Модели надежности и функционирования объектов нефтегазовой отрасли: Сборник заданий

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М.ГУБКИНА КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Сухарев М.Г., Иткин В.Ю.

Сборник заданий по курсу "Модели надежности и функционирования объектов нефтегазовой отрасли"

Москва 2001

Содержание Введение................................................................................................................................ 3 Часть I........................................................................................................................................ 4 1.

Булевы модели надежности ........................................................................................ 4

2.

Иерархические модели и производящие функции.................................................... 6

3.

Системы без восстановления ...................................................................................... 7

4.

Системы с восстановлением ....................................................................................... 8

5.

Марковские модели систем без восстановления....................................................... 9

6.

Марковские модели систем с восстановлением...................................................... 10

7.

Обоснование марковских моделей. Исследование распределения выборки ....... 13

8.

Приближение процесса функционирования марковским процессом ................... 14

Часть II .................................................................................................................................... 16 1.

Теория восстановления I ........................................................................................... 16

2.

Теория восстановления II .......................................................................................... 17

3.

Рациональный запас элементов ................................................................................ 18

4.

Стационарные процессы восстановления................................................................ 21

5.

Модели трубопроводных систем с накопителями I................................................ 21

6.

Модели трубопроводных систем с накопителями II .............................................. 22

7.

Процессы восстановления с доходами..................................................................... 22

8.

Полумарковские процессы ........................................................................................ 23

9.

Дублированная система с восстановлением............................................................ 24

Литература .......................................................................................................................... 24

2

Введение Настоящее пособие

содержит задачи к курсу "Модели надежности и

функционирования объектов нефтегазовой отрасли", который читается студентам специальности "Прикладная математика" на 9-м и 10-м семестрах обучения. Сборник состоит из двух частей: первая часть охватывает материал 9-го семестра, а вторая – материал 10-го семестра. По приложениям задачи относятся как к общетехническим проблемам, так и к специфическим

проблемам

нефтегазового

комплекса,

прежде

всего

системам

транспорта и хранения нефти и газа. Математический аппарат включает булевы модели, марковские, полумарковские процессы и процессы восстановления. По замыслу авторов пособия решение задач должно способствовать − пониманию моделей надежности; − углублению математического аппарата; − развитию навыков решения прикладных задач. В некоторых задачах для более полного понимания постановки полезно обратиться к литературе. В этом случае после формулировки дается соответствующая ссылка.

3

Часть I 1. Булевы модели надежности 1. Найти структурную функцию работоспособности компрессорного цеха, номинальный режим которого обеспечивается при одновременной работе двух групп. В каждой группе имеются два рабочих агрегата и один резервный. Резерв − нагруженный. Принципиальная схема соединения приведена на рис 1. Вычислить вероятность безотказной работы

цеха,

безотказной

считая, работы

что

вероятности

всех

агрегатов

–

агрегат

одинаковы и равны p. Положить a) p = 0,9;

–

задвижка

b)

p

=

0,95.

Отказом

цеха

считать

невозможность реализации номинального

Рис.1.

режима. 2. Найти структурную функцию работоспособности цеха из трех групп (две рабочих и одна резервная) по 2 агрегата в каждой. Резерв − нагруженный. Принципиальная схема соединения приведена на рис 2. Вычислить вероятность безотказной работы цеха, считая,

Рис. 2.

что

вероятности

безотказной

работы

всех

агрегатов одинаковы и равны p.

Положить a) p = 0,9; b) p = 0,95. 3. Дуальной функцией работоспособности называется функция Sd(x) = 1−S(1−x), где S(x) – структурная функция работоспособности, x∈Rn, 1=(1, 1, ..., 1) ∈Rn. Для схемы "2 из 3-х" найти дуальную функцию работоспособности. 4. Для схемы "k из n" найти: a) структурную функцию работоспособности S(x); b) дуальную функцию работоспособности Sd(x); c) "дуальную" схему, т.е. схему, в которой Sd(x) является структурной функцией работоспособности. Для каких k Sd(x) = S(x)?

4

5. Дана система (рис. 3), содержащая 6 элементов: элемент 1 последовательно соединен с параллельными блоками A и B.

2 1

A: элемент 2 последовательно соединен с

3

параллельными элементами 3 и 4;

4

B: элементы 5 и 6 соединены параллельно.

5

Составить

структурную

функцию

работоспособности тремя способами:

6

a) путем разложения по элементу;

Рис. 3.

b) с помощью минимальных путей; c) с помощью минимальных сечений. 6. Доказать, что выполняются неравенства 0 ≤

∂R ≤ 1. ∂ pi

7. Систему можно изобразить в виде неориентированного графа, содержащего 6 II

IV

I

VI

V

III Рис. 4.

