Квантовая механика. Часть 1: Учебное пособие

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, часть 1 В.Г. Сербо, И.Б. Хриплович 24 августа 2005 г.

Предисловие Книга основана на конспекта лекций по годовому курсу квантовой механике. Она отражает многолетний опыт чтeния лекций и проведения семинаров по квантовой механике для студентов 3-го курса физического факультета Новосибирского государственного университета. Мы руководствовались следующими соображениями: историческое введение должно быть кратким, с тем чтобы уравнение Шредингера появлялось на второй–третьей лекции; новые математические методы излагаются только тогда, когда они требуются для решения новых физических задач; релятивистская квантовая механика и в частности уравнение Дирака — необходимые элементы образования студентов-физиков и потому они должны присутствовать в курсе квантовой механики; решение задач по квантовой механике — лучший способ активного усвоения новых понятий, поэтому число семинаров на начальном этапе должно в 1,5 раза превышать число лекций; помимо семинаров, существует система заданий: каждый студент в течение семестра должен самостоятельно решить 15–20 задач; эти задачи принимаются преподавателем в дополнительное время в форме беседы со студентом, объясняющим свое решение; для развития квантовой интуиции большое значение имеют занятия в терминальном классе, где имеется возможность получения быстрого численного или графического ответа на большое число достаточно сложных задач по квантовой механике. Изложение ряда вопросов в книге, на наш взгляд, достаточно оригинально. Стандартный же материал, который можно найти в известных учебниках [1], [2], описан кратко, конспективно. В пособии содержатся те задачи, которые были опробированы на семинарах, часть из них заимствована из известных задачников [3], [4], [5]. Пособие содержит также достаточно трудные задачи (они отмечены звездочкой ∗ ), предназначенные, в частности, для самостоятельной работы студентов. Литература [1] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Квантовая механика, М.: Наука, 1989. [2] В.Г. Зелевинский, Лекции по квантовой механике, Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2002. [3] Л.М. Альтшуль, В.Г. Зелевинский, Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо, С.А. Хейфец, И.Б. Хриплович, В.Л. Черняк, Сборник задач по квантовой механике, Новосибирск: Ротапринтное издание НГУ, 1974. [4] В.М. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган, Задачи по квантовой механике, М.: Наука, 1981. [5] И.И. Гольдман, В.Д. Кривченков, Сборник задач по квантовой механике, М.: ГИТТЛ, 1957.

2

Глава I ВВЕДЕНИЕ §1. Первые квантовомеханические понятия 1.1. Квантовая природа света Излучение абсолютно черного тела. Рассматривается спектральный состав электромагнитного излучения, находящегося в равновесии со стенками полости, поддерживаемыми при постоянной температуре. М. Планк (1900 г.) сумел объяснить экспериментально наблюдаемый спектр излучения в следующих предположениях: 1) стенки полости моделируются набором осцилляторов — заряженных частиц, удерживаемых линейными силами вблизи положения равновесия; 2) осцилляторы частоты ω поглощают и испускают энергию порциями: En = ~ω n , где ~ = 1, 05 · 10−27 эрг·с — квант действия (постоянная Планка), а n — целое число. Фотоэффект — ионизация атома под действием падающего света; его основные законы; наличие “красной границы”. Предполагая, что электромагнитная волна частоты ω состоит из фотонов γ с энергией ~ω, А. Эйнштейн (1905 г.) рассмотрел фотоэффект как процесс γ+A → e+ A+ , где A и A+ — атом и ион. Закон сохранения энергии для этого процесса имеет вид 1 ~ω = me v 2 + I , 2 где I — работа выхода (иначе, энергия ионизации). Отсюда минимальная частота фотона (“красная граница” фотоэффекта) равна ωmin =

I . ~

Эффект Комптона. А. Комптон наблюдал изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии рентгеновских лучей на атомах. Эффект Комптона интерпретируется как рассеяние фотона на атомарном электроне, который можно считать почти свободным: γ + e → γ + e (рис.1). Электромагнитную волну с частотой ω и волновым вектором k можно представить как поток фотонов. Рассмотрим фотон как частицу, у которой энергия и импульс определяются соотношениями Eγ = ~ω , pγ = ~k , 3

Рис. 1: Кинематика эффекта Комптона и предположим, что имеют место обычные законы сохранения энергии и импульса для соударения частиц ~ω + E = ~ω 0 + E 0 , ~k + p = ~k0 + p0 . Покажите, что из этих предположений следует (при условии E 2 − p2 c2 = m2e c4 и ω 2 − k2 c2 = 0), что изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии на первоначально неподвижном электроне равно 2 − λ0 − λ = 4πλ e sin

θγ 2π 2π , λ= , λ0 = 0 , 2 k k

где

~ = 3, 86 · 10−11 см me c — (приведенная) комптоновская длина волны электрона. Именно такое изменение длины волны и наблюдал А. Комптоном в 1923 г. Понятие о нелинейном фотоэффекте и нелинейном эффекте Комптона. О связи волнового и квантового описания света. При обычной рентгенографии на фотопластинке места большей или меньшей засветки определяются интенсивностью волны, т. е. величиной плотности энергии электромагнитного поля [E2 (r) + B2 (r)] /(8π) . Но такую же картину можно получить, используя рентгеновский источник низкой интенсивности, регистрируя отдельные фотоны и накапливая информацию. В этом случае нельзя предсказать, где именно будет зарегистрирован отдельный фотон, но можно указать вероятность его регистрации, которая пропорциональна интенсивности волны. −

λe =

1.2. Волновые свойства частиц Опыты Э. Резерфорда по рассеянию α-частиц на атомах (1911 г.) привели к планетарной модели атома, в которой размер ядра Rя ∼ 10−13 ÷ 10−12 см , а размер электронной оболочки aат ∼ 10−8 см . 4

Стабильность и стандартность атомов; противоречия с классической физикой. Полуклассическая модель Н. Бора (1913 г.) для атома водорода. Гипотеза Л. де Бройля о волновых свойствах частиц (1924 г.): частице с энергией E и импульсом p сопоставляется волна с частотой ω и волновым вектором k: ω=

p E , k= . ~ ~

Экспериментальное подтверждение волновых свойств частиц — дифракция электронов, нейтронов, атомов и т. д. В классической механике состояние частицы описывается заданием координаты r(t0 ) и импульса p(t0 ) в некоторый момент времени t0 . Дальнейшее движение частицы в потенциальном поле U(r) происходит согласно уравнениям движения — уравнениям Гамильтона dr ∂H dp ∂H = , =− , (1.1) dt ∂p dt ∂r где p2 H(r, p) = + U(r) (1.2) 2m — функция Гамильтона. В квантовой механике принципиально изменяется понятия состояния частицы уже потому, что у волны нет траектории и задать одновременно координату и импульс невозможно. Описание волновых свойств частицы в некоторый момент времени t0 дается волновой функцией Ψ(r, t0 ). Изменение этой функции со временем происходит согласно уравнению Шредингера (см. §4 и §7). Связь такого описания с экспериментом дается следующим постулатом: квадрат модуля волновой функции пропорционален плотности вероятности, т. е. вероятность dW (r) найти частицу в объеме dV есть dW (r) ∝ |Ψ(r, t)|2 dV . Отсюда видно, что функции Ψ1 (r, t) и Ψ2 (r, t) = eiα Ψ1 (r, t) задают одну и ту же плотность вероятности. Плоская волна, соответствующая частице с энергией E = ~ω, импульсом p = (~k, 0, 0) и массой m, имеет вид Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) . В этой волне поверхность постоянной фазы перемещается с фазовой скоростью u=

ω E = , k p

а закон дисперсии соответствует нелинейной зависимости частоты от волнового вектора ~k 2 ω(k) = . 2m Рассмотрим волновой пакет, близкий к монохроматической волне с волновым вектором k0 и частотой ω0 = ω(k0), Z k0 +∆k Ψ(x, t) = A(k0 )ei(kx−ωt) dk , (1.3a) k0 −∆k

5

и разложим частоту ω(k) по малому отклонению k − k0 ≡ q до линейных членов: ω(k) = ω0 + vq + . . . , v =

∂ω |k . ∂k 0

В результате интегрирования получим Ψ(x, t) = A(k0 )ei(k0 x−ω0 t) f (x, t), Z ∆k sin[(x − vt)∆k] f (x, t) = ei(qx−qvt) dq = 2∆k . (x − vt)∆k −∆k

(1.3b)

Из этой формулы видно, что максимум выражения |Ψ(x, t)|2 находится в точке x = vt, так что в рассматриваемом приближении пакет движется, не изменяя своей формы, с групповой скоростью v=

∂E ~k0 ∂ω |k0 = |p 0 = . ∂k ∂p m

В отличие от световых волн в пустоте, квантовомеханические волновые пакеты, соответствующие свободным частицам, расплываются из-за того, что фазовая скорость u = ~k/(2m) различна для разных значений волнового вектора.

§2. Соотношение неопределенностей. Оценки В монохроматической плоской волне импульс частицы имеет определенное значение, а ее координата полностью неопределена, поэтому ∆p = 0, ∆x = ∞. Аналогично, в этой волне ∆E = 0, ∆t = ∞. Конечные значения ∆x и ∆t можно получить, используя волновые пакеты, например, вида (1.3). Из формулы (1.3) видно, что в этом пакете при фиксированном времени t амплитуда f (x, t) заметно отлична от нуля в области размером 1 ∆x & ∆k т. е. ∆p · ∆x & ~ . Разброс частот определяется соотношением ∆ω =

∂ω ∆k = v ∆k . ∂k

При фиксированном x из (1.3) следует, что f (x, t) заметно отлична от нуля в интервале времен 1 ∆t & v ∆k ∼ , ∆ω т. е. ∆E · ∆t & ~ . Оценим, используя соотношение ∆x · ∆p & ~, энергию основного состояния гармонического осциллятора: p2 mω 2 x2 E= + . 2m 2 6

Поскольку у осциллятора средние значения координаты и импульса равны нулю, hxi = 0 и hpi = 0, то из hx2 i = (∆x)2 и hp2 i = (∆p)2 получаем (∆p)2 mω 2 (∆x)2 ~2 1 E= + & + mω 2 (∆x)2 . 2 2m 2 2m(∆x) 2 Минимум функции E(∆x) соответствует ∆x ∼

r

~ , mω

что дает Emin ∼ ~ω

(точное значение Emin = 12 ~ω, см. §6).

Задачи 2.1. Покажите, что при лобовом соударении лазерного фотона (энергия ~ω) с ультрарелятивистским электроном (энергия E  me c2 ), энергия рассеянного назад фотона равна 4~ωE x E, x= 2 4 . ~ω 0 = x+1 me c Найдите ~ω 0 для а) ~ω = 1, 2 эВ (инфракрасный лазер на неодимовом стекле) и E = 46 ГэВ (ускоритель SLAC (Стэнфорд), опыты по нелинейному эффекту Комптона, 1996 г.); б) ~ω = 1, 2 эВ и E = 5 ГэВ (ускоритель ВЭПП-4М (Новосибирск), опыты по расщеплению фотона на два фотона в поле ядра, 1997 г.). 2.2. Полагая, что для дифракции на кристаллической решетке полезно иметь частицы с длиной волны λ ∼ 10−8 см, найти энергию фотона, электрона и нейтрона с этой длиной волны. 2.3. Оценить энергию электрона, необходимую для изучения строения атома (размер a ∼ 10−8 см), атомного ядра (размер R ∼ 10−12 см), протона (размер Rp ∼ 10−13 см). 2.4. Ультрахолодными называются нейтроны, скорость которых v . 1 м/с. Найти их длину волны и температуру. 2.5. Найти |Ψ(x, t)|2 , если 2 /(2∆k)2

A(k) = A0 e−(k−k0 )

,

для частиц с законом дисперсии ω = ck (электромагнитные волны в пустоте) и ω=

~k 2 2m

(нерелятивистская свободная частица массы m). 2.6. Используя соотношение неопределенностей, оценить энергию основного состояния частицы в поле U(x) = α |x|. 2.7. Используя соотношение неопределенностей, оценить глубину уровня в одномерной прямоугольной мелкой яме. 7

2.8. Оценить минимальную энергию для частицы в поле U(x) = −V

a2 x2 + a2

при условии V ma2 /~2  1. 2.9. Покажите, используя соотношение неопределенностей, что энергия основного состояния атома водорода Emin ∼ −

me4 = −13, 6 эВ . 2~2

§3. Координатное и импульсное представления. Операторы физических величин Мы уже знаем, что в данном квантовом состоянии Ψ(x, t) плотность вероятности найти частицу в точке x, т. е. величина dW/dx, пропорциональна |Ψ(x, t)|2 — квадрату модуля волновой функции. Если же волновая функция Ψ(x, t) нормирована условием1 Z +∞

−∞

то

|Ψ(x, t)|2 dx = 1 ,

dW (x, t) = |Ψ(x, t)|2 . dx Отсюда среднее значение x равно Z Z Z 2 hxi = x dW = x |ψ(x)| dx = ψ ∗ (x) x ψ(x) dx . Аналогично, среднее значение любой функции F (x) равно Z hF (x)i = ψ ∗ (x) F (x) ψ(x) dx . Если ψ(x) =

Z

A(k) eikx dk ,

то вероятность найти частицу с импульсом p = ~k пропорциональна |A(k)|2 , или dW (k) ∝ |A(k)|2 . dk Условию нормировки в x-пространстве Z |ψ(x)|2 dx = 1 В дальнейшем мы будем опускать обозначения пределов интегрирования, если интегрирование ведется по всей оси. 1

8

соответствует условие нормировки в k-пространстве Z |ϕ(k)|2 dk = 1 , где

A(k) ϕ(k) = √ 2π — нормированный Фурье-образ функции ψ(x), т. е. Z Z eikx e−ikx ψ(x) = ϕ(k) √ dk , ϕ(k) = ψ(x) √ dx . 2π 2π

(3.1)

Поэтому плотность вероятности в k-пространстве dW (k) = |ϕ(k)|2 dk и среднее значение функции F (k) равно Z Z hF (k)i = F (k) dW (k) = ϕ∗ (k) F (k) ϕ(k) dk . Выразим hpi через ψ(x). Подставляя в соотношение Z hpi = ϕ∗ (k) ~k ϕ(k) dk выражение ϕ(k) через ψ(x) из (3.1), получим  Z  Z Z ikx0 e−ikx 0 ∗ 0 e ψ(x) √ dx dk . hpi = ψ (x ) √ dx ~k 2π 2π Используя тождество

d −ikx e dx и интегрируя по частям по переменной x , получим окончательно   Z d ∗ hpi = ψ (x) −i~ ψ(x) dx . dx ke−ikx = i

Здесь при интегрировании по k использована формула Z 0 eik(x −x) dk = 2πδ(x0 − x) . Таким образом, при нахождении hpi можно пользоваться формулой Z hpi = ψ ∗ (x) pˆ ψ(x) dx ,

где оператор

pˆ = −i~ 9

d . dx

(3.2)

В квантовой механике постулируется, что наблюдаемые динамические величины описываются операторами, так что среднее значение некоторой величины A в состоянии с заданной волновой функцией ψ(x) (или ϕ(p)) равно Z Z ∗ ˆ hAi = ψ (x) A ψ(x) dx = ϕ∗ (p) Aˆ ϕ(p) dp . В частности, оператор импульса в x-пространстве определяется формулой (3.2), а в p-пространстве — это просто оператор умножения pˆ = p. Аналогично, оператор xˆ = x в x-пространстве и d xˆ = +i~ dp в p-пространстве. ˆ строятся все динамические переменные. Например, оператор Из операторов ˆr и p момента импульса ˆ = ˆr × p ˆ = −i~r × ∇ . M Несколько более подробно формализм квантовой механике изложен в Приложении.

Задачи 3.1. Для потенциального ящика вида  при x < 0  ∞ 0 при 0 < x < a U(x) =  ∞ при x > a

найти уровни энергии En и волновые функции ψn (x), предполагая, что состояние частицы внутри ящика описывается стоячей волной вида ψ(x) = A sin(kx) с узлами на границах ящика. Оценить En для а) частицы массы m ∼ 1 г в ящике размером a ∼ 1 см; б) молекулы H2 в ящике размером a ∼ 1 см; найти n, соответствующий энергии En ∼ kT , где T ∼ 300 К; оценить (En − En−1 )/En для данной энергии; в) электрона в ящике размером a ∼ 10−8 см. Сравнить классическую плотность вероятности, определенную соотношением dW (x)класс 2 = , dx v(x)Tкласс где Tкласс — классический период колебаний, а r 2 v(x) = [E − U(x)] m — классическая скорость частицы в точке x, и квантовую плотность вероятности dW/dx = |ψn (x)|2 при n = 1 и n  1. Провести такое же сравнение для dW/dp — плотности вероятности в импульсном пространстве. 3.2. Найти изменение с течением времени волновой функции нерелятивистской свободной частицы массы m, если в начальный момент времени Ψ(r, 0) = A e−(r 10

2 /a2 )+ibr

.

3.3. Найти ϕ(k) для волновой функции e−r/a ~2 ψ(r) = √ , a= = 0, 53 · 10−8 см 2 3 m e πa e (основное состояние атома водорода). Пусть данная волновая функция описывает состояние свободного электрона при t = 0. Оценить, на каком расстоянии окажется этот электрон через 1 с.

11

12

Глава II УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА §4. Оператор Гамильтона. Уравнение Шрёдингера 4.1. Стационарное уравнение Шрёдингера В классической механике уравнения движения частицы в потенциальном поле U(r) имеют вид (1.1) с функцией Гамильтона (1.2). В квантовой механике классическая функция Гамильтона p2 H= + U(r) 2m заменяется оператором Гамильтона ˆ2 ~2 ˆ = p H + U(r) = − ∆ + U(r) , 2m 2m который и должен определять эволюцию состояния частицы, т. е. закон изменения со временем волновой функции частицы Ψ(r, t). Для плоской волны Ψ(r, t) = A ei(pr−Et)/~ , соответствующей свободному движению частицы с энергией E, легко проверить, что изменение волновой функции со временем происходит согласно уравнению ˆ2 ∂ E 1 ˆ p ˆ Ψ(r, t) = Ψ(r, t) = H Ψ(r, t) , H = . ∂t i~ i~ 2m Можно ожидать, что и в общем случае эволюция волновой функции будет происходить по тому же закону. Конечно, все это лишь наводящие соображения, показывающие естественность следующего утверждения: в квантовой механике постулируется уравнение Шрёдингера в виде   ∂Ψ(r, t) ~2 ˆ i~ = HΨ(r, t) = − ∆ + U(r) Ψ(r, t) . (4.1) ∂t 2m Его также называют нестационарным уравнением Шрёдингера (E. Schr¨odinger, 1926 г.). Более подробное рассмотрение этого уравнеия будет дано в §7. Если в этом уравнении можно разделить временные и пространственные переменные, записав Ψ(r, t) = ψE (r) e−iEt/~ , 13

то для функции ψE (r) мы получаем стационарное уравнение Шрёдингера ˆ ψE (r) = E ψE (r) . H

(4.2)

С математической точки зрения, это уравнение — задача на собственные значения ˆ Если потенциальная энергия U(r) — непрерывная функция, то решеоператора H. ния этого уравнения ищутся в классе функций, непрерывных вместе с первыми и вторыми призводными. Если же потенциальная энергия имеет разрывы, то первые производные волновой функции также могут иметь разрывы (см. ниже), но сама волновая функция и плотность вероятности dW/dV ∝ |ψE (r)|2 являются непрерывными функциями. Рассмотрим типичный пример, когда потенциальная энергия обращается в нуль на бесконечности, U(r) → 0 при r → ∞, а на конечных расстояниях принимает как положительные так и отрицательные значения. В этом случае при больших значения r движение частицы с энергией E > 0 почти свободно, и, следовательно, спектр значений E — непрерывен. Напротив, при отрицательных энергиях E < 0 мы имеем дело со связанными состояниями, частица не уходит на бесконечность, спектр значений E дискретный. В случае связанных состояний волновые функции нормируемы, т. е. для них Z |ψEn (r)|2 d3 r = 1 ,

и потому для достаточно гладких функций ψEn (r) → 0 при r → ∞ .

4.2. Одномерный случай Рассмотрим более детально случай одномерного движения. Поведение производной ψ 0 (x) = dψ(x)/dx определяется видом потенциала. Интегрируя уравнение Шрёдингера в малой окрестности точки x = a, получаем a+ε

Z

a−ε

2m = 2 ~

Z

a+ε

a−ε

ψ 00 (x) dx = ψ 0 (a + ε) − ψ 0 (a − ε) =

2m [U(x) − E] ψ(x) dx = 2 ψ(a) ~

Z

a+ε

U(x) dx ,

a−ε

т. е. ψ 0 (x) непрерывна в точке x = a, если потенциальная энергия U(x) непрерывна в этой точке или имеет разрыв 1-го рода (конечный скачок). У потенциалов, имеющих скачки 2-го рода (с уходом на бесконечность), ψ 0 (x) может иметь разрывы (см. пример потенциального ящика). Для потенциальной δ-ямы U(x) = −G δ(x − a) имеем ψ 0 (a + ε) − ψ 0 (a − ε) = − 14

2mG ψ(a) . ~2

(4.3)

Дискретные уровни в одномерной задаче всегда невырождены, т. е. каждому собственному значению энергии соответствует единственная линейно независимая собственная функция. Допустим обратное: пусть ψ1 (x) и ψ2 (x) — две линейно ˆ отвечающие одному значению E. Тогда независимые собственные функции H, 2m ψ 00 ψ100 = 2 (U − E) = 2 ψ1 ~ ψ2 или

d 0 (ψ1 ψ2 − ψ1 ψ20 ) . dx 0 0 Отсюда следует, что ψ1 ψ2 − ψ1 ψ2 = const. Далее, const = 0 из-за поведения ψn (x) на бесконечности. В итоге, ψ1 = Cψ2 , т.е. эти функции линейно зависимы. В одномерной задаче дискретным уровни четного гамильтониана, ψ100 ψ2 − ψ1 ψ200 = 0 =

ˆ ˆ H(−x) = +H(x) , имеют определенную четность, т. е. либо ψn (−x) = +ψn (x) , либо ψn (−x) = −ψn (x) . Действительно, для такого гамильтониана функции ψn (x) и ψn (−x) являются решениями, отвечающими одному и тому же значению энергии En , а так как в одномерной задаче этот уровень невырожден, то ψn (x) = C ψn (−x) . Сделав еще одно отражение координат, получим ψn (−x) = Cψn (x) = C 2 ψn (−n) , откуда следует, что C = ±1.

4.3. Потенциальная яма Рассмотрим прямоугольную потенциальную яму с глубиной V и шириной 2a, т. е.  −V при |x| < a U(x) = 0 при |x| > a . Связанным состояниям отвечает энергия E < 0, при этом уравнение Шрёдингера имеет вид p ψ 00 + k 2 ψ = 0 при |x| < a, ~k = p2m(V − |E|) ψ 00 − κ 2 ψ = 0 при |x| > a, ~κ = 2m|E| .

Ищем решения такие, чтобы ψ(x) и ψ 0 (x) были непрерывны, чтобы ψ(x) → 0 при ˆ x → ±∞ и чтобы ψ(x) была либо четной, либо нечетной функцией, так как H(−x) = ˆ H(x). 15

Четные решения имеют вид ψ(x) =



A cos kx при |x| < a Be−κ|x| при |x| > a .

Из непрерывности ψ 0 (x)/ψ(x) в точке x = a получаем уравнение r κ 2mV tg ka = = − 1, k ~2 k 2 дающее дискретный ряд значений kn или En (энергия квантуется). Найдите нечетные решения и покажите, что четные и нечетные уровни чередуются. Покажите, что в мелкой яме, V  ~2 /(ma2 ), существует лишь одно связанное состояние с энергией ~2 κ02 2aV m E0 = − , κ0 = 2m ~2 и волновой функцией √ ψ0 (x) ≈ κ0 e−κ0 |x| . Обратим внимание на сугубо неклассический характер этого связанного состояния. Действительно, вероятность найти частицу внутри ямы мала, Z a W (|x| < a) = |ψ0 (x)|2 dx ≈ 2κ0 a  1 , −a

а размер волнового пакета велик по сравнению с шириной ямы, ∆x ∼

1  a. κ0

Оцените ∆p для такой ямы. Покажите, используя условие (4.3), что потенциальной энергии U(x) = −G δ(x) соответствует мелкая яма с κ0 =

mG . ~2

4.4. Осцилляционная теорема Волновая функция связанного состояния ψn (x), соответствующая (n + 1)-му по величине собственному значению энергии En , обращается в нуль (при конечных x) n раз (см. примеры потенциального ящика, осциллятора и т. д.).

Задачи 4.1. Найти уровни энергии En и волновые функции ψn (x) для частицы в поле  при x < 0  ∞ −V при 0 < x < a U(x) =  0 при x > a . 16

4.2. Найти уровни энергии и волновые функции связанных состояний частицы в поле двух δ-ям U(x) = −G δ(x + a) − G δ(x − a)

при условии a  ~2 /(mG). Исследовать зависимость уровней энергии от расстояния a между ямами. 4.3. При каких значениях G0 в поле U(x) = − G δ(x − a) + G0 δ(x) − G δ(x + a)

исчезают связанные состояния. Используя полученный ответ, уточнить, при каких значениях параметра ξ = mGa/~2 имеет смысл подобная постановка задачи.

§5. Эрмитовы операторы ˆ эрмитово сопряженным к оператору A, ˆ если для любых двух Назовем оператор B функций ψ1 и ψ2 выполняется равенство Z Z ∗ ˆ ˆ 1 )∗ ψ2 dx . ψ1 Aψ2 dx = (Bψ ˆ = Aˆ+ . Если Aˆ = Aˆ+ , т. е. оператор совпадает со своим Такой оператор обозначим B эрмитово сопряженным (вместе с областью определения), назовем его эрмитовым (или самосопряженным). Для эрмитова оператора Z Z ∗ ˆ ˆ 1 )∗ ψ2 dx . ψ1 Aψ2 dx = (Aψ Собственные значения эрмитова оператора вещественны. Действительно, если ψλ — собственная функция оператора Aˆ с собственным значением λ, т. е. если Aˆ ψλ = λ ψλ , то из соотношения

Z

ψλ∗

Aˆ ψλ dx =

Z

(Aˆ ψλ )∗ ψλ dx

следует, что λ = λ∗ . R Аналогично показывается, что среднее значение эрмитова оператора ψ ∗ Aˆ ψ dx в каком-либо квантовом состоянии ψ — вещественное число. Все операторы физических величин эрмитовы. Покажем, что собственные функции, отвечающие различным собственным значениям эрмитова оператора, взаимно ортогональны. Для этого домножим равенство Aˆ ψλ = λ ψλ слева на ψµ∗ , а равенство (Aˆ ψµ )∗ = µ ψµ∗ справа на ψλ . Проинтегрировав полученные соотношения, найдем Z Z ∗ λ ψµ ψλ dx = µ ψµ∗ ψλ dx , т. е.

Z

ψµ∗ ψλ dx = 0 17

при µ 6= λ .

В случае вырождения (когда несколько собственных функций отвечают одному собственному значению) можно выбрать собственные функции ортогональными и, соответственно, использовать ортонормированную систему функций Z ∗ ψm (x) ψn (x) dx = δmn для дискретного спектра и Z

ψλ∗ (x) ψλ0 (x) dx = δ(λ − λ0 )

для непрерывного спектра. Полнота системы собственных функций эрмитового оператора означает, что любую функцию f (x) из рассматриваемого класса можно представить в виде: Z X f (x) = an ψn (x); an = ψn∗ (x0 )f (x0 ) dx0 . n

Если в первое равенство подставить выражение для an , то получим соотношение: Z X f (x) = f (x0 ) ψn (x) ψn∗ (x0 ) dx0 . n

Поэтому из полноты собственных функций следует, что X ψn (x) ψn∗ (x0 ) = δ(x − x0 ) . n

В частности, для собственных функций оператора pˆ имеем Z Z 1 0 ∗ 0 ψp (x) ψp (x ) dp = eip(x−x )/~ dp = δ(x − x0 ) . 2π~ Дираковские обозначения. ˆ Дирак предложил удобные обозначения для матричного элемента оператора A: Z ˆ . Af i = ψf∗ (x) Aˆ ψi (x) dx = hf |A|ii В этих обозначениях эрмитовость оператора имеет вид  ∗ ˆ = hi|A|f ˆ i , hf |A|ii

ортонормируемость волновых функций означает hf |ii = δf i , а их полнота —

X n

|ni hn| = 1 . 18

Задачи 5.1. Найти операторы, сопряженные к операторам d ˆ=i d , Aˆ = , B dx dx

d Cˆ = mωx + ~ . dx

ˆ определенного в предыдущей задаче, найти собственные 5.2. Для оператора C, функции и собственные значения. Проверить, что собственные значения этого оператора могут быть комплексными, а собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, не обязательно ортогональны. 5.3. Пусть Aˆ — эрмитов оператор, Aˆ = Aˆ+ . Покажите, что среднее значение квадрата этого оператора неотрицательно: h ψ| Aˆ2 | ψ i ≥ 0. 5.4. Найти собственные функции оператора xˆ в x- и p-представлениях. То же для оператора pˆ. 5.5. Найти вид оператора Aˆ = 1/r в импульсном пространстве.

§6. Линейный осциллятор Рассмотрим задачу о движении частицы массы m в поле U(x) = 21 mω 2 x2 . Полученные при этом результаты и введенные понятия окажутся полезными при изучении колебаний молекул, ядер, кристаллических решеток, при квантовании электромагнитного поля и т. д.

6.1. Уровни энергии и волновые функции В этой задаче естественная система единиц включает ~, m, ω. Из них строится единица длины r ~ `= mω энергии ~ω и т. д. (найдите единицы времени, скорости, импульса, силы). Перейдем к безразмерным величинам x E ; x0 = , E 0 = ` ~ω при этом обычная волновая функция ψ(x) связана с безразмерной волновой функ˜ 0 ) соотношением цией ψ(x ˜ ψ(x/`) ψ(x) = √ . ` Тогда мы получим уравнение Шрёдингера в виде ˜ 0) d2 ψ(x 2 ˜ 0 + (2E 0 − x0 )ψ(x ) = 0; 2 0 dx в дальнейшем знаки тильды и штриха опускаем. 2 При x → ±∞ имеем d2 ψ/dx2 = x2 ψ, т. е. ψ → e±x /2 . Поэтому ищем нормируемые, убывающие на бесконечности решения в виде ψ(x) = e−x 19

2 /2

v(x) ,

где функция v(x) удовлетворяет уравнению v 00 (x) − 2xv 0 (x) + (2E − 1)v(x) = 0 . Ищем v(x) в виде ряда v(x) =

∞ X

as xs .

s=0

Возникающее таким образом уравнение X xs [(2E − 1 − 2s) as + (s + 1)(s + 2) as+2 ] = 0 s

приводит к рекуррентному соотношению для коэффициентов as+2 =

2s + 1 − 2E as . (s + 1)(s + 2)

Оно означает в частности, что функция v(x) содержит слагаемые одинаковой четности. Условие 2 as+2 = →0 lim s→∞ as s обеспечивает сходимость ряда при всех x, но при x → ±∞ функция v(x) асимптотически совпадает с функцией X (x)2k 2 = ex . k! k

Чтобы получить ψ(x) → 0 при x → ±∞, необходимо ряд для v(x) оборвать при некотором s = n, положив 2E = 2n + 1 . В итоге получаем уровни энергии и нормированные волновые функции: 2

En = n +

1 2,

e−x /2 Hn (x) √ ψn (x) = √ , n = 0, 1, 2, . . . . 4 π n!2n

Здесь Hn (x) – полиномы Эрмита: H0 (x) = 1, H1 (x) = 2x, Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x) . Полином Эрмита Hn (x) имеет, в согласии с осцилляционной теоремой, n нулей. Отметим, что состояние ψn (x) имеет определенную четность: ψn (−x) = (−1)n ψn (x) .

6.2. Операторы рождения и уничтожения Введем операторы a ˆ=

√1 2

(x + iˆ p) , aˆ+ =

√1 2

через которые гамильтониан записывается в виде + ˆ = 1 (ˆ ˆ+a ˆa ˆ+ ) = aˆ+ a ˆ+ H 2 a a

20

1 2

(x − iˆ p) , = aˆa ˆ+ − 21 .

Нетрудно показать, что     ˆ a+ = a ˆ + 1 , Hˆ ˆa = a ˆ −1 . Hˆ ˆ+ H ˆ H

(6.1)

Пусть |ni — нормированное состояние с энергией En = n + 21 , т. е. ˆ |ni = En |ni = (n + 1 ) |ni . H 2

Тогда aˆ+ |ni и a ˆ |ni — состояния (ненормированные) с энергией En + 1 и En − 1 соответственно. Действительно, из (6.1) следует, что ˆ a+ |ni = a ˆ + 1) |ni = (En + 1) a Hˆ ˆ + (H ˆ+ |ni, а также аналогичное уравнение для a ˆ |ni: ˆ a |ni = (En − 1) a Hˆ ˆ |ni .

Таким образом, действие оператора a ˆ+ на состояние |ni переводит его в состояние |n + 1 i, т. е. повышает энергию состояния на 1 (на ~ω в обычных единицах), a ˆ+ |n i = cn |n + 1 i ,

(6.2)

а действие оператора a ˆ на состояние |ni переводит его в состояние |n − 1 i, т. е. понижает энергию состояния на 1. Это позволяет использовать удобную интерпретацию: состояние |n i содержит n одинаковых частиц (квантов) с энергией E = 1 (или ~ω в обычных единицах) каждая, оператор a ˆ+ называют повышающим оператором или оператором рождения такой частицы, а оператор a ˆ — понижающим оператором или оператором уничтожения. Заметим еще, что собственные значения оператора ˆ−1 n ˆ=a ˆ+ a ˆ=H 2

равны n, поэтому n ˆ называют оператором числа частиц. Найдем коэффициент cn . Для этого вычислим норму вектора (6.2): ˆ + 1 |n i = n + 1 = c2n . h n| ˆaa ˆ+ |n i = h n| H 2 √ Отсюда cn = n + 1. Таким образом, состояние |n i может быть записано так: n

(ˆ a+ ) |n i = √ |0 i , n! а отличным от нуля матричные элементы операторов рождения и уничтожения равны √ h n + 1| ˆa+ |n i = h n| a ˆ |n + 1 i = n + 1 . (6.3)

Отсюда можно найти и матричные элементы координаты: r n+1 h n + 1| x |n i = h n| x |n + 1 i = . 2 Волновая функция основного состояния может быть найдена из условия

(6.4)

a ˆ ψ0 (x) = 0 , что дает

2

e−x /2 . ψ0 (x) = √ 4 π В итоге получаем компактное выражение для волновой функции с произвольным n: n

2

(ˆ a+ ) e−x /2 √ . ψn (x) = √ n! 4 π 21

Задачи 6.1. Найти ϕn (p) для линейного осциллятора. 6.2. Для линейного осциллятора сравнить классическую dWкласс /dx и квантовую |ψn (x)|2 плотности вероятности при n = 0. То же для dWкласс /dp и |ϕ0 (p)|2 . Найти вероятность того, что в основном состоянии осциллятор находится в классически недоступной области |x| > `. 6.3. Найти матричные элементы pf i , (x2 )f i , (p2 )f i для линейного осциллятора. 6.4. Найти ∆x и ∆p для линейного осциллятора в n-м состоянии. 6.5. Частица находится в осцилляторном поле U(x) = 21 mω 2 x2 в состоянии, заданном волновой функцией r C 2a3 ψ(x) = 2 , C = . x + a2 π Найти вероятности W0 и W1 того, что при измерении энергии частицы будут найдены значения, равные соответственно 21 ~ω и 23 ~ω. При вычислении W0 считать, что a  p ~/(mω). ˆ и потенциальной U 6.6. Найти среднее значение коммутатора кинетической K энергий для n-го состояния линейного осциллятора, т. е. величину Z 2 2 2 ˆ U] ψn (x) dx , K ˆ = pˆ , U = mω x . ψn∗ (x) [K, 2m 2

§7. Нестационарное уравнение Шрёдингера 7.1. Эволюция волновой функции со временем Рассмотрим подробнее нестационарное уравнение Шрёдингера   ∂Ψ(r, t) ~2 ˆ i~ = HΨ(r, t) = − ∆ + U(r) Ψ(r, t) , ∂t 2m которое является одним из основных постулатов квантовой механики (см. §4). Его свойства: Уравнение Шрёдингера линейно, поэтому если Ψ1 (r, t) и Ψ2 (r, t) — решения уравнения Шрёдингера, то их линейная комбинация c1 Ψ1 (r, t) + c2 Ψ2 (r, t) также является решением уравнения Шрёдингера (принцип суперпозиции); Уравнение Шрёдингера имеет первый порядок по времени, поэтому значения Ψ(r, t) в любой момент времени t полностью определяется, если известна Ψ(r, t0 ) в некоторый момент времени t0 (принцип причинности в квантовой механике). Для стационарного решения Ψ(r, t) = ψn (r) e−iEnt/~ 22

плотность вероятности |Ψ(r, t)|2 не зависит от t. Общее решение можно представить в виде разложения по стационарным решениям X Ψ(r, t) = cn e−iEn t/~ ψn (r) , n

где cn =

Z

ψn∗ (r0 ) Ψ(r0, 0) d3 r 0 .

Таким образом, эволюция Ψ(r, t) с течением времени описывается уравнением Z Ψ(r, t) = G(r, r0, t) Ψ(r0 , 0) d3r 0 , G(r, r0, t) =

X

ψn (r) ψn∗ (r0 ) e−iEn t/~ .

n

0

Функция Грина G(r, r , t) удовлетворяет уравнению i~

∂G(r, r0 , t) ˆ = H(r) G(r, r0, t) ∂t

с начальным условием G(r, r0, 0) =

X n

ψn (r) ψn∗ (r0 ) = δ(r − r0 ) .

Из формулы для средней энергии в данном состоянии Z X ˆ Ψ(r, t) d3r = hEi = Ψ∗ (r, t) H En |cn |2 n

видно, что cn есть амплитуда вероятности обнаружить у системы энергию En . Набор величин cn есть волновая функция системы в энергетическом представлении.

