Решение задач по теоретической механике. Часть 1. Статика: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

Реш ениезадач п о теоретич еской механике. Часть1. С татика. У ч ебно-методич ескоеп особиеп о сп ециал ьности 010501 (010200) П рикл адная математика и инф орматика.

В О РО Н Е Ж 2005

2

У тверж дено нау ч но-методич еским советом ф аку л ьтета П М М (21.02.05, п ротокол № 6)

С оставител и: Чеботарев А.С . Щ егл ова Ю .Д .

У ч ебно-методич ескоеп особиеп одготовл ено на каф едреТ еоретич еской и п рикл адной механики ф аку л ьтета П М М В оронеж ского госу дарственного у ниверситета. Рекоменду ется дл я сту дентов 2 ку рса сп ециал ьности 010501 (010200) «П рикл адная математика и инф орматика», п о дисцип л инеЕ Н .Ф .03.1. «Т еоретич еская механика».

3

О главле н ие . В ведение. § 1. О сновны еп оня тия механики. М еханич ескиемодел и. § 2. К л ассиф икация векторов. § 3. С татика. Аксиомы статики. § 4. П римеры действия сил в статике. § 5. С вободны е, несвободны етел а. В иды свя зей и ихреакции. § 6. У сл овия равновесия системы сил . § 7. П римеры . § 8. К онтрол ьны евоп росы дл я самоп роверки остаточ ны х знаний. § 9. Задания домаш ней контрол ьной работы . § 10. С п исок задач дл я самостоя тельного решения . Л итерату ра.

4 5 6 8 9 12 18 21 35 36 41 42

4

В ве д е н ие . У ч ебно-методич еское п особие п редназнач ено дл я сту дентов сп ециал ьности 010501 (010200) “П рикл адная математика и инф орматика” , обу ч аю щ ихся на втором ку рседневного отдел ения третьем ку рсевеч ернего отдел ения , п о дисцип л инеЕ Н .Ф .03.1. “Т еоретич еская механика” . С огл асно у ч ебному п л ану ау диторны е заня тия п о данной дисцип л ине вкл ю ч аю т2 ч аса л екций и 2 ч аса п рактич еских заня тий в неделю , в теч ение одного семестра. В то ж евремя , объем самостоя тельной работы отводимой на освоениеп редмета составл я ет68 ч асов (72 ч аса в/о). П редл агаемы й у ч ебнометодич еский материал п озвол я етсту дентам индивиду ал ьно изу ч ить один из разделов теоретич еской механики – статику . О п редел ения , п ол ож ения и п осту л аты , вводя щ иеся в статике, затем активно исп ол ьзу ю тся в динамике– основном раздел етеоретич еской механики. П особиевкл ю ч аеттеоретич еские основы оп ределения свя зей и их реакций, гл авного вектора и гл авного момента системы сил , у равнение равновесия дл я общ его и всех ч астны х сл у ч аев; и п рактич ескиеп римеры в видереш ения наибол еетип ич ны х задач статики. Т ак ж е в п особии содерж ится сп исок воп росов дл я самоконтрол я и п ереч еньзадач дл я самостоя тел ьного реш ения . И тогом изу ч ения статики дл я сту дентов ф аку л ьтета П М М я вл я ется реш ениеконтрол ьной работы , варианты которой п риводя тся в п особии, наря ду с разбором тип ич ной задач и п одобногорода.

5

§ 1. О с н овн ы е пон ятия м е хан ик и. М е хан иче с к ие м од е ли. О с н овн ы е пон ятия м е хан ик и. Т еорет ич ес к ая м еханик а – э то ч асть ф изики, которая изу ч ает механич ескоедвиж ениеи механич ескоевзаимодействиематериал ьны х тел. М еханич ес к ое дв иж ение – п еремещ ениетел относител ьно дру г дру га в п ространствеи времени. М еханич ес к ое в заим одейс т в ие – действие тел дру г на дру га, в резу л ьтате которого п роисходит л ибо изменение движ ения э тих тел л ибо изменениевзаимного п ол ож ения их ч астиц (деф ормация ). Зад ача м е хан ик и: состоит в оп исание объективны х законов механич еских ф орм движ ения материи и их изу ч ения с тем, ч тобы объя снить и п редсказатьконкретны едвиж ения материал ьны х объектов. В основекл ассич еской механики л еж атсл еду ю щ иеп оня тия : движ у щ ая ся материя (материал ьны етел а), п ространство и время , масса как мера инертности материал ьны х тел и сил а как мера механич еского взаимодействия меж ду телами. М е хан иче с к ие м од е ли. М атериал ьны е тел а в теоретич еской механике п редставл я ю тся п ростейш ими модел я ми: м ат ериальная т оч к а – тело, конеч ной массы , размерами которого мож но п ренебреч ь; с ис т ем а м ат ериальных т оч ек – совоку п ность нескол ьких тел , каж дое из которы х мож но сч итать материал ьной точ кой, п ри э том движ ение и п ол ож ениекаж дой точ ки зависитотдвиж ения и п ол ож ения остал ьны х точ ек; абсолют но т в ердое т ело (в дал ьнейш ем АТ Т ) – система материал ьны х точ ек, расстоя ние меж ду которы ми не меня ется п ри п роизвол ьны х п еремещ ения х э той системы ; с ис т ем а абс олют но т в ердых т ел. В се ф изич еские тел а п од вл ия нием п рил ож енны х сил изменя ю т свою ф орму , п рич ем велич ина деф ормации зависит от разл ич ны х у сл овий: материал а, ф ормы , вел ич ины и нап равл ения сил ы , темп ерату ры и т.д. Ж идкость и газ л егко деф ормиру ется , тверды етела (метал л , дерево, и др.) незнач ител ьно. В строител ьном дел е, маш иностроении и дру гих обл астях техники тела и нагру зки вы бираю т так, ч тобы возмож ны е деф ормации не вы ходил и за огранич енны е п редел ы , отсю да сл еду ет требование (у п рощ ение) – недеф ормиру емостьтел, и возникаетестественная абстракция АТ Т . О сновной кол ич ественной мерой механич еского взаимодействия тел , характеризу ю щ ей интенсивность и нап равл ение э того взаимодействия , я вл я ется сил а. П оня тия сил ы зародил ось из оп ы тны х п редставл ений о давл ении одного тела на дру гоеп ри неп осредственном их соп рикосновении, о п риведении тел а в движ ениеп ри п омощ и каната и ры ч ага, п отом обобщ ено на сил ы , возникаю щ ие

