Статистическая физика твердого тела

Л.Жирифалько СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА В книге в ясной и доступной форме излагаются основы статистической физики кристаллов. В ней дано ставшее уже классическим описание статистики и кинетики электронной и фононной подсистем кристалла. Кроме того, почти половина объема книги посвящена статистике и диффузионной кинетике точечных дефектов кристаллической решетки. Книгу отличает целевой замысел: автор последовательно отбирает именно те проблемы, при решении которых сила статистического метода проявляется наиболее отчетливо. При этом основное внимание уделяется наиболее простым моделям, позволяющим донести результат теории до числа и вскрыть физический смысл как исходных предпосылок модели, так и полученных результатов. Книга предназначена для физиков, инженеров, химиков, работающих в области физики и химии твердого тела, материаловедения и смежных дисциплинах; ее можно также рекомендовать в качестве учебного пособия студентам, изучающим теорию твердого тела. ОГЛАВЛЕНИЕ Вступительная статья 5 I. Квантовые кристаллы 6 II. Статистическое описание дислокационной структуры кристаллов 16 Литература 29 Предисловие автора 31 Глава 1. Принципы статистической механики 33 § 1. Определение состояния 33 § 2. Термодинамическое состояние 33 § 3. Микроскопическое механическое состояние 35 § 4. Цель статистико-механического подхода 35 § 5. Ансамбли 38 § 6. Средние по ансамблю 40 § 7. Наиболее вероятное распределение для канонического ансамбля 42 § 8. Канонический ансамбль и термодинамика 45 § 9. Большой канонический ансамбль 53 § 10. Ансамбль постоянного давления 58 § 11. Флуктуации энергии 59 § 12. Статистическая энтропия 61 § 13. Статистика частиц 65 А. Случай Ферми — Дирака 68 Б. Случай Бозе — Эйнштейна 69 В. Случай Максвелла — Больцмана 69 § 14. Статистика частиц и термодинамика 71 § 15. Идеальный газ 73 § 16. Большой канонический ансамбль и статистика частиц 79 § 17. Квазиклассическое приближение 81 Глава 2. Статистическая термодинамика простых кристаллов 87

§ 1. Гармоническая модель § 2. Одномерные волны и разложение по нормальным колебаниям (модам) § 3. Статистическая сумма и свободная энергия кристалла в гармоническом приближении § 4. Общие выражения для теплоемкости § 5. Приближение Эйнштейна § 6. Суперпозиция эйнштейновских осцилляторов § 7. Модель Дебая § 8. Энергия Дебая и теплоемкость § 9. Соотношение между характеристическими температурами Эйнштейна и Дебая § 10. Сравнение теории Дебая с экспериментом § 11. Уравнение состояния § 12. Теплоемкость при постоянном давлении § 13. Теория Дебая и гипотеза Грюнайзена § 14. Колебательная ангармоничность § 15. Газ фононов Глава 3. Теория свободных электронов § 1. Свободные электроны в металлах § 2. Выбор статистики для электронного газа § 3. Распределение свободных электронов § 4. Термодинамические свойства ферми-газа § 5. Электронная теплоемкость в металлах § 6. Уравнение состояния газа свободных электронов § 7. Теория Томаса — Ферми для поля точечного заряда § 8. Зонная теория и электроны в твердых телах § 9. Примесные уровни в полупроводниках § 10. Распределение электронов в собственных полупроводниках § 11. Статистика электронов в примесных полупроводниках § 12. Законы действующих масс для примесных полупроводников § 13. Связь между уровнем Ферми и концентрацией примесей Глава 4. Статистико-кинетическая теория переноса электронов § 1. Свободные электроны во внешних полях и при наличии градиента температуры § 2. Статистико-кинетический метод § 3. Кинетическое уравнение Больцмана § 4. Формальное определение потоков § 5. Электропроводность § 6. Теплопроводность и закон Видемана — Франца § 7. Изотермический эффект Холла § 8. Электропроводность в полупроводниках с собственной проводимостью Глава 5. Упорядочивающиеся сплавы § 1. Упорядочивающиеся структуры § 2. Переход порядок — беспорядок

87 88 97 100 103 105 105 110 114 116 119 125 125 127 128 132 132 134 135 142 146 148 151 155 160 161 165 169 172 175 175 178 181 185 186 189 193 196 202 202 203

