Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2003. Том 44, № 6
УДК 517.55
О ВОЗМОЖНОСТИ ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ШАР ЛИ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА ЧАСТИ СФЕРЫ ЛИ Б. А. Шаимкулов Аннотация: Описаны области, в которые голоморфно продолжается интеграл типа Хуа Локена для шара Ли. Получен критерий голоморфной продолжимости в шар Ли функций, заданных на части сферы Ли. Ключевые слова: шар Ли, интегральное представление, голоморфное продолжение.
Введение Вопрос о возможности голоморфного продолжения в область функций, заданных на всей границе этой области, достаточно хорошо изучен (см., например, [1, 2]). Представляет интерес задача описания функций, заданных на части границы, которые могут быть голоморфно продолжены в фиксированную область. Различные решения этой задачи для одномерного и многомерного случаев можно найти в [3, § 27]. Цель настоящей статьи — получить критерий голоморфной продолжимости в шар Ли функций, заданных на части границы Шилова шара Ли, близкий по духу к критерию Л. А. Айзенберга и А. М. Кытманова [4]. § 1. Интеграл типа Хуа Локена для шара Ли Пусть BL = {z ∈ Cn : |(z, z)|2 − 2|z|2 + 1 > 0, |(z, z)| < 1} — шар Ли n P (классическая область четвертого типа), где (z, z) = zi2 , n > 2, SL = {ζ ∈ i=1
Cn : ζ = eiθ x, x ∈ Rn , |x| = 1, 0 6 θ 6 2π} — его остов (сфера Ли). Шар Ли BL является полной круговой выпуклой ограниченной областью. Обозначим через L 2 (SL , dµ) пространство функций f , интегрируемых с квадратом по мере Хаара dµ на SL , а через H 2 (SL , dµ) (H 2 (BL )) — подпространство функций в L 2 (SL , dµ), допускающих голоморфное продолжение в BL , т. е. голоморфная функция f принадлежит H 2 (SL , dµ), если Z sup |f (rz)|2 dµ 6 C. 0
При этом для любой функции f ∈ H 2 (SL , dµ) существуют (почти всюду на SL ) радиальные граничные значения f (ζ) = lim f (rζ), ζ ∈ SL , f ∈ L 2 (SL , dµ). r→1−0
c 2003 Шаимкулов Б. А.
О возможности голоморфного продолжения
1401
Для любой функции f ∈ H 2 (SL , dµ) имеет место интегральное представление Хуа Локена (см. [5, 6]) Z n f (ζ)(ζ, ζ) 2 dµ f (z) = z ∈ BL . (1) n , (ζ − z, ζ − z) 2 SL
Классическая теорема Картана (см. [5]) утверждает, что для полной круговой области D в пространстве H 2 (D, dµ) существует полная ортонормальная система однородных голоморфных полиномов. Эта система строится следующим образом (см. [5, 7]). Пусть z ∈ SL . Через z [α] будем обозначать вектор с компонентами ! r n X α! z α1 . . . znαn , α= αk , αk > 0 , α1 ! . . . αn ! 1 k=1
длина которого равна N (α) = Положим
Z
(n + α − 1)! . α!(n − 1)!
(¯ z [α] )0 (z [α] ) dµ = H.
SL
Ясно, что H — положительно определенная эрмитова матрица порядка N (α). Существует такая матрица , что ∗ H = I, где ∗ — матрица, сопряженная к транспонированной матрице 0 , I — единичная матрица порядка N (α). (k) Пусть zα = z [α] . Через ϕα (z) будем обозначать компоненты векто (k) ра zα . Система ϕα (z) , α = 1, 2, . . . , k = 1, 2, . . . , N (α), образует полную ортонормальную систему на SL в H 2 (SL , dµ) (см. [5]). (k)
Теорема 1 [5]. Пусть f (ζ) — интегрируемая функция и aα — коэффи (k) циенты Фурье этой функции относительно ортонормальной системы ϕα (ζ) на SL . Тогда интеграл (1) представляет в BL голоморфную функцию, разлагающуюся в BL в ряд X (k) a(k) (2) α ϕα (z). α,k
При этом ряд (2) сходится равномерно на каждом компакте из BL . Теперь рассмотрим интеграл типа Хуа Локена Z n f (ζ)(ζ, ζ) 2 dµ F (z) = n , (ζ − z, ζ − z) 2
(3)
SL
n
где z ∈ C , ζ ∈ SL , при заданной интегрируемой функции f (ζ). Лемма 1. Интеграл (3) имеет смысл в каждой из двух областей + = {z ∈ Cn : |(z, z)|2 − 2|z|2 + 1 > 0, |(z, z)| < 1}, BL = BL − = {z ∈ Cn : |(z, z)|2 − 2|z|2 + 1 > 0, |(z, z)| > 1}. BL
Доказательство. Пусть T — ортогональное преобразование, т. е. T T 0 = I, здесь T 0 — транспонированное отображение, I — тождественное отображение.