вершин (от I до VI) и 9 ребер: I−II, I−III, I−V, II−III, II−IV, III−V, IV−V, IV−VI, V−VI. Вход системы − вершина I, выход − вершина VI (рис. 4). Элементами системы являются ребра. Вероятности безотказной работы элементов равны p. В расчетах положить 1) p = 0,9; 2) p = 0,95. a) Построить структурную функцию работоспособности. b) Найти вероятность безотказной работы системы. c) Оценить вероятность безотказной работы системы по методу минимальных путей и минимальных сечений. d) Оценить

вероятность

безотказной

работы

системы,

пользуясь

дополнительными методами оценки. 8. Дана следующая система: элемент 1 соединен параллельно с цепью, состоящей из 4-х последовательно соединенных блоков:

5

A: цепь из трех элементов с нагруженной резервной цепью (элементы 2–7); B: один элемент с ненагруженным резервом (элементы 8-9); C: элементы 10−12, работающие по схеме "2 из З"; D: один элемент (с номером 13) (рис. 5). 1 10 2

3

4

8 11

5

6

7

13

9 12 2 из 3-х

– нагруженный резерв

– ненагруженный резерв Рис. 5.

Найти

вероятность

безотказной

работы

системы,

полагая

вероятности

безотказной работы элементов p1 = p2 = ... = p12 = 0,9; p13 = 0,97. Представим себе, что надежность одного из блоков (блоком, помимо A-D, следует считать элемент 1), можно повысить на 1%. Какой из блоков следует модернизировать? Предложить критерий для выявления "слабого звена" (в смысле надежности).

2. Иерархические модели и производящие функции 1. Крупный

потребитель

(промышленный

район)

снабжается

тремя

двухниточными газопроводами (коридорами), подходящими к нему с разных сторон. Пропускная способность одного из коридоров в 2 раза больше пропускной способности каждого из двух других. При отказе нитки пропускная способность коридора уменьшается на 25'%. При отказе двух ниток одного коридора подача газа по нему прерывается. Нитки отказывают независимо. Коэффициент готовности каждой нитки равен 0,95. Отказом системы газоснабжения считается уменьшение подачи не менее, чем на 15%. Найти коэффициент готовности системы, построив производящую функцию. Что можно сказать о времени жизни системы? При каких дополнительных данных можно вычислить среднее время жизни системы? 2. Трубопровод состоит из 10 одинаковых звеньев (звено − это участок и перекачивающая станция). Пропускная способность звена характеризуется следующим рядом распределения

6

qi

q0

0,95 q0

0,7 q0

0

πi

0,85

0,10

0,04

0,01

Здесь q0 − номинальная пропускная способность. Пренебрегая "гидравлической связностью" отказов, найти ряд распределения пропускной способности трубопровода q и вероятность безотказной работы R*(x) = P{q ≥ x}1. Какой оценкой (нижней или

верхней) для истинной вероятности безотказной работы (т.е. вычисленной без упрощающих предположений модели) является полученное решение? [3]

3. Системы без восстановления 1. Наработка каждого элемента на отказ распределена по показательному закону с параметром λ. Рассмотреть 4 системы: I.

5 последовательно включенных элементов;

II.

цепь из 5 элементов зарезервирована такой же нагруженной цепью;

III. зарезервирован

каждый

из

5

последовательных

элементов,

резерв

каждый

из

5

последовательных

элементов,

резерв

нагруженный; IV. зарезервирован ненагруженный. Для каждой системы j найти: среднюю наработку Tj, вероятность безотказной работы Rj (t) и интенсивность отказов λj (t). Составить таблицу для отношения

λ j (t ) при λt =0,5; 1; 2; 5; 10; 20. Сопоставить λ

интенсивности отказов всех четырех систем. 2. Система

состоит

из

двух

одинаковых

элементов,

соединенных

последовательно. Для повышения ее надежности предложено 2 следующих варианта ненагруженного резервирования: a) дублирование системы; b) резервирование системы одним элементом (то есть резервным элементом замещается первый из отказавших рабочих элементов). Какой из вариантов резервирования лучше, если интенсивность отказов каждого из элементов возрастает (стареющие элементы)? Рассмотреть также случаи, когда интенсивность отказов убывает или не изменяется со временем. 3. Устройство состоит из трех последовательно соединенных блоков с интенсивностями отказов элементов λ1=0,23⋅10−3 ч−1, λ2=0,5⋅10−3 ч−1, λ3=0,4⋅10−3 ч−1.

1

Индекс * означает, что при расчете использовалась приближенная модель.

7

Блоки 1 и 3 состоят из одного элемента с резервом, а блок 2 из одного элемента. Резерв нагруженный. Найти функцию распределения наработки устройства до первого отказа. Построить график зависимости интенсивности отказов устройства от времени. 4. Система состоит из двух элементов: рабочего и резервного (резерв ненагруженный). F(t) − функция распределения времени жизни каждого элемента. В момент отказа рабочего элемента с вероятностью p выходит из строя также и резервный. Найти функцию распределения времени жизни системы. 5. Дублированная система без восстановления состоит из одного рабочего и одного резервного элемента, который находится в облегченном резерве. F(t|t0) − функция распределения времени жизни рабочего элемента при условии, что до перевода в рабочее состояние прошло время t0, G(t) − функция распределения времени жизни в резерве. Найти распределение времени жизни системы.

