Пределы и производные 1. Методические указания

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Пределы и производные Методические указания к выполнению индивидуальных заданий

Санкт-Петербург 2005

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Пределы и производные Методические указания к выполнению индивидуальных заданий

Санкт-Петербург 2005

Составители: В. А. Вешев, С. В. Доброславский, С. Н. Розе, Ю. Н. Сирота Рецензент доктор физико-математических наук, профессор В. П. Одинец

Приведены варианты индивидуальных заданий для рейтингового контроля знаний студентов университета по математическому анализу. Кратко изложены основные теоретические сведения. Методы решения задач проиллюстрированы примерами. Подробно разобрано решение типового варианта индивидуального задания. Подготовлены кафедрой высшей математики и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.

c ГОУ ВПО

«Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения», 2005

Редактор А. В. Семенчук Подписано к печати 11.04.05. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,91. Уч.-изд. л. 2,38. Тираж 300 экз. Заказ № Редакционно-издательский отдел Отпечатано с авторского оригинал-макета СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б.Морская, 67

1.

Методические указания к решению задач по теме “Предел функции”

1.1.

Основные понятия

Определение 1.1 Конечное число A называется пределом функции f (x) в точке x0 , если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − x0 | < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству |f (x) − A| < ε. Для обозначения такого x→x0 предела используют символику lim f (x) = A или f (x) −−−→ A. x→x0

Определение 1.2 Функция f (x) называется бесконечно большой в точке x0 , если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное число δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − x0 | < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству |f (x)| > ε. Для обозначения этого x→x0 факта используется символика lim f (x) = ∞ или f (x) −−−→ ∞. x→x0

Определение 1.3 Функция f (x) называется бесконечно малой в точке x0 , если ее предел в этой точке равен нулю: lim f (x) = 0. x→x0

Сходным образом даются аналогичные определения и для случая, когда x0 является бесконечно удаленной точкой (т.е. при x → ∞.) Определение 1.4 lim f (x) = A, если для ∀ε > 0 ∃ δ = δ(ε) : x→∞

|x| > δ ⇒ |f (x) − A| < ε.

Определение 1.5 lim f (x) = ∞, если для ∀ε > 0 ∃ δ = δ(ε) : x→∞

|x| > δ ⇒ |f (x)| > ε. 1

Определение 1.6 lim f (x) = 0, если для ∀ε > 0 ∃ δ = δ(ε) : |x| > δ ⇒ |f (x)| < ε. x→∞

При решении задач полезно помнить следующие основные свойства пределов функций: Свойство 1.1 1. Если функция имеет конечный предел, то он единственный. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела1 lim[c · f (x)] = c · lim f (x). 3. Предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их пределов, если оба предела являются конечными lim[f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x). 4. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если оба предела являются конечными lim[f (x)g(x)] = lim f (x) · lim g(x). 5. Предел отношения функций равен отношению их пределов, если оба предела являются конечными и знаменатель не обращается в нуль f (x) lim f (x) lim = . g(x) lim g(x) Определение 1.7 Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если она определена в этой точке и выполнено соотношение lim f (x) = f (x0 ). x→x0

1

В этом (как и в последующих) свойствах предельное значение аргумента не указано, так как оно может быть и конечным числом (x0 ), и бесконечно удаленной точкой (∞).

2

Замечание 1.1 Отсюда следует, что только для непрерывной функции можно поменять местами значки предела и функции, т.е. при вычислении предела подставлять в качестве аргумента предельное значение x0 . Определение 1.8 Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Доказано, что все элементарные функции непрерывны на тех интервалах, где они определены. Пример 1.1 ln(3 − x) + ex Вычислить предел lim . Воспользуемся свойстваx→2 x2 − 3 ми пределов и непрерывностью элементарных функций x

ln(3 − x) + e x→2 x2 − 3 lim

=

ln(3 − 2) + e 22 − 3

x→2

x→2

2

lim (x − 3)

=

x→2 2

2

=

lim ln(3 − x) + lim ex

=

ln 1 + e = e2 . 4−3

Пример 1.2 x2 + x − 6 Вычислить предел lim . В данном примере нельзя x→2 x(x3 − 4x) сразу воспользоваться теоремой о пределе отношения, так как предел знаменателя (как впрочем и числителя) оказывается нулем. 0 Чтобы раскрыть неопределенность , т.е. вычислить этот предел, 0 нужно выделить множители, обращающие в нуль числитель и знаменатель x2 + x − 6 (x − 2)(x + 3) lim = lim . x→2 x(x3 − 4x) x→2 x2 (x − 2)(x + 2) После этого сократить числитель и знаменатель дроби на общий множитель и воспользоваться свойствами пределов lim (x + 3) (x − 2)(x + 3) 5 5 x→2 lim 2 = = = . x→2 x (x − 2)(x + 2) 22 · 4 16 lim x2 · lim (x + 2) x→2

x→2

3

В некоторых случаях бывает полезно воспользоваться свойствами бесконечно малых и бесконечно больших функций. Свойство 1.2 1. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию или на постоянную является бесконечно малой функцией. 2. Сумма конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой. 3. Функция, обратная к бесконечно малой, является бесконечно большой. Функция, обратная к бесконечно большой, является бесконечно малой. Пример 1.3 √ Вычислить предел lim ( 4x4 − 7x2 + 10−2x2 ). В данном примеx→∞ ре нельзя сразу воспользоваться теоремой о пределе разности, так как и уменьшаемое, и вычитаемое не имеют конечных пределов, а являются бесконечно большими. Чтобы раскрыть неопределенность ∞ − ∞, умножим и разделим на “сопряженное” выражение и воспользуемся формулой “разности квадратов”: √ lim ( 4x4 − 7x2 + 10 − 2x2 ) = x→∞ √ √ 2 4 2 ( 4x − 7x + 10 − 2x )( 4x4 − 7x2 + 10 + 2x2 ) √ = lim = 2 4 2 x→∞ 4x − 7x + 10 + 2x √ ( 4x4 − 7x2 + 10)2 − (2x2 )2 4x4 − 7x2 + 10 − 4x4 √ = lim √ = = lim 4 2 2 4 2 2 x→∞ x→∞ 4x − 7x + 10 + 2x 4x − 7x + 10 + 2x −7x2 + 10 . = lim √ x→∞ 4x4 − 7x2 + 10 + 2x2 Сразу воспользоваться теоремой о пределе отношения нельзя, так как и числитель, и знаменатель не имеют конечных пределов, а являются бесконечно большими. Для раскрытия неопределенности ∞ выделим в числителе и знаменателе множители с наибольшей ∞ 4

степенью: −7x2 + 10 lim √ = lim 4 2 2 x→∞ x→∞ 4x − 7x + 10 + 2x

x2

  10 x2 −7 + 2 x !, r 10 7 4− 2 + 4 +2 x x

после чего сократим числитель и знаменатель на общий множитель и воспользуемся свойствами 1.1 и 1.2:     10 10 x2 −7 + 2 lim −7 + 2 x→∞ x x ! = != lim r r x→∞ 7 10 7 10 x2 4− 2 + 4 +2 lim 4− 2 + 4 +2 x→∞ x x x x 7 −7 + 0 = − = −1, 75. =√ 4 4−0+0+2

1.2.

Таблица важнейших пределов

Известны два основных (“замечательных”) предела, доказательство которых можно найти в учебниках по математическому анализу [ 1 ]–[ 4 ] sin x 0 = 1 – неопределенность . x→0 x 0  x 1 2. lim 1 + = e ≈ 2, 718 – неопределенность 1∞ . x→0 x Основными следствиями этих пределов являются:

1. lim

tg x = 1. x→0 x

3. lim

1 1 − cos x = . x→0 x2 2

4. lim

arcsin x = 1. x→0 x

5. lim

5

arctg x = 1. x→0 x

6. lim

loga (1 + x) 1 = loga e = , a 6= 1, a > 0. x→0 x ln a

7. lim

ln(1 + x) = 1. x→0 x

8. lim

ax − 1 1 9. lim = ln a = , a 6= 1, a > 0. x→0 x loga e ex − 1 10. lim = 1. x→0 x (1 + x)a − 1 11. lim = a, a ∈ R. x→0 x

1.3.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

При решении задач часто бывает удобно пользоваться не таблицей пределов, а полученной на их основе таблицей эквивалентных бесконечно малых функций (таблица ЭБМ). Определение 1.9 Две бесконечно малые функции называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1, т.е. lim

α(x) = 1 ⇐⇒ α(x) v β(x). β(x)

Согласно этому определению, из таблицы пределов вытекает следующая таблица ЭБМ.

