Механика. Техническая механика. Расчет вала на прочность: Методические указания к выполнению самостоятельной и расчетно-графических (контрольных) работ для студентов технических специальностей очной и заочной форм обучения

Камчатский государственный технический университет Кафедра теоретической механики

А.Р. Ляндзберг, Н.И. Надольская

МЕХАНИКА. ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

РАСЧЕТ ВАЛА НА ПРОЧНОСТЬ Методические указания к выполнению самостоятельной и расчетно-графических (контрольных) работ для студентов технических специальностей очной и заочной форм обучения

Петропавловск-Камчатский 2008

УДК 531.8:539.4(07) ББК 30.12 Л97 Рецензент В.А. Павлов, кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической механики

Ляндзберг, Андрей Рэмович Л97

Механика. Техническая механика. Расчет вала на прочность: Методические указания к выполнению самостоятельной и расчетно-графических (контрольных) работ для студентов технических специальностей очной и заочной форм обучения / А.Р. Ляндзберг, Н.И. Надольская. – Петропавловск-Камчатский: КамчатГТУ, 2008. – 31 с. Методические указания составлены в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы подготовки специалистов по техническим специальностям государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования. Рекомендовано к изданию решением учебно-методического совета КамчатГТУ (протокол № 5 от 21 марта 2008 г.).

УДК 531.8:539.4(07) ББК 30.12

© КамчатГТУ, 2008 © Ляндзберг А.Р., 2008 © Надольская Н.И., 2008 2

Содержание Введение ........................................................................................... 4 Общие организационно-методические указания по самостоятельному изучению предмета .................................. 5 Методические указания по выполнению расчетно-графической (контрольной) работы ....................... 8 Правила составления и оформления расчетно-графической (контрольной) работы ..................... 11 Исходные данные к выполнению задания «Расчет вала на прочность» ................................................... 13 Пример выполнения задания ......................................................... 16 1. Определение крутящего момента ........................................ 16 2. Расчет активных нагрузок .................................................... 17 3. Определение проекций сил .................................................. 17 4. Нахождение реакций опор ................................................... 18 5. Построение эпюр сил и моментов ....................................... 20 6. Определение эквивалентной нагрузки ................................ 26 7. Расчет размеров вала из условия прочности ...................... 26 8. Ответ....................................................................................... 30 Литература ..................................................................................... 30 Приложение. Образец оформления титульного листа расчетнографической (контрольной) работы ..................................... 31

3

Введение В процессе обучения студенты инженерных специальностей изучают ряд общепрофессиональных дисциплин. В их число входят: теоретическая механика, сопротивление материалов, теория механизмов и машин, детали машин и др. В некоторых случаях (как, например, у специальности «Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования») данные дисциплины изучаются совместно, единым курсом под общим названием «Механика». В свою очередь, студенты технических специальностей изучают курс «Техническая механика», включающий в себя основные элементы всех названных дисциплин. При изучении дисциплины «Механика» («Техническая механика») применяются ранее усвоенные студентами знания и навыки по основным разделам предшествующих дисциплин: высшей математике, начертательной геометрии, физике. Согласно учебному плану и рабочей программе изучения дисциплины предусматривается выполнение расчетно-графического или контрольного задания с целью качественного изучения, практического освоения и закрепления теоретического материала, приобретения практических навыков проведения инженерных расчетов. Знания, полученные при изучении курса механики, впоследствии используются студентами при изучении специальных дисциплин, при выполнении расчетно-графических работ и курсовых проектов. Настоящее методическое пособие предназначено для самостоятельного изучения материала и выполнения расчетнографического (контрольного) задания по теме «Расчет вала на прочность» курсантами и студентами дневной и заочной форм обучения инженерных и технических специальностей. Данное задание включает элементы всех общеинженерных дисциплин: теоретической механики (при расчете реакций опор вала), теории механизмов и машин (при определении кинематических параметров зубчатого зацепления), сопротивления материалов и деталей машин (непосредственно при расчете вала на прочность). Поэтому пособие может быть использовано как в курсе 4

изучения любой из данных дисциплин, так и при изучении обобщенного курса «Механика» («Техническая механика»). Методическое пособие также может быть использовано как учебно-справочный материал по теме «Расчет вала на прочность» для студентов тех специальностей, у которых выполнение расчетно-графического или контрольного задания не предусмотрено, либо в курсе изучения иных инженерных дисциплин. Общие организационно-методические указания по самостоятельному изучению предмета Самостоятельная работа студента по предмету – неотъемлемая часть изучения дисциплины, обязательно предусмотренная учебными планами и рабочими программами. Даже в самом развернутом лекционном курсе невозможно детально охватить все вопросы, требующие изучения. Также и на практических занятиях возможно рассмотреть лишь типовые схемы расчетов, без учета особенностей проектирования конкретных механизмов. В этом случае задача студента – ориентируясь на аудиторный курс и полученное задание на расчетно-графическую (контрольную) работу, полностью освоить все разделы дисциплины с помощью учебной, методической литературы, самостоятельного решения задач и выполнения РГР (контрольной работы). Главные требования при выполнении студентом самостоятельной работы – это последовательность и регулярность. Для их соблюдения рекомендуется создать и придерживаться плана работы, который можно составить согласно приведенным ниже методическим рекомендациям. 1). В течение недели, последующей за лекционным занятием, следует еще раз самостоятельно проработать изученные темы с помощью учебной литературы. Особое внимание обратить на сложные места и вопросы, прямо указанные преподавателем как подлежащие самостоятельному изучению. Причем нужно прежде всего уяснить существо каждого излагаемого вопроса, т.е. понять изложенное в учебнике, а не заучить наизусть. Изучать материал рекомендуется по темам или по главам (параграфам) учебника. Сначала следует прочитать весь матери5

