Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет − УПИ»
Э.Н. Павина, Н.Н. Чекасин, А.В. Ершов
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ Учебное электронное текстовое издание Подготовлено кафедрой «Экономика и управление качеством продукции» Научный редактор: проф., д-р экон. наук И.И. Пичурин Методическая разработка по выполнению контрольных работ для студентов всех специальностей факультета экономики и управления заочной формы обучения Содержит указания по изучению и применению при решении задач таких важнейших методов исследования экономических явлений, как сводка и группировка материалов статистического наблюдения, метод средних величин, индексный метод и ряд других. Также содержит варианты контрольных заданий, предлагаемых студентам для самостоятельного решения.
© ГОУ ВПО УГТУ−УПИ, 2005
Екатеринбург 2005
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
ОГЛАВЛЕНИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ТЕМАМ КУРСА ............................................. 3 Тема 1. Статистическое наблюдение...................................................................... 3 Тема 2. Сводка и группировка статистических материалов. Статистические таблицы...................................................................................................................... 3 Тема 3. Абсолютные и относительные величины................................................. 4 Тема 4. Средние величины ...................................................................................... 5 Тема 5. Распределение признака в совокупности ................................................. 7 Тема 6. Ряды динамики ............................................................................................ 8 Тема 7. Индексы ..................................................................................................... 10 Тема 8. Выборочное наблюдение ......................................................................... 13 Тема 9. Методы статистического изучения взаимосвязи................................... 15 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ................................................................................... 16 Сводка и группировка статистических материалов............................................ 17 Относительные величины...................................................................................... 21 Средние величины и показатели вариации.......................................................... 24 Ряды динамики........................................................................................................ 28 Индексы ................................................................................................................... 30 Методы статистического изучения взаимосвязей............................................... 33 Выборочные наблюдения ...................................................................................... 35 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...................................................................... 38
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 2 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ТЕМАМ КУРСА Тема 1. Статистическое наблюдение Изучив тему, студент должен уяснить значение статистического наблюдения как первого этапа статистического исследования и источника всех статистических данных. Знать, что от качества выполнения статистического наблюдения зависят качество результатов последующих этапов исследования и конечные выводы. Уяснив основные понятия статистического наблюдения, можно переходить к изучению вопроса о видах статистического наблюдения, формах организации собирания статистических сведений и способах получения сведений в результате применения каждой формы статистического наблюдения. Особое внимание должно быть уделено вопросам организации статистического учета и отчетности. Надо усвоить принципы организации отчетности; иметь четкое представление об отчетной единице, видах первичного учета и взаимосвязи первичного учета и отчетности. Заключительными вопросами темы являются вопросы о неточности данных (ошибках) наблюдения и мерах по их устранению, а также контроле собранных данных статистического наблюдения. Тема 2. Сводка и группировка статистических материалов. Статистические таблицы Тема включает вопросы о содержании сводки и группировках, об их задачах и значении, о видах и принципах группировок; о статистических таблицах как форме изложения результатов сводки; об организации и технике сводки. Группировка, сводка и составление статистических таблиц являются связанными элементами в работе по обобщению и систематизации данных статистического наблюдения. В статистике группировки широко применяются для анализа производственной деятельности предприятий и организаций. Студент должен иметь представление об основных группировках – типологических, структурных и аналитических. С важнейшими группировками статистики можно ознакомиться по данным статистического ежегодника Госкомстата России. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 3 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
В результате изучения вопроса о статистических таблицах студенту следует уяснить значение таблицы как основной формы выражения статистического суждения об изучаемом явлении; ознакомиться с элементами таблицы (заголовок, подлежащее, сказуемое), видами статистических таблиц (простые, групповые, комбинационные); ознакомиться с приемами чтения и анализа таблиц; необходимо научиться не только хорошо строить и оформлять таблицу, но и формулировать выводы на основе содержащихся в таблице данных. Тема 3. Абсолютные и относительные величины При статистической сводке данных получают абсолютные величины, которые характеризуют размеры явления. Для того чтобы сделать выводы из данных сводки, необходимо произвести вычисление относительных величин. Относительные величины выражаются в форме коэффициентов, в процентах и промилле. Получают их путем сравнения (деления) абсолютных величин. Различают шесть видов относительных величин. 1. Относительные величины динамики характеризуют изменение уровней одноименных явлений во времени. Основными из относительных величин этого вида являются темпы роста и прироста. Темпы роста получают путем деления уровня какого-либо явления за последующий период на уровень за предшествующий период. Темпы роста выражаются в процентах. Темпы прироста получают путем деления абсолютного прироста уровня явления в последующем периоде на уровень явления в предшествующем периоде. Темпы прироста выражаются так же, как и темпы роста, в процентах. 2. Относительные величины планового задания и выполнения плана Величины выполнения плана характеризуют степень выполнения планового задания и получаются путем деления отчетной абсолютной величины на плановую. Относительные величины планового задания подсчитывают путем деления абсолютной величины планового задания на уровень данного явления, достигнутый в предшествующем (базисном) периоде. Обычно относительные величины планового задания или выполнения плана выражаются в процентах. 3. Относительные величины структуры характеризуют удельные веса составляющих частей целого. 4. Относительные величины интенсивности характеризуют степень распространения или развития данного явления в определенной среде. Они исчисГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 4 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
ляются как отношение двух разноименных, но взаимосвязанных величин. 5. Относительные величины координации характеризуют отношения отдельных частей совокупности к одной из них, взятой за базу сравнения. Эти величины позволяют контролировать соблюдение необходимых пропорций между отдельными частями целого. 6. Относительные величины сравнения характеризует сравнительные размеры одноименных явлений, относящихся к одному и тому же периоду, но к различным объектам или территориям. Тема 4. Средние величины Изучение темы начинается с вопросов о роли и значении средних величин (далее просто средних) в научном исследовании и об условиях их правильного применения. Правильное применение средних возможно лишь на основе предварительной группировки: выделения качественно однородных совокупностей и расчленения явления на части в зависимости от различия условий, под влиянием которых явление складывается. Под средней величиной в статистике понимают показатель, который характеризует типичный уровень изменяющегося признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени. При изучении отдельных видов средних величин рекомендуется четко представлять методику их расчета и область применения. Наиболее распространенной формой средних величин является средняя арифметическая, расчет которой производится путем деления суммы всех значений изучаемого признака на их количество. Формула расчета: x x= ∑ i , (4.1) n где х – среднее значение изучаемого признака;
xi – конкретное значение этого признака; n – число единиц, значение признака которых изучается. Если какое-то значение признака повторяется у нескольких единиц, то в этом случае формула расчета средней арифметической имеет такой вид:
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 5 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
x=∑
xi f i , ∑ fi
(4.2)
где f i – частота повторения отдельных вариантов признака. Расчет средней по формуле (5.1) называется способом простой средней арифметической, а по формуле (5.2) – средней арифметической взвешенной. Средняя хронологическая используется в тех случаях, когда имеются данные наблюдения на определенные моменты времени; ее расчетная формула имеет вид: 0.5 x1 + x2 + x3 + K + xn−1 + 0.5 xn . (4.3) x= n −1 Средняя геометрическая используется для анализа темпов роста явлений и вычисляется по следующим формулам:
x = n−1
xn , x1
(4.4)
x = n−1 k1 ⋅ k2 ⋅ k3 ⋅K ⋅ kn−1 ,
(4.5)
где x1 – первый (базисный) уровень ряда динамики;
xn – последний уровень ряда динамики; n – число уровней (или периодов); k1, k2 ,…, kn−1 – цепные коэффициенты роста данного ряда динамики. Взвешенные средние широко применяются при обработке данных текущего наблюдения по производственным участкам и цехам предприятия, обобщении материалов отчетности предприятий и организаций. Студент должен хорошо знать способы вычисления этих средних, принципы выбора весов и условия, при которых применяются взвешенная средняя арифметическая или гармоническая. Особого рода средними, используемыми в экономическом анализе для изучения структуры вариационного ряда, являются мода и медиана. Медиана – это значение признака у той единицы совокупности, которая расположена в середине упорядоченного ряда. По данным интервального вариационного ряда, который предварительно ранжирован, медиану определяют по формуле:
Me = x0 + d
( 0.5∑ fi ) − Sm−1 , fm
(4.6)
где x0 – нижняя граница медианного интервала;
d – величина медианного интервала; ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 6 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
0.5∑ f i – полусумма частот всех интервалов;
Sm−1 – сумма частот до медианного интервала; f m – частота медианного интервала. Если ряд дискретный, то медианой является срединное значение признака, и применение формулы не требуется. Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака. В интервальном вариационном ряду ее определяют по формуле: f 2 − f1 Mo = x0 + d , (4.7) ( f 2 − f1 ) + ( f 2 − f3 ) где x0 – нижняя граница модального интервала;
d – величина модального интервала; f 2 – частота модального интервала; f1 – частота интервала, предшествующего модальному; f 3 – частота интервала, следующего за модальным. В дискретном ряду мода – это вариант признака, имеющий наибольшую частоту.
