微分解析幾何学入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松醇郎 福原満洲雄 編集

基 礎 数 学 シリーズ

編 集 の ことば   近 年 に お け る科 学 技術 の 発展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知 識 の応 用 もさ る こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的 精 神 の 浸 透 が 大 きい.理 工 学 は じめ 医学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え方 の 素 養 が必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理 念 に 接 しな け れ ば,知 識 の 活 用 も多 きを望 め な いで あ ろ う.   編 者 らは,こ の よ うな事 実 を考 慮 し,数 学 の 各 分 野 にお け る基 本 的 知 識 を 確 実 に 伝 え る こ と を目 的 と して 本 シ リー ズ の 刊 行 を 企 画 した の で あ る.   上 の 主 旨に した が っ て本 シ リー ズ で は,重 要 な 基 礎 概 念 を と くに 詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の 考 え方 を平 易 に理 解 で きる よ う解 説 して あ る.高 等 学 校 の 数 学 に 直結 して,数 学 の 基 本 を 悟 り,更 に進 ん で 高 等 数 学 の 理 解 へ の 大 道 に容 易 には い れ る よ う書 か れ て あ る.   これ に よ って,高 校 の数 学 教 育 に携 わ る 人 た ち や 技 術 関 係 の 人 々の 参 考書 と し て,ま た 学 生 の 入 門 書 と して,ひ ろ く利 用 され る こ と を念 願 と して い る.   この シ リー ズ は,読 者 を数 学 と い う花 壇へ 招 待 し,そ れ の 観 覚 に 資 す る と と も に,つ

ぎの 段 階 にす す む た め の 力 を養 うに 役 立 つ こ と を意 図 した もの で あ る.

ま

え

が

き

  微 分 解 析 幾 何 学 と は,微 分 幾 何 学 的 方 法 を 用 い て,解

析 的 多様 体 ない しは解

析 空 間 の研 究 を 主 要 な 目的 とす る数 学 の 分 野 で あ る と い って も よい か と思 う. 当 然,そ

の 守 備 範 囲 は 非 常 に 広 く,多 変 数 関 数 論,微 分 方 程 式 論,代 数 幾 何 学,

微 分 位 相 幾 何 学 等 が 関 連 し て く る.   本 書 で は,そ

の 中 の 一 分 野 で あ る,複 素 数 空 間 の 中 の 有 界 領 域 の 幾 何 学 に ま

とを しぼ っ て,ど を 試 み た.出 空 間,位

の よ うな 微 分 幾 何 学 的 手 法 が 用 い られ る か を 明 か に す る こ と

来 る 限 りself-containedで

あ る よ うに つ と め た の で,ベ

相 空 間 な ど に つ い て も予 備 知 識 を 殆 ん ど仮 定 せ ず,常

の 存 在 定 理,陰

微 分 方程 式 の解

関 数 の 定 理 等 も くわ し く証 明 を 与 え た.

  1章 か ら3章 ま で は,多 様 体 へ の 準 備 で あ って,4∼9章 リー 群 に 関 す る基 本 的 事 項 の解 説 を 行 った.従 入 門 と 呼 ん で も差 支 え な い で あ ろ う.10章 を 若 干 仮 定 し,11章

っ て,こ

に お い て,多

様体 と

れ らを も って,多 様 体

で は 一 変数 の関 数論 に関 す る知 識

で は 複 素 多 様 体 に つ い て 簡 単 な 説 明 を 行 った.12∼13章

で は 有 界 領 域 の 正 則 変 換 群 に つ い て 述 べ,14章 が 対 称 領 域 に な る とい うE.カ   な お,微

ク トル

に お い て,2変

数 等 質有 界 領域

ル タン の 定 理 の証 明 を 試 み る.

分 幾 何 学 の 教 科 書 に は 必 ず 登 場 す る リ ー マ ン幾 何 学 お よび 微 分 型 式

な い し テ ン ソル に つ い て の 解 説 は(そ の 方 面 の 文 献 は 豊 富 で あ る の で)一 切 割 愛 し,用 い な い こ とに し た.主   終 りに,本

な る武 器 は ベ ク トル 場 で あ る と い っ て よ い.

書 を 書 く よ うに お す す め 戴 い た 小 松 醇 郎 先 生 に 感 謝 の 意 を 表 した

い.

1972年4月

著

者

目 1.  可 微 分 関 数   1.1  Cr級   1.2 

次  1

関 数

 2

テー ラーの公 式

 4

  1.3  C∞ 級 関 数 の 構 成   1.4  逆 写 像 の 定 理

  6  8

  1.5  微 分 方 程 式 の 解

  11

2.  ベ ク トル 空 間

  21

  2.1 

  21

ベ ク トル 空 間 の 定 義

  2.2  ベ ク トル 空 間 の 基 と 次 元

 24

  2.3  線 型 写 像

 28

  2.4 

3.  位

陰 関 数 定 理,階

相

空

数定理

間

 31

  37

  3.1 

位 相空 間 の定 義

  37

  3.2 

直 積 と 位 相 の は り合 わ せ

 40

  3.3  連 続 写 像,位

相 同型写 像

  3.4 

連 結 集 合,連

結成 分

  3.5 

コ ン パ ク ト集 合

  3.6 

コ ン パ ク ト開 位 相

4.  多

様

  42  43   47   50

体

  52

  4.1 

多様 体 の定 義

  52

  4.2 

C∞ 関 数,C∞

  4.3 

接 バ ン ドル

写 像 と 接 ベ ク トル

  55  65

  4.4 

ベ ク トル 場 と1径

  4.5 

複 素 ベ ク トル 場

数 変換 群

  67   76

5.  部 分 多 様 体 と 積 分 多 様 体

  78

  5.1  部 分 多 様 体

 78

  5.2  微 分 系 と積 分 多 様 体

 79

  5.3  フ ロベ ニ ウス の 定 理

  82

  5.4  可 算 公 理

 85

6.  リー

  91

  6.1 

環 リー 環 の 定 義 とそ の 例

  6.2  部 分 リ ー 環,イ   6.3  根 基,半   6.4 

デ ア ル,可

 91 解 リー環

  92

単 純 リー環

 95

リー の 定 理

 

97

  6.5 〓0(C)の

部 分 リ ー環

  101

  6.6 〓0(C)の

有 限 次 元 実 部 分 リー環

  105

7.  位

相

群 

110

  7.1  位 相 群 の 定 義

  110

  7.2 

  111

単位 元 の近 傍系

  7.3  連 結 位 相 群

  114

  7.4  位 相 変 換 群

  116

  7.5  ハ ー ル 測 度

8.  被 覆 空 間   8.1  基

本

 

119

  126 群

  8.2  被 覆 空 間   8.3  普 遍 被 覆 空 間

 

126

  130  136

 8.4  被

9.  リ

覆

ー

群

 

群

  9.1 

リー群 の定 義

  9.2 

リー 群 の リー 環

  9.3 

リ ー群 の 準 同 型 と リ ー 部 分 群

  148   148  148   150

  9.4  指 数 写 像 と 標 準 座 標   9.5 

リー 変 換 群

10.  正 則

関

数

  10.1 

1変 数 正 則 関 数

  10.2 

多 変 数正 則 関 数

  10.3 

コー シ ーの積 分公 式

  10.4  正 則 関 数 の 性 質

142

  153   161

 

163

  163  

165  168

  170

  10.5  正 則 写 像

  173

  10.6 

  174

微 分 方程 式 の解

11.  複 素 多 様 体

  176

  11.1 

複 素 多 様 体 の定 義

  176

  11.2 

複 素 構 造 テ ン ソル

 178

  11.3 

正 則 ベ ク トル 場

12.  正 則 変 換 群

  179

  184

  12.1  無 限 小 変 換

  184

  12.2  準 連 続 群

 188

  12.3  正 則 変 換 の 極 限 と 固 定 群

 195

13.  有 界 領 域

  202

  13.1  正 則 無 限 小 変 換

  202

  13.2  有 界 領 域 の 同 型,局

所 同 型 

204

  13.3  対 称 領 域 

14.  2次

209

元 等 質 有 界領 域

  210

  14.1 

C1の

等 質有 界 領域

 210

  14.2 

C2の

等 質有 界 領域

 211

  14.3 

dima(D)=2の

場合

  212

  14.4 

dima(D)=1の

場合

  216

  14.5 

2次

元等 質有 界 領域 の分 類

問題 解 答 の ヒン ト 参 索

考

 

223

 

226

書

 229

引

 231

1.  可 微 分 関 数

  n個 の 変 数 を も った(微 分 の で き る)関 数 に つ い て の 基 本 的 な 性 質 を 調 べ るの が こ の 章 の 目標 で あ る.導 関 数 の 記 号 を 簡 略 に して 取 扱 い を 容 易 に す る た め, い くつ か の 記 号 を 導 入 す る.   実 数 全 体 か らな る集 合 をR,整

数 全 体 か らな る集 合 をZで

  n個 の 実 数(順 序 の つ い た)の 組(x1,…,xn)全 わ す.従

っ て,R1=Rは

実 数 直 線,R2は

と 思 っ て よい.x=(x1,…,xn)∈Rnに

あ らわ す.

体 か ら な る 集 合 をRnで

平 面,R3は3次

あら

元 空 間 を あ らわ す

対 し て,

 (1.1)

と お く.ま

た,x,y∈Rn,a∈Rに

対 し

x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn),

 (1.2) a・x=(ax1,ax2,…,axn)

に よ っ て"和"x+y,"ス  

Rnの

カ ラ ー 倍"a・xを

点 列{x(ν)￨ν=1,2,…}に

と な る と き,x(ν)はx(0)に

定 義 す る.

対 しx(0)∈Rnが

存 在 し て 

収 束 す る と 言 い,x(ν)→x(0)(ν

→ ∞)ま

た は 

で あ らわ す.  点x∈Rnと

正 数rに

対 し, U(x,r)={y￨y∈Rn,￨x−y￨
 (1.3) B(x,r)={y￨y∈Rn,‖x−y‖
と お き,U(x,r)をxのr近 r-ball)と   Rnの し,正 はxに   Rnの

傍,B(x,r)をxを

中 心 と す るr開

球(open

よ ぶ. 部 分 集 合Ω

数rを

が 開 集 合(open

set)で あ る と は,Ω

十 分 小 に と る と,U(x,r)⊂Ω

関 係 し て よ い.xを 部 分 集 合Fが

含 む 開 集 合 をxの

閉 集 合(closed

の 任 意 の 点xに

と な る と き を 言 う.も

ち ろ んr

近 傍 と よ ぶ.

set)で あ る と はFの

対

補 集 合Rn-Fが

開 集 合 で あ る と き を 言 う.   Rnの

部 分 集 合Bが

っ てB⊂U(0,K)と

有 界 集 合(bounded

set)で あ る と は,あ

な る と き を 言 う.た

だ し,0はRnの

る 正 数Kが

あ

原 点(0,…,0)を

し め す.   Rnの

開 集 合Ω で 定 義 さ れ た 関 数f(x1,…,xn)が を も つ と き,こ

導 関 数 

れを

 (1.4)

で あ ら わ す.た

だ し,α=(α1,…,αn)は

整 数 

の 組 を あ ら わ す.こ

の よ

うな α に 対 して は  (1.5)

と お く.β=(β1,…,βn)も あ る と き( 

整 数 

の 組 で あ っ て, 

で

と 書 き),

 (1.6)

に よ っ て"2項係数" が定

義 さ れ る.

  ま た,x=(x1,…,xn)∈Rnに

対 し,

 (1.7)

と お く.

  1.1  Cr級   Ω をRnの

開 集 合 と し, 

  定 義1.1 Ω 分 関 数,ま

関 数 を 整 数 とす る.

で 定 義 され た 実 数 値 関 数f(x1,…,xn)がΩ

た は 単 にCr関

数 で あ る と は 偏 導 関 数 ∂αfが,す べ て の 

対 して 存 在 し,か つ ∂αfはΩ   Ω 上 のCr関数f全

上 のCr級

可微 に

上 の 連 続 関 数 で あ る と き を 言 う.

体 か らな る集 合 をCr(Ω)で

上 の 連 続 関 数 全 体 か ら な る集 合 で あ る.つ

ぎに

あ らわ す.C0(Ω)は

Ω

と お く.C∞(Ω)の ぶ.即

元fは

ち,fは

級 可 微 分 関 数,ま

Ω 上 で 何 回 で も 偏 微 分 で き る と き,C∞

  f,g∈Cr(Ω)に f・gに

Ω 上 のC∞

対 し,関

数f+gもCr関

た はC∞

関数 と よ

関 数 と よ ぶ の で あ る.

数 で あ る こ と は 明 か で あ る が,積

関 し 次 の 公 式 が 成 立 つ.

  命 題1.1 

f,g∈Cr(Ω)な

らばf・g∈Cr(Ω)で

あ っ て, 

に 対 し,

(ラ イ プ ニ ッ ツ(Leibniz)公

 (1.8) 

  証 明  ￨α￨に

関 す る 帰 納 法 で 証 明 す る.δi=(0,…,0,1,0,…,0)(i番

と お く と,￨α￨=1の

と き は,α=δiで

と き(1.8)を

目 以 外0)

あ る か ら,(1.8)は

 と な っ て 成 立 す る.￨α￨=sの て,￨α￨=s+1の

式)

と き成 立 す る と し

証 明 す れ ば よ い.

と し よ う.

 よ って 帰 納 法 が 完 結 した.    定 義1.2 

Ω か らRmの

=(f1(x),…,fm(x))(x∈ っ て,Ω

(証終)

開集 合

Ω′へ の 写 像f:Ω

Ω)とf(x)を

そ の 成 分fi(x)で

上 の 関 数fi(x)(i=1,2,…,m)が

で あ る と き,写 ぶ.Ω

像fはCr級

  定 義1.3  へ のCr級

Ω1,Ω2をRnの 微 分 同 型 写 像,略

あ るg∈Cr(Ω2,Ω1)が

あ らわ す こ と に よ

き ま る.fi∈Cr(Ω)(i=1,2,…,m)

可 微 分 写 像,ま

か ら Ω′ へ のCr写

→ Ω′ に 対 し て,f(x)

た は 単 にCr写

像(Cr-map)と

像 全 体 か ら な る 集 合 をCr(Ω,Ω′)で 開 集 合 と す る.f∈Cr(Ω1,Ω2)が し てCr同

存 在 し て,f°g=1Ω2, 

g°f=1Ω1が

あ らわ す. Ω1か

型(Cr-diffeomorphism)で

よ

ら

Ω2

あ る と は,

成 立 つ と き を 言 う.

た だ し,1Ω

は Ω

の 恒 等 写 像 を あ ら わ す.C0同

(homeomorphism)と   定 義1.4 

言 う.

Rnの

∈Cr(Ω1,Ω2)が

型 の こ と を位 相 同型 写像

開 集 合

Ω1,Ω2に

存 在 す る と き,Ω1と

対 し,少 Ω2と

く と も1つ

はCr同

のCr同

型f

型(Cr-diffeomorphic)で

あ る と 言 う.

  1.2 

テ ー ラー の公 式

  ま ず,1変

数 の テ ー ラ ー の 公 式 か ら 始 め よ う.正

− ε
お くと

 関 数f∈Cr(Ω

ε) 

,Ω ε はR1の

数 ε に 対 し,Ω

ε={t￨t∈R,

開 集 合 で あ る.

を と る.

な る実 数 ξ が 存 在 し,

 命 題1.2   (1.9)

が 成 立 つ.た

だ し,f(ν)(t)=dνf/dtν(ν=0,1,…,r).

  証 明   一 般 にg∈C0(Ω

ε)に

対 し,関

数Ikg(k=0,1,…)を

に よ っ て 定 義 す る.  も し,g∈Cr(Ω

ε), 

な ら ば,g=Irg(r)が

とが 容 易 に た しか め られ る(rに

関 す る帰 納 法).い

成 立 つ こ

ま,

 (1.10)

と お く と,明

g(r)=f(r)で

か にg∈Cr(Ω

ε),か

つ 

を み た す.ま

た,

もあ るか ら

 (1.11) 

g(1)=(Irg(r))(1)=(Irf(r))(1).

と こ ろ で, 

した が っ て,積

とお くと

分 す る こ と に よ っ て,

よ って帰 納 法 に よ り

特に   一 方

が 成 立 つ. ,f(r)は

上 の 連 続 関 数 で あ るか ら,中

区 間 

間

値 の定理 に よ り  (1.12) 

f(r)(ξ)=r!・(Irf(r))(1)

を み た す

ξ∈[0,1]が

存 在 す る は ず で あ る.

  (1.10),(1.11),(1.12)よ

 定 理1.1  ∈Rnを

り(1.9)が

Ω をRnの

得 ら れ る. 

と す る.2点x,y

開 集 合 と し,f∈Cr(Ω) 

と り,xとyを

(証 終)

結 ぶ 線 分 

((1.2)参

照)

が Ω に 含 ま れ る とす る.   こ の と き,あ

る点

ξ∈Lが

存 在 し て,

 (1.13)

(テ ー ラ ー(Taylor)の

公 式)

が 成 立 つ.   証 明 Ω

はRnの

+(1−t)・y｜−

開 集 合 で あ る か ら,ε>0を

ε
(− ε
Ω に 含 ま れ る.い

お く と,g∈Cr(Ω

ε)で あ る.と

き,f∈Cr(Ω)に

こ ろ で,xt=t・x+(1−t)・y

っ て 命 題1.2をgに

得 ら れ る. 

  次 の 命 題 は 第4章   命 題1.3 

ま,g(t)=f(t・x+(1−t)・y)

数 関数 の合成 関 数 の 微分 の 公式 よ り

が 成 立 つ こ と が 容 易 に た し か め ら れ る.よ と(1.13)が

十 分 小 に と れ ば,Lε={t・x

対 し適 用 す る (証 終)

に お い て 用 い ら れ る.

x0∈Rnの

ε 近 傍U(x0,ε)((1.3)参

対 し,gi∈Cr(Ω)が

存在 し

照)を

Ω と す る.こ

のと

がx∈

Ω

に 対 し 成 立 つ.た

だ し,x0=(a1,…,an).

 証明 と お く.た

だ し,fi=∂f/∂xi(i=1,2,…,n).

で あ るか ら

(証終)

  1.3 C∞

級 関 数 の構 成

  こ の 節 で は,Rnの

開 集 合 Ω に 対 しC∞(Ω)が

十 分 た くさ ん の 関 数 を 含 む

こ と を 見 よ う.   補 題1.1 

任 意 の 正 数a,b(a>b)に

対 し,f∈C∞(R)で

あ っ て,

 (1.14)

か つ 

を み た す もの が 存 在 す る.

 証 明   R上

の 関 数h(t)を

に よ っ て 定 義 す る と,h∈C∞(R1)で (t∈R)で る.容

あ る こ と が わ か る.h(t)+h(1−t)>0

あ る か らg(t)=h(t)/{h(t)+h(1−t)}に 易 に,g∈C∞(R)で

あ っ て, 

よ っ て 関 数gが

定義で き

かつ

 を み た す こ とが わ か る.

と お け ば,f∈C∞(R)で

あ っ て,fは

求 め る もの で あ る こ とが た しか め られ

る. 

(証 終)

  系1.1 

任 意 の 正 数a,b(a>b)と

任 意 の 点x∈Rnに

対 し,η

∈C∞(Rn）

で あ って

を み た す もの が 存 在 す る.

か つ    証 明   補 題1.1 

に よ り,f∈C∞(R)で

あ って

を み た す も の が とれ る.い

か つ 

に よ っ て 関 数 ηを 定 義 す れ ば,η

ま

が 求 め る も の で あ る こ とが 容 易 に た しか め ら

れ る. 

(証終)

  定 理1.2  U⊃Kを

KをRnの

有 界 閉 集 合 と し,UはRnの

開 集 合 で あ っ て,

み た す もの とす る.

  こ の と き,f∈C∞(Rn)で

あ って

 (1.15)

か つ   証 明   Kの

を み た す も の が 存 在 す る. 点xを

と る と,x∈Uで

あ る か ら εxを 十 分 小 さ い 正 数 と す る と

B(x,εx)⊂U

と で き る((1.3)参

照).明

界 閉 集 合 で あ る か ら,ハ x(1),…,x(N)∈Kが

(た だ し,bi=εx(i)/2)が

が 成 立 つ.Kは

か に  イ ネ ーボ レ ル(Heine-Borel)の

定 理 に よ り,有 限 個 の 点

存在 し

成 立 つ.ai=2bi=εx(i)と

有

お き,ai,bi,x(i)に

対 し,系1.1

を 適 用 す る と,ηi∈C∞(Rn)が

か つ 

存 在 し て,

を み た す.い

と お く と,f∈C∞(Rn)で

ま,

を み た す.fが(1.15)を

あ っ て, 

み たす

こ と を 証 明 し よ う.   ま ず,x∈Kな =1

.よ

ら,x∈B(x(i),bi)と

のiに

対 し,ηi(x)

で あ る.よ

な ら,す べ て のiに 対 し 

す べ て のi=1,…,Nに

  定 義1.5 

対 し成 立 つ か らf(x)=0で

一 般 に 写 像f:Ω

を Ω の 部 合 集 合Aに

制 限 し た 写 像 をf￨Aで

は(f￨A)(a)=f(a)(a∈A)で 域

Ω′ の 方 もf(A)に

へ の 写 像 と 考 え た りす る.こ   集 合Aの

あ る . 

(証終)

あ ら わ す.即

ち,写

定義 域 像

Ω′

定 義 さ れ る.場

あ ら わ し た り,値

っ て ηi(x)

→ Ω′(Ω,Ω ′は 任 意 の 集 合)に 対 し,fの

f￨A:A→

fで

あ る.こ

っ てf(x)=1.

 も し, 

=0が

な るiが

合 に よ っ て はf￨Aを 制 限 し て.f￨AをAか

同 じ記 号 らf(A)

れ ら は 文 章 の 前 後 関 係 で 判 断 で き る.

恒 等 写 像(identity

map)を1A:A→Aで

あ ら わ す:1A(x)=x(x

∈A).

  1.4 

逆写 像 の定 理

  定 義1.6 

Ω

をRnの

開 集 合 と し,f∈C1(Ω,Rm)と

f(x)=(f1(x),…,fm(x))と

す る.

  x∈ Ω に 対 し,m×n行 Jf(x)で

す る(定 義1.2).

列(∂fj/∂xk)をfのxに

お け る ヤ コ ビ 行 列 と よ び,

あ ら わ す.

  Ω′ をRmの ∈C1(Ω′,Ω″)に   (1.16) 

開 集 合,Ω″

をRlの

開 集 合 とす る と,f∈C1(Ω,Ω′),g

対 し Jg°f(x)=Jg(f(x))・Jf(x) 

(x∈ Ω)

が 成 立 つ.   特 にm=nの

と きJf(x)の

行 列 式 をfのxに

お け る ヤ コ ビ ア ン(Jacobian)

と よ ぶ.   定 理1.3 

f∈C1(Ω,Rn)のxに

十 分 小 さ い ε 近 傍Uを

お け る ヤ コ ビ ア ン が0で

と る とf(U)はRnの

な け れ ば,xの

開 集 合 で あ っ て,

f￨U:U→f(U） は 位 相 同 型 で あ る.   証 明   x,f(x)は

と も にRnの

原 点0で

あ る と し て よ い(必 要 な ら ば,Rnの

平 行 移 動 を 行 え ば よ い).  ヤ コ ビ 行 列A=Jf(0)はRnか g=A−1°fが

らRnへ

考 え ら れ る.た

だ し,A−1はAの

逆 行 列 が あ る)で あ る.(1.16)を で あ る こ と が わ か る か ら,fの =Enで

の 写 像 と も 考 え ら れ る か ら,写

代 りにgを

で あ るか ら

逆 行 列(det 

用 い る と,容

易 にJg(0)=En(n次

考 え る こ と に し て,初

単 位 行 列) め か らJf(0)

あ る と し て よ い.

  写 像g:Ω

→Rnを

 (1.17) 

g(x)=f(x)−x, 

で 定 義 す る と,Jg(0)=0(ゼ 成 立 つ.と W=U(0,r)と

に で き る.テ

ロ 行 列),即

x∈ Ω

ち(∂gj/∂xi)(0)=0(i,j=1,…,n)が

こ ろ が ∂gj/∂xiは 連 続 関 数 で あ る か ら,r>0を お く と,W⊂

Ω

十 分 小 に と れ ば,

をみ たす よ う

か つ, 

ー ラ ー の 公 式(1.13)をgjに

用 い る と(r=1と

し て)

 (1.18)

が 成 立 つ.よ

って

が 成 立 つ.よ

っ て 写 像f:W→Rnは

な らば 

像

で あ る.

単 射(injective),即

ち,x,y∈W, 

と お く,た

だ し

  つ ぎ に,上

のgを

用 い て,写

像φν:V→Rn(ν=0,1,…)を

φ0(y)=0(y

∈V),

 (1.19)

に よ っ て 定 義 した い.そ の た め ま ず

で あ る こ と を,帰   ν=0な

納 法 で し め そ う.

ら,φ0(V)={0}⊂Wで

意 のx∈Vに

明 か.φν−1(V)⊂Wが

対 しφν−1(x)∈Wで

言 え た とす る と,任

あ る か ら(1.18)に

よ っ て￨g(φν−1(x))￨

した

 ゆ え に,  が っ て,φν(x)∈Wと

な っ て φν(V)⊂Wが

 つ ぎ に,y∈V, 

し め さ れ た.

に対 し

で あ る か ら,(1.18)を

く りか え し用 い る こ と に よ り

 (1.20)

で あ る こ と が わ か る.点

が 成 立 つ か ら,関 即 ち,任

続 で あ る.ゆ

標 をφν(i)(y)と

数 列{φν(i)}ν=1,2.…はV上

意 の ε>0に

べ て のy∈V, 

φν(y)のi座

対 し 自 然 数Nが

存 在 し て,￨φν(i)(y)−

φ(i)(y)￨<ε

がす

に 対 し成 立 つ.φν(i)は 連 続 関 数 で あ った か らφ(i)も 連 え に,φ(y)=(φ(1)(y),…,φ(n)(y))に

 ま た,(1.19)に

お い て ν→ ∞

よ っ て 写 像φ ∈C0(V,Rn)

とす れ ば

φ(y)=y−g(φ(y)), 

 (1.21) 

 (1.22) 

り

の あ る 関 数 φ(i)ヘ一 様 収 束 す る

が 定 義 で き る.

が 成 立 つ.さ

す る と,(1.20)よ

て,

φ(V)⊂W

y∈V

で あ る こ と を し め そ う.y∈Vを

よ っ て,(1.21)に

よ り

即 ち,φ(y)∈Wで

あ る.

と る と,

  (1.17),(1.21)と(1.22)に

が 成 立 つ.よ

よ り,y∈Vに

っ て 写 像f:U→Vは

る こ と と,f−1=φ

対 し

全 射(surjective)す

で あ る こ と が わ か り,fは

な わ ちf(U)=Vで

あ

位相 同型 写像 で あ る ことが証 明

さ れ た. 

(証 終)

  注 意1.1 

実 は φ∈C1(V,Rn)で

逆 写 像 の 定 理 と 言 う.n=1の

あ る こ と が 第2章

場 合,い

で 証 明 さ れ る.こ

れ を

わ ゆ る 逆 関 数 の 定 理 で あ る.

  1.5  微 分 方 程式 の解   この節では,あ との章で用い られ る常微分方程式の解 の存在 とその性質につ いてのべ る.   一 般 に,集

合A,Bに

対 し,集

で 定 義 し,AとBと

合A×BをA×B={(a,b);a∈A,b∈B}

の 直 積 集 合(direct

product)と

よ ぶ.3つ

以 上 の 集合 の

直 積 も 同 様 に 定 義 さ れ る.   定 義1.7  集 合S⊂Ω

Rnの

部 分 集 合Ω

に 対 し,正

数Mが

を と り,写

対 し 成 立 つ と き,写

condition),略

し て(L)条

  定 義1.8  る.x′

∈Ω′ に 対 し,写

定 義 す る.部

考 え る.あ

像gはS上

で リ プ シ ッ ツ 条 件(Lipschitz で の1つ

の

数 と 言 う.

⊂Rn,Ω′

⊂Rmを

と り,写

像f:Ω

×Ω′→Rpを

像gx′:Ω →Rpをgx′(x)=f(x,x′)(x∈Ω)に

分 集 合S⊂Ω,S′

る部分 がす べ

件 を み た す と 言 い,MをgのS上

し て(L)定

部 分 集 合Ω

→Rpを

存 在 し て, 

て のx,y∈Sに

リ プ シ ッ ツ 定 数,略

像g:Ω

⊂Ω′ に 対 し,写

像gx′(x′

考え よ って

∈S′)がS上

で

(L)条

件 を み た す と き,即

ち 正 数Mx′

が す べ て の(x,x′),(y,x′)∈S×S′ 上 でx∈Ω

に つ い て(L)条

に 対 し て 成 り立 つ と き,写

件 を み た す と 言 う.さ

x′∈S′ に 無 関 係 に と れ る と き,写 条 件 をx′

∈S′

が 存 在 して

像fはS×S′

ら に,(L)定

上 でx∈Ω

に 関 し て 一 様 に み た す と 言 う.即

が(x,x′),(y,x′)∈S×S′

像fはS×S′ 数Mx′

が

に つ い て の(L)

ち, 

に 対 し成 立 つ よ う なM>0が

存 在す る

と き で あ る.   注 意1.2 Ω,Ω′ す れ ば,任

をRn,Rmの

開 集 合 と し, 

意 の 有 界 閉 集 合K⊂Ω,K′

に つ い て の(L)条

と

⊂Ω′ に 対 し,fはK×K′

件 をx′ ∈Ω′ に 関 し て 一 様 に み た す.何

の 公 式(1.13)をk=1に

上 でx∈ 故 な ら,テ

Ω

ー ラー

対 し 適 用 す れ ば 

((x,x′),(y,x′)∈K×K′)を

み た すM>0の

存 在 が 容 易 に た しか め られ るか

ら で あ る.   定 理1.4 Ω,Ω′
はRn,Rmの

す る.f∈C0(Ω

  Rn,Rmの

開 集 合 と し,Iは0を

×I× Ω′,Rn)を

有 界 閉 集 合K,K′

は,fはK×I×K′

と り,fは

含 む 開 区 間{t￨a
次 の 条 件 を み た す とす る:

で あ っ て,K⊂Ω,K′

上 でx∈Ω

⊂Ω′ な る も の に 対 し て

に つ い て の(L)条

件 を(t,α)∈I×K′

に関

し 一 様 に み た す.   こ の と き,任 <ε}⊂Iが

意 のx0∈

存 在 し て,す

→x(t,α)で

Ω とK′ べての

⊂Ω′ に 対 し,0∈Rの α∈K′

に 対 し,I0か

ε 近 傍I0={t￨￨t｜ らΩ

へ のC1写

あ っ て,

(1.23)

を み た す も の が,た か らΩ

だ1つ

存 在 す る.さ

ら に,写

像(t,α)→x(t,α)はI0×K′

へ の 連 続 写 像 で あ る.

  証 明   fに

対 す る(L)条

件 よ り正 数Mが

存 在 し て,

像t

がx,y∈K,t∈I,α

∈K′

を み た す よ う に す る.つ は

‖f‖
に 対 し て 成 立 つ.正

ぎ に,C>0を

あ る と す る.た

(ε′,r/C)と   さ て,写

はIに

あ る か ら,こ

お く と,I0={t￨￨t￨<ε}はI′ 像xν:I0×K′

十 分 小 に と って

十 分 大 に と っ て,Ω0×I′

だ し,I′

 を み た す ε′>0が

数rを

含 ま れ る0の の ε′,C,rに

×K′

の上 で

近 傍 と す る. 対 し,ε=Min

に 含 ま れ る.

→Rn(ν=0,1,…)をν

に つ い て の 帰 納 法 に よ っ て,

つ ぎ の よ うに 定 義 し た い.

 (1.24)

  そ の た め,xν(t,α)∈

Ω0((t,α)∈I0)を

し め そ う.ν=0な

ら 自 明.ν−1ま

で よ い と す る と,

即 ち,‖xν(t,α)−x0‖
な っ て,xν(t,α)∈

Ω0で

あ る.

  つ ぎ に,

 (1.25)

を 証 明 し よ う. ν=0な

ら, 

よ っ て(1.25)が

成

立 つ.  

ま で(1.25)が

成 立 つ と し て ν=m+1に

対 し(1.25)を

証 明 し よ う.

よ っ て(1.25)が   (1.25)が 束 す る.よ

証 明 さ れ た.

成 立 す る こ と よ り,写 っ て,(1.24)に

像xν

は あ る 写 像x:I0×K′

お い て ν→ ∞

→Rnに

一様収

とす れ ば

  (1.26)

が 得 ら れ る.(1.26)はt→x(t,α)が(α を し め し て お り,か

つ(1.23)の

  つ ぎ に,解x(t,α)の あ る α0∈K′

を 固 定 す る と)C1写

像であること

成 立 す る こ と も 明 か で あ る.

一 意 性 を 証 明 す る た め,u:I0→

Ω をC1写

像 と し,

に対 し

を み た し た と す る.w(t)=x(t,α0)−u(t)と

お き,w(t)=0(t∈I0)を

証 明す

れ ば よ い.  と ころで,(1.26)よ で あ る か ら, 

  t<0に =0と

り,  に 対 し,

対 して も同 様 で あ る か ら,結 局 つ ぎ の 補 題1.2が

証 明 で き ればw(t)

な って ,定 理 の 証 明 が 完 結 す る.

  補 題1.2 

Iを0を

含 むRの

 とす る.い

開 区 間 と し,w:I→Rを

ま,M>0, 

 (1.27)

をみたせば  (1.28)

が 成 立 つ.   証 明   ま ず, 

の と き,直 接 計 算 に よ り

が 存 在 して

連 続 関 数 で あ っ て,

 よ っ て,

 (1.29)

  (1.27)と(1.29)と

に よ り(1.28)が

  つ ぎ に,t<0の 27)は 

と き(1.28)を

得 ら れ る.

証 明 す る た め,w′(t)=w(−t)と

お く.(1.

に 対 し

と な る か ら,

  よ っ て,す

で に 

を 得 る.よ

の と き に 証 明 し た こ と をw′

っ て, 

に 適 用 し て, 

が 成 立 つ.即

ち(1.28)が

さ れ た.    定 理1.5 

証 明 (証終)

定 理1.4と

同 じ 記 号 の も と に,さ

らに

Ω=Rnで

あ っ てfが

不

等式  (1.30)

をRn×I×K′

の 上 で み た す な ら ば,解xはI×

特 にf(x,t,α)がxに

つ い て1次

式 で あ れ ば,解

Ω′全 体 の 上 で 定 義 さ れ る. はI×

Ω′ の 上 で 定 義 さ れ

る.   証 明   xν を(1.24)で

定 義 す る と,正

の 定 数M1,M2が

存 在 し て, 

に対 し

を み た す.一

方, 

が わ か る.t<0の

と仮 定 して よい か ら,ν に 関 す る帰 納 法 に よ り

場 合 も,同

様 に して

を み た すM1′,M2′>0の

存 在 を 知 る.よ

っ て,正

数rを 

が み た さ れ る よ うに と れ ば,

が す べ て の(t,α)∈I×K′ K×I×K′

に 対 し 成 立 つ.こ

に 用 い る と,(1.25)と

を み た す 正 数A,Mの

こ で,fに

対 す る(L)条

同 様 に し て,

存 在 を 知 る.こ

れ か ら あ と は,定

理1.4の

証 明 と全 く

同 様 で あ る.    定 理1.4に

(証 終) お い てfが

可 微 分 の と き 解xも

微 積 分 で よ く用 い ら れ る,次   定 義1.9 

開 集 合 Ω か らRmへ

な る 関 数 と す る.も

か つ, 

定 理1.4と

は,lim￨f(x)￨=0を

同 じ 記 号 を 用 い る.Jを

仮 定 を み た す か ら(1.23)の

意 味 す る.

区 間 

で あ れ ば,注

に 含 ま れ る 任 意 の 開 集 合Uを

あ っ て, 

(x→a)

間 と す る.  定 理1.4の

→R

み た す も の が 存 在 す る と き,

f(x)=o(g(x))  っ て,f(x)=o(1)(x→a)と

の 写 像 と し,g:Ω

し,関 数 ε:Ω→Rで

ε(x)→0(x→a)を

  定 理1.6 

可 微 分 で あ る こ と を 言 うた め,

の 記 号 を 思 い 起 す.

f:Ω →RmをRnの

を 

と 書 く.従

件を

解x:I0×K′

を含 む 開区

意1.2に

よ っ て,fは

→ Ω が 存 在 す る が,K′

と る と, x∈Ck(I0×U,Ω)

で あ る.   証 明   (第1段)ま

ず,k=1の

  x=x(t,α)はtに I0×U上 ×Uに

つ い て はC1級

で 存 在 し て,連 対 し,n×n行

と き 証 明 す る. で あ る か ら,∂x/∂αj(j=1,…,m)が

続 で あ る こ と を 言 え ば 十 分 で あ る.い

ま,(t,α)∈I0

列A(t,α)を

 (1.31)

で 定 義 す る.写

像ht,α:Ω

→Rnをht,α(x)=f(x,t,α)で

定 義 す れ ば,ht,α

の

点x(t,α)に

お け る ヤ コビ 行 列(定 義1.6)がA(t,α)に

  つ ぎ に,jを1つ

固 定 し,写

ほ か な ら な い.

像B:I0×U→Rnを

  (1.32)

に よ っ て 定 義 す る.f∈C1(Ω   さ て,微

×J× Ω′,Rn)で

あ る か ら,Bは

連 続 写 像 で あ る.

分 方 程式

 (1.33)

を 考 え よ う.g(y,t,α)=A(t,α)・y+B(t,α)と 式 で あ る か ら,定 U→Rnが

た だ1つ

理1.5に

お け ば,gはyに

よ っ て,y(0,α)=0を

存 在 し,α

つ い て1次

み た す(1.33)の

を 固 定 す る と,写

解y:I0×

像t→y(t,α)はC1級

であ

る.   ∂x/∂αjがI0×U上

で 存 在 し て,連

続 で あ る こ と を 言 うに は,

 (1.34)

を 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.   α∈Uを

固 定 し, 

の 場 合 に(1.34)を

証 明 す る(t<0の

場 合 も 同様 で

あ る か ら).   い ま,十

分 小 な 実 数 

と お け ば,α(h)∈Uで

に 対 し,α(h)=(α1,…,αj−1,αj+h,αj+1,…,αm) あ る.よ

っ て,

 (1.35)

に よ り,写

像uh:I0→Rnが

定 義 で き る.

  こ こ で テ ー ラ ー の 公 式(1.13)を

用 い る と, 

に 対 し,

と 書 け,ε(s,h)=o(￨h￨・‖uh(s)‖+￨h￨)(￨h￨→0).   よ っ て,δ(s,h)=ε(s,h)/hと

  (1.36)

お け ば,(1.26)を

用 い て,次

式 が 得 ら れ る:

と こ ろ で,δ(s,h)=o(‖uh(s)‖+1)(￨h￨→0)で

を み た す 正 数C1が

と れ る.補

あ る か ら,(1.36)よ

題1.2に

よ れ ば, 

り,

で あ る.

よ っ て,  (1.37)

はsに

関 し て 一 様 収 束 で あ る.つ

zh(t)=uh(t)−y(t,α)

 (1.38)  と お く.(1.33)に

よ れ ば,

で あ る か ら,(1.36)を

と な る.よ

ぎ に,

用 い る と,

っ て,

 (1.39)

を み た す 正 数Mが

とれ る.

と こ ろで,  よ っ て,補

と お く と,(1.37)よ

題1.2を

再 び 用 い る と,zh(t)→0(h→0)が

  よ っ て,(1.35)と(1.38)と   (第2段)k>1の   も し,f∈Ck(Ω (I0×U,Ω)で B(t,α)は

り 

に よ り(1.34)が

と きkに

明 か にCk-1級

りy∈Ck−1(I0×U,Rn)で

のxに

得 ら れ る. 得 ら れ た.

つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.

×J× Ω′,Rn)(k>1)で あ る.こ

で あ る.

あ れ ば,帰

納 法 の 仮 定 よ り,x∈Ck-1

対 し(1.31),(1.32)で

で あ る.よ あ る.と

っ て(1.33)の

定 義 さ れ るA(t,α), 解yは

こ ろ で,解x(t,α)は(1.34)に

を み た す か ら,∂x/∂ αj,∂x/∂tがCk−1級

と な り,xはCk級

帰 納 法の仮 定 よ より

で あ る.  (証 終)

  定 理1.7 Ω,I,Ω′ と す る.こ p0を

は 定 理16と の と き,任

同 じ も の と し, 

意 の 点p0=(u0,u0,α0,ξ0)∈I×I×Ω′×Ω

含 む 開 集 合W=J×J×U′

×UとCk写

像x:W→Rnが

に 対 し, 存 在 し て,

 (1.40)

が す べ て のt,u∈J,α

∈U′,ξ

  証 明   Rn×R×I×Ω′ ε 近 傍 をDと

×Ω

す る とCk写

に よ っ て 定 義 で き る.定

を み た すCk級

と お け ば,xは   系1.2  と き,任

理1.6に

存 在 す る.

  証 明   定 理1.7に

と す る.こ

に 対 し,正 ε
存 在 す る.こ

Ω が 考 え ら れ る が,こ

対 し,x∈Ck(Iε

(証 終)

開 集 合 と し, 

意 の 有 界 閉 集 合K⊂Ω

お け ば,ξ0∈Kに

よ り,

求 め る 解 で あ る. 

を み た す も の が た だ1つ

Uに

十 分小 さ い

像g:D→Rnが

の 解y(t,u,α,ξ)が

Ω をRnの

×K→

対 し み た さ れ る.

に 含 ま れ る,点(0,0,u0,α0,ξ0)の

に 対 し 写 像x：Iε → Ω(Iε={t￨−

像x:Iε

∈Uに

×U,Ω)で

あ る.

お い て,写

像f:Ω

対 し,(0,0,α0,ξ0)の

数 ε が 存 在 し,す

べ て の点

ξ0∈K

あ っ て,

の 解xをx(t)=x(t,ξ0)と の 写 像 は,Kに

書 け ば,写

含 まれ る 任 意 の 開 集 合

×I×Ω′ →Rnをf(ξ,t,α)=f(ξ)と 近 傍Wと(1.40)の

解x:W→Rn

が 得 ら れ る.   Wは

の

ξ0に 依 存 す る か らW=Wξ0=Jξ0×Jξ0×Uξ0′×Uξ0と

書 く.

で あ る か ら,ハ

イ ネ‐ボ レ ル の 定 理 に よ っ て,

を み た す 有 限 個 の 点 ξ1,…,ξN∈Kが ら,Iε ⊂Jを

み た す ε>0が

と お け ば,xは

と れ る. 

と れ る.こ

求 め る 解 で あ る.解

は0の

近 傍 で あ るか

こ で,

の 一 意 性 は 定 理1.4の

解 の 一 意 性 よ り明

か で あ ろ う. 

(証終)

問  1.1  Ω はRnの

開 集 合 と し,Kは

題1 Ω に 含 ま れ る 有 界 閉 集 合 と す る.f∈Cm(Ω)

に 対 し,

と お く.fg∈Cm(Ω)に

対 し,次

式 が 成 立 つ:

  (ⅰ)    (ⅱ)    1.2  KをRnの

有 界 閉 集 合 と し,K⊂U1∪…∪UN(UiはRnの

の と き,fi∈C∞(Rn), 

開 集 合)と

で あ っ て, 

す る.こ を みたす

  が 存 在 す る.   1.3 

系1.3の

解x(t,ξ0)に

Φt(Φs(ξ))=Φt+s(ξ)が

ξ∈Kに

対 し,Φt(ξ)=x(t,ξ)と 対 し 成 立 つ.

お く と,十

分 小 なt,sに

対 し,

2.  ベ

  2.1 

ク

トル 空 間

ベ ク トル 空 間 の 定 義

  ま ず,群

の 定 義 か ら 始 め よ う.集

れ て い て,次

の 条 件(ⅰ)∼(ⅲ)が

に し て,(G,μ)の

こ と を1つ

合Gに

対 し,写

像

μ:G×G→Gが

み た さ れ る 場 合,集 の 群(group)で

合Gと

定義さ

写像

μ を1組

あ る と 言 う.

  (ⅰ) 

(結 合 律),

  (ⅱ) 

を み た すe∈Gが

存 在 す る.(eを

単位

元 と よ ぶ).   (ⅲ)  各x∈Gに る.(x′

をxの

対 し,μ(x,x′)=μ(x′,x)=eを

の(μ に 関 す る)積 ま た は,結

す る た め,μ(x,y)=x・yと ,次

∈Gが

存在 す

逆 元 と よ ぶ).

  μ(x,y)をxとyと

∼(ⅲ)は

み た すx′

合 と よ び,記

書 くの が 慣 例 に な っ て い る.こ

の(ⅰ)′

∼(ⅲ)′

号を簡 単 に

の と き,上

の(ⅰ)

と な る.

  (ⅰ)′   (x・y)・z=x・(y・z),   (ⅱ)′   x・e=e・x=x,   (ⅲ)′  x・x′=x′ ・x=e.   写 像 μ を 群 乗 法 と よ ぶ が,こ あ る と い う.(ⅱ)の 対 し,た

単 位 元eは

れ を 明 記 す る 必 要 の な い 場 合,単 た だ1つ

し か な い.ま

だ 一 通 りに き ま る の でx′=x−1で

  μ(x,y)=μ(y,x)が ま た は,ア

μ(x,y)=x+yと+記

代 りに−xで

=(−x)+x=0(x∈G)を +(−y)=x−yと

対 し 成 立 つ 場 合(G,μ)は

の場 合

μ(x,y)=x・yと

号 で あ ら わ す の が 普 通 で あ る.ま

0で あ ら わ し,可 換 群(G,μ)の 元 をx−1の

た(ⅲ)のx′

零 元(zero

書 く.

element)で

あ らわ す の が 普 通 で あ る.逆 み た す.ま

群で もxに

あ ら わ す.

す べ て のx,y∈Gに

ー ベ ル 群 と よ ば れ る.こ

にGが

た,x+(−y)の

可換 群

書 く か わ りに, た,単

位 元eは

あ る と も 言 う.ま

記号 た,逆

元−xはx+(−x) こ と を 簡 単 の た め,x

  以 下,実

数 全 体 か ら な る 集 合 をR,複

素 数 全 体 か ら な る 集 合 をCで

あ らわ

す.   定 義2.1 

集 合Vに

れ て い て,次

の 条 件[1],[2]を

間(real

vector

  [1]  0,逆

space)と

(V,α)は

像

α:V×V→Vと,σ:R×V→Vが

っ て,α(x,y)=x+yと

書 き,単

位元を

あ ら わ す). 書 く こ と に す る と,次 の 等 式 を み た す.

a・(x+y)=a・x+a・y, 

a∈R,x,y∈V,

(a+b)・x=a・x+b・x, 

a・(b・x)=(ab)・x, 

1・x=x(1は

実 数

  α,σ を そ れ ぞ れ,ベ

に,Vを

a,b∈R, 

x∈V,

の1).

ク トル 空 間(V,α,σ)の

multiplication)と

合 は,単

実 ベ ク トル 空

よ ぶ.

σ(a,x)=a・x(a∈R,x∈V)と

(scalar

定義 さ

み た す と き,組(V,α,σ)を

可 換 群 で あ る.(よ

元 を−xで

  [2] 

対 し,写

よ ぶ.こ

加 法(addition),ス

れ らの写 像

カ ラ ー乗法

α,σ

を 明記す る必要 の ない場

実 ベ ク トル 空 間 で あ る と 言 う.実

ベ ク トル 空 間 を 単 に ベ ク

トル 空 間 と よ ぶ こ と も あ る.   定 義2.1に vector

お い てRの

space)が

  例2.1 

代 りにCを

用 い る と,複

素 ベ ク トル 空 間(complex

定 義 さ れ る.

Rnは(1.2)で

ル 空 間 に な る.Rの

定 義 され た 和 お よ び ス カ ラ ー倍 に よ っ て 実 ベ ク ト 代 りにCを

用 い る と,同

様 に し て,複

素 ベ ク トル 空 間Cn

が 定 義 で き る.   例2.2  Vと

区 間[0,1]で

定 義 さ れ た 実 数 値 連 続 関数f全

し,f,g∈V,a∈Rに

体 か らな る集 合 を

対 し,α(f,g),σ(a,f)を (α(f,g))(t)=f(t)+g(t),

(2.1)

t∈[0,1] (σ(a,f))(t)=a・f(t),

に よ っ て 定 義 す れ ば,[1],[2]を っ て,定

義2.1の

約 束 に よ れ ば,(f+g)(t)=f(t)+g(t),

  が 成 立 つ.こ   例2.3 

Cr(Ω)(定

み た す こ と が 容 易 に た し か め ら れ る.従

の ベ ク トル 空 間(V,α,σ)をC0([0,1])で 義1.1)も(2.1)と

同 様 に し て(t∈[0,1]をt∈Ω

あ ら わ す. で

お き か え て),α,σ   命 題2.1 

が 定 義 さ れ,(Cr(Ω),α,σ)は

Vを

実 ベ ク トル 空 間 に な る.

実 ベ ク ト ル 空 間 と す る と,

  (ⅰ) 

0・x=0,

  (ⅱ) 

a・0=0,

  (ⅲ) 

a・(−x)=−(a・x)=(−a)・x

が す べ て のa∈R,x∈Vに

対 し て 成 立 つ.

  証 明   (ⅰ) y=0・xと

お

く.[2]を

用 い る と,

y+y=0・x+0・x=(0+0)・x=0・x=y, 即 ち,y+y=y.よ

っ て[1]を

用 い る と,

y=y+0=y+(y−y)=(y+y)−y=y−y=0. (ⅱ),(ⅲ)も

同 様 で あ る. 

  定 義2.2実

(証 終)

ベ ク トル 空 間(V,α,σ)に

れ て い て,次

の 条 件[3]を

ま た はR多

元 環(R-algebra)と

  [3] 

μ(x,y)=x・y(x,y∈V)と

対 し,次

の 等 式 を み た す. x・y=y・x, 

対 し,写

像 μ:V×V→Vが

定義 さ

み た す と き,組(V,α,σ,μ)をR上

の 多 元 環,

よ ぶ: 書 く と,す

x・(y+z)=x・y+x・z, 

べ て のx,y,z∈V,a∈Rに

(x+y)・z=x・z+y・z,

a・(x・y)=(a・x)・y=x・(a・y).   命 題2.1と

同 様 に し て,0・x=0(x∈V,0はVの

ゼ ロ元)が

  写 像 α,σ,μ を 明 記 す る 必 要 の な い 場 合,単   例2.4 

にVがR多

例2.2,2.3のC0([0,1]),Cr(Ω)は,f,gに 積 で 定 義 す れ ば,R多

  つ ぎ に,実

ベ ク トル 空 間 の 複 素 化 に つ い て の べ よ う.

  い ま,V=V×Vと

元 環 に な る こ と が た しか め ら れ る.

実 ベ ク トル 空 間 と し,例

=a・x(a∈R,x,y∈V)と

元 環 で あ る と 言 う. 対 し,μ(f,g)を

数fとgの

  (V,α,σ)を

に よ っ て,α(x,y)=x+y,σ(a,x)

書 く. お き,写

像

証 明 さ れ る.

α:V×V→Vお

α((x1,y1),(x2,y2))=(x1+x2,y1+y2),

(2.2) α(a+ib,(x,y))=(a・x−b・y,a・y+b・x)

よ びσ:C×V→Vを

関

(x1,y1,x2,y2,x,y∈V,a,b∈R, 

に よ っ て 定 義 す る と,(V,α,σ)は

複 素 ベ ク ト ル 空 間 に な る こ と が 容 易 に た し か め ら れ る.   (V,α,σ)を(V,α,σ)の ら わ す.x∈Vに

複 素 化(complexication)と

対 し,xと(x,0)∈Vと

に す れ ば,(2.2)よ =x+i・yと

よ び,V=VCで

を 同 一 視 し て,x=(x,0)と

り(0,x)=σ(i,(x,0))=i・xと

書 け る.ま

 (2.3) 

た

あ 書 く こ と

書 け,(x,y)=(x,0)+(0,y)

,

(a+ib)・(x+iy)=a・x−b・y+i(a・y+b・x)

がx,y∈V,a,b∈Rに

対 し成 立 つ.従

x+iy(x,y∈V)全

っ て,Vの

体 か ら な る 集 合 に,(2.3)に

複素 化 と は 形 式的 な和

よ る ス カ ラ ー 乗 法 を 定 義 した

ベ ク トル 空 間 で あ る と 考 え て も 差 支 え な い.

  2.2 

ベ ク トル 空 間 の 基 と 次 元

  こ の 節 で は 実 ベ ク トル 空 間 を 単 に ベ ク トル 空 間 と よ ぶ.   定 義2.3 

(V,α,σ)を

分 ベ ク トル 空 間(vector

ベ ク トル 空 間 と す る.Vの

  (1) 

x,y∈Wな

  (2) 

x∈W,a∈Rな

subspace)(ま

部 分 集 合WがVの

部

た は 単 に 部 分 空 間)で あ る と は,

ら ばx+y∈W, ら ばa・x∈W

を み た す と き を 言 う.   こ の と き,写 R×Wに

像

α′:W×W→W,σ′:R×W→Wが

α′=α￨W×W,σ′=σ￨

よ っ て 定 義 さ れ(定 義1.5),(W,α′,σ′)は

  定 義2.4 

W,W1,W2を

ベ ク トル 空 間Vの

w∈Wがw=w1+w2,wi∈Wi(i=1,2)と W1をW2と

の 直 和(direct

実 ベ ク トル 空 間 と な る. 部 分 空 間 とす る.任

意 の元

一 意 的 に あ ら わ せ る と き,Wは sum)で W=W1 

あ る と よび W2

で あ ら わ す.   補 題2.1 

(ⅰ) 

x2∈W2}もVの   (ⅱ) 

Wα(α

W1,W2をVの

部 分 空 間 と す れ ば,W={x1+x2￨x1∈W1,

部 分 空 間 で あ る.こ ∈A)をVの

のWをW=W1+W2で

部 分 空 間 と す れ ば, 

あ ら わ す. もVの

部 分空 間 で

あ る.   証 明   定 義2.1お   定 義2.5 Sを 間W全 Vの

よび2.3に

よ り容 易 に 検 証 され る. 

ベ ク トル 空 間Vの

体 か ら な る 集 合 をAと

部 分 集 合 とす る.Sを す れ ば, 

部 分 空 間 で あ る. 

間(subspace

spanned

by

含 むVの

部 分空

は 補 題2.1(ⅱ)に

と 書 き,{S}RをSで S)と

(証終)

よ ぶ.S=φ(空

集 合)の

よつて

張 られ た 部 分 空 と き は,{S}R={0}と

約 束 す る.   補 題2.2 

S={υ1,…,υk}がVの

  (2.4) 

有 限 部 分 集 合 な ら ば,

{S}R={a1・υ1+…+ak・υk￨ai∈R(i=1,2,…,k)}.

  証 明   (2.4)の 空 間 で あ る.よ

右 辺 をW0と

お く と,W0⊃Sで

部分

っ て,{S}R⊂W0.

  一 方,Sを

含 む 部 分 空 間Wはυi∈S⊂W(i=1,…,k),つ

あ る か ら,定

義2.3の(1),(2)よ

る.よ

あ っ てW0はVの

ま りυi∈Wで

りa1・υ1+…+ak・υk∈W(ai∈R)で

っ て,W0⊂W.WはSを

あ

含 む 任 意 の 部 分 空 間 で あ っ た か ら,W0

⊂{S}R. 

(証 終)

  定 義2.6  nation)と

a1・υ1+…+ak・υkの

形 の 元 をυ1,…,υkの

一 次 結 合(linear

combi-

で あ らわ す.

よ び

と な る の はai=0(i=1,…,k)

の と き に 限 る 場 合,k個

の 元υ1,…,υkは一

次 独 立(linearly

independent)で

あ る と 言 う.   い か な る 自 然 数nに る と き,Vは   dimV=+∞ 大 個 数nをVの

対 し て も一 次 独 立 なn個

無 限 次 元 で あ る と 言 い,dimV=+∞ で な い と き,Vは 次 元(dimension)と

元 の み か ら な る と き は,dimV=0と   定 義2.7 υ1,…υnを υ がυ1,…,υnの

の 元υ1,…,υn∈Vが で あ ら わ す.

有 限 次 元 で あ る と 言 い,一 よ び,dimV=nで

存 在す

次 独立 な元 の最

あ ら わ す.Vが

ゼロ

約 束 す る.

ベ ク トル 空 間Vのn個

の 元 と す る.Vの

一 次 結 合 と し て 一 意 的 に 書 け る と き,{υ1,…,υn}はVの

任意 の元 基

ま た は 基 底(base,   定 理2.1 

basis)で

あ る と 言 う.

{υ1,…,υn}が

有 限 次 元 ベ ク トル 空 間Vの

基 な ら ば,n=dimV

が 成 立 つ.   ま ず,次

の 補 題 を 準 備 す る.

  補 題2.3 υ1,…,υk∈Vが

一 次独立 であ るた めの 必要 十 分条 件 は

(2.5) が 成 立 つ こ と で あ る.   証 明   必 要 性:(2.5)が …

,υi}Rで

あ るiに

と 書 け る.よ

あ る か ら, 

と な り,υ1,…,υkが

 十 分 性: 

一 次 独 立 で あ る こ と に 反 す る.

な るiが

と な っ て,(2.5)に

あ る.ゆ

な い と 仮 定 す る と,ak

え に,

よ っ て,

反 す る. 

  定 理2.1の

証 明   υ1,…,υnは

る.dimV=mと

お き,m>nと 題2.3に

(証終) 明 か に 一 次 独 立 で あ る か ら,  仮 定 す る.w1,…,wmをVの

よ り,V={w1,…,wm}Rが

と す る と,  wm+1(が

っ て,

と せ よ.ai=0(i=1,…,k)で

=…=ai+2=0,

と す る.補

つ い て 成 立 し な か っ た と せ よ.υi+1∈{υ1,

わ か る.何 な る 元wm+1∈Vを

一 次 独 立 と な り,m=dimVな

の 一 次 結 合 と な る か ら,特

に

と 書 け る.一

方,υ1,…,υnがVの

と 書 け る.こ

れ ら2式

よ り

る こ と に 反 す る.任

基 で あ る か ら,

であ 一 次 独立 な元

故 な ら,  と る と,w1,…, 意 の 元 はw1,…,wm

 と こ ろ で,w1,…,wmは

が 成 立 つ.い 列Bを

一 次 独 立 で あ る か ら,

ま,A=(aij),B=(bjk)の

に よ っ て,m×n行

定 義 す る と, Em=A・B(Emはm次

が 成 立 つ.行 あ る.他

単 位 行 列)

列 式 の 性 質 に よ れば,m>nで

方.Emの

行 列 式 は1で

あ る と き,A・Bの

あ る か ら,こ

定 か ら 矛 盾 を 生 じ た の で あ る か ら,m=nで   系2.1 

VをdimV=nと

の 基υ1,…υkに

な る 元υk+1

し て 証 明 は 終 る. 

な るυk+2∈Vを

WをVの

任意

と れ る.

と す る. 

ら,n=k+1と

を く りか え す と 基{υ1,…,υn}に   系2.2 

(証 終)

部 分 空 間 と す れば,Wの

ら 自 明 で あ る か ら, 

な ら, 

る仮

あ る. 

基υ1,…,υk,υk+1,…,υnが

と れ る.{υ,…,υk+1}R=Vな

行 列 式 は0で

れ は 矛 盾 で あ る.m>nな

し,WをVの

対 し,Vの

  証 明  V=Wな ∈Vが

列Aとn×m行

と り,以

下 こ の と り方

到 達 す る. 

部 分 空 間 と し, 

(証 終) と す れば,dimW
成

立 つ.   証 明   系2.1よ   定 理2.2 

り殆 ん ど 明 か で あ る. 

dimV<+∞

(証 終)

と し,W1,W2をVの

部 分 空 間 と す る と,

(2.6) が 成 立 っ.   証 明 

dimW1=p+m,dimW2=p+nと W2で

あ る か ら,系2.1に

す る. 

よ り,{υ1,…,υp}を 

{υ1,…,υp,t1,…,tm}がW1の,{υ1,…,υp,u1,…,un}がW2の に,tj,ukが

  ま ず,W1+W2の

基 で あ る よ う

と れ る.

  {υ1,…,υp,t1,…,tm,u1,…,un}がW1+W2の (W1+W2)=p+m+nと

の 基 と し,

な っ て(2.6)が

基 で あ る こ と が わ か れ ば,dim 成 立 つ.

任 意 の 元w1+w2はυ1,…,υp,t1,…,tm,u1,…,unの

一 次

結 合 と な る こ と は 明 か で あ る.従

っ て,こ

れ らp+m+nこ

の元 が

一次 独 立 で

あ る こ と が わ か れば よ い.

と し よ う.

で あ る か ら, 

と 書 け る.と

っ た か ら,ck=0(k=1,…,n).よ

っ て, 

こ ろ が,υi,ukは

一 次 独 立 で あ が 成 立 つ.υi,tj

も 一 次 独 立 で あ っ た か ら,ai=0(i=1,…,p),bj=0(j=1,…,m).こ υ1,…,υp,t1,…,tm,u1,…,unの

  2.3 

線

型 写

れ で,

一 次 独 立 性 が 証 明 さ れ た. 

(証 終)

像

  こ の 節 で は,V,V1,V2,W等

は 有 限 次 元 実(ま た は 複 素)ベ

ク トル 空 間 と す

る.   定 義2.8 

写 像f:V→Wが

線 型 写 像(linear

map)で

あ る と は,

f(x+y)=f(x)+f(y),f(a・x)=a・f(x) が すべ て のx,y∈V,a∈R(ま

た はa∈C)に

  線 型 写 像f:V→W全

体 か ら な る 集 合 をL(V,W)で

  つ ぎ に,f∈L(V,W)がVか phism)で

対 し成 り立 つ と き を 言 う.

らWへ

あ る と は,fが

あ ら わ す.

の 線 型 同 型 写 像(linear

全 単 射 で あ る と き を 言 う.こ

isomor-

の と き,f−1∈L(W,V)

で あ る.   定 義2.9 

WをVの

x={x+w￨w∈W}で く と.Xは

部 分 空 間 と し,x∈Vに 定 義 す る.x=xmod

自 然 に,ベ

に よ っ て,加

部 分 集 合xを

も 書 く.X={x￨x∈V}と

お

ち,x,y∈X,a∈Rに

対 し,

a・x=a・x

法 と ス カ ラ ー 乗 法 が 矛 盾 な く定 義 で き る.XをVのWに

商 ベ ク トル 空 間(quotient に,写

Wと

ク トル 空 間 と な る.即 x+y=x+y, 

対 し,Vの

vector

像f:V→V/Wをf(x)=x(x∈V)に

は 線 型 写 像 で あ る.こ

のfを

space)と

よ び,X=V/Wで

よる あ ら わ す.つ

よ っ て 定 義 す れ ば,明 自 然 な 射 影(natural

projection)と

ぎ

か にf

よぶ ことが

あ る.x=yの

と き,x≡y(mod

  補 題2.4  w=f(υ),υ

W)と

f∈L(V,W)に ∈V}と

書 く.

対 し,Kerf={υ

お く と,Kerf,

Imfは

∈V￨f(υ)=0},Imf={w∈W￨

と も に 部 分 空 間 で あ っ て,Vが

有限

次 元 な ら ば,  (2.7) 

dimV=dim(Kerf)+dim(Imf)

が 成 立 つ.   証 明   Kerf,

Imfが

部 分 空 間 と な る こ と は,線

型 写 像 の 定 義 よ り殆 ん ど 明

か で あ ろ う.   (2.7)を

証 明 す る た め,Kerfの

基 υ1,…,υkを

基 と す る(系2.1).w1=f(υk+1),…,wn−k=f(υn)と Imfの

基 に な る こ と が わ か れば,(2.7)の

意 の 元w∈Imfはw=f(υ),υ

∈Vと

と り,{υ1,…,υn}をVの お く と き,{w1,…,wn−k}が

成 立 つ こ と が わ か る.と 書 け る か ら, 

と あ らわ

と な る.従

す と, 

こ ろ で,任

っ て,w1,…,wn−k

が 一 次 独 立 で あ る こ とを 言 えば よ い. と せ よ.こ よ っ て, 

bi=0,aj=0を

と 書 け る.υ1,…,υnの

得 て,w1,…,wn−kの

  定 義2.10 

を 意 味 す る か ら, 

れ は, 

f∈L(V,W)に

一 次 独 立 性 か ら,

一 次 独 立 性 が 証 明 さ れ た.  対 し,rankf=dim

Imfをfの

(証終) 階 数(rank)と

よ ぶ.

  系2.3  (ⅲ)は

dimV=dimWと

す る.f∈L(V,W)に

対 し,次

の 条 件(ⅰ)∼

互 い に 同 値 で あ る.

  (ⅰ)  fは

全 射,

  (ⅱ) 

fは

単 射,

  (ⅲ) 

fは

同 型 写 像.

  証 明   (ⅲ)⇒(ⅰ)は   (ⅰ)⇒(ⅱ):fが (Kerf)=0と   (ⅱ)⇒(ⅲ):fは

自 明. 全 射 で あ る か ら,Imf=W.よ

な り,Kerf=0,つ

ま り,fは

単 射 で あ る か ら,Kerf=0.よ

つ て,(2.7)よ

り,dim

単 射 で あ る. っ て,(2.7)よ

り,dim

(Imf)=dimW.よ

つ て,Imf=W.つ

ま り,fは

全 射 で あ る か ら,fは

写 像 とな る

同型

  (証終)

  次 の 補 題 は 階 数 の 定 義 よ り殆 ん ど 明 か で あ る.   補 題2.5  V)が

有 限 次 元 ベ ク トル 空 間U,V,Wと,f∈L(V,W),g∈L(U,

与 え られ,gが

  定 義2.11 

同 型 写 像 で あ れば,rank(f°g)=rankfが

{υ1,…,υn}をVの

(j=1,2,…,n)と … ,υn}に

成 立 つ.

基 と し,f∈L(V,V)と

あ ら わ せ る.n×n行

す る と, 

列A=(aij)をfの

基{υ1,

関 す る 行 列 表 示 と よ ぶ.

  {υ′,…,υn′}を 同 じ くVの

基 と す る と,

 (2.8)

と 書 け る.C=(cij),C′=(cij′)に

よ っ て 行 列C,C′

を 定 義 す る と,C・C′=En

が 成 立 つ.   補 題2.6 

fの

基{υ1′,…,υn′}に

  (2.9) 

よ る 行 列 表 示 をA′=(aij′)と

す れ ば,

A′=CAC−1

が 成 立 つ.  証 明 

の 両 辺 に(2.8)を

と,AC′=C′A′

を 得 る.一

代 入 して

方,C・C′=Enで

υiの 係 数 を 比 較 す る

あ る か ら(2.9)が

得 ら れ る.  (証 終)

 系2.4 

f,{υi},Aは

と お く と,Trfは (trace)と

定 義2.11の

基{υi}の

記 号 と す る.