6

Бесконечно малые функций при x → 0 sin x

x; x2 1 − cos x v ; 2 arctg x v x; v

ln(1 + x) v ex − 1 v

x; x;

tg x

v

arcsin x

v

x;

x; x loga (1 + x) v ; ln a ax − 1 v x ln a; (1 + x)a − 1 v ax.

Замечание 1.2 Доказано, что при вычислении пределов любой бесконечно малый сомножитель можно заменить на эквивалентный ему. Пример 1.4 Вычислить предел lim

1 − cos 3x . Воспользуемся таблиx→0 (3x − 1) arctg 5x цей ЭБМ и учтем, что при x → 0 произведения 3x и 5x будут бесконечно малыми 1 − cos 3x (3x)2 /2 9x2 9 lim x = lim = lim = . x→0 (3 − 1) arctg 5x x→0 x · ln 3 · 5x x→0 10x2 ln 3 10 ln 3 Переходить к эквивалентным бесконечно малым функциям в суммах или разностях, вообще говоря, нельзя. Если в результате такого перехода в ответе получится 0 или ∞, то такой ответ может быть неверным. Справедливо утверждение, что переход к эквивалентным бесконечно малым функциям в суммах или разностях оправдан, если эти бесконечно малые функции взаимно не уничтожают друг друга.

√ √ Пример 1.5 3 1 + 8x − 7 1 + 5x √ Вычислить предел lim √ . Для раскрытия неопреx→0 8 1 + 3x − 5 1 + 7x 0 деленности прибавим и вычтем по единице в числителе и знаме0 нателе, и воспользуемся таблицей ЭБМ

7

√ √ 3 1 + 8x − 7 1 + 5x + 1 − 1 √ lim √ = x→0 8 1 + 3x − 5 1 + 7x + 1 − 1 1 · 8x − 1/3 1/7 [(1 + 8x) − 1] − [(1 + 5x) − 1] 3 = lim = lim x→0 1 x→0 [(1 + 3x)1/8 − 1] − [(1 + 7x)1/5 − 1] · 3x − 8   8 5 41 x − 40 3 7  = 21 = − . = lim  41 x→0 3 7 21 − x − 40 8 5

1 · 5x 7 = 1 · 7x 5

Иногда вычисление пределов упрощается введением новой переменной так, чтобы она стремилась к нулю. Пример 1.6 3x − x3 . Для упрощения раскрытия неопреВычислить предел lim x→3 x − 3 0 деленности введем новую переменную t = x−3 или x = t+3. Тогда 0 при x → 3 новая переменная t → 0 и получим: 3x − x3 3t+3 − (t + 3)3 3t 27 − t3 − 9t2 − 27t − 27 lim = lim = lim = x→3 x − 3 t→0 t→0 t t   t 3 27 − 27 27(3t − 1) 2 − t − 9t − 27 = lim − = lim t→0 t→0 t t − lim(t2 + 9t + 27) = 27(ln 3 − 1) = 27 ln(3/e). t→0

Пределы степенно-показательных функций, содержащие неопределенности вида 1∞ , ∞0 и т.п. вычисляются либо с помощью предела 2 из таблицы пределов, либо с помощью операции логарифмирования.  3x−1 Пример 1.7 x+1 Вычислить предел lim . Чтобы воспользоваться преx→∞ x−2 8

делом 2 из таблицы пределов, выделим единицу в скобках  3x−1  3x−1 x+1−2+2 3 lim = lim 1 + . x→∞ x→∞ x−2 x−2 Теперь преобразуем показатель степени

lim

x→∞



1+

3 x−2

(x−2)3 (3x−1) (x−2)3

= lim

x→∞

"

1+

3 x−2

# 3(3x−1)  x−2 x−2 3

=

x(9 − x3 ) # lim "  x−2 3 x→∞ x(1 − 2 ) 3 x = e9 . = lim 1+ x→∞ x−2

 2 6x+1 Пример 1.8 7x + 5x + 4 Вычислить предел lim . Сделаем замену пеx→∞ 7x2 + 7x + 2 1 1 ременной x = или t = . Тогда при x → ∞ новая переменная t x t → 0 и получим lim

x→∞



7x2 + 5x + 4 7x2 + 7x + 2

6x+1

= lim t→0



7 + 5t + 4t2 7 + 7t + 2t2

1+ 6t

= A.

Вычисляем сначала не сам предел A, а логарифм от него, т.е. 1+ 6t 7 + 5t + 4t2 ln A = ln lim +1−1 = t→0 7 + 7t + 2t2  1+ 6t 2t(t − 1) = lim ln 1 + = t→0 7 + 7t + 2t2   6+t 2t(t − 1) = lim ln 1 + . t→0 t 7 + 7t + 2t2 

Здесь использованы свойство непрерывности логарифмической функции и свойство показателя степени аргумента логарифма. При t → 0 9

2t(t − 1) является бесконечно малой, и можно применить 7 + 7t + 2t2 таблицу ЭБМ, а потом свойства пределов     6+t 2t(t − 1) 6 + t 2t(t − 1) lim ln 1 + = lim = t→0 t→0 t 7 + 7t + 2t2 t 7 + 7t + 2t2 2(6 + t)(t − 1) 2 · (6 + 0) · (0 − 1) 12 = lim = = − . t→0 2t2 + 7t + 7 0+0+7 7 дробь

Искомый предел A найдем с помощью основного логарифмического 1 1 12 √ тождества A = eln A = e− 7 = √ = . 7 12 7 5 e e e

2.

Методические указания к решению задач по теме “Вычисление производных”

2.1.

Основные понятия

Определение 2.1 Производной функции y = f (x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: ∆y f (x + ∆x) − f (x) dy df (x) = lim = y 0 = f 0 (x) = = . ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x dx dx lim

Из четырех стандартных обозначений для производной будут использоваться в дальнейшем первые два, как более простые. Определение 2.2 Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке x = x0 , если она имеет в этой точке производную. Определение 2.3 Функция y = f (x) называется дифференцируемой на некотором интервале, если она является дифференцируемой в каждой точке этого интервала. 10

Определение 2.4 Операция вычисления производной называется дифференцированием функции. С помощью определения производной и свойств пределов можно доказать [ 1 ]–[ 4 ] следующие правила дифференцирования: Правило 2.1 Постоянный множитель можно вынести за знак производной: [cf (x)]0 = cf 0 (x). Правило 2.2 Производная от суммы (или разности) дифференцируемых функций равна сумме (или разности) их производных: [f (x) ± g(x)]0 = f 0 (x) ± g 0 (x). Правило 2.3 Производная от произведения дифференцируемых функций вычисляется по формуле: [f (x)g(x)]0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x). Правило 2.4 Производная от отношения дифференцируемых функций в точках, где знаменатель не обращается в нуль, находится по формуле:  0 f (x) f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) = . g(x) g 2 (x) Правило 2.5 Если функция y = f (x) является дифференцируемой и монотонной, причем f 0 (x) 6= 0 на некотором интервале, то обратная к ней функция x = ϕ(y) тоже будет монотонной и дифференцируемой и 1 для ее производной2 справедлива формула: ϕ0y (y) = 0 . fx (x) Определение 2.5 Если функция y = f (x) может быть представлена в виде y = u(v(x)) или y = u(t), t = v(x), то y называется сложной функцией 2

Здесь (и в дальнейшем) нижний индекс указывает аргумент, по которому вычисляется производная функции.

11

или композицией функций u и v, а t называется промежуточным аргументом. Правило 2.6 Производная от композиции двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: yx0 = (u(v(x)))0x = u0v vx0 .

2.2.

