Числовые ряды и собственные интегралы: Методические указания

Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые

ряды и несобственные интегралы»

Ростов–на–Дону 2007

Р. М. Г а в р и л о в а, Г. С. К о с т е ц к а я. Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные интегралы». Ростов н/Д: УПЛ ЮФУ, 2007.

Печатается по решению кафедры дифференциальных и интегральных уравнений факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ от

апреля 2007 г. (протокол №

)

Оглавление 1 Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1 Определение ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Простейшие свойства рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Необходимое условие сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Признаки сравнения положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Признаки сходимости положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Знакочередующиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7 Абсолютная и условная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1 Несобственные интегралы первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Несобственные интегралы второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3

1 Числовые ряды 1.1 Определение ряда Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел a1 , a2 , . . ., an , . . ., соединенных знаком сложения: a1 + a2 + . . . + an + . . . =

∞ X

an .

(1)

n=1

Числа a1 , a2 , . . ., an , . . . называются членами ряда, а член an — общим или n-м членом ряда. Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда: S1 = a1 ;

S2 = a1 + a2 ;

. . .;

Sn = a1 + a2 + . . . + an =

n X

ak .

k=1

Такие суммы называются частичными суммами ряда (1). Очевидно, что они образуют бесконечную последовательность частичных сумм S1 , S2 , . . ., Sn , . . . Определение 2. Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т. е. lim Sn = S.

n→∞

В противном случае ряд называется расходящимся. Число S = lim Sn называется суммой ряда. Символически это запиn→∞ сывают так: ∞ X S = a1 + a2 + . . . + an + . . . = an . n=1

Пример 1. Исследовать сходимость геометрического ряда, т. е. ряда, составленного из членов геометрической прогрессии 2

1 + q + q + ... + q

n−1

+ ... =

∞ X n=1

4

q n−1 .

Частичная сумма Sn этого ряда при q 6= 1 имеет вид Sn = 1 + q + q 2 + . . . + q n−1 =

1 − qn . 1−q

Отсюда: 1 qn 1 1) если |q| < 1, то lim Sn = lim − lim = , т. е. ряд n→∞ n→∞ 1 − q n→∞ 1 − q 1−q 1 сходится и его сумма S = ; 1−q 1 − qn 2) если |q| > 1, то lim Sn = lim = ∞, т. е. ряд расходится; n→∞ n→∞ 1 − q 3) при q = 1 ряд принимает вид n P

lim Sn = lim

n→∞

n→∞ k=1

∞ P

1 = 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . . Тогда

n=1

1 = lim n = ∞, т. е. ряд расходится. n→∞

4) при q = −1 ряд принимает вид

∞ P

(−1)n−1 = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . и

n=1

Sn = 0 при n четном и Sn = 1 при n нечетном, следовательно, lim Sn n→∞

не существует, и ряд расходится. ∞ P

Таким образом, геометрический ряд

q n−1 сходится к сумме S =

n=1

1 при |q| < 1 и расходится при |q| > 1. 1−q 1.2 Простейшие свойства рядов ∞ P

1◦ . Если ряды

n=1

an и

∞ P n=1

Доказательство. Пусть Sn = σn = ∞ P

n P

bn сходятся, то и ряд n P

∞ P

(an ± bn ) сходится.

n=1

ak — частичная сумма ряда

k=1

bk — частичная сумма ряда

k=1

∞ P n=1

(an ± bn ) запишется в виде τn =

k=1

(ak ± bk ) =

n X k=1

5

n=1

an и

bn . Тогда частичная сумма ряда

n=1

n X

∞ P

ak ±

n X k=1

bk = Sn ± σn .

Переходя к пределу при n → ∞, получаем lim τn = lim (Sn ± σn ) = lim Sn ± lim σn = S ± σ.

n→∞

n→∞

Следовательно, ряд

n→∞

∞ P n=1

(an ± bn ) сходится и его сумма равна S ± σ.