取 り方 に よ ら な い.こ

の 値Trfをfの

トレー ス

よ ぶ.

  証 明   n×n行

列A=(aij),B=(bij)に

が 成 立 つ こ と よ り,補

題2.6を

対 し, 

用 い る と,

TrA′=Tr(CA)・C−1=TrC−1(CA)=TrA. 

(証 終)

  系2.5

f∈L(V,V)の

ばdetAは

基{υi}の

  証 明   補 題2.6に

基{υ1,…,υn}に

よ る 行 列 表 示 をA=(aij)と

取 り方 に よ ら な い.detA=detfをfの よ りA′=CAC−1で

すれ

行 列 式 と よ ぶ.

あ る か ら,detA′=detAが

成 立 つ. (証 終)

  系2.6 

f∈L(V,V)が

線 型 同 型 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は, 

が

成 立 つ こ と で あ る.   証 明  Vの

基{υ1,…,υn}を

と の 間 に1対1対

f∈L(V,V)と

す る.f(υ)=c・υ

が 存 在 す る と き,υ

υ に 属 す るfの

固 有 値(eigen

  定 理2.3 

Vを

f∈L(V,V)は

をfの

value)と

(証 終)

を み た すc∈R(ま

固 有 ベ ク トル(eigen

た はc∈C) vector),cを

よ ぶ.

有 限 次 元 複 素 ベ ク トル 空 間 と し, 

と す れ ば,任

意の

固 有 ベ ク トル を も つ.

  証 明   Vの

基{υ1,…,υn}を

と り,fの{υi}に

と せ よ.det(A−xEn)=P(x)と 多 項 式 で あ る.従 V→Vに

列

応 が つ く こ と よ り 容 易 に 検 証 さ れ る. 

  定 義2.12  と 

一つ 固 定 す る と,f∈L(V,V)とn×n行

よ る 行 列 表 示 をA=(aij)

お く と,P(x)は

っ てP(c)=0を

変 数xに

み た す 根c∈Cが

つ い て のn次

の

存 在 す る.写

像f−c・1V:

っ て 系2.3に

よ っ て(f

対 し て は, det(f−c・1V)=det(A−cEn)=P(c)=0.

  系2.6に

よ っ てf−c・1Vは

−c・1V(υ)=0な   定 義2.13  racteristic

定 理2.3の polynomial)と

 

2.4 

陰 関 数 定 理,階

 

定 義2.14 Ω1,Ω2を

を と る.Rn1の f∈C1(Ω1×Ω2,Rp)に

線 型 同 型 で は な い.よ

る 元 

が あ る . 

(証終)

証 明 中 に あ る 多 項 式P(x)をfの

固 有 多 項 式(cha

言 う.

数 定 理 そ れ ぞ れRn1,Rn2の

座 標 を(x1,…,xn1),Rn2の 対 し,

開 集 合 と し,点(a,b)∈Ω1×Ω2 そ れ を(y1,…,yn2)と

す る.写

像

に よ っ て,p×ni行

列(dif)(a,b)(i=1,2)が

ト ル 空 間Rniか

らRpへ

の 線 型 写 像 と 考え

  定 理2.4 

f:Ω1×Ω2→Rn2をC1写

∈Ω1×Ω2に

対 し

が み た さ れ れ ば,点(a,b)を x∈U1に

義1.2).あ

含 む 開 集 合U1×U2⊂Ω1×Ω2が た だ1つ

  (2.10) 

ベ ク

て よ い.

像 と す る(定

対 し,点y=g(x)∈U2が

を み た す.さ

定 義 さ れ る.(dif)(a,b)は

る 点(a,b)

存 在 し,任

意の

き ま り,

f(x,g(x))=0 ら に 写 像x→g(x)はU1か

らU2へ

の 連 続 写 像 で あ る.

  証 明   写 像F:Ω1×Ω2→Rn1+n2を F(x,y)=(x,f(x,y)),(x,y)∈Ω1×Ω2 に よ っ て 定 義 し よ う.Fの

点(a,b)に

お け る ヤ コ ビ 行 列(定

義1.6)JF((a,b))

は

の 型 を し て い る の で,  定 理1.3に 近 傍Wが

で あ る.よ

よ っ て,(a,b)の

っ て,

近 傍U1×U2⊂Ω1×Ω2と(a,0)∈Rn1×Rn2の

存 在 し て, F￨(U1×U2):U1×U2→W

は 位 相 同 型 写 像 で あ る.φ=￨F￨(U1×U2))−1と   a∈Rn1の   x∈U1に π2(x,y)=yで f(x,g(x))=0を

十 分 小 さ い 近 傍U1を

と れ ばU1×{0}⊂Wで

対 し,g(x)=π2(φ(x,0))と 定 義 し て お く.写 み た す.ま

お く.

お く.た

だ し π2:Rn1×Rn2→Rn2を

像x→g(x)は

た(2.10)を

あ る と し て よ い.

明 か に 連 続 で あ っ て,か

み た すg(x)∈U2が

た だ1つ

こ と も 明 か で あ ろ う.    補 題2.7  理2.4のg(x)を

f:Ω1×Ω2→Rn2は

つ

であ る (証終)

定 理2.4と

用 い て,n2×n2行

同じ 仮 定 を み た す も の と す る.定

列A(x)とn2×n1行

列B(x)を

  (2.11) 

A(x)=(d2f)(x,g(x)),B(x)=(d1f)(x,g(x))

に よ っ て 定 義 す る.   こ の と き,a∈Rn1の

近 傍Uを

十 分 小 に と れ ば,

  (ⅰ)   (ⅱ) 

g∈C1(U,Rn2),か

  (2.12) 

つ Jg(x)=−A(x)−1・B(x) 

(x∈U)

が 成 立 つ.

  証 明   x→g(x)は A(x)は

連 続 で,f∈C1(Ω1×Ω2,Rn2)で

連 続 で あ る.従

 

っ て,関

数x→det(A(x))はU1上

で あ る か ら,(ⅰ)を

  つ ぎ に,x,x+ξ

∈Uな

る2点

 (2.13) 

あ っ た か ら,写

み た すaの

像x→

で連 続 で あ って

ε 近 傍U⊂U1が

存 在 す る.

に 対 し,

η=g(x+ξ)−g(x)

と お く.f(x+ξ,g(x)+η)=f(x+ξ,g(x+ξ))=0で

あ る か ら,テ

ーラ ーの公

式 に よ り,

と 書 け る(定

義1.9).さ

ら に,η

→0(ξ

→0),か

つf(x,g(x))=0で

あ る か ら,

 (2.14)

が 成 立 つ.   aの

ε/2近 傍 をU0と

る.よ

っ て,(2.14)よ

す れ ば,A(x)−1の

成 分 はU0上

で 有 界な関 数 であ

り,

 (2.15)

が 成 立 つ.(2.15)よ

り,あ

る 正 数cが

の 成 立 す る こ と が わ か る.即 と,(2.13)を

あ っ て,￨ξ￨が 十 分 小 な ら 

ち, 

こ れ を(2.15)に

代 入す る

用 い て,

 (2.16) が 得 ら れ る.(2.16)はg∈C1(U,Rn2),か

つJg(x)=−A(x)−1B(x)を

す る.    定 理2.5 

意 味 (証 終)

f∈C1(Ω1×Ω2,Rn2)お

よ びgは

定 理2.4と

同 じ も の と し,

a∈Ω1の

近 傍Uに

対 し て,

が み た さ れ て い る と す る.こ な ら ば,g∈Ck(U,Rn2)で   証 明   k=1な   k>1に

ら,補

ら,当

題2.7に

関 しCk−1級

級 で あ る.こ

ほ か な ら な い.

あ る.従

で あ る.よ

をRnの

あ る か ら,帰

っ て,(2.11)に

っ て,(2.12)に

納 法 の 仮定 に よ

よ れ ば,A(x),B(x)も

よ り,Jg(x)もxに

関 し,Ck−1

あ る こ と を 示 し て い る. 

開 集 合 と し, 

に お い て, 

近 傍Uが

で よ い と す る と,f∈Ck(Ω1

然f∈Ck−1(Ω1×Ω2,Rn2)で

れ は,g∈Ck(U,Rn2)で

  定 理2.6 Ω a∈Ω

(陰 関 数 定 理)

納 法 で 証 明 す る.k−1ま

っ て,g∈Ck−1(U,Rn2)で xに

し, 

あ る. 

対 し て は,帰

×Ω2,Rn2)な

の と き,も

な ら ば,定

存 在 し て,f￨Uは

と す る.1点 理1.3に

位 相 同 型 で あ る が,実

よ っ て,aの

十分 小 な

はf￨UはCk同

あ る. 

型写像 で (逆 写 像 定 理)

  証 明   写 像h:Rn×Ω

→Rnをh(x,y)=x−f(y)で

定 義 す る と,hに

定 理2.4の

仮 定 が み た さ れ,(2.10)式h(x,g(x))=0を

(f￨U)−1に

ほ か な ら な い.よ

あ る.即

ち,f￨UはCk同

  定 義2.15  an)を

(証 終)

っ て,定

み た す 写 像gは よ り,(f￨U)−1はCk級

型 で あ る. 

Rnの

で (証 終)

部 分 集 合{x∈Rn￨￨xj−aj￨
中 心 と す る 立 方 体(cube)と

  定 理2.7 Ω

理2.5に

対 し,

をRnの

よ ぶ.

開 集 合 と し, 

と す る.も

し rank(Jf(x))=r  が み た さ れ れ ば,a∈Ω Q,Q′

お よ びCk同

の 近 傍U,f(a)∈Rmの 型写 像

ψ:Q→U,ψ′:V→Q′

た す よ うに で き る.   (ⅰ)  f(U)⊂V,   (ⅱ) φ=ψ′°f° ψ と お く と,

(x∈Ω) 近 傍V,Rn,Rmの が 存 在 し て,次

立 方体 の条件 をみ

φ(x1,…,xn)=(x1,…,xr,0,…,0)(x∈Q). 

  証 明   a=0,b=0(原

点)と

(階 数 定 理)

し て 差 支 え な い.ま

を と り な お し て 

た,適

当 にRn,Rmの

で あ る と し て よ い.f(x)の

=(f1(x),…,fn(x))(x∈Ω)と

す る と き,写

像g:Ω

基

成 分 をf(x)

→Rnを

g(x)=(f1(x),…,fr(x),xr+1,…,xn) で 定 義 す る.も よ っ て,陰

ち ろ ん,原

点 に お け るgの

関 数 の 定 理2.5に

て,g￨υ:U→QはCk同

ヤ コ ビ 行 列 はJg(0)=Enで

よ り,0∈Rnの

近 傍Uと

型 と な る.ψ=(g￨U)−1と

あ る.

立 方 体Qが

お く.写

存在 し

像f° ψ はy∈Q

に 対 して ,  (2.17) と 書 け,φj∈Ck(Q)(j=r+1,…,m)で    そ こ で,h=f°

ψ

あ る.

と お く と,

Jh(y)=Jf(ψ(y))・Jψ(y)  が 成 立 つ か ら,補

題2.5に

  よ っ て,(2.17)に

よ り,rank(Jh(y))=r(y∈Q).

よ り,す

つ ま り,φjはyr+1,…,ymに   い ま,立

(y∈Q)

べ て のj,k>rに

対 し, 

が 成 立 つ.

依 存 し な い.

方 体QをRr,Rn−rの

中 の 立 方 体Q1,Q2の

直 積 集 合 と して あ ら

わ す:Q=Q1×Q2.   つ ぎ に,写

像

θ:Q1×Rm−r→Q1×Rm−rを

 に よ っ て 定 義 す る と,明   立 方 体Qを れ る.こ

のQ′

かに

分 同 型 で あ る.

十 分 小 に と れ ば,θh(Q)⊂Q′ に 対 し,V=θ−1(Q′),ψ′=θ￨Q′ f(U)=(f°

が 成 立 ち,か

θ はCk微

つx∈Qに

ψ)(Q)=h(Q)⊂ 対 し,

⊂Q1×Rm−γ と お け ば, θ−1(Q′)=V

な る  立 方 体Q′

が と

が 成 立 つ. 

(証終)

問

  V,Wは

題2

有 限 次 元 の 実 ベ ク トル 空 間 と し,L(V,W)はVか

らWへ

の線 型 写 像 全 体

の な す ベ ク トル 空 間 と す る.   2.1  f∈L(V,V)がf°f=1Vを

み た す 時,V±={x∈V￨f(x)=±x}(複

号 同 順)

と お け ば, V=V+ 

V_ 

(直 和)

で あ る.   2.2  f∈L(V,V)で

あ っ て,f°f=−1Vを

み た す も の が 存 在 す れ ば,Vは

偶数 次元

で あ る.   2.3  f∈L(V,V)に

対 し,fm=0を

み た す 自 然 数mが

存 在 す れ ば,fn=0で

あ る.

た だ し,n=dimV.   2.4  f∈L(V,V)と あ る α ∈Rが

す る.す

存 在 し てf=α

  2.5  dimL(V,W)=dimV・dim

べ て のg∈L(V,V)に

・1Vで

あ る. Wが

成 立 つ.

対 し,f°g=g°fが

成 立 て ば,

3.  位

相

空

間

  3.1  位 相 空 間 の 定 義   集 合Mの

部 分 集 合 全 体 か ら な る 集 合 をP(M)で

あ らわ す:P(M)={U

U⊂M}.   定 義3.1  て,次

集 合Mの

位 相(topology)と

は,P(M)の

部 分 集 合Uで

あ っ

の 条 件 を み た す も の を 言 う.

  (ⅰ) 

(φ は 空 集 合),

  (ⅱ)な

らば,

  (ⅲ) 

な らば,

  集 合Mと space)と

位 相Uと よ び,Uの

を 一 組 に し て,(M,U)の 元Uを

明 記 す る 必 要 の な い 場 合 は,単

こ と を 位 相 空 間(topological

こ の 位 相 空 間 の 開 集 合(open にMを

set)と 言 う.Uを

位 相 空 間 と 言 う.

  上 の 条 件 の ほ か に,   (ⅳ)  p,q∈M, 

に 対 し, 

を み た す と き,Mを

ハ ウ ス ドル フ 空 間(Hausdorff

  本 書 で 取 扱 う位 相 空 間 は,断   定 義3.2 

(M,U)を

とお き,U(p)の

が 存 在 し て,p∈U,q∈V, 

り の な い か ぎ り,ハ

位 相 空 間 と す る.p∈Mに

元Uをpの

近 傍 を 含 む 任 意 の 集 合 をpの

space)と

開 近 傍(open 近 傍 と言 い,pの

言 う.

ウ ス ドル フ 空 間 で あ る. 対 し,

neighborhood)と

よぶ.pの

開

近 傍 全 体 か ら な る 集 合 をU′(p)

で あ らわ す.   定 義3.3  Upを

(M,U)を

位 相 空 間 と し,p∈Mに

対 し,U′(p)の

部分 集 合

考 え る.

  任 意 の  と き,Upを

に 対 し,V⊂Uか 位 相Uに

つ い て のpの

つ 

を み た すVが

基 本 近 傍 系 と よ ぶ.

存 在す る

 定 義3.4  とは,任

(M,U)を

位 相 空 間 とす る.点

意 の 

に 対 し,十

列{pν}がp0∈Mに

分 大 き い 自然 数Nを

収 束す る

とると

 

が 成 立 つ と き を 言 う.  命 題3.1 

(M,U)を

位 相 空 間 とす る と,次 の こ とが 成 立 つ.

  (1) 

な ら ばp∈U,

  (2) 

な ら ば 

か つ, 

を み た すWが

つ 

を み た すVが

存 在 す る.   (3) 

q∈Uな

ら ば,V⊂Uか

存 在 す る.   逆 に,集

合Mの

各 点pに

対 し, 

(3)を(U(p)をUpに

か え て)み

の 位 相Uが,た

た せ ば,{Up}を

基 本 近 傍 系 と す るM

だ 一 つ 存 在 す る.

  証 明   (1)は

自 明.(2)は 

  逆 に,(1)∼(3)を き,Vの

が 与 え ら れ て,(1),(2),

,(3)はV=Uと

み た す{Up}が

元 の(有 限 で も,無

お け ば よ い.

与 え ら れ た と す る. 

とお

限 で も よ い)和 集 合 と し て あ ら わ せ るMの

集 合 全 体 お よび 空 集 合

φ か ら な る 集 合 をUで

  (1),(2),(3)を

用 い て,Uが

す こ と が た し か め ら れ る.Uが

あ ら わ す.

定 義3.1の(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を 求 め る 位 相 で あ る こ と,お

みた よび そ の 一 意 性 も

容 易 に 検 証 さ れ る.     定 義3.5 

(証終)

(M,U)を

位 相 空 間 と し,WをMの

部 分 集 合 と す る. 

と お く と,U￨WはWの か ら 導 か れ た 相 対 位 相(relative 相 空 間 と 考 え る 場 合,Wを   定 義3.6  をM上

部分

集 合Mに

の 距 離(metric)と

  (ⅰ)  き に 限 る.   (ⅱ)  ρ(x,y)=ρ(y,x).

topology)と

位 相 で あ る.こ 言 う.Wを

の 位 相 をU

相 対 位 相 に よ って 位

部 分(位 相)空 間 と よ ぶ. 対 し写 像

ρ:M×M→Rが

次 の 条 件 を み た す と き,ρ

よ ぶ. で あ っ て,ρ(x,y)=0と

な る の はx=yの

と

  (ⅲ)   組(M,ρ)の

こ と を 距 離 空 間(metric

い と き は,単

にMを

  命 題3.2 

(M,ρ)を

={q∈M￨ρ(p

,q)<δ}と

お く と,{Up}は

距 離 空 間 と よ ぶ.次

お き,pの

定 義 さ れ る.こ

M=Rnと

i=1,…,n}と (Rn,ρ)は

δ に 対 し,U(p,δ)

δ 近 傍 と よ ぶ. 

と

っ て,{Up}を

の 位 相 空 間(M,U)を

基 本近 傍 系 と

距 離 空 間(M,ρ)に

像

意 のt=(t1,…,tn)∈Rnに ρ:M×M→Rを

距 離 空 間 で あ る.従

相 をRnの

正数

付

ρ か ら 導 か れ た 位 相)と よ ぶ.

し,任

お き,写

を 明記す る必要 の な

の 命 題 は 容 易 に 証 明 で き る.

条 件 を み た す.従

随 す る 位 相 空 間(ま た は,Uを   例3.1 

よ ぶ.ρ

距 離 空 間 と す る.p∈Mと

命 題3.1の

す る 位 相Uが

space)と

ρ(t,u)=￨t−u￨で

っ て,Rnは

自 然 な 位 相 と よ ぶ.自

対 し,￨t￨=Max{￨ti￨;

自 然 に,位

定 義 す れ ば,

然 な 位 相 に よ るRnの

相 空 間 と な る.こ

の位

点 列 の 収 束(定 義3.4)

は 普 通 の 意 味 の 収 束 の 概 念 と 一 致 す る.   例3.2  =‖t−u‖

t∈Rnに

対 し, 

と お き,ρ0:Rn×Rn→Rを

で 定 義 す る と,ρ0はRn上

次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 と よ ぶ.こ と 一 致 す る.付   例3.3 

の 距 離 と な る.距 の(Rn,ρ0)に

随 す る位 相 が 一 致 す る 距 離

集 合Mに

対 し, 

離 空 間(Rn,ρ0)をn

付 随 す る 位 相 は 例3.1の

と お け ば,明

  定 義3.7  き,Ucの    補 題3.1 

topology)と

位 相 空 間(M,U)に 元Fは,位

か に,UはMの

位

の 位 相 をMの

デ

よ ぶ.

対 し, 

相 空 間(M,U)の

とお 閉 集 合(closed

set)で あ る と 言 う.

(ⅰ)

  (ⅱ) 

な ら ば, 

  (ⅲ) 

な ら ば, 

  証 明   定 義3.1の(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)よ   定 義3.8 

位相

ρ1,ρ2は 同 値 な 距 離 で あ る と 言 う.

相 で あ る(す べ て の 部 分 集 合 が 開 集 合 と い う こ と に な る).こ ィ ス ク リ ー ト位 相(discrete

ρ0(t,u)

(M,U)を

位 相 空 間 と す る.任

り殆 ん ど 自 明.  意 のA⊂Mに

(証 終) 対 し,

と お き,AをAの(位

相Uに

書 く こ と も あ る.補

関 す る)閉 包(closure)と

題3.1(ⅲ)に

よ り, 

よ ぶ.A=Cl(A)と

つ ま り,AはAを

含む

最 小 の 閉 集 合 で あ る.   補 題3.2 

(M,U)を

位 相 空 間 と す る.A⊂Mに

対 し,

な ら ば,

(3.1) 

が 成 立 つ.   証 明   (3.1)の す 

右 辺 をBと

お く.ま

る.よ

が あ る.F=M−Uと っ て,A⊂F.従

お け ば, 

をみ た

で あ っ て,A⊂Fで

あ

あ る か ら, 

即 ち,

言 え た.

と せ よ.Aの

る.U=M−Fと

と せ よ. 

っ て,A⊂M−Uで

 こ れ で,A⊂Bが   つ ぎ に, 

ず, 

定 義 よ り, 

お く と, 

対 し, Bの

を み た す 

で あ る.即

ち, 

定 義 よ り, 

があ こ のUに

こ れ で,B⊂Aが

言 え た. (証 終)

  定 義3.9 

位 相 空 間(M,U)の

集 積 点(accumulation  任意の

  3.2 

 

point)で

部 分 集 合Aに あ る と は,次

に 対 し, 

対 し,1点p∈MがAの

の 条 件 を み た す と き を 言 う:

はp以

外 の 点 を 含 む.

直 積 と 位 相 の は り合 わ せ

  命 題3.3  p=(p1,p2)に

(M1,U1),(M2,U2)を2つ

は,命

題3.1の

条 件(1)∼(3)を

を 基 本 近 傍 系 と す る 位 相VがM=M1×M2に

  証 明  U1,U2が(1)∼(3)を

(M2,U2)の

命 題3.3の

み た す. 定 義 で き る.

み た す こ と か ら,Vも(1)∼(3)を

た す こ と が 容 易 に た し か め ら れ る.    定 義3.10 

点

対 し,

と お く と,  従 っ て, 

の 位 相 空 間 と す る.M1×M2の

位 相 空 間 

直 積 位 相 空 間(ま た は 直 積)(direct

み (証 終)

を 位 相 空 間(M1,U1), product)と

よ ぶ.

  定 理3.1  Miに

集 合Mが

は 位 相Uiが

部 分 集 合Mi(i∈J)の 定 義 され て い て,(i)  が す べ て のi,j∈Jに

  こ の と き,Mの

位 相Uで

す べ て のi∈Jに

和 集 合 で あ っ て,そ

れ ぞれ の

(ii)  対 し成 立 って い る とす る.

あ っ て,(1)U￨Mi=Ui,(2)Mi∈Uが

対 し成 立 つ よ うなUが

た だ 一 つ 存 在 す る, (位 相 は り合 わ せ 定 理)

証明 (3.2) と お く と,UがMの

位 相 で あ る こ と は 容 易 に た し か め られ る. 

と お く.   (1)を

証 明 し よ う.任

意 にV∈Uiを

と る.す

べ て のj∈Jに

対 し, 

よ っ て,  ∈Ujが

存 在 す る.(i)よ

に,  (3.2)に

が す べ て のj∈Jに よ っ てV∈Uで

Ui⊂U￨Miが

あ る.v⊂Miで

あ る か ら 

ゆえ

対 し成 立 つ こ と が わ か り,Uの

定 義

あ っ た か ら,V∈U￨Mi.よ

っ て,

わ か っ た.

  逆 に,V∈U￨Miを (3.2)よ

り,Mij∈Ujで

の 成 立 つV′

任 意 に と る と, 

りV∈Uiで

あ る.よ

と な るV′

っ て,U￨Mi⊂Uiが

∈Uが

わ か っ た.こ

あ る. れ で(1)

が 証 明 さ れ た.   (2)が

成 立 つ こ と は 仮 定(i)と

  つ ぎ に,Uの

一 意 性 を 言 う た め,U′

と し よ う.U=U′

に よ る.

も(1),(2)を

み た すMの

位相

を 証 明 す れ ば よ い.

  任 意 にV∈Uを

と る と 

を み た すV′

が あ る.Mi∈U′

で あ る.よ ら,U⊂U′

だ か ら,  で あ る か ら 

っ て, Vは

即 ち, 任 意 で あ った か

が 示 さ れ た.

  同 様 に,UとU′ U=U′

定 義(3.2)と

の 役 割 を 交 換 す る と,U′

が 証 明 さ れ た. 

⊂Uが

成 立 ち,従

っ て, (証終)

  定 義3.11 

位 相 空 間(M,U)に

合 の 集 合{Ui}をMの

  3.3 

開 被 覆(open 

連 続 写 像,位

よ ぶ.

続 の 概 念 が 定 義 さ れ る.と

(M1,U1),(M2,U2)を

続 写 像(continuous 

map)で

に 対 し,f-1(V)∈U1で

言 う よ り も,連

続 性を定

位 相 空 間 と す る.写 像.f:M1→M2が

あ る(ま た は,連

続 で あ る)と は,任

連

意 のV∈U2

あ る と き を 言 う.

fが1点p∈M1に

お い て 連 続 で あ る と は,任

るU∈U1(p)が

  命 題3・4 

covering)と

相 空 間 の 概 念 が 生 れ た の だ と 言 っ た 方 が よ い か も 知 れ な い.

  定 義3.12 

し,あ

をみ た す 開集

相 同型 写 像

  位 相 空 間 に 対 し て は,連 義 す る た め,位

対 し, 

存 在 し て,f(U)⊂Vと

f:M1→M2を

意 のV∈U2(f(p))に

対

な る と き を 言 う.

位 相 空 間(M1,U1)か

ら(M2,U2)へ

の 写像 と

す る.   (1)  る.逆

fが

連 続 写 像 で あ れ ば,す

べ て の 点p∈M1に

お い てfは

連続であ

に,

  (2) 

fが

す べ て の 点p∈Mに

  証 明   (1)  ∈U2で

任 意 のV∈U2(f(p))に

あ る か らU∈U1で

な らU∈U1だ

る と,fはpに f(Up)⊂Vを

方,U∋pは

自 明.よ

お く と,V っ て,U∈U1(p).

か ら 明 か.

任 意 にV∈U2を

(U=φ

連 続 写 像 で あ る.

対 し,U=f-1(V)と

あ る.一

f(U)⊂VもU=f-1(V)だ   (2) 

お い て 連 続 な ら ば,fは

と る.U=f-1(V)と

お き,p∈Uを

か ら 証 明 す る こ と な し).U∈U2(f(p))に お い て 連 続 で あ る か ら,あ

み た す.Up⊂f-1(V)=Uで

るUp∈U1(p)が

(例3.1)で

注意 す あ っ て,

あ る か ら, 

が 成 立 つ.   注 意3.1 

任 意 に と る.

(証終) M1=M2=R1で あ る と き,f:R→Rが

あ っ て,U1,U2が

連 続 写 像 で あ る こ と と,fが(普

の)連 続 関 数 で あ る こ と と は 同 じ で あ る.つ の 拡 張 で あ る.

と も にR1の

ま り,連

自然 な 位 相 通 の意 味

続写 像 は連続 関数 の概 念

  定 義3.13 

M1,M2を

位 相 空 間 と す る と き,M1か

体 か ら な る 集 合 をC0(M1,M2)で   定 義3.14 

R1を

らM2へ

の連 続写像 全

あ らわ す.

自 然 な 位 相 で 位 相 空 間 と 考 え た 場 合C0(M,R1)の

元 をM

上 の 実 数 値 連 続 関 数 と よ ぶ.   補 題3.3 

M1,M2,M3を

位 相 空 間 と す る.f∈C0(M1,M2),g∈C0(M2,M3)

な ら ば,9°f∈C0(M1,M3)で

あ る.

  証 明 Ui(i=1,2,3)をMiの g-1(W)∈U2.ゆ

位 相 と す る.任

意 のW∈U3に

え に(g°f)-1(W)=f-1(g-1(W))∈U1.よ

対 し, っ て,g°fは

続 で あ る. 

連

(証終)

  定 義3.15 

(Mi,Ui)(i=1,2)を

位 相 空 間 と す る.f∈C0(M1,M2)が

射 で あ っ て,f-1∈C0(M2,M1)で 写 像(homeomorphism)と

あ る と き,fはM1か 言 う.(M1,M2がRnの

相 に よ る 位 相 空 間Rnの

らM2へ

全単 の位 相 同型

開 集 合 で あ っ て,自

部 分 空 間 と 考 え た 場 合,定

義1.3の

然 な位

位 相同型 写像 と

一 致 す る) .   位 相 同 型 写 像.f:M1→M2が

少 く と も1つ

同 型 ま た は 同 相(homeomorphic)で   同 相"〓"は   例3.4 

存 在 す る と き,M1とM2は

あ る と 言 い, 

位相

で あ らわ す.

同 値 関 係 で あ る. M1=R1,M2=R+={t∈R￨t>0}と

し,M2をM1よ

相 に よ る 位 相 空 間 と す る.f:M1→M2をf(t)=et(t∈R)で

りの 相 対 位 定 義 す る と,f

は 位 相 同 型 写 像 で あ る.

  3.4  連 結 集 合,連   (M,U)を Mの

結成分

位 相 空 間 とす る と き,定 義3.1と

補 題3.1に

開 か つ 閉 集 合 で あ る.開 か つ 閉 集 合 が φ,Mに

結 空 間 と言 う.Mの

よれ ば,φ,Mは

限 る よ うな 位 相 空 間 を 連

部 分 集 合 は 部 分 空 間 と して 連 結 空 間 で あ る と き,連

結集

合 で あ る と言 う.く わ し くの べ る と:   定 義3.16  は,

位 相 空 間(M,U)の

部 分 集 合Wが

連 結(connected)で

あ ると

な ら ば,W=W1ま   (M,U)が

た はW=W2. 局 所 連 結(locally  connected)で

U(p)に

対 し,V⊂Uを

  Mが

み た す 連 結 なV∈U(p)が

連 結 で あ っ て も,局

  例3.5 

意 のp∈MとU∈

存 在 す る と き を 言 う.

所 連 結 で な い 場 合 が あ る.

区 間W=[0,1]⊂R'は  

あ る と は,任

連 結 で あ る こ と を 示 そ う. 

Wi∈U￨W(UはRの

自 然 な 位 相)と

せ よ.0∈W1と

して

よ い.   W1∈U￨Wで

あ る か ら, 

参 照).い

をみ たす

ま,A={t∈W￨s
ら, 

ら ばs∈W1}と

で あ る.δ=sup{t￨t∈A}と で あ る.と

あ る(例3.1

お く と,ε0/2∈Aで

お く.任

こ ろ でW1はWに

ε0>0が

意 の ε>0に

あ るか

対 し, 

お い て 閉 で あ った か ら

δ∈W1で

あ

る.   δ<1と

仮 定 す る と,W1がWの

[δ,δ′]⊂W1を δ=1と

みた す

δ′が あ る こ と に な り,δ

な り,W1=[0,1]と

  定 理3.2 

開 集 合 で あ る こ と か ら,1>δ′>δ

な る.よ

f∈C0(M1,M2)と

かつ

の 取 り方 に 矛 盾 す る.よ

っ て,Wは

っ て,

連 結 で あ る.

す る.W⊂M1が

連 結 で あ れ ば,f(W)も

連

結 で あ る.   証 明 

と せ よ.  と 書 け る.よ

と な り, 

っ て,

が 成 立 つ.Wは

と お く と,

W1=Wな

連 結 で あ る か ら,W1=Wま ら ば,W⊂f-1(V1),従

た は,W2=Wで

っ て,W′=f(W)⊂V1,ゆ

あ る.例

え ば,

え に,W1′=W′

と な る.   よ っ て,W′

は 連 結 で あ る. 

(証 終)

  補 題3.4 

Wi(i∈J)が

位 相 空 間(M,U)の

な ら ば,和 集 合   証 明  

連 結 部 分 集 合 で あ って,  も連 結 で あ る.

と お き, 

A 

と せ よ.

を み た すU, 

V∈Uが

あ る.  か つ

で あ るか ら, 

ま た は 

  (1)  す べ て のi∈Jに

対 し, 

で あ る. が 成 立 つ 場 合: 

とな り,W=Aが   (2)  す べ て のi∈Jに

成 立 つ.

対 し, 

が 成 立 つ 場 合 はW=Bが

成立

つ.

  (3) 

あ る 

と は な い.何

に 対 し, 

故 な ら,A⊃Wi,B⊃Wjで

ち, 

あ る か ら 

即

と な り仮 定 に 反 す る か らで あ る. 

  定 理3.3 

M1,M2を

連 結 位 相 空 間 と す れ ば,直

  証 明   (p,q)∈M1×M2に く と,対

が成 立 つ こ

応(p,p2)→p2に

に よ っ て 連 結 で あ る.同

積M1×M2も

連 結 で あ る.

対 し,Wp(1)={p}×M2,Wq(2)=M1×{q}と

お

よ っ てWp(1)はM2と 様 に,Wq(2)も

り, 

(証終)

同 相 で あ る か ら,定

連 結 で あ る.従

も 連 結 で あ る.再

っ て,補

び 補 題3.4に

題3.4に

Wを

位 相 空 間(M,U)の

よ

よ り, 

も 連 結 で あ る.    定 理3.4 

理3.2

(証終)

連 結 な 部 分 集 合 と す れ ば,閉

包Wも

連 結 で あ る.   証 明 

と せ よ.A,BはWの

で あ る か ら,Mの

閉 集 合 で も あ る.

  さ て, 

で あ っ て, 

か ら, 

ま た は, 

よ っ て,W⊂A=A.即 て,W=Bが

閉集合

成 立 つ. 

ち,W=Aが

が 成 立 つ.  成 立 つ. 

で ある な ら ばW⊂A. の ときは 同様 に し (証 終)

  定 理3.5 

位 相 空 間(M,U)の

か らな る集 合 をC(p0)と

点2)p0∈Mを

す れ ば,C(p0)に

と る.p0を

含 む連 結 集合 全 体

は 最 大 の 集 合W0が

あ って,そ

れ は 閉 で あ る.   証 明 

と お く.A,A′

で あ る か ら,補 がC(p0)の

題3.4に

よ り,W0は

∈C(p0)な

連 結 で あ る.ゆ

中 で 最 大 で あ る こ と も 自 明 で あ る.ま

も 連 結 で あ る か ら,W0∈C(p0).従

ら ば, 

え に,W0∈C(p0).W0

た,定

っ て,W0⊂W0.即

理3.4に

よ り,W0

ち,W0=W0で

あ る. (証 終)

  定 義3.17  ponent)と

定 理3.5のW0をp0を

含 むMの

よ び.W0=Cp0(M)と

  定 義3.18 

あ る と は,任

単 位 区 間 と す る.位 の 道(path)ま

始 点,f(1)をfの

com-

書 く.

I=[0,1]を

∈C0(I,M)をM上

連 結 成 分(connected 

た は,曲

相 空 間(M,U)に 線(curve)と

終 点 と よ ぶ.(M,U)が 意 の2点p,q∈Mに

よ び ,f(0)をfの

弧 状 連 結(arcwise 

対 し,pを

始 点,qを

対 し,f

connected)で

終 点 と す るM上

の

道 が 存 在 す る と き を 言 う.   定 理3.6 

弧 状 連 結 な 位 相 空 間Mは

  証 明   1点p0∈Mを 集 合 をΩ

連 結 で あ る.

固 定 す る.p0を

始 点 とす るM上

の 道 全 体 か らな る

と す る: Ω={f￨f∈C0(I,M),f(0)=p0}.

  例3.5に

よ り,Iは

る.f,g∈Ω

連 結 で あ る か ら,定

な ら ば, 

  例3.6 

成 立 ち,Mは

開 区 間(0,1),実

こ ろ が,仮

連 結 であ

題3.4に

定 よ り,Mは

よ り,  弧 状 連 結 であ

連 結 で あ る. 

数 直 線Rは

あ る こ と が 明 か で あ る か ら.従 も 連 結 で あ る.

よ り,f(I)は

で あ る か ら,補

も 連 結 で あ る.と る か ら,M=M0が

理3.2に

っ て,定

(証 終)

連 結 で あ る.何 理3.3に

よ り,ユ

故 な ら,弧

状 連 結で

ー ク リ ッ ド空 間Rｎ

  3.5 

コ ン パ ク ト集 合

  定 義3.19 

Kを(ハ

ウ ス ドル フ)位 相 空 間(M,U)の

が コ ン パ ク ト(compact)で  

あ る と は,次

部 分 集 合 と す る.K

の 条 件 を み た す と き を 言 う:

な ら ば, 

を み た す 有 限 個 の 元i1,…,iN∈J

が 存 在 す る.   注 意3.2上

の 条 件 を 閉 集 合 に つ い て 言 う と,次

  K⊃Fi(i∈J),Fi∈UCで

あ っ て, 

有 限 個 のi1,…,iN∈Jが   定 理3.7  Mの

Kを

コ ン パ ク ト部 分 集 合 と す れ ば,Kは

任 意 の 閉 部 分 集 合Lは

任 意 の 点p0を

と り,固

で あ る か ら,U∈U(p0),V∈U(q)で る.U,Vはqに

コ ン パ ク トで あ る.

定 す る.Kの

に 

が 成 立 つ.Kは

q1,…,qN∈Kが

あ っ て 

が 成 立 つ.即

ち,U0⊂M-K.一

書 く こ と に す る と,明 コ ン パ ク トで あ る か ら,有 と お く と, 

方,U0∈U(p0)で

あ る.U0はp0に

関係 よって

閉 集 合 で あ る こ と が 証 明 さ れ た.

コ ン パ ク トで あ る こ と を 言 うた め, 

よ.M-L∈Uで

あ っ て,V=M-Lと 限 個 のi1,…,iNが

と す る.KをM1の

とせ

お く と, 

が 成 立 つ.

存 在 し て, 

 と な る か ら,Lは f:M1→M2を

か

限 個 の点

お け ば, 

ち,Kは

  定 理3.8 

と る と, 

を みた す ものが あ

と な る. 

す る か ら,U0=U(p)と

  つ ぎ に,Lが

点qを

あ っ て, 

関 係 す る か ら,U=Uq,V=Vqと

M-K∈U.即

をみ たす

存 在 す る.

閉 集 合 で あ る.Kの

よ っ て,有

な ら ば, 

位 相 空 間(M,U)の

  証 明   M-Kの

の よ う に な る:

と な る.従

コ ン パ ク トで あ る.  位 相 空 間(M1,U1)か

っ て,

(証終) ら(M2,U2)へ

コ ン パ ク ト部 分 集 合 とす れ ば,f(K)も

の連 続写像 コ ン パ ク トで あ

る.   証 明  っ て,f-1(Vi)∈U1.よ

と せ よ.  っ て,i1,…,iN∈Jが

であ 存 在 し て, 

と

な る.従

っ て,

 (証終)   定 理3.9  Ｍ2も

(Mi,Ui)(i=1,2)を

コ ン パ ク ト位 相 空 間 と す れ ば,直

コ ン パ ク トで あ る(定

積M1×

義3.10).

  証 明   (p,q)∈M1×M2に

対 し,M1(q)=M1×{q},M2(p)={p}×M2と

お く

と, 

で あ る か ら,そ

て,

と せ よ.た

だ し,VはM1×M2の

  (p,q)∈M1×M2に Wi∈Vで

れ ぞ れ コ ン パ ク トで あ る.さ

位 相(定 義3.10)で

対 し,(p,q)∈Wiと

な る 。i=i(p,q)∈Jが

あ る こ と か ら,Ui∈U1(p),Ｖi∈U2(q)で

を み た す も の が あ る.こ

が 成 立 つ.p0∈M1に

れ らUi,Viを

あ る. あ る が,

あ っ て,Ui×Vi⊂Wｉ

用 い る と,

対 し,J(p0)={i(p,q)￨Ui(p,q)∋p0}と

お く と, 

が 成 立 つ か ら,i1,…,iN(p0)∈J(p0)が

と な る.J0(p0)={i1,…,iN(p0)}と U(p0)∈U1(p0)で

が 成 立 つ.と

お き, 

と お け ば,

あ っ て,

こ ろ で, 

ｐ1,…,pN0∈M1が =1,…,N0}が

存 在 し て,

で あ る か ら, 

存 在 す る.こ

の と き, 

成 立 つ. 

っ て, 

とな る ｖ

と お く と ,J0はJの が 成 立 つ.よ

っ て,M1×M2は

有 限 部 分 集 合 で あ コ ン パ ク トで あ る.  (証終)

  定 義3.20  と は,任

位 相 空 間(M,U)が

意 のp∈Mに

対 し,コ

局 所 コ ン パ ク ト(locally  compact)で ン パ ク トな 近 傍V∈U′(p)(定

あ る

義3.2)が

存

在 す る と き を 言 う.   例3.7  Rnの

ハ イ ネ ーボ レ ル の 定 理 に よ り,区

立 方 体 

間[0,1]は

コ ン パ ク トで あ る か ら,

も コ ン パ ク トで あ る(定 理3.9).こ

れ か ら,

Rnの

部 分 集 合Kが

コ ン パ ク トで あ るた め の 必 要 十 分 条 件 はKが

有 界閉 集 合

で あ る こ とが わ か る.   定 理3.10 

コ ンパ ク ト位 相 空 間Mに

対 し,任 意 のf∈C0(M,R)はM上

で 最 大 値 お よ び 最 小 値 を と る.   即 ち,p0∈M,p1∈Mが

存 在 して,

  (3.3)  が す べ て の ρ∈Mに

対 し成 立 つ.

  証 明   定 理3.8に

よ り,f(M)はR1の

コ ンパ ク ト集 合,従

って,有

界閉

集 合 で あ る(例3.7). inf{f(p)￨p∈M}=a0,sup{f(p)￨p∈M}=a1 と お く と,f(M)は

有 界 だ か ら, 

集 合 だ か ら,a0,a1∈f(M)で

で あ っ て,f(M)は

あ る,よ

っ て,p0∈M,p1∈Mが

存 在 し て,

ａ0=f(p0),a1=f(p1)と

な り,(3.3)を

  定 理3.11 

局 所 コ ン パ ク ト-ハ ウ ス ドル フ 空 間 と し, 

(M,U)を

と す る と,少

く と も1つ

み た す. 

のMnはMの(空

閉

(証 終)

で な い)開 集 合 を 含 む. (カ テ ゴ リ ー 定 理)

  ま ず,次

の 補 題 を 証 明 す る.

  補 題3.5 

(M,U)を

局 所 コ ン パ ク トと す る と,任

  (3.4) 

V⊂Uか

を み た すVが

と お く.U'∈UCだ

ら, 

だ か ら,U⊂U.よ の と き は,q∈Bに

か つ  Bは

つV∈U(p)

局 所 コ ン パ ク トで あ る か ら,Uは

=M-U, 

 

対 し,

存 在 す る.

  証 明   Mは U′

意 のU∈U(p)に

を み た すUｑ,Vqが

コ ン パ ク トで あ る(定 理3.7)か

は 明 か で あ る.も

し, 

か ら,B∈UCで

っ て,V=Uと

対 し, 

 と お く.V∈U(p)で

コ ン パ ク トで あ る と し て よ い. あ る.B=φ

し て(3.4)が

な

み た さ れ る.

よ り,Uq∈U(p),Uq⊂U,Vq∈U(q) 存 在 す る.  ら,  あ る か ら,V⊂Uが

で あ る と す る と, 

で あ っ て, を み た すqi∈Bが

と れ る.

言 え れ ば よ い.V⊂U をみ たす 点

ｐ1が

あ る. 

で あ る か ら,p1∈Vqiを

∈U(p1)で

あ る.一

立 つ.V⊂Uqiで

あ る か ら,(3.1)よ

も あ る か ら, 

  定 理3.11の て,矛

方,p1∈Vで

あ る か ら,  お く と ,Vn∈Uで

補 題3.5に

よ り,U1∈U(p1)か

コ ン パ ク トな も の が あ る. 

U2∈U(p2)が

あ る.以

下,こ

で あ る.よ を み た すU1が

れ を く りか え す と,点

で あ る. 

p*∈Un⊂Vn=M-Mn.即

ち,   で あ る か ら,こ

っ て,

存 在 す る. を みた す

列{pn}と 

存 在 す る.U0は

よ っ て, 

で

ま,Vn=M-Mn(ｎ

の 論 法 と 同 様 に し て, 

を み た すUn∈U(pn)(n=1,2,…)が

  3.6 

あ る.い

つ 

で あ る か ら,今

意3.2に

局 所 コ ン パ ク トで

あ っ て, 

次 に 

ら,注

れ は 矛 盾 で あ る.

固 定 す る.Mは

を み た す 点p1が

=1,2,…)と

が成

で な い)開 集 合 を 含 ま な い と し

盾 を み ち び け ぽ よ い.点p0∈Mを あ っ てU0が

あ る.Vqｉ

り, 

と な り,こ

証 明   す べ て のMnがMの(空

あ る か ら,U0∈U(p0)で

み た すiが

コ ン パ ク トで あ っ た か な る 点p*を

が す べ て のnに

と る と,

対 し成 立 つ.一

れ は 矛 盾 で あ る. 

方,

(証 終)

コ ン パ ク ト開 位 相

  (Mi,Ui)(i=1,2)を な る 集 合 をKで

位 相 空 間 と す る.M1の

コ ン パ ク ト部 分 集 合 全 体 か ら

あ ら わ す.

 ｆ∈C0(M1,M2)(定

義3.13)に

対 し,

P(f)={(K,U)￨K∈K,U∈U2,f(K)⊂U} と お く.ま

た,(K,U)∈P(f)に

対 し,

W(K,U)={g∈C0(M1,M2)￨9(K)⊂U} と お く.   定 義3.21 

f∈C0(M1,M2)に

と お く と,{Uf/f∈C0(M1,M2)}は

対 し,

命 題3.1の

条 件(1)∼(3)を

み た す.

よ っ て,{Uf}を

基 本 近 傍 系 と す る 位 相 がC0(M1,M2)の

の 位 相 を コ ン パ ク ト開 位 相(compact‐open

中 に 定 義 され る こ

topology)略

し て,C‐O位

相 とよ

ぶ.   命 題3.5 M2が

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ れ ば,C0(M1,M2)はC‐O位

相に

よ っ て ハ ウ ス ドル フ 空 間 と な る.   証 明 f,g∈C0(M1,M2)で, 

な る も の を と る と,p1∈M1が

 で あ る.M2は

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る か ら, 

で あ っ て, 

を み た す も の が あ る.W=W({p1},

V),W′=W({p1},V′)と

お け ば, 

す.よ

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る. 

っ てC0(M1,M2)は

をみ た

問

  3.1  位 相 空 間M1, g°f:M1→M2は

M2と

存 在 し て,

集 合Eに

題3

対 し,写

連 続 で あ る と す る.こ

(証 終)

の と き,Eの

像f:M1→E, g:E→M2が 位 相 

あ っ て,

で あ っ て,f,gが

ともに

連 続 と な る も の が 存 在 す る こ と を 示 せ.   3.2 と 

と は 自 然 な 位 相 に 関 し,位

相 同型 でな い こ

と を 示 せ.   3.3  K1,K2を

ハ ウ ス ドル フ 空 間Mの   か つ 

  3.4  Mを

コン パ ク ト集 合 で あ っ て, 

を み た す 開 集 合U1,U2の

連 結 位 相 空 間 と し,D⊂M×Mを   を み た す も の とす る.こ

=x,x1,x2,…,xN=yが

直 積 空 間M×Mの の と き,任

存 在 し て,(xi,xi+1)∈D(i=0,1,…,N−1)と

と す る.

存 在 を 示 せ. 開 集 合 で あ っ て,

意 の2点x,y∈Mに で き る.

対 し,x0

4.  多

  4.1 

様

体

多様 体 の定 義

  我 々 が 学 ぼ う と す る 微 分 解 析 幾 何 学 の 舞 台 は,微 も の で あ る.こ

の 章 で は,多

様 体 の 定 義,そ

分 可 能 な 多 様 体 と よば れ る

の 例,お

よび基 本的 な性 質 につ い

て の べ る.   定 義4.1 

(M,U)を(ハ

U∈Uと,Uか

らRnの

(U,φ)をMの

上 の(n次

ウ ス ドル フ)位 相 空 間 と す る(定 義3.1).開 開 集 合Vへ

の位 相 同型

元 の)チ ャ ー ト(chart)と

がCr適 =φ つ

の と き,(Ui,φ1)∼(U2,φ2)で

Cr構

あ る か,の い ず れ か で あ る と き を 言 う.こ

あ ら わ す こ と に す る(〓

は 整 数 ま た は,r=∞

A={(Uα,φ

お く と き,(i)U12

で あ っ て,φ1°φ2−1∈Cr(φ2(U12),φ1(U12)),か

φ2° φ1−1∈Cr(φ1(U12),φ2(Ul2))で

  定 義4・3 

す る.(U1,φ1)と(U2,φ2)

あ る と は,U12=U1∩U2と

で あ る か ,(ⅱ) 

上 のチ ャー ト

あ ら わ す.

(Ui,φi)∈Chart(M,Rn)(i=1,2)と

合(Cr-compatible)で

か らな る組

よ ぶ.Mの

全 体 か ら な る 集 合 をChart(M)=Chart(M,Rn)で   定 義4・2 

φ:U→Vと

集合

α)￨α∈A}がM上

造(Cr-differentiable

のn次 structure)で

は 同 値 関 係 で は な い).

とす る.Chart(M,Rn)の 元Cr級

部分 集 合

可 微 分 構 造,ま

あ る と は,次

た は 簡 単 に,

の(1)∼(3)を

みたす

と き を 言 う.   (1) 

M=∪Uα,

  (2) 

α,β∈Aな

  (3) 

Aは(1),(2)を

あ る.即

ら ば, み た すChart(M,Rn)の

ち,(U,φ)∈Chart(M,Rn)か

つ,す

部分 集合 の 中で極 大 で べ て の α ∈Aに

対 し, 

な ら ば,(U,φ)∈A.   定 義4.4 

Μ

と そ の 上 のCr構

組(M,U,A))の

こ と をn次

体(Cr-manifold)と

よ ぶ.微

造Aと 元Cr級

分 構 造Aを

の 組(M,A)(も 可 微 分 多 様 体,ま

っ と くわ し く は た は 単 にCr多

明 記 す る 必 要 の な い 場 合,単

様 にM

をCr多

様 体 と よ ぶ.

  注 意4.1  Aを

(1),(2)を

含 むCr構

み た す 

造Aが

が 与 え ら れ れ ば,

一 意 的 に き ま る.何

故 な ら,

と お け ば よ い.   よ っ て,(1),(2)を

み た すAとMと

の 組(M,A)をCr多

様 体 と

よ ん で も 差 支 え な い.   定 義4.5 Cr多

様 体(M,A)に

(Uα,φ α)をpの …

座 標 近 傍(coordinate

,xn(q))(q∈Uα)と

所 座 標 系(local

  注 意4.2  fold)と

対 し,(Uα,φ

neighborhood)と

お く と き,Uα coordinate

r=0の

よ び,φ

α(q)=(x1(q), 上 の 局

よ ぶ.

様 体 の こ と を 位 相 多 様 体(topological

mani

言 う こ と も あ る.

  注 意4.3 

定 義4.2に

お い てCr写

Cω 適 合 が 定 義 で き る.定

義4.3に

像 を 正 則 写 像 に お き か え る と,複 写 像,複

像 の 代 りに,解 お い てCω

ま た は 解 析 的 多 様 体 が 定 義 で き る.ま

たRnの

n次

然 にC∞

元 ユ ー ク

適 合 を 用 い る とCω 代 り にCnで

多 様 体,

お き かえ,Cr写 析 的 写 像,正

則

を 見 ら れ た い).

リ ッ ド空 間Rnの

多 様 体 と な る.即

析 的 写 像 を 用 い る と,

素 多 様 体 が 定 義 で き る.(解

素 多 様 体 に つ い て は10,11章

  例4.1  は,自

で あ る と き,

上 の 関 数 の 組{x1,…,xn}をUα

system)と

と き,C0多

α)∈A,p∈Uα

任 意 の 開 集 合Ω(特

ち,Aと

し て,チ

にRn自

ャ ー ト(Ω,1Ω)1元

身) の み

か ら な る 集 合 を と れ ば よ い.   例4.2 R3の R3の

中 の 半 径1の

部 分 空 間 と し て,S2は

球 面S2={(x,y,z)￨x2+y2+z2=1}を 自 然 に,位

相 空 間 と な っ て い る.S2の

Ui(i=1,2,…,6)を U1={(x,y,z)∈S2￨x>0}, U2={(x,y,z)∈S2￨y>0}, U3={(x,y,z)∈S2￨x<0}, U4={(x,y,z)∈S2￨y<0}, U5={(x,y,z)∈S2￨z>0},  に よ っ て 定 義 す る.次

に,写像

U6={(x,y,z)∈S2￨z<0} φi:Ui→R2を

次 式 で 定 義 す る:

考 え る. 開 集 合

φ1(x,y,z)=(y,z), 

φ2(x,y,z)=(x,z),

φ3(x,y,z)=(y,z), 

φ4(x,y,z)=(x,z),

φ5(x,y,z)=(x,y), 

φ6(x,y,z)=(x,y).

  こ の と き,A={(Ui,φi)￨i=1,2,…,6}はS2の

上 のC∞

微 分 構造 を定 義 す

る こ と が た し か め ら れ る.   例4.3 

Rnの

中 の 半 径1の

と 同 様 に し て,C∞   例4.4  をMの

(M,A)(た

だ し,A={(Uα,φ

る.こ

とお く

submanifold)と

よ び,B=A￨Wで

(M1,A1),(M2,A2)を2つ

のCr多

∈A1},A2={(Vj,ψj)￨j∈A2}と

と お く.た

す る.い

ま,直

だ し, 

と の 直 積 多 様 体(product Rn+1か

の多様 体 を

あ ら わ す.

様 体 と し,A1={(Ui,φi)￨i 積 空 間M1×M2を

考 え,

((x,y)∈Ui×Vj)と

の と き,(M1×M2,B)はCr多

  例4.6 

様 体 と し,W

様 体 と な る こ と が 検 証 さ れ る.こ

開 部 分 多 様 体(open

  例4.5 

α)￨α∈A})をCr多

ま, 

易 に,(W,B)はCr多

Mの

も 例4.2,

多 様 体 と な る.

開 集 合 とす る.い

と,容

球 面 

様 体 と な る.こ

manifold)と

ら 原 点0を

定義 す

れ を 多 様 体M1とM2

よ ぶ.

除 い た 集 合 をXと

し,x,x′

∈Xに

対 し,

x∼x′ ⇔∃c∈R−{0}, x′=c・x に よ っ て,"∼"を

定 義 す れ ば,∼

  (ⅰ)  x∼xが

す べ て のx∈xに

  (ⅱ)  x∼yな

ら ば,y∼x,

  (ⅲ)  x∼y,y∼zな Xの

はXの

  Pn(R)は   ま ず,写

ち,

対 し成 立 つ,

らば,x∼z.

同 値 類 全 体 か ら な る 集 合 をPn(R)で

∈X}.た

中 の 同 値 関 係 で あ る.即

あ ら わ す.即

ち,Pn(R)={[x]￨x

だ し,[x]={y∈X￨y∼x}. 次 の よ う に し て,n次 像 π:X→Pn(R)を

の 部 分 集 合Uは,π−1(U)がXの

元C∞

多 様 体 に な る.

π(x)=[x](x∈X)に

よ っ て 定 義 す る.Pn(R)

開 集 合 で あ る と き,Pn(R)の

開 集合 で

あ る と 定 義 す る と,Pn(R)に1つ

の 位 相 が 入 る.ま

た,Pn(R)の

部 分集 合

Ui(i=0,1,…,n)を   (4.1) で 定 義 す る と,π−1(Ui)=R× は 開 集 合 で あ る.つ  

… ×R×(R−{0})×R×

ぎ に,写

像

… ×Rと

な る か ら,Ui

φi:Ui→Rnを

(4.2) φi([x])=(x0′,…,xi−1′,xi+1′,…,xn′)

で 定 義 す る.た

だ し,[x]=[x′],x′=(x0′,…,xi−1′,1,xi+1′,…,xn′).

  A={(Ui,φi)￨i=0,1,…,n}と

お く と,(Pn(R),A)はn次

で あ る こ と が 容 易 に た し か め ら れ る.こ space)と

れ をn次

元C∞

元 実 射 影 空 間(real

多 様 体

projective

よ ぶ.

  定 理4.1 

位 相 空 間Mの

n次

造Aiが

元Cr構

意 のi,j∈Jに

開 被 覆 

が あ っ て,開

集 合Ui上

には

定 義 さ れ て い て, 

対 し,成

が任

立 つ も の とす る.こ

あ っ て,A￨Ui=Ai(i∈J)な

の と き,M上

る も の が た だ1つ

のCr構

造Aで

存 在 す る. (微 分 構 造 の は り 合 わ せ 定 理)

  証 明  UiはMの

開 集 合 で あ る か ら,明

(i∈J)が

成 立 つ.従

く と,A′

⊂Chart(M)で

っ て,Ai⊂Chart(M)(i∈J).い

と が た し か め ら れ る.よ Aは

求 め るCr構

  4.2 C∞

のCr関

  定 義4.6 

 

M上

っ て,注

ま, 

は 定 義4.3の(1),(2)を

意4.1に

の べ た よ うに,A=A′

とお み たす こ と お け ば,

意 性 は 明 か で あ ろ う. 

(証 終)

写 像 と 接 ベ ク トル

多 様 体 上 のC∞

関 数 の 性 質 に つ い て の べ る.Cr多

様 体上

数 に つ い て も,殆 ん ど平 行 に 議 論 で き る こ とに 注 意 して お く.

  (M,A)をn次

∈Aに

あ っ て,A′

造 で あ る.一

関 数,C∞

  こ の節 で は,C∞

か に,Chart(Ui)⊂Chart(M)

元C∞

関 数f:M→RがM上

対 し,  のC∞

多 様 体 とす る(定 義4.3). のC∞ 関 数 で あ る と は,任 意 の(Uα,φ α) で あ る と き を 言 う(定 義1.1参

関 数 全 体 か らな る集 合 をC∞(M)で

あ らわ す.MがRnの

照). 開

集 合 で あ る と き は,定   命 題4.1 

義1.1と

C∞(M)は

一 致 す る.

自然 に,R上

  証 明  f,g∈C∞(M),a∈Rに

の 多 元 環 に な る.

対 し,M上

の 関 数f+g,f・g,afを(4.3)

で 定 義 す る: (f+g)(p)=f(p)+g(p),

(4.3)

(f・g)(p)=f(p)・g(p), (af)(p)=a・f(p).

  定 義 4.6に か る か ら,こ

よ り,容

易 に,f+g,f・g,afはC∞(M)の

れ ら に よ っ て,和,積,ス

多 元 環 の 公 理(定 義2.2)が   定 理4.2 

n次

元C∞

成 立 す る と い う意 味 で,十   (ⅰ)  Mの

カ ラ ー 倍 が 定 義 さ れ た の で,あ

み た さ れ る こ と を た し か め れば よ い.  多 様 体Mに

対 し,C∞(M)は,次

と は, (証 終)

の(ⅰ)∼(ⅲ)が

分 た く さ ん の 関 数 を 含 む.

開 集 合Uと

対 し て は,f∈C∞(M)が

元 で あ る こ とが わ

コ ン パ ク ト集 合Kで

あ っ て,K⊂Uな

る ものに

存 在 し て,

 (4.4)

  (ⅰ)′ 任 意 の2点 

  (ⅰ)″   任 意 の 点p0の を と る と,任

に 対 し,f∈C∞(M)が

近 傍Uに

意 のf∈C∞(M)に

が 存 在 し て,xi=fi￨Uと

含 ま れ る 十 分 小 さ い 近 傍W

対 し,g(p)=f(p)(p∈W), 

を み た すg∈C∞(M)が   (ⅱ)  任 意 の 点p0∈Mに

対 し,Uに

存 在 して, 

存 在 す る. 対 し,fi∈C∞(M)(i=1,…,n)とp0の お く と,{x1,…,xn}はU上

近 傍U

の 局 所 座 標 系(定 義4.5)

と な る.   (ⅲ)  Mの

あ る 点 列{pk￨k=1,2,…}がMの

任 意 の 数 列{ak}に

対 し,f∈C∞(M)が

中 に 集 積 点 を も た な け れ ば, 存 在 し て,f(pk)=ak(k=1,2,…)を

み た す.   証 明   (ⅰ) 

ま ず,f0∈C∞(Rn)で

あ っ て,

 (4.5)

を み た す も の を1つ

と り,固

  さ て,任

意 の 点p∈Kに

=V(p)と

お く と ,V(p)はRnの

定 す る(定 理1.2).

り,必

対 し,pの

要 な らば,Rnの

={x∈Rn￨￨x￨<1}と

座 標 近 傍(U(p),φp)を

と る.φp(U(p))

開 集 合 で あ る が,U(p)を

十 分小 さ くと

中 で 平 行 移 動 と 相 似 変 換 を 行 な う こ と に よ り,V(p) し て 差 支 え な い.ま

=f0° φpと お く と ,fp′

はU(p)上

た

,U(p)⊂Uと

の 関 数 で あ る が,M上

し て よ い.い

ま,fp′

の 関 数fpを

 (4.6)

で 定 義 す る と,fp∈C∞(M)で

あ る こ と が わ か る.

  つ ぎ に,U′(p)=φp−1({x∈Rn￨￨x￨<1/3})と

お く と,U′(p)はpの

近傍 で

あ っ て,Kは 

で お お わ れ る.Kは

コ ン パ ク トで あ る か ら,有

のpi∈K(i=1,…,N)が

存 在 し て,

限個

 (4.7)

fi=fpi(i=1,…,N)と

お き,

 (4.8)

を 考 え る.fi∈C∞(M)で (4.4)が

ら ば,(4.7)に

よ り,q∈U′(pi0)を

あ る か ら,fi0(q)=f0(φi0(q))=1.従

f(q)=1で

  一 方,  (4.6)に   (ⅰ)′  K={p}と

題4.1に

よ っ て,f∈C∞(M)で

あ る.

成 立 す る こ と を 示 そ う.

  q∈Kな <1/3で

あ る か ら,命

み た す 

が あ る.￨φi0(q)￨

っ て, 

ゆ え に,

あ る.

な ら ば,任

意 の 

に 対 し, 

よ り,fi(q)=0(i=1,…,N).ゆえ で あ る か ら,pの お く と,K,Uは(ⅰ)の

近 傍Uで

で あ る.よ

っ て,

に,f(q)=0が

得 られ る.

あ っ て, 

な る も の が あ る.

仮 定 を み た す か ら,(4.4)を

み た すf

∈C∞(M)が

存 在 す る.特

  (ⅰ)″  W⊂Uで と し て,(ⅰ)を

に, 

あ っ て,Wが

コ ン パ ク トなp0の

用 い る と,あ

h(p)=0 

で あ る.

るh∈C∞(M)で

近 傍Wを

あ っ て,h(p)=1(p∈W),

を み た す も の が 存 在 す る.g=f・hと

  (ⅱ)  p0の

座 標 近 傍(U0,φ)を1つ

U′ は コ ン パ ク トで,か

と り,K=W

お け ば よ い.

と る.U,U′

をp0の

近 傍 で あ っ て,

つ U⊂U′

を み た す も の を と る.UとU′

⊂U′ ⊂U0

に 対 し,(ⅰ)を

適 用 す る と,f∈C∞(M)で

あ っ て,   (4.9) を み た す も の が 存 在 す る.座

標系

φ=(x1,…,xn)に

対 し,M上

に よ っ て 定 義 す る と,fi∈C∞(M)(i=1,…,n)で (4.9)に U上

よ っ てfi￨U=xi￨Uで

の 関 数fiを

あ る こ と が わ か る.ま

あ る か ら,xi=fi￨Uと

た,

お く と,{x1,…,xn}は

の 座 標 系 で あ る.

  (ⅲ) 

{pk}は

集 積 点 を も た な い か ら,pkの  と し て よ い.つ

近 傍Ukを

ぎ に,(ⅰ)よ

十 分 小 さ く と る と,

り適 当 にfk∈C∞(M)を

と

る と,

と し て よ い.そ

こ で,

に よ っ て,fを   定 義4.7  が,Mか

定 義 す る と,fは

求 め る も の で あ る. 

(M,A),(M′,A′)を2つ らM′

へ のC∞

のC∞

写 像(C∞‐map)で

f′∈C∞(M′)な で あ る と き を 言 う.Mか

らM′

多 様 体 と す る.写

像 Φ:M→M′

あ る と は,

ら ばf′°

へ のC∞

(証 終)

Φ ∈C∞(M)

写 像 全 体 か ら な る 集 合 をC∞(M,M′)

で あ ら わ す.   Φ∈C∞(M,M′)が1対1,上

へ の 写像(即

M)で

あ る と き,Φ

をC∞

とM′

に 対 し,C∞

同 型 写 像 Φ:M→M′

M′

と はC∞

M3)と

あ っ て,Φ−1∈C∞(M′,

同 型 写 像(C∞‐diffeomorphism)で が 少 く と も1つ

同 型(C∞‐diffeomorphic)で

  補 題4.1 

ち 全 単 射)で

Mi(i=1,2,3)をC∞

あ る と 言 う.M 存 在 す る と き,Mと

あ る と言 い, 

で あ ら わ す.

多 様 体 と し,Φ ∈C∞(M1,M2),Ψ

す れ ば, 

∈C∞(M2,

で あ る.

  証 明   任 意 のf∈C∞(M3)に

対 し, 

で あ る.よ

っ て, 

は 任 意 で あ っ た か ら, 

で あ る.  (証終)

  系4.1 

C∞ 多 様 体Mか

Diff∞(M)は

群 を な す.

  定 義4.8 

Φ:M→M′

p0∈Mの

らM自

身 へ のC∞

を 多 様 体Mか

座 標 近 傍(U,φ)と

はV=φ(U)か

へ の 連 続 写 像 と す る.一

座 標 近 傍(U′,φ′)を

′=(y1,…,ym)と

らV′=φ′(U′)へ

  (4.10) 

らM′

Φ(p0)の

U′ で あ る と す る.φ=(x1,…,xn),φ

同 型 写 像 全 体 か ら な る集 合

す る と, 

x∈V

と 書 け,fi:V→RはV上

の 連 続 関 数 で あ る.(4.10)の

座標系

ま わ り の 表 示 と よ ぶ.