7.2. Плотность тока Изменение плотности вероятности %(r, t) = |Ψ(r, t)|2 со временем определяется уравнением ∂% ∂Ψ ∂Ψ∗ = Ψ∗ + Ψ. ∂t ∂t ∂t Подставив ∂Ψ / ∂t из уравнение Шрёдингера, получим уравнение непрерывности

где плотность тока


 ∂% i~  ∗ 2 = Ψ ∇ Ψ − ∇2 Ψ∗ Ψ = −∇j , ∂t 2m j=

1 [Ψ∗ (−i~∇Ψ) + (−i~∇Ψ)∗ Ψ] . 2m

Введем оператор скорости ˆ= v

−i~∇ , m 23

тогда выражение для плотности тока можно переписать в виде j=

1 ∗ ˆ Ψ + комп. cопр. ) . (Ψ v 2

(7.1)

Если представить волновую функцию в виде √ Ψ = % eiφ , то

~∇φ , m т. е. плотность тока отлична от нуля только тогда, когда волновая функция имеет фазу φ с нетривиальной зависимостью от координат. В частности, для плоской волны j=%

Ψ = A ei(kr−ωt) плотность тока равна j = |A|2 v ,

где v =

~k . m

§8. Одномерное рассеяние Рассмотрим рассеяния частиц потенциальным полем указанного на рис. 2 вида:  0 при x → −∞ U(x) → V при x → +∞ . В этом случае задача рассеяния при E > V формулируется так. Слева имеется пада-

Рис. 2: Потенциальная энергия для случая одномерного рассеяния ющая и отраженная волны, справа — прошедшая волна, т. е. асимптотики волновой функции таковы: √  ikx e + A e−ikx , ~k = p 2mE при x → −∞ iωt Ψ→e ik1 x Be , ~k1 = 2m(E − V ) при x → +∞ . 24

Плотности x-компонент тока равны: jпад =

~k ~k ~k1 , jотр = −|A|2 , jпрош = |B|2 . m m m

Определим коэффициенты прохождения D и отражения R соотношениями D=

jпрош |jотр | , R= , R +D = 1, jпад jпад

тогда

k1 |B|2 , R = |A|2 . k Оптический аналог этой квантовомеханической задачи — отражение света при нормальном падении на плоскую границу раздела двух сред с разными показателями преломления. В оптике волновой вектор D=

k≡

ω 2π = n, λ c

где n — показатель преломления. Нашей задаче соответствует ситуация, когда справа — вакуум, а слева — стекло. В случае 0 < E < V асимптотика при x → +∞ изменяется, p ψ → eiωt B e−κx , ~κ = 2m(V − E) при x → +∞ . В этом случае оптический аналог — полное внутреннее отражение света при падении под некоторым углом на границу раздела стекло–вакуум.

Задачи 8.1. Частица находится в поле U(x) = −G δ(x). При t = 0 волновая функция имеет вид e−|x|/b Ψ(x, 0) = √ . b Найти вероятность того, что при t → ∞ частица окажется в основном состоянии ψ0 (x). 8.2. Тот же вопрос для гармонического осциллятора при 2

2

e−x /(2b ) Ψ(x, 0) = . (πb2 )1/4 8.3. Для поля, описанного в задаче 4.2, определить Ψ(x, t), если при t < 0 между ямами была непроницаемая перегородка и частица находилась в стационарном связанном состоянии вблизи левой ямы. 8.4. Найти функцию Грина для свободной частицы. 8.5. Найти коэффициенты D и R для частицы в поле (рис. 3)  0 при x < 0 , U(x) = V при x > 0 . 25

Рис. 3: Потенциальная “ступенька”

Рис. 4: Прохождение частицы над одномерной прямоугольной потенциальной ямой Указать оптическую аналогию. Известно, что при отражении от оптически более плотной среды происходит потеря полуволны. Чему соответствует это явление в данной задаче? Рассмотреть предел ~ → 0. 8.6. Найти коэффициент прохождения D для частицы в поле прямоугольной потенциальной ямы глубины V и ширины a (рис. 4). Дать график D(E), указать условие прозрачности. Используя оптическую аналогию указать необходимое условие прозрачности в случае поля (рис. 5)  при x < 0  0 −V1 при 0 < x < a U(x) =  −V2 при x > a ,

соответствующего при V1 < V2 просветленной оптике. 8.7. Найти коэффициент прохождения D(E) для частицы в поле прямоугольного потенциального барьера высотою V и шириною a (рис. 6), особо рассмотреть случай E < V, κa  1. 8.8. Рассмотреть рассеяние в поле U(x) = −G δ(x). Обратить внимание на поведение амплитуд отраженной и прошедшей волн при продолжении решения в область E < 0. 26

Рис. 5: Потенциальная энергия, соответствующая случаю просветленной оптики

Рис. 6: Туннелирование частицы через одномерный прямоугольный потенциальный барьер

§9. Коммутаторы. Соотношение неопределенностей. Уравнение Эренфеста. Теорема о вириале 9.1. Коммутаторы. Измеримость величин Величина

ˆ B] ˆ ≡ AˆB ˆ −B ˆ Aˆ [A, ˆ Если коммутатор двух оператоназывается коммутатором двух операторов Aˆ и B. ров равен нулю, то говорят, что эти операторы коммутируют. Если операторы Aˆ ˆ эрмитовы, а их коммутатор имеет вид [A, ˆ B] ˆ = iC, ˆ то Cˆ — эрмитов оператор, иB + ˆ ˆ C = C. Пусть ψa и ψa0 — собственные функции оператора Aˆ с различными собственными значениями, a 6= a0 . Ясно, что матричный элемент оператора Aˆ между двумя этими состояниями равен нулю, hψa0 | Aˆ |ψa i = a hψa0 | ψa i = 0 . ˆ коммутирующего Оказывается, что это же справедливо и для любого оператора B, ˆ Действительно, из соотношения с оператором A. ˆ B] ˆ |ψa i = hψa0 | Aˆ B ˆ |ψa i − hψa0 | B ˆ Aˆ |ψa i 0 = hψa0 | [A, 27

следует

ˆ |ψa i , 0 = (a0 − a) hψa0 | B

т. е.

ˆ |ψa i = 0 . hψa0 | B

Приведем простой и полезный в дальнейшем пример. Легко проверить, что оператор ˆ z = xˆ M py − y pˆx коммутирует с координатой z. Пусть ψm — собственная функция ˆ z . Тогда для матричных элементов координаты z существует правило оператора M отбора hψm0 | z |ψm i = 0, если m 6= m0 . Если величины A и B одновременно измеримы, то соответствующие операторы коммутируют. Действительно, для одновременно измеримых величин A и B существует полная система волновых функций ψn , таких, что ψn — одновременно собˆ и B ˆ с собственными значениями an и bn . Произвольную ственная функция и A, функцию ψ представим в виде разложения X ψ= cn ψn n

ˆ В итоге получим и подействуем на нее оператором AˆB. X X X ˆ = AˆB ˆ ˆ Aˆ ψn = B ˆ Aˆ ψ , AˆBψ cn ψn = cn an bn ψn = cn B n

т. е. в этом случае

n

n

ˆ B] ˆ = 0. [A,

ˆ B] ˆ = 0, то Aˆ и B ˆ имеют общую систему собственных функций. И обратно, если [A, ˆ Пусть ψa — собственная функция A: Aˆ ψa = a ψa , тогда

ˆ Aˆ ψa = aB ˆ ψa = AˆB ˆ ψa , B

ˆ a — тоже собственная функция оператора Aˆ с собственным значением a. Если т. е. Bψ ˆ a с точностью до множителя совпадает спектр невырожден, отсюда следует, что Bψ ˆ с ψa , т. е. Bψa = bψa , так что ψa , действительно, является собственной функцией ˆ с собственным значением b. В случае вырожденного спектра можно оператора B P ˆ выбрать такие линейные комбинации i ci ψai собственных функций оператора A, ˆ которые будут одновременно собственными функциями B. Рассмотрите также случай a = b = 0.

9.2. Соотношение неопределенностей Пусть система находится в квантовом состоянии |ψi. Физические величины A и B в этом состоянии имеют средние значения ˆ , hBi = hψ|B|ψi ˆ hAi = hψ|A|ψi 28

и дисперсии, определенные соотношениями q q 2 ∆A = h(A − hAi) i , ∆B = h(B − hBi)2 i . ˆ не коммутируют, Пусть эрмитовы операторы Aˆ и B ˆ B] ˆ = iCˆ , [A, где Cˆ — эрмитов оператор. Введем операторы ˆ − hBi , a ˆ = Aˆ − hAi , ˆb = B для которых

hψ|ˆ a2 |ψi = (∆A)2 , hψ|ˆb2 |ψi = (∆B)2 , [ˆ a, ˆb] = iCˆ .

Рассмотрим теперь состояние   ˜ = βˆ |ψi a + iˆb |ψi ,

где коэффициент β веществен. Ясно, что

˜ ψi ˜ ≥ 0, J(β) ≡ hψ| но тогда J(β) = hψ|(βˆ a − iˆb)(βˆ a + iˆb)|ψi = hψ|β 2 a ˆ2 + iβ(ˆ aˆb − ˆbˆ a) + ˆb2 |ni = = β 2 (∆A)2 − βhCi + (∆B)2 ≥ 0 .

При hCi = 6 0 отсюда следует содержательное утверждение: (∆A)2 · (∆B)2 ≥ 41 hCi2 . Таким образом, ∆A · ∆B ≥ 21 | hCi | , т. е. произведение неопределенностей (дисперсий) двух физических величин в данном квантовом состоянии не меньше половины модуля среднего значения коммутатора этих величин в данном состоянии. Простой пример: так как [x, pˆx ] = i ~ , то для любого квантового состояния справедливо соотношение ∆x · ∆px ≥

~ . 2

9.3. Коммутаторы и скобки Пуассона ˆ

Оператор производной по времени ddtA определяется равенством: * + dAˆ d ˆ ψ Ψ ≡ hΨ|A|Ψi . dt dt 29

Используя уравнение Шрёдингера, правую часть этого равенства можно переписать в виде +  *   ∂ Aˆ ∂Ψ  d ∂Ψ ˆ hΨ|A|Ψi = = Aˆ Ψ + Ψ Ψ + Ψ Aˆ ∂t dt ∂t ∂t + * ∂ Aˆ 1 ˆ ˆ Ψ + [A, H] Ψ . ∂t i~

Таким образом,

dAˆ ∂ Aˆ i ˆ ˆ = + [H, A] . dt ∂t ~ Отсюда видно, что квантовый аналог классической скобки Пуассона {H, A} выражается через коммутатор: {H, A} →

i ˆ ˆ [H, A] . ~

Покажите, что i ˆ pˆx dˆ px i ˆ ∂U dx = [H, xˆ] = , = [H, pˆx ] = − . dt ~ m dt ~ ∂x Отсюда следует теорема Эренфеста m

d2 hri = −h∇U(r)i . dt2

(9.1)

Если потенциальная энергия мало изменяется на расстояниях порядка размера волнового пакета, так что h∇U(r)i ≈ ∇U(hri) ,

то из уравнения (9.1) следует, что для средней координаты волнового пакета приближенно выполняется второй закон Ньютона: m

d2 hri ≈ −∇U(hri) . dt2

(9.2)

Более подробно о переходе к пределу классической механике см. §12.

9.4. Теорема о вириале Предварительные полезные соотношения: ˆ B ˆ C] ˆ = B[ ˆ A, ˆ C] ˆ + [A, ˆ B] ˆ C; ˆ [H, ˆ p ˆ r] = − ˆ ] = i~∇U; [H, [A,

i~ ˆ. p m

Пусть |ni — стационарное состояние дискретного спектра (финитное движение), тогда ˆ A]|ni ˆ ˆ A|ni ˆ − hn|AˆH|ni ˆ ˆ hn|[H, = hn|H = (En − En )hn|A|ni = 0.

В частности,

  2 ˆ p ˆ p ˆ p ˆ r]|ni = i~ n r∇U − n . ˆ r]|ni = hn|[H, ˆ ]r + p ˆ [H, 0 = hn|[H, m 30

Таким образом,  2  p ˆ 2 · n n = hn |r∇U| ni . 2m

Величина r∇U называется вириалом данной механической системы. Если потенциальная энергия является однородной функцией координат, т. е. если U(λr) = λk U(r) , то по теореме Эйлера об однородных функциях r∇U = k U и  2  p ˆ 2 · n n = k hn |U| ni . 2m

Отсюда получаем соотношения

 2  p ˆ k 2 n n = En , hn |U| ni = En . 2m k+2 k+2

Отметим, что в классической механике для финитного движения частицы в потенциальном поле существуют аналогичные соотношения, только в левых частях этих равенств стоят соответственно кинетическая и потенциальная энергия частицы, усредненные за большой промежуток времени. Примеры: Для гармонического осциллятора k = 2, поэтому 

n mω 2 x2 n =

 2  pˆ
n n = ~ω n + 12 . m

Для атома водорода k = −1, поэтому

Задачи

 2   2  e p ˆ n n = n n = −2En . r m

(9.3)

9.1. Объясните, почему теорема о вириале не имеет места для инфинитного движения. 9.2. Найти соотношение неопределенностей для ∆x и ∆K, для ∆U и ∆K, где ˆ K = pˆ2 /(2m). 9.3. Для частицы, находящейся в состоянии ψ(x, y, z), найти вероятность того, что ее координата x и импульс py расположены в пределах x1 < x < x2 , py1 < py < py2 . ˆ =p ˆ r]. Используя ˆ 2 /(2m) + U(r) найти коммутатор [H, 9.4. Для гамильтониана H этот результат, показать, что среднее значение импульса частицы для стационарного ˆ | ψE i = 0. состояния в случае финитного движения равно нулю h ψE | p 31

§10. Уравнение Шрёдингера для частицы в электромагнитном поле Рассмотрим заряженную частицу, находящуюся в электромагнитном поле, заданном скалярным φ(r, t) и векторным A(r, t) потенциалами. Классическая функция Гамильтона этой частицы e 2 1  H(r, p) = p − A + eφ , 2m c где импульс p (его иногда называют обобщенным или каноническим) связан со скоростью v соотношением e p = mv + A , c в квантовой механике заменяется оператором  e 2 ˆ = 1 p ˆ − A + eφ , p ˆ = −i~∇ . H 2m c При этом плотность тока равна j=

1  e  1 ∗ ˆ Ψ + комп. cопр. ) , v ˆ= (Ψ v −i~∇ − A , 2 m c

ˆ — оператор скорости частицы (ср. формулу (7.1)). где v Калибровочная инвариантность. В классическом случае при замене потенциалов 1 ∂f A → A + ∇f, φ → φ − c ∂t (здесь f = f (r, t) — произвольная функция координат и времени) электрические и магнитные поля 1 ∂A E = −∇φ − , B=∇×A c ∂t не изменяются, а значит не изменяются и уравнения движения. В квантовой механике легко проверить, что уравнение Шрёдингера не изменяется, если кроме указанного преобразования потенциалов еще произвести и преобразование волновой функции: A → A + ∇f ,

φ→φ−

1 ∂f , c ∂t

Ψ → Ψ eief /(~c) .

Задачи 10.1. Определить уровни энергии и волновые функции для заряженной частицы в постоянном и однородном магнитном поле B. Выбрать векторный потенциал в виде A = (0, xB, 0). 10.2. Считая известным гамильтониан частицы в электромагнитном поле, найти ˆ; а) выражение для оператора скорости v б) коммутационные соотношения для компонент скорости; в) выражение для оператора dˆ v m dt 32

(операторный аналог уравнения Ньютона); г) показать, что в постоянном и однородном магнитном поле B = (0, 0, B) операторы vˆy vˆx xˆ0 = x + yˆ0 = y − ω ω соответствуют сохраняющимся величинам, но не могут быть измерены одновременно (здесь ω = eB/(mc)). В классической электродинамике эти величины соответствуют координатам центра окружности, по которой движется заряженная частица.

§11. Оператор сдвига. Периодическое поле. Теорема Блоха Оператор Tˆa сдвига на расстояние a определяется соотношением Tˆa ψ(x) ≡ ψ(x + a) . Так как

 n ∞ X an d ψ(x + a) = ψ(x) , n! dx n=0

то оператор сдвига может быть выражен через оператор импульса Tˆa = eiaˆp/~ . Отсюда видно, что оператор сдвига неэрмитов Tˆa+ = e−iaˆp/~ = Tˆa−1 6= Tˆa . Обратим внимание на то, что при бесконечно малом сдвиге δa → 0 оператор сдвига имеет вид δa Tˆδa = 1 + i pˆ , ~ т. е. оператор импульса pˆ ≡ pˆx является инфинитезимальным оператором для сдвига вдоль оси x. ˆ = pˆ2 /(2m) коммутирует с операДля свободной частицы оператор Гамильтона H ˆ Tˆa ] = 0, потому операторы H ˆ и Tˆa имеют совместные собственные тором сдвига, [H, функции ˆ Eλ (x) = EψEλ (x) , Tˆa ψEλ (x) = λψEλ (x) Hψ вида ψEλ (x) = A eikx с собственными значениями E=

~2 k 2 , λ = eika . 2m

ˆ и Tˆa и имеет в этом состоянии собственное значение Импульс тоже коммутирует с H ~k. 33

Если потенциальная энергия является периодической функцией с периодом a, U(x + a) = U(x) , ˆ = pˆ2 /(2m) + то оператор сдвига на расстояние a коммутирует с гамильтонианом H U(x), ˆ Tˆa ] = 0 . [H, В периодическом поле собственные функции стационарных состояний могут быть выбраны в таком виде ψEλ (x), что они одновременно являются и собственными функциями оператора сдвига: ˆ ψEλ (x) = E ψEλ (x) , Tˆa ψλ (x) = λ ψEλ (x) . H Если потребовать, чтобы ψEλ (x) была конечной при x → ±∞, то из соотношения ψEλ (x ± na) = λ±n ψEλ (x) следует |λ| = 1, т. е. λ можно представить в виде λ = eiqa . Вещественную величину ~q в этом случае называют квазиимпульсом. Конечно, исˆ pˆ] 6= 0. Обратим тинный импульс не сохраняется в периодическом поле, так как [H, внимание на то, что квазиимпульсы ~q и ~(q+2πn/a) при n = ±1, ±2, ... соответствуют одному и тому же значению λ (в теории твердого тела величину 2π/a называют вектором обратной решетки). Если такое решение переписать в виде ψEλ (x) = eiqx uq (x) , то из ψEλ (x + a) = eiqa ψEλ (x) следует периодичность функции uq (x): uq (x + a) = uq (x) . Это утверждение называется теоремой Блоха.

Задачи 11.1. Для свободного движения волновая функция ψ(x) = A cos(x/b) является ˆ но не Tˆa и pˆ, хотя [H, ˆ Tˆa ] = [H, ˆ pˆ] = 0. Как согласуется собственной функцией H, этот факт с утверждением о том, что коммутирующие операторы имеют совместные собственные функции? 11.2. Рассматривается движение частицы с E < 0 в поле U(x) = −G

+∞ X

n=−∞

34

δ(x + na) .

Покажите, что волновая функция, определенная соотношениями ψq (x) = A [shκ(a − x) + eiqa shκx] при 0 < x < a , ψq (x) = eiqna ψq (x − na) при na < x < (n + 1)a ,

ˆ и Tˆa с собственными значениями является собственной функцией операторов H E=−

~2 κ 2 и λ = eiqa . 2m

Найдите связь между E и λ из условия сшивки ψ 0 /ψ при x = 0. При κ0 = mGa/~2  1 разрешите это уравнение и найдите в явном виде зависимость E от q. Представив при малых q эту зависимость в виде E=

~2 q 2 + const , 2mэф

найдите mэф . Найдите плотность тока jx и покажите, что одному значению E при разных значениях q соответствуют разные jx . Как ведет себя классическая частица в данном поле? Повторите это рассмотрение для E > 0.

§12. Квазиклассическое приближение 12.1. Условия применимости Подставив в уравнение Шрёдингера −~2 ψ 00 (x) = p2 (x) ψ(x) , p(x) ≡ волновую функцию в виде

p

2m[E − U(x)]

ψ(x) = eiS(x)/~ , найдем уравнение для функции S(x): 2

(S 0 (x)) = p2 (x) + i~ S 00 (x) . Если отбросить последнее слагаемое, то получим классическое уравнение Гамильтона–Якоби, в котором S(x) — действие как функция координат. Решение этого уравнения Z x Sкласс = ± p(x) dx .

Таким образом, переход к классической механике происходит, когда d λ(x) 2  1, (S 0 (x))  ~|S 00(x)| или dx 2π

где λ(x) = 2π~/p(x) — длина волны де Бройля, соответствующая импульсу p(x). Иначе, dλ ∆λ ∼ λ  λ , dx 35

т. е. изменение длины волны ∆λ(x) на расстоянии порядка λ(x) должно быть много меньше длины волны. Другая форма критерия — классическое действие должно быть велико по сравнению с квантом действия, т. е. Z p(x) dx  ~ .

Подчеркнем, наконец, что переход к квазиклассическому пределу в квантовой механике — это аналог перехода к пределу геометрической оптики в оптике волновой. И критерии применимости этих пределов общие: длина волны λ должна быть много меньше, чем характерные расстояния a, на которых меняется потенциал (в оптике — коэффициент преломления): λ  1 или ka  1 . a

12.2. Квазиклассические решения В классической механике вероятность найти частицу на интервале dx пропорциональна dt — времени пребывания частицы на этом интервале, поэтому плотность вероятности пропорциональна dt/dx или dWкласс 1 ∝ , dx v(x) где v(x) = p(x)/m — классическая скорость частицы с координатой x. В квантовой механике при U(x) = const точное решение уравнение Шрёдингера имеет вид ψ(x) = A eikx + B e−ikx , где ~k = p. Естественно ожидать, что для движения частицы в достаточно плавно изменяющемся поле приближенное решение выглядит так:  1  −i x k(x) dx i x k(x) dx ψ(x) = p + C2 e x 0 , C1 e x 0 k(x) p ~k(x) = p(x) = 2m[E − U(x)] . (12.1) Чтобы показать это, подставим

~ ψ(x) = eiS(x)/~ , S(x) = S0 (x) + S1 (x) + ... i в уравнение Шрёдингера и удержим члены до первого порядка по ~: (S00 )2 − 2i~S00 S10 − i~S000 = p2 (x) . Отсюда S0 (x) = Sклас (x) = ±

Z

p(x) dx , 36

S10

1 d 1 S000 =− 0 =− ln p(x) , 2 S0 2 dx

т. е. S1 (x) = ln p

1 p(x)

+ const ,

что и приводит к (12.1). В классически недоступной области ψ(x) = p

1 κ(x)



C3 e

~κ(x) =

x x0

κ(x) dx

−

+ C4 e

x x0

κ(x) dx



,

p 2m[U(x) − E] .

(12.2)

12.3. Правила квантования Бора-Зоммерфельда Рассмотрим движение частицы в квазиклассическом поле вида рис. 7. В квазиклассическом приближении волновая функция связанного состояния при x < a (область A на рис. 7) — это волна, затухающая при x → −∞:  Z a  A κ dx ; ψA (x) = √ exp − κ x при x > b (область C на рис. 7), аналогично,  Z x  C ψC (x) = √ exp − κ dx . κ b В классически доступной области a < x < b волновую функцию можно записать в виде стоячей волны Z x  B ψB (x) = √ sin k dx + α . k a

Рис. 7: Квазиклассическая потенциальная яма Правила сшивки при переходе точки поворота a (идею сшивки можно найти, например, в книге Давыдов А.С. Квантовая механика, М.: Наука, 1973, §23) таковы: 1 π A= B, α = . 2 4 37

Переписав ψB в виде B ψB (x) = − √ sin k где β=

Z

Z

b

x

π k dx + − β 4

b

k dx + a



,

π , 2

и применив сшивку в точке b, находим 1 C = (−1)n B , 2

β = (n + 1)π , n = 0, 1, 2, . . . .

Таким образом, получаем правило квантования: I Z bp
2m[En − U(x)] dx = 2π~ n + 21 , p(x) dx = 2

n = 0, 1, 2, . . . .

a

В ψB (x) фаза меняется от

π 4

Z

b a

при x = a до

  π 3 k(x) dx + = π n + 4 4

при x = b, так что волновая функция, отвечающая уровню En , имеет, в соответствии с осцилляционной теоремой, n нулей (узлов стоячей волны). Рассмотрим теперь многомерное движения с разделяющимися переменными. В этом случае адиабатические инварианты в пределе больших квантовых чисел nj  1 будут удовлетворять правилам квантования I pj (x) dqj = 2π~nj , j = 1, 2, ..., s . Отсюда видно, что зависимость от квантовых чисел любых физических величин в квазиклассическом пределе возникает только в комбинации ~nj , т. е. полная степень квантовых чисел совпадает H со степенью ~. Фазовая площадь p(x) dx растет линейно с ростом числа состояний n, так что в фазовом пространстве на каждое состояние приходится площадь 2π~, а число состояний в фазовой ячейке ∆x · ∆px равно ∆n =

∆x · ∆px . 2π~

Так как волновая функция быстро убывает при x < a и x > b, то нормировка волновой функции может быть проведена только по области a < x < b: Z x  Z b 2 Z B π B 2 b dx B 2 ~π 2 1≈ sin k dx + dx ≈ = , k 4 2 a k(x) 2mω a a где 2π = Tкласс = 2 ω 38

Z

a

b

dx v(x)

— классический период колебаний. Отсюда r 2mω B= . π~ В квазиклассике n  1, так что при ∆n  n получаем

dEn ∆n . dn Продифференцируем по n правило квантования, тогда I I dx dEn dEn ∂p dEn 2π~ = dx = · = Tкласс . ∂En dn v(x) dn dn En+∆n − En ≈

Отсюда разность близких уровней составляет En+∆n − En ≈

dEn 2π~ ∆n = · ∆n = ~ω ∆n , dn Tкласс

а разность соседних уровней (при ∆n = 1) равна En+1 − En ≈ ~ω . Иными словами, в каждом небольшом участке квазиклассической части спектра уровни энергии эквидистантны.

Рис. 8: Квазиклассический барьер

12.4. Подбарьерное прохождение Для прямоугольного барьера рис. 6 коэффициент прохождения D ≈ e−2κa . Отсюда для плавного барьера рис. 8 находим Y D≈ exp[−2κ(xi )∆xi ] = e−2 i

Критерий применимости этой формулы обычный: Z b |p(x)| dx  ~. a

39

b a

κ(x) dx

.

12.5. Двойная яма См. [1], задача 3 к §50: Поле U(x) представляет собой две симметричные потенциальные ямы, разделенные барьером. Если бы барьер был непроницаем для частицы, то существовали бы уровни энергии, отвечающие движению частицы только в одной или в другой яме, одинаковые для обеих ям. Возможность перехода через барьер приводит к расщеплению каждого их этих уровней на два близких уровня, соответствующих состояниям, в которых частица движется одновременно в обеих ямах. Определить величину расщепления (поле U(x) предполагается квазиклассическим). Дополнительно покажите, что если Ψ(x, t = 0) = ψ0 (x) (частица в начальный момент находится в правой яме), то   t t −iE0 t/~ Ψ(x, t) = e ψ0 (x) cos + i ψ0 (−x) sin , τ τ где τ = 2~/∆E. Таким образом, через время πτ /2 частица окажется в левой яме, через время πτ — снова в правой яме и т.д.

Задачи 12.1. Получить квазиклассическое выражение для уровней энергии частицы в однородном поле тяжести в случае, когда ее движение ограничено снизу идеально отражающей плоскостью. Указать условие применимости полученного результата. 12.2. Для частицы, находящейся в поле x ν U(x) = U0 ; U0 > 0, ν > 0 , a найти в квазиклассическом приближении, как изменяется расстояние между соседними уровнями энергии с увеличением n в зависимости от значения параметра ν. Какова плотность состояний дискретного спектра? 12.3. Найти волновые функции ψn (x) для гармонического осциллятора при n  1. Дать график |ψn (x)|2 и сравнить его с графиком классической плотности вероятности dWкласс (x) 2 = , dx v(x)Tкласс где Tкласс = 2π/ω — классический период движения. Сравнить также эти величины для состояния n = 0. 12.4. Вычислить в квазиклассическом приближении коэффициент прохождения электронов через поверхность металла под действием сильного электрического поля E (“холодная эмиссия”). Найти границы применимости расчета. Оценить плотность тока через поверхность металла при E ∼ −2 эВ, E ∼ 106 В/см. 12.5. Найти расщепление основного состояния в двойной яме. Потенциал каждой ямы вблизи минимума аппроксимируется осцилляторным, барьер по-прежнему считается квазиклассическим. Сравнить ответы для этой задачи и для задачи 3 к §50 из [1]. 40

§13. Квазистационарные состояния. α-распад 13.1. Свойства квазистационарного состояния Возбужденные состояния многих квантовых систем (атомов, молекул, ядер и т.д.) при учете взаимодействия с электромагнитным полем становятся нестационарными и система переходит в другое состояние с испусканием фотонов. Нестационарными являются также многие ядра, испытывающие α- или β-распады. Если неопределенность энергии системы ∆E много меньше ее среднего значения En , то такое состояние называют квазистационарным, а величину En называют энергией квазистационарного состояния.

Рис. 9: Распределение по энергии для квазистационарного состояния. Здесь w0 = 2/(πΓ) и E± = En ± 21 Γ Закон распада: число распавшихся за время dt частиц dN(t) пропорционально числу имеющихся в данный момент частиц N(t) и интервалу времени dt, т. е. dN(t) = −γN(t) dt , где γ — коэффициент пропорциональности. Отсюда получаем N(t) = N(0) e−γ t .

(13.1)

В силу соотношения неопределенностей дисперсия энергии такого квазистационарного состояния ∆E ∼ ~γ. Определения: время жизни квазистационарного состояния τ=

1 , γ

его ширина Γ = ~γ = 41

~ . τ

Часто используют также понятие периода полураспада T1/2 , определенного соотношением N(T1/2 ) 1 = , T1/2 = τ ln 2 ≈ 0, 7 τ . N(0) 2 Пусть распадающееся состояние описывается волновой функцией Ψ(x, t), которая в начальный момент принимает значение Ψ(x, 0). Вероятность W (t) системе остаться в начальном состоянии через время t > 0 определяется амплитудой Z a(t) = dx Ψ∗ (x, 0) · Ψ(x, t) , W (t) = |a(t)|2 . Для стационарного состояния Ψ(x, t) = ψEn (x) e−iEn t/~ , a(t) = e−iEn t/~ , W (t) = 1 . Для квазистационарного состояния естественно ожидать, что Ψ(x, t) ∝ e−iEn t/~ e−t/(2τ ) , a(t) = e−iEn t/~ e−t/(2τ ) , W (t) = e−Γt/~ .

(13.2)

Такая временная зависимость волновой функции отвечает спектральному составу состояния вида Z ∞ 1 . (13.3) a(t) eiωt dt ∝ ~ω − En + 2i Γ 0 Покажем, как можно получить эти результаты. Состояние Ψ(x, t), конечно, не является стационарным и представляет собой суперпозицию стационарных состояний ψE (x): Z Ψ(x, t) = cE e−iEt/~ ψE (x) dE , (13.4) где коэффициенты cE =

Z

ψE∗ (x) Ψ(x, 0) dx

определяют плотность вероятности в энергетическом представлении dW (E) = | cE | 2 . dE Подставим (13.4) и аналогичное выражение для Ψ(x, 0) в амплитуду a(t)  Z  Z Z ∗ ∗ 0 −iEt/~ a(t) = cE 0 ψE 0 (x) dE · cE e ψE (x) dE dx , проведем интегрирование по x Z ψE∗ 0 (x)ψE (x) dx = δ(E − E 0 ) и далее по E 0 . В итоге получим важное соотношение Z a(t) = |cE |2 e−iEt/~ dE , 42

(13.5)

т. е. временной закон распада определяется энергетическим распределением начального состояния (Фок и Крылов, 1947). Рассмотрим модель, в которой распределение по энергии имеет резонансный характер типа (13.3), т. е. сосредоточено вблизи значения En в интервале ∆E ∼ Γ (рис. 9), Γ dW | cE | 2 = = . (13.6) dE 2π[(E − En )2 + (Γ/2)2 ] Подставим это значение в (13.5) и заменим интеграл по вещественной переменной E в пределах от −∞ до +∞ на замкнутый контур, содержащий вещественную ось и полуокружность радиуса R → ∞ в нижней (при t > 0) полуплоскости. Взяв вычет в нижней полуплоскости комплексной переменной E в точке2 E = En − 2i Γ ,

(13.7)

мы получим a(t) и W (t) в согласии с формулой (13.2). При Γ → 0 имеем dW → δ(E − En ) dE и состояние переходит в стационарное состояние с энергией En .

13.2. Модель α-распада У тяжелых α-активных ядер время жизни изменяется в очень широких пределах τ ∼ 10−7 с ÷1017 лет, а энергия вылетающих α-частиц, напротив, изменяется в очень узком интервале E = 4 ÷ 9 МэВ. Экспериментально установлена очень сильная зависимость периода полураспада T1/2 от энергии вылетающих α-частиц E (закон Гейгера–Неттола) B lg T1/2 = −A + √ , E где A и B — константы, слабо зависящие от заряда ядра Z (для Z = 90 известно A = 51, 94; B = 139, 4 МэВ1/2 , если T1/2 в секундах). Объяснение особенностей αраспада было дано в квантовой механике (Г. Гамов, 1928). Пусть α-частица движется в потенциальном поле вида рис. 10, где на малых расстояниях действуют притягивающие ядерные силы, а на больших расстояниях — кулоновское отталкивание. При b → ∞ уровень En — обычное стационарное состояние с Γ = 0. Конечность барьера приводит к конечному времени жизни τ и ∆E ∼ Γ. Оценку времени жизни можно провести следующим образом: α-частица подходит к граничной точке a в среднем 1/Tкласс раз в секунду, где Z a dr Tкласс = 2 , 0 v(r) и просачивается через барьер с вероятностью, равной коэффициенту прохождения D. Таким образом, для времени жизни получаем оценку Tкласс τ∼ . D

Формулу (13.7) иногда интерпретируют таким образом: квазистационарное состояние можно формально рассматривать как состояние с комплексной энергией E = En − 2i Γ, в которой мнимая часть определяет ширину состояния. 2

43

Рис. 10: Потенциальная энергия, соответствующая случаю α-распада Такой же ответ получается и в квазиклассическом приближении. Расчет в этом случае удобно проводить в следующей постановке. Ищется стационарное решение с волновой функцией, соответствующей стоячей волне в области 0 < r < a и суперпозиции двух бегущих волн ψ(r) ∝ A(E) eikr + B(E) e−ikr при r → ∞ .

(13.8)

Потребуем, чтобы коэффициент B(E) обращался в нуль, B(E) = 0 ,

(13.9)

что соответствует вылетанию частиц из области r < a. Такое требование выполняется только для комплексных значений энергии вида (13.7). Полученное таким образом решение соответствует квазистационарному состоянию с шириной, определяемой мнимой частью найденного значения энергии.

Задачи 13.1.Показать, что для α-частиц, движущихся в модельном потенциале  0 при r < a U(r) = α/r при r > a и при условии E  α/a, должен выполняться закон Гейгера–Неттола, и найти вид коэффициентов A и B через параметры задачи. 13.2. Найти положение и ширину квазистационарный состояний в поле  ∞ при x < 0 U(x) = G δ(x − a) при x > 0 . Специально обсудить случай малопроницаемого барьера G  ~2 /(ma) (ср. с задачей 4.56 из [4]). 44

Глава III ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ §14. Момент импульса 14.1. Сдвиг и поворот Операции сдвига и поворота имеют ряд общих черт. Для одной частицы оператор сдвига определяется соотношением Tˆa ψ(r) ≡ ψ(r + a) и соответствует3 сдвигу системы координат на расстояние a или сдвигу частицы на расстояние (−a). В §11 было показано, что оператор сдвига связан с оператором ˆ соотношением импульса p Tˆa = eiaˆp/~ . Рассмотрим поворот на угол θ= θ n, где единичный вектор n задает направление оси поворота. Пусть при таком повороте компоненты вектора r преобразуются по закону 3 X 0 xi = Λik xk , k=1

где Λ — ортогональная матрица поворота, ΛT = Λ−1 , т. е. вектор r переходит в вектор r0 : r0 = Λr . Для скалярной (не обладающей спином) частицы преобразованная волновая функция в новых координатах ψ 0 (r0 ) должна совпадать с исходной волновой функцией в старых координатах ψ(r), т. е. должны выполняться равенства 3

ψ 0 (r0 ) = Tˆa ψ(r0 ) = ψ(r0 + a) = ψ(r) Отсюда следует, что r0 = r − a, т. е. оператор Tˆa соответствует сдвигу системы координат на расстояние a. Сама частица при этом смещается на расстояние (−a), в частности, средние значения оператора r в состояниях ψ 0 (r) и ψ(r) связаны соотношениями hψ 0 (r)| r |ψ 0(r)i = hψ(r)| Tˆa−1rTˆa |ψ(r)i = hψ(r)| r |ψ(r)i − a .

45

Легко показать, что оператор поворота, определенный для бесспиновой частицы как ˆ θ ψ(r) ≡ ψ(Λ−1 r) , R соответствует повороту системы координат на угол θ или повороту частицы на угол ˆ = r×p ˆ соотношением4 (−θ) и связан с оператором момента импульса M ˆ ˆ θ = eiθM/~ R .

Собственная функция оператора pˆz = −i~

∂ ∂z

имеет вид

eikz √ ψk (z) = 2π и соответствует собственному значению ~k. Аналогично, собственная функция оператора ˆ z = pˆϕ = −i~ ∂ , M ∂ϕ где ϕ — азимутальный угол в сферических координатах, имеет вид Φm (ϕ) = A eimϕ и соответствует собственному значению ~m. На этом однако аналогия между сдвигом и поворотом кончается. Собственная функция оператора pˆz определена на всей прямой, −∞ < z < +∞ , спектр оператора импульса непрерывный, а его собственные функции нормированы на δ-функцию: Z ∞ ψk (z)∗ ψk0 (z) dz = δ(k − k 0 ) . −∞

ˆ z определена в ограниченной области, Собственная функция оператора M 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,

требование однозначности Φm (ϕ + 2π) = Φm (ϕ) приводит к дискретному спектру m = 0, ±1, ±2, . . . . Аналогично предыдущему случаю, для оператора поворота имеют место равенства ˆ θ ψ(r0 ) = ψ(Λ−1 r0 ) = ψ(r) , R ˆ −1 r R ˆθ = Λ r . ψ 0 (r0 ) = R θ 4

46

ˆ z такова: Ортонормированная система собственных функций оператора M Z 2π eimϕ Φm (ϕ) = √ , Φ∗m0 (ϕ) Φm (ϕ) dϕ = δmm0 . 2π 0

(14.1)

Далее, различные компоненты оператора импульса коммутируют друг с другом, плоская волна eikr ψk (r) = (2π)3/2 представляет собой совместную собственную функцию операторов pˆx , pˆy и pˆz . Напротив, различные компоненты оператора момента импульса не коммутируют друг с другом. Введем безразмерный оператор ˆ ˆl ≡ M = −ir × ∇ . ~ Нетрудно показать, что

[ˆlj , ˆlk ] = iεjknˆln , [ˆlj , ˆl2 ] = 0 .