ал темы (параграфа), особенно не задерживаясь на том, что показалось не совсем понятным; часто это становится понятным из последующего. Затем надо вернуться к местам, вызвавшим затруднения, и внимательно разобраться в том, что было неясно. Особое внимание при повторном чтении следует обратить на формулировки соответствующих определений, теорем и т.п. (они обычно бывают набраны в учебнике курсивом или разрядкой); в точных формулировках, как правило, бывает существенно каждое слово и очень полезно понять, почему данное положение сформулировано именно так. Однако не следует стараться заучить формулировки; важно понять их смысл и уметь изложить результат своими словами. Необходимо также понять ход всех доказательств (в механике они обычно не сложны) и разобраться в их деталях. Доказательства надо уметь воспроизводить самостоятельно, что нетрудно сделать, поняв идею доказательства; пытаться просто их «заучивать» не следует, никакой пользы это не принесет. Закончив изучение темы, полезно составить краткий конспект, по возможности не заглядывая в учебник. При этом необходимо проверить, можете ли вы дать ответ на все вопросы программы курса по этой теме (осуществить самопроверку). Вопросы для самопроверки приведены в соответствующем разделе данного методического пособия; ими же можно пользоваться для самостоятельной подготовки к зачету (экзамену). Если какие-то вопросы остались неясными, можно проконсультироваться с товарищами, а также задать их преподавателю во время практических занятий или на консультации. 2). При изучении курса особое внимание следует уделить приобретению навыков решения задач. Для этого, изучив материал очередной темы, надо обязательно разобраться в решениях соответствующих задач, обратив особое внимание на методические указания по их решению. Если тема разбиралась на практическом занятии, первоначально проводится окончание начатых там расчетов, например, подстановка и просчет результатов в числовой форме. Далее следует попытаться самостоятельно решить несколько аналогичных задач, т.е. прорешать типовые задачи по теме, т.к. они обычно решаются путем применения базовых формул и предна6

значены для оттачивания расчетной методики. При успешном освоении всех промежуточных тем можно приступать к решению контрольной задачи, применяя расчетные методики к проектированию механизма, заданного в рамках расчетнографического (контрольного) задания. Если какие-то вопросы остались неясными, можно, как и при изучении теоретического курса, проконсультироваться с товарищами или задать их преподавателю во время практических занятий или на консультации. 3). Не следует пытаться детально осваивать темы, еще не рассмотренные на лекционных занятиях, рекомендуется только общее ознакомление с ними по учебной литературе. Не следует также пытаться самостоятельно проводить расчеты по еще не изученным темам или расчеты по неизвестной методике: в обоих случаях требуется предварительная консультация с преподавателем. 4). Недопустимо откладывать изучение теоретических вопросов и проведение практических расчетов даже на неделю, поскольку это ведет к потере связи с аудиторным курсом и студент закономерно становится задолжником. Поэтому даже в случае отсутствия на занятиях по уважительной причине следует самостоятельно прорабатывать изученные там вопросы с помощью конспектов товарищей и учебной литературы, а при первой же возможности восстановить пропущенную тему на консультации у преподавателя. 5). В случае вынужденного длительного отсутствия на занятиях (болезнь, командировка и т.п.) следует по возможности ранее оповестить об этом преподавателя. В этом случае, как правило, студент совместно с преподавателем разрабатывают индивидуальный график самостоятельной работы студента, призванный помочь ему освоить семестровые теоретический и практический курсы вовремя и не допустить возникновения академической задолженности. Все возникающие при самостоятельной работе вопросы (как учебно-методические, так и организационные) не следует откладывать, а необходимо сразу же решать с преподавателем.

7

Методические указания по выполнению расчетно-графической (контрольной) работы В процессе обучения студенты выполняют расчетнографическую или контрольную работу, которая после проверки подлежит защите. Цель выполнения расчетно-графической (контрольной) работы – практическое освоение и закрепление теоретического материала, овладение основами конструкторской практики, приобретение практических навыков проведения инженерных расчетов, навыков составления и оформления расчетно-пояснительных записок, привитие студентам навыков самостоятельной и научно-исследовательской работы, рационализации, изобретательства, пользования справочной литературой, ГОСТами, нормами и т.п. Расчетно-графическая (контрольная) работа выполняется в сроки, установленные учебным планом специальности и рабочей программой изучения дисциплины, как правило, в течение учебного семестра. Ее невыполнение студентом в установленные сроки является основанием для его недопуска к сессии. Задача расчетно-графической (контрольной) работы – выполнение расчета вала общего назначения на прочность. Она включает расчет реакций опор вала, определение кинематических характеристик зубчатого зацепления и нахождение необходимого диаметра вала из условия прочности по заданным нагрузкам. Варианты исходных данных для выполнения расчетнографической (контрольной) работы выбираются студентом согласно индивидуальному шифру из таблицы с числовыми значениями. Правила выбора исходных данных следующие. Определяется 4-значный шифр задания. Для студентов дневного отделения и студентов заочного факультета с новой нумерацией (типа 062815-ЗФ) это последние четыре цифры личного номера, т.е. номера студенческого билета или зачетной книжки. Например, для указанного выше номера 062815 шифр задания будет 2815. Для студентов-заочников со старой нумерацией (типа 073СМс594) для получения четырехзначного шифра в начало личного номера добавляется еще одна цифра. Какая именно – 8

