Дискретная математика. Ч.1 Основные алгебраические структуры

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

А.Н. ИВАНОВ

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва 2010

УДК 512.62 ББК 22.144 И 17 Иванов А.Н. Дискретная математика. Часть 1. Основные алгебраические структуры. Учебное пособие. В 4-х частях. М.: НИЯУ МИФИ. 2010. 188 с. Даны основные алгебраические структуры, используемые в дискретной математике и ее приложениях. Приведены примеры, иллюстрирующие рассматриваемые понятия, определения и теоремы. Все разделы снабжены упражнениями для самостоятельной работы, а пособие дополнено набором вариантов домашних заданий. Главная задача учебного пособия заключается в оказании помощи студентам при первоначальном изучении алгебраических понятий дискретной математики и подготовке к изучению соответствующих разделов специальной литературы. Во 2-й части пособия изложены основы комбинаторики, теории графов и сетевых моделей. 3-я часть посвящена математической логике, теории автоматов и сложности вычислений. 4-я часть содержит практические примеры использования дискретных математических моделей в криптографии, помехоустойчивом кодировании, цифровой обработке сигналов и сжатии данных Пособие предназначено студентам специальности «Прикладная математика» факультета «К» НИЯУ МИФИ при изучении курса «Дискретная математика», а также может быть рекомендовано к использованию в учебном процессе факультета «Б». Рецензент

доцент каф. 42 И.А. Юров

Рекомендовано редсоветом НИЯУ МИФИ в качестве учебного пособия

ISBN 978-5-7262-1197-8

© Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие……………………………………………………………4 1. Множества…………………………………………………………...6 1.1. Операции, отображения и преобразования……………………6 1.2 Бинарные отношения . ………………………………………..17 Упражнения…………………………………………………....30 Список литературы…………………………………………....31 2. Группы……………………………………………………………..32 2.1. Способы задания групп……………………………………….32 2.2. Подгруппы……………………………………………………..49 2.3. Нормальные подгруппы……………………………………….61 2.4. Факторгруппы………………………………………………… 66 Упражнения……………………………………………………70 Список литературы……………………………………………71 3. Кольца…………………………………………………………… 72 3.1. Кольцо многочленов…………………………………………..83 3.2. Кольцо целых чисел…………………………………………...97 Упражнения…………………………………………………..108 Список литературы…………………………………………..109 4. Конечные поля……………………………………………………110 4.1. Характеризация конечных полей……………………………110 4.2. Первообразные корни и индексы……………………………119 4.3. Многочлены над конечными полями……………………….131 4.4. Алгоритм Берлекэмпа разложения многочленов…………..144 4.5. Коды Боуза-Чоудхури-Хоккенгема…………………………149 Упражнения…………………………………………………..153 Список литературы…………………………………………..154 Приложение 1. Варианты домашних заданий…………………….155 Приложение 2. Вариант контрольной работы…………………….185

ПРЕДИСЛОВИЕ Аппарат дискретной математики является основой решения многих практических задач сбора, хранения, передачи и обработки информации. Вычислительные процедуры в рассматриваемых областях используют операции с элементами различной природы. В то же время, проведение вычислений, по существу, означает занятия алгеброй, т.е. выполнение над элементами некоторого множества «алгебраических операций», наиболее известным примером которых являются «четыре действия» элементарной математики. Последовательные расширения понятия алгебраической операции и понятия «числа», при которых «форма» вычислений сохранялась одной и той же, но природа математических объектов, над которыми производились вычисления, существенно менялась, позволили постепенно выявить руководящий принцип современной математики: математические объекты сами по себе не столь важны - существенны отношения между объектами. Алгебра достигла этого уровня абстракции раньше других областей математики и уже давно стало привычным рассматривать ее как науку об алгебраических операциях, независимую от математических объектов, к которым эти операции могут применяться. Эта идеология полезна всем будущим специалистам в области информатики. Например, в объектно-ориентированном программировании используются такие понятия, как «класс объектов» и «структура», сформированные и используемые в алгебре намного раньше, чем в информатике. Кроме того, для успешного освоения различных прикладных дисциплин необходимо знание конкретных алгебраических структур. Так, для понимания различных криптографических протоколов, (например, RSA), надо иметь представление о сравнениях и кольце целых чисел. Вопросы помехоустойчивого кодирования требуют изучения таких структур, как группы и кольцо многочленов над конечными полями. В цифровой обработке сигналов и обработке изображений широко используется дискретное преобразование Фурье в конечных полях. Поэтому изучение различных алгебраических структур является настоятельной необходимостью для будущих специалистов в области информационных технологий. 4

Этим проблемам и посвящено пособие по курсу дискретной математики, ориентированное на студентов специальности «Прикладная математика» кафедры «Информатика и системы управления» НИЯУ МИФИ. Руководящей идеей учебного пособия было не просто ввести сумму необходимых понятий, но также и показать, как эти понятия работают и как они связаны друг с другом. В курсе «Дискретная математика» предусмотрено выполнение домашнего задания и контрольной работы по разделу «Алгебраические структуры». Для выполнения этих работ вполне достаточно знания основных результатов, сформулированных в виде соответствующих теорем (доказательство которых можно рассматривать как дополнительный материал, ориентированный на интересующихся студентов). Обязательный минимум для студентов при подготовке к выполнению заданий включает параграфы 1.1., 1.2., 2.1., 2.2., 3.1., 4.1., 4.3., 4.5. и упражнения. Учитывая ограниченные возможности в использовании студентами соответствующей литературы, в пособии предпринята попытка адаптации к целям курса известных существующих учебников и монографий. Среди использованной литературы необходимо особо выделить следующие источники: 1. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. М.: Мир, 1976. 2. Верещагин Н.К., Шень А. Начала теории множеств. М.: МЦНМО, 2002. 3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1973. 4. Гроссман И., Магнус В. Группы и графы. М.: Мир, 1971. 5. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т.2 М.: Мир, 1977. 6. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т.1. М.: Мир, 1988. Для компактности записи в тексте широко используются кванторы всеобщности ∀х («для всех х») и существования ∃х «существует х», а также операторы импликации ⇒ «следует» и эквивалентности ⇔ «тогда и только тогда, когда». Поскольку значительная часть методов построения и использования алгебраических структур подробно рассматривается на практических занятиях по курсу «Дискретная математика», то некоторые вопросы, например, изображение графов групп, изложены в учебном пособии несколько фрагментарно. 5

1. МНОЖЕСТВА 1.1. Операции, отображения и преобразования Понятие множества является базовым для всех разделов дискретной математики. В теории множеств основным является понятие принадлежности (отношение некоторого элемента к множеству), позволяющее выделять частные множества и строить новые множества по уже заданным. Обычно используются два подхода. Табличная форма задания множества предусматривает явное указание всех элементов определяемого множества. Так, например, {0, 1, 2, 3} обозначает совокупность целых чисел от 0 до 3. Задание признаком определяет множество по свойству, которым обладают все элементы данного множества и только они. Так, свойство быть целым неотрицательным числом, меньшим четырех, определяет множество, заданное выше в табличной форме. На основе принципа свертывания множества можно определять свойствами. Пусть ϕ(x) – некоторое свойство объекта x (или условие на объект x), тогда существует множество, элементами которого являются в точности все объекты, обладающие данным свойством (или удовлетворяющие ему) ϕ(x). Множество, определяемое свойством ϕ(х), обозначается {x: ϕ(x)}. Пример 1.♦ Пусть ϕ(x) - условие “x∈А и x∈В”. Множество объектов x, принадлежащих А и В, обозначают {x: x∈А и x∈В}. ♦ Рассмотрим основные понятия связанные с заданием множеств. Множества состоят из элементов. Запись x∈М означает, что x принадлежит множеству М (является элементом множества М). Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов, а в противном случае называется бесконечным. Множеством является и, так называемое, пустое множество ∅, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество можно задать любым противоречивым свойством, например: ∅ = {x: x ≠x}. Множество А называется подмножеством М ⇔ ∀x∈А ⇒ x∈М. Отношение между М и любым его подмножеством называется включением и обозначается символом ⊇: М ⊇ А ( или А ⊆ М). Любое множество является подмножеством самого себя: М⊆М. 6

Пустое множество считается подмножеством любого множества М (∅, {∅} и {∅,{∅}} – это три различные множества). Отношение включения транзитивно, т.е. Р⊆А и А⊆М ⇒ Р⊆М. Каждое подмножество А множества М, отличное от М и ∅, называется собственным подмножеством, а соответствующее ему включение называется собственным и обозначается ⊂ или ⊃: А⊂М или М⊃А. Отношение собственного включения также транзитивно. Важно отличать отношения принадлежности: ∈ и включения: ⊂. Например, пустое множество ∅ не имеет элементов: ∀x x∉∅, в то время как ∅ содержит само себя в качестве подмножества. Введем некоторые теоретико-множественные операции. а) Равенство А=В двух множеств А и В. Множества равны, если они содержат одни и те же элементы (т.е. если А⊆В и В⊆А). б) Пересечение А∩В двух множеств состоит из элементов, принадлежащих обоим множествам: А∩В = {x: x∈А и x∈В}. Если А∩В = ∅, то А и В являются непересекающимися множествами. в) Объединение А∪В состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В: А∪В = {x: x∈А или x∈В}. г) Разность А\В состоит из элементов, которые принадлежат А, но не принадлежат В: А\В = {x: x∈А и x∉В}. д) Симметрическая разность АΔВ состоит из элементов, принадлежащих только множеству А или только множеству В: АΔВ = {x: (x∈А и x∉В) или (x∈В и x∉А)}. Обычно для наглядности множества А и В представляются пересекающимися кругами (круги Эйлера или диаграммы Венна), заполненными точками (элементами множеств). Тогда результаты применения введенных теоретико-множественных операций интерпретируются как соответствующиеся области этих кругов. Отметим следующие тождества: АΔВ = (А\В) ∪ (В\А), В = (В\А) ∪ (В∩А), А = (А\В) ∪ (В∩А), ∅ = (А\В) ∩ (В\А) (антикоммутативность разности), А∪В = В∪А (коммутативность объединения), А∩В = В∩А (коммутативность пересечения), А∪А = А (идемпотентность объединения), А∩А = А (идемпотентность пересечения). 7

Отношение включения можно выразить через операции ∩ и ∪: А∩В = В ⇔ А⊆В, А∪В = А ⇔ В⊆А. Для случая трех множеств полезны следующие тождества: А∪(В∪С) = (А∪В)∪С (ассоциативность объединения), А∩(В∩С) = (А∩В)∩С (ассоциативность пересечения), А∩(В∪С)=(А∩В)∪(А∩С)(пересечение распределяет объединение), А∪(В∩С)=(А∪В)∩(А∪С)(объединение распределяет пересечение), А\(В∪С)=(А\В)∩(А\С) (разность антираспределяет объединение), А\(В∩С)=(А\В)∪(А\С) (разность антираспределяет пересечение). Пример 2.♦Докажем тождество А∪(В∩С) = (А∪В)∩(А∪С). (В∩С)⊆В ⇒ А∪(В∩С)⊆ А∪В. (В∩С)⊆С ⇒ А∪(В∩С)⊆ А∪С. Отсюда А∪(В∩С) ⊆ (А∪В)∩(А∪С). С другой стороны, ∀x∈(А∪В)∩(А∪С) ⇒ x∈(А∪В) и x∈(А∪С). ∀x∈А ⇒ x∈А∪(В∩С). ∀x∉А x∈(А∪В), x∈(А∪С) ⇒ x∈В и x∈С. Отсюда x∈В∩С ⇒ x∈А∪(В∩С) ⇒ (А∪В)∩(А∪С) ⊆ А∪(В∩С). Обе части доказываемого равенства включают друг друга, т.е. равны, что и требовалось доказать.♦ Часто бывает полезным введение некоторого «большого» множества, т.е. такого, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами. Такое множество U называют универсальным множеством или универсумом. Пример 3.♦В элементарной геометрии в качестве универсума U принято считать множество всех точек плоскости, тогда различные фигуры можно считать подмножествами выбранного универсума. В элементарной арифметике в качестве универсума U принято рассматривать множество Z всех целых рациональных чисел.♦ Если задан универсум U, то вводится операция дополнение. Для множества М, являющегося подмножеством U, его дополнение, обозначаемое как -М, есть множество всех элементов универсума U, не принадлежащих множеству М: -М = {x: x∈U и x∉M}.Таким образом, дополнение - частный случай разности: -М = U\M. Среди тождеств, относящихся к операции дополнения, отметим следующие (правила де Моргана): - (-М ) = М, (А∪В) = (-А)∩(-В), -(А∩В) = (-А)∪(-В). 8

Пример 4. ♦ Докажем тождество - (А∩В) = (-А)∪(-В). ∀x∈-(А∩В) ⇒ x∈U, x∉(А∩В) ⇒ x∉А или x∉В. ∀x∉А ⇒ x∈-А, x∈(-А)∪(-В). ∀x∉В ⇒ x∈-В, x∈(-А)∪(-В) ⇒ (А∩В) ⊆ (-А)∪(-В). Пусть x∈(-А)∪(-В), x∈-А ⇒ x∈U, x∉А⇒ x∉А∩В ⇒ x∈- (А∩В). x∈-В ⇒ x∈U, x∉В ⇒ x∉А∩В, x∈-(А∩В) ⇒ (-А)∪(-В) ⊆ - (А∩В) Обе части доказываемого равенства включают друг друга, т.е. равны, что и требовалось доказать.♦ Определение.♦ Множество всех подмножеств множества М называется булеаном М и обозначается Β(М): Β(М)={Х: Х⊆M}.♦ Операции ∩, ∪ и \ применимы и к элементам Β(М). Особо следует отметить следующее: ∀a∈М ⇒ {a}∈Β(М), a∉Β(М). Иногда возникает потребность в проведении итерации процесса образования и рассмотрения Β(Β(М)), Β(Β(Β(М))) и т.д. Определение.♦ Всякое подмножество булеана Γ⊂Β(М), такое, что каждый элемент a основного множества М принадлежит хотя бы одному элементу Γ, называеися покрытием множества М. Объединение всех элементов Γ (подмножеств М) совпадает с множеством М. Частным случаем покрытий являются разбиения - такие покрытия М, при котором каждый элемент множества М принадлежит точно одному из элементов Г. Элементы некоторого разбиения называются классами разбиений.♦ Отметим два частных случая разбиений - тривиальные разбиения: множества М ={а1, а2,…, аn}: множества Г1={M}, состоящее из одного класса и Г2={{а1},{а2},{а3},…,{аn}}, состоящее из всех одноэлементных подмножеств.Пусть Р1 и Р2 – два разбиения множества М. Разбиение Р2 считается тоньше, чем разбиение Р1, или что Р1 грубее, чем разбиение Р2, если всякий класс В∈Р2 полностью содержится в некотором классе А∈ Р1. Тривиальное разбиение Г1 грубее любого другого разбиения, а разбиение Г2 – самое тонкое из всех разбиений. Пример 5. ♦ Пусть задано множество М = {a,b,с} и надо построить булеан, покрытия и разбиения множества М. Булеан множества М содержит 23 элементов и имеет вид: Β(М) = {∅,{a},{b},{с},{a,b},{a,с},{b,с},{a,b,с}}. Примерами покрытий М будут следующие семейства множеств: ({a,b},{a,с}), ({b},{ а,b,с}), ({a},{b},{a,с}), ({a,b},{а,b,с}) 9

Примерами разбиений М будут следующие семейства множеств: ({a},{b},{с}), ({a},{b,с}), ({a,b,с}). Тривиальными разбиениями М являются ({a},{b},{с}) и ({a,b,с}). Разбиение ({a},{b,с}) тоньше, чем разбиение ({a,b,с}), а разбиение ({a},{b},{с}) тоньше всех остальных разбиений множества М.♦ Определение.♦ Отображением множества А в множество В называется соответствие, по которому каждому элементу x∈А сопоставляется однозначно определенный элемент y∈В, называемый образом элемента x, a x, в свою очередь, называется прообразом элемента y. Отображение множества А в множество В обозначается ϕ: А→В.♦ Образ элемента x∈А при отображении ϕ будем обозначать ϕ(х). Множество А называется множеством отправления отображения ϕ, а множество В – множеством прибытия ϕ. Отображение одного множества в другое можно задавать разными способами: описательно (указывая правило, по которому ∀x∈А ставится в соответствие его образ ϕ(х)∈В), таблицами, графиками и стрелочными схемами. Построение таблицы отображения ϕ: А→В любых множеств А и В (как числовых, так и нечисловых) осуществляется путем записи ∀x∈А в строках таблицы пар вида (a,ϕ(a)). Такая таблица полностью задает отображение лишь тогда, когда множество конечно, т.е. А={a1, a2,…, an}. Для построения графика отображения ϕ: А→В любых числовых и нечисловых множеств А и В используется координатная сетка, абсциссами которой являются элементы множества А, а ординатами – элементы В. График отображения ϕ представляет собой множество точек, «координатами» которых являются всевозможные пары вида (a,ϕ(a)), где a∈A и ϕ(a)∈В. Пример 6.♦Пусть А = {г, а, е, л}, В = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и задано отображение ϕ: А→В, которое каждой букве множества А ставит в соответствие ее порядковый номер в слове «алгебра», являющееся своеобразным «ключом» преобразования. Графиком данного отображения являются пары {(г,3), (а,1), (е,4), (л,2)}.♦ С помощью стрелочных схем (графов) отображение ϕ: А→В задается следуюшим образом. Элементы множеств А и В определяются различными точками плоскости (обычно элементы множе10

ства А располагаются слева, а множества В справа). Каждую точку, обозначающую элемент a∈A, соединяют направленной слева направо стрелкой с точкой, обозначающей элемент ϕ(a)∈В. Обозначим число элементов конечного множества М через |М|, т.е. |{a,b,c,f}|=4 и |{1,7,10}|=3. Рассмотрим отображения ϕ: А→В, когда множества конечны: |А|=n, и |В|=m. Существует конечное число различных отображений |А→В| (т.е. действущих по-разному хотя бы на один элемент множества А). |ϕ| легко подсчитать на основе использования табличной формы задания отображения ϕ. Каждую из n клеток нижнего ряда таблицы можно заполнить m разными способами независимо от способа заполнения других клеn ток, т.е. |ϕ|=m . Рассмотрим некоторые классы отображений. Определение.♦Отображение ϕ:А→В называется отображением на все множество В или сюръекцией, если ∀b∈B ∃а∈A: ϕ(а) = b.♦ Если множества А,В конечны и ϕ: А→В - сюръекция, то нижний ряд ее таблицы включает все элементы В, а на графе отображения в каждую точку-элемент множества В, входит хотя бы одна стрелка. Сюръекция конечного множества А на множество В существует не всегда. Очевидно, что для этого необходимо выполнение неравенства |A|≥|B|. + Пример 7. ♦Пусть А=R, B=R - два множества всех действительных и всех положительных действительных чисел. Зададим + + отображение ϕ: R→ R , положив ∀х∈R ϕ(х)=х2. Отображение ϕ + будет сюръекцией, так, как. ∀у∈R ∃х∈R: ϕ(х)=у. Для этого достаточно положить х=√ у.♦ Определение.♦Отображение ϕ: А→В называется отображением в множество или инъекцией, если разные элементы множества А переводятся этим отображением в разные элементы множества В, т.е. ∀х1,х2∈А, х1≠х2 ⇒ что ϕ(х1) ≠ ϕ(х2). ♦ Если множества А и В конечны и ϕ: А→В – инъекция, то в нижнем ряду ее таблицы каждый элемент множества В встречается лишь один раз, на каждой горизонтальной прямой графика имеется не более одной вершины сетки, а на графе не более одной стрелки входит в каждую точку, обозначающую элемент множества В.

11

Если множества А и В конечны и существует инъекция ϕ: А→В то должно выполняться неравенство |A|≤|B|. Всего существует |ϕ|=m(m-1)…(m-n+1) различных инъективных отображений. Пример 8. ♦Отображение ϕ: Z→2Z множества целых чисел Z в множество всех четных чисел определим следующим образом: ∀z∈Z ϕ(z)=6z. ϕ(z) - инъекция, т.к. ∀z1,z2∈А, z1≠z2 ⇒ 6z1≠6z2.♦ Определение.♦Если отображение ϕ: А→В является одновременно инъективным и сюръективным, то оно называется взаимно однозначным отображением множества А на множество В или биекцией множества А на множество В.♦ Если существует биекция конечного множества А на конечное множество В, то должны выполняться неравенства A|≥|B| и |A|≤|B|. Следовательно, биекция ϕ: А→В ⇔ |A|=|B|. Обобщая формулу для числа инъективных отображений на случай |А|=|В|=n, имеем всего n!=n*(n-1)*…2*1 различных биекций ϕ: А→В. Пример 9. ♦Отображение ∀х∈Z ϕ: х→2х есть биекция множества целых чисел Z на множество 2Z четных чисел.♦ Теорема 1 (принцип включения и исключения). Пусть даны подмножества A1,…,An некоторого конечного множества М, тогда |∪1…nAi| = Σ1…n|Ai| - Σ1≤i<j≤n|Ai∩Aj| + Σ1≤i<j
+ (-1) -1Σ|A1∩A2∩…∩An|. ♦Используем математическую индукцию по n. Для n=1 теорема справедлива. Пусть для A1,…,An-1 справедливо утверждение |∪1…n-1Ai| = Σ1…n-1|Ai| - Σ1≤i<j≤n-1|Ai∩Aj| + Σ1≤i<j
Σ|A1∩A2∩…∩An-1|. Применяя его к сумме (A1∪A2∪…∪An-1)∩An = ∪1…n-1(Ai∩An), - … + (-1)

получаем следующее выражение |∪1…n-1(Ai∩An)| = Σ1…n-1|Ai∩An| - Σ1≤i<j≤n-1|Ai∩Aj∩An| + …+ n-2

+ (-1)

Σ|A1∩A2∩…∩An|

и далее имеем |∪1…nAi| = |(∪1…n-1Ai)∩An| = |∪1…n-1Ai| + |An| - |∪1…n-1Ai∩An| = = Σ1…n|Ai| - Σ1≤i<j≤n|Ai∩Aj| +…+ (-1) Теорема доказана.♦ 12

n-1

Σ|A1∩…∩An|.

Пример 10.♦Пусть даны множества |Х|=n и |Y|=m. Найдем число всех различных сюръективных отображений ϕ: Х→Y. Пусть Y={у1,у2,..,уm}. Обозначим Ai множество отображений ϕ: Х→Y, для

которых уi∉ϕ(Х). Тогда, очевидно, что ϕ(Х)∉Y ⇔ ϕ∈∪1…mAi. n Как известно, число всех отображений ϕ: Х→Y равно m . Таким образом, достаточно определить мощность A1∪A2∪…∪Am. Для произвольной последовательности 1≤р1<р2<…< рi≤m пересечение

Aр1∩Aр2∩…Aрi есть множество всех отображений ϕ: Х→Y, таких, что ур1,ур2,…,урi∉ϕ(Х). Мощность этого пересечения составляет n (m-i) , т.е. имеется столько отображений ϕ: Х→Y\{ур1,ур2,…,урi}. Множество {ур1,ур2,…,урi} можно выбрать С(m,i)=m!*((m-i)!*i!) 1 способами. Следовательно, на основании теоремы 1 имеем n n in Sm,n = m - |∪1…m-1Ai| = m - Σ1…m-1(-1) 1С(m,i)(m-i) = i

n

= Σ0…m-1(-1) С(m,i)(m-i) , т.е. число различных сюръективных отображений ϕ: Х→Y равно i n Sm,n = Σ1…n(-1) С(m,i)(m-i) . ♦ Определение. ♦Отображение ϕ: М→М множества в себя называется преобразованием множества М. Пример 11. ♦Пусть М - множество точек плоскости. Тогда преобразованиями являются каждое из известных геометрических отображений М на себя: симметрия относительно фиксированной точки или прямой, параллельный перенос, гомотетия и поворот вокруг фиксированной точки.♦ Для преобразований произвольного множества можно рассмотреть введенные выше классы отображений - инъекции, сюръекции и биекции, которые для конечных множеств совпадают. Поэтому для конечных множеств рассматривают лишь биекции. При исследовании отображений ϕ: М→М природа элементов конечного множества М несущественна. Поэтому, обычно оперируют не с самими элементами М, а с их индексами, т.е. используют множество M={1,2,3,…, n}. В этом случае, задавая преобразование таблицами, будем записывать их в следующем виде: 13

⎛1 2 3… n⎞ ⎝ a1 a2 a3 …an⎠ Такое обозначение характеризует преобразование однозначно и не вызывает недоразумений. Например, если M = {1, 2, 3, 4, 5}, то а) ⎛1 2 3 4 5⎞ в) ⎛1 2 3 4 5⎞ с) ⎛1 2 3 4 5⎞ ⎝2 2 4 2 5⎠ ⎝5 4 3 2 1⎠ ⎝3 2 1 5 4⎠ являются таблицами разных преобразований множества М. Например, таблицу а) следует читать так: «преобразование ϕ, заданное таблицей а), переводит 1в 2, 2 - в 2, 3 - в 4, 4 - в 2, 5 - в 5». Порядок записи элементов верхней строки такой таблицы не существенен. Так преобразование, заданное таблицей в), можно обозначить также следующими таблицами: ⎛2 1 3 4 5⎞ ⎛5 4 1 2 3⎞ ⎛1 3 2 5 4⎞ ⎝2 3 1 5 4⎠, ⎝4 5 3 2 1⎠, ⎝ 3 1 2 4 5⎠ Каждое преобразование конечного множества полностью описывается своей таблицей, поэтому, обычно и само преобразование, и его таблицу обозначают одинаковыми символами. Некоторые преобразования множества имеют специальные названия. Тождественным называется преобразование ε, при котором все элементы М остаются на месте, т.е. ∀a∈М: ε(a)=a. Таблица преобразования конечного множества М имеет вид: ε = ⎛1 2 3 … n-1 n⎞ ⎝ 1 2 3 … n-1 n ⎠ Постоянное преобразование каждому элементу множества М ставит в соответствие некоторый фиксированный элемент этого множества. Если |М| = n, то таблица постоянного преобразования для этого множества имеет вид: ⎛ 1 2 3 … n-1 n ⎞ ⎝a a a … a a⎠ Подстановкой (перестановкой) называется биективное отображение конечного множества М на себя. Следовательно, ϕ является подстановкой на М ⇔ ∀a,b∈М, a≠b ⇒ ϕ(a)≠ϕ(b). Это означает, что подстановка ϕ может быть определена таблицей вида ⎛ 1 2 3 … n-1 n ⎞ ⎝ i1 i2 i3 … in-1 in⎠ где i1, i2, i3, …,in-1, in – отличные друг от друга элементы из М. 14

Поскольку количество различных перестановок из n натуральных чисел равно n!, то общее количество подстановок из n элементов также равно этому числу. Инъекции, сюръекции и биекции замкнуты относительно умножения преобразований, т.е. произведение инъекций является инъекцией, для сюръекций – сюръекция и для биекций – биекция. Пусть преобразования ϕ и ψ являются инъекциями множества М в себя и ω = ϕψ. Тогда имеем, что ∀a,b∈M ϕ(a)≠ϕ(b), ψ(a)≠ψ(b). Подействуем преобразованием ω на элементы a и b и вычислим произведения преобразований. Тогда имеем ω(a) = ψ(ϕ(a)) = ψ(a1), ω(b) = ψ(ϕ (b)) = ψ(b1), где a1=ϕ(a), b1=ϕ(b). В свою очередь, поскольку ψ - инъекция, то ψ(a1)≠ψ(b1) ⇒ ∀a,b∈M и a≠b имеем ω(a)≠ω(b), т.е. ω - инъекция. Пусть теперь преобразования ϕ и ψ являются сюръекциями. Убедимся, что ∀a∈M ∃b∈M: ω(b)=a. Поскольку ψ - сюръекция, то ∃с∈M: ψ(с)=a. Из сюръективности ϕ следует ∃b∈M: ϕ(b)=с, т.е. элемент b является искомым и преобразование ω - сюръекция. ω(b )= ψ(ϕ (b)) = ψ(с) = a. Отсюда следует, что произведение биективных преобразований – биекция. Для конечных множеств все три класса преобразований совпадают, т.е. произведение двух произвольных подстановок на множестве М снова является подстановкой на множестве М. Пример 13. ♦Определим количество инверсий на множестве М={1,2,…,n}, т.е. подстановок Рn, для которых выполняется условие ϕ(i)≠i, i=1…n. Обозначим через Dn множество всех инверсий на М и через Ai множество отображений вида Ai ={ϕ∈Рn: ϕ(i)=i, i=1…n}. Перестановка ϕ - инверсия ⇔ ϕ∉ Ai. Согласно теореме 1 тогда следует, что n

|Dn | = |Рn| - Σ1…n|Ai| + Σ1≤i<j≤n|Ai∩Aj| -…+ (-1) -1Σ|A1∩…∩An|. Для произвольной последовательности 1≤р1<р2<…<рi≤n пересе-

чение Aр1∩Aр2∩…Aрi является множеством перестановок ϕ, таких, что ϕ(рj)= рj, 1≤j≤i и, следовательно, мощность этого пересе-

чения составляет |Aр1∩Aр2∩…Aрi|=(n-i)!. 15

Последовательность 1≤р1<р2<…<рi≤n можно выбрать -1 С(n,i)=n!*((n-i)!*i!) способами, поэтому в итоге получаем: i

Σ0…n(-1)iС(n,i)(n-i)! = = Σ0…n(-1)in!*((n-i)!*i!)-1(n-i)! = Σ0…n(-1)in!*(i!)-1 = i n = n!*Σ0…n(-1) (i!) 1 = n!*(1-1/1!+1/2!+1/3!+…+(-1) /n!). i Сумма в скобках является отрезком ряда е-1=Σ0…∞(-1) (i!) 1. Это оз|Dn | = n!- Σ1…n(-1) С(n,i)(n-i)! =

начает, что инверсии составляют е-1 ≅ 0.368… от числа всех перестановок.♦ Аналогично операции образования суперпозиции числовых функций можно построить операцию умножения преобразований. Определение.♦Пусть заданы некоторые преобразования ϕ,ψ произвольного множества М. Произведением преобразований ϕ и ψ называется преобразование ω: ∀a∈М: ω(a)=ψ(ϕ(a)). Чтобы найти образ ∀a∈М под действием ω, нужно найти образ элемента a под действием ϕ: b=ϕ(a)∈М. Затем надо найти образ элемента b под действием ψ: c=ψ(b)∈М. Элемент с и есть образ а под действием ω. Произведение преобразований ϕ и ψ обозначается через ϕψ♦ Пример 14. ♦Пусть ϕ: х→ х+2 и ψ: х→х+5, где х∈R. Тогда, ϕψ=ψϕ-преобразование, которое каждое число х переводит в х+7.♦ Рассмотрим алгоритм вычисления произведения подстановок (преобразований) ϕ и ψ: ϕ = ⎛ 1 2 3 … n-1 n ⎞, ψ = ⎛ 1 2 3 … n-1 n ⎞. ⎝ i1 i2 i3 … in-1 in ⎠ ⎝ j1 j2 j3 … jn-1 jn ⎠ Шаг 1. Столбцы в таблице ψ переставляются таким образом, чтобы верхняя строка таблицы совпадала с нижней строкой таблицы ϕ ψ′ = ⎛ i1 i2 i3 … in-1 in ⎞. ⎝ k1 k2 k3 … kn-1 kn⎠ Шаг 2. Строится новая таблица, верхней строкой которой является верхняя строка таблицы ϕ, а нижней – нижняя строка таблицы ψ′. Эта таблица и будет таблицей преобразования ϕψ. ϕ ψ = ⎛ 1 2 3 … n-1 n ⎞. ⎝ k1 k2 k3 … kn-1 kn⎠ Пример 15.♦Пусть ϕ = ⎛ 1 2 3 4 5 ⎞, ψ = ⎛ 1 2 3 4 5 ⎞ , тогда ⎝34152⎠ ⎝15432⎠ 16

ϕψ = ⎛1 2 3 4 5 ⎞ ⎛1 2 3 4 5 ⎞ = ⎛1 2 3 4 5 ⎞⎛3 4 1 5 2 ⎞ = ⎛1 2 3 4 5⎞♦ ⎝3 4 1 5 2 ⎠ ⎝1 5 4 3 2 ⎠ ⎝3 4 1 5 2 ⎠⎝4 3 1 2 5 ⎠ ⎝4 3 1 2 5⎠ Для каждой подстановки ϕ существует обратная подстановка ϕ-1, т.е. такая, что ϕϕ-1=ϕ-1ϕ=ε, где ε - тождественная подстановка. Эти подстановки получаются одна из другой перестановкой строк, т.е. ϕ = ⎛ 1 2 3 … n-1 n ⎞ ϕ -1 = ⎛ i1 i2 i3 … in-1 in ⎞ ⎝ 1 2 3 … n-1 n ⎠. ⎝ i1 i2 i3 … in-1 in ⎠, Пример 16.♦Пусть ϕ = ⎛ 1 2 3 4 5 ⎞. Тогда будем иметь ⎝34152⎠ -1 ϕ = ⎛3 4 1 5 2⎞ = ⎛1 2 3 4 5 ⎞ ϕϕ-1= ⎛1 2 3 4 5 ⎞⎛3 4 1 5 2 ⎞ = ε. ⎝1 2 3 4 5 ⎠ ⎝3 5 1 2 4 ⎠ ⎝3 4 1 5 2 ⎠⎝1 2 3 4 5 ⎠ ♦ Подстановки нашли широкое использование в теории групп. Множество всех n! перестановок на множестве М={1, 2, …, n}, с определенной на нем операцией умножения перестановок, носит название симметрической группы и обозначается Sn. 1.2. Бинарные отношения Введем понятие упорядоченной пары < x,y> на множестве А как пары, имеющей в качестве первого элемента х∈A и в качестве второго элемент y∈A. Отметим, что <x,y> = тогда и только тогда, когда x=z и y=w. Определение.♦Произведением(декартовым произведением) множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит А, а второй - множеству В. Произведение этих множеств обозначается как А×В: А×В = {< x,y>: x∈A и y∈B}.♦ Введем понятие бинарного отношения, под которым понимают множество, элементами которого являются упорядоченные пары. Определение.♦Пусть М – множество и А - подмножество из М×М (это множество часто называют квадратом множества М и обозначают как М2 ). Два элемента x, y∈М считаются связанными бинарным отношением, определяемым А, если <x, y>∈A.♦ В общем случае для обозначения того, что два элемента x,y из М связаны бинарным отношением, пишут xRy, иногда используется 17

запись x=y, x≡y, x≅y и т.д. Необходимо отметить, что задание бинарного отношения R для пар элементов из М не означает, что это отношение должно выполняться для любой пары. Пример 17. ♦Рассмотрим множество натуральных чисел N. Определим бинарное отношение R через подмножество А ⊂ N 2, где А - множество упорядоченных пар натуральных чисел , для которых p+q является четным числом.♦ Равенство является бинарным отношением: если М - некоторое множество и Δ - диагональ множества М2 (множество элементов <x,x>, где x∈M ), то отношение <x, y>∈Δ есть не что иное как x=y. Изучение бинарных отношений в множестве М не отличается от изучения подмножеств М2. Можно говорить о включении бинарного отношения R в другое бинарное отношение, а также о пересечении и объединении бинарных отношений. Дополнением к бинарному отношению R является бинарное отношение -R, такое, что -R = М2 \ R. Следовательно, a (-R) b ⇔ ∉R. Рассмотрим подробнее операции с бинарными отношениями. Определение.♦Пусть в множестве М заданы произвольные бинарные отношения R и S. Произведением бинарных отношений R и S называется бинарное отношение RS, задаваемое следующим образом a(RS)b ⇔ ∃ с∈М: aRс и сSb (т.е.∈R,∈S).♦ Умножение бинарных отношений ассоциативно (RS)T= R(ST), так как ∀а, b∈М: а(RS)Tb, аR(ST)b ⇔ ∃с, d∈M: aRc, cSd, dTb. В то же время умножение бинарных отношений не является коммутативной операцией. Бинарные отношения R и S лишь иногда могут быть перестановочными (RS = SR). Теорема 2. Если в множестве М определены бинарные отношения Ri (i пробегает множество индексов I) и S, то (∪Ri)S = ∪(RiS) S(∪Ri) = ∪(SRi), где i∈I. (1) ♦Действительно, a[(∪Ri)S]b равносильно существованию такого элемента с, что a(∪Ri)с и сSb. Это, в свою очередь, равносильно существованию такого индекса i0, что aRi0с, сSb, т.е. a(Ri0S)b и поэтому a(∪RiS)b. В равенствах (1) объединения нельзя заменить пересечением. Из (1) следует, что если даны бинарные отношения R, R*и S, причем R⊆R*, то RS⊆R*S и SR⊆SR*. Включение R⊆R* равносильно равенству R∪R*=R* из которого следует равенство (R∪R*)S = RS∪R*S = R*S, равносильное включению RS ⊆ R*S. ♦ 18

Определение.♦Для бинарного отношения R существует единственное обратное отношение R 1: aR 1b ⇔ bRa. Отсюда следует, что -1 -1 -1 -1 (R ) = R и R⊆S ⇒ R ⊆S .♦ Теорема 3. Если в произвольном множестве М определены бинарные отношения S,Т,Ri ( i пробегает множество индексов I), то -

-

(2)

-1

-1

(3) (4)

(∩Ri) 1 = ∩Ri 1 , (∪Ri) = ∪Ri , - (ST) 1 = T 1S 1, i∈I. -

♦Действительно, а(∩Ri) 1b означает, что bRa, т.е. ∀i∈I bRia. Отсюда следует, что ∀i∈I аRi 1b и поэтому а(∩Ri 1)b.Аналогично доказывается утверждение (3). Наконец, в равенстве (4) а(ST) 1b - означает, что b(ST)a, т.е. ∃с∈М: bSc,сTa ⇒ аT 1с,сS 1b ⇒ аT 1S 1b.♦ Определение. ♦ Единичным называется отношение Е, вводимое следующим образом: aEb ⇔ a=b. Пустым называется отношение О, задаваемое как О=∅ ⊂ М2. ♦ Е определяется множеством всех пар вида <а,а>, а∈М. Очевидно, что Е-1=Е. Для любого бинарного отношения R справедливо RE = ER = R, О⊆R и RO = OR = O. Для характеристики бинарных отношений вводятся некоторые специальные свойства, присущие этим отношениям: Рефлексивность: ∀а∈М aRa; т.е. E ⊆ R. Транзитивность: aRb, bRс ⇒ aRc; т.е. RR ⊆ R. Симметричность: aRb ⇒ bRа; т.е. R-1 = R. Антисимметричность: aRb, bRа ⇒ a=b; т.е. R∩R-1 ⊆E. Теорема 4. Если бинарное отношение R обладает любым из свойств рефлексивности, транзитивности, симметричности или антисимметричности, то R-1 также обладает этим же свойством. ♦ В самом деле, E⊆R ⇒ Е = Е-1 ⊆R-1 (для рефлексивности). RR⊆R ⇒ R-1R-1=(RR) -1⊆R-1 (для свойства транзитивности). R-1=R ⇒ (R-1) -1=R=R-1 (для симметричности). R∩R-1⊆E ⇒ R∩(R-1)-1=R-1∩R⊆E (для антисимметричности).♦ Определение.♦Два множества называются равномощными, если между ними можно установить биективное отображение.♦ 19

Для конечных множеств данное определение означает, что они содержат одинаковое количество элементов, но определение имеет смысл и для бесконечных множеств. Пример 18. ♦ Биективное отображение ϕ: x→5x показывает равномощность отрезков [0, 1] и [0, 5].♦ Любые два интервала на прямой и любые два круга на плоскости соответственно равномощны. Более сложной задачей является доказательство равномощности интервала (0,1) и луча (0,+∞).Отображение x→1/x является биекцией между (0,1) и (1,+∞), а x→(x-1) является биекцией между (0,+∞) и (1,+∞). Их композиция x→ [(1/x)–1] и является искомой биекцией между (0,1) и (0,+∞). Равномощность есть бинарное отношение эквивалентности, обладающее свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности. Для записи отношений эквивалентности чаще всего используются символы ≈ и ≡. Эквивалентность x,y∈М по отношению R записывается как xRy или x ≡ y (R), или x ≡ y (mod R). Последняя запись читается как “x равно y по модулю R”. Отношение эквивалентности, заданное на множестве М, порождает разбиение М на непересекающиеся классы эквивалентности. Определение.♦Классом эквивалентности в множестве М по отношению эквивалентности R называется множество всех х∈М, эквивалентных некоторому заданному элементу а∈М. Обозначим этот класс эквивалентности через [a] и будем говорить, что a есть представитель класса [a]. Класс эквивалентности является подмножеством М: [a]⊆М, в то время как отношение эквивалентности R задается подмножеством М2: R⊆М2.♦ Пример 19. ♦ Множество целых чисел Z по отношению четности разбивается на два класса эквивалентности - четных чисел и нечетных чисел.♦ Теорема 5. Два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают. ♦ Пусть х∈М, а [х] – класс, определяемый х по отношению R, и пусть y∈[x]. z≡y ⇒ z≡x, так как y≡x (свойство транзитивности). Обратно, z≡x ⇒ z≡y. Поэтому, если класс эквивалентности задан, то для его определения может быть взят любой его элемент. Аналогично, пусть [x], [y] - классы эквивалентности множества М по R. Покажем, что если ∃z∈М: z∈[x] и z∈[у] ⇒ [х]=[у], т.е. клас20

сы [х] и [у] состоят из одних и тех же элементов множества М. Действительно, если z∈[x], z∈[у], то z≡x и z≡y. Тогда, если t∈[x], то t ≡ x ≡ y ≡ z ⇒ t∈[у] и классы [x] и [y] совпадают.♦ Если в множестве М заданы отношения эквивалентности Ri, i∈I, то их пересечение будет эквивалентностью, но их объединение, в смысле объединения бинарных отношений, эквивалентностью уже не будет. Произведение RS двух эквивалентностей R и S является эквивалентностью, когда R и S перестановочны, т.е. RS = SR. Если это имеет место, то объединение отношений эквивалентности R и S совпадает с их произведением как бинарных отношений. Переход от разбиения π множества М к определяемому им отношению эквивалентности, а затем к определяемому последним разбиению множества М снова дает рабиение π. Следовательно, между отношениями эквивалентности в множестве М и разбиениями множества М на непересекающиеся классы существует взаимно однозначное соответствие. Определение.♦ Фактормножеством М/R множества М по отношению эквивалентности R называется множество классов разбиения, соответствующего отношению R в множестве М. Отображение ϕ:М→М/R (a→[a]) называется естественным отображением множества М на фактормножество М/R.♦ Пример 20. ♦ В геометрии примером эквивалентности является понятие параллельности, определенной на множестве прямых плоскости. Две прямые плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек, либо совпадают. Классы этой эквивалентности представляют собой то, что в планиметрии обычно называется “пучком параллельных прямых”, а множество всех этих пучков, т.е. фактормножество множества прямых по отношению параллельности, называется множеством направлений плоскости. ♦ Конечные эквивалентные множества равночисленны. Обобщением равночисленности на случай бесконечных множеств является понятие равномощности. Мощность бесконечного множества М является понятием, связанным с любым бесконечным множеством М′, эквивалентным М. Всем множествам, эквивалентным одному и тому же множеству М, отнесят один и тот же символ μ, рассматри21

ваемый как обозначение мощности множества М. Если два бесконечных множества М и М′ не эквивалентны, то их мощности μ и μ′ различны, т.е. μ ≠ μ′. Подобно натуральным числам мощности бесконечных множеств можно сравнивать. Если множества М (мощности μ) и множество М′ (мощности μ′) не эквивалентны и множество М эквивалентно некоторой части множества М′, то μ меньше μ′: μ<μ′, а μ′ больше μ: μ′>μ. Бесконечные множества имеют различные мощности. Среди различных мощностей бесконечных множеств имеется наименьшая мощность ℵ0, которой обладает множество натуральных чисел N. Этой мощностью обладают все множества, равномощные N, и называемые счетными множествами. Счетные множества, представимы в виде {x1, x2, x3, …}, где xi – элемент множества, соответствующий числу i. Соответствие Х→N является биекцией, поэтому все xi различны. Так например, множество целых чисел Z счетно, так как все целые числа можно расположить в виде последовательности: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3…. Рассмотрим подробнее некоторые утверждения о свойствах бесконечных множеств. Теорема 6. 1. подмножество счетного множества конечно или счетно; 2. произвольное бесконечное множество содержит конечное подмножество; 3. объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно. ♦ 1. Рассмотрим некоторое подмножество В счетного множества А={а0,а1,а2,…}. Удалим из последовательности а0,а1, … члены, не содержащиеся в В, сохранив порядок оставшихся. Оставшиеся члены последовательности тогда либо образуют конечную последовательность и подмножество В конечно, либо образуют бесконечную последовательность и тогда В счетно. 2. Пусть А бесконечно, тогда оно не пусто и содержит некоторый элемент b0. Поскольку множество А бесконечно, оно не исчерпывается элементом b0. Возьмем из него какой-нибудь другой элемент b1. Продолжая этот процесс, получим последовательность b0, b1, … Построение не прервется ни на каком шаге, поскольку А бесконеч22

