l e i c h v e r t e i l t T kompakt und<'CB-~-f>= C(X). Dabei i s t A ein M a t r i z e n l i m i t i e r u n g s v e r f a h r e n

z u p, wenn lim IILNII = 0 g i l t ,

so i s t

N-~o

wie im Buch von K u i p e r s - N i e d e r r e i t e r .

Herr Dr. W. F l e i s c h e r , Dozent an der U n i v e r s i t ~ t Salzburg, i s t am 2. September 1982 im A l t e r von 4 1 J a h r e n p l ~ t z l i c h verstorben. Mit ihm i s t ein jungerthochbegabter Mathematiker, von dem noch v i e l e s zu erwarten gewesen w~re, dahingegangen. Diesen Vortragsauszug hat R. Tichy v e r f a B t .

NEWTON'SCHE INTERPOLATIONSPOLYNOME UND GLEICHVERTEILUNG F.

Abstract. and

its

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paper to

Wir

betrachten

auf

DR = {z : I z l < R } ,

vergenz

auf

we

the

Haslinger

consider

theory

den V e k t o r r a u m

of

Newton's uniform

}R(o < R~)

versehen

mit

der

den k o m p a k t e n T e i l m e n g e n

interpolation

distribution

aller

of

polynomials sequences.

holomorphen Funktionen

Topologie

der gleichm~igen

von DR . T R i s t

ein

nuklear

KonFr~chet-

raum. Sei

{Z~k=l

eine

Folge

paarweise

I Z k l = r < R, k = 1,2 . . . . die

Newton'schen

verschiedener

; po(Z) ~ I,

komplexer

p n ( Z ) = k~1 ( Z - Z k ) '

Interpolationspolynome

mit

Zahlen mit

n : 1,2 ....

{Zk}k~ 1 als

seien

Interpolations-

punkten. Aus den R e s u l t a t e n J.L.

Walsh

SATZ 1. in

der

[5]

des Buches

erh~It

"Interpolation

and a p p r o x i m a t i o n "

von

man den f o l g e n d e n

Jede h o l o m o r p h e F u n k t i o n

f6 {

R l~t

sich

genau dann e i n d e u t i g

Form oo

f = darstellen,

wenn

(~)

lim n+~

gleichm~Big Dabei

fur

alle

z mit

Cn

Ipn(Z)I 1/n

I z l = q und f u r

= q, alle

q > r.

ist co = f(zl)

der

E CnP n n=O

n-te

und

Differenzenquotient

= A(n)[f;z

I ' . . . . Zn+l

] =

in

A(n-l)

n = 2,3 .....

cI =

f(z2)-f(z z2_z I

bezug au_f [f;z 2 .....

I)

z I .....

und Zn+ I ,

cn definiert

Zn+Z ] _ A ( n - Z ) [ f ; z I . . . . .

Zn+l-Z 1

durch Zn]

fur

17 Ferner

konvergiert

d i e Summe n~O CnPn g l e i c h m ~ B i g

T e i l m e n g e n von DR gegen f ,

d.h.

{Pn}n=O b i l d e t

a u f den kompakten

eine Schauder-Basis

fur

FR" Satz 1 kann dazu verwendet werden, um ein im wesentlichen auf L. Kalm~r [4] zurUckgehendes Resultat zu beweisen: SATZ 2.

{Pn}n:O b i l d e t 9enau dann eine Schauder-Basis f u r ~R' wenn die

Folge der I n t e r p o l a t i o n s p u n k t e {Zk}k= I auf Tr = {z : Iz I = r } g l e i c h v e r teilt ist. (Siehe auch [ 3 ] ) . Der Beweis von Satz 2 benUtzt die Tatsache, dab {Zk}k~ I genau dann auf Tr g l e i c h v e r t e i l t i s t ,

wenn f u r jede s t e t i g e Funktion g: Tr ÷ ~ g i l t

n lim ~ z n÷~ n k=l Sei

{Zk}k~ I gleichverteilt gz(~)

g(zk)

1 = f g(re2~it)dt. 0

a u f T r und z E C m i t = log

Iz-~l

fur

z I > r,

ferner

sei

~ E r"

gz: Tr ÷R i s t s t e t i g daher g i l t n 1 z log lim ~ n÷~ k=l

1 I z - z k l = I log 0

Iz-re2~itldt.

Nach der M i t t e l w e r t e i g e n s c h a f t harmonischer Funktionen g i l t i / log I z - r e 2 ~ i t l d t = l o g l z I 0 und s o m i t l i m -1 nE n n÷~ k=l

log pZ-Zk] = 2 o g l z l

Daraus f o l g t

lira [pn(z)l 11n = Izl n->oo

f u r a l l e z mit Izl > r . Daher i s t auch die Bedingung (~) in Satz 1 erf i i l l t und { Pn}n=O i s t eine Schauder-Basis f u r •R"

18

I s t umgekehrt {Pn}n=O eine Schauder-Basis fur die Bedingung (~) e r f U l l t . Daraus e r g i b t sich lim I nZ: l o g n n÷~ k=I Man kann nun z e i g e n , durch

eine

dab s i c h

Linearkombination gz(¢)

approximieren

l~Bt.

l i m -I zn n÷~ n k = l und d a h e r i s t

jede der

= log

Nun e r h ~ I t

IZ-Zkl

so i s t nach Satz 1

= t o g I z I.

stetige

Funktion

a u f Tr g l e i c h m ~ B i g

Funktionen

lz-¢l,

lzl > r,

¢

Tr

man w i e d e r g(z

k

{Zk}k= I gleichverteilt

) = fI g ( r e 2 ~ i t ) d t 0 auf

Tr .

Mit H i l f e eines allgemeinen Satzes Uber Biorthogonalsysteme in nuklearen Fr~chetr~umen (siehe: [ i ] ) kann man nun auBerdem eine f u n k t i onalanalytische Charakterisierung g l e i c h v e r t e i l t e r Folgen angeben (siehe: [ 2 ] ) .

LITERATUR HASLINGER, F.: Complete biorthogonal systems in nuclear (F)-spaces, Math. Nachr. 83, 305-310 (1978). : On Newton's i n t e r p o l a t i o n polynomials, J. Approximation Theory 22 , 352-355 (1978). : Polynomial expansions and expansions by Pincherle sequences in spaces of holomorphic functions, Colloquia Mathematica, Janos Bolyai Society 35. Functions, series, operators, 595-610, Budapest 1980. 4

KALMAR, L.:

Ober I n t e r p o l a t i o n , Matematikai ~s Physikai Lapok, 120-149 (1926).

5

WALSH, J . L . :

I n t e r p o l a t i o n and Approximation, Amer.Math.Soc. C o l l . P u b l . , 1935

Doz.Dr.F. Haslinger I n s t i t u t fur Mathematik U n i v e r s i t ~ t Wien Strudlhofgasse 4 A-1090 Wien AUSTRIA

OBER EIN PRODUKT, DAS IN DER INTERPOLATION ANALYTISCHER FUNKTIONEN IM EINHEITSKREIS

AUFTRITT E. Hlawka

Abstract.

In this a r t i c l e

for a p r o d u c t circle.

arising

uniformly

distributed

in i n t e r p o l a t i o n

This is a c o n t i n u a t i o n

problems

of a p r e v i o u s

sequences

are u s e d to give e s t i m a t e s

for a n a l y t i c

paper

functions

on the u n i t

[i].

In der Arbeit im Landau Gedenkband, 1968 erschienen, betrachte ich das Produkt N

WN(Z) =

~ (z - ~n ) n=1

Dabei i s t ~n = e2~iq)n f u r n = I . . . . . N. Dabei i s t ON=(~I . . . . . Einheitskreisintervall

~N)eine Folge auf dem

I : 0 s m < I . Es wird dann gezeigt ( H i l f s s a t z 2) l o c - c i t .

FUr jedes z mit Izl > I i s t

(1)

Izl(~+11) 2DN ~ I~N(Z)I 1/N ~ 1z1(~_+11) 2ON

,

Dabei i s t DN die Diskrepanz der Folge o N (Zur D e f i n i t i o n von DN sei auf das Buch[2] des Verfassers verwiesen. Der Beweis von (1) stUtzt sich auf die Formel ( f s t e t i g d i f f e r e n z i e r b a r e , periodische Funktion mit der Periode 1): N

(2)

I~

1

nZ1 f(~n)=

-

1

0f f(m)dm] ~

DN f ' (l ~ ) I d e t o

I re 2 v i ~ g e s e t z t und die Funktion Zum Beweis von ( I ) wird ¢ = ~= f(~) = Inll

- ¢e2~i~]= ½ ]n (I + r 2 - 2r cos 2 ~ ( ~ ) )

betrachtet und (2) angewendet. Aus ( I ) f o l g t auch die Absch~tzung f u r Izl < I I- z

2DN

I/N

2DN

Ein K u n s t g r i f f ermSglicht die Absch~tzung ( H i ] f s s a t z 4) loc. c i t . fUr Izl = 1 : (4)

I~N(Z)l 1/N ~ ~(D)

,

20

(5)

#(D) = v / T2

(6)

R2 = 4D + ~6D 2 + I

wobei D = DN i s t ,

(7)

w~hrend das Maximumprinzip angewendet auf ( I ) nur

imN(Z) j I I N S B(O)

geliefert (8)

(,I+~D~D2*I)2D ,

h a t t e , wobei B(D)= RI ( 1 + w / ~ + 2D

I)2D

mit (9)

RI = 2D + V ~

+ I

ist. I/N Wir wollen in der vorliegenden A r b e i t mN (Hauptwert) und (10)

arg mN

untersuchen. Wir nehmen nun in (2) (11)

f ( ~ ) = arctg

r sin 2 ~ 1-r cos 2~m

Dabei i s t 0 ~ r < I . Wir haben dabei, was keine Einschr~nkung bedeutet, = r , also 6 = 0 angenommen. Es i s t f ' ( m ) = - r r-cos 2 ~ 2~ • 1+r2-2r cos 2~m I Wit setzen r = cos 2~mo m i t O~ mo < 4" Es i s t dann cos 2 ~ ° - cos 2 ~ (12)

f'(~)

= - cos 2 ~

271-

.

o 1+cos22~mo_2COs 2~mo cos 2~m I

Es i s t nun

f

if'(~)id~zu

berechnen.

0

I Es i s t ja

~ f ( ~ ) d ~ = O, da f eine ungerade Funktion i s t , denn es i s t f ( 1 - ~ ) = - f ( w ) . O

Es i s t 1/4

mo

i If(m)Idm :

I

0

0

1/4 tf'(~)Id~p + J If'(~)Id~o ~0

Es i s t f u r 0 < ~ < ~o sicher [cos 2 ~ o - cos 2~mi = cos 2 ~ - cos 2~o~also ~o nf,(m)idm o

~

~o ~

cos 2~m-cos 2~mo

o

1+r2-2r cos

2~

~o cKp = ~ f'(m)dm = f(O),f(mo) 0

=f(~o o)

21 r sin 2 ~ o r I - r sin 2~ o = arctg {1-r 2

= arctg

J e t z t betrachten w i r I/4 f

I/4 If'(~)Ickp = -

f

%

f'(~)ckp = - ( f ( ~ )

- f(~o )) = f(~o ) - a r c t g

%

Es i s t also I/4 f

If'(~)Id
a~tg

r

.

0

Welters i s t

in <¼ ,½> s t e t s cos 2~ko < O, also f ' ( ~ )

< 0

also I/2 f If'~)Ickp = -

I/2 f

I/4

I/4

da f(½) = 0 i s t .

f'(~)ckp =

f(.)¼

= arctg r

Wir haben also

I/2 (13)

f If'(~)Id~=

2f(~ o)

0

Wir betrachten nun I

I

f

If'(~)Id

= I

I/2 und setzen ~= I - ~ i ,

I/2

d~

dann i s t

I

f

It-cos 2~I

I / 2 1+r2-2r cos 2~o

I/2

If(~)Id~ =

f

o

if'(Wl)ICkpl

Wir e r h a l t e n also insgesamt I

(14)

f If'(m)Id~= o

4f(~o)

= 4 arctg

- -r

= 4arcsin r

Es i s t also nach (2):(11) und (1'4) N

(15)

I~ ~

arctg

n=1

Setzen w i r (16)

r s i n 2~.o n I - r cos 2~

N I

CN = N

log ( 1 - r e2~%Pn n=1 N

(17)

I

aN = N

log ( 1 - r e2~ik°n) n:1

4D N arc sin r

r

22 N

bN = ~I

(18)

Z arc(1-r n=1

e2

" ~lq)n)

so i s t c N = a N + i b N und le cN - I[ 2 = e 2aN + I - 2e aN cos b N

bN

Nun i s t cos b N = I - 2 sin 2

-2-

also w i r d leCNIi2

= (e aN - I ) 2 + 4e a N s i n 2 Tb N

Wir e r h a l t e n also le c N _ I 12 ~ ((I+r~2DN ,q:-~,

(19)

- I) 2

,1+r,2DN + 4iT:F) sin 2 (2DNarcsin r) 2

also schw~cher, (Isin ~[ ~ I~I) (20)

le

cN

,.I+r~2DN - 112 S ttTZ~j

I) 2 + 1 6 D2N (1+r ~ ) 2DN(arcsin)2

Es i s t nun, wennWir N

(21)

~N(r) :

R

( 1 - r e2~i~k)

k=1 setzen

e cN = aN 1/N und w i r e r h a l t e n

I~/N

(22)

- 1I ~ K(DN~ 0

.

Dabei ist (23)

K(DN,r ) = f1+r~ 2ON +I + 4" It+~r- '~D/ N

(arcsin

r) 2

Wir w o l l e n nun auf coN(Z) zurUckschlieBen: Es war f u r

i

I

I zl > I , z =-~ = ~-eZ~J~ , N

Dann i s t coN(Z) =

~

N

n=1

n=1

N

also CON(Z) = z N II

n=l

N

(~-

(z - ~n ) = 11(1 - Cn ) = I

(1-

~n ) = zN~?N

~

n=1

Cn )

23 also f o l g t

(24)

aus (22)

I~/N - z l~IzlK(D N, ~ T )

Betrachten w i r den F a l l

[z I < I.

Es i s t dann z = re 2 ~ i ~

~N = ~

N

und

(re2~i(~_~On)

n=1

-

I)

=

N 2~ i (~-ko n) ) 11 ( l - r e rl=1

= ~(-I)N wobei

kon n=1

~=e

Nun i s t ( n a c h (2) m i t f ( ~ )

= ko) :

N

n=1 Wir k~nnen also setzen I

N

~mn:g+ n=]

wobei 161 =< I i s t .

I

aD N

Es w i r d also

I N = e~ie2~i~ DN Wir e r h a l t e n a l s o w~/N - I

=(~/N

_ 1)e2~i6DN + e2~i6 DN _ I ,

al so

I~/"-

11 ~ I~/"-

It + %

also e r h a l t e n w i r f U r l z i < I : I/N (25) l~m(Z) - 11 ~ K(DN,]Zl) * ~D N Nehmen w i r s t a t t

(3) die Absch~tzung (5) j

so e r h a l t e n w i t l~/N(z)

- 11 ~ KI(DN]Zl)

*

DN

wobei KI = ¥ ( D ) ist.

- I + 4y(D) D a r c s i n

Izl

24 Wir wollen zum SchluB noch eine Anwendung von (3) bzw. (5) auf die von E. Lammel [3] eingefUhrten Reihen4) (26)

N :Co + ~ Cn 11 N=I k=1

Z

z -~k

machen, wobei ~k = e2~ik°k

ist.

I s t f eine in

lzl

<

I holomorphe Funktion, so z e i g t

Lammel, dab sich jedes solcher f in eine solche Reihe (26) entwickeln l~Bt, wenn die unendliche Folge o = (gk) g l e i c h v e r t e i l t i s t . Es i st 61 1 f f ( ¢ ) de, ~r I Co = 2~i L ¢ 2~i

f L

f(~)d~ 62

}

(27) ¢N+I ~ 2~----T L

CN+I = -

( ~N ~ 6_ k=1

f(¢)

f u r N > I. Dabei i s t L ein Kreis 161 M I s t SM : C°

Ck ) - I

d6

= r < I

N Z

+ N=I ~ C k ~ k=1 z - ~

)

so g i l t

f u r den Reihenrest RM die Darstellung, wenn [zi < r i s t M

(28)

RM(Z) = 2~i

I

f

f(~)

zM

z-6

{-~k

(~)

11 ( Z-~k)d I k=1

L

Aus (3) entnimmt man s o f o r t die Absch~tzung

(29)

ICN+II<_

wobei p ( f j r ) (28')

1+r 2ND

~ (T7-6)

N

)

= Max I l l auf L i s t .

Aus (5) f o l g t

]CN+I[ ~ yN(D)

i s t also nach (29) I I ICN+ I IN < = MNg(DN) FUr den Rest Rbl erh~It man aus (3) <

IRMI = ~

(1+r

(~)M'T=F

~ 2

1-E=i-'

MDM

Wendet man (5) an ,so erh~It man 2) (30)

• I+ z' DM M IRMI ~ T_T~ T [zl M ( Y ( D M ) ) ( ~ ) ) i-iz I

N I) Die Bezeichnung i s t gegenUber [3] ge~ndert: s t a t t dem AN in [3] wurde CN = -A N H 6 k eingefUhrt, k=1 2) Zu ( ! I sei noch bemerkt, dab G. Wagner [4] gezeigt hat, dab sup iWN(z)lauf Izl f u r unendlich v i e l e N s i c h e r ~ ( I o g N) c mit c = 10-~ i s t .

25 LITERATUR

[ I ] E. Hlawka, I n t e r p o l a t i o n analytischer Funktionen auf de

Einheitskreis. Abhandlun-

gen aus Zahlentheorie und Analysis, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1968),

97 - 118.

[2] E. Hlawka, Theorie der Gleichverteilung~1979, Bibliographisches Institut~MannheimWien-ZUrich, B.I.Wissenschaftsverlag, 142 S, [3] E.Lammel, Ober gewisse Reihen, welche die Potenzreihen als Grenzfall enthalten, Mathematische

Zeitschrift~4__22 (1937), 389 - 398.

[4] G. Wagner, On a problem of Erd~s in Diophantine Approximation, B u l l . o f the London Math. Soc . 1212) (1980),81 - 88.

Anschrift des Verfassers: Abt. f . Technische Mathematik Technische Universit~t Wien Wiedner HauptstraBe 6-10 1040 Wien

BEMERKUNG ZUM LEMMA VON DU BOIS-REYMOND E. Hlawka

Abstract.

In this n o t e u n i f o r m l y

d i s t r i b u t e d s e q u e n c e s are u s e d to o b t a i n an a n a l o g o n

to the w e l l - k n o w n Lem/na of Du B o i s - R e y m o n d from the v e r i a t i o n a l calcul~s.

Es g i l t

b e k a n n t l i c h der Satz: Es sei f eine s t e t i g e Funktion im I n t e r v a l l

E: [ 0 , 1 ]

und i s t I (I)

~ f2(x)dx = 0

,

0 so g i l t

f(x)

falsch).

= 0 f u r a l l e x aus E (FUr n i c h t s t e t i g e Funktionen i s t d i e s e r Satz

Wir haben nur aus Bequemlichkeit f u r E das E i n h e i t s i n t e r v a l l

gew~hlt. Dieser

Satz kann zum Beweis des Lemmas von Du Bois-Reymond, welches in der Variationsrechnung ( v g l . z.B. das Buch von P. Funk [ I ]) eine bedeutende R o l l e s p i e l t , Das Lemma l a u t e t folgenderma6en: Es sei g s t e t i g I f in E m i t

[ 0

in E und f u r jede s t e t i g e Funktion.

f(x)dx = 0 ist

I (2)

f g(x)f(x)dx = 0 0

dann i s t g eine Konstante. Zum Beweis nehme man f = g - X ( g ) , wobei k (g) =

[ E

Dann i s t

I

I

f f ( x ) d x = 0 und 0

[ 0

Da aber auch (2) g e l t e n s o l l , I (g-~)2dx = 0 0

,

X(g-X)dx = O.

so i s t

verwendet werden.

g(x)dx.

27 also g(x) = ~ f u r a l l e x aus E. Wir wollen nun s t a t t x I .....

( I ) die folgende Voraussetzung machen: Es g~be eine Folge mN :

x N in E: [ 0 , 1 [

und ein ~ < 0, sodaF5

N

I-~I

(3)

Z f2(xk) I < 2 k=1

Welche SchIUsse kann man dann Liber die Funktion f ziehen? Es sei angenommen, da6 f in E stetig differenzierbar i s t und DN (~) Folge (~ = m N"

(Zur Definition von DN vergleiche [2]). Es g i l t dann nach [2]

I

(4)

N

_I N

I ~ f2dx 0

Nun i s t

I

Z

f2(x)i -< 2DN

k=l

S Iff'Idx

~

0 f'

sei die Diskrepanz der

~ ] f f ' l dx 0

f2dx ~

f'2dx

0

0

in E, dann f o l g t aus (4), wobei w i r J =

Es sei nun M eine obere Schranke von I S f2dx setzen, 0

N

(5) Nun g i l t

I

J <~

Z k=1

f 2 ( x k) + 2DNM ~

(3), also haben w i r mit DN = D : J < 2

daher

~

+ 2DM ~ o d e r

S V/c 2 + (DM)2 + DM

Wir haben also (6)

J ~ K

mit

(7)

K = (~/c 2 + (DM)2 + DM)2

Aus I f ' ( x ) I S M in E f o l g t f u r S t e l l e n Xl,X 2 aus T (8)

I f ( x I) - f ( x 2 ) I ~

Mlx I - x21

Wir setzen j e t z t (9)

I L = 2(MK)~

,

und dann g i l t der folgende Satz: SATZ I.

Es is_t.tfU__r a l l e x au__~s

(g"J - DM)2

2

+(DM)2,

28

(IO)

If(x)l

~

2(MK) I/3,

wobei K in (7) d e f i n i e r t

is_.~t.

Beweis. Angenommen (10) w~re f a l s c h , dann g i b t es ein x o in E, sodaB f u r a l l e x aus (IX-Xol <

q) ~ E

If(x)l ~ If(Xo)l-

M ix -

If(xo)l

> L. Dann g i l t

= S mit q = L/2M wegen (8):

Mix - Xoi

Xol > L -

> L - L/2 = L/2 ,

also J ~

S f2dx

>

S

I

S (k - M l x

- Xol)2dx = ( ~ ) 2 q = 8

L3 M

"

S

Aus (6) f o l g t aber K > L3/8M = K, ein Widerspruch. Somit i s t Satz I bewiesen. J e t z t s t e l l e n w i r ein GegenstUck zum Lemma von Du Bois-Reymond auf: SATZ 2. Es sei g s t e t i q d i f f e r e n z i e r b a r a uf E un__dd mN eine Folge mit Diskrepanz DNWeiters sei e -> 0 gegeben und f u r a l l e s t e t i g e n f mi_~_t N

(11)

I X(f) = ~

~

f(xk) = 0

gelte

1=k

(12)

I~

Dann g i l t

N

I

~ g ( x k ) f ( x k) I --< k=1

N ~

f2(xk)

k=1

f u r a l l e x aus I

(13)

Ig(x) " ~(g)I <

2(MK) ~

Dabe____~iis__t . M eine obere Schranke fU_r I g ' i

au._f E,

N (14)

I X(g) = ~

(15)

~ g(x k) k=1

und

K = (DNM +~/c 2 + (DNM)2)2

Welters . q i l t N

(16)

I

N

=

~ (g(xk) _ ~(g))2 < ~ k=1

2

,

und (12) fol,cIt, aus (16). Der Beweis von Satz 2 f o l g t dann i s t ),(f) = 0. Weiters g i l t

s o f o r t aus Satz I: Wir nehmen in (12) X(X(g-X)) = 0 und nach (12)

f : g - X(g),

29 ,

N

}]1 (g(x k) -~,)21 k=l

< ~

[ (g(x k) - X) 2 k=l

Also i s t N I

~ (g(xk)_),)2 k=1

< e2

•

und damit i s t (16) gezeigt. Weiters f o l g t aus Satz I angewendet auf f = g - ~ sofort (13). Ferner i s t (12) fur jedes f mit ;~(f) = 0 e r f U l l t , wenn (16) g i l t , denn N I

N I

(g(xk) f(xk)l = ~ I k=l N

_I [ _ )2 N ~ (g(xk) ~ k=1

(g(xk)-X)f(xk)l < k=l

1 N

N

~ f2(xk) k=1

]I/2< = ~(-IN

N

~ f2(xk)) k=1

I/2

LITERATUR

[I ] P. Funk, Variationsrechnung Verlag, Berlin, 1962.

und ihre Anwendung auf Physik und Technik, Springer-

[2] E.Hlawka, Theorie der Gleichverteilung, Wien - ZUrich, 1979.

Anschrift des Verfassers: Abt. fur Technische Mathematik Technische Universit~t Wien Wiedner Hauptstra~e 6-10 1040 Wien

Bibliographisches

Institut,

Mannheim -

BEMERKUNG ZUM LEMMA VON DU BOIS - REYMONDI I Edmund Hlawka

Abstract. This is a c o n t i n u a t i o n o f the first p a r t p u b l i s h e d in this book. A h i g h e r dimensional version of the Lemma yon Du B o i s - R e y m o n d is established; a p p l i c a t i o n s in the theory o f orthogonal functions are presented.

Wir behalten t r ~ g t , bei

die Bezeichnungen der vorhergehenden Note, welche den gTeichen T i t e l (im folgendem kurz mit I z i t i e r t ) .

Aus I Satz 2 f o l g t sofort ein l e i c h t e r anwendbarer Satz, n~mlich SATZ 3. Es sei g s t e t i 9 un___dd i f f e r e n z i e r b a r i_n E. Es sei M(g') eine obere Schranke f u r I g ' i in E. Weiter sei wieder eine Fol~e,~N = (Xk) mi_t Diskrepanz D = DN gegeben. Es ~elte w e i t e r f u r jedes y ~ 0 und jede Funktion f mit ~(~J=O: N

(17)

i~

k:1

g(x k) f ( x k ) i

~ yM(g') ~V~N(f 2)

dann i s t f u r a l l e x aus E (18)

IA x gl ~ 4.22/3 (y2/3 + D2/3)

Dabei i s t (19)

Axg : g(x) - g(O) .

BEWEIS. Man nehme in I(12) e= yM ; dann g i l t

nach (13)

I

(13 i)

Ig(x) - X(g)i ~ 2(MK)~

wobei K = M2(D + T y 2 + D2) 2 daher K ~ 4M2(y + D) 2

•

M2(y + 2D) 2)

31 also

I

2

2

2

Es i s t also 2 2 2 [g(x) - g(O) i ~ 4.23 (y3 + ~ ) und dies i s t

(18).

Wir wollen nun Satz 3 verallgemeinern. Es sei nun g(x) = g(x I . . . . . x s) auf dem s-dimensionalen EinehitswUrfel Es s t e t i g d i f f e r e n z i e r b a r und im abgeschlossenen WUrfel Es ~g s t e t i g . Es sei M(g') eine obere Schranke, fur, die Betr~ge der Ableitungen ~ j (j=1 . . . . . s). Weiter

seien s Folgen m~ = (x~) auf E gegeben Osie brauchen n i c h t von-

einander :erschieden zu sein) mit den Diskrepanzen DN,~ DL (L = I . . . . . s). Wir d e f i n i e , ren (20)

N Xs(g)

=±Ns

X

kl . . . . ks=1

g( XklI . . . . . ,x~s )

Weiters d e f i n i e r e n w i r auf E (21)

N

x L ( f ) = N1

~

f(x~)

k=1 $ind g auf ESund f l . . . . . fs auf E d e f n i e r t ,

dann verstehen w i r unter g f l . . . . . fs die

Funktion auf Zs, die f u r x I . . . . . x s den Wert g(x I . . . . . X s ) . f ( x I) . . . f s ( X s ) hat. Es g i l t dann folgendes: SATZ 4. FUr a l l e f 1 ' . . . . fs auf E m i t (22)

xk(fk ) = 0

(L:4,...,~)

un____dy ~ 0 ~elte(G Funktion auf Es, M=M(G') obere Schranke yon IG'lau__f_fE ) : I (23)

IXs(G f 1 " ' " ' f s

)I =< 4M X~s (f# . . . ".

f~)

J

dann i s t f u r a l l e x = (x I . . . . . x~ aus Es • (24)

As~ I S 4C~s2Ss M(y Ys + DI ¥s + . . . + D~S)

IA 1 . . . . .

Dabei i s t (25)

A I .....

(26)

2 2s-I a s = I + ~ + . . . + (~)

(27)

2 22 Bs =3- + (5)

(28)

~s = (~)s

Aus (24) f o l g t

As = Ax I

also

, ° ° . ,

+ ""

A Xs

~s + ( )

= 3(I - ( ) s )

<3

,

2 s+1 = 2(I - (5) ) < 2,

32

iA I

(24') Ist

DI

(24")

. . A. ~ . G i < 256M (y~S

= "'" IA I . . . .

= Ds

+ D 1Ys + . . . + DZ s )

,

= D, so erhalten w i r

As G i ~ 256 M(y Ys + sDYs) .

Wir fUhren den Beweis von (24) durch v o l l s t ~ n d i g e

Induktion. F U r s = I i s t

Satz 3. Wir nehmen an, dab Satz 4 f u r s = r r i c h t i g

ist.

(24) gerade

Wit nehmen nun in Satz 3

g(x) = x r ( f l . . . . . f r " G 1 ( x ) ) " Dabei i s t G1(x) f u r jedes (x I . . . . . x r) Es i s t g auf E s t e t i g

auf Er g l e i c h G(x I . . . . . x r , x ) .

differenzierbar,

g' = x r ( f l . . . . . f r "

GI)

Es i s t M(g') < Xr ( f ~ . . . . .

s t e t i g auf E und es i s t

,

I f 2 , 2 M(G') r)

=

M1 ( g ' ) ,

Nach Voraussetzung i s t f u r a l l e fr+1 auf E m i t xr+Irf

r+1 ) = O,

IX r+1 (fr+1 g)i=

IXr+1 ( f l . . . . . f r + 1 G ) I

Y M1(g')d~r+1(fr+12 ) Dann

folgt

aus Satz 3 +

iA x 91 ~ 4 22/3 M1(g') (y2/3

(Dr+ I

)2/3

)

i

das bedeutet: I A r + 1 X r ( f I . . . . . fro G)I = I X r ( f l . . . . . f r Ar+1G)i i s t k | e i n e r oder g l e i c h 4 • 22/3(y 2/3 Dann f o l g t

÷

(Dr+I)2/3)

Xr(f ~

aus der Induktionsvoraussetzung

Yl

=

4 22/3(y 2/3 )2/3) • + (Dr+ I

" . . . .

f2)|/2

° r "

M(G')

•

mit

i

dab

IA 1 ..... A r Ar+ 1 G I S M(G')4 <. 4ar+12Br+l(yYr+l . . .

~r Br Yr Yr Yr 2 (Yl + D1 + "'" + Dr )

+ DIYr+I +

+

Dr+l Y r + l )

i

und dies i s t die Behauptung f u r s = r + I. Wir betrachten mit A. Haar [3] die F ~ l l e s = 2 und s = 3. Es sei zuerst s = 2. Es i s t

33 AIA 2 G = G(x1,x 2) - G(x1,0) - G(O,x2) + G(O,O). Es sei nun, wobei Ul,U 2 s t e t i g

differenzierbare

Funktionen s i n d ,

xI xI G(Xl,X2) = f u1(xl,Y2)dY 2 + ~ u 2 ( Y l , X 2 ) d Y l ,

(26)

0

0

und es g e l t e (23). Es sei K = Max (M(Ul), M(u2))und KI = Max (M(u~), M(u~)). Es f o l g t

sofort,

dab

M(G') ~ K + K I ist.

Wir setzen nun U1(Xl,X 2) =

x2

xI

[ 0

Ul(XlY2)dY2 -

u2(Y1,0)dy I 0

xI

U2(Xl,X 2) =

x2 u 2 (Yl,X2)dYl

-

0 dann i s t nach Satz 4 in E2 (30)

~

u I (O,Y2)dY 2

;

0

IU1(Xl,X2) + U2(Xl,X2) 1 ~ 256(K + KI)S,

wobei (31)

S = y 4 / 9 + D14/9 + D24/9

i s t mit (32)

~Ul ~x 2 - u 1 ( x l , x 2 ) ,

~U2 ~ = u2(x I ,x 2 )

wenn n a t U r l i c h G durch (26) d e f i n i e r t diskretes

GegenstUck zum

,

i s t und (23) g i l t .

Es i s t d i e s e r Sachverhalt ein

Satz von Haar ( v g l . auBer [3] auch [4] S. 174 ).

Betrachten w i r nun den F a l l s = 3. Es i s t AIA2A 3 G(Xl,X2,X 3) = G(Xl,X2,X 3) - (G(Xl,X2,0) + G(O,x2,x3))+

+ G(x1,0,x 3)

(G(~,O,O) + G(O,x2,0) + G(O,O,x3)) - G(O,O,O)

Wir betrachten nun drei Funktionen Ul,U2,U 3 auf E 3 , ( s t e t i g G(Xl,X2,X 3) =

x2

x3

f

f

0

0

xI u1(x1,Y2,Y 3)

dY2dY3+S 0

d i f f e r e n z i e r b a r ) und bilden uns x3 [ 0

u2(Yl,X2,Y3)dYldY3 +

34 xI

x2

f

f

0

0

u3(Yl,Y2,x3)dYldY 2

und setzen wieder voraus, dab (23) gilt. Es sei wieder K = Max(M(Ul),M(u2),M(u3)) , K~= Max(M(ui),M(u~),M(u~)) dann i s t M(G') 5 K + KI Wir setzen

x2 x3 U1(Xl,X2,X3) = f f u1(xl,Y2,Y3)dY2dY 3 0 0 x I x3 I - ~ f f u2(Y 1,0,y3)dyldy3 0 0 I xl x2 -~ f f u3 (YI,W2,0)dYldY 2 , 0 0 x I x3 U2(x I ,x2,x 3) = f

f 0

I

- ~ I

" ~

Xl x2 f f u3(Y I,y2)O)dyldy 2 0 0 x2 x3 f f u1(O,Y2,Y3)dY2dY3 0 0 x I x2

U3(Xl,X2,X 3) = f I - ~ f

x2

x3 f

0

0

f 0

,

u3(Yl,Y2,x3)dYldY2 0

u 1(O,y2,y3)dy2dy 3 0

_ 1 fXlfX3 2

u2(Yl,X2,Y3)dyldy 2 0

u2(Y1,0,Y3)dyldy 3

,

0

dann ist in ~3 (33)

U1(xl,x2.,x 3) + U2(xl,x2,x3) + U3(Xl,X2,x3)

8 wobei mit y =~S = y¥+ D~+ D2Y+D3Y

256(K + KI)S ,

35

und (37)

~2U I

JU 2

~x2~x3 - u I ,

~x1~x3

_

~2U3 u2,

_

~x1~x2

u3

i s t . Es i s t (33), (34) ein diskretes GegenstUck zu dem Satz von Haar in drei Variablen. Wir wollen nun Satz 2 in einer anderen Richtung verallgemeinern. Diese Verallgemeinerung wurde durch den Satz von Zermelo ( v g l . [ I ] 205) angeregt. Wir beschr~nken uns dabei auf den Fall des E i n h e i t s i n t e r v a l l s E. Auf E

sei ein orthogonales normiertes System

bestehend aus s Funktionen Qo . . . . . Qs-1 gegeben, die also die Gleichungen I f QiQk dx = ~ik 0 e r f U l l e n , wobei 6ik das Kroneckersymbol Es sei (35)

Max M(Qj) = ~ I ' Max M(Qi) = ~2 j=O . . . . . s-I j = 0 . . . . . s-I

ist.