(14.2)

Отсюда видно, что можно искать совместные собственные функции операторов ˆlx и ˆl2 , или ˆly и ˆl2 , или ˆlz и ˆl2 , обычно выбирают последний вариант: ˆl2 ψλm = λ ψλm , ˆlz ψλm = m ψλm .

(14.3)

14.2. Свойства собственных функций и собственных значений операторов ˆlz и ˆl2 , следующие из коммутационных соотношений Определим операторы ˆl+ и ˆl− соотношением ˆl± = ˆlx ± i ˆly , при этом (ˆl+ )+ = lˆ− . Нетрудно показать,что   ˆlz ˆl± = ˆl± ˆlz ± 1 ,

(14.4)

[ˆl± , ˆl2 ] = 0 ,

(14.5)

ˆl2 = ˆl+ ˆl− + ˆl2 − ˆlz = ˆl− ˆl+ + ˆl2 + ˆlz . z z

(14.6)

Соотношения (14.4) между оператором ˆlz и операторами ˆl+ и ˆl− аналогичны соотноˆ и повышающим a шениям (6.1) между оператором Гамильтона H ˆ+ и понижающим a ˆ операторами для линейного осциллятора. Поэтому операторы ˆl+ и ˆl− играют роль повышающих и понижающих операторов для состояний с определенным значением ˆlz . Действительно, из (14.4)–(14.5) следует ˆl2 ˆl± ψλm = λ ˆl± ψλm , ˆlz ˆl± ψλm = (m ± 1) ˆl± ψλm , т. е.

ˆl± ψλm = Cλm ψλm±1 . 47

(14.7)

Поскольку h lz2 i ≤ h l2 i, то при заданном λ существует максимальное значение m, обозначим его mmax ≡ l, и минимальное значение mmin = −l. Ясно, что ˆl+ ψλl = 0 , отсюда с учетом (14.6) получаем  
ˆl− ˆl+ ψλl = ˆl2 − ˆl2 − ˆlz ψλl = λ − l2 − l ψλl = 0 z или

λ = l(l + 1) . Применяя n раз понижающий оператор ˆl− к состоянию с наибольшим mmax = l, мы получим (ˆl− )n ψλl ∝ ψλl−n . Увеличивая n, мы придем к наименьшему значению mmin = −l, в этом случае l − n = −l, т. е. 2l — целое число . (14.8) Отсюда следует, что l может принимать либо целые значения (этот вывод мы уже получили ранее из требования однозначности функции Φm (ϕ)), либо полуцелые значения (этот вариант мы рассмотрим в §23, посвященном частицам со спином 1/2). Найдем матричные элементы операторов ˆl± . Будем обозначать состояние ψλm с λ = l(l + 1) как |lmi и усредним (14.6) по этому состоянию, тогда l(l + 1) = hlm|ˆl+ ˆl− |lmi + m2 − m = hlm|ˆl+ |lm − 1ihlm − 1|ˆl− |lmi + m2 − m , т. е.

|hlm|ˆl+ |lm − 1i|2 = l2 + l − m2 + m .

Отсюда следует, что hlm| ˆl+ |lm − 1i = hlm − 1| ˆl− |lmi =

p

(l + m)(l − m + 1) .

(14.9)

Извлекая квадратный корень, мы выбрали определенный (положительный) знак, что соответствует фиксированию фазовых соотношений между различными состояниями |lmi с данным l. Полученные формулы определяют также и коэффициенты C в соотношении (14.7) p ˆl+ |lmi = (l + m + 1)(l − m) |lm + 1i , p ˆl− |lmi = (l + m)(l − m + 1) |lm − 1i . (14.10)

Зная матричные элементы ˆl± , легко найти и отличные от нуля матричные элементы ˆlj : 1p (l + m)(l − m + 1) , hlm| ˆlx |lm − 1i = hlm − 1| ˆlx |lmi = 2 ip hlm| ˆly |lm − 1i = −hlm − 1| ˆly |lmi = − (l + m)(l − m + 1) , 2 hlm| ˆlz |lmi = m . (14.11) 48

В заключение этого раздела укажем некоторое обобщение коммутационных соотношений (14.2). Пусть Sˆ — скалярный оператор, построенный из операторов вида ˆ 2 , rˆ ˆ r, т. е. r2 , p p+p ˆ 2, , p ˆ 2 , rˆ ˆ r) . Sˆ = S(r p+p Соответствующая такому оператору физическая величина не изменяется при повороте, поэтому он коммутирует с оператором момента импульса ˆ = 0. [ˆlj , S] Рассмотрим теперь векторный оператор вида ˆ = r Sˆ1 + p ˆ Sˆ3 , Sˆj ≡ Sˆj (r2 , p ˆ Sˆ2 + M ˆ 2 , rˆ ˆ r) . A p+p Нетрудно проверить что для него справедливы коммутационные соотношения аналогичные соотношениям (14.2) ˆ 2] = 0 . [ˆlj , Aˆk ] = iεjknAˆn , [ˆlj , A

(14.12)

При повороте на угол θn векторный оператор преобразуется по тому же закону, что и координаты, т. е. ˆR ˆ, ˆθ = Λ A ˆ −1 A (14.13) R θ где оператор поворота

ˆ θ = eiθnˆl , R

а Λ — матрица поворота, соответствующая преобразованию r0 = Λr.

14.3. Сферические функции Для получения конкретного вида собственных функций удобно использовать сферические координаты, в которых   ˆlz = −i ∂ , ˆl± = e±iϕ ± ∂ + i ctg θ ∂ , ∂ϕ ∂θ ∂ϕ   2 ˆl2 = − 1 ∂ sin θ ∂ + 1 ∂ . sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2 Совместные собственные функции операторов ˆl2 и ˆlz удобно искать в виде Ylm (θ, ϕ) = Θlm (θ) Φm (ϕ) , где функция Φm (ϕ) определена в (14.1) с m = 0, ±1, ±2, . . . , ±l . Для нахождения функции Θlm (θ) можно использовать такой прием. Условие ˆl+ Yll (θ, ϕ) = 0 приводит к уравнению 

d − l ctg θ dθ



49

Θll (θ) = 0 ,

откуда получаем Yll (θ, ϕ) = Al eilϕ sinl θ , где множитель Al определяется из условия нормировки. Последовательно применяя понижающий оператор в соответствии с (14.9), получим сферические функции s m+|m| 2l + 1 (l − |m|)! m Ylm (θ, ϕ) = (−1) 2 P (cos θ) eimϕ , 4π (l + |m|)! l где Plm (x) — присоединенные полиномы Лежандра. Сферические функции образуют ортонормированую систему Z Yl∗0 m0 (θ, ϕ) Ylm(θ, ϕ) dΩ = δll0 δmm0 . Вместо сферических углов θ и ϕ нередко используют компоненты единичного вектора r n = , nx = sin θ cos ϕ , ny = sin θ sin ϕ , nz = cos θ . r Сферическая функция Ylm (n) является суммой однородных полиномов по переменным ni степени l, в частности, Yll (θ, ϕ) = Al eilϕ sinl θ = Al (nx + iny )l , √

2l Yll−1 (θ, ϕ) = ˆl− Yll (θ, ϕ) = −l Al (nx + iny )l−1 nz , . . . .

Отражение системы координат r → −r в сферических координатах обычно определяют так: r → r, θ → π − θ, ϕ → ϕ + π . При этом Ylm (−n) = (−1)l Ylm (n) .

Примеры: r

r r 1 3 3 Y00 = , Y10 = cos θ = nz , 4π 4π 4π r r 3 3 Y1±1 = ∓ sin θ e±iϕ = ∓ (nx ± iny ) . 8π 8π

Задачи 14.1. В состоянии частицы, заданном волновой функцией ψ = A cos2 ϕ , найти вероятности различных значений m проекции момента на ось z и hlz i. То же для ψ = A eiϕ cos2 ϕ . 50

14.2. Обсудить вопрос о том, куда направлен вектор h ψ| ˆl |ψi в состояниях 1 ψ = Yll и ψ = √ (Y11 + Y1−1 ) . 2 Показать, что в состоянии ψm с определенной проекцией момента m на ось z средние значения hlx i = hly i = 0. 14.3. Исследовать качественно угловое распределение плотности вероятности для состояний, описываемых сферическими функциями Yl,m=l и Yl,m=0, считая l  1. 14.4. Указать, при каких m и m0 могут быть отличны от нуля матричные элементы дипольного hm0 | xi |mi и квадрупольного hm0 | xi xj − 31 δij r2 |mi моментов. 14.5. Частица находится в состоянии с моментом l = 1 и его проекцией m (m = 0, ±1) на ось z. Найти вероятности W (m0 , m) различных значений проекции момента m0 на ось z 0 , составляющую угол α с осью z. Рассмотреть, в частности, случай, когда ось z 0 перпендикулярна оси z. 14.6. Найти Y˜lm (θ, ϕ) — собственные функции операторов ˆl2 и ˆlx для l = 1.

§15. Движение в центральном поле 15.1. Уравнение для радиальной функции Для центрального поля удобны сферические координаты, в которых уравнение Шредингера имеет вид " #  2  ~2 ∂ 2 ∂ ~2ˆl2 + + + U(r) ψ(r, θ, ϕ) = E ψ(r, θ, ϕ) . − 2m ∂r 2 r ∂r 2mr 2 Его можно легко получить, используя тождество ~2ˆl2 1 1 ˆ] = p ˆ 2 − (ˆ ˆ) . = − [ˆ p × r] 2 [r × p p · r) 2 (r · p 2 r r r Разделяя переменные ψ = R(r) Ylm(θ, ϕ) , получим для радиальной функции уравнение   2   ~2 d 2 d − + + Uэф (r) Rl (r) = El Rl (r) , 2m dr 2 r dr в котором

~2 l(l + 1) . 2mr 2 От первой производной по r можно избавиться заменой Uэф = U(r) +

Rl (r) =

χl (r) . r

Для χl (r) получаем обычное одномерное уравнение Шредингера −

~2 00 χ (r) + Uэф (r)χl (r) = El χl (r) , 2m l 51

но с эффективным потенциалом Uэф (r), зависящим от l. Условие нормировки для функции χl (r) в случае финитного движения таково: Z ∞ | χl (r) |2 dr = 1 . 0

Если функция U(r) всюду конечна, а при r → 0 обращается в бесконечность, но так что r 2 U(r) → 0, то волновая функция ψ(r) должна быть конечной во всем пространстве (см. [1] §35). Отсюда следует, что в этом случае χl (r) → 0 при r → 0 .

(15.1)

Терминология: l = 0, 1, 2, 3, . . . (s, p, d, f, . . .) — азимутальное квантовое число, m = 0, ±1, . . . , ±l — магнитное квантовое число. Радиальное квантовое число nr равняется числу нулей функции χl (r) (кроме точек r = 0 и r = ∞). Поведение при r → 0. Пусть r 2 U(r) → 0 при r → 0, тогда решениями уравнения χ00l (r) =

l(l + 1) χl (r) r2

служат функции

b . rl Второе решение не удовлетворяет условию (15.1) и потому не годится. Таким образом, при любых l χl (0) = 0 . χl (r) = ar l+1 и χl (r) =

(15.2)

Соответственно, ψ(0) 6= 0 лишь для l = 0 (s-состояния) .

Заметим, что вывод квазиклассического приближения для радиального уравнения Шредингера требует некоторой аккуратности, так как при малых значениях r эффективная потенциальная энергия сингурярна, Uэф (r) ≈ ~2 l(l + 1)/(2mr 2 ). Результат такого рассмотрения (см. задачу 2 из §5 в [5]) сводится к простой замене l(l + 1) → (l + 1/2)2 в эффективноной потенциальной энергии. Эта замена заведомо допустима для квазиклассических орбитальных моментов, т.е. при l  1. А кроме того, при любых l она обеспечивает правильное поведение радиальной волновой функции на малых расстояниях, если центробежный член доминирует при r → 0. Действительно, как нетрудно убедиться, именно при такой замене квазиклассическое выражение для радиальной волновой функции C ± χ(r) = p e κ(r)

r r0

κ(r) dr

правильно воспроизводит асимптотику (15.2). 52

,

κ(r) =

l + 1/2 r

Поведение при r → ∞. Считая, что поле убывает достаточно быстро, получим χ00l (r) = −

2mE χl (r) , ~2

так что χl (r) =



√ при E > 0 , ~k = √2mE при E < 0 , ~κ = −2mE .

A e±ikr или B sin(kr + αl ) C e−κr

15.2. Свободное движение При l = 0 решением уравнения χ00 (r) + k 2 χ(r) = 0 с граничным условием χ(0) = 0 служит функция χk0 (r) = A sin kr . Определим коэффициент A, используя нормировку на δ-функцию “по шкале k”: Z ∞ 0 δ(k − k ) = χk0 0 (r) χk0(r) dr = 0

=− 2

|A| 4 отсюда следует =−

Z

∞

−∞

|A|2 4 0

Z

0

∞

h i i(k+k 0 )r −i(k+k 0 )r e +e − (k → −k) dr =

ei(k+k )r dr + (k → −k) = − A=

В итоге

r

|A|2 [2π δ(k + k 0 ) − 2π δ(k − k 0 ) ] ; 4

2 . π

r

2 sin kr . π Можно показать (см. КМ § 33), что при l > 0  l r l+1 1 d χk0 (r) √ = krJl+1/2 (kr) ; χkl (r) = l − k r dr r отсюда  r (kr)l+1 при r → 0, 2  (2l + 1)!! χkl (r) → ·
π  sin kr − πl2 при r → ∞ . Если поле убывает при r → ∞ достаточно быстро, то при E > 0 и больших r движение становится свободным, поэтому r   2 πl χkl (r) ≈ sin kr − + δl , π 2 χk0 (r) =

при этом все отличие от случая свободного движения заключено в величинах δl , которые называются фазами рассеяния (они имеют важное значение в теории рассеяния (см. §22)). 53

Задачи 15.1. Определить уровни энергии для движения частицы с моментом l = 0 в сферической прямоугольной потенциальной яме:  −V при r < a U(r) = 0 при r > a . Показать, что эта задача сводится к задаче 4.1. 15.2. Определить последовательность, в которой появляются уровни с различными l по мере возрастания глубины ямы V . 15.3. Как меняются значения Enr l энергетических уровней частицы в дискретном спектре: а) при фиксированном значении l с увеличением nr ; б) при фиксированном значении nr с увеличением l? 15.4. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных состояний сферического осциллятора U(r) = 21 kr 2 , используя декартовы координаты. Определить кратность вырождения уровней. Произвести классификацию четырех нижних уровней осциллятора по nr , l и четности, исходя только из известного значения кратности вырождения уровней. Какая комбинация волновых функций ψn1 n2 n3 отвечает состоянию осциллятора с моментом l = 0 (при N = n1 + n2 + n3 = 2)? 15.5. Несвязанный электрон создает в жидком гелии вокруг себя пузырек. Найти радиус пузырька, предполагая, что его сферическая поверхность служит непроницаемым потенциальным барьером для электрона. Коэффициент поверхностного натяжения жидкого гелия α = 0, 36 · 10−7 Дж·см−2 .

§16. Атом водорода Задача сводится к движению в поле U =−

e2 r

частицы c приведенной массой m=

me mp ; me + mp

ниже рассматривается только случай E < 0 (связанные состояния) и используется обозначение r −2mE κ= . ~2 Атомная система единиц. Естественная система единиц включает ~, e, m. Из них строятся единицы длины (боровской радиус) ~2 aB = = 0, 53 · 10−8 см , me2 54

энергии (удвоенный Ридберг) Eат =

me4 = 27, 2 эВ = 2 Ry , ~2

времени

~3 = 2, 4 · 10−17 с , me4

tат = скорости

vат =

e2 = αc , ~

где

e2 1 ≈ ~c 137 — так называемая постоянная тонкой структуры. (Найдите единицы импульса, силы, напряженности электрического и магнитного полей.) α=

Решение радиального уравнения. Переходя к безразмерным величинам r0 =

r E , E0 = , aB Eат

получим уравнение Шредингера в виде   2 l(l + 1) d2 χl (r) 0 + 2E + 0 − χl (r) = 0. r dr 0 2 r02 В дальнейшем штрихи опускаем. Мы знаем, что χl (r) ∼ r l+1 при r → 0 и χl (r) ∼ e−κr при r → ∞. Поэтому ищем решение в виде χl (r) = r l+1 e−κr w(r) . Для w(r) получаем уравнение rw 00(r) + 2(l + 1 − κr)w 0(r) + 2(1 − κ − κl)w(r) = 0 . Его решение ищем в виде ряда w(r) =

∞ X

as r s .

s=0

Рекуррентное соотношение для коэффициентов таково: as+1 = 2 Из него получаем as+1 →

κ(s + l + 1) − 1 as . (s + 1)(s + 2l + 2)

2κ as при s → ∞ . s+1 55

(16.1)

Таким образом,

(2κ)s при s  1 s! и функция w(r) при r → ∞ асимптотически совпадает с функцией as ≈

∞ X (2κ)s = e2κr . s! s=0

Чтобы χl (r) → 0 при r → ∞, необходимо оборвать ряд на некотором s = nr . При этом 1 κ (nr + l + 1) − 1 = 0 , κ = nr + l + 1 и функция w(r) = Lnr (r) — полином степени nr , имеющий nr нулей (он сводится к полиному Лагерра). В итоге, En = −

1 , ψnlm = Rnl (r) Ylm(θ, ϕ) , Rnl (r) = r l e−r/n Lnr (r) , 2 2n

n = nr + l + 1 = 1, 2, 3, . . . , В обычных единицах

nr = 0, 1, 2, . . . , n − 1 , l = 0, 1, . . . , n − 1 .

me4 2~2 n2 Заметим, что степени ~ и n здесь совпадают, в полном соответствии с общими соображениями. En = −

Кулоновское вырождение. Уровню En с данным главным квантовым числом n соответствует n−1 X

(2l + 1) = n2

l=0

различных состояний (различных волновых функций). Четность состояния ψnlm равна (−1)l . Основному уровню E1 соответствует единственное четное состояние ψ100 , а у всех возбужденных уровней имеются состояния различной четности. Состояния с l = n − 1. Для них nr = 0 и Lnr (r) — просто константа, которую легко определить из условия нормировки, используя известный интеграл Z ∞ n! xn e−αx dx = n+1 . α 0 Таким образом, получим Rn,n−1 (r) = r

n−1 −r/n

e

56

s

1 (2n)!

 2n+1 2 . n

(16.2)

Отсюда найдем, что в данном состоянии средний радиус   1 hri = n n + , 2 а относительная дисперсия радиуса равна 1 ∆r . =√ hri 2n + 1 Основное состояние. У основного 1s состояния энергия и волновая функция (в обычных единицах) таковы E1 = −

Eат er/aB = −13, 6 эВ , ψ100 (r) = p 3 . 2 πaB

В этом состоянии момент импульса равен нулю, M = 0, и 3 ∆r 1 hri = , = √ ≈ 60% . 2 hri 3 Таким образом, здесь нет никакого сходства с моделью Бора, в которой электрон имеет момент импульса M = ~ и вращается по окружности боровского радиуса: hri = 1, ∆r = 0 . Состояние с l = m = n − 1  1. При l = m = n − 1  1, напротив, квантовая механика дает ответ, близкий к боровской модели. А именно, средний радиус велик: hri ≈ n2 ,

относительная дисперсия радиуса мала: 1 ∆r ≈√ , hri 2n в угловом распределении | Yn−1,n−1(θ, ϕ) |2 ∝ sin2n−2 θ

вероятность найти электрон сконцентрирована в узком интервале углов вблизи θ = π/2, что очень похоже на классическую траекторию — окружность радиуса n2 в плоскости xy. Первый возбужденный уровень n = 2. Радиальная волновая функция состояния 2p с l = 1 (см. (16.2)) 1 R21 (r) = √ r e−r/2 24 не имеет нулей при конечных r 6= 0. Для 2s состояния рекуррентное соотношение (16.1) дает a1 = − 12 a0 , а из условия нормировки получаем a0 = √12 , итого   1 1 R20 (r) = √ 1 − r e−r/2 ; 2 2 эта функция обращается в нуль при r = 2. 57

Спектральные серии. Фотон, испущенный при переходе атома водорода из начального уровня Eni на конечный уровень Enf , имеет энергию ! 1 1 ~ωf i = Eni − Enf = − 2 Ry , ni > nf . n2f ni При nf = 1 возникает серия Лаймана в ультрафиолетовой области спектра; при nf = 2 — серия Бальмера, причем четыре линии Hα , Hβ , Hγ , Hδ , соответствующие ni = 3, 4, 5, 6, лежат в видимой области спектра; при nf ≥ 3 возникают серии в инфракрасной области спектра. Водородоподобные атомы (см. задачу 16.8). Малые поправки к формуле Бора для En обсуждаются в §33 (тонкая структура с интервалами ∼ α2 Eaт ) и в §40 (сверхтонкая структура с интервалами ∼ α2 (me /mp ) Eaт ).

Задачи 16.1. Для состояния 1s атома водорода дать графики dW/d3 r и dW/dr в зависимости от r. Найти ϕ100 (p) и дать графики dW/d3p и dW/dp в зависимости от p. Найти hpi, оценить hpi и ∆p. 16.2. Найти радиальную функцию R20 (r) из условия ее ортогональности к функции R10 (r). Ортогональны ли радиальные функции R20 (r) и R21 (r)? 16.3. Задача 2 из § 36 КМ. Оценить напряженность электрического поля атома водорода на расстоянии r = aB . 16.4. Для 2s и 2p состояний атома водорода дать графики dW/d3r в зависимости от r и θ. Определить среднее магнитное поле, создаваемое электроном в центре атома водорода в состоянии 2p. 16.5. Для того, чтобы учесть отсутствие случайного кулоновского вырождения по l в спектрах водородоподобных атомов, можно попытаться использовать потенциальную энергию вида Za e2 Za e2 ~2 − βr0 2 , r0 = , r r mZa e2 где второй член моделирует поляризуемость атомного остатка под действием валентного электрона. Найти уровни энергии в этом потенциальном поле. 16.6. Найти вероятность того, что при β-распаде трития электрон останется в основном состоянии иона He+ . 16.7. У волновой функции ψ = A ψ200 + B ψ210 определить коэффициенты A и B, дающие наибольшее среднее значение дипольного момента hψ|er|ψi = d, и найти величину d. 16.8. Оценить размеры и уровни энергии водородоподобных атомов He+ , Li++ , e+ e− (позитроний), µ− p (мюоний), µ− µ+ (димюоний), µ− π + , µ− в поле ядра свинца Pb+82 . Масса мюона mµ ≈ 200 me , масса пиона mπ ≈ 270 me 16.9∗ . Можно ли считать квазиклассической волновую функцию (16.2) состояния с l = n − 1, nr = 0 при n  1? 16.10. Найти спектр электрона над поверхностью жидкого гелия. Диэлектрическая постоянная жидкого гелия ε = 1, 057. U(r) = −

58

Глава IV ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ §17. Стационарная теория возмущений 17.1. Постановка задачи. Невырожденный случай ˆ можно представить в виде Пусть некий гамильтониан H ˆ = Hˆ0 + Vˆ , H где для невозмущенного гамильтониана Hˆ0 известны его собственные функции и собственные значения, ψn0 (x) и En0 , Hˆ0 ψn0 = En0 ψn0 , а Vˆ — малое возмущение. Рассмотрим, как под действием этого возмущения сдвигается n-й невырожденный уровень En0 и как изменяется волновая функция ψn0 (x). ˆ = Eψ разложим по невозмущенным волновым Точное решение уравнения Hψ функциям и подставим X 0 ψ= cm ψm m

в исходное уравнение

(Hˆ0 + Vˆ )ψ = Eψ . Домножим это уравнение слева на (ψk0 )∗ и проинтегрируем по x, тогда получим систему алгебраических уравнений X 0 (E − Ek0 ) ck = Vkm cm , Vkm = hψk0 | Vˆ |ψm i. (17.1) m

Разложим точные решения E и ψ в ряд по малому возмущению E = En0 + En1 + En2 + . . . , cm = c0m + c1m + . . . . Так как ψ → ψn0 при Vˆ → 0, то c0m = 1 при m = n и c0m = 0 при m 6= n, т. е. c0m = δmn . Более того, из условия нормировки Z | ψ |2 dx = 1 59

имеем, удерживая лишь члены до первого порядка включительно, X 1 + c1n + . . . 2 + c1m + . . . 2 = 1 + 2 Re c1n + . . . = 1 , m6=n

откуда следует, что c1n чисто мнимый коэффициент, c1n = iβ. Но тогда для волновой функции с той же точностью можем записать X

ψ = (1 + iβ) ψn0 +

m6=n

0 c1m ψm ≈ eiβ

ψn0 +

X

!

0 c1m ψm .

m6=n

Иными словами, учет величины β приводит лишь к несущественному фазовому множителю. Поэтому, полагая β = 0, имеем в итоге cm =

(

1 + c2n + . . .

при m = n

c1m + . . .

при m 6= n .

Таким образом, из (17.1) получаем X


En0 − Ek0 + En1 + En2 + . . . δkn + c1k + . . . = Vkn + Vkm c1m + . . . . m6=n

В первом порядке при k = n отсюда следует En1 = Vnn , а при k 6= n получаем (En0 − Ek0 ) c1k = Vkn , откуда c1k =

Vkn − Ek0

En0

при k 6= n.

Итак, En1 = Vnn = hψn0 |Vˆ |ψn0 i, ψ = ψn0 +

X

m6=n

0 ψm

Vmn . 0 − Em

En0

Критерий применимости: ψ должна мало отличаться от ψn0 , т. е. 0 | Vmn |  | Em − En0 | .

Во втором порядке при k = n получаем En2 =

X

Vnm c1m =

m

X | Vmn |2 . 0 En0 − Em

m6=n

Отметим, что если поправка второго порядка к основному уровню E0 отлична от нуля, то она отрицательна, E02 ≤ 0 . 60

17.2. Производная от энергии по параметру ˆ Пусть невозмущенный гамильтониан зависит от параметра λ, т. е. Hˆ0 = H(λ), а ˆ = H(λ ˆ + ∆λ) = Hˆ0 + Vˆ , H где возмущение

ˆ ∂H Vˆ = ∆λ . ∂λ В первом порядке теории возмущений поправка к энергии равна E D ˆ 1 En = n (∂ H/∂λ)∆λ n .

С другой стороны, En1 = (∂En /∂λ)∆λ, поэтому + * ˆ ∂En ∂H = n n . ∂λ ∂λ

В частности, для центрального поля при λ ≡ l имеем  2  ~2 ∂ 2 ∂ ~2 l(l + 1) ˆ H(l) = − + + + U(r) , 2m ∂r 2 r ∂r 2mr 2 и поэтому * +   ∂H ˆ ~2 (2l + 1) ∂Enr l nr l . = nr l nr l = nr l ∂l ∂l 2mr 2 Отсюда видно, что

∂Enr l > 0, ∂l т. е. в центральном поле с ростом l (при фиксированном nr ) энергии уровней растут, что вполне согласуется с классическими представлениями. Для атома водорода me4 Enr l = − 2 2~ (nr + l + 1)2 и поэтому   1 1 1 nl 2 nl = 3 . (17.2) 1 r n (l + 2 ) a2B Если к кулоновскому полю U = −e2 /r есть малая поправка вида

β , r2 то энергия начинает зависеть не только от n, но и от l: V =

Enl = −

me4 βm2 e4 + . 2~2 n2 ~4 n3 (l + 12 )

Обратим внимание на то, что в пределе больших квантовых чисел их полная степень в найденной поправке совпадает со степенью ~: 1 ∆Enl ∝ 4 3 . ~nl Так и должно быть для любого матричного элемента, имеющего классический предел. 61

17.3. Поляризуемость атома Для атома в слабом однородном электрическом поле E возмущение Vˆ = −dE , где d = −eΣa ra — дипольный момент атома (здесь сумма берется по всем электронам атома, ra — радиус-вектор a-го электрона и e — элементарный заряд). Если состояние атома ψn0 является невырожденным и обладает определенной четностью, то среднее значение hdi = 0. В этом случае поправка первого порядка En1 = 0 и поправка к энергии возникает лишь во втором порядке ∆En =

En2

3 X |hm| dE |ni|2 1 X = ≡− αij Ei Ej . 0 En0 − Em 2 i,j=1 m6=n

Отсюда тензор поляризуемости равен αij = 2

X hn|di |mihm|dj |ni . 0 − E0 E m n m6=n

Если состояние атома ψn0 сферически симметрично, то αij = αδij и α=2

X hn|dz |mihm|dz |ni . 0 − E0 Em n m6=n

Очевидно, что в основном состоянии атома поляризуемость α > 0. Оценим величину α для основного состояния атома водорода. 0 В этом случае все слагаемые в сумме по возбужденным состояниям ψm положительны. Для оценки снизу оставим в этой сумме лишь одно слагаемое |mi → |nlmi = |210i . Отсюда (в атомной системе единиц) α > 2

|h100|z|210i|2 219 = ≈ 2, 96 . 311 − 18 + 21

0 Для оценки сверху заменим знаменатель Em − E10 на независящую от индекса m величину 3 0 0 − E10 . Em − E10 → E20 − E10 = ≤ Em 8 Тогда 16 X 16 16 α < h100|z|mihm|z|100i = h100|z 2 |100i = ≈ 5, 33 . 3 m 3 3

Точное значение

α = 4, 5 a3B (см. [1] задача 4 к §76). 62

17.4. Силы Ван-дер-Ваальса На больших расстояниях R  aB два нейтральных атома имеют диполь-дипольное взаимодействие V =

d1 d2 − 3 (d1 n) (d2 n) 2d1z d2z − d1x d2x − d1y d2y = − , R3 R3

где единичный вектор n = R/R направлен от первого ядра ко второму вдоль оси z. Рассмотрим случай, когда уровень En0 невырожден и волновая функция ψn0 соответствует состоянию, в котором распределение электронов у каждого из атомов обладает сферической симметрией. В этом случае средние значения дипольных моментов атомов равны нулю, hψn0 |d1 |ψn0 i = hψn0 |d2 |ψn0 i = 0, и потому поправка первого порядка по этому взаимодействию также равна нулю, En1 = 0. Поправка второго порядка к этому уровню имеет вид En2 ≡ U(R) = −

β , R6

где β=

X | hψ 0 |2d1z d2z − d1x d2x − d1y d2y |ψ 0 i |2 m n . 0 − E0 E m n m6=n

Если оба атома находятся в основном состоянии, то поправка второго порядка является отрицательной, т. е. β > 0, и Ван-дер-Ваальсовы силы оказываются силами притяжения. Рассмотрим подробнее случай взаимодействия двух атомов водорода, находящихся в основном состоянии, для которого e−r/aB En0 → E0 = −Eат , ψn0 → ψ0 = ψ100 (r1 )ψ100 (r2 ) , ψ100 (r) = p 3 , πaB

где ri — расстояние i-го электрона от своего ядра. В этом случае оператор возмущения имеет вид e2 V = − 3 (2z1 z2 − x1 x2 − y1 y2 ) . (17.3) R Оценки константы β могут быть проведены так же как и в предыдущем разделе, при этом 233 β ≈ 2, 46 < 2 5 < 8 . 20 3 e aB Расчет дает β = 6, 5 e2 a5B . Интересно разобраться в том, как возникает взаимодействие двух нейтральных сферически симметричных атомов водорода. Для этого рассмотрим структуру первой поправки к волновой функции, которая имеет вид ψ01 =

X hψ 0 |V |ψ0 i m 0 ψm , 0 E − E 0 m m6=0 63

0 где функция V = V (r1 , r2 ) определена в (17.3). Волновые функции ψm можно выбрать имеющими определенную четность. Так как V и ψ0 являются четными функ0 0 циями, то матричный элемент hψm |V |ψ0 i отличен от нуля только если ψm является четной функцией. Таким образом, мы приходим к выводу, что не только волновая функция основного состояния ψ0 , но и первая поправка к ней, ψ01 , являются четными функциями. Поэтому

hψ0 + ψ01 | r1 |ψ0 + ψ01 i = hψ0 + ψ01 | r2 |ψ0 + ψ01 i = 0 , т. е. даже с учетом первой поправки в атомах не произошло разделение центров положительных и отрицательных зарядов. Отсюда видно, что притяжение между атомами водорода обусловлено не деформацией электронных оболочек атомов, а корреляцией между положениями электронов. Именно, более вероятны такие положения двух электронов, в которых их дипольные моменты вдоль оси z имеют одинаковый знак, а вдоль осей x и y — противоположный знак, и потому взаимодействие атомов соответствует притяжению.

Задача 17.1∗ . Найти поляризуемость водородоподобного иона с зарядом ядра Ze.

§18. Стационарная теория возмущений при наличии вырождения 18.1. Общие формулы Пусть невозмущенному уровню En0 соответствуют s различных функций ϕ01 , ϕ02 , . . . , ϕ0s . Решение уравнения 

ищем в виде

ˆ 0 + Vˆ H ψ=



s X

ψ =Eψ cm ϕ0m .

m=1

Это приводит к системе уравнений E− где

En0




ck =

s X

Vkm cm ,

m=1

Vkm = hϕ0k |Vˆ |ϕ0m i

и все cm , вообще говоря, не малы. Подставляя E = En0 + En1 + . . ., получим в первом порядке систему линейных однородных уравнений для определения cm : s X

m=1

(Vkm − En1 δkm ) cm = 0 , k = 1, 2, . . . , s . 64

Эта система имеет нетривиальное решение, если det |Vkm − En1 δkm | = 0 , что дает, вообще говоря, s различных корней En1 (j), j = 1, 2, . . . , s и столько же независимых наборов коэффициентов cm . Приведем два примера.

18.2. Двукратно вырожденный уровень В этом случае секулярное уравнение V11 − E 1 V21 имеет корни

V12 =0 V22 − E 1

1 1p (V11 + V22 ) ∓ (V11 − V22 )2 + 4|V12 |2 . 2 2 Расщепление уровней равно p ∆E = (V11 − V22 )2 + 4|V12 |2 . E 1 (1, 2) =

Пусть возмущение зависит от некоторого параметра λ. Можно ли, меняя λ, добиться того, чтобы уровни 1 и 2 пересеклись? Обращение ∆E(λ) в нуль возможно лишь при условиях V11 (λ) = V22 (λ), V12 (λ) = 0 . Но это, по существу, два уравнения для одной переменной λ, которые, вообще говоря, несовместны. Нельзя совместить два уровня, меняя одну переменную. Это так называемая теорема о непересечении уровней. Очевидные исключения — случаи, когда V12 (λ) или V11 (λ) − V22 (λ) обращаются в нуль тождественно.

18.3. Эффект Штарка для атома водорода при n = 2 У невозмущенного уровня E20 = − 14 Ry имеется 4 состояния: 2s; 2p, m = +1; 2p, 0; 2p, −1. Возмущение V = ezE сохраняет lz . Значит, состояния 2p, +1 и 2p, −1 не смешиваются ни друг с другом, ни с остальными состояниями. Поэтому для них применима теория возмущений без вырождения, что дает E21 = h2p, ±1|V |2p, ±1i = 0 . Остаются два состояния ϕ01 = |2si и ϕ02 = |2p, 0i, для них V11 = V22 = 0, V12 = V21 = −3eaB E . Отсюда получаем два решения E21 = ∓3eaB E,

1 ψ = √ (ψ200 ± ψ210 ) . 2

Таким образом, исходный уровень E20 расщепился на три подуровня, из которых нижний E20 − 3eaB E и верхний E20 + 3eaB E невырождены, а средний E20 — дважды вырожден, ему соответствуют две волновые функции ψ211 и ψ21−1 . Отметим, что даже для полей E ∼ 104 В/см полное расщепление ∆E = 6eaB E ∼ 3 · 10−4 эВ оказывается много меньше, чем расстояние до ближайшего уровня E30 − E20 = 1, 9 эВ. 65

Задачи 18.1. Определить поправки к основному состоянию линейного осциллятора за счет малых ангармонических поправок V = αx3 +βx4 . Учесть члены первого порядка по β и второго по α. 18.2. Вычислить поправку первого порядка к энергии основного состояния водородоподобного атома, обусловленную неточечностью ядра. Ядро считать а) сферой радиуса R, по поверхности которой равномерно распределен заряд; б) шаром радиуса R с равномерно распределенным по объему зарядом. Оценить поправку для атома водорода, считая R ∼ 10−13 см. Как изменится результат для состояния 2p ? 18.3. Оценить величины поправок к кулоновским уровням энергии водорода, обусловленных: а) релятивистскими поправками к кинетической энергии электрона; б) взаимодействием с магнитным моментом ядра (сверхтонкая структура); в) наличием у ядра электрического квадрупольного момента (так называемая квадрупольная сверхтонкая структура). 18.4. Плоский ротатор с моментом инерции I и электрическим дипольным моментом d помещен в однородное электрическое поле E, лежащее в плоскости вращения. а) Рассматривая действие поля как возмущение, найти поляризуемость основного состояния ротатора. б) Найти в первых двух порядках теории возмущений сдвиг и расщепление энергетических уровней возбужденных состояний ротатора. Указать правильные функции нулевого приближения. Специально обсудить случай первого возбужденного уровня. в) В каком порядке теории возмущений возникает расщепление n-ого уровня ротатора? Вычислить это расщепление.

66

Глава V ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ §19. Постановка задачи рассеяния. Амплитуда рассеяния Пусть происходит рассеяние частиц потенциальным полем U(r) c характерным радиусом действия сил порядка a. Мы рассматриваем решение стационарного уравнение Шрёдингера r 2mE 2m 2 , (19.1) (∆ + k ) ψ(r) = 2 U(r) ψ(r) , k = ~ ~2 которое на больших расстояниях r  a имеет вид суперпозиции падающей плоской волны и сферической волны, расходящейся от центра (рис. 11): ψ = ψпад + ψрас = eikz + f

eikr r

Здесь k = (0, 0, k) , k0 = k

при r  a .

(19.2)

r , r

а функция f = f (k, θ, ϕ) называется амплитудой рассеяния.