1402
Б. А. Шаимкулов
+ − Отображение T сохраняет области BL , BL , остов SL и скалярное произведение (ζ − z, ζ − z). Действительно,
(zT, zT ) = zT (zT )0 = zT T 0z = (z, z), + T BL = {z : |(zT, zT )|2 − 2(zT, z¯T ) + 1 = |(z, z)|2 − 2|z|2 − 1 > 0, + |(zT, zT )| = |(z, z)| < 1} = BL ,
− T BL = {z : |(zT, zT )|2 − 2(zT, zT ) + 1 = |(z, z)|2 − 2|z|2 + 1 > 0, − |(zT, zT )| = |(z, z)| > 1} = BL ,
((ζ − z)T, (ζ − z)T ) = (ζ − z, ζ − z). Так как с помощью ортогонального преобразования и поворота eiϕ любую точку SL можно преобразовать в любую точку SL , лемму можно доказать лишь для точки вида x = (1, 0, . . . , 0) ∈ SL . Пусть (x − z, x − z) = 0, т. е. −2z1 + (z, z) + 1 = 0 или (z1 − 1)2 + (0z,0 z) = 0, где 0z = (z2 , . . . , zn ). Тогда |(z, z)|2 − 2|z|2 + 1 = |2z1 − 1|2 − 2|z|2 + 1 = 2|z1 |2 − 4 Re z1 − 2|0z|2 + 2 = 2|z1 − 1|2 − 2|0z|2 = 2(|(0z,0 z)| − |0z|2 ) 6 0. Это неравенство доказывает лемму 1. z Лемма 2. Для точек z таких, что (z, z) 6= 0, функция w = (z,z) отображает + − область BL в область BL , при этом точка z ∈ SL переходит в точку z¯ ∈ SL . + Доказательство. Пусть z ∈ BL . Тогда z z 1 = |(z, z)| = , > 1, |(w, w)| = (z, z) (z, z) |(z, z)|2 |(z, z)|
|(w, w)|2 − 2|w|2 + 1 =
1 |z|2 |(z, z)|2 − 2|z|2 + 1 − 2 + 1 = > 0. |(z, z)|2 |(z, z)|2 |(z, z)|2
Пусть теперь z ∈ SL . Тогда w=
eiϕ x = e−iϕ x. (eiϕ x, eiϕ x)
Лемма 2 доказана. + , а через F − (z) — Обозначим через F + (z) значение интеграла (3) при z ∈ BL − значение интеграла (3) при z ∈ BL . (k) Для изучения F ± (z) нужно расширить определение функций ϕα (ζ). Положим (k) −n ¯ 2 , ϕ−α−n (ζ) = ϕ(k) α (ζ)(ζ, ζ)
α = 1, 2, . . . , N (α),
ζ ∈ SL .
(k) Ясно, что система ϕ−α−n (ζ) является ортонормальной на SL . Кроме того, (k) (l) системы ϕα (ζ) и ϕ−β−n (ζ) ортогональны друг другу. Действительно, так
О возможности голоморфного продолжения
1403
как меру dµ можно записать в виде dµ = dθdσ (dσ — мера Лебега на сфере S n = {x ∈ Rn : xx0 = 1}), имеем Z Z (l) (k) (l) ¯ −inθ (k) ϕ−β−n (ζ)ϕα (ζ) dµ = ϕβ (ζ)e ϕα (ζ) dµ SL
SL
=
Z2π
e−inθ dθ
Z
(l)
(k)
ϕβ (e−iθ x)ϕα (eiθ x) dσ
Sn
0
=
Z2π
e−i(n+β+α)θ dθ
Z
(l)
ϕβ (x)ϕ(k) α (x) dσ = 0.
