Введение в теорию многозначных отображений. Часть 1. Однозначные аппроксимации и сечения: Учебно-методическое пособие

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè

Âîðîíåæñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò

Ââåäåíèå â òåîðèþ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé ÷àñòü I (îäíîçíà÷íûå àïïðîêñèìàöèè è ñå÷åíèÿ)

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïî ñïåöèàëüíîñòè "ìàòåìàòèêà", 010100.

Âîðîíåæ  2003

Óòâåðæäåíî íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà 2 ñåíòÿáðÿ 2003, ïðîòîêîë N2

Ñîñòàâèòåëü: Ãåëüìàí Á.Ä.

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàôåäðå òåîðèè ôóíêöèé è ãåîìåòðèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Âîðîíåæñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Ðåêîìåíäóåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâ 4-ãî êóðñà.

Ñîäåðæàíèå 1

Ïîëóíåïðåðûâíûå ñíèçó ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ. Ïðèìåðû. 4

2 Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïîëóíåïðåðûâíûõ ñíèçó ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé 9 3

Îäíîçíà÷íûå íåïðåðûâíûå ñå÷åíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. 10 3.1 3.2 3.3

Îòîáðàæåíèÿ òèïà Ìàéêëà. . . . . . . . . . . . . . . Êëàññ U(X, Y ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Òåîðåìà Ìàéêëà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû Ìàéêëà. 4.1 4.2

5

Òåîðåìà Òèòöå-Óðûñîíà. . . . . . . . . . . . . . . . Îá îáðàòíîì îòîáðàæåíèè ê ñþðúåêòèâíîìó îïåðàòîðó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 12 13

14

14 15

Ïîëóíåïðåðûâíûå ñâåðõó ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ. Ïðèìåðû. 16

6 Íåïðåðûâíûå ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ. Ïðèìåðû. 17 7 Àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ìíîãîçíà÷íûìè îòîáðàæåíèÿìè. 18 8

Àïïðîêñèìàöèè ïîëóíåïðåðûâíûõ ñâåðõó ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. 19 8.1

8.2

9

Àïïðîêñèìàöèÿ ïîëóíåïðåðûâíîãî ñâåðõó ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ ïîëóíåïðåðûâíûìè ñíèçó ìíîãîçíà÷íûìè îòîáðàæåíèÿìè. . . . . . . . . . . . . . . 20 Îäíîçíà÷íûå àïïðîêñèìàöèè ïîëóíåïðåðûâíûõ ñâåðõó ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé . . . . . . . . . . . . 21

Îäíîçíà÷íûå ñå÷åíèÿ è àïïðîêñèìàöèè ïåðåñå÷åíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. 22 9.1

Íåïðåðûâíûå ñå÷åíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïîëóíåïðåðûâíîãî ñíèçó îòîáðàæåíèÿ è U -îòîáðàæåíèÿ. . . . . .

22

9.2

Îäíîçíà÷íûå ñå÷åíèÿ è àïïðîêñèìàöèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîëóíåïðåðûâíûõ ñâåðõó è ïîëóíåïðåðûâíûõ ñíèçó ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. . . . . . . . . . . . . .

23

Ââåäåíèå.  ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ ïîÿâèëèñü çàäà÷è (òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷, ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýêîíîìèêà, âàðèàöèîííûå íåðàâåíñòâà è ò.ä.), êîòîðûå ïîòðåáîâàëè äëÿ ñâîåãî èçó÷åíèÿ íîâîãî êëàññà îòîáðàæåíèé - ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. Òåîðèÿ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé - ýòî èíòåíñèâíî ðàçâèâàþùàÿñÿ îáëàñòü ìàòåìàòèêè, íàõîäÿùàÿñÿ íà ñòûêå òîïîëîãèè, òåîðèè ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî è íåëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Îäíèì èç âàæíåéøèõ ïðîáëåì â òåîðèè ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ îäíîçíà÷íûõ àïïðîêñèìàöèé è ñå÷åíèé. Èçëîæåíèþ ýòèõ âîïðîñîâ è ïîñâÿùåíî äàííîå ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå. Âñå íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ èç òîïîëîãèè ìîãóò áûòü íàéäåíû â [1].

1

Ïîëóíåïðåðûâíûå ñíèçó ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ. Ïðèìåðû.

Ïóñòü Y - ïîäìíîæåñòâî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà E, îáîçíà÷èì òîãäà: P (Y ) - ìíîæåñòâî âñåõ íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ â Y ; C(Y ) - ìíîæåñòâî âñåõ íåïóñòûõ çàìêíóòûõ ïîäìíîæåñòâ â Y ; Cv(Y ) - ìíîæåñòâî âñåõ íåïóñòûõ çàìêíóòûõ âûïóêëûõ ïîäìíîæåñòâ â Y ; K(Y ) - ìíîæåñòâî âñåõ íåïóñòûõ êîìïàêòíûõ ïîäìíîæåñòâ â Y . Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå (ì-îòîáðàæåíèå) ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà â ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî Y - ýòî ñîîòâåòñòâèå, ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé òî÷êå ∈ íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî F (x) ⊂ Y , íàçûâàåìîå îáðàçîì òî÷êè x.  äàëüíåéøåì, åñëè îáðàçû ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè, òî áóäåì çàïèñûâàòü ýòî ñëåäóþùèì îáðàçîì, F : X → (Y ). Àíàëîãè÷íî, îáîçíà÷åíèå F : X → Cv(Y ) (F : X → K(Y )) îçíà÷àåò, ÷òî îáðàçû F (x) ÿâëÿþòñÿ âûïóêëûìè çàìêíóòûìè (êîìïàêòíûìè) ìíîæåñòâàìè.

Ãðàôèêîì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F : X → P (Y ) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

ΓX (F ) = {(x, z) | z ∈ F (x), x ∈ X} ⊂ X × Y. Âñþäó â äàëüíåéøåì ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ îáîçíà÷àþòñÿ ïðîïèñíûìè, à îäíîçíà÷íûå - ñòðî÷íûìè áóêâàìè. Îïðåäåëåíèå 1. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → P (Y ) íàçûâàåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó â òî÷êå x0 ∈ X , åñëè äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà V ⊂ Y òàêîãî, ÷òî F (x0 ) ∩ V 6= Ø íàéäåòñÿ îòêðûòàÿ îêðåñòíîñòü U òî÷êè x0 , òàêàÿ, ÷òî F (x) ∩ V 6= Ø äëÿ ëþáîãî x ∈ U . Åñëè F - ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó â êàæäîé òî÷êå x ∈ X , òî îíî íàçûâàåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó. Ñïðîâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå, õàðàêòåðèçóþùåå ïîëóíåïðåðûâíûå ñíèçó îòîáðàæåíèÿ. Ïðåäëîæåíèå 1. (i) Äëÿ òîãî ÷òîáû îòîáðàæåíèå F : X → P (Y ) áûëî ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó â òî÷êå x0 , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà K ⊂ F (x0 ) è ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâîâàëî δ = δ(x0 , K, ε) > 0 òàêîå, ÷òî êàê òîëüêî ρ(x0 , x) < δ , òî K ⊂ Uε (F (x)). (ii) Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû: 1) F - ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó; 2) äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà V ⊂ Y ïîëíûé ïðîîáðàç ýòîãî ìíîæåñòâà

F −1 (V ) = {x ∈ X| F (x) ∩ V 6= Ø} ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìíîæåñòâîì â X .