∞ P

◦

n→∞

∞ P

∞ P

2 . Если ряд an сходится, а ряд bn расходится, то ряд (an +bn ) n=1 n=1 n=1 расходится. ∞ P Доказательство. Предположим (от противного), что ряд an + bn схоn=1

дится. Тогда справедливо представление ∞ X

∞ ∞ X X bn = (an + bn ) − an ,

n=1

где ряд

∞ P n=1

n=1

bn расходится, а ряды

n=1

∞ P n=1

противоречие свойству 1◦ , т. е. ряд

(an +bn ),

∞ P

n=1

3◦ . Если ряд

∞ P n=1

n=1

n P k=1

cak — частичная сумма ряда

k=1

n=1

∞ P n=1

can сходится.

ak — частичная сумма ряда ∞ P

n=1

∞ P n=1

an , а σn =

can . Тогда σn = cSn и, следовательно,

lim σn = c lim Sn = cS, где S — сумма ряда

n→∞ ∞ P

an сходятся. Мы получили

an + bn расходится.

an сходится и c ∈ R, то ряд

Доказательство. Пусть Sn = n P

∞ P

n→∞

∞ P n=1

an . Таким образом. ряд

can сходится и его сумма равна cS. 4◦ . Если сходится ряд

∞ P n=1

an (A), то сходится и ряд

обратно, если сходится ряд (Ak ), то сходится и ряд (A).

∞ P

an (Ak ), и

n=k+1

Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

6

Доказательство. Обозначим через Sk = (k)

рядов (A), а через σn =

k+n P

k P

a` сумму отброшенных членов

`=1

a` n-ю частичную сумму ряда (Ak ). Тогда

`=k+1

(n + k)-я частичная сумма ряда (A) запишется в виде Sn+k =

n+k X `=1

a` =

k X

a` +

`=1

n+k X

a` = Sk + σn(k) .

(2)

`=k+1

1) Предположим, что ряд (A) сходится, т. е. lim Sn = lim Sn+k = S, n→∞ n→∞ где k — фиксированное число. Из равенства (2) следует lim σn(k) = lim (Sn+k − Sk ) = lim Sn+k − lim Sk = S − Sk ,

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

т. е. ряд (Ak ) сходится. (k) 2) Пусть теперь ряд (Ak ) сходится, т. е. lim σn = σ. Тогда из (2) n→∞ следует lim Sn+k = lim (Sk + σn(k) ) = lim Sk + lim σn(k) = Sk + σ,

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

что и означает сходимость ряда (A). Ряд (Ak ), полученный из ряда (A) отбрасыванием его первых k членов, называется k-м остатком ряда (A). 1.3 Необходимое условие сходимости Теорема 1 (критерий Коши сходимости числового ряда). Для того чтобы ∞ P ряд an сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 n=1

существовал номер N , зависящий от ε, такой, что для всех n > N и всех целых p > 1 было выполнено неравенство |an+1 + an+2 + . . . + an+p | < ε. Доказательство. Это утверждение сразу следует из критерия Коши существования конечного предела последовательности, примененного к последовательности частичных сумм Sn данного ряда, т. к. an+1 + an+2 + . . . + an+p = Sn+p − Sn . 7

Теорема 2 (необходимое условие сходимости). Если ряд

∞ P n=1

то lim an = 0.

an сходится,

n→∞

Доказательство. Из сходимости ряда следует, что lim Sn = S. Тогда, т. к. n→∞

an = Sn − Sn−1 , то lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = S − S = 0. n→∞

n→∞

Замечание 1. Обратное утверждение не имеет места, то есть из условия lim an = 0 сходимость ряда, вообще говоря, не следует.

n→∞

Пример 2.

∞ X 1 n=1

n

=1+

1 1 1 + + ... + + ... 2 3 n

(3)

гармонический ряд. Очевидно, что необходимое условие сходимости выполнено lim an = lim 1/n = 0. Однако гармонический ряд расходится. n→∞

n→∞

Доказательство проведем от противного. Предположим, что ряд сходится, то есть существует lim Sn = S. Рассмотрим разность S2n − Sn . n→∞

С одной стороны

lim (S2n − Sn ) = lim S2n − lim Sn = S − S = 0.

n→∞

n→∞

n→∞

С другой стороны S2n − Sn = Значит, ряд

∞ P

1 1 1 1 1 + + ... + >n· = 6→ 0. n+1 n+2 2n 2n 2

1/n расходится.

n=1

Замечание 2. На практике необходимое условие сходимости используют P таким образом: если lim an 6= 0, то ряд an расходится. n→∞

Пример 3.

n=1

∞ X 4n + 3 n=1

5n − 4

Очевидно, что

.

(4)

4n + 3 4 = 6= 0, n→∞ n→∞ 5n − 4 5 т. е. необходимое условие не выполняется, следовательно, ряд расходится. lim an = lim

8

1.4 Признаки сравнения положительных рядов Определение 3. Ряд

∞ P n=1

an называется положительным, если для всех

натуральных n выполнено неравенство an > 0. Ряд строго положительным, если an > 0, n = 1, 2, . . .

