М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й ...
24 downloads
226 Views
287KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСТ И Е Т Г .Д . С е ле зн е в
NNN
М А Т Е М А Т И ЧЕ СК И Е О СН О В Ы ГУ М А Н И Т А РН Ы Х ЗН А Н И Й ЧастьI Т е ория множ е ств. Числовые множ е ства У че бное пособие поспе циальности 620200 « Т е оре тиче ск ая и прик лад ная лингвистик а»
В О РО Н Е Ж 2003
2
У тве рж д е но нау чно-ме тод иче ск им сове том ф ак у льте таРГФ . П роток олзасе д ания № Составите ль– Г.Д . Се ле зне в Н ау чный ре д ак тор– И .Е . В оронина А ннота ц ия У ч ебное п особи е п р едназнач енодля ст удент ов 1 к ур са днев ногоот делени я фак ульт ет а р ом ано-гер м анск ойфи лологи и ВГУ , сп еци альност и «Теор ет и ч еск ая и п р и к ладная ли нгв и ст и к а» , и зуч аю щи х п р едм ет М ат ем ат и ч еск и е основ ы гум ани т ар ных знани й. В п ер в ойч аст и п особи я и злагаю т ся основ ы элем ент ар нойт еор и и м нож ест в и дает ся п р едст ав лени е оч и слов ых м нож ест в ах нат ур альных, целых, р аци ональных, дейст в и т ельных и к ом п лек сных ч и сел; р ассм от р ены нек от ор ые св ойст в а беск онеч ных ч и слов ых м нож ест в . Р ассм от р ена и ст ор и я р азв и т и я п онят и я «ч и сло» . Пособи е снабж енобольши м к оли ч ест в ом и ллю ст р аци йи п р и м ер ам и .
П особие под готовле нонак аф е д ре Т е оре тическ ой и прик лад ной лингвистик и ф ак у льте та романо-ге рманск ой ф илологии В ороне ж ск ого госу д арстве нного у ниве рсите та Ре к оме нд у е тся д ля сту д е нтов 1 к у рсад не вного отд е ле ния очной ф ормы обу чения ф ак у льте таромано-ге рманск ой ф илологии В ГУ .
© Г.Д Се ле зне в © В ороне ж ск ий госу д арстве нный у ниве рсите т
3
П О Я СН И Т Е Л Ь Н А Я ЗА П И СК А Н астоящ е е ме тод ическ ое П особие разработано в соотве тствии с у че бной П рограммой по д исциплине « М ате матиче ск ие основы гу манитарныхзнаний». П особие пре д ставляе тсобой к онспе к тле к ций по те мам П рограммы: « Т е ория множ е ств» и « И стория развития понятия « число», « Числовые множ е ства», изу чение к оторыхрассчитанона 8 у чебныхчасов. Э то пе рвое из се рии ме тод иче ск ихпособий по « М ате матическ им основам гу манитарныхзнаний». Ц е льд анного ме тод иче ск ого пособия состоитв том, чтобы помочьсту д е нтам – гу манитариям освоитьпонятия и зак оны эле ме нтарной те ории множ е ств, к оторая являе тся основой совре ме нной мате матик и, и ознак омиться с историе й развития понятия « число» и основными числовыми множ е ствами. П ри разработк е пособия авторорие нтировался насту д е нтов спе циальности« Т е оре тиче ск ая и прик лад ная лингвистик а», од нак о оно мож е тбытьполе зно сту д е нтам и д ру гихгу манитарныхспе циальносте й , изу чаю щ ихмате матик у . Сод е рж ание 1. М нож е ства 1.1. П риме ры и обозначе ния множ е ств 1.2. М нож е стваиопе рации с ними 1.3. О бъ е д ине ния, пе ре се чения ид ополне ния тре хмнож е ств 1.4. П равилад е йствий с множ е ствами 1.5. М ощ ностьмнож е ства 2. Числа 2.1. Развитие понятия « число» 2.2. П иф агоре йск ое у че ние о числахи зак онахгармонии в природ е и иск у сстве 2.3. Развитие те ориичисловыхмнож е ств 2.4. В озмож ные и не возмож ные д е йствия с числами 2.5. Бе ск оне чностьчисловыхмнож е ств К лассы бе ск оне чныхмнож е ств и к онтину у м – гипоте за. Л ите рату ра
4 4 5 6 7 8 8 8 12 13 14 15 16 17
4
1 М н ожес тва 1.1
П р и м ер ы и обозн аче н и я м н ож ест в
М нож ество – другим и слова м и – совокупность, на бор, собра ние элем ентов, объединя ем ых по ка ком у-ли бо призна ку. Э то не опре д е ле ние понятия « м нож ество» , т.к . слова «совокупность» , «на бор» , «собра ние» - все го лиш ь синонимы слову « м нож ество». П онятие « м нож ество» - не опре д е лимое , пе рвичное понятие , значение к оторого раск рывае тся, становится понятным при е го у потре бле нии. Н априме р, множ е ство сту д е нтов, множе ство це лых чисе л, множ е ство плане т Солне чной систе мы, множ е ство точе к на ок ру ж ности и вну три е е . Е сли эле ме нтх принад ле ж итмнож е ству А, то пиш у тх ∈ А; е сли эле ме нтх не принад ле ж ит А, то пиш у т х ∉ А. Символ ∈ пре д ставляе т собой стилизованный вариант гре ческ ой бу к вы ε (эпсилон) – начальной бу к вы слова« эле ме нт». Часто множ е ство обозначае тся с помощ ью ф игу рныхск обок , в к оторыхпе ре числяю тся е го эле ме нты, точне е знак и этихэле ме нтов, наприме р B = {к от, пе с, осе л, пе ту х}, Cyr = {А , Б, В , Г, Д , Е , Ё , Ж , З, И , Й , К , Л , М , Н , О , П , Р, С, Т , У , Ф , Х, Ц , Ч, Ш , Щ , Ь , Ы , Ъ , Э , Ю , Я }. М нож е ство мож но обозначатьу к азание м свойств е го эле ме нтов, наприме р, B = {b | b – бре ме нск ие му зык анты}, Cyr = {N | N – прописная бу к вару сск огоалф авита}. В е ртик альну ю черту | мож ночитатьк ак « так ой, что». Н е сле д у е тпу татьобозначе ния x и {x}. Зд е сь{x} – это множ е ство, ах – е д инстве нный эле ме нтэтого множ е ства.