Таблица основных производных

С помощью определения производной, основных пределов и их следствий, а также с помощью правил дифференцирования можно получить [ 1 ]–[ 4 ] выражения для производных основных элементарных функций. Результаты принято оформлять в виде таблицы производных. Производные элементарных функций f (x) c = const xa ax ex loga x ln x sin x cos x tg x

f 0 (x) 0. axa−1 ,

a ∈ R. ax x a ln a = , a > 0, a 6= 1. loga e ex . 1 loga e = , a > 0, a 6= 1. x ln a x 1/x. cos x. − sin x. 1 . cos2 x 1 2 . sin x

ctg x

−

arcsin x

√ 12

1 . 2 1−x

arccos x

1 −√ . 2 1−x

arctg x

1 . 1 + x2

arcctg x

−

1 . 1 + x2

Пример 2.1 3 Вычислить производную функции y = − 2 cos x. Воспользуx емся правилами 2.1 и 2.2, а также таблицей производных:  0 3 − 2 cos x = 3(x−1 )0 − 2(cos x)0 = y0 = x 3 = 3 · (−1)x−2 − 2(− sin x) = 2 sin x − 2 . x Пример 2.2 √ Вычислить производную функции y = 3 x arctg x. Воспользуемся правилом 2.3 и таблицей производных √ √ √ y 0 = ( 3 x arctg x)0 = ( 3 x)0 arctg x + 3 x(arctg x)0 = √ 3 1 1 −2 1 x 1 √ = x 3 arctg x + x 3 = + . 3 3 1 + x2 3 x2 arctg x 1 + x2 Пример 2.3 sin(log2 x) . ВоспользуВычислить производную функции y = 2cos x емся правилом 2.4  0 sin(log x) (sin(log2 x))0 2cos x − sin(log2 x)(2cos x )0 2 0 y = = . 2cos x (2cos x )2 Производную от числителя и от знаменателя вычислим с помощью правила 2.6. и таблицы производных 1 (sin(log2 x))0 = (sin v)0v vx0 = cos v(log2 x)0x = cos(log2 x) , | {z } x ln 2 v(x)

13

(2cos x )0 = [cos x = t] = (2t )0t t0x = 2t ln 2(cos x)0 = 2cos x ln 2(− sin x). Теперь завершим вычисление искомой производной   cos x 1 cos(log x)2 2 y 0 = 2 cos x + sin(log2 x)2cos x ln 2 sin x = 2 x ln 2   cos(log x) 2 = 2− cos x + ln 2 sin x sin(log2 x) . x ln 2 Пример 2.4 5 Вычислить производную функции y = 3 arcsin(e− ctg (7 ln x) ). Данная функция представляет собой композицию пяти функций, и поэтому правило 2.6 следует применить несколько раз y0 = p = √

3 − ctg5 (7 ln x)

1 − (e

3e− ctg

5 (7 ln x)

−2 ctg5 (7 ln x)

)2

(e− ctg

5 (7 ln x)

)0 =

(− ctg5 (7 ln x))0 =

1−e 5 3e− ctg (7 ln x) (−5 ctg4 (7 ln x)) 0 √ = (ctg(7 ln x)) = 5 (7 ln x) −2 ctg 1−e 5 −15e− ctg (7 ln x) (ctg4 (7 ln x)) −1 √ (7 ln x)0 = = 2 5 sin (7 ln x) 1 − e−2 ctg (7 ln x) 5

15e− ctg (7 ln x) (ctg4 (7 ln x)) 1 7 √ = . sin2 (7 ln x) x 1 − e−2 ctg5 (7 ln x)

2.3.

Правило логарифмического дифференцирования

Определение 2.6 Логарифмической производной функции y = f (x) называется производная от натурального логарифма этой функции y 0 (x) f 0 (x) (ln y(x)) = = . y(x) f (x) 0

14

Предварительное логарифмирование применяется, в частности, для нахождения производной от степенно-показательной функции y = u(x)v(x) ⇒ ln y(x) = v(x) ln u(x) ⇒ (ln y(x))0 = (v(x) ln u(x))0 ⇒ y 0 (x) u0 (x) 0 = v (x) ln u(x) + v(x) ⇒ y(x) u(x)   0 u (x) y 0 (x) = y(x) v 0 (x) ln u(x) + v(x) . u(x) Правило 2.7 Производная степенно-показательной функции вычисляется по формуле u(x)v(x)


0

= u(x)v(x) ln u(x)v 0 (x) + v(x)u(x)v(x)−1 u0 (x)

Пример 2.5 √ 5 Вычислить производную функции y = (arcctg 4 x)tg(6x ) . Воспользуемся правилами 2.7, 2.6, 2.1 и таблицей производных √ √ 0 tg(6x5 ) 4 y = (arcctg x) ln(arcctg 4 x)(tg(6x5 ))0 + √ √ 5 + tg(6x5 )(arcctg 4 x)tg(6x )−1 (arcctg 4 x)0 = √ √ 30x4 tg(6x5 ) 4 4 = (arcctg x) ln(arcctg x) 2 5 + cos (6x ) 1 −3/4 5 √ tg(6x5 )−1 tg(6x )(−1) 4 x 4 √ + (arcctg x) = 1 + ( 4 x)2 h 30x4 ln(arcctg √ 4 √ x) 5 tg(6x ) 4 = (arcctg x) − cos2 (6x5 ) i tg(6x5 ) − √ . √ √ 4 4 3 4 x (1 + x) arcctg x

15

3.

Методические указания к решению задач по теме “Приложения производных”

Определение 3.1 Функция y = f (x) называется монотонно возрастающей на интервале (a, b), если большему значению аргумента из этого интервала отвечает большее значение функции a < x1 < x2 < b =⇒ f (x1 ) < f (x2 ). Определение 3.2 Функция y = f (x) называется монотонно убывающей на интервале (a, b), если большему значению аргумента из этого интервала отвечает меньшее значение функции a < x1 < x2 < b =⇒ f (x1 ) > f (x2 ). Известны ([ 1 ]–[ 4 ]) следующие признаки монотонности функции: Правило 3.1 Если f 0 (x) > 0 во всех точках интервала (a, b), то функция y = f (x) будет возрастающей на этом интервале. Правило 3.2 Если f 0 (x) < 0 во всех точках интервала (a, b), то функция y = f (x) будет убывающей на этом интервале. Правило 3.3 Если f 0 (x) = 0 во всех точках интервала (a, b), то функция y = f (x) является тождественно постоянной на этом интервале, т.е. принимает одно и то же значение во всех точках интервала. Определение 3.3 Точка x0 называется точкой локального максимума функции y = f (x), если существует окрестность этой точки, в пределах которой выполнено неравенство f (x) 6 f (x0 ). 16

Определение 3.4 Точка x0 называется точкой локального минимума функции y = f (x), если существует окрестность этой точки, в пределах которой выполнено неравенство f (x) > f (x0 ). Определение 3.5 Точки локальных максимумов и минимумов называются точками экстремумов функции. Правило 3.4 Если производная f 0 (x) функции y = f (x) в точке экстремума существует, то она обращается в нуль, т.е. f 0 (x0 ) = 0. Правило 3.5 Если при x < x0 f 0 (x) < 0, а при x > x0 f 0 (x) > 0, т.е. производная меняет знак в точке x0 с “-” на “+”, при этом в самой точке f 0 (x0 ) = 0 или не существует, тогда x0 – точка локального минимума функции y = f (x). Правило 3.6 Если при x < x0 f 0 (x) > 0, а при x > x0 f 0 (x) < 0, т.е. производная меняет знак в точке x0 с “+” на “-”, при этом в самой точке f 0 (x0 ) = 0 или не существует, тогда x0 – точка локального максимума функции y = f (x). Правило 3.7 Наибольшее или наименьшее значение непрерывной функции y = f (x) на отрезке [a, b] может достигаться или в точке экстремума, или на конце отрезка. Доказательство правил 3.4–3.7 можно найти в [ 1 ]–[ 4 ]. Пример 3.1 √ Найти наибольшее иiнаименьшее значения функции y = x 3 − h π 2 cos x на отрезке −π, . Чтобы найти точки экстремумов, вычис2 лим производную √ √ √ 0 0 y = (x 3 − 2 cos x) = 3 · 1 − 2 · (− sin x) = 2 sin x + 3. 17

Теперь найдем корни производной, принадлежащие заданному от√ √ 3 π 2π резку 2 sin x + 3 = 0 ⇐⇒ sin x = − =⇒ x1 = − , x2 = − . 2 3 3 Вычисляем значения функции в этих точках и на концах отрезка √ f (−π) = (−π) 3 − 2 · (−1) ≈ −3, 441.       2π 2π √ 1 f − = − ≈ −2, 628. 3−2 − 3 3 2    π  π√ 1 f − = − 3−2 ≈ −2, 814. 3 3 2 π  π √ f = · 3 − 2 · 0 ≈ 2, 721. 2 2  π  √3π О т в е т: Наибольшее значение f = , наименьшее значение 2 2 √ f (−π) = 2 − π 3. Определение 3.6 График функции y = f (x) называется выпуклым (вверх) на интервале (a, b), если он расположен ниже любой касательной, проведенной к нему на этом интервале. Определение 3.7 График функции y = f (x) называется вогнутым (выпуклым вниз) на интервале (a, b), если он расположен выше любой касательной, проведенной к нему на этом интервале. Определение 3.8 Точка x0 называется точкой перегиба графика функции y = f (x), если в ней меняется характер его выпуклости – вогнутости. Правило 3.8 Если f 00 (x) > 0 во всех точках интервала (a, b), то график функции y = f (x) будет вогнутым на этом интервале. Правило 3.9 Если f 00 (x) < 0 во всех точках интервала (a, b), то график функции y = f (x) будет выпуклым на этом интервале. 18