∞ P n=1

an называется

Теорема 3 (критерий сходимости положительных рядов). Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда его частичные суммы ограничены сверху. Доказательство. Пусть и Sn =

n P

∞ P n=1

an — положительный ряд (an > 0, n = 1, 2, . . .)

ak его частичная сумма. Тогда

k=1

Sn+1 =

n+1 X

ak = a1 + a2 + . . . + an + an+1 = Sn + an+1 > Sn ,

k=1

т. е. последовательность Sn монотонно возрастает. По теореме о пределе монотонной последовательности конечный предел lim Sn существует тогда и только тогда, когда эта последовательность n→∞

ограничена сверху. Согласно определению сходящегося ряда, данное усло∞ P вие равносильно сходимости ряда an . n=1

Теорема 4 (первый признак сравнения). Пусть

∞ P n=1

an и

∞ P n=1

bn — положи-

тельные ряды и существует номер N0 такой, что для всех n > N0 вы∞ P полнено неравенство an 6 bn . Тогда 1) из сходимости ряда bn следует сходимость ряда мость ряда

∞ P n=1

∞ P n=1

an ; 2) из расходимости ряда

∞ P n=1

n=1

an следует расходи-

bn .

Доказательство. Поскольку поведение конечного числа членов ряда не влияет на характер его сходимости будем считать, что неравенство an 6 bn выполнено для всех n. 9

Обозначим через Sn и σn соответственно частичные суммы рядов и

∞ P n=1

∞ P n=1

an

bn . Из неравенства an 6 bn следует, что Sn 6 σn .

1) Если ряд

∞ P n=1

(5)

bn сходится, то по теореме 3 последовательность его

частичных сумм ограничена, т. е. существует такая постоянная M > 0, что для всех n выполнено неравенство σn 6 M . Но тогда из неравенства (5) и ∞ P Sn 6 M , откуда по той же теореме 3 следует, что ряд an сходится. 2) Если же ряд

∞ P n=1

an расходится, то ряд

допустив сходимость ряда ∞ P

димость ряда

n=1

∞ P n=1

bn также расходится, т. к.,

an , а это противоречит условию теоремы.

Решение. Сравним данный ряд с рядом 1 1 < n2 n(n − 1) Покажем, что ряд

=

n=1

n=1

bn , получим по только что доказанному схо-

Пример 4. Исследовать на сходимости ряд

Sn =

∞ P

∞ 1 P 2 n=1 n

∞ P

1 . Очевидно, что n=2 n(n − 1)

для всех n > 1.

∞ P

1 сходится. Найдем частичную сумму n=1 n(n − 1)

1 1 1 + + ... + = 1·2 2·3 n(n − 1) n − (n − 1) 2−1 3−2 4−3 + + + ... + = 1·2 2·3 3·4 n(n − 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + ... + − =1− . 2 2 3 3 4 n−1 n n µ ¶ ∞ P 1 1 сходится. СлеОтсюда lim Sn = lim 1 − = 1, т. е. ряд n→∞ n→∞ n n=2 n(n − 1) ∞ 1 P довательно, по первому признаку сравнения ряд сходится. 2 n=1 n = 1−

10

Теорема 5 (второй признак сравнения). Пусть ряд,

∞ P n=1

∞ P n=1

an — положительный

bn — строго положительный ряд и существует конечный ненуле-

∞ ∞ P P an вой предел lim = K (0 < K < ∞). Тогда ряды an и bn сходятся n→∞ bn n=1 n=1 или расходятся одновременно.

Доказательство. 1. Из того, что K является пределом последовательности an при n → ∞ следует существование такого номера N , что для всех n > N bn справедливо неравенство an < K + 1 или an < (K + 1)bn . bn ∞ ∞ P P Пусть сходится ряд bn . По свойству 3◦ числовых рядов ряда (K +1)bn n=1

n=1

также сходится. Следовательно, в силу первого признака сравнения ряда ∞ P an сходится. n=1

2. Пусть теперь ряд

∞ P

bn расходится. Поскольку K > 0, существует an такое число K1 , что 0 < K1 < K. Из того, что lim = K следует сущеn→∞ bn ствование такого номера N1 , что для всех n > N1 справедливо неравенство an > K1 или an > K1 bn . bn ∞ P Отсюда в силу расходимости ряда K1 bn следует по первому признаn=1

ку сравнения расходимости ряда

n=1

∞ P n=1

an .

