Геометрические величины: Методическая разработка

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет Кафедра геометрии

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ Методическая разработка

Екатеринбург 2005

Составитель: канд. ф.-м. н., доцент В.П. Толстопятов Геометрические величины: методическая разработка /Урал. гос. пед. ун-т: Сост. В.П. Толстопятов. Екатеринбург, 2005. 22 с.

Разработка содержит изложение вопросов, связанных с обоснованием измерения геометрических величин и может быть использована при изучении студентами раздела «Основания геометрии», а также при чтении курсов по выбору. Излагаемый материал предполагает знакомство студентов с построением геометрии евклидова пространства на основе аксиоматик Гильберта и Вейля.

Научный редактор: доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н. Мухин

© Уральский государственный педагогический университет, 2005

2

Содержание Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 1. Различные определения длины отрезка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Длина отрезка как результат процесса измерения . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2. Определение длины отрезка на основе расстояния между точками . . 6 1.3. Аксиоматическое определение длины отрезка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2. Понятие площади плоской фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .8 2.1. Площадь многоугольной фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 2.2 Расширение класса квадрируемых фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 3. Равновеликость и рвносоставленность многоугольных фигур . . . . . 15 4. О понятии объема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 4.1. Измерение объемов многогранных тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 4.2. Расширение класса кубируемых фигур. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5. Равновеликость и равносоставленность многогранных тел . . . . . . . .18 6. Величина и её измерение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 21

3

Введение В математике общее понятие величины является первичным, неопределяемым. В школьном курсе математики изучаются отдельные виды величин (длина, площадь, объем и т.д.) и методы и приемы их измерения. Важно, чтобы учитель математики имел представление о величине не как о чем-то таком, что можно измерить, а как о всеобщем, основном понятии математики. Учитель должен понимать, что такое измерение величин, что независимо от способа измерения однородных величин при заданной единице измерения результат будет один и тот же. На достижение этой цели направлено содержание предлагаемой методической разработки. Приведенные аксиоматические определения измерения длин отрезков, площадей квадрируемых и объемов кубируемых фигур, дают представление об измерении величин как некотором сюрьективном отбражении. Кроме того, обобщение свойств семейств результатов измерения длин, площадей или объемов, дает возможность дать строгое математическое определение положительной скалярной величины. 1. Различные определения длины отрезка Длина отрезка как результат процесса измерения Обычно длину отрезка вводят с помощью процесса измерения. При этом мы будем пользоваться представлением положительного числа в виде двоичной дроби: n, n1n2 . . ., где n – целое неотрицательное число, а n1 , n2 ,. . . рав1.1.

1 1 1 + 3+ 4 . 2 2 2 Пусть зафиксирован некоторый отрезок [ PQ] , который принимается за единицу измерения. Процесс измерения произвольного отрезка [ AB ] заключается в следующем. На отрезке [ AB ] от одного его конца (пусть от точки A) по-

ны 0 или1 . Например, число 2,1011 равно 2 +

следовательно откладываются отрезки, конгруэнтные единице измерения. Если единица измерения отложилась на отрезке [ AB ] n раз, то говорят, что с точностью до 1 длина d ( [ AB ] ) отрезка [ AB ] , взятая с недостатком, равна n , а взятая с избытком, равна ( n + 1) и пишут: n ≤ d( [ AB ] ) < ( n + 1) . (1) Знак равенства в левой части соответствует тому случаю, когда единица измерения точно укладывается на отрезке [ AB ] n раз. Число n в этом случае назовем длиною отрезка [ AB ] . Если этого не случилось, то на получившемся остатке [ SB ] отрезка [ AB ] от точки S откладываем ния. Если эта

1 часть единицы измере2

1 часть уложилась на остатке [ SB ] n1 раз ( n1 равно 0 или 1 ), то 2

пишут 4

n, n1 ≤ d ( [ AB ] ) < n, n1 +

1 . 2

(2)

Затем, если имеется ещё некоторый остаток, можно осуществить измерение отрезка [ AB ] с точностью до

1 : 22

n, n1 n 2 ≤ d( [ AB ] ) < n, n1 n2 +

1 . 22

В результате возникают последовательности приближений к длине отрезка [ AB] по недостатку: a k = n, n1 n 2 . . .n k , и по избытку: Ak = a k +

1 , 2k

где a k – двоичная дробь. Первая последовательность неубывающая и ограничена сверху ( a k ≤ A0 ) , а вторая – невозрастающая и ограничена снизу ( Ak ≥ a0 ) . При этом Ak − a k =

1 . Таким образом, существуют пределы этих последовательностей 2k

при k→∞ и они равны:

lim a k = lim Ak = d . k→ ∞ k→ ∞

Общий предел последовательностей приближений по недостатку и по избытку называется длиной отрезка [ AB ] при единице измерения [ PQ] . Исходя из определения длины отрезка, можно вывести следующие основные свойства длины: I. Длина любого отрезка есть положительное число. II. Конгруэнтные отрезки имеют равные длины. III. Если точка C лежит между A и B, то d ( [ AB ] ) = d ( [ AC ] ) + d ( [ CB ] ) . IV. Длина единицы измерения [ PQ] равна 1 . Доказательства свойств I, II, IV просты. Остановимся на доказательстве свойства III. Пусть a k( 1) , a k( 2 ) , a k – последовательности приближений к длине по недостатку соответственно для отрезков [ AC ] , [ CB ] и [ AB ] . Тогда a k = lim a k( 1) + lim a k( 2 ) . a k = a k( 1) + a k( 2 ) и lim k→ ∞ k→ ∞ k→ ∞ Аналогичное равенство получим для последовательностей Ak( 1) , Ak( 2 ) , Ak приближений к длине по избытку для отрезков [ AC ] , [ CB ] , [ AB ] . Отсюда d ( [ AB ] ) = d ( [ AC ] ) + d( [ CB ] ) . ⊗ Кроме этого можно доказать следующие свойства длин отрезков: • Если отрезок [ CD ] содержится в отрезке [ AB ] , не совпадая с ним, то d ( [ CD ] ) < d( [ AB ] ) . • При переходе от одной единицы измерения к другой длина отрезка умножается на длину первоначальной единицы измерения относительно вновь выбранной. • Для всякого положительного числа m при выбранной единице измерения можно построить отрезок, длина которого равна m . 5

Доказательство. Пусть m выражается конечной двоичной дробью. Искомый отрезок можно получить, откладывая на некотором луче последова1 тельно единичный отрезок данное число целых единиц числа m , затем

