Об одном классе периодических групп

Алгебра и логика, 44, № 1 (2005), 114—125

УДК 512.54

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУПП∗) А. К. ШЛЁПКИН, А. Г. РУБАШКИН

§ 1. Определения и основные результаты

Говорят [1], что группа G насыщена группами из множества R, если любая конечная подгруппа K из G содержится в подгруппе, изоморфной некоторой группе из R. Если группа G насыщена группами из множества R и для любой X ∈ ℜ в G найдется подгруппа L ≃ X, то будем говорить, что G насыщена множеством групп R, а R называть насыщающим множеством групп для G. Напомним, что группа, порождённая двумя инволюциями, называется группой диэдра, или диэдром, а если она ещё и конечна, то конечным диэдром. Локально конечный диэдр — это группа, которая является объединением бесконечной возрастающей цепочки конечных диэдров. Группа, в которой любая пара сопряжённых элементов простого порядка порождает конечную группу с сохранением этого свойства по конечным сечениям, называется группой Шункова. В работе доказываются следующие ТЕОРЕМА 1. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами диэдра, локально конечна. ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект № 03-01-00356, и Красноярского краевого фонда науки, проект № 11F0202C.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

Об одном классе периодических групп

115

ТЕОРЕМА 2. Периодическая группа ограниченного периода, насыщенная группами диэдра, конечна. ТЕОРЕМА 3. Если G — периодическая группа, насыщенная группами диэдра, а S — её силовская 2-подгруппа, то либо S является группой порядка 2, а G — (локально) конечным диэдром, либо G = ABC = ACB = = BCA = CBA, где A — централизатор некоторой инволюции z из центра S, B = O(CG (v)), где v — произвольная инволюция из S, отличная от z, и C = O(CG (zv)). При этом A — (локально) конечный диэдр, а B, C — (локально) циклические группы.

§ 2. Предварительные сведения ЛЕММА 1. Локально конечный диэдр G порождается инволюциями. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, G порождается конечными группами диэдра, причем последние порождаются инволюциями, поэтому G порождается инволюциями. Лемма доказана. ЛЕММА 2. Пусть G — локально конечный диэдр. Тогда G = Hλhii, где H — локально циклическая группа, i — инволюция, а для любого элемента h ∈ H выполняется hi = h−1 . В частности, любая (локально) циклическая подгруппа из G, порядок которой больше четырёх, лежит в H и нормальна в G, а любая не (локально) циклическая подгруппа из G содержит свой централизатор в G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению локально конечного диэдра ∞ S Dk , где D1 < . . . < Dk < . . . — бесконечная возрастающая имеем G = k=1

цепочка конечных диэдров, Dk = hhk iλhik i, ik — инволюция, инвертирующая любой элемент из hhk i. Ясно, что hhk i ⊆ hhk+1 i и любая нецентральная в Dk+1 инволюция i из Dk инвертирует все элементы из hhk+1 i, при ∞ S hhk i, и пусть i — нецентральная этом Dk+1 = hhk+1 iλhii. Положим H = k=1

инволюция, например, из D2 . Тогда G = Hλhii. Лемма доказана. Последующие три леммы очевидны.

116

А. К. Шлёпкин, А. Г. Рубашкин ЛЕММА 3. Пусть G — (локально) конечный диэдр, H — его неабе-

лева подгруппа. Тогда H — (локально) конечный диэдр. ЛЕММА 4. Пусть G — (локально) конечный диэдр, H — его абелева подгруппа. Тогда H является либо элементарной абелевой порядка 4, либо (локально) циклической группой. ЛЕММА 5. Если G — конечный или локально конечный диэдр, M , K — его конечные циклические подгруппы, |H| = |K| > 2, то M = K. В дальнейшем высказывание „Hλhxi — локально конечный диэдр“ будет подразумевать, что x — инволюция, H — локально циклическая группа, h−1 = hx для любого h ∈ H. ЛЕММА 6. Пусть G = Hλhxi — локально конечный диэдр. Тогда G содержит один, два или три класса сопряженных инволюций, а именно класс K1 = {xg | g ∈ G}; класс K2 = {z}, где z ∈ H — центральная инволюция группы G, если она существует; класс K3 = {(bx)g | g ∈ G}, где b — элемент из H, не являющийся квадратом, если он существует. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть y — произвольная инволюция из G. Если y ∈ H, то y = z ∈ K2 . Пусть y = hx для некоторого h ∈ H. Если h — h квадрат, то y = hx = h21 = h1 xh−1 1 = x