Правило 3.10 Точки, в которых меняется знак второй производной f 00 (x) являются точками перегибов графика функции y = f (x). Пример 3.2 Исследовать функцию y = −x3 +3x2 +9x−11 с помощью первой и второй производных и построить ее график. 1. Областью определения функции является все множество вещественных (действительных) чисел. 2. Четностью, нечетностью, периодичностью функция не обладает, т.е. является функцией общего вида. 3. Непрерывна во всей области определения и поэтому точек разрыва и вертикальных асимптот график функции не имеет. 4. Так как функция растет при x → ∞ быстрее линейной:   f (x) 11 lim = lim −x2 + 3x + 9 − = ∞, x→∞ x x→∞ x то наклонных (и горизонтальных) асимптот график функции не имеет. 5. При x = 0 y = −11, следовательно график пересекает ось Oy в точке y = −11. 6. Вычислим первую производную: y 0 = (−x3 + 3x2 + 9x − 11)0 = −3x2 + 6x + 9 = −3(x + 1)(x − 3). По знаку производной находим интервалы монотонности и экстремумы: при x ∈ (−∞, −1) ∪ (3, ∞) y 0 < 0 ⇒ функция убывает; при x ∈ (−1, 3) y 0 > 0 ⇒ функция возрастает. При x = −1 функция имеет локальный минимум, причем ymin = −(−1)3 + 3(−1)2 + 9(−1) − 11 = −16; при x = 3 функция имеет локальный максимум, причем ymax = −33 +3·32 +9·3−11 = 16. 19

20 10 −3−2−1 −10

1 2 3 4

−20

Рис. 1. График функции y = −x3 + 3x2 + 9x − 11

7. Вычислим вторую производную: y 00 = (−3x2 + 6x + 9)0 = −6x + 6 = −6(x − 1). По знаку второй производной находим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции: при x ∈ (−∞, 1) y 00 > 0, следовательно график вогнутый; при x ∈ (1, ∞) y 00 < 0, следовательно график выпуклый. При x = 1 график имеет точку перегиба, причем ордината точки перегиба y = −13 + 3 · 12 + 9 · 1 − 11 = 0, т.е. в точке перегиба график функции пересекает ось Ox. 8. По найденным характерным точкам строим график функции (рис. 1). Разными штриховками показаны участки выпуклости и вогнутости графика.

4.

Решение типового варианта индивидуального задания

Каждый вариант индивидуального задания содержит десять задач, из которых в первых двух требуется вычислить пределы функций. Методика решения этих задач была подробно изложена в разделе 1. 20

2 2 Задание 4.1 2x − 11x Вычислить lim . Чтобы воспользоваться таблицей ЭБМ, x→0 ln cos 6x прибавим и вычтем в числителе единицу, а в знаменателе воспользуемся формулой двойного аргумента 2

2

(2x − 1) − (11x − 1) x2 ln 2 − x2 ln 11 lim = lim = 2 2 x→0 x→0 ln(1 − 2 sin 3x) −2 sin 3x
11 2 2 x ln 2 x (ln 11 − ln 2) 1 = lim = lim = ln 5, 5. x→0 x→0 2 · (3x)2 18x2 18  2 8x2 +9x+3 Задание 4.2 7x + 7x + 5 Вычислить lim = A. x→∞ 7x2 + 7x + 2 "  2 8x2 +9x+3 # 7x + 7x + 5 ln A = ln lim = x→∞ 7x2 + 7x + 2  2  7x + 7x + 5 = lim (8x2 + 9x + 3) ln . x→∞ 7x2 + 7x + 2 Здесь было использовано правило непрерывности логарифмической функции и свойство логарифма. Выделим бесконечно малое слагаемое в аргументе логарифма и применим таблицу ЭБМ   3 3(8x2 + 9x + 3) 2 lim (8x + 9x + 3) ln 1 + 2 = lim = x→∞ x→∞ 7x2 + 7x + 2 7x + 7x + 2     9 3 9 3 3x2 8 + + 2 3 lim 8 + + 2 x→∞ x x x x   =   = lim x→∞ 7 2 7 2 x2 7 + + 2 lim 7 + + 2 x→∞ x x x x 3 · (8 + 0 + 0) 24 = = . 7+0+0 7 √ 7 A = eln A = e27/4 = e3 e3 . В следующих шести заданиях требуется вычислить производные заданных функций. Методы решения таких задач были приведены в разделе 2. 21

Задание 4.3 Найти производную функции y = 15 log5 x − 4 ctg x. y 0 = 15(log5 x)0 − 4(ctg x)0 =

15 15 −1 4 = . −4· + x ln 5 x ln 5 sin2 x sin2 x

Задание 4.4 Найти производную функции y = 11 arcctg x · 3x .  x  3 y 0 = 11 [(arctg x)0 3x + arctg x(3x )0 ] = 11 + arctg x3x ln 3 . 2 1+x Задание 4.5 6 arcsin x Найти производную функции y = . cos x (arcsin x)0 cos x − arcsin x(cos x)0 y =6 = 2x cos   6 cos x √ + sin x arcsin x . = cos2 x 1 − x2 0

Задание 4.6 √ Найти производную функции y = 5 sin(11 arccos 4 x). √ √ 0 4 y = 5 cos(11 arccos x)(11 arccos 4 x)0 = √ 4 √ −11( x)0 4 = 5 cos(11 arccos x) p = √ 4 2 1 − ( x) √ √ −55 cos(11 arccos 4 x) x−3/4 −55 cos(11 arccos 4 x) p p √ = = . √ √ 4 3 4 1− x 4 x 1− x Задание 4.7 Найти производную функции y = 7 log77 (8 tg(9x9 )). y 0 = 7 · 7 log67 (8 tg(9x9 ))(log7 (8 tg(9x9 )))0 =

49 log67 (8 tg(9x9 )) (9x9 )0 (8 tg(9x9 ))0 = = 8 tg(9x9 ) ln 7 tg(9x9 ) ln 7 cos2 (9x9 ) 49 log67 (8 tg(9x9 )) 7938x8 log67 (8 tg(9x9 )) 8 = 9 · 9x = . cos2 (9x9 ) tg(9x9 ) ln 7 ln 7 sin(18x9 )

49 log67 (8 tg(9x9 ))

22

Задание 4.8 √ 5e(x10 ) Найти производную функции y = 5(arcctg x) .  √ √ (x10 ) 10 y 0 = 5 (arcctg x)5e ln(arcctg x)(5e(x ) )0 + √ √  10 (x10 )−1 + 5e(x ) (arcctg x)5e (arcctg x)0 = √ √ 5e(x10 ) h 10 = 5(arcctg x) ln(arcctg x)5e(x ) (x10 )0 + √ 0 i √ 5e(x10 ) x) −( 10 (x10 ) (x ) √ √ = 25e (arcctg x) + 5e · arcctg x(1 + ( x)2 ) i h √ 5e(x10) √ 1/2x−1/2 9 √ = (arcctg x) · · ln(arcctg x)10x − (1 + x) arcctg x i √ 1 (x10 ) 9 √ . ·25e [10x ln(arcctg x) − √ 2 x(1 + x) arcctg x Последние два задания связаны с различными приложениями производных. Эти приложения даны в разделе 3. Задание 4.9 На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x + 11 ln(x2 − 10x + 26) + 46 arctg(x − 5). Сначала вычислим и упростим производную, разложив квадратный трехчлен в числителе на множители и выделив полный квадрат в знаменателе 2(x − 2)(x + 3) y0 = . Видно, что корней в знаменателе производной (x − 5)2 + 1 нет, поэтому наибольшее и наименьшее значения функция может принимать или в точках, в которых производная обращается в нуль (т.е. в точках x = 2 и x = −3), или на концах интервала (т.е. в точках x = −6 или x = 6). Вычислим значения функции в указанных точках: y(−6) y(−3) y(2) y(6)