2 1 часть единичного отрезка данное число на первом месте после запятой, 2 2

часть единичного отрезка данное число на втором месте после запятой, и так далее, пока не будут исчерпаны все знаки двоичной дроби. Пусть m не выражается конечной двоичной дробью. На луче [ OX ) будем откладывать от точки O отрезки OK j и ON j по недостатку и по избытку соответственно. В последовательности отрезков [ K j N j ] каждый последующий отрезок содержится в предыдущем, и никакой отрезок не содержится во всех отрезках [ K j N j ] . Тогда, по аксиоме Кантора, существует одна и только одна точка A, принадлежащая всем отрезкам данной последовательности. Длина отрезка [ OA] равна m и [ OA] – искомый отрезок. ⊗ Замечание. В школьной практике при измерении отрезков пользуются представлением положительного числа в виде десятичной дроби. В соответствии с этим, при описании процесса измерения отрезков используют деление отрезка не на две равные части, а на десять равных частей, что предполагает использование аксиомы параллельных. Таким образом, приведенное описание процесса измерения показывает, что теория измерения отрезков относится к абсолютной геометрии. Описанное построение теории длины отрезка может быть проведено как в гильбертовой аксиоматической схеме построения геометрии, так и в аксиоматической схеме Вейля. Однако в вейлевской схеме имеется и другой, более простой путь введения понятия длины. 1.2. Определение длины отрезка на основе расстояния между точками Исходя из вейлевской аксиоматики евклидова пространства, можно 2 ввести расстояние между точками: ρ ( A, B ) = AB . Тогда длиной отрезка [ AB ] ρ ( A, B)

при выбранной единице измерения [ PQ] назовем число d ( [ AB] ) = ρ ( P, Q) . Можно проверить, что длина отрезка, определенная таким образом, обладает свойствами I – IV, сформулированными выше. Свойство I очевидно, так как расстояние – неотрицательное число и ρ ( A, B ) = 0 ⇔ A = B . Пусть [ AB ] ≅ [ A′ B ′ ] . Следовательно, существует движение f, которое переводит [ AB ] в [ A′ B ′ ] . Это движение порождает ортогональное преобразование ϕ пространства переносов V, при котором ϕ AB = A′ B ′ . Ортогональное преобразование сохраняет длину вектора, поэтому ρ ( A, B ) = ρ ( A′ , B ′ ) и значит d ( [ AB ] ) = d ( [ A′ B ′ ] ) . Пусть точка C лежит между A и B . Тогда AB = t ⋅ AC , где 0
( )

6

BC = AC − AB = (1 − t ) ⋅ AC . Имеем ρ ( A, B ) = t ⋅ ρ ( A, C ) , ρ ( B, C ) = (1 − t ) ⋅ ρ ( A, C ) и ρ ( A, B ) + ρ ( B, C ) = ρ ( A, C ) . Тогда d ( [ AC ] ) = d ( [ AB] ) + d ( [ BC ] ) . Очевидно, что для единицы измерения [ PQ] d ( [ PQ] ) = 1.

Возникает естественный вопрос: совпадают ли между собой в вейлевской схеме построения геометрии определение длины отрезка на основе процесса измерения и на основе расстояния между точками. Вопрос этот решается теоремой единственности, которая достаточно просто доказывается в аксиоматической теории длины. 1.3. Аксиоматическое определение длины отрезка * Пусть M – множество всех отрезков, R + - множество всех положительных чисел. Говорят, что задано измерение отрезков, если определено отображе* ние d :M→ R + , удовлетворяющее следующим аксиомам: Д1. [ AB ] ≅ [ A′ B ′ ] ⇒ d ( [ AB] ) = d ( [ A′ B ′ ] ) ; Д2. µ ( ABC ) ⇒ d ( [ AB] ) + d ( [ BC ] ) = d ( [ AC ] ) ; Д3. ∃ [ PQ] ,| d ( [ PQ] ) = 1. Отрезок [ PQ] называется единицей измерения. Число d ( [ AB] ) называется длиной отрезка [ AB ] при заданной единице измерения. Теорема 1. Для каждой фиксированной единицы измерения [ PQ] суще* ствует, и притом только одно, отображение d :M→ R + , удовлетворяющее аксиомам Д1 – Д3. Доказательство. Заметим, что определение длины отрезка на основе расстояния между точками в вейлевской схеме построения геометрии (п. 1.2) представляет собой доказательство существования отображения d и доказательство непротиворечивости в рамках евклидовой геометрии аксиоматики длины отрезка. * Предположим, что отображение d ′ :M→ R + также удовлетворяет аксиомам Д1 – Д3. Докажем, что отображения d и d ′ совпадают. Возможны следующие случаи: а) d( [ AB ] ) = 1 . 2 2 Тогда AB = PQ и поэтому [ AB ] ≅ [ PQ ] . Так как отображение d ′ удовлетворяет аксиомам Д1 – Д3, то d ′ ( [ AB ] ) = d ′ ( [ PQ] ) = 1 = d( [ AB ] ) . 1

б) d( [ AB ] ) = q , где q – натуральное число, большее единицы. На луче [ AB ) отложим отрезки [ AA1 ] , [ A1 A2 ] , . . . ., [ Aq − 1 Aq ] , конгруэнтные отрезку [ AB ] . Из аксиомы Д2 следует, что d( [ AAq ] ) = q ⋅ d( [ AB ] ) = q ⋅ q = 1 . По случаю а) имеем: d ′ ( [ AAq ] ) = 1 . Так как d ′ удовлетворяет аксиомам Д1 – Д3, то 1

[

]

d ′ ( AAq ) = q ⋅ d ′ ( [ AB ] ) . Отсюда d ′ ( [ AB ] ) =

1 = d( [ AB ] ) . q

p

в) d( [ AB ] ) = q , где p и q – натуральные числа. 7

На луче [ AB ) отложим отрезки [ AA1 ] , [ A1 A2 ] , . . . , [ Aq − 1 Aq ] , конгруэнтные отрезку [ AB ] . По аксиоме Д2 следует, что d( [ AAq ] ) = q ⋅ d( [ AB ] ) = p . На луче [ AB ) отложим отрезки [ AB1 ] , [ B1 B2 ] , . . . , [ B p − 1 B p ] , конгруэнтные отрезку [ PQ] . По аксиоме Д2 следует, что d( [ AB p ] ) = p . Используя аксиому Д2, можно показать, что точки Aq и B p совпадают. Так как d ′ удовлетворяет аксиомам Д1 – Д3, то имеем