Sn
0
Дополним системы этих функций до полной ортонормальной системы L в L 2 (SL , dµ). Пусть ряд Фурье для f (ζ) имеет вид X (k) f (ζ) = a(k) α ϕα (ζ). α,k + Тогда в силу теоремы 1 при всех z ∈ BL будет X (k) F + (z) = a(k) α ϕα (z).
(4)
α,k
При этом если f (ζ) ∈ H 2 (SL , dµ), то F + (z) ∈ H 2 (SL , dµ) [8]. − . Тогда интеграл (3) предТеорема 2. Пусть f (ζ) ∈ L 2 (S, dµ) и z ∈ BL − ставляет голоморфную функцию F (z), имеющую разложение X (k) z (k) , (5) F − (z) = a−α−n ϕ−α−n (z, z) α,k
где (k)
a−α−n =
Z
(k)
f (ζ)ϕ−α−n (ζ) dµ.
SL − Доказательство. Пусть z ∈ BL . Тогда Z Z n n f (ζ)(ζ, ζ) 2 dµ f (ζ)(ζ, ζ) 2 dµ F − (z) = n = n n z (ζ − z, ζ − z) 2 (ζ, ζ) 2 (z, z) 2 ζ¯ − (z,z) , ζ¯ − SL
SL
z (z,z)
n2 .
+ z Согласно лемме 2 имеем (z,z) ∈ BL , следовательно, − n2 X (k) z z z ¯ ζ) ¯ − n2 ¯ (k) ζ¯ − , ζ¯ − = (ζ, ϕα (ζ)ϕ α (z, z) (z, z) (z, z) α,k
=
X α,k
(k) ϕ−α−n (ζ)ϕ(k) α
z (z, z)
.
Умножая последнее выражение на f (ζ) и интегрируя почленно, получаем Z X (k) 1 z F − (z) = dµ f (ζ) ϕ−α−n (ζ)ϕ(k) n α (z, z) (z, z) 2 α,k SL X (k) z (k) = a−α−n ϕ−α−n . (z, z) α,k
− BL
Следовательно, в области интеграл (3) представляет голоморфную функz , имеющую разложение (5). цию от (z,z)
1404
Б. А. Шаимкулов § 2. Голоморфное продолжение с части сферы Ли
Обозначим через {ϕ} систему функций из L , не входящую в разложения (4) и (5). Теорема 3. Если f ∈ L 2 (SL ) и f ортогональна на SL системе функ+ − , F − (z) ∈ H 2 BL имеют почти всюду ций {ϕ}, то функции F + (z) ∈ H 2 BL на SL радиальные пределы и F + (z)|SL + F − (z)|SL = f (z) почти для всех точек z ∈ SL . + Доказательство. Пусть 0 < r < 1. Тогда при всех z ∈ BL имеем X (k) α F + (rz) = a(k) α ϕα (z)r α,k + и этот ряд сходится равномерно на BL . + 2 + Так как f ∈ L (SL ), то F (z) ∈ H 2 BL . Тогда функция F + (z) почти всюду имеет радиальные пределы (при r → 1−0) на SL и F + (z)|SL ∈ L 2 (SL ) [8]. − Теперь при z ∈ BL рассмотрим X 1 z (k) (k) z = rα+n . F− a−α−n ϕ−α−n r (z, z) α,k
− Этот ряд равномерно сходится на любом компакте из BL . −Поскольку f ∈ − 2 − 2 L (SL ), получаем, что F (z) ∈ H BL . Тогда функция F (z) почти всюду имеет радиальные пределы на SL и F − (z)|SL ∈ L 2 (SL ). Следовательно, X X (k) (k) (k) a(k) a−α−n ϕ−α−n (¯ z ) = f (z) F + (z)|SL + F − (z)|SL = α ϕα (z) + α,k
α,k
почти всюду. С помощью теоремы Ерикке [9] о свойствах интегралов типа Хуа Локена аналогично доказывается следующая Теорема 4. Если f ∈ C α (SL ), α > n2 − 1 > 0 и f ортогональна на SL системе функций {ϕ}, то функции F + (z) и F − (z) непрерывно продолжаются n на SL до функций из классa C α− 2 +1−ε (SL ) для всех ε > 0 и F + (z)|SL + F − (z)|SL = f (z). Отметим, что в этой теореме оценка неулучшаема в шкале г¨ельдеровских норм. Теорема 5. Пусть f ∈ L 2 (SL ). Для того чтобы существовала функция + F ∈ H 2 BL , радиальные граничные значения которой почти всюду на SL совпадают с f , необходимо и достаточно, чтобы f была ортогональной на SL − системе {ϕ} и F − (z) = 0 в BL . Доказательство. Необходимость. Пусть f продолжается до функции + из класса H 2 BL . Рассмотрим интеграл + Z n + , F (z), z ∈ BL f (ζ)(ζ, ζ) 2 dµ n = − − (ζ − z, ζ − z) 2 F (z), z ∈ BL . SL
О возможности голоморфного продолжения
1405
Тогда (по формуле Хуа Локена) F + (z) =
X
(k) a(k) α ϕα (z)
α,k
и ее радиальные граничные значения на SL совпадают с f . Поэтому остальные коэффициенты Фурье для системы L равны 0. Отсюда следует, что f ортогональна к функциям семейства {ϕ}. По теореме 2 X (k) z (k) F − (z) = a−α−n ϕ−α−n . (z, z) α,k
− Значит, F − (z) = 0 в BL . − Достаточность. Пусть f ортогональна системе {ϕ} и F − (z) = 0 в BL . + − Тогда по теореме 3 справедливо почти всюду равенство F (z)|SL + F (z)| = S L + f (z). Следовательно, F + (z)|SL = f (z). Таким образом, F + (z) ∈ H 2 BL дает голоморфное продолжение для f .
