Задачи по теории колебаний, устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений. Часть 1. Второй (прямой) метод А.М. Ляпунова

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

В.Д. Горяченко, А.Л. Пригоровский, В.М. Сандалов ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ И КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Часть I. Второй (прямой) метод А.М. Ляпунова Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика» 2-е издание, переработанное и дополненное

Нижний Новгород 2007

УДК 517.925+517.938 ББК В 232 Г 71

Рецензенты: д.т. н., проф. В.Н. Комаров д.ф.-м.н., проф. М.М. Коган

Г 71 Горяченко В.Д., Пригоровский А.Л., Сандалов В.М. ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ И КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: Учебное пособие. 2-е изд., перераб. и доп. – Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007. – 48 с.

Предлагаемый сборник задач предназначен для студентов и аспирантов, специализирующихся по прикладной математике и изучающих курс теории нелинейных колебаний. Сборник также будет полезен преподавателям, широкому кругу инженерно-технических работников и специалистов, занятых разработкой и исследованием математических моделей динамики систем различной природы. В нем приведены задачи об устойчивости состояний равновесия с разбором их решения, а также вопросы и задачи для самостоятельной работы. Ко многим задачам даны ответы, указания, пояснения к решениям.

УДК 517.925+517.938 ББК В 232

© В.Д. Горяченко, А.Л. Пригоровский, В.М. Сандалов, 2007 2

Содержание

Введение……………………………………………………..……. 4 1.

Определения устойчивости…………………………………. 6

2.

Формулировка основных теорем второго метода Ляпунова.

Теоремы Барбашина–Красовского и Четаева. Примеры…………9 3.

Вопросы и задачи для самостоятельной работы……………28

4.

Ответы и указания к решению ………………………………35

Заключение …………………………………………………………46 Список литературы ………………………………………………...47

3

«Теория колебаний сегодня – это широкая всеобъемлющая наука об эволюционных процессах в природе, технике и обществе, в механике, физике, астрономии, химии, биологии, экономике… и во всем, что нас окружает, и в нас самих.» Ю.И. Неймарк Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения акад. А.А. Андронова. Нижний Новгород, 2001 г.

Введение Качественная теория дифференциальных уравнений изучает свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения самих решений. Основы ее были заложены в конце XIX века в работах А. Пуанкаре и А.М. Ляпунова [1, 2]. В настоящее время ее методы широко применяются для исследования нелинейных систем, описывающих динамические процессы не только в механике и физике, но и в экономике, биологии, экологии, химии, медицине и других областях естествознания. В течение ряда лет на механико-математическом факультете Нижегородского госуниверситета профессор В.Д. Горяченко читал курс лекций по теории колебаний, который был издан в качестве учебного пособия [3] и после переработки и дополнений переиздан уже после смерти автора [4]. Особое внимание в этом пособии уделялось изложению методов теории нелинейных колебаний и некоторых их приложений. Следует отметить, что по качественной теории дифференциальных уравнений и теории колебаний издано достаточно много монографий и учебников, но сборников задач по теории колебаний, увы, недостаточно [5–9]. В данной работе сделана попытка восполнить этот пробел. Предлагаемый сборник задач предназначен для студентов и аспирантов, специализирующихся по прикладной математике и изучающих курс теории нелинейных колебаний. Сборник также будет полезен преподавателям, широкому кругу инженерно-технических работников и специалистов, занятых разработкой и исследованием математических моделей динамики систем различной природы. В нем приведены 4

примеры задач об устойчивости состояний равновесия с разбором их решения, а также вопросы и задачи для самостоятельной работы. Ко многим задачам даны ответы, указания, пояснения к решениям. Сборник задач разделен на несколько частей. В предлагаемой первой части приведены задачи и примеры исследования устойчивости состояний равновесия динамических систем любого порядка с помощью второго (прямого) метода Ляпунова.

5

1. Определения устойчивости Пусть автономная динамическая система описывается дифференциальными уравнениями

x&i = X i ( x1 , x2 ,..., xn ), i = 1, n, или в векторной форме

x& = X (x),

(1)

где х – вектор, а Х (х ) – вектор-функция. Примем, что X (0) = 0 , то есть начало координат x = 0 отображает состояние равновесия системы (1) и оно изолировано. Если состояние равновесия расположено не в начале координат, а в точке x0 ≠ 0 , то переходом к новым координатам х* = х − х 0 его можно поместить в начало координат. В дальнейшем предполагается, что все

Xi

и

∂X i / ∂x j

( i, j = 1, n ) всюду непрерывны. Определение 1. Решение х ≡ 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого числа ε > 0 (как бы мало оно ни было) можно найти число δ (ε ) > 0 такое, что для всякого решения

х(t ) той же системы, для которого в начальный момент t = t 0 выполняется условие x(t 0 ) ≤ δ , при всех t ≥ t 0 будет справедливо неравенство x (t ) < ε . Если же такое число δ не существует, то решение x ≡ 0 неустойчиво.

Здесь х – расстояние от точки x до точки x = 0 в фазовом пространстве, которое можно считать обычным пространством Евклида Еn размерности n. Определение 2. Решение х ≡ 0 называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, выполняется условие (2) lim x(t ) = 0 . t →∞

6

Заметим, что условие (2) не является достаточным для асимптотической устойчивости, что можно продемонстрировать на примере (рис. 1), в котором условие (2) выполнено, однако состояние равновесия x1 = x2 = 0 не является устойчивым, а следовательно, и асимптотически устойчивым.

x2

x1

0

Рис. 1

Геометрическая интерпретация определения устойчивости по Ляпунову на примере двумерной системы дана на рис. 2. x2 1 2

t

0

2δ

x1

2ε Рис. 2

Проекция интегральной кривой на плоскость ( x1 , x2 ) определяет фазовую траекторию. Практически устойчивость по Ляпунову означает, что при достаточно малых начальных возмущениях фазовые траектории в дальнейшем будут мало отклоняться от состояния равновесия. Если к тому же каждая такая траектория при t → ∞ неограниченно приближается к началу координат, то состояние равновесия x = 0 асимптотически устойчиво (см. примеры траекторий 1 и 2 на рис. 2). Неустойчивость состояния равновесия означает, что хотя бы одна траектория удаляется от состояния равновесия даже при сколь угодно малых начальных отклонениях. При исследовании динамических систем важно не только установить факт асимптотической устойчивости состояния равновесия, но и 7

оценить область начальных возмущений, при которых справедливо соотношение (2). Определение 3. Состояние равновесия x = 0 системы (1) асимптотически устойчиво в большом (в некоторой односвязной области G фазового пространства), если оно устойчиво и условие (2) выполняется при любых начальных состояниях x(t 0 ) из области G. Область G называется областью асимптотической устойчивости в фазовом пространстве системы (1) или областью притяжения решения x=0. Определение 4. Решение x = 0 называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчиво и условие (2) выполняется при любых начальных возмущениях (область притяжения G – все фазовое пространство). Определение 5. Система (1) предельно ограничена, если найдутся не зависящие от выбора решений число R > 0 и для каждого решения x(t ) число T > 0 такие, что неравенство x(t ) ≤ R справедливо при всех t ≥ T . Таким образом, предельная ограниченность означает, что все траектории системы (1) навсегда «погружаются» в сферу конечного радиуса, причем момент погружения зависит, а размеры сферы не зависят от выбора конкретного решения x(t ) (рис. 3). t = T2

t = T1

M1

R M2

0

Рис. 3

Очевидно, что в предельно ограниченной системе невозможны неограниченно нарастающие движения.