6

п ри у п ру гом деф ормировании тел , на взаимное п ритя ж ение небесны х тел, взаимодействиеэ л ектрич ески заря ж енны х ч астиц и т.д. С ил а изменя ет движ ение тел а, характер движ ения зависит от степ ени п одатл ивости тела ил и отстеп ени инертности тел а. Чем бол ьш еинертность тела, тем медл еннееизменя ется его движ ениеп од действием данной сил ы , и наоборот. М ерой инертности материал ьного тел а я вл я ется его масса, завися щ ая откол ич ества вещ ества. Д виж ение тел п роисходит в п ространстве с теч ением времени. В кл ассич еской механикедвиж ениемедл енноеп о сравнению со скоростью света. П ространство и время в теоретич еской механике п ринимаю тся абсол ю тны ми: прост ранс т в о – трехмерноеЕ вкл идово, однородноеи изотроп ное, в рем я одинаково во всех точ ках п ространства и дл я всех тел независимо отих движ ения . Д л я оп ределения п ол ож ения движ у щ егося тел а (ил и точ ки), с телом, п о отнош ению к которому изу ч ается движ ение, ж естко свя зы ваю т каку ю -л ибо систему координат, которая вместес тел ом образу етсистему отсч ета. О тсч ет времени ведется отнекоторого момента, которы й п ринимается за нач ал ьны й и обознач ается t 0 . М оментвремени t оп редел я ется ч исл ом секу нд, п рош едш их п осл енач ал ьного момента. П ромеж у ток времени – э то разностьдву х моментов. О сновны ми единицами измерения в системеС И я вл я ю тся : единица массы [m]=к г, дл ины [ l ]=м етр , времени [ t ]=с ек ун д а . С ил а в системеС И измеря ется кг⋅м в Н ью тонах, п ри э том Н = 2 . с О с н овн ы е разд е лы те оре тиче с к ой м е хан ик и: с т ат ик а изу ч аетзаконы и у сл овия равновесия материал ьны х объектов; к инем ат ик а изу ч ает геометрич еску ю сторону движ ения без п рич ин, вы звавш их это движ ениеи безу ч ета массы (свойства инертности); динам ик а изу ч аетдвиж ениес у ч етом п рич ин, вы звавш их движ ениеи с у ч етом массы . § 2. Клас с ифик ация ве к торов. В зависимости отсвойств ф изич еских велич ин, изображ аемы х векторами, векторы разделя ю тся на: 1) свободны е(ил и несвя занны е), 2) скол ьзя щ ие(ил и свя занны ес п ря мой, вдол ькоторой нап равл ен вектор), 3) неп одвиж ны е ил и п рил ож енны е (свя занны е с точ кой своего п рил ож ения ). С вободны й вектор изображ ает таку ю векторну ю вел ич ину , которая мож етбы ть отнесена к л ю бой точ кеп ространства, нетеря я п ри э том своего п ервонач ал ьного ф изич еского смы сл а, т.е. вся киедва равны х вектора в этом сл у ч аемогу тп редставл я ть ту ж есаму ю ф изич еску ю вел ич ину . Т ак, нап ример,

7

скорость п осту п ательного движ ения тела есть свободны й вектор, п отому ч то она мож ет бы ть отнесена к л ю бой точ ке (рис. 2.1.). С вободны й вектор оп ределя ется тремя ч исл ами (своими п роекция ми ax , ay и az ). С кол ьзя щ ий вектор изображ ает таку ю вел ич ину , которая , нетеря я своего п ервонач ал ьного ф изич еского смы сл а, мож етбы ть отнесена к л ю бой из точ ек, л еж ащ их на п ря мой DE, вдол ь которой нап равл ен вектор, т.е. одну и ту ж е ф изич еску ю вел ич ину могу тв э том сл у ч аеп редставл я тьтол ько те векторы , которы еодновременно равны дру г дру гу и нап равл ены вдол ь одной и той ж е п ря мой; э ту п ря му ю , на которой л еж ит вектор, назы ваю т основанием ил и л инией действия вектора (рис. 2.2.). П римером скол ьзя щ его вектора мож етсл у ж ить сил а, п рил ож енная к абсол ю тно твердому телу , ил и у гл овая скорость. Г еометрич ески скол ьзя щ ий вектор оп редел я ется : 1) п ря мой, на которой он л еж ит (основанием вектора); 2) дл иной отрезка, изображ аю щ его вектор; 3) стороной ил и нап равл ением действия (э то нап равл ение обознач ается стрелкой на концевектора). Анал итич ески скол ьзя щ ий вектор оп редел я ется п я тью ч исл ами, нап ример, тремя п роекция ми ax , ay , az вектора a и координатами х1 , y1 точ ки п ересеч ения п ря мой, вдол ь которой нап равл ен э тот вектор, с п л оскостью Oху. Н еп одвиж ны й вектор изображ ает таку ю ф изич еску ю вел ич ину , которая мож ет бы ть отнесена л иш ь к одной оп редел енной точ кеп ространства и теря ет свое п ервонач ал ьное ф изич еское знач ение, бу ду ч и отнесена ко вся кой дру гой точ ке п ространства. Т ак, скорость движ у щ ейся точ ки п редставл я етсобой вектор, свя занны й с э той точ кой. Н еп одвиж ны й вектор, таким образом, оп редел я ется ш естью ч исл ами: тремя п роекция ми вектора и тремя координатами точ ки п рил ож ения . П ри оп ерация х сл ож ения , у множ ения и диф ф еренцирования скол ьзя щ ие и неп одвиж ны евекторы рассматриваю тся как свободны е . Д ру гая кл ассиф икация векторов основана на том су щ ественном разл ич ии меж ду ними, ч то нап равл ение одних оп редел я ется неп осредственно п о ф изич ескому смы сл у велич ин, которы е этими векторами изображ аю тся (нап ример, сил а, скорость), тогда как дру гие имею т у сл овное нап равл ение, котороеф изич еским смы сл ом изображ аемы х ими вел ич ин оп редел я ется л иш ь косвенно (нап ример, у гл овая скорость, момент). П ервы евекторы назы ваю тся п ол я рны ми, а вторы е– аксиал ьны ми ил и осевы ми.

8

В ы бор нап равл ения аксиал ьного вектора зависит от вы бора п ол ож ительного нап равл ения вращ ения , дру гими сл овами, отвы бора п равой ил и л евой системы координат. П ереход ж еотп равой системы к л евой (ил и обратно) мож етбы ть соверш ен п ростой заменой п ол ож ительного нап равл ения осей на отрицательны е. Д ействительно, п равая система Oxyz п ри замене п ол ож ительны х нап равл ения осей на отрицательны е образу ет п оказанну ю п у нктиром л еву ю систему координатOx′y ′z ′ , которая никакими п оворотами не мож етбы тьсовмещ ена с п равой (рис.2.3.). Заметив это, л егко сообразить, ч то п роекции п ол я рного вектора, сохраня ю щ его свою ориентацию в п ространстве, п ри замене осей на п ря мо п ротивоп ол ож ны еизменя ю тсвой знак, тогда как п роекции осевы х векторов, меня ю щ их п ри э том своенап равл ениетакж ена п ротивоп ол ож ное, дол ж ны бу ду тего сохранить. Н а основании э того мож но дать дру гое оп редел ение п ол я рны х и аксиал ьны х векторов. П ол я рны м вектором назы вается такой вектор, п роекции которого п ри изменении нап равл ения координатны х осей на п ря мо п ротивоп ол ож ны еменя ю тсвой знак. Аксиал ьны м вектором назы вается такой вектор, п роекции которого п ри изменении нап равл ения координатны х осей на п ря мо п ротивоп ол ож ны енеменя ю тсвой знака. § 3. С татик а. Ак с иом ы . О сновная задач а статики – найти необходимы еи достаточ ны еу сл овия равновесия тел а ил и системы тел п од действием п рил ож енны х сил . В основестатики л еж атсл еду ю щ иеаксиомы : 1. Е сл и на свободноеАТ Т действу ю тдвесил ы , то тело мож етнаходиться в равновесии тогда и тол ько тогда, когда э ти сил ы равны п о моду л ю и нап равл ены вдол ь одной п ря мой в п ротивоп ол ож ны е стороны (рис.3.1.). 2. Д ействие данной системы сил на АТ Т не изменя ется , есл и к ней п рибавить ил и отнееотня ть у равновеш енну ю систему сил . С л едствие: действие сил ы на АТ Т не изменится , есл и п еренести точ ку п рил ож ения сил ы вдол ьеел инии действия в л ю бу ю дру гу ю точ ку тел а. F – скол ьзя щ ий вектор (см. § 2). 3. Закон п арал л елограмма сил . Д весил ы , п рил ож енны ек тел у в одной точ ке, имею травнодейству ю щ у ю , равну ю геометрич еской (векторной) су мме э тих сил и п рил ож енну ю в той ж еточ ке(рис. 3.2.).

