Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2003. Том 44, № 6
УДК 517.983.34
ОПЕРАТОРЫ СВЕРТКИ НА РАСШИРЯЮЩИХСЯ МНОГОГРАННИКАХ: ПРЕДЕЛЫ НОРМ ОБРАТНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ПСЕВДОСПЕКТРОВ Е. А. Максименко Аннотация: Рассматриваются матричные операторы свертки с интегрируемыми ядрами на расширяющихся многогранниках. Изучается их связь с операторами свертки на конусах при вершинах многогранников. Доказано, что норма обратного к оператору на многограннике стремится к максимуму норм обратных к операторам на конусах, а псевдоспектр стремится к объединению соответствующих псевдоспектров. Исследование проводится с помощью локального метода, приспособленного к данному кругу задач. Ключевые слова: операторы свертки, многогранники, нормы обратных операторов, псевдоспектры.
Введение Зафиксируем до конца работы натуральные числа n, m и число p ≥ 1. Если X — измеримое подмножество Rn , то через Lm p (X) обозначим произведение m экземпляров пространства Lp (X), т. е., что эквивалентно, пространство (классов) вектор-функций, определенных на X, со значениями в Cm , абсолютно интегрируемых в p-й степени. Норма в Lm p (X) вводится по формуле !1/p m Z X kf kp = k(f1 , . . . , fm )kp = |fj (x)|p dx . j=1 X
Обозначим через Cm×m пространство квадратных матриц порядка m. n Оператор A, действующий в пространстве Lm p (R ) по правилу Z n (Af )(y) = cf (y) + k(y − x)f (x) dx, y ∈ Rn , f ∈ Lm (0.1) p (R ), Rn m×m
где c ∈ C , k — интегрируемая вектор-функция со значениями в Cm×m , называют матричным оператором свертки с интегрируемым ядром (или, что то же самое, с винеровским символом). n n Если A — оператор в Lm p (R ), X — измеримое подмножество R , то через m AX будем обозначать оператор, действующий в пространстве Lp (X) по формуле AX = QX AJX , m n где оператор JX : Lm p (X) → Lp (R ) доопределяет вектор-функцию нулем m n m вне X, а оператор QX : Lp (R ) → Lp (X) сужает область определения векторфункции.
c 2003 Максименко Е. А.
Операторы свертки на расширяющихся многогранниках
1311
Пусть M — многогранник в Rn (здесь и далее многогранники считаются выпуклыми), E — множество его вершин. Каждой точке x ∈ E сопоставим конус Kx с вершиной 0, порожденный множеством M − x: Kx = {α(y − x) : α > 0, y ∈ M }. В работе рассматривается некоторая банахова алгебра WM , порожденная операторами свертки на семействе множеств {τ M }τ >0 . Для каждой точки x x ∈ M вводится отношение «локальной эквивалентности» ∼ и строится изоморфизм соответствующей фактор-алгебры (WM )x на алгебру CKx , порожденную операторами свертки на конусе Kx , затем определяется морфизм алгебры WM в произведение семейства алгебр {CKx }x∈E . Главный результат работы — теорема 6.1, которая утверждает, что этот «глобальный морфизм» изометричен и «согласован с обращением». Сейчас приведем лишь два утверждения, следующие из теоремы 6.1: о пределах норм обратных операторов и о пределах псевдоспектров. Если A — банахова алгебра с единицей e и нормой | · |, a ∈ A и ε > 0, то ε-псевдоспектром элемента a называют множество σε (a) = {λ ∈ C | |(λe − a)−1 | ≥ 1/ε}. (Здесь и далее для необратимого элемента b полагаем |b−1 | = +∞.) n Предложение 0.1. Пусть A — матричный оператор свертки в Lm p (R ). Тогда
lim A−1 = max A−1 . τ →+∞
τM
x∈E
Kx
n Предложение 0.2. Пусть A — матричный оператор свертки в Lm p (R ), причем p > 1, и пусть ε > 0. Тогда [ lim σε (Aτ M ) = σε (AKx ), τ →+∞
x∈E
где сходимость множеств понимается в смысле метрики Хаусдорфа. Изучение псевдоспектров т¨еплицевых матриц (для скалярного случая и гладких символов) начали Г. Ландау [1], Л. Райхел и Л. Н. Трефетен [2]. Результаты для блочных т¨еплицевых матриц и матричных операторов Винера — Хопфа получил А. Б¨етчер [3]. Используя технику C ∗ -алгебр, он рассматривал лишь случай L2 , но для очень широкого класса символов, содержащего все кусочно непрерывные функции. Впоследствии А. Б¨етчер и Г. Вольф [4] исследовали т¨еплицевы операторы на n-мерных кубах и установили для них аналоги предложений 0.1 и 0.2. С. М. Грудский и А. В. Козак [5] путем непосредственных вычислений доказали предложение 0.1 для скалярных т¨еплицевых операторов в пространстве L1 . А. Б¨етчер, С. М. Грудский и Б. Зильберманн [6] доказали предложения 0.1 и 0.2 для одномерных матричных сверток с интегрируемыми ядрами в пространствах Lp . Более полно история проблемы изложена в [6] и в книге А. Б¨етчера и Б. Зильберманна [7, гл. 3 и § 6.3]. В настоящей работе результаты [6] обобщены на многомерный случай. При этом из [6] взяты идея теоремы 6.1 и техника работы с псевдоспектрами. С другой стороны, доказательство теоремы 6.1 основано на локальном методе, первоначальную версию которого (называемую также теорией операторов локального типа) разработал И. Б. Симоненко [8–12] для исследования н¨етеровости сингулярных интегральных операторов. А. В. Козак [13–15] обобщил этот метод на
