Компьютерный практикум по общей физике. Часть 1. Классическая механика: Учебное пособие

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÎÁÍÈÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÒÎÌÍÎÉ ÝÍÅÐÃÅÒÈÊÈ

ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÛÕ ÍÀÓÊ

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ ×ÀÑÒÜ 1 ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ÎÁÍÈÍÑÊ 2003

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÎÁÍÈÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÒÎÌÍÎÉ ÝÍÅÐÃÅÒÈÊÈ

ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÛÕ ÍÀÓÊ

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ ×ÀÑÒÜ 1 ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ÎÁÍÈÍÑÊ 2003 СОДЕРЖАНИЕ

1

А.В. Тихоненко. Компьютерный практикум по общей физике. Часть 1. Классическая механика. Учебное пособие по курсу «Общая физика». – Обнинск: ИАТЭ, 2003. – 84 с.

Учебное пособие предназначено для студентов первого курса, изучающих общую физику. Оно содержит задания компьютерного практикума и примеры выполнения заданий с использованием специализированных пакетов (MATHCAD, MAPLE, MATHEMATICA). Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент Карманов Ф.И. к.ф.-м.н., доцент Бурмистров В.В. Темплан 2003, поз. 11

© Обнинский государственный технический университет атомной энергетики, 2003 г. © А.В. Тихоненко, 2003 г.

Редактор О.Ю. Волошенко Компьютерная верстка А.В. Тихоненко ЛР № 020713 от 27.04.1998 Подписано к печати 15.12.2003 Печать ризограф Бумага KYMLUX Заказ № Тираж 200 экз.

Формат бум. 60х84/16 Печ. л. 5.0 Цена договорная

Отдел множительной техники ИАТЭ. 249040, г. Обнинск, Студгородок 1

2

СОДЕРЖАНИЕ

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ 1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА ________________________ 5 ÃËÀÂÀ 1. ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ _______________________________________ 5 ТЕМА 1. РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ________________________________ 5 Задание 1.1. Равноускоренное движение тела в поле силы тяжести _____________5 Задание 1.2. Движение двух тел в поле силы тяжести ________________________7

ТЕМА 2. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ __________________________________________ 9 Задание 2.1. Вычисление скорости и ускорения ____________________________10 Задание 2.2. Вычисление ускорения и координат___________________________10 Задание 2.3. Вычисление скорости и координат ____________________________10

ТЕМА 3. ТРАЕКТОРИЯ ДВИЖЕНИЯ _____________________________________ 11 Задание 3.1. Нахождение явного вида траектории __________________________11 Задание 3.2. Построение графиков траектории _____________________________11 Задание 3.3. Нормальное и тангенциальное ускорения ______________________11 Задание 3.4. Кривизна траектории _______________________________________12

ÃËÀÂÀ 2. ÄÈÍÀÌÈÊÀ ________________________________________ 13 ТЕМА 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ _____________________________________ 13 Задание 4.1. Аналитическое интегрирование уравнений движения ____________13 Задание 4.2. Графическое исследование решений уравнений движения ________13 Задание 4.3. Численное интегрирование уравнений движения ________________14 Задание 4.4. Численное интегрирование двумерных уравнений движения ______14 Задание 4.5. Численное интегрирование трехмерных уравнений движения _____15

ТЕМА 5. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ __________________________ 16 Задание 5.1. Численное интегрирование уравнения Мещерского______________17 Задание 5.2. Численное интегрирование двумерных уравнений Мещерского ___17

ТЕМА 6. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ______________________ 18 Задание 6.1. Уравнения движение тела с учетом вращения Земли _____________18 Задание 6.2. Графическое исследование движения с учетом вращения Земли ___19

ÃËÀÂÀ 3. ÐÀÁÎÒÀ È ÝÍÅÐÃÈß ________________________________ 20 ТЕМА 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ____________________ 20 Задание 7.1. Исследование потенциальной энергии и силы __________________20 Задание 7.2. Потенциальная яма _________________________________________20 Задание 7.3. Фазовый портрет движения __________________________________20 Задание 7.4. Потенциальная энергия и закон движения______________________20

ТЕМА 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ______________ 21 Задание 8.1. Аналитическое интегрирование уравнения движения ____________21 Задание 8.2. Графическое исследование решений __________________________21 Задание 8.3. Исследование траектории движения___________________________22 Задание 8.4. Механическая энергия ______________________________________23 Задание 8.5. Траектории движения и парабола безопасности _________________23

ТЕМА 9. СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ ____________________________________ 24 Задание 9.1. Упругое столкновение частиц 1 ______________________________24 Задание 9.2. Упругое столкновение частиц 2 ______________________________25 Задание 9.3. Неупругое столкновение частиц ______________________________25

СОДЕРЖАНИЕ

3

ÃËÀÂÀ 4. ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ ______________________ 27 ТЕМА 10. КИНЕМАТИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА____________ 27 Задание 10.1. Траектории точек катящегося колеса _________________________27 Задание 10.2. Опускание стержня________________________________________27

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ _________ 29 ТЕМА 1. РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ _______________________________ 29 Пример к заданию 1.1 _________________________________________________29 Пример к заданию 1.2 _________________________________________________32

ТЕМА 2. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ _________________________________________ 35 Пример к заданию 2.2 _________________________________________________35

ТЕМА 3. ТРАЕКТОРИЯ ДВИЖЕНИЯ _____________________________________ 37 Пример к заданиям 3.1 и 3.2 ____________________________________________37 Пример к заданию 3.3 _________________________________________________39 Пример к заданию 3.4 _________________________________________________41

ТЕМА 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ _____________________________________ 44 Пример к заданию 4.1 _________________________________________________44 Пример к заданию 4.1 (MAPLE) _________________________________________46 Пример к заданию 4.1 (MATHEMATICA)_________________________________47 Пример к заданию 4.3 _________________________________________________47 Пример к заданию 4.4 _________________________________________________50 Пример к заданию 4.5 _________________________________________________52

ТЕМА 5. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ __________________________ 56 Пример к заданию 5.1 _________________________________________________56 Пример к заданию 5.2 _________________________________________________57

ТЕМА 6. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ______________________ 61 Пример к заданию 6.1 _________________________________________________61 Пример к заданию 6.1 (MATHEMATICA)_________________________________62 Пример к заданию 6.2 _________________________________________________63

ТЕМА 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ____________________ 65 Пример к заданию 7.1 Пример к заданию 7.2 Пример к заданию 7.3 Пример к заданию 7.4

_________________________________________________65 _________________________________________________67 _________________________________________________68 _________________________________________________70

ТЕМА 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ______________ 71 Пример к заданию 8.1 (MAPLE) _________________________________________71 Пример к заданию 8.1 _________________________________________________72 Пример к заданию 8.4 _________________________________________________74

ТЕМА 9. СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ ____________________________________ 77 Пример к заданию 9.1 _________________________________________________77 Пример к заданию 9.3 _________________________________________________80

ТЕМА 10. КИНЕМАТИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА____________ 82 Пример к заданию 10.1 ________________________________________________82 Пример к заданию 10.2 ________________________________________________83

4

СОДЕРЖАНИЕ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА ÃËÀÂÀ 1. ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ ТЕМА 1. РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ÂÂÅÄÅÍÈÅ. ÇÀÊÎÍ ÐÀÂÍÎÓÑÊÎÐÅÍÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß Ðàâíîóñêîðåííîå (äâóìåðíîå) äâèæåíèå òåëà Çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè:

w (t ) = w 0 = Const

óñêîðåíèå

v (t ) = v 0 + w 0 ⋅ t

ñêîðîñòü

r (t ) = r 0 + v0 ⋅ t + 12 ⋅ w 0 ⋅ t 2

ðàäèóñ-âåêòîð

ÇÀÄÀÍÈÅ 1.1. ÐÀÂÍÎÓÑÊÎÐÅÍÍÎÅ ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÒÅËÀ  ÏÎËÅ ÑÈËÛ ÒßÆÅÑÒÈ Çàäàâàåìûå ôóíêöèè Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ

v 0 = {v0 _ x, v0 _ y}

íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü

r 0 = {x0, y 0}

íà÷àëüíûé ðàäèóñ-âåêòîð

Çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ïðîåêöèé (îñü y íàïðàâëåíà âäîëü âåêòîðà óñêîðåíèÿ): w0 _ x = 0 , óñêîðåíèå ñêîðîñòü êîîðäèíàòû

w0 _ y = Const v _ x(t ) = v0 _ x , v _ y (t ) = v0 _ y + w0 _ y ⋅ t x(t ) = x0 + v0 _ x ⋅ t , y (t ) = y 0 + v0 _ y ⋅ t + 12 ⋅ w0 _ y ⋅ t 2

Çàäàâàåìûå ïàðàìåòðû Óñêîðåíèå Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü Íà÷àëüíûå êîîðäèíàòû Óãîë âûëåòà

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

w0_y v0 x0, y0 α0 5

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Получить аналитические выражения для проекций ускорения и скорости и координат как функций времени с параметрами v0 или α0: а) w _ x (t , v 0 ), w _ y (t , v0 ) , v _ x(t , v 0 ), v _ y (t , v 0 ) ,

x(t , v0 ), y (t , v0 ) , б) w _ x(t , α 0 ), w _ y (t , α 0 ) , v _ x(t , α 0 ), v _ y (t , α 0 ) , x(t , α 0 ), y (t , α 0 ) .

