Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001 г.
Содержание Глава I. Действительные числа ……………………………….……. 4 Глава II. Степенная функция……………………………………….. 37 Глава III. Показательная функция…………………………..…….. 65 Глава IV. Логарифмическая функция…………………………….. 85 Глава V. Тригонометрические формулы……………………..….. 123 Глава VI. Тригонометрические уравнения………………….…… 157 Глава VII. Тригонометрические функции………………….……. 193
3
www.5balls.ru
Глава I. Действительные числа 1. 1) Воспользуемся алгоритмом деления уголком: − 2,0 3 Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же цифра: 6. Следовательно, 18 0,66 2 − 20... = 0,666... = 0, (6) . 3
2) Воспользуемся алгоритмом деления уголком: − 8,0 3 Остатки повторяются, поэтому в частном 77 0,66 повторяется одна и та же группа цифр: 72. − 30
Следовательно,
22
8 = 0,7272... = 0, (72) . 11
… − 30...
3) 3 = 2 ⋅ 3 = 6 = 0,6
2 ⋅ 5 10 3 25 ⋅ 3 75 − =− =− − 0,75 4 25 ⋅ 4 100 2 56 + 2 58 −8 = − =− 7 7 7 5
4) 5)
− −58
7 – 8,2857142
−56 − − 20
Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 285714. Сле-
−14
… −6 …
6) − 13,0 99 − 310
99 0,131
297
… 31...
довательно, − 8
2 = –8,2857142…=–8,( 285714). 7
Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 13. 13 = 0,1313... = 0, (13) . Следовательно, 99
2. 1) 2 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ⋅ 11 = 18 + 11 = 29 . 11 9 9 ⋅ 11 99 99 − 29,0
99
198 − 920
0,292
891 … 92...
Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 29. 29 Следовательно, = 0,2929... = 0, (29) . 99
4
www.5balls.ru
2)
8 2 8 ⋅ 3 + 2 ⋅ 13 24 + 26 50 . + = = = 13 3 3 ⋅ 13 39 39
39 1,282051
− 50
39 − 110
цифр:
… 11 3)
Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа 282051.
Следовательно,
50 = 39
= 1,2820512... = 1, (282051) .
1 1 125 1 ⋅ 100 + 3 ⋅ 125 100 + 375 475 19 + 1,25 = + = = = = . 3 3 100 3 ⋅ 100 300 300 12
12 1,583
−19
12 70 − 60
Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же цифра: 3. Следовательно,
…
19 = 1,5833... = 1,58(3) . 12
4...
4) 1 + 0,33 = 1 + 33 = 1 ⋅ 50 + 33 ⋅ 3 = 50 + 99 = 149 . 6
6
− 149,0
1200 − 2900
100
300 0,4966
3 ⋅ 2 ⋅ 50
300
Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же цифра: 6. Следовательно,
2700
300
…
149 = 0,4966... = 0,49(6) 300
200...
5) 3 ⋅ 1,05 = 3 ⋅ 105 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 3 = 9 = 9 ⋅ 25 = 225 = 0,225 . 2 ⋅ 7 100 2 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 4 40 40 ⋅ 25 1000 14 7 7 ⋅ 17 119 6) ⋅1,7 = . = 9 9 ⋅ 10 90 − 119
90 290 − 270
90 1,32
Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же цифра: 2. Следовательно,
119 = 1,322... = 1,3(2) . 90
… 20... 3. 1) 0,(6). Пусть x = 0, (6) = 0,66... (1) Период этой дроби состоит из одной цифры. Поэтому, умножая обе части этого равенства на 10, находим 10x = 6,66... (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 9x = 6 .
5
www.5balls.ru
Отсюда x = 6 = 2 . 9
3
2) 1,(55). Пусть x = 1, (55) =1,5555… (1) Период этой дроби состоит из двух цифр, поэтому, умножая обе части этого равенства на 10 2 = 100, находим 100x = 155,55... (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получим 99x = 154 . Отсюда x = 154 = 14 = 1 5 . 99
9
9
3) 0,1(2) Пусть x = 0,1(2) =0,1222…. Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножая на 10, получаем 10x = 1, (2) (1) Период этой дроби состоит из одной цифры. Поэтому, умножая обе части последнего равенства на 10, находим (2) 100x = 12, (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 90x = 11 . Отсюда x = 11 . 90
4) – 0,(8) Пусть x = −0, (8) =–0,888… (1) Период этой дроби состоит из одной цифры. Поэтому, умножая обе части этого равенства на 10, получаем (2) 10x = −8, (8) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 9x = −8 . Отсюда x = − 8 . 9
5) – 3,(27) Пусть x = −3, (27) =–3,2727… (1) Период этой дроби состоит из двух цифр. Поэтому, умножая обе части этого равенства на 10 2 = 100 , получаем 100x = −327, (27) (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 99x = −324 . Отсюда x=−
324 36 3 =− = −3 . 99 11 11
6) – 2,3(82) Пусть x = −2,3(82) =–2,38282… Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножая на 10, получаем 10x = −23, (82) (1) Период этой дроби состоит из двух цифр.
6
www.5balls.ru
Поэтому, умножая обе части этого равенства на 10 2 = 100 , получаем 1000x = −2382, (82) (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 990x = −2359 . Отсюда x = − 2359 = −2 379 . 990
990
4. 1) (20,88 : 18 + 45 : 0,36) : (19,59 + 11,95) = 2088 + 45 ⋅100 : 100 ⋅ 18
36
1959 1195 2088 + 4500 ⋅ 50 3154 227088 100 4. : + ⋅ = = = : 100 50 ⋅ 2 ⋅ 12 100 100 ⋅ 18 3154 100
9⋅5 7 11 1 19 3 = + + = =4 . 4 ⋅8 2 ⋅5⋅ 2 ⋅9 4 4 4 4 4 4 3 2 79 ⋅ 4 24 215 2 1) 3 + 0,24 2,15 + 5,1625 − 2 = + + (5,1625 − 2,1875) ⋅ = ⋅ 16 5 4 ⋅ 25 100 100 5 25
2) 7 ⋅ 9 + 8 ⋅ 11 + 9 ⋅ 5 = 7 ⋅ 9 + 8 ⋅ 11 + 36
5. =
32
10 18
4⋅9
316 + 24 215 2975 2 35 ⋅ 215 595 ⋅ 5 ⋅ 2 7310 + 1190 8500 ⋅ + ⋅ = + = = = 8,5 . 1000 ⋅ 5 1000 1000 100 100 1000 5 10 ⋅ 100 2) 0,364 : 7 + 5 : 0,125 + 2 1 ⋅ 0,8 = 364 ⋅ 25 + 5 ⋅ 8 =
25 16 2 1000 7 16 10 7 ⋅ 52 ⋅ 25 5 ⋅ 8 ⋅ 125 5 ⋅ 2 ⋅ 4 13 25 20 58 = + + = + + = = 5,8 . 40 ⋅ 25 ⋅ 7 2 ⋅ 8 ⋅ 125 2 ⋅ 2 ⋅ 5 10 10 10 10
6. 1) 16, 9 — рациональное число. 2) 7, 25(4) — бесконечная периодическая десятичная дробь — рациональное число. 3) 1,21221222… (после каждой единицы стоит n двоек) — бесконечная непериодическая десятичная дробь — аррациональное число. 4) 99,1357911…(после запятой записаны подряд все нечетные числа) — бесконечная непериодическая десятичная дробь — иррациональное число. 7. С помощью микрокалькулятора находим 31 = 5,5677643... ≈ ≈ 5,57 . Значит пара чисел 5, 4 и 5, 5 образует десятичное приближения числа 31 с недостатком, а пара чисел 5, 5 и 5, 6 — с избытком. 8. 1) x = 5 − 7 ;
7 ≈ 2,6457513... , значит,
7 < 5 . Следовательно,
5 − 7 > 0 , значит, в данном случае является верным равенство |x|=x.
2) x = 4 − 3 5 . Нужно выяснить какое из чисел больше 4 или 3 5 , для этого возведем их в квадрат: 4 2 = 16 ; (3 5 ) 2 = 45 . Очевидно, что 45 > 16, следовательно, 3 5 > 4, а, значит, 4 − 3 5 < 0 , и верным в данном случае является равенство x = − x . 3) x = 5 − 10 . Возведем в квадрат числа 5 и
10 , получаем: 5 2 = 25 ;
( 10 ) = 10 , так как 25 > 10 , то и 5 > 10 , поэтому 5 − 10 > 0 , а, значит, в 2
данном случае верным является равенство x = x .
7
www.5balls.ru
9. 1) ( 8 − 3)(3 + 2 2 ) = ( 4 ⋅ 2 − 3)(2 2 − 3)(2 2 + 3) = (2 2 − 3) × × (2 2 + 3) = (2 2 ) 2 − 3 2 = 8 − 9 = −1 — рациональное число. 2) ( 27 − 2)(2 − 3 3 ) = −(2 − 3 3 )(2 − 3 3 ) = −(2 − 3 3 ) 2 = = −( 4 + 27 − 12 3 ) = 12 3 − 31 — иррациональное число. 3) ( 50 + 4 2 ) 2 = ( 52 ⋅ 2 + 4 2 ) 2 = (5 2 + 4 2 ) 2 = 9 2 ⋅ 2 = 18 — рациональное число. 4) (5 3 + 27 ) : 3 = (5 3 + 32 ⋅ 3 ) : 3 = (5 3 + 3 3 ) : 3 = 8 3 : 3 = 8 — рациональное число. 5) ( 3 − 1) 2 + ( 3 + 1)2 = 3 + 1 − 2 3 + 3 + 1 + 2 3 = 8 — рациональное число. 6) ( 5 − 1)2 − (2 5 + 1) 2 = 5 + 1 − 2 5 − 20 − 1 − 4 5 = −15 − 6 5 — иррациональное число. 10. 1)
63 ⋅ 28 = 7 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 ⋅ 7 = 3 ⋅ 2 ⋅ 7 = 42 ;
2)
20 ⋅ 5 = 2 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2 5 ⋅ 5 = 10 ;
3)
50 : 8 = 5 2 ⋅ 2 : 2 2 ⋅ 2 = 5 : 2 = 2,5 ; 2 12 : 27 = 3 ⋅ 2 2 : 3 2 ⋅ 3 = 2 : 3 = . 3
4)
11. 1) Сравнить
3,9 + 8 и 1,1 + 17 .
( 3,9 + 8 ) = 3,9 + 8 + 2 31,2 = 11,9 + 2 31,2 ; 2
( 1,1 + 17 ) 2 = 11 + 17 + 2 18,7 = 28 + 2 18,7 . Вычислим знак разности ( 28 + 2 18,7 ) − (28 + 2 31,2 ) , если он положительный, то 1,1 + 17 > 3,9 + 8 , если отрицательный, то 1,1 + 17 < 3,9 + 8 . Допустим, что он положительный, т.е. 28 + 2 18,7 > 11,9 + 2 31,2 , проверим
это:
28 − 11,9 + 2 18,7 > 2 31,2 ;
16,1 + 2 18,7 > 2 31,2 ;
259,21 + 74,8 + 64,4 18,7 > 124,8; 209,21 + 64,4 18,7 > 0 — верное неравенство, значит наше предположение было верным и 1,1 + 17 > 3,9 + 8 . 2) Сравнить Допустим, что
11 − 2,1 и 10 − 3,1 . 11 − 2,1 > 10 − 3,1 ;
11 + 2,1 − 2 23,1 > 10 + 3,1 − 2 31 ;
− 2 23,1 > −2 31 ;
2 23,1 < 2 31 ; 23,1 < 31 — верное неравенство, значит, наше предположение было верным и
11 − 2,1 > 10 − 3,1 .
8
www.5balls.ru
12. 1) = (
=
( 7 − 2 10 + 2 ) ⋅ 2 5 = (2 35 − 10 10 + 2 10) =
7+3 7−3 − + 2) ⋅ 2 5 = ( 5 − 2 5) = 10 . 2 2 16 + 2 16 − 2 − + 7) ⋅ 3 2 2
2)
( 16 − 6 7 + 7) ⋅ 3 = (
3)
( 8 + 2 15 − 8 − 2 15 ) ⋅ 2 + 7 =
(
= 2
= 3⋅3 = 3 .
8 + 64 − 60 8 − 64 − 60 8 + 64 − 60 8 − 64 − 60 + − + )⋅2+7 = 2 2 2 2 8− 4 8−2 ⋅2+7 = 2 ⋅2+7 = 2 2
4 3 +7 =
7 +1 7 −1 + = 2+ 3 . 2 2
13. 1) b n = −52n , получим: b1 = −52 , b 2 = −5 4 , b3 = −56 . 4 6 Итак, q = b 2 = 5 = 25 = b 3 = 5 = 25 , значит, данная последователь2 4
b1
b2
5
5
ность является геометрической прогрессией. 2) b n = 23n , получим b1 = 23 , b 2 = 26 , b 3 = 2 9 . 6 9 Итак, q = b2 = 2 = 8 = b3 = 2 , значит, данная последовательность яв3 6
b1
2
b2
2
ляется геометрической прогрессией. 14. 1) b 4 = 88, q = 2; b 4 = b1 ⋅ q3 ; 88 = b1 ⋅ 8; b1 = 11. S5 =
b1 (1 − q 5 ) 11(1 − 32) = = 31 ⋅11 = 341 . 1− q 1− 2
2) b1 = 11, b 4 = 88; b 4 = b1 ⋅ q 3 ; 88 = 11 ⋅ q 3 ; q 3 = 8; q = 2. S5 =
11(1 − 2 5 ) = 31 ⋅11 = 341 . 1− 2
1 1 1 1 b , , … Итак, b3 = , b 2 = ; q = 3 = 1 : 1 , q < 1 , зна5 25 25 5 b 2 25 5 чит, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 1 1 1 1 1 2) , , , … Итак, b 3 = , b2 = ; 27 3 9 27 9 15. 1) 1,
q=
b3 1 1 1 , q < 1 , значит, данная геометрическая прогрессия = : = b 2 27 9 3
является бесконечно убывающей. 3) – 27, – 9, – 3… Итак, b 3 = −3, b 2 = −9 ; q = b 3 = 3 = 1 , q < 1 , значит, b2
9
3
данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
9
www.5balls.ru
4) – 64, – 32, – 16… Итак, b 3 = −16, b 2 = −32 ; q = b3 = 16 = 1 , q < 1 , b2
32
2
значит, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 16. 1) b1 = 40 , b 2 = −20 ; q =
b 2 −20 1 = = − , так как q < 1 , то данная b1 40 2
геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 2)
b 7 = 12 ,
b11 =
3 ; 4
b11 = b1 ⋅ q10 ;
b7 = b1 ⋅ q 6 ,
значит,
1 b11 b1 ⋅ q 10 3 1 = = q 4 = : 12 = , откуда получаем, что q = < 1, значит, дан2 b7 4 16 b1 ⋅ q 6
ная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 3) b 7 = −30, b 6 = 15 ; q = b7 = −30 = −2 , q = 2 < 1 , значит, данная геоb6
15
метрическая прогрессия не является бесконечно убывающей. 1 b5 = b1 ⋅ q 4 ; b10 = b1 ⋅ q9 , значит, 4) b5 = 9 , ; b10 = − 27 1 1 b 10 b ⋅q9 1 5 = 1 = q5 = − : 9, откуда q = − 5 , то есть q = − , q =< 1, зна4 3 b5 27 3 b1 ⋅ q чит, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 17. 1) lim 1 . Если n неограниченно возрастает, то 1 как угодно близn n n →∞ 4
4 1 1 ко приближается к нулю, т.е. → 0 при n → ∞ или lim n = 0 . n →∞ 4 4n
2) lim (0,2)n . Если n неограниченно возрастает, то (0,2) n как угодно n →∞
близко приближается к нулю, т.е. (0,2) n → 0 при n → ∞ или lim (0,2)n = 0 . n →∞
3) lim (1 + n →∞
1 7n
) . Если n неограниченно возрастает, то
близко приближается к нулю, т.е.
1 7n
1 7n
как угодно
1 → 0 при n → ∞ или lim n = 0 . Поn →∞ 7
этому, lim (1 + 1 ) = 1 . n n →∞
7
n n 4) lim 3 − 2 . Если n неограниченно возрастает, то 3 как угодно 5 n →∞ 5 n
n
близко приближается к нулю, т.е. 3 → 0 при n → ∞ или lim 3 = 0 . 5
n
Поэтому, lim 3 − 2 = − 2 . n→∞ 5
10
www.5balls.ru
n →∞ 5
1 1 1 1 2 1 . 8 18. 1) q = − , b1 = S = b1 = = ⋅ = 2 8 1− q 1− − 1 8 3 12 2
( )
1 1 1 1 1 1 2) q = , b5 = ; b5 = b5 ⋅ q 4 ; = b1 ⋅ ; = b1 ⋅ , значит, 3 81 81 34 81 81 b1 = 1 ; S = b1 = 1 = 1 = 1,5 . 1 2 1− q
1−
3
3
9 9 27 3) q = − 1 , b1 = 9 ; S = b1 = =4= = 6,75 . 3 1− q 1− − 1 4 3
( ) 3
3
4) q = − 1 , b 4 = 1 ; b4 = b1 ⋅ q3 ; 1 = b1 − 1 , откуда получаем b1 = −1 , 2
значит, S =
−1
( )
1− −
1 2
=
8 −1 3 2
2
8
2 =− . 3
19. 1) 6, 1, 1 … b1 = 6, b 2 = 1 ; q = b 2 = 1 ; S = b1 = 6 = 6 = 36 = 7,2 . 1 5 6
b1
1− q
6
1−
5
6
6
2) −25 , −5 , −1 ,… b1 = −25, b 2 = −5 ; q = b 2 = 1 ; b1
5
b −25 −25 −125 S= 1 = = 4 = = −31,25 . 1− q 1− 1 4 5
5
20. 1) 0,(5). Составим следующую последовательность приближенных значений данной бесконечной дроби: a 1 = 0,5 =
5 , a 2 = 0,55 = 5 + 5 , … 10 10 10 2
a 3 = 0,555 =
5 5 5 + + ,... 10 102 103
Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии: 5 5 5 + + +… a= 10 10 2 10 3
Получаем a = S =
5 10 1 1− 10
=
5 . 9
2) 0,(8). Составим следующую последовательность: 8 8 8 ,… , a 2 = 0,88 = + a 1 = 0,8 = 10 10 2 10 Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии: 8 8 8 a = + 2 + 3 +… 10 10 10
Получаем a = S =
8 10 1 1− 10
=
8 . 9
11
www.5balls.ru
3) 0,(32). Составим следующую последовательность: 32 32 32 ,… + a 1 = 0,32 = , a 2 = 0,3232 = 100 100 1002 Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии: a=
32 32 32 + + + ... 100 100 2 100 3
Получаем a = S =
32 100 1 1− 100
=
32 . 99
4) 0,2(5). Составим следующую последовательность: a 1 = 0,05 =
5 5 5 , ,… + a 2 = 0,055 = 100 1003 100
Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии и числа 0,2: Получаем a = 0,2 + S = 1 + 5
5 100 1 1− 10
=
1 5 18 + 5 23 . + = = 5 90 90 90
21. 1) b n = 3 ⋅ (−2)n ; b1 = −6 ; b 2 = 12 ; b 3 = −24 ; q=
b b2 −24 12 , так как q = 2 > 1 , то данная последова= = −2 = 3 = b1 − 6 b2 12
тельность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. 2) b n = −5 ⋅ 4n ; b1 = −20 ; b 2 = −80 ; b 3 = −320 ; q=
b −320 b 2 80 , так как q = 4 > 1 , то данная последова= =4= 3 = b2 − 80 b1 20
тельность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. n −1 8 8 3) b n = 8 ⋅ − 1 ; b1 = 8 ; b 2 = − ; b3 = − ; 3 9 3 8
q=
b2 − 3 1 b = =− = 3 = b1 8 3 b2
8 9 8 − 3
−
, так как q =
1 < 1 , значит, данная последо3
вательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. n −1 3 3 4) b n = 3 ⋅ − 1 ; b1 = 3 ; b 2 = − ; b3 = ; 2 4 2 3
q=
3
1 b2 − 2 1 b = = − = 3 = 43 , q = < 1 , значит, данная последователь2 b1 8 2 b2 − 2
ность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. 1 22. 1) q = ; b5 = 2 ; b5 = b1 ⋅ q 4 ; 2 = b1 ⋅ 1 , 2 16 16 16
12
www.5balls.ru
откуда получаем: b1 = 2 , S = b1 =
2
1− q
1−
1 2
=2 2 .
9 3 9 3 3 ; b 4 = ; b 4 = b1 ⋅ q 3 ; = b1 ⋅ , 8 2 8 8
2) q =
откуда получаем: b1 = 3 , S = b1 = 1− q
23. 1) S = 30 , q =
3
= 2 3(2 + 3) .
3 2
1−
1 . Итак, S = b1 , значит, b1 = S ⋅ (1 − q ) = 30(1 − 1 ) = 24. 5 5 1− q
2) S = 30 , b1 = 20 . Итак, S = b1 , значит, 1 − q = b1 , 1− q
S
а q = 1 − b1 = 1 − 2 = 1 . S 3 3 n 24. 1) lim 3 − 2 = lim ( 3 − 1) . n n n →∞
n →∞
2
2
3
Если n неограниченно возрастает, то 3
ется к нулю, т.е.
2
n
2n
как угодно близко приближа3
→ 0 при n → ∞ или lim
n →∞ 2n
= 0.
Поэтому lim ( 3 − 1) = −1 . n n →∞
2) lim
n →∞
n+2
3
2
+2
n
= lim
9 ⋅ 3n + 2 3n
n →∞
3
= lim (9 + n →∞
2 3n
2
Если n неограниченно возрастает, то ется к нулю, т.е.
3 2n
).
3n
как угодно близко приближа2
→ 0 при n → ∞ или lim
n →∞ 3n
=0.
Поэтому lim (9 + 2 ) = 9 . n n →∞
3) lim
n →∞
(5n + 1) 2 5
2n
3
= lim
52n + 1 + 2 ⋅ 5n
n →∞
5
2n
= lim (1 + n →∞
Если n неограниченно возрастает, то
1 5
1 52 n
2n
и
+
2 5n
2 5n
).
как угодно близко при-
2 1 → 0 и n → 0 при n → ∞ или 5 5 2n 1 2 2 lim = 0 . Поэтому lim (1 + 2n + n ) = 1 . n →∞ 5n n →∞ 5 5
ближается к нулю, т.е.
lim
1
n → ∞ 52 n
=0 и
25. Стороны поставленных друг на друга кубов составляют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию
13
www.5balls.ru
a , a , a , a , … значит, высота получившейся фигуры равна сумме 2
4
8
бесконечно убывающей геометрической прогрессией с q = S=
a 2
a
1 = ; 2
b1 a = = 2a . 1− q 1− 1 2
26. Расстояние от точки касания первой окружности со второй есть сумма бесконечно убывающей прогрессии диаметров окружностей с радиусами R2 R3… Rn…, то есть 2(R2+R2+…+R2+…), а, значит, расстояние от центра первой окружности до вершины угла равно R1+2(R2+R2+…+R2+…). Расстояние от вершины угла до центра первой окружности равно 1 R1 : sin 30o = R1 : = 2R1 . 2 Расстояние от вершины угла до центра второй окружности равно 2R1– –R2–R1=R1–R2 Из подобия треугольника следует R1 = R2
2R1 , откуда 2R 2 − R R = 1 1 2 R1 − R 2
= 2R1R 2 , R 2 = R1 , аналогично, R 3 = R 2 = R1 , таким образом R n = R1 . n −1 3
3
2
27. 1) 1 = 1 = 1;
0= 0
3
1 = 13 = 1;
16 = 4 1
(17) 2
3
0 = 0 3 = 0;
3
3
=
2
= 4;
1 . 17 3
125 = 5 3 = 5;
3
3 3 1 1 1 3 3 3 3 = 3 3 = ; 0,027 = (0,3) = 0,3; 0,064 = (0,4) = 0,4. 27 3 3
3
3) 4
3
9
= 0;
1 = 289
0,81 = (0,9) 2 = 0,9; 2)
2
4
4
0 = 0 4 = 0;
16 4 2 = 81 3
28. 1) 3)
4
4
3
1 2
30. 1)
3
=
4
1 = 14 = 1;
2 ; 3
4
4
4
16 = 2 4 = 2;
256 4 4 = 625 5
4
6
=
36 3 = 6 (6 2 ) 3 = 6 6 = 6 ; 2)
1 25
29. 1) 3)
6
4
4
2
=
4
1 52
2
=
4
1 5
4
=
4 4 0,0016 = 4 (0,2) 4 = 0,2. ; 5
12
64 2 = 12 ( 2 6 ) 2 =
1; 5
4)
8
10 6 = 3 (10 2 ) 3 = 10 2 = 100 ; 12
1 3 = 2 4
4
3
− 8 = 3 (−2) 3 = −2 ;
4) 2)
15
4
2
8
3 12
1 3
= 3 (3 4 ) 3 = 3 4 = 81 ;
3
16
1 4 = 3 4
− 1 = 15 (−1)15 = −1 ;
14
www.5balls.ru
=2;
225 4 = 8 (15 2 ) 4 = 15 8 = 15 . 2)
1 1 = = ; 2 8
12 12
4
4
1 . 1 = = 3 81
3
1 1 1 = 3 − = − ; 27 3 3
3)
3
−
5)
3
− 34 3 = − 34 3 = −34 ;
3
4)
5
− 1024 = 5 (−4) 5 = −4 ;
6)
7
− 8 7 = − 8 7 = −8 .
7
4
31. 1) x 4 = 256; x = ± 4 256 ; x = ± 4 4 ; x = 4 или x = −4. 2) x 5 = −
5 1 1 1 ; x = 5 − ; x = − 5 1 ; x = − . 32 32 2 2
5
3) 5x 5 = −160; x = 5 − 32 = − 2 5 = −2. 6
4) 2 x 6 = 128; x 6 = 64; x = 6 64 = 26 = 2, отсюда, x = 2 или x = – 2. 32. 1)
3
− 125 +
16 16 6 2 1 3 64 = − 5 3 + 2 = −5 + = −5 + = −4,75 ; 8 8 8 4 5
3
32 − 0,53 − 216 = 2 5 + 0,5 6 3 = 2 + 3 = 5 ; 1 14 4 4 4 3) − 4 81 + 4 625 = − 3 + 5 = −1 + 5 = 4 ; 3 3 1 14 4 3 4) 3 − 1000 − 4 256 = − 10 3 − 4 = −10 − 1 = −11 ; 4 4
=
2)
5
5)
5
1 + 3 − 0 ,001 − 4 0 ,0016 = 243
5
1 3
5
+ 3 ( − 0 ,1) 3 − 4 ( 0 , 2 ) 4 =
1 1 3 10 − 9 1 . − 0 ,1 − 0 , 2 = − = = 3 3 10 30 30
33. 1)
3
343 ⋅ 0,125 = 3 (7) 3 ⋅ (0,5) 3 = 3 (7 ⋅ 0,5) 3 = 7 ⋅ 0,5 = 3,5 ; 3
2)
3
512 ⋅ 216 = 83 ⋅ 6 3 = 3 (8 ⋅ 6) 3 = 8 ⋅ 6 = 48 ;
3)
5
32 ⋅100000 = 2 5 ⋅10 5 = 5 (2 ⋅10) 5 = 2 ⋅10 = 20 .
5
34. 1)
3
53 ⋅ 7 3 = 3 (5 ⋅ 7) 3 = 5 ⋅ 7 = 35 ; 2) 4 114 ⋅ 34 = 4 (11 ⋅ 3) 4 = 11 ⋅ 3 = 33 ; 7
3)
5
1 1 1 (0,2)5 ⋅ 85 = 5 (0,2 ⋅ 8)5 = 0,2 ⋅ 8 = 1,6 ; 4) 7 ⋅ 217 = 7 ( ⋅ 21)7 = ⋅ 21 = 7 . 3 3 3
35. 1)
3
3
2 ⋅ 3 500 = 3 2 ⋅ 500 = 3 1000 = 10 3 = 10 ;
2)
3
0,2 ⋅ 3 0,04 = 3 0,2 ⋅ 0,04 = 3 0,008 = 3 (0,2) 3 = 0,2 ;
3)
4
324 ⋅ 4 4 = 4 324 ⋅ 4 = 4 81 ⋅ 2 4 = 4 3 4 ⋅ 2 4 = 3 ⋅ 2 = 6 ;
4)
5
2 ⋅ 5 16 = 5 2 ⋅16 = 5 25 = 2 .
36. 1)
5
310 ⋅ 215 = 32 ⋅ 2 3 = 9 ⋅ 8 = 72 ;
15
www.5balls.ru
2)
3
3)
4
4)
10
2 3 ⋅ 56 = 3 (2 ⋅ 5 2 ) 6 = 2 ⋅ 5 2 = 2 ⋅ 25 = 50 ; 4
6 2 1 2 1 1 1 312 = 4 33 = 33 ⋅ = 27 ⋅ = 3 ; 3 3 9 3
1 4 30 2
2
1 1 = 4 3 ⋅ = 64 ⋅ = 16 . 4 2
3
3
37. 1)
10
1 2 = 10 4 3 3
20
64 x 3 z 6 = 4 3 x 3 z 6 = 3 (4 xz 2 ) 3 = 4 xz 2 ;
2)
4
a 8 b 12 = 4 (a 2 b 3 ) 4 = a 2 b 3 ;
3)
5
32 x 10 y 20 = 5 2 5 x 2⋅5 y 4⋅5 = 5 ( 2 x 2 y 4 ) 5 = 2 x 2 y 4 ;
4)
6
a 12 b 18 = a 2⋅6 b 3⋅6 = 6 (a 2 b 3 ) 6 = a 2 b 3 . 6
3
38. 1)
3
3
2ab 2 ⋅ 4a 2 b = 2 ⋅ 4a 3 b 3 = 3 (2 ⋅ a ⋅ b) 3 = 2ab ;
2)
4
2a 2 b 3 ⋅ 27a 2 b = 3 4 a 4 b 4 = 4 (3ab) 4 = 3ab ;
4
3)
4
ab 4 a 3 c 4 ab a 3 c 4 4 ⋅ = ⋅ = a =a; c b c b
4)
3
16a b
2
39. 1)
3
4
3
⋅3
1 16a 1 8 2 2 =3 ⋅ =3 =3 = . 2ab b b b 2 2ab b3 3
64 3 4 3 3 4 4 = = = ; 2) 125 5 5 53
4
16 4 2 4 4 2 = = 81 3 34
4
=
2; 3
=
3 = 1,5 . 2
3
3)
3
3
3 3 27 3 3 3 3 3 3 = = = = = 1,5 . 8 8 2 2 23
4)
5
7
19 5 32 ⋅ 7 + 19 5 224 + 19 5 243 5 35 5 3 = = = = = 32 32 32 32 25 2
40. 1)
4
5
324 : 4 4 = 4 324 : 4 = 4 34 = 3 ;
2) 3 128 : 3 2000 = 3 128 : 2000 = 3 0,064 = 3 (0,4) 3 = 0,4 ; 3)
3 3
16 2
:3
16 3 16 3 3 = = 8 = 23 = 2 ; 2 2
5) ( 25 –
45 ): 5 =
5( 5 − 9) 5
6) (3 625 − 3 5 ) : 3 5 = 41. 1)
5
5
3
4)
5
256 5
8
=5
256 5 5 = 32 = 2 5 = 2 ; 8
= 5 − 9 = 5 −3;
5 (3 125 − 1) = 3 125 − 1 = 5 – 1 = 4. 3 5 5
a 6 b 7 : ab 2 = 5 (a 6 b 7 ) : (ab 2 ) = a 5 b 5 = ab ;
16
www.5balls.ru
2)
3
3)
3
4)
4
3 81x 4 y : 3 3xy = 3 (81x 4 y) : 3xy = 27 ⋅ x 3 = 3x ;
3x y2 2b a3
y
:3
:4
9x 2 a 8b 3
=3
=4
3x
y
:
y 2 9x 2 2b
a
:
a 3 8b 3
=4
y3
16b 4 a4
3) (10 32)2 =
322 = 10 (25 ) 2 =
2b =4 a
4
=
2b . a
2) ( 6 9)−3 = 6 9−3 = 6 1 = 6 1 = 1 ; 3 6
42. 1) ( 6 73 )2 = 6 73⋅2 = 6 76 = 7 ; 10
3
3x 3x ; = 3 = y y
27 x 3
=3
9
10 10
2
3
3
= 2;
4) ( 8 16)−4 = 8 16−4 = 8 1 = 8 1 = 8 1 = 1 . 4 2⋅ 4 8 16
4
729 = 729 = 36 = 3 ; 6
4
4
1024 = 10 1024 =
43. 1) 3)
33
9
9 ⋅ 37 = 3 ⋅ 37 = 37 ⋅ 37 = 39 = 3 ;
4)
43
25 ⋅ 5 5 =
9
6
6
5
3
2 9
12
2)
9
6
10 10
2
=2;
9
6
6
6
5 2 ⋅ 55 = 6 5 ⋅ 55 = 5 ⋅ 55 = 56 = 5 .
44. 1) ( 3 x )6 = 3 x 6 = 3 (x 2 )3 = x 2 ; 2) ( 3 y 2 )3 = 3 (y2 )3 = y2 ; 3) ( a ⋅ 3 b )6 = a 6 ⋅ 3 b6 = a 2⋅3 ⋅ 3 b3⋅2 = a 8 ⋅ b9 ; 4) ( 3 a 2 ⋅ 4 b3 )12 = 3 (a 2 )12 ⋅ 4 (b3 )12 = (a 2 )4 ⋅ (b3 )3 = a8 ⋅ b9 ; 5) (
3 2
6
a b )6 = ( a 2 b)6 = 6 (a 2 b)6 = a 2 b ;
6) ( 3 4 27a 3 )4 = 12 (3a)3⋅4 = 12 (3a)12 = 3a . 45. 1) 6 2x − 3 , это выражение имеет смысл при 2х–3≥0; 2x ≥ 3; x ≥ 3 ; x ≥1,5 . 2
2)
6
x + 3 , это выражение имеет смысл при x + 3 ≥ 0; 2 x ≥ 3; x ≥ −3 .
2 2x 2 − x − 1 , это выражение имеет смысл при 2 x − x − 1 ≥ 0. Решим 1 + 3 1− 3 2 уравнение 2x 2 − x − 1 = 0. D = 1 + 8 = 9 = 3 ; x1 = = 1 или x 2 = = −0,5 . 4 4
3)
6
Так как ветви параболы 2 x 2 − x − 1 = 0 направлены вверх и точки пересечения этой параболы с осью абсцисс: (1; 0) и (–0,5; 0), то 2 x 2 − x − 1 ≥ 0 при x ≤ −0,5 и x ≥ 1 . 4)
4
2 − 3x 2 − 3x ; Это выражение имеет смысл при совокупности ≥ 0; 2x − 4 2x − 4
2 − 3x ≥ 0, что эквивалентно системе неравенств: x−2 2 − 3x ≤ 0 2 − 3x ≥ 0 или x − 2 > 0 x − 2 < 0
2 ≤ 3x 2 ≥ 3x или x > 2 x < 2
x ≤ 2 x ≥ 2 3 или 3 x < 2 x > 2
17
www.5balls.ru
Первая система не имеет действительных решений, значит 2 ≤ x < 2. 3
46. 1) 9 + 17 ⋅ 9 ⋅ 17 = (9 + 17) (9 − 17) = 81 − 17 = 64 = 8 ; 2) ( 3 + 5 − 3 − 5 )2 = 3 + 5 − 2 3 + 5 ⋅ 3 − 5 + 3 − 5 = = 6 − 2 (3 + 5 )(3 − 5 ) = 6 − 2 9 − 5 = 6 − 2 22 = 6 − 4 = 2 ;
3) ( 5 + 21 + 5 − 21)2 = 5 + 21 + 2 5 + 21 ⋅ 5 − 21 + 5 − 21 = 10 + +2 (5 + 21)(5 − 21) = 10 + 2 25 − 21 = 10 + 2 4 = 10 + 2 2 2 = 10 + 4 = 14 .
2) 3)
3 4
4 4
32
4
2
=4
5 6
+ 272 −
49 ⋅ 112 3 73 ⋅ 2 ⋅ 8 3 73 ⋅ 23 3 14 14 = = = 2,8 ; = = 250 250 5 53 5
=3
250
54 ⋅ 120
4
3
49 ⋅ 3 112
3
47. 1)
54 ⋅120 4 4 = 54 ⋅ 24 = 3 4 ⋅ 2 4 = 4 (3 ⋅ 2) 4 = 6 ; 5 3
64 = 4
4) 3 3 3 + 4 18 ⋅ 4 4 1 − 8
4 4 32 6 6 6 6 4 + 3 − 2 = 16 + 3 − 2 = 2 + 1 = 2 + 1 = 3 ; 2
256 = 3
2
24 + 3 4 8 + 1 4 4 3 33 4 9 + 18 ⋅ 4 − 4 = 3 + 9⋅2⋅ − 4 = 8 2 2 2
4
= 1,5 + 34 − 4 = 3 − 2,5 = 0,5 ;
5) 3 11 − 57 ⋅ 3 11 + 57 = 3 (11 − 57)(11 + 57) = 3 121 − 57 = 3 64 = 3 4 3 = 4 ; 6) 4 17 − 33 ⋅ 4 17 + 33 = 4 (17 − 33)(17 + 33) = 4 289 − 33 = 4 256 = 4 4 4 = 4 . 48. 1) 3 2ab ⋅ 3 4a 2b ⋅ 3 27b = 3 2ab ⋅ 4a 2b ⋅ 27b = 3 23 ⋅ 33a3b3 = 3 (2 ⋅ 3ab)3 = 6ab ; 2)
4
4
4
4
4
abc ⋅ a 3 b 2 c ⋅ b 5 c 2 = abc ⋅ a 3 b 2 c ⋅ b 5 c 2 = a 4 b 8 c 4 = 3 3 18
49. 1)
a
+(
3 4 3
9
6
4
(ab 2c) 4 = ab 2c .
6
a ) = a18 + ( a 4 )3 = 9 (a 2 )9 + a12 = a 2 + 6 (a 2 )6 =
= a 2 + a 2 = 2a 2 ; 2) ( 3)
3
3
6 6 8 x 2 )3 + 2( 4 x )8 = ( x 2 )3 + 2( 8 x )8 = x 6 + 2 x 8 = x + 2x = 3x;
x 6 y12 − ( 5 xy 2 )5 = 6 (xy 2 )6 − 5 (xy 2 )5 = xy 2 − xy 2 = 0 ;
4) (( 5 a 5 a )5 − 5 a ) : 10 a 2 = ( 5 (a 5 a )5 − 5 a ) : 5 a = (a 5 a − 5 a ) : : 5 a = ( 5 a (a − 1)) : 5 a = a − 1 .
3⋅39
50. 1) 2) 4
3
6
7 ⋅ 343 12
3
3
4
7
=
=
6 3 3 2
3 ⋅ 3 6
3
12 4 4 3
7 ⋅ 7 12
7
=6
33 3 2 6 2 3 2 3 3 2 3 3 3 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 3⋅ 3 = 3 = 3 ; 3
= 12
7 4 4 3 12 3 4 3 4 4 3 = ⋅ 7 = 7 ⋅ 7 = 7⋅ 7 7
4 4
= 7⋅7 = 7 = 7 ;
18
www.5balls.ru
3) ( 3 9 + 3 6 + 3 4)( 3 3 − 3 2) = 3 32 ⋅ 3 3 − 3 32 ⋅ 3 2 + 3 6 ⋅ 3 3 − 3 6 ⋅ 3 2 + 3
3
3
3
3
3
3
3
+ 22 ⋅ 3 3 − 22 ⋅ 3 2 = 33 − 32 ⋅ 2 + 32 ⋅ 2 − 22 ⋅ 3 + 22 ⋅ 3 − 23 = 3 − 2 = 1 .
19
www.5balls.ru
51. 1) 3 ( x − 2)3 = x –2; а) при x ≥ 2 ;
3
( x − 2) 3 = x − 2 ;
3
( x − 2) 3 = x − 2 ;
3
(3 − x )6 = 3 − x ;
2)
3
б) при x > 3 ; 3 − x = ( x − 3)3 .
а) при x≤3; |3–x|3=(3–x)3; 3)
б) при x < 2 ;
4
( x + 6)4 + ( x − 3) 2 = x + 6 + x − 3 .
Если –1<x<2, то |x+6|=x+6; а |x–3|=3–x, значит, |x+6|+|x–3|=x+6+3–x=9. 4)
6
(2x + 1)6 + 4 (4 + x )2 = 2x + 1 − 4 + x .
Если −3 < x < −1 , то 2x + 1 = −(2 x + 1) = −2x − 1 ; а 4 + x = 4 + x , значит, 2 x + 1 − 4 + x = 2 x − 1 − 4 − x = −3 x − 5 .
52. 1)
3
3 3 63 < 3 64 = 43 = 4 , значит, − 63 > −4 ;
3
3 > 1 = 12 = 1 .
30 > 3 27 = 33 = 3 ;
3
Складываем эти неравенства и получаем: 3
3
30 + 3 − 3 63 > 3 + 1 − 4 ;
30 + 3 > 3 63 . 2)
3
3
7 < 3 8 = 23 = 2 , значит, − 3 7 > −2 ;
15 < 16 = 42 = 4 , значит, − 15 > −4 ; 10 > 9 = 32 = 3 ; Складывая эти неравенства, получим:
3
3
28 > 3 27 = 33 = 3 .
10 + 3 28 − 3 7 − 15 > 3 + 3 − 2 − 4 = 0 ;
10 + 3 28 > 3 7 + 15 .
53. 1) ( 4 + 2 3 − 4 − 2 3 )2 = 4 + 3 + 4 − 2 3 − 2 (4 + 2 3)(4 − 2 3) = = 8 − 2 16 − 4 ⋅ 3 = 8 − 2 4 = 8 − 2 22 = 8 − 4 = 4 = (2)2 ; 2) (3 9 + 80 − 3 9 − 80 )2 = 9 + 80 + 9 − 80 + 33 (9 + 80)(9 + 80)(9 − 80) + +33 (9 + 80)(9 + 80)(9 − 80) = 18 + 33 (9 − 80) (81 − 80 ) =
= 18 + 33 9 + 80 + 33 9 − 80 = x 3 ; x=
3
x3 − 6; ( x − 3)( x 2 + 3x + 6) = 0 ; 3
9 + 80 + 9 − 80 =
x3 − 6; 3
x 2 + 3x + 6 ≠ 0 , значит, x − 3 = 0;
x = 3 = 3 9 + 80 + 3 9 − 80 . 54. 1)
a− b 4
a −4 b
−
a − 4 ab 4
a +4 b
=
( 4 a + 4 b )( a − b ) − ( 4 a − 4 b )( a − 4 ab ) ( 4 a − 4 b)( 4 a + 4 b )
=
19
www.5balls.ru
4
= =
4
=
4
4
4
4
4
4
b ( a 2 − b2 ) = a− b
a−b 3
3
a− b
−
4
4
a+b 3
3
a+ b
(a − b ) ( 3 a + 3 b) − (a + b ) ( 3 a − 3 b) =
=
( 3 a − 3 b)( 3 a + 3 b)
a 3 a + a 3 b − b3 a − b3 b − a 3 a + a 3 b − b3 a + b3 b 3
3 2
=
3
a − b2
3
2 3 ab( a 2 − b 2 ) 3 2
3
a − b2
= 2 3 ab ;
a+ b
3
a + b − 3 ab( 3 a + 3 b) 3
3
3
3
3
3
3
2
x3 = x 3 :
4)
5
−
2)
1
x −1 = x 5 ;
6
5)
−
5 6
a = a3 ;
3)
3
4 3
1
a = a6 ;
6)
6
= a −5 ;
4) b
5) (2x) = 2x ;
−
1 3
7
−
3
2 − 3
= 3 (3b)−2 .