[

]

[

]

d ′ ( AAq ) = q ⋅ d ′ ( [ AB ] ) и d ′ ( AAq ) = p ⋅ d ′ ( [ PQ ] ) = p . Отсюда d ′ ( [ AB ] ) =

p , то есть q

d ( [ AB ] ) = d ′ ( [ AB ] ) . г) d( [ AB ] ) = α – иррациональное число. Построим для числа α последовательности { u k } и { u ′k } двоичных приближе1 ний с недостатком и с избытком: u k = n, n1n2 . . .nk , u ′k = u k + k . На луче [ AB ) от2 ′ ′ ′ [ AB ] [ A B ] AB = u ложим от точки A отрезки и такие, что k k k k ⋅ PQ и ABk = u k ⋅ PQ . Так как u k < α , а α < u ′k , то имеем µ ( ABk B ) и µ ( ABBk′ ) , поэтому d ′ ( [ AB ] ) = d ′ ( [ ABk ] ) + d ′ ( [ Bk B ] ) , (∨ ∨ ) d ′ ( [ ABk′ ] ) = d ′ ( [ AB ] ) + d ′ ( [ BBk′ ] ) . (∨ ∨ ∨ ) Так как d( [ ABk ] ) = u k и d( [ ABk′ ] ) = u k′ , то, по случаю в), имеем d ′ ( [ ABk ] ) = u k и d ′ ( [ ABk′ ] ) = u k′ . Из ( ∨ ∨ ) и ( ∨ ∨ ∨ ) следует, что u k < d ′ ( [ AB ] ) < u ′k . Таким образом, числа α и d ′ ( [ AB] ) имеют одни и те же последовательности двоичных приближений по недостатку и по избытку, и поэтому они совпадают d ′ ( [ AB ] ) = α . То есть d ′ ( [ AB] ) = d( [ AB] ) . Итак, для ∀ [ AB ] ∈ M имеем d( [ AB] ) = d ′ ( [ AB] ) , а это значит, что отображения d и d ′ совпадают. ⊗

Отметим, что доказанная теорема существования и единственности является не только важным принципиальным результатом, проливающим свет на понятие длины отрезка, но также служит важным средством получения новых фактов. Так как существует только одно отображение d , удовлетворяющее аксиомам Д1-Д3, то все дальнейшие свойства длины отрезка должны однозначно определяться этими аксиомами. Например докажем свойство о поведении длины отрезка при замене * единицы измерения. Пусть d и d ′ отображения M в R + соответственно для единиц измерения [ PQ] и [ P ′ Q ′ ] . Тогда d ( [ PQ ] ) = 1 и d ′ ( [ P ′ Q ′ ] ) = 1 . Обозначим d * d ′ ( [ AB] )

* * отображение M в R + , определенное формулой d ( [ AB] ) = d ′ ( [ PQ] ) . Так как d * отличается от d ′ постоянным множителем, то легко заметить, что, d * как и d ′ удовлетворяет аксиомам Д1-Д2. Кроме того,

d ′ ( [ PQ ] ) = 1 . Тогда, в силу теоремы существования и единственности d ′ ( [ PQ ] ) измерения длин при выбранной единице измерения, следует, что d * = d . Поэтому d ′ ( [ AB] ) = d( [ AB] ) ⋅ d ′ ( [ PQ] ). ⊗ d * ( [ PQ ] ) =

8

Доказательство этого свойства с непосредственным использованием процесса измерения значительно сложнее. Каждая из аксиом Д1-Д3 не зависит от остальных аксиом: * • Отображение d 1 : M → R + , определяемое формулой d 1 ( [ AB ] ) = (1 + sin 2 ϕ ) ⋅ d( [ AB] ) , где ϕ - угол между прямыми AB и PQ , удовлетворяет аксиомам Д2, Д3. Действительно, если [ AB ] = [ AC ] + [ CB ] , то все три отрезка [ AB ] , [ AC ] , [ CB ] составляют один и тот же угол с [ PQ] и поэтому их длины (обычные) умножаются на один и тот же множитель (1 + sin 2 ϕ ) . При этом аксиома Д1 не выполняется, так как отрезок, конгруэнтный [ PQ] и перпендикулярный ему, имеет длину 2. 2 * • Отображение d 2 : M → R + , определяемое формулой d 2 ( [ AB ] ) = ( d ( [ AB] ) ) , удовлетворяет аксиомам Д1 и Д3, но не удовлетворяет аксиоме Д2. * • Отображение d 3 : M → R + , определяемое формулой d 3 ( [ AB ] ) = 2 ⋅ d ( [ AB] ) , удовлетворяет аксиомам Д1, Д2 и не удовлетворяет аксиоме Д3. 2. Понятие площади плоской фигуры 2.1. Площадь многоугольной фигуры Построение понятия площади во многом аналогично определению длины отрезка. Однако, имеется существенное отличие, которое заключается в том, что если длина определяется для любого отрезка, то площадь определяется не для любой плоской фигуры. Должен быть выделен класс M плоских фигур, для которых определяется площадь (класс квадрируемых фигур). В зависимости от класса M квадрируемых фигур будем получать разное понимание площади. Пусть M – множество всех многоугольных фигур на евклидовой плоскости. Под многоугольной фигурой будем понимать фигуру, которую можно представить как объединение конечного числа треугольников, не имеющих общих внутренних точек. Точка называется внутренней для фигуры, если существует круг с центром в этой точке, содержащийся в данной фигуре. Точка называется граничной для фигуры, если любой круг с центром в этой точке имеет непустое пересечение и с фигурой, и с ее дополнением. Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей. Очевидно, что граница многоугольной фигуры состоит из конечного числа замкнутых ломаных. Можно показать, что многоугольник, определяемый как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной, является многоугольной фигурой. Обратное, конечно, неверно. Если две многоугольных фигуры F1 и F2 не имеют общих внутренних точек, то объединение F = F1 ∪ F2 назовем суммой многоугольных фигур F1 и F2 и обозначим F = F1 + F2 . 9

