Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет)

С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр

Москва 2009

УДК 514.7(075) БДК 22.151.5я7 З-39 Гришин С.А., Мустяца С.В., Петрова М.А., Садекова Е.Х. Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр. — М.: МИФИ, 2009.— 36 с. В настоящем издании приведены варианты зачетных заданий для студентов, обучающихся аналитической геометрии в первом семестре, на всех факультетах МИФИ. Они могут быть использованы преподавателями для приема зачетов по дисциплине «Аналитическая геометрия», проведения межсеместрового контроля успеваемости студентов, контрольных работ, а также студентами для подготовки к сдаче зачетов по данному предмету. Рекомендовано к изданию редсоветом МИФИ. © Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2009. Редактор Е.Е. Шумакова. Оригинал макет подготовлен Гришиным С.А. Подписано в печать 22.05.2009. Формат 60×84 1/16. Печ.л. 2.25. Уч.-изд.л. 2.25. Тираж 100 экз. Изд. № 025-1. Заказ № Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 115409, Москва, Каширское ш.31. Типография МИФИ

Содержание Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр ............................................................................................. 4 Список рекомендуемой литературы ........................................................................................................... 34

3

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 1 1.

ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы

2.

вектор в виде линейной комбинации векторов и . ABCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1). Длина вектора

3. 4.

7. 8.

Для заданных матриц

6.

и

. Представить

равна 2. Найти: 1) длину вектора ;

2) угол между вектором и вектором ; 3) площадь треугольника ABE. Найти вектор длины 3, перпендикулярный вектору и вектору с началом в точке концом в точке Написать уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей угол 600 с прямой Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку Написать уравнение прямой, проходящей через точку . Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:

5.

,

и

решить матричное уравнение: .

4

и

, параллельной вектору и перпендикулярной плоскости

,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 2 1.

ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы

2.

середина стороны CD. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и . ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1). Длина вектора равна 2. Найти: 1) длину вектора ;

3. 4. 5. 6. 7. 8.

,

2) угол между вектором и вектором 3) площадь четырехугольника FMDE. Найти координаты точки N – конца вектора длины с началом в точке векторам и . Написать уравнение прямой, проходящей через середину отрезка перпендикулярной прямой Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости точки и . Написать уравнение прямой, проходящей через две точки и . Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . Для заданных матриц и решить матричное уравнение: ,

5

и

, где М –

, перпендикулярного и и проходящей через

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 3 1.

ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы , и , где N – середина стороны DE, а M – точка пересечения продолжений сторон AB и CD. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов

и .

2.

ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1). Длина вектора 2) угол между вектором и вектором ; 3) площадь треугольника MND.

3.

Найти вектор , компланарный векторам и , если известно, что его длина равна , а проекция на ось равна 1. Найти угол между высотой и медианой треугольника АВС, проведенных из вершины , если , и . Написать уравнение плоскости, параллельной двум векторам и и проходящей через начало координат.

4. 5. 6.

Пересекаются ли прямые

и

7.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:

8.

Для заданных матриц

и

равна 4. Найти: 1) длину вектора ;

?

решить матричное уравнение:

6

,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 4 1.

ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы

2.

пересечения продолжений сторон АВ и EF. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и . ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1). Длина вектора равна 1. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между вектором и вектором ; 3) площадь треугольника MBD.

3. 4. 5. 6.

Найти вектор , перпендикулярный вектору и имеющий проекцию на ось , равную 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку равноудалены. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости расстоянии 2 от начала координат. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и

7. 8.

,

,

составляющий так, что точки

7

, где М – точка

угол в 450 с вектором и

от нее

и находящейся на и параллельную двум прямым

.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . Для заданных матриц и решить матричное уравнение:

и

,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 5 1.

ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы вектор в виде линейной комбинации векторов

2.

ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1) со стороной между вектором

3. 4. 5. 6.

Найти вектор

8.

и

. Представить

. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол

; 3) площадь параллелограмма, построенного на векторах

, перпендикулярный вектору

и компланарный векторам

и . и

, если известно, что его длина равна . Написать уравнение прямой, относительно которой точки и находятся на одинаковом расстоянии. и точку . Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Написать уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной двум прямым и

7.

и вектором

,

и .