−1

и y ∈ K1 . Если квадратный ко-

рень из h не извлекается, то квадраты всех элементов из H составляют в H подгруппу B индекса 2, и поэтому h = bh21 для некоторого h1 ∈ H и фикси−1

рованного элемента b ∈ H \B. В этом случае y = hx = bh21 x = (bx)h1 ∈ K3 . Итак, y ∈ K1 ∪ K2 ∪ K3 . Лемма доказана. ЛЕММА 7 [2]. Периодическая группа, содержащая инволюцию, централизатор которой конечен, локально конечна и почти локально разрешима. ЛЕММА 8 [3]. Пусть G — 2-группа, K — её собственная конечная подгруппа. Тогда найдется такая конечная подгруппа M ≤ G, что K < < M . В частности, нормализатор K в G отличен от K.

Об одном классе периодических групп

117

ЛЕММА 9 [3]. Произвольная 2-группа с единственной инволюцией является либо (локально) циклической, либо (обобщённой) группой кватернионов (конечной или бесконечной). ЛЕММА 10 [4]. Если в периодической группе G некоторая силовская 2-подгруппа конечна, то все силовские 2-подгруппы из G конечны и сопряжены. § 3. Свойства периодических групп, насыщенных группами диэдра В этом параграфе G — периодическая группа, насыщенная группами диэдра. ЛЕММА 11. Если G локально конечна, то она является локально конечным диэдром. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ввиду локальной конечности G любая её подгруппа диэдра конечна. Выберем в G два элемента x, y такие, что |x| > 2 и |y| > 2. Рассмотрим конечную группу hx, yi. По условию насыщенности, hx, yi ≤ D < G, где D = haiλhii — конечная группа диэдра. Отсюда x ∈ hai, y ∈ hai и xy = yx, следовательно, все элементы группы G, порядок которых больше 2, порождают в G нормальную локально циклическую подгруппу H. Множество G \ H непусто и состоит из одних инволюций. Пусть t — фиксированная инволюция из G \ H, x — произвольная инволюция из G \ H, 1 6= h ∈ H и |h| > 2. Рассмотрим конечную группу hh, x, ti. По условию насыщенности, hh, x, ti ⊂ D = hh1 iλhti — конечная группа диэдра. Из определения H следует, что h1 ∈ H. Следовательно, все инволюции из G лежат в Hλhti и G = Hλhti. Лемма доказана. ЛЕММА 12. Пусть b ∈ G, |b| > 2. Тогда CG (b) содержит не более одной инволюции. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, напротив, существуют две различные инволюции x, y из CG (b). По условию насыщенности конечная группа hx, y, bi содержится в некотором конечном диэдре из G. Тогда x = y, приходим к противоречию. Лемма доказана.

118

А. К. Шлёпкин, А. Г. Рубашкин ЛЕММА 13. В группе G найдется инволюция i такая, что урав-