4. Системы с восстановлением 1. Устройство допускает перерывы в функционировании, однако длительность перерыва должна быть меньше постоянного числа τ. F(t) и G(t) – функции распределения наработки на отказ и времени восстановления. Доказать, что вероятность безотказного функционирования устройства: a) удовлетворяет интегральному уравнению R(t , τ ) = 1 − F (t − τ ) +

t −τ

τ

0

0

∫ dF ( x)∫ R(t − x − y,τ ) dG( y) ;

b) может быть представлена в виде ∞

R(t , τ ) = ∑ Rk (t ,τ )G k (τ ) , k =0

где Rk(t, τ) - вероятность того, что за время t будет ровно k отказов, при условии, что длительность восстановления в каждом случае была меньше τ. Считая, что F (t ) = 1 − e− λ t , λ−1 >> τ, а t и λ--1 одного порядка, доказать1, что R (t ,τ ) ≈ e − λt (1−G (τ )) . 2. Имеется непрерывно работающая система, производящая автоматическую обработку поступающей информации и запись результатов. Время безотказной работы системы распределено по показательному закону с параметром λ. Контроль и 1

Указание: результат можно получить как из интегрального уравнения, так и из представления рядом. В

последнем случае следует воспользоваться распределением Пуассона.

8

профилактика системы производятся через промежутки Т, после каждого возвращения системы в исходное состояние. Длительность профилактики исправной системы равна τ0, неисправной τ1. Считая показателем качества системы коэффициент готовности, найти1 оптимальный период контроля Т=Топт, если λ−1 = 100 ч, τ0 = 1 ч.

5. Марковские модели систем без восстановления 1. Времена

жизни

элементов

распределены

по

показательному

закону.

Рассмотреть 2 системы без восстановления (А и В): A: 2 последовательно включенных разнотипных, дублированных элемента с нагруженным резервом. B: 2 последовательно включенных разнотипных элемента (с параметрами λ1 и

λ2), первый из которых имеет 1, а второй 2 резервных элемента, резервирование ненагруженное. Построить диаграмму переходов и инфинитезимальную матрицу для каждой системы. 2. Пользуясь методом преобразования Лапласа, решить систему уравнений Колмогорова для технологической схемы B в предыдущей задаче. 3. Электроснабжение компрессорной станции производится от промышленной сети (источник 1) и зарезервировано автономным источником питания (источник 2) и батареей аккумуляторов (источник 3). При выходе из строя источника 1 вводятся одновременно источники 2 и 3. Станция продолжает функционировать даже тогда, когда наряду с источником 1 выходит из строя источник 3. Время безотказной работы источников 2, 3 подчинено показательному распределению с различными параметрами. Интенсивность отказов источника 2 увеличивается при выходе из строя источника 3. Время ремонта промышленной сети составляет tд, если отказ произошел днем, и tн, если отказ произошел ночью. Вероятность отказа днем равна p, ночью − 1–p. Найти вероятность того, что при отказе источника 1 станция будет функционировать.

1

−

Указания к задаче: коэффициент готовности – отношение среднего времени безотказной работы к среднему времени

цикла; −

время безотказной работы – случайная величина смешанного типа, имеющая атом в точке T;

−

уравнение для нахождения Топт должно получится таким: e

λT

= λ T + λτ 0 + 1 .

9

4. Электрическая схема состоит из 4-х одинаковых диодов − 2 параллельных (в электротехническом смысле) группы по 2 последовательно расположенных элемента (рис.6).

Рис. 6.

Каждый диод может отказать по обрыву (диод перестает проводить ток) и по пробою (диод проводит ток в оба направления). Наработка диода на отказ – показательная величина. Интенсивность отказов по обрыву – λо, а интенсивность отказов по пробою – λп. Группа выходит из строя при отказе по обрыву одного из диодов или отказе по пробою обоих диодов. Схема выходит из строя при отказе одной группы по пробою или при отказе обеих групп по обрыву. Найти вероятность безотказной работы схемы за время t и среднее время безотказного функционирования.

6. Марковские модели систем с восстановлением 1. Предложить две ситуации (наука, техника, повседневная практика), которые можно было бы описать схемой гибели-размножения. 2. Предложить

примеры

эргодического

и

неэргодического

процессов,

описываемых схемой гибели-размножения с бесконечным множеством состояний. 3. Вероятность безотказной работы объекта R(t). Найти вероятность безотказной работы в течение случайного времени θ с функцией распределения W(t). Рассмотреть в частности случай показательного распределения θ (с параметром μ) и наработки на отказ (с параметром λ).

10

2 1 – узел соединения газопроводов

1

2,3 – потребители 3 Рис. 7.