x ∈ M эле ме нтхпринад ле ж ит множ е ству М y ∉ M эле ме нтy не принад ле ж ит множ е ству М М нож е ство к ак их-то чисе л М нож е ство нату ральныхчисе л
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …
}
М нож е ство точек М нож е ство, не име ю щ е е эле ме нтов, называю т пу стым и обозначаю т ∅. П риме ры пу стых множ е ств: множ е ство лю д е й старш е 300 ле т, множе ство ту пых у глов равносторонне го тре у гольник а, множ е ство д е йствите льныхк орне й у равне ния х 2 + 1 = 0. М нож е ство мож е т сод е рж ать бе ск оне чное к оличе ство эле ме нтов. П риме ры бе ск оне чныхмнож е ств: множ е ство все хчисе л, множ е ство точек прямой линии. Н е ре д к о од но множ е ство ок азывае тся частью – подм нож еством (не пу тать с эле ме нтом!) д ру гого множ е ства. Н априме р, множ е ство синиц являе тся под множ е ством птиц, а множ е ство четныхчисе л являе тся под множ е ством множ е ства нату ральных чисе л. Е сли к аж д ый эле ме нт множ е ства В являе тся эле ме нтом множ е ства А, то множ е ство В называе тся под множ е ством множ е стваА. Д ля обозначе ния этой ситу ации приме няе тся знак ⊂ . Запись В ⊂ А означае т, что В являе тся под множ е ством А, или, к ак иногд а говорят, В сод е рж ится в А, или А вк лю чае т в се бя В. За-
5
пись В⊂ А эк вивале нтна записи А ⊃ В. Знак ⊂ напоминае т знак < , у к азывая на то, что множ е ство В сод е рж ит ме ньш е эле ме нтов, че м А . Е сли д ва множ е ства сод е рж ат од ни и те ж е эле ме нты, то ихназываю тэк вивале нтными и пиш у т А = В. Т отслу чай, к огд а А = В или А ⊃ В обозначаю тА ⊇ В. Символом ∅ - обозначае тся пу стое множ е ство, т.е . множ е ство, не сод е ржащ е е эле ме нтов. Символом Ω обозначае тся - множ е ство « у ниве рсу м», т.е . множ е ство объ е к тов д анной те ории и сод е рж ащ е е В С Е объ е к ты, рассматривае мые в этой те ории. Н априме р, это могу т бытьВ СЕ нату ральные числаΩ = N, а Е – четные числа, тогд аN ⊃ E. 1.2
Мн ож е ст ва и опе р аци и с н и м и
М нож е ства мож но различными способами к омбинировать и полу чать д ру гие множ е ства, под обно тому , к ак разные опе рации над числами (слож е ние , вычитание , у множ е ние … ) привод ят к д ру гим числам. П од обно тому , к ак те орию ариф ме тическ их опе раций называю т а лгеброй, те орию опе раций с множ е ствами мож ноназватьа лгеброй м нож еств. ОБЪЕД ИН ЕН ИЕ множ е ств
А ∪В =С Э ле ме нты множ е стваС – это все эле ме нты, к оторые принад ле ж атмнож е ствам А и л и В .
М нож е ство лю д е й = M ∪ W ∪ B ∪ G П ЕРЕС ЕЧЕН ИЕ множ е ств
А ∩В =С
К итайск те сту д е нты = Q = C ∩ S
Э ле ме нты множ е ства С – это все эле ме нты, к оторые принад ле ж атмнож е ствам А и В . В КЛЮ ЧЕН ИЕ множ е ств S ⊂F Е сли эле ме нты принад ле ж атмнож е ству S – то они принад ле ж ати множ е ству F.
Д ОП ОЛН ИЕ м н ож е ст в А = Ā Э ле ме нты множ е ства Ā – это все эле ме нты, к оторые не принад ле ж атмнож е ству А Л =А ∪Ā Н априме р, е сли N нату ральные числа, Е – че тные числа, а Ē – не четные числа, то N = E ∪ Ē .
6
Е щ е приме р: Cyr = {А , Б, В , Г, Д , Е , Ё , Ж , З, И , Й , К , Л , М , Н , О , П , Р, С, Т , У , Ф , Х, Ц , Ч, Ш , Щ , Ь , Ы , Ъ , Э , Ю , Я } множ е ство бу к в ру сск огоалф авита, а Lat = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V,W, X, Y, Z} множ е ство бу к в латинск ого алф авита, то множ е ство CL = Cyr ∩ Lat = {А , В , Е , К , М , Н , О , Р, С, Т , Х} это множ е ствобу к в, к оторые являю тся од новре ме нно бу к вамиру сск ого и латинск ого алф авитов; ALP = Cyr ∪ Lat = { А , Б , В , Г, Д , Е , Ё, Ж , З, И , Й , К , Л , М , Н , О , П , Р, С, Т , У , Ф , Х, Ц , Ч, Ш , Щ , Ь , Ы , Ъ , Э , Ю , Я , D, F, G, I, J, L, N, Q, R, S, U, V, W, Y, Z} это множ е ствобу к в, к оторые являю тся бу к вами ру сск ого и л и латинск огоалф авитов. Зд е сь « и л и »не иск лю чаю щ е е , т.е . в А ∪ В вход ятвсеэле ме нты из А и всеэле ме нты из В . Граф ическ и опе рации с множ е ствами мож но пре д ставитьс помощ ью д иаграмм В е нна.
