Практический способ построения жордановой формы и жорданова базиса (случай оператора с многоточечным спектром)

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Программа “ИНТЕГРАЦИЯ”

УХОВСКИЙ М. Р.

Практический способ построения жордановой формы и жорданова базиса (случай оператора с многоточечным спектром) Выпуск 3 Методические указания для студентов 2-го курса механико-математического факультета

Ростов-на-Дону 2000 г.

УДК 519.1

Практический способ построения жордановой формы и жорданова базиса (случай оператора с многоточечным спектром). Вып. 3. (Уховский М. Р. – Ростов-на-Дону, 2000 – 36 с.)

В методической разработке рассмотрен практический способ построения жордановой формы и жорданова базиса для полного линейного оператора с многоточечным спектром. Разработка

предназначена

для

студентов

2-го

курса

механико-

математического факультета.

© М. Р. Уховский 2000

3

10. ИНДЕКС СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА n

Пусть B ∈ L(L (P)). Рассмотрим (бесконечную) последовательность

ker B0, ker B1, ker B2, ...

(10.1)

0

ядер степеней оператора B (ker B = ker E = {0}). Для нее, как нетрудно убедиться, имеют место следующие включения

ker B0 ⊂ ker B1 ⊂ ker B2 ⊂...

(10.2)

Вместе с тем, можно показать (см. [1], предложение 2.3), что если в последовательности (10.1) совпадут какие-нибудь два соседних члена, то с ними совпадут и все последующие члены этой последовательности . Иначе говоря, если при некотором

i = 0, 1, 2, ... i

i+1

i

i+s

ker B = ker B то для любого

,

s = 1, 2, ... ker B = ker B

.

Наконец, можно показать (см. [1], предложение 2.4), что найдется неотрицательное целое число

i0 ≤ n, ker B

при котором

i0

= ker B

i 0 +1

.

(10.3)

Вместе с предыдущим утверждением это означает, что последовательность (10.1) стабилизируется, начиная с некоторого номера, не превышающего

n.

Это дает основание для следующего определения.

4

О п р е д е л е н и е 10.1. Наименьшее среди тех неотрицательных целых чисел

i0 , для которых выполняется равенство (10.3), будем называть

индексом стабилизации (последовательности ядер степеней) оператора B и обозначать символом is B. Таким образом, для любого оператора B, отличного от E, равенство

is B = k

(10.4)

означает, что

ker B

k−1 k

ker B = ker B при любом

k

(10.5)

k+s

(10.6)

≠ ker B

s = 1, 2, ...

и 1 ≤k ≤ n

(10.7)

Переходя от подпространств (10.1) к их размерностям, то есть к дефектам степеней оператора B, и вводя обозначения i

i

di = dim ker B = def B , приходим к выводу, что для любого неединичного оператора B равенство (10.4) означает выполнение соотношений

d k −1 < d k = d k +1

(10.8)

Из этого следует, что для вычисления индекса стабилизации оператора

~ B нужно взять его матрицу B в каком-нибудь базисе (e) пространства

Ln(P) и возводить ее последовательно в квадрат, в куб и так далее, – до тех пор, пока дефект не перестанет меняться, то есть до такой степени k, для которой выполняется (10.8).

5

П р и м е р 10.1.

Найдем

индекс

стабилизации

оператора

B∈L(Ln(P)), заданного в некотором базисе (e) матрицей

⎛ 0 1 1⎞ ⎟ ~ ⎜ B = ⎜ 0 0 1⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1⎠ ˆ. Очевидно, d1 = 1. Далее имеем

⎛ 0 0 2⎞ ⎜ ⎟ ~ B2 = ⎜ 0 0 1⎟ , ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1⎠

d2 = 2 ;

⎛ 0 0 2⎞ ⎜ ⎟ ~ B3 = ⎜ 0 0 1⎟ , ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1⎠

d3 = 2 .

Таким образом,

d1 < d2 = d2+1. Значит,

is B = 2.

„

Отметим также (см. [1], предложение 2.2), что каждый член последоваi

тельности (10.1), то есть ker B (при любом

i = 0, 1, 2, ...), является под-

n

пространством (пространства L (P)), инвариантным относительно оператора B. i

Из этого легко следует, что если α ∈ P и A = B + α E, то ker B , то есть каждый член последовательности (10.1), является подпространством, инвариантным относительно оператора A.

6 11. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА В ПРЯМУЮ СУММУ КОРНЕВЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ n

Если оператор A ∈ L(L (P)) имеет не менее двух собственных значений, то будем говорить, что A – оператор с многоточечным спектром. n

Понятно, что если K – подпространство пространства L (P), инвариантное относительно оператора A, то K инвариантно и относительно оператора B = A − α E при любом α ∈ P. Напомним еще, что если K – подпространство, инвариантное относительно оператора A, то символом A ⎢K обозначают оператор, индуцированный оператором A на подпространстве K ( A ⎢K : K→ K, x ⎥→ Ax). n

Для полного оператора A ∈ L(L (P)) с многоточечным спектром имеет место следующая теорема (см. [1], теорема 5.1)

Т е о р е м а 11.1. Если λ1 , λ2 , ... , λm (m ≥ 2) – все попарно разn

личные собственные значения полного оператора A ∈ L(L (P)), то проn

странство L (P) раскладывается в прямую сумму m подпространств, инвариантных относительно оператора A :

Ln(P) = K( λ1 ) ⊕ K( λ 2 ) ⊕ K ⊕ K( λ m ) ,

(11.1)

где (i = 1, 2, ... , m ; Bi = A − λ i E) k

K ( λi ) = ker Bi i ,

ki = is Bi.