"

Es sei wieder eine Folge wN = (x k) auf E gegeben, deren Diskrepanz D = DN klein s e i , d.h. es sei (36)

DN(~) ~ ½ ( ~ ( 2 K + I ) )

-s

,

wobei (37)

K= KIK 2

i s t . Es g i l t

dann

SATZ 5. Es sei g eine auf E s t e t i g e , au___f E s t e t i 9 d i f f e r e n z i e r b a r e Funktion; M(g) bzw. M(g') bezeichne~ Schranken auf E der entsprechenden Funktion. Es gelte nun f u r a l l e Funktionen f mit (38) ~(Q~f) = 0 f u r j = O , . . ! , s - 1 und ~ ~ O: i~(gf) I ~ c vr~-f2) ~ (39) dann ~ i b t es Zahlen ¢o . . . . . Cs_ I , so dab f u r a l l e x auf s-I 2

(4o)

~ Ig(x) _ j:0

cjQj(x) I ~ 2(M2K2)~

J

wobei (41) l~z=M2(Y) = M(g') + K2(M(g)s2(1 + 5D(~ss(1+2K)) s) i s t mit K2 = (E + 2DNM(.g.~ ~

lund es 9 i l t :

s-I (42)

~

~2 Ic~l ~ M(g)K1s (I + 5DN)(~ (I+2K) s)

,

j=O Man kann also Satz 5 dahin a~ssprechen dab unter den Voraussetzungen (36) und (39) die Funktion g bis auf einen Fehler eine LinearkomDination

von Qo. . . . . Qs-1 i s t . Wir

36

gehen nun zum Beweis des Satzes Uber. Wir bestimmen die c o . . . . . Cs_ I aus dem Gleichungssystem (L = 0 . . . . . s) s-1 (47)

X(g QL ) =

~ r=O

CrX(QrQ L)

Wir mUssen die Gleichungsdeterminante A = Det X(QrQ L) untersuchen. Es i s t X(QrQL) = ~

N ~ Qr(Xk)QL(Xk ) k=1

gleich I

f 0

QrQLdX + Fehler

i

wobei der Fehler I < ( , I d = D£ QrQL + QrQL ) x ist.

Es i s t also

(44)

IX(QrQ L) - ~rL i < 2DK

Es i s t also

i

s

s

I A - II <-- D Z (~)(2K) k L~ r=1 Bei dieser Absch~tzung wurde f u r dieHauptminoren von A die Hadamardsche Ungleichung angewendet. Es i s t also

(45)

IA

- II ~

D(~(1

+ 2K)) s

BerUcksichtigen w i r (34), so i s t also (46)

I

Ial ~ ~.

Wir k~nnen also auf (43) die Cramersche Regel anwenden. FUr X(gQ L) w~hlen w i r die triviale

Abschfftzung

l~(g QL) ] ~ M(g)K I • Es i s t (j = 0 . . . . . s - l ) _ A~

cj

A

i

wobei in der j - t e n Spalte von A die Glieder durch x(gQ L) zu ersetzen sind. Entwickeln w i r nun Aj nach dieser Spalte, so sind die algebraischen Komplemente von X(QLg) von der gleichen Gestalt

wie A , aber nur aus

s-1Zeilen

bestehend.Wir k~nnen also die

Absch~tzung (43) auf diese Komplemente anwenden. Wir erhalten also

Iallcjl

~

M(g)~iS (I + D(~rs(1+2K)) s)

Es i s t also wegen (45) und (36)

Icjl

~ M(g)K~is( I + 5D(V~s~I+2K))) s)

,

37 also s-1 ~.

i' c j l < M(g)~is2( I + 5 D ( ~ ( I + 2 K ) ) s)

•

j.=O Damit i s t (42) bewiesen. Wir nehmen nun in (39) s

(47)

g = g -

j=O cjQj

Es i s t nach (46) f u r j = 0 . . . . . s-1 X(Qjf) = 0 Es i s t w a i t e r nach Voraussetzung (49)

I X ( g f ) ] _-< Ev~-(f 2)

,

IX(g2)[ < ~v~(g 2)

o

also i s t

Wir k~nnen also Satz I anwenden und erhalten f u r a l l e x aus (50)

If(x)i

<_- 2(MK) I/3

,

wobei M = M ( f ' ) und (51) ist.

K = ( ~ a 2 + (DM)2 + DM)2 Nun i s t nach (46) s-1

If'l

~

Ig'l

+

IcjIIQjl

,

j=o also i s t nach (42) M ( f ' ) ~ M(g') + KM(g)s2(1 + 5D(vrs(1 + 2K)) s) • BerUcksichtigen w i r noch, dab K ~ (E ist,

+ 2DM)2:KZ

so f o l g t die Behauptung.

Betrachten w i r nun ein B e i s p i e l : Qj(x) = pj(2x - I)

Es sei

j

wobel P~ dle<.Legendreschen Polynome sind. Es i s t KI = I mit K2 = s(s-1)~da ja iP~(x)iJ~j, j ( ~ 1 )

ist.

Nun sind die P~j Polynome in × vom Grade j .

Umgekehrt l ~ 6 t sich

jades x J durch Po . . . . . Pj ausdrUcken. Wir kSnnen dann folgenden Satz aussprechen: SATZ 6. Es sei wieder g eine s t e t i g d i f f e r e n z i e r b a r e se_i ~ N eine F o ~

mit Diskrepanz

DN, wobei I

(52)

DN < ½ ( ~ ( I

+ s(s-1)))

2

Funktion in E j s t e t i 9 i n E .

Waiter

38 is__t. Weiter g e l t e f u r a l l e f mit N

(53)

~I

Z x3r f ( x j ) = 0

j=1 ( r = 0,1 . . . . s - l ) (54)

l~(gf)l

und ~ ~ 0

:

< E V / - ~ f 2)

;

dann 9 i b t e s c o . . . . . Cs_ I , so dab f u r a l l e x au___~_~ E s-1 Ig(x) -

2

j!1

cJPJ ( 2 x - 1 ) i

< 2(M2K2)3

'

wobei M~M2(~) = M (4) + Kmt4{~)C(S) und

C(s) = s2(I + 5 D ( ~ ( I

+ s(s-1))) s

j k~- (~, 2 DM(~))e

Dieser Satz ist ein diskretes Analogon zum Satz von Zermelo (vgl. [ I ] , S 205), BEMERKUNG. Wenn man Satz I b e t r a c h t e t , I

so s i e h t man, dab die Norm

I

llfII2 = ( f f2(x)dx)2 0

durch d i e Norm N

(1

I

Z f2(xk))~ k=1

e r s e t z t wurde. Man kann dies auch bei der p-Norm und bei der Supremumnorm durchfUhren. Solche Approximationen von Normen sind a u B e r o r d e n t l i c h n U t z l i c h , wie J. Peetre [5] k-1 g e z e i g t hat. Er l e g t dabei die Folge x k = T (k = l . . . . . N) zugrunde. Es sei auch der Artikel

von Ph. Davis [ 4 ] angefUhrt. Wir w o l l e n h i e r nut d i e NormII~I = sup I f ( x ) I ,

wo x in ~s 0 < x i < I (i = I . . . . . s) a l l e Punkte(x I . . . . . x s) d u r c h l ~ u f t ,

betrachten.

Es sei mN e i n e Folge (x~ . . . . x AI) aus ES: 0 < x i < I (j = I . . . . s) mit Diskrepanz DN. Wir b e t r a c h t e n d i e d i s k r e t e Norm

llfllN = sup

1=
If(xk)]

Nehmen w i r nun an, dab f im Inneren von Es s t e t i g

differenzierbar

i s t und f u r grad f

in Es d i e Absch~tzung Ilg rad ~:II ~ M gilt

, so g i l t

m i t II grad f If=

Max l
~f 1 I

I

lllfll-ll#llN i ~ s.D~ • M Beweis: Aus der D e f i n i t i o n x k ausu) N g i b t ,

sodaB

II x - xkll < ~l/s

der Diskrepanz f o l g t ,

dab es zu jedem Punkt x aus Es e i n

39

g i l t (IIxll = Max ( I x l ) ) , 1~i~s Aus dem M i t t e l w e r t s a t z der Differentialrechnung f ( x ) - f ( x k) = Igrad f(~)~,

(x - x k)

j

wo ~ eine S t e l l e in Es i s t , f o l g t s o f o r t die Behauptung, wenn man noch beachtet, dab ja

IIdlN

~ I1~I

ist.

LITERATUR [3] Haar A.,Zur Variationsrechnung, Drei Vortr~ge, Abh. Math.Sem. Hamburg, 8 (1930), I - 27, [4] Courant-Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik I , 2. Auflage, 1931, Springer Verlag, B e r l i n . [5] Peetre j.,Approximation of Norms, Journal of Appr. Theory, Bd. I I I ,

243-260, 1970.

[6] Davis Ph.J., Proof, Completeness, Transcendentals and Sampling, Journal of the A~s, Computing Machines, Vol. 24 (1977), 298 - 310.

Anschrift des Verfassers: Abt. fur Technische Mathematik Technische Universit~t Wien Wiedner HauptstraBe 6-10 1040 Wien Au:stria

ASYMPTOTISCHE UNTERSUCHUNGENZUR DURCHSCHNITTLICHEN GESTALT GEWISSER GRAPHENKLASSEN P. Kirschenhofer

Abstract. the

In this p a p e r

(t-1)j+1-st

trees are r e g a r d e d left

to right)

we d e r i v e

l e a f o f an e x t e n d e d equally

concerning

an a s y m p t o t i c

result

for the a v e r a g e h e i g h t

t-ary tree with n internal

l i k e l y and the l i m i t i n g

the leaves

o f each

case j , n ÷ ~ ,

nodes

tree are e n u m e r a t e d

j/n=p

of

(where all such from

fixed.

I. EINLEITUNG Eine gr~Bere Zahl in den letzten Jahren erschienener Arbeiten auf dem Gebiet der enumerativen Kombinatorik besch~ftigt sich mit dem Problemkreis, den Erwartungswert bzw. h~here Momente der Verteilung gewisser charakteristischer Parameter ebener Wurzelb~ume zu bestimmen. Diese Fragestellungen fUhren e i n e r s e i t s zu o f t r e i z v o l l e n kombinatorischen Aufgabenstellungen, bei der Suche nach asymptotischen Resultaten zu o f t anspruchsvollen analytischen Problemen, andererseits aber sind v i e l e der Resultate auch von Bedeutung in der Analyse s p e z i e l l e r A l g o r i t h m e n , d i e in der Informatik auftreten. Wir werden im weiteren nicht n~her auf diesen Anwendungsbezug eingehen, da im Rahmen dieser Arbeit die mathematischen Aspekte im Vordergrund stehen m~gen. Der i n t e r e s s i e r t e Leser sei aber etwa auf [ 3 ] , [ 4 ] , [ 5 ] , [ 9 ] , [ I 0 ] , [18], [19], [24] verwiesen. Im weiteren betrachten wir die Familie T der t-~ren B~ume (vgl. 2.1). Um Auskunft Uber die durchschnittliche Gestalt eines derartigen Baumes mit n internen Knoten zu bekommen, s t u d i e r t man die m i t t l e r e HBhe des k-ten Blattes (=Endknotens), wobei man a l l e B~ume mit n Knoten als gleich wahrscheinlich annimmt, sich die B l ~ t t e r jedes Baumes von links nach rechts durchnumeriert d~nkt und unter der H~he die L~nge des Weges versteht, der die Wurzel des Baumes mit dem entsprechenden B l a t t verbindet. Im Falle t=2, dh. der bin~ren B~ume, konnte der Autor in [12] eine e x p l i z i t e Formel fur die m i t t l e r e H~he ~ ( n , j ) des j + l - s t e n Blattes eines Baumes mit n internen Knoten angeben: (1.1)

~(n,j)=

2(2j+1)(2(n-j)+1)(n+2)-1(2j)(21n~J))(2~)-1 j Hj --

41

Daraus e r g i b t sich s p e z i e l l (1.2)

fur j,n÷~,

~(n,pn) = o i / 2 ( I - o ) I / 2 8 ~ - I / 2 n

j/n=o (0<~ < i ) :

1/2

I + O(n - I / 2 )

.

FUr allgemeines t~2 i s t die Metbode, die in [12] zur Auffindung der e x p l i z i t e n Formel i . i

fur ~(n,j)

fUhrte, n i c h t mehr anwendbar. Jedoch kann mit e i n e r anderen,

wesentlich aufwendigeren,analytischen Methode das folgende asymptotische Resultat gezeigt werden (Satz 2 dieser A r b e i t ) : (1.3)

~(n,p(t-l)n)

= ol/2(l-~)I/28(t/(2~(t-l)))I/2n

I/2 + 0(1) ,

n÷®.

Der zugrundeliegende Gedanke unseres Vorgehens wird es sein, das asymptotische Verhalten der uns interessierenden Gr~Ben zu bestimmen, indem w i r zun~chst geeignete erzeugende Funktionen a u f s t e l l e n und anschlie~end das lokale Verhalten dieser Funktionen in der N~he i h r e r dem Ursprung zun~chst liegenden S i n g u l a r i t ~ t e n ermitteln.

(asymptotisch)

Diese Informationen k~nnen dann mit H i l f e bekannter "Obersetzungslemmata"

(vgl. Lemma 6), die auf dem ResiduenkalkUl basieren, in die gewUnschte Auskunft Uber das asymptotische Verhalten der M c L a u r i n - K o e f f i z i e n t e n der betrachteten Funktionen Ubertragen werden. Das L i t e r a t u r v e r z e i c h n i s e n t h ~ I t eine Anzahl w e i t e r e r Arbeiten, die sich mit verwandten Aufgabenstellungen besch~ftigen. Bemerkung. Wir bezeichnen mit < f ( z ) , z n > den K o e f f i z i e n t e n von z n in der (formalen) Potenzreihe f ( z ) . Weiters bedeutet in dieser A r b e i t f u r komplexwertige Funktionen f bzw. g d e f i n i e r t auf Df,Dg~D die Notation C>O mit

f(z) = O(g(z)),

(z÷z o, zc D) die Existenz einer Konstanten

I f ( z ) l ~C]g(z)i f u r zcD genUgend nahe bei z o.

2. ERZEUGENDE FUNKTIONEN Die Familie T der t-~ren B~ume kann durch folgende symbolische Gleichung beschrieben werden: (2.1)

T

[]

+

///~

rtL lT Dabei i s t [] das Symbol Fdr ein " B l a t t "

(dh. einen Endknoten) u n d o das Symbol f u r

einen internen Knoten. Bezeichnet T n die Menge der t-~ren Bhume mit n internen Knoten und (2.2)

y(z) =

Z lTnl zn n~O

die zugeh~rige erzeugende Funktion, so Ubersetzt sich Relation 2.1 in die F u n k t i o n a l gleichung (2.3)

y(z) = 1 + zyt(z)

42

Durch Anwendung der Inversionsformel

von

Lagrange bzw. des formalen ResiduenkalkUls

(vgl. etwa [6]) e r g i b t sich das bekannte Resultat I (t~)zn Z n~O Insbesonders i s t also fur n÷ (2.4)

y(z) =

( 2.5 )

I t I In I = ~ ( 2 ~ - - ~ - ~ )

1/2~ ~

tt ~

~n n-3/2

(1 +

0(~))

,

wie sich aus 2.4 durch Anwendung der Stirlingschen Approximationsformel e r g i b t . 2.5 kann man aber auch d i r e k t aus 2.3 durch Anwendung der "Methode von DARBOUX" gewinnen (vgl. etwa [2, S.277], [7, S.211]): Die durch 2.4 d e f i n i e r t e analytische Fortsetzung y(z) der Reihe

2.2 b e s i t z t in C

genau eine S i n g u l a r i t ~ t l,t-l,t-i q = T~T)

(2.6)

,

und y ( z ) i s t analytisch in (2.7)

G = ~ - [q,+~[.

Die lokale Entwicklung von y(z) um q hat die Gestalt (2.8)

y ( z ) = yZ(z) - ( q - z ) i / 2 y 2 ( z )

,

wobei Yl und Y2 analytisch um q sind und (2.9)

y2(q) = 2 1 / 2 t ( t + Z ) / 2 ( t - l ) - ( t + 2 ) / 2

(w 1/2 sei in dieser Arbeit so d e f i n i e r t ,

. da~ die komplexe Ebene l~ngs w
ten und anschlie~end der Zweig der Wurzel mit wl/~>O f u r w>O gew~hlt w i r d . ) Mit Y2 (q) q-n+I/2 n-3/2 ( I + 0(~)) ITnl =2-~-IT2-

(2.10)

e r g i b t sich wiederum 2.5. Jeder Baum in Tn b e s i t z t genau l + ( t - l ) n

B l ~ t t e r . Wir bezeichnen mit ~ ( n , j ) die

m i t t l e r e H~he des j + l - s t e n Blattes eines Baumes in Tn (wobei die B l ~ t t e r eines Baumes yon links nach rechts durchnumeriert sind~und a l l e B~ume als gleichwahrscheinlich angenommen werden). Im folgenden werden w i r das asymptotische Verhalten von m(n,j) f u r n,j÷-

studieren, wenn j / ~ t - 1 ) n )

eine feste r a t i o n a l e Zahl p=p/r i s t .

Zun~chst i s t (2.11)

~ ( n , j ) = - I ~ hj(T) T~Tn

,

wenn hi(T ) die H~he des j + l - s t e n Blattes ~m Baum T bezeichnet. In [15] wurde vom Autor das folgende Resultat Uber die doppelte erzeugende Funktion (2.12) gezei gt:

H(z,u) =

~ znu j ~ Nj(T) n ,j~O TcTn

43

SATZ i.

H(z,u) =

LFY(Z)-UY(ZUt-1)]1-u 2

y(z)-uy(zu t-l)l_u

Der Beweis k~nnte auch mit Hilfe von Bijektionen gefUhrt werden, wie es in [14] vom Autor fur den Fall der bin~ren B~ume durchgefUhrt wurde. Im weiteren stehen wir vor der Aufgabe, das asymptotische Verhalten fur m÷~ der Koef f i z ienten (2.13)



, p,r~

f i x mit ~ r - 1 ,

~ 1

(t~) = ITnl

ggT(p,r)=l

zu ermitteln. Da (2.14)

=

fur

O~j~(t-1)n ,

k~nnen wir uns auf die Untersuchung des ersten Summanden von H(z,u) beschr~nken. Es erweist sich als zweckm~Big, anstelle des Ausdrucks

den Ausdruck

zu b e t r a c h t e n .

Zwischen den K o e f f i z i e n t e n

yon ~ bzw. h b e s t e h t d e r f o l g e n d e Zusammen-

hang: LEMMA 1.

=

( t - 1 ) < h ( z , u ) , z r m u P m > - ( t•- )2, ) - ~2/ ,r mt_r m 2 ),

fur p,r wie in 2.13. Beweis. FUr p,r wie in 2.13 i s t ~(z,u),zrmu(t-l)pm> = <~,zrmu(t-l)pm>_

<2uy(z)Y(zutTl~,zrmu(t-Z)Pm>

-

(l-u)

2

"

Zun~chst i s t <~,zrmu(t-1)pm>= _

r~ ( trm. 2 1 trm 2 trm rm_2}((t-l)rm+l ) = rm~rm_2)(t-1)(rm+l ) - ~ ( r m - 2 )(t-2) = ~ ~y2(z) , z u rm (t-1)pm > - I t 2" 2. trm ) (I_u~-I)L ~ - )~[rm-2 "

Weiters g i l t wegen 2u t-1 (1_ut-1) 2 2u Y(z)Y(zut-l) = i ut-1) 2 Y(z)Y(zut-1) ut-2(1-u) 2 (l-u) 2 ( < ( l - 22u u ) y(z)y(zu t-1),zrmu(t-1)pm> = ( t - 1 ) < ~

2ut-i

Da fur p,r wie in 2.13 = =

'

y(z)y(zu t-1),zrmu(t-1)pm>

44

y2(z) = <(l_ut_l)2

rmu(t-l)pm , z

>

_ <2ut-ly(z)y(zu t - l ) (l_ut-l) 2

, zrmu(t-l)pm>

i s t damit das Lemma bewiesen. Aus 2.7 ergibt sich, dab h(z,u) jedenfalls analytisch i s t fur z,zu~G, u#l. Die Singularit~t u=l i s t fur zEG allerdings hebbar, da fur z~G lim h(z,u) = zy'(z) + y(z) = U-~I

zYt(z) 1_tzy(zlt_l,, + y(z) .

Damit haben wir (2.16)

h(z,u) i s t analytisch fur z,zucG.

Um das asymptotische Verhalten fur m+~ der Koeffizienten , p,r wie in 2.13, zu ermitteln,

fUhren wit die erzeugenden Funktionen

(2.17)

hp,r(X ) = ~ xrm n~O ein. Unser wesentliches Anliegen wird es nun sein, das lokale Verhalten eines ~quivalents zu hp,r(X ) in der N~he seiner (logarithmischen) Singularit~t zu untersuchen. Wir beginnen mit dem folgenden LEMMA 2.

FUr alle x mit Ixl< q

gilt

hp,r(X ) = ~_~TfC1 h(x/sP,s r) Tds , wobei C=C(x) eine positiv o r i e n t i e r t e einfache geschlossene Kurve im Gebiet {sE~: s#0 & x/sPEG & xsr-P~G, G aus 2.7} ist. Beweis. Nach 2.16 konvergiert h(z,u) = ~ b .znu J n,j~0 n,j absolut und gleichm~Big auf kompakten Teilmengen von ~2 mit Iz[
Daher kon-

vergiert rm hp,r(X) = ~ brm,pmX m20 absolut und gleichm~Big auf kompakten Teilmengen von ~ mit Ixl
45 h(x/sP,sr)s - I :

~ Z bn,(k+pn+l)/rX n>_O kcZ,k+pn+l-=O(mod r)

I n t e g r i e r t man beide Seiten l~ngs eines p o s i t i v o r i e n t i e r t e n so e r g i b t sich fur Ixl
n k

s

Kreises C' im Kreisring,

1 h(x/sP,sr)-~ = Z bn,pn/r xn xrm 2~i ~C' n_>O,n-=O(mod r) = m~O~brm'pm = hp,r(X) Nach 2.16 i s t h(x/sP,sr)s - I fur festes x analytisch

.

in s fUr s#O, x/sP~G, xsr-PEG,

dh. in ~,aufgeschnitten l~ngs der Strahlen {s: s= ~(xlq) • il / p , 0_<~_<1} und (2.18) {s: s= ~ ( q / x ) iI/(r-p)-

, ~_>i} ,

wobei (x/q)~/p- bzw. ( q / x ) J / ( r - p )

a l l e p-ten bzw. ( r - p ) - t e n

FUr Ixl
Wurzeln durchl~uft.

daher den obigen Kreisring,

und der Kreis

C' i s t homotop zu jeder im Lemma angegebenen Kurve C in diesem Bereich. Damit i s t das Lemma bewiesen. Als Folgerung erhalten wir: LEMMA 3.

Sei

l(w) = ~ f1r

h(q/s,w(s i / p ) r ) - -

, wobei p,rc~ mit l~p~r-1,

ggT(p,r)=l,

c

sl/P=~/Isl.exp(ip-larg~

s) fur larg sl<~

und s t e t i q fortgesetzten Werten fUr arg s=±~

entlang ~ . ~ = re(w) i s t die in Figur_ i im Beweis d a r g e s t e l l t e Kurve; der Radius e=~(w) i h r e r B~gen wird so klein gew~hlt, dab F keine Singularit~ten des Integranden c als Funktion in s e i n s c h l i e B t , mit Ausnahme derjenigen auf dem Schnitt ~ , I ] (fUr lwI
hp,r(X ) = ~ q-rm n~O

xrm

Beweis. Zu jedem x mit IxlO, sodaB fur a l l e ~ mit O<~<E die f o l gende Kurve C die Bedingungen yon Lemma I e r f U l l t : C uml~uft die Schnitte ,i/p I ~ E [ O , ( x / q ) j , mit Bdgen vom Radius c um die Singularit~ten 0 bzw. ( x / q ) J / p . Der Wert des Integrals aus Lemma 1 i s t natUrlich unabh~ngig yon der Wahl yon ~<E(x). Das Integral z e r f ~ l l t nun in p Beitr~ge entsprechend den p Teilkurven C fang der Schnitte [ O , ( x / q,)Ij/ P l, laufen,

(1~j~p)

die ent-

Ersetzt man s durch (x/q)J/P.s 1/p mit s 1/p wie in der Formulierung des Lemmas, so i s t der Beitrag yon C . zum Integral gegeben durch c,3

_ _1 f h(q/s'wj ( s l / p ) r ) ds mit w.j = ( ( x / q )•j i / p ~ j r ps 2~i F und einer KurveFg wie in der folgenden Figu~ 1: F

46

Fist

f u r s
f u r s
Im s = 0+: arg s =~. Die S i n g u l a r i t ~ t e n in [ 0 , 1 ] liegen nun in s=O und s=l. Mit l(w) aus der Formulierung des Lemmas haben w i r daher f u r IxI
l(wj)

I s t l(w) a n a l y t i s c h um 0 ( v g l . Lemma 4), so erhalten w i r : i P hp,r(X ) = ~ ~
)n =

{

p(x/q) rn/p

j ! 1 (wj

f u r rn~O (mod p),

0

sonst

,

da wI . . . . . Wp a l l e p-ten Wurzeln yon (x/q) r d u r c h l ~ u f t . Damit e r g i b t sich q-rn/p

xrn/p

h p ' r ( X ) = n~O, rn~O(mod p) und wegen g g T ( p , r ) = l i s t dies ~quivalent zu 2.19.

3. LOKALE ENTWICKLUNGEN Wir d e f i n i e r e n im weiteren zun~chst (3.1)

l(w) = ~ 1

frh(q/s,w(sl/p)r

)

E

f u r beliebiges Sei ~

w~ G = { -

[i,~,[

:

wie in Figur i , p , r wie in 2.13, s I / p der in Lemma 3 d e f i n i e r t e Zweig der

Wurzel. Der Integrand in 3.1 i s t j e d e n f a l l s (3.2)

s ~ £ - ] - ~ , O ] , q/s~G, w(sl/p)rq/s~G

a n a l y t i s c h in s und w f u r

mit G aus 2.7 .

(Vgl. 2.16.) Daher e n t h ~ I t f u r f i x e s wcG der A n a l y t i z i t ~ t s b e r e i c h

in s die komplexe

Zahlenebene aufgeschnitten l~ngs ] - ~ , O ] U ] O , l ] mit (eventuellen) weiteren Schnitten der Form S j : = { ~ ( ( i / w ) ~ / ( r - P ~ P , ~ l } , die v o n d e r Bedingung w(sl/p)rq/s~G herrUhren k~nnen. Man beachte, dab aufgrund des h i e r f u r s I / p gew~hlten Zweiges n i c h t a l l e j~{1 . . . . . r-p} AnlaB zu einem S c h n i t t geben: im s p e z i e l l e n i s t mit w~G die l e t z t e r e Menge von Schnitten s e p a r i e r t vom S c h n i t t [ 0 , i ]

(mit einem von w s t e t i g abhNngenden

Abstand)~und w i r k~nnen E=E(w)>O so w~hlen, dab f u r O<e<E(w) die Kurve F

C

beiden Seiten des Schnittes [ 0 , I ]

l~uft,

entlang der

aber die S c h n i t t e S. n i c h t e r r e i c h t . J Wahl e i n e r derartigen "zul~ssigen" Kurve c sei l(w) durch 3.1 d e f i n i e r t . E

Es g i l t LEMMA 4.

dann l(w) i s t a n a l y t i s c h in

G = ~ - [1,=[

.

Nach

47 Beweis.

Sei WoEG und ~ e i n e feste Kurve, die f u r w° im obigen Sinn z u l ~ s s i g i s t .

Da

die S c h n i t t e Sj s t e t i g von w abh~ngen, g i b t es eine offene Umgebung U(Wo), f u r die dieselbe Kurve F e b e n f a l l s z u l ~ s s i g i s t ,

dh. der Integrand in 3.1 i s t a n a l y t i s c h

f u r wEU(Wo) und sc~ . Nach einem wohlbekannten Satz i s t damit l(w) a n a l y t i s c h in U(Wo). Dasselbe Argument kann f u r jedes Wo~G verwendet werden. Im weiteren werden w i r zeigen, dab l(w) in der N~he von w=1 folgende l o k a l e Entwicklung g e s t a t t e t : LEMMA 5. Es e x i s t i e r e n Konstanten u>O und 0 mit ~/2<~<~, soda8 f u r w im Sektor w#l, 11-wI<~, Jarg(1-w)I
4

t

pZ/2(r-p)I/2 2 log(i-w) + (t-l) 3 r

Kp, r + 0((1-w)1/2),

wobei K Konstanten sind. p,r Der Beweis von Lemma 5 wird in mehreren S c h r i t t e n gegeben: Zun~chst wird der Hauptbeitrag zu l(w) durch A u f t e i l u n g des

Integrationsweges " e x t r a h i e r t " :

Sei 6 b e l i e b i g mit 0<5<1 (5 wird sp~ter genUgend nahe bei i zu w~hlen sein; dlese Wahl b l e i b t jedoch s t e t s unabh~ngig von w). Nach Wahl von 5 zerlegen w i r l(w) in die drei I n t e g r a l e (3.3)

l(w) = 11(w ) ÷ 12(w ) + 13(w )

entsprechend den Teilen von r

i ) von 0 nach 6

2) von 6 nacb i und zurUck auf der

anderen Seite des Schnittes und 3) von ~ nach 0 ( v g l . Figur i ) . von F

Die Geradensegmente

k~nnen dabei n a t U r l i c h im S c h n i t t v e r l a u f e n , wenn nu~ der j e w e i l s r i c h t i g e

Zweig des Integranden gew~hlt wird. Mit e i n e r ~hnlichen Oberlegung wie ~m Beweis von Lemma 4 oben s i e h t man, dab ll(W)+13(w) a n a l y t i s c h i s t in

G' = C - [ r - ~ (I~T]7~P,-[ , bzw. a n a l y t i s c h in 1-w f u r

I Z-wl
ll(W ) + 13(w ) = K'p , r + O(l-w)

f u r w~U(1)

Zum Beweis von Lemma 5 genUgt es also, ein entsprechendes Resultat f u r 12(w ) zu beweisen. Da f u r jedes feste wcG = C - [1,~[ der Integrand beschr~nkt i s t in s in einer Umgebung von I , kann man den Bogen yon r

E

um i auf einen Punkt zusammenziehen ohne den

Wert von 12 zu ~ndern und e r h ~ I t LEMMA 5a.

l(w) =

I

1 (f 6,1m s=O-

f u r w~U(1).

6 + I

) h(q/s,w +p ~~r ~] Tds + K'p , r + 1, Im s=O+

o(1-w)

48

Im folgenden setzen wir a=r/p>l, sa~R+ und r=r(a) fur den Integrationsweg aus Lemma 5a und diskutieren das Integral

(3.5)

l(o,w)= 2~T 1 fr h(q/s'ws°) ds = 1 ~FFy(q/s)-w s°y(qwsa-1) ] 2 ~ T

L

~

1-ws

LEMMA5b. Sei 0>1 und l(o,w) wle in 3.5. FUr ~>1, ~ genUgend nahe bei 1, gibt es Konstanten u>O und 0 mit ~/2<e<~, sodaB fur w im Sektor w#1, ll-wl
fz (l_s)I/2(1_wsa-1)1/2 6

(1-wsa)2

ds + K + O((1-w)I/2) o

mit y2(q) aus 2.9 und Konstanten K~. Beweis.

Wir benUtzen 2.8: y(z) = y l ( z ) - (q-z)i/2y2(z) mit analytischen Funktionen Yl bzw. Y2" Beachten wir, dab Bestandteile des Integranden in l(~,w), die l~ngs r analytisch sind, zum Integral nichts beitragen, jedoch diejenigen Bestandteile, die den Faktor ( s - l ) I/2 beinhalten, das Vorzeichen ~ndern, wenn wir von Im s=O+ zu Im s=O- Ubergehen, so erhalten wir:

l(~,w) = ~ [ 1 wsa(l_s)I/2(l - wsO-i)I/2y2(q/s)Y2(qwsa-l) ds + 6 s3/2(1-wsa) 2 + 2qi/2 / I (l_s) i/2y 2 (q/s)(Yl(q/s)-wsaY1(Ws°-Zq)) ~ s3/2(1-ws~) 2

(3.6)

= -~ Ii(o,w) +

ds

2ql/2 ~ 12(a'w) •

Wir betrachten zun~chst Ii(a,w ) und entwickeln den Integranden.

Es i s t

wsa = i - (1-wsa), (3.7)

Y2(q/s)s~3/2 = ~l(s) = y2(q) + (l-s)@2(s)' y2(qws~-~) = ~3(wsa-1) = y2(q) + (1-ws~-l)~4(wsa-1), mit Funktionen ~i die analytisch in einer Umgebung von 1 sind.

Damit i s t 2 1 (1_s)i/2(1_wsa-1)1/2 ll(a,w ) : Y 2 ( q ) f (l_wsa)2 i (l_s)1/2(l_wsa-1)3/2 +Y2(q)f

(l-wsa) 2

i ii_s)3/2(Z_wsa-l)Z/2 + I6 (1-WSa) 2

-f

1 (l_s) 1/2(1_wsO-i) 1/2 6

l-ws a

= l l l ( a , w ) + y2(q)ll2(a,w)

ds + @4(wsa-l) ds

?2(s)~3(wsa-l)

ds

¢l(S)@3(wsc-l)

ds

+ ll3(a,w)

- 114(a,w ) •

49 111(o,w) fUhrtzudemim Lemma angegebenen Hauptterm. Die anderen Integral e l i e f e r n Beitr~ge zum Rest, wenn w in einem Bereich wie im Lemma angegeben gew~hlt wird.

114(o,w):

Wir betrachten etwa Es i s t

(l_wsO-1 1/2 = (i_s~-1)1/2 +

(1_sO-1)1/2

=

O(l-w) (l_wsO-1)I/2+(l_sO-l) I/2

l-w + O((l_wsO-1)l/2)

FUr w und s in elnem Bereich larg(1-w)[
wegen larg(l-ws°-l)i/21<~/2

(~/2
nun, wie eine ein-

fache geometrische Oberlegung z e i g t : I 1-ws°-ll ~ s i n ( ~ - o ) . ( l - s ° - I ) ~ C(l-s) mit einer von w unabh~ngigen Konstanten C, dh. (3.8)

l-s = O(l-ws ° - I )

gleichm~Big im betrachteten Bereich.

Damit i s t (1-ws°-l) 1/2 = ( 1 _ s ~ - i ) i / 2 und l14(o,w ) = f

+ O((Z-w)(l-s) - I / 2 )

i ( l _ s ) i / 2 ( l _ s O - l ) I/2 6

1-ws ~

mit

R1 = O((1-w)

f

~l(S)@3(ws°-l)ds

+ RI

I

ds

) .

Mit w im Sektor [1-wl<sin(~/12 ), larg(1-w)l<7~/12 erfUllt w1=(1-w)/w die Ungleichung larg wiI<2~/3. Damit g i l t l-ws ° = W(Wl+~(l-s)+o(l-s)2 ) = W ( W l + o ( l - s ) ) ( l ~ ( l - s ) ) , da

[Wl+O(1-s)l ~ C(Z-s) .

Mit v=l-s e r g i b t das i 1-6 j ds = 0(/0 lWl+Ovl-ldv).

Ii-ws°l

Nach dem Cosinussatz i s t dann [w1+ovl 2 ~ ]w112+o2v2-ovlw1]~(1/2).(lw112+o2v 2) ~ (1/4)(lw1I+ov) 2 Daher i s t i

(3.9)

f

ds

11-wsOl

_ o(loglwll ) = o(logl1_wl)

und RI = o ( I Z - w l l o g I l - w l )

.

Im n~chsten S c h r i t t wird (1-ws~) -1 approximiert:

50 I (1_s)i/2(l_s~-1) i/2 ll4(a,w ) = [ mit R2 : 0

6

[i

(i-w) f

~l(S)~3(ws ~-I) + RI + R2

1-s ° (l-s)i/2( ( i-s °)[

= O((l-w)logll-wl)

i_s _i i,21 [ i ds

1-ws°l

: 0 (i-w) [

ds a 11-ws°l

1

,

da (l-s)1/2(l-s°-l)1/2(1-s°)

-I = 0(i).

SchlieBlich i s t noch ?3(ws°-l) = ?3(s ~-I) + O(1-w)

gleichm~ig in s,

und damit Iz4(a,w ) = f

1 (l-s )1/2(1 -_sa-i ) 1/2 6

~z(S)~3(s °-1) + O((l-w)loglZ-wl)

.

1-s °

Ganz analog lassen sich die Integrale 112 bzw. 113 behandel, n, soda~

(3.10)

2 ] I (1_s)i/2(l_wsO-1)I/2 ll(O,w ) = y2(q) 6 (l_wsa)~

K' O((1-w)logll-w[) ds + o +

"

Um den Beweis von Lemma 5b zu vollenden, mUssen wir noch zeigen, dab 12(o,w ) = K"+ ~ O((l-w) I/2) . Analog zu 3.7 entwickeln wir wieder y2(q/s)s -3/2 = ~z(S) (3.11)

yl(q/s)-ws~Yl(WsO-lq)

= yl(q)(l-ws ~) + (l-s)~5(s)

+ (1-ws°-l)s?6(wsa-I)

mit in einer Umgebung von i analytischen Funktionen @i" Damit i s t 1 (Z_s)i/2~l(S) 1 12(o,w) = Yl(q) I ds + f (~,Z-s,3/2~1(s)~5(s) ds l-ws a a (l-wsa) 2 +f 1 s(l-s)3/2~l(S)?6(wsa-1) = 6 (l-ws°) 2 ds = yl(q)121(o,w ) + 122(a,w) + 123(o,w). Wir betrachten etwa 121(o,w): (Z-ws°) -I = (l-sO) - I + O ( ( l - w ) ( 1 - s ° ) - l ( 1 - w s ° ) - l ) , dh. 121(~,w ) : [

1 I1-s)1/2~1(s) . ds 1-s ° 1-6

= K" + 0

°

(i-w)

[

o

vl/2

[ 1_w)/1 (l-s) -1/2 ] + 0 ( ds ~{1-ws°l dv ] (lw11+ov)

=

+

51 = K'"+ O((1-w) I / 2 ) O

mit wI u n d v wie im Beweis von 3.9.

