Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1: Учебное пособие

kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET

s n tRONIN .

.

wwedenie w teori` grupp zada~i i teoremy ~astx 1

kazanx | 2006

pE^ATAETSQ PO REENI@ U^ENOGO SOWETA MEHANIKO-MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA kgu

nAU^NYJ REDAKTOR D F M N PROFESSOR i i sAHAEW :

.

.-

.

.,

.

.

tRONIN s n .

.

wWEDENIE W TEORI@ GRUPP. zADA^I I TEOREMY. ~ASTX 1.: u^EBNOE POSOBIE / s.n. tRONIN.| kAZANX: kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET, 2006. | 100 S. dANNOE U^EBNOE POSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW-MATEMATIKOW MLADIH KURSOW. oNO MOVET BYTX ISPOLXZOWANO DLQ RABOTY NA PRAKTI^ESKIH ZANQTIQH PO KURSU ALGEBRY KAK DOPOLNENIE K UVE IME@]EJSQ LITERATURE, A TAKVE DLQ SAMOSTOQTELXNOJ RABOTY. mATERIAL POSOBIQ W CELOM OHWATYWAET WSE RAZDELY TEORII GRUPP, SODERVA]IESQ W DEJSTWU@]EJ NA DANNYJ MOMENT PROGRAMME KURSA ALGEBRY.

sodervanie wWEDENIE : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1. oPREDELENIQ, OBOZNA^ENIQ, PRIMERY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 2. gRUPPY PODSTANOWOK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 3. sMEVNYE KLASSY, KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW, PORQDKI : : : : 43 4. fAKTORGRUPPY I PRQMYE PROIZWEDENIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70 literatura : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98

wWEDENIE dANNOE U^EBNOE POSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW-MATEMATIKOW, IZU^A@]IH KURS ALGEBRY. w \TOT KURS WHODQT W KA^ESTWE SOSTAWNOJ ^ASTI NEKOTORYE NA^ALXNYE SWEDENIQ IZ TEORII GRUPP. oSNOWAM TEORII GRUPP I POSWQ]QETSQ DANNAQ KNIGA. sOBSTWENNYJ OPYT AWTORA SWIDETELXSTWUET O TOM, ^TO INOGDA WOZNIKAET RAZRYW MEVDU MATERIALOM, IZLAGAEMYM NA LEKCIQH, I TEM, ^TO PRIHODITSQ DELATX NA PRAKTI^ESKIH ZANQTIQH. cELX DANNOJ KNIVKI | ESLI NE LIKWIDIROWATX, TO, PO KRAJNEJ MERE, UMENXITX \TOT RAZRYW. aWTOR POPYTALSQ SOEDINITX W NEJ NEBOLXOJ ZADA^NIK I NEKOTOROE KOLI^ESTWO TEORETI^ESKIH SWEDENIJ, NEOBHODIMYH DLQ REENIQ ZADA^ I DLQ PONIMANIQ OSNOW TEORII W CELOM. oPIEM WKRATCE SODERVANIE. pERWAQ ^ASTX SODERVIT ^ETYRE RAZDELA. w PERWOM RAZDELE PRIWODITSQ NEKOTOROE KOLI^ESTWO OPREDELENIJ I PRIMEROW, S KOTORYH MOVNO NA^INATX IZU^ENIE TEORII GRUPP. wTOROJ RAZDEL POSWQ]EN GRUPPAM PODSTANOWOK. w NEM SODERVITSQ TOT MINIMUM SWEDENIJ, KOTORYE KAVDYJ STUDENT-MATEMATIK DOLVEN ZNATX 3

O PODSTANOWKAH. bOLXAQ ^ASTX MATERIALA PREDSTAWLENA W WIDE WZAIMOSWQZANNYH ZADA^. pRI REENII POSLEDU@]IH O^ENX ^ASTO NEOBHODIMO ISPOLXZOWATX REZULXTATY PREDYDU]IH. tRETIJ RAZDEL SODERVIT ZADA^I O SMEVNYH KLASSAH GRUPPY PO PODGRUPPE, O PORQDKAH \LEMENTOW I O KLASSAH SOPRQVENNYH \LEMENTOW. zADA^I W \TOM RAZDELE PREOBLADA@T. ~ETWERTYJ RAZDEL POSWQ]EN GOMOMORFIZMAM GRUPP, FAKTORGRUPPAM I PRQMYM PROIZWEDENIQM GRUPP. oN TAKVE SOSTOIT W OSNOWNOM IZ ZADA^, HOTQ SFORMULIROWANY I WSE NEOBHODIMYE DLQ IH PONIMANIQ I REENIQ TEORETI^ESKIE REZULXTATY. oSTALXNYE PQTX RAZDELOW SOSTAWLQ@T SODERVANIE WTOROJ ^ASTI POSOBIQ. zADA^I I TEOREMY PQTOGO RAZDELA SWQZANY S DEJSTWIEM GRUPP NA MNOVESTWAH. |TO FUNDAMENTALXNAQ KONSTRUKCIQ, RABOTA@]AQ WO MNOGIH OBLASTQH MATEMATIKI, A NE W ODNOJ TOLXKO ALGEBRE. tEHNIKA DEJSTWIJ ISPOLXZUETSQ PRI DOKAZATELXSTWE MNOGIH WAVNYH TEOREM. w DANNYJ PARAGRAF WKL@^ENY ZADA^I, OSNOWANNYE NA TEOREMAH sILOWA, PROQSNQ@]IMI SSTROENIE KONE^NYH GRUPP. w ESTOM RAZDELE RASSMATRIWA@TSQ LINEJNYE DEJSTWIQ I SAMYE PROSTEJIE PONQTIQ TEORII LINEJNYH PREDSTAWLENIJ GRUPP. tO OBSTOQTELXSTWO, ^TO MY SOZNATELXNO OGRANI^ILISX IMENNO PROSTEJIMI PONQTIQMI, SU]ESTWENNO POWLIQLO NA TEMATIKU ZADA^ \TOGO RAZDELA. sEDXMOJ RAZDEL SODERVIT NEKOTORYE TEOREMY I ZADA^I O GRUPPAH WRA]ENIJ W DWUMERNOM I TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWAH, I SOWSEM NEMNOGO | O KONE^NYH PODGRUPPAH GRUPP WRA]ENIJ. w KONE^NOM S^ETE RE^X IDET OB MATEMATI^ESKIH OSNOWAH PONQTIQ SIMMETRII. wOSXMOJ RAZDEL POSWQ]EN KWATERNIONAM | ^ETYREHMERNOMU OBOB]ENI@ POLQ KOMPLEKSNYH ^ISEL. nA PERWYJ WZGLQD, \TA TEMA NE OTNOSIT4

SQ PRQMO K TEORII GRUPP. nO, WO-PERWYH, ONA INTERSNA SAMA PO SEBE, I STUDENTU-MATEMATIKU BUDET POLEZEN TOT MINIMUM SWEDENIJ, KOTORYJ PRIWEDEN W DANNOM RAZDELE. wO-WTORYH, KWATERNIONY SU]ESTWENNEJIM OBRAZOM ISPOLXZU@TSQ PRI DOKAZATELXSTWE OSNOWNYH TEOREM SLEDU@]EGO, DEWQTOGO RAZDELA, GDE WYQSNQETSQ STROENIE SPECIALXNOJ UNITARNOJ GRUPPY SU (2) I SPECIALXNOJ ORTOGONALXNOJ GRUPPY SO(3) | GRUPPY WRA]ENIJ W TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. w OTLI^IE OT NEKOTORYH DRUGIH U^EBNIKOW (NAPRIMER, 3]), GDE \TI VE REZULXTATY DOKAZYWA@TSQ S ISPOLXZOWANIEM SSYLOK NA OB]IE TEOREMY LINEJNOJ ALGEBRY, MY PRIWODIM PRQMOE DOKAZATELXSTWO, GDE SSYLKI NA LINEJNU@ ALGEBRU SWEDENY K MINIMUMU, A IZWESTNYJ FAKT O PREDSTAWLENII KAVDOGO POWOROTA W WIDE SUPERPOZIJII TREH POSLEDOWATELXNYH WRA]ENIJ WOKRUG OSEJ OX , OZ I OX (\UGLY |JLERA") WYWODITSQ KAK SLEDSTWIE. dANNOE POSOBIE OHWATYWAET WESX MATERIAL TEORII GRUPP, WKL@^ENNYJ W NYNE DEJSTWU@]U@ UNIWERSITETSKU@ PROGRAMMU. oNO, RAZUMEETSQ, NE MOVET ZAMENITX PODROBNYH U^EBNIKOW, I NE QWLQETSQ ALXTERNATIWOJ ZADA^NIKU 4], NE GOWORQ UVE O SPECIALIZIROWANNOM ZADA^NIKE 5]. aWTOR NADEETSQ TOLXKO, ^TO EGO KNIGA HOTQ BY W NEKOTORYH OTNOENIQH MOVET SLUVITX IM DOPOLNENIEM.

5

1.

oPREDELENIQ OBOZNA^ENIQ PRIMERY ,

,

pOLUGRUPPA P ESTX MNOVESTWO WMESTE S ZADANNOJ NA NEM BINARNOJ OPERACIEJ, TO ESTX OTOBRAVENIEM P P ;! P  (x y) 7! xy (REZULXTAT PRIMENENIQ KOTOROGO ^ASTO NAZYWAETSQ \UMNOVENIEM"), PRI^EM DOLVNO BYTX WYPOLNENO SLEDU@]EE TOVDESTWO ASSOCIATIWNOSTI: DLQ L@BYH x y z 2 P IMEET MESTO RAWENSTWO (xy)z = x(yz ) . pOLUGRUPPA NAZYWEETSQ KOMMUTATIWNOJ, ESLI DLQ WSEH x y 2 P IMEET MESTO RAWENSTWO xy = yx . |LEMENT e 2 P NAZYWAETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM POLUGRUPPY, ESLI DLQ L@BOGO x 2 P IME@T MESTO RAWENSTWA xe = ex = x . nEJTRALXNYJ \LEMENT ^ASTO NAZYWA@T EDINICEJ POLUGRUPPY I ISPOLXZU@T DLQ NEGO SOOTWETSTWU@]EE OBOZNA^ENIE: e = 1 . pOLUGRUPPA S EDINICEJ NAZYWAETSQ TAKVE MONOIDOM. uBEDIMSQ, ^TO W POLUGRUPPE MOVET BYTX NE BOLEE ODNOGO NEJTRALXNOGO \LEMENTA. dOPUSTIM, ^TO IH DWA. nAPRIMER, e1 I e2 . tOGDA \LEMENT e1e2 DOLVEN BYTX RAWNYM e2 , TAK KAK e1 NEJTRALXNYJ \LEMENT. nO TOT VE e1e2 DOLVEN BYTX RAWNYM I e1 , TAK KAK e2 TOVE NEJTRALXNYJ \LEMENT. sLEDOWATELXNO, e1 = e2 . rEZULXTAT BINARNOJ OPERACII P P ;! P , WOOB]E GOWORQ, MOVNO OBOZNA^ATX SAMYM PROIZWOLXNYM OBRAZOM. zAPISX W WIDE (x y) 7! xy NAZYWA@T MULXTIPLIKATIWNOJ. kROME NEE, ^ASTO ISPOLXZUETSQ TAK NAZYWAEMAQ ADDITIWNAQ ZAPISX (x y) 7! x + y (OPERACIQ \SLOVENIQ"), DLQ KOTOROJ TOVDESTWO ASSOCIATIWNOSTI WYGLQDIT TAK: (x + y) + z = x + (y + z ) A NEJTRALXNYJ \LEMENT NAZYWAETSQ NULEM, I OBOZNA^AETSQ SOOTWETSTWENNO KAK 0 . ~A]E WSEGO ADDITIWNYE OBOZNA^ENIQ ISPOLXZU@TSQ DLQ KOMMUTATIWNYH POLUGRUPP, TO ESTX KOGDA x + y = y + x . dALEE W TEKSTE 6

MNOGIE OPREDELENIQ I FAKTY FORMULIRU@TSQ TOLXKO W MULXTIPLIKATIWNOJ ZAPISI. pODRAZUMEWAETSQ, ^TO W SLU^AE NEOBHODIMOSTI ^ITATELX SMOVET SAM PEREJTI K DRUGOJ FORME OBOZNA^ENIJ. wOT NEKOTOROYE PRIMERY POLUGRUPP.

pRIMER

| MNOVESTWO WSEH NEOTRICATELXNYH CELYH ^ISEL S BINARNOJ OPERACIEJ SLOVENIQ. |TO KOMMUTATIWNAQ POLUGRUPPA. nEJTRALXNYJ \LEMENT | NULX.

pRIMER

1.1. N

| MNOVESTWO POLOVITELXNYH CELYH ^ISEL S OPERACIEJ UMNOVENIQ. |TO TAKVE KOMMUTATIWNAQ POLUGRUPPA, NO NEJTRALXNYJ \LEMENT W NEJ | EDINICA.

pRIMER

1.2. N+

rASSMOTRIM L@BOE MNOVESTWO X , I PUSTX PX ESTX MNOVESTWO WSEH OTOBRAVENIJ IZ X W X . oPREDELIM NA PX BINARNU@ OPERACI@ KAK WZQTIE SUPERPOZICII OTOBRAVENIJ. tO^NEE, ESLI f1 f2 2 f2 PX , TO REZULXTAT UMNOVENIQ f1f2 ESTX SUPERPOZICIQ OTOBRAVENIJ X ;! f1 X . tAK KAK SUPERPOZICIQ OTOBRAVENIJ ASSOCIATIWNA, TO P X ;! X PREWRA]AETSQ W POLUGRUPPU, EDINICEJ KOTOROJ QWLQETSQ TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE 1X . zAMETIM, ^TO PRI jX j  2 POLUGRUPPA PX NE QWLQETSQ KOMMUTATIWNOJ.

pRIMER

1.3.

sWOBODNAQ ASSOCIATIWNAQ POLUGRUPPA FPX S BAZISOM X OPREDELQETSQ KAK MNOVESTWO WSEWOZMOVNYH KONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ WIDA (x1  x2 : : : xn) , xi 2 X , 1  i  n , n  0 . \uMNOVENIE" DWUH TAKIH POSLEDOWATELXNOSTEJ a = (x1 x2 : : : xn) I b = (y1  y2 : : :  ym) ESTX PRIPISYWANIE IH DRUG K DRUGU: 1.4.

ab = (x1 x2 : : : xn y1 y2 : : : ym ): 7

qSNO, ^TO \TA OPERACIQ ASSOCIATIWNA. rOLX NEJTRALXNOGO \LEMENTA (EDINICY) IGRAET WWODIMAQ FORMALXNO POSLEDOWATELXNOSTX NULEWOJ DLINY, PRIPISYWANIE KOTOROJ SLEWA ILI SPRAWA K L@BOJ DRUGOJ NI^EGO NE MENQET. bOLEE TRADICIONNAQ FORMA ZAPISI: (x1 x2 : : :  xn) = x1x2 : : : xn . |TO MOVNO NAZWATX STROKOJ, ILI SLOWOM W ALFAWITE X . pOLUGRUPPY WIDA FPX IGRA@T BOLXU@ ROLX W TEORII KODIROWANIQ. kAK I W PRIMERE 3, PRI jX j  2 POLUGRUPPA FPX NE QWLQETSQ KOMMUTATIWNOJ.

pRIMER

pUSTX P | PROIZWOLXNAQ POLUGRUPPA. rASSMOTRIM MNOVESTWO P , SOSTOQ]EE IZ WSEH NEPUSTYH PODMNOVESTW MNOVESTWA P , I OPREDELIM NA NEM BINARNU@ OPERACI@ UMNOVENIQ SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX A I B | \LEMENTY MNOVESTWA P . |TO OZNA^AET, ^TO A  P I B  P . pOLOVIM PO OPREDELENI@ AB = f ab j a 2 A b 2 B g (1) pOKAVEM, ^TO \TA OPERACIQ ASSOCIATIWNA, T.E. ESLI C  P , TO (AB )C = A(BC ) . tAK KAK RE^X IDET O MNOVESTWAH, NEOBHODIMO USTANOWITX WKL@^ENIQ (AB )C  A(BC ) , A(BC )  (AB )C . pUSTX x 2 (AB )C . |TO ZNA^IT, ^TO x = yc , GDE y 2 AB , c 2 C . y 2 AB OZNA^AET, ^TO y = ab , GDE a 2 A , b 2 B . tOGDA x = (ab)c = a(bc) PO SWOJSTWU ASSOCIATIWNOSTI. iNYMI SLOWAMI, x = az , GDE z = bc 2 BC . sLEDOWATELXNO, PO OPREDELENI@, x 2 A(BC ) . oBRATNOE WKL@^ENIE USTANAWLIWAETSQ ANALOGI^NYM RASSUVDENIEM. iTAK, P WMESTE S OPERACIEJ (1) QWLQETSQ POLUGRUPPOJ. uSLOWIMSQ O SLEDU@]EM. bUDEM OTOVDESTWLQTX \LEMENTY IZ P I SOOTWETSTWU@]IE ODNO\LEMENTNYE MNOVESTWA. eSLI, NAPRIMER, a 2 P , TO WMESTO fag , BUDEM PISATX PROSTO a , I WMESTO, NAPRIMER, fagB BUDEM PISATX aB = fabjb 2 B g , I TO^NO TAK VE W DRUGIH PODOBNYH SLU^AQH. tAKIM OBRAZOM, UMNOVENIE W P STANOWITSQ ^ASTNYM SLU^AEM UMNOVENIQ (1) W P . eSLI W POLUGRUPPE P 1.5.

8

ESTX NEJTRALXNYJ \LEMENT e , TO \TOT VE \LEMENT (ILI ODNO\LEMENTNOE MNOVESTWO feg ) BUDET NEJTRALXNYM \LEMENTOM W P . w SAMOM DELE, DLQ KAVDOGO A  P MNOVESTWA eA = feaja 2 Ag = faja 2 Ag I Ae = faeja 2 Ag = faja 2 Ag SOWPADA@T S A . eSLI POLUGRUPPA P KOMMUTATIWNA, TO KOMMUTATIWNA I P . w SAMOM DELE, ESLI ab = ba DLQ L@BYH a I b , TO AB = fabja 2 A b 2 B g = fbaja 2 A b 2 B g = BA . |TOMU PRIMERU UDELENO TAK MNOGO MESTA POTOMU, ^TO UMNOVENIE PODMNOVESTW I SWOJSTWO EGO ASSOCIATINOSTI (A INOGDA I KOMMUTATIWNOSTI) BUDET ISPOLXZOWATXSQ W DALXNJEM O^ENX ^ASTO. zAMETIM E]E, ^TO ESLI OPERACIQ W P ZAPISYWAETSQ ADDITIWNO, TO WMESTO (1) NADO ISPOLXZOWATX SLEDU@]EE OPREDELENIE: A + B = f a + b j a 2 A b 2 B g

nEJTRALXNYM \LEMENTOM W P (ESLI ON ESTX).

P

(2)

W \TOM SLU^AE QWLQETSQ NULX POLUGRUPPY

gRUPPOJ NAZYWAETSQ POLUGRUPPA G S NEJTRALXNYM \LEMENTOM e (KOTORYJ ^A]E WSEGO BUDET NAZYWATXSQ EDINICEJ GRUPPY), W KOTOROJ DLQ KAVDOGO x 2 G SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT y 2 G , ^TO xy = yx = e . |LEMENT y NAZYWAETSQ OBRATNYM K \LEMENTU x , I OBOZNA^AETSQ x;1 . kAVDAQ GRUPPA QWLQETSQ POLUGRUPPOJ S NEJTRALXNYM \LEMENTOM. oBRATNOE NEWERNO. tAK, NI ODNA IZ POLUGRUPP W PRIMERAH 1 { 4 GRUPPOJ ZAWEDOMO NE QWLQETSQ. w PRIMERE 5 SITUACIQ BOLEE SLOVNAQ, NO I W NEM WSE MNOVESTWO P GRUPPOJ, WOOB]E GOWORQ, NE BUDET. oDNAKO NEKOTORYE PODMNOVESTWA P MOGUT BYTX GRUPPAMI, ESLI SAMA POLUGRUPPA P QWLQETSQ GRUPPOJ. |TI SLU^AI RAZOBRANY DALEE W RAZDELE 4. sOBEREM WSE SWOJSTWA IZ OPREDELENIQ GRUPPY WMESTE. iTAK, DOLVNA 9

BYTX OPREDELENA BINARNAQ OPERACIQ (UMNOVENIE): G G ;! G (g1 g2) 7! g1g2

TAKAQ, ^TO WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE SWOJSTWA: 1) (ASOCIATIWNOSTX) (g1g2)g3 = g1(g2g3) DLQ L@BYH g1 g2 g3 2 G  2) SU]ESTWUET e 2 G , TAKOJ, ^TO DLQ WSEH g 2 G IME@T MESTO RAWENSTWA: ge = eg = e  3) DLQ KAVDOGO x 2 G NAJDETSQ y 2 G TAKOJ, ^TO xy = yx = e .

pOKAVEM, ^TO \LEMENT y IZ SWOJSTWA 3) OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO. dOPUSTIM, ^TO DLQ DANNOGO x NALOSX DWA OBRATNYH \LEMENTA y1 I y2 . tOGDA (y1 x)y2 = ey2 = y2 . nO, S DRUGOJ STORONY, (y1 x)y2 = y1(xy2) = y1e = y1 . iTAK, y1 = y2 . tAK KAK OBRATNYJ K g 2 G \LEMENT OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO, EGO OBOZNA^A@T KAK g;1 . sWOJSTWO EDINSTWENNOSTI g;1 ISPOLXZUETSQ PRI DOKAZATELXSTWE NEKOTORYH WAVNYH SOOTNOENIJ. pOKAVEM, NAPRIMER, ^TO W L@BOJ GRUPPE G DLQ WSEH x y 2 G IMEET MESTO RAWENSTWO:

(xy);1 = y;1 x;1 dLQ \TOGO DOSTATO^NO PROWERITX, ^TO (xy)(y;1 x;1) = (y;1 x;1)(xy) = e , ^TO NE DOLVNO WYZYWATX ZATRUDNENIJ. oTS@DA SLEDUET, ^TO \LEMENT y;1 x;1 OBLADAET W TO^NOSTI TEMI VE SAMYMI SWOJSTWAMI, KOTORYE HARAKTERIZU@T (xy);1 . wWIDU EDINSTWENNOSTI OBRATNOGO \LEMENTA ZAKL@^AEM, ^TO (xy);1 = y;1x;1 . iNDUKCIEJ NETRUDNO POKAZATX, ^TO (x1x2 : : :xn );1 = x;n 1 : : : x;2 1x;1 1

DLQ WSEH n . 10

dOKAVITE, ^TO ESLI G | L@BAQ GRUPPA, x 2 G , I xn = e , TO x;1 = xn;1 . wERNO I OBRATNOE: IZ x;1 = xn;1 SLEDUET xn = e . dOKAVITE TAKVE BOLEE OB]IJ FAKT: ESLI 1  k  n ; 1 I xn = 1 , TO x;k = xn;k . 1.1.

w ^ASTNOSTI, SWOJSTWO x = x;1 RAWNOSILXNO TOMU, ^TO x2 = e . nAIMENXEE CELOE POLOVITELXNOE n , DLQ KOTOROGO xn = e , NAZYWAETSQ PORQDKOM \LEMENTA x . sWOJSTWA PORQDKOW \LEMENTOW BUDUT PODROBNO IZU^ATXSQ W RAZDELE 3. oTMETIM E]E, ^TO (x;1 );1 = x . |TO TAKVE MOVNO USTANOWITX, ISPOLXZUQ SWOJSTWO EDINSTWENNOSTI OBRATNOGO \LEMENTA. pOLOVIM y = x;1 , I NAJDEM y;1 . dLQ \TOGO DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO RAWENSTWA xy = yx = e MOGUT SLUVITX NE TOLXKO OPREDELENIEM OBRATNOGO \LEMENTA DLQ x , NO I OBRATNOGO \LEMENTA DLQ y , A \TIM \LEMENTOM OKAZYWAETSQ IMENNO x , I TOLXKO ON, WWIDU EDINSTWENNOSTI OBRATNOGO DLQ y.

i E]E ODNO (WOZMOVNO, TRIWIALXNOE) ZAME^ANIE. |LEMENT z }|n {

xx : : : x

( n -KRATNOE PROIZWEDENIE x NA x ) PRINQTO OBOZNA^ATX ^EREZ xn . bUDEM S^ITATX O^EWIDNYM, ^TO, WWIDU ASSOCIATIWNOSTI UMNOVENIQ, xnxm = xn+m (W NEKOTORYH KNIGAH \TO RAWENSTWO DOKAZYWAETSQ!). bUDEM TAKVE POLAGATX PO OPREDELENI@, ^TO }|n

z

{

x;n = x;1x;1 : : : x;1 :

pROWERXTE, ^TO (xn);1 = x;n . dLQ GRUPP, W KOTORYH WMESTO UMNOVENIQ PIETSQ SLOVENIE, WMESTO x;1 NADO PISATX ;x , WMESTO xn DOLVNO STOQTX x + + x = nx , I SOOTWETSTWENNO WMESTO x;n ISPOLXZUETSQ ZAPISX ;nx . 11

sLEDU@]IJ PRIMER QWLQETSQ ODNIM IZ CENTRALXNYH WO WSEJ TEORII GRUPP.

pRIMER

pUSTX F | POLE. nAPRIMER, \TO MOVET BYTX L@BOE IZ POLEJ Q (RACIONALXNYE ^ISLA), R (DEJSTWITELXNYE ^ISLA), C (KOMPLEKSNYE ^ISLA). oBOZNA^IM ^EREZ GLn(F ) MNOVESTWO WSEH NEWYROVDENNYH n n -MATRIC S KOMPONENTAMI IZ POLQ F . nAPOMNIM, ^TO MATRICA A NAZYWAETSQ NEWYROVDENNOJ, ESLI EE OPREDELITELX det(A) NE RAWEN NUL@. |TO \KWIWALENTNO SU]ESTWOWANI@ OBRATNOJ K A MATRICY, TO ESTX TAKOJ MATRICY A;1 , ^TO 1.6.