(11.2)

При этом

dim K ( λi ) =

aA(λi),

is Bi ≤ aA(λi)

(11.3) (11.4)

7 и оператор Ai = A⎪ K ( λi ) имеет λi и только λi своим собственным значением (алгебраической кратности равной

aA(λi)).

Из теоремы, в частности, следует, что оператор

Ai является полным

оператором с одноточечным спектром σ( Ai ) = {λi}, действующим в пространстве K ( λi ). Подпространство K ( λi ) (определенное соотношением (11.2)) называют корневым подпространством оператора A, соответствующим собственному значению λi, а его ненулевые векторы – корневыми векторами оператора A, соответствующими собственному значению λi. Из (11.2)–(11.4) следует, что для любого корневого вектора x ∈ K ( λi ) найдется натуральное число h, такое, что h−1

Bi

x ≠ 0,

h

Bi x = 0

и

h ≤ dim K ( λi ). При этом говорят, что x – корневой вектор высоты h. Теорема 11.1, таким образом, утверждает, что пространство полного оператора A с многоточечным спектром раскладывается в прямую сумму корневых подпространств оператора A, соответствующих его собственным значениям. Понятно, что собственные векторы оператора A являются его корневыми векторами высоты 1. В том случае, когда размерность собственного подпространства оператора A, соответствующего его собственному значению λi, совпадает с алгебраической кратностью этого собственного значения, корневое подпространство совпадает с собственным подпространством.

8 В противном случае собственное подпространство является истинным подпространством корневого подпространства. Если x ∈ K( λ ) – корневой вектор высоты h, то последовательность i векторов h−1

Bi

h−2

x, Bi

x,

... ,

Bi x, x

(11.5)

будем называть цепочкой длины h, построенной по оператору Bi исходя из h−1 вектора x, а вектор Bi x – начальным вектором этой цепочки.

Понятно, что начальный вектор цепочки (11.5) является собственным вектором оператора Bi, соответствующим собственному значению 0 (собственным вектором оператора A, соответствующим собственному значению

λi). З а м е ч а н и е 11.1. Нетрудно показать, что если для натурального (i ) s числа k выполняются соотношения ( d s = dim ker Bi ) ) < d k(i ) d k(i−1

(11.6)

d k(i ) = aA (λi),

(11.7)

и

то

k = is Bi. Действительно, из (11.6) следует, что is Bi ≥ и (11.3), – что

k , а из (11.7) ввиду (11.2)

k ≥ is Bi.

Это позволяет (в тех случаях, когда выполняются (11.6) и (11.7)) нахо(i ) дить is Bi и d k +1 не вычисляя k + 1-ую степень матрицы Bi.

9

12. ПРАКТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ЖОРДАНОВОЙ ФОРМЫ ПОЛНОГО ОПЕРАТОРА С МНОГОТОЧЕЧНЫМ СПЕКТРОМ Для построения жордановой формы полного оператора с многоточечным спектром можно применить следующую теорему (см. [2], стр. 33).

Т е о р е м а 12.1. Пусть A ∈ L(Ln(P)) – полный оператор с многоточечным спектром σ (A) = {λ1, λ2, ... , λm}. Если li (i = 1, 2,

... , m) – максимальный порядок жордановых клеток

жордановой формы оператора A, соответствующих скаляру λi и sq(i ) (q = 1, 2,

... , li) – число жордановых клеток порядка q, соответствующих

скаляру λi, то (Bi = A − λiE) li = is Bi ,

(12.1)

S q(i ) = 2d q(i ) − (d q(i−)1 + d q(i+)1 )

(12.2)

S 1(i ) + S 2(i ) + ... + S l(i ) = d 1(i ) ,

(12.3)

d q(i ) = def B iq = dim ker B iq .

(12.4)

и i

где

Равенство (12.3) означает, что число всех жордановых клеток жордановой формы оператора A, соответствующих скаляру λi, равно дефекту оператора Bi (= A − λiE), то есть размерности собственного подпространства оператора Bi, соответствующего собственному значению 0 (размерности собственного подпространства оператора A, соответствующего собственному значению λi).

10 Таким образом, для построения жордановой формы полного оператора

A с многоточечным спектром нужно действовать так же, как и в случае оператора с одноточечным спектром, – с той лишь разницей, что теперь эту процедуру придется применять m раз, то есть для каждого из m собственных значений оператора A.

П р и м е р 12.1. Найдем жорданову форму оператора A, заданного своей матрицей в некотором базисе (e) = (e1,

e2, e3, e4)

пространства

L4(R) : ⎛1 ⎜ 0 ~ A = A(e) = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

2 0 0⎞ ⎟ 1 2 0⎟ 0 2 2⎟ ⎟ 0 0 2⎠

ˆ. 1) Для характеристического многочлена оператора A, очевидно, имеем

ϕA(λ) = (λ−1)2 (λ−2)2, так что

~

λ1 = 1,

aA(λ1) = 2,

λ2 = 2,

aA(λ2) = 2.