Analog werden I22(~,w ) bzw. I23(e,w ) behandelt. Damit i s t kemma 5b bewiesen. Der l e t z t e S c h r i t t im Beweis von Lemma 5 i s t nun LEMMA 5c. Mit o, 6und w wie in Lemma 5b g i l t : f

i (l_s)I/2(Z_wso-l)i/2

6

(l-ws°) 2

ds = -

(o_1)1/2

o2

log(l-w) + K + o((l-w)logll-wl).

o

Beweis. Substituieren wir wIund v wie im Beweis von 3.9, so ist das Integral gleich ~i -6 vl/2(w +1-s°-i)1/2 ds I = (wl/2) -3

(will_sO)2

und f u r w im dort angegebenen Sektor Wl+l-s~ = ( W l + ~ ( 1 - s ) ) ( l + O ( l - s ) ) f a l l s T=o-I oder z=q. Mit einer ganz ~hnlichen Beweismethode wie in Lemma 5b e r g i b t sich daraus: I = (wl/2) -3 f

I-6 vZ/2(w1+(o_l)v)i/2

0

+ K'V+ O ( ( l - w ) l o g l l - w l ) .

(Wl+OV)2

o

Die durch das Integral definierte Funktion ~(Wl) i s t analytisch in G'=C-]-~,O]. FUr w1~R+ ergibt sich durch explizite Berechnung des Integrals (3.12) ~(Wl) = - ° - 1 ~2l ° g

Wl + ~7(wi)

~7 analytisch in U(O) in C.

0

Daher stimmt ~(Wl) mit der analytischen Funktion auf der rechten Seite von 3.12 in G'nU(O) Uberein, und das Lemma i s t bewiesen. Kombiniert man die Lemmata 5a,b und c, so e r g i b t sich f u r w in einem Sektor. wie in Lemma 5 beschrieben: I(w) = - -~- Y 2 2 (q) (o-1)2 1/2 l o g ( l - w ) + K + O((l-w) 1/2) mit o= r / p , dh.

(~_1ii/2 = _p3/2(~-P)I/2 r

Mit 2.6 bzw. 2.9 erh~It man Lemma 5. 4. ASYMPTOTIK DER KOEFFIZIENTEN Aus Lemma 4 bzw. Lemma 5 e r g i b t sich das asymptotische Verhalten der Koeffizienten durch Anwendung des folgenden "Obersetzungslenlnas" von Flajolet und Odlyzko

([4]):

52 LEMMA 6. Sei F(w) analytisch in einem Bereich w#l, lwI l und ~/2<~)<~.Wenn F(w) i m Durchschnitt dieses Bereiches mit einer Umgebung yon i die lokale Entwi ckl ung F(w) = -A.log(1-w) + K + ~ a i ( l - w ) ] + O((l-w) ~) i=1 mit Konstanten A,K,ai,u i , O<~l : ~A ÷ ~ ~ ~ a. i I Wir erhalten daher KOROLLAR 1.

4

n - v i - 1 + O(n -~ _11j ,

t p3/2(~_p)i/2 ! + 0(n-3/2), " ( t - l ) 3" r "n

f u r die Koeffizienten

n-~.

n÷~.

Nach 2.17 bzw. 2.19 bedeutet dies = = q -rm 4 t (~) 1/2(1_Pr) 1/2 q-rm = -~-'(t_l)3" rm + O(q-rmm-3/2)' bzw. nach Lemma 1 und 2.14: KOROLLAR 2. Mit p , r wie in 2.13 g i l t -

4

t )-2-"( ~ ) I / 2 ( i - ~ p) 1/2 .4- r m . ~1 + o(q -rmm-3/2) , m÷~. (t-1

Nach Division durch ITrm I (vgl. 2.10) e r g i b t sich aus K o r o l l a r 2 das gesuchte asymptotische Verhalten der Gr~Ben ~ ( n , j ) f u r n , j ~ , j / ( ( t - l ) n ) = p / r . Wir fassen unser Ergebnis in folgendem Satz zusammen: SATZ 2. Die durchschnittliche H~he des ( ( t - 1 ) p n + l ) - s t e n Blattes eines t-~ren Baumes mit n inneren Knoten e r ~ l l t fur p=p/r, p , r ~ mit l_
~(n,p(tLl)n)

= pl/Z(1-p)1/2

~lt~lnl/2

+ 0(i),

n÷-.

Bemerkung. Durch eine genauere Analyse von 12(a,w ) im Beweis von Lemma 5b und durch Verwendung eines anderen "Obersetzungslemmas" (Lemma 1 aus [12]) k~nnte auch der zweite Term in der asymptotischen Entwicklung von ~ ( n , p ( t - l ) n ) bestimmt werden. Da die entsprechenden Berechnungen r e l a t i v umfangreich sind,ohne wesentliche i n h a l t l i c h e odem methodische Einsichten zu l i e f e r n , sei jedoch h i e r auf eine Darlegung v e r z i c h t e t . LITERATUR [1] N.G.deBRUIJN, D.E.KNUTH, S.O.RICE, The average height of planted plane trees, Graph Theory and Computing (R.Read ed.), 15-22, Academic Press, New York 1972. [2] L.COMTET, Advanced Combinatorics, D.Reidel, Dordrecht 1974.

53

[3] Ph. FLAJOLET, Analyse d~algorithmes de manipulation d°arbres et de f i c h i e r s , Th~se Paris-Sud-Orsay 1979,Cahiers de BURO 34-35 (1981), 1-209. [4] Ph. FLAJOLET, A.ODLYZKO, The average height of binary trees and other simple trees, J.Comput. System Sci. 25(1981), 171-213. [5] Ph. FLAJOLET, J.M.STEYAERT, On the analysis of tree matching algorithms, in: Springer Lecture Notes in Computer Science 85 (1980), 208-219. [6] I.P.GOULDEN, D.M.JACKSON, Combinatorial enumeration, John Wiley, New York 1983. [7] F.HAP~ARY, E.M.PALMER, Graphical enumeration, Academic Press, New York 1973. ~8] R.KEMP, The average height of r - t u p l y rooted planted plane trees, Computing 25 ~1980), 209-232. [9] R.KEMP, A note on the stack size of regularly d i s t r i b u t e d binary trees, BIT 20 (1980), 157-163. [ i 0 ] R.KEMP, On the average o s c i l l a t i o n of a stack, Combinatorica 2 (1982), 157-176. [11] P.KIRSCHENHOFER, Asymptotic results on a special kind of order preserving maps, Dsterr.Akad.Wiss.Math.Nat. Kl.SB. ll/191 (1982), 369-380. [12] P.KIRSCHENHOFER, On the height of leaves in binary trees, J.Comb.lnf.Syst.Sci. 8(1983), 44-60. [13] P.KIRSCHENHOFER, On the average shape of simply generated families of trees, J.Graph Th. 7 (1983), 311-323. [14] P.KIRSCHENHOFER, Some new results on the average height of binary trees, Ars Comb. 16A (1983), 255-260. [15] P.KIRSCHENHOFER, On the average shape of monotonically labelled tree structures, Discr.Appl.Math. 7 (1984), 161-181. [16] P.KIRSCHENHOFER, H.PRODINGER, On the average height of monotonically labelled binary trees, in: F i n i t e and i n f i n i t e sets, Coll.Soc.Janos Bolyai, to appear. [17] P.KIRSCHENHOFER, H.PRODINGER, On the average hyperoscillations of planted plane trees, Combinatorica 2 (1982), 177-186. [18] P.KIRSCHENHOFER, H.PRODINGER, Recursion depth analysis for special tree traversal algorithms, in: Automata, languages and programming, Springer Lecture Notes in Computer Science 172 (1984), 303-311. [19] D.E.KNUTH, The a r t of computer programming, v o l . l , Addison Wesley, New York 1961. [20] A.MEIR, J.W.MOON, Climbing certain types of rooted trees I , Proc.5 th Brit.Comb. Conf. 1975, 461-469. [21] A.MEIR, J.W.MOON, Climbing certain types of rooted trees I I , Acta Math. Sci.Hungar. 31 (1978), 43-54. [22] A.MEIR, J.W.MOON, On the a l t i t u d e of nodes in random trees, Canad.J.Math.

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54 [26] J.W.MOON, The distance between nodes in recursive trees~ Proc.4 th B r i t . Comb.Conf. 1973, 125-132. [27] H.PRODINGER, The average height of a stack where three operatiohs are allowed and some related problems, J.Comb.lnf. Syst.Sci. 5 (1980), 287-304. [28] H.PRODINGER, A note on a result of R.Kemp on r - t u p l y rooted planted plane trees, Computing 28 (1982), 363-366. [29] H.PRODINGER, F.J.URBANEK, On monotone functions of tree structures, Discr.Appl. Math. 5 (1983), 223-239. [30] A.RENYI, G.SZEKERES, On the height of trees, A u s t r a l . J . o f Math. i (1967), 497507. [31] F.RUSKEY, On the average shape of binary trees, SIAM J.Alg. Discr.Meth. I (1980), 43-50. Peter Kirschenhofer Abt. f. Diskrete Mathematik Inst. f. Algebra u. Diskrete Mathematik Technische Universit~t Wien Wiedner Hauptstr. 8-10 A-I040 Wien, Austria

OBER DIE ZIFFERNSUMME NATORLICHER ZAHLEN UND VERWANDTE PROBLEME P. Kirschenhofer, H. Prodinger und R.F. Tichy

Abstract.

This p a p e r

sum of digits f u n c t i o n

includes

a short survey

on some recent

followed by some new extensions

results

to w e i g h t e d

concerning

the

sums o f digits.

1. EINLEITENDE OBERSICHT Der Problemkreis des Mittelwerts der Ziffernsumme natUrlicher Zahlen wurde von zahlreichen Autoren s t u d i e r t : Sei q~2 eine natUrliche Zahl und Sq(n) die Ziffernsumme von n in der q-~ren Darstellung. FUr den Mittelwert Mq(m)

lm-i := ~ n~ O= Sq(n)

(i.1)

wurden die folgenden Resultate gezeigt: Bush [2] fand das asymptotische Aquivalent Mq(m) ~ q--~ logqm ,

m÷~.

Bellman und Shapiro [ I ] analysierten den Restterm genauer und erhielten Mq(m)

= Tq-1 logq m

+ O(loglogm)

Mirsky [8] verbesserte den

,

m÷~.

O-Term zu 0 ( I ) .

SchlieBlich gelang es Delange [3] eine e x p l i z i t e Formel fur das Restglied aufzustellen: Mq(m)

q-I = T logqm

+ F(logqm)

(1.2)

mit einer stetigen, periodischen Funktion F mit Periode I , deren Fourierentwicklung in [3] ebenfalls angegeben wurde. (Es wurde sogar gezeigt, dab F nirgends differenzierbar i s t . ) Eine Vorstufe dieses Resultats findet sich bereits in Trollope [11]. F l a j o l e t und Ramshaw [4] gelang es, die Technik von Delange auf den Fall der -~ren Darstellung natUrlicher Zahlen zu Ubertragen: Das p o s i t i o n e l l e System verwendet die Z i f f e r n {d,d+l . . . . . d+q-l} mit einer ganzen Zahl d ( 2 - q ~ d ~ O ) . Weiters wurde von F l a j o l e t und Ramshaw [4] ein entsprechendes Resultat auch fur die Gray-Code-Darstellung hergeleitet.

56 In [7] wurde von Kirschenhofer und Tichy der Fall von Cantorschen Zahlendarstellungen betrachtet. Sei ( q ( i ) ) eine Folge natUrlicher Zahlen mit q(O) = i , q(i)>_2 fUr i>_1 und sei weiters Q(j) = q ( O ) q ( 1 ) . . . q ( j ) .

Dann b e s i t z t jede natUrliche

7ahl n e i n e eindeutige Darstellung n

=

~ aj(Q;n) Q(j) , O_O welche w i t die Q-Cantordarstellung der Zahl n zur Folge ( q ( i ) ) nennen wollen.

(1.3)

In den folgenden Abschnitten der vorliegenden Arbeit werden an S t e l l e des M i t t e l s der gew~hnlichen Ziffernsumme in Q-Cantordarstellung Mittel gewichteter Z i f f e r n ~ummen s t u d i e r t : FUr~=(~j)j_>O sei 1 m-1 := ~ ~ S(Q,m;n) , n=O

M(Q,~;m)

(1.4)

wobei S(Q,m;n)

::

~ ~j aj(Q;n) j~O i s t . Einige S p e z i a l f ~ l l e , wie etwa ~= ((-1)J)j~O

(d.h. die

Z~f~erenzsw~ne) werden

genauer untersucht. Zum AbschluB dieser Einleitung sei auf einen Problemkreis verwiesen, der mit ~hnlichen Methoden behandelt werden kann: Dabei wird an Stelle der Ziffernsumme die H~ufigkeit des Auftretens einer Z i f f e r n k e t t e ("Wort") w als (geschlossener) Subblock in der Zifferndarstellung der Zahl n untersucht; vgl. Prodinger [9], Kirschenhofer [5], Kirschenhofer und Prodinger [6], Kirschenhofer und Tichy [7]. Eine FUIIe von L i t e r a t u r z i t a t e n zu verwandten Problemen findet sich in Stolarsky [10].

2. GEWICHTETE ZIFFERNSUMMEN IN CANTORSCHENZAHLENSYSTEMEN Um einen fur die weiteren Untersuchungen geeigneten Ausdruck fur die Z i f f e r n summe S(Q,m;n) zu finden, ben~tzen w i t die folgende I d e n t i t ~ t f~r die Z i f f e r n aj(Q;n) der Zahl n in Q-Cantordarstellung (vgl. (1.3)). LEMM/~ 1. wobei

LxJ

aj(Q;n)=

Z aj(Q;n) Qj jmO

haben wir L~T~]

q(j+l)~/TJ

die gHJBte ganze Zahl -<x bezeichnet.

Beweis. Wegen n =

L~T~J -

=

[

k~j

ak(Q;n)

57 und

Q(k) [~-~]

= k>_~+l a k ( Q ; n ) Q ( J ) q ( j + l )

'

woraus das Resultat unmittelbar f o l g t . FUr die weiteren Betrachtungen beachten wir, dab =

fur

n~t
Damit ergibt sich S(Q,w;n)

= j_>O

=

~

~j

j_>O und m-1 S(Q,~;n) n=O

= j~O ~

wj

~[ [ Q - ~ J - 0

q(j+l) L~I-~J]

dr"

Da fUhrende Nullen keinen Beitrag zur gewichteten Ziffernsumme ergeben, kann die obige Reihe durch eine endliche Summe ersetzt werden. Es erweist sich dazu als zweckm~Big, die folgende Notation einzufUhren: FUr eine natUrliche Zahl m bezeichnet O (m) = i die eindeutig bestimmte ganze Zahl i ~ O mit Q(i) ~ m < Q(i+l) (d.h. zur Darstellung von m werden Q ( m ) + l Stellen ben~tigt). Mit dieser Bezeichnung ergibt sich fur j ~ Q (m) +1 und n~m- 1: n m-I ~T(T~

-< Q(Q*(m) + i)

<

I .

Daher erhalten wir S(Q,m;n) = Im) mj ~ - q(j+l) n=0 j =0 0 Wir fUhren nun die folgenden Hilfsfunktionen ein:

dt.

(2.1)

X

gj(x)

= S ([q(J) t] - q(j) It] Jq ~ ) dt (2.2) 0 Die Funktionen gj sind dann s t e t i g , periodisch mit Periode 1 und erfUllen gj(O)=O fur n E ~ . (2.1) erh~It dann die folgende Gestalt: m-I n=O

S(Q,~;n)

=

Q ~m) q(j+l)- I L ~j ( m ~ j=O

+

~ gJ+l("v

m ')

Q(j+I) )

m

Damit i s t der Beweis fUr folgendes Lemma erbracht: LEMMA 2. m

M(Q,w;m)

=

~ I<_j__Q~ m)+l ~j-I (q(J)-I)

+

m I<_j
Q(J) •

58 Im folgenden werden wir Lemma 2 dazu benUtzen, um fur eine grUYere Teilklasse von Cantorschen Zahlensystemen und Gewichtsfolgen m den Term I

*~ I~j~Q (m)+l

~ j - I ( q ( J ) - 1)

(2.3)

als Hauptterm der asymptotischen Entwicklung yon M(Q,m;m) zu i d e n t i f i z i e r e n . Sei dazu zun~chst (q(i)) eine monotone Folge mit lim q(i) = ~, und seien die Gewichte mj ~0. Dann haben wir fur j ~ Q*(m) - i

Q(J~ < Q(Q ( m ) - l ) m m da Q(Q*(m))~m und

=

Q(Q~m))" 1 q - ~

i-~

= o(i)

m÷

'

'

lim q(Q*(m)) = ~. Damit erhalten wir fur die folgende Teilsumme

der zweiten Summe in Lemma 2 die Absch~tzung

o ( i ) . l~j~Q*#m)-I

mj-1 Jq ~

'

da , , ,,Igj{x~l

_< q(J)2-1

Damit haben wir gezeigt, da~ die betrachtete Teilsumme fur m÷~ asymptotisch kleiner i s t als (2.3). Es bleiben noch die Summanden j = Q (m) ten.

bzw. j =Q ( m ) + l zu betrach-

Sei zun~chst

j=Q (m): , m Q(Q~m)) < q(Q (m))- I ~Q*(m)-I gQ ( m ) ( Q - - ~ ) - ~Q*(m)-I 2 Dies i s t wiederum asymptotisch kleiner als (2.3). Sei nun j = Q ( m ) + l . Dann i s t

I

.

m

Q(Q (m~+l)

I~Q*(m) gQ (m)+l(Q(Q*(m)+l))

~ ~Q*(m)

q(Q (mI+l)-I

q(Q*(m)+l)

Im allgemeinen braucht dieser Ausdruck nicht asymptotisch kleiner als die Summe (2.3) zu sein. Es l~Bt sich jedoch, wie man sofort s i e h t , eine in vielen F~llen erf U l l t e Bedingung angeben, unter der dies doch der Fall i s t : SATZ 1. FUr den Mittelwert der qewichteten Ziffernsumme in Cantorschen Zahlensystemen mit monoton wachsender Z i f f e r n f o l g e q ( j ) mit lim q ( j ) = ~ und nichtneqativen

j~

Gewichten ~j, die die Bedingung n

(q(n) - 1) ~n-1 :

°(q~j!l

(q(j) - 1) ~j_l)

(*)

erfUllen, g i l t M(Q,~;m)

~

1

*Z I~j~Q (m)+l

~ j - i (q(J) - i ) ,

m ÷ ~.

59

Wir geben nun einige Beispiele zum eben formulierten Beispiel

I.

Satz 1 an:

Sei q(n) eine Folge wie in Satz 1, die zus~tzlich die Bedingung

q(n) = o(n) e r f U l l t (z.B. q(n) = L ~ j ) . S e i weiters n

~n-1

c(

fur ~ > - I .

= q-~

Dann i s t n

(q(n) - I ) mn-1 = n~ = O ( q ~

j!l

j~)'

d.h. (*) i s t e r f U l l t . Analog zeigt man in den folgenden F~llen, dab (*) e r f U l l t i s t . Beispie.l 2.

Sei q(n) = o ( n l o g n ) und

1 mn-1 = n (q(n)

Beispiel

3.

I)

q(n) = o(n -~)

fur ~ < - 1

und

ne

mn_1 = Beispiel 4. [Faktorielles Dann l a u t e t (*) :

Zahlensystem]

q(j) = j+l.

n

~n

= O(n--+-i-I ~ ~.) j~l J

Diese Bedingung i s t Beispiel 5.

mit

~. = j m. i " J J-

etwa e r f U l l t

f u r die Gewichte j~ mit ~ - 2

[Arithmetisches

Mittel]

.

mn = I.

Die Bedingung (*) l a u t e t : n

q(n) - I

:

O(q-~j!l

(q(j)

- I))

;

sie i s t zum Beispiel f u r q ( j ) = [ j ~ ] mit 0 < ~ < 1

erfUllt.

3. GEWICHTETE ZIFFERNSUMMEN IM q-~REN ZAHLENSYSTEM In diesem #bschnitt untersuchen wir gewichtete Ziffernsummen im q-~ren Zahlensystem, d.h. q ( j ) = q und Q(j) = qJ. Lemma 2 erh~It dann folgende Gestalt: KOROLLAR I. Der M i t t e l w e r t Mq(~;m) der mit der Gewichtsfolge m gewichteten Ziffernsumme Sq(m;n) im q-~ren Zahlensystem e r f U l l t Mq(~;m) mit

lm-1 = ~ nZO= Sq(~;n)

=

_~3~0 .=

~j

I i~ I + m .=

~ j - I g(

) qj '

(3.1)

60 x

1 = LlogqmJ

und

g(x)

= f 0

([qt]

-q

9_~) dt.

LtJ

(3.2)

Im weiteren formen wir zun~chst die zweite Summeum, indem wir s = l + l - j setzen und g(k)=O fur kE77 beachten: I I+I

j!l

~j-1 g ( ~ ) qj

= ml sZ>O _ ~l-s g(mq s - l - l )

ql+l-s

Bezeichnen wir mit {x} = x - ~xJ den Bruchteil yon x, dann i s t q 1 = m q-{I Ogq m} und daher der obige Ausdruck s-l+{logq m} =

Z ml-S g(q s>_O

1-s-{logq m} )q

FUr allgemeine Gewichtsfolgen m i s t dieser Ausdruck unUbersichtlich. Wir spezifizieren daher: I I

Sei ~. = pJ , p > q J

dann i s t ml-s

,p~1;

logqp -s-{logqm} = m

p

,

und der Term von oben wird zu logq P m

1 Z

(Pq)

1-s-{logq m}g(q s-l+{logq m} )

P s_>O

Definieren wir nun h(x)

=

Z (pq)-S g(qSx) ' s_>O so erhalten wir fur den gewUnschten Ausdruck

1-{logq m}h(q {logqm}logq P I (pq)

m

(3.3)

1 ).

(3.4)

Der erste Term in (3.1) ergibt sich zu I+I

1

-2-- j!O mlogq p p-{logq m}

= ~

~q-I

.

Defi nieren wir

H(x)

= ~-~

p-{X}

+ ip (pq)l-{x} h(q{X)-l)

so ist H(x) stetig und periodisch mit Periode I Zusammenfassend ergibt sich

'

,

H(O) =

(3.5) q-i

~2-~"

BI SATZ 2. Der Mittelwert Mq(m;m) der mit der Folge (pJ) fur p>q-1, P~I gewicbteten Ziffernsumme im q-~ren Zahlensystem ist gegeben durch Mq(~;m)

logq p = m H(logqm)

q-1

~TFT~

'

wobei H(x) die i n (3.5) beschriebene stetige, periodische Funktion ist.

4. DIE DIFFERENZSUMME IM q-AREN ZAHLENSYSTEM Als weitere Anwendung des in #bschnitt 2 hergeleiteten Lemmas 2 behandeln wir fur das q-~re Zahlensystem nun die Gewichtsfolge ( ( - l ) J ) . (Differenzsumme, alternierende Summe, Wechselsumme) KOROLLAR 2. gegeben durch

Der Mittelwert Mq(±;m) der Differenzsumme im q-~ren Zahlensystem ist

Mq(±;m~,, = q-1 1 1 I+1 --2-- Z (-1)j ~ ~. j=O j=l mit 1 = Llogqm] un_d_dg(x) aus (3.2).

(-1) j g ( ~ ) qJ

Der erste Term im obigen Ausdruck nimmt dabei folgende Werte an: q-i 2

1 Z (-1) j j=O

=

q-1 2

1 gerade

0

l ungerade

(4.1)

Der zweite Term kann wie folgt umgeformt werden: I+I 1 Z (-I) j g(q-~) qJ = j=l I+i I+I = 1 ~ g(q~) qj 1 m m Z g (--~'~) qj " j=l j=l q j gerade j ungerade Mit der Substitution s = 1 + l - j ergibt sich g(mqS-l-1) ql+l-s _ I Z g(mqS-l-1) ql+l-s ] s~O m s~O s gerade s ungerade q l - s - { l Ogq m} g(q s-l+{l Ogq m} )

= (-1)I+1[s

s~O gerade

-

1-{logq m} = (-1) I+1 q Zur AbkUrzung setzen wir

X q s_>O s ungerade

1-s-{logq m}

g(q

2t-l+{logq m} t~_>C) q-2t g(q

)

s-l-{logq

m})

]

-2t-1 t>_OZ q

g(q

2t+{logq m}

62 h±(x) =

Z q-2t g(q2tx) t~O

(4.2)

und erhalten ( 1)i+ 1 q 1-{logqm} [ {log m} - 1 h±(q q ) Wir fUhren zwei weitere Hilfsfunktionen

{logqm}) _ i ~ h±(q ]

ein: (4.3)

H2x()

:

_

Mit dieser Notation iBt dann

Hl(lOgq m) Mq(±;m)

fur Llogqm] gerade (4.4)

=

H2(logqm)

fur llogqm] ungerade .

Diese Darstellung l ~ t sich noch vereinfachen: Sei Hi(x ) fur Lx] gerade

H±(X) =

(4.5) H2(x )

fur Lx] ungerade.

Man sieht s o f o r t , dan H±(x) periodisch mit Periode 2 i s t . Weiters i s t H±(x) s t e t i g : H±(O+) = HI(O+)= q~ + q[h (¼)

I ~h±(1)]

Da g(k)=O fur k E~, ist h±(1)=O und -q-I ~-, h,(~) = g(~) = sodal5 H+(0+)

= 0.

Wei ters i s t H±(l-) = Hl(l- )

= q~

+

h+(1)

I - ~ h+(q).

Nun i s t h ± ( q ) = 0 und daher q-i H±(1-) = - T - " AuI~erdem i s t H±(I+) = H2(1+ )

= H2(0+ )

=

SchlieBl ich i s t H±(2-) = H2(2- )

= H2(I- )

=

q [ h ± ( q1-) h,(1)

Damit haben w i t folgenden Satz vollstSndig bewiesen:

i ~h

(1)]

q-1 = T

= H±(I-) .

0 = H(O+).

63

SATZ 3. FUr den Mittelwert Mq(±;m) der Differenzsumme i m q-~ren Zahlensystem gilt: Mq(±;m) = H±(logqm) miteiner steti~en, periodischen Funktion H± mit Periode 2 und H±(O) = O. Im weiteren werden die Fourierkoeffizienten der Funktion H±(x) bestimmt. Es ist H±(x) =

Z hk ek~ix k E~

mit i hk = ~

2 e_k~ix ~ H±(x) dx = a k + bk + c k ,

wobei (fUr k ~ 0 , k=0 wird sparer diskutiert) ak

= Tq-I

b k = TI =

} e-k~ix dx = (1 - ( - i ) k) 0 fi ql-{x} h±(q{X}-l) e -k~ix dx 0

I (1 - ( - i ) k)

1

} i

q l - { x } h±(q { x } - l )

e-k~ix dx

} ql-X h+(q x-I ) e-k~ix dx 0

und ck =

-

1

}

~

0

I (I - ( - I ) k)

q-{X} h (q{X}) e-k~ix dx + } I

} q-{X} h±(q{X}) e-k~ix dx 1

ql-X h±(q x-l) e-k~ix dx.

Daher i s t h k = 0 fur k gerade, k~0. FUr k ungerade ergibt sich 2 bk + Ck = _ [ ql-X h±(qX-1) e-k~ix dx 0 _

2

} (q2)l-x h±(q2X-1) e-2k~ix dx

qo _

1

q2 t~0~ i

Mit der Substitution

e-2k~ix dx.

u = q 2t+2x-1 erhalten wir

I

[ ~-~ U 1/q G(1 + k~i

bk+C k = ~ 1

q-2t+2-2x g(q2t+2x-l)

exp(-2k~i logqU) du

mit co

ols =1:q

du

fur Res > O.

64 In [3;(12)] hat Delange gezeigt: G(s

=

q-1 qS-1 s-1 q - q ~(s-1) 2 s--:T + s-Tgz-IT

fur Res >0, s ~ l . Setzt man in diese Formel ein, erh~It man hk fur k ungerade. Schlie~lich bestimmen wir noch h0: Wegen H±(0)

= h0 +

Z h2s+l sE77

H±(1)

= ho

~ h2s+l SE 2Z

= 0

und _

-

q-1

2

gilt

q-1

h0 = - I - - "

SATZ 4. Die Fourierentwicklung der periodischen Funktion H±(x) aus Satz 3 i s t gegeben durch H±(X)

Z hk e k~ix k ETZ

=

mi t q-1 ho = T bzw.

I 0 hk

=

fU__r k ~erade, k ~0

q+l ~, )k~i , (I + ~ k~i j ~-1

f~_r k ungerade

tITERATUR

[1]

R. BELLMAN, H.N. SHAPIRO, On a problem in additive number theory, Ann. Math. Princeton

[2]

~ 49 (1948), 333-340.

L.E. BUSH, An asymptotic formula for the average sum of the digits of integers, Amer. Math. Monthly 4__77(1940), 154-156.

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H. DELANGE, Sur la fonction sommatoire de la fonction "somme des chiffres", L'Enseignement math. 21 (1975), 31-77.

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P. FLAJOLET, L. RAMSHAW, A note on Gray Code and Odd-Even Merge, SIAM J. Comput. (1980), 142-158.

[5] P. KIRSCHENHOFER, Subblock occurrences in

the q-ary representation of n, SIAM

J. Alg. Disc. Meth. 4 (1983), 231-236 [6] P. KIRSCHENHOFER, H. PRODSNGER, Subblock occurrences in positional number systems and Gray code representation, J. I n f . Optim. Sci. 5 (1984), 29-42.

65

[7] P. KIRSCHENHOFER, R.F.TICHY, On the d i s t r i b u t i o n of d i g i t s in Cantor representations of integers, J. Number Th. 18 (1984), 121-134. [8] L. MIRSKY, A theorem on representations of integers in the scale of r , Scripta Math., New York 15 (1949), 11-12. [9] H. PRODINGER, Generalizing the sum of d i g i t s function, SIAM J. Alg. Disc. Meth. (1982), 35-42. [I0] K.Bo STOLARSKY, Power and exponential sums of d i g i t a l sums related to binomial c o e f f i c i e n t p a r i t y , SIAM J. Appl. Math. 32 (1977), 717-730. [11] J.R. TROLLOPE, An e x p l i c i t expression for binary d i g i t a l sums, Math. Mag. 4_1 (1968), 21-25.

Peter Kirschenhofer

Helmut Prodinger

Robert F. Tichy

I n s t i t u t fur Algebra

I n s t i t u t fur Algebra

I n s t i t u t fur Analysis,

und Diskrete Mathematik, Abteilung fur

und Diskrete Mathematik, Technische Mathematik und Abteilung f~r

Diskrete Mathematik,

Theoretische ~nformatik, Abt.f.Techn. M~thematik,

Technische Universit~t Wien

Technische Universit~t

Technische Universit~t

Wien

Wien

Wiedner HauptstraBe 8-10

Wiedner HauptstraBe 8-10 Wiedner HauptstraBe 8-10

A-I040 WIEN

A-I040 WIEN

Versicherungsmathematik,

A-I040 Wien

GLEICHVERTEILUNG IN DISKRETEN R~UMEN P. Kirschenhofer und R. F. Tichy

Abstract.

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distribution

paper

of

contains

sequences

a

survey

on discrete

as well

as

some

new

results

concerning

uniform

spaces.

I . EINFOHRENDE OBERSICHT. Im folgenden bezeichne A = {a I . . . . . a~} eine endliche Menge und N ein ( n i c h t t r i v i a l e s ) (Z

WahrscheinlichkeitmaB auf A, d.h. N(a~)~ > O, f u r j = I . . . . . m und

Z

N(aj) = I .

j=1

I s t w = w I . . . . . wN (w i £ A) ein (endliches) Wort Uber A, so i s t die Diskrepanz D(1)(w) definiert

durch N

(1.1)

D(1)(w) = max I ~ 1_<_i
Z )
wobei Xi die charakteristische Funktion der Menge {a i} bezeichnet. FUr unendliche Folgen mN= (Wn)n=I betrachtet man die Diskrepanz der Anfangsabschnitte mN = Wl . . . . . WN: (1.2)

D~1)(m) = D(1)(WN);

man nennt die Folge m g l e i c h v e r t e i l t (1.3)

zum MaB N, wenn

lim D(1)(~) = 0 N-~o

Die Gr~Benordnung der Diskrepanz g i b t dabei ein MaB f u r die GUte der G l e i c h v e r t e i l t h e i t e i n e r Folge an.~ ~Man beachte w e i t e r s , dab f u r Ma&e N mit N(aj) E @ ( j = I . . . . m) stets W~rter w mit D~lJ(w) = 0 e x i s t i e r e n ( " g l e i c h v e r t e i l t e

W~rter").

Mejer, N i e d e r r e i t e r und Tijdeman konnten in einer Reihe von Arbeiten [ 1 1 ] ,

[12],[13],

[16] folgendes Resultat zeigen: SATZ I .

sup

inf

sup

~

N

N D~I)(~) = I

-

I

Dies bedeutet, dab Uber einem diskreten Raum A stets g l e i c h v e r t e i l t e

Folgen m gefunden

67

werden k~nnen, f u r die D~1)(m) ( = 0(~)I g i l t ;

im Gegensatz dazu kann man etwa f u r die

bestm~glich g l e i c h v e r t e i l t e n Folgen r e e l l e r Zahlen modulo I bekanntlich ( [ 3 ] , [ I 0 ] )

nur

log D~1)(m) = 0 ( ~ ) N erreichen. Das Studium g l e i c h v e r t e i l t e r

Folgen Uber diskreten R~umen i s t auch deswegen von beson-

derem Interesse, weil im F a l l e " n a t U r l i c h e r " Sprachen die e r z i e l t e n Resultate l i n g u i stische I n t e r p r e t a t i o n e n zulassen ( v g l . die Untersuchungen von E. Hlawka [4] sowie W. Pechlaner

[14]).

Beachtet man, dab im obigen Sinn g l e i c h v e r t e i l t e k~nnen

(so

so s t e l l t

Folgen sehr r e g e l m ~ i g gebaut sein

i s t z.B. die Folge 010101 . . . g l e i c h v e r t e i l t

Uber { 0 , 1 } zum Ma5 ~(O)=N(1):~),

sich in n a t U r l i c h e r Weise die Frage nach Diskrepanzbegriffen, d i e . n i c h t nur

die asymptotische Buchstabenh~ufigkeit messen, sondern s t a r k e r auf die " S t r u k t u r " der Folge RUcksicht nehmen. In naheliegender Weise kann dies b e w e r k s t e l l i g t werden, indem man a n s t e l l e der H ~ u f i g k e i t e i n z e l n e r Buchstaben die H ~ u f i g k e i t von W~rtern Uber dem Alphabet A t e s t e t ; dabei ergeben sich zwei grunds~tzlich verschiedene

M~glichkeiten:

( i ) Man untersucht die r e l a t i v e H ~ u f i g k e i t des Auftretens der W~rter u von f e s t e r L~nge s E~

a l s " T e i l w ~ r t e r " des vorgegebenen Wortes bzw. Anfangsabschnitts der unendlichen

Folge: dabei heiBt u = u I . . . .

us (u i E A) T e i l w o r t des Wortes w = wI . . . . .

" <. . . < j .~) f u r jedes k (I ~ k ~ s) e i n J k• ( J 1

wN f a l l s

mit u~ ~ = w~ Jk e x i s t i e r t (d.h. u braucht

n i c h t als geschlossener Block in w vorkommen). Bezeichen w i r mit (w;u) die Anzahl, wie o f t u in w als T e i l w o r t a u f t r i t t , (1.4)

D(S)(w) = max i(w;u) uEAs D(S)(w) = 0

so i s t die s-Diskrepanz D(S)(w) d e f i n i e r t durch:

(I~E) -I - ~(u) I f u r I S s ~ !wl,

sonst; $

dabei i s t

lwl die L~nge des Wortes w und p(u) = U(Ul...Us) =

i n d u z i e r t e ProduktmaB auf As ( v g l . (ii)

~ p(u i ) das von i=I

[5]).