Рис. 11: Схема процесса рассеяния Как известно, дифференциальное сечение рассеяния dσ равно отношению числа частиц dN˙ , рассеянных в единицу времени в элемент телесного угла dΩ, к плотности 1

потока падающих частиц (jпад )z : dσ =

dN˙ . (jпад )z

Из уравнения (19.2) находим: ~k , dN˙ = (jрас )r dS = (jрас )r r 2 dΩ , m  ∗ i~ ∗ ∂ψрас i~ ∂ψрас ~k |f |2 (jрас )r = − ψрас + − ψрас = . 2m ∂r 2m ∂r m r2 (jпад )z =

В итоге получаем

dσ = | f |2 . dΩ Заметим, что, обсуждая сечение, мы имеем в виду расстояния r, большие не только по сравнению с a, радиусом действия сил, но и с дебройлевской длиной волны λ = 2π/k. От дифференциального уравнения Шредингера (19.1) и граничного условия (19.2) удобно перейти к интегральному уравнению Z ik|r−r0| m e ikz U(r0 ) ψ(r0 ) d3 r 0. (19.3) ψ(r) = e − 2 2π~ |r − r0 | Такой переход можно обосновать известными из электродинамики результатами (см. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теория поля; М.: Наука, 1988, § 64). Действительно, в электродинамике волновое уравнение   1 ∂2 ∆ − 2 2 ϕ(r, t) = −4πρ(r, t) c ∂t при гармонической зависимости от времени потенциалов и плотностей зарядов ϕ(r, t) = ϕ(r) e−iωt ,

ρ(r, t) = ρ(r) e−iωt

имеет вид (∆ + k 2 )ϕ(r) = −4πρ(r), k = ω/c аналогичный (19.1) с заменой ϕ(r) → ψ(r),

ρ(r) → −

m U(r) ψ(r) . 2π~2

Решение же уравнения (19.4) в форме запаздывающих потенциалов таково: Z ikR e ϕ(r) = ρ(r0 ) d3 r 0 , R = |r − r0 | , R что соответствует суперпозиции сферических волн eikR , R 2

(19.4)

расходящихся из центров r0 , в которых сосредоточены заряды ρ(r0 ) d3 r 0 , к точке наблюдения r. При r  a соотношение (19.3) приводится к виду (19.2). Действительно, при этом  √ r  k |r − r0 | = k r 2 − 2rr0 + r 02 ≈ k r − r0 = kr − k0 r0 , r

так что

m f =− 2π~2

Z

0

e−ik r U(r) ψ(r) d3 r .

(19.5)

§20. Борновское приближение. Формула Резерфорда. Атомный формфактор 20.1. Борновское приближение Рассматриваем потенциальную энергию как возмущение. Для получения амплитуды рассеяния в первом порядке по потенциалу взаимодействия, подставим в (19.5) невозмущенную волновую функцию ψ(r) ≈ ψ (0) (r) = eikz = eikr и получим амплитуду рассеяния в виде Z m e−iqr U(r) d3 r, f (q) = − 2π~2

q = k0 − k,

q = 2k sin

θ . 2

Критерий применимости. Рассматривая потенциальную энергию как возмущение, получим обычный критерий для теории возмущений — поправка первого порядка к волновой функции ψ (1) (r) в области вблизи начала координат должна быть мала по сравнению с невозмущенной волновой функцией, то есть Z ikr0 m e (1) 0 0 3 0 |ψ (0)| = U(r ) ψ(r ) d r  |ψ (0) | = 1 . 2 0 2π~ r

Это дает для сферически симметричного потенциала условие Z
m ∞ 2ikr U(r) 1 − e dr  1 . ~2 k 0 Оно приводится к виду

 2  ~ 2 при ka  1 ma |U(a)|   ~v при ka  1 . a

Иными словами, характерная потенциальная энергия |U(a)| должна быть мала либо (для медленных частиц) по сравнению с характерной энергией Eхар ∼ 3

~2 , ma2

либо (для быстрых частиц) по сравнению с Eхар · ka (в последнем случае |U(a)| может быть и не мала по сравнению с Eхар ). Критерий применимости борновского приближения для рассеяния медленных частиц |U(a)|  ~2 /(ma2 ) соответствует тому, что в случае притягивающего потенциала притяжение недостаточно для образования связанного состояния. В случае быстрых частиц условие |U(a)|  ~v/a соответствует тому, что неопределенность в энергии, связанная с временем пролета, должна быть много больше потенциала взаимодействия; условие ka  1 обеспечивает здесь применимость квазиклассического рассмотрения.

20.2. Формула Резерфорда Для кулоновского поля

α r критерий применимости борновского приближения таков: U(r) = −

α  1. ~v В этом случае борновская амплитуда равна f=

2αm , ~2 q 2

а сечение рассеяния 2  dσ α2 α = = dΩ 2pv sin2 (θ/2) 16E 2 sin4 (θ/2) совпадает с классическим. Отметим без доказательства, что борновская формула для сечения совпадает с точной (это верно лишь в нерелятивистском приближении). Полное сечение (как и в классической механике) равно бесконечности. Это означает, что в реальном эксперименте полное число рассеянных в единицу времени частиц совпадает с числом частиц, падающих в единицу времени на мишень.

20.3. Атомный формфактор При упругом рассеянии быстрых электронов на атоме последний можно рассматривать как источник статического потенциала ϕ(r), создаваемого средним распределением зарядов в атоме ρ(r) = Zeδ(r) − en(r) . В этой формуле первое слагаемое в правой части соответствует точечному ядру, а второе слагаемое соответствует распределения электронов в атоме с плотностью n(r). Так как ∆ϕ(r) = −4πρ(r), то из ∆(ϕq eiqr ) = −q 2 ϕq eiqr = −4πρq eiqr 4

следует, что ϕq =

4πρq . q2

Таким образом,

2e2 m [Z − F (q)] . ~2 q 2 Здесь введен так называемый атомный формфактор Z F (q) = e−iqr n(r) d3r , f (q) =

представляющих собой фурье-образ распределения электронов в атоме. При qa  1, то есть при углах рассеяния θ  1/(ka), формфактор |F |  Z и сечение совпадает с резерфордовским. Это вполне естественно: большие углы рассеяния соответствуют малым прицельным параметрам, при которых налетающая частица рассеивается ядром, практически неэкранированным. При qa  1 имеем Z 1 1 2 Z − F (q) ≈ q r 2 n(r) d3 r = q 2 hr 2 i . 6 6 В этой области рассеяние изотропно:  2 dσ 1 hr 2 i = . dΩ 9 aB Таким образом, при рассеянии на атоме полное сечение оказывается (в отличие от резерфордовского) конечным. Пример: рассеяние на атоме водорода. В этом случае Z = 1, n(r) = |ψ100 (r)|2 , поэтому F (q) =

1 1 , u = q 2 a2B = [kaB sin(θ/2) ]2 , 2 (1 + u) 4

(1 + 12 u)2 2 dσ 7π (e2 /aB ) 2 = a , σ = aB . dΩ (1 + u)4 B 6 E Указанному распределению зарядов соответствует потенциальная энергия   r e2 U(r) = −eϕ(r) = − 1+ e−2r/aB . r aB В классической механике в таком поле полное сечение σ = ∞, что находится в резком противоречии с квантовым (правильным!) результатом. Опыты по рассеянию быстрых электронов на ядрах дали сведения о формфакторе ядра, т.е. о распределении электрического заряда внутри ядра. Аналогичные опыты при рассеянии ультрарелятивистских электронов с большой передачей энергии и импульса (так называемое глубоконеупругое рассеяние) на протоне и нейтроне привели к кварковой модели строения адронов. 5

20.4. Конечные сечения в квантовой механике Обсудим подробнее вопрос о том, какие потенциалы приводят в квантовой механике к конечным сечениям. Пусть на больших расстояниях α , n > 0. rn

U(r) ∼

В классической механике при рассеянии в таком поле полное сечение бесконечно, так как любым большим прицельным параметрам ρ соответствуют хотя и малые, но конечные классические углы отклонения, которые можно оценить таким образом: θкласс ∼ что с учетом F⊥ ∼

p⊥ F⊥ t ∼ , pz mv α

ρn+1

дает оценку θкласс ∼

, t∼ α ρn E

ρ v

.

В квантовой механике для частицы с прицельным параметром ρ (у нее ∆r⊥ < ρ) неопределенность поперечного импульса ∆p⊥ &

~ ~ > , ∆r⊥ ρ

поэтому квантовая неопределенность угла отклонения равна ∆θкв ∼

∆p⊥ ~ > . pz ρmv

Таким образом, при n > 1 неопределенность ∆θкв > θкласс и поэтому квантовомеханические результаты могут существенно отличаться от классических. Зная поведение U(r) на больших расстояниях, где взаимодействие всегда слабое и поэтому борновское приближение применимо, можно оценить поведение амплитуды в области малых углов рассеяния: Z ∞ α 1 1 f (q) ∝ e−iqr n d3 r ∝ 3−n ∝ 3−n . r q θ r0 Отсюда получаем, что дифференциальное сечение dσ 1 ∝ 2 3−n dΩ (θ ) конечно при θ → 0, если n > 3, а полное сечение Z dθ2 σ ∝ (θ2 )3−n конечно при n > 2. 6

Задачи 20.1. Рассеяние на прямоугольной потенциальной яме в борновском приближении (задача 1 к § 126 из [1]). Обсудить условия применимости приближения. 20.2. То же для потенциала Юкаваы U(r) = (α/r) e−r/a. 20.3. То же для потенциала U(r) = V e−r/a . 20.4. То же для кулоновского потенциала U(r) = α/r (предельный случай потенциала Юкавы при a → ∞). 20.5. Найти полное сечение рассеяния быстрой частицы на потенциале Юкавы U(r) = (α/r) e−r/a при условии α/(~v)  1.

21. Фазовая теория рассеяния 21.1. Связь сечения упругого рассеяния с фазами рассеяния Рассеяние на сферически симметричном потенциале обладает цилиндрической симметрией, то есть ψ(r) зависит лишь от r и θ, но не от ϕ. Поэтому разложение этого решения по парциальным волнам содержит лишь Yl0 (θ, ϕ) ∝ Pl (cos θ): ψ(r) =

∞ X

al Pl (cos θ) Rkl (r) .

(21.1)

l=0

Как известно (см. §16), радиальная функция Rkl (r) на больших расстояниях имеет вид: r   2 1 πl Rkl (r) → sin kr − + δl при r → ∞ . π r 2

При свободном движении фаза рассеяния δl = 0. В частности, плоской волне вдоль оси z соответствует разложение по парциальным волнам вида (см. [1] §34): r l ∞ X π i (0) ikz ikr cos θ e =e = cl Pl (cos θ) Rkl (r) , cl = (2l + 1) , 2 k l=0 (0) Rkl (r) →

r

  2 1 πl sin kr − π r 2

при r → ∞ .

Чтобы выполнялось граничное условие (19.2), т. е. чтобы разница ψ(r) − eikz имела вид сферической волны, расходящейся от центра, f · (eikr /r), необходимо r l π i iδl al = cl e = (2l + 1) eiδl . 2 k Тогда амплитуда рассеяния равна f (k, θ) =

X

(2l + 1)fl (k)Pl (cos θ) ,

l

где парциальная амплитуда fl (k) =

Sl (k) − 1 , Sl (k) = e2i δl (k) . 2ik 7

Отсюда полное сечение упругого рассеяния σel =

Z

|f |2 dΩ = 4π

X l

(2l + 1) |fl (k)|2 =

π X (2l + 1) |Sl (k) − 1|2 . 2 k l

Парциальные амплитуды и полное сечение полностью определяются фазами рассеяния δl (k). Сами фазы рассеяния могут быть найдены, например, из углового распределения частиц: dσ/dΩ = |f (k, θ)|2.

21.2. Понятие о неупругом сечении Решение (21.1) при r → ∞ можно представить не только в виде (19.2), но и в виде двух сферических волн, расходящейся от центра и сходящейся к центру:   −ikr eikr 1 X l e ˜ ψ(r) → ψрас + ψсх = (2l + 1)Pl (cos θ) Sl − (−1) при r → ∞ (21.2) 2ik l r r (разумеется, при таком разбиении расходящаяся волна ψ˜рас отличается от ψрас в (19.2)). Парциальная амплитуда расходящейся волны отличается множителем (−1)l+1 Sl

(21.3)

от соответствующей амплитуды в сходящейся волне. Если нет поглощения частиц силовым центром, то этот множитель должен быть по модулю равен единице, | Sl | = 1 . Если есть поглощение, то |Sl | < 1, а величина |Sl |2 характеризует уменьшение потока частиц в расходящейся волне по сравнению с потоком частиц в сходящейся1 . Действительно, разница Z ˙ Nсх − N˙ рас = [−(jсх )r − (jрас )r ] r 2 dΩ = =


π~ X (2l + 1) 1 − |Sl |2 . mk l

Поэтому неупругое сечение равно σin =


|N˙ сх | − N˙ рас π X = 2 (2l + 1) 1 − |Sl |2 . (jпад )z k l

1

В обсуждаемой схеме потенциального рассеяния поглощение частиц может быть формально описано введением мнимой части у потенциальной энергии, подобно тому как в оптике поглощение волн средой может быть описано введением мнимой части у показателя преломления.

8

21.3. Оптическая теорема Для процессов рассеяния и поглощения существуют определенные ограничения и связи. Введем понятие парциального сечения σ (l) , представив σ=

∞ X

σ (l) .

l=0

В классической механике (l  1) момент импульса M = pρl = ~kρl = ~l , поэтому ρl =

l λ 1 =− λl , − λ= = , k 2π k

(l)

а под парциальным сечением σкласс естественно понимать площадь кольца между окружностями радиусов ρl+1 и ρl , то есть 2

(l) σкласс = π(ρ2l+1 − ρ2l ) = π − λ (2l + 1) . (l)

(l)

Парциальные сечения для упругого σel , неупругого σin и полного σtot = σel + σin сечений можно записать в виде
(l) (l) (l) (l) (l) (l) σel = σкласс · |1 − Sl |2 , σin = σкласс · 1 − |Sl |2 , σtot = σкласс · 2 (1 − Re Sl ) .

При Sl = 1 нет ни поглощения, ни рассеяния; при |Sl | = 1 есть только рассеяние, но нет поглощения. Так как |Sl | ≤ 1, то (l)

(l)

(l) , σel ≤ σtot ≤ 4 σкласс

(l)

(l) σin ≤ σкласс .

Если есть поглощение частиц (при этом | Sl | < 1), то непременно происходит и рассеяние частиц. Поглощение максимально при Sl = 0 и в этом случае (l)

(l)

(l) σin = σel = σкласс .

Еще одно соотношение возникает, если сравнить π X (2l + 1) 2 (1 − Re Sl ) σtot = σel + σin = 2 k l

с выражением для мнимой частицы амплитуды рассеяния на угол нуль: X Sl − 1 1 X = (2l + 1)(1 − Re Sl ) . Im f (k, θ = 0) = (2l + 1)Pl (1) Im 2ik 2k l l Отсюда получаем оптическую теорему:

k σtot . 4π Ее смысл тот же, что и в оптике: ослабление падающего потока из-за рассеяния происходит за счет интерференции падающей волны и волны, рассеянной под очень малыми углами. Im f (k, θ = 0) =

9

21.4. Упругое рассеяние медленных частиц При ka  1 прицельные параметры ρl = l/k  a для l ≥ 1, поэтому лишь s-волна может давать заметное рассеяние. Таким образом, для медленных частиц f=

e2iδ0 − 1 , 2ik

дифференциальное сечение изотропно σ dσ = , dΩ 4π а полное сечение определяется фазой s-волны σ=

4π sin2 δ0 . k2

21.5. Дифракционное рассеяние быстрых частиц на черном шаре Пусть идеально поглощающий (черный) шар имеет радиус a. Рассмотрим рассеяние быстрых (ka  1) частиц на таком шаре (пример: нейтроны с энергией E ∼ 100 МэВ рассеиваются на тяжелом ядре радиуса a ∼ 10−12 см, при этом ka ∼ 10). Эта задача вполне аналогична дифракции плоской световой волны на черном шаре. Прицельный параметр ρl0 = a соответствует l0 = ka  1. При l > l0 частицы не сталкиваются с шаром, Sl = 1. При l < l0 частицы полностью поглощаются, Sl = 0. Строго говоря, эти утверждения справедливы лишь для l  l0 и l  l0 , но область l ≈ l0 не дает большого вклада в сечение. Таким образом, Z l0 l0 π π X (2l + 1) = 2 2l dl = πa2 , σtot = 2πa2 , σel = σin = 2 k l=0 k 0 то есть полное сечение вдвое больше классического σкласс = πa2 . Амплитуда упругого рассеяния велика лишь в области малых углов рассеяния θ . 1/(ka)  1, а в этой области Pl (cos θ) = J0 (lθ), так что: l

0 i X i f (k, θ) = (2l + 1) Pl (cos θ) = 2k l=0 k

Z

0

l0

lJ0 (lθ) dl =

ia J1 (kaθ) θ

(при получении последнего равенства использовалось известное соотношение для функций Бесселя: xJ0 (x) = d(xJ1 (x))/dx). Отсюда дифференциальное сечение упругого рассеяния  2  (ka)

dσel 1 = |f |2 = a2 ·  dΩ 4

при θ  1/(ka)

8 sin2 kaθ − π
при θ  1/(ka) . 4 πkaθ3 10

21.6. Упругое рассеяние быстрых частиц на идеально отражающем шаре Пусть радиус шара равен a и ka  1. Полное сечение определяет число частиц, выбывших из начального пучка. В классической механике это сечение, равное πa2 , связано лишь с прямым столкновением с мишенью. С учетом волновых свойств частиц их выбывание из пучка, то есть изменение начального импульса, связано также с дифракцией. Как и в предыдущем случае Sl = 1 при l > l0 . При l < l0 решение уравнения Шредингера для радиальной волновой функции имеет вид Rkl (r) = 0 при r < a и r
2 1 Rkl (r) ≈ при r > a . sin kr − 21 πl + δl π r Сшивка при r = a дает

δl ≈ −(ka − 12 πl) . Для нахождения полного сечения используем оптическую теорему, что дает l

σ=

0 2π X (2l + 1)(1 − cos 2δl ) . k2

l=0

Слагаемые, содержащие cos 2δl ≈ (−1)l cos(2ka) , быстро осциллируют при изменении l, и поэтому их вкладом в сумму можно пренебречь. В итоге получаем σ = 2πa2 , что вдвое превышает классическое сечение σкласс = πa2 . В данном случае отличие от классического результата связано с наличием помимо квазиклассического рассеяния, обусловленного углами θ  1/(ka), еще и дифракционного рассеяния на малые углы θ . 1/(ka). Более подробно об этом случае можно прочитать в задаче 13.32 из [4]. Для классических частиц дифракция практически не наблюдаема. Так, для частицы с m ∼ 1 г и v ∼ 1 см/с углы дифракции на шаре радиуса a ∼ 1 см настолько малы, ~ θдиф ∼ ∼ 10−27 , mva что увидеть это рассеяние можно было бы лишь на расстояниях r∼

a θдиф

∼ 1027 см .

21.7. Резонансное рассеяние Рассмотрим рассеяние в таком поле U(r), в котором имеется квазистационарное состояние. Напомним (см. §13), что квазистационарное состояние можно формально рассматривать как состояние с комплексной энергией вида Er − 2i Γ, в которой мнимая часть определяет ширину состояния Γ. В таком поле сечение рассеяния и фазы 11

рассеяния имеют характерное — резонансное — поведение в зависимости от энергии налетающих частиц E в области значений, близких к энергии резонанса Er . Часто именно изучение поведения сечения рассеяния в зависимости от E дает сведения о нестабильных ядрах и элементарных частицах-резонансах. Пусть Rkl (r) — радиальная функция, соответствующая стационарной задаче рассеяния. Перепишем асимптотическое (при r → ∞) выражение p
2/π Rkl (r) → sin kr − 12 πl + δl r в виде суммы сходящихся и расходящихся волн p  2/π  Rkl (r) → Al (E) eikr + Bl (E) e−ikr , 2r

где функции Al (E) и Bl (E), равные

Al (E) = Bl∗ (E) =

1 i e i

1 δl − πl
2

= (−i)l+1 eiδl ,

связаны с Sl (E) соотношением (ср. (21.2)—(21.3)) Al (E) = (−1)l+1 Sl (E) . Bl (E) Тогда парциальная амплитуда рассеяния равна   1 1 Al (E) l+1 fl (E) = (Sl − 1) = (−1) − 1 . 2ik 2ik Bl (E)

(21.4)

Известно (см. формулы (13.8)–(13.9)), что при E = Er − 2i Γ радиальная функция Rkl (r) на больших расстояниях содержит только расходящуюся волну. Поэтому потребуем, чтобы (ср. (13.9))
Bl Er − 2i Γ = 0 . Отсюда следует, что парциальная амплитуда рассеяния (21.4) должна иметь полюс при E = Er − 2i Γ. Пусть вблизи этого полюса
Bl (E) ≈ βl · E − Er + 2i Γ , тогда

Sl (E) = e2iδl ≈ (−1)l+1

βl∗ E − Er − 2i Γ . βl E − Er + 2i Γ

(21.5)

βl∗ , βl

(21.6)

Вдали от резонанса, при |E − Er |  Γ, из (21.5) получим (0)

Sl

(0)

= e2iδl ≈ (−1)l+1

(0)

где δl — фаза рассеяния вдали от резонанса. Теперь формулу (21.5) можно переписать в виде (0)

Sl (E) ≈ e2iδl

(0) E − Er − 2i Γ iΓ (0) = Sl − e2iδl , i i E − Er + 2 Γ E − Er + 2 Γ

12

(21.7)

а формулу для парциальной амплитуды в виде (0)

fl (E) ≈ fl

−

(0) 1 Γ 2iδl e , 2k E − Er + 2i Γ

(0)

где fl — амплитуда рассеяния вдали от резонанса. Если вблизи резонанса вкладом (0) fl можно пренебречь, то парциальное сечение имеет резонансную зависимость от энергии: π Γ2 σ (l) = 4π(2l + 1) |fl |2 → 2 (2l + 1) (21.8) k (E − Er )2 + (Γ/2)2 и при E = Er достигает максимально возможного значения 4π (2l + 1). k2 (0)

Учет вклада нерезонансного слагаемого fl может привести к искажению резонансной кривой (21.8). Рассмотрим теперь поведение фазы рассеяния при изменение энергии. Поскольку отношение (E − Er − 2i Γ)/(E − Er + 2i Γ) можно переписать в виде   E − Er − 2i Γ 2(E − Er ) = exp −2 i arcctg , Γ E − Er + 2i Γ то используя (21.5)—(21.7), для фазы рассеяния получим выражение (0)

δl ≈ δl

− arcctg

2(E − Er ) , Γ

из которого видно, что при прохождении через резонанс фаза рассеяния изменяется на π. Аналогичным образом можно рассмотреть аналитическое продолжение по k функций Rkl (r) и fl (k) в область отрицательных значений E (что соответствует k → iκ), при этом окажется, что связанным состояниям с энергией En < 0 соответствуют полюса амплитуды рассеяния при E = En .

Задачи 21.1. Вычислить сечение рассеяния медленных частиц в поле U(r) = −G δ(r − a) в условиях резонанса в s-волне. 21.2. Найти сечение рассеяния медленных частиц в случае: а) сферической прямоугольной потенциальной ямы (включая и резонансное рассеяние); б) сферического прямоугольного потенциального барьера. 21.3. Найти фазовые сдвиги δl (k) в поле U(r) = α/r 2 , α > 0. Выполнить суммирование ряда, представляющего разложение амплитуды по парциальным волнам, в случае mα/~2  1 при произвольных углах рассеяния. Найти dσ/dΩ и σ. Сравнить с классическим рассеянием на малые углы. 21.4. Как ведет себя сечение неупругого рассеяния в пределе малых скоростей? 13

14

Глава VI ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАЙЗЕНБЕРГА. СПИН §22. Гайзенберговское представление ˆ = −i~∇ не зависят В обычном (шрёдингеровском) представлении операторы r и p ˆ p ˆ , t) может зависеть от t лишь от времени t, а оператор физической величины A(r, как от параметра. Зависимость среднего значения этой величины от времени Z hA(t)i = Ψ∗ (r, t) Aˆ Ψ(r, t) d3r ≡ hΨ(t)| Aˆ |Ψ(t)i , связана в основном с волновой функцией Ψ(r, t), которая удовлетворяет уравнению Шрёдингера ∂ ˆ Ψ(r, t) . i~ Ψ(r, t) = H ∂t Пусть ψn (r) — волновая функция стационарного состояния с энергией En , удовлетворяющая уравнению ˆ ψn (r) = En ψn (r) . H Представим волновую функцию Ψ(r, t) в виде разложения по волновым функциям стационарных состояний X Ψ(r, t) = an e−iEn t/~ ψn (r) . n

Используя унитарный оператор ˆ Uˆ (t) = e−iHt/~

с очевидным свойством

Uˆ (t) ψn (r) = e−iEn t/~ ψn (r) ,

это разложение можно представить в компактном виде Ψ(r, t) = Uˆ (t) Ψ(r, 0) или

ˆ |Ψ(0)i . |Ψ(t)i = U(t) 15

Тогда среднее значение hA(t)i можно записать так:

hA(t)i = hΨ(0)| AˆH (t) |Ψ(0)i ,

где

ˆ ˆ ˆ −1 (t) Aˆ Uˆ (t) = eiHt/~ AˆH (t) = U Aˆ e−iHt/~

— это оператор в гайзенберговском представлении. Таким образом, зависимость от времени в гайзенберговском представлении перенесена с волновых функций на операторы. При этом оператор Гамильтона в гайзенберговском представлении совпадает с оператором Гамильтона в шрёдингеровском представлении ˆH = U ˆ −1 H ˆ Uˆ = H ˆ. H Легко получить выражение для производной по времени от оператора в гайзенберговском представлении: dAˆH i h ˆ ˆ i ∂ AˆH = H, AH + . dt ~ ∂t

Задачи 22.1. Найти операторы координаты и импульса в гайзенберговском представлении для линейного гармонического осциллятора. Задачу предлагается решить двумя способами: а) используя унитарное преобразование, связывающее операторы физических величин в гайзенберговском и шрёдингеровском представлениях; б) непосредственным решением уравнений движения для гайзенберговских операторов. 22.2. Найти значение “разновременного” коммутатора импульса и координаты [ˆ p(t), xˆ(t0 )] для: а) свободной частицы; б) частицы в однородном поле; в) линейного осциллятора. 22.3. Используя вид гайзенберговских операторов pˆ(t), xˆ(t), найти зависимость от времени следующих средних: h x(t) i, h p(t) i, h (∆x(t))2 i, h (∆p(t))2 i для линейного осциллятора в состоянии, описываемом волновой функцией вида   ip0 x (x − x0 )2 − . ψ(x) = A exp ~ 2a2

§23. Опыт Штерна–Герлаха. Спин 23.1. Опыт Штерна–Герлаха В классической теории магнитный момент атома 1 X µ= ea ra × va 2c a 16

обусловлен в основном движением электронов |e| M, 2me c

µ≈− где M=

X e

re × pe

— орбитальный момент импульса электронов. Взаимодействие нейтрального атома со внешним магнитным полем B описывается добавкой V = −µB к функции Гамильтона. Во внешнем неоднородном магнитном поле на такой атом действует сила F = −∇V = (µ∇)B .

В опыте Штерна и Герлаха (1921) нейтральные атомы серебра пролетали через поперечное неоднородное магнитное поле. В классической электродинамике средняя сила, действующая на атом в поперечном (вдоль оси z) направлении, ∂Bz ∂z может принимать любые значения из интервала ∂Bz ≤ Fz ≤ +µ ∂Bz −µ ∂z ∂z Fz = µz

,

что приводило бы лишь к размытию на пластинке линии, вдоль которой осаждались пролетевшие атомы. ˆ = ~L ˆ и потому оператор В квантовой механике M ˆ, ˆ L = −µB L µ где магнетон Бора µB =

Величина

|e|~ . 2me c

ˆz µ ˆ z = −µB L

принимает дискретный ряд значений

−µB l, µB (l − 1), . . . , +µB l , что должно привести к появлению на пластинке 2l + 1 полос. Однако в опыте с атомами серебра на пластинке появились две полосы, что формально соответствует равенству 2l + 1 = 2 , т. е. l = 1/2 . Гипотеза Уленбека и Гаудсмита (1925): электрон имеет собственный (не связанный с вращением вокруг ядра) момент импульса или спин ~ˆs, причем sˆz имеет собственные значения ±1/2. Следует отметить, что механическая модель электрона в виде шарика радиуса re = e2 /(me c2 ), который вращается вокруг своей оси, несостоятельна, так как моменту импульса ~/2 ∼ me re v соответствует скорость вращения v ∼ ~/(me re ) ∼ ~c2 /e2 ∼ 137 c ! 17

23.2. Оператор спина Коммутационные соотношения (14.2) для компонент орбитального момента определяются лишь общими свойствами операции поворота, поэтому полученные в §14 общие формулы справедливы и для спина. В частности, [ˆ sj , sˆk ] = iεjkn sˆn , [ˆ sj , ˆs2 ] = 0 и поэтому существуют совместные собственные функции операторов ˆs2 и sˆz , удовлетворяющие уравнениям ˆs2 |s, mi = s(s + 1) |s, mi =

3 4

|s, mi ,

sˆz |s, mi = m |s, mi , m = ±s = ± 21 .

Введем краткие обозначения

|s =

1 2

, m = + 12 i ≡ |+i ,

|s = 21 , m = − 12 i ≡ |−i .

Любое спиновое состояние

|χ i

можно представить в виде

|χ i = a1 |+i + a2 |−i ,

(23.1)

причем из условия нормировки h χ | χ i = 1 для комплексных чисел a1,2 следует условие |a1 |2 + |a2 |2 = 1 . Из

следует аналогично,

sˆz |+i = 21 |+i 1 h+|ˆ sz |+i = , 2 h+|ˆ sz |−i = 0,

h−|ˆ sz |+i = 0 ; 1 h−|ˆ sz |−i = − . 2

Набор матричных элементов hs, m0 | sˆz |s, mi

удобно представить в виде матрицы     1 0 h+|ˆ sz |+i, h+|ˆ sz |−i 1 =2 . 0 −1 h−|ˆ sz |+i, h−|ˆ sz |−i Для операторов ˆl± = ˆlx ± iˆly мы выводили соотношения (14.10) p ˆl± |l, mi = (l ∓ m)(l ± m + 1) |l, m ± 1i .

Подобным же образом получим

sˆ+ |+i = 0 , sˆ+ |−i = |+i , 18

т. е. (ср. (14.11))



   0 1 0 0 + sˆ+ = , sˆ− = (ˆ s+ ) = , 0 0 1 0     sˆ+ + sˆ− s ˆ − s ˆ 0 1 0 −i + − sˆx = = 12 , sˆy = = 12 . 1 0 i 0 2 2i

Действие любого оператора sˆj на произвольное состояние (23.1) может быть описано, как действие соответствующей этому оператору матрицы на спинор   a1 χ= . a2

23.3. Матрицы Паули Пусть ˆs — оператор спина электрона. Определим матрицы Паули σx , σy , σz соотношением ˆs = 21 σ , тогда σx =



0 1 1 0



, σy =



0 −i i 0



, σz =



1 0 0 −1



.

Их свойства: σj σk = I δjk + iεjkn σn ,

Sp σj = 0, Sp I = 2 ,

где I — единичная матрица. Любую квадратную 2 × 2 матрицу A можно представить в виде 1 1 A = a0 I + a σ, a0 = Sp A, a = Sp (Aσ) . 2 2

23.4. Преобразование спиноров при поворотах и отражениях координат Общий вид оператора поворота на угол θ вокруг оси n нам известен (см. §14). Для спинорной волновой функции этот оператор может быть представлен в виде матрицы Uθ = eiσnθ/2 . Поэтому закон преобразования спиноров при повороте таков: Ψ0 (r0 , t) = Uθ Ψ(r, t) = [cos (θ/2) + i σn sin (θ/2) ] Ψ(r, t) ,

(23.2)

при этом состояние Ψ0 соответствует вектору спина, повернутому на угол (−θn) по отношению к вектору спина в состоянии Ψ (см. раздел 14.1). Из (23.2) видно, что при повороте на 2π компоненты спиноров изменяют знак: Ψ0 = −Ψ . Покажем, что оператор спина при преобразованиях поворота ведет себя как вектор, т. е. преобразованный оператор U −1 σU = Λσ, где Λ — матрица поворота r0 = Λr. Так как произвольный поворот может быть представлен как последовательность трех поворотов вокруг оси z, затем вокруг оси y и снова вокруг оси z, то достаточно рассмотреть поведение оператора спина при вращениях вокруг осей z и y. При 19

повороте системы координат на угол θ вокруг оси z радиус-вектор преобразуется по закону x0 = x cos θ + y sin θ , y 0 = −x sin θ + y cos θ , z 0 = z ,

а оператор поворота имеет вид

Uθ ≡ Uz (θ) = cos (θ/2) + i σz sin (θ/2) . Используя свойства матриц Паули, получим Uz−1 (θ) σx Uz (θ) = [cos (θ/2) − i σz sin (θ/2) ] σx [cos (θ/2) + i σz sin (θ/2) ] = = σx cos θ + σy sin θ , а также Uz−1 (θ) σy Uz (θ) = −σx sin θ + σy sin θ ; Uz−1 (θ) σz Uz (θ) = σz ,

т. е. в этом случае оператор спина преобразуется так же как и радиус-вектор. Рассмотрим теперь поворот на угол θ вокруг оси y, при котором x0 = x cos θ − z sin θ , z 0 = x sin θ + z cos θ , y 0 = y . Преобразования спина в этом случае Uy−1 (θ) σx Uy (θ) = [cos (θ/2) − i σy sin (θ/2) ] σx [cos (θ/2) + i σy sin (θ/2) ] = = σx cos θ − σz sin θ ,

а также

Uy−1 (θ) σy Uy (θ) = σx sin θ + σz sin θ ; Uy−1 (θ) σy Uz (θ) = σy , т. е. и в этом случае оператор спина преобразуется так же как и радиус-вектор. Таким образом, и при произвольном повороте оператор спина ˆs = 12 σ действительно преобразуется по обычному векторному закону Uθ−1 σ Uθ = Λ σ ,

(24.3a)

где Λ — матрица поворота, соответствующая преобразованию r0 = Λr . В частности, если спинору

  1 Ψ= 0 соответствует среднее значение вектора спина вдоль оси z, т. е. Ψ+ σΨ = (0, 0, 1) , то спинору



 cos(θ/2) e−iϕ/2 Ψn = Uz (−ϕ)Uy (−θ)Ψ = sin(θ/2) eiϕ/2 соответствует среднее значение вектора спина вдоль единичного вектора n = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) , 20

(23.3b)

т. е. Ψ+ n σΨn = n . При отражении координат r0 = −r спин (как и момент импульса M = r × p) не изменяет своего вида. Поэтому не изменяется и значение его z-проекции. Это означает, что каждая компонента спинора преобразуется только через саму себя, Pˆ Ψ(r, t) = ηP Ψ(−r, t) ,

(23.4)

где ηP — фазовый множитель. При двойном отражении мы вернемся к исходной системе координат. Если определить двойное отражение как тождественное преобразование, то ηP2 = 1 и ηP = ±1. Если же определить двойное отражение как поворот на 2π , то ηP2 = −1 и ηP = ±i. Таким образом, при отражении координат матрица U = ηP I и преобразованный оператор спина равен исходному: U −1 σU = σ .

(23.5)

В итоге, при отражениях и поворотах системы координат оператор спина ведет себя как аксиальный вектор.

§24. Уравнение Паули Магнитный момент заряженной частицы, обусловленный ее орбитальным движениˆ l связан с ее орбитальным моментом ˆl соотношением ем, µ µˆl =

e~ ˆ l. 2mc

ˆ s с ее спином ˆs, как показывает Связь же собственного магнитного момента частицы µ опыт, зависит от вида частицы, в частности, для электрона, протона и нейтрона имеем ˆ s = µs 2ˆs = µs σ , µ
|e|~ µe = −1, 001 159 625 187 ± 4 · 10−12 µB ≈ −µB = − , 2me c |e|~ µp ≈ 2, 79 µя , µn ≈ −1, 91 µя , µя = . 2mp c С учетом магнитного момента уравнение для движения частицы со спином s = 1/2 и зарядом e в электромагнитном поле принимает вид (В. Паули, 1927) ∂Ψ 1  e 2 ˆ ˆ ˆ − A + eφ − µ ˆ sB , = HΨ , H = p (24.1) i~ ∂t 2m c

в котором волновая функция — двухкомпонентный спинор   Ψ1 (r, t) Ψ= , Ψ2 (r, t) а условие нормировки таково: Z


|Ψ1 |2 + |Ψ2 |2 d3 r = 1 . 21

Уравнение движения спина электрона в магнитном поле dˆs i hˆ i 1 2µB ˆe × B ≈ − ˆs × B . = H, ˆs = µ dt ~ ~ ~

В случае квазиклассичности движения электрона, усредняя это уравнение по квазиклассическому волновому пакету, получим для средних значений e ds ≈ s× B. dt mc Аналогичное уравнение для скорости электрона имеет хорошо известный вид dv e = v × B. dt mc Таким образом, в магнитном поле B как вектор скорости, так и вектор спина электрона прецессируют вокруг направления магнитного поля B с одной и той же (циклотронной) частотой eB ωc = − . mc Поэтому проекция спина на направление скорости v остается неизменной (учет маˆ e от −2µBˆs приводит к небольшому рассогласованию этих скоростей). лого отличия µ Покажите, что имеет место соотношение  e 2 e~ 1   e 2 ˆ = 1 p ˆ − A + eφ − ˆ− A σB = + eφ . H σ p 2m c 2mc 2m c

(24.2)

Оно окажется полезным в дальнейшем при анализе возможных релятивистских обобщений уравнения Паули.

Задачи 24.1. Найти (σa)(σb), (σa)n , eiσa , eσa , Uσj U −1 , где U = eiσz ϕ/2 . 24.2. Могут ли квадраты проекций электронного спина на оси x, y, z иметь одновременно определенные значения? 24.3. Показать, что для состояния, описываемого спиновой волновой функцией   cos α iγ χ=e sin α eiβ (это наиболее общий вид нормированной волновой функции спинового состояния частицы со спином s = 1/2 при 0 ≤ α ≤ π/2, 0 ≤ β < 2π), можно указать такую ось в пространстве, проекция спина на которую имеет определенное значение +1/2. Найти полярный и азимутальный углы этой оси. 24.4. Найти Z 1 ψ ∗ ˆl ψ dΩ , где ψ = √ (Y11 + Y1−1 ) , 2 и сравнить полученный результат с результатом предыдущей задачи. 24.5. Найти состояние χ, для которого sˆx χ = 21 χ. То же для sˆy χ = 21 χ. 22

24.6. Для частицы со спином s = 1/2 указать закон преобразования спиновой волновой функции   a χ= b

при вращении системы координат на угол ϕ относительно оси, направление которой определяется единичным вектором n. Показать, что величина χ∗1 χ2 ≡ a∗1 a2 + b∗1 b2 не меняется при указанном преобразовании, т. е. является скаляром. 24.7. Найти относительные интенсивности расщепленных пучков нейтронов в опыте типа Штерна–Герлаха, если поляризованные вдоль оси x нейтроны движутся вдоль оси z, а магнитное поле B направлено в плоскости xy под углом α = 450 к оси x. 24.8. Распад Λ → pπ − (Фейнмановские лекции по физике. Вып. 9, гл. 15, § 5). 24.9. Рассматривается движение спина в магнитном поле. ˆ и ускорения a ˆ (в шредингеровском представлении) Найти операторы скорости v нейтральной частицы (например, нейтрона), находящейся в магнитном поле. Найти зависимость от времени спиновой функции и средних значений компонент спина нейтральной частицы со спином s = 1/2 и магнитным моментом µ, находящейся в однородном постоянном магнитном поле B. Обобщить результат предыдущей задачи на случай однородного непостоянного магнитного поля, направление которого остается неизменным, т. е. B(t) = B(t) n0 . Частица со спином s = 1/2 и магнитным моментом µ находится в однородном магнитном поле B(t) вида Bx = B0 cos ω0 t , By = B0 sin ω0 t , Bz = B1 , где B0 , B1 , ω0 – постоянные величины. При t = 0 частица находилась в состоянии с проекцией спина на ось z, равной sz = 1/2. Найти вероятность различных значений проекции спина на ось z в момент времени t. Обсудить, в частности, случай, когда |B1 /B0 |  1; обратить внимание на резонансный характер зависимости вероятности “переворота” от частоты ω0 в этом случае.

