ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СА...
17 downloads
152 Views
227KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Программа, методические указания и контрольные задания
СанктПетербург 2007
Составитель О. С. Астратов Рецензенты: кафедра радиотехнических систем ГУАП; кандидат технических наук доцент В. В. Саломасов
Приведена программа курса «Основы компьютерного проектирования и моделирования радиоэлектронных систем» с подробным списком лите ратуры по каждому из разделов. Кроме того, даны контрольные задания для самостоятельного решения по тематике основных разделов курса, включающие принципиальные схемы с конкретными данными по радио техническим элементам, и методические указания по их выполнению. Про грамма и контрольные задания предназначены для студентов заочного фа культета по направлению «Радиотехника». Подготовлены кафедрой радиопередающих и телевизионных систем и рекомендованы редакционноиздательским советом СанктПетербург ского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
Редактор Г. Д. Бакастова Верстальщик С. В. Барашкова Сдано в набор 02.02.07. Подписано в печать 20.02.07. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,56. Уч.изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № Редакционноиздательский центр ГУАП 190000, СанктПетербург, Б. Морская ул., 67
© ГУАП, 2007
2
ВВЕДЕНИЕ Курс «Основы компьютерного проектирования и моделирования радио электронных систем» изучается студентами, обучающимися по направле нию «Радиотехника». Цель дисциплины — ознакомление студентов с осно вами компьютерного проектирования и моделирования с применением со временных пакетов прикладных программ для автоматизированного проек тирования радиоэлектронных средств. В процессе изучения дисциплины решаются следующие задачи: — определение целей, способов, задач и процессов автоматизированно го компьютерного проектирования и моделирования; — изучение математических основ компьютерного моделирования ком понентов радиоэлектронных систем (РЭС) различного уровня сложности и электромагнитных полей; — ознакомление с алгоритмами компьютерного анализа и оптимиза ции аналоговых и цифровых устройств; — ознакомление с современными пакетами прикладных программ для автоматизированного компьютерного проектирования РЭС и методами их использования. Автоматизированное проектирование электронных схем освобождает инженера от разработки и настройки натурных моделей, заменяя их мате матическими моделями электронных схем; оно призвано преодолеть прин ципиальное противоречие между стремительно растущей сложностью со временной электронной аппаратуры и необходимостью ее проектирования в сжатые сроки, ограниченные временем морального старения аппаратуры. Основное внимание в курсе уделяется методам автоматизированного получения метематических моделей схем, методам детерминированного и статистического анализа электронных устройств и систем, их оптимиза ции, изучению и использованию методов вычислительной математики при машинном анализе электронных схем. Для изучения курса необходимы знания программирования, явных и не явных методов численного интегрирования систем обыкновенных диффе ренциальных уравнений, различных методов анализа электронных схем в статическом и динамическом режимах, методов параметрической опти мизации, теории линейной алгебры, методов математической статистики. Общей задачей дисциплины является подготовка радиоинженеров ши рокого профиля, способных использовать современную вычислительную технику и методы вычислительной математики при проектировании ра диоэлектронной аппаратуры и оптимизации ее параметров. Дисциплина базируется на следующих курсах, изучаемых в академии: — высшая математика; — информатика; — вычислительная математика; — электронные и квантовые приборы; 3
— радиотехнические цепи и сигналы; — схемотехника аналоговых электронных устройств; — радиотехнические системы. Основная форма изучения курса для студентов заочного факультета — самостоятельная работа над учебным материалом. Для успешного изуче ния курса приведена программа, в каждом разделе которой указана лите ратура и вопросы для самопроверки. В процессе изучения курса студенты должны выполнить две конт рольные и две лабораторные работы в дисплейном классе. Выполнение кон трольных и лабораторных работ способствует усвоению теоретических зна ний и закреплению навыков работы с ЭВМ. По каждой из лабораторных работ студенты сдают отчет.
4
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ, ЕЕ МЕСТО В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ 1.1. Цель преподавания дисциплины Основной целью преподавания дисциплины является ознакомле ние студентов с современными методами проектирования радиоэлект ронных устройств и систем — автоматизированным проектировани ем, машинным анализом электронных схем и радиотехнических сис тем, ознакомление с алгоритмами компьютерного анализа и оптими зации аналоговых и цифровых устройств; ознакомление с современ ными пакетами прикладных программ для автоматизированного ком пьютерного проектирования РЭС и методами их использования. В курсе рассматриваются вопросы анализа электронных схем, оп тимизации их параметров, методика разработки алгоритмов расчета электронных схем, анализ чувствительности, современные пакеты САПР РЭС.