1312
Е. А. Максименко
абстрактные банаховы алгебры, снабженные локальной структурой, и применил его к исследованию обратимости операторов свертки на расширяющихся подмножествах Rn (см. также [16]). Мы следуем локальному методу в изложении А. В. Козака, усиливая его теоремой Н. Я. Крупника [17] о норме оператора локального типа. § 1. О наполненных подалгебрах В этом параграфе приводятся элементарные сведения о наполненных подалгебрах и о морфизмах, согласованных с обращением. Всюду далее под банаховой алгеброй понимается банахова алгебра с единицей (единица будет обозначаться через e); под морфизмом банаховых алгебр понимается морфизм банаховых алгебр с единицей; подалгебры не предполагаются замкнутыми. Символ Inv(A ), где A — банахова алгебра, используется для обозначения множества обратимых элементов алгебры A ; σ(a), где a ∈ A , — спектр элемента a. Подалгебра B алгебры A называется наполненной, если единица алгебры A принадлежит B и Inv(B) = B ∩ Inv(A ). Если X ⊂ A , то [X] будет обозначать замкнутую наполненную подалгебру алгебры A , порожденную множеством X. Так как замыкание наполненной подалгебры есть наполненная подалгебра, то [X] — замыкание наполненной подалгебры, порожденной множеством X. Пусть f : A → B — морфизм банаховых алгебр. Тогда из a ∈ Inv(A ) следует, что f (a) ∈ Inv(B) и f (a)−1 = f (a−1 ). Будем говорить, что морфизм f согласован с обращением, если для любого a ∈ A условия a ∈ Inv(A ) и f (a) ∈ Inv(B) равносильны. Предложение 1.1. Пусть f : A → B — изометрический морфизм банаховых алгебр, согласованный с обращением, X ⊂ A . Тогда f ([X]) = [f (X)]. Доказательство. Пусть Y1 и Y2 — наполненные подалгебры алгебр A и B, порожденные множествами X и f (X) соответственно. Поскольку f согласован с обращением, то f (Y1 ) = Y2 . Так как f — изометрия полных пространств, то f (Y 1 ) = f (Y1 ) = Y 2 , где надчеркивание обозначает замыкание. Но f (Y 1 ) = f ([X]), Y 2 = [f (X)]. Таким образом, f ([X]) = [f (X)]. Для удобства ссылок приведем очевидное утверждение о единственности продолжения морфизма на наполненную подалгебру. Если f : X → Y — отображение и X1 ⊂ X, то сужение (ограничение) f на X1 будем обозначать через f |X1 . Предложение 1.2. Пусть A и B — банаховы алгебры, X ⊂ A , f : [X] → B и g : [X] → B — морфизмы банаховых алгебр, причем f |X = g|X. Тогда f = g. § 2. Локальный метод В этом параграфе приводится одна из версий локального метода (или «локального принципа»), а именно локальный метод в формулировке А. В. Козака [13, 15]. Условие (LS40 ) из работ А. В. Козака заменим более сильным условием (LS4), введенным Н. Я. Крупником [17] для доказательства теоремы 2.3. Прежде всего согласуем топологические термины и обозначения. Если X — топологическое пространство, то X — кольцо борелевских подмножеств X ;
Операторы свертки на расширяющихся многогранниках
1313
окрестность точки x (x ∈ X ) — открытое подмножество X , содержащее x; Ux (x ∈ X ) — множество окрестностей точки x; u ¯ (u ⊂ X ) — замыкание множества u. Будем говорить, что (A , X , p) — алгебра с локальной структурой, если A — банахова алгебра (с нормой | · | и единицей e), X — компакт, p : X → A , и выполняются следующие свойства: (LS1) p(X ) = e; (LS2) p(u ∩ v) = p(u)p(v) для любых u, v ∈ X ; (LS3) p(u ∪ v) = p(u) + p(v) для любых u, v ∈ X таких, что u ¯ ∩ v¯ = ∅; (LS4) |p(u)ap(u) + p(v)bp(v)| ≤ max(|a|, |b|) для любых a, b ∈ A , u, v ∈ X таких, что u ∩ v = ∅. Далее в этом параграфе будем считать, что (A , X , p) — некоторая алгебра с локальной структурой. Из (LS2) следует, что элементы вида p(u) являются идемпотентами: p(u)2 = p(u). Учитывая (LS4), получаем, что |p(u)| = 1 при p(u) 6= 0. В частности, (LS40 ) sup |p(u)| < +∞. u∈X