Äîêàçàòåëüñòâî. (i) Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü îòîáðàæåíèå F

ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó â òî÷êå x0 , K ⊂ F (x0 ) - ïðîèçâîëüíûé êîìïàêò, ε - ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, òîãäà äëÿ ëþáîãî δ > 0 íàéäóòñÿ òî÷êè xδ ∈ Uδ (x0 ) è yδ ∈ K ⊂ F (x0 ) òàêèå, ÷òî yδ 6∈ Uε (F (xδ )). Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë {δn }, ñòðåìÿùóþñÿ ê íóëþ. Îáîçíà÷èì ñîîòâåòâóþùèå òî÷êè xδn = xn , yδn = yn . Òîãäà, ρ(xn , x0 ) < δn , yn ∈ K ⊂ F (x0 ) è yn 6∈ Uε (F (xn )). Òàê êàê ìíîæåñòâî K ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì, òî áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî {yn } → y∗ ∈ K. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n òî÷êà y∗ 6∈ U 2ε (F (xn )). Ðàññìîòðèì îòêðûòîå ìíîæåñòâî V = U 2ε (y∗ ). Î÷åâèäíî, ÷òî F (x0 ) ∩ V 6= Ø, îäíàêî, íå ñóùåñòâóåò îòêðûòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x òàêîé, ÷òî

F (x) ∩ V 6= Ø äëÿ ëþáîãî x èç ýòîé îêðåñòíîñòè. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó îòîáðàæåíèÿ F â òî÷êå x0 . Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà K ⊂ F (x0 ) è ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâîâóåò δ = δ(x0 , K, ε) > 0 òàêîå, ÷òî êàê òîëüêî ρ(x0 , x) < δ , òî K ⊂ Uε (F (x)). Ïîêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå F ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó â òî÷êå x0 . Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî V ⊂ Y . Ïóñòü òî÷êà x0 ∈ X òàêàÿ, ÷òî F (x0 ) ∩ V 6= Ø. Ïóñòü òî÷êà y0 ∈ (F (x0 ) ∩ V ). Ïóñòü ÷èñëî ε > 0 òàêîå, ÷òî Uε ⊂ V . Òàê êàê òî÷êà y0 ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå Y , òî ñóùåñòâîâóåò δ = δ(x0 , y0 , ε) > 0 òàêîå, ÷òî êàê òîëüêî ρ(x0 , x) < δ , òî y0 ⊂ Uε (F (x)). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ Uδ (x0 ) ïåðåñå÷åíèå F (x) ∩ V 6= Ø, ò.å. îòîáðàæåíèå F ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó â òî÷êå x0 . (ii) Äîêàæåì ýêâèâàëåíòíîñòü: 1) ⇔ 2). Ïóñòü F - ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó â òî÷êå x0 ∈ X . Òîãäà äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî V òàêîãî, ÷òî F (x0 ) ∩ V 6= Ø, ñóùåñòâóåò îòêðûòîå ìíîæåñòâî U 3 x0 òàêîå, ÷òî F (x) ∩ V 6= Ø äëÿ ëþáîãî x ∈ U . Òî åñòü U ⊂ F −1 (V ). Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî F −1 îòêðûòî â Y , ò.ê. ëþáàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà F −1 ëåæèò â íåì âìåñòå ñ íåêîòîðîé ñâîåé îêðåñòíîñòüþ. Ïóñòü òåïåðü ìíîæåñòâî F −1 (V ) - îòêðûòî äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà V ⊂ Y . Ïóñòü F (x0 ) ∩ V 6= Ø, òîãäà x0 ∈ F −1 (V ). Ñëåäîâàòåëüíî, â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà U ìîæíî âçÿòü ìíîæåñòâî F −1 (V ). Òàêèì îáðàçîì, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F - ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó. Ïðèâèäåì åùå îäèí êðèòåðèé ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ. Ïóñòü F : X → P (Y ) - ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, ΓX (F ) ãðàôèê ýòîãî îòîáðàæåíèÿ. Åñòåñòâåííî îïðåäåëåíû ïðîåêöèè t : ΓX (F ) → X, t(x, y) = x, è

r : ΓX (F ) → Y, r(x, y) = y. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ X ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî: F (x) = r · t−1 (x). Ïðåäëîæåíèå 2. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîåêöèÿ t ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì îòîáðàæåíèåì. Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ìíîæåñòâî W ⊂ Γ (F ) - îòêðûòîå ìíîæåñòâî è t(W ) = U . Ïîêàæåì, ÷òî ìíîæå-

ñòâî U îòêðûòî â X . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà x0 ∈ U òàêàÿ, ÷òî (x0 , y0 ) ∈ W, è äëÿ ëþáîãî δ > 0 íàéäåòñÿ òî÷êà xδ , ρ(xδ , x0 ) < δ, ïðè÷åì (xδ × F (xδ )) ∩ W = Ø. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê ìíîæåñòâî W îòêðûòî, òî ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà δ0 > 0, η0 > 0, ÷òî ïðîèçâåäåíèå îêðåñòíîñòåé Uδ0 (x0 ) × Uη0 (y0 ) ⊂ W . Èç ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó ìîòîáðàæåíèÿ F âûòåêàåò, ÷òî íàéäåòñÿ òàêîå δ1 > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ Uδ1 (x0 ) ïåðåñå÷åíèå F (x) ∩ Uη0 (y0 ) 6= Ø. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ δ ïåðåñå÷åíèå (xδ × F (xδ )) ∩ W 6= Ø. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå è äîêàçûâàåò íåîáõîäèìîñòü. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü t ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì îòîáðàæåíèåì. Ðàññìîòðèì îòêðûòîå ìíîæåñòâî V ïðèíàäëåæàùåå Y è äîêàæåì îòêðûòîñòü ìíîæåñòâà F −1 (V ) = {x ∈ X| F (x) ∩ V 6= Ø}. Ïóñòü òî÷êà x0 ∈ F −1 (V ), òîãäà íàéäåòñÿ òî÷êà y0 òàêàÿ, ÷òî y0 ∈ (F (x0 ) ∩ V ).  ñèëó îòêðûòîñòè ìíîæåñòâà V ñóùåñòâóåò ÷èñëî η > 0 òàêîå, ÷òî Uη (y0 ) ⊂ V . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî W = (Uε (x0 ) × Uη (y0 )) ∩ ΓX (F ). Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî îòêðûòî â ΓX (F ). Òîãäà ìíîæåñòâî U = t(W ) òàêæå ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì è x0 ∈ U . Ïóñòü x ∈ U , òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà y ∈ F (x) òàêàÿ, ÷òî (x, y) ∈ W , ò.å. x ∈ F −1 (V ). Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà x0 ëåæèò â F −1 (V ) âìåñòå ñî ñâîåé îòêðûòîé îêðåñòíîñòüþ U , ÷òî è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå. Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ãðàôèê ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F îòêðûòîå ìíîæåñòâî â X × Y , òî îòîáðàæåíèå F ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó. Äîêàçàòåëüñòâî âûòåêàåò èç îòêðûòîñòè ïðîåêöèè t. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû ïîëóíåïðåðûâíûõ ñíèçó ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. Ïðèìåð 1. Ïóñòü E - áàíàõîâî ïðîòðàíñòâî, X - âûïóêëîå S 1 ìíîæåñòâî â E . Îáîçíà÷èì ÷åðåç SX (x) := h (X − x) êîíóñ, ïîðîæäåííûé X − x, è ÷åðåç TX (x) := (

S

h>0

h>0 1 h (X −

x)) îáîçíà÷èì åãî

çàìûêàíèå. Ìíîæåñòâî TX (x) íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíûì êîíóñîì ê X â òî÷êå x. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîé òî÷êè v ∈ SX (x) ñóùåñòâóåò h > 0 òàêîå, ÷òî x + hv ∈ X . Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâà SX (x) è TX (x) ÿâëÿþòñÿ âûïóêëûìè. Ðàçëè÷íûå ñâîéñòâà êîñàòåëüíûõ êîíóñîâ ê ìíîæåñòâó X èçëîæåíû â [3]. Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå T : X → Cv(E), T (x) =

TX (x).