.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . Для заданных матриц и решить матричное уравнение:

8

,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 6 1.

2.

ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы , и , где М – точка пересечения продолжений сторон BC и DE, N – точка пересечения продолжений сторон АВ и CD. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и . ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1) со стороной 3. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между вектором

и вектором ; 3) площадь треугольника BEN.

4.

Найти вектор , перпендикулярный вектору и образующий равные углы с векторами и , если известно, что его длина равна . Написать уравнение биссектрис углов, образованных прямыми и .

5.

Написать уравнение плоскости, содержащей ось

6.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку

3.

и

и отстоящей от точки

и параллельную двум прямым

.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . 8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение: 7.

9

на расстоянии

,

.

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 7 1.

2.

ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы , и , где М – точка пересечения продолжений сторон CD и FE . Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и . ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1) со стороной 2. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между вектором

3. 4. 5. 6.

Найти

и вектором ; 3) модуль векторного произведения векторов

вектор

перпендикулярный

двум

векторам

и . и

если

параллелепипеда, построенного на векторах , и равен 28. Написать уравнение прямой, все точки которой равноудалены от двух параллельных прямых и . Написать уравнение плоскости, все точки которой равноудалены от двух параллельных плоскостей и . Написать уравнение плоскости, содержащей прямую

и параллельной прямой

. 7.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: и решить матричное уравнение:

8. Для заданных матриц

10

. ,

объем

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 8 1.

ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы

2.

вектор в виде линейной комбинации векторов и . ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1) со стороной 1. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между вектором

и вектором ; 3) модуль векторного произведения векторов

и

. Представить

.

единичный вектор , составляющий равные углы с векторами , и . 4. Дан параллелограмм ABCD с вершинами , , и . Написать уравнение прямой, относительно которой все его вершины равноудалены. 5. Написать уравнение плоскости, содержащей ось и равноудаленной от двух точек и . 6. Найти координаты точки, симметричной точке относительно плоскости . 7. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . 8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение: , 3.

Найти

и

,

11

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 9 1.

ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы

2.

пересечения продолжений сторон CD и FE. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и . ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1) со стороной 2. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между

3. 4. 5. 6.

вектором и вектором ; 3) площадь треугольника ACM. Даны три вектора и построенного на векторах , и . Дан параллелограмм ABCD с вершинами , проведенной из вершины A на сторону ВС. Даны четыре точки , , и прямой и равноудаленной от всех четырех точек. Найти координаты точки, симметричной точке

и

,

Найти и

параллелепипеда,

. Написать уравнение прямой высоты, Написать уравнение плоскости, параллельной

относительно прямой

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . 8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение: 7.

12

объем

, где М – точка

,

.

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 10 1.

ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы , и , где М – точка пересечения продолжений сторон BC и DE, а N – точка пересечения продолжений сторон AF и BC. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов

2. 3. 4. 5.

ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1) со стороной 1. Найти: 1) длину вектора

; 2) угол

между вектором и вектором ; 3) площадь четырехугольника ABMF. Даны три вектора , и . При каком значении вектор будет перпендикулярен вектору ? Дан треугольник ABC с вершинами , и . Написать уравнение прямой биссектрисы угла при вершине А. Даны три точки , и . Написать уравнение плоскости, параллельной АС и вектору

6.

и .

и равноудаленной от точек A, B и C.

Найти проекцию прямой

на плоскость

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . 8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение:

.

7.

13

,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 11 1.

ABCD – прямоугольник. Рассматриваются векторы

2.

Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и . ADCD – прямоугольник (см. задачу 1), длины сторон которого равны: вектора

; 2) угол между вектором

и

,

, где М – середина стороны ВС. . Найти: 1) длину

и вектором ; 3) площадь параллелограмма, построенного на векторах

и . 3. 4. 5. 6.

Даны три вектора

,

и

. Найти вектор , перпендикулярный векторам

и , такой, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна . Дан треугольник ABC с вершинами , и . Написать уравнение прямой медианы треугольника, проведенной из вершины B, и найти угол между этой медианой и биссектрисой угла А. Написать уравнение плоскости, все точки которой равноудалены от двух плоскостей и . Найти уравнение прямой, симметричной прямой

относительно плоскости

. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: 8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение: 7.