Пусть 1u , где u ∈ X , — характеристическая функция множества u; B(X ) — банахова алгебра ограниченных функций на X , с равномерной нормой; S(X ) — замкнутая подалгебра алгебры B(X ), порожденная элементами вида 1u (u ∈ X ); C(X ) — банахова алгебра непрерывных функций на X . Легко видеть, что C(X ) ⊂ S(X ). Элемент a ∈ A называется элементом локального типа, если p(u)ap(v) = 0 для любых u, v ∈ X таких, что u ¯ ∩ v¯ = ∅. Множество элементов локального типа будет обозначаться через A 0 . Предложение 2.1. Отображение 1u 7→ p(u) (u ∈ X ) можно единственным образом продолжить до морфизма банаховых алгебр µ : S(X ) → A . Этот морфизм не увеличивает норму: |µ(ϕ)| ≤ kϕk для всех ϕ ∈ S(X ). Теорема 2.1. A 0 состоит из тех и только тех элементов, которые коммутируют с множеством µ(C(X )). Тем самым A 0 — замкнутая наполненная подалгебра алгебры A . Доказательства предложения 2.1 и теоремы 2.1 см. в [13, 15]. Следуя [12], для каждой точки x ∈ X определим следующие преднормы: qL (a, x) = inf |p(u)a|, u∈Ux
qR (a, x) = inf |ap(u)|, u∈Ux
q(a, x) = max(qL (a, x), qR (a, x)). Ясно, что q(a, x) ≤ |a| для любого a ∈ A . Если a ∈ A 0 , x ∈ X , то q(a, x) = inf |p(u)a| = inf |ap(u)| = inf |p(u)ap(u)|. u∈Ux
u∈Ux
u∈Ux
Для каждой точки x ∈ X преднорма q(·, x) порождает отношение эквиваx лентности ∼: x a ∼ b ⇔ q(a − b, x) = 0. Легко проверяются следующие свойства: x (a) если a ∼ b, то q(a, x) = q(b, x); x x x (b) если a1 ∼ b1 , a2 ∼ b2 , λ, µ ∈ C, то λa1 + µa2 ∼ λb1 + µb2 ;
1314
Е. А. Максименко x
x
(c) если an → a, bn → b, an ∼ bn , то a ∼ b; x x x (d) если a1 , a2 , b1 , b2 ∈ A 0 , a1 ∼ b1 , a2 ∼ b2 , то a1 a2 ∼ b1 b2 ; x x (e) если a, b ∈ Inv(A 0 ) и a ∼ b, то a−1 ∼ b−1 . x Рассмотрим ∼ как отношение эквивалентности на A 0 . Пусть Ax0 — соответствующее фактор-множество, πx : A 0 → Ax0 — соответствующее факторотображение. Свойства (a), (b), (d) показывают, что Ax0 естественным образом превращается в банахову алгебру с единицей πx (e) и нормой |πx (·)| = q(·, x). Теорема 2.2 (см. [9, 11–13, 15]). Пусть a ∈ A 0 и для любой точки x ∈ X элемент πx (a) обратим слева (соответственно справа) в фактор-алгебре Ax0 . Тогда a обратим слева (соответственно справа). Теорема 2.3. Если a ∈ A 0 , то |a| = sup q(a, x). x∈X
Эта теорема доказана в работе Н. Я. Крупника [17] для некоторого частного случая, но тривиально обобщается на случай алгебр с локальной структурой. § 3. Основные объекты: алгебры AX , WX и CX Определим основные объекты работы и покажем, как они связаны с объектами из § 2. Как было указано во введении, числа n ∈ N, m ∈ N, p ∈ [1, +∞) фиксированы на протяжении всей работы. Для любой точки x ∈ Rn обозначим через Ux множество окрестностей точки x (окрестности считаются открытыми). Для любого измеримого подмножества X пространства Rn определим опеn m n ратор PX : Lm p (R ) → Lp (R ) следующим правилом: f (x), x ∈ X, (PX f )(x) = 0, x ∈ Rn \ X. Ясно, что PX = JX QX . n m Далее для сокращения записи вместо Lm p (R ) будем писать Lp . Если B — банахово пространство, то через End(B) будем обозначать банахову алгебру ограниченных линейных операторов в B. Выберем и зафиксируем до конца параграфа некоторое измеримое подмножество X пространства Rn (в следующих параграфах роль множества X будет играть конус или многогранник). Заметим, что PX End Lm PX — банахова алгебра с единицей PX . Для p краткости будем обозначать ее через End PX Lm PX Lm p . Будем отождествлять p m m — с End Lm с Lm p (X), а End PX Lp p (X) . Если A ∈ End Lp , то оператор AX = QX AJX будем отождествлять с элементом PX APX алгебры End PX Lm p . и элемент PX APX обратим в алгебре End PX Lm (это равЕсли A ∈ End Lm p p (X) обратим), то соответствуносильно тому, что оператор QX AJX ∈ End Lm p ющий обратный элемент отождествляется с оператором (QX AJX )−1 и также обозначается через A−1 X . Пусть UX — произведение семейства банаховых алгебр End Pτ X Lm , p τ >0 т. е. множество семейств операторов вида {Aτ }τ >0 , где Aτ ∈ End Pτ X Lm и p sup kAτ k < +∞, снабженное покоординатными операциями и нормой τ >0
|{Aτ }τ >0 |UX = sup kAτ k. τ >0
Операторы свертки на расширяющихся многогранниках
1315
Рассмотрим в UX замкнутый идеал JX : JX = {{Aτ }τ >0 ∈ UX | lim kAτ k = 0}. τ →+∞
Обозначим через AX фактор-алгебру UX /JX . Элементы этой фактор-алгебры имеют вид a = {Aτ }τ >0 + JX , где Aτ ∈ End(PX Lm p ) и sup kAτ k < +∞. Норма τ >0
в AX вычисляется по формуле |{Aτ }τ >0 + JX | = lim sup kAτ k. τ →+∞
Определим отображение jX : End(Lm p ) → AX : jX (A) = {Pτ X APτ X }τ >0 + JX ,
A ∈ End Lm p .