2а. Построить графики зависимостей для нескольких значений угла α0: 1) vx(t , v 0 ), vy (t , v 0 ) , 2) x(t , v0 ), y (t , v 0 )

3) y (t , v 0 ) от x(t , v0 ) (график траектории). 2б. Построить графики зависимостей для нескольких значений начальной скорости v0: 1) vx(t , α 0 ), vy (t , α 0 ) , 2) x(t , α 0 ), y (t , α 0 ) ,

3) y (t ,α 0 ) от x(t , α 0 ) (график траектории). 3. Определить зависимость угла ϕ между радиус-вектором и осью x от времени t для нескольких значений начальной скорости v0 или для нескольких значений угла α0: а)

⎛ y (t , v0) ⎞ ⎛ y (t ,α 0) ⎞ ⎟⎟ , б) ϕ (t , α 0) = atan⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ x(t , v0) ⎠ ⎝ x(t , α 0) ⎠

ϕ (t , v0) = atan⎜⎜

и построить соответствующие графики в декартовых и полярных осях. 4. Определить зависимость угла α между вектором скорости и осью x от t для нескольких значений начальной скорости v0 или для нескольких значений угла α0: а)

⎛ vy(t , v0) ⎞ ⎛ vy(t ,α 0) ⎞ ⎟⎟ , б) α (t , α 0) = atan⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ vx(t , v0) ⎠ ⎝ vx(t ,α 0) ⎠

α (t , v0) = atan⎜⎜

и построить соответствующие графики в декартовых и полярных осях. 5. Определить зависимости от времени модулей радиус-вектора и вектора скорости для нескольких значений начальной скорости v0 или для нескольких значений угла α0: а) r (t , v0) =

2 2 2 2 x(t , v0) + y(t , v0) , v(t , v0) = v _ x(t , v0) + v _ y(t , v0) ,

б) r(t,α 0) = x(t,α 0) + y(t,α 0) , v(t,α 0) = v _ x(t,α 0) + v _ y(t,α 0) и построить соответствующие графики (в декартовых и полярных осях). 2

6

2

2

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

2

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

5. Определить зависимость угла ψ между вектором скорости и вектором ускорения от времени для нескольких значений начальной скорости v0 или для нескольких значений угла α0:

⎛

а) ψ (t , v 0 ) = acos ⎜

⎜ ⎝ ⎛ б) ψ (t , α 0 ) = acos ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟, 2 2 2 2 ⎟ vx (t , v 0 ) + vy (t , v 0 ) ⋅ wx (t , v 0 ) + wy (t , v 0 ) ⎠ ⎞ vx (t , α 0 ) ⋅ vx (t , α 0 ) + vy (t , α 0 ) ⋅ vy (t , α 0 ) ⎟ 2 2 2 2 ⎟ vx (t , α 0 ) + vy (t , α 0 ) ⋅ wx (t , v 0 ) + wy (t , α 0 ) ⎠ vx (t , v 0 ) ⋅ vx (t , v 0 ) + vy (t , v 0 ) ⋅ vy (t , v 0 )

и построить соответствующие графики в декартовых и полярных осях. ÇÀÄÀÍÈÅ 1.2. ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÄÂÓÕ ÒÅË Â ÏÎËÅ ÑÈËÛ ÒßÆÅÑÒÈ Ðàâíîóñêîðåííîå (äâóìåðíîå) äâèæåíèå òåëà Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ íà÷àëüíûå ñêîðîñòè íà÷àëüíûå ðàäèóñ-âåêòîðû

v 0 = {v01 _ x, v01 _ y} , v 02 = {v02 _ x, v02 _ y} r 01 = {x01, y 01} , r 02 = {x02, y 02}

Çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ïðîåêöèé (îñü y íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç): óñêîðåíèÿ ñêîðîñòè

êîîðäèíàòû

w01 _ x = 0, w01 _ y = − g w02 _ x = 0, w02 _ y = − g v1 _ x(t ) = v01 _ x , v1_ y(t ) = v01_ y + w01_ y ⋅ t v2 _ x(t ) = v02 _ x , v2 _ y(t ) = v02 _ y + w02 _ y ⋅ t x1(t ) = x01 + v01 _ x ⋅ t y1(t ) = y 01 + v01 _ y ⋅ t + 12 ⋅ w01 _ y ⋅ t 2 x 2(t ) = x02 + v02 _ x ⋅ t y 2(t ) = y 02 + v02 _ y ⋅ t + 12 ⋅ w02 _ y ⋅ t 2

Çàäàâàåìûå ïàðàìåòðû Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ Íà÷àëüíûå ñêîðîñòè Íà÷àëüíûå êîîðäèíàòû Óãëû âûëåòà

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

g v01, v02, x01, y01 x02, y02 α01, α02 7

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Записать аналитические выражения для проекций ускорений, скоростей и координат как функций времени с параметрами v01, v01, α01, α02. 2. Подобрать параметры движения, моделирующие движения, представленные на рисунках.

К заданию 1.2

8

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

3. Построить графики зависимостей: 1) y1(t ) от x1(t ) и y2(t ) от x2(t ) (траектории) 2) v1 _ x(t ), v1 _ y (t ) и v 2 _ x (t ), v 2 _ y (t ) ,

3) x1(t ), y1(t ) и x 2(t ), y 2(t ) , для подобранных значений начальных скоростей и углов вылета: 4. Определить относительные координаты, расстояние и скорости тел: 1) x _ rel (t ) = x 2(t ) − x1(t ) ,

y _ rel (t ) = y 2(t ) − y1(t ) ,

r _ rel (t ) = x _ rel (t ) + y _ rel (t ) , 2

2

r1(t ) = x1(t ) + y1(t ) , r 2(t ) = x 2(t ) + y 2(t ) 2

2

2

2

R _ rel (t ) = r 2(t ) − r1(t ) , 2) v _ x _ rel (t ) = v 2 _ x (t ) − v1 _ x (t ) , v _ y _ rel (t ) = v 2 _ y (t ) − v1 _ y (t ) ,

v _ rel (t ) = v _ x _ rel (t ) + v _ y _ rel (t ) , 2

2

v1(t ) = v1_ x(t ) + v1_ y(t ) , v2(t ) = v2 _ x(t ) + v2 _ y(t ) , 2

2

2

2

V _ rel (t ) = v 2(t ) − v1(t )

и построить соответствующие графики для подобранных значений начальных скоростей и углов вылета. Замечание. На одних осях следует строить «одноименные» графики, например: графики x1, x2 и x_rel; r1, r2, r_rel и R_rel, и т.п.

ТЕМА 2. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ ÂÂÅÄÅÍÈÅ. ÑÂßÇÜ ÓÑÊÎÐÅÍÈß, ÑÊÎÐÎÑÒÈ È ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ Ñâÿçü ïðîåêöèé óñêîðåíèÿ, ñêîðîñòè è êîîðäèíàò ñâÿçü ïðîåêöèé óñêîðåíèÿ è ñêîðîñòè ñâÿçü ïðîåêöèé ñêîðîñòè è êîîðäèíàò

dv _ x(t ) , v _ x(t ) = ∫ w _ x(t ) ⋅ dt dt dx(t ) , x(t ) = ∫ v _ x(t ) ⋅ dt v _ x(t ) = dt w _ x(t ) =

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

9

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ÇÀÄÀÍÈÅ 2.1. ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÅ ÑÊÎÐÎÑÒÈ È ÓÑÊÎÐÅÍÈß ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить аналитически проекции скорости и ускорения по известной зависимости координаты от времени:

b a , б) x(t ) = x0 + , t +T 1 + exp(− t / T ) в) x(t ) = x0 + a ⋅ exp(− t / T ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) .