  命 題4.2 

定 義4.8の

の 点p0∈Mに

対 し,定

の ま わ り の 表 示(4.10)に

と り,Φ(U)⊂

の 写 像 で あ る か ら,

Φ*(x)=(f1(x),…,fm(x)), 

φ,φ′に よ る,p0の

点

Φ がC∞

Φ*を

Φ の,局

写 像 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,任

義4.8のφ,φ′

を と る と,Φ

お い て,f1,…,fmが

の,φ,φ′

す べ てV上

のC∞

所

意

に よ る,p0 関数 とな る

こ と で あ る.

  証 明   定 義4.7,4.8と   次 に,多 た い.直 p0を

定 理4.2に

様 体 の 話 を す る場 合,最 観 的 に は,多

よ り,容 易 に 証 明 され る. 

も基 本 的 な 概 念 で あ る 接 ベ ク トル を 定 義 し

様 体Mの1点p0に

通 る任 意 の 曲 線 を 考え て,こ

(証終)

お け るMの

の 曲 線 のp0に

で の微 係 数)と も言 うべ き も の で あ る が,Mが

接 ベ ク トル とは,

お け る接 線 の 方 向(曲 線 のp0

ユ ー ク リ ッ ド空 間 の 部 分 集 合 で

な い 場 合 は,か か え て,曲

か る 接 線 の 方 向 と い う考 え 方 は 少 々 と ら え に く い の で,見

線 が 与 え ら れ る とM上

い う こ と に 着 目 し て,次   定 義4.9  vector)と

条 件(4.11)を

一点p0に

らRへ

お け る,Mの

接 ベ ク トル(tangent

の 線 型 写 像X:C∞(M)→Rで

あ っ て,次

の

み た す も の の こ と で あ る.

  (4.11) 

X(f・g)=Xf・g(p0)+f(p0)・Xg, f,g∈C∞(M).

  定 義4.10  →Mの

の曲線 の方 向に 微分 で きる と

の よ うに 定 義 す る.

C∞ 多 様 体Mの

はC∞(M)か

の 関 数 は,そ

方を

区 間(−

こ と をM上

(− ε,ε)がC∞

ε,ε)(た だ し ε>0)か のp0=c(0)を

通 るC∞

らMへ

C∞ 多 様 体Mの1点p0を

ら れ た と き,f∈C∞(M)に

写 像c:(−

曲 線(C∞‐curve)と

多 様 体 と 考 え 得 る こ と は 例4.1に

  命 題4.3 

のC∞

ε,ε)

よ ぶ .区

間

よ る.

通 るC∞

曲 線c:(−

ε,ε)→Mが

与え

対 し,

 (4.12)

と お く こ と に よ っ て,写

像X:C∞(M)→Rを

定 義 す る と,Xはp0に

おけ る

一 つ の 接 ベ ク トル で あ る .   証 明   Xが

線 型 写 像 で あ る こ と は 明 か で あ る.ま

た,(4.11)は

次 の よ うに

し て 証 明 さ れ る.

(証 終)   逆 に,任

意 の 接 ベ ク トルXは

よ っ て 表 わ さ れ る こ と が,系4.3で   補 題4.2 

f∈C∞(M)が

適 当 な 曲 線cを

取 る こ と に よ り,(4.12)に

証 明 さ れ る.

定 数 な らば,任

意 の 接 ベ ク トルXに

対 し,Xf=0

で あ る.   証 明   X:C∞(M)→Rは (4.11)をf=g=1に

線 型 で あ る か ら,f=1と

し て 証 明 す れ ば よ い.

対 し 適 用 す る と,X(1)=X(1・1)=(X1)・1+1・(X1)

=2X(1).よ

っ て,X・1=0が

  定 義4.11 

得 ら れ る. 

C∞ 多 様 体Mの

か ら な る 集 合 をTp0Mで

(証 終)

一 点p0に

対 し,p0に

あ ら わ す.

  X,Y∈Tp0M,a∈Rに

対 し,X+Y,aXを

∈Tp0M,aX∈Tp0Mで

お け る 接 ベ ク トル 全 体

次 式 で 定 義 す る と,X+Y

あ る:

(X+Y)(f)=Xf+Yf,(aX)f=a・Xf,f∈C∞(M). こ れ ら の 和 お よ び ス カ ラ ー 倍 に よ っ て,Tp0Mは トル 空 間Tp0MをMのp0に   定 義4.12 

p0∈Mの

義4.5).p∈Uに

実 ベ ク トル 空 間 に な る.ベ

お け る 接 空 間(tangent 座 標 近 傍(U,φ)を

対 し,C∞(M)か

space)と

よ ぶ.

と り,φ=(x1,…,xn)と

らRへ

の 写 像(∂/∂xi)pを

ク

す る(定 次 式(4.13)

で 定 義 す る:

 (4.13)

た だ し,tiはt=(t1,…,tn)∈Rnのi座   定 理4.3 

n次

元C∞

=(x1,…,xn)を 間TpMの

多 様 体Mの

と る と,任 基 と な る.特

  補 題4.3  のX∈Tp0Mに

  ま ず,p0の 理4.2(ⅰ)に

2つ

接空

TpM=n.

の 関数f,g∈C∞(M)がp0の 対 し,Xf=Xgが

近 傍Vで

局,fがV上

で0な

近 傍Wで,W⊂Vか よ っ て,g∈C∞(M)で

一 致 す れ ば,任

意

で 恒 等 的 に0で

あ

成 立 つ.

証 明 す れ ば よ い が,f−gはV上

を み た す も の が あ る.h=1−gと ∈W), 

対 し,(∂/∂x1)p,…,(∂/∂xn)pは

の 補 題 を 準 備 す る.

  証 明   X(f−g)=0を る か ら,結

座 標 近 傍(U,φ),φ

に, dim

の2つ

任 意 の 点p0の

意 のp∈Uに

  (4.14)    ま ず,次

標 で あ る.

ら ば,Xf=0で つWが

あ る こ と を 示 せ ば よ い. コ ン パ ク トな も の を と る と,定

あ っ て,

お く と,h∈C∞(M)で

が 成 立 つ.fはV上

で0で

あ っ て,h(q)=0(q あ る か ら,f=f・hで

あ

る こ とが わ か る.ゆ

え に,(4.11)に

よ り,

Xf=X(f・h)=Xf・h(p0)+f(p0)・Xh=0.    補 題4.4 p0の と は,自

近 傍UをC∞

然 な 方 法 で,同

  証 明   X′ ∈Tp0Uに

(証終)

多 様 体 と 考 え る と(例4.4),Tp0UとTp0M

一 視 で き る. 対 し,X∈Tp0Mを Xf=X′(f￨U),f∈C∞(M)

に よ っ て 定 義 で き る.逆 p0の

近 傍V,Wで

の を と り,定

にX∈Tp0Mに

あ っ て,Wが

対 し てX′

定 義 す る た め,

コ ン パ ク トで 

理4.2(ⅰ)をK=V,U=Wに

を み た すf0∈C∞(M)を

∈Tp0Uを

を みたす も

適 用 し て,

と っ て お く.任

意 のg∈C∞(U)に

対 し,

  (4.15) 

に よ っ て,gを て,Xに

定 義 す る と,g∈C∞(M)で

あ っ て,g￨V=g￨Vを

み た す.さ

対 し, X′g=Xg

と お く と,X′gの

値 はgの

と り方 に 無 関 係 に き ま る(補 題4.3).X′

で あ る こ と も 容 易 に た しか め ら れ る.対 と の 間 に は1対1対

応 が で き た.よ

応 

∈Tp0U

に よ っ て,Tp0UとTp0M

っ てXとX′

と は 同 一 視 し て よ い. (証 終)

  定 理4.3の =aの

証 明  f∈C∞(M)に

近 傍 で のC∞

対 し,f*=f°

関 数 で あ る.よ

っ て,命

φ−1と お く と,f*は

題1.3に

φ(p0)

よ り,

 (4.16)

がaの

近 傍V上

gj(a)=(∂f*/∂tj)t=aが (4.16)に  (4.17)

で 成 立 す る よ う な 関 数gj∈C∞(V)が 成 立 っ て い る.い

お い て,t=φ(p)(p∈

φ−1(V))と

存 在 す る.こ

ま,gj=gj°(φ￨(φ−1(V)))と お け ば,

こ で, お く.

がp0の

近 傍

φ−1(V)で

り,X∈Tp0Mに

成 立 つ.よ

っ て,補

題4.2,4.4お

よ び(4.11)に

よ

対 し,

が 成 立 つ.と

こ ろ で,gj(p0)=gj(φ(p0))=gj(a)=[∂f*/∂tj]t=a=(∂/∂xj)p0f

で あ る か ら,

が す べ て のf∈C∞(M)に

対 し 成 立 つ.即

ち,

 (4.18)

と な っ て,Xは(∂/∂x1)p0,…,(∂/∂xn)p0の こ れ らn個

一 次 結 合 で あ る こ と が わ か っ た.

の 接 ベ ク ト ル が 一 次 独 立 で あ る こ と を 言 う に は 

か ら αi=0(i=1,…,n)を

導 け ば よ い が, 

す る と, 

で あ る こ とに 注 意

(j=1,…,n)が

  系4.2 p0∈Mの

座 標 近 傍U上

  系4.3 

み た せ ば,X=Yで

す る.X,Y あ る.

り 明 か. 

(証 終)

任 意 のX∈Tp0Mに

存 在 し て,(4.12)が

対 し,p0を

通 るC∞

曲 線c:(−

ε,ε)→Mが

成 立 つ.

  証 明   (U,φ)をp0の に よ り,ai∈Rが

(証 終)

の 座 標 系 を{x1,…,xn}と

∈Tp0MがXxi=Yxi(i=1,…,n)を   証 明   (4.18)よ

得 られ る. 

座 標 近 傍 と し て,φ={x1,…,xn)と

す る と,定

存 在 し て,

と 書 け る.a=(a1,…,an)∈Rnと

お く.い

c(t)=φ−1(φ(p0)+t・a)は−

ε
ま,ε>0を

十 分 小 さ く と れ ば,

に 対 し 定 義 さ れ,cは

求 め る曲線 であ る

こ と が 容 易 に た し か め ら れ る.    補 題4.5  ∈TpM(p∈M)に

理4.3

Mを

連 結C∞

多 様 体 と し,f∈C∞(M)と

対 しXf=0で

  証 明   任 意 の 点p0∈Mの

(証 終)

あ れ ば,fは

す る.す

べ て のX

定 数 で あ る.

連 結 な 座 標 近 傍(U,φ)を

と り,φ=(x1,…,xn)

と す る.仮

定 よ り,

が す べ て のp∈Uとi=1,…,nに で あ る.従

っ てfはUで

お く と,Mcは

対 し成 立 つ か ら,f° 定 数cで

あ る.い

空 で な い 閉 集 合 で あ る.Mが

た こ と か ら 明 か で あ る.Mは

φ−1は

φ(U)で

ま,Mc={p∈M￨f(p)=c}と 開 集 合 で あ る こ と も,上

連 結 で あ る か ら,M=Mcと

に のべ

な っ て,f≡cが

明 さ れ た. 

 (4.19) 

証

(証 終)

  補 題4.6 p0∈Mの (x1′,…,xn′)に

定数

近 傍U上

の2つ

対 し,φ′° φ−1=Fと

の 局 所 座 標 系

φ=(x1,…,xn),φ′=

お け ば,F∈C∞(φ(U),φ′(U))で

あ っ て,

xj′(p)=Fj(x1(p),…,xn(p)),p∈U,

 (4.20)

が 成 立 つ.   証 明   F∈C∞(φ(U),φ′(U))で

あ る こ と は 定 義4.3に

πj(t1,…,tn)=tj(j=1,…,n)で

で あ る か ら,(4.19)が   (4.20)を

言 うた め,そ

よ る.πj:Rn→Rを

定 義 す れ ば,

示 さ れ た. の 右 辺 をXで

あ ら わ す と,j=1,2,…,nに

対 し,

 (4.21)

が 成 立 つ.他

方,(4.13)よ

り,

で あ る か ら,

がj=1,…,nに

対 し 成 立 つ.よ

っ て 系4.2に

よ っ て,(∂/∂xi)p=Xで

あ る. (証 終)

  4.3 

接 バ ン ドル

  MをC∞

多 様 体 と し,TpM(p∈M)の

で 注 意 す べ き こ と は,零 は 任 意 のp∈Mに

写 像0:C∞(M)→R,即

対 し,常

ロ 元 で あ る が,我

々 は,TpMの

え る と,{p}×TpMは

あ ら わ す.こ

あ っ て,ベ

ク トル 空 間TpMの

ゼ ロ 元 と  の た め に は,和

ゼ ロ 元(q,0)は, 

ゼ

の ゼ ロ元 は 異 る も の 集 合 

を考

自 然 に ベ ク トル 空 間 と な り,{p}×TpMの な ら ば,異

に お け る ゼ ロ接 ベ ク トル を 考え て い る か は,文 多 い の で,{p}×TpMとTpMと

こ

ち,0(f)=0(f∈C∞(M))

に0∈TpMで

と 考 え た 方 が 都 合 が よ い.そ

と{q}×TqMの

和 集 合 をTMで

る.し

ゼ ロ元(p,0) か し,い

か な る点

章 の 前 後 関 係 か ら 明か な 場 合 が

は 同 一 視 し,単

に 

と書 く

の が 慣 例 に な っ て い る.   TMか

らMへ

の写像

 (4.22) 

X∈TpMな

に よ っ て 定 義 し,π

をTMか

  次 に,TMにC∞   定 理4.4 

π:TM→Mを らば らMへ

π(X)=p

の 射 影(projection)と

よ ぶ.

構 造 を 導 入 し よ う. n次

元C∞

C∞ 多 様 体 と な り,射

多 様 体Mに

対 し,TMは

影 π:TM→MはC∞

π の 組(TM,π)をMの

写 像 で あ る.多

接 バ ン ドル(tangent

  証 明   ま ず,MのC∞

は,Uα

的 に あ ら わ せ る.よ

bundle)と

様 体TMと

元 射影

よ ぶ.

構 造 を とし 

お く.  に よ っ て,p∈Uα

自然 な 方 法 で,2n次

と

上 の 座 標 系 で あ る(定 義4.5).定

な ら ば,TpMの

元 は yj∈Rの

っ て,π−1(Uα)か

ら,Vα

理4.3 形に一

×Rnへ

の写像

意

φα:π−1(Uα)

→Vα ×Rnが,

 (4.23)

に よ っ て 定 義 さ れ る.Vα る.よ

っ て,π−1(Uα)に,φ

こ と が で き る. 

×RnはR2nの

開 集 合 と し て,位

α が 位 相 同 型 と な る よ うに,位 で あ っ て, 

相 空 間 と 考 え られ 相Uα

を入 れ る

か つ 

で あ る こ と が,(4.20)を

用 い て,容

易 にた し

か め られ る.   よ っ て,位

相 の は り 合 わ せ(定 理3.1)に  か つ 

に,φ α がC∞

よ り,TM上

の 位 相Uで

を み た す も の が た だ1つ

同 型 で あ る よ うに

π−1(Uα)上

にC∞

構 造Aα

決 ま る.つ

れ る.よ

っ て,定

関 数 と し てC∞

理4.1に

にC∞

構 造Aが

 を み た す よ う に で き る.π:TM→MがC∞ は,π−1(Uα)に   補 題4.7  p0∈Mに

お け るC∞

式に お い て

関 数 で あ る こ と を 用 い て,た

よ り,TM上

しか め ら 定 義 さ れ,

写像であること

構 造 の 入 れ 方 か ら 明 か で あ ろ う. 

Φ:M→WをC∞

多 様 体Mか

対 し,q0=Φ(p0)と

お く.こ

らWへ

の と き,線

ぎ

を 導 入 す る と,

 で あ る こ と が,(4.20)の  がpの

あ っ て,

のC∞

(証 終) 写 像 と し,1点

型 写 像 Φ′:Tp0M→Tq0Wが,

次 式 で 定 義 さ れ る.  (4.24)

  証 明   X∈Tp0Mに

対 し,Φ′X∈Tq0Wと

な る こ と,即

に 対 し成 立 す る こ と が 容 易 に た しか め ら れ る.Φ′

ち(4.11)が

が線 型 で あ る こ と も明か で

あ る. 

(証 終)

  定 義4.13  は,接

Φ′X

補 題4.7の

Φ′ を,Φ

写 像(tangential

  命 題4.4 

map)と

Φ:M→WをC∞

のp0に

お け る 微 分(differential)ま

よ び, 

等 で あ ら わ す.

写 像 と す る.こ

の と き,写

像TΦ:TM→TW

が, TΦ(X)=(TpΦ)(X),X∈TpM に よ っ て 定 義 さ れ,TΦ

はC∞

写 像 で あ る.TΦ

を Φ の 微 分(differential)と

よ ぶ.   証 明   点p0∈Mを =(y1 ⊂Vを

,…,ym)を

と り,q0=Φ(p0)と と る と,p0の

お く.q0の

座 標 近 傍(V,ψ),ψ

座 標 近 傍(U,φ),φ=(x1,…,xn)で,Φ(U)

み た す も の が と れ る.(4.24)に

た

よ り,p∈Uに

対 し,

が 成 立 つ. 

の 係 数 をfj(p)と

り,fj∈C∞(U)で

あ る こ と は 明 か で あ ろ う.従

れ 方 よ り,TΦ TWへ

M3)と

は π−1(U)上

のC∞

  補 題4.8 

お け ば,Φ

でC∞

がC∞

写 像 で あ る こ とよ

っ て,TW上

写 像 と な る.従

のC∞

っ て,TΦ

写 像 で あ る. 

はTMか

ら (証 終)

Mi(i=1,2,3)をC∞

多 様 体 と し,Φ

す る.点p∈M1に

構 造 の入

対 し,q=Φ(p)と

∈C∞(M1,M2),Ψ

∈C∞(M2,

お く と,

 (4.25)

が 成 立 つ.   証 明   任 意 のX∈TpM1,g∈C∞(M3)に

が 成 立 つ.g,Xは   系4.4 

対 し,(4.24)よ

任 意 で あ っ た か ら(4.25)が

補 題4.8と

同 じMi,Φ,Ψ

り,

成 立 つ. 

(証 終)

に 対 し,

が 成 立 つ.

  4.4 

ベ ク ト ル 場 と1径

  定 義4.14XがC∞ はC∞(M)か

数 変 換 群

多 様 体Mの らC∞(M)自

  (4.26) 

ベ ク トル 場(vector field)で

あ る と は,X

身 へ の 線 型 写 像 で あ っ て,

X(f・g)=Xf・g+f・Xg,f,g∈C∞(M)

を み た す と き を 言 う.(4.26)を 微 分 作 用 素(derivation)と

み た す 線 型 写 像Xの

も 言 う.従

っ て,M上

こ と を 多 元 環C∞(M)の

の ベ ク トル 場 と はC∞(M)の

微 分 作 用 素 に ほ か な ら な い.   M上 a∈Rに  

の ベ ク トル 場 全 体 か ら な る 集 合 を  対 し,和X+Y,ス

カ ラ ー 倍aXを

で あ ら わ す と,  次 式 で 定 義 す る こ と に よ っ て,

は 実 ベ ク トル 空 間 に な る. (X+Y)f=Xf+Yf,

 (4.27)

f∈C∞(M).

(aX)f=a・Xf,   ま た,f∈C∞(M)と 

に 対 し,

  (4.28) 

(f・X)g=f・Xg,g∈C∞(M)

に よ っ て,写

像f・X:C∞(M)→C∞(M)を

と が わ か り,こ

の 積(f,X)→f・Xに

f,g∈C∞(M), 

定 義 す る と,  よ っ て, 

であるこ

にC∞(M)が

作 用 す る.

に 対 し, (f+g)・X=f・X+g・X, f・(X+Y)=g・X+f・Y, f・(g・X)=(f・g)・X

が 成 立 つ こ と も 明 か で あ ろ う.   命 題4.5 

とp∈Mに

  (4.29) 

対 し,写

像Xp:C∞(M)→Rを

Xpf=(Xf)(p),f∈C∞(M)

に よ っ て 定 義 す る と,Xp∈TpMで   っ ぎ に,写

あ る.XpをXのpに

像 ξ:M→TMを

像 で あ っ て,π° ξ=1Mを   証 明   (4.26)よ (U,φ)をp0の

ξ(p)=Xpに

お け る 値 と 言 う.

よ っ て 定 義 す れ ば,ξ

はC∞

写

み た す.

り,Xp∈TpMで

あ る こ と は 容 易 に た しか め ら れ る.つ

座 標 近 傍 と し,φ=(x1,…,xn)と

  他 方,xj∈C∞(M)をp0の

近 傍Wでxjと

す れ ば,(4.18)に

ぎ に,

よ っ て,

一 致 す る 関 数 と す れ ば((4.15)

参 照),   (4.30)  がp∈Wに

(Xxj)(p)=Xpxj 対 し成 立 す る こ と が た し か め ら れ る.よ

が 成 立 す る.も

ち ろ ん,Xxj∈C∞(M)で

よ り,ξ

写 像 で あ る こ と が わ か る.π° ξ=1Mは

はC∞

  命 題4.5と   命 題4.6 

は 逆 に,次 C∞ 写 像

っ て,

あ る か ら,TMのC∞

構造 の入 れ方

明 か で あ る. 

(証 終)

の 命 題 が 成 立 す る.

ξ:M→TMが

π°ξ=1Mを

み た せ ば,写

像

 

が (Xf)(p)=ξ(p)f,f∈C∞(M),p∈M に よ っ て 定 義 さ れ, 

で あ る.

  証 明   1点p0∈Mの

座 標 近 傍(U,φ),φ=(x1,…,xn)を

考 え る と,p∈U

に 対 し,

と 書 け る.ξ

もU上

はC∞

のC∞

写 像 で あ る か ら,ξi∈C∞(U)で

関 数 で あ る.従

あ る.よ

っ て,

っ てXf∈C∞(M).Xが(4.26)を

み たす こ

と も 容 易 に わ か る.    補 題4.9 

Mの

 

(証 終)

開 部 分 多 様 体Uを

に 対 し, 

考 え る. が た だ1つ

存 在 し て,

Xp′=Xp(p∈U) を み た す.   証 明   命 題4.5の 4.6に

ξ に 対 し ξ￨U:U→TUはC∞

よ っ て,ξ￨Uに

み た す.こ

の よ う なX′

  定 義4.15 

題

が 定 義 さ れ,Xp′=X(p∈U)を で あ る こ と も 明 か で あ ろ う. 

お け るX′

をXのUへ

(証終)

の 制 限(restriction)と

よ

あ ら わ す.

  補 題4.10 

に 対 し,写

よ っ て 定 義 す る と , 

わ し,XとYと   証 明   Zが g∈C∞(M)な

は た だ1つ

補 題4.9に

び,X′=X￨Uで

−Y°Xに

対 応 す る 

写 像 で あ る か ら,命

の 括 弧 積(bracket)と

像Z:C∞(M)→C∞(M)をZ=X°Y で あ る.こ

れ をZ=[X,Y]で

あ ら

よ ぶ.

線 型 写 像 で あ る こ と は 明 か.次 ら ば, Z(f・g)=X(Y(f・g))−Y(X(f・g))  

=X(Yf・g+f・Yg)−Y(Xf・g+f・Xg)

 

=XYf・g+Yf・Xg+Xf・Yg+f・XYg

に,(4.26)を

た しか め よ う.f,

  −{YXf・g+Xf・Yg+Yf・Xg+f・YXg} =Zf・g+f・Zg. 

  補 題4.11 

(証 終)

f,g∈C∞(M), 

  (4.31) 

に 対 し,

[fX,gY]=fg[X,Y]+f・Xg・Y−g・Yf・X

が 成 立 つ.   証 明   h∈C∞(M)を

任 意 に と る と,

[fX,gY]h=(fX)(g・Yh)−(gY)(f・Xh)  

=f・{Xg・Yh+g・XYh}−g・{Yf・Xh+f・YXh}

 

=f・Xg・Yh+fg・{XYh−YXh}−g・Yf・Xh  

が 得 られ る.hは   定 義4.16 

={f・Xg・Y+f・g・[X,Y]−g・Yf・X}h.

任 意 で あ っ た か ら(4.31)が 区 間 

写 像t→Φtが1径

(た だ し ε>0)か 数 変 換 族(one

parameter

あ る と は,(ⅰ)Φ0=1Mで

あ っ て,か

さ れ る 写 像 

がC∞

で あ っ て,任 は1径

意 のs,t∈Rに

数 変 換 群(one

  命 題4.7 

成 立 つ. 

Mの1径

らDiff∞(M)(系4.1)へ

family

の

of transformations)で

つ(ⅱ)μ(t,p)=Φt(p)に

写 像 で あ る と き を 言 う.さ

対 し, 

parameter

(証終)

よって定義 ら に,(ⅲ)Iε=R

な る 条 件 を み た す と き,t→

group

数 変 換 族{Φt}が

of transformations)で 与 え ら れ る と,Mの

Φt

あ る と 言 う. ベ ク トル 場X

が 次 式 で 定 義 さ れ る.

 (4.32)

  証 明  f∈C∞(M)に つ い てC∞

対 し,Xf∈C∞(M)で

あ る こ と は,Φt(p)が(t,p)に

級 で あ る こ と に よ る.Xが(4.26)を

み た す こ と は,命

題4.3の

証 明 と 全 く 同 様 に し て た しか め られ る.    定 義4.17    実 は,命

命 題4.7のXを{Φt}か 題4.7の(あ

(証 終) ら 導 か れ た ベ ク トル 場 と よ ぶ.

る 意 味 で)逆 が 成 立 す る.そ

れ を 見 る た め,ま

ず 局所

変 換 群 の 定 義 を の べ よ う.   定 義4.18 

{Φt}(t∈Iε)がMの

開 集 合Vの

上 の1径

数 局 所 変 換 群(one

parameter

local

group

of local

の 開 集 合Wが

存 在 し,ΦtはWか

で あ っ て,次

の 条 件(ⅰ)∼(ⅲ)を

  (ⅰ)  Φt(V)⊂W 

transformations)で らMの

あ る と は,Vを

開 集 合Wtへ

含 むM

のC∞

同型 写 像

み た す と き を 言 う.

(t∈Iε),

  (ⅱ) p∈V,s,t,s+t∈Iε   (ⅲ)  写 像(t,p)→

な らば Φt(p)はIε

×Wか

  定 理4.5 MをC∞

多 様 体 と し, 

ク ト集 合Kに

る正数

対 し,あ

所 変 換 群{Φt}(t∈Iε)が

らMの

中 へ のC∞

写 像 で あ る.

を と る.Mの

ε とKを

任 意 の コン パ

含 む 開 集 合VとV上

存 在 し て,p∈Vに

の1径

数局

対 し,

 (4.33)

が 成 立 つ.し 傍V′

か も つ ぎ の 意 味 で{Φt}は

上 の1径

でΦt=Φt′

た だ1つ

で あ る.即

数 局 所 変 換 群{Φt′}(t∈Iε′)が(4.33)を

ち,Kの

他 の近

み た せ ば, 

上

で あ る.

  特 にMが

コ ン パ ク トの と き は,{Φt}は1径

  証 明   Kの

任 意 の 点p0に

=(x1,…,xn)を

と る.Uの

対 し,閉

数 変 換 群 と し て よ い.

包 が コ ン パ ク トな 座 標 近 傍(U,φ),φ

上 で,

 (4.34)

と 書 け,ξjはU上

のC∞

お く と,ηj∈C∞(φ(U))で

関 数 で あ る(命 題4.5).ηj=ξj°φ−1(j=1,…,n)と あ る.従

っ て,系1.2に

よ り,微

分方程 式 系

 (4.35)

は 初 期 条 件yj(0)=xj(p)の 解 はpに てC∞

も と に た だ1つ

依 存 す る の で,yj(t,p)(j=1,…,n)と 関 数 で あ る.こ

のyjに

の 解yj(t)(￨t￨<ε0)を

も つ.こ

書 け ば,yjは(t,p)に

の 関 し

対 し,

 (4.36)

に よ っ て 写 像 Φtが 十 分 小 な￨t￨に よ り,容

対 し定 義 で き る.(4.34),(4.35),(4.36)

易 に(4.33)がf=xj,p∈U(j=1,…,n)に

対 し成 立 つ こ と が わ か

り,従

っ て,系4.2に

よ っ て,(4.33)は

す べ て のf∈C∞(M),p∈Uに

対 し

て 成 立 つ こ と が わ か る.   p0の

近 く の 点pに

と は,(4.35)の   Kは

対 し, 

解 が 同 様 の 性 質 を も つ こ と よ りた し か め ら れ る(問 題1.3).

コン パ ク トで あ る か ら,上

い,各Ui上

方,Φ0=1w′

ば,十

分 小 さ い 正 数 

る.よ

っ て, 

近 傍Wを

十 分 小 さ く とれ

に 対 し,Φt(W)⊂W′(￨t￨<ε1)と

存 在 も,Φ0=1wで

コン パ ク トの 場 合,任

が あ る が,自

然 数Nを

で き て い る.よ

な る よ うに で き

意 のt∈Rに

対 し,Φt:M→Mを

っ て,Φt=(Φt/N)N(N乗)と

要 が あ る.と

こ ろ が,性

が 成 立 つ.よ

っ て,

お き た い.そ

しか め ら れ る. 定 義 す る必 要

の た め に は,他

Φt(p)はR×Mか

対 し, 

らMへ

のC∞

写像であること (証終)

定 理4.5に

お け る{Φt}を,Xか

換 群 と よ び,Φt=ExptXで   注 意4.4 

お け る ε>0はKに

数局所変

よ っ て 異 る.Kに

無 関 係に

コン パ ク トな 場 合 と 同 じ よ うに し て,{Φt}はM上

1径 数 変 換 群 に で き る.そ transformation)ま

ら 生 成 さ れ た1径

あ ら わ す.

定 理4.5に

が と れ る 場 合 は,Mが

の 自

よ っ て, 

も 容 易 に 証 明 さ れ る.    定 義4.19 

定義

とな って い る こ とを 示 す 必

の よ う に し て 定 義 さ れ た Φt(t∈R)に 像(t,p)→

Φt:W→

と で き る か ら,Φt/Nは

な ら ば,Φt=(Φt/N′)N′ 質(ⅱ)に

像

みたす 十 分小 さい

あ る こ と よ り 容 易 に,た

十 分 大 に と れ ば,￨t/N￨<ε

に 対 し￨t/N′￨<ε

が 成 立 し,写

に 対 しみ た さ れ

同 型 写 像 で あ る こ と が わ か る.(ⅰ)を ε>0の

が 成 立 つ.こ

定 義 さ れ,(ⅲ)がW′

で あ る か ら,Kの

おお

解 の一意 性 か

な る こ と よ り,写

Φt(W)=WtはC∞ 近 傍Vと

限 個 のUiでKを

よ っ て 定 義 す れば,(4.35)の

上 で 矛 盾 な くΦtが

る よ うに で き る.他

然 数N′

の 性 質 を も つ,有

でΦtを(4.36)に

ら, 

  Mが

が成 立 つ こ

た は,完

の よ うな 場 合,XをMの 全 ベ ク トル 場(complete

の

無 限 小 変 換(infinitesimal vector field)と

ε

よ ぶ.

  命 題4.8 

C∞ 多 様 体Mか

らWへ

か ら 

へ の 線 型 同 型 写 像dΦ

のC∞

同 型 写 像 Φ が あ れ ば, 

が 次 式 で 定 義 され る:

 (4.37)

 証 明  g,h∈C∞(W)に

対 し,

  よ っ て, 

で あ る.dΦ

明 か で あ る.同

が 線 型 写 像 で あ る こ と は(4.37)よ

型 で あ る こ と は,d(Φ−1)=(dΦ)−1が

り

成 立 す る こ と に よ る. (証 終)

  定 義4.20 

命 題4.8に

お け るdΦ

に 対 し が   補 題4.12 

を Φ の 微 分 と よ ぶ. 

p∈M

成 立 つ. C∞ 同 型 写 像

Φ の 微 分dΦ

は 次 の 性 質 を も つ.

  (4.38)   証 明   (dΦ)X=X′,(dΦ)Y=Y′ ∈C∞(W)に

と お く と,命

題4.8に

よ り,任

意 のg

対 し,

(証 終)

  命 題4.9 

σ:M→MをC∞

多 様 体MのC∞

コ ンパ ク ト部 分 集 合 とす る.い

ま, 

の1径

す れ ば,(dσ)Xの

数 局 所 変 換 群 を{Φt}と

局 所 変 換 群{Ψt}は

同 型 写 像 と し,KをMの の生 成 す るKの

近 傍Vの

生 成 す るσ(V)上

上

の1径 数

で 与 え ら れ る.   証 明   {Ψt}がσ(K)の で あ ろ う.よ

近 傍 で の1径

っ て,(4.33)が{Ψt}に

数 局 所 変 換 群 に な って い る こ とは 明 か 対 し 成 立 す る こ と,即

ち,次

の(4.39)

が 成 立 す る こ と を 示 せば よ い.  (4.39)

p∈V,f∈C∞(M).   と こ ろ で,(4.39)は

次 の よ うに し て 証 明 さ れ る.

(証 終)

  定 義4.21 

{Φt}(￨t￨<ε)をC∞

変 換 群 と し,開 集 合V′

はV′

 に 対 し, 

多 様 体Mの

開 集 合Vの

が コ ンパ ク トで,V′ ⊂Vを

上 の1径 数 局 所 み た す もの とす る.

(￨t￨十 分 小)を

 (4.40) 

Yt=(TΦt)Y

に よ っ て 定 義 す る.ま

た, 

を

 (4.41)

に よ っ て 定 義 す る.   命 題4.10 

{Φt}か

ば,(4.40),(4.41)で

ら 導 か れ たV上

の ベ ク トル 場(定 義4.17)をXと

定 義 さ れ たYt,dYt/dtに

対 し

が 成 立 つ.   証 明   Zt=dYt/dtと

お く.f∈C∞(V′)な

ら ば,

すれ

よ っ て,V′

の 上 で は,Z0=[Y0,X]が

  つ ぎ に,t0が

成 立 つ.

十 分 小 な ら ば,(TΦt0)Z0=Zt0が

成 立 つ.何

故 な ら,f∈C∞(V′)

に 対 し,

 一 方 ,(TΦt)X=Xで

あ る か ら,

よ っ て,

(証終)   定 理4.6 V,V′

は 定 義4.21と

局 所 変 換 群 と し,そ

れ ら か ら 導 か れ た ベ ク トル 場 をX,Yと

べ て のs,tに

対 し, 

同 じ と す る.{Φt},{Ψt}をV上

が(任 意 の)V′

条 件 は,[X,Y]=0がV上

の1径

す る.十

分 小 なす

上 で成立 つ た めの必 要十 分

で 成 立 つ こ と で あ る.

  証 明   必 要 性:十

分 小 なtに

故 な ら,f∈C∞(V′)に

対 し,

対 し,V′

数

上 で,(TΦt)Y=Yが

成 立 つ.何

よ っ て,命

題4.10の

記 号 を 用 い る と,Yt=Yで

あ る か ら,[Y,X]=dYt/dt=0

と な る.   十 分 性:十

分 小 なtに

対 し て,命

題4.10に

よ り,

よ っ て,  (4.42) 

TΦtY=Y

が 十 分 小 な す べ て のtに 局 所 変 換 群 は,命 (4.42)に

対 し て 成 立 つ.と

題4.9に

よ り, 

こ ろ で,TΦtYの

よ れば, 

生 成 す る1径 で あ る.よ

が 十 分 小 さ いsに

対 し て 成 立 つ. 

数

っ て, (証終)

  4.5  複 素 ベ ク トル 場   C∞ 多 様 体Mの

上 の複 素 数 値 を と るC∞

の 全 体 か ら な る集 合C∞(M,C)を

関 数 

考 え る.C∞(M,C)はC∞(M)の

複素化

(§2.1参 照)に な って い る:

  一 方,点p∈Mに

  定 義4.22 

TpCMの

お け る 接 空 間TpMの

元 を 複 素 接 ベ ク トル(complex

TpMのC∞(M)へ

の 作 用 を,TpCMのC∞(M,C)へ

(4.43)に

張 す る.

よ っ て,拡

複 素 化TpCMを

tangent

考 え よ う:

vector)と

の 作 用 に,自

よ ぶ.

然 な方 法

 (4.43)

  補 題4.13 

と お く と,写

ク トル 空 間 の 線 型 写 像 で あ っ て,任   (4.44) 

像X:C∞(M,C)→Cは

意 のf,g∈C∞(M,C)に

X(f・g)=(Xf)・g(p)+f(p)・(Xg)

複 素ベ 対 し,

を み た す.   証 明  fi,gi∈C∞(M)(i=1,2)と X1,X2が(4.11)を

書 き,

み た す こ と を 用 い て,(4.44)の

し い こ と が た しか め ら れ る.Xが (4.44)に

よ り,明

線 型 な る こ と は,f=α

し, 

定 数 の とき の

の 元 の こ とを vector

のC∞(M,C)へ

補 題4.13と

辺 の等

(証終)

の 複 素 化 

の 複 素 ベ ク トル 場(complex

4.14)に

∈Cが

か で あ る. 

  定 義4.23  M上

両 辺 を 変 形 し,両

field)と

よ ぶ. 

の 作 用 を(4.43)と

同 じ よ うに し て,XはC多

に対 同 様 に 定 義 す れ ば,

元 環C∞(M,C)の

微 分 作 用 素(定 義

な る こ と が わ か る.

  Xのpに

お け る値Xp∈TpCMを 

す る(命 題4.5参

に よって定 義

照).

問   4.1  SnはC∞

題4

多 様 体 で あ る こ と を 検 証 せ よ.

  4.2  C∞

多 様 体M1とM2がC∞

  4.3  C∞

多 様 体M1,M2に

同 型 な ら,dim

M1=dim

M2.

対 し,T(M1×M2)とTM1×TM2と

は 自 然 な 方 法 でC∞

同 型 で あ る.   4.4  1次 元 以 上 のC∞

多 様 体Mに

  4.5  F=C0(M)をC0多 線 型 写像X:F→Fで

様 体M上

対 して は, 

で あ る.

の実 数 値 連 続 関 数 全 体 の な すR多

あ っ て,X(f・g)=Xf・g+f・Xg(f,g∈F)を

る(即 ちXf=0(f∈F))こ   4.6  C∞ 多 様 体Mの

元 環 とす る.

み た す も の は0に

限

はMの1径

数

と を 示 せ. コ ン パ ク ト集 合Kの

外 で0な

る 

変 換 群 を 生 成 す る.   4.7  連 結C∞

多 様 体Mの

Mの

同 型 写 像 Φ が 存 在 す る.

上 へ のC∞

任 意 の2点p,qに

対 し て は,Φ(p)=qを

み た すMか

ら

5.  部 分 多 様 体 と積 分 多 様 体

  5.1  部 分 多 様 体   M,WをC∞

多 様 体 と し,ι:W→MはC∞

写 像 で あ っ て,任 意 の点p∈W

に 対 し,写 像ι の 微 分(定 義4.13)(dι)p:TpW→Tι(p)Mが ιはWか

らMへ

  定 義5.1  がWか

の 挿 入 写 像(immersion)で

(W,ι)がMの

らMへ

  例5.1 

部 分 多 様 体(submanifold)で

開 部 分 多 様 体(例4.4)と

に よ って,(W,ι)はMの

とMの がC∞

あ る と言 う.

す る と,包

(W,ι)がMの

部 分 多 様 体 で あ る と き,ι は 単 射 で あ る か ら,W はι に よ っ て1対1対

同 型 と な る よ うに,W′=ι(W)にC∞ 挿 入 写 像 と な る.従

って,C∞

部 分 集 合 で あ っ て,包 含 写 像j:W′

→Mが

応 が つ く.こ

導 か れ る相 対 位 相 とは,一

般 に は,異

(W,ι)をMの

多 様 体W′

をM

の 位 相 はMか

ら

る こ と に 注 意 す る こ とが 肝 要 で あ る.

あ る か ら,階

対 し,p0(お

含写 像

挿 入 写 像 で あ る と き,W′ こで,W′

応

が 集 合 と して,Mの

部 分 多 様 体 と し,dimW=m,dimM=nと

る と,rank(dι)p=dimW(p∈W)で 任 意 の 点p0∈Wに

の1対1対

構 造 を 導 入 す る と,包

の 部 分 多 様 体 で あ る と定 義 して も差 支 え な い.こ

  注 意5.2 

含 写 像ι:W→M

部 分 多 様 体 とな る.

部 分 集 合ι(W)と

j:W′ →Mは

あ る とは,ι:W→M

の 挿 入 写 像 で あ っ て,か つι が 単 射 で あ る と き を 言 う.

WをMの

  注 意5.1 

単 射 で あ る と き,

よ びι(p0))の

(U′,φ′))を 適 当 に と る と, 

数 定 理2.7を

す 用 い る と,

座 標 近 傍(U,φ)(お

よび

は

(t1,…,tm)→(t1,…,tm,0,…,0)

の 型 で 与え られ る.   命 題5.1 

(W,ι)をMの

写 像f:V→Wを

部 分 多 様 体 とす る.VをC∞

多 様 体 と し,連 続

考 え る.

  この と き,fがC∞ 像 とな る こ と で あ る.

写 像 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はι°f:V→MがC∞

写

  証 明   必 要 で あ る こ と は 明 か で あ る か ら,十 p∈Wを

と り,p(お

よ び,ι(p))の

あ っ て, 

分 で あ る こ と を 証 明 す る.点

座 標 近 傍(U,φ)(お

よ び(U′,φ′)で

は(t1,…tm)→(t1,…,tm,0,…,0)で

る(注 意5.2).い

ま,q∈f−1(U)に

く と,q∈f−1(U)に

が 成 立 つ.仮

あ る もの を と

対 し,(φ°f)(q)=(y1(q),…,ym(q))と

お

対 し,

定 に よ り,yiは

開 集 合f−1(U)上

のC∞

関 数 で あ る か ら,fは

C∞ 写 像 で あ る. 

  5.2 

(証終)

微 分 系 と積 分 多様 体

  定 義5.2 

C∞ 多 様 体Mの

間D(p)が

与 え ら れ て い て,次

∈M}をM上

のk次

  (5.1)任

意 の 点p∈Mに

各 点pに

元C∞

対 し,TpMのk次

の 条 件(5.1)を

み た す と き,D={D(p)￨p

微 分 系(differential 対 し,pの

元 部 分 ベ ク トル 空

system)と

言 う.

近 傍UとX1,…, 

とが 存

在 し て, D(q)={X1(q),…,Xk(q)}R, 

が 成 立 つ.た

だ し,Xi(q)はXiのqに

  定 義5.3 

(W,ι)をMの

積 分 多 様 体(integral

q∈U

お け る 値 を あ ら わ す(命 題4.5).

部 分 多 様 体 と す る.(W,ι)がC∞

manifold)で

 (5.2) 

あ る と は,任

微 分 系Dの

意 の 点w∈Wに

対 し,

(Tι)(TwW)⊂D(ι(w))

を み た す と き を 言 う.   k=1の

と き は,(W,ι)をDの

  定 義5.4  と は,任

k次

元 微 分 系Dが

意 の 点p∈Mに

φ(U)={x∈Rn￨￨x￨0),か に 対 し 次 の 条 件(5.3)が  (5.3) 

積 分 曲 線 と よ ぶ. 完 全 積 分 可 能(completely

対 し,pの

座 標 近 傍(U,φ)が

integrable)で 存 在 し て,φ(p)=0,

つ 任 意 のc=(ck+1,…,cn)∈Rn−k(￨c￨
ある

UcはDの

積 分 多 様 体 で あ る.

た だ し,φ=(x1,…,xn)と   上 のUcを

お い た.

切 片(slice)と

  例5.2 

が す べ て のp∈Mに

=R・Xpと

た{Φt}を

定 理4.5の1径

微 分 系Dの

を み た せば,D(p)

元C∞

微 分 系 とな る こ とは 自

数 局 所 変 換 群 と す る と,W={Φt(p)￨

積 分 多 様 体 に な っ て い る.

  {Φt}は 微 分 方 程 式 系(4.35)を る.積

対 し, 

お く と,D={D(p)￨p∈M}は1次

明 で あ る.ま t∈Iε}は

よ ぶ こ と が あ る.

解 い て(即 ち,積

分 し て)得

られ た もの で あ

分 多 様 体 の 名 称 は こ こ に 由 来 す る.

  命 題5.2 Dは

完 全 積 分 可 能C∞

Ucを

用 い る.も

し(W,ι)がDの

Wが

連 結 で あ れ ば,あ

と,dim

Tp(Uc(p))=kで

が 成 立 つ.そ

と 書 け る.よ

っ て, 

が 成 立 ち,補

題4.5に

条 件(Inv)を  (Inv) 

お け る 記 号U, つ

な る.

対 し,Φ(p)=(t1,…,tk,c(p)),c(p)∈Rn−kと

意 のX∈TwWを

⊂D(ι(w))=Uι(w)(Uc(ι(w)))で

  定 義5.5 DをC∞

存 在 し て,ι(W)⊂Ucと

あ っ て,Tp(Uc(p))⊂D(p),従

こ で,任

(c=(ck+1,…,cn))が

義5.4に

積 分 多 様 体 で あ っ て,ι(W)⊂U,か

るc∈Rn−kが

  証 明   任 意 のp∈Uに

微 分 系 と し,定

お く

っ てTp(Uc(p))=D(p)

と る と,(Tι)X∈(Tι)(TwW)

あ る か ら,

な る 任 意 のjに

よ っ て,xj°ι

対 し て,

は 定 数cjで

あ る.よ

っ て,ι(W)⊂Uc

成 立 つ. 

(証終)

多 様 体M上

み た す と き,Dは

のk次

元C∞

微 分 系 と す る.Dが

内 包 的(involutive)で

任 意 のp∈Mに X1,…, 

対 し,pの

近 傍Vと

が 存 在 し て,

 (5.4) 

{X1(q),…,Xk(q)}R=D(q),

 (5.5) 

[Xi,Xj](q)∈D(q)

あ る と 言 う.

次の

が す べ て のq∈Vに   補 題5.1 Dが

対 し成 立 つ. 内 包 的 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,任 意 の 開 集 合U⊂M

と,X,Y∈〓(U)に

対 し, Xp,Yp∈D(p)(p∈U)な

らば

[X,Y](p)∈D(p) 

(p∈U)

が 成 立 つ こ と で あ る.   証 明 Dを

内 包 的 で あ る と す る.任

とx1,…,Xk∈〓(V)が

意 の 点p0∈Uに

存 在 し,(5.4),(5.5)が

対 し,p0の

近 傍V⊂U

み た さ れ る.X,YはV上

で

と 書 け,ξi,ηi∈C∞(V)で

あ る.よ

が 成 立 ち,(5.4),(5.5)を

っ て,

用 い る と,[X,Y](p)∈D(p)が

す べ て のp∈V

に 対 し成 立 つ こ と が わ か る.   逆 に,補

題5.1の

条 件 を み た すDが

内 包 的 で あ る こ と は 自 明 で あ ろ う. (証 終)

  命 題5.3 DをM上 任 意 の 点p0∈Mに

の 内 包 的 なk次 対 し,p0の

元C∞

近 傍UとX1,…,Xk∈〓(U)が

{X1(p),…,Xk(p)}R=D(p)  [Xi,Xj]=0 

微 分 系 と す る.こ

の と き,

存 在 し て,

(p∈U),

(i,j=1,…,k)

が 成 立 つ.   証 明  p0∈Mに Yk∈〓(U)が   (5.6)  が 成 立 つ.座

対 し,p0の

座 標 近 傍(U,φ)を

十 分 小 さ く と る と,Y1,…,

存 在 し て, {Y1(p),…,Yk(p)}R=D(p), p∈U 標 系φ=(x1,…,xn)を

と あ ら わ す と,aiν ∈C∞(U)で

用 い て,U上

あ っ て,k×n型

で,

の 行 列(aiν(p0))の

階 数 はk

で あ る.従

っ て,(必

要 な ら ば 番 号 を つ け か え る こ と に よ っ て)行

=(aij(p)￨i,j=1,…,k)は  っ て,さ

ら にUを

がp∈Uに

列A(p)

で あ る と し て 一 般 性 を 失 わ な い .よ

小 さ く と っ て お け ば,逆

対 し て 存 在 す る.こ

のbijを

行 列B(p)=(bij(p))=(A(p))−1

用 い て,

 (5.7)

と お く.容

易 に,

 (5.8)

と 書 け,ciν ∈C∞(U)で

あ る こ と が わ か る.ま

た(5.6)と(5.7)と

{X1(p),…,Xk(p)}R=D(p),  も 成 立 つ.と

こ ろ で,Dは

に よ り,

p∈U

内 包 的 で あ っ た か ら,任

意 の 

に 対 し,

 (5.9)

と 書 け,ξm∈c∞(U)(m=1,…,k)で

あ る.一

方,

 (5.10)

と も 書 け る は ず で あ る が,(5.8)を わ か る.他

方(5.8),(5.9),(5.10)よ

っ て, 

  5.3 

用 い る と, 

で あ る こ とが

り, 

と な っ て,[Xi,Xj]=0が

が 成 立 つ.よ 証 明 さ れ た. 

(証 終)

フ ロベ ニ ウ スの 定理

  定 理5.1 

MをC∞

多 様 体 と す る.Xi∈〓(M)(i=1,…,k)は,任

p∈Mに

対 し,X1(p),…,Xk(p)が

… ,k)を

み た す と す る.こ

(U,φ),φ=(x1,…,xn)が

の と き,任

意 の点

一 次 独 立 で あ っ て,[Xi,Xj]=0(i,j=1, 意 の 点p0∈Mに

対 し,そ

の座 標 近傍

存 在 し て,

が 成 立 つ.   証 明   ま ず,p0の

座 標 近 傍(V,ψ),ψ=(y1,…,yn)で

あ っ て,ψ(p0)=0を

み た し,か

つ

は 一 次 独 立 な る も の を と る(こ の よ うな(V,ψ)が う).次 に,{Φt(i)}をXiが

存在 す る こ と は 明か で あ ろ

生 成 す る1径 数 局 所 変 換 群 とす る(定 理4.5).こ

の と き,正 数 δ を 十 分 小 さ く とれ ば,写 像Ψ:{x∈Rn￨￨x￨<δ}→Mが,  (5.11)

に よ っ て 定 義 で き る.た   写 像Ψ と 

だ し￨ti￨<δ(i=1,…,n).

の 原 点0∈Rnに

お け る 微 分TΨ

を 考 え る と,任

意 のf∈C∞(M)

に 対 し,

 (5.12)

で あ る か ら, 

が 成 立 つ.

  同 様 に し て, 

が 成 立 つ.従

T0Ψ:T0(Rn)→Tp0Uの 十 分 小 な δ0>0を へ のC∞ 4.6に

階 数 はnで と る と,Ψ

っ て,逆

か らMの

こ で,[Xi,Xj]=0な

像

写 像 の 定 理2.6に

は 

同 型 写 像 と な る.こ よ っ て,Φt(i)と

あ る.よ

っ て,写

よ り,

開 集 合U

る 仮 定 を 用 い る と,定

Φs(j)と は 可 換 で あ る か ら,(5.12)の

理

計 算 と同 様 に し

て,

 (5.13)

が す べ て のt∈Uδ0に

対 し 成 立 つ こ と が わ か る.よ

っ て,座

標 近 傍(U,Ψ−1)は

求 め る も の で あ る.    系5.1 

(証 終)

X∈〓(M)が1点p0∈Mに

の 座 標 近 傍(U,φ)が

お い て, 

存 在 し,φ=(x1,…,xn)と

を み た せば,p0

お く と,U上

でX=∂/∂x1

が 成 立 っ.  証 明   =R・Xp(p∈V)に 的 で あ る.

と お く と,VはMの よ っ て,V上

の1次

元 微 分 系Dが

開 集 合 で あ っ て,D(p1) 定 義 さ れ,Dは

内包

  よ っ て,定

理5.1をX￨V∈〓(V)に

  定 理5.2 DをC∞

対 し 用 い れば よ い. 

多 様 体M上

のk次

可 能 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はDが

元 微 分 系 とす る.Dが

内 包 的 で あ れば,命

当 な 近 傍Uを

ウ ス(Frobenius)の

よ っ て,任

意 の 点p0に

対 し,適

み た さ れ る.よ

対 し 用 い る と,p0の

φ=(x1,…,xn)と

定 理)

存 在 し て,{X1(p),…,Xk(p)}R

つ[Xi,Xj]=0(i,j=1,…,k)が

定 理5.1をM=Uに

座 標 近 傍(U0,φ)が

っ て,

存 在 し て,

お く と,

が 成 立 つ よ う に で き る.こ よ っ て,Dは

の(U0,φ)は

定 義5.5の

条 件(5.3)を

み た す.

完 全 積 分 可 能 で あ る.

  逆 に,Dが

完 全 積 分 可 能 な ら ば,(5.3)を

=∂/∂xi(i=1,…,k)は   次 に,完

題5.3に

と る と,X1,…,Xk∈〓(U)が

=D(p)(p∈U),か

完全 積分

内 包 的 で あ る こ と で あ る. (フロベニ

  証 明 Dが

(証 終)

定 義5.6の

全 積 分 可 能 なk次

み た す(U,φ)を

条 件(Inv)を

と れば,Xi

み た す. 

元 微 分 系 に 対 し,極

(証終)

大積 分多 様 体 の存 在 を証 明 し

よ う.   定 理5.3 DをC∞ る.任

多 様 体M上

意 の 点p0∈Mに

対 し,連

のk次 結 なDの

元 完 全 積 分 可 能C∞

微 分 系 とす

積 分 多 様 体(W,ι)で,次

の条 件

を み た す も の が 存 在 す る.   (ⅰ) ι(W)∋p0,   (ⅱ)  任 意 の 連 結 なDの

積 分 多 様 体(W′,ι′)で, 

の に 対 し て は,C∞

写像

で あ っ て, 

が 成 立 つ.

  証 明  I=[0,1]をR1の

Φ:W′ →Wが

をみ たす も

存 在 し,(W′,Φ)はWの

単 位 閉 区 間 と す る.Iか

らMへ

部分 多 様体

のC∞

写 像 γiの

組{γi￨i=0,1,…,N}が,γ0(0)=p0,γN(1)=p,γi+1(0)=γi(1)(i=0,…,N −1)を pへ

みた し

,か

つ(I,γi)がDの

の 積 分 鎖(integral

chain)で

積 分 曲 線 で あ る と き,{γi}は,p0か あ る と よ ぶ こ と に し よ う.p0と

ら

積 分鎖 で 結

べ る よ う な 点p∈M全 た い.p1∈Wに

体 か ら な る 集 合 をWと

対 し,p1の

連 結 で あ る.ま をp0のWに

あ る.(U,φ)を

明 か に 連 続 で あ る.ま

,tk)で

へ の 位相同 はC∞

あ る と し て よ い か ら,Ucは

お け る 基 本 近 傍 系 に と る と,Wは

写 像ι:W→Mは =(t1…

か にU0⊂Wで

あ っ て,

積 分 多 様 体 と な る も の を と る(定

立 方 体 で,φ(p1)=0で た,明

構 造 を定 義 し

座 標 近 傍(U,φ)(φ=(x1,…,xn))で  がDの

義5.5).φ(U)はRnの

し,WにC∞

た,写

い ろ い ろ と っ て,{U0}

ハ ウ ス ドル フ 空 間 と な り包 含 像

π:Rn→Rkをπ(t1,…,tn)

定 義 す る と,φ0=π°(φ￨U0)はU0か

型 で あ る.(U0,φ0)をWの

らRkの

開 集 合φ0(U0)

座 標 近 傍 と 定 義 す る こ と に よ り,W

多 様 体 と な り,(W,ι)はMの

部 分 多 様 体 と な る.(W,ι)がDの

連

結 な 積 分 多 様 体 と な る こ と も 明 か で あ る.   (W,ι)が(ⅱ)を   p0′∈W′ q′∈W′

み た す こ と を 証 明 し よ う.

をι′(p0′)=p0な

に 対 し,C∞

写像

る 点 と す る.W′

は 連 結 で あ る か ら,任

γi′:I→W′(i=0,1,…,N)で

あ っ て,γ0′(0)=p0′,

γN′(1)=q′,γi+1′(0)=γi′(1)(i=0,…,N−1)を  と お く と,{γi}はp0か

=ι′(q′)と お く と,写

方,任

像 Φ:W′ →Wは

意 のw′ ∈W′

こ と か ら,(TΦ)w′

存 在 す る.

の 積 分 鎖 と な る.従

あ る こ と が わ か っ た.よ

が わ か る.ι°Φ=ι′ は 自 明 で あ る.よ 像 で あ る.一

み た す{γi′}が らι′(q′)へ

 で あ っ て,ι′(W′)⊂Wで

命 題5.2を っ て,命

用 い て,連

題5.1に

続 で あ るこ と

よ っ て,Φ

はC∞

写

である

っ て,(W′,Φ)はWの

部分 多 様体 で

あ る. 

  5.4 

って

っ て,Φ(q′)

に 対 し, 

は 単 射 で あ る.よ

意 の点

(証 終)

可

  定 義5.6 

算

公 理

位 相 空 間(M,U)が

第2可

算 公 理)を み た す と は,次

Vが

存 在 す る と き を 言 う.

  (ⅰ) Vは

可 算 公 理(countability の 条 件(ⅰ),(ⅱ)を

可 算 個 の 元 か ら な る:V={U1,U2,…},

axiom)(く み た すUの

わ し く は, 部分 集 合

  (ⅱ)  任 意 のU∈UはVの

元 の 和 集 合 と して あ らわ せ る.

  VをUの

可 算 基(countable

base)と よぶ.

  条 件(ⅱ)は

次 の(ⅱ)′

と 同 値 で あ る.

  (ⅱ)′ 任 意 のU∈Uとp∈Uに

対 し,p∈V⊂Uを

み た すV∈Vが

存

在 す る.   Rn(従

って,そ

の 開 部 分 集 合)は 可 算 基 を もつ こ とは 明 か で あ ろ う.(有 理

数 を 座 標 に もつ 点pを

中 心 と して 有 理 数rを

体 か らな る集 合 をVと   こ の 節 で は,可

半 径 とす るr近

傍U(p,r)全

す れ ば よ い).

算 基 を もつC∞

多 様 体 の 連 結 部 分 多 様 体 は,や

は り可 算 基 を

もつ こ と を 証 明 す る.   C∞ 多 様 体Mが

可 算 基 を もつ た め に は,Mが

可 算 個 の コ ンパ ク ト集 合Ki

の 和 集 合 とな る こ と が 必 要 十 分 で あ る.   補 題5.2 

(M,U)を

連 結 位 相 空間 とす る.Uの

が 次 の 条 件(1)∼(3)を

部 分 集 合 

み た す とす る.

  (1)  任 意 の α∈Aに

対 し,部 分 空 間(Vα,U￨Vα)は

  (2)  任 意 の α∈Aに

対 し 

可 算 基 を も つ,

は 可 算 集 合 で あ る,

  (3) こ の と き,Mは

可 算 基 を も つ.

 証 明  

な る α0∈Aを1つ

と り,固

定 し て お く.自

然 数nに

対 し,

  が 存 在 し て, ただ し と お く.条 る.よ

件(2)に

よ り,Anは

っ て, 

可 算 集 合 で あ る こ と が 容 易 に た しか め られ

と お け ば,A*も

可 算 集 合 で あ る.い

と お く と,VがMの

開 集 合 で あ る こ と は 明 か だ が,Vは

何 故 な ら,点p∈Vを

と る と,任

が,p∈Vβ 従 っ て 

な る β∈Aが

意 のU∈U(p)に

あ る か ら,こ

な る α∈Anが

の

閉 集 合 で も あ る.

対 し, 

β に 対 し 

あ る こ と よ り,β

ま,

∈An+1と

である が 成 立 ち, な っ てp∈Vβ

⊂Vと

な り,V=Vが

ま,U￨Vα

成 立 す る.Mは

の 可 算 基 をVα

連 結 で あ る か ら,M=Vと

な る.い

とす れ ば, 

はUの

可算

基 と な る.    補 題5.3 

(証終) (M,U)は

連 結 か つ 局 所 連 結 な(定 義3.16)位

は 可 算 個 の 開 集 合Vk(k=1,2,…)の

和 集 合 で あ って,Vkの

は 可 算 公 理 を み た す とす る.こ

の と き,Mも

  証 明  k,m;α ∈Akに

Vm͡Vk,α

1つ

可 算 公 理 を み た す. 連 結 成 分 へ の 分 解 と す る.任

題5.2に

よ り,Mは

意の

対 し,

は 局 所 連 結 で あ っ て,か

可 算 公 理 を み た す.

つ 可 算 基 を も つ か ら,そ

は 高々 可 算 個 の 連 結 成 分Kν(ν=1,2,…)よ

Kν はVmの

任 意 の連 結成分

をVkの

が 可 算 で あ る こ と が わ か れ ば,補   さ て,Vk,α

相 空 間 とす る.M

の開 部分 集合

り な る こ と が わ か る.

連 結 集 合 で あ る か ら, を

み たす

β(ν)∈Amが

ただ

き ま る.

  い ま,β か ら,p∈Kν

∈Ak,m,α な るν

と せ よ.  が と れ る. 

か ら, 

は,補

従 っ て,Kν

っ て, 

⊂Vm,β

題3.4に

であ る

よ り,連

と な っ て,β=β(ν)で

(M,U)を

意 のp∈Mに

連 結 位 相 空 間 とす る.連 対 し,適

の 開 集 合 へ の 位 相 同 型 で あ る と す る.こ   証 明   {U1,U2,…}をRdの

(証 終)

続 写 像φ:M→Rdが

当 なU∈U(p)を

結で あ る あ る.よ

は 可 算 で あ る. 

  補 題5.4  て,任

を と る と,p∈Vm͡Vk,α

存在 し

と る と,φ￨UはUか

の と き,Mは

らRd

可 算 基 を も つ.

開 集 合 の 可 算 基 で あ っ て,Uiは

連 結 な もの と

す る.

は 位 相 同 型} とお く.   V, 

な ら ばV=V′

 ψ=(φ￨V)−1,ψ′=(φ￨V′)−1と で あ る. 

で あ る こ と を 証 明 し よ う.

お く と,ψ:Uk→V,ψ′:Uk→V′

と お き,W=V=V′

を 証 明 す れ ば よ い.も

は位 相 同型 しW⊂V,

 な ら ば,p=lim pn=lim φ(p)=limφ(pn)で

qnを

と れ る.

あ る か ら,ψ′(φ(p))=limψ′(φ(pn))=lim

て,p∈V͡V′=Wで

あ る.こ

が 証 明 さ れ た.W=V′ お く と,各Vは

み た す 点 列pn∈W,qn∈V−Wが

れ はp=lim

qnに

も 同 様 に 証 明 さ れ る.さ

開 集 合,か

も ち ろ ん, 

pn=pと

矛 盾 す る.よ

っ て,W=V

て, 

と

つ 連 結 で あ る か ら,VはVkの

連 結 成 分 で あ る.

は 可 算 基 を も つ か ら, 

も,補

題5.3に

よ り,

可 算 基 を も つ.    補 題5.5 

な っ

(証終)

MをRnのk次

元 連 結 部 分 多 様 体 と す れ ば,Mは

可算基 を も

つ.

  証 明   {x1,…,xn}をRnの

座 標 系 と し,yj=xj￨M(j=1,…,n)と

お く.

 に 対 し,   Vi={p∈M￨適

当 なU∈U(p)を

 

と る と,

{yi1,…,yik}はU上

と お く と,MがRnのk次

の 座 標 系 と な る}

元 部 分 多 様 体 で あ る こ と か ら, 

が成

立 つ.   Viの

任 意 の 連 結 成 分V′

yik(p))に

を と り,写

よ っ て 定 義 す る と,V′,φ

可 算 基 を も つ.よ

  定 理5.4 

っ て,補

→Rkをφ(p)=(yi1(p),…,

は 補 題5.4の

題5.3に

可 算 基 を もっC∞

像φ:V′

よ り,Mも

多 様 体Mの

条 件 を み た す か ら,V′ 可 算 基 を も つ. 

連 結 部 分 多 様 体Wは

は

(証 終)

可 算基 を

もつ.   証 明 

と書 け,VkはRnの

い. 

と お く と,WkはWの

の 任 意 の 連 結 成 分 とす れ ば,Wk′

もWの

の 部 分 多 様 体 とな り,結 局,Wk′

はRnの

補 題5.5に Wも

よ り,可 算 基 を もつ. 

開 集 合 とC∞

同 型 で あ る と して よ

開 集 合 で あ る.よ って,Wk′

をWk

開 集 合 で あ る.従

はVk

っ て,Wk′

連 結 部 分 多 様 体 と考 え られ る か ら, で あ るか ら,補 題5.3に

可 算 基 を もつ. 

  補 題5.6 Dをn次 し,WをDの1つ

よ り, (証終)

元C∞

多 様 体Mの

上 のk次

元 内 包 的C∞

の 極 大 積 分 多 様 体 とす る.φ:V→MをC∞

微 分系 と 多 様 体V

か らMへ

の 連 続 写 像 で あ っ て,φ(V)⊂Wを

み た す と す る.も

算 公 理 を み た せ ば,ψ(x)=φ(x)(x∈V)に

し,Wが

よ っ て 定 義 され る写 像

可

ψ:V→W

も 連 続 で あ る.   証 明  υ ∈Vを り,U上

と り,p=φ(υ)と

お く.pのMに

の 座 標 系{x1,…,xn}は

は 切 片Sξ

定 義5.5の

の 和 集 合 で あ る が,W͡Uは

pを

含 む,Uの

  U0⊂S0の

な っ て,ψ 証 明:写

定 義 す る と,上

和 集 合 と な る.い

か も  結 成 分U0に

像 π:U→Rn−kを

方,Rn−mの

はRn−kの

の み か ら な る.よ

証 明 さ れ た(実 はU0=S0が

つ と 仮 定 す る.φ:V→WがC∞

写 像 で あ れ ば,ψ:V→WもC∞

り,ψ

はC∞

題5.6に

  5.1  次 の(1)∼(3)を

み た すC∞

(M,A)は(M′,A′)の

  (2) 

可算 基 を も 写 像 で あ る.

ψ で あ る.定

理5.4に

は 連 続 で あ る.よ

よ り, っ て,命

写 像 で あ る. 