8

2. Формулировка основных теорем второго метода Ляпунова. Теоремы Барбашина–Красовского и Четаева. Примеры Пусть система (1) допускает нулевое решение ( Х (0) = 0) и в области х < H , H = const > 0 , подчиняется теореме Коши о существовании и единственности решения. Введем в рассмотрение функцию V ( x1 , x 2 ,..., x n ) , которая в некоторой окрестности начала координат

x ≤ h ≤ H обладает сле-

дующими свойствами: 1) V (x) – однозначная функция; 2) частные производные ∂V / ∂xi ( i = 1, 2, ..., n ) непрерывны; 3) V (0,0,...,0) = 0 . Определение 6. Функция V (x) , обладающая свойствами 1, 2, 3, называется знакоопределенной (положительно определенной или отрицательно определенной), если она в области x ≤ h принимает значения только одного знака и обращается в нуль только в начале координат. П р и м е р ы. 2 2 1. Функция V ( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 – положительно определенная функция при всех x1 , x 2 ∈ E 2 , то есть h = ∞ . 2. Функция

V ( x1 , x 2 , x3 ) = x12 + x 22 + x32 − x 24 − 2 x14 − 3x36

положительно

определенная

(

при

x1 < 1 / 2 ;

)

–

x2 < 1 ;

x3 < 1 / 4 3 , то есть h = min 1 / 2 ;1;1 / 4 3 = 1 / 2 . V ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 = ( x − y / 2 ) + 3 y 2 / 4 – положительно определена при всех x, y ∈ E 2 . Определение 7. Функция V (x) , обладающая свойствами 1, 2, 3, 2

3. Функция

называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области x ≤ h принимает значения только одного знака, но может обращаться в нуль и при x ≠ 0 . 9

Примеры. 2 1. Функция V ( x1 , x 2 ) = −( x1 − x 2 ) – знакопостоянная отрица-

тельная ( h = ∞ ); она обращается в нуль не только в начале координат, но и на прямой х1 = х 2 плоскости ( х1 , х 2 ) . 2. Функция 2

x− y x+ y⎞ ⎛ sin V ( x, y ) = (cos x − cos y ) = ⎜ − 2 sin ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ – знакопостоянная положительная ( h = ∞ ); она обращается в нуль на прямых x − y = 2πn , x + y = 2πk ; n, k ∈ Z . 2 2 3. Функция V ( x, y ) = sin x + sin y – знакопостоянная положительная ( h = ∞ ), но есть область, в которой она знакоопределена. 2

На рис. 4 эта область выделена штриховкой (за исключением выделенных кружочками точек). y π

π

−π

x

−π Рис. 4

Определение 8. Функция V (x) называется знакопеременной, если она не является ни знакоопределенной, ни знакопостоянной, то есть как бы ни было мало h , V (x) в области x ≤ h может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

10

П р и м е р ы. 2 1. V ( x, y, z ) = x yz . 2. V ( x1 , x 2 ) = x14 + x 23 x1 − x12 x 2 ( x1 + x 2 ) =

= ( x1 + x 2 )( x12 − x1 x 2 + x 22 − x1 x 2 ) x1 = x1 ( x1 + x 2 )( x1 − x 2 ) 2 . На прямых x 2 = ± x1 , x1 = 0

x2

функция V ( x1 , x2 ) = 0 .

x2 = –x1

Рис. 5 показывает, что нет области, окружающей начало координат, где V ( x1 , x 2 ) знакопостоянна.

x1 x1 = 0 Рис. 5

3. V ( x, y ) =| sin x | − cos 2 y + 1. Функция V ( x, y ) не является ни знакоопределенной, ни знакопеременной, так как нарушено условие непрерывности частных производных. В приводимых далее теоремах фигурирует производная по времени функции V (x) , составленная в силу уравнений (1) (или на траекториях исследуемой динамической системы):

V&(1) =

n

∂V

∑ ∂x i =1

x& i =

i

n

∂V

∑ ∂x X . i

i =1

(3)

i

Здесь и ниже индекс в скобках у функции V означает, что данная функция соответствует уравнению, номер которого равен этому индексу. Теорема 1 (Первая теорема Ляпунова (его прямого метода)). Если для системы (1) найдется знакоопределенная функция V (x) , производная которой по времени, составленная в силу уравнений (1), 11

есть функция знакопостоянная, знака, противоположного знаку V , или тождественно равная нулю, то решение системы x = 0 устойчиво. Теорема 2 (Вторая теорема Ляпунова). Если для системы (1) можно найти знакоопределенную функцию V (x) , производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция также знакоопределенная, знака, противоположного знаку V, то решение системы x = 0 асимптотически устойчиво. Теоремы Ляпунова об устойчивости допускают простую геометрическую интерпретацию. Если V и V&(1) – знакоопределенные функции противоположных знаков (теорема об асимптотической устойчивости), то изображающая точка пересекает каждую из замкнутых поверхностей V ( x) = c снаружи вовнутрь (рис. 6), поскольку | V ( x) | вдоль фазовой траектории обязательно убывает. В соотношении (3) справа стоит скалярное произведение вектора ∇V (∂V / ∂x1 ; ∂V / ∂x 2 ; ...; ∂V / ∂x n ) и вектора фазовой скорости

u( x&1 , x& 2 ,..., x& n ) , так что V&(1) = ∇V ⋅ u , и, следовательно, неравенство

V&(1) < 0 означает, что вектор u направлен так, как показано на рис. 6 (угол α между векторами ∇V и u тупой). С течением времени фазовые траектории будут неограниченно приближаться к началу координат. При выполнении первой теоремы Ляпунова изображающая точка может двигаться по какой-то поверхности V ( x) = c (рис. 7), оставаясь в некоторой окрестности начала координат. ∇V

→

u

α M0

u

V& < 0

∇V

M0

x=0 с=0

x=0 V(1)= c> 0

V(1)= c> 0 V&(1) = 0

Рис. 6

Рис. 7 12

Р

К сожалению, теория не всегда может предложить алгоритмы выбора функций Ляпунова – функций V (x) , подчиняющихся первой или второй теоремам Ляпунова. Это, прежде всего, знакоопределенные (или знакопостоянные) функции, а общих критериев построения знакоопределенных функций не существует. Известно, однако, что однородные функции четного порядка могут быть знакоопределенными, поэтому часто в качестве функции Ляпунова берут простейшую четную форму – квадратичную. Иногда в качестве V (x) выбирают “полную” механическую энергию, находят V (x) по методу неопределенных коэффициентов. Сами уравнения, описывающие динамику, иногда помогают в выборе функции Ляпунова и т.д. Далее будут приведены соответствующие примеры. О различных способах выбора функций Ляпунова смотри, например, [11]. З а д а ч а 1. Исследовать устойчивость нулевого решения системы

x& = y − 3 x − x 3 ,

y& = 6 x − 2 y.

(4)

Р е ш е н и е. Выберем следующую функцию Ляпунова:

V=

x2 y2 + > 0, 2 12

тогда

y& y V&( 4 ) = xx& + y = x( y − 3x − x 3 ) + (6 x − 2 y ) = 6 6 2

⎛ y2 y ⎞ ⎟⎟ − x 4 < 0 = −3x + 2 xy − − x 4 = −⎜⎜ 3 x − 3 3⎠ ⎝ 2

на всей фазовой плоскости, кроме особой точки x = y = 0 . Итак, по второй теореме Ляпунова нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво. З а д а ч а 2. Исследовать устойчивость нулевого решения системы

x& = −axy 4 ,

y& = byx 4 , a > 0, b > 0. 13

(5)

Р е ш е н и е. Пусть

V ( x, y ) =

b 4 a 4 x + y , 4 4

3 3 тогда V&( 5 ) = bx x& + ay y& ≡ 0.

