М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я и на уки Ро сси йско й Ф е д е р а ц и и Во р о не ж ски й Г о суд а р стве нный Ун...
6 downloads
178 Views
242KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я и на уки Ро сси йско й Ф е д е р а ц и и Во р о не ж ски й Г о суд а р стве нный Уни ве р си те т
Т Е О РИ Я И П РА К Т И К А РЕ Ш Е Н И Я Н Е О Д Н О М Е РН Ы Х ЗА Д А Ч У П РУ Г О П Л А С Т И Ч Е С К О Г О Д Е ФО РМ И РО ВА Н И Я . Ч А С Т Ь 1 Уче б но -ме то д и че ско е по со б и е д ля студ е нто в по спе ц и а льно стям «М е ха ни ка » (010901) и «Пр и кла д на я ма те ма ти ка и и нфо р ма ти ка » (010500)
Воронеж 2004
2
Утве р ж д е но на учно -ме то д и че ски м со ве то м фа культе та ПМ М (7.10.2003 го д а , пр о то ко л № 1)
С о ста ви те ли : С по р ыхи н А.Н . Ко ва ле в А.В. Яко вле в А.Ю .
Уче б но -ме то д и че ско е по со б и е по д го то вле но на ка фе д р е те о р е ти че ско й и пр и кла д но й ме ха ни ки фа культе та ПМ М В о р о не ж ско го го суд а р стве нно го уни ве р си те та . Ре ко ме нд уе тся д ля студ е нто в 3 – 4х кур со в фа культе та ПМ М , о б уча ю щ и хся по спе ц и а льно стям 010204 (М е ха ни ка д е фо р ми р уе мо го тве р д о го те ла ), 010500 (Пр и кла д на я ма те ма ти ка и и нфо р ма ти ка ) пр и и зуче ни и спе ц кур са «М е то д во змущ е ни й в за д а ча х д е фо р ми р о ва ни я упр уго пла сти че ски х ср е д », пр и выпо лне ни и кур со вых, д и пло мных р а б о т и ма ги сте р ски х д и ссе р та ц и й, а та кж е пр и са мо сто яте льно й р а б о те студ е нто в.
3
С О Д Е РЖ А Н И Е 1. 2. 3. 4. 4.1.
4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 5.
Вве д е ни е Б е зр а зме р ные пе р е ме нные Ре ш е ни е а лге б р а и че ски х ур а вне ни й ме то д о м ма ло го па р а ме тр а М е то д ма ло го па р а ме тр а в за д а ча х М СС О б щ а я по ста но вка упр уго пла сти че ски х за д а ч. О пр е д е ляю щ и е со о тно ш е ни я, гр а ни чные усло ви я, усло ви я со пр яж е ни я те о р и и упр уго пла сти че ско го те ла О пр е д е ляю щ и е со о тно ш е ни я те о р и и и д е а льно й пла сти чно сти . Л и не а р и зи р о ва нные со о тно ш е ни я И нте гр и р о ва ни е со о тно ш е ни й те о р и и и д е а льно й пла сти чно сти Л и не а р и зо ва нные со о тно ш е ни я д ля упр уго й зо ныте ла Алго р и тм д ля о пр е д е ле ни я р е ш е ни я упр уго пла сти че ско й за д а чи Ре ш е ни е упр уго пла сти че ско й за д а чи о пли те , со д е р ж а щ е й вклю че ни е Л и те р а тур а
4 5 6 9
9 10 16 18 19 20 34
4
1. Введение М но ги е за д а чи , с ко то р ыми се го д ня ста лки ва ю тся ма те ма ти ки , фи зи ки , и нж е не р ы, не по д д а ю тся то чно му р е ш е ни ю . С р е д и пр и чи н, за тр уд няю щ и х по и ск то чно го р е ш е ни я, мо ж но ука за ть, на пр и ме р , не ли не йные ур а вне ни я д ви ж е ни я, пе р е ме нные ко эффи ц и е нты и не ли не йные гр а ни чные усло ви я на и зве стно й и ли не и зве стно й гр а ни ц а х сло ж но й фо р мы. В это й си туа ц и и и ссле д о ва те ль вынуж д е н по льзо ва ться пр и б ли ж е нными а на ли ти че ски ми по д хо д а ми . О д ни м и з та ки х по д хо д о в являе тся ме то д ма ло го па р а ме тр а и ли ме то д во змущ е ни й, по зво ляю щ и й на хо д и ть р е ш е ни е б ли зко е к уж е и зве стно му то чно му. Пр и это м во змущ е ни ю мо ж но по д ве р га ть ка к фо р му те ла , та к и гр а ни чные усло ви я. М е то д во змущ е ни й на ш е л ш и р о ко е пр и ме не ни е в р а зли чных р а зд е ла х ме ха ни ки , фи зи ки , ма те ма ти ки , а и ме нно та ки х, ка к не б е сна я ме ха ни ка , те о р и я ко ле б а ни й, усто йчи во сть д ви ж е ни я. О тно си те льно не д а вно это т ме то д ста л и спо льзо ва ться д ля р е ш е ни я кр а е вых за д а ч д е фо р ми р уе мых те л со сло ж ными фи зи ко -ме ха ни че ски ми сво йства ми . М а те ма ти че ско е о б о сно ва ни е ме то д а во змущ е ни й и ко нкр е тные р е зульта ты пр и ве д е ны в мо но гр а фи ях Б .Д . Ани на и Г .П. Ч е р е па но ва [4], М . Ва н-Д а йка [6], А.Н . Г узя и Ю .Н . Не ми ш а [7], Д .Д . И вле ва и Л .В . Ер ш о ва [9], Д . Ко ула [10], Я.Ф . Ка ю ка [8], В.А. Л о ма ки на [11], А. Н а йфэ [13], [14], И .В. С ви р ско го [15], А.Н . С по р ыхи на [2], А.Н . С по р ыхи на и А.И . С уми на [3] и д р . Учи тыва я ва ж но сть и пе р спе кти вно сть д ля со вр е ме нно й на уки пр и б ли ж е нных а на ли ти че ски х ме то д о в, б ыл р а зр а б о та н спе ц кур с «М е то д во змущ е ни й в за д а ча х д е фо р ми р о ва ни я упр уго пла сти че ски х ср е д », о сно вными за д а ча ми ко то р о го являе тся о зна ко мле ни е студ е нто в с те о р е ти че ски ми о сно ва ми ме то д а , пр и ме ни те льно к за д а ча м и д е а льно й пла сти чно сти . Ц е лью ме то д и че ско й р а зр а б о тки являе тся со д е йстви е студ е нта м в углуб ле нно м и зуче ни и со вр е ме нных ме то д о в р е ш е ни я не о д но ме р но й упр уго пла сти че ско й за д а чи , являю щ е йся сло ж ным и на и ме не е и зуче нным р а зд е ло м ма те ма ти че ско й те о р и и пла сти чно сти .
5
2. Безразмерные переменные Ка к и зве стно , д ля р е ш е ни я то й и ли и но й за д а чи не о б хо д и мо по стр о и ть е е ма те ма ти че скую мо д е ль. О б ычно ма те ма ти че ска я мо д е ль пр е д ста вляе т со б о й сло ж ную си сте му ур а вне ни й, в ко то р о й, и схо д я и з фи зи че ски х д о пущ е ни й, учи тыва ю т о д ни о со б е нно сти за д а чи , ли ш ь в не ко то р о й сте пе ни учи тыва ю т вто р ые , и пр е не б р е га ю т тр е тьи ми . Но пр е ж д е че м на ча ть о сущ е ствлять эти ва ж ные д е йстви я, не о б хо д и мо пр о ве сти о пе р а ц и ю пр и ве д е ни я пе р е ме нных к б е зр а зме р но му ви д у. Э та ва ж на я пр о ц е д ур а по зво ли т выяви ть по р яд о к ве ли чи н р а зли чных эле ме нто в р а ссма тр и ва е мо го явле ни я и ли пр е д ме та путе м ср а вне ни я и хд р угс д р уго м и ли с за р а не е о пр е д е ле нными ха р а кте р ными эле ме нта ми . Т о лько то гд а мо ж но б уд е т ска за ть, на ско лько о ни ма лы и ли ве ли ки , что сущ е стве нно упр о сти тна хо ж д е ни е пр и б ли ж е нно го р е ш е ни я. Б о ле е то го , пр е д ста ви в ур а вне ни я в б е зр а зме р но й фо р ме , мо ж но выяви ть на ли чи е ва ж ных б е зр а зме р ных па р а ме тр о в, ко то р ые о ка зыва ю т сущ е стве нно е вли яни е на и ссле д уе мый о б ъе кт. Т а к, за д а вш и сь во пр о со м, ма л и ли ве ли к эле ме нти ссле д уе мо го о б ъе кта д ли но й в о д и н са нти ме тр , мыд о лж ныо б р а ти ться к и схо д но й по ста но вке за д а чи . Н а пр и ме р , о д и н са нти ме тр б уд е т являться пр е не б р е ж и мо ма ло й ве ли чи но й пр и и ссле д о ва ни и д ви ж е ни я спутни ка по о ко ло зе мно й о р б и те . И , на пр о ти в, е сли эле ме нта ми о б ъе кта , и ссле д уе мо го в за д а че , являю тся ми кр о ча сти ц ы, то о д и н са нти ме тр о ка ж е тся ги га нтско й ве ли чи но й по ср а вне ни ю с р а ссто яни е м ме ж д у о тд е льными мо ле кула ми .
6
3. Решение алгебраич ес ких уравнений методом малого параметра В ц е лях и ллю стр а ц и и ме то д а по зна ко ми мся с пр о сте йш и м случа е м е го пр и ме не ни я. Ра ссмо тр и м а лге б р а и че ски е ур а вне ни я вто р о го по р яд ка , за ви сящ и е о т ма ло го па р а ме тр а . Ре ш е ни я та ки х ур а вне ни й б уд ут пр е д ста влять со б о й не ко то р ые р а зло ж е ни я по сте пе ни ма ло го па р а ме тр а , на зыва е мые во змущ е ни ями по па р а ме тр у. Ра ссмо тр и м ква д р а тно е ур а вне ни е x2+(2ε-1)x-2(1+ε)=0
(3.1)
в случа е ма ло го ε. В это м случа е , по ло ж и в ε=0, по лучи м ур а вне ни е x2-x-2=(x-2)(x+1)=0
(3.2)
с ко р нями x1=2 и x2=-1. Пе р во е ур а вне ни е на зыва е тся во змущ е нным, а вто р о е – не во змущ е нным и ли выр о ж д е нным. Пр и ма ло м, но ко не чно м ε ко р ни во змущ е нно го ур а вне ни я б ли зки к чи сла м 2 и –1. Пр е д по ло ж и м, что и ско мые ко р ни мо ж но пр е д ста ви ть в ви д е : x=x0+εx1+ε2x2+…
(3.3)
Пе р вый чле н р а зло ж е ни я x0 на зыва е тся чле но м нуле во го по р яд ка , εx1 чле но м пе р во го по р яд ка и т.д . Пр и д а льне йш е м р е ш е ни и мы о гр а ни чи мся пе р выми тр е мя чле на ми р яд а (нуле вым, пе р вым и вто р ым). По д ста ви м р а зло ж е ни е (3.3) в во змущ е нно е ур а вне ни е (3.1) (x0+εx1+ε2x2+… )2+(2ε-1)( x0+εx1+ε2x2+… )-2(1+ε)=0.