нение x2 = i не имеет решения в G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, т. е. i — инволюция из G, а g — элемент из G такой, что g 2 = i. По условию насыщенности в G найдется инволюция j такая, что g j = g −1 , j централизует i, при этом элемент g нормализует четверную подгруппу T = hi, ji. Пусть h — элемент из G, для которого h2 = j. Подгруппа D = hi, hi конечна, поскольку её фактор-группа по подгруппе hji порождается двумя инволюциями. По условию насыщенности группа D вложима в конечный диэдр и потому сама является диэдром порядка 8. Следовательно, h ∈ NG (T ) и подгруппа T нормальна в M = hg, hi. Фактор-группа M/T порождена двумя инволюциями, поэтому M конечна. По условию насыщенности M является подгруппой конечного диэдра из G. Тогда hhi = hgi и j = h2 = g 2 = i, последнее невозможно. Лемма доказана. ЛЕММА 14. Если G — 2-группа, то G — (локально) конечный диэдр. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 11 достаточно доказать, что G локально конечна. Предположим противное, и пусть G — контрпример, а z — инволюция из G. По лемме 7 подгруппа C = CG (z) бесконечна. Возьмём в C конечную абелеву подгруппу K порядка, большего 2, содержащую инволюцию z. По условию насыщенности, K < D = hdiλhii — конечный диэдр, и, по лемме 4, z ∈ hdi. Таким образом, C содержит инволюцию i 6= z. Рассмотрим C1 = CC (i). Если C1 — бесконечная группа, то в ней найдётся элемент c такой, что M = hc, i, zi — нециклическая абелева группа порядка, не меньшего 8. С другой стороны, M лежит в некоторой конечной группе диэдра из G и, по лемме 4, |M | = 4, получаем противоречие. Итак, C1 — конечная группа. По лемме 7, C локально конечна, а по лемме 5, C = Hλhii — локально конечный диэдр, при этом z ∈ H. Точно так же C(i) = CG (i) = Rλhzi — локально конечный диэдр, i ∈ ∈ R. Пусть h ∈ H, r ∈ R, |h| = |r| = 4. Поскольку h и r принадлежат нормализатору четверной подгруппы T = hi, zi, группа hh, ri конечна. По условию насыщенности она является подгруппой конечного диэдра из G.

Об одном классе периодических групп

119

Поэтому и по лемме 5, hhi = hri и i = r2 = h2 = z, последнее невозможно, т. к. i, z — различные инволюции. Полученное противоречие показывает, что G локально конечна. Лемма доказана. ЛЕММА 15. Для любой инволюции t ∈ G централизатор CG (t) является (локально) конечным диэдром. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу лемм 7 и 11 можно считать, что C = = CG (t) — бесконечная группа, поэтому существует конечная абелева подгруппа K < C, содержащая инволюцию t, для которой |K| > 4. По условию насыщенности, K < K1 , где K1 — конечный диэдр из G. Ясно, что K1 < C и последняя содержит инволюции, отличные от t. Обозначим через z одну из таких инволюций и рассмотрим CC (z). Нетрудно убедиться, что указанная группа конечна, а по лемме 7, группа C локально конечна. Поскольку C неабелева, она насыщена группами диэдра и, по лемме 11, является локально конечным диэдром. Лемма доказана. ЛЕММА 16. Пусть S — силовская 2-подгруппа группы G. Тогда либо S — локально конечный диэдр, либо S — группа порядка два, а G — локально конечный диэдр. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если S — группа порядка два, то CG (S) = S (условие насыщенности). По лемме 7, G локально конечна и, по лемме 11, является локально конечным диэдром. Пусть теперь порядок S отличен от двух. Ввиду леммы 14 достаточно доказать насыщенность S группами диэдра. Пусть K — конечная подгруппа из S, а K не является диэдром. Тогда, по леммам 3, 4, K будет циклической и обладает единственной инволюцией k. Если k лежит в центре S, то S лежит в централизаторе k, являющемся по лемме 15 (локально) конечным диэдром, следовательно, S — (локально) конечный диэдр. Если k ∈ / Z(S), то существует g ∈ S такой, что k 6= k g . Подгруппа hk, k g i — группа диэдра, в которой есть инволюция i, отличная от k и централизующая k. Значит, D = hi, ki лежит в централизаторе k, являющемся локально конечной группой по лемме 15. Отсюда D — конечная нециклическая 2-группа, а следовательно, D — диэдр. Лемма доказана.

120

А. К. Шлёпкин, А. Г. Рубашкин ЛЕММА 17. Пусть H — собственная нормальная подгруппа груп-