1 3
1
3
2) 27 = 3 27 = 33 = 3 ;
3
3
3) 8 = 82 = 3 (23 ) 2 = 43 = 4 ; 3
4
4) 814 = 4 (81)3 = 4 (34 )3 = 27 4 = 27 ;
6) 9−1,5 = 9 4
−
3 2
−
3 4
4
= 16−3 = 4 (24 )−3 = 2−3 =
= 9−3 = (32 ) −3 = 3−3 =
11
4 11 + 5
58. 1) 2 5 ⋅ 2 5 = 2 5 2
5
2 5 + 7
2
1
2
2) 5 7 ⋅ 5 7 = 5 7
=5
3) 9 3 : 9 6 = 9 3 ⋅ 9
3
b −3 = b 7 .
= b −1 ;
6) (3b)
57. 1) 64 2 = 64 = 82 = 8 ;
5) 16−0,75 = 16
3
b = b4 ;
2) y 5 = 5 y 2 ;
1 2
2 3
3
2
1
56. 1) x 4 = 4 x ; 3) a
3
a + b − a 2 b − ab 2
4
3 4
3
−
1 6
=2
2 +5 7
=9
4+11 5
1 = 0,125 ; 8
1 . 27
15
= 2 5 = 23 = 8 ;
7
= 5 7 = 51 = 5 ; 4 −1 6
=
a + b − a 2 b − ab 2
=
a 3 + ab 2 − 2 a 2 b + ba 2 + b3 − 2 ab 2
55. 1)
3
( a + 3 b)( a 2 + b 2 − 2 3 ab) 3
a + b − a 2 b − ab 2 3
=
3
a 2 − b2 3
2a 3 b − 2b 3 a
=
b( a − b) 4 = b; a− b
3) ( a + b − 3 ab ) : ( 3 a − 3 b)2 = 3 3 =
4
a− b
2) =
4
a 3 − ab 2 + ba 2 − b 3 − a 3 − a 2 b + ba 2 + ab 2
3
= 9 6 = 32 = 3 ;
20
www.5balls.ru
= 1.
1
5
1
4) 4 3 : 4 6 = 4 3 ⋅ 4 1
5) (8 2 )−4 = 8
4 − 12
−
5 6
2−5 6
=4 −
1
1
=8 3 =
8 2 5
2 5
=4
2 5
3 6
3
1 1 1 = = = 0,5 ; 2 2 4 2
=
1
=
1 3
−
1
=
8
2 5
=
3 3
2
4 5
6 5
1 = 0,5 . 2
4 6 + 5
59. 1) 9 ⋅ 27 = (3 )2 ⋅ (3 )3 = 3 ⋅ 3 = 3 5 2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
4 3
2) 7 ⋅ 49 = 7 ⋅ (7 )2 = 7 ⋅ 7 = 7 3 4
3 4
3
3
3 4
3 − 4
2 4 + 3 3
= 32 = 9 ;
= 7 2 = 49 ;
6 4
6 4
−
6
3
6 6 − 4
3) 144 : 9 = (32 ⋅ 42 ) ⋅ (9 )2 = 4 ⋅ 3 ⋅ 3 4 = (22 ) 2 ⋅ 3 4 3
3
3
4) 150 2 : 6 2 = 25 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 6 0
−
3 2
3
3
3
−
3
−
= (52 ) 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3
3 2
= 23 ⋅ 30 = 8 ⋅ 1 = 8 ; 3 3 −
3 3 − 2
= 53 ⋅ 2 2 2 ⋅ 3 2
=
0
= 125 ⋅ 2 ⋅ 3 = 5 ⋅ 1 ⋅ 1 = 125 .
1 60. 1) 16
−0,75
−
4
4 4 3 3 1 3 + = (16) 4 + (8) 3 = (24 ) 4 + (23 ) 3 = 2 3 + 2 4 = 8 + 16 = 24 ; 8 3 2
−
1
−
1
2 3
2
3
2) (0,04 )−1,5 − (0,125 ) 3 = − = ( 25 )2 − (8 )3 = (52 ) 2 − (23 ) 3 = 25 8 −
2
3
2
= 53 − 22 = 125 − 4 = 121 ; 9
2
6
4
9
2
−
6 4 + 5
3) 8 7 : 8 7 − 35 ⋅ 3 5 = 8 7 ⋅ 8 7 − 35
9 2 − 7
= 87
2 2 3 − ⋅5 1 4) (5 5 )−5 + ((0, 2) 4 ) −4 = 5 5 + 5
61. 1)
3
b:6 b =
4)
6
3
b 4
a⋅ a⋅
62. 1) a 1 2
1 3
= 12
b
6
=6
b
6 36
(b 2 ) 2
b
a
6
b
=
12
1 3
1 2
5
b3 6 2 3 = b = b; b
a4 ⋅
a =a a =a
1 3
1 3
1 2
6
12
1 1 + 3 2
3
1
1
b : b6 = b3b 4
4
−
1 6
a3 ⋅
=a
1 6
1 1 − 6
= b3
1
4
=b
4) a 3 : 3 a = a 3 : a 3 = a 3 ⋅ a 5) x1,7 ⋅ x 2,8 : x5 = x
17−28 10
при b = 27 ;
3
3
b = 3 27 = 3 3 = 3 .
b3 ⋅ b 4 6 6 = b = b = 1,3 . b
=6
12
−
1 3
a5 =
2+3 6
2) b ⋅ b ⋅ b = b ⋅ b ⋅ b = b 3)
= 52 + 53 = 25 + 125 = 150 .
a = 0,009 = (0,3) 2 = 0,3 .
6 3
3
b b2
3)
7
6 6 a ⋅6 a = a2 ⋅6 a = a3 = a ;
при a = 0,09 ; 2)
3 − ⋅4 4
10
− 3 5 = 8 7 − 32 = 8 − 9 = 1 ;
12 12
a
= а = 2,7.
=b
3+ 2+1 6
6
= b 6 = b1 ;
1
= b6 ;
=a 5
a4 ⋅a3 ⋅a5 =
=a ;
1 1 1 + + 2 3 6
2−1 6
12
5 6
4−1 3 45
3
= a 3 = a1 ;
: x 2 = x 10 ⋅ x
−
5 2
9
= x2 ⋅ x
−
5 2
9 5 − 2
= x2
4
= x 2 = x2 ;
21
www.5balls.ru
1
1 2,3+ −3,8 3
1 2
1 1 + 2 2
6) y−3,8 : y−2,3 ⋅ 3 y = y−3,8 ⋅ y2,3 ⋅ y 3 = y 1 2
1 2
1 2
2 2
63. 1) x + x = x + x1 = x + x = x + x 1 3
1 3
1 3
9
4
1 3
1 1 3 3
1 3
1
−1,5
= y3 1 2
1 2
1 3 − 2
= y3
=y
1 2
1 2
2−9 6
1 2
=y 1 2
−
7 6
=y
1 2
1 −1 6
.
1 2
= x + x ⋅ x = x + x ⋅ x = x (1 + x ) ;
1 3
1
2) (ab) + (ac) = a ⋅ b + a c = a (b + c 3 ) ; 1
3
4
3) y 4 − y 3 = y12 − y12 = y12 1
1
2
5 + 12
4
4
5
4
4
1
5
5
− y12 = y12 ⋅ y12 − y12 = y12 (y12 − 1) = y 3 (y12 − 1) ;
1
1
2
1
1
1
1
4) 12xy 2 − 3x 2 y = 3(4x 2 y 2 − x 2 y 2 ) = 3x 2 y 2 (4x 2 − y 2 ) . 1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
64. 1) a 2 − b 2 = a 4 ⋅ b 4 = (a 4 ) 2 − (b 4 ) 2 = (a 4 + b 4 )(a 4 − b 4 ) ; 2
1
1
1
2) y 3 − 1 = (y 3 )2 − 12 = (y 3 + 1)(y 3 − 1) ; 1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
3) a 3 − b 3 = a 6 − b 6 = (a 6 ) 2 − (b 6 ) 2 = (a 6 + b 6 )(a 6 − b 6 ) ; 2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
4) x − y = x1 − y1 = x 2 − y 2 = (x 2 ) 2 − (y 2 )2 = (x 2 + y 2 )(x 2 − y 2 ) ; 1
1
2
2
1
1
1
1
5) 4a 2 − b 2 = 22 a 4 − b 4 = (2a 4 )2 − (b 4 )2 = (2a 4 + b 4 )(2a 4 − b 4 ) ; 1
1
2
2
1
1
6) 0,01m 6 − n 6 = (0,1) 2 m 12 − n 12 = (0,1) 2 (m 12 ) 2 − (n 12 ) 2 = 1
1
1
1
1
1
= (0,1m 12 ) 2 − (n 12 ) 2 = (0,1m 12 + n 12 )(0,1m 12 − n 12 ) . 3
3
1
1
1
1
1
1
65. 1) a − x = a 3 − a 3 = (a 3 )3 − (х 3 )3 = (a 3 − x 3 )(0,1m 12 + n 12 ) ; 3
3
1
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2) x 2 − y 2 = (x 2 )3 − (у 2 )3 = (x 2 − у 2 )(x 2 + y 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 )(x + х 2 y 2 + у) ; 1 2
3 6
1 2
3 6
3
3
2
1 1
2
1
1
1
1 1
1
3) a − b = a − b = (a6 )3 − (b6 )3 = (a6 − b6 )(a 6 + a6b6 + b6 ) = (a6 − b6 )(a3 + a6 b6 + b3 ; 3
1
3
1
1
1
1
1
1
1
2
4) 27a + c 2 = 33 a 3 + c 6 = (3a 3 )3 + (c 6 )3 = (3a 3 + c 6 )((3a 3 ) 2 − 3a 3 c 6 + c 6 ) = 1
1
2
1 1
1
= (3a 3 + c 6 )(9a 3 − 3a 3 c 6 + c 3 ) . a− b
66. 1)
1 4
a −b
2)
1 2
1 4
=
2
2
1 4
1 4
a 4 − b4 a −b
1 2
=
2
2
1 4
1 4
a 4 − b4 a −b
1 2
1
=
1
1
1 4
1 4
1
(a 4 + b 4 )(a 4 − b 4 ) a −b
1 2
1 2
1
1
= a 4 + b4 ;
1
m +n m +n m + n2 1 ; = = = 1 1 1 1 2 m + 2 mn + n ( m + n ) 2 (m 2 + n 2 ) m2 + n2 1
1
1
2 2 1 2 2 2 3) c − 2c + 1 = (c − 1) = (c 1 − 1) = c 2 − 1 .
c −1
67.
c 1 2
3 2
c +b
1 2
c −1
−
cb 1 2
1 2
b −c
1 2
+
c2 −1
2c2 − 4cb = c−b
3
1
c2 1 2
c +b
1 2
+
cb 2 1 2
c −b
22
www.5balls.ru
1 2
+
2c 2 − 4cb 1 2
1
1
1
(c + b 2 )(c 2 − b 2 )
=
3
=
1
1
1
1
3
1
c 2 (c 2 − b 2 ) + cb 2 (c 2 + b2 ) + 2c2 − 4cb 1
1
1
=
1
1
3
1
=
1
3
1
c2 − c 2 b 2 + c 2 b 2 + cb + 2c2 − 4cb 1 2
1 2
1 2
5
⋅ 2−
:9
2
= 32
2
3) (5 3 )
3
=5
3⋅ 3
=5
4) ((0,5)
2
)
8
= (0,5)
69. 1) 22 −3
5
⋅8
2) 32
2
3
2) 31+ 2 = 31+ 2
3
2
:9
3
2 −2 2
3
1
2)(1+
)
70. 1) 21−2 3
2
⋅ 31−
71. 1)
=
= 32
⋅ 3−2
2
2
= 32
2 −2 2
= 30 = 1 ;
= 53 = 125 ;
= (0,5)
42
5
)
: (3
3
5
⋅ (2
4
1 1 . = (0,5) 4 = = 16 2 5
) = 31+ 2
2 2
3
= 2 2 −3 2
: 32
3
2
5
⋅ 23
= 22 −3
5 3
= 31+ 2
2
⋅ 3−2
3
5 +3 5
2
= 22 = 4 ;
=
2
= 21− 2
= 32−3
3
⋅ 3−2 −
3
2 )(1− 2 )
2
= 51− 2 = 5−1 =
2
⋅ (2
⋅ (3 3 )3 = 32−3
3
= (32 )1+
3
= 21− 2
2
)
⋅ 31−
3
3
2
⋅ 33
3 −2− 3
⋅ 22 3
2
= 21− 2
= 32−3
= 32 + 2
2 +2 2
2 =3 =9;
3 +3 3 3
= 21 = 2 ;
⋅ 3−1− 2
3
=
1
=3 =3;
=3
⋅ 21−
2
= 5(1+
⋅4
⋅ 27
2 + 2 3 −1− 2 3
4) 43+
32
2
1
= 20 = 1 ;
2
2⋅ 8
3
1
1 ; 5 0 1 1 1 − 625 624 2) . − ( 5)0 = 51−5 − 52 = 5−4 − 50 = 4 − 1 = −1 = =− 5 625 625 625
4) 5(1−
3) 91+
: 32
= 22 −3
5
1
= 31 = 3 ;
2 1− 2
3
5− 5
=2
= 31+ 2
2
3) (51+
2) 32−3
5
1 1 +
3c2 − 3cb 3c(c − b ) = 3c . = c−b c−b
=
1 2
(c + b )(c − b )
68. 1) 2
1
(c 2 + b 2 )(c 2 − b 2 )
(c 2 + b2 )(c 2 − b 2 ) 3
2 1 +
c 2 ⋅ c 2 − c 2 b 2 + c 2 2 b 2 + cb 2 2 + 2c2 − 4cb
2
⋅ 2−4−
102 + 102 +
7
7
⋅ 51+
7
2
=
= (22 )3+
2
102 + 102 +
⋅ 21− 7
⋅ 5(2 +
7
2 − 4− 2
7 ) −1
= 26 + 2
102 +
=
(2 ⋅ 5) 2 +
2 − 3− 2 2
7
=
3 = 2 = 8.
1 5−1
= (5−1 ) −1 =
7
⋅ 5 −1
=
36 61+ 5 36 =18; ⋅ = 2 (6)1+ 5 2
= 5(−1)⋅( −1) = 51 = 5 ;
2)
63+ 22 +
5
3) (251+ =5
5
⋅ 31+ 2
=2
2 3 −2 3
3
−4
−2
5
− 52
2 + 2 2 −1− 2 2
4) (22
=
−5
2
62 ⋅ 61+ 2 ⋅ 21+
) ⋅ 5−1− 2
2 2 −1− 2 2
3 −1
) ⋅ 2−2
2 3 −2
⋅2
5
5
⋅ 31+
5
=
= (52 )1+
36 61+ 5 ⋅ 2 (2 ⋅ 3)1+
5
⋅ 5−1− 2 2 − 52 1 4 = 51 − 5−1 = 5 − = 4 ; 5 5 2
3
= 22
−2 3
0
3
⋅ 2−2
= 2 −2
2
3
− (22 )
2 3 − 2−2 3
3 −1
⋅ 2−2
= 1− 2
−2
2
⋅ 5−1− 2
3
=
= 1−
1 22
2
=
= 1−
1 3 = . 4 4
23
www.5balls.ru
71
72. 1) 3 3
2) 1
= 3−
3
3) 4−
1 5) 2
1, 4
2
, так как
1 ; 3
3
< 4−
3
69
>3
2
71 > 69 ;
= 3−
2
− 3
< 3−
; 3
1 = 2 −1, 4 ; 2
= 2−
2
, так как − 3 < − 2 ;
4) 2
3
> 21,7 , так как
; 2−1,4 > 2−
2
, так как − 1,4 > − 2 ;
, так как − 3 < − 2 ; 2
2
3 > 1,7 ;
π
3,14 1 −π 6) = 9 −π ; 1 < 9 −3,14 , так как −3,14 > −π . = 9 −3,14 ; 9 9 9
73. 1) 2 − 2 =
1 2
5
2 7 3) = 7 2
1 <1; 4
=
2
−5
2) (0,013) −1 = 13 1000
3
5
π 7) 4
5−2
1 8) 3
8−3
2
74. 1) a 3) (b 75. 1)
3
9
= 2−
3
1 > 0; 2
< 1 = 2 0 , так как − 3 < 0 ;
2− 5
4 = π
2− 5
4 ; 1 < 4 ; 5 > 4 = 2; значит, 2 − 5 < 0, а π π
= 33− 8 ; 3 = 9 > 8 , значит, 3 − 8 > 0, то есть 33− ⋅ a1− 3
)
3
2 1000 = 76 > 1 ; 13 13
< 1 = 2 0 , так как − 5 < 0 ; 3
6) 1 2
=
= (3,5) −5 < 1 = (3,5) 0 , так как −5 < 0 ;
4) 271,5 = (33 ) 2 = 32 > 1 = 30 , так как 4 − 5) 2
−1
2
=a
2
:b = b
2 +1− 2
= a1 = a ;
3⋅ 3
−2
1 3
⋅b
3
= b ⋅b
−2
=b
1 3
2 = 2 < 3 3 = 3 , так как 3>2; 2)
1 76. 1) 16
−0,75
3 −1
2) a 3− 2 4
⋅a
3 +1
=a
8
0
4 <1= ; π
> 1 = 30 .
3 −1+ 3 +1
= a2
=b =b. 1
1
5 = 5 4 < 4 7 = 7 4 , так как 7>5.
1
1
3 35 5 3 224 + 19 5 4 4 3 − = (2 ) + 30 − 5 = 2 + 30 − = 8 + 30 − 1,5 = 36,5 ; 2 32 2
−
1 3
2) (0,001) − 2
−2
2 3
⋅ 64 − 8
1 −1 3
−
1
2 4 1 1 3 −2 6 3 3 −3 3 3 = − 2 ⋅ (2 ) − (2 ) = (10 ) – 1000
24
www.5balls.ru
;
1
3 1 19 5 + 8100000,25 − 7 = (16) 4 + (304 ) 4 − 32
1
3
− 2− 2 ⋅ 24 − 2− 4 = 10 − 24− 2 − 2 3
3) 27 − (−2) 1 33 =3 − + 3 4 2
−
2
−4
4) (−0,5) 8 +1 – 4
−1
2+1 2
−2
3 + 3 8
1 3
= 10 − 2 2 − 0,0625 = 9,9375 − 4 = 5,9375 ;
1
−1 3
−
1
24 + 3 3 = (3 ) − + = 2 8 (−2) 2 3
3
1
1 2 9 ⋅ 12 − 3 + 2 ⋅ 4 108 − 3 + 8 113 5 + = = = =9 ; 12 12 12 4 3 12
=9−
− 625
1 24
1 −2 4
0,25
1 −1 2
1 = −2
−4
1
− (54 ) 4 −
432 − 135 − 8 289 19 . = = 10 27 27 27
= −
3
−
b4
2⋅6
2
77. 1) (a 4 ) 4 ⋅ (b 3 ) −6 = a −3 ⋅ b 3 = a −3 ⋅ b 4 = 1
a3
;
1
a 6 4 12 a 6 3 1 2) −3 = −3 = (a 6 ⋅ b3 ) 3 = a 2 ⋅ b . b b 4
a 3 (a
78. 1)
1 4
−
1 3
2
4
+ a3)
3 4
−
=
1 4
1 4
a (a + a ) 1
−
1
−
1 4
a ⋅ a (a
1
4
4 1 − 3
2 1 +
a 3 ⋅ a 3 (1 + a 3 3 ) 1 −
3 1 + 4 4
1
=
+ 1)
1 −
(1 + a ) =
a3 a
1 1 − 4 4
(a + 1)
a a
0
=
a =a; 1
1 1 −
4 1 +
5 5 b5 ( b4 − b−1) b5 (b5 − b 5 ) b5 ⋅ b 5 (b5 5 −1) −b ± b2 − 4ac b5 5 ( b −1) b0 1 2) 2 = 2 1 2 = 2 2 12 = 22 = 0 = =1 ; − − + − 2a 1 3 b3 (3 b − b−2 ) b3 (b3 − b 3 ) b3 ⋅ b 3 (b3 3 −1) b3 3 ( b −1) b 5
3)
2
=
−
3 2
a − b
−2
1 3
1 3
a
4)
1 3
a 3 b −1 − a
b+b 6
2
3
=
1
a +b
1
a
2 3
=
−
1 3
2 3
1 2
1 3
1
1
(
1
a 3 b −1 a 2 − b
5 1 +
a −b
a +6b
=
2 3
a −b
a b +b a
1 2
=
2 6
3 6
2
1
1
3
a b + b6a 6
a 6 + b6
2 3
);
2
2
1
1
a 6 b 6 (a 6 + b 6 )
=
1
a 6 + b6
1
=
a 6 + b6
1
a 6 b 6 (a 6 + b6 ) 1 6
−
−
a 3 (a 3 3 ⋅ b −1 − 1)
1 6
5
2
2
1
1
= a 6b 6 = a 3b3 .
1 −
5
1 −
1 −
1 −
6
6
1 −
1 −
79. 1) (23 ⋅ 3 3 − 33 ⋅ 2 3 ) ⋅ 3 6 = 3 3 ⋅ 2 3 (23 − 33 )3 6 = 6 3 ⋅ 6 3 (22 − 32 ) = = 6 = 4 − 9 = −5 ; 1
3
3
1 3 + 4
1
3
1
−
3
1
−
3
3
2) (5 4 : 2 4 − 2 4 : 5 4 ) 4 1000 = (5 4 ⋅ 2 4 − 2 4 ⋅ 5 4 ) ⋅ 10 4 = −
3
−
= 2 4 ⋅ 5 4 (5 4
1 3 +
3
−
3
−
3
− 2 4 4 ) ⋅ 10 4 = 10 4 ⋅ 10 4 (5 − 2) = 10
3 3 − + 4 4
⋅ 3 = 100 ⋅ 3 = 1 ⋅ 3 = 3 .
25
www.5balls.ru
1
1
80. 1) a 9 6 a 3 a = a 9 ⋅ 1
1
−
4
1 2 + 9
a = a 9 ⋅ a 6⋅3 = a 9 5
1
34 5
2) b12 3 b 4 b = b12 ⋅ 3
1
63 4
1
b = b12 ⋅ b 3−4 = b12
1
1
6
−
2
−
1
−
+
1
= a3 ;
5 12
1
1
= b2 ; 1
4
2
−
4
−
1
−
1
1
4
3) ( ab−2 + (ab) 6 ) ab 4 = (a 3 b 3 + a 6 b 6 )a 6 b 6 = (a 6 b 6 + a 6 b 6 )a 6 b 6 = −
1
−
4
3
3
1
4
1 1 −
1 1 −
1
1
1
1
1
1
= a 6 b 6 (a 6 + b 6 )a 6 b 6 = a 6 6 b 6 6 (a 2 + b 2 ) = a 0b0 (a 2 + b 2 ) = a 2 + b 2 ; 2
2
1
1
1
1
4) ( 3 a + 3 b)(a 3 + b 3 − 3 ab) = (a 2 + b 2 )(a 3 + b 3 ) × 1
1
1
1
1
1
×((a 3 )2 − a 3 b 3 + (b 3 )2 ) = (a 3 )3 + (b 3 )3 = a + b . 1 1 1 1 81. 1) (1 − 2 b + b ) : (a 2 − b 2 )2 = 1 (a − 2 ab + b) : (a 2 − b 2 )2 =
a
a
a
1 1 = ( a − b )2 : ( a − b )2 = ; a a 1
1
1 1 1 1 1 1 2 2 − − a 3b + ) = (a 3 + b 3 ) : (a 3 − b 3 ⋅ (2a 3 b 3 + a 3 + b 3 ) = b a
2) (a 3 − b 3 ) : (2 + 3 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= (a 3 + b 3 ) ⋅ a 3 ⋅ b 3 : : (a 3 + b 3 )2 = a 3 ⋅ b 3 : (a 3 + b 3 ) ; 1
3)
9
a4 − a4 1 4
−
−
5 4
a −a
b
−
1 2
3
− b2
1 2
b +b
=
1 − 2
1
8
1 4
4 4
a 4 (1 − a 4 )
−
1
4
b 2 (1 − b 2 )
−
1 − 2
a (1 − a )
2 2
=
b (b + 1)
1 − a2 − 1− a
2
b − 1 (1 − a )(1 + a ) (1 − b)(1 + b) = − = 1+ a −1+ b = a + b ; 1+ b 1+ a 1+ b −
1
3
−
1
1
−
2
1
−
1
−
1
2
a − a 2b a2 − a 3b a 2 − a 2b a 3 − a 3b a 2 (a 2 − b) 4) − = − 1 = 1 1 − 1 1 1 1 1 1 − − − 1 − a − 1b 6 a + a 3 b 1 − a 2 b 2 a 6 + a 3 b 2 a − 2 (a 2 − b 2 ) −
1
3
a 3 (a 3 − b)
−
−
1
3
a−b
=
1
1
1
1
a 2 + b2
1
−
1
1
1
=
1
1
1
(a 2 − b 2 )(a 2 + b 2 ) 1
a 2 + b2
1
1
−
a 2 − b2
1
1
1
1
( mn ) 7
2
3
2+ 3
7 +1
⋅y
( xy )
a 2 + b2
1
7
−b
3
=
= x
(mn ) (mn ) 7
3
2+ 3
⋅y
7
( xy)
7
⋅y
= =
(mn )
3
2
(mn ) (mn ) ( xy) ( xy)
7
⋅y 7
3
=
1 (mn )2
;
= y;
+ b 3 ) = ((a 2 )2 − (b 3 )2 ) = a 2 2 − b2 3 ; 4) (2a −0,5 − 1 b− 3 )( 1 b− 3 + 2a −0,5 ) = (2a −0,5 )2 − (1 b− 3 )2 = 4a −1 − 1 b−2 9 3 3 3
3) (a
1
(a 2 − b 2 )(a 2 + b 2 )
−a 2 + b 2 = 2b 2 = 2 b .
3 82. 1) m n
2) x
1
a 2 − b2
a 3 (a 6 − b 2 )
1
a−b
−
)(a
2
26
www.5balls.ru
3
.
=
83. 1) (a1+ 2 )1−
= a (1+
2
1− 5
2) (m 1+ 5 ) −3 ⋅ m
3 5 2
2)(1− 2) 3 5 −3 3 5 + 2 5
= m 1+
3) (a 3
2 + 3 3 3 4 −3 6 + 3 9
4) (a 3
9 + 3 3 +1 1− 3 3
= a (1−3
)
6 5 −6+3 5 +3⋅5 2(1+ 5 )
=m
9
= m 2 = m 4,5 ;
8 −3 12 +3 18 +3 12 −3 18 +3 27
= a3
)
= a1− 2 = a −1 ;
1 2 1 3 )( 3 3 +13 ⋅ 3 +1)
23 +3 33
= a3
= a 2+3 = a5 ;
1 3
= a1
− (33 )3
= a −2 .
84. 1) 52 x = 54 ; 2 x = 4; x = 2 ; 2) 1
2x
2
−1
1 1 = ; 2 x = −1; x = − ; 2 2
3) 9 x = 3 2 x
4) 16 = 2 85. 1) 7 x 2) 25x
2
( 2) 4) ( 3 )
x
3)
3x
2 8π
; 32 x = 32 ; 2
4x
=2
= 7 ; 7x
3
= 5 5 ; 52x 1
2
8π 3
2
; 2x = 2 2 ; x = 2 ;
; 4 x = 8π; x = 2π . 1
1 1 ; x= ; 2 2 3 1 1 3 3 ; = 5 2 ; 2x 2 = ; x = 2 4 2 = 72 ; x 3 =
x
1 1
x
3
x 3 = ; x = 3; 2 2 3 3x 3 = ; x =1. = 32 ; 2 2
= 2 2; 22 = 2 2 ; 2 2 = 22 ; 1
= 3 3 ; 32
⋅3x
1 1
3x
= 3 2; 3 2
86. 1) 3 10 = 15 10 5 = 15 100000 > 5 20 = 15 (20) 3 = 15 8000 ; 2)
4
5=
12 3
5 = 12 125 < 3 7 =
12
7 4 = 12 2401 ;
3) 17 = 6 17 3 = 6 4913 > 3 28 = 6 28 2 = 6 784 ; 4) 4 13 = 20 13 5 = 20 371293 > 5 23 = 20 23 4 = 20 279841 . 3
3
=
1
3
1
1
1
1
1
1
a 2 (b 2 − a 2 ) − ab 2 (b 2 + a 2 ) 2a 2 a2 ab 2 2a 2 + = − − = b−a a −b a+ b b − a a−b
87. 1) 3 1 +
1+
1
1
1 1 +
3
1
3
1
a 2 b 2 − a 2 2 − a 2 b 2 − ab 2 2 + 2a 2 a 2 b 2 − a 2 − a 2 b 2 − ab + 2a 2 a2 − ab a(a − b) = = = = −a ; b−a b−a b − a −(a − b) 2 2) 3xy − y −
x−y
y y x− y
−
y x
=
x+ y
3xy − y 2 − x−y
2
−
y xy + y + yx − y xy 3xy − y 2 − y 2 − xy 2xy − 2y 2 2(x − y)y = = 2y ; = = x−y x−y x−y x−y
3)
1 3
a +3b
−
3 2
2
a +3b 2
a 3 + 3 ab + b 3
2
2
2
1
1
a 3 − 3 ab + b 3 − a 3 − b 3 − 2a 3 b3 −33 ab ; = = a+b a+b
27
www.5balls.ru
4) 3 2
3
a − b2
3
a −3b
−
a −b 2
=
2
a 3 + 3 ab + b 3
1
( 3 a − 3 b)( 3 a + 3 b) 3
−
a −3b
1
2
2
(а 3 − b 3 )(a 3 + 3 ab + b 3 ) 2
2
a 3 + 3 ab + b 3
=
= 3 a + 3 b − 3 a + 3 b = 23 b .
88. 1)
a−b 3
−
a −3b
2
1
1
1 3
1
1 3
=
1
1+
1 3
1
1
1
2
2
1
1+
2
2
1
1
a 3 − b3 1
1
=
2
1
1 3
1
−2ba 3 ; = 2 2 a 3 − b3 1
(a + b ) (a 3 + b 3 ) − (a − b ) (a 3 − b 3 ) = a+b
a 3 + a 3b3 + b 3
1 3
1
+1
+ ab 3 − a 3 b − b 3 + ab 3 − ba 3 + b
a−b
−
a 3 − a 3b3 + b 3 1 3
a
a 3 + b3
a+b
2)
a+b
a−b
1 3
= a + b − a + b = 2b ; 2
2
2
3 3 3) a + b −
a−b 1
1
1
a 3 + b3
2
2
1
1
1
2
a 3 − a 3b3 + b3
x+y 2
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
x 3 + x 3 y3 + y 3 1
x−y
1
1
1 3
1 3
x −y
3
3
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
=
1
1
2
3
1
3
3
1
1
3
3 2
a −b
3 2
1
=
1
1
a −b
1
1
+
1
=
1
1
1
1
1
1
3
3
=
3
3 2
28
www.5balls.ru
=
(a 2 + b 2 )(a + a 2 b 2 + b) 3
1
3
1
(a + b)(a 2 + b 2 )(a 2 − b 2 ) 1
2(a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ) 3 2
1
1
a2 + b2 − 2ab(a + b)(a + b − 2a 2 b2 )
3
3
2(a 2 + b 2 − a 2 b 2 − a 2 b 2 )
1
1
a 2 − b2 =
1
x+y
a 2 − b2 3
1
1
( x + y ) (x 3 + y 3 ) +
1
a 2 + b 2 − 2ab + a 2 + b 2 + ab + ab − 2a 2 b 2 − 2a 2 b 2 3
=
1
a 2 − b2
a 2 − b2
1
1
(a − b)2
a 2 − b2
3
1
1
2
1
a2 + b2 − 2ab
=
1
1
x 3 + y3 + x 3 − y3 − x 3 − y3 = x 3 − y3 ;
(a + b ) (a 2 − b 2 )(a 2 − b 2 ) = = 1
2
1
(a 2 + b 2 )(a + a 2 b 2 + b)
1
2
x 3 − x 3 y3 + y 3
a 2 − b2
+
a 2 − b2
2
x 3 − y3
−
( x − y ) (x 3 − y 3 ) − (x 3 − y 3 )(x 3 + y 3 ) = + 2)
2
2
x−y
+
x 3 − x 3y3 + y3
(a − b)2
1
a 3 − b3 + a 3 + b3 2a 3 a 3 − b3 a 3 + b3 . = = = + a+b a+b a+b a+b
1 2
2
a 3 + b 3 a 3 + b 3 + a 3 b 3 a 3 + b 3 − a 3 − b 3 − a 3 b 3 −a 3 b 3 ; = = − = a−b a−b a−b a−b
1
3 3 4) a − b + a+b
89. 1)
1
1
1
= 2(a 2 + b 2 );
=
1 1 2 1 23 23 3x + 5x 3 1 13 1 3x + 5x 3 x 3 − x 3 + 1 3) : 4x + 4 + 1 = : + 1 + x + 1 x + 1 x + 1 5 +1 3 x x
1 1 2 1 : 1 2x 3 + 4 ⋅ x 3 + 1 = x3 2
1
4x 3 + 4x 3 + 1 = ⋅ x +1
1
x3 1
1 2 1 23 2 1 3 3 3 3x + 5x + x − x + 1 : 1 2x 3 + 1 = 1 x +1 3 x 1
x3 . = x +1
(2x 3 + 1) 2 90. Искомая сумма вычисляется по формуле сложных процентов: S=a(+
+= p )t , где а — первоначальная сумма вклада, р — число процентов начисляе100
мых за год, t — число лет: S=5000(1+ 2 )3 =5000(1,02)3=5306,04=5306 р. 4 коп. 100
91. Искомая сумма вычисляется по формуле сложных процентов: S = a(1 +
7 p t . ) a = 2000p; p = 3; t = 2 12 100
S = 200(1 +
31 3 2127 ) = 2000 ⋅ (1,03)12 = 2000 ⋅ 1,07935 = 2158,7 =185 р. 70 коп. 100
92. 1) (0,645: 0,3 −1107) ⋅ (4:6,25 −1:5 + 1 ⋅1,96) = 0,645 ⋅10 − 287 ⋅ 4 ⋅100 − 1 + 196 = 180 7 3 180 625 5 7 ⋅100
387 − 287 100 112 28 ; 2,15 ⋅ 180 − 287 ⋅1,12 = ⋅ = = × (0,64 − 0,2 + 0,28) = 180 180 100 45 180 2) ( 1 − 0,375) : 0,125 + 5 − 7 : (0,358 − 0,108 ) = (0,5 − 0,375 ) : 2 6 12 3 4 10 − 7 : 0,125 + : 0,25 = 0,125 : 0,125 + ⋅ = 1 + 1 = 2 . 12 12 1
93. 1) 1,3(1) = x; 100x = 131, (1); 10x = 13, (1) ; 100 x − 10 x = 131, (1) − 13, (1) = 118 ;
90x = 118; x = 118 = 59 = 1 14 ; 90
45
45
2) 2,3( 2) = x ; 10x = 23, (2); 100 x = 232 , ( 2 ) ; 100x − 10 x = 232, (2) − 23, (2) = 209 ; 3) 0, ( 248 ) = x ; 1000 ⋅ x = 24,8(248) ;
209 29 ; =2 90 90 248 999 ⋅ x = 248; x = ; 999 90x = 209; x =
4) 0,(34) = x; 100 ⋅ x = 34,(34) ;
100 ⋅ x − x = 34,(34) − 0,(34) = 34 ;
99 ⋅ x = 34; x =
34 . 99
94. 1) 48o = 1; 10 − 2 = 1 = 1 = 0,01 ; 10 2 100
29
www.5balls.ru
2 3
−1
3 3 = 1,5; (0,3) −3 = 2 10
=
12 ( −1,2) − 2 = − 10
2)
3
−2
3
27 = 33 = 3;
5 = − 6 4
−3
−2
=
3
1 1000 10 = 111 ; = = 9 9 3
81 = 4 3 4 = 3;
6
5
8 2 = 6 (2 3 ) 2 = 2 6 = 2;
3
27 2 = 3 (33 ) 2 = 3 (32 ) 3 = 3 2 = 9 ; 1
2
−2
9 = − 4
−2
2
16 ; 4 = = 81 9
5
32 = 2 5 = 2; 8
6
1
8
1 2 4
25 ; 36
16 2 = 8 (2 4 ) 2 = 28 = 2;
2
1
1
3) 8 3 = (23 ) 3 = 2; 27 3 = (33 ) 3 = 32 = 9; 10000 4 = (104 ) 4 = 10; 2
2
3
32 5 = (25 ) 5 = 22 = 4; 32 5 = (25 ) −
3 5
= 2 −3 =
1
1 = ; 8 2 3
2
2
2
−
3 3 2 3 3 9 27 3 3 3 3 = 3 = = = . 64 4 4 4 16
4 15
5 3 ⋅ 7 3 = 3 (5 ⋅ 7 )3 = 5 ⋅ 7 = 35 ; 4 324 ⋅ 4 4 = 4 324 ⋅ 4 = 6 4 = 6 ; 4
3
95. 1)
5 4 2 4 125 5 4 5 = ⋅ = : 8 5 8 2 2
4
=
5 = 2,5 ; 2 1
2) 56 o : 8 −2 = 1 ⋅ 8 2 = 1 ⋅ 64 = 64 ; −1
1
54 ⋅ 5
−
52
1 4
4
7
1 1 −
= 5 4 4 ⋅ 5−2 =
(0,3) 0,3 ⋅ (0,3) −1 (0,3)1,3
96. 1) 3 − 2 4
3
1 ; 25
=
1
72
−
4 3
4 7−3
= 73 1
(0,3) 2
=
1 3
( ) ⋅ 161 ⋅16 = 2 ;
⋅ 7 −2 = 71− 2 = 7 −1 =
100 1 = 11 . 9 9
3 3 3⋅3⋅ 2 3 − = =− ; 4 2 4 4 −
2) (
73 ⋅ 7
= (0,3) 0,3−1−1,3 = (0,3) − 2 =
−1
1
1 1 8 3 ⋅ :16−1 = 23 2
1 1 1 2 2 2 : 9 = 15 : (3 ) = 15 : 3 = 5 ; 15
3)
1
16 4 ⋅ 25 2 = (24 ) 4 ⋅ (52 ) 2 = 2 ⋅ 5 = 10 ;
1
1 1 1 1 − − − − 1 13 ⋅ 125−1 ) 3 = 3 ⋅ ((53 ) −1 ) 3 = (3−3 ) 3 ⋅ (5−3 ) 3 = 3⋅5 = 15; 27 3 2
( )
3) 27 3 + 9−1 = 33
2 3
+
1 1 1 1 = 32 + = 9 + = 9 ; 9 9 9 9 −2
1 1 1 4) (0,01)−2 :100− 2 = 1 ⋅ 100− 2 = (100 )2 ⋅ (102 ) 2 = 10000 ⋅10 = 100000 ; 100
30
www.5balls.ru
1 ; 7
1
−
1
− −1 2 2 2 5) 64 8 = 8 ⋅ 5 = 9 ⋅ 5 = 45 ; 81 5 9 8 8 8 64 2
2
3 3 6) 2 10 3 = 64 ⋅ 9 = 3 27 4 27 16 4 −
97. 1) 2)
4
−
2
3
2
3 9 81 . ⋅ = 16 256 3
3 3 1 3 3 3 9 3 3 ⋅ 9 3 27 3 3 3 ⋅ 2 = ⋅ = = = = = 1,5 ; 2 4 2 4 2⋅4 8 2 2
3
3 4 4 4 3 4 27 4 3 ⋅ 27 4 3 ⋅ 6 = ⋅ = = 4 4 4 4 4⋅4 2
4
=
3 = 1,5 ; 2 4
3) 4 15 5 : 4 2 = 4 125 : 4 2 = 4 125 : 2 = 4 125 ⋅ 5 = 4 5 = 5 = 2,5 ; 8
5
8
5
8
8⋅2
5
2
2
3 3 4) 3 11 1 : 3 3 1 = 3 45 : 3 10 = 3 45 : 10 = 3 45 ⋅ 3 = 3 9 ⋅ 3 = 3 3 = = 1,5 ;
4
5) ( 6) (
3
3
4
2
3
2
4
4 ⋅ 10
3
6 3 2
6 6
6
6
8
2
2
27 ) = ( 6 27) = ( 3 ) = 3 = 3 ; 3
16 )2 = ( 6 16)3 = ( 42 )3 = 46 = 4 . −3
1 98. 1) 13,75 = 1; 2 −1 = 1 = 0,5; =23=8, т.к. 8>1>0,5, то 2 2 2) 980=1, 3
−1
7
=
−3
1 >13,75>2–1; 2
1 1 1 3 7 1 5 = 2 , 32 5 = (2 ) 5 =2, т.к. 2 >2>1, то 7 3 7 7
−1
1
> 32 5 >980.
1
1 6
6 1 6 6 6 99. 1) (0,88) > , т.к. 0,88 < 1, < 1 и 0,88 > , а > 0; 11 6 11 11 5 2) 12
−
1 4
−
3) ( 4,09)3 11 4) 12
1
2
− 5
3 < 4 25
1 = 1 11
a 2 a −0,5 a
2 3
3) (a 2,5 ) 2 5 a
3 2
5
= ( 4,12)3
12 > 13
− 5
2
, т.к. 4,09 < 4,12, а
1 = 1 12
5
, т.к. 1
3
2 > 0;
1 1 >1 , а 11 12
5 >0.
7
1 1
100. 1)
5 1 5 < 1, 0,41 < 1 и > 0,41, а − < 0; 12 4 12
< (0, 41) 4 , т.к.
=a
1 1 1 − 2 2
⋅a
−
2 3
=a
1−
2 3
1 3
= a ; 2)
a −3a 3 a
1 = a5 ⋅a 5
1 5+ =a 5
1 5 =a 5;
4)
1 3
7 2
=a 3
−3+
7 3
⋅a 2
−
1 3
3
=a
2 1 − − 3 3
2 3 + 7
a (a 14 )2 = a 7 ⋅ a 7 = a 7
= a −1 ; 5
= a7
31
www.5balls.ru
101. 1) x −2 = x −2
2
2
⋅ x 2 +1+ 2
= a 3+
3 −1− 3
102. 1)
7
= x 3+ 2
2 3 +1
a 3 2) b 3 −1
2 +1
1 ⋅ −2 2 −1 x
a −1−
⋅
⋅ b(1−
b
2 −2 2
3
2
2
)
2 +1
= x −2
2
× (x (
3 −1)
3 +1
⋅ a −1−
3
⋅ b2 =
⋅ (x − ( −
2 −1)
2 +1)
)
2 +1
=
= x3 ;
3
= (a
−2
3 )(1+ 3 )
1 1 − 2 3
= x −2
3 +1
)
⋅ (b −(
)
⋅ b2 = a 2b1−3+ 2 = a 2 .
3−2 =7 6
2
1 =7 6
2
1 1 >7 − 3 4
2
4−3 =7 12
2
=
2
1 1 1 ; > = 7 , т.к. 6 12 12 2)
3
5
3
3
3
1 1 5 6 25 − 24 1 1 − 1 = 5 − = 5 =5 > 5 4 4 5 20 20 3
3
3
3
1 1 1 1 1 7 8 49 − 48 . > > 5 1 − 1 = 5 − = 5 = 5 , т.к. 20 42 6 6 6 6 42 42 1
103. 1) 62x = 6 5 ; 2 x =
1 ; x = 1 = 1 = 0,1 ; 5 5 ⋅ 2 10 3) 73x = 710 ; 3x = 10; x = 10 = 3 1 ;
2) 3 x = 27; 3 x = 3 3 ; x = 3 ; 4) 2
2 x +1
5) 2
2+ x
104. 1)
= 32; 2 = 4; 4
2 x +1
2+ x
y − 16y
1 2
1
=
4
2)
4
a 5 − b5 2 5
a −b 105. 1)
2 5
1
y 2 (y 2 − 16) 1
2
2
a5 − b
ab − b 1 2
1 2
a b −1
1
=
1
1
=
2 5
2
2
2 5
b (ab − 1) 1 2
a b −1
=
1 2
1
1
2 5
1
1
2
2
= a 5 + b5 . 1
b (a 2 b 2 − 1)(a 2 b 2 + 1) 1 2
1
y 2 (y 2 − 4) = ; 5
2
(а 5 + b 5 ) − (а 5 + b 5 ) a −b
1 2
1 2
5(y 4 + 4) 2
=
1
y 2 (y 2 − 4)(y 2 + 4)
5(y 4 + 4)
(а 5 ) 2 − (b 5 ) 2
3 2
1 2
= 40 ; 2 + x = 0; x = −2 .