(3.4)
Д а ле е не о б хо д и мо сгр уппи р о ва ть чле ны пр и о д и на ко вых сте пе нях ε. В это м случа е д ля пе р во го чле на ур а вне ни я (3.4) и ме е м (x0+εx1+ε2x2+… )2=x02+2x0(εx1+ε2x2+… )+(εx1+ε2x2+… )2= = x02+2εx0x1+ε2(2x0x2+x12)+…
(3.5)
В со о тве тстви и с р а зло ж е ни е м (3.3) зд е сь со хр а не ны чле ны д о вто р о го по р яд ка вклю чи те льно . Д ля вто р о го чле на ур а вне ни я (3.4) и ме е м (2ε-1)( x0+εx1+ε2x2+… )=-x0+ε(2x0-x1)+ε2(2x1-x2)+… По д ста ви м (3.5) и (3.6) в (3.4), в р е зульта те по лучи м
(3.6)
7
x02+2εx0x1+ε2(2x0x2+x12)-x0+ε(2x0-x1)+ε2(2x1-x2) -2(1+ε)+… =0.
(3.7)
О б ъе д и ни в чле ныс о д и на ко выми сте пе нями ε, по лучи м (x02-x0-2)+ε(2x0-2x0x1-x1-2)+ ε2(x12+2x1+2x0x2-x2)+… =0.
(3.8)
По сле д о ва те льно пр и р а вняе м к нулю ко эффи ц и е нты, сто ящ и е пр и сте пе нях ма ло го па р а ме тр а ε. В р е зульта те по лучи м си сте му ур а вне ни й x02-x0-2=0, 2x0-2x0x1-x1-2=0, x12+2x1+2x0x2-x2=0.
(3.9) (3.10) (3.11)
Ур а вне ни е (3.9) со впа д а е т с не во змущ е нным и являе тся не ли не йным о тно си те льно x0. Ур а вне ни я (3.10) и (3.11) ли не йны о тно си те льно x1 и x2 со о тве тстве нно . С ле д уе то тме ти ть, что пр и р е ш е ни и за д а ч ме то д о м во змущ е ни й ха р а кте р но не ли не йно е нуле во е пр и б ли ж е ни е и ли не йные по сле д ую щ и е пр и б ли ж е ни я. Ре ш и в си сте му (3.9) - (3.11), и ме е м x0=2, x1=- 2/3, x2=8/27,
x0=- 1, x1=- 4/3, x2=- 8/27.
(3.12)
И спо льзуя (3.12) и (3.3), за пи ш е м ко р ни во змущ е нно го ур а вне ни я (3.1): пр и x0=2 x=2- 2/3ε + 8/27ε2 +…
(3.13)
и пр и x0=-1 x=-1- 4/3ε - 8/27ε2 +…
(3.14)
Выр а ж е ни я (3.13) и (3.14) пр и б ли ж е нно о пи сыва ю т о б а ко р ня ур а вне ни я (3.1). Ср а вни м и хс то чным р е ш е ни е м x1,2=1/2(1-2ε ± ((2ε-1)2+8(1+ε))1/2), и ли x1,2=1/2(1-2ε ± (9+4ε+4ε2)1/2).
(3.15)
И спо льзуя б и но ми на льную фо р мулу, пр е о б р а зуе м выр а ж е ни е по д ко р не м
8
(9+4ε+4ε2)1/2=3+ 2/3ε + 2/3ε2 - 2/27ε2+… , что по сле по д ста но вки в (3.15) д а е т x1=1/2(1-2ε+3+2/3ε+(2/3+2/27)ε2+… )=2 – 2/3ε+8/27ε2+…
(3.16)
x2=1/2(1-2ε-3 - 2/9ε - 16/27ε2… )=-1 - 4/3ε - 8/27ε2+…
(3.17)
Т о ж д е стве нно сть выр а ж е ни й (3.13), (3.14) и выр а ж е ни й (3.16), (3.17) о че ви д на .
9
4. М етод малогопараметра взадач ах М С С . 4.1. О бщ ая пос тановка упругоплас тич ес ких задач . О пределя ю щ ие с оотношения , гранич ные ус ловия , ус ловия с опря жения теории упругоплас тич ес коготела. Д ля о пи са ни я ме ха ни че ско го по ве д е ни я упр уго пла сти че ско го те ла и спо льзую тся сле д ую щ и е ур а вне ни я. 1. Ур а вне ни е р а вно ве си я в на пр яж е ни ях (пр и о тсутстви и вне ш ни х ма ссо вых си л): σ ij, j = 0, (4.1) гд е σ ij - ко мпо не нтыте нзо р а на пр яж е ни й. 2. С о о тно ш е ни я Ко ш и , связыва ю щ и е ко мпо не нты те нзо р а д е фо р ма ц и й e ij и ве кто р а пе р е ме щ е ни й u i : e ij =
1 (u i, j + u j,i ). 2
(4.2)
3. С о о тно ш е ни я, о тр а ж а ю щ и е связь ме ж д у по лными , упр уги ми и пла сти че ски ми д е фо р ма ц и ями : e ij = e ije + e ijp ,
(4.3)
гд е e ij – ко мпо не нты те нзо р а по лных д е фо р ма ц и й, e ije – ко мпо не нты те нзо р а упр уги х д е фо р ма ц и й, eijp – ко мпо не нтыте нзо р а пла сти че ски хд е фо р ма ц и й. 4. С о о тно ш е ни я за ко на Г ука , о тр а ж а ю щ и е связь ме ж д у на пр яж е ни ями и упр уги ми д е фо р ма ц и ями (в случа е не сж и ма е мо го ма те р и а ла ): Sij = 2Ge ije ,
(4.4)
гд е G – мо д уль сд ви га , Sij – д е ви а то р те нзо р а на пр яж е ни й, e ije – ко мпо не нты те нзо р а д е фо р ма ц и й. 5. Ур а вне ни е по ве р хно сти те куче сти д ля и д е а льно пла сти че ско й ср е д ы и ме е т ви д : F(σ ij ) = 0. 6. С о о тно ш е ни я а ссо ц и и р о ва нно го за ко на пла сти че ско го о пр е д е ле ни я ско р о сте й пла сти че ски хд е фо р ма ц и й:
(4.5) те че ни я
д ля
10
de ijp = dλ
∂F , ∂σ ij
(4.6)
гд е dλ - по ло ж и те льный ска ляр ный мно ж и те ль. За мкнутую кр а е вую за д а чу по лучи м, д о по лни в пр и ве д е нные со о тно ш е ни я гр а ни чными усло ви ями . 7.1. Г р а ни чные усло ви я на ча сти по ве р хно сти те ла , гд е за д а ны уси ли я Pi , и ме ю т ви д : σ ij n j = Pi ,
(4.7)
гд е n j - ко мпо не нтыве кто р а но р ма ли . 7.2. Г р а ни чные усло ви я на ча сти по ве р хно сти те ла , гд е за д а ны пе р е ме щ е ни я u *i , и ме ю тви д : u i = u *i .
(4.8)
7.3. Н а гр а ни ц е р а зд е ла упр уго й и пла сти че ски х о б ла сте й тр е б уе тся за д а ть усло ви я со пр яж е ни я:
[σ n ] = 0, [u ] = 0. ij
j
(4.9)
i
Зд е сь и д а ле е зна к [ ] б уд е то зна ча ть ска чо к со о тве тствую щ е й ве ли чи ны, т.е . р а зно сть зна че ни й пр е д ста вле нных в ско б ка х выр а ж е ни й, со о тве тствую щ и х упр уго й и пла сти че ско й о б ла стям. Ка к о б ычно , по д ва ж д ы по вто р яю щ и мся и нд е кса м пр е д по ла га е тся сумми р о ва ни е о т1 д о 3, е сли не о го во р е но пр о ти вно е . Н и ж ни й и нд е кс, сто ящ и й по сле за пято й, ука зыва е т на д и ффе р е нц и р о ва ни е по ко о р д и на те , со о тве тствую щ е й это му и нд е ксу. Ур а вне ни я (4.1) – (4.9) пр е д ста вляю т за мкнутую си сте му ур а вне ни й, о пи сыва ю щ и х на пр яж е нно -д е фо р ми р о ва нно е со сто яни е упр уго пла сти че ско го те ла . 4.2. О пределя ю щ ие с оотношения Л инеаризированные с оотношения
теории
идеальной
плас тич нос ти.
Пр и р е ш е ни и за д а ч ме то д о м ма ло го па р а ме тр а все функц и и р а скла д ыва ю тся в р яд ыпо сте пе ни ма ло го па р а ме тр а δ [9]: σ , е p , e e , λ,.... = ij ij ij
на пр и ме р ,
∞
∑
n =0
( n ) p ( n ) e( n ) ( n ) δ n σ , e ,e , λ ,...., (δ << 1) . ij ij ij
(4.10)
11
σ ij =
∞
∑
n =0
δn σ
(n ) (0) (1) (2) =σ + δσ + δ 2 σ +K ij ij ij ij
Ве ли чи на ми n-го по р яд ка , зд е сь и ни ж е , на зыва ю тся выр а ж е ни я, о тме че нные вве р ху и нд е ксо м (n). Пр о ц е д ур у р а зло ж е ни я все х и схо д ных функц и й по па р а ме тр у δ б уд е м на зыва ть ли не а р и за ц и е й функц и й, F( r ) =
∞
∑ δ n F(r ) (n ) , (δ << 1) , гд е F(r) – не ка я функц и я за ви сящ а я о тпа р а ме тр а r.