Пусть R˙ n = Rn ∪{∞} — компакт, полученный при расширении пространства Rn одной бесконечно удаленной точкой, X — замыкание X в R˙ n , X — множество измеримых подмножеств X. Для любого множества u ∈ X положим p(u) = {Pτ (u∩X) }τ >0 + JX . Лемма 3.1 (см. [11, 17]). Пусть A, B ∈ End Lm p , Y , Z — непересекающиеся измеримые подмножества Rn . Тогда kPY APY + PZ BPZ k ≤ max(kAk, kBk). Предложение 3.1 (см. [13, 15]). (AX , X, p) — алгебра с локальной структурой. Если ϕ ∈ S(X), то µ(ϕ) = {M (ϕτ )}τ >0 + JX , где M (ϕτ ) — оператор умножения на функцию ϕτ , которая определена формулой ϕτ (x) = ϕ(x/τ ),
x ∈ µX, τ > 0.
Формально новым в предложении 3.1 является лишь то, что для (AX , X, p) выполняется условие (LS4), а это следует из леммы 3.1. Обозначим через Wp замыкание в End Lm множества матричных операp m×m , k ∈ Lm×m (Rn ). торов свертки, т. е. операторов вида (0.1), где c ∈ C 1 Пусть CX = [PX Wp PX ], WX = [jX (Wp )]. Более подробно: CX — замкнутая наполненная подалгебра банаховой алгебры End(PX Lm p ), порожденная множеством {PX APX | A ∈ Wp }; WX — замкнутая наполненная подалгебра банаховой алгебры AX , порожденная множеством {jX (A) | A ∈ Wp }. Предложение 3.2. WX ⊂ AX0 . Доказательство (см. [10, 14, 16]). Пусть A — матричный оператор свертки с финитным ядром, т. е. A имеет вид (0.1), где c ∈ Cm×m , k ∈ L1m×m , причем k(x) = 0 при |x| ≥ d, d > 0. Тогда PY APZ = 0 при dist(Y, Z) > d, где dist(Y, Z) = inf inf |y − z|. y∈Y z∈Z
Если u, v ⊂ X и u ¯ ∩ v¯ = ∅, то r = dist(u, v) > 0, и при τ > d/r имеем dist(τ u, τ v) > d, Pτ u APτ v = 0. Отсюда p(u)jX (A)p(v) = 0. Итак, jX (A) ∈ AX0 , если A имеет указанный вид. Но операторы такого вида образуют плотное подмножество в Wp , поэтому jX (Wp ) ⊂ AX0 . По теореме 2.1 AX0 — замкнутая наполненная подалгебра AX . Отсюда следует, что WX = [jX (Wp )] ⊂ AX0 , и предложение доказано. Предложения 3.1 и 3.2 позволяют использовать для алгебры AX обозначеx ния § 2 (в частности, q(·, x) и ∼, где x ∈ X), а к элементам из WX применять все утверждения об элементах локального типа. Для каждой точки x ∈ X будем x обозначать через (WX )x алгебру πx (WX ) = WX / ∼.
1316
Е. А. Максименко § 4. Случай конусов n
Для любых X ⊂ R , y ∈ Rn положим cony (X) = {λ(x − y) : λ > 0, x ∈ X}. Множество K ⊂ Rn будем называть конусом с вершиной y, если K = cony (K). Пусть K — некоторый измеримый конус в Rn с вершиной 0, фиксированный до конца параграфа. Лемма 4.1. Пусть A ∈ End(PK Lp ), a = jK (A) = {A}τ >0 + JK .
(4.1)
Тогда |a| = q(a, 0) = kAk. Если u — некоторая окрестность точки 0 и a = jK (A) = {Bτ }τ >0 + JK , то A = s-lim Pτ (u∩K) Bτ Pτ (u∩K) = s-lim Pτ (u∩K) Bτ = s-lim Bτ Pτ (u∩K) . τ →+∞
τ →+∞
τ →+∞
(4.2)
(Здесь и далее s-lim обозначает поточечный предел.) Доказательство. Формула (4.2) следует из соотношений lim Bτ = A,
τ →+∞
s-lim Pτ (u∩K) = s-lim Pτ (u∩K) = PK . τ →+∞
τ →+∞
Из (4.2) и свойств поточечной сходимости операторов получаем kAk ≤ lim inf kPτ (u∩K) Bτ k ≤ |p(u ∩ K)a|, τ →+∞
откуда kAk ≤ qL (a, 0). Аналогично kAk ≤ qR (a, 0). Таким образом, kAk ≤ q(a, 0). Неравенства q(a, 0) ≤ |a| ≤ kAk очевидны. Лемма 4.2. Пусть A ∈ End(PK Lp ), a = jK (A), причем a ∈ AK0 . Тогда следующие условия равносильны: (a) оператор A обратим на K; (b) элемент a алгебры AK обратим; (c) элемент π0 (a) фактор-алгебры (AK0 )0 обратим. −1 Если эти условия выполнены, то a−1 = {AK }τ >0 + JK . Это утверждение в несколько другой формулировке доказано в [13, 15]. 0
Напомним, что (WK )0 = (WK / ∼) = π0 (WK ). Предложение 4.1. Отображения (jK |CK ) : CK → WK и (π0 |WK ) : WK → (WK )0 являются изометрическими морфизмами банаховых алгебр, и тем самым отображение isoconK = (jK |CK )−1 ◦ (π0 |WK )−1 — изометрический изоморфизм (WK )0 на CK . Доказательство. Легко видеть, что jK (CK ) ⊂ WK . Из леммы 4.1 следует, что отображение jK : End(PK Lp ) → AK — изометрический морфизм банаховых алгебр. Лемма 4.2 и предложение 3.2 показывают, что морфизм jK |CK согласован с обращением. По предложению 1.1 jK |CK есть изометрический изоморфизм CK на WK . Утверждение о морфизме π0 |WK вытекает из лемм 4.1 и 4.2.