問

  (1) 

よ り,ψ

題5

多 様 体(M,U,A),(M′,U′,A′)の

例 を つ くれ:

閉 集 合),

  (3)   5.2  C∞ 多 様 体M′ 存 在 し て,(M,Ai)はM′

の 部 分 集 合Mに

題

(証終)

部 分 多 様 体 で あ る,

(即 ち(M′,U′)の

っ て,

言 え る).  (証 終)

同 じ と し,かつMは

包 含 写 像 と す れば,φ=ι°

可 算 基 を も つ か ら,補

よ って

は 連 続 写 像 で あ る か ら,π(U0)は

は 補 題5.6と

5.1によ

証 明 で き れ ば,

可 算 集 合 で あ る か ら,

  定 理5.5 D,M,W,V,φ,ψ

Wは

中 の連

π(q)=(xk+1(q),…,xn(q))に

連 結 可 算 集 合 は た だ1点

な り,U0⊂S0が

  証 明  ι:W→Mを

の連 結

の 連 続 性 が 証 明 さ れ る こ と に な る.

 も 可 算 集 合 で あ る.π

π(U0)={0}と

をυ

含 むUの

含 ま れ る.U0⊂S0が

の 注 意 に よ り, 

連 結 で も あ る.一

ま,U′

で あ る か ら,φ(U′)はU͡Wの

中 の,連

φ(U′)⊂S0と

条 件 を み た す よ うに す る.W͡U

み た す も の と す る.φ(U′)はpを

結 集 合 で あ っ て,し

と

可 算 公 理 を み た し て い る の で,W͡U

は 高々 可 算 個 の 切 片Sξi(i=1,2,…)の な 近 傍 で,φ(U′)⊂Uを

お け る 座 標 近 傍Uを

は2つ

以 上 の 異 るC∞

の 部 分 多 様 体 と な り得 る 例 を 示 せ.

構 造Ai(i=1,2,…)が

  5.3  (M,U,A)をC∞ が(M,U,A)の

多 様 体 と し,WをMの

部 分 多 様 体 とな る よ うなW上

な い こ と を 証 明 せ よ.

部 分 集 合 とす る.(W,U￨W,B) のC∞

構 造Bは

高 々1つ

しか 存 在 し

6. 

  6.1 

リ

ー

環

リー 環 の 定 義 と そ の 例

  MをC∞

多 様 体 と し,〓(M)をM上

る と,〓(M)は ∈〓(M)が

の ベ ク トル 場 全 体 か ら な る 集 合 と す

実 ベ ク トル 空 間 で あ っ て,X,Y∈〓(M)に

対 し て は,[X,Y]

定 義 さ れ て い た(補 題4.10).[X,Y]=X°Y−Y°Xで

  (6.1) 

あ っ た か ら,

[X,Y]=−[Y,X]

が 成 立 す る.一

方,X,Y,Z∈〓(M)に

  (6.2) 

対 し,

[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0

が 成 立 つ.何

故 な ら,(6.2)の

左辺は

  X°[Y,Z]−[Y,Z]°X+Y°[Z,X]−[Z,X]°Y+Z°[X,Y]−[X,Y]°Z =X°(Y°Z−Z°Y)−(Y°Z−Z°Y)°X+Y°(Z°X−X°Z) −(Z°X−X°Z)°Y+Z°(X°Y−Y°X)−(X°Y−Y°X)°Z=0 と な る か ら で あ る.   我々 は(6.1),(6.2)が

成 立 す る よ う な 括 弧 積[X,Y]が

ク トル 空 間 を リー 環 と 定 義 す る.即   定 義6.1 KをRま リ ー 環(Lie =[x,y](x,y∈g)と   (ⅰ) 

す る.K上

あ る と は,写

像

書 く と き,次

を ヤ コ ビ 等 式(Jacobi

(x,y∈g),

  例6.1 

gをn次

(x,y,z∈g).

お け るxとyと identity)と

み た す と き を 言 う. (x1,x2,y∈g,λ1,λ2∈K),

[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0  リ ー 環gに

の

定 義 さ れ て い て,β(x,y)

の 条 件(ⅰ)∼(ⅲ)を

[x,y]=−[y,x] 

  [x,y]を

の ベ ク トル 空 間gがK上

β:g×g→gが

[λ1x1+λ2x2,y]=λ1[x1,y]+λ2[x2,y] 

  (ⅱ)    (ⅲ) 

ち,

た はCと

algebra)で

定 義 され て い るベ

の 括 弧 積(bracket)と

よ び,等

式(ⅲ)

よ ぶ.

正 方 行 列 全 体 か ら な る 集 合 と す る: g={x￨x=(xij),xij∈K(i,j=1,2,…,n)}.

行 列 の 和,ス

カ ラ ー 倍 に よ っ てgはK上

の ベ ク トル 空 間 に な っ て い る.g

∋x,yに

対 し,β(x,y)=x・y−y・x(x・yは

れ ば,(6.2)の

行 列 と し て のx,yの

証 明 と 同 様 に し て,β(x,y)は

る,(ⅰ),(ⅱ)は

明 か で あ る か ら,gは

こ のgをg=g〓(n,K)で

あ ら わ す.一

[A,B]=A°B−B°Aと   例6.2 

般 に,ベ

元C∞

な す 集 合 を〓(M)と

書 く.

らVへ

の線 型

同 様 に して,A,B∈g〓(V),に

多 様 体 と し,M上

対 し

ー 環 と な る. の 複 素 ベ ク トル 場X全

 

体の

に 対 し,[X,Y]を

と 定 義 す れ ば,〓(M)はC上   例6.3  gの

ー 環 に な っ て い る.

ク トル 空 間Vか

定 義 す る こ と に よ り,リ

Mをn次

定義す

ヤ コ ビ等 式 を み た す こ とが わ か

こ の 括 弧 積 で,リ

写 像 全 体 か ら な る ベ ク トル 空 間g〓(V)も

積)と

例6.2よ

複 素 化gCは

  例6.4 

り も っ と 一 般 に,R上 自 然 に,C上

Mを

の リ ー 環gに

  定 義6.2 

gをK上

部 分 リ ー 環(Lie

ク トル 空 間

の 正 則 ベ ク トル 場 全 体 か ら な る 集

の リ ー 環 と な る(定 義11.11参

部 分 リ ー 環,イ

対 し,ベ

の リ ー 環 と な る.

複 素 多 様 体 と す る と,M上

合〓(M)はC上

  6.2 

の リ ー 環 と な る.

デ ア ル,可

解 リー 環

の リ ー 環 と し,〓

subalgebra)で

照).

をgの

あ る と は,次

部 分 集 合 と す る.〓

の 条 件(ⅰ),(ⅱ)を

がgの

み たす とき

を 言 う.   (ⅰ) 〓

はgの

部 分 ベ ク トル 空 間 で あ る.

  (ⅱ) 〓 ∋x,yな   条 件(ⅰ)お

ら ば,[x,y]∈〓 よ び,(ⅱ)よ

イ デ ア ル(ideal)で

  例6.5  く と,〓

り強 い 次 の 条 件(ⅱ)′

はgの

らば,[x,y]∈〓.

は そ れ 自 身1つ

の リ ー 環 と 考 え ら れ る.

C∞ 多 様 体Mの1点p0を は〓(M)の

を み た す と き,〓

あ る と 言 う.

  (ⅱ)′ 〓∋x,g∋yな   部 分 リー環〓

で あ る.

部 分リ ー 環 で あ る.

固 定 し, 

とお

  例6.6 g=g〓(n,K)に

対 し, 

ア ル で あ る. 

と お く と,〓

はgの

イデ

と 書 く.

  定 義6.3 gをK上

の リ ー 環 と し,A,Bをgの

{[x,y]￨x∈A,y∈B}に

よ っ て 張 ら れ るgの

部 分 集 合 と す る.集

合

部 分 ベ ク トル 空 間 を[A,B]で

あ

ら わ す.   補 題6.1 

a,bをgの

イ デ ア ル と す れ ば,a+b,[a,b]もgの

イ デ アル で あ

る.   証 明   x∈g,y=a+b∈a+b,a∈a,b∈bに

対 し,[x,y]=[x,a]+[x,b]

∈a+b,[x,[a,b]]=[[x,a],b]+[a,[x,b]]∈[a,b]が

成 立 つ か ら で あ る. (証 終)

  定 義6.4 

リ ー 環gに

  (6.3) 

対 し,g(k)(k=0,1,…)を g(0)=g, 

と 定 義 す る.補

題6.1に

る 自 然 数kが 特 に,g(1)={0}と

g(k)=[g(k−1)g(k−1)]

よ っ て,g(k)はgの

存 在 す る と き,gは な る と き,gは

帰 納 法 に よ っ て,

イ デ ア ル で あ る.g(k)={0}と

可 解 リ ー 環(solvable

Lie

algebra)と

な

可 換 リ ー 環(commutative

Lie

言 う.

algebra)と

言 う.   部 分 リ ー 環〓

が 可 解(ま た は 可 換)と は,〓

を リ ー 環 と 見 な した と き,可

解

(ま た は 可 換)リ ー 環 と な っ て い る と き を 言 う.   定 義6.5 

g,g′

をK上

写 像(homomorphism)で   (ⅰ)  fは

あ る と は,次

ベ ク トル 空 問gか

  (ⅱ)  x,y∈gに   さ ら に,fが も1つ

の リー 環 と す る.写

らg′

像f:g→g′

の(ⅰ),(ⅱ)を

が リー環 の 準 同 型

み た す と き を 言 う.

へ の 線 型 写 像,

対 し,f([x,y])=[f(x),f(y)]. 全 単 射 で あ る と き,fは

の 同 型 写 像f:g→g′

同 型 写 像 と 言 う.g,g′

が 存 在 す る と き,gとg′

に 対 し,少

くと

と は 同 型 で あ る と 言 い,

g〓g′ で あ ら わ す.   定 義6.6 gをK上 トル 空 間gの 射 影 をfと

の リ ー 環 と し,aをgの

部 分 空 間aに

イ デ ア ル と す る.g/aを

よ る 商 ベ ク トル 空 間 と し,gか

す る(定 義2.9).x∈gに

対 しf(x)=xと

らg/aへ

書 く.x,y∈g/aに

ベ ク

の 自然 な 対 し,

[x,y]は

代 表 元x,yの

ら,x=x′,y=y′

取 り 方 に 無 関 係 で,x,yの

な ら ばa=x−x′,b=y−y′

み に よ っ て き ま る.何 と お く とa,b∈aと

な っ て,

[x′,y′]=[x+a,y+b]=[x,y]+[a,y+b]+[b,x]≡[x,y](mod a)が か ら で あ る.従 れ,こ

っ て,[x,y]=[x,y]と

の 積 に 関 し,g/aは

れ る.こ ぶ.定

はgの

f:g→g′

に,次

お く.x∈a,y∈gに

成 立 つ か ら,[x,y]∈aと

ら ば,f(x)=f(y)で

らg′

へ の 自 然 な 同 型 写 像 が 存 在 す る.

対 し,f([x,y])=[f(x),f(y)]=[0, な り,aはgの

イ デ ア ル で あ る.次

よ っ て 定 義 した い.そ

のた めに は

像fが

準 同 型 で あ っ て,全

単 射 で あ る こ とも

容 易 に た しか め られ る. 

(証 終)

を リー環 の 準 同 型 と す れ ば,f(g)はg′

あ っ て,k=0,1,…

に,

あ る こ と を 示 す 必 要 が あ る が ,x−y∈a=Kerf

で あ る こ と よ り 明 か で あ る.写

  補 題6.2 f:g→g′

よ

らg′ の 上 へ の 準 同 型 写 像 とす る と,Kerf

らg′ へ の 写 像fをf(x)=f(x)に

x=yな

algebra)と

の 命題 が成 立 つ .

イ デ ア ル で あ っ て,g/(Kerf)か

f(y)]=0が

Lie

リ ー 環 の 準 同 型 写 像 で あ っ て,Kerf={x

を リ ー 環gか

  証 明  a=Kerfと

中に 積が 定義 さ

み た す こ とが た しか め ら

よ る 商 リ ー 環(quotient

成 立 つ.逆

  命 題6.1 

g/aか

定 義6.1の(ⅰ)∼(ⅲ)を

義 の 仕 方 か ら,f:g→g/aは

∈g￨f(x)=0}=aが

成立 つ

お く こ と に よ り,g/aの

の リ ー 環g/aをgのaに

故な

の部 分 リー 環 で

に 対 し,

  (6.4) 

f(g(k))=(f(g))(k)

が 成 立 つ.   証 明   x,y∈gな 部 分 リー環

ら ば,[f(x),f(y)]=f([x,y])∈f(g)で

で あ る.次

自 明 で あ る.kに

に(6.4)をkにつ

あ る か ら,f(g)は

い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.k=0な

ら

対 し 成 立 す る と 仮 定 す る と, f(g(k+1))=f([g(k),g(k)])=[f(g(k),f(g(k))] =[(f(g))(k),(f(g))(k)]=(f(g))(k+1)

と な っ て,帰

納 法 が 完 結 す る. 

  補 題6.3 

可 解 リー 環gの

の 準 同 型 写 像f:g→g′

(証 終)

部 分 リー 環〓 は 可 解 で あ る.ま

に よ る像f(g)も

可 解 で あ る.

た 可 解 リ ー環g

  証 明  g(k)={0}と

な る 自 然 数kが

故 に,〓(k)={0}と

な っ て,〓

=f(g(k))=f({0})={0}で

あ る か ら,〓(k)⊂g(k)={0}.

は 可 解 で あ る.次

あ る か ら,f(g)は

  補 題6.4 aを ば,gも

あ る.〓 ⊂gで

リ ー 環gの

に(6.4)に

よ り,(f(g))(k)

可 解 で あ る. 

可 解 イ デア ル と し,商

(証終)

リ ー 環g/aが

可解で あれ

可 解 で あ る.

  証 明  f:g→g/aを g(k)={0}と

自 然 な 射 影 と し,g=g/aと

な る 自 然 数kが

=g(k)={0}で

存 在 す る.(6.4)に

あ る か ら,g(k)⊂Kerf=aが

ら,a(l)={0}と

な る 自 然 然lが

な っ て,g(k+l)={0}が

リ ー 環gの

可 解 で あ る か ら,

よ り,f(g(k))=(f(g))(k)

成 立 つ.一

あ る.よ

成 立 ち,gは

  補 題6.5 a,bを

お く.gは

方,aも

可 解 で あ るか

っ て,g(k+l)=(g(k))(l)⊂a(l)={0}と

可 解 で あ る. 

(証 終)

可 解 イ デ ア ル と す れ ば,a+bもgの

可 解 イデ

ア ル で あ る.   証 明   補 題6.1に a+bの

よ り,a+bはgの

イ デ ア ル で あ る か ら,商

→aをf(x)=xmod b=x+bで な り,Kerf=a͡bで 成 立 つ.aは

リ ー 環a=(a+b)/bが

あ る.よ

方,bも

っ て,命 題6.3に

題6.1に

らaの

像f:a

上 へ の準 同 型 と

よ り,

よ り,a/(a͡b)は

可 解 で あ る か ら,補

って

考え られ る.写

定 義 す る と,fはaか

可 解 だ か ら,補

も 可 解 で あ る.一

イ デア ル で あ る.bはgの,従

が 可 解,従

題6.4に

っ て(a+b)/b

よ り,a+bも

あ る. 

可解 で (証終)

  6.3  根 基,半

単 純 リー 環

  補 題6.6 gをK上

の 有 限 次 元 リ ー環 とす る と,gに

は 最 大 可 解 イ デア ル

が 存 在 す る.   証 明   gの 可 解 イ デ ア ルa全 あ る か ら,  <+∞

体 か らな る集 合(族)をSと

よ っ て,dim aがSの

で あ る か ら).aが

デ ア ル で あ る こ と はSの を 考 え る と,補 題6.5に

す る.S∋{0}で

中 で 最 大 とな るa∈Sが

あ る(dim

最 大 可 解 イ デ ア ル で あ る こ とを 示 せ ば よい.可 定 義 よ り 明か で あ る.次 に 任 意 のb∈Sを よ り,a+b∈Sで

解イ

と る.a+b

あ る.よ っ て,dim(a+b)≦dim a.

g

従 っ て,dim(a+b)=dim aで っ て,aは

あ る か ら,a+b=aが

成 立 ち,b⊂aで

あ る.よ

最 大 可 解 イ デ ア ル で あ る. 

  定 義6.7 

補 題6.6に

の 根 基(radical)と

お け る,gの

と き,gは gが

最 大 可 解 イ デア ル をrと

書 き,rをg

よ ぶ.

  ま た,r={0}の   補 題6.7 

(証 終)

半 単 純(semi-simple)で

半 単 純 で な け れ ば,gは

あ る と よ ぶ.

可 換 イ デア ルaで 

な る もの

を 含 む.   証 明   rをgの

根 基 と す れ ば,

r(k)={0},

で あ る.一

を み た す 自 然 数kが

の イ デ ア ル で あ る か ら,補

題6.1に

と こ ろ で,a(1)=r(k)={0}で   定 義6.8 

可 解 で あ る か ら,

存 在 す る.a=r(k−1)と

よ り,a=r(k−1)もgの

あ る か らaは

リ ー 環gが

方,rは

お く.rはg

イ デア ル で あ る.

可 換 で あ る. 

単 純(simple)リー環

(証 終)

で あ る と は,次

の(ⅰ),(ⅱ)を

み た す と き を 言 う.   (ⅰ)  dim

g≧2,

  (ⅱ) gの

イ デ ア ルaはa={0}ま

た はa=gに

  例6.7 〓(2,K)(例6.6)は

単 純 リー 環 で あ る.

  証 明 〓(2,K)は3次

元 で あっ て,そ を とれる.計

  (6.5) 

[x,y]=z, 

が 成 立 つ.い る 元aが 0で

まa⊂〓(2,K)を

し て, 

算 よ り,

イ デア ル と し, α,β,γ∈Kと

な い か ら,例えば

[y,z]=2y と す れ ば,  書 け る.α,β,γ

と し よ う.  と な り,y∈aが

よ り,[z,x]=2x∈aも

得 られ る.よ

得 ら れ,a=〓(2,K)で

な

の いず れか は 従 っ て, 

っ て,[y,x]=−z∈a.こ

れ

あ る こ と が 言 え た.よ

って

単 純 で あ る.

  実 は,〓(2,K)は{0}で   命 題6.2 dim   注 意6.1 

の 基{x,y,z}と

[x,z]=−2x, 

と れ, 

〓(2,K)は

か ぎ る.

な い 最 低 次 元 の 半 単 純 リ ー 環 で あ る.即 な る リー 環gは

dim

g=4,5な

す べ て 可 解 で あ る(問 題6.5参

る 半 単 純 リ ー 環 は 存 在 し な い.実

は,K上

ち, 照). の単純

リ ー環 は す べ て カ ル タ ン(E. Cartan)に

よ って 分 類 さ れ て い る の で,半

単純 リ

ー環 が 単 純 リー 環 の 直 和 に な る こ と(証 明 要 す)に 注 意 し て,単 純 リー環 の分 類 表 を な が め る と,次 元 が4ま る.し か し,そ

た は5の 半 単 純 リー環 は 存 在 し な い こ と が わ か

れ ほ ど大 げ さ な 結 果 を 用 い な く と も,半 単 純 リー環 の 構 造 論

(カ ル タ ン部 分 環 に よ る分 解)を 用 い れ ば 十 分 で あ る.

  6.4 

リー の 定 理

  VをK上

のn次

元 ベ ク トル 空 間 と し,gをg〓(V)の

  定 義6.9 Vの

部 分 集 合Wがg不

A∈gとw∈Wに

対 し,Aw∈Wが

  補 題6.8 aをgの

変(g-invariant)で

あ る と は,任

意の

成 立 つ と き を 言 う.

イ デア ル とす る.aか

と お く と,Wはg不

部 分 リ ー 環 と す る.

らKへ

の 線 型 写 像φ

に 対 し,

変 で あ る.

  証 明   A,X∈gに

対 し,定 義 よ り[A,X]=A°X−X°Aで

参 照),A∈a,X∈g,υ

∈Wに

あ る か ら(例6.1

対 し,

 (6.6)

が 成 立 つ.   (6.7) が わ か れ ば,(6.6)は    (6.7)を

と な りXυ

証 明 す る た め,任

と お く(た だ しυ0=υ).ま

意 のυ ∈W

ず,任

∈Wが

得 ら れ る.

に 対 し, 

意 のA∈aに

対 し,

  (6.8) が 成 立 す る こ と をkに   k=0に

つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.

対 し(6.8)は

  よ っ て,(6.8)の 分 空 間 をUと

自 明.kに

対 し,(6.8)の

成 立 が 証 明 さ れ た.次 お く と,明

か に,X(U)⊂Uが

成 立 を 仮 定 す る と,

に, 

で 張 ら れ るVの 成 立 つ.ま

た,A(U)⊂U(A

部

∈a)で

あ る こ と も,(6.8)よ

り 明 か で あ る .従

っ て,[A,X]￨UはUか

らU

へ の 線 型 写 像 で あ っ て,   (6.9) 

Tr([A,X]￨U)=Tr([A￨U,X￨U])=0

が 成 立 つ(系2.4参

照).一

方,υkがυ0,…,υk−1に

を と る と,{υ0,…,υk−1}はUの

基 で あ っ て,(6.8)に

Tr(A￨U)=k・φ(A),  が 成 立つ.Aと X])と

し て[A,X]を

な り,(6.9)よ

  定 理6.1  をg〓(V)の

よ り,

A∈a

と っ て も よ い か ら,Tr([A,X]￨U)=k・φ([A,

り,φ([A,X])=0が

K=Cと

一 次 従 属 と な る 最 小 のk

し,Vをn次

得 ら れ る . 

(証終)

元 複 素 ベ ク トル 空 間 

可 解 部 分 リ ー 環 とす れ ば,線

型 写 像φ0:g→Cと

と す る.g 元υ0∈V

が 存 在 し て,   (6.10) が 成 立 つ.つ

ま り,gの

  証 明   dim

gに

kに

対 し,dim

dim

g=kな

  gは

元 の 共 通 固 有 ベ ク トル が 存 在 す る. 

関 す る 帰 納 法 で 証 明 す る.dim

g
る,い

か な るgを

部 分 空 間aが

と っ て も定 理 が 成 立 す る と仮 定 して ,

dim a=k−1

と れ る.と

イ デ ア ル で あ る.ま

た,

こ ろ が,[a,g]⊂[g,g]⊂aで な るgの

  (6.11) 

g=a 

が 成 立 つ.aはgの

と お く と,補

題6.8に

と れば ,

イ デ ア ル で あ る か ら 可 解 で あ る(補 題6.3).従

っ て,帰 納

が 存 在 し て, 

ま,

よ り,Wはg不

る か ら,A0￨WはWか で あ る か ら,

元A0を

あ る か ら,

C・A0

法 の 仮 定 に よ り線 型 写 像φ1:a→Cと  が 成 立 つ.い

然数

従 っ て, [g,g]⊂a, 

aはgの

ら 自 明 で あ る.自

対 し 定 理 が 成 立 す る こ と を 証 明 し よ う.

可 解 で あ る か ら,

を み た すgの

g=0な

(リ ー の 定 理)

らWへ ,従

っ て,λ

変 で あ る.特

に,A0(W)⊂Wで

の 線 型 写 像 と 考 え て よ い.一 をA0￨Wの1つ

方 

の 固 有 値 とす れば,A0υ0

あ

=λυ0を

み た す 

が 存 在 す る(定 理2.3).υ0∈Wだ

か ら,

(6.12) が 成 立 つ.gの

任 意 の 元Xは,(6.11)に

よ り,X=A+αA0,A∈a,α

と 一 意 的 に あ ら わ せ る か ら,  は 線 型 で あ っ て,(6.10)が

∈C

と お けば,写

像φ0:g→C

成 立 つ.何 故 な ら,  (証 終)

  系6.1 

Vをn次

環 と す れ ば,Vの

元 複 素 ベ ク トル 空 間 と し,gをg〓(V)の 基{υ1,…,υn}が

存 在 し て,こ

示 は す べ て3角

型 で あ る.即

  証 明   nにつ

い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.定

ベ ク トルυ1∈Vを X∈gは

と る.商

理6.1よ

空 間V=V/V1(V1=C・υ1)を

可 解 で あ る か ら,帰 納 法 の 仮 定 に よ っ て,Vの の こ の 基 に よ る 行 列 表 示 は3角 υ2,…,υn}はVの

g0,…,g3は

g〓(2,R)の

も し,gが

施 す と,g(1)はg0に一   (ⅱ)  ば,座

共通 固 有

考 え る.任

意 の元

よ って 定 義 され る

っ て,補

題6.3に

基υ2,…,υnが

よ り,gも

存 在 し て,X∈g

型 で あ る: 

{υ1,

要 の 性 質 を み た す. 

用 い て,g〓(2,R)の

g〓(2,R)の

ずgの

(証 終)

可 解 部 分 リ ー 環 に つ い て 調 べ よ う.

部 分 リ ー 環g0,g1,g2,g3を

次 の よ うに 定 義 す る.

い ず れ も 可 換 リ ー 環 で あ る.

  定 理6.2    (ⅰ) 

基 と な り,所

理6.1を

元 の行 列 表

ひ き 起 す:X(υmodV1)=(Xυ)modV1.g

リ ー 環 の 準 同 型 写 像 で あ る.よ

  定 義6.10 

り,ま

部 分 リ ー 環 と な り,f(X)=Xに

写 像f:g→gは

  次 に,定

の 基 に よ るgの

ち,

線 型 写 像X:V→Vを

={X￨X∈g}はg〓(V)の

可 解 部 分 リー

も し,gが

可 解 部 分 リ ー環 をgと

可 換 で な け れ ば,g(1)は

す る.

可 換 で あ っ て,座

標 の一 次変 換 を

致 す る. 可 換 で あ れ ば,dim

標 の 一 次 変 換 を 施 す と,gはg1,g2,g3の

で あ る.さ

ら に,dim

い ず れ か に 一 致 す る.

g=2な

ら

  証 明   g〓(2,R)⊂g〓(2,C)で 分 リ ー 環 と な る.従

あ る か ら, 

っ て,定

理6.1に

はg〓(2,C)の

よ り, が存在

可 解部 て,

 (6.13)

が 成 立 つ.次

の2つ

  (ⅰ) 

わ け て 考 察 す る.

が い か な るυ ∈R2に

の

(2,R)の

の 場 合(ⅰ),(ⅱ)に

対 して も成 立 つ と き(即 ち,υ0と

と が 一 次 独 立 の 場 合),こ

の と き, 

存 在 が 容 易 に わ か る(例7.2参

照). 

が 成 立 ち,g′={AXA−1￨X∈g}はgと

13)が

  (ⅱ)

で あ る か ら,(6.

っ て,あ

と な る こ と で あ る.よ

可 換 で あ る.ま たdim

と な るυ ∈R2が

の 場 合,υ0∈R2と と な る.よ

と し て よ い.こ

の と き,上

あ る. して 差 っ て,

のX

と な る か ら,(6.13)が 

条件は 

と な る こ と で あ る.と

に 対 し成 立 す る た め の

に 対 し, 

に 対 し, 

こ ろ が, 

の 型 で あ る こ と が わ か る.従 成 立 つ.よ

っ て,g′ ⊂g3

ら,必 然 的 にg′=g3で

と る と 

め か ら 

か もg(1)=g0が

g=2な

存 在 す る 場 合.こ

るA∈GL(2,R)を

同 じ よ うに し て,初

で な く て,し

よ って 同型であ

と成 分 で あ らわ す と, 

と な っ て,g′従 っ てgは

(i)と

と お く と,

で あ る と して 差 支 え な い.

成 立 す るた め の 条 件 は 

支 え な い.よ

をみたすA∈GL

対 応X→AXA−1に

る か ら,初 め か ら    い ま, 

任意

っ て,dim っ て,gが

g=3な

らば,gは

可 換 で あ れ ばdim

可換 で

あ る.   次 に,dim

g=2と

  (ⅰ)  の 場 合 は

  (ⅱ) の 場 合.任

し よ う. で あ っ た,

意 のX∈gは 

と して よい,す

べ て のXに

対

しa=0の

場 合 

と な る.す

べ て のX∈gに

て のX∈gに

と な りgは 対 し,c=0で

対 し,b=0の

あ る 場 合 も 同 様 で あ る.ま

そ れ ぞ れ0に

の 場 合,gの

た,す

べ

で あ る.

場 合 は 

 よ っ て,gはa,b,cが え る.こ

非 可 換 で あ っ て,g(1)=g0

な らな い よ うな 元 を 含 む 場 合 の み を 考

の 型 の2元

基 と し て, 

を とる

こ と が で き る.   次 に,b′=0な

ら 矛 盾 で あ る こ と を 示 そ う.こ

と して よ い.b=0な

よ い か ら,  い る.と

る場 合 は上 述 の よ うに 除 外 され て

で あ る か ら. 

こ ろ が, 

と な り, 

と な っ て,矛

と して

の 場 合, 

な る こ と よ り 

盾 で あ る.

 で あ る こ とが わ か っ た か ら, 

がgの

基 と

な る.   ま ず, 

の と き を 考 え よ う. で あ る か ら, 

て,dimg=2な

がgの

る こ と よ り,c′=0で

基 と な り,gは

 最 後 に,c=1の が,c′=0の

に, 

非 可 換 で あ っ て,g(1)=g0を

得 る.

がgの

と き を 考 え る.  と き はg=g2と

 よ っ て, 

が 成 立 つ.従

を考え る

列, 

っ て,B−1・g・Bの

っ て,B−1・g・B=g1と

  6.5 〓0(C)の

基 と し て 

な る こ と が わ か っ た. 

と  (証 終)

部 分 リー環

  こ の節 お よ び 次 の 節 の 結 果 は14章

で の み 用 い られ る の で,13章

て か ら,こ の 節 へ も ど った 方 が よ い か も知 れ な い が,リー環 有 益 な の で,こ

基であ る

な る.

の と き を 考 え る.行

と, 

が と れ る.よ

あ る.故

よ っ

従 っ て 

こで 説 明 す る こ とに した.

まで読 終 っ

の 実 例 を 知 る上 で

  z平

面C1は1次

元 複 素 多 様 体 で あ る か ら,そ

の 上 の 正 則 ベ ク トル 場 が 次 の

よ うに 定 義 さ れ る. と お く と,{x,y}はC1上 C1上

の 座 標 系 で あ る.い

ま

の 複 素 ベ ク トル 場 ∂/∂z,∂/azを

で 定 義 す る.任 意 の 開 集 合D⊂C1に

対 し,複 素 ベ ク トル 場 

は

 (6.14)

と あ ら わ せ る.   定 義6.11  XはD上

(6.14)に

お い て9≡0,か

つfがD上

の 正 則 ベ ク トル 場(holomorphic

ル 場 全 体 か ら な る 集 合 を〓0(D)で

上 の 正 則 ベ ク トル 場 に つ い て は12章 要 に 応 じ て,11章

  こ の 節 で は,〓0(C)の

  補 題6.9 

Mをn次

す る.  →〓0(U)は

よ び ,正

則ベ ク ト

あ ら わ す.〓0(D)は〓c(D)の

で あ る こ と が 容 易 に た し か め ら れ る.正

て は,必

の 正 則 関 数 で あ る と き,

vector field)と

部 分 リー環

則 関 数 の 性 質 お よび 任 意 の 複 素 多 様 体 で の べ る.1変

数 正 則 関数 の性 質 につ い

を 参 照 の こ と. 有 限 次 元 部 分 リー環gの

型 を 決 定 し よ う.

元 連 結 複 素 多 様 体 と し,UをMの に 対 し, 

を 対 応 させ る 写 像f:〓0(M)

単 射 か つ 準 同 型 写 像 で あ る .従 っ て,も

元 部 分 リー環 な らば, 

開部 分多 様 体 と

しgが〓0(M)の

有 限次

が 成 立 つ.

  証 明  fが 準 同 型 で あ る こ とは 明 か で あ るか ら,単 射 で あ る こ とを 示 せ ば よ い. 

を と り,f(X)=0と

在 して,X￨V=0と f(X)=X￨U=0で

な る よ うなp∈M全 あ る か ら,U⊂M′

で あ る こ と は 明 か だ が,実 p0の

せ よ.p∈Mに

は,閉

れ る.p1∈M'で

で あ る.M′

で あ るか ら, 

あ る近 傍V(p1)(⊂Vと

存

で あ らわ す.

は 定 義 か ら,Mの

標 系φ=(z1,…,zn)を

とあ らわ せ る.p0∈M′ あ るか らp1の

体 か らな る集 合 をM′

近 傍Vが

集 合 で もあ る.何 故 な ら,p0∈M′

連 結 座 標近傍(V,φ)をとると,座

で 

対 しpの

開 集合 を と り,

用 い て,V上 の 点p1が して よい)が

と あっ

て,X￨V(p1)=0が

成 立 つ.即

数 で あ るか ら っ てp0∈M′

ξk=0と

な り(10章

が 示 さ れ た.即

連 結 で あ っ た か らM=M′  補 題6.10 

ち ξk(q)=0(q∈V(p1)).ξkはV上

ちM⊂M′

  証 明   r=dimgと

お き, 

証 明 さ れ た. 

と す る. 

ま わ り の 局 所 座 標wを

で はX0=∂/∂wが

(証 終)

な るX0を

と る と,  と な る 点z0∈D

成 立 つ と し て よ い(定 理11.2参 と 書 け,fはD′

と お く と,Yk∈g(k=0,1,…).と 一 次 従 属 で あ る.従

有限次

適 当 に と る と,w(z0)=0で

上 の 正則関数

(た だしf′(w)=∂f/∂w)もgの

かつαs=1な

は 閉 集 合 で あ る.Mは

の 正 則 関 数 で あ る. 

上 で 

な

が 成 立 つ.

と書け,f0はD上

Y∈gはD′

っ てX￨V=0と

領 域(即 ち 連 結 開 集 合)と す る.gを〓0(D)の

元 部 分 リ 一 環 と す れ ば, 

の 近 傍D′

と な り,M′

が 成 立 ち,X=0が

DをCの

が あ る か ら,z0の

一 致 の 定 理 に よ る),従

の正 則関

照).任

意 の元

で あ る. 

元 で あ る か ら, 

こ ろ でdimg=rで

っ て ,αk∈Cが

あ っ て,z0

あ る か ら,Y0,…,Yrは

存 在 し て,

る 関 係 式 が あ る(た だ し 

).即

ち,

 (6.15)

次 に,f(w)をwの

べ キ 級 数 に 展 開 す る:

 (6.16)

こ のfが(6.15)を め ら れ る.特

み た す こ と よ り,pはp<sを に,p
  と こ ろ でdimg=rで

あ る. あ る か ら,{X0,…,Xr−1}をgの

と書け,fkは ず れ もr次

上 に 述 べ た よ うに,wの

よ り低 い 項 か ら 始 ま る.よ

こ と に よ り,Xkは

み た す こ とが 容 易 に た し か

っ て,Xkの

基 と す る と, 

べキ級 数に展開した場

合,い

一 次 結合 を 適当 に加減 す る

次 の 形 を し て い る と し て よ い こ と が わ か る:

  さ て,計 ∈gで

算 に よ り, 

あ る か ら,既

が 成 立 っ.[Xr−2,Xr−1]

に 証 明 し た よ うに,2r−4
成 立 つ.よ

っ てr<4で

あ る. 

(証 終)

 定 義6.12 〓0(C)の

部 分 リー環g1,g2を

次 の よ う に 定 義 す る.

 (6.17)

 (6.18)

  補 題6.11 

な ら ば, 

で あ る.

 証 明  補題6.10の証明に よ り,gの 基 として,  な る 形 の も の が と れ る.と X1]=X0+λX1と gの

ころで, 

な る λ∈Cが

と な る か ら,[X0,

あ る.X0'=X0+λX1と

お く と,{X0′,X1}は

基 で あ っ て,

 (6.19) 

[X0′,X1]=X0′

が 成 立 つ. 

で あ る か ら,w=0の

行 う と,X0′=∂/∂xの

形 を して い る と し て よ い.こ

と 書 け る は ず で あ る が,(6.19)よ =x+c,c∈Cと はgの 6.9を

書 け る.よ っ て, 

基 で あ る.よ 用 い て) 

りdg/dx=1が

な らば, 

よ り,gの

得 られ,g(x)

な る 対 応 に よ っ て(補 題

で あ る こ と が わ か る. 

 補題6.10に

基 と して, 

な る 形 の も の が と れ る.   よ っ て,

の 新 し い 座 標 に 関 し, 

と お く と,{X0′,X1′}

っ て, 

  補 題6.12 

 証 明

近 傍 の 座 標 変 換w→xを

(証 終) で あ る.

[X0,X1]=X0+λ1X1+λ2X2, [X0,X2]=2X1+μX2,

 (6.20)

[X1,X2]=X2

が 成 立 つ よ うに

λ1,λ2,μ ∈Cが

{X0′,X1,X2}はgの

と れ る. 

基 と な る.と

と お く と,

こ ろ で,(6.20)を

用 い て 計 算 す る と.

[X0′,X1]=X0′,  (6.21) [X0′,X2]=2X1+(μ

が 得 られ る.一

方,ヤ

十 λ1)X2

コ ビ等 式

[[X0′,X1],X2]+[[X1,X2],X0′]+[[X2,X0′],X1]=0

に(6.21)を

代 入 す る と,(λ1+μ)X2=0を

得 る.よ

っ て,λ1+μ=0で

あ るか

ら   (6.22) 

[X0′,X1]=X0′, 

[X0′,X2]=2X1, 

が 得 ら れ た.従

っ て,{X0',X1}cはgの2次

6.9に

標 変 換w→xを

よ り,座

(6.22)の

右2式

DをC1の

の〓0(C)の

   6.6 〓0(C)の

の

の2式 と な る.補題6.9に

  補 題6.10,6.11,6.12を

よれば,対

っ て,

応  (証終)

の 定 理 が 証 明 さ れ た.

領 域 と す る と,〓0(D)の

部 分 リー環g0,g1,g2の

が 得 ら れ る.よ

の 間 の 同 型 写 像 を ひ き 起 す. 

組 合 せ て,次

題

と 書 け る は ず で あ る が,

よ り, 

はgと

3つ

よ り, 

の と き, 

h(x)=x2であって, 

 定 理6.3 

元 部 分 リー 環 で あ る か ら,補

行 う ことに

形 を し て い る と し て よ い.こ

[X1,X2]=X2

有 限 次 元 部 分 リー 環 は 次 の

い ず れ か と 同 型 で あ る.

有 限 次 元 実 部 分 リー環

  前 節 に お い て 得 られ た,〓0(C)の

有 限 次 元 複 素 部 分 リー環 の 分 類 を 用 い て,

実 部 分 リー環 に つ い て 調 べ よ う.一 般 に,実

リー環 の 構 造 の 方 が 複 素 リー環 の

構 造 よ り も 複 雑 で あ る と 言 え る.   g0を〓0(D)の

実 部 分 リー環 と す る と, 

な る.従

理6.3に

っ て,定

よ り, 

は 複 素 部 分 リー環 と で あ っ て,gはg0,g1,g2の

いずれ

か と 同 型 で あ る.   (Ⅰ)  g=g0の g0は

場 合.

可 換 で あ る か ら,g0も

  (Ⅱ)  g=g1の   補 題6.13  あ っ て,   証 明 g1の

可 換 で あ る.

場 合. dimg0=2と

す る. 

基X,Yを

基 

に 対 し, [X,Y]=X

ま,g0の

基X1,Y1を

と る と,X1,Y1はC上

一 次 独 立 で あ る.

用 い て 

こ の と き,(6.23)を はC上

実 リー環 で

で あ る.

  (6.23)  が 成 立 つ.い

と お く とg1は

と あ ら わ す. 用 い る と 

が 成 立 つ.X1,Y1

一 次 独 立 で あ っ た か ら 

て, 

で あ る.従

基 とし

の 型 の 元 を と る こ と が で き る.再 び(6.23)を

い て,[X1′,Y1′]=γ

・X1″∈g0を

し て, 

得 る か ら,γ ∈Rで の 型 の2元

あ る.よ

を と れ る.こ

な る 座 標 変 換 を 行 う と, 

dimg0=3と

基 と

と な る こ と か ら, 

 を 行 えば, 

に よ り, 

っ て,g0の

用

こ で, 

の 型 に な る.こ

  補 題6.14 

っ て,g0の

こで 再 び 座 標 変 換

と な り,対

が 得 られ る.  す る.こ

の と き,α

応 

(証終) ∈Cが

存 在 し て,

 (6.24)

が 成 立 つ.特  証 明 

に,g0は

可 解 で あ る. と お く.補題6.10と

同じ方 法 で(必 要 な ら座 標

変 換 を 行 う こ と に よ り),X∈g0で

あ る と し て よ い.X1=X,Y1,Z1をg0の

基

とす る と, Y1=α と書 け る が,α1,β2の

１X+α2Y, 

Z1=β1X+β2Y

少 く も 一 方 は 実 数 で は な い.も

X,Y1′=α2Y,Z1=β2Yもg0の

基 と な り,α2と

る か ら,結

基 と な る.と

局,X,Y,iYがg0の

り,X,iX,Y,iYはR上

β2はR上

えば 

  (6.25) 

X, 

と し て よ い.よ

 (6.26) 

[X,Y1′]=α2′X,

 (6.27) 

[X,Z1′]=β2′X

よ り,α2′X∈g0で

あ る か ら,(6.25)の

と 書 け る よ う なc∈Rが

(α2′,β2′ ∈C)

ず,

書 く.(6.26)に

基 を 用 い て,a2′X=a1X1+α2Y1′+cZ1′

と れ る.こ

  (6.28) 

れ よ り,

a2α2′+cβ2′=0

が 得 ら れ る.ま

た,(6.27)に

の 成 立c′

∈Rが

よ り

β2′X∈g0で

と れ る.こ

  (6.29) 

あ る か ら,β2′X=b1X1+b2Y1′

れ よ り,

b2α2′+c′ β2′=0

が 得 ら れ る.c,c′

の 少 く と も 一 方 が0で

よ り

得 ら れ る.

α2′/β2′ ∈Rが

(α2′=0な

定 に 反 す る.

基 と し て,

が 成 立 つ.α2′=a1+ia2,β2′=b1+b2,(a1,a2,b1,b2∈B)と

  ま た,も

な

を と る こ と が で き る. で あ る こ と を 証 明 し よ う.ま

+c′Z1′

一次 独立 で あ

と な り,仮

っ て,g0の

Y1′=iX+α2′Y Z1′=β2′Y 

ら ば,

こ ろ が[X,iY]=iX∈g0と

一 次 独 立 だ か ら, 

よ っ て,例

の 型 の3元

し,α1,β1∈Rな

しc=c′=0な ら

な け れ ば,(6.28)ま

ら ば,a2α2′=b2α2′=0が

α2′/β2′ ∈Bは

自 明).よ

た は(6.29)

得 ら れa2=b2=0と

っ て, 

な る

と な り 

が 得 ら れ た.  と お く,(6.25)の

の 基 と な り(6.24)が

代 り に,X,Y1′−aZ1′=iX,Z1′

得 ら れ る.g0が

が 可 解 で あ る こ とに よ る. 

の3元

がg0

可 解 な る こ と は, 

(証終)

 補 題6.15

dimg0=4な

らg0は 

実 リー環 と 同 型 で あ る.特

に,g0は

  証 明  dimRg1=4=dimg0で   (Ⅲ)  g=g2の

に よ っ て 張 られ る 可 解 で あ る.

あ る か らg0=g1と

な っ て 自 明 で あ る.  (証 終)

場 合.

g2は 

を(C上

の)基

と し て い る.容

易 に次

の 関 係 式 が 得 ら れ る.   (6.30) 

[X,Y]=X, 

  補 題6.16 

g2は

  証 明  例6.7の

[X,Z]=2Y, 

[Y,Z]=Z.

単 純 リー環 で あ る. 証 明 と 全 く 同 じ で あ っ て 関 係 式(6.5)の

代 りに(6.30)

を 用 い れ ば よ い.    補 題6.17 

(証 終)

dimg0=3な

  証 明   α⊂g0をg0の g2の

らばg0は

イ デ ア ル と せ よ. 

イ デ ア ル で あ る.補

a=g2.よ

単 純 で あ る.

題6.16よ

っ て,a={0}ま

りg2は

た はa=g0で

  補 題6.18 

た は5で

で は あ り え な い.よ

っ て,rをg0の

成 立 つ.よ

  補 題6.19 

っ てrは

dimg0=6な

(証 終)

意6.1に

よ れ ば,g0は

根 基 と す れ ば, 

題6.16に

可 解 か つ 単 純 で あ る か ら 矛 盾 で あ る.  あ る が,g2は

半 単純

で あ る. 

イ デア ル で あ る か ら,補

らg0=g2で

たは

あ る.

あ る と し よ う.注

を 考 え る と,rはg2の r=g2が

単 純 で あ る か ら,a={0}ま

あ る. 

な ら ばdimg0=6で

  証 明   dimg0=4ま

を 考 え る と,aは

よ り (証 終)

実 リー環 と 考 え て も 単 純

で あ る.   証 明   g0の

イ デア ル 

を と る. 

と あ ら わ せ る.  例 え ば 

で あ る.い

に よ り,X1=− 一方

る か ら,α (6.30)を

で あ る か ら,α,β,γ の い ず れ か,

まX1=[Y,X0]と

お く とX1∈aで

αX+γZ,[Z,X1]=2αYが

,[iZ,X1]=2aiY∈aで とiα

と はR上

な るX0は 

成 立 ち,か

あ る か ら,  一 次 独 立 で あ る.よ

用 い る と,X,Z,iX,iZ∈aと

な り,a=g0と

あ っ て,(6.30)

つ2αY∈

α で あ る.

が 得 ら れ る.  っ て,Y∈aが な る. 

であ

得 ら れ,再 (証 終)

び

  定 理6.4 

DをCの

領 域 と す る.g0を〓0(D)の

有 限 次 元 実 部 分リー環

と

す れ ば,   (ⅰ)  g0は

単 純 で あ る か 可 解 で あ る か の い ず れ か で あ る.

  (ⅱ)  g0が

可 解 で あっ て 非 可 換 な ら ば,(g0)(1)は

  証明 

を 考え る.

  (ⅰ)  は,補

可 換 で あ る(定 義6.4).

な ら ば 命 題6.2に

題6.14,6.15に

6.18,6.19に

よ り,g0は

よ りg0は

  (ⅱ) g0が

よ り,g0は

可 解 で あ る.g=g1の

可 解 で あ る.g=g2の

と き は,補

可 解 で あ っ て,非

可 換 で あ る の は,g=g1の

場 合 で あ っ て,こ

つ の リー環 

に 対 し て は, 

同 型 で あ る.こ

(証 終)

問

題6

自 然 な 座 標 系 を{x1,…,xn}と を 考 え る.つ

分 リー環 で あ る.(2)gとg〓(n,R)と

し,〓(Rn)の

の こ と を 証 明 せ よ.

  (1) 

gはg〓(2,C)の

部分 集合

ぎ の こ と を 証 明 せ よ:(1)gは〓(Rn)の

(tAはAの

実 部 分 リー環 で あ る.

部 分 リー環 で 

と す れ ば, 

が 成 立 つ.   6.3 

リー環gの

根 基 をrと

  6.4 

2次 元 の リー環gを

部

は 同 型 で あ る.

部 分 集 合 

え る.次

をgの

れ ら3

で あ る か ら,(g0)(1)

は 可 換 で あ る. 

  (2) 〓

の

より,g0は  のい ずれかに

  6.2  g〓(2,C)の

題6.17,

単 純 で あ る.

場 合,補 題6.13,6.14,6.15に

  6.1  Rnの

とき

す れ ば,g/rは 分 類 せ よ.

半 単 純 リー環 で あ る.

転 置 行 列)を

考

7.

  7.1 

位

相

群

位 相 群 の定 義

  定 義7.1 

(G,μ,U)が

(ⅰ)∼(ⅲ)を

位 相 群(topological

group)で

あ る と は,次

の 条件

み た す と き を 言 う.

  (ⅰ) 

(G,μ)は

  (ⅱ) 

(G,U)は

  (ⅲ)  写 像

群 で あ る(§2.1参

照),

位 相 空 間 で あ る(定 義3.1),

μ:G×G→G,お

よ びι:G→Gは

連 続 写 像 で あ る.た

だ し,

ι(x)=x−1(x∈G).   群 乗法

μ と 位 相Uを

明 記 す る 必 要 の な い 場 合,単

にGは

位 相群 で あ る

と 言 う.   例7.1 

Rnは

加 法 α に よ っ て 群 と な り,自

間 と な る.(Rn,α,U)は   例7.2 

正 方 行 列A=(aij)で

で な い も の 全 体 か ら な る 集 合 をGL(n,R)で 対 し,μ(A,B)=A・B(行

列 の 積)に

元Aに

を 対 応 さ せ る と,写

よ って 位 相 空

位 相 群 で あ る.

実 数 を 成 分 と す るn次

GL(n,R)の

然 な 位 相Uに

行 列 式detAが0

あ ら わ す.A,B∈GL(n

よ っ て 群 乗 法 μ が 定 義 さ れ る.一

対 し,f(A)=(a11,a12,…,a1n,a21,…,a2n 像f:GL(n,R)→Rn2は

同 一 視 し て,GL(n,R)⊂Rn2と

方,

,…,ann)∈Rn2

単 射 で あ る か ら,Aとf(A)を

考 え て よ い.従

位 相 か ら の 相 対 位 相(定 義3.5)が

,R)に

っ て,GL(n,R)に

はRn2の

導 入 さ れ る.(GL(n,R),μ,U)は

位 相群

で あ る.   GL(n,R)をn次 て,複

実 一 般 線 型 群(general

素 数 を 成 分 とす る 行 列 式 が0で

GL(n,C)で

あ ら わ す と,GL(n,C)も

  命 題7.1 

(G,μ,U)を

位 相 群 に な る.こ

group)と

よ ぶ.同

様に し

正 方 行 列 全 体 か らな る 集 合 を

位 相 群 とな る.

位 相 群 と し,Hを

像 μ￨(H×H):H×H→Hを μ￨H,U｜H)は

な いn次

linear

μ￨H=μ￨(H×H)と

群(G,μ)の

部 分 群 と す る.写

書 く こ と に す る と,(H,

れ を 位 相 群(G,μ,U)の

部 分 位 相 群 と よぶ

(〓￨Hに

つ い て は 定 義3.5参

照).

  証 明   定 義7.1の(ⅰ)∼(ⅲ)が(H,μ￨H,〓￨H)に

つ い て 成 立 つ こ とは

殆 ん ど 明 か で あ ろ う.    群 乗 法 μ￨H,位

(証 終)

相 〓￨Hを

明 記 す る 必 要 の な い 場 合,単

にHはGの

部

お く と,GL(n,C)の

部

分 位 相 群 で あ る と 言 う.   例7.3 

SL(n,C)={A∈GL(n,C)￨detA=1}と

分 群 に な る.部 ぶ.同

分 位 相 群SL(n,C)を

特 殊 線 型 群(special

linear

様 に, はGL(n,R)の

  例7.4  よ ぶ.線

部 分 位 相 群 の こ と を 線 型 群(linear

型 群 の 典 型 的 な も の と し て,次

G1,G2が

よ

部 分 群 で あ る.

一 般 に,GL(n,C)の

  例7.5 

group)と

group)と

の よ う な も の が あ る.

と も に 位 相 群 な ら ば,直

積G1×G2も

自 然 な 方 法 で,位

相 群 に な る.   定 義7.2 

(Gi,μi,〓i)(i=1,2)を

位 相 群 と す る.写

像f:G1→G2が

位相

群 の 準 同 型 写 像 で あ る と は,   (ⅰ)  f(μ1(x,y))=μ2(f(x),f(y))    (ⅱ)  fは

(x,y∈G1),

位 相 空 間(G1,〓1)か

ら(G2,〓2)へ

を み た す と き を 言 う.(ⅰ)はf(x・y)=f(x)・f(y)と   準 同 型 写 像f:G1→G2が G1か

らG2へ

  G1=G2の も1つ

さ ら に,位

の 連 続 写 像 で あ る, 書 け る.

相 同 型 写 像 で も あ る と き,fは

位相 群

の 同 型 写 像 と よ ぶ. と き は,自

己 同 型 写 像 と よ ぶ.G1か

存 在 す る と き,G1とG2は

らG2へ

同 型 で あ る と 言 い, 

の同型 写像 が 少 くと と 書 く.〓

は

同 値 律 を み た す.

  7.2 

単 位 元 の 近傍 系

 (G,μ,〓)を

位 相 群 と す る.σ

∈Gに

対 し,写

像Lσ:G→GをLσ(τ)=σ

・

τ(=μ(σ,τ))(τ nslation)と

∈G)に

よ ぶ.同

義 で き る.定

よ っ て 定 義 し,Lσ

様 に し て,右

義7.1(ⅲ)に

らGへ

成 立 つ.よ

の 位 相 同 型 写 像 で あ る.Rσ

  Gの

′(σ)に つ い て は 定 義3.2参

部 分 集 合A,Bに

tra

・σ に よ っ て 定

は 連 続 写 像 で あ る.さ

っ て,Lσ

 が 成 立 ち,U′(e)に て よ い(〓

左 移 動(left

移 動Rσ:G→GがRσ(τ)=τ

よ っ て,Lσ,Rσ

Lσ°Lσ−1=Lσ −1°Lσ=Le=1Gが はGか

を σ に よ るGの

−1=(Lσ)−1で

ら に,

あ る か ら,Lσ

に つ い て も同 様 で あ る.従 よ っ て,Gの

っ て,

位 相 が き ま る とい っ

照).

対 し, 

と お く.   命 題7.2 

〓 ′(e)は 次 の 条 件 を み た す.

 (1) 

な ら ば,

 (2)  (3) 

な ら ば,

 (4) 

な ら ば,W・W⊂Vを

み たす

〓

が 存 在 す る,

 (5)  (6) 

任 意 の σ0∈Gに

  証 明   (1),(3)は 〓)が

対 し,

〓

がGの

位 相 で あ る こ と よ り明 らか.(2)は(G,

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る こ と よ りわ か る.(4)は

の 連 続 性,(5)は

定 義7.1(ⅲ)の

ι の 連 続 性 に よ る.(6)はLσ0°Rσ0−1が

位 相 同型 写像 で あ

る こ とに よ る.    逆 に,次

μ

(証終)

の 定 理 が 証 明 で き る.

  定 理7.1 

群(G,μ)の

を(〓 ′(e)の 代 りに 〓   (ⅰ)  (G,μ,〓)は

部 分 集 合 の 族U0⊂P(G)が

上 の 条 件(1)∼(6)

を と っ て)み た す な らば,Gの

位相 〓

で あ っ て,

位 相 群,

  (ⅱ)  〓 を み た す も の が 存 在 す る.   証 明   Gの

部 分 集 合Uで

が 存 在 す る よ うなU全

あ っ て,U∋

σ な ら ば σV⊂Uを

体 か らな る集 合 を 〓

とお き,(〓

みたす   が 求 め る位 相 で あ

ることを示そう.  で あ る こ と も,〓   U,  はGの

は明か.  の 定 義 よ り明 か.

な ら 

で あ る こ とは 性 質(1)に

位 相 で あ る こ とが わ か った.ま

 

ならば, 

た,任

よ る.よ

意 の σ∈Gと

って,〓

 

に 対 し,

で あ る.

  (G,〓)が

ハ ウ ス ドル フ空 間 で あ る こ とを 示 す た め,   

と お く. 

を みた す  

で あ る こ とを 示 そ う.σ ∈Uと

 

が あ るか ら,こ のV1に

 

が とれ る.σW・W⊂Vで

が わ か った.特 たす  

に,U⊂Vで

対 し,(4)に

σ∈Gな

任意の  

σ∈Gに

す る と,σV1⊂Vを

み たす

よ っ て,W・W⊂V1を

あ る か ら,σW⊂Uと あ る か ら,任 意 の  

らば, 

み たす

な る.即 ち,〓 に 対 し,U⊂Vを

で あ る こ と も 明 か で あ る.よ

って,

σ∈U⊂ σV  

の 存 在 が わ か った.

  つ ぎ に,σ,τ ∈G,σ ≠ τ と し よ う.   を み た すVが

あ る.こ

で あ るか ら,(2)に のVに

が 存 在 す る こ とは(4),(5),(1)に

よ っ て,

対 し,WW−1⊂Vを よ る.こ

のWに

み たす 対 し 

で あ る こ とが 容 易 に わ か るか ら,σ ∈U⊂ σW,τ ∈U′ ⊂τWを U, 

み

対 し,

  (7.1) 

 

が あ る}

の 存 在 が わ か った.

  一 方, 

をみ た す

に 対 し,

を とれ ば, 

と な っ て,(G,〓)は

みたす

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で

あ る こ とが わ か っ た.  

を 証 明 し よ う.  が と れ る.〓

あ る か ら(3)に

な ら ば,e∈V⊂Uを

の 定 義 よ りeW⊂Vを よ り, 

で あ る.よ

とす る と,す で に の べ た よ うに,U⊂Vを で あ るか ら,  が 証 明 され た.

みた す  

で あ る.よ

って  

みた す   って  

みたす

が あ る.W⊂Uで 逆 に,  が とれ る.  従 って  

 

  つ ぎ に,μ:G×G→Gが   σ,τ∈Gを ⊂Uを

を み た すUを

 

みた す  

み たす  

が とれ る.(4)よ

が あ る.W1=τWτ

で あ る.こ れ らW,W1に みたす 

任 意 に と る.U1・U2

の 存 在 を 示 そ う.σ ・ τ∈Uで

の 定 義 か ら,σ τV⊂Uを

⊂Vを

に 関 し連 続 で あ る こ とを 証 明 し よ う.

任 意 に と り, 

みた す

ら 〓

位相 〓

−1と お く と(6)よ

対 し(7.1)よ

あ るか

り,W・W り, 

り,σ ∈U1⊂ σW1,τ ∈U2⊂ τWを

が とれ る.  よ っ てU1・U2⊂Uを

みた す  

の存 在 が

証 明 さ れ た.   終 りに,ι:G→Gの の    

連 続 性 を 証 明 し よ う.σ ∈Gを

に 対 し,W−1⊂Uを

み たす  

で あ るか ら,τV⊂Uを

みた す  

 

で あ る か ら,(7.1)よ

をみ た す

 

と り,σ−1=τ と お く.任 意 の 存 在 を 示 せ ば よ い. が あ る.こ のVに

対 し,

り,

が 存 在 す る.こ

のWに

対 し, (証 終)

  定 義7.3  で あ る と は,コ

  7.3 

ン パ ク トな

局 所 コ ン パ ク ト群(locally

 

compact

group)

が 存 在 す る と き を 言 う.

連 結 位相 群

  定 義7.4  Gは

位 相 群(G,μ,〓)が

(G,μ,〓)を

位 相 群 と す る.(G,〓)が

連 結 位 相 空 間 で あ る と き,

連 結(位 相)群 で あ る と 言 う.

  定 理7.2  はUに

(G,μ,〓)を

連 結 群 とす る.任

よ っ て 生 成 さ れ る.即

意の

ち,U1=U,Uν=(Uν

 

を と る と,群G −1)U(ν=2,3,…)と

お

く と, (シ ュ ラ イ エ ル(Schreier)の

 証明

 

とおく.ま ず,HはGの

定 理)

部分群である.

何 故 な ら,σ,τ

∈Hな

らば

σ∈Vμ,τ

∈Vν

で あ る か ら 

と な る か ら で あ る.つ 故 な ら, 

の

ぎ に 

で あ る か ら 

が わ か り 

従 っ て, 

と な る.一

何 故 な ら 

方Hは

の 補 集 合 で あ る か ら 閉 集 合 で あ る.Gは も 明 か だ か ら  Gを

ら,σG0は,G0と

結 で あ る. 

従 っ てG0⊃

連 結 で あ る か ら  (証終)

含 む(G,〓)の

正 規 閉 部 分 群 で あ る.即

  証 明   σ∈G0な

対応

っ てG0⊃G0−1.こ ∈Gと

型 で あ る か ら,連 連 結 で あ る.よ

も 連 結 で あ る(補 題3.4).

言 え た.G0−1もG0と

  命 題7.3  5.6)を

み た せ ば,Gも

  証 明   Uは

で あ る か ら, 

σG0σ−1.即 ちG0は

正 規 部 分 群 で あ る.G0が

連 結 群 とす る.あ

る

 

可 算 基 を も つ か ら,可

理7.2に

算 集 合{τn}⊂Uが

σN,σi∈Uと

… τkn(N)=σ

十 分 大 に とれ ば, 

で あ る か ら,σ ∈ δU−1が

部 分 群 をDと

が 言 え れ ば 十 分 で あ る.さ

よ り,σ=σ1…

で あ る か ら,nを

あ っ て,{τn}はUで

よ っ て 生 成 さ れ るGの

あ っ て,limτkn(i)=σiと

連 結 群Gの

が 可 算 公 理(定 義

可 算 基 を も つ.

密 で あ る か ら,τkn(i)∈{τn}が

  系7.1 

閉集 (証 終)

可 算 集 合 で あ る か ら, 

を と る と,定

も

よ る. 

稠 密 で あ る と し て よ い.{τn}に Dは

も

対 応 τ→ στσ−1に よ っ て 位 相 同

結 で あ る. 

(G,μ,〓)を

σ→ σ−1

部 分 群 で あ る こ と が わ か っ た.

す る と,σG0σ −1は,G0と

合 で あ る こ と は 定 理3.4に

対応

で あ る か ら, 

れ で,G0がGの

っ て,G0⊃

対 し σG0σ−1=G0.

τ→ στ に よ っ て 位 相 同 型 で あ る か

で あ る か ら, 

σ・G0.よ っ て,G0⊃G0・G0が

  つ ぎ に,σ

連 結 成 分(定 義3.17)

ち,σ ∈Gに

に よ っ て 位 相 同 型 で あ る か ら連 結 で,  連 結,従

開 集 合 

が 成 立 つ. 

位 相 群 と し,G0をeを

と す れ ば,G0はGの

ら,連

閉 集 合 で も あ る.

で あ る か ら,Hは

  定 理7.3 

で あ る.何

て,σ

∈G

書 け る.{τn}はUで

成 立 つ.  単 位 元 の 近 傍Uで

す ると

稠

あ ら わ せ る.limτkn(1)

(証 終) あ っ て,Rnの

開 集 合 と同 相 な も

の が あ れ ば,Gは

  7.4 

可 算 基 を もつ.

位 相 変 換群

  (G,μ,〓)を =σHと

位 相 群 と し,HをGの

お く.集

合(factor

合{σ￨σ ∈G}をG/Hで

set)と よ ぶ.写

G/Hに

位相 〓

 〓

は 定 義3.1の

  命 題7.4 

閉 部 分 群 と す る.σ ∈Gに

像

π:G→G/Hを

条 件(ⅰ)∼(ⅲ)を

み た す こ と は 明 か.

ち,開

集 合 の 像 は 常 に 開 集 合 で あ る).何

に 対 し, 

 

で あ る.つ

を と る と, 

で あ る か ら,

ぎ に, 

と せ よ. 

で あ っ て,か

と お く と,  を みたす

つHはGの

で あ る.写 像

 

閉 集 合 で あ る か ら,W=G−H

μ,ι が 連 続 で あ る こ と よ り,U−1V⊂W

が と れ る. 

で あ る か ら,  π(ρ)=z,ρ

よ っ て 定 義 し,

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る.

  証 明   ま ず π は 開 写 像 で あ る(即

をみ たす

π(σ)=σ(σ ∈G)に

よ る商 集

を 次 の よ う に 定 義 す る.

(G/H,〓)は

故 な ら, 

あ ら わ し,GのHに

対 し,σ

を 示 せ ば よ い. 

∈Gな

る ρ を と る. 

σ1∈U,τ1∈V,従

と せ よ. だ か ら , 

っ て,σ1=ρ

σ2,τ1=ρ τ2を み た す σ2,τ2∈Hが

れ る. 

で あ る が,一 で あ る.こ

方, 

れ は 矛 盾 で あ る. 

  定 義7.5 

Gを

位 相 群,Mを

(topological

transformation

(証終)

位 相 空 間 と す る.(G,ρ)がMの group)で

あ る と は,写

像

位 相変 換群

ρ:G×M→Mが

の 条 件 を み た す と き を 言 う.  (1) 

ρ は 直 積 位 相 空 間G×Mか

 (2) 

ρ(σ,ρ(τ,x))=ρ(σ τ,x)  (σ,τ∈G,x∈M),

 (3) 

ρ(e,x)=x,x∈M 

(eはGの

ら 位 相 空 間Mへ

単 位 元).

と

の 連 続 写 像 で あ る,

次

  さ ら に,次   (4) 

の(4)を

み た す と き,Gは

x,y∈Mに

対 し σ∈Gが

推 移 的(transitive)で

あ る と よ ぶ.

存 在 し て,ρ(σ,x)=y.

  ρ を 明 記 す る 必 要 の な い 場 合,単

にGはMの

ま た 記 号 を 簡 略 に す る た め,ρ(σ,x)=σ

位 相 変 換 群 で あ る と 言 う.

・xと 書 く.(2)は

σ・(τ・x)=(σ τ)・x

と 書 け る.   命 題7.5 

Hを

ρ(σ,τH)=(σ

位 相 群Gの

τ)Hで

閉 部 分 群 とす る.写

定 義 す れ ば,(G,ρ)はG/Hの

  証 明   定 義7.5の(2),(3),(4)を こ と も,G/Hの   逆 に,次

像

ρ:G×(G/H)→G/Hを 推 移 的 位 相 変 換 群 で あ る.

み た す こ と は 明 か.(1)を

み たす

位 相 の 入 れ 方 か ら 容 易 に た しか め ら れ る. 

(証 終)

の 定 理 が 証 明 で き る.

  定 理7.4  p∈Mを

(G,ρ)を

位 相 空 間Mの

固 定 し,H={σ

さ ら に,Mが

位 相 変 換 群 とす る.こ

∈G￨σ ・p=p}と

お く と,HはGの

局 所 コ ン パ ク ト で あ っ て,Gが

閉 部 分 群 で あ る.

推 移 的 か つ 可 算 公 理(定 義5.6)

を み た す 局 所 コ ン パ ク ト群 と す れ ば,φ(σH)=σ φ:G/H→Mは

の と き,1点

・pに よ っ て 定 義 さ れ る 写 像

位 相 同 型 写 像 で あ る.

  証 明   HがGの

部 分 群 で あ る こ と は,定

に た し か め ら れ る.つ

ぎに 写 像

よ り ψ は 連 続 写 像 で あ っ て,ψ

義7.5(2),(3)を

ψ:G→Mを

用 いて 容易

ψ(σ)=σ ・pで 定 義 す る と(1)

−1({p})=Hで

あ る こ と よ り,HはGの

閉

集 合 で あ る.   さ て,σH=τHな

ら ば,σ −1τ∈H,ゆ

と な る か ら,φ:G/H→Mが

え に(σ −1τ)・p=p,よ

矛 盾 な く 定 義 で き る.つ

ぎに

っ て,σ ・p=τ ・p φ が連 続 で あ る こ

と を 示 そ う.   σ∈G/Hに と る と,ψ

お い て,φ

が 連 続 で あ る こ と を 証 明 し よ う.σ

が 連 続 だ か ら,σ

の 近 傍Vが

存 在 し て,ψ(V)⊂Uと

 で あ っ て,π(V)は 連 続 で あ る こ と が わ か っ た.GはMに ま た,Hの 示 せ ば,φ

定 義 よ り,φ

・pの 近 傍Uを で き る.