n =0
Т е р ми н «ли не а р и за ц и я» о тр а ж а е т то , что пр и n ≥ 1 F (n) пр е д ста вляю т со б о й ли не йные функц и и ве ли чи н n-го по р яд ка , а пр и n=0 функц и я F ( 0 ) о б ычно не ли не йна я. Д а льне йш е е р а ссмо тр е ни е б уд е м пр о во д и ть в ц и ли нд р и че ско й си сте ме ко о р д и на т r, θ, z , о гр а ни чи мся пр и это м случа е м пло ско й д е фо р ма ц и и . Пло ска я д е фо р ма ц и я р е а ли зуе тся в д ли нных пр и зма ти че ски х те ла х, ко гд а на гр узка , но р ма льна я к б о ко во й по ве р хно сти не ме няе тся вд о ль о б р а зую щ е й. В это м случа е ча сти ц ы д е фо р ми р уе мо го те ла пе р е ме щ а ю тся вд о ль пло ско сти , пе р пе нд и куляр но й о cи z, и не за ви сято тко о р д и на тыz: u z = e rz = e θz = τ rz = τ θz = 0 . Т о гд а усло ви е пла сти чно сти , со гла сно М и зе су, пр е д ста вляе тся в ви д е
(σ r − σ θ )2 + 4τ 2rθ = 4k 2 ,
k = const,
(4.11)
гд е k – пр е д е л те куче сти пр и сд ви ге . И спо льзуя р а зло ж е ни я ∞
∞
σ ij = ∑ δ n σ ij( n ) , u i = ∑ δ n u i( n ) , n =0
(4.12)
n =0
по лучи м ли не а р и зи р о ва нные со о тно ш е ни я д ля ур а вне ни й (4.1) – (4.9). Т а к ка к ур а вне ни я р а вно ве си я (4.1) ли не йны о тно си те льно ко мпо не нт на пр яж е ни й, то о ни со хр а няю тсво й ви д д ля лю б о го пр и б ли ж е ни я ∂σ (r n ) 1 ∂τ (rθn ) σ (r n ) − σ (θn ) + + = 0; ∂r 2 ∂θ r ∂τ (rθn ) 1 ∂σ (θn ) 2τ (rθn ) + + = 0; ∂r r ∂θ r ∂σ (zn ) = 0. ∂z
(4.13)
Л и не йно сть о тно си те льно ко мпо не нт д е фо р ма ц и й и пе р е ме щ е ни й пр и сутствуе тв со о тно ш е ни ях (4.2), по это му, а на ло ги чно ур а вне ни ям р а вно ве си я, и х ви д о д и на ко в д ля лю б ыхпр и б ли ж е ни й
12
∂u (r n ) ( n ) 1 ∂ u (θn ) ; e rθ = r ∂r 2 ∂r r 1 ∂u (θn ) u (r n ) = + . 2 ∂θ r
e (r n ) = e
(n) θ
1 ∂u (rn ) + ; 2 ∂θ
(4.14)
Ф ункц и я пла сти чно сти (4.5) о пи сыва е тся не ли не йным о тно си те льно ко мпо не нт на пр яж е ни й ур а вне ни е м. Д ля ли не а р и за ц и и д а нно го со о тно ш е ни я по д ста ви м в (4.5) р а зло ж е ни я (4.12), что д а ст
(σ
(0) r
(
)
2
+ δσ (r1) + δ 2 σ (r 2) + K − σ (θ0 ) − δσ (θ1) − δ 2 σ (θ2 ) − K +
)
(4.15)
2
+ 4 τ (rθ0) + δτ(r1θ) + δ 2 τ (rθ2) + K = 4k 2 .
По сле гр уппи р о вки чле но в пр и о д и на ко вых сте пе нях δ б уд е м и ме ть
((σ
) (
)
(
)
)
2
− σ θ( 0 ) + δ σ (r1) − σ θ(1) + δ 2 σ (r 2 ) − σ (θ2 ) + K +
( 0) r
(
)
(4.16)
2
+ 4 τ (rθ0) + δτ (r1θ) + δ 2 τ (rθ2) + K = 4k 2 ,
р а скр ыти е ско б о к д а ст
(σ
( 0) r
(
− σ θ( 0 )
)
+ δ (σ
(
)(
)
(
)(
)
+ δ σ (r1) − σ θ(1) σ (r0) − σ (θ0) + δ 2 σ (r 2) − σ (θ2 ) σ (r0 ) − σ (θ0) +
)(σ − σ ) + δ (σ − σ ) + δ (σ − σ )(σ − σ )(σ − σ ) + δ (σ − σ )(σ − σ ) +
+δ σ −σ (1) r 2 ( 2) r
2
(1) θ
( 0) r
( 2) θ
( 0) θ
( 0) r
2
(0) θ
(1) (1) 2 r θ 3 ( 2) ( 2) r θ
3
( 2) r
(1) r
( 2) θ
(1) r
)
− σ θ(1) +
(1) θ 2
2
+ 4τ (rθ0 ) + 4δτ (rθ0 ) τ (r1θ) + 4δ 2 τ (rθ0) τ (rθ2 ) + 4δ 2 τ (rθ0) τ (r1θ) + δ 2 τ (r1θ) + δ 3 τ (r1θ) τ (rθ2) + K = 4k 2 .
По ла га я τ (rθ0) = 0 (в ка че стве о се си мме тр и чный случа й), по лучи м n =0
(σ
n =1
σ
n =2
(0) r (1) r
нуле во го
пр и б ли ж е ни я
(4.17) выб и р а е м
(0) (0) (0) − σ (θ0) ) = 4k 2 ⇒ σ (0) r − σ θ = 2kη; η = sign (σ r − σ θ ); 2
− σ θ(1) = 0;
( 2) (1) (1) 2kη(σ (2) r − σ θ ) + (σ r − σ θ ) + 4 τ
(4.18) (1) 2 rθ
= 0;
… и ли о б щ е м случа е σ (rn ) − σ (θn ) = Ф Ф
(n)
=−
(n)
[(
; Ф
(0)
= 2kη; Ф
(1)
= 0;
]
η − σ θ( m ) σ (nr - m) − σ θ( n −m ) + 4τ (rθm ) τ (rθn −m ) , n ≥ 2. ∑ σ (m) r 4k m = 0 n −1
)(
)
По луче нные со о тно ш е ни я (4.19) и спо льзуе м д а ле е на пр яж е ни й в ко нкр е тных за д а ча х.
(4.19)
д ля о пр е д е ле ни я
13
По лучи м ли не а р и зо ва нные со о тно ш е ни я, ко то р ые не о б хо д и мы д ля на хо ж д е ни я пе р е ме щ е ни й. Д ля это го выпи ш е м со о тно ш е ни я связи σ ij − e ij . И з (4.3) и (4.6) и ме е м de r = d er + dλ
∂f ∂f dλ ∂f ; de θ = d eθ + dλ ; de rθ = d erθ + ; ∂σ r ∂σ θ 2 ∂τ rθ
(4.20)
f (σ r , σ θ , τ rθ ) = 0.
Т а к ка к д ля лю б о го эле ме нта , на хо д ящ е го ся в пла сти че ско м со сто яни и , упр уги е д е фо р ма ц и и фи кси р о ва ны, и ме е м de er = de θe = de erθ = 0 . Т а ки м о б р а зо м, со о тно ш е ни я (4.20) пр и ни ма ю тви д de r = dλ
dλ ∂f ∂f ∂f ; de θ = dλ ; de rθ = . ∂σ r ∂σ θ 2 ∂τ rθ
(4.21)
Выр а зи м и з (4.21) ко эффи ц и е нтdλ dλ =
de θ de rθ de r = =2 . ∂f ∂f ∂f ∂σ r ∂σ θ ∂τ rθ
(4.22)
В случа е ма лых д е фо р ма ц и й и ме е т ме сто de ij ≈
∂e ij ∂t
dt и , сле д о ва те льно ,
со о тно ш е ни е (4.22) мо ж но пр о и нте гр и р о ва ть. По сле это й о пе р а ц и и по луча е м e θp 2e prθ e pr = = . ∂f ∂f ∂f ∂σ r ∂σ θ ∂τ rθ
(4.23)
(Ка к уж е о тме ча ло сь, пр и д е фо р ми р о ва ни и в пла сти че ско й зо не пр и р а щ е ни я и спытыва ю т то лько пла сти че ски е ко мпо не нты, пр и че м в мо ме нт за р о ж д е ни я пла сти че ско й зо ныt=0 пла сти че ски е д е фо р ма ц и и р а внынулю , т.е . e pr = e θp = e prθ = 0 .) Пе р е пи ш е м выр а ж е ни е (4.23) с уче то м (4.3) e r − e er e θ − e eθ 2(e rθ − e erθ ) = = . ∂f ∂f ∂f ∂σ r ∂σ θ ∂τ rθ
(4.24)
И спо льзуя со о тно ш е ни я Ко ш и (4.2), пе р е йд е м в (4.24) к ко мпо не нта м пе р е ме щ е ни й ∂ uθ ∂u r 1 ∂u θ u r − e er + − e θe r ∂r r ∂r r = 2 ∂θ = ∂f ∂f ∂σ r ∂σ θ
1 ∂u r − 2e erθ + 2 ∂ θ . ∂f ∂τ rθ
(4.25)
14
Т а к ка к в на ш е м случа е f (σ r , σ θ , τ rθ ) = (σ r − σ θ )2 + 4τ 2rθ − 4k 2 , то ∂f ∂f ∂f = 2(σ r − σ θ ); = −2(σ r − σ θ ); = 8τ rθ . ∂σ r ∂σ θ ∂τ rθ
(4.26)
В р е зульта те пр е о б р а зо ва ни я (4.25) с по мо щ ью (4.26) по луча е м си сте му д вух ур а вне ни й 1 ∂u r ∂u θ u θ ∂u r e + − − 2e erθ ∂r − e r ∂r r = r ∂θ ; ( ) σ − σ 4 τ r rθ θ 1 ∂u θ + u r − e e 1 ∂u r + ∂u θ − u θ − 2e e θ rθ r ∂θ r r ∂θ ∂r r − = . (σ r − σ θ ) 4τ rθ
(4.27)
И з это й си сте мыур а вне ни й путе м и х сло ж е ни я, по луча е м ∂u r 1 ∂u θ u r 1 ∂u r ∂u θ u θ − − − e er + e eθ + − − 2e erθ ∂r r ∂θ r ∂r r = r ∂θ . (σ r − σ θ ) 2τ rθ
(4.28)
Т а ки м о б р а зо м, и ме е м 1 1 ∂u r ∂u θ u θ ∂u r 1 ∂u θ u r − − − e er + e θe τ rθ − + − − 2e erθ (σ r − σ θ ) = 0 . ∂r r 2 r ∂θ r ∂r r ∂θ
(4.29)
В случа е пло ско й д е фо р ма ц и и д ля не сж и ма е мо го ма те р и а ла за ко н Г ука (4.4) пр и ни ма е тви д e er = −e eθ =
1 (σ r − σ θ ); e erθ = 1 τ rθ . 4G 2G
(4.30)
И з со о тно ш е ни й (4.30) сле д уе т
(e
e θ
)
− e er τ rθ + e erθ (σ r − σ θ ) ≡ 0 .