1.2. Задачи изучения дисциплины В результате изучения дисциплины студент должен знать: — математические основы составления моделей и макромоделей компонентов РЭС; — методы машинного анализа электронных схем в статическом и динамическом режимах; — математические модели радиосигналов и помех; — принципы статистического моделирования сложных РЭС; — методы анализа чувствительности и оптимизации параметров и характеристик РЭС. Студент должен уметь: — описывать РЭС на входных языках пакетов прикладных программ (ППП) для автоматизированного компьютерного проектирования; — составлять и рассчитывать математические модели РЭС с при менением ППП; — проводить вычислительные эксперименты на базе современных ЭВМ и ПЭВМ. Общей задачей дисциплины является подготовка радиоинженеров широкого профиля, способных использовать современную вычисли тельную технику, программное обеспечение и методы вычислитель ной математики при проектировании радиоэлектронной аппаратуры. 5
Дисциплина ориентирована на изучение методов и средств авто матизированного проектирования радиоэлектронных устройств и си стем. Распределение времени в часах по видам занятий приведено в табл. 1. Таблица 1 Номер семестра
Всего часов
Лекции
Лаборатор ные работы
9
77(36)
12
12
Самостоя тельная Экзамен Зачет работа
41
Зачет
Kонтроль ные работы
1
2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Тема 1. Предмет и задачи курса. Значение автоматизированного проектирования при разработке радиоэлектронной аппаратуры. Основные задачи и методы проекти рования радиосхем и систем. Этапы проектирования РЭА и место в них машинных методов проектирования. Связь с другими дисцип линами. Понятие технологического процесса проектирования. Фун кциональный, конструкторский и технологический уровни проек тирования. Место схемотехнического проектирования и статисти ческого моделирования в сквозном цикле проектирования РЭА. Объем в часах: — лекционные занятия — 1, — самостоятельная работа — 2. Литература [1, с. 7–23; 2, с. 12–36; 6, с. 3–8]. Вопросы для самопроверки 1. Достоинства и возможности САПР РЭС. 2. Основные этапы проектирования РЭС и место в них методов машинного проектирования. 3. Задачи синтеза и задачи анализа при проектировании РЭС.
Тема 2. Автоматизация составления топологических матриц элек3 тронных схем. Определение математической модели. Модели компонентов элек тронных схем, макромодели. Иерархия и примеры моделей для раз ных функциональных уровней проектирования. Получение тополо гических матриц. Топологические уравнения электронных схем. 6
Объем в часах: — лекционные занятия — 1, — самостоятельные занятия — 2. Литература [1, с. 62–101; 2, с. 85–96; 3, с. 71–113, 178–228; 6, с. 8–17, 31–39]. Вопросы для самопроверки 1. Основные требования, предъявляемые к математическим моде лям компонентов электронных схем. 2. Граф схемы, дерево графа, главное сечение и главный контур, структурная матрица. 3. Матрица главных сечений, главных контуров и полная тополо гическая система уравнений. Тема 3. Машинные методы анализа электронных схем. Общий вид математической модели электронных схем (ММЭС). Возможность представления ММЭС в форме Коши. Метод перемен ных состояний в общем виде для схем без особенностей. Методы чис ленного интегрирования, их сравнительная оценка, выбор шага ин тегрирования. Метод узловых потенциалов и особенности его машин ной реализации. Примеры расчета переходных процессов. Объем в часах: — лекционные занятия — 2, — самостоятельные занятия — 2. Литература [1, с. 102–137; 2, с. 97–114; 3, с. 129–140; 6, с. 17– 30, 51–72; 9, с. 136–143, 174–186]. Вопросы для самопроверки 1. Особенности метода переменных состояния. 2. Методы численного интегрирования, применяемые при анали зе электронных схем, их особенности. 3. Матрица узловых проводимостей и ее место при анализе схем методом узловых потенциалов. 4. LUметод. Тема 4. Моделирование радиосигналов и радиопомех. Особенности моделирования радиосигналов и помех. Принципы и алгоритмы моделирования базовых случайных последовательнос тей. Моделирование последовательностей с заданным законом рас 7
пределения. Алгоритмы моделирования нормальных случайных пос ледовательностей. Методы проверки статистических гипотез. Кри терий согласия Пирсона. Объем в часах: — лекционные занятия — 2, — самостоятельные занятия — 2. Литература [1, с. 285–289; 7, с. 3–33]. Вопросы для самопроверки 1. Базовая случайная последовательность, параметры, методы формирования. 2. Методы формирования последовательностей с заданным зако ном распределения. 3. Алгоритм применения критерия согласия Пирсона. 4. Критическая область, уровни значимости, доверительные гра ницы.
Тема 5. Моделирование типовых случайных процессов. Особенности алгоритма скользящего суммирования и рекурент ного алгоритма. Методы моделирования нормальных случайных про цессов. Задача анализа. Задача синтеза. Примеры моделирования нормального стационарного случайного процесса с заданной корре ляционной функцией. Объем в часах: — лекционные занятия — 1, — самостоятельные занятия — 3. Литература [7, с. 33–96]. Вопросы для самопроверки 1. Алгоритмы работы линейных цифровых фильтров. 2. Основные параметры случайных процессов. 3. Моделирование стационарного нормального случайного про цесса.