Тема 5. Распределение признака в совокупности Приступая к изучению темы, необходимо прежде всего составить себе представление о происхождении различия в величине количественного признака у отдельных единиц изучаемого явления в пределах однородной совокупности. Далее следует усвоить приемы построения ряда распределения при изучении вариации дискретных и непрерывно изменяющихся признаков. Для измерения вариации (колеблемости) признака могут быть использованы следующие показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Три последних показателя обладают преимуществами, обусловленными их математическими свойствами, перед первыми двумя. размах вариации
R = xmax − xmin ,
(5.1)
среднее линейное отклонение
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 7 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
l=
∑ xi − x ⋅ f i . ∑ fi
(5.2)
Дисперсией называется средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины. Формула расчета:
∑ ( xi − x ) ⋅ f i σ2 = . ∑ fi 2
(5.3)
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии, т.е.
∑ ( xi − x ) ⋅ f i σ= . ∑ fi 2
(5.4)
Этот показатель измеряет абсолютный размер колеблемости признака и выражается в тех же единицах измерения, что и значения признака. Коэффициент вариации позволяет сравнивать колеблемость (вариацию) различных, но взаимосвязанных явлений (или их признаков), а также колеблемость одноименных признаков, но действующих в различных условиях места или времени. Формула расчета:
v=
σ
(5.5) ⋅100 . x При рассмотрении показателя дисперсии необходимо обратить внимание на правило сложения дисперсий.
Тема 6. Ряды динамики Задача темы – изучение методов построения статистических показателей, характеризующих изменение явлений во времени. В процессе изучения темы надо представить сущность рядов динамики и усвоить правила их построения, соблюдение которых обеспечивает сопоставимость статистических рядов динамики и позволяет осуществить их научный анализ. В процессе анализа используются аналитические и обобщающие показатели рядов динамики: уровень ряда, абсолютный прирост, темпы роста и прироста, значение одного процента прироста, коэффициенты опережения и ускорения. Абсолютный прирост: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 8 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
• базисный Аб = хi − xo
(6.1)
• цепной Ац = xi − xi −1
(6.2)
Темп роста: • базисный Т бр = • цепной Т цр =
xi ⋅100 xo
xi ⋅100 xi −1
(6.3) (6.4)
Темп прироста:
xi − xo ⋅100 xi
(6.5)
xi − xi −1 ⋅100 , xi −1
(6.6)
• базисный Т бпр = • цепной Т цпр =
где xi – текущий уровень ряда динамики;
xi −1 – предшествующий текущему уровень ряда динамики; xo – базисный (начальный) уровень ряда динамики. При рассмотрении приемов обработки и анализа данных ряда динамики следует использовать знание принципов взаимосвязи между показателями ряда динамики: • произведение ряда последовательных цепных коэффициентов роста равно соответствующему базисному коэффициенту роста; • частное от деления последующего базисного коэффициента роста на предыдущий равно соответствующему цепному коэффициенту; • темп прироста может быть рассчитан путем вычитания ста (процентов) из соответствующего значения показателя темпа роста:
Т пр = Т р − 100 ;
(6.7)
• абсолютное значение 1 % прироста составляет 0,01 предшествующего уровня ряда динамики. Для получения аналитических характеристик ряда динамики исчисляются и средние показатели. Средний уровень периодического ряда динамики и средний абсолютный прирост определяют по формуле средней арифметической. Средний уровень моментного ряда исчисляется по формуле средней хронологической. Средний темп роста определяется по формуле средней геометрической, а средний темп ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 9 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
прироста равняется соответствующему среднему темпу роста минус 100:
Т пр = Т р − 100 .
(6.8)
Особое внимание следует уделить изучению закономерностей изменения ряда в целом: сглаживанию и выравниванию рядов динамики, интерполяции и экстраполяции.