9

4. Закон равенства действия и п ротиводействия . Д ва тел а действу ю тдру г на дру га с сил ами равны ми п о велич ине, п ротивоп ол ож ны ми п о нап равл ению , л еж ащ ими на одной п ря мой и п рил ож енны ми к разны м телам (п ринцип действия -п ротиводействия ) (рис. 3.3.). 5. П ринцип отвердевания . Равновесие изменя емого (деф ормиру емого) тела, находя щ егося п од действием данной системы сил , ненару ш ится , есл и тело сч итатьабсол ю тно тверды м. § 4. П рим е ры д е йс твия с ил вс татик е . 1. С осредоточ енная сил а – сил а, действу ю щ ая в одной точ ке, я вл я ется абстракцией сил ы , действу ю щ ей на небол ьшой у ч асток. Размерность сосредоточ енной сил ы [ F ]=Н (рис.3.2.). 2. Расп редел енны есил ы – сил ы , действу ю щ иена некотором отрезке дл ины , у ч астке п оверхности, ч асти объема. О ни характеризу ю тся H H H интенсивностью q, размерность которой [q]= , [q]= 2 , [q]= 3 на отрезке, м м м у ч астке п оверхности, ч асти объема, соответственно. Расп редел енны е сил ы , действу ю щ ие на отрезке дл ины , п риводя тся к равнодейству ю щ ей, л иния действия которой п роходит ч ерез точ ку С , где точ ка С – центр тя ж ести п л ощ ади ф игу ры (рис 4.1 – 4.3.).

10

3. М оментсил ы относительно центра. Е сл и п од действием п рил ож енной сил ы тел о мож етсоверш ать вращ ение вокру г некоторой точ ки, то вращ ательны й э ф ф ект сил ы характеризу ется моментом сил ы . Размерностьмомента сил ы m0 ( F ) = H ⋅ м . Т оч ку , относител ьно которой берется момент, назы ваю т центром момента, а моментсил ы относительно э той точ ки – моментом относительно центра.

[

]

Рассмотрим сил у F , п рил ож енну ю к тел у в точ ке А (рис. 4.4.). И з некоторого центра О оп у стим п ерп ендику л я р на л инию действия сил ы F ; дл ину h э того п ерп ендику л я ра назы ваю тп л еч ом сил ы F относител ьно центра О . М ом ент силы от нос ит ельно цент ра О равен векторному п роизведению радиу с-вектора r = О А , п роведенного из центра О в точ ку А , гдеп рил ож ена сил а, на саму сил у m 0 F = [ r ,F ] ,

( )

 ∧  m 0 F = F ⋅ r sin r , F  = F ⋅ h .   m 0 F = 0 тол ько в том сл у ч ае, когда л иния действия сил ы п роходитч ерез центр О . Т аким образом, моментнап равл ен п ерп ендику л я рно п л оскости,

( )

( )

11

п роходя щ ей ч ерез центр О и сил у в ту сторону , отку да сил а видна стремя щ ейся п оверну тьтело вокру г центра О п ротив хода ч асовой стрелки. 4. М оментсил ы относительно точ ки в п л оском сл у ч ае. М оментсил ы F относительно точ ки О (рис. 4.5.) в п л оском сл у ч аея вл я ется F на ал гебраич еской вел ич иной, равной п роизведению моду л я сил ы кратч айш ее расстоя ние h от точ ки О до л инии действия сил ы , взя той с оп ределенны м знаком. Е сл и сил а F стремится п оверну ть тел о вокру г точ ки О п ротив хода ч асовой стрелки, то момент сил ы п ол ож ителен, есл и в нап равл ении п о ч асовой стрелке, то момент отрицателен, h назы вается п л еч ом сил ы .

( ) m0 (F2 ) = − F2 h2 m0 (F3 ) = 0 , h3 = 0 m0 F1 = F1h1

5. М оментсил ы относительнооси. П роекция вектора m 0 F , то есть момента сил ы F относительно центра О на каку ю -нибу дьосьl, п роходя щ у ю ч ерез этотцентр, назы вается м ом ент ом с илы F от нос ит ельно ос и l, обознач ается ml F . М оментсил ы относительно оси

( )

( )

( )

ml F характеризу етвращ ательны й э ф ф ектсил ы F , когда э та сил а стремится п оверну тьтело относительно оси l. В елич ина момента сил ы относительно оси мож ет бы ть найдена п о сл еду ю щ ему ал горитму : 1) Через точ ку В (точ ку п рил ож ения сил ы F ) п роводя т п л оскость, п ерп ендику л я рну ю оси l. 2) сил у F раскл ады ваю тна две (см. § 3, аксиома 3) составл я ю щ ие п роекции: F 1 ⊥ l F 2 || l . П ри э том п оворотвокру г оси l бу детсоверш ать тол ько сил а F1 , а сил а F2 мож етл ишь

( )

сдвину тьтело вдол ьоси l, ml F2 = 0. 3) ч ерез точ ку А п роводя т п ря му ю , п ерп ендику л я рну ю л инии действия сил ы F1 . 4) М оду л ь момента сил ы F относительно оси l оп ределя ется п о ф орму л е: | ml ( F ) |= ml (F1 ) = h | F1 | .

12

Е сл и с п ол ож ительного конца оси сил а F1 стремится п оверну ть тело вокру г точ ки А п ротив хода ч асовой стрел ки, то моментсил ы п ол ож ител ен, есл и в нап равл ении п о ч асовой стрелке, то момент отрицател ен. М омент сил ы относительно оси равен ну л ю , есл и л иния действия сил ы п арал л ел ьна оси ил и п ересекаетэ ту ось. 6. П ара сил . П арой сил назы вается система дву х равны х п о моду л ю , п арал л ел ьны х и нап равл енны х в п ротивоп ол ож ны е стороны сил , действу ю щ их на АТ Т (рис. 4.7.). П л оскость, п роходя щ ая ч ерез л инии действия сил п ары , назы вается п л оскостью действия п ары . Расстоя ние d меж ду л иния ми действия сил п ары назы вается п л ечом п ары . Д ействиеп ары сил на твердое тело сводится к вращ ател ьному э ф ф екту , которы й характеризу ется вел ич иной, назы ваемой моментом п ары . М ом ент ом пары назы вается вектор m = [ AB, F ] = m A ( F ) = m B ( F ′ ) : 1) моду л ь m = F ⋅ d = F ′ ⋅ d ; 2) нап равл ен п ерп ендику л я рно п л оскости действия п ары в ту сторону , отку да п ара видна стремя щ ейся п оверну ть тело п ротив хода ч асовой стрел ки. С войства п ар сил : 1) п ару мож но п ереноситьку да у годно в п л оскости действия п ары ; 2) у данной п ары мож но п роизвол ьно меня ть моду л и сил ил и дл ину п л еч а, сохраня я еемоментнеизменны м; 3) п ару мож но п еренести из данной п л оскости в л ю бу ю дру гу ю п л оскость, п арал л ел ьну ю данной, без изменения действия на АТ Т . § 5. С вобод н ы е , н е с вобод н ы е те ла. В ид ы с вязе й и их ре ак ции. Т вердое тело назы вается свободны м, есл и его движ ение нич ем не огранич ено. В бол ьш ей ч асти технич еских задач встречаю тся л иш ь несвободны етверды етела. Н есвободны м назы вается такоетвердоетел о, на которое нал ож ены свя зи, огранич иваю щ ие его движ ение в некоторы х нап равл ения х. Н ап ример, дл я стол а, стоя щ его на п ол у , свя зью я вл я ется п ол , которы й не даетстол у п еремещ аться вертикал ьно вниз. П ри этом, стол оказы ваетна п ол действие, котороеназы вается сил ой давл ения на свя зь. В свою оч ередь, п ол оказы вает п ротиводействие , то есть действу ет на стол с сил ой, равной давл ению , но п ротивоп ол ож но нап равл енной. Э та сил а назы вается реакцией свя зи. П ри э том, сил а давл ения п рил ож ена к свя зи, а реакция свя зи п рил ож ена к тел у .