а) x(t ) = x0 + a ⋅ t 2 +

2. Задать начальные условия и параметры движения. 3. Построить графики зависимостей:

w _ x(t ), v _ x(t ), x(t )

для разных начальных условий и разных значений параметров движения. ÇÀÄÀÍÈÅ 2.2. ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈß È ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить аналитически проекцию ускорения и координату по известной зависимости проекции скорости от времени:

a ⋅t t , б) vx(t ) = vx0 + ⋅ cos(ω ⋅ t ) , 2 T b+t в) vx(t ) = a ⋅ e −γ ⋅t ⋅ sin (ω ⋅ t )

а) v _ x(t ) = v0 _ x + a ⋅

2. Задать начальные условия и параметры движения. 3. Построить графики зависимостей:

w _ x(t ), v _ x(t ), x(t )

для разных начальных условий и разных значений параметров движения. ÇÀÄÀÍÈÅ 2.3. ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÅ ÑÊÎÐÎÑÒÈ È ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить аналитически проекцию скорости и координату по известной зависимости проекции ускорения от времени:

b , б) vx(t ) = a ⋅ (1 − exp(− t / T )) , (t + T )2 в) vx(t ) = a ⋅ sin (ω ⋅ t ) . а) wx(t ) = a ⋅ t +

2. Задать начальные условия и параметры движения. 3. Построить графики зависимостей:

w _ x(t ), v _ x(t ), x(t )

для разных начальных условий и разных значений параметров движения. 10

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ТЕМА 3. ТРАЕКТОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ÇÀÄÀÍÈÅ 3.1. ÍÀÕÎÆÄÅÍÈÅ ßÂÍÎÃÎ ÂÈÄÀ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ Найти явный вид траектории для двумерного движения заданного параметрически: 1. Декартовы координаты:

b , t +T a ⋅ cos(ω ⋅ t ) б) x(t ) = x0 + a ⋅ t 2 , y (t ) = y 0 + , 1 + exp(t / T ) в) x(t ) = x0 ⋅ cos(ω ⋅ t ), x(t ) = x0 ⋅ cos( N ⋅ ω ⋅ t + ϕ 0 ) . а) x(t ) = x 0 + c ⋅ t , y (t ) = y 0 + a ⋅ t 2 +

2. Полярные координаты: г) ϕ (t ) = ϕ 0 + a ⋅ t , r (t ) = b ⋅ t 2 , д) ϕ (t ) = a ⋅ t ,

е) ϕ (t ) = a ⋅ cos(ω ⋅ t ),

r (t ) = b ⋅ t .

r (t ) = b ⋅ cos(ω ⋅ t ) ,

2

ÇÀÄÀÍÈÅ 3.2. ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÃÐÀÔÈÊÎÂ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ 1. Задать начальные условия и параметры движения. 2. Построить графики двумерных траекторий для разных начальных условий и разных значений параметров движения, заданных параметрически в Задании 3.1. 3. Построить графики траекторий, заданных параметрически: Декартовы координаты (трехмерное движение): а) z (t ) = a ⋅ t , y (t ) = y 0 ⋅ sin (ω ⋅ t ), x(t ) = x0 ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ 0 ) , б) z(t ) = z0 ⋅ sin(2 ⋅ ω ⋅ t ), y(t ) = y0 ⋅ sin(ω ⋅ t ), x(t ) = x0 ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ 0) , в) z (t ) = z 0 ⋅ sin (ω ⋅ t ), y (t ) = y 0 ⋅ sinh (α ⋅ t ), x(t ) = x0 ⋅ cosh (α ⋅ t ) . ÇÀÄÀÍÈÅ 3.3. ÍÎÐÌÀËÜÍÎÅ È ÒÀÍÃÅÍÖÈÀËÜÍÎÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈß ВВЕДЕНИЕ

Ïîëíîå, íîðìàëüíîå è òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèÿ

w = wτ + w n w _τ

ïîëíîå óñêîðåíèå íîðìàëüíîå óñêîðåíèå òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå где

d w _τ = vx 2 + vy 2 , w _ n = dt

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

w_ n

(

)

2

⎛d ⎞ wx + xy − ⎜ vx 2 + vy 2 ⎟ . ⎝ dt ⎠ 2

2

11

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить аналитически нормальное и тангенциальное ускорения для траекторий, заданных в Задании 3.1 в декартовых координатах. 2. Построить графики зависимостей нормального и тангенциального ускорений от времени и координаты x для разных начальных условий и разных значений параметров движения. ÇÀÄÀÍÈÅ 3.4. ÊÐÈÂÈÇÍÀ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ ВВЕДЕНИЕ

Êðèâèçíà òðàåêòîðèè

Ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ êðèâèçíû òðàåêòîðèè ïàðàìåòðè÷åñêîå çàäàíèå, äåêàðòîâû êîîðäèíàòû

k=

ÿâíîå çàäàíèå, äåêàðòîâû êîîðäèíàòû

k=

ÿâíîå çàäàíèå, ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû

k=

w_ x⋅v _ y − w_ y ⋅v _ x

(v _ x

2

+ v _ y2

)

3/ 2

d 2 y / dx 2

[1 + (dy / dx) ]

2 3/ 2

ρ 2 + 2 ⋅ (dρ / dϕ )2 − ρ ⋅ (d 2 ρ / dϕ 2 )

[ρ

2

+ (dρ / dϕ )

]

2 3/ 2

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить аналитически кривизну траекторий, заданных параметрически в Задании 3.1 в декартовых координатах. 2. Вычислить аналитически кривизну траекторий, заданных явно: В декартовых координатах: а) y ( x ) = a ⋅ x 4 + b ⋅ x 2 , б) y ( x ) = a ⋅ x 4 + b / x 2 , в) y (x ) = a ⋅ x 2 ⋅ cos(β ⋅ x ) , г) y (x ) = a ⋅ x ⋅ e −α ⋅ x ,

д) y ( x ) = a ⋅ e −α ⋅cos ( x ) . В полярных координатах: е) ϕ (t ) = ϕ 0 + a ⋅ t , r (t ) = b ⋅ t 2 , ж) ϕ (t ) = a ⋅ t ,

r (t ) = b ⋅ cos(ω ⋅ t ) ,

з) ϕ (t ) = b ⋅ t , r (t ) = a ⋅ t ⋅ sin (ω ⋅ t ) . 2. Построить графики зависимостей кривизны траекторий от времени и координаты, заданных в Заданиях 3.1 и 3.4 для разных начальных условий и разных значений параметров движения. 2

12

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ÃËÀÂÀ 2. ÄÈÍÀÌÈÊÀ ТЕМА 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВВЕДЕНИЕ

Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ

m⋅ Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü íà÷àëüíûé ðàäèóñâåêòîð (êîîðäèíàòû)

dv = F (t ) . dt

v(0) = v0 , v _ x(0) = v0 _ x , v _ y(0) = v0 _ y

r (0 ) = r 0 , x(0 ) = x0 , y (0 ) = y 0

ÇÀÄÀÍÈÅ 4.1. ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Проинтегрировать одномерные уравнения движения с учетом начальных условий, если известна аналитическая зависимость силы, действующей на тело от координаты и времени: а) F _ x(t ) = m ⋅ g , б) F _ x(t ) = b ⋅ t ⋅ (τ − t ) , в) F _ x(t ) = a ⋅ sin (ω ⋅ t ) , г) F _ x(t ) = b ⋅ t ⋅ cos(ω ⋅ t ) ,

a b b + 2 , е) F _ x(t ) = a ⋅ t + 2 , t t t 2 d ⎛d ⎞ ж) F _ x(t ) = −γ ⋅ x(t ) , з) F _ x(t ) = −δ ⋅ ⎜ x(t )⎟ , dt ⎝ dt ⎠ и) F _ x(t ) = α ⋅ x(t ) . д) F _ x(t ) =

2. Определить зависимости ускорения, скорости и координаты от времени. ÇÀÄÀÍÈÅ 4.2. ÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÎÅ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÐÅØÅÍÈÉ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Задать начальные условия и параметры движения. 2. Построить графики зависимостей ускорения, скорости и координаты от времени одномерных уравнений движения, заданных в Задании 4.1. для различных начальных условий или параметров уравнения.