Тема 7. Индексы При изучении содержания темы студент должен составить представление об индексе как показателе сравнения двух величин; элементах, входящих в построение индексов; различиях индексов индивидуальных и агрегатных, индексов объемных и качественных показателей. Основное внимание должно быть уделено агрегатным индексам – показателям сравнения характеристик сложных явлений, состоящих из непосредственно не суммируемых элементов. Надо усвоить методику построения агрегатных индексов физического объема продукции. Следует иметь в виду, что основной проблемой при построении этих индексов является проблема выбора показателей-соизмерителей, обеспечивающих сопоставимость числителя и знаменателя индекса. Индексируемые показатели, а также явления, выступающие в роли соизмерителей, могут быть качественными и количественными (объемными). Количественные показатели представляют собой численность тех или иных единиц или общий объем какого-либо признака. Качественные характеризуют уровень явления в расчете на ту или иную единицу совокупности. При построении агрегатных индексов качественных показателей в роли соизмерителей выступают количественные показатели и фиксируются на уровне отчетного периода. При построении агрегатных индексов количественных показателей в роли соизмерителей выступают качественные показатели и фиксируются на уровне базисного периода. Индивидуальные индексы не требуют соизмерителей, т.к. при их расчете сравниваются абсолютно однородные явления: q p z w iq = 1 , iz = 1 , iw = 1 ip = 1 , и т.п., (7.1) p0 q0 z0 w0 где q – количество единиц продукции одного вида (шт., т, л, ...); p – цена единицы определенного вида продукции (руб.); z – себестоимость единицы определенного вида продукции (руб.); ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 10 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
w – производительность труда одного человека (шт., т, л, ...). Средние индексы (арифметический, гармонический) студент изучает в связи с агрегатными. Агрегатные индексы качественных показателей применяются в двух формах: в форме индексов переменного состава и в форме индексов фиксированного состава. Индекс среднего уровня может быть представлен как произведение аналитических индексов-сомножителей, каждый из которых отражает изменение только одного фактора, и тем самым – влияние этого изменения на динамику среднего уровня. Первый индекс носит название индекса фиксированного состава, второй – индекса структурных сдвигов. I перемен.сост. = Iфиксир.сост. ⋅ I структур.сдвиг. (7.2) Например, для анализа динамики среднемесячной производительности труда (w) по группе работников индекс переменного состава определяется по формуле:
qp q p wT w dT wT w dT w dT I перемен.сост. = ∑ 1 0 : ∑ 0 0 = ∑ 1 1 : ∑ 0 0 = ∑ 1 T1 : ∑ 0 T 0 = ∑ 1 1T , ∑ T1 ∑ T0 ∑ T1 ∑ T0 ∑ d1 ∑ d0 ∑ w0 d0 (7.3) где ∑ q1 p0 , ∑ q0 p0 – стоимость произведенной продукции в отчетном и базисном периодах в сопоставимых ценах;
∑ T1 , ∑ T0 – численность работников в отчетном и базисном периодах. Индекс фиксированного состава: wT w dT ∑i T Iфиксир.сост. = w 1 = ∑ 1 1 = ∑ 1 1T , ∑ T1 ∑ w0T0 ∑ w0 d0
(7.4)
где iw – индивидуальные индексы производительности труда. Индексы, приведенные в формуле (7.4), являются индексами фиксированного состава, т.к. в каждом из них индексируется только одна величина; напротив, индексы, приведенные в формуле (7.3), характеризуют изменение и качественных величин (w), и структуры количественных (T) . Эта структура может быть выражена в виде относительных величин: T diT = i (7.5) ∑ Ti В дальнейшем, для отражения отличия структуры показателя Т (либо других количественных показателей) в разных условиях, будет применяться обозначение diT . В других индексах могут использоваться показатели diq , diF и т.д. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 11 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
Индексные методы широко применяются для анализа факторов изменения сложных показателей, полученных на основе соизмерения абсолютных величин. В связи с этим необходимо изучить вопрос о способах построения взаимосвязанных индексов и способах расчета абсолютного изменения сложной величины за счет влияющих факторов. Индекс результативного показателя связан с индексами показателейфакторов так же, как абсолютные величины этих показателей:
I qp = I q ⋅ I p ,
(7.6)
где I qp – индекс стоимости продукции;
I q – индекс физического объема продукции в базисных ценах; I p – индекс цен. Такая взаимосвязь может быть использована не только для выявления относительного изменения уровня изучаемого явления за счет отдельных факторов, но и для определения размера абсолютного изменения уровня сложного явления в связи с влиянием исследуемых факторов:
∆ qp = ∆ q + ∆ p .
(7.6а)
Среди наиболее часто используемых в экономических расчетах индексов необходимо отметить: индексы объема qp q (7.7) iq = 1 , I q = ∑ 1 0 ; q0 ∑ q0 p0 индексы цен
ip =
p1 pq , Ip = ∑ 1 1 ; p0 ∑ p0 q1
(7.8)
iz =
z1 zq , Iz = ∑ 1 1 . z0 ∑ z0 q1
(7.9)
индексы себестоимости
Индексы производительности труда могут иметь три формы: натуральные q wT q q q wT iw = 1 : 0 , I перемен.сост. = ∑ 1 : ∑ 0 = ∑ 1 1 : ∑ 0 0 ; T1 T0 ∑ T1 ∑ T0 ∑ T1 ∑ T0
(7.10)
стоимостные
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 12 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
iw =
Общая теория статистики
q1 p0 q0 p0 qp q p wT wT : , I перемен.сост. = ∑ 1 0 : ∑ 0 0 = ∑ 1 1 : ∑ 0 0 , T1 T0 ∑ T1 ∑ T0 ∑ T1 ∑ T0 wT iT Iфиксир.сост. = ∑ 1 1 = ∑ w 1 ; ∑ w0T1 ∑ T1
(7.11)
трудовые iw =
t0 T tq T tq , I перемен.сост. = ∑ 0 : ∑ 1 = ∑ 0 0 : ∑ 1 1 , t1 ∑ q0 ∑ q1 ∑ q0 ∑ q1 I фиксир.сост. =
∑t q ∑t q
0 1
,
(7.12)
1 1
где t – трудоемкость изготовления единицы продукции. Индексы заработной платы также имеют две формы (индивидуальный индекс и сводный индекс), т.к. заработная плата – это сумма, начисленная в счет оплаты за работу одного человека, т.е. показатель качественный: Ф fT f Ф fT i f = 1 , I перемен.сост. = ∑ 1 : ∑ 0 = ∑ 1 1 : ∑ 0 0 , f0 ∑ Т1 ∑ Т 0 ∑ T1 ∑ T0
fT Iфиксир.сост. = ∑ 1 1 , ∑ f 0T1
(7.13)
где Ф – фонд заработной платы всех работников на исследуемом объекте, f – заработная плата одного работника. В выше приведенных формулах использованы условные обозначения любого учебника «Общей теории статистики». Завершая изучение темы, следует обратить внимание на наличие взаимосвязей между следующими группами индексов: - индивидуальными и сводными; - индексами базисными и цепными; - индексами переменного и фиксированного состава; - индексами взаимосвязанных явлений.
Тема 8. Выборочное наблюдение Проработку темы следует начать с выяснения сущности и задач используемых на практике форм несплошного наблюдения. Необходимо затем уяснить природу ошибки выборочного наблюдения (ошибки репрезентативности) и усвоить, что репрезентативность несплошного наблюдения может быть обеспечена лишь при правильной организации отбора подлежащих обследованию единиц. Важно четко представить себе особенности и преимущества выборочного наГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 13 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
блюдения по сравнению с другими разновидностями несплошного наблюдения, уяснить смысл понятия «случайный отбор» и значение принципа случайного отбора для обеспечения репрезентативности результатов наблюдения. Студент должен ознакомиться также с различными формами организации выборочного наблюдения. Выборочное наблюдение опирается на закон больших чисел и относящиеся к этому закону теоремы, которые используются при оценке результатов выборки. Необходимо познакомиться с использованием этого материала и усвоить формулы для расчета средних и предельных ошибок доли и средней величины признака (при различных формах организации выборки) и определения числа единиц выборочной совокупности, необходимой для обеспечения заданной точности результата. Формулы необходимо усвоить практически, путем решения приведенных в учебниках и учебных пособиях задач. При решении задач следует использовать общепринятые условные обозначения, которые приведены ниже. Показатели Число единиц Средняя величина Число единиц, обладающих изучаемым признаком Доля единиц, обладающих изучаемым признаком Доля единиц, не обладающих изучаемым признаком Дисперсия Средняя ошибка Предельная ошибка
Обозначения в совокупностях генеральной выборочной N n x% x M
p=
M N
m
w=
m n
q = 1− p
1− w
σ2 –
σ 02 µx , µ p
–
∆x , ∆ p
Различие (отклонение) между генеральной средней и выборочной средней, между генеральной долей единиц, обладающих изучаемым признаком, и соответствующим выборочным показателем называется ошибкой выборки, которая зависит от колеблемости признака в совокупности и численности единиц выборки. При изучении среднего значения признака средняя ошибка вычисляется по формулам: для повторного отбора ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 14 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
µx =
σ 02 n
,
(8.1)
для бесповторного
σ 02 ⎛⎜1 − n ⎞⎟ N ⎝
µx =
⎠.
n
(8.2)
Предельная ошибка отличается введением в эти формулы коэффициента доверия (Стъюдента), который зависит от гарантируемой вероятности точности результатов:
∆ x = t ⋅ µx
(8.3)
При определении доли единиц, обладающих изучаемым признаком, аналогичные формулы записываются следующим образом: для повторного отбора
µp =
w (1 − w ) , n
(8.4)
для бесповторного отбора
µp =
w (1 − w ) ⎛⎜1 − ⎝
n
n⎞ N ⎟⎠
.