О БЪ Е Д И Н Е Н И Е А ∪В ИЛ И 1.3
П Е РЕ СЕ ЧЕ Н И Е А ∩В И
В К Л Ю ЧЕ Н И Е А ⊂В Е СЛ И Т О
Д О ПО Л НЕ НИ Е А НЕ
Объе ди н е н и я, пе р есе чен и я и допол н е н и я тр е х м н ож е ст в
Р – все влад е ю щ ие ру сск им язык ом А – все влад е ю щ ие английск им язык ом Н – все влад е ю щ ие не ме цк им язык ом Р ∪ А – все влад е ю щ ие ру сск им и все влад е ю щ ие английск им язык ами Р ∪ Н – все влад е ю щ ие ру сск им и все влад е ю щ ие не ме цк им язык ами А ∪ Н – все влад е ю щ ие английск им и все влад е ю щ ие не ме цк им язык ами Р ∪ А ∪ Н – все влад е ю щ ие ру сск им, английск им и не ме цк им язык ами Р ∩ А – влад е ю щ ие од новре ме нно ру сск им и английск им язык ами Р ∩ Н – влад е ю щ ие од новре ме нно ру сск им и не ме цк им язык ами А ∩ Н – влад е ю щ ие од новре ме нноанглийск им ине ме цк им язык ами Р ∩ А ∩ Н – влад е ю щ ие од новре ме нно ру сск им, английск им и не ме цк им язык ами P ∩ A ∩ H – влад е ю щ ие ру сск им, но не влад е ю щ ие ни английск им, ни не ме цк им язык ами P ∩ A ∩ H – влад е ю щ ие английск им, но не влад е ю щ ие ни ру сск им, ни не ме цк им язык ами P ∩ A ∩ H – влад е ю щ ие не ме цк им, но не влад е ю щ ие ни ру сск им, ни английск им язык ами
P ∩ A ∩ H – не влад е ю щ ие ни ру сск им, ни английск им, ни не ме цк им язык ами
7
1.4 1. К омму тативность
П р ави л а де йст ви й с м н ож е ст вам и A∪B = B∪ A
2. А ссоциативность A ∪ (B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C 3. И д е мпоте нтность A∪ A= A 4. Д истрибу тивность A ∪ (B ∩ C ) = ( A∪ B) ∩ ( A ∪C ) 5. И нволю ция
A∩ B = B ∩ A A ∩ (B ∩C ) = ( A ∩ B) ∩ C A∩ A= A A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
( A) = A
6. П равила д е М органа
( A ∪ B) = A ∩ B ( A ∩ B) = A ∪ B 7. О пе рации с д ополне ниями, пу стым множ е ством иу ниве рсу мом A∩∅ = ∅
A∩ A = ∅
A∩Ω = A 8. И мплик ация 9. Э к вивале нтность
A∪Ω = Ω
A∪∅ = A ∅=Ω
A∪ A = Ω Ω=∅
( A ⊂ B) &(B ⊂ C ) ⇒ ( A ⊂ C) ( A ⊂ B ) & ( B ⊂ A) ⇔ ( A = B )
Л огическ ая опе рация Х & Y означае т, что од новре ме нно выполняю тся у словия X и Y. О пе рация X ⇒ Y означае т, чтое сл и вер н о X, т о ве р н о и Y. С множ е ствами мож но производ итьпре образования, под обные те м, к ак ие мы производ им с числами. Д аж е опе рации с множ е ствами иногд а называю т так , к ак называю т ариф ме тическ ие опе рации: объ е д ине ние множ е ств – слож е ние м, пе ре се че ние – у множ е ние м. Д ополне ние к д анному множ е ству под обно отрицате льному числу , а отнош е ние вк лю чения A ⊂ B под обно отнош е нию поряд к а д ля чисе л a < b . О д нак о ариф ме тиче ск ие д е йствия и д е йствия с множ е ствами все ж е отличаю тся. Т ак , правила д истрибу тивности, позволяю щ ие выносить за ск обк и общ ие сомнож ите ли, « работае т» в ариф ме тик е тольк о в од ну сторону , т.е . ве рно, что
( ab + ac ) = a ( b + c ) .
Н о поме няйте ме стами слож е ние и у множ е ние , и раве нство пе ре стае тбытьве рным
( a + b )( a + c ) ≠ a + bc .
А в те ории множ е ств д истрибу тивность– правило 4 – « работае т» в обе стороны. П рове рьте самостояте льно, справе д ливы ли в ариф ме тик е правила д е М органа?
8
П риме ры д е йствий с множ е ствами 1) 2) 3)
( A ∩ B ) ∩ ( A ∩ B) = A ∩ B ∩ A ∩ B = A ∩ A ∩ B ∩ B = ∅ ∩ ∅ = ∅ A ∪ ( A ∩ ( A ∪ ( A ∩ A) ) ) = A ∪ ( A ∩ ( A ∪ ∅ ) ) = A ∪ ( A ∩ A ) = A ∪ ∅ = A ( A ∪ B ∪ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) = ( A ∪ B ∪ C ) ∪ (( A ∪ B) ∩ C ) = ( A ∪ B ∪ C ) ∪ ( A ∪ B ∪ C ) = D ∪ D = Ω 1.5
Мощн ост ь м н ож е ст ва
М ощ ность множе ства А, обозначае мая M(A), – это к оличе ство эле ме нтов в не м. У становле ние равномощ ности к оне чных (не бе ск оне чных) множ е ств не составляе т особого тру д а. Чтобы у бе д иться в том, что д ва множ е ства и име ю т од инак ову ю мощ ность, мож но сосчитатьэле ме нты пе рвого ивторого и сравнитьре зу льтаты под сче та.