определяется по решению преподавателя: это может быть последняя цифра номера группы (если полный номер 073СМс594, то шифр варианта задания в этом случае будет 3594), повтор последней цифры личного номера (если полный номер 073СМс594, личный номер 594, то шифр варианта тогда будет 4594) или какая-то иная. В отдельных случаях вариант задания может полностью назначаться преподавателем. Определив шифр задания, нумеруем цифры по порядку. Например, если вариант 2815, то первая цифра – 2, вторая – 8, третья – 1, четвертая – 5. В таблице исходных данных находим: - сверху, по столбцам – порядковый номер цифры (первая – вторая – третья – четвертая); - слева, по строкам – ее значение. После чего на пересечении номера цифры и значения выбираем исходные данные. В качестве примера в таблице с исходными данными к расчетно-графической (контрольной) работе выделен вариант, соответствующий шифру 2815. При выборе варианта следует обратить внимание на следующее: - вторая, третья и четвертая цифра шифра отвечают каждая за несколько столбцов данных. Например, вторая цифра (в нашем примере это 8) определяет значения столбцов данных «в [м]» и «с [м]»; - номер схемы нагружения также выбирается из таблицы согласно столбцу «№ схемы», который определяется четвертой цифрой шифра. В примере выбора четвертая цифра равна 5, соответственно номер схемы – 2; - если в условии стоит знак «минус», то указанная на схеме величина угла (либо, для других задач, направление действия нагрузки) откладывается в противоположную сторону. Внимание! Работы, выполненные по исходным данным, не соответствующим шифру студента, не принимаются! Порядок расчета вала приведен ниже, непосредственно в методических указаниях по выполнению расчетно-графической (контрольной) работы. При вычислении любой величины сначала следует записать необходимую формулу в общем (буквенном) виде, потом ее 9

же – с подставленными цифрами, после чего указать результат. Промежуточные расчеты не опускать! Если результат после расчета требует изменения (либо если какая-то величина принимается без расчета) – следует указать: «Принимаем … [название величины] равной … по причине …». Все расчеты выполняются в системе СИ. Допустимо использование кратных величин (кН, МПа, см, мм и т.д.) в условии или результатах, в том числе промежуточных. Необходимая точность проведения расчетов следующая: один знак после запятой принимается для сил и моментов, два знака после запятой – для размеров (линейных величин), три знака – для тригонометрических функций. Правила оформления работы приведены в следующем разделе методических указаний. После выполнения оформленная и подписанная студентом расчетно-графическая (контрольная) работа представляется преподавателю на проверку. Если в результате проверки выявлено невыполнение требований, предъявляемых к работе, то она возвращается студенту на доработку. При этом замечания преподавателя могут сообщаться студенту в устном или письменном виде (т.е. в виде рецензии) и носить обязательный или рекомендательный характер. Несущественные недостатки могут с разрешения преподавателя исправляться студентом непосредственно при защите расчетнографической (контрольной) работы путем ответов на дополнительные вопросы. Правильно выполненная и оформленная работа допускается к защите. На защите студент отчитывается по проделанной работе и комплексно показывает полученные знания по дисциплине «Механика» («Техническая механика»). Процедура защиты устанавливается преподавателем, и, как правило, включает: - изложение студентом общей последовательности и основных результатов выполненной работы; - вопросы преподавателя и ответы студента относительно конкретных полученных в работе значений величин, порядка и смысла выполненного расчета и т.п. Расчетно-графическая (контрольная) работа оценивается, как правило, по двухбалльной системе («зачтено»-«незачтено»). 10

Успешная защита расчетно-графической (контрольной) работы является внутренней отчетностью студентов по предмету и служит основанием для допуска к итоговому зачету (экзамену). Правила составления и оформления расчетно-графической (контрольной) работы Расчетно-графическая (контрольная) работа состоит из следующих основных частей: - титульный лист; - условие; - собственно расчет вала. Дополнительные разделы работы, такие как «оглавление», «введение», «список использованной литературы» и т.п., могут быть включены в нее по решению преподавателя или желанию студента, но, как правило, не являются обязательными. Работа оформляется на листах белой бумаги формата А4 (с одной стороны) и сброшюровывается в альбом с обложкой из белой бумаги. Образец оформления титульного листа работы приведен в приложении. Условие включает: само условие задачи, исходную схему и числовые данные для расчета. Правила выбора исходных данных приведены выше. В условии приводится (перечерчивается) схема и выписываются числовые данные только для своего варианта. Работа в целом оформляется согласно ГОСТ 2.105-95 «Общие требования к текстовым документам», ГОСТ 2.106-96 «Текстовые документы», ГОСТ 2.703-68 «Правила выполнения кинематических схем». Однако по разрешению преподавателя (как правило, при выполнении контрольной работы) пояснительная записка может быть оформлена с упрощениями, например, может быть разрешено: - оформлять работу в ученической тетради (в этом случае титульный лист оформляется на листе белой бумаги, наклеенном на обложку); - не вычерчивать рамку и основную надпись в тексте работы; 11

- оформлять работу рукописным (не чертежным) шрифтом при условии аккуратного, четкого написания букв, цифр и символов; - и др. Однако обязательно согласно ГОСТ 2.105-95 «Общие требования к текстовым документам» оформляются титульный лист и графическая часть работы. Это означает, что титульный лист заполняется карандашом чертежным шрифтом либо печатается на пишущей машинке или компьютере, а схемы чертятся карандашом и линейкой. По согласованию с преподавателем допускается выполнение схем также на компьютере (например, в графической среде «Компас») с соблюдением пропорций между величинами, правил оформления и т.п. При оформлении работы особое внимание следует обратить на соблюдение правил русского языка, в первую очередь – орфографических, лексических и пунктуационных. Основные правила, в которых чаще всего делаются ошибки: - перед запятой и точкой пробел на ставится, а после – ставится; - в русском языке десятичным разделителем является запятая, а не точка, поэтому записи типа «3.15 мм» недопустимы, следует писать «3,15 мм»; - размерности («м», «мм», «кг» и т.д.) отделяются от цифры пробелом, например: «0,25 м», а знаки процента % и градуса ° не отделяются: «7%», «13°»; - следует различать знаки «дефис», «минус» и «тире». Дефис записывается короткой чертой (-), используется в сложных словах (например, «выпукло-вогнутый», причем пробелами не выделяется) и для оформления списков. Знак «минус» записывается короткой чертой (-), выделяется пробелами, используется в числовых расчетах и формулах. Тире записывается средней или длинной (– или —, предпочтительно средней) чертой, выделяется пробелами, используется для разделения частей предложения по смыслу. При грубом нарушении правил оформления работа может быть без проверки возвращена студенту для доработки, т.е. для исправления ошибок и устранения недостатков оформления. 12

Исходные данные к выполнению задания «Расчет вала на прочность» На рисунке 1 показаны кинематические схемы двухступенчатых зубчатых редукторов с цилиндрическими прямозубыми колесами. На схемах обозначены: А – вал подвода мощности (ведущий); В – вал отбора мощности (ведомый); ω–направление вращения вала А.