23

24

Глава VII СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ §25. Сложение моментов Рассмотрим две подсистемы с заданными моментами j1 и j2 . Суммарный момент ˆj = ˆj1 + ˆj2 , величина его j может принимать различные значения. Примеры: система протон и нейтрон в s-состоянии (при этом j1 = s1 = 1/2, j2 = s2 = 1/2, ˆj = ˆs1 + ˆs2 — полный спин системы); орбитальный и спиновый момент электрона в атоме (j1 = l, j2 = s = 1/2, ˆj = ˆl +ˆs) и т. д. Состояние подобной системы можно описать двумя различными способами: 1) Набором собственных функций коммутирующих операторов ˆj2 , ˆj1z ˆj2 , ˆj2z 1 2 с собственными значениями j1 (j1 + 1) , m1 , j2 (j2 + 1) , m2 . Обозначим эти функции как Ψm1 m2 = |j1 m1 i · |j2 m2 i . В этом случае имеется всего N = (2j1 + 1)(2j2 + 1) таких функций. 2) Набором собственных функций коммутирующих операторов ˆj2 , ˆjz , ˆj2 , ˆj2 1 2 с собственными значениями j(j + 1) , m , j1 (j1 + 1) , j2 (j2 + 1) . Обозначим эти функции как Φjm = |jmj1 j2 i . 25

При каждом j имеется 2j + 1 различных значений m = −j, −j + 1, . . . , j, поэтому число таких функций (равное, конечно, N) есть N=

X

(2j + 1) ,

j

где сумма берется по всем допустимым при данных j1 и j2 значениях j. Функции Ψm1 m2 и Φjm должны быть снабжены также индексами j1 и j2 , но так как эти значения фиксированы, мы их для упрощения формул не выписываем явно. Под проблемой сложения моментов понимаются следующие задачи: а) какие значения m возможны при заданных m1 и m2 ? б) какие значения j возможны при данных j1 и j2 ? в) ясно, что любая функция Φjm может быть выражена через линейные комбинации функций Ψm1 m2 , и наоборот: Φjm =

X

jm Cm Ψm1 m2 ; 1 m2

Ψm1 m2 =

m1 m2

X

jm C˜m Φjm . 1 m2

jm

Как найти коэффициенты C и C˜ (их называют коэффициентами Клебша–Гордана)? Сформулируем ответы на эти вопросы: а) Так как ˆjz = ˆj1z + ˆj2z , то m = m1 + m2 . б) Величина j принимает 2j1 + 1 (при j2 >j1 ) или 2j2 + 1 (при j2 <j1 ) значений j = |j1 − j2 |, |j1 − j2 | + 1, . . . , j1 + j2 , причем интервал значений j между наименьшим jmin = |j1 − j2 | и наибольшим jmax = j1 + j2 значениями таков, как если бы отрезки длиной j1 , j2 и j составляли треугольник. в) Поскольку jm C˜m = hΨm1 m2 |Φjm i , 1 m2

jm Cm = hΦjm |Ψm1 m2 i, 1 m2

то jm jm C˜m = (Cm )∗ . 1 m2 1 m2 jm Если выбрать коэффициенты Cm вещественными, то 1 m2 jm jm C˜m = Cm . 1 m2 1 m2

Конструктивный способ нахождения коэффициентов Клебша–Гордана и доказательство ответа на вопрос б) мы укажем на двух простых примерах.

26

Пример 1 (сложение двух спинов): ˆ = ˆj1 + ˆj2 . j1 = s1 = 1/2, j2 = s2 = 1/2, ˆj ≡ S Имеется четыре функции: Ψ 1 1 = | ↑↑i, Ψ 1 − 1 = | ↑↓i, Ψ− 1 1 = | ↓↑i, Ψ− 1 − 1 = | ↓↓i . 22

2

2

22

2

2

Так как max S = max m = max (m1 + m2 ) = 1, то в нашей системе должен существовать триплет S = 1, m = 1, 0, −1, причем Φ11 = Ψ 1 1 = | ↑↑i . 22

Две остальные функции Φ10 и Φ1−1 могут быть получены действием понижающего оператора Sˆ− = sˆ1− + sˆ2− на функцию Φ11 , что дает  | ↑↓i + | ↓↑i 1  √ , Φ1−1 = Ψ− 1 − 1 = | ↓↓i . Φ10 = √ Ψ 1 − 1 + Ψ− 1 1 = 2 2 22 2 2 2 2

Оставшаяся ортогональная к Φ1m комбинация Ψ 1 − 1 − Ψ− 1 1 имеет S = max (m) = 0. 2 2 22 Это синглет   1 | ↑↓i − | ↓↑i √ . Φ00 = √ Ψ 1 − 1 − Ψ− 1 1 = 2 2 22 2 2 Еще проще: состояния | ↑↑i и | ↓↓i соответствуют S = 1, m = ±1 и симметричны по спинам. Симметрия функции не зависит от проекции момента. Поэтому симметричная (нормированная) функция с m = 0 1 √ (| ↑↓i + | ↓↑i) 2 имеет S = 1, а ортогональная к ней антисимметричная функция 1 √ (| ↑↓i − | ↓↑i) 2 с m = 0 имеет S = 0.

Пример 2 (сложение орбитального и спинового моментов): j1 = l, j2 = s = 12 , ˆj = ˆl + ˆs. Имеется (2l + 1) · 2 функций Ψm1 m2 = Ylm1 χ 1 m2 : 2

Yll χ+ , Yll−1 χ+ , Yll χ− , . . . , Yl,−l+1χ− , Yl,−l χ+ , Yl,−l χ− , | {z } | {z } | {z } | {z }

m=l+ 21

где

m=l− 21

χ+ = χ 1 1 = 22

m=−l+ 21



1 0



, χ− = χ 1 − 1 = 2

27

2

m=−l− 21



0 1



.

Так как jmax = max (m1 +m2 ) = l +1/2, то существует мультиплет из 2jmax +1 = 2l +2 функций Φl+ 1 ,m , причем 2

Φl+1/2, l+1/2 = Yll χ+ =



Yll 0



.

Остальные функции этого мультиплета могут быть получены действием оператора ˆj− = ˆl− + sˆ− . В частности, √ √ ˆj− Φl+1/2, l+1/2 = 2l Yll−1 χ+ + Yll χ− = 2l + 1 Φl+1/2, l−1/2 . Из двух функций Ψm1 m2 с m = l − 1/2, помимо указанной выше комбинации, можно построить еще одну, ортогональную к Φl+ 1 ,l+ 1 : 2

Yll−1 χ+ −

2

√

2l Yll χ− .

Ясно, что эта комбинация принадлежит к мультиплету с j = max (m1 + m2 ) = l − 21 , содержащему 2j +1 = 2l функцией Φl− 1 , m .Таким образом, эти два мультиплета дают 2 набор из 2l + 2 + 2l = (2l + 1) · 2 функций Φjm с j = l + 1/2 и j = l − 1/2. Покажите, что Φl+ 1 ,m+ 1 = p 2

2

Φl− 1 ,m+ 1 2

2

1 2l + 1)

1 =√ 2l + 1

√ √ √

l + m + 1 Ylm l−m

Ylm+1

l−m Ylm √ − l + m + 1 Ylm+1

!

,

!

.

ˆ lm χ+ , а вторая (1 − Π)Y ˆ lm χ+ , Указание: первая из этих функций пропорциональна ΠY где    2  1 1 1 ˆl + ˆs − l − ˆ = Π l− +1 = 2l + 1 2 2  1  ˆ ˆ ˆ = sˆ− l+ + sˆ+ l− + 2ˆ sz lz + l + 1 2l + 1

— проекционный оператор для мультиплета с j = l + 1/2.

§26. Правила отбора для матричных элементов скалярных и векторных операторов Такие правила важны при расчете различных вероятностей переходов, в частности, при излучении и поглощении света атомами. Скалярные величины не изменяются при поворотах, поэтому для каждого скаˆ построенного из операторов r2 , p ˆ 2 , rˆ лярного оператора S, p, ˆl2 , ˆlˆs и т.д., справедливо соотношение ˆ S] ˆ =0 [J, 28

или ˆ = 0, [J ˆ 2 , S] ˆ = 0, [Jˆz , S] ˆ — оператор полного момента импульса системы. Пусть |JMαi — собственная где J ˆ 2 и Jˆz с собственными значениями J(J +1) и M соответственно, функция операторов J набор квантовых чисел α характеризует другие возможные физические величины, имеющие определенные значения в этом состоянии. Из соотношения ˆ hJ 0 M 0 α0 |Jˆz Sˆ − SˆJˆz |JMαi = (M 0 − M)hJ 0 M 0 α0 |S|JMαi =0 следует, что матричный элемент hJ 0 M 0 α0 | Sˆ |JMαi может быть отличен от нуля лишь при M 0 = M. Аналогично, из соотношения ˆ 2 , S] ˆ |JMαi = 0 hJ 0 M 0 α0 | [J следует, что этот же матричный элемент может быть отличен от нуля лишь при J 0 = J. Наконец, рассмотрим матричный элемент от операторного равенства Jˆ− SˆJˆ+ = SˆJˆ− Jˆ+ и учтем, что Jˆ+ |JMαi = c|J, M + 1, αi , hJMα0 |Jˆ− = chJ, M + 1, α0 | , Jˆ− Jˆ+ |JMαi = c2 |JMαi , тогда получим ˆ M + 1, αi = hJMα0 |S|JMαi ˆ hJ, M + 1, α0 |S|J, . Отсюда следует, что обсуждаемый матричный элемент вообще не зависит от M (при M 0 = M), т. е. hJ 0 M 0 α0 | Sˆ |JMαi = f (J, α, α0) δJJ 0 δM M 0 . В качестве простого примера векторного оператора рассмотрим единичный вектор n = r/r. Известны соотношения между компонентами вектора n и сферическими функциями Y1m (θ, ϕ): r r 4π 8π Y10 , n± = nx ± i ny = ∓ Y1±1 . nz = 3 3 Отсюда ясно, что произведение nz |JMαi может быть представлено в виде суперпозиции функций Φjm с m = M и j = J − 1, J, J + 1 при J ≥ 1 и j = 1/2, 3/2 при J = 21 . Поэтому матричный элемент hJ 0 M 0 α0 | nz |JMαi может быть отличен от нуля лишь при M 0 = M и J 0 = J, J ± 1 при J ≥ 1 и J 0 = 1/2, 3/2 при J = 1/2. Аналогично, для hJ 0 M 0 α0 | n± |JMαi получим правила отбора M 0 = M ± 1 и те же правила отбора для J. Существенным для доказательства этих правил отбора был не конкретный вид оператора n, а его векторный характер. Поэтому и для любого ˆ справедливы правила отбора: матричный элемент векторного оператора V hJ 0 M 0 α0 | Vˆz |JMαi может быть отличен от нуля лишь при M0 = M , 29

матричный элемент hJ 0 M 0 α0 | Vˆ+ |JMαi может быть отличен от нуля лишь при M0 = M + 1 , а матричный элемент hJ 0 M 0 α0 | Vˆ− |JMαi может быть отличен от нуля лишь при M0 = M − 1 , и во всех этих случаях J 0 = J − 1, J, J + 1 при J ≥ 1 или J 0 = 1/2, 3/2 при J = 1/2 . ˆ используя соотноНайдите правила отбора по M для векторного оператора V, шение [Jˆz , Vˆ± ] = ±Vˆ± , следующее из [Jˆj , Vˆk ] = iεjkn Vˆn (ср. формулу (15.12)).

ˆ Ylm равна ∓(−1)l , Дополнительные правила отбора. Четность состояния V 0 0 ˆ ˆ если V — полярный (аксиальный) вектор, поэтому hl m |V|lmi может быть отличен от нуля лишь при l0 = l ± 1 для полярного вектора (например, для V = r) и лишь ˆ =r×p ˆ ). при l0 = l для аксиального вектора (например, для V

§27. Усреднение векторного оператора Полученные выше правила отбора позволяют получить важную в приложениях формулу усреднения произвольного векторного оператора по состояниям с определенныˆ 2 и Jˆz . ми значениями операторов J Используя правила коммутации [Jˆj , Vˆk ] = iεjkn Vˆn , покажите, что     h i 2 2 ˆ 2 2 ˆ 2 2 2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J J V − V J − J V − V J J = J , [J , V] =     2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆV ˆ . = 2 J V + V J − 4J J

Взяв от этого соотношения матричный элемент по состояниям |JM 0 αi и |JMαi, отличающимся лишь значениями проекции Jˆz , получим   ˆ |JMαi = hJM 0 α| J ˆ J ˆV ˆ |JMαi . J(J + 1) hJM 0 α| V 30

  ˆи J ˆV ˆ проложим полный В правой стороне этого равенства между операторами J набор X 1= |J 00 M 00 αi · hJ 00 M 00 α| J 00 M 00

и учтем выведенные в предыдущем разделе правила отбора. В итоге получим “формулу усреднения” ˆ |JMαi = hJM 0 α| V

1 ˆ |JMαi · hJMα| J ˆV ˆ |JMαi , hJM 0 α| J J(J + 1)

показывающую, что усредненный вектор V направлен по усредненному вектору J. В частности, при M 0 = M усредненный вектор V направлен по оси z: ˆ |JMαi = C · (0, 0, M), hJMα| V

C=

1 ˆV ˆ |JMαi . hJMα| J J(J + 1)

Задачи 27.1. Показать, что угловая волновая функция состояния p1/2 (квантовые числа l = 1, s = 1/2, j = 1/2) может быть представлена в виде (− σn)χ, где n — орт радиус-вектора, χ — обычный двухкомпонентный спинор. 27.2. Сложение моментов 21 × 12 , 1 × 1, 1 × 21 (в том числе с использованием таблиц коэффициентов Клебша-Гордана). 27.3. Найти среднее значение магнитного момента электрона в состоянии p1/2 с jz = 1/2 двумя способами: а) используя результаты предыдущей задачи; б) используя формулу усреднения векторного оператора. 27.4. Система состоит из двух спинов s1 = s2 = 1/2, взаимодействие которых имеет вид Vˆ = Kˆs1ˆs2 . Найти уровни энергии системы во внешнем магнитном поле B, если гиромагнитные отношения равны g1 и g2 . 27.5. Найти правила отбора для матричных элементов дипольного hl0 m0 |xj |lmi и квадрупольного hl0 m0 | xj xk − 31 δij r2 |lmi моментов. 27.6. Найти в борновском приближении сечение рассеяния быстрых нейтронов кулоновским полем (Задача 13.43 из [4], а также § 42 из книги В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, А.П. Питаевский "Квантовая электродинамика"(М.: Наука, 1989)).

31

32

Глава VIII УРАВНЕНИЕ ДИРАКА §28. Тождественность частиц. Принцип Паули Благодаря отсутствию точной локализуемости в квантовой механике тождественность частиц приводит к их неразличимости. Пусть ψ(x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xk , . . . xN ) — волновая функция системы N одинаковых частиц, а xj — совокупность координат и спиновых переменных j-ой частицы. В квантовой механике постулируется, что эта волновая функция и волновая функции с переставленными частицами ψ(x1 , x2 , . . . , xk , . . . , xi , . . . xN ) описывают одно и то же состояние. Для простоты рассмотрим случай двух одинаковых частиц, их волновая функция ψ(x1 , x2 ) отличается от волновой функции с переставленными частицами ψ(x2 , x1 ) лишь фазовым множителем ψ(x2 , x1 ) = eiα ψ(x1 , x2 ). Так как двухкратная перестановка двух частиц — тождественная операция, то ψ(x2 , x1 ) = ±ψ(x1 , x2 ) . Двум возможным знакам ± в этом соотношении отвечают два разных рода частиц — бозоны и фермионы, при этом волновая функция бозонов симметрична, а волновая функция фермионов антисимметрична относительно перестановки двух каких-либо частиц. Благодаря принципу суперпозиции, симметрия всех состояний физической системы одинакова. Для двух невзаимодействующих бозонов симметричная волновая функция имеет вид: ( 1 √ [ψa (x1 )ψb (x2 ) + ψa (x2 )ψb (x1 )], a 6= b 2 ψ(x1 , x2 ) = ψa (x1 )ψb (x2 ), a = b, Для двух невзаимодействующих фермионов антисимметричная волновая функция имеет вид: ( 1 √ [ψa (x1 )ψb (x2 ) − ψa (x2 )ψb (x1 )], a 6= b 2 ψ(x1 , x2 ) = 0, a = b. 33

Отсюда следует принцип Паули: два фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. Электроны, протоны, нейтроны, нейтрино, мюоны имеют спин 1/2 и являются фермионами. Фотоны и переносчики слабого взаимодействия W ± и Z 0 частицы имеют спин 1 и являются бозонами. В релятивистской квантовой теории поля доказывается теорема Паули о связи спина со статистикой: частицы с целым спином — бозоны, частицы с полуцелым спином — фермионы. Принцип Паули обеспечивает стабильность атома — системы электронов (частиц со спином 1/2). Составная частица, построенная из четного числа фермионов — бозон, из нечетного числа фермионов — фермион. Так, атом He4 имеет в своем составе четное число фермионов (два электрона в электронной оболочке и два протона и два нейтрона в ядре) и является бозоном, в то время как атом He3 имеет в своем составе нечетное число фермионов (два электрона в электронной оболочке и два протона и один нейтрон в ядре) и является фермионом. Это приводит, в частности, к резкому различию свойств жидкого He4 и He3 в области низких температур.

§29. Уравнение Клейна–Фока–Гордона В релятивистской теории операторы pˆ0 =

i~ ∂ ˆ = −i~∇ и p c ∂t

образуют 4-мерный вектор µ

pˆ = i~



 1∂ , −∇ = i~∂ µ . c ∂t

Уравнение Шредингера cˆ p0 Ψ(r, t) =



1  e 2 ˆ − A + eφ p 2m c



Ψ(r, t)

и уравнение Паули (см. §24) cˆ p0 Ψ(r, t) =



1   e 2 ˆ− A σ p + eφ 2m c



Ψ(r, t)

не является релятивистски-инвариантными, компоненты pˆµ входят в них явно несимˆ. метричным образом: эти уравнения линейны по оператору pˆ0 и квадратичны по p Простейшее релятивистское обобщение уравнения Шредингера можно получить, потребовав, чтобы в него входила вторая степень оператора pˆ0 . Из классического соотношения для компонент 4-импульса релятивистской частицы2  e µ  e  p− A p − A = m2 c2 , c c µ 2

В этой главе по повторяющимся индексам 4-векторов подразумевается суммирование, т.е. выражение Aµ Bµ означает Aµ Bµ ≡ A0 B0 − Ax Bx − Ay By − Az Bz = A0 B0 − AB

34

где Aµ = (A0 (r, t), A(r, t)) — 4-потенциал электромагнитного поля и A0 (r, t) ≡ φ(r, t) — скалярный потенциал, при замене p0 → i(~/c)(∂/∂t), p → −i~∇ возникает релятивистское волновое уравнение Клейна–Фока–Гордона (1926, 1927) " # 2  ~ ∂ e e 2 i − A0 − −i~∇ − A Ψ(r, t) = m2 c2 Ψ(r, t) . (29.1) c ∂t c c Это уравнение инвариантно относительно калибровочного преобразования (сравни с нерелятивистским случаем в §10) Aµ → Aµ − ∂µ f,

Ψ → Ψ eief /(~c) ,

(29.2)

где f — произвольная функция координат и времени. Cвободному движению частицы с определенным 4-импульсом pµ = (E/c, p) соответствует плоская волна Ψ(x) = A e−i(Et−pr)/~ . Если подставить эту волновую функцию в уравнение (29.1) с Aµ = 0, то найдем естественную связь между энергией и импульсом E 2 = m2 c4 + p2 c2 , которойp соответствует закон дисперсии, т. е. зависимость энергии от импульса, вида E = ±c m2 c2 + p2 . Отложим обсуждение двух возможных знаков ± в этом выражении до §31 и обсудим нерелятивистский предел p2  m2 c2 . В этом случае E = mc2 +

p2 (p2 )2 − + ... . 2m 8m3 c2

Рассмотрим движение нерелятивистской частицы в потенциальном поле U(r). Релятивистская поправка к нерелятивистскому оператору Гамильтона ˆ2 ˆ0 = p + U(r) H 2m возникает из-за изменения закона дисперсии. Соответствующее возмущение равно 2

(ˆ p2 ) Vˆ = − 3 2 . 8m c В кулоновской задаче (при U(r) = −e2 /r ) эта поправка снимает вырождение по l в спектре и приводит к тонкой структуре уровней. Возникающая поправка к энергии *  2 + p 2 ˆ 1 ∆Enl = hnl| Vˆ |nli = − nl nl 2m 2mc2 может быть переписана с учетом

2 ˆ2 p ˆ0 + e , H ˆ 0 |nl i = En |nl i =H 2m r

35

в виде (cм. (9.3) и (18.2)) 1 ∆Enl = − 2mc2

 2 + e2 nl En + nl = r

*

me4 α2 =− 2 3 2~ n



1 l+

1 2

3 − 4n



.

(29.3)

Здесь

e2 1 ≈ ~c 137 — безразмерная константа, постоянная тонкой структуры. α=

2 l= 1 0

 

n=3

1 l= 0



n=2



l= 0

}n = 1

Тонкая структура уровней атома водорода согласно (29.3). Однако реальный спектр атома водорода отличается от этого спектра. Причина в том, что уравнение (29.1) не учитывает спин электрона.

§30. Уравнение Дирака 30.1. Симметричная форма уравнения Дирака В нерелятивистской квантовой механике спин электрона учитывается в уравнении Паули (см. (24.1), (24.2)) 1 h  e i2 ˆ− A σ0 (cˆ p0 − eA0 )Ψ(r, t) = σ p Ψ(r, t) , 2m c

где σ0 — единичная матрица. Естественное релятивистское обобщение уравнения Паули выглядит так: h    e  e i2 2 2 ˆ− A γ0 pˆ0 − A0 − γ p − m c Ψ(x) = 0, (30.1) c c где γ µ = (γ0 , γ) — некоторые матрицы, а x = (ct, r) — 4-радиус-вектор. Представим оператор второго порядка {. . .} в левой части уравнения (30.1) в факторизованном виде h  ih  i e  e  {. . .} = γ µ i~∂µ − Aµ + mc γ ν i~∂ν − Aν − mc , c c 36

где

∂ . ∂xµ Функция Ψ(x) удовлетворяет уравнению (30.1), если она является решением уравнения первого порядка i h  e  γ µ i~∂µ − Aµ − mc Ψ(x) = 0. (30.2) c Это и есть уравнение Дирака (1928). Для свободной частицы уравнение Дирака имеет вид (γ µ pˆµ − mc) Ψ(x) = 0 . (30.3) ∂µ =

Отметим сразу же основное свойство матриц γµ . Уравнение (30.1) для свободной частицы,  µ 2 (γ pˆµ ) − m2 c2 Ψ(x) = 0,

должно совпадать с уравнением Клейна-Фока-Гордона (ˆ pµ pˆµ − m2 c2 ) Ψ(x) = 0. Для этого необходимо, чтобы (γ µ pˆµ )2 ≡ (γ µ pˆµ )(γ ν pˆν ) = pˆµ pˆµ . Отсюда следует, что γµ γν + γν γµ = 2gµν I.

Сколько компонент у волновой функции Ψ(x)? При выяснении этого вопроса важную роль играет инвариантность уравнения Дирака относительно отражений пространственных осей или P -инвариантность При повороте на угол θ вокруг оси n преобразование 2-компонентного спинора ϕ имеет вид (23.2)
ϕ0 = exp 2i θσn ϕ = [ cos(θ/2) + i σn sin(θ/2) ] ϕ (30.4a)

и сохраняет P -инвариантность, так как и собственный момент импульса электрона ˆs = σ/2, и ось поворота n — аксиальные векторы, а потому произведение σn — истинный скаляр. Преобразование Лоренца вдоль оси x со скоростью V имеет вид x0 = x ch θ − ct sh θ , ct0 = ct ch θ − x sh θ , ch θ = p

1 1 − (V /c)2

, sh θ = p

(V /c) 1 − (V /c)2

и соответствует гиперболическому повороту в плоскости x, ct, а соответствующее преобразование спинора может быть получено заменой θ → iθ в уравнении (30.4a), что дает
ϕ0 = exp − 12 θσx ϕ , где величина θ определяется соотношением th θ = V /c. В случае преобразования Лоренца, задаваемого произвольным вектором скорости V, имеем
V V ϕ0 = exp − 12 θσn ϕ = [ ch (θ/2) − σn sh (θ/2) ] ϕ , n = , th θ = . V c

(30.5)

Это преобразование нарушает P -инвариантность, так как скорость V = V n — полярный вектор, и следовательно σn — псевдоскаляр, изменяющий знак при отражении координат. 37

Поэтому для сохранения P -инвариантности приходится вводить второй спинор χ с иным, чем у ϕ, поведением при отражении координат. Если Pˆ ϕ(t, r) = ηP ϕ(t, −r) , Pˆ χ(t, r) = −ηP χ(t, −r) ,

(30.6a)

где ηP — фазовый множитель, то преобразование вида ϕ0 = ϕ ch (θ/2) − σn χ sh (θ/2) ,

χ0 = χ ch (θ/2) − σn ϕ sh (θ/2)

(30.7a)

сохраняет P -инвариантность. Двухкомпонентные спиноры ϕ и χ объединяются в 4компонентный спинор, или биспинор   ϕ(x) Ψ(x) = , χ(x) для которого преобразование (30.4a), соответствующее повороту, имеет вид
Ψ0 = exp 2i θΣn Ψ = [ cos(θ/2) + i Σn sin(θ/2) ] Ψ , (30.4b) а формула (30.7a), соответствующая преобразованию Лоренца, имеет вид
Ψ0 = exp − 12 θαn Ψ = [ ch(θ/2) − αn sh(θ/2) ] Ψ , где матрицы

  σ 0 0 Σ= , α= 0 σ σ эрмитовы и удовлетворяют соотношениям 

σ 0



(30.7b)

(30.8)

Σj Σk = I δjk + iεjkn Σn , αj αk + αk αj = 2I δjk . Преобразование (30.6a), соответствующее отражению пространственных координат, может быть записано в виде   I 0 P −1 ˆ Ψ (x) ≡ P Ψ(t, r) = ηP UP Ψ(t, −r) , UP = UP = . (30.6b) 0 −I Найдем 4 × 4 матрицы γµ , рассматривая для простоты уравнение Дирака для свободной частицы (30.3). При отражении координат оператор pˆ0 не изменяется, а ˆ изменяет знак. Если в уравнении Дирака (γ0 pˆ0 − γ p ˆ − mc) Ψ(t, r) = 0 оператор p −1 P ˆ → −ˆ провести замены p p, Ψ(t, r) → Ψ(t, −r) = ηP UP Ψ (x), соответствующие P отражению, то получим уравнение ˆ − mc) UP ΨP (x) = 0 . (γ0 pˆ0 + γ p Таким образом, чтобы функция ΨP (x) удовлетворяла тому же уравнению, что и функция Ψ(x), матрицы γµ должны удовлетворять условиям UP γ0 = γ0 UP ,

UP γ = −γUP .

Ясно поэтому, что можно выбрать γ0 = UP =



38

I 0 0 −I



.

Из UP γ + γUP = 0 следует, что γ=



0 B C 0



,

а соотношение γm γn + γn γm = −2δmn I ;

m, n = x, y, z

удовлетворяется, если выбрать Bn = −Cn = σn , где σn — матрицы Паули. Тогда     I 0 0 σ γ0 = , γ= . (30.9) 0 −I −σ 0 Этот выбор соответствует так называемому стандартному представлению. Существуют другие представления матриц Дирака, которые получаются из стандартного с помощью преобразования γµ → Uγµ U −1 , где U — унитарная матрица.

30.2. Релятивистская ковариантность уравнения Дирака Пусть при произвольном преобразовании Лоренца 4-радиус вектор xµ преобразуется по закону x0µ = Λµν xν , а соответствующее преобразование биспинора Дирака задается матрицей U: Ψ0 (x0 ) = U Ψ(x) . Чтобы доказать релятивистскую ковариантность уравнения Дирака, достаточно показать, что найденные выше операторы γµ преобразуются как 4-векторы, т. е. преобразованный оператор U −1 γµ U удовлетворяет соотношению (ср. с обсуждением преобразования оператора σ относительно поворотов в разделе 23.4) U −1 γµ U = Λµν γ ν .

(30.10)
i Это легко проверить непосредственно для поворотов (30.4b), когда U = exp θΣn , 2
и для простого преобразования Лоренца (30.7b), когда U = exp − 21 θαn . При этом оказываются полезными соотношения Σ γ0 = γ0 Σ , α γ0 = −γ0 α = −γ , Σj γk =



−γk Σj = iεjkl γl −γk Σj

при j 6= k при j = k ,

αj γk =



γk αj −γ0

(30.11) при j 6= k при j = k .

Значит, уравнение (30.10) справедливо и для общего случая, который всегда можно рассматривать как комбинацию этих двух простых преобразований.

30.3. Плотность тока. Зарядовое сопряжение Назовем функцию ¯ Ψ(x) ≡ Ψ+ (x)γ0 39

дираковски сопряженной функции Ψ(x). Она преобразуется по закону ¯ 0 = Ψ+ U + γ 0 , Ψ
i θΣn , и для простого преобразовапричем, для поворотов (30.4b), когда U = exp 2
1 ния Лоренца (30.7b), когда U = exp − 2 θαn , из (30.11) следует, что U + γ0 = γ0 U −1 .

Значит, и в общем случае дираковски сопряженная функция преобразуется по закону ¯0 = Ψ ¯ U −1 , Ψ ¯ Ψ преобразуется по закону Ψ ¯ 0 Ψ0 = Ψ ¯ Ψ, т. е. является откуда видно, что величина Ψ ¯ скаляром, а величина Ψ γµ Ψ преобразуется по закону ¯ 0 γµ Ψ0 = Λµν Ψ ¯ γν Ψ , Ψ т. е. является 4-вектором. Дираковски сопряженная функция удовлетворяет уравнению  e  ¯ ¯ −i~∂µ − Aµ Ψ(x) γ µ − mc Ψ(x) = 0. (30.12) c Домножим уравнение (30.12) справа на Ψ(x) и вычтем из уравнения (30.2), домно¯ женного слева на Ψ(x), тогда получим уравнение
µ ¯ ¯ ∂µ Ψ(x) γ Ψ(x) + Ψ(x) γ µ ∂µ Ψ(x) = 0 ,

которое можно переписать в виде закона сохранения 4-мерного тока. Если ввести 4-мерную плотность тока ¯ jµ (x) = c Ψ(x) γµ Ψ(x) ,

(30.13)

то она будет удовлетворять уравнению непрерывности ∂µ j µ (x) = 0 . Для дираковской частицы плотность вероятности + ¯ %(x) = j0 (x)/c = Ψ(x)γ 0 Ψ(x) = Ψ (x)Ψ(x)

(30.14)

является положительно определенной функцией. Плотность 3-мерного тока равна ¯ j(x) = c Ψ(x) γΨ(x) = c Ψ+ (x)αΨ(x) ,

(30.15)

где эрмитовы матрицы α = γ0 γ определены в (30.8). Уравнение Дирака и плотность дираковского тока, разумеется, инвариантны относительно калибровочного преобразования (29.2). Рассмотрим еще свойство уравнения Дирака относительно C (зарядовое сопряжение) преобразования. Если функция Ψ(x) удовлетворяет уравнению (30.2), то легко проверить, что функция ¯ ΨC (x) = C Ψ(x) , C = γy γ0 = −αy

(30.16)

соответствует зарядово-сопряженной частице, т. е. удовлетворяет уравнению h  i e  µ γ i~∂µ + Aµ − mc ΨC (x) = 0 , (30.2b) c которое отличается от уравнения (30.2) для Ψ(x) лишь знаком заряда e. 40

30.4. Гамильтонова форма уравнения Дирака Умножив уравнение (30.2) на γ0 слева, получим уравнение Дирака в гамильтоновой форме i~

∂Ψ ˆ Ψ, =H ∂t

ˆ = α(cˆ ˆ = −i~∇ . H p − eA) + mc2 γ0 + eA0 , p

(30.17)

Отсюда оператор скорости равен i ˆ [H, r] = c α , ~ а операторное уравнение движения во внешнем поле e  d  ˆ − A = eE + eα × B p dt c является аналогом классического уравнения движения ˆ= v

(30.18)

mv d v p = eE + e × B . dt 1 − (v/c)2 c

ˆ и В центральном поле (при A = 0, eA0 = U(r)) орбитальный момент ˆl = r × p спин   1 1 σ 0 ˆs = Σ = 2 2 0 σ в отдельности не сохраняются: dˆl i ˆ ˆ c ˆ, = [H, l] = α × p dt ~ ~

dˆs i ˆ c ˆs] = − α × p ˆ. = [H, dt ~ ~

Естественно, однако, что сохраняется полный момент ˆj = ˆl + ˆs, dˆj i ˆ ˆ = [H, j] = 0 . dt ~ Рассмотрим теперь свободный электрон в состоянии с определенным импульсом p. В этом случае гамильтониан ˆ = cαp + mc2 γ0 H также, вообще говоря, не коммутирует с оператором спина, ˆ ˆs] = i c α × p . [H,

(30.19)

Однако последняя формула подсказывает два возможных исключения. 1. Если p → 0 (что справедливо в системе покоя электрона), то правая часть уравнения (30.19) обращается в нуль ˆ ˆs] = 0 при p → 0 . [H,

(30.20)

Таким образом, спиновое состояние свободного электрона можно описывать, задавая определенное значение σ = ±1/2 оператора sˆz в системе покоя электрона. 41

2. Если умножить уравнение (30.19) скалярно на вектор p, то правая часть поˆ лученного соотношения также обратится в нуль. Поэтому оператор спиральности Λ (проекции спина на направление импульса электрона) коммутирует с гамильтонианом ˆ Λ] ˆ = 0, Λ ˆ = ˆs · p . [H, (30.21) |p|

ˆ равны λ = ±1/2, а его собственные состояния Собственные значения оператора Λ называются спиральными состояниями.

Задачи 30.1. Указать релятивистские единицы энергии, времени, длины, силы. ˆ p ˆ r] |ni = 0, где 30.2. Используя тождество hn| [H, 2 ˆ = αp + γ0 m − Ze , H r

показать, что энергия En = hn| γ0 |ni. 30.3. Найти уровни энергии электрона в однородном постоянном магнитном поле.

§31. Свободное движение дираковской частицы Cвободному движению частицы с определенным 4-импульсом pµ = (E, p) соответствует плоская волна3 µ

Ψ(x) = u(p) e−ipµ x , pµ xµ = Et − pr , где биспинор u(p) удовлетворяет системе алгебраических уравнений (γµ pµ − m) u(p) = 0 . Для двухкомпонентных спиноров ϕ(p) и χ(p), через которые выражается биспинор   ϕ(p) u(p) = , χ(p) получаем систему уравнений (E − m) ϕ − σp χ = 0 ,

σp ϕ − (E + m) χ = 0 .

Эта система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю, т. е. если E 2 = p2 + m2 . Введем арифметический, положительный корень p ε = + p2 + m2 .

Существуют две возможности (рис. 12): 3

Здесь и ниже в §32—33 (за исключением §32.1) полагаем ~ = 1, c = 1. 42

Рис. энергии для свободной дираковской частицы: E = p 12: Возможные значения p + m2 c4 + p2 c2 > mc2 и E = − m2 c4 + p2 c2 < −mc2 . Дираковской щели соответствует область энергий: −mc2 < E < mc2 1. Энергия положительна: σp ϕ. ε+m

E = +ε , χ = При нормировке

ϕ+ ϕ = 1 , u + u = 1 получаем биспинор r

ε+m 2ε



E = −ε, u(−ε, p) =

r

u(ε, p) ≡ up =

ϕ ˆ Aϕ



σp , Aˆ = ε+m

(31.1)

2. Энергия отрицательна: ε+m 2ε



−Aˆ χ χ



.