σ の 近 傍 で あ る か ら,φ 推 移 的 で あ る か ら,φ

は 単 射 で も あ る.従

は 位 相 同 型 と な っ て 証 明 は 終 る.

っ て,φ

が

σで

は 全 射 で あ る.

が 開写 像で あ るこ とを

  VをGの

開 集 合 と し,σ ∈Vと

せ よ.φ(π(V))が

φ(σ)の 近 傍 を 含 む こ

と を 証 明 す れ ば よ い.   eのGに

お け る コ ン パ ク トな 近 傍Uで

た す も の を と る.Gは て, 

Mの

可 算 公 理 を み た す か ら,Gに

と か け る.従

=ψ(σnU)は

を 含 む.い

含 む.よ

ま,σ1p∈W′(σ1∈U)な

よ っ て,φ(π(V))は   系7.2 

像 で あ る か ら,コ

っ て,定

開 集 合Wを

理3.11に

  証 明   φ:G/H→Mは らG/H=π(G)も

るnが

って 存在 し

開 集 合W′(=σn−1W)

る 点 を 任 意 に と る と,

φ(σ)の 近 傍

φ:G/H→Mは

ン パ ク ト,従

よ り,あ

っ て,U・pも

σσ1−1W′ を 含 む. 

コ ン パ ク ト位 相 変 換 群GがMに

に お け る写像

存在 し

が 成 立 つ.(σnU)・p

σnUの

閉 集 合 で あ る(定 理3.7).よ

み

は 可 算 集 合{σn}が

っ て, 

コ ン パ ク トな 集 合

て,(σnU)・pは

あ っ て,U=U−1,σU2⊂Vを

(証 終)

推 移 的 に 作 用 す れ ば,定

理7.4

位 相 同 型 写 像 で あ る. 一 般 に 全 単 射 連 続 写 像 で あ っ た.Gが

コ ン パ ク ト(定 理3.8).よ

って

コ ン パ ク トだ か

φ は 位 相 同 型 写 像 で あ る. (証 終)

  例7.6

例7.4のO(n)は

コ ン パ ク ト群 で あ る.何

あ る た め に は,A・tA=Enで

あ る か ら,

で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.た 集 合 と 考 え られ る.さ

ら に,i=kの

を 得 て,O(n)はRn2の コ ン パ ク トで あ る.O(n)がSn−1に も 容 易 に わ か る.ま

故 な ら,A∈O(n)で

だ しA=(aij).よ

っ てO(n)はRn2の

と き の 条 件 

よ り 

有 界 閉 集 合 で あ る こ と が わ か り,従

っ て,

推 移 的 に作 用 す る位 相変換 群 で あ る こと

た,点p=(1,0,…,0)∈Sn−1を

と る と,  で あ る.よ

り, 

閉

と 考 え て よ い.

っ て,系7.2に

よ

  7.5  ハ ー ル測 度   G上

を 可 算 公 理 を み た す コ ン パ ク ト位 相 群 とす る.こ の ハ ール 測 度 の 存 在 を 証 明 す る.G上

合 をC0(G)で

あ らわ し,Gの

らわ す.C0(G)は a∈Gに

の節 で は,

の 実 数 値 連 続 関 数 全 体 か ら な る集

有 限 部 分 集 合 全 体 か らな る 集 合 を  

自然 な 方 法 で,実

であ

ベ ク トル 空 間 と な っ て い る.f∈C0(G)と

対 し,fa,fa∈C0(G)を fa(x)=f(x・a), 

fa(x)=f(a・x) 

(x∈G)

に よ って 定 義 す る.  定 義7.6 

写 像H:C0(G)→RがG上

る と は,次

の ハ ー ル 測 度(Haar

の 条 件(1)∼(4)を

measure)で

あ

み た す と き を 言 う.

 (1) Hは 線型写像である,  (2) 

ならば,

 (3) 

ならば,

 (4) 

ならば,

  定 理7.5  →Rが

可 算 公 理 を み た す コ ン パ ク ト群G上

た だ1つ

  (5) 

f∈C0(G),a∈Gな

  ま ず,補

題 を6つ

  定 義7.7 

ら に,Hは

準 備 す る.そ

の た め,ま

程 度 一 様 連 続(uniformly

対 し, 

次 の(5)を

み た す.

ら ばH(fa)=H(f).

(ⅰ)  位 相 群G=(G,μ,〓)の

の 列{fν}が,同 の ε>0に

存 在 す る.さ

に は ハ ー ル 測 度H:C0(G)

ず 定 義 か ら始 め よ う. 部 分 集 合Dで equicontinuous)で

が 存 在 し て,x・y−1∈Uを

定 義 され た 関 数 あ る と は,任

意

み た す 任 意 のx,y∈D

に 対 し,

が す べ て の νに 対 し成 立 つ と き を 言 う.   (ⅱ)  関 数 列{fν}がD上 正 数Nが

存 在 して, 

で 一 様 有 界(uniformly  bounded)で が す べ て のx∈Dと

あ る とは,

す べ て の νに 対 し成 立

つ と き を 言 う.   補 題7.1 

位 相 群Gの

可 算 公 理 を み た す コ ン パ ク ト部 分 集 合Kで

定 義 され

た 関 数 の 列{fν}がK上

で 一 様 有 界 か つ 同 程 度 一 様 連 続 な らば,適

列{fνk}を

で 一 様 収 束 す る.

と る と,K上

当 な部分

(ア ス コ リ‐ア ル ゼ ラ(Ascoli-Arzela)の   証 明   Kの

可 算 個 の 点 か らな る集 合A={pν}で

も の を と る.数  

列{fν(p)}⊂Cは

は 収 束 す る.数

の 適 当 な 部 分 列{f2,ν(p2)}は

 

の部 分列

る.fk,k=fνkと

お く と,{fνk}が

み たす 当な部 分列

も 有 界 で あ る か ら,{f1,ν(p2)}

収 束 す る.以

 

下,こ

 

  まず,数 列  

あ って,A=Kを

有 界 無 限 数 列 で あ る か ら,適

列

定 理)

の 操 作 を く り か え す と,

は 収 束 す る よ うに{fμ,ν}が と れ 求 め る も の で あ る こ と を 証 明 し よ う.

は  

の 部 分 列 で あ るか ら, 

は

収 束 す る.   つ ぎ に,{fνk}はK上   任 意 の ε>0に

で 一 様 収 束 す る こ とを 示 そ う.

対 し,U∈

〓(e)が

￨ fν(x)−fν(y)￨<ε/3(ν=1,2,…)で

存 在 して,x,y∈K,xy−1∈Uな あ る.V−1・V⊂Uを

み た すV∈

らば, 〓(e)

を と る.  

で あ るか ら,有 限 個 のw1,…,wm∈Kが

一 方A={p

ν}はKで

な る 点pμiが 数N0を

存 在 して, 

稠 密 で あ るか ら,各i=1,2,…,kに

あ る.数

列  

対 し,  は 収 束 す る か ら,自

然

十 分 大 に とれ ば,

が す べ て の    さ て,任

に 対 し成 立 つ.

意 のp∈Kに

対 して は,p∈wi・Vな

る  

が あ るか ら,任 意 の

 に 対 し,

よ っ て,    以 下,Gは

はK上 定 理7.5の

で 一 様 収 束 で あ る.  仮 定 を み た す とす る.

(証終)

  補 題7.2 

f∈C0(G)と 

に 対 し,  と お く.  に 対 し,

 (7.2) 

MA(MB(f))=MAB(f), 

 (7.3) 

MA′(MB′(f))=MBA′(f),

MA(MB′(f))=MB′(MA(f))

が 成 立 つ.   証 明   容 易 に 検 証 さ れ る.    補 題7.3  3.10参

f∈C0(G)に

照).も

(証終)

対 し, 

し,fが

定 数 で な け れ ば,あ

  (7.4) 

る 

が 存 在 し て,

S(MA(f))<S(f).

  証 明  集 合 

と お く(定 理

と お く と,k
あ る.よ

っ て,あ

る開

が 存 在 し て,

が 成 立 つ.Gは

コ ン パ ク トで あ る か ら,  が と れ る.こ

の と き,任

を み た す 

意 のx∈Gに

対 し,x∈Uai−1を

み たす

 が あ る か ら,

が 成 立 つ.一

方, 

は 明 か で あ る か ら(7.4)が

成 立 つ. (証 終)

  補 題7.4 

任 意 のf∈C0(G)に

任 意 の ε>0に

対 し, 

対 し,r∈Rが

存 在 し て,次

の 条 件 を み た す:

が 存 在 し て,

￨(MA(f))(x)−r￨<ε 

(x∈G)

を み た す.   こ のrをfの(1つ

の)右 平 均(right

  証 明 

よ ぶ.

と お く. 

と お け ば,明 つ ぎ に,Δ

mean)と

か に 

で あ る か ら Δ は 一 様 有 界 で あ る.

は 同 程 度 一 連 様 続 で あ る こ と を 示 そ う.

  Gは

コ ン パ ク トで あ る か ら,任

￨f(x)−f(y)￨<ε(xy−1∈V)と

意 の ε>0に し て よ い.よ

￨f(x・a)−f(y・a)￨<ε(xy−1∈V)が

対 し,  っ て,任

って

意 のa∈Gに

対 し,

成 立 つ か ら,

￨(MA(f))(x)−(MA(f))(y)￨<ε が 成 立 つ.よ

が 存 在 し て,

 

(xy−1∈V)

Δ は 同 程 度 一 様 連 続 で あ る.

  つ ぎ に,   (7.5) s=inf{S(g)￨g∈Δ} と お く と,関

数 列 

が 存 在 し て, 

と な る.

  Δ は 一様 有 界 か つ 同 程 度 一 様 連 続 で あ る か ら,補 分 列{gν}が

存 在 し て,gν

は あ るg∈C0(G)に

題7.1に

よ り,{fν}の

部

一 様 収 束 す る.S(g)=sは

明

か で あ る.   gは  

定 数 で あ る こ と(即 ち,s=0)を と せ よ.補

題7.3に

よ り, 

  (7.6)  が 成 立 つ.い

示 そ う. が 存 在 し て,

S(MA(g))=s′<s ま ε=(s−s′)/3と

kが 存 在 す る.よ

お く と,￨g(x)−gk(x)￨<ε(x∈G)を

みた す

っ て, ￨g(x・ai)−gk(x・ai)￨<ε

 

(i=1,2,…,N).

  従 っ て,   (7.7) ￨(MA(g)){x)−(MA(gk))(x)￨<ε が 成 立 つ.(7.6)と(7.7)に

  (x∈G) よ り,

 (7.8)

と な り,MA(gk)∈ s=0で

Δ に 注 意 す る と,(7.5)と(7.8)と

って

な け れ ば な ら な い.

  gは 定 数 で あ る か ら,そ   任 意 の ε>0に

の 定 数 をrと

す る.

対 し,￨gn(x)−r￨=￨gn(x)−g(x)￨<ε(x∈G)を

と れ る.gn∈

Δ で あ っ た か ら,補

  補 題7.5 

任 意 のf∈C0(G)に

す:

は 相 反 す る.よ

題7.4は

証 明 さ れ た. 

対 し,q∈Rが

存 在 し て,次

み た すnが (証終) の条 件 を みた

  任 意 の ε>0に

対 し, 

 

が 存 在 し て,

￨(MA′(f))(x)−q￨<ε

 

(x∈G)

を み た す.   こ のqをfの(1つ   証 明  写像

の)左 平 均(left

μ′:G×G→Gを

定 義 す れ ば, 

の 位 相 群 に 対 し,f∈C0(G)の

に 関 し て は,rはfの

  補 題7.6 f∈C0(G)の

よ ぶ.

μ′(x,y)=μ(y,x)で

も コ ン パ ク ト位 相 群 で あ る.こ す る が, 

mean)と

右 平 均rが

左 平 均 で あ る. 

右 平 均rも

左 平 均qも

た だ1つ

存在

(証 終) で あ っ て,r=qが

成 立 つ.   証 明   任 意 の ε>0に

対 し, 

が 存 在 し て,

 (7.9) 

￨(MA(f))(x)−r￨<ε,

 (7.10) 

￨(MB′(f))(x)−q￨<ε,

(x∈G)

が 成 立 つ(補 題7.4,7.5).A={a1,…,am},B={b1,…,bn}と に お い て,xにxbjを

代 入 し て 和 を と りnで

す る と き,(7.9) 割 る と,

￨(MB′(MA(f)))(x)−r￨<ε を 得 る.同

様 に(7.10)か

ら ￨(MA(MB′(f))(x)−q￨<ε

が 得 られ る.ε

は 任 意 で あ っ た か ら,(7.3)を

の こ と か ら 右 平 均,左   定 理7.5の

得 られ る.こ

平 均 の 一 意 性 も 証 明 さ れ た. 

証 明  f∈C0(G)に

右 平 均rをr=H(f)と

対 し,そ

(証終)

の 存 在 と 一 意 性 の 証 明 さ れ たfの

お く.

  ま ず,    H(f)=rと

用 い る とr=qが

に 対 し,H(MB(f))=H(f)を お く と,任

(f)(x)−r￨<ε(x∈G)を

意 の ε>0に み た す.よ

証 明 し よ う.

対 し, 

が 存 在 し て,￨MC′

っ て,￨MB(MC′(f)(x)−r￨<ε(x∈G),

即 ち, ￨MC′(MB(f))(x)−r￨<ε を み た す.よ

っ て,rはMB(f)の

っ て,H(MB(f))=H(f).

 

(x∈G)

左 平 均 で あ る.即

ちr=H(MB(f)).よ

  つ ぎ に,f,g∈C0(G)に

対 し, H(f+g)=H(f)+H(g)

を 証 明 し よ う.   H(f)=r, 

H(g)=qと

お く.任

￨MB(g)(x)−q￨<ε(x∈G).よ

意 の ε>0に

っ て,任

(x)−q￨<ε(x∈G),即

対 し, 

意 の 

が 存 在 し て, に 対 し￨MA′(MB(g))

ち,

  (7.11) ￨(MA′B(g))(x)−q￨<ε

 

(x∈G)

が 成 立 つ.   一 方,rはMB(f)の

右 平 均 で も あ っ た か ら, 

￨MA(MB(f))(x)−r￨<ε(x∈G),即

ち

  (7.12) ￨MAB(f)(x)−r￨<ε   (7.11)をA′=Aに

  (x∈G). 用 い,(7.12)を

 

れ はr+qがf+gの

=H(f+g)が

か ら,写

 

(x∈G)

右 平 均 で あ る こ と を 示 し て い る.即

ち,r+q

証 明 さ れ た.

  f∈C0(G),α

∈Rに

対 しH(α・f)=α

像H:C0(G)→Rが

お く と,任

<ε(x∈G).と

・H(f)の

成 立 す る こ とは 明 か で あ る

線 型 写 像 で あ る こ と が わ か っ た.

  定 義7.6の(2),(3)は =rと

組 合 せ る と,

￨MAB(f+g)(x)−(r+q)￨<2ε

と な り,こ

が 存 在 し て,

殆 ん ど 自 明 で あ る.(4)を

意 の ε>0に

対 し, 

証 明 し よ う.H(f)

が 存 在 し て,￨MA′(f)(x)−r￨

こ ろ が,(MA′(fa))(x)=(MA′(f))(xa)で

あ る か ら,

￨MA′(fa)(x)−r￨=￨MA′(f)(x・a)−r￨<ε が 成 立 ち,rはfaの   以 上 で,G上

左 平 均 で あ る.よ

 

(x∈G)

っ て,r=H(fa).

の ハ ー ル 測 度 の 存 在 が 証 明 さ れ た.

  つ ぎ に ハー ル 測 度 の 一 意 性 を 証 明 し よ う.   H′:C0(G)→Rも(1)∼(4)を =rと

お く.任

<ε(x∈G)が

意 の ε>0に

み た す と す る.f∈C0(G)に

成 立 つ.よ

対 し,  っ て,(1)∼(4)を

対 しH(f)

が 存 在 し て,￨MA(f)(x)−r￨ 用 い る と,

即 ち,￨H′(MA(f))−r￨<ε

が 成 立 つ.一

  よ っ て,￨H′(f)−r￨<ε.ε

方,

は 任 意 で あ っ た か ら,H′(f)=r=H(f)が

成

立 つ.   終 りに,(1)∼(4)を

み た すHが(5)を

性 は す で に 証 明 さ れ た か ら,上

み た す こ と を 示 す に は,一

に 定 義 し た 右 平 均 に よ るHが(5)を

意

みた す

こ と を 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.   f∈C0(G)に

対 しH(f)=rと

お く.任

存 在 し て,￨MA(f)(x)−r￨<ε(x∈G)が

意 の ε>0に 成 立 つ.と

MA(fa)(x)=(MA(f))(ax)で

が

こ ろ が,a∈Gに

対 し

あ るか ら

￨MA(fa)(x)−r￨=￨MA(f)(ax)−r￨<ε が 成 立 ち,こ

対 し, 

れ はrがfaの

 

(x∈G)

右 平 均 で あ る こ と を 示 し て い る.よ

=H(fa).故

に ,H(f)=H(fa)(a∈G)が

 注 意7.1 

f∈C0(G)に

証 明 さ れ た. 

対 し, 

っ て,r (証 終)

と書 くの が 習 慣 に な っ て

い る.

問   7.1  Gを K・Fは

位 相 群 とす る.KをGの

題7 コ ン パ ク ト集 合,FをGの

閉 集 合 とす れ ば,

閉 集 合 で あ る.

  7.2  Nを

位 相 群Gの

正 規 部 分 群 とす る.Nの

単 位 元 の連 結 成 分N0はGの

正規部

分 群 で あ る.   7.3  連 結 位 相 群Gの 任 意 のg∈G,    7.4  Gを

d∈Dに

デ ィス ク リー ト正 規 部 分 群DはGの 対 し,g・d=d・gが

て の 元a∈Gはa=x1x2…xN,xi∈Uと

  7.5  コ ン パ ク ト位 相 空 間Mの の 部 分 集 合 と して,C-O位 と を 証 明 せ よ.

ち,

成 立 つ.

コ ン パ ク トな 連 結 位 相 群 とす る.単

が 存 在 し,すべ

中 心 に 含 まれ る.即

位 元 の 任 意 の 近 傍Uに

対 し,自 然 数N

あ らわ せ る こ とを 示 せ.

位 相 同 型 全 体 か らな る 群 をGと

相 見Uが 定 義 さ れ る.(G,U)はMの

す る.GはC0(M,M) 位相変 換群 となる こ

8.  被

  8.1 

基

本

 

覆

空

間

群 を 位 相 空 間 と し, 

を 単 位 区 間 とす

る.   定 義8.1 

Iか

た は 曲 線(curve)と

らMへ

σ:I→Mの

よ び,σ(0),σ(1)を

ま た,σ(0)=σ(1)を を 始 点,x1を

の連 続写 像

み たす道

こ と をM上

そ れ ぞ れ,道

σ を

σ(0)に

の 道(path)ま

σ の 始 点,終

お け る ル ー プ(loop)と

終 点 とす る 道 全 体 か ら な る 集 合 をΩ(M;x0,x1), 

ー プ 全 体 か ら な る 集 合 をΩ(M;x0)で   σ∈Ω(M;x0,x1)に

x0に

点 と よ ぶ. よ ぶ.x0 お け るル

あ らわ す .

対 し,σ−1:Ω(M;x1,x0)を

 (8.1) 

σ−1(t)=σ(1−t),t∈I

に よ っ て 定 義 し,σ−1を   σ∈Ω(M;x0,x1)と

σ と 逆 向 き の 道 と よ ぶ. τ∈Ω(M;x1,x2)に

対 し,σ

・τ∈Ω(M;x0,x2)を

 (8.2)

に よ っ て 定 義 し,σ ・τ を 道 σ と τ の 積 ま た は 結 合 と よ ぶ.   定 義8.2 

σ,τ∈Ω(M;x0,x1)と

で あ る と は,連

す る.σ

続 写 像F:I×I→Mで F(s,0)=σ(s), 

と τ と が ホ モ トー プ(homotopic)

あ っ て, F(s,1)=τ(s),

 (8.3) F(0,t)=x0, 

F(1,t)=x1, 

を み た す も の が 存 在 す る と き を 言 い,こ ら わ す.ま

た,Fを

  定 義8.3  σ∈Ω(M;x0)が で あ ら わ す.σ

(s,t)∈I×I

の と き,σ ∼ τ ま た は,σ ∼ τ(F)で

σ か ら τ へ の ホ モ ト ピ ー(homotopy)と

εx0∈Ω(M;x0)を

εx0(t)=x0(t∈I)で

σ∼ εx0を み た す と き,σ の こ と を,x0に

縮 む 道 と も 言 う.

よ ぶ.

定 義 し,単

は ホ モ トー プ0で

あ

位 の 道 と 言 う.

あ る と よ び,σ ∼0

  次 の 補 題 は 容 易 に 証 明 さ れ る.   補 題8.1 

σ,τ,ρ∈Ω(M;x0,x1)に

対 し,

  (ⅰ)  σ∼ σ,   (ⅱ)  σ∼ τ な ら ば,τ ∼ σ,   (ⅲ)  σ∼ τ,τ ∼ ρ な ら ば,σ ∼ ρ.   定 義8.4 

補 題8.1に

Ω(M;x0,x1)は

∼

値 類 を[σ]で

モ ト ピ ー ∼ は 同 値 関 係 で あ る か ら,集

に 関 す る 同 値 類 に 類 別 さ れ る.σ

あ ら わ し,σ

  補 題8.20 σ,τ らば

よ っ て,ホ

の ホ モ ト ピ ー 類(homotopy

∈Ω(M;x0,x1),σ′,τ′

∈Ω(M;x1,x2)と

∈Ω(M;x0,x1)を class)と

合

含む同

よ ぶ:

す る.σ ∼σ′,τ ∼ τ′な

σ・τ∼σ′・τ′ で あ る.

  証 明   σ∼ σ′(F),τ

∼ τ′(G)と

で 定 義 す る と,σ ・τ∼ σ′ ・ τ′(H)で   同 様 に し て,次   補 題8.3 

せ よ.写

像H:I×I→Mを

あ る. 

(証終)

の 補 題 が 証 明 さ れ る.

σ∈Ω(M;x0,x1),τ

∈Ω(M;x1,x2),ρ

∈Ω(M;x2,x3)に

対 し,

(σ・ τ)・ρ∼ σ・(τ・ρ)が 成 立 つ.   定 理8.1 

Ω(M;x0)の

ホ モ ト ピ ー 類[σ]全

あ ら わ す と,π1(M,x0)は[σ]・[τ]=[σ

・τ]に

体 か ら な る 集 合 を π1(M,x0)で よ っ て 定 義 され る積 に 関 して 群

と な る.   証 明   ま ず 補 題8.2に 無 関 係 に き ま る.よ

のため

と れ ば よ い こ と が た し か め ら れ る.ま

・τ)・ρ∼ σ・(τ・ρ)が 成 立 つ か ら,結

も み た さ れ る.逆

・τ]は 代 表 元

σ,τ の 取 り方 に

っ て こ の 積 に 関 し て 群 の 公 理 を み た す こ と を 言 え ば よ い.

単 位 元 と し て は[εx0]を り,(σ

よ り,積[σ]・[τ]=[σ

た 補 題8.3に

よ

合 律([σ]・[τ])・[ρ]=[σ]・([τ]・[ρ])

元 の 存 在 を 言 う に は[σ]・[σ−1]=[εx0]を

示 せ ば よ い が,そ

と お く と,F:I×I→Mは   定 義8.5  ま た は,ポ

群

連 続 で,σ

π1(M,x0)をx0に

お け るMの

ア ン カ レ 群(Poincare

group)と

に 本 質 的 に は 関 係 し な い こ と が,次   命 題8.1  に 対 し,写

Mを 像

・σ−1∼εx0(F)で

あ る. 

基 本 群(fundamental

よ ぶ.π1(M,x0)は

group)

点x0の

取 り方

の 命 題 で 示 さ れ る.

弧 状 連 結 と し,Mの2点x0,x1を

ρ*:π1(M,x0)→

(証 終)

と る.ρ

π1(M,x1)が,[σ]∈

∈Ω(M;x0,x1)

π1(M,x0)に

対 し

 (8.4)

に よ っ て 定 義 さ れ,ρ*は

群

π1(M,x0)か

ら π1(M,x1)へ

の 同 型 写 像 で あ る.

  証 明   σ∼ σ′な ら ば,ρ−1・(σ ・ρ)∼ ρ−1・(σ′ ・ρ)が 成 立 つ か ら,(8.4)の は 代 表 元 σ の 取 り方 に よ ら な い.ρ*が

で あ る こ と に よ る.ρ*が

定 義

準 同 型 で あ る こ と は,

全 単 射 で あ る こ と は,(ρ−1)*° ρ*=1π1(M,x0),ρ*°(ρ−1)*

=1π1(M ,x1)よ り 明 か で あ る. 

(証 終)

  注 意8.1 

Mが

弧 状 連 結 な ら ば,命

題8.1に

除 い てx0に

関 係 な く き ま る の で,π1(M,x0)をMの

よ っ て,π1(M,x0)は

同型 を

基 本 群 と よ び,π1(M)

で あ ら わ す.   定 義8.6 

M,Wを

位 相 空 間 と し,x0∈M,y0∈Wと

M→Wがf(x0)=y0を   定 理8.2 

み た す と き,記

f:(M,x0)→(W,y0)に

す る.連

号f:(M,x0)→(W,y0)で

対 し,写

続 写 像f:

像f*:π1(M,x0)→

あ ら わ す. π1(W,y0)が

 (8.5)

に よ っ て 定 義 さ れ,f*は  f*をfか

基 本 群 の 準 同 型 写 像 で あ る.

ら 導 か れ た 準 同 型 写 像 と よ ぶ.

  証 明   σ,τ∈Ω(M;x0)に が 成 立 つ の で,定

義(8.5)は

対 し,σ

∼ τ(F)な

代表 元

ら ば,明

か にf°

σ の 取 り方 に よ ら な い.f*が

σ∼f°τ(f°F) 準 同型で

あ る こ と は,f°(σ

・τ)=(f°

σ)・(f° τ)の

成 立 す る こ と よ り容 易 に た し か め ら れ

る. 

(証 終)

  命 題8.2 

f:(M,x0)→(W,y0),g:(W,y0)→(V,z0)に

  (8.6) 

対 し

(g°f)*=g*°f*

が 成 立 つ.ま

た 恒 等 写 像1M:M→Mに

  (8.7) 

対 し, (1M)*=1π1(M,x0)

が 成 立 つ.   証 明   定 義 式(8.5)を

用 い て 容 易 に,(8.6),(8.7)の

成 立す る ことがた し

か め ら れ る.    定 義8.7 

(証終) 位 相 空 間Mが

弧 状 連 結 で あ っ て,x0∈Mに

が 単 位 元 の み か ら な る と き,即 き,Mは

単 連 結(simply

ちx0に

connected)で

対 し,群

お け る 任 意 の ル ー プ はx0に あ る と 言 う.こ

の 条 件 はx0の

π1(M,x0) 縮 まる と と り方

に よ ら な い(注 意8.1).   補 題8.4 

に よ っ て,Mの

Mを

位 相 空 間 と し,F:I×I→Mを

道

連 続 写 像 と す る.い

β(t)=F(0,t), 

γ(t)=F(1,t),

σ(t)=F(t,0), 

τ(t)=F(t,1)

ま,

β,γ,σ,τ を 定 義 す れ ば, τ∼ β−1・ σ・γ

が 成 立 つ.   証 明   τ(0)=p0,τ(1)=p1と

に よ っ て 定 義 し,E,F,Gを 照),

お く.い ま,写 像E:I×I→M,G:I×I→Mを

は り合 わ せ た ホ モ ト ピ ー をHと

す れ ば(次 図 参

が 成 立 つ. 

  8.2 

被

覆

空

間

  位 相 空 間Mが

局 所 弧 状 連 結(locally

の 点p0∈Mの

近 傍Uに

M,M1を

下,こ

らUの

被 覆 写 像(covering 近 傍Uで

も の が 存 在 す る と き を 言 う.こ space)と

はf−1(U)を

対 し,f￨Si:Si→U

へ の位 相 同型

Φ が 存 在 し て,f1=f2°

f2:M2→Mを2つ

覆 空 間M1とM2)は f:M1→Mを

  (ⅰ)  任 意 の 点p∈Mに

map)で

あ る と は,任

よって平 等に 被わ れ る よ る)Mの

被 覆空 間

Φ を み た す と き,被

対 し,f−1(p)は

ち,任

ち,f−1(p)

近 傍Vが

存 在 す る.

意 の 点p1∈M1に

対 し,p1の

近

同 型 写 像 で あ る.

よ っ て 平 等 に 被 わ れ るpの よ るf−1(U)の

へ の 同 型 写 像 で あ る か ら,Siの 即 ち,f−1(p)={pi￨i∈J}.Siは

覆 写 像f1とf2(ま

離 散 集 合 で あ る.即

を み た すqの

存 在 し て,f￨U1:U1→f(U1)は

を 連 結 成 分Siに

らM2

被 覆 写 像 と す る と,

局 所 同 型 写 像 で あ る.即

Uをfに

の 被 覆 写 像 と す る.M1か

同 型 で あ る と 言 う.

対 し, 

  証 明   (ⅰ) 

上 の

よ ぶ.

f1:M1→M, 

  (ⅱ)  fは

あ っ て,fに

の と き,M1を(fに

  定 義8.10 

の 各 点qに

covered)と

と す る と き,各i∈Jに

対 し,pの

  補 題8.5 

連 続 写 像 と す る.Mの

よ ぶ.

意 の 点p∈Mに

た は,被

た 近 傍 は 開 近 傍 を 意 味 す る も の と す る.

連 続 写 像f:M1→Mが

(covering

相 空 間は す

上 へ の 位 相 同 型 写 像 で あ る と き を 言 う.各SiをUの

シ ー ト(sheet)と   定 義8.9 

意

弧 状 連結 な も

り が な け れ ば,位

よ っ て 平 等 に 被 わ れ る(evenly

連 結 成 分 に わ け, 

傍U1が

の 章 で は,断

あ る と は,任

近 傍Vで

位 相 空 間 と し,f:M1→Mを

開 集 合Uがfに

がSiか

connected)で

含 ま れ るp0の

所 弧 状 連 結 で あ る と し,ま

  定 義8.8 

arcwise

対 し,Uに

の が 存 在 す る と き を 言 う.以 べ て,局

(証 終)

近 傍 と す る. 

分 解 と す る と,f￨SiはSiか

中 に た だ1点piが 開 集 合f−1(U)の

あ っ てf(pi)=pで

らU あ る.

連 結 成 分 で あ る か ら,開

集

合 で あ る.   

で あ る か ら,{pi｝

(ⅱ)  p=f(p1)に

対 し,(ⅰ)のUを

で あ る.Si=U1と   例8.1 

と る と,あ

お け ば,f￨U1:U1→Uは

R1を

実 数 直 線 と し,S1={z∈C‖z￨=1}をz平

f:W→Mを

成 分 をW0と

し,f0=f￨W0と

のpに

被 覆 写 像 で あ る.

被 覆 写 像 で あ る.

写 像 で あ る.即

っ て,W0がWの

ち 開 集 合Uの

閉 集 合 で あ る こ と を 言 う た め,f(W0)の

対 し,fに

点 

よ っ て 平 等 に 被 わ れ るpの

が と れ る.p1=f(w0)と な っ て,w0∈Siの

と,SiもW0も (補 題3.4).W0は

わ か っ た.Mは

成 立 つi∈Jが

あ る か ら,w0

あ る. 

を考え る

で あ る か ら,W1も

連 結 とな る

っ て,Si⊂W0と

な っ て,f(W0)は

連 結 で あ る か ら,M=f(W0)と

と る.

で あ る か ら,

連 結 成 分 で あ っ た か らW0=W1.よ にp∈f(W0)と

点pを

近 傍Uを

な るw0∈W0が

連 結 で あ っ て, 

U=f(Si)⊂f(W0).特

像f(U)は

開 集 合 で あ る こ と よ り,f(W0)はM

 を 連 結 成 分 に よ る 分 解 とす る. 

∈f−1(U)と

の連 結

全 射 で あ る こ と を 示 そ う.

の 開 集 合 で あ る.f(W0)が と る.こ

(証 終)

連 結 と す る.Wの1つ

お く.f0:W0→Mは

局 所 位 相 同 型 で あ る か ら,開

開 集 合 で あ る.従

あ っ て,p1∈Si

面 上 の 単 位 円 とす

定 義 す れ ば,fは 被 覆 写 像 と し,Mを

  証 明   ま ず,f0が   fは

るi∈Jが

同 相 写 像 で あ る. 

る.f:R1→S1をf(t)=eit(t∈R)で   補 題8.6 

は 離 散 集 合 で あ る.

な り

閉集 合 で あ る こ とが

な っ て,f0が

全 射で あ る こ と

が 示 さ れ た.   次 に 任 意 の 点p∈Mに

対 し,f0に

よ っ て 平 等 に 被 わ れ るpの

近傍 の存 在 を

証 明 し よ う.   fに

よ っ て,平

等 に 被 わ れ るpの

の 通 り と す る. 

近 傍 をUと

し, 

と お く と,fが

を上 述 全 射で あ る こ とか ら

 で あ る.  (8.8)

で あ る こ とが 言 え れ ば,f0￨Si=f￨Siで に 被 わ れ る こ とに な って,証

あ る こ とか ら,Uがf0に

明 が 完 結 す る.

よ って も平等

  さ て,i∈J0を

任 意 に と る と, 

て,Si⊂W0と

従 っ て,上

な り,f0(Si)=f(Si)⊂Uで  が わ か っ た.逆

か つw∈W0で

あ る か ら,Si⊂f0−1(U)と

に,w∈f0−1(U)を

な っ て, 

と な る.よ あ る.こ

のiはi∈J0で

お く.次

f:M1→Mを

あ る か ら, 

と

に,Wを

(証 終)

被 覆 写 像 と し,1点p1∈M1に

と る.こ

み た す も の は 高 々1つ

g(w)=g′(w)}と

お く と,明

か にAは

閉 集 合 で あ っ て,A∋w0で

あ る.Aは

と る と,g(w1)=g′(w1)で

が 存 在 す る. 

み た すUの

と お く と,Vはw1の

で あ る こ と が 容 易 に た し か め ら れ る.よ

っ て,Aは

上 の シ ー トS

近 傍 で あ っ て,V⊂A 開 集 合 で あ る.Aは

連 結 で あ る こ と か ら,A=Wが

f°σ=σ

って

(証 終)

f:(M1,p1)→(M,p0)を

す る任意 の道

閉集

成 立 ち,従

で あ る. 

  補 題8.8 

あ る.

よ っ て 平 等 に 被 わ れ る も の を と る と,

あ る か ら,g(w1)∈Sを

合 で も あ っ た か ら,Wが

あ っ て,g

を み た す と し よ う.A={w∈W￨

あ っ て,fに

g(w1)=g′(w1)∈f−1(U)で

像g:

しか 存 在 しな い .

開 集 合 で あ る こ と を 示 そ う.w1∈Aを 近 傍Uで

固 定 し て お く.写

の と き,g:(W,w0)→(M1,p1)で

  証 明   g′:(W,w0)→(M1,p1)もg=f°g′

い まg(w1)の

対 し,f(p1)=p0と

連 結 位 相 空 間 と し1点w0∈Wを

(W,w0)→(M,p0)を

g=g′

っ て,

が わ か っ た. 

  補 題8.7 

Wの

な っ て,

任 意 に と る と,f(w)∈U

あ る か ら,   と な るi∈Jが

=f°gを

に 述 べ た と同 様 に し

σ:I→Mに

被 覆 写 像 と す る.こ

対 し,p1を

を み た す も の が た だ1つ

始 点 とす る道

の と き,p0を σ:I→M1で

始点 と あ っ て,

存 在 す る.

  証 明   σ の 存 在 を 証 明 す れ ば 十 分 で あ る(高 々1つ

で あ る こ と は,補

題8.7

に よ る).   (第1段)  むMの

ま ずM自

身 がfに

上 の シ ー トSが

=(f￨S)−1:M→Sが   (第2段) 

次 に,一

よ っ て 平 等 に 被 わ れ て い る 場 合 はp1を

と れ る.f￨S:S→Mは

考 え ら れ る .σ=φ 般 の 場 合 は,区

位 相 同 型 で あ る か ら,φ

°σ と お け ば,求

間Iの

含

め る σ で あ る.

分 点0=t0
十

分 細 か く と る と,任 Uiでfに 写像

意 のi=0,1,…,n−1に

対 し,σ([ti,ti+1])を

よ っ て 平 等 に 被 わ れ る も の が 存 在 す る.iに

σi:[0,ti]→M1で

あ っ て(ⅰ)σi(0)=p1,(ⅱ)f°

含む 開 集合

関 す る 帰 納 法 に よ っ て, σi=σ￨[0,ti]を

み たす

も の を つ く ろ う.   σ1は 明 か に 定 義 さ れ る(第1段

に よ る).σiが

σi+1を 定 義 し よ う.σ￨[ti,ti+1]に

対 し,第1段

[ti,ti+1]→M1で

す で に つ くれ た と 仮 定 し て, で 証 明 し た よ う に,写

あ っ て,(ⅰ) 

(ⅱ) 

も の が と れ る.こ

の σiと

τ との 積

σi・ τ=σi+1は

法 が 完 結 した の で

σ=σnと

お け ば,f° σ=σ

像

τ:

を みたす 求 め る も の で あ る.帰

で あ っ て,σ(0)=p1で

納

あ る. (証 終)

  定 義8.11 

補 題8.8に

お け る σ を σ=σp1と

書 き,σ

のp1を

始 点 とす

る リ フ ト(lift)と よ ぶ.   定 義8.12  る.写

M,Wを

位 相 空 間 と し,g,hをWか

像F:W×I→Mで

F(w,1)=h(w), 

を み た す も の が 存 在 す る と き,gとhと

  定 理8.3 

あ ら わ す.ま

  こ の と き,任

の ホ モ トピ ー と よ ぶ.

た,写

結)位 相 空 間 と

像g:(W,w0)→(M,p0),g:(W,w0)

み た す と す る.

意 の 写 像F:W×I→Mで

を み た す も の に 対 し,写 か つf°F=Fを

らhへ

被 覆 写 像 とす る.Wを(連

固 定 す る.ま

→(M1,p1)はf°g=gを

w∈W

は ホ モ トー プ で あ る と 言 い,g∼hま

たFをgか

f:(M1,p1)→(M,p0)を

し1点w0∈Wを

の 連 続 写 像 とす

あ っ て,

F(w,0)=g(w), 

た は,g∼h(F)で

らMへ

あ っ て,F(w,0)=g(w)(w∈W)

像F:W×I→M1で

あ っ て,F(w,0)=g(w)(w∈W)

み た す も の が 存 在 す る. 

  証 明   (第1段)M自

身 がfに

(ホ モ トピ ー 持 上 げ 定 理)

よ って 平 等 に 被 わ れ て い る場 合 は 殆 ん ど 明

か で あ る.   (第2段) 

任 意 の 点w∈Wに

の 分 点0=t0
対 し,wの

十 分 小 さ い 近 傍V(w)と

十 分 細 か く と る と,任 含 む 開 集 合Uiで

区 間I

意 のi=0,1,…,n−1に

あ っ て,fに

よ って平等 に被

わ れ る も の が と れ る.第1段 w∈Wに

対 し,写

∈V(w)),か

を 用 い る と,iに

関 す る 帰 納 法 に よ っ て,任

像Fw:V(w)×I→M1を

つ く り,Fw(w′,0)=g(w′)(w′

つf°Fw=F￨(V(w)×I)を

み た す よ う に で き る.

  (第3段) 

の 場 合,Fw1とFw2と

は, 

の 上 で 一 致 す る こ と を 証 明 す る. 

を 任 意 に と る.

Fw1￨(w3×I)=σ1,Fw2￨(w3×I)=σ2,F￨(w3×I)=σ (i=1,2),か

つf°

σi=σ

意 の

と お く と,σi(0)=g(w3)

が 成 立 つ か ら,補

題8.7に

よ り,σ1=σ2が

成 立 ち,

我 々 の 主 張 は 証 明 さ れ た.   (第4段)    系8.1 

F(w,t)=Fw(w,t)と 定 義8.11の

お け ば,Fは

記 号 を 用 い る.σ,τ

求 め る も の で あ る.  (証 終) ∈ Ω(M;p0,q0)と

し,σ

∼ τ

とす

れ ば,   (ⅰ) 

σp1(1)=τp1(1),(ⅱ)σp1∼

τｐ1

が 成 立 つ.  

証 明   σ∼ τ(F)と

用 い る と,写

す る.定

像F:I×I→M1で

み た す も の が と れ る.ま  

(8.9) 

が 成 立 つ.何

対 し

あ っ て,F(t,0)=σp1(t)(t∈I),f°F=Fを ず, F(0,t)=p1 

(t∈I)

故 な ら,F(0,t)=h(t)と

か っ.h(0)=p1=εp1(0)が =p1

理8.3をW=I,g=σ,g=σp1,w0=0に

お く と,f°h(t)=p0=f(p1)=f°

成 立 つ か ら,補

題8.7に

よ り,h=εp1,即

εp1(t), ちF(0,t)

.

  つ ぎ に,  

(8.10) 

F(1,t)=σp1(1) 

(t∈I)

が 成 立 つ こ と を 示 そ う.  

ま ず,σp1(1)=p2と

お き,道k(t)=F(1,t)と

F(1,0)=σp1(1)=p2=εp2(0)で f° σp1(1)=f(p2)=(f° 従 っ て,k(t)=p2が  

こ こ で,τ(t)=F(t,1)に

εp2と

を 比 較 す る.k(0)=

あ っ て,f°k(t)=f°F(1,t)=F(1,t)=q0=σ(1) εp2)(t)が

成 立 つ か ら,補

成 立 ち,(8.10)が よ って

題8.7に

よ り,k=εp2で

あ る.

言 え た. τ:I→M1を

定 義 す る と,t∈Iに

対 し,

f°τ(t)=f°F(t,1)=F(t,1)=τ(t) が 成 立 ち,か

つ

得 る.(8.10)よ

p0)は

あ る か ら,τp1の

り σp1(1)=F(1,1)=τp1(1)が

σp1∼ τp1(F)が   系8.2 

τ(0)=F(0,1)=p1で

定 義 に よ り,τ=τp1を

成 立 ち,(8.9),(8.10)に

よ り,

成 立 つ. 

(証 終)

f:(M1,p1)→(M,p0)を

被 覆 写 像 と す れ ば,f*:π1(M1,p1)→

π1(M,

単 射 で あ る.

  証 明   σ∈ Ω(M1,p1)を f°σ=σ

と り,f*([σ])=0と

と お く と,σ ∈ Ω(M,p0)で

の リ フ トは

σ で あ り,εp0の

σ∼ εp1が 成 立 ち,σ ∼0で   命 題8.3  す る.こ

あ っ て,σ ∼ εp0で あ る.p1を リ フ トは

連結 で あ る と

存 在 す る.σ=f°

あ る.よ

連 結 で あ るか ら

σ と お く と,σ ∈ Ω(M;p0)で

っ て,p1=p2と

位 相 空 間M,M,Wは

f:(M,p)→(M,p0)を

単 射で あ る ことを言 え

し よ う.M1は

単 連 結 で あ る か ら,σ ∼ εp0で あ る.系8.1に

  定 理8.4 

単 連 結,M1は

位 相 同 型 写 像 で あ る.

ば よ い.f(p1)=f(p2)=p0,p1,p2∈M1と

に,σ(1)=p1で

よ っ て, (証 終)

局 所 位 相 同 型 か つ 全 射 で あ る か ら,fが

∈ Ω(M1;p1,p2)が

始 点 とす る σ

εp1で あ る か ら,系8.1に

被 覆 写 像 と し,Mは

の と き,fは

証 明 す れ ば よ い.

あ る. 

f:M1→Mを

  証 明   fは

せ よ.σ∼0を

よ り,  な り,fは

σ

あ る.Mは が 成 立 ち,特

単 射 で あ る. 

(証 終)

い ず れ も 連 結 か つ 局 所 弧 状 連 結 と す る.

被 覆 写 像 と し,g:(W,w0)→(M,p0)を

  こ の と き,g:(W,w0)→(M,p)で

あ っ て,f°g=gを

と る. みた す ものが存 在す る

た め の 必 要 十 分 条 件 は,  (8.11) 

g*(π1(W,w0))⊂f*(π1(M,p))

が 成 立 つ こ と で あ る.   証 明   必 要 性:命

題8.2に

よ り,f*°(g)*=g*. 

よ っ て,  g*(π1(W,w0))

=f*(g*(π1(W,w0)))⊂f*(π1(M,p)).   十 分 性:任

意 のw∈Wに

対 し,σ

τ=g° σ と お く と,τ ∈ Ω(M;p0,q)で ト と し,g(w)=τp(1)と

お く.g(w)は

∈ Ω(W;w0,w)が あ る.τpをpを 道

存 在 す る.g(w)=q, 始 点 とす る τ の リフ

σ の と り方 に よ ら な い こ と を 証 明

し よ う.   σ′∈ Ω(W;w0,w)を (8.11)に

と る と,σ

・(σ′)−1∈Ω(W;w0)で

あ る.よ

っ て,仮

定

よ り,

 (8.12)

をみ た す

ρ∈ Ω(M;p)が

存 在 す る.(8.12)は

 (8.13) を 意 味 す る.と

こ ろ で, 

で あ る か ら,τ

′=g° σ′

と お く と,(8.13)は  (8.14) 

τ ・τ ′−1∼f°

と な る.系8.1を,σ=τ

・τ′−1,τ=f°

ρ

ρ

に 用 い る と,ρ

∈ Ω(M,p)が

存 在 し

て,   (8.15) 

τ ・τ ′−1=f°

ρ.

よ っ て,ρ=ρ1・ ρ2−1(ρi∈Ω(M;p,q)(i=1,2))と =f° ρ2が 得 ら れ,リ =τ ′p(1)が   gが

あ ら わ す と,τ=ｆ

フ トの 一意 性 よ り,ρ1=τp,ρ2=τ

°ρ1,τ ′

′pと な っ て,τp(1)=q

成 立 つ.

求 め る も の で あ る こ と が 容 易 に た し か め られ る. 

  定 義8.13    系8.3 

定 理8.4のgをgのfに M,M,W,f,gは

る と す る.こ

  証 明   π1(W,w0)は

関 す る リ フ ト(lift)と よ ぶ.

定 理8.4と

の と き,gの

(証 終)

リ フ トgが

同 じ と し,さ

ら に,Wは

単連結であ

存 在 す る.

単 位 元 の み よ り な る か ら,(8.11)が

成 立 す る ことは 自

明 で あ る. 

(証終)

  8.3  普 遍 被 覆 空 間   定 理8.5  (p,p)∈Dを p∈Mに れ,か

(M,U)を

単 連 結 位 相 空 間 と し,Dは,す

み た す,M×Mの

中 の 連 結 開 集 合 で あ る と す る.つ

対 し,あ る集 合E(p)(E(p)はMに つ 任 意 の(p,q)∈Dに

て い て,次

べ て のp∈Mに

ぎに 各点

全 く無 関 係 で よ い)が

対 し,全 単 射 写 像 φqp:E(p)→E(q)が

の 条 件 を み た して い る とす る:

対 し,

与え ら

定義 され

  (ⅰ)  φpp=1E(p),p∈M,   (ⅱ) 

(p,q),(q,r),(p,r)∈Dな

ら ば,φrq°

  こ の よ う な{φqp￨(p,q)∈D}が e0∈E(p0)に

対 し,写

も の が た だ1つ

与 え ら れ た と き,任

像 

任 意 の

の 条 件 を み た す

存 在 す る:

ψ(p)∈E(p)(p∈M),

 (2) 

ψ(p0)=e0,

 (3) 

φqp(ψ(p))=ψ(q)((p,q)∈D). 

(モ ノ ド ロ ミ ー 定 理)

  証 明   集 合 

を 考 え,Mに

部 分 集 合WがW∈Uで

U∈U(p)が

意 のp0∈Mと

で あ っ て,次

 (1) 

る.Mの

φqp=φrp.

次 の よ う な 位 相Uを

あ る と は,任

意 の(p,ee)∈Wに

存 在 し て,(ⅰ)U×U⊂D,(ⅱ)q∈Uな

を み た す と き で あ る と 定 義 す る.こ

入れ 対 し,

ら ば(q,φqp(ep))∈W

のUはM上

の位 相 で あ る こ とが 容 易

に た しか め ら れ る.   (M,U)は

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る こ と を 証 明 し よ う.

  ま ず,写

像

π:M→Mを

π(p,ep)=pに

  (8.16) 

U∈Uな

  (8.17) 

W∈Uな

ら ば,π

よ っ て 定 義 す れ ば, −1(U)∈U,

ら ば,π(W)∈U

で あ る こ と が わ か る.   次 に,U×U⊂Dを Mの

み た すU∈Uと1点(p,eρ)∈{p}×E(p)に

対 し,

部 分 集 合U(p,ep)を

 (8.18) 

U(p,ep)={(q,φqp(ep))￨q∈U}

に よ っ て 定 義 す る.   U(p,ep)∈Uで r∈Uに

あ る.何

故 な ら,(q,φqp(ep))∈U(p,ep)な

対 し,(p,r),(q,r),(p,r)∈U×U⊂Dで

ら ば,任

意 の

あ る か ら,

が 成 立 つ か ら で あ る.  

Uに

∈Mを

よ っ てMが 異 る2元

ハ ウ ス ドル フ 空 間 と な る こ と を 言 うた め,(p,ep),(p′,ep′) とす る. 

な ら,U′

∈U(p),U″

∈U(p′)で

あ って

 を み た す も の が あ る か ら,π −1(U′)=W,π れ ば,(8.16)に

よ っ て,W,W′

∈Uで

を み た す.つ ⊂Dを

を考 え

あ っ て, 

ぎ に,p=p′

み た すU∈U(p)を

−1(U″)=W′

な ら ば, 

で あ る が,U×U

と り,W=U(p,ep),W′=U(p,ep′

と, 

′)を 考 え る

を み た す.よ

っ て(M,U)は

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る こ と が わ か っ た.   つ ぎ に,π:M→Mは

被 覆 写 像 で あ る こ と を 示 そ う.

  ま ず,(8.16),(8.17)に p∈Mに

よ っ て,π

対 し,U×U⊂Dを

は 連 続 開 写 像 で あ る.つ

み た す 連 結 なU∈U(p)を

ぎ に,任

と る.明

意の

か に,

 (8.19)

が 成 立 つ.写

像

π′=π￨U(p,ep)を

射 で あ る.一

方,π

考 え る と,π

′:U(p,ep)→Uは

明か に 全単

′は 連 続 開 写 像 で あ る か ら,π ′は 位 相 同 型 で あ る.Uは

結 で あ る か ら,U(p,ep)も

連 結 で あ る.よ

分 に よ る 分 解 と な っ て い る.従

っ て,(8.19)は

っ て,Uは

π−1(U)の

連 連結 成

π に よ っ て 平 等 に 被 わ れ る こ とが

わ か っ た.   つ ぎ に,M0をMの(p0,e0)を

含 む 連 結 成 分 と し,π0=π￨M0を

補 題8.6に

よ っ て,π0:M0→Mは

命 題8.3に

よ っ て,π0は

被 覆 写 像 で あ る.Mは

位 相 同 型 で あ る.よ

考 え よ う.

単 連 結 で あ る か ら,

っ て,

π0−1(p)=(p,ψ(p)),p∈M と お く と,ψ(p)∈E(p)で

あ っ て,ψ(p0)=e0を

み た す.

  ψ が 求 め る 写 像 で あ る こ と を 証 明 す る た め,   (8.20) 

D*={(p,q)∈D￨ψ(q)=φqp(ψ(p))}

と お き,D*がDの D*=Dと

開 か つ 閉 集 合 で あ る こ と を 言 え ば,Dは

な り ψ は(3)を

  さ て,(p1,q1)∈Dと U1⊂D,V1×V1⊂D,U1×V1⊂Dが   (*)  を 証 明 し よ う.

み た す こ と に な る. し,連

結 開 集 合U1∈U(p1),V1∈U(q1)をU1× み た さ れ る よ うに と る. な らば

連 結 で あ るか ら

 と す る.(8.20)に あ る.W=U1(p1,ψ(p))と

よ り,ψ(q2)=φq2p2(ψ(p2))で

お く((8.18)参

照).Wは

で あ る か ら,W⊂M0が q∈U1}で

成 立 っ.W={(q,φqp1(ψ(p1))￨

あ っ た か ら,

  (8.21) 

ψ(p2)=φp2p1(ψ(p1))

が 成 立 つ.と Dの

連 結 で あ っ て, 

こ ろ で,(p1,p2),(p2,q2),(p1,q2),(q1,q2),(p1,q1)は

元 で あ る か ら,仮

定(ⅱ)に

い ず れ も

よ り,

即 ち,   (8.22) が 成 立 つ.一

方,V1(q1,ψ(q1))⊂M0で

あ る こ と か ら,(8.21)を

得 た と同 様

に し て,   (8.23) 

ψ(q2)=φq2q1(ψ(q1))

が 得 ら れ る.(8.22),(8.23)よ で あ る か ら).よ

  (*)よ

り

み た す ψ は た だ1つ

ψ′ も(1),(2),(3)を

み た すU∈U(p)を

  (**) 

な ら ば,p∈Aで

こ と を 証 明 し よ う. 

  定 義8.14  は,任

な り,p∈Aで

成 り立 つ か ら,容 ち,ψ=ψ

と る. ある

あ る.

易 にAはMの

開 か つ閉 集合 で あ る ことがわ

′ で あ る. 

位 相 空 間Mが

意 の 点p∈Mに

′(ρ)}と お く.

と す る と,

′(p)=ψ(p)と

か り,A=M即

で あ る こ と を 証 明 し よ う.

み た す と し て,A={p∈M￨ψ(p)=ψ

対 し,U×U⊂Dを

  (**)が

単 射

中 で 開 か つ 閉 で あ る こ と が わ か る.

  終 り に(1),(2),(3)を

従 っ て,ψ

あ る(φq2q1は

っ て(p1,q1)∈D*.

り容 易 に,D*はDの

1点p∈Mに

φq1p1(ψ(p1))=ψ(q1)で

(証終)

局 所 単 連 結(locally  simply  connected)で

対 し,pの

近 傍Vで

あ ると

あ って単 連結 な ものが存 在す る

と き を 言 う.   定 義8.15  (universal   定 理8.6 

f:M→Mを covering

被 覆 写 像 と す る.(M,f)がMの space)で

あ る と は,Mが

f1:M1→M;f2:M2→Mを

普遍 被 覆空 間

単 連 結 で あ る と き を 言 う.

普 遍 被 覆 写 像 と し,p0∈Mに

p1∈f1−1(p0),p2∈f2−1(p0)を

と り固 定 す る.こ

の と き,位

相同型

対 し点 φ:M1→M2

で あ っ て,   (ⅰ)  φ(p1)=p2,(ⅱ)  を み た す も の が た だ1つ   証 明  f1のf2に

f2°φ=f1 存 在 す る.

関 す る リ フ トを

φ

と し,f2のf1に

関 す る リ フ トを ψ と

し よ う. f2° φ=f1,φ(p1)=p2,f1°ψ=f2,ψ(p2)=p1 が 成 立 つ か ら, 

と お く と,

f2° θ=f2,θ(p2)=p2,f1° が 成 立 つ.補

題8.7に

η=f1,η(p1)=p1

よ り,θ=1M2,η=1M1と

な り,φ

は 位 相 同 型 写 像 で あ

る. 

  定 理8.7 

(証 終)

任 意 の連 結 か つ 局 所 単 連 結 な 位 相 空 間(M,U)に

遍 被 覆 空 間 が 同 型 な も の を 除 い て た だ1つ   証 明   1点x0∈Mを

固 定 し,x0を

対 して は,普

存 在 す る.

始 点 とす る道 全 体 か らな る集 合 Ω(M)

を 考 え る:

  Ω(M)∋

α,β に 対 し,α(1)=β(1)か

つ

が 成 立 つ と き α∼ β と か く と,"∼"は Ω(M)を"∼"に

Ω(M)の

関 す る 同 値 類 に 類 別 で き る.α

で あ ら わ し,同 値 類 全 体 の な す 集 合 をMで   写 像f:M→Mをf([α])=α(1)に   っ ぎ にMの   [α]∈Mに   (8.24) 

α が

中 に 位 相Uを 対 し,V∈U(α(1))を V([α])={[α

β に ホ モ トー プ(定 義8.2) 中 の 同 値 関 係 で あ る か ら,

∈ Ω(M)を

含 む 同 値 類 を[α]

あ ら わ そ う:M={[α]￨α よ っ て 定 義 す る.

入 れ た い. と り,Mの

部 分 集 合V([α])を

・β]￨β∈ Ω(V;α(1),q),q∈V}

∈ Ω(M)}.

に よ っ て 定 義 す る.α

・ β は も ち ろ ん,道

α と β と の 結 合 で あ る((8.2)参

照).

 に 対 し て は,  成 立 つ.従

が

っ て 

と お く と,命

よ り,U([α])を[α]のMに た だ1つ

お け る 基 本 近 傍 系 と す るMの

題3.1に

位 相Uが

存 在 す る.

  (M,U)が

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る こ と は,Mの

明 さ れ る.ま

た,写

像f:M→Mは

な ら,f(V([α]))はVの

局 所単 連 結性 を 用 い て証

連 続 で あ る.fは α(1)を

開 写 像 で も あ る.何

含 む 連 結 成 分V0で

あ っ て,V0は

故 開集

合 と な る か ら で あ る.   つ ぎ に,Mは

弧 状 連 結 で あ る こ と を 見 よ う.

  x0=[εx0]と

お く とx0∈Mで

あ る(定 義8.3).任

意 の[α]∈Mに

対 し,

 を αs(t)=α(s・t), 

に よ っ て 定 義 し,α(s)=[αs](s∈I)と あ る.[α]とx0が   つ ぎ に,fは

t∈I

お け ば,明

道 で 結 べ た か ら,Mは

か に 

で

弧 状 連 結 で あ る.

被 覆 写 像 で あ る こ と を 証 明 し よ う.

  任 意 の 点x∈Mに

対 し,単

連 結 なV∈U(x)が

平 等 に 被 わ れ る こ と を 示 せ ば よ い.ま

と れ る.Vがfに

ず,容

よって

易 に,

  (8.25) で あ る こ と が わ か る.f′=f￨V([α])と で あ る.何

故 な ら,f([α

・ β])=f([α

お け ば,写

単射

・β′]);[α・β],[α ・β′]∈V([α])な

に 対 し て は,β(0)=β′(0)=α(1),β(1)=β′(1)が あ る こ と か ら β∼ β′が 成 立 ち,[α

像f′:V([α])→Vは

・β]=[α

f′ は 全 単 射 か つ 連 続 開 写 像 で あ る か ら,位

成 立 つ か ら,Vが

る β,β′

・β′]と な る か ら で あ る.よ

単 連 結で

相 同 型 と な り,(8.25)が

へ の 分 解 で あ る こ と に 注 意 す れ ば,Vはfに

っ て, 連 結成 分

よ って平等 に被 わ れ る ことがわ

か る.   終 り に,Mは   x0∈Mに

単 連 結 で あ る こ と を 見 よ う. お け るMの

ル ー プ τ を と る.α=f°

τ と お く と,α=f°

α で も

あ る か ら,リ あ る.よ 8.1よ

フ トの 一 意 性(補 題8.8)に

より

っ て,[α]=α(1)=x0=[εx0]が

α=τ

と な っ て,α

成 立 ち,α

り α∼εx0が 成 立 ち,τ ∼0が

言 え て,Mは

∼εx0で

は ル ー プで

あ る.従

っ て,系

単 連 結 で あ る こ とが わ か っ

た.

  単 連 結 被 覆 空 間 が 同 型 を 除 い て 一 意 的 で あ る こ と は,定

理8.6よ

り明 か で あ

る. 

(証終)

  系8.4 

連 結 なC∞

し,MもC∞

多 様 体Mに

は,つ

多 様 体 で あ って,fはC∞

ね に 普 遍 被 覆 空 間(M,f)が 写 像 で あ る.

  証 明   多 様 体 は 明 か に 局 所 単 連 結 で あ るか ら,定 空 間(M,f)が

存 在 す る.fは

る よ うにMにC∞

  8.4 

被

理8.7に

局 所 同 型 で あ る か ら,fが

構 造 が 定 義 で き,従

覆

存在

っ て,fはC∞

よ り,普 局 所C∞

遍被覆

同型 に な

写 像 で あ る. (証終)

  こ の 節 で は,位

群 相 群Gの

被 覆 空 間 に つ い て 考 え る.Gは

つ ね に,弧

状連結

で あ る と 仮 定 す る.   定 理8.8 

Gを

局 所 連 結 な 位 相 群 と し,(G,f)をGの

る.1点e0∈f-1(e)を   こ の と き,写 な り,e0はGの る.ま

固 定 す る(eはGの 像μ:G×G→Gが

た,こ

の よ う なμ

  証 明   μ:G×G→GをGの g=μ°(f×f)と み た す.ま h:G→Gは

は た だ1通

位 相 群Gか

の 準 同 型 写 像 とな

ま,

連 続 写 像 で あ っ て,g(e0,e0)=eを よ っ て 定 義 し,h=ι°fと

連 続 写 像 で あ っ て,h(e0)=eを

み た す.こ

の と き,も

お く と, し

g*(π1(G×G,(e0,e0)))⊂f*(π1(G,e0)), h*(π1(G,e0))⊂f*(π1(G,e0))

の 成 立 す る こ と が 証 明 で き れ ば,定 が 存 在 す る.即

らGへ

群 乗 法 と す る:μ(x,y)=x・y(x,y∈G).い

た,ι:G→Gをι(x)=x−1に

  (8.27) 

を 群 乗 法 とす る位 相 群 と

りに 決 ま る.

お く と,g:G×G→Gは

  (8.26) 

μ,ι

単 位 元).

存 在 し,Gはμ

単 位 元 で あ っ て,fは

連 結 被 覆 空 間 とす

理8.4に

ち,写像μ:G×G→G1,ι:G→Gが

よ っ て,g,hのfに

よ る リフ ト

(ⅰ) 

μ((e0,e0))=e0, ι(e0)=e0,

 (8.28) (ⅱ) 

f° μ=g=μ°(f×f), 

f°ι=h=ι°f

を み た す よ うに と れ る.  

(8.26),(8.27)の

証 明 は あ と ま わ し に し て,ま

ず,Gは

μ を 乗 法 とす る

位 相 群 に な る こ と を 証 明 し よ う.   ま ず,λ;G→Gを

λ(x)=μ(x,e0)(x∈G)で

定 義 す る と,

f0λ(x)=f(μ(x,e0))=μ(f(x),f(e0)) =μ(f(x),e)=f(x) が 成 立 ち,λ(e0)=μ(e0,e0)=e0を 立 つ.即

ちe0はGの

ν(x)=μ(x,ι(x))で

=μ(f(x),fι(x))=μ(f(x)

はxの

,ι(f(x)))=eが

成 立 つ.同

逆 元 で あ る.μ

よ り,λ=1Gが

定 義 す る と,f°ν(x)=f° 成 立 つ か ら,再

成

っ て,Gは

よ り,fは

μ(x,ι(x))

び 補 題8.7に

様 に し て,μ(ι(x),x)=e0も

が 結 合 律 を み た す こ と も,μ

同 じ方 法 で 証 明 で き る.よ か り,(8.28)(ⅱ)に

題8.7に

単 位 元 で あ る.

  つ ぎ に,ν:G→Gを

ν(x)=e0(x∈G)が

み た す か ら,補

よ り,

言 え る か ら,ι(x)

の 結 合 律 を 用 い て,上

μ を 乗 法 とす る位 相 群 とな る こ とが わ 準 同 型 写 像 で あ る.μ

の 一 意 性 も 補 題8.7

に よ る.   あ と ま わ し に し て あ っ た(8.26),(8.27)を   (8.26)を

言 うに は,任

意の

→G×Gを(σ,τ)(t)=(σ(t),τ(t))で   (8.29) 

証 明 し よ う.

σ,τ∈Ω(G,e0)に

対 し,G×Gの

道(σ,τ):I

定 義 し,

g*([σ,τ)])∈f*(π1(G,e0))

の 成 立 す る こ と を 言 え ば よ い.と

こ ろ で,f°σ=σ,f°

τ=τ

と お き,σ*τ

∈ Ω(G,e)を   (8.30) 

(σ*τ)(t)=μ(σ(t),τ(t))

で 定 義 す れ ば, g*([(σ,τ)])=[μ°(f×f)°(σ,τ)]=[μ°(σ,τ)]=[σ*τ] が 成 立 つ.従

っ て,も

と

し σ*τ ∼ σ・τ で あ る こ と が 証 明 で き れ ば,

と な っ て,(8.26)が

成 立 つ.同

  (8.31) 

様 に し て,σ

∈Ω(G,e)に

対 し,σ ∈Ω(G,e)を

σ(t)=(σ(t))−1

で 定 義 し,σ ∼ σ−1で あ る こ と(σ−1は 成 立 す る こ と が 言 え る.よ

っ て,次

σ と 逆 向 き の 道)が 言 え れ ば,(8.27)の

の 補 題 が 証 明 で き れ ば,定

理8.8の

証 明が

完 結 す る.   補 題8.9 

Gを

位 相 群 と し,σ,τ

(8.30),(8.31)で   (ⅰ) 

∈Ω(G,e)に

対 し,σ*τ,σ

∈Ω(G,e)を

定 義 す れ ば,

σ*τ ∼ σ ・ τ, 

(ⅱ) 

σ∼ σ−1

が 成 立 つ.   証 明   (ⅰ)  =σ(s)

F:I×I→GをF(s,t)=σ(s)・

τ(s・t)で

定 義 す れ ば,F(s,0)

,F(s,1)=(σ*τ)(s),F(0,t)=e,F(1,t)=τ(t)が

題8.4に

よ っ て,σ*τ

成 立 つ か

∼ σ・τ が わ か る.

  (ⅱ)  H(s,t)=σ(s)・

σ(s・t)−1に よ っ て,H:I×I→Gを

定 義 す る と,H(s,

0)=σ(s),H(s,1)=e,H(0,t)=e,H(1,t)=σ(t)が に よ っ て,σ

・δ∼0で

  定 義8.16 

G,Gを

位 相 群 と し,f:G→Gを

の 被 覆 群(G1,f1),(G2,f2)が

Φ:G1→G2が   系8.5 

存 在 し て,f1=f2° Gを

被 覆 写 像 と す る.(G,f)がG た,(G,f)が

普 遍 被 覆 群 で あ る と 言 う. 同 型 で あ る と は,位

相群 の同型 写像

Φ が 成 立 つ と き を 言 う.

