Молекулярная физика и термодинамика: Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу общей физики

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

---------------------ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Молекулярная физика и термодинамика

Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу общей физики

Пенза 2003

2

УДК 53

Приведены общие методические сведения по изучаемому явлению, описание лабораторной установки, порядок проведения измерений и обработки экспериментальных данных. Методические указания подготовлены на кафедре «Физика» и предназначены для студентов физико-математической и инженерно-технических специальностей.

Составители: канд. физ.-мат. наук, доцент А.В. Рудин, ст. преп. В.В. Евстифеев Под редакцией доктора физ.-мат. наук., профессора В.В. Евстифеева

Рецензент -доктор техн. наук, профессора Г.И. Грейсух.

3

Лабораторная работа Т.8 Определение влажности воздуха Цель работы: научиться определять с помощью конденсационного гигрометра и бытового психрометра относительную влажность воздуха. Приборы и оборудование: гигрометр конденсационный, гигрометр психрометрический, типа ВИТ-2, таблица психрометрическая, пипетка капиллярная, барометр, термометр лабораторный от -30 до 20 о С, таблица плотности и давления насыщенного водяного пара при различных температурах. Теоретические сведения 1. Атмосферный воздух всегда содержит водяные пары, образующиеся при непрерывном испарении воды со всех водоемов, с растительного покрова Земли и при выдыхании. Таким образом, в атмосфере имеется смесь сухого воздуха и водяных паров. К этой смеси применим закон Дальтона: давление смеси газов (или паров) равно сумме парциальных давлений . Действительно, согласно основному уравнению состояния идеального газа имеем: 2 P = nkT или P = n EК , (1) 3 где Р - давление газа, EК - средняя кинетическая энергия теплового движения N одной молекулы газа, n = - концентрация молекул газа. V Для смеси нескольких химически невзаимодействующих газов общее число молекул в единице объема определяется суммой чисел молекул отдельных газов: n = n 1 + n 2 + ... + n n .

(2)

Поскольку все газы в смеси находятся при одинаковой температуре Т, средняя кинетическая энергия EКi их молекул одинакова

E k 1 = E k 2 = ... = E kn = E ki

(3)

Подставив (2) в (1) и учитывая (3), получим:

P=

2 2 2 n 1 E ki + n 2 E ki + ... + n n E ki = P1 + P2 + ...Pn . 3 3 3

(4)

Из уравнения (4) следует, что давление смеси газов равно сумме парциальных давлений, т. е. тех давлений, которые имел бы каждый из входящих в смесь газов, если бы в объеме, занятом смесью, находился только он один. Тогда молярная масса μ СМ и плотность ρ СМ газовой смеси могут быть определены по формулам:

4

μ СМ =

ρ СМ =

m СМ , n mi ∑ i =1 μ i m СМ , n mi ∑ i =1 ρ i

(5)

(5а)

где m СМ - масса газовой смеси, m i - масса газовой компоненты. 2. Процессы плавления и кристаллизации, испарения и конденсации называются фазовыми переходами первого рода. Они характеризуются тем, что при их осуществлении поглощается или выделяется энергия (теплота). Например, чтобы испарить один грамм воды при температуре кипения 100 ° С при нормальном давлении 760 мм. рт. ст. (101325 Па), требуется затратить энергию 2260 Дж. Это есть удельная теплота испарения воды. При обратном процессе (переходе пара в воду) эта теплота выделяется. Рассмотрим процесс перехода из жидкой фазы в газообразную - процесс испарения (в частности, процесс кипения). Процесс испарения заключается в том, что молекулы жидкости, обладающие наибольшей кинетической энергией выходят через поверхность жидкости наружу, преодолевая силы межмолекулярного притяжения. Чтобы такие молекулы могли проникнуть через поверхностный слой, их кинетическая энергия

Ei =

m0υ2 3 = kT 2 2

(6)

должна быть больше той работы, которую следует совершить против сил молекулярного притяжения. Силы молекулярного притяжения приходится преодолевать не только в пределах поверхностного слоя толщиной r , но и на некотором расстоянии от поверхности жидкости, ибо когда молекула уже вышла за поверхностный слой, на нее еще продолжают действовать поверхностные молекулы жидкости, причем до тех пор пока она не отдалится на такое расстояние, на котором силы притяжения практически перестают действовать. Можно показать, что действие этих сил сказывается на расстоянии, равном радиусу сферы действия молекулярных сил, и можно считать, что молекула должна преодолевать поверхностный слой удвоенной толщины 2r . Поэтому кинетическая энергия должна быть больше, чем

r E ki > 2rF ,

(7)

r где r - радиус сферы действия молекулярных сил, F - средняя величина силы притяжения, действующая на молекулу. В жидкостях молекулярное Ван-дер-ваальсовое давление P′ =

a V2

(8)

очень велико. Расчет P ′ в уравнении Ван-дер-Ваальса

5

⎛ a m 2 ⎞⎛ m ⎞ m ⎜⎜ P + 2 ⋅ 2 ⎟⎟⎜⎜ V − b ⎟⎟ = RT μ ⎠ μ V μ ⎠⎝ ⎝

(9)

для воды дает огромную величину, равную ≈ 11000 атм. Непосредственно молекулярное давление измерить нельзя. Любой манометр для измерения давления в жидкости измеряет внешнее и гидростатическое давление. Молекулярное давление может быть вычислено по той работе, которую совершают молекулы, проходя через поверхностный слой жидкости. Такой выход молекулы есть процесс испарения, а работа выхода определяет теплоту испарения жидкости. Поэтому измерение последней дает возможность вычислить молекулярное давление. Таким образом, чтобы молекулы жидкости могли выйти через поверхность, они должны обладать весьма большой кинетической энергией. В первую очередь выйти смогут те молекулы, которые обладают наибольшей энергией, т.е. наиболее «нагретые». В результате средняя энергия оставшихся молекул уменьшится и процесс испарения будет сопровождаться охлаждением, которое определяет теплоту испарения. Одновременно имеет место и противоположный процесс. Некоторые молекулы пара из воздуха проникают обратно в жидкость, происходит процесс конденсации. Оба противоположно идущих процесса - испарение и конденсация - происходят непрерывно. Если испарение более интенсивно, чем конденсация, то количество жидкости уменьшается. Если же конденсация идет более интенсивно, то количество жидкости увеличивается. Может преобладать или первый, или второй процесс, но может быть и равновесие. Равновесие наблюдается только при вполне определенной для данной температуры плотности пара. Такая плотность называется равновесной плотностью, а состояние равновесия является динамическим равновесием. При динамическом равновесии за единицу времени испаряется столько же молекул, сколько их конденсируется. Пар в состоянии равновесной плотности называется насыщенным P T1
E