2
=
3
= 2 ; 2 x + 1 = 5; 2 x = 4; x = 2 ;
1
5y 4 + 20
3
5
1 2
1
1
1
= b 2 (a 2 b 2 − 1) ;
a b −1
1 2
1
1
1
1
1
b + a 2b2 − b a 2b2 b b b b2 . 2) = + = + = a−b a−b a − b a 1 + b 1 (a 1 − b 1 )(a 1 + b 1 ) a 1 + b 1 2 2 2 2 2 2 2 2 106. 1) b 2 = −81; S 2 = 162; S2 = b1 + b 2 = b1 − 81 = 162 ;
32
www.5balls.ru
b1 = 243; b 2 = b1 ⋅ q; q = b 2 = − 81 = − 1 ; q = 1 < 1 ; b1
243
3
3
2) b 2 = 33, S 2 = 67; S2 = 67 = b1 + b 2 = b1 + 33 ; b1 = 34; q = b 2 = 33 ; b1
34
q =
33 <1; 34
3) b1 + b 2 = 130 ; 120 b1 + b1 ⋅ q = 130 b1 = 1−q 2 ; , значит, q ≠ 1 ; b1 − b3 = 120 ; b1 − b1 ⋅ q 2 = 120 120 + q 120 = 130 2 2 1−q 1−q
120 + 120q = 130 − 130q 2 ; 13q 2 + 12q − 1 = 0 ; − 12 + 144 + 5 2 1 или q=–1, чего быть не может, значит, q = 1 < 1 ; = 13 26 13 b 2 + b 4 = 68 ; 2b 2 = 68 + 60 = 128; b 2 = 64 ; 4) b 2 − b 4 = 60 q=
b 2 − (− b 4 ) = 68 − 60 = 8 ; 2b 4 = 8; b 4 = 4 ; b 2 = b1 − q = 64 ; 3 b 4 = b1 − q 3 = 4, значит, b 4 = b1q = 4 ; q 2 = 12 , значит, q = 1 < 1 .
b2
b1q
64
16
4
107. 1) 1,10( 209) = x; 110, (209) = 100 ⋅ x; 100000 ⋅ x = 110209, (209); 100000 ⋅ x − 100 ⋅ x = 110209, (209) − 110, (209) ; 110099 = 99900 x; x = 110099 = 1 10199 ; 99900
99900
2) 0,108(32) = x; 108, (32) = 100 ⋅ x; 108,32(32) = 100000 ⋅ x; 100000 ⋅ x − 1000 ⋅ x = 10832, (32) − 108, (32) ; 10724 = 99000 ⋅ x; x = 10724 = 2681 . 99000
24750 108. b n > 0; b1 + b 2 + b3 = 39; 1 + 1 + 1 = 13 ; q < 1 ; b1 b 2 b3 27 b1 + b1q + b1q 2 = 39 b1 (1 + q + q 2 ) = 39 39 ; ; (1 + 1 + 1 ) ⋅ 27 = ; 1 1 13 2 1 13 2 13 2 q + + = q 1 + q + q2 q + q + 1 = b ⋅ q b b ⋅q 1 2 27 27 b1 ⋅ q 1 1
(1 + q + q 2 ) 2 =
169 ⋅ q 2 ; 1 + q + q 2 = 13 ⋅ q или 1 + q + q 2 = − 13 ⋅ q ; 3 3 3
3q 2 − 10q + 3 = 0 ; или 3q 2 − 16q + 3 = 0 q1 =
10 + 8 ; q1 = 3 > 1, или q 3 = 10 − 8 = 1 ; q 4 = −16 + 220 < 0; 6 6 6 3
q2 =
1 −16 − 220 < 0; значит, q = ; 3 6
33
www.5balls.ru
b1 =
39 1 + q + q2
=
39 1 3
1+ +
1 9
=
39 ⋅ 9 = 27 ; 9 + 3 +1
34
www.5balls.ru
S=
b1 27 27 ⋅ 3 = = = 40,5 . 1− q 1− 1 2 3
43 + 432 − 1800 43 − 432 − 1800 + + 2 2
43 + 30 2 + 43 − 30 2 =
109.
43 + 432 − 1800 43 − 432 − 1800 43 − 1849 − 1800 43 + 49 − =2 =2 = 2 2 2 2
+ =2
43 + 7 50 =2 = 2 25 = 10 . 2 2
110. a = (4 − 3 2)2 + 8 34 − 24 2 − 5 = 16 − 24 2 + 18 + 34 + 1156 − 1152 34 + 1156 − 1152 + 8 − 2 2
− 5 = 34 −
− 24 2 + 8 ⋅ (3 2 − 4) − 5 = 34 − 24 2 + 24 2 − 32 − 5 = = 2 − 5 ; 2 − 5 < 0 , так как 2 < 5 , значит, a < 0 . 2
111. 1) a = b=
5− 3
2
+
5 3+ 2 2
2
;
5− 3
2) a = 2 + 3 ; значит, a < b ;
2 < 1,4143;
4) a = 13 − 12 ; 13 < 3,604; a < 0,14 < 0,147 < b .
=
2 2− 3
5
=
5 + 10
=
2( 2 + 3 )
5 (5 − 10 ) (5 − 10 )(5 + 10 )
=
17 < 4,124; b < 1,124 < 1,127 < a ,
12 > 3,464;
( 2 − 3 )( 2 + 3 )
5 5 ( 5 )2 ⋅ 2 5 5 − 5 2 = = 15 15
=
4⋅ 2
5) =
3 4
5 −4 2
=
3
8
3
11 < 3,317;
2( 2 + 3 ) = −2( 2 + 3 ) ; 2−3
5 (5 − 10 ) = 25 − 10
5 (5 − 10 ) = 15
5− 2 ; 3
3 3 3 3 3) 3 = 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 ; 4) 3 3 3
4
> 0,8;
3 < 1,7321; a < 3,1464 < 3,1622 < 10 = b,
3) a = 5 − 5 ; 15 < 3,873; a > 1,127; значит, b < a ;
2)
3+ 2 2
< 3,4; значит, b < 3,4 < 4,7 < a , значит, b < a;
8− 5
112. 1)
5
> 3,9;
2
(2) 3
3( 4 5 + 4 2 ) ( 4 5 − 4 2 )( 4 5 + 4 2 )
=
3( 4 5 + 4 2 ) 5− 2
2 4
27
=
24 3 4
27 ⋅ 4 27
=
=
3( 4 5 + 4 2 )( 5 + 2 ) 3( 4 5 + 4 2 )( 5 + 2 ) = ( 4 5 + 4 2 )( 5 + 2 ) ; = 5−2 3
34
www.5balls.ru
24 3 4
34
=
24 3 ; 3
6) 7) =
11 3+ 2
=
3
3
2
3
(1 + 2 − 3 ) (1 + 2 + 3 )(1 + 2 − 3 )
=
=
11( 3 9 − 3 6 + 3 4) 11( 3 9 − 3 6 + 3 4) ; = 3+ 2 5
(1 + 2 − 3 ) (1 + 2 2 + 2 − 3)
=
2 +2− 6 ; 4
=
1 3
2
3
( 3 + 2)(( 3) − 3 ⋅ 2 + ( 2) )
1
2 2
3
3
1+ 2 + 3
1+ 2 − 3
8)
11((3 3)2 − 3 3 ⋅ 3 2 + (3 2)2 )
=
3
3
4 +3 6 +3 9
=
(3 3 − 3 2 ) (3 3 − 3 2 )((3 2 ) 2 + 3 2 ⋅ 3 3 + (3 3 ) 2 )
=
3
3 −3 2 3 = 3 −3 2 . 3− 2
113. 1) (3 7 − 3 4 )(3 49 + 3 28 + 3 16 ) = (3 7 − 3 4 ) × × ((3 7 ) 2 + 3 7 ⋅ 3 4 + (3 4 ) 2 ) = (3 7 ) 3 − (3 4 ) 3 = 7 − 4 = 3 ; 2) (3 4 − 3 10 + 3 25 )(3 2 + 3 5 ) = ((3 2 )2 − 3 2 ⋅ 3 5 + (3 5 )) × × (3 2 + 3 5 ) = (3 2 ) 3 + (3 2 ) 5 = 2 + 5 = 7 . 114. 1)
x− y 4
x −4 y
−
x + 4 xy 4
x +4 y
=
( 4 x + 4 y )(4 x − 4 y ) 4
x −4 y
4
−
x (4 x + 4 y ) 4
x +4 y
=
= 4 x +4 y −4 x = 4 y ;
2)
x−y 3
−3
x −3 y
3
x+y x +3 y
=
3
(3 x − 3 y)( x2 + 3 xy + 3 y2 ) (3 x + 3 y)( x2 − 3 xy + 3 y2 ) − = 3 3 x −3 y x +3 y
3 3 = x 2 + 3 xy + 3 y 2 − x 2 + 3 xy − 3 y 2 = 23 xy ;
3)
x −3 y 4
x
+3
y
+3 y =
(4 x − 3 y )(4 x + 3 y ) 4
x +3 y
4 4 +3 y = x −3 y +3 y = x ;
3 3 4) x x − y y − 1 = ( x ) − ( y ) − 1 = ( x − y )(x + xy + y) −
x y −y x
−1 =
x + xy + y xy
xy ( x − y )
−1 =
x + y + xy − xy xy
4 43 a b + ab 3 1 ⋅ 1 1 115. 1) 1 1 3 3 a 3b3 a +b 1
1
1
1
xy ( x − y )
=
x+y . xy
3
1 1 3 3 = ab(a + b ) ⋅ 1 1 1 1 1 3 3 a 3b3 a +b 1
3
3 3 = a b = a 2b2 ; b
1
a 3 − b 3 ab 3 − a 3 b (a 3 − b 3 ) ⋅ 3 ab (( 3 a ) 2 − ( 3 b ) 2 ) 2) 3 ⋅ 3 = = 3 ab a +3b ab ⋅ ( 3 a + 3 b ) =
( 3 a − 3 b )( 3 a − 3 b )( 3 a + 3 b ) 3
a+3b
= ( 3 a − 3 b )2 ;
35
www.5balls.ru
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
a 3 − b3 a 3 + 3 ab + b3 (a 3 − b3 )(a 3 + b3 ) a 3 + 3 ab + b 3 3) 1 1 ⋅ = × 1 =1 ; 1 1 1 2 2 a −b a 3 + b3 a 3 + b3 (a 3 − b 3 )(a 3 + 3 ab + b 3 ) 4
4
4
a 3 − b3
4) 3
a −3b
2
2
⋅
3
2
2
4
3
a 3 − a 2b 2 + b 3 a +3b
=
2
2
2
2
2
3
(a 3 − b 3 )(a 3 + b 3 )((a 3 ) 2 − a 2 b 2 + (b 3 ) 2 ) 2
2
=
a 3 − b3 2
3
= (a 3 + b 3 )((a 3 ) 2 − a 2b 2 + (b 3 ) 2 ) = a 2 + b 2 . 2
2
2 2 −2 −2 −1 −1 −2 2 116. 1) 4a − 9a + 4a − 4 + 3a = (2a − 3a )(2a + 3a ) + 4a − 4 + 3a = −1 −1 −1 −1
2a − 3a
−1
−1
a −a
(2a − 3a )(a − a )a − 4 + 3a = a − a −1 2
2a − 3a
−2 2
−2
a −a
2a − −2 + 3 − 3a + a − 4 + 3a = a − a −1 2
−2 2
=
2
2
3a(a − a −1 3a 2 − 3 2 = = = (3a ) = 9a 2 ; a − a −1 a − a −1
1
2)
(a + b)
= (a + b ) 2 −
−2
a−b + 3 a + b3
−1
a 3 + b3 1 −1 )⋅ = ⋅ ( ab ) = ((a + b) 2 − a−b ab
a 3 − ab 2 + ba 2 − b − a 3 + b 3 ab(a − b ) = =1. ab(a − b ) (a − b )⋅ ab 5
5
(4 a + 4 b)2 + (4 a − 4 b)2 3 10 a + 24 ab + b − 24 ab + b 6 21 117. 1) ⋅ a a = ⋅ a = a + ab a( a + b) 5
21
21 5
21 15
2 a 6 == 32 ⋅ a 6 − 2 = 32 ⋅ a 6 − 6 = 32a ; = ⋅ a
a − a −1 3 2) + a −1 ( 3 a −1 + 3 a + 1)( 3 a −1 − 3 a + 1)
−3
−3
a − a −1 3 = + a −1 = 2 3 −1 2 ( a + 1) − a 3
−3
2 1 1 − − 1 a − a −1 + a −1 + 2a 3 + a 3 − a 3 3 −1 = + a = (a 3 ) −3 = a −1 ; 2 2 − 3 a 3 + 2 a −1 − a 3 + 1
3
4
3
3 3 3 2 2 3 3) a − b − ab a + b ⋅ 1 = ( a − b)(a + ab + b) − ab( a + b) ⋅ 1 1 3 3
a + b 1 1 ⋅ = (a + ab + b − ab ) ⋅ =1. a+b a+b a− b
118.
3
a 3 − b3
a− b
7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 = 3 2 2 + 6 + 3 2 +1 =
= 3 1 − 2 2 − 3 2 + 6 = 3 ( 2 + 1)3 + 3 (1 − 2)3 = 2 + 1 + 1 − 2 = 2
36
www.5balls.ru
a− b
Глава II. Степенная функция 119. 1) y = x 6 ; область определения — R; множество значений — неотрицательные числа, т.е. y≥0.
Y X
Y
2) y = x 5 ; область определения — множество R; множество значений — множество R.
X Y
1 2
3) y = x ; область определения — неотрицательные числа x ≥ 0 ; множество значений — неотрицательные числа у ≥ 0.
X
4) y = x −2 ; область определения — множество R,
Y
кроме x = 0 ; множество значений — положительные числа y >0.
X
5) y = x −2 ; область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — множество R, кроме y = 0 . 1
6) y = x 3 ; область определения — неотрицательные числа x ≥ 0 ; множество значений — неотрицательные числа y≥0.
Y
X
Y X
120. 1) p = 7 — возрастающая при x > 0 ; 3 3 2) p = ; π > 3,14; < 1 — возрастающая при x > 0 ; π π 3) p = 1 − 3 ; 3 > 1; 1 − 3 < 0 — убывает при x > 0 ; 1 1 4) p = ; > 0 — возрастает при x > 0 ; π π 5) p = 3 − π; 3 − π < 0 — убывает при x > 0 ; 6) p = 0, (3); — возрастает при x > 0 . 2
121. 1) График функции y = x 5 проходит через точку (0; 0) расположен выше оси ОХ, функция возрастающая.
х у
1 1
32 4
Y
X
37
www.5balls.ru
Y
5
2) y = x 2 — график этой функции проходит через точку (0; 0) расположен выше оси ОХ, функция возрастающая.
х у
1 1
X
4 32
Y
1
3) y = x −5 = x 5 — график этой функции проходит через точку (1; 1) расположен выше оси ОХ, функция убывающая.
х у
0,5 4 32 1/32
X
4) y = x 3 — график этой функции проходит через точку (0; 0) расположен выше оси ОХ, функция возрастающая.
х у
Y
1 1
X
122. 1) 4,12,7 сравнить с 1, 1 = (4,1) 0 ; 4,12,7 > (4,1) 0 ; 2) (0,2) 0,3 < 1 = (0,2) 0 , так как 0,2 < 1 ; 3) (0,7) 9,1 < 1 = (0,7) 0 , так как 0,7 < 1 , а 9,1 > 0 ; 0,2
4)
39,1 = 3 2 = 30,1 > 1 = 30 , так как 0,1 > 0 . 2
123. 1) y = x
; x
2
= x1 , при x = 0 или x = 1 , так как
2 > 1 , то на
промежутке (0, 1), x 2 < x , а при x > 1 , x 2 > x ; 2) y = x π ; x π = x 1 , при x = 0 или x = 1 , так как π > 1 , то на промежутке (0, 1), x π < x , а при x > 1 , x π > x . 1
1
1 > 1 , то на проπ
124. 1) y = x π ; x π = x1 , при x = 0 или x = 1 , так как 1
1
межутке (0, 1), x π > x , а при x > 1 , x π < x ; o
o
2) y = x sin 45 ; x sin 45 = x1 , при x = 0 или x = 1 , так как sin 45 o < 1 , то o
o
на промежутке (0, 1), x sin 45 > 0 , а при x > 1 , x sin 45 < x . 125. 1) 3,17, 2 < 4,3 7, 2 , т.к. 3,1 < 4,3 ; 2) 10
2,3
11
12 < 11
3) (0,3) 0,3 < (0,2) 0,3 , т.к. 0,3 < 0,2 ; 4) 2,5−3,1 < 1 2,5
5) 7 9
−2
2
8 9 = > 10 7
−2
2
9 8 8 ; = , т.к. > 7 10 10
38
www.5balls.ru
2,3
0 ,3
, т.к. 10 < 12 ; 11 11
, т.к. 2,5−3,1 = 1 ; 2,6
3
3
14 4 15 4 6) < , т.к. 14 < 15 ; 15 16 15 16 2
2
7) (4 3) 5 > (3 4) 5 , т.к. 4 3 > 3 4 = 6 ;
( )
8) 23 6
− 0, 2
1 = 23 6
0, 2
1 > 3 6 2
0, 2
( )
= 63 2
− 0, 2
1
, т.к.
3
2 6
>
126. 1) y = x 3 — область определения — множество R; множество значений — множество R;
1
.
3
6 2 Y 1
У= x 3
1
X
y = x 3 — область определения — x ≥ 0 ; множество значений — y ≥ 0 ; 2) y = x 4 — область определения — множество R; множество значений — y ≥ 0 ;
Y 1
У= x 4
1 4
y = x — область определения — x ≥ 0 ; множество значений — y ≥ 0 ;
X
Y
3) y = x 2 — область определения — множество R; множество значений — y ≥ 0 ; y = x −2 — область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — y ≥ 0 ;
X
Y
4) y = x 5 — область определения — множество R; множество значений — множество R; y = x −5 — область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — множество R, кроме y = 0 .
X
127. 1) y = x1− π , т.к. π > 1 , то 1 − π < 0 ; x1− π = x1 , если x = 1 , т.к. 1 − π < 1 , то на промежутке (0; 1), x1− π > x , а при x > 1 x1− π < x ; 2) y = x 1− x1− x1−
2
2
2
, т.к.
2 > 1 , то 1 − 2 < 0 ;
= x1 , если x = 1 , т.к. 1 − 2 < 1 , то на промежутке (0; 1),
> x , а при x > 1 , x1−
2
<x.
π +1
область определения — x ≥ 0 ; 128. 1) y = x множество значений — y ≥ 1 ;
Y X
39
www.5balls.ru
1
−1
2) y = x π область определения — x ≥ 0 ; множество значений — y ≥ −1 ;
Y
X
3) y = ( x − 2) π область определения — x ≥ 2 ; множество значений — y ≥ 0 ;
Y
4) y = ( x + 1) − 2 область определения — x > −1 ; множество значений — y > 0 ;
Y
X
X
5) y = ( x − 2)−2 область определения — множество R, кроме x = 2 ; множество значений — y > 0 ; 2 область определения — x > 0 ; x 2 множество значений — y > 0 . 6) y =
Y
X
Y
X Y
1
129. 1) y = x 3 область определения — множество R;
X
множество значений — y ≥ 0 ; 2) y = x
5
область определения — множество R;
Y
множество значений — y ≥ 0 ; 3
3) y = x + 1 область определения — множество R;
X
Y
множество значений — y ≥ 1 ;
X
1
Y
4) y = x 5 − 2 область определения — множество R;
X
множество значений — y ≥ −2 ; 1
5) y = x + 2 5 область определения — множество R;
Y X
множество значений — y ≥ −2 ; 6) y = 2x
−3
область определения — множество R,
Y
кроме x = 0 ; множество значений — y > 0 . 3
X 3
130. 1) y = 5 x и y = x 5 ; область определения функции y = x 5 — х ≥ 0;
40
www.5balls.ru
3
1
3
x = x 5 ; x 5 = x 5 ; x = x 3 — при x = 0 , x = 1 , или x = −1 , но x = −1 — не входит в область определения, значит, точки пересечения графиков (0; 0) и (1; 1). 5
5
2) y = 7 x и y = x 7 ; область определения функции x ≥ 0 ; 5
x = x 7 ; x = x 5 — при x = 0 , x = 1 , или x = −1 , но x = −1 — не входит в область определения, значит, точки пересечения графиков (0; 0) и (1; 1). 131. 1) y = 3x − 1 — обратима, т.к. каждое свое значение функция принимает один раз. 7
2) y = x 2 + 7 — не обратима, т.к., например, значение 8 она принимает при x = 1 или x = −1 . 1 — обратима, т.к. каждое свое значение функция принимает 3) y = x один раз. 4) y = x — обратима, т.к. каждое свое значение функция принимает один раз. 5) y = x 4 — не обратима, т.к., например, значение 1 она принимает при x = 1 или x = −1 . 6) y = x 4 , x < 0 — обратима, т.к. каждое свое значение функция принимает один раз. 132. 1) y = 2x −1 ; x = 1 (y +1) , значит, функция x = 1 (x + 1) — обратная к 2
2
данной. 2) y = −5x + 4 ; x = 1 (4 − y) , значит, функция x = 1 (4 − x) — обратная к данной. 5 5 1 2 3) y = x − ; x = 3y + 2 , значит, функция y = 3x + 2 — обратная к данной. 3 3 3x −1 4) y = ; x = 1 (2y +1) , значит, функция y = 1 (2x +1) — обратная к данной. 3 3 2
5) y = x 3 + 1 ; x = 3 y − 1 , значит, функция y = 3 x − 1 — обратная к данной. 6) y = x 3 − 3 ; x = 3 y + 3 , значит, функция y = 3 x + 3 — обратная к данной. 133. 1) y = −2 x + 1 — область определения — множество R; множество значений — множество R; область определения обратной функции — множество R; множество значений обратной функции — множество R; 2) y = 1 x − 7 — область определения — множество R; 4
множество значений — множество R; область определения обратной функции — множество R; множество значений обратной функции — множество R;
41
www.5balls.ru
3) y = x 3 − 1 — область определения — множество R; множество значений — множество R; область определения обратной функции — множество R; множество значений обратной функции — множество R; 4) y = ( x − 1) 3 — область определения — множество R; множество значений — множество R; область определения обратной функции — множество R; множество значений обратной функции — множество R; 5) y = 2 — область определения — множество R, кроме x = 0 ; x
множество значений — множество R, кроме y = 0 ; область определения обратной функции — множество R, кроме x = 0; множество значений обратной функции — множество R, кроме y = 0; 6) y =
3 — область определения — множество R, кроме x = 4 ; x−4
множество значений — множество R, кроме y = 0 ; область определения обратной функции — множество R, кроме x > 0; множество значений обратной функции — множество R, кроме y = 4. 134. Т.к. график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой у=х. а) точка симметричная точке (1, 1) относительно Y прямой y = x — точка (1,1). Точка симметричная точке (0, 2) относительно X прямой у=х — точка (2, 0). б) точка симметричная точке (0, 1) относительно Y прямой y = x — точка (1,0). X Точка симметричная точке (1, 2) относительно прямой y = x — точка (2, 1). в) точка симметричная точке ( — 2, 4) относительно прямой y = x — точка (4, — 2). Точка симметричная точке (0, 1) относительно прямой y = x — точка (1, 0). г) точка симметричная точке ( — 1, 1) относительно прямой y = x — точка (1, — 1). Точка симметричная точке ( − прямой y = x — точка (4,
−
1 2
1 2
, 4) относительно
Y
X Y X
).
135. 1) y = − x 3 ; x = 3 − y = −3 y , значит, функция x = −3 y — обратная к функции y = − x 3 , и данные функции взаимно обратимы. 2) y = − x 5 ; x = 5 − y = −5 y , значит, функция x = −5 y — обратная к функции y = − x 5 , и данные функции не являются взаимно обратимыми.
42
www.5balls.ru
3) y = x −3 =
1 x
; x=
3
1 3
y
, значит, функция x =
1 3
— обратная к
y
функции y = x −3 , и данные функции взаимно обратимы. 5
3
3
3
4) y = x 3 ; y = x 5 = y x 2 , значит, функция y = x x 2 — обратная 5
к функции y = x 3 , и данные функции взаимно обратимы. 1 y≤0 ; x = y 2 , значит, функция y = x 2 является об136. 1) y = − x ; 2 x ≥ 0 ратной к данной при x ≤ 0 . 3
2) y = − x 5 ; x = 3 − y 5 = −3 y 5 , значит, функция x = −3 y 5 является обратной к данной. 3
y≥0 3) y = x 2 ; ; x = 3 y 2 , значит, функция x = 3 y 2 является обратx ≥ 0
ной к данной при x ≥ 0 . 1
4) y = − x 3 ; x = ( − y) 3 = − y 3 , значит, функция y = − x 3 является обратной к данной. 137. 1) y = 3x – 1 — область определения — множество R; множество значений — множество R; 1 1 x = ( y + 1) , значит, функция y = ( x + 1) — об3 3 ратная к данной — область определения — множество R, множество значений — множество R. 2x −1 2) y = — область определения — множество R; 3 множество значений — множество R; 1 1 x = (3y + 1) , значит, функция y = (3x + 1) — об2 2 ратная к данной — область определения — множество R, множество значений — множество R. 3) y = x 2 − 1 , при x ≥ 0 — область определения — множество R; множество значений — y ≥ −1 ; x = y + 1 , значит, функция y = x + 1 — обрат-
Y
X Y
X
Y
X
ная к данной — область определения — x ≥ −1 , множество значений — y ≥ 0 .
43
www.5balls.ru
4) y = ( x − 1) 2 , при x ≥ 1 — область определения — x ≥ −1 ; множество значений — y ≥ 0 ;
Y
X
x = y + 1 , значит, функция y = x + 1 — обратная к данной — область определения — x ≥ 0 , множество значений — y ≥ 1 . 5) y = x 3 − 2 — область определения — множество R; множество значений — множество R;
Y
3 y = x+2
x = 3 y + 2 , значит, функция y = 3 x + 2 — обратная к данной — область определения — множество R, множество значений — множество R. 6) y = ( x − 1) 3 — область определения — множество R; множество значений — множество R;
X
Y
x = 3 y + 1 , значит, функция y = 3 x + 1 — обратная к данной — область определения — множество R, множество значений — множество R. 7) y = x − 1 — область определения — x ≥ 1 ; множество значений — y ≥ 0 ;
3 y= x −2
y = ( x − 1)
x = 3 y +1
X
Y
x = y 2 + 1 , значит, функция y = x 2 + 1 — обратная к данной — область определения — x ≥ 0 , множество значений — y ≥ 1 . 8) y = x + 1 — область определения — x ≥ 0 ; множество значений — y ≥ 1 ;
X
Y
x = ( y − 1) 2 , значит, функция y = ( x − 1) 2 — обратная к данной — область определения — x ≥ 1 , множество значений — y ≥ 0 . 138. 1) ( x + 7) ⋅ 3 = 2 x + 14; 3x + 21 = 2x + 14; x + 7 = 0; x = −7. 2) x 2 +
1 x2 − 4
= 4+
1 x2 − 4
3
X
2 ; x − 4 = 0 , но решения этого уравнения обра-
щают знаменатели дробей исходного уравнения в 0, значит решений нет. 3) x − 2 = 1 − 2x , умножая обе части данного уравнения на x 2 − 1 мы 2 2 x −1
x −1
можем прибрести новые корни, значит, необходимо выполнить проверку. x − 2 = 1 − 2 x; 3x = 3; x = 1 , но при x = 1 знаменатель дробей в исходном уравнении обращается в 0, значит корней нет.
44
www.5balls.ru
4)
5x − 15 2 − = 0; ( x − 3)( x + 2) x + 2
5x − 15 2 = ; ( x − 3)( x + 2) x + 2
5x − 15 − 2 x + 6 = 0;
3x = 9; x = 3, но при x = 3 знаменатель дробей в исходном уравнении превращается в 0, значит корней нет. 139. 1) 3x − 7 = 5x + 5 равносильно уравнению 2x + 12 = 0 , т.к. каждое из них имеет единственный корень x = −6 . 1 2) (2x − 1); 2x − 1 = 5; 2x = 6; x = 3 ; 5 3x − 1 = 1; 3x − 1 = 8; 8
3x = 9; x = 3 , значит, данные уравнения равно-
сильны. 3) x 2 − 3x + 2 = 0; D = 9 − 8 = 1; x = 3 + 1 = 2 или x = 1 .
2 −3 + 1 x + 3x + 2 = 0; D = 9 − 8 = 1; x = = −1 или x = −2 , значит, данные 2 2
уравнения не равносильны. 4) (x − 5)2 = 3(x − 5); x 2 − 10x + 25 = 3x − 15; x 2 − 13x + 40 = 0; D = 169 − 160 = 9; x = 13 + 3 = 8 или x = 5 . 2
x − 5 = 3; x = 8 , значит, данные уравнения не равносильны. 5) x 2 − 1 = 0; x 2 = 1; x = 1 или x = −1 ; 2 x −1 = 0 — не имеет действительных корней, значит, данные уравнения не равносильны. 6) x − 2 = −3 — не имеет действительных корней, 3x = (−1)3 — не имеет действительных корней, значит, данные уравнения равносильны. 140. 1) 2 x − 1 ≥ 2; 2 x ≥ 3; x ≥ 1,5 . 2( x − 1) ≥ 1; x − 1 ≥ 0,5; x ≥ 1,5 , значит, данные неравенства равно-
сильны. 2) ( x − 1)( x + 2) < 0 . Решая это неравенство методом интервалов получаем: + – + −2 < x < 1 –2 1 x 2 + x < 2; x 2 + x − 2 < 0; x 2 + x − 2 = 0; решим уравнение D = 1 + 8 = 9; x =
−1 + 3 = 1 или x = −2 . Ветви этой параболы направ2
лены вверх, значит, x 2 + x − 2 < 0 при −2 < x < 1 , значит, данные неравенства равносильны. 45
www.5balls.ru
3) ( x − 2)( x + 1) < 3x + 3 ; x 2 + x − 2x − 2 − 3x − 3 < 0 ; x 2 − 4x − 5 < 0 ; решим уравнение x 2 − 4x − 5 = 0 , x =
4+6 = 5 или x = −1 , ветви этой 2
параболы направлены вверх, значит, x 2 − 4x − 5 < 0 при −1 < x < 5 . x − 2 < 3 ; x < 5 , значит, данные неравенства не равносильны. 4) x ( x + 3) ≥ 2x ; x 2 + 3x − 2x ≥ 0 ; x ( x + 1) ≥ 0 ; x ≥ 0 и x ≤ −1 ; x 2 ( x + 3) ≥ 2 x 2 ; x 2 ( x + 3 − 2) ≥ 0 x 2 ( x + 1) ≥ 0 , т.к. x 2 ≥ 0 , то x + 1 ≥ 0 ; x ≥ −1 , значит, данные неравенства не равносильны. 141. 1) x − 3 = 0; x = 3 ; x 2 − 5x + 6 = 0 , корни этого уравнения x = 3 и x = 2 . Значит, второе уравнение является следствием первого. 2 2 ( x − 2)(x − 1) = 0 2) x − 3x + 2 = 0; x − 3x + 2 = 0; . Значит, это уравнение
x −1
x − 1 ≠ 0
x − 1 ≠ 0
имеет единственный корень х = 2, а уравнение х2 – 3х + 2 = 0 имеет два корня x = 1 и x = 2 , значит второе уравнение является следствием первого. 142. 1)
x ( x − 1) + 2x ( x + 1) 4x x 2x 4x ; + = = 2 ; 2 x + 1 x −1 x2 −1 x −1 x −1
x 2 − x + 2x 2 + 2x − 4x
3x 2 − 3x
3x 3x ( x − 1) = 0; x = 0 ; = 0; = 0; x +1 ( x − 1)( x + 1) x −1 x2 −1 2) x − 1 − 2 = 1 ; x − 1 − 1 − 2 = 0; x − 2 − 2 = 0; 1 − 2 = 0; x − 2 = 0; x x−2 x x−2 x−2 x x−2 x x 2
= 0;
x = 2; 3) ( x − 3)( x − 5) = 3( x − 5); ( x − 3)( x − 5) − 3( x − 5) = 0; ( x − 3 − 3)( x − 5) = 0; ( x − 6)( x − 5) = 0; x = 6 или x = 5 ; 4) ( x − 2)( x 2 + 1) = 2( x 2 + 1); ( x − 2)( x 2 + 1) − 2( x 2 + 1) = 0; ( x − 2 − 2)( x 2 + 1) = 0; ( x − 4)( x 2 + 1) = 0; x = 4 , т.к. x 2 + 1 = 0 не имеет действительных корней. 143. 1)
x+3 2+x
−3x 2 + x − 3 2+x
2
2
< 0;
< 3;
x + 3 − 3(2 + x 2 ) 2+x
3x 2 − x + 3 2 + x2
2
< 0;
x + 3 − 6 − 3x 2 2 + x2
< 0;
> 0; т.к. 2 + x 2 > 0 , найдем где 3x 2 − x + 3 > 0
решим 3x 2 − x + 3 = 0; D = 1 − 36 = 35 < 0 , т.к. ветви этой параболы направлены вверх, то она не пересекает ось абсцисс, и 3x 2 − x + 3 > 0 при x ∈ R . x−2 x −2−5+ x 2x − 7 2) > 1; > 0; > 0; 5−x 5−x 5−x
46
www.5balls.ru
2x − 7 > 0 5 − x > 0
или
2x − 7 < 0 5 − x < 0
x > 3,5 x < 5
или
x < 3,5 Эта система не имеет решений. x > 5
Значит 3,5 < x < 5 . 144. 1) 2x − 1 = 3; 2x − 1 = 3 или 2x − 1 = −3 ;
x = 2 или x = −1 ;
2x − 1 = 3; x = 2 , значит, эти уравнения не равносильны. 2) 3x − 2 − 4 − x − 3x − 5 = 2x − 2; 6x − 4 − 12 + 3x − 3x + 5 − 12x + 12 = 0; 3
2
6
6
1 − 6x 1 10 1 1 = 0; x = ; 2x + 3 = ; 2x = ; x = . 6 6 3 3 6 Значит данные уравнения равносильны. 3 145. 1) 2 x − 1 = 4 − 1,5x; 3,5x = 5; x = 1 ; 7 3 3,5x − 5 = 0; 3,5x = 5; x = 1 , значит, данные уравнения равносильны. 7 2) x ( x − 1) = 2 x + 5; x 2 − x − 2 x − 5 = 0; x 2 − 3x − 5 = 0 . Поскольку в ходе этих преобразований мы данное уравнение не умножали и не делили на переменную, то мы не потеряли и не приобрели корней, значит, данные уравнения равносильны. 3) 23x +1 = 2−3 ; 3x + 1 = −3 , значит, данные уравнения равносильны. x + 2 = 3;
4)
( x + 2) 2 = (3)2 ;
x + 2 = 9;
x = 7 , делаем проверку
7 + 2 = 9 = 3 , значит, данные уравнения равносильны. 146. 1) x = 5 ; x = 5 или x = − 5 ; x 2 = 5; x 2 = 25; x = 5 или − 5 , все корни различны, значит,
ни одно из данных уравнений не является следствием другого. ( x − 2)( x + 2) = ( x − 3)( x + 3) ; x + 2 ≠ 0
2) x − 2 = x − 3 ; x + 3 ≠ 0 x+2
x+3
x 2 − 4 = x 2 − 9 . x + 3 ≠ 0 x + 2 ≠ 0
Эта система не имеет действительных решений. ( x − 2)( x + 2) = ( x − 3)( x + 3) , это уравнение не имеет действительных решений, значит, каждое из данных уравнений является следствием другого. 147.
1 2 5x 3x 2 3x − 1 − 2(3x + 1) − 5x 3x 2 − = 0; ; − − = 2 3x + 1 3x − 1 9x 2 − 1 1 − 9x 2 9x − 1 1 − 9x 2
− 2 x − 1 − 6x − 2 + 3x 2 2
9x − 1
= 0;
3x 2 − 8x − 3 9x 2 − 1
=0;
47
www.5balls.ru
3x 2 − 8x − 3 = 0 ; x = 3 или x = − 1 , но при x = − 1 знаменатель исходной 3
3
дроби обращается в 0, значит x = 3 . 148. 1)
3 4x − 1 x 2 + 5 3( x + 1) − (4x − 1)(x − 1) − ( x 2 + 5) + 5( x 2 − 1) − = − 5; = 0; 2 x −1 x + 4 x2 −1 x −1
3x + 3 − 4x 2 + 4 x + x − 1 − x 2 − 5 + 5x 2 − 5 x2 −1
8x − 8
= 0;
x2 −1
= 0; 8x = 8;
x = 1 , но при
x = 1 знаменатель обращается в 0, значит, действительных корней нет. 2 2 2) x + 2 − x ( x − 4) = x − 2 − 4(3 + x ) ; ( x + 2) − x ( x − 4) − ( x − 2) − 4(3 + x ) = 0; 2 2 2
x−2
x+2
x −4
2
2
x −4
4−x
2
x + 4x + 4 − x + 4 x − x + 4x − 4 − 12 − 4x 2
x −4
2
= 0;
− x + 8x − 12 2
x −4
= 0;
x 2 − 8x + 12 x2 −4
=0;
x 2 − 8x + 12 = 0; x = 6 или x = 2 , но при x = 2 знаменатель обращается в 0, значит x = 6 . 149. 1) x 3 − 3x 2 + 2x − 6 > 2 x 3 − x 2 + 4x − 2 ; x 3 − 3x 2 + 2 x − 6 − 2x 3 + x 2 − 4 x + 2 > 0 ; x 3 + 2x 2 + 2x + 4 < 0 ;
− x 3 − 2x 2 − 2x − 4 > 0 ;
x 2 ( x + 2) + 2( x + 2) < 0 ;
( x 2 + 2)( x + 2) < 0 .
Т.к. x 2 + 2 > 0 для любого действительного х, значит, x + 2 < 0 x < −2 . 2) x 3 − 3x 2 − 4 x + 12 > −3x 3 + x 2 + 12x − 4 ; x 3 − 3x 2 − 4 x + 12 + 3x 3 − x 2 − 12x + 4 > 0 ; 4 x 3 − 4 x 2 − 16 x + 16 > 0 ; 2 x 3 − 2 x 2 − 8x + 8 > 0 ;
x 3 − x 2 − 4 x + 4 > 0 ; x 2 (x − 1) − 4(x − 1) > 0 ;
( x 2 − 4)( x − 1) > 0 ;
– –2
+
( x − 2)( x + 2)( x − 1) > 0 .
–
+
1
2
х
Решая это неравенство методом интервалов получаем: −2 < x < 1 и x > 2 . 150. 1) ( x − 3) x
2
−x −2
x = 1; ( x − 3)
2
−x −2
x − 3 ≠ 0
x 2 − x − 2 = 0 = ( x − 3)0 ; ; x ≠ 3 x − 3 = 1
x1 = 2
или x 2 = −1 или x 3 = 4 . 2) ( x 2 − x − 1) x x 2 − 1 = 0 2 x − x − 1 = 1 ; 2 x − x −1 ≠ 0
2
−1
x 2 = 1; ( x − x − 1)
2
x 2 − x − 1 ≠ 0
( x − 1)( x + 1) = 0 ( x − 2)( x + 1) = 1 . 2 x − x − 1 ≠ 0
−1
= ( x 2 − x − 1)0 ;
Итак, x1 = 1; x 2 = −1 или x 3 = 2 .
48
www.5balls.ru
3) ( x + 3) x
2
−4
= ( x + 3)−3x ;
x + 3 = 1 ; x + 3 = 0 2 x 4 3 x − = −
4) ( x + 3) x
2
−3
x − 3 = 2 x x + 3 = 0 ; x + 3 = 1 2
x1 = −2 . x 2 = −3 2 x + 3x − 4 = 0
Итак, x 1 = −4, x 2 = −3, x 3 = −2, x 4 = 1.
= (x + 3)2 x ; x 2 − 2x − 3 = 0 . Итак, x1 = −3 , x 2 = −2 , x 3 = −1 , x 4 = 3 . x1 = −3 x = −2 2
x = 2; ( x )2 = 22 ; x = 4 ; 2)
151. 1)
x = 7; ( x )2 = 7 2 ; x = 49 ;
3)
3
x = 2; ( 3 x )3 = 23 ; x = 8 ;
x = −3; ( 3 x )3 = −33 ; x = −27 ; 1 5) 3 1 − 3x = 0; ( 3 1 − 3x )3 = 03 ; 1 − 3x = 0; x = ; 3
6)
4
x = 1; ( 4 x )4 = 14 ; x = 1 ;
7)
4
2 − x = 0; ( 4 2 − x )4 = 04 ; 2 − x = 0; x = 2 .
4)
3
x + 1 = 3; ( x + 1) 2 = 32 ; x + 1 = 9; x = 8 ;
152. 1) 2)
x − 2 = 5; ( x − 2)2 = 52 ; x − 2 = 25; x = 27 ;
3)
4 + x = 2 x − 1; ( 4 + x ) 2 = ( 2x − 1) 2 ; 4 + x = 2 x − 1; x = 5 .
153. 1)
3
2x + 3 = 1; ( 3 2x + 3)3 = 13 ; 2 x + 3 = 1; x = −1 ;
2) 3 1 − x = 2; ( 3 1 − x )3 = 23 ; 1 − x = 8; x = −7 ; 3)
3
3
3x 2 − 3 = 3 8x ; ( 3x 2 − 3)3 = ( 3 8 x )3 ; 3x 2 − 3 = 8x;
3x 2 − 3 − 8x = 0; x 1 = 3; x 2 = − 1 . 3
154. 1) x + 1 = 1 − x ;
2
( x + 1)
= ( 1 − x )2 ; x 2 + 2x + 1 = 1 − x ;
x 2 + 3x = 0; x ( x + 3) = 0; x1 = 0 , x 2 = −3 ; Проверка показывает, что x 2 = −3 — посторонний корень, значит, х=0. 2) x = 1 + x + 11;
( x − 1)2 = (
x + 11)2 ; x 2 − 2 x + 1 = x + 11 ;
x 2 − 3x − 10 = 0; x1 = 5, x 2 = −2 ; Проверка показывает, что x 2 = −3 — посторонний корень, значит, х=5. 3)
x + 3 = 5 − x ; ( x + 3)2 = ( 5 − x )2 ; x + 3 = 5 − x; 2 x = 2; x = 1 ;
4) x2 − x − 3 = 3; ( x2 − x − 3)2 = 32; x2 − x − 3 = 9; x 2 − x − 12 = 0; x1 = 4; x2 = −3 ; 155. 1)
x − x = −12;
2
x = x − 12; ( x ) 2 = ( x − 12 ) ; x = x 2 − 24x + 144;
49
www.5balls.ru
x 2 − 25x + 144 = 0; x1 = 16, x 2 = 9 . Проверка показывает, что x 2 = 9 — посторонний корень, значит, х=16. 2) x + x = 2( x − 1);
x = 2 x − 2 − x;
2
x = x − 2; ( x )2 = ( x − 2 ) ;
x 2 − 5x + 4 = 0; x1 = 4 , x 2 = 1 . Проверка показывает, что x 2 = 1 — посторонний корень, значит, x = 4 . 3)
x − 1 = x − 3; x − 1 = x 2 − 6x + 9; x 2 − 7 x + 10 = 0; x1 = 5 , x 2 = 2 ;
Проверка показывает, что x 2 = 2 — посторонний корень, значит, х=5. 4)
6 + x − x 2 = (1 − x ); ( 6 + x − x 2 ) 2 = (1 − x) 2 ;
6 + x − x 2 = x 2 − 2 x + 1; 2 x 2 − 3x − 5 = 0; x 1 = 2,5 , x 2 = −1 . Проверка показывает, что x 1 = 2,5 — посторонний корень, значит, x = −1 . 156. 1)
2 x − 34 = 1 + x ; ( 2x − 34)2 = (1 + x )2 ; 2 x − 34 = 1 + 2 x + x;
( )
2
x − 35 = 2 x ; (x − 35)2 = 2 x ; x 2 − 70 x + 1225 = 4x ; x 2 − 74 x + 1225 = 0; x = 49 , x 2 = 25 . Проверка показывает, что х2 = 25 — посторонний корень, значит, х = 49. 2)
( 5x + 14 − x )2 = 82 ;
5x + 14 − x = 8;
70 x − 5x 2 = 25 − 2 x;
5x + 2 5x (14 − x ) + 14 − x = 64; 2
( 70x − 5x 2 ) 2 = ( 25 − 2x ) ; 70x − 5x 2 = 625 − 100 x + 4x 2 ; 9x 2 − 170 x + 625 = 0; x1 = 5 , x 2 = 3 8 .