Пусть на плоскости задано измерение отрезков с единицей измерения [ PQ] . Говорят, что задано измерение площадей многоугольных фигур, если определено отображение S : M → R *+ , удовлетворяющее следующим аксиомам: S1. ∀ F , F ′ ∈ M, ( F ≅ F ′ ⇒ S ( F ) = S ( F ′ ) ) ; S2. ∀ F , F1 , F2 ∈ M, ( F = F1 + F2 ⇒ S ( F ) = S ( F1 ) + S ( F2 ) ) ; S3. S( P0 ) = 1 , где P0 – квадрат, стороной которого является единичный отрезок. Квадрат P0 называется единичным квадратом, число S( F ) называется площадью многоугольной фигуры. Теорема 1. Если измерение площадей многоугольных фигур задано, то для прямоугольника P со сторонами длины x и y площадь равна S( P ) = xy . Доказательство. Если измерение площадей многоугольных фигур задано, то на множестве всех прямоугольников будем иметь функцию f ( x, y ) = S ( P ) , где x , y – стороны прямоугольника. Из того, что отображение S : M → R *+ удовлетворяет аксиомам S1-S3, следует, что функция f ( x, y ) обладает свойствами: f ( x, y ) = f ( y , x ) , (а) f ( x1 + x 2 , y ) = f ( x1 , y ) + f ( x 2 , y ) . (б) y = const ( ) ( ) g x = f x , y Если , то имеем функцию y = const , обладающую свойством * ∀ x1 , x 2 ∈ R + g ( x1 + x 2 ) = g ( x1 ) + g ( x 2 ) . Можно доказать, что такая функция выражает прямую пропорциональность: g ( x ) = kx , где k = const . Таким образом, f ( x, y ) y = const = kx . Для каждого y значение k будет своим, то есть f ( x, y ) = k ( y ) ⋅ x . При x = 1 имеем f (1, y ) = k ( y ) , то есть f ( x, y ) = f (1, y ) ⋅ x . (в) Тогда из (а) и (в) следует f (1, y ) = f ( y,1) = f (1,1) ⋅ y . По аксиоме S3 f (1,1) = 1 , поэтому (в) примет вид f ( x, y ) = xy. ⊗ Следствие. Если измерение площадей многоугольных фигур задано, то: 1. для трапеции F число S ( F ) равно произведению её средней линии на высоту; 2. для треугольника F число S ( F ) равно половине произведения стороны на соответствующую высоту; 3. для параллелограмма F число S ( F ) равно произведению стороны на соответствующую высоту.

Площадь трапеции ABCD равна площади прямоугольника NMKL . Сумма оснований трапеции равна сумме оснований прямоугольника, то есть 10

основание прямоугольника равно полусумме оснований трапеции или средней линии трапеции. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей четырехугольника ABGN и треугольника BMG , то есть площади трапеции ABMN , средняя линия и высота которой равны соответственно половине основания и высоте треугольника ABC . Площадь параллелограмма ABCD равна удвоенной площади треугольника ABD , основание и высота которого совпадают соответственно с основанием и высотой параллелограмма. Заметим, что в школьном курсе геометрии доказательство существования измерения площадей отсутствует, ставится лишь вопрос как вычислить площадь фигур. Теорема 2. Для каждого фиксированного единичного квадрата существует, и притом только одно, отображение S : M → R *+ , удовлетворяющее аксиомам S1-S3. Доказательство. Пусть многоугольная фигура F имеет k сторон, которые мы как-либо перенумеруем. Пусть  i – длина i - й стороны, M i – какаялибо точка прямой, содержащей i - ю сторону, O – произвольная точка плоскости многоугольной фигуры. Если M – точка стороны Ai − 1 Ai , не принадлежащая никакой другой стороне многоугольной фигуры, то существует круг B( M , r ) такой, что фигура F1 = F ∩ B( M , r ) является полукругом. При этом существует луч [ MN ) , перпендикулярный стороне Ai − 1 Ai , и имеющий непустое пересечение с полукругом (B( M , r ) \ F1 ) . Орт ni , сонаправленный с лучом [ MN ) , назовем ортом внешней нормали к стороне Ai − 1 Ai . Составим сумму: k

∑

i= 1

  i (OM i ⋅ ni )

(1)

Покажем, что эта сумма не зависит от выбора точки O и точек M i . Если взять другую точку O ′ , то O ′ M = O ′ O + OM i и k

∑

i= 1

k

Докажем, что

∑

i= 1

k    i (O′ M i ⋅ ni ) = O ′ O ⋅ ∑ ( i ni ) +

  ( i ni ) = 0 .

i= 1

k

∑

i= 1

  i (OM i ⋅ ni ) .

Граница многоугольной фигуры состоит из конечного числа замкнутых ломаных, причем каждая сторона многоугольной фигуры принадлежит только одной ломаной. Пусть граница многоугольной фигуры состоит из одной замкнутой ломаной A0 A1 ... Ak − 1 . Тогда имеем A0 A1 + A1 A2 + . . . + Ak − 1 A0 = 0 .  Пусть Ai − 1 Ai - i -я сторона многоугольника. Каждый вектор  i ni имеет такую  же длину как вектор Ai − 1 Ai и направленный угол между векторами  i ni и Ai − 1 Ai равен либо

π , если направление обхода вершин многоугольника про2 11

тив часовой стрелки, либо (− k

стрелке. Поэтому

∑

i= 1

π ) , если направление обхода вершин по часовой 2

  ( i ni ) = 0 . Аналогичные рассуждения будут и в случае,

когда граница многоугольной фигуры состоит из нескольких замкнутых ломаных. Если выбрать другую точку M i′ на прямой, содержащей i -ю сторону много   угольной фигуры, то получим OM i′ ⋅ ni = OM i ⋅ ni + M i M i′ ⋅ ni и так как M i M i′ ⊥ ni , то OM i′ ⋅ ni = OM i ⋅ ni . Покажем, что отображение S : M → R

* +

по закону S ( F ) =

 1 k  i (OM i ⋅ ni ) ∑ 2 i= 1

удовлетворяет аксиомам S1-S3. 1. Пусть F, F ′ ∈ M и F ≅ F ′ . Тогда существует движение f | f ( F ) = F ′ . Движение f порождает ортогональное преобразование ϕ пространства переносов, при котором ϕ OM i = O ′ M i′ , где O ′ = f ( O ) , M i′ = f ( M i ) , и   ϕ ( ni ) = ni′ также является ортом внешней нормали многоугольной фигуры F ′ . Так как движение сохраняет длину отрезка, а ортогональное преобразование векторного пространства сохраняет скалярное произведение, то заключаем, что S ( F ) = S ( F ′ ) . 2. Пусть F = F1 + F2 . Для любого отрезка AB , общего для границ многоугольных фигур F1 и F2 , при вычислении S ( F1 ) будет слагаемое

(

)

1 AB (OM ⋅ n) , ( M ∈ ( AB) ), а при вычислении S ( F2 ) будет слагаемое 2 1   AB (OM ⋅ n ′ ) . При этом n = − n ′ , поэтому эти слагаемые взаимно уничто2 жаются. Отсюда получаем, что S ( F1 ) + S ( F2 ) = S ( F1 + F2 ) .

n′ F1

A n B

F2

3. Для единичного квадрата P0 выберем точку O – центр квадрата, а точки M i – середины сторон квадрата. Легко подсчитать, что S ( P0 ) = 1 .