пы G, содержащая инволюцию. Тогда G = HCG (z) для некоторой инволюции z ∈ H. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть инволюции x, t таковы, что x ∈ H, t ∈ G \ H (очевидно, G \ H содержит инволюции). Конечная группа диэдра D = hx, ti = hdiλhxi = hdiλhti не лежит в H и содержит нормальную подгруппу H1 = H ∩ D = hd1 iλhxi индекса два, где d1 = (tx)2 (поскольку (tx)2 = (tx)(tx) = (txt)x ∈ H в силу нормальности последней в G). Таким образом, в hdi есть инволюция z. Очевидно, z ∈ CG (x). Если z ∈ / H, то D ⊆ H ∪ zH и t = zh для некоторого h ∈ H, т. е. t ∈ HCG (x). Пусть теперь z ∈ H. Тогда в hdi найдётся элемент v порядка четыре, для которого v 2 = z. Значит, инволюцию x можно выбрать так, чтобы она лежала в некоторой циклической группе hwi порядка четыре (например, в качестве x возьмем z). Группа hv, wi конечна (действительно, v, w ∈ NG (hzi × hxi), причем является периодической, фактор-группа ¯ = NG (hzi × hxi)/(hzi × hxi) также, v¯, w ¯ , а полный N ¯ — инволюции в N прообраз конечной группы h¯ v , wi ¯ в N , очевидно, совпадает с hv, wi) и является подгруппой конечного диэдра из G. По лемме 5, hvi = hwi, что невозможно, т. к. v 2 = z 6= x = w2 . Таким образом, в H найдётся инволюция x такая, что любая инволюция из G \ H лежит в CG (x)H. По лемме 1, G порождается инволюциями, поэтому G = CG (x)H. Лемма доказана. ЛЕММА 18. Все силовские 2-подгруппы группы G сопряжены. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим через S некоторую силовскую 2подгруппу группы G. Если S конечна, то достаточно сослаться на лемму 10. Пусть S — бесконечная группа. По лемме 16, S = Lλhti является локально конечным диэдром. Если подгруппа L нормальна в G, то заключение леммы справедливо. Более того, по лемме 16 сама группа G в этом случае является локально конечным диэдром. Пусть R = Hλhii — другая силовская 2-подгруппа из G, z и y — инволюции из L и H, соответственно, а d = zy. Если порядок элемента d

Об одном классе периодических групп

121

нечётен, то z сопряжена с y, поэтому подгруппы S и R сопряжены. Если он чётен, то обозначим через v инволюцию из hdi. Ясно, что v ∈ CG (y)∩CG (z). Рассмотрим группы M1 = Lλhvi и M2 = Hλhvi. Очевидно M1 и M2 — силовские 2-подгруппы, сопряжённые с S в NG (L) = CG (z) и R в NG (H) = = CG (y), соответственно. Подгруппы hvi×hzi и hvi×hyi сопряжены в CG (v) как силовские 2-подгруппы, поэтому hvi × hzi < S ∩ Rc для некоторого c ∈ CG (v). Пусть S 6= Rc . Используя нормализаторное условие в S и Rc (лемма 8), получаем противоречие с условием насыщенности G группами диэдра. Таким образом, S = Rc . Лемма доказана. ЛЕММА 19. Пусть в G существует локально конечная нетривиальная нормальная подгруппа H. Тогда G локально конечна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если G = H, то доказывать нечего. Пусть G 6= H и G не является локально конечной группой. Тогда из лемм 15, 17 и теоремы Шмидта следует, что 2 ∈ / π(H). Если G не содержит четверной подгруппы, то силовская 2-подгруппа группы G имеет порядок два и, по лемме 16, G локально конечна. Следовательно, G содержит четверную подгруппу K = hzi × hti, z 2 = t2 = 1. Из лемм 11, 12 вытекает, что HλK — локально конечный диэдр, и без ограничения общности можно считать, что z ∈ CG (H). По нормальности H имеем включение z g ∈ CG (H) для любого g ∈ G. По лемме 12 централизатор H не может содержать более одной инволюции. Тогда z g = z для любого g ∈ G и, по лемме 15, G является локально конечной группой. Лемма доказана. ЛЕММА 20. Для любого 1 6= b ∈ G нормализатор NG hbi — (локально) конечный диэдр. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если hbi содержит инволюцию, то по лемме 15 заключение верно. Если NG hbi конечная группа, то требуемое следует из условия насыщенности. Пусть NG hbi — бесконечная группа. Тогда NG hbi — периодическая группа, насыщенная группами диэдра и обладающая конечной нормальной подгруппой hbi, и заключение следует из леммы 19. Лемма доказана. ЛЕММА 21. Пусть H — бесконечная локально конечная подгруппа группы G. Тогда H ≤ L ≤ G, где L — локально конечный диэдр из G.

