М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те...
15 downloads
248 Views
324KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т
Ф а культе тпр и кла дно й ма те ма ти ки и ме ха ни ки
Ка фе др а выч и сли те льно й ма те ма ти ки
Ч и сле нно е р е ше ни е за да ч и Ко ши для о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й ме то да ми ти па Рунге -Кутта . Ч а сть 1 .
М е то ди ч е ски е ука за ни я по кур су «Ч и сле нные ме то ды» для студе нто в 3 и 4 кур со в д/о и в/о фа культе та ПМ М
С о ста ви те ли : Ко р зуни на В .В . Ш а б уни на З.А .
В о р о не ж - 2001
2 С ОДЕРЖ А Н И Е
1. Я вные ме то дыти па Рунге -Кутта р е ше ни я о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й ................................................................ ................. 1.1. Об щ а я фо р мули р о вка ме то до в ти па Рунге -Кутта ................................. 3 1.2. М е то д пе р во го по р ядка то ч но сти (о дно ч ле нна я фо р мула , q=1) .......... 5 1.3. М е то дывто р о го по р ядка то ч но сти (двуч ле нные фо р мулы, q=2) ........ 6 1.4. М е то дытр е тье го по р ядка то ч но сти (тр е хч ле нные фо р мулы, q=3) ..... 9 1.5. М е то ды ч е тве р то го по р ядка то ч но сти (ч е тыр е хч ле нные фо р мулы, q=4) ......................................................................................................................... 10 1.6. М е то дыпо р ядка выше ч е тве р то го ....................................................... 11 1.7. Ре ше ни е си сте м о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й ме то да ми ти па Рунге -Кутта .................................................................................. 11 2. Двухсто р о нни е явные ме то дыРунге -Кутта ................................ ..................... 2.1. Двуч ле нные двухсто р о нни е ме то дыРунге -Кутта .............................. 14 2.2. Т р е хч ле нные двухсто р о нни е ме то дыРунге -Кутта ............................. 16 2.3. Ор га ни за ци я сч е та в двухсто р о нни х ме то да х ти па Рунге -Кутта ....... 18 3. По выше ни е то ч но сти экстр а по ляци о нным ме то до м Ри ч а р дсо на ....................... 19 3.1. По выше ни е то ч но сти в ме то де Э йле р а ................................................ 20 3.2. По стр о е ни е не пр е р ывно го пр и б ли ж е нно го р е ше ни я ......................... 22 4. Пр а кти ч е ски е спо со б ыо це нки по гр е шно сти явных о дно ша го вых ме то до в р е ше ни я за да ч и Ко ши ................................................................ ........ 4.1. Оце нка гло б а льно й по гр е шно сти по пр а ви лу Рунге ........................... 27 4.2. Оце нка ло ка льно й по гр е шно сти по пр а ви лу Рунге ............................ 31 4.3. Оце нка ло ка льно й по гр е шно сти на о сно ве ко мб и на ци и ме то до в р а зно го по р ядка то ч но сти ..................................................................................... 32 4.4. В ло ж е нные ме то дыо це нки ло ка льно й по гр е шно сти ......................... 35 4.5. М е р а по гр е шно сти пр и б ли ж е нно го р е ше ни я...................................... 38 5. А вто ма ти ч е ски й выб о р ша га и нте гр и р о ва ни я за да ч и Ко ши ............................... 41 5.1. М е то д удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м........................................... 42 5.2. М е то д выб о р а ма кси ма льно й для за да нно й то ч но сти дли ныша га ... 45 6. И нди ви дуа льные за да ни я по ч и сле нным ме то да м р е ше ни я за да ч и Ко ши ......... 46 6.1. О де мо нстр а ци и р а б о тыпр о гр а мм ...................................................... 46 6.2. Об о ши б ка х, до пущ е нных пр и за да ни и вхо дных па р а ме тр о в ........... 50
3 В связи с си сте ма ти ч е ски м со кр а щ е ни е м ч и сла ле кци о нных ч а со в по кур су “Ч и сле нные
ме то ды” , по лным и сч е зно ве ни е м и з уч е б ных пла но в
пр а кти ч е ски х за няти й по
это му пр е дме ту и усто йч и вым сущ е ство ва ни е м
пр а кти ки на Э В М , по дде р ж и ва ю щ е й ле кци о нный кур с “Ч и сле нные ме то ды” , во зни кла о стр а я не о б хо ди мо сть в но во й уч е б но -ме то ди ч е ско й ли те р а тур е , ко то р а я: 1. со де р ж и ткр а тко е ко нспе кти вно е и зло ж е ни е ле кци о нно го ма те р и а ла ; 2. вклю ч а е т
те о р е ти ч е ски е
ма те р и а лы,
пе р е да ва е мые
студе нта м
са мо сто яте льно го и зуч е ни я; 3. да е то пи са ни е о сно вных выч и сли те льных а лго р и тмо в и р е ко ме нда ци и к и х пр а кти ч е ско му и спо льзо ва ни ю ; 4. вклю ч а е тв се б я по др о б но е и нди ви дуа льно е за да ни е на Э В М ; 5. уч и тгр а мо тно со ста ви ть те сто вые и де мо нстр а ци о нные пр и ме р ы. Н а сто ящ е е по со б и е “Ч и сле нно е р е ше ни е за да ч и Ко ши для о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й ме то да ми ти па Рунге - Кутта ” являе тся пе р вым и з се р и и ме то ди ч е ски х р а зр а б о то к ука за нно го ти па . Оно на пи са но на о сно ве б о льшо го о пыта ве де ни я ле кци о нных, пр а кти ч е ски х и ла б о р а то р ных за няти й, на ко пле нно го на ка фе др е В ыч и сли те льно й ма те ма ти ки . По со б и е со сто и ти з двух ч а сте й. В пе р во й ч а сти на хо дятся ма те р и а лы, пе р е ч и сле нные в п. п. 1 - 5, во вто р о й - и нди ви дуа льные за да ни я на Э В М . И нди ви дуа льные за да ни я со ста вле ны а вто р а ми та к, ч то б ы о ни со о тве тство ва ли де ви зу Р.В . Х е мми нга “Ц е ль р а сч е то в – не ч и сла , а по ни ма ни е ".
1. Я вны ем е т о ды т и п а Р унге -К ут т а ре ше ни я о б ы к но ве нны х ди ф ф е ре нци а льны х ура вне ни й 1.1. Об щ а я ф о рм ули ро вк а м е т о до в т и п а Р унге -К ут т а Пусть на о тр е зке [ x0 , x0 + X ] тр е б уе тся на йти ч и сле нно е р е ше ни е за да ч и Ко ши
y′ = f (x, y) y(x ) = y 0 0
(1) (2)
4 на се тке узло в
x0 <x1 <x2 <...<xN <x0 +X .
(3)
М е то ды ти па Рунге -Кутта являю тся явными о дно ша го выми ме то да ми , т.е . та ки ми , ко то р ые по сле до ва те льно в ка ж до м узле пр и б ли ж е нно е р е ше ни е
xi се тки (3) о пр е де ляю т
y i на о сно ве и зве стно го зна ч е ни я пр и б ли ж е нно го
р е ше ни я y i − 1 в пр е дыдущ е м узле
xi −1 .
Осно вна я
и де я ме то да
б ыла
пр е дло ж е на К. Рунге в 1895г., а за те м р а зви та В . Кутта в 1901г. С о гла сно пр е дло ж е ни ю
Рунге , пр и б ли ж е нно е р е ше ни е
y 1 в узле x1 = x0 + h и щ е тся в
ви де ли не йно й ко мб и на ци и с по сто янными ко эффи ци е нта ми
y1 = y0 + pq1k1(h)+ pq2k2(h)+...+ pqqkq(h),
(4)
где
k1(h) = hf( x0 , y0 ),
k2 (h) = hf( x0 +α2h, y0 + β21k1(h)), ... kq (h) = hf(x0 +αqh, y0 + βq1k1(h) +...+ βq,q−1kq−1(h)). Ко эффи ци е нты
α i , β ij , pqi
о пр е де ляю тся
(5)
из
тр е б о ва ни я,
ч то б ы
по гр е шно сть р а ве нства (4) на то ч но м р е ше ни и за да ч и (1),(2) и ме ла во змо ж но высо ки й по р ядо к ма ло сти пр и пр о и зво льно м ша ге
h
для лю б ых ур а вне ни й ви да
(1). За пи ше м то ч но е р е ше ни е
y(x1) в узле x0 + h по
фо р муле Те йло р а
h2 hs (s) hs+1 (s+1) y(x1) = y0 +hy0′ + y0′ +...+ y0 + y (ξ), 2 s! (s +1)! где
y0(k) = y(k) (x0), x0 <ξ < x1 .
(6)
5 По гр е шно сть ме то да на ша ге , и ли ло ка льна я по гр е шно сть ме то да , е сть ве ли ч и на q
ϕ q (h) = y( x0 + h) − y0 − ∑ pqi ki (h) .
(7)
i =1
Ее р а зло ж е ни е по сте пе ням h до лж но на ч и на ться с ма кси ма льно во змо ж но й сте пе ни :
hs+1 (s+1) ϕq (h) = ϕq (0) + o(hs+1 ) . (s + 1)!
(8)
Если ко эффи ци е нты αi ,βij , pqi о пр е де ле ны та к, ч то по гр е шно сть и ме е т ви д (8), то го во р ят, ч то фо р мула (4) ме то да Рунге -Кутта и ме е тпо р ядо к то ч но сти
s
, пр и это м пе р во е сла га е мо е в (8) на зыва ю т гла вным ч ле но м ло ка льно й
по гр е шно сти ме то да на ша ге . И зве стно , ч то е сли
αi ,βij , pqi , не во змо ж но
q = 1,2,3,4 , то
мо ж но по до б р а ть та ки е ко эффи ци е нты
ч то по луч и тся ме то д Рунге -Кутта по р ядка то ч но сти по стр о и ть ме то д ти па Рунге -Кутта пято го
По др о б но е о пи са ни е ко эффи ци е нто в для
q.
Для
q =5
по р ядка то ч но сти .
q = 1,2,3,4 мо ж но на йти в кни ге [1].
Н и ж е мы по др о б но о пи сыва е м по луч е ни е двуч ле нных ме то до в Рунге -Кутта
(q = 2) ,
а для ме то до в с б о льши м ко ли ч е ство м ч ле но в о гр а ни ч и ва е мся
пр и ве де ни е м не ко то р ых р а сч е тных фо р мул. 1.2. М е тодп е рво го п о рядк а т о чно ст и (о дно чле нна я ф о рм ула , q=1) Еди нстве нно во змо ж ный о дно ч ле нный ме то д Рунге -Кутта пе р во го по р ядка то ч но сти и зве сте н ка к ме то д Э йле р а
y1 = y0 + hf ( x0 , y0 ) , для ко то р о го р а зло ж е ни е (8) и ме е тви д
(9)
6
h2 ϕ1 (h) = { f x′ + ff y′ }x= x0 + o(h 2 ) . y = y0 2
(10)
1.3. М е т о ды вт о ро го п о рядк а т о чно ст и (двухчле нны еф о рм улы , q=2) Двухч ле нные фо р мулыме то да Рунге -Кутта и ме ю тви д
y1 = y0 + p21k1(h) + p22k2 (h) ,
(11)
где
k1 (h) = hf ( x0 , y0 ),
k2 (h) = hf ( x0 +α2h, y0 + β21k1 (h)). В
фо р мула х
α2 , β21, p21, p22.
(11)
пр и сутствую т ч е тыр е
не и зве стных
па р а ме тр а
Для и х о пр е де ле ни я по стр о и м вспо мо га те льную функци ю ,
являю щ ую ся по гр е шно стью на ша ге ко нстр уи р уе мо го ме то да Рунге -Кутта .
ϕ2 (h) = y(x0 + h) − y0 − p21hf ( x0 , y0 ) − p22hf (x0 + α2 h, y0 + β21hf ( x0 , y0 )). (12) По тр е б уе м, ч то б ы в р а зло ж е ни и
по
сте пе ням
h
функци и
ϕ 2 (h)
ма кси ма льно е ч и сло ч ле но в о б р а ти ло сь в нуль. Пе р вые две пр о и зво дные по пе р е ме нно й h
ϕ2′ (h) = y′(x0 +h) − p21f (x0, y0 ) − p22 f (x0 +α2h, y0 + β21hf( x0, y0 )) − − p22h(α2 fx′(x0 +α2h, y0 +β21hf(x0, y0 )) +β21f (x0, y0 ) f y′(x0 +α2h, y0 +β21hf(x0, y0 ))),
ϕ2′′(h) = y′′(x0 + h) − 2 p22(α2 f x′( x0 + α2h, y0 + β21hf ( x0 , y0 )) + + β21 f ( x0 , y0 ) f y′ ( x0 + α2h, y0 + β21hf (x0 , y0 ))) d − p22h (α2 f x′(x0 + α2h, y0 + β21hf ( x0 , y0 )) + dx + β21 f ( x0 , y0 ) f y′ ( x0 + α2h, y0 + β21hf (x0 , y0 ))) пр и
h=0
пр и ни ма ю тзна ч е ни я
ϕ2′ (0) = (1− p21 − p22) f ( x0 , y0 ) ,
(13)
7
ϕ 2′′ (0) = {(1 − 2α 2 p 22 ) f x′ + (1 − 2 β 21 p 22 ) ff y′ }x = x0 .
(14)
y = y0
Для то го , ч то б ы эти две
пе р вые
пр о и зво дные
о б р а ти ли сь в нуль,
не о б хо ди мо , ч то б ыне и зве стные па р а ме тр ыудо вле тво р яли си сте ме ур а вне ни й 1 − p 21 − p 22 = 0 1 − 2α 2 p 22 = 0 1 − 2 β p = 0. 21 22
(15)
Т р е тью пр о и зво дную
{(
)
(
)
ϕ 2′′′(0) = 1 − 3α 22 p22 f xx′′ + 2(1 − 3α 2 β 21 p 22 ) ff xy′′ + 1 − 3β 212 p 22 f 2 f yy′′ + ( f x′ + ff y′ ) f y′
}
x = x0 y = y0
(16)
за сч е т выб о р а па р а ме тр о в α 2 , β 21 , p21 , p 22 о б р а ти ть в нуль для пр о и зво льно й функци и
f ( x, y ) не льзя. С ле до ва те льно , ма кси ма льно е
ко ли ч е ство ч ле но в в
р а зло ж е ни и по гр е шно сти ϕ 2 (h) по сте пе ням h , о б р а щ а ю щ и хся в нуль, р а вно двум: ϕ q ( h) =
h3 ϕ 2′′′(0) + o(h 3 ) . 6
(17)
С и сте ма ур а вне ни й (15) и ме е т о дно па р а ме тр и ч е ско е се ме йство р е ше ни й. Если в ка ч е стве па р а ме тр а выб р а ть α 2 , то β 21 = α 2 ,
p 22 =
1 , 2α 2
1 , 2α 2
p 21 = 1 −
(18)
пр и ч е м α 2 ≠ 0 . За ме ти м, ч то па р а ме тр α 2 не мо ж е тб ыть р а вным нулю , по ско льку в это м случ а е те р яе тсмысл вто р о е ур а вне ни е си сте мы(15). Т а ки м
о б р а зо м,
о дно па р а ме тр и ч е ско е
мы
по ка за ли ,
се ме йство
ч то
фо р мулы
(11)
о б р а зую т
фо р мул ти па Рунге -Кутта вто р о го по р ядка
то ч но сти 1 y1 = y 0 + 1 − 2α 2
1 k1 (h) + 2α 2
k 2 (h) ,
где k1 (h) = hf ( x0 , y 0 ),
k 2 (h) = hf ( x0 + α 2 h, y 0 + α 2 k1 (h) ), α 2 – ч и сло во й па р а ме тр , о тли ч ный о тнуля.