Допустим, что некоторое отображение S ′ : M → R *+ также удовлетворяет аксиомам S1-S3. Для произвольного треугольника T по следствию из теоремы 1 имеем S ( T ) = S ′ ( T ) . Произвольную многоугольную фигуру F можно разложить на конечное число треугольников: F = T1 + T2 + ... + Tk . По аксиоме S2: S( F ) =

k

k

k

∑ S (T ) , S ′ ( F ) = ∑ S ′ (T ) = ∑ S (T ) = S ( F ) . i= 1

i

i= 1

12

i

i= 1

i

Таким образом, отображения S и S ′ совпадают, что доказывает единственность отображения S . ⊗ Следствие. При любом способе разбиения многоугольной фигуры на конечное множество треугольников сумма площадей этих треугольников будет одна и та же. 2.2.

Расширение класса квадрируемых фигур

Пусть M1 – множество всех плоских фигур, обладающих следующим свойством: для любой фигуры F ∈ M1 и для любого числа ε > 0 найдутся такие две многоугольные фигуры K, K ′ ∈ M, что K ⊂ F ⊂ K ′ и S ( K ′ ) − S ( K ) < ε . Можно заметить, что: - множество M всех многоугольных фигур евклидовой плоскости содержится в M1; - всякая фигура F ∈ M1 является ограниченной. Из определения множества M1 следует, что: • числовое множество ( S ( K ) ) = { S ( K ) | K ∈ M, K ⊂ F } ограничено сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань S * ( F ) = sup S ( K ) – внутренняя жорданова мера фигуры F ; • числовое множество ( S ( K ′ ) ) = { S ( K ′ ) | K ′ ∈ M, F ⊂ K ′ } ограничено снизу и, следовательно, имеет точную нижнюю грань S * ( F ) = inf S ( K ′ ) – внешняя жорданова мера фигуры F . Так как S ( K ) ≤ S * ( F ) , S* ( F ) ≤ S ( K ′ ) и S * ( F ) ≤ S * ( F ) , то имеем 0 ≤ S * ( F ) − S* ( F ) ≤ S ( K ′ ) − S ( K ) < ε . Поскольку ε – произвольное положительное число, то S * ( F ) = S * ( F ) = S ( F ) . Число S ( F ) называют площадью фигуры F ∈ M1, а фигуру F квадрируемой. Тем самым определяется отображение S : M1 → R *+ . Можно проверить, что отображение S удовлетворяет свойствам: S1. ∀ F, F′ ∈ M1, (F ≅ F′ ⇒ S ( F) = S ( F′ ) ) ; S2. ∀ F , F1 , F2 ∈ M1, ( F = F1 + F2 ⇒ S ( F ) = S ( F1 ) + S ( F2 ) ) ; S3. S( P0 ) = 1 , где P0 – квадрат, стороной которого является единичный отрезок. Приведем доказательство свойства S2. Пусть S ( F1 ) = S * ( F1 ) = S * ( F1 ) и S ( F2 ) = S * ( F2 ) = S * ( F2 ) , где S * ( Fi ) = sup S ( K i ) , K i ∈ M и K i ⊂ Fi , S * ( Fi ) = inf S ( K i′ ) , K i′ ∈ M и Fi ⊂ K i′ , i = 1,2 . Тогда K1 ∪ K 2 ⊂ F1 ∪ F2 ⊂ K1′ ∪ K 2′ . Так как F1 и F2 не имеют общих внутренних точек, то очевидно выполнение следующих неравенств: S ( K1 ∪ K 2 ) ≥ S ( K1 ) + S ( K 2 ) , (1) S ( K 1′ ∪ K 2′ ) ≤ S ( K 1′ ) + S ( K 2′ ) , (2) ′ ′ ′ ′ S ( K 1 ∪ K 2 ) − S ( K 1 ∪ K 2 ) ≤ S ( K 1 ) + S ( K 2 ) − S ( K 1 ) − S ( K 2 ) < 2ε . Таким образом, фигура F1 ∪ F2 принадлежит множеству M1 и, в силу равенств (1), (2) имеем: S ( F1 ∪ F2 ) = S * ( F1 ∪ F2 ) = sup S ( K 1 + K 2 ) ≥ sup S ( K 1 ) + sup S ( K 2 ) = S * ( F1 ) + S * ( F2 ) , 13

то есть

S ( F1 ∪ F2 ) ≥ S ( F1 ) + S ( F2 ) ; (3) S ( F1 ∪ F2 ) = S ( F1 ∪ F2 ) = inf S ( K 1′ ∪ K 2′ ) ≤ inf S ( K 1′ ) + inf S ( K 2′ ) = S * ( F ) + S * ( F2 ) , *

то есть

S ( F1 ∪ F2 ) ≤ S ( F1 ) + S ( F2 ) .

(4) Из неравенств (3) и (4) следует выполнение свойства S2. ⊗ В качестве примера приведем вычисление непосредственно по определению площади круга Q радиуса r . Пусть X n – правильный n -угольник, вписанный в круг Q , Yn – правильный n -угольник, описанный около Q . Таким образом, X n ⊂ Q ⊂ Yn .

O

O

r

r

H A

B

K

1 2

Имеем S ( X n ) = nS AOB = n ⋅ AO ⋅ OH или S ( X n ) = S ( Yn ) = nS KOL = n ⋅

1 π KL ⋅ OM или S ( Yn ) = nr 2 tg . 2 n

Тогда n 2π lim r 2 sin = r 2 lim n→ ∞ 2 n→ ∞ n

2π n = π r2 , 2 n

L

n 2 2π r sin , 2 n

sin

lim nr 2 tg n→ ∞

M

π = π r2 . n

Следовательно, круг – фигура квадрируемая и его площадь равна π r 2 .