Операторы свертки на расширяющихся многогранниках
1317
Предложение 4.2. Пусть b ∈ WK , b = {Bτ }τ >0 + JK . Тогда isoconK (π0 (b)) = s-lim Bτ . τ →+∞
Доказательство. Пусть A = isoconK (π0 (b)), f ∈ PK Lp . Мы должны показать, что lim k(Bτ − A)f k = 0. Положим a = {A}τ >0 + JK . Тогда π0 (a) = τ
π0 (b). Выберем произвольно ε > 0 и найдем такую окрестность нуля u, что |(a − b)p(u)| < ε, т. е. lim sup k(Bτ − A)Pτ u k < ε. τ →+∞
Учитывая, что lim kBτ Pτ u f − Bτ f k = 0, lim kAPτ u f − Af k = 0, получим τ
τ
lim sup k(Bτ − A)f k = lim sup k(Bτ − A)Pτ u f k < ε. τ →+∞
τ →+∞
Так как ε > 0 выбрано произвольно, то lim k(Bτ − A)f k = 0. τ →+∞
§ 5. Локальный изоморфизм
Lm p :
Этот параграф построен на идеях работы [14] (см. также [10]). Пусть Th , где h ∈ Rn , — оператор сдвига (переноса) на h в пространстве (Th f )(y) = f (y − h),
y ∈ Rn , f ∈ Lm p ,
— множество измеримых подмножеств Rn . Заметим, что если X ∈ , h ∈ Rn , то Th PX = PX+h Th . Пусть X, Y ⊂ Rn , x ∈ X, y ∈ Y . Будем говорить, что множество X в точке x эквивалентно множеству Y в точке y, если существуют такие u ∈ Ux и v ∈ Uy , что (X ∩ u) − x = (Y ∩ v) − y. Пусть X, Y ∈ . Для алгебры AY будем писать p0 вместо p и q 0 вместо q. Если x, y, u, v такие, как в данном выше определении, то рассмотрим отображения ϕ : u ∩ X → v ∩ Y и uv : p(u)AX p(u) → p0 (v)AY p0 (v): ϕ(z) = z + y − x,
z ∈ u ∩ X;
uv (a) = {Tτ (y−x)Pτ u Aτ Pτ u Tτ (x−y)}τ >0 + JY , где a = {Aτ }τ >0 + JX ∈ p(u)AX p(u). Ясно, что определение uv (a) не зависит от выбора {Aτ }τ >0 . Очевидно, uv есть изометрический изоморфизм p(u)AX p(u) на p0 (v)AY p0 (v), причем uv (p(w)) = p0 (ϕ(w)) для всех w ∈ Ux . Пусть X, Y ∈ , причем множество X в точке x локально эквивалентно множеству Y в точке y. Определим отношение Rxy ⊂ AX0 × AY0 , полагая aRxy b, если существуют y такие u ∈ Ux , v ∈ Uy , что (X ∩ u) − x = (Y ∩ v) − y и uv (p(u)ap(u)) ∼ p0 (v)bp0 (v). Отметим очевидные свойства отношения Rxy : (a) если a ∈ AX0 , b ∈ AY0 и aRxy b, то q(a, x) = q 0 (b, y); (b) если a1 , a2 ∈ AX0 , b1 , b2 ∈ AY0 , a1 Rxy a2 , b1 Rxy b2 и λ1 , λ2 ∈ C, то (λ1 a1 + λ2 a2 )Rxy (λ1 b1 + λ2 b2 ),
a1 a2 Rxy b1 b2 .
1318
Е. А. Максименко
Предложение 5.1. Пусть X, Y ∈ , x ∈ X, y ∈ Y и множество X в точке x эквивалентно множеству Y в точке y. Тогда существует единственный изоморфизм locxy : (AX0 )x → (AY0 )y такой, что соотношение locxy (πx (a)) = πy (b) равносильно соотношению aRxy b для любых a ∈ AX0 , b ∈ AY0 . exy ⊂ (A 0 )x × (A 0 )y — отношение, опредеДоказательство. 1. Пусть R X Y ленное правилом exy πy (b) ⇔ aRxy b, πx (a)R
a ∈ AX0 , b ∈ AY0 .