AA;1 = A;1A = En:

zDESX En | EDINI^NAQ n n -MATRICA. hOROO IZWESTNO, ^TO PROIZWEDENIE NEWYROVDENNYH MATRIC QWLQETSQ NEWYROVDENNOJ MATRICEJ. sLEDOWATELXNO, PROIZWEDENIE MATRIC OPREDELQET BINARNU@ OPERACI@ GLn(F ) GLn(F ) ;! GLn(F ) (A B ) 7! AB:

iZWESTNO, ^TO PROIZWEDENIE MATRIC ASSOCIATIWNO, A MATRICA En OBLADAET SWOJSTWOM NEJTRALXNOGO \LEMENTA: AEn = EnA = A . wSE \TO POKAZYWAET, ^TO GLn(F ) QWLQETSQ GRUPPOJ. gRUPPA GLn(F ) NAZYWAETSQ OB]EJ LINEJNOJ GRUPPOJ STEPENI n NAD POLEM F . w GRUPPE GLn(F ) OPREDELENA OPERACIQ TRANSPONIROWANIQ: A 7! tA , GDE i j -J \LEMENT MATRICY tA RAWEN j i -MU \LEMENTU A DLQ WSEH 1  i j  n . oDNO IZ SWOJSTW OPERACII TRANSPONIROWANIQ TAKOWO: t(AB ) = (t B )(t A) . kROME TOGO t(t A) = A . |TO POKAZYWAET, ^TO OPERACIQ TRANSPONIROWANIQ POHODIT NA OPERACI@ WZQTIQ OBRATNOGO \LEMENTA. w DALXNEJEM (RAZDELY 7 I 9) BUDUT PODROBNO IZU^ENY MNOVESTWA NEWYROVDENNYH MATRIC, U 12

KOTORYH TRANSPONIROWANNYE MATRICY SOWPADA@T S OBRATNYMI. a POKA DOKAVEM, ^TO

(tA);1 = t(A;1): pUSTX X = tA . l@BAQ MATRICA Y , TAKAQ, ^TO XY = Y X = En , BUDET OBRATNOJ K X . pOKAVEM, ^TO W KA^ESTWE Y MOVNO WZQTX t(A;1) . w SAMOM DELE, ISPOLXZUQ SWOJSTWA TRANSPONIROWANIQ, POLU^IM:

XY = (t A)(t(A;1)) = t(A;1A) = tEn = En

I TO^NO TAK VE PROWERQETSQ, ^TO Y X = En . wWIDU EDINSTWENNOSTI OBRATNOGO \LEMENTA W GRUPPE TREBUEMOE RAWENSTWO DOKAZANO. oTMETIM, ^TO PRI n = 1 GRUPPA GLn(F ) QWLQETSQ MNOVESTWOM WSEH NENULEWYH \LEMENTOW POLQ F , A OPERACIQ UMNOVENIQ 1 1 -MATRIC SWODITSQ K OPERACII UMNOVENIQ \LEMENTOW POLQ. tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO NENULEWYH \LEMENTOW POLQ F , OBOZNA^AEMOE ^ASTO KAK F  , QWLQETSQ GRUPPOJ OTNOSITELXNO OPERACII UMNOVENIQ POLQ. gRUPPY R I C W DALXNEJEM BUDUT ^ASTO ISPOLXZOWATXSQ. gOMOMORFIZM h IZ GRUPPY G1 W GRUPPU G2 | \TO OTOBRAVENIE h : G1 ;! G2 , UDOWLETWORQ@]EE SLEDU@]IM DWUM SWOJSTWAM. wO-PERWYH, DLQ L@BYH x y 2 G1 IMEET MESTO RAWENSTWO h(xy) = h(x)h(y) . wOWTORYH, NEJTRALXNYJ \LEMENT GRUPPY G1 DOLVEN OTOBRAVATXSQ W NEJTRALXNYJ \LEMENT GRUPPY G2 , TO ESTX h(e) = e , ILI h(1) = 1 , ESLI NEJTRALXNYE \LEMENTY OBOZNA^ENY SIMWOLOM 1 . eSLI IZ KONTEKSTA NE BUDET QSNO, K KAKOJ GRUPPE PRINADLEVIT TOT ILI INOJ NEJTRALXNYJ \LEMENT,TO NADO ISPOLXZOWATX OBOZNA^ENIQ WIDA eG ILI e1 DLQ NEJTRALXNOGO \LEMENTA G1 , I T.P. gOMOMORFIZMY GRUPP BUDUT PODROBNO IZU^ENY DALEE W RAZDELE 4, A 1

13

POKA DOKAVEM, ^TO DLQ KAVDOGO g 2 G1 IMEET MESTO RAWENSTWO: h(g;1) = h(g);1 :

pOLOVIM x = h(g) , I PUSTX y = h(g;1) . tOGDA xy = h(g)h(g;1 ) = h(gg;1) = h(e) = e yx = h(g;1 )h(g) = h(g;1 g) = h(e) = e:

tAKIM OBRAZOM, y = x;1 , ^TO I UTWERVDALOSX. gOMOMORFIZM h NAZYWAETSQ IZOMORFIZMOM, ESLI SU]ESTWUET GOMOMORFIZM f : G2 ;! G1 , TAKOJ, ^TO hf = 1G I fh = 1G . zDESX ^EREZ 1G I 1G OBOZNA^A@TSQ TOVDESTWENNYE OTOBRAVENIQ G1 I G2 . iNYMI SLOWAMI, DLQ KAVDOGO x 2 G1 IMEETMESTO RAWENSTWO f (h(x)) = x , A DLQ KAVDOGO y 2 G2 | RAWENSTWO h(f (y)) = y . 2

1

1

2

dOKAVITE, ^TO W OPREDELENII IZOMORFIZMA DOSTATO^NO POTREBOWATX, ^TOBY GOMOMORFIZM h BYL BIEKTIWNYM OTOBRAVENIEM. tOGDA OBRATNOE OTOBRAVENIE f BUDET GOMOMORFIZMOM AWTOMATI^ESKI. 1.2.

eSLI SU]ESTWUET KAKOJ-NIBUDX IZOMORFIZM IZ G1 W G2 , TO GOWORQT, ^TO GRUPPY G1 I G2 IZOMORFNY. |TO OBOZNA^AETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: G1

= G2 . pUSTX G | GRUPPA. zAFIKSIRUEM KAKOJ-NIBUDX g 2 G , I RASSMOTRIM OTOBRAVENIE g : G ! G , DEJSTWU@]EE PO PRAWILU: g (x) = gxg;1 . dOKAZATX, ^TO g | GOMOMORFIZM GRUPP. bOLEE TOGO, g | IZOMORFIZM: ;g 1 = g; . pROWERXTE \TO. 1.3.

1

14

iZOMORFIZMY IZ G W G NAZYWA@TSQ AWTOMORFIZMAMI GRUPPY G . aWTOMORFIZMY WIDA g NAZYWA@TSQ WNUTRENNIMI AWTOMORFIZMAMI. |LEMENTY x I gxg;1 NAZYWA@TSQ SOPRQVENNYMI (INOGDA GOWORQT | SOPRQVENNYMI POSREDSTWOM \LEMENTA g ). zAMETIM, ^TO ESLI y = gxg;1 , TO x = (g;1)y(g;1);1 . pUSTX G | GRUPPA. mO]NOSTX MNOVESTWA G , OBOZNA^AEMAQ ^EREZ jGj , NAZYWAETSQ PORQDKOM GRUPPY G . eSLI G1

= G2 , TO jG1j = jG2j , OBRATNOE NEWERNO. nEKOTORYE SWOJSTWA GOMOMORFIZMOW SOBRANY W SLEDU@]EJ PROSTOJ LEMME.

lEMMA

eSLI DANY DWA GOMOMORFIZMA GRUPP h1 : G1 ! G2 , h2 : G2 ! G3 , TO IH SUPERPOZICIQ h2h1 : G1 ! G3 , OPREDELQEMAQ KAK (h2 h1)(x) = h2(h1 (x)) , TAKVE QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP. tOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE IZ GRUPPY G W G ESTX GOMOMORFIZM GRUPP (O^EWIDNO, ^TO \TO IZOMORFIZM). sUPERPOZICIQ IZOMORFIZMOW QWLQETSQ IZOMORFIZMOM. eSLI g I w | WNUTRENNIE AWTOMORFIZMY, TO g w = gw . 1.4.

1.1.

dOKAVITE \TU LEMMU.

pODGRUPPOJ G0 GRUPPY G NAZYWAETSQ PODMNOVESTWO G0  G , OBLADA@]EE SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 1) NEJTRALXNYJ \LEMENT (EDINICA) GRUPPY G PRINADLEVIT G0  2) IZ x y 2 G0 SLEDUET xy 2 G0  3) ESLI x 2 G0 , TO x;1 2 G0 . 15

|TO OPREDELENIE OZNA^AET, ^TO, ESLI WZQTX OGRANI^ENIE BINARNOJ OPERACII DLQ G NA G0 G0  G G , TO EGO MOVNO RASSMATRIWATX KAK OTOBRAVENIE W G0 , I OTNOSITELXNO \TOJ BINARNOJ OPERACII MNOVESTWO G0 SAMO STANOWITSQ GRUPPOJ, PRI^EM OTOBRAVENIE WKL@^ENIQ G0  G OKAZYWAETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP. sAMA GRUPPA G I MNOVESTWO feg QWLQ@TSQ PODGRUPPAMI G . |TI PODGRUPPY PRINQTO NAZYWATX TRIWIALXNYMI. o^EWIDNO, ^TO ESLI G0 | PODGRUPPA GRUPPY G , A G00 | PODGRUPPA GRUPPY G0 , TO G00 QWLQETSQ I PODGRUPPOJ GRUPPY G . rASSMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW PODGRUPP. pUSTX SLn(F ) = fA 2 GLn(F )jdet(A) = 1g . dOKAZATX, ^TO \TO PODGRUPPA GRUPPY GLn(F ) . 1.5.

SLn(F ) NAZYWAETSQ SPECIALXNOJ LINEJNOJ GRUPPOJ n -J STEPENI NAD POLEM F .

pUSTX Dn (F ) ESTX MNOVESTWO DIAGONALXNYH MATRIC IZ GLn(F ) , TO ESTX MATRIC WIDA: 1.6.

0 BB 1 BB 0 diag(1 2 : : : n) = BBB . BB . @

0 2 .. 0 0

::: ::: ... :::

1 CC CC CC  CC CA

0 0 .. n GDE 1 2 : : : n | NENULEWYE \LEMENTY POLQ F . dOKAZATX, ^TO \TO PODGRUPPA GRUPPY GLn(F ) .

Dn(F ) OBY^NO NAZYWA@T GRUPPOJ DIAGONALXNYH MATRIC. 16

pUSTX Tn(F ) ESTX MNOVESTWO WERHNETREUGOLXNYH MATRIC IZ GLn(F ) , TO ESTX MATRIC WIDA: 1.7.

0 BB a11 BB 0 BB BB ... B@

a12 a22 ... 0 0

::: ::: ... :::

1

a1n CC a2n CCCC ... CC  CA ann

GDE a11 a22 : : : ann | NENULEWYE \LEMENTY POLQ F . dOKAZATX, ^TO Tn(F ) | PODGRUPPA GRUPPY GLn(F ) , A Dn (F ) | PODGRUPPA GRUPPY Tn(F ) .

gRUPPU Tn(F ) PRINQTO NAZYWATX TREUGOLXNOJ GRUPPOJ. pUSTX UTn(F ) ESTX MNOVESTWO WERHNETREUGOLXNYH MATRIC IZ GLn(F ) , NA GLAWNOJ DIAGONALI KOTORYH STOQT EDINICY, TO ESTX MATRIC WIDA: 0 1 1.8.

BB 1 a12 : : : BB 0 1 : : : BB BB .. .. . . . B@

a1n CC a2n CCCC .. CC : CA 0 0 ::: 1

dOKAZATX, ^TO UTn(F ) | PODGRUPPA I GRUPPY Tn(F ) , I GRUPPY GLn(F ) . gRUPPA UTn(F ) NAZYWAETSQ UNITREUGOLXNOJ. dOKAZATX, ^TO IMEET MESTO IZOMORFIZM ADDITIWNOJ GRUPPY POLQ F I GRUPPY UT2(F ) . uKAZANIE. oTOBRAVENIE h : F ! UT2(F ) STROITSQ TAK. pUSTX a 2 F . tOGDA 0 1 1.9.

h(a) = B@ 1 a CA : 0 1 17

dOKAVITE, ^TO h | BIEKCIQ I GOMOMORFIZM. gRUPPOWAQ OPERACIQ W F | SLOVENIE, A W UT2(F ) | UMNOVENIE. pO\TOMU h BUDET GOMOMORFIZMLM, ESLI h(a + b) = h(a)h(b) I h(0) = E2 . pUSTX 1  m  n ; 2 I UTnm(F ) ESTX MNOVESTWO MATRIC IZ Tn(F ) , U KOTORYH m ; 1 DIAGONALEJ WYE GLAWNOJ DIAGONALI SOSTOQT IZ ODNIH NULEJ, TO ESTX MATRIC WIDA: 1.10.

0 : : : 0 a1m+1 BB 1 0 BB ::: 0 BB 0 1 0 BB ::: BB 0 0 1 0 BB ... ... BB BB ... BB BB BB BB BB BB B@

0

1 a2m+1 : : : a1n CC a2m+2 : : : a2n CCCC CC 0 . . . .. C . . . an;mn CCC CC CC : ::: 0 CC ... CC CC . . . ... CC CC ... 0 CC CA

1

zDESX PREDPOLAGAETSQ, ^TO \PUSTYE" MESTA W MATRICE NIVE GLAWNOJ DIAGONALI ZAPOLNENY NULQMI. dOKAZATX, ^TO Tnm (F ) | PODGRUPPA GRUPPY Tn(F ) . pRI \TOM Tn1(F ) = Tn(F ) . dOKAZATX, ^TO IMEET MESTO IZOMORFIZM ADDITIWNOJ GRUPPY POLQ F I GRUPPY UTnn;2(F ) . uKAZANIE. oTOBRAVENIE h : F ! UTnn;2(F ) STROITSQ TAK. pUSTX a 2 F . tOGDA 1 0 1.11.

BB 1 BB 0 BB h(a) = BBB .. BB BB 0 @

0 1 .. 0 0 0

18

::: ::: ... ::: :::

0 0 .. 1 0

a CC 0 CCCC .. CC : CC 0 CCC A 1

dOKAVITE, ^TO h | BIEKCIQ I GOMOMORFIZM. dOKAZATX, ^TO ESLI H | PODGRUPPA GRUPPY G , I g 2 G , TO MNOVESTWO gHg;1 = fgxg;1jx 2 H g TAKVE BUDET PODGRUPPOJ GRUPPY 1.12.

G.

dOKAZATX, ^TO jH j = jgHg;1j . uKAZANIE. rASSMOTRETX AWTOMORFIZM g : x 7! gxg;1 . pODGRUPPU gHg;1 NAZYWA@T PODGRUPPOJ, SOPRQVENNOJ K H .

pUSTX K I H | PODGRUPPY GRUPPY G . dOKAZATX, ^TO MNOVESTWO KH = fxyjx 2 K y 2 H g BUDET PODGRUPPOJ GRUPPY G TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI KH = HK . 1.13.

lEMMA

pUSTX h : G1 ;! G2 | GOMOMORFIZM GRUPP, I G0 | PODGRUPPA G . tOGDA MNOVESTWO h(G0 ) = f h(x) j x 2 G0 g  G2 QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G2 . gOMOMORFIZM h MOVNO PREDSTAWITX W WIDE SUPERPOZICII S@R_EKTIWNOGO GOMOMORFIZMA G1 ! h(G1 ) I IN_EKTIWNOGO GOMOMORFIZMA (WKL@^ENIQ) h(G1 )  G2 . 1.14.

1.2.

dOKAVITE \TU LEMMU.

eSLI f : X ;! Y | L@BOE OTOBRAVENIE, I Z  Y , TO ^EREZ f ;1 (Z ) OBOZNA^AETSQ MNOVESTWO f x 2 X j f (x) 2 Z g . oNO NAZYWAETSQ (POLNYM) PROOBRAZOM Z OTNOSITELXNO f . oTOBRAVENIE f IN_EKTIWNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI PROOBRAZ L@BOGO \LEMENTA y 2 Y ESTX LIBO PUSTOE MNOVESTWO, LIBO MNOVESTWO IZ ODNOGO \LEMENTA. 19

lEMMA

pUSTX h : G1 ;! G2 | GOMOMORFIZM GRUPP, I G02 | PODGRUPPA GRUPPY G2 . tOGDA G01 = h;1 (G02) QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G01 . 1.15.

lEMMA

1.3.

dOKAVITE \TU LEMMU.

1.4.

pERESE^ENIE L@BOGO SEMEJSTWA PODGRUPP SNOWA QWLQET-

SQ PODGRUPPOJ. 1.16.

dOKAVITE \TU LEMMU.

sFORMULIRUEM W QWNOM WIDE AKSIOMY GRUPPY DLQ SLU^AQ, KOGDA GRUPPOWAQ OPERACIQ ZAPISYWAETSQ KAK x + y (SLOVENIE). oPERACIQ SLOVENIQ DOLVNA UDOWLETWORQTX SLEDU@]IM SWOJSTWAM: 1) (ASSOCIATIWNOSTX) (g1 +g2)+g3 = g1 +(g2 +g3) DLQ L@BYH g1 g2 g3 2 G 2) SU]ESTWUET \LEMENT 0 2 G , TAKOJ, ^TO DLQ WSEH g 2 G IME@T MESTO RAWENSTWA: g + 0 = 0 + g = e  3) DLQ KAVDOGO x 2 G NAJDETSQ y 2 G TAKOJ, ^TO x + y = y + x = 0 . w ADDITIWNOJ ZAPISI OBRATNYJ \LEMENT y OBOZNA^AETSQ KAK ;x , PRI \TOM ISPOLXZUETSQ TAKVE OBOZNA^ENIE a ; b = a + (;b) .

aDDITIWNAQ ZAPISX GRUPPOWOJ OPERACII ^A]E WSEGO ISPOLXZUETSQ DLQ KOMMUTATIWNYH GRUPP, TO ESTX GRUPP, W KOTORYH 4) x + y = y + x DLQ WSEH x y 2 G . 20

tAKIE GRUPPY ^ASTO NAZYWA@TSQ ABELEWYMI. pROSTEJIJ PRIMER TAKOJ GRUPPY | GRUPPA Z WSEH CELYH ^ISEL. gOMOMORFIZM ABELEWYH GRUPP h : G1 ;! G2 DOLVEN UDOWLETWORQTX SWOJSTWAM: 1) h(x + y) = h(x) + h(y) DLQ WSEH x y 2 G1  2) h(0) = 0 .

oTS@DA SLEDUET, ^TO h(;x) = ;h(x) . pRIMER 1.7. kAVDOE LINEJNOE (ILI WEKTORNOE) PROSTRANSTWO QWLQETSQ ABELEWOJ GRUPPOJ PO SLOVENI@. kAVDOE LINEJNOE OTOBRAVENIE WEKTORNYH PROSTRANSTW QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM ABELEWYH GRUPP. tAKIM OBRAZOM, TEORI@ GRUPP MOVNO S^ITATX I OBOB]ENIEM TEORII WEKTORNYH PROSTRANSTW I LINEJNYH OTOBRAVENIJ. nAPOMNIM, ^TO W DALXNEJEM, KAK PRAWILO, OPERACIQ W PROIZWOLXNOJ GRUPPE BUDET OBOZNA^ATXSQ KAK UMNOVENIE. pODRAZUMEWAETSQ, ^TO ^ITETELX SUMEET W SLU^AE NEOBHODIMOSTI DATX PEREFORMULIROWKU DLQ SLU^AQ ADDITIWNYH OBOZNA^ENIJ. pUSTX G | NEKOTORAQ GRUPPA, I X  G | PODMNOVESTWO G . rASMOTRIM MNOVESTWO hX i = fx"1 x"2 : : : x"mm jxi 2 X "i = 1 1  i  m m  0g . |LEMENTY \TOGO MNOVESTWA BUDEM NAZYWATX SLOWAMI W ALFAWITE X . ~ISLO m ESTESTWENNO NAZWATX DLINOJ SLOWA x"1 x"2 : : : x"mm pODRAZUMEWAETSQ, ^TO PRI m = 0 SOOTWETSTWU@]EE SLOWO ESTX NEJTRALXNYJ \LEMENT (EDINICA) GRUPPY G . w MNOVESTWO hX i WHODQT WSE WOZMOVNYE SLOWA W ALFAWITE X WSEH WOZMOVNYH DLIN. w ^ASTNOSTI, SLOWA DLINY 1 | \TO \LEMENTY x 2 X I x;1 x 2 X . tAKIM OBRAZOM, X  hX i . 1

2

1

lEMMA

2

mNOVESTWO hX i QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G , SODERVA]EJ MNOVESTWO X . eSLI G0 | KAKAQ-TO DRUGAQ PODGRUPPA 1.5.

21

GRUPPY G , SODERVA]AQ MNOVESTWO X , TO hX i  G0 .

dOKAZATELXSTWO eDINICA (NEJTRALXNYJ \LEMENT) GRUPPY G PO OPRE.

DELENI@ PRINADLEVIT hX i . eSLI x"1 : : : x"mm 2 hX i , TO (x"1 : : : x"mm );1 = x;m"m : : : x;1 " . pOKAZATELI ;"i RAWNY PL@S ILI MINUS EDINICAM, OTKUDA SLEDUET, ^TO PROIZWEDENIE xm;"m : : : x;1 " UDOWLETWORQET OPREDELENI@ m : : :x"m k 2 hX i , TO PRO\LEMENTOW hX i . eSLI x"1 : : : x"mm 2 hX i , I x"m+1 m+k IZWEDENIE \TIH \LEMENTOW ESTX SLOWO 1

1

1

1

+1

1

+

m : : : x"m k  x"1 : : : x"mm x"m+1 m+k +1

1

+

KOTOROE TAKVE SOGLASNO OPREDELENI@ DOLVNO SODERVATXSQ W hX i . tAKIM OBRAZOM, WSE SWOJSTWA IZ OPREDELENIQ PODGRUPPY WYPOLNENY. 2 dOKAZATX, ^TO hX i SOWPADAET S PERESE^ENIEM WSEH PODGRUPP GRUPPY G , SODERVA]IH PODMNOVESTWO X . 1.17.

gOWORQT, ^TO PODGRUPPA hX i POROVDENA MNOVESTWOM X , I ^TO X ESTX MNOVESTWO POROVDA@]IH (ILI OBRAZU@]IH) \LEMENTOW \TOJ PODGRUPPY. oSOBYJ INTERES PREDSTAWLQET NAHOVDENIE MNOVESTW OBRAZU@]IH \LEMENTOW DLQ WSEJ GRUPPY G . |TOT KLASS ZADA^ NEMNOGO POHODIT NA ZADA^I O NAHOVDENII BAZISOW WEKTORNORNYH PROSTRANSTW.

pRIMER

pUSTX GRUPPOWAQ OPERACIQ W G OBOZNA^AETSQ KAK PL@S, I GRUPPA G KOMMUTATIWNA (ABELEWA). wOZXMEM X  G , I POSMOTRIM, ^TO TAKOE hX i . pRIMENENIE OB]EGO OPREDELENIQ POKAZYWAET, ^TO POSLE \PRIWEDENIQ PODOBNYH ^LENOW" \TO BUDET MNOVESTWO fn1x1 + n2x2 + + nmxm jx1 : : : xm 2 X n1 : : : nm 2 Z m  0g . nAPOMNIM, ^TO Z ESTX MNOVESTWO WSEH CELYH ^ISEL. oTS@DA WIDNO, ^TO KONSTRUKCIQ ABELEWOJ 1.8.

22

PODGRUPPY, POROVDENNOJ MNOVESTWOM X , O^ENX POHODIT NA LINEJNU@ OBOLO^KU MNOVESTWA W WEKTORNOM PROSTRANSTWE. w OB]EM (NEABELEWOM I NEADDITIWNOM) SLU^AE ANALOGIQ MEVDU hX i I LINEJNOJ OBOLO^KOJ TAKVE MOVET OKAZATXSQ POLEZNOJ. dOKAVITE, ^TO hX i = X TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI X | PODGRUPPA G . wYWEDITE OTS@DA, ^TO hhX ii = hX i . 1.18.

wOZMOVNO, PROSTEJIMI GRUPPAMI QWLQ@TSQ CIKLI^ESKIE GRUPPY | GRUPPY, POROVDENNYE ODNIM \LEMENTOM, T.E. GRUPPY, KOTORYE SOSTOQT IZ STEPENEJ (POLOVITELXNYH I OTRICATELXNYH) ODNOGO \LEMENTA. iNYMI SLOWAMI, ESLI G | CIKLI^ESKAQ GRUPPA, TO SU]ESTWUET x 2 G , TAKOJ, ^TO G = f1 x x;1 x2 x;1 : : :g (ILI, DLQ ADDITIWNYH OBOZNA^ENIJ G = f0 x 2x 3x : : :g ).

pRIMER

gRUPPA (S OPERACIEJ SLOVNIQ) WSEH CELYH ^ISEL Z = f0 1 2 : : :g QWLQETSQ CIKLI^ESKOJ S OBRAZU@]IM \LEMENTOM 1 , TAK KAK L@BOJ EE NENULEWOJ \LEMENT RAWEN LIBO 1 + + 1 , LIBO (;1) + : : : + (;1) . rASSMOTRIM MNOVESTWO Un , SOSTOQ]EE IZ WSEH KOMPLEKSNYH KORNEJ n -J STEPENI IZ EDINICY. hOROO IZWESTNO, ^TO MNOVESTWO Un SOSTOIT 2k = ei nk , PRI + i sin IZ \LEMENTOW u0 u1 : : : un;1 , GDE uk = cos 2k n n k = 0 1 : : : n ; 1 . iZ SWOJSTW KOMPLEKSNYH ^ISED SLEDUET, ^TO uk ul = uk+l (mod n) , GDE k + l (mod n) OZNA^AET OSTATOK OT DELENIQ NA n . w ^ASNOSTI, PROIZWEDENIE DWUH KORNEJ n -J STEPENI IZ EDINICY | SNOWA KORENX n -J STEPENI IZ EDINICY. oTS@DA VE SLEDUET, ^TO uk = uk1 . o^EWIDNO, ^TO un1 = 1 , OTKUDA SLEDUET, ^TO u;k 1 = un;k . tAKIM OBRAZOM, 1.9.

2

23

OKAZYWAETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY C = GL1(C) , I QSNO, ^TO \TA GRUPPA CIKLI^ESKAQ S OBRAZU@]IM u1 .