D II C 0 V2 V

B

3

I

T2 T1

3. Построим изотермы насыщенного пара. Эти изотермы для температур Т 1 , Т 2 ,...Тn на PVдиаграмме представляют собой горизонтальные V1 V участки кривых Ван-дер-Ваальса, параллельные оси абсцисс (рис. 1). Давление насыщенных Рис. 1. паров на этих участках остается постоянным при разных объемах. Система является двухфазной. Уменьшение объема приводит к увеличению конденсации пара и следовательно, увеличению жидкой фазы. Увеличение объема при постоянной температуре, наоборот, приводит к уменьшению сконденсированной жидкости. И при большом объеме пар может оказаться уже ненасыщенным. Тогда мы получим хвостовой участок кривой Ван-дер-Ваальса. При адиабатном испарении температура понижается. Если же испарение происходит не адиабатно, а изотермически, т. е. если в процессе испарения к жидкости подводится одинаковое количество теплоты в единицу времени, то испарение жидкости происходит при постоянной температуре и ее количество всегда остается неизменной. При изменении температуры испарения количество теплоты, подводимое к жидкости изменяется. В двухфазной системе жидкость и насыщенный пар находятся в динамическом равновесии. Пар называется насыщенным потому, что его нельзя

A

6

«уплотнить» при той же температуре. Плотность насыщенного пара при температуре Т 1 определяется уравнением: ρГ =

m , V1

(10)

где m ,V1 - масса и объем насыщенного пара. При температуре Т 2 плотность насыщенного пара равна: ρ′Г =

m , V1′

причем

ρ′Г > ρ Г .

(11)

Точка D (рис. 1) соответствует объему V2′ . Это означает, что с увеличением температуры плотность насыщенного пара увеличивается, образованный за счет конденсации насыщенного пара массой m . Следовательно, плотность жидкости при температуре Т1 равна: m . (12) ρЖ = V2 Очевидно, что плотность жидкости при температуре Т1 больше плотности насыщенных паров при той же температуре. Плотность жидкости при температуре Т 2 равна: ρ′Ж =

m , V2′

(13)

причем: ρ′Ж < ρ Ж . Это означает, что с увеличением температуры плотность жидкости уменьшается. При приближении к критической температуре Т КР различие в плотности жидкой и газообразной фаз I уменьшается и в критической точке оно исчезает, т.е. плотность жидкой фазы равна плотности газообразной фазы:

ρ

ρ КР =

m , причем: ρ КР = ρ Ж = ρ Г . VКР

II

(14)

Таким образом, в критическом состоянии отсутствует различие между жидкостью и паром. Зависимости плотности жидкости (кривая 1) и Рис. 2. насыщенного пара от температуры показаны на рис. 2. Рассмотрим состояние двухфазной системы, характеризуемое точкой С (рис. 1). Пусть полный объем, занимаемый при этом системой, равен V. Определим: какая часть объема занята жидкой фазой и какая газообразной. Обозначим V ж , V г , ρ ж , ρ г - соответственно объемы и плотности жидкой и газообразной фаз. Закон сохранения массы вещества запишется в виде:

Ткр

Т

VЖ ⋅ ρ Ж + VГ ⋅ ρ Г = m .

(15)

7

Учитывая, что VЖ + VГ = V ,

получим:

где:

ρГ =

VЖ (ρ Ж − ρ Г ) = m − Vρ Г ,

m , V1

ρЖ =

m . V2 V V −V V1 . = V2 1 VЖ = 1 1 V1 − V2 − V2 V2 1−

Откуда:

(15а)

Умножая левую и правую части равенства (15а) на ρ Ж и принимая во внимание, что

ρ Ж VЖ = m Ж , получим:

ρ Ж V2 = m ,

m Ж = m ⋅ (V1 − V ) / (V1 − V2 ) .

(16)

Двухфазная система будет существовать при условии, что V < V 1 . При V = V 1 будет только насыщенный пар. Аналогично, V − V2 VГ (ρ Ж − ρ Г ) = Vρ Ж − m , откуда: VГ = V1 . (16а) V1 − V2 Умножая левую и правую части равенства (16а) на ρ Г и принимая во внимание, что: ρ Г VГ = m Г , ρ Г V1 = m1 , получим: (17) m Г = m ⋅ (V1 − V ) / (V1 − V2 ) . Из уравнений (16) и (17) окончательно находим отношения масс жидкой и газообразной фаз: mЖ (18) = (V1 − V ) / (V − V2 ) . mГ Оно обратно пропорционально расстояниям от точки С до точки В и от точки С до точки D (рис. 1). Удаление точки С от точки В соответствует увеличению массы жидкости. Формула (18) называется правилом рычага. Из рассмотренного примера фазовой диаграммы реальной жидкости следует, что пар не является газом в строгом смысле этого слова. Газ - это агрегатное состояние вещества при данных температуре и давлении. Пар же не является агрегатным состоянием вещества, потому что им при данных температуре и давлении является жидкость. В связи с этим поведение пара отличается от поведения газа. В частности, у идеальных газов давление обратно пропорционально объему, тогда как у паров, близких к насыщению, давление незначительно изменяется с объемом, а у насыщенных паров оно не изменяется.

8

4. Вблизи искривленной поверхности жидкости давление насыщенных паров отличается от их давления вблизи плоской поверхности. Условия динамического равновесия вблизи искривленной поверхности по своему физическому содержанию одинаковы с условиями у плоской поверхности и состоят в том, что М М интенсивности перехода молекул из М жидкости в газ и обратно одинаковы. Однако в случае искривленной поверхности F3 интенсивность обмена молекулами зависит F1 F2 от кривизны поверхности. Учет этой зависимости позволяет определить давление а) б) в) насыщенных паров вблизи искривленной поверхности. На рис. 3 изображены Рис. 3. различные искривления поверхности жидкости (буквой М обозначена молекула вблизи поверхности жидкости). Очевидно, что в случае б) сила больше, чем в а), а в случае в) - меньше, чем в а), поэтому в случае б), с одной стороны, молекулам труднее покинуть жидкость, а с другой стороны, молекулы пара более энергично вытягиваются в жидкость, чем в случае а). Это означает, что давление насыщенных паров в случае вогнутой поверхности жидкости меньше, чем в случае плоской. В случае выпуклой поверхности жидкости давление насыщенных паров увеличивается, как это следует из аналогичных рассуждений. Имеется еще одна причина, усиливающая это изменение давления насыщенных паров из-за кривизны поверхности. В случае б) давление за счет поверхностного натяжения направлено наружу жидкости, благодаря чему давление внутри жидкости вблизи ее поверхности уменьшается, столкновения между частицами становятся реже, а это еще больше уменьшает число частиц, покидающих жидкость, т.е. ещё сильнее снижается давление насыщенных паров вблизи вогнутой поверхности жидкости. В случае в) аналогичные причины действуют в противоположном направлении и увеличивают давление насыщенных паров вблизи выпуклой поверхности жидкости. Чтобы найти выражение для изменения ρ п давления ΔР насыщенных паров из-за искривления R поверхности жидкости, обратимся к рис.4, где изображена узкая трубка, опущенная в сосуд h Δρ жидкостью. Если сосуд с жидкостью и трубка помещены в В замкнутый то в пространстве над жидкостью А ρ ж при данной объем, температуре будет находиться насыщенный пар. Высота h столба жидкости капилляра и радиус R кривизны поверхности в Рис. 4. капиллярной трубке зависят от поверхностного натяжения и плотностей жидкости и насыщенного пара. Давление Р О на уровне поверхности жидкости АВ одинаково как внутри капилляра, так и вне его. Давление насыщенных паров на высоте h во всем сосуде также одинаково и равно Р h Тогда давление Р О на уровне АВ вне капилляра и внутри него соответственно равно: P0 = Ph + ρ n gh , (19) PO = Ph −

