Определение отношения теплоемкостей газов по способу Клемана и Дезорма: Методические указания к лабораторной работе

Петрозаводский государственный университет

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗОВ ПО СПОСОБУ КЛЕМАНА И ДЕЗОРМА

Методические указания к лабораторной работе

Петрозаводск 1998

Рассмотрены и утверждены к печати на заседании редакционной комиссии по отрасли науки и техники «общая и ядерная физика» 10 сентября 1998 года Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета

Составители: Ф. С. Платонов, доцент кафедры общей физики, С. И. Крылова, доцент кафедры общей физики

Данное издание осуществлено при поддержке АО «Кондопога»

2

От составителей Методические указания предназначены для углубленного изучения раздела «Термодинамика» и могут быть использованы студентами всех специальностей. Наряду с теорией в работе изложена методика определения коэффициента Пуассона. Сформулирован ряд задач, позволяющих закрепить приобретенные при изучении материала знания.

3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗОВ ПО СПОСОБУ КЛЕМАНА И ДЕЗОРМА Цель

работы: Определить отношение теплоемкостей при постоянном давлении Ср и постоянном объеме Сv для воздуха.

Принадлежности:

стеклянный манометр.

баллон,

U-образный

водяной

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ 1. Степени свободы Классическая теория теплоемкостей газов была разработана Больцманом и Максвеллом. В основе теории лежит теорема, которая доказывается в классической статистической физике (классической – значит, не квантовой): если система молекул находится в тепловом равновесии при температуре Т, то средняя кинетическая энергия равномерно распределяется между всеми степенями свободы молекулы и для каждой степени свободы она равна кТ/2 (к = 1,38 10-23 Дж/К - постоянная Больцмана). Эта теорема называется законом равномерного распределения кинетической энергии по степеням свободы, или законом равнораспределения. Из теоремы Больцмана следует, что задача о вычислении энергии молекулы газа, а следовательно, и об определении его теплоемкости, сводится к определению числа степеней свободы газовой молекулы. Числом степеней свободы i механической системы называется число независимых переменных (координат), однозначно определяющих ее положение и конфигурацию в пространстве. В случае когда механическая система представляет собой одну материальную точку, перемещающуюся в пространстве, эта материальная точка обладает тремя степенями свободы (декартовы 4

координаты х, y, z или полярные α , θ , ϕ). При перемещении этой точки по поверхности число ее степеней свободы равно двум, а вдоль определенного направления - одной. Если механическая система является абсолютно твердым телом, то положение его в пространстве будет определено, если заданы три координаты центра инерции тела С (х, у, z) и углов θ, ϕ, ψ, указывающих направления двух осей, связанных с телом и проходящих через его центр инерции (рис. 1).

Рис. 1. Определение степеней свободы абсолютно твердого тела: С - центр инерции тела; ОО, О′O′ - две произвольные оси взаимноперпендикулярные, вокруг которых может вращаться тело Таким образом, абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы. При поступательном движении твердого тела изменяются только координаты центра инерции. Поэтому соответствующие степени свободы (х, у, z) можно назвать поступательными. Изменение любого из углов θ, ϕ, ψ при неизменном положении центра обусловливается вращением тела, в связи с чем соответствующие степени свободы называются вращательными. Из опытов по измерению теплоемкости газов следует, что при определении числа степеней свободы молекулы атомы, ее 5

составляющие, можно рассматривать как материальные точки, жестко связанные недеформируемыми связями. Следовательно, одноатомной молекуле (Не, Ne, Ar и др.) нужно приписывать три поступательные степени свободы, двухатомной молекуле (H2, CO, O2 и т. д.) - три поступательные и две вращательные степени свободы (вращение вокруг оси, проходящей через оба атома, лишено смысла при не очень высоких температурах), трехатомной и многоатомной нелинейной молекуле с жесткой связью - шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. 2. Внутренняя энергия Важной характеристикой термодинамической системы является ее внутренняя энергия U - энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов и т. д.) и энергия взаимодействия этих частиц. В зависимости от характера движения и взаимодействия микрочастиц, образующих тело, внутренняя энергия включает в себя: 1) кинетическую энергию хаотического движения микрочастиц (например, молекул); 2) потенциальную энергию взаимодействия между молекулами; 3) кинетическую и потенциальную энергию колебательного движения атомов в молекулах; 4) внутриатомную энергию. Во многих физических явлениях, рассматриваемых на уровне молекулярной физики, внутриатомная энергия не изменяется и поэтому, определяя внутреннюю энергию U с точностью до константы, ее можно не учитывать. Внутренняя энергия - однозначная функция состояния термодинамической системы, т. е. в каждом состоянии система обладает вполне определенным значением внутренней энергии. В термодинамике интерес представляет не сама внутренняя энергия U системы, а ее изменение dU, наблюдающееся при переходе 6