位 相 群 と し,(G,f)をGの

の 点e0∈f−1(e)を

題8.4 (証 終)

群 の 準 同 型 写 像 で あ る と き を 言 う.ま

普 遍 被 覆 空 間 で あ る と き,(G,f)をGの

  Gの2つ

はGの

成 立 つ か ら,補

あ る か ら,δ ∼ σ−1が 得 ら れ る. 

の 被 覆 群 で あ る と は,fが Gの

ら,補

連 結 な 被 覆 空 間 と す れ ば,任

与 え る と,Gはe0を

意

単 位 元 と す る 位 相 群 と な り,(G,f)

被 覆 群 と な る.

  証 明   定 理8.8に   定 義8.17  単 位 元eの 写 像(local

Gを 近 傍Vか

よ る. 

(証 終)

位 相 群 と し,Hを らHの

homomorphism)で

群(位 相 群 で な く と も よ い)と す る.Gの

中へ の写像 あ る と は,

η がGか

らHへ

の局 所準 同型

x,y,xy∈Vな が 成 立 つ と き を 言 う.Hも   定 理8.9 

Gを

の局 所 準 同型 る.即

位 相 群 の 場 合 は,η

らHへ

近 傍Wが

  証 明   η はVに

η(y)

の 連 続 性 を 仮 定 す る.

単 連 結 な 位 相 群 と し,Hを(位

η はGか

ち,eの

ら ば,η(xy)=η(x)・

の準 同型写 像

相)群

と す る.Gか

らHへ

ψ に,た

だ1通

りに 拡 張 さ れ

存 在 し て,ψ￨W=η￨Wが

成 立 つ.

お い て 定 義 さ れ て い る と し,WをVに

結 な 開 近 傍 と す る.G×Gの

含 ま れ るeの

連

部 分 集 合Dを D={(σ,τ)∈G×G￨τ

に よ っ て 定 義 す る.Δ={(σ,σ)￨σ

∈G}と

σ−1∈W} お く と,明

か にΔ ⊂Dで

あ っ て,か

つ

  (8.32) が 成 立 つ.Δ る.し

はGと

位 相 同 型 で あ る か ら 連 結 で あ り,{σ}×W・

か も 

で あ る か ら,(8.32)よ

σ も連 結 で あ

りDも

連結である

(補 題3.4).   つ ぎ に,(σ,τ)∈Dに

対 し,写

像φτσ:H→Hを

に よ っ て 定 義 す る.(σ,τ),(τ,ρ),(σ,ρ)∈Dな φρσ(α)=η(ρ

・σ−1)・α=η(ρ

ら ば,任

τ−1)・η(τσ−1)α=φ

意 の

ρ τ(φτσ(α)),従

α ∈Hに

っ て,φρσ=φ

対 し, ρτ° φτσ

が 成 立 つ.   よ っ て,{φ が 適用

ρ σ￨(σ,ρ)∈D},E(σ)=H(σ

さ れ,写

像

  (8.33) 

ψ:G→Hで

∈G)に

対 し,モ

あ っ て,ψ(e)=eか

ψ(τ)=φτ σ(ψ(σ))=η(τ

を み た す も の が 存 在 す る.(8.33)に

ノ ド ロ ミ ー 定 理8.5

つ

σ−1)ψ(σ), 

お い て σ=eと

(σ,τ)∈D お く と ψ(τ)=η(τ)(τ

∈W)

が 成 立 つ.   ψ:G→Hが   任 意 の

準 同 型 で あ る こ と を 示 そ う. τ∈Wと

任 意 の

σ∈Gに

対 し,(8.33)に

お い て

τ の 代 りに

τσ を

代 入 す れ ば,   (8.34) が 成 立 つ.よ

っ て,任

意 の

τ1,…,τk∈Wと

σ∈Gに

対 し,kに

つ い て の 帰 納

法 に よ り,

の 成 立 す る こ と が た し か め ら れ る.特

が す べ て の τi∈W(i=1,…,k)に   一 方Gは

意 の元

形 に 書 け る(定 理7.2)か

  ψ の 一 意 性 もGがWに   ま た,Hが

σ=eを

と る と,

対 し て 成 立 つ.

連 結 で あ る か ら,任

(σi,τi∈W)の

に

σ,τ∈Gは

σ=σ1… σk,τ=τ1…

ら,ψ(σ τ)=ψ(σ)ψ(τ)が

得 ら れ る.

よ っ て 生 成 さ れ る こ と か ら 明 か で あ ろ う.

位 相 群 の と き,ψ

が 連 続 で あ る こ と は,ψ

が 同 型 で あ っ て,e

の 近 傍 で 連 続 で あ る こ と よ り 明 か で あ る.    定 理8.10 

Gを

同 型 を 除 い て た だ1つ

に よ っ て,Gは

普 遍 被 覆 空 間(G,f)が

位 相 群 と な り,(G,f)は

  G,G1,Gの

十 分 小 に と れ ぼ,g=f￨V,g1=f1￨V1

位 相 同 型,か

  η=(g1)−1°g,η1=g−1°g1と

お く と,η

Gへ

っ て,定

た

存 在 し,ψ,ψ1は

ψ1°ψ は1Vの

が 成 立 つ.即 つ.従

っ て,f1°

ψ=fが

つ 局 所 準 同 型 で あ る.

はGか

理8.9に

らG1へ よ り,準

η,η1の 拡 張 で あ る.明

拡 張 で あ る か ら,拡

ち,ψ:G→G1は

遍 被 覆 群 の存

普 遍 被 覆 群 と し よ う.

単 位 元 の 近 傍V,V1,Vを

の 局 所 準 同 型 で あ る.よ

存 在 す る.系8.5

被 覆 群 と な る か ら,普

ぎ に,(G1,f1)もGの

は そ れ ぞ れV→V,V1→Vの

G1→Gが

普 遍 被 覆群 が

存 在 す る. よ っ て,Gの

在 が わ か っ た.つ

(証終)

連 結 か つ 局 所 単 連 結 な 位 相 群 と す れ ば,Gの

  証 明   定 理8.7に

の,η1はG1か 同型

ら

ψ:G→G1,ψ1:

か に,ψ° ψ1は1V1の,ま

張 の 一 意 性 か ら,ψ° ψ1=1G1,ψ1°ψ=1G

同 型 写 像 で あ っ て,g1° 成 立 ち,(G,f)と(G1,f1)と

ψ=gがVの

上 で成 立

が同 型 な被 覆 群 で あ る

こ と が わ か っ た. 

(証 終)

問   8.1  M1,M2を

題8

連 結 位 相 空 間 と す る と,π1(M1×M2)と

な 仕 方 で 同 型 に な る.

τｋ

π1(M1)×

π2(M2)と

は 自然

  8.2  (1)   (2) を 証 明 せ よ.   8.3  連 結 位 相 空 間Mか

らR2へ

の 写 像f:M→R2で

を つ くれ.   (1) 

fは

局 所 位 相 同 型 写 像,か

つ 全 射,

  (2) 

fは

位 相 同 型 写 像 で は な い.

あ っ て,次

の条件 をみ たす例

9. リー

  9.1 リー

群 の 定義

  定 義9.1 

(G,μ,A)がリー

(ⅲ)が

群

群(Lie

group)で

あ る と は,次

の 条 件(ⅰ)∼

み た さ れ る と き を 言 う.

  (ⅰ) 

(G,μ)は

群 で あ る(§2.1参

  (ⅱ) 

(G,A)はC∞

照).

多 様 体 で あ る(定 義4.4).

  (ⅲ)  μ:G×G→G,ι:G→GはC∞ ∈G).(直

積 多 様 体G×Gに

な い 場 合,単   例9.1 

つ い て は 例4.5参

にGはリー GL(n,R)(例7.2)は

  例9.2 リー

  9.2 リー   Gをリー

明 記 す る必 要 の

構 造 に 関 し,リー

同 じ方 針 で た し か め ら れ る.

群 のリー

直 積G1×G2も

自 然 な 方 法 でリー 群

と な る.

環 意 の 元 σ∈Gに

同 様 に し て,Lσ

  定 義9.2 

照).μ,Aを

行 列 の 掛 算 と 自 然 なC∞

群G1,G2の

群 と し,任

だ し,ι(x)=x-1(x

群 で あ る と 言 う.

群 と な る こ と が 例7.2と

§7.2と

写 像 で あ る.た

X∈〓(G)(定

はGか

よ るGの

らGへ

義4.14)が

  (9.1) 

のC∞

左 移 動Lσ:G→Gを

考え る.

同 型 写 像 で あ る こ と が わ か る.

す べ て の σ∈Gに

対 し,

(dLσ)X=X

を み た す と き(命 題4.8参

照),Xを

左 不 変(left

左 不 変 ベ ク トル 場 全 体 か ら な る〓(G)の

invariant)ベ

部 分 集 合 をL(G)ま

ク トル 場 と よ ぶ. た はgで

あ ら

わ す.   定 理9.1 L(G)は〓(G)の

部 分リー

環 で あ っ て,dimL(G)=dimGが

成 立 つ.   証 明  L(G)が〓(G)の X,Y∈L(G)に

対 し,補

部 分 ベ ク トル 空 間 を な す こ と は 明 か で あ る.次 題4.12よ

り,

(dLσ)[X,Y]=[dLσX,dLσY]=[X,Y]

に,

が す べ ての

σ∈Gに

対 し成 立 ち,従

は〓(G)の

部 分リー

環 で あ る.

  次 に,写

像

す る と,η

は 線 型 写 像 で あ る.η

η:L(G)→Te(G)を

dimTeG=dimGと η(X)=0な

っ て[X,Y]∈L(G)が

η(X)=Xe(命

=(dLσ)(Xe)=0(σ

ず,η

こ ろ が,(9.1)に

∈G)が

題4.5参

が 単 射 で あ る こ と を 示 そ う.

な っ て,η

が 全 射 で あ る こ と を 証 明 し よ う.任

意 にXe∈TeGを

=(dLσ)Xeと

あ っ て,(dLτ)Xσ=Xτ

写像

σ→Xσ

がGか

∈TσGで

らTGへ

と な っ て(命 題4.6),η   さ て,e∈Gの

よ って定義

よ り,X(σ)=((dLσ)X)(σ)

成 立 ちX=0と

お く と,Xσ

照)に

が 全 単 射 で あ る こ と が わ か れ ば,dimL(G)

な っ て 証 明 が 終 る.ま ら ば,Xe=0.と

得 ら れ,L(G)

のC∞

は 単 射 で あ る.次 と り,σ ∈Gに

対 し,Xσ

σ(τ∈G)を

C∞

は 全 射 と な る.

座 標 近 傍(U,φ)と

σ0∈Gの

十 分 小 に と れ ば,V0・U⊂Vで

写 像 で あ る か ら,(σ,τ)∈V0×Uに

座 標 近 傍(V,ψ)を

σ0U⊂V

…

,yn}を

わ せ る.σ

近 傍 で のC∞

関 数 で あ る.さ

お く.σ0

あ る と し て よ い.μ:G×G→Gは 対 し, 

と 書 け て,FiはR2nの xn(e))の

中 の(y1(σ0),…,yn(σ0),x1(e),…, て,Xe,Xσ

は 座 標 系{x1,…,xn},{y1,

用 い て,  →Xσ

み た す.

写 像 で あ る こ と が わ か れ ば,X∈L(G)

を み た す よ う に と り,φ=(x1,…,xn),ψ=(y1,…,yn)(n=dimG)と の 近 傍V0を

に η

とあ ら

がC∞

写 像 で あ る こ とを 言

あ る こ と を 示 せ ば よ い.と

う に は,ξjがV0上

こ ろ で, 

のC∞

関 数 で で あ る

か ら,

と な り,ξj(σ)は

σ∈V0に

 定 義9.3 L(G)をリー   命 題9.1 

G1,G2をリー群

自 然 な 方 法 で 同 型 で あ る.

関 しC∞ 群Gのリー

関 数 で あ る. 

(証 終)

環 と よ ぶ.

と す る と,L(G1×G2)とL(G1)×L(G2)と

は

  9.3 リー

群 の 準 同 型 とリー

  定 義9.4 

G1,G2をリー

部 分 群

群 と す る.写

像

Φ:G1→G2がリー

群 の準 同 型 写 像

で あ る と は,   (ⅰ)  Φ は 多 様 体G1か   (ⅱ)  Φ は 群G1か

らG2へ らG2へ

のC∞

写 像,

の 準 同型 写像

で あ る と き を 言 う.   定 理9.2 

g1,g2をリー

準 同 型 写 像 と す れ ば,リー   (9.2) 

群G1,G2のリー

環 と す る.Φ:G1→G2をリー群

環 の 準 同 型 Φ*:g1→g2で (Φ*X)e=(aΦ)Xe 

の

あ っ て,

(X∈g1)

を み た す も の が 定 義 さ れ る.   証 明   X∈g1に

対 し,(Φ*X)τ=(dLτ)(dΦXe)(τ

の 証 明 で 示 し た よ う に,Φ*X∈g2で

∈G2)と

あ る.Φ*:g1→g2がリー

お く と,定

理9.1

環 の準 同型 で あ る

こ と を 言 う.   Φ*が

線 型 写 像 で あ る こ と は 明 か で あ る か ら,X,Y∈g1に

 (9.3) 

Φ*([X,Y])=[Φ*X,Φ*Y]

で あ る こ と を 示 せ ば よ い.X′=Φ*X,Y′=Φ*Yと   (9.4) 

お く.ま

X′(Φ(σ))=(dΦ)(Xσ) 

を 証 明 し よ う.Φ か ら,X′

対 し,

ず,

(σ∈G1)

が 準 同 型 で あ る こ と よ り,LΦ(σ)°Φ=Φ°Lσ(σ ∈G)が

の 定 義 よ り,

と な り,(9.4)が

示 さ れ た.次

に,任

意 のg∈C∞(G2)に

X(g° Φ)=(X′g)° の 成 立 す る こ と が,次

 同 様 に し て,Yに

の よ うに し て 示 さ れ る.

対 し て も,

Φ

対 し,

成立つ

  (9.5) 

Y(g° Φ)=(Y′g)°

  (9.5)に

お い て,gの

Φ 

代 り にX′gを

  (9.6) 

(Y′X′g)°

を 得 る.(9.6)に

お い て,XとYと

  (9.7) 

(g∈C∞(G2)).

と り,(9.4)を

Φ=Y((X′g)°

Φ)=Y(X(g°

  よ っ て,(9.6)と(9.7)と

Φ)).

よ り,  ,従

=dΦ([X,Y](σ))が

成 立 つ.特

っ て,σ

け る 値 が 一 致 す る か ら,(9.3)が

Gをリー

で あ る と は,次

群HがGのリー

部 分 群 で あ る.

Hをリー

群Gのリー

環 をg,〓

  定 義9.6  〓→gは

部 分 群 と し,ι:H→Gを

とす れ ば,リー環

  証 明   X∈〓,ι*(X)=0か

らX=0を

あ っ てdι

∋X→Xe∈TeHは

部 分 群(Lie  subgroup)

の 条 件 を み た す と き を 言 う.

  (ⅱ)  HはGの

=(dι)(Xe)で

お

(証 終)

部 分 多 様 体 で あ る(定 義5.1),

G,Hのリー

元 で あ っ て,eに

成 立 つ. 

  (ⅰ)  HはGの

  補 題9.1 

対 し,[X′,Y′](Φ(σ))

共 にg2の

群 と す る.リー

の2つ

∈G1に

に,[X′,Y′]e=dΦ([X,Y]e)=(Φ*([X,Y])(e)

っ て,[X′,Y′],Φ*([X,Y])は

  定 義9.5 

Φ))

を 入 れ か え る と,

(X′Y′g)° Φ=X(Y(g°

が 成 立 つ.よ

用 い る と

の 準 同 型ι*:〓 →gは

り,(ι*X)e

は 単 射 で あ る か ら(定 義5.1)Xe=0.と

群Gのリー

単 射 で あ る か ら,〓

部 分リー 環 〓 をHに

単 射 で あ る.

証 明 す れ ば よ い.(9.2)よ

単 射 で あ っ た(定 理9.1).よ

Hがリー

包 含 写 像 と す る.

とgの

こ ろ で,〓

っ て,X=0. 

(証終)

部 分 群 で あ る と き,補 題9.1に

よ り,ι*:

部 分リー 環ι*〓 と は 同一 視 して よ い.こ

対 応 す る 部 分リー 環 と よ び,〓=L(H)で

  リー 部 分 群 か らは 自然 に 部 分リー 環 が 定 義 され た が,逆

の

あ らわ す.

に,次

の重 要 な定 理

が 成 立 つ.   定 理9.3  ば,Gの

連 結リー 群Gのリー

連 結 なリー 部 分 群Hで

環 をgと

し,〓

あ って,〓=L(H)と

をgの

部 分リー 環 とす れ

な る も の が た だ1つ

在 す る.   証 明   任 意 の σ∈Gに

対 し,D(σ)={Xσ￨X∈〓}と

お く と,D(σ)はTσG

存

の 部 分 ベ ク トル 空 間 で あ っ て,dimD(σ)=dim〓  多 様 体G上 … ,Xmを

のC∞

微 分 系D={D(σ)￨σ

∈G}が

〓 の 基 と す れ ば,[Xi,Xj]∈

で あ る こ と も 明 か で あ る.従 積 分 多 様 体Hが 任 意 の σ,τ∈Gに

よ い.Gは

写像

成 立 つ か ら,Lσ(H)もDの

に,σ

∈Hに

対 し て は,Lσ

極大 ず,

−1(H)∋e

部 分 群 で あ る こ と が わ か っ た.

μ:(σ,τ)→ σ・τ−1がC∞

写 像 で あ る こ とを 示 せ ば

算 基 を も つ(系7.1).よ

可 算 基 を も つ(定 理5.4).従

っ て,G×Gの

も 可 算 基 を も つ.ι1:H→G,ι2:H×H→G×Gを G→Gをμ(σ,τ)=σ

通 るDの

τ)が

成 立 ち,HはGの

連 結 リ ー 群 で あ る か ら,可

多 様 体Hも

よ り,e∈Gを

内包 的 微分 系

求 め る も の で あ る こ と を 証 明 し よ う.ま

極 大 積 分 多 様 体 で あ る こ と が わ か る.特

よ っ て,H×H→Hの

っ て,

定 義 さ れ た(定 義5.3).X1,

理5.3に

対 し,dLσD(τ)=D(σ

で あ る か ら,Lσ −1H=Hが

成 立 つ.よ

〓 で あ る こ と か ら,Dが

っ て,定

存 在 す る.Hが

(σ∈G)が

っ て,そ

の部分

部 分 多 様 体H×H

包 含 写 像 と し,写

像μ:G×

τ−1で 定 義 す れ ば, ι1° μ=μ°ι2

が 成 立 つ か ら,ι1°μ はC∞

写 像 で あ る.よ

っ て,定

理5.5に

よ り,μ

写 像 で あ る.    定 義9.7 

もC∞ (証終)

G1,G2をリー

Φ:W→G2がリー

群 と し,WをG1の

単 位 元 の 近 傍 と す る.写

群G1か

らG2へ

の局所 準 同型 写像 で あ る とは

  (ⅰ)  Φ は 位 相 群G1か

らG2へ

の 局 所 準 同 型 で あ る,

  (ⅱ)  Φ は 多 様 体Wか

らG2へ

のC∞

像

写 像 で あ る,

を み た す と き を 言 う.   定 理9.4 リー 型 と す る.こ

群G1,G2のリー

の と き,リー群G1か

  (9.8)  が 成 立 つ.も

環 をg1,g2と らG2へ

の局所 準 同型写 像

(dΦ)(Xe)=(ψ(X))e  し,さ

ら にG1が

単 連 結 な ら ば,Φ

写 像 に と れ,   (9.9)  が 成 立 つ(Φ*の

し,ψ:g1→g2をリー

Φ*=ψ 定 義 は 定 理9.2に

よ る).

環 の準 同 Φ が 存 在 し,

(X∈g1) はG1か

らG2へ

の 準同型

  証 明  〓={(X,ψX(￨X∈g1}と g1×g2はリー

お く と,〓

群G1×G2のリー

のリー 部 分 群Hが

はg1×g2の

環 と 考 え ら れ る か ら,定

部 分リー環 理9.3に

よ り,G1×G2

が 成 立 つ.πi:G1×G2→Gi 

(i=1,2)を

存 在 し,L(H)=〓

自然 な 写 像 と す る.π1′=π1￨Hと

お く と,π1′:H→G1はリー

群 の準 同型 写像

で あ っ て,(dπ1′)e:TeH→TeG1は

同 型 写 像 で あ る.何

dim〓=dimg1=dimG1=dimTeG1で

あ っ て,(dπ1′)e(X,ψX)=X(X∈TeH)

で あ る か ら(dπ1′)eは て,逆 Wが

単 射,し

写 像 の 定 理2.6に

同 型 で あ る.い

もG1か

らG2へ

の 局 所 準 同 型 で あ る.し

で あ る こ と に 注 意 す れ ば,Φ   次 に,G1が

こ で,Φ=π2°

は(9.8)を

単 連 結 な ら ば,G1の

Φ は 定 理8.9に

よ り,G1か

た 準 同 型 を 同 じ記 号

っ

単 位 元 の近 傍

ま,λ=(π1′￨U)−1と

た が っ て,π1′ が 群 の 準 同 型 で あ る こ と か ら,λ

所 準 同 型 で あ る こ と が わ か る.こ

ら で あ る.よ

単 位 元 の 近 傍UとG1の

存 在 し て,π1′￨U:U→WはC∞

と,π1し

故 な ら,dimTeH=

た が っ て 全 射 と な る(系2.3)か

よ り,Hの

で あ る.

はG1か

λ と お く と,C∞

お く

らHへ

の局

写 像 Φ:W→G2

か も,TeH={(Xe,ψXe)￨Xe∈TeG1} み た す こ と が 容 易 に た し か め ら れ る.

単 位 元 の 近 傍 で 定 義 され た 局 所 準 同 型 写 像

らG2へ

の 準 同 型 に 拡 張 さ れ る.こ

Φ で あ ら わ せ ば,(9.8)と

定 理9.2に

の拡 張 され

よ り,(9.9)の

立 す る こ と が わ か る. 

成

(証 終)

  9.4  指 数 写 像 と 標 準 座 標   実 数 の 加 群Rのリー ク トル 場X0=d/dtは

環 をrと

し よ う.Rの

明 か に 左 不 変 で あ る.よ

自然 な 座 標 系tを っ て,rはX0に

と る と,ベ よ って 張 られ

る1次 元 ベ ク トル 空 間 に な って い る.   定 義9.8 リー群Rか の1径

らリー 群Gへ

の 準 同 型 写 像 θ:R→Gの

こ と をG

数 部 分 群 と言 う.

  補 題9.2 リー

群Gのリー環

1径 数 部 分 群 θ:R→Gで

をgと

す る.任 意 の 元X∈gに

あ っ て,θ*(X0)=Xを

対 し,Gの

み た す もの が た だ1つ

存在

す る.   証 明   写 像 ψ:r→gを

ψ(aX0)=aX(a∈R)に

よ って 定 義 す る と,ψ

は リ

ー 環 の 準 同 型 写 像 で あ る .Rは 準 同型

θ:R→Gが

単 連 結リー

存 在 し て,θ*=ψ

が 成 立 つ こ と は 明 か で あ る.次 を Φt=Rθ(t)(右 で あ っ て,そ

が 成 立 つ.こ

に,θ

よ り,

θ に 対 し,θ*(X0)=X

多 様 体Gの1径

像 Φt:G→G

数 変 換 群(定 義4.16)

の ベ ク トル 場 をYと

る こ と が 次 の よ う に し て 示 さ れ る:任

で あ る か ら,τ ∈Gに

の

理9.4に

の 一 意 性 を 証 明 す る た め,写

移 動)と お け ば,{Φt}t∈Rは

れ か ら導 か れ たG上

群 で あ る か ら,定

す る と,Y=Xで

意 のf∈C∞(G)に

あ

対 し,

対 し,

が 成 立 ち,(dLτ)Yσ=Yτ

σ,即 ちY∈L(G)が

が 任 意 のf∈C∞(G)に

得 ら れ た.次

対 し 成 立 つ か ら,Ye=Xeが

に,

成 立 ち,従

っ てX=Yを

得 る.   よ っ て,も

し θ′もGの1径

数 部 分 群 で あ っ て,θ*′(X0)=Xを

Φt′=Rθ′(t)と お く と,Xは1径 あ る.定

理4.5に

位 元eの

よ れ ば,十

近 傍 で 成 立 つ.特

に 対 し て は,自

数 変 換 群{Φt′}か 分小な に

然 数Nを

補 題9.2に

っ た か ら θ(t)=θ(t,X)で   (9.10)  で 定 義 す る.expを

ら導 か れ た ベ ク トル 場 で も

存 在 し て,Φt=Φt′(￨t￨<ε)が

θ(t)=θ′(t)(￨t￨<ε)が

成 立 つ.任

十 分 大 に と れ ば,￨s/N￨<ε

=(θ(s/N))N=(θ′(s/N))N=θ′(s)と   定 義9.9 

ε>0が

な り,θ=θ′

よ っ て 得 ら れ た1径 あ ら わ し,写

が 証 明 さ れ た. 

数部分 群

θ はXに

像exp:g→Gを

map)と

単

意 のs∈R

と な る か ら,θ(s)

expX=θ(1,X),X∈g 指 数 写 像(exponential 

み た せ ば,

よ ぶ.

(証 終) よ って き ま

  定 理9.5 

指 数 写 像exp:g→GはC∞

空 間 で あ る か ら,自   証 明   gの

然 なC∞

写 像 で あ る.た

構 造 でC∞

基{X1,…,Xn}を

と る と,任

… ,n)と

単 位 元eの

す る.a>0を

はRnの

意 のX∈gは 

  さ て,任

の 座 標 系 に な っ て い る.次

近 傍U上

に,

の 座 標 系 と し,yi(e)=0(i=1,2,

十 分 小 に と れ ば,W={σ

立 方 体{x∈Rn‖xi￨
ベ ク トル

多 様 体 と 考 え る.

と あ らわ せ る.{u1,…,un}はg上 {y1,…,yn}をGの

だ し,gは

∈U‖yi(σ)￨
同 相 で あ る.

意 のu=(u1,…,un)∈Rnに

対 し,t1>0が

あ っ て,

 (9.11)

が 成 立 つ.(9.11)が るtに

成 立 つ よ う なt1の

上 限 をT(u)と

書 く.￨t￨
対 し て は,

 (9.12)

に よ っ て 関 数.Fjが

定 義 で き る.σ

∈Wに

対 し,(Xi)σyjは

σ に 関 しC∞

関

数 で あ る か ら, (Xi)σyj=Hij(y1(σ),…,yn(σ)) と 書 け,Hij(y1,…,yn)は￨yk￨
お く と,θ

お い てC∞

関 数 で あ る.X=ΣuiXiに

の 定 義 よ り,dθX(d/dt)=X(θx(t))が

っ て,

 (9.13)

が 成 立 つ.(9.13)の で あ り,右

θX)=dyj(exptX)/dt=(dFj/dt)・(t;u)

辺 は

が 成 立 つ.従  (9.14)

左 辺 はd/dt・(yj°

っ て, 

は 常微分 方 程式 系

成

の 初 期 条 件Fi(0,u)=0を

み た す 解 で あ る.(9.14)に

正 数b,cと,￨uk￨
定 義 さ れ たnこ

対 し,定

のC∞

理1.6に

よ り,

関 数Fi*(t,u)で

あ っ て,

  (ⅰ)   (ⅱ) ￨Fi*(t,u)￨
解 で あ る,

を み た す も の が 存 在 す る.ま

た 解 の 一 意 性 に よ っ て,Fi(t,u)=Fi*(t,u)が

￨uk￨
が 成 立 つ.よ つ.他

対 し て 成 立 つ.一

っ て,(ⅱ)に

方(9.12)よ

よ り, 

方,T(u)の

定 義 の 仕 方 か ら,

が 

に 対 し成 立

り, Fi(t;λu)=Fi(λt,u)

が￨tλ￨
対 し 成 立 つ.従

し 定 義 さ れ,ukに gの

原 点0の

に対

関 数 で あ る こ と が わ か る.よ

あ る 近 傍UでC∞

で あ る こ と が わ か っ た.

対 し て は,十

分 大 き い 自 然 数Nを

方,expY=(exp1/N・Y)Nで

(Y∈V)が

 

つ い てC∞

  任 意 のX∈gに き る.一

っ て,Fi(1,u)は

ま,写

か ら,exp￨VもC∞

像φ:V→U,ψ:U→G, ∈U),η(σ)=σN

ψ°φ が 成 立 ち,φ,ψ,η

写 像 と な り,expがXの

は い ず れ もC∞ 近 傍 でC∞

写像である

写 像 で あ る こ とが

示 さ れ た. 

(証終)

  定 理9・6 

gをリー

に と れ ば,指

数 写 像exp:g→GはWか

上 へ のC∞   証 明   gの

で

近 傍Vを1/N・Y∈U

η:G→Gをφ(Y)=1/N・Y(Y∈V),ψ(Y′)=expY′(Y′ で 定 義 す る と,exp￨V=η°

像expは

と る と1/N・X∈Uと

あ る か ら,Xの

み た さ れ る よ う に 小 さ く と る.い

っ て,写

群Gのリー

環 と す る.gの らGの

原 点0の

近 傍Wを

十分小

単 位 元 の 近 傍expW=Vの

同 型 を 与 え る. 基{X1,…,Xn}を

る.φ=(y1,…,yn)と あ る.exp:g→Gは(9.12)に

と り,Gの

す る と, 

単 位 元 の 座 標 近 傍 を(U,φ)と と 書 け, 

よ り, 

す で

で あ っ て,

  従 っ て,(d(exp))0:T0(g)→Te(G)は 定 理2.6に

よ り,定

  定 義9.10 

gの

同 型 写 像 で あ る.よ

理9.6は

証 明 さ れ た. 

基{X1,…,Xn}を

と る と,定

理9.6に

よ っ て,  か ら{u∈Rn‖ui￨
同 型 で あ る.ゆ

え に,Vに

お け る 座 標 系{x1,…,xn}を 

に よ っ て 定 義 で き る.座 {X1,…,Xn}に

関 す るGの

  補 題9.3 

写 像 の (証 終)

は  へ のC∞

っ て,逆

Hはリー

標 準 座 標 系(canonical

群Gのリー

リー環gの

基{X1,…,Xn}を

i=1,…,n}と

お く.い

  (1) 

Yν→0 

  (2) 

expYν

  (3) 

Yν/￨Yν￨→Y0 

部 分 群,か

標 系{x1,…,xn}をgの coordinate

system)と

よ ぶ.

つ 閉 集 合 で あ る とす る.Gの

と り, 

ま,gの

基

に 対 し,￨X￨=Max{￨αi￨;

元 の 列{Yν} 

が あ っ て,

(ν→ ∞),

∈H 

(ν=1,2,…), (ν→ ∞)

を み た せ ば,Y0はHのリー   証 明   t0∈Rに

環〓

の 元 で あ る.

対 し,qν=[t0/￨Yν￨](ν=1,2,…)([r]はrを

越 えな い最 大

整 数)と お く と,

即 ちqνYν →t0Y0(ν exp(qνYν)=(expYν)qν

→ ∞).従

expt0Y0∈H.t0∈Rは   定 理9.7 

Hを

っ て,exp(qνYν)→exp(t0Y0)(ν

∈H(ν=1,2,…)で

あ っ て,Hは

任 意 で あ っ た か らY0∈ 連 結リー

群Gの

連 結リー

→ ∞).一

方

閉 集 合 で あ る か ら,

〓.  部 分 群 で あ っ て,か

(証終) つHはGの

閉 集 合 と す る.こ

の と き,Hの

位 相 はGの

  証 明  dimH=n,dimG=mと と,D={D(σ)￨σ

位 相 の 相 対 位 相 で あ る(定 義3.5).

す る.D(σ)=TLσ(TeH)(σ

∈G}はG上

のn次

元 内 包 的 微 分 系 で あ っ て,Dの

分 多 様 体 は σH(σ ∈G)な

る 部 分 多 様 体 で あ る.よ

(V,φ),φ=(x1,…,xm)を

適 当 に と る と,

  φ(V)={t∈Rm‖ti￨
∈G)と

っ て,単

意 の 

位 元eの

座 標 近傍

に 対 し, 

こ で, 

で あ る が,Hは

極 大積

(i=1,…,m)}

と お く と,Sξ ⊂ τ・Hを す る.こ

お く

み た す τ∈Gが

存在

と お く と,  可 算 基 を も つ か ら(系7.1,定

一 方HはGの

閉 集 合 で あ るか ら

  0∈AはAの

孤 立 点(す な わ ち,Rm-nの

理5.4),Aは

可 算 集 合 で あ る.

,Aは 

の 閉 集 合 で あ る. 開 集 合Uで

あ っ て 

を み た す も の が あ る)と な る こ と を 証 明 し よ う.   も し0∈AがAの

孤 立 点 で な い と す る と,ξ(ν)→0(ν

→ ∞)な

が 存 在 す る.σν=φ −1((0,ξ(ν)))(ν=1,2,…)と か つσν →e(ν

→ ∞).い

しては

σν=expYν

→Y0(ν

→ ∞)と

ま 補 題9.3と

と 書 け る.(必 し て よ い .従

る 

お け ば, 

同 じ 記 号 を 用 い る と,十

分 大 なν

に対

要 な ら ば 部 分 列 を と る こ と に し て),Yν/￨Yν￨ っ て,補

題9.3に

よ り,exptY0∈H(t∈R)

が 得 られ る.   と こ ろ で,十

分 小 な ε>0に

の 開 集 合 へ のC∞

従 っ て,Y0∈T0(ψ

  と お く と, 

Yν∈ ψ−1({0}×Rm−n)  −1({0}×Rm−n))と

っ て,十

分 小 さ いtに

な ら ば 

(ν=1,2,…),

な り,曲

線

ψ(tY0)は{0}×Rm-nに

対 し,

ψ(tY0)=(η(t),ξ(t)), 

が 可 算 で あ る こ と に 矛 盾 す る.よ か っ た.

らRm

微 分 同 型 で あ っ て,  

接 す る.よ

対 し,ψ=φ°(exp)は{Y∈g;￨Y￨<ε}か

η(t)∈Rn, 

で あ る.こ

ξ(t)∈Rm-n

れ は ξ(t)∈Aを

っ て,0∈AはAの

意 味 す る か ら,A

孤 立 点 で あ る こ とが わ

  い まHに

お け る単 位 元 の 近 傍Wを

∈AがAの

孤 立 点 で あ る こ とか ら,Gに  と な る.こ れ は,Hの

十 分 小 に と り,W⊂S0と お け るeの

位 相 がGの

近 傍V′

す れ ば,0 が 存 在 して,

位 相 の 相 対 位 相 で あ る こ とを

示 して い る. 

(証終)

  補 題9.4 リー

群Gのリー

環 をgと

し,gの

部 分 ベ ク トル 空 間m,nが

あ

っ て,

で あ る と す る.こ

の と き,m(お

よ びn)の

が 存 在 し て,Φ(X,Y)=expX・expYに GはUm×Unか

らGの

  証 明   gの

る 近 傍 をVと

近 傍Um(お

よ びUn)

よ っ て定 義 され る写 像

単 位 元 の あ る 近 傍Uの

基{X1,…,Xn}で

と な る も の を 取 る.定

中 の0の

Φ:Um×Un→

上 へ の 微 分 同 型 を 与 え る.

あ っ て, 

義9.10に

す る.ε>0を

お け る 標 準 座 標 系{x1,…,xn}の

定 義 され

十 分 小 に と れ ば, 

な ら ば,

 を み た す よ うに で き る.

と お け ば,φkは￨ti￨<ε

に お い て,C∞

な 関 数 で あ っ て, 

を み た す こ と が 容 易 に た し か め ら れ る.よ Um,Unが   命 題9.2 

っ て,逆

写 像 の 定 理 に よ り,求

得 ら れ る. 

む る

(証 終)

Hをリー

群Gのリー

る と す る.G,Hのリー環

をg,〓

部 分 群 と し,か と し,gの

を み た す も の を と る.π:G→G/Hを

つHはGの

部 分 ベ ク トル 空 間mで

閉 集合 で あ あ っ て,

自 然 な 射 影 と し,p0=π(e),ψ=exp￨m

と お く.   こ の と き,mの

中 の0の  ψ:U→

近 傍Uで ψ(U); 

あ っ て, π:ψ(U)→

が と も に 位 相 同 型 と な る も の が 存 在 す る.こ p0の

π(ψ(U))

こ で,π(ψ(U))はG/Hの

中の

近 傍 で あ る.

  証 明   補 題9.4に

お い て,n=〓

に と り,Um,U〓

は補題 の条件 をみ たす も

の と す る.expU〓

はHの

中 の 単 位 元 の 近 傍 で あ っ て,Hの

の 相 対 位 相 と一 致 す る か ら(定 理9.7),Gの

中 の 単 位 元 の 近 傍Vで

 を み た す も の が 存 在 す る.つ トな 近 傍Uで

ぎ に,Umの

あ っ て,exp(−U)・expU⊂Vを

U〓 → Φ(Um×U〓)が 型 で あ る.次

π(ψ(U))が

∈U,πexpX′=πexpX″ expX′=expX″ =X″,Z=0で

あ っ て,

中 の0の

コ ンパ ク

然

ψ:U→

ψ(U)も

あ る.よ

で あ る か ら,

み た すZ∈U〓 っ て ,π

位相 同

単 射 で あ る こ と を 示 そ う.X′,X″

と せ よ. 

・expZを

ら

み た す も の を と る.Φ:Um×

位 相 同 型 で あ る こ と よ り,当

に,π:ψ(U)→

位 相 はGか

が あ る.補

題9.4に

は 単 射 で あ る.Uは

よ れ ば,X′

コ ン パ ク トで あ る か ら,

π は 位 相 同 型 で あ る こ と が わ か っ た.   終 り に,π ψ(U)がp0の の 中 の(0,0)の る.と

近 傍 で あ る こ と を 示 そ う.ま ず,U×U〓

近 傍 で あ る か ら,expU・expU〓

こ ろ で,π

はGの

はUm×U〓

中 のeの

は 開 写 像 で あ る か ら,π(expU・expU〓)=π

近傍であ

ψ(U)はp0の

近 傍 で あ る.    定 義9.11  G/Hの

(証 終) 位 相 同型

πψ(U)上

  定 理9.8  し,g=π°gと

π:ψ(U)→

π(ψ(U))の

の 局 所 断 面(local

Hをリー お く.た

群Gの

cross

閉リー

対 し,gの

section)と

γ:π(ψ(U))→Gを

よ ぶ.

部 分 群 と す る.G上

だ し π:G→G/Hは

の 任 意 の ホ モ ト ピ ーF:I×I→G/H(即 続 写 像F)に

逆写像

の 道g:I→Gに

自 然 な 射 影 と す る.こ

の と き,g

ち,F(t,0)=g(t)(t∈I)を

ホ モ ト ピ ーFで

あ っ て,F=π°Fを

在 す る. 

対

み たす 連 み たす ものが 存

(ホ モ ト ピ ー 持 上 げ 定 理)

  証 明   π(e)∈G/Hの

近 傍Vか

らGへ

の局 所 断面

γ:V→Gを

と る(定 義

9.11).   F(s,t)が(s,t)∈I×Iに る こ と を 用 い る と,十

つ い て 連 続 で あ る こ と と,I×Iが 分 大 き い 自 然 数Nを

と れ ば,次

コ ン パ ク トで あ

の 条 件(9.15)が

さ れ る:

(9.15) 

s∈I,￨t−t′￨<1/N,σ

∈F(s,t′)な

ら ば σ−1.F(s,t)∈V.

みた

  と こ ろ で,g(s)∈g(s)=F(s,0)(s∈I)で

あ る か   が 成 立 つ.従

ら,(9.15)に

よ っ て,

っ て,写像F1:I×[0,1/N]→G

を   (9.16) 

F1(s,t)=g(s)・

に よ っ て 定 義 で き る.明

γ(g(s)−1・F(s,t))

か に,π(F1(s,t))=F(s,t)が

成 立 つ.つ

ぎ に,写

像

F2:I×[1/N,2/N]→Gを

に よ っ て 定 義 で き る.以

下,帰

納 法 に よ っ て,Fi:I×[i−1/N,i/N]→Gが

定

義 で き た と し て,Fi+1:I×[i/N,i+1/N]→Gを

に よ っ て 定 義 で き る.よ

っ て,写

に よ っ て 定 義 で き る.Fは =F1(s

,0)=g(s)・

はgの

ホ モ

  9.5 

γ(π(e))=g(s)を

み た す か ら,F

ト ピ ー で あ る. 

Gを

(証 終)

リ ー 群,MをC∞

transformation

のC∞

あ る と は,C∞

写像

リー 変 換 群

ρ:G×M→Mが

定 義 され

み た す と き を 言 う.

対 し ρ(σ,p)=σ ・pと 書 く と,写

像p→

σ・pはMか

ら

リ ー 群Gの

等質

同 型 写 像 で あ る こ と が わ か る.

  GがMに

推 移 的 に 作 用 す る 場 合(定 義7.5(4)),Mを

空 間(homogeneous   GがMに

group)で

多 様 体 と す る.GがMの

義7.5の(2),(3)を

  (σ,p)∈G×Mに

tropy

っF(s,0)

リー 変 換 群

て い て,定

Mへ

明 か に 連 続 で あ っ て,F=π°F,か

γ(g(s)−1・F(s,0))=g(s)・

  定 義9.12  (Lie

像F:I×I→Gが

space)と

よ ぶ.

推 移 的 に 作 用 す る と き,Mの

subgroup)をGp0={σ

∈G￨σ ・p0=p0}で

点p0に

お け るGの

定 義 す れ ば,商

固 定 群(iso-

空 間G/Gp0か

らMへ

の写 像

  命 題9.3 

φ が,φ(σ

Mを

・Gp0)=σ ・p0に よ っ て 定 義 さ れ る(定 理7.4参

リ ー 変 換 群Gの

同 型 で あ る と す る.こ

照).

連 結 等 質 空 間 と し,φ:G/Gp0→Mは

の と き,Gの

位相

単 位 元 の 連 結 成 分G0もMに

推 移 的に

作 用 す る.   証 明   π:G→G/Gp0を

自 然 な 射 影 と し,β=φ°

φ が 位 相 同 型 で あ る か ら,β し,G0σ る.い

はGの

も 開 写 像 で あ る.よ

っ て,任

開 集 合 で あ る か ら,β(G0・σ)=G0σ

ま, 

と 書 け る{σi∈J}⊂Gが

と 書 け る.G0σi・p0とG0σj・p0は

一 致 し な け れば な ら な い .即

方,Mは

と な っ て,G0がMに Gを

が 開 写 像 で,

意 の 元σ ∈Gに

・p0はMの

開集 合で あ

た は 

連 結 で あ る か ら,G0σi・p0は

ち,G0σi・p0=G0・p0(i∈J)が

算 基 を も つ と す る.こ

すべて

成 立 ち,M=G0・p0

推 移 的 に 作 用 す る こ と が わ か っ た.  連 結 多 様 体Mに

対

あ る か ら, 

一 致 す る か,ま

で あ る か の い ず れ か で あ る.一

  系9.1 

π を 考 え る.π

(証 終)

推 移 的 に 作 用 す る リ ー 変 換 群 と し,Gは

の と き,Gの

単 位 元 の 連 結 成 分 もMに

可

推移 的 に作 用す

る.   証 明   Gは

リ ー 群 だ か ら,局

り,φ:G/Gp0→Mは Mに

所 コ ン パ ク トで あ る.従

位 相 同 型 で あ る か ら,命

題9.3に

っ て,定 よ り,連

理7.4に 結 成 分G0も

推 移 的 に 作 用 す る. 

(証 終)

問   9.1 

リー 群GL(n,C)の

リ ー 環gは

  9.2 

題9 例6.1の

リー環 

と 同 型 で あ る.

は 

  9.3  A∈SL(n,R)か

よ

で 与 え ら れ る.

つA・tA=Enな

ら ば,A=expXを

み た す 

が存

在 す る.   9.4  Gを 題4.3)と

リ ー 群 と し,μ μ の 接 写 像Tμ

を 群 乗 法 と す る.T(G×G)とTG×TGを はTG×TGか

らTGへ

を 群 乗 法 と し て リー 群 に な る こ と を 示 せ.ま はTGの   9.5  Gを

の 写像

同 一 視 す る(問 と 考 え られ る.TGはTμ

たTG=(TeG)・G, 

か つTeG

正 規 部 分 群 で あ る. 単 連 結 リ ー 群,HをGの

る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Hが

閉 リ ー 部 分 群 と す る.商 連 結 な る こ と で あ る.

空 間G/Hが

単連結 で あ

10.  正

  こ の 章 で は,あ

も に,1変

る 初 等 的 な 結 果 ば か り で あ る.1変

は,既

関

数

との 章 で 用 い られ る 多 複 素 変 数 正 則 関 数 に つ い て の 基 本 的 性

質 の い くつ か を の べ る.お

あ る の で,こ

則

数 正 則 関 数 論 の 自然 な 拡 張 と して 得 られ 数 関 数 論 の 結 果 に つ い て は,多

こ で は 証 明 を 省 略 し た.ま

知 と し て,断

た,ベ

くの文 献 が

キ級数 に つ い て の初 歩 的知識

り な し に 用 い る.

  複 素 ベ ク トル 空 間Cn(例2.1)を

考 え る.Cnの

元z=(z1,…,zn)に

 

￨z￨=Max{￨zi￨;i=1,…,n},‖z‖=(￨z￨2+…+￨zn￨2)1/2

と お く.つ

ぎ に,w∈Cn,r=(r1,…,rn)∈Rnに

対 し,

対 し,

 (10.1)

と お き,Δ(w,r)(ま 多 重 円 板(polydisc)と ￨z−z′￨に

た はΔ(w,r))を,中 よ ぶ.た

よ っ て,Cn上

重 半 径rの

だ しrj>0(j=1,…,n).つ

の 距 離 ρ が 定 義 さ れ,ρ

は{Δ(w,r)￨rj>0}をwの

開(ま た は 閉)

ぎ に,ρ(z,z′)=

か ら 導 か れ た 位 相(命 題3.2)

基 本 近 傍 系 とす る 位 相 で あ っ て,CnとR2nと

(位 相 も こ め て)同 一 視 さ れ る.Cnを   Cnの

心 がw,多

部 分 集 合DがCnの

複 素n次

元 数 空 間 と よ ぶ.

領 域 で あ る と は,DがCnの

連 結開 集合 で あ る

と き を 言 う.

  10.1 

1変

  定 義10.1 

数 正則 関 数 複 素 平 面Cの

開 集 合Dで

で 微 分 可 能 で あ る とは,極

限値

が 存 在 す る と き を 言 う.す

べ て の 点z0∈Dで

お い て 正 則(regular,

holomorphic)で

は

定 義 され た 関 数f(z)が1点z0∈D

微 分 可 能 で あ る と き,fはDに

あ る と 言 う.

  以 下,Cの

曲 線 と は 長 さ を も つ 連 続 曲 線 の こ と とす る.

  一 般 に,Dで f(z)の

定 義 さ れ た 関数f(z)は 

実 数 部 分u(x,y),虚

数 部 分v(x,y)を

(x,y∈R)と 用 い て,次

す る と き,

の よ う に あ ら わ せ る.

  (10.2)   こ の と き,つ [11]を

ぎ の 関 数 論 に お け る 基 本 定 理 が 成 立 つ(証 明 は 例 え ば,参

考書

見 ら れ た い).

  定 理10.1 

複 素 平 面Cの

対 し,次

の 条 件(1)∼(5)は

  (1) 

f(z)はDで

開 集 合Dに

お い て 定 義 さ れ た 連 続 関 数f(z)に

た が い に 同 値 で あ る.

正 則 で あ る.

  (2) 

と あ ら わ す と,u,v

∈C1(D)(定

義1.1)で

あ っ て,

 (10.3)

が 成 立 つ.   (3)  Dの

中 で ホ モ トー プ0な

任 意 の 閉 曲 線Cに

対 し,

 (10.4)

が 成 立 つ.   (4)  CをD内

の 単純 閉 曲 線 で,Cの

とす る と,zがCの

内 部 はDの

点 ば か りか らな る も の

内 部 の点 で あれ ば

 (10.5)

が 成 立 つ.   (5) 

任 意 の 点z0∈Dに

∈ Δ(z0,r)に

対 し,Δ(z0,r)⊂D(r>0)と

す れ ば,f(z)はz

対 し,

 (10.6)

と,Δ(z0,r)で   注 意10.1 

収 束 す る ベ キ 級 数 に 展 開 で き る. (ⅰ) 

(10.3)は

コ ー シ ー‐ リ ー マ ン(Cauchy-Riemann)の

関 係

式 と よ ば れ る.(1)⇔(2)は   (ⅱ) 

(1)⇒(3)は

(Morera)の

コ ー シ ー‐ リ ー マン の 判 定 法 と よ ば れ る. コ ー シ ー の 積 分 定 理 と よ ば れ る.(3)⇒(1)は

モ レラ

定 理 と よ ば れ る.

  (ⅲ) 

(10.5)は

コ ー シ ー の 積 分 公 式 と よ ば れ る.

  (ⅳ) 

(10.6)はf(z)のz0を

中 心 と し た テ ー ラ ー 展 開 と よ ば れ る.

  (1),(3),(4),(5)の

同 値 性 は(1)⇒(3)⇒(4)⇒(5)⇒(1)の

順

序 に 証 明 す る の が 普 通 で あ る.

  10.2    Cnの

多変 数 正則 関数 開 集 合Dで

(定義1.1)を

定 義 され たCr級

考 え る.こ

とお く と,Cr(D,C)は 義 さ れ てC上

実 数 値 関 数 全 体 か らな る 集 合Cr(D)

の と き,

自然 な 方 法 で 複 素 ベ ク トル 空 間 とな る.さ

の 多 元 環 に な る.

と あ ら わ す と,f∈Cr(D,C)は

x=(x1,…,xn),y=(y1,…,yn)と   定 義10.2 

あ ら わ せ る. に 対 し,

 (10.7)

 (10.8）

に よ っ て, 

を 定 義 す る.

  補 題10.1 

に対 し,

らに 積 も定

(ⅰ)

(ⅱ)

 (10.9)

が 成 立 つ.∂/∂zjに   証 明  (ⅰ)は

つ い て も 同 様 の 関 係 式 が 成 立 つ.

殆 ん ど 明 か.(ⅱ) 

接 計 算 に よ っ て,容   定 義10.3 

易 に た し か め ら れ る. 

Cnの

と お き,ODの

と お き,直

開 集 合Dに

元fをD上

(証終)

対 し,

の 正 則 関 数(holomorphic

  注 意10.2 

function)と

と お く と,fが

よ ぶ.

正 則 で あ るた め の

必 要十 分 条件 は  (10.10)

が 成 立 つ こ と で あ る.  の 元fが(10.10)を をzjの

み た す た め に は,f(z)=f(z1,…,zn)

関 数 と 見 て((z1,…,zj−1,zi+1,…,zn)は

固 定 す る と)1変

あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る(定 理10.1(2)⇔(1)に に .f∈C∞(D,C)で   定 理10.2 

よ る).こ

DをCnの

開 集 合 とす る. ら ば,f+g,f・g∈ODで

  (ⅱ)  f∈ODか

つ 

あ る. な ら ば,1/f∈OD.

  証 明   (ⅰ)  補 題10.1に

よ り,  よ り,f+g,f・g∈ODで

  (ⅱ)  g=f−1に(10.9)を で あ る か らf−1∈ODを

し て,

の と き,特

あ る.

  (ⅰ)  f,g∈ODな

  定 義10.4 

数 正則 関数 で

D,D′

あ る.

用 い る と0=f・∂f−1/∂zj.よ

っ て,∂f−1/∂zj=0

得 る.  をCn,Cmの

(証終) 開 集 合 と す る.い

ま,写

像F:D→D′

に対

  (10.11) 

F(z)=(f1(z),…,fm(z)),z∈D

と お く と,mこ

の 関 数fj:D→Cが

が 与 え ら れ る と,写

定 義 さ れ る.逆

像F:D→Cmが(10.11)に

  定 理10.3 

map)と

F:D→D′

の 関 数fj:D→C

よ っ て 定 義 で き る.

 の と き(10.11)に 正 則 写 像(holomorphic

にmこ

よ っ て 定 義 さ れ る 写 像F:D→D′

は

よ ぶ.

を 正 則 写 像 と し,g∈OD′

と す れ ば,g°F∈ODで

あ

る.   証 明   Cmの

点 をw=(w1,…,wm),wk∈C, 

(10.7),(10.8)と

で あ ら わ せ ば,

同 様 に し て,g∈Cr(D′,C)に

対 し, 

が 定 義 さ れ る:

  い ま,Fの

座 標 関 数.fjを, 

関 数 の 偏 微 分 法 を 用 い て,次

とあ らわ す と,合 成

の 等 式 を 得 る.

 (10.12)

(10.12)にuk=1/2・(fk+fk), 

を 代 入 す る と,

(証 終)

  定 義10.5  義10.4)全

D,D′

をCn,Cmの

開 集 合 と し,Dか

体 か ら な る 集 合 をHol(D,D′)で

あ ら わ す.さ

開 集 合 で あ る と き,F1∈Hol(D,D′),F2∈Hol(D′,D")な ∈Hol(D,D")で   F1∈Hol(D,D′)に =1Dが

morphic

へ の 正 則 写 像(定 ら に,D"がCpの ら ば,F2°F1

あ る(定 理10.3). 対 し,F2∈Hol(D′,D)が

成 立 つ と き(必 然 的 にn=mと

同 型 写 像 と よ ぶ.さ

らD′

ら に,D=D′

automorphism)と

よ ぶ.

存 在 し て,F1°F2=1D′,F2°F1

な る が),F1はDか の と きF1はDの

らD′

へ の正 則

正 則 自 己 同 型 写 像(holo-

  10.3 

コー シー の 積 分公 式

  定 理10.4 

DをCnの

開 集 合 と し,f∈ODと

Δ(w,r)⊂D((10.1)参

照)と

す れ ば,任

す る.点w∈Dに

意 のz=(z1,…,zn)∈Δ(w,r)に

対 し, 対 し,

 (10.13)

が 成 立 つ.た

だ し,

  証 明   n=2の   z2を

場 合 を 証 明 す る(n>2の

固 定 し て,f(z1,z2)をz1の

合 で 正 則 で あ る か ら,定

時 も 同 様 で あ る).

関 数 と 見 る と,f(21,z2)はC1を

理10.1に

含 む開 集

よ り,

 (10.14)

と 積 分 表 示 で き る.f(ζ1,z2)をz2の で あ る か ら,再

び 定 理10.1よ

関 数 と 見 る と,C2を

含 む 開集合 で正 則

り,

 (10.15)

と あ ら わ せ る.(10.14),(10.15)よ

り

(証 終)

 定 義10.6 

(10.13)をf(z)に

対 す る(n変

数)の

コー シ ーの積分 公式 とよび

で あ ら わ す.   定 義10.7 

k1,…,knを

=(k1,…,kn)とf∈ODに

に よ っ て,∂kf∈ODが   系10.1 

f∈OD, 

整 数 

と す る と き(1.4)と

同 じ よ う に,k

対 し,

定 義 で き る. D⊃Δ(0,r)か

つ 

な ら ば,k

=(k1

,…,kn)に

対

が 成 立 つ(k!,rkに

し,

つ い て は(1.5),(1.7)参

  証 明   (10.13)をz1,…,znに

照). 

(コ ー シ ー の 評 価 式)

関 し 偏 微 分 す る と,

 (10.16)

た だ し, 

従 っ て,

(証終)   定 理10.5 

D=Δ(w,r),f∈ODと

と テ ー ラ ー 展 開 が で き る.右   証 明   w=0と

す れ ば,

辺 はΔ(w,r)に

お い て 絶 対 か つ 広 義 一 様 収 束 す る.

し て 証 明 す る.Cj={ζj∈C‖

ζj￨=ρj}(0<ρj
お き,

 と す れ ば,

従 っ て,

と ころ で,こ

の 級 数 の 各 項 の 絶 対 値 を 項 とす る級 数 は

  従 っ て,  て,項

別 積 分 が で き る.よ

で 絶 対,か っ て,コ

つ 一 様 に 収 束 す る.よ

ー シ ー の 積 分 公 式 と(10.16)と

っ

に よ っ て,

 (10.17)

し か も(10.17)は  rjに

で 絶 対 か つ 一様 収 束 す る.こ

い か ほ ど 近 く て も よ く,rk′

局(10.17)は￨zj￨
は

こ で ρjは

ρkに い か ほ ど 近 く て も よ か っ た か ら,結

絶 対 か つ 広 義 一 様 に 収 束 す る. 

  以 上 を ま と め る と,ベ

キ 級 数 は 微 分 可 能 で あ る か ら,定

(証 終) 理10.1のn変

数へ

の 拡 張 で あ る 次 の 定 理 を 得 る.   定 理10.6 

DをCnの

(1)∼(4)は

た が い に 同 値 で あ る.

  (1) 

z∈Dに

開 集 合 と し,f∈C1(D,C)と

対 し,z1,…,zj−1,zj+1,…,znを

す る と,次

の条件

固 定 す る とf(z)はzjに

つ

い て 正 則 で あ る.   (2) 

∂f/∂zj=0(j=1,…,n)

  (3) Δ(w,r)⊂Dを と お く と,次

  (4)  Δ(w,r)で

Δ(w,r)⊂Dと

対 し, 

の 積 分 表 示 が で き る.

す れ ば,z∈Δ(w,r)に

対 し, 

と

収 束 す る ベ キ 級 数 に 展 開 で き る.

  定 義10.8 

DをRnの

対 し,U(x,r)⊂Dを

とU(x,r)で (real

み た す 任 意 のwに

analytic

開 集 合 と し,f∈C1(D)と み た すr>0が

す る.任

存 在 し て,y∈U(x,r)に

収 束 す る ベ キ 級 数 に 展 開 さ れ る と き,fはD上 function)と

意 のx∈Dに 対 し,

の(実)解

析関 数

よ ぶ.

  10.4  正 則 関 数 の 性 質   定 理10.7  な い 開 集 合Uが

DをCnの

領 域 と し,f,g∈ODと

存 在 して,f￨U=g￨Uな

す る.も

らば,f=gで

し,Dの

あ る.(一

中 の空 で 致 の 定 理)

  証 明   g=0と   Dの

し て 一 般 性 を 失 わ な い.

点zで

あ っ て,zの

ら な る 集 合 をEと がDの

あ る 近 傍Vで

お く.明

はf￨V=0と

か にU⊂Eで

あ っ て,Eは

中 で 閉 集 合 で あ る こ と を 証 明 す れ ば,Dが

と な っ て,f=0が  

体か

開 集 合 で も あ る.E

連 結 で あ る こ と よ り,D=E

結 論 さ れ る.

と せ よ.Δ(w;r,…,r)⊂Dを

か ら, 

み た すr>0を

な る 点w′

r/2,…,r/2)で

あ る.さ

る か ら,定

な る よ う なz全

理10.5に

て,fは

と る.w∈Eで

が 存 在 す る.も

よ り,z∈

Δ(w′;r/2,…,r/2)を Δ{w′;r/2,…,r/2)に

あ る

ち ろ ん,w∈

Δ(w′;

含 む 開集 合で 正則 で あ 対 し,

 (10.18)

が 成 立 つ.一

方,w′

ら,(∂kf)(w′)=0.よ

∈Eで

が 成 立 つ.す

っ て,(10.10)よ

わ か っ た.よ

  定 理10.8  上 の 関 数f0に

り,f(z)=0(z∈

っ てEはDの

DをCnの

対 し,N=N(ε)を

(証終) す る.fν

はD

意 の コ ン パ ク ト集 合K⊂D

十 分 大 に と れ ば,￨fν(z)−f0(z)￨<ε

が すべ て の

対 し成 立 つ と す る.

  こ の と き,f0∈ODで

あ っ て,か

広 義 一 様 収 束 す る. 

  証 明   w∈Dを

近傍 で あ るか

開 集 合 と し,fν ∈OD(ν=1,2,…)と ち,任

あ るか

Δ(w′;r/2,…,r/2))

中 で 閉 集 合 で あ る. 

広 義 一様 収 束 す る と す る.即

 z∈Kに

∂kf0に

の 近 傍 で 恒 等 的 に0で

で に 注 意 し た よ う に,Δ(w′;r/2,…,r/2)はwの

ら,w∈Eが

と ε>0に

あ る か ら,fはw′

つ す べ て のk=(k1,…,kn)に

対 し,∂kfは

(ワ イ エ ル シ ュ ト ラ ス(Weierstrass)の

と り,Δ(w;r)⊂Dと

し よ う.定

理10.4に

よ り,z∈

定 理) Δ(w,r)

に 対 し,  (10.19)

と 積 分 表 示 が で き る.K=Δ(w;r)上 の 両 辺 で ν→ ∞

と す る と,

でfvはf0に

一 様 収 束 す る か ら,(10.19)

がz∈

Δ(w;r/2)に

f0∈ODで

対 し 成 立 つ.よ

っ て,定

理10.6の(3)⇒(1)に

よ り,

あ る.

  ∂kfν→ ∂kf0(ν → ∞)な

る こ と は,(10.16)をfν

とf0に

用 い る こ とに よ り

容 易 に た しか め ら れ る.    定 理10.9  (z∈Cn)と

f∈OCnを

(証 終) 有 界 と す る.即

ち,M>0が

存 在 し て, 

数)で

(リ ュ ー ヴ ィユ(Liouville)の

す る.

  こ の と き,f(z)=c(定   証 明   定 理10.5に

あ る. 

定 理)

より

 (10.20)

と テ ー ラ ー 展 開 で き る.一

方,系10.1に

が 任 意 の 

に 対 し 成 立 つ.従

な ら ば,rj→

∞

f(z)=f(0)を

と し て(∂kf)(0)=0を

っ て, 

得 る.こ

れ を(10.20)に

代 入 し,

得 る. 

  定 理10.10 

(証 終)

DをCnの

{fν}は 一 様 有 界 とす る.即 …)と

よ り,

開 集 合 と し,fν ∈OD(ν=1,2,…)と ち,M>0が

存 在 し て,

す る.い (z∈D,

ま

ν=1,2,

す る.

  こ の と き,{fν}の

適 当 な 部 分 列 

を と れ ば,D上

す る. 

で広 義一 様 収束

(モ ン テ ル(Montel)の

  証 明   Δν=Δ(wν;rν)⊂D(ν=1,2,…),か (ν=1,2,…)を

と お く と,δ

と る(こ の よ う な{Δ

ν>0で

あ る.だ

つ 

定 理)

を み た す 多 重 円 板 Δν

ν}が と れ る こ と は 明 か で あ ろ う).い

ま,

か ら,

が 成 立 つ.  は Δν 上 で 同 程 度 一 様 連 続(定 義7.7)で に 対 し,積

分 公 式(10.13)よ

り,

あ る こ と を 示 そ う.z,z′ ∈ Δν

と こ ろ が, δ>0を

(μ=1,2,…;ζ

∈D)で

あ る か ら,任

意の

ε>0に

対 し,

十 分 小 に と れ ば,

を み た す よ う に で き る.よ 有 界 で あ る か ら,補

っ て,{fμ}は

Δν上 で 同 程 度 一 様 連 続,か

題7.1をG=Cnに

{fν,1,fν,2,…}⊂{fμ}を

と る と,Δ

用 い る こ と に よ り,適 ν上 で 一 様 収 束 す る. 

で 同 程 度 一 様 連 続 か つ 一 様 有 界 で あ る か ら,適 を と る と,  ば, 

当な部 分列 は 

上

当 な 部 分 列 

上 で 一 様 収 束 す る.fk,k=fνk(k=1,2,…)と

は 任 意 の Δν上 で 一 様 収 束 す る こ と が わ か り,結

おけ

局,{fνk}はD

上 で 広 義 一様 収 束 す る. 

  10.5 

つ 一様

(証終)

正 則 写 像

  こ の 節 で は §2.4にお

い て 証 明 した 逆 写 像 の 定 理,陰

関 数 定 理,階

数定理

と 類 似 の定 理 を 正 則 写 像 に 対 し て 証 明 す る.   定 義10.9  4).w∈Dに

DをCnの

開 集 合 と し,f:D→Cnを

対 し,n×n行

を 写 像fのz=wに のwに

列

お け る(複 素)ヤ

コ ビ 行 列 と よ ぶ.ま

た,そ

の 行 列 式 をf

お け る ヤ コ ビ ア ン と よ ぶ.

  定 理10.11 

DをCnの

け る ヤ コ ビ ア ン が0で U→Vは

正 則 写 像 とす る(定 義10.

開 集 合 と す る.正

則 写 像f:D→Cnのz=wに

な け れ ば,wとf(w)の

正 則 同 型 写 像(定 義10.5)と

  証 明   w=0,f(0)=0と

な る. 

し て よ い.定

し て よ い.g(z)=f(z)−zに

よ っ て,写

に お け る と 同 様 に し て,0の

近 傍U,Vが

近 傍U,Vが

理1.3と 像g:D→Cnを と れ,

お

存 在 し て,f￨U: (逆 写 像 定 理)

同 様 に し て,(df)0=Enと 定 義 す る と,定

理1.3

に よ っ て,正

則 写 像

定 理10.8に

よ っ て,φ

  定 理10.12 

考 え る.Cn1の す る.あ

νは あ る写 像

な る.  (証 終)

開 集 合 と し,f=(f1,…,fn2)∈Hol(D1× 座 標 をz=(z1,…,zn1),Cn2の

る 点(a,b)∈D1×D2に

((∂fi/∂wj)(a,b))=n2と g∈Hol(U1,U2)が

φ に 広 義 一 様 収 束 す る.

も 正 則 写 像 で あ っ て,φ=(f￨U)−1と

Di(i=1,2)をCniの

D2,Cn2)を wn2)と

φν が 定 義 で き,φ

座 標 をw=(w1,…,

お い て,f(a,b)=0,か

す れ ば,(a,b)のD1×D2に

つrank

お け る 近 傍U1×U2と

存 在 し て,f(z,g(z))=0(z∈U1)が

成 立 つ.(陰

関 数 定 理)

  証 明   写 像F:D1×D2→Cn1+n2をF(z,w)=(z,f(z,w))で   で あ る.よ と(a,0)の

近 傍Wが

定 理2.4の

っ て,定

定 義 す る と,

理10.11に

よ り,(a,b)の

存 在 し て,F￨(U×U2):U×U2→Wは

証 明 と 同 様 に し て,aの

近 傍U×U2 正 則 同 型 で あ る.