13

В се сил ы , действу ю щ ие на твердоетело, мож но раздел ить на две гру п п ы : сил ы активны еи реакции свя зей. Реакция свя зи всегда нап равл ена в сторону , п ротивоп ол ож ну ю той, ку да свя зь не дает двигаться . В ел ич ина реакции, а в некоторы х сл у ч ая х и нап равл ение, завися тотвнеш них сил , п рил ож енны х к тел у . Е сл и внеш ниесил ы отсу тству ю т, то отсу тству ю ти реакции свя зей. У равнения статики нап исаны дл я свободны х тел , п оэтому ну ж но какимто образом, свести рассмотрениенесвободного тела к свободному телу . Э той цел и сл у ж ит принцип ос в обож даем ос т и от с в язей (ак с иом а несв ободного т ела): “несвободноетел о мож но рассматривать как свободное, есл и мы сл енно отброситьсвя зи и заменитьих действия реакция ми свя зей” . Рассмотрим основны евиды свя зей. Ш арнирно-неподв иж ная опора (цилиндрич ес к ий шарнир). П римером ш арнирнонеп одвиж ной оп оры могу т сл у ж ить п етл и дверны х и оконны х рам, п одш ип ники и т.д. С вя зь п редставл я ет собой ж естко закреп л енны й п ол ы й цил индр, в которы й вставл ен сп л ош ной цил индр (рис. 5.1.). П ри э том вну тренний цил индр свободно вращ ается относител ьно внеш него, но не мож ет сдвину ться в п л оскости п ерп ендику л я рной оси цил индра. В дол ь оси цил индра сдвиг возмож ен, п оэ тому реакция л еж ит в п л оскости, п ерп ендику л я рной оси цил индра (рис. 5.2.). Н ап равл ениереакции зависитотвнеш них сил , п рил ож енны х к тел у . Реакция п роходитч ерез центр ш арнира и точ ку соп рикосновения вну треннего и внеш него цил индров.

Д л я у добства п ри реш ении задач реакция ш арнира раскл ады вается на две взаимно п ерп ендику л я рны есоставл я ю щ ие(рис. 5.3.).

14

С в ободное опирание.

Н а рис.5.4.(а ,б,в) п риведены п римеры свободного оп ирания . П ри свободном оп ирании реакция нап равл ена п ерп ендику л я рно общ ей касател ьной в точ ке соп рикосновения тел а и свя зи в сторону , п ротивоп ол ож ну ю той, ку да свя зьнедаеттел у двигаться .

15

В п римерена рис.5.4.а дл я точ ки А общ ей касател ьной я вл я ется п оверхность п ол а, а дл я точ ки В п оверхность самой бал ки. Н а рис.5.4.б общ ей касател ьной дл я точ ки D я вл я ется п оверхность бал ки, а дл я точ ки С п оверхность оп оры . Н а рис.5.4.в общ ая касательная – это воображ аемая л иния , обознач енная п у нктиром. Ш арнирно-подв иж ная опора (к ат ок ). Реакция катка оп редел я ется так ж е, как и п ри свободном оп ирании (рис. 5.5.а ,б).

Н ев ес ом ый с т ерж ень с дв ум я шарнирам и. Е сл и в задач евстреч ается невесомы й стерж ень с дву мя ш арнирами, то реакция нап равл ена вдол ь стерж ня . Т оч ка п рил ож ения реакции находится на теле, освобож даемом от свя зи. Н ап равл ение реакции обу сл овл ено внеш ней нагру зкой. Е сл и реакция нап равл ена к разрезу , как в точ кеС , то стерж ень растя ну т. Е сл и реакция нап равл ена отразреза, как в точ ках А и В , то стерж ень сж ат(рис. 5.6 а ,б).

Гибк ие св язи (цепи, в ерев к и, к анат ы, и т .д.). Реакция гибкой свя зи всегда нап равл ена вдол ь свя зи от тел а, так как такая свя зьмож етбы тьтол ько растяну той. Блок . Бл ок – это гибкая свя зь, у которой второй конец п ереброш ен ч ерез диск и на концеп рил ож ена сил а (гру з), (рис.5.7.а ). Бл ок меня етнап равл ениесил ы , но неменя етеевелич ины . П рименя я п ринцип освобож даемости отсвя зи в этом

16

сл у ч ае, отбрасы ваем гру з вместе с диском. Т оч ка п рил ож ения реакции находится на тел е. Реакция нап равл ена такж е, как в сл у ч ае гибкой свя зи (рис.5.7.б).

С ферич ес к ий шарнир. Э тот вид свя зи встреч ается тол ько в п ространственны х задач ах. С ф ерич еский ш арнир п редставл я етсобой двевл ож енны едру г в дру га сф еры . В неш ня я сф ера ж естко закреп л ена, а вну трення я свободно вращ ается . К ак и в сл у ч аецил индрич еского ш арнира, реакция п роходит ч ерез центр ш арнира, и точ ку соп рикосновения сф ер. Е енап равл ениеи вел ич ина обу сл овл ены внеш ней нагру зкой. Для у добства реакцию раскл ады ваю т на три взаимно п ерп ендику л я рны е составл я ю щ ие (рис. 5.8. а ,б). П одпят ник . К ак и сф ерич еский ш арнир, п одп я тник встречается , в основном, в п ространственны х задач ах. О н п редставл я етсобой цил индрич еский ш арнир с у п ором на одном конце, п оэ тому к дву м составл я ю щ им реакции

17

цил индрич еского ш арнира добавл я ется реакция оту п ора, которая нап равл ена всегда в сторону п ротивоп ол ож ну ю у п ору (рис. 5.9.а ,б). В точ кеА п одп я тник, а в точ ке В цил индрич еский ш арнир. Е сл и п одп я тник встреч ается в п л оской задач е, то одна из составл я ю щ их реакции, Х А , бу детотсу тствовать. Заделк а. Рассмотрим задел ку в сл у ч аеп л оской задач и. П римером мож етсл у ж ить п л ита, вцементированная в стену , гвоздь вбиты й в стену и т.д. Э тотвид свя зи не п озвол я ет тел у не тол ько сдвину ться в каку ю -л ибо сторону , но и п оверну ться на какой-л ибо у гол . С л едовател ьно, к дву м составл я ю щ им реакции заделки ну ж но добавитьмоментзаделки m A (рис. 5.10.).

П рим е ры ос вобожд е н ия те л от с вязе й. П ример 1.

П ример 2.

П ример 3.

18

§ 6. Ус ловия равн ове с ия с ис те м ы с ил. П у стьдана система сил S ( F1F2 K Fn ) . Глав ным в ек т ором системы сил назы вается п остроенны й в п ол ю сеА свободны й вектор R

A

=

n

∑

i =1

F i (рис. 6.1.) F1

F1

F2 F2 RA А F3 Fn Рис. 6.1.

Глав ным м ом ент ом системы сил относительно п ол ю са А назы вается векторная су мма моментов сил , вы ч исл енны х относител ьно п ол ю са А (рис. 6.2.). F1 RA

MA =

F2

∑ [r i , F i ] n

i =1

( )

mA F1 r2

( )

mA F2

r1

rn

А

( )

mA Fn Fn

Рис. 6.2.

Т еорем а (необходимоеи достаточ ноеу сл овиеравновесия системы сил ). Д л я того ч тобы система сил находил асьв равновесии необходимо и достаточ но, ч тобы еегл авны й вектор и гл авны й моментотносительно п роизвол ьного центра бы л и равны ну л ю , то есть:

RA = 0 , mA = 0.

(6.1) (6.2)

19

У равнения (6.1) и (6.2) п редставл я ю т собой два векторны х у равнения . Е сл и расп исать их в п роекция х на оси то п ол у ч им ш есть ал гебраич нских у равнений, которы еназы ваю ту равнения ми равновесия дл я п ространственной системы сил : n

n

∑ Fix = 0 , (6.3) (6.4)

∑ Fiz = 0 ,

(6.5)

(6.6)

∑ m y ( Fi ) = 0 ,

(6.7)

∑ mz ( Fi ) = 0 .