4. Система газоснабжения промышленного узла состоит из двухниточного подводящего газопровода и двух разводящих однониточных (рис 7). Отказом

считается

полное

прекращение

подачи газа

хотя

бы

одному

потребителю. Наработка на отказ и время восстановления каждой нитки распределены по показательному закону. На двухниточном участке может выйти любая из ниток и обе нитки одновременно. Найти вероятность безотказной работы системы. 5. Система состоит из 3 рабочих насосов и 1 резервного. Резерв ненагруженный. Наработка на отказ и время восстановления каждого насоса – случайные величины, распределенные по показательному закону с параметрами λ и μ соответственно. Для включения резервного насоса требуется случайное время, распределенное по показательному закону с параметром γ. Отказ системы наступает тогда, когда в работе остается менее 2 насосов. Составить диаграмму переходов, считая, что ремонтных единиц достаточно. Найти вероятность отказа системы в установившемся режиме. 6. Система

состоит

из

3

рабочих

и

1

резервного

агрегатов.

Резерв

ненагруженный. Наработка на отказ и время восстановления каждого агрегата – случайные величины, распределенные по показательному закону с параметрами λ и μ соответственно. При включении резервный агрегат может выйти из строя с вероятностью p. Отказ системы наступает тогда, когда в работе остается менее 2 агрегатов. Считая, что ремонтных единиц достаточно, найти вероятность отказа системы в установившемся режиме. Решение задачи 6.5.

Рассмотрим процесс функционирования системы со следующими состояниями: Состояние

В работе

В резерве

В ремонте

0

3

1

0

1

2

1

1

11

2

1

1

2

3

3

0

1

4

2

0

2

5

1

0

3

В состояниях 0, 1, 3, 4 система работоспособна, а в состояниях 2 и 5 – нет. Процесс функционирования системы – марковский, поскольку время подключения резервного элемента, наработка на отказ и время ремонта распределены по показательному закону. На рис. 8 приведена диаграмма переходов для процесса функционирования. 3λ

2λ

0

1

μ

2 2μ

γ

γ

3λ

μ

3

2λ 4

5

2μ

3μ

Рис. 8.

Составим матрицу интенсивностей: ⎡− 3λ ⎢ μ ⎢ ⎢ 0 Λ= ⎢ ⎢ μ ⎢ 0 ⎢ ⎣⎢ 0

3λ − 3μ − γ 2μ 0 0 0

0 2μ − 2μ − γ 0 0 0

0

γ

0 0

γ 3λ − 3λ − μ 2μ − 2λ − 2 μ 0 3μ 0

0 0 0 0 2λ − 3μ

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥

Вектор вероятностей пребывания в состояниях процесса p(t) в установившемся режиме не зависит от времени: p'(t) = 0. Система уравнений Колмогорова примет вид Λp = 0 .

(1)

Эта система вырождена, поскольку определитель матрицы интенсивностей равен нулю. Чтобы найти вероятности p, нужно учесть условие нормировки: p0+ p1+ p2+ p3+ p4+ p5 = 1. (2) Решив систему (1), (2), найдем вероятности пребывания в состояниях:

12

2 μ 3 (γ 2 + 2 μ 2 + 5γμ ) , p0 = d 6λμ 3 (γ + 2 μ ) , p1 = d 12λμ 4 , p2 = d 6γλμ 2 (γ + 4 μ ) , p3 = d 3γλμ (3λγ + 2 μ 2 + 12λμ ) , p4 = d 2γλ2 (3λγ + 2 μ 2 + 12λμ ) , p5 = d где d = 24γλ3 μ + 6γ 2 λ3 + 36γλμ 3 + 6γ 2 λμ 2 + 40γλ2 μ 2 + 9γ 2 λ2 μ + 10γμ 4 + 2γ 2 μ 3 + 24λμ 4 + 4 μ 5 . Теперь найдем вероятность отказа системы в установившемся режиме: Pотказа = p2+ p5.

7. Обоснование марковских моделей. Исследование распределения выборки В задачах этого задания требуется исследовать согласованность выборки с показательным

распределением

и

сравнить

выборочные

характеристики

с

соответствующими теоретическими характеристиками показательного распределения. Для этого: a) Построить гистограмму и провести эвристический анализ пригодности следующих

распределений:

Г-распределения

(в

том

показательного,

числе

распределения

равномерного, Эрланга),

нормального,

Гнеденко-Вейбулла,

логнормального. b) Вычислить выборочные среднее, дисперсию и коэффициент вариации. c) Построить график выборочной оценки ln R(t). d) Построить доверительную полосу и график выборочной оценки для параметра потока отказов ω (t)1. e) Провести формальную проверку согласия выборки с показательным законом, используя критерий Пирсона. Можно ли считать, что данная выборка хорошо согласуется с показательным распределением?

1

см. р.5.4 в [2].