термодинамической системы из одного состояния в другое, причем это изменение всегда равно разности значений внутренней 2

энергии в этих состояниях

∫

dU = U2 - U1, независимо от вида

1

процесса, в результате которого совершался переход. Это значит, что в случае кругового процесса изменение внутренней энергии равно нулю:

∫

dU = 0

Выполнение этого равенства означает, что dU является полным дифференциалом функции U и dU можно рассматривать как приращение внутренней энергии при переходе системы из одного состояния в другое. Если число степеней свободы молекулы i, то ее средняя энергия равна (КТ/2) · i, а внутренняя энергия одного моля идеального газа (молекулы между собой не взаимодействуют) будет равна произведению числа Авогадро NА на среднюю энергию одной молекулы: Uм = NА i

KT i = ⋅ RT . 2 2

(1)

Внутренняя энергия произвольной массы m будет равна внутренней энергии одного моля, умноженной на число молей газа ν=

m

μ

, содержащихся в массе m:

U = U m ⋅ν =

m i ⋅ RT , μ 2

(2)

где μ - молярная масса газа. Внутренняя энергия термодинамической системы может быть увеличена за счет двух процессов: совершения над системой работы (-δА) и подведения к ней количества тепла (δQ). 7

dU = δQ + (-δА)

(3)

Принято считать, что δQ > 0, если тепло передается рассматриваемой системе, и δQ < 0, если система отдает тепло окружающей среде. Если сама система совершает работу, то δА > 0, и δА<0, если внешние силы совершают работу над рассматриваемой системой. Из закона сохранения энергии следует, что δQ = dU + δА (4) Уравнение (4) представляет собой содержание первого закона (начала) термодинамики для элементарного термодинамического процесса: количество тепла, сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии системы и на совершение ею работы. Для конечного термодинамического процесса перехода системы из состояния I в состояние 2: Q12 = (U2 - U1) + A12 (5) Выражение для элементарной работы, совершаемой газом (телом) имеет вид: δА = рdV, (6) где dV - изменение объема газа (тела), р - давление, оказываемое газом (телом) на внешние тела. Полная работа, совершаемая при конечных изменениях объема, вычисляется как сумма элементарных работ, т. е. А12 =

∫

V2

V1

рdV

(7)

В отличие от внутренней энергии теплота Q, полученная системой, и совершенная ею работа А зависят не только от начального и конечного состояний системы, но и от характера процесса перехода термодинамической системы из одного 8

состояния в другое (изотермически, изобарически, изохорически, адиабатически). 3. Теплоемкость идеального газа Теплоемкостью какого-либо тела называется физическая величина, равная количеству тепла, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один Кельвин (К): С = δQ / dT, (8) где δQ - переданное телу количество тепла, dT - повышение температуры тела. Теплоемкость единицы массы вещества называется удельной теплоемкостью Суд: Суд = = δQ / mdT (9) Единица измерения удельной теплоемкости - Дж/кг К (джоуль на килограмм - кельвин). Теплоемкость моля вещества называется молярной теплоемкостью См: См = δQ / νdT Единица измерения молярной теплоемкости - Дж/моль K (джоуль на моль - кельвин). Между молярной и удельной теплоемкостями одного и того же вещества имеется очевидное соотношение: См = Суд μ

(10)

Поскольку количество теплоты, переданное термодинамической системе, зависит от характера процесса, то и теплоемкость тела определяется этим процессом. Поэтому теплоемкость одного и того же вещества различна при разных процессах перехода его в новое состояние и ее, следовательно, нельзя считать характеристикой только самого вещества. О 9

теплоемкости имеет смысл говорить только в связи с конкретным рассматриваемым процессом. Наибольший интерес представляет теплоемкость для случаев, когда нагревание происходит при постоянном объеме (изохорический процесс, СV) или при постоянном давлении (изобарический процесс, СР). Пусть газ нагревается при постоянном объеме. Тогда молярная теплоемкость: СV = δQ / νdT (11) Так как при изохорическом процессе (V = const) газ не совершает работы над внешними телами (δА = 0), то, согласно I закону термодинамики (4), все подводимое к газу тепло идет только на приращение его внутренней энергии: δQ = dU. Следовательно, СV =

dU ν ⋅ dT

(12)