~

~

2) Для матрицы B1 = A − λ1E имеем

⎛0 ⎜ 0 ~ B1 = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

2 0 0⎞ ⎟ 0 2 0⎟ , 0 1 2⎟ ⎟ 0 0 1⎠

d 1(1) = 1,

11

⎛0 ⎜ 0 ~ B12 = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

0 4 0⎞ ⎟ 0 2 4⎟ , 0 1 4⎟ ⎟ 0 0 1⎠

d (21) = 2,

⎛0 ⎜ 0 ~ B13 = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

0 4 8⎞ ⎟ 0 2 8⎟ , 0 1 6⎟ ⎟ 0 0 1⎠

d (31) = 2.

Таким образом,

d 1(1) < d (21) = d (21+) 1. Значит,

is B1 = 2, так что l1 = 2. Итак, максимальный порядок жордановых клеток, соответствующих скаляру λ1 = 1, равен 2, и

d (01) = 0, d 1(1) = 1, d (21) = 2, d (31) = 2. Применяя формулы (12.2) для

i=1

и q = 1, 2 (так как l1 = 2), имеем

S 1(1) = 2d 1(1) − (d (01) + d (21) ) = 2 − (0 + 2) = 0,

S (21) = 2d (21) − (d 1(1) + d (31) ) = 4 − (1 + 2) = 1. Таким образом, мы установили, что жорданова форма оператора A содержит одну клетку, соответствующую скаляру λ1 = 1, – клетку J2(1).

12

~

~

~

3) Для матрицы B2 = A − λ 2 E имеем

⎛ −1 2 ⎜ 0 −1 ~ B2 = ⎜ ⎜ 0 0 ⎜ 0 ⎝ 0

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ , 2 ⎟ ⎟ 0 ⎠

d (12) = 1,

⎞ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ 0 ⎠

d (22) = 2,

6 −8 8 ⎞ ⎛ −1 ⎟ ⎜ 2 −4 ⎟ ~3 ⎜ 0 − 1 , B2 = ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎠ ⎝ 0

d (32) = 2.

⎛ ⎜ ~2 B2 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

0 2 0 0

1 −4 4 0 1 −2 0 0 0 0

0

0

0 4 0

Таким образом,

d 1( 2) < d (22) = d (22+)1. Значит, is B2 = 2, так что l2 = 2, то есть максимальный порядок жордановых клеток, соответствующих скаляру λ2 = 2, равен 2. Применяя формулы (12.2) для

i=2

и q = 1, 2, имеем

S 1( 2) = 2d 1( 2) − (d (02) + d (22) ) = 2 − (0 + 2) = 0, S (22) = 2d (22) − (d 1( 2) + d (32) ) = 4 − (1 + 2) = 1.

13 Значит, жорданова форма оператора A содержит одну клетку, соответствующую скаляру λ2 = 2, – клетку J2(2). 4) Таким образом, жорданова форма оператора A содержит клетки

J2(1) и J2(2) : ⎛1 ⎜ 0 JA = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

1 0 0⎞ ⎟ 1 0 0⎟ 0 2 1⎟ ⎟ 0 0 2⎠

„

З а м е ч а н и е 12.1. В рассмотренном примере d 1(i ) < d (2i ) и

d (2i ) = aA(λi) (i = 1, 2), так что равенства is Bi = 2 и d (3i ) = 2 можно 3

(см. замечание 11.1) получить не вычисляя матрицу B i .

П р и м е р 12.2. Найдем жорданову форму линейного оператора A, заданного матрицей

⎛0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ~ A = A(e) = ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0

1⎞ ⎟ − 1⎟ 1⎟ ⎟ 0 −1 − 2⎟ 0 1 1⎟ ⎟ 0 0 1⎠

1 1 1 1 0 0 −1 −1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

в некотором базисе (e) = (e1, ... , e6) пространства L (R). 6

ˆ. 1) Для характеристического многочлена оператора A имеем

ϕA(λ) = λ4(1−λ)2, так что A имеет два собственных значения

14

~

λ1 = 0,

aA(λ1) = 4,

λ2 = 1,

aA(λ2) = 2.

~

~

2) Для матрицы B1 = A − λ1E имеем

~ ~ B1 = A, ⎛0 ⎜ ⎜0 ~2 ⎜ 0 B1 = ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0

d 1(1) = 2;

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ (1) ⎟ , d 2 = 4. 0 0 0 − 1 − 3⎟ 0 0 0 1 2⎟ ⎟ 0 0 0 0 1⎠ 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

Таким образом,

d 1(1) < d (21) = a A (λ1 ) , так что, согласно замечанию 11.1,

is B1 = 2

и

d (31) = 4.

Значит, максимальный порядок жордановых клеток, соответствующих скаляру λ1 = 0, равен 2 (l1 = 2) и

d (01) = 0, d 1(1) = 2, d (21) = 4, d (31) = 4. Применяя формулы (12.2) для i = 1 и q = 1, 2, получим, что

S 1(1) = 2d 1(1) − (d (01) + d (21) ) = 4 − (0 + 4) = 0,

15

S (21) = 2d (21) − (d 1(1) + d (31) ) = 8 − (2 + 4) = 2, то есть что жорданова форма оператора A содержит две клетки J2(0).