M(S) = M(P) = 10
Т ру д не е это сд е латьс бе ск оне чными множ е ствами. Д ля этого тре бу е тся у к азатьспособ у становле ния взаимно-од нозначного соотве тствия эле ме нтов од ного множ е ства эле ме нтам д ру гого множ е ства, т.е . способ, с помощ ью к оторого к аж д ому эле ме нту пе рвого множ е ства ставится в соотве тствие од ин из эле ме нтов второго множ е ства и при этом ни од ин из нихне бу д е тпропу щ е н. Д ва множ е ства А и В име ю т од инак ову ю мощ ность, т.е . M(A) = M(B), е сли су щ е ству е т способ R у становле ния взаимно - од нозначного соотве тствия эле ме нтов од ного множ е ства a ∈ A эле ме нтам д ру гого множ е ства b ∈ B: R(a ≡ b). Э тим способом у станавливае тся равномощ ность множ е ства нату ральных чисе л ℕ и множ е ства рациональных чисе л ℚ , множ е стваточек прямой и множ е ства точе к плоск ости ит.п. 2 2.1
Ч и с ла
Разви т и епон ят и я «чи сл о»
И стория развития понятия « число» те сно связанас названиями и обозначе ниямичисе л. Д о отк рытия нату ральныхчисе л, множ е ство к оторыхбе ск оне чно, приме нялисьи полу чали наиме нования к оне чные – не бе ск оне чные (и д аж е не оченьбольш ие ) числа. В отк ак об этом пиш е тся в к ниге А. К ондр ат ов а «Зв ук и и знак и » . «В нек от ор ых к ни гах м ож но п р оч ест ь, ч т о п ер в обыт ные нар оды «не ум ею т сч и т ат ь до т р ех» . Д еск ат ь, у ни х ест ь слов а для ч и сли т ельного 1, для ч и сли т ельного 2, а ч и сли т ельное 3 означ ает уж е м ного. Н о п о т ак ойлоги к е м ы, р усск и е, ум еем сч и т ат ь ли шь додесят к а: в едь слов ам и м ы обознач аем ч и сла от 1 до10, а 11 уж е оди нна дат ь, 12 – дв а на дат ьи т . д. Н а сам ом деле лю бойнар од, на к ак ом бы п ер в обыт ном ур ов не к ульт ур ы онне находи лся, в ладеет сч ет ом . И ав ст р али ец, и бушм ен, и п ап уас от ли ч но знает в сех св ои х соп лем енни к ов и р одст в енни к ов , от ли ч и т т р ех уби т ых ж и в от ных от ч ет ыр ех. Н о в язык ах м и р а дейст в и т ельно сохр ани ли сь в в и де ж и в ых и ск оп аем ых п ер еж и т к и п ер в обыт ного к онк р ет -
9
ного сч ет а. Ведь не одно т ысяч елет и е п онадоби лось ч елов еч ест в у, ч т обы осознат ь ч и сло в ообще, незав и си м ое от св ойст в п р едм ет ов . В десят к ах язык ов м и р а ч и сли т ельное 5 и м еет р одст в о со слов ом п ядь, ладонь, р ук а. В язык е ост р ов а Пасхи и р одст в енных ем у язык ах, на к от ор ых гов ор ят ж и т ели О к еани и и М адагаск ар а, слов о р и м а, и ли ли м а, означ ает и 5 и р ук у. А в от к ак и нт ер есно сч и т аю т п ап уасы, гов ор ящи е на язык е м ар и нд. Ч и сли т ельное 1 обознач ает ся слов ом сак од, ч и сли т ельное 2 – и на. Ч и сли т ельное 3 св оего собст в енного яр лык а не и м еет , оно п ер едает ся слов ам и сак од-и на, ч и сли т ельное 4 – и на-и на (т о ест ь 3 – эт о 1-2, 4 – эт о 2-2). Д альше ж е нач и нает ся сч ет п оп альцам р ук и ног. Тоест ь 5 – эт оуж е не и на-и на-сак од (2-2-1), а большойп алец р ук и , 6 – ук азат ельныйи т . д. Пальцев , к ак и зв ест но, у нас 20. Д о дв адцат и и в едет ся сч ет , ч и сла более дв адцат и и м еную т ся слов ом м ного. Е ще более и нт ер есно обознач аю т ся ч и сли т ельные в язык е т елефол, на к от ор ом гов ор и т ок оло ч ет ыр ех т ысяч ч елов ек на ст ык е гр ани ц Зап адного И р и ана и м олодойр есп убли к и Пап уа Н ов ая Гв и нея. Ч и сли т ельное 1 – эт ом и зи нец лев ойр ук и , 2 – безым янныйп алец лев ой р ук и , 3 – ср едни йп алец лев ойр ук и , 4 – ук азат ельныйп алец лев ойр ук и , 5 – большойп алец лев ойр ук и , 6 – лев ое зап яст ье, 7 – лев ое п р едп леч ье, 8 – лев ыйлок от ь, 9 – лев ыйби цеп с, 10 – лев ое п леч о, 11 – лев ая ст ор она шеи , 12 – лев ое ухо, 13 – лев ыйглаз, 14 – нос. Зат ем п р ои сходи т п ер еход на др угую ст ор ону т ела. Ч и сли т ельное 15 – эт о др угойглаз, 16 – др угое ухо и т . д., в п лот ьдо27, обознач аем огослов ам и м и зи нец п р ав ойр ук и . Ч и сли т ельное 27, в св ою оч ер едь, бер ет ся за основ у дальнейшего сч ет а, к от ор ыйдов оди т ся до«носа» , т оест ьдосоч ет ани я 27 и 14 (м и зи нец лев ойр ук и и нос). О нои м еет см ысл «оч еньм ного» – дальше сч ет уж е не в едет ся. Л и нгв и ст ы обнар уж и ли в язык ах п ап уасов Н ов ойГв и неи дв ои ч ное, п ят ер и ч ное (п о п альцам р ук ) ч ет в ер и ч ное (сч ет п о п альцам , но без большого п альца), шест ер и ч ное (шест ер к а обознач ает ся слов ам и шест ь-оди н, дю ж и на – шест ь-дв а и т . п .), дв адцат и сем и р и ч ное (к ак в язык е т елефол) сч и слени е! Вст р еч ает ся т ам и п р и в ыч ное нам десят ер и ч ное сч и слени е, на основ е к от ор ого п ост р оена си ст ем а ч и сли т ельных р усск ого язык а. К ст ат и ск азат ь, в нашем язык е сохр ани ли сь п ер еж и т к и т ех в р ем ен, к огда к ак ое-т о большое ч и сло было си нони м ом оч ень м ного, больше не быв ает . «И м я и м леги он» — гов ор и м м ы; и ли уп от р ебляем в ыр аж ени я «т ьм ат ьм ущая» , «т ьм а нар ода» . И т ьм