Тема 6. Метод статистического моделирования РЭС. Структурная схема метода статистического моделирования, его особенности и достоинства. Точечные и интервальные оценки. Оцен ка точности при проведении статистического моделирования. Поня 8
тие чувствительности. Метод приращений и метод наихудшего слу чая. Объем в часах: — лекционные занятия — 1, — самостоятельные занятия — 2. Литература [1, с. 233–268; 7, с. 24–33; 8, с. 3–16; 9, с. 157–162, 170–173]. Вопросы для самопроверки 1. Сравнение натурного эксперимента и статистического модели рования РЭС. 2. Требования к оценкам. 3. Надежность и точность оценки, представительность выборки. Тема 7. Цифровые модели непрерывных динамических систем. Модели, основанные на дискретной свертке. Моделирование с по мощью рекурсивных алгоритмов с использованием Zпреобразования. Пример цифрового моделирования радиолокационного дальномера. Объем в часах: — лекционные занятия — 2, — самостоятельные занятия — 2. Литература [9, с. 435–451]. Вопросы для самопроверки 1. Импульсная характеристика, коэффициент передачи линейной системы. 2. Свойства Zпреобразования. 3. Достоинства рекурентных методов моделирования. Тема 8. Методы использования пакетов прикладных программ (ППП) при компьютерном проектировании РЭС. Определение ППП для автоматизированного проектирования РЭС. Классификация ППП. Особенности ППП для автоматизированного схемотехнического проектирования и конструкторскотехнологичес кого проектирования. Виды обеспечения ППП. Объем в часах: — лекционные занятия — 2, — самостоятельные занятия — 2. Литература [1, с. 460–471; 2, с. 223–234]. 9
Вопросы для самопроверки 1. Перечислите известные ППП и их возможности. 2. Основные составляющие обеспечения автоматизированного проектирования РЭС. 3. Состав и классификация информационного обеспечения.
2.2. Лабораторные занятия, их наименование и объем в часах Целью выполнения лабораторных работ является закрепление у студентов знаний, полученных в результате прослушивания теоре тического курса, практическое использование полученных знаний при анализе конкретных схем и систем, выработка и закрепление на выков практической работы на ЦВМ и навыков программирования. Лабораторная работа № 1. Метод переменных состояния. Анализ радиоэлектронных схем с помощью пакета прикладных программ МС6 или МС7. Объем в часах: — аудиторные занятия — 4, — самостоятельные занятия — 4, Литература [10, 11]. Лабораторная работа № 2. Моделирование шумовых входных воздействий с заданными ста тистическими характеристиками. Изучение случайных последователь ностей с различными распределениями с помощью пакета MatLab 6.5. Объем в часах: — аудиторные занятия — 4, — самостоятельные занятия — 4. Литература [10, 11]. Лабораторная работа № 3. Автоматизированное исследование разрешающей способности оптикоэлектронного звена системы передачи информации с исполь зованием либо алгоритмических языков, либо пакета MathLab. Объем в часах: — аудиторные занятия — 4, — самостоятельные занятия — 4. Литература [10, 11]. 10
3. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Студенты должны выполнить контрольную работу, состоящую из двух заданий [12]: 1. Операции над матрицами. 2. Расчет переходного процесса электронных схем. Обе работы выполняются по заданиям, приведенным ниже, в со ответствии с положенным вариантом. Выбор варианта производится по последней цифре студенческого билета. Студенты с номером сту денческого билета оканчивающимся на 0, выполняют 10й вариант задания. 3.1. Контрольное задание № 1 1. Что называется следом квадратной матрицы? 2. Рассмотреть пример нахождения следа квадратной матрицы в соответствии с заданием. 3. Что такое определить матрицы? 4. Рассмотреть пример нахождения определителя матрицы про изведения двух матриц. В качестве второй матрицы берется матрица следующего по номеру варианта. Для варианта № 10 вторая матрица берется из варианта № 1. 5. Что такое обратная матрица? 6. Рассмотреть пример нахождения обратной матрицы. 7. Найти неизвестный вектор Х из матричного уравнения АХ = В, где А — квадратная матрица (по варианту задания); В — вектор (пер вый столбец матрицы следующего по номеру задания; для варианта № 10 — первый столбец матрицы из варианта № 1). 8. Вычислить билинейную форму Z = XAY, где А — квадратная матрица, X и Y — векторы, соответственно первый и третий столбцы заданной матрицы. Варианты матриц порядка 3 × 3 для контрольной работы № 1: Вариант 3 2 1 4 6 1
1 5 7 2
Вариант 1 7 2 5 1 3
2 3 6 2
Вариант 4 3 1 5 3 7
3 2 3 1
Вариант 2 1 3 2 5 4
4 6 1 3
Вариант 2 4 3 1 4 2
5 8 5 3
Вариант 3 1 2 4 5 7
6 6 1 2
Вариант 1 2 7 5 3 6
7 1 3 2
Вариант 4 1 3 5 2 3
8 3 7 1
Вариант 2 3 1 2 6 1
9 5 4 3
Вариант 2 3 4 1 8 5
10 4 2 3
11
3.2. Контрольное задание № 2 Рассчитать переходной процесс схемы по методу переменных со стояния. В отчете представить: — принципиальную схему; — граф схемы; — собственное дерево графа и главные сечения; — матрицу главных сечений; — главные контуры; — матрицу главных контуров; — систему топологических уравнений; — полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для динамических компонентов схемы (C, L); — программу численного интегрирования: ОДУ на 30 шагов ин тегрирования явным методом Эйлера; — распечатку расчета переходного процесса на динамических ком понентах схемы. Шаг интегрирования h = (0,2...0,5)τmin . Последний пункт отчета может быть выполнен в дисплейном клас се кафедры и приложен к отчету. Для выполнения работы следует ознакомиться с литературой [2, 7]. Принятые обозначения, напри мер, по варианту № 1: R6, 300 — соответствует 300 Ом; L8, 0.5 — соответствует 0,5 Гн, C3, 0.5 — соответствует 0,5 мкФ.