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

13

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ÇÀÄÀÍÈÅ 4.3. ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

Проинтегрировать численно одномерные уравнения движения с учетом начальных условий, если известна аналитическая зависимость силы, действующей на тело от времени: а) F _ x(t ) = m ⋅ g − k ⋅ t , б) F _ x(t ) = b ⋅ t ⋅ (τ − t ) ⋅ sin (ω ⋅ t ) , в) F _ x(t ) = a ⋅ sin (ω ⋅ t ) + b ⋅ t ⋅ cos(ω ⋅ t ) ,

a b c + 2 + 3 , д) F _ x(t ) = a ⋅ t + b ⋅ t 2 + c ⋅ t 3 , t t t d е) F _ x(t ) = −γ ⋅ x(t ) + b ⋅ t 2 , dt 2 d ⎛d ⎞ ж) F _ x(t ) = −γ ⋅ x(t ) − δ ⋅ ⎜ x(t )⎟ , dt ⎝ dt ⎠ ⎛d ⎞ з) F _ x(t ) = −δ ⋅ ⎜ x(t )⎟ + m ⋅ g − k ⋅ t , ⎝ dt ⎠ b ⎛d ⎞ к) F _ x(t ) = 2 − δ ⋅ ⎜ x(t )⎟ , 2 dt t +T ⎝ ⎠ d л) F _ x(t ) = α ⋅ x(t ) − γ ⋅ x(t ) , dt м) F _ x(t ) = − β ⋅ x(t ) + b ⋅ t 2 ⋅ (τ − t ) ⋅ sin (ω ⋅ t ) . г) F _ x(t ) =

Построить графики решений уравнений движения. Исследовать решения, изменяя начальные условия или параметры движения. ÇÀÄÀÍÈÅ 4.4. ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÄÂÓÌÅÐÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

Проинтегрировать численно двумерные уравнения движения с учетом начальных условий, если известна аналитическая зависимость силы, действующей на тело от времени:

d d x(t ), F _ y (t ) = m ⋅ g − k ⋅ y (t ) , dt dt б) F _ x(t ) = a ⋅ sin (ω ⋅ t ), F _ y (t ) = b ⋅ cos(ω ⋅ t ) , в) F _ x(t ) = a ⋅ x, F _ y (t ) = b ⋅ y + r , а) F _ x(t ) = −k ⋅

14

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

г) F _ x(t ) =

(x

α⋅x

)

2 3/ 2

, F _ y (t ) =

(

α⋅y

+y x + y2 α⋅x d ⎧ 3/ 2 ⎪ F _ x(t ) = −k ⋅ dt x(t ) + 2 ( x + y2 ) ⎪ д) ⎨ . α⋅y ⎪ F _ y (t ) = − k ⋅ d y (t ) + ⎪ dt (x 2 + y 2 )3 / 2 ⎩ 2

2

)

3/ 2

,

Построить графики решений уравнений движения. Исследовать решения, изменяя начальные условия или параметры движения. ÇÀÄÀÍÈÅ 4.5. ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÒÐÅÕÌÅÐÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

Проинтегрировать численно трехмерные уравнения движения с учетом начальных условий, если известна аналитическая зависимость силы, действующей на тело от времени ( r =

x 2 + y 2 + x 2 ):

⎧ F _ x(t ) = a ⋅ sin (ω ⋅ t ) а) ⎪ ⎨ F _ y (t ) = b ⋅ cos(ω ⋅ t ) , ⎪ F _ z (t ) = c ⋅ t ⎩

б) F _ x(t ) = a ⋅ z , F _ y (t ) = b ⋅ ( z + x ), F _ z (t ) = b ⋅ x , в) F _ x(t ) =

α⋅x r (t )

3

, F _ y (t ) =

α⋅y r (t )

3

, F _ z (t ) =

⎧ α⋅x d ⎪ F _ x(t ) = −k ⋅ x(t ) + 3 dt r (t ) ⎪ ⎪ г) ⎪ F _ y (t ) = − k ⋅ d y (t ) + α ⋅ y , д) ⎨ 3 dt r (t ) ⎪ ⎪ α⋅z d ⎪ F _ z (t ) = −k ⋅ z (t ) + 3 dt ⎪⎩ r (t )

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

α⋅z r (t )

3

,

d ⎧ ⎪ F _ x(t ) = −a ⋅ dt y (t ) ⎪ d ⎪ ⎨ F _ y (t ) = m ⋅ g − b ⋅ x(t ) , dt ⎪ ⎪ F _ z (t ) = −c ⋅ x 2 + y 2 ⎪ ⎩

(

)

15

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

⎧ d d α ⋅x ⎪ F _ x(t ) = −k ⋅ x(t ) − a ⋅ y (t ) + 3 dt dt r (t ) ⎪ ⎪ е) ⎪ F _ y (t ) = −k ⋅ d y (t ) − b ⋅ d x(t ) + α ⋅ y , ⎨ 3 dt dt r (t ) ⎪ ⎪ d α⋅z ⎪ F _ z (t ) = −k ⋅ z (t ) + c ⋅ cos(ω ⋅ t ) + 3 dt ⎪⎩ r (t ) ⎧ α ⋅x β ⋅x + ⎪ F _ x(t ) = − 3 4 ( ) r t r (t ) ⎪ ⎪ ж) ⎪ F _ y (t ) = − α ⋅ y + β ⋅ y . ⎨ 3 4 r (t ) r (t ) ⎪ ⎪ α ⋅z β ⋅z + ⎪ F _ z (t ) = − 3 4 ⎪⎩ r (t ) r (t )

Построить графики решений уравнений движения (траектории). Исследовать решения, изменяя начальные условия или параметры движения.

ТЕМА 5. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ ВВЕДЕНИЕ

Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (óðàâíåíèå Ìåùåðñêîãî)

m⋅ Çàêîí èçìåíåíèÿ ìàññû

dv = F + µ (t ) ⋅ u dt

µ (t ) = Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü íà÷àëüíûé ðàäèóñ-âåêòîð (êîîðäèíàòû)

16

d m(t ) dt

v (0) = v 0 , v _ x(0 ) = v0 _ x , v _ y (0 ) = v0 _ y .

r (0 ) = r 0 , x(0 ) = x0 , y (0 ) = y 0 .

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ÇÀÄÀÍÈÅ 5.1. ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÅÙÅÐÑÊÎÃÎ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Проинтегрировать численно одномерное уравнение Мещерского с учетом начальных условий, если известна аналитическая зависимость силы, действующей на тело, и массы тела от времени. Закон изменения массы: а) m(t ) = m0 − µ ⋅ t , б) m(t ) = m0 − λ ⋅ t 2 , в) m(t ) = m0 ⋅ e −α ⋅t , г) m(t ) =

m0 m0 , д) m(t ) = , 1+α ⋅t 1 + eα ⋅t

Зависимость силы от времени: а) F _ x(t ) = m ⋅ g − k ⋅ t , б) F _ x(t ) = b ⋅ t ⋅ (τ − t ) ⋅ sin (ω ⋅ t ) , в) F _ x(t ) = a ⋅ sin (ω ⋅ t ) + b ⋅ t ⋅ cos(ω ⋅ t ) ,

d x(t ) + b ⋅ t 2 , dt 2 ⎞ ⎛d ⎞ ⎛d д) F _ x(t ) = −γ ⋅ ⎜ x(t )⎟ − δ ⋅ ⎜ x(t )⎟ , ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt d ⎛ ⎞ е) F _ x(t ) = −γ ⋅ ⎜ x(t )⎟ + m ⋅ g − k ⋅ t , dt ⎝ ⎠ d ж) F _ x(t ) = α ⋅ x(t ) − γ ⋅ x(t ) , dt з) F _ x(t ) = − β ⋅ x(t ) + b ⋅ t 2 ⋅ (τ − t ) ⋅ sin (ω ⋅ t ) . г) F _ x(t ) = −γ ⋅

2. Построить графики решений уравнений движения. Исследовать решения, изменяя начальные условия или параметры движения. Рассмотреть случай, когда скорость u постоянна и направлена вдоль скорости тела v. 3. Сравнить результаты со случаем движения с постоянной массой. ÇÀÄÀÍÈÅ 5.2. ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÄÂÓÌÅÐÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÌÅÙÅÐÑÊÎÃÎ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

Проинтегрировать численно двумерные уравнений Мещерского с учетом начальных условий, если известна аналитическая зависимость силы, действующей на тело, и массы тела от времени: Закон изменения массы см. Задание 5.1.

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

17

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Зависимость силы от времени:

d d x(t ), F _ y(t ) = m ⋅ g − k ⋅ y(t ) , dt dt б) F _ x(t ) = b ⋅ sin (ω ⋅ t ), F _ y (t ) = b ⋅ cos(ω ⋅ t ) + a ,

а) F _ x(t ) = −k ⋅

в) F _ x(t ) = a ⋅ x, F _ y (t ) = b ⋅ y + r , г) F _ x(t ) =

(x

α⋅x

)

2 3/ 2

, F _ y (t ) =

(

α⋅y

+y x + y2 d α⋅x ⎧ , 3/ 2 ⎪ F _ x(t ) = −k ⋅ dt x(t ) + 2 ( x + y2 ) ⎪ д) ⎨ α⋅y ⎪ F _ y (t ) = −k ⋅ d y (t ) + ⎪ dt (x 2 + y 2 )3 / 2 ⎩ 2

2

)

3/ 2

,

Построить графики решений уравнений движения. Исследовать решения, изменяя начальные условия или параметры движения. Рассмотреть случай, когда скорость u постоянна и направлена вдоль скорости тела v.