По первой теореме Ляпунова начало координат устойчиво. Возникает вопрос: нельзя ли подобрать другую функцию V (x) и доказать асимптотическую устойчивость состояния равновесия? В данном примере асимптотической устойчивости нет; это ясно уже из того, что все точки осей координат, в том числе и сколь угодно близкие к началу координат, являются состояниями равновесия системы (5). З а д а ч а 3. Исследовать устойчивость состояния равновесия x1 = x 2 = 0 системы

x&1 = ax13 + bx2 , x&2 = −cx13 + dx2 ,

(6)

a < 0, d < 0, bc > 0. Р е ш е н и е. Выберем функцию V ( x1 , x2 ) = cx1 + bx2 . Тогда 2

2

V&( 6 ) = 2acx14 + 2bdx24 . Учитывая ограничения на параметры a, b, c, d , находим, что & VV( 6 ) < 0 при любых x1 , x2 , кроме начала координат, и заключаем, что по второй теореме Ляпунова равновесие будет асимптотически устойчиво. Заметим, что в задачах 1–3 линеаризованные уравнения не решают вопроса об устойчивости состояния равновесия. В прикладных исследованиях важно не только определить устойчивость того или иного состояния равновесия, но и находить область притяжения его (указать множество начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы некоторой области). С помощью теорем Ляпунова можно оценивать область притяжения состояния равновесия и, значит, решать вопрос об асимптотической устойчивости в большом. Приведем формулировку соответствующей теоремы. Теорема 3. Пусть V (x) – знакоопределенная функция и в ограниченной области V ( x) < А ( A = const > 0) V& ( x) – знакоопределен(1)

14

ная функция знака, противоположного знаку V (x) . Тогда начало координат – асимптотически устойчивое состояние равновесия системы (1), и каждое решение, имеющее начальные условия в области V ( x) < А , неограниченно приближается к началу координат при t →∞. Эта теорема позволяет выделить следующие этапы решения задачи об асимптотической устойчивости в большом: 1) построение соответствующих функций V (x) , V&(1) ( x) и нахождение областей, где V (x) и V&(1) ( x) – знакоопределенные функции разных знаков; 2) построение пересечения этих областей; 3) нахождение замкнутой поверхности V = c максимальных размеров, целиком лежащей внутри пересечения. Все точки внутри этой поверхности принадлежат области притяжения точки x = 0 (рис. 8 иллюстрирует приведенное рассуждение). Заштрихованное множество есть область притяжения точки x = 0 .

V&(1) < 0

x=0

V&(1) > 0

V>0

Рис. 8

Замечание. С помощью функций Ляпунова далеко не всегда выделяется вся область притяжения состояния равновесия. Обычно удается найти только часть ее – бóльшую или меньшую в зависимости от того, насколько удачно удалось выбрать функцию Ляпунова.

15

Нахождение максимальной области притяжения состояния равновесия связано с построением сепаратрисной поверхности, которую довольно редко удается построить при изучении конкретных динамических систем порядка выше второго. З а д а ч а 4. Исследовать устойчивость нулевого решения системы

x&1 = − a1 x1 (1 + x1 ) + b1 ( x2 − x1 ),

x&2 = − a2 x2 (1 + x2 ) + b2 ( x1 − x2 ), (7)

в которой все параметры положительны, и найти область притяжения его. Решение. 1 способ. Пусть

V ( x1 , x 2 ) =

b2 2 b1 2 x1 + x 2 , 2 2

2 2 2 тогда V&( 7 ) = − a1b2 x1 (1 + x1 ) − b1b2 ( x1 − x2 ) − a2b1 x2 (1 + x2 ).

Функция V ( x1 , x 2 ) – положительно определенная во всей фазовой плоскости ( x1 , x2 ) и V&( 7 ) ( x ) – отрицательно определенная в области 1 + x1 > 0, 1 + x 2 > 0 . Замкнутая кривая V = c max , ограничивающая максимальную площадь и целиком лежащая в этой области, отделяет часть плоскости ( x1 , x2 ), принадлежащую области притяжения точки x1 = x 2 = 0 . На рис. 9 она заштрихована. x2 V = cmax –1

x1

0 b1 > b2 –1 Рис. 9 16

Уравнение V = c max имеет вид:

x12 +

b1 2 x2 = 1 b2

( c max = b2 / 2 ).

2 способ. Выберем

V ( x1 , x 2 ) = b2 [x1 − ln (1 + x1 )] + b1 [x 2 − ln (1 + x 2 )] . Очевидно, что функция V ( x1 , x 2 ) положительно определена при

1 + x1 > 0, 1 + x 2 > 0 (докажите это сами). Тогда

b1b2 ( x2 − x1 ) 2 2 2 & V( 7 ) = −a1b2 x1 − a2b1 x2 − <0 (1 + x1 )(1 + x2 ) в этой же области. Линии V = const приведены на рис. 10. x2 c1 < c2 < c3 c2

c3

c1 –1

0

x1

–1 Рис. 10

Область притяжения в этом случае задается неравенствами

1 + x1 > 0, 1 + x 2 > 0 , и она получается при c max = ∞ . Значит, во

втором случае функция Ляпунова выбрана удачнее, поскольку при этом выделяется существенно большая область притяжения точки x1 = x 2 = 0 , чем в первом способе. С помощью функций Ляпунова можно проводить исследование асимптотической устойчивости состояния равновесия в целом. 17

Теорема 4. Если для системы (1) можно подобрать функцию V (x) , подчиняющуюся во всем фазовом пространстве требованиям второй теоремы Ляпунова, и если

lim V ( x ) = ∞, x →∞

(8)

то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво в целом. Отметим, что если фазовое пространство является только частью Е n , то соотношение (8) должно выполняться при стремлении фазовых переменных к границе фазового пространства. Воспользуйтесь этой теоремой и убедитесь, что нулевое решение системы (4) и системы (6) асимптотически устойчиво в целом. Нулевое решение системы (7) не является асимптотически устойчивым в целом хотя бы потому, что существует еще одно состояние равновесия x1 = x 2 = −1 .

З а д а ч а 5. Докажите, что состояние равновесия x = y = 0 системы

bx& = 2 y − ax − x 5 ,

y& = −3 x − y 5

(a > 0, b > 0)

(9)

асимптотически устойчиво в целом. Р е ш е н и е . Выберем

3 V ( x, y ) = bx 2 + y 2 . 2 2 6 6 & Тогда V( 9 ) = −3ax − 3 x − 2 y . Ясно, что V ( x, y ) > 0 на плоскости ( x, y ) , кроме точки x = y = 0 ; V& < 0 всюду, кроме этой же точки. (9)

Далее, V → ∞ при x + y → ∞ , то есть выполнены все требования 2

2

теоремы 4 и, следовательно, решение x = y = 0 системы (9) асимптотически устойчиво в целом. Требования к функции V (x) в теоремах 2, 3, 4 могут быть ослаблены. Теорема 5 (Теорема Барбашина–Красовского). Теоремы 2, 3, 4 остаются в силе, если V&(1) ( x) не знакоопределенная, а только знакопостоянная (знака, противоположного знаку V ), но множество точек 18

фазового пространства, где V&(1) ( x ) = 0 , не содержит целых фазовых траекторий системы (1), отличных от тривиального решения. Иначе говоря, нет ненулевого решения x(t ) системы (1), для которого равенство V& ( x(t )) = 0 возможно при всех t . З а д а ч а 6. Доказать, что нулевое решение системы

&x& + x& 3 + ( x& 2 + 1) x = 0 асимптотически устойчиво в целом (глобально устойчиво). Р е ш е н и е . Перейдем к нормальной форме Коши

x& = y,

y& = − y 3 − ( y 2 + 1) x.

(10)

Исходя из вида уравнений системы (10), построим функцию Ляпунова. 2 Умножим первое уравнение на x , второе на y /(1 + y ) и сложим. В результате получим

xx& +

yy& y4 d ⎡ x2 1 y4 2 ⎤ = − или ln( 1 ) . (11) y = − + + ⎥ 1 + y2 1 + y2 1 + y2 dt ⎢⎣ 2 2 ⎦

Выберем в качестве функции Ляпунова

V ( x, y ) =

x2 1 + ln(1 + y 2 ) . 2 2

4 2 Согласно (11), V&(10 ) = − y /(1 + y ) . Функция V ( x, y ) – положитель-

но определенная при всех x, y ; V&(10 ) – знакопостоянная отрицательная при x, y ∈ R , а V&(10 ) = 0 на множестве y (t ) ≡ 0 ( x – любое). Однако это множество не содержит целых фазовых траекторий, кроме тривиальной x = 0, y = 0 . Действительно, при y (t ) ≡ 0 из второго уравнения системы (10) следует, что x ≡ 0 . Таким образом, по теореме 5 состояние равновесия x = y = 0 асимптотически устойчиво в целом.