Man untersucht die r e l a t i v e H ~ u f i g k e i t des Auftretens der W~rter u von f e s t e r

L~nge s E ~ als " T e i l b l ~ c k e " des vorgegebenen Wortes bzw. Anfangsabschnitts der unendl i c h e n Folge: dabei heiBt u = u I . . . falls

u s (u i E A) T e i l b l o c k des Wortes w = wI . . . .

wN,

es ein j(1 ~ j ~ N-s+1) mit uk = Wj+k_1(1S k ~ s) g i b t . Bezeichnen w i r mit

[w;u] die Anzahl, w~e o f t U in w als T e i l b l o c k a u f t r i t t ,

so i s t die s-Diskrepanz

~(S)(w) d e f i n i e r t durch: (1.5)

~(S)(w) = max

I[w;u]

([wl-s+1)-1-N(u)l

f u r I ~ s ~ lwl ,

uEAs ~£S)(w)" = 0

sonst .

Wie in (1.2) Ubertr~gt man die Definitionen auf unendliche Folgen und erh~It die Diskrepanzen

B8

(1.6)

D~S)(m) : D(S)(m N)

bzw.

DA(NS)(m) = ~(s)(mN).

Beide Diskrepanzbegriffe definieren G l e i c h v e r t e i l u n g s b e g r i f f e : B e g r i f f s t e l l t sich heraus, dab ( v g l . [ 7 ] ) (1.7)

Dies g i l t

lim D!S)(~) = 0 N+~

genau dann wenn lim

jedoch keineswegs f u r den zu ( i i )

FUr den zu (i)gehBrigen

D~I)(~) = 0

geh~rigen B e g r i f f , der bei der Untersuchung

von Pseudozufallsfolgen eine wichtige Rolle s p i e l t ( v g l . D.E. Knuth [ 9 ] ) .

In engem

Zusammenhang damit steht der B e g r i f f der vollst~ndigen Gleichverteilung (~-Gleichverteilung): eine Folge ~ heiBt vollst~ndig g l e i c h v e r t e i l t , f a l l s fur alle s E

{1.8)

lim~!;s)(~) = 0 i i

( v g l . [10] und [ 9 ] ) . I s t die Folge ~ = (Wl,W2,W 3 . . . . ) (w i E A = {a I . . . . . a }) v o l l s t ~ n d i g g l e i c h v e r t e i l t , so nennt man die Zahl O, WlWoW 3 ~ . . . normal zur Basis ~. ( v g 1 . [ 1 0 ] ) . Untersuchungen Uber die Diskrepanz D(S)(w) Uber einem endlichen Alaphabet A wurden in den Arbeiten ( [ 5 ] , [ 6 ] )

durchgefUhrt; wir geben im folgenden eineAuswahl der dort

e r z i e l t e n Resultate an. SATZ 2. FUr a l l e W~rter w Uber dem Alphabet A = {a I . . . . .

a } (~

~ 2) und 2 ~ s ~ lw]

9ilt

D(S)(w) > O. Die Diskrepanz D(S)(w) h~ngt f u r s ~ 2 im allgemeinen stark v o n d e r Reihenfolge der Buchstaben im Wort w ab. Der folgende Satz besagt, dab unter allen Umordnungen eines vorgegebenen Wortes w der Maximalwert der Diskrepanz dann a u f t r i t t , wenn a l l e gleichen Buchstaben des Wortes w zu Bl~cken zusammengefaBt werden: SATZ 3. FUr das Wort w Uber dem Alphabet A mit (w;a i ) = n i (I ~ i ~ ~) bezeichne nI n das Wort ~ = a I . . . . . a m - dann ~ i l t : D(S)(w) S D(S)(~) FUr spezielle W~rter w kann die Diskrepanz e x p l i z i t berechnet werden. Es sei A = {a,b} und p(a) = p(b) = ½, dann i s t

(1.9)

D(S~(ab)n) =(n+[s/2]) " s . ( 2~) - I _ 2-s

f u r I ~ s ~ 2n

sowie

(1.10)

D(S)(anbn) = ([s/2]n ) ( s _ [ sn / 2 ] ) (2~)-I

2-s

f u r I ~ s S 2n.

FUr Folgen Uber einem endlichen Alpabet A konnten Verallgemeinerungen yon Satz I in folgender Richtung e r z i e l t werden ( v g l . [ 6 ] ) :

69 SATZ_4. Es e x i s t i e r e n ( e x p l i z i t

angebbare) Konstanten C 1 ( s ~ ) ,

C2(s,~) mit der Eigen-

schaft: O< C1(s,a)

<sup i n f sup N D~S)(w) < C2(s,~). ~ N=>S

Die untere Absch~tzung kann sogar SATZ 4_'

sup i n f limsup

Im Fall ~ = 2 g i l t

in fo]gender Weise v e r s c h ~ r f t werden:

~(s)(~) N uN ,

__> C3(s,~) > O.

die folgende e x p l i z i t e

~(s)(~) N [N

Forme] ( v g l .

s =~

SATZ 5.

sup i n f l imsup

Weiters g i l t

I etwa fiJr das MaB p mit N(a) = N(b) = ~

(1.11)

inf~ limsuplNN -~= D~S)(~) =~s(s+1)

[8] ).

.

L

Die oben eingefUhrten Diskrepanzbegriffe f u r WSrter bzw. Folgen kSnnen in naheliegender Weise auf Matrizen (Felder) bzw. Doppelfolgen (und Mehrfachfolgen) v e r a l l g e m e i n e r t werden. Im einfachsten Fall t e s t e t man dabei a n s t e l l e des Auftretens der SubwSrter (Subbl~Jcke) ineinem Wort d~s A u f t r e t e n

von Submatrizen in e i n e r M a t r i x . Genauer:

FUr zwei Matrizen W,U mit Elementen aus A bezeichne (W;U) die Anzahl, wie o f t U als T e i l m a t r i x in W vorkommt (aber n i c h t unbedingt als geschlossener 51ock), sowie

W;U

die Anzahl, wie o f t U als (geschlossener) T e i l b l o c k in W vorkommt. Man gelangt dann zu den folgenden Diskrepanzbegriffen f u r eine mxn-Matrix W: (1.12)

D's;t'(w)

m -I ( tn)- I -N(U)I, I(W;U)(s)

= max

f u r I _<- s < m, I _< t < n

UEAs x t

wobei Asxt die Menge a l l e r das Ma~ durch N(U) =

II

sxt-Matrizen Uber dem Alphabet A bezeichnet und f u r U = ( u i j ) N(uij) definiert

ist,

d.h. ~ i s t das Produktma~ auf Asxt

i,j Ebenso: (1.13)

~(s't)(w)

= max I[W;U] (m-s+1)-1(n-t+1)-1-~(U)l UEAsxt f u r I ~ s S m, I ~ . t ~ n .

FUr unendliche Doppelfolgm (1.14)

D(s,t)(~) M,N

s e t z t man

= D(s,t)

(~I;N)

,

~(~,t)(~) ~,N

= ~ ( s ' t ) ( ~ M , N)

wobei mM,N den MxN-Anfangsabschnitt der Doppelfolge m bezeichnet. Beide b e g r i f f e d e f i n i e r e n wiederum G l e i c h v e r t e i l u n g s b e g r i f f e . sich jedoch heraus, dab aus lim D ~ I ) ( ~ ) M,N-~o

= 0

Diskrepanz-

Im Gegensatz zu (1.7) s t e l l t

70 keineswegs immer lim

M,N_~o

fur (s,t)

D ' s ' t ' (~w ) f- = 0 M,N

# (1,1) f o l g t .

Es g i l t

jedoch ( v g l .

[7])

SATZ 6. FUr b e l i e b i g e Doppe]fol~en 9 g i l t : (a)

lim

D(2'1)(w) = 0 ~

M,N_~o M,N

lim

D(S, M,N I )(9) = 0

M,N~ f~r alle s E~.

(b)

lim

M,N-~o

DM~N2),w, ~ ~ = 0 ~

lim

M,N-~o

-M,Nn(s't)~9l O "" =

fur alle s,t E~. (c)

lim D(s,t)(~) = 0 ~ lim D ( s ' , t ' ) (9) = 0 M,N~ M,N M,N~ M,N f i r alle s , t , s ' , t '

E~ ynd s' ~ s ; t ' ~ t .

Die konkrete Angabe von Doppelfolgen 9 Uber diskreten R~umen, die ( 2 , 2 ) - g l e i c h v e r t e i l t sind, d.h. die Bedingung lim

D(2'2)(w) = 0

M,N-~ M,N

e r f U l l e n , e r w e i s t sich als einigermaBen schwierig und wurde in [71 auf dem Umweg Uber Doppelfolgen r e e l l e r Zahlen modulo Eins durchgefUhrt. Man geht zum Beispiel v o n d e r Doppelfolge 9 = (gmn)

= (mmn) modulo I aus, wobei m eine I r r a t i o n a l z a h l

t e r Kettenbruchentwicklung i s t . li: :

[

Seien nun I i ( I

mit beschr~nk-

S i ~ m) die durch

Z ,(aj), Z "(ai)[ j
definiertenTeilintervalle von [0,1[ und die Doppelfolge T = (Xmn) wie f o l g t gegeben: Xmn = ai genau dann, wenn mmn E I i Dann i s t z (2,2)-glvt. zum MaB ~ Uber dem Alphabet A = {a I . . . . . am}. Betrachtet man (endliche) Matrizen, so g i l t die folgende Verallgemeinerung von Satz 2 (vgl. G. Baron [ I ] ) : SATZ ! . D(s't)(W) > 0 fur a l l e s , t EB mit min (s,t) ~ 2 und WcAmxn mit s~m, t~n, Welters wurden in der Dissertation i[2] analog zu (1.9) und (1.10) e x p l i z i t e Formeln fur die Diskrepanz spezieller Matrizen aufgestellt. 2. ZUR BLOCKDISKREPANZ In diesem Abschnitt beweisen wit zun~chst ein Analogon zu Satz I aus Kapitel I fur die Diskrepanz ~2)(m)" einer Folge m Uber einem zweibuchstabigen Alphabet A = {0,1}: SAT____Z8.

sup i n f sup (N-I) m N

~2)(~) = 3

Im ersten Tell des Beweises wird eine obere Absch~tzung f u r den Ausdruck in Satz 8 gegeBen: Man geht dabei von einem beliebigen n i c h t t r i v i a l e n MaB ~ auf {0,1} aus und gibt eine

71

"gut" gleichverteilte

Folge ~ e x p l i z i t

an:

Es bezeichne = [a + ½] d i e n ~ c h s t l i e g e n d e ganze Zahl zu a; sei v~eiters o . B . d . A . o

= ~(0) ; p ( 1 ) = z. Dann b e t r a c h t e n w i t d i e Folge o~ =

0<1/2'r>1<1/°>0<3/2~>- <1/2~>1<2/°>-<1/°>""

I < i / o > - < ( i - I ) / O > O < (2i +I )/2~>-< ( 2 i - I )/2~> Ex~6,~enten s i n d >_ 1 ) . "'" ~(2) nach oben werden im w e i t e r e n 3 F~lle unterschieden: Zur Absch~tzung von u N (Alle

Fall

I . I)e~ A n f a n g s a b s c h n i t t mN der Folge m hat d i e G e s t a l t

0<1/2~> . . . .

( 2 . 1 ) mN =

l-<(i-1)/°>

Os

mit I < s < <(2i+I)/2~>-<(2i-I)/2~> F a l l 2. ( 2 . 2 ) wN = Fall

0<1/2"c>...

0<(2i+1)/2T>-<(2i-1)/2~>1 s

m i t I _<- s =< < ( i + 1 ) / o > - < i / o >

3.

;

;

( 2 . 3 ) mN = Os m i t 2 < s < < I / 2 T > . Zun~chst behandeln w i r F a l l

I.

Wir haben (2.4)

N = <(2i-I)/2T>+

Es i s t

+ S

daher

(2.5)

[~0N;O0 ] = < ( 2 i - I ) / 2 ~ > - i + s - I

,

und w i r e r h a l t e n AO0:=[ ~N;O0] - o 2 ( N - 1 ) =

=

<(2i-1)/2~>-i+s-1-o

2

-

< ( 2 i - I ) / 2 T > o 2 - so 2 +

Nun drUcken w i r durch = a + aus und benUtzen d i e I d e n t i t ~ t AO0 = ~ ( - I - 2 o )

I

O2

- {a + ½} m i t H i l f e

des B r u c h t e i l s

d e r Zahl a + I / 2

o +%= I :

+ (S-I)(I-o)

- { ( 2 i - I ) / 2 ~ + ½ . ~ } ( I - o 2) + I o2 + ~}

+ {i/~

In Absch~tzung von AO0 g e l a n g t man, indem man d i e Absch~tzung f u r s aus ( 2 . 1 ) und (;ie triviale

Absch~tzung f u r d i e B r u c h t e i l e 0

'~00 ->-2 ( - I - 2 o ) - I sowie

+ o2 = _ ~__ ~ i o>

9 9 3 I < - Z '~00 = 2 + I - 2o2 + o ~ ~ 2 - o ~ < =

Weiters i s t (2.6)

verwendet:

[~N;11] = < i / o > - i

;

sodaB

~11 := [~N;11] - T2(N-1) =

3

,

72

+

= < i / o > _ i _ < i / c s > T _ < ( 2 i _ 1 ) / 2. c > ~ c 2 _ S

I

.[2

•(1+T(1-2T)) - { i / o + ½}(I-T 2) +

+ { ( 2 i - I ) / 2 C + I}T2 - (S-1)~ 2

,"

und, indem wir wie oben vorgehen A11 > --12(I+T-2T2)-(1-T2)-T2 11

+

(%-T2) >

<5+

2

T

2>-I

,

= I

Ferner i s t (2.7)

[mN;01] = i

und dami t 401:=[mN;01]

-oT(N-I)

=

= i - ~-<(2i-I)/2~>~T

- (S-I)~

=

C..

F_

d.h. A01 ~ - o- oT = - ( I - T 2) Z - I , 401 ~ -OT + 20~ ~ I SchlieBlich (2.8)

ist

auch

[mN;10]

= i

,

sodaB 410 = 401 • Im F a l l 2 e r g i b t

sich

[mN;O0] = < ( 2 i + I ) / 2 T > - i - I [mN;11] = - i + s - I (2.9)

[~N;01] = i + I

[~N;10] = i Im F a l l

3 ist

(2.10)

[mN;O0] = s - I ,

[~N;01] = [mN;10] = [WN;11] = 0 .

Die Absch~tzung der Gr~&en 4 i j

in beiden F ~ l l e n wie in F a l l

kann

I erfolgen.

Damit wurde bewiesen: sup i n f sup ( N - I ) p m N

~2)(m)

~

3

FUr d i e u n t e r e Absch~tzung w i r d das f o l g e n d e s c h ~ r f e r e R e s u l t a t g e z e i g t : SATZ 8L

sup i n f l i m sup (N-s+1)

~s)(~)

~

2s-I 2

73 ~.~L~J.~.

Es sei Cs: -- sup i n f lim sup (N_s+1)D.~s)(m)^c und c > O . p ~ N-~o

Dann g i b t es zu jedem n i c h t t r i v i a l e n (2.11)

-C s - ~ <~ [~N;0 s]

Ma8 p eine F0lge w mit

(N-s+1)p(0) s < Cs +

C

f u r N > No(E). T r i v i a l e r w e i s e g i b t es in dieser Folge unendlich v i e l e N > No(e), sodaB mN+s = FUr diese N g i l t (2.12)

°JNlS auch

[mN+2s_l;O s] = [~N;O s]

,

und wegen der D e f i n i t i o n von Cs f u r f a s t a l l e dieser N (2.13)

-C s

_

~c ~ [~N+2s-1 ;0 s] _ (N+s)~(o)S < = Cs +

C

Aus (2.11) und (2.12) f o l g t aber (2.14)

-C s

(2s-1)p(O) s - ~ < [WN+2s_1;O s] -(N+s)p(O) s < CE(2s-1)p(O) s =

=

Wir w~hlen nun ein Ma8 p mit (2s-1)p(O) s > 2s-I 2 2s-I Angenommen, es w~re Cs = T -6 und 6 > 0 . Dann f o l g t aus (2.14) [mN+2s_1;O s] -(N+s)p(O) s < - ~

+ e-6

und aus (2.13) [~N+2s I ;Os] - (N+s)p(O)S > - 2s-I 2

E 2 + ~ ,

-

_~ woraus sich f u r e <

ein Widerspruch e r g i b t .

2s-I Also i s t Cs ~ ~ .

Zum Abschlu8 dieses Abschnittes zeigen w i r noch die folgende Aussage: SATZ~.

sup ~ k ) ( m ) 1~k~N

= I - p(w N)

)

w°bei mN den Anfangsabschnitt der Folge m bezeichnet. Beweis. Wir berechnen zun~chst --~N)(m) ~N)(~)

= max (1-P(~N),P(u)) uEAN

: = I - p(w N)

u#mN wegen

~ p(u) = I uEAN

Welters zeigen w i r die folgende Ungleichung: (2.15)

~k)(~)

~ I -

[~N;V] vEAk ~

Wegen

[mN;U]

=

~ yEAk

[~JN;V][V;U]

p(v)

,1
f u r u E Ak

,

÷2

74 sowie

~ vEAk

[mN;V] = N-k+1

erhal ten wir [~1 ; u ] max - t ~ - P(U)I < u (Ak

:

[~°N;V] ~

N-k+1

V¢ A k

[v;u] max I N-k+1 - P(u) I u EAk

~ [mN ;v] ~(k)(v ) : [~N ;v] vEAk ~ v~Ak ~ ( l - p ( v ) ) _

,

woraus sich (2.15) unmittelbar e r g i b t . Beachtet

man, dab f u r [~N;V] # 0

D~k)(m) < I -

~ vEAk

p(~N ) < p(v) g i l t ,

[~N;V] N-k+1 P(~N ) = I - p(m N)

so f o l g t aus (2.15)

,

womit Satz 9 gezeigt i s t . 3. EINIGE VERALLGEMEINERUNGEN Die in Abschnitt I f u r diskrete R~ume eingefUhrten G l e i c h v e r t e i l u n g s b e g r i f f e lassen sich in naheliegender Weise (vgl. [ 3 ] , [10]) auf Folgen aus einem kompakten Hausdorffraum X mit abz~hlbarer Basis und ein nichtnegatives normiertes regul~res BorelmaB Ubertragen. So heiBt z.B. eine Doppelfolge m = (Xmn) ( s , t ) - g l e i c h v e r t e i l t bezUglich genau dann, wenn (3.1)

lim

M,N-~o

Fs,t(mMN):= lim (Ms)-I(Nt)-I M,N+~

~ 1_
]I p(fkl ) 1~k_<s 1_-
11

fkl(XikJl )

=

1_
:

F = (fkl)1~k~s 1~l~t

M,N und f u r a l l e Systeme

von stetigen r e e l l w e r t i g e n Funktionen

fkl auf X und p(f) = f f dp. X Es gelten dann die in Satz 6 angefUhrten G l e i c h v e r t e i l u n g s r e s u l t a t e auch in diesem allgemeinen F a l l . Weiters k~nnen die folgenden metrischen Resultate gezeigt werden (vgl. [7]): SATZ 10. p~ - fast a l l e Doppelfolgen sind ( 2 , 2 ) - g l e i c h v e r t e i l t zum MaB p auf X (Dabei bezeichnet p~ das von p auf dem Raum X L a l l e r Doppelfolgen (Xmn) Uber X i n d u z i e r t e ProduktmaB). Ein metrischer Zusammenhang zwischen der G l e i c h v e r t e i l t h e i t einer Doppelfolge und i h r e r Teilfolgen e r g i b t sich nach EinfUhrung des folgenden MaBes:

75 FUr K= ( k n , l n ) , wobei (k m) und(l n) streng monoton wachsende Folgen, n a t U r l i c h e r Zahlen sind, betrachten w i r die T e i l d o p p e l f o l g e U(K,~) = (Xkmln). Sei U(w) die Familie a l l e T e i l d o p p e l f o l g e n von m . Jedes Element U(K,~) E U(m) d e f i n i e r t einen Punkt des E i n h e i t s quadrates Uber die Zuordnung @ : U(K,~) wobei O,ala2a 3 . . .

÷ (O,ala2a3 . . .

; O,blb2b3 . . . )

und O,blb2b 3 . . . unendliche dyadische Entwicklungen von Zahlen in

[0,1] sind, so dab a i = I genau dann, wenn es ein m g i b t mit km = i ; analog f u r b i . Die Zuordnung @ i s t b i j e k t i v .

Man b e t r a c h t e t nun das Ma~ • auf U(w) d e f i n i e r t durch

• (M) = ~(@(M)), wobei ~ das zweidimensionale LebesguemaB auf [0,1] 2 und M eine Teilmenge von U(~) bezeichnet und z e i g t den folgenden SATZ 11. Eine Doppelfolge ~ = (Xmn) is t ( 2 , 2 ) - ~ l e i c h v e r t e i l t ~ l l e T e i l f o l g e n von ~ ( 2 , 2 ) - ~ l e i c h v e r t e i l t

9enau dann, wenn T- f a s t

sind.

Der Beweis kann entweder unter Benutzung von Rademacherfunktionen gefUhrt werden ( v g l . [ 7 ] ) oder aber als Anwendung des Gesetzes der groBen Zahlen vom Smythe ( v g l .

[15]).

~EMERKUNG.Analog zur D e f i n i t i o n (3.1) kann ein a l l g e m e i n e r B l o c k g l e i c h v e r t e i l u n g s b e griff

fur

Folgen auf kompakten metrischen R~umen eingefUhrt werden. Es g i l t

dann eine

entsprechende Version von Satz 10. 4. PROBLEMSTELLUNGEN . Im folgenden geben w i r e i n i g e ungel~ste Probleme an, die die in dieser A r b e i t vorges t e l l t e n Resultate erweitern bzw. verallgemeinern: I . Man f i n d e eine Verallgemeinerung zu Satz 5 f u r 2. Analoga zu Satz 5 sind s e l b s t im Fall

~ > 2.

s = t = I f u r Doppelfolgen (auGer f u r s p e z i e l l e

k l e i n e Werte von ~) unbekannt. 3. FUr den B l o c k g l e i c h v e r t e i l u n g s b e g r i f f k o n s t r u i e r e m a n " g l e i c h v e r t e i l t e " W~rter bzw. M a t r i z e n ,

d.h. W~rter mit "~s)(~) -' = 0 bzw Matrizen m i t - ' ~ s ' t ) ( ~ )

= 0 fur

vorgegebenes r a t i o n a l e s Ma~ N und b e l i e b i g e s Alphabet. 4. Man verallgemeinere S a t z 8 auf b e l i e b i g e s ~ ~ 2, bzw. f i n d e ein Analogon f u r

s~ 2.

Entsprechend untersuche man die Problemstellung f u r Matrizen. LITERATUR [ I ] Baron G., G l e i c h v e r t e i l t e Matrizen, S~minaire Lotharingien de Combinatoire, 10 ~me session, Publ. I.R.M.A. Strasbourg, im Druck. [2] Fang K., Wortfelder - G l e i c h v e r t e i l u n g und formale Sprachen, D i s s e r t a t i o n , TU Wien, 1983. [3] Hlawka E., Theorie der G l e i c h v e r t e i l u n g , B i b l .

I n s t . Mannheim, 1979

[4] Hlawka E., G l e i c h v e r t e i l u n g und mathematische L i n g u i s t i k , ~ s t e r r . Akad. Wiss.,Math. Naturwiss. KI. SB I I 189 , 2o9-248 (1980). [5] Kirschenhofer P. und R.Fo Tichy, G l e i c h v e r t e i l u n g und Formale Sprachen, ~ s t e r r . Akad.Wiss. Math.Nat.Kl. SB I I ,

189, 291-319 (1980).

78 E6} Kirschenhofer P. und Tichy R.F. , Ober Eigenschaften und Anwendungen der s-Diskrepanz, Usterr. Akad.Wiss. Math.Nat.Kl. SB 11190, 195-205 (1981). L7] Kirschenhofer P. und Tichy R.F., On uniform d i s t r i b u t i o n of double sequences, manuscripta math. 35 , 195-207 (1981). [8] Kirschenhofer P. und Tichy R.F., Zur Diskrepanz von O;1-Folgen, J.Number Th., im Druck. E9] Knuth. D.E., The a r t of computer programming Vol 2: Seminumerical algorithms, Addison Wesley, Reading, 1981. [10] Kuipers t .

und N i e d e r r e i t e r H., Uniform d i s t r i b u t i o n of sequences, J. Wiley & Sons,

New York - London - Sydney - Toronto, 1974. [11] Meijer H.G. und Niederreiter H.,On a d i s t r i b u t i o n problem in f i n i t e sets, Composit i o Math., 25, 153-160 (1972). [12] Meijer H.G., On a d i s t r i b u t i o n problem in f i n i t e

sets, Indag.Math. 3__55, 9 - 17,

(1973). [13] N i e d e r r e i t e r H., On the existence of uniformly d i s t r i b u t e d sequences in compact spaces, Compositio Math., 25, 93-99 (1972). [14] Pechlaner

W., Numerische Analysen zur Diskrepanz von Sprachen, Usterr.Akad.Wiss.

Math. Nat. KI. SB I I 190, 245-251 (1981). [15] SmytheR.T., Ergodic properties of marked point processes i n R r , A n n . l n s t . H. Poincar~ Ser. B 11109-125 (1975). [16] Tijdeman R., On a d i s t r i b u t i o n problem in f i n i t e and countable sets, J. Combinat o r i a l Th. (A) I__55, 129-137 (1973). Peter Kirschenhofer A b t . f . D i s k r e t e Mathematik Technische U n i v e r s i t ~ t Wien Wiedner Hauptstr.8-10 A-I040 Wien

Robert F.Tichy Abt.f.Technische Mathematik Technische U n i v e r s i t ~ t Wien Wiedner Hauptstr.8-10 A-I040 Wien

GLEICHVERTEILUNG VON FOLGEN, DIE DURCH ADDITIVE HALBGRUPPEN DEFINIERT SIND V. L o s e r t

Abstract.

Let

numbers,

X = {x

Y = {yk } .

If

ty

of

Y

it

is

shown

in

} be

n

describing

the

Y is

not

~O,N 3

increasing

contained

does

{x

that

an

additive

not

} is

in

grow

sequence

semi-group a

discrete

faster

uniformly

of

positive

generated

by

subgroup

than

and

polynomially

distributed

real

a

sequence if

~ith

modulo

~

for

the

densi-

N) , t h e n

all

posi-

n

tive

Sei

~.

Y = {Yk}ke~

eine

Folge

reeller

Zahlen,

so dab 0 < Y l ~ Y2 ~ " ' "

~ Yk ~ " ' "

und l i m Yk = ~" Sei X = { X n } n ( ~ d i e w a c h s e n d e F o l g e , d i e von den E l e m e n k+~ t e n d e r von Y e r z e u g t e n H a l b g r u p p e g e b i l d e t wird, wobei jedes Element so o f t

wiederholt

wird,

E l e m e n t e n von Y d a r g e s t e l l t {Xl'X2 .... es b e s t e h t abelschen unter

te

werden

und X. J . P .

zum B e i s p i e l ,

(yn)

diese

c > 0 existiert,

wachsend

ist.

denen (Xn)

Wit

kann.

Zuordnung

welchen Bedingungen die

Er z e i g t e Folge

bijektive

Halbgruppe

es d u r c h

additive

Kombination

dab d i e s

Eigenschaft so dab d i e wollen

gleichverteilt

zwischen

[IJ

Borel

Folge

(Xn)

der

besitzt

Fall

freien

[3]

Frage,

untersuchte

gleichverteilt ist,

falls

(Yn e - c l ° g ~ n )

nun a l l g e m e i n e r e

< ik,n k < - 1} '

d e r von Y e r z e u g t e n

fur

die

ursprUngliche

reelle

Bedingungen angeben,

Gleichverteilung

unter

ist.

S a t z wurde u n a b h ~ n g i g

A n a l o g e F r a g e n wurden

Konstan-

genUgend g r o B e s n

Ix] bezeichnet Sei Ax(X ) = c a r d { n : x n < _ x } und e ( x ) = e 2 ~ i x kleinere g a n z e Z a h l zu x . Wir b e g i n n e n m i t e i n e m a l l g e m e i n e n (dieser

die

modulo ~ ist.

und auBerdem e i n e

Folge

von

Das h e i s t :

n 2 Y i 2 + . "" + n k Y i k : i 1 < i 2 < " ' "

} = {nlYi

eine

als

fur

von J . P .

den F a l l

Borel

[2]

[I]

n~chst-

Kriterium

gezeigt).

von F o l g e n n a t U r l i c h e r

mod m von H. M U l l e r

die

behandelt.

Zahlen

und

78 SATZ 1. Die Folge X = {x n} i s t genau dann g l e i c h v e r t e i l t die folgenden Bedingungen e r f U l l t sind: (i)

Y = {yk } i s t

(ii)

aX(x)

lim

X÷~ ~

Beweis.

nicht enthalten = 1

A(~

ZU

f u r jades n > O.

°

Wir schreiben

Die Funktion A(x) i s t

in R Z ,

modulo ~, wenn

in diesem Beweis im folgenden A(x) s t a t t monoton. Daher i s t

die Bedingung ( i i )

÷ I f u r ein k >~ und a l l g e m e i n e r

lim ~

Ax(X ).

~quivalent

= i f u r ein re-

X~

elles

~ > O. F o l g l i c h

genUgt as, den Satz f u r ~ = i zu beweisen.

Zun~chst zeigen w i r die Notwendigkeit der beiden Bedingungen, v g l . Kuipers, N i e d e r r e i t e r [ i ] Th. 1.3. F a i l s Yc__~Z f u r ein n > 0 , f o l g t nat U r l i c h auch X ~ CI ~ und die Folge X= {x n} kann n i c h t g l e i c h v e r t e i l t sei n mod I . Nehmen wir nun an, dab x÷~ lim ~ A(×) lim i n f

< I.

Da

~ 1. Dies i s t

7 A([XI+2)

folgt

~quivalent

zu

daraus:

X~

lim i n f ~ n÷~

<

1 und daher auch lim i n f ~ < n÷~

A(n) lim

inf

n÷=

- c < 1

oder

A(n+~

lim

A(n+~) inf - - <

n÷~

1. Dann muB entweder I sein.

A(n+l)

Wir nehmen an, dab der e r s t e Fall e i n t r i t t (der Beweis im zweiten Fall e r f o l g t analog). Es g i b t daher unendlich v i e l e n f u r die A A _ _ ~ < l+c A(n+~) 2 Sei f ( x ) :

I falls

8<x-

~ ] ~ ~ und f ( x ) : 0

sonst.

Dann f o l g t : A(n+~)

k=A(n)+1

f(xk) : A(n+~)-A(n)>l~_._ccA(n+~). N

W~re (Xk) g l e i c h v e r t e i l t ,

lim i n÷~ A(n+~)

A(n+~) s k=A(n)+l

f(xk)

so mUBte lim ~ ~ f ( x k ) : ~ sein und daher N÷~ k#l = lim 1 n÷~ A ~

A(n+~) A(n) z f ( x k ) - lim I ~ f(xk)= 0 k=l ÷~ A(n+ ~=1

79 1

(A(n) ~ A(n+~)!).

Dies

stellt

zu o b i g e n Aussagen d a r .

einen Widerspruch

Nun z u r Umkehrung. Wir nehmen an, da~ d i e

Folge

(i),

n > 0 die

(ii)

erfUllt.

Da dann auch f u r

jedes

Folge {nx k} diese Bedingungen e r f U l l t ,

X = { x k} d i e B e d i n g u n g e n yon {ny k} e r z e u g t e

genUgt es, zu zeigen, da~ daraus

folgt: N

lim ~ ~ N÷~ k=l

e(xk)

= O.

~st A(x) < N < A(x+l , so g i l t :

N

A(x)

I Z e Xk)k=l Da nach ( i i )

z e ( x k ) I <_ N - A ( x ) < A ( x + I ) - A ( x ) . k=l

lim A x+l)-A(x) x÷~ A(x)

= O, genUgt es f o l g l i c h , I

limA~

x÷~ Sei

~ ~ 0 gegeben.

w~hlen w e l t e r s FUr z E ~

eine

gibt

ganze Zahl

dab

A(x) z e(xk) = O. k=l

es e i n e Q gr~er

Zahl

P fur die y EZ 2 P cle(yp)-i I •

als

• Wir

das DiracmaB im Punkt z. Wir b e t r a c h t e n nun das d i s k r e ( x ) ~ Xk . Jedes x k i s t e i n te MaB g a u f ~ z d e f i n i e r t d u r c h ~ = ~ 1 Ak=l

deutig

sei

Nach ( i )

zu z e i g e n ,

durch eine additive

t k seider ~u sitzt

6

ist

Koeffizient wieder ein

daher eine

FUr O< I < Q ,

der Elemente von Y d e f i n i e r t ,

von y p i n d i e s e r

diskretes

Darstellung

l<m
Darstellung

u~u

=

z k=l

dk ~

ein eindeutiges

Element x k f e s t ,

von x m den K o e f f i z i e n t e n

t k = l + t m. (Formal

exakter

eindeutig

Einheit,

mit

festgelegt,

Xk

Die F a l t u n g

ist

und be-

.

a x m = 61 y p+Xm

i n der D a r s t e l l u n g gruppe m i t

von x k.

Ma~3, das a u f X k o n z e n t r i e r t

gilt:

~lyp lyp+X m l e g t

Kombination

entspricht

das man e r h ~ I t ,

indem man

von yp um i e r h ~ h t ,

Xu{O} e i g e n t l i c h

den Erzeugenden {yk } .

der f r e i e n

Die o b i g e

wenn man d i e MaBe a u f d i e s e r

d.h. Halb-

Darstellung

Halbgruppe

ist

faltet).

Der K o e f f i z i e n t d k e r g i b t s i c h aus den K o e f f i z i e n t e n von ~ l y p und 6x i n a l l e n m ~ g l i c h e n D a r s t e l l u n g e n der o b i g e n Form: m Das h e i B t , d k A ( X ) ( Q + l ) i s t g l e i c h der A n z a h l der D a r s t e l l u n g e n von x k als

lyp+X m mit

festgelegt.

0 < 1 ! Q, i < m < A ( x ) .

Es g i l t

und 0 < X k - l Y p ~ x.

Xk-lYp= xm fur

xmist

durch

ein m < A(x)

FUr t k > Q und x k ! x i s t

-

1 natUrlich

eindeutig

genau dann, wenn t k ~ 1

daher d k = A(x)

-1

Ansonsten

80 gilt

A(x)

s t e t s d k ~ A(x) -1 bezi~hungsweise

~ ~ d k ~ A(x) l[card{k ~ A(x):tk~Q} + A(x+eyp) - A(x)J. k=l k=A(x)+l A(x+Qyp)-A(x) Nach ( i i ) konvergiert A(x) gegen 0 ( f U r x ÷ ~ ) . Eine e i n f a c h e k o m b i n a t o r i s c h e Oberlegung z e i g t , dab card {k < A ( x ) : t k ~ Q} = A ( x ) - A ( x - ( Q + l ) X p ) f u r x > ( Q + l ) x p . Nach ( i i ) k o n v e r g i e r t daher IA(xj

~-1_

fur x k > x + Qyp:d k = O. Daraus f o l g t :

dkl +

c a r d { k ~ A ( x ) : t k ~ Q}

a(x) ebenfalls

gegen O. FUr genUgend groBe x g i l t

a(X)Ia Z k=l

(x) -1- dkl +

daher:

Z d k < ~. k=A(x)+1

Bezeichnet ( f , p ) das I n t e g r a l einer Funktion f bezUglich eines MaBes ~, so f o l g t : I A ( x ) - 1 A(x)

k=l

e(xk)l

= l < e , ~ > l _< l < e , # *

v>l + s

Q k=O

= I~/e,p>II~e,v>l + s <

e((Q+1)ypp_~ e(kyp) I + c = ] ( Q + l ) ( e ( y I+ ~<2~

f u r a l l e genUgend groBen x. Es w~re nun wUnschenswert, die Bedingung ( i i )

des vorhergehenden SatZes

in eine Bedingung Uber die ursprUngliche Folge Y umzuwandeln. Eine t e i l w e i s e Antwort auf diese Frage gi.bt der folgende Satz. ( F a l l s Y~ Z und keine Wiederholungen a u f t r e t e n , wurden die Bedingungen ( i ~ ) berei, ts in der A r b e i t von P.T. Bateman, P. Erd~s [ I ] SATZ 2.

gezeigt).