Un

oSNOWNYE SWOJSTWA CIKLI^ESKIH GRUPP SOBRANY W SLEDU@]EJ TEORE-

ME.

tEOREMA

kAVDAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA IZOMORFNA LIBO Z (BESKONE^NAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA), LIBO Un | KONE^NAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA. l@BAQ PODGRUPPA CIKLI^ESKOJ GRUPPY QWLQETSQ CIKLI^ESKOJ. 1.1.

dOKAZATELXSTWO pUSTX G = hxi = f: : : x;2 x;1 1 x1 x2 : : :g . sNA.

^ALA WYQSNIM, KOGDA WOZMOVNA TAKAQ SITUACIQ: xk = xm PRI k 6= m NAPRIMER PRI k < m . uMNOVAQ OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA NA x;k , PRIHODIM K RAWENSTWU xm;k = 1 , PRI^EM m;k > 0 . rASSMOTRIM MNOVESTWO WSEH CELYH POLOVITELXNYH ^ISEL l TAKIH, ^TO xl = 1 . kAK TOLXKO ^TO WYQSNILOSX, \TO MNOVESTWO NEPUSTO. pUSTX n | NAIMENXEE ^ISLO IZ \TOGO MNOVESTWA. rASSMOTRIM \LEMENTY 1 x : : : xn;1 , I POKAVEM, ^TO SREDI NIH NET ODINAKOWYH. eSLI BY xk = xm PRI 0  k < m < n , TO SNOWA POLU^ILOSX BY xm;k = 1 , NO 0 < m ; k < n , I \TO PROTIWORE^IT WYBORU n . s DRUGOJ STORONY, PUSTX xm | PROIZWOLXNYJ \LEMENT IZ G . rAZDELIM m NA n S OSTATKOM: m = nq + r , GDE 0  r < n . tOGDA xm = xnq+r = xnq xr = (xn )q xr = xr 

TAK KAK xn = 1 . oTS@DA SLEDUET, ^TO xm 2 f1 x : : : xn;1g , I \TO OZNA^AET, ^TO WSQ GRUPPA G SOSTOIT IZ POPARNO RAZLI^NYH \LEMENTOW 1 x : : : xn;1 , I, W ^ASTNOSTI, QWLQETSQ KONE^NOJ. oPREDELIM OTOBRAVENIE h : G ! Un , POLAGAQ PRI 0  k  n ; 1 EGO ZNA^ENIE RAWNYM h(xk ) = e nk i = uk , GDE u = cos 2n + i sin 2n . qSNO, ^TO \TO BIEKCIQ, I ^TO h(1) = 1 . oSTAETSQ PROWERITX, ^TO h(xk xl ) = 2

24

h(xk+l ) = h(xk )h(xl ) DLQ L@BYH 0  k l < n . eSLI k + l < n , TO \TO O^EWIDNO. eSLI VE m = k + l > n , TO PUSTX, KAK I WYE, m = nq + r , 0  r < n . tOGDA xm = xr , I h(xm ) = h(xr ) = ur (NADO POMNITX, ^TO ZNA^ENIE h(xk ) OPREDELENO TOLXKO PRI 0  k < n ). s DRUGOJ STORONY, h(xk )h(xl ) = uk ul = uk+l = unq ur = (un )q ur = ur  TAK KAK u ESTX KORENX n -J STEPENI IZ EDINICY. sLEDOWATELXNO, h QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM, A ZNA^IT, I IZOMORFIZMOM. eSLI VE GRUPPA G BESKONE^NA, TO SOOTNOENIE WIDA xk = xm PRI k 6= m NEWOZMOVNO. |TO ZNA^IT, ^TO WSE STEPENI xk PRI k 2 Z RAZLI^NY, I OTOBRAVENIE h : Z ! G , h(k) = xk QWLQETSQ BIEKCIEJ. tAK KAK x0 = 1 , xk+l = xk xl , TO \TO K TOMU VE GOMOMORFIZM GRUPP. iTAK, POSTROEN BIEKTIWNYJ GOMOMORFIZM, TO ESTX IZOMORFIZM Z

= G. pUSTX TEPERX G = hxi | NEKOTORAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA, I DOPUSTIM, ^TO G0  G | NETRIWIALXNAQ PODGRUPPA G . mNOVESTWO G0 SOSTOIT IZ STEPENEJ \LEMENTA x , POLOVITELXNYH I (WOZMOVNO) OTRICATELXNYH. wYBEREM \LEMENT y = xn 2 G0 S NAIMENXIM WOZMOVNYM n > 0 , I POKAVEM, ^TO G0 SOSTOIT IZ WSEWOZMOVNYH STEPENEJ y , I TOLXKO IZ NIH. s ODNOJ STORONY PONQTNO, ^TO yk = xnk 2 G0 DLQ L@BOGO CELOGO m . pUSTX xm 2 G0 . pREDSTAWIM m W WIDE m = nq + r , S 0  r < n . tOGDA xm = (xn)q xr . oTS@DA xr = (xn );q xm . tAK KAK xm 2 G0 I xn 2 G0 , OTS@DA SLEDUET, ^TO xr 2 G0 . eSLI r > 0 , TO POLU^IM PROTIWORE^IE S MINIMALXNOSTX@ n . zNA^IT, r = 0 , m = nq , I xm = (xn)q = yq . iTAK, G0 SOSTOIT IZ WSEH WOZMOVNYH STEPENEJ y . 2

bUDEM W DALXNEJEM OBOZNA^ATX KONE^NYE CIKLI^ESKIE GRUPPY PORQDKA n ^EREZ Zn ( W NEKOTORYH KNIGAH WSTRE^AETSQ TAKVE OBOZNA^ENIE Cn ). iTAK, Zn = f1 x x2 : : : xn;1g I xn = 1 . 25

pRIMER

oPIEM NEKOTOROE MNOVESTWO OBRAZU@]IH DLQ GRUPPY GLn(F ) . dLQ \TOGO PREDWARITELXNO WWEDEM ODIN BAZIS W LINEJNOM PROSTRANSTWE Mn(F ) KWADRATNYH n n -MATRIC NAD POLEM F . pUSTX Eij ESTX MATRICA, W KOTOROJ WSE KOMPONENTY RAWNY NUL@, KROME i j -J, RAWNOJ EDINICE. eSLI A 2 Mn(F ) | MATRICA S KOMPONENTAMI akl W k -J STROKE I l -M STOLBCE ( 1  k l  n ), TO 1.10.

A=

n X n X

k=1 l=1

aklEkl :

nAPRIMER, DLQ n = 2 \TO WYGLQDIT TAK: 0 B@ a11

1

0

1

0

1

0

1

0

1

a21 CA = a B@ 1 0 CA + a B@ 0 0 CA + a B@ 0 1 CA + a B@ 0 0 CA = 22 11 12 21 0 0 0 1 a12 a22 0 0 1 0 = a11E11 + a12E12 + a21E21 + a22E22 o^EWIDNO, ^TO MATRICY Eij LINEJNO NEZAWISIMY NAD F . oSNOWNYE SWOJSTWA MATRI^NYH EDINIC TAKOWY: Eij Ejk = Eik  Eij Elk = 0 PRI j 6= l Pn E kk = En : k=1

|TI TOVDESTWA LEGKO PROWERQ@TSQ PRQMYM WY^ISLENIEM. tAKVE LEGKO PROWERQETSQ, ^TO Eij A ESTX MATRICA, W KOTOROJ i -Q STROKA ESTX j -Q STROKA A , A WSE OSTALXNYE \LEMENTY RAWNY NUL@. aNALOGI^NO, AEij ESTX MATRICA, W KOTOROJ j -J STOLBEC ESTX i -J STOLBEC A , A WSE OSTALXNYE KOMPONENTY NULEWYE. oPREDELIM SLEDU@]IE MATRICY ( 1  i j  n ): 6 j  2 F ) tij () = E + Eij (i = (3) di ( ) = E + ( ; 1)Eii = diag(1 : : :  : : : 1) ( 2 F = 6 0 \TOT \LEMENT RASPOLOVEN NA i-MESTE) uMNOVENIE tij () NA A SLEWA RAWNOSILXNO PRIBAWLENI@ K i -J STROKE A EE j -J STROKI, UMNOVENNOJ NA SKALQR  , A UMNOVENIE tij () 26

NA A SPRAWA RAWNOSILXNO PRIBAWLENI@ K j -MU STOLBCU i -GO STOLBCA, UMNOVENNOGO NA  . iNYMI SLOWAMI, \TO IZWESTNYE S 1-GO KURSA \LEMENTARNYE PREOBRAZOWANIQ. zAMETIM, ^TO tij () 2 GLn(F ) , TAK KAK tij ();1 = tij (;) (PROWERXTE \TO!). mATRICA di ( ) TAKVE OBRATIMA: di( );1 = di ( ;1) . uMNOVENIE di( ) NA A SLEWA RAWNOSILXNO UMNOVENI@ WSEH \LEMENTOW i -J STROKI A NA NENULEWOJ \LEMENT , UMNOVENIE SPRAWA RAWNOSILXNO UMNOVENI@ NA g WSEGO i -GO STOLBCA A . tAKIM OBRAZOM, \TO SNOWA IZWESTNOE S PERWOGO KURSA \LEMENTARNOE PREOBRAZOWANIE. tEPERX NADO WSPOMNITX ALGORITM NAHOVDENIQ OBRATNOJ K A 2 GLn(F ) MATRICY S POMO]X@ \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJ. w EGO OSNOWE | POSLEDOWATELXNOSTX \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJ, PEREWODQ]IH A W EDINI^NU@ MATRICU. pOSKOLXKU W KAVDOJ STROKE I KAVDOM STOLBCE A NA KAVDOM \TAPE PREOBRAZOWANIJ ZAWEDOMO ESTX NENULEWYE \LEMENTY, TO NEOBHODIMOSTI W PERESTANOWKE STROK I STOLBCOW NET: DOSTATO^NO K STROKE (ILI STOLBCU), i -J DIAGONALXNYJ \LEMENT KOTOROJ (KOTOROGO) NULEWOJ, PRIBAWLQTX TU STROKU (ILI STOLBEC), GDE \LEMENT i -GO STOLBCA (ILI STROKI) NE RAWEN NUL@. tAK KAK \LEMENTARNOE PREOBRAZOWANIE OZNA^AET UMNOVENIE SLEWA ILI SPRAWA NA MATRICY WIDA tij () ILI di( ) , TO W REZULXTATE DOLVNO POLU^ITXSQ RAWENSTWO WIDA: B1B2 : : : Bm AC1C2 : : : Ck = En

GDE MATRICY Bs , Cr | \TO NEKOTORYE MATRICY tij () ILI di( ) . oTS@DA POLU^AEM DLQ A RAWENSTWO: A = Bm;1 : : :B1;1 Ck;1 : : :C1;1 :

pOSKOLXKU MATRICY, OBRATNYE K tij () I di( ) | \TO SNOWA MATRICY \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJ TAKIH VE TIPOW, PRIHODIM K SLEDU@]EMU WYWODU: GRUPPA GLn(F ) POROVDAETSQ MNOVESTWOM WSEH MATRIC WIDA

(3).

27

dOKAZATX, ^TO W KA^ESTWE MNOVESTWA OBRAZU@]IH DLQ GLn(F ) MOVNO WZQTX \LEMENTY tij () I dn( ) . 1.19.

1.20.

dOKAZATX, ^TO \LEMENTY tij () POROVDA@T GRUPPU SLn(F ) .

1.21.

dOKAZATX, ^TO \LEMENTY di( ) , 1  i  n POROVDA@T GRUPPU

Dn(F ) .

dOKAZATX, ^TO W KA^ESTWE MNOVESTWA OBRAZU@]IH DLQ Tn(F ) MOVNO WZQTX \LEMENTY tij () PRI i j I diag( 1 : : : n) , 1 : : :  n 6= 0 . 1.22.

1.23.

dOKAZATX, ^TO \LEMENTY tij () PRI i < j POROVDA@T GRUPPU

UTn(F ) .

zAFIKSIRUEM m , 1  m  n ; 2 . dOKAZATX, ^TO \LEMENTY tij () PRI j ; i  m POROVDA@T GRUPPU UTnm(F ) . 1.24.

oBOZNA^IM ^EREZ x y] \LEMENT xyx;1 y;1 . |TOT \LEMENT NAZYWAETSQ KOMMUTATOROM \LEMENTOW x I y . lEGKO ZAMETITX, ^TO x y] = 1 TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI xy = yx . kROME TOGO, x y];1 = y x] . 1.25.

dOKAVITE, ^TO ESLI G | L@BAQ GRUPPA, x y z 2 G , TO x yz ] = x y]x z ]x z ] y]

1.26.

dOKAVITE, ^TO xy z ] = y z ]z y] x]x z]

1.27.

pROWERXTE TOVDESTWO: xy z ] = (xy z ]x;1)x z ] 28

bUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ ab \LEMENT aba;1 . dOKAVITE, ^TO ESLI G | L@BAQ GRUPPA, x y z 2 G , TO 1.28.

x y] y z ]y z ] zx]z x] xy] = 1:

2.

gRUPPY PODSTANOWOK

pUSTX X | NEKOTOROE MNOVESTWO. oBOZNA^IM ^EREZ SX MNOVESTWO WSEH BIEKTIWNYH OTOBRAVENIJ IZ X W X . ~EREZ 1X OBOZNA^IM TOVDESTWENNOE (EDINI^NOE) OTOBRAVENIE IZ X W X , TO ESTX TAKOE OTOBRAVENIE, ^TO 1X (x) = x DLQ KAVDOGO \LEMENTA x 2 X . eSLI DANY

  2 SX , TO SUPERPOZICIQ FUNKCIJ I  OBOZNA^AETSQ ^EREZ  I QWLQETSQ OTOBRAVENIEM, DEJSTWU@]IM PO PRAWILU  (x) = ( (x)) . sUPERPOZICIQ BIEKTIWNYH OTOBRAVENIJ QWLQETSQ BIEKTIWNYM OTOBRAVENIEM, T.E.  2 SX . iZWESTNO, ^TO SUPERPOZICIQ L@BYH OTOBRAVENIJ ASSOCIATIWNA: ESLI DANY TRI OTOBRAVENIQ f : Z ;! W , g : Y ;! Z , h : X ;! Y , TO (fg)h = f (gh) . tEM BOLEE ASSOCIATIWNA SUPERPOZICIQ \LEMENTOW SX . wWIDU BIEKTIWNOSTI 2 SX SU]ESTWUET OBRATNOE K NEMU OTOBRAVENIE ;1 2 SX , HARAKTERIZU@]EESQ SWOJSTWAMI:

;1 = 1X , ;1 = 1X . sUPERPOZICI@ FUNKCIJ IZ SX MOVNO RASSMATRIWATX KAK BINARNU@ OPERACI@ NA SX : SX SX ;! SX 

(   ) 7! :

sUPERPOZICIQ FUNKCIJ W DANNOM SLU^AE OBY^NO NAZYWAETSQ UMNOVENIEM \LEMENTOW SX . pERE^ISLENNYE WYE SWOJSTWA \TOGO UMNOVENIQ OZNA^A@T, ^TO ONO PREWRA]AET SX W GRUPPU S EDINICEJ 1X . pOLOVIM X = f1 2 : : : ng . wMESTO SX W \TOM SLU^AE ISPOLXZUETSQ OBOZNA^ENIE Sn . |TA GRUPPA NAZYWAETSQ GRUPPOJ PODSTANOWOK n -J 29

STEPENI, ILI SIMMETRI^ESKOJ GRUPPOJ. |LEMENTY \TOJ GRUPPY NAZYWA@TSQ PODSTANOWKAMI n -J STEPENI, ILI PROSTO PODSTANOWKAMI. kAK IZWESTNO, NEKOTORYE FUNKCII OPREDELQ@TSQ TABLICAMI, W KOTORYH KAVDOMU ZNA^ENIQ@ ARGUMENTA SOPOSTAWLENO ZNA^ENIE FUNKCII OT \TOGO ARGUMENTA. dLQ FUNKCIJ IZ Sn ISPOLXZUETSQ SLEDU@]AQ RAZNOWIDNOSTX TABLI^NOGO ZADANIQ: TABLICA POHODIT NA MATRICU IZ DWUH STROK, W WERHNEJ STROKE ZAPISANY \LEMENTY IZ MNOVESTWA ARGUMENTOW FUNKCII, A W NIVNEJ | IZ MNOVESTWOM ZNA^ENIJ FUNKCII, PRI^EM ZNA^ENIE FUNKCII

(i) ZAPISYWAETSQ POD ZNA^ENIEM ARGUMENTA i . w SLU^AE PROIZWOLXNOGO

2 Sn \TO WYGLQDIT TAK: 0 1 1 2 : : : i : : : n

= @ (1) (2) : : : (i) : : : (n)A nAPRIMER, EDINI^NAQ (ILI TOVDESTWENNAQ) PODSTANOWKA, KOTORAQ W DALXNEJEM BUDET OBOZNA^ATXSQ KAK 1n ILI PROSTO KAK 1 , ZAPISYWAETSQ W WIDE: 0 1 1 2 : : : n @ A 1 2 ::: n : sLEDUET OTMETITX, ^TO PORQDOK SLEDOWANIQ ARGUMENTOW W WERHNEJ STROKE NE QWLQETSQ SU]ESTWENNYM. sU]ESTWENNYM DLQ ZADANIQ FUNKCII QWLQETSQ TOLXKO WERTIKALXNOE SOOTWETSTWIE MEVDU ZNA^ENIEM ARGUMENTA i I ZNA^ENIEM FUNKCII (i) . nAPRIMER, TABLICY 0 1 1 2 3 4 5 @ A

43152 I

0 1 3 5 1 4 2 @ A

12453

QWLQ@TSQ PROSTO RAZNYMI FORMAMI ZAPISI ODNOJ I TOJ VE FUNKCII, T.E. PODSTANOWKI, I POLU^A@TSQ ODNA IZ DRUGOJ PERESTANOWKAMI STOLBCOW. iZ TOGO, ^TO ZNAK FUNKCII ZAPISYWAETSQ SLEWA OT ARGUMENTA, I IZ OPREDELENIQ SUPERPOZICII  (i) = ( (i)) SLEDUET, ^TO PRI WY^ISLENII UMNOVENIQ (SUPERPOZICII) DWUH PODSTANOWOK NADO NA^INATX S ARGUMENTA, NAHODQ]EGOSQ W WERHNEJ STROKE SAMOJ PRAWOJ PODSTANOWKI, I 30

DWIGATXSQ SPRAWA NALEWO. |TO MOVNO PREDSTAWITX TAK: 0 @

nAPRIMER,

10

1

0

1

: : :  (i) : : : A@ : : : i : : : A = @ : : : i : : : A : : : ( (i)) : : : : : :  (i) : : : : : : ( (i)) : : : 0 10 1 0 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 @ A@ A=@ A

34251 25134

41325 pODSTANOWKU, OBRATNU@ K ZADANNOJ PODSTANOWKE , MOVNO WY^ISLITX, PROSTO POMENQW MESTAMI WERHN@@ I NIVN@@ STROKI W TABLICE, ZADA@]EJ PODSTANOWKU. nAPRIMER, ESLI 0 1 0 1 0 1 1 2 3 4 5 3 4 2 5 1 1 2 3 4 5

= @3 4 2 5 1A TO ;1 = @1 2 3 4 5A = @5 3 1 2 4A: 2.1.

dOKAZATX, ^TO MO]NOSTX MNOVESTWA Sn RAWNA n! .

nAPOMNIM, ^TO MO]NOSTX MNOVESTWA \LEMENTOW GRUPPY G NAZYWAETSQ PORQDKOM GRUPPY I OBOZNA^AETSQ ^EREZ jGj . pUSTX DANA PODSTANOWKA 2 Sn . mNOVESTWO f i j i 2 f1 2 : : : ng (i) 6= i g BUDEM NAZYWATX MNOVESTWOM PEREME]AEMYH SIMWOLOW PODSTANOWKI

, A MNOVESTWO f i j i 2 f1 2 : : : ng (i) = i g | MNOVESTWOM NEPODWIVNYH SIMWOLOW PODSTANOWKI . dOKAZATX, ^TO ESLI   2 Sn , I MNOVESTWA PEREME]AEMYH SIMWOLOW U I  NE PERESEKA@TSQ, TO  =  . 2.2.

oPREDELIM PODSTANOWKI SPECIALXNOGO WIDA, NAZYWAEMYE CIKLAMI. pUSTX DANO PODMNOVESTWO fi1 i2 : : :  ikg  f1 2 : : : ng . rASSMOTRIM OTOBRAVENIE , TAKOE, ^TO (i1) = i2 , (i2) = i3 , : : : , (ik;1 ) = ik , 31

(ik ) = i1 , A DLQ j 62 fi1 i2 : : : ikg POLOVIM (j ) = j . lEGKO UBEDITXSQ, ^TO \TO OTOBRAVENIE BIEKTIWNO, TO ESTX 2 Sn . pODSTANOWKA NAZYWAETSQ CIKLOM DLINY k I OBOZNA^AETSQ ^EREZ (i1 i2 : : :  ik) . pORQDOK SLEDOWANIQ \LEMENTOW i1 i2 : : : ik W ZAPISI CIKLA QWLQETSQ SU]ESTWENNYM. cIKLY DLINY 2 PRINQTO TAKVE NAZYWATX TRANSPOZICIQMI. lEGKO UBEDITXSQ, ^TO (i j ) = (j i) = (i j );1 . pEREME]AEMYE SIMWOLY CIKLA (i1 i2 : : : ik) | \TO MNOVESTWO fi1 : : :  ikg .

pUSTX = (i1 i2 : : : ik ) ,  = (j1 j2 : : :  jm) . dOKAZATX, ^TO  =  TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI fi1 i2 : : : ikg \ fj1 j2 : : : jmg =  . 2.3.

cIKLY S OPISANNYMI W \TOJ ZADA^E SWOJSTWAMI NAZYWA@TSQ NEZAWISIMYMI. zAPISX CIKLA W WIDE (i1 i2 : : : ik) NE QWLQETSQ ODNOZNA^NOJ. iSHODQ IZ OPREDELENIQ CIKLA KAK OTOBRAVENIQ, NETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO (i1 i2 : : : ik) = (i2 i3 : : : ik i1) = (i3 i4 : : : ik i1 i2) = : : : = (ik  i1 i2 : : : ik;1) . 2.4.

dOKAZATX, ^TO KOLI^ESTWO CIKLOW DLINY k W GRUPPE Sn RAWNO n(n ; 1) : : : (n ; k + 1) . k

tEOREMA

kAVDU@ PODSTANOWKU 2 Sn MOVNO PREDSTAWITX W WIDE PROIZWEDENIQ POPARNO NEZAWISIMYH CIKLOW = 1 2 : : : r . mNOVESTWO CIKLOW f 1 : : : r g OPREDELQETSQ PO PODSTANOWKE ODNOZNA^NO. |TO ZNA^IT, ^TO ESLI IMEETSQ WTOROJ SPOSOB ZAPISI W WIDE PROIZWEDENIQ NEZAWISIMYH CIKLOW = 10 20 : : : d0 , TO r = d I f 1 : : : r g = f 10  : : :  r0 g 2.1.

32

kRATKOE DOKAZATELXSTWO pUSTX DANO RAZLOVENIE PODSTANOWKI W .

PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW: = 1 2 : : : r . pUSTX Xj | MNOVESTWO PEREME]AEMYH SIMWOLOW CIKLA j , j = 1 : : : r . pO OPREDELENI@ NEZAWISIMYH CIKLOW, PRI j = 6 t MNOVESTWA Xj I Xt NE PERESEKA@TSQ. mNOVESTWO PEREME]AEMYH SIMWOLOW | \TO X1  X2  : : :  Xr . eSLI i 2 Xj , TO (i) = j (i) . iNYMI SLOWAMI, OTOBRAVENIE j NA PODMNOVESTWE Xj SOWPADAET S , A WNE \TOGO MNOVESTWA DEJSTWUET TOVDESTWENNO. eSLI Xj = fi1 i2 : : :  ikg I j = (i1 i2 : : :  ik) , TO i2 = (i1) ,

i2 = (i2) = ( (i1)) = 2(i1) , i3 = ( ( (i1 ))) = 3(i1) , : : : , ik =

k;1(i1) , i1 = k (i1) . pRI \TOM WYBOR i1 2 Xj PO SUTI, PROIZWOLEN, TAK KAK (i1 i2 : : : ik) = (i2 i3 : : : ik  i1) = (i3 i4 : : :  ik i1 i2) = : : : . iZ WSEGO \TOGO MOVNO SDELATX WYWOD, ^TO MNOVESTWA X1 , : : : , Xr , I SAMI CIKLY

1 , : : : , r OPREDELQ@TSQ PO PODSTANOWKE ODNOZNA^NO. iSHODQ IZ \TOGO NABL@DENIQ, MOVNO POSTROITX MNOVESTWA X1 , : : : , Xr I CIKLY 1 : : : sr DLQ PROIZWOLXNOJ PODSTANOWKI SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX X | MNOVESTWO PEREME]AEMYH SIMWOLOW . wYBEREM KAKOJ-NIBUDX ARGUMENT i 2 X , I RASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX i ,

(i) , 2(i) , 3(i) , : : : . tAK KAK MNOVESTWO ARGUMENTOW f1 2 : : : ng KONE^NO, TO DLQ NEKOTORYH m < q POLU^IM m(i) = q (i) . tAK KAK OTOBRAVENIE BIEKTIWNO, TO \TO OZNA^AET, ^TO q;m (i) = i . pUSTX k > 1 | NAIMENXEE ^ISLO SO SWOJSTWOM k (i) = i . pOLOVIM X1 = fi (i) : : : k;1(i)g (TAK KAK WYBRANO k SO SWOJSTWOM MINIMALXNOSTI, TO WSE \TI \LEMENTY RAZLI^NY), I 1 = (i (i) : : :  k;1(i)) . o^EWIDNO, ^TO (t) = 1(t) DLQ KAVDOGO t 2 X1 . wYBEREM DALEE PROIZWOLXNYM OBRAZOM d 2 X n X1 , I RASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX d (d) 2(d) 3 (d) : : : . aNALOGI^NO TOMU, KAK \TO BYLO SDELANO WYE, UBEVDAEMSQ, ^TO ONA KONE^NA, I ^TO MOVNO WYBRATX p TAK, ^TO p(d) = d I p | MINIMALXNOE ^ISLO, OBLADA@]EE \TIM SWOJSTWOM. pOLOVIM 33

X2 = fd (d) : : :  p;1(d)g , 2 = (d (d) : : :  p;1(d)) . sNOWA LEGKO UBEDITXSQ W TOM, ^TO (t) = 2(t) DLQ t 2 X2 . pROWERIM, ^TO X1 \ X2 =  . w SAMOM DELE, ESLI BY, NAPRIMER, m (d) = q (i) PRI m  q , TO d = q;m (i) 2 X1 , ^TO PROTIWORE^IT WYBORU d . eSLI VE m > q , TO i = m;q (d) . wSPOMINAQ, ^TO p(d) = d , WYBEREM ^ISLO v TAK, ^TO v + m ; q = pl , I PRIMENIM K LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQM RAWENSTWA i = m;q (d) PODSTANOWKU v . w REZULXTATE POLU^IM d = v (i) | SNOWA PROTIWORE^IE. iTAK, 1 I 2 | NEZAWISIMYE CIKLY. pUSTX UVE POSTROENY NEZAWISIMYE CIKLY 1 : : : j;1 S MNOVESTWAMI PEREME]AEMYH SIMWOLOW X1 , : : : , Xj;1 SOOTWETSTWENNO, PRI^EM X1 : : : Xj;1  X , I (t) = l (t) DLQ L@BOGO 1  l  j ; 1 I WSEH t 2 Xl . pUSTX

0 = 1 : : : j;1 . tOGDA (t) = 0 (t) PRI t 2 X 0 = X1  : : :  Xj;1 . eSLI X = X 0 , TO RAZLOVENIE W PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW POLU^ENO. eSLI VE SU]ESTWUET w 2 X n X 0 , TO MOVNO POWTORITX OPISANNOE WYE POSTROENIE, I POLU^ITX CIKL j = (w (w) 2(w) : : :) S MNOVESTWOM PEREME]AEMYH SIMWOLOW Xj = fw (w) : : :g . rASSUVDENIQ, ANALOGI^NYE UVE PROWEDENNYM, POKAZYWA@T, ^TO (t) = j (t) PRI t 2 Xj , I Xj \ X 0 =  . tAKIM OBRAZOM, CIKL j NEZAWISIM OT CIKLOW

1 : : : j;1 . pRODOLVAQ \TOT PROCESS DO POLNOGO IS^ERPANIQ MNOVESTWA X , POLU^IM NEZAWISIMYE CIKLY 1 : : : r , TAKIE, ^TO I 1 : : : r PRINIMA@T ODINAKOWYE ZNA^ENIQ NA KAVDOM ARGUMENTE. 2

w DOKAZATELXSTWE \TOJ TEOREMY SODERVITSQ I ALGORITM RAZLOVENIQ PODSTANOWOK W PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW. rASSMOTRIM PRIMER. pRIMER 2.1. pUSTX DANA PODSTANOWKA 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A:

=@

3 4 5 2 10 8 12 11 9 1 6 7 sLEDUQ HODU RASSUVDENIJ TEOREMY, WYBEREM KAKOJ-TO PEREME]AEMYJ SIMWOL , SKAVEM, 1 . tOGDA (1) = 3 , (3) = 5 , (5) = 10 , (10) = 1 . 34

nA \TOM POSTROENIE PERWOGO CIKLA ZAKON^ENO. |TOT CIKL | (1 3 5 10) . eGO PEREME]AEMYE SIMWOLY | MNOVESTWO f1 3 5 10g . dALEE WYBIRAEM L@BOJ PEREME]AEMYJ SIMWOL , NE PRINADLEVA]IJ \TOMU MNOVESTWU, NAPRIMER 6 . pOLU^IM (6) = 8 , (8) = 11 , (11) = 6 . iTAK, WTOROJ CIKL W NAEM RAZLOVENII | (6 8 11) . sLEDU@]IJ PEREME]AEMYJ SIMWOL NADO WYBIRATX WNE MNOVESTWA f1 3 5 10g  f6 8 11g . pUSTX \TO \LEMENT 2 . tOGDA (2) = 4 , (4) = 2 . pOLU^AEM CIKL (2 4) . nAKONEC, WOZXMEM \LEMENT 7 , NE QWLQ@]IJSQ PEREME]AEMYM SIMWOLOM NI W ODNOM IZ UVE POSTROENNYH CIKLOW. tOGDA (7) = 12 , (12) = 7 . iTAK, SLEDU@]IJ CIKL | (7 12) . nO BOLXE PEREME]AEMYH SIMWOLOW U NET (TAK KAK (9) = 9 , TO \TO NE PEREME]AEMYJ SIMWOL), PO\TOMU NAJDENNYJ CIKL (7 12) QWLQETSQ POSLEDNIM. oKON^ATELXNO POLU^AEM:

= (1 3 5 10)(6 8 11)(2 4)(7 12):

nAPOMNIM SLEDU@]EE OPREDELENIE. pUSTX G | NEKOTORAQ GRUPPA, X  G . gOWORQT, ^TO MNOVESTWO X POROVDAET GRUPPU G (ILI ^TO G POROVDAETSQ MNOVESTWOM X , ILI ^TO X ESTX MNOVESTWO OBRAZU@]IH GRUPPY G ), ESLI KAVDYJ \LEMENT IZ G MOVNO PREDSTAWITX W WIDE x"1 x"2 : : :x"mm , GDE xi 2 X , "i = 1 DLQ WSEH i , 1  i  m , I m  0 . sLU^AJ m = 0 SOOTWETSTWUET EDINICE GRUPPY G . gRUPPA, POROVDENNAQ MNOVESTWOM X , OBOZNA^AETSQ ^EREZ hX i . zNANIE MNOVESTWA OBRAZU@]IH \LEMENTOW GRUPPY G ^ASTO DAET WESXMA SU]ESTWENNU@ INFORMACI@ O WSEJ GRUPPE, PRI \TOM ^EM MENXE MNOVESTWO OBRAZU@]IH, TEM (KAK PRAWILO) ONO UDOBNEE DLQ ISPOLXZOWANIQ. pRIWEDENNAQ WYE TEOREMA UTWERVDAET, ^TO GRUPPA Sn POROVDAETSQ MNOVESTWOM WSEH SODERVA]IHSQ W \TOJ GRUPPE CIKLOW. w SLEDU@]IH ZADA^AH OPISYWA@TSQ NEKOTORYE GORAZDO MENXIE MNOVESTWA, POROVDA@]IE GRUPPY PODSTANOWOK. 1

2

35

2.5.

2.6.

2.7.

(i1 i2 : : :  ik) = (i1 ik)(i1 ik;1) : : : (i1 i3)(i1 i2) = = (ik;1 ik)(ik;2 ik) : : : (i2 ik)(i1 ik)

dOKAZATX, ^TO Sn POROVDAETSQ WSEMI TRANSPOZICIQMI. (i j ) = (k i)(k j )(k i)

zDESX i j k POPARNO RAZLI^NY. aNALOGI^NOE PREDPOLOVENIE DEJSTWUET I W DRUGIH ZADA^AH \TOGO RAZDELA: RAZLI^NYE BUKWY OBOZNA^A@T RAZLI^NYE \LEMENTY MNOVESTWA f1 2 : : : ng . 2.8.

(i j )(i k) = (i k j ) , (i j )(k m) = (j k m)(i m j )

2.9.

(i j k)2 = (i k j )

2.10.

2.11.

(i j k m)2 = (i k)(j m)

pROWERITX, ^TO

(i1 i2 : : :  ik)k = 1 (i1 i2 : : :  ik);1 = (i1 i2 : : :  ik)k;1 = = (i1 ik  ik;1 : : : i2) = (ik  ik;1 : : :  i2 i1) .

w SLEDU@]IH DWUH ZADA^AH ^EREZ x y] OBOZNA^AETSQ \LEMENT xyx;1 y;1 . 2.12.

(i j ) (i k)] = (i j k)

2.13.

(i j d) (i k m)] = (i j k)

36

pUSTX DANY DWE PODSTANOWKI  0 2 Sn . gOWORQT, ^TO ONI IME@T ODINAKOWOE CIKLI^ESKOE STROENIE, ESLI I W I RAZLOVENII , I W RAZLOVENII 0 W PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW SODERVITSQ PO ODNOMU I TOMU VE KOLI^ESTWU CIKLOW ODNOJ I TOJ VE DLINY. tAKOWY, NAPRIMER, PODSTANOWKI

= (1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)(11 12)(13 14)(15 16) I

0 = (16 15 14 13)(12 11 10)(9 8 7)(6 5)(4 3)(2 1):

pUSTX DANY DWE PODSTANOWKI I 0 , IME@]IE ODINAKOWOE CIKLI^ESKOE STROENIE. rASSMOTRIM IH RAZLOVENIQ W PROIZWEDENIQ NEZAWISIMYH CIKLOW 2.14.

= (1 2 : : :)( 1 2 : : :)(: : :) 0 = (01 02 : : :)( 10  20  : : :)(: : :)

GDE SOMNOVITELI UPORQDO^ENY TAK, ^TO CIKLY ODINAKOWOJ DLINY SOOTWETSTWU@T DRUG DRUGU. nAPRIMER, ODINAKOWU@ DLINU IME@T CIKLY (1 2 : : :) I (01 02 : : :) , ( 1 2 : : :) I ( 10  20  : : :) , I T.D. rASSMOTRIM PODSTANOWKU 0 1 1 2 : : :A x = @10 2 :: :: : : : : : :

dOKAZATX, ^TO 0 = x x;1 .

1 2

1 2

pUSTX  = (1 2 : : : k ) , x 2 Sn . tOGDA 0 = xx;1 | SNOWA CIKL DLINY k . pRI \TOM, ESLI 2.15.

0 1 : : :   : : :  : : : 1 2 k A x=@ 0 0 0

TO

0 = (01 02 : : : 0k ):

: : : 1 2 : : : k : : : 0 2.16. dOKAZATX, ^TO DWE PODSTANOWKI I SWQZANY SOOTNOENIEM

0 = x x;1 TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI ONI IME@T ODINAKOWOE CIKLI^ESKOE STROENIE. 37

pUSTX 1  i < j  n , I = (i i + 1)(i + 1 i + 2) : : : (j ; 2 j ; 1) . pOKAZATX, ^TO (i j ) = (j ; 1 j ) ;1 . u^ESTX PRI \TOM, ^TO W L@BOJ GRUPPE (xy);1 = y;1x;1 , I ^TO DLQ L@BOJ TRANSPOZICII (a b) = (b a) = 2.17.

(a b);1 . 2.18.

dOKAZATX, ^TO GRUPPA Sn POROVDAETSQ TRANSPOZICIQMI WIDA

(i i + 1) .

rASSMOTRIM GRUPPU S3 , I PUSTX A = (1 2) 2 S3 , B = (1 2 3) 2 S3 . pRQMYM WY^ISLENIEM POKAZATX, ^TO S3 = f1 A B B 2 AB AB 2g , PRI^EM A2 = 1 , B 3 = 1 , BA = AB 2 . (w ^ASTNOSTI, A I B POROVDA@T GRUPPU S3 .) 2.19.

w GRUPPE S4 RASSMOTRIM CIKLY R = (3 4) , S = (1 2 3) , T = (1 2 3 4) . dOKAZATX, ^TO R S I T POROVDA@T GRUPPU S4 . pROWERITX SOOTNOENIQ R2 = S 3 = T 4 = 1 , RST = 1 . 2.20.

dOKAZATX, ^TO S4 POROVDAETSQ CIKLAMI C = (1 2) , D = (1 2 3 4) . pROWERITX SOOTNOENIQ C 2 = D4 = 1 , (CD)3 = 1 . 2.21.

2.22.

dOKAZATX, ^TO GRUPPA Sn POROVDAETSQ DWUMQ CIKLAMI X =

(1 2) , Y = (1 2 : : : n) .

oPREDELIM DLQ PROIZWOLXNOJ PODSTANOWKI 2 Sn ^ISLO (NAZYWAEMOE ZNAKOM PODSTANOWKI ): Y (i) ; (j ) : sgn( ) = i ; j ni>j 1 38

2.23.

dOKAZATX, ^TO sgn( ) = 1 , I ^TO ESLI 0

= @1 2

1

: : : n A i1 i2 : : : in

TO sgn( ) = (;1)r , GDE r ESTX KOLI^ESTWO TRANSPOZICIJ W UPORQDO^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI (PERESTANOWKE) (i1 i2 : : :  in) , TO ESTX KOLI^ESTWU TEH PAR (is  it) , DLQ KOTORYH s < t , NO is > it . w ^ASTNOSTI, sgn(1) = +1 (ZNAK EDINI^NOJ PODSTANOWKI RAWEN EDINICE). 2.24. dOKAZATX, ^TO DLQ PROIZWOLXNYH PODSTANOWOK  2 Sn IMEET MESTO RAWENSTWO sgn(  ) = sgn( )sgn(t) . uKAZANIE. mOVNO NA^ATX S TOVDESTWA Y ( (i)) ; ( (j )) Y ( (i)) ; ( (j )) Y  (i) ;  (j ) = i;j  (i) ;  (j ) ni>j1 i ; j : ni>j 1 ni>j 1 oSTAETSQ POKAZATX, ^TO Y (i) ; (j ) Y ( (i)) ; ( (j )) =  (i) ;  (j ) i;j : ni>j 1 ni>j 1 dLQ \TOGO DOSTATO^NO RASSMOTRETX DWA SLU^AQ: PUSTX i > j , TOGDA LIBO  (i) >  (j ) , LIBO  (i) <  (j ) . nAPOMNIM, ^TO SOOTNOENIQ sgn(  ) = sgn( )sgn(t) I sgn(1) = 1 OZNA^A@T, ^TO OTOBRAVENIE sgn : Sn ;! f+1 ;1g QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM IZ GRUPPY Sn W fg . 2.25. dOKAZATX, ^TO sgn((i j )) = ;1 DLQ L@BOJ TRANSPOZICII (i j ) . (uKAZANIE: MOVNO OGRANI^ITXSQ SLU^AEM TRANSPOZICIJ WIDA (i i + 1) . pO^EMU?) 2.26. pOKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO CIKLA = (i1 i2 : : :  ik ) IMEET MESTO RAWENSTWO sgn( ) = (;1)k;1 . w ^ASTNOSTI, ESLI k NE^ETNO, TO sgn( ) = +1 .

39

pUSTX DANO RAZLOVENIE PROIZWOLXNOJ PODSTANOWKI 2 Sn W PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW: = 1 : : : r , I PUSTX t | KOLI^ESTWO NEPODWIVNYH ARGUMENTOW , TO ESTX KOLI^ESTWO TEH j , DLQ KOTORYH

(j ) = j . pOKAZATX, ^TO sgn( ) = (;1)n;(r+t) . 2.27.

pRIMER

wY^ISLIM ZNAK PODSTANOWKI IZ PRIMERA 1.1. w PRIMERE 1.1 BYLO NAJDENO RAZLOVENIE W PROIZWEDENIE ^ETYREH NEZAWISIMYH CIKLOW, TAK ^TO r = 4 . kROME TOGO, ODIN SIMWOL BYL NEPODWIVNYM, TO ESTX t = 1 . nAKONEC, n = 12 . sLEDOWATELXNO, sgn( ) = (;1)12;(4+1) = (;1)7 = ;1 . 2.2.

pOLOVIM An = f 2 Snjsgn( ) = +1g . dOKAZATX, ^TO An | PODGRUPPA GRUPPY Sn , I ^TO x x;1 DLQ KAVDOGO 2 An I PROIZWOLXNOGO x 2 Sn . dOKAZATX, ^TO An SOSTOIT W TO^NOSTI IZ TEH PODSTANOWOK, KOTORYE MOVNO PREDSTAWITX W WIDE PROIZWEDENIQ ^ETNOGO ^ISLA TRANSPOZICIJ. 2.28.

pODSTANOWKA SO SWOJSTWOM sgn( ) = +1 NAZYWAETSQ ^ETNOJ, A ESLI sgn( ) = ;1 , TO NE^ETNOJ. tAKIM OBRAZOM, CIKLY NE^ETNOJ DLINY OKAZYWA@TSQ ^ETNYMI PODSTANOWKAMI, A CIKLY ^ETNOJ DLINY | NE^ETNYMI. gRUPPA An NAZYWAETSQ GRUPPOJ ^ETNYH PODSTANOWOK n -J STEPENI, ILI VE ZNAKOPEREMENNOJ GRUPPOJ n -J STEPENI. zAFIKSIRUEM TRANSPOZICI@ (i j ) (NAPOMNIM, ^TO \TO NE^ETNAQ PODSTANOWKA). rASSMOTRIM MNOVESTWO NE^ETNYH PODSTANOWOK Sn n An I OPREDELIM DWA OTOBRAVENIQ, f : An ;! Sn n An I h : Sn n An ;! 2.29.

40

An , OPREDELQEMYH SLEDU@]IM OBRAZOM: f ( ) = (i j ) , h( ) = (i j ) . dOKAZATX, ^TO \TI OTOBRAVENIQ OPREDELENY KORREKTNO, T.E. ESLI 2 Sn , TO f ( ) 2 Sn n An , A ESLI  2 Sn n An , TO h( ) 2 An . dALEE, PROWERITX, ^TO f I h | WZAIMNO OBRATNYE OTOBRAVENIQ. wYWESTI OTS@DA, ^TO KOLI^ESTWO ^ETNYH PODSTANOWOK n -J STEPENI RAWNO 21 n! , I RAWNO KOLI^ESTWU NE^ETNYH PODSTANOWOK n -J STEPENI. 2.30.

nAJTI W QWNOM WIDE WSE \LEMENTY GRUPP A3 I A4 .

w SLEDU@]EJ SERII ZADA^ OPISYWA@TSQ MNOVESTWA OBRAZU@]IH \LEMENTOW GRUPP ^ETNYH PODSTANOWOK. dOKAZATX, ^TO GRUPPA An POROVDAETSQ CIKLAMI DLINY 3 (\TROJNYMI CIKLAMI"). uKAZANIE. iSPOLXZOWATX ZADA^I 2.8 I 2.28. 2.31.

dOKAZATX, ^TO PRI n  5 L@BYE DWA TROJNYH CIKLA (j1 j2 j3) I (i1 i2 i3) SWQZANY SOOTNOENIEM (j1 j2 j3) = x(i1 i2 i3)x;1 , GDE x | ^ETNAQ PODSTANOWKA. 2.32.

dOKAZATX, ^TO GRUPPA A4 POROVDAETSQ \LEMENTAMI S = (1 2 3) I R = (1 2)(3 4) . pROWERITX, ^TO IME@T MESTO RAWENSTWA S 3 = R2 = 2.33.

(SR)3 = 1 .

dOKAZATX, ^TO GRUPPA A5 POROVDAETSQ \LEMENTAMI R = (1 2)(4 5) I S = (1 3 4) . pROWERITX , ^TO IME@T MESTO RAWENSTWA S 3 = R2 = 2.34.

(RS )5 = 1 .

dOKAZATX, ^TO PRI ^ETNOM n > 3 GRUPPA An POROVDAETSQ \LEMENTAMI X = (1 2)(3 4 : : : n) I Y = (1 2 3) , A PRI NE^ETNOM n > 3 | \LEMENTAMI Z = (3 4 : : : n) I Y = (1 2 3) . 2.35.

41

nAPOMNIM, ^TO MATRI^NOJ EDINICEJ NAZYWAETSQ MATRICA Eij , WSE \LEMENTY KOTOROJ RAWNY NUL@, KROME i j -GO, RAWNOGO EDINICE. l@BAQ MATRICA A S \LEMENTAMI ai j ODNOZNA^NO PREDSTAWLQETSQ W WIDE A = Pn a E . iNYMI SLOWAMI, MATRI^NYE EDINICY QWLQ@TSQ BAZISOM W i j ij ij=1 PROSTRANSTWE WSEH n n -MATRIC. oSNOWNYE SWOJSTWA MATRI^NYH EDINIC SFORMULIROWANY W PRIMERE 1.10. pUSTX 2 Sn . sOPOSTAWIM PODSTANOWKE MATRICU M ( ) =

n X

i=1

E(i)i :

iNYMI SLOWAMI, W i -M STOLBCE MATRICY M ( ) EDINICA NAHODITSQ W STROKE S NOMEROM 0 1 (i) , WSE OSTALXNYE \LEMENTY RAWNY NUL@. nAPRIMER, ESLI = @13 21 34 42A , TO 0 1 0 1 0 0 BB C BB 0 0 0 1 CCC CC M ( ) = BBB BB 1 0 0 0 CCC @ A

0 0 1 0 M ( ) NAZYWAETSQ MATRICEJ PODSTANOWKI .

dOKAZATX, ^TO M (1n) = En , M (  ) = M ( )M ( ) , M ( ;1) = M ( );1 = tM ( ) , A OTOBRAVENIE 7! M ( ) IN_EKTIWNO. tAKIM OBRAZOM, OTOBRAVENIE, SOPOSTWLQ@]EE PODSTANOWKE MATRICU M ( ) , QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM IZ GRUPPY Sn W GRUPPU GLn(F ) , GDE W KA^ESTWE F MOVNO WZQTX L@BOE POLE (ILI DAVE KOLXCO, TAK KAK TREBUETSQ TOLXKO NALI^IE W F NESOWPADA@]IH NULQ I EDINICY). w SLEDU@]EJ ZADA^E MOVNO PREDPOLAGATX, ^TO F = Q | POLE RACIONALXNYH ^ISEL. 2.36.

42

2.37.

3.

dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ PODSTANOWKI sgn( ) = det(M ( )) .

sMEVNYE KLASSY KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW PORQDKI ,

,

tEORETI^ESKOJ OSNOWOJ DLQ ZADA^ \TOGO RAZDELA QWLQETSQ SLEDU@]AQ KONSTRUKCIQ. dANA GRUPPA G , MNOVESTWO X , I OTOBRAVENIE G X ;! X

KOTOROE PEREWODIT PARU \LEMENTOW (g x) W \LEMENT gx 2 X . pRI \TOM DOLVNY WYPOLNQTXSQ DWA SWOJSTWA: 1) (g1g2)x = g1(g2x) DLQ WSEH g1 g2 2 G , x 2 X  2) 1x = x DLQ L@BOGO x 2 X . zDESX 1 2 G | EDINICA GRUPPY G . eSLI \TI SWOJSTWA WYPOLNQ@TSQ, TO GOWORQT, ^TO ZADANO DEJSTWIE GRUPPY G NA MNOVESTWE X , ILI ^TO GRUPPA G DEJSTWUET NA MNOVESTWE X . tO^NEE, TAKIM OBRAZOM OPREDELQETSQ LEWOE DEJSTWIE (GRUPPA G DEJSTWUET SLEWA NA MNOVESTWE X ). pRAWOE DEJSTWIE OPREDELQETSQ ANALOGI^NO: ZADAETSQ OTOBRAVENIE WIDA X G ! X , (x g) 7! xg , I DOLVNY WYPOLNQTXSQ DWA SWOJSTWA: x(g1g2) = (xg1)g2 I x1 = x . sWOJSTWA PRAWOGO DEJSTWIQ POLNOSTX@ ANALOGI^NY SWOJSTWAM LEWOGO DEJSTWIQ, I NE NUVDA@TSQ W OTDELXNYH DOKAZATELXSTWAH. |TO WYTEKAET, W ^ASTNOSTI, I IZ SLEDU@]EGO UTWERVDENIQ: 3.1. pUSTX ZADANO LEWOE DEJSTWIE G NA X . wWEDEM OBOZNA^ENIE xg = g;1x . dOKAZATX, ^TO OTOBRAVENIE X G ! X , ZADAWAEMOE FORMULOJ (x g) 7! xg = g;1x , QWLQETSQ PRAWYM DEJSTWIEM G NA X . aNALOGI^NYM OBRAZOM PO PRAWOMU DEJSTWI@ MOVNO POSTROITX LEWOE DEJSTWIE: 43

gx = xg;1 . |TIM ZADAETSQ WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU LEWYMI I PRAWYMI DEJSTWIQMI G NA X .

wAVNO POMNITX, ^TO OPERACIQ \UMNOVENIQ" (g x) 7! gx MOVET W KONKRETNYH ^ASTNYH SLU^AQH ZADAWATXSQ SAMYMI RAZNYMI SPOSOBAMI I PO-RAZNOMU OBOZNA^ATXSQ. rASSMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW. pUSTX Y | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO, X = Y n , G = Sn . dLQ g 2 G I x = (y1  y2 : : : yn) POLOVIM gx = (yg; (1) yg; (2) : : :  yg; (n) ) . dOKAZATX, ^TO \TO | LEWOE DEJSTWIE Sn NA X = Y n . dALEE, POLOVIM xg = (yg(1) yg(2)  : : : yg(n)) . pROWERITX, ^TO \TA FORMULA OPREDELQET PRAWOE DEJSTWIE Sn NA Y n . 3.3. dOPUSTIM, ^TO X | GRUPPA, A G | PODGRUPPA GRUPPY X . pOKAZATX, ^TO UMNOVENIE (W GRUPPE X ) \LEMENTOW G SLEWA NA \LEMENTY X OPREDELQET LEWOE DEJSTWIE G NA X . (w \TOM SLU^AE PRINQTO GOWORITX, ^TO G DEJSTWUET NA X LEWYMI SDWIGAMI.) aNALOGI^NO, UMNOVENIE \LEMENTOW G SPRAWA NA \LEMENTY X ZADAET PRAWOE DEJSTWIE G NA X | DEJSTWIE PRAWYMI SDWIGAMI. 3.2.

1

1

1

|LEMENTY x I gxg;1 PRINQTO NAZYWATX SOPRQVENNYMI. sOPRQVENNYMI BUDUT TAKVE \LEMENTY x I g;1xg = yxy;1  y = g;1 . pUSTX OPQTX G | PODGRUPPA GRUPPY X . dLQ g 2 G , x 2 X POLOVIM g x = gxg;1 . tEM SAMYM OPREDELENO OTOBRAVENIE G X ! X , (g x) 7! g x . pOKAZATX, ^TO \TO | LEWOE DEJSTWIE G NA X (GOWORQT, ^TO G DEJSTWUET SOPRQVENIQMI NA X ). aNALOGI^NO, MOVNO OPREDELITX PRAWOE DEJSTWIE (x g) 7! xg = g;1xg . 3.4.