Поскольку внутренняя энергия идеального газа (молекулы между собой не взаимодействуют) является лишь функцией его температуры и не зависит от его объема, то, положив ν = 1 и продифференцировав уравнение (1) dU =

i R dT, получим для СV 2

следующее выражение: СV =

dU i = R dT 2

(13)

Если нагревание газа происходит при постоянном давлении, то подводимое к газу тепло тратится в этом случае не только на увеличение его внутренней энергии, но и на работу δА, совершаемую газом над внешними телами (против внешних сил). Следовательно, Сp =

10

δQ

ν ⋅ dT

=

p ⋅ dV dU δA + = Cν + ν ⋅ dT ν ⋅ dT ν ⋅ dT

(14)

Продифференцировав уравнение Менделеева - Клапейрона при Р = const, получим: P dV = ν R dT (15) C учетом (15) уравнение (14) запишется: С Р = СV + R

(16)

Используя (13), выражение (16) (уравнение Майера) можно записать в виде: СP =

i+2 R 2

(17)

Поделив (17) на (13), найдем характерное для каждого газа отношение, называемое коэффициентом Пуассона:

γ =

Cp Cv

=

i+2 i

(18)

Как следует из (18), величина γ определяется только числом степеней свободы молекул. Коэффициент Пуассона играет большую роль в теории идеальных газов. Зная его, можно определить число степеней свободы молекул; он входит в уравнение, описывающее адиабатическое (без теплообмена с внешней средой) изменение объема газа: PVγ = const ; TVγ-1 = const (19) Наконец, им определяется скорость распространения звука в газах: v=

γR T μ

11

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА Установка для определения γ состоит из большого толстостенного сосуда А (рис.2), соединенного резиновой трубкой с открытым жидкостным манометром М. При помощи крана К сосуд может соединиться с атмосферой; второй кран S соединяет сосуд с грушей Г.

Рис. 2. Схема установки для определения коэффициента Пуассона: А - стеклянный сосуд; М - манометр; К, S - краны; Г - резиновая груша.

12

Рассмотрим термодинамические процессы, происходящие с газом в ходе одного опыта. Пусть первоначальное давление воздуха в сосуде, объем которого V1, равен атмосферному давлению Р1, а его температура равна температуре окружающей среды Т1. Представим это состояние на диаграмме в координатах Р-V точкой I (рис. 3).

Рис. 3. «p - V» - диаграмма процессов, происходящих с газом в ходе одного опыта 1) (1 - 2′) - адиабата; 2) (2′. - 2) - изохора; 3) (2 - 3′) - адиабата; 4) (3, - 3′) - изохора; 5) (1 - 3 - 2) – изотерма. Увеличим давление, накачав в сосуд А при помощи груши дополнительно небольшое количество воздуха. Процесс (1 - 2′) адиабатический. Первоначальная масса воздуха mo , занимавшая в состоянии 1 весь сосуд, теперь сожмется и займет объем V2 (состояние 2′). Состояние 2′ неустойчиво, так как температура воздуха в сосуде благодаря теплопроводности стенок будет 13

уменьшаться до комнатной. Этот процесс охлаждения будет изохорическим (2′⇒ 2). Новое установившееся состояние 2 характеризуется комнатной температурой Т1 и давлением Р2: Р2 = Р1 + ρgh1,

(20)

где ρ - плотность жидкости в манометре, h1 - установившаяся после изохорического охлаждения разность уровней в коленах манометра. Открыв кран К, предоставим возможность воздуху в сосуде расшириться до атмосферного давления Р1 (2 - 3′). Если отверстие в кране достаточно велико, то выравнивание давлений происходит настолько быстро, что расширение можно считать адиабатическим. В результате состояние воздуха в сосуде (3) будет характеризоваться давлением P1 и температурой Т3< Т1 вследствие охлаждения воздуха при адиабатическом расширении. Если теперь по достижении атмосферного давления (состояние 3′) закрыть кран K, то вследствие изохорического нагревания воздуха от температуры Т3 до первоначальной температуры Т1 давление в сосуде возрастет от Р1 до Р3 (процесс 3′ - 3). Р3 = Р1 + ρgh2,

(21)

