Естественная геометрия семейств вероятностных законов

Е. А. Морозова, Н. Н. Ченцов ЕСТЕСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ СЕМЕЙСТВ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАКОНОВ (Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. ВИНИТИ, 1991. т.83. С. 133-265)

Рассматривается дифференциальная геометрия многообразий вероятностных мер, инвариантная относительно категории статистических решающих правил (марковских морфизмов), которая дает естественный язык как описания статистической модели — априорной информации о статистическом эксперименте, так и построения оптимальных методов обработки данных такого эксперимента. Показано, что средняя информация, содержащаяся в смысле Фишера в выборке, является монотонным инвариантом вышеуказанной категории, аддитивным относительно функтора тензорного умножения распределений. Выяснена некорректность задачи статистической точечной оценки, как обратной задачи теории вероятностей, при полном отсутствии априорной информации о многообразии распределений вероятностей исходов наблюдаемого случайного явления. Прослежены многочисленные аспекты приложения к статистическим моделям геометрического языка всех уровней, включая несимметричную пифагорову геометрию в задаче проверки простых гипотез, геометрию гладких многообразий с двумя сопряженными инвариантными линейными связностями в параметрической статистике, и теорию информационных поперечников по Колмогорову в вопросах статистического оценивания гладких кривых. Содержание § 0. Введение. Исторические замечания 133 § 1. Задача статистической точечной оценки как обратная задача теории 140 вероятностей § 2. Категория статистических решающих правил и эквивалентность 144 статистических экспериментов § 3. Инварианты пары распределений вероятностей и информационные 153 количества § 4. Задача различения нескольких простых гипотез 161 § 5. Аддитивный инвариантный тензор информации Фишера 167 § 6. Инвариантные линейные связности в многообразиях распределений 172 вероятностей § 7. Канонические экспоненциальные семейства распределений 181 вероятностей § 8. Несимметричная пифагорова геометрия информационных количеств 190 § 9. Параметрическая задача статистического оценивания. Неравенство 195 информации § 10. Параметрическая задача статистического оценивания. Интегральное 208 неравенство информации § 11. Параметрическая задача статистического оценивания. 226 Асимптотически оптимальные оценки § 12. Бесконечномерные квазиоднородные многообразия распределений 240

вероятностей. Информационные поперечники § 13. Геометризация статистической теории (краткий библиографический 256 обзор Литература 957 Именной указатель 270 Предметный указатель 272 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Гхош (Ghosh J. К.) 226, 262 Абу-Жауд (Abou-Jaoude S.) 143, 259 Дармуа (Darmois G.) 197, 256, 262 Айрленд (Irelend С. Т.) 257, 263 Джефрейс (Jeffreys H.) 134, 135, 214, Амари (Amari S.-i.) 134, 137, 138, 139, 215, 257, 263 140, 161, 167, 173, 174, 179, 180, Джоши (Joshi V. М.) 162, 205, 263 190, 191, 196, 248, 249, 256, 257, Додсон (Dodson С. Т. J.) 134, 140, 259, 263 167, 262 Барндорф-Нильсен (Barndorff-Nielsen Дынкин Е. Б. 188, 257 О. Е.) 140, 161, 232, 257, 259, Ибрагимов (Ibragimov I. A.) 207, 226, 260 240, 246, 256, 257, 263 Басу (Basu D.) 232, 260 Бегэн (Begun Ингарден (Ingarden R. S.) 140, 167 J. М.) 160, 260 Йоргенсен (Jorgensen E. N.) 158, 263 Беран (Beran R.) 135, 260 Кавагучи (Kawaguchi M.) 167, 263 Беркхолдер (Burkholder D.) 150, 261 Каган А. М. 192, 195, 196, 206, 226, Бикел (Bickel P. J.) 160, 261 257 Блекуэлл (Blackwell D.) 139, 201, 148, Касс (Kass R. E.) 139, 140, 160, 161, 257, 261 180, 226, 232, 256, 262, 263 Блэсилд (Blaesild P.) 140, 161, 232, Кендалл (Kendall W. S.) 256 262 256, 260 Козлов В. П. 135, 257, 258 Большее Л. Н. 204, 256, 257 Кокс (Сох D. R.) 257, 260, 261, 264 Браун (Brown L. D.) 257, 261 Колмогоров А. Н. 134, 144, 167. 201, Бурдеа (Burdea J.) 257, 261 246, 257, 258 Бхаттачария (Bhattacharyya A.) 135, Крамер (Cramer H.) 197, 256, 257 261 136, 169, 170, 173, 179, 193, 199, Криз (Kriz Т. А.) 256, 263 213, 257, 260 Кульбак (Kullback S.) 136, 137, 161, Бэйтс (Bates D. M.) 226, 260 162, 167, 190, 193, 208, 217, 230, Вальд (Wald A.) 139, 144, 257, 265 257, 263 Ван Райзин (Van Ryzin J.) 241, 265 Кумон (Kumon M.) 256, 259, 263 Ван Цвет (Van Zwet W. R.) 160, 261 Кэмпбелл (Campbell L. L.) 167, Веллнер (Wellner J. A.) 160, 260 180, 261 Вижсман (Wijsman R. A.) 206, 256, Лаплас П. С. 145 265 Лауритцен (Lauritzen S. L.) 138, 190, Виттинг (Witting H.) 197, 199, 256, 256, 257, 262, 263 265 Лейблер (Leibler R. A.) 161, 263 Воробьев Н. Н. 257 Леман (Lehmann E. L.) 138, Гаек (Hajek J.) 199, 262 213, 263, 264 Гельфанд И. М. 167, 257 Гиршик (Girshick M. A.) 213, 262