(8.5)
Предельные ошибки вычисляются с введением коэффициента доверия
∆ p = t ⋅µp .
(8.6)
Подсчитав отклонения выборочных показателей от генеральных и все характеристики выборочной совокупности, можно подсчитать генеральные показатели: x = x% ± ∆ x ,
(8.7)
p = w± ∆p .
(8.8)
Если допустимая ошибка выборки ∆ x или ∆ p задана, то можно подсчитать, какое число единиц выборочной совокупности необходимо подвергнуть наблюдению, чтобы не превысить заданную величину ошибки. Для этого определяют n из формул (8.3) или (8.6).
Тема 9. Методы статистического изучения взаимосвязи При изучении этой темы необходимо понять сущность основных приемов ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 15 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
обнаружения связи между признаками (метод параллельного сопоставлений данных, графический метод, составление групповой и корреляционной таблиц). Студент должен ясно представлять роль качественного анализа. Особое внимание рекомендуется уделить корреляционному методу анализа, После установления наличия взаимосвязи между явлениями и определения общего характера связи статистика с помощью корреляционного анализа дает этим связям числовое выражение. Первый этап анализа: экономико-математическое моделирование. На этом этапе производится отбор взаимодействующих факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, выявляется характер этого влияния и устанавливается форма связи. Второй этап: решение принятой модели путем нахождения параметров корреляционного уравнения. Третий этап: оценка и анализ полученных результатов с помощью таких показателей, как корреляционное отношение, коэффициент корреляции, коэффициент детерминации. Необходимо уяснить смысл и значение применения корреляционного отношения и связь этого материала с правилом сложения дисперсий. Наряду с изучением взаимосвязи между двумя признаками, студент должен иметь представление о множественной корреляции. Усвоение техники расчета путем решения предлагаемой задачи в контрольном задании должно явиться заключительным этапом изучения данной темы курса.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Статистика изучает количественную сторону массовых явлений и процессов во всех областях общественной жизни в неразрывной связи с их качественной стороной. Кypc теории статистики является частью единой статистической науки. В этом курсе изучаются общие категории, принципы и методы статистической науки. Студент должен хорошо овладеть знанием этих принципов, категорий и методов. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 16 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
Письменная работа по общей теории статистики должна показать умение студента правильно применять основные статистические методы и принципы при решении поставленных задач. Контрольную работу следует выполнять постепенно, по мере изучения учебного материала, и самостоятельно. Решение задач необходимо сопровождать применяемыми формулами, развернутыми расчетами и краткими пояснениями. В пояснениях следует указать, что именно характеризует исчисленный показатель. Перед решением каждой задачи нужно приводить заданное условие. Варианты контрольных заданий по общему курсу теории статистики студенты выполняют в следующем порядке: Номер 1 2 3 4 5 6 7
Начальные буквы фамилии студента в алфавитном порядке А, Б, В Г, Д, Е, Ж 3, И, К Л, М, Н О, П, Р С, Т, У, Ф, X Ц, Ч, Ш, Щ, Э, Ю, Я
Номера задачи 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53 5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56
Сводка и группировка статистических материалов Задача 1 Имеются следующие данные о работе промышленных предприятий одной отрасли за год: СтоиПредпр мость осиятия новных средств, млн руб. 1 501 2 670 3 1770 4 4405 5 1134 6 1190 7 1286 ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Выпуск продукции в сопоставимых ценах, млн руб. план факт 608 608 1453 1470 3625 3742 9114 10229 1124 1217 1784 1955 2966 2994
Предприятия 12 13 14 15 16 17 18
Стоимость основных средств, млн руб. 1113 4073 1014 565 905 1746 3140
Выпуск продукции в сопоставимых ценах, млн руб. план факт 2304 2499 10967 12099 2976 3138 962 976 1296 1404 4010 4157 5572 6206 стр. 17 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
8 9 10 11
355 386 2120 1332
402 588 3153 2150
Общая теория статистики
402 607 3276 2166
19 20 21 22
529 2861 399 1989
1025 6068 612 3632
1053 6412 616 4075
Произведите группировку предприятий по стоимости основных средств, образовав следующие группы (в млн руб.): до 500, от 501 до 1000, от 1001 до 1500, от 1501 до 2500, свыше 2500. Для каждой группы подсчитайте: число предприятий, стоимость основных средств, выпуск продукции по плану и фактически в среднем на одно предприятие, а также проценты выполнения плана.
Задача 2 По исходным данным к задаче № 1 произведите группировку предприятий по фактическому выпуску продукции, образовав следующие группы (в млн руб.): до 600, от 601 до 1200, от 1201 до 2000, от 2001 до 2800, от 2801 до 3800, свыше 3800. Для каждой группы подсчитайте: число предприятий, стоимость основных средств, выпуск продукции по плану, фактически в среднем на одно предприятие и процент выполнения плана, а также фактическую стоимость выпущенной продукции на один рубль основных средств. Вычислите удельный вес отдельных групп по числу предприятий. Результаты группировки изложите в табличной форме и сделайте краткие выводы, назовите вычисленные в таблице относительные величины. Задача 3 Имеются следующие данные за год по заводам одной промышленной компании: Завод Среднее Основные Продук- Завод Среднее Основные Продукчисло ра- фонды, ция, млн число ра- фонды, млн ция, млн бочих, млн руб. руб. бочих, чел. руб. руб. чел. 1 700 250 300 9 1400 1000 1600 2 800 300 360 10 1490 1250 1800 3 750 280 320 II 1600 1600 2250 4 900 400 600 12 1550 1500 2100 5 980 500 800 13 1800 1900 2700 6 1200 750 1250 14 1700 1750 2500 7 1100 700 1000 15 1900 2100 3000 8 1300 900 1500 На основании приведенных данных составьте групповую таблицу завиГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 18 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
симости выработки на одного рабочего от величины заводов по числу рабочих. Число групп – три.
Задача 4 На основании данных, приведенных в задаче 3, составьте по группам таблицу зависимости выпуска продукции от величины заводов по размеру основных фондов. Каждая группа должна характеризоваться средним выпуском продукции на один завод, на один миллион рублей основных фондов и на одного рабочего. Задача 5 Требуется произвести разделение предприятий, расположенных в одном из регионов, на две группы: производящие продукцию промышленного назначения и потребительские товары. Внутри каждой группы произвести дополнительную группировку предприятий по уровню динамики (темпам роста) объема производства продукции. Результаты представить в виде комбинационной таблицы и проанализировать.