но. Построенное множество В={b0, b1, b2,…} и будет искомым счетным подмножеством А.. 3. Пусть имеется счетное число счетных множеств А1,А2,…. Расположив в последовательность слева направо элементы каждого из множеств Аi={а0, а1, а2, …} и поместив эти последовательности друг под другом получим набор строк а00 а01 а02 а03 … а10 а11 а12 а13 … а20 а21 а22 а23 … а30 а31 а32 а33 … … Строки можно представить в виде одной последовательности, проходя элементы строк по очереди, например, по диагоналям набора: а00, а01, а10, а20, а11, а02, а03, а12, а21, а30, … Если Аi не пересекались, то получим искомое представление объединения этих множеств. Если же Аi пересекались, то из построенной последовательности надо убрать повторения. Если множеств Аi конечное число или какие-то из них конечны, то в построенном наборе строк части членов не будет и останется либо конечное, либо счетное множество.♦ Пример 21. ♦ Множество всех текстов, использующих конечный алфавит счетно. Текстом можно считать любую конечную последовательность букв, пробелов, знаков препинания и т.п. То же самое можно сказать о множестве всех компьютерных программ.♦ Теорема 7. Если А есть бесконечное множество, а множество В конечно или счетно, то объединение А∪В равномощно А. ♦ Можно считать, что А и В не пересекается (пересечение А∩В можно исключить из В, но В останется по-прежнему конечным или счетным). Выделим в А счетное подмножество Р и обозначим разность А\Р через Q. Тогда надо доказать, что множество В+Р+Q равномощно множеству Р+Q (знак + символизирует объединение непересекающихся множеств). Поскольку В+Р и Р оба счетны, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, которое легко продолжить до соответствия между В+Р+Q и Р+Q (каждый элемент множества Q соответствует сам себе).♦ Пример 22. ♦ Отрезок [0,1] и полуинтервал [0,1) равномощны. Полуплоскость (точки плоскости, лежащие по одну сторону от не23

которой прямой) равномощна плоскости. Это верно независимо от того, включаем ли мы граничную прямую в полуплоскость или нет♦ Теорема 8. Отрезок [0,1] равномощен множеству всех бесконечных последовательностей из нулей и единиц. ♦ Каждое число х∈[0,1] можно записать в виде бесконечной двоичной дроби. Первый знак дроби равен 0 или 1 в зависимости от того, принадлежит ли число х левой или правой половине отрезка [0,1]. Для выбора следующего знака, надо выбранную половину снова поделить пополам и определить, куда попадет х и т.д. Это же соответствие можно описать и в другую сторону. Последовательности х0, х1, х2, … соответствует число, являющееся суммой ряда х0*20+х1*2 1+х2*2 2+…+хi*2 i+… Описанное соответствие не является взаимно однозначным: рациональные числа вида m*2 n имеют два представления. Например, число 5/8 можно записать как в виде 0,101000…, так и в виде 0,1001111… Соответствие становится взаимно однозначным, если отбросить дроби с единицей в периоде (кроме дроби 0,11111…, которую надо оставить). Поскольку таких дробей счетное число, на мощность множества это не повлияет.♦ В доказательстве теоремы 8 можно было бы вместо двоичных дробей использовать и привычные десятичные дроби. В этом случае получилось бы, что отрезок [0, 1] равномощен множеству всех бесконечных последовательностей из цифр {0, 1, …, 9}. Теорема 9. Квадрат (с внутренностью) равномощен отрезку. ♦Согласно декартову методу квадрат равномощен множеству [0,1]×[0,1] пар действительных чисел, каждое из которых принадлежит отрезку [0, 1]. В теореме 8 показано, что вместо чисел отрезка [0, 1] можно говорить о последовательности нулей и единиц. Построим отбражение точек квадрата (х, у)∈[0,1]×[0,1] на точки отрезка t∈[0,1] с помощью преобразования Д.Кенига. Точке квадрата (х, у)= (0. х0х1х2…, 0. у0у1у2…), записываемой в виде пары последовательностей нулей и единиц, ставится в соответствие точка отрезка t=0. х0у0х1у1х2у2…, также записываемая в виде двоичной последовательности. Построенное отображение будет биекцией .♦ Пример 23. ♦ Из теоремы 9 следует много утверждений о равномощности геометрических объектов: отрезок равномощен n24

мерному кубу, круг равномощен окружности, прямая равномощна плоскости, отрезок равномощен n-мерному кубу и т.д.♦ Определение равномощности множеств может быть проведено на основе следующего конструктивного подхода. Теорема 10. (Ф.Бернштейн). Два множества А и В равномощны, если каждое из них равномощно некоторому подмножеству другого. ♦Пусть А≈(равномощно)В1∈В и В≈А1∈А, Подмножества А1 и В1 являются подмножествами А и В соответственно и притом собственные, т.к. иначе нечего было бы доказывать. Биективное отображение В на А1, очевидно, отображает В1 на собственное подмножество А2∈А1, так что А ⊃А1⊃А2 и А≈В1≈А2. Таким образом, надо доказать следующее предложение: А⊃А1⊃А2, А≈А2, ⇒ А≈А1, т.е множество, промежуточное между двумя равномощными множествами, само им равномощно. Пусть при биективном отображении А→А2, подмножество А1 отображается на А3, А2 - на А4, А3 - на А5 и т.д. Очевидно, что при этом А⊃ А1⊃ А2⊃ А3⊃ А4⊃ А5⊃ … Пусть D = А∩А1∩А2∩А3∩… есть пересечение всех Аn, тогда А = D∪(А\ А1)∪( А1\ А2)∪( А2\ А3)∪… А1= D∪( А1\ А2)∪( А2\А3)∪… Действительно, чтобы доказать, например, первую формулу, надо только заметить, что элемент а∈А или принадлежит всем подмножествам Аn (и тогда D), или существует первое по порядку Аn, такое что а∉Аn. Тогда а∈Аn-1 и а∈А\Аn (считаем, что А0=А). Далее, т.к. А\А1≈А2\А3≈А4\А5≈ …, то получаем эквивалентность (А\ А1)∪(А2\ А3)∪…≈ (А2\ А3)∪(А4\ А5)∪… Если каждому элементу D поставить в соответствие его самого, то получится биективное отображение А→ А1, т.е. А≈ А1≈В, что и требовалось доказать.♦ Метод, изложенный в теореме 10, сильно облегчает доказательство утверждений, подобных следующим: все геометрические фигуры, содержащие хотя бы кусочек прямой или кривой, равномощны; бублик и шар в пространстве равномощны (достаточно заметить, что из бублика можно вырезать маленький шар, подобный большому, а из шара – маленький бублик). 25

До сих пор не рассматривались примеры неравномощных бесконечных множеств. Пример подобной ситуации дает “диагональная конструкция Кантора” Теорема 11 (Г. Кантор). Множество действительных чисел не является счетным множеством. ♦ Множество R действительных чисел равномощно множеству всех последовательностей 0 и 1 (двоичной записи действительных чисел). Поэтому можно доказательство теоремы заменить доказательством несчетности множества бесконечных последовательностей 0 и 1. Предположим обратное, т.е. будем считать, что все последовательности 0 и 1 можно пронумеровать α0,α1,…. Составим бесконечную таблицу, строками которой и будут эти последовательности: α0 = α00α01α02α03 … α1 = α10α11α12α13 … α2 = α20α21α22α23 … α3 = α30α31α32α33 … … где через αij обозначен j-й член i-й последовательности. Рассмотрим последовательность, образованную стоящими на диагонали членами α00,α11, α22, …, i-й член которой αii совпадает с i-м членом αi. Заменив все члены выбранной последовательности на противоположные, получим последовательность β, члены которой строятся по правилу: βi=1-αii. последовательность β отлична от любой из последовательностей αi (в позиции i) и поэтому отсутствует в основной таблице. Это противоречит первоначальному предположению о том, что таблица включает в себя все последовательности (действительные числа).♦ Мощность несчетного множества действительных чисел обозначается с и называется мощностью континуума . Множество последовательностей 0 и 1 равномощно множеству подмножеств ряда натуральных чисел. Каждому такому подмножеству соответствет свой «код», в котором единицы стоят на позициях из этого подмножества. Поэтому можно следующим образом переформулировать теорему Кантора: Теорема 12. Множество натуральных чисел не равномощно множеству своих подмножеств. 26

♦ Пусть эти множества равномощны; тогда существует биекция i→Ai между натуральными числами и подмножествами натурального ряда. Диагональная последовательность представляет собой множество тех i для которых i∈Ai, а последовательность β, отсутствовавшая в перечислении (теорема 11), теперь будет дополнением Ai (В={i: i∉Ai}).♦ При этом оказывается несущественным, что мы имеем дело с натуральным рядом, и мы приходим к такому утверждению: Теорема 13 (общая формулировка теоремы Кантора). Никакое множество Х не равномощно множеству всех своих подмножеств. ♦ Пусть ϕ - биекция между Х и его булеаном Β(Х). Рассмотрим элементы х∈Х, которые не принадлежат соответствующему им подмножеству. Пусть Z – образованное ими подмножество: Z={х∈Х: х∉ϕ(х)}. Покажем, что подмножество Z не соответствует никакому элементу множества Х. Допустим противное, и что для некоторого элемента z∈Х Z=ϕ(z). Тогда z∈Z ⇔ z∉ϕ(z) ⇔ z∉Z. Первое утверждение справедливо по построению множества Z, второе – по предположению ϕ(z) = Z. Полученное противоречие показывает, что Z действительно ничему не соответствует и поэтому ϕ не является биекцией.♦ Любое множество Х равномощно некоторой части своего булеана Β(Х), так как каждому элементу x∈Х можно поставить в соответствие одноэлементное множество {x}. Тогда по определению сравнения множеств по мощности следует, что мощность множества Х всегда меньше мощности Β(Х). Определение. ♦Бинарное отношение ≤ на множестве Х называется отношением частичного порядка, если оно обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности (мы используем символ ≤ как знак отношения частичного порядка). Множество с заданным отношением ≤ называется частично упорядоченным множеством. ♦ Два элемента x,y частично упорядоченного множества сравнимы, если x≤y или y≤x. Определение частичного порядка не требует, 27

чтобы любые два элемента множества были сравнимы. Добавив это требование, получим определение линейного порядка (линейно упорядоченного множества). Отметим, что на множестве из n элементов можно определить n! линейных порядков. Пример 24. + ♦На множестве целых положительных чисел Z можно определить частичный порядок, считая, что x≤y, если x делит y. На булеане любого множества можно ввести частичный порядок по отношению включения ⊂ подмножеств. На алфавите можно ввести линейный порядок для букв (a≤б≤…≤я) и линейный лексикографический порядок для слов: x≤y, если слово х является началом слова y: например, “лес” ≤ “лесник”. Если ни одно из слов не является началом другого, то находится первая по порядку буква, в которой слова отличаются, и слово, где эта буква “меньше” в алфавитном порядке, и будет “меньше”. Для множества Х картонных коробок введем порядок, считая x≤y, если коробка x целиком помещается внутри коробки y (или если x и y – одна и та же коробка). В зависимости от набора коробок этот порядок может быть или не быть линейным.♦ Пусть x, y – элементы частично упорядоченного множества Х. Считается, что x
Определение.♦Два частично упорядоченных равномощных множества называются изоморфными, если между ними существует биекция, сохраняющая порядок. Биекцию f: A→B называют изоморфизмом частично упорядоченных множеств А и В, если ∀a1,a2∈А a1≤ a2 ⇔ f(a1)≤ f(a2). Знак ≤ обозначает слева порядок в множестве А, справа – в множестве В.♦ Отношение изоморфности обладает рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью, т.е является отношением эквивалентности. Все частично упорядоченные множества, разбиваются на классы эквивалентности изоморфных множеств. Теорема 14. Конечные линейно упорядоченные множества из одинакового количества элементов изоморфны. ♦ Конечное линейно упорядоченное множество М всегда имеет наименьший элемент. Можно взять любой элемент и если он не наименьший, то взять меньший его. Если и он не наименьший, то взять еще меньший – и т.д. В итоге получается убывающая последовательность x>y>z>…, которая рано или поздно должна оборваться. Присвоив наименьшему элементу номер 1, выберем среди оставшихся элементов наименьший и присвоим ему номер 2 и т.д. Тип порядка между элементами соответствует типу порядка между номерами, т.е. что множество М изоморфно множеству {1, 2, …, n}.♦ Пример 25. ♦ Множество всех целых положительных делителей числа 30 с отношением “быть делителем” в качестве отношения порядка изоморфно множеству всех подмножеств множества {a,b,c}, упорядоченному по отношению включения подмножеств.♦ Определение.♦Биективное отображение частично упорядоченного множества А в себя, являющееся изоморфизмом, называют автоморфизмом А. Тождественное отображение всегда является автоморфизмом.♦ Пример 26. ♦Для частично упорядоченного множества целых чисел Z (с естественным порядком) отображение ϕ: x→x+1 является автоморфизмом. Для множества натуральных чисел N та же формула не дает автоморфизма (нет взаимной однозначности).♦ Линейно упорядоченные множества могут быть равномощны, но не изоморфны (в силу теоремы 14 эти множества должны быть бесконечными). 29

Пример 27. ♦ Отрезок [0,1] с обычным отношением порядка не изоморфен множеству действительных чисел R, т.к. у первого есть наибольший элемент, а у второго нет. ( Естественно, что при изоморфизме наибольший элемент одного множества должен соответствовать наибольшему элементу другого множества). ♦ Пример 28. ♦Множество целых чисел Z с обычным порядком не изоморфно множеству рациональных чисел Q. Допустим обратное, что ϕ: Z→Q является изоморфизмом. Возьмем два соседних числа, допустим 2 и 3. При изоморфизме ϕ им должны соответствовать какие-то два рациональных числа ϕ(2) и ϕ(3), причем ϕ(2)< ϕ(3), так как 2<3. Но тогда рациональным числам между ϕ(2) и ϕ(3) должны соответствовать целые числа между 2 и 3, которых нет.♦ Два элемента x,y∈М линейно упорядоченного множества называются соседними, если x
5. Доказать, что множество всех точек пространства Еn, имеющего n измерений, эквивалентно множеству точек отрезка [0,1]. 6. Пусть Β(М) – булеан множества М, состоящего из n элементов. Найти мощность Β(Β(Β(М))). 7. Найти мощность множества всех непрерывных функций. 8. Доказать, что любое частично упорядоченное множество имеет не более одного наибольшего (наименьшего) элемента. 9. Доказать, что всякое счетное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству множества рациональных чисел Q. Список литературы: 1. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Начала теории множеств. М.: МЦМНО, 2002. 2. Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1973. 3. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001 4. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: КомКнига, 2006.

31

2. ГРУППЫ 2.1. Способы задания групп После изложения необходимых положений теории множеств перейдем к изучению алгебраических структур и в первую очередь групп. Наряду с понятием функции, продолжающим быть основным понятием всей математики, большое влияние на самые различные разделы математики и ее приложений приобрело понятие группы. По мнению известного советского математика академика Александрова П.С. понятия число, множество, функция и группа являются теми краеугольными камнями, на которых стоит все здание современной математики и к которым сводится всякое другое математическое понятие. Определение. ♦Алгебраической структурой называется множество А элементов любой природы, на котором определена система операций, подчиняющаяся тем или иным законам – аксиомам рассматриваемой структуры. Множество А именуют носителем алгебраической структуры.♦ В дальнейшем вместо сочетаний «алгебраическая структура» и «бинарная операция» будем иногда использовать их сокращения и соответственно записывать «структура» и «операция». Структуру и ее носитель обозначают одним и тем же символом. n Под операцией понимается отображение ϕ: А →А (по сути это функция n аргументов из множества А со значениями в А). Число n аргументов называется арностью операции. При n=1 говорят об унарной, при n=2 - бинарной, при n=3 - тернарной и т.д. операции. В дальнейшем при изучении структур почти всегда будут рассматриваться бинарные операции, примерами которых являются операции сложения и умножения в числовых областях. Для бинарных операций принято функциональный символ операции записывать в инфиксной форме (между аргументами): a+b, a*b. Начнем рассмотрение алгебраических структур со структуры (А,*), включающей множество А с одной операцией (обычно, называемой «умножением»). Результат операции *, как правило, обычно записывают в виде a*b. Структура (А,*) с одной всюду определенной бинарной операцией называется группоидом. В группоиде, следовательно, выполняется 32

Аксиома 1. (замкнутость операции *): ∀ a,b∈A ∃с∈A: a*b = с. Структуру называют полугруппой, если в группоиде А выполняется Аксиома 2. (ассоциативность операции *): ∀ a,b,с∈A a*(b*с) = (a*b)*с), Полугруппа называется коммутативной , если в ней выполняется Аксиома 3. (коммутативность операции *): ∀ a,b∈A a*b = b*a. Полугруппа может иметь элемент е, такой что ∀a∈A е*а = a*е = а. В этом случае элемент е называется нейтральным элементом или единицей для умножения. Его существование рассматривается как выполнимость следующей аксиомы: Аксиома 4. (о существовании нейтрального элемента): ∃е∈A ∀a∈A е*а = a*е = а. Группоид или полугруппа, в которых выполняется аксиома 4, называются соответственно группоидом с единицей или полугруппой с единицей. Важнейшей является структура, в которой возможно деление, осуществимость которого определяется следующей аксиомой: Аксиома 5. (о существовании обратного элемента): ∀a∈A ∃b∈A: a*b = b*a = е. Однозначность обратного элемента b может быть доказана, так что фактически выполняется следующая редакция аксиомы 5: ∀a∈A ∃!b∈A: a*b = b*a = е, где ∃! означает “существует ровно один” Элемент b, зависящий от а, существование и единственность которого здесь требуется, обозначается через а-1 и называется обратным элементом. Определение.♦Алгебраическая структура (А,*), в которой выполнимы аксиомы 1, 2, 4, 5 называется группой. Группа, в которой дополнительно выполняется аксиома 3 называется коммутативной или абелевой (в честь Н.Х. Абеля, впервые применившего такие группы к теории уравнений).♦ Пример 29. ♦Множество целых чисел с операцией сложения и нулем в качестве нейтрального элемента является бесконечной аддитивной группой или аддитивной группой целых чисел и обозна33

чается (Z,+). Структура ({-1, 1},*) является конечной группой порядка 2. Порядок конечной группы равен числу ее элементов. Существует ли группа порядка 1? Будет ли группой структура ({1},*)? Проверка аксиом показывает, что действительно это группа порядка 1♦ Пример 30. ♦ Расссмотрим группу, элементами которой являются различные вращения равностороннего треугольника против часовой стрелки в своей плоскости вокруг центра. За элементы предполагаемой группы примем самосовмещения треугольника – те движения, в результате которых повернутый треугольник совпадает с исходным. Для самосовмещения треугольника не обязательно, чтобы каждая вершина треугольника совпала с собой. Нужно только, чтобы множество точек, составляющих стороны треугольника после поворота, совпало с множеством точек, составляющих его стороны в начальном положении. Для описания самосовмещений выберем некоторое положение треугольника на плоскости в качестве ее начального положения и отметим каждую вершину числами 1, 2 и 3. Обозначим через М множество вершин треугольника: М = {1, 2, 3}. В качестве бинарной операции примем последовательне выполнение (суперпозицию) самосовмещений. Тогда, все самосовмещения треугольника можно представить как преобразование ϕ: М→М множества вершин М на себя. Множество самосовмещений треугольника S можно разбить на три класса эквивалентности S = {А, В, С}: А = {вращение против часовой стрелки на 120°+360°k}, k∈Z; В = {вращение против часовой стрелки на 240°+360°k}, k∈Z; С = {вращение против часовой стрелки на 0°+360°k}, k∈Z. Пусть вращение а является представителем класса А, b - класса B и c - класса C. В табличной форме задания преобразований эти самосовмещения имеют следующий вид: а) ⎛1 2 3⎞ b) ⎛1 2 3⎞ с) ⎛1 2 3 ⎞ ⎝1 2 3 ⎠. ⎝ 2 3 1⎠, ⎝3 1 2⎠,

34

Указанные преобразования являются подстановками элементов М. Алгебраическая структура (S,*), состоящая из множества S c одной операцией суперпозиции движений, образует группу. В терминах группового умножения * любое движение из класса С удовлетворяет требованиям, предъявляемым к единичному элементу группы e: а*с = с*а = а, b*с = с*b = b, с*c = с. Результат не зависит от выбора элементов а,b,с в качестве представителей множеств A,B,C соответственно. Поэтому, произвольный элемент из класса С будем обозначать символом е. Определим произведение двух элементов группы, например, а и b, найдя подстановку, сответствущую суперпозиции вращений а*b: а*b = ⎛1 2 3⎞*⎛1 2 3 ⎞ = ⎛1 2 3 ⎞ = е. ⎝2 3 1⎠ ⎝3 1 2 ⎠ ⎝1 2 3 ⎠ Легко проверить и все другие произведения а*а=b, b*b=а, b*а= е и установить, что суперпозиция является бинарной операцией на рассматриваемом множестве классов вращений треугольника. Так как а*b=е, b*а=е, е*е=е, то каждый элемент имеет обратный. Таким образом, подтверждено выполнение всех групповых аксиом для множества самосовмещений треугольника. Следовательно, структура G=(S,*) является группой.♦ Теперь необходимо рассмотреть следующую проблему: каким образом можно задать конкретную группу? Иначе говоря, какое количество информации необходимо для того, чтобы можно было задать группу как единый математический объект? И как выявить данные, которые позволяют определить ту или иную группу? Ответ на этот вопрос дал в 19-м веке ирландский математик Кэли А., введший таблицу умножения группы, похожую на обычную таблицу умножения. В этой таблице элементы группы располагаются в одном и том же порядке в самой верхней строке и в самом левом столбце таблицы. В ячейках внутри таблицы размещают произведения соответствующих элементов группы. Построим таблицу умножения для группы самосовмещений треугольника G=(S,*) из примера 30. Используя символы е, а, b для обозначения элементов этой группы (соответствующих вращений треугольника) запишем сами элементы и их произведения в виде табл.1 35

e a b

e ее аe be

Таблица 1 a b еa еb аa аb ba bb

e a b

e e а b

Таблица 2 a b a b b e e a

e a a2

e e a a2

Таблица 3 a a2 a a2 2 a e e a

Используя полученные ранее соотношения аа=b, аb=bа=е, bb=а, можно переписать табл. 1 в виде табл. 2. Многие свойства рассматриваемой группы G=(S,*) вращений треугольника можно извлечь прямо из этой таблицы умножения. Так, например, обратные элементы можно найти, выяснив на пересечении каких строк и столбцов встречается в таблице нейтральный элемент е. Отметим также, что все строки таблицы являются перестановками верхней строки, а все столбцы - перестановками левого столбца. Таблица показывает также, что все элементы группы попарно перестановочны, т.к. все произведения, расположенные симметрично относительно главной диагонали совпадают и, следовательно, группа коммутативна. Существует важное свойство группы G=(S,*), которое нельзя извлечь из таблиц 1 или 2. Оно станет очевидным при введении новых обозначений и придании таблице 2 новой формы. Поскольку групповое умножение является обобщением обычного умножения, будем элемент an называть степенью элемента a. Так как aka–k =e, полагают a0 = е. Легко проверить, что обычные правила умножения степеней сохраняются и для группового умножения степеней элемента группы. Используя полученные ранее результаты, убеждаемся, что b=a*a=a2, ab=a*a*a=a3=e. Поэтому, таблица умножения группы может быть представлена в виде табл. 3, показыващей, что любой элемент этой группы является степенью одного элемента a. Определение. ♦Группа, в которой каждый элемент является степенью некоторого элемента a, называется порожденной элементом a, а сам элемент a называется образующей (генератором) группы. Если в группе имеются хотя бы два, не коммутирующих между собой элемента, то группа называется некоммутативной, независимо от того, сколько найдется в ней пар коммутирующих между собой элементов.♦ 36

Необходимо заметить, что группы, в которой никакие два элемента не перестановочны между собой не существует, так как любая группа содержит единичный элемент, коммутирующий с любым ее элементом. Пример 31. ♦Построим некоммутативную группу шестого порядка. Заметим, что порядок 6 является наименьшим из возможных порядков некоммутативной группы. Для построения такой группы рассмотрим самосовмещения равностороннего треугольника из примера 30 с добавлением нового движения f - «опрокидывания» (треугольник выходит из своей плоскости и переворачивается). 2 2 Теперь имеется уже шесть самосовмещений е, a, a , f, fa, fa , которые имеют следующий вид: 2 е = ⎛1 2 3⎞ а = ⎛1 2 3 ⎞ a = ⎛1 2 3 ⎞ ⎝1 2 3⎠, ⎝2 3 1⎠, ⎝ 3 2 1 ⎠, f = ⎛1 2 3⎞ fa = ⎛1 2 3 ⎞ fa2= ⎛1 2 3 ⎞ ⎝2 1 3 ⎠. ⎝3 2 1⎠, ⎝1 3 2⎠, 2 Первые три преобразования (е, a, a ) образуют группу третьего порядка G=(S,*) вращений треугольника в плоскости. Для получе2 ния одного из новых преобразований (f, fa, fa ) необходимо опрокинуть треугольник вокруг высоты, проходящей через одну из вершин. При анализе результирующего движения, например, fa нужно заметить, что опрокидывание треугольника приводит к замене направления оси вращения на противоположное. 2 2 Структура, G=({е, a, a , f, fa, fa },*), состоящая из шести классов самосовмещений треугольника с операцией суперпозиции самосовмещений, является группой. Операция группы ассоциативна, единичным элементом е является тождественное преобразование, а справедливость аксиомы об обратном элементе очевидна (если данное движение преобразует одно положение в другое, то существует и обратное преобразование, возвращающее треугольник в исходное положение). 2 2 Исследуем особенности группы G=({е, a, a , f, fa, fa },*) с помощью ее таблицы умножения (табл. 4). Отметим, что из характера 3 2 движений треугольника, справедливы равенства a = е и f = е. 37

е а а2 f fa fa2

e e a a2 f fa fa2

a a a2 e fa fa2 f

2

а a2 e a fa2 f fa

f f аf а2f e faf fa2f

Таблица 4 fa fa2 fa fa2 аfa afa2 2 a fa a2fa2 a a2 fafa fafa2 2 fa fa fa2fa2

Для завершения построения таблицы умножения группы надо представить каждое из стоящих в табл. 4 выражений как один из элементов е, a, a2, f, fa, fa2. Используя таблицы преобразований для указанных элементов и геометрический смысл движений каждого из выражений ячеек построим табл. 5. Таблица 5 е a a2 f fа fa2 2 e е a a f fa fa2 2 2 а а a е fa f fa а2 a2 e a fa fa2 f f f fa fa2 е a a2 fa fa fa2 f a2 e a 2 2 2 fa fa f fa a a e Из анализа табл. 5 можно получить следующее заключение: 1. Операция суперпозиции движений есть бинарная операция на рассматриваемом множестве элементов {е, a, a2, f, fa ,fa2}. 2. Аксиома об обратных элементах выполнена, поскольку е встречается точно один раз в каждой строке и каждом столбце. 3. Группа не является коммутативной, ткк как не все ячейки, лежащие симметрично относительно главной диагонали равны, например, (fa)*f = a2 ≠ a = f*( fa). 4. Строки и столбцы таблицы являются перестановками элементов верхней строки или левого столбца соответственно. 5. (3×3) – квадрат в левом верхнем углу – это в точности таблица умножения группы порядка 3 самосовмещений треугольника в его плоскости G=(S,*) из примера 30.♦ Из таблицы умножения группы можно извлечь всю необходимую информацию о группе, но сразу видны трудности, возникаю38

щие при неограниченном расширении области ее применения, например, в случае группы 60 порядка. Поэтому возвратимся к понятию образующей группы. Оно позволяет задавать группу способом, не зависящим от ее порядка, и далее будет играть основную роль при графическом изображении групп. Определение. ♦Пусть S = {a, b, c, …} - множество элементов группы G. Если все элементы группы G могут быть выражены в виде произведений элементов из S (и их обратных элементов), то элементы множества S называются образующими группы G и говорят, что они порождают группу G.♦ Простейший случай образующих – группа с одной образующей, например, G=(S,*) из примера 30 с табл. 3. Важное свойство группы видно, если выписать все степени образующей данной группы: 3 a, a2, a3, a4, a5, a6, a7,... Поскольку a =е, то эту последовательность 2 можно переписать в виде a, a , е, a, a2, е, a, …, представляющем циклическое повторение основной серии {a, a2, е}. Именно по этой причине данная группа называется циклической группой порядка 3. Определение. ♦Если любой элемент группы выражается в виде степени единственной образующей a, то группа называется циклической и обозначается как С. Если n – наименьшее целое положительное число для которого an = е, то группа, порожденная элементом a, будет иметь порядок n и обозначаться Сn. Порядком или периодом элемента a называется наименьшая положительная степень n, такая, что an =е.♦ Если a порождает циклическую группу Сn, то множество степеней элемента a представляет собой циклическое повторение основной серии {a, a2, …, an=е}. Это свойство допускает простую геометрическую интерпретацию представления группы. Группа С3 может ассоциироваться, например, с треугольником, каждая вершина которого соответствует элементу группы. Тогда, группa Сn может быть связана с многоугольником, имеющим n вершин. Каждой стороне многоугольника присвоим направление, указываемое стрелкой. Движение в направлении, указанном стрелкой, соответствует умножению справа на образующий элемент a группы. Движение в направлении, противоположном указанному стрелкой, соответствует умножению справа на элемент a-1 группы, обратный к образующей a. 39

Определение. ♦Многоугольник, сторонам которого приписано направление, является геометрическим эквивалентом циклической группы и называется графом циклической группы.♦ Если a – образующая циклической группы, то по определению каждый элемент группы может быть представлен как произведение сомножителей a и a-1. Обратно, любое произведение сомножителей a и a-1 есть элемент группы. Произведения a, aaa-1 и a-1aaa-1a, представляют собой один и тот же элемент группы. Определение.♦ Конечная последовательность образующих и обратных к ним называется словом. Слово, соответствующее элементу х, может интерпретироваться как множество направлений при движении вдоль некоторого пути в графе. Каждому слову соответствует определенная последовательность движений вдоль направленных отрезков, и, наоборот, любой путь вдоль направленных отрезков графа, начинающийся из вершины е, соответствует некоторому слову.♦ Представление группы как сети, состоящей из направленных отрезков (или ребер) было введено еще в 19-м веке А.Кэли. Такая сеть, или граф, часто называется диаграммой Кэли. Отметим некоторые особенности графа произвольной группы Сn. 1. Вершин у графа столько же, сколько элементов в группе. 2. Вершина е, соответствущая нейтральному элементу (единице) группы, выбирается произвольно. 3. В каждой вершине сходятся два отрезка: один соответствует умножению справа на образующую a и направлен от вершины, а другой направлен к вершине и соответствует умножению справа на элемент a-1, обратный к образующей. 4. Конкретная форма графа не имеет значения. Важна лишь конфигурация связей между вершинами. Пример 32. ♦Построим граф бесконечной циклической группы. Циклическая конечная группа Сn задавалась своим характеристическим свойством: an=е. Если такого положительного целого числа n не существует, то каждая следующая степень образующего элемента a представляет новый элемент группы и группа будет бесконечной. Эта группа называется С∞. Диаграмма Кэли (граф группы) представляет собой многократно повторенный в обе стороны числовой 40

оси направленный отрезок. В каждой вершине графа С∞ сходится два направленных отрезка.♦ Пример 33. ♦ Таблица умножения группы самосовмещений равностороннего треугольника (табл. 5) демонстрирует пример группы с двумя образующими: вращением a и опрокидыванием f. Для отличия образующей a от образующей f обычно используют сплошную линию для умножения на a и пунктирную для умножения на f. Сам Кэли предлагал различные образующие выделять различными цветами и называл эту процедуру графического представления методом цветных групп. В качестве следствия того факта, что рассматриваемая группа имеет две образующие, получаем, что любой путь нашего графа может быть описан последовательностью, содержащей только символы из множества {a, f, a-1, f-1}. В каждой вершине графа сходится четыре ребра. Все изложенное подсказывает, что для графа этой группы надо использовать два треугольника, соединенные отрезками соответствующей образующей f .♦ Рассмотренные примеры графов различных групп имеют общие свойства. 1. «Элемент группы ↔ Вершина графа». Элементы группы находятся в биективном соответствии с вершинами графа. 2. «Образующая ↔ Одноцветные ребра». Каждое ребро графической сети есть направленный отрезок, и отрезки одного «цвета» связаны с одной и той же образующей. 3. «Слово ↔ Путь». Слово, представляющее элемент группы, интерпретируется как последовательность направленных отрезков графа или путь, и наоборот. В каждой вершине пути, соответствующего некоторому слову, очередное движение определяется следующим сомножителем в слове. В каждой вершине есть одно «входящее» и одно «исходящее» ребро для каждой образующей группы. 4.«Умножение элементов ↔ Последовательное прохождение путей». Умножение двух элементов группы соответствует прохождению на графе пути, составленного из двух последовательных путей. Произведение rs=t элементов r и s интерпретируется на графе как путь t, построенный следующим образом. Если записать r и s 41

как слова от образующих и их обратных, то выйдя из вершины, соответствующей элементу е, пройдем путь, описанный словом, определяемым элементом r. Затем, приняв за начальную точку rвершину, пройдем путь, описанный словом, соответствующим элементу s. Этот путь закончится в вершине, соответствующей элементу t=rs, вне зависимости от того, какие слова используются для представления элементов r и s. 5. “Слово, представляющее е ↔ Замкнутый путь”. Любое слово W, представляющее элемент е, соответствует замкнутому пути на графе, т.е. пути с совпадающими начальной и конечной точками. Этот путь будет замкнут вне зависимости от того, какая вершина графа принята за начальную. 6. “Разрешимость уравнения rх = s ↔ Сеть связна”. Граф группы G является связной сетью, т.е. существует путь из любой вершины в любую другую вершину. Если r и s – два любых элемента G, то существует элемент х = r-1s, такой , что rх = s. Если W - слово, представляющее элемент х=r-1s, то rW=s. Таким образом, если за начальную точку взята вершина, соответствующая элементу r, то путь, описанный словом W, ведет от r–вершины к s–вершине. Определение.♦Произвольный граф называется однородным графом степени n, если в каждую его вершину входит и из каждой вершины выходит n направленных отрезков.♦ Вершины графа можно пометить так, чтобы любая наперед заданная вершина соответствовала элементу е. Поскольку на диаграмме Кэли вершину, соответствующую элементу е, можно выбирать произвольно, то граф является представлением одной и той же группы независимо от того, помечены ли его вершины. Пример 34. ♦ Группой диэдра Dn называется группа самосовмещений правильного n-угольника. Диаграмма Кэли группы Dn представляет собой два плоских n-угольника, у которых соответствующие вершины связаны ребрами, означающими “опрокидывание”. Ясно, что Dn является группой порядка 2n, чей граф можно упростить. Все графы, в которые входит образующая порядка 2 (например, образующая f графа D3 из примера 31), в каждой вершине содержат “петлю” из двух f-дуг. Обычно каждую такую петлю заменяют од42

ним ребром без стрелок, обозначающим одновременно и образующую f и обратный к ней элемент f -1.♦ Ранее уже отмечалось, что конкретная группа может быть задана следующими способами: 1. Как множество элементов с операцией, удовлетворяющей трем групповым аксиомам. Это основное определение, из которого можно получить все остальные. 2. При помощи таблицы умножения группы, которая задает группу, т.к. в ней указаны все произведения элементов группы. 3. На основе составленной из ориентированных ребер сети, обладающей основными свойствами графа группы. Группа вполне определяется внутренней структурой сети, поскольку известно, каким образом последовательному прохождению путей должно соответствовать умножение элементов группы. Покажем, что существует еще один способ задания группы при помощи образующих и определяющих соотношений. Определение. ♦ Если W не является пустым словом в группе G и W=е, то это равенство называется соотношением группы G. Если слово W является произведением образующих G, то говорят, что W=е есть соотношение между образующими группы G. ♦ Соотношения более общего вида W1 = W2 с помощью групповых аксиом можно преобразовать к виду W=W1W2-1=е. Поэтому достаточно рассматривать только соотношения вида W=е. Есть два существенно различных типа слов W, для которых W=е. Первый тип - слова, для которых равенство W=е означает, что слово является тем же элементом группы, что и е, например, aaa или a3 в группе С3. Это равенство не является следствием групповых аксиом и в произвольной группе может не выполняться. Например, в группе С3, порожденной элементом a, равенство a2=е не справедливо. Напротив, для второго типа слов равенство W=е, например, для aa-1=е является следствием аксиомы группы об обратных элементах и выполняется для любого элемента a любой группы Заметим, что aa-1=е – пустое слово и соответствует тривиальному пути, ведущему «обратно» по тем же ребрам, что и «туда». Для введения понятие определяющих соотношений группы G, надо рассмотреть множество непустых слов А={Rk=е}, k∈Z. 43

Пример 35.♦ Рассмотрим вопрос о возможности существования группы с пустым множеством А, т.е. группы в которой отсутствуют соотношения между образующими. В качестве примера такой группы можно было бы рассматривать тривиальную группу {е}, но мы определим ту же самую группу иначе, если скажем, что она имеет образующие a и b, удовлетворяющие соотношениям {a=е, b=е}. В этом случае любое слово равно е. Для того, чтобы исключить из рассмотрения подобные ситуации, обычно ограничиваются группами, в которых существует хотя бы одно слово, отличное от е.♦ Пример 36. ♦ Группа С∞, порожденная элементом a, является группой без соотношений, так как, если слово этой группы не пусто, то оно не может равняться е, поскольку a n ≠ е при n≠0.♦ Определение. ♦Группы без соотношений называются свободными или группами без кручения. ♦ Пусть множество А содержит хотя бы одно соотношение R=е. Тогда, в качестве следствия этого соотношения можно получить бесконечно много соотношений Rk=е (Rk∈А и Rk- непустые слова). Из R=е и групповых аксиом вытекают не только соотношения вида Rn=е и R - n=е, где n = 1, 2, … Если W - слово от образующих группы G, то W-1RW=W-1еW=е и -1 -1 W R W=W-1еW=е. Более того, множество всех соотношений, выводимых из R=е, получается приравниванием к е всевозможных произведений с сомножителями W-1RW и W-1R-1W. Определение.♦Пусть А - множество всех нетривиальных соотношений группы G. Множеством определяющих соотношений группы G называется такое множество В⊆А, что соотношения из В влекут все соотношения из А.♦ Пример 37.♦ Будет ли соотношение a3=е определяющим соотношением циклической группы С3 с образующей a ? Образуем множество А всех соотношений в С3 (заметим, что любое слово от a и a-1 можно записать как степень элемента a). Тогда А={a3k =е}, k∈Z. Любое нетривиальное соотношение группы С3 должно принадлежать множеству А, так как если бы a3 k+1=е было соотношением С3, то как следствие этого имели бы, что a = е. Но в группе С3 справедливо неравенство a≠е и, поэтому a3k+1≠ е. Аналогично, a3k+2=е влечет равенство a2=е, не выполняющееся в С3. 44

Таким образом, можно утверждать, что в качестве множества В определяющих соотношений группы С3 достаточно взять одно соотношение a3k+1=е. Любое соотношение из множества А есть следствие этого соотношения и аксиом группы. Действительно, равенство a3=е влечет за собой a-3 =е и следовательно (a3)k=е, (a-3)k=е, k∈Z. Соотношение a3=е влечет соотношение a3k = е, k∈Z, а это в точности все соотношения из А. Можно указать и другие множества определяющих соотношений С3, например, В1={a-3 =е} или В2={a6 = е, a- 9 =е}.♦ Определение. ♦Слово W1 эквивалентно слову W2, если W1 можно преобразовать в слово W2, вставляя или вычеркивая слова, равные е. Эквивалентность обозначается как W1≈W2.♦ Пример 38. ♦Пусть в циклической группе С3 заданы два слова W1=a-1a-1 и W2 = aaaa. “Преобразуем” эти слова, вставляя или вычеркивая слова, равные е: W1 = a-1a-1 = (aa-1a-1a-1 (вставка) = a(a-1a-1a-1) = aa-3 = aе = a (вычеркивание). W2 = aaaa=a(aaa)=aa3=aе=a (вычеркивание). Будем считать, что W1≈W2 в С3. Являясь разными, эти слова представляют один и тот же элемент группы С3♦ Поскольку операции вставки и вычеркивания обратимы, то процесс преобразования слова W1 в W2 можно «обратить» и преобразовать слово W2 в W1. Понятие эквивалентности слов является отношением эквивалентности, поскольку обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. По данному отношению можно построить разбиение всех слов от заданного множества символов на классы эквивалентности. В качестве представителя класса можно выбрать любое из принадлежащих ему слов. Общая проблема, известная как проблема тождества слов, состоит в том, чтобы в случае произвольной группы определить, будут ли два слова эквивалентны. Эта проблема крайне трудна и решена для сравнительно немногих групп. Советским математиком П.С. Новиковым было показано, что в общем виде эта проблема неразрешима, т.е. построить алгоритм, который в произвольной группе решал бы вопрос об эквивалентности слов, невозможно. 45

Потенциальные возможности понятия определяющих соотношений раскрываются в следующей общей теореме. Теорема 15. Если дано множество соотношений В={R k=е} (где каждое R k является непустым словом от заданного множества символов), то существует группа G, для которой В является множеством определяющих соотношений. ♦Доказательство данной теоремы выходит за рамки курса, поэтому ограничимся только ее применением для выбора основной процедуры построения группы при помощи образующих и определяющих соотношений. Сделаем это в абстрактных терминах, которым придадим конкретный смысл при рассмотрении примеров. 1. Зададим множество порождающих символов и В, являющееся множеством соотношений В={R k=е}, где каждое Rk есть непустое слово от заданных символов. 2. Рассмотрим множество F всех слов от заданных порождающих символов. 3. Образуем подмножество K⊆F, содежащее все слова W∈F, такие, что равенство W=е есть следствие заданного множества {Rk=е}. Процедура «построения» K состоит в создании множества всех произведений (конечных последовательностей) слов вида T1RT или T-1R-1T, где R=е - соотношение из заданного множества B, а T есть произвольное слово из F. Если R=е, то ясно, что любое слово описанного вида равно е, так как T-1еT=е. Наоборот, если V∈F и равенство V=е есть следствие соотношений {Rk=е}, то V есть произведение сомножителей вида T-1RT.) 4. Проведем разбиение множества F на классы эквивалентных слов. 5. Построим произвольное множество G слов-представителей по одному слову из каждого класса эквивалентности. Любое такое множество G есть группа со следующей бинарной операцией: произведение двух представителей является представителем класса, содержащего формальное призведение. Для этой построенной группы заданные соотношения {Rk=е} являются определяющими соотношениями.♦ Пример 39. ♦Группа диэдра Dn полностью определяется следующими условиями. Dn порождается двумя своими элементами, 46

обозначенными a и f. Эти образующие удовлетворяют следующим определяющим соотношениям: a n = е , f 2 = е, (a f) 2 = е. При n=1 определяющие соотношения группы D1 принимают вид: a =е , f 2 =е, (a f)2=е. Поскольку из a=е следует, что (af)2= f 2= е, то остаются всего два определяющих соотношения {a =е , f 2 =е}, которые определяют циклическую группу С2, т.е. D1 = С2. При n=2 определяющие соотношения группы D2 имеют вид a2 =е , f 2 =е , (af)2=е или a2=f2=(af)2=е. Заметим, что D2 – коммутативная группа (так как af=fa). Группа D2 встречается довольно часто и получила специальное название четверная группа Клейна. Ее также называют квадратичной группой из-за показателя 2 в ее определяющих соотношениях. ♦ Группы D1 и D2 коммутативны. Рассмотрим справедливость этого утверждения в общем случае для группы диэдра Dn. Теорема 16. Если n>2, то группа Dn не коммутативна, т.е. для Dn справедливо [{an = f 2 =(af)2=е} ⇒ (af=fa)]⇔ [n=1 или n=2]. ♦ Прежде всего заметим, что в любой абелевой группе диэдра Dn е = (a f) 2 = (a f)(a f) = (a f)( fa) = a f 2a = a 2. Если n четно, то соотношение a2=е влечет соотношение an=е. Исходные определяющие соотношения эвивалентны следующим: {a2 =е, f 2 =е, (af)2=е}, т.е. соотношениям D2. Если же n нечетно, допустим n=2k+1, то a2=е=an= a2k+1=a2ka=еa=a. Поэтому, a=е и исходные соотношения эвивалентны {a=е, f2=е}, т.е. соотношениям D1, что и требовалось доказать.♦ Пример 40. ♦ Рассмотрим группу диэдра бесконечного порядка D∞, в которой соотношение an=е не выполняется. Поэтому определяющими соотношениями группы являются f 2 =е , (af) 2 = е. Для выполнения f2=е в каждой вершине D∞ должна быть петля или f-ребро. Соотношение (af)2=е соответствует четырехугольнику в каждой вершине. Сторонами четырехугольника должны быть чередующиеся a-ребра и f-ребра.♦ Из рассмотрения диаграмм Кэли групп диэдра становится ясно, что это «продублированные» графы циклических групп.