2. Для каждого a ∈ AX0 существует такой элемент b ∈ AY0 , что aRxy b, т. е. exy πy (b). Действительно, пусть u ∈ Ux , v ∈ Uy таковы, что (u ∩ X) − x = πx (a)R (v ∩ Y ) − y. Тогда элемент b = uv (p(u)ab(u)) является искомым. 3. Аналогично доказывается, что для любого b ∈ AY0 существует такой exy πy (b). элемент a ∈ AX0 , что πx (a)R exy — график 4. Из свойств (a), (b) отношения Rxy и пп. 2, 3 следует, что R некоторого изометрического изоморфизма, который мы обозначим через locxy . Существование доказано. 5. Если морфизм locxy удовлетворяет условиям предложения, то его граexy . Единственность доказана. фик, очевидно, совпадает с R Предложение 5.2. Пусть X, Y ∈ , x ∈ X, y ∈ Y , множество X в точке x эквивалентно множеству Y в точке y и A ∈ Wp . Тогда jX (A)Rxy jY (A), т. е. locxy (πx (jX (A))) = πy (jY (A)). Доказательство. Пусть u ∈ Ux , v ∈ Uy , (X∩u)−x = (Y ∩v)−y. Используя инвариантность оператора A относительно сдвига, для любого τ > 0 получаем Tτ (y−x)Pτ u Pτ X APτ X Pτ u Tτ (x−y) = Pτ (v∩Y ) APτ (v∩Y ) . y
Отсюда uv (jX (A)) = p(v)jY (A)p(v) ∼ jY (A) и jX (A)Rxy jY (A). Предложение 5.3. Пусть M ∈ , x ∈ M, K — конус с вершиной 0 и множество M в точке x локально эквивалентно конусу K в точке 0. Тогда существует единственный морфизм банаховых алгебр θx : WM → End(PKx Lp ) такой, что θx (jM (A)) = PK APK для любого A ∈ Wp . При этом θx (WM ) ⊂ CK для любого a ∈ WM имеют место соотношения kθx (a)k = q(a, x) ≤ |a| и обратимость θx (a) в End(PK Lp ) равносильна обратимости элемента πx (a) в фактор-алгебре (WM )x . Доказательство. Определим морфизм θx формулой θx (a) = isocon(locx0 (πx (a))),
a ∈ WK .
(5.1)
Из предложений 4.1 и 5.2 следует, что θx обладает перечисленным свойствами. Единственность вытекает из предложения 1.2. Из формулы (5.1) и предложения 4.2 получаем явное описание морфизма θx с помощью операции поточечного предела операторов.
Операторы свертки на расширяющихся многогранниках
1319
Предложение 5.4. Пусть M ∈ , x ∈ M, K — конус с вершиной 0, u ∈ U0 , (M − x) ∩ u = K ∩ u; a = {Aτ }τ >0 + JM . Тогда θx (a) = s-lim Pτ u T−τ x Aτ Tτ x Pτ u = s-lim T−τ x Aτ Tτ x τ →+∞
τ →+∞
и, следовательно, kθx (a)k ≤ lim inf kAτ k. τ →+∞
(5.2)
Далее нам понадобится утверждение о «доминировании» одной точки над другой. Предложение 5.5. Пусть M ∈ , x, y ∈ M , u ∈ Ux , v ∈ U0 , K — конус с вершиной 0, (M ∩ u) − x = K ∩ v и y ∈ u. 0 Тогда для любого a ∈ AM имеет место неравенство q(a, x) ≥ q(a, y) и из 0 0 обратимости πx (a) в (AM )x следует обратимость πy (a) в (AM )y . Доказательство. Определим отображение ϕ : u → v формулой ϕ(z) = z − x. Тогда соответствующее отображение uv осуществляет изоморфизм алгебры p(u)AX0 p(u) на алгебру p(v)AK0 p(v). Выберем произвольно a ∈ AX0 . Из предложения 5.1 и лемм 4.2, 4.1 вытекает, что обратимость элемента p(u)ap(u) в алгебре p(u)AX0 p(u) равносильна обратимости πx (a) в (AX0 )x , и q(a, x) = |p(u)ap(u)|. С другой стороны, так как u — окрестность y, то из обратимости p(u)ap(u) в p(u)AX0 p(u) следует обратимость πy (a), при этом q(a, y) ≤ |p(u)ap(u)|. § 6. Основная теорема В этом параграфе будем считать, что M — многогранник в Rn , E — множество его вершин. 0 Лемма 6.1. Пусть a ∈ AM . Тогда обратимость элемента a равносильна 0 тому, что для любой точки x ∈ E элемент πx (a) обратим в (AM )x . Кроме того, |a| = max q(a, x). x∈E
Доказательство. Аналогичное утверждение, но с заменой E на M , вытекает из предложения 3.1 и общих теорем локального метода 2.2 и 2.3. Переход от M к E следует из предложения 5.5, так как для любой точки y ∈ M , очевидно, можно найти такую вершину x ∈ E, которая «доминирует» над y в смысле предложения 5.5. Лемма доказана. Q В произведении End PKx Lm рассмотрим замкнутую наполненную поp x∈E
далгебру Ce, порожденную семействами вида {PKx APKx }x∈E , где A ∈ Wp . Ясно, что Y Ce ⊂ CKx . x∈E
Теорема 6.1. Существует единственный морфизм банаховых алгебр Y : WM → End(PKx Lp ) x∈E
такой, что (jM (A)) = {PKx APKx }x∈E для всех A ∈ Wp . Этот морфизм изометричен, согласован с обращением, имеет образ Ce и является произведением семейства морфизмов {θx }x∈E .
1320
Е. А. Максименко
Доказательство. Положим =
Q
x∈E
θx . Тогда из предложения 5.3 и лем-
мы 6.1 следует, что изометричен и согласован с обращением. По предложению 1.1 (WM ) = CeM . Единственность морфизма вытекает из соотношения WM = [jM (Wp )] и предложения 1.2. Замечание. Для одномерного случая (n = 1, M = [0, 1]) утверждение, аналогичное теореме 6.1, доказано в [6] с помощью конструктивного описания алгебр WM и CK . Следствие 6.1. Пусть элемент a ∈ WM имеет представление a = {Aτ }τ >0 + JM . Тогда lim kAτ k = |a| = max kθx (a)k. τ →+∞
x∈E
Доказательство получается из теоремы 6.1 и формулы (5.2). Следствие 6.2. Пусть a ∈ WM , a = {Aτ }τ >0 + JM . Тогда следующие условия равносильны: (a) элемент a обратим в AM ; (b) lim sup k(Aτ )−1 τ M k < +∞, т. е. существует такое τ0 > 0, что операторы τ →+∞
Aτ обратимы на τ M при τ > τ0 , и sup k(Aτ )−1 τ M k < +∞; τ >τ0
(c) для каждой точки x ∈ E оператор θx (a) обратим на Kx . Если эти условия выполняются, то для любой точки x ∈ E −1 θx (a)−1 Kx = s-lim T−τ x (Aτ )τ M Tτ x . τ →+∞
Кроме того,
−1
| = max θx (a)−1 lim (Aτ )−1 τ M = |a Kx .