Рисунок 1а. Исходные данные к заданию (схема 1)

Для заданной кинематической схемы необходимо определить диаметр промежуточного вала из условий прочности в случае, если: а). Вал сплошной; 13

б). Вал представляет собой пустотелый цилиндр с отношением внутреннего и внешнего диаметров δ = d/D = 0,9. После определения размеров сравнить расход металла, необходимого для изготовления валов обоих конструкций.

Рисунок 1б. Исходные данные к заданию (схемы 2-3)

В исходных данных к расчетно-графической (контрольной) работе приняты следующие обозначения: a, b, c – длины соответствующих участков вала (см. схему), м; α – угол между межосевыми линиями валов (см. схему), град; N – передаваемая валами мощность, кВт; D1, D2 – диаметры зубчатых колес промежуточного вала, м; n – скорость вращения промежуточного вала, об/мин. Примечание. Условие и исходные данные к работе в основном соответствуют задаче № 26 курса «Сопротивление материалов». Поэтому с разрешения преподавателя допускается исходные данные выбирать согласно условию задачи № 26 (со стенда с условиями задач по «Сопротивлению материалов») либо согласно условию сходной задачи № 28 пособия [1] для заочного факультета. 14

При расчете осевые нагрузки не учитывать (т.к. колеса прямозубые), радиальную силу в зубчатом зацеплении принять равной Fr = 0,4 Fτ, где Fτ – окружная сила. Коэффициент запаса по пределу текучести k принять равным 3. Числовые данные для выполнения расчетно-графической (контрольной) работы выбираются из таблицы согласно индивидуальному шифру. Правила выбора исходных данных указаны выше, в разделе «Методические указания по выполнению расчетно-графической (контрольной) работы».

Цифра варианта

Таблица. Исходные данные для выполнения расчетно-графической (контрольной) работы

1

Порядковый номер цифры в варианте 2 3 4

n № [об/ схе- Материал мин] мы 1 0,10 0,15 0,16 30 15 0,20 0,10 500 1 Сталь 40 2 0,12 0,16 0,14 45 20 0,18 0,12 400 2 Сталь 20 3 0,14 0,18 0,12 60 25 0,16 0,14 300 3 Сталь 45 4 0,15 0,20 0,10 -30 20 0,14 0,10 200 1 Сталь 20 5 0,10 0,18 0,12 -45 15 0,16 0,12 100 2 Сталь Ст3 6 0,12 0,16 0,14 -60 10 0,18 0,10 200 3 Сталь Ст4 7 0,14 0,14 0,16 30 12 0,20 0,16 300 3 Сталь Ст5 8 0,16 0,12 0,18 -45 16 0,22 0,14 400 2 Сталь 20 9 0,18 0,10 0,20 60 18 0,20 0,14 100 1 Сталь 40 0 0,20 0,15 0,18 -30 20 0,18 0,14 200 2 Сталь 45 Примечание. Выделенные в таблице ячейки иллюстрируют пример выбора исходных данных для варианта «2815» (см. выше указания по выбору исходных данных). a [м] b [м] c [м]

α N D1 [град] [кВт] [м]

15

D2 [м]

Пример выполнения задания Исходные данные В примере выполнения задания примем следующие исходные величины: - схема передачи движения – № 1; - длины a = 0,1 м; b = 0,2 м; c = 0,3м; - диаметры D1 = 0,2 м; D2 = 0,14 м; - мощность N = 20 кВт; - скорость n = 200 об/мин; - угол α = 30°; - материал: Сталь 3. Кроме того, согласно общему для всех вариантов условию Fr = 0,4·Fτ , коэффициент запаса прочности k=3. 1. Определение крутящего момента Находим крутящий момент на валу: N 30 ⋅ N 30 ⋅ 20 ⋅ 10 3 Mкр = = = 955 Н·м. = ω 3,14 ⋅ n 3,14 ⋅ 200 Примечание. В данном примере расчета все результаты округляются до целых чисел. Однако при выполнении студентом расчетно-графической работы результаты необходимо принимать с точностью, указанной выше: один десятичный знак – для сил и моментов, два знака – для размеров (линейных величин), три знака – для тригонометрических функций. 30 30 Коэффициент в формуле нужен для перевода ≈ π 3,14 скорости вращения из об/мин в системные единицы рад/с. Найденный момент можно сразу построить на эпюре (графике) крутящих моментов (рис. 3). При этом следует учесть, что для схемы соединения валов № 1 промежуточный крутящий момент между колесами D2 понижается вдвое (Mкр2 = 955/2 = 477,5 Н·м), так как передача вращения на ведомый вал идет через два колеса одновременно. В схемах № 2 и № 3 передача движения идет через одно колесо D2, поэтому крутящий момент на нем сразу уменьшается до нуля. 16

2. Расчет активных нагрузок

Находим активные силы, действующие на вал. Эти силы возникают при зацеплении зубчатых колес и приложены в точках зацепления колес 1 и 3. В точке 1 силы равны: M 955 - тангенциальная Fτ1 = кр = = 9555 Н r1 0,1 - радиальная Fr1 = 0,4·Fτ1 = 3822 Н В точке 3 силы равны: - тангенциальная Fτ3 =

М кр

=

955 = 6821 Н 2 ⋅ 0,07

2r2 - радиальная Fr3 = 0,4·Fτ3 = 2728 Н Следует обратить внимание, что коэффициент «2» в знаменателе формулы Fτ3 появляется только в схеме № 1, т.к. передача вращения на ведомый вал идет через два колеса сразу и нагрузка на них распределяется поровну. В схемах № 2 и № 3 передача идет через одно колесо, поэтому формула для вычисления тангенциальной нагрузки в точке 3 будет выглядеть как М Fτ3 = кр . r2 3. Определение проекций сил