(19)
8 За ме ч а ни е 1. Для на ч а льных за да ч Ко ши е сте стве нным являе тся пр е дпо ло ж е ни е , ч то р е ше ни е в то ч ке ( x0 + h) за ви си т о т по ве де ни я пр а во й ч а сти ур а вне ни я (1) на о тр е зке [ x0 , x0 + h] . По это му в фо р мула х (19) о б ыч но по ла га ю т, ч то α 2 ∈ (0,1] . За ме ч а ни е 2. Н е льзя выб р а ть на и луч ше е зна ч е ни е па р а ме тр а α 2 с то ч ки зр е ни я ма ло сти а б со лю тно й ве ли ч и ны гла вно го ч ле на по гр е шно сти (17). Для о дни х ур а вне ни й это б уде то дно зна ч е ни е , для др уги х – др уго е [2]. Ра ссмо тр и м не ско лько на и б о ле е ч а сто и спо льзуе мых пр и ме р о в двуч ле нные фо р мул ме то да Рунге -Кутта вто р о го по р ядка . 1. Пусть α 2 = 1 . То гда y1 = y 0 +
1 (K1 + K 2 ) , 2
(20)
K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf ( x0 + h, y 0 + K 1 ) .
По гр е шно сть на ша ге ме то да (20), ка к сле дуе ти з (16),(17),(18), и ме е тви д ϕ2 =
(
)
h3 1 2 3 − f xx′′ + 2 ff xy′′ + f f yy′′ + ( f x′ + ff y′ ) f y′ x= x + o( h ) . 6 2 y = y0
(21)
0
1 2
2. Пусть α 2 = . То гда y1 = y 0 + K 2 ,
(22)
1 1 K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x 0 + h, y 0 + K 1 . 2 2
По гр е шно сть на ша ге ме то да (22), ка к сле дуе ти з (16),(17),(18), и ме е тви д ϕ2 =
(
)
h3 1 2 3 f xx′′ + 2 ff xy′′ + f f yy′′ + ( f x′ + ff y′ ) f y′ x = x + o( h ) . 6 4 y = y0 0
(23) 2 3
3. Пусть α 2 = . То гда y1 = y 0 +
1 ( K 1 + 3K 2 ) , 4
(24)
9 2 2 K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x 0 + h, y 0 + K 1 . 3 3
По гр е шно сть на ша ге ме то да (24), ка к сле дуе ти з (16-18), и ме е тви д ϕ2 =
h3 {( f x′ + ff y′ ) f y′ }xy==xy0 + o(h 3 ) . 6 0
(25)
1.4. М е т о ды т ре т ье го п о рядк а т о чно ст и (т ре хчле нны еф о рм улы , q=3) Ф о р мулыви да y1 = y0 + p31 k1 (h) + p32 k 2 (h) + p 33 k 2 (h) ,
(26)
где K1 (h) = hf ( x0 , y0 ), K 2 ( h) = hf ( x0 + α 2 h, y0 + β 21 K1 ( h) ), K 3 (h) = hf ( x0 + α 3 h, y0 + β 31 K1 ( h) + β 32 K 2 (h) ), о б р а зую т тр и се ме йства фо р мул ти па Рунге -Кутта тр е тье го по р ядка . Одно се ме йство – двухпа р а ме тр и ч е ско е со сво б о дными па р а ме тр а ми α 2 ,α 3 : y1 = y 0 + (1 − p32 − p33 )K1 ( h) + p32 K 2 (h) + p33 K 2 (h) ,
(27)
где p32 , p33 о пр е де ляю тся и з си сте мыдвух ли не йных ур а вне ни й 1 p 32α 2 + p 33α 3 = 2 p α 2 + p α 2 = 1 , 32 2 33 3 3
(28)
2 3
пр и ч е м α 2 ≠ α 3 , α 2 ≠ , α 2 ≠ 0, p33 ≠ 0 . Ко эффи ци е нты β ij выч и сляю тся пр о стым пе р е сч е то м: β 21 = α 2 , β 32 = (6α 2 p33 ) , β 31 = α 3 − β 32 . −1
(29)
Два др уги х се ме йства – о дно па р а ме тр и ч е ски е со сво б о дным па р а ме тр о м p 33 ≠ 0 . Для пе р во го α2 =
2 3
3 4
и з эти х се ме йств α 2 = α 3 = , p32 = − p33 , для вто р о го –
2 3 , α 3 = 0, p 32 = . Для о б о и х се ме йств и ме ю тме сто со о тно ше ни я (29). 3 4
Н а и б о ле е упо тр е б и те льным ме то до м тр е тье го по р ядка являе тся ме то д, по луч а е мый и з (27-29) пр и α 2 = 1 2 ,α 3 = 1 :
10 y1 = y 0 +
1 (K 1 + 4 K 2 + K 3 ) , 6
(30)
1 1 K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x0 + h, y 0 + K 1 , K 3 = hf ( x 0 + h, y 0 − K 1 + 2 K 2 ) . 2 2
Ещ е о ди н пр и ме р ме то да (α 2 = 13 , α 3 = 2 3 ) : y1 = y 0 +
1 (K 1 + 3K 3 ) , 4
(31)
1 1 2 2 K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x0 + h, y 0 + K 1 , K 3 = hf x0 + h, y 0 + K 2 . 3 3 3 3
1.5. М е т о ды
че т ве рт о го
п о рядк а
т о чно ст и
(че т ы ре хчле нны е
ф о рм улы , q=4) В
это м случ а е фо р мулы ти па Рунге -Кутта со де р ж а т 13 не и зве стных
па р а ме тр о в; усло ви я, о б е спе ч и ва ю щ и е ч е тве р тый по р ядо к то ч но сти ме то да на ша ге , да ю т 11 не ли не йных ур а вне ни й. По др о б ные све де ни я о ч е тыр е хч ле нных се ме йства х фо р мул мо ж но на йти в кни ге [1]. Н и ж е мы пр и во ди м тр и на и б о ле е ч а сто упо тр е б ляе мые фо р мулы. 1. С та нда р тна я фо р мула Рунге -Кутта ч е тве р то го по р ядка y1 = y 0 +
1 (K1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6
(32)
K K h h K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x0 + , y 0 + 1 , K 3 = hf x 0 + , y 0 + 2 , 2 2 2 2 K 4 = hf ( x 0 + h, y 0 + K 3 ),
2. Ф о р мула тр е х во сьмых y1 = y 0 +
1 ( K 1 + 3K 2 + 3K 3 + K 4 ) , 8
(33)
1 1 K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x 0 + h, y 0 + K1 , 3 3 2 1 K 3 = hf x0 + h, y 0 − K1 + K 2 , K 4 = hf ( x0 + h, y 0 + K 1 − K 2 + K 3 ) . 3 3
3. y1 = y 0 +
1 (K 1 + 4 K 3 + K 4 ) , 6
(34)
11 K h K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x 0 + , y 0 + 1 , 4 4 K h K 3 = hf x0 + , y 0 + 2 2 2
, K 4 = hf ( x0 + h, y 0 + K 1 − 2 K 2 + K 3 ) .
1.6. М е т о ды п о рядк а вы ш ече т ве рт о го Для фо р мул ти па Рунге -Кутта сте пе ни б о льше ч е тыр е х по ка за но , ч то о ни тр е б ую т N -кр а тно го выч и сле ни я пр а во й ч а сти , где
N б о льше сте пе ни . Э ти
фо р мулы и ме ю тгр о мо здки е ко эффи ци е нты, и мы о тпр а вляе м ч и та те ля к кни га м [2,3]. 1.7. Р е ше ни еси ст е м о б ы к но ве нны х ди ф ф е ре нци а льны х ура вне ни й м е т о да м и т и п а Рунге -К ут т а М е то ды Рунге -Кутта б е з тр уда пе р е но сятся на р е ше ни е за да ч Ко ши для си сте м о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й р а зме р но сти M y ′ = f ( x, y ), x ∈ [ A, B] y ( x0 ) = y 0 ,
(35)
где y = ( y 1 , y 2 ,..., y M ) , f = ( f 1 (x, y 1 ,..., y M ),..., f M (x, y 1 ,..., y M )) , y 0 = ( y 10 , y02 ,..., y 0M ) . Τ
Τ
Τ
Ф о р мулыРунге -Кутта за пи сыва ю тся в ве кто р но м ви де _
_
_
y1 = y 0 + pq1 K (h) + p q 2 K 2 (h) + ... + p qq K q (h) ,
(36)
1
где _
K 1 ( h) = hf (x0 , y0 ), _ _ K 2 ( h) = hf x0 + α 2 h, y0 + β 21 K 1 (h) , ... _ _ _ K q ( h) = hf x0 + α q h, y0 + β q1 K 1 ( h) + ... + β q ,q −1 K q −1 (h) . В
ка ч е стве
ур а вне ни й
пр и ме р а
р а ссмо тр и м си сте му двух ди ффе р е нци а льных
12 dy 1 = f 1 (x, y 1 , y 2 ), dx 2 dy = f 2 (x, y 1 , y 2 ), dx y 1 ( x0 ) = y 10 , y 2 ( x0 ) = y 02 .
и двуч ле нную фо р мулу ме то да Рунге -Кутта (20) _ 1 _ y = y + K + K 1 2 , 0 1 2 _ _ K 1 = hf ( x0 , y0 ), k 2 = hf x0 + h, y0 + K 1 .
(37)
Об р а щ а е м вни ма ни е ч и та те ля на то , ч то в за пи сях yi , k i , yil , k il ве р хни й и нде кс о б о зна ч а е т но ме р ко мпо не нты ве кто р но го р е ше ни я, а ни ж ни й и нде кс – но ме р то ч ки , в ко то р о й за пи сыва е тся р а ссма тр и ва е мо е р е ше ни е . Ра спи ше м по ко мпо не нтно ве кто р ную фо р мулу (37):
(
)
(
)
1 1 1 K1 + K 21 , y12 = y02 + K12 + K 22 , 2 2 K11 = hf 1 x0 , y10 , y02 , K12 = hf 2 x0 , y10 , y02 , K 21 = hf 1 x0 + h, y10 + K11 , y02 + K12 , K 22 = hf 2 x0 + h, y10 + K11 , y 02 + K12 . y11 = y10 +
( ( (
)
(
)
) )
В ыр а ж е ни я для гла вных ч ле но в по гр е шно сте й в случ а е р е ше ни я си сте м ур а вне ни й (35) ста но вятся гр о мо здки ми , мыи х не пр и во ди м. Одна ко по дч е р кне м, ч то выво ды о тно си те льно гла вных ч ле но в по гр е шно сти , сде ла нные для о дно го ди ффе р е нци а льно го
ур а вне ни я,
о ста ю тся
в
си ле
и
для
си сте мы
ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й. Если для си сте мы ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й за пи сыва е тся а на ло г ме то да ти па Рунге -Кутта по р ядка s , то гла вна я ч а сть по гр е шно сти для ка ж до й ко мпо не нты р е ше ни я y 1 , y 2 ,..., y M и ме е т та кж е по р ядо к s + 1: q
( )
ϕ ql (h) = y l ( x0 + h) − y 0l − ∑ p qi k il (h) = O h s +1 i =1
(38)
Ко гда го во р ят, ч то р е ше ни е си сте мы о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й по луч е но с а б со лю тно й по гр е шно стью ε , то по др а зуме ва ю т, ч то все ко мпо не нтыр е ше ни я и ме ю та б со лю тную по гр е шно сть, не пр е выша ю щ ую ε .
13
2. Двухст о ро нни еявны ем е т о ды Р унге -К ут т а Ка к и в о б ыч ных, о дно сто р о нни х ме то да х Рунге -Кутта , в двухсто р о нни х ме то да х пр и б ли ж е нно е р е ше ни е в узле
x0 + h б уде м и ска ть в ви де
(4),(5).
Отно си те льно гла вно й ч а сти по гр е шно сти на ша ге ϕ q (h) сде ла е м до по лни те льно е пр е дпо ло ж е ни е . А и ме нно , б уде м сч и та ть, ч то гла вна я ч а сть по гр е шно сти мо ж е т б ыть пр е дста вле на в ви де γh s +1 Ψ[ f ]0 , где γ – не ко то р ый па р а ме тр , Ψ[ f ]0 – впо лне о пр е де ле нный о пе р а то р , за ви сящ и й о тфункци и f и выч и сле нный в то ч ке ( x0 , y0 ) . Н а с б уде ти нте р е со ва ть си туа ци я, ко гда до пусти ма я о б ла сть зна ч е ни й па р а ме тр а γ со де р ж и тпа р ы зна ч е ни й, о тли ч а ю щ и хся то лько зна ко м. Т о гда фо р мулы Рунге -
Кутта (4),(5) для двух р а вных по ве ли ч и не и пр о ти во по ло ж ных по зна ку зна ч е ни й па р а ме тр а γ (γ ≠ 0) б удут да ва ть ве р хне е и ни ж не е пр и б ли ж е ни я к и ско мо му р е ше ни ю . Т а ки е фо р мулы б уде м на зыва ть фо р мула ми двухсто р о нне го ме то да Рунге -Кутта . По луч е нные пр и б ли ж е нные р е ше ни я б уде м о б о зна ч а ть y1+ , y1− . С о о тве тствую щ и е эти м пр и б ли ж е нным р е ше ни ям ло ка льные по гр е шно сти на ша ге р а вны ϕ q+ (h) = +γh s +1 Ψ[ f ]0 + o(h s +1 )
(39)
ϕ q− (h) = −γh s +1 Ψ[ f ]0 + o(h s +1 ).
И та к, ко эффи ци е нты α i , β ij , p qi
в двухсто р о нни х ме то да х Рунге -Кутта
выб и р а ю тся та к, ч то б ы по гр е шно сть ме то да и ме ла ма кси ма льно во змо ж ный по р ядо к по h пр и усло ви и , ч то гла вна я ч а сть по гр е шно сти и ме е т мно ж и те ле м ч и сло во й па р а ме тр , мо гущ и й пр и ни ма ть зна ч е ни я, р а вные по ве ли ч и не
и
пр о ти во по ло ж ные по зна ку. Оч е ви дно , ч то выч и сли в зна ч е ни я y1+ , y1− , мо ж но в ка ч е стве пр и б ли ж е нно го р е ше ни я взять и х ср е дне е а р и фме ти ч е ско е y10 =
(
)
1 + y1 + y1− , 2
(40)
по гр е шно сть ко то р о го на по р ядо к выше по гр е шно сте й y1+ , y1− : y q0 (h) =
1 + y q ( h) + y q− ( h) ) = o( h s +1 ) . ( 2
(41)
14 2.1. Двучле нны едвухст о ро нни ем е т о ды Р унге -К ут т а Ра ссмо тр и м двухч ле нную фо р мулу (11). Если сущ е ствуе т двухсто р о нни й ме то д Рунге -Кутта
вто р о го
по р ядка
с двуч ле нно й фо р муло й, то
тр е тья
пр о и зво дна я по гр е шно сти ϕ 2′′′(h) в то ч ке h = 0 до лж на и ме ть в ка ч е стве мно ж и те ля ч и сло во й па р а ме тр для лю б о й функци и f ( x, y ) . Э то не во змо ж но , по ско льку в выр а ж е ни и (16) для ϕ 2′′′(0) по сле дне е сла га е мо е не и ме е т ч и сло во го мно ж и те ля. С ле до ва те льно , двуч ле нно го двухсто р о нне го ме то да Рунге -Кутта вто р о го по р ядка не сущ е ствуе т. По ка ж е м, ч то мо ж но по стр о и ть двуч ле нные двухсто р о нни е ме то ды пе р во го по р ядка . В это м случ а е мы по ла га е м, ч то ϕ 2′ (0) = 0 , ϕ 2′′ (0) ≠ 0 . И з выр а ж е ни я (13) сле дуе т, ч то р а ве нство нулю пе р во й пр о и зво дно й по гр е шно сти в то ч ке h = 0 сво ди тся к усло ви ю 1 − p 21 − p 22 = 0 ,
(42)
а пр о по р ци о на льно сть ϕ 2′′ (0) ч и сло во му па р а ме тр у γ с уч е то м пр е дста вле ни я (14) – к р а ве нства м 1 − 2α 2 p 22 = 2γ
(43)
1 − 2 β 21 p 22 = 2γ .