(4.31)
Учи тыва я это , р а ве нство (4.29) пр и ни ма е тви д 1 1 ∂u r ∂u θ u θ ∂u r 1 ∂u θ u r − − τ rθ − + − (σ r − σ θ ) = 0 . r 2 r ∂θ ∂r r ∂r r ∂θ
(4.32)
15
Т а к ка к, со гла сно (4.2.), e r = (4.31) за пи ш е тся та к:
∂u r 1 ∂u θ u r 1 ∂ u + ; e rθ = r θ ; eθ = ∂r 2 ∂θ r 2 ∂r r
∂u θ u θ 1 ∂u r e − eθ − + =2 r τ rθ . ∂r r r ∂θ σr − σθ
1 ∂u r + 2 ∂θ
, то
(4.33)
И з си сте мы ур а вне ни й (4.27), путе м и х вычи та ни я и с уче то м со о тно ш е ни й Ко ш и , и ме е м ∂u r 1 ∂u θ u r + = e er + e eθ = 0 . + ∂r r ∂θ r
(4.34)
Л и не а р и зуе м ур а вне ни я (4.33) и (4.34), д ля это го р а зло ж е ни я (4.12)
по д ста ви м в ни х
∂ (u (r0) + δu (r1) ) 1 ∂ (u θ( 0) + δu θ(1) ) u (r0) + δu (r1) + + =0 ∂r r ∂θ r
и ли по сле пр е о б р а зо ва ни я ∂u (r1) 1 ∂u θ(1) u (r1) ∂u (r0) 1 ∂u (θ0 ) u (r0 ) = 0 . + + + δ + + ∂r ∂ ∂ θ r ∂θ r r r r
(4.35)
По д о б ным о б р а зо м со о тно ш е ни я (4.33) с уче то м р а зло ж е ни й (4.12) пе р е пи ш е м в ви д е
(
)
(
)
∂ u θ( 0) + δu θ(1) u ( 0) + δu θ(1) 1 ∂ u (r0) + δu (r1) e ( 0) + δe (r1) − e (θ0 ) − δe θ(1) − θ + = 2 (r0 ) δτ (r1θ) . (1) ( 0) (1) ∂r r r ∂θ σ r + δσ r − σ θ − δσ θ
(4.36)
О ткуд а по сле пр е о б р а зо ва ни й сле д уе т ∂u (θ1) u (θ1) 1 ∂u (r1) ∂u (θ0) u (θ0 ) 1 ∂u (r0) − + + δ − + ∂r r r ∂θ r r ∂θ ∂r (1) (1) e − eθ + 2 (r0) δ 2 τ (r1θ) . ( 0) σr − σθ
e ( 0) − e (θ0) (1) = 2 (r0) δτ rθ + σ r − σ (θ0)
(4.37)
Т а ки м о б р а зо м, по луча е м в пе р во м пр и б ли ж е ни и си сте му ур а вне ни й д ля о пр е д е ле ни я пе р е ме щ е ни й в ви д е
16
∂u (r1) 1 ∂u θ(1) u (r1) + + = 0; r ∂θ r ∂r (1) (1) ( 0) (0 ) (1) ∂u θ − u θ + 1 ∂u r = 2 e r − e θ τ (1) . rθ ∂r r r ∂θ σ (r0) − σ (θ0)
(4.38)
Ра ссмо тр и м гр а ни чные усло ви я в на пр яж е ни ях, за д а нные на ко нтур е L1 в пло ско сти . Пусть на гр а ни ц е за д а ныно р ма льные и ка са те льные уси ли я на L1.
σ γ = Pγ , τ γ = Pγ
(4.39)
Ур а вне ни е ко нтур а L1 пр е д ста ви м в ви д е ∞
_
∞
_
r = ∑ δ n rn (θ) = r0 + δ r, r = ∑ δ n rn +1 (θ) . n =0
(4.40)
n =0
В это м случа е ли не а р и зо ва нные гр а ни чные усло ви я пр и r = r0 и ме ю тви д (д ля пе р во го пр и б ли ж е ни я) . dPγ dPγ dσ (r0) (0) (0) r1 = r1 ; τ (1) R − σ − σ r1 , 1 = rθ θ r dr dr dr R 1 = ri . r0
(
σ (r1) +
гд е
)
(4.41)
На гр а ни ц е упр уго й и пла сти че ско й о б ла сте й Ls д о лж ныи ме ть ме сто усло ви я со пр яж е ни я
[σ r ] = [σ θ ] = [τ rθ ] = [u r ] = [u θ ] = 0 .
(4.42)
Ур а вне ни е ко нтур а Ls за пи ш е тся пр и это м в сле д ую щ е м ви д е ∞
_
_
∞
rs = ∑ δ n rn s (θ) = r0 s + δ rs , rs = ∑ δ n rn +1s (θ) . n =0
(4.43)
n =0
По сле ли не а р и за ц и и усло ви я со пр яж е ни я на Ls пр и мутви д (1) dσ (r0) (1) du (r0) r1 = 0; u r + r1 = 0 . σ r + dr s dr s
(4.44)
4.3. И нтегрирование с оотношений теории идеальной плас тич нос ти Уд о вле тво р яя ур а вне ни ям р а вно ве си я (4.13), вве д е м функц и ю на пр яж е ни й Э р и U(r, θ ), пр и это м о гр а ни чи ва ясь пе р вым пр и б ли ж е ни е м, и ме е м
17
1 ∂U (1) 1 ∂ 2 U (1) + 2 ; r ∂r r ∂θ 2 ∂ 2 U (1) σ θ(1) = ; ∂r 2 ∂ 1 ∂U (1) . τ (r1θ) = − ∂r r ∂θ σ (r1) =
(4.45)
И спо льзуя (4.19) и (4.45), по лучи м r2
∂ 2 U (1) ∂U (1) ∂ 2 U (1) − r − = 0. ∂r ∂r 2 ∂θ 2
(4.46)
Ре ш е ни е ур а вне ни я (4.46) и щ е тся в ви д е U (1) = R ( r ) cos(nθ + θ 0 ).
(4.47)
Т а ки м о б р а зо м, и з (4.45) сле д уе т r2
d 2R dR −r + n 2 R = 0, 2 dr dr
(4.48)
о ткуд а R = C 00 + C 01 r 2
R = r (C11 + C12 ln r )
[
(
)
(
R = r C n1 cos n 2 − 1 ln r + C n 2 sin n 2 − 1 ln r
)]
пр и n=0, пр и n=1, пр и n ≥ 2,
(4.49)
гд е C 00 , C 01 , C11 , C12 , C n1 , C n 2 -ко нста нты, по д ле ж а щ и е о пр е д е ле ни ю . И спо льзуя р е ш е ни е ур а вне ни я (4.48), т.е . со о тно ш е ни я (4.49), а та кж е фо р мулу (4.47), о ко нча те льно по луча е м σ (r1) = C 00 +
[
{[ (
] (
)
)
C11 1 ∞ cos(θ + θ 0 ) + ∑ C n1 1 − n 2 + n 2 − 1C n 2 cos n 2 − 1 ln r + r r n=2
)]
(
(
)}
+ − n 2 − 1C n1 + C n 2 1 − n 2 sin n 2 − 1 ln r cos(nθ + θ 0 ); σ
(1) θ
=σ ;
τ (r1θ) =
(1) r
∞
[
(
)
(
)]
(4.50)
C12 1 sin (θ + θ 0 ) + ∑ n n 2 − 1 C n 2 cos n 2 − 1 ln r − C n1 sin n 2 − 1 ln r × r r n=2 × sin (nθ + θ 0 ).
Ра ссмо тр и м ли не а р и зи р о ва нные ур а вне ни я д ля о пр е д е ле ни я пе р е ме щ е ни й в пла сти че ско й о б ла сти те ла (4.38), вве д я сле д ую щ и м о б р а зо м функц и ю то ка - φ
18
u (r1) = −
1 ∂φ (1) ∂φ (1) ; u (1) = . θ r ∂θ ∂r
(4.51)
В это м случа е пе р во е ур а вне ни е и з си сте мы (4.38), являю щ е е ся усло ви е м не сж и ма е мо сти , уд о вле тво р яе тся а вто ма ти че ски . И з вто р о го ур а вне ни я сле д уе т e (r0) − e (θ0 ) (1) ∂ 2 φ (1) 1 ∂φ (1) 1 ∂ 2 φ (1) − − = τ rθ . 2 r ∂r ∂r 2 σ (r0) − σ (θ0) r 2 ∂θ 2
(4.52)
Ре ш е ни е ур а вне ни я (4.52) и щ е тся в по д о б но м (4.47) ви д е φ (1) = M ( r ) sin (nθ + θ 0 ).