近 傍U1と

写 像gを

定 義 す れ ば 求 め る も

の で あ る. 

(証 終)

  定 理10.13 

DをCnの

開 集 合 と し,f∈Hol(D,Cm)を を 仮 定 す る.こ

の 近 傍U,f(a)の Q→U,ψ

近 傍V,Cn,Cmの

′:V→Q′

の と き,任

意 の 点a∈Dに

多 重 円 板Q,Q′

が 存 在 し て,φ=ψ

考 え る.  対 し,a

お よ び 正 則 同 型 写 像 ψ:

′°f° ψ はz∈Qに

対 し,

φ(z1,…,zn)=(z1,…,zr,0,…,0) を み た す. 

(階 数 定 理)

  証 明   定 理2.7と 理10.12を

殆 ん ど 平 行 に 証 明 さ れ る.異

る 点 は 定 理2.5の

代 りに 定

用 い る 点 の み で あ る. 

  10.6 

(証終)

微 分方 程 式 の 解

  こ の 節 で は §1.5で

証 明 し た 定 理 の 正 則 関 数 へ の 類 似 を の べ る.

  定 理10.14 

を そ れ ぞ れCn,Cmの

を半径

D,D′

ρ の 開 円 板 と す る.f∈Hol(D×

の 点z0∈Dと 任 意 のw∈K′ ζ→z(ζ,w)が

任 意 の コ ン パ ク ト集 合K′ に 対 し,次 た だ1つ

の(ⅰ),(ⅱ)を

存 在 す る.

開 集 合 と し,Δ Δρ×D′,Cn)と ⊂D′

す る.こ

に 対 し,あ

みた す

ρ={ζ ∈C‖ ζ1<ρ}

る正 数

Δδ か らDへ

の と き,任

意

δ が 存 在 し, の正 則写 像

  (ⅰ)   (ⅱ) 

z(0,w)=z0.

  さ ら に,K′ Δδ×Uか

に 含 ま れ る 開 集 合 をUと

らDへ

殆 ん ど 平 行 に 議 論 で き る.(1.24)と

だ し積 分 は0と

同 様 に し て,

ζ と を 結 ぶ 線 分 と す る.(1.25)と

容 易 に 得 ら れ,limzn=zが な り,求

像(ζ,w)→z(ζ,w)は

の 正 則 写 像 で あ る.

  証 明   定 理1.4と

と お く.た

す れ ば,写

存 在 す る.定

理10.8に

め る も の で あ る こ と が た し か め ら れ る.一

同様 の評価 式 が

よ れ ば,zも

正 則写 像 と

意 性 は 定 理1.4の

証 明 と

全 く 同 様 で あ る.    定 理10.15 

(証 終)

DをCnの

開 集 合 と し,f∈Hol(D,Cn)と

任 意 の コ ン パ ク ト集 合K⊂Dに に 対 し,写

像z:Iε=(−

ε,ε)→Dで

を み た す も の が た だ1つ 像z:Iε ×K→Dが

対 し,正

  証 明 は 系1.3と

考 え ら れ る が,こ

p∈Dに

領 域Dで

あ る.た

書 け ば,写

含 ま れ る 任 意 の 開 集 合U

だ し, 

と お く.

題10

正 則 な 関 数 とす る.あ

る 点p0∈Dが

を み た す な らば,fはD上

  10.2  fを 多 重 円 板U(0;r)で

領 域Dか

の 正 則 写 像 で あ る.

し か も,Pk(z)は

らD′

あ っ て,す

べ ての

で 定 数 で あ る.

正 則 な 関 数 とす る と,fはk次

の 和 と して あ ら わ せ る: 

らDへ

ζ0∈K

平 行 に で き る か ら省 略 す る.

対 し, 

 10.3fをCnの

べ て の点

の 解zをz(t)=z(t,ζ0)と の 写 像 は,Kに

問   10.1  fをCnの

ε が 存 在 し,す

の と き,

あ っ て,

存 在 す る.こ

に 対 し,zt∈Hol(U,D)(t∈Iε)で

数

す る.こ

の斉 次 多 項 式Pk(z) 次 式 で 与 え ら れ る:

の 上 へ の 全 単 射 正 則 写 像 とす れ ば,f−1もD′

か

11.  複 素

  11.1 

多 様 体

複 素 多様 体 の定義

  以 下,(M,U)を(ハ   定 義11.1 

ウ ス ドル フ)位 相 空 間 と す る.

定 義4.1に

お け るRnをCnで

お き か え る とChart(M,Cn)

が 定 義 で き る.   定 義11.2 

(Ui,φi)∈Chart(M,Cn)(i=1,2)に

正 則 適 合(holomorphically

対 し,定

compatible)が

定 義 で き る.正

義4.2と

平 行 に,

則 適 合 の と き 

で あ ら わ す.   定 義11.3 

Chart(M,C)の

次 元 複 素 構 造(complex

部 分 集 合A={(Uα,φ structure)で

α)￨α∈A}がM上

あ る と は,次

のn

の 条 件(1)∼(3)を

みた

す と き を 言 う.   (1)   (2) 

な ら ば,

  (3) 

Aは(1),(2)を

み た すChart(M,Cn)の

部分 集合 の中 で極大 で

あ る.   定 義11.4 

MとM上

複 素 多 様 体(complex Mを

のn次 manifold)と

元 複 素 構 造Aと よ ぶ.Aを

元

明 記 す る 必 要 の な い 場 合,単

に

複 素 多 様 体 と よ ぶ.

  注 意11.1 

(1),(2)を

み た すAが

多 様 体 と よ ん で も 差 支 え な い(注 意4.1参   注 意11.2  第4章

の 組(M,A)をn次

n次

元 複 素 多 様 体 は2n次

で 定 義 し た,Mの

接 空 間TpM等

与 え ら れ た と き,(M,A)を

複素

照). 元Cω

多 様 体 と 考 え 得 る.従

が(Mを2n次

っ て,

元 多 様 体 と 考 え て)

定 義 さ れ る.   定 義11.5  き,(Uα,φ ぶ. 

(M,A)を

α)をpの

複 素 多 様 体 と し(Uα,φ 座 標 近 傍,φ

α)∈Aと

α=(z1,…,zn)をUα

と 書 く と,{x1,y1,…,xn,yn}はUα

す る.p∈Uα

の と

上 の局 所 座標 系 と よ 上 の(2n次

元C∞

多

様 体Mの)局

所 座 標 系 と な る.こ

れ を{z1,…,zn}か

ら導 か れ た 実 座 標 系 と よ

ぶ こ と に し よ う.   例11.1 

Cnの

開 集 合Mに

対 しA={(M,1M)}を

素 多 様 体 で あ る(注 意11.1,例4.1参   例11.2 

例4.6に

定 義 す る と,例4.6に

体Pn(C)が

定 義 で き る.こ

複

照).

お け るRn+1をCn+1で

Cn−1−{0}に

  例11.3 

と る と,(M,A)は

お き か え,同

値 関係

お け る と 全 く 同 じ 方 法 でn次

れ をn次

(M1,A1),(M2,A2)を

∼

を

元複 素 多様

元 複 素 射 影 空 間 と よ ぶ. 複 素 多 様 体 と す る と,直

積M1×M2も

自

Φ:M→Wが

点

然 な 方 法 で 複 素 多 様 体 と な る.   定 義11.6  p∈Mに

(M,A),(W,B)を

複 素 多 様 体 と す る.写

お い て 正 則 で あ る と は,p∈U,Φ(p)∈V,か

像

す(U,φ)∈A,(V,ψ)∈Bを

つ

Φ(U)⊂Vを

みた

と る と,ψ °Φ°φ−1∈Hol(φ(U),ψ(V))と

な る

と き を 言 う.   Φ が す べ て の 点p∈Mに 則 写 像(holomorphic   Mか W=C1で

らWへ

お い て 正 則 で あ る と き,Φ

map)と

はMか

らWへ

の正

よ ぶ.

の 正 則 写 像 全 体 か ら な る 集 合 をHol(M,W)で

あ る と き,Hol(M,C1)=OMと

書 き,Φ

あ ら わ す.

∈OMをM上

の 正則 関数

と よ ぶ.   MがCnの

開 集 合Dで

一 般 に ,OMはC多

あ る と き,OMは

元 環 と な る こ と はODの

多 様 体Mi(i=1,2,3)に Ψ °Φ ∈Hol(M1,M3)で   定 義11.7 

定 義10.3のODと

対 し,Φ

則 同 型 写 像 で あ る と は,Ψ み た す と き を 言 う.少

己 同 型 と よ ば れ,そ

∈Hol(M1,M2),Ψ

∈Hol(W,M)が

た,複

∈Hol(M2,M3)な

素

ら ば,

用 い て わ か る.

複 素 多 様 体 と す る.Φ

く と も1つ

正 則 同 型 で あ る と 言 い,    特 に,(M,A)=(W,B)の

場 合 と 同 様 で あ る.ま

あ る こ と が 定 理10.3を

(M,A),(W,B)を

一 致 す る.

∈Hol(M,W)が

存 在 し て, 

正 を

正 則 同 型 写 像 が 存 在 す る と き,MとWは で あ ら わ す. と き,Mか

の 全 体 をAut(M)と

らMへ

の 正 則 同 型 は,正

書 く と,Aut(M)は

則 自

自然 に 群 と

な る.

  11.2 

複 素 構 造 テ ンソル

  (M,A)をn次

元 複 素 多 様 体 と す る.p∈Mの

座 標 系{z1,…,zn},{x1,y1,…,xn,yn}を

座 標 近 傍(Uα,φ

定 義11.5と

α)を と り

同 じ も の と す る.

で あ るか ら,線 型 写 像Jpα:TpM→TpMが,

  (11.1)

に よ っ て 定 義 さ れ,(Jpα)2=−1TpMを   (Uβ,φ β)もpの

座 標 近 傍 で あ る と し,φ β=(w1,…,wn), 

な る 座 標 系 を,上 TpM→TpMな

み た す.

と 同 じ よ うに と る と,(11.1)と

る 線 型 写 像 が 定 義 で き る.実

  補 題11.1 

Jpα=Jpβ

  証 明 

同 様 に し てJpβ:

は,

が 成 立 つ. とお

く と, 

で あ る.た

だ し,

  い ま,F(z)=(F1(z),…,Fn(z)),  ui(z),υi(z)∈R(z∈

が 成 立 つ.た

だ し( 

φα(Uα β))と

お く と,補

)0はz=φ

α(p)に

で あ る か ら,(10.10)に

を み た す.よ

っ て,

よ り,

題4.6,(4.20)に

よ り,

お け る 値 を あ ら わ す.一

方, 

 従 っ て,Jpα=Jpβ   定 義11.8 

が 成 立 つ. 

(証 終)

線 型 写 像Jpα:TpM→TpMはpの

方 に 依 存 し な い か ら,写

座 標 近 傍(Uα,φ

像J:TM→TMが

を み た す.Jを(M,A)の

α)の と り

定 義 さ れ,J￨TpM=Jpα(p∈Uα)

複 素 構 造 テ ン ソ ル(complex

structure

tensor)と

よ ぶ.   定 義11.9 

C∞

多 様 体(M,A)に

件 を み た す と き,Mの

対 し,C∞

写 像J:TM→TMが

概 複 素 構 造 テ ン ソ ル(almost

complex

structure

次 の条 tensor)

と よ ぶ.   (ⅰ)  J(TpM)=TpM(p∈M)で (ⅱ)  X∈TpMな

  11.3 

あ っ て,J￨TpMは

線 型 写 像, 

ら ば,J(JX)=−X.

正 則 ベ ク トル 場

  定 義11.10 

複 素 多 様 体(M,A)に

と り,zk,xk,yk(k=1,…,n)は

お い て 点p∈Mの

定 義11.5の

座 標 近 傍(Uα,φ

通 り と す る.こ

α)を

の と き, 

を,

 (11.2)

 (11.3)

に よ っ て 定 義 す る.こ れ ら2nこ

の 元 

は 複素

ベ ク トル 空 間TpcMの   従 っ て,任

基 と な っ て い る.

意 の 

を と る と,p∈Uα

に 対 し,

 (11.4)

 と書 け る. 

とな る こ と も 容 易 に た しか

め られ る.   定 義11.11  る とは,任

複 素 多 様 体M上

意 のp∈Mに

の 複 素 ベ ク トル 場Xが

正 則 ベ ク トル 場 で あ

対 し,座 標 近 傍(Uα,φ α)を と る とUα

上で

 (11.5)

と 書 け.ξk∈OUα   Mの

で あ る と き を 言 う.

正 則 ベ ク トル 場 全 体 か らな る 集 合 

は 

の 部 分 リー環 を

な す こ と も容 易 に た しか め られ る.   定 義11.12 

Mを

複 素 多 様 体 とす る と き,定

をAut(M)で

お き か え る と1径

と類 似 の 概 念 と して1径   命 題11.1 

義4.16に

数 正 則 変 換 群 が 定 義で き る.ま た 定 義4.18

数 局 所 正 則 変 換 群 も定 義 で き る.

複 素 多 様 体Mの1径

数 正 則 変 換 群{Φt}が

{Φt}か ら導 か れ た ベ ク トル 場(定 義4.17)をXと ル 場Xが

お い て,Diff(M)

与 え られ た と き,

す る と,M上

の正 則 ベ ク ト

次 式 に よ っ て 定 義 で き る.

 (11.6)

た だ し,JはMの

複 素 構 造 テ ン ソ ル を あ ら わ す.

  証 明   任 意 の 点p0∈Mの 以 下 定 義11.5と

座 標 近 傍(U,φ)を

同 じ 記 号 を 用 い る.ま

ず,Xの

と り,φ=(z1,…,zn)と 定 義 に よ る と,p∈Uに

す る. 対

し て,

で あ る が,関

数 

で 正 則 で あ る. 

はp∈Uに と お く と,U上

つ い て 正 則 で あ る か ら,XziもU上 で(11.5)が

成 立 す る ことを示 せば十

分 で あ る.   式(4.32)をf=xi,yiに

用 い る と,p∈Uに

対 し,

 (11.7)

が 成 立 つ.従

っ て,Jの

定 義 式(11.1)に

よ り,

 (11.8)

が 成 立 つ.よ

っ て,(11.6)∼(11.8)よ

が 得 ら れ,(11.5)の   定 義11.13 

り,

成 立 す る こ と が 示 さ れ た. 

命 題11.1に

(証終)

お け るXを{Φt}か

ら 導 か れ た 正 則 ベ ク トル 場

と 言 う.   定 理11.1 

Xを

コ ン パ ク ト集 合Kに の1径

対 し,あ

でXと

の 正 則 ベ ク トル 場 と す る.Mの

る正数

数 局 所 正 則 変 換 群 

ル 場 はV上 上 の1径

複 素 多 様 体M上

り に 定 理10.5を

一 致 す る.特

に,Mが の Φtを

上

ら導 か れ た 正 則 ベ ク ト

コ ン パ ク トの 時 は,{Φt}はM Φt=ExptXで

証 明 と 全 く 同 じ 方 法 で 証 明 す る.異

あ ら わ す. る 所 は,系1.3の

用 い る 点 だ け で あ る.

  補 題11.2  =−JXで

含 む 開 集 合Vと,Vの

が 存 在 し て,{Φt}か

数 正 則 変 換 群 と し て よ い.こ

  略 証   定 理4.5の

ε とKを

任意の

が 正 則 ベ ク トル 場 な ら ば,Y

あ っ て,[X,Y]=0が

  証 明   局 所 座 標 系{z1,…,zn}を と 実 数 部 分,虚

成 立 つ. 用 い て,  数 部 分 に 分 け る と, 

と あ らわ し, 

代

と な る か ら,  よ っ てY=−JXが

成 立 つ.

  つ ぎ に,Xは

正 則 で あ る か ら,ui,viは

コ ー シ ー‐ リ ー マ ン の 関 係 式  を み た す.こ

[X,Y]を

直 接 計 算 す る と[X,Y]=0が

  定 理11.2 

Xを

に お い て 

な ら ば,p0の

お く と)U上

で,X=∂/∂z1が

  証 明   系5.1と … ,wn)と

複 素 多 様 体M上

得 ら れ る. 

座 標 近 傍(U,φ)が

る 点p0∈M

存 在 し(φ=(z1,…,zn)と

成 立 つ.

同 じ 方 針 で 証 明 す る.ま

上 一 次 独 立 で あ る も の を と る.定

ずp0の

座 標 近 傍(V,φ)(φ=(w1,

っ 

理11.1に

はC よ る.X, 

数 局 所 正 則 変 換 群 を{Φt},{Ψt}と

小 に と れ ば,写

(証 終)

の 正 則 ベ ク トル 場 と す る.あ

お く)で あ っ て,φ(p0)=0,か

の 近 傍 の1径

の 関 係 式 を 用 い て,

す る.こ

の 生 成 す るp0 の と き,δ>0を

十分

像

が

に よ っ て 定 義 で き る.θ ン が0で

は 正 則 写 像 で あ り,か

な い こ と が 容 易 に わ か る.よ

分 小 な δ0>0に

対 し,θ

っ て,逆

つ

写 像 の 定 理10.11に

はUδ0={z∈Cn￨￨z￨<δ}か

則 同 型 写 像 と な る.さ

ら に,

がすべての

対 し成 立 つ こ と が わ か る.よ

ζ∈Uδ0に

θ の原 点 にお け るヤ コビ ア

らMの

開 集 合Uへ

っ て,座

(証 終)

問 複 素 多 様 体Mの

の正

標 近 傍(U,θ−1)

は 求 め る も の で あ る. 

 11.1 Jを

よ り,十

題11

複 素 構 造 テ ン ソル とす る と,す べ て の 

に対

し,次

式 が 成 立 つ.

 

J[X,Y]=[JX,Y]+[X,JY]+J[JX,JY].

  11.2 

Xi(i=1,…,k)を

複 素 多 様 体M上

し,X1(p),…,Xk(p)はC上 み た す とす る.こ zn)か

TM→Mは

の と き,任

複 素 多 様 体Mの

意 のp∈Mに

対

一 次 独 立 で あ る と し,か つ[Xi,Xj]=0(i,j=1,…,k)を 意 の 点p0∈Mの

つ,Xi=∂/∂zi(i=1,…,k)がU上

  11.3 

の 正 則 ベ ク トル 場 と し,任

接 バ ン ドルTMは

正 則 写 像 と な る.

座 標 近 傍(U,φ)が

存 在 し て,φ=(z1,…,

で 成 立 つ. 自 然 な 方 法 で 複 素 多 様 体 と な り,射

影

π:

12.  正 則 変 換 群

  12.1 

無 限 小 変 換

  定 義12.1 

Cnの

部 分 集 合Dは,領

が 存 在 す る と き,Cnの

域 で あ っ て,か

有 界 領 域 で あ る と 言 う((10.1)参

体 と 考 え ら れ る(例11.1).D上

つD⊂

Δ(0;r)な

照).Dは

るr

複 素 多様

の 正 則 ベ ク トル 場 全 体 か ら な る 集 合 を

 

で あ ら わ す(定 義11.11).   注 意12.1  ηn(z))で

に 対 し,f:D→Cnをf(z)=(η1(z),…,

定 義 す れ ば,f∈Hol(D,Cn)で

あ る.逆

に,か

 が 定 義 さ れ る の で, 

か るfに

対 して は

とHol(D,Cn)は

同一視

し て よ い.   G(D)=Aut(D)(定

義11.7)と

書 き,GをG(D)の

  定 義12.2 

がGに

simal  transformation)で

あ る と は,XはDの1径

生 成 し,ExptX∈Gが X全

  G(D)に

属 す る,Dの

限 小 変 換 全 体 をg(D)で

限 小 変 換(infinite

対 し 成 立 つ と き を 言 う.こ

の よ うな

あ ら わ す:

無 限 小 変 換 と よ び,Dの

無

あ らわ す.

な り,そ の リ ー環 がg(D)と

に 含 ま れ るDの

た はgで

局 的)無

数 正 則 変 換 群ExptXを

無 限 小 変 換 を 単 にDの

  こ の 章 の 目標 は,Cnの

  まず,G(D)に

属 す る,Dの(大

す べ て のt∈Rに

体 の な す 集 合 をInf(G)ま

任 意 の 部 分 群 と す る.

有 界 領 域Dに

対 し,G(D)がD上

の リー変 換 群 と

同 一 視 で き る こ と を 証 明 す る こ とで あ る.

位 相 を 入 れ て 位 相 群 に した い.閉 部 分 領 域 Δ を 

た だ し,    み た す こ と が た し か め られ る.よ

包 が コ ンパ ク トで か つD

で 表 わ す.任

意 の ε>0に

対 し,

と お く. と お く と,U0は っ て,G(D)はU0を

命 題7.2の(1)∼(6)を 単 位 元1Dの

基 本近

傍 系 と す る 位 相 群 に な る.G(D)の は,任

意 の 

に 対 し,Δ

元 の 列{σν}が 上で

広 義 一 様 収 束 で 位 相 を 入 れ る"と

  定 理12.1 

GをG(D)の

つ 正 の 整 数mkが

あ る φ:D→Cnに

応 す る ベ ク トル 場X(注

広 義 一 様 収 束 す る と す る.こ

意12.1)はX∈Inf(G)で

か で あ る(定 理10.8). 

の と き,φ

と し て よ い.φ

∈Hol(D,Cn)は

位 相 の 入 れ 方 か ら,あ で あ る.次

Δ′ を と る.Δ,Δ′

に 対 し,r>0が

に この

明

と る と, 

で あ る.Vを1DのGに

し て, 

に対

あ る.

な る 点z0∈Dを

で あ る か ら, 

と し て よ い.た

言 っ て も よ い で あ ろ う.

存 在 し て,φk(z)=mk(σk(z)−z)と

ら 明 か で あ る か ら, 

な 近 傍 と す る.Gの

っ

局 所 コ ン パ ク ト部 分 群 と す る.σk∈G, 

で あ っ て,か

  証 明 φ≡0な

収束 す るの

σνが σ0に 一 様 収 束 す る と き で あ る.従

て,"G(D)に

お く と,φkは

σ0∈G(D)に

お け る コ ンパ ク ト

る 領 域 

と η(Δ)>0が

Δ に 対 し 

存 在 し て 

存在

な る開集 合 と で き る.r<η(Δ)

だ し, 

とお

いた.   Δ′に 対 し τ>0が (− τ
存 在 し て(定

定 義 さ れ る 写 像  と お く.こ

と,Expt0φ

理11.1),Ψt(z)=Ψ(z,t)=(ExptX)(z)

はD全

は 正 則 で あ る. 

の ρ に 対 し, 

な る 任 意 のt0を

体 で 定 義 さ れ,か つ 

  ま ず,qk=[mk・t0]と

お く と,qk→

∞(k→

と る.

で あ る こ と を 証 明 し よ う. ∞)で

あ る.ま

た,B=2/t0と

お く と,

(12.1) が 成 立 つ.こ

のqkに

対 し,

  (1)    (2) 

(σk)qkは

Δ 上 でExpt0Xに

が 証 明 で き れ ば,Vが さ れ,か

っExpt0X∈Gで

一 様 収 束 す る,

コ ン パ ク トで あ る こ と よ り,Expt0XはD全 あ る こ と が わ か り,定

体で定 義

理 の 証 明 が 完 結 す る.

  (1)  の 証 明. 

と お く と,仮

が 任 意 のz∈

Δ′ に 対 し成 立 ち,か

定 よ り, 

つ 一様 収 束 で あ る.ま

た,

 (12.2)

と お く と,(12.1)に 従 っ て,kを

よ り, 

は Δ′上 で 一 様 収 束 で あ る.

十 分 大 に と れ ば,

 (12.3)

が 成 立 つ.z(1)=σk(z)と

お く と,(12.3)に

(*) 

z∈ Δ

(12.3)をz(1)に

な ら ば,z(1)∈

よ り, Δ′

で あ る.

対 し 適 用 す る と,

 (12.4)

が 成 立 つ.(12.3)と(12.4)と

に よ り,

 (12.5)

が 成 立 つ.も σk2∈Vが

し 

な ら ば, 

わ か っ た.(12.5)を

が 示 さ れ る の で, 

か つ 

従 って

得 た と 同 様 に し て, 

に 対 し, 

か つ 

と な り,(σk)qk∈V

が 証 明 さ れ た.   (2)  の 証 明.Ψ(z,t)の

定 義 よ り,z∈

Δ′,￨t￨<τ

に 対 し,

 (12.6)

と お く と, 

がz∈Δ′

束 で あ る.t=t0/qkに

対 し(12.6)を

に 対 し成 立 ち,か

用 い る と,(12.2)に

 (12.7)

で あ っ て,    他 方,z,z′  (12.8)

な る こ と が わ か る. ∈ Δ′ に 対 し,(12.6)よ

り,

つ

Δ′ 上 で 一 様 収

よ り,

が0
に 対 し 成 立 つ.Cは

  い ま,十

分 大 なkを1つ

=1 ,…,qk)を

正 の 定 数 で あ る. 固 定 し,任

意 のz∈Δ

次 式 で 定 義 す る.

 

な る こ と は(1)の

証 明 に お い て す で に 示 し て あ る.そ

時 の 証 明 と 同 様 の 方 法 で  (12.8)を

に 対 し,z(j),z′(j)(j

の

で あ る こ と が わ か る.(12.7),

用 い て,

 (12.9)

がi=1,…,qkに

 即 ち,次

対 し 得 ら れ る.(12.9)の2式

よ り,

式 が 得 ら れ る.

 (12.10) 一 方

,(12.7)よ

り,￨z′(1)−z(1)￨<εk/qk.こ

れ と(12.10)と

よ り,

 (12.11)

(12.11)に

お い て,k→

成 立 ち,Δ

上 で 一 様 収 束 で あ る.よ

  定 理12.2 

GをG(D)の

∞

と す れ ば,  っ て(2)が

がz∈ 証 明 さ れ た. 

Δ に対 し (証終)

局 所 コ ン パ ク ト部 分 群 と す る と,Inf(G)は

の 部 分 リ ー 環 で あ る.   証 明   X,Y∈Inf(G)を [X,Y]∈Inf(G)(a,b∈R)を

と り,Φt=ExptX,Ψt=ExptYと 示 せ ば よ い.  と あ ら わ し,Φt(z)(ま

成 分 を Φt(j)(z)(ま

お く.aX+bY,

た はΨt(j)(z))で

あ ら わ す と,

た はΨt(z))のj

 

(12.12) と 書 け,ξj(z,t),ηj(z,t)はt→0の に よ っ て σt:D→Dを

時0に

収 束 す る.い

定 義 す る と σt∈Gで

で あ ら わ し,(12.12)を

ま, 

(t>0)

あ る.σt(z)のi成

分を

σt(i)(z)

用 い て 計 算 す る と,k(σ1/k(i)(z)−zi)はaφi(z)+bφi(z)

に 広 義 一 様 収 束 す る こ と が わ か る.よ

っ て 定 理12.1に

よ り 

で あ る.   ま た, 

と お く と,k2(T1/k(z)−z)が[X,Y]へ

様 収 束 す る こ と が わ か る の で,[X,Y]∈Inf(G)が

  12.2 

準

  定 義12.3 

連

group)で

続

得 ら れ る. 

(証終)

群

G(D)の

部 分 群Gが

あ る と は,Gの1Dの

合 と 同 相 に な る 時 を 言 う.準   定 理12.3 

広義 一

GをG(D)の

高 々q次 近 傍Uが

の 準 連 続 群(quasi-continuous

存 在 し て,Rqの

コ ン パ ク ト部 分 集

連 続 群 は 局 所 コ ン パ ク ト群 で あ る. 高 々q次

の 準 連 続 群 で あ る と す れ ば, 

が 成 立 つ.   証 明   X1,…,XpをInf(G)の

元 で あ っ て,一

次 独 立 で あ る と す る. 

を 証 明 す れ ば よ い.   t=(t1,…,tp)∈Rpに 小 に と れ ば, 

対 し,  が ￨t￨<δ,￨t′￨<δ

こ と を 示 そ う.{Ψt￨￨t￨<δ}が と れ ば,Rpの

と お く.さ

な る 任 意 のt,t′

定 義12.3のUに

開 集 合 と 同 相 な 部 分 集 合 がRqの

て,δ>0を

入 る よ うに

十分

に 対 し成 立 つ δ を さ らに小に

中 に あ る こ と に な り, 

が

証 明 さ れ る.   δ の 存 在 証 明.V={X1,…,Xp}R⊂Inf(G)と ∈Dが

存 在 し て, 

ず,X1に

で あ る.V1={X∈V￨X(a1)=0}と

で あ る.  し て 

す る.ま

な ら ば,  で あ る.次

で あ る. 

お く と 

を 一 つ と る.a2∈Dが

に,V2={X∈V1￨X(a2)=0}と な ら ば, 

対 し,a1

お く と,  を1つ

と り, 

存在

な るa3∈Dを し て,任

と る.以

意 のX∈Vに

に で き る.こ

下 こ の 操 作 を く りか え す と,a1,…,aN∈Dが

対 し,あ

る 

れ ら のa1,…,aNを

が あ っ て, 

用 い て,写像

存在

が成 立 つ よ う Φ:Rp→Cn・Nを 

で 定 義 し よ う.   い ま, 

と あ ら わ し て お く と,写

に お け る 微 係 数  考 え る と,次

の な すp×nN行

列 は,Ψtの

像

Φ のt=0

定 義 に も ど って

の よ う に な る:

(12.13)

た だ し,  た.と

とおい

こ ろ で,a1,…,aNの

取 り 方 に よ り,行

こ と が わ か る(即 ち,(12.13)のp個 関 数 の 定 理10.12に … ,aN)∈DNの <δ)は

よ り,十 分 小 な δ>0が

し か 存 在 し な い.従 が 成 立 ち,特

  定 義12.4 

G(D)の

で あ っ て,Γ

に お け る1Dの

G(D)の

12.4の(ⅰ),(ⅱ)を へ の 同相 写 像

対 し て は,Φt(a)=a′

っ て,こ

って 陰

な るt(￨t￨

の δ に 対 し て は, 

に 

近 傍Uが

で あ る. 

(証終) あ る と は,Γ

存 在 し(ⅰ) 

∋1D

な ら ば, 

を 満 足 す る 時 を 言 う.

局 所 群 Γ がq次 みた す

Φ:U→U′

ある

存 在 し て,次 の 性 質 を も つ.a=(a1,

部 分 集 合 Γ が 局 所 群(local  group)で

(ⅱ)  U∋ σ な ら ば    定 義12.5 

階 数 はpで

の 行 ベ ク トル が 一 次 独 立 で あ る).よ

近 傍 の 点a′=(a1′,…,aN′)に

高 々1つ

列(12.13)の

Γ の1Dの

で あ っ て,次

元 局 所 リ ー 変 換 群 で あ る と は,定 近 傍Uか

らRqの

の(ⅲ),(ⅳ)を

義

原 点 の 近 傍U′

みた す ものが存 在す

る と き を 言 う.   (ⅲ)  Ψ:D×U′

→Dを

Ψ(z,t)=(Φ−1(t))(z)で

定 義 す る と Ψ はC∞

写像

で あ る.   (ⅳ)  Φ(σ)=(x1(σ),…,xq(σ))と

お く と,V・V−1⊂Uを

み たす

Γ

の1D

の 近 傍Vに のC∞

対 し, 

は

関 数 で あ る.

  定 理12.4 

GをG(D)の

準 連 続 部 分 群 と す る と,G(D)の

変 換 群 Γ で あ っ て,Gの   証 明   g=Inf(G)は … ,Xqをgの

任 意 の1径

よ り,有

基 と し,t=(t1,…,tq)∈Rqに

限 次 元 リ ー 環 で あ る.X1,

対 し, 

とお く

よ っ て 定 義 さ れ る 写 像 

解 析 的)で あ っ て, 

含 ま れ る こ と は,gお

考 書[6]参

よび Γ

G(D)の

はC∞

写 像(実

は 局 所 リー 変 換 群 で あ る こ とが 証 明

さ れ る(詳 細 は 省 略 す る.参

  定 義12.6 

中 の 局 所 リー

数 部 分 群 を 含 む も の が 存 在 す る.

定 理12.2,12.3に

と,Ψ(z,t)=Ψt(z)に は,実

 

照).Gの

任 意 の1径

数部 分群 が Γ に

の 定 義 か ら 明 か で あ る. 

部 分 群Gが(P)群

(証 終)

で あ る と は,次

の 条 件[P]を

み

た す と き を 言 う.   {mi}が

な ら ば,{σk}の 存 在 し て,mi(σki−1D)は,あ

  定 理12.5  ら ば,Gは

GをG(D)の

る 写 像 

部 分 列{σki}と

正整 数列

に 広 義 一 様 収 束 す る.

中 の 準 連 続 部 分 群 と す る.も

し,Gが(P)群

な

リ ー 変 換 群 で あ る.

  証 明   g=Inf(G)を

考 え,定

に 対 し, 

Ψt,Γ

はGの1Dの

に 含 ま れ る.さ

ら に,0
に し て, ￨t￨
と を 証 明 し よ う.も

を と る と,十

分 小 なu>0

コ ン パ ク トな 近 傍  十 分 小 に と れ ば,定 対 し, 

と お く.ε>0が

が1Dの

理12.4の

存 在 し て, 

理12.3の

証 明 と 同様

と な る よ う に で き る.  な ら ば, 

であるこ

し こ れ が 言 え れ ば, 

と な り,Γ0

近 傍 と な る こ と よ り証 明 が 完 結 す る.

  も し,上

の 主 張 が 正 し く な い と 仮 定 す る と,τk∈G(k=1,2,…)で  な る{τk}が

に 対 し,kを

十 分 大 に と れ ば, 

と お く と,Γ0が が 存 在 す る. 

あ る こ と に な る.さ

て,任

意 の γ∈ Γ0

と し て よ い. 

コ ン パ ク トで あ る こ と か ら,  で あ る か ら, 

あ っ て,

をみた す で あ る.そ

こ で, 

 

と お く と, 

で あ っ て,  で あ る.こ

で あ る こ と か ら, 

こ で,u′
十 分 小 な 正 数 と し, 

と お く と,  (12.14)

が 十 分 大 なkと

任 意 の γ∈Γ′ に 対 し成 立 つ.何

γ∈Γ′ に 対 し,γ

・γk∈Γ0と

故 な ら,kが

十 分 大 な ら ば,

な る よ う に で き る こ と よ り, 

を 得 る か ら で あ る.と

こ ろ が,(12.14)と

反対 の向 きの不等

式 を 得 て 矛 盾 を 生 ず る こ と を 次 に 示 そ う.   {σk}に 対 し,条 mk(σk−1D)は

件[P]を

写 像 

お く と, 

用 い る と,あ

で あ っ て,εkの

ら れ,￨t￨が

よ り,ψ

十 分 小 な らΦ と お く.も

∈Inf(G)で

∈Γ′ で あ る.こ

(k→

∞)

あ る か ら,  の

が 考え

Φtに 対 し, 

し,

 (12.16) mk・εk′→0 (k→

が 言 え れ ば,(12.15)と

と

定 義 に よ り,

mk・ εk→A 

理12.1に

存 在 し て,

に 広 義 一 様 収 束 す る と し て よ い. 

 (12.15) 

で あ る.定

る 正 整 数 の 列{mk}が

∞)

比 較 す る こ と に よ り,

 (12.17) εk′<εk が 十 分 大 なkに   (12.16)を z∈Δ}で

と 書 け,し

対 し 成 立 つ.(12.17)は(12.14)と 証 明 す る た め,z′=Φ−1/mk(σk(z))と

あ る.と

反 対 向 き の 不 等 式 で あ る. お け ば,εk′=Max{￨z′−z￨;

こ ろ が,

か も λ(z)はz∈Δ

の 右 辺 の 各 項 は い ず れ もk→

に 対 し 有 界 で あ る.よ

∞ の と きΔ

上 で0に

っ て,

一 様 収 束 す る.従

って,

mk・ εk′ →0(k→   系12.1 

∞)が

得 ら れ た. 

GをG(D)の

部 分 群 と し,HをGの

が リ ー 変 換 群 な ら ば,Hも   証 明   Gが (P)群 て,定

リ ー 変 換 群 で あ れ ば,条

理12.5に

よ り,Hは

  定 理12.6 

G(D)の の2つ

  補 題12.1  と し,u,υ もつ 正数

閉 部 分 群 と す る.も

しG

リ ー 変 換 群 で あ る.

の 部 分 群 は も ち ろ ん(P)群

  ま ず,次

(証 終)

件[P]を

み た す こ と が 容 易 に わ か り,

で あ る か ら,Hも(P)群

と な る.従

リ ー 変 換 群 で あ る. 

任 意 の 部 分 群Gは(P)群

っ

(証 終) で あ る.

の 補 題 を 準 備 す る.

Σ,Σ′ をCnの を0
原 点 を 中 心 とす る半 径

ρ,ρ′(ρ>ρ′)の 多 重 円 板

を み た す 任 意 の 実 数 と す る.こ

α が 存 在 す る: 

の と き,次

の性 質 を

が(ⅰ) 

か つ(ⅱ)z, 

な ら 

をみ

た し て い る な ら ば,  (12.18)

が す べ て のz∈

Σ′ に 対 し成 立 つ.

  証 明   ρ>ρ1′>ρ′ な る ρ1′を1つ 円板 を

固 定 し,原

点 を 中 心 と す る 半 径 ρ1′の 多 重

Σ1′と す る.

  定 理10.8を   S∈Hol(Σ,Cn)か

用 い る と,容

易 に 次 の 性 質 を も つ 正 数 β の 存 在 が 言 え る:

つ￨S￨Σ<β

な らば

 (12.19) が す べ て のz,  お く.さ

に 対 し 成 立 つ.こ

の

β に 対 し, 

ら に,S(z)=(1/q)(z+T1(z)+T2(z)+…+Tq−1(z))と

∈Hol(Σ,Cn),か

つ￨S￨Σ<α

が 成 立 つ.一

と お く と,S

方, 

で あ る か ら,

な ら ば, で あ る こ と が わ か る.(12.19)をz′=T1(z)に

が 

に 対 し成 立 つ.と

こ ろ で,Sの

用 い る と,

定 義 に よ り,S(Tz)−S(z)=(1/q)

(Tq(z)−z)が

成 立 つ か ら,(12.18)が

  補 題12.2 

証 明 さ れ た. 

を 補 題12.1と

(証終)

同 じ と す れ ば,正

数

性 質 を も つ も の が 存 在 す る: 

な ら ばTq(z)=Tq−1(T1z)(q=2,3,…)を

はT1=1Σ

で あ る.

  証 明 Σ′ を 原 点 を 中 心 と す る 多 重 円 板 で,  <υ

な るu,υ

を 任 意 に と る と 補 題12.1の

っ て,(12.18)が

任 意 のz∈

Σ′,q=1,2,…

に 対 し 成 立 つ こ と に な る.一

と お く と,{Tq}は と な り,従

の と き,Gの1Dの

を 補 題12.2の

(証 終) 存

っ てT=1Dで

正 数 と す る. 部 分 群 な ら ば,

の た め,T∈Hを

と り, 

補 題12.2の(ⅰ),(ⅱ)を

み た す.よ

あ る. 

って

(証 終) な ら ば,

自 然 数 列{mi}が

存 在 し て,mi(τki−1D)が

に 収 束 す る こ と を 証 明 す れ ば よ い.そ の(*)が

Σ′

近 傍Vが

証 明 

部 分 列{τki}と

よ り,次

で あ る. 

と お く.H⊂Vが

あ る こ と を 証 明 す れ ば よ い.そ

  定 理12.6の

す べ て のz∈

り 

な る 任 意 の 多 重 円 板 と し,α

こ の Σ と α に 対 し, 

T1=1Σ

であ

外 の 部 分 群 を 含 ま な い.

  証 明   Σ を 

H={1D}で

存 在 す る.従

成 立 ちT1z=zが

部 分 群 と す る.こ

在 し て,Vは{1D}以

α>0が

に 対 し 成 立 す る. 

致 の 定 理10.7よ

GをG(D)の

な る も の と す る.0
性 質 を もつ

る か ら,￨T1z−z￨<(υ/q)α(q=1,2,…)が

  系12.2 

の

が(ⅰ) 

か つ(ⅱ)  み た せ ば,実

α で あ っ て,次

広 義 一 様 に 

れ に は モ ン テ ル(Montel)の

定 理10.10に

証 明 で き れ ば よ い.

任 意 の τ∈Gに

対 し あ る 自 然 数qτ

が 存 在 し て,

 と お く と,Mは

(*)

M⊂Hol(D,Cn)と

考 え て 次 の(ⅰ),(ⅱ)を

  (ⅰ)  任 意 の    (ⅱ)  0はMの   さ て,qτ

を 定 義 す る た め,ま  な る 多 重 円 板

に 対 しMはΔ

み た す. で 一 様 有 界,

集 積 点 で な い. ず 

な る多 重 円 板

Σ を 任 意 に と る.ま

た,0
Σ′ を1つ

固 定 し,

な るu,υ

を1

組 固 定 す る.補

題12.1の

対 し て はqτ=1と

性 質 を も つ α>0を

お く.次

に, 

と る. 

な る τ∈Gに

な る 

に 対 しqτ

を 次 の よ

うに 定 義 す る:  (12.20)

補 題12.2に

よ っ て,た

しか に こ の よ う なqτ

 に 適 用 す る と,mは

が た だ1つ

と れ る.(12.18)を

Σ′上 で 一 様 有 界 で あ る((12.8)の

右 側 の不

等 式 で 十 分).   い ま,任

意 の 領 域 

を と る と,ε0>0が

存 在 し て,

 (12.21)

が す べ て の    も し,こ

に 対 し成 立 つ こ と を 示 そ う.

の よ う な ε0>0が

と れ な い と す る と,τν ∈G(ν=1,2,…)で

あ っ て,

 (12.22)

な る も の が と れ る.と

こ ろ が,モ

ン テ ル の 定 理10.10よ

り,

 (12.23)

と し て よ い.(12.22)よ

り 

り 

特 に, 

盾 す る.よ

っ て,(12.21)を

  こ こ で,(12.18)の

み たす

ε0>0の

対 し 

対 し,

上 言 え た ことを ま とめ る

よ うに な る:

自然 数q(τ)が

のq(τ)に

証 明 した い.そ

矛

存 在 が わ か っ た.

集 積 点 で な い こ と を 知 る.以

対 し,Mは

の た め,Dを

が あ っ て, 

固 定 す る と,任 意 の 

定 ま り, 

一 様 有 界 で あ っ て ,0はMの   次 に,上

な り,(12.23)よ

と な っ て(12.20)に

 な る 多 重 円板 を1つ

(#)

τ0=1Dと

左 側 の 不 等 式 を 用 い る と,ε0に

が 得 られ,0がMの と,次 の(#)の

従 って

に 対 し, は Σ′ 上で

集 積 点 で は な い.

任 意 の 

可 算 個 の 多 重 円 板 

の上 で 一様 有 界 で あ る ことを で 被 い,任 意 のkに

とな る よ うに す る.特 に Σ1′は 上 の Σ′と

し て よ い.こ

の 被 覆{Σk′}に

は 一 様 有 界 で あ る.そ

対 し, 

と お く.MはD1=Σ′

こ で,MがDkで

上で

一 様 有 界 で あ る と 仮 定 し て,Dk+1

で も 一 様 有 界 で あ る こ と を 証 明 で き れ ば,帰 有 界 な こ と が わ か る.MがDk+1で

納 法 に よ っ て,MはΔ

一 様 有 界 を 言 う に は 

で一 様 上 で一 様 有界

で あ る こ と を 示 せ ば よ い.   (#)に

おい て

Σ′を

Σk+1′ と 思 っ て 議 論 を す る と,次

の(##)が

言 えるこ

と に な る:

任 意 の 

に 対 し,自 は

(##)

然 数q(τ)が

き ま り, 

Σk+1′上 で 一 様 有 界 で あ っ て,0はMの

集

積 点 で な い.   次 に, 

は 有 界 集 合 で あ る こ と を 言 う.も

か っ た と す る と,q(τ)(τ−1D)=(q(τ)/q(τ))q(τ)(τ−1D)で  の 上 で 一 様 有 界 で あ っ て,0を

し有 界 で な

あ る か ら,Mは

集 積 点 に もつ こ とに な っ て 矛 盾 で あ

る.   {q(τ)/q(τ)}が

有 界 で あ る か ら,q(τ)(τ−1D)=(q(τ)/q(τ))・q(τ)(τ−1D)

に 注 意 す る と,Mは   定 理12.7 

Σk+1′上 で 一 様 有 界 で あ る こ と が わ か る. 

DをCnの

有 界 領 域 と す れ ば,G(D)は

(証 終)

高 々2n(n+1)次

の

準 連 続 群 で あ る.   こ の 定 理 の 証 明 は 次 の 節 で 与 え ら れ る.

  12.3 

正 則 変 換 の極 限 と固 定群

  こ の 節 で はG(D)の

点p0∈Dに

お け る 固 定 群Gp0={σ

∈G(D)￨σ(p0)=p0}

の 性 質 に つ い て の べ る.   補 題12.3  す る.も

D,D′

をRnの

し,S′°S:D→DがC∞

領 域 と し,S:D→D′;S′:D′ 同 型 で あ れ ば,S,S′

→DをC∞ も 共 にC∞

写像 と 同 型 写像 で

あ る.   証 明   Sは

明 か に 単 射 で あ る.x∈Dに

対 しJS(x)をSのxに

おけるヤ

コ ビ行 列 と す る と,S′oSがC∞ は 行 列 式 は0で

同 型 で あ る か ら,JS′(S(x))JS(x)=JS′oS(x)

な い か ら,JS(x)も

あ る(定 理1.3).よ

っ て,S(D)=D1′

っ て,S:D→S(D)はC∞ 型,特

れ た こ と に な る.も

と す れ ば,D′

は 位 相 同 型 で あ っ た か ら,S′(xk)はDの

S′oSが

→DもC∞

題12.3は

上 に お け るD1′ ∞)な

∞)で

開 写 像で

の部 分領 域 で あ

証明さ

の 境 界 点x′

あ る.こ

方,S′:D′

  証 明   S′oSは 従 っ て,S,S′

(証 終)

領 域 と し,S,S′:D→Dを

全 単 射 な ら ば,S,S′

は 共 にG(D)の

正 則 写 像 と す る.も

よ り,C∞

同 型,特

同 型 で あ る(問 題10.3参

照).

に 位 相 同 型 で あ る か らG(D)

の 元 で あ る.    定 理12.8 

し,

元 で あ る.

正 則 か つ 全 単 射 で あ る か らC∞

は 補 題12.3に

→D

れ は 矛 盾 で あ る.よ

が 言え た.  DをCnの

同

る 点 列 を と る.S′￨D1′

点 に 収 束 し な い.他

は 連 続 で あ る か ら,S′(xk)→S′(x′)(k→

  系12.3 

はD′

が わ か れ ば,補

のx′ に 対 しxk∈D1′,xk→x′(k→

っ て,D′=D1′

っ て,Sは

様 に し て,S′￨D1′:D1′

っ て,D1′=D′

し, 

な い.従

と お く と,D1′

同 型 で あ る.同

に 位 相 同 型 で あ る.よ

が と れ る.こ

行 列 式 は0で

(証終) DをCnの

有 界 領 域 と し,σk∈G(D)(k=1,2,…)と

ま,S∈Hol(D,Cn)とa0∈Dが

存 在 し,σkはSに

で あ る と 仮 定 す る.こ

の と き,S∈G(D)で

  証 明  f(z)=det((dS)z)(z∈D)に

す る.い

広 義 一 様 収 束 し,  あ る.

よ っ て, 

を 定 義 す る(定

同 様 に,fk(z)=det((dσk)z),gk(z)=det((dσk−1)z)と

お く.ま

義10.9).

ず 

を 証 明 し た い.   そ の た め,a1=limσk(a0)と →T(k→

∞)と

く. 

お く.{σk−1}は,モ

し て よ い.T∈Hol(D,Cn)で

あ る.g(z)=det((dT)z)と

で あ る こ と か ら, 

が 得 ら れ る.(12.24)に

な い か ら,Sはa0の

z∈D

お い て,z=a0,k→

が 得 ら れ た.よ

お だ か ら,

(12.24) gk(σk(z))・fk(z)=1, 

な っ て, 

ン テ ル の 定 理 に よ り,σk−1

∞

っ て,Sのa0に

と す る と,g(a1)・f(a0)=1と お け る ヤ コ ビ ア ン が0で

近 傍 で 同 型 写 像 に な っ て い る(定 理10.11).即

ち,a0

 な る 十 分 小 さ い 開 集 合 っ て, 

Σ に 対 し,Σ′=S(Σ)と

お く と, 

は 同 型 写 像 で あ る. 

  ま ず,z∈

Σ に 対 し{σk(z)}はDの

よ い か ら,σk−1(σk(z))=zに 得 ら れ る.従

であ

を 証 明 し よ う. 中 の コ ン パ ク ト集 合 に 含 ま れ る と し て

お い てk→

∞

っ て, 

と す る と,T(S(z))=z(z∈Σ)が

が 得 られ,系12.3に

よ れ ば, 

で あ る.   次 に,S(D)⊂D,T(D)⊂Dを 中 の 連 続 曲 線c(t)で

証 明 し よ う.S(D)⊂Dで あ っ て,c(0)=a0,か

つc′(t)=S(c(t))と

な る も の が と れ る.も 点 で あ る.kを1つ

な い と す る と,Dの お く と, 

ち ろ ん,c′(1)はDの

固 定 し, 

境界

を 考 え る と, 

と し て よ い(定 理10.10).こ

の と き,

 (12.25)

が 成 立 す る が,  10.10を

で あ る こ と が わ か る.一

用 い る と,Tk→T′(k→

∞)と

で あ る.従 (k→

∞)が

わ か っ た.こ

S(D)⊂Dが

  こ れ よ り,写 T°S=1Dが

と な っ て,c(t)の

像T°S:D→Dが

DをCnの

あ る が 

取 り方 に 矛 盾 す る.よ

っ て,

よ っ てS∈G(D)が

で あ っ た か ら, 証 明 さ れ た. 

有 界 領 域 と す る と,任

意 の 点a0∈Dに

(証 終)

お け るG(D)

は コ ン パ ク ト部 分 群 で あ る.

  証 明   Ga0(D)∋

σk(k=1,2,…)と

る{σki}が

  σki(a0)=a0で

あ る か ら,定

方 系12.4で

す る.モ

ン テ ル の 定 理 に よ り,σki→S(k

取 出 せ る.

も 明 か だ か らS∈Ga0(D).以 か っ た.他

∞)で

同 様 に 証 明 さ れ る.

の 固 定 群 

→ ∞)な

よ り,  な り,Tk→1D

定 義 さ れ る が, 

成 立 し,系12.3に

  定 理12.9 

即 ちT′=1Dと

れ よ り,Tk(c(1))→c(1)(k→

証 明 さ れ た.T(D)⊂Dも

対 し定 理

考 え て よ い が,(12.25)に

っ て, 

な る こ と よ り 

方{Tk}に

理12.8に

よ りS∈G(D)が

上 でGa0(D)が 証 明 す る よ うに,G(D)は

が コ ン パ ク トで あ る こ と が わ か る. 

得 ら れ,S(a0)=a0

点 列 コ ン パ ク トで あ る こ と が わ 可 算 基 を も つ か ら,Ga0(D) (証 終)

  定 理12.10  a0の

固 定 群Ga0(D)の

元 は 局 所 的 に 線 型 写 像 で あ らわ され る.即 ち,

ま わ りの 適 当 な 局 所 座 標 系{w1,…,wn}を

も つ 近 傍Uを

とれ ば ,任

意

の σ∈Ga0(D)は

と あ ら わ せ る.た

だ し,σ(w)=(σ(1)(w),…,σ(n)(w)).

  証 明   a0はCnの

原 点 と し て よ い.σ

∈G0(D)に

対 し

σ(z)のi成

分

σi(z)

は 原 点 の 近 傍 で,  (12.26)

と 書 け,αij(σ)∈C,か キ 級 数 で あ る.即   n×n行

つfi(σ,z)はzに

つ い て2次

以 上 の項 の みを 含 むベ

ち, 

列A(σ)=(αij(σ))を

る ヤ コ ビ 行 列 で あ る.よ て 成 立 つ.G0(D)か

考 え る と,A(σ)=(dσ)0は

っ て, 

が σ,τ∈G0(D)に

らGL(n,C)へ

の 写 像Aが

理12.9よ

対 し

連 続 で あ る こ と もG(D)の

位 相 の 入 れ 方 よ り 明 か で あ る.B(σ)=(A(σ))−1と 書 く こ と に す る.定

σ の原 点 にお け

お き,B(σ)=(βij(σ))と

り,G0(D)は

コ ン パ ク ト群 で あ る か ら,D上

の 関 数Ti(i=1,…,n)が

 (12.27)

に よ っ て 定 義 で き る.た 7.1)と

す る.(12.27)は

だ しdσ

はG0(D)上

の ハ ー ル 測 度(定 理7.5,注

意

行 列 の 記 号 を 用 い て,

 (12.28)

と 書 き あ ら わ せ る.wi=Ti(z)と

お く と,(12.26),(12.27)よ

り,

 (12.29)

が 得 ら れ る か ら,(z1,…,zn)→(w1,…,wn)は へ の 座 標 変 換 と 見 な せ る.一   (12.30)    何 故 な ら,z∈Dに

方,任

原 点 の 十 分 小 さ い 近 傍Uか

意 の τ∈G0(D)に

A(τ)°T° τ−1=T. 対 し,

対 し,次

らV

の 式 が 成 立 つ:

が 成 立 つ か ら で あ る.従

っ て, 

τ は 座 標 系(w1,…,wn)に   定 理12.7の

が 原 点 の 近 傍 で 成 立 す る か ら,

関 し,線

型 写 像A(τ)で

証 明   1点p0∈Dとp0の

あ ら わ せ る. 

近 傍 

と お く と,WはG(D)の1Dの

を と り,W=W({p0},Δ)

近 傍 で あ る.い

Φ(σ)=(σ(p0),(dσ)p0)(σ

∈W)に

ま写 像

よ っ て 定 義 す る.Φ

の 全 単 射 で あ る こ と と,Φ(W)がCn+n2の

(証 終)

Φ:W→Cn+n2を

がWか

ら Φ(W)へ

有 界 閉 集 合 で あ る こ とを 示 せ ば 十

分 で あ る.   σ,τ∈W,Φ(σ)=Φ(τ)と

せ よ.σ(p0)=τ(p0)で

即 ち τ−1σ ∈Gp0で

っ て,p0の

Uを

あ る.従

と れ ば,τ−1σ はwiに

ろ が,d(τ−1σ)p0=Enで τ−1σ=1D.即

ち

あ る か ら,(τ−1σ)(p0)=p0.

適 当 な 座 標 系{w1,…,wn}を

関 し 線 型 写 像 で あ ら わ さ れ る(定 理12.10).と

あ る か ら,(τ−1σ)￨U=1U.よ

σ=τ

  つ ぎ に,Φ(W)が

と な り,Φ

る こ と を 示 せ ば よ い.{σν}⊂Wと

が 単 射 で あ る こ と が わ か っ た.

す る と,σν(p0)∈Δ

に 収 束 す る.モ

ン テ ル の 定 理 に よ り,{σνk}の

収 束 す る.limσνk′(p0)∈Δ

ら,定

あ る.S∈Wも

よ り,S∈G(D)で

分列 部分 列

⊂Dで

あ るか

明 か で あ る か ら,Wは

コ ン パ ク トで あ る.    定 理12.11 

コ ン パ ク トで あ

で あ る か ら,部

{σνk′}はあ る 写 像S∈Hol(D,Cn)に 理12.8に

こ

っ て,一 致 の 定 理 に よ り,

有 界 閉 集 合 で あ る こ と を 示 す に は,Wが

σνk(p0)は あ る 点p*∈Δ

もつ 近 傍

G(D)は

(証 終) リ ー 変 換 群 で あ っ て,そ

の リー 環 はg(D)=Inf(G(D))

と 同 型 で あ る.   証 明   定 理12.7,12.6,12.5に の リー 環 がg(D)に

よ り,G(D)は

同 型 で あ る こ と は 定 理12.4に

リー 変 換 群 で あ る.G(D) よ る. 

(証 終)

  定 理12.12  =(f1(z)

Dを

原 点 を 含 む 有 界 領 域 と し,f∈Hol(D,D)と

,…,fn(z))と

に つ い て2次

す る と き,fi(z)=zi+gi(z)(z∈D)と

書 け,gi(z)はz

以 上 の 項 の み よ り な る ベ キ 級 数 と す る.こ

  証 明 

す る.f(z)

の と き,f=1Dで

あ る.

は 原 点 の 近 傍 で 斉 次 多 項 式 の 級 数 に 展 開 さ れ る(問 題10.2参

照):

 (12.31)

  こ こ で,Pk(i)(z)はzに て の 

に 対 し0で

つ い てk次

=0 , 

の 斉 次 多 項 式 で あ る.Pk(i)(z)が

すべ

あ る こ と を 言 え ば よ い か ら,例えば,P2(1)=…=Pα−1(1)

と な る α が あ っ た と し て,矛

回)に 対 し,fm(z)のi成

分 を(fm)i(z)で

盾 を 出 せば よ い.fm=f° あ ら わ せ ば,mに

…°f(m

関す る帰納 法 を

用 い て 容 易 に 次 式 が 得 ら れ る:  (12.32)

  一 方{fm￨m=1,2,…}は

一 様 有 界 で あ る か ら,(m+1)・Pα(1)(z)はmに

関 し 有 界 で あ る(問 題10.2).従

っ て,Pα(1)(z)=0と

な っ て 矛 盾 で あ る. (証 終)

  定 理12.13 

G(D)の

  証 明   G(D)の

連 結 成 分 の 個 数 は 高 々 可 算 で あ る.

σk(Δ)∈G(D)が

連 結 成 分 をG0と

す る. 

を 固 定 し た と き,σ1,…,

存 在 し て,

 (12.33)

で あ る こ と を 示 そ う.も ({p0},Δ)(k=1,2,…)で

し,こ

の よ うな

σiが 存 在 し な い と す る と,τk∈W

あ っ て,

 (12.34)

を み た す も の が と れ る.   と こ ろ で,定 τk→ σ(k→ か ら,十 す る.

∞)で

理12.8の

証 明 と 同 様 に し て,あ

あ る と し て よ い.よ

分 大 き いkに

対 し て は 

る

σ∈G(D)が

存 在 し て,

っ て, 

である と な っ て,(12.34)に

矛盾

 終 り に, 

を み た すΔν で あ る か ら,(12.33)に を み た す{σk}が

  系12.4 

G(D)は

と れ る. 

可 算 公 理 を み た す.

を と れ ば,  よ り,  (証終)

13.  有

  13.1 

界

領

域

正 則 無 限 小 変 換

  DをCnの

有 界 領 域 と す る.G(D)=Aut(D)と

書 き,Dの

か ら な る リ ー 環 をg(D)で

あ ら わ す.定

Dの

の リ ー 環 はg(D)と

リ ー 変 換 群 と な り,そ

  定 理13.1 

g(D)の

理12.11で

元X1,…,XnがR上

無限 小 変換 全体

示 し た よ うに,G(D)は

同 一 視 で き る. 一 次 独 立 な ら ば,C上

独 立 で あ る. 

(H.カ

 証明  

で も一 次

ル タ ン の 定 理)

と せ よ.ak=bk=0(k=1,…,n)

を 証 明 す る. 

と お く と, 

の 座 標 系{z1,…,zn}を る.t1,t2∈Rに

用 い て, 

対 し, 

u(t)=Exp(t1Y+t2Z)・p0で

が 成 立 つ.Cn

と あ ら わ す と,ηk∈ODで と お く.い

ま1点p0∈Dを

定 義 さ れ る 写 像u:C→Dを

固 定 し,

考 え る. 

な る こ と よ り,u(t)=(u1(t),…,un(t))はduk/dt=ηk(u1,…,un)な 程 式 を み た す こ と が わ か る.従 で あ る か ら,ukも

有 界,従

u(t)=u(0)=p0.特 =Z=0.即

っ て,定

理10.9に

よ り,定

Y,Z∈g(D)と

  ft=ExptY,gt=ExptZと

し[Y,Z]=0と お く.い

有界

数 で あ る.よ

っ て,

任 意 で あ っ た か ら,Y

仮 定 よ り,X1,…,XnはR上

あ る か ら,ak=bk=0が

  定 理13.2 

る微 分 方

あ る(定 理10.14).Dは

に,Y(p0)=Z(p0）=0.p0∈Dは

ち , 

でak,bk∈Rで

… ,wn}が

っ て,uk∈Oc1で

あ

一 次独 立

成 立 つ. 

(証終)

仮 定 す る. ま1点p0∈Dの

近 傍Uに

座 標 系{w1,

存在 し

(13.1) を み た す と す る.た

だ し,wk(p0)=wk0と

お く.さ

ら に,

  (13.2)  が 任 意 の(w1,…,wr,wr+10,…,wn0)∈Uに

対 し,成

立 つ と 仮 定 す る.こ

の と き,

Y(w1,…,wr,wr+10,…,wn0)=0が  

注 意13.1 

r=nの

成 立 つ.  時,定

  証 明   =Y(w1

理13.2は

定 理13.1に

と お く. 

っ て,写

に 対 し,ηk(w1,…,wr,wr+10,…,wn0)

を 示 せ ば よ い.い 固 定 し, 

像u:C→Dを

で き る.た

が 成 立 す る こ と よ り,u(z)は￨z￨<δ に,任

意 の 

ft10,gt20が

だ し, 

共 に 正 則 で あ る こ と と,u(z)がz=0の

に,ft(p)=p(￨t￨<δ)が

と お く(13.2)

  定 理13.3 

成 立 し,

近 傍 で 正 則 で あ る こ と と に

に 対 し,wk(u(z))も っ て, 

に 対

ち,ηk(P)=0 

理13.2は Dの

∂/∂w1∈g(D)と

ら

定 数 で あ る.wk=Fk(z1,…,zn)はz1,

ら,￨z￨<δ

成 立 つ.よ

(wk(ft(p))−wk(p))=0,即 あ っ た か ら,定

存

近 傍 で 正 則 な こ と が わ か る.zk(u(z))(k=1,…,n)は

正 則 関 数 で あ る か

の と き,w2・

ず,δ>0が

に お い て 正 則 と な る こ と が わ か る.さ

で 有 界 正 則 で あ る か ら,zk(u(z))は

,znの

示 そ う.ま

に 対 し て,u(z)=ft10gt20(u(z-z0))が

よ りu(z)はz=z0の

ま, に よ

定 義 す る.u∈Hol(C,D)を

在 し て,u(z)∈U(￨z￨<δ)と

し,Y(p)wk=lim(1/t) 任 意 で

証 明 さ れ た. 

点p0の

す る(即

定 数 で あ る.特

が 成 立 つ.p∈Uは

近 傍Uに

ち,あ

∂/∂w1〓g(D)で

(証 終) お け る 座 標 系{w1,…,wn}が

るX∈g(D)に

存 在 し,

対 し,X￨U=∂/∂w1と

す る).こ

あ る.

  証 明 

な る 点(w10,w20,…,wn0)∈Uを1つ

と る.い

まw2・

∂/∂w1∈g(D)と

と,Y,Z∈g(D),[Y,Z]=0が

せ よ.Y=b・ 成 立 つ.ま

∂/∂w1,Z=(w2−a)・

対 し 成 立 つ こ と も 容 易 に わ か る.よ

w2,…,wn0)=0と

∂/∂w1と

お く

た 

が 任 意 の(w1,w20,…,wn0)∈Uに r=1に

帰 す る.

っ て, 

p=(w1,…,wr,wr+10,…,wn0)∈Uを

…

ル タ ン の 定 理)

,…,wr,wr+10,…,wr0)・wk=lim(1/t)・{wk(ft(w1,…,wr,wr+10,…,wn0))−

wk0}=0.よ

C上

(E.カ

対 し 成 立 つ.ま っ て,定

な り, 

理13.2に

た(13.1)が よ り,Y(w1,

な る こ と に 矛 盾 す る. (証 終)

  系13.1 

∂/∂w1,f(w2)・

∂/∂w1∈g(D)な

ら, 

  証 明  f(w2)が

定 数 で な い と す る と, 

よ っ て,w1′=w1,w2′=f(w2)な Y=f(w2)∂/∂w1=w2′

  13.2    Cnの

有 界 領 域 の 同 型,局

  定 義13.1 

 

理13.3に

矛 盾 す る. 

(証 終)

所 同 型

を と り,そ

の 正 則 変 換 群 をG(D),G(D′)で

正 則 同 型 写 像 Φ:D→D′

で あ る と 言 い, 

あ る.

る 変 換 は 座 標 変 換 で あ る.X=∂/∂w1=∂/∂w1′,

∂/∂w1′と な り,定

有 界 領 域D,D′

と な る 点p∈Uが

あ ら わ す.

が 存 在 す る と き,DとD′

とは 同 型

で あ ら わ す.

な ら ば, 

で あ る.何

故 な ら,σ

∈G(D)に 

を 対 応 さ せ れ ば よ い.   定 義13.2 

Dが

G(D)がDに

G,G′

に 作 用す ると し

をG,G′

の リ ー環

意 のp∈Dとp′

と,pの

が 存 在 し て,次

をG(D),G(D′)の

,g,g′

型 で あ る と は,任

∈gに

bounded

domain)で

あ る と は,

リ ー 部 分 群 で あ っ て,D,D′

に推 移 的

推 移 的 な 時 を 言 う.

  定 義13.3 

型写像 Ψ

等 質 有 界 領 域(homogeneous

近 傍Uか

の2つ

と す る.(D,G)と(D′,G′)が

∈D′ らp′

に 対 し て,リ

の 近 傍U′

ー環gか

局所同 らg′

へ の同

へ の 正 則 同 型 写 像 Φ:U→U′

の 条 件 を み た す と き を 言 う:(ⅰ)Φ(p)=p′,(ⅱ)X

対 し,(dΦ)(X￨U)=Ψ(X)￨U′.

  も し,(D,G)と(D′,G′)が 位 元 の 近 傍V,V′   定 義13.4  G(D′))が

の 間 の 局 所 同 型 写 像Ψ0を

等 質 有 界 領 域D,D′

Φ,Ψ,V,U′ に 含 ま れ るp′

型 写 像 Ψ はG,G′

ひ き お こす(定 理9.4).