Оч е ви дно , ч то си сте ма ур а вне ни й (38),(39) о тно си те льно не и зве стных α 2 , β 21 , p 21 , p 22 , γ и ме е т двухпа р а ме тр и ч е ско е се ме йство р е ше ни й. В
са мо м де ле ,
выр а зи м p 22 ,α 2 , β 21 ч е р е з зна ч е ни я па р а ме тр о в p 21 , γ : p 22 = 1 − p 21 , α 2 =
Т а ки м
1 − 2γ 1 − 2γ (п ри p 21 ≠ 1), β 21 = . 2(1 − p 21 ) 2(1 − p 21 )
о б р а зо м,
со о тно ше ни я
(44)
пр и
(44) p 21 ≠ 1
о пр е де ляю т
двухпа р а ме тр и ч е ско е се ме йство двухсто р о нни х фо р мул Рунге -Кутта пе р во го по р ядка . За ме ч а ни е 1. С луч а й
p 21 = 1 не
пр е дста вляе т и нте р е са . В
са мо м де ле , и з
ур а вне ни я (42) то гда сле дуе т, ч то p 22 = 0 , а ур а вне ни я (43) да ю т е ди нстве нно е р е ше ни е для ч и сло во го мно ж и те ля γ (γ = 1 2) . За ме ч а ни е 2. Если по тр е б о ва ть выпо лне ни я е сте стве нно го усло ви я 0 ≤ α 2 ≤ 1 , то р е ше ни е (44) на кла дыва е то гр а ни ч е ни я на выб о р па р а ме тр а γ :
15 1 1 ≤γ ≤ 2 2
п ри 1 − p 21 > 0 ,
(45)
1 1 ≤ γ ≤ p 21 − 2 2
п ри 1 − p 21 < 0 .
(46)
p 21 −
В
двухсто р о нне м ме то де
Рунге -Кутта на с и нте р е сую т па р ы
р а сч е тных фо р мул, со о тве тствую щ и е
зна ч е ни ям ± γ . По это му
усло ви е (46) являе тся не до пусти мым, а усло ви е (45) для выб о р а па р а ме тр о в p 21 , γ луч ше за пи са ть в ви де p 21 <
1 , 2
За ме ч а ни е 3. Если
1 1 γ ≤ min , p 21 − 2 2
па р а ме тр
.
p 21 = 0 ,
С о о тве тствую щ и е
(47) то
p 22 = 1, α 2 =
1 1 − γ , β 21 = − γ . 2 2
эти м зна ч е ни ям па р ы р а сч е тных фо р мул
двухсто р о нне го ме то да Рунге -Кутта за пи шутся в ви де y1+ = y 0 + hf x 1 + γh, y 1 + γhf ( x0 , y 0 ) 2 2 y1− = y 0 + hf x 1 − γh, y 1 − γhf ( x0 , y 0 ), 2 2 h 2
где x 1 = x0 + , y 1 = y 0 + 2
2
(48)
h f ( x0 , y 0 ) . 2
В ыч и сле нно е по фо р муле (40) пр и б ли ж е нно е зна ч е ни е пр и во ди тк сле дую щ е й двуч ле нно й фо р муле h y10 = y 0 + f x 1 + γh, y 1 + γhf ( x0 , y 0 ) + f x 1 − γh, y 1 − γhf ( x 0 , y 0 ) . (49) 2 2 2 2 2
Ф о р мулы ти па (49) тр е б ую т 3-кр а тно го выч и сле ни я пр а во й ч а сти и схо дно го ур а вне ни я, и ме ю т по гр е шно сть по р ядка O(h 3 ) , но пр и это м о дно вр е ме нно о пр е де ляю тся ве р хне е и ни ж не е пр и б ли ж е ни я к и ско мо му р е ше ни ю . Пр и ме р ыдвуч ле нных двухсто р о нни х фо р мул ме то да Рунге -Кутта : 1 2
1. γ = , p 21 = 0. y1+ = y 0 + hf ( x0 , y 0 )
y1− = y 0 + hf ( x0 + h, y 0 + hf ( x0 , y 0 ))
(50)
16 1 4
2. γ = , p 21 = 0. h h y1+ = y 0 + hf x0 + , y 0 + f ( x0 , y 0 ) 4 4 3 3 y1− = y 0 + hf x0 + h, y 0 + hf ( x0 , y 0 ) 4 4
(51)
1 6
3. γ = , p 21 = 0. h h y1+ = y 0 + hf x0 + , y 0 + f ( x0 , y 0 ) 3 3 2 2 y1− = y 0 + hf x0 + h, y 0 + hf ( x0 , y 0 ) 3 3 1 4
(52)
1 4
4. γ = , p 21 = . h 3 h h f ( x0 , y 0 ) + hf x 0 + , y 0 + f ( x0 , y 0 ) 4 4 3 3 h 3 y1− = y 0 + f ( x0 , y 0 ) + hf ( x0 + h, y 0 + hf ( x0 , y 0 )) 4 4 y1+ = y 0 +
(53)
Н а по мни м, ч то во все х двуч ле нных двухсто р о нни х ме то да х Рунге -Кутта по гр е шно сть ша га и ме е тви д ϕ 2 (h) = γh 2 { f x′ + ff y′ }x = x0 + O(h 3 ) . y = y0
(54)
2.2. Тре хчле нны едвухст о ро нни ем е т о ды Р унге -К ут т а М е то ды это го ти па о б р а зую тне ско лько тр е хпа р а ме тр и ч е ски х се ме йств [2 ] и и ме ю тпо гр е шно сть на ша ге по р ядка O(h 3 ) . В пр и ве де нных ни ж е пр и ме р а х 1-2 по гр е шно сть на ша ге и ме е тви д ϕ 3 (h) = γh 3 { f x′ f y′ + ff y′ }x = x0 + O(h 4 ) , y = y0
(55)
в пр и ме р а х 3-4 – ви д ϕ 3 (h) = γ
1. γ = 1 .
h3 {f xx′′ + 2 ff xy′′ + f 2 f yy′′ }xy==xy00 + O(h 4 ) . 2
(56)
17 1 K 1 + K 2 + 4 K 3+ ) ( 6 1 y1− = y 0 + (K 1 + K 2 + 4 K 3− ), 6 y1+ = y 0 +
(57)
где K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf ( x 0 + h, y 0 + K 1 ), h 7 5 h 5 7 K 3+ = hf x0 + , y 0 + K 1 − K 2 , K 3− = hf x0 + , y 0 − K 1 + K 2 . 2 4 4 2 4 4
2. γ =
1 . 24
1 ( K 1 + 3K 3+ ) 4 1 y1− = y 0 + (K 1 + 3K 3− ), 4 y1+ = y 0 +
(58)
где K h 5 5 K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2+ = hf x0 + , y 0 + 1 , K 2− = hf x0 + h, y 0 + K 1 , 4 4 12 12 2 2 2 2 K 3+ = hf x0 + h, y 0 + K 2+ , K 3− = hf x0 + h, y 0 + K 2− . 3 3 3 3 1 2
3. γ = . 1 ( 3K 1 + 6 K 2+ + K 3+ ) 2 3 2 y1− = y 0 + K 1 − K 2− + K 3− , 2 3
y1+ = y 0 −
(59)
где K h h K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2+ = hf x 0 + , y 0 + 1 , K 2− = hf x0 + , y 0 , 3 3 3 K K− K 3+ = hf x0 + h, y 0 + 2 K 1 − K 2+ , K 3− = hf x0 + h, y 0 + 1 + 2 . 2 2
(
)
1 2
4. γ = . y1+ = y 0 + K 3+ y1− = y 0 +
где
1 (2K1 + 3K 3− ), 3
(60)
18 K h K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x 0 + , y 0 + 1 , 3 3 K h K 3+ = hf x0 + , y 0 + 2 2 2
5 5 − , K 3 = hf x 0 + h, y 0 + K 2 . 6 6
2.3. Орга ни за ци я сче т а в двухст о ро нни х м е т о да х т и п а Р унге -К ут т а С о гла сно по луч е нным в пр е дыдущ и х пункта х двухсто р о нни м ме то да м, лю б о й и з ни х за да е тся двумя фо р мула ми yi+ = yi+ ( xi −1 , hi −1 , yi −1 ), yi− = yi− ( xi −1 , hi −1 , yi −1 ),
(61)
ко то р ые по зво ляю т и з на ч а льно й то ч ки x0 пе р е йти в сле дую щ ую то ч ку x1 и по луч и ть два пр и б ли ж е нных зна ч е ни я y1+ , y1− . Да ле е выч и сле ни я пр и б ли ж е нно го р е ше ни я мо ж е тпр о хо ди ть по р а зли ч ным схе ма м. С хе ма 1. Зна ч е ни я y1+ , y1− (i = 2,3,...) о пр е де ляю тся не за ви си мо др уг о тдр уга
( (x
) ),
y i+ = y i+ xi −1 , hi −1 , y i+−1 , − i
y =y
− i
i −1
, hi −1 , y
− i −1
т.е . по зна ч е ни ю y1+ ( y1− ) выч и сляе тся y 2+ ( y 2− ), по зна ч е ни ю y 2+ ( y 2− ) выч и сляе тся
( )
y 3+ y 3− и та к да ле е до ко нца о тр е зка и нте гр и р о ва ни я.
С хе ма 2. Пусть для о пр е де ле нно сти в то ч ке x1 выч и сле нные зна ч е ни я y1+ , y1− связа ны не р а ве нство м y1− ≤ y1+ . И схо дя и з y1− мо ж но по луч и ть два зна ч е ни я y 2− , y 2− пр и б ли ж е нно го р е ше ни я в то ч ке x2 , пр о ве дя выч и сле ни я по о б е и м фо р мула м двусто р о нне го ме то да . М е ньше е и з y 2− , y 2− пр и ни ма е тся за y 2− . А на ло ги ч но , и схо дя и з y1+ , выч и сляю тся два зна ч е ни я y 2+ , y 2+ и б о льше е и з ни х пр и ни ма е тся за y 2+ . Если по луч и тся, ч то y 2− > y 2+ , то сч и та е тся, ч то двусто р о нни й ме то д пр и выб р а нно м зна ч е ни и ша га
не пр и ме ни м, выч и сле ни я пр е кр а щ а ю тся. Если
y 2− ≤ y 2+ , то
выч и сли те льный пр о це сс пр о до лж а е тся по до б ным о б р а зо м. С хе ма 3. Пустьо пять, ка к и в схе ме 2, зна ч е ни я y1+ , y1− связа ныне р а ве нство м y1− ≤ y1+ . В ыч и сле ни е
пр и б ли ж е нных зна ч е ни й y 2+ , y 2− пр о и схо ди т а на ло ги ч но
19 выч и сле ни ям по схе ме 2. Отли ч и е за клю ч а е тся в то м, ч то в ка ч е стве
y 2−
пр и ни ма е тся б о льше е и з y 2− , y 2− , а в ка ч е стве y 2+ – ме ньше е и з y 2+ , y 2+ . С хе ма 4. В это й схе ме выч и сле ни е пр и б ли ж е нно го р е ше ни я о сущ е ствляе тся по пе р е ме нно – то по о дно й, то по др уго й фо р муле . Н а пр и ме р , е сли пр и нять, ч то y1 = y1+ ( x 0 , h0 , y 0 ) ,
y 2 = y 2− ( x1 , h1 , y1 ) , y 3 = y 3+ ( x 2 , h2 , y 2 ) , y 4 = y 4− ( x3 , h3 , y 3 )
то
и
т.д.
По стр о е нно е пр и б ли ж е нно е р е ше ни е б уде тха р а кте р и зо ва ться те м, ч то на ка ж до м ша ге гла вна я ч а сть ло ка льно й по гр е шно сти , ка к пр а ви ло , и зме няе т зна к на пр о ти во по ло ж ный.
3. По вы ш е ни е
т о чно ст и
эк ст ра п о ляци о нны м
м е т о до м
Р и ча рдсо на Пусть р е ше ни е
не ко то р о го
ди ффе р е нци а льно го
ур а вне ни я и щ е тся с
по мо щ ью ч и сле нно го ме то да пе р во го по р ядка то ч но сти о тно си те льно ша га се тки h . Если и спо льзо ва ть это тме то д с па р а ме тр о м h , а за те м h , то вто р о е р е ше ни е 2
б уде тв два р а за то ч не е пе р во го . Если по луч и ть р е ше ни е с па р а ме тр о м h 3 , то о но б уде тв тр и р а за б о ле е то ч ным и т.д. Если на м по тр е б уе тся по луч и ть р е ше ни е в 103 р а з то ч не е , ч е м пр и б ли ж е нно е р е ше ни е , со о тве тствую щ е е па р а ме тр у h , то не о б хо ди мо в 103 р а з уме ньши ть ша г се тки . По нятно , ч то в это м случ а е во зни ка ю тпр о б ле мыс о ши б ка ми о кр угле ни я и вр е ме не м сч е та . Одна ко , е сли е сть до по лни те льна я и нфо р ма ци я о до ста то ч но й гла дко сти р е ше ни я, то мо ж но сде ла ть экстр а по ляци ю р е ше ни я по ша гу се тки , ко то р а я да е т по р а зи те льные р е зульта ты. До пусти м, ч то р е ше ни е и схо дно й ди ффе р е нци а льно й за да ч и
по зво ляе т пр е дпо ло ж и ть, ч то
пр и б ли ж е нно е
р е ше ни е
и ме е т тр и
о гр а ни ч е нных пр о и зво дных по па р а ме тр у h . Т о гда мо ж но до ка за ть, ч то ли не йна я ко мб и на ци я тр е х пр и б ли ж е нных р е ше ни й, со о тве тствую щ и х h, h 2 , h 3 , б уде т да ва ть то ч но сть O(h 3 ) . Если б е зр а зме р ный па р а ме тр h взять р а вным 1/10, то для по луч е ни я то ч но сти р е ше ни я по р ядка 10-3 ме то до м пе р во го по р ядка ч и сло узло в се тки
20 пр о по р ци о на льно 103. М е то д экстр а по ляци и по Ри ч а р дсо ну о б е спе ч и тта кую ж е то ч но сть и схо дя и х тр е х р е ше ни й с ч и сло м узло в, пр о по р ци о на льных со о тве тстве нно 10, 20, 30! И спо льзо ва ни е пр и б ли ж е нных р е ше ни й на по сле до ва те льно сти се то к – о сно вна я и де я ме то да экстр а по ляци и Ри ч а р дсо на , выска за нна я и м в на ч а ле это го ве ка . М е то д Ри ч а р дсо на в пр и нци пе по зво ляе т по луч и ть уто ч не нные р е ше ни я лю б о го по р ядка то ч но сти , е сли о б е спе ч е нысо о тве тствую щ и е усло ви я гла дко сти . 3.1. По вы ш е ни ет о чно ст и в м е т о деЭйле ра Ра ссмо тр и м на ч а льную за да ч у Ко ши du = f (t , u ) t ∈ (0,1) dt u (0) = u 0 ,
(63)
где f (t , u ) ∈ C r ([0,1] × (−∞,+∞) ), r ≥ 2, r – це ло е . Пр е дпо ло ж и м, ч то
р е ше ни е
за да ч и
(1) сущ е ствуе т, е ди нстве нно
и
u ∈ C r +1 [0,1] .
За ме ч а ни е .
Пр и р а ссмо тр е ни и экстр а по ляци и по Ри ч а р дсо ну пр е дпо ла га е тся, ч то а р гуме нт пр и ве де н к б е зр а зме р но му ви ду (и зме няе тся на о тр е зке
[0,1]).