~

~

~

3) Для матрицы B2 = A − λ 2 E имеем

1 1 1 1 1⎞ ⎛ −1 ⎜ ⎟ 0 1 0 1 1 1 − − − − ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 −1 1 1 1⎟ ~ ( 2) B2 = ⎜ ⎟ , d 1 = 1; 0 0 −1 −1 − 2 ⎟ ⎜ 0 ⎜ 0 0 0 0 0 1⎟ ⎜ ⎟ 0 0 0 0 0 ⎠ ⎝ 0 ⎛ ⎜ ⎜ ~2 ⎜ B2 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 0 0

0 −2 −2 −2 −2 1 0 2 2 2 0 1 −2 −2 −2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

1 0 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ( 2) ⎟ , d 2 = 2. 1⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎠

И так как

d 1( 2) < d (22) = a A (λ 2 ) , то

l2 = 2,

d (02) = 0, d 1( 2 ) = 1, d (22) = 2, d (32 ) = 2, так что, применяя формулы (12.2) для i = 2 и q = 1, 2, получим, что

16

S 1( 2) = 2d 1( 2) − (d (02) + d (22) ) = 2 − (0 + 2) = 0, S (22) = 2d (22) − (d 1( 2 ) + d (32) ) = 4 − (1 + 2) = 1, то есть что жорданова форма оператора A содержит одну клетку J2(1). 4) Таким образом, жорданова форма оператора A содержит две клетку

J2(0) и одну клетку J2(1) : ⎛0 ⎜ ⎜0 ⎜0 JA = ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0

1 0 0 0 0⎞ ⎟ 0 0 0 0 0⎟ 0 0 1 0 0⎟ ⎟. 0 0 0 0 0⎟ 0 0 0 1 1⎟ ⎟ 0 0 0 0 1⎠

„

13. ПРАКТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ЖОРДАНОВА БАЗИСА (И ЖОРДАНОВОЙ ФОРМЫ) ДЛЯ ПОЛНОГО ОПЕРАТОРА С МНОГОТОЧЕЧНЫМ СПЕКТРОМ n

Пусть A ∈ L(L (P)) – полный оператор с многоточечным спектром (m ≥ 2)

σ (A) = {λ1, λ2, ... , λm} и (i = 1, 2, ... , m)

Bi = A − λiE. n

Согласно теореме 11.1, пространство L (P) раскладывается в прямую сумму корневых подпространств

K ( λi ) , определяемых соотношениями

17 (11.2), и оператор Ai = A⏐K( λi ) имеет λi и только λi своим собственным значением, причем

a Ai (λi) = aA(λi) = ni ,

(13.1)

ni = dim K( λi ).

(13.2)

где

Из этого, как нетрудно видеть, следует, что оператор Bi = Bi⏐K( λi ) имеет 0 и только 0 своим собственным значением и

a Bi (0) = a Bi (0) = ni ,

(13.3)

так что Bi – нильпотентный оператор и его индекс нильпотентности равен индексу стабилизации оператора Bi :

in Bi = is Bi. Понятно, что если нам удастся построить жорданов базис (пространства K( λi )) для каждого из m операторов Ai , то (в силу того, что сумма (11.1) является прямой и каждое из подпространств K( λi ) инвариантно отn

носительно оператора A) жорданов базис (пространства L (P)) для оператора A получится объединением этих m базисов. Задача, таким образом, сводится к построению жорданова базиса для каждого из m операторов Ai . Как построить жорданов базис для оператора Ai ? Прямой (но, как мы увидим, не самый короткий) путь состоит в том, k чтобы по матрице оператора B i i (ki = is Bi) найти базис корневого под-

18 k пространства K( λi ) (учтя, что K( λi ) = ker B i i ), затем найти матрицу

оператора Bi в этом базисе и, воспользовавшись этой матрицей, применить алгоритм построения жорданова базиса для оператора с одноточечным спектром. Алгоритм, к рассмотрению которого мы переходим, не потребует стольких дополнительных построений, являясь лишь незначительным усложнением алгоритма, примененного ранее к оператору с одноточечным спектром. Итак, пусть (e) = (e1,

e2, ... en) – какой-нибудь базис пространства

~ Ln(P) и Bi = (Bi)(e). ~

~

Составим блочно-вертикальную матрицу Ci из степеней матрицы Bi от 0-ой до ki-ой (ki = is Bi) и применим к ней столбцовые элементарные преобразования с таким расчетом, чтобы на месте ее (последнего) блока с номером ki получить столбцово псевдотреугольную матрицу.

~

Полученную так блочно-вертикальную матрицу обозначим Di . k Так как, согласно (11.2) и (13.2), дефект оператора B i i равен

~

последний блок матрицы Di содержит

ni

и только

ni

ni , то

нулевых столбцов.

~

Обозначим Fi блочно-вертикальную матрицу (размера (ki + 1) n × ni), составленную из тех

~

столбцов блочно-вертикальной матрицы Di , каж-

ni

дый из которых пересекает ее последний блок по одному из его нулевых столбцов.

~

Применяя к матрице Fi все те построения, которые использовались в параграфе 9 (см. [3]) применительно к построенной там блочно-

~

вертикальной матрице C для отыскания жорданова базиса в случае опера-

19 тора с одноточечным спектром, получим жорданов базис (пространства

K( λi )) для оператора Ai .