2σ + ρ Ж gh , R

(20)

9

где ρ Ж и ρ П - плотности жидкости и насыщенного пара, которые, полагаем с высотой не изменяются. Второй член в правой части уравнения (20) согласно формуле Лапласса выражает давление под искривленной поверхностью жидкости; для вогнутой поверхности оно отрицательно. Этот член учитывает разницу давлений по разные стороны искривленной поверхности жидкости. Приравнивая между собой величину Р 0 из (19) и (20), находим: gh =

2σ . R (ρ Ж − ρ П )

(21)

Из уравнения (19) с учетом (21) определим изменение давления насыщенного пара изза искривления поверхности жидкости : ΔP = P0 − Ph = ρn gh =

2σρ n , R (ρ ж − ρn )

(22)

где: gh в (22) выражено с помощью (21). Из уравнения (22) следует, что над вогнутой поверхностью давление насыщенного пара меньше, чем давление над плоской поверхностью, на величину ΔР .В случае выпуклой поверхности давление, наоборот, увеличивается на ΔР , по сравнению с плоской поверхностью. Выражение (22) называется формулой Томсона (Кельвина). 5. Плотность водяного пара, содержащегося в данном воздухе, выраженная в г/м 3 , называется абсолютной влажностью воздуха ( ρ а ) . В метрологии за абсолютную влажность воздуха принимается парциальное давление водяного пара, находящегося в воздухе при данной температуре. Абсолютная влажность измеряется обычно в мм. рт. ст. или в барах. В системе СИ давление водяного пара измеряется в Н/м2 (т.е. Паскаль). Большинство явлений, зависящих от влажности, например быстрота испарения или высыхания различных веществ, увядание растений, состояние организма человека и т.д., зависят не от количества паров, находящихся в атмосфере, а от того, близко или далеко это количество от насыщения. Поэтому вводят понятие так называемой относительной влажности. Отношение абсолютной влажности воздуха при данной температуре к плотности насыщенного водяного пара при той же температуре называется относительной влажностью воздуха (или парциального давления водяных паров, находящихся в воздухе при данной температуре, к давлению паров, насыщающих воздух при той же температуре). Обычно относительная влажность выражается в процентах: B=

ρА ⋅ 100% , ρН

(23)

B=

PА ⋅ 100% , PН

(24)

или

где: ρ А , PА - абсолютная влажность, т.е. плотность или парциальное давление паров при данной температуре Т; ρ Н , P Н - плотность и парциальное давление насыщенных паров при той же температуре Т.

10

Таким образом, относительная влажность характеризует степень насыщения воздуха водяным паром. Для жилых помещений нормальной влажностью считается относительная влажность, равная 60 - 70 %. Плотность и давление насыщенного водяного пара при различных температурах приведены в справочных таблицах [3]. О влажности воздуха можно судить только по относительной влажности, так как при одной и той же абсолютной влажности в зависимости от температуры воздух может казаться или сухим или влажным. Температура, при которой охлажденный воздух становится насыщенным водяными парами, называется точкой росы. При точке росы абсолютная влажность воздуха равна плотности насыщенного пара. Запотевание холодного предмета, внесенного в теплую комнату, объясняется тем, что воздух вокруг предмета охлаждается ниже точки росы и часть имеющихся в нем водяных паров конденсируется. Непосредственно можно измерить только суммарное давление воздуха и пара (атмосферное давление). Парциальное давление водяного пара определяется только косвенным путем. Насыщенные пары не подчиняются газовым законам. Давление насыщенного пара зависит от температуры. Эта зависимость для водяного пара тщательно изучена. Существуют специальные таблицы давления насыщенного пара для различных температур [5]. Одно и то же количество водяных паров в зависимости от температуры может либо насыщать воздух, либо не насыщать. Понижая температуру воздуха можно довести его до насыщения. Если охлаждать не весь воздух в данном пространстве, а только небольшой его слой, то давление водяного пара во всем пространстве практически не изменится. Поэтому давление водяных паров во всем данном пространстве мы можем считать равным давлению насыщенных паров в охлажденном слое. Измерив температуру охлажденного слоя, легко найти давление насыщенного пара по таблицам, т.е. искомую абсолютную влажность. Охлаждение воздуха до температуры насыщения и определение точки росы 1 2 осуществляется с помощью приборов, которые называются гигрометрами. Кроме гигрометров, для определения абсолютной и относительной влажности воздуха применяются психрометры, -tС -t В позволяющие быстро и без особых вычислений определять относительную влажность воздуха. В данной работе поставлена задача определить абсолютную и относительную влажность воздуха с помощью психрометра и 3 конденсационного гигрометра и сравнить полученные результаты между собой.

4

Описание измерительной установки В качестве психрометра используется бытовой гигрометр психрометрический типа ВИТ-2. Психрометр состоит из двух

Рис. 5.

11

одинаковых термометров 1 и 2, помещенных рядом (рис. 5) и психрометрической таблицы (на рисунке не показана), закрепленной непосредственно на передней панели. Причем шарик одного из термометров (влажный термометр) окружен влажной тканью - фитилем 3. Влажность ткани поддерживается постоянной благодаря тому, что ее конец (но не шарик термометра) опущен в сосуд - питатель 4, заполненный дистиллированной водой. Вода с ткани непрерывно испаряется и благодаря этому ткань, а также жидкость в резервуаре термометра охлаждается. Чем суше воздух, тем быстрее испаряется вода и тем больше разность показаний температур термометров. Измерив эту разность температур сухого и влажного термометра и температуру воздуха (показания сухого термометра), можно найти относительную влажность воздуха по специальной таблице [5] (психрометрической таблице ), составленной на основании измерения влажности воздуха другим способом. Определение относительной влажности по психрометрической таблице осуществляется следующим образом. По вертикальному левому столбцу температур психрометрической таблицы отмечается величина температуры, соответствующая температуре сухого термометра t c . По горизонтальной верхней строке психрометрической таблицы выбирается столбец, соответствующий разности температур сухого и увлажненного термометров (т. е. t c - t В ). В точке пересечения горизонтальной строки, соответствующей показаниям сухого термометра t c и вертикального столбца, соответствующего разности температур t c – t В считывается величина относительной влажности воздуха для данных условий проведения опыта. Тогда, при стопроцентной влажности воздуха показания обоих термометров должны быть одинаковы. Скорость испарения воды, кроме других факторов, зависит еще от движения 5 окружающего воздуха. Поэтому психрометр нельзя устанавливать в местах, где имеются потоки воздуха, во избежание ошибок в его показаниях. 1 В качестве конденсационного гигрометра в работе используется шарообразный кондуктор 1 2 от демонстрационного электрометра с полированной поверхностью (рис. 6), который 3 через промежуточную теплоизолирующую пробку 2 закреплен в лапке 3 физического 4 штатива 4. Для измерения температуры начала конденсации влаги на поверхности шара (точки росы) используется лабораторный термометр 5, помещенный непосредственно во внутреннюю Рис. 6. полость кондуктора 1 с охлаждаемой смесью.