(6.8)

i =1 n

i =1 n

∑ Fiy = 0 ,

∑ mx ( Fi ) = 0 ,

i =1 n

i =1 n

i =1

i =1

Т еорем а. Д л я равновесия п роизвол ьной п ространственной системы сил необходимо и достаточ но, ч тобы су ммы п роекций всех сил на каж ду ю из трех координатны х осей и су ммы их моментов относител ьно э тих осей бы л и равны ну л ю . В сл у ч ае п л оской системы сил векторны е у равнения (6.1) и (6.2) э квивал ентны одной из ниж есл еду ю щ их систем. П ри э том у равнение(6.2) даетал гебраич ескоеу равнениемоментов относительно точ ки. 1) n

∑ Fix

= 0,

(6.9)

∑ Fiy

= 0,

(6.10)

i =1 n i =1 n

∑ m0 (F i ) = 0. (6.11) i =1

Д л я равновесия п роизвол ьной п л оской системы сил необходимо и достаточ но, ч тобы су ммы п роекций всех сил на каж ду ю из дву х координатны х осей и су мма их моментов относител ьно п роизвол ьного центра, л еж ащ его в п л оскости действия сил , бы л и равны ну л ю . 2)

∑ m A (F i ) = 0, (6.12) n

В

R А

А

О

Х

i =1 n

∑ mB (F i ) = 0, (6.13)

i =1 n

∑ Fix = 0.

i =1

(6.14)

Д л я равновесия п роизвол ьной п л оской системы сил необходимо и достаточ но, ч тобы су ммы моментов всех сил э тих относител ьно каких-нибу дь

20

дву х центров А и В и су мма их п роекций п ерп ендику л я рну ю п ря мой А В , бы л и равны ну л ю . 3)

на

ось

О Х,

не

∑ m A (F i ) = 0, (6.15) n

i =1 n

∑ mB (F i ) = 0, (6.16)

i =1 n

∑ mC (F i ) = 0, (6.17)

i =1

Д л я равновесия п роизвол ьной п л оской системы сил необходимо и достаточ но, ч тобы су ммы моментов всех этих сил относител ьно л ю бого из трех центров А , В и С , нел еж ащ их на одной п ря мой, бы л и равны ну л ю . В сл у ч ае системы тел решение задач статики у сл ож ня ется . В ч исл о неизвестны х п омимо реакций свя зей войду т у сил ия ил и моменты , возникаю щ ие меж ду телами системы . Э то требу ет п ривл еч ения доп ол нител ьны х у равнений. П риходится разбивать систему на ч асти и рассматривать равновесие каж дого тела, п ривл екая ф орму л ы (6.3) – (6.9) в п ространственном сл у ч аеи ф орму л ы (6.9) – (6.11) [(6.12) – (6.14), (6.15) – (6.17)] в п л оском сл у ч ае. § 7. П рим е ры . П ри реш ении задач статики обы ч но п ридерж иваю тся сл еду ю щ его ал горитма: 1) оп ределя ю ттело (систему тел) , равновесиекоторого (которой) надо рассмотреть, ч тобы оп редел итьискомы евелич ины . В водя тсистему координат; 2) есл и среди заданны х активны х сил естьрасп редел енны есил ы , то их заменя ю травнодейству ю щ ей (см. § 4); 3) оп ределя ю тсвя зи и их тип ы (см. § 5); 4) мы сл енно отбрасы ваю тсвя зи, нал ож енны ена тело (систему тел ) и заменя ю тсвя зи реакция ми свя зей. П ри этом точ ка п рил ож ения реакции находится на рассматриваемом теле; 5) рассматриваю травновесиенесвободного тел а (системы тел ) как тела свободного п од действием активны х сил и реакций свя зей, то естьп рименя ю т у равнения равновесия (6.3) – (6.8) дл я п ространственной системы сил ил и (6.9) – (6.11) [(6.12) – (6.14), (6.15) – (6.17)] дл я п л оской системы сил ; 6) реш аю ту равнения и находя тискомы евел ич ины . К ак п равил о, ими я вл я ю тся реакции свя зей.

21

Зад ача № 1 С терж ни А С и В С соединены меж ду собой и с вертикал ьной стеной п осредством ш арниров. Н а ш арнирны й бол т С действу ет вертикал ьная сил а P = 1000H . О п редел ить реакции э тих стерж ней на ш арнирны й бол т С , есл и у гл ы , составл я емы е стерж ня ми со стеной равны : α = 30o , β = 60o (рис. 7.1.). Реш ение: В озьмем нач ал о координат в точ ке С , равновесиекоторой мы рассматриваем. Н ап равим ось х горизонтал ьно вп раво, а ось y – вертикал ьно вверх. Н а рису нке7.2. у каж ем реакции стерж ней А С и В С на ш арнир С . Т ак как реакция шарнирно оп ертого невесомого стерж ня нап равл ена вдол ь него, то сил ы Т1 и Т2, нап равим от точ ки С к точ кам А и В соответственно, п редп ол агая ч то стерж ни растя ну ты . П ол у ч аем сходя щ у ю ся систему сил (система сил , л инии действия которы х п ересекаю тся в одной точ ке). С у мма п роекций всех сил на ось x дол ж на бы ть равна ну л ю и су мма п роекций всех сил на осьy дол ж на бы тьравна ну л ю . У равнения моментов небу дет, п отому ч то каж дая из сил п роходитч ерез п ол ю с С , и знач итеемоментотносител ьно э того п ол ю са равен ну л ю .

22

Н аходим

знач ения

п роекций всех сил на вы бранны екоординатны е

оси: С ил а Т1 Т2

П роекция сил ы на ось x

y

−Т1⋅sin α −Т2⋅sin β

T1⋅cos α −T2⋅cos β

Р 0 −P С оставл я ем у равнения равновесия ш арнира С : n ∑ Fix = 0; − Т ⋅ sinα − T ⋅ sin β = 0;  1 i =1 2  n  F = 0; T1 ⋅ cos α − T2 ⋅ cos β − P = 0. iy i∑ =1 И з п ервого у равнения находим вы раж ениедл я Т1: sin β . T1 = −T2 ⋅ sin α И з второго у равнения п ол у ч им вы раж ениедл я Т2 : P T2 = − .  sin β  ⋅ cos α + cos β    sin α  О тку да сл еду ет, ч то T2 = −500 H . Знак «мину с» у казы вает на п ротивоп ол ож ноенап равл ениесил ы Т2 п оказанному на рису нке. T1 = 866 H . О твет: T1 = 866H – стерж ень растягивается ; T2 = −500H – стерж ень исп ы ты ваетсж атие. Зад ача № 2.

Н а дву хконсол ьну ю горизонтал ьну ю бал ку действу етп ара сил (P, P), на л еву ю консол ь – равномерно расп ределенная нагру зка интенсивности p, а в

23

точ ке D п равой консол и – вертикал ьная нагру зка Q (рис. 7.3.). О п редел итьреакции оп оры , есл и P=1к Н , Q=2к Н , p=2к Н /м , a=0,8м .