= = = =

−12 + 11 ln 122 + 46 arctg(−11) ≈ −27.24, −6 + 11 ln 65 + 46 arctg(−8) ≈ −26.61, 4 + 11 ln 10 + 46 arctg(−3) ≈ −28.12, 12 + 11 ln 2 + 46 arctg(1) ≈ 55.75. 23

О т в е т: Наибольшее значение ymax ≈ 55.75 достигается на правом конце интервала, т.е. при x = 6; наименьшее значение ymin ≈ −28.12 достигается внутри интервала в точке x = 2. Задание 4.10 x3 2 Исследовать функцию y = (x − 5) и построить ее график 6 по характерным точкам. Функция определена при всех вещественных значениях x; непрерывна во всей области существования; точек разрыва и асимптот график функции не имеет. Функция является нечетной, так как y(−x) = −y(x) и ее график симметричен относительно начала координат. Вычислим производную  5  3 0 √ √ x 5x 5x4 15x2 5x2 0 y = − = − = (x + 3)(x − 3). 6 6 6 6 6 По знаку производной определяем, что функция возрастает при 2 1 x −3

−2

−1 −1

1

2

−2 x3 2 Рис. 2. График функции y = (x − 5) 6

√ √ √ √ x ∈ (−∞; − 3) ∪ ( 3; +∞) и убывает при x ∈ (− 3,√ 3). При √ √ x = − 3√функция имеет местный максимум ymax = y(− √ 3) = √3. При x = 3 функция имеет местный минимум ymin = y( 3) = − 3. Отметим, что в точке x = 0 экстремума нет, так как производная

24

не меняет знак в этой точке. Вычислим вторую производную 00

y =



4

5x 15x − 6 6

2

0

20x3 10x = − = 6 2   10x 3 10x = x2 − = 3 2 3

√ ! √ ! 6 6 x+ x− . 2 2 √ ! 6 −∞, − ∪ 2

По знаку второй производной определяем, что при x ∈ √ ! 6 0, график функции является выпуклым (вверх), а при x ∈ 2 ! ! √ √ 6 6 − ,0 ∪ , +∞ является вогнутым (выпуклым вниз). Гра2 2 фик имеет точки перегиба √ √ ! √ √ ! 6 7 6 6 7 6 M1 = − , , M2 = (0, 0) , M3 = ,− . 2 16 2 16 По найденным характерным точкам строим график функции (рис. 2) (точками показаны интервалы вогнутости, а штрихами – интервалы выпуклости).

25

5.

Варианты индивидуальных заданий Вариант 1

1 − cos 3x . x→0 x tg 8x  7x2 − 14x + 3 9x2 −5x+3 2. Вычислить предел lim . x→∞ 7x2 − 14x + 3 Найти производные функций: 1. Вычислить предел lim

3. 5 arctg(10x) + 4 arcctg(10x), 4. − 20 arcsin(8x)e7x , ctg(7x) 5. 9 , 6. − 6(tg(8x))4 sin(2x) , tg(10x) 7. 10 cos(8 arccos(3 ln(8x))), 8. 9 arcctg(8 arcsin(8 ctg(3x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x + 4 ln(x2 − 4x + 5) − 26 arctg(x − 2). 10. Исследовать функцию y(x) = 36x − x3 − 6x2 и построить ее график.

Вариант 2 1 − cos3 7x 1. Вычислить предел lim . x→0 x arcsin 3x  9x x−9 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+5 Найти производные функций: 3. 3 cos(7x) − 5 arccos(9x), 4. 63 ctg(2x) arctg(6x), arcsin(10x) 5. 5 , 6. 10(ln(8x))4 arcctg(2x) , ln(3x) 4 sin(7 tg(3x)) 7. 10e , 8. 8 arccos(6e4 cos(9x) ). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x + ln(x2 − 4x + 5) − 2 arctg(x − 2). 10. Исследовать функцию y(x) = −147x + x3 и построить ее график. 26

Вариант 3 1 − cos 4x . x→0 x arctg 4x  6x2 − 12x + 8 9x2 −2x+5 2. Вычислить предел lim . x→∞ 6x2 − 12x + 9 Найти производные функций: 1. Вычислить предел lim

− 6 arcsin(4x) − 3 sin(4x), 4. − 10 arccos(6x)e10x , ln(2x) 5. 7 , 6. 10(tg(5x))10 arctg(7x) , tg(9x) 7. 3 ctg(4 arcctg(3 cos(8x))), 8. 4 arcctg(8 arctg(4 tg(7x))). 3.

9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x − 11 ln(x2 − 8x + 17) − 46 arctg(x − 4). 10. Исследовать функцию f (x) = 144x − 2x3 − 15x2 и построить ее график.

Вариант 4 1 − cos3 5x 1. Вычислить предел lim . x→0 x ln(1 + 7x)  3x x−7 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+5 Найти производные функций: 3. 4 sin(10x) + 4 arccos(2x), 4. 4e2x cos(7x), ctg(5x) 5. 6 , 6. 3(arctg(2x))7 tg(7x) , arctg(3x) 7. 7 arcctg(9 arcsin(6 ln(8x))), 8. 8 arccos(10 ctg(9 ln(2x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x + 5 ln(x2 − 2x + 2) − 10 arctg(x − 1). 10. Исследовать функцию y(x) = −12x + x3 и построить ее график.

27

Вариант 5 1 − cos3 3x 1. Вычислить предел lim 6x . x→0 (e − 1)x  4x2 − 8x + 6 6x2 −3x+2 . 2. Вычислить предел lim x→∞ 4x2 − 8x + 8 Найти производные функций: − 9 arccos(4x) + 4e9x , 4. 24 sin(6x) arctg(2x), arcctg(5x) 5. − 10 , 6. − 7(cos(10x))5 ctg(10x) , cos(10x) 7. 5 arcsin(4 ln(10 tg(3x))), 8. 10 arcsin(5 tg(4 arcctg(3x))). 3.

9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x − 5 ln(x2 + 6x + 10) − 2 arctg(x + 3). 10. Исследовать функцию y(x) = 21x − x3 + 9x2 и построить ее график.

Вариант 6 √ √ 7x + 7 − 49 . 1. Вычислить предел lim x→6 x − 6 5x  x−7 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+6 Найти производные функций: 3. 10 sin(9x) − ln(9x), 4. − 12 arcctg(6x) arcsin(10x), arccos(3x) 5. − 6 , 6. (cos(4x))6 ctg(4x) , cos(9x) 10 arctg(10 tg(10x)) 7. 4e , 8. 9 ctg(7 ln(6 cos(2x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x − ln(x2 − 2x + 2) + 42 arctg(x − 1). 10. Исследовать функцию y(x) = −60x + 2x3 − 9x2 и построить ее график.

28

Вариант 7 √ √ 3 2x + 6 − 3 12 1. Вычислить предел lim . x→3 x−3  2x2 − 4x + 9 6x2 −6x+9 . 2. Вычислить предел lim x→∞ 2x2 − 4x + 8 Найти производные функций: 3. 9 arctg(2x) − 3e9x , 4. − 28 sin(3x) ln(6x), tg(10x) 5. 3 , 6. 3(arccos(5x))4 cos(4x) , arccos(7x) 7. 5 ctg(7 arcctg(3 arcsin(6x))), 8. 9 arcctg(10 arcsin(7 tg(6x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x + 13 ln(x2 + 10x + 26) − 82 arctg(x + 5). 10. Исследовать функцию y(x) = 27x − x3 и построить ее график.

Вариант 8 √ √ 3 1 + 3x − 3 1 − 8x 1. Вычислить предел lim . 3 x→0 x + 9x  6x x−8 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+8 Найти производные функций: 3. 4 cos(10x) + 4 tg(10x), 4. − 50 arcctg(10x) arctg(2x), arccos(7x) , 6. (sin(4x))4 ln(5x) , 5. − 2 sin(8x) 7. 5 ctg(3 arcsin(6e6x )), 8. 10 sin(6 cos(6 arccos(8x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x − 7 ln(x2 + 4x + 5) − 2 arctg(x + 2). 10. Исследовать функцию y(x) = −60x + x3 + 12x2 и построить ее график.