19

З а д а ч а 7. Доказать, что состояние равновесия системы, описываемой уравнением Дуффинга, при k1 > 0 («жесткая» пружина) асимптотически устойчиво в целом. Р е ш е н и е . Уравнение Дуффинга, описывающее колебания грузика m на упругой нелинейной пружине, таково:

m&x& + hx& + kx + k1 x 3 = 0, m, h, k , k1 > 0.

(12)

Эквивалентная уравнению (12) система имеет вид:

x& = y, my& = −hy − kx − k1 x 3 .

(13)

Выберем в качестве функции Ляпунова «полную» энергию системы (13) – положительно определенную функцию x

my 2 V ( x, y ) = + ∫ (kz + k1 z 3 ) dz. 2 0 2 Имеем V&(13) = − hy – знакопостоянная отрицательная функция. При-

меняя теорему Барбашина и Красовского, как и в предыдущей задаче, убеждаемся в справедливости теоремы об асимптотической устойчивости в целом (при k1 > 0). При k1 < 0 асимптотическая устойчивость нулевого решения уравнения (12) сохраняется, но не на всей фазовой плоскости, а в некоторой окрестности начала координат. З а д а ч а 8 . Приведем еще один пример построения функции Ляпунова из класса квадратичных форм по методу неопределенных коэффициентов. Пусть динамическая система описывается системой уравнений

x& = x − y − xy 2 ,

y& = 2 x − y − y 3 .

Требуется исследовать устойчивость нулевого положения равновесия. Характеристическое уравнение для нулевой особой точки таково: λ2 + 1 = 0 , то есть корни характеристического уравнения чисто мнимые и нижеприведенная методика может быть применима при чисто мнимых корнях. Будем искать функцию Ляпунова среди класса положительно определенных квадратичных форм. Квадратичная форма положительно определена, если выполняется критерий Сильвестра: 20

матрица коэффициентов квадратичной формы симметрична, а ее главные миноры положительны. Выберем функцию Ляпунова в виде:

V ( x, y ) = x 2 + αxy + βy 2 = x 2 +

α 2

xy +

α 2

xy + β y 2 ,

где α и β пока не известны. Матрица квадратичной формы

⎡ 1 α / 2⎤ ∧ H =⎢ ⎥=H ⎣α / 2 β ⎦ симметрична. По критерию Сильвестра получаем условие

1 > 0, β −

α2 >0, 4

при котором V ( x, y ) положительно определена. Найдем

V& = (2 x + αy )( x − y − xy 2 ) + (2 β y + αx)(2 x − y − y 3 ) = = 2 x 2 (α + 1) + 2 xy (2 β − 1) − (2 β + α ) y 2 − 2( x 2 y 2 + αxy 3 + βy 4 ). Потребуем, чтобы в выражении для V& ( x, y ) квадратичная форма была тождественно равна нулю, условием этого является {α + 1 = 0, 2β − 1 = 0, 2β + α = 0}. Конечно, эта переопределенная система не всегда имеет решение, но в данном случае решение таково: α = −1 , β = 1 / 2 . Нетрудно убедиться, что при этих значениях параметров β – α2/4 > 0. Значит, 2

V ( x, y ) = x 2 − xy +

y⎞ y2 1 2 ⎛ y = ⎜x − ⎟ + >0 2 2⎠ 4 ⎝

при x, y ∈ R. 21

При x, y ∈ R

⎛ ⎛ y4 ⎞ y2 ⎞ ⎟ = −2 y 2 ⎜ x 2 − xy + ⎟ = − y 2 [( x − y ) 2 + x 2 ] ≤ 0 V& = −2⎜⎜ x 2 y 2 − xy 3 + ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Отсюда, согласно теореме Ляпунова, можно говорить только об устойчивости нулевого положения равновесия. Однако из второго уравнения системы следует, что x(t ) ≡ 0 при y ≡ 0 . Следовательно, по теореме Барбашина–Красовского нулевое решение системы асимптотически устойчиво, причем в целом. Перейдем к условиям неустойчивости. Если для системы (1) можно подобрать знакоопределенную функцию V (x) , которая обладала бы в силу уравнений (1) знакоопределенной производной V& (x) и могла бы принимать в окрестности нуля значения одного знака с V , то состояние равновесия x = 0 неустойчиво. Геометрически это означает, что изображающая точка при своем движении пересекает поверхности V ( x) = c изнутри наружу, удаляясь от начала координат (рис. 11). ∇V α

u

V&(1) > 0 x=0

V(x) = c > 0 Рис. 11

З а д а ч а 9 . Докажите, что нулевое решение системы

x& = − y + αx + (δx 2 + γy 2 ) x, при

y& = x + αy + (δx 2 + γy 2 ) y (14)

α > 0, δ ≥ 0, γ ≥ 0 неустойчиво. Решение.

Выберем

V ( x, y ) = x 2 + y 2 .

Тогда

V&(14) =

= 2( x 2 + y 2 )(δx 2 + γy 2 + α ) . Таким образом, V и V&(14 ) – положитель22

но определенные функции на всей фазовой плоскости ( x, y ) и, значит, единственное состояние равновесия x = y = 0 неустойчиво. При этом все траектории уходят в бесконечность. Если неравенства δ ≥ 0, γ ≥ 0 несправедливы, тем не менее, неустойчивость состояния равновесия сохраняется, но уже система предельно ограничена. Более широкие результаты дают две теоремы Ляпунова, а также теорема Четаева, являющаяся обобщением первой теоремы Ляпунова о неустойчивости. Сформулируем их. Теорема 6 (теорема Ляпунова). Если для системы (1) можно найти функцию V (x) такую, что V&(1) есть функция знакоопределенная, а сама функция V (x) не будет знакопостоянной, знака, противоположного знаку V&(1) , то решение x = 0 системы (1) неустойчиво. Теорема 7 (теорема Ляпунова). Если для системы дифференциальных уравнений (1) можно найти ограниченную функцию V (x) , для которой V&(1) = λV + W , где

λ – положительная постоянная, а W ≡ 0

или представляет собой некоторую знакопостоянную функцию, и если во втором случае функция V не является знакопостоянной, знака, противоположного знаку W , то решение x = 0 неустойчиво. Теорема 8 (теорема Четаева). Пусть в некоторой области Ω , включающей в себя начало координат, заданы область Ω1 и функция

V (x) такие, что: 1) функция V (x) и ее первые частные производные непрерывны в Ω1 ; 2) V ( x) = 0 на той части границы области Ω1 , которая лежит

внутри Ω ; 3) V (x) и V&(1) ( x) положительны в Ω1 ;

4) начало координат является граничной точкой Ω1 . Тогда состояние равновесия x = 0 системы (1) неустойчиво. Геометрическая интерпретация к этой теореме дана на рис. 12. З а д а ч а 1 0 . Доказать, что нулевое решение системы 23

x& = − x − xy , y& = y 3 − x 2

(15)

неустойчиво. Р е ш е н и е . Пусть

1 V ( x, y ) = ( y 2 − x 2 ). 2 Тогда V&(15 ) = y + x . Эта производная положительно определена во 4

2

всей фазовой плоскости ( x, y ) . Далее, V > 0 при y > x . Следовательно, выполнены все требования теоремы Четаева. В данном случае областью Ω является вся фазовая плоскость, а область Ω1 приведена на рис. 13 (см. штриховку). Ω V = c1 > 0 Ω1

y Ω1

V>0 x0

M0

y = –x

0

0

y=x

V=0

x

c=0

V=0

V = c2 > c1 Рис. 12

Рис. 13

Замечание. Неустойчивость точки x = y = 0 можно обнаружить и без применения теоремы Четаева. Одним из решений системы (15) 3 будет x ≡ 0 и решение уравнения y& = y , которое при y (0) = y 0 таково:

y2 =

y02 . 1 − 2 y02t

Отсюда следует, что | y (t ) |→ ∞ при t → 1 / 2 y0 для любого сколь 2

угодно малого

y 0 . Следовательно, нулевое состояние равновесия

неустойчиво. Заметим, что решение уравнения y& = y 24

3

можно и не

находить. Достаточно рассмотреть поведение изображающей точки на прямой x ≡ 0 , которая состоит из фазовых траекторий системы, и убедиться в неустойчивости нулевого решения (см. движение изображающей точки по оси Оy на рис. 13). З а д а ч а 1 1 . Исследовать на устойчивость нулевое решение системы

x&1 = x12 x2 , x&2 = ax25 + bx23 + 2 x2 x13 ,

(16)

где a > 0, b > 0 . Решение.