Порядок выполнения работы Задание 1. Измерение относительной влажности воздуха с помощью психрометра. 1. Ознакомится с устройством психрометра. 2. Сверить показания обоих термометров и убедится в том, что эти показания не отличаются более чем на 0,25 о С ( Δt = ±0,2 ° С).

12

3. С помощью пипетки заполнить резервуар влажного термометра дистиллированной водой так, чтобы фитиль 3 влажного термометра был наполовину погружен в питатель 4 с водой. 4. Выждав 10 - 15 минут записать показания сухого и влажного термометров и вычислить их разность. 5. По психрометрической таблице, приведенной на лицевой панели психрометра, определить среднее значение относительной влажности воздуха при данной температуре воздуха в лаборатории. Применяя метод линейной интерполяции, для относительной влажности воздуха получим: Δt ′p Δt ′ B = B n + [B(t c + 1) − B(t c )] ⋅ 0 c + ⋅ B(t p ) − B(t p + 1) ⋅ o , (25) 1 C 1 C где Bn - относительная влажность, соответствующая целочисленным значениям температуры сухого термометра и разности температур сухого и влажного термометров; B(t c ), B(t c + 1) - относительная влажность, соответствующая соседним значениям показаний сухого термометра (по вертикальному столбцу); B(t p ) , B(t p + 1) -

[

]

относительная влажность, соответствующая соседним значениям разности температур сухого и влажного термометров (по горизонтальной строке); Δt′c - десятичная доля показаний сухого термометра; Δt′p - десятичная доля величины разности температур сухого и влажного термометров. 6. Определить значение абсолютной влажности ρ и давление насыщенного пара при комнатной температуре, используя табл. 133 [5]. 7. Определить значения относительной и абсолютной погрешностей измерений относительной влажности воздуха по формуле:

⎡ B − B(t р + 1)⎤ ⎡ B − B(t с + 1)⎤ +⎢ ε =k ⎢ ⎥ , (26) ⎥ B B ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2

2

ΔВ = ε ⋅ В

(27)

Δt = 0,2 - коэффициент пропорциональности; Δt = 0,2 0 C - абсолютная t n +1 − t n погрешность измерения температуры; t n ,t n +1 - соседние значения измеряемых температур.

где

k=

Задание 2. Измерение относительной влажности воздуха по точке росы.

1. Протереть мягкой тканью полированную поверхность шарообразного кондуктора и укрепить его в лапке штатива (рис. 6). 2. Налить в шарообразный кондуктор воду до половины его объема и опустить в нее лабораторный термометр. 3. Добавляя в воду кусочки льда или снега и помешивая ее, следить за понижением температуры воды в кондукторе; в момент появления росы (запотевания поверхности кондуктора) записать показания термометра t 1 . 4. Добавляя в кондуктор теплую воду небольшими порциями, определить температуру t 2 , при которой роса полностью исчезнет.

13

tК .

5. Определить по лабораторному термометру температуру воздуха в лаборатории 6. По значениям t 1 и t 2 вычислить точку росы: τ=

t1 + t 2 . 2

(28)

7. По таблице 133 [5] зависимости давления и плотности насыщенного водяного пара от температуры определить значение плотности насыщенного пара ρ Н , соответствующее комнатной температуре tК и плотность насыщенного пара ρ(τ ) , соответствующее температуре точке росы τ . 8. Рассчитать значение относительной влажности В воздуха в лаборатории по формуле (23): ρ(τ ) . (29) B= ρ(t К ) 9. Рассчитать относительную погрешность измерений В: 2

2

⎛ Δρ ⎞ ⎛ Δ ρ К ⎞ ⎟⎟ , ε е = ⎜⎜ τ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎝ ρ( τ) ⎠ ⎝ ρ(t К ) ⎠

(30)

где: Δρ τ = 0,2кг / м 3 - абсолютная погрешность измерения абсолютной влажности, соответствующая абсолютной погрешности измерения точки росы Δt τ = 0,50 C ;

Δρ К = 0,09кг / м 3 - абсолютная погрешность определения плотности насыщенного пара при комнатной температуре, соответствующая абсолютной погрешности измерения Δt К = 0,10 C . Примечание. Во время выполнения работы старайтесь не дышать в сторону шарообразного кондуктора.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте закон Дальтона. Что называется парциальным давлением? 2. Что называется абсолютной влажностью воздуха? Что называется относительной влажностью воздуха? 3. Какой пар называется насыщенным? Свойства насыщенного пара. 4. Сформулировать «правило рычага» для отношения масс жидкой и газообразной фаз. 5. Зависимость давления насыщенного пара от кривизны испаряемой поверхности жидкости. 6. Принцип действия конденсационного гигрометра и жидкостного психрометра.

14

7. Рассчитайте, какое количество водяных паров содержится в воздухе помещения объемом 60 м 2 при относительной влажности воздуха 75 % и температуре 20 ° С . Определить Δm конденсата при охлаждении воздуха до 5 ° С.

Приложение.

Таблица 1. Давление p и плотность ρ насыщенного водяного пара при различных температурах

t, °C

P, Па

ρ, г/м3

t, °C

p, Па

ρ, г/м3

-30 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

37,33 106 113,32 125,32 137,32 150,65 165,32 181,32 198,65 217,31 237,31 253 283,98 309,3 337,3 367,97 400 437,3 476 517 560 613 653 707 760 813

0,33 0,88 0,96 1,05 1,15 1,27 1,38 1,51 1,65 1,80 1,96 2,14 2,33 2,54 2,76 2,99 3,24 3,51 3,81 4,13 4,47 4,84 5,22 5,60 5,98 6,40

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100

867 933 1000 1067 1147 1226 1306 1400 1493 1600 1707 1813 1933 2066 2200 2333 4240 7375 12330 19918 31157 47343 70100 101325

6,84 7,3 7,8 8,3 8,8 9,4 10,0 10,7 11,4 12,1 12,8 13,6 14,5 15,4 16,3 17,3 30,3 51,2 83,0 130 198 293 424 598

Литература

1. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. Уч. пособие для ВТУЗов. -М.: В.Ш., 1989. 2. Матвеев А.Н. Молекулярная физика: Учеб. для физ. спец. вузов. – 2-е изд.: М.: Высш. шк., 1987.-360 с. 3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.2. –М.: Наука, 1974. 4. Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики. Росвузиздат, 1963г. 5. Енохович А. С. Краткий справочник по физике. Изд. 2-е.-М.: В.Ш., 1976.

15

Лабораторная работа Т.12 Измерение молярной газовой постоянной Цель работы : экспериментальное определение универсальной газовой постоянной методами измерения парциального давления паров ацетона и сравнения двух состояний газа.