29

Вариант 9 √ √ 1 − 9x − 1 + 6x 1. Вычислить предел lim . x→0 x + 5x2 − 15x3  9x2 − 18x + 7 2x2 −3x+8 . 2. Вычислить предел lim x→∞ 9x2 − 18x + 3 Найти производные функций: − 8 sin(2x) + 8 arcsin(7x), 4. 4e9x arcctg(6x), ctg(5x) 5. 2 , 6. − (cos(5x))5 arccos(5x) , cos(8x) 7. 6 arctg(9 tg(4 ln(3x))), 8. 9e5 arctg(5 sin(2x)) .

3.

9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x − 2 ln(x2 + 2x + 2) + 18 arctg(x + 1). 10. Исследовать функцию y(x) = 72x − 2x3 − 3x2 и построить ее график.

Вариант 10 3x − x3 1. Вычислить предел lim . x→3 x − 3  2x x−9 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+2 Найти производные функций: 3. 2 cos(10x) + 5e2x , 4. 35 ctg(9x) ln(7x), tg(4x) 5. − 2 , 6. − 2(arcsin(10x))4 arccos(9x) , arcsin(3x) 7. 3 arctg(7 sin(4 arcctg(8x))), 8. 5 arccos(9 arcsin(4 tg(7x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x − 8 ln(x2 + 10x + 26) + 22 arctg(x + 5). 10. Исследовать функцию y(x) = −240x + 2x3 + 9x2 и построить ее график.

30

Вариант 11 √ 1. Вычислить предел lim ( 4x4 + 7x2 + 2 − 2x2 ). x→∞  3x2 − 6x + 8 8x2 −9x+7 2. Вычислить предел lim . x→∞ 3x2 − 6x + 8 Найти производные функций: 3.

− 2 cos(8x) + tg(6x), 4. 9 ctg(6x) arctg(4x), 8x e 5. − 3 , 6. (arcsin(10x))6 arcctg(4x) , arcsin(9x) 7. 5 arccos(8 sin(7 ln(4x))), 8. 7 arcsin(8 sin(4 arcctg(4x))).

9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x + 6 ln(x2 − 2x + 2) − 2 arctg(x − 1). 10. Исследовать функцию y(x) = 240x − 2x3 − 9x2 и построить ее график.

Вариант 12 √ √ 6 1 + 2x − 8 1 + 4x √ 1. Вычислить предел lim √ . x→0 4 1 + 5x − 9 1 + 4x  3x x−6 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+7 Найти производные функций: 3. 6 ctg(9x) − arccos(2x), 4. − 36 arctg(3x) sin(2x), cos(5x) 5. 5 , 6. − 5(arcctg(10x))9 ln(10x) , arcctg(4x) 7. 8 tg(4e6 arcsin(2x) ), 8. 5 arctg(10 arccos(9 arcsin(8x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x − 6 ln(x2 + 6x + 10) − 16 arctg(x + 3). 10. Исследовать функцию y(x) = −63x + x3 + 6x2 и построить ее график.

31

Вариант 13 2

2

5x − 10x 1. Вычислить предел lim . x→0 ln cos 2x  4x2 − 8x + 2 4x2 −9x+6 2. Вычислить предел lim . x→∞ 4x2 − 8x + 2 Найти производные функций: 3.

− 7 cos(8x) − 10 arcsin(3x), 4. − 90 sin(6x) ln(8x), e3x 5. 7 , 6. 9(tg(3x))6 arccos(2x) , tg(2x) 7. 5 arctg(3 ctg(6 arcctg(5x))), 8. 7 cos(7 arcsin(7 arctg(7x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x + 2 ln(x2 + 6x + 10). 10. Исследовать функцию y(x) = 24x − 2x3 + 9x2 и построить ее график.

Вариант 14 1 − cos3 4x 1. Вычислить предел lim . x→0 x sin 7x 2x  x−7 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+2 Найти производные функций: 3. 3 ln(8x) + 4 arcsin(8x), 4. − 35e3x arcctg(4x), ctg(7x) 5. 10 , 6. 8(sin(4x))5 tg(5x) , sin(3x) 7. 10 arctg(5 cos(4 arccos(5x))), 8. 4 arcctg(7e6 ctg(3x) ). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x − 5 ln(x2 − 2x + 2) − 10 arctg(x − 1). 10. Исследовать функцию y(x) = −27x + x3 и построить ее график.

32

Вариант 15 1 − cos 6x . x→0 x tg 2x  2x2 − 4x + 8 9x2 −7x+9 2. Вычислить предел lim . x→∞ 2x2 − 4x + 3 Найти производные функций: 1. Вычислить предел lim

3. 10 arcctg(2x) + 5 arctg(9x), 4. − 12 arccos(8x) cos(8x), tg(5x) 2x 5. , 6. (ln(5x))9e , ln(4x) 7. 9 sin(10 ctg(5 arcsin(3x))), 8. 5 arcsin(4 arctg(3 tg(10x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x − 3 ln(10 − 6x + x2 ) + 2 arctg(x − 3). 10. Исследовать функцию y(x) = 120x − x3 − 9x2 и построить ее график.

Вариант 16 1 − cos3 5x 1. Вычислить предел lim . x→0 x arcsin 8x  3x x−4 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+6 Найти производные функций: 3. 7 arcctg(6x) − arccos(7x), 4. 12e2x cos(5x), arctg(8x) 5. 2 , 6. 5(arcsin(6x))5 ctg(3x) , arcsin(8x) 7. 9 tg(5 ln(5 sin(3x))), 8. 3 arcsin(4 arccos(5 ctg(9x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x + 3 ln(x2 + 4x + 5) + 2 arctg(x + 2). 10. Исследовать функцию y(x) = −36x + x3 − 6x2 и построить ее график.

33

Вариант 17 1 − cos 7x . x→0 x arctg 6x  8x2 − 16x + 8 5x2 −9x+7 2. Вычислить предел lim . x→∞ 8x2 − 16x + 2 Найти производные функций: 1. Вычислить предел lim

3.

− 10 arcctg(2x) − arctg(7x), 4. 18 arccos(4x) sin(4x), arcsin(7x) 8x 5. 4 , 6. − 2(cos(8x))10e , cos(4x) 7. 2 ln(3 tg(4 ctg(10x))), 8. 7 cos(9e6 ctg(2x) ). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x − 3 ln(x2 + 2x + 2) − 22 arctg(x + 1). 10. Исследовать функцию y(x) = 21x − x3 − 9x2 и построить ее график.

Вариант 18 1 − cos3 7x 1. Вычислить предел lim . x→0 x ln(1 + 7x)  9x x−4 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+6 Найти производные функций: − 6 arccos(3x) − 2e3x , 4. − 6 ln(7x) ctg(10x), sin(3x) 5. − 2 , 6. 10(tg(9x))6 cos(9x) , tg(10x) 7. 7 arcctg(8 arcsin(7 arctg(6x))), 8. 10 arcsin(9 arcctg(8 ln(6x))). 3.

9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x − 6 ln(x2 − 2x + 2) + 2 arctg(x − 1). 10. Исследовать функцию y(x) = −216x + 2x3 + 15x2 и построить ее график.

34

Вариант 19 1 − cos3 2x 1. Вычислить предел lim 4x . x→0 (e − 1)x  4x2 − 8x + 4 3x2 −9x+7 . 2. Вычислить предел lim x→∞ 4x2 − 8x + 5 Найти производные функций: 3. 4 ln(3x) + 6 arcctg(7x), 4. 9 arccos(7x) sin(6x), e8x 5. 8 , 6. − 5(cos(7x))8 arctg(5x) , cos(4x) 7. 2 ctg(6 tg(6 arcsin(8x))), 8. 2 arctg(8 ctg(7 cos(8x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x − 10 ln(x2 − 10x + 26) − 46 arctg(x − 5). 10. Исследовать функцию y(x) = 120x − 2x3 + 3x2 и построить ее график.

Вариант 20 √ √ 8x + 3 − 35 1. Вычислить предел lim . x→4 x − 4  2x x−6 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+9 Найти производные функций: − 9e5x + 7 arccos(10x), 4. 12 tg(3x) arcctg(7x), arctg(3x) 5. − 3 , 6. − 7(sin(8x))2 ln(2x) , sin(10x) 7. 7 cos(6 ctg(3 arcsin(10x))), 8. 3 arcctg(8 ln(4 ctg(8x))).

3.

9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x + 2 ln(x2 − 8x + 17). 10. Исследовать функцию y(x) = −180x + x3 + 6x2 и построить ее график.