Четыре компоненты волновой функции соответствуют двум возможным ориентациям спина при двух возможных знаках энергии. Исключить состояния с отрицательной энергией нельзя, так как в квантовой механике возможны переходы между состояниями. Дирак постулировал, что уровни с отрицательной энергией заполнены. Тогда переходов на них нет в силу принципа Паули. Дырка в дираковском море ведет себя как частица той же массы, что и электрон, но с противоположным зарядом, причем отсутствующему электрону с энергией (−ε) и импульсом (−p) соответствует частица-дырка с энергией (+ε) и импульсом (+p). В квантовой теории поля частицадырка выступает как античастица, а представление о дираковском море оказалось излишним. Такая античастица для электрона была вскоре обнаружена (К. Андерсон, 1932) и названа позитроном. Таким образом, свободному электрону соответствует плоская волна µ

Ψp (x) = up e−ipµ x , pµ xµ = εt − pr , 43

(31.2)

где биспинор up определен в (31.1), а свободному позитрону соответствует плоская волна4 ¯ p (x) = vp eipµ xµ , pµ xµ = εt − pr , Ψ−p (x) = C Ψ (31.3)

где биспинор vp определен соотношением r   ε + m Aˆ χ vp ≡ u(−ε, −p) = C u¯p = , χ = −σy ϕ , vp+ vp = 1 . χ 2ε

(31.4)

Биспиноры up и vp взаимно ортогональны vp+ up = u+ p vp = 0 . В нерелятивистском пределе величина Aˆ мала, ∼ |p|/m  1, поэтому волновая функция свободного электрона (позитрона) фактически становится двухкомпонентной, т.к. ее нижние (верхние) компоненты оказывается ∼ |p|/m. ˆ = α. Так как Отметим также особенность, связанную с оператором скорости v 2 vˆx = αx , а αx = I, то собственные значения оператора vˆx равны ±1 (или ±c в обычных единицах). Однако собственные функции оператора vˆx не соответствуют определенному знаку энергии, т. е. обычным физическим состояниям. И наоборот, в состоянии с фиксированной энергией px , hvx i = u+ (±ε, p) αx u(±ε, p) = ±ε как и должно быть. Спиновые состояния электрона и позитрона задаются двухкомпонентным спинором ϕ. Классификация этих состояний может быть проведена двумя возможными способами, описанными в §30.4. Электрону с проекцией спина на ось z в его системе покоя, равной σ, соответствуют спиноры     1 0 (σ=1/2) (σ=−1/2) ϕ = , ϕ = , 0 1 а электрону со спиральностью λ — спиноры (см. §23.4)     −iϕ/2 e cos θ2 −e−iϕ/2 sin 2θ (λ=−1/2) (λ=1/2) ϕ (n) = , ϕ (n) = , eiϕ/2 sin 2θ eiϕ/2 cos θ2 где единичный вектор n определяется направлением импульса электрона p n= = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) . |p|

Задачи 31.1. Найти решение уравнения Дирака для плоской волны, используя преобразование Лоренца из системы покоя электрона. 31.2. Найти решение уравнения Дирака в виде плоской волны для нейтрино. 4

Отметим, что этот результат находится в соответствии с формулами зарядового сопряжения (см. (30.16)): если функция Ψ(x) ∝ e−iεt/~ есть решение стационарного уравнения Дирака для ¯ частицы с энергией E = +ε и зарядом e во внешнем поле, то функция C Ψ(x) ∝ e+iεt/~ отвечает решению уравнения Дирака для частицы с энергией E = −ε и противоположным зарядом (−e) в том же поле.

44

32. Свойства уравнения Дирака При рассмотрении нерелятивистского и ультрарелятивистского пределов уравнения Дирака удобно использовать это уравнение в гамильтоновой форме (30.17) с определенной релятивистской энергией ε,   ϕ(r) ˆ , (32.1) Hψ(r) = εψ(r) , ψ(r) = χ(r) и переписать его в виде системы связанных уравнений для двухкомпонентные спиноры ϕ(r) и χ(r):  e  2 ˆ − A χ(r) , (ε − mc − eA0 ) ϕ(r) = cσ p (32.2a) c  e  2 ˆ − A ϕ(r) . (ε + mc − eA0 ) χ(r) = cσ p (32.2b) c

32.1. Нерелятивистский предел уравнения Дирака Проведем разложение уравнения Дирака (32.2) по степеням v/c до первого порядка включительно (разложение до второго порядка см. в §34). Для этого введем нерелятивистскую энергию Eнер = ε − mc2 и будем предполагать, что |Eнер |  mc2 и |eA0 |  mc2 . Тогда из (32.2b) в первом порядке по v/c находим  1 e  ˆ − A ϕ(r) . χ(r) = σ p 2mc c Подставляя это выражение в (32.2a), получаем 1 h  e i2 ˆ− A (Eнер − eA0 ) ϕ(r) = σ p ϕ(r) . 2m c

С учетом (24.2) это уравнение принимает вид уравнения Паули 1  e 2 ˆ ˆ ˆ − A + eA0 − µ ˆe B , p H нер ϕ(r) = Eнер ϕ(r) , H нер = 2m c в котором значение магнитного момента электрона ˆe = µ

e~ σ 2mc

получено как простое следствие уравнения Дирака.

32.2. Ультрарелятивистский предел уравнения Дирака Рассмотрим ультрарелятивистский предел уравнения Дирака (32.1), (32.2), когда при ε  m в гамильтониане можно пренебречь слагаемым, пропорциональным массе электрона, т. е. когда ˆ = α(ˆ H p − eA) + eA0 . (32.3)

В этом случае решения уравнения Дирака обладают дополнительной симметрией. Чтобы увидеть это, перепишем (32.2), пренебрегая массой электрона, (ε − eA0 ) ϕ(r) = σ (ˆ p − eA) χ(r) , 45

(ε − eA0 ) χ(r) = σ (ˆ p − eA) ϕ(r) .

Складывая и вычитая эти два уравнения, получим систему несвязанных уравнений σ(ˆ p − eA) ξ(x) = +(ε − eA0 ) ξ(x) ,

σ(ˆ p − eA) η(x) = −(ε − eA0 ) η(x) ,

где новые двухкомпонентные спиноры ξ и η выражаются линейно через старые: ξ = 21 (ϕ + χ) , η = 12 (ϕ − χ) .

Видно, что новые спиноры ξ и η являются собственными функциями оператора ˆ = (ε − eA0 )−1 σ(ˆ K p − eA)

с собственными значениями +1 и −1, соответственно. Таким образом, спиноры ξ и η описывают два разных квантовых состояния, которые являются решениями уравнения Дирака с одной и той же энергий ε. Состояние, описываемое спинором ξ(x), называется киральным состоянием с положительной (или правой, R) киральностью, а состояние, описываемое спинором η(x), называется киральным состоянием с отрицательной (или левой, L) киральностью. ˆ = При свободном движении дираковской частицы, когда Aµ = 0, оператор K 1 ˆ = σp ˆ /ε лишь множителем 2 отличается от оператора спиральности Λ ˆ /|p|, так σp 2 как в ультрарелятивистском пределе |p| = ε. Поэтому правым или левым киральным состояниям соответствуют определенные значения спиральности λ = +1/2 или ˆ −eA λ = −1/2. В квазиклассическом приближении оператору p √ √ соответствует вектор 2 mv/ 1 − v , а оператору ε − eA0 — кинетическая энергия m/ 1 − v 2 , так что операˆ и в этом случае соответствует определенная проекция спина на направление тору K движения частицы. В обычном формализме четырехкомпонентных спиноров ψ(r) дополнительная симметрия уравнения Дирака при m = 0 связана с наличием дополнительного интеграла движения. Соответствующим ему оператором является величина   0 −I γ5 = −iγ0 γx γy γz = −I 0 со свойствами

(γ5 )2 = 1 , γ5 γµ + γµ γ5 = 0 , γ5 α − αγ5 = 0 .

Из первого уравнения следует, что собственные значения γ5 равны ±1, а из второго ˆ = и третьего уравнений следует, что γ5 не коммутирует с полным гамильтонианом H α(ˆ p −eA)+eA0 +mγ0 , содержащим слагаемое mγ0 , но коммутирует с гамильтонианом (32.3), в котором это слагаемое отсутствует. Поэтому мы можем ставить задачу на ˆ (32.3) и γ5 . Пусть ψ(r) есть поиск совместных собственных функций операторов H ˆ ψ(r) = ε ψ(r). Легко проверить, что функции некоторое решение уравнения H     1 − γ5 1 + γ5 ξ(r) η(r) ψR (r) = ψ(r) = , ψL (r) = ψ(r) = ξ(r) −η(r) 2 2

являются собственными функциями γ5 :

γ5 ψR,L (r) = ∓ ψR,L (r) .

Из эксперимента следует, что масса нейтрино во всяком случае очень мала, и что обычно нейтрино можно считать с хорошей точностью левым, а антинейтрино — правым. Во взаимодействиях нейтрино четность не сохраняется. 46

32.3. Сходство и различие уравнений Дирака и Клейна–Фока–Гордона Применив оператор γ µ (i∂µ −eAµ )+m к уравнению Дирака, квадрируем это уравнение: {(i∂µ − eAµ )(i∂ µ − eAµ ) −

ie µ ν γ γ Fµν − m2 }Ψ(x) = 0 , 2

(32.4)

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ . Отличие этого уравнения от уравнения Клейна–Фока–Гордона во втором спиновом слагаемом. Рассмотрим движение заряженной частицы в постоянном (но не обязательно однородном) магнитном поле B(r) в отсутствие электрического поля. В этом случае спиновое слагаемое принимает форму ie − γ µ γ ν Fµν = eΣB . 2 Для стационарного решения Ψ(r, t) = ψE (r) e−iEt в силу уравнения (32.4) получаем

Так как



(E 2 − (ˆ p − eA)2 + eΣB − m2 ψE (r) = 0 . (ˆ p − eA)2 − eΣB = (2ˆs(ˆ p − eA))2 ,

где ˆs = 21 Σ — оператор спина электрона, то мы приходим к выводу, что в этом случае состояние с определенной энергией ψE (r) одновременно является состоянием с определенным значением оператора (2ˆs(ˆ p − eA))2 c собственным значением E 2 −m2 . Поэтому скалярное произведение ˆs (ˆ p − eA)

√ также имеет в данном состоянии определенное значение ± 21 E 2 − m2 . √ В квазиклассическом приближении величина p − eA совпадает с mv/ 1 − v 2 , а эта величина в магнитном поле, не зависящем от времени, по модулю сохраняется. Таким образом, из сохранения величин sv и |v| следует, что в постоянном магнитном поле сохраняется величина λ = s v/|v|, т. е. проекция спина электрона на направление его движения — спиральность электрона. В действительности это утверждение нарушается за счет малого аномального магнитного момента электрона. Магнитный момент электрона равен (в обычных единицах) e~ α µ= (1 + κ), κ ≈  1. 2mc 2π Эту поправку можно учесть, модифицировав уравнении Дирака следующим образом:   ieκ µ ν µ γ (i∂µ − eAµ ) − m − γ γ Fµν Ψ(x) = 0. 4m 47

§33. Рассеяние релятивистского электрона в кулоновском поле Пусть релятивистский электрон рассеивается в кулоновском поле протона (−e2 /r), переходя из начального состояния ψi (r) = up eipr с импульсом p и энергией ε =

p m2 + p2 в конечное состояние 0

ψf (r) = up0 eip r p c импульсом p0 и той же энергией ε = m2 + (p0 )2 . Здесь четырехкомпонентные спиноры up и up0 определены как в §31, через обычные двухкомпонентные спиноры ϕi и ϕf соответственно: r r     ε+m ε+m ϕf ϕi up = , up0 = , Aˆ ϕi Aˆ0 ϕf 2ε 2ε σp0 Aˆ0 = . ε+m

σp Aˆ = , ε+m Борновская амплитуда рассеяния5

ε Uf i 2π с точностью до множителя равна фурье-образу потенциала взаимодействия, или матричному элементу  2 Z e 4πe2 + Uf i = U(q) = ψf (r) − ψi (r) d3 r = − 2 u+ p0 up = r q   4πe2 + q2 i[p0 × p]σ = − 2 ϕf 1 − + ϕi , q = p0 − p . q 4ε(ε + m) 2ε(ε + m) Выражение в фигурных скобках перепишем в виде   i[p0 × p]σ p0 × p q2 + = A + i nσ B , n = 0 , 1− 4ε(ε + m) 2ε(ε + m) |p × p| f =−

где n — нормаль к плоскости рассеяния. Если выбрать n в качестве оси квантования спина (оси z), то ϕ+ f (A + i nσ B) ϕi 6= 0,

только если начальные и конечные проекции спинов на эту ось совпадают, mi = mf . Это делает тривиальным усреднение сечения по поляризациям начального электрона и суммирование по поляризациям конечного электрона, так что 2 + 1 ϕ (A + i nσ B) ϕi 2 = A2 + B 2 = 1 − v sin2 (θ/2) , Σ m ,m i f f 2 c2 где θ — угол рассеяния. В итоге, сечение рассеяния равно (в обычных единицах)   dσ e4 c4 v2 2 = 2 4 1 − 2 sin (θ/2) . dΩ c 4ε v sin4 (θ/2)

Такое релятивистское обобщение формул §20 может быть получено с помощью нестационарной теории возмущений. 5

48

§34. Тонкая структура уровней атома водорода Если ограничиться в выражении для матричного элемента первой релятивистской поправкой, положив в ней ε = mc2 , то получим   4πe2 e2 ~2 1 i[q × p]σ U(q) ≈ − 2 + π 2 − q c 2m2 ~m2 q2 6 (опускаем для кратности ϕ+ f и ϕi ). Отличия фурье-образа этой величины , равного

e2 ~2 e2 U(r) = − + 2 2 r mc



π lσ δ(r) + 3 2 4r



,

от кулоновской потенциальной энергии (−e2 /r) составляют релятивистскую поправку к взаимодействию электрона с ядром: Vˆ1 =

e2 ~2 πe2 ~2 lσ + δ(r) . 4m2 c2 r 3 2m2 c2

Первое, спин-орбитальное слагаемое в этой поправке можно качественно интерпретировать, как взаимодействие магнитного момента электрона µ = ee ~σ/(2mc) в его собственной системе с магнитным полем B = −(v/c) × E, возникающим в этой системе из-за движении электрона в электрическом поле ядра E = ep r/r 3 (здесь ep и ee = −ep — заряд протона и электрона). Второе, δ-функционное слагаемое в поправке также имеет спиновое происхождение и является чисто квантовым. Учитывая найденную ранее поправку 2

(ˆ p2 ) Vˆ2 = − 3 2 8m c к зависимости энергии от импульса (см. §29), получаем следующее выражение для релятивистского возмущения в кулоновской задаче: 2

e2 ~2 ˆ πe2 ~2 (ˆ p2 ) lσ + Vˆ = Vˆ1 + Vˆ2 = − 3 2 + δ(r) . 8m c 4m2 c2 r 3 2m2 c2

(34.1)

Состояния с одним и тем же l, но с разными полными моментами j не смешиваются этим возмущением, поскольку оно сохраняет полный момент. Состояния с одним и тем же j, но с разными l = j ± 12 не смешиваются возмущением Vˆ , поскольку оно сохраняет четность, а четность таких состояний противоположна. Таким образом, при вычислении релятивистской поправки к энергии можно пользоваться невырожденной теорией возмущений. Среднее значение первого слагаемого было вычислено в аналогичной задаче для уравнения Клейна–Фока–Гордона (см. §29). 6

При вычислении фурье-образа используем интегралы: Z Z Z 3 4π iqr d3 q 1 r 1 4πiq iqr d3 q iqr d q e = , = −∇ = − e , e = δ(r) . q2 (2π)3 r r3 r q2 (2π)3 (2π)3 49

Среднее значение второго слагаемого отлично от нуля лишь при l = 0: hnjl| δ(r) |njli = | ψ(0) |2 δl0 . Среднее значение последнего слагаемого отлично от нуля лишь при l 6= 0: * +    ˆlσ 3 1 njl 3 njl = j(j + 1) − l(l + 1) − · (1 − δl0 ) . r 4 r3  3d5/2  3p3/2 , 3d3/2 n = 3  3s1/2 , 3p1/2 2p3/2 2s1/2 , 2p1/2

2s1/2



n=2

}n = 1

Тонкая структура уровней атома водорода согласно уравнению Дирака.

где

Величины | ψ(0) |2 и h1/r 3 i удобно вычислить, воспользовавшись тождеством   d ˆr , hnjl| Cˆ |njli = 0 , Cˆ = ,H dr 2 ˆr = − ~ H 2m



d2 2 d l(l + 1) + − 2 dr r dr r2



−

e2 r

— гамильтониан радиального движения. Явное вычисление коммутатора дает ~2 d ~2 l(l + 1) e2 Cˆ = − + 2. mr 2 dr mr 3 r Первое слагаемое в правой части можно преобразовать к виду   Z Z ∞ 1 d ∗ 1 dψ 2 = dΩ ψ r dr = r 2 dr r 2 dr 0 Z Z ∞ 1 d|ψ|2 = dΩ dr = −2π|ψ(0)|2 . 2 dr 0

Напомним, что ψ(0) 6= 0 лишь для l = 0. Таким образом, из тождества hnjl| Cˆ |njli = 0 находим  2   2 2π~2 ~ l(l + 1) e 2 |ψ(0)| δl0 + (1 − δl0 ) = 3 m mr r2

или (с учетом найденного ранее (см. (17.2)) значения h1/r 2i) hnjl| δ(r) |njli = | ψ(0) |2 = 50

1 δl0 , πa3B n3



1 njl 3 r

 1 njl = (1 − δl0 ). 3 3 aB n l(l + 1)(l + 1/2)

В итоге поправка к энергии равна ∆Enj

me4 α2 =− 2 3 2~ n



1 3 − j + 1/2 4n



.

Видно, что сохраняется вырождение уровней с одинаковыми n и j, но разными l.

Задачи 34.1. Найти расщепление α-линии серии Бальмера (переход с уровня n = 3 на уровень n = 2) с учетом тонкой структуры для уравнения Клейна–Фока–Гордона и уравнения Дирака. 34.2. Оценить с помощью соотношения неопределенности критическое значение Zc заряда точечного ядра, при котором в релятивистской кулоновской задаче возникает падение на центр. 34.3. Пусть два точечных ядра с зарядами Z1 и Z2 находятся на расстоянии R друг от друга. При этом Z1 < Zc , Z2 < Zc , Z1 + Z2 > Zc . Оценить, при каком R в задаче возникает падение на центр.

§35. Рождение электрон-позитронных пар постоянным внешним электрическим полем Рождение электрон-позитронных пар внешним электрическим полем — замечательное предсказание релятивистской квантовой механики (Заутер, 1931; Швингер, 1951). Напряженности электрического поля, достаточно большие для реального наблюдения эффекта, достигаются в столкновениях атомных ядер с большими зарядами при сближении ядер на малые расстояния. Мы рассмотрим модель явления, допускающую точное решение: случай однородного постоянного внешнего поля E. Будет использовано представление о дираковском море, это резко упрощает решение задачи. Начнем с расчета основной, экспоненциальной зависимости эффекта. Направим ось z вдоль постоянной силы F = −eE = (0, 0, eE), тогда потенциальная энергия U = −eEz (в этом параграфе e обозначает элементарный заряд, так что заряд электрона p равен (−e)). При движении в таком поле сохраняется полная энергия E = ± m2 c4 + p2 c2 − eEz и поперечный импульс p⊥ = (px , py , 0). В этом поле обычная дираковская щель (рис. 12) перекашивается (рис. 13). В результате электрон, который имел отрицательную энергию в отсутствие поля, может теперь протуннелировать сквозь щель (см. пунктирную линию на рис. 13) и уйти на бесконечность как обычная частица. Конечно, дырка, возникшая таким образом, — это неpчто иное как позитрон. Пусть E = − m2 c4 + p2 c2 − eEz — энергия частицы дираковского моря. Продольный импульс частицы pz (z) =

1 c

q

(eEz + E)2 − m2 c4 − p2⊥ c2 51

Рис. 13: Изменение дираковской щели при наличие постоянного электрического поля обращается в нуль при

p m2 c4 + p2⊥ c2 −E z1,2 = ∓ . eE eE Исходная частица из дираковского моря входит в барьер в точке z = z1 и выходит из него при z = z2 . Подбарьерное действие легко находится Z z2 π (m2 c2 + p2⊥ )c S= | p(z) | dz = . 2 eE z1 В итоге экспоненциальный фактор в вероятности W подбарьерного перехода таков:   π (m2 c2 + p2⊥ )c −2S/~ W ∼e = exp − . (35.1) eE~

Заметим, что внешнее поле можно считать постоянным, если оно слабо меняется − 2 на подбарьерном пути. Отношение l/λ e длины этого пути l = z2 − z1 ∼ mc /(eE) к комптоновской длине волны электрона − λe = ~/(mc) равно по порядку величины подбарьерному действию S в единицах ~, так что в квазиклассической ситуации l− λe . Вычислим теперь предэкспоненциальный фактор в вероятности рождения пар. Экспонента (35.1) — это вероятность того, что одна частица из дираковского моря, которая подходит слева к барьеру (см. рис. 13), протуннелирует сквозь него, став, таким образом, реальным электроном. Рассмотрим исходные частицы в элементе импульсного пространства d3 p = d2 p⊥ dpz , плотность которых равна dn = 2

d3 p , (2π~)3

где множитель 2 соответствует двум возможным проекциям спина электрона. В единицу времени через площадку dx dy слева от барьера пройдет dN˙ = djz (z) dx dy 52

частиц, где ток djz (z) = vz (z) dn . В это выражение входит величина vz (z)dpz =

∂E dpz = dE , ∂pz

где частная призводная берется при фиксированных значениях z и p⊥ . С другой стороны, как нетрудно сообразить, интервал энергий туннелирующих частиц dE прямо связан с интервалом dz продольных координат точек, в которых частицы входят в барьер: dE = eE dz (с точностью до несущественного здесь знака). Чтобы получить полное число пар, рожденных в единицу времени в объеме dV = dx dy dz, экспоненту (32.1) следует домножить на dN˙ . В итоге полное число пар, рожденных в единицу времени в единице объема, равно   Z d 2 p⊥ π(m2 c2 + p2⊥ ) c dW = 2 eE exp − . P1/2 ≡ dt dV (2π~)3 eE~ Интегрируя это выражение по поперечным импульсам, находим окончательный ответ:   e2 E 2 πE0 m2 c3 P1/2 = exp − , E = . (35.2) 0 4π 3 ~2 c E e~

Мы снабдили вероятности P в формулах, полученных выше, индексом 1/2, чтобы подчеркнуть, что результат относится к частицам со спином половина. Разумеется, понятие моря Дирака, а с ним и наш подход, неприменимы сами по себе к рождению пар заряженных бесспиновых частиц, которые описываются уравнением Клейна–Фока–Гордона. Но в используемом квазиклассическом приближении вероятности рождения частиц разного спина отличаются лишь числом спиновых состояний. Таким образом, вероятность рождения скалярных частиц, вычисленная в этом приближении, вдвое меньше:   πE0 e2 E 2 exp − . (35.3) P0 = 8π 3 ~2 c E Соответствующие точные результаты для постоянного электрического поля таковы:   ∞ e2 E 2 X 1 πE0 P1/2 = exp −n , 4π 3 ~2 c n=1 n2 E   ∞ e2 E 2 X (−1)n−1 πE0 P0 = exp −n . 8π 3 ~2 c n=1 n2 E

Разумеется, учет высших членов, с n ≥ 2, в этих суммах осмыслен лишь для очень сильных электрических полей, при E&E0 . Для меньших полей формулы (32.2) и (32.3) верны количественно.

Задача 35.1. Чему равно (в эВ/см) критическое поле E0 = m2 c3 /(e~), при котором исчезает экспоненциальное подавление рождения пар внешним полем? 53

54

Глава IX АТОМ §36. Оценка для атома гелия При описании состояния сложного атома используются различные приближенные методы. Мы начнем с простых оценок для атома гелия, гамильтониан которого без учета релятивистских поправок имеет вид H=

p21 p2 2e2 2e2 e2 + 2 − − + . 2m 2m r1 r2 |r1 − r2 |

Оценим с помощью соотношения неопределенностей энергию основного состояния атома гелия. Естественно принять импульсы обоих электронов равными p1 = p2 , а радиус-векторы равными и противоположными по направлению, r1 = −r2 . Тогда для энергии получаем следующую оценку : p2 7 e2 − . E ∼ m 2r Минимизируя это выражение с учетом соотношения неопределенностей, находим Emin ∼ −

49 Ry = −6, 1 Ry. 8

Это не так далеко от экспериментального значения Eexp = −5, 808 Ry.

§37. Вариационный принцип 37.1. Идея метода ˆ ψ = E ψ миожет быть получено из условия минимума Уравнение Шредингера H функционала Z ˆ − E)ψ dx. ψ ∗ (H

Иначе это можно сформулировать как условие минимума функционала Z ˆ dx ψ ∗ Hψ при дополнительном условии

Z

ψ ∗ ψ dx = 1, 55

которое учитывается с помощью лагранжева множителя E. Волновая функция основного состояния ψ0 соответствует абсолютному минимуму функционала. Волновая функция первого возбужденного состояния ψ1 следует искать на классе функций, ортогональных ψ0 . Волновая функция второго возбужденного состояния ψ2 должна быть ортогональна ψ0 и ψ1 , и т. д.

37.2. Прямой вариационный метод Этот метод состоит в отыскании минимума функционала Z ˆ ψ(x, β) dx E(β) = ψ ∗ (x, β) H на классе пробных функций заданного вида ψ(x, β), зависящих от параметров β, и сводится фактически к отысканию минимума функции E(β). Найденное таким образом приближенное значение E лежит, очевидно, не ниже истинного E0 . Поясним сказанное следующим. Пусть ψn (x) и En — точные собственные функции ˆ т. е. и собственные значения гамильтониана H, ˆ ψn (x) = En ψn (x) . H Разложим пробную функцию ψ(x, β) по этим собственным функциям X ψ(x, β) = cn (β) ψn (x) . n

Используя это разложения, мы получим X E(β) = En |cn (β)|2 . n

Коэффициенты cn (β) в силу условия нормировки удовлетворяют соотношению X |cn (β)|2 = 1 . n

Выразим отсюда величину |c0 (β)|2 = 1 −

X n>0

|cn (β)|2

и перепишем выражение для средней энергии в виде X E(β) = E0 + (En − E0 ) |cn (β)|2 . n>0

Отсюда видно, что E(β) ≥ E0 и что E(β) = E0 , если cn (β) = δn0 . Найдем прямым вариационным методом энергию основного состояния гелиеподобного иона с зарядом ядра Ze. Гамильтониан системы (без учета релятивистских поправок) имеет вид ˆ 21 ˆ 22 p Ze2 Ze2 e2 p ˆ H= + − − + . 2m 2m r1 r2 |r1 − r2 | 56

(37.1)

Нормированную пробную функцию выберем в виде s ψ(r1 , r2 ) = ψ(r1 ) ψ(r2 ),

ψ(r) =

β 3 −βr/aB e , πa3B

где ψ(r) соответствует волновой функции основного состояния водородоподобного атома с зарядом ядра βe. Иными словами, точную волновую функцию системы двух взаимодействующих электронов в поле ядра с зарядом Ze мы приближенно заменили волновой функцией, соответствующей двум невзаимодействущим электронам в поле ядра с зарядом βe. Следует ожидать, что вариационный параметр β, имеющий смысл эффективного заряда, окажется меньше Z вследствие экранировки одним из электронов поля ядра для другого электрона. Вычисление (см. [1], задача 1 к §69) дает   5 2 E(β) = 2 β − 2Zβ + β Ry . 8 Минимум этой функции  2 5 E0 = −2 Z − Ry 16 достигается при 5 . β=Z− 16 Для гелия (Z = 2) получаем E0 = −5, 695 Ry. Превышение над истинным значением (E0 = −5.808 Ry) всего 1,9 %.

37.3. Самосогласованное поле (метод Хартри-Фока) В этом методе для нахождения волновых функций применяется вариационный принцип с учетом правильной симметрии волновых функций (Фок, 1930). Поясним суть этого метода на примере двухэлектронной задачи с гамильтонианом (37.1). Этот гамильтониан не зависит от спинов электоронов, поэтому полная волновая функция системы может быть представлена в виде произведения спиновой и координатной функций: ψ(r1 , σ1 , r2 , σ2 ) = ψ(r1 , r2 ) χ(σ1 , σ2 ) . (37.2) Полная волновая функция ψ(r1 , σ1 , r2 , σ2 ) должна быть антисимметрична относительно перестановки координат и спиновых перменных электронов. Так как спиновая функция χ(σ1 , σ2 ) является симметричной (антисимметричной) для полного спина S = 1 (S = 0), то координатная функция ψ(r1 , r2 ) должна быть соответственно антисимметричной или симметричной для триплетного (S = 1) или сиглетного (S = 0) состояний. При этом дополнительно предполагается, что можно приближенно описывать состояния одного электрона как независимой частицы в некотором эффективном поле ядра, частично экранированной вторым электроном. В итоге координатная пробная функция выбирается в виде 1 ψ(r1 , r2 ) = √ [ψa (r1 )ψb (r2 ) ± ψa (r2 )ψb r1 )] , 2

(37.3)

где ψa,b (r) — волновые функции одночастичной задачи в эффективном потенциале, который будет получен ниже, и верхний знак соответствует синглетному, а нижний 57

— триплетному состояниям. Гамильтониан (37.1) не имеет прямой зависимости от спиновых состояний электронов, но энергия атома, конечно, зависит от симметрии координатной волновой функции, а следовательно (вследствие принципа Паули), и от полного спина S. Действительно, для среднего значения энергии по состоянию (37.2)–(37.3) получим D E ˆ | ψ(r1, σ1 , r2 , σ2 ) = Ea + Eb + C ± Q , E = ψ(r1 , σ1 , r2 , σ2 ) | H (37.4) где слагаемые

 2 ~2 Ze Ea,b = ψa,b (r) − ∆− ψa,b (r) (37.5) 2m r соответствуют энергии одного электрона в поле ядра, слагаемое C соответствует классическому взаимодействию (отталкиванию) электронов Z dq(r1 ) dq(r2) C= , dq(r1 ) = e|ψa (r1 )| d3 r1 , dq(r2) = e|ψb (r2 )| d3 r2 , (37.6) |r1 − r2 | 

а слагаемое ±Q с

Q = Re

Z

e2 ψ ∗ (r1 )ψb (r1 ) ψb∗ (r2 )ψa (r2 ) d3r1 d3 r2 |r1 − r2 | a

(37.7)

соответствует так называемому обменному взаимодействию, не имеющему классического аналога. Таким образом, энергия E атома оказывается зависящей от полного спина S системы двух электронов. Для основного состояния гелия оба электорона находятся в синглетном состоянии с одной и той же координатной функцией ψ(r), поэтому хартри-фоковская пробная функция оказывается симметричной: ψ(r1 , r2 ) = ψ(r1 )ψ(r2 ). Вариация функционала энергии по ψ ∗ (r1 ) дает уравнение Z   ˆ − E ψ(r1 )ψ(r2 ) = 0 , d3 r2 ψ ∗ (r2 ) H или

  ~2 ∆ + Uэфф (r) ψ(r) = E ψ(r) , (37.8) − 2m где   Z 2e2 ~2 0 2e2 e2 3 0 ∗ 0 Uэфф (r) = − + d r ψ (r ) − ∆ − 0 + ψ(r0 ) . (37.9) 0 r 2m r |r − r | Это сложное интегро-дифференциальное уравнение решается численно. Эффективный потенциал в этой задаче Uэфф (r) определяется через электронные волновые функции, и он же определяет уровни энергии и волновые функции одноэлектронной задачи. Такое приближение называется приближением самосогласованного поля. Стартуя от некоторой пробной волновой функции ψ(r), находим с помощью уравнения (37.9) эффективный потенциал Uэфф (r), который затем используется в уравнении (37.8) для нахождения волновой функции следующего приближения. Затем процедура повторяется, пока не возникает с достаточной точностью совпадение последовательно определенных эффективных потенциалов. Более сложным оказывается рассмотрения возбужденных уровней, когда функции ψa (r) и ψb (r) могут быть различными (см. [1], §69). 58

Задачи 37.1∗ . Укажите классический аналог обсуждаемого варационного принципа. 37.2. Найти по теории возмущений поправку к энергии атома He за счет взаимодействия электронов для состояний: 1s2 , 2s2 , 1snl, 1s2s.

§38. Метод Томаса–Ферми Для атома с большим числом электронов Z  1 можно использовать квазиклассическое приближение, позволяющее получить количественное описании сложного атома “в среднем”. Начнем с простых оценок. С ростом заряда ядра, а, следовательно, и числа электронов Z, радиус и объем атома существенно не изменяются. Дело в том, что размер атома определяется внешним электроном, который находится в экранированном поле ядра. Это поле оказывается того же порядка, что и поле в атоме водорода. Таким образом, размер любого атома порядка боровского радиуса aB , а объем атома с Z электронами порядка a3B . Однако, распределение электронов внутри атома неравномерное и большинство их находится не в объеме a3B , а в меньшем объеме a3B /Z. Поэтому естественным размерным параметром расстояний в атоме является величина aB /Z 1/3 . Покажем, что большинство электронов в атоме с большим Z сосредоточено на расстояниях hri ∼ aB /Z 1/3 , заметно меньших aB . Средний радиус hri можно оценить из следующих соображений. В доступном фазовом объеме ∆Γ ∼ hri3hpi3 имеется ∼ ∆Γ/~3 ячеек, занятых Z электронами, поэтому  3 hrihpi ∼Z. (38.1) ~ С другой стороны, по теореме о вириале средняя кинетическая энергия одного электрона T и его средняя потенциальная энергия U по модулю сравнимы, значит для среднего импульса электрона мы имеем оценку p p √ (38.2) hpi ∼ mT ∼ m|U| ∼ mZe2 /hri .

Сравнивая (38.1) и (38.2), получаем оценки: hri ∼

aB ~ , hpi ∼ Z 2/3 . 1/3 Z aB

Отсюда средний момент импульса электрона имеет порядок hli ∼

hri · hpi ∼ Z 1/3 . ~

Полная энергия атома примерно в Z раз отличается от средней потенциальной энергии одного электрона, т. е. Ze2 E ∼ −Z · ∼ −Z 7/3 Ry . hri Квазиклассическое расссмотрение оказывается неприменимым на расстояниях порядка первой боровской орбиты. Ее радиус ∼ aB /Z, поскольку заряд ядра здесь 59

неэкранирован. Поэтому энергия электронов на этой орбите ∼ −Z 2 Ry. Эта энергия имеет величину порядка 1/Z 1/3 от полной энергии атома. Квазиклассическое расмотрение неприменимо также на границе атома, на расстояниях ∼ aB , где располагаются немногие внешние электроны. Перейдем к выводу уравнения Томаса-Ферми (1927). В сложном атоме совокупность электронов можно приближенно рассматривать как газ невзаимодействующих фермионов при нулевой температуре, находящихся во внешнем самосогласованном потенциале ϕ(r). Этот потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ∆ϕ = −4π%, где плотность зарядов % определяется концентрацией электронов n(r) и точечным ядром с зарядом Z (ниже в этом разделе используем атомную систему единиц), т.е. ∆ϕ = −4π [−n(r) + Zδ(r)] .

(38.3)

Электроны занимают все ячейки фазового пространства вплоть до такого максимального значения импульса p0 , что соответствующая энергия оказывается равной нулю: p20 − ϕ = 0. (38.4) 2 В итоге в объеме dV вблизи точки r находится dN(r) = n(r) dV = 2

dΓ (2π)3

электронов, где dΓ = dV 34 πp30 — элемент фазового объема, (2π)3 — объем фазовой ячейки, а множитель 2 учитывает два возможных спиновых состояния электрона. Из уравнений (38.3), (38.4) можно найти связь между концентрацией электронов и потенциалом: √ p30 2 2 3/2 n(r) = 2 = ϕ (r) . (38.5) 3π 3π 2 Подставляя это соотношение в (38.3), получим уравнение для определения потенциала. Т.к. при r → 0 потенциал стремится к величине Z/r, соответствующей потенциалу неэкранированного ядра, то удобно ввести новую функцию χ, такую что ϕ=

Z χ, r

для которой из уравнения Пуассона получаем уравнение √ 2 d χ 8 2Z 3/2 r 1/2 2 = χ dr 3π с граничными условиями: χ → 1 при r → 0 и χ → 0 при r → ∞. Если теперь ввести новую переменную x, такую что x r = λ 1/3 , λ = Z то получим уравнение x1/2



3π √ 8 2

2/3

d2 χ = χ3/2 , dx2 60

≈ 0.885 ,

(38.6)

в котором зависимость от Z исчезла. Это уравнение решается численно. Функция χ(x) быстро падает с ростом аргумента: χ(0) = 1, χ(1) = 0, 42, χ(10) = 0, 024. Зная χ(x), найдем концентацию электронов √  3/2 2 2 Z n(r) = χ(x) . 3π 2 r Используя эту функция можно найти, например, радиус R1/2 сферы, внутри которой сосредоточена половина всех электронов. Он определится из уравнения Z

R1/2

n(r) dV =

0

1 Z. 2

Численное решение этого уравнения дает значение (в обычных единицах) R1/2 = 1, 33

aB , Z 1/3

что находится в согласии с приведенными в начале этого раздела оценками.

Задачи 38.1. В модели Томаса–Ферми для нейтрального атома выразить через электронную плотность n(r) среднее расстояние электрона от ядра, кинетическую энергию электронов, энергию их взаимодействия друг с другом и с ядром. 38.2∗ . Электронный газ большой плотности находится внутри непроницаемой сферы. Кулоновское отталкивание прижимает электроны к стенке. Оценить толщину слоя, в котором находятся электроны.

§39. Структура гамильтониана атома В сложных атомах гамильтониан системы имеет вид ˆ = H

Z X X Ze2 X ˆ 2a p e2 ˆ + Uкул + Vрел , Uкул = − + , 2m ra | ra − rb | a=1 a a
где потенциал Uкул учитывает кулоновское притяжение электронов к ядру и взаимное отталкивание электронов, а Vˆрел учитывает релятивистские эффекты. При введении самосогласованного поля этот гамильтониан можно представить в виде суммы трех слагаемых ˆ =H ˆ сам + Vˆост + Vˆрел . H ˆ сам отвечает самосогласованному центральному полю Здесь первое слагаемое H Vсам (r), в котором движутся невзаимодействующие электроны, ˆ сам = H

Z X a=1

ˆ 2a p ˆ ˆ Ha , Ha = + Vсам (ra ) . 2m 61

В качестве примера укажем самосогласованное поле в приближении Томаса-Ферми: Vсам (r) = −


Ze2 χ Z 1/3 r/(0, 885 aB) , r

где функция χ(x) определяется из уравнения (38.6). В поле Vсам (r) определяются одноэлектронные уровни энергии Enl , которые и заполняются электронами с учетом принципа Паули. Возникает определенная электронная конфигурация, которая в грубом приближении описывает уровни энергии атома. Остаточное кулоновское взаимодействие между электронами X Vˆост = Uкул − Vсам (ra ) a

учитывает отличие реального поля от самосогласованного поля. В таком поле сохраняется полный орбитальный момент импульса L и его проекция ML , а также полный спин S и его проекция MS . Как и в случае самосогласованного поля, остаточное взаимодействие между электронами не имеет прямой зависимости от спиновых состояний электронов, но оно, конечно, зависит от симметрии координатной волновой функции, а следовательно (вследствие принципа Паули), и от полного спина S. Таким образом, с учетом Vˆост уровни энергии атома ESL зависят от S и L, но не зависят от проекций MS и ML , а потому не зависит и от полного момента J = L + S. Порядок величины остаточного взаимодействия — обычная атомная энергия, Ry; однако численно оно заметно меньше. Последнее слагаемое Vˆрел определяет релятивистские эффекты — ср. формулу (34.1) для релятивистских поправок в атоме водорода. Наиболее важным из этих эффектов является спин-орбитальное взаимодействие, имеющее вид X Vˆls = A(ra ) ˆlaˆsa , (39.1) a

где ˆla и ˆsa — операторы орбитального и спинового момента электрона, а функция A(ra ) приближенно выражается через потенциальную энергию самосогласованного поля. Для одного электрона в кулоновом поле с зарядом Ze эта функция согласно §34 равна Ze2 ~2 1 A(r) = . (39.2) 4m2 c2 r 3 Спин-орбитальное взаимодействие релятивистское по природе и составляет поэтому величину ∼ (v/c)2 в атомных единицах. Это взаимодействие пропорционально r −3 и формируется на малых расстояниях ∼ aB /Z от ядра, где кулоново поле ядра неэкранировано и v/c ∼ Zα. Таким образом, относительная величина спин-орбитального взаимодействия ∼ Z 2 α2 . В тяжелых атомах оно сравнивается с остаточным кулоновским взаимодействием.