Отметим эталонные ряды, часто используемые для сравнения: ∞ P q n−1 — сходится при |q| < 1, расходится при 1) геометрический ряд n=1

|q| > 1, расходится при |q| > 1; 2) гармонический ряд

∞ 1 P — расходится. n=1 n

∞ 1 P 3) ряд Дирихле сходится при α > 1, расходится при α 6 1. α n=1 n

11

Второй признак сравнения обычно используют для исследования схо∞ P (n) P ` димости рядов вида , где P` (n), Qk (n) — многочлены степени ` n=1 Qk (n) и k соответственно. При этом в качестве ряда сравнения выбирают ряд ∞ 1 P Дирихле , где α = k − `. α n=1 n ∞ 2n + 5 P . 3 n=1 n + 3n ∞ 1 P Решение. Сравним данный ряд с рядом Дирихле (k = 3, ` = 1, 2 n n=1 an n2 (2n + 5) = lim = 2 6= 0, то данный ряд, α = 3 − 1 = 2). Так как lim n→∞ n3 + 3n n→∞ bn ∞ 1 P так же как и , сходится. 2 n=1 n

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Рассмотрим еще один признак сравнения, который имеет вспомогательный характер. Теорема 6 (третий признак сравнения). Пусть

∞ P n=1

an ,

∞ P n=1

bn — строго

положительные ряды и существует такой номер N , что для всех n > N ∞ P an+1 bn+1 выполнено неравенство 6 . Тогда 1) из сходимости ряда bn an bn n=1 ∞ ∞ P P следует сходимость ряда an . 2) из расходимости ряда an следует расходимость ряда

∞ P n=1

n=1

n=1

bn .

Доказательство. В силу того, что поведение конечного числа членов ряда не влияет на характер его сходимости можно считать, что неравенan+1 bn+1 ство 6 верно для всех n > 1. Записывая это неравенство для an bn n = 1, 2, . . ., k и перемножая левые и правые части полученной цепочки неравенств, имеем b2 a2 6 ; a1 b1

a3 b3 6 ; a2 b2

. . .;

ak+1 bk+1 6 , ak bk

a2 a3 ak+1 b2 b3 bk+1 · ... 6 · ... . a1 a2 ak b1 b2 bk

12

ak+1 bk+1 Таким образом, для всех k ∈ N справедливо неравенство 6 a1 b1 a1 или ak+1 6 bk+1 . b1 ∞ P 1) Если ряд bk сходится, то по свойству 3◦ числовых рядов ряд k=1

∞ a P 1 bk также сходится, и следовательно, в силу первого признака сравнеk=1 b1 ∞ P ния ряд ak сходится. k=1

2) Если же ряд

∞ P

ak расходится, то в силу того же признака ряд

k=1

∞ a ∞ P P 1 bk , а следовательно, и ряд bk расходятся. k=1 b1 k=1

1.5 Признаки сходимости положительных рядов Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другими рядом. Рассмотрим три из них. Теорема 7 (признак Даламбера). Пусть

∞ P n=1

an — строго положительный

∞ P an+1 = D. Тогда 1) если D < 1, то ряд an сходится; 2) если n→∞ an n=1 ∞ ∞ P P D > 1, то ряд an расходится; 3) если D = 1, то ряд an может как

ряд и lim

n=1

n=1

сходиться, так и расходиться.

Доказательство. Из определения предела последовательности следует, что для любого ε > 0 существует ¯ ¯такой номер N , что для всех n > N выпол¯ an+1 ¯ an+1 няется неравенство ¯¯ − D¯¯ < ε или D − ε < < D + ε. an an 1) Пусть D < 1. Выберем ε настолько малым, что число q = D + ε < 1, an+1 an+1 q n+1 т. е. < q или < n . an an q ∞ P Геометрический ряд q n сходится, т. к. q < 1. Следовательно, по треn=1

тьему признаку сравнения ряд

∞ P n=1

an сходится. 13

2) Пусть D > 1. Возьмем ε настолько малым, что q = D − ε > 1, т. е. an+1 q n+1 an+1 q< или n < . an q an ∞ P Геометрический ряд q n расходится, т. к. q > 1. Следовательно, по n=1

третьему признаку сравнения ряд

∞ P n=1

an расходится.

∞ 1 ∞ 1 P P 3) Рассмотрим расходящийся ряд и сходящийся ряд . По2 n=1 n n=1 n кажем, что для этих рядов D = 1. an+1 n 1 an = lim = lim = 1, n→∞ n + 1 n n→∞ an 1 an+1 n2 an = 2 lim = lim = 1. n→∞ an n→∞ (n + 1)2 n ∞ n ∞ 3n · n! P P Пример 6. Исследовать сходимость рядов а) , б) . n n=1 2 n=1 (2n)!

