gosudarstwennyj komitet rossijskoj federacii po wys{emu obrazowani` ba{kirskij gosudarstwennyj uniwersitet
{aripow r. a...
4 downloads
187 Views
810KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
gosudarstwennyj komitet rossijskoj federacii po wys{emu obrazowani` ba{kirskij gosudarstwennyj uniwersitet
{aripow r. a.
klassi~eskaq |lektrodinamika i teoriq otnositelxnosti u^EBNOE POSOBIE
ufa 1997
2
udk 517.9 {ARIPOW r. a. kLASSI^ESKAQ \LEKTRODINAMIKA I TEORIQ OTNOSITELXNOSTI: U^EBNOE POSOBIE / iZD-E bA[KIRSKOGO UN-TA. | uFA, 1997. | 164 S. | ISBN 5-7477-0180-0. kNIGA PREDSTAWLQET SOBOJ U^EBNOE POSOBIE PO KURSU \LEKTRODINAMIKI I TEORII OTNOSITELXNOSTI, ADRESOWANNOE STUDENTAMMATEMATIKAM. |TIM OPREDELQETSQ STILX IZLOVENIQ MATERIALA: W NEJ AKTIWNO ISPOLXZUETSQ \LEMENTY WEKTORNOGO I TENZORNOGO ANALIZA, DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII I TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ. pODGOTOWKA KNIGI K IZDANI@ WYPOLNENA METODOM KOMPX@TERNOJ WERSTKI NA BAZE PAKETA AMS-TEX OT aMERIKANSKOGO mATEMATI^ESKOGO oB]ESTWA. pRI \TOM BYLI ISPOLXZOWANY KIRILLI^ESKIE [RIFTY SEMEJSTWA Lh, RASPROSTRANQEMYE aSSOCIACIEJ CyrTUG POLXZOWATELEJ KIRILLI^ESKOGO TEX'A. kNIGA PE^ATAETSQ PO RE[ENI@ METODI^ESKOJ KOMISSII MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA bA[gu. rECENZENTY: kAFEDRA ALGEBRY I GEOMETRII bgpi, D. F.-M. N., PROF. bAJKOW w. a. (ugatu).
ISBN 5-7477-0180-0
c {ARIPOW r.a., 1997
3
oglawlenie. oglawlenie. .................................................................. 3. predislowie. ............................................................... 6. glawa I. |lektrostatika i magnitostatika. 8. x 1. bAZOWYE \KSPERIMENTALXNYE FAKTY I SISTEMY EDINIC. ....................................................... 8. x 2. kONCEPCIQ BLIZKODEJSTWIQ. ........................................ 14. x 3. pRINCIP SUPERPOZICII. .............................................. 16. x 4. sILA lORENCA I ZAKON bIO-sAWARA-lAPLASA. ............. 19. x 5. pLOTNOSTX TOKA. zAKON SOHRANENIQ ZARQDA. ............... 23. x 6. |LEKTRI^ESKIJ DIPOLXNYJ MOMENT. .......................... 26. x 7. mAGNITNYJ MOMENT. ................................................... 28. x 8. iNTEGRALXNYE URAWNENIQ STATI^ESKOGO \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. ........................................... 33. x 9. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ STATI^ESKOGO \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. ........................................... 42. glawa II. klassi~eskaq |lektrodinamika. . 44. x 1. uRAWNENIQ mAKSWELLA. ................................................ 44. x 2. pLOTNOSTX I POTOK \NERGII \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. .......................................................................... 47. x 3. wEKTORNYJ I SKALQRNYJ POTENCIALY \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. ........................................... 54. x 4. kALIBROWO^NYE PREOBRAZOWANIQ I LORENCEWA KALIBROWKA. ................................................................ 57. x 5. |LEKTROMAGNITNYE WOLNY. ......................................... 59. x 6. iZLU^ENIE \LEKTROMAGNITNYH WOLN. ........................... 61.
4
glawa III. specialxnaq teoriq otnositelxnosti. ............................................. 69. x 1. pREOBRAZOWANIQ gALILEQ. ........................................... 69. x 2. pREOBRAZOWANIQ lORENCA. ........................................... 74. x 3. pROSTRANSTWO mINKOWSKOGO. ....................................... 78. x 4. kINEMATIKA OTNOSITELXNOGO DWIVENIQ. ..................... 83. x 5. rELQTIWISTSKIJ ZAKON SLOVENIQ SKOROSTEJ. ................ 91. x 6. mIROWYE LINII I SOBSTWENNOE WREMQ. ....................... 93. x 7. dINAMIKA MATERIALXNOJ TO^KI. .................................. 96. x 8. ~ETYREHMERNAQ ZAPISX URAWNENIJ mAKSWELLA. ......... 102. x 9. ~ETYREHMERNYJ WEKTORNYJ POTENCIAL. .................... 109. x 10. zAKON SOHRANENIQ ZARQDA. ........................................ 114. x 11. zAME^ANIE O KOSOUGOLXNYH I KRIWOLINEJNYH KOORDINATAH. .......................................................... 117. glawa IV. lagranvew formalizm w teorii otnositelxnosti. ....................... x 1. pRINCIP NAIMENX[EGO DEJSTWIQ DLQ ^ASTIC I POLEJ. .................................................................. x 2. dWIVENIE ^ASTICY W \LEKTROMAGNITNOM POLE. .......... x 3. dINAMIKA PYLEWIDNOJ MATERII. ............................... x 4. dEJSTWIE DLQ PYLEWIDNOJ MATERII. .......................... x 5. uRAWNENIQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. ........................
121. 121. 126. 130. 135. 143.
glawa V. ob}aq teoriq otnositelxnosti. ......................................... 147. x 1. pEREHOD K NEPLOSKIM METRIKAM I ISKRIWLENIE PROSTRANSTWA mINKOWSKOGO. ..................................... 147.
5
x 2. dEJSTWIE DLQ GRAWITACIONNOGO POLQ. uRAWNENIE |JN[TEJNA. ............................................................. x 3. zAKON SOHRANENIQ ^ETYREHMERNOGO IMPULXSA DLQ POLEJ. ................................................................ x 4. tENZOR \NERGII-IMPULXSA DLQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. ........................................................................ x 5. tENZOR \NERGII-IMPULXSA DLQ PYLEWIDNOJ MATERII. .................................................................. x 6. zAKL@^ITELXNYE ZAME^ANIQ. .....................................
149. 155. 157. 159. 163.
spisok literatury. ............................................. 164.
predislowie. tEORIQ OTNOSITELXNOSTI | \TO FIZI^ESKAQ DISCIPLINA, KOTORAQ WOZNIKLA W NA^ALE XX-GO WEKA I SU]ESTWENNO IZMENILA TRADICIONNYE PREDSTAWLENIQ OB USTROJSTWE WSELENNOJ. |FFEKTY, PREDSKAZYWAEMYE \TOJ TEORIEJ, STANOWQTSQ SU]ESTWENNYMI LI[X PRI OPISANII PROCESSOW, IDU]IH NA O^ENX BOLX[IH SKOROSTQH, BLIZKIH K SKOROSTI SWETA c = 2:998 105KM=SEK. w XIX-OM WEKE EDINSTWENNOJ TEORIEJ, IME@]EJ DELO S TAKIMI PROCESSAMI, BYLA TEORIQ \LEKTROMAGNETIZMA. rAZWITIE TEORII \LEKTROMAGNETIZMA W XIX-OM WEKE KAK RAZ I STALO PREDPOSYLKOJ WOZNIKNOWENIQ TEORII OTNOSITELXNOSTI. iZLOVENIE MATERIALA W DANNOJ KNIGE SOOTWETSTWUET \TOJ ISTORI^ESKOJ POSLEDOWATELXNOSTI SOBYTIJ. w PERWOJ GLAWE IZLAGAETSQ \LEKTROSTATIKA I MAGNITOSTATIKA, NA^INAQ S OPISANIQ PERWYH OPYTOW PO WZAIMODEJSTWI@ ZARQDOW I TOKOW. wO WTOROJ GLAWE IZLAGAETSQ KLASSI^ESKAQ \LEKTRODINAMIKA, OSNOWANNAQ NA URAWNENIQH mAKSWELLA. tRETXQ GLAWA NA^INAETSQ S WYWODA PREOBRAZOWANIJ lORENCA KAK PREOBRAZOWANIJ, OSTAWLQ@]IH NEIZMENNYM WID URAWNENIJ mAKSWELLA. fIZI^ESKAQ INTERPRETACIQ TAKIH PREOBRAZOWANIJ PRIWODIT K NEOBHODIMOSTI OB_EDINENIQ PROSTRANSTWA I WREMENI W ODIN ^ETYREHMERNYJ KONTINUUM (PROSTRANSTWO mINKOWSKOGO), W KOTOROM OTSUTSTWUET ABSOL@TNOE NAPRAWLENIE WREMENI. pOSLE WWEDENIQ ^ETYREHMERNOGO PROSTRANSTWA-WREMENI W TRETXEJ GLAWE DAETSQ POSLEDOWATELXNOE PEREIZLOVENIE KLASSI^ESKOJ \LEKTRODINAMIKI W FORME, INWARIANTNOJ OTNOSITELXNO PREOBRAZOWANIJ lORENCA. w ^ETWERTOJ GLAWE RASSMATRIWAETSQ LAGRANVEW WARIACIONNYJ PODHOD K OPISANI@ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ I POLEJ MATERII W SPECIALXNOJ TEORII OTNOSITELXNOSTI. iSPOLXZOWANIE
7
KRIWOLINEJNYH KOORDINAT W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO I PRIMENENIE SOOTWETSTWU@]EGO DIFFERENCIALXNO-GEOMETRI^ESKOGO APPARATA PODGOTAWLIWAET PO^WU DLQ PEREHODA K OB]EJ TEORII OTNOSITELXNOSTI. w PQTOJ GLAWE IZLAGAETSQ \JN[TEJNOWSKAQ TEORIQ GRAWITACII (OB]AQ TEORIQ OTNOSITELXNOSTI), KOTORAQ INTERPRETIRUET POLE TQGOTENIQ KAK ISKRIWLENIE SAMOGO PROSTRANSTWA-WREMENI. kNIGA ADRESOWANA STUDENTAM-MATEMATIKAM, PO\TOMU W NEJ UDELQETSQ BOLX[OE WNIMANIE LOGI^ESKOJ SWQZNOSTI IZLOVENIQ. sSYLKI NA FIZI^ESKU@ INTUICI@ SWEDENY K MINIMUMU: W TEH MESTAH, GDE PRIHODITSQ WWODITX DOPOLNITELXNYE PREDPOLOVENIQ, NE WYTEKA@]IE IZ PREDYDU]EGO MATERIALA, DAETSQ PODROBNYJ KOMMENTARIJ. aWTOR NADEETSQ, ^TO NASTOJ^IWYJ I ZAINTERESOWANNYJ ^ITATELX S DOSTATO^NOJ PODGOTOWKOJ (NA UROWNE STUDENTOW 2-GO ILI 3-GO KURSA MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA) SMOVET PREODOLETX WSE SLOVNOSTI, SWQZANNYE S WYKLADKAMI, I, PRO^TQ \TU KNIGU, NE TOLXKO OSWOIT PREDMET, NO I POLU^IT \STETI^ESKOE UDOWOLXSTWIE OT TOGO, NASKOLXKO GARMONI^NO USTROENA PRIRODA WE]EJ. aWTOR WYRAVAET PRIZNATELXNOSTX n. t. aHTQMOWU, d. i. bORISOWU, `. p. mA[ENCEWOJ I a. i. uTARBAEWU ZA PRO^TENIE I REDAKTIROWANIE RUKOPISI KNIGI. nOQBRX, 1997 G.
r. a. {ARIPOW.
glawa I
|lektrostatika i magnitostatika x 1. bAZOWYE \KSPERIMENTALXNYE FAKTY I SISTEMY EDINIC. kOLI^ESTWENNOE OPISANIE L@BOGO FIZI^ESKOGO QWLENIQ SOPRQVENO S NEOBHODIMOSTX@ IZMERENIQ. w MEHANIKE WWODQTSQ TRI BAZOWYE EDINICY IZMERENIQ: DLQ MASSY, DLINY I WREMENI. wELI^INA eD.IZM. eD.IZM. sWQZX W si W sgs EDINIC MASSA KG G 1 KG = 103 G DLINA M SM 1 M = 102 SM WREMQ SEK SEK 1 SEK = 1 SEK eDINICY IZMERENIQ OSTALXNYH WELI^IN QWLQ@TSQ PROIZWODNYMI. tAK, NAPRIMER, DLQ EDINICY IZMERENIQ SILY W SISTEMAH sgs I si, SOGLASNO WTOROMU ZAKONU nX@TONA, IMEEM: (1) N = KG M SEK?2 W SISTEME si, (2) DIN = G SM SEK?2 W SISTEME sgs. sISTEMY EDINIC si I sgs QWLQ@TSQ DWUMQ NAIBOLEE POPULQRNYMI SISTEMAMI EDINIC W FIZIKE. eDINICY IZMERENIQ DLQ MEHANI^ESKIH WELI^IN (SKOROSTX, USKORENIE, SILA, \NERGIQ, MO]NOSTX) W \TIH SISTEMAH OPREDELQ@TSQ SHODNYM OBRAZOM.
x 1.
bazowye fakty i sistemy edinic.
9
pROPORCII MEVDU EDINICAMI IZMERENIJ DLQ \TIH WELI^IN MOGUT BYTX WYWEDENY IZ SOOTNO[ENIJ DLQ BAZOWYH WELI^IN (SM. TABLICU WY[E). oDNAKO, W WYBORE EDINIC DLQ \LEKTRI^ESKIH I MAGNITNYH WELI^IN \TI SISTEMY SU]ESTWENNO RAZLI^A@TSQ. wYBOR EDINICY IZMERENIQ \LEKTRI^ESKOGO ZARQDA W SISTEME sgs OSNOWYWAETSQ NA ZAKONE kULONA, OPISYWA@]EM WZAIMODEJSTWIE TO^E^NYH ZARQDOW. zAKON kULONA. dWA ODNOIMENNYH TO^E^NYH ZARQDA OTTALKIWA@TSQ, A DWA RAZNOIMENNYH ZARQDA PRITQGIWA@TSQ S SILOJ, PRQMO PROPORCIONALXNOJ WELI^INAM \TIH ZARQDOW I OBRATNO PROPORCIONALXNOJ KWADRATU RASSTOQNIQ MEVDU NIMI: (1.1) F Q1r2Q2 : eDINICA IZMERENIQ ZARQDA W SISTEME sgs WYBIRAETSQ TAK, ^TOBY KO\FFICIENT W FORMULE (1.1) STAL RAWNYM EDINICE. pO\TOMU rIS. 1.1 ED. ZARQDA sgs = DIN 1=2 SM= G1=2 SM3=2 SEK?1 : sAM ZAKON kULONA PRI \TOM ZAPISYWAETSQ W WIDE RAWENSTWA (1.2) F = Q1r2Q2 : sILA F , OPREDELQEMAQ SOOTNO[ENIEM (1.2), O^ENX WELIKA. oDNAKO, W POWSEDNEWNOJ VIZNI ONA PRAKTI^ESKI NE PROQWLQETSQ. |TO SWQZANO S \FFEKTOM \KRANIROWANIQ. kOLI^ESTWO POLOVITELXNYH I OTRICATELXNYH ZARQDOW W PRIRODE TO^NO SBALANSIROWANO. aTOMY I MOLEKULY, IZ KOTORYH POSTROENA NABL@DAEMAQ NAMI MATERIQ, SODERVAT ODINAKOWOE KOLI^ESTWO
10
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
POLOVITELXNOGO I OTRICATELXNOGO ZARQDA, PO\TOMU W CELOM OKAZYWA@TSQ \LEKTRI^ESKI NEJTRALXNYMI. sILY (1.2) NA^INA@T PROQWLQTXSQ TOLXKO PRI SILXNOM SBLIVENII ATOMOW, ^TO INOGDA PROQWLQETSQ W FORME OBRAZOWANIQ HIMI^ESKOJ SWQZI MEVDU NIMI. |LEKTRI^ESKIJ TOK WOZNIKAET W REZULXTATE PEREME]ENIQ ZARQDOW. oBY^NO \TO PROISHODIT W METALLI^ESKIM PROWODNIKE, KOTOROMU PRIDA@T PROTQVENNU@ FORMU (FORMU PROWOLOKI). tOK W TAKOM PROWODNIKE OPREDELQETSQ KOLI^ESTWOM ZARQDA, PROTEKA@]IM PO NEMU W EDINICU WREMENI. pO\TOMU DLQ EDINICY SILY TOKA IMEEM ED. TOKA sgs = ED. ZARQDA sgs SEK?1 = = G1=2 SM3=2 SEK?2 :
rASSMOTRIM PRQMOLINEJNYJ PROWODNIK DLINY l. wOZNIKNOWENIE TOKA W NEM PRIWODIT K NARU[ENI@ BALANSA ZARQDOW NA EGO KONCAH. zARQDY ODNOGO ZNAKA NAKAPLIWA@TSQ NA ODNOM KONCE, A IH NEDOSTATOK NA DRUGOM PROQWLQETSQ W FORME ZARQDA PROTIWOPOLOVNOGO ZNAKA. wOZNIKAET SILA kULONA (1.2), STREMQ]AQSQ WOSSTANOWITX BALANS ZARQDOW. pO\TOMU TOK W TAKOM PROWODNIKE NE MOVET DOLGO TE^X W ODNOM NAPRAWLENII. sOWSEM DRUGOE DELO | PROWODNIK KOLXCEWOJ FORMY. zDESX WOZNIKNOWENIE TOKA NE PRIWODIT K NARU[ENI@ BALANSA ZARQDOW, PO\TOMU TOK W KOLXCEWOM PROWODNIKE MOVET TE^X NEOGRANI^ENNO DOLGO. pRI \TOM SAM PROWODNIK BUDET OSTAWATXSQ \LEKTRI^ESKI NEJTRALXNYM I SILY kULONA NIKAK NE PROQWQTSQ. nESMOTRQ NA OTSUTSTWIE KULONOWSKIH SIL, W \KSPERIMENTE BYLO OBNARUVENO WZAIMODEJSTWIE DWUH \LEKTRI^ESKI NEJTRALXNYH KOLXCEWYH PROWODNIKOW S TOKOM. |TO WZAIMODEJSTWIE IMEET DRUGU@ PRIRODU I OSU]ESTWLQETSQ NE \LEKTRI^ESKIMI, A MAGNITNYMI SILAMI. wELI^INA MAGNITNYH SIL SU]ESTWENNO ZAWISIT OT FORMY I WZAIMNOGO RASPOLOVENIQ KOLXCEWYH PROWODNIKOW. dLQ USTANOWLENIQ KOLI^ESTWENNYH
x 1.
bazowye fakty i sistemy edinic.
11
ZAKONOMERNOSTEJ DLQ MAGNITNYH SIL NEOBHODIMO MAKSIMALXNO UPROSTITX GEOMETRI@ KOLXCEWYH PROWODNIKOW. dLQ \TOGO IH DEFORMIRU@T TAK, ^TOBY W KAVDOM IZ NIH WOZNIK PRQMOLINEJNYJ FRAGMENT DOSTATO^NO BOLX[OJ DLINY l, I RASPOLAGA@T \TI FRAGMENTY PARALLELXNO DRUG DRUGU NA RASSTOQNII r. w PREDELE, KOGDA l OKAZYWAETSQ WO MNOGO RAZ BOLX[IM, ^EM r, TAKAQ KONFIGURACIQ MOVET RASSMATRIWATXSQ KAK PARA BESKONE^NO DLINNYH PROWODNIKOW. |KSPERIMENTALXNO USTANOWLENO , ^TO TAKIE PROWODNIKI rIS. 1.2 WZAIMODEJSTWU@T SOGLASNO SLEDU@]EMU ZAKONU. zAKON aMPERA. sILA WZAIMODEJSTWIQ DWUH BESKONE^NO DLINNYH PARALLELXNYH PROWODNIKOW S TOKOM, PRIHODQ]AQSQ NA EDINICU IH DLINY, PRQMO PROPORCIONALXNA WELI^INAM TOKOW W NIH I OBRATNO PROPORCIONALXNA RASSTOQNI@ MEVDU NIMI: F I1 I2 : (1.3) l r pRI \TOM DWA SONAPRAWLENNYH TOKA PRITQGIWA@TSQ, A DWA PROTIWOPOLOVNO NAPRAWLENNYH TOKA OTTALKIWA@TSQ. eDINICA IZMERENIQ TOKA W SISTEME sgs BYLA UVE OPREDELENA WY[E. pO\TOMU KO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI W FORMULE (1.3) QWLQETSQ ODNOZNA^NO ZADANNOJ \KSPERIMENTALXNO OPREDELQEMOJ WELI^INOJ. rAZMERNOSTX \TOGO KO\FFICIENTA | SEK2 SM?2 . oNA SOWPADAET S RAZMERNOSTX@ OBRATNOGO KWADRATA SKOROSTI, PO\TOMU FORMULU (1.3) W sgs ZAPISYWA@T TAK: F = 2 I1 I2 : (1.4) l c2 r
12
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
kONSTANTA c W FORMULE (1.4) OPREDELQETSQ \KSPERIMENTALXNO I IMEET RAZMERNOSTX SKOROSTI: (1.5)
c 2:998 1010 SM=SEK:
kAK MY UWIDIM POZVE, KONSTANTA c W (1.5) W TO^NOSTI SOWPADAET SO SKOROSTX@ SWETA W WAKUUME. kO\FFICIENT 2 W FORMULE (1.4) WWEDEN IMENNO S CELX@ DOSTIVENIQ TAKOGO SOWPADENIQ. w SISTEME si EDINICA IZMERENIQ TOKA 1 A (ODIN AMPER) QWLQETSQ PERWI^NOJ. oNA WYBIRAETSQ TAK, ^TOBY FORMULA (1.3) ZAPISYWALASX W WIDE F = 2 0 I1 I2 : (1.6) l 4 r zDESX = 3:14 : : : | TO^NAQ (HOTQ I IRRACIONALXNAQ) MATEMATI^ESKAQ KONSTANTA, NE IME@]AQ RAZMERNOSTI. kONSTANTA 0 NAZYWAETSQ DIAMAGNITNOJ WOSPRIIM^IWOSTX@ WAKUUMA. oNA IMEET RAZMERNOSTX: (1.7)
0 = 4 10?7 N A?2 :
nO, W OTLI^IE OT KONSTANTY c W (1.5), ONA QWLQETSQ TO^NOJ I NE TREBUET OPREDELENIQ IZ \KSPERIMENTA. eE MOVNO BYLO BY POLOVITX RAWNOJ EDINICE, NO IMENNO TAKOE ZNA^ENIE (1.7) DLQ \TOJ KONSTANTY BYLO WYBRANO PRI FORMIROWANII SISTEMY si. pRI \TOM TOK WELI^INOJ W 1 AMPER OKAZYWAETSQ LEVA]IM W DIAPAZONE TEH ZNA^ENIJ TOKOW, KOTORYE REALXNO WOZNIKA@T W BYTOWYH I PROMY[LENNYH \LEKTROPRIBORAH. kO\FFICIENT 4 W ZNAMENATELE (1.6) POSTAWLEN DLQ UPRO]ENIQ NEKOTORYH DRUGIH FORMUL, ^A]E ISPOLXZUEMYH PRI INVENERNYH RASS^ETAH W \LEKTROTEHNIKE. bUDU^I PERWI^NOJ W SISTEME si, EDINICA IZMERENIQ TOKA AMPER ISPOLXZUETSQ DLQ OPREDELENIQ EDINICY IZMERENIQ ZARQDA W 1 KULON: 1K = 1A 1SEK. pRI \TOM KO\FFICIENT
x 1.
bazowye fakty i sistemy edinic.
13
PROPORCIONALXNOSTI W ZAKONE kULONA (1.1) OKAZYWAETSQ UVE OTLI^NYM OT 1. w SISTEME si ZAKON kULONA IMEET WID 1 Q1 Q2 : (1.8) F = 4 0 r2 kONSTANTA 0 NAZYWAETSQ DI\LEKTRI^ESKOJ PRONICAEMOSTX@ WAKUUMA. w OTLI^IE OT KONSTANTY 0 IZ (1.7), \TO FIZI^ESKAQ KONSTANTA, OPREDELQEMAQ IZ \KSPERIMENTA: (1.9) 0 8:85 10?12 K2 N?1 M?2 : kONSTANTY (1.5), (1.7) I (1.9) SWQZANY SOOTNO[ENIEM c = p 1 2:998 108 M=SEK: 0 0 iZ IZLOVENNOGO WY[E WIDIM, ^TO SISTEMY sgs I si RAZLI^A@TSQ NE TOLXKO MAS[TABOM EDINIC IZMERENIQ, NO I WIDOM FORMUL DLQ DWUH FUNDAMENTALXNYH ZAKONOW: ZAKONA kULONA I ZAKONA aMPERA. sISTEMA si LU^[E PREDNAZNA^ENA DLQ INVENERNYH RASS^ETOW. oDNAKO, PROWEDENIE WYKLADOK PRI WYWODE MNOGIH FORMUL W NEJ OKAZYWAETSQ BOLEE GROMOZDKIM. pO\TOMU WS@DU DALEE W \TOJ KNIGE MY ISPOLXZUEM SISTEMU sgs. iZ SRAWNENIQ ZAKONA kULONA S ZAKONOM aMPERA WIDIM, ^TO \LEKTRI^ESKIE I MAGNITNYE SILY PROQWLQ@TSQ PO RAZNOMU. oDNAKO, SWOIM PROISHOVDENIEM ONI OBQZANY ODNOMU | SU]ESTWOWANI@ \LEKTRI^ESKIH ZARQDOW. pOZVE MY UWIDIM, ^TO WZAIMOSWQZX \TIH SIL GORAZDO BOLEE TESNAQ. pO\TOMU TEORI@ \LEKTRI^ESKIH I MAGNITNYH QWLENIJ OB_EDINQ@T W ODNU TEORI@ \LEKTROMAGNITIZMA. tEORIQ \LEKTROMAGNETIZMA QWLQETSQ TEORIEJ S ODNOJ FUNDAMENTALXNOJ RAZMERNOJ KONSTANTOJ c | SKOROSTX@ SWETA. kLASSI^ESKAQ MEHANIKA (BEZ ZAKONA WSEMIRNOGO TQGOTENIQ nX@TONA) NE IMEET RAZMERNYH KONSTANT. nX@TONOWSKAQ TEORIQ TQGOTENIQ SODERVIT ODNU KONSTANTU: (1.11)
6:67 10?8 SM3 G?1 SEK?2 : (1.10)
14
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
w OSNOWE \TOJ TEORII LEVIT ^ETWERTYJ ZAKON nX@TONA, FORMULIRUEMYJ TAK. zAKON WSEMIRNOGO TQGOTENIQ. dWA TO^E^NYH TELA PRITQGIWA@TSQ S SILOJ, PRQMO PROPORCIONALXNOJ IH MASSAM I OBRATNO PROPORCIONALXNOJ KWADRATU RASSTOQNIQ MEVDU NIMI. zAKON WSEMIRNOGO TQGOTENIQ IZOBRAVAETSQ ODNOJ FORMULOJ KAK W SISTEME si, TAK I W SISTEME sgs: (1.12) F = M1r2M2 : sOGLASNO SOWREMENNYM PREDSTAWLENIQM, KLASSI^ESKAQ MEHANIKA I NX@TONOWSKAQ TEORIQ TQGOTENIQ QWLQ@TSQ PRIBLIVENNYMI TEORIQMI. nA SMENU IM PRIHODQT SPECIALXNAQ I OB]AQ TEORII OTNOSITELXNOSTI. pOQWLENIE \TIH TEORIJ ISTORI^ESKI BYLO OBUSLOWLENO RAZWITIEM TEORII \LEKTROMAGNETIZMA. iMENNO W TAKOJ POSLEDOWATELXNOSTI \TI TEORII IZLAGA@TSQ W DANNOJ KNIGE. uPRAVNENIE 1.1. nA BAZE IZLOVENNOGO WY[E OPREDELITE KOLI^ESTWENNOE SOOTNO[ENIE MEVDU EDINICAMI IZMERENIQ ZARQDA I TOKA W SISTEMAH si I sgs. x 2. kONCEPCIQ BLIZKODEJSTWIQ. rASSMOTRIM PARU ZAKREPLENNYH ZARQVENNYH TEL I PRODELAEM S NIMI SLEDU@]IJ MYSLENNYJ \KSPERIMENT: NA^NEM UDALQTX WTOROE TELO OT PERWOGO. pRI \TOM RASSTOQNIE r NA^NET UWELI^IWATXSQ I SILA KULONOWSKOGO WZAIMODEJSTWIQ (1.2) STANET UBYWATX. wOZNIKAET ESTESTWENNYJ WOPROS: KAK SKORO POSLE NA^ALA DWIVENIQ WTOROGO TELA \TOT FAKT OTRAZITSQ NA WELI^INE SILY kULONA, DEJSTWU@]EJ NA PERWOE TELO? wOZMOVNY DWA OTWETA NA \TOT WOPROS: (1) MGNOWENNO; (2) S NEKOTORYM ZAPAZDYWANIEM, ZAWISQ]IM OT RASSTOQNIQ MEVDU TELAMI.
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
x 2.
koncepciq blizkodejstwiq.
15
pERWYJ OTWET NA \TOT WOPROS IZWESTEN KAK KONCEPCIQ DALXNODEJSTWIQ. w \TOM SLU^AE MY S^ITAEM FORMULU (1.2) ABSOL@TNO TO^NOJ I PRIMENIMOJ WSEGDA (KAK DLQ NEPODWIVNYH ZARQDOW, TAK I DLQ DWIVU]IHSQ). wTOROJ OTWET BAZIRUETSQ NA KONCEPCII BLIZKODEJSTWIQ. sOGLASNO \TOJ KONCEPCII, L@BOE WOZDEJSTWIE (I \LEKTRI^ESKOE W TOM ^ISLE) MOVET PEREDAWATXSQ MGNOWENNO LI[X W SOSEDN@@ BESKONE^NO{BLIZKU@ TO^KU PROSTRANSTWA, A PEREDA^A L@BOGO WOZDEJSTWIQ NA RASSTOQNIE PROISHODIT KAK NEKOTORYJ PROCESS POSLEDOWATELXNOJ PEREDA^I \TOGO WOZDEJSTWIQ OT TO^KI K TO^KE. |TOT PROCESS WSEGDA PRIWODIT K NEKOTOROJ KONE^NOJ SKOROSTI PEREDA^I WSQKOGO WOZDEJSTWIQ. w RAMKAH KONCEPCII BLIZKODEJSTWIQ ZAKON kULONA (1.2) TRAKTUETSQ KAK PRIBLIVENNYJ ZAKON, W IDEALE PRIMENIMYJ LI[X K NEPODWIVNYM ZARQDAM, KOTORYE OSTAWALISX NEPODWIVNYMI DOSTATO^NO DOLGO I PROCESS PEREDA^I WZAIMODEJSTWIQ USPEL ZAWER[ITXSQ. tEORIQ \LEKTROMAGNETIZMA SODERVIT RAZMERNU@ KONSTANTU c (SKOROSTX SWETA (1.5)), KOTORAQ QWLQETSQ PERWYM PRETENDENTOM NA ROLX SKOROSTI PEREDA^I \LEKTRI^ESKOGO I MAGNITNOGO WZAIMODEJSTWIJ. |TIM ONA WYGODNO OTLI^AETSQ OT NX@TONOWSKOJ TEORII TQGOTENIQ. nO SKOROSTX c DOSTATO^NO WELIKA. eSLI PROIZWODITX \KSPERIMENT PO IZMERENI@ SILY kULONA NA RASSTOQNIQH PORQDKA r 10 SM, MY POLU^AEM WREMQ PEREDA^I WZAIMODEJSTWIQ PORQDKA t 3 10?10 SEK. |KSPERIMENTALXNAQ TEHNIKA XIX-GO WEKA NE POZWOLQLA REGISTRIROWATX STOLX KOROTKIE PROMEVUTKI WREMENI, PO\TOMU WOPROS O WYBORE KONCEPCII NE MOG BYTX RE[EN \KSPERIMENTALXNO. kAKOE-TO WREMQ ON OSTAWALSQ SPORNYM. eDINSTWENNYM WOZRAVENIEM PROTIW KONCEPCII DALXNODEJSTWIQ PERWONA^ALXNO, PO-WIDIMOMU, BYLA EE NEKOTORAQ PRQMOLINEJNOSTX, ZAKON^ENNOSTX, I POTOMU | SKUDNOSTX. w NASTOQ]EE WREMQ KONCEPCIQ BLIZKODEJSTWIQ QWLQETSQ OB]EPRINQTOJ, PROTIW NEE PRAKTI^ESKI NIKTO NE WOZRAVAET. pOQWILASX TAKVE WOZMOVNOSTX EE \KSPERIMENTALXNOJ PROWER-
16
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
KI DLQ \LEKTROMAGNITNYH WZAIMODEJSTWIJ. rASSMOTRIM \TU KONCEPCI@ BOLEE WNIMATELXNO. sOGLASNO KONCEPCII BLIZKODEJSTWIQ, PROCESS PEREDA^I WZAIMODEJSTWIQ NA RASSTOQNIE PROQWLQET SWOJSTWO INERTNOSTI. nA^AW[ISX W ODNOJ TO^KE, GDE NAHODITSQ PEREME]AEMYJ ZARQD, ON W TE^ENII KAKOGO-TO WREMENI OKAZYWAETSQ WOOB]E OTORWANNYM OT ZARQDOW I NIKAK NE PROQWLQETSQ. dLQ OPISANIQ \TOJ STADII RAZWITIQ PROCESSA PRIHODITSQ WWESTI NOWOE PONQTIE | PONQTIE POLQ. pOLE | \TO NEKOTORAQ MATERIALXNAQ SU]NOSTX, SPOSOBNAQ ZAPOLNQTX WSE PROSTRANSTWO I SPOSOBNAQ OKAZYWATX WOZDEJSTWIE NA DRUGIE MATERIALXNYE TELA, OSU]ESTWLQQ PEREDA^U WZAIMODEJSTWIQ MEVDU NIMI. ~ISLO DOSTOWERNO IZWESTNYH NAUKE POLEJ NEWELIKO I SOWPADAET S ^ISLOM IZWESTNYH TIPOW WZAIMODEJSTWIJ | IH ^ETYRE: SILXNOE, SLABOE, \LEKTROMAGNITNOE I POLE TQGOTENIQ (GRAWITACIONNOE POLE). sILXNOE I SLABOE POLQ QWLQ@TSQ O^ENX KOROTKODEJSTWU@]IMI, ONI PROQWLQ@TSQ LI[X W ATOMNYH QDRAH, PRI STOLKNOWENIQH I RASPADAH \LEMENTARNYH ^ASTIC, A TAKVE W ASTRONOMI^ESKIH OB_EKTAH S O^ENX WYSOKOJ PLOTNOSTX@ | NEJTRONNYH ZWEZDAH. |TI TIPY POLEJ W DANNOJ KNIGE NE RASSMATRIWA@TSQ. kROME TOGO, IMEETSQ CELYJ RQD TERMINOW, ISPOLXZU@]IH SLOWO POLE: WEKTORNOE POLE, TENZORNOE POLE, POLE SPINOROW, KALIBROWO^NOE POLE I DR. |TO MATEMATI^ESKIE PONQTIQ, OTRAVA@]IE OPREDELENNYE SWOJSTWA FIZI^ESKIH POLEJ.
x 3. pRINCIP SUPERPOZICII. pRIMENIM KONCEPCI@ BLIZKODEJSTWIQ K ZAKONU kULONA DLQ DWUH TO^E^NYH ZARQDOW. nALI^IE SILY kULONA W RAMKAH \TOJ KONCEPCII MOVNO INTERPRETIROWATX TAK: PERWYJ ZARQD SOZDAET WOKRUG SEBQ \LEKTRI^ESKOE POLE, KOTOROE WOZDEJSTWUET NA WTOROJ ZARQD. rEZULXTAT TAKOGO WOZDEJSTWIQ PROQWLQETSQ W WIDE SILY F , DEJSTWU@]EJ NA WTOROJ ZARQD. sILA | WEKTORNAQ WELI^INA. oBOZNA^IM ^EREZ F WEKTOR SILY I U^TEM NAPRAW-
x 3.
princip superpozicii.
17
LENIE \TOGO WEKTORA, OPREDELQEMOE SLOWESNOJ FORMULIROWKOJ ZAKONA kULONA. |TO DAET (3.1) F = Q1 Q2 jrr2??rr1j3 : 2 1 zDESX r1 I r2 | RADIUS-WEKTORY TO^EK, W KOTORYH RASPOLOVENY ZARQDY Q1 I Q2. rASSMOTRIM WEKTOR E, OPREDELQEMYJ KAK OTNO[ENIE E = F=Q2. dLQ NEGO IZ FORMULY (3.1) WYWODIM (3.2) E = Q1 jrr2??rr1j3 : 2 1 wEKTOR E ZAWISIT OT MESTOPOLOVENIQ PERWOGO ZARQDA I OT EGO WELI^INY. oN TAKVE ZAWISIT OT MESTOPOLOVENIQ WTOROGO ZARQDA, NO NE ZAWISIT OT WELI^INY \TOGO ZARQDA. wEKTOR E MOVNO PRINQTX ZA KOLI^ESTWENNU@ HARAKTERISTIKU \LEKTRI^ESKOGO POLQ, SOZDANNOGO ZARQDOM Q1 W TO^KE r2, W KOTORU@ POME]EN ZARQD Q2. wELI^INU E MOVNO WY^ISLITX PO FORMULE (3.2) ILI VE OPREDELITX IZ OPYTA. dLQ \TOGO W TO^KU r2 NADO POMESTITX PROBNYJ ZARQD q I IZMERITX SILU kULONA F, DEJSTWU@]U@ NA \TOT ZARQD. pOSLE ^EGO WEKTOR E OPREDELITSQ KAK REZULXTAT DELENIQ F NA WELI^INU ZARQDA q: (3.3) E = F=q: rASSMOTRIM BOLEE SLOVNU@ SITUACI@. pUSTX W TO^KAH r1; : : :; rn RASPOLOVENY ZARQDY Q1; : : :; Qn. oNI SOZDA@T WOKRUG SEBQ \LEKTRI^ESKOE POLE, KOTOROE WOZDEJSTWUET NA PROBNYJ ZARQD q, POME]ENNYJ W TO^KE r. |TO WOZDEJSTWIE PROQWLQETSQ W FORME DEJSTWIQ SILY F NA ZARQD q. mY WNOWX MOVEM RASSMOTRETX WEKTOR E WIDA (3.3) I PRINQTX EGO ZA KOLI^ESTWENNU@ HARAKTERISTIKU \LEKTRI^ESKOGO POLQ W TO^KE r. oN NAZYWAETSQ WEKTOROM NAPRQVENNOSTI \LEKTRI^ESKOGO POLQ ILI PROSTO WEKTOROM \LEKTRI^ESKOGO POLQ W \TOJ TO^KE. w DANNOM SLU^AE, WOOB]E GOWORQ, NET NIKAKOJ APRIORNOJ UWERENNOSTI W TOM, ^TO WEKTOR E NE ZAWISIT OT WELI^INY
18
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
PROBNOGO ZARQDA q. oDNAKO, IMEET MESTO SLEDU@]IJ \KSPERIMENTALXNYJ FAKT. pRINCIP SUPERPOZICII. |LEKTRI^ESKOE POLE E, SOZDAWAEMOE W TO^KE r SISTEMOJ TO^E^NYH ZARQDOW Q1; : : :; Qn, ESTX WEKTORNAQ SUMMA POLEJ, SOZDAWAEMYH W \TOJ TO^KE KAVDYM IZ ZARQDOW Q1 ; : : :; Qn. pRINCIP SUPERPOZICII W SO^ETANII S ZAKONOM kULONA PRIWODIT K SLEDU@]EJ FORMULE DLQ NAPRQVENNOSTI \LEKTRI^ESKOGO POLQ, SOZDANNOGO SISTEMOJ TO^E^NYH ZARQDOW W TO^KE r: n X (3.4) E(r) = Qi jrr ?? rrij3 : i i=1 pRINCIP SUPERPOZICII POZWOLQET PEREJTI OT TO^E^NYH ZARQDOW K RASPREDELENNYM. pUSTX ^ISLO TO^E^NYH ZARQDOW n ! 1. pRI TAKOM PREDELXNOM PEREHODE SUMMA W FORMULE (3.4) ZAMENITSQ OB_EMNYM INTEGRALOM: Z (3.5) E(r) = (~r) jrr ?? ~r~rj3 d 3~r: zDESX (~r) | OB_EMNAQ PLOTNOSTX ZARQDA W TO^KE ~r. |TO USREDNENNAQ HARAKTERISTIKA, IME@]AQ SMYSL ZARQDA, PRIHODQ]EGOSQ NA EDINICU OB_EMA. dLQ NAHOVDENIQ SILY, DEJSTWU@]EJ NA PROBNYJ ZARQD q, MY DOLVNY OBRATITX FORMULU (3.3): (3.6) F = q E(r): sILA, DEJSTWU@]AQ NA ZARQD q W \LEKTRI^ESKOM POLE RAWNA PROIZWEDENI@ WELI^INY \TOGO ZARQDA NA WEKTOR NAPRQVENNOSTI POLQ W TO^KE, GDE \TOT ZARQD NAHODITSQ. nO SAM ZARQD q TAKVE SOZDAET POLE. wOZDEJSTWUET LI NA ZARQD q EGO SOBSTWENNOE POLE? dLQ TO^E^NYH ZARQDOW OTWET NA \TOT WOPROS OTRICATELEN. |TOT FAKT SLEDUET RASSMATRIWATX KAK DOPOLNENIE
x 4.
sila lorenca i zakon bio-sawara-laplasa.
19
K PRINCIPU SUPERPOZICII. sILA, DEJSTWU@]AQ NA RASPREDELENNU@ SISTEMU ZARQDOW W \LEKTRI^ESKOM POLE, OPREDELQETSQ SLEDU@]IM INTEGRALOM:
Z
F = (r) E(r) d 3r:
(3.7)
pOLE E(r) W (3.7) | \TO WNE[NEE POLE, SOZDAWAEMOE WNE[NIMI ZARQDAMI. pOLE SAMIH ZARQDOW S PLOTNOSTX@ (r) W E(r) NE WKL@^AETSQ. zAWER[AQ \TO PARAGRAF, OTMETIM, ^TO FORMULY (3.4) I (3.5) SPRAWEDLIWY TOLXKO DLQ SISTEMY NEPODWIVNYH ZARQDOW, KOTORYE OSTAWALISX NEPODWIVNYMI DOSTATO^NO DOLGO, DLQ TOGO, ^TOBY PROCESS PEREDA^I WZAIMODEJSTWIQ DO[EL OT ZARQDOW DO TO^KI NABL@DENIQ r. pOLQ, SOZDANNYE TAKIMI SISTEMAMI ZARQDOW NAZYWA@TSQ STATI^ESKIMI, A RAZDEL TEORII \LEKTROMAGNETIZMA, IZU^A@]IJ TAKIE POLQ, NAZYWAETSQ \LEKTROSTATIKOJ.
x 4. sILA lORENCA I ZAKON bIO-sAWARA-lAPLASA. aNALOGOM ZAKONA kULONA W SLU^AE MAGNITNOGO WZAIMODEJSTWIQ WYSTUPAET ZAKON WZAIMODEJSTWIQ PARALLELXNYH PROWODNIKOW S TOKOM. sOGLASNO KONCEPCII BLIZKODEJSTWIQ, SILA F WOZNIKAET W REZULXTATE WOZDEJSTWIQ MAGNITNOGO POLQ PERWOGO PROWODNIKA NA vt WTOROJ PROWODNIK. oDNAKO, PARALLELXNYE PROWODNIKI NE MOGUT RASSMATRIWATXSQ KAK TO^E^NYE: FORMULA (1.4) SPRAWEDLIWA LI[X PRI l r. dLQ POLU^ENIQ KOLI^ESTWENNOJ HARAKTERISTIKI MAGNITNOGO POLQ W KAKOJ-LIBO TO^KE r RASrIS. 4.1
20
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
SMOTRIM TOK I2 W (1.4) KAK POTOK ZARQVENNYH ^ASTIC ZARQDA q, DWIVU]IHSQ S ODINAKOWOJ SKOROSTX@ v WDOLX WTOROGO PROWODNIKA. eSLI ^EREZ OBOZNA^ITX ^ISLO TAKIH ^ASTIC NA EDINICE DLINY PROWODNIKA, TO NA DLINU l PRIDETSQ N = l ^ASTIC. zA WREMQ t ^EREZ L@BOE FIKSIROWANNOE POPERE^NOE SE^ENIE PROWODNIKA PROHODIT n = v t ^ASTIC, KOTORYE PERENOSQT ZARQD Q = q v t. pO\TOMU TOK I2 WO WTOROM PROWODNIKE MOVET BYTX WY^ISLEN PO FORMULE I2 = Q=t = q v: wY^ISLIW SILU, PRIHODQ]U@SQ NA FRAGMENT PROWODNIKA DLINY l, PO FORMULE (1.4), MY DOLVNY RAZDELITX EE NA KOLI^ESTWO ^ASTIC W \TOM FRAGMENTE N . tOGDA DLQ SILY, PRIHODQ]EJSQ NA ODNU ^ASTICU, POLU^AEM (4.1) F = c22 Ir1 IN2 l = c22 I1rq v : fORMULA (4.1) OPREDELQET KA^ESTWENNYJ HARAKTER ZAWISIMOSTI SILY F OT q I v: NA ^ASTICU ZARQDA q, KOTORAQ DWIVETSQ W MAGNITNOM POLE, DEJSTWUET SILA, PROPORCIONALXNAQ EE ZARQDU I WELI^INE EE SKOROSTI: (4.2) F q v: sILA I SKOROSTX | WEKTORNYE WELI^INY. nAIBOLEE PROSTOJ SPOSOB USTANOWITX LINEJNU@ SWQZX DWUH WEKTORNYH WELI^IN F I v SOSTOIT W RASSMOTRENII WEKTORNOGO PROIZWEDENIQ v c TRETXEJ WEKTORNOJ WELI^INOJ H: (4.3) F = qc [v; H(r)]: zDESX c | SKOROSTX SWETA. wELI^INA H(r) W (4.3) SLUVIT KOLI^ESTWENNOJ HARAKTERISTIKOJ MAGNITNOGO POLQ W TO^KE r I
x 4.
sila lorenca i zakon bio-sawara-laplasa.