F a l l s es Zahlen c,k > 0 g i b t , so dab Ay(x) ~cx k fU___r jedes x > 0

(d.h. die Dichte von Y in ~O,x] w~chst h~chstens polynomial) und wenn Y nicht in ~

enthalten i. st f u r jedes m> O, dann i s t die Folge X = {x n}

g l e i c h v e r t e i l t modulo ~. Beweis.

FUr x > 0 gebe p(x) an, wie o f t x in der Folge X = {x n} a u f t r i . t t .

Sei ~(y) = ~{yn:_~n E Z }

(q(O) = 0). Wie im klassischen F a l l der p a r t i t i -

onen ganzer Zahlen (siehe z . B . H . H . Ostmann i i ] , x p(x)=

Z p(x-y)~(y) y~x

(Beweis m i t t e l s F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n ) .

gilt

die I d e n t i t ~ t

81 Ist

Y' e i n e

p"(x))

Teilmenge

und ~ ' ( y )

d u r c h Y'

(bzw.

X' (bzw. X")

von Y und Y " = Y \ Y ' ,

(bzw. Y")

fur

fur

an S t e l l e

die

p(x) = S p ' ( x - z )

~"(y))

von Y d e f i n i e r t

X entsprechenden

p"(z).

sind.

Folgen.

wir

p'(x)

Funktionen,

(bzw. die

Ebenso s c h r e i b e n

Man s i e h t

leicht,

wir

da~

F a l l s Aye,X) ~ cx k f u r x ~ O, setzen w i r

Z<X -

Y'

Man s i e h t ] e i c h t ,

so s c h r e i b e n

die entsprechenden

=

{Yl . . . . .

Yk+1

}"

dab Ax,(X ) ~ dx k+l f u r x > xl

von Bateman und Erdbs f o l g t

sogar:

Ax,(X )

( m i t H i l f e der Methoden

~ d~k +1

fur

eine

Konstante

d > 0). Satz

2 erh~It

PROPOSITION.

man nun aus d e r f o l g e n d e n Wenn lim x÷~

AAxx' (' (XX+) I ) = I

-

Proposition:

und

x÷~lim~A y ( x )

= 0, dann g i l t

auch Ax(X)

lim

= i.

X÷~

Beweis d e r P r o p o s i t i o n .

Sei

~ > 0 fest.

Dann g i b t

Ax,(X+I ) ~ (l+a)Ax,(X) 6 E = Ax,(zl(a))

Sei Es

fUr

gilt:

xp"(x)

Daraus f o l g t :

z

=

zp"(z)

=

~

so dab

z ~ Zl(~ ). .

z p"(x-y) y~x

Z<X

es e i n Z l ( ~ ) ,

~"(y).

p"(x-z)

S"(z

Z<X

mit s"(z)

=

S

o"(w) = S {

y : y~z,y

Y"} • z Ay,,(z).

W
Nach Voraussetzung g i b t es ein z2(c ), Dann g i l t : S"(z) < z E

so dab Ay,,(z) ~ ~ Ax,(Z ) f u r z~z2(~ ).

Ax,(Z )

fur

z ~ z2(~ ).

Sei z 3 ( c ) : max Aus der

Identit~t

p(x)

=

Z

p'(z)

cAx,(Z ) : z < z2(E)}. p"(x-z)

folgt:

Z<X

p(w) =

Ax(X ) = W<X

Folglich gilt

f u r x ~ z3(E):

Z Z<X

Ax,(Z)p"(x-z).

82

z<x

zp"(z) = s p"(x-z) z<x

~chlieBlich Ax(X+I) : £

erh~It

S"(z) ~ z p"(x-z) z<x

man f ~ r

x ~ AX ( z )

x ~ max ( 2 z i ( 8 ) ,

= x ~ Ax(X ).

z3(~ )

z Ax,(Z ) p"(x+l-z) Z<X+1 ~ l
(l+~)Ax,(z-l)p(x-(z-l))

z < x+l}

~ (i+~)

(i+~) Das h e i B t :

+ Ax,(Z I 8))s{P"(z):x+l-Zl(G) x+l ~.Ax(x+I ) x+l_Zl(~ )

Ax(X ) + A x , ( Z I ( 6 ) )

Ax(X ) + 2aAx(X+l ). 1+8

Ax(X+I) ~-Ax(x).

BEMERKUNG. Aus der l e t z t e n P r o p o s i t i o n f o l g t auch, dab d i e Klasse der Folgen Y, f u r d i e Bedingungen von Satz I e r f U l l t s i n d , gr~Ber i s t a l s j e n e von Satz 2. Wie J . P . Borel [ 3 ] b e m e r k t e , g i l t d i e Aussage von Satz 2 etwa auch f a l l s es ein p > 0 g i b t , so dab lim x P / A y ( x ) = 0 und X+~ lira log Ay(x)/xp/I+p = O. X~

Es i s t l e i c h t zu sehen, dab die Bedingung lim Ay(n) 1/n = I notwendig n÷~ i s t , aber mit Methoden wie sie z.B. in J.D. Vaaler,[1] verwendet wurden, l~Bt sich zeigen, dab diese Bedingung nicht hinreichend i s t .

Die F r a g e ,

ob d i e Bedingung Ay(x+l) lim X~

I

~

~ i n r e i c h e n d i s t ( i n s b e s o n d e r e , ob d i e Folge X s t e t s wenn Y d i e s e E i g e n s c h a f t h a t ) b l e i b t o f f e n .

gleichverteilt

is't,

83

LITERATUR BATEMAN, P . T . ,

and Erd~s, P.: Mathematika 3,

[1] Monotonicity 1-14 (1956).

of p a r t i t i o n

functions,

BOREL, J . P . :

~I] E q u i r ~ p a r t i t i o n modulo 1 et semi-groupes a d d i t i f s , C.R. Acad.Sc. P a r i s , t . 287, S~r.A, 743-745 (1978). L2] Un probl~me d ' ~ q u i r ~ p a r t i t i o n modulo I l i ~ aux p a r t i t i o n s , B u l l . S o c . m a t h . F r a n c e 108, 229-250 (1980). [3] Quelques probl~mes l i ~ s 6 la r ~ p a r t i t i o n des semigroupes, P r e p r i n t .

KUIPERS, L . ,

NIEDERREITER, H.:

Wiley, LOSERT, V.:

C1]

C1] Uniform d i s t r i b u t i o n New York 1974.

E q u i r ~ p a r t i t i o n des s u i t e s d ~ f i n i e s par des semi-groupes a d d i t i f s , C . R . A c a d . S c , P a r i s , t . 292, S~r. I , 573-575 (1981).

MOLLER, H.: [ 1 ]

Zur G l e i c h v e r t e i l u n g Preprint.

OSTMANN, H.H.:

[1J

VAALER, J . D . :

of sequences,

Additive

additiv

Zahlentheorie

erzeugter

Folgen,

I,

IiJ A Tauberian theorem r e l a t e d to Weyl's c r i t e r i o n , J. Number theory 9, 71-78 (1977).

Prof.Dr. V. Losert Institut fur Mathematik Universit~t Wien Strudlhofgasse 4 A-f090 Wien AUSTRIA

GLEICHVERTEILTE

FOLGEN UND FOLGEN,

FOR DIE FAST ALLE TEILFOLGEN GLEICHVERTEILT

SIND

von Viktor

Abstract. Two

Let

examples

almost

all

there u.d.

a

(pn)

almost

all

a non-(Pn)-U.d, all

be

given

sequences

exists for

(pn)

are

a monotonically

increasing

of

with

are

weights

(pn)

(pn)-Uniformly

- u.d.

sequence

subsequences

sequence

subsequences

Losert

(Xn)

(m

such

the

sequence Borel

distributed).

(x m)

such

) . In t h e n t h a t (Xmn)

that

In

is

the

(Xmn)

second

of

numbers.

property

is

one,

(i.e. first

not

there

(pn)-U.d.

for

one,

(pn) exists almost

(mn) .

N

I s t (Pn)n~ 1 e i n e monoton wachsende Folge r e e l l e r so kann man durch Bedingungen der Form

Zahlen,

PN = ~iPn ' n

N

lim j~l

f(xj)pj

einen Gleichverteilungsbegriff Die T e i l f o l g e n

(bzw.

_ f f(x)d~(x)

PN

N~

defifiieren.

Teilmengen)

(mj)

der n a t U r l i c h e n

chen durch Dbergang zur c h a r a k t e r i s t i s c h e n { 0 , I } ~. B e t r a c h t e t

man nun a u f

Gewicht ~ z u o r d n e t

und a u f

{0,i}

{0,I} ~

Funktion

das MaB, das beiden Punkten das das e n t s p r e c h e n d e

h ~ I t man dadurch auch e i n MaB a u f der Menge a l l e r R. T i c h y z e i g t e ,

in einer

Zahlen e n t s p r e -

den Elementen von ProduktmaB,

Teilfolgen

allgemeineren Situation,

fur

mehrfach i n -

dizierte F o l g e n , dab u n t e r gewissen R e g u l a r i t ~ t s b e d i n g u n g e n f u r w i c h t e (pn) e i n e Folge genau dann g l e i c h v e r t e i l t i s t , wenn f a s t Teilfolgen

gleichverteilt

Folgen wurden R e s u l t a t e Autoren

bewiesen,

sind.

siehe z.B.

Im Folgenden s o l l e n

FUr den oben a n g e f U h r t e n

d i e s e s Typs b e r e i t s

so e r -

von ~ .

Fall

d i e Gealle

einfacher

f r U h e r von v e r s c h i e d e n e n

[i].

zwei B e i s p i e l e

angegeben werden,

die zeigen,

dab

s o l c h e S~tze f u r a l l g e m e i n e Gewichte (pn) n i c h t zu g e l t e n brauchen. Es werden Gewichte angegeben, f u r d i e es g l e i c h v e r t e i l t e Folgen g i b t , bei denen f a s t

keine Teilfolgen

nicht-gleichverteilte gleichverteilt schaft,

sind.

gleichverteilt

Folgen e x i s t i e r e n , Trotzdem e r f U l l e n

ergeben a l s o e i n e n s i n n v o l l e n

s i n d und f u r bei denen f a s t

die andererseits alle

Teilfolgen

d i e s e Gewichte d i e B o r e l e i g e n Gleichverteilungsbegriff.

85 Die g l e i c h v e r t e i l t e n {-1,1}

Folgen,

die

konstruiert

werden,

liegen

m i t dem Ma~, das beiden Punkten das Gewicht ~ z u o r d n e t .

deter Ferminologie gesetzt

betrachten

wir also Folgen,

s i n d und im R i e s z ' s c h e n

der K o n s t r u k t i o n

b e r u h t dabei

Wachstum der Gewichte b e d i n g t Wachsen a u f T e i l i n t e r v a l l e n an, so mUssen, bei

einer

auf folgender

konstant,

fur

gerades

Intervallen

In an-

nut aus - 1 , 1

Sinn nach 0 summierbar s i n d . Oberlegung:

ein

zusammen-

Die Idee st~rkeres

einen engeren G l e i c h v e r t e i l u n g s b e g r i f f .

der n a t U r l i c h e n gleichverteilten

Zahlen d i e Gewichte s t a r k Folge,

und I m i t g r ~ e r e r R e g e l m ~ B i g k e i t abwechseln. a u f den I n t e r v a l l e n [2i,2 i+1] unterschiedlich diesen

die

im Raum

i wachsend.

in diesem B e r e i c h

Gleichverteilte

unterschiedlich

-i

Die Gewichte werden nun g e w ~ h l t : f u r ungerades i Folgen mUssen a l s o a u f

s t r e n g e Bedingungen e r f U l l e n .

Be-

t r a c h t e t man nun T e i l f o l g e n , so haben nach dem Gesetz der gro~en Zahlen f a s t a l l e T e i l f o l g e n d i e D i c h t e ~. Bei s o l c h e n T e i l f o l g e n l i e g e n nun aber g r ~ t e n t e i l s vorher

jene

Elemente der Folge i n geraden I n t e r v a l l e n ,

i n ungeraden I n t e r v a l l e n

lagen und umgekehrto

die

Das h e i B t a b e r ,

dab auch d i e Bedingungen an d i e V e r t e i l u n g s e i g e n s c h a f t e n g e k e h r t werden.

der Folge um-

Konstruktion

definiert

der Gewichte.

Die Folge ( p j )

Pl = 1, pj = a ~ - 2 i p 2 i pj

Dabei i s t ( a i ) fUllen soll:

•

= P21

i

gerade,

2 i ~ j ~ 2 i÷1

falls

i ungerade,

2i ~j ~2 i+l

Zahlen d i e f o l g e n d e

a i ~ a i + 1, l i m a . = 1, i÷~ I (ai-l)2

Man kann zum B e i s p i e l

i >0,

a i = 1+2 - i ~

(2(I-~)i(1+2-i~)-2i-4>e(i-)i

log

_

(log

(l+x) > - 2x

fear k l e i n e s

rekursiv

falls

e i n e Folge r e e l l e r

= inf

wird

lim

Eigenschaften

lim i(ai-1 ) = 0 i÷~ i-4 (ai-l)2ia~2 :0.

durch (1)

er-

(2)

(0 < x ~ 1) w ~ h l e n : 2-1/2.2"iY.2 i-4

÷0

i÷~,0<~<1

x).

Sei

n

r i = P2 i '

Pn = s

pj

(3)

86 Aus ( 1 ) e r g e b e n Sei 2 i < n ~ 2 i + l

sich Ist

die folgenden Absch~tzungen: i qerade so q i l t :

n

2i n = .= Z + ~ pj < 2i Pn j ~ l P j j=lPj j=2i+1 ri+ri

n-2 i

n aJ_2 i s i = ri(2i+ai j=2i+1

ai

a.-1

-I

)

1

sowie: 2i Pn _> Z j=2i-l+l

n pj+.

2~

j=

a • n-2i +i

PJ = r i ( 2 i - 1 + a

" i

i

ai-i

-I

)

zusammen also:

ri(2i-l+a i

ai

n_2 i

-i

a.-I

n_2 i a.1 -I < r (2 i ) ~Pni +ai a.-1 )fUr

1

2i

< n~ 2

i+l

(4)

1

i gerade. Ist

i ungerade, n

Pn

:

. ~

j~IP3

erh~It

man:

2i-1

n

~

s.

j=2i-I

p.

Pj+j=21+1 j -

-1 -2i-1-I ai_ I - ai_ I -2 i =ri( l - a i 1--1 + (n ))

>

r

2 i -1 S alkl+ i k=l

(n-2i)r

i =

_2 i -1 l-a i B = r i ( . ai-1-1i-I + ( n - 2 ) ) _ > r i ( a i _ - - ~ l _

(n_2i)). +

Das heiBt: Pn >- r i ( n - 2 i + ~ B)

2i < n

fur

2 i+1 , i ungerade, mit B = i n f ( 1 - a i 2i-I_I )"

(5) Aus der l e t z t e n und v o r l e t z t e n Bedingung in (2) f o l g t : lim a~ I = ~ daher i s t 1

B > O.

PROPOSITION I . I s t p= ( p j ) eine Folge mit den Eigenschaften ( 1 ) , ( 2 , so e r f U l l t das zugeh~rige Summierungsverfahren die H i l l ' s c h e Bedingung, hat also insbesondere die Boreleigenschaft.

_±

2

Beweis.

Sei ~n _ j = lp-2PJ n

Zu zeigen i s t :

~ e an <~ n=iZ

f u r jedes

8>0.

Wir werden zeigen, dab f u r 2i < n _< 2 i+2, i gerade, g i l t : a n ~ c ( a i - 1 ) ('fUr geeignetes c > 0 ) . Nach (2) i s t daher l i m a n log n = 0 und daraus f o l g t die obige Bedingung. Sei zun~chst 2i < n ~ 2i + I ,

i gerade, dann g i l t

nach ( i ) :

p~

•

~j

II

L'M-P

v

"%

I

+ °~

L'M,p

~J

VI

II or'-~

i°~

M II

O

0~

"7

v

I

E

~

"F t'M

I

(M

v

!

I

+

~J

.p

E.P

0~

---i

,4-

VI

%

e-~3

vI

°~

,

z

°° L

vI

~

L'M

N

II

I

Y t'M

~

~

~" E

N~I

"E

~l IC~I r"

"7

°~

r13

I

II

"E

i

AI t'M

i

~J

+

AI

~ it'M

!

CM

0~

T

•r-

vl

II

E-r--

T

Z"

~3 I~ "

o|v

~ L'M

{~I

V)

"^

{:M ,r-

e-

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~,3

L~

,r.-

L

~r-

~

I

Z u VI

~;~ ~1~

+ v

T #v

E

vI

.0

E

.~

"~

0~

VI

vI

V ,r-

LI-

-I-

°~

pa

•

-t-

~3

+

,--I II

~

cM

£:

2; .'2

z

+

I

L'M

AI

+

I

AI

%#

88 Daraus f o l g t : r~ i+1) i+i (n-2 p2

ai

-i

n

Da, wie b e r e i t s

gezeigt

wurde,

einer

~ (ai-l)(~

i

2

+

min(T,1)

(si)

2i'2

li÷~ i m ~fi

,

(wegen der l e t z t e n b e i d e n Bedingungen e i n e s o l c h e Wahl m ~ g l i c h ) , Wir d e f i n i e r e n

= (-I) k

fur

erh~It

man:

natUrlicher

Zahlen m i t

folgenden

S •

:

in

0, (2)

i n f a i l_ i > i gilt

(6)

2i lima. =~, i÷~ i

daher i s t

nun:

Xj : ( - I ) j xj

),

Folge:

e i n e Folge

teilt

2

) ~ c(ai-l)"

S.

s I•

i

min(-~4-,l)

gleichverteilten

Zun~chst w~hlen w i r Eigenschaften:

+

a •

< (a - 1 ) ( 4 + an i ~

Konstruktion

a.

~ i+l 2

fur

~ 2i < j ~

2i+1,

und fUr j ~ 10 ~ 2 i + ks i < j ~ ~ 2 i + ( k + l ) s i ,

i gerade, 0~ k<

i >_ 4

2i_i (7) s. , i u n g e r a d e , i ~ 3 . 1

PROPOSITION 2. ErfUllen die Gewichte (pj) die Eigenschaften ( 1 ) , ( 2 ) , dann i s t die in ( 6 ) , ( 7 ) d e f i n i e r t e Folge ( x j ) g l e i c h v e r t e i l t bezUglich ( p j ) ; fur fast a l l e Teilfolgen (mj) yon ~ i s t aber (Xm.) nicht g l e i c h v e r t e i l t bezUglich ( p j ) . J Beweis.

Wir betrachten zun~chst: ~i = (P i + l - P 2 i ) 2

-1

2i+1 (

~ x j p j ) ( i ~ 0). i=2i+i

I s t i ungerade, so i s t nach (1) und (7) I s t i gerade, i > 0 so g i l t

2i+1 z xjpj = 0 und daher ai = O. j=21+1

nach (1) und (7):

r~

~r-

i

+

J

t~

r~

i.-,

I

~°

v

I

IA

v

><

M

Z

,

+

v

I

I

~,~.

~" I-.~

PO

-h 0

t~

"3

-t-

P~

I

~°

IV

I

r~

roe .°

v

4~

-I-

.t-

I

II

I

I

-2 I

~°

~°

II

x ~._1°

,°

o

O

v

rP

II +

P~

t~

+

IA

z

A

~D

O

O

II

X

M

2,

Z ~

8

Z

f~

N

N C

o

~D u~

c:

-q

II

o

II

Q

~-d

..I-

8 3

II

8 ~

I

p

• .

(-I

¢-p

-h

"~

8 3

c2~

~°

121

8 N

~ °,

rD

m

Q

.-h

~

~

~

II

~°

~o

~;.

t',-I

~.

~o

• M

~.

I

,4-"

°°

o

M

~o

I

II

~"

~;.

I

ii

Ic0

c_J.

>< (._~°

~M

r~°

90

(ai-1)2

i-1

+ ai(a

iN-21

~ ~ + ai

-i)

N-2i_1 N-2i -1) ~ m i n ( ~ , l ) a i N_2 i

>_ m i n ( ~ , l ) ( l + a i

min(~,~)(alN-21

+ 1)

_> m i n ( ~ , ~i ) ( a i N-21 + i ) ~ 'a. I 1

Das e r g i b t

schlieBlich: N

IPNI(

Z

j=2i+1

x j p j ) l -> min( ~~,

)(a i

-1)

und daher k o n v e r g i e r t d i e s e r Ausdruck gegen O. I s t i ungerade, so g i l t nach ( 5 ) : PN ~ r i ( N - 2 i

FUr 2i < N~

B

+ ai_7

)"

2i oder ~ 2i < N~ 2i+l g i l t nach (1) und (7): N

N

xjpjl

= ril

j=2i+1

z xjl j=2i+1

~ r i.

Das e r g i b t :

IPNI(

N

~

xjpj)I ~

j=2i+l FUr ~ 2 i
< _a i __i - I

I

N-21+g/(ai_1-1)

2 i g i l t nach ( I )

und ( 7 ) :

N

i

z.

xjpjl

~ ris i.

j=21+l Das e r g i b t : IPNI(

N Z xjpj)l j=2i+l

~

s. I N-21+F/(ai_1 - I )

<

s. s~. 1 < , N-2 i - ~

Nach (2) und (7) k o n v e r g i e r t in beiden F ~ l l e n der Ausdruck gegen N u l l . Daraus f o l g t a l s o , da~ die Folge ( x j ) g l e i c h v e r t e i l t i s t . Wir b e t r a c h ten nun T e i l f o l g e n (mj) von ~. Nach dem Gesetz der gro~en Zahlen haben f a s t a l l e T e i l f o l g e n die Dichte ~, d . h . N÷~lim~ I { j : m j _< N} I = 2"i ( I A I bez e i c h n e t h i e r die Anzahl der Elemente von A). Sei nun (mj) eine solche Teilfolge. Dann g i l t f u r N > N : 0

z

.4-

I

I

I

I

~g

I

2..

I

L

IV

I

I

~

+

I

~,.

I

I

I

I

II

I

I

,..~° -I-

I

I

3 C...~,

~,-

+

II

I

II

X

I

I

fD

g7

~"

o

--.4

~

~

~

r~

~

~

~

~o

-%

:~"

IV

~

~

-t-

IA

4-

0

"~

~0

o-

A

IA

Q

~.

~

~--

~D

IV

3

m c

c

1~

o

t~ ~

--h

~°

II

i

IV

~°

IV

--

-1:~11J"1

~

I

IA

iI

IA

A

.0

--h 0

IV

IA

0

~-~

IA

A

lx~~ .

po I ~

A

A

,,

~:~

IA

A

. . ~ c.~

~

C~l"~

:~

.°

~°

~

"*

~

:=1

ll)

II

A

'

IA

3

~ll -J

92

Pn

<_

2 i -1

ri-l(

n_2 i -1 + ai-l(ai-1 -l)(ai - 1 - I ) - I ) " n-2 i - l > T ~

n > ~1 5 2 i , g i l t

Da aus mn >

2i f o l g t :

Daher e r h ~ I t

man insgesamt:

2i-1 > 2i-5

S

Pnl(

n z .) j=[n-~l-Z[]+l xmjpJ si

_ la n - 2 i - 1 > ~ i-1 " ai-I"

((ai-1-1)2i-I

S

_

(l-ai-

.

- 1T~ )) "

+ ai-l(an-2i'li-1

_ 1)) -1

.

i

i-5

_> (1-ai_1-~)((ai_1-1)2i-1 - ai_l)al2_l Wegen der Bedingungen (2) k o n v e r g i e r t der Nenner gegen I , k o n v e r g i e r t der Z ~ h l e r aber n i c h t gegen O. Daher g i l t :

+ai_I)

wegen (6)

n

inf i

p~l

' p~j~ i° _z~l~lXmj

.)

>0.

W~re die Folge (Xm.) gleichverteilt bezUglich pj), so mUBten 0 n

I n -~-~] eoenO

gieren

nicht

und,

da P


gleichverteilt

Konstruktion

einer

, auch der obige

Ausdruck.

,

kann

(Xm.)

sein.

nicht

gleichverteilten

Folge:

Um ein umgekehrtes Ergebnis zeigen zu k~nnen, s S t z l i c h e Bedingung f u r die Gewichte ( p ~ ) :

Es gebe ein y > ~

Daher

onver-

so dab

Wir definieren nun:

J

• lim 21Y(ai-1 ) = O. i÷~

ben~tigen

w i r eine zu-

(8)

-1

g3

yj

= (-1) j

fur

~ 2 i < j _<~ 2 i + 1 ,

und f u r yj

= (-1) k

fur

i ungerade i _> 5

j _< 20

2i + k s i < j <__ 2i + ( k + l ) s i

, O_
i gerade i_>4.

PROPOSITION 3. E r f U l l e n die Gewichte ( p j ) die E i g e n s c h a f t e n ( 1 ) , ( 2 : ) , (8) dann i s t durch ( 6 ) , ( 9 ) d e f i n i e r t e Folge ( y j ) n i c h t g l e i c h v e r t e i l t bezUglich (pj); fur fast alle Teilfolgen (mj) yon • i s t aber (Ymj) gleichverteilt bezUglich (pj). Beweis. Die e r s t e Aussage w i r d auf analoge Weise wie die z w e i t e Aussage von P r o p o s i t i o n 2 bewiesen. I s t i gerade, i ~ 4 , dann f o l g t aus (2) und ( 9 ) : (5/4)2i+si pjyj = -r i j=(5/4)2i+i

(5/4)2i+s. z i j=(5/4)2i+1

i aJ-2i

2i-2+1 ( si -i = -r.a.1i ai - l ) ( a i - 1 )

o

Nach (4) g i l t

fur

n=

21+si:

Pn <- r i ( 2 i + a i ( a i 2i-2+i si (ai (ai -l))((ai-l)2i

2i-2+s " 1-1)(ai-i + ai(

Si_l)((ai_1)2i_ai)aT2i-2 (a I

) -1

a2i-2+Si_l)) - I

p~l

n

s pjyj .+1 j=n-s 1

I

i

si+l)-z. + ai

Wegen der Bedingungen (2) k o n v e r g i e r t der e r s t e Summand des Nenners s. gegen O. Da wegen (6) ai I n i c h t gegen I k o n v e r g i e r t , so k o n v e r g i e r t -si-1 s. -s. auch a i " ( a i 1 - 1 ) = aT1 I " (1-a i i ) n i c h t gegen O. Es g i l t

daber w i e d e r : inf

pjyj Pnlln j=n ~ .+1

I

>0

1

und wie am Ende des Beweises von P r o p o s i t i o n 2 f o l g t d a r a u s , dab diie Folge ( y j ) n i c h t g l e i c h v e r t e i l t sein kann. Wir b e t r a c h t e n nun w i e d e r T e i l f o l g e n (mj) von ~ Nach dem s t a r k e n Gesetz der groBen Zahlen g i l t f u r f a s t a l l e F o l g e n :

__1

N lim S N÷~ NY j = l

(-1)

m. J =0

I

(y>~).

94 Da, wie man l e i c h t s i e h t , die Folge ( y j ) g l e i c h v e r t e i l t i s t , bei konstanten Gewichten, sind auch f a s t a l l e T e i l f o l g e n in diesem Sinne g l e i c h verteilt, d.h. es g i l t N

lim ~ s Ymj = O. N÷~ j=l AuBerdem g i l t

nach dem Gesetz der groBen Zahlen f u r f a s t a l l e T e i l f o l g e n : 1 l { j : m j ~N} I = ~.

lim

Wir wollen zeigen, dab f u r jede Teilmenge (mj), die diese drei Eigenschaften e r f U l l t (y wie in (8) gew~hlt) auch die Folge (Ymj) g l e i c h v e r t e i l t bezUglich ( p j ) i s t . FUr gerades i ( i ~ 4 ,

2i ~ml ) sei Ni die gr~Bte Zahl fur die mN. ~ 1

FUr ungerades i

(i ~ 5 , 2 i ~ml)

mN ~ 2 i - l . Wie im ersten Teil i es zu zeigen: lim ( PNi+I -PNi ) i÷~

sei Ni die gr~Bte Zahl, f u r die des Beweises von P r o p o s i t i o n

2 genUgt

Ni+l ( j=N.+I s Ymj pj ) = 0

-i

1

und N

i-~lim sup {PNI(j=N.+IZ Y m j P j ) : N i < N - < N i + 1} = O. i Wie im zweiten Tell des Beweises von P r o p o s i t i o n 2 w~hlen w i r n o , so dab ~n<mn<.~n f u r n_>n O. FUr jedes E>O g i b t es nach Annahme ein n l ( ~ ) -> nQ, so dab I~

N S j:l

( - 1 ) mjl <~

und

I~

N 7. YmJ I <~ j=1

Sei zun~chst i gerade, N i _ > n l ( ~ ) , Ni
fur

N>_nl(~ )-

2). Nach ( I )

i.st da-

2i.

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97 3

Nach (2) k o n v e r q i e r t ( a i _ 1 - 1 ) 2 i - l a ~ . 2 1 - 1 gegen N u l l , ( N - 2 i ) ( a i _ 1 - I ) i s t p o s i t i v , daher k o n v e r g i e r t der Nenner n i c h t gegen N u l l . Nach (8) konv e r g i e r t der qesamte Ausdruck damit gegen N u l l . Analog z e i g t man, dab f u r N < 2 i - I der Ausdruck -1 PN

N

j=N.+I Ymj pJ 1

gegen Null

konvergiert.

LITERATUR [1] KEOGH F.R., PETERSEN G.M.: Riesz summability of subsequences, Quarterly J.Math. Oxford (2), 12 (1961), 33-44.

Prof.Dr.V. Losert I n s t i t u t fur Mathematik U n i v e r s i t ~ t Wien Strudlhofgasse 4 A-1090 Wien AUSTRIA

EINIGE BEITRAGE ZUR THEORIE DER GITTERPUNKTE

Werner Georg Nowak

Abstract. This p a p e r is a survey on several r e c e n t results b e l o n g i n g to the theory of l a t t i c e points in large regions, among them a new upper b o u n d for the classical circle problem, a g e n e r a l theorem for the lattice r e s t of a p l a n e region, results o n the p - n o r m - a n a l o g u e to the circle and sphere problem, an ~ -estimate for the three+ d i m e n s i o n a l sphere and e s t i m a t e s c o n c e r n i n g d i v i s o r p r o b l e m s in a r i t h m e t i c progressions.

Gegenstand der vorliegenden Abhandlung sind Probleme und Ergebnisse zur Gitterpunktlehre im Sinne von Landau, also Untersuchungen Uber Gitterpunktanzahlen in "groBen" Bereichen der Ebene und des mehrdimensionalen euklidischen Raumes. FUr einen wirklich umfassenden LiteraturUberblick sei der Leser auf die Monographie von F. FRICKER [11] verwiesen; wit beschr~nken uns daher hier vorwiegend auf Resultate der Gitterpunkttheorie, die nach Erscheinen dieses Standardwerkes erzielt wurden.

1. EBENEGITTERPUNKTPROBLEME 1.1. DAS KLASSISCHE KREISPROBLEM

Die wohl bekannteste Fragestellung im Rahmen der Gitterpunktlehre b e t r i f f t die Anzahl G(R) der Gitterpunkte (des Einheitsgitters g2) in der Kreisscheibe mit Mittelpunkt (0,0) und Radius R, insbesondere das Infimum e a l l e r Exponenten ~, fur die G(R) = ~R2 + O(Rx)

(R÷~)

g i l t . HARDYbewies bereits 1916, dab e~1/2 g i l t , das bisher beste ~-Resultat wurde 1981 von HAFNER [13] erzielt. In der Richtung einer oberen Absch~tzung lautete seit 1963 (nach einer Reihe sukzessiver Verbesserungen verschiedener Autoren; vgl. die Literaturangaben in [35]) der "Rekord" e~ 24/37 (CHEN [5]). Als neuerliche Versch~rfung l~St sich 35 e~S~ beweisen [35].

(1)

99 Auf die Herleitung dieser Absch~tzung aus Ergebnissen Uber Teilerprobleme in arithmetischen Progressionen wird im 3. Abschnitt noch n~her eingegangen werden.

1.2. DAS KREISPROBLEM IN DER p-NORM FUr beliebiges ree]les p > l bezeichne Gp(R) die Anzahl der Punkte des Einheitsgitters E 2 im Bereich Bp(R):Ix] p + ] y l P ~ R p, dann betrachten wir als Verallgemeinerung des klassischen Kreisproblems die Frage nach Absch~tzungen der Form Gp(R) =VpR2 + O(R~) (dabei sei Vp der Inhalt von Bp(1)), insbesondere nach dem Infimum e(p) aller hier zul~ssigen Exponenten ~. FUr p > 3 konnte bereits VAN DER CORPUT [8] e(p) : I -~ P

(2)

beweisen. Dies wurde sp~ter von KRATZEL [23] auch fUr p=3 gezeigt. Damit ergibt sich als alternative M~glichkeit einer "Ann~herung" an die Vermutung e(2) =1/2 der Nachweis von (2) fur etwas kleinere Werte von p. Tats~chlich g i l t SATZ 1 [28]. FUr p >41/14 gelten die Absch~tzungen Gp(R) = VpR2 + O(R1-1/p) ,

Gp(R) =V PR2 + ~+(R _ 1-1/p)

und genauer die asymptotische Darstellung Gp(R) =VpR2 + CpRI-1/p ~ k - I - I / p sin(2~kR- ~ )

+ O(R27/41)

k=l mit I Cp = 23-I/P ~ - I - I / P p I/P r (I + ~).

Die Verbesserung beruht auf einer Verfeinerung der Van der Corput'schen Methode mit Hilfe der Theorie der Exponentialsummen. Es sei noch erw~hnt, da~ L. SCHNABL [48] kUrzlich fur das hier als O(R27/41) auftretende Restglied die untere Absch~tzung ~(R 1/3) e r z i e l t hat.

100

Das Problem l ~ t sich nun welter veral]gemeinern auf den nicht-konvexen Fall O < p < l . Hier konnte wieder bereits VAN DER CORPUT [8] Gp(R) _VpR 2 ~ Cp RI-p fur p <1/3 beweisen (mit C '= -8~(-p)/p). Dies l~Bt sich ebenfalls auf p <14/41 P ausdehnen (unverbffentlicht, folgt durch Obertragen der Methode von Satz 1). Somit g i l t fur diese Werte von p also 0(p) = l - p , und es ergibt sich (im Sinne einer gewissen "Dualit~t" der F~lle p 1) die Vermutung, dad wohl e(92)= I/2 gelten werde. Dies kann eigenartigerweise tats~chlich bewiesen werden. SATZ 2. Es gelten die Absch~tzungen (fUr beliebiges ~ >0)

GI/2(R) = ~ R2 + O(R I / 2 +

),

GI/2(R) = 2~ R2 + Q(RI/2).

Wir geben einen kurzen Beweis der O-Absch~tzung: Aus SymmetriegrUnden genUgt es, jene Gitterpunkte (x,y) von B1/2(R) abzuz~hlen, fur die O ~ y ~ x g i l t (wobei fur y=O oder y = x das Gewicht 1/2 gew~hlt wird). FUr ganzes n mit O~n £R betrachten wir die Geraden gn: x - y = n; bezeichnet l(n) die L~nge des Abschnitts von gn zwischen der x-Achse und der Parabel ~ +

v~ = ~ ,

dann liegen auf dieser Strecke genau

[ l ( n ) / ~ ] + I/2 Gitterpunkte (wobei der Punkt (n,O) mit dem Gewicht 1/2 gez~hlt wird). Daraus folgt insgesamt

GI/2(R ) = 8

Z' ( [ l ( n ) / ~ ] O<__n~R

+ 1/2) + 0(1) = [R]

= (8//2) Z' l(n) - 8 Z ~ ( l ( n ) / ~ ) + 0 ( I ) . O
1(n) : ~ ( R

d e f i n i e r t . ) Wegen

-n)2/4R

ergibt sich aus der Eulerschen Summenformel Z'

l(n) = (~/12)R 2 + 0(1)

O<__n<__R und nach einem Satz von POPOVUber Bruchteilsummen quadratischer Polynome [41]

101

[R]

Z

@(l(n)/~)

= O(RI/2 + ~ )

(~ >0),

n=l

daraus f o l g t die O-Absch~tzung von Satz 2. Die ~-Absch~tzung i s t als Spezialfall dem sp~ter folgenden Satz i0 enthalten (vgl.

in

[29]).