*
¹ÉÁ¹ÆË7 # 7 # * N" - $ 3 V 3 7 7
¹ÉÁ¹ÆË7 # 7 # * N" 3 $ V
3
3 -
$
7 $
V
¹ÉÁ¹ÆË7r# * N"
V
3 *
7
¹ÉÁ¹ÆË7 # * N"
3 - $ V
12
- 7
$ V
3
$ V
-
7
$ V
3
* 3
*
3
¹ÉÁ¹ÆË7 # * N" 3 3 $ 7 V
3
- - *
3 $ V
¹ÉÁ¹ÆË7 # * " *
3
- 7 $ V
- 3
$ V
3
-
3 *
7
$
3
7 $ V
3
3
3
-
*
¹ÉÁ¹ÆË7 # 7 # * " 3 * 3
3
- $
7
V
¹ÉÁ¹ÆË7 # * N" -
¹ÉÁ¹ÆË7 # * N" 3 3
7
$ V
3
¹ÉÁ¹ÆË7 # * N"
3
3 - $ V
* 7
- 3 $
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ЗАДАНИЮ № 2 АНАЛИЗ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ 4.1. Топологическое описание цепи Анализ электронных схем на ЭВМ производят с помощью матема тической модели, которая представляет собой систему уравнений, описывающих работу исследуемой схемы. Алгоритмы автоматиче ского составления уравнений с помощью ЭВМ основаны на использо вании топологического описания цепей. В основе топологического описания схем лежит понятие графа. 13
Графом электронной схемы называется скелетная схема, изобра жающая топологию элементов схемы, т. е. соединения элементов меж ду собой. Вершины графа соответствуют узлам схемы, ребра — отдель ным элементам. Построение графа производят по эквивалентной схе ме. В общем виде эквивалентную схему получают из принципиальной электрической путем замены нелинейных элементов (транзисторы, диоды) их упрощенными эквивалентными схемами, но в данной ра боте мы ограничимся рассмотрением линейных цепей, предполагая, что замена нелинейных элементов уже произведена. Пусть задана эквивалентная схема (рис. 1). Построим граф и вы берем его собственное дерево. 1. Обозначим узлы на схеме, учитывая, что каждый элемент схе мы: источник напряжения, емкость, резистор, индуктивность, ис точник тока находятся между узлами. Нумерацию узлов обозначим арабскими цифрами, шину «земля» принципиальной схемы обозна чим узлом «0». 2. Пронумеруем элементы схемы, давая им сквозную нумерацию. При этом будем соблюдать иерархию: источники напряжения, емко сти, резисторы, индуктивности, источники тока (E, C, R, L, I). 3. Нанесем узлы на чертеж графа (рис. 2), сохраняя нумерацию узлов эквивалентной схемы. Их следует располагать так, чтобы по возможности избежать взаимных пересечений ребер. 4. Узлы на графе соединяют линиями произвольной длины и фор мы, которые называются ребрами. Ребра графа сохраняют номера элементов, которые они заменяют. 5. На ребрах графа стрелками обозначают положительные направ ления токов и напряжений, принятые на эквивалентной схеме. После построения графа выбирают собственное дерево графа. Деревом графа называется совокупность ребер, содержащая все узлы графа, но не образующая ни одного замкнутого контура (рис. 3). Реб L7 R3 1
R4 2
3 C2
R6 4 R5
Е1
I8
Рис. 1. Эквивалентная схема 14
Рис. 2. Граф эквивалентной схемы
ра, вошедшие в дерево, называются ветвями, ребра, дополняющие дере во графа — хордами. Граф может иметь ряд деревьев (рис. 3). Если граф содержит n узлов, то каждое дерево графа состоит из m ветвей, где m = n – 1. Для графа, изображенного на рис. 2, m = n – 1 = = 5 – 1 = 4. С учетом упомянутой иерархии E1, С2, R3, R4, R5, R6, L7, I8 (см. рис. 1) образуется последовательность ре бер 1%2%3%4%5%6%7%8. Из этой последо вательности выбираем по порядку номеров ребра, не образующие ни од ного замкнутого контура. В резуль тате этого получаем собственное нор мальное дерево 1%2%4%6 (рис. 3). На рис. 4 сплошными линиями изображено собственное дерево гра фа с ветвями 1%2%4%6, а пунктирны ми линиями — хорды 3%5%7%8. Соб ственное нормальное дерево содер жит все источники напряжения, все емкости и часть резисторов и не со держит индуктивностей и источни ков тока. Оставшаяся часть резисторов, все индуктивности и источники тока входят в хорды. Такое распределе ние элементов эквивалентной схемы связано с принятой иерархией нуме рации (E, C, R, L, I) эквивалентной схемы. Информация, содержащаяся в гра фе, переводится на алгоритмиче ский язык с помощью топологиче ских матриц — матрицы главных сечений графа, матрицы главных контуров и структурной матрицы графа.