§ 3. Описание степени порядка § 4. Статистическая сумма упорядочивающихся систем § 5. Метод Кирквуда § 6. Приближение Брэгга — Вильямса § 7. Приближение, учитывающее второй момент § 8. Квазихимическое приближение Глава 6. Вакансии и междоузельные атомы в моноатомных кристаллах § 1. Введение и выбор ансамбля § 2. Концентрация вакансий § 3. Термодинамический потенциал кристалла § 4. Вакансии и термодинамические функции § 5. Функции, характеризующие образование вакансий § 6. Вакансии, бивакансии и междоузельные атомы § 7. Некоторые числовые результаты Глава 7. Точечные дефекты в разбавленных сплавах § 1. Общие замечания и введение § 2. Статистический вес дефектов замещения § 3. Концентрация дефектов замещения § 4. Равновесие точечных дефектов замещения внутри кристалла § 5. Остаточное сопротивление закаленных разбавленных бинарных сплавов § 6. Общая теория, включающая междоузельные дефекты и дефекты смешанного типа § 7. Термодинамические свойства разбавленного сплава Глава 8. Миграция атомов в простых кристаллах § 1. Эмпирические законы диффузии § 2. Вероятность перемещения атома и законы Фика § 3. Скачки атомов по решетке и коэффициент диффузии § 4. Вычисление частоты атомных скачков в одномерной модели § 5. Вычисление частоты атомных скачков в рамках теории многих тел § 6. Коэффициент диффузии Глава 9. Дефекты и диффузия в упорядочивающихся сплавах § 1. Кинетические процессы в упорядочивающихся сплавах § 2. Описание порядка в сплаве, содержащем вакансии § 3. Средняя концентрация вакансий в сплаве АВ § 4. Частота скачков атомов по решетке в сплаве AB § 5. Коэффициент диффузии в β-латуни Приложение I. Комбинаторные задачи в статистической механике А. Статистика ансамблей Б. Статистика Максвелла — Больцмана В. Статистика Ферми — Дирака Г. Статистика Бозе — Эйнштейна Приложение II. Метод неопределенных множителей Приложение III. Приближение Стирлинга Приложение IV. Суммы и интегралы

205 210 214 218 226 230 236 236 238 241 245 249 256 262 267 267 272 279 285 287 291 295 299 299 302 305 309 313 322 324 324 325 328 331 335 341 341 342 343 343 345 348 350

Приложение V. Фермиевские интегралы 355 Приложение VI. Ферромагнетизм и переходы типа порядок — беспорядок 359 Приложение VII. Функции Эйнштейна 361 Приложение VIII. Дебаевские функции энергии и теплоемкости 365 Литература 373 Предметный указатель 376 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ — — энтропия 246 Активность примеси абсолютная 281 Вакансий вклад в коэффициент Ангармоничность колебательная 127 теплового расширения 264 Ансамблей статистика 341 — — полный в коэффициент Ансамбли 38, 39 сжимаемости 265 Ансамбль канонический 38, 51, 55 — концентрация 238, 239, 263, 283, — — большой 38, 53 284, 286 — — — и статистика частиц 79—81 — — средняя в сплаве AB 328 — — и термодинамика 45—53 Вакантных узлов концентрация 284, — — наиболее вероятное 286 распределение 42 Вектор волновой 139 — микроканонический 38 Векторы решетки базисные 96 — постоянного давления 58, 59, 237 — — обратной 96 Атома междоузельного Вероятность перемещения атома 302 термодинамический потенциал Волны одномерные 88—97 миграции 320 Время релаксации характерное 183 Атом мигрирующий 309 Газ идеальный 73 Атомных скачков вычисление — фононов 128 частоты в одномерной модели Гипотеза Грюнайзена 125—127 309 — о равенстве априорных — — — — — рамках теории многих вероятностей 42 тел 313 Градиент температуры 175 — — по решетке в сплаве AB частота График Аррениуса 249, 256 331—335 Дефектов замещения концентрация Атомы междоузельные 257—260 279—285 Бивакансии 256—260 — — точечных равновесие внутри Бивакансий вклад в коэффициент кристалла 285 сжимаемости 265 — точечных вклад в коэффициент — концентрация 265, 283, 285, 286 теплового расширения 265 Вакансии 236, 245, 256—259 — — — — теплоемкость 265 — образования внутренняя энергия — — потенциалы образования 292 246 — — — связи 292 — — объем 246 Дефекты в упорядочивающихся — — потенциал 240 сплавах 324—347 — — теплоемкость при постоянном — замещения 270 давлении 246 — междоузельные 270, 291 — — — — — объеме 246 — смешанные 270, 291 — — энтальпия 246