Реш ение: Н а рису нке7.4. сил а P1 изображ ается п о серединеотрезка С А , так как нагру зка расп ределена равномерно. P1 = p ⋅ a = 2 ⋅ 0 ,8 = 1,6к Н . В ведем оси координатх, у. В точ кеА отбрасы ваем свя зь – ш арнирнонеп одвиж ну ю оп ору и заменя ем ее реакция ми свя зи X A , Y A . В точ ке В находится ш арнирно-п одвиж ная оп ора, еезаменя ем реакцией R B . С истема сил , действу ю щ ая на бал ку , я вл я ется п л оской. Зап иш ем три у равнения равновесия : два у равнения п роекций и у равнениемоментов относительно точ ки А (6.9) – (6.11). В ы бор точ ки А в кач ествецентра обу сл овл ен тем, ч то ч ерез нееп роходя т две реакции свя зи X A , Y A , и m A X A = m A Y A = 0 . Т аким образом, в

( )

( )

у равнениемоментов бу детвходить тол ько одна неизвестная реакция R B , ч то су щ ественно у п рощ ает его решение. Д ействие п ары сил характеризу ется п ол ож ительны м моментом, равны м п о вел ич инеp·a, которы й моментвходит тол ько в у равнениемоментов. n

∑ Fix = 0,

X A = 0;

∑ Fiy = 0 ,

YA − P1 + RB − Q = 0;

∑ m A (F i ) = 0,

Pa + RB ⋅ 2a − Q ⋅ 3a + P1

i =1 n i =1 n i =1

a = 0; 2

24

  X A = 0;  YA − 1,6 + RB − 2 = 0;  0,8  1 ⋅ 0,8 + R B ⋅ 2 ⋅ 0,8 - 2 ⋅ 3 ⋅ 0,8 + 1,6 ⋅ = 0;  2  X A = 0;  YA = 1,5;  R = 2,1.  B О твет: X A = 0 ; Y A = 1,5 ; RB = 2,1 . Зад ача № 3. Г оризонтал ьная бал ка AC, оп ертая в точ ках B и C, несёт меж ду оп орами В и С равномерно расп редел ённу ю нагру зку интенсивностью q Н /м ; на у ч астке АВ интенсивность нагру зки у меньш ается п о л инейному закону до ну л я (рис. 7.5.). Н айти реакции оп ор В и С , п ренебрегая весом бал ки. Реш ение: Заменя ем расп редел ённы е нагру зки сосредоточ енны ми сил ами. Q2 действу етп о серединеВ С , так как нагру зка п остоя нная . Q1 дел итотрезок А В в отнош ении 1:2, так как нагру зка расп редел ена п о л инейному закону . В точ кеВ одна реакция , так как свя зь – п одвиж ны й ш арнир, в точ кеС двереакции, так как свя зь– неп одвиж ны й ш арнир (рис. 7.6.).

Q2 = qb; 1 Q1 = qa. 2

25

С истема у равнений равновесия

дл я заданной задач и имеетвид

n

∑ Fix = 0,

i =1 n

∑ Fiy = 0,

i =1 n

∑ mC (F i ) = 0.

i =1

  X c = 0;  q a2 q a2  ; X C = 0.  R Y Q Q 0 ; R ( 3 a 3 b ); Y 3 b + − − = ⇔ = + + = −  b c 2 1 B C   6 b 6 b    a b − bRb + Q1( b + ) + Q2 = 0. 3 2  q  a 2  q a2 ) Н ; Yc =  3b − Н ; Xc = 0Н . О твет: RB = ( 3a + 3b + 6 b  6 b Зад ача № 4.

О п редел ить реакции заделки консол ьной бал ки, изображ енной на рис.7.7. и находя щ ейся п од действием равномерно расп редел енной нагру зки, сосредоточ енной сил ы и п ары сил . Реш ение: Н а рис.7.8. Q изображ ается одной сил ой п рил ож енной в серединеотрезка А В =3м , п отому ч то нагру зка расп ределена равномерно, Q = 1,5 ⋅ 3 = 4 ,5 к Н . О тбрасы вая задел ку в точ кеА , заменя ем еереакция ми свя зи X A , Y A и моментом m A. С оставл я ем два у равнения п роекций и у равнение моментов, которы еберем относительно точ ки С .

26

 X A − cos 45o ⋅ P = 0  o YA − Q + P ⋅ sin 45 = 0 m + 3,5Q − 2 − Y ⋅ 5 = 0 A  A

 X A = 2 2 = 2,8  YA = 4,5 − 2,8 = 1,7 m = −3,5 ⋅ 4,5 + 2 + 1,7 ⋅ 5 = −5,25  A

О твет: XА =2,8 к Н , YА =2,8 к Н , mА = –5,25к Н ·м . Зад ача № 5.

П ол ка ABCD вагона, которая мож ет вращ аться вокру г оси А В , у держ ивается в горизонтал ьном п ол ож ении стерж нем ED, п рикреп л ённы м п ри п омощ и ш арнира Е к вертикал ьной стенеВ А Е . В ес п ол ки и л еж ащ его на ней

27

гру за Р равен 80 Н и п рил ож ен к точ ке п ересеч ения диагонал ей п ря моу гол ьника ABCD. Д аны размеры : А В =150с м , AD=60с м , А К=В Н =25с м . Д л ина стерж ня ED=75с м . О п редел ить у сил ие S в стерж не ED, п ренебрегая его весом, и реакции п етел ьК и Н (рис.7.9.). Реш ение: Т ак как Н и К цил индрич еские ш арниры , то они заменя ю тся реакция миX H , X K , Z H , Z K . С ил а S действу етвдол ьстерж ня ED (рис. 7.9.). 9 AD 60 12 sin α = , cos α = = = , 15 DE 75 15 HA = AB-BH = 150-25 = 125; 144 . sinα = 1 225 С оставл я ем у равнения дл я п ространственной системы сил : n

∑ Fix = 0;

S cos α + X Н + X К = 0;

(1)

∑ Fiy = 0;

0 = 0;

(2)

∑ Fiz = 0;

S sin α + Z Н + Z К − P = 0;

(3)

∑ m x (F i ) = 0;

1 P AB − Z К А К − Z Н HA = 0; 2

(4)

∑ m y (F i ) = 0;

1 P AD − S sin α AD = 0; 2

(5)

∑ m z (F i ) = 0;

X К KA + X Н HA = 0;.

(6)

i =1 n i =1 n i =1 n i =1 n i =1 n

i =1

И з у равнения (5) находим

S=

P AD 80 15 1200 2 = = = 66 Н . 2 sin α AD 18 18 3

(7)

И з у равнения (6) имеетсвя зьреакций X К , X Н

25 X К = −125 X Н ; X К = −5 X Н П одставл я я (7) и (8) в (1), п ол у ч аем

(8)

28

200 12 + X Н − 5X Н = 0 ; 3 15

1 2 X Н = 13 Н ; X К = −66 Н ; 3 3

У равнения (3) и (4) реш аем относительно Z К и Z Н с у ч етом (7).

Z К = − S sin α − Z Н + P ; 6000 +

1 P AB − Z К AK − Z Н HA = 0 ; 2

200 9 25 + 25 Z Н − 25 80 − 125 Z Н = 0 ; 3 15

− 100Z Н = −6000 − 1000 + 2000 ; Z Н = 50 Н ; Z К = −

200 9 − 50 + 80 ; Z К = −10 Н . 3 15

2 2 1 О твет: S = 66 Н , X К = −66 Н , Z К = −10 Н , X Н = 13 Н , Z Н = 50 Н . 3 3 3 Зад ача № 6.

О п редел ить у сил ие в шести оп орны х стерж ня х, п оддерж иваю щ их квадратну ю п л иту ABCD, п ри действии горизонтал ьной сил ы P вдол ь стороны AD. Размеры у казаны на рис.7.10.

29

Реш ение: П ерейдем к э квивал ентной системе сил : мы сл енно отбросим стерж ни заменим их действия реакция ми S i; Н ап равл я ем векторы сил Si в п редп ол ож ении, ч то всестерж ни сж аты (рис. 7.11). С оставим у равнения равновесия (6.3) – (6.5) – п роекции сил на оси координат; (6.6) – (6.8) – п роекции моментов сил относител ьно координатны х осей: n

∑ Fix

= 0;

S 5 ⋅ cos 45 o + S 2 ⋅ cos 45o = 0;

∑ Fiy

= 0;

P + S 4 ⋅ cos 45 o = 0;

∑ Fiz

= 0;

S1 + S 2 ⋅ sin 45 o + S 3 + S 4 ⋅ sin 45 o + S 5 ⋅ sin 45 o + S 6 = 0;

i =1 n

i =1 n i =1 n

∑ m x (F i ) = 0;

− P ⋅ a + S1 ⋅ a + S 2 ⋅ a ⋅ sin 45o + S 3 ⋅ a = 0;

∑ m y (F i ) = 0;

− S1 ⋅ a − S 6 ⋅ a = 0;

i =1 n

i =1 n

∑ m z (F i ) = 0; i =1

P ⋅ a − S 2 ⋅ a ⋅ cos 45o = 0.