а, и леги онв п р еж ни е в р ем ена были наи м енов ани ям и оп р еделенных ч и сел. А в от еще оди нп р и м ер «ж и в огои ск оп аем ого» в р усск ом язык е, св язанногососч ет ом . Поч ем у м ы гов ор и м «дв е шт ук и » т ольк о о неодушев ленных п р едм ет ах? Эт о ост ат ок п ер в обыт ного к онк р ет ного сч ет а в нашем язык е. В др уги х язык ах ест ь сп еци альные ч и сли т ельные для п одсч ет а р азли ч ных п р едм ет ов : для дли нных одни , для к р углых др уги е, для ж и в ых сущест в т р ет ьи и т . д. У ди в и т ельную си ст ем у к онк р ет ных ч и сли т ельных обнар уж и л сов ет ск и йэт ногр аф Е . А. К р ейнов и ч у ни в хов , загадоч ных оби т ат елейС ахали на и ни зов и йАм ур а. «У ни х нет слов а для обознач ени я абст р ак т ного п онят и я «р ав ный» , но ест ь р яд слов для обознач ени я к онк р ет ных р ав енст в . Н ет у ни х и ч и сли т ельных для сч и слени я абст р ак т ных к оли ч ест в , но зат о ест ь п р и м ер но т р и дцат ь р азр ядов ч и сли т ельных для обознач ени я к онк р ет ных к оли ч ест в » , – ук азыв ает К р ейнов и ч и п р и в оди т дли нныйсп и сок т ак и х ч и сли т ельных. Тут ест ь ч и сли т ельные для п одсч ет а п р едм ет ов р азнойфор м ы, от дельно м елк и х к р углых (п уль, др оби нок , яи ц, и к р и нок , к улак ов , к ап ельв оды, т оп ор ов , бут ылок ), от дельно дли нных п р едм ет ов (дер ев ьев , к уст ар ни к ов , р ебер , в олос, к и шок , дор ог), от дельно п лоск и х т онк и х п р едм ет ов (ли ст ов бум аги , ци нов ок , одеял, р аст ени й), от дельно п ар ных п р едм ет ов (глаз, щек , р ук , лы ж , в есел, р ук ав и ц, сер ег). Пр и сч ет е ж и в ых сущест в , сем ейст в , п ок олени й уп от р ебляю т ся св ои ч и сли т ельные, п р и ч ем от дельно сч и т аю т ся лю ди и добр ые духи , от дельно сем ейст в а, от дельно п ок олени я, от дельнож и в от ные, р ыбы, п т и цы, злые духи . Д ля сч ет а нек от ор ых ор уди йлов а р ыбы и т ю ленейу ни в хов оп ят ь-т ак и сущест в ую т св ои особые ч и сли т ельные – для сет ей; для нев одов ; для п алок на ост р огу и т . д.
10
О собым и ч и сли т ельным и в едет ся сч ет загот ов леннойр ыбы и ж ер дейдля ее загот ов к и (для св язок ю к олы для лю дей; для св язок к ор ю шк и для лю дей; для св язок к ор м а для собак ; для ж ер дейдля сушк и ю к олы). Е ст ь еще сп еци альные ч и сли т ельные п р и сч ет е ср едст в п ер едв и ж ени я (от дельно лодок и от дельнонар т ) и м ат ер и алов (досок ; п р ядейдля в ер ев ок ; св язок т р ав ы для обув и ). Н ак онец, ест ь ч и сли т ельные, обознач аю щи е м ер ы: особо для м ахов ых саж еней, особо для п ядей, осободля т олщи ны сала м едв едейи т ю леней, осободля днев ок в п ут и ... «Н ет р уднозам ет и т ь, ч т ов гр уп п е ч и сли т ельных для сч ет ов п р едм ет ов р азнойфор м ы от р аж ена п оп ыт к а ч елов ек а п р ов ест и к ласси фи к аци ю п р едм ет ного м и р а, – зам еч ает К р ейнов и ч . – К к ак ом у ж е в р ем ени м ож ет быт ь от несена эт а к ласси фи к аци я? Н али ч и е т оп ор а в гр уп п е м елк и х к р углых п р едм ет ов п одск азыв ает нам , ч т о р еч ь и дет не о сов р ем енном ж елезном т оп ор е, а об ов альном т оп ор е к ам енногов ек а. Знач и т , к ласси фи к аци я п р едм ет ов п о ч и ст о в нешнем у п р и знак у – фор м е, к от ор ая п р ослеж и в ает ся в ни в хск и х ч и сли т ельных, п р едст ав ляет , в ер оят но, одну и з др ев нейши х к ласси фи к аци й, созданных лю дьм и к ам енного в ек а» . О тголоск и д ре вних способов счета мож но обнару ж ить и се год ня в язык ах народ ов мира. Т ак , наприме р, считаю т абориге ны А встралии, пле ме ни ре к и М у рре й : 1 – энэа , 2 – петчева л, 3 – петчева л-энэа , 4 – петчева л-петчева л, … ; пле ме ни К амилари: 1 – м а л, 2 – була н, 3 – гулиба , 4 – була н-була н, 5 – була н-гулиба , 6 – гулиба -гулиба , … . Сле д ы д ве над цатиричной систе мы су щ е ству ю т в е вропе йск их язык ах д о сих пор; д ля чисе л11 и 12 су ш е ству ю тособые названия:
10 11 12 13
Ру сск ий д е сять од иннад цать д ве над цать= дюж и на тринад цать
Н е ме цк ий zein elf zwolf dreizen
А нглийск ий zen eleven twelve thrityn
Распростране нная в В е лик обритании и СШ А систе маме рд лины: дюйм – фут – я рд, – так ж е основанана числе 12. О д ин д ю йм ( inch англ.) = 2.54 см О д ин ф у т(foot англ.) = 12 д ю ймов = 30.48 см, О д ин ярд (yard англ.) = 3 ф у та= 91.44 см. Число 12 и 60 = 12 × 5 д о сихпорле ж итв основании исчисле ния вре ме ни и у глов: 1 су тк и = 24 = 12 × 2 часа, 1 час = 60 мину там, 1 мину та = 60 се к у нд ам; полный к ру г раве н 360 = 60 × 6 у гловыхград у сов, 1 град у с = 60 мину там (1° = 60′), 1 мину та= 60 се к у нд ам (1′ = 60″). Д ре вняя е гипе тск ая ну ме рация, 3000 ле тд о н.э.
У е гиптян впе рвые систе матиче ск и появляю тся д роби, но систе ма разлож е ния на простые д роби вид а 1/n была оче нь слож ной и тяж е лове сной. Е гипе тск у ю алге бру иногд а называю т« хау -исчисле ние м» оте гипе тск ого « хау » – к у ча.