— точечные в разбавленных сплавах 267—298 Дислокационная структура кристалла германия 22, 23 — — — меди 26, 27 Дислокационной структуры кристаллов статистическое описание 16—29 Диффузия в упорядочивающихся сплавах 324—347 — по вакансиям 308 — — междоузлиям 308 Диэлектрик 158, 159 Доноры 161 Дырка 157, 160 Закон Видемана — Франца 189, 193 — распределения Максвелла— Больцмана 66, 67, 69 Законы действующих масс 169 — диффузии эмпирические 299 — Фика 302, 304 Зон образование 157 Зона валентная 158, 169 — запрещенная 156, 157 — проводимости 157, 169 Изотермическая сжимаемость 51 Ионизация слабая 172, 173 Квазиклассическое приближение 81 Квантовые кристаллы 6—16 Кинетические процессы в упорядочивающихся сплавах 324, 325 Комплекс (квантовое состояние всего ансамбля) 40 Комплексов вакансия — примесь концентрация 282, 283, 285, 286 Конфигурационная статистическая сумма 85 — энергия 218 — энтропия 218 Концентрация бивакансий 265, 283, 285, 286 — вакансий 238, 239, 263, 283, 284, 286

— вакантных узлов 284, 286 — дефектов замещения 279—285 — комплексов вакансия — примесь 282, 283, 285, 296 — примесных пар 283, 286 Коэффициент диффузии в p-латуни 335—340 — сжимаемости 246—248 — теплового расширения 51, 245— 248 — теплопроводности 192 — Холла 196 — — в случае проводимости дырочной 201 — — — __ — электронной 201 Коэффициенты диффузии 299, 300, 304, 305, 308, 322, 323 — — главные 301 — кинетические 186 Кристаллов простых статистическая термодинамика 87—131 Критическая температура разупорядочения 234 Масса электронная 133, 147 Междоузельного атома термодинамический потенциал миграции 320 Междоузельные атомы 257—260 Метод Кирквуда 214 — Лидьярда — Ховарда 273, 274, 278, 279 — неопределенных множителей Лагранжа 345—347 — статистико-кинетический 178— 181 Миграция атомов в простых кристаллах 299—323 Модель гармоническая 87 — Дебая 106—110 Моновакансий вклад в коэффициент сжимаемости 265 Неразличимые частицы 68 Объем изображения 255 — миргации вакансии 317

— релаксированный 254 Остаточное сопротивление закаленных разбавленных бинарных сплавов 287—291 — — закалки 288 Осцилляторов эйнштейновских суперпозиции 105, 106 Параметр порядка ближнего 207, 209, 210 — — дальнего 206, 207, 210, 223, 224 Параметры точечных дефектов 262 Переменные системы механические 34 — — немеханические 34 Переход порядок — беспорядок 203—205, 359, 360 Плотность полного заряда 152 Поверхность Ферми 140 Подход статистико-механический 35—38 Полупроводник 158, 159 — собственный 161, 162 — с примесной проводимостью nтипа 161 — — — — p-типа 161 Поля внешние 175—177 Постоянные Грюнайзена 122, 126, 127 Потенциал Гиббса 72, 74, 76, 257, 316 — образования вакансии 240 Поток тепла 186 — электрического заряда 185, 186 Правила квантования Бора — Зоммерфельда 83 Предположение Грюнайзена 120, 123, 127, 255 Приближение адиабатическое 87 Приближение Брэгга — Вильямса 218—229, 234, 327, 332 — гармоническое 88 — квазиклассическое 81 — квазихимическое 230—235 — Кирквуда 229, 234 — Стирлинга 62, 167, 217, 242, 278,

348, 349 — учитывающее второй момент 226— 230 — Эйнштейна 103 Примесных пар концентрация 286 Примесь акцепторная 165, 174 — донорная 165, 173, 174 Принцип детального равновесия 64 — запрета Паули 66 — микроскопической обратимости 64, 65 Принципы статистической механики 33 Проводимость дырочная 196, 198 — электронная 196, 198, 199 Процессы кинетические в упорядочивающихся сплавах 324, 325 Равновесие точечных дефектов замещения внутри кристалла 285 Различимые частицы 66 Разложение по нормальным колебаниям (модам) 88—97 Распределение Гаусса 242 Самодиффузия 309 Свободная энергия 49, 51, 97, 225 Свойства ферми-газа термодинамические 142 Сжимаемость изотермическая 51 Силовые постоянные 89 Скачки атомов 305, 309, 313, 331 Состояние системы, определение 33 — механическое микроскопическое 35 — термодинамическое 33, 34 Состояния ансамбля 341 Сплав, содержащий вакансии 325 Сплавы упорядочивающиеся 202— 235 Средние по ансамблю 40—42 Статистика ансамблей 341 — Бозе — Эйнштейна 66, 67, 69, 129, 343, 344