44

wERNEMSQ NA NEKOTOROE WREMQ WNOWX K PROIZWOLXNOMU LEWOMU DEJSTWI@ G NA X . pUSTX x 2 X . oBOZNA^IM ^EREZ Gx MNOVESTWO WSEH \LEMENTOW WIDA gx , GDE g PROBEGAET WS@ GRUPPU G . |TO MNOVESTWO NAZYWAETSQ ORBITOJ DEJSTWIQ GRUPPY G NA MNOVESTWE X . |LEMENT x NAZYWAETSQ PREDSTAWITELEM ORBITY Gx . iZ OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO ORBITA POLNOSTX@ ZADAETSQ SWOIM PREDSTAWITELEM. w SLEDU@]EM UPRAVNENII SFORMULIROWANY OSNOWNYE SWOJSTWA ORBIT. 1) x 2 Gx  2) ESLI y 2 Gx , TO Gy = Gx (PREDSTAWITELEM ORBITY MOVET BYTX L@BOJ EE \LEMENT) 3) ESLI Gx I Gy | DWE ORBITY, TO LIBO Gx = Gy , LIBO Gx I Gy NE PERESEKA@TSQ 4) MNOVESTWO X MOVNO PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ ORBIT. 3.5.

rASSMOTRIM PROIZWOLXNU@ PODSTANOWKU 2 Sn , I PUSTX G = h i | CIKLI^ESKAQ PODGRUPPA GRUPPY Sn , POROVDENNAQ \LEMENTOM . pOLOVIM X = f1 2 : : : ng , I OPREDELIM OTOBRAVENIE G X ! X , POLAGAQ k i RAWNYM sk (i) , T.E. ZNA^ENI@ PODSTANOWKI (OTOBRAVENIQ) k NA ARGUMENTE i . dOKAVITE, ^TO \TO DEJSTWIE GRUPPY G NA MNOVESTWE 3.6.

X.

pUSTX = 1 : : : r | RAZLOVENIE PODSTANOWKI W PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW, I PUSTX Xj ESTX MNOVESTWO PEREME]AEMYH SIMWOLOW CIKLA j DLQ WSEH j = 1 : : : r . pUSTX fxi  : : :  xit g | MNOVESTWO NEPODWIVNYH SIMWOLOW (WOZMOVNO, PUSTOE). pOLOVIM Xr+1 = fxi g , Xr+2 = fxi g , : : : , Xr+t = fxit g . dOKAVITE, ^TO MNOVESTWA X1 , : : : , 1

1

2

45

Xr , Xr+1 , : : : , Xr+t QWLQ@TSQ ORBITAMI POSTROENNOGO TOLXKO ^TO DEJSTWIQ.

rASSMOTRIM PODROBNO SLU^AJ, KOGDA PODGRUPPA G DEJSTWUET SDWIGAMI NA GRUPPE X . oRBITY \TOGO DEJSTWIQ NAZYWA@TSQ SMEVNYMI KLASSAMI GRUPPY X PO PODGRUPPE G . eSLI G DEJSTWUET LEWYMI SDWIGAMI, TO SOOTWETSTWU@]IE SMEVNYE KLASSY NAZYWA@TSQ PRAWYMI SMEVNYMI KLASSAMI X PO G , A ESLI PRAWYMI SDWIGAMI | TO LEWYMI SMEVNYMI KLASSAMI. iTAK, PRAWYE SMEVNYE KLASSY IME@T WID Gx = fgxjg 2 Gg , A LEWYE | xG = fxgjg 2 Gg . dLQ SMEVNYH KLASSOW IME@T MESTO WSE SWOJSTWA ORBIT, SFORMULIROWANNYE W PREDYDU]EJ ZADA^E. pUSTX X | GRUPPA, A G | EE PODGRUPPA, x y 2 G , z w 2 X . 1) Gx = G ( xG = G ) TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI x 2 G  2) Gx = Gy ( xG = yG ) TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI xy;1 2 G ( SOOTWETSTWENNO, ESLI x;1y 2 G ). 3) oTOBRAVENIQ z 7! zx I w 7! wx;1 QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI BIEKCIQMI MEVDU G I Gx . w ^ASTNOSTI, RAWNY MO]NOSTI MNOVESTW G I Gx DLQ WSEH x . sFORMULIRUJTE I DOKAVITE ANALOGI^NYE UTWERVDENIQ DLQ LEWYH SMEVNYH KLASSOW. 4) pUSTX Gx1 Gx2 : : : | MNOVESTWO WSEH RAZLI^NYH (IMENNO RAZLI^NYH) PRAWYH SMEVNYH KLASSOW X PO G . tOGDA x;1 1 G x;2 2G : : : | MNOVESTWO WSEH RAZLI^NYH LEWYH SMEVNYH KLASSOW X PO G . w ^ASTNOSTI, MO]NOSTX MNOVESTWA WSEH RAZLI^NYH PRAWYH SMEVNYH KLASSOW X PO G RAWNA MO]NOSTI MNOVESTWA WSEH RAZLI^NYH LEWYH SMEVNYH KLASSOW. 3.7.

46

nAPOMNIM, ^TO MO]NOSTX jGj GRUPPY G NAZYWAETSQ PORQDKOM GRUPPY, A SMEVNYH KLASSOW GRUPPY G PO EE PODGRUPPE H (ONO ODINAKOWO I DLQ LEWYH, I DLQ PRAWYH KLASSOW) NAZYWAETSQ INDEKSOM GRUPPY G PO PODGRUPPE H , I OBOZNA^AETSQ ^EREZ jG : H j . iZ REZULXTATA PREDYDU]EJ ZADA^I LEGKO WYWODITSQ SLEDU@]AQ TEOREMA.

tEOREMA

3.1.

(lAGRANV) jGj = jG : H j jH j , ESLI GRUPPA G KONE^NA.

tAKIM OBRAZOM, PORQDOK GRUPPY DELITSQ NACELO NA PORQDOK L@BOJ EE PODGRUPPY. 3.8. pUSTX K I H | KONE^NYE PODGRUPPY GRUPPY G , PRI^EM nod(jK j jH j) = 1 . dOKAZATX, ^TO TOGDA K \ H = f1g . ~TOBY WY^ISLITX W QWNOM WIDE MNOVESTWO WSEH RAZLI^NYH SMEVNYH KLASSOW GRUPPY G PO PODGRUPPE H , ^ASTO BYWAET DOSTATO^NO NAJTI W KAVDOM KLASSE PO ODNOMU PREDSTAWITEL@. bUDEM GOWORITX OB \TOM MNOVESTWE KAK O POLNOJ SISTEME PREDSTAWITELEJ SMEVNYH KLASSOW (PRAWYH ILI LEWYH) G PO H , ILI (KRATKO) KAK O POLNOJ SISTEME PREDSTAWITELEJ G PO H . 3.9. dOKAZATX, ^TO MNOVESTWO K = fgi ji 2 I g \LEMENTOW GRUPPY G QWLQETSQ POLNOJ SISTEMOJ PREDSTAWITELEJ PRAWYH SMEVNYH KLASSOW G PO H TODA I TOLXKO TOGDA, ESLI WYPOLNQ@TSQ DWA USLOWIQ: 1) gigj;1 62 H DLQ L@BYH DWUH RAZLI^NYH gi gj 2 Z  2) DLQ KAVDOGO g 2 G SU]ESTWU@T \LEMENTY h 2 H I gi 2 Z TAKIE, ^TO g = hgi (\TO E]E MOVNO WYRAZITX W FORME G = HK . dOKAZATX, ^TO ESLI USLOWIQ 1) I 2) WYPOLNQ@TSQ, TO PREDSTAWLENIE \LEMENTA g 2 G W WIDE PROIZWEDENIQ g = hgi , GDE h 2 H , gi 2 K , QWLEETSQ EDINSTWENNO WOZMOVNYM. 47

sFORMULIROWATX I DOKAZATX ANALOGI^NOE UTWERVDENIE DLQ POLNOJ SISTEMY PREDSTAWITELEJ LEWYH SMEVNYH KLASSOW G PO H . iZ \TIH FAKTOW MOVNO SDELATX SLEDU@]IJ WYWOD. eSLI G | GRUPPA, H | EE PODGRUPPA, I K | POLNAQ SISTEMA PREDSTAWITELEJ PRAWYH SMEVNYH KLASSOW G PO H , TO SU]ESTWUET WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU G I PRQMYM PROIZWEDENIEM MNOVESTW H K . oNO USTANAWLIWAETSQ OTOBRAVENIEM g 7! (h gi) , GDE h 2 H I gi 2 K | \LEMENTY, SU]ESTWOWANIE KOTORYH UTWERVDAETSQ W PUNKTE 2) PREDYDU]EJ ZADA^I. oBRATNOE OTOBRAVENIE WYGLQDIT TAK: (h gj ) 7! hgj . tAKIM OBRAZOM, WYBOR POLNOJ SISTEMY PREDSTAWITELEJ K PRIWODIT K POQWLENI@ W GRUPPE G SWOEGO RODA \SISTEMY KOORDINAT": PODGRUPPA H IGRAET ROLX ODNOJ KOORDINATNOJ OSI, A DRUGAQ KOORDINATNAQ OSX | \TO MNOVESTWO K . oSOBYJ INTERES PREDSTAWLQ@T SLU^AI, KOGDA MOVNO WYBRATX TAKU@ POLNU@ SISTEMU PREDSTAWITELEJ, KOTORAQ SAMA QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G . pUSTX DANA GRUPPA G I DWE EE PODGRUPPY H I K . dOPUSTIM, ^TO WYPOLNENY DWA USLOWIQ: 1) H \ K = f1g  3.10.

2) G = HK . dOKAVITE, ^TO MNOVESTWO K QWLQETSQ POLNOJ SISTEMOJ PREDSTAWITELEJ PRAWYH SMEVNYH KLASSOW G PO H , A MNOVESTWO H | POLNOJ SISTEMOJ PREDSTAWITELEJ LEWYH SMEVNYH KLASSOW G PO K . kAK NADO IZMENITX FORMULIROWKU, ^TOBY POLU^ITX ANALOGI^NOE UTWERVDENIE DLQ SLU^AQ PRAWYH SMEVNYH KLASSOW? 48

dOKAVITE, ^TO RAWENSTWO G = HK RAWNOSILXNO RAWENSTWU G =

KH .

pUSTX DANA KONE^NAQ GRUPPA G I DWE EE PODGRUPPY H I K . dOPUSTIM, ^TO H \ K = f1g . dOKAZATX, ^TO TOGDA IZ jGj = jK j jH j SLEDUET G = HK = HK . 3.11.

w NEKOTORYH DALXNEJIH ZADA^AH RASSMATRIWAEMYE GRUPPY KOMMUTATIWNY (T.E. DLQ L@BYH \LEMENTOW a b WYPOLNENO RAWENSTWO ab = ba ). dLQ KOMMUTATIWNYH GRUPP PRAWYE SMEVNYE KLASSY SOWPADA@T S LEWYMI, T.E. Hx = xH DLQ WSEH x 2 G I L@BOJ PODGRUPPY H . oPREDELIM NEKOTORYE GRUPPY I IH PODGRUPPY, KOTORYE BUDUT WSTRE^ATXSQ DALEE W ZADA^AH \TOGO I SLEDU@]EGO RAZDELOW. wSE \TI GRUPPY KOMMUTATIWNY. pUSTX R | MNOVESTWO WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL, C | MNOVESTWO WSEH KOMPLEKSNYH ^ISEL. |TO POLQ I, SLEDOWATELXNO, GRUPPY PO SLOVENI@, NEJTRALXNYMI \LEMENTAMI KOTORYH QWLQ@TSQ NULI. ~EREZ R2 , KAK OBY^NO, OBOZNA^AETSQ MNOVESTWO PAR UPORQDO^ENNYH PAR (r1 r2) , GDE r1 r2 | DEJSTWITELXNYE ^ISLA. |TO WEKTORNOE (LINEJNOE) PROSTRANSTWO NAD POLEM R , KOTOROE IZOBRAVAETSQ OBY^NO KAK PLOSKOSTX. l@BOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO (A ZNA^IT, I R2 ) QWLQETSQ GRUPPOJ PO SLOVENI@. oBOZNA^IM ^EREZ R I C MNOVESTWA NENULEWYH \LEMENTOW W R I C . |TO GRUPPY PO UMNOVENI@, NEJTRALXNYE \LEMENTY W NIH | EDINICY. w R SODERVITSQ PODGRUPPA R+ WSEH POLOVITELXNYH DEJSTWITELXNYH ^ISEL. pOLOVIM U = fu 2 C j juj = 1 g (MNOVESTWO KOMPLEKSNYH ^ISEL, MODULX KOTORYH RAWEN EDINICE), Un = fu 2 C j un = 1 g (MNOVESTWO 49

KORNEJ n -J STEPENI IZ EDINICY), Kn = fz 2 C j z n 2 R+ g . (zAMETIM, ^TO OBOZNA^ENIE Kn , W OTLI^IE OT WSEH OSTALXNYH, NE QWLQETSQ OB]EUPOTREBITELXNYM.) dOKAZATX, ^TO U , Un , Kn | PODGRUPPY GRUPPY RAZITX NA PLOSKOSTI MNOVESTWA U , U2 , U3 , U4 . 3.12.

.

C

iZOB-

w SLEDU@]IH ZADA^AH VELATELXNO DATX I ANALITI^ESKOE, I GRAFI^ESKOE REENIE (W WIDE RISUNKA). nAJTI SMEVNYE KLASSY GRUPPY G = R2 PO PODGRUPPE H = f(r 0)j r 2 R g , I PO PODGRUPPE K = f(0 r)j r 2 R g . (nAJTI POLNYE SISTEMY PREDSTAWITELEJ SMEVNYH KLASSOW I OPISATX KLASSY CELIKOM KAK MNOVESTWA.) 3.13.

nAJTI SMEVNYE KLASSY GRUPPY G = C PO PODGRUPPE H = U , I PO PODGRUPPE K = R+ . (nAJTI POLNYE SISTEMY PREDSTAWITELEJ SMEVNYH KLASSOW I OPISATX KLASSY CELIKOM KAK MNOVESTWA.) 3.14.

lEGKO PROWERQETSQ, ^TO Un  Ukn , +i ;ig , Un  Kn , R+  Kn .

U2

= f+1 ;1g ,

U4

= f+1 ;1

nAJTI QWNYJ WID \LEMENTOW Kn . w ^ASTNOSTI, POKAZATX, ^TO  K2 = R . iZOBRAZITX GRAFI^ESKI K2 , K3 , K4 , K6 . 3.15.

rASSMOTRIM MNOVESTWO fz 2 C jz n 2 R g . dOKAZATX, ^TO \TO GRUPPA, I ^TO ONA SOWPADAET S K2n . 3.16.

pOLOVIM G = Kn , H = Un , K = R+ . nAJTI SMEVNYE KLASSY G PO H I G PO K . 3.17.

50

pUSTX G = U6 , H = U3 , K = U2 . nAJTI SMEVNYE KLASSY G PO H I G PO K . 3.18.

pUSTX G = U15 , H = U3 . nAJTI SMEVNYE KLASSY G PO H . (kARTINKU MOVNO NE RISOWATX.) w \TOJ ZADA^E UDOBNO OTWLE^XSQ OT KONKRETNOGO WIDA \LEMENTOW U15 , A WYBRATX KAKOJ-TO x | PERWOOBRAZNYJ KORENX IZ EDINICY 15-J STEPENI, I TOGDA WSE \LEMENTY U15 | \TO MNOVESTWO f1 x x2 x3 : : : x14g , A PODGRUPPA U3 SOSTOIT IZ \LEMENTOW f1 x5 x10g (DOKAVITE \TO!). tEPERX BUDET NETRUDNO WYPISATX WSE SMEVNYE KLASSY W QWNOM WIDE, I POLNU@ SISTEMU PREDSTAWITELEJ SMEVNYH KLASSOW. nELXZQ LI WYBRATX POLNOJ SISTEMOJ PREDSTAWITELEJ KAKU@-NIBUDX PODGRUPPU GRUPPY U15 ? 3.19.

3.20.

rEITX ANALOGI^NU@ ZADA^U DLQ G = U16 I H = U4 .

aNALOGI^NO PREDYDU]IM ZADA^AM, PUSTX x | PERWOOBRAZNYJ KORENX IZ EDINICY n -J STEPENI. tOGDA Un = f1 x x2 : : :  xn;1g . pUSTX n = mk . kAKIE STEPENI \LEMENTA x SOSTAWLQ@T PODGRUPPU Um GRUPPY Un ? nAJTI SMEVNYE KLASSY Umk PO Um QWNO, I KAKU@-NIBUDX POLNU@ SISTEMU PREDSTAWITELEJ DLQ \TIH SMEVNYH KLASSOW. kOGDA MOVNO WYBRATX W KA^ESTWE SISTEMY PREDSTAWITELEJ PODGRUPPU GRUPPY Umk ? 3.21.

nAPOMNIM, ^TO GRUPPA G , WSE \LEMENTY KOTOROJ MOVNO WYRAZITX W WIDE STEPENEJ ODNOGO \LEMENTA, NAZYWAETSQ CIKLI^ESKOJ, I ^TO WSE BESKONE^NYE CIKLI^ESKIE GRUPPY IZOMORFNY GRUPPE (PO SLOVENI@) WSEH CELYH ^ISEL Z , A L@BAQ KONE^NAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA PORQDKA n IZOMORFNA GRUPPE Un . tAKIM OBRAZOM, W PREDYDU]IH ZADA^AH FAKTI^ESKI BYL RAZOBRAN OB]IJ SLU^AJ KONE^NYH CIKLI^ESKIH GRUPP. rASSMOTRIM TEPERX NESKOLXKO ZADA^ S NEKOMMUTATIWNYMI GRUPPAMI. 51

rASSMOTRIM W GRUPPE S4 PODMNOVESTWO V4 = f1 (1 2)(3 4) , (1 3)(2 4) , (1 4)(2 3)g I PODMNOVESTWO K , SOSTOQ]E IZ WSEH PODSTANOWOK WIDA 0 1 3.22.

@ 1 2 3 4 A:

  4 dOKAZATX, ^TO V4 I H | PODGRUPPY, I ^TO H

= S3 . ~EMU RAWNO MNOVESTWO V4 \ H ? iSPOLXZUQ PREDYDU]U@ ZADA^U, NAJTI POLNU@ SISTEMU PREDSTAWITELEJ SMEVNYH KLASSOW (PRAWYH ILI LEWYH) S4 PO V4 . nAJTI W QWNOM WIDE I PRAWYE, I LEWYE SMEVNYE KLASSY S4 PO V4 . zAMETIM, ^TO W STARYH KNIGAH PODGRUPPU V4 INOGDA NAZYWA@T \^ETWERNOJ GRUPPOJ kLEJNA". rASSMOTRIM MATRICY

0 2 cos B a = BB@ 2n

; sin 2n sin n cos 2n

1 CC CA 

0 1 0 1 CC b = BB@ A:

1 0

gRUPPA Dn , POROVDENNAQ \TIMI DWUMQ MATRICAMI, NAZYWAETSQ GRUPPOJ DI\DRA n -J STEPENI, I SOSTOIT IZ 2n \LEMENTOW: 1 a a2 : : : an;1 b ab a2b : : : an;1b:

zDESX EDINICA OZNA^AET EDINI^NU@ MATRICU. pRI \TOM WYPOLNQ@TSQ SOOTNOENIQ: an = b2 = 1 , ba = an;1b . pOSLEDNEE SOOTNOENIE, WWIDU RAWENSTWA a;1 = an;1 , RAWNOSILXNO SOOTNOENI@ (ab)2 = 1 . pODROBNOE OBOSNOWANIE TOGO, ^TO GRUPPA Dn USTROENA IMENNO TAKIM OBRAZOM, MOVNO NAJTI W KNIGE 24] NA S. 319 { 320. rASSMOTRIM W Dn PODMNOVESTWO H = f1 bg . dOKAZATX, ^TO \TO PODGRUPPA, I NAJTI W QWNOM WIDE LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY 3.23.

52

Dn PO H . sU]ESTWUET LI PODGRUPPA K SO SWOJSTWAMI H \ K = f1g I HK = Dn ?

lEMMA

pUSTX H | PODGRUPPA GRUPPY G . tOGDA \KWIWALENTNY SLEDU@]IE TRI USLOWIQ: 1) xH = Hx DLQ KAVDOGO x 2 G  3.1.

2) xHx;1 = H DLQ L@BOGO x 2 G  3) xHx;1  H DLQ L@BOGO x 2 G .

dOKAZATELXSTWO zDESX ISPOLXZU@TSQ SWOJSTWA UMNOVENIQ PODMNO.

VESTW GRUPPY, OPISANNYE W PRIMERE 1.5. w ^ASTNOSTI, ISPOLXZUETSQ ASSOCIATIWNOSTX \TOGO UMNOVENIQ. dOPUSTIM, ^TO xH = Hx DLQ KAVDOGO x 2 G . uMNOVIM OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA SPRAWA NA x;1 , I POLU^IM RAWENSTWO xHx;1 = H . o^EWIDNO, ^TO IZ USLOWIQ 2) SLEDUET USLOWIE 3). pOKAVEM, ^TO IZ 3) SLEDUET 2). zDESX NEOBHODIMO UBEDITXSQ, ^TO ESLI xHx;1  H DLQ WSEH x , TO H  xHx;1 . zDESX KL@^EWU@ ROLX IGRAET USLOWIE \DLQ WSEH x ". \dLQ WSEH x 2 G " OZNA^AET, ^TO W TOM ^ISLE I DLQ x;1 . zAMENQQ x NA x;1 , POLU^AEM, ^TO IZ 3) SLEDUET x;1H (x;1);1 = x;1Hx  H . uMNOVAQ SLEWA NA x , A SPRAWA NA x;1 , POLU^IM TREBUEMOE WKL@^ENIE H  xHx;1 . oSTALOSX POKAZATX, ^TO IZ USLOWIQ 2) SLEDUET USLOWIE 1). i SNOWA BEREM RAWENSTWO xHx;1 = H , I UMNOVAEM EGO SPRAWA NA x . pOLU^IM TREBUEMOE RAWENSTWO xH = Hx . 2 pODGRUPPA H GRUPPY G NAZYWAETSQ NORMALXNOJ, ESLI WYPOLNQETSQ L@BOE IZ \KWIWALENTNYH USLOWIJ 1), 2), 3) \TOJ LEMMY. l@BAQ PODGRUPPA KOMMUTATIWNOJ GRUPPY QWLQETSQ NORMALXNOJ PODGRUPPOJ. 53

dOKAZATX, ^TO ESLI PODGRUPPA H GRUPPY G QWLQETSQ NORMALXNOJ, x y 2 G , I xy 2 H , TO I yx 2 H: 3.24.

dOKAZATX, ^TO PODGRUPPA V4 GRUPPY S4 QWLQETSQ NORMALXNOJ, A PODGRUPPA H (IZ TOJ VE ZADA^I, GDE BYLA WWEDENA V4 ) NORMALXNOJ NE QWLQETSQ. 3.25.

dOKAZATX, ^TO KAVDAQ PODGRUPPA H GRUPPY G TAKAQ, ^TO jG : H j = 2 , QWLQETSQ NORMALXNOJ. dOKAZATX, ^TO DLQ WSEH n IMEET MESTO RAWENSTWO jSn : Anj = 2 , TAK ^TO WSE ZNAKOPEREMENNYE PODGRUPPY NORMALXNY. 3.26.

dOKAZATX, ^TO ESLI H | NORMALXNAQ PODGRUPPA GRUPPY G , A K | PROIZWOLXNAQ PODGRUPPA, TO HK = KH , I \TO MNOVESTWO QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G . 3.27.

dOKAZATX, ^TO ESLI H I K | NORMALXNYE PODGRUPPY GRUPPY G , I K \ H = f1g , TO xy = yx DLQ L@BYH x 2 K I y 2 H . 3.28.

dOKAZATX, ^TO ESLI H I K | NORMALXNYE PODGRUPPY GRUPPY G , TO NORMALXNYMI PODGRUPPAMI BUDUT TAKVE H \K I HK . dOKAZATX, ^TO PERESE^ENIE PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA NORMALXNYH PODGRUPP TAKVE BUDET NORMALXNOJ PODGRUPPOJ. 3.29.

dOKAZATX, ^TO UNITREUGOLXNAQ GRUPPA UTn(F ) QWLQETSQ NORMALXNOJ PODGRUPPOJ TREUGOLXNOJ GRUPPY Tn(F ) (OPREDELENIQ \TIH GRUPP SM. W RAZDELE 1). 3.30.

dOKAZATX, ^TO GRUPPY UTnm(F ) QWLQ@TSQ NORMALXNYMI PODGRUPPAMI TREUGOLXNOJ GRUPPY Tn(F ) (OPREDELENIQ \TIH GRUPP SM. W RAZDELE 1). 3.31.