ТЕМА 6. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ÇÀÄÀÍÈÅ 6.1. ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÒÅËÀ Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÂÐÀÙÅÍÈß ÇÅÌËÈ ÂÂÅÄÅÍÈÅ Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ

m⋅ «Ñèëà» Êîðèîëèñà

d2 r = m ⋅ g + F_k dt 2

F_k = 2 ⋅ m ⋅ [ω × v ]

Замечание. Уравнения справедливы в ограниченной области пространства в приближении малой угловой скорости вращения Земли. В этом случае можно пренебречь величинами, пропорциональными квадрату угловой скорости вращения Земли (в том числе центробежными силами). Óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ Çåìëè

ω = −e x ⋅ ω ⋅ cos(ψ ) + e z ⋅ ω ⋅ sin (ψ ) , где ψ - географическая широта. 18

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Записать уравнения движения в проекциях на координатные оси (в указанном приближении пренебречь величинами, пропорциональными квадрату угловой скорости вращения Земли). 2. Проинтегрировать аналитически уравнения движения. 3. Полученные решения исследовать в случае ω → 0 . Убедиться, что полученные формулы соответствуют законам движения в поле силы тяжести в инерциальной системе отсчета. 4. Вычислить аналитически время и дальность движения. ÇÀÄÀÍÈÅ 6.2. ÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÎÅ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÄÂÈÆÅÍÈß Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÂÐÀÙÅÍÈß ÇÅÌËÈ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Построить графики зависимостей координат и скоростей от времени. 2. Построить графики траекторий движения для случая движения тела, брошенного с Земли с некоторой начальной скоростью под углом к горизонту. Сравнить полученные траектории со случаем отсутствия вращения Земли. 3. Выполнить анимацию графиков траекторий движения по угловой скорости вращения Земли. 4. Построить графики траекторий движения для случая движения тела, отпущенного отвесно с некоторой высоты над Землей без начальной скорости. Сравнить полученные траектории со случаем отсутствия вращения Земли.

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

19

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ÃËÀÂÀ 3. ÐÀÁÎÒÀ È ÝÍÅÐÃÈß ТЕМА 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ÇÀÄÀÍÈÅ 7.1. ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÏÎÒÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÝÍÅÐÃÈÈ È ÑÈËÛ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить аналитически проекции силы по известной зависимости потенциальной энергии от координаты: 2 2 а) V ( x ) = b ⋅ x , б) V ( x ) = a ⋅ x − b ⋅ x , в) V ( x ) = a ⋅ x +

b a b , г) V ( x ) = + 2 , x x x

2. Построить графики зависимости проекции силы и потенциальной энергии от координаты для различных значений параметров. ÇÀÄÀÍÈÅ 7.2. ÏÎÒÅÍÖÈÀËÜÍÀß ßÌÀ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Задать константы a и b в формулах для потенциальной энергии (Задание 7.1) так, чтобы потенциальная энергия имела локальный минимум (потенциальная яма). 2. Вычислить положения точек поворота для энергии, соответствующей нахождению тела в потенциальной яме. ÇÀÄÀÍÈÅ 7.3. ÔÀÇÎÂÛÉ ÏÎÐÒÐÅÒ ÄÂÈÆÅÍÈß ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

Построить фазовый портрет движения – представление механической энергии E(x, px) на плоскости (x, px) для потенциальных энергий (Задание 7.1). ÇÀÄÀÍÈÅ 7.4. ÏÎÒÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÝÍÅÐÃÈß È ÇÀÊÎÍ ÄÂÈÆÅÍÈß ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Построить графики зависимостей координаты и скорости от времени для известной зависимости потенциальной энергии от координаты (Численное интегрирование одномерных уравнений движения для заданной потенциальной энергии). 2. Построить фазовый портрет движения (зависимость скорости от координаты).

20

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ТЕМА 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ВВЕДЕНИЕ

Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ

m⋅

dv = −m ⋅ g − β ⋅ v + β ⋅ u , dt

⎧ dv _ x ⎪m ⋅ dt = − β ⋅ v _ x + β ⋅ u _ x ⎪ ⎪ dv _ y , = −β ⋅ v _ y + β ⋅ u _ y ⎨m ⋅ dt ⎪ ⎪ dv _ z ⎪m ⋅ dt = − m ⋅ g − β ⋅ v _ z + β ⋅ u _ z ⎩ где F = − β ⋅ v - сила сопротивления, u –скорость ветра. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ

v (0) = v 0 , v _ x(0 ) = v0 _ x , v _ y (0) = v0 _ y .

íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü íà÷àëüíûé ðàäèóñâåêòîð (êîîðäèíàòû)

r (0 ) = r 0 , x(0 ) = x0 , y (0 ) = y 0 .

ÇÀÄÀÍÈÅ 8.1. ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÄÂÈÆÅÍÈß ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Проинтегрировать аналитически уравнения движения тела в поле силы тяжести с учетом сопротивления воздуха. Получить зависимости координат, скоростей и ускорений от времени. 2. Полученные решения исследовать в случае отсутствия сопротивления k → 0 . Убедиться, что полученные формулы соответствуют законам движения в поле силы тяжести без сопротивления. 3. Вычислить максимальную высоту подъема тела, брошенного вертикально вверх со скоростью v0 с поверхности Земли, с учетом силы сопротивления. ÇÀÄÀÍÈÅ 8.2. ÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÎÅ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÐÅØÅÍÈÉ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Построить графики зависимостей ускорений, скоростей и координат от времени для различных значений параметра сопротивления и скорости ветра. 1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

21

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

2. Построить графики траекторий движения (графики зависимостей координат y от x) для различных значений параметра сопротивления и скорости ветра. 3. Определить зависимость угла ϕ между радиус-вектором и осью x от t:

⎛ y (t ) ⎞ ⎟⎟ ⎝ x(t ) ⎠

ϕ (t ) = atan⎜⎜

и построить соответствующий график в декартовых и полярных осях для нескольких значений параметра сопротивления и скорости ветра. 4. Определить зависимость угла α между вектором скорости и осью x от t:

⎛ v _ y (t ) ⎞ ⎟⎟ ⎝ v _ x(t ) ⎠

α (t ) = atan⎜⎜

и построить соответствующий график в декартовых и полярных осях для нескольких значений параметра сопротивления и скорости ветра. 5. Определить зависимость угла ψ между вектором скорости и вектором ускорения от времени или координаты x.

⎛

v _ x(t ) ⋅ w _ x(t ) + v _ y (t ) ⋅ w _ y (t )

ψ (t ) = acos⎜

⎜ v _ x(t )2 + v _ y (t )2 ⋅ w _ x(t )2 + w _ y (t )2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

и построить соответствующий график (в декартовых и полярных осях) для нескольких значений параметра сопротивления и скорости ветра (в декартовых и полярных осях). ÇÀÄÀÍÈÅ 8.3. ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ ÄÂÈÆÅÍÈß ВВЕДЕНИЕ

Ïîëíîå, íîðìàëüíîå è òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèÿ

w = wτ + w n dv w _τ = dt

ïîëíîå óñêîðåíèå íîðìàëüíîå óñêîðåíèå

w _ n = w2 − w _ τ 2

òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå Êðèâèçíà òðàåêòîðèè

k=

22

w_ x⋅v _ y − w_ y ⋅v _ x

(v _ x

2

+ v _ y2 )

3/ 2

.

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить аналитически нормальное и тангенциальное ускорения для траектории движения. 2. Вычислить аналитически кривизну траектории движения. 3. Построить графики зависимостей нормального и тангенциального ускорений от времени и координаты x. 4. Построить график зависимости кривизны траектории от времени и координаты. ÇÀÄÀÍÈÅ 8.4. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÀß ÝÍÅÐÃÈß ВВЕДЕНИЕ

Êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè

E_k =

m ⋅ v2 m = ⋅ v _ x2 + v _ y 2 , V (y) = m ⋅ g ⋅ y , 2 2

(

)

Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ

E = E _ k +V =

m ⋅ (v _ x 2 + v _ y 2 ) + m ⋅ g ⋅ y . 2

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить аналитически кинетическую, потенциальную и полную энергии тела. 2. Построить графики зависимостей кинетической, потенциальной и полной энергий тела от времени и координаты x. ÇÀÄÀÍÈÅ 8.5. ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ ÄÂÈÆÅÍÈß È ÏÀÐÀÁÎËÀ ÁÅÇÎÏÀÑÍÎÑÒÈ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Получить выражение для траектории движения тела, максимальной высоты подъема и дальности полета в поле силы тяжести. 2. Исследовать полученные выражения на экстремумы. 3. Построить графики траектории, заданных параметрически и явно для разных значений угла вылета. 4. Получить выражение для параболы безопасности – линии, внутри которой лежат все траектории движения для заданной начальной скорости движения (парабола безопасности ограничивает область, за которую нельзя попасть для заданной начальной скорости). Построить график параболы безопасности. 5. Получить выражение для огибающей вершин траекторий (геометрическом месте точек вершин траекторий) и построить график огибающей.