Ïðåäëîæåíèå 3. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå T ÿâëÿåòñÿ ïî-

ëóíåïðåðûâíûì ñíèçó. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü V - ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî â E . Ðàññìîòðèì T −1 (V ) = {x ∈ X| T (x) ∩ V 6= Ø} è ïîêàæåì, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì. Ïóñòü òî÷êà x0 ∈ T −1 (V ), òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà y0 ∈ (T (x)∩V ). Ðàññìîòðèì ε > 0 òàêîå, ÷òî U2ε (y0 ) ⊂ V .  ñèëó îïðåäåëåíèé ìíîæåñòâ SX (x0 ) è TX (x0 ) ñóùåñòâóåò òî÷êà z0 ∈ (SX (x0 ) ∩ Uε (y0 )). Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò òî÷êà u ∈ X è ÷èñëî h > 0 òàêèå, ÷òî z0 = h1 (u − x0 ). Ïóñòü x1 ∈ X , ðàññìîòðèì òî÷êó z1 = h1 (u − x1 ) ∈ SX (x1 ). Òîãäà ||z0 − z1 || = h1 ||x1 − x0 ||. Åñëè ||x0 − x1 || < δ , ãäå 0 < δ < hε, òî SX (x1 ) ∩ Uε (y0 ) 6= Ø. Òàê êàê

(SX (x1 ) ∩ Uε (y0 )) ⊂ (TX (x1 ) ∩ U2ε (y0 )) ⊂ (T (x1 ) ∩ V ), òî ìíîæåñòâî T −1 (V ) ñîäåðæèò îêðåñòíîñòü Uδ (x0 ) ∩ X , ÷òî è äîêàçûâàåò îòêðûòîñòü ìíîæåñòâà T −1 (V ). Ëåììà äîêàçàíà. Ïðèìåð 2. Ïóñòü X, Y - ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, f : Y → X - ñþðúåêòèâíîå íåïðåðûâíîå îòêðûòîå îòîáðàæåíèå. Òîãäà îïðåäåëåíî îáðàòíîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → C(Y ), F (x) = {y ∈ Y | f (y) = x}. Ïðåäëîæåíèå 4. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü V ⊂ Y - ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî, òîãäà

F −1 (V ) = {x ∈ X | F (x) ∩ V 6= Ø} = f (V ). Òàê êàê îòîáðàæåíèå f ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì, òî ìíîæåñòâî f (V ) îòêðûòî, ÷òî è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå. Ïðèìåð 3. Ïóñòü Y - íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, A - ïîäìíîæåñòâî â Y . Ïóñòü α : X → R - íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → P (Y ) îïðåäåëåííîå óñëîâèåì,

F (x) = α(x) · A = {α(x)z | z ∈ A}. Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó.

Óïðàæíåíèÿ:

1. Ïóñòü X è Y - ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû: 1) F - ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó; 2) äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà W ⊂ Y ìàëûé ïðîîáðàç

ýòîãî ìíîæåñòâà F −1 (W ) = {x ∈ X| F (x) ⊂ W } ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì â X . 2. Ïóñòü ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : [−1, 1] → C(R1 ) îïðåäåëåíî óñëîâèåì:   [0, 1], åñëè x > 0, F (x) = 0, åñëè x = 0,  [−1, 0], åñëè x < 0. ßâëÿåòñÿ ëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó?

2 Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïîëóíåïðåðûâíûõ ñíèçó ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé  äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáÿòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïîëóíåïðåðûâíûõ ñíèçó ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. Ýòè óòâåðæäåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îáîáùåíèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ óòâåðæäåíèé èç [2]. Ïóñòü X - ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, Y - íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî. Ëåììà 1. Åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → P (Y ) ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó, òî âûïóêëàÿ îáîëî÷êà coF : X → Cv(Y ), (coF )(x) = co(F (x)), òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì. Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì F1 (x) = coF (x). Ïóñòü V ⊂ Y - ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî, ïóñòü òî÷êà x0 ∈ X òàêàÿ, ÷òî F1 (x0 ) ∩ V 6= Ø. Òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà y0 ∈ (F1 (x0 ) ∩ V ), ò.å. y0 ∈ F1 (x0 ) è y0 ∈ V . Òàê êàê V - îòêðûòîå ìíîæåñòâî, òî ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε0 òàêîå, ÷òî Uε0 (y0 ) ⊂ V . Ïîñêîëüêó y0 ∈ F1 (x0 ), òî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ âûïóêëîé îáîëî÷êè ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê y1 , . . . , yk ∈ F (x0 ) òàêèõ, ÷òî y0 =

0 è

k P i=1

k P

i=1

λi yi , ãäå λi ≥

λi = 1

Ðàññìîòðèì îêðåñòíîñòè òî÷åê yi : Uε0 (yi ) = Ui . Ïîêàæåì, ÷òî

k P

λi Ui ⊂ Uε0 (y0 ). Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ïðîèçâîëüíûå òî÷êè zi ∈

i=1 Ui , i

= 1, . . . , k , òîãäà, z0 =

k X

λi zi ∈

k X

λi Ui .

Îöåíèì

||y0 −z0 || = ||y0 −

k X

λi zi || = ||

i=1

≤

k X i=1

k X

λi yi −

i=1

λi ||yi − zi || < ε0

k X

λi zi || = ||

i=1 k X

k X

λi (yi −zi )|| ≤

i=1

λi = ε0 .

i=1

Ñëåäîâàòåëüíî, z0 ∈ Uε0 (y0 ). Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî

k P i=1

λi Ui ⊂

Uε0 (y0 ). Ðàññìîòðèì òåïåðü ìíîæåñòâà Vi = F −1 (Ui ), i = 1, . . . , k . Ìíîk T æåñòâî W = Vi - îòêðûòî, ò.ê. Vi - îòêðûòûå ìíîæåñòâà. Î÷åi=1

âèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî W 6= Ø, òàê êàê òî÷êà x0 ∈ W . Ïóñòü òî÷êà x ∈ W , ïîêàæåì, ÷òî F1 (x) ∩ V 6= Ø. Ïî îïðåäåëåíèþ F −1 èìååì: F (x) ∩ Ui 6= Ø, i = 1, . . . , k . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò òî÷êè zi ∈ (F (x) ∩ Ui ). Òàê êàê zi ∈ Ui , òî z0 = k P

i=1

λi zi ⊂

k P

i=1

λi Ui ⊂ Uε0 (y0 ). Ïîñêîëüêó zi ∈ F (x), òî z0 =

k P

i=1

λi zi ∈

coF (x) = F1 (x). Ñëåäîâàòåëüíî, F1 (x) ∩ Uε0 (y0 ) 6= ∅. Ó÷èòûâàÿ,÷òî Uε0 (y0 ) ⊂ V , ïîëó÷àåì F1 (x) ∩ V 6= Ø. Ýòî è äîêàçûâàåò, ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F1 . Ëåììà 2. Åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → P (Y ) ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó, òî çàìûêàíèå F¯ : X → C(Y ), (F¯ )(x) = F (x), òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî V ⊂ Y è òî÷êó x0 òàêóþ, ÷òî F¯ (x0 ) ∩ V 6= Ø. Òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà y0 ∈ (F¯ (x0 ) ∩ V ). Òàê êàê ìíîæåñòâî V - îòêðûòî, òî íàéäåòñÿ ÷èñëî ε0 > 0 òàêîå, ÷òî Uε0 (y0 ) ⊂ V . Òàê êàê y0 ∈ F¯ (x0 ), òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn } ⊂ F (x0 ) òàêàÿ, ÷òî yn → y0 . Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîé íîìåð n0 , ÷òî äëÿ ëþáîãî n ≥ n0 áóäåò âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî: ||yn − y0 || < ε0 . Ñëåäîâàòåëüíî, yn ∈ Uε0 (y0 ) ⊂ V . Òîãäà F (x0 )∩V 6= Ø, è ñóùåñòâóåò îòêðûòàÿ îêðåñòíîñòü Uε (x0 ) òàêàÿ, ÷òî F (x) ∩ V 6= Ø äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ Uε (x0 ). Òàê êàê F (x) ⊂ F¯ (x), òî F¯ (x) ∩ V 6= Ø. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F¯ - ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó.

Ïðåäëîæåíèå 5. Åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X →

C(Y ) - ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó, òî coF : X → Cv(Y ), (coF )(x) = co(F (x)), òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì. Äîêàçàòåëüñòâî âûòåêàåò èç ëåìì 1 è 2.

3

Îäíîçíà÷íûå íåïðåðûâíûå ñå÷åíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé.

Ïóñòü X è Y - ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, F : X → P (Y ) - íåêîòîðîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå. Îïðåäåëåíèå 2. Íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f : X → Y íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì ñå÷åíèåì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F , åñëè äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ X âûïîëíåíî âêëþ÷åíèå f (x) ∈ F (x). Íåòðóäíî ïðèâåñòè ïðèìåðû ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé, êîòîðûå èìåþò îäíîçíà÷íûå íåïðåðûâíûå ñå÷åíèÿ. Àíàëîãè÷íî, ëåãêî ïðèâåñòè ïðèìåðû ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé, êîòîðûå íå èìåþò îäíîçíà÷íûõ íåïðåðûâíûõ ñå÷åíèé. Ïðîáëåìà ñóùåñòâîâàíèÿ íåïðåðûâíûõ ñå÷åíèé èãðàåò âàæíóþ ðîëü â òåîðèè ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. 3.1 Îòîáðàæåíèÿ òèïà Ìàéêëà.