11
Д ре вняя гре че ск ая – аттическ ая ну ме рация, 600 ле тд о н.э.
Гре ческ ая (иониче ск ая) ну ме рация – этобу к вы с че рточк ами, 300 ле тд о н.э.
П озиционну ю систе му исчисле ния и спе циальный знак д ля ну ля стали приме нять в д ре вне м В авилоне приме рно 2000 д о н.э., при вавилонск ом царе Хамму рапи (1950 г д о н.э.). В авилонск ая к линописная систе мабыла 60-ричная.
12
К линописные те к сты у к азываю т на то, что вавилоняне у ж е у ме ли ре ш ать лине йные и к вад ратные у равне ния, д аж е с д ву мя не изве стными. О ни ре ш али зад ачи, свод ящ ие ся к к у биче ск им и бик вад ратным у равне ниям. Б ыли составле ны многочисле нные таблицы д ля вычисле ния и под бора к орне й. О ни знали приближ е нные значе ния д ля числа 2 = 1.4142 к ак 5 1 = 1.416666... = 1.416(6) . Ре ш алисьзад ачи на слож ные проце нты (проце нты отпроце нтов). 12 М ате матик а была иск лю чите льно прак тическ ой и ре це пту рной. И зве стно было вавилонянам и то, что мы се йчас называе м те оре мой П иф агора. Римск ая ну ме рация – это прописные бу к вы латинск ого алф авита: 1 = I, 2 = II, 3 = III, 4 = V, 6 = VI, 7 = VII, 8 = IX, 10 = X, 11 = XI, 12 = XII, … 40 = XL, 50 = L, 60 = LX, 90 = XC, 100 = C, 110 = CX, 500 = D, 1000 = M П риме ры: 417 = CDXVII, 888 = DCCCLXXXVIII, 1965 = MCMLXV, 3333 = MMMCCCXXXIII Ф ормазаписи римск ихчисе л не од нозначна. О на варьиру е тся отк лассиче ск ой д о у прощ е нной, становясьвсе боле е нагляд ной. 499 = CDXCIX (к лассиче ск ая ф орма) 499 = LDVLI V (нагляд ная ф орма) 499 = XDIX (боле е нагляд ная ф орма) 499 = VDIV (е щ е боле е нагляд ная ф орма) 499 = ID (у прощ е нная ф орма)
В славянск ой ну ме рации циф ры обозначалисьбу к вами к ириллицы с титлами ~
4 = Д% , 10 = I% , 80 = П% , 200 = С% , 900 = Ц% Совре ме нная д е сятичная позиционная систе ма счисле ния и А рабск ая ну ме рация появилась в VIII в. в И нд ии, зате м в К итае , позж е в арабск их странах и тольк о в XIII в Е вропе . Т ак , что А рабск ая ну ме рация – этонасамом д е ле – И нд ийск ая ну ме рация. 2.2
П и фаг ор е йск оеу чен и ео чи сл ах и зак он ах г ар м он и и в пр и р одеи и ск у сст ве
Д ре вне гре че ск ие ф илософ ы, ж ивш ие в И онии – гре че ск ихпосе ле ниях в М алой А зии, д е рзну ли объ ятьразу мом В се ле нну ю , пе ре став полагаться на богов, д у хов, призрак ов, д е монов, анге лов и д ру гие мистическ ие силы, як обы у правляю щ ие явле ниями природ ы. В оззре ния ионий це в к ак не льзя лу чш е отражаю тслова А нак сагора: « Разу м правитмиром». Согласно их у че нию , план, по к оторому построе на В се ле нная, име е т мате матиче ск ий харак те р– и тольк о мате матик апозволяе тче лове к у отк рытьэтотплан. П е рвой нау чной ш к олой, пре д лож ивш е й свой вариант « мате матизированного плана» строе ния В се ле нной, были П иф агоре йцы, возглавляе мые П иф агором Самосск им. П иф агоре йцы, ж или на ю ге И талии. И м у д алось све сти му зык у к простым отнош е ниям чисе л. Д виж е ния плане т и многие д ру гие явле ния природ ы пиф агоре йцы так ж е све ли к числовым отнош е ниям. О собу ю роль в у чении пиф агоре йце в играли числа 1, 2, 3 и 4, образовывавш ие те трак тис, или четве рицу . П о пре д анию , к лятва пиф агоре йце в гласила: « К ляну сь име не м Т е трак тис, ниспосланной наш им д у ш ам. В не й источник и к орни ве чно цве ту щ е й природ ы». П иф агоре йцы считали, что все объ е к ты в природ е состоят из че тве рок так их, к ак четыре ге оме триче ск ихэле ме нта: точк а, линия, пове рхностьи те ло. В после д ствии П латон прид авал особое значе ние че тве рк е мате риальныхэле ме нтов: зе мле , возд у ху , огню и вод е . П осле того к ак пиф агоре йцы « све ли» астрономию и му зык у к числу , му зык а и астрономия ок азались связанными с ариф ме тик ой и ге оме трие й, и все че тыре д исциплины стали считаться мате матическ ими. О ни вош ли в программу общ е го образования, причем это полож е ние сохранилосьвплотьд о сре д не ве к овья. В сре д ние ве к а к омпле к с общ е образовате льных
13
д исциплин, состоящ ий из ариф ме тик и, ге оме трии, му зык и и астрономии, полу чил название к вад ривиу м [ М . К лайн. 1984. С. 20-24]. 2.3
Раз ви т и ет е ор и и чи сл овы х м н ож е ст в
П онятия числа могу т быть располож е ны так им образом, что к аж д ое сле д у ю щ е е понятие бу д е тохватыватьвсе пре д ыд у щ ие . За наиболе е простым понятие м, охватываю щ им тольк о од ни на тура льные числа, ид е т новое , боле е обш ирное понятие ц елого числа, ибо оно вк лю чае ту ж е ну льи отрицате льные це лые числа. Д ва сле д у ю щ их, боле е слож ныхпонятия – ра ц иона льные и ирра ц иона льные числа. Ра ц иона льные числа могу т быть пре д ставле ны в вид е простой д роби или в вид е ре зу льтата д е ле ния д ву х це лых чисе л. В ре зу льтате так ого д е ле ния мож е т полу читься бе ск оне чная, но обязате льно пе риод иче ск ая д робь. И рра ц иона льные числа мы у знае м по бе ск оне чной не пе риод ическ ой после д овате льности циф рпосле точк и (запятой) в д е сятичной д роби. О ни заве рш аю т систе му д е йствите льных или, к ак их е щ е называю т, ве щ е стве нных чисе л. П осле д ним являе тся понятие ком плексного числа . К ом плексные числа пре д ставляю т собой пары д е йствите льныхчисе л, приче м второе число к аж д ой пары у множ е но на« мниму ю е д иницу » −1 или i.