21
NAZYWAETSQ NAPRQVENNOSTX@ MAGNITNOGO POLQ W \TOJ TO^KE. kO\FFICIENT 1=c W (4.3) WWEDEN DLQ TOGO, ^TOBY RAZMERNOSTX NAPRQVENNOSTI MAGNITNOGO POLQ SOWPADALA S RAZMERNOSTX@ NAPRQVENNOSTI \LEKTRI^ESKOGO POLQ. sILA F, DEJSTWU@]AQ NA DWIVU]IJSQ TO^E^NYJ ZARQD W MAGNITNOM POLE, POLU^ILA NAZWANIE SILY lORENCA. pOLNAQ SILA lORENCA, DEJSTWU@]AQ NA ZARQD W \LEKTROMAGNITNOM POLE, ESTX SUMMA DWUH KOMPONENT | \LEKTRI^ESKOJ I MAGNITNOJ: (4.4) F = q E + qc [v; H]: fORMULA (4.4) OBOB]AET FORMULU (3.6) NA SLU^AJ OB]EGO \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. oNA WERNA NE TOLXKO DLQ STATI^ESKIH, NO I DLQ NESTATI^ESKIH (PEREMENNYH) \LEKTRI^ESKIH I MAGNITNYH POLEJ. rAZUMEETSQ, IZLOVENNYJ WY[E WYWOD QWLQETSQ \MPIRI^ESKIM. fORMULU (4.4) NADO TRAKTOWATX KAK \KSPERIMENTALXNYJ FAKT, NE PROTIWORE^A]IJ BOLEE RANNEMU \KSPERIMENTALXNOMU FAKTU (1.4) W RAMKAH RAZWIWAEMOJ TEORII. wERNEMSQ OBRATNO K PROWODNIKAM S TOKOM. fORMULU (4.3) MOVNO PEREFRAZIROWATX W TERMINAH TOKOW. nA EDINICU DLINY PROWODNIKA S TOKOM I W MAGNITNOM POLE NAPRQVENNOSTI H DEJSTWUET SILA F = I [ ; H]: (4.5) l c zDESX | EDINI^NYJ WEKTOR W NAPRAWLENII TOKA, KASATELXNYJ K PROWODNIKU. pOLNAQ SILA, DEJSTWU@]AQ NA KOLXCEWOJ PROWODNIK S TOKOM I , OPREDELQETSQ KONTURNYM INTEGRALOM I I (4.6) F = c [ (s); H(r(s))] ds; GDE s | NATURALXNYJ PARAMETR NA KRIWOJ, ZADA@]EJ FORMU PROWODNIKA, A WEKTOR-FUNKCIQ r(s) ZADAET \TU KRIWU@ W PARAMETRI^ESKOJ FORME.
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
22
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
rASSMOTRIM SLU^AJ DWUH BESKONE^NYH PARALLELXNYH PROWODNIKOW. sILU F TEPERX MOVNO WY^ISLITX PO FORMULE (4.5), S^ITAQ, ^TO PERWYJ PROWODNIK SOZDAET POLE H(r), KOTOROE WOZDEJSTWUET NA WTOROJ PROWODNIK. dOPOLNITELXNYJ \KSPERIMENT POKAZYWAET, ^TO WEKTOR H PERPENDIKULQREN PLOSKOSTI PROWODNIKOW. wELI^INA MAGNITNOGO POLQ H = jHj MOVET BYTX NAJDENA IZ (4.1): (4.7) H = 2c Ir1 : zDESX r | RASSTOQNIE OT TO^KI NABL@DENIQ DO PROWODNIKA, SOZDA@]EGO POLE. mAGNITNOE POLE, SOZDAWAEMOE PROWODNIKAMI S TOKOM, UDOWLETWORQET PRINCIPU SUPERPOZICII. w ^ASTNOSTI, POLE BESKONE^NOGO PRQMOLINEJNOGO PROWODNIKA (4.7) SKLADYWAETSQ IZ POLEJ, SOZDAWAEMYH OTDELXNYMI FRAGMENTAMI \TOGO PROWODNIKA. pOSTAWITX ^ISTYJ \KSPERIMENT I IZMERITX POLE OT OTDELXNOGO FRAGMENTA NELXZQ, IBO TOK W TAKOM FRAGMENTE NE MOVET PROTEKATX DOSTATO^NO DOLGO. oDNAKO, ^ISTO TEORETI^ESKI, TAKOJ FRAGMENT BESKONE^NO MALOJ DLINY ds RASSMOTRETX MOVNO. mOVNO TAKVE ZAPISATX FORMULU DLQ MAGNITNOGO POLQ, SOZDAWAEMOGO TAKIM FRAGMENTOM PROWODNIKA S TOKOM I : (4.8) dH(r) = 1c [Ij r ;?r~r?j3 ~r] ds: zDESX | EDINI^NYJ WEKTOR, OPREDELQ@]IJ PROSTRANSTWENNU@ ORIENTACI@ FRAGMENTA PROWODNIKA. oN WSEGDA BERETSQ NAPRAWLENNYM WDOLX TOKA. nA PRAKTIKE PRI WY^ISLENII MAGNITNYH POLEJ, SOZDANNYH KOLXCEWYMI PROWODNIKAMI S TOKOM, FORMULA (4.8) ISPOLXZUETSQ W INTEGRALXNOJ FORME: I 1 [I (s); r ? ~r(s)] (4.9) H(r) = c jr ? ~r(s)j3 ds:
x 5.
plotnostx toka. zakon sohraneniq zarqda.
23
zDESX, KAK I W (4.6), s | NATURALXNYJ PARAMETR NA KRIWOJ, ZADA@]EJ FORMU PROWODNIKA, A ~r(s) | WEKTORNO-PARAMETRI^ESKOE URAWNENIE \TOJ KRIWOJ, PRI^EM (s) = d~r(s)=ds. sOOTNO[ENIE (4.8) I EGO INTEGRALXNAQ FORMA ZAPISI (4.9) WYRAVA@T ZAKON bIO-sAWARA-lAPLASA DLQ KOLXCEWYH PROWODNIKOW S TOKOM. zAKON bIO-sAWARA-lAPLASA W FORME (4.8) NE MOVET BYTX PROWEREN \KSPERIMENTALXNO. oDNAKO, W INTEGRALXNOJ FORME (4.9) DLQ PROWODNIKOW KONKRETNOJ FORMY ON PRIWODIT K KONKRETNOMU WYRAVENI@ H(r), KOTOROE UVE DOPUSKAET \KSPERIMENTALXNU@ PROWERKU. uPRAVNENIE 4.1. iSPOLXZUQ SOOTNO[ENIQ (4.6) I (4.9), WYWEDITE ZAKON WZAIMODEJSTWIQ PARALLELXNYH PROWODNIKOW S TOKOM W FORME (1.4). uPRAVNENIE 4.2. nAJDITE MAGNITNOE POLE PROWODNIKA S TOKOM, IME@]EGO FORMU OKRUVNOSTI RADIUSA a.
x 5. pLOTNOSTX TOKA. zAKON SOHRANENIQ ZARQDA. pROWODNIKI S TOKOM, KOTORYE MY RASSMATRIWALI RANEE, QWLQ@TSQ NEKOTOROJ IDEALIZACIEJ. rEALXNYJ PROWODNIK WSEGDA OBLADAET TOL]INOJ. |TOT FAKT IGNORIRUETSQ PRI RASSMOTRENII PROTQVENNYH PROWODNIKOW, IME@]IH FORMU PROWOLOKI. oDNAKO, W NEKOTORYH SLU^AQH TOL]INOJ PROWODNIKA PRENEBREGATX NELXZQ. nAPRIMER, PRI RASSMOTRENII TOKA W \LEKTROLITI^ESKOJ WANNE ILI TOKA W RAZREVENNOJ PLAZME W WERHNIH SLOQH ATMOSFERY. tOK W OB_EMNYH PROWODNIKAH MOVET RASPREDELQTSQ NERAWNOMERNO PO TOL]E PROWODNIKA. dLQ OPISANIQ TAKOJ SITUACII LU^[E WSEGO PODHODIT PONQTIE PLOTNOSTI TOKA j. pLOTNOSTX TOKA | WEKTORNAQ WELI^INA, ZAWISQ]AQ OT TO^KI PROWODQ]EJ SREDY: j = j(r). nAPRAWLENIE WEKTORA j(r) UKAZYWAET NAPRAWLENIE PEREME]ENIQ ZARQDA W DANNOJ TO^KE. wELI^INA j = j j j OPREDELQETSQ KOLI^ESTWOM ZARQDA, KOTORYJ
24
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
PROTEKAET W EDINICU WREMENI ^EREZ EDINI^NU@ PLO]ADKU, ORIENTIROWANNU@ PERPENDIKULQRNO WEKTORU j. wYDELIM MYSLENNO NEKOTORYJ OGRANI^ENNYJ OB_EM W TOL]E PROWODQ]EJ SREDY. eGO GRANICA | NEKOTORAQ GLADKAQ ZAMKNUTAQ POWERHNOSTX. w SILU OPREDELENIQ PLOTNOSTI TOKA, ZARQD J , WYTEKA@]IJ ZA PREDELY WYDELENNOGO OB_EMA W EDINICU WREMENI, OPREDELQETSQ POWERHNOSTNYM INTEGRALOM PO GRANICE OBLASTI, A WELI^INA ZARQDA Q, ZAKL@^ENNOGO WNUTRI OB_EMA, | OB_EMNYM INTEGRALOM: (5.1)
Q=
Z
d3
r;
J=
Z
@
j; n dS:
zDESX n | EDINI^NYJ WEKTOR WNE[NEJ NORMALI K POWERHNOSTI @ , OGRANI^IWA@]EJ OB_EM . zAKON SOHRANENIQ ZARQDA QWLQETSQ E]E ODNIM FUNDAMENTALXNYM \KSPERIMENTALXNYM FAKTOM, OTRAVA@]IM PRIRODU \LEKTROMAGNETIZMA. w KLASSI^ESKOJ FORMULIROWKE ON UTWERVDAET, ^TO ZARQDY NE WOZNIKA@T I NE IS^EZA@T, A MOGUT TOLXKO PEREME]ATXSQ. sOWREMENNAQ FIZIKA WNESLA NEKOTORYE KORREKTIWY W \TU FORMULIROWKU: ZARQDY MOGUT IS^EZATX I WOZNIKATX W PROCESSAH ANNIGILQCII I ROVDENIQ PAR, SOSTOQ]IH IZ ^ASTIC I ANTI^ASTIC. nO I PRI \TIH PROCESSAH POLNYJ BALANS ZARQDA SOHRANQETSQ, IBO SUMMARNYJ \LEKTRI^ESKIJ ZARQD PARY ^ASTICA{ANTI^ASTICA WSEGDA RAWEN NUL@. pRIMENITELXNO K INTEGRALAM (5.1) ZAKON SOHRANENIQ ZARQDA DAET: Q_ = ?J . |TO SOOTNO[ENIE OZNA^AET, ^TO UMENX[ENIE ZARQDA W OB_EME
WSEGDA OBUSLOWLENO EGO POTEREJ ZA S^ET POTOKA ^EREZ GRANICU, I NAOBOROT, UWELI^ENIE ZARQDA W \TOM OB_EME ESTX REZULXTAT EGO POSTUPLENIQ ^EREZ GRANICU OB_EMA. zAPI[EM ZAKON SOHRANENIQ ZARQDA W SLEDU@]EJ FORME: Z Z d 3 d r + j; n dS = 0: (5.2) dt
@
x 5.
plotnostx toka. zakon sohraneniq zarqda.
25
pLOTNOSTX TOKA j ESTX WEKTOR, ZAWISQ]IJ OT TO^KI PROWODQ]EJ SREDY. tAKIE OB_EKTY W DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII NAZYWA@TSQ WEKTORNYMI POLQMI. dRUGOJ PRIMER WEKTORNYH POLEJ | \TO \LEKTRI^ESKOE POLE E I MAGNITNOE POLE H. pOWERHNOSTNYJ INTEGRAL J IZ (5.1) NAZYWAETSQ POTOKOM WEKTORNOGO POLQ j ^EREZ POWERHNOSTX @ . dLQ GLADKIH WEKTORNYH POLEJ POWERHNOSTNYJ INTEGRAL TIPA J MOVET BYTX PREOBRAZOWAN W OB_EMNYJ PO FORMULE oSTROGRADSKOGO{gAUSSA. dLQ SOOTNO[ENIQ (5.2) \TO DAET Z @ (5.3) + div j d 3 r = 0: @t
pROIZWOLXNOSTX WYBORA OGRANI^ENNOGO OB_EMA W (5.3) OZNA^AET, ^TO PODINTEGRALXNOE WYRAVENIE W (5.3) RAWNO NUL@: @ + div j = 0: (5.4) @t sOOTNO[ENIQ (5.2) I (5.4) PREDSTAWLQ@T SOBOJ INTEGRALXNU@ I DIFFERENCIALXNU@ FORMU ZAPISI ZAKONA SOHRANENIQ ZARQDA. sOOTNO[ENIE (5.4) IZWESTNO TAKVE KAK URAWNENIE NERAZRYWNOSTI DLQ \LEKTRI^ESKOGO ZARQDA. pRIMENITELXNO K OB_EMNYM PROWODNIKAM S RASPREDELENNYM PO OB_EMU TOKOM S PLOTNOSTX@ j FORMULA (4.6) PEREPISYWAETSQ W SLEDU@]EM WIDE: (5.5)
Z 1 F = c [ j(r); H(r)] d 3r:
zAKON bIO-sAWARA-lAPLASA DLQ TAKIH PROWODNIKOW TAKVE ZAPISYWAETSQ ^EREZ OB_EMNYJ INTEGRAL: Z 1 [ j(~r); r ? ~r] (5.6) H(r) = c jr ? ~rj3 d 3~r: wYWOD FORMUL (5.5) I (5.6) IZ (4.6) I (4.8) TREBUET RAZBIENIQ OB_EMNOGO PROWODNIKA NA SOWOKUPNOSTX LINEJNYH PROWODNIKOW,
26
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
ISPOLXZOWANIQ PRINCIPA SUPERPOZICII I PREDELXNOGO PEREHODA PO KOLI^ESTWU LINEJNYH PROWODNIKOW n ! 1.
x 6. |LEKTRI^ESKIJ DIPOLXNYJ MOMENT. rASSMOTRIM NEKOTORU@ RASPREDELENNU@ KONFIGURACI@ ZARQDOW S PLOTNOSTX@ (r), CELIKOM SOSREDOTO^ENNU@ WNUTRI NEKOTOROGO OGRANI^ENNOGO OB_EMA . pUSTX R | MAKSIMALXNYJ LINEJNYJ RAZMER OBLASTI . pOMESTIM NA^ALO KOORDINAT WNUTRX OBLASTI SOSREDOTO^ENIQ ZARQDA I WYBEREM TO^KU NABL@DENIQ r, DOSTATO^NO DALEKO OTSTOQ]U@ OT OBLASTI SOSREDOTO^ENIQ ZARQDA: jrj R. dLQ NAHOVDENIQ \LEKTRI^ESKOGO POLQ E(r) ISPOLXZUEM FORMULU (3.5): Z (6.1) E(r) = (~r) jrr ?? ~r~rj3 d 3~r:
wWIDU OGRANI^ENNOSTI OBLASTI INTEGRIROWANIQ W (6.1) IMEEM j~rj R. iSPOLXZUQ \TO WMESTE S NERAWENSTWOM jrj R, MY MOVEM RASSMOTRETX TEJLOROWSKOE RAZLOVENIE DROBI W PODINTEGRALXNOM WYRAVENII (6.1) PO STEPENQM ~r=jrj: r r ~r ~r ~ r 1 r ? r (6.2) jr ? ~rj3 = jrj3 + jrj2 3 jrj jrj ; jrj ? jrj + : : : : pODSTAWIW (6.2) W (6.1), MY POLU^IM SLEDU@]EE WYRAVENIE DLQ WEKTORA \LEKTRI^ESKOGO POLQ E(r):
3 r; D r ? jrj2 D r + ::: : (6.3) E(r) = Q jrj3 + jrj5 pERWOE SLAGAEMOE W (6.3) | \TO KULONOWSKOE POLE TO^E^NOGO ZARQDA, RASPOLOVENNOGO W NA^ALE KOORDINAT. wELI^INA Q ESTX SUMMARNYJ ZARQD, ZAKL@^ENNYJ W OB_EME . oN ZADAETSQ INTEGRALOM (5.1).
x 6.
|lektri~eskij dipolxnyj moment.
27
wTOROE SLAGAEMOE W (6.3) IZWESTNO KAK POLE TO^E^NOGO DIPOLQ, RASPOLOVENNOGO W NA^ALE KOORDINAT. wEKTOR D | NAZYWAETSQ DIPOLXNYM MOMENTOM SISTEMY ZARQDOW, ZAKL@^ENNYH WNUTRI . oN OPREDELQETSQ INTEGRALOM (6.4)
Z
D = (~r) ~r d 3~r:
dLQ SISTEMY IZ ^ISTO TO^E^NYH ZARQDOW DIPOLXNYJ MOMENT OPREDELQETSQ SUMMOJ (6.5)
D=
n X i=1
Qi ~ri:
dLQ \LEKTRI^ESKI NEJTRALXNOJ W CELOM SISTEMY ZARQDOW S Q = 0, SOSREDOTO^ENNOJ WBLIZI TO^KI NA^ALA KOORDINAT r = 0, POLE TO^E^NOGO DIPOLQ
3 r; D r ? jrj2 D (6.6) E(r) = jrj5 QWLQETSQ GLAWNYM ^LENOM ASIMPTOTIKI PRI r ! 1 DLQ \LEKTROSTATI^ESKOGO POLQ (3.4) ILI (3.5). oTMETIM, ^TO DLQ SISTEMY S Q = 0 DIPOLXNYJ MOMENT D, WY^ISLQEMYJ PO FORMULAM (6.4) I (6.5), QWLQETSQ INWARIANTOM SISTEMY. oN NE MENQETSQ PRI PEREME]ENII SISTEMY ZARQDOW BEZ IZMENENIQ IH WZAIMNOGO RASPOLOVENIQ: ~r ! ~r + r0. uPRAVNENIE 6.1. pONQTIE PLOTNOSTI ZARQDA PRIMENIMO I K ZARQDAM, LOKALIZOWANNYM W TO^KE. oDNAKO, PRI \TOM (r) STANOWITSQ UVE OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ. tAK, NAPRIMER, TO^E^NYJ ZARQD Q, RASPOLOVENNYJ W TO^KE r = 0, ZADAETSQ PLOTNOSTX@ (r) = Q (r), GDE (r) | DELXTA-FUNKCIQ dIRAKA. rASSMOTRITE PLOTNOSTX ZARQDA 3 X
(6.7) (r) = D; grad (r) = Di @@r(ri ) : i=1
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
28
pO FORMULE (5.1) WY^ISLITE POLNYJ ZARQD Q, OTWE^A@]IJ PLOTNOSTI (6.7). iZ (6.4) WY^ISLITE DIPOLXNYJ MOMENT DLQ SISTEMY ZARQDOW (6.7) I NAJDITE \LEKTRI^ESKOE POLE, SOZDAWAEMOE \TOJ SISTEMOJ ZARQDOW. sRAWNITE POLU^ENNOE WYRAVENIE DLQ E(r) S (6.6) I OB_QSNITE, PO^EMU SISTEMU ZARQDOW (6.7) NAZYWA@T TO^E^NYM DIPOLEM.
uPRAVNENIE 6.2. pOLXZUQSX FORMULOJ (3.7), NAJDITE SI-
LU, DEJSTWU@]U@ NA TO^E^NYJ DIPOLX WO WNE[NEM \LEKTRI^ESKOM POLE E(r).
x 7. mAGNITNYJ MOMENT. rASSMOTRIM SITUACI@, SHODNU@ S RASSMOTRENNOJ W PREDYDU]EM PARAGRAFE. pUSTX W NEKOTOROJ OGRANI^ENNOJ OBLASTI
, SODERVA]EJ W SEBE NA^ALO KOORDINAT r = 0 I IME@]EJ MAKSIMALXNYJ LINEJNYJ RAZMER R, SOSREDOTO^ENA NEKOTORAQ RASPREDELENNAQ SISTEMA TOKOW j(r), TO ESTX WEKTOR-FUNKCIQ j(r) MOVET BYTX OTLI^NA OT NULQ LI[X WNUTRI OBLASTI , ONA RAWNA NUL@ NA GRANICE OBLASTI @ I WS@DU WNE OBLASTI. sISTEMU TOKOW j(r) MY S^ITAEM STACIONARNOJ (j NE ZAWISIT OT WREMENI) I NE PRIWODQ]EJ K NARU[ENI@ BALANSA ZARQDOW ((r) = 0). zAKON SOHRANENIQ ZARQDA (5.4), PRIMENENNYJ K DANNOJ SITUACII, DAET ZANULENIE DIWERGENCII POLQ j(r): div j = 0:
(7.1)
dLQ WY^ISLENIQ MAGNITNOGO POLQ H(r) WOSPOLXZUEMSQ ZAKONOM bIO-sAWARA-lAPLASA W FORME (5.6):
Z 1 [ j(~r); r ? ~r] d 3~r: H(r) =
(7.2)
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
c jr ? ~rj3
x 7.
magnitnyj moment.
29
pOLAGAQ jrj R, WOSPOLXZUEMSQ RAZLOVENIEM (6.2) DLQ PODSTANOWKI EGO W (7.2). w REZULXTATE \TOGO POLU^IM
Z [ j(~r); r] H(r) = d 3 ~r +
(7.3)
c jrj3 Z 3 r; ~r [ j(~r); r] ? jrj2 [ j(~r); ~r] d 3 ~r + : : : : + c jrj5
lEMMA 7.1. pERWYJ INTEGRAL W FORMULE (7.3) RAWEN NUL@ TOVDESTWENNO. dOK-WO. oBOZNA^IM \TOT INTEGRAL ^EREZ H1 (r). wYBEREM PROIZWOLXNYJ KONSTANTNYJ WEKTOR e I OBRAZUEM SKALQRNOE PROIZWEDENIE H1 S WEKTOROM e: Z j(~r); [ r; e] Z e; [ j(~r); r]
3 3 (7.4) H1 ; e = c jrj3 d ~r = c jrj3 d ~r:
rASSMOTRIM WEKTOR a I FUNKCI@ f (~r), OPREDELIW IH TAK:
a = [crj;rej3] ;
f (~r) = a; ~r :
wEKTOR a NE ZAWISIT OT ~r, PO\TOMU PRI WY^ISLENII INTEGRALA (7.4) EGO MOVNO S^ITATX KONSTANTNYM WEKTOROM. dLQ NEGO IMEEM a = grad f . pODSTAWIW \TO W INTEGRAL (7.4), POLU^IM
H ; e = Z j; grad f d 3~r = 1
(7.5)
=
Z
div(f j
Z
r ? f div j d 3~r:
) d 3~
30
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
pOSLEDNIJ INTEGRAL W (7.5) RAWEN NUL@ W SILU (7.1). pRED[ESTWU@]IJ EMU INTEGRAL PREOBRAZUETSQ W POWERHNOSTNYJ PO FORMULE oSTROGRADSKOGO{gAUSSA. oN TAKVE RAWEN NUL@ PO PRI^INE ZANULENIQ j(~r) NA GRANICE OBLASTI . oTS@DA (7.6)
H ; e = Z f j; n dS = 0: 1 @
tEPERX ZANULENIE WEKTORA H1(r) SLEDUET IZ FORMULY (7.6) W SILU PROIZWOLXNOSTI WEKTORA e. lEMMA DOKAZANA. tEPERX PREOBRAZUEM WTOROJ INTEGRAL W (7.3). oBOZNA^IM EGO ^EREZ H2 (r) I, WYBRAW PROIZWOLXNYJ WEKTOR e, OBRAZUEM
SKALQRNOE PROIZWEDENIE H2 ; e . |TO SKALQRNOE PROIZWEDENIE MOVNO PREOBRAZOWATX K WIDU (7.7)
H ; e = 1 Z j(~r); b(~r) d 3~r; 2 c jrj5
GDE b(~r) = 3 r; ~r [r; e]?jrj2 [~r; e]. dOBAWLENIE K b(~r) GRADIENTA
PROIZWOLXNOJ FUNKCII f (~r) NE MENQET WELI^INU INTEGRALA W (7.7). |TO WIDNO NA PRIMERE (7.5) I (7.6). wYBEREM KONKRETNU@ FUNKCI@ f (~r), OPREDELIW EE TAK: (7.8)
f (~r) = ? 23 r; ~r ~r; [r; e] :
dLQ GRADIENTA FUNKCII (7.8) PRQMYM WY^ISLENIEM POLU^AEM
grad f (~r) = ? 32 ~r; [r; e] r ? 23 r; ~r [r; e] = ?
= ?3 r; ~r [r; e] ? 23 r ~r; [r; e] ? [r; e] r; ~r :
iSPOLXZUEM IZWESTNU@ FORMULU [a; [b; c]] = b a; c ? c a; b
x 7.
magnitnyj moment.
31
IZ WEKTORNOJ ALGEBRY. pOLAGAQ a = ~r, b = r I c = [r; e], PREOBRAZUEM WYRAVENIE DLQ grad f K SLEDU@]EMU WIDU:
grad f (~r) = ?3 r; ~r [r; e] ? 23 [~r; [r; [r; e]]]:
(7.9)
pRAWAQ ^ASTX (7.9) SODERVIT TROJNOE WEKTORNOE PROIZWEDENIE. dLQ EGO PREOBRAZOWANIQ WNOWX ISPOLXZUEM SOOTNO[ENIE [a; [b; c]] = b a; c ? c a; b , POLAGAQ a = r, b = r I c = e:
grad f (~r) = ?3 r; ~r [r; e] ? 23 r; e [~r; r] + 32 jrj2 [~r; e]: dOBAWIM POLU^ENNOE WYRAVENIE DLQ grad f K WEKTORU b(~r). nOWOE ZNA^ENIE \TOGO WEKTORA DAETSQ SLEDU@]IM SOOTNO[ENIEM:
b(~r) = ? 32 r; e [~r; r] + 12 jrj2 [~r; e]:
(7.10)
pODSTAWIM (7.10) W FORMULU (7.7). |TO DAET
H ; e = Z ?3 r; e r; [ j(~r); ~r] + jrj2 e; [ j(~r); ~r] d 3~r: 2 c jrj5
2
zAMETIM, ^TO WELI^INY j(~r) I ~r WHODQT W FORMULU DLQ H2; e TOLXKO W FORME WEKTORNOGO PROIZWEDENIQ [ j(~r); ~r]. oBOZNA^IM ^EREZ M SLEDU@]IJ INTEGRAL: (7.11)
M=
Z [~r; j(~r)] d 3 ~r:
2c
wEKTOR M, OPREDELENNYJ INTEGRALOM (7.11), NAZYWAETSQ MAG-
32
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
NITNYM MOMENTOM SISTEMY TOKOW j(~r ). w TERMINAH M POLU
^ENNOE WY[E SOOTNO[ENIE DLQ H2; e ZAPISYWAETSQ TAK: (7.12)
H ; e = 3 r; e r; M ? jrj2 e; M :
jrj5 u^ITYWAQ PROIZWOLXNOSTX WEKTORA e W FORMULE (7.12), IZ (7.3) I LEMMY 7.1 MOVNO SDELATX SLEDU@]IJ WYWOD: POLE TO^E^NOGO MAGNITNOGO DIPOLQ
3 r; M r ? jrj2 M (7.13) H(r) = jrj5 QWLQETSQ GLAWNYM ^LENOM ASIMPTOTIKI PRI r ! 1 DLQ STATI^ESKOGO MAGNITNOGO POLQ (4.9) I (5.6). pODOBNO DIPOLXNOMU MOMENTU D SISTEMY ZARQDOW S SUMMARNYM ZARQDOM Q = 0, MAGNITNYJ MOMENT M INWARIANTEN OTNOSITELXNO PEREME]ENIJ r ! r + r0, NE MENQ@]IH KONFIGURACII TOKOW. dEJSTWITELXNO, PRI TAKOM PEREME]ENII INTEGRAL (7.11) PRIOBRETAET DOBAWKU Z [r0; j(~r)] d 3~r = 0: (7.14) 4M = 2
2c
iNTEGRAL W (7.14) RAWEN NUL@ W SILU TEH VE SOOBRAVENIJ, ^TO IZLOVENY PRI DOKAZATELXSTWE LEMMY 7.1. uPRAVNENIE 7.1. rASSMOTRITE LOKALIZOWANNU@ SISTEMU TOKOW j(r) SO SLEDU@]EJ OBOB]ENNOJ PLOTNOSTX@: (7.15)
j(r) = ?c [M; grad (r)]:
uBEDITESX W SPRAWEDLIWOSTI SOOTNO[ENIQ (7.1) DLQ SISTEMY TOKOW (7.15) I OPREDELITE EE MAGNITNYJ MOMENT M. iSPOLXZUQ FORMULU (5.6), OPREDELITE MAGNITNOE POLE \TOJ SISTEMY TOKOW
integralxnye urawneniq polq.
x 8.
33
I OB_QSNITE, PO^EMU \TU SISTEMU TOKOW NAZYWA@T TO^E^NYM MAGNITNYM DIPOLEM. uPRAVNENIE 7.2. pOLXZUQSX FORMULOJ (5.5), NAJDITE SILU, DEJSTWU@]U@ NA TO^E^NYJ MAGNITNYJ DIPOLX WO WNE[NEM MAGNITNOM POLE H(r). uPRAVNENIE 7.3. iSPOLXZUQ SLEDU@]U@ FORMULU DLQ MOMENTA SIL: Z 1 M = c [r; [ j(r); H]] d 3r; NAJDITE WRA]ATELXNYJ MOMENT SIL M, DEJSTWU@]IJ NA TO^E^NYJ MAGNITNYJ DIPOLX (7.15) W ODNORODNOM MAGNITNOM POLE
H = const.
x 8. iNTEGRALXNYE URAWNENIQ STATI^ESKOGO \LEKTROMAGNITNOGO POLQ.
pONQTIE POTOKA WEKTORNOGO POLQ ^EREZ POWERHNOSTX WOZNIKLO U NAS PRI RASSMOTRENII ZAKONA SOHRANENIQ ZARQDA (SM. INTEGRAL J IZ (5.1)). aNALOGI^NYM OBRAZOM MOVNO OPREDELITX POTOKI I DLQ WEKTORNYH POLEJ E(r) I H(r): (8.1)
E=
Z
S
E; n dS;
H=
Z
S
H; n dS:
pUSTX S | ZAMKNUTAQ POWERHNOSTX, OGRANI^IWA@]AQ NEKOTORYJ OB_EM , T. E. S = @ . |LEKTROSTATI^ESKOE POLE E OPREDELQETSQ FORMULOJ (3.5). pODSTAWIM POLE E(r) W FORME (3.5) W PERWYJ INTEGRAL (8.1) I PROIZWEDEM SMENU PORQDKA INTEGRIROWANIQ W POLU^IW[EMSQ POWTORNOM INTEGRALE: (8.2)
Z r ? ~r; n(r) 3 E = (~r) jr ? ~rj3 dS d ~r: Z
@
34
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
wNUTRENNIJ POWERHNOSTNYJ INTEGRAL W (8.2) BERETSQ OT QWNO ZADANNOJ FUNKCII. oN MOVET BYTX WY^ISLEN QWNO: (8.3)
( Z r ? ~r; n(r) 0, ESLI ~r 62 , dS = jr ? ~rj3
@
4 , ESLI ~r 2 .
zDESX ^EREZ = [ @ OBOZNA^ENO ZAMYKANIE OBLASTI . dLQ DOKAZATELXSTWA SOOTNO[ENIQ (8.3) RASSMOTRIM WEKTORNOE POLE m(r) SLEDU@]EGO WIDA: (8.4) m(r) = jrr ?? ~r~rj3 : wEKTORNOE POLE m(r) QWLQETSQ GLADKIM WS@DU, KROME ODNOJ OSOBOJ TO^KI r = ~r. wS@DU WNE OSOBOJ TO^KI NEPOSREDSTWENNYM WY^ISLENIEM NAHODIM div m = 0. pRI ~r 62 OSOBAQ TO^KA POLQ m NE POPADAET W , PO\TOMU K (8.3) PRIMENIMA FORMULA oSTROGRADSKOGO{gAUSSA:
Z m; n dS = div m d 3r = 0:
Z
@
|TO DOKAZYWAET PERWU@ ^ASTX FORMULY (8.3). dLQ DOKAZATELXSTWA WTOROJ ^ASTI \TOJ FORMULY PRI ~r 2 PRIMENIM TAKTI^ESKIJ MANEWR. rASSMOTRIM SFERI^ESKU@ -OKRESTNOSTX O = O OSOBOJ TO^KI r = ~r. pRI DOSTATO^NO MALOM OKRESTNOSTX O CELIKOM LEVIT WNUTRI . tOGDA IZ USLOWIQ div m = 0 DLQ POLQ (8.4) POLU^AEM (8.5)
Z
@
Z m; n dS = m; n dS = 4: @O
zNA^ENIE POSLEDNEGO INTEGRALA PO SFERE @O W (8.5) NAHODITSQ W REZULXTATE NESLOVNOGO NEPOSREDSTWENNOGO WY^ISLENIQ. fOR-
x 8.
integralxnye urawneniq polq.
35
MULA (8.3) DOKAZANA. pODSTANOWKA (8.3) W (8.2) PRIWODIT K SLEDU@]EMU SOOTNO[ENI@:
Z
(8.6)
@
Z E; n dS = 4 (r) d 3r:
sOOTNO[ENIE (8.6) MOVET BYTX SFORMULIROWANO SLOWESNO W WIDE SLEDU@]EJ TEOREMY. tEOREMA O POTOKE \LEKTRI^ESKOGO POLQ. pOTOK WEKTORA \LEKTRI^ESKOGO POLQ ^EREZ GRANICU OGRANI^ENNOJ OBLASTI RAWEN PROIZWEDENI@ 4 NA SUMMARNYJ ZARQD W \TOJ OBLASTI. rASSMOTRIM TEPERX POTOK MAGNITNOGO POLQ H IZ (8.1). sTATI^ESKOE MAGNITNOE POLE OPREDELQETSQ FORMULOJ (5.6). pODSTAWIM POLE H(r) W FORME (5.6) WO WTOROJ INTEGRAL (8.1) I PROIZWEDEM SMENU PORQDKA INTEGRIROWANIQ W POLU^IW[EMSQ POWTORNOM INTEGRALE: Z Z 1 [ j(~r); r ? ~r]; n(r) (8.7) H= dS d 3 ~r: c jr ? ~rj3 @
pRI WY^ISLENII WNUTRENNEGO INTEGRALA PO POWERHNOSTI WEKTOR j MOVNO S^ITATX KONSTANTNYM. rASSMOTRIM POLE (8.8) m(r) = [cjj;rr??~r~jr3] : pODOBNO POL@ (8.4), POLE (8.8) IMEET ROWNO ODNU OSOBU@ TO^KU r = ~r. dIWERGENCIQ \TOGO POLQ RAWNA NUL@, ^TO PROWERQETSQ NEPOSREDSTWENNYM WY^ISLENIEM. nALI^IE OSOBOJ TO^KI W \TOM SLU^AE, OKAZYWAETSQ, NE WLIQET NA WELI^INU POWERHNOSTNOGO INTEGRALA W (8.7). wZAMEN (8.3) W DANNOM SLU^AE MY IMEEM Z 1 [ j; r ? ~r]; n(r) (8.9) c jr ? ~rj3 dS = 0: @
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
36
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
pRI ~r 62 SOOTNO[ENIE (8.9) WYTEKAET IZ div m = 0 POSLE PRIMENENIQ FORMULY oSTROGRADSKOGO{gAUSSA. pRI ~r 2 IMEET MESTO SOOTNO[ENIE, ANALOGI^NOE SOOTNO[ENI@ (8.5): Z Z m; n dS = m; n dS = 0: (8.10) @O
@
nO ZNA^ENIE INTEGRALA PO SFERE W DANNOM SLU^AE RAWNO NUL@, IBO WEKTOR m(r) ORTOGONALEN WEKTORU NORMALI n WO WSEH TO^KAH SFERY @O. w REZULXTATE PODSTANOWKI (8.9) W (8.7) POLU^AEM SOOTNO[ENIE Z H; n dS = 0; (8.11) @
KOTOROE FORMULIRUETSQ W WIDE SLEDU@]EJ TEOREMY. tEOREMA O POTOKE MAGNITNOGO POLQ. pOTOK WEKTORA MAGNITNOGO POLQ ^EREZ GRANICU WSQKOJ OGRANI^ENNOJ OBLASTI RAWEN NUL@. pUSTX r(s) | WEKTORNO{PARAMEn TRI^ESKOE URAWNENIE NEKOTOROJ ZAn MKNUTOJ PROSTRANSTWENNOJ KRIWOJ S ?, KOTORAQ QWLQETSQ KRAEM NEKOTOROJ NEZAMKNUTOJ POWERHNOSTI S , T. E. ? = @S . nEZAMKNUTOSTX POn WERHNOSTI S OZNA^AET, ^TO S I ? NE PERESEKA@TSQ. ~EREZ S OBOZNA^IM ? ZAMYKANIE POWERHNOSTI S . tOGDA S = S [ ?. s^ITAQ s NATURALXNYM PARAMETROM NA ?, OPREDELIM rIS. 8.1 CIRKULQCI@ \LEKTRI^ESKOGO I MAGNITNOGO POLEJ W WIDE SLEDU@]IH KONTURNYH INTEGRALOW: (8.12)
e
=
I
?
E; ds;
h
=
I
?
H; ds:
x 8.
integralxnye urawneniq polq.
37
pODSTANOWKA (3.5) W (8.12) I SMENA PORQDKA INTEGRIROWANIQ W POLU^IW[EMSQ POWTORNOM INTEGRALE DAET Z I r(s) ? ~r; (s) 3 (8.13) e= (~r) jr(s) ? ~rj3 ds d ~r: ?
fORMULA (8.12) PRIWODIT K NEOBHODIMOSTI RASSMOTRENIQ WEKTORNOGO POLQ (8.4). pRI ~r 62 ?, U^ITYWAQ ? = @S I ISPOLXZUQ FORMULU sTOKSA, KONTURNYJ INTEGRAL W (8.13) MOVNO PREOBRAZOWATX W POWERHNOSTNYJ INTEGRAL: I r(s) ? ~r; (s) Z
dS = 0: (8.14) rot m ; n ds = jr(s) ? ~rj3 S
?
zNA^ENIQ INTEGRALA (8.14) W TO^KAH ~r 2 ? NIKAKOJ ROLI NE IGRA@T, IBO PRI PODSTANOWKE (8.14) W INTEGRAL (8.13) TAKIE TO^KI SOSTAWLQ@T MNOVESTWO MERY NULX. rAWENSTWO NUL@ INTEGRALA (8.14) PRI ~r 62 ? WYTEKAET IZ rot m = 0, ^TO PROWERQETSQ NEPOSREDSTWENNYM WY^ISLENIEM. nALI^IE OSOBENNOSTI W TO^KE r = ~r U POLQ (8.4) NESU]ESTWENNO, IBO POWERHNOSTX S , GRANICEJ KOTOROJ SLUVIT KONTUR ?, MOVNO DEFORMIROWATX TAK, ^TO ~r 62 S . rEZULXTAT PODSTANOWKI (8.14) W (8.13) MOVNO ZAPISATX W WIDE URAWNENIQ:
I
(8.15)
@S
E; ds = 0:
tEOREMA O CIRKULQCII \LEKTRI^ESKOGO POLQ. cIRKULQCIQ STATI^ESKOGO \LEKTRI^ESKOGO POLQ WDOLX GRANICY L@BOJ PLENKI RAWNA NUL@. fORMULA TIPA (8.15) IMEETSQ I W SLU^AE MAGNITNOGO POLQ: I 4 Z H; ds = c j; n dS: (8.16) @S
S
38
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
sOOTWETSTWU@]AQ TEOREMA O CIRKULQCII FORMULIRUETSQ TAK. tEOREMA O CIRKULQCII MAGNITNOGO POLQ. cIRKULQCIQ STATI^ESKOGO MAGNITNOGO POLQ WDOLX GRANICY L@BOJ PLENKI RAWNA PROIZWEDENI@ 4 =c NA SUMMARNYJ TOK, PROTEKA@]IJ SKWOZX PLENKU. iNTEGRAL PO POWERHNOSTI S WHODIT TEPERX W PRAWU@ ^ASTX FORMULY (8.16) QWNO. pO\TOMU \TA POWERHNOSTX, NATQNUTAQ NA KONTUR ?, FIKSIROWANA. oNA NE PODLEVIT DEFORMACII, KAK \TO BYLO PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY O CIRKULQCII \LEKTRI^ESKOGO POLQ. rASSMOTRIM "-RAZDUTIE \TOJ POWERHNOSTI S . |TO OBLASTX ("), QWLQ@]AQSQ OB_EDINENIEM WSEH "-OKRESTNOSTEJ WSEH TO^EK r 2 S . oNA SODERVIT W SEBE POWERHNOSTX S WMESTE S KONTUROM ?. pRI " ! 0 OBLASTX (") STQGIWAETSQ K S . oBOZNA^IM ^EREZ D(") = R3 n (") WNE[NOSTX OBLASTI (") I RASSMOTRIM SLEDU@]U@ MODIFIKACI@ FORMULY (5.6) DLQ MAGNITNOGO POLQ: Z 1 [ j(~r); r ? ~r] 3 (8.17) H(r) = "lim !0 c jr ? ~rj3 d ~r: D(")
pODSTAWIM (8.17) W INTEGRAL (8.12) DLQ CIRKULQCII MAGNITNOGO POLQ I PROIZWEDEM SMENU PORQDKA INTEGRIROWANIQ W OBRAZOWAW[EMSQ POWTORNOM INTEGRALE. w REZULXTATE \TOGO POLU^IM (8.18)
Z I 1 [ j(~r); r(s) ? ~r]; (s) h = lim ds d 3~r: "!0 c jr(s) ? ~rj3 D(") ?
wO WNUTRENNEM INTEGRALE W (8.18) MY IMEEM WEKTORNOE POLE (8.8). w OTLI^IE OT POLQ (8.4), ROTOR POLQ (8.8) NE RAWEN NUL@: (8.19)
3 r ? ~r; j (r ? ~r) ? jr ? ~rj2 j : rot m = c jr ? ~rj5
x 8.
integralxnye urawneniq polq.
39
iSPOLXZOWANIE FORMULY sTOKSA I (8.19) POZWOLQET PREOBRAZOWATX KONTURNYJ INTEGRAL (8.18) W POWERHNOSTNYJ: I 1 [ j(~r); r(s) ? ~r]; (s) ds = c jr(s) ? ~rj3 ? Z 3 r ? ~r; j(~r) r ? ~r; n(r) ? jr ? ~rj2 j(~r); n(r) dS: = c jr ? ~rj5 S
e (~r) WEKTORNOE POLE SLEDU@]EGO WIDA: oBOZNA^IM ^EREZ m
3 ~r ? r; n(r) (~r ? r) ? j~r ? rj2 n(r) me (~r) = : c j~r ? rj5 e (~r) FORMULA DLQ h ZAPISYWAETSQ TAK: w TERMINAH POLQ m Z Z
dS d 3~r: e m (~ r ) ; j (~ r ) h = lim "!0 D(") S
pOLE me (~r) W POLU^ENNOJ FORMULE IMEET KUBI^ESKU@ OSOBENNOSTX j~r ? rj?3 PRI ~r = r. tAKAQ OSOBENNOSTX NE QWLQETSQ INTEGRIRUEMOJ W R3 (PRI INTEGRIROWANII PO d 3~r). iMENNO \TIM OB_QSNQETSQ WWEDENIE WSPOMOGATELXNOJ OBLASTI D(") I ISPOLXZOWANIE PREDELXNOGO PEREHODA PO " ! 0. pOMENQEM PORQDOK INTEGRIROWANIQ W POLU^ENNOM POWTORNOM INTEGRALE DLQ h. |TO PRIWODIT K SLEDU@]EJ FORMULE:
Z Z
Z Z
3 grad f (~r); j(~r) d 3 ~r dS; me (~r); j(~r) d ~r dS = S D(")
S D(")
e (~r) OKAZYWAETSQ GRADIENTOM FUNKCII f (~r): POSKOLXKU POLE m
~r ? r; n(r) (8.20) f (~r) = ? c j~r ? rj3 :
40
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
fUNKCIQ f (~r) STREMITSQ K NUL@ PRI ~r ! 1. pREDPOLOVIM, ^TO PLOTNOSTX TOKA j(~r) TAKVE STREMITSQ K NUL@ PRI ~r ! 1. tOGDA W SILU RASSUVDENIJ, IZLOVENNYH PRI DOKAZATELXSTWE LEMMY 7.1, S U^ETOM FORMULY (7.1) OB_EMNYJ INTEGRAL W POLU^ENNOJ WY[E FORMULE MOVNO PREOBRAZOWATX W POWERHNOSTNYJ: (8.21)
h
= "lim !0
Z Z
S @D(")
f (~r) j(~r); n~ (~r) dSe dS:
pOMENQEM PORQDOK INTEGRIROWANIQ W (8.21) I U^TEM SOWPADENIE GRANIC @D(") = @ ("). wNE[NQQ NORMALX K @D(") SOWPADAET S WNUTRENNEJ NORMALX@ K @ ("). u^ET \TOGO OBSTOQTELXSTWA I PODSTANOWKA QWNOGO WIDA FUNKCII (8.20) PRIWODQT K SLEDU@]EMU WYRAVENI@ DLQ h: (8.22)
Z j(~r); n~ (~r) Z r~ ? r; n(r) e h = lim "!0 c j~r ? rj3 dS dS: S @ (")
oBOZNA^IM ^EREZ V (~r) WNUTRENNIJ INTEGRAL IZ FORMULY (8.22): (8.23)
Z ~r ? r; n(r) dS: V (~r) = S
j~r ? rj3
iNTEGRAL (8.23) HORO[O IZWESTEN W MATEMATI^ESKOJ FIZIKE. oN NAZYWAETSQ POTENCIALOM DWOJNOGO SLOQ. iMEET MESTO SLEDU@]AQ LEMMA, DOKAZATELXSTWO KOTOROJ MY NE PRIWODIM (SM. W KNIGE [1]). lEMMA 8.1. pOTENCIAL DWOJNOGO SLOQ (8.23) QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ FUNKCIEJ W R3 n S . dLQ WSQKOJ WNUTRENNEJ TO^KI ~r 2 S SU]ESTWU@T ODNOSTORONNIE PREDELY: WNUTRENNIJ PREDEL V?(~r) PRI STREMLENII K TO^KE ~r WDOLX WEKTORA NORMALI n(~r) I WNE[NIJ PREDEL V+(~r) PRI STREMLENII K \TOJ TO^KE PROTIW
integralxnye urawneniq polq.
x 8.