122

А. К. Шлёпкин, А. Г. Рубашкин ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если G локально конечна, то в качестве L

можно взять G. Пусть G не является локально конечной. Обозначим через M нормальную подгруппу из H, порождённую всеми элементами группы H, порядок которых больше двух. Группа H локально конечна, и из условия насыщенности G группами диэдра вытекает локальная цикличность M . Покажем, что CG (M ) насыщен группами диэдра. Действительно, пусть K — конечная подгруппа из CG (M ). Возьмём в M циклическую группу hmi такую, что |m| > 2. По условию насыщенности конечная группа hm, Ki вложима в конечную группу диэдра D, которая, как легко показать, лежит в CG (M ). По лемме 19, CG (M ) является локально конечной группой. Поскольку CG (M ) — неабелева группа (она содержит D), то CG (M ) — локально конечный диэдр. Лемма доказана. ЛЕММА 22. Пусть силовская 2-подгруппа S группы G бесконечна. Тогда G содержит точно два класса сопряженных инволюций. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 16, S является локально конечным диэдром. Возьмем инволюцию z ∈ Z(S) и рассмотрим CG (z) = Lλhti, являющийся локально конечным диэдром по лемме 15. Назовём инволюцию z длинной, а инволюцию t — короткой (т. к. t не лежит в циклической 2-группе порядка более двух). По лемме 16, CG (z) содержит два класса сопряжённых инволюций It = {z}, It = {tG }. По лемме 18 силовские 2-подгруппы из G сопряжены, поэтому сопряжены и все длинные инволюции. Обозначим класс сопряжённых длинных инволюций через I1 . Пусть w, v — две короткие инволюции. Если w, v лежат в CG (z), то они сопряжены. Пусть одна из них, например, w не лежит в CG (z). Тогда w ∈ S g для некоторого g ∈ G. Следовательно, wg

−1

∈ CG (z). Итак, можно счи-

тать, что с точностью до сопряжения v, w ∈ CG (z), а в последней группе они сопряжены. Обозначим через I2 множество коротких инволюций. Из вышесказанного следует, что любая инволюция из G лежит в I1 ∪ I2 , где I1 = {z G }, I2 = {tG }, I1 ∩ I2 = ∅. Лемма доказана. ЛЕММА 23. Если S — силовская 2-подгруппа в G, то NG (S) = S. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если S конечна, n ∈ NG (S), то hS, ni содер-

Об одном классе периодических групп

123

жится в конечном диэдре и n ∈ SCG (S) = S. Если S бесконечна, то она содержит единственную инволюцию z и поэтому NG (S) содержится в CG (z), который по лемме 15 является (локально) конечным диэдром, для которого заключение леммы верно. Лемма доказана. ЛЕММА 24. Пусть V — конечная нециклическая подгруппа в G. Тогда |NG (V ) : V | 6 2. Если |NG (V ) : V | = 2, то V — 2-группа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если x ∈ CG (V ), то hx, V i — конечная подгруппа, лежащая в конечном диэдре из G, поэтому x ∈ V и, следовательно, CG (V ) ≤ V . Поскольку |NG (V )/CG (V )| 6 |Aut V | < ∞, то NG (V ) — конечная подгруппа, лежащая в конечном диэдре. Теперь заключение леммы вытекает из строения диэдров. ЛЕММА 25. Пересечение любых двух различных силовских 2подгрупп из G является циклической группой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, напротив, S и S1 — две различные силовские 2-подгруппы, а подгруппа V = S ∩ S1 не является циклической. Тогда NS (V ) 6= V 6= NS1 (V ). По лемме 24, NS (V ) = NG (V ) = NS1 (V ) и V 6= NG (V ) ≤ S ∩ S1 = V , получаем противоречие. Лемма доказана. ЛЕММА 26. Пусть S — силовская 2-подгруппа в G. Тогда любые две инволюции из S, сопряжённые в G, сопряжены в S. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть x, xg — инволюции из S. Можно считать, что x 6= xg . Очевидно, x ∈ S g

−1

= S1 , а CS (x), CS1 (x) — нецик-

лические группы, лежащие в CG (x). Существует c ∈ CG (x) такой, что hCS (x), CSc 1 (x)i — 2-группа, лежащая в некоторой силовской 2-подгруппе S2 из G. Поскольку группы S ∩S2 и S2 ∩S1 c не являются циклическими, то S = S 2 = S1 c = S g