Предприятия Завод кожзаменителей Завод железобетонных конструкций Машиностроительный завод Кирпичный завод Мебельная фабрика Металлургический завод Завод сельскохозяйственного машиностроения Ликероводочный завод Маслозавод Кондитерская фабрика Завод бытовой химии Завод стеновых материалов Пивоваренный завод Хлебокомбинат Завод безалкогольных напитков Фабрика сувенирных изделий Станкостроительный завод Мясокомбинат ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Производство продукции в сопоставимых ценах в предшествующем в отчетном году, году, млн руб. млн руб. 1520 1732 2050 2140 7100 7620 355 395 7205 6320 26906 28305 16500 4900 5650 1230 1820 2630 1450 2350 5620 2290 9850 5730
16520 5110 5520 1025 2430 2610 1635 2380 6120 2500 10620 5860 стр. 19 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Фабрика керамических изделий
Общая теория статистики
1008
1105
Задача 6 Имеются следующие данные о выплавке чугуна (в пересчете на передельный): Доменная печь 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Полезный объем, м3 960 960 1300 1233 1336 1233 1233 1300 1300 1033 450 700 600 426 580 791 456 750
Выплавлено чугуна за октябрь, т 50596 50765 67964 64493 73626 61230 60840 66664 66836 46267 20091 31688 27417 20579 27553 34411 20650 39793
Номинальные метро-сутки 29760 29760 40300 38223 42966 38223 38223 40300 40300 32023 13950 21700 18600 13206 17980 24521 14136 23250
Произведите группировку доменных печей по полезному объему, образовав следующие группы: до 600 м3, от 601 до 900, от 901 до 1250, свыше 1250 м3. Для каждой группы подсчитайте: число доменных печей, выплавку чугуна, метро-сутки и коэффициент использования полезного объема доменных печей. Подсчитайте удельный вес каждой группы в общей численности печей и общем итоге выплавки чугуна. Какие виды относительных величин подсчитаны? Результаты расчета изложите в табличной форме и сделайте краткие выводы. Примечание: коэффициент использования полезного объема доменных печей по номинальному времени определяется путем деления количества номинальных метро-суток на количество выплавленного чугуна в переводе на передельный. Номинальные метро-сутки (последняя графа условия задачи) получены путем умножения полезного объема доменных печей на календарные сутки октября (31 день). ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 20 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
Задача 7 Имеются следующие данные о работе мартеновских печей за I квартал: Мартеновская печь 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Отработано метро-суток 5750 5809 6024 7535 7649 4142 4422 5786 3370 4134 3896 5306 5521
Выплавлено стали, т 47574 46646 48622 74822 75000 40000 32524 52042 27000 30524 32696 40256 43102
Мартеновская печь 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Отработано метро-суток 6648 6404 5412 5692 5904 3749 3750 3950 4788 5342 5280 5557
Выплавлено стали, т 52410 52718 42633 50761 52050 27073 27489 30168 39054 40001 46437 45113
Произведите группировку мартеновских печей по выплавке стали, образовав 4-5 групп с равновеликими интервалами. По каждой группе вычислите: число мартеновских печей, выплавку стали, метро-сутки и среднесуточный съем стали с 1 кв. метра площади пода. Примечание. Среднесуточный съем стали с 1 кв. метра площади пода мартеновских печей по фактическому времени определяется путем деления количества выплавленной стали на фактические метро-сутки. Результаты изложите в табличной форме и сделайте краткие выводы.
Относительные величины Задача 8 Поставки молока и молочных продуктов в торговую сеть города за отчетный период характеризуются следующими данными: Наименование продукта Молоко Сливочное масло Плавленые сыры
Коэффициент пересчета в молоко 1,0 23,0 4,2
Поставки по плану, т 820 21 13
Поставлено фактически, т 805 24 16
Определить выполнение плана поставки: 1) по каждому продукту; ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 21 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
2) по всем продуктам в условно-натуральном измерении (в пересчете на молоко).
Задача 9 Численность населения и студентов в отдельных странах в первой половине 80-х годов характеризовалась следующими данными: Страны СССР Венгрия ГДР Куба Китай США ФРГ Франция Япония
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Численность студентов, тыс. чел. 5301 100 130 173 1154 6102 643 840 1723
Численность населения, млн чел. 273,8 10,7 16,7 9,8 1015 234,2 59,7 54,4 119,3
стр. 22 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
Определите численность студентов, приходившихся на 10000 человек населения в различных странах. Какую относительную величину вы вычислили? Прокомментируйте полученные результаты.
Задача 10 Планом промышленного предприятия предусматривалось снижение затрат на 1 рубль товарной продукции на 4 %, фактически затраты возросли на 2 %. Вычислите относительную величину выполнения плана. Задача 11 Имеются следующие данные о составе и численности промышленнопроизводственного персонала предприятия по годам: Категория работающих Рабочие Ученики Специалисты Служащие Руководители
2000 г. 1290 36 120 45 9
2001 г. 1530 54 153 54 9
2002 г. 1680 62 184 60 14
2003 г. 2000 42 300 56 12
Определите изменение общей численности всего персонала по годам в процентах (на постоянной и переменной базах сравнения); удельный вес отдельных групп персонала по годам; сколько учеников, специалистов, служащих, руководителей приходится на 1000 рабочих. Объясните, какие виды относительных величин вычислены.
3адача 12 Выпуск продукции на заводе в 2002 г. составил 160 млн руб. По плану на 2003 г. предусматривалось выпустить продукции на 168 млн руб., фактически же выпуск составил 171,36 млн руб. Вычислите относительные величины планового задания и выполнения плана. Задача 13 Вычислите относительные величины сравнения по данным о производстве важнейших видов промышленной продукции в отдельных странах: Виды продукции Электроэнергия, млрд кВт·ч Нефть, млн т Сталь, млн т ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
США
ФРГ
Япония
2480 427 65
358 4,2 36
586 0,4 97 стр. 23 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
Чугун, млн т
44
27
73
Цемент, млн т
70
30,6
81,5
Хлопчатобумажные ткани, млрд кв. м 3,1 0,6 1,9 Сахар-песок (из отечественного сырья), 4,7 3,3 0,8 млн т Задача 14 Производство товарной продукции на заводе в 2002 г. составило 1500 млн руб. По плану на 2003 г. предусматривался прирост объема выпуска продукции на 60 млн руб., фактически же выпуск товарной продукции составил в 2003 г. – 1575,6 млн руб. Вычислите относительные величины планового задания и выполнения плана.
Средние величины и показатели вариации Задача 15 Определите установленную среднюю продолжительность трудового дня производственного рабочего по заводу в целом: Показатель 1 цех 2 цех 3 цех 4 цех Количество смен 3 3 2 1 Число рабочих в смену 600 800 400 200 Продолжительность смены 8 8 8 6 Задача 16 Имеются следующие данные о выполнении месячного плана производства продукции металлургическими предприятиями: Предприятие 1 2 3 4 5
Выпуск продукции, млн руб. 110 60 250 160 300
Выполнение плана, % 106 102 105 98 110
Определите по пяти предприятиям средний процент выполнения плана.