(4.53)
Т а к ка к ур а вне ни е (4.52) б е з пр а во й ча сти со впа д а е т с о д но р о д ным ур а вне ни е м (4.46), р е ш е ни е ко то р о го и зве стно (4.49), то д ля ко мпо не нт пе р е ме щ е ни й в пла сти че ско й о б ла сти по луча ю тся сле д ую щ и е выр а ж е ни я (вли яни е на р е ш е ни е пр а во й ча сти ур а вне ни я (4.52) не о б хо д и мо и ссле д о ва ть пр и р е ш е ни и ко нкр е тныхза д а ч): u (r1) =
L 00 − (L11 + L12 ln r ) cos(θ + θ 0 ) − r
[
∞
(
)
(
(4.54)
)]
− ∑ n L n1 cos n − 1 ln r + L n 2 sin n − 1 ln r cos(nθ + θ 0 ); u
n =2 (1) θ
2
= [L11 + L12 (1 + ln r )]sin (nθ + θ 0 ) +
∞
[(
) (
2
)(
) (
)]
+ ∑ L n1 + n 2 − 1L n 2 cos n 2 − 1 ln r + − n 2 − 1L n1 + L n 2 sin n 2 − 1 ln r sin (nθ + θ 0 ), n =2
гд е L 00 , L11 , L12 , L n1 , L n 2 -ко нста нты, по д ле ж а щ и е о пр е д е ле ни ю . Д ля о пр е д е ле ни я по сле д ую щ и х пр и б ли ж е ни й не о б хо д и мо на йти р е ш е ни е не о д но р о д но го д и ффе р е нц и а льно го ур а вне ни я (4.33) с и зве стно й пр а во й ча стью . Т а ки м о б р а зо м, д ля случа я пло ско й д е фо р ма ц и и за д а ча о пр е д е ле ни я на пр яж е ни й σ ij и пе р е ме щ е ни й u i в пла сти че ско й о б ла сти те ла све ла сь к р е ш е ни ю д и ффе р е нц и а льных ур а вне ни й (4.46) и (4.52), ко то р ые пр и на д ле ж а т к ги пе р б о ли че ско му ти пу. 4.4. Л инеаризованные с оотношения для упругой зоны тела Д ля на хо ж д е ни я на пр яж е нно -д е фо р ми р о ва нно го со сто яни я в упр уго й о б ла сти ма те р и а ла во спо льзуе мся сле д ую щ и ми со о тно ш е ни ями , по стр о е нными в [5]. Ка к и р а ньш е о гр а ни чи мся пе р вым пр и б ли ж е ни е м ∞
[
σ (r1) = ∑ − n (n − 1)K 1 r n −2 − n (n + 1)K 2 r −n − 2 − (n − 2)(n + 1)K 3 r n − n=2
]
− (n − 1)(n + 2)K 4 r −n cos nθ;
19 ∞
[
σ (θ1) = ∑ n (n − 1)K 1 r n −2 + n (n + 1)K 2 r − n − 2 + (n + 2)(n + 1)K 3 r n − n=2
− (n − 1)(n − 2)K 4 r ∞
[
−n
(4.55)
]cos nθ;
τ (r1θ) = ∑ n (n − 1)K 1 r n − 2 − n (n + 1)K 2 r − n − 2 + n (n + 1)K 3 r n − n =2
]
− n (n − 1)K 4 r −n sin nθ; 1 ∞ u (r1) = ∑ − 2nK 1r n −1 + 2nK 2 r −n −1 − 2nK 3 r n +1 + 2nK 4 r −n +1 cos nθ; 4G n = 2 1 ∞ u θ(1) = ∑ 2nK 1r n −1 + 2nK 2 r −n −1 + (2n + 4)K 3 r n +1 + (2n − 4)K 4 r −n +1 sin nθ, 4G n =2
[
]
[
]
(4.56)
гд е n>1, K1,K2,K3,K4 – ко нста нты, по д ле ж а щ и е о пр е д е ле ни ю . 4.5. А лгоритм для определения решения упругоплас тич ес кой задач и Ра ссмо тр и м о д и н и з ва р и а нто в по стр о е ни я пр и б ли ж е нно го р е ш е ни я д ля за д а чи те о р и и упр уго пла сти че ско го те ла . О гр а ни чи мся пе р вым пр и б ли ж е ни е м. По сле ли не а р и за ц и и си сте мыур а вне ни й (4.1) – (4.9) в случа е упр уго го вклю че ни я во змо ж на сле д ую щ а я по сле д о ва те льно сть д е йстви й (а лго р и тм И вле ва – Е р ш о ва ). 1. И схо д я и з за д а нных пр и по ста но вке за д а чи гр а ни чных усло ви й на б е ско не чно сти (4.7), о пр е д е ляю тся гр а ни чные усло ви я д ля упр уго й зо ны пли ты. Н а гр а ни ц е р а зд е ла упр уго й и пла сти че ски х о б ла сте й и спо льзую тся усло ви я со пр яж е ни я р е ш е ни й на это й гр а ни ц е (4.9). Пр и че м, сле д уя [9], усло ви я со пр яж е ни я в лю б о м пр и б ли ж е ни и сно сятся с и ско мо й упр уго пла сти че ско й гр а ни ц ына не во змущ е нную , являю щ ую ся о кр уж но стью . 2. С по мо щ ью выр а ж е ни й (4.55) и (4.56) о пр е д е ляю тся р е ш е ни я в упр уго й зо не пли ты. 3. По луче нные р е ш е ни я д ля на пр яж е ни й и пе р е ме щ е ни й в упр уго й зо не и спо льзую тся в усло ви ях со пр яж е ни я на гр а ни ц е р а зд е ла упр уго й и пла сти че ско й зо н пли ты(4.9). 4. Пла сти че ски е на пр яж е ни я о пр е д е ляю тся в со о тве тстви и с со о тно ш е ни ями (4.50). 5. Ре ш е ни е не о д но р о д но го д и ффе р е нц и а льно го ур а вне ни я (4.52) со вме стно с выр а ж е ни ями (4.51) о пр е д е ляе тви д пла сти че ски х пе р е ме щ е ни й в пли те . 6. И з усло ви я со пр яж е ни я д ля на пр яж е ни й на ли ни и р а зд е ла упр уго й и пла сти че ски х о б ла сте й на хо д ятся сла га е мые , вхо д ящ и е в ур а вне ни е упр уго пла сти че ско й гр а ни ц ыд ля пли ты. 7. Ре ш е ни е в упр уго м вклю че ни и на хо д и тся, со гла сно (4.55) и (4.56), с уче то м гр а ни чных усло ви й на внутр е нне м ко нтур е вклю че ни я. 8. Н а гр а ни ц е ко нта кта вклю че ни я и пли ты пр о и зво д и тся со вме стно е о пр е д е ле ни е все хне и зве стных ко нста нт.
20
4.6. Решение упругоплас тич ес кой задач и о плите, с одержащ ей вклю ч ение И ссле д уе м за д а чу о д вухо сно м р а стяж е ни и то лсто й пли ты с о тве р сти е м в фо р ме элли пса , в ко то р о е с на тяго м вста вле но упр уго е вклю че ни е – ц и ли нд р . М а те р и а л пли ты пр е д по ла га е тся и д е а льно упр уго пла сти че ски м, вклю че ни е пр е д по ла га е тся упр уги м (р и суно к 1).
Ри суно к 1
На р и сунке 1 о б о зна че но : 1- гр а ни ц а р а зд е ла упр уго й и пла сти че ски х о б ла сте й пли ты, 2- гр а ни ц а ко нта кта вклю че ни я и пли ты, 3 –внутр е нни й ко нтур вклю че ни я. Внутр е нни й и вне ш ни й ко нтур ы вклю че ни я и ме ю т элли пти че скую фо р му. Пли та на б е ско не чно сти р а стяги ва е тся вза и мно пе р пе нд и куляр ными уси ли ями с и нте нси вно стями P1 и P2, внутр е нни й ко нтур вклю че ни я на гр уж е н но р ма льным д а вле ни е м P0. Ра ссма тр и ва е тся случа й пло ско й д е фо р ма ц и и , т.е . по ла га е тся uz=eρ z=eθz=τ ρ z=τ θz=0. Д ля р е ш е ни я за д а чи вве д е м ц и ли нд р и че скую си сте му ко о р д и на т ρ, θ, z . О сь 0z на пр а вле на вд о ль о си ц и ли нд р а , а на ча ло ко о р д и на т выб и р а е м в ц е нтр е по сле д не го . Пр и это м ма те р и а л ко нстр укц и и счи та е тся не сж и ма е мым, о д но р о д ным, и зо тр о пным, но , ка к о тме ча ло сь выш е , ма те р и а лы пли ты и вклю че ни я пр е д по ла га ю тся р а зли чными . Пр и по стр о е ни е ма те ма ти че ско й мо д е ли б уд е м и схо д и ть и з пр е д по ло ж е ни я, что пла сти че ска я зо на в пли те по лно стью о хва тыва е т ко нтур о тве р сти я. За д а ча б уд е т р е ш е на по сле на хо ж д е ни я р а спр е д е ле ни я по ля на пр яж е ни й (ко мпо не нт те нзо р а на пр яж е ни й σ іj) и пе р е ме щ е ни й (ко мпо не нт ве кто р а пе р е ме щ е ни й ui) во все й со ста вно й ко нстр укц и и , а та кж е фо р мы упр уго пла сти че ско й гр а ни ц ыв пли те . Д ля р е ш е ни я по ста вле нно й за д а чи уд о б но пр и ме ни ть пр и б ли ж е нно – а на ли ти че ски й ме то д – ме то д ма ло го па р а ме тр а и ли б о ле е ш и р о ко – ме то д во змущ е ни й, смысл ко то р о го р а скр ыва лся выш е . И зве стно [9], что пр и ме не ни е
21
это го ме то д а по зво ляе тпо лучи ть пр и б ли ж е нно е р е ш е ни е вб ли зи уж е и зве стно го то чно го р е ш е ни я. Д ля р а ссма тр и ва е мо й за д а чи с элли пти че ски ми ко нтур а ми та ко й б ли зко й за д а че й б уд е т за д а ча о пли те с кр уго выми ко нтур а ми , пр е д ста вляю щ а я нуле во е пр и б ли ж е ни е и ли не во змущ е нно е со сто яни е в и ско мо м р е ш е ни и . В со о тве тстви и со ска за нным, о гр а ни чи вш и сь нуле вым и пе р вым пр и б ли ж е ни ями , р е ш е ни е о б щ е й за д а чи б уд е ти ска ться в ви д е σ ρ = σ ρ0 + δσ1ρ ; σ θ = σ θ0 + δσ1θ ; 0 τ ρθ = τ ρθ + δτ1ρθ ;
u = u + δu ; 0
1
1 (σ ρ + σ θ ); 2 υ = υ 0 + δυ1; ρ k = R 0 + δR 1 ,
σz =
(4.57)
rs = 1 + δrs(1) ,
гд е ве р хни й и нд е кс 1 ука зыва е т на пе р во е пр и б ли ж е ни е , а и нд е кс 0 на нуле во е пр и б ли ж е ни е , δ –ма лый па р а ме тр , σ ij –ко мпо не нты те нзо р а на пр яж е ни й; u, υ пе р е ме щ е ни я вд о ль о се й со о тве тстве нно ; rs- р а д и ус упр уго пла сти че ско й гр а ни ц ы в пли те , ρ k - ли ни я ко нта кта вклю че ни я и пли ты. Ра ссмо тр и м о тд е льно нуле во е и пе р во е пр и б ли ж е ни я. 4.6.1. Н улевое приближение (У пругоплас тич ес кое с ос тоя ние толс той плиты с круговым отверс тием, заполненным с натя гом круглым вклю ч ением – ц илиндром) Ра ссмо тр и м о се си мме тр и чно е со сто яни е то лсто й пли ты с кр уго вым о тве р сти е м р а д и уса α, со д е р ж а щ и м с на тяго м кр углый ц и ли нд р с вне ш ни м р а д и усо м α1 и внутр е нни м β (р и суно к 2).
Ри суно к 2.