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

23

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ТЕМА 9. СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ ÇÀÄÀÍÈÅ 9.1. ÓÏÐÓÃÎÅ ÑÒÎËÊÍÎÂÅÍÈÅ ×ÀÑÒÈÖ 1 Частица 1 упруго сталкивается с частицей 2. Частица 1 до столкновения движется со скоростью v0 вдоль оси x (v0_x = v0, v0_y = 0), частица 2 до столкновения покоится. В результате столкновения частица 1 отклоняется на угол β. Найти: а) скорости частиц v1 и V2 после столкновения, б) угол вылета частицы 2 (угол отклонения частицы по сравнению с начальным направлением движения частицы 1).

К заданию 9.1 ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить аналитически скорости частиц v1 и V2, определив v1, V2_x, V2_y. В качестве параметра использовать n = m2 / m1 - отношение масс частиц. 2. Проанализировать наличие особых точек решений. 3. Вычислить аналитически угол γ вылета частицы 2. 4. Построить графики зависимостей v1, V2_x, V2_y, γ от параметра n. 5. Построить графики зависимостей v1, V2_x, V2_y, γ от угла β. 6. Построить графики зависимостей v1, V2_x, V2_y, γ от параметра n для разных значений угла β. 7. Построить графики зависимостей v1, V2_x, V2_y, γ от параметра β для разных значений угла n. Примечание. Исследовать аналитически и графически два решения, получаемые при решении системы уравнений второго порядка. 24

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ÇÀÄÀÍÈÅ 9.2. ÓÏÐÓÃÎÅ ÑÒÎËÊÍÎÂÅÍÈÅ ×ÀÑÒÈÖ 2 Частица 1 упруго сталкивается с частицей 2. Частица 1 до столкновения движется со скоростью v0 вдоль оси x (v0_x = v0, v0_y = 0), частица 2 до столкновения покоится. После столкновения частица 1 летит со скоростью v1. Найти: а) скорости частицы 2 после столкновения, б) углы вылета частицы (углы отклонения частиц по сравнению с начальным направлением движения частицы 1). ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить аналитически скорость частицы V2, определив V2_x, V2_y, и угол β вылета частицы 1. В качестве параметра использовать n = m2 / m1 - отношение масс частиц. 2. Проанализировать наличие особых точек решений. 3. Вычислить аналитически угол γ вылета частицы 2. 4. Построить графики зависимостей β, V2_x, V2_y, γ от параметра n. 5. Построить графики зависимостей β, V2_x, V2_y, γ от v1. 6. Построить графики зависимостей β, V2_x, V2_y, γ от параметра n для разных значений v1. 7. Построить графики зависимостей β, V2_x, V2_y, γ от параметра v1 для разных значений n. ÇÀÄÀÍÈÅ 9.3. ÍÅÓÏÐÓÃÎÅ ÑÒÎËÊÍÎÂÅÍÈÅ ×ÀÑÒÈÖ Частица 1 неупруго сталкивается с частицей 2. Частица 1, движущаяся до столкновения со скоростью v1 (v1, α1 или v1_x, v1_y), налетает на частицу 2, движущуюся до столкновения со скоростью v2 (v2, α2 или v2_x, v2_y). В результате столкновения получается составная частица, а часть энергии системы выделяется в виде тепла. Найти: а) скорость составной частицы V после столкновения, б) энергию U, которая выделилась при столкновении в виде тепла. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить аналитически скорость составной частицы V, определив а) проекции скорости V_x, V_y и выделившуюся энергию U через величины (v1_x, v1_y, v2_x, v2_y); б) проекции скорости V_x, V_y и выделившуюся энергию U через величины (v1, α1, v2, α2), в) модуль скорости V, угол α и выделившуюся энергию U через величины (v1, α1, v2, α2). В качестве параметра использовать n = m2 / m1 - отношение масс. 1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

25

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

2. Проанализировать наличие особых точек решений. 3. Проанализировать наличие экстремумов у функций V и U. 4. Построить графики зависимостей а) проекций скорости V_x, V_y и выделившейся энергии U от параметров n и v1_x; б) проекции скорости V_x, V_y и выделившейся энергии U от параметров n и α1; в) модуля скорости V, угла α и выделившейся энергии U от параметров n и α1. 5. Построить графики для разных значений параметра n.

К заданию 9.3

26

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ÃËÀÂÀ 4. ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ ТЕМА 10. КИНЕМАТИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ÇÀÄÀÍÈÅ 10.1. ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ ÒÎ×ÅÊ ÊÀÒßÙÅÃÎÑß ÊÎËÅÑÀ ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå öèêëîèäû

x(t ) = v ⋅ t + R ⋅ sin (ω ⋅ t ), y (t ) =

v

ω

+ R ⋅ cos(ω ⋅ t ) .

К заданию 10.1 ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Построить графики траекторий точек (A, B, C, D, E, F, O) катящегося с горизонтальной скоростью v0 колеса для различных случаев (1, 2, 3). 2. Вычислить аналитически скорости v_x и v_y точек (A, B, C, D, E, F, O) и построить графики зависимостей скоростей от координаты x для различных случаев (1, 2, 3). 2. Вычислить аналитически модуль скорости V точек (A, B, C, D, E, F, O) и построить графики зависимостей V от времени и координаты x для различных случаев (1, 2, 3). ÇÀÄÀÍÈÅ 10.2. ÎÏÓÑÊÀÍÈÅ ÑÒÅÐÆÍß ÂÂÅÄÅÍÈÅ Тонкий стержень длины l опускается из вертикального положения так, что его концы касаются вертикальной и горизонтальной стенок.

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

27

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

К заданию 10.2 ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить аналитически зависимость координаты y некоторой точки A стержня от координаты x (траекторию точки A). 2. Построить графики траекторий различных точек стержня при его опускании.

28

1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ТЕМА 1. РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 1.1 Задание 1.1. Равноускоренное движение тела в поле силы ЗАКОН РАВНОУСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

Проекции начальной скорости Функции времени с параметрами v0 и α0

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Ускорение свободного падения Начальные координаты Начальные скорости и углы вылета

Время движения Исследуемые функции

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

29

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ГРАФИКИ

1. Зависимости координат от времени для нескольких значений начальной скорости Декартовы координаты

2. Зависимость угла между вектором скорости и осью x для нескольких значений начальной скорости

Декартовы координаты

30

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

Полярные координаты

3. Зависимость от времени модуля радиус-вектора для нескольких значений угла вылета

Декартовы координаты

Полярные координаты

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

31

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

4. Графики траекторий для нескольких значений угла вылета Декартовы координаты

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 1.2 Задание 1.2. Движение двух тел в поле силы тяжести АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Моделируемые движения

Аналитические выражения для проекций ускорений, скоростей и координат как функций времени с параметрами v01, v01, α01, α02.

32

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ЗАДАВАЕМЫЕ И ПОДБИРАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Ускорение свободного падения Начальные координаты Начальные скорости и углы вылета

Время движения Исследуемые функции

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

33

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ГРАФИКИ

Графики моделируемых траекторий

Зависимость координат от времени

Зависимость скоростей от времени

34

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ТЕМА 2. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 2.2 Задание 2.2. Вычисление ускорения и координат АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Заданная зависимость проекции скорости от времени Аналитические вычисления проекции ускорения

Аналитические вычисления координаты

Определение константы интегрирования

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Начальная координата и параметры движения Значения параметра γ, по которому исследуется движение Время движения

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

35

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Исследуемые функции

ГРАФИКИ

Зависимости проекций ускорения от времени для нескольких значений параметра γ

Зависимости проекций скорости от времени для нескольких значений параметра γ

Зависимости координат от времени для нескольких значений параметра γ

36

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ТЕМА 3. ТРАЕКТОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈßÌ 3.1 È 3.2 Задание 3.1. Нахождение явного вида траектории Задание 3.2. Построение графиков траектории АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Параметрическое задание траектории Нахождение явного вида траектории

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Начальная координата и параметры движения Значения параметра, по которому исследуется движение Время движения Исследуемые функции

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

37

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ГРАФИКИ

Графики траектории при параметрическом задании для нескольких значений параметра a

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Пределы изменения координаты x

Явный вид траектории

ГРАФИКИ

Графики траектории при явном задании для нескольких значений параметра a

38

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 3.3 Задание 3.3. Нормальное и тангенциальное ускорения АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Аналитические вычисления нормального, тангенциального и полного ускорений. Параметрическое задание траектории Вычисление скоростей