Возьмем

V ( x1 , x2 ) = − x12 + x2 . Для нее > 0 при x2 > 0 . Функция V > 0 в об-

функцию

V&(16 ) = ax25 + bx23 , то есть V&(16 )

ласти x 2 > x1 . По теореме 8 точка x1 = x 2 = 0 неустойчива. Область 2

Ω1 представлена на рис. 14 штриховкой. x2

Ω1 M0 Ω

Ω x1 Рис. 14

Рассмотрим более сложную систему:

x&1 = x13 x2 + sin 2 x12 , x&2 = ax25 + bx23 + x12 cos x2 , a > 0, b ≥ 0. Конечно, при исследовании устойчивости ее нулевого решения можно пытаться искать функцию V ( x1 , x 2 ) . Однако прием, приведенный в предыдущем замечании, гораздо проще приводит к цели. Действи3 2 тельно, положив x1 = 0 , получим x&2 = x2 (ax2 + b) , то есть решение

x1 = x 2 = 0 неустойчиво.

25

В заключение приведем еще одну теорему, иногда решающую вопрос о предельной ограниченности системы и основанную на идеях прямого метода. Теорема 9. Пусть в пространстве состояний системы (1) имеется замкнутое ограниченное множество М и пусть М0 – дополнение этого множества (рис. 15). Пусть V(x) – положительно определенная функция во всем фазовом пространстве, причем V → ∞ при х → ∞ , а производная V& ≤ −ε < 0 (ε = const > 0 ) при всех x ∈ M 0 , тогда система (1) предельно ограничена. (Рис. 15 является иллюстрацией к теореме 9.)

V& < 0 0

t=T М

М0 t=0 Рис. 15

З а д а ч а . Доказать, что система

{x& = x(1 − x

2

− y 2 ) + ay 2 + bx;

y& = y (1 − x 2 − y 2 ) + cx + dy 2

}

(17)

предельно ограничена. Р е ш е н и е . Пусть V = ( x 2 + y 2 ) / 2, V > 0 при любых x и у, тогда

V&(17 ) = −( x 2 + y 2 ) 2 + axy 2 + dy 3 + (b + 1) x 2 + y 2 + cxy.

26

Очевидно, что при достаточно больших значениях x 2 + y 2

V&(17 ) ≈ −( x 2 + y 2 ) 2 < 0, следовательно, система (17) предельно ограничена по теореме (9) при любых а, b, с, d.

27

3. Вопросы и задачи для самостоятельной работы 1. Являются ли приведенные ниже функции знакоопределенными? Знакопостоянными? Если да, то в какой области? a)

V ( x, y ) = sin 2 x + tg 2 y + 1 ;

b) V ( x, y ) = sin x + sin y − 2 sin x sin y ; 2

2

c) V ( x, y ) = x + y − y ; 4

2

3

d) V ( x, y, z ) = x y z ; 2

4

6

e) V ( x) = 1 − cos x ;

V ( x, y , z ) = x 2 y 2 z 3 ; g) V ( x, y ) = 1 − cos xy ;

f)

h) V ( x, y, z ) = x + y + 2

i) j)

4

z2 ; V ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − xy − xz − zy ; V ( x, y , z ) = x + y + z 4 ;

k) V ( x, y, z ) = − x + x − y + 4 y − z + z ; 2

l)

4

2

4

4

6

V ( x, y , z ) = x x + y y + z z ;

m) V ( x, y , z ) = x x + y y + z z . 2

2

2

2. Дайте развернутое определение неустойчивости состояния равновесия. 3. Чем отличается асимптотическая устойчивость от устойчивости состояния равновесия? 4. Что такое предельная ограниченность системы? Все ли реальные динамические системы предельно ограничены? 5. Каково принципиальное отличие условий первой и второй теорем Ляпунова его прямого метода? 6. Как может быть установлена неустойчивость состояния равновесия? 7. В чем заключается основная трудность построения функций Ляпунова даже для систем второго порядка? 8. Каковы наиболее простые способы построения функций Ляпунова? 28

9. В чем различие между фазовой траекторией и интегральной кривой? 10. Что такое область притяжения состояния равновесия? 11. Как функции Ляпунова позволяют решать задачу построения области притяжения состояния равновесия? Можно ли с помощью функций Ляпунова построить всю область притяжения состояния равновесия? 12. Чем отличается знакоопределенная функция от знакопостоянной? 13. Каков критерий знакоопределенности для квадратичных форм? 14. Что такое целая фазовая траектория? положительная полутраектория? 15. Является ли неустойчивое состояние равновесия целой фазовой траекторией? 16. Каково основное условие в теореме Барбашина–Красовского, позволяющее доказывать асимптотическую устойчивость состояния равновесия? 17. Сформулируйте теоремы Ляпунова о неустойчивости состояний равновесия. 18. Придумайте пример, где применяется теорема Четаева при доказательстве неустойчивости состояний равновесия. 19. Что такое асимптотическая устойчивость в большом? 20. Сформулируйте требования, предъявляемые к функциям Ляпунова, применяемым для исследования устойчивости состояний равновесия? 21. Что такое производная от функции Ляпунова на траекториях исследуемой динамической системы? 22. Какова геометрическая интерпретация первой и второй теорем Ляпунова? 23. Приведите примеры динамических систем с изолированными и неизолированными состояниями равновесия. 24. В следующих задачах исследуйте устойчивость нулевого решения, построив функции Ляпунова, применив теоремы Ляпунова, Барбашина–Красовского, Четаева. Исследуйте асимптотическую устойчивость в целом нулевого состояния равновесия. 1) x& = − x + y + xy,

y& = x − y − x 2 − 2 y 5

2) x& = x 3 − y + y 4 ,

y& = x + y 3 + x 4 29

3) x& = x 3 − y,

y& = x + y 3

4) x& = 2 y 3 − x 5 ,

y& = − x − y 3 + y 5

5) x& = x 3 − y 3 − xy,

y& = x 2 + y 3 + xy 2

6) x& = y − x 3 + ay 5 ,

y& = − x − y 3 + bx 5

7) x& = ay + mx 3 + x 5 ,

y& = −bx + ny 3 , a > 0, b > 0, m > 0, n > 0

8) x& = −2 y sin t − x 3 sin 2 t ,

y& = 4 x sin t − y 7 cos 2 t ,

9) x& = y + αx − x 5 , y& = − x − y 5 10) Реактор с постоянным отводом тепла pN ⎧ dN ⎪ dt = l , ⎪ dT ⎪ = N − N0, ⎨ mc dt ⎪ ⎪ p = − α (T − T 0 ) ⎪ ⎩

Здесь и ниже параметры реактора l, mc, N0, α, T0, k, T , β, λ, A, B – положительные постоянные. Р е ш е н и е : Перейдем к новым переменным

x=

N − N0 , N0

y = T − T0 .

Замечание. Исследование этой системы и систем, приведенных далее, проводится в области х > –1, так как мощность реактора всегда положительна.