Теоретические сведения Свойства тел, находящихся в газообразном состоянии, обуславливаются как тепловым движением молекул, так и силами взаимодействия между ними. Чем больше расстояние между молекулами, тем слабее их взаимодействие. Однако, как бы ни был разрежен газ, у реального газа всегда будут существовать силы взаимодействия между молекулами, обладающими определенными конечными размерами. Если допустить, что молекулярные силы взаимодействия полностью отсутствуют, а размеры молекул настолько малы, что ими можно пренебречь по сравнению с расстояниями между ними, то получим модель так называемого идеального газа. Молекулярно кинетическая теория рассматривает идеальный газ как совокупность огромного числа материальных частиц - молекул, находящихся в непрерывном, беспорядочном свободном движении. Взаимодействие между ними сводится к упругому удару при столкновениях. К такому газу полностью применимы законы классической механики. Основной особенностью газов является их стремление распространяться на возможно больший объем. Это проявляется в той силе давления, которую испытывает всякая преграда, ограничивающая газ. Кинетическая теория позволяет вычислить величину этого давления, исходя из модели идеального газа. Предположим, что газ находится в сосуде, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда, грани которого расположены перпендикулярно осям X, Y, Z. Чтобы определить давление газа на одну из этих граней, надо подсчитать импульс, сообщаемый молекулами единице поверхности стенки за 1 секунду. Пусть молекула движется по направлению к стенке, перпендикулярной оси X, и имеет скорость, составляющие которой есть υ x , υ y , υ z . При упругом ударе молекулы о стенку изменит знак на обратный только составляющая скорости υ x . Импульс, сообщаемый стенке, за одно столкновение будет равен: mυ x − (− mυ x ) = 2mυ x .

где m - масса молекулы. Если расстояние между противоположными стенками параллелепипеда по оси X равно l x , то время между двумя последовательными 2l x соударениями об одну и ту же стенку, перпендикулярную оси X, будет равно . Таким υx υx образом, за одну секунду молекула ударится о стенку раз и сообщит ей импульс, 2l x

υ 2x , а общий импульс, передаваемый ежесекундно площадке S x = l z ⋅ l y , от всех lx n молекул, находящихся в объеме параллелепипеда V, и равный силе Fx, действующей на эту площадку, будет равен

равный m

16

Fx =

1 lx

n

∑m υ i

2 xi

=

1

n υ2 1 1 nm ∑ xi = nm υ xi2 , n lx lx 1

где υ x2 - среднее значение квадратов компонент скорости молекул υ x . В силу беспорядочности движения молекул все направления в таком газе должны быть равноценны, поэтому υ x2 = υ y2 = υ z2 . Но, так как υ x2 + υ y2 + υ z2 = υ 2 , то

Fx =

1 n mυ 2 . lx 3

Поделив правую и левую части равенства на S x = l z ⋅ l y , и замечая, что Fx/Sx есть давление газа p, получим

p=

1 1 n mυ 2 = n o mυ 2 , 3 3V

где V = l x ⋅ l y ⋅ l z - объем параллелепипеда, n0 - число молекул в единице объема. Полученную формулу можно переписать следующим образом

p=

2 ⎛ mυ 2 no ⎜ 3 ⎜⎝ 2

⎞ ⎟⎟. ⎠

(1)

mυ 2 - средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы. 2 Установлено, что для системы контактирующих тел, находящихся в тепловом равновесии, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул одинакова и является такой же характеристикой состояния тел, как и температура, она связана только с температурой и поэтому может быть выбрана в качестве ее меры. Для идеального газа принято определять температуру θ как физическую величину, 2 численно равную от средней кинетической энергии молекул 3 2 mυ 2 . θ= ⋅ 3 2

Здесь

Здесь θ имеет размерность энергии и может быть измерена, например, в Дж. При измерении температуры Т в градусах Кельвина необходимо ввести множитель k, называемый постоянной Больцмана, устанавливающий соотношение между джоулем и градусом. По современным экспериментальным данным k=1,380·10-23 Дж/град. Тогда формула, связывающая среднюю кинетическую энергию с абсолютной температурой Т, будет mυ 2 3 = kT. 2 2

(2)

17

Из формул (1) и (2), называемых основными уравнениями кинетической теории газов, можно установить зависимость давления от температуры p = n 0 kT. Умножив правую и левую части на объем одного моля газа V0, получим pV0 = NаκT = RT,

(3)

где Nа = n0V0 - число молекул в одном моле газа (число Авогадро), универсальная газовая постоянная, равная R= 8,314·Дж/град·моль. Для ν молей газа уравнение (3) имеет вид pV = νRT,

R = kNа -

(4)

m , m - масса газа, μ - масса моля. Уравнение (4) называют μ уравнением состояния идеального газа (Клапейрона - Менделеева). Из этого уравнения легко видеть, что при постоянной температуре произведение объема на давление для данной массы газа есть постоянная величина pV = const . Это известный закон Бойля - Мариотта. Тогда уравнение, описывающее состояние идеального газа перепишется в виде:

где V - объем

ν

молей газа, ν =

pV =

m RT. μ

(5)

Отсюда молярная газовая постоянная R=

pVμ , mT

(6)

Как видно из уравнения (6) для определения универсальной газовой постоянной R необходимо определить давление газа P, объем газа V, абсолютную температуру газа Т, массу газа m и молярную массу газа. μ .

Вариант 1.

Если в сосуд известного объема ввести определенную массу легко испаряющейся жидкости, а после того, как она полностью испарится, измерить, на сколько увеличилось давление внутри сосуда, то, зная молярную массу испарившейся жидкости и температуру, можно, пользуясь формулой (6), вычислить числовое значение молярной газовой постоянной. Описание установки и метода измерения.

Измерительная установка показана на рисунке 1. Она состоит из стеклянного сосуда 1 объемом 1л; закрытого резиновой пробкой 3 с двумя отверстиями, в одно из которых вставлена стеклянная трубка 2, а в другое - микробюретка 4 с ацетоном. На верхний конец микробюретки надета резиновая трубка 5, в которую вставлен шприц 6 объемом 1 мл для впрыскивания ацетона. Сосуд 1 соединен с левым коленом водяного манометра 10 с помощью резиновой

18

трубки 8 и стеклянного тройника с краном 9. Правое колено манометра подвижно, его положение фиксируется зажимом 11. Измерение температуры газа осуществляется лабораторным термометром (на рис.1 не показан). Молярная масса вводимого ацетона μ = 0,058 ρ A =790 кг/моль, масса кг/моль, плотность m = ρ A VA , где VA - объем введенного в сосуд ацетона. Объем ацетона определяется непосредственно по нанесенным оцифрованным делениям микробюретки, с абсолютной погрешностью ΔV = 0,03 мл. Так как парциальное давление паров ацетона Р измеряется водяным манометром по разности уровней воды в его коленах, то p = ρ е gh е ,

(7)

ρ В - плотность воды, g - ускорение свободного падения, h В - разность уровней воды в коленах

где

манометра. Учитывая равенство (7), формулу (6) можно записать в следующем виде:

Рис. 1.