Вычисление ускорений

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

39

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Начальная координата и параметры движения Значения параметра, по которому исследуется движение Время движения Исследуемые функции

ГРАФИКИ

Графики зависимости тангенциального ускорения от времени для нескольких значений параметра a

Графики зависимости нормального ускорения от времени для нескольких значений параметра a

40

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

Графики зависимости полного ускорения от времени для нескольких значений параметра a

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 3.4 Задание 3.4. Кривизна траектории АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Аналитические вычисления кривизны траектории. Параметрическое Задание траектории Нахождение явного вида траектории

Траектория в явном виде

Кривизна траектории в полярных координатах

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

41

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Параметры движения Значения параметра, по которому исследуется движение Пределы изменения координаты ϕ Исследуемые функции

ГРАФИКИ

Графики траектории для нескольких значений параметра a (полярные координаты)

42

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

Графики зависимости кривизны от координаты ϕ для нескольких значений параметра a (полярные координаты)

Графики зависимости координаты ρ от координаты ϕ для нескольких значений параметра a (декартовы координаты)

Графики зависимости кривизны от координаты ϕ для нескольких значений параметра a (декартовы координаты)

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

43

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ТЕМА 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 4.1 Задание 4.1. Аналитическое интегрирование уравнений движения АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Интегрирование одномерного уравнения движения с силой, определенной зависимостью от координаты и времени

d ⎞ ⎛d F _ x(t ) = −γ ⋅ x(t ) − δ ⋅ ⎜ x(t )⎟ dt ⎠ ⎝ dt

2

Преобразование уравнения движения

Интегрирование уравнения движения (Shift + F9)

yields

Добавление константы интегрирования

Учет начальных условий и определение константы интегрирования

Определение скорости тела и упрощение

has solution(s)

44

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

expands to

simplifies to

Скорость тела

Ускорение тела

Определение координаты тела. Интегрирование скорости

Добавление константы интегрирования

Учет начальных условий и определение константы интегрирования

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

45

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Координата тела

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 4.1 (MAPLE) Задание 4.1. Аналитическое интегрирование уравнений движения АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (MAPLE)

Интегрирование одномерного уравнения движения с силой, определенной зависимостью от координаты и времени F _ x(t ) = m ⋅ g + a ⋅ t ⋅ sin (ω ⋅ t ) . Аналитическое интегрирование уравнения движения с учетом начальных условий > Ode:= m*diff(x(t),t,t)=m*g+a*t*sin(omega*t); collect(dsolve({Ode, x(0)=x0, D(x)(0)=v0}, x(t)),[g,m,omega]); 2

⎞ ⎛d Ode := m ⎜ 2 x( t ) ⎟⎟ = m g + a t sin( ω t ) ⎜ dt ⎝ ⎠ a t sin( ω t ) 2 a − 2 a cos( ω t ) − + g t2 ω2 ω3 x( t ) = + v0 t + x0 + 2 m Определение скорости и ускорения тела > x:=1/2*g*t^2+v0*t+x0+(a*t*sin(omega*t)/omega^2+(2*a2*a*cos(omega*t))/omega^3)/m; v:=diff(x,t); w:=diff(v,t);

a t sin( ω t ) 2 a − 2 a cos( ω t ) + gt ω2 ω3 x := + v0 t + x0 + 2 m a sin( ω t ) a t cos( ω t ) − ω ω2 v := g t + v0 + m a t sin( ω t ) w := g + m 2

46

−

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 4.1 (MATHEMATICA) Задание 4.1. Аналитическое интегрирование уравнений движения АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (MATHEMATICA)

Интегрирование одномерного уравнения движения с силой, определенной зависимостью от координаты и времени

F _ x(t ) = a ⋅ sin (ω ⋅ t ) − m ⋅ ω 2 ⋅ x(t ) .

Аналитическое интегрирование уравнения движения с учетом начальных условий SimplifyA

DSolveA9 m x''@tD x@tD, tEE

::x@tD →

aSin@ Ω tD − m ω2 x@tD, x@0D

x0, x'@0D

v0=,

1 H mx0 ω Hω2 −Ω2 L Cos@t ωD + m ω Hω2 −Ω2L

H−a Ω+ mv0 Hω2 −Ω2LL Sin@t ωD + a ω Sin@t ΩDL>>

Определение скорости и ускорения тела x= I m x0 ω Iω2 − Ω2 M Cos@t ωD + I−a Ω + m v0 Iω2 − Ω2MM Sin@t ωD +

a ω Sin@t ΩDM ë I m ω Iω2 − Ω2 MM mx0 ω Hω2 −Ω2L Cos@t ωD + H−a Ω+ mv0 Hω2 −Ω2 LL Sin@t ωD + a ω Sin@t ΩD m ω Hω2 −Ω2L v = Simplify@∂t xD H−a Ω+ mv0 Hω2 −Ω2LL Cos@t ωD + a Ω Cos@t ΩD + mx0 ω H−ω2 +Ω2L Sin@t ωD m Hω2 −Ω2L w = Simplify@∂t vD 1 H− mx0 ω2 Hω2 −Ω2 L Cos@t ωD + m Hω2 −Ω2L ω Ha Ω+ mv0 H−ω2 +Ω2LL Sin@t ωD − a Ω2 Sin@t ΩDL

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 4.3 Задание 4.3. Численное интегрирование уравнений движения Численное интегрирование одномерного уравнения движения с силой, определяемой

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

47

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 1

Параметры движения

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Время движения Ðåøåíèå ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè 1

Ðåøåíèå ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè 2

ГРАФИКИ

Графики зависимости координаты от времени для двух начальных условий

48

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 2

Параметры движения

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Начальный момент и время движения Начальные условия 1 и 2

Число точек решения ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 3

ГРАФИКИ

Графики зависимости координаты от времени для двух начальных условий

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

49

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 4.4 Задание 4.4. Численное интегрирование двумерных уравнений движения

Параметры движения

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Два значения параметра движения Начальные условия Начальное значение координаты x Начальное значение координаты y Начальное значение скорости v_x Начальное значение скорости v_y Число точек решения и время движения ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

50

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ГРАФИКИ

Графики координат от времени для двух значений параметра k

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

51

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Траектории движения для двух значений параметра k

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 4.5 Задание 4.5. Численное интегрирование трехмерных уравнений движения Численное интегрирование трехмерных уравнений движения с силой, определяемой

Параметры движения

52

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

Начальные условия Начальное значение координаты x Начальное значение координаты y Начальное значение координаты z Начальное значение скорости v_x Начальное значение скорости v_y Начальное значение скорости v_z Число точек решения Время движения ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Численное интегрирование

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

53

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ГРАФИКИ

Траектории движения тела для двух значений параметра β и двух начальных условий

54

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

Проекции траекторий

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

55

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ТЕМА 5. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 5.1 Задание 5.1. Численное интегрирование уравнения Мещерского Численное интегрирование уравнения Мещерского с массой тела, зависящей от времени где - u скорость отделяющихся частей. ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Параметры и время движения

Масса тела и скорость ее изменения

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Численное интегрирование (отсутствует сопротивление и скорость отделяющихся частей равна нулю)

Численное интегрирование (скорость отделяющихся частей равна нулю)

Численное интегрирование (общий случай)

56

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ГРАФИКИ

Зависимости массы и скорости ее изменения от времени

Графики зависимостей координат от времени

Графики зависимостей скоростей от времени

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 5.2 Задание 5.2. Численное интегрирование двумерных уравнений Мещерского Численное интегрирование двумерных уравнений Мещерского с массой тела, зависящей от времени

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

57

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Параметры движения

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Начальные условия Начальное значение координаты x Начальное значение координаты y Начальное значение скорости v_x Начальное значение скорости v_y Число точек решения и время движения ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

58

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

Время и координаты

Скорости

ГРАФИКИ

Траектории движения для разных значений параметров движений

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

59

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Зависимости координат от времени

Зависимости скоростей от времени

60

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ТЕМА 6. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 6.1 Задание 6.1. Уравнения движение тела с учетом вращения Земли Уравнения движения в поле тяжести Земли с учетом ее вращения в проекциях на координатные оси Векторы скорости и ускорения тела

Векторы угловой скорости вращения Земли и ускорения свободного падения

«Сила» Кориолиса

Равнодействующая сил в неинерциальной системе отчета

Уравнения движения в неинерциальной системе отчета

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

61

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 6.1 (MATHEMATICA) Задание 6.1. Уравнения движение тела с учетом вращения Земли АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (MATHEMATICA)