47

Группа Dn представляется с помощью двух n-угольников, составленных из a-ребер и связанных один с другим непосредственно f-ребрами. Группа D∞ представляется двумя параллельными прямыми, составленными из a–ребер, связанных f-ребрами. Это подсказывает, что новые “большие” группы можно иногда создавать, комбинируя “малые” группы. Пусть S - множество с бинарной операцией ⊗, а G и H - его подмножества, являющиеся группами относительно операции ⊗. Пусть группа G имеет образующие g1, g2 , g3 ,…, а группа H имеет образующие h1, h2 , h3 ,… Считаем также, что у G и H есть только один общий элемент - единица е и что любой элемент из G перестановочен с любым элементом из H. При этих условиях можно построить прямое произведение G×H, образовав множество всех произведений элементов G и H с операцией ⊗. Это является группой, порожденной элементами {g1, g2 , g3 ,…, h1, h2 , h3 ,…}. Группа Сn×Сm называется прямым произведением циклических групп Сn и Сm. Понятие «прямого произведения» чрезвычайно полезно. Например, любая конечная абелева группа является прямым произведением циклических групп. Для абелевых групп обычно используется термин «прямая сумма», т.к. операция в них обозначается символом «+». Пример 41. ♦ Рассмотрим группу “улиц” с образующими a и f, каждая из которых порождает бесконечную циклическую группу С∞ (ни в одной из этих групп на образующую не накладывается никаких ограничений). Эти две бесконечные циклические группы не имеют общих элементов кроме е. поскольку fa=af или faf-1a-1=е, то любой элемент первой группы перестановочен с любым элементом второй группы и множество образующих a и f порождает прямое произведение С∞×С∞=С∞2.♦ В общем случае определяющие соотношения прямого произведения G×H получают из определяющих соотношений группсомножителей G и H, присоединяя к ним соотношения перестановочности любой образующей группы G с любой образующей группы H. В этом случае присоединенные соотношения гарантируют, что любой элемент группы G коммутирует с любым элементом 48

группы H. Такое требование входит в определние прямого произведения. Пример 42. ♦ Построим группу G = С2×С2. Для построения этой группы зададим циклическую группу порядка 2, порожденную элементом х с соотношением х2=е, и другую циклическую группу порядка 2, порожденную элементом у с соотношением у 2 = е. Группа G=С2×С2 имеет образующие х и у, удовлетворяющие соотношениям х2=у2=е. Требование, перестановочности х и у можно записать как хух-1у-1=е, что, эквивалентно ху = ух . Таким образом, G = С2×С2 задается определяющими соотношениями групп сомножителей {х2 =е, у2=е} с добавочным соотношением хух-1у-1=е. Поскольку х-1=х и у-1=у, то для С2×С2 определяющие соотношения можно записать в виде {х2 =е, у2 = е, хуху=е} или {х2=у 2=хуху= е}. Это есть определяющие соотношения для группы D2 (четверной группы из примера 38) и, следовательно, С2×С2 = D2.♦ 2.2. Подгруппы Изучение внутренней структуры конкретной группы позволяет установить многие ее свойства. Внутреннюю структуру некоторых подгрупп можно описать с помощью их подгрупп. Определение. ♦ Множество H называется подгруппой группы G, если выполнены следующие условия: 1. Любой элемент множества H является элементом группы G; 2. H является группой, относительно определенной в группе G бинарной операции ⊗.♦ Пример 43. ♦ Рассмотрим циклическую группу порядка 4. 2 3 С4 = {е, a, a , a } и найдем ее подгруппы порядка 2. Поскольку подгруппа является группой и, следовательно, должна содержать элемент е, все подгруппы порядка 2 группы С4 должны находиться 2 3 среди множеств R ={е, a}, S ={е, a }, T ={е, a }. Эти множества удовлетворяют условию 1 определения подгруппы, так как их элементы принадлежат группе С4. Что же касается условия 2, то множество R = {е, a}, было бы циклической группой 2 порядка в случае 2 выполнения соотношения a =е. Но при определенной в С4 бинар2 ной операции a ≠е. Поэтому, R не является погруппой С4. Методом “проб” и “ошибок” убеждаемся, что единственной подгруппой по2 рядка 2 группы С4 является множество S = {е, a }.♦ 49

Для доказательства того, что множество Н является группой относительно некоторой операции ⊗ необходимо убедиться в выполнении всех групповых аксиом. Если заранее известно, что рассматриваемое множество Н является подмножеством группы G, то проверка выполнения групповых аксиом упрощается. Для этого рассмотрим условие 2 определения подгруппы и покажем, что 1. Операция ⊗ группы G, рассматриваемая лишь на элементах H, является бинарной операцией на множестве H. 2. Операция ⊗ ассоциативна. 3. Обратный к любому элементу из множества Н принадлежит Н. 4. Единица группы G принадлежит множеству H. Условие 2 выполняется автоматически, поскольку ⊗ является групповой операцией группы G и, следовательно, она ассоциативна. Условие 4 следует из условий 1 и 3, так как если h∈H, то h-1∈H (согласно условию 3), а h⊗h-1=е также принадлежит Н (по условию 1). Это позволяет уменьшить количество условий при определении подгруппы. Определение Н1. ♦Подмножество H является подгруппой группы G, если выполнены следующие условия. 1. замкнутость операции ⊗ в Н: ∀h1,h2∈H ⇒ h1⊗h2∈H. 2. обратимость элементов Н: ∀h∈H ⇒ h -1∈H. Определение Н2. Подмножество H является подгруппой группы G, если выполнено единственное условие. ∀h1,h2∈H ⇒ h1⊗h-12∈H. ♦ Каждая группа имеет две особые подгруппы – несобственные: множество, состоящее из всех элементов группы G с групповой операцией и множество {e} с той же операцией. Обычно нас будут интересовать подгруппы, отличные от этих особых подгрупп, которые называют собственными. Рассмотрим бесконечную циклическую группу С∞ с операцией ⊗, образующей a и элементами …, a-2,a-1,е,a,a2,… Любая подгруппа С∞ является циклической. Имеются ли в С∞ конечные собственные подгруппы? Может ли подмножество S4={е,a,a2,a3} быть С4? Для операции ⊗ в С∞ справедливо, что a4≠е ⇒ S4≠С4. S4 также не замкнуто относительно ⊗, т.к. все степени a в группе С∞ различны (на50

пример, a2⊗a3=a5∉S4). Поэтому, S4 не является подгруппой С∞. Более того, С∞ вообще не имеет собственных конечных групп. Имеются ли бесконечные подгруппы в С∞? Подмножество D={…,a-4, a-2, е, a2, a4,…} состоит из четных степеней образующей a группы С∞. Условие замкнутости операции ⊗ выполняется, так как произведение двух четных степеней элемента a снова является его четной степенью. Для проверки свойства обратимости, заметим, что (a2k)-1 = a-2k ∈D. поскольку оба свойства определения 1 подгруппы выполнены, то D - подгруппа группы С∞. D является бесконечной циклической группой с образующей a2. Существуют также подгруппы с образующей a3,…, с образующей ak,… и т.д. Таким образом, циклическая группа С∞ имеет бесконечное множество собственных подгрупп, каждая из которых является бесконечной циклической группой. Пример 44. ♦ Является ли множество Е четных чисел с обычной операцией сложения подгруппой группы (Z,+)? Проверим выполнение характеристического условия для подгруппы: ∀(h1=2k1, h2=2k2)∈E ⇒ h1⊗h-12 = 2 (k1- k2)∈E. Таким образом, E является подгруппой группы (Z,+). В то же время множество О всех нечетных чисел не является подгруппой группы (Z,+), т.к. сумма двух нечетных чисел есть число четное и не принадлежит множеству О. ♦ Как известно, простым называют натуральное число, большее единицы, не имеющее делителей, кроме самого себя и единицы. Существуют группы с аналогичными свойствами, т.е. не содержащие других подгрупп, кроме несобственных. Конечная группа не имеет собственных подгрупп ⇔ ее порядок - простое число. Часть “тогда” этого утверждения является следствием теоремы, устанавливающей числовое соотношение между порядком группы и порядком любой из ее подгрупп. Определение.♦Пусть Н есть подгруппа группы G. Для элементов группы G можно ввести следующее отношение эквивалентности х≡у(mod H) ⇔ x-1y∈H, или, что то же самое, если y=xh, для некоторого h∈H. Классы эквивалентности по введенному отношению эквивалентности называются левыми смежными классами группы G по подгруппе Н. Соответствующее разбиение называется левым разложением группы G по подгруппе Н. Аналогично можно ввести 51

правые смежные классы и правое разложение группы G по подгруппе Н.♦ Пусть Н - подгруппа группы G. Предположим (для простоты), что Н содержит четыре различных элемента Н = {e,h1,h2,h3}. Для b∈G,b∉Н рассмотрим Нb=bН={be,bh1,bh2,bh3}={b, bh1, bh2, bh3}, т.е. множество, полученное умножением элементов множества Н на элемент b. Для определенности здесь выбрано умножение слева. Мы утверждаем следующее 1. Все элементы множества Н b различны. 2. Н и Н b не имеют общих элементов. Для доказательства 1 примем, например, что bh1=bh3. Умножая обе части этого равенства слева на b-1, получим b-1bh1=b-1bh3 или h1= h3, что противоречит предположению о том, что группа Н содержит четыре различных элемента. Для доказательства 2 допустим, что некоторый элемент подгруппы Н равен некоторому элементу множества Нb, например, пусть h2=bh1. Тогда, умножая это равенство справа на h1-1, получим h2h1-1=bh1h1-1=b. Элемент h2h1-1∈Н (так как Н - группа), в то время как по предположению b∉Н. Таким образом, допущение, что Н и Нb имеют общий элемент привело к противоречию. Мы получили восемь элементов группы G: четыре в подгруппе Н={e,h1,h2,h3} и остальные в множестве Н b={b,bh1,bh2,bh3}. Сама подгруппа Н есть смежный класс группы G по Н, поскольку Н = eН = {ee, eh1, eh2, eh3}={e, h1, h2, h3}. Если с∈G, с∉Н и с∉bН, то элемент с можно использовать для образования нового смежного класса сН группы G по подгруппе Н: сН = {сe, сh1, сh2, сh3} = {с, сh1, сh2, сh3}. Все элементы смежного класса сН различны и Н∩сН=∅. Элементы класса сН отличны также и от элементов смежного класса bН. Это вытекает из следующего рассуждения. Пусть смежные классы bН и сН имеют хотя бы один общий элемент, допустим, bh1 = ch2. Умножая это равенство слева на с-1 и справа на h1-1, получим с-1bh1h1-1=с-1ch2h1-1 ⇒ с-1b = h2h1-1∈Н. Отсюда с-1bh=h2h1-1h пробегает множество всех элементов подгруппы Н, когда h последовательно пробегает все это множество. Поэтому из равенств с(с-1bh=h2h1-1h) или с(с-1bh=h2h1-1h) следует, 52

что bН = сН. Теперь имеются уже 12 элементов группы G, содержащиеся в трех смежных классах: Н={e,h1,h2,h3}, bН={b,bh1,bh2,bh3}, сН={с,сh1,сh2,сh3}. Если в группе G имеется всено 12 элементов, то они все уже выписаны и, таким образом, получено разбиение группы G на непересекающиеся классы. В этом случае группа G является объединением этих подмножеств, т.е. G = Н ∪ bН ∪ сН. Если же в группе G имеется больше 12 элементов, то в ней имеется элемент d∉Н∪bН∪сН. Тогда, снова образуем новый левый смежный класс dН={d, dh1, dh2, dh3}. Все элементы dН различны и ни один из этих элементов не содержится ни в одном из рассмотренных ранее смежных классах. Таким образом, мы получили 16 различных элементов группы G, содержащиеся в четырех левых смежных классах ( по 4 элемента в каждом). Если группа G состоит из 16 элементов, то можно записать G = Н ∪ bН ∪ сН ∪ dН и т.д. Теорема 17 (Ж. Лагранж). Порядок конечной группы G кратен порядку любой из ее подгрупп Н. ♦ Теорема утверждает, что |G|=g и |Н|=h ⇒ g= nh, n=1,2,…,g. Для несобственных подгрупп G и ({е},⊗) число n равняется 1 и g соответственно. Если Н – собственная подгруппа, то n = 2, …, g-1. Для доказательства теоремы выберем в G некоторую подгруппу Н порядка h, элемент b∉Н и образуем смежный класс bН. Этот смежный класс содержит h элементов, а множества Н и bН вместе содержат 2h различных элементов группы G. Если ∃ с: с∉Н, с∉ bН то образуем новый смежный класс сН и получим всего 3h различных элементов группы G. Всякий раз, когда имеется хотя бы один элемент группы G, не вошедший в объединение ранее образованных смежных классов, можно создать новый смежный класс, содержащий h различных элементов. Так как порядок G конечен, то, добавляя на каждом шаге h различных элементов, через конечное число шагов мы должны исчерпать все элементы G. Если после создания n левых смежных классов по подгруппе Н все элементы группы G окажутся исполь53

зованными, то получим разбиение G на n левых смежных классов по h элементов в каждом классе: G = Н ∪ bН ∪ сН ∪ ….. ∪ zН. Таким образом, порядок группы G является числом, кратным порядку любой ее подгруппы Н. Число смежных классов называется индексом подгруппы Н в группе G и обозначается через [G:H]. Порядок конечной группы G равен произведению порядка любой ее подгруппы Н на индекс этой подгруппы в G.♦ В приведенном доказательстве были использованы левые смежные классы. При использовании правых сежных классов доказательство по существу не изменится. Правомерно поставить следующий вопрос: совпадают ли левые и правые смежные классы по одной и той же подгруппе? Если это не так, то можно ли, по крайней мере, надеяться на то, что любой левый смежный класс bН содержит в точности те же элементы, что и некоторый правый смежный класс сН? Пример 45. ♦Рассмотрим группу диэдра D3 6-го порядка из примера 31, заданную образующими a, f и определяющими соотношениями {a3=е, f2=е, (a f)2= е}. Группа D3 содержит циклическую подгруппу 2-го порядка Н={е, f}. Образуем левые и правые смежные классы D3 по подгруппе Н. Из табл. 5 следует, что a 2f = fа и fа 2=af. Правые классы: Левые классы: Н={е, f}, Н={е, f}. На={а, fа}, aН={а, a f}, a2Н={a2, a2f}={a2, fа}, Нa2={a2, fa2}={a2, af}. В этих разбиениях никакие два смежных класса, за исключением самой подгруппы Н, не совпадают. Как смежный класс aН, так и смежный класс a2Н отличаются от обоих правых смежных классов На и Нa2. Мы получили два различных разбиения группы D3 на левые и правые смежные классы соответственно 2 2 D3 = Н∪аН∪a Н и D3 = Н∪Нa∪Нa . Пример показывает, что левые и правые смежные классы группы G по подгруппе Н могут давать различные разбиения группы G.♦ Пример 46.♦Рассмотрим пример бесконечных смежных классов. В примере 44 показано, что множество Е четных чисел с обычной операцией сложения является подгруппой аддитивной 54

группы целых чисел G=(Z,+). Представим группу (Z,+) как объединение смежных классов по подгруппе Е. Пусть а∈G, а∉Е., т.е. а - нечетное число. Рассмотрим множество аЕ, полученное применением групповой операции «+» к элементу а и всем элементам множества Е={е1 , е2 , е3 ,… }. Тогда аЕ будет иметь следующий вид: аЕ={ а+е1 , а+е2,а+е3 ,… }. Смежный класс аЕ совпадает с множеством О всех нечетных чисел, какое бы нечетное число мы ни взяли в качестве а. Объединение смежных классов Е и О совпадает со всем множеством целых чисел Z Z=Е∪аЕ или Z ={…,-4,-2,0,2,4,…}∪{…,-3,-1,1,3,…}. Ввиду коммутативности группы (Z,+) левые и правые смежные классы совпадают ( Еа это также есть множество О). Аналогичным способом можно найти смежные классы множества Z по подгруппе Т всех чисел, кратных любому целому числу n.♦ Укажем некоторые непосредственные следствия из теоремы Лагранжа о порядках подгрупп. Теорема 18. Если порядок группы G есть простое число, то 1. G не имеет собственных подгрупп; 2. G является циклической группой. ♦ Утверждение 1 следует из теоремы Лагранжа и определения простого числа. Для доказательства утверждения 2 обозначим через а любой отличный от е элемент G простого порядка. Если порядок а равен n, то an=е и n>1 и множество Н={е, a, a2, a3, …, an-1}, где n-1>0, составляет циклическую группу n-го порядка Сn в группе G. Покажем это следующими рассуждениями на основе двух условий определения подгруппы. 1. Замкнутость. Для любых двух элементов из Н справедливо равенство a ja k = a j+ k . Так как j+k = nq+m, где q и m целые числа, такие, что n>m≥0, то a j+ k = (an)qa m = a m∈Н. 2. Обратимость. Если a j∈Н ⇒ a n+ j∈Н и a ja n-j = a n = e . Отсюда следует, что Н – подгруппа данной группы G простого порядка. По теореме Лагранжа порядок h этой подгруппы H является делителем простого числа р, но так как h≠1, то h=р. Поскольку Н есть подгруппа G, то, следовательно, Н совпадает с группой G. Это доказывает утверждение 2 и теорему в целом.♦ 55

Из теоремы Лагранжа следует только то, что если в группе G имеется подгруппа Н, то порядок группы G кратен порядку подгруппы Н. Остается открытым вопрос, верно ли обратное утверждение: обязательно ли в группе G: |G|=nk содержится подгруппа H порядка k? Ответ на этот вопрос дает теорема норвежского математика Л. Силова. Теорема 19 (Л. Силов). Пусть G группа порядка g и h – делитель числа g. Если h=pn, где p – простое число, а n - некоторое целое положительное число, то G содержит подгруппу порядка h. ♦Доказательство теоремы Силова выходит за рамки курса. Теорема показывает, что утверждение, обратное теореме Лагранжа ложно. ♦ Понятие группы тесно связано с понятием отображения – групповую операцию операцию можно рассматривать как отображение. Каждой упорядоченной паре элементов r и s ставится в соответствие единственный элемент группы t такой, что (r, s)→t. Таким образом, множество упорядоченных пар элементов группы отображается на группу. Таблица умножения группы полностью описывает это отображение. Первые элементы всех пар (r, s) записываются в левом столбце, вторые элементы пары – в верхней строке, а образ пары t при отображении записывается в соответствующей ячейке таблицы. Нас будут интересовать отображения, называемые гомоморфизмами, и их частный вид – изоморфизм. Понятия, связанные с этими отображениями, важны для изучения свойств не только групп, но и других алгебраических структур. Слова «гомоморфизм» и «изоморфизм» однокоренные. Корень «морф» (по гречески «форма») указывает на их связь со структурой. Пример 47.♦Прежде, чем дать строгое определение, рассмотрим пример гомоморфного отображения аддитивной группы целых чисел (Z,+) на аддитивную группу четных чисел (Е,+). Это отображение ϕ: n→2n ставит в соответствие каждому элементу n группы (Z,+) элемент 2n, принадлежащий (Е,+). ϕ = ⎛… -2 -1 0 1 2…⎞ ⎝… -4 -2 0 2 4…⎠ Любые два элемента n1 и n2 группы (Z,+) при этом переходят в элементы 2n1 и 2n2 соответственно, а их сумма n1+n2 - в 2(n1+n2). 56

Образ суммы элементов n1 и n2, равный 2n1+2n2, есть сумма образов 2n1 и 2n2 этих элементов. Отображение ϕ является примером гомоморфизма одной группы на другую♦ Пусть даны две группы G, H и сюръективное отображение группы G на группу Н. Это означает, что любой элемент группы Н является образом некоторого элемента группы G. Обозначим образы элементов a и b группы G через ϕ(a) и ϕ(b) соответственно. Так , как G и H являются группами, то произведения ab и ϕ(a)ϕ(b) принадлежат группам G и H соответственно. Определение. ♦Характеристическое свойство гомоморфного отображения ϕ: G→H или гомоморфизма группы G на группу H заключается в следующем ∀a,b∈G ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b), т.е. произведение ab переходит в элемент ϕ(a)ϕ(b) группы Н.♦ В примере 47 для гомоморфизма ϕ: (Z,+)→(Е,+) выполняется равенство ϕ(n1+n2)=ϕ(n1)+ϕ(n2). Вообще говоря, каждая из групп G и H имеет свою собственную единицу, бинарную операцию и т.д. Поэтому, ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b) является сокращением следующего утверждения: пусть символ ⊗ обозначает бинарную операцию в группе G, символ ⊕ - бинарную операцию в группе Н, а ϕ - гомоморфное отображение группы G на группу H, тогда для любых элементов и группы G справедливо равенство ϕ(a⊗b) = ϕ(a)⊕ϕ(b). В дальнейшем не будем использовать эту сложную форму записи за исключением случаев, когда отказ от нее затрудняет понимание, и будем, как правило, писать ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). В то время как при произвольном отображении устанавливается соответствие между отдельно взятыми элементами двух множеств, при гомоморфном отображении принимаются во внимание также бинарные операции в обоих группах и устанавливается соответствие как между отдельно взятыми элементами, так и между произведениями элементов. Пример 48. ♦ Рассмотрим отображение циклической группы С4 с образующей а на циклическую группу С2 с образующей f 57

ϕ = ⎛ е a a2 a3⎞ ⎝ е* f е* f ⎠. Отметим, что единица группы С2 обозначена е*, чтобы отличить ее от е - единицы группы С4.Пользуясь таблицей умножения группы С4, можно проверить, что ϕ переводит каждое произведение элементов С4 в произведение образов этих элементов в группе С2, так что ϕ(rs)= ϕ(r)ϕ(s), где r,s - любые два элемента группы С4. В таблице умножения группы С4 (табл. 6) в каждой ячейке слева указаны произведения элементов группы и справа от них их образы в группе С2. Таблица 6 a3 е a a2 2 2 3 е е ϕ(е)=е* a ϕ(a)=f a ϕ(a )=е* a ϕ(a3)=f a a ϕ(a)=f a2 ϕ(a2)=е* a3 ϕ(a3)=f е ϕ(е)=е* 2 2 2 3 3 a a ϕ(a )=е* a ϕ(a )=f е ϕ(е)=е* a ϕ(a)=f a3 a3 ϕ(a3)=f е ϕ(е)=е* a ϕ(a)=f а2 ϕ(a2)=е* Таблица образов всех произведений элементов С4 представляет собой четырежды повторенную таблицу умножения группы С2. Гомоморфное отображение показывает сходство структур групп С4 и С2. Благодаря наличию этого сходства и существует такое отображение. Если попытаться построить гомоморфизм, например, группы С3 на С2, то возникнут непреодолимые трудности, причина которых заключается в отсутствии необходимого для существования гомоморфизма сходства структур этих групп.♦ Рассмотренное в примере 48 гомоморфное отображение группы С4 на группу С2 не является биективным, т.к. например, различные элементы a и a3 группы С4 переходят в один и тот же элемент группы С2. Отображение одной конечной группы на другую может быть биекцией лишь в том случае, когда эти группы имеют одинаковый порядок. Взаимно однозначное гомоморфное отображение одной группы на другую называется изоморфным отображением или изоморфизмом. Определение. ♦Изоморфизм групп – отображение одной группы на другую, удовлетворяющее двум условиям 1. ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) ∀a,b (гомоморфизм); 2. ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) ⇔ a = b (взаимная однозначность).♦ 58

Необходимо отметить, что изоморфизм одной группы на другую означает, что они имеют одинаковую алгебраическую структуру. Именно по этой причине и существует изоморфизм одной группы на другую. Пример 49. ♦ Пусть элементами группы Н служат корни уравнения х 4-1 = 0, т.е. Н={1,i,-1,-i}, где i = -1. Групповой операцией является обычное умножение. Рассмотрим циклическую группу С4 самосовмещений квадрата в его плоскости, С4={е,a,a2,a3} Обозначим через ϕ: С4 → Н следующее отображение ϕ = ⎛ е a a2 a3 ⎞ ⎝1 i -1 -i ⎠. Очевидно, что ϕ - биекция, но будет ли оно гомоморфизмом? Чтобы ответить на этот вопрос, исследуем таблицу умножения группы С4 (таблица 7 и сравним каждое произведение r с его образом ϕ(r), записанным справа от него. Таблица 7 2 a a3 е a е 1 a -1 a3 -i i a2 е 2 3 -1 a -i е 1 a a i a -1 a3 -i е 1 a i a 2 a2 3 2 3 a -i е 1 a -1 i a a Учитывая равенство i2 = -1, заметим, что образы ϕ(r) элементов группы С4 образуют таблицу умножения группы Н и ϕ(rs)=ϕ(r)ϕ(s). Отсюда следует, что отображение ϕ не только взаимно однозначно, но и гомоморфно, т.е. ϕ - изоморфизм. В таких случаях говорят, что группы С4 и Н изоморфны. Две группы изоморфны, если существует изоморфизм одной группы на другую. С точки зрения этого определения изоморфизм есть как свойство двух групп, так и свойство связывающего их отображения. Графы изоморфных групп С4 и Н совпадают с точностью до обозначений при вершинах и образующих. Это положение может быть распространено произвольные изоморфные группы.♦ Пример 50.♦Пусть G1=(Z,+) – аддитивная группа целых чисел, а G2=(Е, +) - ее собственная подгруппа, состоящая из всех четных чисел. Группа G1 может быть изоморфно отображена на собствен59

ную подгруппу G2. Введем ϕ: n→2n, сопоставляющее ∀n∈G1 число 2n∈G1. Покажем, что это отображение - изоморфизм. ϕ(n1+n2)= 2(n1+n2)=2n1+2n2 =ϕ(n1)+ϕ(n2). Кроме того, ϕ(n1)=ϕ(n2) означает, что 2n1=2n2, а это последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда n1=n2.♦ Две изоморфные группы называют абстрактно равными и считают их одной и той же абстрактной группой. Именно благодаря этому приобретают определенность, например, такие термины, как «циклическая группа порядка 6» или «группа диэдра порядка 6». Утверждение, что изоморфные группы абстрактно равны, не означает, что такие группы совершенно одинаковы – из него лишь следует, что они обладают одинаковыми групповыми структурными свойствами. Существует лишь конечное число «абстрактно различных» групп порядка n. С точностью до обозначения элементов для множества, состоящего из n символов, существует лишь конечное число различных таблиц умножения. Заметим, что группа диэдра D3 порядка 6 и циклическая группа С6 порядка 6 не изоморфны (и, следовательно, абстрактно различны), так как вторая из этих групп коммутативна, а первая нет. Других абстрактных групп порядка 6 не существует. Аналогично, если р является простым числом, то существует только одна абстрактная группа порядка р (конечно, это циклическая группа Сp). На основании этих примеров не следует делать вывод о том, что перечислить все абстрактно различные группы данного порядка легко. Известно, например, что существует 267 абстрактных групп порядка 64, но пока еще никто не подсчитал число абстрактных групп порядка 256. Отождествление изоморфных групп и образование понятия абстрактной группы аналогично образованию понятия числа путем абстрагирования от его конкретных интерпретаций. Понятие изомофных или абстрактно равных групп является важным: иногда можно существенно упростить доказательство теоремы, используя вместо некоторой группы изоморфную ей. Так, как изоморфные группы имеют одну и ту же групповую структуру, теорема распространяется на все группы, изоморфные той, которая была использована в доказательстве. 60

2.3. Нормальные подгруппы Рассмотрим гомоморфные отображения групп, обращая особое внимание на то, как действует отображение на подгруппах группы. В развитии и применении теории групп особую роль сыграли некоторые подгруппы специального вида. Э. Галуа, занимаясь исследованиями корней алгебраических уравнений, показал, что каждому алгебраическому уравнению соответствует группа конечного порядка, а природа корней уравнений зависит от того, каковы, так называемые, нормальные (или самосопряженные или инвариантные) подгруппы. Определение.♦Пусть дана группа G. Подгруппа К группы G называется нормальной, если каждый левый смежный класс aК группы G по К совпадает с соответствующим правым классом Кa. Таким образом, все подгруппы абелевой группы являются нормальными подгруппами. Во всякой группе G сама группа и единичная подгруппа будут нормальными подгруппами.♦ Пример 51.♦Группа G является своей нормальной подгруппой, поскольку любой левый смежный класс gG и любой правый смежный класс Gg совпадают со всей группой G. Единичная погруппа е={e} является нормальной, т.к. для каждого элемента группы G классы gе и еg совпадают (каждый из них состоит из одного элемента).♦ Пример 52.♦ В мультипликативной группе невырожденных квадратных матриц порядка n с элементами, являющимися действительными числами, нормальную подгруппу составляют матрицы, определитель которых равен 1. Смежным классом по этой подгруппе (одновременно левым и правым), порождаемым матрицей М, является класс всех матриц, определитель которых равен определителю матрицы М. (Достаточно вспомнить, что при умножении матриц их определители перемножаются). ♦ Исследуем нормальные подгруппы с двух позиций: 1. с точки зрения гомоморфных отображений; 2. с точки зрения разбиения элементов группы на смежные классы по нормальной подгруппе. Оба эти подхода соответствуют различным аспектам одного и того же основного структурного свойства. 61

Первый подход опирается на выявление ряда соотношений между элементами группы путем «вычислений», опирающихся на групповые аксиомы. Исследуем некоторые групповые гомоморфизмы, потребовав, чтобы они отображали специальные подгруппы в единицу группыобраза, и посмотрим к каким результатам приведут эти условия. Рассмотрим группу диэдра D3 шестого порядка из примера 31. D3 = {е, a, a 2, a 3, f }, R = {a 3 =е , f 2 = е , (fa) 2=е}. Группа D3 имеет подгруппу Н={е,f}. Пусть гомоморфизм D3 на группу G ϕ: D3→G, такой, что все элементы Н переходят в единицу группы G, т.е. ϕ(е)=ϕ(f)=е. Посмотрим, во что при гомоморфном отображении ϕ переходят элементы, не принадлежащие подгруппе Н. Покажем, что ϕ(a)=е. a = еa = (fa)2a = fafaa = (fa)(fa2). Поскольку ϕ-гомоморфизм ⇒ ∀r,s∈D3 ϕ(rs)=ϕ(r)ϕ(s)∈G. Поэтому, ϕ(a)= ϕ(fa* fa2) = ϕ(fa)ϕ(fa2) = ϕ(f)ϕ(a)ϕ(f)ϕ(a2) = = ϕ(f) ϕ(f)ϕ(a)ϕ(a2) = ϕ(f2)ϕ(a3) = ϕ(e)ϕ(e) = e*e = e, т.е. ϕ(a) = е. Аналогичные вычисления для других элементов дают следующее ϕ(a2) = ϕ(а) ϕ(а) = e*e = e, ϕ(fa) = ϕ(f)ϕ(а) = ee = e, ϕ(fa2) = ϕ(f)ϕ(а2) = ee = e. Отсюда следует, что каждый элемент группы D3 отображается в е. Это доказывает, что любой гомоморфизм группы D3, переводяший подгруппу Н в e, отображает в e всю группу D3. Рассмотрим теперь гомоморфизм ϕ: D3→G, который переводит в е некоторую другую подгруппу, например, подгруппу К={е,a,a 2}. Из соотношений ϕ(е) = ϕ(а) = ϕ(а2) = e следует, что ϕ(fa)=ϕ(f)ϕ(а)=ϕ(f), ϕ( fa2)=ϕ(f)ϕ(а2)=ϕ(f) и этот гомоморфизм можно представить в следующем виде ϕ = ⎛ е a a 2 f fa fa2⎞ , где с = ϕ(f). ⎝ е е е с с с ⎠. Поскольку с2=ϕ(f)ϕ(f)=ϕ(f2)=ϕ(е)=е, то множество {е, с} является циклической группой 2-го порядка. Мы неявно считали с = ϕ(f) ≠ е. Существует тривиальное отображение ϕ: ϕ(f)=е, но это равенство не является непременным следствием равенства ϕ(а) = е. 62

Таким образом, гомоморфное отображение ϕ: D3→G группы D3, которое переводит подгруппу К в е, не обязательно отображает в е всю группу D3. Оно может отображать группу D3 на циклическую группу 2-го порядка. Эти результаты показывают на существенное различие между подгруппами К и Н в группе D3. Подгруппа К обладает некоторой особенностью, которую можно охарактеризовать как “неизменность” (инвариантность) некоторого, связанного с ней объекта, в то время как соответствующий объект подгруппы Н будет “изменяемым”. В связи с этим подгруппу К называют нормальной или инвариантной. Изучению существенных свойств нормальных подгрупп поможет рассмотрение смежных классов по таким подгруппам. В примере 46 были рассмотрены все левые и правые смежные классы группы D3 по подгруппе Н={е,f}. Отмечалось, что классы aН и На не совпадают (как множества) aН = {а,af}, На = {а, fа}. Рассмотрим теперь все левые и правые смежные классы группы D3 по подгруппе К={е,a,a2} 3-го порядка. Левые классы: Правые классы: К = { е, a, a 2}, К = { е, a, a 2}, Кf = {f, af, a 2f} = {f, fa2, fа}. fК = {f, fa, fa 2}, Отсюда следует , что левые и правые смежные классы группы D3 по подгруппе К совпадают, те fК = Кf. Гомоморфное отображение ϕ группы D3 на циклическую группу 2-го порядка действует следующим образом: ϕ: смежный класс К → е, ϕ: смежный класс fК = смежный класс Кf → ϕ(f), т.е. ϕ = ⎛ К fК Кf ⎞ и D3 = К∪ fК ≡ К∪ Кf . ⎝ е ϕ(f) ϕ(f)⎠ Из рассмотренного примера следует, что представление группы D3 в виде объединения смежных классов по К остаются неизменными или инвариантными независимо от того, представляется ли группа в виде объединения левых или правых смежных классов. В следующей теореме устанавливается связь между нормальными подгруппами и гомоморфизмами.

63

Теорема 20. Пусть ϕ: G→Н есть гомоморфизм группы G на группу Н и К={х: х∈G, ϕ(х)=е∈Н}, где е является единицей группы Н. Тогда К есть нормальная подгруппа группы G. ♦Сначала докажем, что К является подгруппой группы G. Для этого проверим выполнение двух условий, которым должна удовлетворять подгруппа. 1. Замкнутость. Нужно убедиться, что ∀х1,х2∈К х1х2∈К. Для этого покажем, что ϕ(х1)=е,ϕ(х2)=е ⇒ ϕ(х1х2)= е. Поскольку ϕ есть гомоморфизм, то ϕ(х1х2)=ϕ(х1)ϕ(х2) = ее = е и тем самым доказана замкнутость множества К. 2. Обратимость. Из х∈К ⇒ х-1∈К, т.е. ϕ(х)=е ⇒ ϕ( х-1)=е, т.е. свойство обратимости для К выполняется. Теперь докажем, что К является нормальной подгруппой группы G, т.е. надо показать, что уК= Ку для любого элемента группы G. Пусть х1 – произвольный, фиксированный элемент подгруппы К. Тогда является х1у является элементом смежного класса Ку = { х1у, х2у, х3у, …}. Мы хотим показать, что элемент х1у принадлежит смежному классу уК = { ух1 , ух2 , ух3 , …}. Для этого надо решить уравнение уz = х1у относительно z и показать, что z∈К. Элемент z=у-1х1у является решением уравнения уz = х1у и остается лишь показать, что ϕ(z)=е. ϕ(z) = ϕ(у-1х1 у) = (поскольку ϕ - гомоморфизм) = ϕ(у-1) ϕ(х1) ϕ( у) = (поскольку х1 принадлежит К) = ϕ(у-1)ϕ( у) = (поскольку ϕ - гомоморфизм) = ϕ(у-1 у) = ϕ(е) = е. Таким образом, z∈К. Поскольку х1у является произвольным элементом смежного класса Ку, то мы доказали, что каждый элемент из смежного класса Ку принадлежит смежному классу уК. Аналогично, если ух1 является произвольным элементом смежного класса уК, то можно показать, что ух1∈Ку. Для этого нужно решить относительно z уравнение zу = ух1, а затем проверить, что z=ух1у-1∈К. Отсюда будет следовать, что всякий элемент смежного класса уК принадлежит и смежному классу Ку. Таким образом, уК = Ку, что требовалось доказать.♦

64

Пусть К –нормальная подгруппа группы G. Вид соотношения уК=Ку подсказывает, что здесь идет речь о некоторой разновидности коммутативности. Такое свойство можно сформулировать следующим образом: ∀у∈G, ∀х1∈К ∃х2∈К: ух2 =х1у или х2 = у-1х1у и х1 =ух2 у-1. Из этого свойства вытекает, что каждая подгруппа коммутативной (абелевой) группы есть нормальная подгруппа. Действительно, в абелевой группе для любых двух ее элементов у и х1 справедливо равенство ух1 = х1у и, следовательно, уК = Ку. В коммутативной группе все подгруппы являются нормальными. В тоже время существуют некоммутативные группы, у которых все подгруппы также являются нормальными и неабелевы группы, ни одна собственная подгруппа которых не является нормальной. Наименьшая неабелева группа, все подгруппы которой нормальны называется группой кватернионов и построена ирландским математиком У.Р Гамильтоном. Она имеет порядок 8 и порождается двумя элементами a, b с определяющими соотношениями a2=b2=(ab) 2. Нетрудно построить граф группы кватернионов, если заметить, что a4 = b4 = (ab) 4 = е. Определение. ♦Неабелева группа, все подгруппы которой нормальны называется гамильтоновой. Группа, не имеющая собственных нормальных подгрупп, называется простой♦ Любая конечная гамильтонова группа может быть представлена в виде прямого призведения некоторой группы кватернионов и абелевой группы. Наименьшей по порядку простой группой является группа 60 порядка, называемая группой икосаэдра (икосаэдр правильный двадцатигранник). Эта группа порождается элементами a, b с определяющими соотношениями {a5 = е, b2 = е, (ab)3 = е}. Группа икосаэдра хорошо известна в математике благодаря той роли, которую она сыграла в исследованиях французского математика Э.Галуа о разрешимости алгебраического уравнения пятой степени общего вида. Э.Галуа показал, что хотя у группы движений икосаэдра много собственных подгрупп, ни одна из них не является нормальной подгруппой. 65

2.4. Факторгруппы Э.Галуа первым показал, что смежные классы группы G по ее нормальной подгруппе К образуют группу, элементами которой являются множества элементов другой группы. Поэтому сначала необходимо определить бинарную операцию на множестве смежных классов группы G по нормальной группе К. Определение. ♦Произведением двух смежных классов R и S (упорядоченным) является множество всех упорядоченных пар {rs}, где r∈R и s∈S. ♦ Покажем, что если R и S – смежные классы группы G по ее нормальной подгруппе К, то R*S также будет смежным классом группы G по ее подгруппе К, т.е. операция взятия произведения является бинарной операцией на множестве смежных классов по подгруппе К. Если А является произвольной подгруппой G, то А*А = А, т.к. произведение любых двух элементов из подгруппы А принадлежит к А и, вместе с тем, умножая все элементы из А на единицу, получим уже всю подгруппу А. Пусть А будет теперь нормальным делителем группы G. Тогда, используя ассоциативность умножения подмножеств группы, равенства А*А=А и уА=Ау, ∀х,у∈G получим хА*уА=хуА*А= хуА. Последнее равенство показывает, что для нахождения произведения двух данных смежных классов группы G по ее нормальному делителю А, следует произвольным образом выбрать в этих смежных классах по одному представителю и взять тот смежный класс, в котором лежит произведение этих представителей. Таким образом, в множестве всех смежных классов группы G по нормальному делителю А определена бинарная операция умножения. Покажем, что при этом выполняются все требования, входящие в определение группы. 1. Ассоциативность операции умножения смежных классов следует из ассоциативности умножения подмножеств группы. 2. Роль единицы играет сам нормальный делитель А, являющийся одним из смежных классов разложения группы G по А, а именно, ввиду равенств А*А = А и хА = Ах, для любого х∈G получим хА*А = хА А*хА = хА*А = хА. 3. Обратным для класса хА будет смежный класс х-1А, хА*х-1А = хх-1А*А = еА = А. 66

Построенная группа называется факторгруппой группы G по нормальному делителю А и обозначается через G/A. Ясно, что со всякой группой связывается целый набор новых групп - ее факторгрупп по различным нормальным делителям. При этом факторгруппа группы G по единичной подгруппе G/{e,⊗} будет изоморфна с самой группой G. Пример 53. ♦Всякая факторгруппа G/A абелевой группы G является абелевой, так как ху=ух ⇒ хА*уА=хуА=ухА=уА*хА. Всякая факторгруппа G/A циклической группы G является циклической, так как если G порождается элементом g, G ={gi} , и если дан произвольный смежный класс хА, то существует такое целое число k, что х = gk и поэтому хА = (gА)k .♦ Название «факторгруппа» и обозначение G/К объясняется аналогией между разложением группы в объединение смежных классов и факторизацией чисел (разложением чисел в произведение простых сомножителей). Если группа G представлена объединением G=K∪aK∪bK∪… sK смежных классов по нормальной подгруппе К, то эти классы образуют факторгруппу (этой же аналогией объясняется и другое название нормальной подгруппы – «нормальный делитель»), обозначаемую как G/К. Эта факторгруппа однозначно определяется двумя группами G и К. Выразим некоторые из полученных ранее результатов о гомоморфизмах, нормальных подгруппах и факторгруппах с помощью групповых соотношений и графов групп. Пример 54.♦Снова рассмотрим группу диэдра D3 и ее нормальную подгруппу К. Факторгруппа D3/К содержит два элемента: {К, fК}, где К = {е, a, a2} и fК = {f, fa, fa2}. Отметим, что сама D3 группа содержит шесть элементов: {е, a, a2, a3, f }. К определяюшим соотношениям группы D3 {a3=f2=(fa)2=е} добавим соотношение a=е. Тогда элементы в смежных классах примут следующий вид К={е, a=е, a2=е} и fК={f, fa=f, fa 2= f}. Дополнительное соотношение a=е “склеивает” все элементы подгруппы К в единственный элемент е, а все элементы смежного класса fК в единственный элемент f. Поскольку f2=е, то добавление соотношения a=е приводит к циклической группе порядка 2, т.е. группе изоморфной факторгруппе D3/К. Таким образом, введе67

ние дополнительного соотношения a=е эквивалентно гомоморфному отображению группы D3 на D3/К такому, что в единицу факторгруппы D3/К переходят в точности все элементы подгруппы К. Можно считать, что введение соотношения a=е приводит к такой деформации графа D3, при которой все вершины, соответствующие элементам подгруппы К, сливаютя с вершиной, соответствующей элементу е. Такой процесс можно представить себе как “стягивание” в точку образующей a. Обращение подгруппы К в единицу группы D3/К превращает исходный граф D3 в утроенный граф группы С2, у которой одна вершина соответствует смежному классу К, а другая смежному классу fК. Итак, с помощью деформации графа D3 приходим к такому графическому представлению факторгруппы D3/К: Смежный класс К ◊-----------------◊ Смежный класс fК. ♦ Посмотрим, в какой мере эти результаты справедливы для бесконечных групп. Пример 55.♦Рассмотрим аддитивную циклическую группу (Z,+) целых чисел и в качестве ее нормальной подгруппы возьмем множество всех четных чисел (Е,+). Е есть нормальная подгруппа Z, поскольку каждая подгруппа абелевой группы нормальна. Представим группу Z в виде объединения смежных классов по нормальной подгруппе Е, т.е. Z = Е∪aЕ, где a∉Е. Смежный класс aЕ совпадает с множеством О всех нечетных чисел и, следовательно, Z = Е∪aЕ. Смежные классы Е и О О образуют группу с бинарной операцией сложения (в группе Z). Факторгруппа Z/Е имеет такую же таблицу умножения как и циклическая группа порядка 2 (роль единицы играет Е). Ранее было показано, что группа С∞ не имеет конечных подгрупп. Теперь же видно, что конечная группа может быть ее факторгруппой. Построим теперь факторгруппу Z/Е с помощью графа группы Z, следуя схеме, использованной в примере 53, и найдем дополнительное соотношение, эквивалентное обращению нормальной подгруппы Е в единицу. Если обозначить через a образующую группы Z и ввести соотношение a2=е, то a-2=е, a4=е, a - 4=е, a6=е и т.д. 68

Присоединенное соотношение отображает четные степени элемента a в единицу е. Иначе, подгруппа Е группы Z отображается в е. Определенная этим расширенным множеством соотношений факторгруппа Z/Е является в точности группой С2. Мы говорим о соотношении, присоединенном к «исходному» множеству соотношений лишь для того, чтобы сохранить схему рассуждений предыдущего примера (группа D3). Но в нашем случае «исходное» множество соотношений пусто, т.к. группа С∞ свободна. Какое действие на граф группы Z оказывает отображение всех элементов подгруппы Е в элемент е? Для ответа на этот вопрос, «склеим» вершины, соответствующие элементам подгруппы Е, с вершиной, соответствующей вершине е. Остальные вершины, соответствующие элементам класса смежности О, также склеиваем в одну точку. При этом граф группы Z превращается в бесконечно много раз повторенный граф группы С2, одна из вершин которого соответствует смежному классу Е, а другая – смежному классу О. Таким образом граф факторгруппы Z/Е имеет следующий вид: Смежный класс Е ◊-----------------◊ Смежный класс О.♦ Изучение групп D3 и Z приводит к следующему алгоритму построения факторгруппы. 1. Рассмотрим группу G с заданными образующими и определяющими соотношениями. 2. Введем новое соотношение, т.е. приравняем элементу е некоторое слово от образующих группы G. 3. Из этого нового соотношения следует, что становятся равными е еще и некоторые другие элементы группы G. Множество всех элементов g группы G, для для которых равенство g = е является следствием добавленного соотношения и групповых аксиом, образует нормальную подгруппу К группы G. 4. Соотношения п. п.1, 2 определяют факторгруппу G/К. Этот алгоритм является некоторой разновидностью определения факторгруппы с помощью гомоморфного отображения, так как условия п. п.2, 3 совместно эквивалентны заданию гомоморфизма группы G на факторгруппу G/К, при котором в е отображаются в точности все элементы нормальной подгруппы К. Определение. ♦ Ядром гомоморфизма ϕ группы G на группу G′ называется совокупность тех элементов группы G, которые при 69