R=

ρ е gμ V h е ⋅ ⋅ . ρ A T VA

(8)

Первый сомножитель в выражении (8) является величиной постоянной, второй постоянен для конкретных условий проведения опыта (постоянные температура, объем сосуда). Таким образом, измерение молярной газовой постоянной сводится к измерению объема жидкого ацетона, введенного в сосуд, и разности уровней воды в коленах манометра, обусловленной давлением паров ацетона. Точный объем сосуда с учетом объема резинового шланга, соединяющего сосуд с манометром, и объема трубки манометра до уровня нулевой отметки написан на стенке сосуда 1 ( Vo = 1231,68 см3 ).

Порядок выполнения работы 1.

Подготовьте в тетради таблицу для записи результатов измерений и вычислений: № опыта

2. 3.

V, м3

VA, м3

T, О С

hВ, м

Ознакомьтесь с устройством установки по рис. 1. Заполните шприц-микробюретку ацетоном объемом VА≅0,1 мл.

Табл. 1 R, Дж/моль·К

19

4. Вставьте шприц-микробюретку с ацетоном в игловое гнездо. 5. Откройте кран у тройника 9 и, перемещая правое колено манометра, установите уровень воды на нулевую отметку шкалы. После этого закройте кран 9. 6. Нажимая на поршень шприца-микробюретки вылейте весь ацетон из микробюретки в сосуд. Наблюдайте за изменением показаний манометра. После того, как весь ацетон испарится, показания манометра перестанут меняться. 7. Передвигая правое колено манометра, установите уровень воды в левом колене на нулевую отметку. Это необходимо сделать для сохранения объема воздуха в сосуде и трубках (резиновой и стеклянной) таким же, как и в начале опыта. Тогда манометр покажет только парциальное давление паров ацетона, так как температура смеси газов во время опыта остается неизменной. 8. Отсчитайте по шкале манометра величину разности уровней воды в его коленах. 9. По лабораторному термометру определите температуру окружающего воздуха. 10. Занесите измеренные параметры в таблицу. 11. Откройте сосуд 1. 12. Вычислите молярную газовую постоянную по формуле (8). 13. Вычислите относительную и абсолютную погрешности измерений по приведенным ниже формулам: 2

2

⎛ ΔT ⎞ ⎛ Δ h ⎞ ⎛ Δ V ⎞ ε= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ T ⎠ ⎝ h ⎠ ⎝ V ⎠

2

,

ΔR = ε ⋅ R .

(9) (10)

Вариант 2. Содержание и метод выполнения работы Пусть в сосуде объемом V1 при температуре T1 и давлении P1 содержится воздух массой m1 . Тогда уравнение (4), описывающее состояние воздуха в данном объеме перепишется в виде: m (5) P1 V1 = 1 RT1 . μ Путем откачки или нагнетания воздуха в стеклянную колбу при неизменной температуре можно получить второе состояние, характеризуемое следующими параметрами: m2 , P2 , V 1 , T1 . Уравнение Клапейрона - Менделеева для второго состояния запишется в форме: m (6) P2 V1 = 2 RT1 . μ Вычитая из уравнения (6) уравнение (5) и учитывая, что объем воздуха V 1 и его температура T1 во время опыта оставались постоянными, получим:

V1 (P2 − P1 ) =

RT1 (m 2 − m1 ), μ

(7)

20

Отсюда универсальная газовая постоянная определится

R=

μ ⋅ V1 P2 − P1 ⋅ T1 m 2 − m1

(8)

Здесь молярная масса воздуха μ = 29·10-3 кг/моль.

Описание измерительной установки. Измерительная установка (см. рис.1) образована стеклянной колбой сферической формы и резиновой пробкой, через которую пропущена стеклянная трубка с краником. Объем колбы V = 1,1⋅10-3 м3 (обозначен на боковой стенке колбы). Краник через резиновые трубки и стеклянный тройник соединяется с манометром от прибора для изучения газовых законов, с пределами измерений от –1 ат до +2,5 ат, и с ручным воздушным насосом, поршневого типа. Масса колбы определяется с помощью аптечных весов, типа ВА-М-200 и набора гирь Г4-210. Температура воздуха в колбе измеряется лабораторным термометром типа, СП-2П с пределом измерения от 0 до +500С с ценой деления 0,10С. Давления P1 и P2 воздуха в колбе измеряются манометром. При этом следует учесть, что манометр измеряет избыточное давление в технических атмосферах (1 ат ≅ 105 Па). Поэтому обозначениям шкалы: – 1; – 0,5; 0; +0,5; +1; +1,5 ат соответствуют давления: 0; 0,5·105; 1·105, 1,5·105, 2·105; 2,5·105 Па.

Рис.1 Для определения разности масс (m2-m1 ) достаточно произвести два взвешивания (измерить массу колбы с воздухом одного и другого состояний) и найти разность между результатами взвешиваний.

П р е д у п р е ж д е н и е ! В целях безопасности стеклянная колба должна во время опытов находиться в матерчатом чехле, затянутом и завязанном шнурком.

21

Порядок выполнения работы 1. Подготовьте в тетради таблицу для записи результатов измерений и вычислений. 2. Соберите установку по рис.1. С помощью резиновых трубок и стеклянного тройника соедините колбу с манометром и откачивающим патрубком насоса. 3. При открытом кранике, медленно откачивая насосом воздух, доведите давление в колбе до -1 ат, что соответствует значению P1. 4. Закройте краник на колбе и отсоедините резиновый патрубок от краника. 5. Установите колбу на весы и проведите измерение массы m1 колбы с воздухом для первого состояния. 6. Для получения второго состояния воздуха снимите колбу с весов и откройте краник, соединив объем колбы с атмосферой. Давление в колбе будет соответствовать атмосферному P2 = 0 ат. 7. Установите колбу на весы и проведите измерение массы колбы с воздухом m2 для второго состояния. 8. Подсоедините колбу к установке. Переставьте резиновую трубку с разрежающего патрубка насоса на нагнетающий и при открытом кранике, медленно нагнетая насосом воздух, доведите давление в колбе до +0,5 ат, что соответствует значению давления P3. 9. Закройте краник на колбе и отсоедините резиновый патрубок от краника. 10. Выполните пункт 7. 11. Повторите опыт еще два раза, увеличивая каждый раз давление на 0,5 ат. Выполните пункты 8,9,10 для различных состояний воздуха в колбе, соответствующие давлениям: +1,0 и +1,5 ат. 12. Измерьте температуру воздуха в помещении. 13. Результаты измерений запишите в табл. 2: Табл. 2 № n/n

V, см3

Т, О С

1 2 3 4 5 6

Р, атм

R, Дж/моль К

m, г

–1 –0,5 0 +0,5 +1,0 +1,5

14. Пользуясь данными таблицы, вычислите числовое значение универсальной газовой постоянной R для любых двух состояний по формуле (8). 15. Вычислите для R среднее числовое значение и определите относительную и абсолютную погрешность результата по формулам: 2

2

2

2

⎛ ΔT ⎞ ⎛ ΔV ⎞ ⎛ 2Δm ⎞ ⎛ 2ΔP ⎞ ⎟⎟ , (9) ⎟⎟ + ⎜⎜ ε= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎝ T ⎠ ⎝ V ⎠ ⎝ m 2 − m1 ⎠ ⎝ P2 − P1 ⎠ ΔR = ε ⋅ R ,

(10)

где абсолютные погрешности измеряемых величин соответственно равны:

ΔТ=0,10 С,

ΔV=0,5 см3 ,

Δm=0,05 г,

ΔP=0,05 ат.