13

1. Рассмотреть выборку времен безотказной работы изделия (в ч): 2, 3, 3, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 13, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 25, 28, 35, 37, 53, 56, 69, 77, 86, 98, 119. 2. Рассмотреть выборку наработки системы между отказами (в сутках): 1,0

1,8

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

4,0

4,1

4,2

4,4

4,6

4,7

4,8

5,0

5,4

5,6

5,7

5,8

6,0

6,8

7,0

7,2

7,4

7,8

7,9

8,1

8,7

8,8

10,8

11,0

11,4

11,8

12,0

8. Приближение процесса функционирования марковским процессом 1. Дублированная система состоит из одного рабочего и одного резервного элемента. Резерв нагруженный. Время восстановления имеет математическое ожидание

τ. Наработка между отказами − случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром λ. a) Положив дисперсию времени восстановления равной τ2, приблизить процесс функционирования марковским процессом. Определить стационарный коэффициент готовности при условии, что имеются 2 ремонтных единицы. b) Положив дисперсию времени восстановления равной (0,5τ)2, приблизить процесс функционирования марковским процессом. Составить диаграмму переходов для определения среднего времени работы до отказа системы. c) В предположениях п.b), составить диаграмму переходов для определения коэффициента готовности системы при условии, что имеется 1 ремонтная единица. d) Положив дисперсию равной 0,5τ2, составить диаграмму переходов для определения коэффициента готовности системы, считая, что имеется 2 ремонтных единицы. e) В предположениях п. d) определить стационарный коэффициент готовности. f) Сопоставить

значения

стационарного

коэффициента

готовности

при

различных дисперсиях времени восстановления. 2. Дублированная система состоит из одного рабочего и одного резервного элемента.

Резервирование

ненагруженное.

Время

восстановления

имеет

математическое ожидание τ и дисперсию (1,2τ)2. Имеется одна ремонтная единица. Наработка между отказами – величина, распределенная по показательному закону с параметром λ.

14

a) Приблизить процесс функционирования марковским. Составить диаграмму переходов для исследования эргодических свойств процесса. b) Построить диаграмму переходов для исследования системы до ее отказа. c) Решить

задачу

a),

воспользовавшись

для

приближения

времени

восстановления смесью двух распределений Эрланга с двумя степенями свободы. d) Найти стационарный коэффициент готовности системы (по диаграмме, построенной в пункте a)).

15

Часть II 1. Теория восстановления I В этом задании рассматривается процесс восстановленияν(t), равный количеству вызовов за время t. Использованы следующие обозначения: − θ1, θ2, …, θn, … – интервалы времени между вызовами, независимые случайные величины; − τ1, τ2, …,τn, … – моменты вызовов; − F1(t) = P{θ1 < t} – функция распределения времени до первого вызова; − F(t) = P{θk < t}, k ≥ 2 – функция распределения интервалов между вызовами; − R(t) = 1–F(t); −

f1 (t ) =

dF1 (t ) – плотность вероятности величины θ1; dt

−

f (t ) =

dF (t ) – плотность вероятности величины θk, k≥2; dt

− T1 = Mθ1 – среднее время до первого вызова; − T = Mθk, k ≥ 2 – среднее время между вызовами; − для рекуррентного процесса восстановления F1(t) = F(t); − для рекуррентного процесса восстановления с запаздыванием F1(t) ≠ F(t); − H(t) = Mν(t) – функция восстановления рекуррентного процесса; −

ω (t ) =

dH (t ) – параметр потока отказов (или плотность восстановления). dt

1. В рекуррентном процессе восстановления с запаздыванием вывести формулы для распределения величины ν(t) и для функции восстановления H1(t)=Mν(t), а также интегральное уравнение восстановления. 2. Найти распределение недоскока1 для рекуррентного процесса восстановления и для рекуррентного процесса с запаздыванием. Рассмотреть случай пуассоновского процесса.

1

Недоскоком называется случайный промежуток времени от момента поступления последнего вызова до

рассматриваемого момента t.

16

3. Найти математическое ожидание величины ζ = lim ζ t для рекуррентного t → +∞

процесса восстановления и для рекуррентного процесса с запаздыванием, где ζt − остаточное время жизни1. 4. Для рекуррентного процесса восстановления доказать неравенства:

F (t ) ≤ H (t ) ≤

F (t ) . R(t )

5. Доказать, что при малых t P{ν(t) = 0} = R(t), P{ν(t) = 1} = F(t)+o(t), P{ν(t) ≥ 2} = o(t).

6. Доказать неравенства:

f (t ) ≤ ω (t ) ≤ f (t ) + M (t )

F (t ) , R(t )

где M (t ) = max f ( x) . x≤t

7. Найти функцию восстановления альтернирующего процесса, в котором время работы и время восстановления независимы и распределены по показательному закону.

2. Теория восстановления II 1. Найти вероятность работоспособного состояния в альтернирующем процессе. Рассмотреть как частный случай показательное распределение времени работы (с параметром λ) и времени восстановления (с параметром μ). 2. Среднее время восстановления пренебрежимо мало по сравнению со средней наработкой. Найти параметр потока отказов, если наработка элемента на отказ распределена: a) по показательному закону; b) по закону Эрланга с 2-мя степенями свободы. Совпадают ли параметр потока отказов и интенсивность отказов для этих распределений?