отображении ϕ отображаются в единицу группу G′. Ядро гомоморфизма обозначается через Ker ϕ.♦ Ядро всякого гомоморфизма ϕ группы G является нормальным делителем группы G. Пусть теперь А – произвольный нормальный делитель группы G. Ставя в соответствие всякому элементу х группы G тот смежный класс хА по нормальному делителю А, в котором этот элемент лежит, получаем отображение группы G на всю факторгруппу G/A. Из определения умножения в группе G/A следует, что это отображение будет гомоморфизмом. Полученный гомоморфизм называется естественным (каноническим) гомоморфизмом группы G на факторгруппу G/A. Ядром канонического гомоморфизма является сам нормальный делитель А. Отсюда следует, что нормальные делители группы G и только они служат ядрами гомоморфизмов этой группы. Это можно рассматривать как еще одно определение нормального делителя. Оказывается, что все группы, на которые группа G может гомоморфно отобразиться, по-существу исчерпываются факторгруппами этой группы, а все гомоморфизмы группы G - ее естественными гомоморфизмами на свои факторгруппы. Точнее, справедлива следующая теорема, приводимая без доказательства. Теорема 21 (теорема о гомоморфизмах групп). ♦Пусть дан гомоморфизм ϕ группы G на группу G′ и пусть А – ядро этого гомоморфизма. Тогда группа G′ изоморфна факторгруппе G/A, причем существует изоморфное отображение σ первой из этих групп на вторую, такое, что результат последовательного выполнения отображений ϕ и σ совпадает с естественным гомоморфизмом χ группы G на факторгруппу G/A. ♦ Упражнения 1. Сколько можно составить различных таблиц умножения для пятиэлементного множества перестановок, которые были бы таблицами умножения группы? 2. Нужно соединить n городов автомобильными дорогами так, чтобы из одного города всегда можно было бы проехать в другой. Какое наименьшее число дорог надо построить? 70

3. Доказать, что всякая система натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен единице, является системой образующих группы всех целых чисел (Z,+). 4. Доказать, что группа всех параллельных перемещений плоскости изоморфна группе комплексных чисел с обычным сложением в качестве групповой операции. 5. Доказать, что множество всех вращений плоскости в себе самой (вокруг всевозможных точек плоскости) не образует группы. 6. Доказать, что любая группа, состоящая из четырех элементов, изоморфна либо четверной группе Клейна, либо циклической группе четвертого порядка. 7. Доказать, что если группы G1 и G2 изоморфны и группы G2 и G3 изоморфны, то изоморфными будут также группы G1 и G3. 8. Доказать теорему: некоторое множество Е элементов группы G тогда и только тогда является системой образующих этой группы, если не существует никакой собственной подгруппы группы G, которая содержала бы все элементы множества Е. 9. Доказать, что если Н – подгруппа индекса 2 в группе G, то правые и левые классы смежности по этой подгруппе совпадают. 10. Доказать, что группа всех параллельных перемещений плоскости (вдоль всевозможных прямых) является нормальной подгруппой группы всех движений плоскости по самой себе. 11. Доказать, что гомоморфизм ϕ группы А на группу В есть изоморфизм ⇔ ядро ϕ есть единица группы А. Список литературы 1. Александров П.С. Введение в теорию групп. М.: Едиториал. УРСС, 2004. 2. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М: Наука, 1979. 3. Гроссман И., Магнус В. Группы и графы. М: Мир, 1971. 4. Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. М: Наука, 1973. 5. Курош А.Г. Курс общей алгебры. М: Наука, 1971. 6. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Общая алгебра. СМБ. М: ГИФМЛ, 1962. 7. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. Ижевск: R&C Dynamics, 1999. 71

3. КОЛЬЦА В большинстве числовых систем, используемых в элементарной арифметике, имеются две различные бинарные операции – сложение и умножение. Примерами могут служить целые, рациональные и действительные числа. Далее описывается тип алгебраических структур, называемый кольцом, обладающий основными свойствами перечисленных числовых систем. Определение.♦Кольцом (R,+,*) называется множество R с двумя бинарными операциями «+» и «*», такими, что: 1. R – абелева группа относительно операции +; 2. Операция * ассоциативна, т.е. ∀a,b,c∈R (a*b)*c = a*(b*c). 3. Выполняются законы дистрибутивности, т.е. ∀a,b,c∈R операция * связана с операцией + следующим образом a*(b+c) = a*b+a*c и (b+c)*a = b*a+c*a. ♦ Для краткости кольцо (R,+,*) обозначают просто R. Умножение, определенное в кольце не обязано быть ни ассоциативным, ни коммутативным. Если умножение, определенное в кольце R ассоциативно, то R - ассоциативное кольцо. Если, дополнительно, умножение коммутативно, то R – коммутативное кольцо. Если же ∀х,у∈R справедливо ху =-ух, то R называется антикоммутативным кольцом. Если в кольце R ∀a∈R выполняется условие aа = 0 и ∀a,b,c∈R справедливо равенство a(bc)+b(са)+c(ab)=0 (тождество Якоби), то кольцо называется кольцом Ли. Для ∀х,у кольца Ли справедливо (х+у)(х+у)=0 ⇒ ху+ух=0, т.е. любое кольцо Ли антикоммутативно. Определение.♦Ассоциативное кольцо R, удовлетворяющее соотношению aа=a (закон идемпотентности), называется кольцом Буля.♦ Покажем, что кольцо Буля коммутативно и удовлетворяет тождеству a+а=0. Действительно, тождество хх=х влечет тождество (х+у)(х+у)=х+у. Раскрывая скобки в левой части последнего тождества, получим х+у+ху+ух=х+у, откуда ху+ух=0. Полагая х = у, имеем х+ х = 0, и используя равенство х = -х, получим также ху-ух = 0, т.е. ху = ух. Пример 56.♦Все целые числа относительно операций сложения и умножения образуют коммутативное кольцо (Z ,+,*). 72

Все рациональные, действительные и комплексные числа относительно обычных операций сложения и умножения образуют коммутативные кольца – (Q ,+,*), (R ,+,*) и (C ,+,*) соответственно. Все многочлены от одного переменного с произвольными числовыми коэффициентами относительно операций сложения и умножения многочленов образуют коммутативное кольцо. Ассоциативное (но не коммутативное) кольцо образуют все квадратные матрицы порядка n с произвольными числовыми элементами ( с обычным сложением и умножением матриц). Множество всех векторов трехмерного пространства, где векторы складываются обычным образом, а произведением двух векторов считается их векторное произведение, есть неассоциативное кольцо, являющееся примером кольца Ли. ♦ Определение.♦Абелева группа, получающаяся при рассмотрении в кольце R только одной операции сложения, называется аддитивной группой кольца с единичным элементом группы - нулем кольца ∅. ∀а∈R произведение а*∅=∅. Если для элементов a,b∈R кольца R справедливо, что ab=∅, но a≠∅ и b≠∅, то a и b называют делителями нуля (a - левый дели тель, b - правый). Если в кольце R делителей нуля нет, то R называется кольцом без делителей нуля. Коммутативное кольцо без делителей нуля называют областью целостности. ♦ Пример 57.♦Кольцо R, элементами которого являются числа, а операциями - сложение и умножение чисел, является областью целостности. Все функции, определенные и непрерывные на отрезке [-1, 1], относительно обычных операций сложения и умножения функций образуют кольцо с делителями нуля. Например, произведение функций f1(х) и f2(х), ни одна из которых не равна нулю кольца, является нулем, где f1(х) = ⎧ 0 при -1≤ х ≤ 0, ⎩ х при 0 ≤ х < 1. f2(х) = ⎧ х при -1≤ х ≤ 0, ⎩ 0 при 0 ≤ х < 1. ♦ Если для элементов a,b1,b2 кольца выполнено равенство аb1=ab2 (или b1а=b2a), причем а≠∅ не является левым (соответственно 73

правым) делителем нуля, то b1=b2. Поэтому, равенства можно сокращать на отличные от нуля элементы не, являюшиеся делителями нуля. В то же время, производить сокращение на элемент, являющийся делителем нуля, нельзя. Пример 58.♦ В кольце всех квадратных матриц второго порядка для матриц А=⎛10⎞ В1 = ⎛ 1 2 ⎞ В2 = ⎛ 1 2 ⎞ ⎝ 0 0 ⎠, ⎝ 4 0 ⎠. ⎝ 3 6 ⎠, Справедливо равенство АВ1=АВ2 , хотя В1≠В2. Здесь А – левый делитель нуля, например ⎛ 1 0 ⎞⎛ 0 0 ⎞ = ⎛ 0 0 ⎞ ⎝ 0 0 ⎠⎝ 1 3 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠.♦ Определение.♦Элемент е кольца R называется единицей кольца, если ∀а∈R ае=еа=е. Единицы в кольце может и не быть. R называют кольцом с единицей, если в кольце R единица есть. В кольце с единицей е для элемента а≠∅ может существовать обратный ему элемент а-1 со свойством аа-1=а-1а=е (но такого элемента может и не быть). Элементы кольца с единицей, для которых в этом кольце обратный элемент существует, называются делителями единицы.♦ Пример 59.♦Кольцо целых чисел (Z,+,*) есть кольцо с единицей. Все четные числа (Е,+,*) образуют кольцо без единицы. В кольце всех квадратных матриц порядка n единицей является единичная матрица. Обратный элемент существует для всякой невырожденной матрицы. Для вырожденных матриц обратных им элементов не существует.♦ Введенные ранее понятия изоморфизма и гомоморфизма групп допускают обобщение на случай колец. Определение.♦Отображение ϕ: R→Q кольца R в кольцо Q называется гомоморфизмом, если ∀а1,а2∈R справедливы следующие равенства: ϕ(а1+а2) = ϕ(а1) + ϕ(а2), ϕ(а1а2) = ϕ(а1)ϕ(а2). Множество Ker ϕ={а∈R:ϕ(а)=∅∈Q} называется ядром гомоморфизма. Если при этом на каждый элемент кольца Q отображается, по крайней мере, один элемент кольца R, то в этом случае го74

моморфное отображение кольца R на кольцо Q называется эпиморфизмом. ♦ Пример 60.♦Если каждому многочлену от одного переменного с комплексными коэффициентами поставить в соответствие свободный член этого многочлена, то получится гомоморфизм кольца многочленов с комплексными коэффициентами на кольцо всех комплексных чисел (С,+,*).♦ Определение.♦Отображение ϕ: R→Q кольца R в кольцо Q называется изоморфизмом, если ∀а1,а2∈R справедливы следующие равенства: ϕ(а1+а2) = ϕ(а1) + ϕ(а2), ϕ(а1а2) = ϕ(а1)ϕ(а2), ϕ(а1) ≠ ϕ(а2) ⇔ а1 ≠ а2. Кольца R и Q называются изоморфными, что обозначается в виде R≅Q♦ Пример 61.♦Кольцо всех квадратных матриц порядка n с действительными элементами изоморфно кольцу всех линейных преобразований, реализуемых в действительном n-мерном линейном векторном пространстве (с обычным сложением и умножением преобразований).♦ Определение.♦Подгруппа А аддитивной группы кольца R называется подкольцом R, если ∀а1,а2∈R ⇒ а1а2∈R. Подкольцо А кольца R называется левым (соответственно правым) идеалом кольца, если ∀а∈А,∀r∈R ⇒ аr∈A (соответственно rа∈A). В коммутативных кольцах понятия левого и правого идеала совпадают. Двусторонним идеалом кольца R называют подкольцо А, являющееся одновременно и левым и правым идеалом кольца R. Все кольцо R является идеалом самого себя и называется единичным идеалом. Элемент ∅ содержится в любом идеале. Подмножество {∅}, содержащее лишь нулевой элемент кольца R, также является идеалом и называется нулевым идеалом. По отношению включения единичный идеал – это наибольший, а нулевой – наименьший среди всех идеалов. Все остальные идеалы называются нетривиальными идеалами. Кольцо, не имеющее никаких двусторонних идеалов, кроме единичного и нулевого, называется простым. ♦ 75

Пример 62.♦ В кольце всех целых чисел (Z,+,*) числа nZ, кратные некоторому фиксированному числу n, составляют идеал. В кольце всех квадратных матриц порядка n множество всех матриц, у которых последний столбец состоит из нулей, является левым идеалом, а множество матриц, у которых последняя строка состоит из нулей, является правым идеалом. Для кольца рациональных чисел (Q ,+,*) множество целых чисел (Z,+,*) является его подкольцом, но не идеалом, так как, например, 1∈Z, 2-1∈Q, но 2-1*1 = 2-1∉Z. Кольцо всех квадратных матриц порядка n с любыми комплексными элементами - простое кольцо.♦ Определение.♦Идеал, порожденный одним элементом а, называется главным идеалом и обозначается как (а)l, (а)r или (а), в зависимости от того, является ли идеал левым, правым или двусторонним. Область целостности с единицей, в которой все идеалы – главные, называется кольцом главных идеалов. ♦ Пример 63.♦ Пусть R – коммутативное кольцо. Тогда главным идеалом является (а) = {ra+nа: r,а∈R , n - целое число}. Кольцами главных идеалов являются кольцо всех целых чисел (Z,+,*) и кольцо многочленов от одного переменного с комплексными переменными. ♦ Идеалы играют в теории колец роль, аналогичную нормальным делителям в теории групп, а именно - позволяют сопоставлять кольцу R ряд новых колец (факторкольца данного кольца) и обозревать таким образом всевозможные гомоморфизмы кольца R. Определение.♦ Пусть R – произвольное кольцо, а А – его идеал. Тогда можно построить факторгруппу аддитивной группы кольца R по подгруппе, состоящей из всех элементов идеала А. Если в множестве всех смежных классов r+А (r∈R), являющихся элементами этой факторгруппы, дополнительно ввести операцию умножения по следующему правилу (r+А)(r′+А)=rr′+А, где r,r′∈R, то получим новое кольцо R/А - факторкольцо кольца R по идеалу А. Элементы a,b∈R, принадлежащие одному и тому же смежному классу, называются сравнимыми по модулю А, что записывают как a ≡ b (mod А). Смежные классы называются классами вычетов 76

кольца R по модулю идеала А. Смежный класс, содержащий элемент r, обозначается через [r]. Справедливо, что [r] = r + А. ♦ Пример 64.♦Построим факторкольцо кольца всех целых чисел (Z,+,*) по идеалу А = (n), порожденному целым числом n. Через [a] обозначим класс вычетов по модулю (n), содержащий число a. Это также может быть записан в виде a+(n). Отметим, что (n) является главным идеалом, порожденным числом n. Элементами факторкольца Z/(n) являются смежные классы [0] = 0 + (n), [1] = 1 + (n), …, [n-1] = (n-1) + (n). Кольца такого вида называют кольцами вычетов.♦ Если ∀r∈R поставить в соответствие определяемый им смежный класс r+A по идеалу A, то это даст гомоморфное отображение кольца R на факторкольцо R/A, ядром которого будет являться идеал A. Имеет место теорема, аналогичная теореме о гомоморфизмах групп. Предварительно напомним, что эпиморфизмом называется гомоморфизм ϕ, являющийся сюръекцией, а мономорфизмом гомоморфизм, являющийся инъекцией. Теорема 22 (теорема о гомоморфизмах колец). Для всякого гомоморфизма ϕ: R→Q кольца R на кольцо Q существует изоморфизм Q на факторкольцо R/К кольца R по ядру К=Ker ϕ гомоморфизма ϕ. Более точно, для эпиморфизма ϕ существует однозначно определенный изоморфизм σ кольца R/Ker ϕ на кольцо Q такой, что эпиморфизм ϕ является результатом последовательного применения канонического эпиморфизма χ, а затем – изоморфизма σ. ♦ Пусть К=Ker ϕ. Если х≡х′ (mod К), то ϕ(х′)=ϕ(х)+ϕ(х′-х)=ϕ(х), поскольку х′-х∈К и ϕ(х′-х) = ∅. Последнее равенство показывает, что при отображении ϕ все элементы некоторого класса вычетов по mod К имеют один и тот же образ в Q. Это позволяет определить отображение σ: R/К→Q, положив σ([х]) = ϕ(х), где х – произвольный представитель из класса [х]. Очевидно, что σ: R/К→Q есть гомоморфизм (даже эпиморфизм) и что ϕ(х) = σ (χ (х)) для всех х∈R. Дополнительно нужно еще показать, что σ - мономорфизм, тогда он является и изоморфизмом. Пусть σ([х]) = σ([z]) и х∈[х], z∈[z]. Тогда, по определению отображения σ, имеем ϕ(х) = ϕ(z). 77

Отсюда следует, что ∅ = ϕ(х) - ϕ(z) = ϕ(х-z) и х- z∈К. Значит х ≡ z (mod К) и [х] = [z]. Теорема доказана.♦ Определение.♦Полем называется коммутативное кольцо R≠{∅}, в котором ∀а≠∅,∀b∈R ⇒ ∃!х∈R: aх=b. Элемент кольца х называют частным от деления b на a и обозначают х = b/a.♦ Всякое поле обладает единицей е. Для любого элемента поля, отличного от нуля, существует обратный ему элемент. Никакое поле не содержит делителей нуля. Множество всех отличных от нуля элементов поля образует относительно определенной в этом поле операции умножения абелеву группу, называемую мультипликативной группой поля. Единственными идеалами поля являются нулевой идеал и само поле. Множество с двумя алгебраическими операциями, изоморфное полю, само является полем. Всякое гомоморфное отображение одного поля на другое является или гомоморфизмом, или отображением, переводящим все элементы поля в нуль. Пример 65.♦Полями являются кольцо всех рациональных чисел (Q,+,*), кольцо всех действительных чисел (R,+,*), кольцо всех комплесных чисел (C,+,*). Все комплексные числа, являющиеся корнями многочленов с рациональными коэффициентами, образуют поле алгебраических чисел. Кольцо всех целых чисел (Z,+,*) полем не является. Но, полем является всякое его факторкольцо по идеалу (р), называемое полем классов вычетов по модулю р и состоящее из всех чисел, кратных простому числу р. Полем являются все дробно-рациональные функции f(х)/g(х), где f(х) и g(х) – многочлены с действительными коэффициентами и g(х)≠0.♦ Определение.♦ Если в поле F некоторое целое положительное кратное единичного элемента е ne = e+ e + e +…+ e (n cлагаемых) равно нулю, то наименьшее целое положительное число р со свойством ре = ∅ называется характеристикой поля F ( р всегда является простым числом). Если никакое целое положительное кратное единичного элемента поля F нулю не равно, то поле F называется полем характеристики нуль.♦ 78

Пример 66.♦ Полем характеристики р является поле классов вычетов по модулю простого числа р. Поле характеристики нуль – любое числовое поле (например, поле всех действительных чисел).♦ Определение.♦ Подмножество F′ элементов поля F называется подполем F, если F′ само есть поле по отношению к операциям, определенным в F. Если F′ - подполе поля F, то F называют расширением поля F′. Поле, не имеющее никаких подполей кроме него самого, называется простым.♦ Пример 67.♦Простыми полями, например, являются поле всех рациональных чисел и поле классов вычетов по модулю простого числа р.♦ Определение.♦ Если в поле F даны подполе F′ и множество элементов N, то наименьшее подполе F′′ поля F, содержащее F′ и N, называется полем, полученным присоединением множества N к полю F′, и обозначается в виде F′′ = F′ (N). Если множество множества N состоит из одного элемента α, то F′′ называется простым расширением поля F′. Если при этом α является корнем некоторого многочлена f(х) с коэффициентами из поля F′, то F′′ = F′ (α) называется простым алгебраическим расширением поля F′, а элемент α называется алгебраическим относительно F′. Если же многочлена f(х) с коэффициентами из поля F′, корнем которого было бы α, не существует, то поле F′′ = F′ (α) называется простым трансцендентным расширением поля F′, а элемент α называется трансцендентным относительно F′.♦ Пример 68. ♦ Простое алгебраическое расширение поля рациональных чисел конструируется присоединением к нему числа α = √2 и состоит из всех чисел вида а+с√2, где а, с - рациональные числа. Поле всех комплексных чисел является простым расширением поля всех действительных чисел, полученным из него присоединением корня i многочлена х2+1. Поле всех дробно-рациональных функций f(х)/g(х), где f(х) и g(х) - многочлены с рациональными коэффициентами и g(х)≠0, является простым трансцендентным расширением поля рациональных чисел. ♦ 79

Определение.♦ Если f(х) – многочлен с коэффициентами из поля F, то всегда существует некоторое расширение F° поля F, такое что f(х) является произведением многочленов первой степени с коэффициентами из F° т.е. f(х)=а0*(x-α1)*(x-α2)*…*(x-αn), где а0∈F°, αi∈F°, i=1,…, n. Подполе поля F°, полученное присоединением к полю F элементов α1,α2,…,αn, называется полем разложения многочлена f(х). (Здесь α1,α2,…,αn – это корни многочлена f(х)). Если все корни любого многочлена с коэффициентами из поля F лежат уже в самом поле F, то F называется алгебраически замкнутым. ♦ Пример 69.♦Алгебраически замкнутыми полями являются, например, поле всех комплексных чисел и поле алгебраических чисел.♦ Если каждый элемент некоторого расширения F ≈ поля F является алгебраическим относительно поля F , то поле F ≈ называется алгебраическим расширением поля F . Всякое простое алгебраическое расширение поля есть алгебраическое расширение. Приведем без доказательства формулировку важной теоремы абстрактной алгебры. Теорема 23 (Э. Штейниц). ♦ Для любого поля существует такое алгебраическое расширение, которое является алгебраически замкнутым полем (и дальнейшего расширения уже не допускает).♦ После рассмотрения общих свойств полей перейдем к рассмотрению конечных полей, т.е. полей, содержащих конечное число элементов. Теория конечных полей, являеющаяся ветвью современной алгебры, стала за последние полвека весьма актуальной в связи с разнообразными приложениями. Разработка общей теории конечных полей началась с работ К.Гаусса и Э.Галуа, но привлекла внимание прикладников лишь в последние десятилетия в связи с возросшим значением дискретной математики. Теорема 24. Каждое конечное целостное кольцо является конечным полем. ♦ Напомним, что конечное кольцо состоит из конечного количества элементов, называемого порядком кольца. Пусть а0, а1, а2, …, аn являются элементами конечного целостного кольца R. Для некоторого фиксированного ненулевого элемента 80

а∈R рассмотрим произведения аа0 , аа1, аа2 , …, ааn. Они различны, т.к. если ааi = ааj, то а(аi - аj) = 0, и т.к. а≠0 ,то аi - аj = 0 и аi = аj. Таким образом, каждый элемент в R имеет вид ааi и, в частности, е = ааi для некоторого i, 1 ≤ i ≤ n , где е – единица R. Поскольку кольцо R коммутативно, то также аiа = е, так что элемент аi является мультипликативным обратным к а. Таким образом, ненулевые элементы кольца R образуют абелеву группу по операции умножения, т.е. кольцо R – поле, что и требовалось доказать.♦ Теорема 25. Факторкольцо Z/(р) кольца целых чисел по главному идеалу (р), порожденному простым числом р, является полем. ♦ В силу теоремы 24 достаточно показать, что Z/(р) является целостным кольцом. Ясно, что его единицей является класс вычетов [1] и что равенство [а][b] = [∅] выполняется в том и только том случае, когда аb = kр для некоторого целого числа k. Но, поскольку р – простое число, то оно делит произведение аb тогда и только тогда, когда оно делит, по крайней мере, один из сомножителей. Следовательно, либо [а] = [∅], либо [b] = [∅], так что кольцо не имеет делителей нуля, т.е. Z/(р) является целостным кольцом, что и требовалось доказать. ♦ Пример 70. ♦ Пусть р=3. Тогда факторкольцо Z/(3) состоит из трех элементов [∅], [1] и [2]. Операции в этом кольце можно задать таблицами сложения и умножения (табл. 8), аналогичными таблицам Кэли для конечных групп. Факторкольцо Z/(3) является первым примером конечного поля. Напомним, что все вычисления производятся в модулярной арифметике: Таблица 8 [1] [2] [1] [2] [∅] [∅] + * [1] [2] [∅] [∅] [∅] [∅] [∅] [∅] [1] [1] [2] [1] [1] [2] [∅] [∅] [2] [2] [1] [2] [2] [1] [∅] [∅] Определение. ♦ Для простого числа р обозначим через Fр множество {0,1,2,…р-1} неотрицательных целых чисел. Кроме того пусть отображение ϕ: Z/(р)→Fр определяется условием ϕ([а])=а для а=0,1,…р–1. Тогда, множество Fр со структурой поля, вы81

званной отображением ϕ, называется полем Галуа порядка р и обозначается как GF(p).♦ В соответствии с ранее изложенным, отображение ϕ: Z/(р)→Fр является изоморфизмом, поэтому ϕ([а]+[b])=ϕ([а])+ϕ([b]) и ϕ([а][b])= ϕ([а])ϕ([b]). Нулем конечного поля Fр будет 0, а единицей является 1. Структура поля Fр совпадает со структурой поля Z/(р). При вычислениях с элементами поля Fр применяется обычная арифметика целых чисел с приведением по модулю р. Характеристикой конечного поля Z/(р) (т.е. и Fр) является простое число р. Пример 71. ♦ Рассмотрим поле Z/(5), изоморфное полю Галуа GF(5). Здесь F5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Изоморфизм ϕ: Z/(5)→F5 задается соответствием [∅]→0, [1]→1, [2]→2, [3]→3, и [4]→4. Таблицы операций сложения и умножения поля F5 имеют вид, как показано в табл.9 Таблица 9 0 1 2 3 4 * 0 1 2 3 4 + 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4 2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3 3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2 4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1 Также просто и даже более важно конечное поле F2. .Элементами этого поля являются 0 и 1, а таблицы операций имеют вид: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1 В таком контексте элементы 0 и 1 называются бинарными элементами. ♦ Теорема 26. Если Fq является конечным полем простой характеристики р, то ∀а,b∈Fq и натурального n (n∈N) справедливы тождества (а +b) k = а k + b k и (а - b) k = а k - b k , где k = рn. ♦Воспользуемся тем фактом, что для всех s∈N, (1≤ s≤ р-1) С(р,s) = р(р-1)(р-2)…(р-s+1)/s! = mp, где m∈N. Это следует из того, что биномиальный коэффициент С(р,s) есть целое число и при этом сомножитель р в числителе не может сократиться. Поэтому по формуле бинома имеем (учитывая, что все вычисления проводятся в поле Fq по модулю р и mp∈[∅]): 82

(а+b) p = аp+С(р,1)аp-1b+С(р,2)(аp-2b 2+…+С(р, р-1)аbp-1 = аp+bp . Далее индукцией по n устанавливаем первое тождество теоремы и получаем а k = ((а-b)+b) k = (а-b) k + b k, откуда следует второе тождество, что и требовалось доказать. ♦ Отметим, что теорема 26 справедлива и для более общего случая – коммутативного кольца R простой характеристики p. 3.1. Кольцо многочленов Определение. ♦ Пусть Fq – конечное поле. Многочленом (или полиномом) над Fq называется выражение вида f(х) = Σаixi = а0 + а1x + а2x2 +…+ аnxn, где n∈N, аi∈Fq , 0≤i≤n, x∉Fq – некоторый символ, называемый переменной (неизвестным) над полем Fq.♦ В тех случаях, когда из контекста ясно, какая переменная имеется в виду, для обозначения многочлена f(х) обычно используется просто символ f. Определение.♦Многочлены f(х) = Σаixi и g(х) = Σbixi, 0≤i≤n считаются равными над Fq ⇔ аi = bi для 0 ≤ i ≤ n. Определим сумму многочленов f(х) и g(х) равенством: f(х) + g(х) = Σ (аi+bi)xi. Определим произведение многочленов (свертку многочленов) f(х) = Σаixi (0 ≤ i ≤ m) и g(х) = Σbjxj (0 ≤ j ≤ n) равенством: f(х)g(х) = Σ сkxk (0 ≤ k ≤ n+m), где сk = Σаibj (i+j = k, 0 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ n). Множество многочленов с такими операциями образует кольцо. Кольцо многочленов над конечным полем Fq с определенными выше операциями сложения и умножения называется кольцом многочленов над Fq и обозначается через Fq[х].♦ Нулевым элементом кольца Fq[х] является многочлен, все коэффициенты которого равны ∅. Он называется нулевым многочленом и обозначается через ∅. Пусть f(х) = Σаixi (0 ≤ i ≤ n) – ненулевой многочлен над Fq . Значит можно считать, что аn≠0. Тогда аn называется старшим коэффициентом f(х), а0 - постоянным членом, а n - его степенью, обозначаемую символом deg(f)= deg(f(х))=n. Для удобства примем, что 83

deg (∅) = - ∞. Многочлены f(х), у которых deg(f)≤0, называются постоянными многочленами (или константами). Если старший коэффициент многочлена f(х) равен 1 (единице) Fq , то многочлен называют нормированным (или приведенным). Вычисление старших коэффициентов суммы и произведения многочленов f,g∈Fq[х] приводит к легко проверяемому результату: deg(f +g) ≤ max(deg(f), deg(g)), deg(fg) = deg (f) + deg (g). В кольце Fq[х] введем понятие делимости многочленов. Будем считать, что многочлен g∈Fq[х] делит многочлен f∈Fq[х], если ∃h∈Fq[х] ⇒ f=gh. Тогда g называют делителем f, а f-кратным g. В кольце многочленов Fq[х] существут деление многочленов с остатком. Сначала рассмотрим алгоритм деления чисел. Теорема 27. Всякое целое a представляется единственным образом через положительное целое b в форме a=bq+r, 0≤ r
Рассматривая равенства (5), опускаясь сверху вниз, убеждаемся, что общие делители чисел a и b одинаковы с общими делителями чисел b и r2, далее одинаковы с общими делителями чисел r2 и r3, чисел r3 и r4,…, чисел rn-1 и rn, наконец, с делителями одного числа rn. Одновременно с этим имеем (a,b)=(b,r2)=(r2,r3)=…=(rn-1,rn)=rn. В итоге мы приходим к следующим результатам: 1. Совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с множеством делителей их наибольшего общего делителя. 2. Этот наибольший общий делитель равен rn, т.е. последнему, неравному нулю остатку алгоритма Евклида.♦ Пример 73. ♦ Применим алгоритм Евклида для нахождения НОД(525,231). 525 = 231*2 + 63, 231 = 63*3 + 42, 63 = 42*1 + 21, 42= 21*2. Последний положительный остаток rn = 21 и НОД(525,231)=21.♦ Теорема 28. (алгоритм деления многочленов). Пусть Fq- конечное поле, g∈Fq[х], g≠0. Тогда ∀f∈Fq[х] ∃q,r∈Fq[х], такие что f = qg+r, где deg(r)< deg (g). Пример 74. ♦ Рассмотрим многочлены из кольца F5 [х]: f(х) = 2x5 + x4 + 4x + 3 и g(х) = 3x2 +1. Вычислим многочлены q,r∈F5[х], используя деление “уголком”: _ 2x5 + x4 +4x + 3 | 3x2 + 1 5 3 2x + 4x | 4x3 + 2x2 + 2x + 1 _ x4 + x3 +4x + 3 x4 + 2x2 _ x3 + 3x2 +4x + 3 x3 +2x _3x2 +2x + 3 3x2 +2 2x + 2 т.е. q(х)=4x3+2x2+2x+1 и r(х)=2x+2. Очевидно, что deg(r)<deg (g).♦ Алгоритм Евклида справедлив и для нахождения НОД двух многочленов над конечным полем. Пусть f, g∈Fq[х]. Предположим, что многочлен g≠0 и не делит многочлен f. Тогда, многократно применяя алгоритм деления многочленов, получим f =g q1 + r2, 0 ≤ deg(r2)< deg(g), g = r2 q2 + r3, 0 ≤ deg(r3)< deg(r2), r2 = r3 q3 + r4, 0 ≤ deg(r4)< deg(r3), ……. rn-2 = rn-1qn-1 + rn, 0 ≤ deg(rn)< deg(rn-1), rn-1 = rn qn. 85

Здесь q1, q2,…, qn и r2, r3,…, rn - многочлены из Fq[х]. Так, как deg(g) конечна, то процедура нахождения НОД должна закончиться после конечного числа шагов. Если старший коэффициент последнего ненулевого остатка rn равен b,то НОД(f,g) = b-1rn. Для нахождения НОД( f1, f2,…, fn) при n>2 и при ненулевых многочленах fi сначала определяем НОД( fi, fj ), а затем находим НОД(НОД( f1, f2 ), f3 ) = НОД( f1, f2, f3 ) и т.д. Пример 75. ♦ Применим алгоритм Евклида для нахождения НОД(f,g) следующих двух многочленов из кольца F3 [х]: f(х) = 2x6 + x3 + x2 + 2 и g(х) = x4 + x2 +2x. 2x6 + x3 + x2 + 2 = (x4 + x2 +2x)*(2x2 +1) + x +2, x4 + x2 +2x = (x +2)*(x3 + x2 +2x +1) +1, x +2 = 1*( x +2). Следовательно, (f, g) = rn =1 и многочлены f , g взаимно просты.♦ Обратимыми элементами в кольце Fq[х] являются делители постоянного многочлена 1 и, следовательно, ими являются все ненулевые постоянные многочлены и только они. Поскольку кольцо многочленов Fq[х] над полем Fq допускает алгоритм деления, то отсюда следует, что каждый идеал кольца многочленов Fq[х] является главным. Напомним, что многочлен над Fq назывется нормированным, если его старший коэффициент равен 1. Теорема 29. Кольцо Fq[х] над конечным полем Fq является кольцом главных идеалов, т.е. для любого идеала ℑ≠(∅) кольца Fq[х] найдется однозначно определенный нормированный многочлен g∈Fq[х], такой, что ℑ=(g). ♦ Кольцо Fq[х] является целостным кольцом, поскольку Fq – поле. Пусть ℑ≠(∅) – идеал кольца Fq[х], h(х) – ненулевой многочлен наименьшей степени, содержащийся в ℑ, b – старший коэффициент многочлена h(х) и g(х) = b-1h(х). Тогда g является нормированным многочленом, содержащимся в ℑ. Для произвольного многочлена f ∈ℑ, применяя алгоритм деления, найдем такие q,r∈Fq[х], что f=qg+r и deg(r)< deg(g) = deg(h). Поскольку ℑ является идеалом, то r = f–qg∈ℑ. Из определения h∈ℑ следует, что должно быть r=0. Поэтому многочлен f делится на g, следовательно, ℑ = (g). 86

Если существует другой нормированный многочлен g1∈Fq[х], такой, что ℑ = (g1), то g = с1g1 и g1 = с2g, где с1,с2∈Fq[х]. Отсюда следует g=с1с2g, так что с1с2 =1, т.е. с1 и с2– постоянные многочлены. Оба многочлена g и g1 нормированы, поэтому g = g1 и единственность g установлена, что и требовалось доказать.♦ Теорема 30. Пусть f1, f2,…, fn - многочлены из Fq[х], не все равные ∅. Тогда существует однозначно определенный нормированный многочлен d∈Fq[х],обладающий следующими свойствами: 1. многочлен d делит каждый многочлен fi, 1 ≤ i ≤ n; 2. любой многочлен g∈Fq[х], который делит каждый из многочленов fi , делит и многочлен d; 3. многочлен d может быть представлен в виде: d = b1f1+ b2f2+…+ bnfn , где b1,b2,…,bn∈Fq[х]. ♦Множество ℑ, состоящее из всех многочленов вида с1f1+с2f2 + +…+ сnfn , где с1,с2,…,сn∈Fq[х], является идеалом кольца Fq[х]. Поскольку не все fi равны нулю, то ℑ≠(∅) и из теоремы 29 следует, что ℑ=(d) для некоторого нормированного многочлена d∈Fq[х]. Свойство 3 многочлена d и его представление в виде суммы многочленов сразу вытекают из определения d. Если же допустить существование другого нормированного многочлена d1∈Fq[х], удовлетворяющего свойствам 1 и 2, то на основании этих свойств получим, что многочлены d и d1 делят друг друга и (d)=(d1). Поэтому из теоремы 29 в силу единственности многочлена, порождающего главный идеал, следует равенство d и d1. Теорема доказана.♦ Нормированный многочлен d называется наибольшим общим делителем многочленов и обозначается в виде НОД (f1, f2,…, fn). Если НОД( f1, f2,…, fn) = 1, то многочлены f1, f2,…, fn называются взаимно простыми. Эти многочлены называются попарно взаимно простыми, если НОД( fi , fj ) = 1 для 1 ≤ i< j ≤ n. НОД многочленов можно вычислить с помощью алгоритма Евклида. Определение.♦Многочлен f∈Fq[х] называют неприводимым над полем Fq или в кольце Fq[х], если степень deg(f) положительна и для g,h∈Fq[х] равенство f = gh может выполняться лишь тогда, когда либо g, либо h являются постоянным многочленом. Многочлен положительной степени из Fq[х], не являющийся неприводимым в Fq[х], называется приводимым в Fq[х]. ♦ 87

Неприводимость или приводимость данного многочлена зависит от того, над каким полем он рассматривается. Неприводимые многочлены играют важную роль в устройстве кольца Fq[х], так как любой многочлен из Fq[х] можно, и притом единственным способом, записать в виде произведения неприводимых многочленов. Теорема 31 (о факторизации многочлена). Пусть Fq – конечное поле. Тогда ∀f∈Fq[х], deg(f)>0 можно представить f в виде произведения: f=аf1е1f2е2… fnеn, а∈Fq, f1, f2,…,fn∈Fq[х] - различные нормированные неприводимые многочлены над Fq, а е1,е2,…,еn являются натуральными числами. Это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей. ♦ Возможность факторизации любого непостоянного многочлена f∈Fq[х] доказывается индукцией по степени многочлена f. Случай deg(f) = 1 тривиален, поскольку любой многочлен первой степени приводим в Fq[х]. Предположим, теперь, что требуемое разложение установлено для всех непостоянных многочленов из Fq[х] степени меньшей n. Если deg(f)=n и f неприводим над Fq, то представлением f будет f = а(а-1f ), т.к. а-1f – нормированный неприводимый многочлен из Fq[х] (где а – старший коэффициент f ). Если же f приводим, то он допускает разложение f = gh, где g,h∈Fq[х], 1≤deg(g)
Представление многочлена в виде произведения из теоремы 31 называется каноническим разложением многочлена f в кольце Fq[х]. Далее будет рассмотрен алгоритм Берлекэмпа, позволяющий находить каноническое разложение многочленов над конечным полем за конечное число шагов. Необходимо, заметить, что аналогичных процедур для факторизации натуральных чисел в настоящее время не существует. Основным вопросом для многочленов из Fq[х] является вопрос о том, приводим или неприводим данный многочлен над полем Fq. Для различных задач дискретной математики особенно интересны многочлены, неприводимые над простым полем Fр. Пример 76. ♦ Найдем все неприводимые многочлены степени 4 над полем F2. Необходимо отметить, что каждый ненулевой многочлен из F2[х] нормирован. Всего существует 24=16 многочленов 4-й степени над F2. Такие многочлены приводимы ⇔ они имеют делители 1-й или 2-й степени. Надо найти все произведения вида (а0+а1x+а2x2+x3)(b0+x) или (а0+а1x+x2)(b0+b1x+x2), где аi,bj∈F2. Это будут все приводимые многочлены четвертой степени из F2[х]. Исключив их из полного набора многочленов 4-й степени над F2, получим: f1 = x4 + x +1, f2 = x4 + x3 +1 и f3 = x4 + x3 + x2 + x +1, которые являются искомыми неприводимыми многочленами. При больших n или р данный переборный алгоритм неприемлем, поэтому в дальнейшем мы рассмотрим более мощные методы.♦ Остановимся подробнее на строении факторкольца Fq[х]/(f), где f - произвольный ненулевой многочлен из Fq[х]. Это кольцо Fq[х] состоит из классов вычетов [g]=g+(f), g∈Fq[х], а операции вводятся для a, b∈Fq[х] следующим образом: (a+(f))+(b+(f)) = (a+b)+(f) ≅ [a]+[b] = [a+b], (a+(f))*(b+(f)) = (ab)+(f) ≅ [a]+[b] = [ab]. Два класса вычетов g+(f) и h+(f) совпадают в том и только том случае, когда g ≡ h (mod f), т.е. когда многочлен g-h делится на f. Это равносильно требованию, чтобы g и h давали один и тот же остаток при делении на f. В классе вычетов g+(f) содержится единственный многочлен r∈Fq[х], для которого deg(r)<deg(f). Этот многочлен просто является остатком при делении g на f. 89

Процесс перехода от g к r называется приведением по модулю f. Единственность r вытекает из того, что при существовании другого многочлена r1∈g+(f), такого, что deg(r1)<deg(f), разность r-r1 должна делиться на f. Поскольку deg(r - r1)< deg(f), то это возможно лишь при r = r1. Различные элементы, образующие факторкольцо Fq[х]/(f) теперь можно описать явно: это классы вычетов r+(f), где r пробегает все многочлены из Fq[х] степени, меньшей чем deg(f). Таким образом, если конечное поле Fр является простым и его степень deg(f) = n ≥0, то число элементов факторкольца равно числу многочленов степени, меньшей n, в кольце Fр[х], т.е.pn. Пример 77. ♦ Пусть задан многочлен f(x)=x2+x+1∈F2[х]. Факторкольцо F2[х]/(x2+x+1) в этом случае состоит из 22 элементов [0],[1],[x],[x+1]. Табл.10 описывает операции сложения и умножения в этом кольце. Напоминаем, что вычисления в этом кольце проводятся по двойному модулю – по модулю 2 и модулю многочлена x2 + x +1. Таблица 10 [x+1] [1] [x] [x+1] * [0] [1] [x] + [0] [x+1] [0] [0] [1] [x] [0] [0] [0] [0] [0] [x+1] [1] [0] [1] [x] [1] [1] [0] [x+1] [x] [1] [x] [x] [x+1] [0] [1] [x] [0] [x] [x+1] [x+1] [x+1] [x] [1] [0] [x+] [0] [x+1] [1] [x] Из табл.10 видно, что факторкольцо F2[х]/(x2+x+1) есть конечное поле. Это первый пример поля, число элементов которого не является простым числом. Теорема 32. Пусть f ∈Fq[х]. Для того, чтобы факторкольцо Fq[х]/(f) было полем, необходимо и достаточно, чтобы многочлен f был неприводим над полем Fq. ♦Чтобы доказать, что рассматриваемое кольцо является полем, достаточно показать, что каждый ненулевой элемент кольца имеет мультипликативный обратный. Пусть s(x)∈Fq[х] и deg(s)<deg(f).Т.к. многочлен f неприводим, то НОД(s, f) есть некоторый постоянный многочлен с∈Fq[х]. По теореме 30 имеем с=af +bs, a,b∈Fq[х] ⇒ 1=с-1a f + с-1bs. 90

Для классов вычетов будет справедливо следующее равенство [1] = [с-1a f ] +[с-1bs] или [1] = [∅] +[(с-1b)s], т.е. с-1b является обратным к s и кольцо Fq[х]/(f) является полем. Предположим, что условие неприводимости f нарушено. Пусть deg(f)≥2 и f разложим над Fq. Тогда f = rs для некоторых r,s∈Fq[х] и deg(r)≥1, deg(s)≥1.Если Fq[х] является полем, то элемент r имеет обратный элемент r–1 и тогда [s] = [(r–1r)s] = [r–1(rs)] = [r–1 f] =[∅] . Но это противоречит исходному предположению, т.к. s предполагался ненулевым и, следовательно, при разложимости f факторкольцо Fq[х] не может быть полем. Теорема доказана и дает конструктивный метод построения конечных полей. ♦ Ранее были введены понятия подполя и расширения конечного поля и было определено, что простым называется поле, не содержащее собственных подполей. Любое поле порядка р (при простом р) является простым полем. Пересечение любой непустой совокупности подполей данного конечного поля Fq снова является подполем Fq. Пересечение всех подполей поля Fq называется простым подполем. Очевидно, что оно является простым полем. Теорема 33. ♦ Простое подполе конечного поля Fq изоморфно полю Fр при некотором простом числе р и в соответствии с этим характеристикой поля Fq является р. ♦ Определение. ♦ Пусть К – некоторое подполе конечного поля Fq и θ∈Fq. Если элемент θ удовлетворяет нетривиальному полиномиальному уравнению аnθn+…+ а1θ + а0 = ∅, где аi∈К и не равны нулю одновременно, то θ называется алгебраическим над К. Расширение L поля К называется алгебраическим расширением К, если каждый элемент поля L является алгебраическим над К.♦ Пусть элемент θ∈Fq – алгебраический над К. Рассмотрим множество ℑ = { f ∈К[x]: f (θ) = ∅}. Легко проверить, что ℑ – идеал кольца К[x], причем ℑ ≠ {∅}, т.к. θ – алгебраический элемент над К. Тогда согласно теореме 29 существует однозначно определенный нормированный многочлен g∈К[x], такой, что ℑ совпадает с главным идеалом (g). Важно отметить, что многочлен g неприводим в К[x]. Действительно, во-первых, deg(g)>0, т.к. многочлен g имеет корень θ, а во-вторых, если 91

g(х) = h1(х)h2 (х) в К[x], где 1≤deg(hi)<deg(g), i=1,2, то из ∅=g(θ)=h1(θ)h2(θ) вытекает, что либо h1, либо h2 принадлежат идеалу ℑ и, значит делится на g, что невозможно. Определение. ♦ Если элемент θ конечного поля Fq является алгебраическим над подполем К поля Fq, то однозначно определенный нормированный многочлен g∈К[x], порождающий идеал ℑ = {f∈К[x]: f(θ)=∅} кольца К[x], называется минимальным многочленом элемента θ над подполем К. Под степенью элемента θ над подполем К понимают степень его минимального многочлена♦ Теорема 34. Если элемент θ конечного поля Fq является алгебраическим над подполем К поля Fq , то его минимальный многочлен g над К имеет следующие свойства: 1. многочлен g неприводим в кольце К[x]; 2. для многочлена f ∈К[x] равенство f (θ) = ∅ выполняется в том и только том случае, когда многочлен g делит f; 3. многочлен g - нормированный многочлен наименьшей степени в кольце К[x], для которого θ является корнем. ♦Свойство 1 уже установлено, а свойство 2 следует из определения g. Что же касается свойства 3, то достаточно заметить, что любой нормированный многочлен из К[x], для которого θ является корнем, кратен g, и значит, либо равен g, либо имеет степень, превышающую степень g. ♦ Минимальный многочлен алгебраического элемента θ и степень θ зависят от поля К, над которым рассматривается этот элемент. Если L – расширение поля К, то L есть векторное (линейное) пространство над полем К. Элементы поля L (т.е. “векторы”) образуют по сложению абелеву группу. Кроме того, каждый “вектор” α∈L может быть умножен на «скаляр» (оператор) r∈К. В этом случае произведение rα∈L (rα - произведение в смысле операции поля L элементов r,α∈L). Наконец, выполняются законы r(α+β)=rα+rβ, (r+s)α=rα+sα, (rs)α=r(sα), 1α=α, r,s∈К; α,β∈L. Определение. ♦ Пусть L есть некоторое расширение поля К. В случае, если L, рассматриваемое как векторное пространство над К, имеет конечную размерность, оно называется конечным расширением поля К. Размерность векторного пространства L над К называется степенью поля L над К и обобзначается как [L:К]. ♦ 92