Э ти м о б ъясняе тся и спо льзо ва ни е
о б о зна ч е ни й,
о тли ч ных о то б о зна ч е ни й пр е дыдущ и х па р а гр а фо в. Пр и б ли ж е нно е р е ше ни е за да ч и (63), по луч е нно е ме то до м Э йле р а (9) на р а вно ме р но й се тке ϖ τ = {t j = jτ , j = 0,1,..., M } с ша го м τ =
1 о б о зна ч и м u τ . M
Для фи кси р о ва нных це лых ч и се л 0 < N1 < ... < N r по стр о и м се тки ϖ τ ша га ми τ k =
k
с
1 , где M мо ж е т не о гр а ни ч е нно во зр а ста ть. Н а ка ж до й и з се то к Nk M
по луч и м пр и б ли ж е нно е р е ше ни е ме то до м Э йле р а . За ме ти м, ч то все р е ше ни я u τ о пр е де ле нына се тке ϖ τ с ша го м τ = k
Ра ссмо тр и м си сте му
1 . M
k
21 r ∑ γ k = 1 k =1 r γ τ j = 0, j = 1,..., r − 1 k k ∑ k =1
(64)
ли не йных а лге б р а и ч е ски х ур а вне ни й о тно си те льно
не и зве стных γ 1 , γ 2 ,..., γ r .
По ско льку о пр е де ли те ль си сте мы (о пр е де ли те ль В а нде р мо нда ) о тли ч е н о тнуля, и ме е тся е ди нстве нно е р е ше ни е γ 1 , γ 2 ,..., γ r . С эти ми ве са ми в узла х се тки ϖ τ со ста ви м ли не йную ко мб и на ци ю r
U H = ∑γ k uτk .
(65)
k =1
По луч е нно е р е ше ни е U H на зыва ю т о тко р р е кти р о ва нным р е ше ни е м и ли р е ше ни е м, экстр а по ли р о ва нным по Ри ч а р дсо ну. По гр е шно сть р е ше ни я U H и ме е т по р ядо к τ r : max U H − u = O (τ r ) .
(66)
ϖτ
С тр о го е
до ка за те льство
пр и ве де нно го
выше
утве р ж де ни я о
по р ядке
то ч но сти U H мо ж но на йти в кни ге [4]. За ме ч а ни е о б о це нке по гр е шно сти . Пустьо пр е де ле но р е ше ни е за да ч и Ко ши с по сто янным ша го м H на се тке ϖ τ экстр а по ляци о нным ме то до м Ри ч а р дсо на по р ядка r . Т о е сть выб р а ны r це лых ч и се л 0 < N 1 < ... < N r , по стр о е ны се тки ϖ τ k , k = 1,2,..., r , и ме то до м Э йле р а по луч е ныр е ше ни я u τ1 , u τ 2 ,..., u τ r , и з r
ко то р ых по стр о е на ли не йна я ко мб и на ци я U H = ∑ γ k u τ (65), ко то р а я k
k =1
являе тся ч и сле нным р е ше ни е м по р ядка r . Для о це нки по гр е шно сти р е ше ни я U H по ступи м сле дую щ и м о б р а зо м. В о зьме м це ло е ч и сло N r +1 ,
удо вле тво р яю щ е е
усло ви ю
N r < N r +1 ,
и
на
се тке
ϖ τ r +1
пр о и нте гр и р уе м ме то до м Э йле р а е щ е р а з и схо дную за да ч у Ко ши . Да ле е по уж е выч и сле нным р е ше ни ям и вно вь по луч е нно му р е ше ни ю u τ , т.е . и схо дя и з на б о р а р е ше ни й u τ , u τ ,..., u τ , u τ , r +1
1
2
r
r +1
22 r +1
по стр о и м но вую ли не йную ко мб и на ци ю U H = ∑ γ k u τ
k
ти па (65),
k =1
ко то р а я б уде т являться уж е
р е ше ни е м
(r + 1) -о го
по р ядка .
Оч е ви дно , ч то в узла х се тки ϖ τ а б со лю тна я ве ли ч и на р а зно сти U H и U H е сть ве ли ч и на по р ядка O(τ r ) и е е зна ч е ни е да е т гла вную ч а сть по гр е шно сти пр и б ли ж е нно го р е ше ни я U H . 3.2. По ст ро е ни ене п ре ры вно го п ри б ли же нно го ре ше ни я Отме ти м о дно и з не удо б ств пр и ме не ни я экстр а по ли р о ва ни я по Ри ч а р дсо ну. Отко р р е кти р о ва нно е
р е ше ни е
о тыски ва е тся в то ч ка х, являю щ и хся о б щ и ми
узла ми все х се то к, ко то р ых мо ж е т о ка за ться ма ло . Кр о ме то го , пр и б ли ж е нно е р е ше ни е мо ж е тпо тр е б о ва ться в то ч ка х, во о б щ е не являю щ и хся узла ми се то к. Для та ки х то ч е к во змо ж но пр и ме не ни е и нте р по ляци и спла йна ми , мно го ч ле на ми и т.п. Пр о сте йши й выхо д – пр и ме не ни е и нте р по ляци о нных по ли но мо в Л а гр а нж а . Пр о до лж и м пр и б ли ж е нно е р е ше ни е u τ , о пр е де ле нно е на се тке ϖ τ , на ве сь k
k
о тр е зо к [0,1] сле дую щ и м о б р а зо м. В о зьме м пр о и зво льный эле ме нта р ный о тр е зо к [t j , t j +1 ] се тки ϖ τ k . Ре ше ни е u τ k о пр е де ле но ли шь на ко нца х это го о тр е зка в узла х t j , t j +1 . В ыб е р е м до по лни те льно к ни м е щ е r − 2 б ли ж а йши х узло в се тки ϖ τ k и на
о тр е зке
[t j , t j +1 ]
о пр е де ли м
не пр е р ывно е
пр и б ли ж е нно е
u τ k (t ) ,
р е ше ни е
со впа да ю щ е е с и нте р по ляци о нным по ли но мо м Л а гр а нж а , по стр о е нным по r выб р а нным узла м. В р е зульта те и нте р по ляци и по все м эле ме нта р ным о тр е зка м мы по луч и м не пр е р ывную функци ю , со впа да ю щ ую с u τ в узла х се тки ϖ τ . Б уде м k
k
u τ k (t ) .
о б о зна ч а ть е е
И спо льзуе м по стр о е нные
и нте р по лянты u τ (t ) k
для
выч и сле ни я пр и б ли ж е нно го не пр е р ывно го о тко р р е кти р о ва нно го р е ше ни я U H (t ) в фо р ме r
U H (t ) = ∑ γ k u τ k (t ), k =1
t ∈ [0,1],
где ве са γ k те ж е , ч то и в ли не йно й ко мб и на ци и (65).
(67)
23 По гр е шно сть не пр е р ывно го о тко р р е кти р о ва нно го р е ше ни я U H (t ) , та к ж е ка к и по гр е шно сть се то ч но го р е ше ни я U H , и ме е тпо р ядо к τ r : max U H (t ) − u (t ) = O (τ r ) .
(68)
[ 0 ,1]
За ме ч а ни е о ко эффи ци е нта х и нте р по ляци о нных по ли но мо в о тко р р е кти р о ва нно го р е ше ни я. Ка ж дый и з по стр о е нных и нте р по лянто в u τ (t ) е сть не пр е р ывна я k
функци я, являю щ а яся на ка ж до м и з эле ме нта р ных о тр е зко в со о тве тствую щ е й сте пе ни
се тки
ϖ τk
и нте р по ляци о нным
r − 1 . Отко р р е кти р о ва нно е
р е ше ни е
по ли но мо м - это та кж е
UH
не пр е р ывна я функци я, являю щ а яся по ли но мо м сте пе ни r − 1 на ка ж до м и з эле ме нта р ных о тр е зко в са мо й ме лко й се тки ϖ τ . r
Н е тр удно
ви де ть,
по ли но мо в
ч то
ко эффи ци е нты
о тко р р е кти р о ва нно го
эле ме нта р ных
уч а стко в
ко мб и на ци ями
се тки
р е ше ни я ϖτ r
со о тве тствую щ и х
и нте р по ляци о нных на
ка ж до м
являю тся
из
ли не йными
ко эффи ци е нто в
и нте р по ляци о нных по ли но мо в для u τ с те ми ж е ко эффи ци е нта ми , k
ч то и ли не йна я ко мб и на ци я (67). За ме ч а ни е о б и нте р по ляци о нных мно го ч ле на х Л а гр а нж а . Если f ( x) ∈ C r [0,1] и и зве стны зна ч е ни я f ( x j ) в r р а вно о тсто ящ и х то ч ка х x j = x1 + ( j − 1)h о тр е зка [0,1] , то для и нте р по ляци о нно го по ли но ма Л а гр а нж а r
r
i =1
j ≠i j =1
Lr −1 ( x ) = ∑ f ( xi )∏
x − xj
(69)
xi − x j
спр а ве дли во со о тно ше ни е f ( x) − Lr −1 ( x) =
1 (r ) f (ξ )ϖ r ( x) , 2! r
где x ∈ [ x1 , xr ], ξ ∈ [0,1], ϖ r ( x) = ∏ ( x − x j ) . j =1
Для ϖ r (x) и ме е тме сто о це нка
24 ϖ r ( x) ≤
hr (r − 1)! . 4
С ле до ва те льно , f ( x) − Lr −1 ( x) ≤
hr max f ( r ) (ξ ) . r ξ ∈[ 0 ,1] 4
(70)
За ме ч а ни е о р е ше ни и си сте мыур а вне ни й (64). 1 i
Если в си сте ме ур а вне ни й (64) τ i = , то р е ше ни е мо ж но выпи са ть в ви де [4] γk =
(−1) r − k k r , k = 1,2,..., r . k!(r − k )!
(71)
Если в си сте ме ур а вне ни й (64) τ i =
1 , то р е ше ни е мо ж но выпи са ть i2
в ви де [4] γk =2
(−1) r −k k 2 r , k = 1,2,..., r . (r + k )!(r − k )!
4. Пра к т и че ск и е сп о со б ы
о це нк и
(72)
п о гре ш но ст и
явны х
о дно ш а го вы х м е т о до в ре ше ни я за да чи К о ш и Пр и ч и сле нно м р е ше ни и за да ч и Ко ши (1),(2) по гр е шно сть (о ши б ка ) р е зульта то в скла дыва е тся и з тр е х со ста вляю щ и х: по гр е шно сть и схо дных да нных (за да ни е на ч а льно го зна ч е ни я y0 с не ко то р о й о ши б ко й), по гр е шно сть ме то да р е ше ни я (по гр е шно сть ди скр е ти за ци и ) и по гр е шно сть о кр угле ни й. Да ле е мы б уде м по ла га ть, ч то зна ч е ни я y0 в (2) за да ныве р но . По гр е шно сть ме то да – это сво йство и спо льзуе мо го ме то да . Если б ы все а р и фме ти ч е ски е
выч и сле ни я выпо лняли сь то ч но , то
по лна я, и ли о б щ а я,
по гр е шно сть б ыла б ы р а вна по гр е шно сти ме то да , т.е . по гр е шно сть ме то да являе тся не устр а ни мо й по гр е шно стью . В а ж но по ни ма ть, ч то по гр е шно сть ме то да мо ж но о це ни ва ть дво яко – ло ка льно и гло б а льно . Л о ка льна я по гр е шно сть– это о ши б ка , сде ла нна я на да нно м
25 ша ге пр и усло ви и , ч то пр е дыдущ и е зна ч е ни я р е ше ни я то ч ны и не т о ши б ки о кр угле ни я. По ясни м ска за нно е . Пусть y n (x) – р е ше ни е за да ч и Ко ши dy n ( x) = f (t , y n ( x) ) dx y n ( x n ) = y n ,
(72)
то е сть y n (x) являе тся р е ше ни е м и схо дно го ур а вне ни я (1), о пр е де ле нным не на ч а льным усло ви е м (2) в то ч ке x0 , а зна ч е ни е м выч и сле нно го р е ше ни я y n в то ч ке xn . Л о ка льна я по гр е шно сть
ε n е сть р а зно сть ме ж ду то ч ным р е ше ни е м
y n ( x n + h) и выч и сле нным р е ше ни е м y n+1 , о пр е де ляе мыми о дни ми и те ми ж е
да нными в то ч ке xn : ε n = y n ( x n +1 ) − y n +1 .
(73)
По дч е р кне м, ч то в пр и ве де нно м выр а ж е ни и (73) y n+1 –это выч и сле нно е ка ки м-ли б о пр и б ли ж е нным ме то до м зна ч е ни е в то ч ке xn +1 в пр е дпо ло ж е ни и о б о тсутстви и о ши б о к о кр угле ни я. Л о ка льна я по гр е шно сть ме то до в ти па Рунге Кутта и ме нно в та ко м а спе кте уж е о б суж да ла сь в п.1.1 (см. фо р мулу (8)). Г ло б а льна я по гр е шно сть – это р а зно сть ме ж ду то ч ным р е ше ни е м за да ч и ко ши (1),(2) в то ч ке
x n , о пр е де ляе мым на ч а льным зна ч е ни е м в то ч ке
x0 , и
выч и сле нным р е ше ни е м y n (все о ши б ки о кр угле ни я и гно р и р ую тся): en = y ( x n ) − y n .
(74)
За ме ч а ни е 1. Пусть за да ч а Ко ши (1),(2) р е ша е тся ме то до м Э йле р а (9) и пр а ва я ч а сть ур а вне ни я (1) не за ви си т о т y . Т о гда то ч но е р е ше ни е y(x) x
е сть пр о сто и нте гр а л y ( x) = y0 + ∫ f (τ )dτ и ме то д Э йле р а фа кти ч е ски x0
со впа да е т с ч и сле нным ме то до м и нте гр и р о ва ни я по фо р мула м ле вых пр ямо уго льни ко в: n −1
y n = y 0 + ∑ hk f ( x k ) . k =0
Л о ка льна я по гр е шно сть ε n на о дно м по ди нте р ва ле р а вна
(75)
26 εk =
xk +1
∫ f (τ )dτ − h
k
f ( xk ) ,
(76)
xk
гло б а льна я по гр е шно сть р а вна ek =
xn
∫
n −1
f (τ )dτ − ∑ hk f ( x k ) ,
(77)
k =0
x0
С р а вни ва я со о тно ше ни я (76),(77), ви ди м, ч то в р а ссма тр и ва е мо м случ а е
гло б а льна я
по гр е шно сть
р а вна
сумме
ло ка льных
по гр е шно сте й ме то да : n −1
en = ∑ ε n .
(78)
k =0
В
о б щ е м случ а е , ко гда пр а ва я ч а сть ур а вне ни я (1) за ви си т о т двух
пе р е ме нных x и y(x) , ло ка льна я по гр е шно сть ме то да на лю б о м по ди нте р ва ле за ви си т о т зна ч е ни й р е ше ни я, выч и сле нных на
пр е дыдущ и х и нте р ва ла х.
В сле дстви е это го гло б а льна я по гр е шно сть не б уде т р а вна сумме ло ка льных по гр е шно сте й. 2.
Пусть на все м о тр е зке и нте гр и р о ва ни я за да ч и Ко ши (1),(2) о т
на ч а льно го x0 до ко не ч но го xn ша г по сто яне н и р а ве н h . Т о гда о б щ е е ч и сло ша го в N = ( xn − x0 ) h . Пр е дпо ло ж и м, ч то выч и сле ни е пр и б ли ж е нно го р е ше ни я пр о во ди тся не ко то р ым явным ме то до м ти па Рунге -Кутта по р ядка s , ч то в со о тве тстви и с о пр е де ле ни е м (8) о зна ч а е т, ч то ло ка льна я по гр е шно сть ме то да е сть ве ли ч и на по р ядка O(h s +1 ) . Г ло б а льна я по гр е шно сть e N в ко не ч но й то ч ке и нте гр и р о ва ни я xn , гр уб о го во р я, мо ж е т б ыть пр е дста вле на в ви де суммы N сла га е мых, ка ж до е и з ко то р ых и ме е т по р ядо к O(h s +1 ) , по это му гло б а льна я по гр е шно сть и ме е тпо р ядо к N ⋅ O(h s +1 ) = O(h s ) : e N = O (h s ) .