Îïðåäåëåíèå 3. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → P (Y ) áó-

äåì íàçûâàòü îòîáðàæåíèåì òèïà Ìàéêëà, åñëè äëÿ ëþáîé òî÷êè (x0 , y0 ) ïðèíàäëåæàùåé ãðàôèêó ΓX (F ), ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå f : X → Y îòîáðàæåíèÿ F òàêîå, ÷òî f (x0 ) = y0 . Ñâîéñòâî ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ áûòü îòîáðàæåíèåì òèïà Ìàéêëà òåñíî ñâÿçàíî ñ ïîëóíåïðåðûâíîñòüþ ñíèçó. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ïðåäëîæåíèå 6. Ïóñòü ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → P (Y ) ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì òèïà Ìàéêëà, òîãäà îíî ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü V ⊂ Y - ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî. Ïóñòü F −1 (V ) - ïîëíûé ïðîîáðàç ìíîæåñòâà V . Äîêàæåì, ÷òî ýòî ìíîæåñòî îòêðûòî. Ïóñòü x0 - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç F −1 (V ). Ïóñòü y0 ∈ (F (x0 ) ∩ V ). Ðàññìîòðèì íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå f : X → Y îòîáðàæåíèÿ F òàêîå, ÷òî f (x0 ) = y0 . Òàê êàê f - íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå, òî ìíîæåñòâî U = f −1 (V ) ⊂ X -

ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì. Òàê êàê äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ U âûïîëíåíû âêëþ÷åíèÿ f (x) ∈ F (x) è f (x) ∈ V , òî F (x) ∩ V 6= Ø. Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäàÿ òî÷êà x0 ∈ F −1 (V ) ëåæèò â F −1 (V ) âìåñòå ñ îòêðûòîé îêðåñòíîñòüþ U , ÷òî è äîêàçûâàåò îòêðûòîñòü ìíîæåñòâà F −1 (V ). Îäíàêî, îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íå âåðíî. Íåòðóäíî ïðèäóìàòü ïîëóíåïðåðûâíûå ñíèçó ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ îòîáðàæåíèÿìè òèïà Ìàéêëà ( áîëåå òîãî, íå èìåþò íåïðåðûâíûõ ñå÷åíèé). Âàæíóþ ðîëü â ïðîáëåìå ñóùåñòâîâàíèÿ íåïðåðûâíûõ ñå÷åíèé èãðàåò ñòðóêòóðà îáðàçîâ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. 3.2 Êëàññ U(X, Y ).

Ðàññìîòðèì îäèí êëàññ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé, âàæíûé äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññìîòðåíèé. Ïóñòü X - ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, Y - íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, F : X → P (Y ) - íåêîòîðîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå. Îïðåäåëåíèå 4. Áóäåì ãîâîðèòü ÷òî F ÿâëÿåòñÿ U - îòîáðàæåíèåì, åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåò äâóì óñëîâèÿì: a) ãðàôèê ΓX (F ) ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìíîæåñòâîì â X × Y ; b) äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ X îáðàç F (x) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì. Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ U -îòîáðàæåíèé èç X â Y ñèìâîëîì U(X, Y ). Ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ ïðèíàäëåæàùèå U(X, Y ) îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè. Ñâîéñòâî 1. Åñëè F ∈ U (X, Y ), òî îíî ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó. Ñâîéñòâî 2. Åñëè F : X → V (Y ) - ïîëóíåïðåðûâíîå ñíèçó ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F ε : X → V (Y ), F ε (x) = Uε (F (x)), ÿâëÿåòñÿ U îòîáðàæåíèåì. Ñâîéñòâî 3. Ïóñòü ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ F1 , ..., Fn ∈

U(X, Y ), åñëè äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ X ïåðåñå÷åíèå òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå

n T i=1

n T

i=1

Fi (x) 6= Ø,

Fi ∈ U(X, Y ).

Óïðàæíåíèå. Äîêàçàòü ñâîéñòâà 1, 2, 3 äëÿ îòîáðàæåíèé èç

U(X, Y ). Î÷åâèäíî, ÷òî îòîáðàæåíèÿ èç U(X, Y ) ÿâëÿþòñÿ îòîáðàæåíèÿìè òèïà Ìàéêëà, áîëåå òîãî, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

Òåîðåìà 1. Ïóñòü F ∈ U(X, Y ), òîãäà äëÿ ëþáîãî çàìêíóòî-

ãî ìíîæåñòâà A ⊂ X è ëþáîãî ñå÷åíèÿ f : A → Y ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F |A ñóùåñòâóåò ñå÷åíèå f˜ : X → Y ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F òàêîå, ÷òî f˜|A = f. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f1 - ïðîèçâîëüíîå íåïðåðûâíîå ïðîäîëæåíèå îòîáðàæåíèÿ f íà âñå ïðîñòðàíñòâî X . Òîãäà, â ñèëó îòêðûòîñòè ãðàôèêà îòîáðàæåíèÿ F , ñóùåñòâóåò îòêðûòîå ìíîæåñòâî U ⊃ A òàêîå, ÷òî f1 |U ÿâëÿåòñÿ ñå÷åíèåì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F |U . Ïóñòü òî÷êà x ∈ B = X \ U , âûáåðåì ïðîèçâîëüíî òî÷êó yx ∈ F (x).  ñèëó îòêðûòîñòè ãðàôèêà îòîáðàæåíèÿ F , ñóùåñòâóåò îòêðûòàÿ îêðåñòíîñòü U (x) òî÷êè x òàêàÿ, ÷òî yx ∈ F (x0 ) äëÿ ëþáîé òî÷êè x0 ∈ U (x) è U (x) ∩ A = Ø. Î÷åâèäíî, ÷òî ñåìåéñòâî {U (x)}x∈B îáðàçóåò îòêðûòîå ïîêðûòèå (ñì. [?]) ìíîæåñòâà B . Âûáåðåì èç ýòîãî ïîêðûòèÿ ëîêàëüíî êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå {U (xα )}α∈J . Òîãäà ñåìåéñòâî {U ; {U (xα )}α∈J } îáðàçóåò ëîêàëüíî êîíå÷íîå ïîêðûòèå ïðîñòðàíñòâà X . Ïóñòü ôóíêöèè {ϕ(x); {ϕα }α∈J } îáðàçóþò ðàçáèåíèå åäèíèöû, ïîñòðîåííîå ïî ýòîìó ïîêðûòèþ (ñì. [1]). Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå f˜ : X → Y îïðåäåëåííîå ïî ïðàâèëó: X ˜ f (x) = ϕ(x)f1 (x) + ϕα (x)yxα . α∈J

Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî â ñèëó âûïóêëîñòè îáðàçîâ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F , ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå f˜ áóäåò èñêîìûì ñå÷åíèåì. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü F : X → V (Y ) - ïîëóíåïðåðûâíîå ñíèçó ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå. 0Òîãäà, äëÿ ëþáîãî ε > 0, ëþáîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà A ⊂ X è ëþáîãî ñå÷åíèÿ f : A → Y ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F |A , ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f˜ : X → Y òàêîå, ÷òî: 1) f˜|A = f ; 2) f˜(x) ∈ Uε (F (x)) äëÿ ëþáîãî x ∈ X , ò.å. f˜ ÿâëÿåòñÿ ε-ñå÷åíèåì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F . Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó ñâîéñòâ U -îòîáðàæåíèé, äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F ε : X → V (Y ), F ε (x) = Uε (F (x)), ÿâëÿåòñÿ U -îòîáðàæåíèåì. Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäñòâèÿ âûòåêàåò èç òåîðåìû 1.

3.3 Òåîðåìà Ìàéêëà.