22
В д а нно й и по сле д ую щ и х за д а ча х ма те р и а лы пли ты и вклю че ни я пр е д по ла га ю тся р а зли чными . М а те р и а л пли ты пр е д по ла га е тся не сж и ма е мым, упр уго пла сти че ски м, вклю че ни е пр е д по ла га е тся упр уги м. Н а б е ско не чно сти ко нстр укц и я р а стяги ва е тся вза и мно пе р пе нд и куляр ными уси ли ями и нте нси вно стями P =
P1 + P2 . В нутр е нни й ко нтур вклю че ни я на гр уж е н уси ли ями 2k
и нте нси вно стью P0. И ме е м случа й пло ско й д е фо р ма ц и и . Ре ш е ни е пр о во д и тся в ц и ли нд р и че ско й си сте ме ко о р д и на т. Все со о тно ш е ни я за пи са ны в б е зр а зме р но м ви д е . В е ли чи ны, и ме ю щ и е р а зме р но сть на пр яж е ни й, о тне се ны к k – пр е д е лу те куче сти на сд ви г ма те р и а ла пли ты. Пе р е ме щ е ни я о тне се ны к р а д и усу упр уго пла сти че ско й гр а ни ц ы в пли те rs 0 . Д ля о б о зна че ни я б е зр а зме р ных ве ли чи н и спо льзуе м пр е ж ни е о б о зна че ни я. Ра ссма тр и ва е тся случа й и д е а льно й пла сти чно сти . По ла га е м, что д а вле ни е , во зни ка ю щ е е на гр а ни ц е ко нта кта пли ты и вклю че ни я, сво д и тся к но р ма льно му д а вле ни ю q на кр а я о тве р сти я пли ты и вклю че ни я. Учи тыва я гр а ни чные усло ви я и счи та я на пр яж е ни я и пе р е ме щ е ни я на упр уго пла сти че ско й гр а ни ц е не пр е р ывными , выпи ш е м р е ш е ни е по ста вле нно й за д а чи . Г р а ни чные усло ви я и ме ю тви д : на б е ско не чно сти σe∞ = P, ρ
τe∞ = 0, ρθ
ρ = ∞ (ρ = ρ/r ) , s0
(4.58)
на внутр е нне м ко нтур е ц и ли нд р и че ско го вклю че ни я пр е д ста вляю тся в ви д е σ
ρB
= −P , 0
τ
ρθB
= 0,
ρ = β (ρ = ρ/r , β = β/r ) . s0 s0
(4.59)
С ле д уя [12], д ля пла сти ныв упр уго й о б ла сти и ме е м σ 0e 1 k ρ , τ 0e = 0, u 0e = , υ 0e = 0, =Pm ρθ 2 2 G ρ 0 e ρ σ θ
(4.60)
гд е G – мо д уль сд ви га ма те р и а ла пли ты. В пла сти че ско й зо не пла сти ныи ме е м σ
ρ 0p 0p 0p 0p 0p 0p = −q + 2 ln , σ = σ + 2, τ = 0, u = u 0e , υ = 0, ρ θ ρ ρθ α
гд е q=q/k – но р ма льно е д а вле ни е .
(4.61)
23
В упр уго м и ме е тви д
вклю че ни и р а спр е д е ле ни е по ля на пр яж е ни й и пе р е ме щ е ни й
α 2β 2 2 1 0 2 1 σ = qα1 − P0β − (q − P0 ) 2 , ρB 2 2 β −α ρ 1 α 2β 2 2 1 0 2 1 σ = qα1 − P0β + (q − P0 ) 2 , θB 2 2 β −α ρ 1 τ0 = 0, ρθB k ( q − P )α 2 β 2 0 0 1 u = , B 2 2G (β − α 2 )ρ 1 1 0 υ = 0, B
(4.62)
гд е G1 – мо д уль сд ви га ма те р и а ла вклю че ни я. И з усло ви й со вме стно сти д е фо р ма ц и й пла сти ны и вклю че ни я вд о ль ли ни и ко нта кта u
0p
= u0 + ε, ε = α − α 1 Bρ=α ρ=α 1
(4.63)
и и з усло ви й со пр яж е ни я на упр уго пла сти че ско й гр а ни ц е в пли те σ
0p = σ 0e θ ρ =1 θ ρ =1
(4.64)
и ме е м сле д ую щ ую си сте му ур а вне ни й r q = 1 − P + 2 ln s0П , α r 2 (β 2 − α 2 ) G (α − α)(β 2 − α 2 ) s 0П 1 = 1 1 + G (1 − P − 2 ln α) − 2G 2αα β 2 α β2k 1 1 1 P G G − 0 + ln r . s 0П 2G G 1 1
(4.65)
Ре ш е ни е си сте мы ур а вне ни й (4.65) по зво ляе т на йти ве ли чи ну на тяга q и р а д и ус упр уго пла сти че ско й гр а ни ц ыв пли те rs0. С о о тно ш е ни я (4.60), (4.61), (4.62) по лно стью о пр е д е ляю т нуле во е пр и б ли ж е ни е д ля за д а чи о пли те с элли пти че ски м вклю че ни е м.
24
4.6.2. П ервое приближение За
ма лый
па р а ме тр
пр и ме м выр а ж е ни е
[1]
P −P 2 , δd = 1 3 2k
гд е
d3 -
б е зр а зме р на я по сто янна я. В пло ско сти , пе р пе нд и куляр но й о си 0Z, со гла сно [9]: ур а вне ни е ко нтур а , о гр а ни чи ва ю щ е го вклю че ни е д о д е фо р ма ц и и ρ = α1 (1 + δd 1 cos 2θ − ...),
(4.66)
ур а вне ни е ко нтур а , о гр а ни чи ва ю щ е го о тве р сти е в пли те д о д е фо р ма ц и и ρ = α(1 + δd 1 cos 2θ − ...),
(4.67)
ур а вне ни е ко нтур а , о гр а ни чи ва ю щ е го внутр е нне е о тве р сти е во вклю че ни и д о д е фо р ма ц и и ρ = β(1 + δd 2 cos 2θ − ...),
(4.68)
гд е α1 > α ; α, α1 , β - р а д и усы в нуле во м пр и б ли ж е ни и со о тве тстве нно : о тве р сти я в пли те , вне ш но сти вклю че ни я, внутр е нне го о тве р сти я во вклю че ни и (см. п. 4.6.1.); d 1 , d 2 - б е зр а зме р ные ко нста нты; δ - ма лый па р а ме тр . Т а ки м о б р а зо м, ве ли чи на δ ха р а кте р и зуе т о ткло не ни е ко нтур а от о кр уж но сти и во змущ е ни е ста ти че ски хгр а ни чных усло ви й. Вви д у ма ло сти ε = α1 − α пр и ме м за ли ни ю ко нта кта пли ты и вклю че ни я вне ш ню ю гр а ни ц у вклю че ни я, ко то р а я пр и р а зло ж е ни и по ма ло му па р а ме тр у пр е д ста вляе тся в ви д е ρ k = R 0 + δR 1 ,
(4.69)
гд е R 0 = α1;
R 1 = α1d 1 cos 2θ .
Г р а ни чные усло ви я на б е ско не чно сти за пи ш утся сле д ую щ и м о б р а зо м σ e∞ = P − δd cos 2 θ; ρ 3
τ e∞ = δd sin 2θ, ρθ 3
(4.70)
гд е P=
P1 + P2 P − P2 , δd 3 = 1 , d 3 - б е зр а зме р на я по сто янна я. 2k 2k
На внутр е нне м ко нтур е пр и б ли ж е ни я и ме ю тви д [9]
вклю че ни я гр а ни чные
усло ви я д ля пе р во го
25
(0)e (1)e dσ ρB σ = 0; + β d cos 2θ 2 dρ ρB ρ =β
(4.71)
(1)e ( 0) e (0)e = 0. τρθB + 2 σ θB − σ ρB d 2 sin 2θ ρ =β
С и мво л B – о зна ча е т пр и на д ле ж но сть ко мпо не нт на пр яж е ни й к упр уго му вклю че ни ю . На упр уго пла сти че ско й гр а ни ц е в пли те ли не а р и зи р о ва нные усло ви я со пр яж е ни я и ме ю тви д [9] (0) (1) ∂σ ij (1) =0. r σ ij + ∂ρ s ρ =1
(4.72)
Вд о ль ли ни и ко нта кта пли ты и вклю че ни я в случа е , ко гд а ц и ли нд р вло ж е н с на тяго м и тр е ни е на гр а ни ц е за пр е ссо вки о тсутствуе т, и ме е м [9] и [12] (0)p (0) dσ ρ ρB (1)p (1) (1) ( 0) (0) . σ + + R =σ R ; τ − (σ − σ ) s1 = 0; ρ ρB 1 1 ρθB θB ρB dρ dρ (1)p (0)p ( 0) p . τ − (σ −σ ) s1 = 0, пр и ρ = R ; ρθ θ ρ 0 dσ
(4.73)
(0) (0)p (1) du B u (1)p + du αd cos 2θ = u + α d cos 2θ , 1 B 1 1 ρ=α ρ=α dρ dρ 1
гд е s1 = R 1 / R 0 . Пр и это м пр е д по ла га е тся ска чо к ве кто р а пе р е ме щ е ни я о д и на ко вым по ве ли чи не д ля все х то че к ко нтур а и на пр а вле нным в лю б о й е го то чке по но р ма ли к не му. С о гла сно а лго р и тму, пр и ве д е нно му в пункте 4.5., и спо льзуя (4.55) пр и уче те гр а ни чных усло ви й (4.70) д ля n=2, и ме е м в упр уго й о б ла сти пли ты ∞ > ρ > 1 σ ρ(1)
ρ →∞
(1) τ ρθ
ρ →∞
( = (2K
)
= − 2K 1 − 6K 2 ρ −4 − 4K 4 ρ − 2 cos 2θ 1
о тсю д а по луча е м
ρ →∞
)
= − d 3 cos 2θ ρ→∞ ;
− 6K 2 ρ − 4 + 6K 3ρ 2 − 2K 4 ρ − 2 sin 2θ
ρ →∞
= d 3 sin 2θ ρ→∞ ,
(4.74)
26
2 K 1 = d 3 ; 2 2 K 1 + 6 K 3 ρ = d 3 , ⇒
K 3 = 0, K 1 =
d3 . 2
(4.75)
Вве д я о б о зна че ни я K 2 = a 21 K 4 = a 22 , и ме е м сле д ую щ и е со о тно ш е ни я д ля на пр яж е ни й
(
)
σ ρ(1)e = − d 3 + 6a 21ρ −4 + 4a 22 ρ −2 cos 2θ;
( = (d
)
σ (θ1)e = d 3 + 6a 21ρ −4 cos 2θ; τ
(1) e ρθ
3
− 6a 21ρ
−4
)
− 2a 22 ρ −2 sin 2θ,
(4.76)
д ля пе р е ме щ е ни й k 3 −3 −1 − ρd 3 + 3a 21ρ + 3a 22 ρ cos 2θ; 3G 2 k 3 −3 = ρd 3 + 3a 21ρ sin 2θ. , 3G 2
u (1) e = u θ(1) e
(4.77)
гд е a 21 , a 22 - ко нста нты, о пр е д е ляе мые пр и стыко вке р е ш е ни й на гр а ни ц е ко нта кта пли тыи вклю че ни я с по мо щ ью усло ви й (4.73). Ра ссмо тр и м пла сти че скую о б ла сть пли ты 1 > ρ > α . В р о ли гр а ни чных усло ви й д ля д а нно й о б ла сти б уд ут выступа ть усло ви я со пр яж е ни я на упр уго пла сти че ско й гр а ни ц е (4.72), ко то р ые д ля пе р во го пр и б ли ж е ни я б уд ут выгляд е ть сле д ую щ и м о б р а зо м σ
(1)e (1)p =σ , ρ ρ
τ
(1)e (1)p (1)e (1)p (1)e (1)p =τ , u =u , υ =υ пр и ρ = 1. ρθ ρθ
(4.78)
Во спо льзо ва вш и сь со о тно ш е ни ями (4.78) с уче то м (4.72) и (4.50), по луча е м
(
)
(
)
σ ρ(1) p
ρ =1
= − 3C 21 + 3C 22 cos 2θ = − d + 6a + 4a cos 2θ = σ ρ(1) e 3 21 22
(1) p τ ρθ
ρ =1
(1) e sin 2θ = τ ρθ = 2 3C 22 sin 2θ = d − 6a − 2a 3 21 22
(
)
ρ =1
.