Задача 17 Вычислите среднемесячный процент брака по заводу за второй квартал по следующим данным: Показатель Выпуск годной продукции, тыс. руб. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
апрель 5000
май 6000
июнь 6500 стр. 24 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
Брак, в % к годной продукции 1,5 1,2 1,0 Задача 18 По четырем заводам промышленной компании имеются следующие отчетные данные за первое полугодие: Завод
План выпуска про- То же, в % к Фактический дукции в оптовых итогу плана, выпуск продукценах, млн руб. (удельный вес) ции, млн руб.
1 2 3 4
50,0
25 15 20 40
70,5 40,5 60,0 110,0
Брак, в % к стоимости продукции 0,5 0,6 1,0 1,2
Определите план выпуска продукции по каждому заводу на первое полугодие, средний процент выполнения плана за полугодие по промышленной компании в целом, средний процент брака в первом полугодии.
Задача 19 Имеются следующие показатели по пяти заводам промышленной компании: Завод
1 2 3 4 5
Фактически произведено продукции, млн руб. 60,0 40,0 88,0 100,0 31,5
1 квартал 2 квартал Выполнение Фактически План произ- Выполнение плана, % получено водства проплана, % продукции дукции, 1 сорта, % млн руб. 120,0 95,0 65,0 102,0 80,0 96,0 52,0 100,0 110,0 98,0 90,0 105,0 100,0 97,0 110,0 104,0 105,0 98,0 35,0 102,5
Определите средний процент выполнения плана в каждом квартале и за первое полугодие в целом; средний процент продукции 1 сорта за 1 квартал; рост выпуска продукции во 2 квартале в процентах к 1 кварталу в целом.
Задача 20 По следующим данным вычислите среднюю зарплату по всем рабочим: Группа рабочих А Б В ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Средняя месячная зарплата одного рабочего, тыс. руб. 9,5 11,5 13,0
Всего начислено зарплаты (всем рабочим), тыс. руб. 114,0 345,0 104,0 стр. 25 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
Задача 21 Вычислите среднюю выработку за месяц на одного рабочего по двум заводам в целом: Завод 1 2
Выпуск продукции в оптовых ценах, млн руб. 20,0 30,0
Средняя выработка на одного рабочего, тыс. руб. 40,0 50,0
Задача 22 Имеются следующие данные о рабочем стаже у работающих одного из подразделений предприятия (в годах): 8, 5, 4, 6, 8, 12, 3, 14, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 3, 4, 5, 3, 2, 2, 4, 7, 10, 15, 2, 3, 12, 3, 4, 6, 8, 2, 13, 9, 3, 8, 10, 4, 5, 8, 10, 6, 7, 9, 12, 10, 15, 8, 3, 4, 6, 2, 1, 5, 7, 3, 5, 4, 8, 7. Требуется: ранжировать ряд, построить интервальный ряд распределения, вычислить средний стаж работы, колеблемость стажа, моду и медиану для ранжированного и интервального рядов. Задача 23 Затраты рабочего времени на однородную технологическую операцию распределялись между рабочими следующим образом: Затраты времени, мин. Число рабочих, чел.
до 15 20
15-20 25
20-25 50
25-30 30
30-35 15
более 35 10
Требуется определить среднюю величину затрат рабочего времени и среднеквадратическое отклонение по способу моментов; коэффициент вариации; моду и медиану.
Задача 24 Определите среднюю выработку рабочего за смену и среднеквадратическое отклонение, моду и медиану, используя следующие данные: Выработано деталей рабочим в смену, шт. Число рабочих с данной выработкой, чел.
23 38
20 18
32 10
24 34
Задача 25 При обследовании партии готовой продукции получены следующие данные о содержании влаги в образцах: Влажность, % Число проб
до 13 20
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
13-15 25
15-17 50
17-19 30
19-21 15
21-23 10 стр. 26 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
Определите средний процент влажности по способу моментов; среднеквадратическое отклонение тем же способом; коэффициент вариации, моду, медиану.
Задача 26 Для определения зольности угля взято выборочно 100 проб: Зольность, % Число проб
2-4 4
4-6 6
6-8 15
8- 10 25
10-12 12
12-14 18
14-16 10
16-18 8
18-20 2
Вычислите средний процент зольности и среднеквадратическое отклонение, применяя способ отсчета от условного нуля и обычный способ. Определите моду и медиану.
Задача 27 Имеются следующие данные о распределении рабочих цеха по размеру месячной заработной платы: Размер зарплаты, тыс. руб. Число рабочих, чел.
до 5,0
5,0-7,5
7,5-10,0
10,0-12,5
15
15
25
65
свыше 12,5 30
Определите среднюю месячную зарплату рабочих цеха, моду и медиану, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Задача 28 Распределение рабочих по размеру их средней месячной заработной платы в одном из цехов промышленного предприятия характеризуется следующими показателями: Размер зарплаты, тыс. руб. Число рабочих, чел.
6,0-8,5 26
8,5-11,0 112
11,0-13,5 210
13,5-16,0 52
Определите среднюю заработную плату (двумя способами); среднеквадратическое отклонение (двумя способами); коэффициент вариации; моду и медиану.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 27 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
Ряды динамики Задача 29 Выпуск продукции по предприятию в неизменных отпускных ценах составил: Год Выпуск продукции, млн руб.
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
100
120
150
165
175
200
210
Требуется определить абсолютный прирост, темпы роста и прироста (базисные и цепные), абсолютное значение одного процента прироста, средний темп прироста, средний уровень ряда. Произведите аналитическое выравнивание ряда динамики (по прямой) и постройте его графическое изображение.
Задача 30 Имеются следующие данные о поступлении материалов на металлургическое предприятие: Месяц Январь Февраль Март Апрель Май Июнь
Поступление известняка, тыс. т 92,6 81,9 93,6 91,7 98,7 98,6
Месяц Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
Поступление известняка, тыс. т 84,2 105,4 92,2 121,8 115,4 126,1
Замените ряд ежемесячного поступления материала: 1) рядом квартального поступления; 2) рядом среднемесячного поступления материала по кварталам; 3) скользящими средними, приняв период сглаживания, равный трем месяцам. Нанесите на график фактические данные и средние показатели и произведите экономический анализ. Какова тенденция развития явления?
Задача 31 По приведенным данным о выпуске продукции химическим предприятием по годам в сопоставимых ценах вычислить на постоянной и переменной базах сравнения абсолютный прирост, темпы роста и прироста, а также абсолютное значение 1 % прироста. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 28 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
Рассчитать средний уровень ряда. Рассчитать при помощи метода скользящей средней за каждые три года среднегодовой выпуск продукции. Произвести аналитическое выравнивание ряда по прямой. Годы Выпуск продукции, млн руб.
1995 40
1996 50
1997 60
1998 66
2000 79,2
2001 110,8
Задача 32 Имеются следующие данные о товарных остатках торгового предприятия (тыс. руб.): Годы 1999 2000 2001 2002 2003 2004
На 01.01 500 520 540 510 480 460
На 01.04 510 530 530 500 490 -
На 01.07 520 540 530 490 470 -
На 01.10 510 550 520 480 460 -
Определите изменение товарных остатков по годам в тыс. руб. и в %.