где h2 - установившаяся после изохорического нагревания разность уровней в коленах манометра. В результате осуществления опыта, состояния воздуха в сосуде, соответствующие точкам 1, 3 и 2 характеризуются одинаковой температурой Т1, т. е. пунктирная кривая (1 – 3 - 2) изотерма. В соответствии с изложенным ходом процесса, уравнения, связывающие параметры состояния в различных процессах, имеют вид: Р2V2 = P3V3 - изотерма - (2-3) P2 V 2γ = P1V3γ - адиабата – (2 -3′) 14

Отсюда: γ

⎛ P3 ⎞ Р1 ⎛ V 2 ⎞ = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ Р2 ⎝ V 3 ⎠ ⎝ P2 ⎠ Р2

γ

(22)

Р γ3 = Р1

γ −1

(23)

Поделив обе части этого равенства на P1γ −1 получим:

⎛ Р2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ Р1 ⎠

γ −1

⎛ Р3 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ Р1 ⎠

γ

(24)

С учетом формул (20) и (21) последнее равенство перепишется в виде:

⎛ ρgh1 ⎞ ⎜1 + ⎟ P1 ⎠ ⎝

γ −1

⎛ ρgh2 ⎞ = ⎜1 + ⎟ P1 ⎠ ⎝

γ

(25)

Так как избыточные давления ρgh1 и ρgh2 малы по сравнению с атмосферным давлением P1, то, разложив оба двучлена в равенстве (25) в ряд и пренебрегая членами второго порядка малости, получим:

1 + (γ − 1)

ρgh1 P1

=1+ γ

ρgh2 ∗ P1

(26)

Отсюда найдем γ:

γ =

h1 h1 − h2

(27)

______________________________________________ _ * (1 + х ) = 1 + n

n n(n − 1) 2 x+ x +... 1! 2! 15

Видно, что для определения γ необходимо знать избыточное (над атмосферным) давление в баллоне до адиабатического расширения газа и его избыточное давление после изохорического нагревания. Обе эти величины должны измеряться в состоянии термодинамического равновесия, т. е. после прекращения теплообмена. ПОРЯДОК РАБОТЫ 1. Закрыть кран К и с помощью груши Г накачать воздух в сосуд А. Когда разность уровней в манометре достигнет 20-25 см, закрыть кран S. Нагнетание воздуха нужно производить очень аккуратно, все время следя за тем, чтобы в правом колене манометра жидкость не опускалась ниже деления 300 мм. Если это случится, то жидкость будет выброшена из манометра. 2. Подождать, пока температура внутри сосуда станет равной температуре окружающей среды. Это происходит за 3-5 минут. Когда разность уровней жидкости в манометре перестанет меняться (состояние 2), измерить h1. 3. Открыть на короткий промежуток времени кран К, сообщающий сосуд А с атмосферой. За время, в течение которого кран К открыт, давление в сосуде сравняется с атмосферным, а температура воздуха не изменится. Поэтому кран нужно закрывать сразу же, как только прекратится шипение выходящего воздуха. 4. После того, как давление в сосуде вновь установится, (состояние 3), измерить h2. 5. По найденным h1 и h2 рассчитать γ по формуле (27). 6. Открыть кран К на такое время, чтобы все параметры газа приняли исходные значения (состояние 1). Повторить опыт 7 16

8 раз, найти γ и провести результатов измерений.

статистическую

обработку

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Дайте определение степеней свободы. 2. Какие «сорта» степеней свободы вы знаете? 3. Сколько и каких степеней свободы : а) у материальной точки; б) у абсолютно твердого тела; в) у одно-, двух-, трех-, многоатомной молекулы? 4. Сформулируйте закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. 5. Докажите, что на любую степень свободы приходится энергия, равная 1/2· кТ. 6. Получите выражение для внутренней энергии идеального газа. 7. Какими способами термодинамическая система обменивается энергией с внешней средой? 8. Выведите формулу элементарной работы газа. 9. Сформулируйте и запишите I закон термодинамики. 10. С какими процессами вы имели дело в данной работе? Дайте их определение и изобразите графически в координатах p-V. 11. Запишите I закон термодинамики для этих процессов и выражения для их же теплоемкостей. 12. Дайте определение теплоемкости термодинамической системы. Единицы измерения. От чего зависит теплоемкость газовой системы? 13. Что такое коэффициент Пуассона? Как рассчитать его теоретическое значение? 14. Выведите экспериментальную формулу (27) для расчета γ. 15. Дайте трактовку результатов вашего эксперимента. 16. Рассмотрите последовательно все процессы, происходящие с газом в ходе опыта. Напишите уравнения, описывающие эти процессы. 17