54

w PROIZWOLXNOJ GRUPPE G RASSMOTRIM MNOVESTWO C (G) = fx 2 G j xg = gx DLQ WSEH g 2 G g . dOKAZATX, ^TO C (G) | NORMALXNAQ PODGRUPPA GRUPPY G . 3.32.

pODGRUPPA C (G) NAZYWAETSQ CENTROM GRUPPY G . gRUPPA G KOMMUTATIWNA TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI C (G) = G . 3.33.

dOKAZATX, ^TO C (Sn) = f1g .

rASSMOTRIM GRUPPU GLn(F ) WSEH KWADRATNYH NEWYROVDENNYH n n -MATRIC NAD POLEM F . dOKAZATX, ^TO CENTR GLn(F ) SOSTOIT IZ WSEH SKALQRNYH NEWYROVDENNYH MATRIC, T.E. IZ MATRIC, WSE DIAGONALXNYE KOMPONENTY KOTORYH RAWNY ODNOMU I TOMU VE NENULEWOMU \LEMENTU F , A NEDIAGONALXNYE KOMPONENTY RAWNY NUL@. 3.34.

rASSMOTRIM GRUPPU Q8 (NAZYWAEMU@ GRUPPOJ KWATERNIONOW), SOSTOQ]U@ IZ \LEMENTOW 1 a a2 a3 b ab a2b a3b . pRI \TOM DOLVNY BYTX WYPOLNENY SOOTNOENIQ: a4 = 1 , a2 = b2 , ba = a2b . pOKAZATX, ^TO CENTR Q8 SOSTOIT IZ \LEMENTOW 1 I a2 = b2 . 3.35.

rASSMOTRIM PROIZWOLXNU@ GRUPPU G , I EE PODMNOVESTWO X . pOLOVIM X = fgxg;1jx 2 X g 2 Gg , I RASSMOTRIM PODGRUPPU hX i , POROVDENNU@ MNOVESTWOM X . 3.36.

dOKAZATX, ^TO hX i | NORMALXNAQ PODGRUPPA GRUPPY G . 55

dOKAZATX, ^TO ESLI H | KAKAQ-NIBUDX PODGRUPPA GRUPPY G , I X  H , TO hX i  H . wYWESTI OTS@DA, ^TO hX i QWLQETSQ PERESE^ENIEM WSEH NORMALXNYH PODGRUPP GRUPPY G , SODERVA]IH PODMNOVESTWO X . 3.37.

bUDEM NAZYWATX hX i NORMALXNOJ PODGRUPPOJ GRUPPY G , POROVDENNOJ MNOVESTWOM X . rASSMOTRIM PODROBNEE NORMALXNU@ PODGRUPPU GRUPPY G , POROVDENNU@ WSEMI KOMMUTATORAMI, TO ESTX \LEMENTAMI x y] = xyx;1 y;1 . |TA NORMALXNAQ PODGRUPPA OBOZNA^AETSQ ^EREZ G G] , I NAZYWAETSQ KOMMUTANTOM GRUPPY G . tAK KAK x y] = 1 TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI xy = yx , TO W KOMMUTATIWNYH GRUPPAH KOMMUTANT TRIWIALEN: \TO PODGRUPPA, SOSTOQ]AQ IZ ODNOGO EDINI^NOGO (NEJTRALXNOGO) \LEMENTA. dOKAZATX, ^TO PODGRUPPA, POROVDENNAQ WSEMI KOMMUTATORAMI, SOWPADAET S NORMALXNOJ PODGRUPPOJ, POROVENNOJ WSEMI KOMMUTATORAMI, T.E. S KOMMUTANTOM. uKAZANIE. pROWERITX TOVDESTWO gx y]g;1 = gxg;1 gyg;1] , I ISPOLXZOWATX EGO. ;1 = y x] . dOKAZATX, ISPOLXZUQ EGO, 3.39. pROWERITX TOVDESTWO x y ] ^TO \LEMENTY KOMMUTANTA | \TO WSEWOZMOVNYE PROIZWEDENIQ KOMMUTATOROW: x1 y1]x2 y2] : : : xn yn] n  0: 3.40. pROWERITX, ^TO S2 S2] = 1 , A3 A3] = 1 . 3.41. dOKAZATX, ^TO Sn  Sn] = An DLQ WSEH n . 3.42. dOKAZATX, ^TO A4  A4] = V4 . nAPOMNIM, ^TO V4 = f1 (1 2)(3 4) (1 3)(2 4) (1 4)(2 3)g 3.38.

56

3.43.

dOKAZATX, ^TO PRI n  5 IMEET MESTO RAWENSTWO An An] = An .

3.44.

pUSTX F ESTX ODNO IZ POLEJ Q R C . dOKAZATX, ^TO GLn(F ) GLn(F )] = SLn(F )

DLQ WSEH n  1 . 3.45.

pUSTX F ESTX ODNO IZ POLEJ Q R C . dOKAZATX, ^TO SLn(F ) SLn(F )] = SLn(F )

DLQ WSEH n  1 . pUSTX SNOWA F ESTX ODNO IZ POLEJ Tn(F ) Tn(F )] = UTn(F ) DLQ WSEH n  1 . 3.46.

  . dOKAZATX, ^TO

Q R C

pRI TEH VE PREDPOLOVENIQH OTNOSITELXNO POLQ F DOKAZATX, ^TO UTnr(F ) UTns (F )] = UTnr+s (F ) DLQ WSEH n m r s . 3.47.

3.48.

nAJTI KOMMUTANT GRUPPY KWATERNIONOW Q8 .

rASSMOTRIM DALEE PODROBNO DEJSTWIE GRUPPY G NA SAMOJ SEBE SOPRQVENIQMI. oRBITA \LEMENTA x W \TOM SLU^AE ESTX MNOVESTWO fgxg;1 j g 2 G . |TI ORBITY NAZYWA@TSQ KLASSAMI SOPRQVENNYH \LEMENTOW GRUPPY G . kAK SLEDUET IZ OB]IH SWOJSTW ORBIT, L@BYE DWA KLASS SOPRQVENNYH \LEMENTOW LIBO NE PERESEKA@TSQ, LIBO SOWPADA@T. eSLI G KONE^NA, TO IZWESTNO, ^TO KOLI^ESTWO \LEMENTOW W KAVDOM KLASSE SOPRQVENNYH \LEMENTOW DELIT PORQDOK GRUPPY (\TO BUDET DOKAZANO W RAZDELE 5). eSLI GRUPPA KOMMUTATIWNA, TO KAVDYJ KLASS SOPRQVENNYH \LEMENTOW SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA. kAK UVE FAKTI^ESKI IZWESTNO (SM. RAZDEL 2), W GRUPPAH Sn KLASSAMI SOPRQVENNYH \LEMENTOW QWLQ@TSQ MNOVESTWA PODSTANOWOK, IME@]IH ODINAKOWOE CIKLI^ESKOE STROENIE. nA PERWOM 57

KURSE DOKAZYWAETSQ, ^TO W GRUPPE GLn(C) DWE MATRICY A I B PRINADLEVAT ODNOMU KLASSU SOPRQVENNYH \LEMENTOW (T.E. B = XAX ;1 ) TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI A I B IME@T ODNU I TU VE VORDANOWU NORMALXNU@ FORMU (ODIN I TOT VE NABOR VORDANAOWYH KLETOK). iZ \TIH PRIMEROW WIDNO, ^TO KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW GRUPPY SODERVAT \LEMENTY, OBLADA@]IE NEKOTORYMI OB]IMI SWOJSTWAMI. dOKAZATX, ^TO PODGRUPPA H GRUPPY G NORMALXNA TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI QWLQETSQ OB_EDINENIEM NESKOLXKIH KLASSOW SOPRQVENNYH \LEMENTOW. eSLI H SOSTOIT IZ BOLEE ^EM ODNOGO \LEMENTA, TO W \TOM OB_EDINENII NE MENEE DWUH KLASSOW (PO^EMU?). 3.49.

dOKAZATX, ^TO CENTR C (G) GRUPPY G QWLQETSQ OB_EDINENIEM WSEH TEH KLASSOW SOPRQVENNYH \LEMENTOW, KOTORYE SOSTOQT W TO^NOSTI IZ ODNOGO \LEMENTA. 3.50.

nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW GRUPPY KWATERNIONOW Q8 . 3.51.

uSTANOWITX SLEDU@]IE SOOTNOENIQ MEVDU \LEMENTAMI GRUPPY DI\DRA Dn : 3.52.

(ak b)ar(ak b);1 = a;r = an;r bar = an;rb (akb)b(ak b);1 = a2kb (ak b)ab(akb);1 = a2k;1b:

dOKAZATX, ^TO PRI n = 2m KLASSAMI SOPRQVENNYH \LEMENTOW Dn QWLQ@TSQ MNOVESTWA: f1g famg fak a2m;k g 1  k  m ; 1 fb a2b a4b : : : a2m;2bg fab a3b a5b : : : a2m;1bg: 3.53.

58

dOKAZATX, ^TO PRI n = 2m + 1 KLASSAMI SOPRQVENNYH \LEMENTOW Dn QWLQ@TSQ MNOVESTWA: f1g fak  a2m+1;k g 1  k  m fb ab a2b a3b a4b : : : a2m;1b a2mbg: 3.54.

oTS@DA, W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO CENTR D2m | \TO PODGRUPPA f1 amg , A CENTR D2m+1 SOSTOIT TOLXKO IZ EDINICY. 3.55.

f1 amg . 3.56.

nAJTI QWNO SMEVNYE KLASSY GRUPPY D2m PO EE CENTRU H =

wY^ISLITX KOMMUTANT Dn Dn] GRUPPY DI\DRA.

nAPOMNIM, ^TO PORQDOK \LEMENTA g GRUPPY G | \TO NAIMENXEE CELOE POLOVITELXNOE ^ISLO n , TAKOE, ^TO xn = 1 . eSLI TAKOGO n > 0 NAJTI NELXZQ, TO GOWORQT, ^TO PORQDOK g BESKONE^EN. pORQDOK NEJTRALXNOGO \LEMENTA GRUPPY RAWEN EDINICE. w KONE^NOJ GRUPPE PORQDKI WSEH \LEMENTOW KONE^NY. w DALXNEJEM RASSMATRIWA@TSQ TOLXKO \LEMENTY KONE^NOGO PORQDKA. nAZWANIE \PORQDOK" SOGLASUETSQ S TEM, ^TO ^ISLO n RAWNO PORQDKU PODGRUPPY hgi , POROVDENNOJ \LEMENTOM g : hgi = f1 g g2 : : : gn;1g .

lEMMA

PORQDOK g , I gm = 1 , TO m DELITSQ NA n BEZ OSTATKA. eSLI gk = gl , TO k ; l DELITSQ NA n . 3.2.

1) eSLI n

|

2) eSLI \LEMENT g IMEET BESKONE^NYJ PORQDOK, TO IZ gk = gl SLEDUET k = l . 59

iZ TEOREMY lAGRANVA SLEDUET PROSTOE, NO WAVNOE UTWERVDENIE:

tEOREMA

w KONE^NOJ GRUPPE G PORQDOK L@BOGO \LEMENTA DELIT PORQDOK GRUPPY. w ^ASTNOSTI, DLQ KAVDOGO g 2 G IMEET MESTO RAWENSTWO gjGj = 1 . 3.2.

3.57.

dOKAZATX, ^TO ESLI PORQDOK g 2 G RAWEN mk , TO PORQDOK gk

3.58.

w OB]EM SLU^AE, ESLI PORQDOK g RAWEN n , TO PORQDOK gk RAWEN

RAWEN m .

n nod(n k) .

pUSTX x y | \LEMENTY GRUPPY G TAKIE, ^TO xy = yx , I PUSTX n | PORQDOK x , A m | PORQDOK y . dOKAZATX, ^TO ESLI n I m WZAIMNO PROSTY (T.E. nod(n m) = 1 ), TO PORQDOK \LEMENTA xy RAWEN nm . 3.59.

3.60.

xgx;1 .

pOKAZATX, ^TO PORQDOK \LEMENTA g RAWEN PORQDKU \LEMENTA

3.61.

pOKAZATX, ^TO PORQDOK xy RAWEN PORQDKU yx .

3.62.

pOKAZATX, ^TO ODIN I TOT VE PORQDOK IME@T \LEMENTY xyz ,

zxy I yzx .

dOKAZATX, ^TO ESLI PORQDOK KAVDOGO NEEDINI^NOGO \LEMENTA GRUPPY RAWEN DWUM, TO GRUPPA KOMMUTATIWNA. 3.63.

3.64.

~EMU RAWNY PORQDKI \LEMENTOW ak b W GRUPPE DI\DRA Dn ? 60

dOKAZATX, ^TO GRUPPY Q8 I D4 NE IZOMORFNY. (nA PERWYJ WZGLQD, \TA ZADA^A NIKAK NE SWQZANA S TEMOJ PORQDKOW. oDNAKO NAIBOLEE PROSTOE REENIE OSNOWANO NA TOM, ^TO U IZOMORFNYH GRUPP DOLVNO BYTX ODINAKOWOE KOLI^ESTWO \LEMENTOW ODNIH I TEH VE PORQDKOW. oSTAETSQ PODS^ITATX KOLI^ESTWO \LEMENTOW PORQDKA 2 W GRUPPAH Q8 I D4 , I SDELATX WYWODY.) 3.66. eSLI G | NEKOMMUTATIWNAQ GRUPPA IZ 6 \LEMENTOW, TO G

= S3 . ( uKAZANIE: RASMOTRETX W G \LEMENTY PORQDKOW 2 I 3. pO^EMU OBQZATELXNO DOLVNY SU]ESTWOWATX \LEMENTY TAKIH PORQDKOW? kAKIE SOOTNOENIQ MEVDU NIMI OBQZATELXNO DOLVNY WYPOLNQTXSQ?) 3.67. pUSTX DLQ 2 Sn IZWESTNO RAZLOVENIE W PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW = 1 2 : : : m , I PUSTX DLQ WSEH i , 1  m DLINA CIKLA i RAWNA ki . dOKAZATX, ^TO PORQDOK RAWEN NAIMENXEMU OB]EMU KRATNOMU ^ISEL k1 : : : km . 3.65.

w SLEDU@]EJ SERII ZADANIJ DANY GRUPPY IZ 16 \LEMENTOW, UKAZANY POROVDA@]IE IH \LEMENTY, I WYPISANO QWNOE ZADANIE WSEH OSTALXNYH \LEMENTOW W WIDE PROIZWEDENIJ POROVDA@]IH \LEMENTOW. uKAZANY TAKVE SOOTNOENIQ MEVDU POROVDA@]IMI \LEMENTAMI, S POMO]X@ KOTORYH MOVNO WY^ISLITX PROIZWEDENIQ I OBRATNYE \LEMENTY DLQ WSEH \LEMENTOW GRUPPY. 3.68.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 T ST S 2T S 3T S 4T S 5T S 6T S 7T

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S 8 = T 2 = 1 TS = S 3T: 61

1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = ST . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.69.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 T ST S 2T S 3T S 4T S 5T S 6T S 7T

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S 8 = T 2 = 1 TS = S 5T: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = S 2T 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.70.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 S S 2 S 3 T T 2 T 3 TS TS 2 TS 3 T 2S T 2S 2 T 2S 3 T 3S T 3S 2 T 3S 3

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S 4 = T 4 = 1 ST = TS 3: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = TS . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 62

3.71.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 R R2  R3 S S 2 S 3 SR SR2  SR3  S 2R S 2R2  S 2R3 S 3R S 3R2  S 3R3 

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: R4 = S 4 = 1 RS = S 3R3  R3S = S 3R: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = SR2 . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.72.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI 1 R S T RS RT TR SR ST TS A A2 A3 B C D

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: R2 = S 2 = T 2 = 1 RST = TRS = STR (RST )4 = 1 TRT = SRS RTR = STS TST = RSR A = RST B = TRT C = RTR D = TST: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = RS . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . uKAZANIE: DOKAZATX PREDWARITELXNO, ^TO AR = RA , AS = SA , AT = TA . 3.73.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 T ST S 2T S 3T S 4T S 5T S 6T S 7T 63

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S 8 = T 4 = 1 S 4 = T 2 TS = S 7T ST = TS 7: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = ST . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.74.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 X SX S 2X S 3X S 4X S 5X S 6X S 7X KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S 8 = X 4 = 1 S 4 = X 2 XS = S 3X: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA Y = S 2X . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hY i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.75.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 X SX S 2X S 3X S 4X S 5X S 6X = X 3 S 7X KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM:

S 8 = X 8 = 1 X 2 = S 6 X 4 = S 4 X 6 = S 2 XS = S 5X: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA Y = SX . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hY i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 64

3.76.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 X Y Z XY XZ Y Z (Y Z )2 (Y Z )3 Y ZY ZY Z XY Z XZY XY ZY XZY Z X (Y Z )2 KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM:

X 2 = Y 2 = Z 2 = 1 XY = Y X XZ = ZX ZY = (Y Z )3: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA S = Y Z . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hS i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.77.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 R SR S 2R S 3R S 4 R S 5R S 6 R S 7R

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S 8 = R4 = 1 S 4 = R2 RS 2 = S 2R3  RS 3 = S 5R: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = RS 2 . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.78.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 R S T R2 R3 S 3 S 3 RS SR TR TS TR2  TRS TR3  TS 3 TSR

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: R4 = T 2 = 1 R2 = S 2 = (RS )2  RT = TR TS = ST: 65

1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = TSR . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.79.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 A B A2 A3 A4 A5 A6 A7 B AB A2B A3B A4B A5B A6B A7B

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: A8 = B 2 = 1 BA7 = A5B: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = A5B . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.80.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 P Q P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 Q PQ P 2 Q P 3Q P 4Q P 5 Q P 6Q P 7Q

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: P 8 = Q2 = 1 QP 7 = P 3Q: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = P 6 Q . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 66

3.81.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 U U 2 U 3 V V 2 V 3 V U V U 2 V U 3 V 2U V 3U V 3U 2 V 2U 2 V 2U 3 V 3U 3

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: U 4 = V 4 = 1 U 3V 3 = V 3U: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = V 3U 3 . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.82.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 X X 2 X 3 Y Y 2 Y 3 XY XY 2 XY 3 X 2Y X 2Y 2 X 2Y 3 X 3Y X 3Y 2 X 3Y 3

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: X 4 = Y 4 = 1 X ;1 = Y XY Y = XY ;1X: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA Z = XY 2 . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hZ i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.83.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 X Y Z XY XZ ZX Y X Y Z ZY XY Z (XY Z )2 (XY Z )3  XY X XZX Y XY KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: X 2 = Y 2 = Z 2 = 1 XY = Z (XY )Z ZX = Y (ZX )Y ZY = X (ZY )X XY X = ZY Z XZX = Y ZY Y XY = ZXZ: 67

1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA R = XZ . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hRi . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . uKAZANIE. pUSTX W = XY Z . pOKAZATX, ^TO W 4 = 1 , I ^TO XW = WX , Y W = WY , ZW = WZ . 3.84.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 X Y X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 Y XY X 2Y X 3Y X 4Y X 5Y X 6Y X 7Y

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: X 8 = 1 X 4 = Y 2 Y XY ;1 = X ;1 XY X = Y: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA Z = XY . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hZ i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.85.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 U U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 V V 3 UV U 2V UV 3 U 2V 3U 3V U 3V 3

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: U 8 = 1 V 2 = U 4 V U 3V ;1 = U: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = U 2V . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 68

3.86.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 C C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 Y CY C 2Y C 3Y C 4Y C 5Y C 6Y C 7Y

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: C 8 = Y 8 Y 2 = C 6 Y 4 = C 4 Y 6 = C 2 Y CY = C 3: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = CY . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.87.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 A B C AB AC BC (BC )2 (BC )3 BCB CBC ABC ACB ABCB ACBC A(BC )2 KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM:

A2 = B 2 = C 2 = (BC )4 = 1 AB = BA AC = CA: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = ABC . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.88.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 X X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 Y XY X 2Y X 3Y X 4Y X 5Y X 6Y X 7Y

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: Y 4 = 1 Y 2 = X 4 Y X 2 = X 6Y Y X = X 7Y: 69

1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA Z = X 2Y 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hZ i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.89.

dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI

1 X X 2 X 3 Y Y 3 Z XY Y X ZX ZY ZX 2 ZXY ZX 3 ZY 3 ZY X

KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: X 2 = Y 2 = (XY )2 Z 2 = (XY )4 = 1 ZXZ ;1 = X ZY Z ;1 = Y: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA W = ZY X . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hW i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] .

4.

fAKTORGRUPPY I PRQMYE PROIZWEDENIQ

pUSTX G I W | GRUPPY. nAPOMNIM, ^TO OTOBRAVENIE h : G ;! W NAZYWAETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP, ESLI WYPOLNENY DWA USLOWIQ: A) h(g1g2) = h(g1)h(g2) DLQ L@BYH g1 g2 2 G I B) h(1) = 1 (NEJTRALXNYJ \LEMENT GRUPPY G OTOBRAVAETSQ W NEJTRALXNYJ \LEMENT GRUPPY W ). iZ \TIH USLOWIJ WYTEKAET, ^TO h(g;1) = (h(g));1 . eSLI GRUPPOWYE OPERACII W GRUPPAH G I W ZAPISYWA@TSQ S POMO]X@ ZNAKA \ + ", A NEJTRALXNYE \LEMENTY OBOZNA^A@TSQ KAK NULI, 70

TO SWOJSTWA GOMOMORFIZMA WYGLQDQT TAK: h(g1 + g2) = h(g1) + h(g2 ) , h(0) = 0 , h(;g) = ;h(g) . nO WOZMOVNY SITUACII, KOGDA W ODNOJ IZ GRUPP, NAPRIMER, W G , GRUPPOWAQ OPERACIQ ZAPISYWAETSQ MULXTIPLIKATIWNO (KAK UMNOVENIE), A W DRUGOJ, T.E. W W | ADDITIWNO (W WIDE SLOVENIQ). tOGDA h QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM, ESLI h(g1 + g2) = h(g1)h(g2 ) , h(0) = 1 , h(;g) = (h(g));1 . eSLI, NAOBOROT, ADDITIWNO ZAPISYWAETSQ OPERACIQ W W , A MULXTIPLIKATIWNO | W G , TO OTOBRAVENIE h QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP PRI USLOWIII, ^TO h(g1g2) = h(g1) + h(g2) , h(1) = 0 , h(g;1 ) = ;h(g) . pRIMERY GRUPP I OTOBRAVENIJ WSEH \TIH RAZNOWIDNOSTEJ OBNARUVIWA@TSQ BEZ TRUDA. wOT NEKOTORYE IZ NIH.

pRIMER

G = W = C , h(z ) = z n DLQ FIKSIROWANNOGO CELOGO NENULEWOGO n . sWOJSTWO (z1z2)n = z1nz2n OZNA^AET, ^TO h(z1z2) = h(z1)h(z2 ) , A 1n = 1 OZNA^AET, ^TO h(1) = 1 . tOJ VE FORMULOJ MOVNO ZADATX GOMOMORFIZMY MEVDU DRUGIMI GRUPPAMI. nAPRIMER, ESLI G = R , W = R+ , A n = 2k , TO POLU^AEM OTOBRAVENIE h : R ;! R+ TAKOE, ^TO h(r) = r2k . oNO BUDET GOMOMORFIZMOM GRUPP.

pRIMER

4.1.

pUSTX G W | WEKTORNYE (LINEJNYE) PROSTRANSTWA. |TO | GRUPPY OTNOSITELXNO OPERACII SLOVENIQ. l@BOE LINEJNOE OTOBRAVENIE h : G ;! W QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM \TIH GRUPP, TAK KAK PO OPREDELENI@ LINEJNOGO OTOBRAVENIQ h(g1 + g2) = h(g1) + h(g2 ) , h(0) = 0 , h(;g) = ;h(g) . kOGDA RE^X IDET O GRUPPAH, TO UMNOVENIQ NA SKALQRY (\LEMENTY POLQ) NE RASSMATRIWA@TSQ.

pRIMER

4.2.

pUSTX F | L@BOE POLE (ILI KOMMUTATIWNOE KOLXCO), GLn(F ) | GRUPPA NEWYROVDENNYH n n -MATRIC NAD F , F  | GRUP4.3.

71

PA (PO UMNOVENI@) WSEH OBRATIMYH \LEMENTOW F . eSLI F | POLE, TO \TO PROSTO WSE NENULEWYE \LEMENTY F . eSLI VE, NAPRIMER, F = Z , TO F  = f+1 ;1g . dLQ MATRICY A 2 GLn(F ) OBOZNA^IM ^EREZ det(A) EE OPREDELITELX. |TO | \LEMENT MNOVESTWA F  (PO^EMU?). oTOBRAVENIE det : GLn(F ) ;! F  QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP, TAK KAK, SOGLASNO IZWESTNYM SWOJSTWAM OPREDELITELQ, det(AB ) = det(A)det(B ) I det(En) = 1 (NAPOMNIM, ^TO En | \TO EDINI^NAQ n n -MATRICA).

pRIMER

pUSTX R | GRUPPA (OTNOSITELXNO OPERACII SLOVENIQ) WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL, a | NEKOTOROE FIKSIROWANNOE POLOVITELXNOE ^ISLO. oPREDELIM OTOBRAVENIE h : R ;! R+ PO FORMULE h(x) = ax . iZ SWOJSTW FUNKCII ax SLEDUET, ^TO h(x1 + x2 ) = h(x1 )h(x2 ) I h(0) = 1 .

pRIMER

4.4.

rASSMOTRIM OTOBRAVENIE h : R+ ;! R , OPREDELENNOE FORMULOJ h(x) = loga x , GDE a | FIKSIROWANNOE POLOVITELXNOE ^ISLO. iZ SWOJSTW LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII SLEDUET, ^TO h(x1 x2) = h(x1) + 4.5.

h(x2 ) , h(1) = 0 .

pRIMER

rASSMOTRIM ZAPISX KOMPLEKSNYH ^ISEL W FORME z = jz jei' , GDE jz j | MODULX KOMPLEKSNOGO ^ISLA, A ei' = cos ' + i sin ' . iZ SWOJSTW MODULQ jz1z2j = jz1j jz2j I j1j = 1 SLEDUET, ^TO FORMULA h(z ) = jz j OPREDELQET GOMOMORFIZM IZ GRUPPY C W GRUPPU R+ .

pRIMER

4.6.

wERNEMSQ K FORMULE z = jz jei' , ' = arg z . zAMETIM, ^TO MODULX ei' RAWEN EDINICE. fORMULA h(z ) = ei' = jzz j OPREDELQET GOMOMORFIZM IZ C W U = fz 2 C j jz j = 1g . zDESX h(z1z2) = h(z1)h(z2 ) I h(1) = 1 . 4.7.

oTMETIM E]E WAVNOE DLQ REENIQ MNOGIH ZADA^ \TOGO RAZDELA SWOJ72

STWO: ESLI DANY DWA GOMOMORFIZMA GRUPP h : G1 ;! G2 I f : G2 ;! G3 , TO IH SUPERPOZICIQ fh QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM IZ GRUPPY G1 W GRUPPU G3 . nAPRIMER, OTOBRAVENIE A 7! (det(A))m ( m FIKSIROWANO) ESTX SUPERPOZICIQ GOMOMORFIZMA det : GLn(F ) ;! F  I GOMOMORFIZMA IZ F  W F  , PEREWODQ]EGO x W xm . qDRO GOMOMORFIZMA GRUPP h : G ;! W OPREDELQETSQ KAK PODMNOVESTWO Ker(h) = f g 2 G j h(g) = 1 g . eSLI GRUPPOWAQ OPERACIQ W W OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM \ + ", A NEJTRALXNYJ \LEMENT ZAPISYWAETSQ W WIDE NULQ, OPREDELENIE QDRA DOLVNO IMETX SLEDU@]IJ WID: Ker(h) = f g 2 G j h(g) = 0 g . w SLU^AE INYH OBOZNA^ENIJ SLEDUET WNOSITX SOOTWETSTWU@]IE KORREKCII, OTNOSQ]IESQ, WPRO^EM, NE K SUTI DELA, A TOLXKO K SPOSOBU ZAPISI. nAPOMNIM, ^TO NORMALXNOJ NAZYWAETSQ PODGRUPPA H GRUPPY G , OBLADA@]AQ SWOJSTWOM: gH = Hg DLQ KAVDOGO g 2 G . |TO \KWIWALENTNO TOMU, ^TO gHg;1  H , ILI ^TO gHg;1 = H DLQ WSEH g 2 G . w KOMMUTATIWNOJ GRUPPE KAVDAQ PODGRUPPA QWLQETSQ NORMALXNOJ.

lEMMA PA.