α ⎧ dx ⎪⎪ dt = − l y (1 + x), ⎨ mc dy ⎪ = x; ⎪⎩ N 0 dt

30

(18)

α ⎧ 1 dx ⎪⎪1 + x dt = − l y, ⎨ mc dy ⎪ = x. ⎪⎩ N 0 dt Перемножим эти уравнения, и учитывая, что

x dx d = [ x − ln(1 + x)] , 1 + x dt dt получим первый интеграл энергии и возьмем его в качестве функции Ляпунова:

V ( x, y ) = x − ln(1 + x) +

lN 0 1 2 y = const > 0, r = ; αmc 2r

V(x, y) – положительно определенная функция, а ее полная производная по времени V& ( х, у ) ≡ 0 . Согласно первой теореме Ляпунова решение системы х = у = 0 устойчиво. Замечание. В системе (18) удобно ввести новое время τ = tN 0 /(mc) , новую переменную x1 = ln(1 + x) и параметр

μ = r = lN 0 /(αmc) . Получим систему:

⎧μx& = − y, ⎪ ⎨ y& = f ( x), ⎪ x ⎩ f ( x) = e − 1; здесь точкой обозначено дифференцирование по τ, индекс у переменной x1 опущен, μ > 0. Полученная система эквивалентна уравнению:

μ&x& + f ( x) = 0, которое описывает простейшую консервативную систему. В качестве функции Ляпунова возьмем полную энергию системы: x

V=

x

μx& 2 1 2 y + f ( z ) dz = const, + f ( z ) dz = 2 2μ 0 0

∫

∫

31

dV ≡ 0. dτ

Согласно первой теореме Ляпунова нулевое решение системы устойчиво. 11) Реактор с отводом тепла, пропорциональным температуре:

α ⎧ dN ⎪⎪ dt = − l (T − T 0 ) N , ⎨ ⎪ mc dT = N − k (T − T ), ⎪⎩ dt

T < T0 .

12) Реактор с отводом тепла, пропорциональным температуре, с учетом запаздывающих нейтронов: p−β ⎧ dN ⎪ dt = l N + λ C , ⎪ ⎪ dC = β N − λ C , ⎪ l ⎨ dt ⎪ dT = N − k (T − T ), ⎪ mc dt ⎪ ⎩⎪ p = − α (T − T 0 ).

13) Простейшая модель реактора с нелинейным регулятором: p ⎧ dN ⎪ dt = l N , ⎪ dy ⎪ = − f (U ), ⎪ dt ⎨ p = ϕ ( y ), ⎪ ⎪ l ⎪U = A N − N 0 + B p , ⎪ N0 l ⎩

Нелинейные функции подчиняются условиям:

ƒ(0) = φ(0) = 0, Uf (U ) > 0 при U ≠ 0,

yϕ( y ) > 0 при y ≠ 0,

fU′ (U ) > 0 при ∀U , ϕ ′y ( y ) > 0 при ∀y. 32

25. Исследовать устойчивость нулевого состояния равновесия систем: 1) &x& + x 2 e − x x& + x 3 + 2 x = 0; 2) &x& + H ( x) x& + αx 3 + β x = 0; α > 0, β > 0, H ( x) > 0; 3) x& = 2 y 3 − x 5 ,

y& = − x − y 3 + y 5 ;

4) x& = xy 2 + x 2 y 4 + sin 2 x, y& = y 3 + tg 3 ( xy ); 5) x& = − ax(1 + x) + b( y − x), y& = x − y , a > 0, b > 0; 6) x& = y + x(α + y )( x 2 + y 2 − β ),

y& = − x + (αy − x 2 )( x 2 + y 2 − β ),

β > 0; 7) &x& + x 2 x& + x 3 = 0; 8) &x& + ( x& 2 + k 2 x 2 − α ) x& + k 2 x = 0; 9) x& = − y + α(ax 2 + by 2 ) x, y& = x + α (ax 2 + by 2 ) y , a > 0, b > 0, α > 0; 10) x&1 = − x 2 − x1 − x13 , x& 2 = x1 − 2 x 2 ; 11) &x& + hx& + ϕ ( x) = 0, h = const, φ(0) = 0, xφ(x) > 0 при x ≠ 0; 12) x& = x 3 + 2 хy 2 , 13) x& = y 3 − xy 2 ,

y& = yx 2 ; y& = − x 3 ;

14) x&1 = − x 2 − x1 x 24 , x& 2 = x1 + x12 x 23 ; 15) сравнить результаты при a > 0, b > 0: a) x& = − ay − x 3 , y& = bx − y 3 ;

b) x& = −ay + x 3 ,

y& = bx + y 3 ;

16) x& = − x − y − xy 2 , 17) x& = − x − xy,

y& = 2 x − y − y 3 ;

y& = y 3 − x 2 ;

18) x& = − ay + αx x 2 + y 2 , 19) x& = bx 5 + ay 3 ,

y& = ax + αy x 2 + y 2 ;

y& = ax 3 + by 5 , b > 0.

33

26. Будут ли состояния равновесия х = 0, у = 0, приведенные на рисунках, устойчивыми? Асимптотически устойчивыми? y

y y x

Рис. 16

x

x

Рис. 17

34

Рис. 18

4. Ответы и указания к решению 1. a) нарушено условие V(0, 0) = 0; b) знакопостоянная положительная на всей плоскости (х, у); c) знакопеременная на плоскости (х, у); положительно определенная в области | x |< ∞, y < 1; d) знакопостоянная положительная во всем пространстве (х, у, z); e) знакопостоянная положительная, а в области |x| < 2π положительно определенная; f) знакопеременная; g) знакопостоянная положительная, а в области |xу| < 2π положительно определенная; h) нарушено условие существования частных производных функции V; i) знакопостоянная положительная при любых х, у (выделите полные квадраты или используйте свойства квадратного трехчлена); j) нарушено условие существования частных производных; k) отрицательно определена для {|x| < 1, |y| < 1/2, |z| < 1}; l) знакопеременная; m) положительноопределенная при всех х, у, z. 2. Решение х = 0 системы (1) будет неустойчивым, если при любом сколь угодно малом δ > 0 найдутся ε (δ ) > 0 и T > t0 такие, что для всякого решения x(t) той же системы, для которого в начальный момент t = t0 выполняется условие ||x(t0)|| ≤ δ, будет справедливо неравенство ||x(t)|| > ε при при всех t > T. 3. Устойчивость означает, что при достаточно малых начальных возмущениях фазовые траектории в дальнейшем будут мало отклоняться от состояния равновесия, а при асимптотической устойчивости каждая такая траектория не только будет мало отклоняться от состояния равновесия, но и неограниченно приближается к началу координат при t → ∞ (что следует из условия lim x(t ) = 0 ). t →∞

4. См. определение 5. Предельная ограниченность означает, что все траектории системы (1) навсегда «погружаются» в сферу конечного радиуса, причем момент погружения зависит, а размеры сферы не зависят от выбора конкретного решения x(t ) .Все реальные динамические системы предельно ограничены. Если колебания будут нарас35

тать до бесконечности, это приведет к разрушению реальной системы (это вызвано ограничением физических свойств материалов; например, нить нельзя растянуть до бесконечности). 5. При выполнении второй теоремы Ляпунова изображающая точка пересекает каждую из замкнутых поверхностей V ( x) = c снаружи внутрь, поскольку | V ( x) | вдоль фазовой траектории обязательно убывает, и с течением времени фазовые траектории неограниченно приближаются к началу координат. При выполнении первой теоремы Ляпунова изображающая точка может двигаться по какой-то поверхности V ( x) = c , оставаясь в некоторой окрестности начала координат. 6. Если найдется хотя бы одна фазовая траектория, уходящая от состояния равновесия в бесконечность, то такое состояние равновесия будет неустойчиво. 7. Теория не может предложить единого алгоритма выбора функций Ляпунова, так как это, прежде всего, знакоопределенные (или знакопостоянные) функции, а общих критериев построения знакоопределенных функций не существует. 8. В качестве функции Ляпунова, в основном, берут формы четного порядка, в частности простейшую из них – квадратичную, однородные функции четного порядка могут быть знакоопределенными. Иногда в качестве V (x) выбирают “полную” механическую энергию, иногда сами уравнения, описывающие динамику, помогают в выборе функции Ляпунова. 9. Фазовая траектория соответствует непрерывному изменению состояния системы при непрерывном изменении времени t. Интегральная кривая представляет совокупность движений, проходящих через одни и те же состояния и отличающихся друг от друга выбором начальных условий (началом отсчета времени). 10. Область притяжения – это область допустимых начальных возмущений, при которых все фазовые траектории стремятся к устойчивому состоянию равновесия при t → ∞ . 11. Алгоритм построения области притяжения предложен на стр.15 (после теоремы 3). С помощью функций Ляпунова далеко не всегда выделяется вся область притяжения состояния равновесия. Обычно удается найти только ее часть – бóльшую или меньшую в зависимости от того, насколько удачно удалось выбрать функцию Ляпунова (см. задачу 4, стр. 16). 36