Теорема 35. Все конечные расширения поля К являются алгебраическими над К. ♦Пусть L является конечным расширением поля К, [L:К]=m и θ∈L. Тогда m+1 элементов 1,θ,…,θm поля линейно зависимы над К, поэтому имеет место равенство аmθm +…+ а1θ + а0 = ∅ с коэффициентами аi∈К, одновременно не равными нулю. Но это и означает, что θ – алгебраический элемент над К.♦ Теорема 36. Если L – некоторое расширение поля К и М – конечное расширение L, то M является конечным расширением К и справедливо равенство [M:К] = [M:L][L:К]. ♦Пусть [M:L]=m, [L:К]=n, {α1,…,αm} - базис векторного пространства M над L, {β1,…,βn} - базис векторного пространства L над K. Тогда любой элемент α∈М является линейной комбинацией α = γ1α1+…+ γmαm , где γi∈L, 1≤i≤m, и, записывая каждое γi через базисные элементы βj, получим α=Σγiαi=Σ(Σrijβj)αi=ΣΣrijβjαi, где коэффициенты rij∈К, 1≤i≤m, 1≤j≤n. Для доказательства теоремы теперь достаточно показать линейную независимость mn элементов βjαi , 1≤i≤m, 1≤j≤n над К. Допустим, что ΣΣsijβjαi = ∅, где коэффициенты sij∈К. Тогда Σ(Σsijβj)αi=∅ и из линейной независимости элементов α1, … , αm над L следует, что Σsijβj=∅ для 1≤i≤m. Но так как элементы β1,…,βn линейно независимы над К (это базис), можно сделать вывод о том, что все sij равны ∅.♦ Определение. ♦ Пусть K – подполе конечного поля Fq и М – произвольное подмножество поля Fq. Обозначим через К(М) пересечение всех подполей поля Fq , содержащих одновременно К и М. Тогда К(М) называется расширением поля К, полученным присоединением элементов множества М. Поскольку М конечно, т.е. М={θ1,…, θn}, обычно записывают К(М)=К(θ1,…,θn). Если М состоит из одного элемента θ∈Fq, то поле L = К(θ) называется простым расширением поля К, а θ - образующим (порождающим) элементом простого расширения L поля К.♦ Очевидно, что К (М) является наименьшим подполем поля Fq, содержащим одновременно К и М. Рассмотрим строение простого расширения К(θ) поля К, полученного присоединением к К некоторого алгебраического элемента θ. Пусть Fq - расширение поля К и 93

пусть θ∈Fq является алгебраическим элементом. Оказывается, что К(θ) является конечным расширением, а потому и алгебраическим расширением поля К. Теорема 37. ♦ Пусть θ – алгебраический элемент степени n над подполем К конечного поля Fq и g – минимальный многочлен элемента θ над К. Тогда 1. простое расширение К(θ) изоморфно факторкольцу К[х]/(g); 2. [К(θ):К]=n и (1,θ,…,θn-1) - базис векторного пространства К(θ) над полем К.; 3. каждый элемент α∈К(θ) является алгебраическим над полем К, и его степень является делителем n.♦ Таким образом, элементами простого алгебраического расширения К(θ) поля К являются значения многочленов от х с коэффициентами из К при х=θ. Любой элемент поля К(θ) можно представить в виде аn-1θn-1+…+ а1θ + а0 , где аi∈К, 1≤i≤n-1. В теореме 37 предполагается, что поле К и элемент θ принадлежат некоторому большому полю Fq. Это нужно для того, чтобы алгебраические выражения, содержащие θ, имели смысл. Простое алгебраическое расширение можно построить с самого начала и без ссылок на предварительно заданное большое поле. Пусть Fq - конечное поле и f(х)∈Fq[х]. Тогда замена переменной х в многочлене f(х) произвольным элементом поля Fq превращает этот многочлен в корректно определенный элемент поля Fq. Определение.♦Если f(х)=аmхm +…+ а1х + а0∈Fq[х] и b∈Fq , то заменой х на b получим элемент f(b)=аmbm+…+а1b+а0∈Fq,, являюшийся значение многочлена f(х) при х=b. Если в Fq[х] в полиномиальном равенстве заменить х произвольным фиксированным элементом b∈Fq , то получаем равенство в поле Fq (принцип подстановки). Если f(b)=∅, то b∈Fq называется корнем многочлена f(х)∈Fq[х].♦ Следующая теорема устанавливает связь между корнями и делимостью многочлена. Теорема 38. Элемент b∈Fq является корнем многочлена f∈Fq[х] тогда и только тогда, когда х-b делит f . ♦Применяя алгоритм деления, можно записать f(х)=g(х)(х-b)+c, где g∈Fq[х],c∈Fq. Подставляя элемент b вместо переменной х, по94

лучим f(b)=c, откуда получаем равенство f(х)=g(х)(х-b)+f(b), из которого легко следует доказываемая теорема. ♦ Определение. ♦ Пусть b∈Fq есть корень многочлена f∈Fq[х]. Кратностью корня b называется такое натуральное число k, что f(х) делится на (х-b)k, но не делится на (х-b)k+1. При k =1 корень называется простым, а при k >1 кратным. ♦ Теорема 39.♦Пусть f(х)∈Fq[х] и deg(f)=n ≥ 0. Если b1,…,bm∈Fq различные корни многочлена f соответственно кратностей k1 k k1,…,km, то f делится на (х-b1) … (х-bm) m. Поэтому, k1+ …+km ≤n и многочлен f может иметь не более n корней. ♦Отметим, что каждый многочлен (х-bj ) , 1≤j≤m, неприводим k над полем Fq, ⇒ (х-bj ) j входит в качестве сомножителя в каноническое разложение многочлена f ⇒ в каноническое разложение k k входит и произведение (х-b1) 1…(х-bm) m ⇒ оно является делителем f. Сравнивая показатели степеней получаем, что k1+…+km≤n. Неравенства m≤ k1+ …+km ≤n доказывают утверждение теоремы.♦ Определение. ♦ Формальной производной многочлена f = f (х) = а0 + а1х + а2х2 + …+ аnхn∈Fq[х] называется многочлен f′ = f′ (х) = а1 + 2а2х + …+ nаnхn-1∈Fq[х].♦ Теорема 40. ♦ Корень b∈Fq многочлена f∈Fq[х] является кратным ⇔ он есть и корень производной f′ многочлена f.♦ Теорема 41. ♦ Пусть многочлен f ∈К[x] неприводим над конечным полем К. Тогда существует простое алгебраическое расширение поля К, образующим которого является некоторый корень многочлена f.♦ Пример 78.♦ В качестве примера формального процесса присоединения корня рассмотрим простое поле F3 и неприводимый нал эти полем многочлен f (x) = x2 + x + 2∈F3[х]. Пусть θ = [x] – некоторый “корень” многочлена f, т.е. класс вычетов x + (f) из факторкольца L = F3[х]/(x2 + x + 2). Другим корнем многочлена 2-й степени f в кольце L является элемент 2θ+2, поскольку f(2θ+2)=(2θ+2)2+(2θ+2)+2=θ2 +θ+2=∅. Простое алгебраическое расширение L = F3[θ] состоит из девяти элементов: 0, 1, 2, θ, θ+1, θ+2, 2θ, 2θ+1, 2θ+2. При построении таб95

лицы операций сложения и умножения для L (табл. 11 и 12 соответственно) необходимо помнить, что вычисления проводятся в кольце L по двойному модулю – по модулю 3 и модулю многочлена x2 + x +2. Поскольку L – коммутативное кольцо, то достаточно найти лишь те элементы таблиц, которые стоят на главной диагонали и над нею. Таблица 11 + 0 1 2 θ+1 θ+2 2θ 2θ+1 2θ+2 θ 0 0 1 2 θ+1 θ+2 2θ 2θ+1 2θ+2 θ 1 2 0 θ+1 θ+2 2θ+2 2θ θ 2θ+1 2 1 θ+2 θ+1 2θ+2 2θ 2θ+1 θ 0 1 2 2θ 2θ+1 2θ+2 θ 1 2 0 θ+1 2θ+2 2θ 2 0 1 θ+2 2θ+1 θ+1 θ+2 2θ θ 2θ+1 θ+2 θ 2θ+2 θ+1 * 0 0 0 1 2 θ θ+1 θ+2 2θ 2θ+1 2θ+2

1 0 1

2 0 2 1

θ 0 θ 2θ 2θ+1

θ+1 0 θ+1 2θ+2 1 θ+2

θ+2 0 θ+2 2θ+1 θ+1 2θ 2

2θ 0 2θ θ θ+2 2 2θ+2 2θ+1

Таблица 12 2θ+1 2θ+2 0 0 2θ+1 2θ+2 θ+2 θ+1 2 2θ+2 2θ+1 θ 1 2θ 1 θ+1 2 θ θ+2

В примере 78 можно было бы присоединить к полю F3 корень 2θ+2 того же многочлена f вместо θ.

96

3.2. Кольцо целых чисел После рассмотрения теоретических вопросов построения колец многочленов перейдем к решению практических задач, связанных с решением модулярных уравнений в кольце целых чисел Z(+,*) и конечных полях Fq. Определение. ♦ Если числам a,b∈Z отвечает один и тот же остаток r∈Z при делении их на данное число m∈Z, называемое модулем, то числа a и b называются сравнимыми по модулю m, что обозначается как a ≡ b (mod m).♦ Сравнимость чисел a и b по модулю m равносильна следующему: 1. возможность представить a и b в виде a = b+mt, где t∈Z; 2. делимость a-b на m. Из определения сравнимости следует, что оно является отношением эквивалентности, т.е. рефлексивно, симметрично и транзитивно. Справедливы следующие утверждения. 1. Сравнения можно почленно складывать. 2. Слагаемые, стоящие в какой-либо части сравнения, можно переносить в другую часть, изменив знак на обратный. 3. К каждой части сравнения можно прибавить любое число, кратное модуля. 4. Сравнения можно почленно перемножать. 5. Обе части сравнения можно возводить в одну и ту же степень. 6. Обе части сравнения можно умножить на одно и то же число. Теорема 42. Пусть дан многочлен c целыми коэффициентами α

α

α

f(х1, х2, …, хn) = ΣAα1,α2,…,αnх1 1х2 2…хn n, где αi – целые натуральные числа, 1≤ i ≤n, Aα1,α2,…,αn∈Z . Если заменить Aα1,…,αk,х1,х2,…,хk числами Bα1,…,αk,y1,y2,…,yk соответственно, сравнимыми с прежними по модулю m, то новое значение многочлена будет сравнимо с прежним по модулю m f(х1, х2, …, хn) ≡ f(y1, y2, …, y n)(mod m). ♦ Из Aα1,…,αk≡Bα1,…,αk(mod m), х1≡ y1(mod m), …,хk≡ yk(mod m) B

α1

α1

α

α

α

α

находим х1 ≡ y1 (mod m), х2 2≡ y2 2(mod m), …, хk k≡ yk k(mod m), α

α

Aα1,α2,…,αkх1 1х2 2…хk да суммируя получаем

αk

α

α

≡ Bα1,α2,…,αky1 1y2 2…yk 97

αk

(mod m), отку-

ΣAα1,α2,…,αkх1α1х2α2…хkαk

α

α

α

≡ ΣBα1,α2,…,αky1 1y2 2…yk k (mod m), что и требовалось доказать. ♦ Следствие теоремы Если a0≡b0(mod m), a1≡b1(modm), …, an≡bn(mod m), x≡y(mod m), n n-1 n n-1 то anх + an-1х +…+ a1х + a0 ≡ bny + bn-1y +…+ b1y + b0(mod m). Введем обозначения НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное). Далее будем обозначать НОД(a,b) через (a,b). Легко проверить следующие свойства сравнений. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем, т.е. ((a,b), m)=1. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое число или разделить на любой их общий делитель. Сравнение a≡b имеет место по нескольким модулям ⇒ оно имеет место и по модулю, равному НОК этих модулей. Сравнение имеет место по модулю m ⇒ оно имеет место и по модулю d, равному любому делителю числа m. Одна часть сравнения и модуль делятся на какое-либо число ⇒ другая часть сравнения должна делиться на это же число. a≡b(mod m) ⇒ НОД(a,m) = НОД(b,m). Определение. ♦Числа, сравнимые по модулю m, образуют класс эквивалентности, называемый классом чисел модулю m. Любое число этого класса называется вычетом по модулю m.♦ Из определения следует, что всем числам класса отвечает один и тот же остаток r. Мы получаем все числа класса, если в линейной форме mq+r переменная q пробегает все целые числа. Вычет, получаемый при q=0, называется наименьшим неотрицательным вычетом. Вычет, самый малый по абсолютной величине, называется абсолютно наименьшим вычетом. Взяв от каждого класса по одному вычету, получим полную систему вычетов по модулю m. Обычно в качестве полной системы вычетов употребляют наименьшие неотрицательные вычеты {0,1,2,..,m-1}. Любые m чисел, попарно несравнимые по модулю m, образуют полную систему вычетов по этому модулю. Теорема 43. Пусть a,b,m∈Z. Если (a,m)=1 и х пробегает полную систему вычетов по модулю m, то aх+b, тоже пробегает полную систему вычетов по модулю m. B

98

♦Чисел aх+b будет столько же, сколько и х, т.е. m. Любые два числа aх1+b и aх2+b, соответствующие несравнимым х1 и х2, сами несравнимы по модулю m. Допустим обратное и пусть aх1+b ≡ aх2+b(mod m), но тогда будет справедливо и сравнение aх1≡aх2(mod m). Следовательно, вследствие условия (a,m)=1, получим х1≡х2(mod m), что противоречит исходной посылке о несравнимости х1 и х2. Поэтому, будучи не сравнимыми, эти два числа aх1+b и aх2+b принадлежат к различным классам. Поскольку количество чисел aх+b равно m, т.е. столько же, сколько и классов, то в каждый класс наверняка попадет по одному числу. Теорема доказана.♦ Как следует из теоремы 43, отображение ϕ: х → aх+b биективно и порождает автоморфизм [х]→ a[х]+b линейного преобразования класса вычетов [х] в себя. Определение. ♦ Функция Эйлера ϕ(х) определяется ∀х∈Z+. Значение ϕ(х) равно количеству чисел из множества {1,2,…,х-1), взаимно простых с х.♦ Нетрудно проверить, что ϕ(х) - мультипликативная функция, т.е. ϕ( х1, х2, …, хn) = ϕ( х1) ϕ(х2)… ϕ(хn) Как известно, ∀а∈Z+, а>1 разлагается в произведение простых сомножителей единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Определение.♦ Каноническим разложением числа а.называется представление а∈Z+ в виде произведения степеней простых чисел: α

α

α

α

а = р1 1р2 2…рk k.♦ α

αk

Пусть а = р1 1р2 2…рk

– каноническое разложение числа а. Тогда

ϕ(а) = а(1-р1 α

-α1

)(1-р2

-α2

-αk

)…(1-рk

).

В частности, если а = р , где р – простое число, α ≥ 1, то α

α

α-1

α -1

ϕ( р ) = р - р = р ( р-1), ϕ( р) = р-1. Определение.♦ Систему представителей классов чисел, взаимно простых с модулем m, называют приведенной системой вычетов. ♦ Пример 79. ♦Приведенной системой вычетов по модулю 12 является следующий набор чисел, взаимно простых с 12: {1,5,7,11}. 2 2 2 -1 Проверка: ϕ(12) = ϕ(2 *3) = ϕ(2 )ϕ(3) = 2 (1-2 )(3-1) = 4.♦ 99

Теорема 44. Пусть a,m∈Z. Любые ϕ(m) чисел, попарно несравнимые по модулю m и взаимно простые с ним, образуют приведенную систему вычетов по модулю m. Если (a,m)=1 и х пробегает приведенную систему вычетов по модулю m, то aх тоже пробегает приведенную систему вычетов по модулю m. ♦Будучи несравнимыми и взаимно простыми с модулем m, этии числа тем самым принадлежат к различным классам, содержащим числа, взаимно простые с модулем. По условию теоремы количество чисел всего равно ϕ(m), т.е. столько же , сколько и классов указанного вида, поэтому в каждый класс попадет наверняка попадет по одному числу. Чисел aх будет столько же, сколько и чисел х, т.е. ϕ(m). Следовательно, необходимо только показать, что числа aх несравнимы по модулю m и взаимно просты с ним. Но первое доказано в теореме 43 для чисел более общего вида aх+b, второе же следует из равенств (a,m)=1 и (х,m)=1. Теорема доказана.♦ Теорема 45 (теорема Л.Эйлера). Пусть a,m∈Z. При m≥2 и ϕ(m) ≡ 1(mod m). (a,m)=1 справедливо утверждение a ♦Пусть х пробегает приведенную систему вычетов {r1,r2,…,rс}, где с=ϕ(m), составленную из наименьших неотрицательных вычетов. Тогда наименьшие неотрицательные вычеты {s1,s2,…,sс} чисел aх будут согласно теореме 44 пробегать ту же систему, но расположенную в другом порядке. Перемножая почленно сравнения с ar1≡s1(mod m), ar2≡s2(mod m),…,arс≡sс(mod m), получим a r1r2…rс ≡s1s2…sс(mod m). Разделив обе части равенства на произведение с r1r2…rс =s1s2…sс, получим равенство a ≡1(modm), что и требовалось доказать.♦ Следствие теоремы (Малая теорема П.Ферма). р-1 При простом р и a, не делящемся на р, имеем a ≡ 1(mod р). Теореме можно придать более удобную форму. Умножая обе части р сравнения на a, получим сравнение a ≡ a(mod р), справедливое + ∀а∈Z , поскольку оно верно и при а, кратном р. Пример 80. ♦ Пусть a=35 и m=12. В примере 79 показано, что ϕ(12) = 4. Используя свойства сравнений, получаем ϕ(12) 4 4 4 35 = 35 = (3*12 -1) ≡ (-1) = 1(mod 12).♦ 100

Перейдем к изучению сравнений общего вида n n-1 (6) f(х) ≡ 0(mod m), где f(х)=anх + an-1х +…+ a1х + a0. Если an не делится на m, то n назывется степенью сравнения. Под решением сравнения понимают все значения х, удовлетворяющие этому сравнению. Два сравнения, которым удовлетворяют одни и те же значения х, называются равносильными. Если сравнению (6) удовлетворяет некоторое х = х1 , то тому же сравнению будут удовлетворять и все числа, сравнимые с х1 по модулю m: х ≡ х1(mod m). Весь этот класс чисел принимается за одно решение. При таком соглашении сравнение (6) будет иметь столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяют. 5 Пример 81.♦ Сравнению х +х+1≡0(mod m) среди полной системы вычетов по модулю 7 {0,1,2,3,4,5,6} удовлетворяют два числа: х=2 и х=4. Поэтому указанное сравнение имеет два решения: х ≡ 2(mod 7), х ≡ 4(mod 7).♦ Сравнение первой степени a1х + a0 ≡ 0(mod m) перенесением свободного члена (с обратным знаком) в правую часть можно привести к следующему виду (7) aх ≡ b (mod m). Теорема 46. Пусть даны a,b,m∈Z, (a,m)=d. Если b не делится на d, то сравнение aх ≡ b (mod m) неразрешимо. При b, кратном d, сравнение имеет d решений. ♦ Приступая к исследованию вопроса о числе решений (7), ограничим сначала сравнение условием (a,m)=1. Согласно определению сравнение имеет столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет. Согласно теореме 43 когда х пробегает полную систему вычетов по модулю m, то aх также пробегает полную систему вычетов. Отображение ϕ: х → aх+b биективно, следовательно, только при единственном значении х, взятом из полной системы вычетов, aх будет сравнимо с b. Итак, при (a,m)=1 сравнение (7) имеет одно решение. Пусть теперь (a,m)=d>1. Тогда, чтобы сравнение (7) имело решение, необходимо, чтобы b делилось на d, иначе сравнение (7) невозможно ни при каком х∈Z. Поэтому, предполагая b кратным d, положим a=a1d, b=b1d, m=m1d. Следовательно, сравнение (7) при сокращении на d будет равносильно следующему сравнению 101

a1х ≡ b1 (mod m1), в котором уже будет (a1,m1)=1, и поэтому оно имеет одно решение по модулю m1. Пусть х1- наименьший неотрицательный вычет этого решения по модулю m1, тогда все числа х, образующие это решение найдутся в форме х ≡ х1 (mod m1). (8) По модулю m числа (8) образуют не одно решение, а столько решений, сколько чисел (8) найдется в множестве {0,1,2,…, m-1} наименьших неотрицательных вычетов по модулю m. Но сюда попадут следующие числа (8): х1, х1 + m1, х1 + 2m1),…, х1 +(d-1)m1., т.е. всего d чисел (8), поэтому сравнение (7) имеет d решений. ♦ Используя теорему Ферма, можно показать, что решение сравнение aх ≡ b (mod m) имеет вид ϕ(m)-1 х ≡ba (mod m), но данный подход является сугубо теоретическим, т.к. в настоящее время не существует хорошего алгоритма (не экспоненциальной сложности) нахождения функции Эйлера. Поэтому рассмотрим другой подход к решению сравнения aх ≡ b (mod m), основанный на применении полиномиального алгоритма, использующего теорию непрерывных дробей, причем достаточно ограничиться только случаем (a, m)=1. Пусть α=а/b рациональное число с положительным знаменателем. Используя алгоритм Евклида, построим разложение α в непрерывную дробь: -1 a = bq1 + r2, а/b = q1+(b/r2) , -1 b/r2 = q2+(r2/r3) , b = r2q2 + r3, -1 r2 = r 3q3 + r4, r2/r3 = q3+(r3/r4) , ……… -1 rn-2 = rn-1qn-1 + rn, rn-2/rn-1 = qn-1+(rn-1/rn) , rn-1 = rnqn, rn-1/rn = qn. В итоге получено представление рационального числа α в виде непрерывной дроби: -1 -1 -1 -1 а/b = q1+( q2+( q3+…+ (qn-1+ qn ) ) ) . 102

Определение.♦ Числа q1, q2, q3,…, qn, участвующие в разложении числа α в непрерывную дробь, называются неполными частными. -1 -1 -1 Дроби же δ1 = q1, δ2 = q1+q2 , δ3 = q1+( q2+q3 ) ,… называются подходящими дробями.♦ Закон образования подходящих дробей найдем, замечая, что δs (s>1) получается из δs-1 заменой в символьном выражении для δs-1 -1 числа qs-1 на qs-1+ qs . Полагая, для единообразия P0=1, Q0=0, можно подходящие дроби последовательно представить в виде: δ1 = q1/1 = P1/Q1. -1 δ2 = q1+q2 /1=(q2q1+1)/(q2*1+0)=(q2P1+P0)/(q2Q1+Q0) = P2/Q2. -1 -1 δ3 =(( q2+q3 )P1+P0)/(( q2+q3 )Q1+Q0)=(q3P2+P1)/(q3Q2+Q1) = P3/Q3. и т.д. и вообще имеем δs =(qsPs-1+Ps-2)/(qsQs-1+Qs-2) = Ps/Qs. Таким образом, числители и знаменатели подходящих дробей можно последовательно вычислять по формулам ⎧ Ps = qsPs-1+Ps-2, (9) ⎩ Qs = qsQs-1+Qs-2. Рассмотрим разность δs - δs-1 соседних подходящих дробей. При s>1 находим δs - δs-1 = Ps/Qs - Ps-1/Qs-1 = hs/(QsQs-1), где hs = PsQs-1 - QsPs-1. Подставляя вместо Ps и Qs их выражения (9), получим hs = hs-1, что s в сочетании с h1= q1*0-1*1 = -1 дает hs = (-1) . В итоге имеем s (s>0). (10) PsQs-1 - QsPs-1= (-1) s δs - δs-1 = Ps/Qs - Ps-1/Qs-1 = (-1) /(QsQs-1) (s>1). (11) s Из (10) следует, что (Ps,Qs) делит (-1) . Поэтому (Ps,Qs)=1, т.е. подходящие дроби несократимы. Пример 82.♦Разложим в непрерывную дробь число 105/38. -1 -1 -1 -1 Используя алгоритм Евклида, имеем 105/38=2+(1+(3+(4+2 ) ) ) . Вычисления по формулам (9) удобно проводить по следующей схеме, приведенной в табл. 13: Таблица 13 0 2 1 3 4 2 qs Ps 1 2 3 11 47 105 Qs 0 1 1 4 17 38 5 Имеем 105*17 – 38*47 = (-1) = -1. ♦ 103

После рассмотрения свойств непрерывных дробей вернемся к проблеме решения сравнений первой степени от одной неизвестной aх ≡ b (mod m). Разлагая в непрерывную дробь отношение m/a =(q1, q2, q3,…, qn) и рассматривая две последние подходящие дроби -1 -1 -1 Pn-1Qn-1 , PnQn = ma , согласно свойствам непрерывных дробей имеем n n-1 mQn-1 - aPn-1 = (-1) , aPn-1 ≡ (-1) (mod m), n-1 a(-1) Pn-1b ≡ b(mod m). Итак, исходное сравнение (7) имеет решение n-1 х ≡(-1) Pn-1b(mod m) для разыскания которого достаточно вычислить Pn-1. Пример 83.♦ Решим сравнение 111х ≡ 75(mod 321). Здесь (111,321)=3, причем 75 кратно 3, следовательно, сравнение имеет три решения. Разделив обе части сравнения и модуль на 3, получим сравнение 37х ≡ 25 (mod 107), которое следует решить сначала. Имеем qs = (2, 1, 8, 4), Ps = (1, 2, 3, 26, 107). В данном случае n = 4, Pn-1=26, b=25 и надо решить сравнение 4-1 х ≡(-1) *26*25 ≡ 99(mod 107). Отсюда решения сравнения 111х≡75(mod 321) имеют вид х ≡99, 99+107, 99+2*107(mod 321), т.е. х ≡99, 206, 313(mod 321).♦ Рассмотрим простейшую систему сравнений с одним неизвестным: х ≡ b1 (mod m1), х ≡ b2 (mod m2),…, х ≡ bk (mod mk), (12) но с разными и притом попарно простыми модулями Теорема 47. Пусть bs,ms∈Z, 1≤s≤k и числа Ms и M′s определены следующими условиями m1m2…mk=Msms, MsM′s≡1(mod ms) и пусть х0 = M1M′1b1 + M2 M′2b2 +…+ Mk M′kbk. Тогда множество значений х, удовлетворяющих системе (12) определяется сравнением х ≡ х0 (mod m1m2…mk). (13) Если b1, b2,… , b k независимо друг от друга пробегают полные системы вычетов по модулям m1, m2,… , mk, то х0 пробегает полную систему вычетов по модулю m1m2…mk.

104

♦Ввиду делимости на ms (при любом s=1,2,…,k) всех Mj, отличных от Ms, имеем х0 ≡ MsM′s bs ≡ bs (mod ms), и, следовательно, система (12) равносильна системе сравнений х ≡ х0 (mod m1), х ≡ х0 (mod m2),…, х ≡ х0 (mod mk), (14) т.е. системам (12) и (13) удовлетворяют одни и те же значения х. Системе же (14) удовлетворяют те и только те значения х0, которые удовлетворяют сравнению (13). Всего же х0 пробегает m1m2…mk значений, несравнимых по модулю m1m2…mk.♦ Пример 84.♦Решим систему сравнений х ≡ b1 (mod 4), х ≡ b2 (mod 5), х ≡ b3 (mod 7). Здесь m1=4, m2 =5, m3 =7 и 4*5*7 = 35*4 = 28*5 = 20*7, причем 35*3 ≡1(mod 4), 28*2 ≡1(mod 5), 20*6 ≡1(mod 7). Поэтому х0 =35*3b1 + 28*2b2 + 20*6b3 = 105b1 + 56b2 + 120b3 и, следовательно, множество значений х, удовлетворяющих системе сравнений может быть представлено в линейной форме х = 105b1 + 56b2 + 120b3. Так, например, множество значений х, удовлетворяющих системе х ≡1(mod 4), х ≡3(mod 5), х ≡2(mod 7), будет х = 105*1+56*3+120*2≡93(mod 140), а множество значений х, удовлетворяющих системе х ≡3(mod 4), х ≡2(mod 5), х ≡6(mod 7), будет х = 105*3+56*2+120*6≡27(mod 140).♦ n n-1 Теорема 48. Пусть f(х) = anх +an-1х +…+a1х+a0 и р - простое число. Тогда сравнение f(х)≡0(mod р) равносильно сравнению степени не выше р-1. р р ♦ Деля f(х) на х -х, имеем f(х)=( х -х)Q(х)+R(х), где deg(R)≤р-1. р Поскольку, (х -х)≡0(mod р), то f(х)≡R(х)(mod р), откуда и следует утверждение теоремы.♦ Теорема 49.(теорема Г.Вильсона). Пусть р - простое число, тогда справедливо следующее сравнение: ( р-1)!+1≡0(mod р). ♦При р=2 теорема очевидна. При р>2 рассмотрим сравнение 105

р-1

(х -1)( х -2)…( х -(р-1)) – (х -1) ≡ 0(mod р). Это сравнение степени не выше р-2 имеет р-1 решение с вычеn n-1 тами {1,2,…, р-1}. Если anх +an-1х +…+a1х+a0 ≡0 (mod р), то все р р коэффициенты an кратны р и разделив f(х) на х -х, имеем f(х)=(х р х)Q(х)+R(х), где deg(R)≤р-1. Поскольку (х -х)≡0(mod р), то f(х)≡R(х)(mod р), откуда и следует утверждение теоремы.♦ Пример 85.♦ Имеем 1*2*3*4+1=25 ≡ 0(mod 5). + Теорема 50. Пусть даны взаимно простые m1, m2,… , mk∈Z , тогда сравнение вида (15) f(х)≡0(mod m1m2… mk) равносильно системе сравнений f(х)≡0(mod m1), f(х)≡0(mod m2),…, f(х)≡0(mod mk). При этом, обозначая через Т1,…,Тk числа решений отдельных сравнений системы по соответствующим модулям и число решений исходного сравнения через Т, будем иметь Т = Т1Т2…Тk. ♦Первая часть теоремы следует из двух свойств сравнений: 1. сравнение, имеющее место по нескольким модулям, имеет место и по модулю, равному НОК этих модулей. 2. сравнение, справедливое по модулю m, справедливо и для любого делителя d модуля m. Вторая часть теоремы 50 следует из того, что каждое сравнение f(х)≡0(mod ms) (16) выполняется только тогда, когда выполняется одно из Тs сравнений х≡bs(mod ms), где bs пробегает вычеты сравнения (16), причем согласно теореме 47 возможны всего лишь Т1Т2…Тk различных комбинаций вида х ≡ b1 (mod m1), х ≡ b2 (mod m2),…, х ≡ bk (mod mk), приводящих к различным классам по модулю m1m2… mk.♦ 4 3 х +2х +8х+35≡0(mod 35) (17) Пример 86.♦Сравнение равносильно следующей системе сравнений 4 3 х +2х +8х+35≡0(mod 5), 4 3 х +2х +8х+35≡0(mod 7). Легко проверить, что первое сравнение имеет два решения: х≡1,4(mod 5). Второе сравнение имеет три решения: х≡3,5,6(mod 7). 106

Поэтому сравнение (17) всего имеет 2*3=6 решений, для нахождения которых необходимо решить 6 систем сравнений вида х ≡ b1(mod 5), х ≡ b2(mod 7), (18) которые получим, заставляя b1 принимать значения 1,4, а b2 - 3,5,6. 35 = 5*7 = 7*5, 7*3 ≡1(mod 5), 5*3≡1(mod 7), следовательно, множество значений х, удовлетворяющих (18), можно представить в следующей форме: х ≡21b1+15b2(mod 35). Поэтому решениями (17) будут х ≡ 31, 26, 6, 24, 19, 34 (mod 35).♦ α α α Исследование и решение сравнения f(х)≡0 (mod р1 1р2 2…рk k) согласно теореме 50 сводится к анализу и решению сравнений вида α

f(х)≡0(mod р ), которое приводит к сравнению f(х)≡0(mod р). Теорема 51. Всякое решение сравнения f(х)≡0(mod р) (19) при условии, что f′ (х1) не делится на р, дает одно решение вида α

α

х = хα + р tα, х ≡ хα(mod р ) сравнения α (20) f(х)≡0(mod р ). ♦Действительно, всякое х, удовлетворяющее сравнению (20) с необходимостью должно удовлетворять и сравнению (19). Это можно показать следующим образом. Пусть х≡х1(mod р) есть некоторое решение сравнения (19). Тогда х ≡ х1+рt1, где t1 - целое. Подставим это значение х в сравнение f(х)≡0(mod р2) и разложим левую часть сравнения по формуле Тейлора. Тогда, принимая -1 (k) во внимание, что (k!) f(х1) - целое, и отбрасывая члены ряда, 2 кратные р , получим f(х1)+ рt1 f′(х1) ≡0(mod р2), -1 f(х1) р + t1 f′ (х1) ≡0(mod р). Ограничиваясь случаем, когда f′ (х1) не делится на р, имеем одно решение: t1 ≡ s1(mod р), t1 = s1+рt2. Тогда выражение для х принимает следующий вид: х = х1+рs1+р2t2 = х2 + р2t2. Подставляя это выражение в сравнение f(х)≡0(mod р3), получим f(х2)+ р2t2 f′(х2) ≡0(mod р3), f(х2) р 2 + t2 f′ (х2) ≡0(mod р). Здесь f′(х2) не делится на р, т.к. х2≡х1(mod р) и f′(х2)≡f′(х1) (mod р). 107

Поэтому последнее сравнение имеет одно решение: t2 ≡ s2 (mod р), t2 = s2+рt3 и выражение для х принимает следующий вид: х = х2 + р2s2 + р3t3= х3 + р3t3. Продолжая этот процесс, по данному решению сравнения (19) постепенно найдем сравнимое с ним решение сравнения (20). Теорема доказана.♦ 4 Пример 87.♦ Решим сравнение х +7х+4 ≡ 0(mod 27). 4 Сравнение х +7х+4≡0(mod 3) имеет одно решение х≡1(mod 3). 3 f′(1)=4*1 +7 ≡ 2(mod 3), следовательно, f′ (1) не делится на 3 и можно использовать результаты теоремы 51. Находим, что х=1+3t1, f(1)+3t1 f′(1)≡0(mod 32), 3+3t1*2≡0(mod 32), 2t1 +1≡0(mod 3), t1 ≡1(mod 3), t1 = 1+3t2, х = 4 + 9t2. 3 f(4)+9t2 f′(4)≡0(mod 32), 18+9t2*2≡0(mod 3 ), 2t2 +2≡0(mod 3), t2 ≡2(mod 3), t2 = 2+3t3, х = 22+27t3. 4 Таким образом сравнение х +7х+4≡0(mod 27) имеет единственное решение х ≡ 22(mod 27). ♦ Рассмотренные алгоритмы решения сравнений позволяют проводить различные вычисления в конечных полях Fq. Упражнения 1. Является ли Β(М) - булеан множества М кольцом относительно симметрической разности и пересечения, рассматриваемых соответственно как операции сложения и умножения в кольце. 2. В множестве многочленов от переменного t c обычным сложением в качестве умножения рассматривается операция, задаваемая правилом (f°g)(t)=(f(g)). Является ли это множество кольцом относительно заданных операций? 3. Доказать, что все обратимые элементы кольца с единицей образуют группу относительно операции умножения. 4. Найти все идеалы кольца Z(+,*). Доказать, что кольцо Z[х] не является кольцом главных идеалов. 5. Применяя алгоритм Евклида найти НОД(f,g), где f,g∈F3[х]: f(х)=х8+2х5+х3+х2+1, g(х)=2х6+х5+2х3+2х2+2. 108

6. Подсчитать f(3) для многочлена f(х)=х214+3х152+2х47+2∈F5[х]. 7. Доказать, что факторкольцо кольца D[х] многочленов с действи-тельными коэффициентами по идеалу многочленов, делящихся на х2+1, изоморфно полю комплексных чисел a+bi с обычными операциями сложения и умножения. 8. Доказать, что факторкольцо А/I кольца целых гауссовых чисел по главному идеалу I=(n) является полем ⇔ n - простое число, не равное сумме двух квадратов целых чисел. (целыми гауссовыми числами называются комплексные числа a+bi с целыми a и b). 9. Доказать бесконечность простых чисел вида 6m+5. 10. Пользуясь выражением для функции Эйлера ϕ(n), доказать бесконечность числа простых чисел. 11. Из теоремы Ферма вывести теорему Эйлера. 12. Делится ли число 21093-2 на число 10932? 13. Какому сравнению со старшим коэффициентом, равным 1, эвивалентно сравнение 70х6+78х5+25х4+68х3+52х2+4х+3≡0(mod 101)? 14. Решить сравнение 31х4+57х3+96х+191≡0(mod 225). Список литературы 1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Мир, 1979. 2. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1973. 3. Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1973. 4. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т.1 М.: Мир, 1988. 5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984. 6. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. Ижевск: R&C,1999.

109

4. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 4.1. Характеризация конечных полей Как уже отмечалось, для любого простого числа р факторкольцо Z/(p) является конечным полем, состоящим из р элементов, которое может быть отождествлено с полем Галуа Fр = GF(р) порядка р. Поле Fр играет важную роль в общей теории конечных полей, т.к. каждое поле характеристики р должно содержать изоморфное Fр подполе и поэтому оно может рассматриваться как расширение поля Fр. Данное замечание играет основную роль в классификации конечных полей, т.к. характеристикой такого поля является простое число р. Теорема 52. Пусть Fq - конечное поле характеристики p. Тогда это поле состоит из рn элементов, где натуральное число n является степенью поля Fq над его простым подполем. ♦ Поскольку поле Fq конечно, то его характеристикой является некоторое простое число р. Поэтому простое подполе К поля Fq изоморфно полю Fq и значит содержит p элементов. Поле Fq можно рассматривать как векторное пространство над полем К . В силу конечности Fq это пространство конечномерно. Если степень Fq над К равна n ( [Fq:К] = n), то Fq имеет базис над полем К , состоящий из n элементов, например, {b1,b2,…,bn}. Таким образом, каждый элемент поля Fq можно однозначно представить в виде линейной комбинации а1b1+а2b2+…+anbn, где а1,…, an∈ К. Поскольку каждый коэффициент ai может принимать p значений, то поле состоит в точности из элементов рn.♦ Если Fq – конечное поле из q элементов, то каждый элемент а∈Fq удовлетворяет равенству аq = а. Это равенство тривиально при а=0. Что же касается ненулевых элементов поля Fq, то, как следует из определения поля, эти элементы образуют мультипликативную группу порядка q-1. Следовательно, для каждого ненулевого элемента а∈Fq выполняется равенство аq-1=а, умножение которого на а дает требуемый результат. Из приведенных рассуждений видно, что многочлен хq – х имеет q различных корней в поле Fq, которыми являются все элементы поля Fq. Таким образом, этот многочлен разлагается в кольце Fq[х]: хq – х = Π( х – а), где а∈Fq. 110

Отсюда следует, что Fq является полем разложения для многочлена хq – х∈К[х], определенного над любым подполем К. Многочлен хq -х разлагается на линейные множители в поле Fq и не может разлагаться указанным образом ни в каком меньшем поле. Теперь можно сформулировать главную характеризационную теорему для конечных полей. Теорема 53 (существование и единственность конечных полей). Для всяких простого p и натурального n существует конечное поле из рn элементов. Любое конечное поле из q = рn элементов изоморфно полю разложения многочлена хq – х над полем Fq. ♦Существование: Для q = рn рассмотрим многочлен хq – х∈Fр[х] и пусть F есть его поле разложения над Fр. Многочлен хq – х имеет q различных корней в поле F, т.к. его производная является постоянным многочленом qхq-1-1=-1≠0 из Fр[х]. В силу этого qхq-1-1 не может иметь общих корней с многочленом хq – х. Положим S={а∈F:aq–a=0}. S является подполем F, т.к. S содержит 0 и 1. Если a,b∈S, то (a-b)q = aq-bq = a-b, значит a-b∈S. Для a, b∈S, b≠∅ имеем (ab-1)q = aqb-q = ab-1, поэтому ab-1хq -х S. С другой стороны, многочлен хq -х должен вполне разлагаться в S, поскольку S содержит все его корни. Поэтому S=F и т.к. S состоит из q элементов, то F≡Fq и F есть конечное поле из q элементов. Единственность: Пусть F – конечное поле из q = рn . Поле F имеет характеристику р и поэтому содержит в качестве подполя поле Fр. Поле F является полем разложения многочлена хq-х∈Fр[х]. Требуемый результат с точностью до изоморфизма следует из единственности поля разложения многочлена хq-х.♦ Доказанная в теореме единственность позволяет говорить о вполне определенном конечном поле данного порядка q, т.е. о поле Галуа GF(q) из q элементов. Обозначим его через Fq, где под q понимается степень некоторого простого числа р, которое является характеристикой этого поля. Теорема 54 (критерий подполя). Пусть Fq – конечное поле и q= рn, где р - простое число. Тогда каждое подполе поля Fq имеет порядок рm, где m есть положительный делитель натурального n. Обратно, если m положительный делитель n, то существует единственное подполе поля Fq, состоящее из рm элементов. 111

♦ Произвольное подполе К поля Fq должно иметь порядок рm, где m – натуральное число, меньшее n. Как было показано ранее q=рn должно быть степенью числа рm, т.е. m обязательно делит n. Для удобства описания индексов и показателей степеней введем следующие обозначения: exp(р,m)=рm и exp(р,n)=рn. Если m - положительный делитель числа n, то число рm-1 делит число рn-1, так что над Fр многочлен хexp(p,m) -1–1 делит хexp(p,n) -1–1, т.е. х exp(p,m) - х делит многочлен х exp(p,n) - х = хq -х в кольце Fр[х]. Следовательно, каждый корень многочлена хexp(p,m)-1-1 является корнем многочлена хq -х и, значит, принадлежит полю Fq. Поэтому поле Fq должно включать в качестве подполя Fq поле разложения многочлена х exp(p,m) - х над полем Fр, а из теоремы 53 следует, что такое поле разложения имеет порядок рm. Если бы поле Fq содержало два различных подполя порядка рm, то эти два подполя в совокупности содержали бы больше, чем рm корней многочлена хexp(p,n) - х в поле Fq, что невозможно.♦ Теорема 54 показывает, что если m - делитель числа n, то в поле Fexp(p,n) имеется единственное подполе порядка рm, состоящее из всех корней многочлена х exp(p,m) -х∈Fр[х] в поле Fexp(p,n). Пример 88. ♦ Все подполя конечного поля Fexp(2,30) можно найти, составив список всех положительных делителей числа 30. Отношения включения между этими подполями можно указать следующими цепочками включений: Fexp(2,1) ⊂ Fexp(2,2) ⊂ Fexp(2,6) ⊂. Fexp(2,30). Fexp(2,1) ⊂ Fexp(2,2) ⊂ Fexp(2,10) ⊂. Fexp(2,30). Fexp(2,1) ⊂ Fexp(2,3) ⊂ Fexp(2,6) ⊂. Fexp(2,30). Fexp(2,1) ⊂ Fexp(2,3) ⊂ Fexp(2,15) ⊂. Fexp(2,30). Fexp(2,1) ⊂ Fexp(2,5) ⊂ Fexp(2,10) ⊂. Fexp(2,30). Fexp(2,1) ⊂ Fexp(2,5) ⊂ Fexp(2,15) ⊂. Fexp(2,30). Согласно теореме 54 эти отношения включения равносильны отношениям делимости соответствующих делителей числа 30: 1/2/6/30, 1/2/10/30, 1/3/6/30, 1/3/15/30, 1/5/10/30, 1/5/15/30.♦ Обычно для конечного поля Fq через F*q обозначают мультипликативную группу его ненулевых элементов. Следующий результат устанавливает важное свойство этой группы. Теорема 55. Мультипликативная группа F*q ненулевых элементов произвольного конечного поля Fq – циклическая. 112

♦Можно предположить, что q≥3. Пусть h=exp(p1,r1)*…*exp(pm,rm) является разложением порядка h=q-1 группы F*q на простые сомножители. Для каждого i, 1≤i≤m многочлен exp(x,h/pi)-1 имеет не более h/pi корней в поле Fq. Поскольку h/pi< h, то в поле Fq есть ненулевые элементы, не являющиеся корнями этого многочлена. Пусть аi – один из таких элементов. Положим bi = exp(аi,h/exp(pi,ri)) Тогда exp(bi,exp(pi,ri))=1, откуда следует, что порядок элемента bi является делителем числа exp(pi,ri) и, значит, имеет вид exp(pi,si), где 0≤ si≤ ri. C другой стороны, exp(bi,exp(pi,ri-1)) = exp(аi,h/pi) ≠1, так что порядок элемента bi равен exp(pi,ri). Покажем теперь, что элемент b = b1b2…bm имеет порядок h. Допустим обратное, что порядок элемента b является собственным делителем числа h, а значит и делителем, по крайней мере, одного из целых чисел h/pi, 1≤i≤m, например, h/p1. Тогда 1 = exp(b,h/p1) = exp(b1,h/p1) exp(b2,h/p1)…exp(bm,h/p1). Теперь, если 2≤i≤m, то exp(pi,ri) делит число h/p1, следовательно, exp(bi,h/p1) = 1 и поэтому exp(b1,h/p1) = 1. Это означает, что порядок элемента b1 должен делить число h/p1, но это невозможно, т.к. он равен exp(p1,r1). Следовательно, F*q является циклической группой с образующим элементом b.♦ Определение. ♦ Образующий элемент циклической группы F*q называется примитивным элементом поля Fq.♦ Наличие в произвольном конечном поле примитивных элементов позволяет показать, что каждое конечное поле является простым алгебраическим расширением своего простого поля. Теорема 56. Пусть Fq – конечное поле и Fr – его конечное расширение. Тогда Fr есть простое алгебраическое расширение поля Fq, причем образующим элементом этого расширения может служить любой примитивный элемент поля Fr. Для каждого конечного поля Fq и любого натурального числа n в кольце Fq[x] существует неприводимый многочлен степени n. ♦Допустим ξ - любой примитивный элемент поля Fr. Тогда ясно, что Fq(ξ)⊆Fr. С другой стороны, поле Fq(ξ) содержит ∅ и все степени элемента ξ, т.е. все элементы поля Fr. Поэтому Fq(ξ) = Fr. 113