Решение. а) Так как

µ ¶ an+1 n+1 n n+1 1 lim = lim = lim : = < 1, n→∞ an n→∞ n→∞ 2n 2n+1 2n 2

то по признаку Даламбера ряд сходится. б) Так как an+1 3n+1 (n + 1)! 3n · n! lim = lim : = n→∞ an n→∞ (2(n + 1))! (2n)! 3(n + 1)!(2n)! n!(n + 1)(2n)! = lim = 3 lim = n→∞ (2n + 2)!n! n→∞ (2n)!(2n + 1)(2n + 2)n! n+1 3 1 = lim = 0 < 1, = 3 lim n→∞ (2n + 1)(2n + 2) 2 n→∞ 2n + 1 то по признаку Даламбера ряд сходится. ∞ P Теорема 8 (признак Коши). Пусть an — положительный ряд и lim

n→∞

√ n

n=1

an = q. Тогда 1) если q < 1, то ряд

то ряд

∞ P n=1

∞ P n=1

an сходится; 2) если q > 1,

an расходится; 3) если q = 1, то ряд

диться, так и расходиться. 14

∞ P n=1

an может как схо-

Доказательство. Из определения предела последовательности следует, что для любого ε > 0 существует такой номер N , что для всех n > N выпол√ √ няется неравенство | n an − q| < ε или q − ε < n an < q + ε. 1) Пусть q < 1. Выберем ε настолько малым, что число q1 = q + ε < 1, √ т. е. n an < q1 или an < q1n . ∞ P Геометрический ряд q1n сходится, т. к. q1 < 1. Следовательно, по n=1

первому признаку сравнения ряд

∞ P n=1

an сходится.

2) Пусть q > 1. Возьмем ε настолько малым, что q − ε > 1. Тогда из √ √ неравенства n an > q − ε следует, что n an > 1 или an > 1. Это означает, что члены ряда больше 1, начиная с номера N + 1. Поэтому предел общего члена ряда 6= 0, т. е. не выполнено необходимое условие сходимости, и ряд расходится. ∞ 1 P 3) Покажем, что q = 1 для расходящегося ряда и для сходящегося n=1 n ∞ 1 P . ряда 2 n=1 n r 1 1 n 1 an = lim = lim √ = 1, n n→∞ n n n→∞ n r 1 1 1 n √ √ = 1. an = 2 lim = lim n→∞ n n2 n→∞ n n n n ∞ 1 P Пример 7. Исследовать сходимость ряда . n n=1 n r 1 1 n Решение. Так как lim = lim = 0 < 1, то по признаку Коши ряд n→∞ n→∞ n nn сходится.

Теорема 9 (интегральный признак сходимости). Пусть f (x) неотрицательная, невозрастающая функция для всех x > m, где m — некоторое ∞ P число. Тогда ряд f (n) сходится тогда и только тогда, когда сходится n=m

последовательность {an }, где an =

Rn m

15

f (x) dx.

Доказательство. Рассмотрим некоторое число k > m+1 и сегмент k − 1 6 x 6 k. Так как функция монотонно не возрастает, то будем иметь f (k) 6 f (x) 6 f (k − 1),

k > m + 1.

Из последнего двойного неравенства следует, что f (x) ограничена на [k − 1; k], а так как она по условию теоремы еще и монотонна, то значит f (x) интегрируема на этом сегменте (см. [1] классы интегрируемых функций). Поэтому, используя свойства определенного интеграла, мы можем записать

Zk

Zk

Zk

f (k) dx 6 k−1

f (x) dx 6 k−1

или

f (k − 1) dx k−1

Zk f (k) 6

f (x) dx 6 f (k − 1). k−1

Положим в этом двойном неравенстве поочередно k = m + 1, k = m + 2,. . . , k = n:

m+1 Z

k = m + 1 → f (m + 1) 6

f (x) dx 6 f (m) m m+2 Z

k = m + 2 → f (m + 2) 6

f (x) dx 6 f (m + 1) m+1

...

...

k=n

...

...

... ... ... ... ... ... Zn → f (n) 6 f (x) dx 6 f (n − 1). n−1

Сложим все полученные неравенства: Zn f (n+1)+f (m+2)+. . .+f (n) 6

f (x) dx 6 f (m)+f (m+1)+. . .+f (n−1) m

или Sn − f (m) 6 an 6 Sn−1 , 16

где Sn =

n P

f (k) — n-ая частичная сумма ряда

k=m

Пусть теперь ряд

∞ P

∞ P

f (k).