τ →+∞
x∈E
В частности, при a = jM (A), A ∈ Wp , получаем Следствие 6.3. Пусть A ∈ Wp . Тогда следующие условия равносильны: (a) элемент jM (A) обратим в AM ; (b) lim sup kA−1 τ M k < +∞; τ →+∞
(c) оператор A обратим на Kx для каждой точки x ∈ E. Если эти условия выполняются, то для любой точки x ∈ E −1 A−1 Kx = s-lim T−τ x Aτ M Tτ x . τ →+∞
Кроме того,
−1
lim A−1 τ M = max AKx .
τ →+∞
x∈E
(6.1)
Соотношение (6.1) было отмечено во введении как предложение 0.1. Остальные утверждения следствия 6.3 доказал А. В. Козак в работах [13–15]. Аналогичные результаты он доказал также для обобщенных и составных сверток и для множеств M более общей формы, чем многогранники. § 7. Пределы псевдоспектров В этом параграфе из следствия 6.2 выводится теорема о пределе псевдоспектров. Идея доказательства взята из [6]. Сначала приведем необходимые сведения о норме резольвенты, псевдоспектре и метрике Хаусдорфа.
Операторы свертки на расширяющихся многогранниках
1321
˙ = C ∪ {∞} Пусть A — банахова алгебра (с единицей e и нормой | · |), C — расширенная комплексная плоскость. Определим функцию nr : A × C˙ → [0, +∞] («норму резольвенты») формулой −1 |(λe − a) |, λ ∈ C \ σ(a), nr(a, λ) =
λ ∈ σ(a), λ = ∞.
+∞, 0,
˙ В частности, Нетрудно видеть, что функция nr(a, ·) непрерывна на C. | nr(a, µ) − nr(a, λ)| <
|µ − λ| nr(a, λ)2 . 1 − |µ − λ| nr(a, λ)
(7.1)
Теорема 7.1. Пусть (, µ) — пространство с мерой, p ∈ (1, +∞), A = End(Lp (, µ)), a ∈ A . Тогда для резольвенты элемента a выполняется принцип максимума нормы, т. е. функция nr(a, ·) не имеет локальных максимумов на C \ σ(a). Эта теорема доказана в [6]. Понятно, что в теореме 7.1 можно заменить End(Lp (, µ)) на End Lm p (, µ) . Для произвольных операторнозначных аналитических функций принцип максимума нормы может не выполняться (см. контрпример в [6]). Если a ∈ A и ε > 0, то ε-псевдоспектр элемента a определяется равенством σε (a) = {λ ∈ C | nr(a, λ) ≥ 1/ε}. Ясно, что σε (a) — компакт в C, причем σ(a) ⊂ σε (a). Напомним определение метрики Хаусдорфа dH . Пусть K — множество непустых компактов в C. Для любых X, Y ∈ K dH (X, Y ) = max(sup inf |x − y|, sup inf |x − y|). x∈X y∈Y
y∈Y x∈X
Таким образом, неравенство dH (X, Y ) < δ означает, что X ⊂ U (Y, δ) и Y ⊂ U (X, δ), где U (X, δ) = {z ∈ C | inf |z − x| < δ}. x∈X
Хорошо известно, что (K , dH ) — полное метрическое пространство. Если {Xτ }τ >0 — направленное семейство в K и Y ∈ K , то записи Xτ → Y и lim Xτ = τ
Y будут означать, что dH (Xτ , Y ) → 0, а это равносильно следующему: для любого δ > 0 существует такое τ0 > 0, что Xτ ⊂ U (Y, δ) и Y ⊂ U (Xτ , δ) при τ > τ0 . Пусть, как и в § 6, M — многогранник в Rn , E — множество его вершин. Существенную роль в доказательстве следующей теоремы будет играть тот факт, что множество E конечно. Будем дополнительно предполагать, что p ∈ (1, +∞). Это ограничение необходимо, чтобы воспользоваться теоремой 7.1. Теорема 7.2. Пусть a ∈ WM , a = {Aτ }τ >0 + JM , ε > 0. Тогда [ lim σε (Aτ ) = σε (a) = σε ((a)) = σε (θx (a)). τ →+∞
x∈E
Доказательство. 1. Из следствия 6.2 теоремы 6.1 получаем, что [ σε (a) = σε ((a)) = σε (θx (a)). x∈E
1322
Е. А. Максименко
Осталось доказать, что σε (Aτ ) → σε (a) при τ → +∞. 2. Докажем, что для любого δ > 0 существует такое τ0 > 0, что σε (Aτ ) ⊂ ˙ \ U (σε (a), δ) имеем U (σε (a), δ) при τ > τ0 . Для каждой точки λ компакта Q = C lim nr(Aτ , λ) = nr(a, λ) = 1/ε − ξλ ,
τ →+∞
где ξλ > 0. Отсюда найдем такое τλ > 0, что nr(Aτ , λ) < 1/ε − ξλ /2 при τ > τλ . С помощью неравенства (7.1) находим такую окрестность Uλ точки λ, что nr(Aτ , µ) < 1/ε − ξλ /3 для всех µ ∈ Uλ и τ > τλ . Семейство {Uλ }λ∈S образует открытое покрытие компакта Q. Выделим конечное множество ⊂ Q такое, что семейство {Uλ }λ∈ также покрывает Q, и положим τ0 = max{τλ : λ ∈ }, ξ = min{ξλ : λ ∈ }. Тогда при τ > τ0 и µ ∈ Q nr(Aτ , µ) < 1/ε − ξ/3 < 1/ε. Этим доказано, что σε (Aτ ) ⊂ C \ Q = U (σε (a), δ) при τ > τ0 . 3. Выберем произвольно δ > 0, x ∈ E, положим Bx = θx (a) и докажем существование такого τx0 > 0, что σε (Bx ) ⊂ U (σε (Aτ ), δ) при τ > τx0 . Для каждой точки λ ∈ σε (Bx ) рассмотрим ее δ/2-окрестность U (λ, δ/2). С помощью теоремы 7.1 (о норме резольвенты) найдем такое µ ∈ U (λ, δ/2), что nr(Bx , µ) > 1/ε. Далее, пользуясь соотношением lim nr(Aτ , µ) = nr(a, µ) ≥ nr(Bx , µ),