За ме ч а ни е 3. По смо тр и м,
(79) ч то
пр о и схо ди т с
ло ка льно й
и
гло б а льно й
по гр е шно стью ме то да Э йле р а ( s = 1) пр и уме ньше ни и дли ны ша га . ~
Пусть дли на ша га уме ньши ла сь в 2 р а за : h = h 2 , то гда ло ка льна я по гр е шно сть ε~k уме ньша е тся пр и ме р но в 2s+1=4 р а за . Н о та к ка к
27 для до сти ж е ни я ко нца о тр е зка и нте гр и р о ва ни я те пе р ь по тр е б уе тся вдво е б о льше ша го в, то гло б а льна я о ши б ка уме ньши тся то лько в 2s=2 р а за . В ли яни е по гр е шно сти о кр угле ни я на пр и б ли ж е нные зна ч е ни я р е ше ни я за да ч и Ко ши (1),(2) пр о и ллю стр и р уе м на пр и ме р е ме то да Э йле р а с по сто янным ша го м. Пусть на ка ж до м ша ге ме то да Э йле р а де ла е тся на и худша я во змо ж на я о ши б ка о кр угле ни я E y k +1 = y k + hf ( x k , y k ) + E ,
(80)
то гда по лна я о ши б ка всле дстви е о кр угле ни й р а вна NE . С умми р уя гло б а льную по гр е шно сть ме то да (408) и по гр е шно сти о кр угле ни я, по луч а е м, ч то о б щ а я по гр е шно сть R R ≅ O(h) + NE ≤ ch + E ( x n − x0 ) h ,
(81)
где ко нста нта c не за ви си т о т зна ч е ни я ша га h . И з по сле дне го со о тно ше ни я сле дуе т, ч то сущ е ствуе то пти ма льно е зна ч е ни е ша га hоп т , ко то р о е ми ни ми зи р уе т о б щ ую по гр е шно сть R hоп т ≅
x n − x0 ⋅E . c
(82)
За ме ч а ни е 4. С пр а ве дли во сти р а ди за ме ти м, ч то в ме то де
Э йле р а о б щ а я
по гр е шно сть, на ко пи вша яся о т о кр угле ни й, на са мо м де ле ве де т се б я ка к
N E , по ско льку по гр е шно сть о кр угле ни й являе тся ско р е е
случ а йно й ве ли ч и но й, ч е м ко нста нто й, ка к мы пр е дпо ло ж и ли в пр е дыдущ и х р а ссуж де ни ях. 4.1. Оце нк а гло б а льно й п о гре ш но ст и п о п ра ви лу Рунге Пусть за да ч а Ко ши (1),(2) р е ша е тся ка ки м-ли б о явным ме то до м ти па Рунге Кутта по р ядка s на се тке с по сто янным ша го м h . Л о ка льную по гр е шно сть ме то да (8) за пи ше м в ви де y ( x n +1 ) − y n+1 = ψ ( x n , y n )h s +1 + O (h s + 2 ) ,
где ψ ( x n , y n ) =
1 ϕ q( s +1) (0) x = xn . ( s + 1)! y = yn
(83)
28 Если по гр е шно сть на ч а льно го усло ви я и по гр е шно сти о кр угле ни й сч и та ть р а вными нулю , то для гло б а льно й по гр е шно сти ме то да
εn
и ме е т ме сто
а си мпто ти ч е ско е пр е дста вле ни е [5] ε n = z ( x n )h s + O(h s +1 ) ,
(84) xn ∂f (τ , y (τ ))dτ dξ . ξ ∂y
xn
где z ( xn ) = ∫ψ (ξ , y (ξ )) exp ∫ xo
Пр е не б р е га я ч ле но м O(h s +1 ) в о це нке (84), за пи ше м фо р мулу для гло б а льно й по гр е шно сти ε n в ви де ε n ≅ z ( xn )h s .
(85)
Да ле е б уде м пр е дпо ла га ть, ч то р а ссма тр и ва ю тся то лько та ки е за да ч и Ко ши , для ко то р ых гло б а льна я по гр е шно сть ε n в ви де (85) до ста то ч но а де ква тно о тр а ж а е тпо лную по гр е шно сть Rn пр и б ли ж е нно го ме то да : Rn ≅ z ( x n ) h s .
(86)
Н а пр е дста вле ни и по лно й по гр е шно сти в ви де (86) о сно выва е тся ме то д Рунге о це нки гло б а льно й по гр е шно сти . С о гла сно ме то ду Рунге , пр и б ли ж е нно е р е ше ни е за да ч и Ко ши в не ко то р о й то ч ке xn выч и сляе тся два ж ды с р а зными ша га ми (о б ыч но с ша го м h и h 2 ), но о дни м и те м ж е ме то до м. Два по луч е нных пр и б ли ж е нных р е ше ни я по зво ляю та по сте р и о р но суди ть о по гр е шно сти р е ше ни я. Пусть в то ч ке xn выч и сле но р е ше ни е y n с ша го м h ; по гр е шно сть это го р е ше ни я на о сно ва ни и (86) р а вна y ( xn ) − y n ≅ z ( x n )h s .
(87)
Ре ше ни е , выч и сле нно е по то й ж е фо р муле с ша го м h 2 , о б о зна ч и м в то ч ке x n ч е р е з y n . По гр е шно сть р е ше ни я y n о пять о це ни м по со о тно ше ни ю (86): s
h y ( x n ) − y n ≅ z ( x n ) . 2
(88)
И склю ч и в и з (87-88) зна ч е ни е то ч но го р е ше ни я y ( xn ) , по луч и м z ( xn ) ≅
yn − yn 1 h s 1 − s 2
.
(89)
29 Т е пе р ь о це нки по гр е шно сти для пр и б ли ж е нных зна ч е ни й y n , y n пр и ни ма ю т ви д 1 Rn = y ( x n ) − y n ≅ ( y n − y n ) 1 − s , 2
(
)
Rn = y ( x n ) − y n ≅ ( y n − y n ) 2 s − 1 .
(90) (91)
За ме ти м, ч то по луч е нные пр и б ли ж е нные зна ч е ни я y n , y n мо ж но уто ч ни ть, по ло ж и в y ( x n ) ≅ y n + Rn
(92)
y ( x n ) ≅ y n + Rn .
(93)
и ли
Пр и это м по р ядо к то ч но сти уве ли ч и ва е тся на е ди ни цу y ( x n ) − y n = O ( h s +1 ) ,
(94)
но во пр о с о зна ч е ни и по гр е шно сти уто ч не нно го р е ше ни я о ста е тся о ткр ытым. За ме ч а ни е 1. Пр и ве де нные выше р а ссуж де ни я спр а ве дли вы и в то м случ а е , ко гда се тки с р а зным ч и сло м узло в не р а вно ме р ны, но и х мо ж но о пи са ть функци ями h(x) , о тно ше ни е ко то р ых h ( x) h ( x) = r = const . Об ыч но в ка ч е стве р е ше ни я в то ч ке xn пр и ни ма ю тзна ч е ни е y n ка к б о ле е то ч но е по ср а вне ни ю с y n . За ме ч а ни е 2. Если за да на ма кси ма льно до пусти ма я по гр е шно сть ε и о ка за ло сь, ч то R > ε , то не о б хо ди мо по вто р и ть выч и сле ни я с б о ле е ме лки м ша го м. В е ли ч и ну но во го ша га hε мо ж но о пр е де ли ть, по ло ж и в z ( x n ) hεs = ε ,
о ткуда на хо ди м hε = s ε z ( x n ) .
(95)
По дста вляя (89) и (91) в по сле дне е выр а ж е ни е , по луч а е м hε =
h (2 s − 1)ε h ε . = s s 2 yn − yn 2 R n
(96)
30 За ме ч а ни е 3. И з фо р мулы (96) сле дуе т, ч то пр и R > ε но во е зна ч е ни е ша га уме ньша е тся, пр и R < ε – уве ли ч и ва е тся. Э ти м о б сто яте льство м по льзую тся то гда , ко гда на о тр е зке и нте гр и р о ва ни я за да ч и Ко ши е сть не ско лько
ко нтр о льных то ч е к, в ко то р ых по гр е шно сти
пр и б ли ж е нно го
р е ше ни я до лж ны не
пр е во схо ди ть на пе р е д
за да нных до пусти мых по гр е шно сте й. За ме ч а ни е 4. И де я о пр е де ле ни я ша га и нте гр и р о ва ни я, пр и ко то р о м до сти га е тся за да нна я то ч но сть, по двум пр и б ли ж е нным зна ч е ни ям р е ше ни я мо ж е т б ыть и спо льзо ва на не пр и б ли ж е нно го во спо льзо ва ться двухсто р о нни ми
р е ше ни я по пр и
то лько пр и дво йно м пе р е сч е те пр а ви лу Рунге . Та к, е ю
ч и сле нно м
ме то да ми
р е ше ни и
Рунге -Кутта .
мо ж но
за да ч и Пусть
Ко ши по р ядо к
двухсто р о нне го ме то да р а ве н S . Т о гда с уч е то м выр а ж е ни й для ло ка льных по гр е шно сте й ме то да на ша ге (39) за пи ше м гла вные ч а сти по лных по гр е шно сте й в ви де y ( x n ) − y n+ ≅ Rn+ = γz ( x n )h s , y ( x n ) − y n− ≅ Rn− = −γz ( x n )h s ,
о ткуда 2γz ( x n ) h s = y n− − y n+ .
В е ли ч и ну но во го ша га hε мо ж но о пр е де ли ть, е сли по ло ж и ть γz ( x n ) hεs = ε . 2
Отсю да на хо ди м hε = h
За ме ч а ни е 5. В
2ε y n− y n+
.
(97)
случ а е р е ше ни я си сте мы ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й (35)
пр а ви ло Рунге за пи сыва е тся для ка ж до й и з ко мпо не нт р е ше ни я y 1 , y 2 ,..., y M
31
( ≅ (y
) 1 − 1 , l = 1,2,..., M , 2 − y ) (2 − 1), l = 1,2,..., M .
Rnl = y l ( xn ) − y nl ≅ y nl − y nl Rnl
= y ( xn ) − l
y nl
l n
l n
s
s
4.2. Оце нк а ло к а льно й п о гре ш но ст и п о п ра ви лу Р унге М е то д Рунге
пр а кти ч е ско й о це нки ло ка льно й по гр е шно сти являе тся
на и б о ле е р а спр о стр а не нным, хо тя и не са мым эффе кти вным ме то до м. Он за клю ч а е тся в то м, ч то по о дно й и то й ж е выб р а нно й выч и сли те льно й фо р муле сч и та ю тся два пр и б ли ж е ни я к р е ше ни ю в о дно й то ч ке , но с р а зными ша га ми . С р а вне ни е
эти х
двух
пр и б ли ж е нных
зна ч е ни й
по зво ляе т
по луч и ть
а по сте р и о р ную о це нку по гр е шно сти . Об о зна ч и м ч е р е з y1 р е ше ни е , по луч е нно е по выб р а нно й р а сч е тно й фо р муле ти па (4),(5) в то ч ке x1 = x0 + h . Г ла вный ч ле н ло ка льно й по гр е шно сти о б о зна ч и м ч е р е з ψ ( x0 , y 0 )h s +1 , по дч е р кнув те м са мым, ч то р е ше ни е по луч е но и з то ч ки x0 : y ( x0 + h) − y1 = ψ ( x0 , y 0 ) h s +1 .
(98) h 2
Об о зна ч и м ч е р е з yˆ р е ше ни е , по луч е нно е по пр а ви лу (4,5) в то ч ке x0 + , гла вный ч ле н по гр е шно сти ко то р о го р а ве н h h y x 0 + − yˆ = ψ ( x0 , y 0 ) 2 2
И з то ч ки x0 +
s +1
.
(99)
h выч и сли м пр и б ли ж е ни е 2
y1 к р е ше ни ю в то ч ке
x0 + h с
по гр е шно стью h h yˆ ( x0 + h) − y1 = ψ x0 + , yˆ 2 2
s +1
,
(100)
где yˆ ( x) – то ч но е р е ше ни е ур а вне ни я (1), удо вле тво р яю щ е е усло ви ю h yˆ x + = yˆ . 2
32 Если в ка ч е стве пр и б ли ж е ни я к р е ше ни ю в то ч ке x пр и нять y1 , то со гла сно пр а ви лу Рунге [6] гла вна я ч а сть по гр е шно сти ме то да на двух по сле до ва те льных ша га х h 2 р а вна y ( x0 + h) − y1 = ( y1 − y1 ) ( 2 s − 1) .
(101)
В ыч и сле нно е пр и б ли ж е нно е зна ч е ни е y1 мо ж но уто ч ни ть, пр и б а ви в к не му ве ли ч и ну гла вно го ч ле на по гр е шно сти , то е сть по ло ж и в y ( x1 ) ≅ y1 = y1 + ( y1 − y1 ) (2 s − 1) .
(102)
Т о гда y ( x1 ) − y1 = O(h s + 2 ) .
В
да нно м спо со б е
(103) о це нки по гр е шно сти фо р мула
Рунге -Кутта (4,5)
пр и ме няе тся тр и р а за и тр е б уе тся 3q − 1 выч и сле ни й пр а во й ч а сти
f ( x, y )
ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я (1), по это му пр и сло ж ных и тр удо е мки х для выч и сле ни я пр а вых ч а стях это тспо со б вле ч е тб о льши е выч и сли те льные за тр а ты. 4.3. Оце нк а ло к а льно й п о гре ш но ст и на о сно век о м б и на ци и м е т о до в ра зно го п о рядк а т о чно ст и Э то т ме то д, та к ж е ка к и ме то д о це нки по гр е шно сти Рунге , о сно ва н на ср а вне ни и двух пр и б ли ж е нных зна ч е ни й р е ше ни я в о дно й то ч ке , то лько эти зна ч е ни я выч и сляю тся по фо р мула м ти па (4),(5) р а зных по р ядко в то ч но сти с о дни м и те м ж е ша го м. Пусть выб р а ны два ме то да ти па Рунге -Кутта р а зных по р ядко в. Оди н ме то д по р ядка p : r
y1p = y 0 + ∑ pi k i ,
(104)
i =1
где i −1 k1 = hf ( x0 , y 0 ), k i = hf x0 + α i h, y 0 + ∑ β ij k j , j =1
др уго й – по р ядка s : ~ r
~ y = y0 + ∑ ~ pi k i , s 1
i =1
(105)
33 где i −1 ~ ~ ~ ~ k1 = hf ( x0 , y 0 ), k i = hf x0 + α i h, y 0 + ∑ β ij k j . j =1
Пусть p > s, r ≥ ~r . То гда о це нка ло ка льно й по гр е шно сти ρ s фо р мулы (105) и ме е тви д ρ s = y1p − y1s + O (h p +1 )
и ли , о ста вляя то лько ч ле ныгла вно го по р ядка , ρ s ≅ y1p − y1s .
(106)
По луч е нна я о це нка по гр е шно сти (106) тр е б уе т ~r + r − 1 выч и сле ни й пр а во й ч а сти ур а вне ни я (1). Если ко эффи ци е нтыв фо р мула х (104) и (105) та ко вы, ч то ~ r, α i = α~i , β ij = β ij , i = 1,2,..., ~
(107)
~
то k i = k i , i = 1,2,..., ~r , и для ло ка льно й по гр е шно сти (13?) по луч а е тся выр а ж е ни е ви да r
ρ s ≅ y1p − y1s = ∑ q i k i .