Îïèðàÿñü íà òåîðåìó 1 è ñëåäñòâèå 2 ìîæíî äàòü ïðîñòîå äîêàçàòåëüñòâî êëàññè÷åñêîé òåîðåìû Ìàéêëà î ñå÷åíèè. Òåîðåìà(Ìàéêë) 2. Ïóñòü E - áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, F : X → Cv(E) - ïîëóíåïðåðûâíîå ñíèçó ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, A - çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî â X . Åñëè f : A → E íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå F |A , òî ó F ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå g : X → E òàêîå, ÷òî g |A = f . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü r - ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé {fn }∞ n=0 , fn : X → E , óäîâëåòâîðÿþùèõ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1) ρ(fn (x), F (x)) < 2rn äëÿ ëþáîãî x ∈ X ; 2) ||fn (x) − fn−1 (x)|| < 2rn äëÿ ëþáîãî x ∈ X è n > 0; 3) fn |A = f . Ñòðîèòü ýòè îòîáðàæåíèÿ áóäåì èíäóêòèâíî.  êà÷åñòâå îòîáðàæåíèÿ f0 ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå r-ñå÷åíèå ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F , óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì ñëåäñòâèÿ 2. Ïîñòðîèì îòîáðàæåíèå f1 , äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äâà ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèÿ G1 è G01 , G1 (x) = U 2r (F (x)) è G01 (x) = U 2r (f0 (x)).  ñèëó ñâîéñòâà 2 ìíîãîçíà÷íûõ U -îòîáðàæåíèé, ýòè îòîáðàæåíèÿ ïðèíàäëåæàò U(X, E). Òàê êàê ρ(f0 (x), F (x)) < r, òî G1 (x) ∩ G01 (x) 6= Ø äëÿ ëþáîãî x ∈ X . Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ñâîéñòâà 3 ìíîãîçíà÷íûõ U -îòîáðàæåíèé, îòîáðàæåíèå G1 ∩ G01 òàêæå ÿâëÿåòñÿ U -îòîáðàæåíèåì è, â ñèëó òåîðåìû 1, ó íåãî ñóùåñòâóåò ñå÷åíèå f1 , êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ f íà ìíîæåñòâå A. Î÷åâèäíî, ÷òî ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå f1 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1, 2, 3. Ïóñòü ó íàñ óæå ïîñòðîåíû îòîáðàæåíèÿ f0 , ..., fn−1 , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì 1, 2 è 3. Ïîñòðîèì îòîáðàæåíèå fn , äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äâà ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèÿ Gn è G0n , Gn (x) = U 2rn (F (x)) è G01 (x) = U 2rn (fn−1 (x)).  ñèëó ñâîéñòâà 2 ìíîãîçíà÷íûõ U -îòîáðàæåíèé, ýòè îòîáðàæåíèÿ ïðèíàäëåæàò U(X, E). Òàê r êàê ρ(fn−1 (x), F (x)) < 2n−1 , òî Gn (x) ∩ G0n (x) 6= Ø äëÿ ëþáîãî x ∈ X . Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ñâîéñòâà 3 ìíîãîçíà÷íûõ U îòîáðàæåíèé, îòîáðàæåíèå Gn ∩G0n òàêæå ÿâëÿåòñÿ U -îòîáðàæåíèåì è, â ñèëó òåîðåìû 1, ó íåãî ñóùåñòâóåò ñå÷åíèå fn , êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ f íà ìíîæåñòâå A. Î÷åâèäíî, ÷òî ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå fn óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1, 2, 3.  ñèëó óñëîâèÿ 2, ïîñòðîåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn }∞ n=0 ðàâ-

íîìåðíî ñõîäèòñÿ ê íåïðåðûâíîìó îòîáðàæåíèþ g : X → E .  ñèëó óñëîâèÿ 3 èìååì, g|A = f .  ñèëó óñëîâèÿ 1, äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ X ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå g(x) ∈ F (x), ò.å. g ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ñå÷åíèåì F . Òåîðåìà äîêàçàíà.

4 Íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû Ìàéêëà. 4.1 Òåîðåìà Òèòöå-Óðûñîíà.

Ïóñòü X - ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, E - áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, A ⊂ X - ïðîèçâîëüíîå çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî. Ïóñòü f : A → E - íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå. Îïðåäåëåíèå 5. Íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f˜ : X → E íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì ïðîäîëæåíèåì f , åñëè f˜|A = f . Òåîðåìà 3. Äëÿ ëþáîãî íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ f : A → E ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ïðîäîëæåíèå f˜ : X → E òàêîå, ÷òî f˜(X) ⊂ co(f (A)). Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì B = co(f (A)). Ïî ïîñòðîåíèþ, ýòî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì âûïóêëûì ïîäìíîæåñòâîì â E . Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → Cv(E) îïðåäåëåííîå óñëîâèåì: F (x) = B äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ X . Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ A âûïîëíåíû âêëþ÷åíèÿ f (x) ∈ B = F (x), ò.å. f ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ñå÷åíèåì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F íà ìíîæåñòâå A. Òàê êàê F óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Ìàéêëà, òî ó F ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå f˜ : X → E òàêîå, ÷òî f˜|A = f . Òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ X âûïîëíåíû âêëþ÷åíèÿ f˜(x) ∈ F (x) = B = co(f (A)), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ðàññìîòðèì ñëåäñòâèå èç òåîðåìû Òèòöå-Óðûñîíà. Ïóñòü, êàê è ðàíüøå, E - áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, T ⊂ E - çàìêíóòîå âûïóêëîå ïîäìíîæåñòâî. Îïðåäåëåíèå 6. Ðåòðàêöèåé ïðîñòðàíñòâà E íà ìíîæåñòâî T íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå τ : E → T òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ A èìååì ðàâåíñòâî τ (x) = x. Ñëåäñòâèå 3. Åñëè T ⊂ E - çàìêíóòîå âûïóêëîå ïîäìíîæåñòâî, òî âñåãäà ñóùåñòâóåò ðåòðàêöèÿ ïðîñòðàíñòâà E íà ýòî ìíîæåñòâî T . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü l : T → T - îòîáðàæåíèå, îïðåäåëåííîå óñëîâèåì, l(x) = x äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ T . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå íåïðåðûâíî. Ïðèìåíèì ê ýòîìó îòîáðàæåíèþ

òåîðåìó Òèòöå-Óðûñîíà, òîãäà ïðîäîëæåíèå ˜ l : E → T è áóäåò ðåòðàêöèåé ïðîñòðàíñòâà E íà ýòî ìíîæåñòâî T . 4.2

Îá îáðàòíîì îòîáðàæåíèè ê ñþðúåêòèâíîìó îïåðàòîðó.

Ïóñòü E1 è E2 - áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà, a : E1 → E2 - ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûé ñþðúåêòèâíûé îïåðàòîð. Òîãäà ïî òåîðåìå Áàíàõà îá "îòêðûòîì îòîáðàæåíèè"(ñì., íàïðèìåð, [?]) îòîáðàæåíèå a ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 4, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå a−1 : E2 → Cv(E1 ), îáðàòíîå ê a, ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó. Òåîðåìà 4. Ïóñòü x0 ∈ E1 , y0 = a(x0 ). Òîãäà ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f : E2 → E1 ÿâëÿþùååñÿ ïðàâûì îáðàòíûì ê îòîáðàæåíèþ a (ò.å. äëÿ ëþáîé òî÷êè y ∈ E2 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî a(f (y)) = y ) è f (y0 ) = x0 . Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç òåîðåìû Ìàéêëà, ïðèìåíåííîé ê ìíîãîçíà÷íîìó îòîáðàæåíèþ a−1 .

5

Ïîëóíåïðåðûâíûå ñâåðõó ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ. Ïðèìåðû.

Ðàññìîòðèì òåïåðü äðóãîé êëàññ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. Ïóñòü êàê è ðàíüøå, X è Y - ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. Îïðåäåëåíèå 7. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → P (Y ) íàçûâàåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñâåðõó â òî÷êå x◦ ∈ X , åñëè äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà V ⊂ Y, V ⊃ F (x◦ ), ñóùåñòâóåò îòêðûòàÿ îêðåñòíîñòü U òî÷êè x◦ òàêàÿ, ÷òî F (U ) ⊂ V . Åñëè F - ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó â êàæäîé òî÷êå x ∈ X , òî îíî íàçûâàåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñâåðõó. Ïðåäëîæåíèå 7. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû: 1) F - ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó; 2) äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà V ⊂ Y ìàëûé ïðîîáðàç ýòîãî ìíîæåñòâà

F −1 (V ) = {x ∈ X| F (x) ⊂ V } ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìíîæåñòâîì â X . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü V - ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî â Y . Ïóñòü òî÷êà x0 ∈ F −1 (V ). Òàê êàê ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó â òî÷êå x0 òî ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü U òî÷êè x0 òàêàÿ, ÷òî F (U ) ⊂ V , òî åñòü U ⊂ F −1 (V ). Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî F −1 (V ) îòêðûòî â X .