9 8 Проверка показывает, что x 2 = 3 — посторонний корень, значит, х = 5. 9
3)
15 + x + 3 + x = 6; ( 15 + x + 3 + x )2 = 62 ;
15 + x + 2 (15 + x )(3 + x ) + 3 + x = 36; ( 45 + 18x + x 2 )2 = (9 − x)2 ; 45 + 18x + x 2 = 81 − 18x + x 2 ; x = 1 . 4)
3 − 2x − 1 − x = 1;
( 3 − 2x −
1− x
) =1 ; 2
2
2
3 − 2 x − 2 (3 − 2x )(1 − x ) + 1 − x = 1; (2 3 − 5x + 2x 2 ) 2 = (3x − 3) ; 12 − 20 x + 8x 2 = 9 x 2 − 18x + 9; x 2 + 2 x − 3 = 0 ; x 1 = 1 , x 2 = −3 . 157. 1)
x 2 + 1 + x 3 + x 2 = 0;
x 2 + 1 = − x3 + x 2 ;
( x 2 + 1) 2 = (− x 3 + x 2 ) 2 ; x 2 + 1 = x 3 + x 2 ; x 3 = 1; x = 1 . Проверка показывает, что x = 1 — посторонний корень, значит, данное уравнение не имеет действительных корней.
50
www.5balls.ru
2)
3
3
3
3
1 + x 4 = 1 + x 2 ; ( 1 + x 4 )3 = ( 1 + x 2 )3 ; 1 + x 4 = 1 + x 2 ;
x 2 (x 2 − 1) = 0; x1 = −1 , x 2 = 0 , x 3 = 1 .
5 − x − 5 + x = 2; ( 5 − x − 5 + x )2 = 22 ;
158. 1)
5 − x − 2 25 − x 2 + 5 + x = 4; (3)2 = ( 25 − x 2 ) 2 ; 9 = 25 − x 2 ; x 2 = 16; x1 = 4 , x 2 = −4 . Проверка показывает, что х1 = 4 — посторонний корень, значит, х = –4. 12 + x − 1 − x = 1; ( 12 + x − 1 − x )2 = 12 ;
2)
12 + x − 2 12 − 11x − x 2 + 1 − x = 1; 6 = 12 − 11x − x 2 ; x 2 + 11x + 24 = 0; x1 = −3 , x 2 = −8 . Проверка показывает, что х = –8 — посторонний корень, значит, х = –3. x − 2 + x + 6 = 0; ( x − 2)2 = (− x + 6)2 ; x − 2 = x + 6; −2 ≠ 6 — неверное равенство, значит, данное уравнение не имеет корней. 3)
x + 7 + x − 2 = 9; ( x + 7 + x − 2)2 = 92 ;
4)
2
x + 7 + 2 x 2 + 5x − 14 + x − 2 = 81; ( x 2 + 5x − 14)2 = (38 − x ) ; x 2 + 5x − 14 = 1444 − 76x + x 2 ; 81x = 1458; x = 18 . 1 − 2x − 13 + x = x + 4; ( 1 − 2x − 13 + x )2 = ( x + 4)2 ;
159. 1)
2
1 − 2x − 2 13 − 25x − 2x 2 + 13 + x = x + 4; ( 13 − 25x − 2x 2 )2 = (5 − x ) ; 13 − 25x − 2x 2 = 25 − 10x + x 2 ; 3x 2 + 15x + 12 = 0; x 2 + 5x + 4 = 0; x1 = −1 , x 2 = −4 . Проверка показывает, что х = – 1 — посторонний корень, значит, х = – 4. 7x + 1 − 6 − x = 15 + 2x; ( 7x + 1 − 6 − x ) 2 = ( 15 + 2x ) 2 ;
2)
7x + 1 − 2 41x − 7x 2 + 6 + 6 − x = 15 + 2x ; (2x − 4)2 = ( 41x − 7x 2 + 6)2 ; 4x 2 − 16x + 16 = 41x − 7x 2 + 6 ; 11x 2 − 57x + 10 = 0; x1 = 5 , x 2 = 2 . 11
2 — посторонний корень, значит, х = 5. Проверка показывает, что x 2 = 11 160. 1)
3
x − 2 = 2; ( 3 x − 2)3 = 23 ; x − 2 = 8; x = 10 .
2)
3
2x + 7 = 3 3(x + 7); ( 3 2x + 7 )3 = ( 3 3(x + 7))3 ; 2х + 7 = 3х – 3; х = 10.
3)
4
25x 2 − 144 = x; ( 25x 2 − 144)4 = x 4 ; 25x 2 − 144 = x 4 ;
4
x 4 − 25x 2 + 144 = 0; x12 = 16 , x 22 = 9; х1 = 4, х2 = – 4, х3= 3, x 4 = −3 .
51
www.5balls.ru
Проверка показывает, что х2 = – 4, х4 = –3 — посторонние корни, значит, х = 4или х = 3. 4) x 2 = 19x 2 − 34; (x 2 )2 = ( 19x 2 − 34)2 ; x 4 = 19 x 2 − 34; x 4 − 19x 2 + 34 = 0; x12, 2 = 2 , x 32, 4 = 17 ; x 1 = 2 , x 2 = − 2 , x 3 = − 17 , x 4 = 17 .
52
www.5balls.ru
161. 1)
3
x 3 − 2 = x − 2; ( 3 x 3 − 2)3 = (x − 2)3 ; x 3 − 2 = x 3 − 8 − 6x 2 + 12 x;
x 2 − 2x + 1 = 0; x = 1
2) 3 x 3 − 5x 2 + 16 − 5 = x − 2; ( 3 x 3 − 5x 2 + 16 − 5)3 = ( x − 2 )3 ; х1 = – 1, х2 = – 3. 162. 1) Построим на одном рисунке графики Y X x 3 − 5x 2 + 16 − 5 = x 3 − 8 − 6x 2 + 12x; x 2 + 4x + 3 = 0;
функций y = x − 6 и y = − x 2 .
Графики пересекаются в одной точке x ≈ 2,1 . y=
x −6
y = – x2
2) Построим на одном рисунке графики функций
Y
y= (x – 1)2
2
3
y = x и y = (x − 1) . Графики пересекаются в двух точках x1 ≈ 0,5 и x 2 ≈ 2,1 . 3)
x + 1 = x 2 − 7 . Построим на одном рисунке
Y
графики функций y = x + 1 и y = x 2 − 7 . Графики пересекаются в одной точке x = 3 , точность
проверяется
равенством
X
3 +1 = 2 =
2
= 3 −7 = 9−7. 4) x 3 − 1 = x − 1 . Построим на одном рисунке
Y
3
графики функций y = x − 1 и y = x − 1 . Графики пересекаются в одной точке x = 1 , точность проверяется равенством
y=
13 − 1 = 1 − 1 = 0 =
= 1− 1 . 163. 1)
x −1 X
2
4 x + 2 3x 2 + 4 = x + 2; ( 4x + 2 3x 2 + 4 ) 2 = ( x + 2 ) ;
4x + 2 3x 2 + 4 = x 2 + 4x + 4; (2 3x 2 + 4)2 = (x 2 + 4)2 ; 2 2 12x 2 + 16 = x 4 + 8x 2 + 16; x (x − 4) = 0; x1 = 0 , x 2 = 2 , x 3 = −2 .
2) 3 − x = 9 − 36 x 2 − 5x 4 ; (3 − x )2 = ( 9 − 36x 2 − 5x 4 ) 2 ; 9 − 6x + x 2 = 9 − 36x 2 − 5x 4 ; ( 36x 2 − 5x 4 ) 2 = (6x − x 2 ) 2 ;
52
www.5balls.ru
3 4 3 36x 2 − 5x 4 = 36x 2 − 12x 3 + x 4 ; 12x − 6x = 0; x (2 − x) = 0;
х1=0, х2=2.
3) x + 3x + 12 − x + 3x = 2; ( x + 3x + 12) = (2 + x + 3x )2 ; 2
2
2
2
2
x 2 + 3x + 12 = 4 + 4 x 2 + 3x + x 2 + 3x; (2)2 = ( x 2 + 3x )2 ;
х2 + 3х – 4 = 0;
х1 = 1, х2 = – 4. 4) x 2 + 5x + 10 − x 2 + 5x + 3 = 1; ( x 2 + 5x + 10)2 = (1 + x 2 + 5x + 3)2 ; x 2 + 5x + 10 = 1 + 2 x 2 + 5x + 3 + x 2 + 5x + 3;
(3)2 = (
2 9 = x 2 + 5x + 3; x + 5x − 6 = 0; x1 = 1 , x 2 = −6 2
2
2
x 2 + 5x + 3)2 ;
.
x + 1 ⋅ x − 2 = a; ( x − 2 − 2) = a ; x − 2 − (2 + a 2 ) = 0;
164. 1)
D = 1 + 8 + 4a 2 = 9 + 4a 2 ; x1 =
2
2 1 + 9 + 4a 2 , x 2 = 1 − 9 + 4a при a < 0 дейст2 2
2 вительных корней нет, при a ≥ 0 проверка показывает, что x 2 = 1 − 9 + 4a —
2
2 посторонний корень, значит, x = 1 + 9 + 4a . 2
x ⋅ x + 2 = a − 1 ; ( x 2 + 2)2 = (a − 1)2 ;
2)
x 2 + 2x − a 2 + 2a − 1 = 0 ; D = 4 + 4a 2 − 8a + 4 = 4a 2 − 8a + 8; x1 =
−2 + 2 a 2 − 2a + 2 2 = a 2 − 2a + 2 − 1 , x 2 = −1 − a − 2a + 2 , 2
при a < 1 действительных корней нет, при a ≥ 1 проверка показывает, что x 2 = −1 − a 2 − 2a + 2 — посторонний корень, значит, x = a 2 − 2a + 2 − 1 . 3 − x ≤ 2 1 ≤ x 165. 1) , ; 2x + 1 ≤ 4
x ≤ 1,5
значит, 1 ≤ x ≤ 1,5 .
2 2) x − 1 ≥ 0 ; решение первого неравенства x ≥ 1 и x ≤ −1 , значит, х>2. x > 2
2 2 3) 9 − x ≤ 0 ; x ≥ 9 ; решение первого неравенства x ≥ 3 и x ≤ −3 ,
x + 5 < 0
x < −5
значит, x < −5 . 166. 1)
x > 2; ( x )2 > (2)2 ; x > 4 ;
( x ) 2 < (2) 2 x < 9 ; ; 0≤x<9; x < 3; x ≥ 0 x ≥ 0
2) 3)
3
x ≥ 1; ( 3 x )3 ≥ 13 ; x ≥ 1 ;
4)
3
2x < 3; ( 3 2x )3 < (3)3 ; 2x < 27; x < 13,5 ;
53
www.5balls.ru
1 ( 3x )2 > (1)2 3x > 1 ; ; x> ; 3x > 1; ≥ 3x 0 3 3x ≥ 0 ( 2x )2 ≤ (2)2 2x ≤ 4 x ≤ 2 6) 2x ≤ 2; ; ; ; 0≤x≤2. 2x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0 ( x − 2)2 > (3)2 x − 2 > 9 x − 2 > 11 ; x > 11 ; ; ; 167. 1) x − 2 > 3; x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 x ≥ 2 5)
2) 3) 4) 5)
6)
7)
8)
( x − 2)2 < (1)2 x − 2 < 1 x < 3 ; 2 ≤ x < 3; ; ; x − 2 < 1; x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 x ≥ 2 ( 3 − x )2 < 52 3 − x < 25 x > −22 ; −22 < x ≤ 3 ; ; ; 3 − x < 5; 3 − x ≥ 0 x ≤ 3 x ≤ 3 ( 4 − x )2 > 32 4 − x > 9 x < −5 ; − 22 < x ≤ 3 ; ; ; 4 − x > 3; 4 − x ≥ 0 x ≤ 4 x ≤ 4 ( 2x − 3)2 > 42 2x − 3 > 16 x > 9,5 ; x > 9, 5 ; ; ; 2x − 3 > 4; 2x − 3 ≥ 0 x ≥ 1,5 2x ≥ 3 2 2 4 5 2 2 ( x + 1) > ( ) x + 1 > 9 x ≥ − 9 3 ; ; ; x ≥−5 ; x +1 > ; 3 x + 1 ≥ 0 9 x ≥ − 1 x ≥ − 1 3x − 5 < 25 x < 10 ( 3x − 5)2 < 52 2 ; 3x − 5 < 5; ; 2 2 ; 1 ≤ x < 10 ; ≥ x 1 3 3x − 5 ≥ 0 x ≥ 1 3 3 1 2 4x + 5 ≤ 1 x ≤ 1,1875 2 1 4 ; 4x + 5 ≤ ; ( 4x + 5) ≤ ( 2 ) ; ; 1 2 4x + 5 ≥ 0 x ≥ −1, 25 x ≥ 1 4
− 1, 25 ≤ x < − 1,1875 .
168. 1)
( x 2 − 1) 2 > 12 x 2 − 1 > 1; ; x 2 − 1 ≥ 0
равносильно x 2 > 2 , значит, x < − ( 1 − x 2 ) 2 < 12 2) 1 − x 2 < 1; ; 1 − x 2 ≥ 0
x 2 − 1 > 12 ; 2 x ≥ 1
x 2 > 2 2 x ≥ 1
2 и x> 2. 1 − x 2 < 12 ; 2 x ≤ 1
x 2 > 0 x 2 ≠ 0 ; ; 2 2 x ≤ 1 x ≤ 1
решение второго неравенства −1 ≤ x ≤ 1 , значит, −1 ≤ x < 0 и 0 < x ≤ 1 . 3)
2 2 2 2 2< 25 − x 2 > 4; ( 25 − x ) > 4 ; 25 − x > 16 ; x 9 ; 2 25 − x ≥ 0
2 25 − x ≥ 0
равносильно x 2 < 9 , значит, −3 < x < 3 .
54
www.5balls.ru
2 x ≤ 25
4)
2 2 2 2 2< 25 − x 2 < 4; ( 25 − x ) < 4 ; 25 − x < 16 ; x 9 ; 2 x ≤ 25
2 x ≤ 25
2 25 − x ≥ 0
значит, −5 ≤ x < −3 и 3 < x ≤ 5 . 169. 1)
2 2x 2 + 3x − 2 > 0 , равносильно 2х +3х–2>0, значит, x<–2 и x >
2)
2 + x − x 2 > −1 , равносильно 2 + x − x 2 ≥ 0 , значит, −1 ≤ x ≤ 2 .
3)
2 2 2 2 6 x − x 2 < 5; ( 6x − x ) < ( 5) ; 6x − x < 5 ;
6x − x 2 ≥ 0
1 . 2
x (6 − x ) ≥ 0
решения первого неравенства x < 1 и x > 5 ; решения второго неравенства 0 ≤ x ≤ x , значит, 0 ≤ x < 1 и 5 < x ≤ 6 . 4)
( x 2 − x ) 2 > ( 2)2 x 2 − x > 2 x 2 − x > 2; ; ; 2 x ( x − 1) ≥ 0 x − x ≥ 0
решения первого неравенства x < −1 и x > 2 ; решения второго неравенства x ≤ 0 и x ≥ 1 , значит, x < −1 и x > 2 . 5)
x 2 + 2x > −3 − x 2 ; найдем х, при которых x 2 + 2 x ≥ 0 , это x ≤ −2 и
x ≥ 0 . При этих х существует левая часть неравенства, а правая часть отрицательна для любого действительного х, значит, x ≤ −2 и x ≥ 0 . 6)
4x − x 2 > −2 − 3x 2 ; найдем х, при которых
4 x − x 2 ≥ 0 , это
0 ≤ x ≤ 4 . При этих х существует левая часть неравенства, а правая часть отрицательна для любого действительного х, значит, 0 ≤ x ≤ 4 . 170. 1)
( x + 2) 2 > ( 4 − x ) 2
x + 2 > 4 − x ; x + 2 ≥ 0 4 − x ≥ 0
2)
3 + 2 x ≥ x + 1;
( 3 + 2x ) 2 ≥ ( x + 1) 2 ; 3 + 2x ≥ 0 x + 1 ≥ 0
x ≥ −2 x ≥ 1,5; x ≥ −1 ; x ≥ −1
( 2x − 5) 2 < ( 5x + 4) 2 ; 2x − 5 ≥ 0 5x + 4 ≥ 0
3)
2 x − 5 < 5x + 4 ;
4)
3x − 2 > x − 2; при x ≥
меньше 0 при x < 2 , значит
x > 1 ; x ≥ −2; 1 < x ≤ 4 ; x ≤ 4
x > −3 x ≥ 2,5 ; x ≥ 2,5 ; x ≥ −0,8
2 существует левая часть, правая часть 3
2 ≤ x < 2 входит в ответ; 3
55
www.5balls.ru
3x − 2 > x 2 − 4 x + 4 x 2 − 7 x + 6 < 0 ; , x ≥ 2 x ≥ 2 2 значит, 2 ≤ x < 6 , объединяем ответ и имеем ≤ x < 6 ; 3 ( 3x − 2)2 > (x − 2) 2 ; x ≥ 2
5) 5x + 11 > x + 3; при x ≥ −2,2 существует левая часть неравенства, при x ≥ −2,2 правая часть больше 0, значит, ( 5x + 11) 2 > (x + 3) 2 ; x ≥ −2, 2
5x + 11 > x 2 + 6x + 9 ; x ≥ −2,2
x 2 + x − 2 < 0 , x ≥ −2,2
значит, −2 ≤ x < 1 ; 6)
( 3 − x ) 2 > ( 3x − 5) 2
3 − x > 3x − 5 ; 3 − x ≥ 0
3x − 5 ≥ 0
171. 1)
x > 2 ; x ≤ 3 ; 2 < x ≤ 3 . 5 x ≥ 3
x + 1 − x < x − 1 , при x ≥ 1 существуют обе часть этого не-
( x + 1 − x )2 < ( x − 1)2 ; равенства, и обе не отрицательны, значит, x ≥ 1 2 2 2 x + 1 − 2 x 2 + x + x < x − 1; x + 2 < 2 x 2 + x ; ( x + 2 ) < (2 x + x ) ; x ≥ 1 x ≥ 1 x ≥ 1
x 2 + 4x + 4 < 4x 2 + 4x ; x ≥ 1
2)
x+3 <
2 3x 2 > 4 ; x> 3 x ≥ 1
( x + 3) 2 < ( 7 − x + 10 − x ) 2 7 − x + 10 − x ; x + 3 ≥ 0 ; 7 − x ≥ 0 10 − x ≥ 0
2 x + 3 < 7 − x + 2 70 − 17 x + x + 10 − x ; x ≥ −3 x ≤ 7
при − 3 ≤ x < 4
.
2 3x − 4 < 2 70 − 17 x + x , x ≥ −3 x ≤ 7
2 левая часть неравенства меньше 0, значит, неравенство 3
выполнено, (3x − 4 )2 < (2 70 − 17x + x 2 ) 2 2 ; x ≥ 4 3 x ≤ 7
9x 2 − 84x + 196 < 280 − 68x + 4x 2 2 ; x ≥ 4 3 x ≤ 7
56
www.5balls.ru
5x 2 − 16x − 84 < 0 2 2 ; значит, 4 ≤ x < 6 , объединяя ответ, получаем −3 ≤ x < 6 . x ≥ 4 3 3 x ≤ 7
172. 1) На одном рисунке построим графики
Y
функций y = x и y = x , из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках, и график функции X
y = x лежит ниже графика y = x при 0 ≤ x ≤ 1 . 2) На одном рисунке построим графики функций
Y
y = x и y = x , из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках, и график функции y = x лежит ниже графика y = x при x > 1 .
X
3) На одном рисунке построим графики функций
Y
y = x и y = x − 2 , из рисунка видно, что графики пересекаются в одной точке, и график функции у = х – 2
X
лежит ниже графика функции x при 0 ≤ x < 4 . 4) На одном рисунке построим графики функций
Y
y = x и y = x − 2 , из рисунка видно, что графики пересекаются в одной точке, и график функции у = лежит ниже графика функции у = х – 2 при x ≥ 4 . 173. 1)
x
x ≤ 2x. На одном рисунке построим гра-
Y
фики функций y = x и y = 2x, из рисунка видно, что гра-фики пересекаются в одной точке, график функции y= x лежит ниже графика функции y = 2x при x≥0. 2)
x ≤ 0,5x. На одном рисунке построим графи-
ки функций y = x и x ≤ 0,5x , из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках, и график функции
y= x
X
Y X
лежит выше графика функции
x ≤ 0,5x; при 0 < x < 4 .
57
www.5balls.ru
3)
x ≤ 2x − 1. На одном рисунке построим гра-
Y
фики функций y = x и y = 2 x − 1 , из рисунка видно, что графики пересекаются в одной точке, и график функции y = x лежит выше графика функции y = 2 x − 1; при 0 ≤ x ≤ 1 . 4)
X Y
x ≤ x 2 . На одном рисунке построим графики
функций y = x и y ≤ x 2 , из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках, и график функции у = =
X
x лежит выше графика функции y ≤ x 2 при 0 ≤ x ≤1 .
174. 1) x − 1 < a , при a ≤ 0 неравенство не имеет действительных решений, при a > 0 , ( x − 1) 2 < a 2 ; x − 1 ≥ 0
2)
x − 1 < a 2 ; x ≥ 1
x < a 2 + 1 2 ; 1 ≤ x < a +1 . x ≥ 1
2 2 2 2ax − x 2 ≥ a − x , a ≤ 0 ( 2ax − x ) ≥ (a − x) ;
2ax − x 2 ≥ 0
2ax − x 2 ≥ a 2 − 2ax + x 2 ; x (2a − x ) ≥ 0
2x 2 − 4ax + a 2 ≤ 0 a ; (2 + 2) ≤ x ≤ 0. 2 x (2a − x ) ≥ 0
175. 1) у=х9, область определения — множество
Y
y = x9
Y
y = 7x4
R; множество значений — множество R; 4
2) y = 7 x , область определения — множество R; множество значений — неотрицательные числа y≥0; 1
3) y = x 2 , область определения — множество x≥0; множество значений — y ≥ 0 ; 1
4) y = x 3 , область определения — множество x≥0; множество значений — y ≥ 0 ; 5) y = x −2 , область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — y > 0 ;
X
X Y X Y X
Y
X
58
www.5balls.ru
6) y = x −3 , область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — множество R, кроме y = 0 .
Y
X
1
Y
176. при x = 0 ; x 2 = x 2 = 0 ; 1
при x = 0,5 ; x 2 = 0, 25 < 0,5 = x 2 ; X
1
при x = 1 ; x 2 = x 2 = 1 ; при x =
1
1 3 9 1 ; x 2 = = 2 > 1,5 = x 2 ; 4 4 2
при x = 2 ; x 2 = 4 > 2 = x 2 ;
1
1
при x = 3 ; x 2 = 9 > 3 = x 2 ;
при x = 4 ; x 2 = 16 > 2 = x 2 ;
1
при x = 5 ; x 2 = 25 > 5 = x 2 . 177. 1) Т.к. 0,3 < 1 , а π > 3,1415 >
2 > 0,5 , 3
2
то 0,3 π < 0,3 3,1415 < 0,3 3 < 0,30,5 . 2) Т.к. π > 1,9 > 2 >
π
1
1 , π > 0 , π π > 1,9 π > 2 π > . 2 2 1
3) Т.к. 5 > 1, а 1 > −0,7 > −2 > −2,1, то 5 3 > 5−0,7 > 5−2 > 5−2,1 . 3
4) Т.к. − 2 < 0, а π > 2 > 1,3 > 0,5, то π 3
178. 1) построим
3
−
2 3
< 2
x = x 2 + x − 1 ; на одном рисунке
графики
функций
y=3 x
и
−
2 3
−
−2
−
2
Y
y = x 2 + x − 1 из рисунка видно, что графики пересекаются в точках (1, 1) и – 1, – 1), значит, x = 1 и x = −1 — решения данного уравнения. 2) x −2 = 2 − x 2 ; на одном рисунке построим
2
< 1,3 3 < < 0,5 3 .
X Y
2
графики функций y = x и y = 2 − x из рисунка видно, что графики пересекаются в точках ( – 1, – 1) и (1, 1), значит, x = −1 и x = 1 — решения данного уравнения.
X
59
www.5balls.ru
179. 1) y = 3 1 − x ; область определения — множество R. 3
2) y = (2 − x2)5 ; 2 − x 2 ≥ 0 , значит, область определения — − 2 ≤ x ≤ 2 . 3) y = (3x 2 + 1) −2 ;область определения — множество R. 4) y = x2 − x − 2 ;область определения: x2–x–2≥0, значит, x ≤ −1 и x ≥ 2 . 180. 1) y=0,6x+3; x=2y–6, значит, функция y=2x–6 — обратная к данной, ее область определения — множество R, множество значений — множество R. 2) y = 2 ; x = 2 + 3 , значит, функция y = 2 + 3 — обратная к данной, x −3
x
y
ее область определения — множество R, кроме x=0, множество значений — множество R, кроме y=3. 3) y = (x + 2) 2 ; x = 3 y − 2 , значит, функция y = 3 x − 2 — обратная к данной, ее область определения — множество R, множество значений — множество R. 4) y = x 3 − 1 ; x = 3 y +1 , значит, функция y = 3 x + 1 — обратная к данной, ее область определения — множество R, множество значений — множество R. 181. 1) 2) Y
Y
X
182. 1) 2 x
2
+ 3x
X
=22, значит, х2+3х=2, значит, данные уравнения равносильны.
x 2 + 3x = 2 ; x 2 + 3x − 2 = 0; x = − 3 + 17 и x = − 3 − 17 , значит,
2)
2
2
данные уравнения равносильны. 3) ( 3 x + 18)3 = ( 3 2 − x )3 ; x + 18 = 2 − x ; x = −8 , значит, данные уравнения равносильны. 183. 1) 3 − x = 2; ( 3 − x ) 2 = 2 2 ; 3 − x = 4; x = −1 . 3x + 1 = 8; 3x + 1 = 8 2 ; 3x + 1 = 64; x = 21 .
2)
3 − 4 x = 2 x; 3 − 4x = 4x 2 ; 4x 2 + 4x − 3 = 0 ; −4 + 8 −4 − 8 x1 = = 0,5 и x 2 = = −1,5 , проверка показывает, что х=–1,5 — 8 8
3)
посторонний корень, значит, x = 0,5 . 4) 5x −1 + 3x2 = 3x; 5x–1+3x2=9x2; 6x2–5x+1=0; x1 = 5 + 1 = 0,5 и x2 = 5 − 1 = 1 . 12
5)
3
x − 17 = 2; x − 17 = 8; x = 25 ; x1,2 = ±5 .
6)
4
x 2 + 17 = 3; x 2 + 17 = 81; x 2 = 64 ; x1,2 = ±8 .
2
2
2
60
www.5balls.ru
12
3
184. 1)
2)
Y
Y
X
3)
4)
Y
Y
X X
xy − 4y = 10 − 3x 185. 1) y = 10− 3x ; x ≠ 4 ; x −4 y ≠ − 3 3xy − y = 3x − 6 2) y = 3x − 6 ; x ≠ 1 ; 3 3x − 1 y ≠ 1
x = 10+ 4y y +3 ≠ x 4 , т.е. функции взаимообратные. y ≠ −3
x = y −6 3y − 3 1 т.е. функции взаимообратные. x ≠ 3 , y ≠ 1
1 − x = 5 −1 y x = ( y − 5) y −1 3) y = 5(1 − x ) ; x ≠ 1 ; x ≠ 1 , т.е. функции не взаимообратные. y ≠ 0 y ≠ 0 2 y + yx = 2 − x 4) y = 2 − x ; x ≠ −2 ; 2+ x y ≠ −1
x = 2(1− 2y) y +1 , т.е. функции не взаимообратные. x ≠ −2 y ≠ −1
186. 1) y=2+ x+2; y–2= x + 2; x=y2–4y+2, значит, у=х2–4у+2 — функция обратной к данной, ее область определения — x≥2, множество значений — y≥–2. 2) y=2– x + 4; x + 4 =2–y; x=y2–4y, значит, y=x2–4 — функция обратной к данной, ее область определения — x≤2, множество значений — y≥–4. 3) y = 3 − x −1; y +1 = 3 − x ; x=2–y2–2y, значит, y=2–x2–2x — функция обратной к данной, ее область определения — x≥–1, множество значений — y≤3.
61
www.5balls.ru
4) y = 1 − x +3; y–3= 1 − x ; x=6y–y2–8; значит, y=6x–x2–8 — функция обратной к данной, ее область определения — x≥3, множество значений — y≤1. 187. 1)
x − 4 = x − 3 − 2 x − 1; x − 4 = x − 3 − 2 2 x 2 − 7 x + 3 + 2x = 1;
2 2 2 2x 2 − 7 x + 3 = x; 2x –7x+3=x ; x –7x+3=0; x1 =
7 + 37 и x 2 = 7 − 37 , про2 2
верка показывает, что x2 = 7 − 37 — посторонний корень, значит, x = 7 + 37 . 2
2
2
2) 2 x + 3 − 2 x + 7 = x ; 4x + 12 = 2 2x + 7 x + 2x + 7; x + 5 = 2 2x 2 + 7 x ; x 2 + 25 + 10 x = 8x 2 + 28x; 7 x 2 + 18x − 25 = 0; x1 = 1 и x 2 = −3 4 , про-
7 4 верка показывает, что x = −3 — посторонний корень, значит, x = 1 . 7
x − 3 = 2x + 1 − x + 4 ; x − 3 = 2x + 1 + x + 4 − 2 2x 2 + 9x + 4 ;
3)
x + 4 = 2x 2 + 9 x + 4 ; x 2 + 8x + 16 = 2 x 2 + 9 x + 4; x 2 + x − 12 = 0; х1= 3 и х2=–4, проверка показывает, что х2=–4 — посторонний корень, значит, х= 3. 9 − 2x = 2 4 − x − 1 − x ; 9 − 2 x = 16 − 4 x + 1 − x − 4 x 2 − 5x + 4 ;
4)
4 x 2 − 5x + 4 = 8 − 3x; 16 x 2 − 80 x + 64 = 64 − 48 x + 9 x 2 ; 7 x 2 − 32 x = 0; х1=0 и 4 4 x 2 = 4 , проверка показывает, что x2 = 4 — посторонний корень, значит, х=0. 7 7
188. 1)
x + 4 − 34 x + 4 = 0;
x + 4 − 34 x + 4 + 4 = 2 − 4 x + 4 ;
2 − 4 x + 4 = 0 или x1=12 или x2=–3.
(2 − 4 x + 4) 2 = 2 − 4 x + 4;
x+4=16 или x+4=1; x − 3 = 34 x − 3 + 4;
2)
1− 4 x + 4 = 0 ;
x − 3 − 44 x − 3 + 4 = 8 − 44 x − 3 ;
4 (2 − 4 x − 3) 2 − (2 − 4 x − 3) − 6 = 0; пусть 2 − x − 3 = a , значит,
a 2 − a − 6 = 0 , a = 3 или a = −2 , значит, 4
3)
x − 3 = 4 или 6
4
x − 3 = 4 или
4
x − 3 = −1 ;
x − 3 = −1 ; х–3=256, х=259. Нет действительных корней.
3
1 − x − 5 1 − x = −6;
6 6
посторонний корень; 2
4
1 − x = a; 5a 2 − a − 6 = 0 , a = 1,2 и a = −1 —
1 − x = 1,2; 1 − x = 2,985984; x = −1,985984 .
4) x +3x+ x +3x =2; x +3x =2; a2+a–2=0, а=1 и а=–2 — посторонний корень; 2
2
x 2 + 3x = 1; х2 + 3х – 1 = 0; 5)
3− x + 3+ x = 2; 3− x − 3+ x
x1,2 =
−3 ± 13 . 2
3 − x + 3 + x = 2 3 − x − 2 3 + x ; x ≠ 0
3 3 + x = 3 − x 27 + 9x = 3 − x ; x = −2, 4 . ; x ≠ 0 x ≠ 0
62
www.5balls.ru
6)
x + 6 − 4 x + 2 + 11 + x − 6 x + 2 = 1 ;
( x + 2 − 2)2 + ( x + 2 − 3) 2 = 1 ;
x+2 −2 +
x + 2 − 2 ≥ 0 или
x≥2
x+2−2<0
x +2 −3>0 ;
x + 2 − 3 =1;
x>7;
−2 ≤ x < 2
x +2 −3≤ 0 ;
−2 ≤ x ≤ 7 .
Если −2 ≤ x < 2 , тогда,
x + 2 − 2 + 3 − x + 2 = 1;
x + 2 = 2; x = 2.
Если – 2 ≤ x ≤ 7 , тогда,
x + 2 − 2 + x + 2 − 3 = 1;
x + 2 = 3; x = 7 .
189. 1)
2)
x −1 > 0 x > 1 x + 1 < x − 1; x + 1 > 0 ; x >3. ; x(x − 3) > 0 2 x + 1 < x − 2x + 1
1 − x > 0 1 − x < x + 1;
x < 1 ; −3 < x < 0 . ; 2 − > + + 1 x x 2x 1 x(x + 3) < 0
Но при x≤–3; x+1<0, значит, это множество удовлетворяет неравенство и x<0. x > 2 2 3 ; ; 1<x<6. Но при <x≤1; 2 3 3x − 2 > x − 4x + 4 (x − 1)(x − 6) < 0 x–2<0, значит, это множество тоже удовлетворяет неравенству и 2 <x<6. 3 3x − 2 > 0 3) 3x − 2 < x − 2;
4)
2x + 1 ≥ 0 2x + 1 ≤ x + 1; x + 1 ≥ 0 ; 2 + ≤ + + 2x 1 x 2x 1
x ≥ − 1 2 1 x ≥ 1 ; x ≥ − 2 . 2 x ≥ 0
2 x 2 − 13x + 40 ≤ 0 (x − 8)(x − 5) ≤ 0 190. 1) x − 13x + 40 ≤ 0; ; 6< x ≤8. ;
19x − x 2 − 78
2)
2 (x − 13)(x − 6) > 0 19x − x − 78 > 0
x + 4 > 0 x 2 + 7x − 4 1 2 < ; x + 7x − 4 ≥ 0 ; x+4 2 2 2 x + 7x − 4 < x + 4
x > 4 ; 2(x + 4)(x − 0,5) ≥ 0 2 2 + − < + + 8x 28x 16 8x 28x 16
x≥0 x ≥ 0 1 ; ; 0,5 ≤ x < 1 . Но, если x<–4, левая часть 2 1 7 (x + 4)(x − 1 < 0 ) + − < 7x 20x 32 0 7 неравенства меньше 0 и неравенство выполняется, значит, x<–4и 0,5≤x< 1 1 . 7 3 + x > 0 x > −3 3) 3 + x > x − 3 ; ; 2 ; 1< x < 6 . 2 3 + x > x − 6x + 9 x − 7x + 6 < 0
4)
3 + x > 7 + x + 10 + x;
3 − x ≥ 0 7 + x ≥ 0 ; 10 + x ≥ 0 3 − x < 7 + x + 10 + x + 2 x 2 + 17x + 70
63
www.5balls.ru
x ≤ 3 ; x ≥ 7 2 −14 − 3x < 2 x + 17x + 70 −7 ≤ x ≤ 3 2 ; x ≤ −4 3 2 5x + 16x − 84 < 0
−7 ≤ x ≤ 3 ; 14 + 3x ≤ 0 2 2 196 + 84x + 9x < 4x + 68x + 280
−7 ≤ x ≤ 3 2 2 2 ; −6 < x ≤ −4 . Но при −4 < x ≤ 3 –14–3x<0, x < −4 3 3 3 −6 < x < 2,8
а значит, это множество удовлетворяет данному уравнению, значит, –6<x≤3. 191. 1) x − 2 + x − 6 < a, при a≤0 действительных решений нет, значит, a>0. x − 2 ≥ 0 ; x − 6 ≥ 0 2 2 x − 2 + x − 6 + 2 x − 8x + 12 < a
x ≥ 6 a2 2 − x; x − 8x + 12 < 4 + 2 x 2 − 8x + 12 ≥ 0
x ≥ 6 ; 2 a4 + 4a 2 + (8 + a 2 ) x + x 2 x − 8x + 12 < 16 + 4
x ≥ 6 16 + a 4 + 16a 2 значит, 2 , a x < 4 x 2 − 8x + 12 ≥ 0
4 2 если a≤2, то действительных решений нет, если a>2, то 6 ≤ x < a + 16a + 16 . 2
4a x 2 ≤ a 2 x 2 ≤ a 2 a 2 − x 2 ≥ 0 2 2 2) 2 x + a − x > 0; ; a 2 − x 2 > 4 x 2 ; x ≤ 0 ; a 2 − x 2 > −2 x − 2x ≥ 0 2 x 2 < a 5
− a ≤ x ≤ a a ; если a = 0 , то нет решений, если a ≠ 0 , то − 5 < x ≤ 0 . x ≤ 0 − a < x < a 5 5
Но неравенство верно и при 0 ≤ x ≤ a , значит, −
64
www.5balls.ru
a 5
<x≤ a .
Глава III. Показательная функция 2)
192. 1) Y
Y
X
X 2
1
2) 3 3 ≈ 2 ;
3 = 3 2 ≈ 1,73 ;
193. 1)
1 − 1 = 3 2 ≈ 0,58 ; 3 194. 1)
4) 3 −1,5 ≈ 0,19 .
3)
2)
Y
Y
X
X
3)
4) Y
Y
X
X
195. 1) 1,7 3 > 1 = (1,7) 0 , т.к. 1,7 3 > 1 ; 3 > 0 ; 2) 0,3 2 < 1 = (0,3) 0 , т.к. 0,3 3 < 1 ; 2 > 0 ; 3) 3,21,5 < 3,21,6 , т.к. 3,2 > 1 ; 1,6 > 1,5 ; 4) 0,2 −3 < 0,2 −2 , т.к. 0,2 < 1 ; −3 < −2 ; 2
1,4
1 1 1 5) < , т.к. < 1 ; 5 5 5
2 > 1,4 ;
6) 3 π < 3 3,14 , т.к. 3 > 1 ; π > 3,14 . 196. 1) (0,1) 2) (3,5) 3) π
0,1
−2,7
4) 5 5
2
< 1 = (0,1) 0 , т.к. 0,1 < 1 ;
2 >0;
0
> 1 = (3,5) , т.к. 3,5 > 1 ; 0,1 > 0 ;
< 1 = π 0 , т.к. π > 1 ; −2,7 < 0 ; −1,2
0
5 5 < 1 ; −1,2 < 0 . > 1 = , т.к. 5 5
65
www.5balls.ru
197. 1) y = 2 x и y = 8 ; 2 x = 8; 2 x = 2 3 ; x = 3 , значит, точка пересечения графиков (3; 8). 1 1 2) y = 3 x и y = ; 3 x = ; 3 x = 3 −1 ; x = −1 , значит, точка пересече3 3 1 ния графиков ( – 1; ). 3 x 1 1 x 1 1 x 1 2 ; = ; = ; x = 2 , значит, точка пе3) y = 1 и y = 16 4 16 4 4 4 ресечения графиков (2;
1 ). 16
x
x
−2
x
4) y = 1 и y = 9 ; 1 = 9; 1 = 1 ; x = −2 , значит, точка пе3
3
3
3
ресечения графиков ( – 2; 9). 1 198. 1) 5 x = ; 5 x = 5 −1 ; x = −1 ; 5 2) 7 x = 49; 7 x = 7 2 ; x = 2 ; 1
− x x x 1 1 2 3) 1 = 3 ; 1 = 32 ; 1 = 1 ; x = − ; 2 3 3 3 3 1
− x x x 1 1 3 4) 1 = 3 7 ; 1 = 7 3 ; 1 = 1 ; x = − . 3 7 7 7 7
199. 1) y = (0,3) − x = 3 10
−x
x
x
1 10 = = 3 ; 3 3
3
1 > 1 , значит, данная 3
функция является возрастающей. 2) y = 1 7
−x
= 7 x ; 7 > 1 , значит, данная функция является возрастающей.
3) y = 1,3 − 2 x = 1 1,3
2x
x
1 1 = ; 1,69 < 1 , значит, данная функция явля1 , 69
ется убывающей. 4) y = (0,7 )−3x = 1 0,7 является возрастающей.
3x
x
x
1 ; = 0,343 0
1 1 200. 1) > 1 = , из гра3 3
1 > 1 , значит, данная функция 0,343
x
фика видно, что
x
1 2) < 1 , из графика видно, 2 x
1 1 > 1 , при что < 1 , при x > 0 . 3 2
x<0.
66
www.5balls.ru
х
х
3) 5 x > 5 , из графика видно, что 5 x > 5 , при x > 1 .
4)
5x <
1 = 5 −1 , 5
из графика
видно, что 5 x < 5 −1 , при x < −1 .
Y
Y У= 5х
X
201. 1)
2) Y
Y
X
3)
X
4)
Y
Y
X
X x
202. y = 2 x и y = 1 = 2 − x , если точка (хо; уо) принадлежит графику 2
x
функции y = 2 , то точка (– хо; уо) принадлежит графику функции x
1 y = , а точки (хо; уо) и (– хо; уо) симметричны относительно оси орди2
нат, значит данные графики симметричны относительно оси ординат. 203. Так как функция 2 x — возрастающая функция, то на отрезке [– 1; 2] наименьшее значение она принимает при x = −1 ; а наибольшее при x = 2 , значит, наименьшее значение y(−1) = 2−1 = 0,5 , а наибольшее y(2) = 22 = 4 .
67
www.5balls.ru
204. Поскольку функция y = 2 нат, а на отрезке [0; 1] 2
x
x
симметрична относительно оси орди-
x
= 2 , функция 2 x — возрастающая, значит, дан-
ная функция принимает наименьшее значение при x = 0 , y(0) = 20 = 1 , и наибольшее при x = 1 или x = −1 , y(−1) = 21 = 2 . 205. 1) 2) Y
Y
X
X
3)
4) Y
Y
X
X
206. T = 1; t1 = 1,5, t 2 = 3,5, m0 = 250 ; t1
1,5
1 T 11 m ( t1 ) = m0 = 250 ⋅ ≈ 88, 42 ; 2 2 t2
3,5
1T 1 1 m ( t 2 ) = m0 = 250 ⋅ ≈ 22,12 . 2 2 207. Пусть а — прирост деревьев за первый год, b — за второй год, с — за 3-й год, d — за четвертый год, е — за пятый год, тогда a = 4 ⋅ 105 ⋅ 0, 04 , b = (4 ⋅ 105 + a) ⋅ 0,04 ; c = (4 ⋅105 + b) ⋅ 0,04 ; d = (4 ⋅105 + c) ⋅ 0,04 ; e = (4 ⋅ 105 + d) ⋅ 0,04 ,
тогда
через
пять
5
лет 5
можно
будет
3
4 ⋅ 10 (a + b + c + d + e) ≈ 4,87 ⋅ 10 м .