Теперь пусть Fr будет расширением поля Fq порядка q= рn, так что [Fr: Fq] = n. Тогда существует некоторый элемент ξ∈Fr, такой что Fr = Fq(ξ). Но тогда в соответствии с п.1 и п.2 теоремы 13 минимальный многочлен элемента ξ над Fq.является неприводимым многочленом степени n в кольце Fq[x].♦ Рассмотрим вопрос о множестве корней неприводимого многочлена над конечным полем. Теорема 57. Пусть f∈Fq[x]- неприводимый многочлен над конечным полем Fq, deg(f)=m и пусть α - корень f в некотором расширении поля Fq. Тогда для h∈Fq[x] h(α)=∅ ⇔ f делит h. Многочлен f делит exp(х,exp(q,n))-х ⇔ число m делит число n. ♦Пусть а – старший коэффициент f. Положим g(х) = а-1f(х). Тогда g есть нормированный неприводимый многочлен из Fq[x], причем g(α)=∅. Это означает, что g(х) есть минимальный многочлен элемента α над полем Fq и для ∀h∈Fq[x] равенство h(α)=∅ выполняется в том и только том случае, если f делит h. Теперь допустим, что многочлен f(х) делит exp(х,exp(q,n))-х. Пусть α - некоторый корень многочлена f в поле разложения этого многочлена над полем Fq. Тогда exp(α,exp(q,n)) = α и α∈Fexp(q,n). Следовательно, простое расширение Fq(α) поля Fq является подполем поля Fexp(q,n). Поскольку [Fq(α): Fq] = m и [Fexp(q,n): Fq] = n, то m должно делить n. Обратно, если m делит n, то из теоремы 54 следует, что поле Fexp(q,n) содержит Fexp(q,m) в качестве подполя. Если α - некоторый корень многочлена f в поле разложения f над Fq, то [Fq(α): Fq] = m, так, что Fq(α) = Fexp(q,m). Следовательно, α∈Fexp(q,n) и значит exp(α,exp(q,n)) = α. Таким образом, α является корнем многочлена exp(х,exp(q,n))-х∈Fq[x] и f(х) делит exp(х,exp(q,n))-х.♦ Теорема 58. Если f∈Fq[x] есть неприводимый многочлен степени m, то любой корень α многочлена f содержится в поле Fexp(q,m). Все корни f простые и ими являются m различных элементов α,αq,exp(α,exp(q,2)),…,exp(α,exp(q, m-1))поля Fexp(q,m) . ♦Пусть α - произвольный корень многочлена f в поле разложения этого многочлена над полем Fq. Тогда [Fq(α): Fq] = m, так, что Fq(α) = Fexp(q,m) и, в частности, α∈Fexp(q,m). 114

Покажем теперь, что если β∈Fexp(q,m) - некоторый другой корень f, то βq также является корнем этого многочлена. Пусть многочлен f представлен в виде f(х) = аmхm +…+а 1х + а0, где аi∈Fq ,0≤i≤m. Тогда, получим f(βq)=аmβqm+…+а1βq+а0=аmqβqm +…+а1qβq + а0q = (аmβm +…+а1β + а0)q = f(β)q = ∅. Поэтому все элементы α, αq, exp(α,exp(q,2)),…, exp(α,exp(q,m-1)) являются корнями f . Остается доказать, что все эти элементы различны. Допустим обратное. Тогда exp(α,exp(q, j)) = exp(α,exp(q, k)) для некоторых целых j и k, 0≤ j< k ≤. m-1. Возводя это равенство в степень qm-k, получим exp(α,exp(q,m-k+j)) = exp(α,exp(q,m)) = α. Из теоремы 57 следует, что многочлен exp(α,exp(q,m-k+j))-х делится на многочлен f(х), что возможно лишь в случае делимости числа m-k+j на m, но поскольку 0< m-k+j< m, это исключено.♦ Из теоремы 58 следует, что если f∈Fq[x]- неприводимый многочлен степени m, то его полем разложения над полем Fq является Fexp(q,m).. Поля разложения любых двух неприводимых многочленов одной и той же степени из кольца Fq[x] изоморфны. Теорема 58 доказана Э.Галуа и выражает следующие факты. Каждое конечное расширение Fexp(q,m) конечного поля Fq является нормальным расширением, т.е. оно обладает тем свойством, что любой неприводимый многочлен из Fq[x], имеющий хотя бы один корень в поле Fexp(q,m) , разлагается в нем на линейные множители. Каждое конечное поле является совершенным полем, т.е. оно обладает следующим свойством: каждый неприводимый над этим полем многочлен имеет лишь простые корни. Определение. ♦ Пусть Fexp(q,m) - расширение поля Fq и пусть α∈Fexp(q,m). Элементы α, αq, exp(α, exp(q,2)),…, exp(α, exp(q, m-1)) тогда называются сопряженными с элементом α относительно поля Fq.♦ Сопряженные с α∈Fexp(q,m) относительно поля Fq элементы различны тогда и только тогда, когда минимальный многочлен элемента α над Fq имеет степень m. Если же это не так, то степень d минимального многочлена элемента α является собственным делителем числа m. Тогда, среди 115

сопряженных с α относительно Fq элементов, различными будут лишь следующие элементы: α, αq, exp(α, exp(q,2)),…, exp(α, exp(q, d-1)), каждый из которых повторяется среди сопряженных элементов m/d exp(α,exp(q,m)) = α. раз, что является следствием равенства Совокупность {α,αq,exp(α,exp(q,2)),…,exp(α,exp(q,m-1))} инвариантна относительно возведения ее членов в степень q. Теорема 59. В конечной циклической группе < g > порядка m элемент gk порождает подгруппу порядка m/НОД(k,m). Элементы, сопряженные с элементом α∈Fq* относительно любого подполя поля Fq, имеют один и тот же порядок в группе Fq*. ♦Положим d=НОД(k,m). Порядок группы - наименьшее натуральное n, такое что gkn =е. Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда число m делит число kn, т.е. если m/d делит n. Наименьшее натуральное число n с таким свойством есть m/d. Поскольку Fq*- циклическая группа, то утверждение теоремы следует из того, что каждая степень характеристики поля Fq взаимно проста с порядком q-1 группы Fq*.♦ Пример 89 ♦ Пусть α∈F16 - корень многочлена f(х)=х4+х+1 из F2[х]. Тогда сопряженными с α относительно поля F2 будут элементы α,α2,α4 = α+1,α8 = α2+1, каждый из которых есть примитивный элемент поля F16. Сопряженными же с α относительно поля F4 будут лишь элементы α и α4 = α+1.♦ Существует тесная связь между сопряженными элементами и автоморфизмами конечного поля (автоморфизмом поля является изоморфизм этого поля с собой). Определение. ♦Пусть Fexp(q,m) - расширение поля Fq. Автоморфизмом σ поля Fexp(q,m) над Fq называется автоморфизм поля Fexp(q,m), оставляющий неподвижными элементы поля Fq♦ Точнее говоря, σ: Fexp(q,m)→ Fexp(q,m) - биекция, такая, что∀а∈Fq σ(а)=а и ∀α,β∈Fexp(q,m) σ(α+β) = σ(α)+σ(β) и σ(αβ) = σ(α)σ(β). Теорема 60. Различными автоморфизмами поля Fexp(q,m) над Fq являются отображения σ0,σ1,…,σm-1, определяемые условиями σj(α)=exp(α, exp(q,j)), где α∈Fexp(q,m), 0≤ j≤. m-1, и только они. ♦Для ∀σj и ∀α,β∈Fexp(q,m) ⇒ σj(α+β)=σj(α)+σj(β) и σj(αβ)=σj(α)σj(β), т.е. σj - гомоморфизм ϕ: Fexp(q,m) →Fexp(q,m). 116

σj(α)=∅ ⇔ α=∅ ⇒ σj - биекция, но так как Fexp(q,m) - конечное множество, то σj - автоморфизм Fexp(q,m). Кроме того, ∀а∈Fq σj(а)=а. Итак, каждое отображение σj есть некоторый автоморфизм поля Fexp(q,m) над Fq. Все отображения σ0, σ1,…, σm-1 различны, поскольку они переводят фиксированный примитивный элемент поля Fexp(q,m) в разные элементы. Теперь предположим, что σ - любой автоморфизм поля Fexp(q,m) над Fq. Пусть β – некоторый примитивный элемент поля Fexp(q,m) и f (х) = хm + аm-1хm-1 +…+ а1х + а0∈Fq[х] – минимальный многочлен элемента β над Fq. Тогда ∅=σ(βm +аm-1βm-1+…+а1β+а0)=σ(β)m+аm-1σ(β)m-1+…+а1σ(β)+а0, так, что элемент σ(β)∈Fexp(q,m) тоже является корнем многочлена f. Из теоремы 58 следует, что σ(β)=exp(β,exp(q,j)) для некоторого j, 0≤ j≤.m-1. Поскольку σ – гомоморфизм, то ∀α∈Fexp(q,m) получаем σ(α)=exp(α,exp(q,j)), т.к. ∀α≠0 представим степенью элемента β.♦ Из теоремы 60 следует, что сопряженные с данным элементом α∈Fexp(q,m) относительно Fq элементы можно получить, действуя на α автоморфизмами поля Fexp(q,m) над Fq. Автоморфизмы поля Fexp(q,m) над полем Fq образуют группу относительно операции композиции отображений. Поэтому из теоремы 60 следует, что эта группа есть циклическая группа Сm порядка m c образующим элементом σ1 . Определение. ♦Автоморфизм σ конечного поля Fexp(q,m) над полем Fq, порождающий все автоморфизмы поля Fexp(q,m) над полем Fq, называется автоморфизмом Фробениуса поля Fexp(q,m) над Fq. Группа автоморфизмов Fexp(q,m) над Fq называется группой Галуа поля Fexp(q,m) над полем Fq.♦ Группа Галуа играет основную роль в теории Галуа, изучающей проблемы разрешимости алгебраических уравнений. Согласно теореме 60 группа Галуа поля Fexp(q,m) над Fq является циклической и, следовательно, Fexp(q,m) - циклическое расширение поля Fq. Рассмотрим конечное расширение F=Fexp(q,m) конечного поля К=Fq как векторное пространство над К. Тогда размерность F над К равна m. Если {α1,α2,…,αm} – базис векторного пространства F над полем K (или базис поля F над К), то каждый элемент α∈F однозначно представим в виде линейной комбинации α = с1α1 + с2α2 +…+ сmαm , сj∈К, 1≤ j≤.m. 117

Существует много различных базисов поля F над полем K, но имеется два особенно важных типа базисов. Определение. ♦ Пусть К = Fq и F = Fexp(q,m) . Базис F над К вида {1,α,α2,…,αm-1}, созданный степенями образующего элемента α поля F как простого расширения поля К, называется полиномиальным базисом (под α понимают примитивный элемент поля F). Базис F над К {α, αq, exp(α, exp(q,2)),…, exp(α,exp(q,m-1))}, состоящий из подходящим образом выбранного элемента α∈F и сопряженных с ним относительно поля К элементов, называется нормальным базисом поля F над К.♦ Пример 90. ♦Пусть f(х)=х3+х2+1∈F2[х] и α∈F8 есть корень этого неприводимого над полем F2 многочлена. Тогда базис {α, α2, 1+α+α2} является нормальным базисом поля F8 над F2 , поскольку 1+α+α2 = α4.♦ Отметим следующие два взаимосвязанные утверждения. 1. Для каждого конечного поля К и его конечного расширения F существует нормальный базис поля F над К. 2. Для каждого конечного поля F существует нормальный базис этого поля над простым подполем, который состоит из примитивных элементов поля F. Рассмотрим поле разложения многочлена хn–1 над конечным полем К, где n – натуральное число. Обобщим понятие корня из единицы, хорошо известное для комплексных чисел. Определение. ♦ Для натурального числа n поле разложения многочлена хn-1над конечным полем К называется n-круговым полем над конечным полем К и обозначается К (n). Корни хn-1∈К (n) называются корнями n-й степени из единицы над К. Множество этих корней обозначается Е (n).♦ Структура множества Е(n) определяется соотношением между числом n и характеристикой поля. Теорема 61. Пусть даны конечное поле К характеристики р и натуральное число n. Тогда выполняются два условия. 1. Если р не делит n, то множество Е (n) является циклической подгруппой порядка n мультипликативной группы поля К(n). 2. Если р делит n и n=mрe (m,е-натуральные числа, р не делит m), то К(n)=К(m), Е(n)=Е(m) и корнями многочлена хn-1в поле К(n) являются m элементов множества Е(m), каждый кратностью рe. 118

♦1. Cлучай n=1 тривиален. Для n≥2 многочлен хn-1 и его производная общих корней не имеют, т.к. nхn-1 имеет единственный корень ∅ в поле К(n). Поэтому многочлен хn-1 не имеет кратных корней и множество Е(n) состоит из n различных элементов. Далее, если ξ,η∈Е(n), то (ξη-1)n = ξn(ηn) -1 = 1, так что ξη-1∈Е(n). Отсюда следует, что Е(n) является мультипликативной группой. Пусть n=exp(р1, е1)…exp(рt, еt) - каноническое разложение числа n. Рассуждение, аналогичное изложенному при доказательстве теоремы 55, приводит к существованию ∀i, 1≤i≤t, элемента αi∈Е(n), который не является корнем многочлена exp(х, n/рi) –1 и элемент βi = exp(αi, n/exp(рi,еi)) имеет порядок exp(рi,еi) и, следовательно, Е(n) – циклическая группа с образующим элементом β =β1 …βt . 2. Это утверждение сразу вытекает из утверждения 1 и равенства хn-1 = exp(х, m*exp(р,е))-1 = exp(хm-1,exp(р,е)).♦ Определение.♦Пусть даны поле К характеристики р и натуральное число n, не делящееся на р. Тогда образующий элемент циклической группы Е(n) называется первообразным или примитивным корнем n-й степени из единицы над полем К.♦ Если р не делит n, то существует ровно ϕ(n) различных корней n-й степени из единицы над полем К (здесь ϕ(n) - функция Эйлера). Пусть ζ - один из них, тогда все первообразные корни n-й степени из единицы над полем К имеют вид ζs, где 1≤s≤n, НОД(s,n) =1. Особый интерес представляют многочлены, корнями которых являются все первообразные корни n-й степени из единицы над полем К и только они. 4.2. Первообразные корни и индексы При (a,m)=1 существуют γ>0, такие, что аγ≡1(mod m). Например, по теореме Эйлера γ = ϕ(m). Определение. ♦ Пусть a,m∈Z+ и (a,m)=1. Тогда наименьшее положительное γ с условием аγ≡1(mod m) называется показателем, которому а принадлежит по модулю m.♦ Нетрудно проверить следующие утверждения. Если а по модулю m принадлежит показателю δ, то числа 1=а0, а1, а2,…, аδ-1 по модулю m несравнимы и сравнение аγ≡аγ ′(mod m) справедливо только тогда, когда γ≡γ′(mod δ). В частности, аγ≡1(mod m) верно 119

лишь в случае делимости γ на δ. Из аϕ(m)≡1(mod m) и п.2 (при γ′=0) следует делимость ϕ(m) на δ. Таким образом, показатели, которым числа принадлежат по модулю m являются делителями ϕ(m). Наибольший из этих делителей есть само ϕ(m). Определение.♦Числа, принадлежащие показателю ϕ(m), если такие существуют, называются первообразными корнями по модулю m.♦ Отметим, что все случаи, когда существуют первообразные корни по модулю m>1, это m = 2, 4, рα и 2рα. Пусть р,α a,m∈Z+ , где р – простое нечетное число и α>1. Следующие две теоремы посвящены обоснованию существования первообразных корней по модулям р, рα и 2рα. Теорема 62. Если х по модулю m принадлежит показателю аb, то тогда хa принадлежит показателю b. Если х и у по модулю m принадлежат соответственно показателям а и b, причем (а,b)=1, то ху по модулю m принадлежит показателю аb. ♦1. Пусть хa принадлежит показателю δ, т.е. (хa)δ≡1(mod m). Тогда хaδ≡1(mod m) и аδ делится на аb, откуда δ делится на b. С другой стороны хab≡1(mod m), откуда (хa)b≡1(mod m) и следовательно, b делится на δ. Поэтому b=δ. 2. Пусть ху принадлежит показателю δ. Тогда (ху)δ≡1(mod m). Отсюда Тогда хbδуbδ≡1(mod m) и хbδ≡1(mod m). Поэтому, bδ делится на а и, ввиду (а,b)=1, δ делится на а. аналогично находм делимость δ на b. Делясь же на а и b, ввиду (а,b)=1, δ делится на аb. С другой стороны, из (ху)ab≡1(mod m) следует, что аb делится на δ. Поэтому δ=аb. Теорема доказана. ♦ Теорема 63. Существуют первообразные корни по модулю простого числа р. Пусть g - первообразный корень по модулю р. Можно указать t с условием, что u, определяемое равенством (g+pt)p1 =1+pT0, не делится на p. Соответствующее g+pt будет первообразным корнем по модулю рα при любом α≥1. Пусть α≥1 и g1 - первообразный корень по модулю рα. Тогда нечетное из чисел g1 и g1+рα будет первообразным корнем по модулю 2рα.

120

♦1. Пусть δ1,δ2,..,δr (21) - все различные показатели, которым по модулю р принадлежат числа 1,2,…, р-1. Пусть τ - НОК(δ1,δ2,..,δr) и τ=q1α1q2α2…qkαk - его каноническое разложение. Каждый множитель qsαs этого разложения делит по меньшей мере одно число δj ряда (21), которое, следовательно, может быть представлено в виде δj=аqsαs. Пусть ζj - одно из чисел 1,2,…, р-1, принадлежащих показателю δj. Согласно п.1 теоремы 62 число ηj=ζaj принадлежит показателю αs qs , а согласно п.2 произведение g=η1η2…ηk принадлежит показателю q1α1q2α2…qkαk=τ. Но поскольку числа (21) делят τ, все 1,2,…, р-1 являются решениями сравнения хτ≡1(mod р). Поэтому имеем р-1≤τ. Но τ есть делитель р-1. Поэтому τ = р-1 и g является первообразным корнем по модулю р. 2. Имеем (g+pt)p-1=1+pT0, (g+pt)p-1=1+p(T0-gp-2t+pT)=1+pи1, (22) где и1 одновременно с t пробегает полную систему вычетов по модулю р. Тогда можно указать t с условием, что и1 не делится на р. При указанном t из (22) выводим также ⎧(g+pt)p(p-1) = (1+pи)p = 1+p2и2, ⎨(g+pt)pр(p-1) = (1+p2и2)p = 1+p3и3, (23) ⎩ …….. где и2, и3,… не делятся на р. Пусть g+pt по модулю рα принадлежат показателю δ. Тогда (g+pt)δ≡1(mod рα). (24) Отсюда (g+pt)δ≡1(mod р) и, следовательно, δ кратно р-1. Поскольку δ делит ϕ( рα)=рα-1(р-1), то δ=рr-1(р-1), где r - одно из чисел ряда 1, 2, … , α. Заменяя левую часть сравнения (24) ее выражением из соответствующего из равенств (22) и (23), получим 1+prиr ≡1(mod рα), pr ≡0(mod рα), r = α, δ = ϕ(рα), т.е. g+pt – первообразный корень по модулю р. 3. Всякое нечетное х, удовлетворяющее одному из сравнений γ х ≡1(mod рα) и хγ≡1(mod 2рα), очевидно, удовлетворяет и другому. Поэтому ввиду ϕ(рα) = ϕ(2рα) всякое нечетное х, являющееся первообразным корнем по одному из модулей рα и 2рα, является пер121

вообразным и по другому модулю. Но из двух первообразных корней g1 и g1+рα по модулю рα один - непременно нечетный, следовательно, он будет первообразным корнем и по модулю 2рα.♦ Первообразные корни по модулям рα и 2рα, где р - простое нечетное число и α≥1, можно разыскивать, пользуясь следующей теоремой. Теорема 64. Пусть с=ϕ(m) и q1,q2,…,qk - различные простые делители числа с. Для того, чтобы число g, взаимно простое с m, было первообразным корнем по модулю m, необходими и достаточно, чтобы это g не удовлетворяло ни одному из сравнений gc/q1≡1(mod m), gc/q2≡1(mod m),…, gc/qk≡1(mod m). (25) ♦Действительно, если число g - первообразный корень, то тем самым оно принадлежит показателю с и, следовательно, ни одному из сравнений (25) удовлетворять не может. Обратно, допустим, что g не удовлетворяет ни одному из сравнений (25). Если бы показатель δ, которому принадлежит g, оказался меньше с, то, обозначая символом q один из простых делителей с/δ, мы имели бы с/δ=qи, с/q=δи, gc/q≡1(mod р), что противоречит нашему допущению. Следовательно, δ=с и g есть первообразный корень.♦ Пример 91.♦ Пусть m=41. Имеем ϕ(m)=40=23*5, 40/5=8, 40/2=20. Следовательно, для того, чтобы число g, не делящееся на 41, было первообразным корнем по модулю 41, необходими и достаточно, чтобы это g не удовлетворяло ни одному из сравнений g8≡1(mod р), g20≡1(mod 41). (26) Испытывая, числа 2, 3, 4, … , находим (по модулю 41) 28≡10, 38≡1, 48≡18, 58≡18, 68≡10, 220≡1, 420≡1, 520≡1, 620≡40. Отсюда следует, что числа 2,3,4,5 не являются первообразными корнями, т.к. каждое из них не удовлетворяет, по крайней мере, одному из сравнений (26). В же время число 6 - первообразный корень по модулю 41, так как оно не удовлетворяет ни одному из сравнений (26).♦ Пример 92.♦ Пусть m=1681=412. Первообразный корень здесь можно было бы найти, пользуясь общим подходом. Но мы найдем его проще, применяя п.2 теоремы 63. Зная уже (пример 88), что первообразный корень по модулю 41 есть 6, находим 122

640=1+41(3+41l), (6+41t)40=1+41(3+41l - 639t + 41T) = 1+41и, Чтобы и не делилось на 41, достаточно взять t=0. Поэтому в качестве первообразного корня по модулю 1681 можно взять число 6+41*0=6.♦ Пример 93.♦ Пусть m=3362=2*1681=2*412. Первообразный корень и здесь можно было бы найти, пользуясь общим подходом. Но мы найдем его проще, применяя п.3 теоремы 63. Зная уже (пример 89), что первообразный корень по модулю 1681 есть 6, в качестве первообразного корня по модулю 3362 можно взять нечетное число из чисел 6 и 6+412, т.е. число 1687.♦ Пусть р≥3 - простое число, α≥1, m - одно из чисел рα и 2рα, с=ϕ(m), g - первообразный корень по модулю m. Если γ пробегает наименьшие неотрицательные вычеты γ=0,1,…, с-1 по модулю с, то gγ пробегает приведенную систему вычетов по модулю m. Это следует из того, что gγ пробегает с чисел, взаимно простых с m, и не сравнимых с m. Для чисел а, взаимно простых с m, введем понятие об индексе, представляющее аналогию понятия о логарифме. При этом первообразный корень играет роль основания логарифмов. Определение.♦ Если а≡gγ(mod m) при γ≥0, то γ называется индексом числа а по модулю m при основании g и обозначается символом γ = ind а (точнее γ = indg а).♦ Всякое а, взаимно простое m, имеет некоторый единственный индекс γ′ среди чисел ряда γ = 0,1,2,…, с-1. Зная γ′, можно указать и все индексы числа а. Нетрудно заметить, что это будут все неотрицательные числа класса γ ≡ γ′(mod с). Из определения индекса следует - числа с индексом γ образуют класс чисел по модулю m. Теорема 65. Имеем ind аb…l≡ind а + ind b +…+ ind l(mod c) и, в частности, ind аn ≡ n*ind а(mod c). ♦Имеем а≡gind a(mod m), b≡gind b(mod m), …, l≡gind l(mod m), откуда, перемножая сравнения, находим аb…l ≡ gind a+ind b+…+ind l(mod m). Следовательно, ind а + ind b +…+ ind l является одним из индексов произведения аb…l.♦ Ввиду практической пользы индексов для каждого простого модуля р (разумеется, не слишком большого) составлены таблицы индексов. Это две таблицы. Одна - для нахождения индекса по чис123

лу, другая - для нахождения числа по индексу. Таблицы содержат наименьшие неотрицательные вычеты чисел (приведенная система) и их наименьших индексов (полная система) соответственно по модулям р и с = ϕ( р) = р-1. Теорема 66. Пусть р - простое нечетное число, α ≥1, m - одно из чисел вида рα и 2рα, с=ϕ(m) и (n,с)=d. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Сравнение хn ≡ а(mod m). (27) разрешимо (и тем самым а есть вычет степени n по модулю m) тогда и только тогда, когда ind а кратен d. Число а есть вычет степени n по модулю m тогда и только тогда, когда аc/d≡1(mod m). (28) 2. В приведенной системе вычетов по модулю m число вычетов степени n есть с/d. ♦1. Сравнение (27) равносильно такому: (29) n*ind х ≡ ind а(mod c), которое согласно теореме 88 разрешимо ⇔ ind а кратен n. Условие ind а ≡ 0(mod d) равносильно следующему с/d*ind а ≡ 0(mod с). Последнее равенство же равносильно сравнению (28). 2. Среди чисел 0, 1, 2, … , с-1, являющихся наименьшими индексами вычетов приведенной системы по модулю m, имеется всего с/d, кратных d. Теорема доказана.♦ Пример 94.♦Для сравнения х8 ≡ 23 (mod 41) имеем (8, 40) = 8. ind6 23 = 36 не делится на 8, поэтому сравнение неразрешимо.♦ Пример 95.♦Для сравнения х12 ≡ 37(mod 41) (30) имеем (12,40)=4, причем ind6 37 = 32 делится на 4, поэтому сравнение разрешимо и имеет 4 решения. Указанные решения найдем следующим образом. Сравнение (30) равносильно таким: 12 ind6 х ≡ 32(mod 40), ind6 х ≡ 6(mod 10). Отсюда для ind х найдем 4 несравнимых по модулю 40 значения: ind6 х = 6, 16, 26, 36, соответственно чему найдем 4 решения сравнения (30) х ≡ 39, 18, 2, 23(mod 41).♦ Пример 96.♦Числа {1, 4, 10, 16, 18, 23, 25, 31, 37, 40}, (31) 124

индексы которых кратны 4, есть все биквадратичные вычеты (или также все вычеты любой степени n=12, 28, 36, … , где (n, 40) = 4), имеющиеся среди наименьших положительных вычетов по модулю 41. Количество чисел множества (31) есть 10 = 40/4.♦ Пример 97.♦В теореме 63 невозможность решения сравнения gc/q≡1(mod m) равносильна условию , что g – невычет степени q по модулю m. В частности, невозможность gc/2≡1(mod m) равносильна условию, что g – квадратичный невычет по модулю m.♦ Теорема 66. Показатель δ, которому а принадлежит по модулю m, определяется равенством (indа,c)=с/δ. В частности, принадлежность а, к числу первообразных корней по модулю m определяется равенством (ind а,c)=1. В приведенной системе вычетов по модулю m число чисел, принадлежащих показателю δ, есть ϕ(δ). В частности, число первообразных корней есть ϕ(с)= ϕ(ϕ(δ)). ♦1.Действительно, δ есть наименьший делитель с с условием аδ≡1(mod m). Это условие равносильно сравнению δind а≡0(mod с) или ind а≡0(mod с/δ). Значит, δ - наименьший делитель с, при котором с/δ делит ind а, отсюда с/δ - наибольший делитель с, делящий ind а, т.е. с/δ=( ind а, с). 2. Среди наименьших индексов вычетов приведенной системы по модулю m (0, 1, … , с-1), кратными с/δ являются числа вида у*с/δ, где у = 0, 1, … , δ-1. Условие (ус/δ, с)= с/δ равносильно условию (у,δ)=1, которому удовлетворяют ϕ(δ) значений у. Теорема доказана.♦ Пример 98.♦В приведенной системе вычетов по модулю 41 числами, принадлежащими показателю 10, являются числа а с условием (ind6а,40)=40/10=4, т.е. числа 4, 23, 25, 31. Число этих чисел равно 4=ϕ(10).♦ Пример 99.♦В приведенной системе вычетов по модулю 41 первообразными корнями есть числа а с условием (ind6 а, 40)=1, т.е. числа 6, 7, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 34, 35. Число этих первообразных корней есть 16 = ϕ(40)= ϕ(ϕ(41)).♦

125

Определение. ♦ Пусть даны поле К характеристики р, натуральs ное число n, не делящееся на р, и ζ - первообразный корень n-й степени из единицы К. Тогда многочлен Qn(x) = Π(x-ζ s), где s∈К, НОД(s,n) =1 называется n-круговым многочленом над полем К.♦ Ясно, что Qn(x) не зависит от выбора элемента ζ. Его степень равна ϕ(n), а коэффициенты принадлежат n-круговому полю К. Несложные рассуждения показывают, что они даже принадлежат простому подполю поля К). Будем использовать символ Πd\ n для обозначения произведения, распространяющегося на все делители d натурального числа n. Теорема 67. Пусть К является конечным полем характеристики р, n - натуральное число, не делящееся на р, и d - делитель n, 1≤d< n. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. хn-1 = Πd\ nQd(x); 2. коэффициенты n-кругового многочлена Qn(x) принадлежат простому подполю поля К, если р - простое число; 3. n-круговой многочлен Qn(x) (если, конечно, он определен над рассматриваемым полем) делит многочлен (хn-1)( хd-1)-1. ♦ Докажем п.1. следующим образом. Каждый корень n-й степени из единицы над К является первообразным корнем d-й степени из единицы над К ровно для одного натурального делителя числа n. А именно, если ζ s – любой корень n-й степени из единицы над К (где ζ есть некоторый первообразный корень n-й степени из единицы над К ), то указанное число d равно n/НОД(s,n), т.е. d есть порядок элемента ζs в группе Е(n). Поскольку хn-1 = Π(x-ζ s), где 1≤s≤n, то формула в утверждении 1 получается включением только множителей (x-ζ s), для которых ζs является первообразным корнем d-й степени из единицы над К (для каждого делителя числа n). Докажем п.2. индукцией по n. Отметим, что Qn(x) является нормированным многочленом. Для n=1утверждение справедливо, т.к. имеем Q1(x) = х-1. Пусть теперь n>1 и допустим, что утвержение справедливо для всех Qd(x), 1≤ d< n. Тогда, ввиду утверждения 1, получаем, что Qn(x) = (хn-1)/f(x), где f(x) = Πd\ nQd(x), d< n. 126

Из индукционного предположения следует, что коэффициенты нормированного многочлена f(x) принадлежат простому подполю поля К. Если использовать обычное деление “уголком” многочлена хn-1 на f(x), легко убедиться, что коэффициенты многочлена Qn(x) также принадлежат простому подполю поля К. Пункт 3 теоремы 67 следует из п.1. Известно, что Qn(x) делит многочлен (хn-1) = ( хd-1)(хn-1)( хd-1)-1. Поскольку d - собственный делитель числа n, то многочлены Qn(x) и ( хd-1) не имеют общих корней, отсюда НОД(Qn(x), (хd-1))=1, что доказывает утверждение п.3 теоремы.♦ Пример 100. ♦ Пусть r - простое число и k - натуральное число. Согласно утверждению 1 теоремы 67 Qexp(r,k)(x) = (exp(х,exp(r, k))-1)/ Q1(x) Qr(x)… Qexp(r,k-1)(x) = = (exp(х,exp(r, k))-1)/(exp(х,exp(r, k-1))-1). Отсюда следует, что Qexp(r,k)(x) = 1 + exp(х,exp(r,k-1)) + exp(х,exp(2r,k-1))+ … + + exp(х,exp((r-1)r, k-1)). В случае k=1 имеем Qr(x) = 1 + х + х2 + …+ хr-1.♦ В приложениях к конечным полям полезны некоторые свойства круговых многочленов. Теорема 68. Круговое поле К(n) является простым алгебраическим расширением поля К. ♦Если существует ζ - первообразный корень n-й степени из единицы над К, то К(n) = К(ζ). В противном случае К является полем простой характеристики р, делящей число n. Используя п. 2 теоремы 30, получим К(n) = К(m), где n = mpe, НОД(m, p)=1. Поэтому, снова К(n) = К(ζ), поскольку существует ζ - первообразный корень m-й степени из единицы над К. ♦ Если К=Q, (в качестве К рассматривается поле рациональных чисел Q), то [К(n):К] = ϕ(n), причем круговой многочлен Qn(x) неприводим над К. Если же К = Fq и НОД(q,n)=1, то [К(n):К] = d, где d – наименьшее натуральное число, такое что qd ≡1(mod n). При этом круговой многочлен Qn(x) разлагается в произведение ϕ(n)/d различных нормированных неприводимых многочленов из К[х] одной и той же степени d и К(n) является полем разложения каждого из этих многочленов. 127

Пример 101. Пусть К=F11 и Q12(x)=х4+х2+1∈F11[х]. Решением сравнения qd≡1(mod n) при q=11 и n=12 является d=2. Разложение Q12(x) на неприводимые сомножители в кольце F11[х] имеет вид Q12(x)=(х2+5х+1)(х2-5х+1). Круговым полем К(12) является Fexp(11,2)[х] = F121[х].♦ Следующее утверждение устанавливает дальнейшую связь между круговыми и конечными полями. Теорема 69. Конечное поле Fq является (q-1)-круговым полем над любым из своих подполей. ♦Многочлен хq-1 вполне разлагается в поле Fq, так как его корнями являются все ненулевые элементы поля Fq. С другой стороны, этот многочлен не может вполне разлагаться ни в каком собственном подполе поля Fq. Следовательно, Fq является полем разложения многочлена хq-1 над любым из его подполей.♦ Fq* является циклической группой порядка q-1, поэтому для любого положительного делителя n числа q-1 существует циклическая подгруппа {1,α,α2,…, αn-1} группы Fq* порядка n. Все элементы этой подгруппы являются корнями n-й степени из единицы над любым подполем поля Fq, а ее образующий элемент α является примитивным корнем n-й степени из единицы над любым подполем поля Fq. Рассмотрим способы представления элементов конечного поля Fq из q= рn элементов, где р - характеристика Fq. Первый способ основан на использовании того, что поле Fq является простым алгебраическим расширением простого поля Fр. Действительно, если f(х) – неприводимый многочлен n-й степени, то любой корень α принадлежит полю Fexp(p,n)=Fq и поэтому Fq=F(α) . Значит, каждый элемент поля Fq можно однозначно представить в виде значения некоторого многочлена от х над полем Fр степени, не большей n-1, при х = α. Можно также рассматривать поле Fq как факторкольцо Fр[х]/(f). Пример 102. ♦Опишем представление элементов поля F9. Рассмотрим F9 как простое алгебраическое расширение степени 2 поля F3 на основе присоединения корня α неприводимого над F3 квадратного многочлена, например, f(х)=х2+1∈F3[х]. Тогда f(α)=α2+1=∅ в поле F9 и девять элементов этого поля можно задать в виде а0+а1α, где а0, а1∈F3. Точнее, 128

F9 = {∅, 1, 2, α, 1+α, 2+α, 2α, 1+2α, 2+2α}. Таблицы Кэли операций для F9 можно построить также, как и в примере 75, причем корень α играет здесь ту же роль, какую там играл класс вычетов [х].♦ Второй способ представления элементов поля Fq основан на применении теорем 68 и 69. Поле Fq является (q-1)-круговым полем над Fр, поэтому Fq можно построить, найдя разложение в кольце Fр[х] (q-1)-кругового многочлена Qq-1(x)∈Fр[х] на неприводимые сомножители (все они имеют одну и ту же степень). Любой корень каждого из этих многочленов является тогда первообразным корнем (q-1)-й степени из единицы над Fр, т.е. и примитивным элементом поля Fq. Таким образом поле Fq состоит из нуля и степеней этого элемента. Пример 103.♦Опишем представление элементов поля F9. Отметим, что F9 = F3(8), т.е. поле F9 является 8-круговым полем над полем F3. Следуя методу, изложенному в примере 100 получаем: Q8(x) = (exp(х,exp(2,3)-1))/( exp(х,exp(2,2)-1) = (х8-1)/( х4-1) = = х4 +1∈F3[х]. Легко проверить, что разложение в F3[х]многочлена Q8(x) на неприводимые сомножители выглядит следующим образом: Q8(x) = (х2 + х +2)( х2 + 2х +2). Пусть ζ - корень многочлена (х2 + х +2), тогда он является первообразным корнем 8-й степени из единицы над F3. Поскольку F9 = F3(ζ), то любой ненулевой элемент поля F9 можно представить соответствующей степенью элемента ζ , так что F9 = {∅, ζ, ζ2 , ζ3 , ζ4 , ζ5 , ζ6 , ζ7 , ζ8}. Иногда при таком способе представления элементов поля Fq для удобства вводят формальный символ *, такой, что ζ*=∅. Тогда любой элемент β поля Fq представляется в виде ζb, где b - либо символ *, либо вычет по модулю q-1. Ненулевые элементы поля F9 можно свести в таблицу индексов, в которой указываются значения степени ζi, соответствующие показателю i. Для установления связи с предыдущим методом представления из примера 102 отметим, что корнем многочлена х2+х+1∈F3[х] является элемент ζ = 1+α, где α2 +1 = ∅ (т.е. α - корень многочлена 129

х2+1, как в примере 102). Поэтому таблица индексов для поля F9 имеет вид, приведенный в табл. 14. Таблица 14 1 2 3 4 5 6 7 8 i i 2 1 ζ 1+α 2α 1+2α 2+2α α 2+α Из табл. 14 видно, что мы получили те же самые элементы, что и примере 102, только в другом порядке.♦ Третий способ представления элементов конечного поля Fq осуществляется с помощью матриц. Определение. ♦ Пусть f(х)=а0+а1х+…+аn-1хn-1+хn является нормированным многочленом положительной степени n над некоторым конечным полем. Его сопровождающей матрицей называется следующая квадратная матрица порядка n: ⎛ 0 0 0 … 0 -а0 ⎞ ⎜ 1 0 0 … 0 -а1 ⎜ А = ⎜ 0 1 0 … 0 -а2 ⎜ ⎜ … ⎜ ⎝ 0 0 0 … 0 -аn-1 ⎠♦ Из линейной алгебры известно, что матрица А удовлетворяет уравнению f(А) = ∅, где f(А) является “значением ” многочлена f(х) при х=А. Будем называть f(А) многочленом от матрицы А, т.е. f(А) = а0I + а1A + аn-1A n-1 + An = ∅, где I - единичная матрица, а ∅ - нулевая квадратная матрица порядка n. Следовательно, если А – сопровождающая матрица нормированного неприводимого многочлена f и deg(f) над простым полем Fр, то f(А) = ∅ и поэтому матрица А может играть роль “корня” многочлена f. Отсюда следует, что элементы поля Fexp(p,n) представляются всевозможными многочленами над полем Fр от матрицы А степеней, меньших n. Пример 104. ♦Пусть , как и в примере 102, задан многочлен f(х)=х2+1∈F3[х]. Сопровождающей матрицей этого многочлена является матрица А=⎛02 ⎞ ⎝10 ⎠ Следовательно, поле F9 можно представить следующим образом F9 = {∅, I, 2I, A, I+A, 2I+A, 2A, I+2A, 2I+2A} 130

или в явном виде ∅ = ⎛0 0 ⎞ I = ⎛1 0 ⎞ 2I = ⎛2 0 ⎞ ⎝0 0 ⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 2⎠ А = ⎛0 2 ⎞ I+А = ⎛1 2 ⎞ 2I+А = ⎛2 2 ⎞ ⎝1 0 ⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎝1 2 ⎠ 2А = ⎛0 1 ⎞ I+2А = ⎛1 1⎞ 2I+2А = ⎛2 1 ⎞ ⎝2 0 ⎠ ⎝2 1 ⎠ ⎝2 2 ⎠ Если поле F9 задано таким образом, то вычисления в этом поле проводятся по обычным правилам алгебры матриц, например, (2I+А)(I+2А) = ⎛2 2⎞ ⎛1 1 ⎞ = ⎛0 1 ⎞ = 2А ♦. ⎝1 2⎠⎝2 1 ⎠ ⎝2 0 ⎠ Метод, основанный на разложении кругового многочлена Qq-1(x) на неприводимые сомножители в кольце Fр[х], также может быть приспособлен к представлению поля Fq матрицами. Пример 105. ♦ Как и примере 100, пусть h(х)=х2+х+2∈F3[х] есть неприводимый делитель кругового многочлена Q8(x)∈F3[х]. Сопровождающей матрицей многочлена h(х) является матрица С=⎛01 ⎞ ⎝12 ⎠ Тогда поле F9 может быть представлено следующим образом F9 = {∅, С, С2, С3, С4, С5, С6, С7, С8} или в явном виде ∅ = ⎛0 0 ⎞ С = ⎛0 1 ⎞ С2 = ⎛1 2 ⎞ ⎝0 0 ⎠, ⎝1 2 ⎠, ⎝2 2 ⎠, 3 4 5 С = ⎛2 2 ⎞ С = ⎛2 0 ⎞ С = ⎛0 2 ⎞ ⎝2 0 ⎠, ⎝0 2 ⎠, ⎝2 1 ⎠, С6 = ⎛2 1⎞ С7 = ⎛1 1⎞ С8 = ⎛1 0 ⎞ ⎝1 1⎠, ⎝1 0 ⎠, ⎝0 1⎠. Вычисления проводятся по правилам алгебры матриц, например, С3 + С5 = ⎛2 2⎞ + ⎛0 2⎞ = ⎛2 1 ⎞ = С6.♦ ⎝2 0⎠ ⎝2 1 ⎠ ⎝1 1 ⎠ 4.3. Многочлены над конечными полями Теория многочленов над конечными полями важна как для исследования алгебраической структуры конечных полей, так и для приложений. Особую роль играют неприводимые многочлены – 131

простые элементы кольца многочленов над конечным полем. Они необходимы как для построения самого конечного поля, так и для вычислений с элементами этого поля. У каждого ненулевого многочлена f(x) над конечным полем Fq кроме его степени deg(f) имеется еще одна важная целочисленная характеристика – его порядок. Определение порядка многочлена основывается на следующем факте. Если f(x)∈Fq[х] – многочлен степени m≥1, удовлетворяющий m условию f(0)≠0, то существует натуральное число е≤ q -1, для кое торого двучлен х -1 делится на f(x). Это легко показать с учетом m того, что в факторкольце Fq[х]/(f) содержится q -1 ненулевых элементов, т.е. классов вычетов по модулю идеала (f). Многочлен х-1 делится на любой ненулевой постоянный многочлен, поэтому в следующее определение надо включить и постоянные многочлены. Определение.♦Пусть задан ненулевой многочлен f(x)∈Fq[х] и f(0)≠0, тогда наименьшее натуральное число е, для которого мное гочлен f(x) делит х -1, называется порядком (или периодом, или экспонентой) многочлена f(x) и обозначается ord(f) = ord(f(x)). Если же f(0)=0, то многочлен f(x) однозначно представим в виде h f(x)=х g(x), где g(x)∈Fq[х], g(0)≠0 и h – натуральное число. В этом случае порядок ord(f) многочлена f определяется как ord(g).♦ Теорема 70. Пусть f(х)∈Fq[х]- неприводимый многочлен степени m, удовлетворяющий условию f(0)≠0, тогда порядок этого многочлена совпадает с порядком любого корня этого многочлена в мультипликативной группе F*exp(q,m) поля Fexp(q,m). ♦Как отмечалось ранее Fexp(q,m) является полем разложения многочлена f(х) над полем Fq. Все корни многочлена согласно теореме 64 имеют один и тот же порядок в группе F*exp(q,m). Пусть α∈F*exp(q,m) - произвольный корень многочлена f(х). Как ранее е отмечалось, равенство α =1 выполняется только в том случае, если е многочлен f(х) делит х -1. Утверждение теоремы следует теперь из определений ord(f) и порядка элемента α в группе F*exp(q,m).♦