35

Вариант 21 √ √ 3 6x + 4 − 3 16 1. Вычислить предел lim . x→2 x−2  9x2 − 18x + 2 4x2 −9x+5 . 2. Вычислить предел lim x→∞ 9x2 − 18x + 5 Найти производные функций: 3. 10 ctg(5x) + 4 arcctg(7x), 4. 16 arcsin(7x) arctg(6x), sin(4x) 5. − 3 , 6. 2(cos(4x))8 ln(9x) , arcsin(7x) 7. 5 cos(3 tg(5 arccos(10x))), 8. 4 arccos(6 ln(8 sin(8x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x − 4 ln(x2 − 2x + 2) + 26 arctg(x − 1). 10. Исследовать функцию y(x) = 21x − x3 − 9x2 и построить ее график.

Вариант 22 √ √ 3 1 + 2x − 3 1 − 5x 1. Вычислить предел lim . 3 x→0 x + 8x  9x x−2 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+4 Найти производные функций: − 8 tg(7x) − 2 ctg(3x), 4. 81e8x cos(7x), arcsin(9x) , 6. 10(arctg(8x))5 arccos(10x) , 5. − 5 arctg(8x) 7. 7 sin(8 arcctg(4 ln(3x))), 8. 4 arcsin(4 ln(6 ctg(5x))). 3.

9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x − ln(x2 − 2x + 2) − 14 arctg(x − 1). 10. Исследовать функцию y(x) = −12x + x3 и построить ее график.

36

Вариант 23 √ √ 1 − 5x − 1 + 7x 1. Вычислить предел lim . x→0 x + 6x2 − 12x3  7x2 − 14x + 8 4x2 −9x+7 . 2. Вычислить предел lim x→∞ 7x2 − 14x + 4 Найти производные функций: 3. 4 arccos(8x) + tg(7x), 4. − 5 cos(6x) ln(8x), e9x 5. 6 , 6. 3(arcsin(9x))3 arcctg(3x) , arcsin(3x) 7. 5 ctg(4 sin(4 arctg(2x))), 8. 4 arcctg(7 arctg(7e8x )). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x + 2 arctg(x − 3). 10. Исследовать функцию y(x) = 36x − 2x3 − 15x2 и построить ее график.

Вариант 24 4x − x4 1. Вычислить предел lim . x→4 x − 4 9x  x−9 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+5 Найти производные функций: − 6 arctg(7x) + 6 arccos(5x), 4. − 20 ln(4x)e6x , arcsin(4x) 5. − 5 , 6. 4(arcctg(3x))7 sin(2x) , arcctg(8x) 7. 5 ctg(5 tg(4 cos(3x))), 8. 4 sin(5 tg(7 arcctg(4x))). 3.

9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x − 5 ln(x2 − 8x + 17) + 2 arctg(x − 4). 10. Исследовать функцию y(x) = −60x + 2x3 + 9x2 и построить ее график.

37

Вариант 25 √ 1. Вычислить предел lim ( 64x4 + 8x2 + 2 − 8x2 ). x→∞  2x2 − 4x + 5 9x2 −5x+6 2. Вычислить предел lim . x→∞ 2x2 − 4x + 2 Найти производные функций: − 10 sin(9x) − 5 arccos(6x), 4. − 16 ctg(6x)e3x , arctg(5x) 5. − 5 , 6. 7(arcctg(6x))5 arcsin(2x) , arcctg(7x) 7. 4 ln(3 tg(8 cos(3x))), 8. 6 ln(9 sin(4 arcsin(6x))). 3.

9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x + 5 ln(10 − 6x + x2 ) − 30 arctg(x − 3). 10. Исследовать функцию y(x) = 180x − 2x3 − 21x2 и построить ее график.

Вариант 26 √ √ 9 1 + 6x − 3 1 + 8x √ 1. Вычислить предел lim √ . x→0 6 1 + 9x − 9 1 + 8x 7x  x−6 . 2. Вычислить предел lim x→∞ x+3 Найти производные функций: 3. 2 tg(9x) + 6 cos(5x), 4. 7 arcsin(9x) ln(6x), 3x 5 5. 6 , 6. − 5(sin(4x))2 arccos(9x) , ln(8x) 7. 3 arctg(6 arcctg(9 ctg(9x))), 8. 6e3 tg(9 arcctg(7x)) . 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x + 14 ln(x2 − 8x + 17) + 96 arctg(x − 4). 10. Исследовать функцию y(x) = −300x + 2x3 + 15x2 и построить ее график.

38

Вариант 27 2

2

8x − 13x 1. Вычислить предел lim . x→0 ln cos 2x  7x2 − 14x + 9 5x2 −7x+8 2. Вычислить предел lim . x→∞ 7x2 − 14x + 2 Найти производные функций: 3. 2 tg(7x) − 6 cos(5x), 4. 80 ctg(4x)e8x , arcctg(8x) , 6. − 2(arcsin(4x))8 sin(8x) , 5. − 6 arcsin(5x) 7. 10 arctg(4 ln(9 arccos(7x))), 8. 10 ln(5 arctg(3 arcctg(4x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x − 20 arctg(x − 1). 10. Исследовать функцию y(x) = 108x − 2x3 − 9x2 и построить ее график.

Вариант 28 1 − cos3 2x 1. Вычислить предел lim . x→0 x sin 8x  2x x−5 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+9 Найти производные функций: 3. 9 tg(9x) − 4 ctg(3x), 4. 9 arcctg(7x) sin(10x), cos(3x) 5. − 2 , 6. 3(arcsin(6x))6 arctg(8x) , arcsin(3x) 7. 6 arccos(7 ln(8e2x )), 8. 10 cos(5 ln(5 arcctg(6x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x + 6 ln(x2 − 8x + 17) − 16 arctg(x − 4). 10. Исследовать функцию y(x) = −252x + 2x3 − 3x2 и построить ее график.

39

Вариант 29 1 − cos 4x . x→0 x tg 7x  7x2 − 14x + 8 9x2 −9x+5 2. Вычислить предел lim . x→∞ 7x2 − 14x + 9 Найти производные функций: 1. Вычислить предел lim

3. 8 arcctg(6x) − 7 arctg(5x), 4. − 24 ln(7x) arccos(3x), cos(4x) 5. − 2 , 6. 10(tg(10x))9 ctg(8x) , tg(6x) 7. 7 arcsin(3e3 sin(3x) ), 8. 2 tg(5 arcctg(9 arccos(4x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x + 9 ln(x2 − 8x + 17) + 14 arctg(x − 4). 10. Исследовать функцию y(x) = 48x − 2x3 − 21x2 и построить ее график.

Вариант 30 1 − cos3 8x 1. Вычислить предел lim . x→0 x arcsin 4x  6x x−2 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+5 Найти производные функций: 3.

− 7 arcctg(4x) + 6 sin(4x), 4. − 8 tg(9x) arcsin(10x), cos(3x) 5. − 3 , 6. − 8(ctg(4x))7 arctg(10x) , ctg(6x) 8 arccos(9 ln(5x)) 7. 10e , 8. 7 sin(7 arctg(9 arccos(7x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x + 5 ln(x2 + 8x + 17) + 14 arctg(x + 4). 10. Исследовать функцию y(x) = −15x + x3 − 6x2 и построить ее график.

40

Вариант 31 1 − cos 3x . x→0 x arctg 2x  9x2 − 18x + 8 8x2 −5x+8 2. Вычислить предел lim . x→∞ 9x2 − 18x + 8 Найти производные функций: 1. Вычислить предел lim

3. 7 arctg(6x) − 4 arcsin(10x), 4. − 80 tg(8x) cos(7x), arccos(6x) 6x 5. − 2 , 6. 6(arcctg(4x))6e , arcctg(8x) 7. 6 sin(8 ln(3 ctg(9x))), 8. 2 arccos(9 sin(9 arctg(8x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x − 9 ln(x2 + 4x + 5) + 38 arctg(x + 2). 10. Исследовать функцию y(x) = 15x − x3 + 6x2 и построить ее график.

Вариант 32 1 − cos3 8x 1. Вычислить предел lim . x→0 x ln(1 + 6x)  7x x−6 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+7 Найти производные функций: 3. 10 arctg(3x) + 5 ln(6x), 4. 8 sin(9x) tg(9x), 10x 8 10x , 6. − 6(tg(2x))3 , 5. 7 arccos(6x) 7. 4 cos(5 arccos(7 ctg(9x))), 8. 6 sin(9e6 cos(2x) ). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x − 4 ln(x2 − 4x + 5) + 44 arctg(x − 2). 10. Исследовать функцию y(x) = −72x + x3 − 3x2 и построить ее график.