14

3. Равновеликость и рвносоставленность многоугольных фигур Заметим, что аксиомы S1 и S2 дают обоснование принципа равносоставленности в теории площадей плоских многоугольных фигур. Две многоугольные фигуры называются равновеликими, если их площади равны. Две многоугольные фигуры F и F ′ называются равносоставленными ( Fρ F ′ ) , если их можно представить как суммы одного и того же числа соответственно конгруэнтных многоугольных фигур. Лемма 1. Если многоугольная фигура A равносоставлена с многоугольной фигурой B , а фигура B равносоставлена с многоугольной фигурой C , то фигуры A и C равносоставлены. A=

Доказательство. Пусть C=

m

∑

j= 1

n

∑

i= 1

Ai ,

B=

n

∑

i= 1

Bi , где

Ai ≅ Bi , и

B=

m

∑

j= 1

~ Bj ,

~ ~ ~ C j , где B j ≅ C j . ~

Пересечение Bij многоугольных фигур Bi и B j может быть пустым, точкой, состоять из нескольких отрезков или являться многоугольной фигурой. Так как Bi ⊂ B =

m

∑

j= 1

~ B j , то Bi =

m

∑

Bij . Но Bi ≅ Ai , значит Ai =

A=

∑∑

j= 1

n

m

i= 1 j = 1

~ Аналогично B j =

n

∑

i= 1

Bij .

m

n

∑∑

j= 1 i= 1

∑

j= 1

Bij , поэтому

(1)

~ ~ ~ Bij и, так как B j ≅ C j , то C j = C=

m

Bij .

n

∑

i= 1

Bij и, следовательно,

(2)

Из (1) и (2) следует, что Aρ C. ⊗ Очевидно, если Fρ F ′ , то S ( F ) = S ( F ′ ) . На этом свойстве основан «метод разложения» при вычислении площадей многоугольных фигур. Именно этим способом находят в школьном курсе формулы для вычисления площади параллелограмма, треугольника, трапеции. Всякие ли две равновеликие многоугольные фигуры равносоставлены? Утвердительный ответ на этот удивительный вопрос был дан (почти одновременно) венгерским математиком Фаркашем Бойяи (1832 г.) и немецким офицером и любителем математики Гервином (1833 г.). Теорема Бойяи-Гервина. Две многоугольные фигуры, имеющие равные площади, равносоставлены. Для доказательства теоремы рассмотрим леммы 2-5. Лемма 2. Всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником. Доказательство. Пусть AB – большая сторона треугольника ABC , CD – высота, опущенная на неё. Тогда точка D находится между A и B (иначе 15

один из углов ∠ A или ∠ B был бы тупым и сторона AB не была бы наибольшей).

16

C

E A

F D

B

Через середину CD проведем прямую, параллельную AB и опустим на эту прямую перпендикуляры AE и BF . Тогда прямоугольник AEFB равносоставлен с треугольником ABC . ⊗ Лемма 3. Два параллелограмма с общим основанием и равными площадями равносоставлены. Доказательство. Так как у параллелограммов ABCD и ABEF общее основание AB и одинаковые площади, то у них одинаковая высота, проведенная к этому основанию. Следовательно, основания DC и EF лежат на одной или на параллельных прямых, равноудаленных от прямой AB . Во втором случае всегда можно перейти к параллелограмму, конгруэнтному ABEF , такому, что вторые основания лежат на одной прямой.

На прямой AB отложим ряд отрезков, получающихся из отрезка [ AB ] параллельным переносом на вектор n AB , где n – целое число. Через концы этих отрезков проведем прямые, параллельные AD и AF . Тогда полоса между параллельными прямыми AB и DE разобъется на ряд многоугольников. Каждый из этих многоугольников при переносе на вектор AB совмещается с конгруэнтным ему многоугольником. Отсюда получаем равносоставленность параллелограммов ABCD и ABEF . ⊗ Лемма 4. Два равновеликих прямоугольника равносоставлены. Доказательство. Пусть AB – наибольшая из сторон прямоугольников ABCD и EFGH . Построив параллелограмм EFKL , у которого EL ≅ AB , получим:

17

EFKL и EFGH равносоставлены (лемма 3), EFKL и ABCD равносоставлены (одинаковая сторона, лемма 3), EFGH и ABCD равносоставлены (лемма 1). ⊗

Лемма 5. Всякая многоугольная фигура равносоставлена с некоторым прямоугольником. Доказательство. Всякая многоугольная фигура состоит из конечного числа треугольников: 1, 2, . . . k. Возьмем произвольный отрезок AB и в его концах восставим перпендикуляры AD и BC . Проведем отрезок A1 B1 , параллельный AB так, чтобы прямоугольник AA1 B1 B . был равносоставлен треугольнику 1. Можно ли это сделать? По лемме 2 треугольник 1 равносоставлен с некоторым прямоугольником KLMN , а значит, равновелик с ним. Построим прямоугольник AA1 B1 B , равновеликий KLMN . По лемме 4 прямоугольники AA1 B1 B и KLMN равносоставлены и по лемме 1 прямоугольник AA1 B1 B будет равносоставлен с треугольником 1. Далее строим прямоугольник A1 A2 B2 B1 , равновеликий, а значит и равносоставленный с треугольником 2, и так далее. Тогда очевидно, что прямоугольник AAk Bk B равносоставлен с многоугольной фигурой. ⊗ Доказательство теоремы Бойяи-Гервина. По лемме 5 каждая из двух равновеликих многоугольных фигур равносоставлена с некоторым прямоугольником. Полученные прямоугольники равновелики и, следовательно, по лемме 4, равносоставлены. Тогда, по лемме 1, исходные многоугольные фигуры равносоставлены. ⊗ 4. О понятии объема Теория объемов строится аналогично теории площадей: определяется класс кубируемых тел и вводятся три аксиомы, аналогичные аксиомам площади, после чего доказывается теорема существования и единственности. 4.1.