132

Из теоремы 70 следует, что если f(х)∈Fq[х] является неприводимым многочленом степени m над полем Fq, то его порядок делит m число q -1. С помощью теоремы 34 также можно получить формулу для числа нормированных многочленов данной степени и данного порядка. Символом ϕ снова будем обозначать функцию Эйлера. Определение.♦Пусть n - натуральное и b – целое числа, причем (n, b)=1. Тогда наименьшее натуральное число k, для которого k b ≡1(mod n), называется показателем, которому принадлежит число b по модулю n (или мультипликативным порядком числа b по модулю n).♦ Теорема 71. Число нормированных неприводимых многочленов степени m и порядка е из Fq[х] равно ϕ(е)/m, если е≥2, а m – показатель, которому принадлежит q по модулю е. Число указанных многочленов равно 2, если m = е =1, и равно 0 во всех остальных случаях. В частности, степень неприводимого многочлена из Fq[х] порядка е должна совпадать с показателем, которому принадлежит число q по модулю е. ♦Пусть f(х) – неприводимый многочлен из Fq[х] и f(∅)≠ 0. Тогда по теореме 70 ord(f)=е в том и только том случае, если все корни могочлена f являются первообразными корнями степени е из единицы над полем Fq, т.е. если делит f круговой многочлен Qе. Согласно теореме 68 все нормированные делители многочлена Qе имеют одну и ту же степень, которая является мультипликативным порядком числа q по модулю е. Число таких делителей равно ϕ(е)/m. Для m=е=1 надо учесть также номированный неприводимый многочлен f(х) = х.♦ Значения порядков многочленов удобно представить в виде таблицы, по крайней мере для неприводимых многочленов. Как отмечалось ранее, порядок многочлена степени m≥1 над полем Fq не m превосходит числа q -1. Эта граница достигается для важного класса многочленов, а именно для примитивных многочленов. Определение.♦Примитивным многочленом над полем Fq называется многочлен f(х)∈Fq[х] степени m≥1, если он является минимальным многочленом над Fq некоторого примитивного элемента расширения Fexp(q,m) поля Fq.♦ 133

Тогда примитивный многочлен над полем Fq степени m - это нормированный многочлен, неприводимый над Fq и имеющий корень α∈Fexp(q, m). α является образующим мультипликативной группы F*exp(q, m) поля Fexp(q, m). Теорема 72. Нормированный многочлен f(х)∈Fq[х] степени m является примитивным многочленом над Fq в том и только том m случае, если f(0)≠0 и ord(f)= q -1. ♦ Если f является примитивным многочленом над Fq, то он есть нормированный многочлен, удовлетворяющий условию f(0)≠0. f(х) неприводим над Fq и его корень является примитивным элементом расширения Fexp(q,m) поля Fq. Поэтому согласно теореме 70 m ord(f) = q -1.♦ Напомним, что многочлен f(х)∈Fq[х] неприводим над полем Fq, если deg(f)>0 и любое его разложение на множители в кольце Fq[х] обязательно содержит постоянный многочлен. Теорема 73. Если даны поле Fq и натуральное число n, то произведение всех нормированных неприводимых многочленов над Fq, m n степень которых делит n, равно х - х, где m=q . Если Nq(d) - число нормированных неприводимых многочленов n степени d над Fq, то q = Σd\ n dNq(d) для всех натуральных n, где сумма берется по всем положительным делителям d числа n. m ♦ По теореме 62 каноническое разложение многочлена g(х)=х -х в кольце Fq[х] содержит только те нормированные неприводимые многочлены над Fq, степень которых делит число n. В связи с тем, что g′ (х)= -1, многочлен g(х) в его поле разложения над Fq не имеет кратных корней. Поэтому, каждый нормированный неприводимый над Fq многочлен, степень которого делит n, входит ровно один раз в каноническое разложение многочлена g(х) в кольце Fq[х]. Тождество теоремы доказывается путем сопоставления степени m многочлена g(х)=х -х с полной степенью его канонического разложения на неприводимые сомножители.♦ На основании теоремы 73 можно оценить число нормированных неприводимых многочленов фиксированной степени из Fq[х]. Для этого потребуется одна арифметическая функция Мебиуса. 134

Определение.♦Функция Мебиуса μ(n) определяется на N: ⎧1 n=1; k μ(n)=⎨(-1) , n – произведенеие k различных множителей; 2 ⎩0 n=mp , n делится на квадрат простого числа. ♦ Теорема 74 (формула обращения Мебиуса). Пусть h(n) и H(n) две функции из множества натуральных чисел в некоторую абелеву группу с операцией сложения. Тогда равенство для всех натуральных n (32) H(n) = Σd\ n h(d) выполняется только том случае, если справедливо равенство h(n) = Σd\ n μ(n/d)H(d) = Σd\ n μ(d)Н(n/d) для всех n. (33) Число Nq(n) нормированных неприводимых многочленов степени n в кольце Fq[х] задается следующей формулой -1 d -1 n/d Nq(n) = n Σd\ n μ(n/d) q = n Σd\ n μ(d)q . (34) ♦Легко показать, что функция μ(n) удовлетворяет соотношению Σd\ n μ(d) = 1 (при n=1), 0 (при n>1). (35) Для доказательства равенства (33) используем равенство (34), считая выполненным равенство (32). Тогда для всех чисел n имеем:

Σd\ n μ(n/d)H(d) = Σd\ n μ(d)Н(n/d) = Σd\ n μ(d) Σc\ (n/d) h(c) = = Σc\ n Σd\ (n/c) μ(d)h(c) = Σc\ nh(c)Σd\ (n/c)μ(d) = h(n). Обратное утверждение (32) доказывается аналогично. Для доказательства (34) применим (32) и (33) к аддитивной группе n целых чисел G=(Z,+). Пусть ∀n∈N будет h(n) = nNq(n) и H(n) = q . Тогда из теоремы 73 следует формула (32) и из (33) вытекает справедливость утверждения (34).♦ Пример 106. ♦ Число нормированных неприводимых многочленов степени 10 в кольце F2[х]равно -1 d N2(10) = 10 Σd\ 10 μ(10/d)2 = -1 1 2 5 10 = 10 [μ(10/1)2 +μ(10/2)2 +μ(10/5)2 +μ(10/10)2 ] = -1 1 2 5 10 = 10 [μ(2*5)2 + μ(5)2 + +μ(2)2 + μ(1)2 ] = -1 1 2 5 10 -1 = 10 [2 - 2 - 2 + 2 ] = 10 [2-4-32+1024] = -1 = 10 *990 = 99.♦ 135

Оценим насколько быстро растет число нормированных неприводимых многочленов Nq(n). В табл. 15 приведены данные для N7(n). Через W7(n) обозначено общее число нормированных многочленов степени n. Таблица 15 W7(n) N7(n) N7(n)/W7(n) n 1 7 7 1,000000 2 49 21 0,428571 3 343 112 0,326531 4 2.401 588 0,244898 5 16.807 3.360 0,199917 6 117.649 19.544 0,166121 7 823.543 117.648 0,142856 Следует отметить, что из формулы (34) теоремы 74 можно получить еще одно доказательство существования хотя бы одного неприводимого многочлена степени n в кольце Fq[х] для любого натурального числа n и конечного поля Fq. А именно, учитывая, что μ(1)=1 и μ(d)≥-1 для всех натуральных чисел d, получаем -1 n n-1 n-2 -1 n n Nq(n) ≥ n (q - q - q - …- q) = n [q – (q - q)/( q-1)]>0. В качестве другого применения формул обращения Мебиуса получим формулу для n-кругового многочлена. Для этого нужна мультипликативная запись формул обращения при условиях теоремы 74 H(n) = Πd\ n h(d) для всех натуральных n (36) μ(n/d)

μ(d)

h(n) = Πd\ nH(d) = Πd\ nН(n/d) для всех n. (37) Теорема 75. Для поля К характеристики р и натурального числа n, не делящегося на р, n-круговой многочлен над К имеет вид d μ(n/d) n/d μ(d) Qn(х) = Πd\ n(х -1) = Πd\ n( х -1) . ♦Применим мультипликативный вариант формул обращения Мебиуса к мультипликативной группе G ненулевых рациональных n функций над полем К. Пусть ∀n∈N h(n) = Qn(х) и H(n)=х -1. Тогда из утверждения 2 теоремы 67 следует (36), а из (37) получаем утверждение теоремы.♦

136

Пример 107.♦ Для полей К, над которыми определен круговой многочлен Q15(х), получаем следующее выражение для этого многочлена: /d μ(d) μ( ) μ( ) μ( ) μ( ) Q15(х)=Πd\ 15Н(х15 -1) = (х15-1) 1 (х5-1) 3 (х3-1) 5 (х-1) 15 = = (х15-1)(х5-1)-1(х3-1)-1(х-1) = (х10+х5+1)(х2+х+1)-1 = = х8+х7+х5+х4+х3+х +1, т.е. Q15(х)= х8+х7+х5+х4+х3+х +1.♦ Формулу теоремы 75 можно использовать для вывода основных свойств круговых многочленов. В теореме 74 определено число нормированных неприводимых многочленов данной степени n в кольце Fq[х]. Теперь возможно получить вид произведения всех нормированных неприводимых многочленов данной степени n из кольца Fq[х]. Теорема 76. Произведение I(q, n, x) всех нормированных неприводимых многочленов данной степени n из кольца Fq[х] имеет следующий вид μ(n/d) = I(q,n,x) = Πd\ n(exp(х, exp(q, d)-x) = Πd\ n(exp(х, exp(q, n/d)-x) для натурального n>1 имеет место

μ(d)

, (38)

(39) I(q,n,x) = ΠmQm(х), где Qm(х) - m-круговой многочлен над Fq и произведение берется по n всем натуральным делителям m числа q -1, для которых n есть показатель, которому принадлежит число q по модулю m. ♦Из теоремы 73 следует, что (exp(х, exp(q, n)-x) = Πd\ n I(q, d, x). Применяя мультипликативный вариант формулы обращения Мебиуса к мультипликативной группе G ненулевых рациональных функций над полем Fq и полагая для всех натуральных чисел n h(n)=I(q, n, x) и H(n) = (exp(х, exp(q, n)-x), получаем утверждение (38) теоремы. Пусть n>1 и S – множество элементов поля Fexp(q, n) , имеющих степень n над полем Fq. Тогда ∀α∈S имеет минимальный многочлен степени n над Fq и, таким образом, является корнем многочлена I(q,n,x). С другой стороны, если β -корень многочлена I(q,n,x), то он в то же время является корнем некоторого нормированного еприводимого многочлена степени n из Fq[x], а это означает, что β∈S. Поэтому I(q,n,x) = Πα∈S(х-α). 137

Если α∈S, то α∈F*exp(q,n) и в этой мультипликативной группе G n порядок элемента α делит число q -1. Элемент γ∈F*exp(q,n) является элементом некоторого собственного подполя Fexp(q,d) поля Fexp(q,n) ⇔ exp(γ,exp(q,d) = γ, т.е. если поd рядок элемента γ делит число q -1. n Порядок m элемента α∈S должен быть таким, что q ≡1(mod m), т.е. чтобы n было показателем, которому принадлежит q по модулю m. Пусть Sm будет множеством элементов из S порядка m, являюn щегося положительным делителем числа q -1. Тогда S является объединением непересекающихся подмножеств Sm, т.е. можно записать I(q,n,x) = ΠmΠα∈Sm(х-α). Множество Sm состоит из всех элементов группы F*exp(q,n), имеющих порядок m., т.е. Sm – это множество первообразных корней m-й степени из единицы над Fq. Из определения круговых многочленов следует, что Πα∈Sm(х-α) = Qm(х) и тем самым утверждение (37) теоремы доказано. ♦ Пример 108.♦ Для q=2 и n=4 получаем μ(d) = I(2,4,x) = Πd\4(exp(х,exp(2,4/d)-x) μ( )

μ( )

μ( )

= (х16-x) 1 (х4-x) 2 (х2x) 4 = (х16-x)(х4-x)-1 = = (х15-1)(х3-1)-1 = х12 + х9 + х6 + х3 +1, т.е. = I(2,4,x)= х12 + х9 + х6 + х3 +1. ♦ Пример 109.♦ Найдем все нормированные неприводимые многочлены 4-й степени из кольца F2[х]. Из теоремы 76 следует, что I(2,4,x) = Q5(х)Q15(х). На основании теоремы 68 круговой многочлен Q5(х) = х4+х3+х2+х +1 неприводим в кольце F2[х], а круговой многочлен Q15(х) должен разлагаться в произведение двух неприводимых многочленов 4-й степени из F2[х]. Из примера 107 известно, что Q15(х) = х8+х7+х5+х4+х3+х +1. Поскольку Q5(х+1) = х4+х3+1 является неприводимым в F2[х], то этот многочлен должен делить Q15(х), т.е. Q15(х) = g(х)(х4+х3+1). Легко проверить обычным делением многочленов “уголком”, что Q15(х) = х8+х7+х5+х4+х3+х +1 = (х4+х3+1)(х4+х+1). Поэтому неприводимыми многочленами 4-й степени из F2[х] являются х4+х3+х2+х +1, х4+х3+1 и х4+х+1 и только они.♦ 138

Неприводимые многочлены часто возникают как минимальные многочлены элементов некоторого расширения поля. Ранее были установлены основные свойства минимальных многочленов. Теперь отметим наиболее полезные факты об этих многочленах применительно к конечным полям. Теорема 77. Пусть α - некоторый элемент из расширения Fexp(q, m) поля Fq и d является степенью элемента α над Fq, а g(х)∈Fq[х] есть минимальный многочлен элемента α над Fq. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Многочлен g неприводим над Fq и его степень d делит m. 2. Многочлен f(х)∈Fq[х] удовлетворяет условию f(α)=∅ тогда и только тогда, когда многочлен g делит f. 3. Если f - нормированный неприводимый многочлен из Fq[х], такой, что f(α)=∅, то f = g. 4. g(х) делит многочлены exp(х,exp(q,d)-x и exp(х,exp(q,m)-x. 5. Элементы α,αq,exp(α,exp(q,2)),…,exp(α,exp(q,d-1)) являются корнями многочлена g(х), причем g(х)∈Fq[х] есть минимальный многочлен над Fq для каждого из этих элементов. 6. Если α≠0, то порядок многочлена g(х) равен порядку элемента α в мультипликативной группе F*exp(q,m) поля Fexp(q,m). 7. g(х) есть примитивный многочлен над полем Fq ⇔ порядок d элемента α в группе F*exp(q,m) равен q -1. ♦Справедливость утверждения 1 следует из теорем 54 и 57. Утверждение 2 следует из теоремы 54. Утверждение 3 является следствием п.2 данной теоремы. Утверждение 4 следует из теоремы 62 и п.1 данной теоремы. Утверждение 5 вытекает из теоремы 63 и пп.1,2 данной теоремы. Поскольку α∈F*exp(q,d), а F*exp(q,d) - подгруппа группы F*exp(q,m), то утверждение 6 вытекает из теоремы 70. Утверждение 7 вытекает из следующих рассуждений. Если g(х) d является примитивным многочленом над полем Fq , то ord(g) = q -1, так что в силу п.6 данной теоремы порядок элемента α в группе d d F*exp(q,m) равен q -1. Обратно, если α - элемент порядка q -1 в группе F*exp(q,m), а значит и в F*exp(q,d) , то α - примитивный элемент 139

поля F*exp(q, d) . Следовательно, согласно опредлению примитивного многочлена g(х) есть примитивный многочлен над полем Fq .♦ Рассмотрим один метод нахождения минимальных многочленов, основанный на утверждении 5 теоремы 77. Если требуется найти минимальный многочлен g(х) элемента β∈Fexp(q,m) над Fq , то вычисляем степени β, βq, exp(β, exp(q, 2)), … , пока не достигнем наименьшего d∈N, для которого exp(β, exp(q, d))= β. Число d является степенью многочлена g(х), который определяется формулой g(х) = (х-β)(х-βq)…(х-exp(β,exp(q,d-1))). Элементы β, βq, exp(β,exp(q,2)),…, exp(β,exp(q,d-1)) являются различными сопряженными с β элементами относительно поля Fq , а g(х) – минимальный многочлен над Fq любого их этих элементов. Пример 110.♦ Найдем минимальные многочлены над F2 для всех элементов поля F16. Пусть θ∈F16 - корень примитивного многочлена х4+х +1 над F2[х], так что каждый ненулевой элемент из поля F16 можно представить некоторой степенью элемента θ. Для поля F16 имеем таблицу индексов, приведенную в табл.16 (все вычисления проводятся по двойному модулю – (mod х4+х +1, 2): Таблица 16 i i i i i θ θ θi 2 0 1 5 10 θ+θ 1+θ +θ 2 1 θ 2+θ 3 11 θ +θ 2+θ 3 θ 6 2 3 2 7 12 θ 1+θ +θ 1+θ +θ 2+θ 3 3 θ3 8 1+θ 2 13 1+θ 2+θ 3 3 4 14 1+θ 9 θ+θ 1+θ 3 Приведем минимальные многочлены элементов F16 над полем F2: β = ∅: g1(х) = х. β = 1: g2(х) = х+1. β = θ: различными сопряженными с θ элементами относительно поля F2 являются θ3 , θ6, θ12, θ24 и минимальный многочлен каждого из них равен g3(х) = (х-θ)(х-θ 2)(х-θ 4)(х-θ 8) = х4+х +1. β = θ3: различными сопряженными с θ3 элементами относительно поля F2 являются θ , θ 2 , θ 4 , θ 8 и минимальный многочлен каждого из них равен g4(х) = (х-θ3)(х-θ 6)(х-θ12)(х-θ 24) = х4+ х3+ х2+х +1. 140

β = θ5: поскольку β4 = β, то различными сопряженными с θ5 относительно поля F2 элементами являются θ 5,θ 10 и минимальный многочлен каждого из них равен g5(х) = (х-θ5)(х-θ 10) = х2+х +1. β = θ7: различными сопряженными с θ7 элементами относительно поля F2 являются θ7 , θ14, θ28 = θ13, θ 56 = θ11 и минимальный многочлен каждого из них равен g6(х) = (х-θ7)(х-θ11)(х-θ13)(х-θ14) = х4+ х3+1. Указанные элементы, вместе с их сопряженными относительно поля F2 составляют поле F16 . ♦ Важной проблемой также является нахождение примитивных многочленов. Один из подходов основан на следующем факте. Согласно теореме 68 произведение всех примитивных многочленов степени m над Fq равно круговому многочлену Qе(х), где m е=q -1. Поэтому все примитивные многочлены степени m над Fq можно найти, применяя к круговому многочлену Qе(х) один из алгоритмов разложения многочленов. Другой метод связан с построением некоторого примитивного элемента поля Fexp(q,m) , для которого описанными ранее способами вычисляется его минимальный многочлен над Fq (этот многочлен и является примитивным). Для нахождения примитивного элемента m Fexp(q,m) берем порядок этого элемента q -1 в группе F*exp(q,m) и m разлагаем его на множители: q -1 = h1h2…hk , где натуральные числа h1, h2,…, hk попарно взаимно просты. Если для каждого hi, 1≤i≤k, можно найти элемент αi∈F*exp(q,m) порядка hi, то произведение αi = m α1α2 … αk имеет порядок q -1 и, следовательно, является примитивным элементом поля Fexp(q,m). Пример 111.♦ Найдем примитивный многочлен 4-й степени над полем F3. Поскольку 34-1 = 16*5, то предварительно построим два элемента группы F*81 соответственно порядков16 и 5. Элементы порядка 16 являются корнями кругового многочлена Q16(х) = х8+1 из F3[х]. Решая сравнение 3x ≡1(mod 16), получаем х=4, равное показателю, которому принадлежит число 3 по модулю 16. Следовательно, Q16(х) разлагается в F3[х] на два нормированных неприводимых многочлена 4-й степени. Далее х8+1 = (х4-1)2 - х4 = (х4-1+х2)( х4-1-х2), 141

так, что многочлен f(х) = х4-х2-1 неприводим над F3 и F81= F3(θ) для некоторого корня θ многочлена f(х). Кроме того, θ является элементом порядка 16 группы F*81. Чтобы найти элемент α порядка 5, запишем его в виде α = а +bθ +cθ 2 +dθ 3 с неопределенными коэффициентами а,b,c,d∈ F3. Так как α10=1, то 1 = α9 α = (а +bθ 9 +cθ 18 +dθ 27)( а +bθ +cθ 2 +dθ 3) = = (а - bθ +cθ 2 - dθ 3)( а +bθ +cθ 2 +dθ 3) = = (а +cθ2)2-(bθ +dθ3)2 = а2 +(2аc- b2)θ 2+(c2 -2bd)θ4- d2θ6 = = а2 + c2 - d2 + bd + (c2 +d2 - b2 - аc + bd)θ 2. Сравнение коэффициентов дает а2+c2-d2+bd=1, c2+d2-b2-аc+bd=∅. Полагая а=b=∅, получим b2=с2=1. Приняв b=с=1, находим, что элемент α = θ +θ2 имеет порядок 5. Тогда, элемент ζ = θ α = θ 2 +θ 3 имеет порядок 80. Поэтому ζ есть примитивный элемент поля F81. Минимальный многочлен g(х) элемента ζ над полем F3 равен g(х) = (х-ζ)( х-ζ3)( х-ζ9)( х-ζ27) = = (х-θ 2 -θ 3)(х-1+θ +θ 2)(х-θ 2 +θ 3)(х-1-θ +θ 2) = х4+х3+х2+х +1. Таким образом, получен примитивный многочлен 4-й степени над полем F3 g(х) = х4+х3+х2+х +1∈F3[х].♦ Пример 112. ♦ Найдем примитивный многочлен 6-й степени над F2. Поскольку 26-1=9*7, то построим два элемента группы F*64 порядков 9 и 7 соответственно. Решая сравнение 2x ≡1(mod 9), получаем х=6, равное показателю, которому принадлежит число 2 по модулю 9, т.е. круговой многочлен Q9(х) = х6+х3+1 неприводим над полем F2. Корень θ этого многочлена имеет порядок 9 в группе F*64, причем F64= F2(θ). Элемент α∈F*64 порядка 7 удовлетворяет равенству α8 = α, так что, записав α = Σаiθ i с коэффициентами аi∈F2, 0≤ i ≤5, получаем α = Σ1…5 аiθ i = α8 = (Σ1…5 аiθi)8 = Σ1…5 аiθ8i = = а0 + а1θ 8 + а2θ 7 + а3θ 6 + а4θ 5 + а5θ 4 = = (а0+ а3) + а2θ + а1θ 2 + а3θ 3 +(а2+ а5)θ 4 + (а1 + а4)θ 5. Сравнение коэффициентов дает а3=∅, а1=а2, а4=а2+ а5. Выбирая а0=а3=а4=∅, а1=а2=а5=1, получим, что α = θ +θ2+θ5 есть элемент порядка 7. Таким образом, ζ=θα=θ2+θ3+θ6=1+θ2 является прими142

тивным элементом поля F64. Его степени равны ζ2 = 1+θ4, ζ3 = θ2 +θ3 +θ4, ζ4 = 1 +θ2 +θ5, ζ5 = 1 +θ +θ5, ζ6 = 1 +θ2 +θ3 +θ4 +θ5. Применяя тот же метод, что и в примере 110, находим минимальный многочлен g(х)=х6+х4+х3 +х+1 элемента ζ над F2, являющийся и примитивным многочленом 6-й степени над F2.♦ Если примитивный многочлен g(х) над Fq степени m известен, то все остальные примитивные многочлены над Fq той же степени можно получить, рассматривая некоторый корень θ многочлена g(х) в поле Fexp(q,m) и находя минимальные многочлены над Fq для всех элементов вида θ t, где t пробегает все натуральные числа, взаm имно простые с q -1. Вычисление минимальных многочленов можно осуществить описанным ранее методом. Полезно выяснить, остается ли данный неприводимый над Fq многочлен неприводимым и над заданным конечным расширением этого поля Fexp(q, m). Теорема 78. Пусть f(х) - неприводимый над Fq многочлен степени n и k – натуральное число. Тогда в кольце Fexp(q,k)[х] многочлен f(х) разлагается на d неприводимых сомножителей одной и той же степени n/d, где d=НОД(k,n). ♦Поскольку случай f(∅) = ∅ тривиален, можно предположить, что f(∅) ≠ ∅. Пусть g(х) - неприводимый делитель многочлена f(х) из Fexp(q,k)[х]. Если ord(f)=e, то согласно теореме 70 справедливо и равенство ord(g)=e, ввиду того, что корни многочлена g являются в то же время и корнями многочлена f . По теореме 71 показатель, которому принадлежит q по модулю e, k равен n, а deg(g) равен показателю, которому принадлежит q по j модулю e. Степени q , j = 0,1,…, рассматриваемые по модулю е, образуют циклическую группу порядка n. Таким образом, из теоремы 64 следует, что показатель, котороk му принадлежит q по модулю e, равен n/d, поэтому и deg(g) = n/d. Неприводимый над полем Fq многочлен степени n остается неприводимым и над расширением этого поля Fexp(q,k) ⇔ (k,n)=1.♦ Пример 113.♦ Будем рассматривать как многочлен над полем F16 примитивный многочлен g(х)=х6 +х4+х3+х+1 над полем F2 из примера 112. Тогда в обозначениях теоремы 78 имеем n=6, k =4 и, 143

значит d=2. Поэтому многочлен g(х) в кольце F16[х] разлагается на два неприводимых сомножителя. Используем обозначения из примера 112. Пусть g1(х) - тот неприводимый сомножитель многочлена g(х), корнем которого является ζ =1+θ 2. Другими корнями многочлена g(х)1 должны быть сопряженные с ζ относительно F16 элементы ζ16 и ζ256 = ζ4. Поскольку эти элементы сопряжены с ζ также и относительно F4, то многочлен g1(х)∈F4[х]. Далее, элемент β=ζ21 является первообразным кубическим корнем из единицы над F2, так что F4[х]={0,1,β,β2}. Поэтому имеем g1(х)=(х-ζ)(х-ζ4)(х-ζ16)= х3 +(ζ+ζ4+ζ16)х2 +(ζ5+ζ17+ζ20)х +ζ21. Поскольку ζ4=1+θ2+θ5 и ζ16=1+θ5, то ζ+ζ4+ζ16=1. Аналогично имеем что ζ5+ζ17+ζ20=1. Следовательно, g1(х) = х3 + х2 + х + β. Разделив g(х) на g1(х), находим второй неприводимый сомножитель g2(х) многочлена g(х), на неприводимые сомножители в F4[х], а, значит, и в F16[х]: g(х) = g1(х)g2(х) = (х3 +х2 +х+β)(х3+х2 +х+β2). Найденные неприводимые сомножители многочлена g(х) являются примитивными многочленами над полем F4, но не над полем F16. На основании теоремы 78 многочлен g(х)=х6+х4+х3+х+1 над некоторыми другими расширениями поля F2 , например, над F32 или F128 неприводим.♦ 4.4. Алгоритм Берлекэмпа разложения многочленов Любой непостоянный многочлен над заданным полем можно разложить в произведение неприводимых многочленов. Если рассматриваемое поле конечно, то для фактического вычисления неприводимых сомножителей данного многочлена положительной степени над этим полем существуют эффективные алгоритмы. Это особенно важно для теории кодирования и изучения линейных рекуррентных уравнений в конечных полях. Как и в случае натуральных чисел, задача разложения многочлена на простые множители значительно туднее, чем нахожение НОД. Но факторизация многочленов по модулю простого числа р осуществляется легче, чем можно было ожидать. Более того, значительно проще найти простые множители произвольного многочлена по модулю 2, чем с помощью любого из известных методов 144

определить множители произвольного n-разрядного числа в двоичной системе счисления. Этот удивительный факт является следствием важного алгоритма разложения многочленов, открытого в 1960-х годах Э.Берлекэмпом. Пусть Fq[х] - кольцо многочленов над полем Fq характеристики р. Предположим, что задан нормированный многочлен f (х) с коэффициентами из Fр={0,1,…,p-1}. Нужно представить f(х) в виде: f(х)=[p1(x)]е1[p2(x)]е2…[pr(x)]еr, где p1(x), p2(x),…,pr(x) – различные нормированные неприводимые многочлены. В качестве первого шага нужно выяснить, имеются ли среди множителей кратные многочлены, т.е. среди величин e1,e2,…,er есть большие 1. Если f(х) = а0+а1х+а2х2+…+аnхn = (v(х))2w(х), то в кольце Fq[х] его формальная производная будет иметь вид f′ (х) = а1 + 2а2х + …+ nаnхn-1= 2v(х) v′ (х) w(х) + (v(х)) 2w′ (х), а это выражение кратно v(х). Поэтому первый шаг при разложении многочлена f(х) на простые множители состоит в нахождении d(х) = (f′(х), d(х)≠ f(х),). Если d(х)=1, то f(х) «свободен от квадратов» и есть произведение различных простых многочленов p1(x), p2(x),…,pr(x). Если же d(х)≠1 и d(х)≠ f(х), то d(х) есть собственный делитель многочлена f(х). Наконец, если d(х)=f(х), то f′(х)=0 и, следовательно, коэффициент аk при хk будет ненулевым ⇔ k кратно p. Это означает, что f(х) можно записать как многочлен вида v(хр) и справедливо тождество, лежащее в основе алгоритма Берлекэмпа f(х) = v(хр) = (v(х))р. (40) Идея алгоритма Берлекэмпа состоит в использовании известной из теории чисел китайской теоремы об остатках, справедливой как для целых чисел, так и для многочленов. Теорема 79 (китайская теорема об остатках для полиномов). Пусть Fq[х] - кольцо многочленов над полем Fq характеристики р и p1(x), p2(x),…, pr(x)∈Fq[х], причем ∀j≤k НОД(pj(x), pk(x))=1, т.е. все полиномы pj(x) в кольце Fq[х] взаимно просты. В качестве pj(x) можно также взять многочлены, неприводимые над полем Fq. Пусть также s1(x),s2(x),…,sr(x)∈Fq[х] - произвольные полиномы Fq[х]. Тогда ∃!t(x)∈Fq[х] такой, что deg(t(x))< deg(p1(x)) + deg(p2(x)) +… + deg(pr(x)), т.е. полином t(x) определен по модулю p1(x)p2(x))…pr(x) и 145

t(x) ≡ si(x)(mod pi(x)), где 1≤ i≤ r. Отсюда следует, что, отображение, которое ставит каждому многочлену t(x)∈Fq[х]/(p1(x)p2(x))…pr(x)) в соответствие некоторый r-вектор (s1(x), s2(x), …, sr(x)), где t(x)≡si(x)(mod pi(x)), 1≤i≤r), является биекцией. Fq[х]/(p1(x) p2(x))…pr(x)) ←→ Fq[х]/(p1(x)))+…+ Fq[х]/(pr(x)). ♦ Используем расширенный алгоритм Евклида (теорема 30) для нахождения полиномов mi(x), таких что mi(x) Πpj(x)≡1(mod pi(x)), i≠j.

Полагая t (x) = Σ(si(x) mi(x) Πpj(x)), имеем t(x) ≡ si(x) (mod pi(x)), где 1≤ i≤ r, i≠j. Если бы t1(x) также был решением этой системы сравнений, то полином t1(x) - t(x) делился бы на каждый многочлен pi(x), и потому t1(x) ≡ t(x) (mod Π pi(x)), 1≤ i≤ r.♦ Отображение t(x)≡si(x)(mod pi(x)), используемое в теореме 79, равносильно следующему утверждению: t(x) ≡ si(x) (mod pi(x) и p), так как при вычислениях используется полиномиальная арифметика над полем Fq характеристики p. Из теоремы 79 следует, что ∀(s1,s2,…,sr) целых чисел из Fq ∃!v(х), такой, что v(х) ≡ si(mod pi(x)), deg(v)<deg(p1)+…+deg(pr), 1≤ i≤ r. (41) Многочлен v(х) указывает способ нахождения множителей разлагаемого многочлена f(х). Если r>2 и s1≠s2, то можно найти (f(х),v(х)-s1), который делится на p1(x) и не делится на p2(x). Отсюда следует, что информацию о множителях f(х) можно извлечь из решения сравнений при нахождении v(х), поэтому рассмотрим эти соотношения подробнее. Прежде всего можно отметить, что многочлен v(х) удовлетворяет условию (v(х)) р ≡ (si) р ≡ si ≡ v(х)(mod pi(x)), 1≤ i≤ r и поэтому v(х)) р ≡ v(х)(mod pi(x)), deg (v)<deg(f ). (42) Далее имеет место основное тождество для поля характеристики р хр-х ≡ (х-0)(х-1)… (х-p-1)(mod р), следовательно, для любого многочлена v(х) справедливо тождество (v(х)) р - v(х) ≡ (v(х)-0)( v(х)-1)… (v(х)-p-1)(mod f(х)). (43) 146

Отсюда следует, что если v(х) удовлетворяет соотношениям (42), то f(х) делит левую часть (43) и поэтому каждый неприводимый множитель f(х) должен делить один из р взаимно простых множителей правой части (43). Следовательно, все решения сравнения возможно представить в виде (41) с некоторыми s1,s2,…,sr, т.е. это сравнение имеет точно pr решений. Таким образом, решения v(х) сравнения (40) указывают путь к нахождению разложения многочлена f(х) на простые множители. Теорема 80. Если f(х)∈Fq[х] – приведенный многочлен положительной степени и многочлен v(х)∈Fq[х] удовлетворяет условию v(х))q ≡ v(х)(mod f(х)), то (44) f(х) = ΠНОД(f(х),v(х)- с), с∈Fq[х]. ♦Каждый НОД из правой части (44) делит многочлен f(х). Поскольку многочлены v(х)- с), с∈Fq[х] попарно взаимно просты, то взаимно простыми являются и их НОД с f(х), т.е. сомножители в правой части (44). Отсюда следует, что правая часть равенства (44) делит многочлен f(х). С другой стороны, многочлен f(х) делит разность (v(х))q - v(х) = Π(v(х)- с), с∈Fq[х] и, следовательно, f(х) делит правую часть равенства (44). Обе части (44) являются приведенными многочленами, каждый из которых делит другой, т.е. они должны совпадать.♦ Пусть f(х)∈Fq[х] - приведенный многочлен, deg(f)=n. Рассмотрим квадратную матрицу G порядка n, где хрk ≡ gk,n-1хn-1 + gk,n-2хn-2 + … + gk,1х + gk,0(mod f(х)); (45) ⎛ g0,0 g0,1 g ⎞ … 0,n-1 ⎜ g1,0 g1,1 g1,n-1 ⎜ … G= ⎜ … ⎜. ⎝ gn-1,0 gn-1,1 … gn-1,n-1 ⎠ Многочлен v(х) = vn-1хn-1 + vn-2хn-2 + … + v1х + v0 является решением сравнения (42) ⇔ (v0, v1, v2,…, vn-1)*G = ((v0, v1, v2,…, vn-1). Это уравнение можно преобразовать к следующему виду (v0, v1, v2,…, vn-1)*(G – I) = ∅, где I - n×n единичная матрица, ∅ - n×n нулевая матрица. Последнее соотношение справедливо тогда, и только тогда, когда v(х) = Σvjхj = ΣΣvk qk,jхj ≡ Σvkхpk = v(хр)≡(v(х))р=(mod f(х)). (46) 147

Алгоритм Берлекэмпа факторизации многочленов в конечном поле Fq включает следующие основные этапы. ♦1. «Освободить» факторизуемый многочлен f(х) от квадратов, т.е. если (f(х), f′(х))≠1, то преобразовать исходную задачу факторизации к необходимому виду. 2. Построить матрицу G, удовлетворяющую условиям (ж). 3. Привести к треугольному виду матрицу G – I. Определить ее ранг n-r и найти линейно независимые векторы v(1),…, v(r), такие что v(j)*(G – I) = (0, 0, …, 0) для 1≤ i≤ r. В качестве первого вектора v(1) можно взять вектор (1,0,…,0), представляющий тривиальное решение v(1)(х)=1 сравнения (41). На этом шаге r равно числу неприводимых множителей f(х). Если r = 1, то f(х) неприводим. 4. Найти НОД(f(х), v(2)(х)-s) для 0≤ s≤ р-1, где v (2)(х) – многочлен, представленный вектором v(2). В результате вычислений мы получим нетривиальное разложение многочлена f(х), поскольку многочлен v(2)(х)-s ненулевой и deg(v(2)(х)-s)<deg(f(х)). Согласно теореме 80 для всякого многочлена v(х), удовлеворяющего (45) f(х) = ΠНОД(v(х)- s, f(х)), где 0≤ s≤ р-1. 5. Если, применяя v(2)(х), мы не достигнем разложения f(х) на r множителей, то последующие множители получим, вычисляя НОД(v (k)(х)-s, w(х)) для 0≤ s≤ р-1, k = 3, 4, … и всех уже найденных делителей w(х), пока не будут найдены все r множителей. ♦ Пример114.♦ Используем алгоритма Берлекэмпа для факторизации многочлена f(x) = x5 + x + 1 над полем F2. Сначала проверяем свободен ли многочлен f(x)от квадратов. Для этого вычисляем f′(x) и НОД(f(x), f′(x)). f′ (x) = 5x4 +1≡ x4 +1(mod x5 + x + 1, 2) , НОД(f(x), f′ (x)) = НОД(x5 + x + 1, x4 +1) = 1. Поскольку НОД(f(x), f′(x)) = 1, то многочлен f(x) свободен от квадратов. Следующим шагом необходимо построить удовлетворяющую условиям (45) матрицу G для k = 0, 1, 2, 3, 4: х2k ≡ gk,n-1хn-1 + gk,n-2хn-2 + … + gk,1х + gk,0 (mod 2, x5 + x + 1). х0 ≡ 1 (mod 2, x5 + x + 1), х2 ≡ х2 (mod 2, x5 + x + 1), 4 4 5 х ≡ х (mod 2, x + x + 1), х6 ≡ х2 + х (mod 2, x5 + x + 1), х8 ≡ х4 + х3 (mod 2, x5 + x + 1). 148

⎛10000⎞ ⎛10000⎞ ⎛00000⎞ ⎜00010 ⎜ ⎜01000 ⎜ ⎜01010 ⎜ G–I= ⎜ 0 1 0 1 0 ⎜ - ⎜ 0 0 1 0 0 ⎜ = ⎜ 0 1 1 1 0 ⎜. ⎜00001 ⎜ ⎜00010 ⎜ ⎜00011 ⎜ ⎝00101 ⎠ ⎝00101 ⎠ ⎝00100⎠ Многочлен v(х) = v4х4 + v3х3 + v2х2 + v1х + v0 можно представить вектором v = (v0, v1, v2, v3, v4). Решением матричного уравнения v*(G–I)=∅ должен быть вектор v, принадлежащий нулевому пространству строк матрицы G – I. В нашем случае коэффициенты v(х) должны удовлетворять следующим уравнениям: ⎧ v1 +v3 = 0, ⎨ v1 + v2 + v3 = 0, ⇒ ⎧ v1 + v3 = 0, (47) ⎢ v3 + v4 = 0, ⎩ v3 + v4 = 0. ⎩ v2 = 0, Матрица G – I имеет ранг 3 и, следовательно, число различных нормированных неприводимых делителей многочлена x5 + x + 1 равно k = n - r = 5-3 = 2. Векторы (1, 0, 0, 0, 0) и (0, 1, 1, 1, 0) образуют базис пространства решений системы v*(G – I) = ∅. Этим векторам соответствуют многочлены v(1)(х) = 1 и v(2)(х) = x4 + x3 + x.. Исключив тривиальный многочлен v(1)(х) = 1, вычислим при помощи алгоритма Евклида НОД(x5 +x+1, x4 +x3+x-s) для 0≤ s≤1. s=0: НОД(x5+x+1, x4+x3+x-0) = x3 +x2+1, т.к. x5 +x+1 = (x+1)(x4+x3+x)+x3 +x2+1, x4+x3+x = x(x3+x2+1)+0. s=1: НОД(x5 + x + 1, x4 + x3 + x - 1) = x2 + x +1, так как x5+x+1 = (x+1)(x4+x3+x+1)+x3+x2+x, x4+x3+x+1 = x(x3+x2+x)+x2 +x+1, x4+x3+x = x(x2 +x+1)+0. Следовательно, найдены все k делителей многочлена f(x) и f(x) = x5 + x + 1= (x3 + x2 +1)( x2 + x +1). Эти два полинома неприводимы в F2[х], поэтому факторизация многочлена f(x) над полем F2 закончена полностью.♦ 4.5. Коды Боуза-Чоудхури-Хоккенгема Одним из примеров практического использования теории конечных полей являются помехоустойчивые коды. Один класс эффективных полиномиальных кодов с исправлением многократных 149

ошибок был открыт около 1960 г. независимо Боузом, Чоудхури и Хоккенгемом (их называют БЧХ-кодами). При кодировании сообщения отождествляются с некоторыми многочленами, а сама процедура кодирования заключается в умножении на фиксированный многочлен. Полиномиальные коды принадлежат к классу блочных кодов. Для блочных (m, n)-кодов в каждом блоке имеются k=n-m контрольных символов. Пусть а0, а1,…, аm-1 - символы сообщения а. Если принять в качестве алфавита поле F2, то сообщения можно отождествить с многочленами степени ≤ m-1 из кольца F2[x]: а ↔ а0+а1 x+…+аm-1 xm-1. (48) Так, например, последовательность 01101 при m=5 соответствует многочлену x+x2+x4. В общем случае алфавит полиномиального кода отождествляется с некоторым конечным полем. Определение. ♦Пусть GF(q)=Fq - произвольное конечное поле. Фиксируем многочлен степени k: g(x) = g0+g1x+…+gkxk∈Fq[x], g0≠0, gk≠0. (49) Полиномиальный код с порождающим многочленом g(x) кодирует слово сообщения а вида (48) многочленом (50) b(x) = b0+b1x+…+bn-1xn-1 = a(x)g(x) или словом b, составленным из коэффициентов этого многочлена.♦ Подчеркнем, что в (49) требуется выполнение неравенств g0≠0 и gk≠0. Если g0=0, то все кодовые слова будут начинаться с нуля, и этот первый символ не будет нести накакой информации. Аналогично при gk=0 последний символ не будет нести информации. Пример 115. ♦Пусть F2 - двоичный алфавит {0,1}. Рассмотрим порождающий (кодирующий) многочлен g(x)=1+x2+x3. Информационное сообщение а0а1…а4 = 01011, соответствующее многочлену а(x)=х+x3+x4, кодируeтся коэффициентами многочлена b(x) = a(x)g(x) = х+x5+x7, т.е. словом b0b1…b7= 01000101.♦ Существует систематический способ построения БЧХ-кодов любой длины. Число контрольных символов зависит от числа ошибок, которые надо обнаружить или исправить. Алфавит БЧХ-кода отождествляется с некотрым конечным полем Fq. На практике из-за использования двоичных устройств q обычно является степенью 150

двойки. Порождающий многочлен g(x)∈Fq[x], а кодовые слова - все кратные многочлена g(x). Определение. ♦ Расстоянием по Хэммингу между двумя словами длины n называется число разрядов, в которых они отличаются. Весом слова называется число его ненулевых разрядов.♦ Пример 116. ♦ Над полем F2 слова 110101 и 101010 отстоят друг от друга на расстоянии 5, а над полем F3 слова 012021 и 021012 находятся на расстоянии 4.♦ БЧХ-код является групповым кодом, т.к. все его кодовые слова образуют группу. Поэтому, как и для любого группового кода в любом БЧХ-коде наименьшее расстояние между двумя кодовыми словами равно наименьшему весу ненулевого кодового слова. Покажем, как построить код, у которого минимальное расстояние между словами не меньше d. Порождающий многочлен этого кода g(x)∈Fq[x] строится следующим образом. Выберем r таким, чтобы qr = prs ≥ d +1. Затем возьмем примитивный элемент α∈Fq, мультипликативный порядок которого равен qr -1. Обозначим через m1(x) минимальный многочлен для α, через m2(x) – для α2 и т.д. Покажем, что кодирующий многочлен g(x) = НОК[m1(x), m2(x),…, md-1(x)] (51) r порождает код с кодовыми словами длины q –1 и расстоянием между словами не меньшим d. Пример 117. ♦ Построим двоичный (q=2) БЧХ-код с длиной кодовых слов n=15 и наименьшим расстоянием d=5. Выберем в GF(24) примитивный элемент α, являющийся корнем многочлена x4+x3+1. Построим минимальные многочлены mi(x) для αi. В поле характеристики р для любого многочлена f при k=ps имеем f(α)k = f(αk). Степени α2 и α4 удовлетворяют тому же уравнению, что и α. Отсюда следует, что m1(x) = m2(x) = m4(x) = x4+x3+1. 3 Аналогично α , α6, α12, и α24=α9 имеют общий минимальный многочлен, равный m3(x) = m6(x) = m9(x) = m12(x) = x4+x3+ x2+x+1. Следовательно, НОК[m1(x),m2(x),m3(x),m4(x)] совпадает с m1(x)m3(x): g(x) = m1(x)m3(x) = (x4+x3+1)(x4+x3+ x2+x+1) = x8+x4+x2+x+1. Степень этого многочлена deg(g)=8, поэтому каждое кодовое слово длины 15 имеет 15-8=7 информационных символов, т.е. име151

ем (15,7)-код. Например, при кодировании умножением на g(x) слово 10001000 с а(x)=1+x4 кодируется словом 111001100000100, поскольку а(x)g(x) = x12+x6+x5+x2+x+1= b(x). Наименьшее расстояние для этого кода будет не меньше 5.♦ В общем случае справедлива следующая теорема. Теорема 81. Пусть α - примитивный элемент поля GF(qr) и длина кодовых слов не превосходит qr-1. Тогда БЧХ-код с алфавитом Fq и порождающим многочленом g(x) = НОК[m1(x), m2(x),…, md-1(x)] имеет минимальное расстояние, равное, по крайней мере, d. ♦ Сначала заметим, что g(x) – многочлен над над Fq наименьшей степени с корнями α,α2,α3,…,αd-1. Поэтому каждый кодовый многочлен обращается в нуль в α,α2,α3,…,αd-1. Мы хотим показать, что любой многочлен с корнями α, α2, α3, … … , αd-1 имеет не менее d ненулевых коэффициентов. Предположим обратное. Если многочлен с(x) имеет менее d ненулевых членов, то его можно записать в виде n n n с(x) = b1x 1+ b2x 2+…+bd-1x d-1. Пусть α,α2,α3,…,αd-1 - его корни. Тогда коэффициенты этого многочлена должны удовлетворять системе линейных уравнений: Σbiαkni = 0 1≤ k≤ d-1. Матрица коэффициентов А невырожденна, так как ее определитель Вандермонда равен n n |A| = Π(α i - α j )≠0, i>j, n(j)< n(i)< qr. Следовательно, все bi равны нулю и мы пришли к противоречию, что и требовалось доказать.♦ Ограничимся далее только двоичными БЧХ-кодами. Теорема 82. Можно построить двоичный БЧХ-код с кодовыми словами длины 2m-1, нечетным минимальным расстоянием d и числом проверочных символов не более [(d-1)/2]m. ♦ Заметим, что минимальное расстояние d для двоичного кода всегда четно. Согласно теореме 81 для кода со словами длины 2m-1 достаточно иметь m(d-1) проверочных символов. В случае когда характеристика поля равна 2, если р(α)=0, i α∈GF(2m), то р(α2)=р(α4)=…=р(α2 )=0. Значит, минимальный мно152

гочлен для α будет одновременно минимальным многочленом для α2; многочлен для α3 - минимальным многочленом для α6; многочлен для α5 - минимальным многочленом для α10 и т.д. i Степень mi(x) не превосходит m, т.к. α ∈GF(2m). Наименьшее общее кратное [m1(x), m2(x),…, md-1(x)] делит произведение (d-1)/2 из этих многочленов и поэтому имеет степень ≤[(d-1)/2]m.♦ В примере 117 имеем 2m-1=15, m=4, k=8 и d=5. Число проверочных символов в точности равно [(d-1)/2]m=[(5-1)/2]4=8. Эффективность БЧХ-кодов с обнаружением и исправлением ошибок можно продемонстрировать на следующем примере. В европейских системах передачи данных широко используется двоичный (255, 231)-код, построенный над конечным полем F2 с помощью примитивного элемента α∈GF(28) мультипликативного порядка 28-1=255. Степень порождающего многочлена равна 24. Его корнями являются α, α2,α3, α4, α5 и α6, что обеспечивает минимальное расстояние 7 и обнаружение до шести ошибок. Поскольку, в общем числе слов длины 255 доля кодовых слов составляет 2-24 ≈ 1/16×106, то при вводе случайных слов лишь примерно одно из шестнадцати миллионов оказалось бы кодовым. В течение многих лет эксплуатации европейских систем связи не было случая, чтобы ошибка передачи прошла незамеченной при декодировании. Кодирующие и декодирующие устройства производятся разными фирмами. С ростом длины кодовых слов качество БЧХ-кодов ухудшается. Поэтому до настоящего времени не прекращается поиск кодов, эффективных для слов большой длины. Упражнения 1. Показать, что для каждого конечного поля, кроме F2, сумма всех его элементов равна нулю. 2. Доказать, что 3 является первообразным корнем простого числа 2n+1, n>1. 3. Найти все примитивные элементы поля F9. 4. Решить сравнение х3≡23 (mod 109). 5. Найти десять наименьших простых чисел р, таких, что многочлен xр-1+xр-2+xр-3+…+x2+x+1 неприводим над полем F2. 153

6. Доказать следующие свойства круговых многочленов над любым полем, для которого они определены (при n≥2): Qn(x -1)xϕ(n) = Qn(x); Qn(0)=1. 7. Применяя явную формулу из теоремы 75, найти круговые многочлены Q12 и Q30. 8. Дать матричное представление элементов поля F8, используя для этой цели многочлен x3+x+1, неприводимый над полем F2. 9. Найти порядок многочлена x7-x6+x4-x2+x над полем F3. 10. Найти разложение многочлена x32-x на неприводимые сомножители в кольце F2[x]. 11. Пусть θ∈F64 - корень неприводимого многочлена x6+x+1∈F2[x]. Найти минимальный многочлен элемента β=1+θ2+θ3 над полем F2. 12. Разложить многочлен x7+x6+x5- x3+x2-x-1 с помощью алгоритма Берлекэмпа над полем F3. 13. Применить алгоритм Берлекэмпа для определения числа различных нормированных неприводимых делителей многочлена x4+1∈Fр[x] для всех нечетных простых чисел р. 14. Найти поле разложения многочлена x6-x4-x2-x-1 над полем F3. 15. Построить двоичный БЧХ-код с длиной кодовых слов n=15 и наименьшим расстоянием d=7, исправляющий три ошибки. Список литературы 1. Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. М.: Мир, 1971 2. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. М.: Мир. 1976. 3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1973. 4. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т.2. М.: Мир, 1977. 5. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т.1. М.: Мир, 1988. 6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984. 7. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. Ижевск: R&C,1999.