14

. ,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 12 1.

ABCD – прямоугольник. Рассматриваются векторы

2.

BC, N – середина стороны CD. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и . ADCD – прямоугольник (см. задачу 1), длины сторон которого равны: . Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между вектором

3. 4. 5. 6.

Даны три вектора

,

и

,

, где М – середина стороны

и вектором ; 3) площадь четырехугольника AMCN. и

. Найти вектор

, коллинеарный вектору

, такой, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , равен 9. Дан треугольник ABC с вершинами , и . Точки и симметричны вершинам A и C относительно прямых BC и АВ. Написать уравнение прямой . Найти угол, который составляет плоскость, проходящая через точки , и , с координатной плоскостью ZOY. Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

и

7. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: 8. Для заданных матриц

и

. решить матричное уравнение:

15

,

.

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 13 1.

ABCD – прямоугольник. Рассматриваются векторы

2.

ВС. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и . ADCD – прямоугольник (см. задачу 1), длины сторон которого равны: вектора

3.

; 2) угол между вектором

Даны три вектора

и

,

4.

. Найти: 1) длину

и вектором ; 3) модуль векторного произведения и

,

и

,

5.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку составляющую угол 450 с плоскостью .

6.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку

и , равна

7.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:

8.

Для заданных матриц

решить матричное уравнение:

16

и

, если известно, что

. Написать уравнение прямой, симметричной параллельно вектору перпендикулярно прямой

.

и

и .

. Найти вектор , компланарный векторам

, и такой, что площадь параллелограмма, построенного на векторах проекция вектора на ось OZ равна 1. Дан треугольник ABC с вершинами прямой АВ относительно прямой АС.

, где М – середина стороны

. ,

и

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 14 1.

ABCD – прямоугольник. Рассматриваются векторы

2.

сторон АВ, BC и CD соответственно. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и . ABCD – прямоугольник (см. задачу 1), длины сторон которого равны: . Найти: 1) длину

3. 4. 5. 6.

вектора

; 2) угол между вектором

векторах

и .

и вектором

и

,

, где М, N и P – середины

; 3) площадь параллелограмма, построенного на

Даны три вектора , и . Найти вектор длины 3, компланарный векторам и и перпендикулярный вектору . Дан треугольник ABC с вершинами , и . Написать уравнение прямой, симметричной прямой медианы, проведенной из вершины A, относительно прямой ВС. Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями и . Написать уравнение прямой перпендикуляра, опущенного из точки

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . 8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение: 7.

17

,

на прямую

.

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 15 1.

2.

ABCD – прямоугольник. Рассматриваются векторы , и , где точки М и N расположены на стороне BC так, что . Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и . ADCD – прямоугольник (см. задачу 1), длины сторон которого равны: вектора векторах

3.

; 2) угол между вектором

. Найти: 1) длину

и вектором ; 3) площадь параллелограмма, построенного на

и .

Даны три вектора

,

и

. Найти вектор , перпендикулярный оси

,

компланарный векторам и и имеющий проекцию на вектор равную . Дан треугольник ABC с вершинами , и . Написать уравнение прямой средней линии треугольника, параллельной стороне АС, и найти расстояние между этой прямой и стороной АС. 5. Две параллельные плоскости и пересекают плоскость по двум параллельным прямым. Найти расстояние между этими прямыми. 6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной двум плоскостям и . 7. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . 8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение: , 4.

18

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 16 1.

В прямоугольном параллелепипеде

2.

, где E – середина ребра . Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , В прямоугольном параллелепипеде (см. задачу 1) длины ребер равны: .

рассматриваются векторы

1) длину вектора ; 2) угол между вектором векторах , 3. 4.

5. 6.

и

,

и . Найти:

и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной на

и .

Даны три вектора , и . Найти вектор , если известно, что его проекции на векторы , и равны , и соответственно. Дан четырехугольник ABCD с вершинами , , и . Через точки B и D проведены прямые, перпендикулярные диагонали АС. Написать уравнения этих прямых и найти расстояние между ними. Написать уравнение плоскости, перпендикулярной двум плоскостям и и проходящей через точку . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: 8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение:

и прямую

7.

19

. .

,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 17 1.