1

Возьмем произвольное достаточно большое время t. Случайная величина, равная отношению

остаточного времени жизни к длине интервала между вызовами, накрывающего момент t, будет равномерно распределена на отрезке [0;1]. Математическое ожидание интервала между вызовами равно T. Казалось бы, Mζ должно равняться

T . Однако это не так! Почему? 2

17

3. Коэффициент готовности объекта равен K. Наработка на отказ имеет показательное распределение с параметром λ. Найти стационарный коэффициент оперативной готовности L(h). 4. Решить

предыдущую

задачу

(т.е.

найти

стационарный

коэффициент

оперативной готовности L0(h)) в предположении, что наработка на отказ Т – детерминированная величина. Сопоставить оба решения (построить графики функций L(h) и L0(h)), положив Т=λ−1. 5. Доказать

равенство

K = lim K (t ) = t → +∞

Tр Tр + Tв

,

если

К(t)

−

коэффициент

готовности, Tр и Tв − средняя наработка и среднее время восстановления объекта. ⎛1 t ⎞ Tр . 6. Доказать равенство lim ⎜⎜ ∫ K (u )du ⎟⎟ = t → +∞ t ⎝ 0 ⎠ Tр + Tв 7. Доказать, что стационарный коэффициент оперативной готовности равен L( x) =

1 Tр + Tв

+∞

∫ (1 − F (u ))du , где F(t) − функция распределения наработки. x

8. Найти функцию восстановления для рекуррентного процесса, если θk подчинены распределению Эрланга с двумя степенями свободы. Убедиться в справедливости асимптотической формулы H (t ) =

t σ 2 −T2 + + o(1) при t → +∞ . T 2T 2

9. Решить предыдущую задачу при условии, что θk подчинены: − распределению Эрланга с тремя степенями свободы; − распределению Эрланга с четырьмя степенями свободы. 10. Существует ли рекуррентный процесс с запаздыванием, имеющий при заданной функции F(t) функцию восстановления H 1 (t ) =

t , где T = Mθk, k≥2? T

3. Рациональный запас элементов 1. Сколько необходимо иметь резервных элементов, чтобы с заданной вероятностью 1−δ обеспечить работу системы в течение заданного времени t? Считать, что наработка элемента на отказ распределена по показательному закону с параметром a, а замена отказавшего элемента происходит практически мгновенно. Провести численный расчет, положив а = 0,05; t = 200; 1−δ = 0,99. Наряду с точным решением задачи получить приближенное, пользуясь асимптотической формулой.

18

2. Для процесса восстановления найти среднее число восстановлений за время t, если наработка элемента подчинена нормальному распределению1 с параметрами (μ, σ2). Провести численный расчет, положив t=200; μ=20; σ =7. Сопоставить с асимптотической формулой. 3. Элементы 2-х типов имеют одинаковую среднюю наработку 1 сутки. Время жизни элемента первого типа подчинено показательному распределению, а второго типа – Г-распределению с коэффициентом вариации 0,6. Устройство содержит по одному элементу каждого типа. Отказавшие элементы сразу заменяются. Каких элементов в среднем потребуется больше в течение месяца и на сколько? 4. Средняя наработка объекта – 1 месяц. Среднее время восстановления – 1 час. Найти среднее число отказов за 5 лет. Найти 90% доверительный интервал для числа отказов за 5 лет в случаях: a) показательного распределения наработки; b) Г-распределения с коэффициентом вариации 0,6. 5. Задача о выборе количества запасных элементов. Постановка задачи. Система имеет "слабое звено" – элемент, который выходит из строя значительно чаще других. Ставится задача о создании рационального резерва – выборе количества элементов на значительный (по сравнению со средней наработкой элемента) промежуток времени.

Элемент может быть заменен при профилактическом

обслуживании или после его отказа (аварийная замена). Аварийная замена длится случайное время η1, профилактическая – случайное время η2, время между профилактиками неслучайно и равно τ. В среднем время аварийной замены больше, чем время замены профилактической. Требуется оценить необходимое число элементов. Подход к решению. Моменты окончания работ по замене элемента образуют процесс восстановления

ν(t). Пусть ζ – случайный промежуток времени между двумя последовательными моментами регенерации, T = Mζ, σ2 = Dζ – моменты с.в. ζ.

1

Нормальная случайная величина может принимать любые значения, в том числе и отрицательные, а

наработка – только положительные. Почему в данной задаче можно наработку считать гауссовской величиной?

19

ν(t) близко к нормальному с

Известно, что при больших t распределение математическим ожиданием

σ 2t t и дисперсией 3 : T T ⎧ ⎫ t ⎪⎪ ν(t) ⎪ T < x⎪ ≈ 1 P⎨ ⎬ 2 2π ⎪ σ t ⎪ ⎪⎩ T 3 ⎪⎭

x

∫e

−

u2 2

du .