Н и од но из чисе л, ни од ной из этих систе м не су щ е ству е т в ре альном мире , в то ж е вре мя числа у д ачно описываю т не к оторые свойства ре ального мира; поэтому они и были выд е ле ны к ак абстрак тные понятия, отраж аю щ ие е го пове д е ние . Чтобы сосчитать своих ове ц, пасту ху хватае т нату ральных чисе л; чтобы взве сить свое золото, к у пе ц воспользу е тся д робями. Гре че ск ому ге оме тру , к оторый захоте л у знать, че му равна гипоте ну за равнобе д ре нного прямоу гольного тре у гольник а, понад обились числа врод е 2 , а мате матик эпохи В озрож д е ния, ре ш авш ий к у бическ ое у равне ние , наш е лприме не ние числу − 1 . К омпле к сные числа, появивш ие ся в XVI ве к е , позволяли « ариф ме тизировать» у ж е не тольк о бе ск оне чну ю пряму ю , но и бе ск оне чну ю плоск ость. К аж д ой точк е плоск ости с к оорд инатами (x, y) ставится в соотве тствие од но к омпле к сное число, к оторое пре д ставляе т собой пару из д е йствите льного и мнимого чисе л вид а ( x + yi ), гд е i = - 1 . К омпле к сные числамож но, к ак и обычные , ск лад ыватьивычитать, у множ атьи д е лить.
( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i ( b + d ) ( a + ib )( c + id ) = ( ac − bd ) + i ( ad + bc )
( a + ib ) − ( c + id ) = ( a − c ) + i ( b − d ) ( a + ib ) = ( ac + bd ) + i ( bc − ad ) ( c + id ) c2 + d 2
В мате матик е су щ е ству ю ти д ру гие обобщ е ния понятия числа: ква терни оны, векторы, м а триц ы, тензоры и т.д . Э ти мате матическ ие объ е к ты, являю щ ие ся творе ниями свобод ного мате матическ ого разу ма, те м не ме не е , наход ятш ирок ое приме не ние в различных областяхнау к и и инж е не рной прак тик и.
14
Н ату ральные числа N = 1, 2, 3, … Ц е лые числа
Z = … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … Рациональные числа
Д е йствите льные числа
К омпле к сные числа
2.4
В озм ож н ы еи н евозм ож н ы еде йст ви я с чи сл ам и
Л ю бые числамож но: Н ату ральные числа N Ц е лые Числа Z
Рациональные числаQ
И ррациональные числа
Д е йствите льные числаR К омпле к сные числаC
• • • • •
ск лад ывать у множ ать ск лад ывать у множ ать вычитать
• • • • • • • • • • • • • •
ск лад ывать у множ ать вычитать д е лить ск лад ывать у множ ать вычитать д е лить извле к атьк орни ск лад ывать у множ ать вычитать д е лить извле к атьк орни В СЕ М О Ж Н О
Н е к оторые числане льзя: • • • • •
вычитать д е лить д е лить извле к атьк орни пре д ставитьв вид е отнош е ния д ву хце лыхчисе л • извле к атьк орни
•
пре д ставитьк ак ре зу льтатслож е ния, у множ е ния, вычитания, д е ле ния иизвле чения к орне й (трансце нд е нтные числа)
• извле к атьк орни из отрицате льныхчисе л
–
15
2.5
Бе ск он е чн ост ь чи сл овы х м н ож е ст в
В се пе ре числе нные множ е ства чисе лбе ск оне чны. К к аж д ому числу , к ак им бы больш им оно ни было, мож но прибавитье д иницу и те м самым е щ е у ве личитье го. И это у ве личение « вш ирь» не име е тпре д е ла. Н о ме ж д у д ву мя сосе д ними нату ральными или це лыми числами е щ е од ного нату рального или це лого числа у ж е не вставить. М ож но зад аться вопросом: К ак ихчисе лбольш е нату ральныхили це лых? Зд равый смысл под ск азывае т, что це лыхчисе лвд вое больш е , че м нату ральных, од нак оэто не так . Ц елых чисел столько ж е, сколько на тура льных чисел (!), т.е . д ваэтихмнож е стваиме ю т од инак ову ю мощ ность. Чтобы у бе д иться в том, что д вамнож е стваА и В равномощ ны, т.е . M(A) = M(B), над о у к азатьспособ R у становле ния взаимно-од нозначногосоотве тствия эле ме нтов од ногомнож е стваa ∈ A эле ме нтам д ру гого множ е ства b ∈ B: R(a ≡ b). Н арису нк е пре д ставле насхе матак ого способа. Способ пе ре сче таце лыхчисе л нату ральными
М нож е стварациональныхи д е йствите льныхчисе л бе ск оне чны не тольк о « вш ирь», но и « вглу бь». М е ж д у лю быми д ву мя так ими числами [a, b], к ак бы мало ни отличалисьони д ру г отд ру га, все гд амож но вставитье щ е пару чисе л [a’, b’], аме ж д у нимие щ е пару [a” , b” ] , и е щ е … и так д о бе ск оне чности.
К ак это ни странно, рациональныхчисе л, т.е . д робе й вид аm / n, стольк о ж е , ск ольк о и нату ральныхчисе л. Н арису нк е пре д ставле насхе мау становле ния взаимно – од нозначного соотве тствия все храциональныхчисе л (полож ите льныхиотрицате льных) и нату ральных чисе л. Способ пе ре сче тад робныхчисе л нату ральными.