41

Вариант 33 1 − cos3 3x 1. Вычислить предел lim 8x . x→0 (e − 1)x  6x2 − 12x + 8 7x2 −9x+3 . 2. Вычислить предел lim x→∞ 6x2 − 12x + 3 Найти производные функций: 3. 6 sin(6x) + 2 arcsin(6x), 4. − 90 arccos(5x)e5x , ln(2x) 5. − 10 , 6. − 3(tg(7x))2 arcctg(6x) , tg(2x) 7. 6 cos(7 ctg(10 arctg(3x))), 8. 8 arcctg(3 tg(10 arctg(2x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x + 2 ln(x2 + 2x + 2) + 8 arctg(x + 1). 10. Исследовать функцию y(x) = 63x − x3 + 6x2 и построить ее график.

Вариант 34 √ √ 7x + 3 − 24 . 1. Вычислить предел lim x→3 x − 3 9x  x−5 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+6 Найти производные функций: 3.

− 9 ln(10x) − arctg(2x), 4. 36 arcctg(3x) arccos(5x), e8x 5. 7 , 6. − 2(cos(4x))9 tg(2x) , cos(9x) 7. 7 sin(3 ctg(10 arcsin(8x))), 8. 9 ctg(9 sin(6 tg(2x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x + 14 ln(x2 + 6x + 10) − 94 arctg(x + 3). 10. Исследовать функцию y(x) = −21x + x3 − 9x2 и построить ее график.

42

Вариант 35 √ √ 3 2x + 2 − 3 18 1. Вычислить предел lim . x→8 x−8  2x2 − 4x + 4 7x2 −5x+9 . 2. Вычислить предел lim x→∞ 2x2 − 4x + 4 Найти производные функций: 3. 3 arcctg(9x) + 3 arctg(4x), 4. − 8 sin(5x) ln(3x), arccos(7x) 2x 5. − 8 , 6. − 5(cos(7x))3e , cos(5x) 7. 3 tg(8 ctg(3 arcsin(4x))), 8. 10 arcsin(4 tg(8 cos(4x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x − 3 ln(x2 + 8x + 17) − 2 arctg(x + 4). 10. Исследовать функцию y(x) = 45x − x3 + 3x2 и построить ее график.

Вариант 36 √ √ 3 1 + 5x − 3 1 − 4x 1. Вычислить предел lim . 3 x→0 x + 8x  4x x−9 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+5 Найти производные функций: 3.

− 10 ctg(4x) − 8 arcsin(6x), 4. 6 tg(9x) ln(8x), arcctg(9x) , 6. (arccos(6x))7 arctg(6x) , 5. − 7 arccos(6x) 7. 9 cos(7 sin(7e4x )), 8. 8e5 ctg(6 arctg(8x)) .

9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x + 10 arctg(x − 1). 10. Исследовать функцию y(x) = −300x + 2x3 + 15x2 и построить ее график.

43

Вариант 37 √ √ 1 − 9x − 1 + 4x 1. Вычислить предел lim . x→0 x + 2x2 − 13x3  6x2 − 12x + 6 4x2 −6x+4 . 2. Вычислить предел lim x→∞ 6x2 − 12x + 7 Найти производные функций: 3.

− 5 arcsin(9x) − 10 sin(2x), 4. − 12 tg(9x) arccos(10x), ctg(10x) 5. − 5 , 6. − 2(cos(8x))10 arctg(8x) , cos(6x) 7. 6 ln(5 cos(arcctg(9x))), 8. 10e10 tg(3 arccos(5x)) .

9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x − 2 ln(x2 − 8x + 17) + 8 arctg(x − 4). 10. Исследовать функцию y(x) = 72x − 2x3 + 3x2 и построить ее график.

Вариант 38 3x − x3 1. Вычислить предел lim . x→3 x − 3  3x x−7 2. Вычислить предел lim . x→∞ x+6 Найти производные функций: 3.

− 2 arcsin(6x) − 5 sin(2x), 4. 100 ln(9x) arctg(8x), ctg(6x) 5. − 2 , 6. − 3(tg(6x))5 arccos(7x) , tg(4x) 7. 4 cos(3e8 arcctg(9x) ), 8. 5 arcsin(3 tg(6 sin(4x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x − 7 ln(x2 + 10x + 26) − 2 arctg(x + 5). 10. Исследовать функцию y(x) = −72x + x3 + 3x2 и построить ее график.

44

Вариант 39 √ 1. Вычислить предел lim ( 49x4 + 8x2 + 7 − 7x2 ). x→∞  8x2 − 16x + 2 3x2 −8x+9 2. Вычислить предел lim . x→∞ 8x2 − 16x + 4 Найти производные функций: 3.

− 6 cos(3x) + 7 arcctg(4x), 4. 42 sin(4x) tg(2x), arccos(8x) 5. 6 , 6. − 4(arcsin(8x))10 ln(7x) , arcsin(11x) 7. 9 ctg(3 arctg(10e3x )), 8. 7 cos(5 tg(7 ctg(8x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = −2x + 5 ln(x2 + 6x + 10) + 14 arctg(x + 3). 10. Исследовать функцию y(x) = 168x − 2x3 − 9x2 и построить ее график.

Вариант 40 √ √ 5 1 + 2x − 7 1 + 7x √ 1. Вычислить предел lim √ . x→0 6 1 + 6x − 4 1 + 5x 2x  x−6 . 2. Вычислить предел lim x→∞ x+9 Найти производные функций: 3. 7 tg(5x) − 4e3x , 4. − 20 arctg(8x) sin(8x), arcsin(5x) 5. 10 , 6. − 2(arccos(3x))10 cos(2x) , arccos(3x) 7. 6 ctg(7 ln(9 arcctg(6x))), 8. 7 arccos(6 sin(6 arcctg(10x))). 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 2x − 2 ln(x2 + 2x + 2) − 8 arctg(x + 1). 10. Исследовать функцию y(x) = −108x + 2x3 + 21x2 и построить ее график.

45

Вариант 41 2

2

6x − 14x 1. Вычислить предел lim . x→0 ln cos 2x  6x2 − 12x + 4 9x2 −3x+3 2. Вычислить предел lim . x→∞ 6x2 − 12x + 6 Найти производные функций: 3. 6 arcsin (2 x) − 5 cos (3 x) , 4. − 16 e8 x arcctg (2 x) , tg (7 x) , 6. 10 (ln (6 x))2 arctg(9 x) , 5. − 3 ln (8 x)
9 arccos(8 x) 7. 8 arccos (9 ctg (8 sin (8 x))) , 8. 4 tg 4 e .

9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y (x) = −2 x + 3 ln (x2 + 4 x + 5) + 10 arctg (x + 2) . 10. Исследовать функцию y(x) = 60 x − 2 x3 − 9 x2 и построить ее график.

Вариант 42 1 − cos3 8x 1. Вычислить предел lim . x→0 x sin 4x 5x  x−6 . 2. Вычислить предел lim x→∞ x+7 Найти производные функций: 3. 10 arcsin (3 x) + 4 arcctg (6 x) , 4. − 20 sin (4 x) cos (2 x) , ln (2 x) 5. − 10 , 6. 5 (arccos (5 x))4 ctg(6 x) , arccos (7 x) 7. 3 arctg (6 tg (7 e4 x )) , 8. 7 tg (7 sin (7 arcsin (7 x))) . 9. На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее значения функции y (x) = −2 x − 13 ln (x2 − 10 x + 26) − 70 arctg (x − 5) . 10. Исследовать функцию y(x) = −45 x + x3 + 3 x2 и построить ее график.

46

Библиографический список 1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1975. Т.2. 2. Кремер Н. Ш. и др. Высшая математика для экономистов. М.: ЮНИТИ, 2000. 3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. СПб.: Лань, 1997. 4. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1988. Т.1. 5. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб.пособие. СПб.:Профессия, 2005. 6. Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов, М.: Наука, 1997. 7. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. Б. П. Демидовича и А. В. Ефимова М.: Наука, 1986.

47

Оглавление 1. Методические указания к решению задач по теме “Предел функции” 1 1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Таблица важнейших пределов . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций . 6 2. Методические указания к решению задач по теме “Вычисление производных” 10 2.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Таблица основных производных . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Правило логарифмического дифференцирования . . . 14 3. Методические указания к решению задач по теме “Приложения производных” 16 4. Решение типового варианта индивидуального задания 20 5. Варианты индивидуальных заданий

26

Библиографический список

47

48