Ïóñòü òåïåðü x◦ - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà â X , V ⊂ Y - ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî òàêîå, ÷òî V ⊃ F (x◦ ). Òàê êàê ìíîæåñòâî F −1 (V ) îòêðûòî â X , òî îòîáðàæåíèå F ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó â òî÷êå x0 . Òàê êàê òî÷êà x0 âûáåðàëàñü ïðîèçâîëüíî, òî ýòî è äîêàçûâàåò ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñâåðõó îòîáðàæåíèÿ F . Ñóùåñòâóåò òåñíàÿ ñâÿçü ìåæäó ïîëóíåïðåðûâíîñòüþ ñâåðõó ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F è çàìêíóòîñòüþ åãî ãðàôèêà ΓX (F ). Ïðåäëîæåíèå 8. Åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → C(Y ) ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó, òî åãî ãðàôèê ΓX (F ) ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì â ïðîñòðàíñòâå X × Y . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(xn , yn )} ⊂ ΓX (F ) è {(xn , yn )} → (x∗ , y∗ ). Äîêàæåì, ÷òî ïðåäåëüíàÿ òî÷êà (x∗ , y∗ ) òàêæå ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ΓX (F ). Òàê êàê ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâå X × Y ýêâèâàëåíòíà ïîêîîðäèíàòíîé ñõîäèìîñòè, òî {xn } → x∗ è {yn } → y∗ . Ïóñòü ε - ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ðàññìîòðèì îòêðûòóþ ε-îêðåñòíîñòü Uε (F (x∗ )) ìíîæåñòâà F (x∗ ),

Uε (F (x∗ )) = {y ∈ Y | ||y − z|| < ε äëÿ íåêîòîðîãî z ∈ F (x∗ )}. Òàê êàê îòîáðàæåíèå F ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó, òî ñóùåñòâóåò íîìåð n0 òàêîé, ÷òî âêëþ÷åíèå yn ∈ Uε (F (x∗ )) âûïîëíåíî äëÿ ëþáîãî n > n0 . Òîãäà ïðåäåëüíàÿ òî÷êà y∗ áóäåò ïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó Uε (F (x∗ )). Òàê êàê ÷èñëî ε âûáèðàëîñü ïðîèçâîëüíî è ìíîæåñòâî F (x∗ ) çàìêíóòî, òî òî÷êà y∗ ∈ F (x∗ ). Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà (x∗ , y∗ ) ∈ ΓX (F ), ÷òî è äîêàçûâàåò çàìêíóòîñòü ýòîãî ìíîæåñòâà.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ çàìêíóòîñòü ãðàôèêà ãàðàíòèðóåò ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñâåðõó ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ. Ïðåäëîæåíèå 9. Ïóñòü Y êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, F : X → C(Y ) - ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå. Åñëè ãðàôèê ΓX (F ) ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì â X × Y , òî îòîáðàæåíèå F ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñâåðõó. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Åñëè îòîáðàæåíèå F íå ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñâåðõó, òî ñóùåñòâóþò: òî÷êà x∗ ∈ X , ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } → x∗ òàêèå, ÷òî F (xn ) 6⊂ Uε (F (x∗ )). Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn }, yn ∈ F (xn ) è yn 6∈ Uε (F (x∗ )).  ñèëó êîìïàêòíîñòè ïðîñòðàíñòâà Y áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn } ñõîäèòñÿ ê òî÷êå y∗ . Î÷åâèäíî, ÷òî ρ(y , F (x )) ≥ ε.

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó çàìêíóòîñòè ãðàôèêà ΓX (F ) òî÷êà (x∗ , y∗ ) äîëæíà ïðèíàäëåæàòü ΓX (F ), ò.å. y∗ ∈ F (x∗ ). Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå è äîêàçûâàåò ïðåäëîæåíèå.

Óïðàæíåíèÿ:

1. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû: 1) F- ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó; 2) äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà W ⊂ Y ïîëíûé ïðîîáðàç ýòîãî ìíîæåñòâà F −1 (W ) = {x ∈ X| F (x) ∩ W } ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì â X . 2. Ïóñòü ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : [−1, 1] → C(R1 ) îïðåäåëåíî óñëîâèåì:

 

1, åñëè x > 0, [0, 1], åñëè x = 0, F (x) =  −1, åñëè x < 0. ßâëÿåòñÿ ëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F ïîëóíåïðåðûâíûì ñâåðõó?

6 Íåïðåðûâíûå ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ. Ïðèìåðû. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé êëàññ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. Îïðåäåëåíèå 8. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → P (Y ) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì, åñëè îíî îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì è ñâåðõó è ñíèçó. Î÷åâèäíî, ÷òî ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé âûòåêàþò èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ïîëóíåïðåðûâíûõ ñâåðõó è ñíèçó îòîáðàæåíèé. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → P (Y ) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì, òî äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà V ⊂ Y è ìàëûé ïðîîáðàç F −1 (V ) = {x ∈ X| F (x) ⊂ V }, è ïîëíûé ïðîîáðàç F −1 (V ) = {x ∈ X| F (x) ∩ V } ÿâëÿþòñÿ îòêðûòûìè ìíîæåñòâàìè â Y . Ïîäðîáíåå îá èõ ñâîéñòàõ ñìîòðè, íàïðèìåð, â [2]. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû íåïðåðûâíûõ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. Ïðèìåð 3. Ïóñòü Y - íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, A - êîìïàêòíîå ïîäìíîæåñòâî â Y . Ïóñòü α : X → R - íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → P (Y ) îïðåäåëåííîå óñëîâèåì,

F (x) = α(x) · A = {α(x)z | z ∈ A}.

Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì. Ïðèìåð 4. Ïóñòü ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : [−1, 1] → C(R1 ) îïðåäåëåíî óñëîâèåì:

  [0, x], åñëè x > 0, F (x) = 0, åñëè x = 0,  [x, 0], åñëè x < 0.

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì.

Óïðàæíåíèÿ:

1) Äîêàçàòü íåïðåðûâíîñòü ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé èç ïðèìåðîâ 3 è 4. 2) Áóäåò ëè íåïðåðûâíûì ñëåäóþùåå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : [−1, 1] → Kv(R1 ), îïðåäåëåííîå ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó,

F (x) = {y ∈ R1 | |y| ≤ |x|}?

7 Àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ìíîãîçíà÷íûìè îòîáðàæåíèÿìè. Ïóñòü X - ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, Y - íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî. Ïóñòü F1 , F2 : X → P (Y ) - ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 9. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → P (Y ) íàçîâåì ñóììîé ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé F1 è F2 , åñëè äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ X âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

F (x) = F1 (x) + F2 (x) = {y = u + v | u ∈ F1 (x), v ∈ F2 (x)}. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé ñîäåðæèòñÿ â [2]. Òåîðåìà 5. 1) Ïóñòü ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ F1 , F2 : X → P (Y ) ïîëóíåïðåðâíû ñíèçó, òîãäà èõ ñóììà F ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì. 2) Ïóñòü ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ F1 , F2 : X → K(Y ) ïîëóíåïðåðâíû ñâåðõó, òîãäà èõ ñóììà F ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñâåðõó ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì. Ðàññìîòðèì äðóãóþ îïåðàöèþ. Ïóñòü F : X → P (Y ) - ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, α : X → R - ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ. Îïðåäåëåíèå 10. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå α · F : X → P (Y ),

(α · F )(x) = α(x)F (x) = {α(x)u | u ∈ F (x)},

íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì α íà F . Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé òàêæå ñîäåðæèòñÿ â [2]. Òåîðåìà 6. Ïóñòü ôóíêöèÿ α - íåïðåðûâíà, 1) åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → P Y ïîëóíåïðåðâíî ñíèçó, òî ïðîèçâåäåíèå α · F ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì; 2) åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → K(Y ) ïîëóíåïðåðâíî ñâåðõó, òîãäà ïðîèçâåäåíèå α · F ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñâåðõó ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì.

8

Àïïðîêñèìàöèè ïîëóíåïðåðûâíûõ ñâåðõó ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé.