41
WEKTORA NORMALI. pRI \TOM V+ ? V? = 4 DLQ WSEH TO^EK ~r 2 S .
n
S+
n S S? S0
dLQ WY^ISLENIQ PREDELA W FORMULE (8.22) RASSMOTRIM BOLEE DETALXNO GEOMETRI@ "-RAZDUTIQ POWERHNOSTI S . nA RISUNKE 8.2 IZOBRAVEN POPERE^NYJ RAZREZ OBLASTI (") DLQ PLENKI S , IZOBRAVENNOJ NA RISUNKE 8.1. pRI DOSTATO^NO MALYH " GRANICA OBLASTI (") SOSTOIT IZ TREH FRAGMENTOW: (8.24)
rIS. 8.2
@ (") = S0 [ S+ [ S? :
fRAGMENT S0 QWLQETSQ ^ASTX@ "-RAZDUTIQ KONTURA ? = @S . pLO]ADX \TOGO FRAGMENTA POWERHNOSTI @ (") UDOWLETWORQET SOOTNO[ENI@ S0 "L PRI " ! 0;
(8.25)
GDE L | DLINA KONTURA ?. fRAGMENTY S+ I S? POLU^A@TSQ W REZULXTATE NORMALXNOGO SDWIGA POWERHNOSTI S NA DISTANCI@ " WDOLX WEKTORA NORMALI n I NA TU VE DISTANCI@ W PROTIWOPOLOVNOM NAPRAWLENII. pODSTANOWKA (8.24) W FORMULU (8.22) PRIWODIT K RAZDELENI@ POWERHNOSTNOGO INTEGRALA PO @ (") NA TRI SLAGAEMYH. dLQ PERWOGO IZ NIH W SILU (8.25) I W SILU OGRANI^ENNOSTI POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ I FUNKCII j j(~r)j IMEEM (8.26)
lim
"!0
Z
S0
V (~r)
j(~r); n~ (~r) c
dSe = 0:
42
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
dLQ DWUH OSTAW[IHSQ SLAGAEMYH SOOTWETSTWU@]IE PREDELY PRI " ! 0 TAKVE UDAETSQ WY^ISLITX: (8.27)
Z
S
V (~r)
j(~r); n~ (~r) c
Z
dSe ?! V (r) S
j(r); n(r) c
dS:
mY NE NAMERENY UTOMLQTX ^ITATELQ DOKAZATELXSTWOM FORMUL
(8.24), (8.25) I (8.27), KOTORYE DOSTATO^NO O^EWIDNY. sUMMIRUQ (8.26) I (8.27) I U^ITYWAQ PRI \TOM LEMMU 8.1, POLU^AEM
Z
dS: 4 j ( r ) ; n ( r ) h= c
(8.28)
S
sOOTNO[ENIE (8.28) ZAWER[AET WYWOD FORMULY (8.16) I DOKAZATELXSTWO TEOREMY O CIRKULQCII MAGNITNOGO POLQ. uPRAVNENIE 8.1. pROWERXTE SOOTNO[ENIE div m = 0 DLQ WEKTORNYH POLEJ (8.4) I (8.8). uPRAVNENIE 8.2. pROWERXTE SOOTNO[ENIE (8.19) DLQ WEKTORNOGO POLQ (8.8). uPRAVNENIE 8.3. wY^ISLITE grad f DLQ FUNKCII (8.20).
x 9. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ STATI^ESKOGO \LEKTROMAGNITNOGO POLQ.
rEZ@MIRUEM REZULXTATY PREDYDU]EGO PARAGRAFA. w x 8 MY WYWELI ^ETYRE INTEGRALXNYH URAWNENIQ DLQ \LEKTRI^ESKOGO I MAGNITNOGO POLEJ. iH PRINQTO GRUPPIROWATX W DWE PARY. pERWAQ PARA URAWNENIJ IMEET NULEWYE PRAWYE ^ASTI: (9.1)
Z
@
H; n dS = 0;
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
I
@S
E; ds = 0:
x 9.
differencialxnye urawneniq polq.
43
pRAWYE ^ASTI URAWNENIJ WO WTOROJ PARE UVE NE RAWNY NUL@. oNI OPREDELQ@TSQ KONFIGURACIEJ ZARQDOW I TOKOW:
Z
(9.2)
@
Z E; n dS = 4 d 3r;
I
@S
Z 4 H; ds = j; n dS: c
S
pOLXZUQSX FORMULAMI oSTROGRADSKOGO{gAUSSA I sTOKSA, PREOBRAZUEM POWERHNOSTNYE INTEGRALY PO @ W OB_EMNYE, A KONTURNYE INTEGRALY PO @S | W POWERHNOSTNYE. tOGDA W SILU PROIZWOLXNOSTI I S INTEGRALXNYE URAWNENIQ (9.1) I (9.2) MOVNO PREOBRAZOWATX W DIFFERENCIALXNU@ FORMU: (9.3) (9.4)
div H = 0; div E = 4;
rot E = 0; rot H = 4c j:
uRAWNENIQ (9.3) I (9.4) SLEDUET DOPOLNITX USLOWIEM STACIONARNOSTI RASPREDELENIQ ZARQDOW I TOKOW: @j @ = 0; (9.5) @t @t = 0: sLEDSTWIEM (9.5) I ZAKONA SOHRANENIQ ZARQDA QWLQETSQ SOOTNO[ENIE (7.1). sISTEMA URAWNENIJ (9.3) I (9.4) ESTX POLNAQ SISTEMA DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ DLQ OPISANIQ STATI^ESKIH \LEKTROMAGNITNYH POLEJ. pRI IH RE[ENII FUNKCII (r) I j(r) S^ITA@TSQ ZADANNYMI ILI VE K SISTEME DOPISYWA@TSQ DOPOLNITELXNYE URAWNENIQ, SWQZYWA@]IE I j S E I H. |TI DOPOLNITELXNYE URAWNENIQ OBY^NO OPISYWA@T SOSTOQNIE SREDY (NAPRIMER, SPLO[NAQ TOKOPROWODQ]AQ SREDA S \LEKTROPROWODNOSTX@ OPISYWAETSQ URAWNENIEM j = E).
glawa II
klassi~eskaq |lektrodinamika x 1. uRAWNENIQ mAKSWELLA. uRAWNENIQ (9.3) I (9.4), WYWEDENNYE W KONCE PREDYDU]EJ GLAWY, OPISYWA@T POLQ, SOOTWETSTWU@]IE STATI^ESKIM RASPREDELENIQM ZARQDOW I TOKOW. oNI SOWER[ENNO NEPRIGODNY DLQ OPISANIQ PROCESSA PERENOSA WZAIMODEJSTWIQ. oTMETIM, ^TO PONQTIE POLQ BYLO WWEDENO W RAMKAH KONCEPCII BLIZKODEJSTWIQ IMENNO W KA^ESTWE OB_EKTA, OSU]ESTWLQ@]EGO PEREDA^U WZAIMODEJSTWIQ MEVDU ZARQDAMI I TOKAMI. dLQ STATI^ESKIH POLEJ \TO SWOJSTWO PROQWLQETSQ LI[X W O^ENX OGRANI^ENNOJ FORME, KOGDA MY RAZDELQEM WZAIMODEJSTWIE ZARQDOW I TOKOW NA DWA PROCESSA: SOZDANIE POLQ ZARQDAMI I TOKAMI I WOZDEJSTWIE \TOGO POLQ NA DRUGIE ZARQDY I TOKI. dINAMI^ESKIE SWOJSTWA SAMOGO POLQ PRI \TOM OSTAWALISX ZA KADROM. bOLEE TO^NYE URAWNENIQ, OPISYWA@]IE PROCESS PEREDA^I \LEKTROMAGNITNOGO WZAIMODEJSTWIQ W DINAMIKE, BYLI PREDLOVENY mAKSWELLOM. oNI IME@T WID: (1.1) div H = 0; rot E = ? 1 @ H ; c @t div E = 4; rot H = 4c j + 1c @@tE : (1.2) nETRUDNO ZAMETITX, ^TO URAWNENIQ (1.1) I (1.2) QWLQ@TSQ OBOB]ENIQMI URAWNENIJ (9.3) I (9.4) IZ PERWOJ GLAWY I POLU^A@TSQ IZ POSLEDNIH NEBOLX[OJ MODIFIKACIEJ PRAWYH ^ASTEJ.
x 1.
urawneniq makswella.
45
pODOBNO URAWNENIQM (9.3) I (9.4) IZ PERWOJ GLAWY, URAWNENIQ mAKSWELLA MOGUT BYTX ZAPISANY W INTEGRALXNOJ FORME:
Z
@
I
(1.3)
@S
Z
(1.4)
@
I
@S
H; n dS = 0;
Z E; ds = ? 1c dtd H; n dS; Z
S
E; n dS = 4 d3r;
Z Z H; ds = 4c j; n dS + 1c dtd E; n dS: S
S
oBRATIM WNIMANIE NA KONTURNYJ INTEGRAL WO WTOROM URAWNENII (1.3). tO^NO TAKOJ VE K INTEGRAL SODERVITSQ WO WTOROM URAWNENII (1.4). nO CIRKULQCIQ \LEKTRI^ESKOGO POLQ (1.5)
e
=
I
@S
E; ds
OBLADAET SAMOSTOQTELXNYM FIZI^ESKIM SMYSLOM (W OTLI^IE OT CIRKULQCII MAGNITNOGO POLQ). eSLI ABSTRAKTNYJ KONTUR ? = @S W PROSTRANSTWE ZAMENITX KONKRETNYM KOLXCEWYM PROWODNIKOM, TO \LEKTRI^ESKOE POLE S NENULEWOJ CIRKULQCIEJ PRIWEDET K WOZNIKNOWENI@ \LEKTRI^ESKOGO TOKA W KONTURE. wELI^INA e IZ (1.5) NAZYWAETSQ \LEKTRODWIVU]EJ SILOJ (\.D.S.) POLQ E W KONTURE. nALI^IE \.D.S. e =6 0 W KONTURE IMEET TOT VE \FFEKT, ^TO I WKL@^ENIE ISTO^NIKA TOKA (BATAREJKI) S NAPRQVENIEM e W \TOT KONTUR. w OPYTE \TO PROQWLQETSQ TAK: PEREMENNOE MAGNITNOE POLE PRIWODIT K WOZNIKNOWENI@ \LEKTRI^ESKOGO POLQ S NENULEWOJ CIRKULQCIEJ I NAWODIT (INDUCIRUET) \LEKTRI^ESKIJ TOK W KOLXCEWOM PROWODNIKE. tAKOE
46
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
QWLENIE NAZYWAETSQ \LEKTROMAGNITNOJ INDUKCIEJ. oNO BYLO WPERWYE OBNARUVENO fARADEEM. fARADEJ DAL TAKVE KOLI^ESTWENNOE OPISANIE \TOGO QWLENIQ W WIDE SLEDU@]EGO ZAKONA INDUKCII. zAKON \LEKTROMAGNITNOJ INDUKCII fARADEQ. |. D. S. INDUKCII W KOLXCEWOM PROWODNIKE PROPORCIONALXNA SKOROSTI IZMENENIQ POTOKA MAGNITNOGO POLQ, OHWATYWAEMOGO DANNYM KONTUROM. zAKON INDUKCII fARADEQ PODSKAZAL mAKSWELLU WYBOR PRAWOJ ^ASTI WO WTOROM URAWNENII (1.1). oDNAKO, POHOVEE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI WTOROGO URAWNENIQ (1.2) BYLO NAPISANO mAKSWELLOM UVE ^ISTO PO ANALOGII. pOSLEDU@]IE \KSPERIMENTY I DALXNEJ[EE RAZWITIE TEHNIKI POLNOSTX@ PODTWERDILI SPRAWEDLIWOSTX URAWNENIJ mAKSWELLA. oTMETIM, ^TO ZAKON SOHRANENIQ ZARQDA W FORME SOOTNO[ENIQ (5.4) IZ PREDYDU]EJ GLAWY QWLQETSQ SLEDSTWIEM URAWNENIJ mAKSWELLA. dEJSTWITELXNO, NADO WY^ISLITX DIWERGENCI@ OBEIH ^ASTEJ WTOROGO URAWNENIQ (1.2): E; div rot H = 4c div j + 1c @ div @t POSLE ^EGO WOSPOLXZOWATXSQ TOVDESTWOM div rot H = 0. sOWMESTNO S PERWYM URAWNENIEM (1.2) \TO W TO^NOSTI DAET SOOTNO[ENIE (5.4) IZ PERWOJ GLAWY. sISTEMA URAWNENIJ (1.1) I (1.2) ESTX POLNAQ SISTEMA URAWNENIJ DLQ OPISANIQ PROIZWOLXNYH \LEKTROMAGNITNYH POLEJ. pRI IH RE[ENII FUNKCII (r; t) I j(r; t) SLEDUET S^ITATX ZADANNYMI FUNKCIQMI ILI VE OPREDELQTX IH IZ URAWNENIJ, OPISYWA@]IH SREDU. tOGDA L@BAQ ZADA^A \LEKTRODINAMIKI, PO SU]ESTWU, SWEDETSQ K NEKOTOROJ KRAEWOJ LIBO SME[ANNOJ (NA^ALXNO{KRAEWOJ) ZADA^E DLQ URAWNENIJ mAKSWELLA (WOZMOVNO, DOPOLNENNYH URAWNENIQMI SREDY). w DANNOJ GLAWE MY RASSMOTRIM LI[X NEKOTORYE O^ENX SPECIALXNYE WIDY TA-
x 2.
plotnostx i potok |nergii
:::
47
KIH ZADA^. oSNOWNAQ VE NA[A CELX | WYWESTI NEKOTORYE WAVNYE MATEMATI^ESKIE SLEDSTWIQ IZ URAWNENIJ mAKSWELLA I ISTOLKOWATX IH FIZI^ESKU@ PRIRODU.
x 2. pLOTNOSTX I POTOK \NERGII \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. pUSTX W OB_EMNOM PROWODNIKE TE^ET TOK S PLOTNOSTX@ j I PUSTX \TOT TOK WYZWAN PEREME]ENIEM ^ASTIC S ZARQDOM q. eSLI | ^ISLO TAKIH ^ASTIC W EDINICE OB_EMA, A v | IH SKOROSTX, TO j = q v. nAPOMNIM, ^TO PLOTNOSTX TOKA | \TO ZARQD, PROTEKA@]IJ W EDINICU WREMENI ^EREZ EDINI^NU@ PLO]ADKU (SM. x 5 GLAWY I). w \LEKTROMAGNITNOM POLE NA KAVDU@ ^ASTICU DEJSTWUET SILA lORENCA, OPREDELQEMAQ PO FORMULE (4.4) IZ PREDYDU]EJ GLAWY. rABOTA \TOJ
SILY , PROIZWODIMAQ W EDINICU WREMENI RAWNA F; v = q E; v . pOLNAQ RABOTA, PROIZWODIMAQ POLEM W EDINICE OB_EMA
, POLU^AETSQ UMNOVENIEM \TOJ WELI^INY NA , TOGDA w = q E; v = E; j . |TA RABOTA IDET NA UWELI^ENIE KINETI^ESKOJ \NERGII ^ASTIC (^ASTICY RAZGONQ@TSQ POLEM). lIBO ONA IDET NA PREODOLENIE SIL WQZKOGO TRENIQ, KOTORYE PREPQTSTWU@T DWIVENI@ ^ASTIC. w L@BOM SLU^AE, POLNAQ MO]NOSTX, RASHODUEMAQ \LEKTROMAGNITNYM POLEM W OB_EME , OPREDELQETSQ SLEDU@]IM INTEGRALOM: (2.1)
Z W = E; j d3 r:
pREOBRAZUEM INTEGRAL (2.1). dLQ \TOGO WYRAZIM PLOTNOSTX TOKA j ^EREZ E I H, ISPOLXZUQ WTOROE URAWNENIE IZ (1.2): (2.2)
j = 4c rot H ? 41 @@tE :
48
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
pODSTANOWKA SOOTNO[ENIQ (2.2) W INTEGRAL (2.1) DAET Z
Z @ (2.3) W = 4c E; rot H d3 r ? 81 @t E; E d3r:
dLQ DALXNEJ[EGO PREOBRAZOWANIQ FORMULY (2.3) ISPOLXZUEM
IZWESTNOE TOVDESTWO div [a; b] = b; rot a ? a; rot b . pOLAGAQ a = H I b = E, DLQ W POLU^IM Z Z
Z jEj2 d c c 3 3 W = 4 div[H; E] d r + 4 H; rot E d r ? dt 8 d3r:
pERWYJ INTEGRAL W \TOM WYRAVENII PREOBRAZUEM W POWERHNOSTNYJ PO FORMULE oSTROGRADSKOGO{gAUSSA. dLQ rot E WOSPOLXZUEMSQ ODNIM IZ URAWNENIJ mAKSWELLA (1.1):
Z c
Z jEj2 + jHj2 d 3 (2.4) W + 4 [E; H]; n dS + dt 8 d r = 0:
@
oBOZNA^IM ^EREZ S I " WEKTORNOE I SKALQRNOE POLQ WIDA 2 2 " = jEj 8+jHj : wELI^INA " IZ (2.5) NAZYWAETSQ PLOTNOSTX@ \NERGII \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. wEKTOR S NAZYWAETSQ PLOTNOSTX@ POTOKA \NERGII. oN IZWESTEN E]E KAK WEKTOR uMOWA{pOJNTINGA. pRI TAKOJ INTERPRETACII WELI^IN IZ (2.5) SOOTNO[ENIE (2.4) MOVNO TRAKTOWATX KAK URAWNENIE BALANSA \NERGII. pERWOE SLAGAEMOE NAZYWAETSQ MO]NOSTX@ RASSEQNIQ | \TO \NERGIQ, RASSEIWAEMAQ W EDINICU WREMENI ZA S^ET PEREDA^I EE DWIVU]IMSQ ZARQDAM. wTOROE SLAGAEMOE | \TO UTE^KA \NERGII ZA PREDELY OB_EMA . |TI DWA WIDA POTERX \NERGII KOMPEN-
(2.5)
S = 4c [E; H];
x 2.
plotnostx i potok |nergii
:::
49
SIRU@TSQ ZA S^ET UMENX[ENIQ \NERGII, NAKOPLENNOJ W SAMOM \LEKTROMAGNITNOM POLE W OB_EME (TRETXE SLAGAEMOE). bALANS \NERGII (2.4) MOVNO PEREPISATX TAKVE I W DIFFERENCIALXNOJ FORME, ANALOGI^NOJ FORMULE (5.4) IZ GLAWY I: @" + div S + w = 0: (2.6) @t
zDESX w = E; j | PLOTNOSTX RASSEIWAEMOJ \NERGII. oTMETIM, ^TO W NEKOTORYH SLU^AQH WELI^INA w I INTEGRAL (2.1) MOGUT BYTX OTRICATELXNYMI. w \TOM SLU^AE PROISHODIT NAKA^KA \NERGII W \LEKTROMAGNITNOE POLE. |TA \NERGIQ ZATEM RASSEIWAETSQ ^EREZ GRANICY OB_EMA . tAKOJ PROCESS PRIWODIT K IZLU^ENI@ \LEKTROMAGNITNYH WOLN IZ OB_EMA . oN REALIZUETSQ W ANTENNAH RADIO I TELEWIZIONNYH PEREDAT^IKOW. eSLI ISKL@^ITX (ILI SILXNO OGRANI^ITX) UTE^KU \NERGII IZ OB_EMA , TO MY POLU^IM USTROJSTWO TIPA sw~-PE^I, GDE \LEKTROMAGNITNOE POLE ISPOLXZUETSQ DLQ PEREDA^I \NERGII OT IZLU^ATELQ K BIF[TEKSU. |LEKTROMAGNITNOE POLE MOVET AKKUMULIROWATX I PEREDAWATX NE TOLXKO \NERGI@, NO I IMPULXS. dLQ WYWODA URAWNENIJ BALANSA IMPULXSA RASSMOTRIM WNOWX TOK S PLOTNOSTX@ j, WYZWANNYJ PEREME]ENIEM ^ASTIC ZARQDA q SO SKOROSTX@ v. pUSTX | KONCENTRACIQ \TIH ^ASTIC | ^ISLO ^ASTIC, PRIHODQ]EESQ NA EDINICU OB_EMA. tOGDA j = q v I = q . sUMMARNAQ SILA, DEJSTWU@]AQ NA WSE ^ASTICY W OB_EME DAETSQ INTEGRALOM
Z 1 F = E r + c [ j; H] d3r: Z
(2.7)
d3
dLQ WYWODA (2.7) DOSTATO^NO UMNOVITX SILU lORENCA, DEJSTWU@]U@ NA OTDELXNU@ ^ASTICU, NA ^ISLO ^ASTIC W EDINICE OB_EMA I PROINTEGRIROWATX PO OB_EMU . sILOJ F OPREDELQETSQ KOLI^ESTWO IMPULXSA, PEREDAWAEMOE \LEKTROMAGNITNYM POLEM ^ASTICAM W OB_EME . iNTEGRAL
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
50
(2.7) ESTX WEKTORNAQ WELI^INA. dLQ DALXNEJ[IH PREOBRAZOWANIJ \TOGO INTEGRALA WYBEREM NEKOTORYJ KONSTANTNYJ EDINI^-
NYJ WEKTOR e I RASSMOTRIM SKALQRNOE PROIZWEDENIE
(2.8)
F; e = Z E; e d3r + Z 1 e; [ j; H] d3r: c
pODSTAWIM (2:2) W (2:8). |TO DAET (2.9)
F; e = Z E; e d3r + 1 Z e; [rot H; H] d3 r? 4
Z 1
? 4c
e; [@ E=@t; H] d3r:
pOLXZUQSX SWOJSTWOM SME[ANNOGO PROIZWEDENIQ, PROIZWEDEM CIKLI^ESKU@ PERESTANOWKU SOMNOVITELEJ WO WTOROM INTEGRALE W (2.9). kROME TOGO, WOSPOLXZUEMSQ O^EWIDNYM TOVDESTWOM [@ E=@t; H] = @ [E; H] =@t ? [E; @ H=@t]. |TO DAET
F; e = Z E; e d3r + 1 Z rot H; [H; e] d3r? 4
Z 1 Z
1 d
? 4 c dt
e; [E; H] d3r + 4 c
e; [E; @ H=@t] d3r:
wOSPOLXZUEMSQ WTORYM URAWNENIEM IZ SISTEMY (1.1) W FORME @ H=@t = ?c rot E. tOGDA
F; e + d Z e; [E; H] d3r = Z E; e d3r+ dt 4c (2.10)
Z rot H; [H; e] + rot E; [E; e] d3 r: +
4
x 2.
plotnostx i potok |nergii
51
:::
dLQ PREOBRAZOWANIQ POSLEDNIH DWUH INTEGRALOW W (2.10) WOSPOLXZUEMSQ SLEDU@]IMI TREMQ TOVDESTWAMI, DWA IZ KOTORYH MY UVE ISPOLXZOWALI RANEE:
(2.11)
[a; [b; c]] = b a; c ? c a; b ;
div [a; b] = b; rot a ? a; rot b ; rot [a; b] = a div b ? b div a ? fa; bg:
zDESX FIGURNYMI SKOBKAMI OBOZNA^EN KOMMUTATOR WEKTORNYH POLEJ a I b (SM. W [2]). tRADICIONNO DLQ \TOGO ISPOLXZU@TSQ KWADRATNYE SKOBKI, NO U NAS ONI OBOZNA^A@T WEKTORNOE PROIZWEDENIE. iZ WTOROGO TOVDESTWA (2.11) WYWODIM
rot H; [H; e] = div [H; [H; e]] + H; rot [H; e] :
dLQ PREOBRAZOWANIQ WELI^INY rot[H; e] ISPOLXZUEM TRETXE TOVDESTWO (2.11): rot[H; e] = ?e div H ? fH; eg. tOGDA 3 3 i X
H; rot[H; e] = ? H; e div H + X H ej @H =
i=1
i
j =1
= ? H; e div H + 21 e; grad jHj2 :
@rj
sOEDINIM DWA POLU^ENNYH SOOTNO[ENIQ I U^TEM PERWOE TOVDESTWO (2.11) DLQ PREOBRAZOWANIQ DWOJNOGO WEKTORNOGO PROIZWEDENIQ [H; [H; e]] W PERWOM IZ NIH. |TO DAET
rot H; [H; e] = div?H H; e ? div?e jHj2?
? H; e div H + 1 e; grad jHj2 : 2
52
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
?
rot H; [H; e] = ? H; e div H+ 1 2 + div H H; e ? e jHj :
nO div e jHj2 = e; grad jHj2 , PO\TOMU OKON^ATELXNO IMEEM (2.12)
2
tO^NO TAKOE VE TOVDESTWO MOVNO WYWESTI I DLQ POLQ E:
rot E; [E; e] = ? E; e div E+ (2.13) + div E E; e ? 21 e jEj2 : rAZNICA SOSTOIT LI[X W TOM, ^TO W SILU URAWNENIJ mAKSWELLA div H = 0, A DIWERGENCIQ POLQ E OTLI^NA OT NULQ: div E = 4. tEPERX, S U^ETOM (2.12) I (2.13), FORMULA (2.10) MOVET BYTX PREOBRAZOWANA K SLEDU@]EMU WIDU:
F; e ? Z E; e n; E + H; e n; H dS + 4
@
Z e; [E; H] Z (jEj2 + jHj2) e; n d dS + d3 r = 0: + @
8
dt
4c
oBOZNA^IM ^EREZ LINEJNYJ OPERATOR, DEJSTWIE KOTOROGO NA PROIZWOLXNYJ WEKTOR e OPREDELQETSQ SOOTNO[ENIEM
E; e + H H; e jEj2 + jHj2 E + (2.14) e = ? 4 8 e: sOOTNO[ENIE (2.14) ZADAET TENZORNOE POLE WALENTNOSTI (1; 1) S KOMPONENTAMI i i 2 2 (2.15) ji = jEj 8+jHj ji ? E Ej 4+H Hj :
x 2.
plotnostx i potok |nergii
:::
53
tENZOR S KOMPONENTAMI (2.15) NAZYWAETSQ TENZOROM PLOTNOSTI POTOKA IMPULXSA. eGO NAZYWA@T TAKVE TENZOROM mAKSWELLA. tEPERX OPREDELIM WEKTOR PLOTNOSTI IMPULXSA p SLEDU@]IM SOOTNO[ENIEM: (2.16) p = [E4;Hc ] : s U^ETOM SDELANNYH OBOZNA^ENIJ (2.15) I (2.16) POLU^ENNOE
WY[E SOOTNO[ENIE DLQ F; e PEREPISYWAETSQ TAK: (2.17)
F; e + Z e; n dS + d Z p; e d3r = 0: dt @
oPERATOR PLOTNOSTI POTOKA
IMPULXSA SIMMETRI^EN, T.E. WYPOLNENO SOOTNO[ENIE e; n = e; n . |TO SWOJSTWO I PROIZWOLXNOSTX e POZWOLQ@T PEREPISATX (2.17) W WEKTORNOM WIDE: Z Z (2.18) F + n dS + dtd p d3r = 0: @
uRAWNENIE (2.18) ESTX URAWNENIE BALANSA IMPULXSA DLQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. sILA F, OPREDELQEMAQ SOOTNO[ENIEM (2.7), | \TO RASSEQNIE IMPULXSA POLQ ZA S^ET PEREDA^I EGO DWIVU]IMSQ ^ASTICAM. wTOROE SLAGAEMOE | RASHOD IMPULXSA ZA S^ET EGO OTTOKA ^EREZ GRANICY OB_EMA . |TI POTERI IMPULXSA KOMPENSIRU@TSQ ZA S^ET IMPULXSA, NAKOPLENNOGO SAMIM POLEM. sOOTNO[ENIE (2.18) MOVNO PEREPISATX I W DIFFERENCIALXNOJ FORME. dLQ \TOGO MY DOLVNY OPREDELITX WEKTORNU@ DIWERGENCI@ TENZORNOGO POLQ TIPA (1; 1). pUSTX (2.19)
= div ,
GDE j =
3 @ i X j
i=1
@ri :
54
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
dIFFERENCIALXNAQ FORMA SOOTNO[ENIQ (2.18) IMEET WID @ p + div + f = 0; (2.20) @t GDE f = E + [ j; H]=c | PLOTNOSTX SILY lORENCA, A WEKTORNAQ DIWERGENCIQ OPREDELENA SOGLASNO (2.19). tAKIM OBRAZOM, \LEKTROMAGNITNOE POLE SPOSOBNO AKKUMULIROWATX W SEBE \NERGI@ I IMPULXS: (2.21)
Z jEj2 + jHj2 E= d3 r;
8
Z [E; H] P= d3 r;
4c
A TAKVE PEREDAWATX \NERGI@ I IMPULXS MATERIALXNYM TELAM. |TO E]E RAZ PODTWERVDAET SDELANNOE RANEE UTWERVDENIE O MATERIALXNOSTI \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. |LEKTROMAGNITNOE POLE NE PROSTO MATEMATI^ESKAQ ABSTRAKCIQ, UDOBNAQ DLQ OPISANIQ WZAIMODEJSTWIQ ZARQDOW I TOKOW, A REALXNYJ FIZI^ESKIJ OB_EKT. uPRAVNENIE 2.1. uBEDITESX W SPRAWEDLIWOSTI SOOTNO[ENIJ (2.11). pROWERXTE WYWOD (2.12) I (2.13).
x 3. wEKTORNYJ I SKALQRNYJ POTENCIALY \LEKTROMAGNITNOGO POLQ.
w PARAGRAFE 2 MY WYWELI FAKT SU]ESTWOWANIQ \NERGII I IMPULXSA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ (2.21), ^TO QWLQETSQ WAVNYM SLEDSTWIEM URAWNENIJ mAKSWELLA (1.1) I (1.2). oDNAKO, MY E]E NE ISSLEDOWALI SAMI \TI URAWNENIQ. uRAWNENIQ mAKSWELLA | \TO SISTEMA IZ ^ETYREH URAWNENIJ, DWA IZ KOTORYH SKALQRNYE, A DWA DRUGIH | WEKTORNYE. oB]EE ^ISLO URAWNENIJ | WOSEMX. ~ISLO NEIZWESTNYH FUNKCIJ | [ESTX. |TO TRI KOMPONENTY WEKTORA E I TRI KOMPONENTY WEKTORA H. nALICO NEKOTORAQ IZBYTO^NOSTX URAWNENIJ.
x 3.
wektornyj i skalqrnyj potencialy.
55
oDIN IZ METODOW RE[ENIQ SISTEM ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ SOSTOIT W SLEDU@]EM: ISPOLXZUQ ODNO IZ URAWNENIJ (NAIBOLEE PROSTOE), WYRAVA@T ODNU IZ NEIZWESTNYH ^EREZ DRUGIE I PODSTAWLQ@T POLU^ENNOE WYRAVENIE W DRUGIE URAWNENIQ. pROISHODIT ISKL@^ENIE ODNOJ NEIZWESTNOJ I SOKRA]ENIE ^ISLA URAWNENIJ W SISTEME. iNOGDA TAKOJ PRIEM SRABATYWAET I W SLU^AE SISTEM DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. rASSMOTRIM URAWNENIE mAKSWELLA div H = 0. wEKTORNOE POLE S NULEWOJ DIWERGENCIEJ NAZYWAETSQ WIHREWYM. dLQ WIHREWYH POLEJ SPRAWEDLIWA SLEDU@]AQ TEOREMA (DOKAZATELXSTWO SM. W KNIGE [3]).
tEOREMA O WIHREWOM POLE. wSQKOE WIHREWOE WEKTORNOE POLE QWLQETSQ ROTOROM NEKOTOROGO DRUGOGO WEKTORNOGO POLQ. zAPI[EM UTWERVDENIE \TOJ TEOREMY PRIMENITELXNO K MAGNITNOMU POL@ H. oNO DAETSQ SLEDU@]IM SOOTNO[ENIEM: (3.1) H = rot A: wEKTORNOE POLE A, SU]ESTWOWANIE KOTOROGO GARANTIRUET SFORMULIROWANNAQ WY[E TEOREMA, NAZYWAETSQ WEKTORNYM POTENCIALOM \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. pODSTAWIM POLE H W FORME (3.1) WO WTOROE URAWNENIE mAKSWELLA (1.1). |TO DAET 1 @A @ 1 (3.2) rot E + c @t rot A = rot E + c @t = 0: wEKTORNOE POLE S NULEWYM ROTOROM NAZYWAETSQ POTENCIALXNYM. iMENNO TAKIM QWLQETSQ POLE E + (@ A=@t)=c IZ (3.2). pOTENCIALXNYE POLQ OPISYWA@TSQ SLEDU@]EJ TEOREMOJ (DOKAZATELXSTWO SM. W KNIGE [3]). tEOREMA O POTENCIALXNOM POLE. wSQKOE POTENCIALXNOE WEKTORNOE POLE QWLQETSQ GRADIENTOM NEKOTOROGO SKALQRNOGO POLQ.
56
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
pRIMENIW \TU TEOREMU K WEKTORNOMU POL@ IZ (3.2), MY POLU^IM SOOTNO[ENIE, OPREDELQ@]EE SKALQRNYJ POTENCIAL \LEKTROMAGNITNOGO POLQ ': (3.3) E + 1c @@tA = ? grad ': oB_EDINIW (3.1) I (3.3), MY MOVEM WYRAZITX \LEKTRI^ESKOE I MAGNITNOE POLQ E I H ^EREZ POLQ A I ': 1 @A ; E = ? grad ' ? (3.4) c @t H = rot A: pRI PODSTANOWKE (3.4) PERWAQ PARA URAWNENIJ mAKSWELLA (1.1) OKAZYWAETSQ WYPOLNENNOJ. pODSTANOWKA (3.4) WO WTORU@ PARU URAWNENIJ mAKSWELLA DAET ? 4' ? 1c @t@ div A = 4 ; (3.5) @ grad ' + 1 @ 2 A = 4 j : grad div A ? 4A + 1c @t c2 @t2 c
pRI WYWODE (3.5) MY WOSPOLXZOWALISX SOOTNO[ENIQMI div grad ' = 4'; rot rot A = grad div A ? 4A:
(3.6)
dIFFERENCIALXNYJ OPERATOR WTOROGO PORQDKA 4 | \TO OPERATOR lAPLASA (ILI LAPLASIAN). w DEKARTOWOJ PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT ON OPREDELQETSQ SOOTNO[ENIEM
4=
(3.7)
3 X @ 2 i=1
@ri
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
@2 + @2 + @2 : = @x 2 @y 2 @z 2
x 4.
kalibrowo~nye preobrazowaniq.
57
s CELX@ NEKOTOROGO UPRO]ENIQ WIDA URAWNENIJ (3.5) PROIZWEDEM PEREGRUPPIROWKU SLAGAEMYH W NIH: 1 @ 2 ' ? 4' = 4 + 1 @ 1 @' + div A ; c2 @t2 c @t c @t (3.8) 2 1 @ A ? 4A = 4 j ? grad 1 @' + div A : c2 @t2 c c @t uRAWNENIQ (3.8) PREDSTAWLQ@T SOBOJ ZAPISX URAWNENIJ mAKSWELLA W PEREMENNYH A I '. |TO SISTEMA IZ DWUH URAWNENIJ, ODNO IZ KOTORYH SKALQRNOE, A DRUGOE | WEKTORNOE. kAK WIDIM, ^ISLO URAWNENIJ I ^ISLO NEIZWESTNYH FUNKCIJ TEPERX SOWPADAET.
x 4. kALIBROWO^NYE PREOBRAZOWANIQ I LORENCEWA KALIBROWKA. wEKTORNYJ I SKALQRNYJ POTENCIALY A I ' BYLI WWEDENY W x 3 WZAMEN \LEKTRI^ESKOGO I MAGNITNOGO POLEJ E I H. nO POLQ A I ' NE QWLQ@TSQ FIZI^ESKIMI POLQMI. fIZI^ESKIE POLQ E I H WYRAVA@TSQ ^EREZ A I ' SOGLASNO (3.4), NO SAMI POLQ A I ' OPREDELQ@TSQ POLQMI E I H NEODNOZNA^NO. dEJSTWITELXNO, RASSMOTRIM PREOBRAZOWANIE A~ = A + grad ; (4.1) '~ = ' ? 1c @@t ; GDE (r; t) | PROIZWOLXNAQ FUNKCIQ. pODSTAWIW (4.1) W FORMULU (3.4), MY POLU^IM
E~ = E;
H~ = H:
tO ESTX FIZI^ESKIE POLQ E, H, OPREDELQEMYE POLQMI A~ , '~ I POLQMI A, ', SOWPADA@T. pREOBRAZOWANIE (4.1), NE MENQ-
58
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
@]EE FIZI^ESKIH POLEJ E I H, NAZYWAETSQ KALIBROWO^NYM PREOBRAZOWANIEM. wOSPOLXZUEMSQ KALIBROWO^NYM PREOBRAZOWANIEM (4.1) DLQ UPRO]ENIQ URAWNENIJ mAKSWELLA (3.8). rASSMOTRIM WELI^INU, FIGURIRU@]U@ W SKOBKAH W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIJ (3.8): 1 @' + div A = 1 @ '~ + div A~ + 1 @ 2 ? 4 : (4.2) c @t c @t c2 @t2 oBOZNA^IM ^EREZ SLEDU@]IJ DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR: 2 (4.3) = c12 @t@ 2 ? 4: oPERATOR (4.3) NAZYWAETSQ OPERATOROM dALAMBERA ILI WOLNOWYM OPERATOROM. uRAWNENIE u = v NAZYWAETSQ URAWNENIEM dALAMBERA. pOLXZUQSX KALIBROWO^NYM PROIZWOLOM (4.1), DOBXEMSQ WYPOLNENIQ SLEDU@]EGO USLOWIQ: 1 @' + div A = 0: (4.4) c @t dLQ OSU]ESTWLENIQ \TOGO MY DOLVNY WYBRATX FUNKCI@ , RE[IW URAWNENIE dALAMBERA 1 @ '~ ~ = ? c @t + div A : iZWESTNO, ^TO URAWNENIE dALAMBERA RAZRE[IMO PRI DOSTATO^NO SLABYH OGRANI^ENIQH NA EGO PRAWU@ ^ASTX (SM. KNIGU [1]). sLEDOWATELXNO, MY MOVEM WYPOLNITX SOOTNO[ENIE (4.4) PRAKTI^ESKI WSEGDA. |TO SOOTNO[ENIE NAZYWAETSQ LORENCEWOJ KALIBROWKOJ. w SLU^AE WYPOLNENIQ USLOWIQ LORENCEWOJ KALIBROWKI (4.4) URAWNENIQ mAKSWELLA (3.8) WYGLQDQT NAIBOLEE PROSTO: (4.5) ' = 4 ; A = 4 c j :
x 5.
|lektromagnitnye wolny.
59
oNI PRINIMA@T WID PARY URAWNENIJ dALAMBERA (4.5). oDNAKO, NELXZQ S^ITATX, ^TO PEREMENNYE A I ' W (4.5) POLNOSTX@ RAZDELILISX. sAMO USLOWIE LORENCEWOJ KALIBROWKI (4.4) QWLQETSQ DOPOLNITELXNYM URAWNENIEM, NAKLADYWA@]IM TREBOWANIE SOGLASOWANNOGO WYBORA RE[ENIJ URAWNENIJ dALAMBERA (4.5).
oPERATOR DALAMBERA (4.3) QWLQETSQ SKALQRNYM OPERATOROM, (W (4.5) ON DEJSTWUET OTDELXNO NA KAVDU@ KOMPONENTU WEKTORA A). pO\TOMU OPERATOR PERESTANOWO^EN S OPERACIEJ WY^ISLENIQ ROTORA I S DIFFERENCIROWANIEM PO WREMENI. oTS@DA NA OSNOWE SOOTNO[ENIJ (3.4) WYWODIM 4 rot j: (4.6) E = ?4 grad ? 4c2 @j ; H = @t c uRAWNENIQ (4.6) NE SODERVAT POTENCIALOW A I '. oNI ZA-
PISANY OTNOSITELXNO REALXNYH FIZI^ESKIH POLEJ E I H I QWLQ@TSQ DIFFERENCIALXNYMI SLEDSTWIQMI URAWNENIJ mAKSWELLA (1.1) I (1.2), ODNAKO, OBRATNO URAWNENIQ mAKSWELLA IZ NIH NE WYTEKA@T. x 5. |LEKTROMAGNITNYE WOLNY. w PREDYDU]EJ GLAWE MY RASSMATRIWALI STATI^ESKIE \LEKTROMAGNITNYE POLQ. tAKIE POLQ ODNOZNA^NO OPREDELQ@TSQ STATI^ESKIM RASPREDELENIEM y ZARQDOW I TOKOW (SM. FORMULY (3.5) I (5.6) IZ GLAWY 1). oNI NE MOGUT SU]ESTWOWATX PRI POLE0 NOM OTSUTSTWII ZARQDOW I TOA0 k x KOW. oDNAKO, KAK MY SEJ^AS UWIDIM, URAWNENIQ mAKSWELLA H0 IME@T NENULEWYE RE[ENIQ I PRI TOVDESTWENNO NULEWYH ZARQDAH I TOKAH. rASSMOTRIM ODz NO IZ TAKIH RE[ENIJ. wYBEREM rIS. 5.1
60
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
PRAWOORIENTIROWANNU@ PRQMOUGOLXNU@ DEKARTOWU SISTEMU KOORDINAT. nAPRAWIM WEKTOR k WDOLX OSI OX , WEKTOR A0 | WDOLX OSI OY I RASSMOTRIM SLEDU@]IE DWE FUNKCII: ' = 0: A = A0 sin(k x ? ! t); zDESX k = jkj. pOLOVIM = 0 I j = 0. pOSLE \TOGO PODSTANOWKA
(5.1)
(5.1) W URAWNENIE LORENCEWOJ KALIBROWKI (4.4) I W URAWNENIQ mAKSWELLA (4.5) DAET (5.2) k2 = jkj2 = !c : uSLOWI@ (5.2) NETRUDNO UDOWLETWORITX. sOOTWETSTWU@]IE POTENCIALY (5.1) OPISYWA@T PLOSKU@ \LEKTROMAGNITNU@ WOLNU, ! | ^ASTOTA WOLNY, k | EE WOLNOWOJ WEKTOR, OPREDELQ@]IJ NAPRAWLENIE RASPROSTRANENIQ WOLNY. nETRUDNO NAJTI TAKVE I SKOROSTX RASPROSTRANENIQ WOLNY. pEREPISAW (5.1) W NESKOLXKO WIDOIZMENENNOJ FORME (5.3) A = A0 sin(k(x ? c t)); WIDIM, ^TO SKOROSTX RASPROSTRANENIQ \LEKTROMAGNITNYH WOLN SOWPADAET S KONSTANTOJ c (SM. (1.5) IZ GLAWY I). tEPERX PODSTAWIM (5.1) W (3.4) I WY^ISLIM \LEKTRI^ESKOE I MAGNITNOE POLQ W \LEKTROMAGNITNOJ WOLNE:
E = E0 cos(k x ? ! t); E0 = jkj A0; (5.4) H = H0 cos(k x ? ! t); H0 = [k; A0]; jE0j = jH0j = jkj jA0j: wEKTORY k, E0 I H0 ORTOGONALXNY DRUG DRUGU I OBRAZU@T PRA-
WU@ TROJKU. wOLNA (5.4) S TAKIMI WEKTORAMI NAZYWAETSQ PLOSKOJ LINEJNO POLQRIZOWANNOJ \LEKTROMAGNITNOJ WOLNOJ. wEK-
x 6.
izlu~enie |lektromagnitnyh woln.