В прямоугольном параллелепипеде , где E – середина ребра

2.

рассматриваются векторы . Представить вектор

и

,

в виде линейной комбинации векторов ,

В прямоугольном параллелепипеде (см. задачу 1) длины ребер равны: 1) длину вектора ; 2) угол между вектором векторах ,

и . . Найти:

и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной на

и .

5.

Даны три вектора: , и . Найти вектор , компланарный с векторами и , имеющий проекции на векторы и , равные и соответственно. Дан четырехугольник ABCD с вершинами , , и . Точки и . симметричны точкам B и C относительно диагоналей АС и BD . Написать уравнение прямой Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости , параллельной вектору

6.

Найти координаты точки пересечения прямой

3. 4.

и проходящей через точку

. и плоскости

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . 8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение: 7.

20

,

.

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 18 1.

В прямоугольном параллелепипеде , где M, E, N и P – середины ребер

2.

рассматриваются векторы ,

и

,

,

и

. Представить вектор

в виде линейной

комбинации векторов , и . В прямоугольном параллелепипеде (см. задачу 1) длины ребер равны: 1) длину вектора на векторах

,

. Найти:

; 2) угол между вектором

и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной

и

. Найти вектор , компланарный с векторами

и .

3.

Даны три вектора

4.

и , перпендикулярный вектору , если известно, что объем пирамиды, построенной на векторах , и равен 4. Прямые и являются диагоналями параллелограмма. Точки и лежат на противоположных его сторонах. Написать уравнения сторон параллелограмма, содержащих точки M и N.

,

5.

Написать уравнение плоскости, перпендикулярной и .

6.

Найти расстояние между параллельными прямыми

7.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: 4

8.

Для заданных матриц

и

вектору

, равноудаленной от точек и

решить матричное уравнение:

21

. .

,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 19 1.

В прямоугольном параллелепипеде , где M, Е и N – середины ребер

2.

1) длину вектора

4. 5. 6.

и

и

,

соответственно. Представить вектор

линейной комбинации векторов , и . В прямоугольном параллелепипеде (см. задачу 1) длины ребер равны: векторах ,

3.

рассматриваются векторы ,

;

2) угол между вектором

и вектором ;

в виде . Найти:

3) объем пирамиды, построенной на

и .

Даны три вектора , и . Найти вектор , перпендикулярный векторам и , проекция которого на вектор равна . Прямые и являются диагоналями квадрата со стороной . Написать уравнения сторон квадрата. Написать уравнение плоскости, параллельной вектору , проходящей через точку и равноудаленной от точек и . Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и

. 7. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: 8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение:

22

. ,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 20 1.

В прямоугольном параллелепипеде , где E и M – середины ребер

2.

4. 5.

. Представить вектор

; 2) угол между вектором

и

и вектором

. Найти: 3) объем пирамиды, построенной на

векторах , и . Три вектора , и имеют общее начало. Вычислить площадь треугольника, вершины которого совпадают с концами этих векторов. Прямые и являются диагоналями параллелограмма с вершинами . Написать уравнения сторон параллелограмма, если площадь его равна 16 . и Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости , проходящей через точку и удаленной от начала координат на расстояние

6.

,

в виде линейной комбинации векторов

, и . В прямоугольном параллелепипеде (см. задачу 1) длины ребер равны: 1) длину вектора

3.

рассматриваются векторы и

.

Написать уравнение прямой, параллельной прямым

ними плоскости, все точки которой равноудалены от прямых Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: 8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение:

и и

.

7.

23

, лежащей в одной с .

,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 21 1. 2.

3. 4. 5.

6.

В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы

параллельных прямых 7. 8.

и

,

, где E, M и N –

середины ребер DB, BC и AC. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и . В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника ABC – прямой, длины ребер равны: . Найти: 1) длину вектора 2) угол между вектором и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной на векторах , и . Три вектора , , и вектор имеют общее начало. Найти объем пирамиды, вершины которой совпадают с концами векторов . В треугольнике АВС заданы уравнения стороны и стороны , а также медианы . Найти уравнение стороны АС. Заданы две параллельные плоскости и . Написать уравнение плоскости, параллельной заданным, не лежащей между ними, и такой, что расстояние до одной из них в два раза больше, чем до другой. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку такую, что каждая точка пары и

равноудалена от этой плоскости.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: Для заданных матриц и решить матричное уравнение: .