§40. Таблица Менделеева См. [1], §73. 62

§41. Атомные термы 41.1. Случай LS связи В легких атомах, где остаточное кулоновское взаимодействие доминирует по сравнению со спин-орбитальным взаимодействием, |Vост |  |Vрел |, сохраняющимися величинами являются полный спин S и полный орбитальный момент импульса L. При этом разность уровней энергии с различными S и L велика по сравнению с интервалами тонкой структуры, определямыми возмущением Vˆls . В этом случае говорят об LS-типе связи. При определении низшего уровня ESLJ для данной электронной конфигурации имеют место эмпирические Правила Хунда: 1. Состояние с низшей энергией соответствует максимальному значению S. Это правило связано с тем, что более симметричной спиновой функции соответствует более антисимметричная координатная функция и более слабое остаточное кулоновское отталкивание электронов. Замкнутая оболочка (основное состояние благородных газов) — синглет, у которого S = 0. 2. Среди термов с максимальным значением S состоянию с низшей энергией соответствует максимальное значение L (при данном S). Ниже будет показано на примере конфигурации p2 , что при б´ольшем L кулоновское отталкивание электронов слабее. 3. Энергия состояния тем ниже, чем меньше J для оболочки, заполненной не более чем наполовину (при данных S и L), т.е. для оболочки с числом электронов < (2l + 1). В такой оболочке энергия растет с ростом J, что является следствием роста энергии при увеличении j для одного электрона. Для оболочки, заполненной наполовину или более чем наполовину (при данных S и L), т.е. для оболочки с числом электронов ≥ (2l + 1), энергия состояние тем ниже, чем больше J. Это связано с тем, что для дырки знак спин-орбитального взаимодействия обратный. Поэтому если оболочка заполнена больше чем наполовину, то энергия с ростом J падает. (Кстати, отсюда ясно, что для оболочки, заполненной ровно наполовину, спин-орбитальное расщепление в первом порядке отсутствует.) Последнее правило Хунда связано с учетом спин-орбитального взаимодействия. Усредняя возмущение (39.1) по состояниям с определенными значениями S и L, мы получим оператор возмущения в виде ˆS ˆ, hLS| Vˆls |LSi = ALS L где постоянная ALS ≷ 0 для электронной оболочки, заполненной менее (более) чем наполовину. Тонкую структуру уровней найдем, используя теорию возмущений, причем в качестве волновых функций нулевого приближения можно взять состояния с определенным значением полного момента J: ˆS ˆ |LSJi = ESLJ = ESL + ALS hLSJ| L 1 [J(J + 1) − L(L + 1) − S(S + 1)] . 2 Рассмотрим пример атома гелия. Его основное состояние 1s2 симметрично по координатам. Поэтому оно, в силу принципа Паули, антисимметрично по спинам, = ESL + ALS

63

т. е. является синглетом 1 S 0 . В первой возбужденной конфигурации 1s2s триплетное ортосостояние 3 S 1 лежит ниже синглетного парасостояния 1 S 0 . Действительно, волновая функция 3 S 1 симметрична по спинам, и поэтому антисимметрична по координатам, что уменьшает кулоновское отталкивание электронов. Во втором возбужденном состоянии 1s2p снова триплетное состояние 3 P лежит ниже синглетного 1 P 1 по той же причине.  1 P1      3 1s2p P0  3  P1    3 P2 1s2s



1 3

1s2 {

1

S0 S1

S0

Схема уровней атома гелия. Необычная последовательность уровней тонкой структуры 3 P 2 , 3 P 1 , 3 P 0 определяется совокупностью релятивистских эффектов, таких как спин-орбитальное взаимодействие и спин-спиновое взаимодействие (соответствующее взаимодействию магнитных моментов электронов).

41.2. Случай jj связи Рассмотрим теперь противоположный случай, когда спин-орбитальное взаимодействие существенно больше остаточного, |Vост |  |Vрел |. Без учета Vост гамильтониан атома соответствует набору невзаимодействующих электронов, каждый из которых движется в потенциале Vсам (ra ) + A(ra ) ˆlaˆsa . В таком поле сохраняется полный момент импульса отдельного электрона j = l ± 1/2 и его проекция mj . Из состояний |nljmj i отдельных электронов строится (с учетом принципа Паули) состояние атома с определенными J и MJ . По этим последним состояниям и находятся поправки к энергии атома за счет возмущения Vост . Следует отметить, что случай jj связи в чистом виде не встречается, для тяжелых атомов имеется промежуточная ситуация, когда Vост и Vls имеют близкий порядок величины.

41.3. Пример: конфигурация p2 Случай LS связи. По принципу Паули, состояние с S = 1, симметричное по спиновым переменным, антисимметрично по координатам и поэтому имеет L = 1. По аналогичной причине синглетные состояния с S = 0 имеют L = 0, 2. В силу первого и третьего правил Хунда три нижних состояния — это 3 P 0,1,2 . 64

Что касается синглетных уровней, 1 S 0 и 1 D 2 , то их радиальные волновые функции одинаковы (мы пока пренебрегаем остаточным кулоновым взаимодействием между электронами). Сравним поэтому их угловые функции ψLM . Угловая функция a-го p-электрона Y1m (n(a) ) зависит от компонент единичного радиус-вектора n(a) = ra /ra (см. §14). Волновая функция состояния 1 S 0 , естественно, является скаляром √ 3 (1) (2) ψ00 = n ·n . 4π В качестве представителя 1 D 2 состояний выберем, например, состояние с Lz = +2, это просто произведение одноэлектронных волновых функций, каждая из которых соответствует lz = +1, ψ22 = Y11 (n(1) ) · Y11 (n(2) ) =



3 (1) (2) n(1) · n(2) . x + iny x + iny 8π

Наиболее существенный вклад в энергию отталкивания электронов e2 /|r1 − r2 | дает область близких значений их координат, когда r1 ≈ r2 . Рассмотрим предельный случай, когда координаты электронов совпадают. При n(1) = n(2) отношение 3 |ψ22 |2 = (n2x + n2y )2 . 2 |ψ00 | 4 Даже максимальное значение этого отношения, 3/4, меньше 1. Отсюда ясно, что кулоновское отталкивание в D-состоянии меньше, чем в S, так что энергия D-состояния, действительно, меньше. Итак, в LS схеме расположение уровней в порядке возрастания энергии таково: 3

P 0,1,2 ;

1

D2 ;

1

S0.

(41.1)

Случай jj связи. Чтобы найти расположение уровней конфигурации p2 при больших Z, когда спин-орбитальное взаимодействие становится сравнимым с остаточным кулоновским взаимодействием, удобно рассмотреть сначала случай предельно большого спин-орбитального взаимодействия, когда электрон характеризуется лишь полным моментом j, равным для p-электрона 1/2 или 3/2. Состояние двух p-электронов будем описывать набором (j1 j2 )J , в котором полный момент J = 0, 1, 2. Тогда возможные состояния таковы:           11 13 13 33 33 ; , ; , . (41.2) 22 0 22 1 22 2 22 0 22 2 Действительно, при j1 = j2 = 1/2 нельзя организовать состояние с J = 1, так как состояние с Jz = ±1 невозможно в силу принципа Паули. По такой же причине (невозможно получить Jz = ±3) состояния j1 = 3/2, j2 = 3/2 не складываются в J = 3. Состояние ( 32 32 ) c Jz = +1 можно организовать единственным образом: из одноэлектронных проекций −1/2
и +3/2. Но одно такое состояние должно относиться к J = 2, так что и состояние 32 32 1 не осуществляется. Поскольку электрон с б´ольшим j имеет б´ольшую энергию, то последовательность уровней в порядке возрастания энергии прямо соответствует (38.3), причем запятой разделены состояния, вырожденные по энергии. 65

Подчеркнем, что число состояний с заданным полным моментом J одно и то же в любой схеме сложения моментов. Сравнение (41.1) с (41.2) показывает, что в случае, промежуточном между LS связью и jj связью, уровни располагаются в следующем порядке: J = 0;

J = 1;

J = 2;

J = 2;

J = 0.

Здесь состояния с J = 0 — ортогональные линейные комбинации 3 P 0 и 1 S 0 или     11 33 и . 22 0 22 0 Аналогично, состояния с J = 2 — ортогональные линейные комбинации 3 P 2 и 1 D 2 или     13 33 и . 22 2 22 2

Задачи 41.1. Найти возможные термы конфигураций электронов nsn0 p; npn0 p; p3 ; d2 . 41.2. Квантованные колебания поверхности атомного ядра имеют момент 2. Какие полные моменты допустимы для состояний, в которых имеются два или три таких кванта? Чему равно полное число состояний системы N квантов (с учетом разных значений проекции полного момента)? 41.3. Найти термы и магнитные моменты основных состояний атомов P, Cr, S, V, Al, Fe, Cl, Ti. 41.4. Рассмотрим следующую модель. Пусть электроны находятся в притягивающем кулоновском (или ньютоновом) поле ядра, а остаточное взаимодействие между ними не отталкивающее, а притягивающее (гравитационный атом). Изменятся ли для такой системы первое и второе правила Хунда? 41.5∗ . Можно ли считать водородоподобным спектр высоковозбужденных (n  1) состояний внешнего электрона в многоэлектронном атоме? Сравнить ширину “полосы” состояний, имеющих данное n, но разные l, с расстоянием между центрами “полос” n и n − 1.

§42. Атом в магнитном поле Выберем для постоянного и однородного внешнего магнитного поля B = (0, 0, B) калибровку, в которой векторный потенциал A = 21 B ×r. Этот потенциал коммутирует с оператором импульса, при этом ˆ A = Aˆ p p=

1 1 ˆ ) = B ~ˆl . B (r × p 2 2

В гамильтониане Паули (24.1) для одного электрона во внешнем магнитном поле слагаемые, линейные Vˆ1 и квадратичные Vˆ2 по полю, имеют вид e e~ e~ ˆ Vˆ1 = − (ˆ pA + Aˆ p) − σB = − (l + σ)B , 2mc 2mc 2mc e2 e2 2 V2 = A = [r × B]2 . 2mc2 8mc2 66

Для многоэлектронного атома после суммирования по всем электронам получаем e~ X ˆ ˆ + 2S) ˆ B = µ B (J ˆ + S) ˆ B, Vˆ1 = − (la + σ a ) B = µB (L 2mc a e2 X Vˆ2 = [ra × B]2 , 8mc2 a ˆ S, ˆ J ˆ — суммарный орбитальный, спиновый и полный моменты атома. где L,  mj = +3/2,    mj = +1/2, p3/2 mj = −1/2,    mj = −3/2, p1/2



mj = +1/2, mj = −1/2,

Аномальный эффект Зеемана для одного p-электрона.

ml = +1, ml = 0, ml = ±1, ml = 0, ml = −1,

ms = +1/2 ms = +1/2 ms = ∓1/2 ms = −1/2 ms = −1/2

Нормальный эффект Зеемана для одного p-электрона. Рассмотрим поправки к энергии атома, линейные по полю. В слабом внешнем поле в качестве невозмущенных состояний можно использовать состояния с опредеˆ 2, L ˆ 2, J ˆ 2 и Jˆz , равными соответственно S(S + 1), ленными значениями операторов S L(L + 1), J(J + 1) и MJ . Тогда поправка к энергии атома равна (см. §27) ∆E = hSLJMJ | Vˆ1 |SLJMJ i = µB g MJ B, где g =1+

J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1) 2J(J + 1)

— фактор Ланде. Это так называемый аномальный эффект Зеемана. В сильном магнитном поле можно пренебречь тонкой структурой уровней и в качестве невозмущенных состояний можно использовать состояния с определенными ˆ 2 , Sˆz , L ˆ2 и L ˆ z , равными соответственно S(S + 1), MS , L(L + значениями операторов S 1) и ML . Тогда ∆E = hSMS LML | Vˆ1 |SMS LML i = µB (ML + 2MS )B. Это так называемый нормальный эффект Зеемана. 67

В промежуточной области, когда энергия взаимодействия магнитного момента с полем сравнивается со спин-орбитальным взаимодействием, эти два взаимодействия нужно учитывать одновременно. Это так называемый эффект Пашена-Бака. Порядок величины критического поля Bc ∼ 104 Гс. При L = S = 0 работает лишь квадратичное по полю слагаемое Vˆ2 . Поправка к энергии атома положительна и сводится с учетом сферической симметрии задачи (L = 0) к e2 B 2 X 2  ∆E = ra . 12mc2 a В этом случае магнитная восприимчивость атома χ= −

∂ 2 ∆E e2 X 2  = − ra ∂B 2 6mc2 a

отрицательна, атом ведет себя как диамагнетик. Если J = 0, но L = S 6= 0, то из-за малых интервалов тонкой структуры доминирует поправка второго порядка по Vˆ1 . Эта поправка к энергии основного состояния отрицательна, так что возникает своеобразный парамагнетизм атома в отсутствие исходного магнитного момента.

Задача 42.1. Определить расщепления терма с S = 1/2 в эффекте Пашена–Бака.

§43. Сверхтонкая структура (СТС) СТС обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона, орбитального и спинового, с магнитным моментом ядра. Заметно меньший вклад в СТС дают высшие мультипольные моменты ядра — электрический квадрупольный и магнитный октупольный. Грубая оценка поправки к энергии за счет взаимодействия магнитных моментов: EСТС ∼

Dµ µ E e~ e~ 1 m e p ∼ ∼ α2 Ry. 3 3 r 2mc mp c aB mp

Первый множитель, α2 , отражает релятивистскую природу эффекта; отношение масс электрона и протона, m/mp , — это оценка отношения магнитных моментов ядра и электрона. При расчете СТС для одного электрона используем взаимодействие e ˆ + Aˆ ˆ p + ~σ B), ˆ Vˆ = − (ˆ pA 2mc следующее из уравнения Паули (24.1). Здесь ˆ ×r 1 ˆ =µ ˆ A =∇ ×µ 3 r r 68

ˆ Этот потенциал — векторный потенциал, создаваемый магнитным моментом ядра µ. коммутирует с оператором импульса, так что ˆ A = Aˆ p p=

ˆ ˆ ~ˆl µ µ ˆ (r × p ) = . r3 r3

Магнитное поле ядра равно7 ˆ −µ ˆ 8π ˆ = ∇×A ˆ = 3n(nµ) ˆ δ(r), B + µ 3 r 3

n=

r . r

В итоге взаимодействие сводится к виду " # ˆl 3(nσ)(nµ) ˆ ˆ ˆ e~ 2 µ − σ µ 8π ˆ δ(r) . Vˆ = − + + µσ 2mc r 3 r3 3 Рассмотрим поправку к энергии s-состояния атома водорода с главным квантоˆ – магнитный момент протона: вым числом n. Для атома водорода оператор µ ˆ = 2, 79 · µ

|e|~ σp , 2mp c

где (1/2) σp — спин протона. Обсуждаемая поправка определяется только последним слагаемым в операторе Vˆ и равна EСТС =

|e|~ 8π ˆ |ψn00 (0)|2 hµσi 2mc 3

или (с учетом того, что |ψn00 (0)|2 = 1/ (πa3B n3 ) — см. §34) EСТС =

|e|~ 8π 1 |e|~ 2, 79 hσσ p i . 3 3 2mc 3 πaB n 2mp c

Здесь hσσ p i = 2F (F + 1) − 3 ,

ˆ = 1 (σ + σ p ) — полный момент атома. Сверхтонкое расщепление основного где F 2 состояния атома водорода, то есть разность энергий состояний с F = 1 и F = 0, оказывается, таким образом, равным ∆EСТС ≡ EСТС (F = 1) − EСТС (F = 0) = 2, 79 ·

16 2 m α Ry . 3 mp

Численно это составляет ∆EСТС /(2π~) = 1420 МГц, что соответствует длине волны излучения, равной 21 см. Именно на этой волне, отвечающей универсальному излучению межзвездного водорода, искали сигналы от внеземных цивилизаций. 7

При этом учитываем, что ∇i ∇k

1 3xi xk δik 4π = − 3 − δik δ(r) . r r5 r 3

69

Оценим зависимость СТС от Z в сложных атомах, сравнив ее с тонкой структурой. Как было показано в §39, тонкая структура имеет порядок Z 2 α2 Ry. Но спинорбитальное взаимодействие обусловлено электрическим полем ядра, которое пропорционально Z, а СТС — магнитным полем ядра, которое от Z не зависит. Таким образом, оценка для СТС составляет Zα2

m Ry . mp

Задачи 43.1. Найти СТС для основного состояния атома водорода, вычисляя непосредственно B(0) — магнитное поле, создаваемое электроном в области ядра. 43.2. Сравнить СТС водорода и дейтерия. 43.3. Найти расщепление уровней с n = 1 для атома водорода в магнитном поле, если энергия взаимодействия с полем сравнима с интервалами сверхтонкой структуры. Оценить необходимую для этого напряженность магнитного поля. 43.4. Терм D5/2 в оптическом спектре 39 19 K имеет сверхтонкую структуру, состоящую из четырех компонент. Каково значение спина ядра? Какое следует ожидать соотношение интервалов в сверхтонком квадруплете?

§44. Изотопический сдвиг Изотопами называются атомы с одним и тем же зарядом ядра Ze, но различными массами M ≈ A mp и M +∆M ≈ (A+∆A) mp , где массовое число A равно числу протонов и нейтронов в ядре, а mp — масса протона. Изотопическое смещение уровней связано с разностью масс изотопов и с различными размерами ядер-изотопов Эффект массы обусловлен изменением массы ядра M от изотопа к изотопу. В водороде приведенная масса равна µ=

 mM m ≈m 1− . m+M M

Поэтому уровни энергии 

m 0 Ry En = 1 − En , En0 = − 2 M n

для водорода и дейтерия несколько различаются:   m m m 0 ∆En = En (D) − En (H) = − En0 = − E . 2mp mp 2mp n Соответственно изменяется частота излучения при переходе с уровня Ei на уровень Ef : Ei0 − Ef0 m δω = − ω, ω = , 2mp ~ относительная изменение частоты составляет |δω|/ω = m/(2mp ) ≈ 2 · 10−4 . 70

В многоэлектронных атомах эффект массы связан с кинетической энергией ядра ˆ =P ˆ 2 /(2M). Импульс ядра P ˆ равен с обратным знаком сумме импульсов электроK P ˆ ˆ a , поэтому нов: P = − a p X X ˆ2 = ˆ 2a + ˆ ap ˆb . P p p a

a6=b

Изотопический сдвиг составляет ∆EM = − где

E ∆A m D ˆ ∆M ˆ 2 ˆ h P i = − K + K 1 2 , 2M 2 A2 mp

X X ˆ1 = 1 ˆ2 = 1 ˆ 2a , K ˆ ap ˆb . K p p 2m a 2m a6=b D E ˆ 1 по теореме о вириале равна с обратным знаком Кинетическая энергия атома K D E D E D E ˆ 1 = −En0 , величина K ˆ 2 обычно меньше или порядка K ˆ1 . В энергии атома K итоге для обычных оптических переходов получаем оценку: δω ∼ ∆A m . ω A2 mp M

Эффект объема обусловлен изменением радиуса ядра R от изотопа к изотопу: R ≈ A1/3 r0 , где r0 = 1, 2 · 10−13 см. Это приводит к соответствующему изменению электростатического потенциала ядра. Истинная потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром имеет вид U(r) = −Ze2 /r + δU(r) и отличается от кулоновского взаимодействия на величину δU(r) ∼ Ze2 /R при r < R; при r > R искажение кулоновского потенциала отсутствует и δU(r) = 0. Возмущение δU(r) приводит к заметному сдвигу уровней только для s электронов, для которых Z Ze2 ∆Ens = δU(r)|ψns (r)|2 d3 r ∼ |ψns (0)|2 R3 . R Расчет (см.: [1], §120) дает следующую зависимость соответствующей поправки к энергии s электрона от радиуса ядра R при однородной плотности заряда внутри ядра: 2π 2 2 Ze R |ψns (0)|2 . 5 С учетом оценки для волновой функции |ψns (0)|2 ∼ Z/a3B (см.: [1], §71) получаем оценку для разности уровней:  2 r0 −1/3 2 ∆EV ∼ ∆A · A Z Ry . aB Отношение эффекта объема к эффекту массы таково:  2 ∆ωV r0 2 5/3 mp ∼Z A ∼ 10−6 Z 11/3 , ∆ωM m aB

напомним, что A ≈ 2Z. Начиная с Z ∼ 40, эффект объема обычно доминирует. Исследование изотопического смещения уровней в тяжелых атомах и сверхтонкой структуры — источник ценной информации о свойствах атомных ядер. 71

72

Глава X ИЗЛУЧЕНИЕ §45. Нестационарная теория возмущений Пусть гамильтониан системы имеет вид ˆ = Hˆ0 + Vˆ (t), H где для невозмущенного гамильтониана Hˆ0 известны его собственные функции стационарных состояний 0 Ψ0n (x, t) = ψn0 (x) e−iEnt/~ и соответствующие энергии En0 : Hˆ0 ψn0 (x) = En0 ψn0 (x) , а Vˆ (t) — малое возмущение, зависящее от времени. Предполагается, что это возмущение включается в начале процесса (Vˆ (t) → 0 при t → −∞). Мы рассмотрим переходы под действием этого возмущения для двух вариатнов поведения Vˆ (t) при t → +∞.

45. 1. Возмущение, действующее в течение конечного времени Рассмотрим случай, когда Vˆ (t) — малое возмущение, включающееся в начале и выключающееся в конце процесса: Vˆ (t) → 0 при t → ∓∞. Найдем вероятность перехода из состояния Ψ0i (x, t) при t → −∞ в состояние Ψ0f (x, t) при t → +∞, предполагая вначале, что эти состояния принадлежат дискретному спектру и не являются вырожденными. Пусть Ψ(x, t) есть решение уравнения Шрёдингера ∂Ψ(x, t) ˆ = HΨ(x, t) , ∂t с начальным условием Ψ(x, t) → Ψ0i (x, t) при t → −∞, тогда искомая вероятность перехода есть

 Wi→f = |af i (+∞)|2 , af i (t) = Ψ0f (x, t)|Ψ(x, t) . i~

Чтобы найти функцию Ψ(x, t), сделаем подстановку8 ˆ

Ψ(x, t) = e−iH0 t/~ Φ(x, t) , 8

Эта замена отвечает так называемому представлению взаимодействия, весьма полезному в квантовой теории поля. При Vˆ (t) → 0 представление взаимодействия совпадает с гайзенберговским представлением.

73

тогда для функции Φ(x, t) получим уравнение i~

∂Φ(x, t) ˆ ˆ = VˆI (t) Φ(x, t) , VˆI (t) = eiH0 t/~ Vˆ (t) e−iH0 t/~ . ∂t

(45.1)

Это уравнение содержит в правой части только малое возмущение VˆI (t) (без основноˆ 0 , входящего в правую часть уравнения Шрёдингера) и потому удобно го оператора H для построения последовательной теории возмущений. Первое приближение теории возмущений В качестве нулевого приближения используем невозмущенную волновую функцию ˆ

Φ0 (x, t) = eiH0 t/~ Ψ0i (x, t) = ψi0 (x) , тогда первое приближение получается при подстановке этой функции в правую часть уравнения (45.1) и выполнения интегрирования: Z 1 t 1 Φ (x, t) = dt1 VˆI (t1 ) ψi0 (x) . i~ −∞ В итоге, c точностью до членов первого порядка включительно мы получим волновую функцию Z i −iHˆ 0 t/~ t 0 Ψ(x, t) = Ψi (x, t) − e dt1 VˆI (t1 ) ψi0 (x) ~ −∞ и амплитуду перехода (при ψf0 (x) 6= ψi0 (x)) Z t Ef0 − Ei0 i , af i (t) = − Vf i (t1 ) eiωf it1 dt1 , ωf i = ~ −∞ ~

где

(45.2)

D E Vf i (t) = ψf0 (x)| Vˆ (t) |ψi0 (x)

есть зависящий от времени матричный элемент оператора возмущения. Таким образом, искомая вероятность равна Z +∞ 2 1 iω t Wi→f = Vf i (t) e f i dt . (45.3) ~ −∞

Если конечное состояние принадлежит непрерывному спектру с волновыми функциями, нормированными на δ-функцию “по шкале” νf , то полученный ответ надо умножить на число конечных состояний с квантовыми числами от νf до νf + dνf , при этом дифференциальная вероятность перехода есть Z +∞ 2 1 iωf i t dWi→f = Vf i (t) e dt dνf . (45.4) ~ −∞

Найденная нами вероятность перехода определяется компонентой Фурье матричного элемента оператора возмущения на частоте перехода ωf i . Если возмущение включается и выключается очень плавно, так что характерное время τ  1/ωf i (так называемый случай адиабатического возмущения), то вероятность перехода оказывается очень малой — см. пример ниже. 74

Второй порядок теории возмущений Второй порядок может быть получен при подстановке в правую часть уравнения (45.1) волновой функции первого приближения Φ1 (x, t), что приводит к волновой функции Z Z t Z t1 1 t 1 2 1 Φ (x, t) = dt1 VˆI (t1 ) Φ (x, t1 ) = dt1 VˆI (t1 ) dt2 VˆI (t2 ) ψi0 (x) 2 i~ −∞ (i~) −∞ −∞ и амплитуде перехода  2 Z t Z t1 D E i ˆ 0 2 0 ˆ af i (t) = − dt1 dt2 ψf (x) VI (t1 ) VI (t2 ) ψi (x) . ~ −∞ −∞

Между операторами VˆI (t1 ) и VˆI (t2 ) проложим полный набор промежуточных состояний X

1= | ψn0 (x) i ψn0 (x) | n

и получим окончательно  2 Z t Z t1 X i 2 dt1 dt2 Vf n (t1 ) Vni (t2 ) ei(ωf n t1 +ωni t2 ) . af i (t) = − ~ −∞ −∞ n

(45.5)

Этот ответ можно интерпретировать таким образом: во втором порядке теории возмущений переход из начального состояния в конечное происходит через промежу 0 0 0 точные состояния |ψi i → |ψn i → ψf . Рассмотрим частный случай, когда оператор Vˆ (t) = Vˆ e−iωt+λt ,

где λ — малая положительная величина, а exp(λt) моделирует исчезновение возмущения при t → −∞. В этом случае интеграл по t2 легко вычисляется и амплитуда перехода Z t X Vf n (t1 ) Vni(t1 ) i 2 Mf i (t1 ) eiωf it1 dt1 , Mf i (t) = (45.6) af i (t) = − ~ −∞ Ei0 − En0 n имеет такой же вид как и амплитуда в первом приближении — см. (45.2) с заменой Vf i (t1 ) → Mf i (t1 ). Периодическое возмущение Расссмотрим переходы под действием внешнего поля, которое в течении длительного времени T  1/ωf i изменятся по гармоническому закону, Vˆ (t) = Fˆ e−iωt + Fˆ + eiωt

(45.7)

при |t| < T /2, и выключается вне этого интервала, Vˆ (t) = 0 при |t| > T /2. Здесь Fˆ — не зависящий от времени оператор, который, однако, может зависеть от координат, импульсов и т. д. При таких переходах в первом приближении происходит либо поглощение кванта поля ~ω, так что конечная энергия Ef0 = Ei0 + ~ω, либо испускание 75

кванта, при этом Ef0 = Ei0 − ~ω. Вероятность каждого из этих переходов оказывается пропорциональна времени T и поэтому удобной величиной является вероятность перехода в единицу времени: dWi→f dwi→f ≡ . (45.8) T Полезно прочитать детальное рассмотрение этого случая в Лекции 27 из [2]. Мы приведем здесь только краткий вывод основных формул. Используя формулу (45.1), найдем амплитуды перехода i i af i (∞) = − Ff i I− − Ff+i I+ , ~ ~

(45.9)

где I± =

Z

T /2

−T /2

ei(ωf i ±ω)t dt → 2π δ(ωf i ± ω) при T → ∞ .

Первое слагаемое в (45.9) соответствует поглощению кванта ~ω, вероятность такого процесса пропорциональна I−2 , что можно трактовать следующим образом: I−2

= 2π δ(ωf i − ω)

Z

T /2

−T /2

ei(ωf i −ω)t dt = 2π δ(ωf i − ω) T .

В итоге, вероятность перехода ψi0 → ψf0 в единицу времени с поглощением кванта ~ω равна пог dwi→f =

2π 2π |Ff i |2 δ(ωf i − ω) dνf = |Ff i |2 δ(Ef0 − Ei0 − ~ω) dνf . 2 ~ ~

(45.10)

Аналогично, второе слагаемое в (45.9) соответствует испусканию кванта ~ω, вероятность (в единицу времени) такого процесса равна исп dwi→f =

2π + 2 |F | δ(Ef0 − Ei0 + ~ω) dνf . ~ fi

(45.11)

Переходы в непрерывном спектре под действием постоянного возмущения Используя полученные формулы предыдущего раздела в предельном случае ω → 0, можно найти вероятность перехода (в единицу времени) в непрерывном спектре под действием постоянного (не зависящего от времени) возмущения. В первом порядке эта вероятность равна dwi→f =

2π |Vf i |2 δ(Ef0 − Ei0 ) dνf . ~

(45.12)

Если матричный элемент Vf i равен нулю или очень мал, то необходимо использовать второй порядок теории возмущений (см. формулу (45.6)), что дает dwi→f =

X Vf n Vni 2π |Mf i |2 δ(Ef0 − Ei0 ) dνf , Mf i = . 0 0 ~ E − E n i n 76

(45.13)

45. 2. Возмущение Vˆ (t), конечное при t → +∞

Рассмотрим теперь случай, когда Vˆ (t) — малое возмущение, включающееся в начале процесса, Vˆ (t) → 0 при t → −∞, и остающееся конечным в конце процесса: Vˆ (t) → Vˆ (∞) 6= 0 при t → +∞ . В этом случае естественно определять вероятность перехода из начального стационарного состояния Ψ0i (x, t), принадлежащего дискретному спектру гамильтониаˆ 0 , в конечное стационарное состояние Ψ0 (x, t), принадлежащее гамильтониану на H f 0 ˆ ˆ ˆ H = H0 + V (∞). В первом приближении это конечное состояние имеет энергию D E 0 0 0 0 ˆ Ef = Ef + ψf (x)| V (∞) |ψf (x) , а его волновая функция равна "

# X Vnf (∞) 0 Ψ0f (x, t) = ψf0 (x) + ψ 0 (x) e−iEf t/~ . 0 n 0 En − Ef n6=f

Повторяя выкладки предудущего раздела, найдем амплитуду перехода в первом приближении Z t Vif∗ (∞) iωf i t/~ i af i (t) = 0 e − Vf i (t) eiωf i t dt . 0 Ei − Ef ~ −∞

Проводя далее интегрирование по частям и учитывая, что Vif∗ (∞) = Vf i (∞), получим окончательно амплитуду перехода Z t 1 ∂Vf i (t) iωf i t e dt af i (t) = ~ωf i −∞ ∂t и вероятность перехода Wi→f

Z 1 = ~ωf i

+∞

−∞

2 ∂Vf i (t) iωf i t e dt . ∂t

(45.14)

Рассмотрим случай, когда возмущение включается в момент времени t0 очень быстро, так что характерное время включения τ  1/ωf i (так называемое внезапное возмущение). В этом случае в интеграле (45.6) медленно изменяющуюся функцию exp(iωf i t) можно вынести из-под знака интеграла в виде множителя exp(iωf i t0 )и получить вероятность перехода в виде Vf i (∞) 2 . Wi→f = (45.15) ~ωf i

45.3. Пример. Возбуждение атома водорода пролетающим ионом Ион считается настолько тяжелым, что траектория его R(t) прямолинейна, заряд иона Ze. Возмущение V (t) складывается из взаимодействия с электроном и с ядром: V (t) = −

Ze2 Ze2 + , R(t) = ρ + vt = (vt, ρ, 0) . |R(t) − re | |R(t) − rp | 77

Относительно прицельного параметра ρ предполагаем, что ρ  aB . Тогда V (t) = −

xvt + yρ Ze2 Rr = −Ze2 2 , 3 R (ρ + v 2 t2 )3/2

где r = re − rp — обычная атомная координата. По правилам отбора, это возмущение вызывает переходы из основного s-состояния в p-состояния с lz = ±1. Ограничимся состоянием 2p и рассмотрим сначала lz = +1, тогда xf i = iyf i = −

27 E2 − E1 3 e2 a , ω = = . B fi 35 ~ 8 ~aB

Введем безразмерные величины ξ и β: ξ=

t ρ , β = τ ωf i = , τ ρ0

где характерное время пролета τ = ρ/v, а характерный прицельный параметр ρ0 =

8 ~v aB . 3 e2

В этих обозначениях амплитуда перехода (45.2) равна Z 2 Ze2 xf i 1 ∞ iβξ iξ + 1 I(β) , I(β) = dξ . af i (∞) = e ~v ρ 2 −∞ (1 + ξ 2 )3/2 Функция I(β) = 1 при малых β  1 и быстро падает с ростом β. Если перейти в комплексную плоскость с разрезом вдоль мнимой оси от ξ = i до бесконечности, то легко получить, что Z ∞ dξ −β . I(β) = e e−βξ p ξ(2 + ξ)3 0 Отсюда находится асимптотика:

I(β) =

r

π −β e при β  1 . 8β

Рассмотрим два предельных случая. 1. Медленный ион, параметр τ ωf i = β  1, что соответствует адиабатическому возмущению. В этом случае ρ  ρ0 и вероятность (с учетом удвоения от вклада lz = −1) оказывается, как и следовало ожидать, экспоненциально малой: W (ρ) = A

Z 2 e2 a3B −2ρ/ρ0 217 e , A = π ≈ 2, 32 . ~v ρ3 311

2. Быстрый ион, его скорость Ze2 /~  v  c. При этом характерный прицельный параметр ρ0  aB . В области прицельных параметров ρ  ρ0 величина β  1 и вероятность перехода  2 2 2 Ze aB 217 W (ρ) = B , B = ≈ 2, 22 ~v ρ2 310 78

мала (и, следовательно, теория возмущения применима) вплоть до значений ρ0 ∼ aB . В области прицельных параметров ρ  ρ0 величина β  1 и вероятность перехода экспоненциально подавлена. Таким образом, в рассматриваемом случае основной вклад в полное сечение возбуждения σ происходит из области aB  ρ  ρ0 , в которой  2 2 dρ Ze 2 dσ = W (ρ) 2πρdρ = 2B πa2B . ~v ρ Отсюда с логарифмической точностью по параметру ~v/e2  1 сечение равно  2 2 Z ρ0 Ze ~v σ ≈ 2π W (ρ) ρdρ = 2B πa2B ln 2 . ~v e aB

§46. Фотоэффект Пусть на атом водорода, находящийся в основном состоянии e−r/a ~2 , a= ψi (r) = √ me2 πa3 с энергией Ei = −Ry, падает плоская монохроматическая волна (рис. 13), описываемая 4-потенциалом φ = 0, A(r, t) = A0 ei(kr−ωt) + A∗0 e−i(kr−ωt) , ω = c |k|, kA0 = 0 . Найдем сечение фотоэффекта, предполагая, что скорость вылетевшего электрона v = p/m велика по сравнению с атомной, но мала по сравнению со скоростью света: e2 /~  v  c. Такой электрон можно считать свободным, так что его волновая функция ψf (r) = eip r/~ , а его энергия

p2 = ~ω + Ei ≈ ~ω . 2m При этом переданный импульс ~q = p − ~k ≈ p, так как Ef =

~k p2 v ≈ =  1. p 2mcp 2c

Оператор возмущения атома полем e Vˆ (r, t) = − A(r, t)ˆ p mc представим в виде (45.7) e ˆ, Vˆ (r, t) = Fˆ e−iωt + Fˆ + eiωt , Fˆ = − A0 eikr p mc где оператор Fˆ определяет вероятность вылета электрона в единицу времени при поглощении кванта поля ~ω (см. (45.10) с числом состояний dνf = d3 p/(2π~)3 ) dwi→f

2π d3 p 2 = | Ff i | δ(Ef − Ei − ~ω) . ~ (2π~)3 79

Рис. 14: Кинематика фотоэффекта Матричный элемент равен ie~ Ff i = A0 mc

Z

e−iqr

√ e−r/a 3 8e~ πa3 pA0 d r≈− ∇√ . mc (pa/~)4 ~ πa3

Преобразуем фазовый объем конечного состояния d3 p = p2 dpdΩ = mpdEf dΩ , тогда Электрическое поле волны

δ(Ef − Ei − ~ω) d3p → mpdΩ .

E=−

1 ∂A = E 0 ei(kr−ωt) + E ∗0 e−i(kr−ωt) c ∂t

имеет амплитуду E 0 = i(ω/c) A0, так что |pA0 |2 = (c/ω)2 |pE 0 |2 . В итоге вероятность вылета электрона в элемент телесного угла dΩ составляет в единицу времени 64 | nE 0 |2 a3  ω0 7/2 p Ry ω0 . dwi→f = dΩ , n = , ω0 = π ~ω ω p ~

Чтобы получить дифференциальное сечение фотоэффекта dσ, остается разделить dwi→f на плотность потока фотонов jф , связанную с величиной усреднённого вектора Пойнтинга S соотношением S = ~ωjф . В свою очередь, S=

c c |E 0 |2 |E(t)|2 = 4π 2π

(черта сверху означает усреднение по времени). Таким образом, дифференциальное сечение фотоэффекта равно  ω 7/2 dσ 0 2 = 64α a cos2 ϑ , dΩ ω

где ϑ — угол между направлением вылета электрона p и вектором электрического поля волны E0 . Обращение dσ в нуль при ϑ = π/2 соответствует классической картине, в которой электрон раскачивается внешним полем и потому вылетает в основном вдоль или против направления вектора электрического поля. Полное сечение фотоэффекта быстро падает с ростом частоты внешнего поля:  ω 7/2 256π 0 σ= α a2 . 3 ω 80

В водородоподобном ионе с зарядом ядра Ze сечение растет как Z 5 . При этом Z возникает от квадрата матричного элемента, который пропорционален скорости атомного электрона вблизи ядра, еще Z 3 — от вероятности нахождения этого электрона вблизи ядра (ясно, что свободный электрон не может поглотить фотон). Сечение фотоэффекта на нейтральных атомах также растет как Z 5 за счет вклада ближайщей к ядру оболочки (K-оболочки). При прохождении фотонов не слишком больших энергий (~ω . 1 МэВ) через вещество, полное сечение их поглощения определяется в основном фотоэффектом. 2

Задачи 46.1. Найти вероятность ионизации атома водорода под действием электрического поля E(t) = E 0 e−|t|/τ (рассмотреть случай, когда конечный электрон можно считать свободным). Указание: для вероятности перехода удобно использовать формулу Z 2 1 ∞ ∂Vf i iωt d3 p dWf i = 2 2 e dt , ~ω (2π~)3 −∞ ∂t

в которой

∂Vf i e = E(t)pf i . ∂t m 46.2. Вычислить суммарную вероятность возбуждения и ионизиции атома водорода, первоначально находящегося в основном состоянии, в результате внезапного “встряхивания”, при котором ядру сообщается скорость V . 46.3. Если при расчете фотоэффекта, вместо −(e/mc)Aˆ p, использовать в качестве возмущения −erE, то в том же приближении ответ для матричного элемента оказывается вдвое больше приведенного выше. Который из ответов правильный? В чем причина расхождения?