З а м е ч а н и е 13.1. Не приводя подробного доказательства того, что изложенный алгоритм действительно дает возможность найти жорданов базис полного оператора A с многоточечным спектром, отметим только некоторые соображения, следуя которым это доказательство можно получить. Если обозначить

a~1(i ) , a~ 2(i ) , K , a~ n(i )

(13.4)

i

~

векторы-столбцы блока с номером 0 матрицы Fi , то векторами-столбцами блока с номером

s = 1, 2, ... , ki ~ Bis a~1(i ) ,

будут

~ ~ Bis a~ 2(i ) , K , Bis a~ n(i ) . i

В частности, векторами-столбцами блока с номером

ki

~

матрицы Fi

будут

~k Bi i a~1(i ) ,

~k ~k Bi i a~ 2(i ) , K , Bi i a~ n(i ) .

(13.5)

i

И так как все векторы-столбцы блока с номером

ki

~

матрицы Fi яв-

ляются нулевыми, то нулевыми будут и векторы-столбцы (13.5). Это означает, что векторы

a (1i ) , a (2i ) , K , a (ni ) , i

(13.6)

20 для которых (13.4) являются координатными столбцами в базисе (e), приk надлежат ker B i i , то есть – корневому подпространству K( λi ).

И так как векторы-столбцы (13.4) линейно независимы (поскольку яв-

~

ляются столбцами матрицы, полученной из единичной матрицы E n столбцовыми

элементарными

преобразованиями)

и

число

их

равно

ni

(=dimK( λi )), то векторы (13.6) образуют базис пространства K( λi ). Если учесть еще, что K( λi ) – подпространство, инвариантное относительно оператора Bi, то придем к выводу, что каждый столбец блочно-

~

~

псевдотреугольной матрицы Gi , полученной из матрицы Fi , составлен из координатных столбцов векторов цепочки, построенной по оператору Bi исходя из некоторого вектора корневого подпространства K( λi ). Повторив теперь рассуждения, приведенные в [2] (см. [2], параграф 6), можно показать, что, следуя алгоритму параграфа 9 (см. [3]), получим набор цепочек, векторы которых в совокупности образуют жорданов базис (пространства K( λi )) для оператора Ai . Прежде чем приступить к рассмотрению примеров применения приведенного алгоритма изложим его в инструктивной форме, то есть перечислим те действия, которые следует предпринять для построения жорданова базиса в том случае, когда полный оператор A имеет многоточечный спектр

σ(A) = {λ1, λ2, ... , λm}.

21 n

1. Берем произвольный базис (e) = (e1, e2, ... en) пространства L (P),

~

~

~

~

находим матрицу A = A(e) и по ней – матрицу Bi = A − λ i E оператора

Bi = A − λiE.

~

Возводя матрицу Bi в последовательные степени, находим ее индекс

~0

~

~2

~

~k

стабилизации ki и матрицы Bi ( = E ) , Bi , Bi , ... , Bi i сводим в блоч-

~

но-вертикальную матрицу Ci (размера (ki + 1) n × n).

~

К матрице Ci применяем столбцовые элементарные преобразования с таким расчетом, чтобы на месте ее (последнего) блока с номером ki получить столбцово псевдотреугольную матрицу. Полученную так блочно-

~

вертикальную матрицу обозначим Di .

~

2. Записываем блочно-вертикальную матрицу Fi (размера (ki+1)n×ni),

~

составленную из тех ni столбцов матрицы Di , каждый из которых пересекает ее последний блок по одному из его нулевых элементов.

~

3. К матрице Fi применяем алгоритм построения жорданова базиса для оператора с одноточечным спектром (см. [3], параграф 9). Приведем здесь все этапы этого алгоритма, изменив обозначения при-

~

~

менительно к матрице Fi (в параграфе 9 ей соответствует матрица C ). 3 1)

Блочно-вертикальную

~

матрицу

~ Fi

приводим

к

блочно-

псевдотреугольному виду Gi , то есть с помощью столбцовых элементар-

~

ных преобразований, примененных ко всей матрице Fi , приводим к столбцово псевдотреугольному виду блок с номером 1, затем – блок с номером 2 и так далее, пока все блоки с номерами от 1 до ki − 1 не окажутся столбцово псевдотреугольными.

22 32) Систему всех наднулевых векторов (см. [3], стр. 11) блока с номером

~ ki − 1 матрицы Gi дополним до базиса пространства L k i −2 (см. [3], стр.11) некоторыми из наднулевых векторов блока с номером ki −2. Затем полученный так базис пространства L k −2 дополним до базиса пространства i

L k i −3 некоторыми из наднулевых векторов блока с номером ki −3 и так далее, пока не придем к базису пространства L0. Полученный так базис пространства L0 состоит из n-мерных арифметических векторов, являющихся координатными столбцами в базисе (e) начальных векторов тех цепочек, векторы которых в совокупности образуют жорданов базис (пространства K( λi )) для оператора Ai . 33) Для каждого из полученных в пункте 32 n-мерных арифметических векторов выписываем (в порядке следования снизу вверх в столбцах матри-

~

цы Gi ) все векторы (матричной) цепочки, для которой этот вектор является начальным. 34) Переходя от координатных столбцов к соответствующим векторам n

пространства L (P), получим жорданов базис (пространства K( λi )) для оператора Ai . 4. Построив таким образом жорданов базис для каждого из m операторов Ai и объединив полученные m базисов, придем к жорданову базису

(пространства Ln(P)) для оператора A. 5. Учитывая, что при каждом

i = 1, 2, ... , m

число цепочек жорданова

базиса для оператора Ai и их длины равны числу и порядкам жордановых клеток, соответствующих скаляру λi , записываем жорданову форму оператора A.