−∞

Зададим величину γ – вероятность того, что резерв окажется достаточным для рассматриваемого промежутка t. Искомое количество запасных элементов n0 определяется как наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству t T ≥ x , где xγ – γ-квантиль стандартного нормального распределения N (0, 1). γ σ 2t T3

n0 -

Осталось определить величины T и σ2. Определение моментов с.в. ζ. Будем считать известными распределения времени аварийной замены η1, времени профилактической замены η2 и наработки элемента на отказ ξ : F(t) = P{ξ < t}, F1(t) = P{η1 < t}, F2(t) = P{η2 < t}. Применяя формулу полной вероятности в интегральной записи, получим функцию распределения величины ζ: ⎧t ⎪∫ F1 (t − u )dF (u ) при t < τ ⎪0 P{ζ < t} = ⎨ τ . ⎪ F (t − u )dF (u ) + (1 − F (τ ) )F (t − τ ) при t ≥ τ 2 ⎪∫ 1 ⎩0

(1)

Эта формула позволяет вычислить искомые величины T и σ2: τ

T = ∫ (1 − F (u ) )du + Mη1 F (τ ) + Mη 2 (1 − F (τ ) ) ,

(2)

0

τ

τ

0

0

σ 2 = Mη12 F (τ ) + 2Mη1 ∫ u dF (u ) + ∫ u 2 dF (u ) + (1 − F (τ ) )(Mη22 + 2τMη2 + τ 2 ) − T 2 . (3) Доказать соотношения (1), (2) и (3). 6. Решение задачи требует случайного времени с ф.р. G(t). Время безотказного функционирования компьютера имеет распределение F(t). Найти среднее время, нужное для решения задачи. 20

4. Стационарные процессы восстановления 1. Доказать, что рекуррентный процесс восстановления является стационарным тогда и только тогда, когда время между восстановлениями распределено по показательному закону. 2. Для стационарного рекуррентного процесса восстановления с запаздыванием доказать формулу Mθ 1k =

μ k +1 (k + 1)T

,

где μk+1 − начальный момент порядка k+1 распределения F(t) (т.е. μk+1 = Мθk+1). В частности Mθ 1 =

σ 2 +T 2 2T

, где σ2 = M(θ −T)2.

5. Модели трубопроводных систем с накопителями I 1. Известна двусторонняя оценка среднего времени между отказами для системы трубопровод-хранилище T р + Tв ⎛V ⎞⎞ ⎛ V ⎞⎛ 1 − G⎜ ⎟⎜⎜1 − F ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎝ α ⎠⎝ ⎝ ρ ⎠⎠

≤ Mτ ≤

T р + Tв ⎛V ⎞ 1 − G⎜ ⎟ ⎝α ⎠

,

где F(t) = P{ξ < t}, G(t) = P{η < t}, ξ – наработка трубопровода на отказ, η – время восстановления, Tр = Mξ, Tв = Mη, V – емкость хранилища, α – интенсивность отбора из хранилища при отказе трубопровода, ρ – интенсивность пополнения незаполненного хранилища в нормальном режиме работы трубопровода. Исследовать качество этих оценок, для чего: − ввести рациональный набор параметров; − предложить критерий качества оценок; − провести численное исследование, построив зависимости критерия от параметров. 2. Рассматривается трубопроводная система с промежуточной емкостью. Пропускная способность входной линии больше, чем пропускная способность выходной. При простое работоспособная линия не отказывает. Наработка на отказ и время восстановления трубопроводов распределены по показательному закону. Пользуясь вероятностными рассуждениями, вывести систему описывающих процесс

уравнений,

функционирования. Получить тот же результат как частный

случай общей системы уравнений в векторно-матричной записи. [3] 21

3. Рассматривается

система

трубопроводного

транспорта

с

хранилищем,

расположенным недалеко от потребителя. Спрос не изменяется во времени. Пропускная

способность

в

безаварийном

состоянии

превышает

спрос,

а

производительность сбалансирована со спросом (т.е. средняя пропускная способность равна спросу). Предполагая процесс установившимся, определить: a) функцию распределения уровня заполненности хранилища; b) вероятность неудовлетворенного спроса. Считать, что трубопроводная система может находиться лишь в двух состояниях: номинальном и полного отказа. Процесс функционирования марковский.

6. Модели трубопроводных систем с накопителями II 1. Получить

решение,

использованное

в

методе Б.А. Севастьянова, т.е.

функцию g(ν, θ) – вероятность простоя системы из двух участков при условии, что отказал

первый

участок.