30

С истема статич ески оп редел има: ч исл о у равнений равно ч исл у неизвестны х. Н айдем у сил ия Si в стерж ня х. Е сл и знач ение Si бу дет отрицательны м, то э то бу детобознач ать, ч то данны й i-й стерж ень несж ат, а растя ну т. P = 2 ⋅ P; S2 = cos 45o S5 = − S 2 = − 2 ⋅ P;

S4 = −

P cos 45o

= − 2 ⋅ P;

 2⋅ 2 2⋅ 2 2⋅ 2 + S3 − P −P + S 6 = 0; S1 + P 2 2 2   2⋅ 2 + S3 = 0; − P + S1 + P 2  S1 + S 6 = 0;   S1 + S3 − P + S6 = 0;  S1 + S3 = 0; S + S = 0; 6  1 S 3 = − S1 ;  ⇒ S1 = − P , S 2 = P , S6 = P. S 6 = − S1 ; S − S − P + S = 0; 1 1  1 О твет: S1 = − P ; S2 = P 2 ; S3 = P ; S4 = − P 2 ; S5 = − P 2 ; S6 = P . Зад ача № 7.

31

О днородная п ря моу гол ьная рама весом 20Н п рикреп л ена к стене п ри п омощ и ш арового ш арнира А и п етл и В и у держ ивается в горизонтал ьном п ол ож ении веревкой С Е , п ривя занной к точ кеС рамы и к гвоздю Е , вбитому в стену на одной вертикал и с А , п рич ем ∠Е С А =∠В А С =30°. О п редел итьнатяж ениеверевки и оп орны ереакции (рис. 7.12.). Реш ение:

О тбросим ш аровой ш арнир в точ ке А , заменив его реакция ми свя зи X A , Y A , Z A . П етл я В я вл я ется цил индрич еским ш арниром, которы й п озвол я ет п еремещ ениевдол ь оси А у. Реакция ми свя зей в э той точ ке бу ду т X A , Z B . В еревка С Е я вл я ется гибкой свя зью , еереакция RC нап равл ена п о С Е к точ кеЕ (рис. 7.13.). В ес рамы п рил ож ен в точ ке Lп ересеч ения диагонал ей п ря моу гол ьника ABCD. С оставим у равнения равновесия п ространственной системы сил (6.3) – (6.8): n

∑ Fix = 0;

X A + X B − RC ⋅ cos 30o ⋅ sin 30o = 0;

∑ Fiy = 0;

YA − RC cos 2 30o = 0;

∑ Fiz = 0;

Z A + Z B + RC sin 30o − P = 0;

∑ m x (F i ) = 0;

Z B ⋅ AB + RC ⋅ DC ⋅ sin 30o − P ⋅ LM = 0;

∑ m y (F i ) = 0;

P ⋅ LN − RC ⋅ sin 30o ⋅ BC = 0;

∑ m z (F i ) = 0;

− X B ⋅ AB = 0.

i =1 n i =1 n

i =1 n i =1 n

i =1 n

i =1

32

У ч иты вая , ч то AB=DC, LM= ½ AB, LN=½ BC, п ол у ч им

 3 = 0;  X A + X B − RC ⋅ 4  Y = R 3 ; C  A 4  Z + Z + R 1 − 20 = 0; A B C 2   3 1 Z B + RC − 20 ⋅ = 0; 2 2   1 1 20 ⋅ − RC ⋅ = 0; 2 2   X B = 0. X A = 5 3; YA = 15; Z A = 10 3 ;

(

)

Z B = 10 − 10 3 = −10 3 − 1 ; RC = 20; X B = 0. Знак «мину с» у реакции Z B п ротивоп ол ож ну ю сторону .

означ аем, ч то она нап равл ена в

О твет: X A = 5 3 Н , YA = 15 Н , Z A = 10 3 Н ,

(

)

RC = 20 Н , X B = 0 Н , Z B = −10 3 − 1 Н .

33

Зад ача № 8. К ронш тейн состоит из горизонтал ьного бру са AD (рис. 7.14.) весом P1 = 15 Н , п рикреп л енного к стенеш арниром, и п одкоса С В весом Р2 = 12 Н , которы й с бру сом AD и со стеной такж есоединен ш арнирами (всеразмеры п оказаны на ч ертеж е). К концу D бру са п одвеш ен гру з весом Q = 30 Н . О п редел итьреакции ш арниров А и С , сч итая бру с и п одкос однородны ми.

Реш ение: О тбрасы вая внеш ниесвя зи, рассматриваем равновесиевсего кронштейна в цел ом. Н а него действу ю т заданны е сил ы P1 , P2 , Q и реакции свя зей X A , Y A , X C , YC . К ронш тейн, освобож денны й от внешних свя зей, необразу ет ж есткой констру кции (бру сья могу тп оворач иваться вокру г ш арнира В ), но п о п ринцип у отвердевания действу ю щ иена него сил ы п ри равновесии дол ж ны у довл етворя тьу сл овия м равновесия статики. С оставл я я э ти у сл овия , найдем: n

∑ Fix = X A + X C = 0 ,

i =1 n

∑ Fix = YA + YC − P1 − P2 − Q = 0,

i =1

∑ m A (F i ) = n

i =1

X C ⋅ 4 a − YC ⋅ a − P2 ⋅ a − P1 ⋅ 2 a − Q ⋅ 4 a = 0 .

П ол у ч енны етри у равнения содерж ат, как видим, ч еты ренеизвестны х X A ,Y A , X C , YC . Д л я реш ения задач и рассмотрим доп ол нител ьно у сл овия равновесия бру са AD (рис.7.15.). Н а него действу ю тсил ы P1 , Q и реакции X A , YA , X B , YB . Н едостаю щ ее нам ч етвертое у равнение составим, беря моменты этих сил относительно центра В (тогда в у равнениеневойду тновы енеизвестны еX B , YB ) .

34

П ол у ч им :

∑ m B (F i ) ≡ −YA ⋅ 3a + P1 ⋅ a − Q ⋅ a = 0. n

i =1

Реш ая теп ерь систему ч еты рех составл енны х у равнений (нач иная с п осл еднего), найдем:

1 (P1 − Q ) = −5 Н , YC = 2 P1 + P2 + 4 Q = 62 Н , 3 3 3 2 1 4 X C = P1 + P2 + Q = 56 Н , X A = − X C = −56 Н . 3 2 3

YA =

И з п ол у ч енны х резу л ьтатов видно, ч то сил ы X A и Y A имею т нап равл ения , п ротивоп ол ож ны еп оказанны м на ч ертеж е. Реакции ш арнира В , есл и их надо оп редел ить, найду тся из у равнений п роекций на оси x и y сил , действу ю щ их на бру с AD, и бу ду травны

X B = − X A ; YB = P1 + Q − YA = 50 Н .

О твет: X A = −56 , YA = −5 Н , X C = 56 Н , YC = 62 Н .