23

П р и м е р 13.1. Найдем жорданов базис (и жорданову форму) для оператора A из примера 12.1. ~ ~ ~ ~ ˆ. По найденным в примере 12.1 матрицам B1 ( = A − E ) и B12 строим блочно-вертикальную матрицу

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ~ ⎜0 C1 = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜⎜ ⎝0

0 0 0⎞ ⎟ 1 0 0⎟ 0 1 0⎟ ⎟ 0 0 1⎟ 2 0 0⎟ ⎟ 0 2 0⎟ . 0 1 2⎟ ⎟ 0 0 1⎟ 0 4 0⎟ ⎟ 0 2 4⎟ 0 1 4⎟ ⎟ 0 0 1 ⎟⎠

~

Так как блок с номером 2 матрицы C1 является столбцово псевдотреугольной матрицей (точнее говоря, число ее нулевых столбцов равно ее де-

~

фекту), то для построения матрицы F1 нам остается только выделить под-

~

матрицу матрицы C1 , состоящую из ее первых двух столбцов (пересекаю-

~

щих последний блок матрицы C1 по его нулевым столбцам).

~

Так как матрица F1 оказалась блочно-псевдотреугольной, то мы можем приступить к построению начальных векторов порождаемых ею цепочек.

24

~

Блок с номером 1 матрицы F1 содержит только один наднулевой вектор – вектор

a~1(1) = (2, 0, 0, 0)T.

И так как единственный наднулевой вектор блока с номером 0 матрицы

~ F1 (вектор (1, 0, 0, 0)T) линейно зависим с вектором

a~1(1) , то матрица

порождает только одну цепочку – цепочку с начальным вектором

~ F1

a~1(1) :

a~1(1) = (2, 0, 0, 0)T, a~2(1) = (0, 1, 0, 0)T. ~

~

~

~

По найденным в примере 12.1 матрицам B2 ( = A − 2 E ) и B22 строим блочно-вертикальную матрицу

0 0 ⎛ 1 ⎜ 1 0 ⎜ 0 ⎜ 0 0 1 ⎜ 0 0 ⎜ 0 ⎜−1 2 0 ⎜ 0 −1 2 ~ C2 = ⎜ ⎜ 0 0 0 ⎜ 0 0 ⎜ 0 ⎜ 1 −4 4 ⎜ 1 −2 ⎜ 0 ⎜ 0 0 0 ⎜ 0 0 ⎝ 0

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 1 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ . 2 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0⎟ ⎟ 4 ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

25

~

Применяя к матрице C2 столбцовые элементарные преобразования

C 2 → C 2 + 4C 1, C 3 → C 3 + (−4)C 1 + 2 C 2, C 4 → C 4 + (−4)C 2, получим матрицу

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ~ D2 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝

1 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 0

4 1 0 0 −2 −1 0 0 0 1 0 0

4 − 16 ⎞ ⎟ 2 −4 ⎟ 1 0 ⎟ ⎟ 0 1 ⎟ 0 8 ⎟ ⎟ 0 4 ⎟ , 0 2 ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ 0 0 ⎟ ⎟⎟ 0 0 ⎠

последний блок которой является столбцово псевдотреугольным.

~

Понятно, что матрицу F2 составляют два последних столбца мат-

~

рицы D2 .

~

Матрица F2 блочно-псевдотреугольная. Значит, можно приступать к построению начальных векторов порождаемых ею цепочек.

26 Единственный наднулевой вектор

a~1( 2 ) = (8, 4, 2, 0)T

блока с номе-

~

ром 1 матрицы F2 линейно зависим с единственным наднулевым вектором

~ (вектором (4, 2, 1, 0)T) ее блока с номером 0, так что матрица F2 порождает лишь одну цепочку

a~1( 2 ) = (8, 4, 2, 0)T, a~2( 2 ) = (−16, −4, 0, 1)T. Объединяя векторы двух построенных цепочек, получим систему

a~1(1) = (2, 0, 0, 0)T, a~2(1) = (0, 1, 0, 0)T; a~1( 2 ) = (8, 4, 2, 0)T,

a~2( 2 ) = (−16, −4, 0, 1)T арифметических векторов, являющихся координатными столбцами векторов жорданова базиса для оператора A. 4

Таким образом, жордановым базисом (пространства L (R)) для оператора A является упорядоченная система векторов

27 (1)

(a ) = ( a 1 ,

a (21) , a (12 ) , a (22 ) ),

где

a (11)

= 2 e1 ,

a (21) = e2 , a 1( 2 )

= 8 e1 + 4 e2 + 2 e3 ,

a (22 )

= −16e1 − 4e2 + e4 .