208. 1) 4 x −1 = 1; 4 x −1 = 4 0 ; x − 1 = 0; x = 1 ; 2) 0,33x − 2 = 1; 0,3 3x − 2 = 0,3 0 ; 3x − 2 = 0; x = 2 ; 3
3) 22 x = 24 4) 1 3
3x
3
; 2x = 4 3 ; x = 2 3 ; −2
2 1 = ; 3x = −2; x = − . 3 3
68
www.5balls.ru
заготовить
1 1 209. 1) 27 x = ; (33 ) x = 3−1; 3 3x = 3 −1 ; 3x = −1; x = − ; 3 3 1 2) 400 x = ; (20 2 ) x = 20 −1; 2 x = −1; x = −0,5 ; 20 x
3) 1 = 25; 5− x = 52 ; − x = 2; x = −2 ; 5
x
x
4
4) 1 = 1 ; 1 = 1 ; x = 4 . 3
81
3
3
x
2 x
210. 1) 3 ⋅ 9 = 81; (3 ) = 27; 3 2 x = 3 3 ; 2 x = 3; x = 1,5 ; 2) 2 ⋅ 4 x = 64; (22 ) x = 32; 22 x = 25 ; 2 x = 5; x = 2,5 ; x+
3) 3
1 2
1 x + + x −2 2
⋅ 3x − 2 = 1; 3
= 30 ; 2 x − 1,5 = 0; x = 0,75 ;
4) 0,5x + 7 ⋅ 0,51− 2 x = 2; 0,5x + 7 +1− 2 x = 0,5−1; 8 − x = −1; x = 9 ; 2x 5) 0,6 x ⋅ 0,63 = 0,6 ; 0,6 x +3 = 0,62 x −5 ; x + 3 = 2 x − 5; x = 8 ; 5
0,6
2x
6) 63x ⋅ 1 = 6 ⋅ 1 ; 63x −1 = 61− 2 x ; 3x − 1 = 1 − 2 x; x = 6
6
2 . 5
211. 1) 32x–1+32x=108; 32x ( 1 + 1) = 108; 32 x ⋅ 4 = 108; 32x=81; 32x=34; 2x=4; x=2; 3
3
15 = 30; 23x=8; 23x=23; 3x=3; x=1; 2) 2 –2 =30; 23x (4 − 1 ) = 30; 23x ⋅ 4 4 3) 2 x +11 + 2 x −1 + 2 x = 28; 2x (2 + 1 + 1) = 28; 2 x ⋅ 7 = 28; 2x = 8; 2 x = 2 3 ; х = 3; 2 2 1 7 x −1 x x +1 x x 4) 3 − 3 + 3 = 63; 3 ( − 1 + 3) = 63; 3 ⋅ = 63; 3x = 27; 3 x = 3 3 ; х = 3. 3 3 3x+2
3x–2
212. 1) 5 x = 8 x ; x
x
1 1 2) = ; 2 3 3) 3x = 52 x ; x
5x
x
8x
8
() () 1 2 1 3
0
= 1; 5 = 5 ; x = 0 ; x
x
8
x
0
3 3 = ; x = 0; 2 2
= 1; x
3x
0
3 3 = 1; = ; x = 0 ; x 25 25 25
4) 4 x = 3 2 ; 4 x =
( 3) ; x
4x
x
0
4 4 = x = 0. = 1; 3 ; x ( 3) 3
213. 1) 9 x − 4 ⋅ 3x + 3 = 0; 3 x = t; t 2 − 4t + 3 = 0 ; t = 1 и t = 3; 3x = 3; x1 = 1 или 3x = 1; 3x = 30 ; x = 0 ;
69
www.5balls.ru
2) 16 x − 17 ⋅ 4 x + 16 = 0; 4 x = t; t 2 − 17 t + 16 = 0 ; t = 1 и t = 16; 4 x = 1; 4 x = 40 ; x = 0 или 4 x = 16; 4 x = 42 ; x = 2 ; 3) 25x − 6 ⋅ 5x + 5 = 0; 5 x = t; t 2 − 6 t + 5 = 0 ; t = 1 и t = 5; 5x = 5; x = 1 или 5 x = 1; 5 x = 5 0 ; x = 0 ; 4) 64 x − 8x − 56 = 0; 8 x = t; t 2 − t − 56 = 0 ; t = 8 ; 8x = 8; x = 1 или t = −7; 8x = −7 — посторонний корень. 214. 1) 3 x 2) 2 x
2
2
+ x −12
− 7 x +10
x −1
= 1; 3 x
= 1; 2 x x −1
2
2
+ x −12
− 7 x +10
= 30 ; x 2 + x − 12 = 0 ; x = 3 или x=–4;
= 2 0 ; x 2 − 7 x + 10 = 0 ; x = 5 или x = 2 ;
x ≠ 2 x −1 = 2; ; x =3; x−2 x − 1 = 2x − 4 − x − 1 = 2x 2 1 2 1 ; x=− . ; x ≠ 0 = 2 x +1 ; − = x x +1 3 x ≠ −1
3) 2 x −2 = 4; 2 x −2 = 22 ; 1
1
4) 0,5 x = 4 x +1 ; 2 215. 1) 0,3x
3
−
1 x
− x 2 + x −1
= 1; 0,3x
3
− x 2 + x −1
= 0,30 ; x 3 − x 2 + x − 1 = 0 ;
x 2 (x − 1) + (x − 1) = 0; (x 2 + 1)(x − 1) = 0; x = 1 ; 1 2) 2 3 1
3) 5,12
− x 2 − 2x +3
1 = 1; 2 3
− x 2 − 2x +3
1
( x −3)
= 5,1 5,1; 5,12
( x −3)
2
= 101−5x ; 102x
2
4) 100x
−1
−2
0
1 = 2 ; x 2 + 2x − 3 = 0 ; x = 1 или х = –3; 3 3 1 3 = 5,12 ; (x − 3) = ; x = 6 ; 2 2
= 101−5x ; 2x 2 − 2 = 1 − 5x;
2x 2 + 5x − 3 = 0, x = 0,5 или x = −3 . 2
;
216. 1) 10x = 3 100; 10x = 10 3 x = 4
;
2) 10x = 5 10000; 10x = 10 5 x = 3) 2252x
2 −24
= 15; 154x
2 −48
2 ; 3
4 ; 5
= 15; 4x 2 − 48 = 1 ; 4х2 = 49; x1,2 = ±3,5 ;
4) 10x = 4 10000; 10x = 10−1; x = −1 ; 5) ( 10) x = 10x 6) 100x
2
−1
2
−x
x
; 10 2 = 10x
= 101−5x ; 102x
2
−2
2
−x
;
x = x 2 − x; x1 = 0 и x 2 = 1,5 ; 2
= 101−5x ; 2 x 2 − 2 = 1 − 5x;
2 x 2 + 5x − 3 = 0, x = 0,5 или x = −3 .
70
www.5balls.ru
1
−4 х
2 1 217. 1) 2х 2
2) 50,1x ⋅ 1
−0,06
5
1
3 3 1 3 = 24 ; x2 − x = ; х2–х–3=0; х=1 или x =− . 4 4 4
−4х
2
= 4 8; 2х ⋅ 2
2
0,1x 0,06 ⋅5 = 5x ; 0,1x + 0,06 = x 2 ; = 5x ; 5 2
2
100 − 10 x − 6 = 0; 50x 2 − 5x − 3 = 0; x = 0,3 или x = −0, 2 . 3) 1 2
1− x
1 ⋅ 2
−1
1 = 2
2x
1 − x − 1 = 2x; 1 − x = 4x 2 + 4x + 1;
;
x(4x + 5) = 0; x1 = 0 и x 2 = −1 4) 0,7
x+12
⋅ 0,7−2 = 0,7 x ;
1 — посторонний корень, значит, x = 0 . 4
x +12 − 2 = x; x+12=x+4 x +4; 8=4 x; 2= x ; x=4.
1 6 x 218. 1) 7 x − 7 x −1 = 6; 7 x (1 − ) = 6; 7 x ⋅ = 6; 7 = 7; x = 1 ; 7 7 2) 32y −1 + 32y − 2 − 32y − 4 = 315; 32y ( 1 + 1 − 1 ) = 315; 32y ⋅ 35 = 315; 9 y = 93 ; у=3;
3 9 81 81 3 28 3x 3 3x 3) 5 + 3 ⋅ 5 = 140; 5 (1 + ) = 140; 5 ⋅ = 140; 5 = 5 ; 3х = 3; х=1; 25 25 4) 2x +1 + 3 ⋅ 2x −1 − 5 ⋅ 2x + 6 = 0; 6 = 2x (5 − 3 − 2); 6 = 2 x ⋅ 1,5; 4 = 2x ; 2x = 22; х=2. 2 3x − 2
3x
3x
x−2
1 219. 1) 7 x − 2 = 32 − x ; 7x−2 = 3 2) 2 x −3 = 33− x ; 2 x −3 = 1 3
3) 3 4) 4
x +2 4
;
7 x −2
()
1 x −2 3
2 x −3
()
1 x −3 3
4 x+2 43 = 5x + 2 ; ( 3) = 1; x+2
x+2
5
5
x −3 2
x −3
;
= 1; (21) x − 2 = (21)0 ; х–2=0; х=2;
x −3 = 60 ; x − 3 = 0; х = 3; = 1; 6
0
43 = ; x + 2 = 0; x = −2 ; 5
x −3 0 x −3 2 2 = 32(x −3) ; 2 x −3 = 9 x −3 ; 2 = 1; = ; х–3=0; х=3. x −3 9 9
9
x 2 −4x +3
2x 2 + x +3
2
2
220. 1) (0,5) = (0,5) ; x − 4x + 3 = 2x + x + 3; x 2 − 5x = 0; x(x + 5) = 0; x = 0 или x = −5 ; 2
2) (0,1)3+ 2x = (0,1)2 − x ; 3 + 2х = 2 – х2; х2 + 2х + 1 = 0; (x + 1)2 = 0; х =–1; 3) 3
x −6
=3x;
x 4) 1 = 1
3
3
x − 6 =x; x–6=x2; x2–x+6=0 не имеет действительных корней; 2− x
; x=
2 − x; x 2 = 2 − x; x 2 + x − 2 = 0; x = −2 — по-
сторонний корень, значит, x = 1 .
71
www.5balls.ru
221. 1) 2|x–2|=2|x+4|; x − 2 = x + 4 . Если x ≤ −4 , то 2 − x = − x − 4; 2 = −4 — нет действительных решений. Если −4 < x < 2 , то 2 − x = x + 4; x = −1 . Если x > 2 , то х – 2 = х + 4 — нет действительных решений, значит, х = –1. 2) 1,5|5–x|=1,5|x–1|; 5 − x = x − 1 ; x = 3 . 3) 3 x +1 = 32− x ; x + 1 = 2 − x ; x1 = −1,5 и x 2 = 0,5. 4) 3 x = 3 2 − x −1; x = 2 − x − 1; x = 0,5 . 222. 1) 3x −3 + 3x = 7 x +1 + 5 ⋅ 7 x ; 3 x (27 + 1) = 7 x (7 + 5); 3x ⋅ 7 = 7 x ⋅ 3; 3 3x −1 = 7 x −1; 7
x −1
0
3 = ; x =1; 7
2) 3x + 4 + 3 ⋅ 5x +3 = 5x + 4 + 3x +3; 3x + 3 (3 − 1) = 5x + 3 (5 − 3); 3x + 3 ⋅ 2 = 5x + 3 ⋅ 2; 3
x +3
5
8− x
3) 2
+7
3− x
=7
4− x
0
3 = ; x = −3 ; 5
+ 23− x ⋅ 11; 23− x (25 − 11) = 73− x (7 − 1);
23− x ⋅ 7 = 73− x ⋅ 2; 22 − x = 7 2 − x ; 2 7
2−x
0
2 = ; x = 2; 7 x +1 x −1 x −1 x −2 x −3 x −3 4) 2 + 2 − 3 =3 −2 + 2 ⋅ 3 ; 2 x (2 + 1 + 1 ) = 2 8
2 21 14 1 2 1 x −4 = 3x − 4 ; = 3x ⋅ ; 2 = 3x ( + + ); 2 x ⋅ x 27 9 27 3 3
x −4
0
2 = ; x = 4 . 3
223. 1) 8 ⋅ 4x − 6 ⋅ 2x + 1 = 0; 2 x = t; 8t x − 6t + 1 = 0 ; 1 1 1 1 t = и t = ; 2 x = ; x1 = −1; 2 x = ; x 2 = −2 ; 2 4 4 2 x
x
x
2) 1 + 1 − 6 = 0; 1 = t; t 2 + t − 6 = 0 ; 4
2
2
x
1 t = −3 — посторонний корень; t = 2; = 2; x = −1 ; 2 3) 132 x +1 − 13x −12 = 0; 13 x = t; 13 ⋅ t 2 − t − 12 = 0 ; 12 t=− — посторонний корень, t = 1; 13 x = 13 0 ; x = 0 ; 13 4) 32 x +1 − 10 ⋅ 3x + 3 = 0; 3 x = t; 3t 2 − 10t + 3 = 0 ; 1 1 t = 3 или t = ; 3 x = 3; x1 = 1 ; 3 x = ; 3 x = 3 −1 ; x 2 = −1 ; 3 3 5) 23x + 8 ⋅ 2x − 6 ⋅ 22 x = 0; т.к. 2 x ≠ 0 , то 22 x − 6 ⋅ 2 x + 8 = 0; 2 x = t;
72
www.5balls.ru
t 2 − 6 t + 8 = 0; t1 = 4 и t 2 = 2; 2 x = 4; x1 = 2; 2 x = 2; x 2 = 1 ; 6) 53x +1 + 34 ⋅ 52 x − 7 ⋅ 5x = 0; т.к. 5 x ≠ 0 , то 5 ⋅ 52 x + 34 ⋅ 5x − 7 = 0; 5 x = t; 5t 2 + 34 t − 7 = 0 ; t = −7 — посторонний корень, t = 1 ; 5 x = 1 ; x = −1 .
5 3,25 b1 6,5 224. q = = 0,5; S = = = 13 ; 6,5 1 − q 1 − 0,5
5
13 1 1 1 2x −1 + 2x −4 + 2x − 2 = 13; 2x + + = 13; 2 x ⋅ = 13; 2 x = 16; 2 x = 24 ; х=4. 16 2 16 4 x+3
9 225. 1) 32x +6 = 2x +3; 32(x+3) = 2x +3; 9x +3 = 2x +3; 2
5 2) 2x–2=42x–4; 5 x − 2 = 4 2(x − 2) ; 5 x − 2 = 16 x − 2 ; 16
0
9 = ; х+3=0; х=–3; 2
x −2
0
5 = ; х–2=0; х=2; 16 2 2 1 3) 2 x ⋅ 3x = 36 x ; (2 ⋅ 3) x = 62x ; 2х2 = х; х(2х – 1) = 0; х = 0 или x = ; 2 1 4) 9− x −1 = ; 3−2 x −1 = 3−3 ; −2 x − 1 = −3; x − 1 = 1,5; х–1=2,25; х=3,25; 27 x
x
x
2 9 2 226. 1) 4 ⋅ 9 x − 13 ⋅ 6 x + 9 ⋅ 4 x = 0; 4 ⋅ − 13 + 9 = 0; = t; 4 3 3 x
x
2
9 3 3 t 2 = ; = ; x 2 = 2 ; 4 2 2
3 4t 2 − 13t + 9 = 0; t1 = 1; = 1; х1 = 0; 2 x
x
9 3 2) 16 ⋅ 9x − 25 ⋅ 12x + 9 ⋅ 16x ; 16 ⋅ − 25 + 9 = 0; 16 4 x
x
x
2
9 3 2 3 3 3 = t; 16t –25t+9=0; t1=1; = 1; х1=0; t 2 = ; = ; х2=2 16 4 4 4 4
227. 1) Т.к. функция y1=4x — возрастающая и функция y1=25x — тоже возрастающая, значит, у1+у2=4х+25х — возрастающая функция, и каждое свое значение принимает только один раз, значит х=1 — единственный корень уравнения 4х+25х=29. 2) Т.к. функция y1=7x — возрастающая, и функция y2=18x — возрастающая, то у1+у2=7х+18х — возрастающая функция, и каждое свое значение принимает только один раз, значит х=1 — единственный корень уравнения 7 x + 18x = 25 . x
x
2
228. 1) 3 x > 9; 3 x > 3 2 ; x > 2 ; 2) 1 > 1 ; 1 > 1 ; x < 2 ; 2
4
2
2
x
3) 1 < 2; 2−2 x < 21; −2 x < 1; x > − 1 ; 2 4
73
www.5balls.ru
4) 4 x < 1 ; 22 x < 2−1; 2 x < −1; x < − 1 ; 2
5) 2
3x
6) 1 3
2 1 3x −1 1 ≥ ; 2 ≥ 2 ; 3x ≥ −1; x ≥ − ; 2 3
x −1
≤
1 1 ; 9 3
x −1
2
1 ≤ ; x − 1 ≥ 2; x ≥ 3 . 3 1
229. 1) 5x −1 ≤ 5 ; 5 x−1 ≤ 5 2 ; x − 1 ≤ x
x
2) 3 2 > 9; 3 2 > 32 ;
1 ; x ≤ 1,5 ; 2
x > 2; x > 4 ; 2
3) 3x2–4≥1; 3x2–4≥30; x 2 − 4 ≥ 0; x ≤ −2 и x ≥ 2 ; 4) 52x–18<1; 52x–18<50; x2–9<0; –3<x<3. x
1 230. 1) = x + 1 , из графика 3 видно, что графики функций
x
1 1 2) = x − , из рисунка видно, 2 2 x
1 что графики функций y = и 1 и y = x + 1 пересекаются 2 y= 3 1 y = x − пересекаются при x = 1 . при x = 0 . 2 x
x 3) 2 x = − x − 7 , из рисунка видно, 4) 3 = 11 − x , из рисунка видно, 4 что графики функций y = 3 x и что графики функций y = 2 x и y = 11 − x пересекаются при x = 2 . 7 y = − x − пересекаются при х = –2. 4 Y
Y
У=2х
X
74
www.5balls.ru
231. 1) 2− x 2) 7
2
+ 3x
2
2 x + 3x
9
3) 13
x 2 −3x
4) 2 2
6x 2 + x
3
9 7 ≥ ; 7 9 <
11
< 4; 2− x
2
+ 3x
2
2 x +3x
121 13 ; 169 11
1 8 ≤7 ; 9 3
< 22 ; –х2+3х<2; x 2 − 3x + 2 > 0 х<1 и x>2;
−1 1 2 7 ≤ x ≤1; ≥ ; 2 x − 3x + 1 ≤ 0; 2 9
x 2 −3x
6x 2 + x
−2
2 13 < ; x − 3x + 2 < 0; 1 < x < 2 ; 11
≤
64 6x 2 + x ≤ 0; − 2 ≤ x ≤ 1 . ; 3 2 9
1 232. 1) 3x + 2 + 3x −1 < 28; 3x (9 + ) < 28; 3x ⋅ 28 < 28; 3 x < 3; x < 1 ; 3 3 2) 2 x −1 + 2 x +3 > 17; 2x ( 1 + 8) > 17; 2 x 17 > 17; 2 x > 2; x > 1 ; 2
3) 2
2 x −1
+2
2x −2
+2
2 x −3
2
7 ≥ 448; 22 x 1 + 1 + 1 ≥ 448; 22 x ⋅ ≥ 448; 8 2 4 4
22 x ≥ 512; 2 2 x ≥ 2 9 ; 22 x ≥ 9; x ≥ 4,5 ; 4) 53x +1 − 53x −3 ≤ 624; 53x (5 − 1 ) ≤ 624; 53х ⋅ 624 ≤ 624; 5 3x ≤ 125; 125
5
3x
125
3
≤ 5 ; 3x ≤ 3; x ≤ 1 .
233. 1) 9x − 3x − 6 > 0; 3 x = t; t 2 − t − 6 > 0; t < −2 — нет действительных решений, t > 3; x > 1 , значит, целые решения данного неравенства на отрезке [– 3; 3] – x1 = 2 , x 2 = 3 . 2) 4 x − 2 x < 12; 2 x = t; t 2 − t − 12 < 0; −3 < t < 4; 2 x < 4; 2 x < 2; x < 2 , значит, целые решения данного неравенства на отрезке [– 3; 3] – x1 = −3 , x 2 = −2; x 3 = −1; x 4 = 0; x 5 = 1 . 3) 52 x +1 + 4 ⋅ 5x − 1 > 12; 5 x = t; 5t 2 + 4 t − 1 > 0; t < −1 — нет действительных решений, t > 1 ; 5 x > 1 ; 5 x > 5 −1 ; x > −1 , значит, целые решения 5
5
данного неравенства на отрезке [– 3; 3] – x1 = 0; x 2 = 1; x 3 = 2; x 4 = 3 . 4) 3⋅9x+11⋅3x<4; 3х=t; 3t 2 + 11t − 4 < 0; − 4 < t < 1 ; 3 x < 1 ; 3 x > 3 −1 ; x<–1, 3
3
значит, целые решения данного неравенства на отрезке [– 3; 3] – x1=–2; x2=–3. 234. 1) y = 25 x − 5 x , область определения — 25x − 5x ≥ 0 5 x (5 x − 1) ≥ 0; 5 x ≥ 1; 5 x ≥ 5 0 ; x ≥ 0 . 2) y = 4 x − 1 , область определения — 4 x − 1 ≥ 0 ; 4 x ≥ 1; 4 x ≥ 40 ; x≥0. x
x
235. Значения функции y = 1 больше значений функции y = 1 +12 , 4
2
75
www.5balls.ru
x
x
x
x
x
при 1 > 1 + 12 ; 1 > 1 − 12 > 0 ; t = 1 ; t 2 − t − 12 > 0; t<–3 — 4
не
4
2
имеет
2
действительных
x
1 1 t= > 2 2
−2
2
решений,
значит,
t > 4;
x
1 t= >4; 2
; x < −2 .
236. 1) Из рисунка видно, что графики функx
1 ций y = и y = x + 1 пересекаются в точке 3 1 (0; 1), и график функции y = 3
x
лежит выше
графика функции y = x + 1 при x < 0 . Ответ: х ≤ 0. 2) Из рисунка видно, что графики функций x
1 1 1 y = и y = x − пересекаются в точке (0; ), 2 2 2 1 и график функции y = x − лежит выше графика 2 x
1 функции y = при x > 1 . 2 3) Из рисунка видно, что графики функций 1 y = 2 x и y = 9 − x пересекаются в точке (3; 8), и 3 1 график функции y = 9 − x лежит выше функции 3 y = 2 x при x < 3 . Ответ: х ≤ 3. 4) Из рисунка видно, что графики функций 2 1 пересекаются в точке y = 3x и y = − x − 3 3 1 (–1; ), и график функции y = 3 x лежит выше 3 2 1 графика функции y = − x − при x > −1 . 3 3
76
www.5balls.ru
х
237. 1) Графики функций x=2x и y = 3 − 2x − x
2
2) Графики функций y=3–x и 1 y = x пересекаются при x1 ≈ . 3
пересекаются при
x1 ≈ −3; x 2 ≈ 2 . 3
Y
У=22
У=3–х
Y
x
3) Графики функций y = 1 и 4) Графики функций y = 1 2
3
y=−
x +6
3
x > −6
x + 6 > x; x ≥ 0
> 11x ;
и
y=x3–1 пересекаются при x ≈ 1 1 .
3 пересекаются при x = −1 . x
238. 1) 11
x
x + 6 > x
x ≥ 0 x ≥ 0 ; ; ; 2 x − x − 6 < 0 −2 < x < 3 2
0 ≤ x < 3 , но при −6 < x ≤ 0 данное неравенство выполняется, значит, −6 < x < 3 .
2) 0,3
30 − x
x > 0
0 < x ≤ 30 >0,3x; 30 − x <x; 30 − x ≥ 0 ; 2 2 30 − x < x
0 < x ≤ 30 ; 5<x≤30. ; x + x − 30 > 0 x > 5
x
x
239. 1) (0, 4) x − (2,5) x +1 > 1,5; 2 − 2,5 5 − 1,5 > 0 ; 5 2
x
2 t = ; t 2 − 1,5t − 2,5 > 0; t < −1 — не имеет действительных реше5 x
ний, значит, t > 2,5; 2 > 5 ; x < −1 . 2 5 −1 2 2 2) 25 ⋅ 0,042x > 0, 2 x(3− x) ; 1 ⋅ 0, 24x > 0, 23x − x ; 0,04−1 ⋅ 0,24x > 0,23x − x ; 25
77
www.5balls.ru
2
0, 24x − 2 > 0, 23x − x ; 4x − 2 < 3x − x 2 ; x 2 + x − 2 < 0; −2 < x < 1. 3)
4x 4x − 3x
< 4;
1
()
3 x 1− 4
( ) ; 4 ⋅ ( 34 )
3 1 < 4 − 4 4 < 4; x 1 ≠ 3 4
()
x
()
3 x 3 <3 < ; 4 4 ; x > 1; x ≠ 0 x ≠ 0 x
x
3 если 1 − < 0 , то данное неравенство выполняется, т.е. x < 0. 4 x
1 1 4) − 32 ⋅ 4 8 2x
1 1 < 2 2
3x 2 −3−5
x 2 −1
x
1 1 < 0; < 32 ⋅ 4 8
x 2 −1
( 1 1 ; < 2 2 2x
)
3 x 2 −1
⋅ 25 ;
4 ⋅ 25 ; 2x > 3x 2 − 8; 3x 2 − 2x − 8 < 0; − < x < 2 . 3
2 x − y = 1 y = 2x − 1 y = 2x − 1 x = 1 240. 1) . ; ; x + 2 x −1 ; x+y 2 5
= 25 5
x − y = 2 1; x2 +y = 3 9
2)
=5
y = x − 2 ; x 2 + x −2 3 = 3− 2
y = x−2 y = x − 2 или ; x = 0 x = −1
x + y = 1 3) ; 2 x − y = 8
x + 2 y = 3 4) − ; 3 x y = 81
3x − 1 = 2
y = 1
y = x − 2 y = x − 2 ; ; 2 x + x − 2 = −2 x ( x + 1) = 0 y = −3 y = −2 или . x = 0 x = −1
y = 1 − x y = 1 − x y = −1 . ; ; x −1+ x 2 = 23 2x − 1 = 3 x = 2 x = 3 − 2 y ; 3− 2 y − y 3 = 34
4 x ⋅ 2 y = 32 241. 1) ; 38x +1 = 3 3y
x = 3 − 2 y ; 3− 2 y − y 3 = 34
1 y = − 3 . x = 3 2 3
22 x + y = 25 2x + y = 5 y = 5 − 2x ; ; ; 8x + 1 = 3y 8x + 3y + 1 = 0 8x − 15 + 16x + 1 = 0
y = 5 − 2x x = 1 . ; 14x = 14 y = 3 3 3x − 2 y = 81 33x − 2 y = 34 3x − 2 y = 4 y = 3 − 6x 2) ; ; ; ; 3 6 x ⋅ 3 y = 27 36 x + y = 33 6x + y = 3 3x − 6 + 12x − 4 = 0
y = 3 − 6x ; 15x = 10
x = 2 3 . y = −1
2 x = 4 x + y = 6 2 ⋅ 2 y = 8 242. 1) 2 2 ; ; y x y x y
x = 2 x = 2 . ; ; 2 − 2 = 2 2 + 2 = 6 4 + 2 = 6 2x = 2 y = 1
78
www.5balls.ru
3x + 3y = 8 2 ⋅ 3 x = 6 3 x = 3 2) ; ;
3x − 5y = −2 3 x + 5 y = 8 y 5 x x 243. 1) 5 − 5 = 100 ; 5 x −1 − 5 y −1 = 30 5 x
x = 1 x = 1 . ; ; 3 + 5 y = 8 5x = 5 y = 1 − 5 y = 100 2 ⋅ 5 x = 250 ; ; + 5 y = 150 5 x + 5 y = 150
x 3 5 x = 125 x = 3 5 = 5 . ; ; y y 125 + 5 = 150 5 = 25 y = 2
2 x − 9 ⋅ 3 y = 7 2x = u ; 8 ; y x y 3 =v 2 ⋅ 3 = 9
u − 9 v = 7 8 ; uv = 9
2)
u = 7 + 9v 8 — не ;; v=− 2 9 81v + 63 ⋅ v − 8 = 0
имеет действительных решений, значит, u = 7 + 9 v ; 1 v = 9
u = 8 ; y 3 = 3 − 2
2 x = 2 3 x = 3 . ; y = −2 y = −2
16 y − 16 x = 24 16 y − 16 x = 24 y = 2 − x 3) ; ; 16 x + y = 256
x + y = 2
y = 2 − x 2 t + 24t − 256 = 0; x 16 = t y = 2 − x ; x 16 = 8
x ; 16 = t;
t = −32 — посторонний корень, значит, t = 8 ;
3 y = 2 − x y = 2 − x x = 4 ; ; . 4x 2 = 23 4x = 3 y = 1 1 4
x + x + y +1 = 5 3x = u 4) 3 2 ;
3x +1 − 2x + y = 1 2 x + y = v u = 1 3x = 1 x = 0 ; ; x+y ; =2 2v = 4 v = 2 2
5) 5
2−x − 16x − 24 = 0 16
u + 2v = 5 u + 2v = 5 u + 2v = 5 ; ; ; ; 3u − v = 1
6u − 2v = 2 7u = 7
x = 0 x = 0 . ; y 2 = 2 y = 1
x +1
⋅3 y = 75 ; перемножая уравнения системы, получаем: 3 ⋅5 y −1 = 3 (3 ⋅ 5) x + y = 225 15 x + y = 15 2 x + y = 2 x = 2 − y ; 2− y y ; ; x y ; x y x y 5 ⋅ = 5 3 15 ⋅3 = 15 5 ⋅3 = 15 5 ⋅3 = 15 x
x = 2 − y ; 3 y 25 ⋅ 5 = 15 x ⋅ y= 6) 3 2 4; 3x ⋅2 y = 9
()
x = 2 − y y = 1 y . 3 3; 5 = 5 x = 1 x y 3 x ⋅2 y = 4 3 ⋅2 = 4 ; ; (3 ⋅ 2) x + y = 36 6 x + y = 6 2
()
x + y = 2 ; x y 3 ⋅ 2 = 4
x = 2 − y ; 2− y y 3 ⋅2 = 4
79
www.5balls.ru
x = 2 − y x = 2 − y ; 2 y 4; 2 y 9 ⋅ 3 = 4 3 = 9 52 x +1 > 625 244. 1) ; 2 116 x −10 x = 11
()
()
y = 2 . x = 0 52 x +1 > 54 ; 2 6x − 10x = 9x − 15
2 x + 1 > 4 ; x = 1,5 — 2 6 x − 19 x + 15 = 0
посторонний корень, т.к. он не удовлетворяет первенству, значит, x = 1 2 . 3
10x 2 −47 = 0,3−10x−7 2) 0,3 ; 2 3,7x < 3,74
10x 2 − 47x = −10x − 7 ; 2 x < 4
10 x − 37 x + 7 = 0 ; x=3,5 — − 2 < x < 2 2
посторонний корень, т.к. он не удовлетворяет неравенству, значит, x = 0,2 . (5 ) = 5 5 = 5 xy = 21 245. 1) 5x ⋅ 5y = 510 ; 5x + y = 510 ; x + y = 10; x y
21
xy
21
x = 10 − y 2 10 y − y − 21 = 0; x > y
x > y x x > y y 3 > 3 x = 10 − y x = 3 x = 7 2 y − 10 y − 21 = 0; y = 7 — не удовлетворяет неравенству, значит, y = 3 . x > y
(0,2 y ) x = 0,008 2) (0,4) y = (0,4) 3,5− x ; x 2 ⋅ 0,5 y < 1
0,2 xy = 0,2 3 y = 3,5 − x ; x 2 < 2 y
xy = 3 y = 3,5 − x; x < y
3,5x − x 2 = 3 y = 3,5 − x ; x < y
x 2 − 3,5x + 3 = 0 y = 1,5 — не удовлетворяет неравенству, значит, ; y = 3,5 − x x = 2 x < y
246. 1) 4−
3
< 4−
1,4
2
, т.к. 4 > 1; − 3 < − 2 ; 2) 2 π
2
3
< 21,7 , т.к. 2>1; 3 < 1,7 ;
1 1 1 1 1 3) < , т.к. < 1; 1,4 < 2 ; 4) < 2 2 2 9 9 247. 1) 2 − 3
5
< 1 = 2 0 , т.к. 2 > 1; − 5 < 0 ; 0
1 1 1 2) < 1 = , т.к. < 1; 2 2 2 π 3) 4
5 −2
1 4) 3
8 −3
3 >0;
0
π π < 1 = , т.к. < 1; 4 4
5 −2 > 0;
0
1 1 > 1 = , т.к. < 1; 3 3
8 −3< 0 .
80
www.5balls.ru
x = 1,5 . y = 2
3,14
, т.к.
1 < 1; π < 3,14 . 9
248. 1) y=0,78x; 0,78<1; значит, y=0,78x — убывающая; 2) y=1,69x; 1,69<1; значит, y=1,69 — возрастающая; x
x
3) y = 1 = 2x ; 2 > 1 значит, y = 1 — возрастающая; 2
2
x
4) y = 4 x = 1 ; 1 < 1 значит, y = 4 x — убывающая. 4
4
249. 1) y = 5
x
— возрастающая функция, значит, при x ∈ [−1;2] ее зна-
чения находятся в промежутке [ y(−1); y(2)] , т.е. в промежутке 1 ;25 . 5
2) y = 5 − x
1 = 5
x
— возрастающая функция, значит, при x ∈ [−1;2] ее
значения находятся в промежутке [ y(2); y(−1)] , т.е. в промежутке 1 ;5 . 25
2 250. 1) 1,55x −7 = 3
1 2) 0,752x −3 = 1 3
3) 5x
2
−5 x − 6
1 4) 7
5− x
= 1; 5x
x 2 − 2x − 2
x +1
2
5x − 7
3 ; 2
3 ; 4
−5 x − 6
2x − 3
3 = 2
3 = 4
− x −1
x −5
; 5x − 7 = − x − 1; x = 1 ;
; 2 x − 3 = x − 5; x = −2 ;
= 50 ; x 2 − 5x − 6 = 0; x 1 = −1 ; x 2 = 6 ;
1 2 2 = ; x − 2 x − 2 = 1; x − 2 x − 3 = 0; x 1 = −1 ; x 2 = 3 . 7
9 1 251. 1) 2 x − 2 x −3 = 18; 2 x (1 + ) = 18; 2 x ⋅ = 18; 2 x = 16; x = 4 ; 8 8 2) 3x + 4 ⋅ 3x +1 = 13; 3x (1 + 12) = 13; 3 x ⋅13 = 13; 3 x = 1; x = 0 ; 3) 2 ⋅ 3x +1 − 6 ⋅ 3x −1 − 3x = 9; 3 x (6 − 2 − 1) = 9; 3x ⋅ 3 = 9; 3 x = 3; x = 1 ; 3 2 4) 5x +1 + 3 ⋅ 5x −1 − 6 ⋅ 5x + 10 = 0; 5x (5 + − 6) = −10; 5x ⋅ = 10; 5 5 5x=25; 5x=52; x = 2 . 252. 1) 52x–5x–600=0; 5x=t; t2–t–600=0; t=–24 — посторонний корень; t=25; 5x=52; x=2. 2) 9x–3x–6=0; 3x=t; t2–t–6=0; t=–2 — посторонний корень; t=3; 3x=3; x=1. 1 3) 3x–9x–1–810=0; t=3x; t + t 2 − 810 = 0; t2+9t–7290=0; t=–90 — посто9 ронний корень; t=81; 3x=34; x=4. 4) 4x+2x+1–80=0; t=2x; t2+2t–80=0; t=–10 — посторонний корень; t=8; 2x=23; x=3. 253. 1) 3x–2>9; 3x–2>32; x–2>2; x>4;
81
www.5balls.ru
2) 2 2 x < 1 ; 2 2 x < 5−2 ; 2 x < −2; x < −1 ; 25
3) 0,7
x 2 +2x
1 4)
x
3
2
>
< 0,73 ; x 2 + 2 x > 3; x 2 + 2x − 3 > 0; x < −3 и x > 1 ; 1 1 ; 81 3
x2
4
1 2 > ; x < 4; −2 < x < 2 . 3
254. 1) 2− x = 3x + 10 , из ри-
−x
1 2) =2x+5, из рисунка видно, что 3
сунка видно, что графики функций y = 2 − x и y = 3x + 10 пересекаются при x = −2 .
−x
1 графики функций y = 3 1 пересекаются при x ≈ −2 . 3
и y=2x+5
255. y=2x; y=(1)=2; y=(2)=4; y=(3)=8;… действительно, при каждом натуральном х, большем предыдущего, значение функции y=2x увеличивается в 2 раза, значит, данная функция при натуральных значениях х является геометрической прогрессией. 256. Искомая сумма вычисляется по формуле сложных процентов t
P , где t — число лет, в течение которых предприятие наращи S = a 1 + 100
вало свою прибыль, т.е. t = n − 1 , а S = a 1 + P
n −1
100
.
257. Y
Y
Y
1)
2) 258. 1) 0,6x ⋅ 25 9
x 2 −12
3) 3
x
27 3 3 = ; ⋅ 125 5 5
24 − 2 x 2
82
www.5balls.ru
9
3 = ; 5
3 5
x + 24 = 2x 2
2) 2
4+ x −5
9
2 2 3 = ; x + 24 − 2 x = 9; 2 x − x − 15 = 0; х1=–2,5; х2=3. 5 x +1
=2
4
;
2 2 x − 5 = x + 1; x − x + 1 = x + 1; x − 3 x = 0; 4 16 2 16 2
x x − 3 = 0; x = 0 — посторонний корень, значит, x = 24. 8
259. 1) 2 ⋅ 33x −1 + 27
x− 2
3x = 9x −1 + 2 ⋅ 32x −1; 2 ⋅ 33x + 1 = 1 32 x + 2 ⋅ 32 x ;
3
3 9 2 1 1 2 2 x 33x 32 x ; 3x = 2 x; x = 0. = 3 + = + 3 ; 3 9 9 3
9
3
3x
x +2
2) 2 x
2
=2
x +1
= 12 + 2
x −1
; 2
x
1 4 − 2 − = 12; 2 2
x
⋅
3 = 12; 2 2
x
= 8;
= 23 ; x = 9 .
3) 22 ⋅ 9x −1 − 1 ⋅ 3x +3 + 1 ⋅ 3x +2 = 4 ; 22 ⋅ 9x+3x(3–9)–4=0; 3x=t; 22t2–54t–36=0;
9 3 3 6 — посторонний корень, значит, t = 3; 3 x = 3; x = 1 . t=− 11 4) 5 ⋅ 4x −1 −16x + 0,25⋅ 22x +2 + 7 = 0; 5 ⋅ 4x − 16x + 4x + 7 = 0; 4x=t t 2 − ( 5 + 1)t − 7 = 0; 4 4 x 4 t 2 − 9 t − 28 = 0; t = −1,75 — посторонний корень, значит, t=4 4 = 4; x=1. x
260. 1) 2x+4+2x+2=5x+1+3⋅5x; 2x(16+4)=5x(5+3); 2 x = 8 ; 2 = 2 ; x=1; 20
5
x
5
x
0
2) 52x–7x–52x⋅17–7x⋅17=0; 52x(1–17)=7x(1–17); 2 = 1; 2 = 2 ; x=0; 5
2 2 3) 2 x −1 − 3x ⋅ 4 ; 3 3
x2
5
5
3
2 2 = ; x = 3; x1,2 = ± 3 ; 3
4) 3 ⋅ 4 x + 1 ⋅ 9x + 2 = 6 ⋅ 4 x +1 − 1 9 x +1; 4 x (3 − 24) = 9 x ( − 9 − 27) ; 3
4
x
9x
=
2
2
x
63 4 3 3 ; = ; 42 9 2 2 x −3
−2 x
=
1 3 −2 x = 1; x=− ; 2 2
.
x −3
261. 1) 8, 4 x 2 +1 < 1; 8, 4 x 2 +1 < 8, 40 ; x − 3 < 0; 2 x +1
x2
2) x<3 2 ⋅ 5 х
3) 4 + 2
x +1
1− x
2
x2
−3
3− x 2
< 10 (10
+8
) ; 10
x2
<106–2x–3; x2<3–2x; x2+2x–3<0; –3<x<1;
x x 3x −x < 8x ; 4 − 2 ⋅ 2 + 8 < 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ;
22x–2⋅2x+8–2⋅22x<0; 22x+2⋅2x–8>0; t=2x; t2+2t–8>0; t<–4 — нет действительных корней, t>2; 2x>2; x>1;
83
www.5balls.ru
4)
1
≤
x
3 +5
1 x +1
3
3 ⋅ 3x − 1 ≤ 3x + 5 ; ; − 1 3x +1 −1 > 0
2 ⋅ 3x ≤ 6 ; x +1 3 −1 > 30
3x ≤ 3 x ≤ 0 ; –1<x≤1. ; x +1 > 0 x > −1
2x − y = 27 x − y = 7 ; ; ; x − 2y +1 1 3 1 x − 2y +1 1 1 x − 2 y + 1 = 3 = = 2 8 2 2 2
262. 1)
x−y
= 128
()
()
x = 7 + y x = 7 + y ; ;; 7 + y − 2 y = 2 y = 5 x x y 2) 2 ⋅ 5 = 10; u = 2 ; y x 5 − 2 = 3 v − u = 3
()
x = 12 . y = 5
v = 3 + u ; 3u + u 2 − 10 = 0
u = 2 2 x = 2 x = 1 u = −5 — посторонний корень; . ; ;
263. 1)
y = 1
v = 5 5y = 5
y
y
2)
х
х
264. 1)
0, 2x +0,5 1 = 5 ⋅ 0,04x ; 5 5
x +0,5+0,5
−1
2x
1 1 = ⋅ ; х+1=2х–1; x = 2 ; 5 5 x
x
x
x x 3 3 2 3 2 2) 4 ⋅ 3x − 9 ⋅ 2x = 5 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 ; 4 − 5 − 9 = 0 ; = t; 4t2–5t–9=0; 2 2 2 x
t=–1 — посторонний корень; t = 2⋅4x–3⋅10x–5⋅25x=0;
3)
x
9 3 2 9 3 2 3 2 x ; = 2; x = 4 ; = ; = ; 2 4 2 4 2 2 x
x
2 4 2 − 3 − 5 = 0; 5 25
x
2 2 5
2x
x
2 − 3 − 5 = 0; 5 −1
x
2 5 2 2 2 t = ; 2t –3t–5=0 t=–1 — посторонний корень; t = ; = ; x=–1; 2 5 5 5
x
x
4) 4 ⋅ 9 x + 12 x − 3 ⋅16 x = 0; 4 ⋅ 9 + 3 − 3 = 0 ; 16
4
x
x
2 3 3 3 3 = t; 4t +t–3=0; t=–1 — посторонний корень, t = ; = ; x=1. 4 4 4 4
265. 1) 3|x-2|<9; 3|x–2|<32; |x–2|<2; 0<x<4. 2) 4|x+1|>16; 4|x+1|>42; |x+1|>2; x<–3 и x>1. 3) 2|x–2|>4|x+1|; 2|x-2|>22|x+1|; |x-2|>2|x+1|. Если x ≥ 2 , то x – 2 > 2x + 2, x < – 4, следовательно, нет решений. Если – 1 < x < 2, то 2 – x > 2x + 2, 3x < 0, x < 0, следовательно, – 1 <x< 0. Если x≤–1, то 2–x>–2x–2, x>–4, следовательно, –4<x ≤ –1. Ответ: (–4; 0). 4) 5|x+4|<25|x|; 5|x+4|<52|x|; |x+4|<2|x|; x<–1 1 и x > 4. 3
84
www.5balls.ru
Глава IV. Логарифмическая функция 266. log = 1; log3 y = 2log3 9 = 2; log3 81 = 4 ⋅ log3 3 = 4; log 3 1 = −1; 3
3
1 1 1 3 1 1 = −1,5; log 3 94 3 = 2 . log 3 = −2; log 3 = −5; log 3 3 = ; log3 3 4 3 3 9 243 267. 1) log 2 16 = log 2 2 4 = 4 ⋅ log 2 2 = 4 ;
3) log 2 2 = 1 ;
6
2) log 2 64 = log 2 2 = 6 ⋅ log 2 2 = 6 ;
4) log 2 1 = 0 .