ρ =1
;
(4.79)
По сле пр е о б р а зо ва ни я со о тно ш е ни й (4.79) пр и хо д и м к выр а ж е ни ям д ля ко нста нтС 21 и С 22 d3 + a 21 + a 22 ; 2 d a = 3 − 3a 21 − 22 . 2 3 3
C 21 = С 22
(4.80)
27
И спо льзуя выр а ж е ни я д ля ко нста нт C21 и С 22 (4.80) и з (4.50), р а спр е д е ле ни е по ля на пр яж е ни й в пла сти че ско й о б ла сти пли ты σ
по луча е м
2 1 3 (1)p (1)p =σ = − d 3 cos γ + sin γ + a 21 3 sin γ − 3 cos γ − 2a 22 cos γ cos 2θ = ρ θ ρ 2 2
(
)
π π 2 = − d 3 cos γ − − 2 3a 21 sin γ − + 2a 22 cos γ cos 2θ; ρ 3 3 3 (1)p 2 d 3 d 3 + 3a 21 + 3a 22 sin γ sin 2θ = = − 3a 21 − a 22 cos γ − ρθ ρ 2 2 π π π 2 = − − d 3 cos γ + + 2 3a 21 sin γ + + 2a 22 cos γ − sin 2θ, ρ 3 3 3
τ
(4.81)
гд е γ = 3 ln ρ. Д ля о пр е д е ле ни я ви д а ко мпо не нт ве кто р а пе р е ме щ е ни й в пе р во м пр и б ли ж е ни и д ля пла сти че ско й о б ла сти пли ты не о б хо д и мо р е ш и ть си сте му ур а вне ни й (4.38), ко то р а я сво д и тся к не о д но р о д но му д и ффе р е нц и а льно му ур а вне ни ю (4.52). Ра спр е д е ле ни е по ля на пр яж е ни й уж е по луче но (4.81), по это му ур а вне ни е (4.52) пр е о б р а зуе тся сле д ую щ и м о б р а зо м ∂u ρ k ∂ 2 φ (1) 1 ∂φ (1) 1 ∂ 2 φ (1) (1) p (B cos γ + A sin γ )sin 2θ; − − 2 = f (ρ, θ) = −2 τ ρθ = 2 2 ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂ρ Gρ 3 ∂ρ ( 0) p
пр и n=2 и за ме не (4.53) о но пе р е пи ш е тся сле д ую щ и м о б р а зо м d 2 M 1 dM 4 k (B cos γ + A sin γ ), − + 2M= 2 r dr r dr Gρ 3
(4.82)
гд е А = − 3d 3 − 2 3a 21 − 2 3a 22 ,
B = d 3 − 6a 21 − 2a 22 .
С д е ла е м за ме ну ρ = e t , то гд а t = ln ρ ; γ = 3 ln ρ = 3t ; dM dM dt 1 dM = = t ; dρ dt dρ e dt d 2 M d dM dt 1 d 2 M dM . = − = dt dρ dρ e 2 t dρ 2 dρ dρ 2
(4.83)
Учи тыва я (4.83), пе р е пи ш е м ур а вне ни е (4.82)
(
)
1 d 2 M 1 dM 1 dM 4 k − 2t − 2t + 2t M = B cos 3t + A sin 3t ; 2t 2 e dt e dt e dt e Ge 3t
28
и ли о ко нча те льно
(
)
d2M dM k −2 + 4M = e − t B cos 3t + A sin 3t . 2 dt G dt
(4.84)
Ре ш е ни е не о д но р о д но го д и ффе р е нц и а льно го ур а вне ни я (4.84) пр е д ста вляе т со б о й о б щ е го сумму р е ш е ни я со о тве тствую щ е го о д но р о д но го д и ффе р е нц и а льно го ур а вне ни я (уж е и зве стно е ) (4.54) и ка ко го -ли б о ча стно го р е ш е ни я д а нно го не о д но р о д но го ур а вне ни я. О пр е д е ли м та ко е ча стно е р е ш е ни е . В со о тве тстви и с те о р и е й Д У, р е ш е ни е б уд е м и ска ть в ви д е
(
)
M ч = e − t Q1 sin 3t + Q 2 cos 3t ,
(4.85)
гд е Q1 и Q2 ко нста нты, по д ле ж а щ и е о пр е д е ле ни ю . По д ста ви в (4.85) в (4.84) и пр и во д я сла га е мые , по луча е м A−B 3 ; 16 B+A 3 Q2 = . 16 Q1 =
(4.86)
Выр а ж е ни я д ля ко нста нт(4.86) и со о тно ш е ни я д ля ча стно го р е ш е ни я (4.85) со вме стно д а д ут A−B 3 B+A 3 M ч = e − t sin 3t + cos 3t . 16 16
(4.87)
По сле д о ва те льно пр о во д я по д ста но вку (4.87) в (4.53) и д а ле е (4.53) в (4.51) пр и хо д и м к ча стно му р е ш е ни ю си сте мы(4.38) A−B 3 B+A 3 cos 2θ; sin γ + cos γ 8 8
u ρ(1ч) p = −
1 ρ2
u θ(1ч) p = −
1 (A sin γ + B cos γ ) 4ρ 2
(4.88)
и по сле по д ста но вки ко нста нтA и B в (4.88) и ме е м u ρ(1ч) p = − =−
( (
k − d3 4Gρ 2
)
(
)
)
3 sin γ + cos γ − a 21 − 2 3 sin γ + 6 cos γ − 4a 22 cos γ cos 2θ =
k π π − d 3 cos( γ − ) + 2 3a 21 sin( γ − ) − 2a 22 cos γ cos 2θ; 2 3 3 2Gρ
29
( (
)
(
)
(
))
k d 3 cos γ − 3 sin γ − 2 3a 21 sin γ + 3 cos γ − 2a 22 3 sin γ + cos γ sin 2θ = 4Gρ 2 k π π π =− d cos( γ + ) − 2 3a 21 sin( γ + ) − 2a 22 cos( γ − ) sin 2θ. (4.89) 2 3 3 3 3 2Gρ
u θ(1ч) p = −
По сле о пр е д е ле ни я ча стно го р е ш е ни я (4.89) си сте мы ур а вне ни й (4.38.) с уче то м выр а ж е ни й (4.54) за пи ш е м о б щ и й ви д по лно го р е ш е ни я д а нно й си сте мы ур а вне ни я (n=2) u ρ(1) p = u ρ(1oo) p + u ρ(1ч) p = −2(L 21 cos γ + L 22 sin γ ) cos 2θ + u ρ(1ч) p ;
((
)
(
)
)
u θ(1) p = u (θ1oo) p + u θ(1ч) p = L 21 + 3L 22 cos γ + − 3L 21 + L 22 sin γ sin 2θ + u θ(1ч) p ,
(4.90)
гд е L21 и L22 ко нста нтыпо д ле ж а щ и е о пр е д е ле ни ю . Д ля на хо ж д е ни я ви д а ко нста нт L21 и L22 во спо льзуе мся усло ви ями со пр яж е ни я на упр уго пла сти че ско й гр а ни ц е по д о б но то му, ка к это д е ла ло сь д ля на пр яж е ни й, т.е . u ρ(1) p u θ(1) p
ρ =1
ρ =1
= − 2L 21 −
k (− d 3 − 3a 21 − 2a 22 ) = k − d 3 + a 21 + a 22 = u ρ(1)e 2G G 2
k = L 21 + 3L 22 − (d 3 − 6a 21 − 2a 22 ) = k d 3 + a 21 = u (θ1)e 4G G 2
; ρ =1
(4.91)
. ρ =1
Ре ш а я си сте му (4.91), по луча е м выр а ж е ни я д ля ко нста нтL21 и L22 L 21 = L 22
k 3d 3 + a 21 ; 4G 2
k 3d 3 2 . = − 3 a − a 21 22 4G 2 3
(4.92)
И спо льзуя (4.92) и (4.90), по лучи м ви д по ля пе р е ме щ е ни й в пла сти че ско й зо не пли ты
u ρ(1) p = −
k 3 π 1 π π 3 π d3 sin γ + − 2 cos γ − + a 21 cos γ + + 2 sin γ − − G 2 3 2ρ 3 3 ρ 3
sin γ сosγ − a 22 + 2 ; ρ 3 u θ(1) p = −
k 3 1 3 π π π π d 3 sin γ − + 2 cos γ + + a 21 cos γ − − 2 sin γ + − G 2 3 2ρ 3 3 ρ 3
30
1 π π 3 − a 22 2 cos γ − − sin γ + , 3 3 3 ρ
(4.93)
и ли k (d 3 N11 (ρ) + a 21 N12 (ρ) − a 22 N13 (ρ) ) cos 2θ; G k = − (d 3 N 21 (ρ) + a 21 N 22 (ρ) − a 22 N 23 (ρ) )sin 2θ, G
u ρ(1) p = − u
(1) p θ
(4.94)
гд е N 11 (ρ) = N 13 (ρ) =
3 π 1 π π 3 π sin γ + − 2 cos γ − ; N 12 (ρ) = cos γ + + 2 sin γ − ; 2 3 2ρ 3 3 ρ 3 π π 3 1 sin γ cos γ sin γ − + 2 cos γ + ; + 2 ; N 21 (ρ) = 2 3 2ρ 3 ρ 3
π 3 π 1 π 3 π N 22 (ρ) = cos γ − − 2 sin γ + ; N 23 (ρ) = 2 cos γ − − sin γ + . 3 ρ 3 3 3 3 ρ
По луче нные со о тно ш е ни я (4.76), (4.77), (4.81) и (4.94) о пр е д е ляю т на пр яж е нно е и д е фо р ми р о ва нно е со сто яни е в пли те . Д ля о пр е д е ле ни я ви д а упр уго пла сти че ско й гр а ни ц ы пе р во го пр и б ли ж е ни я rs(1) во спо льзуе мся ли не а р и зи р о ва нными усло ви ями со пр яж е ни я (4.72), и з ко то р ыхсле д уе т −1 ∂σ (0) (1) (1) r = − σ ⋅ θ s ∂ρ θ
.