154

Приложение 1. Варианты домашних заданий Вариант 1 1. Какова мощность множества корней уравнения x5-2x3+x=0. 2. Доказать, что множество всех счетных последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума. 3. Доказать, что если отношения R1 и R2 рефлексивны, то рефлексивны и отношения R1∪R2, R1∩R2, R1-1, R1°R2. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединния, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности ⎛ P1 = | | ⎝

0 1 0 1

1 0 0 1

0 0 1 1

1 0 1 0

⎞ |, | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 0 1 1

0 0 0 0

0 1 0 1

1 1 1 0

⎞ |. | ⎠

5. Найти порядок перестановки ⎛1 2 3 4 5 6 7 8 9⎞ ⎝3 5 7 9 6 8 1 2 4⎠. 6. Найти смежные классы аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных натуральному числу n ( Z+ / nZ ). 7. Построить группу симметрий куба. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в ней? 8. Будет ли множество Z целых чисел подгруппой аддитивной группы, подкольцом или идеалом в кольце А целых гауссовых чисел, т.е. чисел вида a + bi с целыми a и b? 9. Пусть p-простое число, p>3. Доказать, что в случае разрешимости сравнения x2 + x + 1 ≡ 0 (mod p) p имеет вид 6n +1. Вывести отсюда, что множество простых чисел вида 6n +1 бесконечно. 10. С помощью алгоритма Берлекэмпа разложить многочлен x6+x2+x+1 над полем F2.

155

Вариант 2 1. Пусть f(x) и ϕ(х) - два алгебраических полинома. Доказать, что множество всех корней полинома F(x)= f(x)ϕ(x) есть объединение множества всех корней полинома f(x) и множества всех корней полинома ϕ(х). 2. Какова мощность множества всех счетных последовательностей действительных чисел? 3. Доказать, что если отношения R1 и R2 иррефлексивны, то иррефлексивны и отношения R1∪R2, R1∩R2, R1-1. Показать, что произведение R1°R2 иррефлексивных отношений может не быть рефлексивным. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ 1 0 0 1 ⎞ P1 = | 0 0 1 1 |, P2 = | 0 0 1 0 | ⎝ 0 1 1 0 ⎠ 5. Найти порядок перестановки

⎛ | | ⎝

1 0 1 0

0 1 1 0

0 1 0 1

1⎞ 0 |. 1 | 1⎠

⎛1 2 3 4 5 6 7 8 9 10⎞ ⎝3 5 4 6 7 8 9 2 1 10⎠. 6. Найти смежные классы аддитивной группы действительных чисел по подгруппе целых чисел ( R / Z ). 7. Построить группу симметрий октаэдра. Выделить в ней группу вращений. Совпадают ли эти группы? 8. Дано простое число p>5. Доказать, что в случае разрешмости сравнения x4 + x3 + x2 +x +1 ≡ 0 (mod p) p имеет вид 5n +1. Вывести отсюда, что множество простых чисел вида 5n +1 бесконечно. 9. Будет ли множество B чисел x + yi, где x = y, подгруппой аддитивной группы, подкольцом или идеалом в кольце А целых гауссовых чисел, т.е. чисел вида a + bi с целыми a и b? 10.Найти поле разложения и порядок многочлена x6+x2+x+1∈F2[x]. 156

Вариант 3 1. Найти пересечение множества всех целых неотрицательных чисел и множества всех целых неположительных чисел. 2. Какова мощность множества всех непрерывных функций на действительной прямой? 3. Доказать, что если отношения R1 и R2 симметричны, то симметричны и отношения R1∪R2, R1∩R2, R1-1, R1°R2-1. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

0 1 0 1

1 0 0 1

0 0 1 1

1 0 1 0

⎞ |, | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 0 1 1

0 0 0 0

0 1 0 1

1 1 1 0

⎞ |. | ⎠

5. Найти порядок перестановки ⎛1 2 3 4 5 6 7 8⎞ ⎝3 6 4 1 8 7 2 5⎠. 6. Найти смежные классы аддитивной группы комплексных чисел по подгруппе целых гауссовых чисел, т.е. чисел вида a + bi с целыми a и b. 7. Построить группу вращений октаэдра. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в ней? 8. Доказать, что если сравнение x2 + 2 ≡ 0 (mod p) разрешимо, то либо p имеет вид 8n +1, либо p имеет вид 8n +3. Вывести отсюда, что множество простых чисел вида 8n + 3 бесконечно. 9. Будет ли множество С чисел x (1+ i) подгруппой аддитивной группы, подкольцом или идеалом в кольце А целых гауссовых чисел, т.е. чисел вида a + bi с целыми a и b , где x пробегает все кольцо А? 10. Дать матричное представление элементов поля F8, используя для этой цели многочлен x3+x+1, неприводимый над полем F2. 157

Вариант 4 1. Для произвольного множества Μ найти Μ∪∅ и Μ∩∅ ? 2. Какова мощность множества всех монотонных функций на действительной прямой? 3. Доказать, что если отношения R1 и R2 антисимметричны, то антисимметричны также отношения R1∩R 2 и R1- 1. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

0 1 0 0

1 0 1 1

0 1 1 0

1⎞ 0 |, 1 | 0⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 1 1 0

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 1 1

⎞ |. | ⎠

5. Найти смежные классы аддитивной группы векторов плоскости (выходящих из начала координат) по подгруппе векторов, лежащих на оси абсцисс Ox. 6. Построить группу симметрий октаэдра. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в ней? 7. Найдите двоичное представление четных совершенных чисел вида n=2p-1(2p - 1), где р-простое число. 8. Пусть p-простое число, p≥ 3. Доказать, что в случае разрешимости сравнения x4 + 1 ≡ 0 (mod p) число p имеет вид 8n +1. Вывести отсюда, что множество простых чисел вида 8n +1 бесконечно. 9. Будет ли множество Z[x] целочисленных многочленов подгруппой аддитивной группы, подкольцом или идеалом в кольце R[x] многочленов над полем R рациональных чисел? 10. Найти разложение многочлена x32-x на неприводимые сомножители в кольце F2[x].

158

Вариант 5 1. Каково должно быть разбиение конечного множества Μ на два непустых класса Μ=Μ1∪Μ2, чтобы декартово произведение Μ1×Μ2 имело наибольшее число элементов? 2. Доказать, что не существует множества, содержащего все множества. 3. Построить бинарное отношение рефлексивное, симметричное и не транзитивное. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ 1 1 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 1 ⎞ P1 = | 1 0 1 0 |, P2 = | 0 1 1 1 |. | 0 0 1 1 | | 0 0 0 1 | ⎝ 1 1 1 0 ⎠ ⎝ 1 0 1 0 ⎠ 5. Найти смежные классы аддитивной группы векторов плоскости (выходящих из начала координат) по подгруппе векторов, лежащих на оси ординат Oу. 6. Описать группу всех симметрий прямой призмы, в основании которой лежит правильный 6-угольник. Выделить в ней группу вращений. Совпадают ли эти группы? 7. Доказать бесконечность числа простых чисел вида 4m+1. 8. Найти все простые числа p≥ 3, для которых разрешимо сравнение x2 + 2x - 2 ≡ 0 (mod p). Доказать, что в прогрессии 12n-1 содержится бесконечно много простых чисел. 9. Будет ли множество I многочленов, не содержащих членов с k x для всех k1) подгруппой аддитивной группы подкольцом или идеалом в кольце Z[x] целочисленных многочленов? 10. Дать матричное представление элементов поля F8, используя для этой цели многочлен x3+ x2+1, неприводимый над полем F2.

159

Вариант 6 1. Доказать, что ∅ ≠ {∅}. 2. Доказать, что множества всех точек квадрата и отрезка эквивалентны. 3. Построить бинарное отношение рефлексивное, антисимметричное и не транзитивное. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ 0 1 0 1 ⎞ ⎛ 1 1 0 1 ⎞ P1 = | 1 0 1 1 |, P2 = | 1 0 1 0 |. | 0 0 1 1 | | 1 0 1 1 | ⎝ 1 1 0 0 ⎠ ⎝ 0 1 1 1⎠ 5. Какой наивысший порядок могут иметь перестановки на множестве из 12 элементов? 6. Найти смежные классы мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе чисел, равных по модулю единице. 7. Описать группу всех симметрий прямой призмы, в основании которой лежит правильный пятиугольник. 8. Найти решения сравнения x30 ≡ 14 (mod 67). 9. Будет ли множество I многочленов с четными старшими коэффициентами подгруппой аддитивной группы, подкольцом или идеалом в кольце Z[x] целочисленных многочленов? 10. Найти разложение многочлена x27-x на неприводимые сомножители в кольце F3[x].

160

Вариант 7 1. Доказать, что существует лишь одно множество, не имеющее элементов. 2. Доказать, что множества точек куба и отрезка эквивалентны. 3. Построить бинарное отношение рефлексивное, не симметричное и транзитивное. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединния, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

0 1 0 0

0 0 1 0

0 1 1 1

1 0 1 0

⎞ |, | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 0 1 1

0 0 0 0

0 1 0 1

1 1 1 0

⎞ |. | ⎠

5. Найти смежные классы мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе положительных действительных чисел. 6. Описать группу всех симметрий прямой призмы, в основании которой лежит правильный десятиугольник. Выделить в ней группу вращений. Совпадают ли эти группы? 7. Найти все пифагоровы треугольники с целочисленными длинами сторон, у которых длина гипотенузы не превосходит 20. 8. Найти решения сравнения 23x5 ≡ 15 (mod 73). 9. Будет ли множество I многочленов с четными свободными членами подгруппой аддитивной группы, подкольцом или идеалом в кольце Z[x] целочисленных многочленов? 10.Найти пять наименьших простых чисел р, таких, что многочлен xр-1+xр-2+xр-3+…+x2+x+1 неприводим над полем F2.

161

Вариант 8 1. Существуют ли такие множества А, В и С, что А∩В≠∅, А∩С=∅, (А∩В)\С=∅? 2. Установить биективное соответствие между точками квадрата и плоскости. 3. Построить бинарное отношение не рефлексивное, антисимметричное и транзитивное. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

1 0 0 0

0 0 0 1

0 1 1 1

1 1 0 0

⎞ |, | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 0 1 0

0 1 1 0

0 1 0 1

1 0 1 1

⎞ |. | ⎠

5. Представить в виде произведений независимых циклов следующее произведение транспозиций (0 1)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5). 6. Найти смежные классы мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе действительных чисел. 7. Описать группу всех симметрий прямой призмы, в основании которой лежит правильный n-угольник. Выделить в ней группу вращений. Совпадают ли эти группы? 8. Найти решения сравнения 37x6 ≡ 69 (mod 73). 9. Доказать, что факторкольцо кольца D[x] многочленов с действительными коэффициентами по идеалу многочленов, делящихся на x2 + 1, изоморфно полю комплексных чисел a + bi с известными операциями сложения и умножения. 10. С помощью алгоритма Берлекэмпа разложить многочлен x7+x6+x5+2x3+x2+2x+2 над полем F3.

162

Вариант 9 1. Доказать, что А⊕ В=∅ ⇔ А=В, где ⊕ - операция симметрической разности. 2. Какова мощность множества всех иррациональных чисел? 3. Доказать, что пересечение любой системы эквивалентностей на множестве А есть эквивалентность на А. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

0 1 0 1

1 1 0 0

0 0 1 1

1 0 1 0

⎞ |, | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 1 1 1

0 0 1 0

0 1 0 1

1 1 1 0

⎞ |. | ⎠

5. Представить в виде произведений независимых циклов следующее произведение транспозиций (0 2)(3 6)(2 6)(0 3). 6. Найти смежные классы симметрической группы Sn по подгруппе подстановок, оставляющих число n на месте. 7. Описать группу всех симметрий правильной пирамиды, в основании которой лежит правильный семиугольник. Выделить в ней группу вращений. Совпадают ли эти группы? 8. Найти решения сравнения 44 x21 ≡ 53 (mod 73). 9. Пусть А - кольцо целых гауссовых чисел вида a + bi с целыми a и b, I - множество всех чисел a + bi с четными a и b. Доказать, что I является идеалом в А. 10. Найти порядок многочлена x7+2x6+x4+2x2+x над полем F3.

163

Вариант 10 1. Доказать, что А∩В=∅⇒А∪В= А⊕В, где ⊕- операция симметрической разности. 2. Доказать существование трансцендентных (неалгебраических) чисел. 3. Доказать, что объединение R1∪R2 эквивалентностей R1 и R2 является эквивалентностью ⇔ R1∪R2 = R1°R2. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ 0 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 0 1 1 ⎞ P1 = | 0 0 1 0 |, P2 = | 1 1 1 0 |. | 0 1 1 0 | | 1 0 0 1 | ⎝ 1 1 0 0 ⎠ ⎝ 0 0 0 1 ⎠ 5. Найти все гомоморфные отображения циклической группы {a} порядка n в себя. 6. Описать группу всех симметрий правильной пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник. 7. Пусть К - целое положительное число. Доказать, что в ряде натуральных чисел имеется бесчисленное множество последователь-ностей М, М+1, … , М+К-1, не содержащих простых чисел. 8. Найти решения сравнения x7 ≡ 37 (mod 101). 9. Найти смежные классы А по I, где А - кольцо целых гауссовых чисел вида a+bi с целыми a и b, а I - множество всех чисел вида a+bi с четными a и b. 10. Найти поле разложения для многочлена x6+2x4+2x2+2x-1 над полем F3.

164

Вариант 11 1. Доказать, что А⊕ В=С ⇔ В⊕ С = А ⇔ С ⊕ А = В, где ⊕ - операция симметрической разности. 2. Доказать, что всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно. 3. Доказать, что произведение R1°R2 эквивалентностей R1 и R2 является эквивалентностью ⇔ R1°R2 = R2°R1. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

1 1 0 0

1 0 0 1

0 1 1 1

1 0 1 0

⎞ | | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 0 0 1

0 1 0 0

0 1 0 1

1 1 1 1

⎞ | | ⎠

5. Доказать, что всякая перестановка σ∈ S n может быть представлена как произведение транспозиций вида (1 2), (1 3), …, (1 n). 6. Найти все гомоморфные отображения циклической группы {a} порядка 6 в циклическую группу {b} порядка 18. 7. Описать группу всех симметрий правильной пирамиды, в основании которой лежит правильный десятиугольник. Выделить в ней группу вращений. Совпадают ли эти группы? 8.Найти решения сравнения x5 ≡ 44 (mod 101). 9.Пусть А - кольцо целых гауссовых чисел вида a + bi с целыми a и b), I - множество всех чисел a + bi с четными a и b. В факторкольце А / I найти делители нуля и этим показать, что А / I не является полем. 10. Найти разложение многочлена x64-x на неприводимые сомножители в кольце F2[x].

165

Вариант 12 1. Для множеств определить операции ∪ и \ через операции ⊕ и ∩, где ⊕ - операция симметрической разности. 2. Доказать, что из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. 3. Доказать, что множество всех подмножеств данного множества частично упорядочено отношением включения ⊆. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ 0 1 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 1 ⎞ P1 = | 1 0 0 0 |, P2 = | 1 0 1 0 |. | 0 0 1 1 | | 1 0 1 1 | ⎝ 1 1 0 1 ⎠ ⎝ 0 11 0 ⎠ 5. Доказать, что всякая перестановка σ∈Sn может быть представлена как произведение транспозиций вида (1 2), (2 3), … , (n-1 n). 6. Найти все гомоморфные отображения циклической группы {a} порядка 18 в циклическую группу {b} порядка 6. 7. Описать группу всех симметрий правильной пирамиды, в основании которой лежит правильный 9-угольник. Выделить в ней группу вращений. Совпадают ли эти группы? 8. Найти решения сравнения x3 ≡ 23 (mod 109). 9. Доказать, что фактор-кольцо А / I кольца целых гауссовых чисел (т.е. чисел вида a + bi с целыми a и b) по главному идеалу I=(3) есть поле из девяти элементов. 10. Дать матричное представление элементов поля F16, используя для этой цели многочлен x4+x+1, неприводимый над полем F2.

166

Вариант 13 1. Для множеств определить операции ∩ и \ через операции ⊕ и ∪, где ⊕ - операция симметрической разности. 2. Доказать, что множество бесконечно ⇔ оно эквивалентно некоторому собственному подмножеству. 3. Доказать, что всякое частично упорядоченное множество содержит не более одного наибольшего (наименьшего) элемента. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ 0 0 0 1 ⎞ ⎛ 1 1 0 1 ⎞ P1 = | 1 0 1 0 |, P2 = | 0 0 1 0 |. | 1 0 1 1 | | 1 0 0 1 | ⎝ 0 1 1 0 ⎠ ⎝ 0 0 1 0⎠ 5. Доказать, что всякая перестановка σ∈ Sn может быть представлена как произведение циклов (1 2) и (1 2 3 … n). 6. Найти все гомоморфные отображения циклической группы {a} порядка 12 в циклическую группу {b} порядка 15. 7. Построить группу симметрий тетраэдра. Выделить в ней группу вращений. Совпадают ли эти группы? 8. Среди вычетов приведенной системы по модулю 37 указать первообразные корни и вычеты степени 15. 9. Доказать, что фактор-кольцо А / I кольца целых гауссовых чисел (т.е. чисел вида a + bi с целыми a и b) по главному идеалу I=(n) тогда и только тогда будет полем, когда n - есть простое число, не равное сумме двух квадратов целых чисел. 10. Найти разложение многочлена x25-x на неприводимые сомножители в кольце F5[x].

167

Вариант 14 1. Для множеств определить операции ∪ и ∩ через операции \ и ⊕, где ⊕ - операция симметрической разности. 2. Доказать, что множество всех конечных подмножеств счетного множества счетно. 3. Доказать, что наибольший (наименьший) элемент частично упорядоченного множества является единственным максимальным (минимальным) элементом. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

1 0 1 0

0 0 0 1

0 1 1 1

1 1 0 0

⎞ |, | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 0 1 0

0 1 1 0

0 1 0 1

1 1 1 1

⎞ |. | ⎠

5. Доказать, что всякая четная перестановка может быть представлена как произведение тройных циклов. 6. Найти все гомоморфные отображения циклической группы {a} порядка 6 в циклическую группу {b} порядка 25. 7. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в группе вращений тетраэдра? Построить их. 8. Среди вычетов приведенной системы по модулю 43 указать первообразные корни и вычеты степени 6. 9. Пусть (n) - идеал, порожденный целым числом n>1 в кольце Z[x] целочисленных многочленов. Доказать, что фактор-кольцо Z[x]/(n) изоморфно кольцу Zn[x] многочленов над кольцом вычетов по модулю n. 10. Пусть θ∈F32 - корень неприводимого многочлена 5 x +x+1∈F2[x]. Найти минимальный многочлен элемента β=1+θ2 над полем F2.

168

Вариант 15 1. Доказать, что для множеств нельзя определить операцию \ через операции ∩ и ∪. 2. Доказать, что множество многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами счетно. 3. Построить пример частично упорядоченного множества, имеющего точно один минимальный элемент, но не имеющего наименьшего элемента. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ 0 1 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 1 ⎞ P1 = | 1 0 0 0 |, P2 = | 0 0 1 1 |. | 0 0 1 1 | | 1 0 0 1 | ⎝ 1 1 1 0 ⎠ ⎝ 1 0 1 0 ⎠ 5. Доказать, что всякая четная перестановка может быть представлена как произведение циклов вида (1 2 3), (1 2 4), … , (1 2 n). 6. Найти факторгруппу аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных данному натуральному числу n. 7. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в группе симметрий тетраэдра? Построить их. 8. Среди вычетов приведенной системы по модулю 61 указать первообразные корни и вычеты степени 10. 9. Доказать, что любая конечная подгруппа мультипликативной группы F* произвольного поля F циклична. 10. Найти порядок многочлена x11-x8+x4-x2+1 над полем F2.

169

Вариант 16 1. Доказать, что для множеств нельзя определить операцию ∪ через операции ∩ и \. 2. Доказать, что множество всех полиномов с рациональными коэффициентами счетно. 3. Доказать, что если отношение R - частичный порядок, то отношение R-1 также является частичным порядком. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

0 1 0 0

1 0 1 1

0 1 1 0

1⎞ 0 |, 1 | 0⎠

⎛ 1 0 0 1 ⎞ P2 = | 1 0 1 0 |. | 1 0 0 1 | ⎝ 0 0 1 1⎠

5. Разложить на независимые циклы перестановку ⎛0 1 2 3 4 5 6 7 8 9⎞ ⎝4 2 1 0 3 5 9 8 6 7⎠. 6. Найти факторгруппу аддитивной группы целых чисел, кратных 3, по подгруппе чисел, кратных 15. 7. Построить группу симметрий куба. Выделить в ней группу вращений. Совпадают ли эти группы? 8. Найти число решений сравнения x60 ≡ 79 (mod 97). 9. Пусть F - поле. Доказать, что если его мультипликативная группа F* циклична, то F - конечное поле. 10. Разложить многочлен x6+x5+x4+x2+x+1 с помощью алгоритма Берлекэмпа над полем F2.

170

Вариант 17 1. Доказать, что множество из n элементов имеет 2n подмножеств. 2. Доказать, что множество всех матриц с рациональными элементами счетно. 3. Доказать, что любое непустое конечное частично упорядоченное множество содержит минимальный и максимальный элементы. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

1 1 0 1

1 0 0 0

0 1 1 1

1 0 1 0

⎞ |, | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 0 0 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 1 1 0

⎞ |. | ⎠

5. Разложить на независимые циклы перестановку ⎛0 1 2 3 4 5 6 7 8 9⎞ ⎝3 9 8 5 4 6 0 1 2 7⎠. 6. Найти факторгруппу аддитивной группы целых чисел, кратных 4, по подгруппе чисел, кратных 24. 7. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в группе вращений куба? Построить их. 8. Найти число решений сравнения x55 ≡ 17 (mod 97). 9. Показать, что каждый элемент конечного поля Fq характеристики р имеет в этом поле один и только один корень р-й степени. 10. Найти разложение многочлена x49-x на неприводимые сомножители в кольце F7[x].

171

Вариант 18 1. Решить систему уравнений ⎧ А ∩ Х = В, ⎩ А ∪ Х = С, где А, В, и С - данные множества и В ⊆ А ⊆ С. 2. Доказать, что множество всех алгебраических чисел счетно. 3. Построить отношение линейного порядка на множестве N 2. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

1 1 0 1

1 0 0 1

0 1 1 0

1 1 1 0

⎛ P2 = | | ⎝

⎞ |, | ⎠

1 1 1 1

1 0 0 1

0 1 1 0

1 0 1 0

⎞ |. | ⎠

5. Разложить на независимые циклы перестановку ⎛1 2 3 4 5 6 7 8 9⎞ ⎝2 1 6 7 4 8 5 9 3⎠. 6. Найти факторгруппу мультипликативной группы действительных чисел, отличных от нуля, по подгруппе положительных чисел. 7. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в группе симметрий куба? Построить их. 8. Делится ли число 21093-2 на 10932 ? 9. Доказать, что для f∈ Fq[x] справедливо равенство [f(x)]q = f(xq). 10. Разложить многочлен x8+x7+x5+x4+x3+x+1 с помощью алгоритма Берлекэмпа над полем F2.

172

Вариант 19 1. Решить систему уравнений ⎧ А\Х=В, ⎩ Х\А=С, где А, В, и С - данные множества и В ⊆А, А∩С=∅. 2. Доказать, что множество всех вещественных чисел несчетно. 3. Построить отношение линейного порядка на множестве N 3. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

0 1 0 0

0 0 1 0

0 1 1 1

1 0 1 0

⎞ |, | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 0 1 1

0 0 0 0

0 1 0 1

1 1 1 0

⎞ |. | ⎠

5. Разложить на независимые циклы перестановку ⎛α β γ δ ε ζ⎞ ⎝ζ δ β γ α ε⎠. 6. Доказать, что для мультипликативной группы вещественных невырожденных квадратных матриц порядка n ее факторгруппа по подгруппе матриц с определителем, равным 1, изоморфна мультипликативной группе действительных чисел, отличных от нуля. 7. Построить группу симметрий октаэдра. Выделить в ней группу вращений. Совпадают ли эти группы? 8. Решить сравнение 256х ≡ 179 (mod 337). 9. Показать, что любой квадратный многочлен из Fq[x] разлагается над полем Fq2 на линейные множители. 10. Найти круговые многочлены Q15 и Q32.

173

Вариант 20 1. Решить систему уравнений ⎧ А\Х=В, ⎩ А∪Х=С, где А, В и С - данные множества и В ⊆А⊆ С. 2. Доказать, что множество всех трансцендентных (неалгебраических) чисел несчетно. 3. Построить отношение линейного порядка на множестве C комплексных чисел. 4. Построить графы бинарных отношений P1,P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы слдующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

1 0 0 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 1 0 0

⎞ |, | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 0 1 0

0 1 1 0

0 1 0 1

1 0 1 1

⎞ |. | ⎠

5. Разложить на транспозиции перестановку ⎛0 1 2 3 4 5 6 7 8 9⎞ ⎝3 5 7 1 0 4 8 9 2 6⎠. 6.Доказать, что для мультипликативной группы вещественных невырожденных квадратных матриц порядка n ее факторгруппа по подгруппе матриц с определителем, равным ± 1, изоморфна мультипликативной группе положительных чисел. 7. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в группе вращений октаэдра? Построить их. 8. Решить сравнение 1215х ≡ 560 (mod 2755). 9. Пусть Fq - конечное поле характеристики р. Доказать, что для многочлена f ∈Fq[x] f′(x)=0 тогда и только тогда, когда f является р-й степенью некоторого многочлена из Fq[x]. 10. Дать матричное представление элементов поля F16, используя для этой цели многочлен x4+x3+1, неприводимый над полем F2. 174

Вариант 21 1. Доказать, что А = В ⇔ ( А\ В) ∪ ( В \ А) = ∅. 2. Пусть заданы множества Χ={a,b,c,d,e} и Υ={α,β,χ,δ}. Найти число сюръективных отображений множества Χ на множество Υ. 3. Доказать, что любое конечное множество можно линейно упорядочить. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

0 1 0 1

1 1 0 0

0 0 1 1

1 0 1 1

⎞ |, | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 0 1 1

0 0 1 0

0 1 0 1

1 1 1 0

⎞ |. | ⎠

5. Разложить на транспозиции перестановку ⎛1 2 3 4 5 6 7⎞ ⎝3 6 1 7 2 5 4⎠. 6. Доказать, что для мультипликативной группы вещественных невырожденных квадратных матриц порядка n ее фактор-группа по подгруппе матриц с положительными определителями является циклической группой второго порядка. 7. Группа вращений куба естественным способом определяет группу перестановок на множестве его ребер. Построить эту группу и определить типы всех перестановок из этой группы. 8. Решить сравнение 1296х ≡ 1105 (mod 2413). 9. Пусть К - произвольное поле и n - натуральное число, большее единицы. Доказать, что многочлен хn-1 + хn-2 + … + х +1 неприводим над К, только в случае, когда n - простое число. 10. Найти порядок многочлена x9+x6+x4+x2+1 над полем F2.

175

Вариант 22 1. Доказать, что любое множество есть объединение всех своих подмножеств. 2. Пусть для множества Х его мощность равна n. Найти число всех подмножеств в Х, состоящих из четного числа элементов. 3. Доказать, что подобные линейно упорядоченные множества эквивалентны. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности ⎛ P1 = | | ⎝

0 1 0 1

1 0 1 1

1 1 1 0

1 0 0 0

⎞ |, | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

0 1 1 0

0 1 0 0

1 1 0 0

1 0 1 1

⎞ |. | ⎠

5. Определить четность перестановки ⎛1 2 3 4 5 6 7⎞ ⎝5 6 4 7 2 1 3⎠. 6. Доказать, что для мультипликативной группы комплексных невырожденных квадратных матриц порядка n ее фактор-группа по подгруппе матриц с определителями, по модулю равными единице, изоморфна мультипликативной группе положительных чисел. 7. Группа вращений тетраэдра естественным способом определяет группу перестановок на множестве его ребер. Построить эту группу и определить типы всех перестановок из этой группы. 8. Найти все целые решения x и y уравнения 47x - 111y = 89. 9. Найти наименьшее простое число р, такое, что многочлен 22 х +х21+ … +х+1 неприводим над полем Fр. 10. Дать матричное представление элементов поля F32, используя для этой цели многочлен x5+x+1, неприводимый над полем F2.

176

Вариант 23 1. Доказать, что любое множество есть объединение всех своих конечных подмножеств. 2. Пусть для множества Х его мощность равна n. Найти число всех подмножеств в Х, состоящих из нечетного числа элементов. 3. Доказать, что любое множество А, эквивалентное линейно упорядоченному множеству В, можно линейно упорядочить так, что А станет подобным В. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

1 1 0 0

1 0 0 1

0 1 1 1

1⎞ 0 |, 0 | 0⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 0 1 1

0 1 1 0

0 1 0 1

1 1 1 1

⎞ |. | ⎠

5. Определить четность перестановки ⎛1 2 3 4 5 6 7 8⎞ ⎝3 5 2 1 6 4 8 7⎠. 6. Доказать, что для мультипликативной группы комплексных невырожденных квадратных матриц порядка n ее фактор-группа по подгруппе матриц с положительными определителями изоморфна мультипликативной группе комплексных чисел, по модулю равных единице. 7. Группа вращений октаэдра естественным способом определяет группу перестановок на множестве его ребер. Построить эту группу и определить типы всех перестановок из этой группы. 8. Найти решение сравнения x21 ≡ 5 (mod 71). 9. Найти порядок многочлена x5+x4+x2+x+1над полем F2. 10. Найти разложение многочлена x16-x на неприводимые сомножители в кольце F4[x]. 177

Вариант 24 1. Доказать, что любое множество есть объединение всех своих одноэлементных подмножеств. 2. Будет ли сюръекцией отображение ϕ:S→L из множества S слов русского языка в множество L букв русского алфавита, которое каждому слову ставит в соответствие его первую букву? 3. Доказать, что множество из n элементов можно линейно упорядочить n! способами. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ 0 0 1 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 1 ⎞ P1 = | 1 1 0 0 |, P2 = | 1 0 1 0 |. | 0 0 1 1 | | 0 0 1 1 | ⎝ 1 1 0 1 ⎠ ⎝ 0 1 1 1 ⎠ 5. Определить четность перестановки ⎛3 5 6 4 2 1 7⎞ ⎝2 4 1 7 6 5 3⎠. 6. Пусть G - группа всех движений трехмерного пространства, H– подгруппа параллельных переносов, K - подгруппа вращений вокруг данной точки O. Доказать, что H является нормальным делителем группы G, а K - нет. 7. Группа вращений октаэдра естественным способом определяет группу перестановок на множестве его граней. Построить эту группу и определить типы всех перестановок из этой группы. 8. Найти решение для системы cравнений x ≡ 3 (mod 8), x ≡ 1 (mod 15), x ≡ 11 (mod 20). 9. Найти решения сравнения x35 ≡ 17 (mod 67). 10. Пусть ζ - корень n-й степени из единицы над полем К. Доказать, что ⎧ 0 при ζ ≠ 1; 1+ζ+ζ2+…+ζn-1 = ⎩ n при ζ = 1.

178

Вариант 25 1. Имеется последовательность множеств Х0⊇Х1⊇Х2⊇…⊇Хn⊇…. Доказать, что пересечение любой бесконечной подпоследовательности этих множеств совпадает с пересечением всей последовательности. 2. Доказать, что множество всех рациональных чисел счетно. 3. Доказать, что всякое счетное линейно упорядоченное множество подобно некоторому подмножеству множества Q рациональных чисел. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ 1 1 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 1 ⎞ P1 = | 1 0 1 0 |, P2 = | 0 1 0 0 |. | 0 1 1 1 | | 1 1 0 1 | ⎝ 0 1 1 0 ⎠ ⎝ 1 0 1 1 ⎠ 5. Определить четность перестановки ⎛2 7 5 4 8 3 6 1⎞ ⎝3 5 8 7 2 6 1 4⎠. 6. Пусть G - группа всех движений трехмерного пространства, H - подгруппа параллельных переносов, K - подгруппа вращений вокруг данной точки O. Доказать, что K не является нормальным делителем группы G. 7. Группа вращений тетраэдра естественным способом определяет группу перестановок на множестве его граней. Построить эту группу и определить типы всех перестановок из этой группы. 8. Найти общее решение для системы cравнений x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 4 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7), x ≡ 9 (mod 11), x ≡ 3 (mod 13). 9. Решить сравнение 9x2+29x+62≡0(mod 64). 10. Пусть θ∈F64 - корень неприводимого многочлена 6 x +x+1∈F2[x]. Найти минимальный многочлен элемента β=1+θ2 над полем F2.

179

Вариант 26 1. Имеется последовательность множеств Х0⊆Х1⊆Х2⊆…⊆Хn⊆…. Доказать, что объединение любой бесконечной подпоследовательности этих множеств совпадает с объединением всей последовательности. 2. Доказать, что если множество X бесконечно, а его подмножество Y конечно, то существует биективное отображение X\Y→X. 3. Доказать, что всякое конечное линейно упорядоченное множество вполне упорядочено. 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ 0 0 0 1 ⎞ ⎛ P1 = | 1 0 1 0 |, P2 = | | 0 0 1 1 | | ⎝ 0 1 1 0 ⎠ ⎝ 5. Определить четность перестановки

1 0 1 0

0 0 0 0

0 1 0 1

1⎞ 0 |. 1 | 0⎠

⎛1 2 3 … … … … n-1 n⎞ ⎝2 4 6 … 1 3 5 … … … ⎠. 6. Пусть G - группа всех движений трехмерного пространства, H – подгруппа параллельных переносов, K - подгруппа вращений вокруг данной точки O. Доказать, что факторгруппа G / H изоморфна K. 7. Группа вращений куба естественным способом определяет группу перестановок на множестве его граней. Построить эту группу и определить типы всех перестановок из этой группы. 8. Решить систему сравнений 3x+4y-29≡0(mod 143), 2x-9y+84 ≡0(mod 143). 9. Решить сравнение x3+2x+2≡0(mod 125). 10. Дать матричное представление элементов поля F16, используя для этой цели многочлен x4+x+1, неприводимый над полем F2.

180

Вариант 27 1. Какое максимальное число подмножеств множества Μ можно образовать из n его подмножеств с помощью операций пересечения, объединения и дополнения? 2. Установить биективное соответствие между множеством всех отображений множества X в множество {0,1} и множеством 2Χ и найти⎟ 2Χ⎟, если⎟ Χ⎟ = n. 3. Является ли вполне упорядоченным множество Z целых чисел с их естественным порядком? 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

1 0 0 0

0 0 0 1

0 1 1 1

1 1 0 0

⎞ |, | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 0 1 0

0 1 1 0

0 1 0 1

1 0 1 1

⎞ |. | ⎠

5. Определить четность перестановки ⎛1 2 3 … … … n ⎞ ⎝1 3 5 … 2 4 6 … ⎠. 6. Доказать, что аддитивная группа комплексных чисел есть прямая сумма подгрупп действительных и чисто мнимых чисел. 7. Описать группу симметрий правильного n-угольника. Выделить в ней группу вращений. Совпадают ли эти группы? 8. Какому сравнению степени ниже 5 равносильно сравнение 3x14+4x13+3x12+2x11+x9+2x8+4x7+x6+3x4+x3+4x2+2x≡0 (mod 5)? 9. Решить сравнение x4+4x3+2x2+2x+12≡0(mod 625). 10. С помощью алгоритма Берлекэмпа над полем F2 разложить многочлен х12 + х7 + х5 + х4 + х3 + х2 +1.

181

Вариант 28 1. Какое максимальное число подмножеств множества Μ можно образовать из n его подмножеств с помощью операций пересечения и объединения? 2. Пусть заданы множества Χ={a,b,c,d,e} и Υ={α,β,χ}. Найти число сюрьективных отображений множества Χ в множество Υ. 3. Является ли множество Q рациональных чисел вполне упорядоченным (с обычным порядком ≤) ? 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

0 1 0 1

1 0 0 1

0 0 1 1

1 0 1 0

⎞ |, | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 0 1 1

0 0 0 0

0 1 0 1

1 1 1 0

⎞ |. | ⎠

5. Определить четность перестановки ⎛1 2 3 … … n-1 n ⎞ ⎝n n-1 n-2 … … 2 1 ⎠. 6. Доказать, что мультипликативная группа действительных чисел есть прямое произведение подгруппы положительных чисел и подгруппы чисел ± 1. 7. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в группе вращений правильного двенадцатиугольника? Построить их. 8. Какому сравнению степени ниже 7 равносильно сравнение 2x17+x14+5x12+2x10+x9+5x8+2x7+3x5+4x4+6x3+4x2+x+4≡0(mod 7)? 9. Решить сравнение 6x3+27x2+17x+20≡0(mod 30). 10. С помощью алгоритма Берлекэмпа над полем F3 разложить многочлен х7+2х6+х5-х3-2х2-х+2.

182

Вариант 29 1. Какое максимальное число подмножеств множества Μ можно образовать из n его подмножеств с помощью операций пересечения и дополнения? 2. Пусть заданы множества Χ={a,b,c,d,e} и Y={α,β,χ,δ,ε,φ,γ,η}. Найти число инъективных отображений Χ→Υ. 3. Является ли вполне упорядоченным множество R действительных чисел с обычным порядком ≤ ? 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

0 1 0 0

1 0 1 1

0 1 1 0

1⎞ 0 |, 1 | 0⎠

⎛ 1 0 0 1 ⎞ P2 = | 1 0 1 0 |. | 1 0 0 1 | ⎝ 0 0 1 1⎠

5. Определить четность перестановки (1 2 3 … k). 6. Доказать, что мультипликативная группа комплексных чисел есть прямое произведение подгрупп положительных чисел и чисел, по модулю равных 1. 7. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в группе симметрий правильного девятиугольника? Построить их. 8. Какому сравнению со старшим коэффициентом 1 равносильно сравнение 70x6+78x5+25x4+68x3+52x2+4x+3≡0(mod 101) ? 9. Решить сравнение 31x4+57x3+96x+191≡0(mod 225). 10. Применить алгоритм Берлекэмпа для доказательства неприводимости многочлена х6-х3-х-1 в кольце F3[x].

183

Вариант 30 1. Какое максимальное число подмножеств множества Μ можно образовать из n его подмножеств с помощью операций объединения и дополнения? 2. Доказать, что не существует множества, содержащего все множества. 3. Будет ли вполне упорядоченным множество чисел вида 1-1/n, где n - целое положительное число с обычным порядком ≤ ? 4. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ P1 = | | ⎝

1 1 0 1

1 0 0 1

0 1 1 1

1 0 1 0

⎞ |, | ⎠

⎛ P2 = | | ⎝

1 0 0 1

0 1 0 0

0 1 0 1

1⎞ 1 |. 1 | 0⎠

5. Определить четность перестановки ⎛1 2 3 4 … n-1 n ⎞ ⎝n 1 n-1 2 … … …⎠. 6. Доказать, что конечная абелева группа G, порядок которой равен произведению двух различных простых чисел p и q является циклической. 7. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в группе симметрий правильного n-угольника ? Описать их. 7x4+19x+25≡0(mod 27). 8. Решить сравнение 9. Найти первообразные корни по модулям 17, 289, 578. 10. Применить алгоритм Берлекэмпа для определения числа раличных нормированных неприводимых делителей многочлена х4+1 в кольце Fp[x] для всех нечетных простых р.

184

Приложение 2. Вариант контрольной работы 1. Построить графы бинарных отношений P1, P2 и их объединения, пересечения и произведения. Бинарные отношения заданы следующими матрицами смежности: ⎛ 1 0 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 1 ⎞ P1 = | 0 0 1 1 |, P2 = | 0 1 1 0 |. | 0 0 1 0 | | 1 1 0 1 | ⎝ 0 1 1 0 ⎠ ⎝ 0 0 1 1 ⎠ 2. Построить граф перестановки S. Представить перестановку S в виде произведения независимых циклов и в виде произведения транспозиций. Найти четность и порядок перестановки S. S = ⎛ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ⎞ ⎝ 3 5 4 6 10 8 9 1 11 12 7 2 ⎠. 3. Построить смежные классы и фактор-группу аддитивной группы целых чисел по подгруппе целых чисел, кратных 5. Построить таблицу умножения и граф факторгруппы. 4. Восстановить переданное информационное слово по полученному cообщению 1 0 1 1 0 0 1. При передаче по двоичному каналу связи использовался код Хэмминга, исправляющий одну ошибку со следующей порождающей матрицей: ⎛ 1 0 0 0 1 0 1 ⎞ G=| 0 1 0 0 1 1 1 |. | 0 0 1 0 0 1 1 | ⎝ 0 0 0 1 1 1 0 ⎠ Найти множество определяющих соотношений и построить граф этого кода. 5. Решить сравнение 61х ≡ 103 (mod 147). 6. Найти поле разложения многочлена x6-x4-x2-x-1 над полем F3. 7. Разложить многочлен x6+x5+x3+x2+1 с помощью алгоритма Берлекэмпа над полем F2.

185

Александр Николаевич Иванов

Дискретная математика Часть 1. Основные алгебраические структуры. Учебное пособие

Редактор М.В. Макарова

Подписано в печать 14.12.2009. Формат 60х 84 1/16 Печ. л. 11,75. Уч.-изд. л. 11,75. Тираж 100 экз. Изд. № 049-1. Заказ № 18 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». Типография НИЯУ МИФИ. 115409, Москва, Каширское ш., 31.