Ïóñòü X - ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, Y - íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, F : X → P (Y ) - ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå. Îïðåäåëåíèå 11. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå G : X → P (Y ) íàçûâàåòñÿ ε-àïïðîêñèìàöèåé ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F , åñëè ãðàôèê ΓX (G) îòîáðàæåíèÿ G ïðèíàäëåæèò ε-îêðåñòíîñòè ãðàôèêà ΓX (F ) ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F .  ñëó÷àå, åñëè G ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íûì íåïðåðûâíûì îòîáðàæåíèåì, ãîâîðÿò, ÷òî G - îäíîçíà÷íàÿ ε-àïïðîêñèìàöèÿ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F . 8.1 Àïïðîêñèìàöèÿ ïîëóíåïðåðûâíîãî ñâåðõó ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ ïîëóíåïðåðûâíûìè ñíèçó ìíîãîçíà÷íûìè îòîáðàæåíèÿìè.

Òåîðåìà 7. Ïóñòü F : X → Cv(Y ) - ïîëóíåïðåðûâíîå ñâåðõó

ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò ïîëóíåïðåðûâíîå ñíèçó ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå Fε : X → Cv(Y ) óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: P 1) Fε (x) = ( ϕj (x)Aj ), ãäå {ϕj }j∈J - ðàçáèåíèå åäèíèöû, ïîj∈J

ñòðîåííîå ïî íåêîòîðîìó ëîêàëüíî êîíå÷íîìó ïîêðûòèþ; {Aj }j∈J , - âûïóêëûå çàìêíóòûå ìíîæåñòâà; 2) F (x) ⊂ Fε (x) äëÿ ëþáîãî x ∈ X ; 3) ãðàôèê ΓX (Fε ) ⊂ Uε (ΓX (F )). 4) Fε (X) ⊂ co(F (X)); Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ε - ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.  ñèëó ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñâåðõó ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæå-

íèÿ F , äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ X ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî δ(x) òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè x0 ∈ Uδ(x) (x) âûïîëíåíî âêëþ÷åíèå F (x0 ) ⊂ U 2ε (F (x)). Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî 0 < δ(x) < ε. Ïóñòü η(x) = 14 δ(x). Ðàññìîòðèì îòêðûòîå ïîêðûòèå τ = {Uη(x) (x)}x∈X . Âûáåðåì èç íåãî ëîêàëüíî êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå σ = {Vj = Uη(xj ) (xj )}j∈J . Ïóñòü ôóíêöèè {ϕj }j∈J îáðàçóþò íåïðåðûâíîå ðàçáèåíèå åäèíèöû, ïîä÷èíåííîå ýòîìó ïîêðûòèþ. Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå Fσ , ãäå P Fσ (x) = ϕj (x)coF (Vj ). Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòj∈J

ñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó. Ïðîâåðèì äëÿ îòîáðàæåíèÿ Fσ âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 2. Ïóñòü x - ïðîçâîëüíàÿ òî÷êà èç X . Çíà÷åíèå ϕj (x) 6= 0, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x ∈ Vj . Ïóñòü j1 , j2 , ..., js - èíäåêñû âñåõ ôóíêöèé, äëÿ êîòîðûõ ϕj (x) 6= 0. Òîãäà Fσ (x) = s T i=1

s P

i=1

ϕji (x)coF (Vji ), ãäå x ∈

Vji . Ñëåäîâàòåëüíî, F (x) ⊂ F (Vji ) ⊂ coF (Vji ). Òîãäà F (x) ⊂

Fσ (x). Ïîêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå Fσ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ 3. Ïóñòü x ∈ Vji ⊂ X , i = 1, 2, ..., s. Ìíîæåñòâî Vji = Uηxi (xi ), ãäå i = 1, 2, ..., s. Ïóñòü ηxk = max ηxi , òîãäà x ∈ Uηxk (xi ) äëÿ ëþáîãî 1≤i≤s

i = 1, 2..., s. Òîãäà xi ∈ U2ηk (xk ) äëÿ ëþáîãî i = 1, 2..., s. Ñëåäîâàòåëüíî, Vji ⊂ U3ηxk (xk ) ⊂ Uδ(xk ) (xk ).  ñèëó îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà Uδ(xk ) (xk ) äëÿ ëþáîé òî÷êè x0 ∈ Vji âûïîëíåíî âêëþ÷åíèå F (x0 ) ⊂ U 2ε (F (xk ). Òàê êàê ìíîæåñòâî F (xk ) - âûïóêëî, òî

Fσ (x) =

s X

ϕji (x)coF (Vji ) ⊂ U 2ε (F (xk )).

i=1

Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå Fε (x) = Fσ (x). Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 1 è 2. Óñëîâèå 3 âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî

Fσ (x) ⊂ U 2ε (F (xk )) ⊂ Uε (F (xk ). Òàê êàê ρ(x, xk ) < ηs < ε, òî ãðàôèê Γ(Fε ) ⊂ Uε (Γ(F )). Óñëîâèå 4 âûòåêàåò òåïåðü èç òîãî, ÷òî

Fσ (x) ⊂ co{coF (Vj1 ), ..., coF (Vjs )} ⊂ coF (X). Òåîðåìà äîêàçàíà.

8.2 Îäíîçíà÷íûå àïïðîêñèìàöèè ïîëóíåïðåðûâíûõ ñâåðõó ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé

Èç òåîðåìû 7 âûòåêàþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ î ñóùåñòâîâàíèè îäíîçíà÷íûõ ε-àïïðîêñèìàöèè. Ñëåäñòâèå 4. Ïóñòü F : X → Cv(Y ) - ïîëóíåïðåðûâíîå ñâåðõó ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íàÿ ε-àïïðîêñèìàöèÿ fε ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F òàêàÿ, ÷òî fε (X) ⊂ co(F (X)). P Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Fε , Fε (x) = ϕj (x)Aj , - ìíîãîçíà÷j∈J

íàÿ ε-àïïðîêñèìàöèÿ, ñóùåñòâóþùàÿ â ñèëó òåîðåìû 7. Âûáåðåì â êàæäîì ìíîæåñòâå Aj ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó yj è ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå fε , îïðåäåëåííîå óñëîâèåì

fε (x) =

X

ϕj (x)yj ,

j∈J

Î÷åâèäíî, ÷òî ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå è ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì. Ñëåäñòâèå 5. Ïóñòü E - áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî è A - çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî X. Åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : X → Cv(E) - ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó è îòîáðàæåíèå f : A → E ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ñå÷åíèåì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F |A , òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò ε-àïïðîêñèìàöèÿ fε òàêàÿ, ÷òî fε (x) = f (x) äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ A è fε (X) ⊂ co(F (X)).

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü Fε - ìíîãîçíà÷íàÿ ïîëóíåïðåðûâíàÿ ñíèçó ε-àïïðîêñèìàöèÿ, ñóùåñòâóþùàÿ â ñèëó òåîðåìû 7. Òîãäà ó íåãî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå îäíîçíà÷íîå ñå÷åíèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ïðîäîëæåíèåì f . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ñå÷åíèå è áóäåò èñêîìûì îòîáðàæåíèåì fε .

9

Îäíîçíà÷íûå ñå÷åíèÿ è àïïðîêñèìàöèè ïåðåñå÷åíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé.

Ëåãêî ïðèâåñòè ïðèìåðû (ñì., íàïðèìåð, [2]), ÷òî äàæå ïåðåñå÷åíèå äâóõ ïîëóíåïðåðûâíûõ ñíèçó ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé ìîæåò íå èìåòü íåïðåðûâíûõ ñå÷åíèé. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû â ýòîì íàïðàâëåíèè.

9.1 Íåïðåðûâíûå ñå÷åíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïîëóíåïðåðûâíîãî ñíèçó îòîáðàæåíèÿ è U -îòîáðàæåíèÿ.