k=m

f (k) сходится. Тогда последовательность {Sn }

k=m

ограничена. Но тогда из неравенства an 6 Sn−1 следует ограниченность {an }, а так как по конструкции {an } монотонная последовательность, то {an } сходится. Пусть теперь последовательность {an } сходится. Тогда она ограничена и из неравенства Sn − f (m) 6 an или Sn 6 an + f (m) следует ограниченность последовательности частичных сумм {Sn } и следовательно сходимость исходного ряда. Теорема доказана. ∞ 1 P Пример 8. Исследовать на сходимость ряд . α n=1 n Решение. Выше мы показали, что при α = 1 этот ряд расходится. Рассмотрим случай α 6= 1. Тогда по интегральному признаку Коши имеем (m = 1) ¯ Zn Zn −α+1 ¯n dx x −α ¯ = 1 (n1−α − 1). an = = x dx = xα 1 − α ¯1 1−α 1

1

Очевидно, что при α > 1 an =

1 1 1 1 + · α−1 → , α−1 1−α n α−1

т. е. {an } сходится, следовательно, сходится и данный ряд. При α < 1 1 1 an = + n1−α → ∞, α−1 1−α то есть {an } расходится и, следовательно, ряд тоже расходится. Окончательно имеем ∞ X 1 nα n=1

сходится

α>1

расходится α 6 1. 17

1.6 Знакочередующиеся ряды Определение 4. Знакочередующимся рядом называется ряд вида ∞ X (−1)n−1 Cn = C1 − C2 + C3 − C4 + . . . + (−1)n−1 Cn + . . ., n=1

где Cn > 0. Теорема 10 (признак Лейбница). Если последовательность {Cn } убывает и стремится к нулю, т. е. C1 > C2 > C3 > . . ., lim Cn = 0, то ряд n→∞ ∞ P (−1)n−1 Cn сходится. n=1

Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов ряда S2n = C1 − C2 + C3 − C4 + . . . + C2n−1 − C2n . Эта последовательность возрастающая, т. к. S2n+2 = C1 − C2 + C3 − C4 + . . . + C2n−1 − C2n + C2n+1 − C2n−2 = S2n + C2n+1 − C2n+2 > S2n (C2n+1 − C2n+2 > 0, n = 1, 2, . . .). Кроме того, последовательность S2n ограничена сверху S2n = C1 − (C2 − C3 ) − (C4 − C5 ) − . . . − (C2n−2 − C2n−1 ) − C2n 6 C1 (Ck − Ck+1 > 0,

k = 1, 2, . . .,

C2n > 0).

Следовательно, по теореме о пределе монотонной последовательности существует lim S2n = S. n→∞ Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов S2n+1 . Очевидно, что S2n+1 = S2n + C2n+1 . Поэтому, в силу условия lim Cn = 0, lim S2n+1 = lim S2n = S. n→∞

n→∞

n→∞

Итак, при любом n (четном или нечетном) lim Sn = S, т. е. ряд схоn→∞

дится. ∞ P

1 сходится, так как удовлетворяет условиям n n=1 1 1 1 признака Лейбница: 1) 1 > > > . . ., 2) lim = 0. n→∞ n 2 3 Пример 9. Ряд

(−1)n−1

18

1.7 Абсолютная и условная сходимость Определение 5. Ряд дится ряд

∞ P n=1

∞ P n=1

an называется абсолютно сходящимся, если схо-

|an |.

Теорема 11. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. ∞ P Доказательство. Пусть ряд |an | сходится. Тогда из критерия Коши n=1

сходимости числового ряда следует, что для любого ε > 0 найдется такой номер N , что для всех n > N и всех целых p > 1 выполняется неравенство |an+1 | + |an+2 | + . . . + |an+p | < ε. По свойству абсолютных величин имеем |an+1 + an+2 + . . . + an+p | 6 |an+1 | + |an+2 | + . . . + |an+p | < ε. ∞ P Следовательно, в силу того же критерия Коши, ряд an сходится. n=1

Замечание 3. Следует отметить, что обратное утверждение невер∞ ∞ P P но. Ряд |an | может расходиться, а ряд an сходиться. Например, n=1

n=1

∞ (−1)n−1 P ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд из абсолютных n n=1 ∞ 1 P (гармонический ряд) расходится. величин его членов n=1 n Поэтому введем следующее определение. ∞ ∞ P P Определение 6. Если ряд an сходится, а ряд |an | расходится, то

ряд

∞ P n=1

n=1

n=1

an называется условно сходящимся.