12. Знакоопределенная и знакопостоянная функции – это функции, принимающие значения только одного знака, но знакоопределенная функция обращается в нуль только в нуле, а знакопостоянная может обращаться в нуль и при значениях аргумента, отличных от нуля. 13. Для определения знакоопределенности квадратичных форм существует критерий Сильвестра (для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее дискриминанта были положительны). 14. Траектория, прочерчиваемая изображающей точкой при изменении t от –∞ до +∞, называется целой фазовой траекторией. Часть целой траектории, соответствующая значениям t ≥ t 0 , где t 0 ≥ 0 – фиксированный начальный момент времени, называется положительной полутраекторией. 15. Да. 16. Основным условием в теореме Барбашина–Красовского, позволяющим доказывать асимптотическую устойчивость состояния равновесия, является то, что не существует ненулевого решения x(t ) системы (1), для которого равенство V& ( x(t )) = 0 возможно при всех t . 17. См. теоремы 6 и 7. ⎧ x& = − x − y , 1 V ( x, y ) = ( y 2 − x 2 ); 18. ⎨ 3 2 ⎩ y& = y − x,

V& = y 4 + x 2 > 0 – положительно определена во всей фазовой плоскости, V > 0 при |y| > |x|, выполнены все требования теоремы Четаева. Ω – вся фазовая плоскость, Ω1 приведена на рис. 13. 19. Смотри определение 3. 20. Смотри свойства функции V на стр. 9, 12. 21. Смотри формулу (3). 22. Смотри стр. 12 (рис. 6, 7). 23. x& = ( x 2 − y 2 ), y& = ( x 4 − y 4 ) , прямые у = ±х – неизолированные состояния равновесия. 24. 1) Из характеристического уравнения линеаризованной системы {x& = у − х, y& = х − у} следует:

{

}

37

−1 − λ

1

1

−1 − λ

= λ2 + 2λ + 1 − 1 = λ(λ + 2) = 0, ⇒ λ = 0, λ = −2.

Получился критический случай, так как имеем нулевой корень характеристического уравнения, а второй корень отрицательный. Применим второй метод Ляпунова, рассмотрим функцию Ляпунова

V= .

x2 y2 + > 0, 2 2

.

V& = x x + y y = x( y − x + xy ) + y ( x − y − x 2 − 2 y 5 ) = = − x 2 + xy − y 2 + x 2 y − x 2 y − 2 y 6 = −( x − y ) 2 − 2 y 6 < 0. По второй теореме Ляпунова нулевое решение системы асимптотически устойчиво. При этом 1 lim V = lim ( x 2 + y 2 ) = ∞ при ( x 2 + y 2 ) → ∞ . 2 По теореме об устойчивости в целом нулевое решение устойчиво в целом. x2 y2 2) V = + > 0, 2 2 V& = x( x 3 − y + y 4 ) + y ( x + y 3 + x 4 ) =

= x 4 + y 4 + xy 4 + yx 4 = x 4 (1 + y ) + y 4 (1 + x); x +1 < 0, y + 1 < 0 – область асимптотической устойчивости нулевого решения. x2 y2 3) V = + > 0, V& = x 4 + y 4 > 0; 2 2 нулевое решение системы неустойчиво (см. геометрическую интерпретацию теорем Ляпунова). x2 y4 4) V = + > 0, V& = − x 6 − 2 y 6 + 2 y 8 = − x 6 − 2 y 6 (1 − y 2 ); 2 2 нулевое решение асимптотически устойчиво при |y| < 1. x2 y2 + > 0, 5) V = 2 2 V& = x( x 3 − y 3 − xy) + y ( x 2 + y 3 + xy 2 ) = x 4 + y 4 > 0 38

для любых х, у. Нулевое решение неустойчиво (причем глобально). x2 y2 + > 0, V& = −( x 4 + y 4 ) + xy (ay 4 + bx 4 ) <0 6) V = 2 2 в некоторой окрестности нулевого состояния равновесия. Нулевое состояние равновесия асимптотически устойчиво. bx 2 ay 2 7) V = + > 0, 2 2 V& = bx(ay + mx 3 + x 5 ) + ay (−bx + ny 3 ) =

= bх 4 (m + x 2 ) + nay 4 > 0; нулевое состояние равновесия неустойчиво. 8) V = 2 x 2 + y 2 > 0, V& = −4 x 4 sin 2 t − 2 y 8 cos 2 t < 0, асимптотическая устойчивость. x2 y2 + > 0, V& = − x 6 + αx 2 − y 6 ; 9) V = 2 2

α ≤ 0 – асимптотическая устойчивость в целом, α > 0 – неустойчивость. 10) Рассмотрен в разделе 3. 11) После замены переменных, как в примере 10, получаем: 1 ⎧ ⎪⎪ x& = − r y (1 + x), ⎨ ⎪ y& = x − qy, q = k > 0. ⎪⎩ N0

(19)

Возьмем функцию Ляпунова

V ( x, y ) = x − ln(1 + x) +

1 2 y >0 2r

во всей полуплоскости 1 + х > 0,

xx& 1 q V& = + yy& = − y 2 ≤ 0, 1+ x r r

(20)

причем производная равна нулю на всем множестве х – любое, у ≡ 0 , а не только в точке х = у = 0. Но из (19) следует, что на этом множестве х ≡ 0 , то есть имеем только одну целую фазовую траекторию – три39

виальное решение. Согласно теореме Барбашина–Красовского, нулевое решение системы асимптотически устойчиво. Замечание. В (19) можно провести замену переменных

z = ln(1 + x) и перейти к системе

rz& = − y,

y& = −qy + f ( z ),

f ( z ) = e z − 1,

а затем перейти к дифференциальному уравнению

r&z& + qrz& + f ( z ) = 0. Это уравнение движения груза на пружине с нелинейной восстанавливающей силой, находящегося в среде с вязким трением. В качестве функции Ляпунова возьмем полную энергию z

V=

rz& 2 + f (U )dU = const > 0. 2 0

∫

Дифференцируя V по τ и переходя к переменным х и у, получим уравнение (20). Такую аналогию можно рассматривать как один из способов «угадывания» функции Ляпунова. 12) Переходя к новым переменным

x1 =

N − N0 , N0

x 2 = T − T0 ,

z=

C − C0 tN , τ= 0, C0 mc

получим систему:

⎧ β ⎪μx&1 = − x 2 (1 + x1 ) − ( x1 − z ), α ⎪⎪ ⎨νz& = x1 − z , ⎪ k ⎪ x& 2 = x1 − x2 , ⎪⎩ N0 N l 1 N0 > 0. где μ = 0 > 0, ν = αmc λ mc Отметим, что х1 + 1 > 0, z + 1 > 0. По аналогии с предыдущими задачами в качестве функции Ляпунова возьмем

40

V ( x1 , z , x 2 ) = μ ( x1 − ln(1 + x1 )) + ν

x2 β ( z − ln(1 + z )) + 2 > 0, 2 α

dV k 2 β ( x1 − z ) 2 =− x2 − ≤ 0. α (1 + x1 )(1 + z ) dτ N0 V& обращается в нуль не только в х1 = х2 = z = 0, но и в точках подпространства х2 = 0, х1 = z. Этому подпространству принадлежит только одно решение рассматриваемой системы х1 = х2 = z = 0. По теореме Барбашина–Красовского нулевое решение системы асимптотически устойчиво. 13) После замены переменных x = ( N − N 0 ) / N 0 получим:

⎧ dx ⎪⎪ dt = (1 + x)ϕ ( y ), ⎨ ⎪ dy = − f ( Ax + Bϕ ( y )). ⎩⎪ dt

(21)