268. 1) log 2 1 = log 2 2 −1 = −1⋅ log 2 2 = −1 ; 2) log 2 1 = log 2 2 −3 = −3 ⋅ log 2 2 = −3 ; 2 8 1 1 1 3) log2 2 = log2 22 = ⋅ log2 2 = ; 2 2
1 − 1 1 1 4) log3 4 = log3 3 4 = − ⋅ log3 3 = − . 4 4 3
269. 1) log 3 27 = log 3 3 3 = 3 ⋅ log 3 3 = 3 ;
3) log 3 3 = 1 ;
4
2) log 3 81 = log 3 3 = 4 ⋅ log 3 3 = 4 ; 4) log 3 1 = 0 . 1 1 1 1 = log3 3−2 = −2 ⋅ log3 3 = −2 ; 3) log3 3 4 = log3 34 = − ⋅ log3 3 = ; 9 4 4 1 − 1 1 1 1 2) log3 = log3 3 −1 = −1⋅ log3 3 = −1 ; 4) log3 4 = log3 3 4 = − ⋅ log3 3 = − . 4 4 3 3
270. 1) log3
5
1 1 1 = log 1 = 5 ⋅ log 1 = 5 ; 2 32 2 2 2 2
271. 1) log 1
−2
1 1 2) log 1 4 = log 1 = −2 ⋅ log 1 = −2 ; 2 2 2 2 2 3) log 0,5 0,125 = log 0,5 (0,5)3 = 3 ⋅ log 0,5 0,5 = 3 ;
4) log 0,5 1 = log 0,5 (0,5)1 = 1 ⋅ log 0,5 0,5 = 1 ; 2
5) log 0,5 1 = log 0,5 (0,5)0 = 0 ⋅ log 0,5 0,5 = 0 ⋅1 = 1 ; 6) log 1 2
3
1 2 = log 1 22
−
1 3
1 1 1 = − ⋅ log 1 = − . 3 3 2 2
272. 1) log 5 625 = log 5 5 4 = 4 ⋅ log 5 5 = 4 ; 2) log 6 216 = log 6 6 3 = 3 ⋅ log 6 6 = 3 ; 3) log 4 1 = log 4 4 −2 = −2 ⋅ log 4 4 = −2 ; 4) log 5 1 = log 5 5 −3 = −3 ⋅ log 5 5 = −3 . 16
125
−3
1 1 273. 1) log 1 125 = log 1 = −3 ⋅ log 1 = −3 ; 5 5 5 5 5 −3
1 1 2) log 1 27 = log 1 = −3 ⋅ log 1 = −3 ; 3 3 3 3 3
85
www.5balls.ru
3
3) log 1 4
1 1 1 = log 1 = 3 ⋅ log 1 = 3 ; 64 4 4 4 4 −2
1 1 4) log 1 36 = log 1 = −2 ⋅ log 1 = −2 ; 6 6 6 6 6 274. 1) 3log3 18 = 18 ;
2) 5log5 16 = 16 ;
3) 10log10 2 = 2 ;
1 4) 4
5 log3 2
275. 1) 3
(
) =2
log3 2 5
= 3
5
4
1 2) 2
= 32 ;
1
log 0,3 6 2
3) 0,32log0,3 6 = (0,3
log 1 6
) = 62 = 36 ;
4) 7 2
=6. 6 log 1 2
log 7 9
2
6
1 log 1 2 = 2 = 26 = 64 ; 2 1
1
= (7 log7 9 )2 = 9 2 = 3 .
276. 1) 8log 2 5 = 23log 2 5 = (2log 2 5 )3 = 53 = 125 ; 2) 9log 3 12 = 32log 3 12 = (3log 3 12 ) 2 = 122 = 144 ; 3) 16log 4 7 = 42log 4 7 = (4log 4 7 ) 2 = 7 2 = 49 ; 4) 0,125
log 0,5 1
3log0,5 1
= 0,5
= (0,5
log 0,5 1 3
) = 13 = 1 .
277. 1) log6 x = 3 ⋅ 1; log 6 x = 3 log 6 6; log 6 x = log 6 6 3 ; x = 6 3 = 216 ; 2) log 5 x = 4 ⋅1; log 5 x = 4 log 5 5; log 5 x = log 5 5 4 ; x = 5 4 = 625 ; 3) log 2 (5 − x ) = 3 ⋅ 1; log 2 (5 − x ) = 3 log 2 2; log 2 (5 − x ) = log 2 2 3 ; 5 − x = 2 3 ; 5 − x = 8; x = −3 ; 4) log3 ( x + 2) = 3 ⋅ 1; log 3 ( x + 2) = 3 log 3 3; log 3 ( x + 2) = log 3 3 3 ; x + 2 = 3 3 ; x + 2 = 27; x = 25 ; 1 5) log 1 (0,5 + x) = −1 ⋅ 1; log 1 (0,5 + x) = −1 ⋅ log 1 ; 6 6 6 6 −1
1 log 1 (0,5 + x) = log 1 ; 0,5 + x = 6; x = 5,5 . 6 6 6 278. 1) log 1 (4 − x) существует при 4 − x > 0; x < 4 ; 2
2) log0, 2 (7 − x ) существует при 7 − x > 0; x < 7 ;
1 1 1 > 0; 1 > 2x; x < ; существует при 1 − 2x 1 − 2x 2 5 5 1 > 0; 2 x − 1 > 0; x < ; 4) log 8 существует при 2x − 1 2x − 1 2
3) log6
86
www.5balls.ru
5) log 1 (− x 2 ) существует при − x 2 > 0 — не имеет действительных ре4
шений, значит log 1 (− x 2 ) — не существует; 4
3
6) log0,7 (−2x ) существует при − 2x 3 > 0; x < 0 . 1
279. 1) log 2 4 2 = log 2 2 4 = 1
2) log 3
1 1 ⋅ log 2 2 = ; 4 4
= log 3 3 −1,5 = −1,5 ⋅ log 3 3 = −1,5 ;
3 3
5
3) log 0,5
1 1 2 5 = log 0,5 = ⋅ log 0,5 0,5 = 2,5 ; 2 32 2
3
1 −2+ 7 2 2 = log 7 7 3 = −1 ⋅ log 7 7 = −1 . 49 3 3
4) log 7
280. 1) 92log3 5 = 34log3 5 = (3log3 5 )4 = 54 = 625 ; 1
1 2 2) 9
1 3) 4
log 4 3
= 3−1⋅log3 4 = (3log3 4 )−1 = 4−1 =
−5log 2 3
−4 log 1 5
4) 27
3
= 2( −2)⋅( −5) log 2 3 = (2log 2 3 )10 = 310 = 59049 ;
1 = 3
5) 103−log10 5 =
7
( −3)( −4) log 1 5
103 10log10 5
1+ 2 log 1 3
1 6) 7
1 ; 4
3
=
12
1 log 1 5 3 = 3
= 512 ;
1000 = 200 ; 5 2
log 3 1 1 1 1 2 = ⋅ 7 = ⋅ 32 = 1 . 7 7 7 7
281. 1) log 2 (log3 81) = log2 (log3 34 ) = log2 (4(log3 3)) = log2 22 = 2 ⋅ log2 2 = 2 ; 2) log 3 (log 2 8) = log 3 (log 2 2 3 ) = log 3 (3 ⋅ log 2 2) = log 3 3 = 1 ; 3) 2 log 27 (log10 1000) = 2 log 27 (log10 10 3 ) = 2 log 27 (3 log10 10) = 1 2 2 = 2log 27 3 = 2log 27 27 3 = log 27 27 = ; 3 3 1 1 1 3 4) log 9 (log 2 8) = log 9 (log 2 2 ) = log 9 (3 log 2 2) = 3 3 3 1 1 1 1 1 1 = log9 3 = log9 9 2 = ⋅ log9 9 = ; 3 3 3 2 6
87
www.5balls.ru
−1
1 5) 3log 2 (log 4 16) + log 1 2 = 3log 2 (log 4 42 ) + log 1 = 2 22 1 = 3log 2 (2log 4 4) − log 1 = 3log 2 2 − 1 = 3 − 1 = 2 . 2 2 282. 1) log x 27 = 3; log x 27 = 3 log x x; logx27=logxx3; x3=27; x3=33; x=3; 1 1 1 1 1 = ; x=7; = −1; log x = −1 ⋅ log x x; log x = log x x −1 ; 7 7 7 7 x 1 3) log x 5 = −4; log x 5 = −4 log x x; log x 5 = log x x −4 ; 5 = ; x4 2) log x
1
1 8 x = ; x = . 5 5 1
4
283. 1) log 6 (49 − x 2 ) — существует при 49 − x 2 > 0; −7 < x < 7 ; 2) log7 ( x 2 + x − 6) — существует при x 2 + x − 6 > 0; x < −3 и x > 2 ; 3) log 1 (x 2 + 2x + 7) — существует при х2 + 2х + 7 > 0, т.е. при любом x . 5
284. 1) log 3 (1 − x 3 ) — существует при 1 − x 3 > 0; x 3 < 1; x < 1 ; 2) log 2 ( x 3 + 8) — существует при x 3 + 8 > 0; x 3 > −8; x > −2 ; 3) log 1 (x 3 + x 2 − 6x) — существует при x 3 + x 2 − 6x > 0; 4
2
x ( x + x − 6) > 0; −3 < x < 0 и x > 2 ; 4) log 1 (x 3 + x 2 − 2x) — существует при x 3 + x 2 − 2 x > 0; 3
x ( x 2 + x − 2) > 0; −2 < x < 0 и x > 1 . 285. 1) 2 x = 5; x = log 2 5 ; 2) 1,2 x = 4; x = log1, 2 4 ; 1 (log 4 5 − 3) ; 2 1 = 2; 1 − 2x = log7 2; x = (1 − log 7 2) . 2
3) 42 x +3 = 5; 2 x + 3 = log 4 5; x = 4) 71− 2 x
286. 1) 7 2 x + 7 x − 12 = 0; 7 x = t; t 2 + t − 12 = 0; t = −4 — посторонний корень, t = 3; 7 x = 3; x = log 7 3 ; 2) 9x – 3x – 12 = 0; 32x – 3x – 12 = 0; 3x = t; t2 – t – 12 = 0; t = – 3 — посторонний корень, t = 4; 3x = 4; x = log34.; 1 3) 8 x +1 − 82 x −1 = 30; 8 x = t; t 2 − 8t + 30 = 0; t 2 − 64 t + 240 = 0; t = 4 ; 8
88
www.5balls.ru
t1 = 3; 8x = 4; 2 3x = 2 2 ; 3x = 2; x1 = x
2 ; 3
t 2 = 60; 8 x = 60; x 2 = log8 60 ;
x
x
x
−1
x
4) 1 − 5 1 + 6 = 0; 1 = t; t 2 − 5t + 6 = 0; t1=3 1 = 3; 1 = 1 ; 9
3
3
3
3
3
x1 = −1 ; t 2 = 2; x 2 = log 1 2 . 3
x
x
x
x
287. 1) (3 + 2 )(3 + 3 ⋅ 2 ) = 8 ⋅ 6x ; 32 x + 3 ⋅ 6x + 6x + 3 ⋅ 22 x − 8 ⋅ 6 x = 0; 32 x − 4 ⋅ 6x + 3 ⋅ 22 x = 0; 3 2
2x
x
x
2 3 3 − + 3 = 0; = t; t − 4t + 3 = 0; t1 = 3; 2 2 x
x
3 3 = 3; x1 = log 3 3; t 2 = 1; = 1; x = log 3 1; x 2 = 0 2 2 2 2
2) (3 ⋅ 5x + 2,5 ⋅ 3x )(2 ⋅ 3x − 2 ⋅ 5x ) = 8 ⋅ 15x ; 6 ⋅ 15x − 6 ⋅ 52 x + 5 ⋅ 32 x − 5 ⋅ 15x − 8 ⋅ 15x = 0; 5 ⋅ 32 x − 7 ⋅ 15x − 6 ⋅ 52 x = 0; 3 5⋅ 5
2x
x
x
2 3 3 − 7 − 6 = 0; t = ; 5t − 7 t − 6 = 0; t = −0,6 — посторон5 5 x
ний корень, t = 2; 3 = 2; log 3 2 = x . 5
5
x > 0 288. 1) log x (2x − 1) существует при x ≠ 1 ; 2x − 1 > 0
x > 0 1 x ≠ 1 ; 2 < x < 1 и x > 1 ; 1 x > 2
x − 1 > 0
x > 1
x + 1 > 0
x > −1
2) log x −1 (x + 1) существует при x − 1 ≠ 1 ; x ≠ 2 ; 1 < x < 2 и x > 2 . 289. 9x + 9a(1 − a)3x − 2 − a 3 = 0; 9x + 9a(1 − a)3x − a 3 = 0; t = 3x ; t 2 + a(1 − a)t − a 3 = 0; t1,2 =
a2 − a ± a2 + a 2
.
При a>0, a=–1, то x=log3a2; если a<0, a ≠ −1, то x1=log3a2, x2=log3(–a). 290. 1) log10 5 + log10 2 = log10 5 ⋅ 2 = log10 10 = 1 ; 2) log10 8 + log10 125 = log10 8 ⋅125 = log10 10 3 = 3 ⋅ log10 10 = 3 ; 3) log12 2 + log12 72 = log12 2 ⋅ 72 = log12 12 2 = 2 ⋅ log12 12 = 2 ; 4) log 3 6 + log 3
3 3 = log 3 6 ⋅ = log 3 32 = 2 log 3 3 = 2 . 2 2
291. 1) log 2 15 − log 2
15 15 = log 2 15 ⋅ = log 2 2 4 = 4 ⋅ log 2 2 = 4 ; 16 16
89
www.5balls.ru
2) log 5 75 − log 5 3 = log 5
75 = log 5 5 2 = 2 ⋅ log 5 5 = 2 ; 3 −3
54 1 1 = log 1 = −3 ⋅ log 1 = −3 ; 2 3 3 3 3 3 3 3 1 1 − log 8 32 = log 8 = log 8 8 −3 = −3 ⋅ log 8 8 = −3 . 4) log 8 16 16 ⋅ 32 2 2 2 292. 1) log13 5 169 = log13 135 = log13 13 = ; 5 5 2 2 2 2) log11 3 121 = log11113 = log1111 = ; 3 3
3) log 1 54 − log 1 2 = log 1
−
5
5 1 1 1 4 3) log 1 243 = log 1 = − log 1 = −1 ; 4 33 4 3 3 3 7 − 1 7 1 = log 2 2 6 = − log 2 2 = −1 . 4) log 2 6 6 6 128 3 12 ⋅ 20 4 1 = log8 8 4 = log8 8 = 1 ; 293. 1) log8 12 − log8 15 + log8 20 = log8 15 3 3 3 15 ⋅ 18 3 1 2) log9 15 + log9 18 − log9 10 = log9 = log9 9 2 = log9 9 = 1 ; 10 2 2 1 3 1 3 3 3) log 7 36 − log 7 14 − 3log 7 21 = log 7 36 2 − log 7 14 − log7 21 = 2 6 = log 7 6 − log 7 14 − log 7 21 = log 7 = −2 ⋅ log 7 = −2 ; 14 ⋅ 21 1 1 4) 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 2 + 2 3 3 3 3 3 4
( )
+ log 1 3
( 3 45 )
3
294. 1)
−4
1 36 ⋅ 45 1 = log 1 = −4log1 = −4 . 3 20 3 3 3 3
= log 1 36 − log 1 20 + log 1 45 = log 1 3
3
3
3
log 3 8 log 3 2 3 ⋅ log 3 2 3 = = = ; log 3 16 log 3 2 4 4 ⋅ log 3 2 4
2)
log 5 27 log 5 33 3 log5 3 3 1 = = = =1 ; 2 log 5 9 2 log 5 3 2 2 log 5 3
3)
log5 36 − log5 12 log5 12 log5 3 1 = = = ; log 5 9 log5 32 2log 5 3 2
4)
log 7 8 log 7 23 3 ⋅ log 7 2 −3 ⋅ log 7 2 = = = = −3 . log15 − log 7 30 log 15 log 7 2−1 1 ⋅ log 7 2 7
36
30
90
www.5balls.ru
295. 1) loga x = loga (a 3b2 c) = loga a 3 + loga b2 + loga c = = 3 log a a + 2 log a b +
2) loga x = loga
1 1 log a c = 3 + 2 ⋅ 3 + (−2) = 8 ; 2 2
a43 b c3
= loga a 4 + loga 3 6 + loga c−3 =
1 1 = 4 log a a + log a 6 − 3 ⋅ log a c = 4 + ⋅ 3 − 3 ⋅ (−2) = 11 . 3 3 24 1 log 2 log 2 24 − log 2 72 72 2 296. 1) = = = 3 1 18 log 3 18 − log 3 72 log 3 18 − log 3 72 log 3 3 3 72 3 3 log 2 2 2 2 log 2 2 9 1 = = = =1 3 3 8 8 log3 3 log3 3 4 4 14 1 log 7 log 7 14 − log 7 56 3 56 log 7 14 − log 7 3 56 3
log 2 24 − log 2 72
2)
1 2
log 6 30 − log 6 150 2
2
=
log 7 7 3 log 6 6
1 2
=3
⋅ log 7 7
=
1 ⋅ log 6 6 2
=
log 6 30 − log 6 150
=
log 6
=
30 150
4 1 =1 3 3 1
log 2 22 + log 2 (2 − 5) 2 3) log 2 4 + log 2 10 = = 2 log 2 20 + 3log 2 2
log 2 2 + 3
1 1 2log 2 2 + (log 2 2 − log 2 5 ) (5 + log 2 5) 1 2 = =2 =
2log 2 2 + log 2 5 + 3
5 + log 2 5
2
;
1 1 3log 7 2 − log 7 26 0 2 2 = = 0. = 1 1 5 log 3 52 4log5 2 + log5 27 4log5 2 + log5 3 3 3 297. 1) log3 x = 4log3 a + 7 log3 b = log3 a4 + log3 b7 = log3 a4 ⋅ b7
4)
3log 7 2 − log 7 64
х=а4b7; 2) log5 x = 2 log5 a − 3 log5 b = log5 a 2 − log5 b3 = log5
= log3 (a 4 ⋅ b7 );
a2
a2
b
b3
; x= 3
;
2 1 2 1 3) log 1 x = log 1 a − log 1 b; log 1 x = log 1 a 3 − log 1 b 5 ; 3 5 2 2 2 2 2 2 2
log 1 x = log 1 ( 2
2
a3 1
);
b5
91
www.5balls.ru
4 4 1 1 4 1 1 4 4) log 2 x = log 2 a + log 2 b = log 2 a 4 + log 2 b 7 = log 2 a 4 ⋅ b 7 ; x = a 4 ⋅ b 7 . 4 7 3 3 3 3 3 3
92
www.5balls.ru
(
)
= 52 +
10
2
298. 1) 36log 6 5 + 101−log10 2 − 8log 2 3 = 6log 6 5 +
10log10 2
(
− 2log 2 3
)= 3
10 3 − 3 = 25 + 5 − 27 = 3 ; 2 1 1 − log 9 2
2) (814
×(7log7 2 )2 = (9
4
1
+ 25log125 8 ) ⋅ 49log7 2 = (9 2
3 log 4 9
− log9
4
2
+ (125log125 8 ) 3 ) ×
2 3 + 8 3 ) ⋅ 22 = ( + 4) ⋅ 4 = 3 + 16 = 19 ; 4 1
3) 161+ log4 5 + 4 2
log 3 2
+ 3log5 5 = 16 ⋅ (4log4 5 ) 2 + 2log2 3 ⋅ (8log8 5 ) 2 =
= 16 ⋅ 52 + 3 ⋅ 52 = 19 ⋅ 25 = 475 ; 1
4) 72 ⋅ (49 2
log7 9 − log7 6
+5
− log
5
4
log7 9 1 ) = 72 ⋅ 7 + (7log7 6 )2 log 5
4 5
2
= 72 ⋅ 9 + 1 = 36 16
1 72 9 = 72 ⋅ + = 18 + = 22,5 . 16 36 16 1
1
1
1
1 299. a loga pb = (a ploga pb ) p = b p = (a loga b ) p = a p loga b , значит, logap b = loga b ; p 1 1 1 1) log 36 2 − log 1 3 = log 62 2 − log 6−1 3 = log 6 2 2 − log 6 −1 3 = 2 2 2 6 =
1 1 1 1 1 log 6 2 − log 6 3 = log 6 (2 ⋅ 3) = log 6 6 = ; 2 2 2 2 2
30 = log5 5 = 1 . 6 300. 1) log 3 50 = log 1 (50 ) = 2 log 3 50 = 2(log 3 5 + log 3 10 ) = 2) 2log2530+ log0,2 6 = 2log52 (30) + log5−1 (6) = log5 30+ log5 6 = log5 32
= 2(log3 3 + log3 5 + log3 10 − 1) = 2(log3 15 + log3 10 − 1) = 2(a + b − 1) ;
1 1 1 (log 2 54 + log 2 2) = 2log 2 5 + = 2a + . 2 2 2 2) lg 7 ≈ 0,845 ; 2 4) lg ≈ −0,176 . 3 2) ln 2 ≈ 0,693 ; 6 4) ln ≈ −0,154 . 7 lg 8 2) log5 8 = ≈ 1,65 ; ≈ 1,29 ; lg 5
2) log 4 1250 = log 22 (54 ⋅ 2) = 301. 1) lg 23 ≈ 1,362 ; 3) lg 0,37 ≈ −0,432 ; 302. 1) ln 81 ≈ 4,394 ; 3) ln 0,17 ≈ 1,772 ; 303. 1) log7 25 =
lg 25 lg 7
3) log9 0,75 = lg 0,75 ≈ −0,13 ; lg 9
4) log0,75 1,13 = lg1,13 ≈ −0,42 .
92
www.5balls.ru
lg 0,75
2) log8 15 = ln 15 ≈ 1,3 ;
304. 1) log7 5 = ln 5 ≈ −0,83 ; ln 7 ln 9 3) log0,7 9 = ≈ −6,16 ; ln 0,7 305. 1) log5 3 = log7 3 ; log7 5
ln 8 4) log1,1 0,23 = ln 0,23 ≈ −15,42 . ln1,1 log 6 7 2) lg 6 = ; log 7 10
3) log2 7 = log7 7 =
1 ; log7 2
4) log5 1 =
5) lg7 1 = log7 7 =
1 ; log7 10
6) log3 7 = log7 7 =
log7 2
3
log7 10
lg 625
306. 1) 5 lg 25 = 5
lg( 25)2 lg 25
3
log7
1 3
log 7 5
log7 3
; 1 . log7 3
2 lg 25
= 5 lg 25 = 52 = 25 ;
2) log 1 (log3 4 ⋅ log 2 3) = log 1 (log3 22 ⋅ log 2 3) = − 4
4
1 1 log 2 2 = − . 2 2
307. 1) log5 x = 2 log5 3 + 4 log 25 2; log5 x = log5 32 + 4 log52 2; log5 x = log5 32 + log52 22 = log5 9 ⋅ 4; log5 x = log5 36; x = 36 ; 2) log 2 x − 2log 1 x = 9; log 2 x + log 2 x 2 = 9 log 2 2; log 2 x 3 = log 2 2 9 ; 2
3
9
3
x =2 ; x =2 =8; 3) log3 x = 9 log 27 8 − 3 log3 4; log3 x = 9 log33 8 − log3 43 ; 83 log3 x = 3 log3 8 − log3 64; log3 x = log3 ; x = 8 ; 64 1 2 2 4) log9 x + log x = 3; log3 x + 2 log3 x = 3 ⋅ log3 3; 3 2
log3 x + log3 x 2 = log3 33 ; log 3 x 3 = log 3 3 3 ; x 3 = 3 3 ; x = 3 ; 1 3
5) log2 x + log8 x = 8; log 2 x + log 2 x = 8 log 2 2; 1
4
4
log 2 x + log 2 x 3 = log 2 28 ; log 2 x 3 = log 2 28 ; x 3 = 28 ; x = 64 ; 6) log 4 x − log16 x = 1 ; log 4 x − 1 log 4 x = 1 log 4 4; 4
1 2
2
1 2
4
1 2
1
1
1
log 4 x − log 4 x = log 4 2 ; log 4 x = log 4 2 2 ; x 2 = 2 2 ; x = 2 . 1 1 1 1 308. log49 28 = log72 28 = log7 (22 ⋅ 7) = (log7 22 + log7 7) = log7 2 + = m + . 2 2 2 2 lg3 lg10 lg 3 + 1 m +1 + = = 309. log15 30 = log15 3 + log15 10 = . lg15 lg15 lg 3 + lg 5 m + n
93
www.5balls.ru
310. log 24 72 =
log 6 72 log 6 62 + log 6 2 2 + log 6 2 2+m . = = = log 6 24 log 6 6 + log 6 22 1 + 2log 6 22 1 + 2m
311. log36 9 = log36
2 36 = log36 36 − log36 4 = 1 − log36 8 3 = 4
2 2 = 1 − log36 8 = 1 − m . 3 3 312.
1)
log3 216 log3 24 log3 63 log3 24 − = − = 3log 3 6 ⋅ 3log3 2 − log3 3 log3 3 log8 3 log 72 3 log3 8
log3 72
− log 3 24 ⋅ log 3 72 = 9(log 3 3 + log 3 2) log 3 2 − (log 3 3 + 3 log 3 2) × × (2 log 3 3 + 3 log 3 2) = 9(log 3 2 + (log 3 2) 2 ) − (2 + 3 log 3 2 + + 6 log 3 2 + 9(log 3 2) 2 ) = −2 ;
2)
log 2 192 log 2 24 log 2 192 log 2 24 − = − = log 2 (3 ⋅ 26 ) ⋅ log 2 (3 ⋅ 22 ) − log 2 2 log 2 2 log12 2 log96 2 log12 2
log12 96
− log 2 (3 ⋅ 23 ) ⋅ log 2 (3 ⋅ 25 ) = (log 2 3 + 6log 2 2) ⋅ (log 2 3 + 2log 2 2) − (log 2 3 + +3log 2 2) × (log2 3 + 5 log 2 2) = (log2 3) 2 + 2 log 2 2 + 6 log 2 3 + 12 − (log 2 3) 2 − −5 log 2 3 − 3 log 2 3 − 15 = −3 . 313. 1) log 22 x − 9 log8 x = 4; log 22 x − 3 log 2 x − 4 = 0; log 2 x = t; 1 1 t 2 − 3t − 4 = 0; t1=–1; log 2 x = −1; log 2 x = log 2 ; x1 = ; t2=4; 2 2 log 2 x = 4; log 2 x = log 2 2 4 ; x 2 = 16 ; 2 2) 16 log16 x + 3 log 4 x − 1 = 0; 4 log 24 x + 3 log 4 x − 1 = 0; log 4 x = t;
1 1 1 4 t 2 + 3t − 1 = 0; t1 = −1; log 4 x = −1; log 4 x = log 4 ; x1 = ; t 2 = ; 4 4 4 1
log 4 x = log 4 4 4 ; x 2 = 2 ; 3) log32 x + 5 log9 x − 1,5 = 0; log32 x + 2,5 log3 x − 1,5 = 0; log3 x = t; t 2 + 2,5t − 1,5 = 0; t1 = −1,3; log3 x = −3; log3 x = log3 3−3 ; x1 = 3−3 =
1 1 1 ; t2 = 12 ; log3 x = ; log3 x = log3 3 2 ; x 2 = 3 ; 27 2
4) log32 x − 15 log 27 x + 6 = 0; log32 x − 5 log3 x + 6 = 0; log3 x = t; t 2 − 5t + 6 = 0; t1 = 2; log3 x = 2; log3 x = log3 32 ; x1 = 9; t 2 = 3;
94
www.5balls.ru
log3 x = 3; log 3 x = log 3 3 3 ; x 2 = 27 . 314. 1)
log5 2 log4 3 + = log6 2 + log6 3 = log6 (2 ⋅ 3) = 1 ; log5 6 log4 6
2) (log 7 2 +
log5 5 log 7 7 1 ) lg 7 = (log 7 2 + ) = log5 7 log 5 7 log 7 10
= (log7 2 + log7 5)⋅ 3)
1 log7 (2 ⋅ 5) = = 1; log7 10 log7 10
log2 3 2 ⋅ log2 3 2 ⋅ log 2 3 = = = 2. log 4 9 log 2 32 log 2 3 2
315. 8-ми процентное увеличение жителей города, начальное количество которых а, через n лет становится равным a (1,08) n , число жителей удвоится через 2a = a (1,08) n ; 2 = (1,08) n ; n = log1,08 2 ≈ 9 лет. 316. Пусть первоначальная масса воздуха а, тогда через n качаний 1
поршневого насоса в нем останется a (1 − 0,012)n =
a 1016
; n = log 0,988
1 1016
1016
первоначальной массы:
= −16 log 0,988 10 ≈ 3052 .
317. 1) n = 7; e ≈ 2,7182539 ; 2) n = 8; e ≈ 2,7182788 ; 3) n = 9; e ≈ 2,7182815 ; 4) n = 10; e ≈ 2,7182819 . 6 5 1 6 5 < 1; 9<17; 318. 1) log3 > log3 ; 3 > 1; > ; 2) log 1 9 > log 1 17; 5 6 3 5 6 3 3 1 3) log 1 l > log 1 π; 4) log 2 5 > log 2 3 ; 2 > 1; 5 > 3 . < 1; l > π ; 2 2 2 2 2 2 2 319. 1) log3 4,5 > 0 = log3 1, т.к. 3 > 1; 4,5 > 1 ; 2) log3 0,45 < 0 = log3 1, т.к. 3 > 1; 0,45 < 1 ; 3) log5 25,3 > 0 = log5 1, т.к. 5 > 1; 25,3 > 1 ; 4) log0,5 9,6 < 0 = log0,5 1, т.к. 0,5 < 1; 9,6 > 1 . 320. 1) log3 x = −0,3; log3 x = log3 3−0,3; x = 3−0,3 < 1 = 30 , т.к. 3 > 1; –0,3 < 0; 1,7
1,7
0
1 1 1 2) log 1 x = 1,7; log 1 x = log 1 ; x = < 1 = ; т.к. 1 < 1; 1,7>0; 3 3 3 3 3 3 3 3) log 2 x = 1,3; log 2 x = log 2 21,3; x = 21,3 > 1 = 20 ; т.к. 2 > 1; 1,3 > 0 . 321. 1) y = log0,075 x — убывающая, т.к. 0 < 0,075 < 1 ; 2) y = log
3 2
x — убывающая, т.к. 0 < 3 < 1 ; 2
95
www.5balls.ru
3) y = lg x = log10 x — возрастающая, т.к. 10 > 1 ; 4) y = ln x = log e x — возрастающая, т.к. e > 1 . 322. 1) 2) у
у
323. log 2 3 ≈ 16;
у
log 2 0,3 ≈ −1,7; log 2 5 ≈ 2,3; log 2 0,7 ≈ −0,5 . 324. 1)
2)
у
у
3)
4)
у
у
325. 1) log5 x > log5 3; x > 3, т.к. 5 > 1 ;
1 1 1 2) log 1 x > log 1 ; x ≥ , т.к. < 1 ; 8 8 5 5 5 3) lg x > lg 4; x < 4, т.к. 10 > 1 ; 4) ln x > ln 0,5; x > 0,5, т.к. e > 1 . 326. 1) log3 x < 2; log3 x < log3 32 ; x < 9, т.к. 3 > 1 ; 2) log 0,4 x > 2; log 0,4 x > log 0,4 (0, 4)2 ; x < 0,16, т.к. 0,4 < 1 ; 16
16
1 1 1 3) log 1 x ≥ 16; log 1 x ≥ log 1 ; x ≤ , т.к. < 1 ; 2 2 2 22 2 4) log 0,4 x ≤ 2; log 0,4 x ≤ log 0,4 0, 42 ; x ≥ 0,16, т.к. 0,4 < 1 .
96
www.5balls.ru
327. 1) log3 (5x − 1) = 2; log3 (5x − 1) = log3 32 ; 5x − 1 = 9; x = 2 ; 2) log5 (3x + 1) = 2; log5 (3x + 1) = log5 52 ; 3x + 1 = 2 ; x = 8 ; 3) log 4 (2x − 3) = 1; log 4 (2x − 3) = log 4 4; 2x − 3 = 4; x = 3,5 ; 4) log 7 (x + 3) = 2; log 7 (x + 3) = log 7 7 2 ; x + 3 = 49; x = 46 ;
5) lg(3x − 1) = 0; lg(3x − 1) = lg1; 3x − 1 = 1; x =
2 ; 3
6) lg(2 − 5x) = 1; lg(2 − 5x) = lg10; 2 − 5x = 10; x = −1,6 . 328. 1) y = log 4 ( x − 1) — область определения x − 1 > 0; x > 1 ; 2) y = log0,3 (1 + x ) — область определения 1 + x > 0; x > −1 ; 3) y = log3 ( x 2 + 2 x ) — область определения x2 + 2x>0; x < −2 и x > 0 ; 4) y = log
(4 − x 2 ) — область определения 4 − x 2 > 0; −2 < x < 2 .
2
329. y = log 2 ( x 2 − 1) — область определения x 2 − 1 > 0; x < − 1; x > 1 , т.к. x > 1 — входит в область определения и 2 > 1, то данная функция возрастает на промежутке x > 1 . 3 1 1 1 330. 1) + lg 3 = lg 3 2 + lg3 = lg 3 2 < lg19 − lg 2 = lg 9,5 , т.к. 10>1; 3 2 < 9,5 ; 2 2) lg 5 + lg 7 = lg
5
2
7
< lg
5 + 7 т.к. 10 > 1, , 2
5 5+ 7 ; < 2 7
3) 3(lg 7 − lg 5) = lg(1,4) 3 > lg 9 − 2 lg 8 = lg 9 = lg 2,25, т.к. 10 > 1; 3
4
3
(1,4) = 2,744 > 2,25 ; 4) lg lg lg 50 < lg3 50. 331. 1) y = log 8 ( x 2 − 3x − 4) — область определения x 2 − 3x − 4 > 0; x < –1 и x > 4; 2) y = log
3
(− x 2 + 5x + 6) — область определения x 2 − 5x − 6 < 0;
–1<x<6; 3) y = log 0,7 x > 3; 4) y = log 1 3
x2 −9 x2 − 9 — область определения > 0; –5 < x < –3 и x +5 x+5
x−4 2
x +4
— область определения
x−4 x2 + 4
> 0; x > 4 ;
5) y = log π (2 x − 2) — область определения 2 x − 2 > 0; 2 x > 2; x > 1 ; 6) y = log 3 (3 x −1 − 9) — область определения 3 x −1 > 9; x − 1 > 2 ; x > 3 .
97
www.5balls.ru
332. 1) y = log 3 ( x − 1) — область определения
у
x − 1 > 0; x > 1 ; множество значений — множество R.
2)
y = log 1 (x + 1)
—
область
определения
у
3
x + 1 > 0; x > −1 ; множество значений — множество R. 3) y = 1 + log 3 x — область определения x > 0 ; множество значений — множество R.
у
4) y − log 1 x − 1 — область определения x > 0 ;
у
3
множество значений — множество R.
5)
y = 1 + log3 (x − 1)
—
область
определения
у
x − 1 > 0; x > 0 ; множество значений — множество R. 2) Из рисунка видно, что графи333. 1) log 2 x = − x + 1; из рисунка ки функций y = log 1 x и y = 2 x − 5 видно, что графики функций 2 y = log 2 x и y = − x + 1 пересекаются пересекаются при x = 2 . в точке (1; 0), т.е. при x = 1 . у
у
3) Из рисунка видно, что графи-
4) Из рисунка видно, что графи-
ки функций y = lg x и y = x не ки функций y = lg x и y = 2 − x пепересекаются. ресекаются при x ≈ 2 .
98
www.5balls.ru
у
у
334. 1) y = log 3 x область определения — x > 0, множество значений y ≥ 0 ; данная функция убывает при 0 < x ≤ 1, возрастает при x > 1 .
у
2) y = log 3 x область определения — множество
у
R, кроме x = 0 ; множество значений — множество R, данная функция убывает при x < 0, возрастает при x>0. 3) y = log 2 3 − x
х
область определения — мно-
жество R, кроме x = 3 ; множество значений — множество R, данная функция убывает при x < 3, возрастает при x > 3 . 4) y = 1 − log 2 x область определения — x > 0 ,
у
х
у
кроме x = 3 ; множество значений — y ≥ 0 , данная функция убывает при 0 < x ≤ 2, возрастает при x > 2 .
335. 1) y = log 2 3 − x − log 2 x 3 − 8 — область определения 3− x > 0 , т.е. x ≠ 3; и x 3 − 8 ≠ 0; x ≠ 3 и x ≠ 2 ; 3 x − 8 > 0
x ∈ (−∞;2) ∪ (2;3) ∪ (3; ∞). 2) y = log 0,3 x + 1 + log 0,4 (1 − 8x 3 ) — область определения x + 1 > 0 ; 1 − 8x 3 > 0
x > −1 3 1; x < 8
x > −1 1 1 ; −1 < x < . 2 x < 2
336. 1) x2–5x+6=0; x1=3; x2=2; x–3=0; x=3, значит x2–5x+6=0 является следствием x–3=0;
99
www.5balls.ru
2) x = 5; x1, 2 = ±5 ;
x 2 = 5; x1, 2 = ±5 , значит, каждое из двух уравне-
ний является следствием другого. 2 2 3) x − 3x + 2 = 0 x − 3x + 2 = 0; x = 2 ; x2–3x+2=0; x1=1 и x2=2, значит,
x −1
x − 1 ≠ 0
2 x2–3x+2=0 — следствие уравнения x − 3x + 2 = 0 .
x −1
4) log8+log8(x–2)=1; log8(x2–2x)=log88; x2–2x–8=0; х1=–2 — посторонний корень, x2=4; log8(x–2)=1; log8x2–2x=log88; x2–2x–8=0; x1=–2; x2=4, значит, уравнение log8(x2–2x)=1; является следствием уравнения log8+log8(x–2)=1. 337. 1) log2(x–5)+log2(x+2)=3; log2(x–5)(x+2)=log223; x2–3x–10=8; x2 – 3x – 18 = 0; x = – 3 — посторонний корень, значит, x = 6. 2) log3 (x − 2) + log3 (x + 6) = 2; log3 (x − 2)(x + 6) = log3 32 ; x 2 + 4 x − 12 = 9; x 2 + 4 x − 21 = 0; x = −7 — посторонний корень, x = 3 . 3) lg(x + 3) + lg(x − 3) = 0; lg(x + 3)(x − 3) = lg1; x2–3=1; x2=4; x=–2 — посторонний корень, x=2. 4) lg(x–1)+lg(x+1)=0; lg(x–1)(x+1)=lg1; x2–1=1; x2=2; x = − 2 — посторонний корень, значит, x = 2 . 338. 1) lg(x − 1) − lg(2x − 11) = lg 2; lg x − 1 = lg 2; 2 x − 11
x–1=4x–22; 3x=21; x=7;
x −1 = 2; 2 x − 11
2) lg(3x–1)–lg(x+5)=lg5; lg 3x − 1 = lg 5; 3x − 1 = 5; 3x-1=5x+25; 2x=–26; x +5
x +5
x=–13 — посторонний корень, значит, данное уравнение не имеет действительных решений. 3 3) log3 (x 3 − x) − log3 x = log3 3; log 3 x − x = log 3 3; x 2 − 1 = 3; x 2 = 4;
x
x=–2 — посторонний корень; x=2. 339. 1) 1 lg(x2 + x − 5) = lg5x + lg 1 ; lg x 2 + x − 5 = lg 5x ; 2
5x
x2+x–6=0; x=–3 — посторонний корень; x=2.