61
TOR E0 PRINQTO S^ITATX WEKTOROM POLQRIZACII WOLNY. wOLNA E = E0 cos(k x ? ! t) + H0 sin(k x ? ! t); H = H0 cos(k x ? ! t) ? E0 sin(k x ? ! t) NAZYWAETSQ POLQRIZOWANNOJ PO KRUGU. oNA ESTX SUPERPOZICIQ DWUH LINEJNO POLQRIZOWANNYH WOLN. eSTESTWENNYJ WIDIMYJ SWET ESTX TAKVE \LEKTROMAGNITNAQ WOLNA. wYDELENNOGO NAPRAWLENIQ POLQRIZACII W NEM NET, NO EGO POLQRIZACI@ NELXZQ S^ITATX KRUGOWOJ. |TO SUPERPOZICIQ BOLX[OGO KOLI^ESTWA PLOSKIH LINEJNO POLQRIZOWANNYH WOLN S HAOTI^ESKI RAZBROSANNYMI POLQRIZACIQMI. x 6. iZLU^ENIE \LEKTROMAGNITNYH WOLN. nEOGRANI^ENNAQ PLOSKAQ WOLNA (5.4), ZAPOLNQ@]AQ WSE PROSTRANSTWO, O^EWIDNO, QWLQETSQ NEKOTOROJ IDEALIZACIEJ. rEALXNYE \LEKTROMAGNITNYE WOLNY ZAPOLNQ@T LI[X OPREDELENNU@ ^ASTX PROSTRANSTWA. kROME TOGO, ONI NE SU]ESTWU@T NEOGRANI^ENNO DOLGO: IME@TSQ ISTO^NIKI (IZLU^ATELI) I POGLOTITELI \LEKTROMAGNITNYH WOLN. fORMULA (5.4) MOVET OPISYWATX REALXNU@ \LEKTROMAGNITNU@ WOLNU LI[X PRIBLIVENNO: W OBLASTI PROSTRANSTWA, UDALENNOJ OT IZLU^ATELEJ I PRI POLNOM OTSUTSTWII POGLO]ENIQ. w DANNOM PARAGRAFE MY RASSMOTRIM PROCESS GENERACII (IZLU^ENIQ) \LEKTROMAGNITNYH WOLN. iZLU^ATELX | \TO OBY^NO SISTEMA ZARQDOW I TOKOW, KOTORAQ UVE NE QWLQETSQ STATI^ESKOJ. zADADIM EE FUNKCIQMI (r; t), j(r; t) I RASSMOTRIM URAWNENIQ mAKSWELLA W FORME (4.5). |TO LINEJNYE NEODNORODNYE DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ. iH RE[ENIQ OPREDELENY NEODNOZNA^NO: K L@BOMU UVE NAJDENNOMU RE[ENI@ MOVNO DOBAWITX PROIZWOLXNOE RE[ENIE SOOTWETSTWU@]EGO ODNORODNOGO URAWNENIQ. oDNAKO, ESLI S^ITATX FUNKCII (r; t) I j(r; t) UBYWA@]IMI PRI r ! 1 I NALOVITX ANALOGI^NOE USLOWIE NA '(r; t) I A(r; t), TO MOVNO SU]ESTWENNO OGRANI^ITX PROIZWOL W WYBORE
62
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
RE[ENIQ URAWNENIJ (4.5). dLQ NAHOVDENIQ ODNOGO IZ TAKIH RE[ENIJ NAM POTREBUETSQ FUNDAMENTALXNOE RE[ENIE OPERATORA dALAMBERA. |TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ WIDA (6.1) u(r; t) = 2c (t) (c2t2 ? jrj2); GDE I | \TO FUNKCIQ h\WISAJDA I -FUNKCIQ dIRAKA SOOTWETSTWENNO. fUNKCIQ (6.1) UDOWLETWORQET URAWNENI@ dALAMBERA S OBOB]ENNOJ PRAWOJ ^ASTX@: u = (t)(r): w FIZIKE TAKIE OB_EKTY ^ASTO NAZYWA@T FUNKCIQMI gRINA. zNAQ FUNDAMENTALXNOE RE[ENIE (6.1) OPERATORA dALAMBERA, MY MOVEM WYPISATX RE[ENIE URAWNENIJ (4.5) W WIDE SWERTOK: (6.2)
' = 4 u ;
A = 4c u j;
(SM. [1]). w SILU SWOJSTW SWERTKI (SM. TAM VE) IZ USLOWIQ SOHRANENIQ ZARQDA (FORMULA (5.4) IZ GLAWY I) WYTEKAET USLOWIE LORENCEWOJ KALIBROWKI (4.4) DLQ POTENCIALOW (6.2). dLQ GLADKIH I DOSTATO^NO BYSTRO UBYWA@]IH FUNKCIJ (r; t) I j(r; t) SWERTKI (6.2) SWODQTSQ K SLEDU@]IM INTEGRALAM:
Z (~r; t ? ) '(r; t) = d3 ~r;
jr ? ~rj Z A(r; t) = j(~crj;rt??~r j) d3~r: zDESX WELI^INA = (r; ~r) NAZYWAETSQ WREMENEM ZAPAZDYWANIQ I OPREDELQETSQ OTNO[ENIEM = jr ? ~rj=c. sAMI POTENCIALY (6.3) NAZYWA@TSQ ZAPAZDYWA@]IMI POTENCIALAMI. (6.3)
x 6.
izlu~enie |lektromagnitnyh woln.
63
zAPAZDYWA@]IE POTENCIALY (6.3) IME@T PROZRA^NU@ FIZI^ESKU@ INTERPRETACI@. sKALQRNYJ POTENCIAL ' W TO^KE r W MOMENT WREMENI t ESTX SUPERPOZICIQ WKLADOW, POROVDAEMYH ZARQDAMI W RAZLI^NYH TO^KAH PROSTRANSTWA, PRI^EM WKLAD OT TO^KI ~r OPREDELQETSQ PLOTNOSTX@ ZARQDA NE W MOMENT WREMENI t, A W PRED[ESTWU@]IJ MOMENT WREMENI t ? . wREMENNOE ZAPAZDYWANIE W TO^NOSTI RAWNO INTERWALU WREMENI, ZA KOTOROE SIGNAL, RASPROSTRANQQSX SO SKOROSTX@ SWETA c, PEREDAETSQ IZ TO^KI ~r W TO^KU r. aNALOGI^NOE ZAPAZDYWANIE ZALOVENO I W FORMULU DLQ WEKTORNOGO POTENCIALA A. oTMETIM, ^TO FUNDAMENTALXNOE RE[ENIE URAWNENIQ dALAMBERA NE EDINSTWENNO. iMEETSQ, NAPRIMER, FUNDAMENTALXNOE RE[ENIE, OTLI^A@]EESQ OT (6.1) SMENOJ NA ? . tAKOMU FUNDAMENTALXNOMU RE[ENI@ SOOTWETSTWU@T OPEREVA@]IE POTENCIALY. oDNAKO, S TO^KI ZRENIQ FIZIKI OPEREVA@]IE POTENCIALY NE IME@T SMYSLA, IBO ONI NARU[A@T PRINCIP PRI^INNOSTI. rASSMOTRIM SISTEMU ZARQDOW, SOSREDOTO^ENNU@ W NEKOTOROJ MALOJ OKRESTNOSTI NA^ALA KOORDINAT. pUSTX R MAKSIMALXNYJ LINEJNYJ RAZMER OBLASTI . pOLXZUQSX FORMULAMI (6.3) WY^ISLIM \LEKTROMAGNITNOE POLE SISTEMY ZARQDOW W TO^KE r NA BOLX[OM UDALENII OT OBLASTI , T.E. j~rj R jrj. tOGDA
r; ~r
jr ? ~rj = jrj ? jrj + : : : ;
r; ~r j r j t ? = t ? c + jrj c + : : : :
(6.4)
oTNO[ENIE jrj=c W (6.4) OPREDELQET WREMQ RASPROSTRANENIQ \LEKTROMAGNITNOGO WOZMU]ENIQ OT OBLASTI DO TO^KI NABL@DENIQ jrj. sLEDU@]IE SLAGAEMYE IME@T PORQDOK MALOSTI, OCENIWAEMYJ WELI^INOJ R=c. |TO WREMQ RASPROSTRANENIQ \LEKTROMAGNITNOGO SIGNALA W PREDELAH OBLASTI .
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
64
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
oBOZNA^IM t0 = t ? jrj=c I POLOVIM t ? = t0 + . dLQ WELI^INY IMEETSQ OCENKA jj R=c. rASSMOTRIM SLEDU@]IE TEJLOROWSKIE RAZLOVENIQ: r; t0) + : : : ; (~r; t ? ) = (~r; t0 ) + @(~ @t (6.5) 0 j(~r; t ? ) = j(~r; t0) + @ j(~@tr; t ) + : : : :
uSLOWIE R jrj NE OBESPE^IWAET PRAWOMO^NOSTI RAZLOVENIJ (6.5). iSPOLXZOWANIE RAZLOVENIJ (6.5) DLQ APPROKSIMACII (~r; t ? ) I j(~r; t ? ) WOZMOVNO TOLXKO PRI NEKOTORYH DOPOLNITELXNYH PREDPOLOVENIQH OTNOSITELXNO \TIH FUNKCIJ. oBOZNA^IM ^EREZ T HARAKTERNOE WREMQ, ZA KOTOROE PROISHODIT SU]ESTWENNOE IZMENENIE WELI^IN I j W OBLASTI . w SLU^AE, KOGDA TAKOE HARAKTERNOE WREMQ MOVNO OPREDELITX, SLEDU@]IE GRUPPY WELI^IN IME@T ODINAKOWYJ PORQDOK MALOSTI: n n @ ; : : : T T @ @t @tn (6.6) @j : : : T n @nj : j T @t @tn tEPERX (6.5) MOVNO PEREPISATX W SLEDU@]EM WIDE: r; t0 ) + : : : ; (~r; t ? ) = (~r; t0 ) + T @(~ @t T (6.7) 0 j(~r; t ? ) = j(~r; t0 ) + T @ j(~@tr; t ) T + : : : :
kORREKTNOSTX ISPOLXZOWANIQ RAZLOVENIJ (6.7) ILI (6.5) MOVNO OBESPE^ITX ZA S^ET DOPOLNITELXNOGO USLOWIQ R=c T . |TO DAET =T 1. uSLOWIE R=c T IMEET PROSTOJ FIZI^ESKIJ SMYSL: WELI^INA ! = 2=T | \TO HARAKTERNAQ ^ASTOTA IZLU^AEMYH \LEKTROMAGNITNYH WOLN, A = 2c=! = c T | \TO HARAKTERNAQ
x 6.
izlu~enie |lektromagnitnyh woln.
65
DLINA TAKIH WOLN. uSLOWIE R=c T OZNA^AET, ^TO HARAKTERNAQ DLINA IZLU^AEMYH WOLN SU]ESTWENNO BOLX[E RAZMEROW IZLU^ATELQ. pUSTX USLOWIQ R c T I R jrj WYPOLNENY. wY^ISLIM WEKTORNYJ POTENCIAL A IZ (6.3), OGRANI^IW[ISX PERWYM SLAGAEMYM W RAZLOVENII (6.5): Z 0 (6.8) A = j(~jrr;j tc ) d3~r + : : : :
dLQ PREOBRAZOWANIQ INTEGRALA W (6.8) WYBEREM PROIZWOLXNYJ KONSTANTNYJ WEKTOR e I RASSMOTRIM SKALQRNOE PROIZWEDENIE
A; e . oPREDELIW WEKTOR a I FUNKCI@ f (~r) SOOTNO[ENIQMI
a = cjerj = grad f;
f (~r) = a; ~r ;
PRODELAEM SLEDU@]IE WY^ISLENIQ, ANALOGI^NYE WY^ISLENIQM (7.5) IZ PERWOJ GLAWY:
Z
(6.9)
Z
Z
j; grad f d3~r = div(f j) d3~r ? f div j d3~r =
Z @ Z Z @ 0 ) e; ~r (~ r ; t 3 3 = f j; n dS + f @t d ~r = @t jrj c d ~r:
@
dLQ WEKTORNOGO POTENCIALA A, WWIDU PROIZWOLXNOSTI WEKTORA e, IZ SOOTNO[ENIQ (6.9) WYWODIM SLEDU@]U@ FORMULU: (6.10)
Z @(~r; t0) ~r D_ + : : : : 3~ A= r + : : : = d @t jrj c jrj c
zDESX D_ = D_ (t0 ) | PROIZWODNAQ DIPOLXNOGO MOMENTA SISTEMY ZARQDOW W MOMENT WREMENI t0 .
66
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
aNALOGI^NYM OBRAZOM, OGRANI^IW[ISX LI[X PERWYMI SLAGAEMYMI W RAZLOVENIQH (6.4) I (6.5), DLQ SKALQRNOGO POTENCIALA ' IZ (6.3) NAHODIM Z 0 (6.11) ' = (~jrr;jt ) d3~r + : : : = jQrj + : : : ;
GDE Q | SUMMARNYJ ZARQD W OBLASTI . oN NE ZAWISIT OT WREMENI, IBO OBLASTX IZOLIROWANA I TOK WNE EE OTSUTSTWUET. sRAWNIM PODINTEGRALXNYE WYRAVENIQ W (6.10) I (6.11) I U^TEM [KALU MAS[TABOW (6.6). |TO SRAWNENIE DAET jAj cRT ': oCENKA R=(c T ) 1, WYTEKA@]AQ IZ R c T , OZNA^AET, ^TO WEKTORNYJ POTENCIAL WY^ISLEN S BOLX[EJ TO^NOSTX@, ^EM SKALQRNYJ. zNA^IT, PRI WY^ISLENII ' NEOBHODIMO U^ITYWATX SLAGAEMYE SLEDU@]EGO PORQDKA MALOSTI W RAZLOVENIQH (6.4) I (6.5). sDELAW \TO, POLU^AEM Z @(~r; t0) r; ~r Q 3 ' = jrj + @t jrj2 c d ~r+ (6.12) Z (~r ; t0) r; ~r 3 + jrj jrj2 d ~r + : : : :
wY^ISLIW INTEGRALY W FORMULE (6.12), PREOBRAZUEM EE K SLEDU@]EMU WIDU:
D_ ; r D; r Q (6.13) ' = jrj + jrj2 c + jrj3 + : : : : pOTENCIALY (6.10) I (6.13) | \TO ZAPAZDYWA@]IE POTENCIALY SISTEMY ZARQDOW W DIPOLXNOM PRIBLIVENII. zAWISIMOSTX
x 6.
izlu~enie |lektromagnitnyh woln.
67
I j OT WREMENI PROQWLQETSQ W NIH LI[X W WIDE ZAWISIMOSTI DIPOLXNOGO MOMENTA D OT t0 . rASSMOTRIM ASIMPTOTIKU \TIH POTENCIALOW PRI r ! 1. pOSLEDNEE SLAGAEMOE W (6.13) PRI \TOM MOVNO OTBROSITX. tOGDA
D_ ; r _ Q (6.14) ' = jrj + jrj2 c + : : : ; A = jrDj c + : : : : tEPERX IZ FORMUL (3.4) I (6.14) NAJDEM ASIMPTOTIKU \LEKTRI^ESKOGO I MAGNITNOGO POLEJ NA BOLX[OM RASSTOQNII OT SISTEMY ZARQDOW. pRI WY^ISLENII rot A I grad ' U^TEM, ^TO WELI^INA t0 = t ? jrj=c W ARGUMENTE D_ (t0) ZAWISIT OT r. iMENNO \TA ZAWISIMOSTX OPREDELQET GLAWNYE ^LENY W ASIMPTOTIKE E I H: (6.15) E = [rj;r[jr3;cD2 ]] + : : : ; H = ? j[rrj;2Dc2] + : : : : wEKTORA E I H (TO^NEE, GLAWNYE ^LENY W IH ASIMPTOTIKE) PERPENDIKULQRNY DRUG DRUGU I PERPENDIKULQRNY WEKTORU r. |TO NAPOMINAET SITUACI@ W PLOSKOJ WOLNE. oDNAKO, W DANNOM SLU^AE MY IMEEM DELO SO SFERI^ESKOJ WOLNOJ, ISHODQ]EJ IZ NA^ALA KOORDINAT, GDE NAHODITSQ OBLASTX . nAPRQVENNOSTX POLEJ jEj ' jHj UBYWAET KAK 1=jrj, ^TO ZNA^ITELXNO MEDLENNEE, ^EM W SLU^AE \LEKTROSTATI^ESKOGO KULONOWSKOGO POLQ. iZ FORMULY (2.5) MOVNO NAJTI PLOTNOSTX POTOKA \NERGII, PERENOSIMOJ WOLNAMI (6.15): 2 (6.16) S = 4j[r;jrDj5]cj 3 r + : : : : dLQ MODULQ WEKTORA S IMEEM jSj 1=jrj2. |TO ZNA^IT, ^TO POLNYJ POTOK \NERGII ^EREZ SFERU SKOLX UGODNO BOLX[OGO RADIUSA OTLI^EN OT NULQ I MY IMEEM DELO S REALXNYM IZLU^ENIEM \LEKTROMAGNITNOJ \NERGII. wELI^INA IZLU^AEMOJ \NERGII CELIKOM OPREDELQETSQ WTOROJ PROIZWODNOJ DIPOLXNO-
68
glawa I. |lektrostatika i magnitostatika
GO MOMENTA. pO\TOMU RASSMOTRENNYJ WY[E SLU^AJ PRINQTO NAZYWATX DIPOLXNYM PRIBLIVENIEM W TEORII IZLU^ENIQ. uPRAVNENIE 6.1. pOLXZUQSX FORMULOJ (6.16), NAJDITE UGLOWOE RASPREDELENIE INTENSIWNOSTI DLQ DIPOLXNOGO IZLU^ENIQ. nAJDITE TAKVE POLNU@ INTENSIWNOSTX DIPOLXNOGO IZLU^ENIQ. uPRAVNENIE 6.2. ~ASTICA ZARQDA q DWIVETSQ NEOGRANI^ENNO DOLGO PO OKRUVNOSTI RADIUSA R S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ v = !R (! | UGLOWAQ SKOROSTX WRA]ENIQ). nAJDITE ZAPAZDYWA@]IE POTENCIALY I OPREDELITE UGLOWOE RASPREDELENIE INTENSIWNOSTI \LEKTROMAGNITNOGO IZLU^ENIQ ^ASTICY. wY^ISLITE POLNU@ INTENSIWNOSTX TAKOGO (CIKLOTRONNOGO) IZLU^ENIQ. uPRAVNENIE 6.3. pUSTX PLOTNOSTX ZARQDA RAWNA NUL@, A PLOTNOSTX TOKA j ZADAETSQ SLEDU@]EJ OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ: (6.17)
j(r; t) = ?c [M(t); grad (r)]
SRAWNITE S (7.16) IZ PERWOJ GLAWY). nAJDITE ZAPAZDYWA@]IE POTENCIALY (6.2) DLQ (6.17). nAJDITE UGLOWOE RASPREDELENIE INTENSIWNOSTI I POLNU@ INTENSIWNOSTX DLQ TAKOGO (MAGNITNODIPOLXNOGO) IZLU^ENIQ.
(
glawa III
specialxnaq teoriq otnositelxnosti x 1. pREOBRAZOWANIQ gALILEQ. kLASSI^ESKAQ \LEKTRODINAMIKA, OSNOWANNAQ NA URAWNENIQH mAKSWELLA, STALA PERWOJ SERXEZNOJ POLEWOJ TEORIEJ. oNA PREKRASNO OB_QSNILA WSE NABL@DAEMYE \LEKTROMAGNITNYE QWLENIQ, PREDSKAZAW SU]ESTWOWANIE \LEKTROMAGNITNYH WOLN, KOTORYE WPOSLEDSTWII BYLI OBNARUVENY I NA[LI POWSEMESTNOE PRAKTI^ESKOE PRIMENENIE. oDNAKO, S RAZWITIEM \TOJ TEORII OBNARUVILISX I NEKOTORYE TRUDNOSTI. oKAZALOSX, ^TO ONA NAHODITSQ W SERXEZNOM KONFLIKTE S KLASSI^ESKIM PRINCIPOM \KWIWALENTNOSTI SOSTOQNIJ POKOQ I RAWNOMERNOGO PRQMOLINEJNOGO DWIVENIQ. |TOT PRINCIP, FORMULIROWKA KOTOROGO WOSHODIT K gALILE@ I nX@TONU, GLASIT, ^TO DWE DEKARTOWY INERCIALXNYE SISTEMY KOORDINAT, DWIVU]IESQ RAWNOMERNO I PRQMOLINEJNO DRUG OTNOSITELXNO DRUGA, SOWER[ENNO RAWNOPRAWNY. wSE FIZI^ESKIE PROCESSY W NIH PROISHODQT IDENTI^NYM OBRAZOM I OPISYWA@TSQ ODNIMI I TEMI VE ZAKONAMI. rASSMOTRIM DWE TAKIE INERCIALXNYE DEKARTOWY SISTEMY KOORDINAT (r; t) I (~r; ~t). pUSTX WTORAQ DWIVETSQ OTNOSITELXNO PERWOJ SO SKOROSTX@ u, PRI^EM KOORDINATNYE OSI \TIH DWUH SISTEM OSTA@TSQ PARALLELXNYMI W PROCESSE DWIVENIQ. sWQZX RADIUS-WEKTOROW TO^EK MOVNO ZADATX W WIDE SLEDU@]IH PREOBRAZOWANIJ, IZWESTNYH KAK PREOBRAZOWANIQ gALILEQ: (1.1)
t = ~t;
r = ~r + ut~:
glawa III. teoriq otnositelxnosti
70
pERWOE IZ SOOTNO[ENIJ (1.1) OZNA^AET, ^TO ^ASY OBEIH SISTEM KOORDINAT SINHRONIZIROWANY I WSEGDA IDUT SINHRONNO. pUSTX ~r(t~) TRAEKTORIQ NEKOTOROJ MATERIALXNOJ TO^KI W SISTEME KOORDINAT (~r; ~t). wO PERWOJ SISTEME KOORDINAT \TA VE TRAEKTORIQ ZADAETSQ WEKTOR-FUNKCIEJ r(t) = ~r(t~)+ ut~. dIFFERENCIRUQ \TO SOOTNO[ENIE I U^ITYWAQ ~t = t IZ (1.1), POLU^IM @ r = @ ~r + u; v = v~ + u: @t @ ~t pOSLEDNEE SOOTNO[ENIE IZ (1.2) IZWESTNO KAK KLASSI^ESKIJ ZAKON SLOVENIQ SKOROSTEJ. dIFFERENCIRUQ (1.2) E]E RAZ, NAJDEM SOOTNO[ENIE MEVDU USKORENIQMI MATERIALXNOJ TO^KI W \TIH DWUH SISTEMAH KOORDINAT:
(1.2)
@ 2 r = @ 2 ~r ; a = a~: @t2 @ ~t2 sOGLASNO WTOROMU ZAKONU nX@TONA, USKORENIE MATERIALXNOJ TO^KI OPREDELQETSQ SILOJ F, KOTORAQ NA NEE DEJSTWUET, I EE MASSOJ: m a = F. iZ (1.3) W SILU PRINCIPA \KWIWALENTNOSTI ZAKL@^AEM, ^TO SILA F ESTX INWARIANT, NE ZAWISQ]IJ OT WYBORA INERCIALXNOJ SISTEMY KOORDINAT. bOLEE TO^NO \TO IZOBRAVAETSQ SOOTNO[ENIEM (1.4) F(~r + ut~; v~ + u) = F~ (~r; v~ ): (1.3)
rASSMOTRIM TEPERX ZARQVENNU@ ^ASTICU c ZARQDOM q, KOTORAQ POKOITSQ W SISTEME KOORDINAT (~r; ~t). w \TOJ SISTEME KOORDINAT ONA SOZDAET ^ISTO KULONOWSKOE \LEKTROSTATI^ESKOE POLE. w SISTEME KOORDINAT (r; t) \TA VE ^ASTICA DWIVETSQ, SLEDOWATELXNO, ONA DOLVNA SOZDAWATX KAK \LEKTRI^ESKOE, TAK I MAGNITNOE POLE. oPISANNAQ SITUACIQ UKAZYWAET NA TO, ^TO WEKTORA E I H NE QWLQ@TSQ INWARIANTAMI PREOBRAZOWANIJ gALILEQ (1.1). dAVE ESLI W ODNOJ SISTEME KOORDINAT MY
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
x 1.
preobrazowaniq galileq.
71
NABL@DAEM ^ISTO \LEKTRI^ESKOE POLE, TO W DRUGOJ SISTEME KOORDINAT SLEDUET OVIDATX PRISUTSTWIQ OBOIH POLEJ. aNALOG SOOTNO[ENIJ (1.4) BUDEM ISKATX W FORME E(~r + ut~; ~t) = (E~ (~r; ~t); H~ (~r; ~t); u); (1.5) H(~r + ut~; ~t) = (E~ (~r; ~t); H~ (~r; ~t); u): w SILU PRINCIPA SUPERPOZICII, KOTORYJ WYPOLNEN W OBOIH SISTEMAH KOORDINAT, FUNKCII I LINEJNY I ODNORODNY PO E~ I H~ . pO\TOMU SOOTNO[ENIE (1.5) PEREPI[EM W WIDE E(r; t) = 1 E~ (~r; ~t) + 2 H~ (~r; ~t); (1.6) H(r; t) = 1 E~ (~r; ~t) + 2 H~ (~r; ~t); GDE 1, 2, 1, 2 | NEKOTORYE LINEJNYE OPERATORY, KOTORYE ZAWISQT TOLXKO OT u. wEKTORA E I H OPREDELQ@T DEJSTWIE \LEKTROMAGNITNOGO POLQ NA ZARQDY, ^TO PROQWLQETSQ W WIDE SILY lORENCA (SM. FORMULU (4.4) IZ GLAWY I). pODSTANOWKA (1.6) W \TU FORMULU I U^ET SOOTNO[ENIJ (1.2) I (1.4) DAET q 1 E~ + q 2 H~ + qc [~v + u; 1 E~ ]+ (1.7) + qc [~v + u; 2 H~ ] = q E~ + qc [~v; H~ ]: sOOTNO[ENIE (1.7) ESTX TOVDESTWO S TREMQ PROIZWOLXNYMI PARAMETRAMI: v~ , E~ , H~ . pO\TOMU MY MOVEM PRIRAWNIWATX OTDELXNO SLAGAEMYE, BILINEJNYE PO v~ I E~ . |TO DAET [~v; 1 E~ ] = 0, OTKUDA SRAZU VE IMEEM 1 = 0. tEPERX PRIRAWNQEM SLAGAEMYE, BILINEJNYE PO v~ I H~ , ^TO DAET [~v; 2 H~ ] = [~v; H~ ]. oTS@DA IMEEM 2 = 1. oSTAETSQ RASSMOTRETX SLAGAEMYE LINEJNYE PO H~ I E~ . dLQ OPERATOROW 1 I 2 \TO DAET SLEDU@]IE FORMULY: 2 H~ = ? 1c [u; H~ ];
1 = 1:
72
glawa III. teoriq otnositelxnosti
tEPERX, PODSTAWIW POLU^ENNYE WYRAVENIQ DLQ OPERATOROW 1 , 2, 1 , 2 W FORMULU (1.6), POLU^AEM SOOTNO[ENIQ (1.8)
E = E~ ? 1c [u; H~ ];
H = H~ :
sOOTNO[ENIQ (1.8) PRIZWANY DOPOLNITX PREOBRAZOWANIQ gALILEQ (1.1) W \LEKTRODINAMIKE. oDNAKO, KAK MY SEJ^AS UWIDIM, S \TOJ MISSIEJ ONI NE SPRAWLQ@TSQ. dLQ \TOGO PREOBRAZUEM URAWNENIQ mAKSWELLA, ZAPISANNYE W FORME URAWNENIJ (1.1) I (1.2) IZ GLAWY II, W SISTEMU KOORDINAT (~r; ~t). dLQ ^ASTNYH PROIZWODNYH W SILU PREOBRAZOWANIJ (1.1) IMEEM (1.9)
@ = @ ; @ri @ r~i
3 @ = @ ?X k @ : u @t @ ~t k=1 @ r~k
tEPERX, OB_EDINQQ (1.8) I (1.9), WYWODIM div H = div H~ ;
div E = div E~ + 1c u; rot H~ ; rot H = rot H~ rot E = rot E~ + 1c fu; H~ g ? 1c u div H~ ; @ H = @ H~ ? fu; H~ g; @t @ ~t @ E = @ E~ ? fu; E~ g + 1 [u; fu; H~ g] ? 1 [u; @ H ~ =@ ~t ]: @t @ ~t c c
zDESX FIGURNYMI SKOBKAMI OBOZNA^EN KOMMUTATOR WEKTORNYH POLEJ (SM. [2]). pRI \TOM WEKTOR u RASSMATRIWAETSQ KAK KONSTANTNOE WEKTORNOE POLE.
x 1.
preobrazowaniq galileq.
73
pRI PODSTANOWKE POLU^ENNYH WY[E SOOTNO[ENIJ W URAWNENIQ mAKSWELLA OGRANI^IMSQ SLU^AEM NULEWYH ZARQDOW I TOKOW = 0, j = 0. |TO DAET div H~ = 0;
div E~ = ? 1c u; rot H~ ;
~ rot H~ = 1c @ E~ ? 1c fu; E~ g+ @t 1 ~ =@ ~t ]; + c2 [u; fu; H~ g] ? c12 [u; @ H ~ rot E~ = ? 1c @ H~ : @t
tOLXKO DWA IZ WYPISANNYH URAWNENIQ SOWPADAET S SOOTWETSTWU@]IMI URAWNENIQMI mAKSWELLA. oSTALXNYE DWA URAWNENIQ SODERVAT NEUSTRANIMOE WHOVDENIE WEKTORA u. oBNARUVENNOE OBSTOQTELXSTWO QWLQETSQ WESXMA SERXEZNYM. w KONCE DEWQTNADCATOGO WEKA ONO POSTAWILO FIZIKOW PERED DILEMMOJ, RE[ENIE KOTOROJ WO MNOGOM OPREDELILO DALXNEJ[EE RAZWITIE FIZIKI W XX-OM WEKE. dEJSTWITELXNO, PREDSTOQLO SDELATX WYBOR: (1) PRIZNATX, ^TO URAWNENIQ mAKSWELLA NE INWARIANTNY OTNOSITELXNO PREOBRAZOWANIJ gALILEQ I TREBU@T SU]ESTWOWANIQ NEKOTOROJ WYDELENNOJ INERCIALXNOJ SISTEMY KOORDINAT, W KOTOROJ ONI IME@T STANDARTNYJ WID, PRIWEDENNYJ W SAMOM NA^ALE WTOROJ GLAWY; (2) LIBO S^ITATX, ^TO NEWERNY SAMI FORMULY (1.1), A PRINCIP \KWIWALENTNOSTI WSEH INERCIALXNYH SISTEM OTS^ETA IMEET INU@ REALIZACI@. pERWYJ WYBOR PRIWEL K WOZNIKNOWENI@ TEORII \FIRA. sOGLASNO \TOJ TEORII, WYDELENNAQ INERCIALXNAQ SISTEMA KOOR-
74
glawa III. teoriq otnositelxnosti
DINAT SWQZANA S NEKOTOROJ GIPOTETI^ESKOJ MATERIEJ | \FIROM. |TA MATERIQ NE IMEET NI MASSY, NI CWETA, NI ZAPAHA. oNA ZAPOLNQET WSE PROSTRANSTWO I NIKAK SEBQ NE PROQWLQET. eDINSTWENNYM EE PREDNAZNA^ENIEM QWLQETSQ PERENOS \LEKTROMAGNITNOGO WZAIMODEJSTWIQ. uKAZANNYE SWOJSTWA \FIRA PREDSTAWLQ@TSQ WESXMA NEOBY^NYMI, ^TO DELAET TEORI@ \FIRA O^ENX ISKUSSTWENNOJ. w KA^ESTWE KOMPROMISA \TA TEORIQ PROSU]ESTWOWALA NEKOTOROE WREMQ, NO BYLA OPROWERGNUTA OPYTAMI mAJKELXSONA I mORLI PO IZMERENI@ SKOROSTI zEMLI OTNOSITELXNO GIPOTETI^ESKOGO \FIRA (OPYTY PO OBNARUVENI@ \FIRNOGO WETRA). wTOROJ WYBOR GORAZDO BOLEE RADIKALXNYJ. dEJSTWITELXNO, OTKAZ OT FORMULY (1.1) OZNA^AET, PO SU]ESTWU, OTKAZ OT WSEJ KLASSI^ESKOJ MEHANIKI nX@TONA. nESMOTRQ NA \TO, RAZWITIE NAUKI PO[LO IMENNO PO WTOROMU PUTI.
x 2. pREOBRAZOWANIQ lORENCA. oTKAZAW[ISX OT FORMULY (1.1), EE SLEDUET ^EM-TO ZAMENITX. |TO BYLO SDELANO lORENCEM. sLEDUQ lORENCU, ZAMENIM PREOBRAZOWANIQ gALILEQ (1.1) LINEJNYMI PREOBRAZOWANIQMI OB]EGO WIDA, SWQZYWA@]IMI (r; t) S (~r; ~t): (2.1)
ct = S00 ct~+
3 X
k=1
S 0 r~k ; k
X ri = S0i ct~+ Ski r~k : k=1 3
mNOVITELX c PRI t I PRI t~ WWEDEN W (2.1) DLQ SOGLASOWANIQ RAZMERNOSTEJ. pOSLE WWEDENIQ TAKOGO MNOVITELQ WSE KOMPONENTY MATRICY S OKAZYWA@TSQ BEZRAZMERNYMI WELI^INAMI. wELI^INU ct UDOBNO OBOZNA^ITX ^EREZ r0 I S^ITATX EE DOPOLNITELXNOJ (^ETWERTOJ) KOMPONENTOJ RADIUS{WEKTORA: (2.2)
r0 = ct:
x 2.
preobrazowaniq lorenca.
75
tOGDA DWA SOOTNO[ENIQ (2.1) MOVNO OB_EDINITX W ODNO:
X ri = Ski r~k : k=0 3
(2.3)
dLQ OBRATIMOSTI PREOBRAZOWANIJ (2.3) ESTESTWENNO S^ITATX, ^TO det S 6= 0. pUSTX T = S ?1. tOGDA OBRATNYE PREOBRAZOWANIQ DLQ (2.3) IME@T WID
X r~i = Tki rk : k=0 3
(2.4)
pO STRUKTURE PREOBRAZOWANIQ (2.3) I (2.4) SOWPADA@T S PREOBRAZOWANIQ KOORDINAT ^ETYREHMERNOGO WEKTORA PRI ZAMENE BAZISA. wSKORE MY UWIDIM, ^TO TAKAQ INTERPRETACIQ OKAZYWAETSQ O^ENX POLEZNOJ. tEPERX ZADA^U O WYWODE PREOBRAZOWANIJ lORENCA MOVNO SFORMULIROWATX KAK ZADA^U O NAHOVDENII KOMPONENT MATRICY S W (2.3). eDINSTWENNOE TREBOWANIE, KOTOROE MY DOLVNY OBESPE^ITX | \TO INWARIANTNOSTX FORMY URAWNENIJ mAKSWELLA OTNOSITELXNO PREOBRAZOWANIJ (2.3) POSLE DOPOLNENIQ IH PREOBRAZOWANIQMI DLQ , j, E I H. dLQ NA^ALA OGRANI^IMSQ SLU^AEM OTSUTSTWIQ ZARQDOW I TOKOW ( = 0, j = 0), A WMESTO SAMIH URAWNENIJ mAKSWELLA RASSMOTRIM IH DIFFERENCIALXNYE SLEDSTWIQ W FORME URAWNENIJ (4.6) IZ GLAWY II: (2.5)
E = 0;
H = 0:
iNWARIANTNOSTX URAWNENIJ (2.5) OTNOSITELXNO PREOBRAZOWANIJ (2.3) I (2.4) QWLQETSQ NEOBHODIMYM (NO NE DOSTATO^NYM) USLOWIEM DLQ INWARIANTNOSTI ISHODNYH URAWNENIJ mAKSWELLA.
76
glawa III. teoriq otnositelxnosti
dLQ DALXNEJ[EGO NAM POTREBUETSQ SLEDU@]AQ FORMA ZAPISI OPERATORA dALAMBERA, WHODQ]EGO W URAWNENIQ (2.5): (2.6)
=
3 3 X X
i=0 j =0
gij @r@ i @r@ j :
zDESX ^EREZ gij OBOZNA^ENY KOMPONENTY SLEDU@]EJ MATRICY: (2.7)
01 0 0 0 1 g ij = gij = B @ 00 ?01 ?01 00 C A: 0 0
0 ?1
nETRUDNO WIDETX, ^TO OBRATNAQ MATRICA gij DLQ (2.7) IMEET TO^NO TAKIE VE KOMPONENTY, T. E. gij = gij . iZ (2.3) I (2.4) WYTEKA@T SLEDU@]IE PRAWILA PREOBRAZOWANIQ DIFFERENCIALXNYH OPERATOROW PERWOGO PORQDKA: (2.8)
3 @ =X k @ ; T i i @r k=0 @ r~k
3 @ =X k @ : S i i @ r~ k=0 @rk
pODSTANOWKA (2.8) W FORMULU (2.6) DLQ OPERATORA dALAMBERA PRIWODIT K SOOTNO[ENI@ =
3 X 3 X
p=0 q=0
g~pq @@r~p @@r~q ;
GDE SWQZX MEVDU MATRICAMI gij I g~pq OPREDELQETSQ FORMULOJ (2.9)
g~pq =
3 X 3 X
i=0 j =0
Tip Tjq g ij :
x 2.
preobrazowaniq lorenca.
77
w TERMINAH OBRATNYH MATRIC gpq I g~pq SOOTNO[ENIE (2.9) MOVNO PEREPISATX TAK: gij =
(2.10)
3 3 X X
p=0 q=0
Tip Tjq g~pq :
tEOREMA 2.1. pRI L@BOM WYBORE OPERATORNYH KO\FFICI-
ENTOW 1 , 2 , 1 I 2 W FORMULAH (1.6) USLOWIE SOHRANENIQ WIDA URAWNENIJ (2.5) PRI PREOBRAZOWANIQH (2.3) I (2.4) \KWIWALENTNO PROPORCIONALXNOSTI MATRIC g I g~: (2.11) g~ij = g ij : ~ISLOWOJ MNOVITELX W FORMULE (2.11) WYBIRA@T RAWNYM EDINICE: = 1. w \TOM SLU^AE IZ (2.10) I (2.11) POLU^AEM gij =
(2.12)
3 3 X X
p=0 q=0
Tip Tjq gpq :
w MATRI^NOJ FORME SOOTNO[ENIE (2.12) MOVET BYTX PEREPISANO SLEDU@]IM OBRAZOM: (2.13) T t g T = g: zDESX g | MATRICA WIDA (2.7), A ^EREZ T t OBOZNA^EN REZULXTAT TRANSPONIROWANIQ MATRICY T . oPREDELENIE 2.1. mATRICA T , UDOWLETWORQ@]AQ SOOTNO[ENI@ (2.13), NAZYWAETSQ LORENCEWSKOJ MATRICEJ. nETRUDNO PROWERITX, ^TO SOWOKUPNOSTX LORENCEWSKIH MATRIC OBRAZUET GRUPPU. |TU GRUPPU PRINQTO OBOZNA^ATX O(1; 3). oNA NAZYWAETSQ MATRI^NOJ GRUPPOJ lORENCA. iZ SOOTNO[ENIQ (2.13) DLQ LORENCEWSKOJ MATRICY POLU^AEM (det T )2 = 1, SLEDOWATELXNO, det T = 1. lORENCEWSKIE MAT-
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
78
glawa III. teoriq otnositelxnosti
RICY S EDINI^NYM DETERMINANTOM OBRAZU@T GRUPPU SO(1; 3), KOTORU@ NAZYWA@T SPECIALXNOJ GRUPPOJ lORENCA. pRI i = j = 0 IZ SOOTNO[ENIQ (2.12) IZWLEKAETSQ SLEDU@]AQ FORMULA DLQ KOMPONENT MATRICY T : (2.14)
(T00 )2 ? (T01 )2 ? (T02 )2 ? (T03 )2 = 1:
nEMEDLENNYM SLEDSTWIEM SOOTNO[ENIQ (2.14) QWLQETSQ NERAWENSTWO jT00j 1, SLEDOWATELXNO, T00 1 ILI T00 ?1. lORENCEWSKAQ MATRICA T , DLQ KOTOROJ T00 1, NAZYWAETSQ ORTOHRONNOJ. sOWOKUPNOSTX ORTOHRONNYH LORENCEWSKIH MATRIC OBRAZUET ORTOHRONNU@ GRUPPU lORENCA O+(1; 3). pERESE^ENIE SO+ (1; 3) = SO(1; 3) \ O+ (1; 3) NAZYWAETSQ SPECIALXNOJ ORTOHRONNOJ GRUPPOJ lORENCA. uPRAVNENIE 2.1. s^ITAQ PREOBRAZOWANIE (1.6), ZADANNOE OPERATORNYMI KO\FFICIENTAMI 1, 2 , 1 I 2, OBRATIMYM, DOKAVITE TEOREMU 2.1.
x 3. pROSTRANSTWO mINKOWSKOGO. w PREDYDU]EM PARAGRAFE MY POKAZALI, ^TO WSQKAQ LORENCEWSKAQ MATRICA IZ GRUPPY O(1; 3) OPREDELQET NEKOTOROE PREOBRAZOWANIE (2.1), SOHRANQ@]EE WID URAWNENIJ \LEKTRODINAMIKI (2.5). pRI WYWODE \TOGO FAKTA MY SDELALI OBOZNA^ENIE (2.2) I OB_EDINILI PROSTRANSTWO I WREMQ W EDINOE ^ETYREHMERNOE PROSTRANSTWO-WREMQ . oBOZNA^IM EGO ^EREZ M . pROSTRANSTWO M | OSNOWNOJ OB_EKT W SPECIALXNOJ TEORII OTNOSITELXNOSTI, EGO TO^KI NAZYWA@TSQ SOBYTIQMI. pROSTRANSTWO SOBYTIJ M OSNA]ENO KWADRATI^NOJ FORMOJ g SIGNATURY (1; 3), KOTORAQ NAZYWAETSQ METRIKOJ mINKOWSKOGO. pRI \TOM INERCIALXNYE SISTEMY OTS^ETA INTERPRETIRU@TSQ KAK DEKARTOWY SISTEMY KOORDINAT, W KOTORYH METRIKA mINKOWSKOGO IMEET KANONI^ESKIJ WID (2.7).
x 3.
prostranstwo minkowskogo.
79
pRINCIP \KWIWALENTNOSTI. wSE FIZI^ESKIE ZAKONY W
L@BYH DWUH INERCIALXNYH SISTEMAH OTS^ETA ZAPISYWA@TSQ ODINAKOWO. wYBEREM NEKOTORU@ INERCIALXNU@ SISTEMU KOORDINAT. tAKOJ WYBOR OPREDELQET RAZDELENIE PROSTRANSTWA SOBYTIJ M NA GEOMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO TO^EK V I NA WREMQ T : (3.1) M = T V: mATRICA METRIKI mINKOWSKOGO W WYBRANNOJ SISTEME KOORDINAT IMEET KANONI^ESKIJ WID (2.7). pO\TOMU GEOMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO V ORTOGONALXNO OSI WREMENI OTNOSITELXNO METRIKI mINKOWSKOGO g. CUVENIE \TOJ METRIKI NA V QWLQETSQ OTRICATELXNO OPREDELENNOJ KWADRATI^NOJ FORMOJ. pOSLE PROSTOJ SMENY ZNAKA MY POLU^AEM POLOVITELXNO OPREDELENNU@ KWADRATI^NU@ FORMU | \TO OBY^NOE EWKLIDOWO SKALQRNOE PROIZWEDENIE W PROSTRANSTWE V . tEPERX RASSMOTRIM WTORU@ INERCIALXNU@ SISTEMU KOORDINAT. oNA OPREDELQET WTOROE RAZLOVENIE M NA PROSTRANSTWO I WREMQ, ANALOGI^NOE RAZLOVENI@ (3.1): (3.2)
M = T~ V~ :
nO OSI WREMENI T I T~ W RAZLOVENIQH (3.1) I (3.2) W OB]EM SLU^AE NE SOWPADA@T. dEJSTWITELXNO, SWQZX BAZISNYH WEKTOROW DWUH WYBRANNYH SISTEM OTS^ETA OPREDELQETSQ SOOTNO[ENIEM (3.3)
e~i =
3 X
j =0
Sij ej ;
GDE S | LORENCEWSKAQ MATRICA IZ (2.3). dLQ WEKTORA e~0 , NAPRAWLENNOGO WDOLX OSI WREMENI T~, IZ (3.3) IMEEM (3.4) e~0 = S00 e0 + S01 e1 + S02 e2 + S03 e3:
80
glawa III. teoriq otnositelxnosti
w OB]EM SLU^AE KOMPONENTY S01, S02 I S03 W LORENCEWSKOJ MATRICE S OTLI^NY OT NULQ. pO\TOMU WEKTORA e~0 I e0 NEKOLLINEARNY, OTKUDA T = 6 T~. iZ NESOWPADENIQ OSEJ WREMENI T =6 T~ W DWUH INERCIALXNYH SISTEMAH OTS^ETA WYTEKAET TAKVE I NESOWPADENIE GEOMETRI^ESKIH PROSTRANSTW: V = 6 V~ . |TO OBSTOQTELXSTWO PRIWODIT K WESXMA RADIKALXNOMU WYWODU S TO^KI ZRENIQ EGO FIZI^ESKOJ INTERPRETACII: NABL@DATELI W DWUH TAKIH SISTEMAH KOORDINAT NABL@DA@T DWA RAZNYH TREHMERNYH GEOMETRI^ESKIH PROSTRANSTWA I IME@T RAZNYJ HOD WREMENI. oDNAKO, W NA[EJ POWSEDNEWNOJ VIZNI \TA RAZNICA KRAJNE MALA I NIKAK NE PROQWLQETSQ. wYQSNIM, NASKOLXKO RAZLI^AETSQ HOD WREMENI W DWUH INERCIALXNYH SISTEMAH OTS^ETA. iZ FORMUL (2.4) POLU^AEM (3.5)
t~ = T00 t +
3 X Tk0
k=1
k c r:
pUSTX t ! +1. tOGDA, ESLI LORENCEWSKAQ MATRICA T ORTOHRONNA, TO T00 > 0 I ~t ! +1. eSLI VE MATRICA T NE ORTOHRONNA, TO IZ t ! +1 WYTEKAET ~t ! ?1. pREOBRAZOWANIQ (2.4) c NEORTOHRONNYMI MATRICAMI T INWERTIRU@T HOD WREMENI, PERESTAWLQQ MESTAMI PRO[LOE I BUDU]EE. wKL@^ITX W TEORI@ TAKU@ WOZMOVNOSTX BYLO BY O^ENX ZAMAN^IWO. oDNAKO, NA DANNYJ MOMENT PRI POSTROENII TEORII OTNOSITELXNOSTI ISPOLXZUETSQ BOLEE OSTOROVNYJ REALISTI^ESKIJ PODHOD. pRINQTO S^ITATX, ^TO DWE REALXNYE FIZI^ESKIE INERCIALXNYE SISTEMY OTS^ETA MOGUT BYTX SWQZANY TOLXKO ORTOHRONNYMI LORENCEWSKIMI MATRICAMI IZ GRUPPY O+(1; 3). sUVENIE GRUPPY DOPUSTIMYH LORENCEWSKIH MATRIC S O(1; 3) DO O+(1; 3), SWQZANO S NALI^IEM W PROSTRANSTWE SOBYTIJ DOPOLNITELXNOJ STRUKTURY, NAZYWAEMOJ POLQRIZACIEJ. wYBEREM NEKOTORU@ FIZI^ESKU@ INERCIALXNU@ SISTEMU OTS^ETA. mETRIKA mINKOWSKOGO W TAKOJ SISTEME OTS^ETA ZADAETSQ MATRICEJ
x 3.
prostranstwo minkowskogo.