Находим проекции сил на оси OX и OY. Так как в точке 3 силы расположены под углом α, то для дальнейшего определения реакций опор их нужно спроецировать на оси OX и OY. Схема проецирования сил представлена на рисунке 2. Из схемы получаем следующие соотношения: - проекция сил на ось OX: FX3 = Fτ3·cos α + Fr3·sin α; - проекция сил на ось OY: FY3 = Fτ3·sin α – Fr3·cos α. При этом, если заданный в условии угол α отрицательный, то следует учесть тригонометрические соотношения для отрицательных углов: sin (-α) = -sin α, cos (-α) = cos α. В этом случае расчетные формулы приобретают следующий вид: 17

- проекция сил на ось OX: FX3 = Fτ3·cos α – Fr3·sin α; - проекция сил на ось OY: FY3 = –Fτ3·sin α – Fr3·cos α.

Рисунок 2. Проецирование сил Fτ3 и Fr3 на координатные оси

В примере решения угол α = 30°, и силы будут равны: FX3 = 6821·cos 30° + 2728·sin 30° = 7298 H FY3 = 6821·sin 30° – 2728·cos 30° = 1048 H 4. Нахождение реакций опор

Определяем силы реакций в опорах вала, т.е. возникающие в подшипниках 2 и 4 усилия. На схеме вала (см. рис. 3) изображаем силы: известные – так, как они направлены согласно полученным в п.3 результатам (см. рис. 2), неизвестные силы реакции – произвольно. Далее составляем уравнения равновесия. Начать рационально с уравнения моментов, т.к. любое уравнение сил будет содержать две неизвестных силы (реакции в точках 2 и 4) и само по себе не решится. Чтобы избавиться от одной из неизвестных, уравнение моментов составляем относительно точки 2 или 4, тогда соответствующая сила реакции имеет нулевое плечо и в уравнение 18

не включается. Для примера выберем точку 4. Записываем уравнение моментов относительно этой точки: ∑ MX4 = Fτ1·(a+b+a+c) – RX2·(b+a+c) + FX3·(a+c) + FX3·c = Fτ1·0,7 – RX2·0,6 + FX3·0,4 + FX3·0,3 = 0 Отсюда выражаем неизвестную силу реакции RX2: F ⋅ 0,7 + FX 3 ⋅ 0,4 + FX 3 ⋅ 0,3 RX2 = τ 1 = 19662 H 0,6 Величина силы получилась со знаком «+», значит ее направление было выбрано верно. Далее составляем уравнение равновесия сил по оси OX: ∑ FX = Fτ1 – RX2 + FX3 + FX3 – RX4 = 0 Отсюда находим силу реакции RX4: RX4 = Fτ1 – RX2 + FX3 + FX3 = 4489 H Величина силы получилась со знаком «+», значит исходное направление силы было выбрано верно. Аналогично находим реакции по оси OY. Изображаем силы на схеме и составляем уравнение моментов относительно точки 4: ∑ MY4 = Fr1·(a+b+a+c) – RY2·(b+a+c) + FY3·(a+c) + FY3·c = Fr1·0,7 – RY2·0,6 + FY3·0,4 + FY3·0,3 = 0 Находим из уравнения неизвестную силу реакции RY2: F · 0,7 + FY3 · 0,4 + FY3 · 0,3 RY2 = r1 = 5682 Н 0,6 Составляем уравнение равновесия сил по оси OY: ∑ FY = Fr1 – RY2 + FY3 + FY3 – RY4 = 0 Отсюда находим последнюю неизвестную силу реакции RY4: RY4 = Fr1 – RY2 + FY3 + FY3 = 236 H На схеме вала (см. рис. 3, оси OX и OY) изображаем найденные силы реакции. Если в результате расчетов одна из сил получится со знаком «–», значит ее истинное направление противоположно выбранному, и предварительно изображенный на схеме вектор силы следует направить в другую сторону.

19

5. Построение эпюр сил и моментов

Строим эпюры внутренних сил и моментов вала по осям OX и OY. Традиционно в сопротивлении материалов величины внутренних силовых факторов (ВСФ) находятся так называемым методом сечений, подробно изложенным, например, в учебнике [3]. Суть данного метода –составление уравнений равновесия для каждого характерного участка балки и их решение. Однако данный метод, при всей его точности, достаточно трудоемок, т.к. требует составления множества расчетных схем и решения большого числа уравнений. В инженерной практике для построения эпюр (так в сопротивлении материалов называются графики) ВСФ чаще пользуются другим, так называемым методом «скачков и площадей». Он представляет собой упрощенную модификацию метода сечений, где все расчеты проводятся «на ходу» и эпюры ВСФ строятся непосредственно вдоль нагруженной балки. Данный метод более критичен к ошибкам в расчетах промежуточных величин, но гораздо менее трудоемок. Поэтому он чаще используется в инженерной практике, и построение эпюр ВСФ (действующих на балку сил и моментов) будет показано нами именно с помощью метода скачков и площадей. Правила использования метода «скачков и площадей». I. Главное правило. При расчете слева направо направление скачка на эпюре ВСФ соответствует направлению действия внешнего силового фактора, и наоборот. При этом начало всех эпюр строится от нулевой линии, в нее же эпюры должны прийти к концу балки. II. Правила знаков. При растяжении-сжатии растягивающие силы (направленные от сечения) принимаются со знаком плюс, сжимающие (направленные на сечение) – со знаком минус. При кручении выбираем направление рассмотрения со свободного конца балки. При этом момент, крутящий балку по часовой стрелке, принимается со знаком плюс, крутящий против часовой стрелки – со знаком минус. 20