— для электронного газа 134, 135 — квазиклассическая 73 — Максвелла — Больцмана 66, 67, 69, 342 — Ферми —Дирака 66—68, 343 — частиц 65—71 Статистика электронов в примесных полупроводниках 165—168 Статистическая сумма 45, 50, 97 — — изобарическая 59 — — конфигурационная 85 — — упорядочивающихся систем 210—214 — термодинамика простых кристаллов 87—131 Статистический вес 41 — — дефектов замещения 272—279 Структура упорядочивающиеся 202, 203 Суммы и интегралы 350—354 Сфера Ферми 140 Температура Дебая 251 Теория Грюнайзена 128 — Дебая 125 — зонная 155—160 — переноса электронов статистикокинетическая 175—201 — свободных электронов 132—174 — Томаса — Ферми 151 —155 Тензора коэффициентов диффузии главные оси 301 Теплоемкость Дебая 110—114, 116 — образования вакансии при постоянном давлении 246 — — — — — объеме 246 — общие выражения 100 — при постоянном давлении 125, 248 — — — объеме 51, 52 — Эйнштейна 116 — электронная в металлах 146—148 Теплопроводность 189—193 Термодинамические свойства разбавленного сплава 295—298 — уравнения в приближении Брэгга

— Вильямса 219 — функции 245 Термодинамический потенциал Гиббса 59 — — кристалла 240, 241, 245, 295 — — миграции междоузельного атома 320 — — образования бивакансии 283 — — — комплекса примесь — вакансия 283 — — — примесной пары 283 — — растворения атома примеси 383 — — системы 271 Точечные дефекты в разбавленных сплавах 267—298 Универсальная постоянная для всех ансамблей 57 Уравнение Больцмана кинетическое 181, 182 — дисперсионное 94 — Грюнайзена 121 — Лапласа 153 — Пуассона 151—153 — состояния 119—124 — — газа свободных электронов 148—150 — — Ми—Грюнайзена 121 — Томаса — Ферми 152, 153 — — — линеаризованное 152 Уровни примесные 160 Уровень акцепторный 161, 165, 168, 169 — донорный 161, 166, 168 Фазовое пространство 81 Фактор корреляции 306 Ферми-газа свойства термодинамические 142 Фермиевские интегралы 190, 191, 195, 353—358 Фермиевский интеграл 143, 145, 188 Фонон 129 Фотон 129 Формула для внутренней энергии 246 — — концентрации вакансий 248

— — объема 245 — — теплоемкости при постоянном давлении 246 — — — — — объеме 246 — — энтальпии 246 — — энтропии 245 Ферромагнетизм 359, 360 Функции дебаевские энергии и теплоемкости 365—372 — термодинамические 245 — Эйнштейна 362—364 Функция распределения для канонического ансамбля 44, 45, 51 — — — — — большого 58 — — — системы частиц (Бозе — Эйнштейна) 72 — — — — — (квазиклассика) 72 — — — — — (Максвелла — Больцмана) 72 — — — — — (Ферми — Дирака) 72 — — частиц 80 — — (по энергиям) в зоне валентной дырок 163 — — — — — — — электронов 162 — — — — — — проводимости электронов 162 Функция распределения Ферми 136, 137, 140—143 — — частот 99 — — электронов 178 — — — по скоростям 196, 197 — Эйнштейна 105 Хаотичность 61, 62 Характеристическая температура Дебая 114—116 — — Эйнштейна 104, 114—118 Химический потенциал 55, 72, 73

Холловский угол 194 Частицы неразличимые 68 — различимые 66 Частота атомных скачков по решетке в сплаве АВ 331—335 Число Лоренца 192, 193 Э. д. с. Холла 193, 195 Эйнштейновских осцилляторов суперпозиции 105, 106 Электроны свободные 132, 133, 175 Электропроводность 186—189 — в полупроводниках с собственной проводимостью 196 Энергетические щели 156 Энергии флуктуации 59—61 Энергия внутренняя 51, 247 — — образования вакансий 216 — в приближении Брэгга — Вильямса 221, 225 — Дебая 110 — конфигурационная 218 — миграции вакансий 319 — нулевых колебаний 98, 211 — свободная 49, 51, 97, 225 — термодинамическая 37 — Ферми 143—145, 147, 188, 189 Энтальпия 248 — образования вакансии 246 Энтропия 48, 51, 56, 74, 76, 78, 247 — в приближении Брэгга — Вильямса 221, 225 — конфигурационная 218 — миграции вакансии 320 — образования вакансии 246 — статистическая 61—65 — термодинамическая 61 Эффект Холла изотермический 193, 194