5x
2) 1 lg(x 2 − 4x − 1) = lg8x − lg 4x; lg x 2 − 4 x − 1 = lg 8x ; 4x
2
x2 + x − 5 = 1; x 2 − 4 x − 1 = 2;
x2–4x–5=0; x=–1 — посторонний корень; x=5. 340. 1) log3(5x+3)=log3(7x+5); 5x+3=7x+5; x=–1 — посторонний корень, значит, данное уравнение не имеет действительных решений. 2) log 1 (3x − 1) = log 1 (6x + 8); 3x − 1 = 6 x + 8; x = −3 — посторонний ко2
2
рень, значит, данное уравнение не имеет действительных решений. log х = 0 341. 1) log 7 (x-1) log 7 x = log 7 x ; 7
log x = log 7 1 ; 7
log 7 (х − 1) = 1 log 7 (x − 1) = log 7 7
100
www.5balls.ru
;
x + 1 — посторонний корень; x − 1 = 7 ; x = 8 log 1 (3x − 2) = 0 ; 2) log 1 x log1 (3x − 2) = log1 (3x − 2); 3 3
3
log 13 x = 1
3
log 1 (3x − 2) = log 1 1 3 3 : 1 log 1 x = log 1 3 3 3
3x − 2 = 1; x1 = 1; x 2 =
1 − посторонний корень 3
;
log (3x + 1) = 0 3) log 2 (3x + 1)log3 x = 2log 2 (3x + 1) ; 2 ; 2 log 3 x = log3 3 log 2 (3x + 1) = log 2 1 ; 3x + 1 = 1; x = 0 − посторонний корень, значит, х = 9 ; log3 x = log3 9
4) log
3
(x − 2)log5 x = 2log3 (x − 2) ; 2log3 (x − 2)log5 x = 2log3 (x − 2) ;
log 3 (x − 2) = 0 ; log 5 x = 1
log 3 (x − 2) = log 3 1 ; x1 = 3 ; x 2 = 5 . log 5 x = log 5 5
x lgx − lg y = 2 lg = lg102 342. 1) ; y ; x = 100y
x = 100y ; ; x 10y 900 100y − = = 900 + 10y = + x 900 10y x = 900 + 10y log x + log3 y = 2 log3 xy = log 3 32 xy = 9 2) 3 ; ; ; 2 2 2 x y − 2y + 9 = 0 x y − 2y + 9 = 0 x y − 2y + 9 = 0 x = 9 y ; 81 − 2y + 9 = 0 y
y = 10 . x = 1000
x = 9 y=9 y ; y = −4,5 − посторонний корень, значит, . x = 1 2y2 − 9y − 81 = 0
343. 1) log5x2=0; log5x2=log51; x2=1; x1,2= ± 1; 2) log4x2=3; log4x2=log443; x2=64; x1,2= ± 8; 3) log3x3=0; log3x3=log31; x3=1; x=1; 4) log4x3=6; log4x3=log4x346; x3=4096; x=16; 5) lgx4+lg4x=2+lgx3; lg(4⋅x5)=lg102+lgx3; lg(4x5)=lg(100x3); 4x5=100x3; x3(x2–25)=0; x=0 — посторонний корень; х=–5 — посторонний корень, значит, х=5. 6) lgx+lgx2=lg9x; lgx3=lg9x; x3=9x; x(x2–9)=0; x1=0 и x2=–3 — посторонние корени, значит х=3. 344. log 4 (x + 2)(x + 3) + log 4 x − 2 = 2 ; log 4 (x 2 − 4) = log 4 42 ; x 2 − 4 = 16 ; x+3
1) х 2 = 20; x1,2 = ± 20 = ±2 5 ; 2) log 2 x − 1 +log2(x–1)(x+4)=2; log2(x–1)2=log222; (x–1)2=4; х=–1 — поx+4
сторонний корень, значит х = 3; x 3) log3 x2 − log3 = 3 ; log3 x(x + 6) = log3 33 ; x 2 + 6x − 27 = 0 ; х1=–9; х2=3; x +6
101
www.5balls.ru
4) log2 x + 4 +log2x2; log2((x+4)x)=log225; х=(х+4)=32; х2+4х–32=0; х1=4; х2=–8. x
345. 1) 23logx⋅5lgx=1600; (23⋅5)lgx=1600; 40lgx=402; lgx=2; lgx=lg102; x=102; x=100; 2
2) 2log3 x ⋅ 5log3 x = 400 ; 2 2 log3 x ⋅ 5 log3 x = 400 ; (4 ⋅ 5) log3 x = 20 2 ; 20 log3 x = 20 2 ; log 3 x = log 3 3 2 ; x = 3 2 ; x = 9 ; 3)
1 2 + = 1 ; 2 − lg x + 8 + 2 lg x = (4 + lg x )(2 − lg x ) ; 4 + lg x 2 − lg x
10 + lg x = 8 − 2 lg x − lg 2 x ; lg 2 x + 3 lg x + 2 = 0 ; lg x = t ; t 2 + 3t + 2 = 0 ; 1 1 t1=–1; lgx=–1; lg x = lg 10 −1 ; x1 = ; t2=–2; lgx=–2; lg x = lg 10 −2 ; x 2 = ; 100 10 1 2 + = 1 ; 1 + lg x + 10 − 2 lg x = (5 − lg x )(1 + lg x ) ; 4) 5 − lg x 1 + lg x 11–lgx=5+4lgx–lg2x; lg2x–5lgx+6=0; t=lgx; t2–5t+6=0; t1=3; lgx=lg103; x1=1000; t2=2; lgx=lg102; x=102; x2=100. 346. 1) 23x+1=2–3 и 3x+1=–3 — равносильны, т.к. корни первого уравнения являются корнями второго, и наоборот. 2) log3(x–1)=2 и x–1=9 — равносильны, т.к. корни первого уравнения являются корнями второго, и наоборот. lg x − lg y = 7 2 lg x = 12 ; 347. 1) lg x + lg y = 5
lg x + lg y = 5
1
log 2 2 + log 2 1 = log 2 24 y y
xy = 2
x = 2 y ; 1 =8 y y
6
6
lg y = lg10
y = 10
x = 2
2
x= log x + log y 2 =4; 2) 2 2 y 1
x = 10 ; lg x = lg 10 ; . 1 −1 6 + lg y = 5
lg x = 6 ;
;
y
log 2 2 = log 2 16 y y
;
x = 2 x = 2 x = 8 y ; y ; 1. y = 1 y = 1 y = 4 2 4
348. 1) log 2 x − 2 log x 2 = −1 ; log 2 x − 2 log 2 2 = −1 ; log 2 x
log22x+log2x–2=0; log2x=t; t2+t–2=0; t=1; log2x=t; log2x=log22; x1=2; t2=–2; log 2 x = log 2 2 −2 ; x 2 =
1 ; 4
2 2) log2 x + logx 2 = 2,5 ; log 2 x + log 2 − 2,5 = 0 ; log22 x − 2,5 ⋅ log2 x + 1 = 0 ;
log 2 x
1
t = log2 x ; t 2 − 2,5⋅ t +1 = 0 ; t1=2; log2 x = log2 22 ; x1=4; t2 = 1 ; log2 x = log2 22 ; x2 = 2 2
3 3) log3 x + 2 logx = 3 ; log 3 x + 2 log 3 − 3 = 0 ; log 2 3 x − 3 log 3 x + 2 = 0 ; log 3 x
3
102
www.5balls.ru
t=log3x; t2–3t+2=0; t1=1; log3x=log33; x1=3; t2=2; log3x=log332; x 2 = 9 3
4) log 3 x − 6 log x 3 = 1 ; log 3 x − 6 log 3 − 1 = 0 ; log 2 3 x − log 3 x − 6 = 0 ; log 3 x
t = log3 x ; t − t − 6 = 0 ; t=3; log3 x = log3 33 ; x=27; t=–2; log 3 x = log 3 3 −2 ; x = 1 . 2
9
349. 1) log x 2 9 + log 2
x
1 4 = 2 ; log x 9 + 2log x 4 = 2log x x ; 2
2
logx3+logx4 =logxx ; logx48=logxx2; x2=48; x=–4 3 — постоянный корень, значит, x = 4 3 ; 1 log x 16 − 2 log x 7 = 2 log x x ; 2 4 4 2 — посторонlogx 4 − logx 7 2 = logx x 2 ; log x = log x x 2 ; = x2 ; x = − 49 49 7 ний корень, значит, x = 2 . 7
2) log x 2 16 − log
x
7=2;
x x x x 350. 1) lg(6⋅5x–25⋅20x)–lg25=x; lg 6 ⋅ 5 − 25 ⋅ 20 = lg10x ; 6 ⋅ 5 − 25 ⋅ 20 = 10 x ;
25
25
25⋅10x+25⋅20x–6⋅5x=0; 25⋅4x+25⋅2x–6=0; 2x=t; 25t2+25t–6=0; t=–1,2 — посторонний корень; t=0,2; 2x=0,2; x=log20,2; 2) lg(2x+x+4)=–xlg5; lg(2x+x+4)=lg10x–lg5x; lg(2x+x+4)=lg2x; 2x+x+4=2x; x+4=0; x=–4. 351. 1) lg2(x+1)=lg(x+1)lg(x–1)+2lg2(x+1); 2
lg (x + 1) lg (x + 1) 2 lg (x + 1) lg(x + 1) − − 2 = 0 ; = t ; t –t–2=0; t=–1; = −1 ; lg(x − 1) lg (x − 1) lg (x − 1) lg (x − 1) 1 ; (x+1)= 1 ; x2–1=1; x2=2; x=– 2 — постоянный коlg(x + 1) = lg x −1 (x − 1)
рень; x1 = 2 ; t 2 = 2 ; lg(x + 1) = 2 ; lg(x − 1)
lg(x+1)=lg(x–1)2; x+1=x2–2x+1; x(x–3)=0; x=0 — посторонный корень; x2=3. 2) 2log5(4–x)⋅log2x(4–x)=3log5(4–x)–log52x; 2log5 ( 4 − x ) ⋅
log5 (4 − x) = 3log 5 ( 4 − x ) − log 5 2x ; log5 2x 2
log 5 (4 − x) log5 ( 4 − x ) log 5 (4 − x ) 2 = t ; 2 t − 3t + 1 = 0 ; t1=1; +1 = 0 ; 2 −3 log 5 2x log5 2x log5 2x
1 log 5 (4 − x ) = 1 ; log 5 (4 − x ) = log 5 2 x ; 4 − x = 2 x ; 4 = 3x ; x1 = 1 ; 3 log 5 2x 1 log 5 (4 − x ) 1 ; = ; log 5 (4 − x ) = log 5 2 x ; 4 − x = 2 x ; 2 log 5 2 x 2 x2–8x+16=2x; x2–10x+16=0; x=8 — посторонний корень; x2=2. t2 =
103
www.5balls.ru
352. 1)
log x 25 + 3 =
1 ; log 5 x
log x 25 + 3 =
log 5 5 ; log 5 x
log x 25 + 3 = log x 5 ;
log2x5–2logx5–3=0; logx5=t; t2–2t–3=0; t1=–1; 1 1 1 1 log x 5 = log x ; x1 = ; t 2 = 3 ; log x = log x x 3 ; x = 3 5 , но x = — x 5 5 5 посторонний корень, значит, x 2 = 3 5 2)
2log 2 2 x + 3log 2 x − 5 = log 2 2x ;
2 log 2 2 x + 3 log 2 x − 5 = 1 + log 2 x ;
2 log 2 2 x + 3 log 2 x − 5 = 1 + 2 log 2 x + log 2 2 x ; log 2 2 x + log 2 x − 6 = 0 ; log2x=t; t2+t–6=0; t1 = −3 ; log2x=–3 — посторонний корень; t2=2; log2x=log222; x=4. 353. 5 log 5 x + log a x − 4 log 25 x = a ; 5 log 5 x + log 5 x − 2 log 5 x = a ; log 5 a a log a 5
1
− 3log a+1 a ⋅ log5 x 1 ⋅ log5 5 ; x = 5 5 ; a > 0 ; a ≠ 1 ; a ≠ 5 3 . log5 x ⋅ (3 + ) = a ; log5 x = 3 log5 a + 1 log5 a
354. 1) y = lg(3x − 2) — область определения 3x − 2 > 0 ; x > 2 ;
3 2 2) y = log 2 (7 − 5x ) — область определения 7 − 5x > 0 ; x < 1 ; 5
3) y = log 1 (x 2 − 2) — область определения x2 – 2 > 0; x < − 2 и x > 2
2
2;
2
4) y=log7(4–x ) — область определения 4–x >0; –2<x<2. 355. 1) log3(x+2)<3; log3(x+2)
1, то x2+2<27; x2<25; –5<x<25, значит, –2<x<5; 2) log8(4–2x)≥2; log8(4–2x)≥log882; т.к. 8>1, то 4–2x≥64; 2x≤–60; x≤–30; 1 3) log 3 (x + 1) < −2 ; log 3 (x + 1) < log 3 3 −2 ; т. к. 3 > 1 , то x + 1 < ; 9 8 8 x < − , значит, − 1 < x < − ; 9 9 −2 1 4) log 1 ( x − 1) ≥ −2 ; log 1 ( x − 1) ≥ log 1 1 , т. к. < 1 , то x–1≤9; x≤10, 3 3 3 3 3 значит, 1<x≤10; −1
1 5) log1 ( 4 − 3x ) ≥ −1 ; log1 ( 4 − 3x) ≥ log1 , т. к. 1 < 1 , то 4 − 3x ≤ 5 ; x ≥ − 1 ; 3 5 5 5 5 5 −2
2 6) log 2 (2–5x)<–2; log 2 (2–5x)< log 2 ; т. к. 2 < 1 ; то 2–5x> 9 ; x<–0,05. 3 4 3 3 33 356. 1) lg x > lg 8 + 1 ; lg x > lg 8 + lg10 ; lg x > 80 ; т. к. 10 > 1 , то x > 80 ; 2) lg > 2 − lg 4 ; lg x > lg10 2 − lg 4 ; lg x > lg 100 ; т. к. 10 > 1 , то x > 25 ; 4
104
www.5balls.ru
3) log2(x–4)<1; log2(x–4)1, то x–4<2; x<6, значит, 4<x<6; 4) log1 (3x − 5) > log1 ( x +1) , т. к. 1 <1, то 3x–5x+1; x< 3 , значит, 12 < x < 3 ; 5
5
5
3
357. 1) log15(x–3)+log15(x–5)<1; log15 (x − 3)(x − 5) < log15 15 , т.к. 15>1; x2–8x+15<15; x(x–8)<0; 0<x<8, значит, 5<x<8; −2
1 2) log 1 ( x − 2 ) + log 1 (12 − x ) ≥ −2 ; log 1 ( x − 2 )(12 − x ) ≥ log 1 , т.к. 3 3 3 3 3 1 < 1 , то 14x–x2–24≤93; x2–14x+33≥0; x≤3 и x≥11, значит, 2<x≤3, и 11≤x<12. 3 358. 1) y = log5(x2 − 4x + 3) — область определения x2–4x+3>0; x<1, x>3; 2) y = log 6 3x + 2 — область определения 3x + 2 > 0 ; − 2 < x < 1 ; 1− x
1− x
3
x > 0 3) y = lg x + lg(x + 2) — область определения x + 2 > 0 ; lg x(x + 2) ≥ 0
x > 0 ; x≥ x > −2 2 x + 2 x − 1 ≥ 0
2 −1 ; x − 1 > 0
4) y = lg(x − 1) + lg(x + 1) — область определения x + 1 > 0
;
2 lg(x − 1) ≥ 0
x > 1 ; 2 x − 1 ≥ 1
x > 1 ; x≥ 2. 2 x ≥ 2 359. 1) log 5 3x − 2 > 0 ; log 5 3x − 2 > log 5 1 ; т. к. 5 > 1 , то 3x − 2 > 1 ; x2 +1 x2 +1 x2 +1 2 2 x − 3x + 3 > 0 ; x> ; 3 3x − 2 > 0
2) log 1 2
2 2x 2 + 3 2x 2 + 3 1 < 0 ; log 1 < log 1 1 ; т. к. < 1 , то 2 x + 3 > 1 ; 2 x−7 x−7 x−7 2 2
2 x 2 − x + 10 > 0 ; x >7; x − 7 > 0
3x − 4 < 2 x + 1 3) lg(3x − 4) < lg(2x + 1) , т. к. 10>1, то 2 x + 1 > 0 ; 3x − 4 > 0
x < 5 1 1 ; 1 < x < 5; x > − 2 3 x > 1 1 3
105
www.5balls.ru
2 x + 3 < x + 1 4) log 1 ( 2x + 3) > log 1 ( x + 1) , т. к. 1 < 1 , то 2x + 3 > 0 ; 2 2 2 x + 1 > 0 нет действительных решений 360. 1) log8(x2–4x+3)<1; log8(x2–4x+3)1, то x 2 − 4x + 3 < 8 x 2 − 4x − 5 < 0 ; ; −1 < x < 1 , и 3 < x < 5 ; 2 x − 4x + 3 > 0 x 2 − 4x + 3 > 0 2) log 6 (x 2 − 3x + 2) ≥ 1 ; log 6 (x 2 − 3x + 2) ≥ log 6 6 , т. к. 6>1, то x 2 − 3x + 2 ≥ 6 ; 2 x − 3x + 2 > 0
x < −2 x > −1,5 — x > −1
x 2 − 3x − 4 ≥ 0 ; x ≤ −1 , и x ≥ 4 ; 2 x − 3x + 2 > 0
3) log3 (x 2 + 2x) > 1 ; log3 (x 2 + 2x) > log3 3 , т. к. 3 > 1 , 2 то x + 2x > 3 ; 2
x 2 + 2x > 0
x +2x–3>0; x<–3, и x>1.
(
(
)
−1
)
2 2 4) log 2 x 2 − 2,5x < −1 ; log 2 x 2 − 2,5x < log 2 , т. к. < 1 , то 3 3 3 33 x2–2,5x>1,5; x2–2,5x–1,5>0; x<–0,5, и x>3. 361. 1) lg(x2–8x+13)>0; lg(x2–8x+13)>lg1, т. к. 10>1, то x2–8x+13>1; x2–8x+12>0; x<2, и x>6; 1 2) log 1 (x 2 − 5x + 7) < 0 ; log 1 (x 2 − 5x + 7) < log 1 1 ; т. к. < 1 , то 5 5 5 5 x2–5x+7>1; x2–5x+6>0; x<2, и x>3; 3) log2(x2+2x)<3; log2(x2+2x)1, то 2 x + 2 x < 8 x 2 + 2x − 8 < 0 ; ; −4 < x < −2 , и 0 < x < 2 ; 2 x + 2 x > 0 x(x + 2) > 0 −3
1 1 4) log 1 (x 2 − 5x − 6) ≥ −3 ; log 1 (x 2 − 5x − 6) ≥ log 1 , т. к. < 1 , то 2 2 2 2 2 x 2 − 5x − 6 ≤ 8 ; 2 x − 5x − 6 > 0
x 2 − 5x − 14 ≤ 0 ; −2 ≤ x < −1 , и 6 < x ≤ 7 . 2 x − 5x − 6 > 0
362. 1) log 1 log 2 x 2 > 0 ; log 1 log 2 x 2 > log 1 1 , т. к. 3
3
3
x 2 < 2 ; − 2 < x < −1 ; и 1 < x < 2 2 x > 1
106
www.5balls.ru
1 < 1 , то 3
log 2 x 2 < 1 ; log 2 x 2 > 0
2) log 3 log 1 (x 2 − 1) < 1 ; log3 log 1 (x 2 − 1) < log33 , т. к. 3 > 1 , то 2
2
log 1 (x 2 − 1) < 3 2 ; т. к. 1 < 1 , то 2 2 log 1 (x − 1) > 0 2
x 2 − 1 > 0 2 1 x − 1 > 2 x 2 − 1 < 1
(); 3
− 2<x<−
3 2 2
3
<x< 2. 2 2 363. log 0,2 x − log5 (x − 2) < log 0,2 3 ; log 0,2 x + log 0,2 (x − 2) < log 0,2 3 , т.к.
и
x 2 − 2 x > 3 x 2 − 2 x − 3 > 0 ; ; 1) 0,2<1, то log 0,2 x(x − 2) < log 0,2 3 ; x > 0 x > 2 x − 2 > 0 x >3; 2) lg x − log 0,1 (x − 1) > log 0,1 0,5 ; lg x + log 0,1 (x − 1) > log 0,5 ;
x 2 − x > 2 lg x(x − 1) > lg 2 , т. к. 10 > 1 , то x > 0 ; x − 1 > 0
x 2 − x − 2 > 0 ; x > 2. x > 1
364. 1) log02, 2 x − 5 log0, 2 x < −6 ; log0,2 x = a; a2 – 5a + 6 < 0; 2 < a < 3; log0,2 0,04 < log0,2 x < log0,2 0,008; 2 < log0,2 x < 3; x > 0 . 0,04 > x > 0,008 Итак, 0,008 < x < 0,04. 2) log02,1 x + 3 log0,1 x > 4 ; log0,1 x = a; a2 + 3a – 4 > 0; a < –4 или a > 1; log0,1 x < –4 или log0,1 x > 1; или log0,1 x > log0,1 0,1 log0,1 x < log0,1 10000 x > 0 x > 0 ; 0 < x < 0,1. ; x > 10000 или x < 0,1 x > 10000 Ответ: 0 < x < 0,1 и x > 10000. 1 2 365. 1) + < 1; 5 − log x 1 + lg x lgx = a;
1 + a + 2(5 − a ) − (5 − a )(1 + a ) < 0; (5 − a )(1 + a )
a 2 − 5a + 6 < 0; (5 − a )(1 + a )
107
www.5balls.ru
a 2 − 5a + 6 < 0 ; (5 − a)(1 + a) > 0
2 < a < 3 , −1 < a < 5
т.е. 2 < a < 3 или
a 2 − 5a + 6 > 0 a < 2, a > 3 , т.е. a < – 1, a > 5; ; (5 − a)(1 + a) < 0 a < −1, a > 5 lgx < – 1, 2 < lgx < 3, lgx > 5 x > 0 . x < 0,1, 100 < x < 1000, x > 100000
Итак, 0 < x < 0,1, 100 < x < 1000, x > 100000. Ответ: 0 < x < 0,1, 100 < x < 1000, x > 100000. log3 (8 – 4 ⋅ 3 – x) < log3 3x + 1; 2) log3 (2 – 3 – x) < x + 1 – log3 4; 8 − 4 ⋅ 3− x > 0 3− x < 2 ; ; 8 − 4 ⋅ 3− x < 3x ⋅ 3 8 ⋅ 3x − 4 < 3 ⋅ 3x ⋅ 3x log 2 −x 3 < 3 3 ; x 2 x 3(3 ) − 8 ⋅ 3 + 4 > 0
x > − log3 2 ; x 2 x 3 < , 3 >2 3
x > − log 2 = log 1 3 3 2 ; 2 x < log3 , x > log3 2 3
1 2 < x < log 3 , x>log32. 2 3 1 2 Ответ: log 3 < x < log 3 , x>log32. 2 3 3) log x 2 −3 (4x + 7) > 0; log x 2 −3 (4 x + 7) > log x 2 −3 1 ; Итак, log 3
x > − 7 4 4x + 7 > 0 3 4x 7 1 ; x ; + > > − 2 2 x − 3 > 1 x 2 > 4
−
7 <x<– 4
x > − 7 4 x < − 3 ; 2 −2 < x < 2 − 3 > x , x > 3
3.
Ответ: − 7 < x < – 4
4x + 7 > 0 4x + 7 < 1 x > 2 или ; 2 x − 3 < 1 x 2 − 3 > 0
3 , x > 2.
4) log x −1 ( 6 − 2x) < 0; log x −1 ( 6 − 2x) < log x −1 1 5x −6
6 x < 2 − > 6 2x 0 6 −1 6 − 2x < 1 ; x > 2 ; x −1 >1 −4x + 5 > 0 5x − 6 5x −6
5x −6
6 −1 6 <x< 2 2 ; 6 < x < 5 5 4
108
www.5balls.ru
5x −6
6 6 <x< 5 2
или
6 − 2x > 1 x −1 5x −6 > 0 ; x −1 < 1 5x −6
6 −1 x < 2 6 x < 1, x > 5 ; −4x +5 < 0 5x −6
Ответ: x < 6 − 1 , 6 < x < 2
5
6 −1 x < 2 6 x < 1, x > 5 ; x > 6 , x > 5 5 4
x<
6 −1 . 2
6 . 2
109
www.5balls.ru
2
366.
3x − 1
≤
7 9x − 2
2 2(a − 2) ≤ 7(a − 1) ; 2 (a − 1)(a − 2) > 0
итак,
; 3х = а;
2 2a − 7a + 3 ≤ 0 ; 2 (a − 1)(a − 2) > 0
1 ≤ a < 1, и 2
2 2(a − 2) ≥ 7(a − 1) ; 2 (a − 1)(a − 2) < 0
2 7 ; ≤ a −1 a2 − 2 1 2 ≤ a ≤ 3 ; − 2 < a < 1, a > 2
2 < a ≤ 3 или 2 2a − 7a + 3 ≥ 0 ; 2 (a − 1)(a − 2) < 0
1 3х < 1; ≤ 2
1 a ≤ 2 , a ≥ 3 ; a < − 2, 1 < a < 2
2 < 3x ≤ 3;
– log32 ≤ x < 0;
log3 2 < x ≤ 1.
3x < –
a<− 2
2;
В третьем случае решений нет.
Ответ: – log32 ≤ x < 0, log3 2 < x ≤ 1. 367. 4х ( 161− х − 1 + 2) < 4 |4x – 1|; 4x ⋅ 161− х − 1 < 4 |4x – 1| - 2 ⋅ 4x. Левая часть неравенства всегда неотрицательна, поэтому неравенство возможно только при 1− x 16 − 1 ≥ 0 ; x x 4 | 4 − 1| −2 ⋅ 4 > 0
161− x ≥ 1 ; x x 2 | 4 − 1|> 4
x ≤ 1
x ≤ 1
x 4 < 1
x < 0
1 − x ≥ 0 x 4 > 2 ; x 4 ≥ 1
x ≤ 1 1 x > 2 , x ≥ 0
т.е.
1 <x≤1 2
1 или 3 ⋅ 4x < 2; x < log 4 2 ; т.е. x < 0, итак, х<0 и < x ≤ 1. 2 3
а) Пусть x < 0, перепишем неравенство, раскрыв модуль 4х 161− х − 1 < 4 (1 – 4x) – 2 ⋅ 4x; 16x (161 – x – 1) < 16 – 48 ⋅ 4x + 36 ⋅ 16x; 37a2 – 48a > 0; x < 0 x 48 ; 4 > 37
б)
4х 161− х − 1 < 4 – 6 ⋅ 4x; 4x = a; 48 a < 0 — решений нет или a > , т.е. 37 решений нет.
1 < x ≤ 1, перепишем неравенство, раскрыв модуль 2
4х 161− х − 1 < 4 (4x – 1) – 2 ⋅ 4x; 4х 16х (161 – х – 1) < 4 ⋅ 16x + 16; 5a2 – 16a > 0;
161− х − 1 < 2 ⋅ 4x – 4; 4x = a; 16 a < 0 — решений нет или a > , т.е. 5
108
www.5balls.ru
1 < x ≤ 1 1 2 < x ≤1 ; 2 ; итак, 1 ≥ х > 2 – log45. 4x > 16 x > 2 − log 4 5 5 Ответ: 2 – log45 < x ≤ 1. 368. 1) log15225 = log15152 = 2; 2) log4256 = log444 = 4;
3) log3 1 = log33 – 5 = – 5;
4) log7 1
243
343
= log77 – 3 = – 3.
−3
−4
1 1 369. 1) log 1 64 = log 1 = −3; 2) log 1 81 = log 1 = −4; 3 3 3 4 44 3
6
1 1 = log 1 = 3; 3 27 3 3 370. 1) log11 1 = log11 (11)° = 0;
1 1 = log 1 = 6 . 2 64 22 2) log7 7 = log7 71 = 1;
3) log 1
4) log 1
3) log16 64 = log 24 26 = 6 log2 2 = 6 ; 4
371. 1) (0,1) − lg 0,3 = (0,1) 3) 5− log5 3 = 5
log
1 53
=
4) log27 9 = log33 32 = 2 log3 3 = 2 .
4
log 0 ,1 0,3
3
2) 10− lg 4 = 10
= 0,3 ;
1 ; 3
1 4) 6
− log 4 6
1 lg 4
1 = 6
=
log
1 6
3
1 ; 4 4
=4.
2 372. 1) 4log1 3 − log1 27 − 2log1 6 = 4log1 3 − 2log1 3 − 2log1 3 − 2log1 2 = 2log2 2 = 2 ; 3 2 2 2 2 2 2 2
2) 2 lg 0,001 + lg 3 1000 − 3 lg 10000 = − 2 lg103 + lg10 − 3 lg100 = = – 2 + 1 –
3 6 – = – 11 = – 2,2. 5 5
5
3
5
373. Вычислить с помощью микрокалькулятора. 2) y = log 1 x 374. 1) у = log4 x; 4
у
у х х
Функция у = log4x является возрастающей, а y = log 1 x — убывающая. 4
Функция у = log4x принимает положительные значения при x > 1, а y = = log 1 x принимает положительные значения при x < 1. 4
Функция у = log4x принимает отрицательные значения при x < 1, а y = = log 1 x принимает отрицательные значения при x > 1. 4
Обе функции принимают значения, равные нулю, в точке х = 1.
109
www.5balls.ru
375. 1) у = log0,2 x — убывающая, т.к. 0,2 < 1; 2) y = log
5
x — возрастающая, т.к.
3) у = log 1 x — убывающая, т.к. е
4) у = log
3 2
x — убывающая, т.к.
1 е
5 > 1;
< 1; 3 2
376. 1) log3 x = 5 – x;
< 1. 2) log 1 x = 3x. 3
1) Построим графики функций у1 = log3 x и у2 = 5 – х. Видим, что они пересекаются в точке х1 ≈ 3,8. Это и есть решение уравнения.
2) Построим графики функций у1 = log 1 х и у2 = 3х. Видим, что они 3
пересекаются в точке х1 =
1 . Это и 3
есть решение исходного уравнения. у
х
x
377. 1) y = log7 (5 – 2x); 5 – 2x > 0; x < 2,5. Ответ: x < 2,5. 2) y = log2 (x2 – 2x); x2 – 2x > 0; x < 0 и x > 2. Ответ: x < 0, x > 2. 7 − 8х = 4 378. 1) log 1 (7 – 8х) = – 2; ;х= 3. 2
7 − 8х > 0
х 2 − 2 = х 2 2) lg (x – 2) = lgx; х 2 − 2 > 0 ; x > 0
8
Ответ: х = 3 . 8
x = −1, x = 2 x < − 2 , x > 2 ; х = 2. Ответ: х = 2. x > 0
х 2 − 2x > 0 379. 1) lg (x2 – 2x) = lg30 – 1; lg (x2 – 2x) = lg3; ; x 2 − 2 x = 3
Ответ: х1 = 3, х2 = – 1. х1 = 3, х2 = – 1. 2) log3 (2x2 + x) = log3 6 – log3 2; log3 (2x2 + x) = log3 3; 2 х 2 + x = 3 3 Ответ: х1 = 1, х2 = – 1,5. ; х1 = 1, х2 = – . 2 2 2 x + x > 0
3) lg2 x – 3lgx = 4; lgx = a; a2 – 3a – 4 = 0; a = – 1, a = 4; Ответ: x1 = 0,1, x2 = 10000. lgx = – 1, lgx = 4; x1 = 0,1, x2 = 10000.
110
www.5balls.ru
4) log22 x − 5 log2 x + 6 = 0; log2 x = a; a 2 − 5a + 6 = 0; а = 2, а = 3; Ответ: x1 = 4, x2 = 8. log2 x = 2, log2 x = 3; x1 = 4, x2 = 8. 380. 1) log2 (x – 2) + log2 (x – 3) = 1; log 2 ( x − 2)( x − 3) = log 2 2 x 2 − 5x + 6 = 2 x = 1, x = 4 ; ; ; x > 3 x > 3 x − 2 > 0, x − 3 > 0 х = 4. Ответ: х = 4. 2) log3 (5 – x) + log3 ( – 1 – x) = 3; log3 ( х − 5)( х + 1) = log3 27 x 2 − 4 x − 32 = 0 x = 8, x = −4 ; ; x < −1 x < −1 5 − х > 0, − 1 − х > 0 х = – 4. Ответ: х = – 4. 3) lg (x – 2) + lg x = lg 3; lg ((x – 2) ⋅ x) = lg 3; x = 3, x = −1 x 2 − 2 x − 3 = 0 ; ; x − 2 > 0, x > 0 x > 2 x = 3. Ответ: х = 3. 4) log 6 (х – 1) + log 6 (х + 4) = log 6 6; log 6 ( х − 1)( х + 4) = log x − 1 > 0, x + 4 > 0
6 x 2 + 3x − 10 = 0 x = −5, x = 2 ; ; x > 1 x > 1 Ответ: х = 2. log 2 ( x − 5) ≤ log 2 4;
6
х = 2. 381. 1) log 2 ( x − 5) ≤ 2; x − 5 ≤ 4 x ≤ 9 ; 5 < x ≤ 9. ; x − 5 > 0 x > 5 2) log3 (7 – x) > 1; log3 (7 – x) > log3 3; 7 − x > 3 x < 4 ; x < 4. ; 7 − x > 0 x < 7
Ответ: 5 < x ≤ 9.
Ответ: х < 4.
3) log 1 (2 x + 1) > −2; log 1 (2 x + 1) > log 1 4; 2
2
2
x 3 1 3 2x + 1 < 4 < 2 1 3 Ответ: − < x < . ; ; − <x< . 1 2 2 2x 1 0 + > 2 2 x > − 2 4) log 1 (3 − 5x) < −3; log 1 (3 − 5x) < log 1 8; 2
2
2
x < −1 3 − 5x > 8 ; 3 ; х < – 1. 3 − 5x > 0 x < 5
Ответ: х < – 1.
111
www.5balls.ru
x > 6 5 5 6 5 x < ; <x< . 4 5 4 x > 1 6 5 Ответ: < x < . 5 4 x ≤ −4 2x + 5 ≤ x + 1 5 2x + 5 > 0 ; x > − 2 ; x + 1 > 0 x > −1
5 − 4x < x − 1 382. 1) log3 (5 – 4x) < log3 (x – 1); 5 − 4x > 0 ; x − 1 > 0
2) log0,3 (2x + 5) ≥ log0,3 (x + 1);
решений нет. Ответ: решений нет. x 2 + 2x + 2 < 10 x 2 + 2x − 8 < 0 383. 1) lg (x2 + 2x + 2) < 1; ; ; −4< x < 2 x 2 + 2x + 2 > 0 x ∈ R Ответ: −4 < x < 2 . 2 x + 7 x − 5 > 3 ; x2 + 7x – 8 > 0; 2) log3 (x2 + 7x – 5) > 1; x 2 + 7 x − 5 > 0 x < – 8 и x > 1. Ответ: х < – 8 и x > 1. 4 − 1 8 8 8 384. 1) log 3 3 = log 31 3 3 = − log3 3 = − . Ответ: − . 3 3 3 2 3 3 2) log
1 5
4
25 5
3) 22− log 2 5 = 4) 3,6
−
9 4
52
2
2
2log 2 5
log3, 6 10+1
5) 2 log5
= log 1 5 =
9 9 = − log5 5 = − . 2 2
Ответ: −
4 . 5
Ответ:
= 3,6 ⋅ 10 = 36 .
9 . 2
4 . 5
Ответ: 36.
1 5 + 3 log 2 8 = 2 ⋅ + 3 ⋅ 3 = 10 . 2
Ответ: 10.
Ответ: 2. 6) log2 log2 log2 216 = log2 log216 = log2 4 = 2. 1 1 1 385. 1) log 1 и log 1 ; log 1 = log2 3 > log2 2 = 1, 2 3 3 2 2 3 1 1 1 log 1 = log3 2 < log3 3 = 1. Значит, log 1 > log 1 . 3 2 2 3 3 2 2 log 2 5+ log 1 9
2) 2
9
2 log 2 5+ log 1 9
и
2
8;
2 log 2 5+ log 1 9
Значит, 2
9
>
8.
112
www.5balls.ru
9
= 22 log 2 25−1 =
25 > 8. 2
386. log30 64=
lg 26 6 lg 2 6(lg10 − lg 5) 6 − 6 lg 5 1,806 = = = ≈ ≈ 1,223 . lg(3 ⋅10) lg 3 + 1 lg 3 + 1 1 + lg 3 1,4771
Ответ: ≈ 1,223 . 387. l og36 15 =
lg 5 + lg 3 lg 5 + lg 3 1,1761 ≈ ≈ 0,756 . = 2 lg 3 + 2 lg 2 2 lg 3 + 2 − 2 lg 5 1,5562
Ответ: ≈ 0,756 . 388. 1) logx 8 < logx 10; т.к. 8 < 10 и logx 8 < logx 10, то функция возрастает, значит, x > 1. 2) log x 3 < log x 1 ; т.к. 3 > 1 и log x 3 < log x 1 , то функция убывает, зна4
2
4
2
4
2
чит, 0 < x < 1. 389. 1) Построим графики функ- 2) Построим графики функций у1 = х ций y1=log3 x и y2= 3 . Видим, что = 2 и у2 = log 1 х. Видим, что они пех
2
они пересекаются в точке х1=3. Зна- ресекаются в точке х1 ≈ 0,4. Значит, х ≈ 0,4 есть решение уравнения. чит х = 3 — решение уравнения. у
у
y1 = log3 x х
х
390. 1) 34х = 10; 4х = log3 10; x = 1 log3 10. Ответ: x = 1 log3 10. 4
4
2) 23х = 3; 3х = log2 3; x = 1 log2 3.
Ответ: x = 1 log2 3.
3
3х – 2
3) 1,3
3
= 3; 3х – 2 = log1,3 3; x = 1 (log1,3 3 + 2). 3 Ответ: x = 1 (log1,3 3 + 2). 3
4) 1
5+ 4 х
3
= 1,5; 5 + 4х = log 1 1,5; х = 1 ( log 1 1,5 – 5). 3
4
3
Ответ: х = 1 ( log 1 1,5 – 5). 5) 16х – 4х + 1 – 14 = 0; 4х = а; а2 – 4а – 14 = 0;
4
3
а1 = 4 + 6 2 , а2 = 4 − 6 2 ; 4х = (2 + 3 2 ); х = log4 (2 + 3 2 ) 2
2
4−6 2 < 0; решений нет. Ответ: х = log4(2 + 3 2 ). 2 6) 25х + 2 ⋅ 5х – 15 = 0; 5х = а; а2 + 2а – 15 = 0; а1 = 3, а2 = – 5; или 4х =
113
www.5balls.ru
5х = 3; х = log5 3 или 5x = – 5 < 0 — решений нет. Ответ: х = log5 3. 1 1 11 11 391. 1) log3 x + log9 x + log27 x = ; log3 x + log3 x + log3 x = ; 12 2 3 12 11 1 11 log3 x = ; log3 x = ; x = 3 . 6 12 2 Ответ: x = 3 . 2) log3 x + log 3 х + log 1 х = 6; log3 x + 2log3 x – log3 x = 6; 3
log3 x = 3; х = 27.
Ответ: х = 27. log3 x = 4 log3 2; 3) log3 x ⋅ log2 x = 4 log3 2; log3 x ⋅ log3 2 log32 x = 4 log32 2 ; log3 x = 2 log3 2 или log3 x = – 2 log3 2; х1 = 4 или х2 =
1 . 4
Ответ: х1 = 4; х2 =
1 . 4
4) log3 x ⋅ log3 x = 9 log5 3; log5 х ⋅ log5 x = 9 log5 3; log5 3
log52 x = 9 log52 3 ; log5 x = 3log5 3 или log5 x = – 3 log5 3; 1 . 27 2 392. 1) log3 (2 – x ) – log3 ( – x) = 0; x < 0 − x > 0 2 ; − 2 < x < 2 ; 2 − x > 0 2 2 log3 x − 2 = log3 1 x − 2 = x x х1 = 27 или х2 =
Ответ: х1 = 27; х2 =
1 . 27
x < 0 − 2 < x < 2, x = −1 . x = 2, x = −1
Ответ: х = – 1. 2) log5 (x2 – 12) – log5 ( – x) = 0; 2 x < − 2 3, х > 2 3 x < − 2 3, x > 2 3 x − 12 > 0 ; x < 0 ; x < 0, ; − x > 0 2 2 x = − 4, x = 3 log 5 12 − х = log 5 1 12 − x = x x х = – 4. Ответ: х = – 4. 3) log 2 x − 3 + log 2 3x − 7 = 2 ; x − 3 > 0 ; 3x − 7 > 0 log (x − 3)(3x − 7) = log 4 2 2
x > 3 7 ; x > 3 (x − 3)(3x − 7) = 16
114
www.5balls.ru
x > 3 7 ; x > 3 2 3x − 16x + 5 = 0
x > 3 1; x = 5, x = 3
х = 5.
Ответ: х = 5.
4) lg (x + 6) – lg 2 x − 3 = lg4; x + 6 > 0 ; 2x − 3 > 0 (х + 6) = 4 2х − 3
x > 3 2 ; х 2 + 12х + 36 = 32х − 48
x > 3 ; x1 = 14, х2 = 6. 2 x = 14 , х = 6
393. 1) log
2
x > 3 2 ; x 2 − 20x + 84 = 0
Ответ: x1 = 14, х2 = 6.
1 x + 4 log 4 x + log8 x = 13; 2 log 2 x + 2 log 2 x + log 2 x = 13 ; 3
log 2 x = 3; х = 8.
Ответ: х = 8.
1 2) log 0,5 (x + 2) − log 2 (x − 3) = log 1 (−4x − 8); 2 2 − log2 ( x + 2) − log2 ( х − 3) = − log2 (−4x − 8) ; x + 2 > 0 x − 3 > 0 ; −4x − 8 > 0 (x + 2)(x − 3) = −4x − 8
x > −2 x > 3 ; решений нет. x < −2 2 x + 3x + 2 = 0
Ответ: решений нет. 1 1 1 394. 1) log 1 5 + log 1 12 + logx 3 = 1; − logx 5 − logx 12 + logx 3 = logx x ; 2 2 2 x x2 3 = log x x; 12 ⋅ 5
log x
2)
x = 1 1 . ;х= 10 10 x ≠ 1, x > 0
Ответ: х = 0,1.
1 1 1 logx 7 − log 1 9 − logx2 28 = 1; log x 7 + 2log x 3 − log x 28 = log x x; 2 2 2 x
log x
9⋅ 7 = log x x; 28
x = 9 2 ; x = 4,5 . x > 0, x ≠ 1
2 >0 x −1 395. 1) log 2 = log x; x > 0 ; 2 2 x −1 2 =x x −1
Ответ: х = 4,5.
x > 1 x > 1 ; ; x > 0 x = 2, x = −1 2 x − x − 2 = 0
х = 2.
Ответ: х = 2.
115
www.5balls.ru
10 > 0 7− x 2) log 1 10 = log 1 x; x > 0 ; 2 7−x 2 10 =x 7− x
x < 7 ; x > 0 2 x − 7x + 10 = 0
х1 = 2, х2 = 5.
x +8 > 0 x −1 3) lg x + 8 = lg x; x > 0 ; x −1 x +8 =x x −1
x < −8, x > 1 ; x > 0 2 x − 2x − 8 = 0
x −4 > 0 x −2 4) lg x − 4 = lg x; x > 0 ; x−2 x −4 =x x −2
x < 2, x > 4 ; x > 0 2 x 3x 4 0 − + =
Ответ: х1 = 2, х2 = 5. x > 1 ; x = 4, x = −2
х = 4.
решений нет. 396. 1) log 6 ( x − 4) + log x − 4 > 0 x + 1 > 0 log ( x − 4)( x + 1) ≤ log 6
Ответ: х = 4. x < 2, x > 4 ; x > 0 решений нет
Ответ: решений нет.
( x + 1) ≤ 2; 6
x > 4 ; x > −1 ; 2 6 6 x − 3x − 4 ≤ 6
x > 4 ; 4 < x ≤5. − 2 ≤ x ≤ 5
2) log 3
2
( x − 5) + log 3
2
x < 7 ; x > 0 x = 2, x = 5
x > 4 ; 2 x − 3x − 10 ≤ 0
Ответ: 4 < x ≤ 5 . ( x + 12) ≤ 2;
x − 5 > 0 x + 12 > 0 log 3 2 ( x − 5)( x + 12) ≤ log3
x > 5 x > 5 ; x > −12 ; ; − 13 ≤ x ≤ 6 2 18 2 x + 7 x − 78 ≤ 0
5< x ≤ 6. 3) log3 (8x 2 + x ) > 2 + log3 x 2 + log3 x; 8x 2 + x > 0 ; x > 0 2 3 log3 (8x + x ) > log3 9 x
1 x < − 8 , x > 0 ; x > 0 2 x (9 x − 8x − 1) < 0
x < 0 ; 0 < x < 1. 1 − 9 < x < 1 4) log2 x + log2 ( x − 3) > log2 4; x > 0 ; 2 9 x − 8x − 1 < 0
116
www.5balls.ru
Ответ: 5 < x ≤ 6 .
x > 0 ; x (9x 2 − 8x − 1) < 0
Ответ: 0<x<1.
x > 0 ; x − 3 > 0 log x ( x − 3) > log 4 2 2
x > 0 x > 3 ; ; x > 3 x < −1, x > 4 2 x − 3x − 4 > 0
x > 4. 5) log 1 (x − 10) − log 1 (x + 2) ≥ −1; 5
Ответ: x > 4.
5
x − 10 > 0 x > 10 x > 10 ; x > −2 ; ; x + 2 > 0 x − 10 ≤ 5x + 10 x ≥ −4 x −10 ≥ log 1 5 log 1 5 5 x+2 x > 10. 6) log 1 (x + 10) + log 1 (x + 4) > −2; 7
Ответ: x > 10.
7
x + 10 > 0 x + 4 > 0 log ( x + 10)( x + 4) > log 1 7
1
x > −4 x > −4 ; 2 ; ; x + 14 x + 33 < 0 − 11 < x < −3 7
7
– 4 < x < – 3. Ответ: – 4 < x < – 3. 397. 1) 4 log4 x – 33 logx 4 ≤ 1; 4log x − 33 − 1 ≤ 0 4 log 24 −log 4 x −33 ≤0 4 log 4 x ; ; обозначим log 4 x = а; log 4 x x ≠ 1, x > 0 x ≠ 1, x > 0
4a 2 − a − 33 ≤ 0 ; a > 0 x ≠ 1, x > 0 1< x ≤ 4
1− 265 1+ 265 8 ≤a≤ 8 1+ 265 0 < log 4 x ≤ ; 8 ; a > 0 x ≠ 1, x > 0 x ≠ 1, x > 0
1+ 265 8
или 1− 265 1+ 265 4a 2 − a − 33 ≥ 0 a ≤ 8 , a ≥ 8 1− 265 log x ≤ ; a < 0 ; 4 8 ; a < 0 x ≠ 1, x > 0 x ≠ 1, x > 0 x ≠ 1, x > 0 1− 265
0<x≤4 8 . 2) logх 3 ≤ 4 (1 + log 1 х);
1− 265 8
Ответ: 0 < x ≤ 4
и 1< x ≤ 4
1+ 265 8
.
3
117
www.5balls.ru
1 ≤ 4 − 4log x 3 log x ; 3 x > 0, x ≠ 1
4 log 2 x − 4 log x +1 3 3 ≤0 ; log3 x x > 0, x ≠ 1
т.к. 4 log32 x − 4 log3 x + 1 ≥ 0 при любых х ∈ R, то log3 x < 0 ; 0 < x <1 x > 0, x ≠ 1
4 log32 x − 4 log3 x + 1 = 0;
или
1 Ответ: 0 < x < 1, x = 3 . , x= 3. 2 398. Пусть а1, а2, … — геометрическая прогрессия из положительных чисел; тогда ai + 1 = ai ⋅ q. Рассмотрим последовательность logba1, log ba2, … В этой последовательности logbai + 1 = logb (ai ⋅ q) = logbai + logbq, т.е это арифметическая прогрессия с разностью d = logbq. 399. Пусть a1, a1q, a1q2 — искомая последовательность, тогда a1 + a1q + a1q2 = 62, lga1 + lga1 + lgq + lga1 + 2lgq = 3lga1 + 3lgq = 3 (lga1q) = 3, lga1q = 1, a1q = 10. log3 x =
a1 (1 + q + q2) = 62; a1q = 10; a1 = 10 ; 10 (1 + q + q2) = 62; q
q
10 + 10 + 10q = 62; 10 + 10q – 52 = 0; 10q2 – 52q + 10 = 0; q q
q1 = 5 или q2 = 1 ; a1 = 2 или a1 = 50. 5
В обоих случаях искомые числа: 2, 10, 50. 400. 1) 2) у
у
х
х
log x 9
1
401. 1) x lg 9 + 9lg x = 6; x log x 10 + 9lg x = 6; 9 log x 10 + 9lg x = 6 ; 9lg x = 3; lg x = 2) x
2 3 lg3 x − lg x 3
1 ; x = 10 . 2
Ответ: x = 10 .