−1 c

. Тогда g = cn, где n ∈ NG (S) = SCG (S) по лемме 23

и xg = xn . Лемма доказана. § 4. Доказательство основных результатов ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 1. По условиям теоремы в G любые два сопряжённых элемента нечётного простого порядка порождают конечную и, следовательно, циклическую подгруппу. Отсюда для каждого

124

А. К. Шлёпкин, А. Г. Рубашкин

нечётного простого числа p ∈ π(G) в G только одна подгруппа P является группой порядка p. Поэтому все элементы нечётного порядка порождают в G локально циклическую подгруппу, фактор-группа по которой, в силу леммы 16, является локально конечной 2-группой. По теореме Шмидта группа G локально конечна. Теорема доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 2. Пусть G бесконечна, z — инволюция из G. Если CG (z) — конечная группа, то, по лемме 7, G локально конечна и, по лемме 11, G = Hλhzi — локально конечный диэдр. Группа H — бесконечная и локально циклическая, поэтому в ней для любого заданного натурального n найдётся элемент h со свойством |h| > n. Это противоречит тому, что G имеет ограниченный период. Следовательно, CG (z) — бесконечная группа. По лемме 15, CG (z) = Lλt является локально конечным диэдром, а L — бесконечной локально циклической группой. Последнее противоречит тому, что G имеет ограниченный период. Теорема доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 3. Пусть g ∈ G. Положим w = vz. По леммам 23 и 26, v g не сопряжена с z, значит, D = hv g , zi — конечная группа диэдра, порядок которой делится на 4. Следовательно, D ≤ CG (i) для некоторой инволюции i. По леммам 23 и 26 ни одна инволюция из CG (z) \ hzi не сопряжена с z. Инволюция v g перестановочна с i, поэтому i сопряжена в G с инволюцией u из V = hv, zi. Так как i и u лежат в CG (z), то по леммам 15 и 26 существует a ∈ A такой, что ia = u и v ga ∈ CG (u). Если u = v, то v ga и v — две различные перестановочные сопряжённые инволюции. По лемме 26, S неабелева и, следовательно, существует a1 ∈ S такой, что ua1 = w. Заменив, если потребуется, a на aa1 , можно добиться того, чтобы ia = w = zv. Итак, v, v ga ∈ CG (w). Снова по леммам 15 и 26 существует c ∈ C такой, что v = v gac , откуда gac = x ∈ C(v), т. е. g = xc−1 a−1 . Учитывая, что C(v) = BV и V нормализует C, получаем x = by для b ∈ B, y ∈ V и g = bvc−1 a−1 = bc1 a1 для a1 = va−1 ∈ A, c1 = vc−1 v −1 ∈ C. Тогда G = BCA. Если вместо v рассмотреть w, то аналогично получаем равенство G = CBA. Остальные два равенства теоремы следуют из того, что G =

Об одном классе периодических групп

125

{g −1 | g ∈ G}. Строение групп A, B, C определяется леммой 15. Теорема доказана. Авторы выражают благодарность проф. В. Д. Мазурову за результативные консультации и обсуждение доказываемых в статье результатов.

ЛИТЕРАТУРА 1. А. К. Шлёпкин, О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми подгруппами, Матем. труды, 1, № 1 (1998), 129—138. 2. В. П. Шунков, О периодических группах с почти регулярной инволюцией, Алгебра и логика, 11, № 4 (1972), 470—494. 3. В. П. Шунков, Об одном классе p-групп, Алгебра и логика, 9, № 4 (1970), 484—496. 4. В. П. Шунков, Об абелевых подгруппах в бипримитивно конечных группах, Алгебра и логика, 12, № 5 (1973), 603—614.

Поступило 12 апреля 2004 г. Адреса авторов: ШЛЁПКИН Анатолий Константинович, ул. Киренского, д. 11б, кв. 116, г. Красноярск, 660074, РОССИЯ. Тел.: (3912) 49-71-30. e-mail: [email protected] РУБАШКИН Артём Геннадьевич, ул. Копылова, д. 48, кв. 49, г. Красноярск, 660001, РОССИЯ. Тел.: (3912) 42-99-95. e-mail: [email protected]