Теорема 6. Пусть ⊂ SL — открытое множество, и пусть f ∈ L 2 ( ) ортогональна системе {ϕ} на . Тогда для того чтобы f голоморфно продолжалась + − в BL , необходимо и достаточно, чтобы F − (z) голоморфно продолжалась из BL + через в область BL . Доказательство. Необходимость. Пусть f голоморфно продолжается + + в BL , т. е. существует голоморфная функция F (z) в BL такая, что F | = f . Рассмотрим интеграл типа Хуа Локена Z n f (ζ)(ζ, ζ) 2 dµ ± z ∈ BL . n , (ζ − z, ζ − z) 2
В силу теоремы 3 (теорема 3 применяется к продолжению функции f с на SL \ нулем) + − F + ∈ H 2 BL , F − ∈ H 2 BL и Отсюда имеем
F + (z)| + F − (z)| = f (z). F − (z)| = [F (z) − F + (z)]| .
Поскольку SL является порождающим многообразием, по теореме об острие клина из [10] функция − − z ∈ BL , F (z), (z) = + F (z) − F (z), z ∈ BL , + − голоморфна на множестве BL ∪ ∪ BL . Поэтому F − (z) голоморфно продолжа+ ется в BL . Достаточность. Пусть F − (z) продолжается до голоморфной функции − + g(z) в BL ∪ ∪BL . Тогда по теореме 3 функция h(z) = g(z)+F + (z) голоморфна + в BL и h(z)| = f . Теорема полностью доказана.
1406
Б. А. Шаимкулов ЛИТЕРАТУРА
1. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.: Гостехиздат, 1950. 2. Хенкин Г. М., Чирка Е. М. Граничные свойства голоморфных функций нескольких комплексных переменных // Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 4. С. 13–142. (Итоги науки и техники). 3. Айзенберг Л. А Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения. Новосибирск: Наука, 1990. 4. Айзенберг Л. А., Кытманов А. М. О возможности голоморфного продолжения в область функций, заданных на связном куске ее границы // Мат. сб.. 1991. Т. 182, № 4. С. 490–508. 5. Хуа Локен. Гармонический анализ функций многих комплексных переменных. М.: Мир, 1959. 6. Хенкин Г. М. Методы интегральных представлений в комплексном анализе // Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 7. С. 23–124. (Итоги науки и техники). 7. Айзенберг Л. А., Даутов Ш. А. Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функциям или формам, и их свойства. Новосибирск: Наука, 1975. 8. Koranyi A. The Poisson integral for generalized half-planes and bounded symmetric domains // Ann. Math.. 1965. V. 82, N 5. P. 332–350. 9. Ерикке Б. Непрерывность проектора Коши в г¨ельдеровских нормах для классических областей // Math. Nachr.. 1983. V. 113. P. 227–244. 10. Пинчук С. И. Теорема Боголюбова об «острие клина» для порождающих многообразий // Мат. сб.. 1974. Т. 94. С. 468–486. Статья поступила 21 октября 2002 г. Шаимкулов Баходир Аллабердиевич Национальный университет Узбекистана, механико-математический факультет Вузгородок, Ташкент 700174, Узбекистан
[email protected]