∞ (−1)n−1 P условно сходящийся. Таким образом, ряд n n=1 Пример 10. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд ∞ X (−1)n−1 . 2 n n=1

Решение.¯ Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ¯ n−1 ∞ 1 ∞ ∞ 1 P P ¯¯ (−1) ¯¯ P . Он сходится как ряд Дирихле , при ряда ¯ n2 ¯ = 2 α n=1 n n=1 n=1 n α = 2 > 1. Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно. 19

Грубо говоря, различие между абсолютно и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся — в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые уничтожают друг друга. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются. Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Можно показать (теорема Римана), что от перестановки членов условно сходящегося ряда, можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

2 Несобственные интегралы В свое время, изучая определенный интеграл, мы рассматривали конечный промежуток интегрирования [a, b] и ограниченную функцию f (x). Сейчас мы снимем эти ограничения и в зависимости от того, какое именно ограничение снимем, получим несобственные интегралы первого и второго рода. 2.1 Несобственные интегралы первого рода Пусть функция y = f (x) определена ∀ x, x > a, где a — любое и интегрируема на любом [a, A]. Определение 1. Несобственным интегралов первого рода от функции f (x) называется предел ZA lim

A→+∞

Z+∞ обоз f (x) dx = f (x) dx.

a

a

20

(1)

Определение 2. Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится; в противном случае говорят, что интеграл расходится. Заметим одно очевидное свойство интеграла: ZA

Za1 f (x) dx =

a

ZA f (x) dx +

a

Отсюда следует, что интегралы

f (x) dx. a1

+∞ R

f (x) dx и

a

+∞ R

f (x) dx сходятся или рас-

a1

ходятся одновременно (здесь a1 — любое число такое, что a < a1 < A). Выясним геометрический смысл несобственного интеграл I рода. На рисунке заштрихованная область RA соответствует f (x) dx. Если несоб-

y

a

ственный интеграл

+∞ R

f (x) dx сходит-

a

a

x

A

ся, то число к которому он сходится дает площадь неограниченной фигуры.

Аналогично вводятся несобственные интегралы Za

Za f (x) dx = lim

f (x) dx

A→−∞

−∞

и

A

Z+∞ Za Z+∞ f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx, −∞

(2)

−∞

a — любое число.

a

Пример 1. Z∞

ZA cos x dx = lim

A→+∞

0

¯A ¯ cos x dx = lim sin x¯ = lim sin A A→+∞

0

0

— не существует, следовательно, интеграл расходится. 21

A→+∞

(3)

Пример 2.  ¯ −α+1 ¯A x  ∞ A  Z Z ¯ ,  ¯ dx dx −α + 1 1 = lim = lim ¯A A→+∞ xα xα A→+∞   ¯  1 1 ln |x|¯ , 1  1  [A1−α − 1], α 6= 1, 1−α = lim A→+∞  ln A, α = 1.

α 6= 1, = α = 1,

Из последнего равенства видно, что интеграл сходится, если 1 − α < 0, т. е. α > 1 и расходится при α 6 1. Итак,  Z+∞ α > 1, dx  сходится, = (4) xα  расходится, α 6 1. 1

Рассмотрим интеграл

Z+∞ f (x) dx

(1)

a

и, наряду с ним, интеграл

Z+∞ |f (x)| dx.

(5)

a

Определение 3. Интеграл (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл (5). Если интеграл (5) расходится, а (1) — сходится, то говорят, что (1) сходится условно. Теорема 1. Если интеграл сходится абсолютно, то он и просто сходится. (без доказательства) Рассмотрим

+∞ R

f (x)dx и будем предполагать, что f (x) > 0, ∀ x ∈ [a, +∞).

a

Теорема 2. Если f (x) 6 g(x), ∀ x ∈ [a, +∞) и интеграл дится, то

+∞ R

g(x)dx схо-

a

+∞ R

f (x)dx тоже сходится. (без доказательства)

a

22

Из этой общей теоремы следуют частные, которые используются на практике, например: µ ¶ 1 Теорема 3. Если f (x) = O , x → +∞, то xα Z+∞ 1) α > 1 f (x) dx сходится; a

Z+∞ 2) α 6 1 f (x) dx расходится. a

Доказательство. Напомним, что f (x) = O(g(x)), x → +∞ означает, что f (x) = γ 6= 0. x→+∞ g(x) lim

Пусть сначала α > 1, тогда Так как

f (x) 1 < γ + ε, x > X. Отсюда f (x) < (γ + ε) . 1/xα xα Z+∞ a

(γ + ε) dx xα

сходится согласно (4), то исходный интеграл сходится и подавно в силу теоремы сравнения 2. Пусть теперь α 6 1. Выбираем ε > 0, но так, чтобы γ − ε > 0, тогда e такое, что будет выполняться ∃X f (x) 1 xα

> γ − ε, Z+∞

А так как согласно (4) a

e x>X

→

f (x) > (γ − ε)

1 . xα

γ−ε dx расходится, так как α 6 1, то в силу xα

той же теоремы сравнения 2 исходный интеграл расходится. Z+∞ 2 Пример 3. Рассмотрим интеграл Пуассона e−x dx. Оценим e

−x2

2

< 1/x (наша функция e 23

−x2

0

быстро убывает).