τ →+∞
возьмем такое τλ0 > 0, что nr(Aτ , µ) > 1/ε при τ > τλ0 . Тогда при τ > τλ0 имеем µ ∈ σε (Aτ ), λ ∈ U (σε (Aτ ), δ/2), U (λ, δ/2) ⊂ U (σε (Aτ ), δ). Выбирая из покрытия {U (λ, δ/2) : λ ∈ σε (Bx )} компакта σε (Bx ) конечное подпокрытие, находим такое τx0 > 0, что σε (Bx ) ⊂ U (σε (Aτ ), δ) при τ > τx0 . 4. Теперь выберем произвольно δ > 0, для каждой точки x ∈ E построим такое τx0 , как в п. 3, и положим τ 0 = max τx0 . Тогда при τ > τ 0 получим x∈E
σε (a) =
[
σε (Bx ) ⊂ U (σε (Aτ ), δ).
x∈E
Вместе с п. 2 это значит, что lim σε (Aτ ) = σε (a). Теорема доказана. τ
Предложение 0.2 получается из теоремы 7.2 при a = jM (A). ЛИТЕРАТУРА 1. Landau H. The notion of approximate eigenvalues applied to an integral equation of laser theory // Quart. Appl. Math.. April 1977. V. 35. P. 165–171. 2. Reichel L., Trefethen L. N. Eigenvalues and pseudo-eigenvalues of Toeplitz matrices // Linear Algebra Appl.. 1992. V. 162. P. 153–185. 3. B¨ ottcher A. Pseudospectra and singular values of large convolution operators // J. Integral Equations Appl.. 1994. V. 6. P. 267–301. 4. B¨ ottcher A., Wolf H. Spectral approximation for Segal–Bargmann space Toeplitz operators // Linear Operators, Banach Center Publ (Warsaw). 1997. V. 387. P. 25–48. 5. Грудский С. М., Козак А. В. О скорости сходимости норм операторов, обратных к усеченным операторам Т¨еплица // Интегродифференциальные уравнения и их приложения. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовск. ун-та, 1995. С. 45–55. 6. B¨ ottcher A., Grudsky S. M., Silbermann B. Norms of inverses, spectra, and pseudospectra of large truncated Wiener–Hopf operators and Toeplitz matrices // New York J. Math.. 1997. V. 3. P. 1–31.
Операторы свертки на расширяющихся многогранниках
1323
7. B¨ ottcher A., Silbermann B. Introduction to large truncated Toeplitz matrices. New York: Springer, 1999. 8. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН СССР. 1964. Т. 158. С. 790–793. 9. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. 1 // Изв. АН СССР. Сер. мат.. 1965. Т. 29. С. 567–586. 10. Симоненко И. Б. Операторы типа свертки в конусах // Мат. сб.. 1967. Т. 74. С. 298–313. 11. Симоненко И. Б., Чинь Нгок Минь. Локальный метод в теории одномерных сингулярных интегральных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нетеровость. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовск. гос. ун-та, 1986. 12. Симоненко И. Б. Теория операторов локального типа и ее приложения / Ростовский гос. университет. Ростов-на-Дону, 1996. 74 С. Деп. в ВИНИТИ 23.01.96, № 275-В96. 13. Козак А. В. Локальный принцип в теории проекционных методов // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212. С. 1287–1289. 14. Козак А. В. О методе редукции для дискретных многомерных сверток // Мат. иссл. (Кишинев). 1973. Т. 8. С. 157–160. 15. Козак А. В. Проекционные методы решения многомерных уравнений типа свертки: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1974. 16. Козак А. В., Симоненко И. Б. Проекционные методы решения многомерных дискретных уравнений в свертках // Сиб. мат. журн.. 1980. Т. 21. С. 119–127. 17. Крупник Н. Я. Точная константа в теореме И. Б. Симоненко об огибающей семейства операторов локального типа // Функцион. анализ и его приложения. 1986. Т. 20. С. 70–71. Статья поступила 14 мая 2003 г. Максименко Егор Анатольевич Ростовский гос. университет, механико-математический факультет, кафедра алгебры и дискретной математики, ул. Зорге, 5, Ростов-на-Дону 344090
[email protected]