При изгибе, если сила или момент изгибают балку вверх (т.е. выпуклостью вниз), то они принимаются со знаком плюс, если сила или момент изгибают балку вниз (т.е. выпуклостью вверх), то они принимаются со знаком минус. Данное правило иногда формулируют еще и так: эпюра моментов строится на сжатом волокне. III. Правила построения эпюр сил и моментов. 1). Сосредоточенная сила вызывает скачок на эпюре поперечных сил и излом на эпюре изгибающих моментов. Направление скачка выбирается по «главному правилу», величина скачка равна величине силы. 2). Сосредоточенный момент вызывает скачок на эпюре изгибающих моментов и не влияет на эпюру поперечных сил. Направление скачка выбирается по «главному правилу», величина скачка равна величине момента. 3). Если на балке нет ни распределенных, ни сосредоточенных сил, то эпюра поперечных сил равна нулю, а эпюра изгибающих моментов постоянна (параллельна оси). 4). Если на участке балки нет распределенных, но есть сосредоточенные силы, эпюра поперечных сил постоянна (параллельна оси), а эпюра изгибающих моментов – наклонная прямая. 5). Если на участке есть распределенные силы, то эпюра поперечных сил – наклонная прямая, эпюра изгибающих моментов – парабола. Выпуклость параболы направлена против действия распределенных сил, т.е. если распределенные силы направлены вниз, строим эпюру изгибающих моментов выпуклостью вверх, и наоборот. 6). Изменение эпюры поперечных сил на участке равно воздействию распределенных сил: ΔQ = ql. 7). Изменение эпюры изгибающих моментов на участке равно площади под эпюрой поперечных сил на этом участке (с учетом знака): ΔМи = SЭQ. 8). Если в какой-либо точке эпюра поперечных сил пересекает ось (равна нулю), на эпюре изгибающих моментов возникает экстремум. В этом случае проводим дополнительное сечение через данную точку и рассматриваем отдельно участки справа и слева от экстремума. 21

Применим данные правила к построению эпюр внутренних сил и моментов вала. 1). Первоначально строим эпюру крутящих моментов. Найденный для колеса D1 крутящий момент на валу составляет Mкр = 955 Н·м, это значение мы и откладываем от нулевой линии. Далее в точке 3 на колесе D2 левом (далее будем обозначать данную точку «3Л») крутящий момент, как уже было сказано выше, понижается вдвое, так как передача вращения на ведомый вал идет через два колеса одновременно. Величина момента между колесами D2 левым и правым составляет Mкр2 = 955/2 = 477,5 Н·м. Наконец, в точке 3 на колесе D2 правом (далее будем обозначать данную точку «3П») крутящий момент падает до нуля, т.к. полностью передается на следующий вал. Построенные значения отмечаются на эпюре, сама эпюра штрихуется и подписывается «ЭМкр» (т.е. «эпюра крутящего момента»). 2). Строим эпюру сил по оси OX. Нами уже были получены и отложены на схеме величины всех активных и реактивных сил, действующих на вал по оси OX. Теперь согласно этим силам проведем построение. Обратим внимание, что на вал ни на каком участке не действует распределенная нагрузка, а действуют только сосредоточенные силы. Следовательно, правила (3), (5) и (6) к данной балке не относятся. В то же время, согласно правилу (4), величина поперечных сил на каждом отдельном участке будет постоянна, а ее эпюра будет проходить параллельно оси. Осталось применить правило (1), согласно которому и найдем конкретные значения сил на участках. В точке 1 на вал действует тангенциальная сила Fτ1 = 9555 Н. Откладываем ее на эпюре от нуля. Направление скачка выбираем по «главному правилу», а именно: поскольку мы начали построение слева направо, то направление скачка соответствует направлению силы. 22

До точки 2 на вал не действуют никакие новые внешние силы, поэтому величина внутренних сил в 9555 Н сохраняется (эпюра идет параллельно оси). В точке 2 на вал действует сила RX2 = 19662 H, направленная вниз. Из существующей силы в 9555 Н отнимаем 19662 H (т.е. строим скачок величиной 19662 H вниз) и находим новое значение силы: -10107 Н. Данное значение сохраняется (эпюра параллельна оси) до точки 3 (левой). В точке 3Л на вал действует сила FX3 = 7298 H. Откладываем от величины -10107 Н скачок в 7298 H вверх, получаем новое значение -10107 + 7298 = -2809 Н. Это значение сохраняется (эпюра параллельна оси) до точки 3П. В точке 3П на вал еще раз действует сила FX3 = 7298 H. Откладываем от величины -2809 Н скачок в 7298 H наверх, получаем значение -2809 + 7298 = 4489 Н. Это значение сохраняется (эпюра параллельна оси) до точки 4. В точке 4 на вал действует сила RX4 = 4489 H, направленная вниз. Из существующей силы в 4489 Н отнимаем 4489 H, получаем ноль. Строим скачок до нуля. Таким образом, к концу балки эпюра пришла в ноль. Это признак того, что эпюра построена правильно. Окончательно заштриховываем эпюру, отмечаем на ней знаки сил на участках, подписываем ее «ЭFX» (т.е. «эпюра сил по оси OX»). 3). Строим эпюру моментов по оси OX. Как указывалось выше, на вал действуют только сосредоточенные силы. Следовательно, правила (3), (5) и (6) к данной балке не относятся. При построении эпюры моментов не усчитываем также правила (1) b (2): (1) – поскольку оно относится к силам, а (2) – поскольку сосредоточенных моментов на балке нет. Согласно правилу (4), эпюра моментов на каждом участке будет представлять собой наклонную прямую. Изменение эпюры изгибающих моментов на участке будем находить по правилу (7), согласно которому оно равно площади под эпюрой поперечных сил на этом же участке (с учетом знака). В точке 1 на вал не действуют никакие сосредоточенные моменты, поэтому величина момента в этой точке будет равна 0. 23