81
KANONI^ESKOGO WIDA (2.7). rASSMOTRIM SKALQRNYJ KWADRAT ^ETYREHMERNOGO WEKTORA x W METRIKE mINKOWSKOGO: (3.6)
g(x; x) = (x0 )2 ? (x1)2 ? (x2 )2 ? (x3 )2 :
w ZAWISIMOSTI OT ZNA^ENIQ g(x; x) WEKTORA PROSTRANSTWA M RAZDELQ@TSQ NA TRI MNOVESTWA: (1) WREMENIPODOBNYE WEKTORA, DLQ KOTORYH WELI^INA IH SKALQRNOGO KWADRATA g(x; x) POLOVITELXNA; (2) SWETOWYE WEKTORA, DLQ KOTORYH g (x; x) = 0; (3) PROSTRANSTWENNOPODOBNYE WEKTORA, DLQ KOTORYH WELI^INA g(x; x) OTRICATELXNA; kOORDINATY SWETOWYH WEKTOROW UDOWLETWORQ@T SLEDU@]EMU URAWNENI@ WTOROGO PORQDKA: (3.7)
(x0 )2 ? (x1 )2 ? (x2 )2 ? (x3 )2 = 0:
nETRUDNO WIDETX, ^TO (3.7) | \TO URAWNENIE KONUSA W ^ETYREHMERNOM PROSTRANSTWE (SM. KLASSIFIKACI@ KWADRIK W [4]). kONUS (3.7) NAZYWAETSQ SWETOWYM KONUSOM. pROSTRANSTWENNOPODOBNYE WEKTORA ZAPOLNQ@T WNE[NOSTX SWETOBUDU]EE WOGO KONUSA, A WREMENIPODOBNYE WEKTORA SOSTAWLQ@T EGO WNUTRENNOSTX. wNUTRENNOSTX SWETOWOGO KONUSA SOSTOIT IZ DWUH POLOWIN: WREMENIPODOBNYE WEKTORA, DLQ KOTORYH x0 > 0 NAPRAWLENY W BUDU]EE, A OSTALXNYE (TE, DLQ KOTORYH x0 < 0) NAPRAWLENY W PRO[LOE PRO[LOE. wEKTOR, NAPRAWLENNYJ W BUDU]EE, MOVNO NEPRERYWNO DErIS. 3.1 FORMIROWATX W L@BOJ DRUGOJ WEKTOR, NAPRAWLENNYJ W BUDU]EE. nO EGO NELXZQ NEPRERYWNOJ
82
glawa III. teoriq otnositelxnosti
DEFORMACIEJ PEREWESTI W WEKTOR, NAPRAWLENNYJ W PRO[LOE, NI RAZU NE SDELAW PROSTRANSTWENNOPODOBNYM LIBO NULEWYM. pO\TOMU GOWORQT, ^TO MNOVESTWO WREMENIPODOBNYH WEKTOROW SOSTOIT IZ DWUH SWQZNYH KOMPONENT. oPREDELENIE 3.1. gEOMETRI^ESKAQ STRUKTURA W PROSTRANSTWE M S METRIKOJ mINKOWSKOGO, WYDELQ@]AQ ODNU IZ SWQZNYH KOMPONENT W MNOVESTWE WREMENIPODOBNYH WEKTOROW, NAZYWAETSQ POLQRIZACIEJ. pRI \TOM GOWORQT, ^TO WYDELENNAQ KOMPONENTA UKAZYWAET NAPRAWLENIE W BUDU]EE. pUSTX e0, e1, e2, e3 | ORTONORMIROWANNYJ BAZIS W METRIKE mINKOWSKOGO*. w PROSTRANSTWE M S POLQRIZACIEJ IZ WSEH TAKIH BAZISOW MY MOVEM RASSMOTRETX LI[X TE, DLQ KOTORYH WEKTOR WREMENNOJ OSI e0 NAPRAWLEN W BUDU]EE. tOGDA PEREHOD IZ ODNOGO TAKOGO BAZISA W DRUGOJ BUDET ZADAWATXSQ ORTOHRONNOJ MATRICEJ IZ GRUPPY O+(1; 3). oPREDELENIE 3.2. ~ETYREHMERNOE AFFINNOE PROSTRANSTWO M , OSNA]ENNOE METRIKOJ g SIGNATURY (1; 3), A TAKVE ORIENTACIEJ** I POLQRIZACIEJ, NAZYWAETSQ PROSTRANSTWOM mINKOWSKOGO. sOGLASNO SPECIALXNOJ TEORII OTNOSITELXNOSTI, PROSTRANSTWO mINKOWSKOGO, OSNA]ENNOE ORIENTACIEJ I POLQRIZACIEJ, KAK RAZ I ESTX PRAWILXNAQ MATEMATI^ESKAQ MODELX DLQ PROSTRANSTWA REALXNYH FIZI^ESKIH SOBYTIJ. tEPERX MY MOVEM DATX STROGOE MATEMATI^ESKOE OPREDELENIE INERCIALXNOJ SISTEMY OTS^ETA. oPREDELENIE 3.3. oRTONORMIROWANNOJ PRAWOJ INERCIALXNOJ SISTEMOJ OTS^ETA NAZYWAETSQ ORTONORMIROWANNAQ PRAWAQ SISTEMA KOORDINAT W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO, BAZISNYJ WEKTOR WREMENI KOTOROJ NAPRAWLEN W BUDU]EE. * T. E. BAZIS, W KOTOROM METRIKA mINKOWSKOGO IMEET WID (2.7). ** NAPOMNIM, ^TO ORIENTACIQ | \TO GEOMETRI^ESKAQ STRUKTURA, RAZDELQ@]AQ BAZISY NA PRAWYE I LEWYE (SM. [4]).
x 4.
kinematika otnositelxnogo dwiveniq.
83
nETRUDNO PROWERITX, ^TO L@BYE DWE INERCIALXNYE SISTEMY OTS^ETA IZ OPREDELENIQ 3.3, SWQZANY PREOBRAZOWANIEM lORENCA S MATRICEJ S IZ SPECIALXNOJ ORTOHRONNOJ GRUPPY lORENCA SO+(1; 3). wYBEREM ODNU IZ TAKIH SISTEM OTS^ETA I RASSMOTRIM SWQZANNOE S NEJ RAZLOVENIE (3.1). qSNO e0 2 T , A LINEJNAQ OBOLO^KA PROSTRANSTWENNYH WEKTOROW e1 , e2 , e3 ZADAET V . wYBRAW ORTONORMIROWANNYJ BAZIS e1, e2, e3 ZA \TALON PRAWOGO BAZISA W V , WY OSNA]AEM \TO TREHMERNOE PROSTRANSTWO ORIENTACIEJ. |TO POLNOSTX@ SOGLASUETSQ S TEM FAKTOM, ^TO GEOMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO, KOTOROE MY EVEDNEWNO NABL@DAEM WOKRUG SEBQ, OSNA]ENO ORIENTACIEJ, POZWOLQ@]EJ RAZLI^ATX LEWOE I PRAWOE.
uPRAVNENIE 3.1. pO ANALOGII S OPREDELENIEM 3.3 DAJTE OPREDELENIE KOSOUGOLXNOJ INERCIALXNOJ SISTEMY OTS^ETA. x 4. kINEMATIKA OTNOSITELXNOGO DWIVENIQ. pREOBRAZOWANIQ gALILEQ ISPOLXZU@TSQ W MEHANIKE DLQ OPISANIQ FIZI^ESKIH PROCESSOW S TO^KI ZRENIQ DWUH NABL@DATELEJ, SWQZANNYH S DWUMQ INERCIALXNYMI SISTEMAMI OTS^ETA. pREOBRAZOWANIQ lORENCA, KOTORYE MY WYWELI IZ USLOWIQ INWARIANTNOSTI URAWNENIJ \LEKTRODINAMIKI (2.5), PREDNAZNA^ENY DLQ TOGO VE SAMOGO. oDNAKO, \TO TRUDNO UWIDETX NEPOSREDSTWENNO IZ FORMUL (2.3) I (2.4). pO\TOMU PRIWEDEM IH K WIDU, BOLEE UDOBNOMU DLQ IZU^ENIQ IH FIZI^ESKOJ PRIRODY. fIKSIRUEM DWE INERCIALXNYE SISTEMY OTS^ETA, SWQZANNYE PREOBRAZOWANIEM lORENCA (2.1). pERWOJ SOOTWETSTWUET ORTONORMIROWANNYJ PRAWYJ BAZIS e0 , e1, e2, e3 W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO I RAZLOVENIE (3.1), WTOROJ | BAZIS e~0 , e~1, ~e2, e~3 , I RAZLOVENIE (3.2). eSLI OSI WREMENI T I T~ PARALLELXNY, TO e0 = ~e0 I LORENCEWSKAQ MATRICA S W (2.3) REDUCIRUETSQ K ORTOGONALXNOJ MATRICE O 2 SO(3), SWQZYWA@]EJ DWA PROSTRANSTWENNYH ORTONORMIROWANNYH PRAWYH BAZISA e1, e2, e3 I
glawa III. teoriq otnositelxnosti
84
e~1, e~2, e~3 . oNA IMEET SLEDU@]IJ BLO^NO-DIAGONALXNYJ WID:
01 0 0 0 1 B 0 O11 O21 O31 C S=B @ 0 O12 O22 O32 C A:
(4.1)
0 O13 O23 O33
tAKIM OBRAZOM, W SLU^AE T k T~ DWE INERCIALXNYE SISTEMY OTS^ETA OTLI^A@TSQ LI[X NAPRAWLENIEM PROSTRANSTWENNYH OSEJ I NE SOWER[A@T NIKAKOGO OTNOSITELXNOGO DWIVENIQ. pEREJDEM K SLU^A@, KOGDA T , T~ I e0 =6 e~0 . oBOZNA^IM ^EREZ H LINEJNU@ OBOLO^KU WEKTOROW e0 I ~e0, A ^EREZ W OBOZNA^IM PERESE^ENIE PODPROSTRANSTW V I V~ IZ (3.1) I (3.2): H = Span(e0; ~e0);
(4.2)
W = V \ V~ :
lEMMA 4.1. dWUMERNYE PODPROSTRANSTWA H I W IZ (4.2) ORTOGONALXNY OTNOSITELXNO METRIKI mINKOWSKOGO g. oNI IME@T NULEWOE PERESE^ENIE: H \ W = f0g, A IH PRQMAQ SUMMA ESTX WSE PROSTRANSTWO mINKOWSKOGO: H W = M . dOK-WO. pODPROSTRANSTWO H DWUMERNO KAK LINEJNAQ OBOLO^KA DWUH NEKOLLINEARNYH WEKTOROW. kAVDOE IZ PODPROSTRANSTW V I V~ TREHMERNO, PRI^EM V =6 V~ . pO\TOMU IH SUMMA V + V~ SOWPADAET SO WSEM PROSTRANSTWOM M , OTKUDA dim(V + V~ ) = 4. iZ TEOREMY O RAZMERNOSTI SUMMY I PERESE^ENIQ PODPROSTRANSTW (SM. [4]) POLU^AEM dim(W ) = dim V + dim V~ ? dim(V + V~ ) = 3 + 3 ? 4 = 2:
dLQ DOKAZATELXSTWA ORTOGONALXNOSTI PODPROSTRANSTW H I W WOSPOLXZUEMSQ ORTOGONALXNOSTX@ T I V W RAZLOVENII (3.1) I ORTOGONALXNOSTX@ T~ I V~ W (3.2). pUSTX y | PROIZWOLXNYJ WEKTOR IZ PODPROSTRANSTWA W , TOGDA y 2 V , I IZ V ? T
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
x 4.
kinematika otnositelxnogo dwiveniq.
85
POLU^AEM y ? e0. aNALOGI^NYM OBRAZOM IZ y 2 V~ POLU^AEM y ? e~0 . tEPERX IZ PERPENDIKULQRNOSTI y WEKTORAM e0 I e~0 WYTEKAET PERPENDIKULQRNOSTX y IH LINEJNOJ OBOLO^KE: y ? H . w SILU PROIZWOLXNOSTI y 2 W IMEEM W ? H . tEPERX DOKAVEM H \ W = f0g. rASSMOTRIM PROIZWOLXNYJ WEKTOR x 2 H \ W . iZ x 2 H I x 2 W W SILU UVE DOKAZANNOJ PERPENDIKULQRNOSTI H I W POLU^AEM g(x; x) = 0. nO x 2 W V , A SUVENIE METRIKI mINKOWSKOGO NA PODPROSTRANSTWO V QWLQETSQ ZNAKOOPREDELENNOJ KWADRATI^NOJ FORMOJ SIGNATURY (0; 3). pO\TOMU IZ g (x; x) = 0 WYTEKAET x = 0. uTWERVDENIE H \ W = f0g DOKAZANO. iZ ZANULENIQ H \ W = f0g ZAKL@^AEM, ^TO SUMMA PODPROSTRANSTW H I W PRQMAQ I dim(H + W ) = 2 + 2 = 4. sLEDOWATELXNO, H W = M . lEMMA DOKAZANA. wERNEMSQ TEPERX K RASSMOTRENI@ DWUH INERCIALXNYH SISTEM OTS^ETA S BAZISAMI e0 , e1, e2 , e3 I e~0 , ~e1, e~2 , ~e3. dLQ WEKTORA e~0 IMEETSQ RAZLOVENIE (3.4), KOTOROE ZAPI[EM TAK:
e~0 = S00 e0 + v: zDESX v = S01 e1 + S02 e2 + S03 e3 2 V . iZ ORTOHRONNOSTI LORENCEWSKOJ MATRICY S I IZ ~e0 = 6 e0 IMEEM
(4.3)
v 6= 0:
S00 > 1;
(4.4)
dLQ WSQKOGO ^ISLA a > 1 SU]ESTWUET ^ISLO > 0, TAKOE, ^TO a = ch( ). pRIMENIM \TO K ^ISLU S00 W RAZLOVENII (4.3): (4.5)
S00 = ch( ):
iZ (4.3), IZ (4.5) I IZ ORTOGONALXNOSTI WEKTOROW e0 I v OTNOSITELXNO METRIKI mINKOWSKOGO POLU^AEM 1 = g (~e0 ; ~e0) = (S00 )2 g (e0; e0 ) + g (v; v) = ch2 ( ) ? jvj2:
86
glawa III. teoriq otnositelxnosti
iZ WYPISANNOGO RAWENSTWA DLQ EWKLIDOWOJ DLINY WEKTORA v IZ PODPROSTRANSTWA V NAHODIM (4.6)
jvj = sh( ); GDE > 0:
zAMENIM WEKTOR v WEKTOROM EDINI^NOJ DLINY h1 = v=jvj I PEREPI[EM SOOTNO[ENIE (4.3) W WIDE (4.7)
~e0 = ch( ) e0 + sh( ) h1 :
iZ (4.7) WIDIM, ^TO h1 ESTX LINEJNAQ KOMBINACIQ WEKTOROW e0 I e~0, T. E. h1 2 H . nO, KROME TOGO, h1 2 V , PO\TOMU h1 2 V \ H . wEKTORA e0 I h1 ORTOGONALXNY, ONI SOSTAWLQ@T ORTONORMIROWANNYJ BAZIS W PROSTRANSTWE H : (4.8)
g(e0; e0) = 1;
g(h1; h1) = ?1:
iZ (4.8) NEMEDLENNO SLEDUET, ^TO SUVENIE METRIKI mINKOWSKOGO NA PODPROSTRANSTWO H IMEET SIGNATURU (1; 1). rASSMOTRIM E]E ODIN WEKTOR IZ PODPROSTRANSTWA H . oPREDELIM EGO SLEDU@]IM SOOTNO[ENIEM: (4.9)
h~ 1 = sh( ) e0 + ch( ) h1:
nETRUDNO PROWERITX, ^TO WEKTORA e~0 I h~1 SOSTAWLQ@T E]E ODIN ORTONORMIROWANNYJ BAZIS W PODPROSTRANSTWE H . mATRICA PEREHODA, SWQZYWA@]AQ \TI DWA BAZISA, IMEET WID ch( ) sh( ) ! : (4.10) SL = sh( ) ch( ) mATRICA (4.10) NAZYWAETSQ MATRICEJ LORENCEWSKOGO POWOROTA ILI LORENCEWSKOGO BUSTA.
x 4.
kinematika otnositelxnogo dwiveniq.
87
iMEETSQ ^ETYREHMERNYJ WARIANT MATRICY (4.10). dEJSTWITELXNO, WEKTOR h1 2 V PERPENDIKULQREN PODPROSTRANSTWU W V , PO\TOMU IMEET MESTO RAZLOVENIE V = Span(h1 ) W: wYBEREM WEKTORA h2 I h3, TAK, ^TOBY ONI OBRAZOWYWALI ORTONORMIROWANNYJ BAZIS W PODPROSTRANSTWE W I DOPOLNQLI WEKTOR h1 DO ORTONORMIROWANNOGO PRAWOGO BAZISA W V . tOGDA ^ETWERKA WEKTOROW e0 , h1, h2 h3 SOSTAWLQET ORTONORMIROWANNYJ PRAWYJ BAZIS W M S WEKTOROM WREMENI e0, NAPRAWLENNYM W BUDU]EE. mATRICA, SWQZYWA@]AQ \TOT BAZIS S BAZISOM e~0, h~ 1 , h2 h3, IMEET SLEDU@]IJ WID: 0 ch( ) sh( ) 0 0 1 BB C sh( ) ch( ) 0 0 C B C C (4.11) SL = B B C:
B@ 0
0
0 0
1 0
0 1
C A
pEREHOD IZ BAZISA e0, e1, e2 e3 W BAZIS e0, h1, h2 h3 OSU]ESTWLQETSQ MATRICEJ WIDA (4.1). |TO WYTEKAET IZ FAKTA SOWPADENIQ WEKTOROW WREMENI e0 = e0. tO^NO TAK VE PEREHOD IZ BAZISA e~0 , h~ 1, h2 h3 W BAZIS e~0, e~1 , ~e2 e~3 ZADAETSQ MATRICEJ WIDA (4.1). pOLNU@ VE ZAMENU BAZISA e0, e1, e2 e3 NA BAZIS e~0, e~1, e~2 ~e3 MOVNO WYPOLNITX W TRI \TAPA. tEOREMA 4.1. wSQKAQ LORENCEWSKAQ MATRICA S 2 SO+(1; 3) ESTX PROIZWEDENIE TREH MATRIC S = S1 SL S2, ODNA IZ KOTORYH SL | \TO MATRICA LORENCEWSKOGO POWOROTA (4.11), A DWE DRUGIE S1 I S2 | MATRICY WIDA (4.1). dLQ WYQSNENIQ FIZI^ESKOGO SMYSLA PREOBRAZOWANIJ lORENCA RASSMOTRIM SNA^ALA PREOBRAZOWANIE S MATRICEJ WIDA (4.11). pUSTX ct = r0 , r1, r2, r3 | KOORDINATY NEKOTOROGO WEKTORA
88
glawa III. teoriq otnositelxnosti
r 2 M W BAZISE e0, h1, h2 , h3. ~EREZ ct~ = r~0, r~1, r~2, r~3 OBOZNA^IM KOORDINATY TOGO VE WEKTORA W BAZISE ~e0, h~ 1 , h2 h3 .
fORMULA (2.3) W SLU^AE MATRICY S WIDA (4.11) PRIWODIT K SLEDU@]IM SOOTNO[ENIQM: t = ch( ) ~t + sh(c ) r~1; (4.12)
r1 = sh( ) c ~t + ch( ) r~1 ; r2 = r~2 ; r3 = r~3 :
pUSTX r~1, r~2, r~3 | KOORDINATY RADIUS-WEKTORA NEKOTOROJ TO^KI A, KOTORAQ NEPODWIVNA W INERCIALXNOJ SISTEME OTS^ETA S BAZISOM e~1, e~2, e~3 . tOGDA r~1 , r~2, r~3 | \TO KONSTANTY, NE ZAWISQ]IE OT WREMENI ~t W \TOJ SISTEME OTS^ETA. pOSLE PERES^ETA KOORDINAT TO^KI A W DRUGU@ INERCIALXNU@ SISTEMU OTS^ETA, EE KOORDINATA r1 OKAZYWAETSQ FUNKCIEJ PARAMETRA t~. iSPOLXZUEM PERWOE SOOTNO[ENIE (4.12) DLQ TOGO, ^TOBY WYRAZITX PARAMETR t~ ^EREZ PARAMETR t: (4.13)
~t = t ? th( ) r~1 : ch( ) c
pODSTANOWKA (4.13) W OSTAW[IESQ TRI FORMULY (4.12) DAET (4.14)
r1 = r1(t) = c th( ) t + const; r2 = r2(t) = const; r3 = r3(t) = const :
iZ (4.14) WIDIM, ^TO W \TOJ SISTEME OTS^ETA TO^KA A DWIVETSQ S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ u = c th( ) W NAPRAWLENII PERWOJ KOORDINATNOJ OSI.
x 4.
kinematika otnositelxnogo dwiveniq.
89
w OTLI^IE OT PARAMETRA W MATRICE (4.11), PARAMETR u IMEET QSNU@ FIZI^ESKU@ INTERPRETACI@ KAK WELI^INA OTNOSITELXNOJ SKOROSTI ODNOJ SISTEMY KOORDINAT OTNOSITELXNO DRUGOJ. wYRAZIM KOMPONENTY MATRICY (4.11) ^EREZ u: ch( ) = r 1 2 ; 1 ? uc2
sh( ) = uc r 1 2 : 1 ? uc2
pODSTAWIW \TI FORMULY W (4.12), POLU^AEM ~t + u2 r~1 c
(4.15)
; t= r 2 u 1 ? c2
~ 1 r1 = rut + r~ 2 ; 1 ? uc2
r2 = r~2 ;
r3 = r~3 :
oBOZNA^IM NA WREMQ ^EREZ r I ~r SLEDU@]IE TREHMERNYE WEKTORA IZ PODPROSTRANSTW V I V~ :
r = r 1 h1 + r 2 h2 + r 3 h3 ; ~r = r~1 h~ 1 + r~2 h2 + r~3 h3 :
(4.16)
oPREDELIM TAKVE LINEJNOE OTOBRAVENIE : V ! V~ , ZADAW EGO DEJSTWIE NA BAZISNYE WEKTORA: (h1 ) = h~ 1 ;
(h2 ) = h2 ;
(h3 ) = h3 :
oTOBRAVENIE QWLQETSQ IZOMETRIEJ, SOHRANQ@]EJ ORIENTACI@, TAK KAK ONO PEREWODIT ORTONORMIROWANNYJ PRAWYJ BAZIS
90
glawa III. teoriq otnositelxnosti
IZ V W TAKOJ VE ORTONORMIROWANNYJ PRAWYJ BAZIS W PROSTRANSTWE V~ . iSPOLXZUQ WWEDENNYE OBOZNA^ENIQ FORMULY, PREOBRAZOWANIQ (4.15) MOVNO ZAPISATX W WEKTORNOM WIDE:
~t + u;2 ~r t= r c 2 ; 1 ? juc2j (4.17)
u; ~r
u; ~r u t~ + juj2 u r = r + ~r ? juj2 u: 2 j u j 1 ? c2 zDESX u = u h1 | WEKTOR SKOROSTI WTOROJ SISTEMY OTS^ETA OTNOSITELXNOJ PERWOJ. fORMULY (4.17) NE ^UWSTWITELXNY K WYBORU BAZISOW W PROSTRANSTWAH V I V~ . pO\TOMU ONI PRIGODNY KAK DLQ OPISANIQ PREOBRAZOWANIJ lORENCA SO SPECIALXNOJ MATRICEJ (4.11), TAK I DLQ OPISANIQ PROIZWOLXNYH PREOBRAZOWANIJ lORENCA S MATRICEJ S = S1 SL S2 (SM. TEOREMU 4.1). ~ASTO ZNAK OTOBRAVENIQ , OSU]ESTWLQ@]EGO IZOMORFIZM PODPROSTRANSTW V I V~ , W FORMULAH (4.17) OPUSKA@T:
u; ~r ~t + 2 t= r c 2; 1 ? juc2j (4.18)
u; ~r
u; ~r ~ u t + juj2 u r= r + ~r ? juj2 u: 2 j u j 1 ? c2 fORMULY (4.18) SOOTWETSTWU@T \USLOWNO TREHMERNOMU" PONIMANI@ PREOBRAZOWANIJ lORENCA, KOGDA WEKTORA r I ~r S^ITA-
x 5.
relqtiwistskij zakon sloveniq skorostej. 91
@TSQ PRINADLEVA]IMI ODNOMU I TOMU VE TREHMERNOMU EWKLIDOWOMU PROSTRANSTWU, A WELI^INY t I ~t TRAKTU@TSQ KAK SKALQRNYE PARAMETRY. oDNAKO, SOGLASNO UTWERDIW[IMSQ NA NASTOQ]IJ MOMENT PREDSTAWLENIQM, ^ETYREHMERNOE PROSTRANSTWO mINKOWSKOGO ESTX FIZI^ESKAQ REALXNOSTX, A NE PROSTO MATEMATI^ESKAQ ABSTRAKCIQ, UDOBNAQ DLQ SOKRA]ENNOJ ZAPISI FORMUL (SR. (2.3) I (4.17)). pRI ZAPISI (4.17) I (4.18) W KOMPONENTAH MY DOLVNY RASKLADYWATX WEKTORA r I u PO BAZISU ODNOJ SISTEMY OTS^ETA, A WEKTOR ~r | PO BAZISU DRUGOJ SISTEMY OTS^ETA. pRI \TOM RAZNICA W ZAPISI MEVDU \TIMI FORMULAMI POLNOSTX@ IS^EZAET. uPRAVNENIE 4.1. iSPOLXZUQ RAZLOVENIQ (4.16) DLQ WEKTOROW r I ~r, WYWEDITE SLEDU@]IE FORMULY: r~1
u; ~r
= juj ;
r~2
h2
+ r~3
u; ~r
h3 = ~r ? juj2 u:
sOEDINIW \TI FORMULY S (4.15), WYWEDITE SOOTNO[ENIQ (4.17).
x 5. rELQTIWISTSKIJ ZAKON SLOVENIQ SKOROSTEJ. pERWYM SLEDSTWIEM, KOTOROE MY POLU^ILI IZ PREOBRAZOWANIJ gALILEQ, BYL KLASSI^ESKIJ ZAKON SLOVENIQ SKOROSTEJ:
v = v~ + u;
(5.1)
SM. FORMULY (1.2). zAMENIW PREOBRAZOWANIQ gALILEQ PREOBRAZOWANIQMI lORENCA, MY DOLVNY TEPERX WYWESTI NOWYJ RELQTIWISTSKIJ ZAKON SLOVENIQ SKOROSTEJ. tERMIN \RELQTIWISTSKIJ" PROISHODIT OT ANGLIJSKOGO SLOWA \relative", ^TO ZNA^IT \OTNOSITELXNYJ". iM OBY^NO OBOZNA^A@T WSE, ^TO KASAETSQ TEORII OTNOSITELXNOSTI. pUSTX WEKTOR-FUNKCIQ ~r(t~) OPISYWAET DWIVENIE TO^KI A W INERCIALXNOJ SISTEME OTS^ETA (~r; ~t) I PUSTX \TA SISTEMA OT-
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
92
glawa III. teoriq otnositelxnosti
S^ETA DWIVETSQ SO SKOROSTX@ u OTNOSITELXNO DRUGOJ INERCIALXNOJ SISTEMY OTS^ETA (r; t). dLQ PEREHODA W SISTEMU OTS^ETA (r; t) WYPOLNIM PREOBRAZOWANIE lORENCA, ZADANNOE FORMULAMI (4.18). |TO OPREDELQET DWE FUNKCII:
(5.2)
~~ t~ + u; cr2(t) t(t~) = r ; 2 j u j 1 ? c2
u; ~r(t~)
u; ~r(t~) u t~ + juj2 u + ~r(t~) ? juj2 u: r(t~) = r 2 j u j 1 ? c2
wY^ISLIM PROIZWODNYE FUNKCIJ (5.2):
u; v~
(5.3)
dt = 1r+ c2 ; 2 dt~ 1 ? juc2j
u; v~
dr = ur+ juj2 u + v~ ? u; v~ u: 2 juj2 dt~ 1 ? juc2j
zDESX ^EREZ v~ OBOZNA^ENA SKOROSTX TO^KI A W SISTEME (~r; ~t): v~ = ~r_ (t~) = dd~rt~: aNALOGI^NYM OBRAZOM ^EREZ v OBOZNA^IM WEKTOR SKOROSTI \TOJ
x 6.
mirowye linii i sobstwennoe wremq.
93
TO^KI W SISTEME (r; t). dLQ WY^ISLENIQ v IZ (5.3) RAZDELIM ODNU PROIZWODNU@ NA DRUGU@: (5.4)
dr dt d r _ v = dt = r(t) = dt~ : dt~
pODSTANOWKA (5.3) W (5.4) PRIWODIT K SLEDU@]EJ FORMULE: (5.5)
u; v~
u; v~
c2
c2
u + juj2 u v~ ? juj2 u r juj2
u; v~ +
u; v~ 1 ? c2 : v= 1+ 1+
fORMULA (5.5) I ESTX ISKOMYJ RELQTIWISTSKIJ ZAKON SLOVENIQ SKOROSTEJ. oN ZAMETNO SLOVNEE KLASSI^ESKOGO ZAKONA, WYRAVENNOGO FORMULOJ (5.1). nO W PREDELE MALYH SKOROSTEJ juj c FORMULA (5.5) PEREHODIT W (5.1). uPRAVNENIE 5.1. wYWEDITE RELQTIWISTSKIJ ZAKON SLOVENIQ SKOROSTEJ IZ FORMULY (4.17). oB_QSNITE WOZNIKA@]EE OTLI^IE OT FORMULY (5.5).
x 6. mIROWYE LINII I SOBSTWENNOE WREMQ. dWIVENIE TO^E^NOGO MATERIALXNOGO OB_EKTA W PROIZWOLXNOJ INERCIALXNOJ SISTEME KOORDINAT (r; t) OPISYWAETSQ WEKTORNOJ FUNKCIEJ r(t), GDE t | WREMQ, A r | TREHMERNYJ RADIUSWEKTOR MATERIALXNOJ TO^KI. ~ETYREHMERNYJ RADIUS-WEKTOR \TOJ TO^KI IMEET SLEDU@]IE KOMPONENTY: (6.1)
r0 (t) = ct; r1 (t); r2 (t); r3(t):
oN ZADAET W PARAMETRI^ESKOM WIDE NEKOTORU@ LINI@ W PRO-
94
glawa III. teoriq otnositelxnosti
STRANSTWE M , KOTORAQ NAZYWAETSQ MIROWOJ LINIEJ MATERIALXNOJ TO^KI. zADANIE MIROWOJ LINII POLNOSTX@ OPREDELQET DWIVENIE MATERIALXNOJ TO^KI. pRODIFFERENCIROWAW ^ETYREHMERNYJ RADIUS-WEKTOR (6.1) PO PARAMETRU t, MY POLU^IM ^ETYREHMERNYJ KASATELXNYJ WEKTOR MIROWOJ LINII (6.2)
K = (c; r_ 1; r_ 2; r_3) = (c; v1; v2; v3):
tRI POSLEDNIE KOMPONENTY \TOGO WEKTORA SOSTAWLQ@T TREHMERNYJ WEKTOR SKOROSTI MATERIALXNOJ TO^KI. sKOROSTX BOLX[INSTWA MATERIALXNYH TEL NE PREWOSHODIT SKOROSTI SWETA jvj < c. pRIMENITELXNO K WEKTORU K IZ (6.2) \TO OZNA^AET, ^TO KASATELXNYJ WEKTOR MIROWOJ LINII WREMENIPODOBEN: (6.3)
g(K; K) = c2 ? jvj2 > 0:
oPREDELENIE 6.1. gLADKAQ KRIWAQ W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO NAZYWAETSQ WREMENIPODOBNOJ, ESLI KASATELXNYJ WEKTOR K \TOJ KRIWOJ WREMENIPODOBEN W KAVDOJ EE TO^KE. mIROWYE LINII BOLX[INSTWA MATERIALXNYH TEL WREMENIPODOBNY. iSKL@^ENIE SOSTAWLQ@T MIROWYE LINII FOTONOW (^ASTIC SWETA), A TAKVE MIROWYE LINII DRUGIH ^ASTIC S NULEWOJ MASSOJ. dLQ NIH jvj = c, OTKUDA POLU^AETSQ g(K; K) = 0. mIROWYE LINII NE IME@T OSOBYH TO^EK. dEJSTWITELXNO, DAVE W SLU^AE g(K; K) = 0 SAM KASATELXNYJ WEKTOR K W (6.2) 6 0. OTLI^EN OT NULQ, IBO K 0 = c = rASSMOTRIM MIROWU@ LINI@ MATERIALXNOJ TO^KI NENULEWOJ MASSY. dLQ NEE WYPOLNENO USLOWIE (6.3), KOTOROE POZWOLQET WWESTI NATURALXNU@ PARAMETRIZACI@ NA TAKOJ LINII: (6.4)
s(t) =
Zt p t0
g(K; K) dt:
x 6.
mirowye linii i sobstwennoe wremq.
95
iNTEGRAL (6.4) ZADAET INWARIANTNYJ SPOSOB PARAMETRIZACII MIROWYH LINIJ. dLQ L@BYH DWUH TO^EK A I B NA ZADANNOJ MIROWOJ LINII WELI^INA s(B) ? s(A) NE ZAWISIT OT WYBORA INERCIALXNOJ SISTEMY OTS^ETA, W KOTOROJ WY^ISLQETSQ INTEGRAL (6.4). |TA WELI^INA NAZYWAETSQ INTERWALXNOJ DLINOJ OTREZKA AB NA MIROWOJ LINII. iMEET MESTO SLEDU@]IJ FAKT. tEOREMA 6.1. oTREZOK, SOEDINQ@]IJ KONCY GLADKOJ WREMENIPODOBNOJ KRIWOJ WREMENIPODOBEN, PRI^EM EGO INTERWALXNAQ DLINA BOLX[E INTERWALXNOJ DLINY SOOTWETSTWU@]EJ DUGI \TOJ KRIWOJ. pUSTX A I B DWA POSLEDOWATELXNYH SOBYTIQ W \VIZNI" MATERIALXNOJ TO^KI S NENULEWOJ MASSOJ. oTWET NA WOPROS O TOM, KAKOJ PROMEVUTOK WREMENI RAZDELQET \TI DWA SOBYTIQ ZAWISIT OT WYBORA INERCIALXNOJ SISTEMY OTS^ETA, IZ KOTOROJ MY NABL@DAEM ZA \VIZNX@" \TOJ MATERIALXNOJ TO^KI. tAKOJ OTWET NA WOPROS OTNOSITELEN. oDNAKO, IMEETSQ INWARIANTNO OPREDELENNAQ WELI^INA, OPREDELQ@]AQ DISTANCI@ MEVDU DWUMQ SOBYTIQMI NA MIROWOJ LINII: (6.5) = s(B) ?c s(A) : wELI^INA W (6.5) NAZYWAETSQ INTERWALOM SOBSTWENNOGO WREMENI, RAZDELQ@]IM DWA SOBYTIQ NA MIROWOJ LINII. pONQTIE SOBSTWENNOGO WREMENI OPREDELQET MIKROLOKALXNU@ KONCEPCI@ WREMENI W TEORII OTNOSITELXNOSTI. sOGLASNO \TOJ KONCEPCII, KAVDAQ MATERIALXNAQ TO^KA VIWET PO SOBSTWENNYM ^ASAM I ^ASY RAZLI^NYH MATERIALXNYH TO^EK SINHRONIZIROWANY LI[X W SAMOM GRUBOM SMYSLE | ONI OTS^ITYWA@T WREMQ OT PRO[LOGO K BUDU]EMU. tAKAQ GRUBAQ SINHRONIZACIQ OPREDELQETSQ NALI^IEM POLQRIZACII W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO. tO^NAQ SINHRONIZACIQ ^ASOW WOZMOVNA LI[X PRI NEPOSREDSTWENNOM SOPRIKOSNOWENII MATERIALXNYH TO^EK (KOGDA IH MIROWYE LINII PERESEKA@TSQ). oDNAKO, DAVE POSLE TAKOJ SINHRONIZACII PRI SLEDU@]EJ WSTRE^E MATERIALXNYH TO^EK IH ^ASY
96
glawa III. teoriq otnositelxnosti
BUDUT POKAZYWATX RAZNOE WREMQ, ^TO SWQZANO S RAZNICEJ W IH \VIZNENNOM PUTI" W PROMEVUTKE MEVDU WSTRE^AMI. pONQTIE SOBSTWENNOGO WREMENI NAGLQDNO ILL@STRIRUETSQ ZADA^EJ O BLIZNECAH, [IROKO IZWESTNOJ IZ NAU^NO{FANTASTI^ESKOJ LITERATURY. pUSTX ODIN IZ BLIZNECOW SADITSQ W MEVZWEZDNU@ RAKETU I OTPRAWLQETSQ W DALEKOE PUTE[ESTWIE, A DRUGOJ OSTAETSQ NA zEMLE. kOTORYJ IZ NIH BUDET STAR[E W MOMENT WSTRE^I POSLE OKON^ANIQ \TOGO PUTE[ESTWIQ? oTWET: TOT, KOTORYJ OSTALSQ NA zEMLE. |TO OB_QSNQETSQ SLEDU@]IM RASSUVDENIEM. mIROWYE LINII BLIZNECOW PERESEKA@TSQ DWAVDY: DO NA^ALA PUTE[ESTWIQ I POSLE EGO ZAWER[ENIQ. oBA PERESE^ENIQ PROISHODQT NA zEMLE. iZWESTNO, ^TO SISTEMA OTS^ETA, SWQZANNAQ S zEMLEJ S BOLX[OJ TO^NOSTX@ MOVET S^ITATXSQ INERCIALXNOJ. mIROWAQ LINIQ BLIZNECA, OSTAW[EGOSQ NA zEMLE W \TOJ SISTEME OTS^ETA PO^TI PRQMOLINEJNA I SOWPADAET S OSX@ WREMENI. mIROWAQ LINIQ PUTE[ESTWU@]EGO BLIZNECA ISKRIWLENA, SNA^ALA ON USKORQETSQ W MOMENT NABORA SKOROSTI, DOSTIGAET ZNA^ITELXNYH SKOROSTEJ, SRAWNIMYH S c, ZATEM TORMOZITSQ U CELI PUTE[ESTWIQ, POSLE ^EGO WNOWX RAZGONQETSQ I WNOWX TORMOZITSQ NA OBRATNOM PUTI. sOGLASNO TEOREME 6.1, INTERWALXNAQ DLINA KRIWOLINEJNOJ MIROWOJ LINII, SOEDINQ@]EJ DWA SOBYTIQ, KORO^E INTERWALXNOJ DLINY PRQMOLINEJNOJ MIROWOJ LINII, SOEDINQ@]EJ TE VE DWA SOBYTIQ. sLEDOWATELXNO, BLIZNEC OSTAW[IJSQ NA zEMLE BUDET STAR[E. uPRAVNENIE 6.1. wSPOMNITE DOKAZATELXSTWO TOGO, ^TO EWKLIDOWA DLINA KRIWOJ, SOEDINQ@]EJ DWE TO^KI A I B, BOLX[E DLINY OTREZKA AB. pO ANALOGII S \TIM DOKAZATELXSTWOM PRIDUMAJTE DOKAZATELXSTWO TEOREMY 6.1.
x 7. dINAMIKA MATERIALXNOJ TO^KI. dWIVENIE MATERIALXNOJ TO^KI W TEORII OTNOSITELXNOSTI OPISYWAETSQ EE MIROWOJ LINIEJ W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO.
x 7.
dinamika materialxnoj to~ki.
97
wYBEREM NATURALXNU@ PARAMETRIZACI@ NA MIROWOJ LINII I RASSMOTRIM ^ETYREHMERNYJ KASATELXNYJ WEKTOR (7.1) u(s) = drds(s) ; GDE r(s) | ^ETYREHMERNYJ RADIUS-WEKTOR SOBYTIJ NA MIROWOJ LINII. wEKTOR u W (7.1) NAZYWAETSQ WEKTOROM 4-SKOROSTI. oN WREMENIPODOBEN I QWLQETSQ EDINI^NYM WEKTOROM W METRIKE mINKOWSKOGO: g(u; u) = 1. wYBRAW INERCIALXNU@ SISTEMU OTS^ETA, MY MOVEM WYPISATX KOMPONENTY 4-SKOROSTI QWNO:
c1
(7.2) u = pc2 ?1 jvj2
vv2
:
v3 zDESX v1, v2 I v3 | KOMPONENTY TREHMERNOGO WEKTORA SKOROSTI v. oTMETIM, ^TO KOMPONENTY u0 , u1 , u2 I u3 WEKTORA u QWLQ@TSQ BEZRAZMERNYMI WELI^INAMI. |TO LEGKO WIDETX IZ (7.2). pOSLE UMNOVENIQ u NA SKALQR mc, IME@]IJ RAZMERNOSTX IMPULXSA, MY POLU^AEM WEKTOR 4-IMPULXSA
c
1 (7.3) p = r m 2
vv2
1 ? jvc2j v 3
DLQ MATERIALXNOJ TO^KI S MASSOJ m. wEKTOR p IGRAET WAVNU@ W FIZIKE, WWIDU TOGO, ^TO IMEET MESTO FUNDAMENTALXNYJ ZAKON PRIRODY: ZAKON SOHRANENIQ 4-IMPULXSA. zAKON SOHRANENIQ IMPULXSA. wEKTOR 4-IMPULXSA MATERIALXNOJ TO^KI, NE ISPYTYWA@]EJ WNE[NEGO WOZDEJSTWIQ, OSTAETSQ NEIZMENNYM. w SILU SFORMULIROWANNOGO ZAKONA DLQ ^ASTICY, NE ISPYTYWA@]EJ WNE[NEGO WOZDEJSTWIQ, IMEEM p = const. oTS@DA
glawa III. teoriq otnositelxnosti
98
u = const. iNTEGRIRUQ URAWNENIE (7.1), DLQ r(s) POLU^AEM r(s) = r0 + u s: wYWOD: PRI OTSUTSTWII WNE[NIH WOZDEJSTWIJ, MATERIALXNAQ TO^KA DWIVETSQ RAWNOMERNO I PRQMOLINEJNO. wNE[NIE WOZDEJSTWIQ, PRIWODQ]IE K IZMENENI@, 4-IMPULXSA MATERIALXNOJ TO^KI PODRAZDELQ@TSQ NA DWE KATEGORII: (1) NEPRERYWNYE; (2) DISKRETNYE. nEPRERYWNYE WOZDEJSTWIQ OKAZYWA@TSQ NA MATERIALXNU@ ^ASTICU WNE[NIMI POLQMI (ODNIM ILI NESKOLXKIMI). oNI PRIWODQT K ISKRIWLENI@ MIROWOJ LINII. w \TOM SLU^AE p =6 const. pROIZWODNAQ 4-IMPULXSA PO NATURALXNOMU PARAMETRU s NA MIROWOJ LINII NAZYWAETSQ WEKTOROM 4-SILY: dp = F(s): (7.4) ds wEKTOR 4-SILY W (7.4) QWLQETSQ KOLI^ESTWENNOJ HARAKTERISTIKOJ WOZDEJSTWIQ WNE[NIH POLEJ NA MATERIALXNU@ ^ASTICU. oN OPREDELQETSQ KAK PARAMETRAMI SAMOJ ^ASTICY, TAK I HARAKTERISTIKAMI WNE[NIH POLEJ W RASSMATRIWAEMOJ TO^KE MIROWOJ LINII. iZ EDINI^NOSTI WEKTORA 4-SKOROSTI WYTEKAET g(p; p) = m2 c2. dIFFERENCIRUQ \TO SOOTNO[ENIE PO s I U^ITYWAQ KONSTANTNOSTX KOMPONENT MATRICY (2.7), POLU^AEM g(u; F) = 0:
(7.5)
sOOTNO[ENIE (7.5) OZNA^AET, ^TO WEKTOR 4-SILY PERPENDIKULQREN WEKTORU 4-SKOROSTI W METRIKE mINKOWSKOGO, T. E. WEKTOR SILY PERPENDIKULQREN MIROWOJ LINII ^ASTICY. wYBRAW NEKOTORU@ INERCIALXNU@ SISTEMU OTS^ETA, MY MOVEM ZAMENITX NATURALXNYJ PARAMETR s W (7.5) NA PARAMETR t,
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
x 7.
dinamika materialxnoj to~ki.
99
IME@]IJ SMYSL WREMENI W WYBRANNOJ SISTEME OTS^ETA. tOGDA, PRI U^ETE (7.3), IZ WEKTORNOGO URAWNENIQ (7.5) WYWODIM dpi = pc2 ? jvj2 F i; GDE i = 1; 2; 3: (7.6) dt eSLI OBOZNA^ITX ^EREZ f TREHMERNYJ WEKTOR S KOMPONENTAp MI f i = c2 ? jvj2 F i , TO DLQ TREHMERNOGO WEKTORA IMPULXSA ^ASTICY IZ (7.6) WYTEKAET URAWNENIE dp = f : (7.7) dt uRAWNENIE (7.7) TRAKTUETSQ KAK RELQTIWISTSKIJ ANALOG WTOROGO ZAKONA nX@TONA. wMESTO KLASSI^ESKOJ FORMULY p = mv DLQ SWQZI WEKTORA IMPULXSA S WEKTOROM SKOROSTI ZDESX IMEET MESTO SLEDU@]EE SOOTNO[ENIE: (7.8) p = r mv 2 : 1 ? jvc2j ~TOBY ZAPISATX (7.8) W KLASSI^ESKOM WIDE, WWODITSQ WELI^INA (7.9) mv = r m 2 : 1 ? jvc2j kONSTANTA m PRI \TOM NAZYWAETSQ MASSOJ POKOQ, A WELI^INA (7.9) NAZYWAETSQ DINAMI^ESKOJ MASSOJ DWIVU]EJSQ ^ASTICY. tEPERX p = mv v, A WTOROJ ZAKON nX@TONA WYGLQDIT TAK: (7.10)
(mv v)0t = f :
iMENNO \TI FORMULY (7.9) I (7.10) IME@T W WIDU, KOGDA GOWORQT, ^TO MASSA W TEORII OTNOSITELXNOSTI ZAWISIT OT SKOROSTI.