Измерение объемов многогранных тел

Наиболее простым классом кубируемых тел является класс M всех многогранных тел пространства. Под многогранным телом понимается фигура, которую можно представить как объединение конечного числа тетраэдров, не имеющих общих внутренних точек. Точка называется внутренней для фигуры, если существует шар с центром в этой точке, содержащийся в данной фигуре. Точка называется граничной для фигуры, если любой шар с центром в этой точке имеет непустое пересечение и с фигурой, и с ее дополнением. Под суммой F = F1 + F2 понимается объединение многогранных тел F1 и F2 , не имеющих общих внутренних точек. 18

Пусть задано измерение отрезков с единицей измерения PQ . Говорят, что задано измерение объемов многогранных тел, если определено отображение V : M → R *+ , удовлетворяющее следующим аксиомам: V1. ∀ F , F ′ ∈ M, ( F ≅ F ′ ⇒ V( F ) = V( F ′ ) ) ; V2. ∀ F , F1 , F2 ∈ M, ( F = F1 + F2 ⇒ V( F ) = V( F1 ) + V( F2 ) ) ; V3. V( P0 ) = 1 , где P0 – куб, ребро которого является единичным отрезком. Куб P0 называется единичным кубом, число V( F ) называется объемом многогранного тела F . Справедливы следующие теоремы. Теорема 1. Если измерение объемов многогранных тел задано, то для прямоугольного параллелепипеда P с измерениями x, y, z , объем равен V( P ) = xyz . Теорема 2. Для каждого фиксированного единичного отрезка существует, и при том только одно, отображение V : M → R *+ , удовлетворяющее аксиомам V1-V3. Следствие. При любом способе разбиения многогранного тела F на конечное множество тетраэдров сумма объемов этих тетраэдров будет одна и та же. 4.2.

Расширение класса кубируемых фигур.

Пусть M1 – множество всех фигур в пространстве, обладающих следующим свойством: для любой фигуры F ∈ M1 и для любого числа ε > 0 найдутся такие два многогранных тела K, K ′ ∈ M , что K ⊂ F ⊂ K ′ и V( K ′ ) − V( K ) < ε . Из определения множества M1 следует, что существуют точные грани V* ( F ) = sup V( K ) , K ⊂ F , K ∈ M и V * ( F ) = inf V( K ′ ) , F ⊂ K ′ , K ′ ∈ M , называемые соответственно внутренней и внешней жордановой мерой фигуры F . Имеем: 0 ≤ V * ( F ) − V* ( F ) ≤ V( K ′ ) − V( K ) < ε . Поскольку ε – произвольное положительное число, то V * ( F ) = V* ( F ) = V( F ) . Число V( F ) называют объемом фигуры F ∈ M1 , а фигуру F кубируемой. Тем самым определено отображение V : M1 → R *+ , удовлетворяющее аксиомам V1. ∀ F , F ′ ∈ M1, ( F ≅ F ′ ⇒ V( F ) = V( F ′ ) ) ; V2. ∀ F , F1 , F2 ∈ M1 , ( F = F1 + F2 ⇒ V( F ) = V( F1 ) + V( F2 ) ) ; V3. V( P0 ) = 1 , где P0 – куб, ребро которого является единичным отрезком. 5. Равновеликость и равносоставленность многогранных тел По аналогии с теорией площадей, можно поставить следующий вопрос: всякие ли два равновеликих многогранных тела равносоставлены?

19

Решение этого вопроса сводится к решению III проблемы Гильберта: любые ли две пирамиды с конгруэнтными основаниями и конгруэнтными высотами равносоставлены? Отрицательное решение этой проблемы дано немецким математиком Деном (1900 г.). Им введены необходимые условия равносоставленности многогранных тел. В 1965 году французский математик Сидлер доказал, что эти условия Дена являются также и достаточными. Теорема. Два многогранных тела с двугранными углами α i , β t , ( i = 1,2,..., r ; t = 1,2,..., s ) равносоставлены тогда и только тогда, когда существуют такие целые положительные числа n i , m t и такое целое число c , что ni ⋅ α i − mt ⋅ β t = π ⋅ c . В 1901 году Ден доказал, что равновеликие куб и правильный тетраэдр не равносоставлены. 6. Величина и её измерение Понятие «величина», как математическое понятие, является обобщением более конкретных понятий: длина, площадь, объем и т. п. Эти первоначальные понятия связаны с определенным способом сравнения каких-либо объектов. На множестве M всех отрезков плоскости определено отношение ≅ конгруэнтности, которое является отношением эквивалентности. Каждый элемент фактормножества M ≅ представляет собой множество всех попарно конгруэнтных отрезков. Если элемент фактормножества содержит отрезок [ AB] , то обозначим его K [ AB ] . Таким образом, K [ AB ] = K [ A′ B′ ] ⇔ [ AB] ≅ [ A′ B ′ ] . Аналогично, отношение ∆ равновеликости на множестве M всех многоугольных фигур плоскости ( ∆ 1 на множестве M всех многогранных тел пространства) является отношением эквивалентности, и мы имеем фактормножество M ∆ ( M ∆ 1 ). При выбранной единице измерения, конгруэнтные отрезки имеют одну и ту же длину, равновеликие многоугольные фигуры одну и ту же площадь, а равновеликие многогранные тела один и тот же объем. Это наводит на мысль отождествить определенные длины с определенными классами эквивалентности фактормножества M ≅ , определенные площади с определенными элементами фактормножества M ∆ , определенные объемы с определенными элементами множества M ∆ 1 .

Таким образом, фактормножество M ≅ – это система величин – длин, фактормножество M ∆ – система величин – площадей, фактормножество M ∆ 1 – система величин – объемов. 20

Что же общего между системами этих величин? Что понимать под измерением этих величин? На множестве M ≅ можно определить отношение частичной упорядоченности. Пусть K [ AB ] , K [ CD ] ∈ M ≅ . Откладывая на произвольном луче [ OX ) отрезки [ OB ′ ] ≅ [ AB ] и [ OD ′ ] ≅ [ CD ] , получим один и только один из трех случаев: 1. D ′ = B ′ , следовательно, [ AB ] ≅ [ CD ] и K [ AB ] = K [ CD ] ; 2. O − B ′ − D ′ , тогда скажем, что [ AB ] < [ CD ] и K [ AB ] < K [ CD ] ; 3. O − D ′ − B ′ , в этом случае скажем, что [ AB ] > [ CD ] и K [ AB ] > K [ CD ] .