4.1.

qDRO L@BOGO GOMOMORFIZMA | \TO NORMALXNAQ PODGRUP-

dOKAZATELXSTWO rASSMOTRIM GOMOMORFIZM h : G ! W . pOKAVEM, .

^TO Ker(h) QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G . tAK KAK h(1) = 1 , TO 1 2 Ker(h) . pUSTX g1 g2 2 Ker(h) , TOGDA h(g1g2) = h(g1)h(g2 ) = 1 1 = 1 , OTS@DA SLEDUET, ^TO g1g2 2 Ker(h) . eSLI h(g) = 1 , TO h(g;1) = h(g);1 = 1;1 = 1 . oTS@DA g;1 2 Ker(h) . tAKIM OBRAZOM, Ker(h) QWLQETSQ PODGRUPPOJ. sNOWA PUSTX g 2 Ker(h) , TO ESTX h(1) = 1 . eSLI x 2 G , TO h(xgx;1 ) = h(x)h(1)h(x);1 = h(x)h(x);1 = 1 . |TO OZNA^AET, ^TO xgx;1 2 Ker(h) , TO ESTX Ker(h) QWLQETSQ NORMALXNOJ PODGRUPPOJ. 2 73

qDRA NEKOTORYH GOMOMORFIZMOW IME@T OSOBOE ZNA^ENIE. nAPRIMER, QDRO GOMOMORFIZMA det : GLn(F ) ;! F  (T.E. MNOVESTWO WSEH n n MATRIC A TAKIH, ^TO det(A) = 1 ) NAZYWAETSQ SPECIALXNOJ LINEJNOJ GRUPPOJ STEPENI n NAD POLEM (ILI NAD KOLXCOM) F , I OBOZNA^AETSQ SLn(F ) (NAPOMNIM, ^TO GRUPPA GLn(F ) NAZYWAETSQ OB]EJ LINEJNOJ GRUPPOJ STEPENI n ). zNAKOPEREMENNAQ GRUPPA An OPREDELQETSQ KAK QDRO GOMOMORFIZMA sgn . nAPOMNIM, ^TO ESLI f : X ;! Y | NEKOTOROE OTOBRAVENIE, I Y 0  Y , TO POLNYM PROOBRAZOM Y 0 OTNOSITELXNO f NAZYWAETSQ MNOVESTWO f ;1 (Y 0 ) = fx 2 X jf (x) 2 Y 0 g  X . iZ \TOGO OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO f (f ;1 (Y 0))  Y 0 .

lEMMA

pUSTX h : G ;! W | GOMOMORFIZM GRUPP, I H = Ker(h) . tOGDA DLQ KAVDOGO w 2 W POLNYJ PROOBRAZ h;1(fwg) ESTX LIBO PUSTOE MNOVESTWO, LIBO MNOVESTWO WIDA gH = Hg , GDE h(g) = w . |LEMENT g 2 h;1 (fwg) MOVNO ZDESX WYBIRATX PROIZWOLXNYM OBRAZOM. 4.2.

dOKAZATELXSTWO wMESTO h;1(fwg) BUDEM PISATX h;1(w) . |TO MNO.

VESTWO WSEH TAKIH g 2 G , ^TO h(g) = w . iNA^E GOWORQ, h;1(w) ESTX MNOVESTWO REENIJ URAWNENIQ h(x) = w . zAMETIM, ^TO PO SAMOMU OPREDELENI@ Ker(h) = h;1 (1) . pREDPOLOVIM, ^TO h;1 (w) NEPUSTO. wYBEREM KAKOJ-NIBUDX g 2 h;1(w) , I PUSTX x 2 H = Ker(h) . tOGDA h(gx) = h(g)h(x) = w 1 = w , I ANALOGI^NO h(xg) = w . |TO OZNA^AET, ^TO gH  h;1(w) I Hg  h;1 (w) . pUSTX y 2 h;1(w) , T.E. h(y) = w . rASSMOTRIM x = g;1y . tAK KAK h(x) = h(g);1h(y) = w;1w = 1 , TO x 2 H . oTS@DA y = gx 2 gH . 74

sLEDOWATELXNO, h;1(w)  gH , A ZNA^IT, h;1 (w) = gH . eSLI VE WZQTX x = yg;1 , TO h(x) = 1 , x 2 H , y = xg 2 Hg , A ZNA^IT h;1(w) = Hg . w ^ASTNOSTI, Hg = gH . 2

sLEDSTWIE

gOMOMORFIZM h IN_EKTIWEN TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI EGO QDRO Ker(h) SOSTOIT TOLXKO IZ ODNOGO \LEMENTA (T.E. \TO MNOVESTWO, SODERVA]EE LIX NEJTRALXNYJ \LEMENT GRUPPY). 4.1.

dOKAZATELXSTWO oTOBRAVENIE h IN_EKTIWNO TOGDA I TOLXKO TOG.

DA, ESLI WSE NEPUSTYE h;1(w) , GDE w 2 W , SOSTOQT LIX IZ ODNOGO \LEMENTA. |TO PROSTO DRUGAQ FORMULIROWKA OPREDELENIQ IN_EKTIWNOSTI: W KAVDYJ \LEMENT w 2 W OTOBRAVAETSQ NE BOLEE ODNOGO \LEMENTA IZ G . eSLI h { IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE, TO WSE h;1 (w) SOSTOQT IZ ODNOGO \LEMENTA, W TOM ^ISLE I h;1 (1) = Ker(h) . oBRATNO, PUSTX jH j = jKer(h)j = 1 . tOGDA, ESLI h;1 (w) NE PUSTO, BUDEM IMETX jh;1(w)j = jgH j = jH j = 1 . 2 zADA^I O NAHOVDENII QDRA ZADANNOGO GOMOMORFIZMA O^ENX POHOVI NA ZADA^I O NAHOVDENII KORNEJ URAWNENIQ (ILI SISTEMY URAWNENIJ). pRIMER 4.8. pUSTX G = R4 , W = R3 , I LINEJNOE OTOBRAVENIE h : R4 ! R3 ZADAETSQ MATRICEJ: 1 0 1 ; 1 0 2 CC BB B A = BB 2 0 1 ;1 CCC A @ 1 ;2 ;1 0 iNYMI SLOWAMI, h(x) = Ax , GDE x = (x1  x2 x3 x4)T . qDRO Ker(h) | \TO MNOVESTWO REENIJ SISTEMY Ax = 0 : 8 > x1 ; x2 + 2x4 = 0 > < 2x1 + x3 ; x4 = 0 > > > : x1 ; 2x2 ; x3 =0 75

pRIMER

zAFIKSIRUEM DEJSTWITELXNOE ^ISLO a 6= 0 , I PUSTX x 2 R . tOGDA MODULX KOMPLEKSNOGO ^ISLA eiax = cos ax + i sin ax RAWEN EDINICE. rASSMOTRIM OTOBRAVENIE fa : R ! U , fa(x) = eiax . lEGKO PROWERQETSQ, ^TO h(x + y) = h(x)h(y) I h(0) = 1 . tAKIM OBRAZOM, h | GOMOMORFIZM. |TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWEN. w SAMOM DELE, KAVDOE KOMPLEKSNOE ^ISLO, PO MODUL@ RAWNOE EDINICE, IMEET WID eiy , GDE y | DEJSTWITELXNOE ^ISLO, 0  y < 2 . pROLAGAQ x = ya , POLU^IM eiy = eiax = h(x) . wY^ISLIM Ker(fa) . |TO MNOVESTWO SOSTOIT IZ WSEH TEH x 2 R , DLQ KOTORYH h(x) = 1 . iNYMI SLOWAMI, \TO MNOVESTWO WSEH REENIJ URAWNENIQ eiax = 1 . iZWESTNO (FAKTI^ESKI \TO KOLXNAQ TRIGONOMETRIQ), ^TO eiy = 1 TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI y = 2k k = 0 1 2 : : : . sLEDOWATELXNO, Ker(fa) = f 2a k j k = 0 1  2 : : : g = 2 Z . w ^ASTNOSTI, PRI a = 2 QDRO BUDET RAWNO Z | GRUPPE (PO a SLOVENI@) WSEH CELYH ^ISEL. 4.1.

4.9.

bUDET LI GOMOMORFIZM det : GLn(F ) ;! F  S@R_EKTIWNYM?

wY^ISLITX QDRO GOMOMORFIZMA h : C ;! C , h(z ) = z n DLQ NEKOTOROGO FIKSIROWANNOGO n > 0 . wYQSNITX, BUDET LI \TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWNYM. 4.2.

wY^ISLITX QDRO GOMOMORFIZMA h : C ;! R+ , h(z ) = jz j . wYQSNITX, BUDET LI \TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWNYM. 4.3.

wY^ISLITX QDRO GOMOMORFIZMA h : C ;! U , h(z ) = jzz j . wYQSNITX, BUDET LI \TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWNYM. rASSMOTRETX GOMOMORFIZM f : U ;! U , OPREDELENNYJ PO TOJ VE FORMULE f (u) = un . wY^ISLITX EGO QDRO, I WYQSNITX, BUDET LI ON S@R_EKTIWNYM. 4.4.

76

h : C ;! U ,

z !n

wY^ISLITX QDRO GOMOMORFIZMA h(z ) = jz j DLQ NEKOTOROGO FIKSIROWANNOGO n > 0 . nAJTI \TU PODGRUPPU GRUPPY C SREDI GRUPP, IZU^AWIHSQ W PREDYDU]EM PARAGRAFE. wYQSNITX, BUDET LI \TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWNYM. 4.5.

wY^ISLITX QDRO GOMOMORFIZMA h : GLn(F ) ;! F  , h(A) = (det(A))m DLQ NEKOTOROGO FIKSIROWANNOGO m > 0 . rASSMOTRETX OTDELXNO SLU^AI F = R I F = C . wYQSNITX, BUDET LI \TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWNYM. 4.6.

pUSTX F = R ILI F = C . wY^ISLITX QDRO GOMOMORFIZMA h : GLn(F ) ;! R+ , h(A) = jdet(A)j . rASSMOTRETX OTDELXNO SLU^AI F = R I F = C . wYQSNITX, BUDET LI \TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWNYM. 4.7.

wY^ISLITX QDRO GOMOMORFIZMA h : GLn(F ) ;! F  , OPREDELQEMOdet(A) . rASSMOTRETX OTDELXNO SLU^AI F = R GO PO FORMULE h(A) = jdet (A)j I F = C . wYQSNITX, BUDET LI \TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWNYM. 4.8.

pUSTX F | POLE. rASSMOTRIM W GLn+m(F ) PODMNOVESTWO G , SOSTOQ]EE IZ BLO^NYH MATRIC WIDA: 4.9.

0 BB A @

B 0 C

1 CC A

TAKIH, ^TO A ESTX NEWYROVDENNAQ n n -MATRICA, C | NEWYROVDENNAQ m m -MATRICA, A OSTALXNYE BLOKI IME@T SOOTWETSTWU@]IE RAZMERY. dOKAZATX, ^TO MNOVESTWO G QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY GLn+m(F ) . dOKAZATX, ^TO OTOBRAVENIQ 0 BB @

A B 0 C

1 CC A 7! A

77

0 BB A @

B 0 C

1 CC A 7! C

BUDUT GOMOMORFIZMAMI IZ G W GLn(F ) I GLm (F ) SOOTWETSTWENNO. wY^ISLITX QDRA \TIH GOMOMORFIZMOW I WYQSNITX, BUDUT LI ONI S@R_EKTIWNYMI. pUSTX H ESTX NORMALXNAQ PODGRUPPA GRUPPY G . oBOZNA^IM ^EREZ G=H MNOVESTWO RAZLI^NYH SMEVNYH KLASSOW G PO H . tAK KAK DLQ NORMALXNOJ PODGRUPPY Hx = xH DLQ KAVDOGO x 2 G , TO NET NEOBHODIMOSTI RAZLI^ATX LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY. nAPOMNIM (SM. PRIMER 1.5), ^TO ESLI A B  G , TO AB = fabja 2 A b 2 B g , I \TO PROIZWEDENIE ASSOCIATIWNO: (AB )C = A(BC ) DLQ L@BYH NEPUSTYH A B C  G .

lEMMA

sMEVNYE KLASSY PO NORMALXNOJ PODGRUPPE H OBLADA@T SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 4.3.

1) HH = H . 2) pROIZWEDENIE DWUH SMEVNYH KLASSOW SNOWA QWLQETSQ SMEVNYM KLASSOM. tO^NEE, ESLI A = xH , B = yH , TO AB = xyH . tAKIM OBRAZOM, G=H QWLQETSQ POLUGRUPPOJ OTNOSITELXNO OPERACII UM-

NOVENIQ SMEVNYH KLASSOW.

3) kLASS H QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM (EDINICEJ) POLUGRUPPY G=H . 4) pUSTX A

NEKOTORYJ SMEVNYJ KLASS. oPREDELIM A;1 KAK MNOVESTWO fa;1ja 2 Ag ,. tOGDA A;1 SNOWA QWLQETSQ SMEVNYM KLASSOM. w ^ASNOSTI, ESLI A = xH , TO A;1 = x;1H . pRI \TOM AA;1 = A;1A = H . |

78

dOKAZATELXSTWO dOKAVEM 1). nEOBHODIMO USTANOWITX WKL@^ENIQ: .

HH  H I H  HH . pO OPREDELENI@, HH = fx1x2jx1 x2 2 H g . nO TAK KAK H | PODGRUPPA, TO IZ x1 x2 2 H SLEDUET x1x2 2 H . oTS@DA HH  H . tAK KAK 1 2 H , TO L@BOJ x 2 H PREDSTAWIM W WIDE x = x1x2 , GDE x1 x2 2 H : x1 = x x2 = 1 . tEPERX LEGKO DOKAZATX 2). pREDSTAWIM KLASS A W WIDE A = xH , KLASS B W WIDE B = yH , I TOGDA AB = (xH )(yH ) = (x(Hy))H = (x(yH ))H = (xy)(HH ) = xyH:

zDESX ISPOLXZOWANA ASSOCIATIWNOSTX UMNOVENIQ MPODMNOVESTW GRUPPY, SWOJSTWO NORMALXNOSTI H ( Hy = yH ) I SWOJSTWO 1): HH = H . iTAK KLASSY UMNOVA@TSQ PO SLEDU@]EMU PRAWILU: (xH )(yH ) = xyH

(1)

iZ DOKAZATELXSTWA WIDNO, ^TO REZULXTAT PROIZWEDENIQ NE ZAWISIT OT SPOSOBA PREDSTAWLENIQ KLASSOW W WIDE xH , yH . pRIMERNO TAK VE DOKAZYWAETSQ SWOJSTWO 3): (xH )H = x(HH ) = xH H (xH ) = (Hx)H = (xH )H = x(HH ) = xH:

sWOJSTWO 4) MOVNO WYWESTI IZ DWUH OB]IH SWOJSTW PROIZWEDENIJ PODMNOVESTW PODGRUPPY: H ;1 = H DLQ L@BOJ PODGRUPPY H , I (AB );1 = B ;1A;1 DLQ L@BYH A B  G . w SAMOM DELE, ESLI x 2 H , TO x;1 2 H . |TO ZNA^IT, ^TO H ;1  H . s DRUGOJ STORONY, KAVDYJ x 2 H PREDSTAWMI W WIDE x = (x;1);1 , GDE x;1 2 H . |TO ZNA^IT, ^TO H  H ;1 . dALEE, (AB );1 = f(ab);1 = b;1a;1ja 2 A b 2 B g , B ;1A;1 = fb;1a;1jb 2 B a 2 Ag . o^EWIDNO, ^TO \TO ODNO I TO VE MNOVESTWO. pUSTX TEPERX A = xH = fxgH . tOGDA A;1 = H ;1fxg;1 = H ;1x;1 = Hx;1 = x;1H: 79

iTAK,

(xH );1 = x;1H (2) kAK I W (1), PRAWAQ ^ASTX RAWENSTWA (2) NE ZAWISIT OT WYBORA PREDSTAWITELQ x W KLASSE xH . nAKONEC, ESLI A = xH , A;1 = x;1H , TO

AA;1 = (xH )(x;1 H ) = (xx;1 )H = H A;1A = (x;1 H )(xH ) = (x;1 x)H = H:

2

wSE \TI SWOJSTWA SMEVNYH KLASSOW OZNA^A@T, ^TO UMNOVENIE KLASSOW PREWRA]AET MNOVESTWO G=H W GRUPPU S NEJTRALXNYM \LEMENTOM H . |TA GRUPPA NAZYWAETSQ FAKTORGRUPPOJ GRUPPY G PO NORMALXNOJ PODGRUPPE H . fORMULY (1) I (2) ZADA@T SPOSOB WY^ISLENIQ PROIZWEDENIQ \LEMENTOW FAKTORGRUPPY I OBRATNYH \LEMENTOW. sOPOSTAWLQQ \LEMENTU x 2 G SMEVNYJ KLASS xH , POLU^IM S@R_EKTIWNOE OTOBRAVENIE  : G ;! G=H , (x) = xH . qSNO, ^TO (x) = H TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI x 2 H . fORMULA (1) ZAPISYWAETSQ KAK (xy) = (x)(y) . tAKIM OBRAZOM,  OKAZYWAETSQ S@R_EKTIWNYM GOMOMORFIZMOM GRUPP, QDRO KOTOROGO ESTX H . |TOT GOMOMORFIZM NAZYWAETSQ (ESTESTWENNOJ) PROEKCIEJ GRUPPY G NA FAKTORGRUPPU G=H . sLEDU@]AQ TEOREMA NAZYWAETSQ TEOREMOJ O GOMOMORFIZME.

tEOREMA

pUSTX DANA GRUPPA G , EE NORMALXNAQ PODGRUPPA H , I GOMOMORFIZM GRUPP h : G ;! W TAKOJ, ^TO H  Ker(h) . tOGDA SU]ESTWUET, PRITOM TOLXKO ODIN, GOMOMORFIZM  : G=H ;! W , TAKOJ, ^TO  = h (INYMI SLOWAMI, (xH ) = h(x) ). gOMOMORFIZM  IN_EKTIWEN TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI H = Ker(h) . gOMOMORFIZM  S@R_EKTIWEN TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI S@R_EKTIWEN GOMOMORFIZM h . 4.1.

80

dOKAZATELXSTWO dOPUSTIM, ^TO GOMOMORFIZM  SO SWOJSTWOM  = .

h SU]ESTWUET. pOKAVEM, ^TO ON OPREDELEN ODNOZNA^NO. dOPUSTIM, ^TO ESTX DWA OTOBRAVENIQ, 1 I 2 , TAKIE, ^TO 1 = 2 = h . oTOBRAVENIE  S@R_EKTIWNO: KAVDYJ \LEMENT G=H IMEET WID xH = (x) DLQ NEKOTOROGO x 2 G . tOGDA 1(xH ) = 1((x)) = h(x) , I 2(xH ) = 2((x)) = h(x) . tAKIM OBRAZOM, ZNA^ENIQ OTOBRAVENIJ 1 I 2 SOWPADA@T DLQ WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTA. zNA^IT, 1 = 2 . iZ \TIH VE RASSUVDENIJ DOLVNO BYTX QSNO, ^TO ESLI  SU]ESTWUET, TO EGO ZNA^ENIE NA ARGUMENTE xH 2 G=H DOLVNO BYTX RAWNO h(x) . pOKAVEM, ^TO USLOWIE H  Ker(h) POZWOLQET KORREKTNO OPREDELITX TAKOE OTOBRAVENIE. pROBLEMA ZDESX ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO ODIN I TOT VE KLASS MOVNO ZADATX NESKOLXKIMI SPOSOBAMI: x1H = x2H = : : : , I NE O^EWIDNO, ^TO TOGDA ZNA^ENIE  NA \TOM ARGUMENTE OPREDELENO ODNOZNA^NO, TAK KAK OPREDELENIE ZAWISIT OT WYBORA PREDSTAWITELQ KLASSA. oDNOZNA^NOSTX POLU^ITSQ, ESLI IZ x1H = x2H BUDET SLEDOWATX h(x1 ) = h(x2 ) . iTAK, PUSTX x1H = x2H . tOGDA x;1 1x2 2 H  Ker(h) . |TO ZNA^IT, ^TO h(x;1 1 x2) = 1 . pRIMENQQ OPREDELENIE GOMOMORFIZMA, POLU^AEM, ^TO h(x;1 1 x2) = h(x1 );1h(x2 ) = 1 , OTKUDA I SLEDUET, ^TO h(x1 ) = h(x2) . iTAK, OTOBRAVENIE  : G=H ;! W SO SWOJSTWOM (xH ) = h(x) SU]ESTWUET I OPREDELENO ODNOZNA^NO. pOKAVEM, ^TO ONO QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP. eDINICEJ GRUPPY G=H QWLQETSQ KLASS H = 1H S PREDSTAWITELEM 1 2 G . pO OPREDELENI@  BUDEM IMETX (H ) = h(1) = 1 . dALEE, ((xH )(yH )) = (xyH ) = h(xy) = h(x)h(y) = (xH )(yH ): |TIM DOKAZANO, ^TO  QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM. iZ SAMOGO OPREDELENIQ  SLEDUET, ^TO \TO OTOBRAVENIE S@R_EKTIWNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA S@R_EKTIWEN GOMOMORFIZM h . wY^IS81

LIM QDRO  . kLASS xH PRINADLEVIT QDRU TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI (xH ) = h(x) = 1 , TO ESTX W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI x 2 Ker(h) . eSLI GOMOMORFIZM  IN_EKTIWEN, TO EGO QDRO SOSTOIT IZ EDINSTWENNOGO KLASSA H , A \TO ZNA^IT, ^TO IZ x 2 Ker(h) SLEDUET xH = H . nO OTS@DA SLEDUET x 2 H , ^TO OZNA^AET Ker(h)  H . tAK KAK OBRATNOE WKL@^ENIE IMEETSQ PO USLOWI@, TO H = Ker(h) . oBRATNO, ESLI H = Ker(h) , TO QDRO  SOSTOIT IZ TEH KLASSOW xH , DLQ KOTORYH x 2 Ker(h) = H , TO ESTX xH = H , I QDRO SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA. kAK UVE BYLO POKAZANO WYE, \TO OZNA^AET IN_EKTIWNOSTX h . 2 kAK SLEDSTWIE, POLU^AETSQ TEOREMA, NAZYWAEMAQ TEOREMOJ OB IZOMORFIZME.

tEOREMA

pUSTX DANA GRUPPA G , EE NORMALXNAQ PODGRUPPA H , I S@R_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM GRUPP h : G ;! W TAKOJ, ^TO H = Ker(h) . tOGDA IMEET MESTO IZOMORFIZM G=H

=W. 4.2.

w ZADA^AH 4.1 | 4.9, TAM, GDE GOMOMORFIZMY S@R_EKTIWNY, FAKTI^ESKI (S TO^NOSTX@ DO IZOMORFIZMA) WY^ISLENY FAKTORGRUPPY. sFORMULIROWATX \TI UTWERVDENIQ W QWNOM WIDE I OBOSNOWATX IH. 4.11. dOKAZATX, ^TO Z=nZ

= Un . uKAZANIE: RASSMOTRETX GOMOMORm FIZM h : Z ! Un , h(m) = e n . 4.12. dOKAZATX, ^TO Unm =Um

= Un . uKAZANIE: RASSMOTRETX GOMOMORFIZM h : C ! C , h(z ) = z m , I EGO OGRANI^ENIE NA PODGRUPPU Unm . nAJTI OBRAZ I QDRO \TOGO GOMOMORFIZMA. 4.10.

2

wY^ISLITX FAKTORGRUPPU  n C jz 2 R + g . 4.13.

=Kn .

C

82

nAPOMNIM, ^TO

Kn

= fz 2

uKAZANIE: ISPOLXZUQ OPREDELENIE Kn , NAJTI GOMOMORFIZM IZ C , QDROM KOTOROGO BUDET PODGRUPPA Kn . zATEM OPREDELITX OBRAZ \TOGO GOMOMORFIZMA. 4.14. dOKAZATX, ^TO FAKTORGRUPPA D2n =C (D2n ) GRUPPY DI\DRA D2n PO EE CENTRU C (D2n) IZOMORFNA GRUPPE Dn . 4.15. dOKAZATX, ^TO FAKTORGRUPPA G=G G] GRUPPY G PO EE KOMMUTANTU KOMMUTATIWNA. 4.16. dOKAZATX, ^TO ESLI h : G ;! W | GOMOMORFIZM PROIZWOLXNOJ GRUPPY G W KOMMUTATIWNU@ GRUPPU W , TO G G]  Ker(h) . ~TO MOVNO WYWESTI IZ \TOGO FAKTA S POMO]X@ TEOREMY O GOMOMORFIZME? uKAZANIE. pROWERITX, ^TO W QDRE h SODERVATSQ KOMMUTATORY WSEH \LEMENTOW GRUPPY G . iSPOLXZUQ OPREDELENIE KOMMUTANTA, WYWESTI OTS@DA TREBUEMOE UTWERVDENIE. sMYSL O^EREDNOJ SERII ZADANIJ PROQSNQET SLEDU@]AQ TEOREMA:

tEOREMA

pUSTX DANA GRUPPA G I DWE EE PODGRUPPY H I K TAKIE, ^TO H | NORMALXNAQ PODGRUPPA, G = KH , I K \ H = f1g . tOGDA G=H

=K. 4.3.

nABROSOK DOKAZATELXSTWA rASSMOTRIM ESTESTWENNU@ PROEKCI@  : .