Z+∞ Поскольку 1

dx сходится, так как α = 2 > 1, то интеграл Пуассона x2

тоже сходится. Z+∞ 2 Пример 4. e−x xp−1 dx. 1

2

Аналогично e−x xp−1 < 1/x2 — сходится для любого p при x → +∞. (Показательная функция стремится к нулю быстрее, чем растет степенная). Следовательно, по теореме сравнения этот интеграл сходится независимо от значения p. 2.2 Несобственные интегралы второго рода Рассмотрим функцию

  1/x, 0 < x 6 1, f (x) =  0, x = 0.

Эта функция определена на [0, 1], но ни в какой окрестности точки x = 0 эта функция не является ограниченной. В такой ситуации точка x = 0 является особой. Определение 4. Точка x = b называется особой точкой функции f (x), если в любой окрестности этой точки функция неограниченна. Рассмотрим f (x), x ∈ [a, b), x = b — особая точка функции f (x). Предположим также, что Zb−µ f (x) dx a

существует при любом µ > 0. Определение 5. Несобственным интегралом второго рода мы назовем Zb−µ Zb обоз f (x) dx = f (x) dx. lim

µ→+0

a

a

24

(6)

Определение 6. Если указанный выше предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. В противном случае расходящимся. Аналогично вводится несобственный интеграл второго рода для f (x), особой точкой которой является x = a Zb

Zb f (x) dx = lim

λ→0 a+λ

a

f (x) dx.

(7)

Если особой точкой является точка x = c ∈ (a, b), то несобственный интеграл понимается так: Zb

Zc−λ Zb f (x) dx = lim f (x) dx + lim f (x) dx. µ→+0 c+µ

λ→+0

a

a

Zb Пример 5 (теоретического характера). a

(8)

dx = (b − x)α

Если α — число положительное, то интеграл становится несобственным, x = b — особая точка.  ¯ −α+1 ¯b−µ (b − x)  b−µ  Z ¯ , α 6= 1, − ¯ dx −α + 1 a = lim = lim = ¯ µ→+0 (b − x)α µ→+0  b−µ  ¯  a − ln |b − x|¯ , α = 1, a

 1−α − (b − a)1−α   −µ , 1−α = lim µ→+0   − ln µ − ln |b − a|,

α 6= 1, α = 1,

Отсюда вытекает, что конечный предел существует, если −α + 1 > 0, т. е. α < 1. И следовательно, интеграл сходится при α < 1. Если α > 1, то интеграл расходится. Для несобственных интегралов II рода можно ввести понятия абсолютной и условной сходимости. (Сделайте это самостоятельно.) Имеют место также теоремы аналогичные теоремам 1–3. Пусть f (x) > 0, ∀ x ∈ [a; b). 25

Rb Теорема 4. Если f (x) 6 g(x), ∀ x ∈ [a, b), то из сходимости g(x)dx a

Rb следует сходимость f (x)dx. a

µ

¶ 1 Теорема 5. Если f (x) = O , x → b − 0, то (b − x)α 1) если α < 1, то интеграл сходится; 2) если α > 1, то интеграл расходится. (Докажите самостоятельно.) Пример 6. Рассмотрим случай, когда интеграл одновременно является несобственным интегралом и первого и второго рода. Z+∞ Z1 Z+∞ 2 2 2 e−x xp−1 dx. e−x xp−1 dx = e−x xp−1 dx + 1

0

0

У первого интеграла — особая точка x = 0, то есть это несобственный интеграл II рода. Исследуем его на сходимость. 2

e−x xp−1 ∼

x→0

1 x1−p

,

1−p<1 → p>0

— интеграл сходится. (p 6 0 — интеграл расходится.) Исследуем второе слагаемое, это несобственный интеграл первого рода: 2

e−x xp−1 <

1 x2

при x → ∞

→

интеграл сходится ∀ p,

следовательно, исходный интеграл сходится при любом p > 0.

26

Литература [1] Гаврилова Р. М., Костецкая Г. С., Карапетянц А. Н. Определенный интеграл (ч. I). Методические указания для студентов 1 курса физического факультета. Ростов н/Д: УПЛ РГУ. 2003. [2] Ильин В. А., Поздняк В. П. Основы математического анализа. М.: Наука, 1967. [3] Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М., 1965.

27