の と き,D∼D′

は 上 の 通 り と す る と,Vに の 近 傍U0′

で あ ら わ す. 含 まれ る単 位 元 の 近 傍

が 存 在 し て,σ ∈V0,q∈U0′

(13.3) が 成 立 つ.   証 明   V0とU0′

を 十 分 小 さ く と る と,σ ∈V0,q∈U0′

 い ま,σ=ExpX,X∈g(D)な

の単

が 局 所 同 型 で あ る と は(D,G(D))と(D′,

局 所 同 型 で あ る と き を 言 う.こ

  補 題13.1  V0と,U′

局 所 同 型 な ら ば,同

る σ に 対 し て は, 

に 対 し,

に 対 し て,

(命 題4.9)が

成 立 つ.よ

っ て,(ⅱ)よ

Ψ0(σ)=Ψ0(ExpX)=expΨX.よ   系13.2  をpの

の 近 傍U1′

(証 終)

み た せ ば,pの

在 し て,Φ(q)=Φ1(q)(q∈U0)が

ち,Φ1:U1→U2′

へ の 同 型 写 像 で,(ⅰ)Φ1(p)=p′,(ⅱ)

dΦ1(X￨U1)=Ψ(X)￨U1′(X∈g(D))を

が 十 分 小 なtに

成 立 つ. 

Φ は 次 の 意 味 で 一 意 的 で あ る.即

らp′

  証 明   X∈g(D)に

他 方,

っ て,(13.3)が

定 義13.3の

近 傍U1か

り 

近 傍 

が存

成 立 つ.

対 し,命

題4.9に

対 し 成 立 つ.と

よ り,

こ ろ が,ExptX・pの

を 含 む よ うに で き る か ら,q∈U0に

形 の 元 でpの

対 し,Φ(q)=Φl(q)が

近 傍  成 立 つ. (証 終)

  位 相 空 間Mの

点p0∈Mに

対 し, 

と

お く(定 義8.1).   補 題13.2  p0′∈D′

等 質 有 界 領 域 と し,D∼D′ の と き,全

の 条 件(1),(2)を

σ∈ Ω(p0,D)に

p1′ の 近 傍U,p1′ =p1′,か

をCnの

を と り固 定 す る.こ

で あ っ て,次   (1) 

D,D′

単 射写 像

み た す も の が 存 在 す る.

対 し,σ′=φ(σ),σ(1)=p1,σ

の 近 傍U′

と す る.p0∈D,

お よ び 正 則 同 型

′(1)=p1′ Φ1:U→U′

と お く と,

が 存 在

し,Φ1(p1)

つ

(13.4) が す べ て の τ∈ Ω(p1,U)に   (2) 

σ,σ′ ∋ Ω(D,p0,p)か

対 し成 立 つ((8.2)参 つ

照).

σ∼ σ′ な ら ば,φ(σ)(1)=φ(σ

′)(1),か

つ

φ(σ)∼ φ(σ′)が 成 立 つ.   証 明   G=G(D),G′=G(D′)と (G,π0)をG0の の 近 傍U0′,同

お き,G0,G0′

普 遍 被 覆 群 と す る.D∼D′ 型 写 像 Φ0:U0→U0′

お よ び,リ

をG,G′

の 連 結 成 分 と す る.

で あ る か ら,p0の

近 傍U0,p0′

ー 環 の 同 型 写 像 Ψ:g(D)→g(D′)

が 存 在 し て,Φ(p0)=p0′,か

つX∈g(D)に

(13.5) 

dΦ(X￨U0)=Ψ(X)￨U0′

が 成 立 つ.Ψ ま た,Ψ

はG0の

単 位 元 の 近 傍 か らG0′

′° π0は 準 同 型 Ψ′:G→G0'を

K,p0′

の そ れ をK′

12.4よ

り,G0,G0′

φ(σK)=σ に,位

対 し,

と し,K,K′ はD,D′

導 く(定 理9.4).い

∈g(D)￨X(p0)=0},〓′={X′

φ:G0￨K→Dは

が 定 義 さ れ る.K0,K0′

っ て,Ψ

理7.4に

系

よ れ ば,

位 相 同 型 で あ る.同

様

の リ ー 環 は,〓={X

∈g′(D)￨X′(p0′)=0}で

が 成 立 つ.従

固定 群 を

と す る.系9.1と

に 推 移 的 に 作 用 す る か ら,定

相 同 型φ′:G0′/K′ →D′

Ψ′ を 導 く.

まp0の

の 連 結 成 分 をK0,K0′

・p0に よ っ て 定 義 さ れ る 写 像

っ て,Ψ(〓)=〓′

へ の局所 同型写 像

あ る か ら,(13.5)に

か ら導 か れ た 準 同 型

よ

Ψ は,

(13.6) を み た す.た G0/K,ρ

だ し,K0は

π0−1(K0)の

′:G0′→G0′/Kを

σ∈ Ω(p0,D)に

π0°g=gを

−1° σ∈ Ω(ρ(e),G0/K)で

み た すg∈

み た すg∈

  σ′ はgの =ρ°g1

自 然 な 射 影 と し,π=φ°

対 し,ψ

φ−1° σ=ρ°gを

取

Ω(e

,G0)が

Ω(e,G)が

た だ1つ

で あ る か ら,g(t)−1・g1(t)∈K,従

=ρ′(Ψ(g1(t)))が   σ′=φ(σ)に D′

対 し,補

存 在 す る.σ

Ψ°g1と

像

と の 役 割 を 交 換 す れ ば,φ

よ り,

題8.8に

よ り, お く. −1°σ

お く.  あ る か ら,g(t)−1・

よ り,Ψ(g(t)−1・g1(t))∈K0′.即 れ は

て,

理9.8に

′=π′°Ψ°gと

っ て,g(t)−1・g1(t)∈K0で

成 立 つ .こ よ っ て,写

あ る か ら,定

の み に よ っ て き ま る こ と を 示 そ う.φ

し,σ1′=π'°

っ て(13.6)に

ぎ に,ρ:G0→

ρ,π′=φ′° ρ′ と お く.さ

存 在 す る.gに

り 方 に 依 存 せ ず,σ

,g1∈Ω(e,G0)と

g1(t)∈K0.よ

連 結 成 分 を あ ら わ す.つ

ち

ρ′(Ψ(g(t)))

σ′=σ1′ を 示 し て い る.

φ:Ω(p0,D)→

Ω(p0′,D′)が

の 逆 写 像 φ′:Ω(p0′,D′)→

定 義 さ れ た.Dと Ω(p0,D)の

存 在 を 知

る.  

(1)の

p0の

証 明.π0に

近 傍U0′

存 在 し て,γ(φ V1で

⊂U0を

よ っ て 平 等 に 被 わ れ るG0の 十 分 小 に と っ て,G0/Kのφ−1(U0′)上

−1(U0′))⊂V0と

あ っ て,π(V1)⊂U0′

単 位 元 の 近 傍V0を

な る よ う に す る.つ

の 局 所 断 面 ぎ にG0の

を み た す も の を と る.U1=π(V1),U1′=Φ(U1),

と り, γ が

単 位 元 の 近 傍

U=g(1)・U1,U′=g′(1)・U1′ (1)−1・p))に み た す.ま

よ っ て 定 義 す れ ば,明 た,φ(σ)の

∈ Ω(p,U)に   (2)の

かに

Φ1(p)=g′(1)・(Φ(g

Φ1は 同 型 で あ っ て,Φ1(p1)=p1′

定 義 の 仕 方 を た ど っ て み る と(13.4)が

∼ σ′ の ホ モ トピ ー をFと

つF(s,0)=9(s)(s∈I)を

=F(s

を

を

すべ て の τ

対 し 成 立 つ こ と が た し か め られ る. 証 明.σ

=F,か

と お き,Φ1:U→U′

,1)と

す る.定

理9.8に

み た すF:I×I→G0が

と れ る.g′(s)

お く と,g(0)=g′(0),g(1)=g′(1),g∼g′

g′ の 終 点 は 一 致 す る(系8.1).従

で あ る.よ

っ て,φ(σ)=π′° Ψ°gと

は ホ モ ト ー プ で あ っ て,φ(σ)(1)=φ(σ′)(1)で   注 意13.2 

D,D′

則 変 換 か ら な る,リ

け る と 同 様 に し て,(D,G)と(D′,G′)と   定 理13.4 

Dを

等 質 領 域,D′

と は 局 所 同 型 で あ る と す る.こ   証 明   α1,…,αn−1∈Cと

っ て,g,

φ(σ′)=π′° Ψ°g′ と

あ る. 

を 必 ず し も 有 界 で な いCnの

に 推 移 的 に 作 用 す る,正

よ り,π°F

(証 終)

領 域 と し,G,G′

ー 変 換 群 と す る.定

はD,D′

義13.3に

お

の 局 所 同 型 が 定 義 で き る. を 等 質 有 界 領 域 と し,(D,G)と(D′,G′)

の と き,Dは

し,Dがzn平

い か な る 超 平 面 も 含 ま な い. 面L={z1=α1,…,zn−1=αn−1}を

含 む と し て 矛 盾 を 出 せ ば よ い.   ま ず,点p0∈Lとq0∈D′ の 曲線

σ で 結 ぶ.補

を 固 定 す る.任

=φ(σ)が

題13.2に

と れ,σ′(1)は

る か ら,f(p)=σ

′(1)に

あ る.一

f(p)=q0で

方,φ

の 中 のq0を

中

始 点 とす る 曲 線

σ の ホ モ ト ピ ー 類 の み に 依 存 す る.Lは よ っ て 写 像L→D′

で あ る こ と も 明 か で あ る.D′ (p∈L)で

よ り,D′

意 の 点p∈Lとp0をLの

単 連 結で あ

が 定 義 さ れ る.f∈Hol(L,D′)

は 有 界 で あ る か ら,fは

の 定 義 の 仕 方 か ら,fは

定 数,即

ちf(p)=q0

局 所 的 に 単 射 で あ るか ら

は あ り 得 な い. 

  定 理13.5 

Dは

(証 終)

等 質 有 界 領 域 か つ 単 連 結 で,し

か も 次 の 条 件 を み た す とす

る:   σ∈G(D)が   こ の と き,も

す べ て のX∈g(D)を し 等 質 有 界 領 域D′

(大 局 的 に)同 型 で あ る.

σ′

不 変 に す れ ば,σ=1Dで がDに

あ る.

局 所 同 型 で あ れ ば,D′

はDに

  証 明   D,D′

の 点p0,p0′

を と り固 定 す る.補

D′ へ の 正 則 写 像 Φ を 次 の よ う に 作 る.任 p)が

あ る.Dは

に よ り,Φ

っ て Φ(p)=(φ(σ))(1)と

は 局 所 同 型,従

題13.2に

Ω(p0′,D)→

意 にp′ ∈D′

補 題13.2に

よ り,pの

あ る こ と が わ か る.即

み

題13.2の(2) ぎ に,

を と る と τ∈ Ω(D′;p0′,p′)が

と の 役 割 を 交 換 す る と,写

き ま る.σ=φ′(τ)と

ら

と る と,σ ∈ Ω(D;p0,

定 義 で き る.補

お い て,DとD′

Ω(p0,D)が

τ(t)=Φ(σ(t))で

用 い て,Dか

っ て 正 則 写 像 で あ る こ と は 明 か で あ ろ う.つ

Φ は 全 射 で あ る こ と を 示 そ う.任 と れ る.補

意にp∈Dを

単 連 結 で あ る か ら,(φ(σ))(1)は

に 依 存 し て き る.よ

題13.2を

お く.τ

像

φ′:

と σ の 関 係 か ら,実

ちp′=Φ(σ(1)).よ

っ て,Φ

は

が全 射 で

あ る こ と が わ か っ た.  次に

Φ は 単 射 で あ る こ と を 示 そ う. 

=Φ(q2)な

ら ば,Φ(p1)=p0′

め ら れ る.い

ま,σ0∈

き,す

を み た す 

Ω(D;p0,p1)を

φ(σ0)∈ Ω(D′;p0′)で

あ る.以

べ て の λ∈G0(D)に

連 結 成 分 をG0(D)と

書 く.こ

のと

対 し,

存 在 を 示 そ う.任

を と る と,φ(σ)∈ よ っ て,φ

Ω(p0′,D′)で

−1(φ(σ0)・φ(σ))=σ つ

σ1∼ σ2な

あ る か ら,φ(σ0)・

書 く と,補

と が わ か る.λ=g(1)と

題13.2の

Ω(D;

題13.2(2)に

よ っ て,写

像

λ0:D→Dが

証 明 を た ど る と,σ′(1)=g′(1)・p1と

お け ば,λ0(λp0)=λ0(p)=σ

お く と,σ2∈

のp1に

あ る.σ1,σ2∈

あ る.

あ る こ と も 容 易 に わ か る.σ(t)=g(t)・p0(g(t) な る こ

′(1)=λ(p1)=λ(λ0p0)と

元 と す る こ と が で き る か ら(13.7)が

逆 向 き の 道 は(φ(σ0))−1∈

((φ(σ0))−1)と

∈ Ω(D;p0,p)

φ(σ)∈ Ω(p0′,D′)で

あ る こ と が,補

っ て,λ0(p)=σ′(1)に

は 任 意 のG0(D)の

ま た,φ(σ0)の

対 し,σ

′ と お く と,σ′ ∈ Ω(p0,D)で

定 義 で き た.λ0∈Hol(D,D)で ∈G0(D))と

意 のp∈Dに

ら ば,σ1′(1)=σ2′(1)で

よ っ て た し か め ら れ る.従

で あ る.上

あ る か ら,

λ0(λp0)=λ(λ0p0)

を み た すλ0∈G(D)の

な り,λ

の 存 在 が 容 易 に た しか

固 定 す る.Φ(p1)=Φ(p0)で

下,G(D)の

(13.7) 

ρ0,ρ)か

が 存 在 し て,Φ(q1)

Ω(p0,D)で

対 し存 在 した

λ0と

Ω(D;p0′)で

あ る.σ2(1)=p2と

あ る か

証 明 さ れ た. ら,σ2=φ

−1

お く と,Φ(p2)=p0′

同 じ 方 法 で,λ1(λp0)=λλ1(p0)を

み た

す

λ1∈Hol(D,D)の

λ0∈G(D)が

存 在 が わ か る.明

わ か っ た.つ

と を 示 そ う.任

ぎ に

か に

λ0λ=λ λ0が

意 のp∈Dはp=λ′p0(λ′

λ1λ0=λ0λ1=1Dを 任 意 の

み た す.よ

λ∈G0(D)に

∈G0(D))と

っ て

対 し成 立 つ こ

書 け る か ら,(13.7)を

用 い て,  

λ0λp=λ0(λ(λ′p0))=λ0((λ

特 に,任

λ′)p0)=λ λ′(λ0p0)=λ(λ′ λ0p0)=λ(λ0λ′p0)=λ

意 のX∈g(D)とt∈Rに

対 し,λ0(ExptX)λ0−1=ExptXが

  λ0(ExptX)λ0−1=Exp((dλ0)tX)(命 り,λ0=1Dで

あ る が,こ

題4.9)よ

れ は 

成 立 つ.

り4λ0(X)=X.仮

定 に よ

に 矛 盾 す る.よ

っ て

写 像 で あ る. 

  13.3 

∈G(D)が Dは

Φ は 同 型 (証 終)

対 称

  定 義13.5 

λ0p.

領 域

DをCnの

等 質 領 域 と す る.Dの

存 在 し て,σ° σ=1D,か

対 称 領 域(symmetric

点p0,そ

の 近 傍U0と

つ{q∈U0￨σ(q)=q}={p0}が

domain)で

あ る と 言 う.p0は

σ

成 立 つ と き, σ の孤 立不 動 点 とよ

ぶ.   例13.1  =−zと

単 位 円 板D={z∈C￨￨z￨<1}は

る.ま らDは

お く と σ∈G(D),σ° た 任 意 のz0∈Dに 等 質 で あ る.例

  例13.2 

σ=1Dで

対 称 領 域 で あ る.何 あ っ て,原

対 し て,τ(z0)=0を

σ の孤 立不 動 点 で あ

み た す τ∈G(D)が

存 在 す るか

え ば,τ(z)=(z−z0)/(1−z0z).

対 称 領 域 の 直 積 は 明 か に 対 称 領 域 で あ る.

  対 称 領 域 に つ い て は 残 念 な が ら,く

わ し い 理 論 を の べ る 余 裕 が な い の で,証

明 な し で 次 の 定 理 の み を 引 用 す る.   定 理13.6 

点0は

故 な ら,σ(z)

Cnの

対 称 有 界 領 域 は 単 連 結 で あ る.

14.2 

 

14.1 

C1の

等 質 有 界 領域

  C′ の 等 質 有 界 領 域Dは い る.そ

次 元 等 質有 界領 域

半 径1の

原 点0を

はg(D)の

含 む と し て よ い.g0={x∈g(D)￨X(0)=0}と

部 分 リ ー 環 で あ っ て,G(D)の

対 応 す る リ ー 環 で あ る.G0は

dimg0=1ま

円 板￨z￨<1と

同 型 に な る.(Dが

で あ る が,か

よ れ ば,gが

を 導 く こ と も可 能

考 え る と ,g1は

リ ー 環 で あ る.し

か もG(D1)の

ま,z平

で あ る.一

省 略 す る こ と が あ る).従 面 に お い て,上

っ

半 平 面D1

変 換 群G={σa,t￨σa,t(z)=etz+a;t,a∈R}の 元

σ で ∂/∂zとz・

限 る こ と が 容 易 に た し か め ら れ る.D1は

に よ り, 

場 合,dimg=dimRD

可 換 リ ー 環 の 時 は 

と な る.い

={z￨Imz>0}を

理

ー マ ン 面 の 分 類 理 論 よ りDは

れ か ら 

反 す る(以 下,{…}RのRは

て, 

σ=1D1に

対 称 領 域 と な る.定

な り証 明 は 煩 雑 に な る よ うで あ る).(ⅱ)の

と な り定 理13.1に

回 転z→zeiθ

単 連 結 で あ る こ と を 用 い な く と も,§6.6の

型 を 決 定 し,そ

あ る か ら ,§6.6に

型

元 を σ と す れ ば,σ° σ=1D

っ てDは

単 連 結 で あ る か ら,リ

結 果 を 用 い てg(D)の

場 合G0は

に 対 応 す るG0の

σ の 孤 立 不 動 点 と な り,従

用 い る と,Dは

当 な 座 標 系 に 関 し,線

あ っ て,(ⅰ)の

含 む と し て よ い.θ=π

で あ っ て,0は

∈G(D)￨σ(0)=0}に

コ ン パ ク トで あ る か ら(定 理12.9),(ⅰ)

た は(ⅱ)dimg0=0で

(θ∈R)を

お く と,g0

部 分 群G0={σ

原 点 を た も つ か ら,適

写 像 で あ る(定 理12.10).G0は

=2で

同 型 で あ る こ と が 知 られ て

の 証 明 の 概 略 を の べ よ う.

  ま ずDは

13.6を

円 板￨z￨<1と

方, 

∂/∂zを 不 変 に す る も の は

単 連 結 で あ る か ら定 理13.5 で あ る か ら,次

の定 理 が 証

明 さ れ た.   定 理14.1  称 領 域 で あ る.

C1の

等 質 有 界 領 域Dは

単 位 円 板 と 同 型 で あ る.特

に,Dは

対

  14.2 C2の   C2の

等 質 有界 領 域

等 質 有 界 領 域Dは

14.3).ま

ずDが

非 対 称 で あ る と す れ ばDは1次

は な ら な い.何

故 な ら, 

れ ば,定 理14.1に

元等 質 有 界領 域 の直積 に

で あ っ て,DiがC1の

よ り,Diは

の 点 を(z1,z2)で はz2に

つ ね に 対 称 で あ る こ と を 示 す の が 目標 で あ る(定 理

対 称,従

表 わ す とg(D)=g1 

っ てDも g2で

等 質有 界領 域 で あ

対 称 と な る か ら で あ る.C2

あ っ て,g1はz1に

つ い て の,g2

つ い て の 正 則 ベ ク トル 場 か ら な る リ ー 環 と な る よ うなDは

除外 して

よ い.   補 題14.1  (D)=5ま

DをC2の

等 質 有 界 領 域 と す れ ば,Dは

た は4で

あ る か の い ず れ か で あ る.

  証 明   1点p0∈Dを

固 定 し,G(D)のp0に

§12.3に

よ れ ば,Gp0はC2に

⊂U(2)と

考 え て よ い.も

参 照).こ

お け る 固 定 群Gp0を

考 え る.

作 用 す る コ ン パ ク ト線 型 群 で あ る.従 し 

な ら ばGp0⊃SU(2)で

の 時,−1c2∈SU(2)⊂Gp0で

あ る か らDは

っ てGp0

あ る(問 題6.2

対 称 と な る.dimGp2=2

の 時 は 

と 考 え 得 る の で,−1C2

∈Gp0と

な り,Dは

+dimRD=5ま

対 称 で あ る.dimGp0=1,0の

た は4で

G(D)は

た4と

(証 終) な るDにつ

半 単 純 で は な い.従

と お く と,aはg(D)の

い て 考 察 す る.注

っ て,g(D)の

 (r(D))(k+1)={0}と

  補 題14.2 

場 合 は,dimG(D)=dimGp0

あ る. 

  以 下,dimg(D)=5ま

w2}が

対 称 で あ る か,dimG

根 基r(D)は{0}で

な る 整 数 

よ り,

は な い.

を と り,a=a(D)=(r(D))(k)

可 換 イ デ ア ル で あ る.

あ る 点p0∈Dと

そ の 近 傍U0お

存 在 し て,  だ か ら,X∈a, 

な るXが

∈Dを

理11.2に

近 傍U1と

存 在 し て,X￨U1=∂/∂u1で

よ び,U0の

上 の 座 標 系{w1,

ま た はa￨U0={∂/∂w1}が

  証 明  と る.定

意6.1に

よ り,p1の

あ る と し て よ い.さ

あ る. 

ち,f,gはu2の

な る 点p1

そ の 上 の 座 標 系{u1,u2}が て,任

意 のY∈aはU1上

 と 書 け る.[∂/∂u1,Y]=0で  .即

成 立 つ.

み の 関 数 で あ る:Y=f(u2)・

で, あ る か ら, ∂/∂u1+

 な ら,  f(u2)は

定 数 で あ る.よ

で 

っ て, 

な る 元Y∈

U2が

で あ る か ら,系13.1に の 場 合 は, 

α が と れ る.こ

存 在 し て, 

の 近 傍U0と

のYに

対 し,点p0∈U1と

存 在 し て,U0上

あ る か ら,p0 で はX=∂/∂w1, 

はa={x,Y}Rで

あ る こ と を 示 そ う.任

と 書 け る が,[∂/∂wi,Z］=0(i=1,2)で 即 ちf,gは b,b'∈R)と

意 のZ∈aは  あ る か ら, 

定 数 で あ る. 

(a,a',

あ ら わ す と, 

よ っ て,   他 方, 

よ りb=b'=0.即

  14.3 

Y

し て よ い(問 題11.2).

  こ の 時,実

13.1に

その近 傍

と し て よ い.[X,Y]=0で

そ の 上 の 座 標 系{w1,w2}が

=∂/∂w2と

よ り,

ちZ=aX+a'Y(a,a'∈R)と

dima(D)=2の

  こ の 節 の 目 標 は,非

で あ る か ら,定 書 け る. 

理

(証 終)

場 合 対 称 等 質 有 界 領 域D⊂C2でdima(D)=2な

る もの は

存 在 し な い こ と を 示 す こ と で あ る.   補 題14.2のU0の Xで

上 で 議 論 を 進 め る の で,X∈g(D)に

あ ら わ す こ と に す る(補

  補 題14.3 

題6.9に

任 意 のX∈g(D)に

対 し,X￨U0を

よ り,X→X￨U0は1対1対

単に

応 で あ る).

対 し実 数a,b,c,a',b',c'とA∈aが

存在

し て,

 (14.1)

と 書 け る.ま

た,こ

の よ う な あ ら わ し 方 は 一 意 的 で あ る.

  証 明  

と 書 けf,g∈OU0で

(補 題14.2)で

あ っ て,aがg(D)の で あ る.従

f=aw1+bw2+α, 

あ る.a∋

∂/∂w1,∂/∂w2

イ デ ァ ル で あ る こ と よ り, 

っ て,∂f/∂wi,

∂g/∂wi(i=1,2)は

g=a'w1+b'w2+α';a,a',b,b'∈R,  (c,d,c',d'∈R)と

実 定 数 で あ る.即 α,α'∈Cと あ ら わ し,A=d・

ち

書 け る. ∂/∂w1

+d1'・ ∂/∂w2と お け ば,(14.1)を

得 る.定

理13.1を

用 い る と,(14・1)の

わ し 方 は 一 意 的 で あ る こ と が わ か る.    定 義14.1  U0上

X∈gに

対 し(14.1)に

あら

(証 終) よ っ て,a,b,a',b'∈Rが

き ま る か ら,

の ベ ク トル 場 の 集 合 

え ら れ る.こ

が考

の と き,X∈gは,X=X1+X2, 

X1∈g, 

と一 意

的 に 書 け る.   補 題14.4 

Xに

型 で あ る.特

にgは

対 しX1を

対 応 さ せ る写 像

リ ー 環 で あ っ て,か

  証 明   任 意 のY∈g(D)を

ψ:g→〓0(U0)は

つdimg=dimg(D)−2が

成 立 つ.

と り,Y=Y1+Y2,Y1∈g, 

と書

く と,[X,Y]=[X1,Y1]+[X１,Y2]+[X2,Y1]+[X2,Y2]で

あ っ て,[X1,Y1]

∈g,[X1,Y2],[X2,Y1], 

で あ る こ と よ り,ψ

準 同 型 で あ る こ と が わ か る.ψ(a)=0で て,ψ(X)=ψ(X)な

=dimg−2が

型 写像

は リー環 の

ψ:g/a→gで

だ しX=Xmoda.ψ

あ っ

は 全 射で

が 単 射 で あ る こ と を 示 せ ば,dimg=dim(g/a)=dimg−dima 証 明 さ れ る.

  φ(Xmoda)=0と

せ よ.ψ(X)=0で

と 書 け る.X∈g,A∈aよ

.よ

た は4で

dimg=3で

っ て 定 理13.1に

よ り,A'=0, (証 終)

あ っ た か ら,dimg=3ま

あ っ て,gが

単 純

あ る か ら,g=〓(2,C)と

た は2で

あ る.

リ ー 環 の 場 合. し て よ い(問

っ て,  X,X',X"が

,A,A'∈a

あ る. 

  dimg(D)=5ま

 g⊂g〓(2,C)で

あ る か ら 

り 

即 ちX=A∈a,X=0で

  (I) 

あ る か ら,線

る も の が 定 義 さ れ る.た

あ る か ら,φ

リ ー環 の 準 同

題6.1,6.2参

照).よ

と し て よ い.gの

元

存 在 し て,  と な る が,ψ

の 定 義 に よ り,X=(w1+α)・

∂/∂w1−(w2+α')・

∂/∂w2,α,α'∋C; c,c'∈R;  d,d'∈Rで 換:z=w1+α,  X,X',X"は

w=w2+α'を

行 う と, 

次 の よ う に あ ら わ せ る: 

あ る と し て よ い.座

標 変

で あ っ て,

た だ しh,h',k,k'∈R.[X,X']=Yと

お く と, 

で あ る.よ

っ て, 

ま た,  よ っ て, 

定 理13.1

に よ っ て,h=h'=k=k'=0.従 ∂/∂z∈g(D)と

な り,定

  (Ⅱ) gが  

っ て,X"≡w・ 理13.3に

反 す る.従

∂/∂z(moda).よ っ て,(I)の

っ て,w・

場 合 は 起 ら な い.

単 純 で も 可 換 で も な い 場 合. で あ る か ら,gが

よ っ て 定 理6.2(i)に

単 純 で な け れ ば,gは

よ り,g(1)={w1・

可 解 で あ る(§6.2参

∂/∂w2}.従

成 さ れ る.故

にg(2)={∂/∂w2}R.よ

で あ る か ら 矛 盾 で あ る.従

  (Ⅲ)  gが

っ て,a=g(2)で

っ て,(Ⅱ)の

照).

っ て,g(1)は  な る 形 の3つ

の 元 で 生

あ る が, 

場 合 も 起 ら な い.

可 換 の 場 合.

  定 理6.2(ⅱ)に gは

∂/∂z,

よ れ ば, 

次 のgi(i=1,2,3)の

で あ る か ら,dimg=2と

な る.従

っ て,

い ず れ か と な る:

(ⅰ) (ⅱ)(ⅲ)

  ま ず(ⅰ)の

場 合.

  X,X'∈g(D)で,  こ れ ら は,次

と な る も の が あ る. の 形 を し て い る: 

c,d

∈R; 

c',d'∈R.い

ま 座 標 変 換:

  を 行 う と,  と 書 け る.よ 従 っ て,Y=X−X'−X"=z・ で あ る か ら,定 同 様 にc'=0と

な っ て,X'=w・

っ て,  ∂/∂z−w・ ∂/∂w∈g(D)で

理13.1に ∂/∂w.よ

よ り,d=0.故 っ て,g(D)=g1 

あ る.  にX=z・

∂/∂z.

g2,  g1={X,∂/∂z},

g2={X',∂/∂w}と

な り,定

理14・1(ⅱ)の

証 明 と 同 様 に し て,Dは

単 位 円板

の 直 積 と 同 型 で あ る こ と が わ か る.   (ⅱ)の

場 合.

  X,X'∈g(D)で,  と な る も の が あ る.X,X'は

次 の 形 を し て い る:  座 標 変 換:

z=w1+c, 

を 行 う と,  k,k'∈Rと

書 け る.と

こ ろ が, 

よ っ て,   以 上 で,g(D)はz・

∂/∂z+w・ ∂/∂w, z・ ∂/∂w−w・ ∂/∂z,  ∂/∂z, ∂/∂wに よ っ て

生 成 さ れ る こ と が わ か っ た.さ て,C2の

上 で 領 域 

た は 

ま

を 考 え,D1上

の1径

 を 考 え る と,φt,θt,ωt,ηtに

数 変換 群

対 応 す るベ ク

トル 場 は そ れ ぞ れ ∂/∂z,∂/∂w,z・ ∂/∂z+w・ ∂/∂w,z・ ∂/∂w−w・ ∂/∂zに な っ て い る.こ

れ ら1径

数 群 で 生 成 さ れ る 群G1はD1の

ま た(0,i)∈D1のG1に れ る.従 13.4に

よ る 軌 道G1・(0,i)がD1に

っ て,(D,G(0))と(D1,G1)と よ り,D1は

矛 盾 で あ る.従   (ⅲ)の

正 の 向 き の 相 似 変 換 群 で あ る. な る こ と も た しか め ら

は 局 所 同 型 で あ る(注 意13.2).定

超 平 面 を 含 ま な い は ず で あ る が,D1⊃{i}×Cで

っ て,(ⅱ)の

理

あ るか ら

場 合 は 起 ら な い.

場 合.

  X,X'∈g(D)で 

とな る も

の が あ る.X,X'は, c,d ∈R; 

c',d'∈Rの

座 標 変 換: 

形 を し て い る.

を 行 う と,  h,h'∈Rの

形 に な る.よ

っ て, 

故 にX'+[X,X']=z・ を 得 る.一

方

∂/∂w∈ α⊂gで

あ っ た か ら定 理13.3に

反 す る.よ

∂/∂w∈g(D) っ て,(ⅲ)の

場 合 は 起 らな い.以 上 を ま と め て,   定 理14.2 

dima(D)=2と

同 型 で あ る.特

 

14.4 

な る2次 元 等 質 有 界 領 域Dは

に,Dは

対 称 領 域 で あ る.

dima(D)=1の

  補 題14.2に

場 合

よ り,a={∂/∂w1}Rと

w2)・ ∂/∂w1+ψ(w１,w2)・

∂/∂w2と

し て よ い.任

意 のX∈g(D)はX=g(w1,

書 け る が,aがg(D)の

イ デ ア ル で あ る こ と よ

り,  つ

単 位 円板 の 直 積 と

即 ち

∂φ/∂w1=0で

あ る.よ

∂g/∂wl=a∈R,か

っ て,g(w1,w2)=aw1+f(w2),φ(w1,w2)=φ(w2)な

る 型 に な る.   補 題14.5 

の 型 の 元X∈g(D)

が 存 在 す る.   証 明   す べ て のX∈g(D)は 

の 型 で あ る と

せ よ.U0の1点p0=(w10,w20)を g1はgの

部 分

+φ・ ∂/∂w2に

固 定 し,g1={X∈g￨φ(w20)=0}と

リ ー 環 で あ る.そ

対 し

こ で,写

ψ(X)=f(w20)・

像

∂/∂w1に

ψ:g1→C・

ψ(g1)=C・

X,Y∈g1が

∂/∂wl.よ

よ っ て,X=f1・

存 在 す る.い

ま 任 意 に(w1,w20)∈U0を

(w1+f(w2))・

∂/∂w1な

と る と, 

行 う と,z・

矛 盾 す る. 

る 形 の 元 はg(D)に

∂/∂w1と

し,[z・

(証 終)

は 入 ら な い.

し て 矛 盾 を 出 す.座

∂/∂z∈g(D)で

標 変 換:z=w1+

あ っ て,a={∂/∂z}Rで

あ る.任

で あ る.何 イ デ ア ル で あ る か ら,[∂/∂z,X]=a・ ∂/∂z+φ1・ ∂/∂wの

係 数f1,φ1は

す か ら,f1=az+f(w),φ1(z,w)=φ(w)と に 対

あ る. を み た す

のX∈g(D)は  aはg(D)の

は 準 同 型 で

っ て,ψ(X)=∂/∂w1, 

  証 明   g=g(D)∋(w1+f(w2))・ f(w2),w=w2を

∂/∂w1

あ る か らdimψ(g1)=2で

と な り 定 理13.2に   補 題14.6 

∂/∂w1を,X=f・

よ っ て 定 義 す る と,ψ

あ る こ と が わ か る.(g(D))(p0)=Tp0(U0)で 即 ち

お く と,

∂/∂z,f(w)・

∂/∂z+φ(w)・

∂/∂zと

な るa∈Rが

∂f1/∂z=a,∂

し て よ い.つ ∂/∂w]∈g(D)で

ぎ に,こ

意

故 な ら, あ る.

φ1/∂z=0を

み た

のf(w),φ(w)

あ る か ら,f(w)・

∂/∂z

∈g(D)が X≡

得 ら れ る.よ

っ て,系13.1に

φ(w)・ ∂/∂w(mod∂/∂z,z・

bz・ ∂/∂z+φ(w)・

∂/∂wと

よ っ てg1={∂/∂z,z・

に 従 っ てi=1,2ま

∂/∂z∈g,ψ(w)・

っ て, ∂/∂z+

∂/∂w∈gで

お く と,g(D)=g1 

あ る. g2と

対 す る 仮 定 に 反 す る. 

方X=∂/∂z∈a(D)で

(証 終)

∂/∂wな

あ る か ら,g(D)の

る 形 の 元 を と れ る.た あ る.こ

張 ら れ る 実 ベ ク トル 空 間 を〓

  補 題14.7 〓

意 のx∈g(D)はX=a・

∂/∂w∈g}と

た はi=1,2,3で

w平

定 数 で あ る.よ

よ り,g(D)は 

∂/∂z+φi(w)・

  定 義14.3 

ち,任

∂/∂z+bz・

直 前 のg(D)に

な る 形 の 元 を 含 む.一

∂/∂wで

書 け,a・

補 題14.5に

Y,Zi=fi(w)・

∂/∂z).即

∂/∂z}R,g2={φ(w)・

な り 補 題14.1の   定 義14.2 

よ り,f(w)は

基 と し て,X,

だ し,dimg(D)=4,5

の 基 に 対 し,φ(w)・

∂/∂w,φi(w)・

で あ ら わ す.

面 上 の 正 則 関 数fに

対 し.f'=df/dwと

書 く.

は リ ー 環 を な す.

  証 明  

か つ

(14.2) で あ る か ら,[φ

・∂/∂w,φi・ ∂/∂w]∈〓

で あ る.ま

た,

(14.3) で あ る か ら, 

(証終)

  補 題14.8 φi・

∂/∂wで 張 ら れ る ベ ク トル 空 間 をa0と

書 く と,a0は〓

のイ

デ ア ル で あ っ て,    証 明   (14.2)と(14.3)に ま た 補 題14.6に

よ っ てa0が〓

よ り, 

と な るai∈Rが と な り,や   補 題14.9 〓 ま た は4で

の イ デ ア ル で あ る こ と が わ か る.

で あ る か ら 

.ま

た,a0=〓

な ら 

存 在 す る の で, 

は り補 題14.6に

反 す る. 

(証 終)

は 可 解 リ ー環 で あ っ て,dimg(D)=4,5に

従 っ て,  dim〓=3

あ る.

 証 明   補 題14.8に

よ り,〓

は 単 純 で は な い.従

っ て,定

理6.4(i)に

よ

り〓

は 可 解 で あ る.次

に φ,φiが

一 次 独 立 で あ る こ と を 示 そ う. 

と せ よ.  で あ る か ら,補

題14.6に

従 っ て 系13.1に

よ り,a=0で

あ る.よ

よ り, 

っ て, 

は 実 定 数 で あ る.一

故 に  bi=0.こ

方a=0よ

り

は 一 次 独 立 で あ る か ら,

れ で,φ,φiの

  補 題6.13,6.14に

一 次 独 立 性 が 証 明 さ れ た.  よ れ ば,〓

は 次 の 

(証 終)

の い ず れ か に 同 型 で あ る:(1)  (2) 

  補 題14.10 

(ⅰ)〓1が2次

で あ る.(ⅱ)〓2が3次 ∂/∂w}で

元 の イ デ ア ルa1を

含 め ば, 

元 の イ デ ア ルa2を

含 め ば, 

あ る.

  証 明   (ⅰ) 

と お く.任 (a,b,c∈R)と

  [∂/∂w,X]∈ａ1で

意 のX∈a1は 

書 け る.

あ る か ら,

(14.4) で あ る.ま

た,

(14.5)   次 に, 

な るX∈a1が

0が

存 在 し て, 

α ・∂/∂w∈a1.(14.5)に

る.よ

っ て

代 りに

ちn=0で

あ る.従

代 入 す る と

α2・∂/∂wもX1の

っ て,m・

, 

∂/∂w∈a1即

だ か ら    で あ る か らcaw・

と な り 矛 盾 で あ る.従 る.dima1=2だ

α ・∂/∂wを

基 で あ る か ら.α ・ ∂/∂wも

α ∈R即

か ら

あ る か ら,

と 書 け る.(14.4)よ お い てXの

∈a1.{X,X1}はa1の

一 方

あ っ た と し て 矛 盾 を 出 す.dima1=2で

っ てX∈a1は

∂/∂w∈a1.即 つ ね に 

ちw・

り α2・∂/∂w

実 数 倍 で あ ち

∂/∂w∈a1. .∂/∂w,

∂/∂w∈a1.よ

っ てa1=〓 と書 け

  (ⅱ) 

と お く.dima2=3,dim〓2=4で

で な いX0∈a2 

bが

あ る か ら,0

あ る. 

(a,b∈R)と

書 く.

 だ か ら,  て 

よっ

と お く と 

る か ら, 

X0,X1は

従 っ て 

  系14.1 

(ⅰ)  g(D)は

次 の 形 の4つ

  (ⅱ)  dimg(D)=5な   証 明  〓 はwの

ら,更

にf3(w)・

含 む か ら,〓1(ま

題14.10に

よ り,a1(ま

た はa2)は

標 変 換 を 行 う の で,∂/∂zは 元(ま た は5元)を

た は〓2)は

あ る. 

∂/∂z+βw・ ∂/∂wを 含 む. た は〓2と イ デ ア ルa1(ま

∂/∂w, 

な る.し

か る に〓

た はa2)を を 含 む.w座

変 ら な い こ と に 注 意 す れ ば,g(D)が

場 合g=g(D)の

基 と し て,X=∂/∂z, 

が とれ る.こ れ ら の 元 の 括 弧 積 は:

(14.6)

よ っ て,g(1)={X,Z1,Z2}R,g(2)=R・[Z1,Z2]⊂R・X,g(3)={0}.g(2)=R・Xな る た め の 必 要 十 分 条 件 は   (ⅱ)  ∂/∂z+βw・

dimg(D)=5の ∂/∂wと

場 合.gの が と れ る.こ

基 と し て,上

含 み,補

求 め る 形 の4

可 解 リ ー環 で あ る.

  証 明   (ⅰ)  dimg(D)=4の

はイ

標 のみ 座

含 む こ と が 容 易 に た し か め られ る.  g(D)は

(証 終)

の 元 を 含 む.

座 標 変 換 に よ っ て,〓1ま

デ ア ルa0を

  補 題14.11 

よ っ てa2⊃bで

一 次独 立 で あ

のX,Y,Z1,Z2とZ3=f3(w)

の 時 も 計 算 に よ っ て,[Z2,Z3],[Y,Z2],[Y,Z3]

(証 終)

∈{Z1,Z2}Rが

わ か り,(ⅰ)と

  補 題14.12 

(g(D))(1)は

同 じ 結 論 が 得 ら れ る. 

(証 終)

∂/∂z, 

な る 形 の 元 を 含 む.   証 明   (14.6)に Z1],[Y,Z2]の α 

よ り,∂/∂z∈(g(D))(1)は ∂/∂w成 分 の 係 数 は

と はR上

明 か.ま

た(14.6)に

− α,− α 

で あ る.と

一 次 独 立 で あ る か ら,[Y,Z1],[Y,Z2]の

こ ろ が,α

と

適 当 な実 係数一 次

結 合 は 求 め る 型 の 元 と な る.    系14.2 

よ り,[Y,

(証 終)

補 題14.11のf1,f2に

対 し, 

は0で

ない 実定数 で

あ る.  証明 

で あ る か ら, 

実 定 数 で あ る.も =(g(D))(1)と

し そ れ が0な

ら ば,(g(D))(2)={0}と

な り,dima(D)=1な

な る か らa(D)

る 仮 定 に 反 す る. 

  系14.3 a(D)=R・

∂/∂zで あ る.

  証 明   系14.2に

よ り(g(D))(2)=R・

は

∂/∂zが 成 立 つ.よ

(証 終)

っ てa(D)=(g(D))(2)

で あ る. 

(証 終)

  系14.2に

よ り 

と し て よ い.よ

は 実 定 数 で0で

っ て 

な い か ら,  c∈Cと

書 け る.c=a+

 b, a,b∈Rな:ら,  を 考 え る こ と に よ り,c=0と   補 題14.13 

し て よ い.

適 当 な 座 標 変 換(z,w)→(z,w)を

行 う と,g=g(D)は

∂/∂z,

 の 形 の 元 を 含 む.   証 明   wの も の を1つ =F'(w)・

正 則 関 数F(w)で  と る.座

標 変 換:z=z+F(w), w=wを

∂/∂z+∂/∂wと

な る か ら,

なる 行 う と,∂/∂z=∂/∂z,  ∂/∂w

い ま 

と お く と,

  従 っ て, 

と な りg(D)は  な る 元 を 含 む こ と が わ か っ た.一

方, 

は 上 の 座 標 変 換 を 行 っ て も 同 じ 形 を し て い る.    以 下,上 g(D)は

のz,wを

次 の4つ

改 め てz,wと

(証 終)

書 く こ と に す る と,dimg(D)=4の

場 合,

の 元 で 張 ら れ る.

 (14.7)

  注 意14.1 

dimg(D)=5な

に よ っ てg(D)は Z3の

ら,上

張 ら れ る.何

の4元

故 な ら,上

と 

と

の 座 標 変 換(z,w)→(z,w)に

型 の 元 は 同 じ型 の 元 に な る か らで あ る(補 題14.11の(ⅱ)参

  補 題14.14 

(14.7)の

よ って 照).

記 号 を 用 い て,A,Bを

に よ っ て 定 義 す る と,A,B∈g(D)で

あ る.

  証 明   [Y,Z1]=A,[Y,Z2]=Bと

な る か ら で あ る. 

(証 終)

と な る か らで あ る. 

(証 終)

  補 題14.15  は 共 にg(D)の

元 で あ る.

 証 明  

  補 題14.16    証 明  系13.1と

m=1/2,f′(w)=0が 補 題14.15に

成 立 す る. よ り, 

は 共 に 実 定 数 で あ る.よ

と  っ て 

.

従 っ て  =0も

,即

ちa=b=0,m=1/2と

な る.よ

っ てf′(w)

成 立 す る . 

  補 題14.17 

(証 終)

dimg(D)=4な

らば,g(D)は

次 の 形 の4つ

の元に よ って張 ら

れ る.

 (14.8)

  証 明   補 題14.16に →(z+c,w)を

よ り,f(w)=cは

行 え ば ,m=1/2に

定 数 で あ る か ら,座

注 意 す る と,(14.7)の

標 変 換:(z,w)

元 は(14.8)の

な る こ と が わ か る.    注 意14.1に

型に (証 終)

よ り,dimg(D)=5の

場 合 は,g(D)は(14.8)の4元

と に よ っ て 張 ら れ る.こ

のf3(w)と

と  β につ い て 次 の

補 題 が 成 立 す る.   補 題14.18 f3(w)は

実 定 数 で あ り,β

  証 明   A=[X3,X5],B=[X4,X5]と

は 純 虚 数 で あ る. お く と,  が 成 立 す る か ら, 

と 書 く と,実

数c,d,e,c′,d′,e′

が 存 在 し て,次

のよ う

に あ ら わ せ る.   (14.9) 

A=aX3+bX4+cX1+dX2+eX5,

  (14.10) 

B=−bX3+aX4+c′X1+d′X2+e′X5.

  (14.9)の

両 辺 の ∂/∂zの 係 数 を 比 較 す る と,  を 得 る.即

ち,

  (14.11) が 成 立 つ.(14.11)の 共 に 定 数,従

っ てd=0を

比 較 す る と,e=0を   (14.12)

左 辺 はwの

み の,右

得,(14.9)に

得 る.よ

辺 はzの

み の 関 数 で あ る か ら,両

代 入 し て,両

っ て,(14.11)に

よ り,

辺 のw・

∂/∂wの

辺

係数 を

  次 に(14.10)の

両 辺 の ∂/∂zの 係 数 を 比 較 し て,  従 っ て, 

同 じ論 法 に よ り,d′=e′=0を

得,次

よって上 と の 式 が 成 立 つ.

  (14.13)   (14.12)と(14.13)よ a=c=c′=0が あ る.と

り, 

導 か れ る.従

と な り,

っ て,Reβ=a=0,f3′=0,即

定数 で

こ ろ が,  で あ る か ら,r∈Rで

  補 題14.18に っ て,次

ち,f3=rは

よ り,X5は 

あ る. 

(証 終)

と し て よ い か ら,補

題14.17に

よ

の 命 題 が 証 明 さ れ た.

  命 題14.1 

dima(D)=1の

場 合,g(D)は

次 のg1ま

た はg2の

いず れ かで

あ る.

  14.5  2次

元 等 質 有 界 領域 の分 類

 定 義14.4 C2の

  補 題14.19 

D1に

の リ ー 変 換 群G1が   証 明   C2の1径

領 域D1を

対 し,そ

次 式 で 定 義 す る.

の リ ー 環 がg1(命

存 在 し て,G1はD1に 数 変 換 群ωt,ψt,φt,θtが

題14.1)と

な る よ う な,D1

推 移 的 に 作 用 す る.

に よ っ て 定 義 で き る.ま ぞ れX1,X2,X3,X4で

た,ωt,ψt,φt,θtか

あ る こ と も 容 易 に た しか め ら れ る.こ

群 で 生 成 さ れ る 変 換 群 をG1と 道G1・p0は

ら 導 か れ た 正 則 ベ ク トル 場 は そ れ

す る と,G1の

れ ら4つ

の1径

点 

数

を 通 る軌

次 式 で 与 え ら れ る.

 と 書 く と,  が 得 ら れ る.    補 題14.20 

D1は

複 素2次

(証終)

元 の 単 位 球D0と

同 型 で あ っ て,特

に単 連 結で

あ る:   証 明  C2はP2(C)の さ れ る(例11,2参

中 へ  照).P2(C)に

に よ っ て埋 蔵 お い て, 

で あ る か ら, 

と な る.と

こ ろ で,

従 っ て,  と な る.同 つ.一 −1}で

方,エ

様 に し て, 

が成 立

ル ミ ー ト形 式 

あ る .何

あ る か ら,容

故 な ら,θ1に

の 固 有 値 は{1,1,

易 に 固 有 方 程 式 が(1−

ミ ー ト形 式 θ0=z1z1+z2z2−z3z3も

λ2)(1− λ)=0で

互 い に 変 換 さ れ る.従

P2(C)→P2(C)に

よ っ て, 

  証 明 

っ て,Mか

ら導 か れ る射 影 変 換

が 得 ら れ, 

θ1 ψ:

,従

っ

(証終)

σ∈Aut(D1)が(dσ)Xi=Xi(i=1,2,3,4)を

だ し,Xiは

ル

あ る か ら,θ0と

が 成 立 っ. 

  補 題14.21  で あ る.た

あ る こ と が わ か る.エ

固 有 値 は{1,1,−1}で

と は 正 則 行 列Mで

て 

で

対 応 す る 行 列Aは 

命 題14.1のg1の

み た せ ば,σ=1D1

基 で あ る. と す る. 

で あ る か ら,∂ Ψ1/∂z=1,∂Ψ2/∂z=0.従

って

ψ2(z,w)

と 書 け る.ま

た,(dσ)X3=X3よ

り, 

従 っ て,   (14.14) が 得 ら れ る.同

様 に し て,(dσ)X4=X4よ

り

  (14.15)

が 得 ら れ る か ら,(14.14)と(14.15)よ F(w)=α

∈Cを

得 る.次

り,2F′(w)=0.従

に,(dσ)X2=X2よ

り

α=0が

っ て,Φ(w)=w, 導 か れ る.よ

σ(z,w)=(z,w). 

(証 終)

  我 々 の 等 質 有 界 領 域Dは,  さ ら に,補

題14.20に

て い る.従

っ て, 

g1の

よ り,D1は

元 対 称 有 界 領 域 は,単

が 知 られ て い る の で,結   定 理14.3 C2の

で あ る か ら,D1に 単 連 結 で,か

局 所 同 型 で あ っ て,

つ 定 理13.5の

が 得 ら れ た.g(D)=g2の

場 合 と 同 様 に 議 論 が で き, 

  一 方,2次

って

条件 をみ た し

場 合 も 同 じD1を

を 結 論 で き る. 

位 円 板 の 直 積 か,2次

用 い て,

で あ ったか ら

元 単位 球 に限 る こと

局 次 の 定 理 が 証 明 さ れ た.

等 質 有 界 領 域 は 対 称 領 域 で あ っ て,複 素2次

は,単 位 円 板 の 直 積 に 同 型 で あ る.

元 単 位 球 また

問題 解 答 の ヒ ン ト

  1.3  ξ∈Kと

十 分 小 なsを

固 定 し,y(t)=Φt(Φs(ξ)),z(t)=Φt+s(ξ)と

y(0)=Φs(ξ)=z(0),dy/dt=f(y(t)),dz/dt=f(z(t)).よ

お く と,

っ て 解 の 一 意 性 よ りy(t)=z(t)

を 得 る.

  2.2 

を と り,v2=f(v1)と

v∈V, 

お く と,v1,v2は

を と り,v4=f(v3)と

一 次 独 立, 

お く とv1,v2,v3,v4は

な ら

一 次 独 立.以

下 この操

が と れ る か らV/{v}R=Vと

お く.

作 を く りか え す.   2.3 

nに

つ い て の 帰 納 法.f(v)=0な

f:V→Vがf(w)=f(w)(w∈V)に

る 

よ っ て 定 義 で き て,fm=0.fに

対 し帰 納 法 の 仮 定

を 用 い る.

  3.4  x0∈Mを と お く.M′

がMの

  4.6 Uが れU上

中 の 開 か つ 閉 集 合 で あ る こ と を 言 え ば よ い.

コン パ ク トな 開 集 合Uで,U⊃Kな の1径

K,t∈R)と   4.7 

固 定 し,M′={y∈M￨∃x1,…,xN=y,(xi,xi+1)∈D(i=0,…,N−1)}

る も の を と る.Uに

数 局 所 変 換 群{Φt}(￨t￨<ε)がXか

お く と{Φt}(￨t￨<ε)はM上 M=Rnな

ら1径

数 群{Φt}が

の 生 成 す る1径

問)を

数 群{Φt}(前

よ っ て 生 成 さ れ た 変 換 群 で あ る.

存 在 し て Φ1(p)=qと

入 る2点p,qに

対 し,Uの

用 い て

対 し て は,p=p0,p1,…,pN=qな

N−1)な

る Φt(i)が と れ る よ う に し,Φ=Φ1(N−1)°

MをR2と

し,M′

をR2の

る 点p1を

中 の8の

で き る.一 外 で は0と

Φ1(p)=qを

点p,qに

  5.1 

と

ら生 成 さ れ る.Φt(p)=p(p∈M− のXに

十 分 小 さ い 連 結 座 標 近 傍Uに

対 し ε>0が

般 の 場 合,ま

ず

な る ベ ク トル 場

み た す よ う に す る.任

意 の2

と り Φ1(i)(p1)=pi+1(i=0,1,…, …°Φ1(0)を 考え れ ば よ い.

字 型 の 曲 線 と す るM′

に 適 当 なC∞

構

造 を 入 れ よ.

  6.1 

(2) 

  6.2(1)は

な る 対 応 を 考え よ. 容 易.(2) 

お く と,X1,…,X4はgの

と 基 と な り,[X1,X2]=0,[X1,X3]=X4,[X1,X4]=−X3,

[X2,X3]=2X4,[X2,X4]=−2X3,[X3,X4]=2X2.い X4を

用 い て あ ら わ す と,も

Y2=b2X2+b3X3+q4X4,Y3=c3X3+c4X4と

し 

ま〓

の 基Y1,Y2,Y3をX1,…,

な ら ば,Y1=X1+a2X2+a3X3+a4X4, し て よ い.(ⅰ) 

な らb2=1と

して よ

く,こ

の 場 合, 

の と き とc3=0の

示 す.(ⅱ)b2=0な

と き に わ け て,い

らY2=X3,Y3=X4と

と な り, 

が わ か っ て, 

  7.3  d∈Dを

固 定 し,Φ:G→GをΦ(g)=gdg−1d−1で

か つ デ ィス ク リ ート.よ

って

  8.2 

と な り, 

Φ(G)={e}.ゆ

  7.5  ι:G→G,ι(g)=g−1が

=σ(1)に

対 し,σ

よ る リ フ トσ

の 終 点σ(1)は

ひ き お こ さ れ る.(2)Snを

コ ン パ ク ト性 を 用 い る.

被 覆 写 像 で あ る.

整 数 で あ る.φ([σ]) 北,南

半 球 の和 であ

つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.

考 え る.Cn×nの

座 標 を(zij)(i,j=1,…,n)と

と お く.g∋Xに 応 

し, 

対 し 

とお

を 考え れ ば よ い.

  9.2 

に 対 し 

と θ:R→GL(n,C)は1径

は つ ね に 収 束 す る.θ(t)=exp(tX)と

数 部 分 群 で あ っ て,(dθ)0(d/dt)=Xが

  9.3  適 当 なU∈GL(n,R)を

=1で

連 結

え にg・d=d・g.

で 定 義 す る と,fは

のfに

  9.1  GL(n,C)⊂Cn×nと

き,対

定 義 す る と Φ(G)⊂Dは

連 続 で あ る こ と を 言 う の に,Mの

よ り 同 型φ:π1(S1,1)→Zが

ら わ し,nに

よ り 

に 反 す る.

(1)f:(R,0)→(S1,1)を 

π1(S′,1)∋[σ]に

ず れ の 場 合 も起 ら な い こ と を

し て よ く, 

あ る か ら −1の

わ か る.

の 型 に で き る.detA

と る と 

個 数2kは

お く

偶 数 で あ る.  k個

 と お き,X=UYU−1と

  10.2 

r>1に

お け ば,A=expXで

対 しCr={ζ

を 考 え る. 

あ る.

∈C‖ ζ￨=r}と

お き, 

と お く と, 

方,￨ζ￨>1な

ら, 

と な る.よ

っ て, 

な る.Pn(z)がzのk次 と よ り わ か る.

一 で あ る か ら,  と お く と, 

斉 次 多 項 式 と な る こ と は 

と な る こ

 ま た

ζ=reiθ

と お く と,  と な る.こ

こ で,r→1と

 10.3  こ の 問 題 は 非 常 に む ず か しい.参

  11.1 

す れ ば よ い.

考 書[10]を

左 辺 か ら 右 辺 を 引 い た も の をS(X,Y)と

見 られ た い.

お く と,任

意 のf,g∈C∞(M)に

し,S(fX,gY)=f・gS(X,Y),S(X+X′,Y)=S(X,Y)+S(X′,Y),S(X,Y)=S(Y,X) 等 が わ か る の で,X=∂/∂xi,Y=∂/∂yjに れ はJの   11.2 

対 し,S(X,Y)=0を

定 義 か ら殆 ん ど 明 か. 定 理5.1の

証 明 と 大 体 平 行に 証 明 さ れ る.

言 え ば 十 分 で あ る.こ

対

参

  本 書 を 書

考

く に あ た っ て 参 考 と し た 文 献,お

書

よ び 本 書 に 続 い て 読 む と よ い 本 等 に つ い て,

本 文 の 補 足 も か ね て 注 意 を 記 し た い.   1∼9章

に つ い て は 次 の 本 を 参 考 と し た.

  [1] 

松 島 与 三:多

様 体 入 門,裳

  [2] 

村 上 信 吾:多

様 体,共

  [3] 

Narashimhan,R.:Analysis

華 房(1962).

立 出 版(1969). on

real

and

complex

manifolds,Masson,

Paris(1968).   [4]  New

Helgason,S.:Differential

geometry

and

symmetric

spaces,Acad.Press,

York(1962).

  [5] 

Chevalley,C.:Theory

of

Lie

groups,Princeton

Univ.Press,Princeton

(1946).   [6] 

Pontrjagin,L.:Topological

groups,Princeton

Univ.Press,Prinrceton

(1946).   [7] 

Greenberg,M.:Lectures

on

Algebraic

topology,Benjamin,New

York

(1967).   1∼2章

で 用 い た 行 列 式 の 性 質 お よ び14章

で 用 い た エ ル ミ ー ト形 式 に つ い て は,次

の

本 を 参 考 に さ れ た い.   [8]    10章

佐 武 一 郎:行

列 と 行 列 式,裳

華 房(1958).

に つ い て は,

  [9] 

Gunning,R.C.-Rossi,H.:Analytic

Prentice-Hall,Englewood   [10] 

functions

Herve,M.:Several

complex

を 参 考 に さ れ た い.こ

の 章 で 用 い た1変

  [11] 

等 函 数 論,培

能 代

清:初

  11章

に つ い て は[4]Chap. Ⅷ

  12章

で は,

  [12] 

of several

complex

variables

Cliffs(1965). variables,Oxford

Univ.Press,Oxford(1963).

数 関 数 論 に つ い て は,次

の 本 を 参 考 に さ れ た い.

風 館(1954). を 参 考 に し た.

Cartan,H:Sur les

groupes

de

transformations

analytiques,Hermann,

Paris(1935).   [13] 

Cartan,H.:Les

fonctions

de

plusieurs

variables

complexes,Math.

Zeitschr.35(1932),760-773. の 主 要 部 分 を 紹 介 し た.た

だ,定

つ い て の リ ー の 基 本 定 理 は,紙

理12.4の

証 明 中 に 用 い た,局

所

リー 変 換 群 の 存 在 に

数 の 関 係 上 証 明 で き な か っ た の で[6]Chap ⅩⅠ

を 参 照

さ れ た い.   13∼14章   [14] 

で は,有

界 領 域 に つ い て の 古 典 と も 言 うべ き 有 名 な 論 文

Cartan,E.:Sur

les

domaines

complexes,Abh.Math.Seminar のChap. Ⅰ, Ⅲ

を 紹 介 し た.原

証 明 を 克 明 に 追

う の は,か

de l'espace

de

n

variables

論 文 の 読 み づ ら さ を 幾 分 で も 緩 和 す る よ う 努 力 し た が,

っ と 勉 強 さ れ た い 方 は,

Piateskii-Shapiro:Geometry

rphic

homogenes

な り 骨 が 折 れ る か も 知 れ な い.

  有 界 領 域 に つ い て,も   [15] 

bornes

Hamburg 11(1935),116-162.

of

classical

domains

and

theory

of

automo

  [16] 

functions,Fizmatgiz,Moscow(1961).

valences   [17] 

Kaup,W.―Matsushima,Y.―Ochiai,T.:On of

generalized

Vey,J.:Sur

Siegel la

division

the

domains,Amer.J.of des

domaines

automorphisms

and

Math.92(1970),475-498. de

Siegel,Ann.Ec.Norm.Sup.

3(1970),479-506. を 読 ま れ る と よ い と 思 う.   終 り に,有

界 領 域 以 外 の 分 野 の 微 分 解 析 幾 何 学 の"入

門 書"の

出 現 を 期 待 し た い.

equi

索

引 可 解 リー 環   93

ア

行

可 換 群   21

r開 球   1

可 換 リー 環   93

r近 傍   1

可 算 基   86

R多 元 環   23

可 算 公 理  85 括 弧 積   69,91

位 相   37

加 法   22

位 相 空 間   37

完 全 積 分 可 能   79

位 相 群   110

完 全 ベ ク トル 場   72

位 相 多 様 体   53 位 相 同 型 写 像   4,43

基   25

位 相 変 換 群   116

基 本 近 傍 系   37

1径 数 局 所 正 則 変 換 群   180

基 本 群   128

1径 数 局 所 変 換 群   70

局 所 群   189

1径 数 正 則 変 換 群   180

局 所 弧 状 連 結   130

1径 数 部 分 群   153

局 所 コ ン パ ク ト  48

1径 数 変 換 群   70

局 所 コ ン パ ク ト群   114

1径 数 変 換 族   70 一 次 結 合   25

局 所 座 標 系   53

一 次 独 立   25

局 所 準 同 型 写 像   144

一 様 有 界   119

局 所 断 面   160

一 般 線 型 群   110

局 所 単 連 結   139

イ デ ア ル   92

局 所 同 型   204

局 所 準 同 型   152

カ

行

局 所 リー 変 換群   189 局 所 連 結   44

開 近 傍   37

曲 線  46,164

開 集 合   1,37

距 離   38

階 数   29

距 離 空 間   39

解 析 関 数   170

近 傍   1,37

開 被 覆   42 概 複 素 構 造   179

群   21

開 部 分 多 様 体   54

群 乗 法   21

恒等 写 像 8

推 移 的   117

弧 状 連 結   46

ス カ ラ ー乗 法   22

固 定 群   161,195 固 有 多 項 式   31

正 則   163

固 有 値   31

正 則 関 数  166

固 有 ベ ク トル   31

正 則 自 己 同 型   177

孤 立 不 動 点   201

正 則 自己 同 型 写 像   167

根 基   96

正 則 写 像   167,177

コン パ ク ト  47

正 則 同型   177

コ ン パ ク ト開 位 相  51

正 則 同 型 写 像   167,177

サ

行

正 則 ベ ク トル 場   102,180 積  21

座標 近傍   53

積 分 多 様 体   79 接 空 間   61

Cr関

数   3,55

接 写 像  66

Cr構

造   52

接バ ソ ドル   65

Cr写

像  3

接 ベ ク トル   60

Cr多

様 体   52

切 片   80

Cr適

合   52

線 型 群   111

Cr同

型  3

線 型 写 像   28

C∞ 関 数  3,55

線 型 同 型 写 像  28

C∞ 曲 線   60

全 射   11

C∞ 写 像   58 C∞ 同 型   59

相対位 相  38

C∞ 同型 写 像   59

挿 入 写像  78

C∞ 微 分 系   79

夕

次 元   25

行

指 数 写 像  154

対 応 す る部 分 リー環   151

実 射 影 空 間   55

対 称 領 域  209

実 ベ ク トル 空 間   22

多 重 円 板   163

射 影   65

単射  9

集 積 点   40

単 純   96

準 同 型 写 像   93,111,150

単 連 結   129

準 連 続 群   188 商 ベ ク トル 空 間   28

チ ャー ト  52

商 リー 環   94

直 積   40

直 積 集 合   11

複 素 射 影 空 間   177

直 積 多 様 体  54

複 素 接 ベ ク トル   76

直 和   24

複 素 多 様 体   176 複 素 ベ ク トル 空 間   22

デ ィス ク リー ト位 相   39

複 素 ベ ク トル 場   77 部 分 多 様 体   78

同 型   93,111,130

部 分 ベ ク トル 空 間   24

同 型 写 像   93,111

部 分 リ ー 環   92

等 質 空 間   161

普 遍 被 覆 空 間   140

等 質 有 界 領 域  204

普遍 被覆 群

 144

同 相   43 同 程 度 一 様連 続   119

閉 集 合   1,39

ト レー ス  30

閉 包   40 ベ ク トル 場67,148

ナ

行

ハ

行

内 包 的   80

ポ ア ン カ レ群   128 ホ モ ト ピ ー   126,133

ハ ウ ス ドル フ 空 間   37

ホ モ トー プ  126,133

ハ ー ル 測 度  119

ホ モ トー プ0 

126

半 単 純   96 マ

(P)群

  190

行

道   46,126

左 移 動   112 左 不 変 ベ ク トル 場   148

無 限 小 変 換   72,184

被 覆 空 間   130 被 覆 群   144 被 覆 写 像   130 微 分   66

ヤ

行

ラ

行

ヤ コ ビア ン  9 ヤ コ ビ行 列   8 ヤ コ ビ等 式   91

微 分 可 能   163 徴 分 作 用 素   67 標 準 座 標 系   157

有 界集合  2 有 界 領 域   184

平 等 に 被 わ れ る  130

複 素 化   24

リ ー環

  91,149

複 素 構 造   176

リー群

 148,149

複 素 構 造 テ ン ソル   179

立 方 体   34

リ プ シ ッ ツ 条 件   11

ル ー プ  126

リ プ シ ッ ツ 定 数   11 リ フ ト   133,136

零 元   21

リ ー 部 分 群   151

連 結   43

リー 変 換 群

連 結 成 分   46

領 域   163

 161

連 続 写 像   42

著 者略歴 森 本 明 彦 1927年  大 阪市に生れ る 1951年  東 京大 学理 学部卒 業 現 在 名古屋大学名誉教 授 ・理学博士

基礎数学シリーズ17 定価 はカバー に表示

微分解析 幾何学入 門 1972年5月25日 2004年12月1日 

  初 版 第1刷 復 刊 第1刷

著 者 森

本

明

彦

発行者 朝

倉

邦

造

倉 書

店

発行 所  株式 会社  朝

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6‐29 郵 便番号   電

話 

FAX 

〈 検 印省 略〉 C

4‐254‐11717‐5 

03(3260}0180

http://www.asakura.co.jp

1972  〈無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉

ISBN 

162‐8707

03(3260)0141

C 3341

中央 印刷 ・渡 辺製本 Printed

in Japan