(108)
i =1
где
qi = pi − ~ pi , i = 1,2,..., ~ r , qi = pi , i = ~ r + 1,..., r
В е ли ч и на r
E = ∑ qi k i
(109)
i =1
на зыва е тся ко нтр о льным ч ле но м. И спо льзо ва ни е ко мб и на ци й
спе ци а льно
ко нтр о льных ч ле но в для
по до б р а нных фо р мул по зво ляе т уме ньши ть по
ср а вне ни ю с пр а ви ло м Рунге (102) и о це нко й (106) ко ли ч е ство выч и сле ни й пр а во й ч а сти ур а вне ни я (1). Пр и ме р 1. Ко мб и на ци я не за ви си мых фо р мул. Для ме то да тр е тье го по р ядка ( s = 3, ~r = 3) y1 = y 0 +
1 (K 1 + 3K 3 ) , 4
1 1 2 2 K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x0 + h, y 0 + K 1 , K 3 = hf x0 + h, y 0 + K 2 , 3 3 3 3
(110)
фо р мула
ко то р о го
34 пр и на дле ж и т двухпа р а ме тр и ч е ско му се ме йству (27) и 1 3
2 3
со о тве тствуе т зна ч е ни е м α 2 = , α 3 = , о ста то ч ный ч ле н о це ни м с по мо щ ью ме то да тр е х во сьмых (33) ч е тве р то го по р ядка ( p = 4, r = 4) y1 = y 0 +
1 ( K 1 + 3K 2 + 3K 3 + K 4 ) , 8
(111)
1 1 K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x 0 + h, y 0 + K1 , 3 3 2 1 K 3 = hf x0 + h, y 0 − K1 + K 2 , K 4 = hf ( x0 + h, y 0 + K 1 − K 2 + K 3 ) . 3 3
За ме ч а ни е .
Если о це ни ва ть по гр е шно сть ме то да (110) по пр а ви лу Рунге , то тр е б уе тся 8 о б р а щ е ни й к пр а во й ч а сти f ( x, y ) вме сто пяти по р а ссмо тр е нно му в пр и ме р е 1 ме то ду.
Пр и ме р 2. Ко мб и на ци я спе ци а льно по до б р а нных фо р мул. М е то ды(30) y1 = y 0 +
1 (K 1 + 4 K 2 + K 3 ) , 6
(112)
K h K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x 0 + , y 0 + 1 , K 3 = hf ( x0 + h, y 0 − K 1 + 2 K 2 ) , 2 2
и (22) y1 = y 0 + K 2 ,
(113)
K h K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x0 + , y 0 + 1 , 2 2
удо вле тво р яю тусло ви ю (107), пр и это м p = 3, s = 2, r = 3, ~r = 2 . Ко нтр о льный ч ле н (109) за пи сыва е тся в ви де E=
1 (K 1 − 2 K 2 + K 3 ) 6
(114)
и и ме е тпо р ядо к O(h 3 ) . Пр и ме р 3. Ко мб и на ци я спе ци а льно по до б р а нных фо р мул. С та нда р тный ме то д Рунге -Кутта ч е тве р то го по р ядка (32) y1 = y 0 +
1 (K1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6
(115)
35 K K h h K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x0 + , y 0 + 1 , K 3 = hf x 0 + , y 0 + 2 , 2 2 2 2 K 4 = hf ( x 0 + h, y 0 + K 3 ),
и ме то д вто р о го
по р ядка
(22) удо вле тво р яю т усло ви ю
(107), пр и это м
p = 4, s = 2, r = 4, ~ r = 2 . Ко нтр о льный ч ле н (109) за пи сыва е тся в ви де E=
1 (K1 − 4 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6
(116)
и и ме е тпо р ядо к O(h 3 ) . За ме ч а ни е .
Если о це нку по гр е шно сти ме то да (22) пр о во ди ть по пр а ви лу Рунге , то
по тр е б уе тся пять о б р а щ е ни й к пр а во й ч а сти и схо дно го
ур а вне ни я. В
пр и ме р е
2 для та ко й о це нки до ста то ч но
тр е х
о б р а щ е ни й, в пр и ме р е 3 – двух о б р а щ е ни й к пр а во й ч а сти . 4.4. Вло же нны ем е т о ды о це нк и ло к а льно й п о гре ш но ст и В ло ж е нные ме то дыо це нки ло ка льно й по гр е шно сти р е ше ни я за да ч и Ко ши – это ме то ды, о сно ва нные на ко мб и на ци и пр и б ли ж е нных ме то до в по р ядка p и p + 1 . Ка к и в пр е дыдущ е м пункте , два пр и б ли ж е нных зна ч е ни я р е ше ни я в о дно й
то ч ке по зво ляю т по луч и ть по гр е шно сть и нте гр и р о ва ни я ме то да по р ядка p . Н о вло ж е нные ме то ды – это та ки е ме то ды, в ко то р ых ме то д p -о го по р ядка по луч а е тся ка к “по б о ч ный пр о дукт” ме то да
( p + 1) -о го
по р ядка . Если
в
пр е дыдущ е м пункте б р а ли сь два са мо сто яте льных ме то да ти па Рунге -Кутта (4),(5), в ко то р ых ко эффи ци е нты α i , β ij , p qi о пр е де ляли сь и з усло ви я ми ни мума по гр е шно сти на ша ге , то во вло ж е нно м ме то де б е р е тся о ди н ме то д ти па Рунге Кутта по р ядка p + 1 . Для это го ме то да выч и сляю тся не о б хо ди мые зна ч е ни я k i (h) и с и х по мо щ ью по дб и р а е тся но вый пр и б ли ж е нный ме то д по р ядка p , ко то р ый, е сте стве нно , уж е не ми ни ми зи р уе т по гр е шно сть на ша ге и в это м смысле не являе тся ме то до м Рунге -Кутта . А лге б р а по луч е ни я та ки х ме то до в до ста то ч но гр о мо здка , о со б е нно для ме то до в по р ядка
p > 4 , о дна ко
за 1967-1969 го ды
36 И нгле ндо м, С и нта ни и Ф е льб е р го м б ыло по луч е но мно ж е ство та ки х ме то до в. Н и ж е пр и ве де ныпр о сте йши е пр и ме р ывло ж е нных ме то до в. За ме ч а ни е .
И но гда в ка ч е стве “по б о ч но го пр о дукта ” б е р ут ме то д по р ядка ме ньше , ч е м
В
p.
это м случ а е
выч и сли те льные
фо р мулы
зна ч и те льно упр о щ а ю тся (см. пр и ме р 1). Пр и ме р 1. С та нда р тный ме то д Рунге -Кутта ч е тве р то го по р ядка (32) y1 = y 0 +
1 (K1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6
(117)
по зво ляе то це ни ть ме то д вто р о го по р ядка y1 = y 0 +
1 (− K1 + 2 K 2 + 2 K 3 − K 4 ) . 2
(118)
Ко нтр о льный ч ле н за пи сыва е тся в ви де E=
2 (K 1 − K 2 − K 3 − K 4 ) , 3
(119)
и ме е тпо р ядо к O(h 3 ) и и зве сте н ка к ко нтр о льный ч ле н Его р о ва . Пр и ме р 2. М е то д Рунге -Кутта тр е тье го по р ядка (30) y1 = y 0 +
1 (K 1 + 4 K 2 + K 3 ) 6
(120)
по зво ляе то це ни ть ме то д вто р о го по р ядка (20) y1 = y 0 +
1 (K1 + K 3 ) . 2
(121)
Ко нтр о льный ч ле н и ме е тпо р ядо к O(h 3 ) и за пи сыва е тся в ви де E=−
1 (K 1 − 2 K 2 + K 3 ) . 3
(122)
Пр и ме р 3. Пяти ч ле нна я
фо р мула
ме то да
Рунге -Кутта
ч е тве р то го
по р ядка ,
пр е дло ж е нна я М е р со но м, y1 = y 0 +
где
1 (K 1 + 4 K 4 + K 5 ) , 6
(123)
37 K K K h h K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x0 + , y 0 + 1 , K 3 = hf x0 + , y 0 + 1 + 2 , 3 3 3 6 6 K K h 3 3 K 4 = hf x 0 + , y 0 + 1 − K 3 , K 5 = hf x0 + h, y 0 + 1 − K 3 + 2 K 4 , 2 8 8 2 2
(124)
по зво ляе то це ни ть ме то д тр е тье го по р ядка y1 = y 0 +
1 (K 1 + 3K 3 + 4 K 4 + 2 K 5 ) . 10
(125)
Ко нтр о льный ч ле н по р ядка O(h 4 ) в да нно м случ а е за пи сыва е тся в ви де E=
1 (2 K1 − 9 K 3 + 8K 4 − K 5 ) . 30
(126)
Пр и ме р 4. Ш е сти ч ле нна я фо р мула ме то да Рунге -Кутта пято го по р ядка , по стр о е нна я И нгле ндо м, y1 = y 0 +
1 (14 K1 + 35K 4 + 162 K 5 + 125K 6 ) , 336
(127)
где K K K h h K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x0 + , y 0 + 1 , K 3 = hf x0 + , y 0 + 1 + 2 , 2 2 2 4 4 2 7 10 1 K 4 = hf ( x0 + h, y 0 − K 2 + 2 K 3 ), K 5 = hf x0 + h, y 0 + K1 + K2 + K 4 , (128) 3 27 27 27 h 1 (28K1 − 125K 2 + 546 K 3 + 54 K 4 + 378K 5 ) , K 6 = hf x 0 + h, y 0 − 5 625
да е то це нку для ме то да ч е тве р то го по р ядка y1 = y 0 +
1 (K 1 + 4 K 3 + K 4 ) 6
(129)
в ви де ко нтр о льно го ч ле на по р ядка O(h 5 ) E=
1 (− 42 K1 − 224 K 3 − 21K 4 + 162 K 5 + 125K 6 ) . 336
За ме ч а ни е .
(130)
М е то ды, пр и ве де нные в пр и ме р а х 1-4, по зво ляю туме ньши ть ч и сло о б р а щ е ни й к пр а во й ч а сти и схо дно го ур а вне ни я по ср а вне ни ю с те м, ко то р о е и ме е тме сто пр и по льзо ва ни и пр а ви ло м Рунге : пр и ме р 1 – ме то д вто р о го по р ядка , ч е тыр е о б р а щ е ни я вме сто пяти ; пр и ме р 2 – ме то д вто р о го по р ядка , тр и о б р а щ е ни я вме сто пяти ;
38 пр и ме р 3 – ме то д тр е тье го по р ядка , пятьо б р а щ е ни й вме сто во сьми ; пр и ме р 4 – ме то д ч е тве р то го по р ядка , ше сть о б р а щ е ни й вме сто о ди нна дца ти . 4.5. М е ра п о гре ш но ст и п ри б ли же нно го ре ше ни я В ыше
р а ссма тр и ва ли сь пр а кти ч е ски е
спо со б ы о це нки гло б а льных и
ло ка льных а б со лю тных по гр е шно сте й р е ше ни я, ко то р ые ле ж а тв о сно ве мно ги х а лго р и тмо в по луч е ни я пр и б ли ж е нных р е ше ни й с на пе р е д за да нно й ве р хне й гр а ни це й по гр е шно сти . Одна ко б ыва ю т си туа ци и , ко гда за да ни е а б со лю тных по гр е шно сте й р е ше ни я не то лько не р а зумно , но и пр и во ди т к пр и нци пи а льно й не во змо ж но сти по луч е ни я р е ше ни я на да нно й Э В М . В
са мо м де ле , пусть
до пусти ма я а б со лю тна я по гр е шно сть р а вна 10 − k , а ма кси ма льно е зна ч е ни е р е ше ни я – 10 − p . Т о гда для то го , ч то б ы тр е б уе ма я то ч но сть б ыла до сти гнута , ко ли ч е ство
и спо льзуе мых пр и выч и сле ни ях де сяти ч ных зна ко в t до лж но
удо вле тво р ять не р а ве нству t >k + p.
(131)
Оч е ви дно , ч то зна ч е ни е t мо ж е тпр е взо йти дли ну р а зр ядно й се тки Э В М и выч и сле ни я ста нутне во змо ж ны. По до б ные си туа ци и не
во зни ка ю т, ко гда за да е тся не
а б со лю тна я, а
о тно си те льна я по гр е шно сть пр и б ли ж е нно го р е ше ни я. Одна ко пр и за да нно й о тно си те льно й по гр е шно сти на до сле ди ть, ч то б ы пр и б ли ж е нно е р е ше ни е не о б р а щ а ло сь в нуль, ве р не е , ч то б ы пр и б ли ж е нно е р е ше ни е не по па да ло в ма лую о кр е стно сть нуля. Б о ле е
ги б ки м
и нстр уме нто м,
че м
а б со лю тна я
и
о тно си те льна я
по гр е шно сти , являе тся ме р а по гр е шно сти . М е р о й по гр е шно сти пр и б ли ж е нно го р е ше ни я на зыва е тся ди скр е тна я функци я Vn =
y( xn ) − y n yn
p
qp,
(132)
где q – не ко то р о е по ло ж и те льно е ч и сло , выб и р а е мо е с уч е то м о со б е нно сте й р е ша е мо й за да ч и ; p = 0 пр и y n ≤ q ; p = 1 пр и y n > q .
39 Л е гко ви де ть, ч то пр и y n ≤ q ме р а по гр е шно сти Vn со впа да е тс а б со лю тно й по гр е шно стью пр и б ли ж е нно го р е ше ни я, а пр и
yn > q
– с е е взве ше нно й
о тно си те льно й по гр е шно стью . За ме ч а ни е 1. Н а пр а кти ке и де я р а ссмо тр е ни я ме р ы по гр е шно сти р е а ли зуе тся сле дую щ и м о б р а зо м. Пусть ε ( А б с) , ε (О т н ) – на и б о льши е до пусти мые зна ч е ни я
а б со лю тно й
со о тве тстве нно .
То гда
и
о тно си те льно й
сч и та ю т,
ч то
по гр е шно сте й
ме р а
по гр е шно сти
удо вле тво р яе тза да нным тр е б о ва ни ям, е сли выпо лняе тся усло ви е ε n ≤ ν yn + µ ,
(133)
где ε ( А б с) , если y n ≤ q, 0, если y n ≤ q, ν = (О т н ) µ= , если y n > q, 0, если y n > q. ε
(134)
За ме ти м, ч то е сли в не ко то р о й то ч ке xn ве р но р а ве нство y n = 1 , то о тно си те льна я и а б со лю тна я по гр е шно сти пр и б ли ж е нно го р е ше ни я в это й то ч ке со впа да ю т. По это му ч а сто за да ю то дно зна ч е ни е ε ( 0 ) и пр о ве р яю твыпо лне ни е усло ви я (133), где 0, если yn ≤ 1, ε ( 0 ) , если y n ≤ 1, µ= ν = (0) ε , если yn > 1, 0, если y n > 1.
(135)
За ме ч а ни е 2. O пр и б ли ж е нно м р е ше ни и с на пе р е д за да нным ч и сло м ве р ных зна ко в. Пусть тр е б уе тся по стр о и ть пр и б ли ж е нно е р е ше ни е , и ме ю щ е е m ве р ных зна ко в пр и за пи си в де сяти ч но й си сте ме Пр е дпо ло ж и м, ч то зна ч е ни е
y n и ме е т по р ядо к
сч и сле ни я.
p , то гда о но
пр е дста ви мо в ви де y n = a1 ⋅10 p −1 + a 2 ⋅10 p −2 + ... + a m ⋅ 10 m −1 + ... (a1 ≠ 0) .