Ле Кам (Le Cam L.) 139, 151, 160, 199, 257, 264 Линник Ю. В. 232, 257 Мак Куллах (Me. Cullagh P.) 256, 264 Монетт (Monette G.) 232, 262 Мора (Мога М.) 256, 261, 264 Морозова Е. A. 140, 150, 151, 157, 158, 170, 172, 177, 179, 257, 264 Mope (Morse N.) 139, 150, 264 Надарая Э. A. 143 Неве (Neveu J.) 151, 264 Нейман (Neyman J.) 145, 148, 162, 264 Никольский С. М. 246 Норден А. П. 179, 190, 258 Оническу (Onicescu О.) 257, 264 Парзен (Parzen E.) 143, 241, 264 Пикар (Picard D. В.) 166, 257, 264 Пирсон (Pearson E. S.) 145, 148, 162, 264 Питмен (Pitman E. J. G.) 212, 264 Пфанцагль (Pfanzagl J.) 160, 256, 264 Pao (Rao C. R.) 134, 169, 173, 193, 197, 226, 256, 257, 261, 264 Рейд (Reid N.) 257, 260, 261, 264 Реньи (Renyi A.) 167, 257, 264 Розенблат (Rosenblatt M.) 241 Розенблат-Рот М. 157, 258 Рокфеллер (Rockafellar R. T.) 184, 265 Ромье (Romier G.) 150, 257, 265 Сакстедер (Sacksteder R.) 139, 150, 257, 264, 265 Салихов Н. П. 164 166, 257, 258 Санов И. Н. 137, 257, 258 Сато (Sato Y.) 167, 263 Сен (Sen R. N.) 179, 190, 265 Синха (Sinha В. К.) 256, 264 Сковгаард (Skovgaard L T.) 135, 265 Стейн (Stein Ch.) 162, 257, 265 Субраманиам (Subramaniam K.) 226, 262, 264 Сугава (Sugawa K.) 167, 263 Сэвидж (Savage L. J.) 154, 213, 262 Талакко (Talacko J. V.) 256, 263

Тихомиров В. М. 246, 258 Уатт (Watts D. G.) 226, 260 Уотсон (Watson G. S.) 241, 265 Фабиан (Fabian V.) 207, 256, 262 Фаддеев Д. К. 257, 258 Фишер (Fisher R. A.) 159, 160, 167, 169, 173, 179, 193, 200, 202, 203, 208, 212, 214, 226, 229, 230, 257, 262 Фостер (Foster В. L.) 256, 262 Фрезер (Fraser D. A. S.) 232, 257, 262, 264 Фреше (Frechet M.) 197, 256, 262 Фу (Fu J.) 232, 262 Халмош (Halmls P. R.) 154, 262 Ханнан (Hannan J.) 207, 256, 262 Хасьминский (Hasminskii R. Z.) 140, 207, 226, 240, 246, 256, 257, 263 Хефдинг (Hoeffding W.) 246, 263 Хинкли (Hinkley D. V.) 257, 263 Хинчин А. Я. 137, 196, 258 Ходжес (Hodges J. L.) 213, 226, 263 Холево А. С. 140, 199, 258 Холл (Hall W. J.) 160, 260 Хуан Уа M. (Huang W. M.) 160, 260 Хугаард (Hougaard P.) 180, 263 Ченцов H. H. (Cencov N. N., Chentsov N. N.) 135, 138, 139, 143, 144, 150 151, 157, 158, 164, 165, 168, 170 172, 173, 174, 177, 179, 181, 188 190, 195, 196, 204, 206, 212, 214 232, 240, 241, 246, 256, 257, 258', 261, 264 Чернов X. (Cheraoff H.) 162, 164, 257, 261 Чибисов Д. М. 140, 160, 261 Чисар (Csiszar I.) 138, 157, 257, 261 Шалаевский О. В. 204, 256, 259 Шварц (Schwartz S. С.) 241, 265 Широков А. П. 179, 258 Эванс (Evans F.) 232, 262 Эфрон (Efron В.) 139, 161, 226, 249, 256, 257, 262 Юпп (Jupp P. E.) 256, 260, 262, 263