Р е ш е н и е . Рассмотрим функцию Ляпунова: x

V ( x, y ) =

∫ 0

y

f ( Ax) dx + ϕ ( y )dy > 0, x +1 0

∫

dV ∂V dx ∂V dy = + = −ϕ ( y )[ f ( Ax + Bϕ ( y )) − f ( Ax)] . dt ∂x dt ∂y dt Согласно постановке задачи ƒ – возрастающая функция. Значит, разность в квадратных скобках имеет тот же знак, что и Bϕ ( y ) , то есть знак производной V& совпадает со знаком − Bϕ 2 ( y ) . Следовательно,

V& < 0 во всей области х + 1 > 0 за исключением точек у ≡ 0 , х – любое. Из второго уравнения (21) следует, что при у ≡ 0 система не имеет решений, отличных от тривиального. По теореме Барбашина– Красовского нулевое решение системы асимптотически устойчиво. 25. ⎧ x& = y, 1) ⎨ 2 −x 3 ⎩ y& = − x e y − x − 2 x; 41

x

V=

y2 + (U 3 + 2U )dU , 2 0

∫

V& = − x 2 e − x y 2 − x 3 y − 2 xy + ( x 3 + 2 x) y = − x 2 e − x y 2 ; V& < 0 во всех точках, кроме множества x ≡ 0 , y – любое и множества x – любое, y ≡ 0 . Но из системы уравнений следует, что на первом множестве y ≡ 0 , а на втором – x ≡ 0 , то есть нет целых фазовых траекторий, отличных от тривиального решения. По теореме Барбашина– Красовского имеем асимптотическую устойчивость в целом. x

y2 2) V = + (αy 3 + βy )dy > 0, где 2 0

∫

y = x&;

V& = yy& + (αx 3 + βx) y = y (− H ( x) y − αx 3 − βx) + αx 3 y + βxy = = − H ( x) y 2 . Аналогично предыдущему примеру применяем теорему Барбашина– Красовского, получаем асимптотическую устойчивость в целом. x2 y4 + > 0, 3) V = 2 2 V& = x(2 y 3 − x 5 ) + 2 y 3 (− x − y 3 + y 5 ) = − x 6 − 2 y 6 (1 − y 2 ). При |y| < 1 нулевое состояние равновесия устойчиво. 4) x ≡ 0,

y& = y 3 ,

нулевое состояние равновесия неустойчиво.

0

y

1 2 ( x + by 2 ) > 0, 2 V& = −ax 2 (1 + x) − b( x − y ) 2 ;

5) V =

V& < 0 в полуплоскости 1 + х > 0, решение асимптотически устойчиво. 6) V =

x2 y2 + > 0, 2 2 42

V& = α( x 2 + y 2 − β)( x 2 + y 2 ). При α > 0 состояние равновесия асимптотически устойчиво, при α < 0 – неустойчиво, при α = 0 – устойчиво. 7) x& = y,

V=

y& = − yx 2 − x 3 ;

x4 y2 + > 0, V& = − y 2 x 2 < 0. 4 2

Состояние равновесия устойчиво. 8) x& = y,

y& = −( y 2 + k 2 x 2 − α) y − k 2 x;

k 2x2 y2 + > 0, 2 2 V& = − y 4 +αy 2 − k 2 x 2 y 2 ≈ αy 2 . V=

При α ≤ 0 состояние равновесия устойчиво, при α > 0 неустойчиво.

x2 y2 + > 0, 2 2 V& = α(ax 2 + by 2 )( x 2 + y 2 ) > 0.

9) V =

Состояние равновесия неустойчиво.

x12 x22 + > 0, 2 2 V& = − x12 − x14 − 2 x22 < 0.

10) V =

Состояние равновесия устойчиво. 11) x& = y, y& = −hy − ϕ(x). В качестве функции Ляпунова возьмем полную энергию:

43

x

V=

y2 + ϕ (u ) du > 0, 2 0

∫

V& = −hy 2 . При h > 0 нулевое состояние равновесия асимптотически устойчиво: V → ∞ при ( x 2 + y 2 ) → ∞ ; при h = 0 состояние равновесия устойчиво; при h < 0 состояние равновесия неустойчиво. 12) V =

x2 y2 + > 0, V& = x 4 + 3x 2 y 2 > 0; 2 2

состояние равновесия неустойчиво (см. геометрическую интерпретацию).

x4 + y4 > 0, V& = − x 4 y 2 ≤ 0; 4 V& = 0 при x ≡ 0, y – любое и при y ≡ 0, x – любое. Нетрудно убедиться, что как и в примере 1 (стр. 41-42), нет целых фазовых траекторий, отличных от тривиального решения. Согласно теореме Барбашина–Красовского состояние равновесия асимптотически устойчиво. 13) V =

14) V =

x12 + х 22 > 0, V& ≡ 0; 2

состояние равновесия устойчиво.

1 (bx 2 + ay 2 ) > 0 2 & а) V = −bx 4 − ay 4 < 0 – состояние равновесия устойчиво, b) V& = bx 4 + ay 4 > 0 – состояние равновесия неустойчиво.

15) V =

16) V =

x2 y2 + > 0, 2 4

y2 y4 V& = − x 2 − x 2 y 2 − − < 0; 2 2 состояние равновесия устойчиво. 44

у2 х2 − , 2 2 2 & V = x + y 4 > 0.

17) V =

По теореме Четаева состояние равновесия неустойчиво: V > 0 в области Ω1: |y| > |x|; область Ω – все фазовое пространство. 18) V = x 2 + y 2 > 0, V& = 2α( x 2 + y 2 ) 3 2 . При α < 0 состояние равновесия асимптотически устойчиво в целом, при α > 0 – неустойчиво, при α = 0 – устойчиво. 19) V = x 4 − y 4 , V& = 4b( x 8 − y 8 ) .

V > 0 и V& > 0 в области |x| > |y|, по теореме Четаева состояние равновесия неустойчиво. 26. Рис. 16 – состояние равновесия неустойчиво, рис. 17 – состояние равновесия устойчиво, но не асимптотически, рис. 18 – состояние равновесия неустойчиво.

45

Заключение Второй метод Ляпунова является наиболее универсальным методом исследования устойчивости. Он находит применение для различных задач динамики (для доказательства ограниченности решений системы, отыскания периодических режимов и др.) В практическом использовании второй метод Ляпунова довольно сложен, так как общих методов построения функций Ляпунова не существует, но зато он применим, даже если в положении равновесия правые части уравнений не дифференцируемы. Второй метод Ляпунова позволяет решить вопрос об устойчивости в большом, то есть позволяет оценить область притяжения положения равновесия. Достоинство приведенных теорем заключается в решении вопросов об устойчивости или неустойчивости без непосредственного решения исходной системы.

46

Список литературы 1. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. – М., Л.: Гостехиздат, 1954. 2. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – М., Л.: Гостехиздат, 1950. 3. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний: Учебное пособие. – Красноярск: Изд-во Красноярского ун-та, 1995. 4. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. – М.: Высшая школа, 2001. 5. Сборник задач по теории колебаний / Под ред. Л.В. Постникова, В.И. Королева. – М.: Наука, 1978. 6. Горяченко В.Д., Королев В.И. Сборник задач по теории колебаний: Учебное пособие. – Горький: Изд-во ГГУ, 1982. 7. Горяченко В.Д., Королев В.И., Постников Л.В. Сборник задач по теории колебаний. Ч. 6. – Горький: Изд-во ГГУ, 1988. 8. Горяченко В.Д., Сандалов В.М. Задачи по теории колебаний. Ч. 1: Устойчивость состояния равновесия. – Горький: Изд-во ГГУ, 1988. 9. Горяченко В.Д., Сандалов В.М. Задачи по теории колебаний. Ч. 2: Методы качественного исследования нелинейных автономных динамических систем на плоскости. – Горький: Изд-во ГГУ, 1991. 10. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 11. Барбашин Ю.И. Функции Ляпунова. – М.: Наука, 1970.

47

Вадим Демьянович Горяченко Александр Леонидович Пригоровский Владимир Михайлович Сандалов ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ И КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Редактор В.А. Прокофьева

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Подписано к печати . Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. . Усл.-печ. л. Уч.-изд. л. 2,6. Тираж экз. Заказ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского 603600 ГСП-20, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Типография ННГУ, 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37 48

49