35

§ 8. Кон трольн ы е вопрос ы д ля с ам опрове рк и ос таточн ы х зн ан ий. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

8) 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

Чему равен гл авны й вектор п ары сил ? А гл авны й момент? Зап исать у равнение равновесия сходя щ ейся системы сил в п ространственном сл у ч ае! В п л оском сл у ч ае! Чем отл ич аю тся у сл овия равновесия оту равнений равновесия ! Расстоя ниеотл инии действия сил ы до п ол ю са равно h. Чему равен моментсил ы относительно п ол ю са? К у да он нап равл ен? В каких сл у ч ая х моментсил ы относительно п ол ю са равен ну л ю ? А относительнооси? К у да нап равл ена реакция невесомого абсол ю тно ж есткого ш арнирно оп ертого стерж ня (А гибкой нити)? П оказатьна каком-л ибо п римере, ч то дл я п л оского сл у ч ая у равнения равновесия (6.9) – (6.11); (6.12) – (6.14); (6.15) – (6.18) – эквивал ентны . Реш итьзадач у № 1 с п омощ ью у равнения трех моментов. Г л авны й вектор сил относительно п ол ю са O равен R 0 , гл авны й момент M 0 ; как изменится гл авны й вектор и гл авны й моментсил п ри изменении п ол ю са на O′ . П оч ему заменя я расп ределенну ю нагру зку сосредоточ енной сил ой п омещ аем еев центретя ж ести? К акиезадач и назы ваю тся статич ески неоп редел имы ми? С кол ькореакций имеетконсол ьная заделка? П оч ему ? К у да нап равл ена реакция сф ерич ескогош арнира? П еречисл итеоснования механич еской модел и. С ф орму л иру йтеаксиомы статики. Что такоесил а? А п ара сил ? К акоедействиена тело оказы ваю тп ря мо п ротивоп ол ож ны есил ы ? А п ара сил ? F п роходит ч ерез нач ал о координат. Н айти С ил а Mx F , My F , Mz F ?

( )

( )

( )

36

§ 9. Зад ан ия д ом аш н е й к он трольн ой работы . О пре д е ле н ие ре ак ции опор с ос тавн ой к он с трук ции (с ис те м а д вух те л) [4]. н о м ер в а риа н т а (рис . 1-30) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Р

1 кН

5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 12,0 9,0 6,0 5,0 7,0 9,0 11,0 13,0 15,0 10,0 5,0 8,0 11,0 14,0 12,0 10,0 8,0 6,0 10,0

2 кН

М, кН · м

q, кН /м

И с ко м а я реа кция

10,0 9,0 ─ ─ 8,0 7,0 6,0 ─ ─ 5,0 4,0 6,0 ─ 8,0 10,0 12,0 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 6,0 8,0 7,0 9,0 10,0 12,0

24,0 22,0 20,0 18,0 16,0 25,0 20,0 15,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0 14,0 26,0 18,0 30,0 25,0 20,0 15,0 10,0 5,0 7,0 9,0 11,0 13,0 15,0 17,0

0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 1,2 1,4 1,6

XА RA RB MA RA MA RB MA XA RA RD RB RA MA MB RB RA MB MB RB RA RA RA MA RB RB XA RA MA MB

Р

37

38

39

40

П рим е р вы полн е н ия зад ан ия. Д ан о: схема констру кции; Р1 =5к Н , Р2 =7к Н ; М = 22 к Н ⋅ м ; q=2к Н /м ; α=60˚. Ре ш е н ие . 1. О п ределениереакции оп оры А п ри ш арнирном соединении в точ кеС . Рассмотрим систему у равновеш иваю щ ихся сил , п рил ож енны х ко всей констру кции. С оставим у равнениемомент r ов сил относительно точ ки В . Д л я у п рощ ения вы ч исл ения момента сил ы Р1 , разл ож им ее на вертикал ьну ю и горизонтал ьну ю составл я ю щ ие: Р1′ = Р1с оs60 o = 2 ,5 к Н ; Р1′′ = P1 sin 60 o = 4,33 к Н ,

∑ mB (F i ) = 0 ; n

i =1

Р1′ ⋅ 3 + P1′′⋅ 8 − Q ⋅1 − Y A ⋅ 5 + X A ⋅1 − M + P2 1,0 2 + 1,5 2 = 0 (1)

гдеQ = q ·4 = 2 ·4 = 8 к Н . П осл еп одстановки данны х и вы ч исл ений у равнение(1) п ол у ч аетвид X A − 5YA = −24,74 к Н . (1') В торое у равнение с неизвестны ми Х А и Y A п ол у ч им, рассмотрев систему

у равновеш иваю щ их сил , п рил ож енны х к ч асти констру кции, расп ол ож енной л евее ш арнира С :

∑ mC (F i ) = 0 ; n

i =1

P1′′⋅ 6 + Q ⋅ 2 + X A ⋅ 4 − Y A ⋅ 3 = 0 ,

ил и п осл евы ч исл ений 4 X A − 3YA = −41,98 к Н

(2)

Реш ая систему у равнений (1') и (2), находим: X A = −7,97 к Н , Y A = 3,36 к Н . М оду л ьреакции оп оры А п ри ш арнирном соединении в точ кеС равен

R ′A =

X A 2 + Y A 2 = 7 ,97 2 + 3,36 2 = 74,81 = 8,65 к Н .

41

§ 10. С пис ок зад ач д ля с ам ос тояте льн ой работы [2]. Н омера: 1.2, 1.4, 2.1, 2.6, 2.7, 2.17, 2.18, 2.19, 2.29, 2.30, 2.38, 2.39, 2.40, 3.4, 3.8, 3.12, 3.14, 3.15, 3.16, 3.18, 3.19, 3.22, 4.3, 4.7, 4.11, 4.19, 4.25, 4.26, 4.31, 4.33, 4.34, 8.13, 8.14, 8.15, 8.16, 8.20, 8.21, 8.22, 8.23, 8.24, 8.25.

42

Лите ратура О с н овн а ялитер а тур а 1. Т арг С . М . К раткий ку рс теоретич еской механики : у ч еб. дл я сту д. вту зов / С . М . Т арг.-12-еизд., стер.-М .: В ы сш . шк., 2002. – 416 с. 2. М ещ ерский И .В . Задач и п о теоретич еской механике: у ч еб. п особиедл я сту д. ву зов, обу ч . п о техн. сп ециал ьностям / И . В . М ещ ерский; п од ред. В . А. П ал ьмова, Д . Р. М еркина.-С П б.: Л ань, 2004. – 447,с. 3. Я бл онский А. А. К у рс теоретич еской механики : у ч еб. п особие дл я сту д.ву зов, обу ч . п о техн. сп ециал ьностям / А. А. Я бл онский, В . М . Н икиф орова.-8-еизд., стер.-С П б.: Л ань, 2001. – 763 с. Дополн ительн а ялитер а тур а 4. Я бл онский А. А. С борник заданий дл я ку рсовы х работп о теоретич еской механике: у ч еб. п особиедл я сту д. вту зов / А. А. Я бл онский, [и др.].-М .: И нтеграл -П ресс, 2004. – 382 с. 5. БатьМ .И . Т еоретич еская механика в п римерах и задач ах : у ч еб. п особие дл я сту д. вту зов : в 3 т. / М . И . Бать, Г . Ю . Д ж анелидзе, А. С . К ел ьзон.- М .: Н ау ка, 1990. - Т .1 : С татика и кинематика. – 670 с. 6. К раткий сп равоч ник дл я инж енеров и сту дентов. В ы сш ая математика. Ф изика. Т еоретич еская механика. С оп ротивл ение материал ов / А. Д . П ол я нин [и др.]-М .: М еж ду нар. п рогр. образования , 1996. – 431с. 7. Бу хгол ьц Н .Н . О сновной ку рс теоретич еской механики : у ч еб. дл я гос. у н-тов / Н .Н . Бу хгол ьц; в п ереработкеи с доп . С .М . Т арга. — М .: Н ау ка, 1972. - Ч.1: К инематика, статика, динамика материал ьной точ ки. – 467с.

43

С оставители: Чеботарев Андрей С ергеевич Щ егл ова Ю л ия Д митриевна Редактор Т ихомирова О .А.