Яглом А. М. 167, 257 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аддитивность формы при тензорном Линии геодезические 177 умножении 169 Логарифм нормирующего делителя Алгебра достаточная 149 136 Атлас карт 151 Матрица информационная Фишера Геометрия наблюдаемая 232 160 — ожидаемая 232 Медиатрисса 163 Граница инфинитная 183 Мера абсолютно непрерывная 142 Диаметр информационный 230 — дискретная 142 Дивергенция Амари 191 — — эмпирическая 242 — Кагана 192 — сингулярная 142 — Чисара 157 Диск Меры равностепенно абсолютно 253 непрерывные 246 Задача А информационного Метрика 157 проектирования 195 — несимметричная 157 — Б информационного — псевдо 157 проектирования 193 — риманова конечно порожденная — параметрического оценивания 143 169 — проверки простых гипотез 144 Морфизм единичный 146 — счетно-параметрического — марковский 146 оценивания 144 Накрывающая универсальная 198 Идеал общий нуль-событий 168 Неравенство Юнга 185 Иерархия Lr-дифферснцируемостей Носитель направляющей статистики 186 197 Область критическая 162 Инвариант монотонный 152 Оболочка выпуклая логарифмическая — — пары 153 220 — (относительно категории) пары Объем Джеффрейса 214 распределений 153 Орто-проекция 194, 195 Информация по Фишеру 200 Отношение правдоподобия 136 Исход (элементарный) ω∈Ω 140 Оценивание эффективное 102 Категория САР с совокупностями Оценка максимального Сар 147 правдоподобия 231 — MARK марковских морфизмов — — — аппроксимативная 254 147 — несмещенная 102 Квазипроекция 220 — плотности ядерная 241 Количество информации среднее 160 — — проекционная 242 — информационное Реньи 192 — эффективная 102 — — симметричное Чернова— Ошибка принятия гипотезы первого Салихова 165 рода 162 — — тарированное 158 — — — второго рода 161 Композиция морфизмов 146 Параметризация геодезическая Кривизна 179 Кручение 179 каноническая 177

— натуральная статистическая 136 — — — двойственная 182 Пары распределений вероятностей Дизъюнктные 154 Плоскость опорная 188 Подсемейство m-гладкое компактное 229 Подсовокупность Caph(Ω, A, Zµ) 143 Поперечник n-мерный информационный 246 — — Колмогорова 246 Последовательность независимых одинаково распределенных наблюдений 151 Правило локализованное максимального правдоподобия 238 — отвечающее сети 238 — решающее 145 — — детерминированное 145 — — оптимальное 145 Представление пары стандартное 155 Преобразование Лежандра 185 Принцип Блекуэлла—Колмогорова 201 — (информации по Фишеру) А 159 — — — — B 159 — — — — C 160 — — — — D 160 α-проекция 193 Пространство вероятностное 140 — дискретное 149 — измеримое (Ω, A) 140 —— — выводов 145 — — лебегова типа (Е, B*) 142 — исходов 140 — линейное зарядов ограниченной вариации 147 — счетно-аддитивных зарядов с конечными положительной и отрицательной вариациями Sac(Ω, A) 153

Радиус внутренний n-мерный rn(F) 246 — — — информационный ρn(P) 253 Разбиение разделяющее 196 Разложение Жордана 154 — Хана 153 Распределение арифметическое 170 — вероятностей выводов 145 — — переходное 153 — вероятностных исходов 145 — взвешенное среднее геодезическое 219 Расстояние Бхаттачария 135 — по вариации 134 — Хеллингера 135 Риск (вальдовский) 145 — средний 216 Свойство наследственно инвариантное 173 Связность логарифмическая 172 — смесевая 172 — сопряженная 190 — Ченцова—Амари 173 Семейства распределений вероятностей канонические экспоненциальные с естественной параметризацией 136 — — — статистически эквивалентные 148 Семейство аппроксимативно не беднее 148 — — эквивалентно 150 — компактное L(2)-непрерывно дифференцируемое 215 — однопараметрическое Lr дифференцируемое 198 — распределений вероятностей квазиоднородное 249 — — — m-гладкое 226 — — — простое 226 — — — экспоненциальное регулярное 186

— редукций Rs 185 — L(2)--дифференцируемое 206 — L(2)--непрерывно дифференцируемое 209 ε-сеть 246 Символы Кристоффеля 175 Система координат θ-местная 213 — уравнений максимального правдоподобия 231 Событие 140 Совокупность Сарп 134 — Сар(E,B *) 143 — Capd(Ε, B*, Zλ) 145 — Caph(Ω, A, Z) 168 Сравнение семейств информационно 148 — скорости убывания варианты 244 Средние геометрические нормированные взвешенные 163 Статистики достаточные 162 Трудность задачи 240

Убывание варианты 244 Уклонение информационное Кульбака 136 Уравнение максимального правдоподобия 189 Усечение произвольного распределения вероятностей 187 Формула Ньютона—Лейбница 210 Функция потерь 145 — правдоподобия логарифмическая 231 — — нормированная логарифмическая 162 — θ-приведенная 231 — сопряженная по Лежандру 187 Чевиана 174 Шар θ-местный 213 Эквивалентность аппроксимативна» 151 Энергия информационная 195