24

. ,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 22 1.

В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы

2.

середины ребер DB и AD. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и . В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника ABC – прямой, длины ребер равны: между вектором

и вектором

и

,

. Найти: 1) длину вектора

3) объем параллелепипеда, построенного на векторах ,

3.

Три вектора

4.

Найти параметр , если известно, что объем пирамиды с вершинами в концах векторов В треугольнике АВС заданы уравнения высот и вершин B и C, а также координаты вершины . Найти уравнение стороны ВС.

,

и вектор

,

5.

Написать уравнение плоскости, параллельной вектору длине равные 3 и 4 соответственно.

6.

При каком значении

7.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . Для заданных матриц и решить матричное уравнение:

8.

, где M и E –

прямые

и

.

25

2) угол

и .

имеют общее начало.

, отсекающей на осях пересекаются?

,

равен 3. , проведенных из и

отрезки, по

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 23 1.

В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы

2.

центры тяжести треугольников АВС и DBC . Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и . В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника

4. 5.

, где E и M –

. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между

ABC – прямой, длины ребер равны: 3.

и

,

вектором и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной на векторах , и . Три вектора , , имеют общее начало в точке О. Найти площадь полной поверхности пирамиды с вершинами в концах векторов , , и точке О. В треугольнике АВС заданы уравнения медианы и высоты , проведенных из вершины A, а также координаты вершины . Найти уравнение стороны АВ. Заданы две параллельные плоскости и . Написать уравнение плоскости, лежащей между ними, и такой, что расстояние до одной из них в два раза больше, чем до другой.

6.

Найти расстояние от точки

до прямой

7. 8.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: Для заданных матриц и решить матричное уравнение:

.

.

26

. ,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 24 1.

В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы

2.

N – середины ребер АС, AB и BC. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и . В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника ABC – прямой, длины ребер равны: между вектором

3. 4. 5. 6.

, где P, M и

. Найти: 1) длину вектора

и вектором ; 3) объем параллелепипеда, построенного на векторах ,

; 2) угол

и .

Три вектора , , имеют общее начало в точке О. Найти вектор с началом в точке О, симметричный вектору относительно плоскости векторов и . В треугольнике АВС прямая является медианой и высотой, проведенной из вершины A. Ось ОХ является прямой медианы, проведенной из вершины Найти уравнение АС. Треугольная пирамида задана вершинами , , и . Написать уравнение плоскости, проходящей через середины ребер AD и BD параллельно ребру CD. Написать уравнение плоскости, каждая точка которой равноудалена от двух параллельных прямых и

7. 8.

и

,

.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: Для заданных матриц и решить матричное уравнение: .

27

. ,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 25 1.

В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы

и

,

, где E – центр

6.

тяжести треугольника DBC . Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и . В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника ABC – прямой, длины ребер равны: . Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между вектором и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной на векторах , и . Три вектора , , имеют общее начало в точке O. Вектор симметричен вектору относительно прямой, содержащей вектор . Вектор симметричен вектору относительно прямой, содержащей . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , . Точки , и являются серединами сторон АВ, BC и АС треугольника АВС. Найти уравнения сторон треугольника. Треугольная пирамида задана вершинами , , и . Написать уравнение плоскости грани ADC и найти двугранный угол при ребре DC. Написать уравнение прямой, каждая точка которой равноудалена от трех точек , и

7. 8.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: Для заданных матриц и решить матричное уравнение:

2.

3.

4. 5.

.

28

. ,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 26 1.

В треугольной призме

2.

M – середины ребер и . Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и . Сторона основания правильной треугольной призмы (см. задачу 1) равна 1, а ее высота равна 3. Найти: 1) длину вектора

3. 4. 5. 6. 7. 8.