Аналитическое интегрирование уравнений движения в приближении малости угловой скорости вращения Земли x''[t] 2 ω y'[t] Sin[ψ] y''[t] -2 ω x'[t] Sin[ψ]-2 ω z'[t] Cos[ψ] z''[t] 2 ω y'[t] Cos[ψ] - g Simplify[Series[DSolve[{x''[t] 2 ω y'[t] Sin[ψ] , y''[t] -2 ω x'[t] Sin[ψ]-2 ω z'[t] Cos[ψ], z''[t] 2 ω y'[t] Cos[ψ] - g, x[0] x0,y[0] y0,z[0] z0,x'[0] vx0,y'[0] vy0,z'[0] vz0},{x[t],y[t],z[t]},t],{ω,0,1}]] ::Hx@tD → t vx0 + x0L + t2 vy0 H0 → 1L Sin@ψD ω + O@ωD2, Hy@tD → t vy0 + y0L +

1 2 t H0 → 1L HHg t − 3 vz0L Cos@ψD − 3 vx0 Sin@ψDL ω + 3 2 i jz@tD → − g t + t vz0 + z0y z+ z O@ωD2, j 2 k { t2 vy0 Cos@ψD H0 → 1L ω + O@ωD2>>

x = t vx0 + x0 + t2 vy0 Sin@ψD ω 1 y = t vy0 + y0 + t2 HHg t − 3 vz0L Cos@ψD − 3 vx0 Sin@ψDL ω 3 2 gt z= − + t vz0 + z0 + t2 vy0 Cos@ψD ω 2 62

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

Предел полученных решений при ω = 0 ω= 0

x = x0 + t vx0 + t2 vy0 Sin@ψD ω y = y0 + t vy0 + 1 2 t HHg t − 3 vz0L Cos@ψD − 3 vx0 Sin@ψDL ω 3 g t2 z = z0 + t vz0 − + t2 vy0 Cos@ψD ω 2 0 t vx0+x0 t vy0+y0

g t2 + t vz0 + z0 2 xx = t vx0 + x0 yy = t vy0 + y0 g t2 zz = z0 + t vz0 − 2 −

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 6.2 Задание 6.2. Графическое исследование движения тела с учетом вращения Земли ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Время движения Параметры движения

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ ГРАФИКОВ

Закон движения с учетом вращения Земли

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

63

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Закон движения без учета вращения Земли

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ ГРАФИКОВ

Число точек графиков Закон движения с учетом вращения Земли

Закон движения без учета вращения Земли

ГРАФИКИ

Траектории движения и их проекции

64

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ТЕМА 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 7.1 Задание 7.1. Исследование потенциальной энергии и силы АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Вычисление проекции силы по известной зависимости потенциальной энергии от координаты Потенциальная энергия и сила

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

65

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Значения переменной x ГРАФИКИ

Потенциальная энергия и сила для разных значений параметров

a > 0, b > 0

a > 0, b < 0

a < 0, b > 0

a < 0, b < 0 66

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 7.2 Задание 7.2. Потенциальная яма АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Вычисление положения точек поворота для энергии, соответствующей нахождению тела в потенциальной яме Потенциальная энергия

Точки поворота: Екин = 0, E = V

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Значения переменной x Параметры потенциальной энергии (потенциальная яма) Полная энергия Точки поворота

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

67

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ГРАФИКИ

Потенциальная энергия, полная энергия и точки поворота в потенциальной яме

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 7.3 Задание 7.3. Фазовый портрет движения АНАЛИТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ

Потенциальная энергия (функция координаты)

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Параметры движения Потенциальная энергия и полная энергия

ГРАФИКИ

Потенциальная энергия

68

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

Области изменения переменных и число точек

Фазовый портрет

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

69

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 7.4 Задание 7.4. Потенциальная энергия и закон движения АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Численное интегрирование одномерных уравнений движения для заданной потенциальной энергии Потенциальная энергия Сила

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Параметры движения и время движения

ГРАФИК

Потенциальная энергия

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

70

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ГРАФИКИ

Графики зависимостей координаты и скорости от времени

Фазовый портрет

ТЕМА 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 8.1 (MAPLE) Задание 8.1. Аналитическое интегрирование уравнения движения АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (MAPLE)

Уравнения и начальные условия > DE_1:=m*diff(x(t),t,t)=beta*diff(x(t),t)+beta*ux; DE_2:=m*diff(y(t),t,t)=-beta*diff(y(t),t)+beta*uy; DE_3:=m*diff(z(t),t,t)=-beta*diff(z(t),t)+beta*uzm*g; IC:={x(0)=x0, y(0)=y0, z(0)=z0, D(x)(0)=v0x, D(y)(0)=v0y, D(z)(0)=v0z};

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

71

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ 2 d ⎛d ⎞ DE_1 := m ⎜ 2 x( t ) ⎟⎟ = −β ⎛⎜⎜ x( t ) ⎞⎟⎟ + β ux ⎜ dt d ⎝ t ⎠ ⎝ ⎠ 2 d ⎛d ⎞ DE_2 := m ⎜⎜ 2 y( t ) ⎟⎟ = −β ⎛⎜⎜ y( t ) ⎞⎟⎟ + β uy d t d t ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 d ⎛d ⎞ DE_3 := m ⎜⎜ 2 z( t ) ⎟⎟ = −β ⎛⎜⎜ z( t ) ⎞⎟⎟ + β uz − m g d t d t ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ IC :={x( 0) = x0, y( 0) = y0, z( 0) = z0, D( x )( 0) = v0x, D( y )( 0) = v0y, D( z)( 0) = v0z}

Аналитическое интегрирование уравнений движения > Syst:={DE_1,DE_2,DE_3}: collect(combine(dsolve(Syst union IC,{x(t),y(t),z(t)})),[beta,exp(-beta/m*t)]); ⎛− β t ⎞ ⎧ ⎟ ⎜⎜ ⎪ ⎝ m ⎟⎠ ⎪⎨ − ( − ux + v0x ) m e − m ux + m v0x ⎪ x( t ) = ux t + x0 + , z( t ) = ⎪⎪ β ⎩ t uz + z0 +

−( −uz + v0z) m e

y( t ) = uy t + y0 +

⎛ βt⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ m⎠

2

− t m g − m uz + m v0z −m e + β

−( −uy + v0y ) m e

⎛− β t ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎝ m ⎟⎠

β

⎛ βt⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ m⎠

β

g + m2 g

2

,

⎫ ⎪ − m uy + m v0y ⎪⎬⎪ ⎪⎪ ⎭

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 8.1 Задание 8.1. Аналитическое интегрирование уравнения движения АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Решения уравнения движения. Координаты

72

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

Скорости и ускорения

ПРЕДЕЛ ОТСУТСТВИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

73

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ВЫЧИСЛЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОЙ ВЫСОТЫ

Вычисление времени подъема

has solution(s)

Вычисление максимальной высоты подъема

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 8.4 Задание 8.4. Механическая энергия ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Параметры движения

Время движения

74

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ (С УЧЕТОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА)

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия Полная энергия ПРЕДЕЛ ОТСУТСТВИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

75

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ГРАФИКИ

Графики зависимостей кинетической энергии от времени для двух значений горизонтальной скорости ветра и в пределе отсутствия сопротивления

Графики зависимостей потенциальной энергии от времени для двух значений горизонтальной скорости ветра и в пределе отсутствия сопротивления

Графики зависимостей полной энергии от времени для двух значений горизонтальной скорости ветра и в пределе отсутствия сопротивления

76

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ТЕМА 9. СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 9.1 Задание 9.1. Упругое столкновение частиц АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Параметр массы Законы сохранения импульса и энергии

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

77

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Особые точки

Угол вылета второй частицы

78

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ГРАФИКИ

Графики зависимостей скоростей и угла вылета с параметром:

Графики зависимостей скоростей и угла вылета с параметром

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

79

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 9.3 Задание 9.3. Неупругое столкновение частиц АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Параметр массы и Задание скоростей

Законы сохранения импульса и энергии

80

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Аналитические зависимости

ГРАФИКИ

Графики зависимостей угла от параметра n

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

81

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Графики зависимостей скоростей от параметра n

ТЕМА 10. КИНЕМАТИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 10.1 Задание 10.1. Траектории точек катящегося колеса ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Угловая скорость и время движения Параметрическое уравнение циклоиды

82

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

×ÀÑÒÜ I. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß ÌÅÕÀÍÈÊÀ

ГРАФИКИ

Траектории точек колеса для скорости

Траектории точек колеса для скорости

ÏÐÈÌÅÐ Ê ÇÀÄÀÍÈÞ 10.2 Задание 10.2. Опускание стержня АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Связь координат стержня

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

83

À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ. ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Длина стержня Траектория точек стержня

ГРАФИКИ

Траектории точек стержня

84

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