Рис. 3. Собственное нормальное дерево
$
%
# "
Рис. 4. Дерево графа с ветвями и хордами 15
4.2. Матрица главных сечений графа Сечением графа называется линия, делящая граф на две несвя занные части. На рис. 5, а изображены произвольные сечения графа (A, B, C, D). Линии сечения на этом рисунке пересекают произволь ное число ребер и хорд. Для получения главного сечения графа нужно линию сечения гра фа провести таким образом, чтобы она пересекала только одну ветвь при произвольном пересечении хорд. Так как главное сечение графа пересекает только одну ветвь, то число главных сечений равно числу ветвей дерева. На рис. 5, б сечения A, B, C, D — главные. Построим матрицу главных сечений АС, строки которой соответ ствуют главным сечениям, а столбцы — ребрам графа. Начальные столбцы матрицы соответствуют ветвям в порядке возрастания но меров ветвей графа, остальные — хордам в порядке возрастания хорд графа. РЕБРА Ветви Хорды 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 −1 1 0 −1 (1) AC = 0 0 1 0 0 −1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 Каждый элемент аij матрицы АС равен: аij = +1, если j%е ребро пере секает iе сечение в том же направлении, что и ветвь, определяющая это сечение; аij = –1, если jе ребро пересекает i%е сечение в направле нии, противоположном направлению ветви, определяющей это сече ние; aij = 0, если jе ребро не пересекает iе сечение. º
¹
$ %
#
"
Рис. 5. Сечения графа: а — произвольные; б — главные 16
Сформированная матрица главных сечений АС состоит из двух подматриц: матрицы главных сечений для ветвей и матрицы глав ных сечений для хорд. Из способа формирования матрицы АС оче видно, что каждый из диагональных элементов аij первой подматрицы равен единице, поэтому первая подматрица — матрица главных сече ний для ветвей — представляет собой единичную матрицу E. Вторую подматрицу — матрицу главных сечений для хорд — обозначим F. Таким образом, матрица главных сечений может быть представ лена как АС = |E F|.
(2)
Матрицу главных сечений АС можно использовать для записи урав нений по первому закону Кирхгофа, если придать ее элементам опре деленный физический смысл: каждый идентичный элемент в jм столб це означает ток Ij в jм ребре, сумма токов каждой iй строки равна алгебраической сумме токов, протекающих через iе сечение. По прин ципу нейтральности зарядов алгебраическая сумма токов, протека ющих через каждое сечение, должна быть равна нулю. Для рассмат риваемого графа (рис. 5, б) i1 − i3 = 0, ⎧ ⎪⎪i2 − i3 + i5 − i8 = 0, ⎨i − i + i − i = 0, ⎪4 5 7 8 ⎪⎩ i6 + i7 + i8 = 0.
(3)
Система уравнений (3) является первым законом Кирхгофа, обоб щенным на сечения схемы. Систему (3) можно представить как i1 i2 1 0 0 0 −1 0 0 0 i4 0 0 0 0 −1 1 0 −1 i6 (4) ⋅ =0 0 0 1 0 0 −1 1 1 i3 0 0 0 1 0 0 1 1 i5 i7 i8 либо A CI = 0,
(5)
где I — векторстолбец токов ребер. 17
В векторе I последовательность элементов должна соответство вать последовательности столбцов в АС. Уравнение (5) обозначает, что АС можно использовать как опера тор алгебраического суммирования токов ребер при составлении урав нений по первому закону Кирхгофа. Матричное уравнение (5) явля ется экономной формой записи уравнений (3). Вектор токов I состоит из двух подвекторов: вектора токов ветвей IВ и вектора токов хорд IХ. T
IT = i1 i2 i4 i6 i3 i5 i7 i8 =
IB , IX
(6)
С учетом (6) и (2) уравнение (5) преобразуется к виду
АCI = E,F ⋅
IB = EI B + FI X = FI X + I B, IX
(7)
или I = −Fi X .
Уравнение (7) выражает зависимость токов ветвей через токи хорд. Для рассматриваемой схемы i1 1 0 0 0 i3 i2 1 −1 0 1 i5 = ⋅ , i4 0 1 −1 −1 i7 0 0 −1 −1 i8 i6
4.3. Матрица главных контуров Для получения матрицы главных контуров нанесем на граф ли нии главных контуров (см. рис. 4). Главный контур получается пу тем подключения к дереву хорды, подключение к дереву хорды 3 при водит к формированию контура А, подключение хорды 5 — к получе нию главного контура В, хорды 7 — к получению главного контура С, 8 — к D . Число главных контуров равно числу хорд графа. Поло жительным направлением каждого контура выбирается совпадаю щиее с положительным направлением хорды, с помощью которой он образовался. Построим матрицу главных контуров АК, строки которой соответ ствуют главным контурам, а столбцы — ребрам графа. Как и в матри це главных сечений, начальные столбцы матрицы соответствуют вет вям, остальные — хордам: 18
1 0 AК = 0 0
РЕБРА Ветви Хорды 1 0 0 1 0 0 −1 1 0 0 1 0 0 −1 −1 0 0 1 0 −1 −1 0 0 0
0 0 . 0 1
(8)
Каждый элемент аij матрицы АК равен: аij = +1, если направление j%го ребра совпадает с направлением главного контура, аij = –1, если направление jго ребра противоположно направлению главного кон тура, аij = 0, если jе ребро не образует главного контура. Матрица АК состоит из двух подматриц, из которых вторая пред ставляет собой единичную матрицу, а первая, как видно из сравне ния АС и АК, представляет собой транспонированную матрицу F, взя тую со знаком минус (–FT). Матрицу главных контуров можно использовать для записи урав нений по второму закону Кирхгофа, придав ее элементам определен ны физический смысл. Каждый единичный элемент в jм столбце обозначает напряжение u в jм ребре, алгебраическая сумма напряжений вдоль замкнутых кон туров цепи равна нулю. Обозначив напряжения на ребрах 1,2 ... 8, в графе через u1, u2, ..., u8 запишем для главных контуров уравнения по второму закону Кирхгофа ⎧ u1 + u2 + u3 = 0, ⎪⎪ −u2 + u4 + u5 = 0, ⎨ −u − u + u = 0, 4 6 7 ⎪ ⎪⎩u2 − u4 − u6 + u8 = 0.