Задача 33 Объем продукции на промышленном предприятии повысился в 1998 году по сравнению с 1993 годом на 100 млн рублей в сопоставимых ценах, или на 25 %. В 2003 году объем продукции увеличился по сравнению с 1998 годом на 20 %. Определите: 1) объем выпуска продукции предприятия в 1993, 1998, 2003 годах; 2) среднегодовые темпы прироста выпуска продукции за: а) 1993-1998гг.; б) 1998-2003 гг.; в) 1993-2003 гг Задача 34 Имеются следующие данные о выпуске продукции за первую половину сентября: День 1 2 3 4 5 6 7
Выпуск продукции, шт. 1554 1432 1550 1623 1644 1554 1615
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
День 9 10 11 12 13 14 15
Выпуск продукции, шт. 1775 1751 1851 2012 1921 1743 1920 стр. 29 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
8
Общая теория статистики
1580
Произведите сглаживание ряда динамики, применив следующие способы: 1) укрупнение периодов (взять пятисуточный выпуск); 2) характеристику средними показателями укрупненных периодов; 3) скользящую среднюю (по три периода). Нанесите на график фактические данные и средние показатели и произведите экономический анализ (сделайте вывод о тенденции развития явления).
Задача 35 По предприятию на четыре года предусматривался следующий рост производительности труда к уровню 2000 года, в %: Годы 2001 2002 2003 2004
Темп роста производительности труда, % 102 104 105 108
Фактически темп роста производительности труда составил в 2001 году 102,5 %, а в 2002 году по сравнению с уровнем 2001 года – 99,4 %. Определите, какими должны быть темпы роста в оставшиеся два года, чтобы в 2004 году выйти на уровень производительности труда, который предусматривался прогнозом по предприятию.
Индексы Задача 36 Вычислите по нижеследующим данным сводный агрегатный индекс себестоимости тонны продукции завода и тождественные ему среднеарифметический и среднегармонический индексы. Группа изделий А Б
Изготовлено продукции, т базисный отчетный период период 100 120 700 800
Себестоимость тонны, тыс. руб. базисный отчетный период период 8,0 7,2 4,0 3,6
Определить сумму снижения (повышения) общей величины затрат на производство за счет изменения объема изготовленной продукции и себестоимости тонны продукции. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 30 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
Задача 37 Имеются следующие данные по кирпичным заводам:
Заводы №1 №2
Базисный год изготовлено отработано чекирпича, ловеко-дней, тыс. шт. тыс. 30000 150 7500 75
Отчетный год изготовлено отработано чекирпича, ловеко-дней, тыс. шт. тыс. 32400 180 7200 60
Определите: 1) индексы динамики производительности труда по каждому заводу; 2) индексы производительности труда в целом по двум заводам: а) переменного состава, б) постоянного состава; 3) индекс влияния структурных сдвигов на изменение среднего уровня производительности труда; 4) какая часть абсолютного прироста производства кирпича по двум заводам в отчетном году в сравнении с базисным получена за счет увеличения суммы отработанных человеко-дней и какая – за счет роста производительности труда.
Задача 38 Работа производственного объединения по добыче угля, в состав которого входят шахта и разрез, за месяц характеризуется следующими данными: Производственные подразделения Шахта Разрез
Объем добычи угля, тыс. т отчетный базисный период период 24 21 50 61,2
Среднемесячная выработка на одного рабочего, т базисный отчетный период период 40 42 200 204
Определите: 1) натуральные индексы переменного и постоянного состава производительности труда (выработки) по объединению; 2) индекс влияния структурных сдвигов на средний уровень производительности труда; 3) какая часть абсолютного прироста добычи угля за период получена в результате изменения численности рабочих и какая – в результате роста производительности труда.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 31 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
Задача 39 По одному из предприятий промышленности стройматериалов имеются следующие данные:
Виды продукции Строительные блоки Панели Строительные детали
Снижение (–) или повышение (+) оптовых цен в отчетном периоде по сравнению с базисным (в %) –2 +5 без изменения
Реализовано продукции в отчетном периоде (тыс. руб.) 1960 2100 440
Определите общий индекс цен и сумму роста или снижения объема реализации продукции за счет изменения цен.
Задача 40 Имеются данные о валовой продукции, численности рабочих и фонде заработной платы рабочих по двум заводам за отчетный и базисный периоды:
Завод №1 №2
Базисный период Отчетный период Фонд зарФонд Валовая Валовая Число платы ра- Число зарплаты продукция, продукция, рабочих рабочих бочих, рабочих, млн руб. млн руб. млн руб. млн руб. 3000 150,0 30,0 3200 195,0 35,20 2000 95,0 18,0 2100 106,0 20,37
Требуется определить индексы переменного и фиксированного составов: производительности труда, средней зарплаты на одного рабочего. Покажите и объясните взаимосвязь между индексами переменного и фиксированного составов.
Задача 41 По следующим данным вычислите трудовой индекс производительности труда переменного и фиксированного составов по заводу и определите влияние структурных сдвигов на изменение средней производительности труда: Группа изделий А Б
Произведено продукции, тыс. т базисный отчетный период период 12 14 160 190
Отработано, чел.-час базисный отчетный период период 1200 1126 830 760
Задача 42 Имеются следующие данные о добыче угля и численности промышленнопроизводственного персонала на двух шахтах за июнь и июль: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 32 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Шахта №1 №2
Общая теория статистики
июнь Число работниДобыча угля, т ков, чел. 24000 600 22000 1100
июль Число работниДобыча угля, т ков, чел. 48000 800 17500 700
Требуется определить натуральные индексы производительности труда переменного и фиксированного составов, а также индекс структурных сдвигов. Объясните взаимосвязь этих трех индексов.
Методы статистического изучения взаимосвязей Задача 43 Определите уравнение корреляционной зависимости, коэффициент корреляции на основе данных об энерговооруженности труда и производительности на предприятиях промышленной компании: Предприятие 1 2 3 4 5 6 7 8
Энерговоо- Выработка за руженность, день, тыс. кВт\чел. руб.\чел. 13 2,0 17 2,3 18 2,6 20 2,5 21 3,0 22 3,5 24 3,2 25 4,0
Предприятие 9 10 11 12 13 14 15
Энерговооруженность, кВт\чел. 27 30 32 34 35 36 39
Выработка за день, тыс. руб.\чел. 4,2 4,5 4,2 4,7 4,8 5,0 5,0
Задача 44 Имеются следующие данные по промышленным предприятиям за год: Группы предприятий по стоимости основных средств Средняя стоимость основных средств на одно предприятие, млн руб. Средняя выработка продукции на одного работающего, млн руб.
№1
№2
№3
№4
№5
№6
3,0
5,0
8,2
10,3
12,0
16,0
0,80
0,78
0,90
0,95
1,01
1,08
Изучите зависимость производительности труда промышленно-производственного персонала от величины предприятий по стоимости основных средств. Постройте уравнение прямой и вычислите коэффициент корреляции. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 33 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
Нанесите на график фактические данные и линию регрессии. Сделайте выводы.