100
glawa III. teoriq otnositelxnosti
tAKAQ TERMINOLOGIQ PREDSTAWLQETSQ NAM NE O^ENX UDA^NOJ. w DALXNEJ[EM MY, W OSNOWNOM, BUDEM POLXZOWATXSQ ^ETYREHMERNYM INWARIANTNYM URAWNENIEM (7.4) I, GOWORQ O MASSE, BUDEM PONIMATX MASSU POKOQ. k KATEGORII DISKRETNYH WNE[NIH WOZDEJSTWIJ NA MATERIALXp~2 NU@ ^ASTICU OTNOSQT, SITUACII, p~1 PRIWODQ]IE K REZKOMU SKA^KOOBp~n RAZNOMU IZMENENI@ EE 4-IMPULXSA. tAKIE SITUACII WOZNIKA@T W PROCESSAH STOLKNOWENIQ ^ASTIC, p1 A TAKVE PRI SLIQNII ^ASTIC I pk p2 PRI IH RASPADE. sTOLKNOWENI@ ^ASTIC SOOTWETSTWUET TO^KA PROSTRANSTWA mINKOWSKOGO W KOTOROJ rIS. 7.1 SHODQTSQ MIROWYE LINII DWUH ILI NESKOLXKIH ^ASTIC. pOSLE STOLKNOWENIQ ^ASTICY MOGUT PROSTO RAZLETETXSQ, NO, ESLI \TO MOLEKULY REAGIRU@]IH HIMI^ESKIH WE]ESTW, TO POSLE STOLKNOWENIQ OBRAZU@TSQ NOWYE MOLEKULY PRODUKTOW HIMI^ESKOJ REAKCII. aNALOGI^NYM OBRAZOM, PRI STOLKNOWENII ATOMNYH QDER I \LEMENTARNYH ^ASTIC MOGUT PROISHODITX QDERNYE REAKCII I PROCESSY WOZNIKNOWENIQ NOWYH \LEMENTARNYH ^ASTIC. rASSMOTRIM PROCESS STOLKNOWENIQ k ^ASTIC. oBOZNA^IM ^EREZ p1; : : : ; pk IH 4-IMPULXSY NA MOMENT STOLKNOWENIQ. pUSTX W PROCESSE WZAIMODEJSTWIQ WMESTO ISHODNYH WOZNIKAET n NOWYH ^ASTIC S 4-IMPULXSAMI p~ 1; : : : ; p~ n. eSLI k = 1 TO MY IMEEM PROCESS RASPADA ^ASTICY, A W SLU^AE n = 1 | PROCESS SLIQNIQ ^ASTIC W ODNU. zAKON SOHRANENIQ IMPULXSA. sUMMARNYJ 4-IMPULXS ^ASTIC DO WZAIMODEJSTWIQ RAWEN SUMMARNOMU 4-IMPULXSU ^ASTIC POSLE WZAIMODEJSTWIQ: (7.11)
k X i=1
pi =
n X i=1
p~ i :
x 7.
dinamika materialxnoj to~ki.
101
w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM PROCESS LOBOWOGO STOLKNOWENIQ DWUH ODINAKOWYH ^ASTIC MASSY m, PRIWODQ]IJ PRIWODQ]IJ K IH SLIQNI@ W ODNU ^ASTICU MASSY M . pUSTX SKOROSTI ^ASTIC RAWNY PO WELI^INE I NAPRAWLENY PROTIWOPOLOVNO:
c
1 p1 = r m 2
vv2
; 1 ? jvc2j v 3
c
1 p2 = r m 2
??vv2
: 1 ? jvc2j ?v 3
dLQ 4-IMPULXSA OBRAZOWAW[EJSQ ^ASTICY IMEEM
c
1 p~ 1 = r M 2
ww2
: 1 ? jwc2j w3 pRIMENIW ZAKON SOHRANENIQ 4-IMPULXSA (7.11) K \TOJ SITUACII, POLU^AEM w = 0 I DOPOLNITELXNO (7.12) M = r 2m 2 : 1 ? jvc2j iZ (7.12) WIDIM, ^TO MASSA POKOQ OBRAZOWAW[EJSQ SOSTAWNOJ ^ASTICY BOLX[E, ^EM SUMMA MASS POKOQ OTDELXNYH EE KOMPONENT: M > m + m. wYWOD: ZAKON SOHRANENIQ MASSY WYPOLNQETSQ LI[X PRIBLIVENNO W SLU^AE MALYH SKOROSTEJ jvj c. uMNOVIM NULEWU@ KOMPONENTU 4-IMPULXSA MATERIALXNOJ ^ASTICY NA c. pOLU^ENNU@ WELI^INU, IME@]U@ RAZMERNOSTX \NERGII, OBOZNA^IM ^EREZ E : 2 (7.13) E = r mc 2 : 1 ? jvc2j
102
glawa III. teoriq otnositelxnosti
wELI^INA (7.13) NAZYWAETSQ KINETI^ESKOJ \NERGIEJ DWIVU]EJSQ ^ASTICY. zAPISAW SOOTNO[ENIE (7.11) DLQ NULEWYH KOMPONENT 4-IMPULXSOW STALKIWA@]IHSQ ^ASTIC, MY POLU^AEM ZAKON SOHRANENIQ \NERGII: (7.14)
k X i=1
Ei =
n X ~ i=1
Ei :
tAKIM OBRAZOM, ZAKON SOHRANENIQ 4-IMPULXSA PRI STOLKNOWENIQH WKL@^AET W SEBQ ODNOWREMENNO ZAKON SOHRANENIQ TREHMERNOGO IMPULXSA I ZAKON SOHRANENIQ \NERGII (7.14). zAMETIM, ^TO PRI v = 0 WELI^INA (7.13) NE OBRA]AETSQ W NOLX, A PRINIMAET ZNA^ENIE (7.15) E = mc2 : |TA WELI^INA NAZYWAETSQ \NERGIEJ POKOQ MATERIALXNOJ ^ASTICY. fORMULA (7.15) [IROKO IZWESTNA. oNA OTRAVAET O^ENX WAVNYJ FAKT, OTSUTSTWU@]IJ W KLASSI^ESKOJ FIZIKE, | \TO WZAIMOPREWRA]AEMOSTX MASSY I \NERGII. fAKTI^ESKI, PREWRA]ENIE \NERGII W MASSU REALIZUETSQ PRI SLIQNII ^ASTIC (SM. M > m + m W FORMULE (7.12)). oBRATNYJ PROCESS RASPADA ^ASTIC PRIWODIT K DEFEKTU (UMENX[ENI@ MASSY). pOTERQNNAQ MASSA REALIZUETSQ W WIDE KINETI^ESKOJ \NERGII ^ASTIC, KOTORYE OBRAZU@TSQ PRI RASPADE. wOZMOVNO TAKVE I POLNOE PREWRA]ENIE MASSY W \NERGI@. |TO PROISHODIT W PROCESSE ANNIGILQCII PRI STOLKNOWENII ^ASTIC S ANTI^ASTICAMI. wYDELQ@]AQSQ PRI ANNIGILQCII O^ENX BOLX[AQ \NERGIQ RASSEIWAETSQ W WIDE VESTKOGO \LEKTROMAGNITNOGO IZLU^ENIQ.
x 8. ~ETYREHMERNAQ ZAPISX URAWNENIJ mAKSWELLA. sTARTUQ S URAWNENIJ \LEKTRODINAMIKI E = 0 I H = 0, W PREDYDU]IH PARAGRAFAH MY POSTROILI I OPISALI PREOBRAZOWANIQ lORENCA, SOHRANQ@]IE FORMU \TIH URAWNENIJ, DALI
x 8.
~etyrehmernaq zapisx
:::
103
GEOMETRI^ESKU@ I FIZI^ESKU@ INTERPRETACI@ PREOBRAZOWANIQM lORENCA I DAVE OPISALI DINAMIKU MATERIALXNYH TO^EK NA BAZE NOWYH RELQTIWISTSKIH PREDSTAWLENIJ O PROSTRANSTWE I WREMENI. tEPERX NASTAL MOMENT DLQ TOGO, ^TOBY WSPOMNITX, ^TO URAWNENIQ E = 0 I H = 0 QWLQ@TSQ LI[X SLEDSTWIQMI URAWNENIJ mAKSWELLA, I ^TO DLQ POLNOTY KARTINY NEOBHODIMO WKL@^ITX SAMI URAWNENIQ mAKSWELLA W RAMKI RELQTIWISTSKOGO FORMALIZMA. nA^NEM SO WTOROJ PARY URAWNENIJ mAKSWELLA, SODERVA]EJ ZARQDY I TOKI (SM. URAWNENIQ (1.2) WO WTOROJ GLAWE). sLEGKA MODIFICIRUEM IH: 1 @ E ? rot H = ? 4 j; c @t c
? div E = ?4;
POSLE ^EGO PEREPI[EM \TI URAWNENIQ W KOMPONENTAH, ISPOLXZUQ SIMWOL lEWI-~IWITA DLQ ZAPISI ROTORA (SM. [3]): (8.1)
3 3 X @E p ? X @H k = ? 4 j p; " @r0 q=1 k=1 pqk @rq c
?
3 X @E q
q=1
@rq = ?4 :
zDESX MY TAKVE ISPOLXZOWALI OBOZNA^ENIE r0 = ct, ASSOCIIRU@]EE WREMQ S NULEWOJ KOMPONENTOJ RADIUS-WEKTORA W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO. iSPOLXZOWANIE SIMWOLA lEWI-~IWITA POZWOLQET POSTROITX PO KOMPONENTAM WEKTORA H KOSOSIMMETRI^ESKU@ MATRICU 3 3 SO SLEDU@]IMI KOMPONENTAMI: (8.2)
F pq
=?
3 X
k=1
"pqk H k :
104
glawa III. teoriq otnositelxnosti
pOLXZUQSX (8.2), NETRUDNO WYPISATX QWNYJ WID MATRICY F : 0 0 ?H 3 H 2 1 (8.3) F pq = @ H 3 0 ?H 1 A : ?H 2 H 1 0 dOPOLNIM MATRICU (8.3) ODNIM STOLBCOM I ODNOJ STROKOJ: 0 0 ?E 1 ?E 2 ?E 3 1 BB E 1 0 ?H 3 H 2 C C: pq (8.4) F =B A @ E 2 H 3 0 ?H 1 C E 3 ?H 2 H 1 0 dOBAWLENNYJ STOLBEC I DOBAWLENNU@ STROKU W (8.4) USLOWIMSQ INDEKSIROWATX NULEM, T. E. p I q PROBEGA@T ZNA^ENIQ OT 0 DO 3. kROME TOGO, DOPOLNIM TREHMERNYJ WEKTOR PLOTNOSTI TOKA E]E ODNOJ KOMPONENTOJ j 0 = c:
(8.5)
iSPOLXZOWANIE (8.4) I (8.5) POZWOLQET PEREPISATX URAWNENIQ mAKSWELLA (8.1) W O^ENX KOMPAKTNOJ ^ETYREHMERNOJ FORME: (8.6)
3 X @F pq
q=0
@rq
= ? 4c j p:
tEPERX RASSMOTRIM PERWU@ PARU URAWNENIJ mAKSWELLA (SM. URAWNENIQ (1.1) WO WTOROJ GLAWE). w KOMPONENTAH ONI ZAPISYWA@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: (8.7)
3 X 3 @E k = 0; @H p + X " pqk @r0 q=1 k=1 @rq
3 X @H q
q=1
@rq = 0:
x 8.
~etyrehmernaq zapisx
:::
105
pO STRUKTURE URAWNENIQ (8.7) SHODNY S URAWNENIQMI (8.1). oDNAKO, W NIH NET PRAWYH ^ASTEJ, IMEETSQ NEBOLX[OE OTLI^IE W ZNAKAH, I SAMOE GLAWNOE OTLI^IE | KOMPONENTY WEKTOROW E I H W NIH POMENQLISX MESTAMI. dLQ TOGO, ^TOBY POMENQTX MESTAMI KOMPONENTY WEKTOROW E I H W MATRICE (8.4), NAM POTREBUETSQ ^ETYREHMERNYJ ANALOG SIMWOLA lEWI-~IWITA
8 >> 0; >> >< 1; "pqks = "pqks = > >> ?1; > >:
ESLI SREDI ^ISEL p, q, k I s IME@TSQ SOWPADA@]IE; ESLI ^ISLA (p q k s) OBRAZU@T ^ETNU@ PERESTANOWKU ^ISEL (0 1 2 3); ESLI ^ISLA (p q k s) OBRAZU@T NE^ETNU@ PERESTANOWKU ^ISEL (0 1 2 3).
zADADIM MATRICU G, OPREDELIW EE KOMPONENTY FORMULOJ (8.8)
X X X X pqks " gkm gsn F mn : Gpq = ? 12 k=0 s=0 m=0 n=0 3
3
3
3
zDESX g | MATRICA (2.7), OPREDELQ@]AQ METRIKU mINKOWSKOGO. mATRICU G S KOMPONENTAMI (8.8) MOVNO IZOBRAZITX QWNO:
0 0 ?H 1 ?H 2 ?H 3 1 BB H 1 0 E 3 ?E 2 C C: pq G =B A @ H 2 ?E 3 0 E 1 C
(8.9)
H3
E 2 ?E 1
0
sTROENIE MATRICY (8.9) POZWOLQET ZAPISATX OSTAW[IESQ URAW-
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
106
glawa III. teoriq otnositelxnosti
NENIQ mAKSWELLA (8.7) W KOMPAKTNOJ ^ETYREHMERNOJ FORME: 3 X @Gpq
(8.10)
q=0
@rq = 0:
iSPOLXZOWANIE SRAZU DWUH MATRIC F I G S^ITAETSQ IZBYTO^NYM, PO\TOMU URAWNENIQ (8.10) ZAPISYWA@T W WIDE (8.11)
3 X 3 X 3 X
q=0 k=0 s=0
ks "pqks @F @rq = 0:
mATRICA Fks POLU^AETSQ IZ F mn W REZULXTATE STANDARTNOJ PROCEDURY OPUSKANIQ INDEKSOW PRI POMO]I MATRICY (2.7): (8.12)
Fks =
3 3 X X
m=0 n=0
gkm gsn F mn :
~ETYREHMERNAQ INDEKSNAQ FORMA ZAPISI URAWNENIJ mAKSWELLA (8.6) I (8.11) PODSKAZYWAET PRAWILXNU@ GEOMETRI^ESKU@ INTERPRETACI@ \TIH URAWNENIJ. mATRICA (8.4) OPREDELQET TENZOR WALENTNOSTI (2; 0) W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO. |TOT TENZOR NAZYWAETSQ TENZOROM \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. tENZORNAQ INTERPRETACIQ MATRICY (8.4) SRAZU VE DAET NEDOSTA@]EE PRAWILO PREOBRAZOWANIQ KOMPONENT \LEKTRI^ESKOGO I MAGNITNOGO POLEJ PRI PREOBRAZOWANIQH lORENCA (2.3): (8.13)
F pq
=
3 3 X X
m=0 n=0
Smp Snq F~ mn :
sOOTNO[ENIQ (8.13) OPREDELQ@T PRAWILA PERES^ETA KOMPONENT WEKTOROW E I H, KOTORYE RANX[E MY IZOBRAVALI W NEOPREDELENNOJ FORME SOOTNO[ENIQMI (1.6). dLQ LORENCEWSKIH MATRIC
x 8.
~etyrehmernaq zapisx
:::
107
SPECIALXNOGO WIDA (4.11) SWQZX MEVDU KOMPONENTAMI WEKTOROW E I H W DWUH INERCIALXNYH SISTEMAH OTS^ETA IMEET WID E~ 2 + uc H~ 3 E~ 3 ? uc H~ 2 E 1 = E~ 1 ; E2 = r ; E3 = r ; 2 2 u u 1 ? c2 1 ? c2 H~ 2 ? uc E~ 3 H~ 3 + uc E~ 2 H 1 = H~ 1; H 2 = r ; H3 = r : 2 2 u u 1 ? c2 1 ? c2 sOGLASNO TEOREME 4.1, OB]AQ LORENCEWSKAQ MATRICA ESTX PROIZWEDENIE SPECIALXNOJ LORENCEWSKOJ MATRICY WIDA (4.11) I DWUH MATRIC PROSTRANSTWENNOGO POWOROTA. wLIQNIE POSLEDNIH NA ZAPISX PREOBRAZOWANIQ lORENCA MOVNO ISKL@^ITX, ESLI PEREJTI K \USLOWNO TREHMERNOJ" WEKTORNOJ FORME ZAPISI:
u; E~ ~
u; E~ E ? 2 u ? 1 [u; H~ ] jurj c ; E = juj2 u + 2 j u j 1 ? c2 (8.14)
u; H~ H~ ? u; H2~ u + 1 [u; E~ ] jr uj c : H = juj2 u + 2 j u j 1 ? c2 iZ (8.13) WYTEKAET SLEDU@]EE PRAWILO PREOBRAZOWANIQ DLQ KOWARIANTNYH KOMPONENT TENZORA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ: (8.15)
Fpq =
3 3 X X
m=0 n=0
Tpm Tqn F~mn :
108
glawa III. teoriq otnositelxnosti
sOOTNO[ENIE (8.15) OBESPE^IWAET INWARIANTNOSTX FORMY URAWNENIJ mAKSWELLA (8.11) OTNOSITELXNO PREOBRAZOWANIJ lORENCA (2.3). dLQ PROWERKI \TOGO DOSTATO^NO ISPOLXZOWATX SOOTNO[ENIQ (2.8) DLQ PREOBRAZOWANIQ PROIZWODNYH I WSPOMNITX IZWESTNOE SWOJSTWO SIMWOLA "pqks: (8.16)
3 X 3 X 3 3 X X
a=0 b=0 c=0 d=0
Tap Tbq Tck Tds "abcd = det T "pqks :
uSLOWIE INWARIANTNOSTI FORMY URAWNENIJ mAKSWELLA (8.6) OTNOSITELXNO PREOBRAZOWANIJ lORENCA PRIWODIT K SLEDU@]EMU PRAWILU PERES^ETA DLQ WELI^IN j 0, j 1, j 2, j 3: jp =
(8.17)
3 X
m=0
Smp ~j m :
w FORMULE (8.17) LEGKO UZNAETSQ PRAWILO PREOBRAZOWANIQ KOMPONENT ^ETYREHMERNOGO WEKTORA. w SLU^AE LORENCEWSKOJ MATRICY S SPECIALXNOGO WIDA (4.11), PRI U^ETE (8.5), SOOTNO[ENIQ (8.17) MOVNO ZAPISATX SLEDU@]IM OBRAZOM:
(8.18)
~ + cu2 ~j 1 ; = r 2 u 1 ? c2
~1 j 1 = ru~ + j 2 ; 1 ? uc2
j 2 = ~j 2 ;
j 3 = ~j 3:
nAPOMNIM, ^TO ZDESX u = c th( ) | WELI^INA OTNOSITELXNOJ SKOROSTI DWIVENIQ ODNOJ INERCIALXNOJ SISTEMY OTS^ETA
x 9.
~etyrehmernyj wektornyj potencial.
109
OTNOSITELXNO DRUGOJ. w WEKTORNOM WIDE FORMULY (8.18) ZAPISYWA@TSQ TAK:
u; ~j ~ + c2 = r ; 2 j u j 1 ? c2 (8.19)
u; ~j
u; ~j u ~ + juj2 u j= r + ~j ? juj2 u: 2 j u j 1 ? c2 w TAKOM WIDE ONI ZADA@T PRAWILO PERES^ETA PLOTNOSTI ZARQDA I TREHMERNOGO WEKTORA PLOTNOSTI TOKA j PRI PREOBRAZOWANIQH lORENCA S PROIZWOLXNOJ LORENCEWSKOJ MATRICEJ. uPRAVNENIE 8.1. dOKAVITE SOOTNO[ENIE (8.16), S^ITAQ T PROIZWOLXNOJ MATRICEJ RAZMERA 4 4. uPRAVNENIE 8.2. iSPOLXZUQ SOOTNO[ENIE (2.12), WYWEDITE SOOTNO[ENIE (8.15) IZ (8.12) I (8.13). uPRAVNENIE 8.3. pOLXZUQSX SOOTNO[ENIQMI (8.15), (8.16) I (2.8), PERES^ITAJTE URAWNENIQ mAKSWELLA (8.11) IZ ODNOJ INERCIALXNOJ SISTEMY OTS^ETA W DRUGU@. uBEDITESX W INWARIANTNOSTI FORMY \TIH URAWNENIJ. uPRAVNENIE 8.4. pOLXZUQSX SOOTNO[ENIQMI (8.13), (8.17) I (2.8), PERES^ITAJTE URAWNENIQ mAKSWELLA (8.6) IZ ODNOJ INERCIALXNOJ SISTEMY OTS^ETA W DRUGU@. uBEDITESX W INWARIANTNOSTI FORMY \TIH URAWNENIJ. x 9. ~ETYREHMERNYJ WEKTORNYJ POTENCIAL. sTRUKTURA URAWNENIJ mAKSWELLA POZWOLQET WWESTI WEKTORNYJ POTENCIAL A I SKALQRNYJ POTENCIAL '. |TO BYLO SDELANO
110
glawa III. teoriq otnositelxnosti
W x 3 WTOROJ GLAWY. sOOTWETSTWU@]IE FORMULY DLQ KOMPONENT POLEJ E I H IME@T WID (9.1)
@' ? 1 @Ap ; E p = ? @r p c @t Hp =
3 X 3 X
q=1 k=1
k "pqk @A @rq ;
(SM. FORMULY (3.4) WO WTOROJ GLAWE). oBOZNA^IM A0 = ' I RASSMOTRIM ^ETYREHMERNYJ WEKTOR A S KOMPONENTAMI A0 , A1 , A2 I A3 . |TO ^ETYREHMERNYJ WEKTORNYJ POTENCIAL \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. pRIMENIW PROCEDURU OPUSKANIQ INDEKSA, POLU^IM KOWEKTOR A: (9.2)
Ap =
3 X
q=0
gpq Aq :
pRI U^ETE SOOTNO[ENIQ (2.7) DLQ KOMPONENT MATRICY gpq IZ FORMULY (9.2) WYWODIM (9.3)
A0 = A 0 ; A2 = ?A2 ;
A1 = ?A1 ; A3 = ?A3 :
kROME TOGO, WYPI[EM W QWNOM WIDE KOWARIANTNYE KOMPONENTY TENZORA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ: (9.4)
0 0 E1 E2 E3 1 B ?E 1 0 ?H 3 H 2 C Fpq = B C B@ ?E 2 H 3 0 ?H 1 C A: ?E 3 ?H 2 H 1
0
x 9.
~etyrehmernyj wektornyj potencial.
111
iSPOLXZOWANIE (9.3) I (9.4) POZWOLQET ZAPISATX PERWOE IZ SOOTNO[ENIJ (9.1) W FORME SLEDU@]IH RAWENSTW: q ? @A0 : (9.5) F0q = @A 0 @r @rq dLQ WY^ISLENIQ OSTALXNYH KOMPONENT TENZORA Fpq WOSPOLXZUEMSQ SOOTNO[ENIEM (8.2) I WTORYM IZ SOOTNO[ENIJ (9.1). pRI \TOM U^TEM, ^TO Fpq = F pq I Ap = ?Ap DLQ p; q = 1; 2; 3: (9.6)
Fpq = ?
3 X
k=1
"pqk H k =
3 X 3 X 3 X
k=1 m=1 n=1
n "pqk "kmn @A @rm :
dLQ DALXNEJ[EGO PREOBRAZOWANIQ (9.6) ISPOLXZUEM ODNO IZ IZWESTNYH TOVDESTW SWERTKI DLQ SIMWOLA lEWI-~IWITA: 3 X
(9.7)
k=1
"pqk "kmn = pm qn ? qmpn :
pRIMENENIE (9.7) K (9.6) DAET (9.8)
Fpq =
3 3 X X
n @Aq @Ap (pm qn ? qm pn ) @A m = @rp ? @rq : @r m=1 n=1
sOEDINIW (9.8) I (9.5), POLU^AEM SLEDU@]U@ FORMULU DLQ WSEH KOWARIANTNYH KOMPONENT TENZORA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ: q ? @Ap : (9.9) Fpq = @A p @r @rq fORMULA (9.9) ESTX, PO SU]ESTWU, ^ETYREHMERNAQ ZAPISX SOOTNO[ENIJ (9.1), KOTORAQ POZWOLQET OB_EDINITX \TI DWA SOOTNO[ENIQ W ODNO.
glawa III. teoriq otnositelxnosti
112
wEKTORNYJ I SKALQRNYJ POTENCIALY \LEKTROMAGNITNOGO POLQ OPREDELQ@TSQ NEODNOZNA^NO, S TO^NOSTX@ DO KALIBROWO^NYH PREOBRAZOWANIJ (SM. FORMULU (4.1) WO WTOROJ GLAWE). |TOT PROIZWOL MOVNO BYLO BY WKL@^ITX I W PRAWILA PREOBRAZOWANIQ KOMPONENT ^ETYREHMERNOGO POTENCIALA A. oDNAKO, ESLI S^ITATX, ^TO WELI^INY A0 , A1 , A2 I A3 PREOBRAZU@TSQ KAK KOMPONENTY ^ETYREHMERNOGO WEKTORA
X Ap = Sqp A~q ; q=0 3
(9.10)
A WELI^INY A0, A1 , A2 , A3 POLU^A@TSQ IZ NIH W REZULXTATE PROCEDURY OPUSKANIQ INDEKSA (9.2), TO WELI^INY Fpq , OPREDELQEMYE FORMULOJ (9.9), BUDUT PREOBRAZOWYWATXSQ, KAK IM I POLAGAETSQ, PO FORMULE (8.15). iZ (9.10) LEGKO POLU^ITX QWNYE FORMULY DLQ PERES^ETA SKALQRNOGO POTENCIALA ' I KOMPONENT TREHMERNOGO WEKTORNOGO POTENCIALA A. pRI SPECIALXNYH PREOBRAZOWANIQH lORENCA S MATRICEJ LORENCEWSKOGO POWOROTA (4.11) ONI ZAPISYWA@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
(9.11)
'~ + uc A~1 '= r ; 2 u 1 ? c2
u '~ + A~1 c A1 = r ; 2 u 1 ? c2
A2 = A~2 ;
A3 = A~3 :
iZ (9.11) MOVNO E]E RAZ POLU^ITX PRAWILA PERES^ETA KOMPONENT \LEKTRI^ESKOGO I MAGNITNOGO POLEJ PRI TAKIH PREOBRAZOWANIQH (SM. W x 8 WY[E). w SLU^AE PREOBRAZOWANIJ c PRO-
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
x 9.
~etyrehmernyj wektornyj potencial.
113
IZWOLXNOJ LORENCEWSKOJ MATRICEJ SOOTNO[ENIQ (9.11) SLEDUET ZAPISYWATX W WEKTORNOJ FORME:
u; ~j '~ + '= r c 2; 1 ? juc2j (9.12)
u '~ + u; A~ u
u; A~ 2 c j u j + A~ ? juj2 u: A= r 2 j u j 1 ? c2 tEOREMA 9.1. wSQKOE KOSOSIMMETRI^NOE TENZORNOE POLE F WALENTNOSTI (0; 2) W ^ETYREHMERNOM PROSTRANSTWE, UDOWLETWORQ@]EE URAWNENIQM (8.11), OPREDELQETSQ NEKOTORYM KOWEKTORNYM POLEM A PO FORMULE (9.9). dOK-WO. wSQKOE KOSOSIMMETRI^NOE TENZORNOE POLE F WALENTNOSTI (0; 2) W PROSTRANSTWE ^ETYREH IZMERENIJ MOVNO OTOVDESTWITX S PAROJ TREHMERNYH WEKTORNOZNA^NYH POLEJ E I H, ZAWISQ]IH OT DOPOLNITELXNOGO PARAMETRA r0 = ct. dLQ \TOGO DOSTATO^NO WOSPOLXZOWATXSQ FORMULOJ (9.4). tEPERX URAWNENIQ (8.11) MOVNO ZAPISATX W WIDE UVE ZNAKOMYH NAM URAWNENIJ mAKSWELLA DLQ WEKTORNYH POLEJ E I H: div H = 0; rot E = ? 1c @@tH : dALXNEJ[EE POSTROENIE KOWEKTORNOGO POLQ A POWTORQET RASSUVDENIQ IZ x 3 WTOROJ GLAWY, GDE WWODQTSQ TREHMERNYJ WEKTORNYJ POTENCIAL I SKALQRNYJ POTENCIAL DLQ POLEJ E I H. zATEM DELAETSQ OBOZNA^ENIE A0 = ', ^TO PREWRA]AET A W ^ETYREHMERNYJ WEKTOR. pOSLEDNQQ PROCEDURA SOSTOIT W OPUSKANII INDEKSA SOGLASNO FORMULE (9.2).
114
glawa III. teoriq otnositelxnosti
wYBOR POLQ A W FORMULE (9.9), KAK MY UVE OTME^ALI WY[E, SODERVIT KALIBROWO^NYJ PROIZWOL. w ^ETYREHMERNOM FORMALIZME \TO IZOBRAVAETSQ KALIBROWO^NYMI PREOBRAZOWANIQMI (9.13)
@ ; Ak ! Ak + @r k
GDE
| NEKOTOROE PROIZWOLXNOE SKALQRNOE POLE. fORMULA (9.13) ESTX PROSTO ^ETYREHMERNAQ ZAPISX KALIBROWO^NYH PREOBRAZOWANIJ (4.1) IZ WTOROJ GLAWY. nETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO KALIBROWO^NYE PREOBRAZOWANIQ (9.13) NE NARU[A@T PRAWIL PERES^ETA KONTRAWARIANTNYH KOMPONENT (9.10) DLQ A.
uPRAVNENIE 9.1. dOKAVITE TEOREMU 9.1 NEPOSREDSTWENNO W ^ETYREHMERNOM WIDE, NE PEREHODQ OBRATNO K TREHMERNYM FORMULIROWKAM I POSTROENIQM.
x 10. zAKON SOHRANENIQ ZARQDA. rANEE MY UVE OTME^ALI, ^TO ZAKON SOHRANENIQ ZARQDA MOVET BYTX WYWEDEN NEPOSREDSTWENNO IZ URAWNENIJ mAKSWELLA (SM. x 1 WO WTOROJ GLAWE). sDELATX \TO PRI ^ETYREHMERNOJ FORME ZAPISI URAWNENIJ mAKSWELLA E]E PRO]E. pRODIFFERENCIRUEM SOOTNO[ENIE (8.6) PO rp I WWEDEM E]E ODNO SUMMIROWANIE PO INDEKSU p: (10.1)
3 3 X X @ 2 F pq
3 X
p
4 @j : = ? p q c p=0 @rp p=0 q=0 @r @r
oPERACIQ WZQTIQ WTOROJ SME[ANNOJ ^ASTNOJ PROIZWODNOJ PO rp I rq SIMMETRI^NA OTNOSITELXNO PERESTANOWKI INDEKSOW p I q, A TENZOR \LEKTROMAGNITNOGO POLQ F pq , NAOBOROT, KOSOSIMMETRI^EN OTNOSITELXNO PERESTANOWKI \TIH INDEKSOW. pO\TOMU WYRAVENIE POD ZNAKAMI SUMMIROWANIQ W LEWOJ ^ASTI (10.1)
x 10.
zakon sohraneniq zarqda.
115
KOSOSIMMETRI^NO PO p I q, ^TO WEDET K ZANULENI@ LEWOJ ^ASTI W \TOJ FORMULE. oTS@DA (10.2)
3 X @j p
p=0 @r
p
= 0:
wYRAVENIE (10.2) ESTX ^ETYREHMERNAQ FORMA ZAPISI ZAKONA SOHRANENIQ ZARQDA. pRI U^ETE j 0 = c I r0 = ct \TA FORMULA POLNOSTX@ SOWPADAET S FORMULOJ (5.4) IZ PERWOJ GLAWY. zAKONY SOHRANENIQ SKALQRNYH WELI^IN (TAKIH KAK ZARQD) W TEORII OTNOSITELXNOSTI IZOBRAVA@TSQ PODOBNO (10.2) W FORME ZANULENIQ ^ETYREHMERNOJ DIWERGENCII SOOTWETSTWU@]IH ^ETYREHMERNYH WEKTOROW TOKA. dLQ WEKTORNYH VE WELI^IN TOKI QWLQ@TSQ TENZORAMI. tAK ZAKON SOHRANENIQ 4-IMPULXSA DLQ DLQ POLEJ IZOBRAVAETSQ FORMULOJ (10.3)
3 X @T qp
p=0
@rp = 0:
tENZOR T qp W (10.3), IGRA@]IJ ROLX TOKA DLQ 4-IMPULXSA NAZYWAETSQ TENZOROM \NERGII-IMPULXSA. tEOREMA 10.1. dLQ WSQKOGO WEKTORNOGO POLQ j W n-MERNOM PROSTRANSTWE (n 2), IME@]EGO NULEWU@ DIWERGENCI@ (10.4)
n @j p X
p = 0; @r p=1
SU]ESTWUET KOSOSIMMETRI^NOE TENZORNOE POLE (2; 0), TAKOE, ^TO WYPOLNQ@TSQ SOOTNO[ENIQ (10.5)
jp =
n @ X q=1
pq @rq :
WALENTNOSTI
116
glawa III. teoriq otnositelxnosti
mATRICU pq, ZADA@]U@ TENZORNOE POLE W NEKOTOROJ DEKARTOWOJ SISTEME KOORDINAT, BUDEM ISKATX W WIDE 0 0 ::: 0 1n 1 dOK-WO.
(10.6)
B B@
.. . 0
pq = B B
...
.. . 0
C C C: n?1 n C A .. .
::: ? : : : ? n?1 n 0 mATRICA (10.6) KOSOSIMMETRI^NA I IMEET WSEGO (n ? 1) NEZAWISIMU@ KOMPONENTU. iZ (10.5) DLQ \TIH KOMPONENT POLU^AEM SLEDU@]IE URAWNENIQ: @ kn = j k; GDE k = 1; : : : ; n ? 1; @rn (10.7) nX ?1 @ kn n k = ?j : @r k=1
oPREDELIM FUNKCII kn =
(10.8)
kn
Zrn
1n
W (10.7) SLEDU@]IMI INTEGRALAMI:
j k (r1; : : : ; rn?1 ; y) dy+
0
Z 1 + n ? 1 j n (r1; : : : ; y; : : : ; rn?1 ; 0) dy: rk
0
nETRUDNO PROWERITX, ^TO FUNKCII (10.8) UDOWLETWORQ@T PERWOJ SERII URAWNENIJ (10.7). a PRI WYPOLNENII USLOWIQ (10.4) ONI UDOWLETWORQ@T I POSLEDNEMU URAWNENI@ (10.7). tEM SAMYM, TEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 10.1 BEZ TRUDA OBOB]AETSQ NA SLU^AJ PROIZWOLXNYH TENZORNYH TOKOW. dOKAZATELXSTWO EE PRI \TOM NE MENQETSQ.
x 11.
zame~anie o koordinatah.
117
tEOREMA 10.2. dLQ WSQKOGO TENZORNOGO POLQ t WALENTNOSTI
(m; s) W n-MERNOM PROSTRANSTWE RAZMERNOSTI n 2, IME@]EGO NULEWU@ DIWERGENCI@ n @T p1 :::pm X q1 ::: qs = 0;
pm =1
@rpm
SU]ESTWUET TENZORNOE POLE WALENTNOSTI (m + 1; s), KOSOSIMMETRI^NOE PO POSLEDNEJ PARE WERHNIH INDEKSOW, I TAKOE, ^TO ::: pm = Tqp11:::q s
n @ X pm+1 =1
p :::p p q11 ::: qsm m+1 : @rpm+1
uPRAVNENIE 10.1. pROWERXTE, ^TO IZ (10.4) WYTEKAET WYPOLNENIE POSLEDNEGO URAWNENIQ (10.7) DLQ FUNKCIJ (10.8). uPRAVNENIE 10.2. wYQSNITE SWQZX MEVDU TEOREMOJ 10.1 I TEOREMOJ O WIHREWOM POLE W SLU^AE RAZMERNOSTI n = 3. x 11. zAME^ANIE O KOSOUGOLXNYH I KRIWOLINEJNYH KOORDINATAH. w PREDYDU]IH DWUH PARAGRAFAH NAM UDALOSX ZAPISATX URAWNENIQ mAKSWELLA, ZAKON SOHRANENIQ ZARQDA, A TAKVE SWQZX MEVDU POLQMI E, H I IH POTENCIALAMI W ^ETYREHMERNOJ FORME. pOLU^ENNYE SOOTNO[ENIQ (8.6), (8.11), (9.9), (9.13) I (10.2) SOHRANQ@T SWOJ WID PRI PEREHODE IZ ODNOJ DEKARTOWOJ PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO W DRUGU@. tAKIE PEREHODY INTERPRETIRU@TSQ KAK PREOBRAZOWANIQ lORENCA I ZADA@TSQ LORENCEWSKIMI MATRICAMI. oDNAKO, PERE^ISLENNYE SOOTNO[ENIQ (8.6), (8.11), (9.9), (9.13) I (10.2) IME@T PROZRA^NYJ TENZORNYJ SMYSL. pO\TOMU ONI MOGUT BYTX PERES^ITANY W PROIZWOLXNU@ KOSOUGOLXNU@ SISTEMU
118
glawa III. teoriq otnositelxnosti
KOORDINAT. pRI \TOM POSTRADAET LI[X WID MATRICY g, OPREDELQ@]EJ METRIKU mINKOWSKOGO I WMESTO "pqks W URAWNENIQH (8.11) PRIDETSQ ISPOLXZOWATX TENZOR OB_EMA S KOMPONENTAMI (11.1)
p
! pqks = ? det g^ "pqks :
mATRICA gpq W KOSOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT UVE NE BUDET IMETX WID (2.7) I BUDET NEKOTOROJ PROIZWOLXNOJ SIMMETRI^NOJ MATRICEJ, ZADA@]EJ KWADRATI^NU@ FORMU SIGNATURY (1; 3). w SILU \TOGO URAWNENIQ E = 0 I H = 0, S KOTORYH MY NA^INALI, NE BUDUT IMETX SWOJ PREVNIJ WID. oNI ZAPI[UTSQ W FORME F pq = 0, GDE OPERATOR dALAMBERA ZADAN FORMULOJ (2.6) S NEDIAGONALXNOJ MATRICEJ g ij . w PROIZWOLXNOJ KOSOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT NI ODNA IZ OSEJ NE OBQZANA IMETX WREMENIPODOBNOE NAPRAWLENIE, PO\TOMU NI ODNU IZ KOORDINAT NELXZQ WYDELQTX PRIDAWAQ EJ SMYSL WREMENI. tREHMERNAQ FORMA ZAPISI URAWNENIJ \LEKTRODINAMIKI (DAVE ESLI \TO BUDET SDELANO) W OB]EM SLU^AE NE BUDET IMETX DOLVNOJ FIZI^ESKOJ INTERPRETACII. w ^ASTNOSTI, RAZDELENIE KOMPONENT TENZORA F pq NA KOMPONENTY \LEKTRI^ESKOGO I MAGNITNOGO POLEJ, DAWAEMOE FORMULOJ (8.4), NE BUDET UVE FIZI^ESKI OSMYSLENNYM. tENZORNYJ HARAKTER URAWNENIJ \LEKTRODINAMIKI W ^ETYREHMERNOJ ZAPISI POZWOLQET SDELATX E]E ODIN [AG W STRONU UWELI^ENIQ PROIZWOLA W WYBORE SISTEM KOORDINAT: OT KOSOUGOLXNYH MOVNO PEREJTI K KRIWOLINEJNYM. tAKOJ PEREHOD TREBUET ZAMENY ^ASTNYH PROIZWODNYH KOWARIANTNYMI: (11.2)
@ !r p @rp
(SM., NAPRIMER, W [3]). kOMPONENTY SWQZNOSTI, NEOBHODIMYE DLQ OSU]ESTWLENIQ PEREHODA (11.2) OPREDELQ@TSQ KOMPONENTA-
x 11.
zame~anie o koordinatah.