22

Контрольные вопросы 1. Модель идеального газа и его свойства. 2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа. 3. Уравнение состояния идеального газа. Закон Авогадро. Молярные и удельные величины. 4. Парциальное давление. Закон Дальтона. 5. Каков физический смысл молярной газовой постоянной? 6. Опишите измерительную установку и метод измерения молярной газовой постоянной. 7. Какая из величин измеряется в работе с наибольшей погрешностью? 8. Почему в расчетную формулу не входит атмосферное давление?

Литература 1. 2. 3. 4.

Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. –М.: Высш. Шк., 1989. Савельев И.В. Курс общей физики, ч. I.-М.: Наука, 1988. Трофимова Т.И. Курс физики. – М. : Высш. Шк., 1985. Руководство к лабораторным работам по физике. Под ред. Л.Л. Гольдина, изд. 2-е, из-во «Наука», 1973. 5. Енохович А. С. Краткий справочник по физике. Изд. 2-е.-М.: В.Ш., 1976.

23

Лабораторная работа Т.13 Определение коэффициента линейного расширения твердого тела Цель работы - определение температурного коэффициента линейного расширения методом измерения относительного удлинения металлической трубки. Теоретические сведения Явление изменения размеров тел при их нагревании называется тепловым расширением. Частицы в кристаллической решетке твердого тела могут совершать небольшие колебания относительно положения равновесия под действием сил притяжения и отталкивания, действующих со стороны соседних частиц. Эти силы электрической природы создают внутри кристалла поле, график потенциальной энергии которого U как функции расстояния r изображен на рис. 1.

Рис. 1 Частица совершает колебания относительно точки М, потенциальная энергия которой минимальна. Тепловое расширение связано с тем, что силы в кристаллической решетке не совершенно упругие, т.е. зависимость от расстояния частицы до положения равновесия не линейна, а содержит члены второй и более высоких степеней, влияние которых возрастает с ростом амплитуды колебаний. Для рассмотрения качественной стороны происходящего процесса достаточно воспользоваться простейшей моделью двух частиц. Пусть частицы в равновесном состоянии находятся на расстоянии r 0 и, совершая колебания, в какой то момент оказались на расстоянии r 0 + ε. Тогда частицы будут возвращаться в положение равновесия силой

ƒ = -a ⋅ε + b ⋅ε 2 ,

(1)

где член b ε 2 показывает отклонение от закона упругого взаимодействия. Для качественного рассмотрения проблемы достаточно (для малых амплитуд) ограничиться только первым членом a ε . Тогда соответствующая потенциальная энергия равна:

1 2 aε 2

(так как

∂U = −ƒ ∂ε

или

1 U = ∫ ƒ ∂ε = aε 2 ). 2

Для этой простейшей модели колебания совершаются вдоль прямой, соединяющей колеблющиеся частицы, и им соответствует одна степень свободы. Согласно принципу равномерного распределения энергии по степеням свободы на это движение приходит-

24

ся энергия

1 kT , где k - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура. 2

С другой стороны, если мы учитываем только упругую часть силы, то можно утверждать, что эта энергия равна средней потенциальной энергии, т.е.

где

ε

1 1 kT = aε 2 , 2 2

(2)

- среднее отклонение частицы от положения равновесия. Отсюда

ε2 =

kT . a

(3)

Так как среднее значение силы f должно быть равно нулю, то

− a ε + bε 2 = 0 . Отсюда

ε=

b 2 ε . a

Подставляя в последнее равенство значение

ε=

(4)

ε 2 , получаем

bkT . a2

(5)

Из этого уравнения следует, что среднее значение отклонения от равновесия вследствие теплового движения меняется на величину, пропорциональную абсолютной температуре. Соответственно изменяются и размеры всего тела. Различают линейное тепловое расширение (изменение линейных размеров тела) и объемное тепловое расширение (изменение объема тела). Первое характеризуется коэффициентом линейного расширения α . Второе - коэффициентом объемного расширения β . Так как одно и то же тело при различных температурах расширяется по разному (обычно при высоких температурах больше, чем при низких), то и величины, характеризующие тепловое расширение α и β , зависят от температуры. Однако, при относительно небольших изменениях температуры, это изменение коэффициентов α и β для данного вещества невелико. Поэтому им можно пренебречь и считать, что изменение размеров тела пропорционально изменению температуры. Для большинства кристаллических тел относительное удлинение dl пропорционально изменению температуры dt:

dl = α ⋅ dt l Пусть при температуре t 0 длина тела равна

(6)

l 0 , при температуре t длина этого же тела - l . Удлинение тела при нагревании на t − t 0 равно l − l 0 . Тогда удлинение l − l0 тела на 1 0 С будет равно . Это общее удлинение тела зависит от размеров тела; t − t0 оно тем больше, чем больше размеры самого тела. Для того, чтобы получить характеристику теплового расширения материала, не зависящую от размеров самого тела, необходимо удлинение тела при нагревании на один градус разделить на длину тела при определенных «нормальных» условиях. Так

25

как обычно считается «нормальной» температура 0 0 С, то величина, характеризующая тепловое расширение материала, равна

l − l0 . Эту величину и называют l 0 (t − t 0 )

коэффициентом линейного расширения. Итак,

α=

l− l0 , l 0 (t − t 0 )

(7)

т.е. коэффициентом линейного расширения называется численное увеличение единицы длины тела при нагревании его на один градус. Аналогично выводится коэффициент объемного расширения β . Если V 0 - объем тела при t 0 , а V - объем этого же тела при другой температуре t, то коэффициент объемного расширения

β=

V − V0 . V0 ( t − t 0 )

(8)

Между коэффициентом объемного расширения β и коэффициентом линейного расширения α существует простая связь

β = 3 ⋅α .