G ;! G=H , I OPREDELIM GOMOMORFIZM h : K ;! G=H KAK OGRANI^ENIE  NA PODGRUPPU K . wWIDU TOGO, ^TO  OTOBRAVAET W EDINICU TOLXKO \LEMENTY H , A EDINSTWENNYM \LEMENTOM K , SODERVA]IMSQ W H , QWLQETSQ EDINICA GRUPPY G , QDRO GOMOMORFIZMA h SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA | EDINICY. sLEDOWATELXNO, GOMOMORFIZM h IN_EKTIWEN. s DRUGOJ STORONY, RASSMOTRIM PROIZWOLXNYJ \LEMENT gH GRUPPY 83

G=H . tAK KAK G = KH , TO g = xy DLQ NEKOTORYH x 2 K , y 2 H . tOGDA gH = xyH = xH , TAK KAK yH = H PRI y 2 H . oSTAETSQ ZAMETITX, ^TO xH = h(x) PRI x 2 K PO OPREDELENI@ GOMOMORFIZMA h . iTAK, h ESTX IZOMORFIZM MEVDU K I G=H . 2

dOKAZATX, ^TO ESLI H I K | PODGRUPPY GRUPPY G , I KH = G , TO K \ H QWLQETSQ NORMALXNOJ PODGRUPPOJ W K , I G=H

= K=(K \ H ) . uKAZANIE. wOSPOLXZOWATXSQ PRIWEDENNYM WYE DOKAZATELXSTWOM TEOREMY 4.3. 4.18. dOKAZATX, ^TO Tn (F )=UTn (F )

= Dn (F ) . (oPREDELENIQ \TIH GRUPP | W RAZDELE 1.) 4.17.

w SLEDU@]EJ GRUPPE UPRAVNENIJ ZADANO MNOVESTWO G , IME@]EE WID 0 G G = BB@ 1

1 0 ( G2 CC BB g1 A= @

1 ) g2 CC A jg1 2 G1 g2 2 G2 g3 2 G3 

0 G2 0 g2 I PODMNOVESTWO H , USTROENNOE PO TOMU VE PRINCIPU (T.E. NEKOTOROE MNOVESTWO MATRIC WTOROGO PORQDKA). tREBUETSQ POKAZATX, ^TO A) G | GRUPPA B) H | NORMALXNAQ PODGRUPPA dALEE TREBUETSQ NAJTI PODGRUPPU K GRUPPY G , OBLADA@]U@ SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: G = KH , PERESE^ENIE K I H SOSTOIT TOLXKO IZ EDINI^NOJ MATRICY.

84

4.19.

0 BB R G=@

0

4.20.

0 BB R G=@

0

4.21.

0 BB R G=@

0

4.22.

R R



R R



R R



1 CC A

0 BB C G=@

0

4.23.

b 0 1

0 (B a H = @B

b 0 a;1

C



C

1 CC A

1 ) CC Aj b 2 R

1 ) CC  Aj a 2 R b 2 R

0 R H = BB@ +

0

C R+

1 CC A

0 R H = BB@ +

C

C



C

1 CAC 

C

0

U

C U

1 CC A

0 1  C 0 CC G = BB@  A

1 0 U 0 CC H = BB@ A

0 1  R 0 CC G = BB@  A

H

0 1 R 0 CC = BB@ + A

0 1  R 0 CC G = BB@  A

0 1 R 0 H = BB@ + CCA

C

4.27.

0 (B 1 H = B@

0 BB C G=@

C

4.26.

1 CC A

0 a

0 1 U 0 C CA H = BB@

0

4.25.

0 1 (B a 0 C )  CA j a 2 R H = B@

0 1  C 0 CC G = BB@  A C

4.24.

1 CC A

C

C

C

C

C

85

C

C

R+

R+

U

4.28.

0 1  R 0 CC G = BB@  A

0 1 U 0 CC H = BB@ 2 A

0 1  R 0 CC G = BB@  A

0 1 U 0 H = BB@ 2 CCA

C

4.29.

C

4.30.

0 BB C G=@

0

4.31.

0 BB C G=@

0

4.32.

0 BB C G=@

0

4.33.

0 BB C G=@

0

4.34.

0  R B B G=@

0

4.35.

C

C

H



1 CC A

0 U H = BB@



1 CC A

0 R H = BB@ +

1 CC A

0 U H = BB@

1 CC A

0 R = BB@ +

C R

0  R B B G=@

0

C

1 CC A



C R

C R

C R



R



R

R



0

0

0

H

0

R+

U

C R+

C R+

C U2

C U2

R R+

1 CC A 1 CC A 1 CC A 1 CC A 1 CC A

0 1 U 0 CC H = BB@ 2 A

R

R

0 R = BB@ +

0

0 1  R 0 CC G = BB@  A R

4.36.

C

R

1 CC A

0 R H = BB@ +

0

86

R+

R U2

1 CC A

4.37.

0 K G = BB@ 4

0

4.38.

0 K G = BB@ 4

0

4.39.

0 R H = BB@ +

K4

C

K4

C

1 CC A

C



C

0

U4

R+

C R+

1 CC A

0 1  C 0 CC G = BB@ A

0 1 U 0 CC H = BB@ A

0 1  C 0 CC G = BB@ A

0 1 U 0 CC H = BB@ A

0 BB C G=@

1 CC A

0 R H = BB@ +

1 CC A

0 U H = BB@

0

4.45.

U4

0 K G = BB@ 4

C

4.44.

0

C

1 CC A

0 1 U 0 CC H = BB@ 4 A

C

4.43.

K4

0 U H = BB@ 4

R+

0 1 K 0 CC G = BB@ 4 A

0

4.42.

C

1 CC A

0

C

1 CC A

0 1 R 0 CC H = BB@ + A

C

4.41.

K4

0 R H = BB@ +

0 1 K 0 CC G = BB@ 4 A C

4.40.

C

1 CC A

0  C B B G=@

0

K4

K4

C



R

C R



C

C

0

87

0

U4

R+

C U2

C U2

1 CC A 1 CC A

4.46.

0 BB R G=@

0

C



R

1 CC A

0 U H = BB@ 2

0

C U2

1 CC A

pUSTX DANY GRUPPY G1 I G2 . rASSMOTRIM MNOVESTWO G = G1 G2 , SOSTOQ]EE IZ WSEH UPORQDO^ENNYH PAR WIDA (g1 g2) , GDE g1 2 G1 , g2 2 G2 . bINARNAQ OPERACIQ NA \TOM MNOVESTWE OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:

(g10  g20 )(g100  g200 ) = (g10 g100  g20 g200): lEGKO PROWERITX, ^TO \TA OPERACIQ ASSOCIATIWNA. oNA BUDET TAKVE KOMMUTATIWNOJ, ESLI KOMMUTATIWNY OBE GRUPPY G1 I G2 . eSLI 1G1 | EDINICA GRUPPY G1 , A 1G2 | EDINICA GRUPPY G2 , TO \LEMENT (1G1  1G2 ) QWLQETSQ EDINICEJ G1 G2 . oBRATNYE \LEMENTY WY^ISLQ@TSQ PO FORMULE (g1 g2);1 = (g1;1 g2;1) . w KONE^NOM S^ETE POLU^AETSQ GRUPPA, KOTORAQ NAZYWAETSQ PRQMYM PROIZWEDENIEM GRUPP G1 I G2 .

dOKAZATX, ^TO OTOBRAVENIQ 1 : G1 G2 ;! G1 , 2 : G1 G2 ;! G2 , TAKIE, ^TO 1(g1 g2) = g1 , (g1 g2) = g2 , QWLQ@TSQ S@R_EKTIWNYMI GOMOMORFIZMAMI GRUPP. 4.47.

gOMOMORFIZMY 1 I 2 NAZYWA@TSQ ESTESTWENNYMI PROEKCIQMI PRQMOGO PROIZWEDENIQ GRUPP NA PERWYJ I WTOROJ MNOVITELI SOOSTWETSTWENNO. pROWERITX, ^TO QDRO 1 SOSTOIT IZ WSEH PAR WIDA (1G  g2) , g2 2 G2 . dOKAZATX, ^TO \TA PODGRUPPA GRUPPY G1 G2 IZOMORFNA GRUPPE G2 . iZOMORFIZM USTANAWLIWAETSQ SOOTWETSTWIEM g2 ! (1 g2) . aNALOGI^NYM OBRAZOM QDRO 2 , SOSTOQ]EE IZ WSEH PAR WIDA (g1 1) , g1 2 G1 , IZOMORFNO GRUPPE G1 . 4.48.

1

88

eSLI OTOVDESTWITX G2 S IZOMORFNOJ EJ PODGRUPPOJ Ker(1) , TO PO TEOREME OB IZOMORFIZME POLU^IM SLEDU@]IJ IZOMORFIZM: (G1 G2)=G2

= G1: aNALOGI^NO \TOMU IMEET MESTO IZOMORFIZM (G1 G2)=G1

= G2: |TI IZOMORFIZMY DA@T NEKOTOROE OBOSNOWANIE TERMINU \FAKTORGRUPPA" I OBOZNA^ENI@ G=H . zAMETIM E]E, ^TO IME@T MESTO SOOTNOENIQ: (g1 g2) = (g1 1)(1 g2) = (1 g2)(g1 1):

oBRATNO, IMEET MESTO SLEDU@]AQ TEOREMA.

tEOREMA

pUSTX W GRUPPE G IME@TSQ DWE PODGRUPPY K , H , OBLADA@]IE SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 4.4.

1) G = KH  2) K \ H = f1g  3) DLQ L@BYH x 2 K I y 2 H IMEET MESTO RAWENSTWO xy = yx .

|TO SWOJSTWO AWTOMATI^ESKI WYPOLNENO W SLU^AE KOMMUTATIWNOJ GRUPPY G .) tOGDA SU]ESTWUET IZOMORFIZM G

=K H. (

dOKAZATELXSTWO oPREDELIM OTOBRAVENIE h : K H ;! G , PO PRA.

WILU: (x y) 7! h(x y) = xy . zDESX x 2 K , y 2 H . wWIDU USLOWIQ 1), \TO S@R_EKCIQ. pROWERIM, ^TO h QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM. qSNO, ^TO 89

EDINICA GRUPPY K H , T.E. \LEMENT (1 1) , OTOBRAVAETSQ W EDINICU GRUPPY G . pUSTX x0  x00 2 K , y0  y00 2 H . tOGDA h((x0  y0)(x00  y00 )) = h(x0 x00  y0 y00 ) = (x0 x00 )(y0 y00 ) = = x0 (x00 y0 )y00 = x0 (y0 x00 )y00 = (x0 y0)(x00 y00 ) = h(x0 y0 )h(x00 y00 ): zDESX x00 y0 = y0 x00 SOGLASNO USLOWI@ 3). nAKONEC, WY^ISLIM QDRO GOMOMORFIZMA h . pUSTX h(x y) = xy = 1 . tOGDA y = x;1 . iTAK, \LEMENT x , PO WYBORU, PRINADLEVIT PODGRUPPE K . i ON VE RAWEN \LEMENTU y;1 IZ GRUPPY H . zNA^IT, x 2 K \ H . nO PO USLOWI@ 2) \TO PERESE^ENIE SOSTOIT TOLXKO IZ EDINI^NOGO \LEMENTA. oTS@DA x = y = 1 . zAKL@^AEM, ^TO QDRO h TRIWIALXNO, I SLEDOWATELXNO, GOMOMORFIZM h IN_EKTIWEN. 2

nA \TOJ TEOREME OSNOWANY REENIQ SLEDU@]IH DALEE ZADA^. nA^NEM S PRIMERA.

pRIMER

4.10.

pUSTX

0 U G = BB@

0

oPREDELIM PODGRUPPY

1 0 CC A

U4

0 1 0 U 0 C CA  H = BB@ 1 K = BB@

0 1

0

1 0 CC A:

U4

lEGKO PROWERITX, ^TO \TI PODGRUPPY UDOWLETWORQ@T WSEM TREM SWOJSTWAM IZ TEOREMY 4.4. bOLEE TOGO, O^EWIDNO, ^TO K

= U, H

= U4 . tAKIM OBRAZOM, G

= U U4 . uBEDITXSQ, ^TO MNOVESTWA REENIJ URAWNENIJ y = ax I y = bx (OBOZNA^IM IH SOOTWETSTWENNO ^EREZ K I H ) QWLQ@TSQ PODGRUPPAMI 4.49.

90

GRUPPY G = R2 . dOKAZATX, ^TO PRI a 6= b \TI PODGRUPPY UDOWLETWORQ@T USLOWIQM TEOREMY 4.4. kAKIM IZWESTNYM GRUPPAM IZOMORFNY PODGRUPPY H I K ? nAPOMNIM, ^TO ^EREZ Zn OBOZNA^AETSQ KONE^NAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA PORQDKA n : Zn = f1 x : : : xn;1g , xn = 1 . 4.50.

rASSMOTRIM ^ETWERNU@ GRUPPU kLEJNA V4 = f1 (1 2)(3 4) (1 3)(2 4) (1 4)(2 3)g:

dOKAZATX, ^TO \TA GRUPPA IZOMORFNA PROIZWEDENI@ DWUH CIKLI^ESKIH PODGRUPP PORQDKA 2, T.E. V4

= Z2 Z2: 4.51.

dOKAZATX, ^TO



= R+

U

4.52.

dOKAZATX, ^TO Kn

= R+

Un

4.53.

dOKAZATX, ^TO ESLI n NE^ETNO, TO D2n

= Dn Z2 .

4.54.

dOKAZATX, ^TO ESLI n I m WZAIMNO PROSTY, TO Znm

= Zn Z m .

C

. . w ^ASTNOSTI, R

= R+ f+1 ;1g .

pUSTX Z10 , Z20 , : : : , Zn0 | KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW GRUPPY G1 , Z100 , Z200 , : : : , Zm00 | KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW GRUPPY G2 . dOKAZATX, ^TO KLASSAMI SOPRQVENNYH \LEMENTOW GRUPPY G1 G2 QWLQ@TSQ MNOVESTWA Zi0 Zj00 = f(g1 g2)jg1 2 Zi0 g2 2 Zj00 g , 1  i  n , 1 j  m. 4.55.

dOKAZATX, ^TO CENTR GRUPPY G1 G2 RAWEN PROIZWEDENI@ CENTROW SOMNOVITELEJ: C (G1 G2) = C (G1) C (G2) . 4.56.

91

tO^NO TAK VE, KAK BYLO OPREDELENO PROIZWEDENIE DWUH GRUPP, MOVNO OPREDELITX PROIZWEDENIE PROIZWOLXNOGO KOLI^ESTWA GRUPP. pUSTX G1 , Qn G ) : : : , Gn | GRUPPY. ~EREZ G = G1 Gn (DRUGOE OBOZNA^ENIE: i=1 i OBOZNA^IM MNOVESTWO WSEH UPORQDO^ENNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ: (g1 g2 : : :  gn) GDE g1 2 G1 g2 2 G2 : : : gn 2 Gn:

pROIZWEDENIE DWUH \LEMENTOW G OPREDELQETSQ PO FORMULE: (g10  g20  : : : gn0 )(g100  g200  : : : gn00) = (g10 g100  g20 g200  : : : gn0 gn00):

lEGKO PROWERQETSQ ASSOCIATIWNOSTX, I TO, ^TO \LEMENT (1 1 : : : 1) QWLQETSQ EDINICEJ G . oBRATNYJ \LEMENT OPREDELQETSQ TAK: (g1 g2 : : : gn);1 = (g1;1 g2;1 : : :  gn;1):

w SLU^AE, ESLI GRUPPOWYE OPERACII WO WSEH Gi OBOZNA^A@TSQ PL@SAMI, WSE \TI OPREDELENIQ WYGLQDQT TAK: (g10  g20  : : : gn0 ) + (g100  g200 : : : gn00) = (g10 + g100 g20 + g200  : : : gn0 + gn00 ) ;(g1  g2 : : :  gn) = (;g1 ;g2 : : :  ;gn)

A NEJTRALXNYM \LEMENTOM BUDET (0 0 : : : 0) . lEGKO ZAMETITX SHODSTWO \TOGO OPREDELENIQ S OPREDELENIEM LINEJNOGO PROSTRANSTWA STROK. 4.57.

dOKAZATX, ^TO z Dn(F )

= F

}|n

{

F :

(nAPOMNIM, ^TO Dn(F ) | GRUPPA DIAGONALXNYH MATRIC NAD POLEM F , OPREDELENNAQ W RAZDELE 1.) 92

4.58.

dOKAZATX, ^TO UTnm(F )=UTnm+1)

n;}|m

z

{

= F F :

zDESX F ESTX ADDITIWNAQ GRUPPA POLQ F . uKAZANIE. rASSMOTRETX SOOTWETSTWIE, SOPOSTAWLQ@]EE MATRICE 0 1 0 : : : 0 a1m+1 B B B B 0 1 0 ::: 0 B B B B 0 0 1 0 ::: B B B ... ... B B B ... A = BBB B B B B B B B B B B B B @

\LEMENT

0

1 a2m+1 : : : a1n CC a2m+2 : : : a2n CCCC CC 0 . . . .. C . . . an;mn CCC CC CC : ::: 0 CC ... CC CC . . . .. CC CC ... 0 CC CA

1

h(A) = (a1m+1 a2m+2 : : :  an;mn) I POKAZATX, ^TO \TO GOMOMORFIZM GRUPP. w DANNOM SLU^AE NADO PROWERITX, ^TO h(AB ) = h(A) + h(B ) I h(E ) = 0 (STROKA IZ NULEJ). zATEM NADO DOKAZATX S@R_EKTIWNOSTX h I WY^ISLITX EGO QDRO.

4.59.

pUSTX DANA GRUPPA

SOSTOQ]AQ IZ MATRIC WIDA

0 G G = BB@ 1

F 0 G2

0 BB @

x z 0 y 93

1 CC A

1 CC A

GDE x 2 G1 , y 2 F , z 2 G2 , MNOVESTWO F QWLQETSQ KOLXCOM (ILI POLEM), G1 I G2 | PODGRUPPY MULXTIPLIKATIWNOJ GRUPPY OBRATIMYH \LEMENTOW F . dOPUSTIM, ^TO IME@TSQ DWA GOMOMORFIZMA GRUPP h1 : G1 ;! W1 , h2 : G2 ;! W2 I H1 = Ker(h1) , H2 = Ker(h2 ) . rASSMOTRIM GRUPPU W = W1 W2 , I OTOBRAVENIE h : G ;! W , SOSPOSTAWLQ@]EE MATRICE 0 1 BB x z CC @ A2G

0 y \LEMENT (h1 (x) h2(y)) . dOKAZATX, ^TO 1) OTOBRAVENIE h QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP 2) GOMOMORFIZM h QWLQETSQ S@R_EKTIWNYM, ESLI S@R_EKTIWNY h1 I h2  3) QDROM GOMOMORFIZMA h QWLQETSQ MNOVESTWO 0 1 H F CC H = BB@ 1 A: 0 H2 oTS@DA PO TEOREME OB IZOMORFIZME BUDET SLEDOWATX, ^TO G=H

= W1 W2 . w SLEDU@]EJ GRUPPE UPRAVNENIJ DLQ ISHODNYH DANNYH TOGO VE TIPA, ^TO I WYE, TREBUETSQ POKAZATX, ^TO A) G | GRUPPA B) H | NORMALXNAQ PODGRUPPA W) WY^ISLITX W QWNOM WIDE FAKTORGRUPPU G=H . pREDUPREVDENIE: PODGRUPPY K , KOTORYE MOVNO BYLO NAJTI W NEKOTORYH PREDYDU]IH ZADA^AH, ZDESX ISKATX NE STOIT. 4.60.

0 1  R 0 CC G = BB@  A C

H

C

94

0 1 U 0 = BB@ 2  CCA C

R

4.61.

0 1  R 0 CC G = BB@  A

0 1 R 0 CC H = BB@ + A

0 1  R 0 CC G = BB@ A

0 1 U 0 CC H = BB@ 2 A

0 U G = BB@

0 U H = BB@ n

C

4.62.

C

4.63.

0

4.64.



0

C R+

1 CC A

0 BB R H=@

1 CC A

0 U H = BB@ 4

1 CC A

H

0 BB R =@

1 CC A

0 H = BB@

1 CC A

0 U H = BB@ 4

0 K G = BB@ 4 0 K G = BB@ 4 0 K G = BB@ 4

0

4.69.

R

1 CC A

Un

1 CC A

0

4.68.

C

C

0 BB C G=@

0

4.67.

U

Un

0 1 U 0 CC H = BB@ A

0

4.66.

C

0 1  C 0 CC G = BB@ A C

4.65.

C

0 K G = BB@ 4

0

K4

C



C

C



C

C



C

C



C

C K4

C

0

0

0

 R

0 0

95

U4

C R+

C



R

C Un

C



R

C



R

1 CC A 1 CC A 1 CC A 1 CC A 1 CC A

4.70.

0 K G = BB@ 4

0

4.71.

0 BB R G=@

0

4.73.

0  C B B G=@

0

4.74.

0  C B B G=@

0

4.75.

C U

C



C

C



C

0 1  R 0 CC H = BB@ A C

1 CC A

0 U H = BB@ 2

1 CC A

0 BB R H=@

1 CC A

0 BB R H=@

0

0

0

U

C Un

C R+

C R



1 CC A 1 CC A 1 CC A

0 1  C 0 CC G = BB@  A

0 1 U 0 CC H = BB@ n A

0 BB C G=@

1 CC A

0 R H = BB@ +

1 CC A

0 U H = BB@ n

0

4.78.

C

R+

0 1  R 0 CC H = BB@ A

C

4.77.

0

C

1 CC A

0 1 K 0 CC G = BB@ 4 A C

4.76.

K4

0 BB R H=@

0 1  C 0 CC G = BB@  A C

4.72.

C

1 CC A

0 BB C G=@

0

K4

C

C



C

C



C

C

C

0

96

0

R

R+

C Un

C U

1 CC A 1 CC A

4.79.

0 BB C G=@

0

4.80.

0 K G = BB@ 4

0

4.81.



C

0 BB R =@

H

0

Un

C R+

1 CC A

0  C B B G=@

1 CC A

0 U H = BB@ n

0 1 U 0 CC G = BB@ A

0 U H = BB@ n

0 BB R G=@

0 H = BB@

C

4.84.

C

1 CC A

0

C

1 CC A

0 1 K 0 CC H = BB@ 4 A

0

4.83.



C

0 U H = BB@ n

0 1  C 0 CC G = BB@  A C

4.82.

C

1 CC A

0

C

C K4

C

0

K4

C



C

C

1 CC A

97

U2

0

Un

C R+

C U2

C K4

1 CC A 1 CC A 1 C AC

literatura 1] kOSTRIKIN a.i. wWEDENIE W ALGEBRU. ~ASTX I. oSNOWY ALGEBRY. | 2-E IZD., ISPRAWL. | m.: fIZ.-MAT. LIT., 2001. | 272 S. 2] kOSTRIKIN a.i. wWEDENIE W ALGEBRU. ~ASTX II. lINEJNAQ ALGEBRA. | 2-E IZD., ISPRAWL. | m.: fIZ.-MAT. LIT., 2001. | 368 S. 3] kOSTRIKIN a.i. wWEDENIE W ALGEBRU. ~ASTX III. oSNOWNYE STRUKTURY. | 2-E IZD., ISPRAWL. | m.: fIZ.-MAT. LIT., 2001. | 272 S. 4] sBORNIK ZADA^ PO ALGEBRE / pOD RED. a.i. kOSTRIKINA. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT. , 1987. | 352 S. 5] bELONOGOW w.a. zADA^NIK PO TEORII GRUPP. | m.: nAUKA, 2000. | 239 S. 6] kURO a.g. tEORIQ GRUPP. | 3-E IZD. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.MAT. LIT., 1967. | 648 S. 7] hOLL m. tEORIQ GRUPP. | m: il, 1962. | 468 S. 8] kARGAPOLOW m.i., mERZLQKOW `.i. oSNOWY TEORII GRUPP. | 3-E IZD., PERERAB. I DOP. | m.: nAUKA, 1982. | 288 c. 9] bOGOPOLXSKIJ o.w. wWEDENIE W TEORI@ GRUPP. | mOSKWA-iVEWSK: iNSTITUT KOMPX@TERNYH ISSLEDOWANIJ, 2002. | 148 S. 10] wAN-DER-wARDEN b.l. aLGEBRA. | m.:nAUKA, 1976. | 648 S. 11] lENG s. aLGEBRA. | m.: mIR, 1968 | 564 S. 98

12] sKORNQKOW l.a. |LEMENTY ALGEBRY. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT. , 1980. | 240 S. 13] bAHTURIN `.a. oSNOWNYE STRUKTURY SOWREMENNOJ ALGEBRY. | m.: nAUKA, 1990. | 320 S. 14] fADDEEW d.k. lEKCII PO ALGEBRE. | iZD. 3-E, STER. | spB.: lANX, 2004. | 415 S. 15] wINBERG |.b. kURS ALGEBRY. | 3-E IZD., PERERAB. I DOP. | m.: fAKTORIAL pRESS, 2002. | 544 S. 16] kOKSETER g.s.m., mOZER u.o. pOROVDA@]IE \LEMENTY I OPREDELQ@]IE SOOTNOENIQ DISKRETNYH GRUPP. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1980. | 240 S. 17] k\RTIS ~., rAJNER i. tEORIQ PREDSTAWLENIJ KONE^NYH GRUPP I ASSOCIATIWNYH ALGEBR. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1980. | 668 S. 18] kLEJN f. lEKCII OB IKOSA\DRE I REENII URAWNENIJ PQTOJ STEPENI. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1989. | 336 S. 19] dXEDONNE v. lINEJNAQ ALGEBRA I \LEMENTARNAQ GEOMETRIQ. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT. , 1972. | 336 S. 20] bRANEC w.n., {MYGLEWSKIJ i.p. pRIMENENIE KWATERNIONOW W ZADA^AH ORINTACII TWERDOGO TELA. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT., 1973. | 320 S. 21] kANTOR i.l., sOLODOWNIKOW a.s. gIPERKOMPLEKSNYE ^ISLA. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT., 1973. | 144 S. 99

22] gILXBERT d., kON-fOSSEN s. nAGLQDNAQ GEOMETRIQ. | 3-E IZD. | m.: nAUKA, 1981. | 344 S. 23] wEJLX g. sIMMETRIQ. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1968. | 192 S. 24] gOLOWINA l.i. lINEJNAQ ALGEBRA I NEKOTORYE EE PRILOVENIQ. | iZD. 2-E, DOPOLN. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1975. | 408 S. 25] {UBNIKOW a.w., kOPCIK w.a. sIMMETRIQ W NAUKE I ISKUSSTWE. | iZD. 3-E, DOPOLN. | mOSKWA-iVEWSK: iN-T KOMPX@TERN. ISSLED., 2004. | 560 S. 26] |LLIOT dV., dOBER p. sIMMETRIQ W FIZIKE. tOM 1. oSNOWNYE PRINCIPY I PROSTYE PRILOVENIQ. | m.: mIR, 1983. | 368 S. 27] |LLIOT dV., dOBER p. sIMMETRIQ W FIZIKE. tOM 2. dALXNEJIE PRILOVENIQ. | m.: mIR, 1983. | 416 S. 28] l@BARSKIJ g.q. tEORIQ GRUPP I FIZIKA. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1986. | 224 S. 29] wINBERG |.b. lINEJNYE PREDSTAWLENIQ GRUPP. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1985. | 144 S. 30] mEDWEDEW b.w. nA^ALA TEORETI^ESKOJ FIZIKI. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1977. | 496 S.

100