Так как жорданов базис для оператора A состоит из одной цепочки длины 2, соответствующей собственному значению λ1 = 1, и одной цепочки длины 2, соответствующей собственному значению λ2 = 2, то жорданова форма оператора A содержит одну клетку J2(1) и одну клетку J2(2), то есть

⎛ ⎜ JA = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 1 0 0⎞ ⎟ 0 1 0 0⎟ . 0 0 2 1⎟ ⎟ 0 0 0 2⎠

„

Для того, чтобы осуществить проверку полученного результата, умно-

~

жим матрицу A оператора A (см. пример 12.1) на координатный столбец каждого из векторов полученного жорданова базиса :

28

~ A a~1(1) = (2, 0, 0, 0)T = a~1(1) ,

~ A a~ 2(1) = (2, 1, 0, 0)T = (2, 0, 0, 0)T + (0, 1, 0, 0)T = a~1(1) + a~ 2(1) ; ~ A a~1( 2 ) = (16, 8, 4, 0)T = 2 (8, 4, 2, 0)T = 2 a~1( 2 ) , ~ A a~2( 2 ) = (−24, −4, 2, 2)T = (8, 4, 2, 0)T + 2 (−16, −4, 0, 1)T = ( 2) (2) = a~1 + 2 a~ 2 ,

так что (1)

(1)

A a 1 = λ1 a 1 , (1)

(1)

(1)

A a 2 = a 1 + λ1 a 2 ; ( 2)

( 2)

A a 1 = λ2 a 1 , (2)

( 2)

(2)

A a 2 = a 1 + λ2 a 2 .

П р и м е р 13.2. Найдем жорданов базис (и жорданову форму) оператора A примера 12.2. ~ ~ ~ ~ ˆ. По найденным в примере 12.2 матрицам B1 ( = A − 0 E ) и B12 строим блочно-вертикальную матрицу

29

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ~ ⎜ C1 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 ⎞ 0 0 0 ⎟ 0 ⎟ 0 0 0 0 ⎟ 1 0 0 ⎟ 0 ⎟ 0 1 0 1 0 ⎟ 0 0 ⎟ 1 ⎟ 0 0 0 1 1 ⎟ 1 1 ⎟ 0 −1 −1 −1 ⎟ 1 1 ⎟ 0 1 ⎟. 0 0 −1 − 2 ⎟ 1 1 ⎟ 0 0 ⎟ 0 1 ⎟ 0 0 0 0 ⎟⎟ 0 0 0 0 ⎟ 0 0 ⎟ 0 0 ⎟ 0 0 0 0 −1 − 3 ⎟ ⎟ 1 2 ⎟ 0 0 0 1 ⎟⎠ 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

~

Так как блок с номером 2 матрицы C1 является столбцово псевдотре-

~

угольным, то матрица F1 состоит из первых четырех столбцов матрицы

~ C1 (пересекающих ее последний блок по его нулевым столбцам). ~ ~ Не выписывая матрицу F1 (а только выделив ее в матрице C1 верти~ кальной чертой), приведем ее к блочно-псевдотреугольному виду G1 (эле2

2

3

4

4

3

ментарными преобразованиями C →C +(−1)C и C →C +(−1)C ):

30

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ~ ⎜ G1 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1

0

0

0 1 0 −1

0 1

0

0

0

0 0 0

0 0 0

0 0 1

0

0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0⎞ ⎟ 0⎟ −1⎟ ⎟ 1⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ . 0⎟ ⎟ −1⎟ 1⎟ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

~

(блок с номером 1 матрицы G1 расположен над нулевым блоком с номером 2, который мы для краткости записи не приписали).

~

Так как блок с номером 1 матрицы G1 содержит два наднулевых (ли-

~ = (1, 0, 0, 0, 0, 0) и нейно независимых) вектора ( a 1 (1)

T

a~3(1) = (0, −1, 1,

0, 0, 0)T) и систему из этих двух векторов нельзя расширить до линейно независимой за счет наднулевых векторов ((1, 0, 0, 0, 0, 0)

T

и (0, 1, −1, 0,

0, 0)T) блока с номером 0, то начальными векторами цепочек, порожден~ ~ (1) и a~ (1) . Значит, матрица G~1 ных матрицей G1, являются векторы a 1 3 порождает две цепочки:

a~1(1) = (1, 0, 0, 0, 0, 0)T, a~2(1) = (0, 0, 1, 0, 0, 0)T

31 и

a~3(1) = (0, −1, 1, 0, 0, 0)T, a~4(1) = (0, 0, −1, 1, 0, 0)T. ~

~

~

~

По найденным в примере 12.2 матрицам B2 ( = A − E ) и B22 строим блочно-вертикальную матрицу

0 0 ⎛ 1 0 ⎜ 0 0 ⎜ 0 1 ⎜ 0 0 1 0 ⎜ 0 1 ⎜ 0 0 ⎜ 0 0 0 0 ⎜ 0 0 ⎜ 0 0 ⎜ −1 1 1 1 ⎜ 0 −1 ⎜ 0 −1 0 −1 1 ~ ⎜ 0 C2 = ⎜ 0 0 −1 ⎜ 0 ⎜ 0 0 0 0 ⎜ 0 0 0 ⎜ 0 ⎜ 1 0 −2 −2 ⎜ 1 0 2 ⎜ 0 ⎜ 0 0 1 −2 ⎜ 0 0 1 ⎜ 0 ⎜ 0 0 0 0 ⎜ 0 0 0 ⎝ 0 ~