(9)

Эта связь легко получается из следующих рассуждений. Пусть куб со стороной расширяется от нагревания. Его начальный объем градусов каждая его сторона станет равной Следовательно,

β=

3

l

V0 = l . При нагревании куба на Δ t

l(1+ αΔt ) ,

а объем

V = l 3 (1 + αΔt ) . 3

V − V0 l3 (1 + αΔt ) − l3 (1 + αΔt ) − 1 = = = l 3 Δt V0 Δt Δt 3

3

= 3α + 3α 2 Δt + α 3 (Δt )

2

Так как величина α очень мала и Δt невелико, то членами

3α 2 Δt

и

α 3 ( Δt )

2

можно пренебречь по сравнению с α и считать, что β = 3⋅α, т.е. коэффициент объемного расширения приближенно равен утроенному коэффициенту линейного расширения. Для анизотропных кристаллов коэффициент линейного расширения α различен для различных направлений. Это ведет к тому, что, расширяясь, кристалл меняет свою форму. Некоторая физическая прямая (линия, связанная с определенными частицами твердого тела) при тепловом расширении такого кристалла, вообще говоря, не остается прямой. Однако в каждом кристалле есть такие направления, вдоль которых физическая прямая остается прямой при тепловом расширении. Эти направления называются кристаллографическими осями. Значения коэффициентов теплового расширения α вдоль кристаллографических осей называют главными. В общем случае кристаллы обладают тремя осями и тремя различными главными коэффициентами линейного теплового расширения α 1 , α2 , α 3 . Для некоторых кристаллов эти три направления взаимно перпендикулярны. Представим себе параллелепипед, вырезанный из кристалла, со взаимно перпендикулярными осями с длиной ребер при температуре t 0 = 0°С, равной l 01 , l 02 , l 03 . Объем этого параллелепипеда

26

V0 = l 01 ⋅ l 02 ⋅ l 03 .

(10)

При нагревании до температуры t длины ребер примут значения

l 1 = l 01 (1 + α 1 t ), l 2 = l 02 (1 + α 2 t ), l 3 = l 03 (1 + α 3 t ). Новый объем параллелепипеда будет равен

V = V0 (1 + α 1t ) ⋅ (1 + α 2 t ) ⋅ (1 + α 3 t ). Произведя перемножения и пренебрегая всеми произведения величин α 1 , α 2 , α3 , получим приближенно

(11) членами,

V = V0 [1 + (α 1 + α 2 + α 3 ) t ]. С другой стороны:

V = V0 (1 + βt ).

содержащими

(12) (13)

Из сравнения двух последних формул получим:

β = α1 + α 2 + α 3 .

(14)

Таким образом, коэффициент объемного расширения кристалла равен сумме его главных коэффициентов линейного расширения. Для изотропного тела α1 = α2 = α3 = α и мы снова получаем из (14) уже выведенное ранее соотношение. β= 3⋅α. Как видно из соотношения (7), для определения коэффициента линейного расширения α необходимо измерить длину тела при двух различных температурах.

Описание измерительной установки. Принципиальная схема установки показана на рис.2. Основным элементом установки является электрическая печь косвенного нагрева цилиндрической формы. Электрическая печь состоит из кварцевой трубки 1 (см.рис.2) на которую равномерно намотана электрическая спираль нагревателя 5. Исследуемый образец 2 выполнен в виде полой цилиндрической трубки диаметром 8 мм и длиной 350 мм, который помещается внутри кварцевого нагревателя 1. С обоих концов исследуемый образец 1 поджимается буферными кварцевыми трубками 3. Контроль и измерение температуры исследуемого образца осуществляется с помощью термопарного датчика 4, который вводится непосредственно во внутреннюю полость последнего. Этот же термопарный датчик 4 служит для контроля равномерности прогрева образца. Электрический нагреватель 5 помещается в теплоизолирующий кожух 6, который с помощью опорных стоек 7 неподвижно закрепляется на опорной плите 8. Буферные трубки 3 с одной стороны упираются в ось микрометрического индикатора 9, а с другой – в регулировочный винт 11. Индикатор перемещений 9 и регулировочный винт 11 жестко закреплены к опорной плите 8 с помощью опорных стоек 10 и 12.

27

Использование в данной установке буферных опорных трубок 3 позволяет исключить погрешности, обусловленные температурным расширением конструктивных элементов нагревательной печи. Питание электрического нагревателя 5 осуществляется переменным током от понижающего трансформатора напряжением 40 В.

Рис. 2 Выведем рабочую формулу для расчета коэффициента линейного расширения α. Пусть длина образца при температуре t 0 = 0°С равна l 0 , тогда при температуре t 1 а при температуре t 2

l t 1 = l 0 (1 + αt 1 ),

(15)

l t 2 = l 0 (1 + αt 2 ),

(16)

Разделив почленно равенства (15) и (16) друг на друга, получим

l t1 lt2

=

1 + αt 1 . 1 + αt 2

(17)

Отсюда коэффициент линейного расширения определится

α= где:

l t2 − l t 1

t 2 l t 1 − t 1l t 2

,

(15)

l t 1 - длина исследуемого образца при температуре t1; l t 2 -длина этого

образца при температуре t 2 .

Порядок выполнения работы. Эксперимент рекомендуется проводить в следующем порядке. 1. Тщательно измерить длину исследуемого стержня l t

1

при

комнатной

температуре. Значения температуры и начальной длины занести в таблицу. 2. Поместить исследуемый образец в печь и вставить с каждой стороны буферные кварцевые трубки.

28

3. С помощью регулировочного винта 11 установить нулевое деление микрометрического индикатора перемещений 9. 4. Подключить нагреватель печи 5 к электросети. 5. По шкале микровольтметра ( на рис.2 не показан), подключенного к термопарному датчику следить за изменением температуры исследуемого образца. После того как температура исследуемого образца-трубки станет равной 50°С, измерить удлинение стержня l 50 – l o . Такие же измерения произвести при 100°С и 150°С, записав соответственно удлинения l100 – l 50 и l 150 – l100 . 6. После измерения удлинения стержня при температуре 150 0 С нагреватель выключается, и , когда температура стержня станет равной 100°С, снова проводятся измерения удлинения стержня l 150 – l 100 , аналогичные измерения l 100 – l 50 проводятся при температуре 50°С. 7. Полученные данные занести в таблицу и по формуле (15) рассчитать среднее значение коэффициента линейного расширения для исследуемого образца. 8. Рассчитать относительную и абсолютную погрешности измерений коэффициента линейного расширения.

Контрольные вопросы 1. Как объяснить с точки зрения молекулярно-кинетической теории тепловое расширение твердых тел? 2. Дать определение коэффициента линейного и объемного расширения твердых тел. В каких единицах измеряется коэффициент линейного расширения? 3. Выведите строгую формулу зависимости линейных размеров тела от температуры путем интегрирования уравнения (6а). 4. Опишите измерительную установку и метод измерения коэффициента линейного расширения. Какие условия необходимо выполнять для точного определения коэффициента линейного расширения. 5. Почему в рассматриваемой работе первоначальная длина исследуемого образца lo измеряется с меньшей точностью, чем величина lt – lo ? 6. Используя табличное значение коэффициента линейного расширения рассчитать укорочение длины токопроводящего алюминиевого провода длиной 100 м при изменении температуры от +20 о С до –10 о С.

Литература 6. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. –М.: Высш. Шк., 1989.

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.2. М.: Наука,1990. 7. Руководство к лабораторным работам по физике. Под ред. Л.Л. Гольдина, изд. 2-е, из-во «Наука», 1973. 8. Енохович А. С. Краткий справочник по физике. Изд. 2-е.-М.: В.Ш., 1976.