(136)
Н а по мни м, ч то ци фр а a k сч и та е тся ве р но й, е сли а б со лю тна я 1 2
по гр е шно сть не пр е во схо ди т 10 p− k . Если мы хо ти м и ме ть m
40 ве р ных зна ко в, то не о б хо ди мо по тр е б о ва ть, ч то б ы а б со лю тна я по гр е шно сть пр и б ли ж е нно го р е ше ни я удо вле тво р яла не р а ве нству 1 y ( x n ) − y n ≤ 10 p − m 2
(137)
Пр и это м о тно си те льна я по гр е шно сть не б уде тза ви се ть о тпо р ядка p:
y ( xn ) − y n yn
1 ≤ 101− m 2
(138)
И та к, ч то б ы на йти пр и б ли ж е нно е р е ше ни е с ве р ными зна ка ми , нуж но и ска ть зна ч е ни е ша га и нте гр и р о ва ни я и з усло ви я (138) и пр и это м сле ди ть, ч то б ы y n не о б р а ти ло сь в нуль 4.6. Сп о со б ы о це нк и п о гре ш но ст и п ри б ли же нно го ре ше ни я си ст е м ура вне ни й. Т а к ж е ка к и са ми ме то ды ти па Рунге -Кутта , по луч е нные в 2.1 для о дно го
ди ффе р е нци а льно го
по гр е шно сти ле гко
ур а вне ни я, пр а кти ч е ски е
спо со б ы о це нки
их
пе р е но сятся на случ а й р е ше ни я си сте м о б ыкно ве нных
ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й. Пусть ч и сле нно р е ша е тся си сте ма ур а вне ни й (501) ка ки м-ли б о ме то до м ти па Рунге -Кутта (502). А по сте р и о р на я о це нка гло б а льно й по гр е шно сти по пр а ви лу Рунге . В ыпи ше м по ко мпо не нтно о це нки по гр е шно сти , а на ло ги ч ные (307),(308): Rni = y i ( xn ) − y ni ≅ ( yni − y ni ) /(1 − 1 / 2 s ), i = 1,2,..., M Rni = y i ( xn ) − yni ≅ ( yni − y ni ) /(2 s − 1),
i = 1,2,..., M
Зде сь ч е р та на д о б о зна ч е ни ями являе тся не си мво ло м ве кто р а , а ста ви тся в зна к то го , ч то р е ше ни е (и ли по гр е шно сть) по луч е но с ша го м h. Н а и б о ле е
ч а сто сч и та ю т, ч то для гло б а льно й по гр е шно сти р е ше ни я
до сти га е тся не ко то р а я то ч но сть ε , е сли эта то ч но сть до сти гнута для все х ко мпо не нтр е ше ни я: Rni ≤ ε ,
i = 1,2,..., M .
Одна ко
б ыва е т, ч то
41 фи зи ч е ски й смысл за да ч и
и ли
и ные
со о б р а ж е ни я
по дска зыва ю т, ч то о це нку по гр е шно сти до ста то ч но пр о и зво ди ть то лько по о дно й и з ко мпо не нт р е ше ни я. В спо мни в,
ч то
по гр е шно сть р е ше ни я си сте мы
ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й являе тся ве кто р о м р а зме р но сти
M, мо ж но
пр е дста ви ть си туа ци и , ко гда о це нка по гр е шно сти пр о во ди тся по не ко то р о й ве кто р но й но р ме по гр е шно сти . Оце нка ло ка льно й по гр е шно сти
пр и р е ше ни и си сте мы о б ыкно ве нных
ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й та кж е пр о во ди тся ч а щ е все го по ко мпо не нтно , т.е . те м и ли и ным ме то до м о це нки ло ка льно й по гр е шно сти (ме то до м Рунге , и ли на о сно ве ко мб и на ци й фо р мул р а зных по р ядко в то ч но сти , и ли вло ж е нным ме то до м) выч и сляю тся гла вные ч а сти по гр е шно сте й y i ( x0 + h) − y1i для все х ко мпо не нт р е ше ни я ( (i = 1,2,..., M ). За те м о пр е де ляе тся на и б о льша я и з по гр е шно сте й, ко то р а я и
пр и ни ма е тся за
о це нку по гр е шно сти
си сте мы. Одна ко
за
ло ка льную
по гр е шно сть р е ше ни я си сте мы ур а вне ни й мо ж но пр и нять и и ные о б ъе кты – ло ка льную по гр е шно сть не ко то р о й фи кси р о ва нно й ко мпо не нтыр е ше ни я, ср е дне е а р и фме ти ч е ско е по гр е шно сте й о тде льных ко мпо не нти т.п. За ме ти м, ч то в те ста х За да ни й все гда о со б о о го ва р и ва е тся, ч то пр и ни ма е тся за о це нку по гр е шно сти ч и сле нно го и нте гр и р о ва ни я си сте мыур а вне ни й.
5. Авт о м а т и че ск и й вы б о р ш а га и нт е гри ро ва ни я за да чи К о ш и И нтуи ти вно по нятно , ч то пе р е ме нных ша г и нте гр и р о ва ни я по зво ляе т уч и тыва ть о со б е нно сть по ве де ни я р е ше ни я и ми ни ми зи р о ва ть выч и сли те льные за тр а ты пр и со хр а не ни и тр е б уе мо й то ч но сти ч и сле нно го р е ше ни я. М е то да ми ва р и а ци о нно го выч и сле ни я по ка за но , ч то пр и за да нно м ур о вне гло б а льно й по гр е шно сти
р е ше ни я выч и сли те льные
за тр а ты б удут ми ни ма льны, е сли
ло ка льна я по гр е шно сть на ка ж до м ша ге б уде т по сто янна . Э то т фа кт являе тся це нтр а льно й и де е й а лго р и тмо в а вто ма ти ч е ско го выб о р а ша га . За ме ч а ни е . По гр е шно сть о кр угле ни я в на сто ящ е м ме то де не уч и тыва е тся.
42 5.1. М е т о д удво е ни я и де ле ни я ш а га п о п о ла м Пусть для по луч е ни я пр и б ли ж е нно го р е ше ни я за да ч и Ко ши (1),(2) выб р а н не ко то р ый ме то д ти па Рунге -Кутта и и ме е тся в р а спо р яж е ни и спо со б о це нки ло ка льно й по гр е шно сти выб р а нно го ме то да . Ка к и р а не е , о б о зна ч и м ч е р е з ε n+1 ло ка льную по гр е шно сть ме то да в то ч ке
xn + h , а
пр и б ли ж е нно е
зна ч е ни е ,
выч и сле нно е с ша го м h – y nh+1 . Пусть на и б о льша я до пусти ма я ло ка льна я по гр е шно сть ша га и нте гр и р о ва ни я р а вна ε > 0 . Т о гда е сли ε n +1 > ε ,
(139)
то пр и б ли ж е нно е зна ч е ни е y nh+1 сч и та е тся не удо вле тво р и те льным по то ч но сти и выб и р а е тся но во е зна ч е ни е ша га h (1) = h . 2
(140)
С эти м но вым ша го м по то й ж е фо р муле Рунге -Кутта выч и сляе тся но во е зна ч е ни е y nh+1 в но во й то ч ке xn + h (1) . Если о це нка ло ка льно й по гр е шно сти ε n(1+)1 на (1)
но во м ша ге
h (1)
о пять пр е во схо ди т за да нную
на и б о льшую
до пусти мую
ло ка льную по гр е шно сть ε ε n(1+)1 > ε ,
(141)
то ша г сно ва де ли тся по по ла м h ( 2) = h
(1)
2
.
и выч и сле ни я по вто р яю тся. Т а к пр о и схо ди т до
(142) те х по р , по ка ло ка льна я
по гр е шно сть не ста не тме ньше и ли р а вна ε пр и ка ко й-то ве ли ч и не ша га , ко то р ую о б о зна ч и м hn : ε n +1 ≤ ε .
(143)
Да льне йше е и нте гр и р о ва ни е ур а вне ни я б уде т пр о и зво ди ться и з то ч ки x n +1 = x n + hn с ша го м hn +1 , ко то р ый выб и р а е тся по сле дую щ е му пр а ви лу. Если
ло ка льна я по гр е шно сть ε n +1 на ша ге hn = xn +1 − xn удо вле тво р яе тне р а ве нству ε n +1 <
ε , k
(144)
43 где
k
– ко нста нта , то
ша г и нте гр и р о ва ни я удва и ва е тся hn +1 = 2hn . Если
выпо лняе тся не р а ве нство ε ≤ ε n+1 ≤ ε , k
(145)
то ша г и нте гр и р о ва ни я не ме няе тся, hn+1 = hn .
(146)
Ко нста нта k по ла га е тся р а вно й 2 s , где s – по р ядо к и спо льзуе мо й о це нки ло ка льно й по гр е шно сти ме то да . Т а ки м о б р а зо м о сущ е ствляе тся и зме не ни е
ша га
и нте гр и р о ва ни я в
за ви си мо сти о т ха р а кте р а р е ше ни я: та м, где высо ка то ч но сть пр и б ли ж е нно го р е ше ни я, ша г во зр а ста е т, а та м, где за да нна я то ч но сть не до сти га е тся, ша г уме ньша е тся. И зло ж е нный выше а лго р и тм о тр а ж а е тли шь о сно вную и де ю ме то да удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м. В хо р о ши х пр о гр а ммных р е а ли за ци ях это т ме то д со де р ж и т мно го о со б е нно сте й, ко то р ые де ла ю т е го б о ле е на де ж ным и эко но ми ч ным. В
ни ж е сле дую щ и х за ме ч а ни ях пр и ве де ны не ко то р ые и з эти х
о со б е нно сте й. За ме ч а ни е 1. Для со кр а щ е ни я ч и сла б е спо ле зных пр о ве р о к пр и ме ни мо сти ша га и нте гр и р о ва ни я а лго р и тм мо ди фи ци р уе тся сле дую щ и м о б р а зо м. Если пр и и нте гр и р о ва ни и и з то ч ки xn в то ч ку xn +1 = xn + hn ша г и нте гр и р о ва ни я уме ньша лся хо тя б ы о ди н р а з, то пр и выб о р е сле дую щ е го
зна ч е ни я
пр е дыдущ е го ша га
ша га
и нте гр и р о ва ни я
hn +1
удво е ни е
не пр о и схо ди т, да ж е е сли удо вле тво р яю тся
со о тно ше ни я (144). И ными сло ва ми , е сли на да нно м ша ге б ыла не уда ч на я по пытка пр и ме не ни я ша га и нте гр и р о ва ни я, то для сле дую щ е го ша га не до пуска е тся уве ли ч е ни е е го дли ны. За ме ч а ни е 2. За
два
ша га
впе р е д
пр о ве р яе тся
то ч ка
ко нца
и нте р ва ла
и нте гр и р о ва ни я с те м, ч то б ы и спр а ви ть пр и не о б хо ди мо сти ве ли ч и ну ша га , ч то б ы до сти гнуть ко нца о тр е зка и нте гр и р о ва ни я б е з сли шко м р е зки х и зме не ни й в ве ли ч и не ша га .
44 За ме ч а ни е 3. По льзо ва те ль до лж е н и ме ть во змо ж но сть за ка зыва ть вр е мя сч е та по
пр о гр а мме . Э то
мо ж но
сде ла ть тр е мя спо со б а ми : и ли
пр о гр а мми ст ста ви т сч е тч и к ч и сла выч и сле ни й пр а во й ч а сти ур а вне ни я, о гр а ни ч и в ч и сло выч и сле ни й пр а во й ч а сти не ко то р ым па р а ме тр о м,
и ли
ста ви т
и нте гр и р о ва ни я,
и ли
и нте гр и р о ва ни я.
Ре а кци я
о гр а ни ч е ни е
на
ста ви т о гр а ни ч е ни я на пр о гр а ммы на
дли ну
ша га
ч и сло
ша го в
пр е выше ни е
эти х
па р а ме тр о в о го ва р и ва е тся с за ка зч и ко м пр о гр а ммы, в р о ли ко то р о го в уч е б но м пр о це ссе выступа е т пр е по да ва те ль, ве дущ и й за няти я. За ме ч а ни е 4. Пр и выб о р е сле дую щ е го ша га ч и сло удво е ни й дли ны ша га мо ж е т б ыть о гр а ни ч е но не ко то р ым па р а ме тр о м; о б ыч но не до пуска ю т5кр а тно го удво е ни я дли ныша га . За ме ч а ни е 5. Ч то б ы и зб е ж а ть за ци кли ва ни й пр о гр а ммы, не о б хо ди мо пр о ве р ять, ч то в усло ви ях ма ши нно й а р и фме ти ки выпо лнятся не р а ве нство x n + hn ≠ x n ,
(147)
т.е . ч то ве ли ч и на hn не ме ньше р а ссто яни я о т xn до со се дне го спр а ва (пр и hn > 0 ) и ли сле ва (пр и hn < 0 ) ве щ е стве нно го ч и сла , ко то р о е пр е дста вле но на и спо льзуе мо й Э В М . Для это го ша г и нте гр и р о ва ни я до лж е н удо вле тво р ять усло ви ю h ≥ max{σ , r},
где
σ
(148)
– на и ме ньше е по ло ж и те льно е ч и сло , пр е дста ви мо е на
да нно й Э В М , τ ≅ macheps ⋅ x , macheps – ма ши нно е эпси ло н [7]. Зна ч е ни е ,
б ли зко е
к
ма ши нно му
по сле дую щ е му пр о сто му а лго р и тму:
эпси ло н,
выч и сляе тся
45 R := 1 п ока (1 + R) > 1 нц R := R 2 кц macheps := R ∗ 2
(149)
За ме ч а ни е 6. Для то го , ч то б ы и зб е ж а ть не пр и ятно сте й, о ко то р ых го во р и ло сь в За ме ч а ни и 5, мо ж но ста ви ть о гр а ни ч е ни я на ч и сло де ле ни й пе р во на ч а льно го ша га и нте гр и р о ва ни я. Н а пр и ме р , е сли о гр а ни ч и ть ко ли ч е ство
де ле ни й два дца тью , то до пуска е тся ма кси ма льно е
уме ньше ни е ша га в 10 6 р а з. За ме ч а ни е 7. В ыб о р о пти ма льно го са мо го пе р во го ша га и нте гр и р о ва ни я – тр удна я за да ч а , е сли р е ша ть е е в по лно м о б ъе ме . С а мый пр о сто й выхо д – по ло ж и ть пе р во на ч а льный ша г р а вным не ко то р о й ч а сти о тр е зка и нте гр и р о ва ни я, на де ясь на то , ч то ме то д удво е ни я и де ле ни я
ша га
по по ла м
до во льно
б ыстр о
выйде т
на
удо вле тво р и те льно е зна ч е ни е дли ныша га . 5.2. М е т о д вы б о ра м а к си м а льно й для за да нно й т о чно ст и дли ны ш а га Н а по мни м, ч то ми ни ма льные выч и сли те льные за тр а тыпр и р е ше ни и за да ч и Ко ши (1),(2) ме то да ми ти па Рунге -Кутта и ме ю тме сто то гда , ко гда на все х ша га х и нте гр и р о ва ни я ло ка льна я по гр е шно сть ме то да по сто янна и р а вна не ко то р о му ε . Пусть р е ше ни е в то ч ке xn выч и сле но и и де тпр о ве р ка удо вле тво р и те льно сти ша га h для о пр е де ле ни я сле дую щ е й то ч ки и нте гр и р о ва ни я x n +1 = x n + h . С это й це лью
сч и та е тся по гр е шно сть ε n +1 (гла вна я ч а сть по гр е шно сти , см. со о тно ше ни е (84)), с ко то р о й о пр е де ляе тся зна ч е ни е y n+1 в то ч ке xn + h , и ср а вни ва е тся с ε . Если ψ ( x n , y n ) h s +1 = ε n +1 > ε ,
(150)
то зна ч е ни е ша га h пр и зна е тся не удо вле тво р и те льным и выб и р а е тся но вый ша г и нте гр и р о ва ни я hε и з со о тно ше ни я hε = αh ,
(151)
46 где па р а ме тр α вве де н для то го , ч то б ы гла вна я ч а сть ло ка льно й по гр е шно сти б ыла то ч но р а вна ε : ψ ( xn , y n ) hεs +1 = ε .
(152)
И з со о тно ше ни й (150)- (152) ле гко по луч а е м зна ч е ни е но во го ша га hε hε = s +1
ε ε n +1
⋅h,
(153)
пр и это м α = s +1
ε ε n +1
< 1.