119
MI METRI^ESKOGO TENZORA, KOTORYE W KRIWOLINEJNOJ SISTEME KOORDINAT UVE ZAWISQT OT r0, r1, r2 , r3 : ?kij
(11.3)
3 X 1 sj + @gis ? @gij : = 2 g ks @g @ri @rj @rs s=0
w ZAWER[ENIE SKAZANNOGO PRIWEDEM SPISOK WSEH POLU^ENNYH WY[E OSNOWNYH URAWNENIJ W KOWARIANTNOJ FORME. uRAWNENIQ mAKSWELLA ZAPISYWA@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: 3 X
q=0
(11.4)
rq F pq = ? 4c j p;
3 3 X 3 X X
q=0 k=0 s=0
!pqks rq Fks = 0:
zDESX WELI^INY !pqks OPREDELQ@TSQ SOOTNO[ENIEM (11.1). tENZOR \LEKTROMAGNITNOGO POLQ WYRAVAETSQ ^EREZ ^ETYREHMERNYJ WEKTORNYJ POTENCIAL PO FORMULE Fpq = rpAq ? rq Ap;
(11.5)
A KALIBROWO^NYJ PROIZWOL W WYBORE SAMOGO WEKTORNOGO POTENCIALA OPISYWAETSQ SOOTNO[ENIEM Ak ! Ak + rk ;
(11.6)
GDE | PROIZWOLXNOE SKALQRNOE POLE. zAKON SOHRANENIQ ZARQDA IMEET WID 3 X
(11.7)
p=0
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
rpj p = 0;
120
glawa III. teoriq otnositelxnosti
A OPERATOR dALAMBERA WMESTO (2.6) DOLVEN ZADAWATXSQ TAK: (11.8)
=
3 3 X X
i=0 j =0
g ij rirj :
dINAMIKA MATERIALXNYH TO^EK NENULEWOJ MASSY m 6= 0 OPISYWAETSQ URAWNENIQMI NX@TONOWSKOGO TIPA: (11.9)
r_ = u;
F: rsu = mc
zDESX TO^KA OZNA^AET DIFFERENCIROWANIE PO NATURALXNOMU PARAMETRU s NA MIROWOJ LINII, A rs | KOWARIANTNOE DIFFERENCIROWANIE PO TOMU VE PARAMETRU. uPRAVNENIE 11.1. pOLXZUQSX SIMMETRI^NOSTX@ SIMWOLOW kRISTOFFELQ (11.3) PO NIVNEJ PARE INDEKSOW, POKAVITE, ^TO SOOTNO[ENIE (11.5) PRIWODITSQ K WIDU (9.9) I W KRIWOLINEJNOJ SISTEME KOORDINAT TOVE.
glawa IV
lagranvew formalizm w teorii otnositelxnosti. x 1. pRINCIP NAIMENX[EGO DEJSTWIQ DLQ ^ASTIC I POLEJ.
dINAMIKA MATERIALXNYH TO^EK W TEORII OTNOSITELXNOSTI OPISYWAETSQ IH MIROWYMI LINIQMI. dLQ ^ASTIC NENULEWOJ MASSY \TO WREMENIPODOBNYE LINII W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO. rASSMOTRIM NEKOTORU@ MIROWU@ LINI@, B OTWE^A@]U@ REALXNOMU DWIVENI@ NEKOTOROJ ^ASTICY POD DEJSTWIEM WNE[NIH POLEJ. fIKSIRUEM DWE DOSTATO^NO BLIZKIE TO^KI A I B NA \TOJ A LINII I RASSMOTRIM NEBOLX[U@ DEFORMACI@ MIROWOJ LINII NA U^ASTKE AB. pUSTX WYBRANA NEKOTORAQ, WOOB]E GOWORQ, KRIWOLINEJNAQ SISTEMA KOORrIS. 1.1 DINAT W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO. w NEJ ISHODNAQ MIROWAQ LINIQ ZADAETSQ ^ETYRXMQ FUNKCIQMI (1.1)
r0(s); r1 (s); r2 (s); r3 (s);
GDE s | NATURALXNYJ PARAMETR. tOGDA DEFORMIROWANNU@ KRIWU@ MOVNO ZADAWATX SLEDU@]IMI FUNKCIQMI: (1.2)
r^i (s) = ri(s) + hi ("; s); i = 0; : : : ; 3:
122
glawa IV. lagranvew formalizm
zDESX s | PREVNIJ NATURALXNYJ PARAMETR NA ISHODNOJ NEDEFORMIROWANNOJ MIROWOJ LINII (1.1), A hi ("; s) | GLADKIE FUNKCII, OTLI^NYE OT NULQ TOLXKO NA U^ASTKE AB. pOMIMO s FUNKCII hi("; s) GLADKO ZAWISQT E]E OT ODNOGO PARAMETRA ", KOTORYJ MY BUDEM S^ITATX MALYM I POTREBUEM, ^TOBY (1.3)
hi ("; s) ! 0 PRI " ! 0:
tEM SAMYM, W (1.2) MY IMEEM CELOE SEMEJSTWO DEFORMIROWANNYH LINIJ, KOTOROE NAZYWA@T WARIACIEJ MIROWOJ LINII (1.1). w SILU (1.3) MY MOVEM RASSMOTRETX TEJLOROWSKIE RAZLOVENIQ (1.4)
hi ("; s) = "hi (s) + : : : :
pRI ZAMENE ODNIH KRIWOLINEJNYH KOORDINAT DRUGIMI, WELI^INY hi(s) PREOBRAZU@TSQ KAK KOMPONENTY WEKTORA, KOTORYJ NAZYWA@T WEKTOROM WARIACII MIROWOJ LINII, A WELI^INY (1.5)
ri(s) = "hi(s)
NAZYWA@T WARIACIQMI KOORDINAT TO^EK MIROWOJ LINII. qSNO, ^TO ONI TAKVE PREOBRAZU@TSQ KAK KOMPONENTY NEKOTOROGO WEKTORA. w SILU (1.4) I (1.5) ISHODNYE URAWNENIQ DEFORMIROWANNYH KRIWYH ZAPISYWA@T TAK: (1.6)
r^i(s) = ri(s) + ri(s) + : : : :
|TIM POD^ERKIWA@T, ^TO SLAGAEMYE, OTLI^NYE OT LINEJNYH PO ", BOLX[OJ ROLI NE IGRA@T. mENQQ FUNKCII hi("; s) I ZNA^ENIQ PARAMETRA " W NIH, MY MOVEM OKRUVITX FRAGMENT AB ISHODNOJ MIROWOJ LINII CELYM ROEM EE WARIACIJ. |TI WARIACII, WOOB]E GOWORQ, NE OPISYWA@T NIKAKOJ REALXNOJ DINAMIKI TO^EK. nO ONI ISPOLXZU@TSQ PRI FORMULIROWKE PRINCIPA NAIMENX[EGO DEJSTWIQ.
x 1.
princip naimenx{ego dejstwiq
:::
123
w RAMKAH LAGRANVEWOGO FORMALIZMA DLQ OPISANIQ DINAMIKI ^ASTIC WWODITSQ FUNKCIONAL DEJSTWIQ S , KOTORYJ WSQKOJ LINII, SOEDINQ@]EJ TO^KI A I B, SOPOSTAWLQET NEKOTOROE ^ISLO. pRINCIP NAIMENX[EGO DEJSTWIQ. mIROWAQ LINIQ, SOEDINQ@]AQ TO^KI A I B, OPISYWAET REALXNU@ DINAMIKU MATERIALXNOJ TO^KI TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA FUNKCIONAL DEJSTWIQ NA NEJ DOSTIGAET LOKALXNOGO MINIMUMA SREDI WSEWOZMOVNYH MALYH WARIACIJ \TOJ LINII. fUNKCIONAL DEJSTWIQ S , SOPOSTAWLQ@]IJ WSQKOJ LINII ^ISLO, DOLVEN ZAWISETX TOLXKO OT \TOJ LINII (KAK GEOMETRI^ESKOGO MESTA TO^EK W M ), NO NE DOLVEN ZAWISETX OT WYBORA SISTEMY KOORDINAT (r0; r1; r2; r3) W M . |TO USLOWIE PO TRADICII NAZYWAETSQ TREBOWANIEM LORENCEWSKOJ INWARIANTNOSTI, HOTQ PEREHOD OT ODNOJ KRIWOLINEJNOJ SISTEMY KOORDINAT K DRUGOJ SOSTAWLQET GORAZDO BOLEE [IROKIJ KLASS PREOBRAZOWANIJ, ^EM PREOBRAZOWANIQ lORENCA, SWQZYWA@]IE DWE DEKARTOWY PRQMOUGOLXNYE SISTEMY KOORDINAT W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO. fUNKCIONAL DEJSTWIQ OBY^NO WBIRA@T W WIDE INTEGRALXNOGO FUNKCIONALA. dLQ ODINO^NOJ ^ASTICY MASSY m W \LEKTROMAGNITNOM POLE S POTENCIALOM A ON ZAPISYWAETSQ TAK: (1.7)
Zs2
Z q S = ?mc ds ? c g(A; u) ds: s1
s2
s1
zDESX q | \LEKTRI^ESKIJ ZARQD ^ASTICY, A u = u(s) | WEKTOR 4-SKOROSTI (EDINI^NYJ KASATELXNYJ WEKTOR K MIROWOJ LINII). pERWYJ INTEGRAL W (1.7) | \TO DEJSTWIE DLQ SWOBODNOJ ^ASTICY, A WTOROJ OPISYWAET WZAIMODEJSTWIE ^ASTICY S \LEKTROMAGNITNYM POLEM. eSLI MY RASSMATRIWAEM SISTEMU IZ N ^ASTIC, TO DLQ KAVDOJ IZ NIH MY DOLVNY NAPISATX INTEGRALY (1.7) I SLOVITX
124
glawa IV. lagranvew formalizm
IH. pOSLE ^EGO, DLQ POLU^ENIQ DEJSTWIQ DLQ POLNOJ SISTEMY IZ ^ASTIC I POLQ, NADO DOBAWITX INTEGRAL DEJSTWIQ DLQ SAMOGO \LEKTROMAGNITNOGO POLQ:
0 1 s2 (i) s2 (i) Z Z S= B @?mi c ds ? qci g(A; u) dsC A? i=1 s (i) N X
(1.8)
1
s1 (i)
Z X 3 X 3 p 1 Fpq F pq ? det g d4 r: ? 16 c V1 p=0 q=0 V2
pOSLEDNIJ INTEGRAL W (1.8) ZASLUVIWAET OTDELXNOGO RASSMOTRENIQ. |TO ^ETYREHMERNYJ OB_EMNYJ INTEGRAL PO OBLASTI, ZAKL@^ENNOJ MEVDU DWUMQ TREHBUDU]EE MERNYMI GIPERPOWERHNOSTQMI V1 I V2. gIPERPOWERHNOSTI WYBIRA@TSQ V2 PROSTRANSTWENNOPODOBNYMI (T. E. IME@]IMI WREMENIPODOBNYE WEKV1 TORA NORMALI). oNI WYDELQ@T NEKOTORU@ \]ELX" MEVDU PRO[LYM PRO[LOE I BUDU]IM, PO KOTOROJ I IDET INTEGRIROWANIE. iZMENENIE VE POLErIS. 1.2 WYH FUNKCIJ (KOMPONENT WEKTORNOGO POTENCIALA) PRI PEREHODE OT V1 K V2 SIMWOLIZIRUET \WOL@CI@ POLQ OT PRO[LOGO K BUDU]EMU. |LEKTROMAGNITNOE POLE OPISYWAETSQ POLEWYMI FUNKCIQMI Ai(r0 ; r1; r2; r3). pO\TOMU PONQTIE WARIACII POLQ OPREDELQETSQ INA^E, ^EM DLQ ^ASTIC. pUSTX | NEKOTORAQ OGRANI^ENNAQ ^ETYREHMERNAQ OBLASTX, ZAKL@^ENNAQ MEVDU V1 I V2. rASSMOTRIM ^ETYRE GLADKIE FUNKCII hi("; r) = hi ("; r0; r1; r2; r3), NULEWYE WS@DU WNE OBLASTI I OBRA]A@]IESQ W TOVDESTWENNYJ NOLX PRI " = 0. pOLOVIM (1.9) A^i (r) = Ai(r) + hi ("; r):
x 1.
princip naimenx{ego dejstwiq
:::
125
rASSMOTRIM TEJLOROWSKIE RAZLOVENIQ W TO^KE " = 0 DLQ hi : (1.10)
hi ("; r) = " hi(r) + : : : :
wARIACIEJ POLEWYH FUNKCIJ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ NAZOWEM SLEDU@]IE FUNKCII, OPREDELENNYE LINEJNOJ PO " ^ASTX@ TEJLOROWSKIH RAZLOVENIJ (1.10): (1.11)
Ai (r) = " hi(r):
fORMULU DLQ DEFORMACII WEKTORNOGO POTENCIALA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ TEPERX MOVNO ZAPISATX TAK: (1.12)
A^i(r) = Ai (r) + Ai(r) + : : : :
pRINCIP NAIMENX[EGO DEJSTWIQ DLQ POLEJ. pOLEWYE
FUNKCII OPREDELQ@T REALXNU@ KONFIGURACI@ FIZI^ESKIH POLEJ W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA ONI REALIZU@T LOKALXNYJ MINIMUM FUNKCIONALA DEJSTWIQ W KLASSE WSEWOZMOVNYH FINITNYH WARIACIJ. uSLOWIE MINIMALXNOSTI DEJSTWIQ NA REALXNOJ KONFIGURACII POLEJ I NA REALXNYH MIROWYH LINIQH ^ASTIC, KAK PRAWILO, NIKAK NE ISPOLXZUETSQ. dLQ WYWODA URAWNENIJ DINAMIKI POLEJ I ^ASTIC ISPOLXZUETSQ TOLXKO USLOWIE \KSTREMALXNOSTI DEJSTWIQ (\TO MOVET BYTX I MAKSIMUM, I TO^KA USLOWNOGO \KSTREMUMA). pO\TOMU PRINCIP NAIMENX[EGO DEJSTWIQ ^ASTO FORMULIRU@T KAK PRINCIP \KSTREMALXNOGO DEJSTWIQ. uPRAVNENIE 1.1. pROWERXTE, ^TO WELI^INY hi(s) W RAZLOVENIQH (1.4) PRI ZAMENAH KOORDINAT PREOBRAZU@TSQ KAK KOMPONENTY WEKTORA.
glawa IV. lagranvew formalizm
126
uPRAVNENIE 1.2. dOKAVITE, ^TO PRI KALIBROWO^NYH PRE-
OBRAZOWANIQH WIDA (11.6) IZ TRETXEJ GLAWY FUNKCIONAL DEJSTWIQ (1.8) PREOBRAZUETSQ PO SLEDU@]EMU PRAWILU: S!S?
(1.13)
N X qi i=1
qi c (r(s2(i))) ? c (r(s1(i))) :
oB_QSNITE, PO^EMU WELI^INA DOBAWKI K FUNKCIONALU DEJSTWIQ W (1.13) NE MENQETSQ PRI WARIACIQH MIROWYH LINIJ (1.2).
x 2. dWIVENIE ^ASTICY W \LEKTROMAGNITNOM POLE. dLQ NAHOVDENIQ MIROWOJ LINII RELQTIWISTSKOJ ^ASTICY WO WNE[NEM \LEKTROMAGNITNOM POLE PRIMENIM PRINCIP \KSTREMALXNOGO DEJSTWIQ DLQ ^ASTIC K FUNKCIONALU DEJSTWIQ (1.8). wYBEREM ODNU IZ N ^ASTIC W (1.8) I RASSMOTRIM DEFORMACI@ EE MIROWOJ LINII (1.6). pRI PODSTANOWKE DEFORMIROWANNOJ MIROWOJ LINII W (1.8) WMESTO NEDEFORMIROWANNOJ WELI^INA POSLEDNEGO OB_EMNOGO INTEGRALA NE IZMENITSQ. a IZ SUMMY PO i PRI \TOM IZMENITSQ LI[X ODNO SLAGAEMOE, OTWE^A@]EE WYBRANNOJ ^ASTICE. pO\TOMU PRI ISSLEDOWANII (1.8) NA \KSTREMALXNOSTX OTNOSITELXNO DEFORMACIJ MIROWYH LINIJ ^ASTIC MY MOVEM OGRANI^ITXSQ FUNKCIONALOM DEJSTWIQ W FORME (1.7). zNA^ENIE (1.7) NA DEFORMIROWANNOJ MIROWOJ LINII WY^ISLQETSQ TAK: (2.1)
SDEF = ?mc
Zs2p s1
Z g(K; K) ds ? qc g(A; K) ds: s2
s1
wNE[NEE OTLI^IE (2.1) OT (1.7) OBUSLOWLENO TEM, ^TO PARAMETR s ESTX NATURALXNYJ PARAMETR NA ISHODNOJ LINII, NO ON NE QW-
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
x 2.
dwivenie ~asticy
:::
127
LQETSQ NATURALXNYM PARAMETROM NA DEFORMIROWANNOJ LINII. zDESX KASATELXNYJ WEKTOR ^ (2.2) K(s) = d^rds(s) = u(s) + " dhds(s) + : : : UVE NE EDINI^EN. pO\TOMU PERWYJ INTEGRAL W (1.7) PEREPISYWAETSQ W FORME INTEGRALA DLINY (SM. (6.4) W TRETXEJ GLAWE). wO WTOROM INTEGRALE (1.7) EDINI^NYJ KASATELXNYJ WEKTOR u ZAMENQETSQ NA KASATELXNYJ WEKTOR K. zAPI[EM W KOMPONENTAH PODINTEGRALXNYE WYRAVENIQ W INTEGRALAH (2.1), U^ITYWAQ, ^TO MY RABOTAEM W OB]EJ KRIWOLINEJNOJ SISTEME KOORDINAT W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO:
v u 3 3 X X u t g(K; K) = gij (^r(s)) K i(s) K j (s);
p (2.3)
g(A; K) =
X 3
i=0
i=0 j =0
Ai (^r(s)) K i(s):
pODSTAWIM RAZLOVENIE (2.2) W (2.3) I U^TEM SOOTNO[ENIE (1.2) WMESTE S RAZLOVENIEM (1.4). dLQ PODINTEGRALXNYH WYRAVENIJ W (2.1) POLU^A@TSQ SLEDU@]IE RAZLOVENIQ PO STEPENQM ": 3 i X p p ui (s) dhds(s) + g(K; K) = g(u; u) + p " g(u; u) i=0 ! 3 X 3 X 3 X 1 @g ij i j k +2 k u (s) u (s) h (s) + : : : ; @r i=0 j =0 k=0 g(A; K) = g(A; u) + "
3 X
i=0
+"
i
Ai (r(s)) dhds(s) + 3 X 3 X @Ai
i k k u (s) h (s) + : : : : @r i=0 k=0
glawa IV. lagranvew formalizm
128
pRI PODSTANOWKE \TIH RAZLOVENIJ W (2.1) U^TEM EDINI^NOSTX WEKTORA u. tOGDA DLQ SDEF POLU^AEM SDEF = S ? "
Zs2X 3 s1 k=0
k m c uk (s) + qc Ak (r(s)) dhds(s) ds?
! Zs2X 3 3 3 X 3 X X q mc @A @g i ui + ij ui uj hk (s) ds + : : : : ?" s1 k=0
c i=0 @rk
2 i=0 j =0 @rk
pRIMENIM PROCEDURU INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM K PERWOMU IZ POLU^ENNYH INTEGRALOW. |TO POZWOLQET ISKL@^ITX DIFFERENCIROWANIE FUNKCIJ hk (s) I DAET SDEF = S ? " +"
3 X
k=0
Zs2X 3 d s1
m c uk(s) + qc Ak (r(s)) hk (s) + s2
q A (r(s)) hk (s) ds? m c u ( s ) + k c k k=0 ds
s1
! Zs2X 3 3 3 X 3 X X @g @A mc q ij i i i j ?" u+ u u hk (s) ds + : : : : s1 k=0
c i=0 @rk
2 i=0 j =0 @rk
wSPOMNIM, ^TO FUNKCII hk (s) ZANULQ@TSQ NA KONCAH OTREZKA INTEGRIROWANIQ hk (s1) = hk (s2) = 0 (SM. x 1 WY[E). |TO OBESPE^IWAET ZANULENIE WNEINTEGRALXNYH SLAGAEMYH W POLU^ENNOJ FORMULE DLQ SDEF . tEPERX DLQ WYWODA URAWNENIJ, OPREDELQ@]IH MIROWU@ LINI@ MATERIALXNOJ TO^KI, PRIMENIM USLOWIE \KSTREMALXNOSTI FUNKCIONALA S . oNO OZNA^AET, ^TO LINEJNAQ PO " ^ASTX PRI-
x 2.
dwivenie ~asticy
129
:::
RA]ENIQ SDEF ? S DOLVNA BYTX RAWNA NUL@ PRI L@BOM WYBORE FUNKCIJ hk (s). oTS@DA (2.4)
d m c u (s) + q A (r(s)) = k ds c k 3 3 3 X i ui + mc X X @gij ui uj : = qc @A k 2 i=0 j =0 @rk i=0 @r
wYPOLNIM DIFFERENCIROWANIE PO s W LEWOJ ^ASTI (2.4). pOSLE \TOGO SOBEREM SLAGAEMYE, SODERVA]IE MNOVITELX mc SLEWA, A OSTAW[IESQ SLAGAEMYE S MNOVITELEM q=c | SPRAWA:
!
3 X 3 3 X X q 1 @g @Ai ? @Ak ui : du ij k i j mc ds ? 2 ku u =c k @r @ri i=0 j =0 i=0 @r
nETRUDNO ZAMETITX, ^TO W PRAWU@ ^ASTX \TOGO URAWNENIQ TENZOR \LEKTROMAGNITNOGO POLQ (SM. FORMULU (9.9) IZ TRETXEJ GLAWY). dLQ PREOBRAZOWANIQ LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ ISPOLXZUEM FORMULU (11.3) IZ TRETXEJ GLAWY. tOGDA URAWNENIE MIROWOJ LINII PRIMET SLEDU@]IJ WID: (2.5)
!
3 3 3 k ? X X ?i u uj = q X F ui : mc du ds i=0 j=0 kj i c i=0 ki
w LEWOJ ^ASTI URAWNENIJ (2.5) OBNARUVIWAEM KOWARIANTNU@ PROIZWODNU@ PO PARAMETRU s WDOLX MIROWOJ LINII: (2.6)
3 X q mcrsuk = c Fki ui: i=0
sRAWNENIE (2.6) S URAWNENIQMI (11.9) IZ TRETXEJ GLAWY DAET
130
glawa IV. lagranvew formalizm
FORMULU DLQ WEKTORA ^ETYREHMERNOJ SILY, KOTORAQ DEJSTWUET NA TO^E^NYJ ZARQD q W \LEKTROMAGNITNOM POLE : (2.7)
3 X q Fk = c Fki ui : i=0
pUSTX WYBRANA DEKARTOWA PRQMOUGOLXNAQ SISTEMA KOORDINAT W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO. tOGDA RAZDELENIE Fi NA WREMENNU@ I PROSTRANSTWENNYE KOMPONENTY POZWOLQET WY^ISLITX p i 2 2 TREHMERNYJ WEKTOR SILY: f = c ? jvj F i (SM FORMULU (7.6) IZ TRETXEJ GLAWY). pOSLE NESLOVNYH WY^ISLENIJ S ISPOLXZOWANIEM FORMUL (7.2) I (9.4) IZ TRETXEJ GLAWY POLU^AEM (2.8) f = q E + qc [v; H]: fORMULA (2.8) W TO^NOSTI SOWPADAET S FORMULOJ DLQ SILY lORENCA (SM. (4.4) W PERWOJ GLAWE). tAKIM OBRAZOM, FORMULA (2.7) ESTX ^ETYREHMERNOE OBOB]ENIE FORMULY DLQ SILY lORENCA. uSLOWIE ORTOGONALXNOSTI ^ETYREHMERNOJ SILY I ^ETYREHMERNOJ SKOROSTI (SM. (7.5) W TRETXEJ GLAWE) DLQ SILY lORENCA (2.7) WYPOLNENO W SILU KOSOSIMMETRI^NOSTI TENZORA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. uPRAVNENIE 2.1. dOKAVITE, ^TO KALIBROWO^NOE PREOBRAZOWANIE (1.13) DLQ FUNKCIONALA DEJSTWIQ NE MENQET URAWNENIJ DINAMIKI MATERIALXNOJ TO^KI W \LEKTROMAGNITNOM POLE (2.6). uPRAVNENIE 2.2. pROWERXTE SOOTNO[ENIE (7.5) IZ TRETXEJ GLAWY DLQ SILY lORENCA.
x 3. dINAMIKA PYLEWIDNOJ MATERII. uRAWNENIE (2.6) OPISYWAET DWIVENIE ZARQVENNYH ^ASTIC W \LEKTROMAGNITNOM POLE. eSLI ^ISLO ^ASTIC NEWELIKO, TO MY MOVEM SLEDITX ZA DINAMIKOJ KAVDOJ IZ NIH. pRI OPISANII
x 3.
dinamika pylewidnoj materii.
131
DINAMIKI O^ENX BOLX[OGO ^ISLA ^ASTIC PRINQTO PEREHODITX K KONTINUALXNOMU PREDELU, ZAMENQQ ^ASTICY NEKOTOROJ SPLO[NOJ SREDOJ, MODELIRU@]EJ IH KOLLEKTIWNOE POWEDENIE. pROSTEJ[EJ MODELX@, OPISYWA@]EJ SISTEMU IZ BOLX[OGO ^ISLA NE STALKIWA@]IHSQ DRUG S DRUGOM ^ASTIC, QWLQETSQ MODELX PY-
rIS. 3.1 rIS. 3.2 LEWOGO OBLAKA. w \TOJ MODELI ^ASTICY, SOSTAWLQ@]IE OBLAKO, SOWER[A@T UPORQDO^ENNOE DWIVENIE. iH MIROWYE LINII MOVNO MODELIROWATX REGULQRNYM SEMEJSTWOM LINIJ, ZAPOLNQ@]IH WSE PROSTRANSTWO (SM. RIS. 3.1). dRUGOJ MODELX@ QWLQETSQ MODELX IDEALXNOGO GAZA. zDESX ^ASTICY TAKVE NE STALKIWA@TSQ DRUG S DRUGOM I IH MIROWYE LINII NE PERESEKA@TSQ. oDNAKO, IH DWIVENIE QWLQETSQ HAOTI^ESKIM (SM. RIS. 3.2). pO\TOMU, ESLI IH MIROWYMI LINIQMI ZAPOLNITX WSE PROSTRANSTWO, TO ONI NEPREMENNO NA^NUT PERESEKATXSQ. kROME RASSMOTRENNYH DWUH MODELEJ, IME@TSQ MODELI DLQ OPISANIQ VIDKOSTEJ I TWERDYH TEL. s MAKROSKOPI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ ^ASTICY VIDKOSTI I TWERDYH TEL DWIVUTSQ UPORQDO^ENNYM OBRAZOM (KAK NA RISUNKE 3.1). oDNAKO, W \TIH SREDAH SU]ESTWENNYM OKAZYWAETSQ WZAIMODEJSTWIE MEVDU ^ASTICAMI. pO\TOMU PRI OPISANII TAKIH SRED NADO LIBO PRIMENITX DETALXNYJ MIKROSKOPI^ESKIJ ANALIZ I POLU^ATX MAKRO-
132
glawa IV. lagranvew formalizm
SKOPI^ESKIE PARAMETRY SREDY W REZULXTATE STATISTI^ESKOGO USREDNENIQ, LIBO ISPOLXZOWATX KAKIE-TO \WRISTI^ESKIE SOOBRAVENIQ, OSNOWANNYE NA \KSPERIMENTE. w DANNOJ KNIGE MY OGRANI^IMSQ PODROBNYM RASSMOTRENIEM LI[X ODNOJ PROSTEJ[EJ MODELI | MODELI PYLEWOGO OBLAKA. w \TOJ MODELI PROSTRANSTWO mINKOWSKOGO MOVNO S^ITATX ZAPOLNENNYM REGULQRNYM SEMEJSTWOM MIROWYH LINIJ. ~ASTX IZ NIH SOOTWETSTWUET REALXNYM PYLINKAM OBLAKA, A OSTALXNYE POLU^A@TSQ PUTEM \KSTRAPOLQCII W KONTINUALXNOM PREDELE. pO\TOMU W KAVDOJ TO^KE PROSTRANSTWA M OPREDELEN EDINI^NYJ WEKTOR u | KASATELXNYJ WEKTOR K MIROWOJ LINII, PROHODQ]EJ ^EREZ DANNU@ TO^KU. |TO OZNA^AET, ^TO DINAMIKU ^ASTIC PYLEWOGO OBLAKA MOVNO OPISYWATX WEKTORNYM POLEM u(r). kROME WEKTORNOGO POLQ u, NAM POTREBUETSQ SKALQRNYJ PARAMETR (r), IME@]IJ SMYSL GUSTOTY PYLEWOGO OBLAKA. oPREDELIM EGO TAK. wYBEREM NEKOTORYJ MALYJ FRAGMENT TREHMERNOJ GIPERPOWERHNOSTI W M , ORTOGONALXNYJ WEKTORU u(r) W NEKOTOROJ TO^KE r. ~ISLO PYLINOK, MIROWYE LINII KOTORYH PERESEKA@T \TOT FRAGMENT GIPERPOWERHNOSTI, PROPORCIONALXNO EGO OB_EMU: N ' (r) V , PARAMETR (r) | KO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI. pARAMETR (r) IMEET RAZMERNOSTX KONCENTRACII, EGO MOVNO TRAKTOWATX KAK KONCENTRACI@ ^ASTIC W NEKOTOROM MALOM FRAGMENTE OBLAKA WOKRUG TO^KI r, IZMERENNU@ W TAKOJ INERCIALXNOJ SISTEME OTS^ETA, W KOTOROJ ^ASTICY IZ \TOGO FRAGMENTA OBLAKA NA MOMENT IZMERENIQ KONCENTRACII IME@T NULEWU@ SKOROSTX. iZ (r) I u(r) SOSTAWIM WEKTOR (3.1)
r) = c (r) u(r):
(
wEKTOR (3.1) NAZYWAETSQ ^ETYREHMERNOJ PLOTNOSTX@ POTOKA ^ASTIC W OBLAKE. eSLI WYBRANA DEKARTOWA INERCIALXNAQ SISTEMA OTS^ETA, TO WELI^INA 0=S IMEET SMYSL KONCENTRACII ^ASTIC W OBLAKE, A OSTALXNYE TRI KOMPONENTY WEKTORA FORMIRU@T TREHMERNYJ WEKTOR PLOTNOSTI POTOKA ^ASTIC.
x 3.
dinamika pylewidnoj materii.
133
pUSTX OBLAKO SOSTOIT IZ ODINAKOWYH ^ASTIC S MASSOJ m I \LEKTRI^ESKIM ZARQDOM q. tOGDA ^ETYREHMERNYJ WEKTOR PLOTNOSTI \LEKTRI^ESKOGO TOKA MOVNO ZAPISATX TAK: (3.2) j(r) = q (r): pO ANALOGII S (3.2) OPREDELIM ^ETYREHMERNYJ WEKTOR PLOTNOSTI POTOKA MASSY (3.3) (r) = m (r): zAKON SOHRANENIQ ^ISLA ^ASTIC PRIWODIT K SLEDU@]EMU SOOTNO[ENI@ DLQ KOMPONENT WEKTORA : (3.4)
3 X
p=0
rpp = 0:
iZ (3.4) I (3.2) WYTEKAET ZAKON SOHRANENIQ ZARQDA W FORME SOOTNO[ENIQ (11.7) IZ TRETXEJ GLAWY. a PRI U^ETE (3.3) POLU^AETSQ ZAKON SOHRANENIQ MASSY POKOQ: (3.5)
3 X
p=0
rpp = 0:
zAKON SOHRANENIQ MASSY ZDESX WYPOLNEN W SILU OTSUTSTWIQ STOLKNOWENIJ, PRI KOTORYH IZ LEGKIH ^ASTIC MOGUT OBRAZOWYWATXSQ BOLEE TQVELYE (SM. x 7 W TRETXEJ GLAWE). rASSMOTRIM DINAMIKU ^ASTIC, SOSTAWLQ@]IH PYLEWOE OBLAKO. pOSKOLXKU WEKTORNOE POLE u SOSTOIT IZ KASATELXNYH WEKTOROW K MIROWYM LINIQM, SAMI \TI MIROWYE LINII MOVNO OPREDELQTX, RE[AQ SLEDU@]U@ SISTEMU OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ: dri = ui(r(s)); i = 0; : : : ; 3: (3.6) ds c {ARIPOW r.a., 1997. CopyRight
134
glawa IV. lagranvew formalizm
oPREDELIW MIROWU@ LINI@ ^ASTICY IZ URAWNENIJ (3.6), MY ZNAEM EE WEKTOR ^ETYREHMERNOJ SKOROSTI u(s). wY^ISLIM KOWARIANTNU@ PROIZWODNU@ WEKTORA u(s) PO NATURALXNOMU PARAMETRU WDOLX MIROWOJ LINII: (3.7)
p
rsup = duds(s) +
pRI WY^ISLENII
3 X 3 X
?pnk uk (s) un (s):
k=0 n=0 PROIZWODNOJ dup=ds
W (3.7) U^TEM URAWNENIQ
(3.6) I TO, ^TO u(s) = u(r(s)). |TO DAET
3 p dup(s) = X k @u : u k ds k=0 @r
(3.8)
pODSTANOWKA (3.8) W (3.7) PRIWODIT K SOOTNO[ENI@
rsup =
(3.9)
3 X
k=0
uk rk up :
pRAWAQ ^ASTX (3.9) | \TO KOWARIANTNAQ PROIZWODNAQ WEKTORNOGO POLQ u(r) WDOLX SAMOGO \TOGO WEKTORNOGO POLQ (PODROBNEE SM. W [3]). pODSTANOWKA (3.9) W URAWNENIQ DINAMIKI MATERIALXNOJ TO^KI DAET
F: ruu = mc
(3.10)
zDESX F = F(r; u) NEKOTOROE WNE[NEE SILOWOE POLE, DEJSTWU@]EE NA ^ASTICY PYLEWOGO OBLAKA. nAPRIMER, W SLU^AE \LEKTROMAGNITNOGO POLQ URAWNENIQ (3.10) IME@T WID (3.11)
3 X
k=0
uk rk up =
3 q X k mc2 k=0 Fpk u :
x 4.
dejstwie dlq pylewidnoj materii.
135
w OTLI^IE OT URAWNENIJ (11.9) IZ TRETXEJ GLAWY, OPISYWA@]IH DINAMIKU OTDELXNYH ^ASTIC, URAWNENIQ (3.10) QWLQ@TSQ URAWNENIQMI W ^ASTNYH PROIZWODNYH OTNOSITELXNO KOMPONENT WEKTORNOGO POLQ u(r). oNI OPISYWA@T DINAMIKU PYLEWOGO OBLAKA K KONTINUALXNOM PREDELE. uRAWNENIE NA SKALQRNOE POLE (r) POLU^AETSQ IZ ZAKONA SOHRANENIQ ^ISLA ^ASTIC (3.4). oB_EDINIW \TI DWA URAWNENIQ, POLU^AEM SISTEMU 3 X
k=0
(3.12)
3 X
k=0
Fp ; uk rk up = mc uk rk = ?
3 X
k=0
rk uk :
sISTEMA URAWNENIJ (3.12) DAET POLNOE OPISANIE DINAMIKI PYLEWOGO OBLAKA. mODELX PYLEWIDNOJ MATERII MOVNO NESKOLXKO OBOB]ITX, ESLI WKL@^ITX W RASSMOTRENIE ^ASTICY RAZNYH SORTOW. tOGDA DLQ KAVDOGO SORTA ^ASTIC OPREDELENO SWOE EDINI^NOE WEKTORNOE POLE u(i; r) I SWOE POLE KONCENTRACII (i; r). fORMULY (3.2) I (3.3) OBOB]A@TSQ TAK:
j(r) =
n X i=1
q(i) (i; r);
r) =
(
n X i=1
m(i) (i; r):
zDESX (i; r) = c (i; r) u(i; r). kAVDAQ PARA POLEJ u(i; r) I (i; r) UDOWLETWORQET URAWNENIQM (3.12), IZ KOTORYH WYTEKAET WYPOLNENIE ZAKONOW SOHRANENIQ ZARQDA I MASSY.
x 4. dEJSTWIE DLQ PYLEWIDNOJ MATERII. rASSMOTRIM DINAMIKU PYLEWIDNOJ MATERII W \LEKTROMAGNITNOM POLE S TO^KI ZRENIQ LAGRANVEWOGO FORMALIZMA. dLQ
136
glawa IV. lagranvew formalizm
\TOGO NEOBHODIMO WYPOLNITX PEREHOD K KONTINUALXNOMU PREDELU W DEJSTWII (1.8). dLQ PROSTOTY RASSMOTRIM PYLEWOE OBLAKO, SOSTOQ]EE IZ ^ASTIC ODNOGO SORTA. oPUSKAQ DETALI PREDELXNOGO PEREHODA, WYPI[EM FUNKCIONAL DEJSTWIQ (1.8) W KONTINUALXNOM PREDELE: S = ?m (4.1)
ZV2p
p
g(; ) ? det g d4 r?
V1
Z p q ? c2 g(; A) ? det g d4r? V2
V1
Z X 3 X 3 p 1 Fpk F pk ? det g d4 r: ? 16 c V1 p=0 k=0 V2
wMESTO WYWODA (4.1) IZ (1.8) MY WYPOLNIM KOSWENNU@ PROWERKU PRAWILXNOSTI PREDELXNOGO PEREHODA. dLQ \TOGO WYWEDEM URAWNENIE (3.11) IZ PRINCIPA \KSTREMALXNOGO DEJSTWIQ DLQ FUNKCIONALA (4.1). dLQ OPISANIQ PYLEWIDNOJ MATERII W (4.1) MY WYBRALI WEKTORNOE POLE (r) IZ (3.1). pOLQ u(r) I (r) MOGUT BYTX WYRAVENY ^EREZ WEKTORNOE POLE (r): (4.2)
p
c = jj = g(; ) ;
u = c :
pRI RASSMOTRENII WARIACIJ POLQ (r) MY DOLVNY POMNITX, ^TO KOMPONENTY \TOGO POLQ NE QWLQ@TSQ NEZAWISIMYMI FUNKCIQMI. oNI UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ (3.4). dLQ RAZRE[ENIQ URAWNENIQ (3.4) WOSPOLXZUEMSQ SLEGKA MODIFICIROWANNYM WARIANTOM TEOREMY 10.1 IZ TRETXEJ GLAWY.
dejstwie dlq pylewidnoj materii.
x 4.
137
tEOREMA 4.1. pUSTX M | NEKOTOROE n-MERNOE PROSTRANST-
WO (n 2), OSNA]ENNOE METRIKOJ gij . dLQ WSQKOGO WEKTORNOGO POLQ W \TOM PROSTRANSTWE, IME@]EGO NULEWU@ DIWERGENCI@ OTNOSITELXNO METRI^ESKOJ SWQZNOSTI n X
(4.3)
p=1
rpp = 0;
SU]ESTWUET KOSOSIMMETRI^NOE TENZORNOE POLE ' WALENTNOSTI (2; 0), TAKOE, ^TO WYPOLNQ@TSQ SOOTNO[ENIQ n X p = rq 'pq : q=1
(4.4)
pRI ZAPISI SOOTNO[ENIQ (4.3) WOSPOLXZUEMSQ IZWESTNOJ FORMULOJ (11.3) IZ TRETXEJ GLAWY DLQ KOMPONENT METRI^ESKOJ SWQZNOSTI. |TO DAET n @ p n n X n @ p X n X X X p s p ?ps = @rp + rp = @rp + p=1 p=1 s=1 p=1 p=1 dOK-WO.
n n X n X X 1 pk + @gks ? @gps s: +2 gpk @g s @r @rp @rk p=1 s=1 k=1
zAMETIM, ^TO POSLEDNIE DWE PROIZWODNYE METRI^ESKOGO TENZORA W SKOBKAH SOKRA]A@TSQ PRI SUMMIROWANII PO p I k. |TO WYTEKAET IZ SIMMETRI^NOSTI gpk. oTS@DA n n X n X n @ p 1 X n X X ks p = p g sk @g rp = @rp + 2 @rp p=1 s=1 k=1 p=1 p=1 (4.5)
=
n n @ p 1 X X ?1 @g p: + tr g @rp 2 @rp p=1
p=1
138
glawa IV. lagranvew formalizm
s CELX@ DALXNEJ[EGO PREOBRAZOWANIQ POLU^ENNOGO WYRAVENIQ (4.5) WOSPOLXZUEMSQ IZWESTNOJ FORMULOJ DLQ LOGARIFMI^ESKOJ PROIZWODNOJ DETERMINANTA: @g @ ln j det g j ?1 (4.6) @rp = tr g @rp : pODSTANOWKA (4.6) W (4.5) PRIWODIT (4.5) K SLEDU@]EMU WIDU: (4.7)
n X p=1
rpp =
p
n @ ( p j det g j) 1 X pj det : @rp gj p=1
pRODELAEM ANALOGI^NYE WY^ISLENIQ DLQ PRAWOJ ^ASTI (4.4), U^ITYWAQ KOSOSIMMETRI^NOSTX POLQ 'pq I SIMMETRI^NOSTX KOMPONENT SWQZNOSTI ?kpq . oNI PRIWODQT K SOOTNO[ENI@ (4.8)
n X q=1
rq 'pq =
p
p
n @ ('pq j det g j) 1 X pj det : @rq gj q=1
p
oBOZNA^IM j p = j det gj p I pq = j det gj 'pq . tEPERX, ISHODQ IZ cOOTNO[ENIJ (4.7) I (4.8), LEGKO SOOBRAZITX, ^TO DLQ DOKAZATELXSTWA TEOREMY 4.1 OSTAETSQ LI[X PRIMENITX TEOREMU 10.1 IZ TRETXEJ GLAWY. zAME^ANIE. tEOREMA 10.2, WOOB]E GOWORQ, NE IMEET PRQMOGO OBOB]ENIQ NA SLU^AJ PROSTRANSTW, OSNA]ENNYH METRIKOJ. oNA OBOB]AETSQ TOLXKO DLQ METRIK gij , IME@]IH NULEWOJ TENZOR KRIWIZNY Rskpq = 0. oPREDELIM DEFORMACI@ POLQ PODOBNO TOMU TOMU KAK BYLA OPREDELENA DEFORMACIQ WEKTORNOGO POTENCIALA A W x 1: (4.9)
^p(r) = p(r) + " p (r) + : : : :
pOLQ ^ I UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ (3.4). sLEDOWATELXNO,
x 4.
dejstwie dlq pylewidnoj materii.
139
\TOMU URAWNENI@ UDOWLETWORQET I POLE W (4.9). pRIMENIM DOKAZANNU@ TEOREMU 4.1 K WEKTORNOMU POL@ : p =
(4.10)
3 X
k=0
rk 'pk :
pOLE 'pk W (4.10) MOVET BYTX PROIZWOLXNYM. oDNAKO, MY WYBEREM EGO W SPECIALXNOJ FORME: 'pk = p hk ? hp k :
(4.11)
tAKOJ WYBOR MOVET BYTX MOTIWIROWAN SLEDU@]EJ TEOREMOJ. tEOREMA 4.2. dLQ L@BYH DWUH WEKTORNYH POLEJ I =6 0, UDOWLETWORQ@]IH URAWNENI@ (3.4), SU]ESTWUET WEKTORNOE POLE h, TAKOE, ^TO WYPOLNENO SOOTNO[ENIE
X p = rk (p hk ? hp k): k=0 3
wYBOR (4.11) PRIWODIT K SLEDU@]EMU WYRAVENI@ DLQ POLQ ^: (4.12)
^p(r) = p(r) + "
3 X
k=0
rk (p hk ? hp k) + : : : :
wELI^INY hi(r) W (4.12) WYBIRA@TSQ GLADKIMI FUNKCIQMI, OTLI^NYMI OT NULQ LI[X W PREDELAH NEKOTOROJ OGRANI^ENNOJ OBLASTI W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO. pRI PODSTANOWKE (4.12) W FUNKCIONALpDEJSTWIQ (4.1) WOSPOLXZUEMSQ SLEDU@]IM RAZLOVENIEM DLQ g(^; ^) :
p
p
3 X 3 X
g(^; ^) = g(; ) + p " p rk 'pk + : : : : g(; ) p=0 q=0
glawa IV. lagranvew formalizm
140
aNALOGI^NOE RAZLOVENIE IMEETSQ I DLQ PODINTEGRALXNOGO WYRAVENIQ WO WTOROM INTEGRALE (4.1): g(^; A) = g(; A) + "
3 3 X X
p=0 k=0
Ap rk 'pk + : : : :
pRI PODSTANOWKE \TIH RAZLOVENIJ W (4.1) U^TEM SOOTNO[ENIQ
(4.2). dLQ SDEF \TO DAET
SDEF = S ? " m
ZX 3 3 X p=0 k=0
(4.13)
3 3 X "q Z X
? c2
p=0 k=0
p
up rk 'pk ? det g d4r?
p
Ap rk 'pk ? det g d4 r + : : : :
s CELX@ DALXNEJ[EGO PREOBRAZOWANIQ (4.13) WOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ oSTROGRADSKOGO-gAUSSA. w PROSTRANSTWE, OSNA]ENNOM METRIKOJ, \TA FORMULA ZAPISYWAETSQ TAK:
ZX 3
(4.14)
k=0
p rk zk ? det g d4r =
Z @
g(z; n) dV:
zDESX z0, z1 , z2, z3 | KOMPONENTY GLADKOGO WEKTORNOGO POLQ z, A n | EDINI^NYJ WEKTOR NORMALI K GRANICE OBLASTI . dLQ PREOBRAZOWANIQ PERWOGO INTEGRALA W FORMULE (4.13) POLOVIM P 3 pk k z = p=0 up ' . tOGDA W LEWOJ ^ASTI (4.14) IMEEM 3 X
k=0
rk z k =
3 X 3 X
p=0 k=0
up rk 'pk +
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
3 X 3 X
p=0 k=0
rk up 'pk :
x 4.
dejstwie dlq pylewidnoj materii.
141
pRAWAQ ^ASTX (4.14) ZANULQETSQ W SILU ZANULENIQ 'pk NA GRANICE OBRASTI . pO\TOMU
ZX 3 3 X p=0 k=0
?
p
up rk 'pk ? det g d4 r =
ZX 3 3 X
p=0 k=0
p
rk up 'pk ? det g d4 r:
aNALOGI^NYM OBRAZOM PREOBRAZUETSQ WTOROJ INTEGRAL W (4.13). w CELOM VE DLQ SDEF POLU^AEM SDEF = S + " m
ZX 3 3 X
(4.15)
p=0 k=0
3 3 X "q Z X
+ c2
p=0 k=0
p
rk up 'pk ? det g d4r+
p
rk Ap 'pk ? det g d4r + : : : :
|KSTREMALXNOSTX DEJSTWIQ S OZNA^AET, ^TO LINEJNAQ PO " ^ASTX W FORMULE (4.15) DOLVNA ZANULITXSQ:
ZX 3 3 X
p=0 k=0
p mrk up + cq2 rk Ap 'pk ? det g d4r = 0:
pODSTAWIM WYRAVENIE (4.11) DLQ 'pk W POLU^ENNOE RAWENSTWO. tOGDA ONO PREOBRAZUETSQ K WIDU
ZX 3 3 X
=
p=0 k=0
p kp q mrk up + c2 rk Ap h ? det g d4 r =
ZX 3 X 3
p=0 k=0
p mrk up + cq2 rk Ap k hp ? det g d4 r:
142
glawa IV. lagranvew formalizm
pOMENQEM MESTAMI INDEKSY k I p WO WTOROM INTEGRALE. pOSLE \TOGO INTEGRALY MOVNO BUDET OB_EDINITX W ODIN INTEGRAL: ZX 3 X 3 mrk up ? mrp uk + cq2 rk Ap ? (4.16)
k=0 p=0 p ? cq2 rpAk phk ? det g d4r = 0: tEPERX U^TEM, ^TO hk = hk (r) W POLU^ENNOM RAWENSTWE | \TO PROIZWOLXNYE GLADKIE FUNKCII, RAWNYE NUL@ NA GRANICE I WS@DU WNE OBLASTI . pO\TOMU IZ RAWENSTWA NUL@ INTEGRALA (4.16) SLEDUET ZANULENIE KAVDOGO SLAGAEMOGO W SUMME PO k W PODINTEGRALXNOM WYRAVENII: 3 X (4.17) m rk up ? m rpuk + cq2 Fkp p = 0: p=0 zDESX MY U^LI SOOTNO[ENIE (11.5) IZ TRETXEJ GLAWY, SWQZYWA@]EE TENZOR \LEKTROMAGNITNOGO POLQ I ^ETYREHMERNYJ WEKTORNYJ POTENCIAL. dLQ TOGO, ^TOBY PRIWESTI POLU^ENNOE URAWNENIE (4.17) K OKON^ATELXNOMU WIDU, WOSPOLXZUEMSQ SOOTNO[ENIQMI (4.2), KOTORYE SWQZYWA@T WEKTORNOE POLE S EDINI^NYM WEKTORNYM POLEM u: p = c up. iZ EDINI^NOSTI u IMEEM (4.18)
3 X
p=0
uprk up = 0:
u^ET (4.18) PRIWODIT URAWNENIE (4.17) K WIDU 3 3 X X q p u rp uk = mc2 Fkp up: (4.19) p=0 p=0 nETRUDNO WIDETX, ^TO (4.19) W TO^NOSTI SOWPADAET S POLU^ENNYM RANEE URAWNENIEM (3.11). |TOT REZULXTAT OPRAWDYWAET
x 5.
urawneniq |lektromagnitnogo polq.