(9)
Систему (9) можно представить в виде произведения АК на вектор столбец напряжений U:
1 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 −1 0 1 −1 −1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
u1 u2 u4 u ⋅ 6 = 0, u3 u5 u7 u8
(10)
либо AК U = 0.
(11) 19
В векторе U последовательность элементов должна соответство вать последовательности столбцов в матрице АК. Уравнение (11) означает, что АК можно использовать как опера тор алгебраического суммирования напряжений при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа. Матричное уравнение (11) является экономной формой записи уравнения (9). Вектор напряжений U состоит из двух подвекторов: вектора на пряжений ветвей UВ и вектора напряжений хорд UХ: U = u1 u2 u4
u6
u3 u5 u7
u8
T
=
UB . UХ
(12)
С учетом (12) и (8) уравнение (11) преобразуется к виду T
AКU = −F , E ⋅
UB = −FTU B + EUX = −FTUB + U X , UX
или
UX = FTUB.
(13)
Уравнение (13) выражает зависимость напряжений хорд от на пряжений ветвей. Для рассматриваемой схемы уравнение (13) запи сывается в виде u3 −1 −1 0 u5 0 1 −1 = 0 0 1 u7 0 −1 1 u8
0 u1 0 u2 ⋅ . 1 u4 1 u6
4.4. Топологическое уравнение цепи Уравнения (7) и (13), полученные путем использования первого и второго законов Кирхгофа, объединяют в одно матричное уравнение −F 0 IХ IВ . = ⋅ UХ 0 F T UВ
(14)
и называют топологическим уравнением цепи. Форма (14) удобна для составления машинных программ анализа электронных схем, одна ко формирование матрицы F, описанное в подразд. 1.2, удобно лишь при ручном составлении уравнений. При составлении уравнений с по мощью ЭВМ матрицу F формируют с помощью алгоритма Гаусса из структурной матрицы. 20
4.5. Реализация метода переменных состояния Для уменьшения числа уравнений в системе, полностью описыва ющей поведение электронной схемы с динамическими реактивными элементами С и L, перейдем с помощью топологической системы урав нений (14) и компонентных уравнений к системе уравнений перемен ных состояния. Переменными состояния называются токи в индук тивностях L и напряжение на емкостях U. Обозначим вектор пере менных состояния через Х. Тогда, если схема имеет m индуктивнос тей и n емкостей, то число составляющих вектора Х, т. е. порядок системы уравнений переменных состояния, будет m + n. Для дина мических элементов компонентные уравнения в общем виде можно записать так d d ul = ( Lil ); ic = ( Cuc ). dt dt или i с = C 0 d uc = C 0 dx(t) = Sx′ t , () 0 L dt ul 0 L dt il
где
S=
C 0 = 0 L
С1 0 ... 0 0 C2 ... 0 . . . . 0 0 ... Cn 0
0 L1 0 . 0
0 ... 0 L2 ... 0 . . . 0 ... Ln
.
Выразим токи IС через матрицу F, поскольку емкости входят в ветви IВ = –FIХ , откуда IС = –FIХ. Аналогично UХ = FTUВ, откуда UL = FLTUВ, где FC и FLT — те строки матриц F и FT, которые относятся к емкостям и индуктивностям. При этом метод переменных состояния предусматривает такое преобразование уравнений (14), при котором напряжения и токи не реактивных элементов резисторов выражаются через переменные со стояния iL и uC и независимые источники тока и напряжения. Вектор нереактивных токов и напряжений обозначим y(t). Тогда полную систему уравнений можно записать x1 (t) = f1( X(t), A(t)),
(15) 21
y(t) = f2 ( X(t), A(t)).