Таким образом, имеем на множестве M ≅ бинарное отношение, обладающее свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности. Для любых двух элементов из M ≅ имеет место одно и только одно из трех соотношений: K [ AB ] < K [ CD ] , K [ AB ] = K [ CD ] , K [ AB ] > K [ CD ] . То есть множество M ≅ упорядоченным. Для элементов множества M ≅ определяется операция сложения:

является

K [ AB ] + K [ CD ] = K [ OD0 ] ,

где [ OD0 ] – сумма отрезков [ OB0 ] и [ B0 D0 ] , принадлежащих соответственно классам K [ AB ] и K [ CD ] . При этом выполняется коммутативность и ассоциативность сложения. Таким образом, множество M ≅ становится упорядоченной коммутативной полугруппой. Если [ AB ] > [ CD ] , то можно рассматривать разность K [ AB ] − K [ CD ] как класс, определяемый отрезком, конгруэнтным разности отрезков [ AB ] и [ CD ] . Можно доказать, что операция сложения и отношение порядка на множестве M обладают свойствами: ≅ 1) ∀ K [ AB ] , K [ CD ] ∈ M ≅ , K [ AB ] + K [ CD ] > K [ AB ] (монотонность сложения); 2) ∀ K [ AB ] , K [ CD ] ∈ M ≅ , ( K [ AB ] > K [ CD ] ⇒ ∃ K [ MN ] , K [ AB ] + K [ CD ] = K [ MN ] ) ;

3) ∀ K [ AB ] ∈ M ≅ , ∀ n ∈ N , ∃ K [ CD ] ∈ M ≅ , K [ AB ] = n ⋅ K [ CD ] , где n ⋅ K [ CD ] обозначает сумму из n слагаемых K [ CD ] (возможность деления);

4) ∀ K [ AB ] , K [ CD ] ∈ M ≅ , ∃ n ∈ N , K [ AB ] < n ⋅ K [ CD ] (аксиома Евдокса или Архимеда); 5) Если бесконечные последовательности K [ A B ] < K [ A B ] < . . . < K [ A B ] < . . . . . < K [ C D ] < . . . < K [ C D ] < K [ C D ] обладают тем свой1 1

2 2

k

k

k

k

2

2

1 1

ством, что ∀ K [ MN ] ∈ M ≅ , ∃ n ∈ N , K [ C D ] − K [ A B ] < K [ MN ] , то существует единственный элемент K [ X Y ] ∈ M ≅ , K [ A B ] < K [ X Y ] < K [ C D ] , ∀ k ∈ N (аксиома Кантора). n

n

0 0

n n

k

21

k

0 0

k

k

Доказательство свойств 1)-5) определяется аксиоматикой построения геометрии. Аналогичные наблюдения можно провести для множества площадей или объемов. В результате можно дать общее понятие величины. Системой положительных скалярных величин называется упорядоченная коммутативная полугруппа G , для которой операция сложения и отношение порядка удовлетворяют аксиомам: 1) ∀ a, b ∈ G, a + b > a (монотонность сложения; 2) ∀ a, b ∈ G, (a > b ⇒ ∃ c ∈ G, a + b = c) ; 3) ∀ a ∈ G, ∀ n ∈ N , ∃ b ∈ G, a = n ⋅ b , где n ⋅ b обозначает сумму из n слагаемых b (возможность деления); 4) ∀ a, b ∈ G, ∃ n ∈ N , a < n ⋅ b (аксиома Евдокса или аксиома Архимеда); 5) Если бесконечные последовательности a1 < a 2 < ... < a k < ... < bk < ... < b2 < b1 обладают тем свойством, что ∀ c ∈ G, ∃ n ∈ N , bn − a n < c , то существует единственный элемент x0 ∈ G, a k < x0 < bk , ∀ k ∈ N (аксиома Кантора). Каждый элемент системы положительных скалярных величин называется положительной скалярной величиной. Если x, y ∈ G , то говорят, что величины x и y однородные. Можно проверить, что множество R *+ положительных действительных чисел является примером системы положительных скалярных величин. Пусть G – система положительных скалярных величин. Измерением величин из G называется изоморфное отображение f : G → R *+ . При этом элемент a0 ∈ G | f ( a0 ) = 1 называется единицей измерения, число f ( x ) называется мерой (числовым значением) величины x ∈ G при единице измерения a 0 . Можно доказать, что для любой системы G положительных скалярных величин при произвольно выбранной единице измерения a0 ∈ G существует и притом единственное измерение величин из G . Замечание 1. Кроме системы положительных скалярных величин иногда приходится рассматривать систему неотрицательных скалярных величин (в этом случае полугруппа G содержит нейтральный элемент (нуль) и в аксиомы 1)-5) вносятся очевидные уточнения). Примером системы неотрицательных скалярных величин является множество R + неотрицательных чисел. Замечание 2. Направленные отрезки на прямой, ориентированные углы на плоскости, и т.п., приводят к понятию системы скалярных величин. Так называется упорядоченная коммутативная группа G , которая удовлетворяет аксиоме 1) при любом b > 0 , где 0 – нейтральный элемент группы G , аксиомам 2), 3), аксиоме 4) для любых a > 0, b > 0 и аксиоме 5) при любом c > 0 . Например, само множество R действительных чисел является системой скалярных величин. Замечание 3. Иногда в математике и её приложениях рассматривают систему векторных величин – векторное пространство над некоторым полем K . Векторные величины образуют коммутативную группу относительно сложения, но эта группа не является упорядоченной. 22

Список литературы 1. Александров А.Д. Основания геометрии. – М.: Наука,1987. 2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 2. – М.: Просвещение, 1984. 3. Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии, ч.1,2. – М., 1997 4. Аргунов В.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1966. 5. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия, ч.2. – М.: Просвещение,1975. 6. Бахвалов С.В., Иваницкая В.П. Основания геометрии. – М.: Высшая школа, 1972. 7. Болтянский В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. – М.:Физматгиз,1956. 8. Болтянский В.Г. Равносоставленность многоугольников и многогранников//Энциклопедия элементарной математики, т.V. – М.: Наука, 1966. 9. Болтянский В.Г. Длина кривой и площадь поверхности//Энциклопедия элементарной математики, т.V. – М.: Наука, 1966. 10. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1985. 11. Бончковский Р.Н. Площади и объемы. – М., 1937. 12. Иванов Л. Д. Что такое площадь//Математика в школе. – 1997.- ,№ 6. 13.Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Геометрия. – М.: Наука, 1987. 14. Колмогоров А.Н. Величина и её измерение//Математика – наука и профессия. Библиотечка «Квант», вып.64. – М.: Наука, 1988. 15. Лебег Г.Об измерении величин. – М. 1938. 16. Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики. – М.: Просвещение, 1987. 17. Рабинович В.Л. Об изучении измерения объемов//Математика в школе – 1974. - № 4. 18. Рохлин В.А. Площадь и объем//Энциклопедия элементарной математики, т. V. – М.: Наука, 1966. 19.Фридман Л.М. Величины и числа. – М.: Флинта, 2000. 20. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади, поверхности и изопериметрии. – М.: Наука, 1957.

23