16
О д нак о пе ре считатьд е йствите льные и к омпле к сные числа у ж е не у д ае тся. И хв бе ск оне чное число раз больш е , чем нату ральных. Справе д ливосле д у щ е е : М (N) = М (Z) = М (Q) < М (R) = М (C) 2.6
Кл ассы бе ск он ечн ы х м н ож е ст в и к он т и н у у м – г и пот е за.
Бе ск оне чные множ е ства облад аю ту д ивите льными свойствами. Н априме р, д ок азано, что к оличество точек наотре зк е прямой и навсе й бе ск оне чной прямой, наплоск ой ф игу ре и навсе й бе ск оне чной плоск ости и д аж е в бе ск оне чном пространстве од инак овое! Д вак лассабе ск оне чныхмнож е ств: дискретные
и
Б е ск оне чная после д овате льностьили просто совок у пностьточек . К оличество эле ме нтов в множ е стве этого типаобозначае тся א0 (але ф ну ль). П риме ры множ е ств мощ ности א0 : − множе ство нату ральныхчисе л N, − множе ство це лыхчисе л Z, − множе ство рациональныхчисе лQ.
непрерывные
Бе ск оне чная не пре рывная прямая, плоск ость, объ е м, … К оличество эле ме нтов в множ е стве этого типаобозначае тся c или א1 (але ф од ин). П риме ры множ е ств мощ ности א1 : − множ е ство д е йствите льныхчисе лR, − множ е ство к омпле к сныхчисе л C − множ е ство точе к прямой.
К онтину у м
Ф рагме нты д иск ре тныхмнож е ств М (N) = М (Z) = М (Q) = א
0
<א
= М (R)=М (C)
1
М нож е ство, мощ ностьк оторого равна א1, называе тся континуум . М ате матик ом Г. К антором д ок азано, что су щ е ству е тпоражаю щ ая воображ е ние бесконечна я последова тельность бесконечных м нож еств – бе ск оне чная после д овате льность але ф ов; к аж д ый сле д у ю щ ий в бе ск оне чное число раз мощ не е пре д ыд у щ е го.
2 א0 = א1
2 א1 = א2
2 א2 = א3
2 א3 = א4
2 א4 = א5 …
Э та после д овате льность напоминае т после д овате льность нату ральных чисе л, но к ажд ый е е чле н – это не обычное число, а ка рдина льное – символ опре д е ле нного вид а бе ск оне чности. Э тобе ск оне чный ряд бе ск оне чносте й все возрастаю щ е й мощ ности. А не су щ е ству ю т ли бе ск оне чносте й проме ж у точного поряд к а, « д робных» але ф ов? П ре д полож е ние , мате матиче ск ая гипоте за о том, что множ е ств так их мощ носте й не су щ е ству е т, было выск азано мате матик ом Ге оргом К антором и названо К онтинуум – ги потезой. К онтинуум гипотеза
Не существует м нож еств, м ощность которых м еньш е м ощности континуум а א1 , но больш е м ощности бесконечного дискретного м нож ества א0 .
17
В 1934 год у аме рик анск ий мате матик П ольК оэн у становил, что К онтину у м гипоте зу не возмож но ни д ок азать, ни опрове ргну тьс помощ ью обычныхме тод ов те ории множ е ств; что возмож ны к ак бы д ве мате матик и. В од ной из нихК онтину у м гипоте заве рнаи так их « проме ж у точных» множ е ств не су щ е ству е т, и этамате матик атак ж е ве рна, к ак и д ру гая – та, в к оторой так ие множ е ства име ю тся. Л И Т Е РА Т У РА О СН О В Н А Я Л И Т Е РА Т У РА 1. Гре с П .В . М ате матик ад ля гу манитарие в / П .В . Гре с. – М .: Л огос, 2003. – 120 с. 2. К у рс высш е й мате матик и д ля гу манитарныхспе циальносте й: У че бное пособие / Ю .Д . М ак симов, О .И . Н е д зве цк ий, М .Ф . Романов и д р. – СП б.: Спе циальная лите рату ра, 1999. – 190 с. 3. Ш ик ин Е .В . Гу манитариям о мате матик е /Е .В . Ш ик ин, Г.Е . Ш ик ина. – М .: А гар, 1999. – 333 с. Д О П О Л Н И Т Е Л Ь Н А Я Л И Т Е РА Т У РА В иле нк ин Н .Я . Расск азы о множ е ствах / Н .Я . В иле нк ин. – М .: Н ау к а, 1965. – 159 с. К лайн М . М ате матик а. У тратаопре д е ле нности / М . К лайн. – М .: М ир, 1984. – 446 с. К онд ратов А . Зву к и и знак и / А . К онд ратов. – М .: Знание , 1978. – 208 с. К у рантР. Что так ое мате матик а? / Р. К у рант, Г. М . Роббинс. – М .: П росве щ е ние , 1967. – 60 с. 8. М ате матик ав совре ме нном мире / П е р. с англ. – М .: М ир, 1967. – 208 с. 9. М ирчисе л: занимате льные расск азы омате матик е / Сост. Ю .И . Смирнов. –СП б.: М иМ – эк спре сс, 1995. – 156 с. 10. П е ре льман Я .И . Занимате льная ариф ме тик а / Я .И . П е ре льман. – М .: И зд . Ф из. мат. лите рату ры, 1959. – 192 с. 11. Рад е махе рГ. Числа и ф игу ры / Г. Рад е махе р, О . Т ёплиц. – М .: Н ау к а, 1966. – 263 с. 12. Све чник ов А .А . П у те ш е ствие в историю мате матик и, или к ак лю д и у чилисьсчитать: К нигад ля те х, к то у чити у чится / А .А . Све чник ов. – М .: П е д агогик а – П ре сс, 1995. – 167 с. 13. Стю артЯ . К онце пции совре ме нной мате матик и / Я . Стю арт. – М инск : В ыш е йш ая ш к ., 1980. – 384 с. 14. Т опоров В .Н . Числа. М иф ы народ ов мира/ В .Н . Т опоров // Э нцик лопе д ия: в 2–хт. – М .: Сове тск ая энцик лопе д ия, – 1982. – Т . 2. – С. 631. 4. 5. 6. 7.
18
А втор(составите ль): к .ф .м.н. д оце нтСе ле зне в Ге ннад ий Д анилович Ре д ак тор: Бу нинаТ .Д .