1.3. EIN ALLGEMEINERSATZ OBER GITTERPUNKTE IN EBENEN BEREICHEN Das klassische Kreisproblem l~Bt sich (wie viele andere ebene Gitterpunktprobleme) in den folgenden allgemeinen Zusammenhang stellen: Es sei C:¢(u,v) = 0 eine (geschlossene) glatte Jordankurve in der euklidischen Ebene, wobei 6(u,v) analytisch sei fur alle (u,v)~C und dort grad ¢ ~ (O,O)gelte; D sei der von C eingeschlossene "innere" Bereich. FUr einen "groBen" Parameter R bezeichne G(R) die Anzahl der Punkte des Einheitsgitters ~2 im "aufgeblasenen" Bereich RD (wobei Gitterpunkte auf der Randkurve RC:¢(x/R,y/R) =0 mit dem Gewicht 1/2 gez~hlt werden), und V sei der Fl~cheninhalt von D. FUr den Fall, dab die KrUmmung K von C nirgends verschwindet (wie beim Kreis), bewies bereits VAN DER CORPUT [10] die Absch~tzung

G(R) =VR2 + O(R°)

(3)

mit einem Exponenten e < 2 / 3 . Erst in neuerer Zeit untersuchte COLIN DE VERDIERE [7] den Fall, dab K auf C nur Nullstellen der Ordnung ~ n - 2 b e s i t z t ( n ~ 3 eine natUrliche Zahl). Hier g i l t G(R) = VR2 + o ( R l - I / n ) .

(4)

Wir setzen nun voraus, dab die Randkurve C in jedem Punkt Pi = ( a i ' bi) mit K=O rationale Steigung p i / q i b e s i t z t (pi E ~, qi E ~ , pi,qi teilerfremd); n i sei die BerUhrordnung der Kurve C mit ihrer Tangente in Pi (also n i - 2 die Ordnung der Nulls t e l l e von K in Pi), und es sei mi =aiPi - b i q i " Dann i s t es m~glich, die von den Kurvenpunkten Pi stammenden "groBen" Anteile des Gitterrestes (entsprechend dem O-Glied in (4)) durch absolut konvergente Fourierreihen e x p l i z i t anzugeben - der verbleibende Fehler i s t O(Re) mit e < 2 / 3 , wie im Falle nirgends verschwindender KrUmmung (3): SATZ 3 [31]. Es g i l t

(mite

<2/3)

n i -1 G(R) =VR2+

~ ~ Pi :<=0 j = l

(Aj,ni Cj,ni (R) +Bj,ni Sj,ni ( R ) ) R l - j / n i + O(R°).

102

Dabei sind die Funktionen Cj,ni(R ) und Sj,ni(R ) als Real- und Imagin~rteil von k- l - j / n i e2~ikR~i

definiert; die Konstanten Aj,ni und Bj,ni h~ngen yon @ und Pi

k=l ab und besitzen folgende Eigenschaften (der Index i wird zur AbkUrzung weggelassen): (i) Aj, n = 0 fur j~n (mod 2) ( i i ) Bj, n = 0 fur jzO (mod 2) ( i i i ) Die Hauptkoeffizienten A1, n un~d BI, n sind sonst stets ~ 0 , und es g i l t IAl,nI : K(n)IA(n)l -I/n sin(~/2n)

fur

n~O (mod 2),

IBl,nl : K(n) IA(n)l -I/n cos(~/2n), wobei K(n) = 2l - I / n - l - i / n a(n)

~(l+i/n)(n!)i/n,

= (q/@v)(qDl + PD2)n¢Ip = -(p/@u)(qD l+pD2)n@IP.

(D1 und D2 bezeichnen hier die Ublichen partiellen Differentialoperatoren.) BEMERKUNGEN: (1) Die rekursive Berechnung der Ubrigen Konstanten Aj, n und Bj, n sowie die (in ( i i i ) offen gebliebene) Vorzeichenbestimmung von AI, n und B1, n sind anhand des in [31] gegebenen Beweises dieses Satzes m~glich. (2) Da fur ~i~O die Funktionen C~ n (R) und Sj, n (R) sowohl beschr~nkt als auch R+(1) sind (fUr R+=), f o l g t aus diesem Satz, da~ der Beitrag eines Flachpunktes Pi (also ni~m 0 (mod 2)) zum Gitterrest stets genau vonder Ordnung O(R1-1/ni) i s t , w~hrend der Anteil eines Wendepunktes (niml(mod 2)) "ausnahmsweise" auch O(Rl - 2 / n i ) bzw. O(Re) sein kann, n~mlich genau dann, wenn mi = 0 g i l t , also die Wendetangente den Ursprung enth~It. (3) Die Rationalit~tsbedingung spielt eine wesentliche Rolle: Dreht man z.B. den betrachteten Bereich D um einen Winkel y (um den Ursprung), dann i s t der resultierende Gitterrest fur fast a l l e y vonder Ordnung O(R2/3) (RANDOL [44],[45]), unabh~ngig vonder Ordnung der KrUmmungsnullstellen von C. Dasselbe Resultat g i l t fur algebraisch-irrationales t a n y , f a l l s die ursprUngliche Kurve C die Rationalit~tsbedingung e r f U l l t (TARNOPOLSKA-WEISS [54]).

1.4. WEITERE RESULTATE OBERSPEZIELLE EBENE BEREICHE Die Beweismethode von Satz 3 l~[3t sich auch auf Randkurven Ubertragen, die nicht alle der dort formulierten Voraussetzungen erfUllen. (Dazu z~hlt ja auch das bereits be-

103

sprochene Kreisproblem in der p-Norm, da die Randkurve des Bereichs Bp(R) auf den Koordinatenachsen nur fur positives ganzes pmO(mod 2) analytisch i s t . ) Der Kuriosit~t halber sei hier die Bernoullische Lemniskate @(u,v) =(u 2 + v2) 2 - 2(u 2 - v 2) =0 erw~hnt (bekanntlich definiert als die Menge aller Punkte der Ebene, fur die das Produkt der Abst~nde von den Punkten (I,0) und ( - i , 0 ) gleich I i s t ) . Bezeichnet G(R) die Anzahl der Gitterpunkte im entsprechenden "aufgeblasenen" Bereich B(R):

(x 2 + y 2 ) ~ 2R2(x 2 _ y2),

dann ist der Gitterrest P(R) =G(R) -R 2 fur R÷~ genau vonder Ordnung 0(R2/3), und es g i l t sogar [32] P(R) ~ 4 ~(-I/3)R 2/3.

(5)

In manchen F~llen lassen sich durch Verwendung konkreterer Informationen Uber die Randkurve bessere Fehlerglieder als 0(R2/3), e <2/3, erzielen (wie beim Kreisproblem). Als Beispiel betrachten wir (fUr beliebiges festes reelles a) den Bereich Da der (u,v)-Ebene, der vonder u-Achse und der Sinuskurve v=sin(u-a) zwischen den beiden Nullstellen u =a und u = a + ~ begrenzt wird. Wieder bezeichne Ga(R) die Anzahl der Gitterpunkte in RDa (mit der Gewichtung 1/2 von Punkten auf dem Rand), dann i s t der Gitterrest Ga(R) -2R 2 wieder genau vonder Gr~enordnung O(R2/3) und kann durch eine absolut konvergente trigonometrische Reihe in erster N~herung dargestellt werden: SATZ 4 [33]. Ga(R) =2R2 - Fa(R)R2/3 + O(R27/41) mit ~o

Fa(R) =2(3/~4)1/3r(4/3)

~ k-4/3 sin(_~2kR÷~/6)cos(2~akR+~2kR). k=1

Dieses Ergebnis l ~ t sich verallgemeinern auf einen beliebigen Teilbereich Da, c von Da, d e f i n i e r t durch a ~ u ~ a + c , O ~ v ~ sin(u-a) (O
O < c < ~ , wobei die O-Konstante yon c abh~ngen kann und

104 F•a (R)=(3/~4) 1/3 r ( 4 / 3 )

~

k-4/3 s i n ( 2 ~ a k R + ~ / 6 ) .

k=l BEMERKUNGEN: (1) Der "groBe" Anteil des Gitterrestes (vonder Ordnung R2/3) in beiden Resultaten stammt vonder Umgebung der Wendepunkte der Sinuskurve - in Obereinstimmung mit dem allgemeinen Satz 3. Das Fehlerglied O(R27/41) stimmt mit dem von NIELAND [27] fur den Kreis erzielten Uberein. (2) Es l i e g t die Frage nahe, ob sich die obigen Ergebnisse auf Sinuskurven v = s i n ( o u - a ) mit beliebigem reellem e Ubertragen lassen. FUr rationales e i s t die Antwort sicher positiv, w~hrend die Fragestellung fur irrationales e um vieles schwieriger erscheint (vgl. Bemerkung (3) nach Satz 3).

2. GITTERPUNKTPROBLEMEIM ~s Der Obertragung mancher der erw~hnten Fragestellungen auf den mehrdimensionalen Fall kommt unter anderem deshalb besonderes Interesse zu, da das Analogon zum Kreisproblem, das s-dimensionale Kugelproblem, fur s ~ 5 vollst~ndig gel~st werden konnte (fUr s =4 bis auf logarithmische Faktoren; siehe FRICKER [11], Seite 97). GroBe Schwierigkeiten bereitet bier nur mehr der Fall s =3. Bezeichnet (fUr ne~o)r3(n ) die Anzahl der ganzzahligen Tripel (u,v,w) mit u2 + v 2+w 2 = n und P(R) den G i t t e r r e s t P(R):=

Z r3(n) O
47

T

R3'

dann lautet die beste bekannte obere Absch~tzung (VINOGRADOV [56]) P(R) = O(R4/3(log R)6 ) .

(6)

Nur am Rande sei bemerkt, dab sich in diesem Ergebnis der Exponent von IogR zumindest zu 9/2 verbessern l~Bt, indem man das wohlbekannte Resultat ~ r2(n) 2 << T log T n<=T (vgl. SIERPINSKI [49]; r2(n ) i s t analog zu r3(n ) d e f i n i e r t ) und die Ungleichung yon ERD(JS-TURAN (fUr den Obergang von Exponential- zu Bruchteilsummen) verwendet. In Richtung einer ~-Absch~tzung konnte bis j e t z t das aus dem Jahre 1926 von SZEG(J [53] stammende Ergebnis P(R) = ~_ (R(log R)1/2)

(7)

105 noch nicht verbessert werden. Betreffs einer £+-Absch~tzung war bislang nur nach CHANDRASEKHARAN und NARASIMHAN [4] bekannt, dab limsup P(R)R-1 = + ® R÷~

gilt.

Dies l ~ t

sich zu einem quantitativen Resultat verfeinern:

SATZ 6 [34]. Es g i l t

(8)

P(R) = ~+ (R(log2R)i/2(log3R)-I/2) , wobei log k den k-fach i t e r i e r t e n Logarithmus bezeichnet. Wesentlicher S c h r i t t zum Beweis von (8) i s t die Absch~tzung r3(q)q-I > > X 1 / 2 ( l o g X ) - i

(9)

q<X (q durchl~uft hier die quadratfreien natUrlichen Zahlen, X i s t ein "groBer" Parameter), die i h r e r s e i t s aus der e x p l i z i t e n Formel fur r3(n ) (vgl.z.B. BATEMAN [ i ] ) f o l g t . Der SchluB von (9) auf (8) e r g i b t sich m i t t e l s einer Methode von GANGADHARAN [12]. (FUr allgemeine S~tze dieses Typs vergleiche man z.B. BERNDT [2], HAFNER [14], ICANEMITSU [19], REDMOND [46]; allerdings i s t aufgrund des recht "unregelm~Bigen" Verhaltens von r3(n ) keines dieser Resultate d i r e k t auf unseren Fall anwendbar.) Bei der Behandlung des s-dimensionalen Kugelproblems fur

s~4 geht bekanntlich der

Exponent 2 ganz entscheidend ein, da f u r die Anzahl der Darstellungen einer natUrlichen Zahl als Summe von Quadraten die I d e n t i t ~ t von JACOBI und andere tiefliegende H i l f s m i t t e l (z.B. die Theorie der Thetafunktionen) zur VerfUgung stehen. Deshalb l i e g t die Verallgemeinerung nahe, die Gr~Benordnung des Gitterrestes Ps(R) des Bereiches Ks(R) im ~s Ks(R):

(10)

Ix1 la + . . . + ]Xs la ~R a

f u r beliebige positive Exponenten a zu untersuchen. FUr ganzes a>2 wurde dies von RANDOL [43] und KR)~TZEL [24] durchgefUhrt. Es ergab sich, dab bei genUgend groBem a (n~mlich a ~ s + 2 ) Ps(R) stets genau vonder Ordnung O ( R ( S - 1 ) ( 1 " l / a ) ) i s t (vgl. auch FRICKER [ I i ] ,

S.IIO). M i t t e l s einer feineren Exponentialsummenabsch~tzung l~Bt sich

nun r e l a t i v l e i c h t zeigen, dab dieses Ergebnis auch noch fur a = s + l SATZ 7 [30]. Es sei

gilt:

s ~- 2 ' ~(s): = ( s - 1 ) / ( s + l ) und Pm s (R) der G i t t e r r e s t des dutch (I0) definierten Bereiches fur a = s + l . Dann gel ten die Absch~tzungen

106

p~ s (R) = O(Rs - l - ~ ( s ) ) ,

p~s (R) = ~+ (R s - l - ~ ( s ) )

und genauer die asymptotische Darstellung p~s (R) = (CsFs(R) + o ( I ) ) R s - l - ~ ( s ) mit Cs = 2s-~(s) - l - a ( s ) s ( s + l ) ~ ( s ) r ( l + l / ( s + l ) ) S - i co

Fs(R) = Z n - l - ~ ( S ) s i n ( 2 ~ n R - ~ ( s ) ~ / 2 ) • n=1 Eine neuartige Situation ergibt sich, wenn wir den Exponenten a in (10) im Intervall O3 und a rational mit 0
(Ii)

Ps(R) ~ Cl(a,s ) RS-l-a mi t Cl(a,s ) = -s2Sc(-a)(r(l+~))s-l(r(s~___~l)-l.

Dieser Satz i s t ein Spezialfall des folgenden allgemeineren Resultats, das fur genUgend kleines a weitere Glieder einer asymptotischen Entwicklung von Ps(R) angibt: SATZ 9 [29]. Es sei s ~ 3 , N die gr~Bte ganze Zahl echt kleiner als ( s - 1 ) / a ( s + l ) , bei a rational und wieder O
Ps(R) = ~ Cn(a,s)R s-l-an + o(Rs-2+2/(s+l)) n=l mit Cn(a,s ) = { - i ) n s 2 S ~ ( - a n ) ( r ( l + ~ ) ) s - l ( r ( ~ - n + l ) ) - l ( n ! )

-I.

wo-

107 Durch Verwendung eines Kunstgriffes yon BLEICHER und KNOPP [ 3 ] , der es erm~glicht, ~-Absch~tzungen von h~herdimensionalen auf niederdimensionale Probleme zu Ubertragen, kann man m i t t e l s der Beziehung (11) zeigen, dab das darin enthaltene ~-Resultat auch f u r die r e s t l i c h e n rationalen Werte O
FUr beliebiges s ~ 2 un__ddO < a < l ,

aE~ , g i l t

Ps(R) = ~(RS-Z-a). Dieses Ergebnis vollendet auch auf diesem merkwUrdigen Umweg Uber mehrdimensionale Untersuchungen die L~sung des "dualen Kreisproblems" von Satz 2. (Ein rein "ebener" Beweis scheint f u r die dortige ~-Absch~tzung noch n i c h t vorzuliegen.) AuBerdem i m p l i z i e r t es zusammen n i t (11) das folgende KOROLLAR. Auch fur a = (s-1)/(s+l) i s t der Gitterrest genau yon der Gr~Benordnung Ps(R) = o(RS-l-a), d.h., diese Absch~tzung i s t bestm~glich. Wesentlichstes H i l f s m i t t e l zum Beweis der S~tze 8 und 9 i s t eine Beziehung von VINOGRADOV (in [56], Seite 22f in lehrbuchm~Biger Darstellung zu finden) zur Transformation von Exponentialsummen. (Mit schlechteren, f u r unsere Zwecke n i c h t ausreichenden Restgliedern wurden ~hnliche Relationen auch von VAN DER CORPUT [9], TITCHMARSH [55] und PHILLIPS [40] angegeben.) Den Obergang zu den erforderlichen Bruchteilsdmmen erm~glichen s c h l i e B l i c h die Ungleichungen von ERD~S-TURAN und von KOKSMA (siehe HLAWKA [15], Seite 104 und 107).

3. ZUM TEILERPROBLEM In den Rahmen der Gitterpunktlehre wird Ublicherweise auch das nach D i r i c h l e t benannte Teilerproblem g e s t e l l t , die Frage nach der Gr~enordnung des Restgliedes A(x) in der Beziehung d(n) : x l o g x + (2y - l ) x + A(x) ,

(12)

n<x wobei d(n) die Anzahl der positiven T e l l e r der natUrlichen Zahl n und ~ die EULERMASCHERONI-Konstante bezeichnet. Die besten vorliegenden Ergebnisse (in der O- und -Richtung) stammen hier aus neuester Z e i t : Nach KOLESNIK ( [ 2 1 ] , 1982) g i l t (fUr jedes

¢ >0)

108

A(X) : O(X351108+~)

(13)

und nach HAFNER ([13], 1981) A(x) = ~ (xl/4(logx) I/4(loglog x)(3/4)+(Iog 2/2)-~).

3.1. TEILERPROBLEME IN ARITHMETISCHEN PROGRESSIONEN Es gibt nun zwei verschiedene Varianten, die vorliegende Fragestellung auf arithmetische Folgen zu verallgemeinern: Im ersten Fall wird in (12) nur Uber jene n ~ x summiert, die in einer gegebenen Restklasse 1 bezUglich eines Moduls k liegen. Es ergibt sich Z d(n) = ~ ( 1 , k ) x l o g x + B(l,k)x + a ( l , k ; x ) n<__x n=l (mod k) und damit die Frage nach der Gr~I3enordnung des Restes A ( l , k ; x ) . (FUr die Koeffizienten m(l,k) und B(l,k) wurden Ubrigens von KOPETZKY [22] elementare Darstellungen gegeben.) Das Problem wurde erstmals yon RAMANUJANbetrachtet, der (fUr festes lund k) A(l,k;x) <<-xI/3 log x erhielt

[42]. Dies dUrfte bis j e t z t l e d i g l i c h von WALFISZ [57] (mit Hilfe einer T

Darstellung fur

I A(l,k;x)dx) zu o

A(l,k;x) << x27/82(logx)11/41 verbessert worden sein (vgl. auch FRICKER [11], S. 86 und 93). Durch Anwendung der tiefliegenden Methode KOLESNIKs i s t es m~glich, dieses Ergebnis zur selben GUte wie (13) zu versch~rfen: SATZ 11 [36]. FUr feste natUrliche Zahlen 1 und k und x ÷ ~ g i l t A(l,k;x) << x35/108+E

(~ >0).

Wesentlicher Schritt zum Beweis dieser Absch~tzung i s t eine Beziehung der Form

109 I = ~o(Uo, Vo, k) xlog x + Bo(Uo, Vo, k) x + o ( x l + E T - l ) + o ( x ~ ) + uv<__x

D(x;u o, Vo, k):=

UZUo(mod k) WVo(mod k) xl/4 +

-

-

~/2k Cn=Cn(a,b ) = Z

I N(x,T) ~_ ~ ~ Cnn-3/4c°s( a,b=O n=l

-

T~

(l+a+b)-

3~ T )'

cos(2~UUo/k-ax/2)cos(2~VVo/k-b~/2).

UV:n

(T i s t dabei ein beliebiger Parameter, der - als Funktion von x - noch passend gew~hlt werden kann.) Auf die darin enthaltene trigonometrische Doppelsumme wird dann KOLESNIKs Absch~tzung angewendet. Damit ergibt sich D (x;u o, v o, k) =mo(Uo, v o, k)x log x + Bo(Uo, vo, k)x +O(x35/108+E). Durch Summation Uber a l l e Paare ( u j , v j ) , ujvjzl

(mod k ) g i l t ,

Z

(14)

j =1 . . . . . J aus {1,2 . . . . . k} 2, fur die

erh~It man daraus

J d(n) = ~ D(x;u~,vi,k ) = ~ ( l , k ) x l o g x + B ( l , k ) x + O ( x 3 5 / l O 8 + E ) ,

n<x j=l nzl(mod k) die Behauptung von Satz 11. Aus der Beziehung (14) lassen sich aber noch weitere wichtige Folgerungen gewinnen: Als zweite Variante eines Teilerproblems in arithmetischen Progressionen betrachtet man bekanntlich die Zahl d ( n ; l , k ) der positiven Teiler von nE~, die modulo k in einer vorgegebenen Restklasse 1 liegen, und summiert Uber a l l e n ~ x . Wegen d(n;l,k) n~x

k = Z 1 = Z uv~x j=l uzl(mod k)

D(x;l,j,k)

f o l g t aus (14) unmittelbar SATZ 12. FUr beliebige feste natUrliche Zahlen 1 und k, beliebiges ~ >0 und x ~ = gilt d(n;l,k) n ~x

= x log x + C(l,k)x +0(x35/108÷c)

110

Angesichts der wohlbekannten elementaren Beziehung (15)

r(n) = 4 (d(n;1,4) - d(n;3,4))

(vgl. FRICKER [11], S. 16; r(n) bezeichnet wie Ublich die Anzahl der (u,v)~ g2 mit u2 + v 2 = n) e r g i b t sich daraus

r(n) : ~x + O(x 35/I08+~), n<x also die am Beginn dieser Abhandlung angegebene Schranke (1) fur das klassische Kreisproblem, die alle bisherigen Ergebnisse in dieser Richtung verbessert. Welters kann man nun analog das sogenannte "Kreisproblem in arithmetischen Progressionen" behandeln, also r(n) Uber alle n~l(mod k ) , n ~ x summieren. Es sei k ungerade und ( u j , v j ) , j =i . . . . . J wieder alle Paare aus {1,2 . . . . . k} 2 mit ujvj~l(mod k). Nach dem chinesischen Restsatz gibt es eindeutig bestimmte Zahlen ~j,~j E{I . . . . . 4k} mit ~j ~ j ~uj(mod k), ~j ~l(mod 4), ~j ~3(mod 4). Wegen (15) g i l t dann J ~ r(n) : 4 n<x j=l nml(mod k)

A(x;l,k):=

J j:l

=4

J Z j=Z

Z i

uv<=x u=uj (mod k) u=l (mod 4) v=vj(mod k)

1

1 ~

=

uv<=x u-uj(mod k) u-3 (mod 4) v=vj(mod k)

f

[

=4

[

Z i

uv<x um~j(mod 4k) wvj(mod k)

-

Z

I

uv<=x u-~j (mod 4k) v--vj (mod k)

3 Z (D(x;~j,vj +kp,4k) - D(x;~j,vj +kp,4k)), p=O

daraus ergibt sich wegen (14) SATZ 13. FUr feste natUrliche Zahlen 1 und k, k=l(mod 2), ~ >0 und x - ~ g i l t A(x;l,k) = ~(l,k)x

+ O(x 35/I08 +~).

Da die zuletzt formulierten Resultate alle nur fur festes 1 und k e r z i e l t wurden, l i e g t die Frage nach entsprechenden Absch~tzungen nahe, die "gleichm~Big" im Modul k

111 gelten. Wir z i t i e r e n hier zun~chst das Ergebnis Z d(n) = m ( l , k ) x l o g x + B(l,k)x+O((~xT-k + vi<)d(k)21og(k+l)) n~x n ~l(mod k) von SAPARNIJAZOV [47], welches gleichm~Big in I ~ I ~ k << x 2/3-~ g i l t .

(FUr k=O(1)

s t e l l t Satz i i tats~chlich eine wesentliche Versch~rfung dar.) FUr die andere Variante des Teilerproblems bewiesen SMITH und SUBBAP~AO[51] erst kUrzlich, dab

Z d(n;l,k) = xE log x + C(l,k)x+O((kx)i/3d(k)log x) n<__x gleichm~Big in 1< l< k<x g i l t . Eine Versch~rfung davon gibt SATZ 14 [37]. Es e x i s t i e r t eine Konstante e < I / 3 ,

so dab gleichm~Big fur 1
x Z d ( n ; l , k ) : ~, I o g x + C ( l , k ) x + O ( ( x / k ) ° ) . n<x

Als leichte Folgerung erh~It man daraus die asymptotische Formel ~ {x/n} = x~ ( Z - ~ ) + O ( ( x / k ) e ) , n<x

1 (0<2)

n ---I(mod k) ebenfal]s gleichm~ig fur 1 < k < x (¥ die Euler-Mascheroni-Konstante). SchlieBlich erw~hnen w i t noch das Ergebnis von SMITH [50]: r(n)

= ~ (l,k)x+O(x2/3k-Z/21og(k+l)(l,k)Z/2d(k)),

n<x n --I (mod k) gleichm~Big in 1 < k < < x 2/3. Wieder s t e l l t Satz 13 (fUr k = 0 ( i ) ) Versch~rfung dar.

3.2. EINE VERMUTUNGVON S. CHOWLALIND H. WALUM Nach der klassischen Relation von LANDAU

eine entscheidende

112

Z d(n) = xlog x + (2~-i)x - 2 Z ~l(X/n) + 0(I) n<=x n<=v~

(16)

(siehe FRICKER [11], Seite 70, Formel (10)) i s t das Teilerproblem zur Frage nach der Gr~enordnung der hier auftretenden Summe Uber ~l(x/n) Equivalent (~k bezeichne die periodische Bernoulli-Funktion der Ordnung k); als bestm~gliche Absch~tzung wird hier bekanntlich O(x I / 4 + ~ ) vermutet. Als Verallgemeinerung formulierten nun CHOWLAund WALUM (auf dem Symposium der AMS 1965 [6]) die Vermutung, dab fur beliebiges a ~ O und ganzes k ~ I Ga,k(X)~ :

~ na~k (x/n) = O(x a/2 + 1 / 4 + ~ ) n<=v~

(~ >0)

(17)

gelte und zumindest fur geeignetes a>O und k >I bewiesen werden k~nne. (Wegen der rascheren Konvergenz der Fourierreihen von ~k fur k ~ 2 und dem "D~mpfungseffekt" der Gewichte na auf die Summanden mit kleinem n erscheint dies sicherlich plausibel.) CHOWLA und WALUM konnten selbst (17) fur den Spezialfall a = i , k = 2 (sogar mit ~ =0) mittels eines Kunstgriffes beweisen. SURYANARAYANA[52] zeigte sp~ter, da~ diese Absch~tzung bestm~glich i s t . Erst in neuester Zeit gelang S. KANEMITSU und R. SITA RAMA CHANDRARAO [16], [17], [181 mit einem Uberraschend kurzen und durchsichtigen Beweis die Best~tigung der CHOWLA-WALUMschen Vermutung fur a l l e k ~ 2 und a ~ 2 und a ~ I / 2 , lhr Ergebnis lautete

Ga'k(X) <<

xa/2+1/4(logx)~a'1/2

fur k~2, a~1/2,

x2a/5+3/10

fur k~2, 0~a<1/2.

(a bezeichnet hier das Ubliche Kroneckersymbol.) Die zweite dieser beiden Absch~tzungen (die ja nicht an (17) heranreicht) l~Bt sich nun mit H i l f e der VAN DER CORPUTschen Theorie der Exponentialsummen weiter versch~rfen. Es g i l t

SATZ 15 [38]. I x(17a/42) + ( 2 / 7 ) ( I ° g x ) l - 2 O a / l l

fur

O 2 ,

x(4a/9) +(5/18) (Iogx) 6a'1/5

fur

~ 2 .

<<

Ga'k(X)

"113

Daraus ergibt sich weiters eine explizit zahlentheoretische Konsequenz: FUr beliebiges reelles r sei als verallgemeinerte Teilerfunktion Or(n ) = Z tr definiert; wir fragen nun nach der Gr~Benordnung des Restgliedes Rr(X) in t/n der asymptotischen Entwicklung der Summe

(x r - n r )O_r(n ) = cl(r)xr+l+c2(r)x+c3(r)x r+c4(r) +Rr(X)

(18)

n<x (die Koeffizienten ci(r ) sind mit Hilfe der Zetafunktion explizit darstellbar).

Nach KANEMITSU[19], Theorem 1, g i l t fur -1/2~r<3, r~{0,1} Rr(X ) = - ~ xr-IGl_r,2(x) + O(x(2r-1)/4),

(19)

daraus ergibt sich nach Satz 15 das folgende KOROLLAR.

Rr(X)<<

x(25r/42)-(13/42)(log x) (20r/11)-(9/]I)

fur

~
x(Sr/9)-(S/le)(logx) 6r'4/5

fur

~
Dies bedeutet fur 1/2 < r< 1 eine Verbesserung der bisher bekannten Absch~tzung von LANDAU [25]. In Analogie zur Fragestellung von CHOWLAund WALUM, die sich aus dem (zweidimensionalen) Dirichletschen Teilerproblem ergibt, l~Bt sich nun auch eine dem mehrdimensionalen PILTZschen Teilerproblem entsprechende Oberlegung anstellen (wobei wir uns zun~chst auf den dreidimensionalen Fall beschr~nken wollen): Wie Ublich bezeichne d3(n) die Anzahl der positiv-ganzzahligen Tripel (u,v,w) mit uvw=n, dann gilt Z d3(n) : ~ x(logx) 2 + mxlogx + Bx - 6 Z Z @l(x/nm) +o(xl/3logx)

n<=x

(20)

B(x)

mit dem Summationsbereich

B(x):

O
n<m £ (x/n) I/2

(n,mE~).

Es sei nun m3 das Infimum aller ~, fur die die rechts auftretende Doppelsumme mit O(x~) abgesch~tzt werden kann, dann wird allgemein vermutet, dab m3 = 1/3 g i l t ; bis jetzt konnte lediglich 1/3 ~ 3 ~43/96 bewiesen werden (siehe TITCHMARSH [55] und

114

KOLESNIK [ 2 0 ] ) . ganzes k ~ l

In Analogie zu (17) l i e g t nun die Vermutung nahe, dab f u r beliebiges

und p o s i t i v e r e e l l e Zahlen a und b

Ga,b;k(X): =

Z ~

namb~k(x/nm) = O( x(a+b+l)/3 +~)

(~ >0)

(21)

B(x) gilt

(wegen namb << x (a+b)/3 f u r (n,m)EB(x)) und f u r geeignete a,b und k t a t s ~ c h l i c h

verifiziert

werden kann. Als t e i l w e i s e Antwort e r g i b t sich

SATZ 16 [39]. FUr ~anzes k~2 un~dbeliebige reelle a,b mit 2a -I~b>__1 g i l t Ga,b;k(X) = O(x(a+b+1)/3(logx)3). Der Beweis beruht auf der schon im 2. A b s c h n i t t erw~hnten VINOGRADOVschen Methode zur Transformation von Exponentialsummen.

AbschlieBend wollen wir noch die entsprechende Problemstellung fur das (p+l)-dimensionale PILTZsche Teilerproblem betrachten (p~3). In Analogie zu (17) und (21) ergibt sich die Vermutung (fUr k ~ l und beliebige aj~O) n l a l .. . n p a P ~ k ( X / n l . . . n p )

<< x A ( P ) / ( p + l ) + p/2(p+l)+~

(22)

Bp(X) mit Ap = a I + . . . + ap und dem Summationsbereich

Bp(X):

< x 1/(p+1) , nj < nj_ 1 £ ( x / n j . . . np) 1/j 0
(fUr j = 2 . . . . p).

Dies konnte bis j e t z t a l l e r d i n g s n i c h t einmal unter geeigneten Einschr~nkungen an k und aj bewiesen werden; die zur VerfUgung stehende Theorie der Exponentialsummen dUrfte h i e r p r i n z i p i e l l

zu schwache Absch~tzungen ergeben, sodaB ein ganz anderer,

m~glicherweise starker a n a l y t i s c h o r i e n t i e r t e r wert e r s c h e i n t .

A n g r i f f auf das Problem wUnschens-

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Z

T(n)f(n), on ~(n) s i g n i f i e

le nombre de compositions du nombre nen une n>a somme de deux carr~s des nombres entiers, Prace m a t . - f i z . 18, 1-59 (1908). [50]

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Tarnopolska-Weiss, M.: On the number of l a t t i c e points in planar domains, Proc.Amer.Math.Soc. 69, 308-311 (1978).

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Titchmarsh, E.C.: The theory of the Riemann Zeta-function, Clarendon Press, Oxford, 1951.

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Walfisz, A.: Ober ein Teilerproblem von Ramanujan (Polnisch mit deutscher Zusammenfassung), Prace m a t . - f i z . 35, 101-126 (1928/29).

Adresse des Verfassers: I n s t i t u t fur Mathematik Universit~t fur Bodenkultur Gregor Mendel-StraBe 33 A-1180 Wien, ~sterreich

DIE BESTIMMUNG GEWISSER PARAMETERBEI BINAREN BAUMEN MIT HILFE ANALYTISCHER METHODEN

Helmut Prodinger

Abstract.

This paper deals with the average number of nodes with a special property

in binary trees with n nodes. Generating

functions

tic functions. A detailed singularity analysis the considered numbers. form. The asymptotic computed

The local expansions

allows to get asymptotic

~-functions

formulas for

are derived by use of the Mellin trans-

expansion involves periodic

in terms of Riemann's

are set up and considered as analy-

terms; the Fourier coefficients

are

etc.

1. EINLEITUNG i s t entweder ein B l a t t ( [ ] ) o d e r ein ( i n n e r e r ) K n o t e n ( 0 ) m i t

Ein b i n d e r B a ~

einem l i n k e n und rechten Unterbaum; diese sind s e l b s t bin~re B~ume. Die Familie ~ r bin~en ~e

8

= m

8 erfOllt

+

/~ 8"

(vgl. [3]).

also die formale Gleichung

(1) B

I s t bn die Anzahl der bin~ren B~ume mit n Knoten und B(z) = ~n~O bn zn'

so e r g i b t sich aus ( i ) B(z) = 1 + z(B(z)) 2

bzw.

B(z) = - I- ~- ~

und

bn = ~ ni ) . ,2n.

(2)

Ein b i n ~ r e r Baum kann verwendet werden, um einen arithmetischen Ausdruck darzus t e l l e n . Ein B e i s p i e l i l l u s t r i e r t

das am besten:

-

Um e i n e n a r i t h m e t i s c h e n

-

((X+Y)x((Z+U)-V))

Ausdruck a u s z u w e r t e n , b e n S t i g t man e i n e Anzahl yon ~ Z ~ -

registern. Die m i n i m a l e Anzahl s o l c h e r H i l f s r e g i s t e r

h ~ n g t nur vom Baum t a b

und w i r d

119 mit Reg(t) abgek~rzt. Interessanterweise i s t dieser Parameter n i c h t nur in der I n f o r matik von Bedeutung, sondern auch in den Naturwissenschaften. Der Leser sei auf [ 3 , 5 , 6,8,10]

verwiesen.

Die Regis.terfunktion i s t in i n d u k t i v e r Weise wie f o l g t d e f i n i e r t : Reg({Z]) Reg(

= 0

A tI

~ max { R e g ( t l ) , R e g ( t 2 ) )

}

falls

Reg(tl) ~ Reg(t2)

falls

Reg(tl) = Reg(t2)

=

(3)

t2

~ 1 + Reg(tl)

Diese D e f i n i t i o n e r l a u b t es, von unten nach oben f o r t s c h r e i t e n d ,

jedem Knoten bzw.

B l a t t eine n i c h t n e g a t i v e ganze Zah] zuzuordnen, n~m]ich die R e g i s t e r f u n k t i o n des von dem Knoten i n d u z i e r t e n Unterbaumes. Die R e g i s t e r f u n k t i o n kann man dann an der Wurzel ablesen:

~0

2

3

~0 ~0

~0/~

]

~_

~0 ~0

I

0

~0

(4)

~

~0 ~0 Der M i t t e l w e r t Dn d e r

R e g i s t e r f u n k t i o n , wo a l l e B~ume mit n Knoten als g l e i c h

wahrschein]ich angesehen werden, i s t in l e t z t e r Z e i t o f t s t u d i e r t worden: [ 3 , 5 , 6 , 8 , i0].

Es g i l t : Dn

=

log 4 n

+

D(log 4n)

+

0(-~)

;

(5)

* s t e h t f ~ r eine p o s i t i v e Zahl, D(x) i s t s t e t i g und periodisch mit Periode 1. Schreibt man D(x) = ~ LkE-ZZd Ke 2k~ix , so g i l t : do

1 = - ~ - ~

dk

= ogl~(×k)

1

y

- T~

1

+ log 22~

,

2k~i r ( X k / 2 ) ( X k - i ) , k ~ 0 , Xk = I - ~ "

Wir wollen uns h i e r jedoch einer anderen Fragestellung zuwenden: Gewisse Knoten veranlassen die R e g i s t e r f u n k t i o n zu wachsen; in (4) sind diese ~ i t i s o h e n vorgehoben. Es wird im folgenden g e z e i g t , dab f ~ r Kn, die m i t t l e r e schen Knoten in einem bin~ren Baum mit n Knoten, folgendes g i l t : Kn

= ~

+

log2n

+

K(log4n)

+

o(1),

wo K eine periodische Funktion mit Periode 1 i s t .