На участке 1-2 момент равномерно увеличивается (эпюра представляет собой наклонную прямую), а величина изменения равна площади под эпюрой поперечных сил: ΔМИ(1-2) = SЭQ(1-2) = Fτ1 · a = 9555 · 0,1 = 955 Н·м 1 . Строим это значение к конце участка и соединяем начало и конец прямой линией. На участке 2-3Л эпюра также представляет собой наклонную прямую. Величина изменения момента равна площади под эпюрой поперечных сил: ΔМИ(2-3Л) = SЭQ(2-3Л) = -10107 · 0,2 = = -2021 Н·м. Если в начале участка величина момента была равна 955 Н·м, то к концу станет равна 955 - 2021 = -1066 Н·м. Строим это значение в точке 3Л и соединяем начало и конец прямой линией. На участке 3Л-3П изменение момента равно ΔМИ(3Л-3П) = SЭQ(3Л-3П) = -2809 · 0,1 = -281 Н·м. В начале участка величина момента была равна -1066 Н·м, к концу станет равна -1066 - 281 = = -1347 Н·м. Строим это значение в точке 3П и соединяем начало и конец прямой линией. Наконец, на участке 3П-4 изменение момента равно ΔМИ(3П-4) = SЭQ(3П-4) = 4489 · 0,3 = -1347 Н·м. В начале участка величина момента была равна -1347 Н·м, к концу станет равна -1347 + 1347 = 0 Н·м. Проводим линию от величины -1347 Н·м в точке 3П в ноль в точке 4. Как видим, к концу балки эпюра пришла в ноль, что является признаком, что эпюра построена правильно. Окончательно заштриховываем эпюру, отмечаем на ней знаки моментов на участках, подписываем ее «ЭMX» (т.е. «эпюра моментов по оси OX»). 4). Эпюры сил и моментов по оси OY строим аналогично. 5). Окончательно получаем результат, представленный на рисунке 3.

1

Данное значение можно заранее вычислить и указать рядом с эпюрой поперечных сил, что и сделано в примере построения (см. рис. 3). 24

Рисунок 3. Схема нагружения вала и построение эпюр ВСФ 25

6. Определение эквивалентной нагрузки

Определяем эквивалентную нагрузку на вал. Для наиболее нагруженных сечений вала находим эквивалентный момент. Величина эквивалентного момента (т.е. момента, учитывающего одновременно и кручение, и изгиб по осям OX и OY) определяется как: Mэкв =

M X2 + M Y2 + M кр2

Отсюда находим эквивалентный момент. В сечении 2: Мx2 = 955 H·м; My2 = 382 H·м; Mкр2 = 955 H·м Mэкв2 = M X2 2 + M Y2 2 + M кр2 2 = 1403 H·м Из двух сечений 3 выбираем правое, т.к. в нем все действующие на вал моменты больше. Тогда: Мx3 = 1347 H·м; My3=71 H·м; Mкр3 = 477,5 H·м Mэкв3 = M X2 3 + M Y2 3 + M кр2 3 = 1431 H·м Таким образом, сечение 3П наиболее опасно, т.к. в нем на вал действует наибольший эквивалентный момент. Данную величину момента и выбираем для дальнейших расчетов. 7. Расчет размеров вала из условия прочности

Условие прочности при сложном нагружении имеет вид σЭКВ ≤

[σ Т ] .

k Здесь σЭКВ – т.н. «эквивалентная нагрузка», учитывающая действие одновременно нормальных и тангенциальных напряжений. Однако при разных условиях нагружения нормальные и тангенциальные напряжений вносят различный вклад в разрушение материала. Это означает, что невозможно вывести единую формулу, учитывающую влияние сразу и нормальных, и тангенциальных напряжений при всех случаях нагружения. Поэтому в сопротивлении материалов используются гипотезы прочности, т.е. расчетные гипотезы, позволяющие установить

26

относительный вклад различных видов напряжений в разрушение материала. Одной из широко применимых является т.н. «третья гипотеза прочности», она же «гипотеза максимальных тангенциальных напряжений» или «гипотеза Треска – Сен-Венана» (по имени предложивших ее ученых). Согласно третьей гипотезе прочности, при сложном нагружении σЭКВ = σ 2 + 4τ 2 . Здесь М кр М σ= и ,τ= . Wи Wкр Величины Wu и Wкр – это т.н. моменты сопротивления изгибу и кручению. Они являются конструктивными параметрами вала, учитывающими его прочность при изгибе и кручении соответственно. Обращаем особое внимание, что данные параметры учитывают прочность не материала, а формы вала, т.е. показывают, насколько эффективно будет сопротивляться нагрузке вал той или иной конструкции (того или иного поперечного сечения). Моменты сопротивления изгибу измеряются в м3 и равны: - для сплошного круглого вала Wu = - для цилиндрического вала Wu = Wкр =

π

(D4 – d4) =

π

π

32 π

32 D

D3, Wкр =

π 16

(D4 – d4) =

D3;

π

32

D3(1 – δ4),

D3(1-δ4),

16 D 16 где δ = d/D. Видим, что в обоих случаях выполняется соотношение Wкр = 2Wu, что позволяет упростить расчетную формулу:

σЭКВ =

=

⎛ Ми ⎜⎜ ⎝ Wи

σ + 4τ 2

2

2

= 2

⎛ Ми ⎜⎜ ⎝ Wи

⎞ ⎛ М кр ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎠ ⎝ Wи ⎠

2

⎛М ⎞ ⎟⎟ + 4⎜ кр ⎜W ⎠ ⎝ кр

М и2 + М кр2 2 и

W

27

=

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

=

⎛ Ми ⎜⎜ ⎝ Wи

М и2 + М кр2 Wи

2

⎞ ⎛М ⎟⎟ + 4⎜⎜ кр ⎠ ⎝ 2Wи =

М экв . Wи

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

Таким образом, напряжения при сложном нагружении вала одновременно изгибающим и крутящим моментами можно определить как М экв σЭКВ = , Wи что дает вид условия прочности М экв [σ Т ] ≤ . Wи k Это основное уравнение конструктивного или проверочного расчета вала, из которого можно определить любой критерий, зная остальные. В нашем случае известны: - эквивалентный момент нагрузки Мэкв – определен выше, см. п. 6; - коэффициент запаса прочности k – дан по условию расчетно-графической (контрольной) работы, k = 3 для всех вариантов; - предел текучести материала [σт], который находим по справочной таблице, например в учебнике [4]. Согласно условию, материал вала – Сталь 3 (Ст.3), откуда предел текучести [σт] = 220 МПа = 220·106 Па. Необходимо определить диаметр вала, который может быть выражен из конструктивного параметра Wu. Сначала находим необходимый момент сопротивления изгибу: М экв ⋅ k 1431 ⋅ 3 Wu = , что в нашем случае дает Wu = = [σ Т ] 220 ⋅ 10 6 19,51·10-6 (м3). Находим диаметр вала. Для круглого вала сплошного поперечного сечения необходимый диаметр равен: 32Wu 32 ⋅ 19,51 ⋅ 10 −6 Dкруг = 3 = 3 = 58,36·10-3 (м) = 58,36 (мм).

π

π

Для вала цилиндрического сечения необходимый диаметр равен: 32Wu . Dцил = 3 π (1 − δ 4 ) 28

В нашем случае δ = 0,9, откуда 32 ⋅ 19,51 ⋅ 10 −6 = 83,29·10-3 (м) = 83,29 (мм). π (1 − 0,9 4 ) Видим, что Dкруг < Dцил, т.е. с точки зрения габаритов вал сплошного сечения лучше цилиндрического, так как он более компактный. Однако это не говорит о выигрыше в расходе металла. Не забудем, что цилиндрический вал имеет довольно тонкую стенку, т.к. внутренний диаметр, по условию, равен 0,9 от внешнего (d = 0,9D). Поэтому чтобы оценить расход материала на изготовление того и другого вала, необходимо провести дополнительный расчет. Чтобы сравнить расход металла на изготовление валов, можно сравнить их погонные веса. Погонный вес – это вес профиля длиной 1 м без учета его конфигурации. Однако если мы примем несколько профилей длиной по 1 м каждый, и при этом изготовленных из одного и того же металла, то погонные веса будут соотносится так же, как площади поперечного сечения профилей. Таким образом, сравним площади поперечного сечения найденных нами валов. Площадь вала сплошного круглого сечения (площадь круга): Sкр = πR2 = πD2/4. В нашем случае 2 πDкруг π ⋅ 58,36 2 = = 2675 (мм2) = 26,75 (см2). Sкр = 4 4 Площадь вала цилиндрического сечения (площадь кольца): πD 2 πD 2 πd 2 Sкол = πR2 - πr2 = − = (1 − δ 2 ) . 4 4 4 В нашем случае 2 πDцил π ⋅ 83,29 2 (1 − δ 2 ) = (1 − 0,9 2 ) = 1035 (мм2) = Sкол = 4 4 10,35 (см2). Таким образом, соотношение габаритных размеров валов составляет Dкруг / Dцил = 58,36 / 83,29 = 0,7, а соотношение их площадей составляет Sкр / Sкол = 26,75 / 10,35 = 2,58. То есть, хо-

Dцил =

3

29

тя внешний диаметр цилиндрического вала примерно в полтора раза больше, чем у круглого, но на его изготовление требуется примерно в два с половиной раза меньше металла. 8. Ответ

Необходимый диаметр вала сплошного круглого сечения из условия прочности D = 58,36 мм, вала цилиндрического сечения D = 83,29 мм. Соотношение расхода металла на изготовление данных валов (или их погонных весов) составляет 2,58 в пользу вала кольцевого сечения.

Литература

1. Скрягин В.В., Соловьева Л.В. Сопротивление материалов. – Петропавловск-Камчатский: КамчатГТУ, 2002. – 62 с. 2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник. 12 изд., стер. – М.: Высшая школа, 2001. 3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – 11-е изд., стереотип. – М.: Изд-во МГТУ им Н.Э.Баумана, 2003. – 592 с. 4. Эрдеди А.А., Эрдеди Н.А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов: 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 2002. – 318 с. Примечание. Допускается использовать другие издания данных учебников, а также другие учебники по предмету «Техническая механика».

30

Приложение. Образец оформления титульного листа расчетно-графической (контрольной) работы Государственный комитет Российской Федерации по рыболовству

Камчатский государственный технический университет Кафедра Теоретической механики Механика (Техническая механика) Расчетно-графическое задание (Контрольная работа) Выполнил студент группы [шифр группы]

[Ф.И.О. студента] Учебный шифр: [шифр студента]

Принял [должность]

[Ф.И.О. преподавателя] «___» __________ 200_ г.

Петропавловск-Камчатский, 2008 Примечание 1. При заполнении титульного листа указывать только свой предмет (механика, техническая механика, сопромат или т.д.) и вид выполняемого задания (расчетнографическое задание – для студентов и курсантов дневного отделения, контрольная работа – для студентов-заочников). Примечание 2. Обратить внимание на заполнение нижней строчки: согласно ГОСТ 2.105-95, город и год записываются в одну строку через запятую, без букв «г» в начале и в конце. При нарушении данных требований и других правил оформления работа может быть возвращена студенту без проверки для доработки (устранения недостатков оформления). 31

Ляндзберг Андрей Рэмович Надольская Нина Ивановна МЕХАНИКА. ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

РАСЧЕТ ВАЛА НА ПРОЧНОСТЬ Методические указания к выполнению самостоятельной и расчетно-графических (контрольных) работ для студентов технических специальностей очной и заочной форм обучения В авторской редакции. Технический редактор Е.Е. Бабух Набор текста А.Р. Ляндзберг Верстка, оригинал-макет А.Р. Ляндзберг, Е.Е. Бабух Подписано в печать 27.03.2008 г. Формат 61*86/16. Печать цифровая. Гарнитура Times New Roman Авт. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,72. Усл. печ. л. 2,18 Тираж 100 экз. Заказ № 48 Издательство Камчатского государственного технического университета Отпечатано полиграфическим участком издательства КамчатГТУ 683003, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Ключевская, 35

32