143
ISPOLXZOWANIE DEJSTWIQ (4.1) DLQ OPISANIQ ZARQVENNOJ PYLEWIDNOJ MATERII W \LEKTROMAGNITNOM POLE. uPRAVNENIE 4.1. dOKAVITE, ^TO DLQ L@BOGO KOSOSIMMETRI^NOGO TENZORNOGO POLQ 'pq, WEKTORNOE POLE , OPREDELENNOE FORMULOJ (4.4), IMEET NULEWU@ DIWERGENCI@, T. E. UDOWLETWORQET URAWNENI@ (3.4). uPRAVNENIE 4.2. dOKAVITE, TEOREMU 4.2. dLQ \TOGO ISPOLXZUJTE SLEDU@]IJ FAKT, KOTORYJ IZWESTEN KAK TEOREMA O SPRQMLENII WEKTORNOGO POLQ. tEOREMA 4.3. dLQ WSQKOGO WEKTORNOGO POLQ =6 0 SU]ESTWUET TAKAQ KRIWOLINEJNAQ SISTEMA KOORDINAT r0, r1 , r2, r3, W KOTOROJ 0 = 1, 1 = 0, 2 = 0, 3 = 0. uPRAVNENIE 4.3. dOKAVITE TEOREMU 4.3 O SPRQMLENII WEKTORNOGO POLQ. uPRAVNENIE 4.4. wYWEDITE FORMULU oSTROGRADSKOGO-gAUSSA (4.14) DLQ PROSTRANSTWA S METRIKOJ, ISHODQ IZ SLEDU@]EGO INTEGRALXNOGO SOOTNO[ENIQ W Rn: Z Z @f (r) 1 i?1 i+1 n n @ri d r = f (r) dr : : : dr dr : : : dr :
@
x 5. uRAWNENIQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. w \TOM PARAGRAFE MY PRODOLVIM IZU^ENIE FUNKCIONALA DEJSTWIQ (4.1). |TOT FUNKCIONAL OPISYWAET PYLEWOE OBLAKO IZ ^ASTIC MASSY m I ZARQDA q W \LEKTROMAGNITNOM POLE. w PREDYDU]EM PARAGRAFE MY UBEDILISX W TOM, ^TO PRIMENENIE PRINCIPA \KSTREMALXNOGO DEJSTWIQ DLQ S OTNOSITELXNO POLQ DAET URAWNENIQ DINAMIKI DLQ POLQ SKOROSTEJ ^ASTIC W PYLEWOM OBLAKE. tEPERX PRIMENIM PRINCIP \KSTREMALXNOGO DEJSTWIQ OTNOSITELXNO WEKTORNOGO POTENCIALA A, ZADA@]EGO
glawa IV. lagranvew formalizm
144
\LEKTROMAGNITNOE POLE. dEFORMACI@ WEKTORNOGO POTENCIALA OPREDELIM W SOOTWETSTWII S (1.9), (1.10), (1.11) I (1.12): A^i(r) = Ai(r) + "hi (r) + : : : :
(5.1)
dLQ KOMPONENT TENZORA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ WYWODIM (5.2) F^ij = Fij + " (rihj ? rj hi ) + : : : : pRI PODSTANOWKE (5.2) W FUNKCIONAL DEJSTWIQ (4.1) PRODELAEM SLEDU@]IE WY^ISLENIQ: 3 3 3 X 3 X 3 X 3 X X X F^pk F^pk = F^pk F^ij g pi gkj =
p=0 k=0
=
3 3 X X
p=0 k=0
i=0 j =0 p=0 k=0
Fpk F pk + 2 "
3 3 X X
p=0 k=0
F pk (rphk ? rk hp) + : : : :
s U^ETOM KOSOSIMMETRI^NOSTI F pk POLU^ENNOE RAZLOVENIE MOVNO E]E BOLEE UPROSTITX I PRIWESTI K WIDU 3 X 3 3 X 3 3 X 3 X X X F^pk F^pk = Fpk F pk + 4 " F pk rp hk + : : : :
p=0 k=0
p=0 k=0
p=0 k=0
aNALOGI^NYE WY^ISLENIQ PRI PODSTANOWKE (5.1) W (4.1) DA@T ^ ) = g ( ; A) + " X k hk + : : : : g(; A 3
k=0
w ITOGE DLQ DEFORMACII DEJSTWIQ (4.1) POLU^IM RAZLOVENIE
ZX 3 p "q SDEF = S ? c2 k hk ? det g d4r? k=0
x 5.
urawneniq |lektromagnitnogo polq.
ZX 3 3 X p " ? 4 c F pk rphk ? det g d4 r + : : : : p=0 k=0
145
pREOBRAZUEM WTOROJ INTEGRAL W POLU^ENNOM RAZLOVENII DLQ SDEF PRI POMO]I FORMULY oSTROGRADSKOGO-gAUSSA (4.14). dLQ P 3 p \TOGO POLOVIM z = k=0 F pk hk I U^TEM ZANULENIE hk NA GRANICE OBLASTI . tOGDA DLQ WELI^INY SDEF IMEEM SDEF = S + "
ZX 3
k=0
!
3 pk k X p ? qc2 + r4pFc hk ? det g d4r + : : : : p=0
iZ USLOWIQ \KSTREMALXNOSTI DEJSTWIQ POLU^AEM ZANULENIE LINEJNOJ PO " ^ASTI W RAZLOVENII DLQ SDEF. u^ET PROIZWOLXNOSTI FUNKCIJ hk (r) W OBLASTI I PROIZWOLXNOSTI SAMOJ OBLASTI PRIWODIT K SLEDU@]IM URAWNENIQM DLQ TENZORA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ: (5.3)
3 X
p=0
rpF pk = 4c q k :
wSPOMNIM, ^TO POLE (r) SWQZANO S PLOTNOSTX@ TOKA SOOTNO[ENIEM (3.2). tOGDA URAWNENIQ (5.3) MOVNO PEREPISATX TAK: (5.4)
3 X
p=0
rpF kp = ? 4c j k:
lEGKO WIDETX, ^TO \TO W TO^NOSTI URAWNENIQ mAKSWELLA, ZAPISANNYE W ^ETYREHMERNOJ FORME (SM. (11.4) W TRETXEJ GLAWE). e]E ODNA PARA URAWNENIJ mAKSWELLA, IME@]AQ WID 3 X 3 X 3 X
q=0 k=0 s=0
! pqks rq Fks = 0;
146
glawa IV. lagranvew formalizm
QWLQETSQ SLEDSTWIEM SOOTNO[ENIQ Fpq = rpAq ? rq Ap, SWQZYWA@]EGO TENZOR \LEKTROMAGNITNOGO POLQ S WEKTORNYM POTENCIALOM (SM. (11.5) W TRETXEJ GLAWE). uPRAVNENIE 5.1. kAK IZMENQTSQ URAWNENIQ (5.3), ESLI RASSMOTRETX PYLEWOE OBLAKO, SOSTOQ]EE IZ ^ASTIC NESKOLXKIH SORTOW S MASSAMI m(1); : : : ; m(N ) I ZARQDAMI q(1); : : : ; q(N )? iZMENQTSQ LI PRI \TOM URAWNENIQ (5.4)?
glawa V
ob}aq teoriq otnositelxnosti. x 1. pEREHOD K NEPLOSKIM METRIKAM I
ISKRIWLENIE PROSTRANSTWA mINKOWSKOGO.
pEREHOD OT KLASSI^ESKOJ \LEKTRODINAMIKI K SPECIALXNOJ TEORII OTNOSITELXNOSTI PRIWEL K POSLEDOWATELXNOJ GEOMETRIZACII MNOGIH BAZOWYH FIZI^ESKIH PONQTIJ. oBOZNA^IW r0 = ct I OB_EDINIW r0 S TREMQ DRUGIMI KOMPONENTAMI RADIUS-WEKTORA W INERCIALXNOJ SISTEME OTS^ETA, MY POLU^ILI ^ETYREHMERNOE PROSTRANSTWO SOBYTIJ. oNO OKAZALOSX OSNA]ENNYM METRIKOJ SIGNATURY (1; 3) | METRIKOJ mINKOWSKOGO. pRI \TOM INERCIALXNYE SISTEMY OTS^ETA STALI INTERPRETIROWATXSQ KAK DEKARTOWY SISTEMY KOORDINAT S ORTONORMIROWANNYM BAZISOM W METRIKE mINKOWSKOGO. wEKTORNAQ ZAPISX URAWNENIJ DINAMIKI MATERIALXNYH TO^EK I TENZORNAQ ZAPISX URAWNENIJ mAKSWELLA POZWOLILA WKL@^ITX W RASSMOTRENIE KOSOUGOLXNYE I DAVE KRIWOLINEJNYE SISTEMY KOORDINAT W PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO. pRI \TOM W ZAPISI WSEH URAWNENIJ POQWILISX KOMPONENTY METRI^ESKOGO TENZORA gij , KOMPONENTY METRI^ESKOJ SWQZNOSTI ?kij ILI KOWARIANTNYE PROIZWODNYE OTNOSITELXNO \TOJ METRI^ESKOJ SWQZNOSTI ri. sLEDU@]IJ [AG SOSTOIT W TOM, ^TOBY, SOHRANIW WID WSEH URAWNENIJ, PEREJTI OT PLOSKOJ METRIKI mINKOWSKOGO K METRIKAM SIGNATURY (1; 3) S NENULEWYM TENZOROM KRIWIZNY: 3 3 X @ ?kjq @ ?kiq X k s k (1.1) Rqij = @ri ? @rj + ?is ?jq ? ?kjs ?siq : s=0 s=0
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
148
glawa V. teoriq otnositelxnosti
|TOT [AG BYL SDELAN |JN[TEJNOM. sOZDANNAQ IM TEORIQ POLU^ILA NAZWANIE \JN[TEJNOWSKOJ TEORII GRAWITACII ILI OB]EJ TEORII OTNOSITELXNOSTI. oPREDELENIE 1.1. ~ETYREHMERNOE AFFINNOE PROSTRANSTWO, OSNA]ENNOE METRIKOJ SIGNATURY (1; 3) S NENULEWOJ KRIWIZNOJ (1.1), A TAKVE ORIENTACIEJ I POLQRIZACIEJ, NAZYWAETSQ ISKRIWLENNYM PROSTRANSTWOM mINKOWSKOGO. w NEPLOSKOM PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO MY TERQEM ^ASTX STRUKTUR, PRISU]IH PLOSKOMU PROSTRANSTWU. w TAKOM PROSTRANSTWE NET KOORDINAT, W KOTORYH METRIKA mINKOWSKOGO ZADAWALASX BY MATRICEJ (2.7) IZ TRETXEJ GLAWY, T. E. ZDESX NET INERCIALXNYH SISTEM OTS^ETA. |TO SU]ESTWENNAQ POTERQ, NO ONA NE KATASTROFI^NA, IBO URAWNENIQ DINAMIKI MATERIALXNYH TO^EK I URAWNENIQ mAKSWELLA, PEREPISANNYE W WEKTORNOM I W TENZORNOM WIDE, NE TREBU@T PRIWQZKI K INERCIALXNYM SISTEMAM OTS^ETA. gEODEZI^ESKIE LINII W ISKRIWLENNOM PROSTRANSTWE mINKOWSKOGO PERESTA@T SOWPADATX S AFFINNYMI PRQMYMI. pO\TOMU AFFINNAQ STRUKTURA W M STANOWITSQ IZLI[NEJ. oKAZYWAETSQ, MOVNO OTKAZATXSQ I OT TOPOLOGII PLOSKOGO PROSTRANSTWA. uVE NA PRIMERE DWUMERNYH POWERHNOSTEJ MY ZNAEM, ^TO KROME DEFORMIROWANNOJ (ISKRIWLENNOJ) PLOSKOSTI, SU]ESTWU@T POWERHNOSTI S BOLEE SLOVNOJ TOPOLOGIEJ | \TO SFERA, TOR, I RAZLI^NYE SFERY S RU^KAMI (SM. [5]). w MNOGOMERNOM SLU^AE \TI OB_EKTY OBOB]A@TSQ W PONQTII GLADKOGO MNOGOOBRAZIQ (PODROBNOSTI SM. W [2], [5], I [6]). gLADKOE MNOGOOBRAZIE M RAZMERNOSTI n | \TO TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, KAVDAQ TO^KA KOTOROGO IMEET OKRESTNOSTX (KARTU), USTROENNU@ TAK VE, KAK I OKRESTNOSTX TO^KI W Rn. tO ESTX M POKRYWAETSQ SEMEJSTWOM OKRESTNOSTEJ U , KAVDAQ IZ KOTORYH WZAIMNO-ODNOZNA^NO OTOBRAVAETSQ W NEKOTORU@ OKRESTNOSTX V IZ Rn. tAKIE KARTIRU@]IE OTOBRAVENIQ ZADA@T KRIWOLINEJNYE KOORDINATY W OKRESTNOSTQH U , A W
x 2.
dejstwie dlq grawitacionnogo polq.
149
TEH MESTAH, GDE KARTY PEREKRYWA@TSQ, WOZNIKA@T FUNKCII PEREHODA IZ ODNIH KRIWOLINEJNYH KOORDINAT W DRUGIE: (1.2)
r~i = r~i(r1; : : : ; rn ); GDE i = 1; : : : ; n; ri = ri(~r1; : : : ; r~n ); GDE i = 1; : : : ; n:
sOGLASNO OPREDELENI@ GLADKOGO MNOGOOBRAZIQ, FUNKCII PEREHODA (1.2) QWLQ@TSQ GLADKIMI FUNKCIQMI (KLASSA C 1). pO NIM STROQTSQ MATRICY PEREHODA S I T : (1.3)
@ r~i ; Tji = @r j
i Sji = @@rr~j :
nALI^IE MATRIC (1.3) POZWOLQET POSTROITX POLNOCENNU@ TEORI@ TENZOROW NA MNOGOOBRAZIQH, KOTORAQ PO^TI DOSLOWNO POWTORQET TEORI@ TENZOROW W KRIWOLINEJNYH KOORDINATAH W Rn (SM. [3]). eDINSTWENNOE OTLI^IE SOSTOIT W NEWOZMOVNOSTI WWEDENIQ DEKARTOWYH KOORDINAT. |TO PROISTEKAET IZ TOGO, ^TO W OB]EM SLU^AE NELXZQ POSTROITX WZAIMNO-ODNOZNA^NOGO GLADKOGO OTOBRAVENIQ IZ MNOGOOBRAZIQ M W Rn. oPREDELENIE 1.1. ~ETYREHMERNOE GLADKOE MNOGOOBRAZIE, OSNA]ENNOE METRIKOJ SIGNATURY (1; 3), A TAKVE ORIENTACIEJ I POLQRIZACIEJ, NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM PROSTRANSTWOM mINKOWSKOGO ILI MNOGOOBRAZIEM mINKOWSKOGO.
x 2. dEJSTWIE DLQ GRAWITACIONNOGO POLQ. uRAWNENIE |JN[TEJNA. w KA^ESTWE PROSTRANSTWA SOBYTIJ W OB]EJ TEORII OTNOSITELXNOSTI WYBIRAETSQ NEKOTOROE MNOGOOBRAZIE mINKOWSKOGO M . |TO OBSTOQTELXSTWO OPREDELQET DOPOLNITELXNYJ PROIZWOL, KOTORYJ SOSTOIT W WYBORE MNOGOOBRAZIQ M I W WYBORE METRIKI W NEM. nALI^IE NENULEWOJ KRIWIZNY, OPREDELQEMOJ TENZOROM (1.1), INTERPRETIRUETSQ KAK GRAWITACIONNOE POLE
150
glawa V. teoriq otnositelxnosti
ILI POLE TQGOTENIQ. gRAWITACIONNOE POLE WOZDEJSTWUET NA MATERIALXNYE TELA I \LEKTROMAGNITNOE POLE, ZAKL@^ENNOE W PROSTRANSTWE M . tAKOE WOZDEJSTWIE PROQWLQET SEBQ ^EREZ KOWARIANTNYE PROIZWODNYE, FIGURIRU@]IE W URAWNENIQH DINAMIKI. wELI^INA SAMOGO GRAWITACIONNOGO POLQ TAKVE DOLVNA OPREDELQTXSQ PRISUTSTWIEM W PROSTRANSTWE KAKOJ-LIBO MATERII W FORME WE]ESTWA LIBO \LEKTROMAGNITNOGO IZLU^ENIQ. tAKIM OBRAZOM, WOZNIKAET OBRATNAQ SWQZX MEVDU GEOMETRIEJ PROSTRANSTWA I EGO SODERVIMYM. dLQ OPISANIQ OBRATNOJ SWQZI MEVDU GRAWITACIONNYM POLEM I DRUGIMI FIZI^ESKIMI POLQMI I MATERIEJ WOSPOLXZUEMSQ LAGRANVEWYM FORMALIZMOM W SO^ETANII S PRINCIPOM \KSTREMALXNOGO DEJSTWIQ. nA^NEM S FUNKCIONALA DEJSTWIQ (4.1) IZ ^ETWERTOJ GLAWY. oN PREDSTAWLQET SOBOJ SUMMU TREH INTEGRALXNYH FUNKCIONALOW: (2.1)
S = SWE] + SWZ + S\L :
pERWYJ FUNKCIONAL SWE] OTWE^AET ZA WE]ESTWO W FORME PYLEWOGO OBLAKA, WTOROJ FUNKCIONAL SWZ OPISYWAET WZAIMODEJSTWIE WE]ESTWA S \LEKTROMAGNITNYM POLEM, A TRETIJ | OPISYWAET SAMO \LEKTROMAGNITNOE POLE. dLQ OPISANIQ GRAWITACIONNOGO POLQ W SUMMU (2.1) DOBAWLQ@T E]E ODNO SLAGAEMOE: (2.2)
S = SGR + SWE] + SWZ + S\L:
|TO DOPOLNITELXNOE SLAGAEMOE WYBIRA@T W SLEDU@]EM WIDE: (2.3)
3 Z p c SGR = ? 16 R ? det g d4 r:
V2
V1
zDESX | GRAWITACIONNAQ POSTOQNNAQ, FIGURIRU@]AQ W ZAKONE WSEMIRNOGO TQGOTENIQ nX@TONA (SM. (1.11) W PERWOJ GLAWE).
x 2.
dejstwie dlq grawitacionnogo polq.
151
wELI^INA R W (2.3) | \TO SKALQRNAQ KRIWIZNA, OPREDELQEMAQ TENZOROM KRIWIZNY PO SLEDU@]EJ FORMULE: (2.4)
R=
3 3 X 3 X X
q=0 k=0 j =0
g qj Rkqkj :
pROMEVUTO^NYM OB_EKTOM, SWQZYWA@]IM TENZOR (1.1) SO SKALQROM (2.4), QWLQETSQ TENZOR rI^^I (2.5)
Rqj =
3 X
k=0
Rkqkj :
tENZOR rI^^I Rqj SIMMETRI^EN (SM. [3]). eGO POLNAQ SWERTKA S METRI^ESKIM TENZOROM gqj SOWPADAET SO SKALQRNOJ KRIWIZNOJ R, ^TO LEGKO UWIDETX IZ SRAWNENIQ (2.5) I (2.4). oTMETIM, ^TO INOGDA W DEJSTWIE DLQ GRAWITACIONNOGO POLQ (2.3) DOBAWLQ@T E]E ODNU KONSTANTU : 3 Z p SGR = ? 16c (R + 2 ) ? det g d4r:
V2
V1
eE NAZYWA@T KOSMOLOGI^ESKOJ KONSTANTOJ. oDNAKO, SOGLASNO SOWREMENNYM \KSPERIMENTALXNYM DANNYM, ZNA^ENIE EE IS^EZA@]E MALO LIBO W TO^NOSTI RAWNO NUL@. pO\TOMU W DALXNEJ[EM MY BUDEM POLXZOWATXSQ DEJSTWIEM SGR W FORME (2.3). oTMETIM TAKVE, ^TO METRI^ESKIJ TENZOR, OPREDELQ@]IJ GRAWITACIONNOE POLE, WHODIT WO WSE SLAGAEMYE W SUMME (2.2). pO\TOMU NET NEOBHODIMOSTI DOBAWLQTX SLAGAEMYE, OPISYWA@]IE WZAIMODEJSTWIE GRAWITACIONNOGO POLQ S WE]ESTWOM I S \LEKTROMAGNITNYM POLEM. tEM BOLEE, ^TO TAKAQ DOBAWKA MOGLA BY IZMENITX WID URAWNENIJ DINAMIKI DLQ WE]ESTWA I WID URAWNENIJ mAKSWELLA DLQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ.
152
glawa V. teoriq otnositelxnosti
pEREJDEM K WYWODU URAWNENIJ DINAMIKI DLQ GRAWITACIONNOGO POLQ. dLQ \TOGO RASSMOTRIM DEFORMACI@ KOMPONENT METRI^ESKOGO TENZORA, ZADAW EE SLEDU@]IM SOOTNO[ENIEM: (2.6)
g^ij (r) = g ij (r) + " hij (r) + : : : :
fUNKCII hij (r) W (2.6) S^ITA@TSQ GLADKIMI FUNKCIQMI, OTLI^NYMI OT NULQ TOLXKO W PREDELAH NEKOTOROJ OGRANI^ENNOJ OBLASTI M . dEFORMACIQ MATRICY gij PRIWODIT K DEFORMACII OBRATNOJ MATRICY gij . dLQ POSLEDNEJ POLU^AEM g^ij = gij ? " hij + : : : = (2.7)
= gij ? "
3 3 X X
p=0 q=0
gip hpq gqj + : : : :
pRODIFFERENCIRUEM SOOTNO[ENIE (2.7) I WYRAZIM OBY^NYE PROIZWODNYE ^EREZ KOWARIANTNYE: @ g^ij = @gij ?" @hij + : : : = @gij ? " r h + k ij @rk @rk @rk @rk (2.8)
+"
3 X
p=0
?pki hpj + "
3 X
p=0
?pkj hip + : : : :
zDESX W (2.8) MY ISPOLXZOWALI KOMPONENTY SWQZNOSTI, OTWE^A@]IE NEDEFORMIROWANNOJ METRIKE gij . tEPERX IZ (2.8) WY^ISLIM SLEDU@]U@ KOMBINACI@ PROIZWODNYH: @ g^kj + @ g^ik ? @ g^ij = @gkj + @gik ? @gij ? @ri @rj @rk @ri @rj @rk (2.9)
? " rihkj + rj hik ? rk hij ? 2
3 X
p=0
?pij hpk
!
+ ::: :
x 2.
dejstwie dlq grawitacionnogo polq.
153
iSPOLXZUEM SOOTNO[ENIQ (2.6) I (2.8) DLQ WY^ISLENIQ DEFORMACII KOMPONENT SWQZNOSTI . s \TOJ CELX@ WOSPOLXZUEMSQ IZWESTNOJ FORMULOJ DLQ ?^pij (SM. (11.3) W TRETXEJ GLAWE): 3 ^?pij = ?pij + " X g pk (ri hkj + rj hik ? rk hij ) + : : : : 2
k=0
zAPI[EM POLU^ENNOE RAZLOVENIE ?^pij W SOKRA]ENNOJ FORME ?^ pij = ?pij + " Yijp + : : : ;
(2.10)
SDELAW SLEDU@]EE ESTESTWENNOE OBOZNA^ENIE: (2.11)
Yijp
3 X 1 = 2 g pk (ri hkj + rj hik ? rk hij ) : k=0
tEPERX PODSTAWIM RAZLOVENIE (2.10) W FORMULU (1.1) DLQ TENZORA KRIWIZNY. |TO DAET: (2.12)
? R^kqij = Rkqij + " riYjqk ? rj Yiqk + : : : :
wYPOLNIW W (2.12) SWERTKU PO PARE INDEKSOW, POLU^IM ANALOGI^NOE RAZLOVENIE DLQ DEFORMACII TENZORA rI^^I: (2.13)
X? k R^qj = Rqj + " rk Yjq ? rj Ykqk + : : : : 3
k=0
tEPERX WYPOLNIM POLNU@ SWERTKU (2.13) S (2.6). |TO DAET RAZLOVENIE DLQ DEFORMACII SKALQRNOJ KRIWIZNY: R^ = R + "
3 X 3 X
!
X Rqj hqj + gqj (rk Yjqk ? rj Ykqk ) j =0 q=0 k=0 3
+ ::: :
glawa V. teoriq otnositelxnosti
154
rASSMOTRIM WEKTORNOE POLE SO SLEDU@]IMI KOMPONENTAMI: Zk =
3 X 3 X
j =0 q=0
Yjqk g qj ? Yjqj g qk :
tOGDA RAZLOVENIE DLQ DEFORMACII SKALQRNOJ KRIWIZNY R^ MOVNO BUDET PEREPISATX TAK:
X X qj X k R^ = R + " Rqj h + " rk Z + : : : : 3
(2.14)
3
3
j =0 q=0
k=0
pRI PODSTANOWKE (2.14) W INTEGRAL DEJSTWIQ (2.3) U^TEM, ^TO WTORAQ SUMMA W (2.14) ESTX W TO^NOSTI KOWARIANTNAQ DIWERGENCIQ WEKTORNOGO POLQ Z, KOMPONENTY KOTOROGO QWLQ@TSQ GLADKIMI FUNKCIQMI, OTLI^NYMI OT NULQ TOLXKO WNUTRI OBLASTI
. pO\TOMU INTEGRAL OT TAKOJ SUMMY RAWEN NUL@:
ZX 3
k=0
p
Z
rk Z k ? det g d4r = g(Z; n) dV = 0; @
^TO, KAK WIDIM, WYTEKAET IZ FORMULY oSTROGRADSKOGO-gAUSSA (SM. FORMULU (4.14) W ^ETWERTOJ GLAWE). oTS@DA DLQ DEFORMACII DEJSTWIQ SGR POLU^AEM
p 3 X 3 3 Z X R " c Rqj ? 2 gqj hqj ? det g d4 r+: : : : SDEF = SGR ? 16 j =0 q=0
pRI WYWODEp\TOJ FORMULY MY TAKVE U^LI SLEDU@]EE RAZLOVENIE DLQ ? det g^ , WYTEKA@]EE IZ (2.6):
p
p
? det g^ = ? det g 1 ? "
(2.15)
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
! 3 X 3 X gqj hqj j =0 q=0
2
+::: :
x 3.
zakon sohraneniq impulxsa.
155
dEFORMACII OSTALXNYH TREH SLAGAEMYH W SUMME (2.2) MY POKA W QWNOJ FORME WY^ISLQTX NE BUDEM, OSTAWIW \TO DO x 4 I x 5. oDNAKO, WWEDEM OBOZNA^ENIE (2.16) SMAT = SWE] + SWZ + S\L; NAZWAW \TU SUMMU DEJSTWIEM DLQ WSEH MATERIALXNYH POLEJ. ~ISLO SLAGAEMYH W \TOJ SUMME MOVET BYTX GORAZDO BOLX[E TREH, ESLI MY RASSMOTRIM BOLEE SLOVNYE MODELI DLQ OPISANIQ MATERII. nO W L@BOM SLU^AE DEJSTWIE DLQ GRAWITACIONNOGO POLQ S@DA NE WKL@^AETSQ, IBO W OB]EJ TEORII OTNOSITELXNOSTI ONO IGRAET OSOBU@ ROLX. dEFORMACI@ DEJSTWIQ (2.16) ZAPI[EM W SLEDU@]EM USLOWNOM WIDE: ZX 3 X 3 p (2.17) SDEF = SMAT + 2"c Tqj hqj ? det g d4 r + : : : : q=0 j =0
tOGDA USLOWIE \KSTREMALXNOSTI POLNOGO DEJSTWIQ (2.2) ZAPI[ETSQ W WIDE URAWNENIQ (2.18) Rqj ? R2 gqj = 8c 4 Tqj : uRAWNENIE (2.18) IZWESTNO KAK URAWNENIE |JN[TEJNA. oNO QWLQETSQ OSNOWNYM URAWNENIEM W OB]EJ TEORII OTNOSITELXNOSTI I OPISYWAET DINAMIKU METRI^ESKOGO TENZORA gij . uPRAVNENIE 2.1. wYWEDITE SOOTNO[ENIQ (2.7) I (2.15) IZ RAZLOVENIQ (2.6) DLQ DEFORMACII TENZORA gij . x 3. zAKON SOHRANENIQ
^ETYREHMERNOGO IMPULXSA DLQ POLEJ.
tENZOR T, KOMPONENTY KOTOROGO FIGURIRU@T W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ |JN[TEJNA (2.18), NAZYWAETSQ TENZOROM \NERGIIIMPULXSA DLQ MATERIALXNYH POLEJ. oN OPREDELQETSQ SOOTNO[ENIEM (2.17), I SODERVIT W SEBE WKLADY OT WSEH MATERIALXNYH POLEJ I OT IH WZAIMODEJSTWIJ. w RASSMATRIWAEMOJ
156
glawa V. teoriq otnositelxnosti
NAMI MODELI PYLEWIDNOGO WE]ESTWA W \LEKTROMAGNITNOM POLE TENZOR T IMEET TRI SOSTAWLQ@]IE KOMPONENTY (SM. (2.16)). s TENZOROM \LEKTROMAGNITNOGO POLQ SWQZAN ZAKON SOHRANENIQ ^ETYREHMERNOGO IMPULXSA DLQ MATERIALXNYH POLEJ. dLQ WYWODA \TOGO WOSPOLXZUEMSQ TOVDESTWOM bXQNKI: (3.1) rk Rpsij + riRpsjk + rj Rpski = 0: pODROBNEE OTNOSITELXNO TOVDESTWA (3.1) SM. W [2] I [6]. wYPOLNIM SWERTKU PO INDEKSAM i I p W TOVDESTWE (3.1): (3.2)
rk Rsj +
3 X
p=0
rpRpsjk ? rj Rsk = 0:
zDESX MY WOSPOLXZOWALISX KOSOSIMMETRI^NOSTX@ TENZORA KRIWIZNY PO POSLEDNEJ PARE INDEKSOW (SM. [3]). tEPERX DOMNOVIM POLU^ENNOE RAWENSTWO (3.2) NA gsj I SWERNEM PO INDEKSAM s I j . pOSLE NESLOVNOGO PREOBRAZOWANIQ , ISPOLXZU@]EGO KOSOSIMsp , POLU^AEM METRI^NOSTX Rps = ? R ij ij 3 X
(3.3)
s=0
rsRsk ? 21 rk R = 0:
pROIZWEDEM PODNQTIE INDEKSA j W URAWNENII (2.18), ZATEM PRIMENIM KOWARIANTNU@ PROIZWODNU@ rj I SWERNEM PO j : (3.4)
3 X
j =0
rj Rjq ? 12 rq R = 8c 4
3 X
j =0
rj Tqj :
sRAWNIWAQ (3.3) I (3.4), POLU^AEM SLEDU@]EE URAWNENIE DLQ TENZORA \NERGII-IMPULXSA MATERIALXNYH POLEJ: (3.5)
3 X
j =0
rj Tqj = 0:
x 4.
tenzor |nergii-impulxsa
:::
157
uRAWNENIE (3.5) WYRAVAET ZAKON SOHRANENIQ ^ETYREHMERNOGO IMPULXSA DLQ WSEJ SOWOKUPNOSTI MATERIALXNYH POLEJ. |TO URAWNENIE OBY^NO ZAPISYWA@T S PODNQTYM INDEKSOM q: (3.6)
3 X
j =0
rj T qj = 0:
tENZOR \NERGII IMPULXSA SIMMETRI^EN, PO\TOMU PORQDOK SLEDOWANIQ INDEKSOW q I j W (3.6) NESU]ESTWENEN. x 4. tENZOR \NERGII-IMPULXSA
DLQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ.
tENZOR \NERGII-IMPULXSA DLQ WSEJ SOWOKUPNOSTI MATERIALXNYH POLEJ OPREDELQETSQ SOOTNO[ENIEM (2.17). pO ANALOGII S \TIM OPREDELIM TENZOR \NERGII IMPULXSA OTDELXNO DLQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ SLEDU@]IM SOOTNO[ENIEM: (4.1)
ZX 3 3 X p " SDEF = S\L + 2c Tqj hqj ? det g d4 r + : : : : q=0 j =0
iSHODNYMI POLQMI W DEJSTWII S\L QWLQ@TSQ KOWARIANTNYE KOMPONENTY WEKTORNOGO POTENCIALA Ai(r). kOMPONENTY TENZORA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ OPREDELQ@TSQ PO FORMULE j @Ai (4.2) Fij = riAj ? rj Ai = @A @ri ? @rj (SM. TAKVE FORMULU (11.5) W TRETXEJ GLAWE). oKON^ATELXNOE WYRAVENIE W PRAWOJ ^ASTI (4.2) NE SODERVIT KOMPONENT SWQZNOSTI. pO\TOMU WELI^INY Fij PRI DEFORMACII METRIKI (2.6) NE MENQ@TSQ. pOSLE PODNQTIQ INDEKSOW
X X pi kj F^pk = g^ g^ Fij 3
3
i=0 j =0
glawa V. teoriq otnositelxnosti
158
DLQ KONTRAWARIANTNYH KOMPONENT F pq POLU^AEM RAZLOVENIE (4.3)
X X pi kj pi kj F^pk = F pk + " (h g + g h ) Fij + : : : : 3
3
i=0 j =0
pRI PODSTANOWKE RAZLOVENIQ (4.3) W FUNKCIONAL DEJSTWIQ DLQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ
Z X 3 3 X p SDEF = ? 161 c Fpk F^ pk ? det g^ d4 r V1 p=0 k=0 V2
U^TEM RAZLOVENIE (2.15) DLQ KORNQ IZ DETERMINANTA. |TO DAET
ZX 3 3 3 X 3 X X " 2 Fpq g pi Fij ? SDEF = S\L ? 16 c q=0 j =0 p=0 i=0 ! p qj
3 3 X 1X
?2
p=0 i=0
Fpi F pi gqj h
? det g d4r + : : : :
sRAWNIW POLU^ENNOE RAZLOVENIE c OVIDAEMYM RAZLOVENIEM (4.1) DLQ SDEF , NAHODIM KOMPONENTY Tqj TENZORA \NERGIIIMPULXSA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ (4.4)
3 X 3 X Fpq gpi Fij ? 14 Fpi F pi gqj : Tqj = ? 41
p=0 i=0
pODNQW INDEKSY q I j W (4.4), DLQ KONTRAWARIANTNYH KOMPONENT TENZORA T POLU^AEM SLEDU@]U@ FORMULU: (4.5)
T qj
3 3 X X 1 F pq gpi F ij ? 41 Fpi F pi g qj : = ? 4 p=0 i=0
x 5.
tenzor |nergii-impulxsa
:::
159
fORMULA (4.5) POZWOLQET WY^ISLITX KOWARIANTNU@ DIWERGENCI@ DLQ TENZORA \NERGII-IMPULXSA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ: (4.6)
3 X
X rs T ps = ? 1c F ps js : s=0 s=0 3
fORMULA (4.6) POKAZYWAET, ^TO ZAKON SOHRANENIQ IMPULXSA OTDELXNO DLQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ NE WYPOLNQETSQ. |TO SWQZANO S TEM, ^TO PROISHODIT OBMEN IMPULXSOM MEVDU \LEKTROMAGNITNYM POLEM I WE]ESTWOM. uPRAVNENIE 4.1. uBEDITESX W SPRAWEDLIWOSTI SOOTNO[ENIQ (4.6). dLQ \TOGO WOSPOLXZUJTESX SOOTNO[ENIEM (ri rj ? ri rj )Ak = ?
3 X
s=0
Rskij As
I SWOJSTWAMI TENZORA KRIWIZNY (PODROBNEE SM. W [3]). uPRAVNENIE 4.2. wY^ISLITE KOMPONENTY TENZORA \NERGII-IMPULXSA (4.5) W INERCIALXNOJ SISTEME OTS^ETA DLQ PLOSKOJ METRIKI mINKOWSKOGO (2.7) IZ TRETXEJ GLAWY. sRAWNITE IH S KOMPONENTAMI TENZORA mAKSWELLA (2.15) IZ WTOROJ GLAWY, A TAKVE S PLOTNOSTX@ \NERGII I WEKTOROM PLOTNOSTI POTOKA \NERGII (SM. FORMULY (2.5) WO WTOROJ GLAWE). x 5. tENZOR \NERGII-IMPULXSA
DLQ PYLEWIDNOJ MATERII.
rASSMOTRIM TENZOR \NERGII-IMPULXSA, SWQZANNYJ S OSTAW[IMISQ DWUMQ SLAGAEMYMI SWE] I SWZ W DEJSTWII (2.16). w NIH WHODIT WEKTORNOE POLE , KOMPONENTY KOTOROGO SWQZANY DIFFERENCIALXNYM URAWNENIEM (5.1)
3 X
p=0
rpp = 0;
160
glawa V. teoriq otnositelxnosti
SM. URAWNENIE (3.4) IZ ^ETWERTOJ GLAWY. |TIM KOMPONENTY POLQ OTLI^A@TSQ OT KOMPONENT WEKTORNOGO POTENCIALA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ A. mETRI^ESKIJ TENZOR gij WHODIT W URAWNENIE (5.1) ^EREZ KOMPONENTY METRI^ESKOJ SWQZNOSTI ?kij , PO\TOMU PRI DEFORMACII METRIKI gij ! g^ij WELI^INY p NELXZQ S^ITATX NE ZAWISQ]IMI OT gij . dLQ PREODOLENIQ WOZNIK[EGO PREPQTSTWIQ WOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ (4.7) IZ ^ETWERTOJ GLAWY DLQ KOWARIANTNOJ DIWERGENCII I PEREPI[EM URAWNENIE (5.1) W SLEDU@]EM WIDE:
p 3 X @ (p ? det g^ ) p=0
@rp
= 0:
p
wWEDEM OBOZNA^ENIE ^p = p ? det g . wELI^INY ^p MOVNO S^ITATX NE ZAWISQ]IMI OT gij , IBO DIFFERENCIALXNAQ SWQZX (5.1) DLQ NIH ZAPISYWAETSQ W FORME URAWNENIQ, NE SODERVA]EGO KOMPONENT METRI^ESKOGO TENZORA: (5.2)
3 X @ ^p
p=0 @r
p
= 0:
wYRAZIW p ^EREZ ^p, DLQ FUNKCIONALA DEJSTWIQ SWZ, OPISYWA@]EGO WZAIMODEJSTWIE WE]ESTWA S \LEKTROMAGNITNYM POLEM, POLU^AEM SLEDU@]EE WYRAVENIE: (5.3)
ZV2X 3 q ^p Ap d4 r: SWZ = ? c2 p=0 V1
lEGKO WIDETX, ^TO INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI (5.3) NE ZAWISIT OT WELI^INY METRI^ESKOGO TENZORA. pO\TOMU DEJSTWIE SWZ NE DAET NIKAKOGO WKLADA W SUMMARNYJ TENZOR \NERGII-IMPULXSA.
x 5.
tenzor |nergii-impulxsa
:::
161
aNALOGI^NYM OBRAZOM WYRAZIM p ^EREZ ^p W FUNKCIONALE DEJSTWIQ SWE] DLQ PYLEWIDNOJ MATERII. |TO DAET
u ZV2v 3 X 3 X u t SWE] = ?m gpq ^p ^q d4 r:
(5.4)
V1
p=0 q=0
zAWISIMOSTX \TOGO FUNKCIONALA OT METRI^ESKOGO TENZORA POLNOSTX@ OPREDELQETSQ QWNYM WHOVDENIEM gpq POD ZNAKOM KORNQ W PRAWOJ ^ASTI (5.4). pO\TOMU RAZLOVENIE DLQ DEFORMACIQ SWE] LEGKO WY^ISLQETSQ NA BAZE RAZLOVENIQ (2.7):
!
Z X 3 3 X " pmg(p;q ) hpq p? det g d4r + : : : : SDEF = SWE] + 2 p=0 q=0
sRAWNIM \TO RAZLOVENIE S OVIDAEMYM RAZLOVENIEM DLQ SDEF :
ZX 3 X 3 p " SDEF = SWE] + 2c Tpq hpq ? det g d4r + : : : : p=0 q=0
iZ TAKOGO SRAWNENIQ NAHODIM KOMPONENTY TENZORA \NERGIIIMPULXSA DLQ PYLEWIDNOJ MATERII: mc p q = mc pg(; ) u u : (5.5) Tpq = p p q g(; ) kONTRAWARIANTNYE KOMPONENTY TENZORA \NERGII-IMPULXSA (5.5) POLU^A@TSQ PROSTYM PODNQTIEM INDEKSOW p I q : mc p q = mc pg(; ) up uq : (5.6) T pq = p g(; ) iSPOLXZUQ KOLLINEARNOSTX WEKTOROW u I (SM. FORMULU (3.1)
CopyRight c {ARIPOW r.a., 1997.
162
glawa V. teoriq otnositelxnosti
IZ ^ETWERTOJ GLAWY) I U^ITYWAQ EDINI^NOSTX u, PREOBRAZUEM FORMULU (5.6) K SLEDU@]EMU WIDU: T pk = mc up k :
(5.7)
fORMULA (5.7) UDOBNA PRI WY^ISLENII KOWARIANTNOJ DIWERGENCII TENZORA \NERGII-IMPULXSA DLQ PYLEWIDNOJ MATERII: (5.8)
3 X
s=0
rs T ps =
3 qX ps c s=0 F s :
iSPOLXZUQ FORMULU (3.2) IZ ^ETWERTOJ GLAWY, FORMULU (5.8) MOVNO PREOBRAZOWATX TAK: (5.9)
3 X
s=0
rsT ps = 1c
3 X
s=0
F ps js:
sRAWNIM FORMULU (5.9) S FORMULOJ (4.6) DLQ TENZORA \NERGII-IMPULXSA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. pRAWYE ^ASTI \TIH FORMUL OTLI^A@TSQ TOLXKO ZNAKOM. |TOT FAKT IMEET PROZRA^NYJ SMYSL. oN OZNA^AET, ^TO W RASSMATRIWAEMOJ NAMI MODELI SUMMARNYJ TENZOR \NERGII-IMPULXSA DLQ MATERII
TMAT = TWE] + T\L UDOWLETWORQET URAWNENI@ (3.6) W POLNOM SOOTWETSTWII S ZAKONOM SOHRANENIQ ^ETYREHMERNOGO IMPULXSA. e]E ODIN WAVNYJ WYWOD IZ (4.6) I (5.9) SOSTOIT W TOM, ^TO ZAKON SOHRANENIQ ^ETYREHMERNOGO IMPULXSA DLQ POLNOJ SOWOKUPNOSTI MATERIALXNYH POLEJ WYTEKAET IZ URAWNENIJ DINAMIKI DLQ \TIH POLEJ. pO\TOMU ON IMEET MESTO I W SPECIALXNOJ TEORII OTNOSITELXNOSTI, GDE URAWNENIE |JN[TEJNA (2.18) NE RASSMATRIWAETSQ I GDE ONO DLQ PLOSKOJ METRIKI mINKOWSKOGO W OB]EM SLU^AE NE WYPOLNENO.
x 6.
zakl`~itelxnye zame~aniq.
163
uPRAVNENIE 5.1. wYWEDITE SOOTNO[ENIE (5.8) IZ URAWNE-
NIJ (3.4) I (4.19) IZ ^ETWERTOJ GLAWY.
x 6. zAKL@^ITELXNYE ZAME^ANIQ. pROSTRANSTWOM SOBYTIJ W OB]EJ TEORII OTNOSITELXNOSTI QWLQETSQ NEKOTOROE MNOGOOBRAZIE mINKOWSKOGO M S METRIKOJ SIGNATURY (1; 3). wELI^INA METRIKI OPREDELQETSQ PARAMETRAMI MATERII, ZAPOLNQ@]EJ PROSTRANSTWO, W SOOTWETSTWII S URAWNENIEM |JN[TEJNA (2.18). a WOT TOPOLOGIQ MNOGOOBRAZIQ M MOVET BYTX DOSTATO^NO PROIZWOLXNOJ. oNA MOVET IMETX LOKALXNYE OSOBENNOSTI W MESTAH S O^ENX BOLX[OJ KONCENTRACIEJ MATERII. tAKIE OB_EKTY POLU^ILI NAZWANIE ^ERNYH DYR. kROME TOGO, GLOBALXNAQ TOPOLOGIQ MNOGOOBRAZIQ M TAKVE MOVET BYTX NETRIWIALXNOJ (OTLI^NOJ OT TOPOLOGII R4). w NASTOQ]EE WREMQ OB]EPRINQTYMI QWLQ@TSQ MODELI WSELENNOJ (MNOGOOBRAZIQ M ), WKL@^A@]IE BOLX[OJ WZRYW. sOGLASNO \TIM MODELQM, W DALEKOM PRO[LOM WSELENNAQ IMELA IS^EZA@]E MALYE RAZMERY, A PLOTNOSTX MATERII W NEJ BYLA O^ENX BOLX[OJ. w PROCESSE POSLEDU@]EJ \WOL@CII WSELENNAQ RAS[IRQLASX DO NASTOQ]IH RAZMEROW. bUDET LI \TO RAS[IRENIE PRODOLVATXSQ NEOGRANI^ENO DOLGO ILI VE ONO DOLVNO SMENITXSQ SVATIEM? |TOT WOPROS E]E OKON^ATELXNO NE RE[EN. oTWET NA NEGO ZAWISIT OT OCENOK SUMMARNOGO KOLI^ESTWA MATERII WO WSELENNOJ. oB_EM DANNOJ KNIGI NE POZWOLQET RASSMOTRETX ZDESX \TI UWLEKATELXNYE RAZDELY SOWREMENNOJ ASTROFIZIKI I KOSMOLOGII. oDNAKO, NA NA[ WZGLQD, IZLOVENNYJ WY[E TEORETI^ESKIJ MATERIAL WPOLNE DOSTATO^EN, ^TOBY PRODOLVITX IZU^ENIE \TIH WOPROSOW PO KNIGAM [2], [7] I [8]. hOTELOSX BY TAKVE POREKOMENDOWATX KNIGU NAU^NO-POPULQRNOGO VANRA [9], GDE W UWLEKATELXNOJ I DOSTUPNOJ FORME RISUETSQ SOWREMENNAQ FIZI^ESKAQ KARTINA MIRA.
spisok literatury. 1. wLADIMIROW w. s. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. iZD-WO nAUKA , mOSKWA, 1981. 2. dUBROWIN b. A., nOWIKOW C. p., fOMENKO a. t. sOWREMENNAQ GEOMETRIQ, T. I. iZD-WO nAUKA , mOSKWA, 1986. 3. {ARIPOW r. a. kURS DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. iZD-E bA[KIRSKOGO UNIWERSITETA, uFA, 1996. 4. {ARIPOW r. a. kURS LINEJNOJ ALGEBRY I MNOGOMERNOJ GEOMETRII. iZD-E bA[KIRSKOGO UNIWERSITETA, uFA, 1996. 5. bORISOWI^ `. g., bLIZNQKOW n. m., iZRAILEWI^ q. a., fOMENKO t. n. wWEDENIE W TOPOLOGI@. iZD-WO nAUKA , mOSKWA, 1995. 6. kOBAQSI {., nOMIDZU k. oSNOWY DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. iZD-WO nAUKA , mOSKWA, 1981. 7. lANDAU l. d., lIF[IC e. m. tEORIQ POLQ. iZD-WO nAUKA , mOSKWA, 1988. 8. bOGOQWLENSKIJ o. i. mETODY KA^ESTWENNOJ TEORII DINAMI^ESKIH SISTEM W ASTROFIZIKE I GAZOWOJ DINAMIKE. iZDWO nAUKA , mOSKWA, 1980. 9. dEWIS p. sUPERSILA. pOISKI EDINOJ TEORII PRIRODY. iZDWO mIR , mOSKWA, 1989.
{ARIPOW rUSLAN aBDULOWI^
http://www.geocities.com/r-sharipov
klassi~eskaq |lektrodinamika i teoriq otnositelxnosti u^EBNOE POSOBIE
lIC. 0225 OT 10.06.1997 pODPISANO W PE^ATX 21.11.97. fORMAT 6084/16. bUMAGA OFSETNAQ. oTPE^ATANO NA RIZOGRAFE. kOMPX@TERNYJ NABOR. uSL. PE^. L. 9,53. u^.-IZD. L. 8,81. tIRAV 100. zAKAZ 519 oTPE^ATANO NA MNOVITELXNOM U^ASTKE bA[KIRSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA, 450074, uFA, UL. fRUNZE, 32.