Knoten her-

Anzahl von k r i t i -

120

Der erste Term n/3 scheint bereits in i m p l i z i t e r Form in [11| auf.

2. ERZEUGENDE FUNKTIONEN Wir bezeichnen mit R bzw. S die Familie der bin~ren B~ume mit Registerfunktion P P ±p bzw. ~p, sowie mit Rp(Z) und Sp(Z) die entsprechenden (gew~hnlichen) erzeugenden Funktionen. Weiters sei c = ~ LEMMA 1.

1-u 2 u 2p u . l_u2P~

Rp

S p

=

Rp

l_u 2

u2p

u

1_u2 p

_

~-I Beweis.

, sowie z = u / ( l + u ) 2, d.h. u = ( 1 - c ) / ( l + c ) .

(6)

(7)

u

1-u 2p

I-~

" Z+u2p

(8)

Der folgende Beweis wurde gemeinsam mit P. KZRSCHENHOFER gefunden und

g e s t a t t e t eine wesentlich schnellere Herleitung von ( 6 ) - ( 8 ) als dies bisher m~glich war. Es wird nut (7) bewiesen; (6) und (8) folgen dann, weil Sp - Sp+1 = Rp. Aus (3) fol gt unmi t t e l bar (9) RD

R _

p-I

Sp

S_

-1

Rp I3\Sp

B

P (10)

p-1

B\Sp_1 Sp

Aus (10) e r g i b t sich Sp =

ZS2p_l +

Sp

=

l-2zB+2zS

1

=

2ZSp(B-Sp_l),

bzw. ZS2p_l p-i Wit beachten c = 1-2zB und nehmen den Kehrwert: c

i

2

÷

.

p-1 Wir m u l t i p l i z i e r e n mit c/z und addieren i : c 1

c

1

1)2

c

1)2 p

Man rechnet l e i c h t nach, dab c/z = (1-u2)/u und 1 + c/zB = 1/u i s t , und e r h ~ I t

121

1-u 2 1 u T = P

- i +

u

1 2p

1-u 2p u 2p

,

das i s t (7). [] Im folgenden schreiben w i r f o r den Koeffizienten von z n in f ( z ) immer [ z n ] f ( z ) u.~. AuBerdem vereinbaren wir eine K u r z s c h r i f t : Sei

~(z) = ~

f ( z , u ) u=l"

Up = Rp_I/Rp; es i s t dann U1 = ( 1 - 2 z ) / z . Weiters sei [znum]Vp(Z,U) die An-

zahl der bin~ren B~ume mit n Knoten, Registerfunktion p und m k r i t i s c h e n Knoten, AuBerdem sei Qp = Vp_i/V p. Die uns interessierende Gr6Be Kn i s t dann

[zn] Z Vp(Z) Kn =

~ [ z n] B(z)

LEMMA 2.

V0 = O,

V

(11)

V1 = z / ( 1 - 2 z ) ; f o r p > 2 g i l t :

7 +1-1

= R P

P

Beweis. V0 = t

Von (9) e r h ~ I t man und

Vp = 2z Vp J~

V.J +

zu Vp-i 2 ' p ~ 1;

Wir d i v i d i e r e n durch Vp und subtrahieren die analo.qe Ungleichung f o r p+l: 0

V2 P = 2z Vp + zu Vp+l

V2 o-I ; _ zu__v___ P

0

2 = u+

p>l.

2 Qp+l " Qp '

Wir beachten Qp(Z,l) = Up(Z), d i f f e r e n z i e r e n nach u und ersetzen u durch I : 0

=

2 + ~ p + l - 2 ~p Up , p ~> 1.

Daraus e r h ~ I t man Up

:

2PuI...Up_ I

~p-I

I

+

2p IUI...Up_ 2

,

p~2.

2P-IuI...UD_I

ES i s t V1 = z u / ( l - 2 z ) , daher Q1 = ( l - 2 z ) / z u und QI = 2 - 1/z. Weiters g i l t U l . . . U P = I/Rp. Demnach e r h ~ l t man f d r p ~ 2: Qp Rp-1

2P oder

Rp-2

-

Rp-1

+2p

I

:

Rj-1

j:22 -T -

RO

+ Q

T'

122

-

Rp-1

FOr p ~ 1 g i l t ~p Rp +

j=1

23

I

-

Qp Vp = Vp_ 1, und daher Up%

= Vp_ I .

Diese Rekursion f o r % wird nach demselben Muster wie vorhin gel~st:

Vp u1...u P =Vp_I u1...up_ I

-

Rp u1...up_ I ,

oder for p ~ 1 I

%

Vp_1

R

Vl

I~jj

R

Hieraus e r g i b t sich die Behauptung unmittelbar. LEMMA 3.

2s ns

Beweis. ns

:=

::

~ 2j ~ ( _ l ) k + l uk2 j j~s k>1

= 2s

u

l_u 2s

Wir setzen ~ n~l

@ (n) un s

mit

es(n)

=

j~s;k

~

=n

( - i ) k+l 2j

Sei nun n = 2m(1+2~) mit m > s: m

C)s(n)

=

m-i ~ 2j j:s

=

Z 2 j ( _ i ) i +n2-j j=s

+

2m = 2s "

Also g i l t T1s

2s u2m(1+2~)

Z

=

= 2s

n~ ;~0 SATZ 1. m(n)

Z uk2 s k>l

= 2s

Die arithmetische Funktion m sei d e f i n i e r t durch

= i,

falls

n = 2m(1+2i)

Dann g i l t : V(z)

= 1~uU) u

2 1-u2 Z ~(k) u k>l

Uk

Beweis. Aus Lemma 2 erhalten wir V mit

2s

u l_u 2s

= VO + V l +

~

Vp

= R1 + p ~ Rp

A1 -

A2

123

p R.2 j AI

:

Z

Rp

j!2 ~

j-l

3

Rk

Z

k=l

und

p A2 = ( 1 - ~ z ) ES ist

~

R o2j

Rp j!2

Zp~l Rp = - 1 + B = u, sodaB wit uns A2 zuwenden k~nnen: 2u-Ii+u) 2 2u

A2 =

1+u2 = - --2-u:

l+u 2

:

1+u2 --~-~-

1_u2J 2j ~ J~

1-u2J 2j 1+u2J 2j

Z j~2

1_oFr j=2Z

( 1 ) k+1 k2j u

Z k~l

u4 4

Tu

p

1-u2j

u ~

2j

1+u2J

2j u~__~ 1_u2J

"

Z j'~2

u2p

u2p Z 2p+---1P~J 1-u

l+u 2j

l+u 2 -

1-u 2

1+u2 = --2-~-q2

2u3 =

1-u 4

l-u 2

Die Berechnung von A1 ist ~hnlich:

At--

2k

u i-°2 1_2--~T ~1

Z k~1

_

u

j;)k+1 ~ u2k

1-u 2

~

u

k>l

u

~ },

i

~

7

1-u2J• 2J ~+u2J

u2J . 2j

j~+1 i+o2~

Die letzte Summe ist nk+l; daher g i l t : 2k u

1-u2

AI =

u

2k+1 u

k~>l~ l_u21~TT 2 l_u21~-~

2u2 + 2 1-u2, Z -I_-i?z~ ~ k~ 2u2 =

- ~

Die Summe ist

l_u 2 +

2 ~

u3"2k-1 (1-u 2k-~ ) ~

k>0;~0

u3.2k-1

(~+i) u

~.2 k

2 u2p Z -l_u p~j u 1_u2P+-~1-

1"24 X u2k(I+2~)

=

~

k>l;~>l

m(n) un ,

n>l

sodaB der Beweis sich durch Zusammenfassen e r g i b t . Es wird noch ein zweiter Beweis angegeben, der auf e i n e r Idee von P. FLAJOLET beruht. Er i s t k~rzer, aber man e r z i e l t

keine Formel f u r Vp f u r festes p.

Man denke sich einen bin~ren Baum mit p k r i t i s c h e n Knoten, Man betrachte einen ausgezeichneten dieser k r i t i s c h e n Knoten v.

k Der Auszeichnung von v e n t s p r i c h t eine e i n d e u t i g e Z e r l e g u n g ; t E

p>O

Damit jeder k r i t i s c h e Knoten gez~hlt w i r d , mu~ man jeden auszeichnen. Mit anderen Worten, V(z)

=

~ n~O

I

(n+Z) ~ I

u

~

(l+u-~

p>O

1-u 2

~u

u

(2~)

(

z

Zn

i•2 -

R2

P

2P+I

)

~2 P

~

p>O

U

(I_u2P+I)2

1-u 2

p>l ; ~>~I

•(n)

un ,

n>l

u

mit ~(n)

=

~

2 .

n=~2P;p,~l Sei nun n = 2 m ( I + 2 i ) , dann g i l t ~(n)

=

m ~ D=I

-2n#

=

(1+2i)

•

m-1 ~

2j

=

(I+2i)(2m-I)

=

n - i -

j=O

d.h. -

~

-

2

~

w(n)

u

,

n>l wie behauptet.

[]

Man kann auch eine " e x p l i z i t e "

Formel f Q r [ z n] V(z)

angeben:

2 m(n),

125 SATZ 2.

[ Z n] V(Z)

2n

=

- 2

(n_i)

Z m(k) k~>l

[

2n (n+l_k)

2n 2n ] - 2 (n_k) + (n_Z_k) .

Die Berechnung erfolgt mit der Cauchy'schen Integralformel:

Beweis.

[zn] V(z)

i

[

(o+)

(o+) ( l+u ) ~ [u n] u(l+u) 2n

-

dz ,..2n+2 un+l

V(z) [

1_u2 u

-

co(k) uk] k~1

2 [u n] (l-u)2 (l+u)2n u k~l

~ ~(k) uk ;

hieraus ergibt sich die BehauDtung unmittelbar.

3. ASYMPTOTIK Um das asymptotische Verhalten von Kn zu bestimmen, kann man wie in [5,8] vorgehen: Der erste Schritt i s t , die Binomialkoeffizienten in Satz 2 zu approximieren; die auftretenden Summen ~k>1 m(k) kb exp(-k2/n)

kSnnen dann m i t h i l f e der Mellin-Transfor-

mation ausgewertet werden, oder abet dutch p a r t i e l l e Summation und Information ~ber ~k
(vgl, [14]). Das i s t interessant, aber wit schlagen qier einen schnelleren

Weg ein, vgl. [4,6,12]. Es wird der Koeffizient von zn in V(z) mittels der Cauchysc!~en Integralformel ausgedr~ckt, und zwar unter Verwendung eins Integrationsweges wie ~anten angedeutet:

_ _ ~ / z :

1/4

Hiezu braucht man eine analytische Fortsetzung von V(z) au~erhalb des Konvergenzkreises. Das i s t jedoch nicht schwierig, weil der Konvergenzradius '/on V(z) in der u-Ebene 1 i s t , und der dem obigen Integrationsweg entsprechende Integrationsweg in der u-Ebene innerhalb des Einheitskreises liegt.. Falls wir nun eine lokale Entwicklung um z = 1/4 haben, kann sie "~bersetzt" werden in eine asymptotische Entwicklung von Kn. (Vgl. [4, 6,12].) Die lokale Entwicklung wird mit der Mellin-Transformation gewonnen. Man braucht eigentlich nut

126 -T e

i = 2~T

LEMMA4.

[ c+i~ -c-i~

m(k) k -s

Z~0

Re %> 0 , c > 0 .

Die erzeugende Dirichletreihe yon w(k) i s t gegeben durch: -

2s-1 - 1 2s - i

k~l Beweis.

7(s) T-s ds,

~(s-l')

,~ ~(s). z

Man beachte zun~chst, da6

(1+21) -s

=

((s)

-

2 -s ~;(s)

(1 - 2 -s) ~(s).

Daher g i l t m(k) k-s

=

k~1

i~0 =

~

X 2is(I+2~) -s

k=2i(i+2~)

I I_2 -s

[

LEMMA 5

V(z)

)~0 L :

~j

21-(1-2- s + l ) ~ ( s - l )

g~i-/

) ~(s)

]

[]

Die l o k a l e Entwicklung yon V(z) f~r z ÷ 1/4 i s t gegeben durch

1

~ ~

+

4

+ T6T-~

Z

k,0

+

+ o3 ~

~ + 3 - ~

clogE

l-x k £(Xk) ~(Xk-1 ) E

2k~i Xk = I - ~

mit

Beweis.

Wir setzen u = e- t .

Dann g i l t

t = - log u = - l o g ~1-c =

2~ + 2 ~

+ 0(5)

Weiters g i l t t2 (1_ t +T +

t2 t +T+

)(2-

.)

=

2

7 2 + ~t

t2 t3 t --~-+T + .. I

=

~

-~

e

+

..

2

+

7

#~

i

+"

"

=

-c

4e

+

4e3

-

2

+

2g

In ~ h n l i c h e r Weise e r h ~ I t man 1-u2

2t +

½ t3

+

=

+

U

Nun k~nnen w i r uns dem k o m p l i z i e r t e r e n Ausdruck zuwenden:

k~l

~(k) e - k t

= ~

1

I c+i~ -c-i~

£(s)

i

~(k) k-s t -s ds

+

....

+

..o

127

=

F(s) t -s

- 1 ((s-l) 2s - I

-

½ C(s)

ds.

Man kann den Integrationsweg b e l i e b i g w e l t nach l i n k s verschieben, wenn man nur die Residuen in Betracht z i e h t . FOr s = 2, s = I liegen einfache Pole vor; sie stammen von den ~-Funktionen. Weiters g i b t es Pole bei s = 2 k ~ i / l o g 2 , k e ~ , und s c h l i e ~ l i c h bei s = -k, k E ~ o ; sie s t a ~ e n v o n d e r F-Funktion. Das Residuum bei s = 2 i s t 1

3 t-2,

das Residuum bei s = 1 i s t _i

t -1 ,

das Residuum bei s = 0 i s t Ioo t ~

+

3

T

~

~

¥

-

"

das Residuum bei s = Xk f~r k ~ 0 i s t I

- ~

£(Xk)

((Xk-1)

t

-Xk

Indem man zusammenfaBt, e r h ~ I t man I

4

[

~ k*O

+ ~

II

4 ('

r(Xk ) ~(Xk_l ) ~

l-x k

F]

SATZ 3. Kn WO

= ~n + 1-~ l o g 2 n

+

K(log4n)

+

o(1),

K(x) eine periodische Funktion mit Periode 1 i s t ;

s c h r e i b t man K(x) = ~ke77Cke2k~ix,

so g i l t

Co

=

ck

= ~

3 T6

-

Beweis.

~

S

I "

~(Xk-l) F(Xk/2) (Xk-l) Wir beziehen uns auf ( i i ) :

[ z n] 1 [ z n] B

,r 2

-

F~r n > 1 g i l t :

n+l.

,

2k~i k ~ 0 , Xk = ~ .

128 [ z n]

c

[ z n]

B

n + i

i --

Weiters g i l t

[z n]

4-

2

,

•

[7]

log ( l - z ) - ( 1 - z )

n

m

-m-1

log n

n

-m-1

*

P'

~ locn

= 2 ~

(y + 2 log 2 - 2)

(r( 1

und daher, u n t e r Beachtung von P ( - ~ ) (vgl.

, ,

1

: -2~,

F'(-~)

[15]):

s

[ z n]

1 4 n [ n -3/2 log n = 2 ~ 2~

s

log

1 4 n n -3/2

r I

=

log n

+

(y

n -3/2 2 ~ +

+

2 log 2

+

. ..

2)

(y + 2 log 2 - 2) 4~ + ...

]

Weiters i s t [ I ]

1-Xk [ z n]

s

1-Xk

4n n

=

--.--2----i

r (~-~-) und [ z n]

B

1

:

(2n)

=

~

4n

+

...

soda6 w i r e r h a l t e n Kn

= ½ (n+l)+ i

+ ~--l~

7[

[

~

+

+

(~

log n

"y

]

l +

...

(

I

+ 3--I-65-7 " -~) +

2 log 2

-

2)

_i

+ . ..

Xk/2

+ ~

r(Xk)

((Xk-1)

r(-7-) Die e n d g ~ I t i g e Formel e r g i b t

r(×k) '~ F(X~_7-)Xk/2und n

=

=

e

2xk-I

sich u n t e r Beachtung von { 1 5 ] :

×k+l

P(×k/2 ) F ( T )

2k~i log 4n

[]

/

r(L~)

=

~ r(×k/2 ) (Xk-l)

+ "'"

l ]

129

4. DIE HOHERENMOMENTE $ATZ 4. Das s-te Moment K~S)t der Anzahl de r kritisChen Knoten, wobei alle bin~ren B~ume mit n Knoten als gleich wahrscheinlich angesehen werden, e r f O l l t folgende ' Beziehung (s > I ) : K~s)

~ ~ n s.

Beweis. Es wird hier darauf verzichtet, eine genauere Formel herzuleiten, obwohl dies nach dem Muster des vorigen Ka!pitels mSglich w~re. Wir verwenden die Idee von P. Flajolet und geben nur eine Beweisskizze: [z n] ( ~ K(S) n

=

(m+l)S-Z (2m) zm) z ~ (Rp(Z)) 2 " mD~O 1 (2n) n+l

Der Z~hler i s t asymptotisch ~qoivalent mit [z n] ~

mS-I 2m zm I

(m)

~

(Rp(Z))2

7[ p>o

z = 1/4 bedeutet u = 1; daher kann der zweite Faktor wie folgt ausgewertet werden:

2D 2 1 ~ p ~ O u÷l l i m (1-u2 U u 7[ T -2p~ ) I-

1 p~O~.(~p) 7[

=

2

1

= 3"

Also g i l t K(S) n

~ nS-i (2nn) I n-I (2n) 3

i s = ~ n .

s. BER DIE LI,KSSEITIGE H HE BI, RE Wir wenden uns nun einer anderen, jedoch sehr ~hnlichen Fragestellung zu (vgl. { 8 ] ) . Die Vorgangsweise i s t ~hnlich wie vorher; daher k~nnen wir uns kQrzer fassen. Die linksseitige HShe h i s t fdr bin~re B~ume wie folgt definiert (vgl [2,91): h([])

=

0

h ( t ~ / ~ X 2)

= max { 1 + h ( t l )

, h(t2) }

I

Folgende Analoga zu den kritischen Knoten kSnnen betrachtet werden: Ein Knoten heiBt Z~nks-abhEngig,. f a i l s die (]inksseitige) HShe seines linken Unterbaumes um 1 kleiner i s t als die des Knotens.

130 Ein Knoten hei6t rechts-abh~ngig, f a l l s sein rechter Unterbaum dieselbe H6he hat. Treffen beide Bedingungen zu, heiBt der Knoten links-rechts-abh~ngi#. Es werden nun die entsprechenden Mittelwerte I n, r n, mn d e r Anzahl der abh~ngigen Knoten betrachtet.

SATZ 5.

2

rn

(2 - T 7)

= =

mn

(

~

Beweis.

-T

7 2)

n +

( 1-~ - ~ 5 72)

+ O( ) ,

n

17 5 (2--4F-~

+ O( ) .

+

2)

Se~ Ch(Z ) die erzeugende Funktion der Anzahl der B~ume mit H~he =h, Es

g i l t [2,9]:

Ch(Z )

=

(Z+u)

F 1 - u h+z

1 - uh ] I _ u~T] "

L

Sei nun Lh(Z,y ) bzw. Rh(Z,y ) die erzeugende Funktion der B~ume mit H~he h, wobei der K o e f f i z i e n t von zny m sich auf die B~ume mit n Knoten und m l i n k s - bzw. rechts-abh~ngigen Knoten bezieht. Weiters sei L(z)

=

~

h;;~O

Eh(Z)

bzw.

#(z)

Indem man die Idee von P. F l a j o l e t

~

h~O

.

Rh(Z)

bendtzt, erh~It man

[(z)

:

1

z

~

Ch

~ i~h+l

C. i

~(z)

=

I

z

~ h~-I

Ch

~ i~h-1

C. 1

'

Es sei d(k) die Anzahl der T e i l e r von k und ~(k) die Summe der T e i l e r von k. ~leiters sei f ~ r den Augenblick A = k~>1 d(k) uk =

U

F(z) ~ U

-

+

~

und

B =

Ch CO + ~

U

~ k>l U

c.1

u

r 1-ui+2

u ~

r ui+3 u i+2 +

u(l+u)

~

~

Ch

C. I

l~
Ch

= "I~ + u(l+u) i-.~O~'L ~ :

~(k) uk ,

-

i ~ L~-u-TIT~ T

1-ui+l 1

ui

~_~-~] ~_~-~ ui+2-ui+l l_u i +2

]

ui I ~

131 u :

[

~

+

(1-u 2)

ui

ui+l

Z

--

]

ui

~

"

i>~1 ~ :

i"~

+

= i "+~u

.l-u .I

i

(l+u) A

u(1~Z

_

(l+u)

1-u 1 .

.

i ~~ l

__l~u A -

l-u I

uA + g

-

A- ~ -

,

U

Wie in Satz 2 finden wir daher [z n] ~(z)

= [u n] u(l+2u)(l+u) 2n-2

=

jl2n-2~ ~n_l

+ P i2n-21

_ ~n_2 j ,

und daher 3n-2 (n+l) In = ~ In ~hnlicher Weise geht man nun bei ~(z) vor: Nan beachtet zun~chst, dab i ~(k) u k = ~ j uiJ = ~ u k>l i ,j>l i>l ( l - u i ) 2

l

Daher g i l t

i~1 ~ u2i

:

•

=

u

ui

Z

(1-(:1-ui))

i>l

Z~O C.

~+1

l-ui+l :

u(l+u)

:

u(1-uz)

= B-A.

(l-ui) 2 Ch l"ui

Z

-

l

ui+l

~ ; ~ j

ui

ui+l I

ui+l

l-u2 u u _

-

l+Uu A

1-u~2 Bu

u -

I~

i + 1 - u

+ ~ -

B

+

.

Wieder kann man eine " e x p l i z i t e "

T---,J

+

"

-

A

-

Z i~

u2i. (l-u1) 2

-

l-u 2 -

-

U

B

FZ., Formel f{]r die Koeffizienten

finden:

132

[z n] R(z)

=

(2nn+l)

~ k~l

o(k) [

2n 2n 2n ) ] (n+l_k) - 2 (n_k) + ( n - l - k j -

Das asymptotische Verhalten wird wieder m i t t e l s der lokalen Entwicklung von R(z) fflr z +1/4 gefunden. Man ben~tzt o(k) k-s

:

~(s-l)

C(s)

k~l und Z q(k) e-tk Ic>~l 2 ~

24-~

-

1

:

]c+i~ r "c - i 2

~

~

+

( - ~ )

r(s)

+

C(s) ds

t -s C(s-1)

•

Insgesamt ergibt sich 1 ~2 ~ (2 - T )

R(z) ~

2 ii 1 + ~ ( T --i-~ )

+

...

Hieraus ergibt sich r n nach dem Muster von Kapitel 3. Um m zu finden, beachtet man, dab n

1

n

+

r

n

-

m

n

=

n.

DANKSAGUNG. Die Endfassung dieser Arbeit wurde e r s t e l l t , w~hrend der Autor das Laboratoire de Recherche en Informatique der Universit~t Paris XI (Orsay) besuchte.

F~r die gew~hrte Gastfreundschaft sei an dieser S t e l l e herzlichst gedankt. Weiters sei angemerkt, dab Diskussionen mit

Philippe Flajolet fur die Abfassung

dieser Arbeit sehr h i l f r e i c h waren.

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Sitzungsberichte der Osterreichischen Akademie der Wissenschaften, im Druck. [15] E.T.WHITTAKER, G.N.WATSON, A course of modern analysis, Cambridge U n i v e r s i t y Press, 1927.

Helmut Prodinger, I n s t i t u t f u r Algebra und Diskrete Hathematik, Abteilung f u r Theoretische Informatik, Technische U n i v e r s i t ~ t Wien, GuBhausstraBe 27-29, A:I040 W~EN OSTERREICH

OBER EINE C °° FUNKTION -

R. Schnabl

Abstract.

In this p a p e r a C - f u n c t i o n is c o n s t r u c t e d such that its T a y l o r e x p a n s i o n

is a p o l y n o m i a l in all d y a d i c - r a t i o n a l s but it is not analytic in any interval.

Im folgenden wird eine C~- Funktion auf R angegeben, deren Taylorreihe in jedem dyalisch-rationalen Punkt ein Polynom i s t , die aber in keinem echten Intervall ein Polynom i s t . Sie i s t daher in keinem Intervall reell-analytisch. Sie i s t 1-periodisch und ihre Einschr~nkung @auf [0,1] wird als Fixpunkt eines Funktional-lntegraloperators T charakterisiert. Die Konstruktion von ~ erfolgt mit Hilfe eines zu T adjungierten Funktional-lntegraloperators U, dessen polynomiale Eigenfunktion eine Folge von Appellpolynomen (Cn) bilden. Verschiedene Eigenschaften dieser Appellpolynome werden angegeben und die Koeffizientenfunktionale der Entwicklung nach diesen untersucht. Weiters werden Konvergenzs~tze fur die Folgen (Un) und (Tn) angegeben. AbschlieBend wird mit Hilfe von@ eine beschr~nkte, nicht abklingende L~sung der Funktional-Differentialgleichung y ' ( x ) = 4y(2x), x ~ O, konstruiert.

I. DER FUNKTIONAL-INTEGRALOPERATOR U.

Sei fur f E[C 0,1]Uf durch x+1

T (I)

(Uf)(x) = 2

S

f(t)dt,

x E [0,1],

X

gegeben. SATZ I. U:C[0,1] + C{0,I] besitzt die folgenden Eigenschaften:

135

a) U i s t ein positiver linearer Operator, UI = I , und U bildet Polynome vom Grad n mit FUhrungskoeffizienten I in Polynome vom Grad n mit FUhrungskoeffizienten 2-nab. x

b) DUJF =

Uf, f E C [0,11.

c) Zu jedem n = 0 , 1 , 2 , . . .

Dabei i s t

(df)(x)

= ~ f ( t ) d t und (Df)(x) = f ' ( x ) . o e x i s t i e r t , genau ein Polynom Cn vom Grad n mit F U h r u n g s k o e f f i -

zienten I , sodaB (2)

UCn = 2-nCn.

d) C'n = n Cn_1, n = 1,2 . . . . , d.h. die Folge (Cn) bildet eine Folge yon Appelpolynomen [2]. e) E s e x i s t i e r t genau einWahrscheinlichkeitsmaB N au__~f[0,1], sodaB I I (3) f (Uf)(t)d~(t) = f f ( t ) d p ( t ) , fur a l l e f E C[0,I]. 0 1 o f) lim unf = ~ f ( t ) d ~ ( t ) , glm. auf [0,1], fur a l l e f E C[0,I]. n-~o o Beweis. a) i s t unmittelbar klar. b) folgt durch direktes Nachrechnen: x+1 x+1 x (DUJf) (x) = D2 ~ ~ f(s)dsdt = f(s)ds f(s)ds = (Uf)(x). (4)

x

0

o

o

c) f o l g t durch Induktion nach n und unbestimmtem Ansatz aus a). Wegen UCnI = 2 DUJC~ = 2 DU(Cn-Cn(O)) = 2 D(2 "n Cn-Cn(O) = 2n-1C'n, f o l g t nach c) C'n = n Cn_ I . Da U e i n p o s i t i v e r l i n e a r e r Operator i s t und UI = I , l~Bt der zu U adjung i e r t e Operator U* den Raum der WahrscheinlichkeitsmaBe auf [ 0 , 1 ] ,

versehen mit der

schwach-Stern Topologie, i n v a r i a n t . U* b e s i t z t also nach dem Fixpunktsatz von Schauder-

Tychonoff einen Fixpunkt ~. FUr diesen g i l t (3). Wegen (2) i s t ~I

Cn(t)d~(t) = 0 fur

a l l e n E ~. Dadurch sind die Momente von V und damit auch N eindeutig bestimmt. Aus (2) und (3) folgt nun lim unf =fl f ( t ) d N ( t ) , glm. auf [ 0 , 1 ] , zun~chst fur alle n-Ko o Polynome f . Da I[UII= I folgt daraus (4) fur beliebige f E C[0,I] durch Approximation mit Polynomen. Wir untersuchen nun den zu U adjungierten Operator U*:C[0,1]* + C[0,I]*. Durch direktes Nachrechnen erh~It man Satz 2. SATZ 2. a) Sei o E C[0,I]*, ein re~dl~res BorelmaB auf [0,1], s ( t ) , t E [ 0 , I ] , s(O)=O eine Verteilungsfunktion yon o, dann g i l t I I (U*o)(f) = 2 ~ f ( t ) s ( Z t ) d t + 2 S f ( t ) ( s ( 1 ) - s(2t-1))dt, J I o fur alle f E C[0,I]. U*o besitzt also eine Dichte. b) Ist g E L I [ 0 , I ] und g die Dichte yon o, do(t) = g(t)dt, dann g i l t fur die Dichte Tg von U*o.

136

x 1 4 f g(2t)dt, fur 0 ~ x ~ o 2 (5)

(Tg) (x) =

I 4 f g(2t-1)dt, f u r ~ ~ x S I. x

c) Das in Satz le) durch (3) e i n d e u t i 9 bestimmte WahrscheinlichkeitsmaB ~ b e s i t z t eine Dichte ¢ und es 9 i l t T~ = ~. I s t g

L1[0,1] und Tg = g, dann i s t g = @? g ( t ) d t . o

2. 61GENSCHAFTEN VON SATZ 3. Die durch I (Uf)(t)~(t)dt

=

o

I f f(t)~(t)dt, o

bzw. durch

I

fur alle f E C[0,I],

I @(t)dt = I , o

I T@ = ¢,

f ¢(t)dt

: I,

o

e i n d e u t i g bestimmte Funktion auf [0,1] b e s i t z t die folgenden Eigenschaften:

a) b)

E C~[0,1],

¢(0) = ¢ ( I ) = O, n(n-1)

@n(t) : En, 1 4 n 2

~

@(2nt-l) fur

1 = 0 , 1 , . . . . . 2 n - I , n = 1,2, . . . . . En+1,21 = E n , l '

@(~) = 2. l ~-~ < -I+I ~- , ~ t =

mit E l , 0 = I , eI,1 = -I un.__dd

en+1,21+I = - E n , l "

c)

~(t)

d)

@(n~~-~ 1 ) = O, fur l = 0,1,2 . . . . . . 2n

> 0 fur t E ]0,1[,

@(t) = ¢ ( I - t ) ,

@(n-I)(2- ~ ) # O, f u r l = 1,3 . . . . . . e) Die F o u r i e r t r a n s f o r m i e r t e I

yon

n = 1,2 . . . . . ,

2 n - I , n = 1,2

ist

-is

@(s) = f @(t) e - i t S d s = e--Eo

t E [0,1].

~ n=2

sin s 2n s , s E R. -2n

Beweis. a) - d) e r g i b t sich ] e i c h t aus der C h a r a k t e r i s i e r u n g von ¢ a l s n o r m i e r t e r Fixpunkt der Transformation T. Zur Berechnung von ~ ziehen w i r (3) heran. ¢(s)

=

I qb(t) e i t S d t =

I @(t) Ue- i t s

o

o

I o

-is

-is

dt =

=1-e

s ~(~)

=

137 .s

12n 1-e 11 - - - e

-i~

co

= ~(0)

n =I

n =2

2n

Da @(n)(o) = 0 f u r a l l e n

co

I

co

t n cos

~ n:2

f o l g t unmittelbar:

sin t 2n dt = 0 t 2n t

sin 2~

~ t n sin t

dt =0

Z n2~

co

2n

= 0,I,...,

und

~

sin 2~

11

!

SATZ 4 .

co

t 2n

f u r n = 0,1,2, . . . . d.h. die Momente der signierten Ma•e auf ~ mit Dichten sin t

cos

co 2n t II ----£---- bzw. s i n ~ n:2 ~ 2n

sin t

2n

n=2 ~ 2n

sind a l l e gleich Null. Aus den Eigenschaften 3a) und 3d) von SATZ 5. ~(t) : ~ ( t - [ t ] ) ,

f o l g t nun:

t E ~ i s t eine C~-Funktion auf ~, deren Taylorreihe in jedem

dyadisch-rationalen Punkt ein Polynom i s t , und zwar in Punkten t = ~n' m ungerade n EI~ 2 ein Polynom vom (genauen) Grad n - l , und in Punkten t = m, m E ~, das Nullpolynom, i s t in keinem I n t e r v a l l r e e l l - a n a l y t i s c h . BEMERKUNG. Diese Eigenschaft von

steht im Konstrast zu einem Satz von Corominas und

Balaquer, dab eine C~-Funktion auf einem I n t e r v a l l , deren Taylorreihen in jedem Punkt des I n t e r v a l l s mindestens einen verschwindenden Koeffizienten haben, ein Polynom i s t (Donoghue [ I ] ,

Seite 52).

Bevor wir die Transformation T weiter untersuchen, s t e l l e n wir einige Eigenschaften der Appellpolynome (Cn) zusammen. Die Beweise ergeben sich l e i c h t aus obigem und der Theorie der Appelpolynome [2].

3. DIE FOLGE DER APPELLPOLYNOME(Cn).

SATZ 6. Die Folge (Cn)n=0,1, 2 stimmt:

i s t durch jede der folgenden Aussagen eindeutig be-

(A) Co = I , C1(x). : n Cn_1(x), x E [ 0 , I ] ,

138

Cn(X) (x)dx = O, n = 1,2 ....

x• ) - Cn(~)

(B) Co : I , Cn(

= n

~-~ Cn_1(x), x E [ 0 , I ] ,

I Cn(X)@(x)dx = O, n = 1,2 . . . . . 0 (C) Co = Iund

n

~ (~) Ck(X)Bn_k(X), n = 0,1,2 . . . . . Cn(X) = -'~ 2I k=o dabei ist (B n) die Folge der Bernoullipolynome [2] ~o tn = etx oo 2t/n (D) ~ Cn(X) n~" ]I n=o n=1 et/2n_1 SATZ 7. I So@(n)(t) (-1)k

Ck(t ) ~. dt : 6nk' n,k = 0,1,2 . . . . .

Cn d.h. die Fol~en ((-I~ n n--Fund (@(n)) bilden ein Biorthogonalsystem auf [0,1]. Beweis. Wegen @(n)(o) = ¢(n)(I) = O, n = 0,1,2 . . . . . folgt I ¢(n

I

)(t)Ck(t)dt

= (-I) n f @(t)Ck(n)(t)dt

o

o

= O, fur n > k, = (-1)kn! fur n = k I

=(-I) n f @(t) n(n-1) . . . (n-k+1)Ck_n(t)dt = O, o fur n < k. SATZ 8. FUr die Koeffizientenfunktionale (Ln) der Entwicklung nach den AppeIpolynomen

(Cn), f(z) ~ ~ Ln(f)Cn(Z), n=o gilt:

Ln(f)

: (_1)n n~

I ~ f(t)¢(n)(t)dt

=

0

:

2n

I

n-T

o

@(t) (&n I

m 2n

f)(

~n ) d t ,

n = 0,1,2 . . . .

Beweis. Aus der Theorie der Appellpolynome [2] oder aus Satz 7 folgt: Ln(f) = n-T1

} f(n)(t)@(t)dt - (-1)nn-T. } f ( t ) ~ ( n ) ( t ) d t = o o

139 I

: ~nI.

f @(t)(unfn)(t)dt. 0

Nun f o l g t durch Induktion (unf(n)(t)

= 2n(An1_1_ f ) ( ~ n ). 2n

Dabei i s t ~ h f ) ( t )

= f(t+h)-f(t).

4. DIE TRANSFORMATION T.

Wir untersuchen nun den Operator T : L I [ o , I ] ÷ L1[O,1],d.h.den zu U adjungierten Operator U* eingeschr~nkt auf die MaBe auf [0,1] mit einer Dichte. Wir betten LI [0,1] in LI(~) ein, indem wir die Funktionen aus LI [0,1] als Funktionen aus LI(~) auffassen, die auBerhalb [0,1] gleich Null sind Sei LI cL1(~) das Bild von LI [0 I] bei dieser Ein•

0

bettung. Es g i l t nun (Tf)(x) = 4

x I f f ( 2 t ) d t = (Sf) * (SX)(x), x E~, f E Lo , x-I/2

mit ( S f ) ( s ) = 2f(2x) und X die Indikatorfunktion

des I n t e r v a l l s [0,1]. Aus der D e f i n i -

t i o n von T e r g i b t sich nun: SATZ 9. I a) Tnf E cn-I(R) n L°I fur alle f E Lo. 1

b) ~

1

(Tf)(t)g(t)dt

= ~

O

f(t)(Ug)(t)dt,

I

I

c) ~ ( T f ) ( t ) C n ( t ) d t o

d) IITfll I

f C k~, g E C[0,11.