рассматриваются векторы

; 2) угол между вектором

и вектором

и

,

, где E и

3) объем пирамиды, построенной на

векторах , и . Три вектора , , имеют общее начало в точке O и концы в точках A, B и C соответственно. Точка M – середина отрезка OC. Найти площадь треугольника АВМ. Точки и являются серединами сторон АВ и АС треугольника АВС. Найти уравнение стороны BC, если заданы координаты вершины При каком значении α плоскость отсекает от координатных осей треугольную пирамиду объема 25? Написать уравнение плоскости такой, что каждая точка прямых равноудалена от этой плоскости. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . Для заданных матриц и решить матричное уравнение:

29

и

,

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 27 1.

В треугольной призме M

2.

– середины ребер

4. 5. 6. 7. 8.

, а N – центр грани

, . Представить вектор

и

, где E и в виде линейной

комбинации векторов , и . Сторона основания правильной треугольной призмы (см. задачу 1) равна 2, а ее высота равна 4. Найти: 1) длину вектора

3.

рассматриваются векторы и

; 2) угол между вектором

и вектором ; 3) объем параллелепипеда, построенного

на векторах , и . Три вектора , , имеют общее начало в точке O и концы в точках A, B и C соответственно. Точки М и N – середины отрезков BC и ОС. Найти площадь треугольника AMN. Точка – середина стороны АС треугольника АВС. Найти уравнение стороны ВС, если заданы координаты вершин и . При каких значениях , плоскость проходит через точку и перпендикулярна плоскости ? Треугольная пирамида задана своими вершинами , , и . Написать уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины D. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . Для заданных матриц и решить матричное уравнение: ,

30

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 28 1.

В треугольной призме

2.

середина ребра AB. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и . Сторона основания правильной треугольной призмы (см. задачу 1) равна 2, а ее высота равна 3. Найти:

рассматриваются векторы

1) длину вектора на векторах , 3. 4.

; 2) угол между вектором

и

,

и вектором ; 3) объем параллелепипеда, построенного

и .

В треугольной призме известно, что , , . Через середины ребер АВ и АС параллельно проведена плоскость. Найти площадь сечения призмы. Точки и являются вершинами треугольника АВС, а прямая – его медианой. Написать уравнение прямой АС, если площадь треугольника АВС равна 11.

5.

При каких значениях , плоскость координатных осей пирамиду объемом 36?

6.

При каких значениях ,

прямая

параллельна вектору перпендикулярна плоскости

7. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: 8.

, где E –

Для заданных матриц

и

. решить матричное уравнение:

31

,

и отсекает от ?

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 29 1.

В правильной треугольной призме

рассматриваются векторы

, где M, N и P – центры боковых граней 2.

на векторах ,

4. 5. 6. 7. 8.

и

,

и

, а E – центр тяжести основания

АВС. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и . Сторона основания правильной треугольной призмы (см. задачу 1) равна 2, а ее высота равна 1. Найти: 1) длину вектора

3.

,

; 2) угол между вектором

и вектором ; 3) объем параллелепипеда, построенного

и .

В треугольной пирамиде ABCD известно, что , , . Через середины ребер DB и DC параллельно ребру AD проведена плоскость. Найти площадь сечения пирамиды. Прямые , и являются средними линиями треугольника АВС. Написать уравнение сторон треугольника АВС. При каких значениях , плоскости и параллельны? Треугольная пирамида задана своими вершинами , , и . Найдите угол между прямой DC и плоскостью основания АВС. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . Для заданных матриц и решить матричное уравнение: ,

32

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 30 1.

В правильной треугольной призме , где M и N – центры граней

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

рассматриваются векторы и

,

и

, а E – центр тяжести основания АВС. Представить

вектор в виде линейной комбинации векторов , и . Сторона основания правильной треугольной призмы (см. задачу 1) равна 2, а ее высота равна 1. 1) длину вектора 2) угол между вектором и вектором 3) объем пирамиды .

Найти:

В треугольной пирамиде ABCD известно, что , , Через середины ребер AD, AB и AC проведена плоскость. Найти площадь сечения пирамиды. Точки и являются вершинами треугольника АВС, а прямая – его высотой. Написать уравнение прямой ВС, если площадь треугольника АВС равна 15. При каких значениях , плоскость перпендикулярна плоскости и удалена от начала координат на расстояние ? Написать

уравнение

прямой,

пересекающей прямые

перпендикулярной им. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . Для заданных матриц и решить матричное уравнение:

33

и

,

и

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Наука, 1987. 2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1985. 3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1985.

34