Задача 45 Вычислите коэффициент корреляции на основе следующих данных об объемах выпуска продукции и общих затратах на производство этой продукции: Завод
Объем продукции, т
1 2 3 4 5
2000 2200 2400 2500 2600
Затраты на производство, тыс. руб. 400 435 470 490 508
Завод
Объем продукции, т
6 7 8 9 10
2800 3000 3100 3150 3250
Затраты на производство, тыс. руб. 545 582 600 603 617
Задача 46 Определите коэффициент корреляции, а также выровняйте ряд по прямой на основе следующих данных о рабочем стаже и выполнении сменных норм выработки рабочими производственного участка завода: Стаж работы, в годах Среднее выполнение норм, %
1 97
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100 101 104 106 108 110 112 115 118
Задача 47 Имеются следующие данные по группе рабочих: Стаж работы, в годах Выработка продукции в среднем за день, шт.
до 1
1-2
2-3
3-5
5-10
12
14
16
15
19
Изучите зависимость выработки продукции от стажа работы. Постройте уравнение прямой и вычислите коэффициент корреляции. Нанесите на график фактические данные и линию регрессии. Сделайте выводы.
Задача 48 Имеются следующие данные по группе предприятий: Средняя стоимость основных средств на одно предприятие, млн руб. Годовой объем продукции на ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
5,5
6,7
7,8
9,5
10,4 11,4 10,9 14,0 стр. 34 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
одно предприятие, млн руб. Изучите зависимость объема продукции от стоимости основных средств предприятия. Постройте уравнение прямой и вычислите коэффициент корреляции. Нанесите на график фактические данные и линию регрессии. Сделайте выводы.
Задача 49 Имеются следующие данные о производстве и себестоимости кокса на предприятиях за I квартал: Производство кокса, тыс. т Себестоимость одной тонны кокса, тыс. руб.
41
76
97
192
248
297
365
412
627
3,4
3,2
3,0
3,1
2,8
2,6
2,4
2,5
2,2
Изучите зависимость себестоимости кокса от объема производства, применив метод корреляционного анализа. Постройте уравнение прямой и вычислите коэффициент корреляции. Нанесите на график фактические данные и линию регрессии. Сделайте выводы.
Выборочные наблюдения Задача 50 Для определения среднего размера изготовленных за смену 1000 деталей в механическом порядке было отобрано 100 штук. Измерения дали следующие результаты: Размер диаметра детали, мм Количество деталей, шт.
7,75-7,85
7,85-7,95
7,95-8,05
8,05-8,15
8,15-8,25
12
25
44
17
2
Используя данные задачи, установите: 1) с вероятностью 0,997 ошибку выборки и возможные пределы среднего размера диаметра детали во всей партии изготовленных деталей; 2) с вероятностью 0,954 возможные пределы удельного веса стандартной продукции, если известно, что к стандартной продукции относятся детали с диаметром от 7,85 до 8,15 мм. При расчете примените формулы бесповторного случайного отбора. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 35 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
Задача 51 Произведено выборочное изучение длительности выполнения однородных технологических операций на заводе, выборкой охвачено 200 операций из общего количества 1000 операций. Результаты выборки следующие:
Длительность операции, мин Число изученных операций
2-4
4-6
6-8
8-10
10-I2
12-14
50
60
30
30
20
10
Определите с вероятностью 0,997 пределы колебаний длительности всех операций по заводу. Какое число операций необходимо включить в выборку, чтобы ошибка выборки не превышала 0,2 мин?
Задача 52 На металлургическом заводе в случайном порядке взято 60 проб железной руды для установления процента железа. Результаты получены следующие: Процент железа Число проб
52-53 3
53-54 6
54-55 15
55-56 20
56-57 10
57-58 6
Необходимо определить: а) с вероятностью 0,997 ошибку выборки и возможные пределы, в которых находится средний процент железа в руде; б) сколько нужно отобрать проб руды для определения среднего процента железа, чтобы ошибка выборки, исчисленная в пункте (а) настоящей задачи, уменьшилась вдвое. Этот пункт решить с вероятностью 0,954.
Задача 53 а) Из 2500 деталей в порядке механической выборки отобрано 500 штук деталей для определения среднего веса детали. Результаты получены такие: средний вес детали 440 г и среднее квадратическое отклонение 7 г. С вероятностью 0,997 определите ошибку выборки и возможные пределы, в которых может находиться средний вес детали для всей партии. б) Из партии изделий 40 тыс. штук было отобрано 200 штук, среди которых оказалось 1900 изделий первого сорта. С вероятностью 0,954 определите, в каких пределах может находиться ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 36 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
процент продукции первого сорта во всей партии изделий.
Задача 54 Произведено выборочное наблюдение длительности производственного стажа, в выборку было взято 100 рабочих из общего количества в 1000 человек. Результаты выборки следующие: Продолжительность стажа, в годах Число рабочих, чел.
0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
20
40
25
10
5
Определите с вероятностью 0,997 возможные пределы колебания средней продолжительности производственного стажа всех рабочих. Какое число рабочих надо взять в выборку, чтобы ошибка не превышала 0,5 года на основе приведенных показателей?
Задача 55 В целях изучения распределения рабочих завода по общему стажу работы и определения среднего стажа работы было обследовано 10 % рабочих завода. Получены следующие результаты: Общий стаж, лет Число рабочих, чел.
До 5 154
5-10 390
10-15 504
15-20 224
20-25 182
Более 25 Итого 46 1500
На основании данных вычислите: а) с вероятностью 0,954 ошибку выборки и возможные пределы среднего стажа работы для всех рабочих завода; б) с вероятностью 0,683 возможные пределы удельного веса рабочих со стажем работы от 5 до 25 лет в общей численности рабочих завода.
Задача 56 Произведено выборочное обследование для определения доли брака продукции. В выборку было взято 200 единиц из общего количества 4000 единиц. В результате обнаружен брак в размере 40 единиц. Определите размеры колебаний брака во всей партии изделий с вероятностью 0,954. Сколько единиц продукции должно быть обследовано в порядке выборки для определения доли брака с ошибкой, не превышающей 2 %?
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 37 из 39
Павина Э.Н., Чекасин Н.Н., Ершов А.В.
Общая теория статистики
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК • Ефимова М.Р. Общая теория статистики / М.Р. Ефимова, Е.В. Петрова,
В.Н. Румянцев. – М. : ИНФРА-М, 2005. • Общая теория статистики / под ред. А.А. Спирина и О.Э. Башиной. – М. : Финансы и статистика, 2003. • Общая теория статистики / под ред. проф. И.И. Елисеевой. – М. : Финан-
сы и статистика, 2004. • Практикум по теории статистики / под ред. проф. Р.А. Шмойловой. – М. :
Финансы и статистика, 2004. • Статистика: курс лекций / под ред. В.Г. Ионина. – М. : ИНФРА-М, 2005. • Теория статистики / под ред. проф. Р.А. Шмойловой. – М. : Финансы и
статистика, 2004.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
стр. 38 из 39
Учебное электронное текстовое издание Павина Элла Николаевна Чекасин Николай Никитович Ершов Алексей Владимирович
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ
Редактор Компьютерная верстка
К.Б. Позднякова А.А. Гребенщикова
Рекомендовано РИС ГОУ ВПО УГТУ-УПИ Разрешен к публикации 25.12.05. Электронный формат – PDF Формат 60×90 1/8 Издательство ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19 e-mail:
[email protected] Информационный портал ГОУ ВПО УГТУ-УПИ http://www.ustu.ru