(4.95)
ρ =1
И з со о тно ш е ни я (4.95), и спо льзуя (4.76) и (4.81), на хо д и м выр а ж е ни е , о пр е д е ляю щ е е р а д и ус упр уго пла сти че ско й гр а ни ц ыв пли те d rs(1) = 3 + 3a 21 + a 22 cos 2θ. 2
(4.96)
Ра ссмо тр и м упр уго е вклю че ни е , д ля ко то р о го со о тно ш е ни я (4.55) со вме стно с гр а ни чными усло ви ями (4.71) д а д утв пе р во м пр и б ли ж е ни и сле д ую щ ую си сте му ур а вне ни й (n=2) A −2 β ; 2 = − Aβ −2 ,
K 1 + 3K 2 β −4 + 2K 4 β −2 = K 1 − 3K 2β
−4
+ 3K 3β
−2
(4.97)
31
гд е
A = 2d 2
(q − P0 )α12β 2 . 2 2
(β
− α1
)
В р е зульта те р е ш е ни я си сте мы ур а вне ни й (4.97) по луча е м выр а ж е ни я д ля д вух ко нста нтК1 и К4 A K 1 = β −2 K 2 β −2 − 2K 3 − ; 2 A K 4 = K 3 − 3K 2 β −2 + . 2
(4.98)
По д ста ви м (4.98) в (4.55) и (4.56), в это м случа е и ме е м в упр уго м вклю че ни и д ля на пр яж е ни й β −2 σ ρ(1) B = 2 K 2 (6β −2 ρ − 2 − β − 4 − 3ρ − 4 ) + 2K 3 (β − 2 − ρ −2 ) + A − ρ −2 cos 2θ; 2 A σ ρ(1) B = 2 K 2 (β −4 + 3ρ − 4 ) − 2K 3 (β −2 − 3ρ 2 ) − β − 2 cos 2θ; 2 A (1) B τ ρθ = 2 K 2 (3β −2 ρ −2 + β − 4 − 3ρ − 4 ) + K 3 (3ρ 2 − 2β − 2 − ρ −2 ) − (β − 2 + ρ − 2 ) sin 2θ, 2
(4.99)
д ля пе р е ме щ е ни й u ρ(1) B =
k A −2 −3 −4 − 2 −1 −2 3 −1 −1 K 2 (ρ − β ρ − 3β ρ ) + K 3 (2β ρ − ρ + ρ ) + (β ρ + ρ ) cos 2θ; G1 2
u θ(1) B =
k A −1 −3 −4 − 2 −1 3 −1 −2 −2 K 2 ρ + β ρ − 3β ρ + K 3 2ρ + ρ − 2β ρ + ρ − β ρ sin 2θ. G1 2
(
)
(
)
(
)
(4.100)
Д ля о пр е д е ле ни я ко нста нт a 21 , a 22 , K 2 , K 3 и ме е м си сте му че тыр е х ур а вне ни й (4.73), ко то р а я с уче то м по луче нных со о тно ш е ни й д ля на пр яж е ни й и пе р е ме щ е ни й и ме е тви д π 2 3a 21 sin γ 1 − − 2a 22 cos γ 1 − K 2 6β −2 α1−1 − β −4 α1 − 3α1−3 − 2K 3 β − 2 α1 − α1−1 = 3
(
)
(
)
1 β −2 α1 = A + + α1−1 − d 1α1 ; 2 2d 2 α1
(
)
(
)
K 2 β −4 + 3β −2 α 1−2 − 3α1− 4 + K 3 3α 12 − α1− 2 − 2β −2 =
2d α −2 A −2 β + α 1−2 − 1 2 d2
π π π 2 3a 21 sin γ 1 + + a 22 cos γ 1 − = 2d 1α 1 + d 3 cos γ 1 + ; 3 3 3
;
32
a 21 N12 (α) − a 22 N(α) + B ⋅ K 2 (α1−3 − β −4 α1 − 3β −2 α1−1 ) + B ⋅ K 3 (α1−1 − α1−3 + 2β −2 α1 ) = =
d A ⋅ B 2 ⋅ d 1α1−2 − β − 2 α1 + α1−1 − 1 , 2 d2 2α
гд е B =
(4.101)
G , γ 1 = 3 ln α1 . G1
Ре ш е ни е си сте мы (4.101) о тно си те льно ко нста нт по зво ли т о ко нча те льно о пр е д е ли ть по ля на пр яж е ни й и пе р е ме щ е ни й в пли те и во вклю че ни и (4.76), (4.77), (4.81), (4.94), (4.99), (4.100), а та кж е фо р му и по ло ж е ни е упр уго пла сти че ско й гр а ни ц ыпли ты(4.96). О че ви д но , что по луче нные со о тно ш е ни я со д е р ж а т чле ны, о тр а ж а ю щ и е р а спр е д е ле ни я вне ш ни х на гр узо к, ме ха ни че ски е па р а ме тр ы (мо д уль сд ви га ), а та кж е фо р му ко нтур о в: - о тве р сти я в пли те ; - вне ш не й гр а ни ц ывклю че ни я; - внутр е нне го о тве р сти я вклю че ни я. Е сли в со о тно ш е ни ях (4.76), (4.77), (4.81), (4.94), (4.99), (4.100) по ло ж и ть d 3 = 0 , то и ме е м случа й р а вно ме р но го р а стяж е ни я ко нстр укц и и на б е ско не чно сти . Пр и d1 = 0 - кр уго во е о тве р сти е в пли те и кр уго вую вне ш ню ю гр а ни ц у вклю че ни я. Пр и d 2 = 0 - кр уго вую внутр е нню ю гр а ни ц у вклю че ни я. Пр и G 1 = ∞ -случа й ж е стко го вклю че ни я. Д ля на гляд но го пр е д ста вле ни я по луче нных р е зульта то в р а ссмо тр и м пр и ме р (р и суно к 3). Пусть δ = 0.04, α = 0.02 м, α1 = 0.021 м, β = 0.015 м, G = 810 М н/м 2 , G 1 = 1216 М н/м 2 , k = 12/ 3М н / м 2 , d = 1, d = 1, d = −2, θ = 0. 1
2
3
На р и сунке 3 кр и ва я 1 о тр а ж а е тза ви си мо сть rs о тугла θ , т.е . пр е д ста вляе т со б о й фо р му упр уго пла сти че ско й гр а ни ц ы в пли те . Ко нтур 2 со о тве тствуе т ко нтур у о тве р сти я в пли те . Кр и ва я 3 о тр а ж а е тви д ко нтур а внутр е нне го о тве р сти я во вклю че ни и . На р и сунке 4 пр е д ста вле но р а спр е д е ле ни е по ле й на пр яж е ни й и пе р е ме щ е ни й в пли те .
33
Ри суно к 3
Ри суно к 4
34
5. Л итература О сно вна я ли те р а тур а 1. Ко ва ле в А.В. Д вухо сно е р а стяж е ни е упр уго пла сти че ско го пр о стр а нства с пр и зма ти че ски м вклю че ни е м/ А.В. Ко ва ле в, А.Н. С по р ыхи н, А.Ю . Яко вле в // Пр и кла д на я ме ха ни ка . –2000. -Т .36, № 6. -С .114-120. 2. С по р ыхи н А.Н. М е то д во змущ е ни й в за д а ча х усто йчи во сти сло ж ных ср е д / А.Н . С по р ыхи н. –Во р о не ж : И з-во Во р о не ж . ун-та , 1997. -360 с. 3. С по р ыхи н А.Н. И е р а р хи я усто йчи вых со сто яни й в ме ха ни ке не ли не йных ср е д / А.Н . С по р ыхи н, А.И . С уми н. –Во р о не ж : И з-во Во р о не ж . ун-та , 1999. -210 с. Д о по лни те льна я ли те р а тур а 4. Ани н Б .Д . Упр уго пла сти че ска я за д а ча / Б .Д . Ани н, Г .П. Ч е р е па но в. – Н о во си б и р ск: Н а ука , 1984, – 238 с. 5. Б и ц е но К.Б . Т е хни че ска я д и на ми ка / К.Б . Б и ц е но , Р. Г р а мме ль. –М .: Г о сте о р е ти зд а т, 1950. – Т . 1. –657 с. 6. Ва н-Д а йк М . М е то д ы во змущ е ни й в ме ха ни ке ж и д ко сти / М . Ва н-Д а йк. –М .: М и р , 1967. -310 с. 7. Г узь А.Н . М е то д во змущ е ни й в пр о стр а нстве нных за д а ча х те о р и и упр уго сти / А.Н . Г узь, Ю .Н. Н е ми ш . –Ки е в: Ви щ а ш ко ла , 1982. –346 с. 8. Ка ю к Я.Ф . Н е ко то р ые во пр о сы ме то д о в р а зло ж е ни я по па р а ме тр у/ Я.Ф . Ка ю к. –Ки е в: Н а ук. Д умка , 1980. -166 с. 9. И вле в Д .Д . М е то д во змущ е ни й в те о р и и упр уго пла сти че ско го те ла / Д .Д . И вле в, Л .В. Е р ш о в. –М . :Н а ука , 1978. -208 с. 10. Ко ул Д . М е то д ы во змущ е ни й в пр и кла д но й ма те ма ти ке / Д . Ко ул. -М .: М и р , 1972. -277 с. 11. Л о ма ки н В.А. Т е о р и я упр уго сти не о д но р о д ных те л/ В.А. Л о ма ки н. –М .: И зд -во М о ск. ун-та , 1976. -367с. 12. М усхе ли ш ви ли Н.И . Н е ко то р ые о сно вные за д а чи ма те ма ти че ско й те о р и и упр уго сти / Н.И . М усхе ли ш ви ли . –М .: На ука , 1966. -707с. 13. Н а йфэ А.Х . М е то д ыво змущ е ни й/ А.Х . Н а йфэ. –М : М и р , 1976. -456с. 14. Н а йфэ А.Х . Вве д е ни е в ме то д ы во змущ е ни й/ А.Х . Н а йфэ. –М : М и р , 1984. 526с. 15. С ви р ски й И .В. М е то д ы ти па Б уб но ва – Г а ле р ки на и по сле д о ва те льных пр и б ли ж е ни й/ И .В. С ви р ски й. –М .: Н а ука , 1968. -199с.
35
С о ста ви те ли : С по р ыхи н Ана то ли й Ни ко ла е ви ч Ко ва ле в Але ксе й Ви кто р о ви ч Яко вле в Але кса нд р Ю р ье ви ч Ре д а кто р
Т и хо ми р о ва О .А.