Ïóñòü X - ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, E - áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, F : X → Cv(E) - ïîëóíåïðåðûâíîå ñíèçó ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, G : X → V (E) - U -îòîáðàæåíèå. Ïóñòü äëÿ ëþáîãî x ∈ X ïåðåñå÷åíèå F (x) ∩ G(x) 6= Ø. Îáîçíà÷èì F ∩ G ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, îïðåäåëåííîå óñëîâèåì (F ∩ G)(x) = F (x) ∩ G(x). Òåîðåìà 8. Ïóñòü A - çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî â X . Åñëè f : A → E íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå (F ∩ G)|A , òî ó ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F ∩G ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå g : X → E òàêîå, ÷òî g |A = f . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f1 - ïðîèçâîëüíîå íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ïðîäîëæåíèåì îòîáðàæåíèÿ f íà âñå ïðîñòðàíñòâî X . Òàêîå ñå÷åíèå ñóùåñòâóåò â ñèëó òåîðåìû 2. Òîãäà, â ñèëó îòêðûòîñòè ãðàôèêà îòîáðàæåíèÿ G, ñóùåñòâóåò îòêðûòîå ìíîæåñòâî U ⊃ A òàêîå, ÷òî f1 |U ÿâëÿåòñÿ ñå÷åíèåì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ G|U . Ïóñòü òî÷êà x ∈ B = X \ U , âûáåðåì ïðîèçâîëüíî òî÷êó yx ∈ (F (x) ∩ G(x)). Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ñå÷åíèå fx ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F , êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ: fx (x) = yx .  ñèëó îòêðûòîñòè ãðàôèêà îòîáðàæåíèÿ G, ñóùåñòâóåò îòêðûòàÿ îêðåñòíîñòü U (x) òî÷êè x òàêàÿ, ÷òî fx (x0 ) ∈ G(x0 ) äëÿ ëþáîé òî÷êè x0 ∈ U (x) è U (x) ∩ A = Ø. Î÷åâèäíî, ÷òî òàêîå îòîáðàæåíèå fx ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ B . Òîãäà ñåìåéñòâî {U (x)}x∈B îáðàçóåò îòêðûòîå ïîêðûòèå ìíîæåñòâà B . Âûáåðåì èç ýòîãî ïîêðûòèÿ ëîêàëüíî êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå {U (xα )}α∈J . Òîãäà ñåìåéñòâî {U ; {U (xα )}α∈J } îáðàçóåò ëîêàëüíî êîíå÷íîå ïîêðûòèå ïðîñòðàíñòâà X . Ïóñòü ôóíêöèè {ϕ(x); {ϕα }α∈J } îáðàçóþò ðàçáèåíèå åäèíèöû, ïîñòðîåííîå ïî ýòîìó ïîêðûòèþ. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå g : X → E îïðåäåëåííîå ïî ïðàâèëó:

g(x) = ϕ(x)f1 (x) +

X

ϕα (x)fxα (x).

α∈J

Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî â ñèëó âûïóêëîñòè îáðàçîâ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé F è G, ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå g áóäåò èñêîìûì ñå÷åíèåì. Òåîðåìà äîêàçàíà.

9.2 Îäíîçíà÷íûå ñå÷åíèÿ è àïïðîêñèìàöèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîëóíåïðåðûâíûõ ñâåðõó è ïîëóíåïðåðûâíûõ ñíèçó ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé.

Òåîðåìà 9. Ïóñòü Fi : X → Cv(E), i = 0, 1, ..., k , - ïîëóíå-

ïðåðûâíûå ñíèçó ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ, Gj : X → Cv(E), j = 1, ..., s, - ïîëóíåïðåðûâíûå ñâåðõó ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ. Åñëè äëÿ ëþáîãî x ∈ X ïåðåñå÷åíèå

(

k \

s \ \ Fi (x)) ( Gj (x)) 6= Ø,

i=0

j=1

òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå fε : X → E óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1) fε ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ñå÷åíèåì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F0 ; 2) äëÿ ëþáîãî x ∈ X ðàññòîÿíèå ρ(fε (x), Fi (x)) < ε, i = 1, ..., k ; 3) îòîáðàæåíèå fε ÿâëÿåòñÿ ε-àïïðîêñèìàöèåé ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé Gj , j = 1, ..., s. Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó òåîðåìû 7, ñóùåñòâóþò ïîëóíåïðå˜ j òàêèå, ÷òî: Gj (x) ⊂ ðûâíûå ñíèçó ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ G ˜ j (x) äëÿ ëþáîãî x ∈ X ; ãðàôèê ΓX (G ˜ j ) ⊂ U ε (ΓX (Gj )). Òîãäà G 2 ε ε 2 2 ˜ ˜ ˜ j (x)), áóäóò U ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ G , ãäå G (x) = U ε (G j

j

2

îòîáðàæåíèÿìè. Àíàëîãè÷íî, U -îòîáðàæåíèÿìè áóäóò ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ Fiε , ïðè i = 1, ..., k. Ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå

(

k \

Fiε (x))

s \ \ ε ˜ 2 (x)) = G(x). ( G j

i=1

j=1

Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå G òàêæå ÿâëÿåòñÿ U îòîáðàæåíèåì è G(x)∩F0 (x) 6= Ø.  ñèëó òåîðåìû 8, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå G ∩ F0 èìååò íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå, êîòîðîå è áóäåò èñêîìûì. Ñëåäñòâèå 6. Ïóñòü X - ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, A - çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî â X . Ïóñòü F : X → Cv(E) - ïîëóíåïðåðûâíîå ñíèçó ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, h : X → E íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå. Ïóñòü α : X → R+ - íåïðåðûâíàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

α(x) > inf ||h(x) − y|| y∈F (x)

x ∈ X.

Åñëè f íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå F |A è α(x) > ||h(x) − f (x)|| äëÿ ëþáîãî x ∈ A, òî ó F ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå g : X → E òàêîå, ÷òî a) g |A = f b) α(x) > ||h(x) − g(x)|| äëÿ ëþáîãî x ∈ X . Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì äâà ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèÿ ˜ F è Ψ, äåéñòâóþùèå èç X â E : ½ F (x), åñëè x 6∈ A, F˜ (x) = f (x), åñëè x ∈ A; à Ψ(x) = {y ∈ E | ||y − h(x)|| < α(x)}. Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F˜ èìååò âûïóêëûå çàìêíóòûå îáðàçû è ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó, à ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå Ψ ÿâëÿåòñÿ U -îòîáðàæåíèåì. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ X ïåðåñå÷åíèå F˜ (x) ∩ Ψ(x) 6= Ø.  ñèëó òåîðåìû 6, îòîáðàæåíèå F˜ ∩ Ψ èìååò íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå, êîòîðîå, êàê ëåãêî âèäåòü, ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì. Ñëåäñòâèå äîêàçàíî. Ñëåäñòâèå 7. Ïóñòü E - áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, A - çàìêíóòîå âûïóêëîå ïîäìíîæåñòâî â X . Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå r : E → A òàêîå, ÷òî

||r(x) − x|| ≤ (1 + ε)ρ(x, T ). Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ: F : E \ A → V (E), F (x) = {y ∈ E | ||y − x|| < (1 + ε)ρ(x, T ), è Ψ : E \ A → Cv(E), Ψ(x) = A. Î÷åâèäíî, ÷òî F ÿâëÿåòñÿ U -îòîáðàæåíèåì, à îòîáðàæåíèå Ψ ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó, ïðè÷åì ïåðåñå÷åíèå F (x) ∩ Ψ(x) 6= Ø äëÿ ëþáîãî x ∈ E \A. Ñëåäîâàòåëüíî, îòîáðàæåíèå F ∩Ψ èìååò íåïðåðûâíîå ñå÷åíèå f : E \ A → A.  ñèëó ñäåëàííûõ ïîñòðîåíèé, ||f (x) − x|| < (1 + ε)ρ(x, T ) äëÿ ëþáîãî x ∈ E \ A. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå r îïðåäåëåííîå óñëîâèåì: ½ x, åñëè x ∈ A, r(x) = f (x), åñëè x 6∈ A; Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå r ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì.

Ëèòåðàòóðà 1. Áîðèñîâè÷ Þ.Ã., Áëèçíÿêîâ Í.Ì., Èçðàèëåâè÷ ß.À., Ôîìåíêî Ò.Í. Ââåäåíèå â òîïîëîãèþ. Ì: Âûñøàÿ øêîëà, 1980. 2. Áîðèñîâè÷ Þ.Ã., Ãåëüìàí Á.Ä., Ìûøêèñ À.Ä., Îáóõîâñêèé Â.Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. Âîðîíåæ: Èçä-âî

ÂÃÓ, 1986. 3. Îáýí Æ.-Ï., Ýêëàíä È. Ïðèêëàäíîé íåëèíåéíûé àíàëèç. Ì: Ìèð. 1988. 4. Òðåíîãèí Â.À. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì: Íàóêà, 1980.

Ñîñòàâèòåëü Ãåëüìàí Áîðèñ Äàíèëîâè÷ Ðåäàêòîð