0 0 0 0 1 0 1 −1 1 −1 0 0 −2 2 −2 1 0 0

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 1 ⎟ 1 ⎟ ⎟ −1 ⎟ 1 ⎟ ⎟. −2 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 0 ⎟ −2 ⎟ ⎟ 2 ⎟ −2 ⎟ ⎟ 1 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎠

Применяя к матрице C2 столбцовые элементарные преобразования

32

C 5 → C 5 + (−1) C 4

и

C 6 → C 6 + (−1) C 4,

получим матрицу

0 0 ⎞ 0 0 ⎛ 1 0 ⎜ ⎟ 0 0 0 1 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ 0 1 0 ⎜ ⎟ − − 1 1 0 0 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ 0 0 0 ⎜ ⎟ 0 1 ⎟ 0 0 0 ⎜ 0 ⎜−1 0 ⎟ 1 1 1 0 ⎜ ⎟ − − 0 0 0 1 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ 0 −1 1 0 ~ ⎟, D2 = ⎜ − − 0 1 0 0 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ 0 0 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ 0 0 0 0 ⎜ 1 ⎟ − − 0 0 0 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ 1 0 2 0 ⎜ ⎟ − 0 0 0 0 1 2 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ 0 0 1 0 ⎜ ⎟ 0 0 0 0 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ⎟⎠ 0 0 0 0 ⎝ число нулевых столбцов последнего блока которой равно его дефекту.

~

Понятно, что матрицу F2 составляют два последних столбца матрицы

~ ~ D2 . Понятно также, что матрица F2 порождает одну цепочку :

33

a~1( 2 ) = (0, 0, 0, −1, 1, 0)T, a~2( 2 ) = (0, 0, 0, −1, 0, 1)T. Объединяя векторы трех полученных цепочек, получим систему

a~1(1) = (1, 0, 0, 0, 0, 0)T, a~2(1) = (0, 0, 1, 0, 0, 0)T a~3(1) = (0, −1, 1, 0, 0, 0)T,

a~4(1) = (0, 0, −1, 1, 0, 0)T. a~1( 2 ) = (0, 0, 0, −1, 1, 0)T, a~2( 2 ) = (0, 0, 0, −1, 0, 1)T. арифметических векторов, являющихся координатными столбцами векторов жорданова базиса для оператора A. 6

Таким образом, жордановым базисом (пространства L (R)) для оператора A является упорядоченная система векторов (1)

(a ) = ( a 1 ,

a 2(1) , a 3(1) , a 4(1) , a1( 2 ) , a 2( 2 ) ),

где

a 1(1) = e1 ,

34

a 2(1) = e3 , a 3(1) = −e2 + e3 ,

a 4(1) = −e3 + e4 , a1( 2 ) = −e4 + e5 ,

a 2( 2 ) = −e4 + e6 . Так как жорданов базис для оператора A состоит из двух цепочек длины 2, соответствующих собственному значению λ1 = 0, и одной цепочки длины 2,соответствующей собственному значению λ2 = 1, то жорданова форма оператора A содержит две клетки J2(0) и одну клетку J2(1), то есть

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ JA = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

0 1 0 0 0 0⎞ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ 0 0 0 1 0 0⎟ ⎟ . 0 0 0 0 0 0⎟ 0 0 0 0 1 1⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 1⎠

„

~

Для проверки полученного результата умножим матрицу A оператора

A (см. пример 12.2) на координатный столбец каждого из полученных базисных векторов :

35

~ A a~1(1) = (0, 0, 0, 0, 0, 0)T = 0⋅ a~1(1) , ~ A a~ 2(1) = (1, 0, 0, 0, 0, 0)T = a~1(1) + 0⋅ a~ 2(1) , ~ A a~3(1) = (0, 0, 0, 0, 0, 0)T = 0⋅ a~ 3(1) , ~ A a~ 4(1) = (0, −1, 1, 0, 0, 0)T = a~ 3(1) + 0⋅ a~ 4(1) , ~ A a~1( 2 ) = (0, 0, 0, −1, 1, 0)T = 1⋅ a~1( 2) , ~ A a~2( 2 ) = (0, 0, 0, −2, 1, 1)T = (0, 0, 0, −1, 1, 0)T + (0, 0, 0, −1, 0, 1)T = ( 2) (2) = a~1 + 1⋅ a~ 2 ,

так что (1)

(1)

A a 1 = λ1 a 1 , (1)

(1)

(1)

A a 2 = a 1 + λ1 a 2 ; (1)

(1)

A a 3 = λ1 a 3 , (1)

(1)

(1)

( 2)

= λ2 a 1 ,

A a 4 = a 3 + λ1 a 4 , Aa1

(2)

( 2)

( 2)

Aa 2 = a1

(2)

+ λ2 a 2 .

36

ЛИТЕРАТУРА 1. Уховский М.Р. Жорданова форма линейного оператора. Часть 1. УПЛ РГУ, 1988. 2. Уховский М.Р. Жорданова форма линейного оператора. Часть 2. УПЛ РГУ, 1988. 3. Уховский М.Р. Практический способ построения жордановой формы и жорданова базиса (случай оператора с одноточечным спектром). Выпуск 2. УПЛ РГУ, 2000.