(16)
где А(t) — вектор независимых источников тока и напряжения, вхо дящих в рассматриваемую схему. Решение полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (15) и алгебраической системы уравнений (16) вы полняется в следующем порядке. Из физических соображений или из начальных заданных условий определяются начальные значения переменных состояния uC и iL, которые, например, представляют собой значения напряжений и то ков в момент включения схемы и, следовательно, равны нулю. По значениям uC и iL находятся значения y, т. е. значения токов и на пряжений на резисторах схемы в начальный момент времени. Далее, решая систему ОДУ методами численного интегрирования, вычис ляют значения переменных состояния в конце интервала дискрети зации, называемого шагом интегрирования: x(uC1, iL1). Подставляя uC1 и iL1, вычисленные на первом шаге, в y(t), получаем значения то ков и напряжений на нереактивных элементах в конце первого шага и приступаем к решению системы (15) на втором шаге, вычисляя uC2, iL2 и т. д. В результате этих вычислений будет получен весь переход ный процесс в виде последовательности значений в дискретные мо менты времени t1, t2, ..., tk. Выбор шага интегрирования Δt = ti – ti–1 зависит в первую очередь от постоянных времени схемы и практиче ски определяется наименьшей из них, а также от конкретного мето да интегрирования и его сходимости. Общее же число шагов опреде ляется максимальной постоянной времени. Для нашего примера полная топологическая система уравнений в раскрытом виде с обозначениями типов элементов запишется сле дующим образом: iR 3 iE1 1 0 0 0 iR 3 iC2 1 −1 0 1 iR5 iR 3 − iR5 − i8 , = ⋅ = iR 4 0 1 −1 −1 iL7 iR5 − iL7 − i8 0 0 −1 −1 i8 iR 6 −iL7 − i8 uR 3 −1 −1 0 uR5 0 1 −1 = 0 0 1 uL7 0 −1 1 u8
− E1 − uC2 0 uE1 uC2 − uR 4 0 uC2 ⋅ = . 1 uR 4 uR 4 + uR 6 1 uR 6 −uC2 + uR 4 + uR 6
(17)
(18)
Переменными состояния в нашей схеме являются iL7 , uC2. Именно через них необходимо выразить токи и напряжения резисторов iR3, 22
iR5, uR4, uR6, входящие в систему уравнений (17), используя уравне ния (18) и компонентные уравнения. Проведя указанные операции, получаем iR3 = uR3/R3 = (–E1 – uC2)(R3)–1, iR5 = uR5/R5 = (uC2 – uR4)(R5)–1, uR4 = iR4R4 = (iR5 – iL7 – i8)R4. Подставляя uR4 в выражение для iR5, получим iR5 = [uC2 – (iR5 – iL7 – i8)R4](R5)–1. Находим из полученного уравнения iR5 iR5 = (uC2 + iL7R4 + i8R4)R5–1 (1 + R4R5–1)–1. Подобным же образом находим uR4 = R4iR4 = R4[(uC2 + iL7R4 + i8R4)R5–1 (1 + R4R5–1)–1–iL7–i8], uR6 = R6iR6 = R6(–iL7–i8). Из компонентных уравнений для реактивных элементов C2 и L7: iC2 = C
duC2 di , uL7 = L L7 , dt dt
получаем систему из двух обыкновенных дифференциальных урав нений в форме Коши: duС2 = C2−1iС2 = dt ⎡( − E1 − uС2 ) R3−1 −
⎤ ⎥, ⎢ − ( uC2 + iL7 R4 + i8R4 ) R5−1 (1 + R 4 R5 )−1 + i8 ⎥ ⎣ ⎦
−1 ⎢
= C2
diL7 = L7 −1uL7 = dt ⎧R4 ⎡( u + i R 4 + i R 4 ) R5−1 (1 + R4 R5 )−1 − i − i ⎤ + ⎫ 8 8⎥ ⎪ C2 L7 L7 ⎦ ⎬ . (19) = L7 ⎨ ⎣⎢ ⎪⎩+ R6 ( −iL7 − i8 ) ⎪⎭ −1 ⎪
23
Применим явный метод численного интегрирования Эйлера для решения системы ОДУ. В соответствии с эти методом Δu2 u2 ( n ) − u2 ( n − 1) = , Δt h Δi7 i7 ( n ) − i7 ( n − 1) = . Δt h где Δt = h — интервал дискретизации по осям времени или шаг чис ленного интегрирования: u2 ( n ), i7 ( n ) — значения переменных состо яния на nм шаге интегрирования: u2 ( n − 1), i7 ( n − 1) — значения пе ременных состояния на (n–1)м шаге численного интегрирования. Используя выражение (19), получим систему из двух рекуррент ных алгебраических выражений u2 ( n ) = u2 ( n − 1) + ⎡( − E1 − u2 ( n − 1) ) R3−1 − ⎤ ⎢ ⎥ ⎥, + hC2−1 ⎢ ⎛ u2 ( n − 1) + ⎞ −1 −1 ⎢− ⎜ ⎟ R5 (1 + R4 R5 ) + i8 ⎥ ⎢⎣ ⎝⎜ +iL7 ( n − 1) R 4 + i8R 4 ⎠⎟ ⎥⎦
i7 ( n ) = i7 ( n − 1) + h ∗ L7 −1 × ⎧ ⎡ u ( n − 1) + i ( n − 1) R 4 + i R 4 ) R5−1 (1 + R 4 R5 )−1 − ⎤ ⎫ L7 8 ⎪ R 4 ⎢( C2 ⎥ + ⎪⎪ ⎪ ⎥ ⎬, × ⎨ ⎢⎣ −iL7 ( n − 1) − i8 + ⎦ ⎪ ⎪ ⎪⎩+ R6 ( −iL7 ( n − 1) − i8 ) ⎪⎭
где в качестве начальных условий можно принять нулевые началь ные условия uC2 ( 0 ) = 0, iL7 ( 0 ) = 0. 4.6. Пример программы расчета переходного процесса Программа реализована на языке универсального пакета MatLAB. %Лабораторная работа 1 САПР %Присвоение номинальных значений компонентам схемы e1=10;e2=20;c3=0.5e 6;c4=0.2e 6; r5=500;r6=300;r7=1000;l8=0.5;i9=50e 3; h=7e 6; %Присвоение нулевых начальных условий переменным состояния uc3=zeros(1,1000);uc4=zeros(1,1000);i8=zeros(1,1000); %Расчет переходного процесса путем организации цикла для расчета переменных состояния 24