O

< Ilfll I

'

:

I

~o

f ( t ) C n ( t ) d t , f E L°I und n = 0,I,2,.

f E LI

0

IITfl~up < 211flll, f E L I

O'

I e) D T f = 2 TDf, f E CI(I~) n Lo. Wir beschreiben nun das Konvergenzverhalten der I t e r i e r t e n von T. SATZ 10. a) I s t f E L°I ~und k = 0 , I , 2 , . . . , dann g i l t 1

l imcrnf)(k) = @(k) ~ f ( t ) d t , glm. auf [ 0 , I ] . n -*c°

o

140

b) Ist f~L~, s E N,

I

~ f(t)Cl(t)dt

= O, fur 1 : 0 . . . . . r - l ,

0

und k = 0,I,2 . . . . . dann g i l t : lim 2ns(Tnf)(k) = s-T!-.(-1) ~(k+s) ~I f(t)Cs(t)dt, glm. auf [0,I]. n-~oo o Beweis. FUr f E C [0 I] nLI g i l t wegen 0

(DTf)(x) = 4f(2x) - 4f(2x-1) IIDkTkfIlsu p = IIDk-IDTTk-lfllsup = = llDk-1(4(Tk-lf)(2x)

- 4(Tk-lf)(2x-1))Ilsup

8 llDk-ITk-lfJlsup~

....

8 k IIfIlsu p . Die Folge (DkTnf)n>k+2 i s t wegen < 8 k llTn-kfllsup <= llDkTnfllsup = < 2.8 k llTn-k-lflll < 2.8 k llflll, n > k+1, und wegen IIDk+ITnfJlsup ~ 2.8k+11Jfl11, n ~ k+2, gleichm~Big beschr~nkt und gleichgradig stetig. Sei nun g ein H~ufUngswert bezUglich gleichm~Biger Konvergenz auf [0,1] der Folge (Tnf), lim Tnlf = g, fur eine geeignete Teilfolge

( n l ) . Dann g i l t : 1

I-~ 1

(Tnlf)(t)h(t)dt

= ~

0

nl

f(t)(U

h(t)dt.

0

FUr 1 + ~ ergibt sich I

I

f g(t)h(t)dt

= S f(t)dt

0

fur a l l e h E C [ 0 , I ] .

0

I

S h(t)~(t)dt, 0

I Daraus f o l g t g = @ f

f(t)dt,

und

0

I lim Tnf = ¢ S f ( t ) d t , n -~<~

glm. auf [0,1].

o

Da die Folge (Tnf) (k) gleichm~Big beschr~nkt und gleichgradig stetig i s t , darf nZk+2' in der letzten Gleichung GrenzUbergang und Differentiation vertauscht werden und so ergibt sich 10a). Sei nun fur die Voraussetzungen von lOb) e r f U l l t . Dann g i l t T2

141

I

f E C(]R) n LoI und

f (T2f)(t)Cl(t)dt

= 0 fur I = 0,1,...,s-I.

Es e x i s t i e r t

also eine

0

Funktion g E Cs+1 n LoI sodaB T2f = DSg. Es g i l t

nun

2ns Dk Tnf = 2ns D k Tn-2 DSg = = 2ns2-(n-2)SD k+s Tn-2g = 22SDk+s Tn-2g. Nach 10a) und 9c) g i l t

nun I

lim 2ns DkTnf = 22s n-x~

~(k+s) f g(t)dt, g|m. auf [0,I]. o

und

I

22s f

I

g(t)dt = 22s (-1)s

f Cs(t)g(s)(t~dt =

s!

O

o I

: 22s (-1)s sT. s

= -'sl

f

Cs(t)(TZf)(t)dt

=

0

I

s 0

Cs(t)f(t)dt.

Damit i s t Satz 10 v o l l s t g n d i g bewiesen. Aus Satz 10 f o l g t nun u n m i t t e l b a r : SAIZ 11. a) T* (n) = 2n~ ( n ) , n = 0 , 1 , 2 b) I s t f E 1_1 ~

0

. . . . .

X E R und I f = ;~f, dann e x i s t i e r t

n E {0,1,2,..}

)

f = @(n) ( - I ) n n~ "

•

I f

Cn(t)f(t)dt

sodaB ,

und X = 2n.

0

c)@ = lim (snx . sn-1x . , . . .

SX), ~Im. a u f I L

n-~

5. DIE FUNKTIONAL-DIFFERENTIALGLEICHUNG y ' ( t )

= 4 y ( 2 t ) , t ~ O.

1

Die Funktion @erfUllt auf [0,~] die Funktional-Differentialgleichung (7)

y'(t)

= 4y(2t).

Durch geeignete Fortsetzung gewinnt man auf [0,~[ eine beschr~nkte, n i c h t abklingende C~-L~sung SATZ 12. Sei

p(t)

= mk¢(t-k), __fUr k :< I -< k+1, k = 0,1,2 . . . . .

mit eo = I , ~2k : ~k' m2k+1 = -Ok f u r k = 0 , 1 , 2 , . . . , Dann g i l t :

142 p ' ( t ) : 4p(2t), t ~ O. BEMERKUNG. Funktional-Differentialgleichungen der Form

y ' ( z ) = ay(~z), O, (~ > I , a > O) wurden eingehend von T. Kato und J.B. Mc Leod [4] und W. Hahn [3] untersucht. T. Kato und J.B. Leod zeigen, dab L~sungen fur x + ÷ ~ nicht zu schnell abklingen und dab abklingende LGsungen mit geeignet vorgegebenen Oszillationsverhalten e x i s t i e r e n . W. Hahn studierte die in der rechten Halbebene analytischen LGsungen. Die in Satz 12 konstruierte C~-LGsung i s t nicht abklingend und in keinem T e i l i n t e r v a l l von [ 0 , - [ reell-analytisch.

LITERATUR

[ I ] W.F. Donoghue, Distribution and Fourier-Transforms~ Academic Press, New York, San Francisco, London, 1969. [2] A. Erd~lyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F.G. Tricomi, Higher Transcendental Functions ~ VoI. I I I . , 1955.

Mc Graw-Hill Book Co., Inc., New York, Toronto, London

[3] W. Hahn, Ober die Funktional-Differentialgleichung f ' ( z ) = f(qz) und verwandte Funktionalgleichungeny Ann. Univ.Sci. Budapest~Sect. Math. XVI, 3-21, (1973). [4] T. Kato and J,B. Mc. Leod, The Functional-Differential equations y'(x)=ay(~x)+by(x), Bull Amer, Math. Soc. 77, 891-937,(1971),

Anschrift des Verfassers: Abt. fur Approximationstheorie Technische Universit~t Wien Wiedner HauptstraBe 6-10 1040 Wien

DER

NUMERISCHE

J.

Abstract. Sk

=

In

~

this

paper

( 2(n2+nl+)Ik) ~

n=O 1+e k H i (mod 4),

but

if

if

we

GEWISSER

REIHEN

SchoiBengeier

compute

kE ~

k { 3

WERT

is

the

odd.

(mod

4)

values

This

the

was

result

of

series

done

by

seems

of

the

Glaisher

to

be

form [4]

if

new.

k n

Bezeichnungen: =

sei Fk(X) = 2~n n l_ -_x_xn_x und Ek ( x ) :

FUr Ixl < i und kEf

S nkx n Z (m+n~) -k n=l 1-x n" FUr Im T >0 und k > 3 sei Gk(~) = (m,n)#(O,O)

Dann i s t bekanntlich Gk(~ ) = 2 ~ ( k ) + 2 ( - I ) k/2 wobei ~k(n) =

nZ=l Ok_1(n)e 2~inT,

z d k. din

PROPOSITION _I. (FUr k: 5) siehe [ I ] ) FUr IxI < 1 un___dkEf Beweis. = =

=

S

n=l ~

i s t Fk(X) = Ek(X) - (2k+2)Ek(X2) +2k+IEk(X4).

Ek(X ) - 2kEk(X 2) - 2Ek(X2 ) + 2 . 2 k E k ( X 4) = nkx n l-x n nkx n

- - - 2

2~n l - x n

=

(2n)kx2n

~

n=l s

l - x 2n nkx 2n

2~n l - x - - ~

~ -2

=

(

~

nkx2n

~

= -

(2n)kx4n

Z

n=l l-x--x-2-~ n=l nkx n 2x n ---

2~n l - x n

(i-

Die Lambertsche Reihe Ek i s t nun gleich

l-x

l + x n"

=

4n

Fk(

)

x)

=

"

z ok(n)x n. Also i s t fur ungen=l

rades k > 3 Ek(e2~iT ) = (Gk+l(iT) - 2~(k+I)) k ! ( - l ) ( k + 1 ) / 2 -

Es sei

jetzt die Folge der Bernoullizahlen m-1 S e t z t man in durch z ( m i)Bi = 0 definiert. i=O halten wir

(2~)k+1

(Bi)i> 0 durch Prop.

i fur

B o = 1 und Bm_ 1

k 2k-l,

so e r -

144

F2k_l(e-X )

_ (2k-1)! k (~)2(~-~)~-i~ ( - 1 ) (G2k

(22k-i-1) ((2k-1)]~ 2~,-I)

(22k-1+2)

G2k(

i)

+

22kG2k(2i))-

k (2k). Nun ist bekanntlich (2) Gk(-!)= Tk Gk(T),

woraus sich G2k(~i ) = 22k( -1 )k G2k(2i) S e t z t man das ein und verwendet erhalten wir

ergibt.

I ~(2k)=-(-~--TT. (-i) k-I

22k-I

~ 2k B2k, so

PROPOSITION 2. FUr k > 2 ist S 2 k _ l = ( 2 k -(2~) 1)!~1)

(22k - 2 + 1 ) G 2 k ( i ) ) + B2k(22k-l_1). 4k

k (4 k 1+(-11 2 k G2k(2i)-

Aus der T r a n s f o r m a t i o n s f o r m e l (2) f o l g t G4k+2(i) = 0. S e t z t man in Prop. 2 f u r k 2k+1, so e r h a l t e n w i r das bekannte R e s u l t a t KOROLLAR I .

(Siehe [4]

oder

[2])

B4k+2 24k+1 1 S4k+1 =T(-2-ETI~ ( - ) fur

k > I.

Die Formel i s t auch f u r k = 0 r i c h t i g . S e t z t man f u r k 2k, so e r h a l t e n w i r KOROLLAR 2. $4k_1 : ( 4( 2k -~1F) E!

(24kG4k ( 2 i ) - ( 24k-2+ 1)G4k ( i ) )

+ B4k ( 2 4 k - 1 _ i ) . 8k

Wir b e t r a c h t e n j e t z t die W e i e r s t r a & f u n k t i o n mit den Perioden 1 und i . Wegen G6(i ) = 0 genUgt s i e der D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g ~,2 = 4~3_ 60~G4(i) " LEMMA I . Beweis. setzt

Es i s t

fur

Differenziert 1

z = L~, so e r h ~ I t

k ~ 3 Gk(2i ) = 2 - k G k ( i ) + man ~(z) = z -2 +

~(k-2)(~)1

~ m~Z [i] ~0

(-1) k 2k(k-1) !

( ( z - ~ ) - 2 - ~ -2)

k-2 mal und

man

~(k-2)(~)

= (_1)k(k_l)!

2k

~

(m+in)-k.

21m Nun i s t =

diese Summe g l e i c h

z (m+in) -k m 21 0n

z (m+in) -k = 2]n 21m#0

z ( m + 2 i n ) - k - 2 -k s (m+in) "k - z ( 2 n i ) -k 2-k( n~o(nl) m#0 m#0 = Gk(2i) n~0 Gk(i)" -~ nE~ nE~

145

: Gk(2i ) - 2 - k G k ( i ) . Daraus e r h ~ I t k>_ 3

man das bekannte

-

=

Ergebnis,

dab f u r

ungerades

o.

Setzt man in Korollar 2 fur G4k(2i) obiges ein, erh~It man $4k-I

(_4_k~ (~(4k-2)(~) 1 - 24k ( i ) ) + B4k ( 2 4 k - I , i ) (2 x ) ~ (4k-1)! -2G4k 8k

"

Die Eisensteinreihen genUgen nun bekanntlich der Rekursion

G2k

=

3 (4k2-1) (k-3)

k-2 z (2j-1)(2k-2j-1)G2jG2k_2 j=2

j,

so daI3 w i r

k-I (3) G4k(i ) erhalten.

=

3

(16k2-1)(2k-3)

Es genUgt a l s o ,

E

j=l

(4j-1)(4k-4j-l)

G4j(i)G4k_4j(i)

fur k >-2

G4(i ) zu kennen.

Aus der D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g fur ~'(~) = 6~2(~) - 6 0 8 4 ( i ) ) . Differenziert man k-2 mal (k>_ 3 ) , ~(k) = 6

k-2

~ sehen w i r

~' = 6~2 - 60G4(i), (also

so e r g i b t sich nach Leibniz (ki2)

~(j)~(k-2j)

j=O Setzt (4)

man s t a t t

k 2k (k_> 2 ) ,

~ ( 2 k ) ( ~~)

k-1 = 6 z j=o

so e r h a l t e n

w i r die R e k u r s i o n

2k-2 ~ ( 2 j ) ( ~ ) ~ ( 2 k - 2 j - 2 ) ( ~ ) 2j )

Es b l e i b e n a l s o nur ~(~) und G4(i ) zu b e r e c h n e n . Nun i s t b e k a n n t l i c h f u r z ~ ( 0 , i ) ~(z) > 0 ( d i e F o u r i e r e n t w i c k l u n g von G4k(T ) e r g i b t G 4 k ( i ) > O , so dab ~(z) > 0 aus der L a u r e n t e n t w i c k l u n g von ~ f o l g t ) . Die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g von ~ e r g i b t daher d i e bekannte Formel (5)

1

G4(i ) = ~

2

1

~ (2).

Der Wert von ~(~) i s t wohlbekannt. Der V o l l s t ~ n d i g k e i t halber fUhren ,1+i~ wir die Rechnung durch. Wir benUtzen, dab ~ £ T ~ = 0 und ~( ) ~0 fur 0 < t < I.

146

Aus (5) f o l g t i

(1+i)/2 f 1/2

=

~,2 = 4~(2_~2(~)). Also gibt es ein c E { - 1 , 1 } ,

dz = E

(1+i)/2 f 1/2

Die S u b s t i t u t i o n

9'

w = ~-z ~(

= ~ ~ ~ ( )

B(

, ),

F(~)

=

(z)dz 2J~(z)(~2(z)_~2(~) 1 ) ergibt

wo B d i e

i ~i = ~E

g ~

so dab

dw 2/w(w 2 _

~ ( ~ ) - 1 / 2 1f z_3/4 ( l - z ) - i / 2dz = 0

Betafunktion

bezeichnet.

Es i s t

' aus F(s) F(1-s) = sin ~s f o l g t r(~)F(~)= ~ ,

so dab

r(~)8 wit

~(~)=~

~(~) = ~

i

r(~)4 erhalten. Damit erhalten wir G4(i) =

r

und 96072 = ak ( )4k+4 ~(2k)(~) 4(2~)k+i r ,

. Die Rekursion (4) ergibt

wobei ao = a I = 1 und a k =

j=O (2k-2 ajak_ jEN

. Es i s t a2 = 3, a3 = 18,

bk r( ) 8k 2-4k x -2k Analog i s t G4k(i)=-(-~-~z-T~F.

a4 = 33.7, a5 = 24.33 .7 . . . . .

wobei bI : ~ 0 und bk+ 1 : 612k+12k_111~k+l) z ( 4 .j - 24kk )bj bk+1_j (k _>I ) . k+5) j = l b2

=

~,

Daraus

b3 -

23.33.7 ~ ,

erhalten

THEOREM i .

bkE~

•

wir:

Es sei

und b k + l : 6 ((2k+1 2k-1

$4k-I

Es i s t

_

a o = a l _ I und a k =

k-1 s

--

j=O

(4k+1 (4k+5

j =sl

( 2k-2 2j ) a j a k - j - l "

(4j_2)bjbk+l_j.

Es sei

b i = 19 1

Dann i s t

1 r(~)8k -22kbk ) +B~k (24k-1 1) 4(2x)~ (a2k-1 .

Wir bemerken, dab aus Theorem 1 und [3] f o l g t , dab $4k_1 transzendent ist. Beispiel .

3

z n n=l l + e ~rn = ~

2~n

3

7

F(~) 81 - ~

147

LITERATUR [I]

APOSTOL, T.M.: Modular Functions and D i r i c h l e t Series in Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, (1976).

[2]

BERNDT, B.C.:

[3]

CUDNOVSKII, G.V.: Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis, Dokl. Ukrain. SSR Akad. Nauk 8_, 4p (1976).

[4]

GLAISHER, J.W.L.: On the series which represent the twelve e l l i p t i c and four zeta functions, Mess. Math. 18, 1-84 (1889).

Analytic Eisenstein sereies, theta-functions and series relations in the s p i r i t of Ramanujan, J. reine angew. Math. 303/304, 332-365 (1978).

Doz.Dr. Johannes SchoiBengeier I n s t i t u t fur Mathematik Strudlhofgasse 4 A-1090 Wien AUSTRIA

OBER DIE DISKREPANZ DER FOLGEN (n~)

J.

Gegeben sei heiBt

eine irrationale

DN(~ ) = die D i s k r e p a n z

SchoiBengeier

Zahl

sup 0<~
von { ~ } , { 2 ~ } . . . . .

~ und e i n e n a t U r l i c h e

I~

N. Dann

N z ({~n})-B] n=l C [ o ' B )

{No}.

Es sei nun ON, ~ j e n e P e r m u t a t i o n ~ N , ordnet:

die diese

{°N,~(n)~} < {~N,~(n+l)~} Dann i s t

Zahl

fur

N Zahlen der GreBe nach I_< n < N.

d i e folgende Formel

DN(~) = ~ +

max l
I{~N(n)}-~I

= ~+

max l
I{~n}+~-~

1

~1 ( n ) I

wohlbekannt. Es g e h t a l s o darum, o N , bzw. q~l zu b e r e c h n e n . Dazu e n t w i c k e l n w i r ~ in einen Kettenbruch. Wegen der P e r i o d i z i t ~ t von { x } k~nnen w i r annehmen, dab 0 < ~ < i . Dann ist

~ = [O;a I . . . . ] .

Pn

Es seien r n = qn die NgherungsbrUche. Es sei mEN so

g e w ~ h l t , dab qm ~N < qm+l' was wegen qo = I m~glich i s t . Dann z e i g t man zun~chst folgendes LEMMA I [~n] Pm+l ] fur • = [qm+1n

I

<

n

<

N .

Daraus s c h l i e B t man: {~k} < { ~ I }

~ { r m + l k } < {rm+11}

und

{~N,~(n)rm+1} < { ~ N , ~ ( n + l ) r m + l } .

N

LEMMA 2. Beweis.

~Nl(n) Es sei

= I +

z C[o,{ n})({rm+ik}) k=l rm+l

1 < k < N. Dann i s t

{1 . . . . . k - i } = { j l I < j < N , Daraus f o l g t k-Z = I { j I I ~ j ~ N ,

{~N(j)}

< {~N(k)}}

{~j} < {~ONIk)}} ] =

= ~I({jlI<j
, { ~ j } < { ~ a N ( k ) } } ).

CFo,{~ON(k)})({~J})L

149

PROPOSITION 1. Es sei

I < n < N. Dann g i l t : n-1 -I ~N (n) = N{nrm+ 1} - n{Nrm+ I } + k=OZ C[O'{Nrm+l } ] ( { k r m + l } ) "

Beweis.

Es i s t

C[o x ) ( { y } ) '

bekannt,

: x + z ~ kE1

I

O<x<

I,

( l _ e - 2 ~ i kx

yE IR )

e2~i ky

i +~ c 1 ( y ) -

Cl+x(Y)

k~O

Daraus e r g i b t

sich

(mit

-I ~ T~ °N ( n ) = l + N { n r m } + k 0

r = rm+l) ( 1 _ e - 2 ~ i knr) 1

(1-e2

N t=l

e2Xi t k r + ~

~ikr)

=l+N{nr}

+

z ~ k~qm+11

=l+N{nr}

+

z ~ 1 k(~qm+l z

=l+N{nr}

+

1 (e2xikNrl z ~-d3]T k~qm+lZ

=l+N{nr}

+

=l+N{nr}

+

+ ~ Formal

dab f u r

N N (tr) tZ=l c I ( tr)-~tZ=lCT+J r

e2xiNkr-1 _ 2~ikr 2 e -I

(e2xikNr_1 )

)

n-1 - 2 ~ i k r n z e t=O

e

2~ikr

e

2~iktr

1 -2

n-1 - 2 ~ i k t r 1 Z e -~ t=O

n-1 1 -2xiNkr 2~iktr 1 z z ~ (l-e ) e -~ t=O k~O n-1 n i s C[O,{Nr}) ({tr})z {Nr}-~ ~ c1(tr ) + t=O O
z cz+Nr(tr)O
n:l ~ = N{nr} - n{Nr} + z C[o,{Nr})({tr}). t=O

kann man daher s c h r e i b e n : -1 (n) oN (ein

Diese Formel

eignet

= N{nr} - n{Nr} + onl(N)

lineares

Reziprozit~tsgesetz).

sich bereits

Wir nehmen an, dab N =bqm, {Nr}

zur Berechnung von DN(~ ) f u r

1 < b
Pm+l} = { b } _ b = {bqm qm+l qm+l qm+l"

Es i s t

gewisse N.

150

Daher i s t n-1

c

k=O

[0;

b ) qm+l

({k

b-I

Pm+l})

=

qm+z

I

=

j=O Bk

O
kPm+l-~(qm+ I ) b-i z I : min(b,l j=O ~k O
+

["~--~]).

Nun i s t I+

In-i] ~m

< i+

[N-I] ~

[b -!] qm

= i+

= b,

so dab n-1 z ({kr}) k=O C [ O ' { N r } )

= I + in-I]. qm

Damit haben w i r : KOROLLAR.

1 < b < am+ 1. Dann i s t ~bqm ( - I n) = b(nPm-qm[nr]) + ~+ (-1)m ( ~ +

Beweis.

{n Pm+____11}= n r - [ n r ] qm+l

N = bqm

n b + I + in-I] qm+l ~

= bnPm - bqm[nr] + I + [ n-~m -l] "

l<
ND~(~) = I + ( b - l ) ( l - N ] ~ q m - P m l ) Beweis.

ND~(a) : ~+ =

I

~

+

: 1+

- blmqm-Pm]

-i max [{mn}N +~i l l
l
]N~n-N[rn]

b(nPm-qm[nr])

-

I nb(qm~-Pm )

-

~

-

[.-13 ~

l
Setze

)"

und daher

-i n) = bq m n pm+l °bqm( qm+l - bqm[nr ] KOROLLAR.

[n-l] ~m

n : I + ( b - l ) q m.

].

-

~- [~ml] ]

151 K~ROLLAR.

l i m ND~(~) = I .

Setze b = i i m

letzten

Korollar.

Umgekehrt: Es g i b t

Dann f o l g t

l i m ND~(~) ~ i .

c > O, No = I + [ ! ] ' N -> , o"

p,jEZ,

Daher i s t [<jN~>[ < ~ Nun i s t aber ND~(~) : ~+

]N~ _ ~ ] _<3 ~1N < ~~ • [ j N ~ - p l < E.

I < j < N, so dab und daher

[jN=+

max I N { ~ j } - ~ N I ( j ) + ~ I I<j
=~+

+ gl ~

- ~

fur

alle

g~Z.

max INc~J-NE~J] + ~ - ~ N I ( j ) I > I<j
I I >_~+~-~. Es f r a g t ist.

sich

nun, was man sagen kann, wenn N n i c h t

Dazu brauchen w i r d i e f o l g e n d e n

vonder

Form bqm

Bezeichnungen.

Pi Es sei w i e d e r ~ = [O;a I . . . . ] m i t N~herungsbrUchen q--i' qm ~N < qm+l" Dann kann man z e i g e n : so dab

Es g i b t

eindeutig

bestimmte Zahlen b i ;

0 <:i < m,

m

N = i=O z biqi'

0 -< b i - < a i + I '

0 -< b o < a I

und so, dab aus b i = a i + I f o l g t : bi_ I = O. Dann kann e i n e Formel f u r ~ m i t H i l f e der b i angegeben werden. Formel

ist

im w e s e n t l i c h e n m i t der i n [ 5 ]

kann m i t H i l f e

des obigen R e z i p r o z i t ~ t s g e s e t z e s

Daraus e n t w i c k e l t die Ziffern mel h e i B e n ,

man e i n e Formel

b ° . . . . . b m vorkommen. siehe [3]).

L~Bt man einen F e h l e r 0 ( 1 ) Ist

m so g e w ~ h l t ,

fur

Diese

angegebenen ~ q u i v a l e n t . bewiesen werden.

ND~(~),

(Im f o l g e n d e n

zu, so l a u t e t

Sie

i n der e b e n f a l l s

soll

sie explizite

s i e folgendermaBen:

dab qm ~N < qm+l'

E;(~)

= 2~lj~~(aj+l { q j N ~ } ( l - { q j N ~ } )

+ {qjN~}({qj+lN~}

-{qj_iN~}))

0~(~)

= 2 ~ j ~( ja+.z. {zq j N ~ } ( 1 - { q j N ~ } )

+ {qjN~}C{qj+iN~} - {qj_zN~}))

so g i l t

ND;( ~) : max( EN(~ ~ ),O N( ~ ) ) + 0 ( I ) , wobei d i e O - K o n s t a n t e weder von N noch von ~ abh~ngt

(siehe

[4]).

nur For-

152 Damit l ~ B t

sich

z.B.

ND~(~) = max(

b. ~ b (I J ), 2]j~m J aj+l

nachweisen, wobei m wie oben d e f i n i e r t

b. z b (1 J ) ) + O(m) j=O J aj+l 2~j~m m

ist

( a l s o m = O(log N ) ) .

Das hat z . B . ( l o g log N) log N

N÷~

zur F o l g e , wobei die Eulersche Es f o l g t daraus U b e r d i e s : es i s t

2

Zahl

ND~(e) = 1 ist.

m

1 ND~(~) : O ( l o g N) <~ (~

i=1 ist

beschr~nkt.

Das z u l e t z t

Die Beweise d i e s e r

erw~hnte R e s u l t a t

Ergebnisse

ai )m>l findet

macht es s i n n v o l l ,

man i n [ 3 ] .

nach

u~(~) :=TTm ND~(~)

zu f r a g e n ,

wenn ( a i ) i > 0 C - I

B i s h e r war u~(~) kannt (bzw. f u r lad-bcl = 1). Die e x p l i z i t e

nur -f u r

beund ~ = i +2~ ( s i e h e [ I ] ) am+b Zahlen c~--~T~' wobei a , b , c , d E Z ,

ergibt

nun, wenn a l l e

a i gerade s i n d ,

= ~ ~ I max( s ai+ I z ai+1). m÷~ °gT-~m 21i~m 2~i~m

FUr d i e anderen m i s t daraus a l s KOROLLAR. I s t

ist.

~ = ~Z ( s i e h e [ 2 ] )

d i e dazu ~ q u i v a l e n t e n

Formel

u~(a)

beschr~nkt

d i e Bestimmung von u~(m) noch o f f e n .

~ = [ao,a I .... ,ae_l]

m i t P e r i o d e e und s i n d a l l e im F a l l und

e 9erade

im F a l l

e ungerade

~(~)

ein rein

ai gerade, =

O~i

periodischer

(Siehe [4]).

=

Kettenbruch

< e, so f o l g t

i 4log(qe_l~+qe_2)

max(2 ]i<e E ai+ I,

1-1

~(~)

Man e r h ~ I t

1 81 °g(qe-lC~+qe-2 ) i=O a i + I •

2 ~ i<e a i + l )

153 LITERATUR [1]

DUPAIN, Y.: R~partition et discr~pance, Thase Univ. Bordeaux I (1978).

[2]

DUPAIN, Y.-SOS, V.T.: siehe: Lyle Ramshaw, J. Number Theory, Vol. I__33, No. 2, 1981.

[3]

SCHOISSENGEIER, J.: On the Discrepancy of (n~), Acta A r i t h . , in p r i n t .

[4]

SCHOISSENGEIER, J.: On the Discrepancy of (n~) I I , in preparation.

[5]

SOS, V . T . :

On the Discrepancy of the sequence { n ~ } , C o l l . M a t h . S o c . J . Bolyai 13 (1976), Topics in Number Theory, by P. Turan (Ed.)

Doz. Dr. Johannes SchoiBengeier I n s t i t u t fur Mathematik Universit~t Wien Strudlhofgasse 4 A-I090 Wi e n AUSTRIA

BEMERKUNG ZU EINEM LEMMA AUS DER VARIATIONSRECHNUNG Robert F. Tichy

Abstract.

In a p r e v i o u s p a p e r of this b o o k E. H l a w k a proves

a d i s c r e t e a n a l o g o n - in-

v o l v i n g u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d s e q u e n c e s - of the L e m m a of Du B o i s - R e y m o n d ~ w h i c h is o f t e n u s e d in v a r i a t i o n a l

calculus.

H l a w k a ' s r e s u l t to h i g h e r d i m e n s i o n s

In the p r e s e n t n o t e a g e n e r a l i z a t i o n of is given.

In !3] hat E. Hlawka mit H i l f e g l e i c h v e r t e i l t e F

Folgen ein diskretes Analogon zum f o l -

genden Satz angegeben: I s t f eine s t e t i g e Funktion auf E = [ 0 , I ]

und i s t

I

f2(x)dx = 0, so ist f(x) : 0 fur alle x E E. 0 Dieser Satz kann zum Beweis des Lemmas von Du 5ois-Reymond verwendet werden, welches in der Variationsrechnung eine wichtige Rolle spielt (vgl. z.B. das 5uch von P. Funk [I] ). Ebenso wie der obige Satz kann eine mehrdimensionale Fassung gezeigt werden: I s t f eine s t e t i g e Funktion auf Es = [ 0 , I ] s und i s t

f 2 ( x ) d x = O, so i s t f ( x ) = 0 s

fur alle x E Es" In der vorliegenden A r b e i t wird ein diskretes Analogon dieses Satzes gezeigt. Dazu N

wird f u r e i . vorgegebenes gewichtetes M i t t e l

P = (pk), k = I . . . . . N und P(N) =

~

k=1 angenommen, dab es eine Folge m = mN = (Xl . . . . . x N) von Punkten x k E Es = [ 0 , 1 [ s und ein~E > 0 g i b t , soda• N

(I)

I p--~

Z k=1

f2(xk) ] <

2

Mit N

(2)

DN(P,m): suplp--~ k!1 yEE s

Pk 1[0,y[(Xk) -

f Es

1{0,y[(X)dxl

Pk

155 wird die gewichtete Diskrepanz von m bezeichnet, 1[O,y [ s t e l l t

die charakteristische

Funktion des s-dimensionalen I n t e r v a l l s [0,y[ dar. Nimmt man an, daB. f ( y ) = f(Yl . . . . . Ys ) in allen Variablen s t e t i g d i f f e r e n z i e r b a r i s t , so g i l t die folgenden D i f f e r e n t i a t i o n s formel: (3)

AMf2 = ~

ZIKf AM\Kf

K~M wobei f u r eine beliebige Indexmenge K = (i I . . . . . ik) c= (I . . . . . s} der Ableitungsoperator A K durch

~k AKg: - ~x . . . . 3x. g 11 11(

d e f i n i e r t i s t und die Summe in (3) Uber a l l e Teilmengen K von M e r s t r e c k t wird. Analog zu [4], Theorem 55, Seite 151 - man vergleiche dazu die eindimensionale Fassung i n [ 5 ] gilt: N

14)

I f f2(x) dx _ ~ I

k!1

pkf2(xk)i

~DN(P'~)V(f)

Ts

mit V(f) =

~

S

O~M~{I . . . . s}

,

IAMf21d×M

TiMI

wobei dx M = dXil ... dx Im fur M = {i I ..... im}und IMI = m gesetzt wird. Mit I = f

f2(x)dx

Es e r g i b t sich aus (3) und (4) unter Anwendung der Voraussetzung IAMf I ~ L f u r ~ ~

M ~ {I . . . . . s}

mit der Ungleichung von Cauchy-Schwarz:

]

(

I ~ 2

+ DN(P,w)l

Z

2

L ~ M ~ I . . . . . s} < 2 + DN(P,~)(2(2s_I)Lv~- +

S

+

DN(P,~) (2(2s_i)kV~"

c 2 + DN(P,~)(2(2s-I)L~ =E

2

+

DN(P,~)(2(2s_I)LgT

-

Z

~IMi

~K~M

~

~(I 2

IAMf]dx M

+

L2

. . . . . s)

2L2(2s_2)

+

# ]AKf[ IAMNKfldXM I

l~lMI

(21Mi_2)) :

s-~

L2 ~ m=1

(s)2m) =

- 2L2(2s-2) + (3s-2s-1)L 2) = -

Daraus f o l g t sofort die Ungleichung

3,2SL2

+

3SL 2

+

3[2

÷

(3s_~2s+3)L2),

156 (~-_

DN(P,m)(2s_I)L 2 K 2 + DN(P,m)L2(3s_3.2s+3 ) + DN(P,w)2(2s_I)2L2 ,

und somit

I ~ RN,s: = ON(P,w)(2s-1) k + 2 + DN(P,w)k2(3s_3.2s+3 ) + DN(P,,~)2L2(2s_I)2

(5)

FUr s = 1,2 b e s i t z t der Ausdruck RN, s e i n e

.

einfache Gestalt: l

(6)

RN,1

(LDN(P,~) +~c2 + DN(P,~)L2 )2

RN,2 = (3LDN(P,m) +~2 + 9DN(P,w)2L2')2" Es g i l t nun der folgende SATZ. Es sei f eine auf Es s t e t i g differenzierbare reellwertige Funktion, w =(x I . . . . x N) eine Folge in Es mit Diskrepanz DN(P,w) bezUgIich eines gegebenen positiven gewichteten M i t t e l s P = (pk), sodaB fur ein c > 0 N

Ip--~)-

k!l pkf2(xk)[

< 2.

E r f U l l t f auf Es fur a l l e M £ {I . . . . . s}, M # 0 die Absch~tzung I~Mfi ~ k mit einer Konstanten Lund i s t RN, s durch

f

RN,s =IDN(P,w)(2s_I)L definiert,

k

so g i l t fur a l l e y

if(y)I

+~2 + DN(P,w)L2(3s_3.2s+3) + DN(P,w)2L2(2s_I)2 12 S

~ (4LSstRN,s)I/s+2

Beweis. Angenommen die behauptete Absch~tzung w~re falsch. Dann e x i s t i e r t If(yo)l Dann g i l t

in yo E Es' sodaB

> A: = (4LSs!RN,s)I/s+2

fUr a l l e y If(y)l

Y

EE :

E {Y:IJ Y - Yol[ I < ~L }n ~S : = S:

~ ]f(yo)[

A - Li] y - yo[ I > A - Lily - yoIll > ~ ,

also 2s A s As+2 I ~ ~ f2(x)dx > (~)2 sT. (2-L) = 4LSs[ Zusammen mit (5) ergibt dies einen Widerspruch und der Satz i s t gezeigt.

157 LITERATUR

[I]

P. Funk, Variationsrechnung und ihre Anwendung auf Physik und Technik, Springer Verlag, B e r l i n , 1962.

[2] E. Hlawka, Theorie der Gleichverteilung, B i b l . l n s t . , Mannheim-Wien-ZUrich,

1979.

[3] E. Hlawka, Bemerkung zum Lemma von Du Bois-Reymond, Lecture Notes in Math. (Zahlentheoretische Analysis), vorliegender Band. [4] L. Kuipers und H. N i e d e r r e i t e r , Uniform d i s t r i b u t i o n of sequences, John Wiley and Sons, New York, 1974. [5] H. N i e d e r r e i t e r und R. F. Tichy, Beitr~ge zur DiskrepanzbezUglich gewichteter M i t t e l , manuscripta math. 42 (1983), 85 - 99.

SCHLUSSBEMERKUNG. Aus dem oben bewiesenen Satz f o l g t dann sofort eine mehrdimensionale Fassung von Satz 2 in [3] (diskrete Version des Lemmas von Du Bois-Reymond). Schlie#lich sei auch darauf hingewiesen, dab ebenso eine mehrdimensionale Version zu Satz 5 in [3, zweiter T e i l ] erhalten werden kann (Entwicklung von Funktionen nach Orthogonalfunktionen).

Robert F. Tichy Abt.f.Technische Mathematik TU Wien GuBhausstra#e 27-29 A-I040 WIEN ~sterreich