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Для выполнения индивидуального задания измерьте: Ратм. = Р1 и Ткомн. = Т1. Объем сосуда V1 = 26, 4 л. Молярная масса воздуха μ = 29 . 10-3 кг/моль. 1. Рассчитайте параметры воздуха в состояниях: а) 2, 3′ и 3; б) 2′ и 2. Учтите при этом, что состояния 1, 2 и 3 ложатся на одну изотерму, а состояния 2′ и 2 - на одну изохору (рис. 2). 2. Определите полное число киломолей воздуха в сосуде А в следующих случаях: а) в состоянии 1; б) при давлении и температуре, соответствующие точке 2 на рис. 2. 3. Определите полное число молекул и концентрацию молекул воздуха в сосуде А в следующих случаях: а) в состоянии 1; б) при давлении и температуре, соответствующие точке 2 на рис. 2. 4. По экспериментальным данным рассчитайте число степеней свободы молекул воздуха. Сделайте вывод о строении молекул, преобладающих в воздухе. 5. Рассчитайте: а) молярную теплоемкость воздуха при постоянном объеме; б) молярную теплоемкость воздуха при постоянном давлении; в) удельную теплоемкость воздуха при постоянном объеме; г) удельную теплоемкость воздуха при постоянном давлении. 18

6. Рассчитайте среднеквадратичную скорость молекул, среднюю кинетическую энергию молекул воздуха в состояниях: а) 1; б) 2′; в) 2; г) 3′; д) 3. 7. Рассчитайте внутреннюю энергию молекул воздуха в состояниях 2 и 3′. Найдите изменение внутренней энергии в процессе 2 →3′. Запишите первое начало термодинамики применительно к этому процессу. 8. Рассчитайте внутреннюю энергию молекул воздуха в состояниях 1 и 2′. Найдите изменение внутренней энергии в процессе 1→2′. Запишите первое начало термодинамики применительно к этому процессу. 9. Рассчитайте внутреннюю энергию молекул воздуха в состояниях 2′ и 2. Найдите изменение внутренней энергии в процессе 2′→2. Запишите первое начало термодинамики применительно к этому процессу. 10. Рассчитайте внутреннюю энергию молекул воздуха в состояниях 3′ и 3. Найдите изменение внутренней энергии в процессе 3′→3. Запишите первое начало термодинамики применительно к этому процессу. ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ Номера заданий

N варианта 1 2 3 4 5 6 7 8

1 (а) 1 (б) 1 (а) 1 (б) 1 (а) 1 (б) 1 (а) 1 (б)

2 (а) 2 (б) 4 3 (а) 3 (б) 2 (а) 4 2

5 (а,б) 5 (б,г) 5 (в,г) 4 4 5 (а,в) 5 (б,г) 5 (а,б)

6 (а) 6 (б) 7 9 10 8 6 (в) 9

19

ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ РАБОТЫ 1. Перед началом работы внимательно ознакомьтесь с заданием и порядком выполнения работы. 2. Оберегайте стеклянные части лабораторной установки от ударов и повреждений. 3. Нагнетание воздуха в сосуд А следует производить аккуратно, чтобы манометрическая жидкость не была выброшена из манометра. 4. После окончания работы приведите в порядок свое рабочее место. 5. Строго выполняйте правила техники безопасности и противопожарных мероприятий. ЛИТЕРАТУРА Грабовский Р. И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1980. Детлаф А. А., Яворский Б. М., Милковская Л. Б. Курс физики. М.: Высшая школа, 1979. Т. 1. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики. М.: Наука, 1972. Т. 1. Кикоин А. К., Кикоин И. К. Молекулярная физика. М.: Наука, 1976. Матвеев А. Н. Молекулярная физика. М.: Высшая школа, 1981. Савельев И. В. Курс общей физики. М.: Наука, 1986. Т. 1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: Наука, 1979. Т. 2. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1985.

20

Составители Федор Семенович Платонов Светлана Ивановна Крылова ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗОВ ПО СПОСОБУ КЛЕМАНА И ДЕЗОРМА Методические указания к лабораторной работе

Редактор О. Б. Решетникова Подписано к печати . .98 Формат 60 х 84 1/16. ЛР № 040 110 от 10.11.96. Бумага газетная. Офсетная печать. Тираж 500 экз. Изд. № 136. «С» Издательство Петрозаводского государственного университета Петрозаводск, пр. Ленина, 33 21