§47. Квантование электромагнитного поля 47.1. Электромагнитное поле как набор осцилляторов Гамильтониан обычного линейного осциллятора имеет вид mω 2 x2 p2 + , 2m 2 а канонические переменные x и p зависят от времени по известному закону: H=

x(t) = b cos(ωt + ϕ) , p(t) = −mωb sin(ωt + ϕ) , где b — амплитуда, а ϕ — начальная фаза колебаний. Введём линейные комбинации x и p вида mωx + ip ∗ mωx − ip a= √ , a = √ 2m~ω 2m~ω ∗ и напомним, что величины a и i ~ a также являются каноническими переменными с простой зависимостью от времени: a(t) ∝ b e−i (ωt+ϕ) , a∗ (t) ∝ b e+i (ωt+ϕ) . 81

В этих переменных гамильтониан имеет вид особенно простой вид H = ~ωa∗ a . Покажем, что электромагнитное поле в пустоте может быть сведено к набору осцилляторов, описываемых переменными a и a∗ . Электрическое E и магнитное B поля в пустоте удовлетворяют уравнениям Максвелла: 1 ∂B 1 ∂E rot E = − , div E = 0 , rot B = , div B = 0 . c ∂t c ∂t Удобно ввести четырёхмерный потенциал Aµ (r, t) = (φ, A), через который электрическое и магнитное поля выражаются так: E = −∇φ −

1 ∂A , B = ∇× A. c ∂t

Из-за неоднозначности выбора 4-потенциала, на него в отсутствие источников поля можно наложить дополнительное условие (так называемая кулоновская калибровка) φ = 0 , div A(r, t) = 0. При этом из уравнения rot B = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇A) − ∆A =

1 ∂E 1 ∂2A =− 2 2 c ∂t c ∂t

следует, что трехмерный векторный потенциал удовлетворяет волновому уравнению 1 ∂2A − ∆A = 0 . c2 ∂t2 В импульсном представлении, учитывающем в явном виде вещественность векторного потенциала, Z  d3 k  ikr ∗ −ikr A(r, t) = A (t) e + A (t) e (47.1) k k (2π)3

амплитуды Ak (t) удовлетворяют осцилляторному уравнению ¨ k + ω 2 Ak = 0, ωk = c| k| . A k

(47.2)

Итак, в каждой моде, то есть для каждого k, имеем гармонический осциллятор, канонические переменные которого выражаются через Ak и A∗k , с той же зависимостью от времени, что и у a и a∗ : Ak (t) ∝ e−iωk t , A∗k (t) ∝ eiωk t .

(47.3)

Разложение по плоским волнам (47.1) позволяет говорить об электромагнитном поле как о бесконечном наборе осцилляторов, частоты которых ωk пробегают непрерывный ряд значений. При квантовании этих осцилляторов возникает квантованное электромагнитное поле. Для придания большей наглядности процедуре квантования, 82

удобно перейти к дискретному набору осцилляторов. Для этого рассмотрим поле в конечном объеме V = Lx Ly Lz и используем условие периодичности поля на границах объема. При этом компоненты волнового вектора (и частоты) становятся дискретными, kx =

2π ny 2π nz 2π nx , ky = , kz = , Lx Ly Lz

где nx,y,z — целые (положительные и отрицательные) числа, а плоские волны удовлетворяют условию ортогональности вида Z 0 ei(k−k )r d3 r = V δk, k0 . (47.4) В итоге вместо разложения в интеграл Фурье (47.1) возникает разложение в ряд Фурье X  A(r, t) = Ak (t) eikr + A∗k (t) e−ikr , (47.5) k

где новые амплитуды Ak (t) удовлетворяют тем же соотношениям (47.2) − (47.3), что и раньше. Разложение, подобное (47.5), можно написать и для полей E(r, t) и B(r, t), причем амплитуды этих полей в силу уравнений 1 ∂A , B=∇×A c ∂t связаны с амплитудами векторного потенциала соотношениями E=−

Ek =

iωk Ak , Bk = ik × Ak . c

Из-за условия div A(r, t) = 0 или k · Ak = 0 ,

(47.6a)

вектор Ak лежит в плоскости, ортогональной волновому вектору k, то есть имеет лишь две независимые компоненты. Две степени свободы осциллятора соответствуют поперечности свободных электромагнитных волн в вакууме. Введем два вектора поляризации εkλ , где индекс λ пробегает два значения. Например, для циркулярно поляризованной волны с волновым вектором k = (0, 0, k) векторы поляризации имеют вид λ εkλ = − √ (1, λi, 0) , 2 где λ = ±1 соответствуют правой (левой) циркулярной поляризации. Векторы поляризации удовлетворяют условиям поперечности (47.6a): k · εkλ = 0 ,

(47.6b)

ε∗kλ εkλ0 = δλλ0

(47.7)

взаимной ортогональности:

83

и полноты:

X λ

(εkλ )i (ε∗kλ )j = δij −

ki kj k2

(47.8)

(здесь i, j означает компоненты вектора поляризации; справа стоит единичный тензор в плоскости, ортогональной вектору k). Разложим вектор Ak (t) по векторам поляризации Ak (t) = Ck

X

akλ (t) εkλ

λ

и выберем нормировочный множитель Ck таким образом, чтобы энергия поля свелась к сумме осцилляторных энергий: E=

Z

X E 2 + B2 3 d r= ~ωk a∗kλ akλ . 8π kλ

(47.9a)

Для этого представим E 2 в виде двойной суммы i X h 0 0 E2 = E k (t) eikr + E ∗k (t) e−ikr E k0 (t) eik r + E ∗k0 (t) e−ik r k,k0

и проведем интегрирование по r, используя (47.4), Z X  E 2 d3 r = V E k (t) E −k (t) + E ∗k (t) E ∗−k (t) + 2E k (t) E ∗k (t) . k

Зависящие от времени слагаемые E k (t) E −k (t) ∝ e−2iωk t и E ∗k (t) E ∗−k (t) ∝ e2iωk t сокращаются, а не зависящие Rот времени слагаемые 2E k (t) E ∗k (t) удваиваются при учете вклада магнитного поля B2 d3 r. В итоге получаем E=

V X ωk2 V X E k (t) E ∗k (t) = |Ck |2 a∗kλ akλ . 2 2π 2π c k

(47.9b)

kλ

Отсюда видно, что при выборе нормировочного множителя в виде s 2π~c2 , Ck = ωk V т. е. при использовании разложения s X 2π~c2   A(r, t) = akλ (t) εkλ eikr + a∗kλ (t) ε∗kλ e−ikr , ωk V kλ

(47.10)

энергия поля действительно сводится к сумме осцилляторных энергий (47.9), а энергия каждой моды колебаний с заданной поляризацией λ равна Ekλ = ~ωk a∗kλ akλ . 84

(47.11)

Совершенно аналогично можно показать, что выражение для полного импульса поля Z E ×B 3 P= dr 4πc сводится к сумме соответствующих импульсов для каждой моды колебаний X P= ~ka∗kλ akλ , (47.12) kλ

а импульс отдельной моды с заданной поляризацией λ равен ~ka∗kλ akλ =

k Ekλ . k c

47.2. Квантование поля Напомним, что при квантовании обычного осциллятора зависящие от времени классические величины a(t) и a∗ (t) становятся операторами уничтожения a ˆ и рождения a ˆ+ кванта с энергией ~ω, для которых справедливы перестановочные соотношения [ˆ a, a ˆ+ ] = 1 .

(47.13)

При этом сами операторы в обычном шрёдингеровском представлении не зависят от времени, а временная зависимость определяется волновыми функциями. Классичесий гамильтониан H становится оператором Шрёдингера ˆ = 1 ~ω(ˆ H a+ aˆ + a ˆa ˆ+ ) . 2 ˆ приводится к При использовании перестановочных соотношений (47.13) оператор H виду ˆ = ~ω(ˆ H n + 21 ), n ˆ=a ˆ+ aˆ , где n ˆ — оператор числа квантов, собственные значения которого суть целые числа n = 0, 1, 2, . . . Аналогично, при квантовании электромагнитного поля величины a∗kλ (t) и akλ (t) становятся операторами рождения a ˆ+ ˆkλ кванта, соответствующего kλ и уничтожения a фотону с энергией ~ωk , импульсом ~k и поляризацией λ, а векторный потенциал (47.10) становится не зависящим от времени оператором s X 2π~c2
∗ −ikr ˆ A(r) = a ˆkλ εkλ eikr + aˆ+ . (47.14) kλ εkλ e ωk V kλ

Поля E(r, t) и B(r, t) также становятся операторами s X iωk 2π~c2
∗ −ikr ˆ E(r) = aˆkλ εkλ eikr − a ˆ+ ε e , kλ kλ c ωk V kλ ˆ B(r) =

X kλ

s


2π~c2 ∗ −ikr ik × a ˆkλ εkλ eikr − aˆ+ , kλ εkλ e ωk V 85

(47.15)

а выражения для энергии и импульса электромагнитного поля становятся суммами операторов Шрёдингера и операторов импульса для отдельных фотонов: ˆ = H

X kλ

Xk H ˆ kλ
ˆ kλ , H ˆ kλ = 1 ~ωk a ˆ H ˆ+ ˆkλ + a ˆkλ a ˆ+ . kλ a kλ , P = 2 k c kλ

(47.16)

При использовании перестановочных соотношений

[ˆ akλ , a ˆ+ akλ , a ˆk0 λ0 ] = [ˆ a+ ˆ+ k0 λ0 ] = δλλ0 δkk0 , [ˆ kλ , a k0 λ0 ] = 0

(47.17)

ˆ kλ приводится к виду оператор H ˆ kλ = ~ωk n H ˆ kλ +

1 2




, n ˆ kλ = a ˆ+ ˆkλ , kλ a

(47.18)

где n ˆ kλ — оператор числа квантов, собственные значения которого суть целые числа nkλ = 0, 1, 2, . . .. Можно также показать, что правой (левой) поляризации фотона соответствует его спиральность, равная ±~.

47.3. Рождение и уничтожение квантов поля Пусть | nkλ , t i — состояние поля, содержащее nkλ фотонов с энергией ~ωk , импульсом ~k и поляризацией λ каждый. Так как √ a ˆ+ nkλ + 1 | nkλ + 1, t i eiωk t , kλ | nkλ , t i = √ a ˆkλ | nkλ , t i = nkλ | nkλ − 1, t i e−iωk t , ˆ ˆ то из (47.14) или (47.15) видно, что при действии оператора A(r) или оператора E(r) на начальное состояние поля может происходить излучение или поглощение одного ˆ фотона. Таким образом, матричные элементы опратора A(r) равны: при излучении фотона ˆ h nkλ + 1, t | A(r) | nkλ, t i = Af i (r) eiωk t , s √ 2π~c2 ∗ −ikr Af i (r) = nkλ + 1 ε e , ωk V kλ

(47.19)

при поглощении фотона

ˆ h nkλ − 1, t | A(r) | nkλ, t i = Af i (r) e−iωk t , s √ 2π~c2 Af i (r) = nkλ εkλ eikr . ωk V

(47.20)

Излучение какой-либо системы зарядов (например, атома) может происходить в условиях, когда начальное состояние электромагнитного поля не содержит фотонов, т. е. nkλ = 0 (такое излучение называют спонтанным), или в в условиях, когда в начальном состоянии поля уже имеется nkλ фотонов (такое излучение называют вынужденным). Вероятность излучения пропорциональна квадрату модуля матричного элемента (47.19). Обратим внимание на то, что вероятность вынужденного излучение оказывается в (nkλ +1) раз больше, чем вероятность спонтанного излучения. Этот факт является фундаментальным для физики лазеров. 86

Вторичное квантование применимо и к нерелятивистскому уравнению Шрёдингера. Но там это лишь удобный технический прием, позволяющий автоматически учесть тождественность частиц. Фермионы квантуются с помощью антикоммутаторов. Но вторичное квантование принципиально важно в релятивистских задачах, где частицы реально рождаются и исчезают. Пример Линейно поляризованный свет проходит через оптически активную среду, вращающую его плоскость поляризации. Оценим минимальное число квантов, необходимое для регистрации малого угла поворота ϕ плоскости поляризации. Угол ϕ совпадает (с точностью до множителя 1/2) с разностью фаз циркулярных составляющих линейно поляризованной волны, которая возникает при прохождении волны через среду. Эта разность должна быть не меньше неопределенности ∆ϕ. Величиной, канонически сопряженной углу ϕ, является действие, равное ~N, где N — число квантов. Поэтому неопределенность ∆ϕ связана с неопределенностью числа √ квантов ∆N соотношением ∆ϕ · ∆N & 1. Учитывая, что ∆N ∼ N , получаем N&

1 . ϕ2

Полученному результату можно придать такую интерпретацию. Пусть волна распространяется вдоль оси z, а начальная поляризация направлена вдоль оси x. В этом √ случае амплитуда электрического поля Ex0 ∝ ~ωN. При повороте плоскости поляризации на малый угол ϕ появляется y составляющая электрического поля. Минимальное равно √ значение ее амплитуды, соответствующее регистрации одного фотона, √ Ey0 ∝ ~ω. Поэтому оценка для угла поворота такова: ϕ ∼ Ey0 /Ex0 ∼ 1/ N. Отсюда следует та же оценка для N.

§48. Испускание и поглощение света 48.1. Спонтанное и вынужденное излучение Пусть атом из состояния ψi переходит в состояние ψf и излучает фотон с энергией ~ω = Ei −Ef , импульсом ~k и поляризацией εkλ . Для системы атом+электромагнитное поле это есть переход из начального состояния ψi | nkλ i в конечное состояние ψf | nkλ + 1 i под действием возмущения e ˆ ˆ, Vˆ = − A(r) p cm

(48.1)

ˆ где оператор A(r) ∝ eikr определен в (47.14). Так как в нашем случае kr ∼

ω vат aB ∼  1, c c

ˆ ˆ то зависимостью векторного потенциала от r можно пренебречь: A(r) ≈ A(0), после ˆ чего матричный элемент оператора возмущения V принимает вид Vf i = −

e Af i (0) pf i , cm 87

(48.2)

где Af i (r) определен в (47.19). ˆ — гамильтониан атома, тогда Пусть далее H i ˆ − rH ˆ | ψi i = −iωrf i , pf i = m˙rf i = m hψf | Hr ~

(48.3)

что позволяет представить (48.2) как матричный элемент оператора ˆ Vˆ = −er E(0) ,

(48.4)

ˆ где оператор электрического поля E(r) определен в (47.15). До сих пор мы рассматривали взаимодействие одного электрона. Обобщение на случай более сложного атома очевидно, достаточно заменить er на дипольный момент системы: X er → d = ea ra . (48.5) a

Это так называемое дипольное приближение (излученные в этом случае фотоны называются электрическими дипольными или E1 фотонами) . Используя (48.2) и (45.12), получим вероятность излучения атомом фотона в телесный угол dΩ в единицу времени в виде dwf i =

V d3 k Vω 2 2π | Vf i |2 δ (~ω + Ef − Ei ) = | Vf i |2 dΩ ~ (2π)3 (2π~)2 c3

или (после подстановки (47.8) и (48.3), (48.5)) в виде dwkλ =

ω3 | df i · ε∗kλ |2 (nkλ + 1) dΩ 3 2π~c

(48.6)

(при этом вспомогательная величина — объем V — исчезла из конечного результата). Обратим внимание на то, что вероятность излучения (48.6) пропорциональна множителю (nkλ +1), который определяется числом квантов в падающей волне. Как уже отмечалось в §47, излучение может происходить и тогда, когда начальное состояние поля не содержит фотонов, то есть при nkλ = 0, это так называемое спонтанное излучение. При nkλ ≥ 1 имеет место индуцированное или вынужденное излучение. Из формулы (48.6) и рис. 15 видно, что работает лишь поляризация, лежащая в той же плоскости, что и векторы k и df i .

48.2. Угловое распределение и интенсивность спонтанного дипольного излучении После суммирования по поляризациям фотона (для этого удобно использовать формулу (47.8)) получим угловое распределение излученных фотонов и полную вероятность излучения в единицу времени 2 dwk ω 3 k 4ω 3 = d × , w = | df i |2 . (48.7) fi i→f dΩ 2π~c3 k 3~c3 Если df i ∝ (0, 0, 1), то

dwk ∝ sin2 θ , dΩ 88

Рис. 15: Векторы, описывающие излучение где θ — полярный угол вылета фотона. Это распределение соответствует классическому излучению заряженной частицей, колеблющейся вдоль оси z. Если df i ∝ (1, ±i, 0), то dwk ∝ 1 + cos2 θ , dΩ что соответствует классическому излучению заряженной частицей, вращающейся в плоскости xy. Интенсивность излучения I получается умножением полной вероятности излучения на ~ω: 4ω 4 I = ~ωw = 3 | df i |2 . (48.8) 3c Простая полуклассическая оценка такова. Классическая интенсивность дипольного излучения составляет e2 2 e2 ω 4 r 2 ¨ . I∼ 3r ∼ c c3 Соответственно, число квантов, испущенных в единицу времени, то есть вероятность испускания кванта в единицу времени, равно w=

I ω3 ω3 ∼ e2 3 r 2 ∼ α 2 r 2 . ~ω ~c c

Если ω r ∼ vат ∼ αc, то для ширины уровня Γ = ~w получаем оценку Γ ∼ α3 ~ω . Оценка для времени жизни такова τ=

1 1 ∼ 3 . w α ω

В следующем порядке по v/c возникают магнитные дипольные M1 и электрические квадрупольные E2 переходы. Оператор М1 перехода равен (ср. (48.4), (48.5)) e~ ˆ ˆ ˆ B(0) ˆ ˆ B(0) Vˆ = −µ =− (L + 2S) . 2mc Его амплитуда в µ/(eaB ) ∼ α раз меньше, чем у Е1 переходов. 89

48.3. Правила отбора Пусть атом излучает фотон, переходя из начального состояния с моментом импульса Ji , проекцией Mi и четностью Pi в конечное состояние с квантовыми числами Jf , Mf , Pf . Рассмотрим два важных частных случая. Правила отбора для электрического дипольного, или E1, перехода определяются матричным элементом hf |d|ii (см. §26): четность изменяется, Pf = −Pi (так как вектор d является полярным (или истинным) вектором); ∆J = Jf − Ji = ±1, 0; запрещен Ji = 0 → Jf = 0 переход; для одноэлектронных конфигураций запрещен по четности переход с ∆l = lf − li = 0. Правила отбора по проекции момента импульса: Ez вызывает переходы с ∆M = Mf − Mi = 0, Ex,y или E± – переходы с ∆M = ±1. Правила отбора для М1 переходов: не изменяются четность, Pf = Pi (так как векˆ является аксиальным (или псевдо) вектором), и радиальные квантовые числа; тор µ ∆J = ±1, 0; Ji = 0 → Jf = 0 переход запрещен. В одноэлектронных конфигурациях переход происходит лишь между компонентами тонкой структуры (например, p3/2 → p1/2 ).

48.4. Поглощение света Рассмотрим процесс, обратный излучению, — поглощение света. Пусть атом из состояния ψf переходит в состояние ψi и поглощает фотон с энергией ~ω = Ei − Ef , импульсом ~k и поляризацией εkλ . Для системы атом+электромагнитное поле это переход из начального состояния ψf | nkλ i в конечное состояние ψi | nkλ − 1 i под действием возмущения (48.1). Повторяя далее выкладки, аналогичные случаю излучения, мы получим, что квадрат матричного элемента возмущения | Vf i |2 , а с ним и полная вероятность поглощения света в единицу времени wfпог →i , отличаются от соответствующих величин для излучения лишь заменой множителя nkλ +1 на множитель nkλ . В итоге wfпог nkλ →i = . изл wi→f nkλ + 1

Задачи 48.1. а) Излучение при переходе 2p, m → 1s для атома водорода. Определить dw/dΩ, w, τ , Γ, поляризацию излученного фотона. б) Как изменится этот ответ при наличии нескольких фотонов с частотой, равной частоте перехода, в начальном состоянии электромагнитного поля? 48.2. В начальном состоянии атома n  1, n − l  n. Найти приближенные правила отбора по n и по l для электромагнитных переходов. 48.3. Найти время жизни первого возбужденного уровня заряженного сферического осциллятора. 48.4. Указать возможные дипольные переходы между уровнями n = 3 и n = 2 (α-линия серии Бальмера) с учетом их тонкой структуры (по Дираку и по КлейнуФоку-Гордону). 48.5. В начальном состоянии ns1/2 атом поляризован. Как выглядит угловая зависимость вероятности излучения, просуммированной по поляризациям фотона и конечного состояния атома? 90

48.6. Оценки вероятностей переходов между компонентами СТС основного состояния атома водорода. 48.7. Атом водорода находится в постоянном однородном магнитном поле B. Рассмотреть переходы 2p1/2 → 1s1/2 + γ. Каковы поляризации и частоты фотонов, летящих: а) вдоль поля, б) перпендикулярно полю, если энергия взаимодействия с полем мала или велика по сравнению с интервалами тонкой структуры? Каковы относительные интенсивности спектральных линий? 48.8. Свободный нейтрон находится в постоянном однородном магнитном поле B в состоянии с определенным значением проекции спина на направление магнитного поля. Найти вероятность излучения фотона в единицу времени в результате переворота спина нейтрона. 48.9. Найти угловое распределение фотонов в распадах поляризованных частиц: ω 0 (J P = 1− ) → π 0 (0− ) + γ, + − б) A1 (1 ) → π(0 ) + γ.

а)

§49. Лэмбовский сдвиг Нетрудно убедиться в том, что операторы электрического и магнитного полей не коммутируют с операторами чисел заполнения и энергии поля. Поэтому в вакууме электромагнитного поля, то есть в состоянии с наименьшей энергией и нулевыми числами заполнения, поля не равны нулю, а флуктуируют вокруг нуля. Пусть |0i — вакуумное состояние электромагнитного поля. Используя операторы поля (47.15) и перестановочные соотношения (47.17), нетрудно получить, что для этого состояния средние значения полей E и B равны нулю, ˆ ˆ h0|E(r)|0i = h0|B(r)|0i = 0, а средние значения квадратов полей отличны от нуля, 2

ˆ (r)|0i = h0|B ˆ 2(r)|0i = h0|E

4π X ~ωk V kλ 2

(49.1)

(здесь V — объем, в котором заключено поле). Формула (49.1) соответствует тому, что в состоянии вакуума электромагнитного поля его энергия E выражается в виде суммы энергий нулевых колебаний отдельных мод: Z E X ~ω D 2 1 ˆ k 3 2 ˆ E= d r 0 E (r) + B (r) 0 = . (49.2) 8π 2 kλ

Электрон в атоме водорода взаимодействует не только с кулоновскым полем ядра, определяемым потенциальной энергией U(r) = −e2 /r, но и с нулевыми флуктуациями вакуума, что приводит к наблюдаемым эффектам. Пусть ρ — малая флуктуация координаты электрона, вызванная вакуумным электрическим полем (влиянием магнитного поля для нерелятивистского электрона можно пренебречь). Из уравнение движения m¨ ρ = eE + (e/c)ρ˙ × B ≈ eE для фурье-компоненты флуктуационного смещения следует соотношение ρk = −

e Ek . mωk2

91

(45.3)

Учет этих флуктуаций координаты приводит к изменению энергии кулоновского взаимодействия 3 1X U(r + ρ) = U(r) + ρ ∇U(r) + ρi ρj ∇i ∇j U(r) + . . . . 2 i,j=1

(45.4)

В классическом подходе компоненты E k — осциллирующие функции времени, что позволяет провести далее усреднение флуктуирующих смещений по времени и получить флуктуационную поправку к кулоновскому взаимодействию. Конечно, основной вклад при этом будет соответствовать частотам поля, которые заметно больше атомных частот, но заведомо меньше частот соответствующих релятивистским энергиям, т. е. основной областью частот является интервал: ωат  ωk  mc2 /~ .

(49.5)

Для квантованного поля уравнение (49.3) является операторным соотношением ˆk = − ρ

e ˆ Ek , mωk2

из которого для оператора смещения получаем r
2π~ e X ∗ −ikr ˆ = −i ρ a ˆkλ εkλ eikr − a ˆ+ . kλ εkλ e m kλ ωk V

(49.6)

Теперь нетрудно найти, что ˆ |0i = 0, h0| ρ

h0| ρˆi ρˆj |0i =

h0| ρ2 |0i =

1 δij h0| ρ2 |0i , 3

4πα − 2 X c3 λ , V ω k k

где − λ = ~/(mc) = 3, 86 · 10−11 см — комптоновская длина волны электрона. Переходя от суммирования по отдельным модам поля к интегрированию Z X V d3 k → , (2π)3 k получим (при этом из ответа исчезнет объем поля V) Z 2α − 2 ωmax dωk 4α − 2 1 2 h0| ρ |0i = λ = λ ln . π ωk π α ωmin В качестве пределов логарифмического интеграла выбираем ωmin ∼ ωат = mc2 /(~α2 ) и ωmax ∼ mc2 /~ в соответствии с (49.5). Среднее по вакууму от потенциала (49.4) равно h0| U(r + ρ) |0i = U(r) + δU(r) = U(r) + 92

1 h 0|ρ2 |0i ∆U(r) , 6

а флуктуационная поправка (с учетом того, что ∆U(r) = 4πe2 δ(r)) составляет δU(r) =

2π 2 e δ(r) h0| ρ2 |0i . 3

В результате, оператор возмущения равен   8 1 2 δU(r) = α ln e2 − λ δ(r) . 3 α Поправка к энергии (в этом приближении она возникает лишь для s-состояния) составляет     1 16 3 1 Ry 8 2 2−2 δEn = α ln e λ | ψn (0) | = α ln . 3 α 3π α n3 Уровень 2s1/2 сдвигается вверх на

2α3 δE2 = 3π



1 ln α



Ry .

Таким образом, снимается последнее вырождение в атоме водорода. Вклад аномального магнитного момента электрона, ≈ (α/2π)µB , в обсуждаемый сдвиг уровней, ∼ (α/2π)α2 ∼ (α3 /π), примерно на порядок меньше. Более точный расчет, проводимый в квантовой электродинамике, дает для смещения уровня 2s1/2 величину   2α3 1 δE2 = ln − 1, 089 Ry = 1034 МГц , 3π α а для расщепления уровней 2s1/2 и 2p1/2 величину E2s1/2 − E2p1/2 = 1057, 91 ± 0, 01 МГц в полном согласии с экспериментальным значением 1057, 90 ± 0, 06 МГц. В водородоподобных ионах лэмбовский сдвиг растет как Z 4 . Один множитель Z возникает от неэкранированного кулоновского потенциала ядра и Z 3 — от | ψ(0) |2.

Задача 49.1. Найти с логарифмической точностью (то есть считая ln (1/α)  1) поправку к кулоновскому взаимодействию двух частиц, обусловленную флуктуациями вакуума электромагнитного поля. Рассмотреть следующие случаи: а) позитроний; б) электроны в атоме гелия; в) поправка первого порядка по m/M в атоме водорода.

§50. Рассеяние света Для определенности рассмотрим рассеяние света на атоме водорода. Взаимодействие атома с электромагнитным полем в первом порядке описывается оператором возмуˆ ˆ щения (48.4): Vˆ = −er E(0), где оператор электрического поля E(r) определен в (47.15). В первом порядке возможны только процессы испускания и поглощения света. Рассеяния света возникает во втором порядке, когда атом поглощает (или испускает) фотон с импульсом ~k, переходя из начального состояния ψi0 в промежуточное 93

состояние ψn0 , а затем атом испускает (или поглощает) фотон с импульсом ~k0 , переходя в конечное состояние ψf0 . Рассмотрим подробнее процесс упругого рассеяние света, когда ψi0 = ψf0 = ψ100 (r). Учитывая эти две возможности, запишем эффективный матричный элемент процесса Mf i (см. (45.13)), в котором энергия начального состояния системы атом + электромагнитное поле Ei0 + ~ω совпадает с энергией конечного состояния системы Ef0 + ~ω 0 , а энергия промежуточного состояния равна En0 :  X Vf0n Vni Vf n Vni0 Mf i = + . Ei0 + ~ω − En0 Ei0 − ~ω − En0 n

Здесь Vni — матричный элемент оператора возмущения, соответствующий поглощению фотона с импулсом ~k, а Vf0n — матричный элемент того же оператора, соответствующий испусканию фотона с импульсом ~k0 и т. д. Учитывая формулы (48.4) и (47.15), получим следующую оценку !2  r  |rni|2 |rni |2 2π~c2 ω 2 Mf i ∼ · e + ∼ ωV c ∆E − ~ω ∆E + ~ω   ~ω ~ω 2 2 ∼ 2πe aB + , ∆E − ~ω ∆E + ~ω

где ∆E = En0 −Ei0 . При квантовании поля предполагалась нормировка на один фотон во всем пространстве, поэтому плотность потока фотонов jф = c/V, а энергетическая плотность конечных состояний Z ω2 Vd3 k 0 0 ∼V 2 3. %= δ(Ef + ~ω − Ei − ~ω) 2 (2π)3 π ~c Так как сечение рассеяния dσ =

dwi→f , jф

где вероятность dwi→f расчитывается согласно (45.13), то для сечения рассеяния получаем следующую оценку: 2  ωa 2  2π |Mf i |2 % ~ω ~ω B 2 ∼ π(αaB ) + . σ∼ ~ jф c ∆E + ~ω ∆E − ~ω В случае малых частот ~ω  ∆E ∼ ~ωат получаем рэлеевское сечение  4 ω 2 σ ∼ πre , ωат

где re = α2 aB = e2 /(mc2 ) — классический радиус электрона. В случае больших частот ~ω  ∆E получаем томсоновское сечение  ωa 2  ~ω 2 B ат 2 σ ∼ π(αaB ) ∼ πre2 . c ~ω

В резонансном случае, ~ω = ∆E = En0 − Ei0 , нужно учесть ширину промежуточного состояния: i En0 → En0 − Γ , Γ ∼ α3 ~ω . 2 94

Тогда получим характерное резонансное сечение:  2 ~ω a2 2 4 σ ∼ πaB α ∼ π B2 ∼ π λ2 , Γ α где λ ∼ aB /α = c/ωат порядка длины волны падающего света.

Задача 50.1. Найти дифференциальное и полное сечение рассеяния фотонов сферическим ротатором, находящимся в основном состоянии. Ротатор имеет момент инерции I и электрический дипольный момент d, направленный вдоль оси ротатора.

§51. Молекулы Малость отношения масс электрона и ядра m/M обеспечивает применимость адиабатического приближения — рассмотрения движения электронов при фиксированных координатах ядер Ri . Энергия электронов E параметрически зависит от Ri, что позволяет рассматривать E(Ri ) как потенциал для ядер. Соотношение электронных, колебательных и вращательных частот r m m ωelect : ωosc : ωrot ∼ 1 : : M M служит количественным оправданием адиабатического приближения. (См.: [1], §78.)

Задача 51.1. Найти прямым вариационным методом потенциальную кривую U(R) иона H2+ . В качестве пробной функции выбрать 

 ψg (r, R) = C+ (R) ψ r − 21 R + ψ r + 12 R , где

ψ(r) =

e−r/β , (πβ)3/2

β — вариационный параметр и ±R/2 — координаты ядер. Рассмотреть также потенциальную кривую U(R) для пробной функции 

 ψu (r, R) = C− (R) ψ r − 12 R − ψ r + 12 R .

95

96

ПРИЛОЖЕНИЕ: О ФОРМАЛИЗМЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Основные положения Дадим краткий перечень основных положений математического формализма квантовой механики: а) состоянию физической системы сопоставляется вектор состояния |Ψi из гильбертова пространства; b) физической величине F сопоставляется линейный эрмитов оператор Fˆ ; c) физическая величина F может принимать только собственные значения f оператора Fˆ ; d) математическое ожидание значений величины F в состоянии |Ψi определяется диагональным матричным элементом hΨ| Fˆ |Ψi; e) закон эволюции вектора состояния определяется оператором Гамильтона сиˆ согласно уравнению стемы H i~

∂ ˆ |Ψi . |Ψi = H ∂t

Вектора состояний и волновые функции Вектор состояния |Ψf i ≡ |f i сопоставляется системе, состояние которой задано классическими параметрами f = (f1 , f2 , ..., fN ), которые можно измерять одновременно. Примеры: |Ψp i ≡ |pi — вектор состояния частицы с определенным значением импульса p; |Ψr i ≡ |ri — вектор состояния частицы, локализованной в точке r. Все возможные векторы состояний образуют линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов состояний |Ψi и |Φi, которое обозначается как hΨ|Φi = hΦ|Ψi∗ , где hΨ| — вектор из сопряжённого пространства. В пространстве векторов состояний можно выбрать полный набор независимых ортонормированных векторов |f i таких, что hf |f 0i = δf f 0 . Этот набор образует базис векторного пространства. Выбор базиса неоднозначен. В квантовой механике выбор базиса называется выбором представления . 97

Волновые функции. Любой вектор состояния |Ψi задается своими проекциями hf |Ψi на базисные вектора |f i: X X |Ψi = |f ihf |Ψi = |f iψ(f ) . f

f

Проекция hf |Ψi ≡ ψ(f ), рассматриваемая при различных f , называется волновой функцией данного состояния в f -представлении. Если система находится в состоянии |Ψf i, которое является собственным вектором оператора Fˆ , то есть Fˆ |Ψf i = f |Ψf i ,

то при измерении величины F будет получено значение, равное f , с вероятностью единица. Среднее значение F по произвольному состоянию |Ψi равно X X hΨ| Fˆ |Ψi = hΨ|f ihf | Fˆ |f 0 ihf 0 |Ψi = f |ψ(f )|2 , ff0

f

то есть при измерении величины F в состоянии |Ψi будет получено одно из собственных значений f оператора Fˆ с вероятностью |ψ(f )|2 . Отсюда видно, что |ψ(f )|2 — это вероятность найти значение f . Волновую функцию ψ(f ) называют также амплитудой вероятности. Преобразование волновой функции к другому представлению задаётся формулой9 X ψ(g) = hg|f iψ(f ) , f

где волновая функция hg|f i = ψf (g) = ψg∗ (f ) определяет связь двух базисов. Пример: волновая функция частицы с определенным импульсом в координатном представлении eipr/~ hr|pi = ψp (r) = . (2π~)3/2 Тогда для любой волновой функции с учетом hr|pi = hp|ri∗ имеем Z X e−ipr/~ ψ(r) d3 r ; ψ(p) = hp|Ψi = hp|rihr|Ψi = 3/2 (2π~) r Z X ψ(r) = hr|Ψi = hr|pihp|Ψi = p

eipr/~ ψ(p) d3 p . (2π~)3/2

Операторы. Связь представлений Если определено преобразование, переводящее вектор состояния |Ψi в вектор состоˆ яния |Φi, то говорят, что задан оператор G: ˆ |Ψi , |Φi = G Если величина f принимает непрерывный Rряд значений, то в этой формуле слеP дует заменить сумму на интеграл f . . . → . . . df , а в условии ортонормировки hf |f 0i = δf f 0 символ δf f 0 следует заменить на δ-функцию δ(f − f 0 ). 9

98

ˆ на базисный вектор состояния |f i Матрица оператора. Действие оператора G 0 ˆ |f i: задается матрицей Gf 0 f = hf | G X X ˆ i= ˆ |f i = G|f |f 0ihf 0 | G |f 0iGf 0 f . f0

f0

Для произвольного вектора состояния X X X ˆ ˆ |Ψi = ˆ |f 0ihf 0 |Ψi = G|Ψi = |f ihf | G |f ihf | G |f iGf f 0 ψ(f 0 ). f

ff0

Таким образом, оператор ˆ= G

ff0

X ff0

|f iGf f 0 hf 0 |

полностью определен, если известна его матрица Gf f 0 . Действие оператора на волˆ новую функцию получим, проецируя соотношение |Φi = G|Ψi на f -базис: X ϕ(f ) = hf |Φi = Gf f 0 ψ(f 0 ); ψ(f 0) = hf 0|Ψi. f0

Связь операторов в различных представлениях: X ˆ |f 0i = ˆ |g 0ihg 0|f 0 i = Gf f 0 = hf | G hf |gihg| G gg 0

=

X gg 0

hf |gi Ggg0 hg 0|f 0 i .

Пример: матрица оператора импульса в p-представлении имеет вид ˆ |pi = δ(p0 − p) p ; hp0 | p в координатном представлении Z ∂ 0 ˆ |ri = ψr∗0 (p0 ) p δ(p0 − p) ψr (p) d3pd3 p0 = +i~ δ(r − r0 ) . hr | p ∂r Его действие на волновую функцию ψ(r) сводится к дифференцированию Z ∂ψ(r) ˆ |r0iψ(r0 ) d3 r 0 = −i~ hr| p . ∂r Аналогично hr0 | ˆr |ri = δ(r0 − r) r ; hp0 | ˆr |pi = −i ~ δ(p0 − p) Z

hp| ˆr |p0 iψ(p0 ) d3 p0 = +i~

∂ ; ∂p

∂ψ(p) . ∂p

ˆ (и построенные из них) На этих примерах видно, что матрицы операторов ˆr и p пропорциональны δ-функции или ее производной: ˆ S (f ) δ(f 0 − f ) . Gf f 0 = G 99

Их действие на волновую функцию сводится к действию на волновую функцию опеˆ S (f ): ратора G X ˆ S (f ) ψ(f ) . Gf f 0 ψ(f 0 ) = G f0

ˆ S (f ) называют шрёдингеровским оператором в f -представлении (в отлиОператор G чие от матричного Gf f 0 ). В частности, в r-представлении rˆS = r , pˆS = −i~ в p-представлении rˆS = +i~

∂ ; ∂r

∂ , pˆS = p . ∂p

100