for i=2:1000 uc3(1,i)=uc3(1,i 1)+h/c3*(( e2 uc3(1,i 1))/r5+... ( e2 uc3(1,i 1) uc4(1,i 1))/r6 uc3(1,i 1)/r7 i8(1,i 1) i9); uc4(1,i)=uc4(1,i 1)+h/c4*(( e2 uc4(1,i 1) uc3(1,i 1))/r6); i8(1,i)=i8(1,i 1)+h/l8*( e1+e2+uc3(1,i 1)); end %Построение грфиков i=1:1:1000; plot(i,uc3,'r',i,uc4,'g') grid title('Переходные процессы на С3 и С4'); xlabel('t, h=7e 6'); ylabel('uc3, uc4') figure plot(i,i8,'b') grid title('Переходные процессы в L8'); xlabel('t, h=7e 6'); ylabel('i8')
Результаты расчета приведены на рис. 6 uc3, uc4 u
Переходные процессы на С3 и С4
5 0 –5 –10 –15 –20 –25 –30
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 t, h = 7e6 Переходные процессы в L8 i8 i 0
–0.01 –0.02 –0.03 –0.04 –0.05 –0.06
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 t, h = 7e6
Рис. 6. Переходные процессы на реактивностях схемы по варианту 1 25
4.7. Контрольные вопросы 1. Дайте определение графа схемы. 2. Что такое «собственное дерево графа»? 3. Что называется главным сечением графа? 4. Как получается матрица главных сечений? 5. Как получается матрица главных контуров? 6. Что такое топологическое уравнение цепи? 7. Объясните метод переменных состояния, его достоинства. 8. Назовите методы решения системы ОДУ?
Библиографический список Основная 1. Алексеев О. В., Головков А. А. и др. Автоматизация проектированияч радиоэлектронных средств. М.: Высш. шк., 2001. 479 с. 2. Норенков И. П. Основы автоматизированного проектирования/МГТУ им. Н. Э. Баумана. М., 2001. 360 с. 3. Разевиг В. Д. Система схемотехнического моделирования MICRO CAP6. М.: Горячая линия, 2001. 344 с. Дополнительная 4. Норенков И. П. Введение а автоматизированное проектирование тех нических устройств и систем. М.: Высш. шк., 1986. 5. Черноруцкий И. Г. Оптимальный параметрический синтез. Л.: Энер гоатомиздат, 1987. 127 с. 6. Астратов О. С., Сорин В. Я. Автоматизация схемотехнического про ектирования: учеб. пособие/ЛИАП. Л., 1987. 75 с. 7. Астратов О. С. Цифровое моделирование радиосигналов/ЛИАП. Л., 1983. 72 с. 8. Астратов О. С., Сорин В. Я. Автоматизация проектирования радио схем и систем. Анализ чувствительноссти, оптимизация/ЛИАП. Л., 1992. 28 с. 9. Разевиг В. Д. Система сквозного проектирования электронных уст ройств Design Lab 8.0 М.: Солон, 1999. 735 с. 10. САПР радиоэлектронных устройств: программа, метод. указ. и конт рольные задания/сост.: О. С. Астратов, В. Я. Сорин; ГААП. СПб., 1997. 16 с. 11. Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭУ: метод. указ. к выполнению лабораторных работ/сост.: О. С. Астратов, Н. А. Обухо ва; ГУАП. СПб., 2004. 67 с. 12. Половко А. М., Бутусов П. Н. MatLAB для студентов. СПб.: БХВ Петербург, 2005. 320 с.
26
СОДЕРЖАНИЕ Введение ............................................................................ 1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе ........ 1.1. Цель преподавания дисциплины ................................. 1.2. Задачи изучения дисциплины ..................................... 2. Содержание дисциплины .................................................. 3. Контрольные задания ...................................................... 3.1. Контрольное задание № 1 .......................................... 3.2. Контрольное задание № 2 .......................................... 4. Методические указания к выполнению контрольной работы по заданию № 2 «Анализ радиоэлектронных схем методом перемен ных состояния» .................................................................. 4.1. Топологическое описание цепи ................................... 4.2. Матрица главных сечений графа ................................. 4.3. Матрица главных контуров ........................................ 4.4. Топологическое уравнение цепи .................................. 4.5. Реализация метода переменных состояния ................... 4.6. Пример программы расчета переходного процесса .......... 4.7. Контрольные вопросы ............................................... Библиографический список ..................................................
3 5 5 5 6 11 11 12
13 13 16 18 20 21 24 26 26
27