(154)
Н о вым узло м и нте гр и р о ва ни я б уде тявляться узе л xn +1 = xn + hε . Если ло ка льна я по гр е шно сть ε n+1 не пр е во схо ди тза да нно го ε ε n +1 ≤ ε ,
ша г h
сч и та е тся удо вле тво р и те льным и
(155) в ка ч е стве
сле дую щ е го
узла
и нте гр и р о ва ни я пр и ни ма е тся узе л xn +1 = xn + h , пр и это м та кж е о пр е де ляе тся ша г hε по фо р муле (153), где α б уде туж е б о льше е ди ни цы, т.е . ша г hε б уде тб о льше
ша га h . Да льне йше е и нте гр и р о ва ни е ур а вне ни я (1) и з то ч ки xn+1 на ч и на е тся с пр о ве р ки удо вле тво р и те льно сти ша га hε . К о пи са нно му в это м пункте ме то ду выб о р а ша га и нте гр и р о ва ни я в по лно й ме р е о тно сятся За ме ч а ни я 2,5,7 и з пр е дыдущ е го пункта . За ме ч а ни е .
Пр и пр а кти ч е ско й р е а ли за ци и па р а ме тр α за ме няе тся на па р а ме тр α ∗ = 0,9α .
6. И нди ви дуа льны еза да ни я п о чи сле нны м м е т о да м ре ше ни я за да чи К о ш и 6.1. О де м о нст ра ци и ра б о т ы п ро гра м м В о вр е мя сда ч и пр е по да ва те лю пр о гр а ммы студе нт на р яде пр и ме р о в, ко то р ые по дго та вли ва е т са мо сто яте льно , до лж е н по ка за ть, ч то е го пр о гр а мма р а б о та е т в со о тве тстви и с за да ни е м. Н а пр и ме р , е сли за да ч а Ко ши р е ша е тся
47 ме то до м Рунге -Кутта тр е тье го по р ядка , на до по ка за ть, ч то р е а ли зо ва н в са мо м де ле ме то д тр е тье го по р ядка то ч но сти . Для это го до ста то ч но выпо лни ть р яд те сто вых пр и ме р о в – в за да ч а х Ко ши , в ко то р ых р е ше ни е являе тся по ли но мо м нуле во й, пе р во й, вто р о й и тр е тье й сте пе ни , до лж но по луч а ться то ч но е р е ше ни е , а е сли р е ше ни е е сть по ли но м б о ле е высо ко й сте пе ни , то ч и сле нно е р е ше ни е и ме е т по гр е шно сть. Если в со о тве тстви и с за да ни е м а вто ма ти ч е ски й выб о р ша га и нте гр и р о ва ни я р е а ли зуе тся ме то до м удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м, то не о б хо ди мо
по до б р а ть пр и ме р ы с за р а не е
и зве стно й
по гр е шно стью
и
спе ци а льным о б р а зо м за да ва ть то ч но сть с те м, ч то б ы р е ше ни е по луч а ло сь в за р а не е пр е дска за нных то ч ка х и т.п. По стр о е ни е
те сто вых
пр и ме р о в
не
до лж но
тр е б о ва ть
б о льшо й
выч и сли те льно й р а б о ты. Одна ко и х со ста вле ни е не во змо ж но б е з глуб о ко го по ни ма ни я пр о гр а мми р уе мо го ме то да . Н и ж е пр и ве де н р яд за ме ч а ни й по р а зр а б о тке и ллю стр и р ую щ и х те сто вых пр и ме р о в. В ни ма те льно е и х и зуч е ни е да ж е в случ а е , е сли о ни не по ср е дстве нно не о тно сятся к и нди ви дуа льно му за да ни ю
студе нта , зна ко мят ч и та ю щ е го
с
о сно вными пр и нци па ми и и де ями , ле ж а щ и ми в о сно ве по стр о е ни я те сто вых пр и ме р о в для р е ше ни я на ч а льных за да ч (1)-(2) ме то да ми ти па Рунге -Кутта . За ме ч а ни е о на ч а льно й то ч ке и нте гр и р о ва ни я. Н и ж е пр и со ста вле ни и те сто вых пр и ме р о в для пр о сто ты выкла до к по ла га е м x0 = 0 . За ме ч а ни е о со ста вле ни и ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я с за р а не е и зве стным р е ше ни е м. До пусти м, мы хо ти м со ста ви ть ур а вне ни е , р е ше ни е ко то р о го е сть y ( x) = x 3 . У ч и тыва я, ч то
y′( x) = 3 x 2 , за пи ше м не ско лько пр и ме р о в
та ки х ур а вне ни й: y ′ = 3x 2 , y ′ = y − x 2 ( x − 3) , y ′ = x( y − x 3 + 3x ) .
За ме ч а ни е о со ста вле ни и ди ффе р е нци а льно й за да ч и , ко то р а я пр и ч и сле нно м р е ше ни и да е тза р а не е и зве стную по гр е шно сть ме то да на ша ге . Пр и ме р 1.
48 Пусть пр о гр а мми р уе мый ме то д Рунге -Кутта вто р о го по р ядка (22), по гр е шно сть на ша ге ко то р о го и ме е тви д (23). Пр е дпо ло ж и м, ч то пр а ва я ч а сть ур а вне ни я не за ви си т о т y . Т о гда в выр а ж е ни и для по гр е шно сти
(23)
о ста е тся
о дно
пе р во е
сла га е мо е .
Если
по тр е б о ва ть, ч то б ывто р а я пр о и зво дна я f xx′′ р а вняла сь ко нста нте , то о ч е ви дно , ч то на лю б о м ша ге и нте гр и р о ва ни я по гр е шно сть ме то да б уде тпо сто янна . Зде сь в ка ч е стве те сто во го пр и ме р а удо б но взять за да ч у y ′ = 12 x 2 , y (0) = 0 , по ско льку в это м случ а е по гр е шно сть на ша ге (23) и ме е тна и б о ле е пр о сто й ви д ϕ 2 ≡ h 3 . Пр и ме р 2. М о ж но
по дб и р а ть те сто вые пр и ме р ы с на пе р е д и зве стными
по гр е шно стями ме то да на ша ге , не и спо льзуя выр а ж е ни я для по гр е шно сти , ка к это сде ла но в пр и ме р е 1. Пусть пр о гр а мми р уе мый ме то д ч е тве р то го по р ядка (33). Опять по ло ж и м, ч то пр а ва я ч а сть и схо дно го ур а вне ни я не за ви си то т y . Т о гда со гла сно (7) не по ср е дстве нно выч и сли м по гр е шно сть h h 2 ϕ 4 (h) = y ( x 0 + h ) − y 0 − f ( x0 ) + 3 f x 0 + + 3 f x0 + h + f ( x0 + h ) , (156) 8 3 3
р а скла дыва я то ч но е р е ше ни е y( x0 + h ) и функци ю f в р яд Т е йло р а в о кр е стно сти то ч ки x0 : ϕ 4 ( h) = − f
IV
h5 . 9 ⋅ 6!
(157)
Оч е ви дно , ч то в ка ч е стве пр о сте йше го те сто во го пр и ме р а удо б но взять функци ю f с по сто янно й ч е тве р то й пр о и зво дно й, на пр и ме р , f
IV
= 9 ⋅ 6! . Т о гда
по гр е шно сть на ша ге
ϕ 4 ( h) = − h 5 , а
и ско ма я
де мо нстр а ци о нна я за да ч а Ко ши и ме е тви д ′ 9 ⋅ 6! 4 x , y = 24 y (0) = 0.
(158)
49 За ме ч а ни е о со ста вле ни и те сто во го пр и ме р а , де мо нстр и р ую щ е го удво е ни е ша га и нте гр и р о ва ни я пр и
а вто ма ти ч е ско м выб о р е
ша га
ме то до м
удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м. Пусть р е ша е тся за да ч а Ко ши ме то до м Рунге -Кутта по р ядка S и ка ки м-ли б о ме то до м на ка ж до м ша ге о це ни ва е тся по гр е шно сть р е ше ни я. Т о гда е сли в ка ч е стве те сто во го пр и ме р а взять за да ч у Ко ши , р е ше ни е м ко то р о й являе тся по ли но м сте пе ни не выше S , то по гр е шно сть на ка ж до м ша ге б уде тр а вна нулю (ч и сле нный ме то д б уде т
да ва ть
то ч но е
р е ше ни е )
и,
сле до ва те льно ,
ша г
и нте гр и р о ва ни я б уде тпо сто янно удва и ва ться. К пр и ме р у, пусть на ч а льный ша г и нте гр и р о ва ни я за да е тся р а вным 0.005.
Т о гда
по сле до ва те льно сть то ч е к,
в ко то р ых б уде т
выда ва ться р е ше ни е , та ко ва : x0 = 0, x1 = 0.005, x 2 = 0.015, x3 = 0.035, x 4 = 0.075, x5 = 0.155 и та к да ле е .
За ме ч а ни е о со ста вле ни и те сто во го пр и ме р а , де мо нстр и р ую щ е го уме ньше ни е ша га и нте гр и р о ва ни я в два р а за пр и а вто ма ти ч е ско м выб о р е ша га ме то до м удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м. Пусть пр о гр а мми р уе тся ме то д Рунге -Кутта вто р о го по р ядка (22). И з Пр и ме р а 1 о со ста вле ни и ди ффе р е нци а льно й за да ч и с за р а не е и зве стно й по гр е шно стью
ме то да
на
ша ге
сле дуе т, ч то
пр и
и нте гр и р о ва ни и ур а вне ни я y ′ = 12x 2 о тна ч а льно го усло ви я y(0) = 0 по гр е шно стьме то да на лю б о м ша ге р а вна h 3 . Пустьна ч а льный ша г
( 2 ) , где
и нте гр и р о ва ни я H , а тр е б уе ма я то ч но сть р е ше ни я H
3
k
k –
не ко то р о е це ло е ч и сло . То гда о ч е ви дно , ч то пр и выч и сле ни и пе р во й то ч ки пе р во на ч а льный ша г б уде т k р а з по де ле н на два , а да ле е р а сч е тные то ч ки б удут сле до ва ть с по сто янным ша го м, р а вным H
2k
x0 = 0, x1 = H
:
2k
( 2 ), x
, x2 = 2 ⋅ H
k
3
( 2 ) и та к да ле е .
= 3⋅ H
k
Пр и ве де нные
выше
50 р а ссуж де ни я де ла ли сь в пр е дпо ло ж е ни и
о тсутстви я по гр е шно сте й о кр угле ни я. Для то го , ч то б ы о ни не по вли яли
на
пр е дпо ла га е мую
по сле до ва те льно сть
то ч е к
выч и сле ни я р е ше ни я, р е ко ме ндуе м зна ч е ни е то ч но сти б р а ть ч уть
( 2 ) , на пр и ме р (H 2 ) 1 − (H 2 ) . 3
ме ньше , ч е м H
3
k
k
3
k
За ме ч а ни е о те сти р о ва ни и , связа нно м с гло б а льно й по гр е шно стью ме то до в ти па Рунге -Кутта . Пр и те сти р о ва ни и это го р о да и спо льзую тто тфа кт, ч то гло б а льна я по гр е шно сть ме то до в ти па Рунге -Кутта р а вна сумме по гр е шно сте й на о тде льных ша га х и нте гр и р о ва ни я, е сли пр а ва я ч а сть и схо дно го ур а вне ни я не а р гуме нта
за ви си т о т y (x) , а являе тся то лько
x. В
это м случ а е
функци е й
по дб и р а е тся за да ч а Ко ши (см.
За ме ч а ни е о со ста вле ни и ди ффе р е нци а льно й за да ч и , ко то р а я пр и ч и сле нно м р е ше ни и да е т за р а не е и зве стную по гр е шно сть ме то да на ша ге ) с за р а не е
и зве стными по гр е шно стями на ша ге
и
пр о во ди тся и х не по ср е дстве нно е сумми р о ва ни е . 6.2. Об о ш и б к а х, до п ущ е нны х п ри за да ни и вхо дны х п а ра м е т ро в Одни м и з о б яза те льных тр е б о ва ни й, пр е дъявляе мых к р а зр а б а тыва е мым по дпр о гр а мма м, являе тся и х б е за ва р и йна я р а б о та . В
ч а стно сти , пр и лю б ых
вхо дных да нных выпо лне ни е по дпр о гр а ммы до лж но успе шно за ве р ши ться. У спе шно е за ве р ше ни е р а б о ты пр о гр а ммы пр и не пр а ви льно за да нных вхо дных па р а ме тр а х – это за ве р ше ни е р а б о ты с со о тве тствую щ и ми зна ч е ни ями ко да за ве р ше ни я. Пусть, к пр и ме р у, вхо дными па р а ме тр а ми являю тся: N – ч и сло то ч е к р а вно ме р но го р а зб и е ни я для о пр е де ле ни я пе р во на ч а льно го
ша га и нте гр и р о ва ни я; A, B – на ч а ло и ко не ц и нте р ва ла и нте гр и р о ва ни я; C – то ч ка , где за да нына ч а льные усло ви я (ли б о это то ч ка A , ли б о то ч ка B );
y C – на ч а льно е зна ч е ни е р е ше ни я в то ч ке C ;
51 m – ч и сло ве р ных зна ко в р е ше ни я,
а зна ч е ни е ко да за ве р ше ни я по дпр о гр а ммы ICOD = 3 со о тве тствуе т о ши б ке вхо дных да нных. Т о гда е сли ICOD = 3 , то до пущ е на о дна и з сле дую щ и х о ши б о к (на са мо м де ле пе р е ч е нь о ши б о к для да нно го пр и ме р а мо ж но сущ е стве нно р а сши р и ть):
N ≤ 0; A ≥ B; (C − A)(C − B ) ≠ 0; m < 1; m > m _ max ,
где
зна ч е ни е
m _ max связа но с р а зме р о м ма нти ссыу ва ше й Э В М . С о ста вле ни е на б о р а усло ви й для сво е го и нди ви дуа льно го за да ни я, пр и ко то р о м вхо дные да нные б удут сч и та ться о ши б о ч ными , выпо лняе тся студе нто м са мо сто яте льно . Л И Т ЕР А Т У Р А 1.
С а ма р ски й А .А. Ч и сле нные ме то ды / А .А .С а ма р ски й, А .В .Г ули н. М .: Н а ука , 1989. – 368 с.
2.
Л яшко И .И . М е то ды выч и сле ни й / И .И .Л яшко , В .Л .М а ка р о в. – Ки е в: В и щ а шко ла , 1977. – 408 с.
3.
Б а б ушка И . Ч и сле нные пр о це ссы р е ше ни я ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й. / И .Б а б ушка , Э .В и та се к, М .Пр а ге р .– М .: М и р , 1969. – 368 с.
4.
М а р ч ук Г .И . По выше ни е то ч но сти р е ше ни й р а зно стных схе м. / Г .И .М а р ч ук, В .В .Ш а йдур о в.– М .: Н а ука , 1979. – 320 с.
5.
Кр ыло в
В .И .
Н а ч а ла
те о р и и
выч и сли те льных
ме то до в.
Ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я. / В .И .Кр ыло в, В .В .Б о б ко в,– М и нск: Н а ука и те хни ка , 1982. – 286 с. 6.
С о вр е ме нные
ч и сле нные
ме то ды
р е ше ни я
о б ыкно ве нных
ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й / По д р е д. Дж . Х о лла , Дж . У а мла . – М .: М и р , 1979. – 312 с. 7.
Ар уша нян
О.Б .
Ч и сле нно е
р е ше ни е
о б ыкно ве нных
ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й на Ф о р тр а не . / О.Б .А р уша нян, С .Ф .За ле тки н. – М .: И зд-во М Г У , 1990. – 336 с.
52 С о ста ви те ли : Ко р зуни на В е р а В а си лье вна , Ш а б уни на Зо я А ле кса ндр о вна . Ре да кто р Т и хо ми р о ва О.А .