Отказы

считаются

несовместимыми,

а

процесс

–

стационарным. [3] 2. Рассматривается трубопроводная система с 2 промежуточными хранилищами. Предложить совокупность случайных функций, характеризующих состояние системы. Перечислить неизвестные функции. Описать, какими уравнениями связаны эти функции. Какие идеи использованы при выводе уравнений? [3] 3. Рассматривается

многофазная

система

(трубопроводная

система

с

промежуточными накопителями, та же, что использовалась Б.А. Севастьяновым). В предположении, что емкости хранилищ достаточно большие и известны коэффициенты готовности трубопроводных участков, найти коэффициент готовности системы и коэффициент надежности трубопровода.

7. Процессы восстановления с доходами В задачах 7.1–7.2 процесс восстановления с доходами определяется двойной n

последовательностью {θk, Ck, k ≥ 1}, ν (t ) = sup{n : ∑θ k < t} – порождающий процесс k =1

ν (t )

восстановления, Ct = ∑ Ck – общий доход к моменту t. k =1

Среднее значение дохода MCk = mc – не зависит от k. 1. Доказать равенство cov(Ct , ν (t ) ) = D ν (t ) ⋅ mc . Какой вид примет это равенство для пуассоновского процесса восстановления? 2. Случайная величина C имеет двухточечное распределение: 22

Р{С=1} = p, P{C=2} = q, где q = 1 − р. Записать производящую функцию для процесса восстановления с доходами, соответствующего этому распределению и пуассоновскому процессу восстановления с параметром λ. Какая из трех вероятностей P{Ct=1}, P{Ct =2}, P{Ct =3} больше других, если p=0,5; t =λ−1? 3. В альтернирующем процессе ⎧0, если элемент неисправен, ⎩1, если элемент исправен

ε (t ) = ⎨

наработка ξ распределена по показательному закону с параметром λ, а время восстановления η также по показательному закону с параметром μ. Каким путем можно найти распределение суммарного времени простоя (в моменты окончания ремонта)? Предложите приближенное аналитическое решение в предположении, что средняя наработка намного больше среднего времени восстановления. 4. Функционирование

восстанавливаемой

системы

описывается

альтернирующим процессом. По результатам испытаний получены оценки первых двух моментов времени работы ξ и времени восстановления η: Mξ = 1000ч, Mξ2 = 1100000ч2, Mη = 2ч, Mη2 = 8ч2. Найти вероятность того, что за 10000ч суммарное время восстановления превысит 24 ч.

8. Полумарковские процессы 1. Рассматривается дублированная невосстанавливаемая система с нагруженным резервированием. Gi(t) (i=1, 2) − функции распределения времени жизни элементов. Построить матрицы ||qjk|| и ||Fjk(t)|| полумарковского процесса, характеризующего функционирование системы. 2. В монографии [1] на стр. 314 приведен следующий пример системы с ненагруженным резервом. Основная система зарезервирована т−1 экземплярами таких же систем, которые не отказывают, находясь в резерве. Наработка ξ имеет функцию распределения F(t), время восстановления G(t) = 1−e−pt. Утверждается,

что

процесс

функционирования

ν(t), выражающий число

неисправных в момент времени t систем есть полумарковский и имеет следующие характеристики:

23

∞

qi ,i +1 = P{ξ < η} = ∫ e − pt dF (t ) = F * ( p ), 1 ≤ i ≤ m − 1 0

qi ,i −1 = 1 − F ( p ), qij = 0 для | i − j |≠ 1; q01 = qm ,m −1 = 1 *

Fi ,i +1 = F (t ), 1 ≤ i ≤ m − 1;

Fi ,i +1 = 1 − e pt , 1 ≤ i ≤ m.

a) Найти ошибку в рассуждении. b) Рассмотреть случай m=2. Определить полумарковский процесс и правильно найти его характеристики. 3. Предложите пример полумарковского процесса, описывающего известную Вам ситуацию. Марковские процессы не предлагать.

9. Дублированная система с восстановлением 1. Завод снабжается двухниточным нефтепроводом. Отказом системы снабжения считается полное прекращение подачи. Наработку на отказ каждой нитки можно считать экспоненциально распределенной величиной с математическим ожиданием Т = 2 года. Время ремонта отказавшей нитки имеет математическое ожидание T1 = 24 ч и дисперсию σ12, T1 = σ1 = 24 ч. a) Найти вероятность того, что за 5 лет нефтепровод откажет ровно 2 раза, но отказа системы не произойдет. b) Найти вероятность безотказной работы системы снабжения за 5 лет. c) Чему равно среднее время безотказной работы системы снабжения? d) Чему равно среднее число отказов нефтепровода за 5 лет? 2. Решить задачу 9.1, приблизив процесс функционирования марковским процессом. Сравнить результаты.

Литература 1. Байхельт Ф., Франкен П. "Надежность и техническое обслуживание. Математический подход" – М. "Радио и связь". 1988. 2. Сухарев М.Г. " Марковские процессы"– М. ГАНГ. 1994. 3. "Надежность систем газо-и нефтеснабжения" //под ред. Сухарева М.Г., М. "Недра" 1994, кн.1 – 414 с., кн.2 – 288 с.

24