2 7 = 100 3 10; lg x(3lg3 x − lg x) = ; lg 2 x = a; 3 3
118
www.5balls.ru
9а2 – 2а – 7 = 0; а1 = 1 или а2 = –
7 ; lg2x = 1, lgx = ± 1, x1 = 10 9
или x2 = 1 или lg2x = – 7 — решений нет. 10
9
Ответ: х1 = 10, х2 = 1 . 10
402. 1) 3 + 2 logx + 13 = 2 log3 (x + 1); log3 x + 1 = a; 2 1 2a = + 3 2a 2 − 3a − 2 = 0 a = 2, a = − a 2; ; ; x ≠ 0 x ≠ 0 x + 1 ≠ 1 log (x + 1) = 2, log (x + 1) = 1 3 3 2; x ≠ 0
x = 8, x = 3 − 1 ; x1 = 8, x 2 = 3 − 1 . x ≠ 0
Ответ: х1 = 8, x 2 = 3 − 1 . 2) 1 + 2 logx + 2 5 = log5 (x + 2); log5 (x + 2) = a; 2 a = + 1 a 2 − a − 2 = 0 a = −1, a = 2 log5 (x + 2) = −1, log5 (x + 2) = 2 ; a ; ; ; x ≠ −1 x ≠ −1 x + 2 ≠ 1 x ≠ −1 9 9 x1 = 23; x2 = – . Ответ: x1 = 23; x2 = – . 5 5 403. 1) log2 (2x – 5) – log2 (2x – 2) = 2x; x 2 − 5 > 0 x > log 2 5 x x ; x 2 − 2 > 0 4 ; 2 = a; x 2 5 (2 2) − = − ⋅ x 2x log 2 2x −5 = log 2 22 − x 2 −2 x > log 2 5 x > log 2 5 x > log 2 5 ; ; 8 ; 2 a − 5 = 4 − a a − 9a + 8 = 0 a = 1, a = 8 x > log 2 5 x > log 2 5 ; ; х = 3. x 2 = 1, 2 x = 8 x = 0, x = 3 2) log1 – x (3 – x) = log 3 – x (1 – x); 3 − x > 0, 3 − x ≠ 1 ; 1 − x > 0, 1 − x ≠ 1 1 log1− x (3 − x) = log1−x (3− x)
Ответ: х = 3.
x < 3, x ≠ 2 x < 1, x ≠ 0 ; ; x < 1, x ≠ 0 log (3 − x) = ±1 3 − x = 1 − x 1− x
x < 1, x ≠ 0 ; 3 = 1
нет решений. x < 1, x ≠ 0 x < 1, x ≠ 0 ; 1 ; 3− x = (3 − x)(1 − x) = 1 1−x
x < 1, x ≠ 0 ; 2 x − 4x + 2 = 0
x = 2− 2 .
x < 1, x ≠ 0 ; x = 2 + 2, x = 2 − 2
Ответ: x = 2 − 2 .
119
www.5balls.ru
3) log2 (2x + 1) ⋅ log2 (2x + 1 + 2) = 2; log2 (2x + 1) ⋅ (1 + log2 (2x + 1)) = 2; log2 (2x + 1) = a; a2 + a – 2 = 0; a = 1, a = – 2; log2 (2x + 1) = 1 или log2 (2x + 1) = – 2; 2x + 1 = 2 или 2x + 1 = 1 ; 2x = 1, x = 0 4
или 2 = – 3 — решений нет. 4 x
Ответ: х = 0.
4) log 3x + 7 (5x + 3) = 2 – log 5x + 3 (3x + 7), log 3x + 7 (5x + 3) = a; 3x + 7 ≠ 1, 3x + 7 > 0 5x + 3 ≠ 1, 5x + 3 > 0 ; 1 a = 2 − a
x ≠ − 2 , x > − 3 5 5 ; log 3x + 7 (5x + 3) = 1
x ≠ −2, x > − 7 3 2 3 2 3 x ≠ − , x > − 5 5 ; x ≠ − 5 , x > − 5 ; a = 1 a 2 − 2a + 1 = 0
x ≠ − 2 , x > − 3 x ≠ − 2 , x > − 3 5 5 ; 5 5. 3x + 7 = 5x + 3 x = 2 Ответ: х = 2.
404. 1) log 1 (2x + 2 − 4x ) ≥ −2 ; 2 x = a ; log 1 (4a − a 2 ) ≥ log 1 9 ; 3
3
4a − a 2 > 0 0 < a < 4 ; 2 ; 2 4a − a ≤ 9 a − 4a + 9 ≥ 0
0 < 2x < 4; x < 2. 2) log 1 (6
x +1
3
0 < a < 4 ; 0 < a < 4; a ∈ R
Ответ: x < 2. x
x
− 36 ) ≥ −2 ; 6 = a ; log 1 (6a − a 2 ) ≥ log 1 5 ;
5
5
5
6a − a 2 > 0 a 2 − 6a < 0 0 < a < 6 ; ; ; 0 < a ≤ 1, 5 ≤ a < 6 . 2 2 6a − a ≤ 5 a − 6a + 5 ≥ 0 a ≤ 1, a ≥ 5 0 < 6 x ≤ 1, 5 ≤ 6x < 6; x ≤ 0 и log6 5 ≤ x < 1 .
Ответ: x ≤ 0, log6 5 ≤ x < 1 . 405. log2 x ⋅ log2 (x – 3) + 1 = log2 (x2 – 3x); log2 x ⋅ log2 (x – 3) = log2 x + log2 (x – 3) – 1; log2 x (log2 (x – 3) – 1) = log2 (x – 3) – 1; (log2 (x – 3) – 1)( log2 x – 1) = 0; log 2 ( x − 3) = 1 x = 5 ;х=5 ; − > > x 3 0 , x 0 x > 3
log x = 1 или 2 ; x > 3
Ответ: х = 5. 1 1 3 406. + < − ; log a x = b; log a x − 1 log a x 2 + 1 2 x > 0 x > 0 3 ; 1 1 3 ; 2b +1+ b −1+ (b −1)(2b +1) + < − 2 b −1 2b +1 <0 2 (b −1)(2b +1)
120
www.5balls.ru
нет решений.
x > 0 2 3 3 ; 3b + b − 2 2 <0 (b −1)(2b +1)
x > 0 ; 2b2 + b −1 (b −1)(2b +1) < 0
x > 0 ; 1 1 −1 < log a x < − 2 , 2 < log a x < 1
x > 0 ; 1 1 −1 < b < − 2 , 2 < b < 1
x > 0 1 1 ; a < x < a a > 1
или
x > 0 x > 0 x > 0 1 1 или a > x > a . a < x < a или a > x > a a > 1 0 < a < 1 0 < a < 1 1 1 и a >x>a, Ответ: при 0 < a < 1: > x > a a 1 1 и a <x 1: < x < a a
121
www.5balls.ru
Глава V. Тригонометрические формулы ° 407. 1) 40° = 40 ⋅ π = 2π ; °
9
180
180
12
°
9
° 4) 2 = 2 ⋅180 = 360 ;
3) 3π = 3 ⋅ 180 = 135° ;
π
4
°
π
а)
°
π
π
в
π
° 6) 0,36 ≈ 0,36 ⋅ 180 = 64,8 .
5) 3 = 3 ⋅ 180 = 540 ; 409.
9
°
°
°
9
2) π = 180 = 20° ;
6
4
180
°
408. 1) π = 180 = 30° ; 6
6) 140° = 140 ⋅ π = 7π . °
45
180
6
180
°
5) 32° = 32 ⋅ π = 8π ; °
4) 75° = 75 ⋅ π = 5π ; ° 180
3
°
°
° 3) 150° = 150 ⋅ π = 5π ; °
° 2) 120° = 120 ⋅ π = 2π ; °
равностороннем
треугольнике
π
все
три
угла
равны
°
π = ; 3 180° б) в равнобедренном прямоугольном треугольнике один угол равен
60° =
60 ⋅ π
π , а два других равны 45 ° ⋅ π π ; 45 ° = = 2 4 180 180 ° π ° в) в квадрате все углы равны 90 = ; 2
90 ° =
90 ° ⋅ π °
=
°
г) в правильном шестиугольнике все углы равны 120° = 120 ⋅ π = 2π .
3 180° l 0,36м = 0,4м. 410. ℓ = 0,36м, α = 0,9рад. R — ? ℓ = αR, R = = 0,9 α 411. ℓ = 0,03м, R = 0,015м, α — ? ℓ = αR, α = l = 0,03м = 2рад. R 0,015м
412. α =
3π рад., R = 0,01м, S — ? 4
S=
R2 0,0003 2 α= πм . 2 8
2 413. R = 0,025м, S = 0,000625м2, α — ? α = 2S = 2 ⋅ 0,000625м = 2рад. 2 2
R
0,000625м
414. Градусы
0,5
36
159
108
150
54
450 π
324 π
Радианы
π 360
π 5
159 π 180
3π 5
5π 6
3π 10
2,5
1,8
415. Угол, °
30
36
90 π
720 π
360 π
180 π
Угол, рад.
π 6
π 5
0,5
4
2
1
122
www.5balls.ru
Радиус, см
2
10 π
10
5
5
10
Длина дуги, см
π 3
2
5
20
10
10
Площадь сектора, см2
π 3
10 π
25
50
25
50
2 2 ℓ = αR, S = R α , S = l .
2
2α
416. 1) 4π – (1; 0); 4)
2) –
π – 2; 2; 2 4 2
417. π 1) − M 1 ; 4 3π − M3 ; 3) − 4 5 5) − π − M 5 ; 4 418. π 1) ± 2π − M1 ; 4 2π 3) ± 6π − M 3 ; 3
3π – (0; 1); 3) – 6,5π – (0; – 1); 2
π – 1; 3 ; 2 3 2
5)
6) – 45° – 2 ; − 2 . 2
2
π − M2 ; 3 4π 4) − − M4 3
2) −
6) − 225o − M5 . π ± 2π − M 2 ; 3 3π 4) − ± 8π − М 4 . 4
2) −
419. 3π 1) + 2πk , k ∈ Ζ − M1 ; 4 3π 2) − + 2πk , k ∈ Ζ − M 2 ; 4 3) − π + 2πk , k ∈ Ζ − M3 ; 4) −
π + 2πk , k ∈ Ζ − M 4 . 4
420. 1) 3π-(-1,0);
2) − 7 π − (0,1) ;
3) − 15π − (0,1) ;
4) 5π − (−1,0 ) ;
5) 540 − (− 1,0 ) ;
6) 810o − (− 1,0) .
2
421. 1) − 3π + 2πk − (0,1) ; 2
2
o
2) 5π + 2πk − (0,1) ; 2
123
www.5balls.ru
3) 7 π + 2πk − (0,−1) ;
4) − 9π + 2πk − (0,−1) .
2
2
2) π ± π − (− 422. 1) π ± π − (0,−1) ; 2 4 (0,1), k = ... − 4,−2,0,2,4... 3π 3) − + πk − ; 4) − π + πk − (0,−1), k = ... − 3,−1,1,3... 2
2 2 ,− ); 2 2 (−1,0), k = ... − 4,−2,0,2,4...
(1,0), k = ... − 3,−1,1,3...
.
423. 1) (1;0) : +2πk , k ∈ Ζ ; π 3) (0;1) : − + 2πk , k ∈ Ζ ; 2 424. 1) 1-I-четв.; 2) 2,75-II-четв.;
2) (−1;0) : −π + 2πk, k ∈ Ζ ; π 4). (0; -1): − + 2πk, k ∈ Z . 2 3) 3,16-III-четв.; 4) 4,95-IV-четв.
425. 1) a=9,8π, x=1,8π , k=4;
2) a = 7 1 π , x = 1 1 π , k=3 ; 3 3 17 5 4) a = π , x = π , k=2. 3 3
3) a = 11 π , x = 3 π , k=2; 2 2 426. 1) π ± 2π − M1 ;
2) − π ± 2π − M 2 ;
2π 3) ± 6π − M 3 ; 3 5) 4,5π-M5;
3π ± 8π − M 4 ; 4 6) 5,5π-M6;
7) –6π-M7;
8) –7π-M8.
3
4
4) −
427. 1) − 3π + 2πk ,−(0;1) ;
2) 5π + 2πk ,−(0;1) ;
3) 7 π + 2πk ,−(0;−1) ;
4) − 9π + 2πk ,−(0;−1) .
2
2
2
2
428. 1) 2 ;− 2 : − π + 2πk , k ∈ Z ;
2) − 2 ;− 2 : − 3π + 2πk , k ∈ Z ;
3) − 1 ;− 3 : − 2π + 2πk , k ∈ Z ;
4) − 3 ;− 1 : − 5π + 2πk , k ∈ Z .
2
2
4
2
2 3 429. 1) sin α = 1 − M1 ;
2) sin α = 0 − M 2иM′2 ; 3) cos α = −1 − M3 ; 4) cos α = 0 − M 4иM′4 ; 5) sin α = −0,6 − M5иM′5 ; 6) sin α = 0,5 − M6иM′6 ; 7) cos α = 1 ,− M 7иM′7 . 3
124
www.5balls.ru
2
2
2
2
4
6
π 3π π π + sin = 1 + (−1) = 0 ; 2) sin − + cos = (−1) + 0 = −1 ; 2 2 2 2 4) sin 0 − cos 2 π = 0 − 1 = −1 ; 3) sin π − cos π = 0 − (−1) = 1 ; 5) sin π + sin 1,5 π = 0 − 1 = − 1 ; 6) sin 0 + cos 2 π = 0 + 1 = 1 . 431. 1) β=3π, sinβ=0, cosβ=-1; 2) β=4π, sinβ=0, cosβ=1;
430. 1) sin
4) β = 5π , sinβ=1, cosβ=0;
3) β=3,5π, sinβ=-1, cosβ=0;
2
5) β=πk, k ∈ Z , sinβ=0, cos β = (− 1)k ; 6) β=(2k+1)π, k ∈ Z , sinβ=0, cosβ=-1. 3π 432. 1) sin 3π − cos = 0−0 = 0; 2 2) cos 0 − cos 3π + cos 3,5π = 1 − ( −1) + 0 = 2 ; 3) sin πk + cos 2πk = (k ∈ Z) = 0 + 1 = 1 ; ( 2k + 1) π − sin ( 4k + 1) π = 0 − 1 = −1 . 4) cos 2 2 433. 1) tgπ + cos π = 0 − 1 = −1 ; 3) tgπ + sin π = 0 + 0 = 0 ; 434. 1) 3 sin
2) tg 0o − tg180o = 0 − 0 = 0 ; 4) cos π − tg 2π = −1 − 0 = −1 .
π π π 1 3 3 + 2 cos − tg = 3 ⋅ + 2 ⋅ − 3= ; 6 6 3 2 2 2
2 π π π π 2 2) 5sin + 3tg − 5cos − 10ctg = 5 ⋅ + 3 − 5⋅ − 10 = −7 ; 2 2 4 4 4 4 1 1 1 π π π 3) (2tg − tg ) : cos = (2 ⋅ ; − 3) : = 6 3 6 2 3 3 π π π 1 3 3 ⋅ cos − tg = ⋅ −1 = . 3 6 4 2 2 2 435. 1) 2sinx = 0; x = πk,k ∈Ζ ;
4) sin
1 π cos x = 0; x = + πk, k ∈ Ζ ; 2 2 3) cos x − 1 = 0; cos x = 1; x = 2 πk, k ∈ Ζ ;
2)
π + 2πk, k ∈ Ζ . 2 436. 1) 0,049 может т.к. 0,049 ≤ 1 ; 2)-0,875-может т.к. 0,875 ≤ 1 ; 4) 1 − sin x = 0; sin x = 1; x =
3) − 2 не может, т.к. − 2 > 1 ;
4) 2 + 2 - не может, т.к. 2 + 2 > 1 .
2 2 π 437. 1) 2sin α + 2 cos α = (α = ) = 2 ⋅ + 2 = 2 +1 ; 4 2 2 1 1 3 5 2) 0,5cos α − 3 sin α = (α = 60o ) = ⋅ − 3 ⋅ =− ; 2 2 2 4
125
www.5balls.ru
π 1 2 3) sin 3α − cos 2α = (α = ) = 1 − = ; 6 3 3
4) cos
2 1 α α π + sin = (α = ) = + = 2 3 2 2 2 π 4
π 4
π 3
2 +1 . 2
2 2 3 3 1 π = ⋅ − ⋅ =− ; 6 2 2 2 2 4 2 2 1 1 11 π π π π 2) 2 tg 2 ctg 2 − sin cos = 2 ⋅ 3 − 3 + ⋅ = ; 3 6 6 3 2 2 4 π π π π 1 1 2 3) (tg − ctg )(ctg + tg ) = (1 − )(1 + )= ; 4 3 4 6 3 3 3
438. 1) sin cos − sin cos
( ) ( )
2
2
π π π π 3 3 1 1 3 1 13 4) 2cos2 − sin2 + tg ctg = 2 − + ⋅ = + = . 6 3 6 3 2 2 3 3 4 3 12 π 439. 1) sin x = −1 : x = − + 2πk , k ∈ Ζ ; 2 2) cos x = −1 : x = π + 2πk, k ∈ Ζ ; π 3) sin 3x = 0;3x = πk , x = k , k ∈ Ζ ; 3 x x π 4) cos = 0; = + πk , x = π + 2πk , k ∈ Ζ ; 2 2 2 x x π 5) sin( + 6π) = 1: + 6π = + 2πk, x = −11π + 4πk, k ∈ Ζ ; 2 2 2 4π 2π 6) cos(5x + 4π ) = 1 : 5x + 4π = 2πk , x = − k, k ∈ Ζ . + 5 5 440. Используя микрокалькулятор, проверить равенство.
441. 1) sin 1,5 ≈ 1 ; 4) cos 45o12′ ≈ 0,7 ; 7) tg12o ≈ 0,21 ; 442. 1) α = π ; I четв.;
2) cos 4,81 ≈ 0,1 ; π 5) sin ≈ 0,59 ; 5 19 π 8) sin ≈ 0,34 . 9
3) sin 38o ≈ 0,62 ; 10 π 6) cos ≈ −0,22 ; 7
2) α = 3π ; II четв.;
3) α = − 3π ; III четв.;
4) α = 7 π ; III четв.; 6
4 5) α = − 7π ; II четв.; 6
7) α=-1,31; IV четв.;
8) α=-2,7; III четв.
6
443. 1) π − α ; I четв.; 2) α − π ; III четв.; 2 5) α − π ; IV четв.; 4) π + α ; II четв.; 2 2 5π 444. 1) α = ; sin α<0, т.к. α∈III четв.; 4
126
www.5balls.ru
4
6) α=4,8; IV четв.; 3) 3π − α ; III четв.; 2
6) π − α ; II четв.
2) α = − 33π ; sin α<0, т.к. α∈III четв.; 7 4 3) α = π ; sin α<0, т.к. α∈III четв.; 3
4) α=5,1: sin α<0, т.к. α∈IV четв.; 5) α=-0,1π; sin α<0, т.к. α∈IV четв.; 6) α = −470 o ; sin α<0, т.к. α∈III четв. 445. 1) α = 2π ; cos α < 0, т.к.α ∈ II четв.; 2) α = 7 π ; cos α < 0, т.к.α ∈ III четв.
3 6 2π 3) α = − ; cos α > 0, т.к.α ∈ IV четв.; 4) α = 4,6; cos α < 0, т.к.α ∈ III четв. 5
5) α = −5,3; cos α > 0, т.к.α ∈ I четв.;
6) α = −150o ; cos α < 0, т.к.α ∈ III четв.
446. 1) α = 5π ; tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.; 2) α = 12π ; tgα > 0, т.к.α ∈ I четв.; 6 5π 3) α = − ; tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.; 4
5) α = −1,3; tgα < 0, т.к.α ∈ IV четв.; 447. 1) π < α <
5
4) α = 3, 7; tgα > 0, т.к.α ∈ III четв.; 6) α = 283o ; tgα < 0, т.к.α ∈ IV четв.
3π ;sin α < 0,cos α < 0, tgα > 0 ; 2
3π 7π <α< ;cos α > 0,sin α < 0, tgα < 0 ; 2 4 7π 3) < α < 2π;sin α < 0,cos α > 0, tgα < 0 ; 4 4) 2π < α < 2,5π;sin α > 0,cos α > 0, tgα > 0 . 448. 1) α = 1;sin α > 0,cos α > 0, tgα > 0, т.к.α ∈ I четв.; 2) α = 3;sin α > 0,cos α < 0, tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.; 3) α = −3, 4;sin α > 0,cos α < 0, tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.; 4) α = −1,3;sin α < 0,cos α > 0, tgα < 0, т.к.α ∈ IV четв. π π 2) cos( + α) < 0 ; 3) cos (α − π > 0 ) ; 449. 1) sin( − α) > 0 ; 2 2 3π π 5) tg( − α ) > 0 ; 4) tg(α − ) < 0 ; 6) sin (π − α ) > 0 . 2 2 2)
450. 1) 3π < α <
10 π ;sin α < 0, cos α < 0, tg α > 0, ctg α > 0, т.к.α ∈ III четв.; 8
5π 11π <α< ;sin α > 0, cos α < 0, tgα < 0, ctgα < 0, т.к.α ∈ II четв. 2 4 451. Знаки синуса и косинуса совпадают, если α ∈ I или III четверти, то 3π π и π≤α≤ . есть если 0 ≤ α ≤ 2 2 2)
127
www.5balls.ru
Знаки синуса и косинуса различны, если α ∈ II или IV четверти, то есть если π ≤ α ≤ π и 3π ≤ α ≤ 2π .
2 2π 452. 1) sin sin 3π > 0 , т.к. 2π , и 3π ∈II четв. и sin 2π > 0 и sin 3π > 0 . 3 3 4 3 4 4 2π 2π π π π 2) cos cos < 0 , т.к. ∈I четв. и cos > 0 , а ∈II четв. и cos 2π < 0 . 3 3 6 6 3 6 π 5π 5π π π 5π 3) tg + sin > 0 , т.к. ∈ I четв. и sin > 0 , а ∈ III четв. и tg > 0 . 4 4 4 4 4 4
2
453. а) sin 0,7 и sin 4; sin 0,7>0, т.к. 0,7∈I четв., а sin 4<0, т.к. 4∈III четв., значит, sin 0,7 > sin 4. б) cos 1,3 и cos 2,3; cos 1,3 >0, т.к. 1,3∈I четв., а cos 2,3 <0, т.к. 2,3∈II четв., значит, cos 1,3 > cos 2,3. 454. 1) sin (5π+x)=1; 5π+x= π +2πk, k∈Z, x= − 9π +2πk, k∈Z. 2 2 5π π +πk, k∈Z. 2) cos (x+3π)=0; x+3π= +πk, x= − 2 2 3) cos ( 5π +x)=-1; 5π + x=π+2πk, x= − 3π +2πk, k∈Z. 2 2 2 π 9π 9π +x)=-1; + x= − +2πk, x=-5π+2πk, k∈Z. 4) sin ( 2 2 2
455. 1) sinα + cosα=-1,4; т.к. sin α ≤ 1 и cos α ≤ 1 , то sinα<0 и cosα<0, значит, α∈III четв.; 2) sinα – cosα=1,4; т.к. sin α ≤ 1 и cos α ≤ 1 , то sinα>0 и cosα<0, значит, α∈II четв. 456. Т.к. sin α ≤ 1 и cos α ≤ 1 , то синус (косинус) может принимать значения 0,03; 2 ; 11 , и не может принимать значения 5 ;− 13 ; 2 . 3
3 13
11
2 3 2 3 5 и cos α = ; не могут, т.к. sin2 α + cos2 α = + = ≠ 1 , 457. 1) sin α = 3 3 9 9 9 что противоречит основному тригонометрическому тождеству sin2 α + cos2 α = 1 ; 4 3 16 9 2) sin α = − и cos α = − ; могут, т.к. sin 2 α + cos 2 α = + =1; 5 25 25 5 3 23 ; не могут, т.к. и cos α = 5 5 3 23 26 sin 2 α + cos 2 α = + = ≠ 1; 25 25 25 4) sin α = 0,2и cos α = 0,8 ; не могут, т.к.
3) sin α = −
128
www.5balls.ru
sin 2 α + cos 2 α =
1 16 17 + = ≠ 1. 25 25 25
3 π 9 4 = ; 458. 1) sin α, tgα, ctgα , если cos α = − и < α < π;sin α = 1 − 5 2 25 5 sin α 4 1 3 tgα = = − , ctgα = =− ; cos α 3 tgα 4 2 3π 4 2 =− 2) cos α, tgα, ctgα , если sin α = − иπ < α < ;cos α = − 1 − ; 5 2 25 5 tgα =
sin α 2 1 21 . = , ctgα = = cos α α tg 2 21
5 3π 25 12 sin α 12 = − , tg = =− , и < α < 2π;sin α = − 1 − 13 2 169 13 cos α 5 1 5 ctgα = =− ; tgα 12
459. 1) cos α =
16 3 sin α 4 π 3 2) sin α = 0,8и < α < π;cos α = − 1 − = − , tgα = = − , ctgα = − ; 2 25 5 cos α 3 4
3) tgα =
15 3π 1 1 8 иπ < α < ;cos α = ± ,cos α = − =− , 2 225 8 2 17 1 + tg α 1+ 64
15 3 sin α = tgα ⋅ cos α = − , ctgα = − ; 17 4
4) ctgα = −3и
3π 1 1 1 ,sin α = − < α < 2π;sin α = ± =− 2 2 1 9 + 10 1 + ctg α
cos α = sin α ⋅ ctgα =
3 10
, tgα =
1 1 =− ; ctgα 3
16 3 sin α 3 π 1 4 5) cos α = 0,8и0 < α < ;sin α = 1 + = , tg = = , ctgα = = ; 2 25 5 cos α 4 tgα 3
5 3π 25 12 sin α 5 и < α < 2π;cos α = 1 − = − , tgα = =− , 13 2 169 13 cos α 12 1 12 ctgα = =− ; tgα 5
6) sin α = −
7) tgα = −2, 4и
1 5 π < α < π;cos α = − =− 144 2 13 1+ 25
12 1 5 sin α = tgα ⋅ cos α = , ctgα = =− ; 13 tgα 12
129
www.5balls.ru
8) ctgα =
7 3π 1 1 24 и π<α< ; sin α = − ; sinα = ± =− ; 49 2 24 25 1 + ctg2α 1+ 576
1 3 7 ; tgα= =3 . cos α = sin α ⋅ ctgα = − 25 ctgα 7
460. 1) cos α, если sin α = 2) sin α, еслиcos α = − 3) sin α , если cos α = 4) cos α, если sin α = −
1 5
12 13 2 3 ; : cos α = ± 1 − =± 25 5 5 : sin α = ± 1 −
1 2 ; =± 5 5
2 4 5 ; : sin α = ± 1 − = ± 3 9 3 1 3
: cos α = ± 1 −
1 2 . =± 3 3
sin α 1 1 = ; cos α = и tgα = tgα 5 24 — верно, значит, может. 461. 1) sin α =
2) ctgα =
24 ; sin 2 α + cos2 α = 1 5
7 3 cosα 9 ; и cosα = ; sinα = = ctgα 4 7 5 4
cos2 α + sin2 α = 462. sin α =
9 81 144 + = ≠ 1 — значит, не может. 16 112 112
2 10 40 9 sin α 2 10 π ; cosα = 1 − . = , т.к. 0 < α ≤ , tgα = = 11 121 11 2 cos α 9 1
+2 ctgα + tgα 1 1 5 463. 1) = (ctgα = = )= 2 =− . 1 ctgα − tgα tgα 2 3 −2 2 sin α cos α sin α − cos α cos α − cos α tgα − 1 2 − 1 1 2) = = = = . sin α + cos α sin α + cos α tgα + 1 2 + 1 3 cos α cos α
sin α cos α 2 +3 2 sin α + 3 cos α cos α = 2 tgα + 3 = 7 = 7 . = cos α 3) 3 sin α − 5 cos α 3 sin α − 5 cos α 3tgα − 5 1 cos α cos α sin 2 α cos 2 α 2 +2 2 2 cos α cos α = tg α + 2 = 6 = 2 . 4) = sin 2 α cos 2 α sin 2 α − cos 2 α tg 2α − 1 3 − cos 2 α cos 2 α
sin 2 α + 2cos 2 α
130
www.5balls.ru
1 1 1 1 3 (cos α + sin α )2 − (cos2 α + sin 2 α) = − = − ; 2 2 8 2 8 1 9 10 5 2) sin3 α + cos3 α = (sin α + cos α )3 − 3sin α cos α(cos2 α + sin 2 α) = + = = . 8 8 8 4
464. 1) sin α cos α =
465. 1) (1 – cos α)(1 + cos α) = 1 − cos2 α = sin2 α , что и требовалось док-ть. 2) (1 – sin α)(1 + sin α) = 1 − sin 2 α = cos 2 α , что и требовалось док-ть. 3) 4) 5)
sin 2 α 1 − sin 2 α cos 2 α 1 − cos 2 α
1 2
sin 2 α
=
cos 2 α
=
cos 2 α sin 2 α
+ sin 2 α =
1 + tg α требовалось доказать. 1
= tg 2α , что и требовалось док-ть. = ctg 2α , что и требовалось док-ть.
cos 2 α 2
sin α + cos 2 α
2 2 + sin 2 α = cos α + sin α = 1 ,
что
и
sin 2 α
2 2 + cos 2 α = sin α + cos α = 1 , 1 + ctg 2 α sin 2 α + cos 2 α что и требовалось доказать. 466. 1) cos α tg α – 2sin α = sinα – 2sinα = – sinα; 2) cosα – sinα ctgα = cosα – cosα = 0;
6)
+ cos 2 α =
3)
sin 2 α 1 − cos 2 α (1 + cos α )(1 − cos α ) = = = 1 − cos α ; 1 + cos α 1 + cos α 1 + cos α
4)
cos 2 α 1 − sin 2 α (1 − sin α )(1 + sin α ) = = = 1 + sin α . 1 − sin α 1 − sin α 1 − sin α sin 2 α − 1
sin 2 α − 1
1 π = (α = ) = 1 − = 1 − 2 = −1 ; 2 4 2 2 π 2 2 2 2 2 2) cos α + ctg α + sin α = ctg α = (α = ) = ( 3) = 3 ; 6
467. 1)
3)
1 − cos 2 α
1 2
cos α
−1 =
=
sin 2 α
1 − cos2 α 2
cos α
=
=1−
1
sin 2 α
sin2 α
π = tg2α = (α = ) = ( 3)2 = 3 ; 3 cos α 2
4) cos α + tg α ⋅ ctg2α + sin 2 α =1+1=2 при любом α, в частности при α = π . 2
2
3
468. 1) (1 – sin2α)(1 + tg2α) = cos2 α ⋅
требовалось док-ть.
2
cos α + sin α
что и требовалось док-ть. 2) sin2α(1 + ctg2α) = sin 2 α ⋅
2
cos2 α
cos2 α + sin 2 α sin 2 α
= cos2α + sin2α = 1,
= 1, 1 – cos2α = sin2α,что и
131
www.5balls.ru
469. 1) (1 + tg2α)cos2α – 1 =
sin 2 α + cos2 α cos 2 α
2) 1 – sin2α(1 + ctg2α) = 1 − sin 2 α 3) 1 + tg2α +
1 2
sin α
=
sin2 α + cos2 α 2
cos α
+
cos 2 α − 1 = 1 – 1 = 0;
sin 2 α + cos2 α sin 2 α 1 2
sin α
=
= 1−1 = 0 ;
sin2 α + cos2 α 2
2
sin α ⋅ cos α
=
1 2
sin α ⋅ cos2 α
;
2 2 2 4) 1 + tg α = 1 + tg α = 1 + tg α = tg 2α . 2 2
1 + ctg α
1+
1 tg 2α
1+ tg α tg 2 α
470. 1 (1 – cos2α)(1 + cos2α)=1 – cos22α= sin22α, что и требовалось доказать. sin α − 1 1 sin α − 1 sin α − 1 2) , что и требовалось = =− = 1 + sin α cos 2 α 1 − sin 2 α (1 + sin α )(1 − sin α ) доказать. 3) cos4α – sin4α = (cos2α + sin2α)(cos2α –sin2α) = cos2α – sin2α, что и требовалось док-ть 4) (sin2α – cos2α)2 +2cos2αsin2α = sin4α + cos4α – 2sin2αcos2α + + 2cos2αsin2α = sin4α + cos4α, что и требовалось доказать 2 (1 + cos α ) sin α 1 + cos α sin 2 α + 1 + cos 2 α + 2cos α 2 5) + = = = 1 + cos α sin α (1 + cos α ) sin α sin α (1 + cos α )sin α , что и требовалось доказать. 6) казать.
sin 2 α (1 − cos α )(1 + cos α ) = 1 + cos α , что и требовалось до= (1 − cos α )sin α sin α (1 − cos α )sin α
1
1
cos 2 α
sin 2 α
= sin 2 α + cos 2 α = 1 1 + tg α 1 + ctg α sin α + cos α sin α + cos 2 α , что и требовалось доказать. 2 1 − cos2 α =sin2α ⋅ sin α =sin2α tg2α, 8) tg2α–sin2α=sin2α ( 1 − 1) =sin2α 2 2 cos α cos 2 α cos α что и требовалось доказать. 1 1 9 1 16 8 471. sin α ⋅ cos α = − (cos α − sin α )2 + (cos2 α + sin 2 α) = − + = = 2 2 50 2 50 25 472. Если cosα–sinα=0,2, то cos3α–sin3α=(cosα–sinα)3+3cosα sinα(cosα– 1 –sinα)=(cosα–sinα)3+3( − 1 (cosα–sinα)2+ (cos2α–sin2α))(cosα–sinα)= 2 2
7)
2
+
2
=
2
2
+
2
= 1 + 3 ⋅ − 1 + 1 ⋅ 1 = 1 + 36 = 37 . 125
50 2
2 5 2
125
125
125
2
473. tg α + ctg α = (tgα + ctgα) – 2 tgα ctgα = ( tgα + ctgα)2 – 2 = 7. 474. 1) 2sin x + sin2x + cos2x = 1; 2sin x = 0, x = πk, k∈Z.
132
www.5balls.ru
2) 2sin2x + 3cos2x – 2 = 0; 2(sin2x + cos2x) – 2 + cos2x = 0; cos2x = 0; x=
π + πk , k∈Z. 2
3) 3cos2x – 2sin x = 3 – 3sin2x; 3(cos2x + sin2x) – 3 = 2sin x; sin x = 0; x = πk, k∈Z. 4) cos2x – sin2x = 2sin x – 1 – 2sin2x; cos2x + sin2x + 1 = 2sin x; sin x = 1, π + 2πk , k∈Z. 2
x=
3 3 7 π π π π π π 475. 1) cos − sin − + tg − = − cos sin − tg = − ⋅ −1 = − ; 6 3 4 2 2 4 6 3 4
( ) = 1 + tg 2) 1 + ctg ( − ) 1 + ctg 1 + tg 2 − 2
π 6 π 6
2π
1 1+ 6 = 3 =1; 2π 1+ 3 3 6
π π π π 3) 2 sin − cos − + tg − + sin 2 − = 6 6 3 4 = −2 sin
π π π 3 1 1 − 3 3 +1 π ; ⋅ − 3+ = cos − tg + sin 2 = −2 6 6 3 4 2 2 2 2
4) cos(−π) + ctg − π − sin − 3π + ctg − π = cosπ − ctg π + sin 3π − ctg − π = 2
2
4
2
2
4
= – 1 – 0 – 1 – 1 = – 3; 5)
( ) − cos (− ) = 3 − sin − cos 2cos 2cos ( − )
3 − sin 2 −
π 3
2
π 3
2π
3
π 4
2π 3
π 4
=
3 4
3− − 2
2 2
1 4 =
2;
1 3 1 3 π π 6) 2sin − + 3 + 7,5tg ( −π) + cos π = −2sin + 3 − 7,5tgπ + cos π = 8 2 6 8 2 6 = −1 + 3 − 0 + 0 = 2 . 476. 1) tg( – α) cosα + sinα = – tgα cosα + sinα = – sinα + sinα = 0; 2) cosα – ctgα( – sinα) = cosα + ctgα sinα = cosα + cosα = 2cosα; cos(−α ) + sin (−α ) cos α − sin α 1 3) ; = = 2 2 cos sin cos sin cos α − α α + α α + sin α ( )( ) cos α − sin α 4) tg( – α)ctg( – α) + cos2( – α) + sin2α = 1 + cos2α + sin2α = 1 + 1 = 2.
477. 1)
( ) + cos (− ) = 2 − sin 2cos 2cos ( − ) + sin ( − ) π 6 π 3
2 − sin 2 −
π 3
2
π 6
2π
π 1 1 + cos 2 2− + 6 3 = 4 4 =4; π π 1 1− − sin 3 6 2
π π π π 3 3sin − − 2ctg − + 4cos − π = 3sin + 2ctg + 3 4 3 4 2 3π 3 1 +4cos =− +2+0= . 2 2 2
2)
133
www.5balls.ru
478. 1) =
sin3 (− α ) + cos3 (− α ) − sin3 α + cos3 α = = 1 − sin(− α )cos(− α ) 1 + sin α cos α
(cos α − sin α )(cos2 α + cos α sin α + sin 2 α ) = cos α − sin α ; 1 + sin α cos α
1 − (sin α + cos(− α ))2 1 − (sin α + cos α ) 2) = = sin α − sin (− α )
=
(
)
1 − cos2 α + sin 2 α + 2 cos α sin α − 2 sin α cos α = = − cos α . sin α sin α
sin2 α + cos2 α cos α = 479. 1) cos αsin(6π−α) ⋅ (1 + ctg2 (−α)) = cos αsin(−α) ⋅ =− sin α sin2 α = −ctgα = ctg(−α) , что и требовалось доказать. 2) =
1 − sin 2 ( −α ) sin(α − 2π) 1 − sin 2 α ( − sin(2π − α )) ⋅ = ⋅ = cos(4π − α ) 1 − cos 2 ( −α ) cos(−α ) 1 − cos 2 α
cos2 α sin α cos α ⋅ = = ctgα , что и требовалось доказать. cos α sin 2 α sin α
480. 1) sin( – x) = 1; – sin x = 1; sin x = – 1; x = − π + 2πk , k∈Z. 2
π 2) cos( – 2x) = 0; cos2x = 0; 2 x = + πk ; x = π + π k , k∈Z. 2 4 2 3) cos( – 2x) = 1; cos2x = 1; 2x = 2πk, x = πk, k∈Z.
4) sin( – 2x) = 0; – sin 2x = 0; sin 2x = 0; 2x = πk, x = π k , k∈Z. 2
5) cos2( – x) + sin( – x) = 2 – sin2x; cos2x + sin2x – 2 = sinx; sinx = – 1; x=−
π + 2πk , k∈Z. 2
6) 1 – sin2( – x) + cos(4π – x) = cos(x – 2π); cos2x + cos x = cos x; cosx = 0; x = π + 2πk , k∈Z. 2
(
)
481. 1) cos135o = cos 90o + 45o = cos 90o ⋅ cos 45o − sin 90o ⋅ sin 45o = −
(
)
2 . 2
1 2) cos120o = cos 90o + 30o = cos 90o ⋅ cos 30o − sin 90o ⋅ sin 30o = − . 2
( ) = cos (180 + 60 ) = cos180 ⋅ cos 60 − sin 180 ⋅ sin 60
3) cos150o = cos 90o + 60o = cos 90o ⋅ cos 60o − sin 90o ⋅ sin 60o = − 4) cos 240o
o
o
o
o
o
o
3 . 2 1 =− . 2
482. 1) cos57o30′ cos 27o30′ + sin 57o30′ sin 27o30′ = cos(57o30′ − 27o30′) =
134
www.5balls.ru
= cos30o =
3 ; 2
2) cos19o30′ cos 25o30′ − sin19o30′ sin 25o30′ = cos(19o30′ − 25o30′) = 2 ; 2 7π 11π 7π 11π 7 π 11π 3) cos cos − sin sin = cos + = cos 2 π = 1 ; 9 9 9 9 9 9
= cos45o =
4) cos
8π π 8π π 8π π cos + sin sin = cos − = cos π = − 1 . 7 7 7 7 7 7
1 π 1 2 π 483. 1) cos( + α ) , если sin α = ; ,0 < α < ;cos α = 1 − = 2 3 3 3 3 π π π 1 2 3 1 1 1 cos( + α ) = cos cos α − sin sin α = ⋅ − ⋅ = − ; 3 3 3 2 3 2 3 6 2 1 π 1 2 2 π 2) cos(α − ) , если cos α == − и < α < π;sin α = 1 − = ; 4 3 2 9 3
1 2 2 2 2 π π π 2 2 4− 2 . cos(α − ) = cos α cos + sin α sin = − ⋅ + ⋅ =− + = 4 4 4 3 2 3 2 6 3 6 484. 1) cos 3α cos α − sin α sin 3α = cos(3α + α ) = cos 4α ; 2) cos 5β cos 2β + sin 5β sin 2β = cos(5β − 2β ) = cos 3β ; 5π 5π π π 3) cos( + α)cos( − α) − sin( + α)sin( − α) = 7 14 7 14 π 5π π = cos( + + α − α ) = cos = 0 ; 7 14 2 7π 2π 7π 2π 7π 2π 4) cos( + α) cos( + α) + sin( + α)sin( + α) = cos( + α − − α) = 5 5 5 5 5 5 = cos π = − 1 .
485. 1) sin 73o cos17 o + cos 73o sin17 o = sin(73o + 17 o ) = sin 90 o = 1 ; 2) sin 73o cos13o − cos 73o sin13o = sin(73o − 13o ) = sin 60 o = 3) sin
5π π π 5π 5π π π cos + sin cos = sin + = sin = 1 ; 12 12 12 12 12 12 2
4) sin
7π π π 7π 7π π π cos − sin cos = sin − = sin = 1 . 12 12 12 12 12 12 2
3 ; 2
3 3π 9 4 π 486. 1) sin(α + ),cos α = − , π < α < : sin α = − 1 − =− ; 6 5 2 25 5 4 3 3 1 4 3 +3 π π π ; sin(α + ) = sin α cos + cos α sin = − ⋅ − ⋅ =− 6 6 6 5 2 5 2 10
135
www.5balls.ru
2 π 2 7 π 2) sin( − α ),sin α = ; , < α < π : cos α = − 1 − = − 4 3 2 9 3 2 7 2 2 14 − 2 π π π . sin( − α ) = sin cos α − cos sin α = − ⋅ − ⋅ =− 4 4 4 2 3 2 3 6 487. 1) sin(α+β) + sin( – α)cos( – β) = sinαcosβ + cosαsinβ – sinαcosβ = = cosαsinβ. 2) cos( – α)sin( – β) – sin(α – β) = – cosαsinβ – sinαcosβ + sinβcosα = = – sinαcosβ. π π π π 3) cos( − α )sin( − β) − sin (α − β ) = (cos cos α + sin sin α ) × 2 2 2 2 π π ×(sin cos β − cos sin β) − sin (α − β) = sin α cos β − sin α cos β + sin β cos α = sinβcosα . 2 2 π π π 4) sin (α + β) + sin( − α)sin ( −β) = sin (α + β) − (sin cos α − cos sin α) × 2 2 2 × sin β = sin α cos β + sin β cos α − sin β cos α = sin α cos β . 3 3π 8 π 488. Если sin α = − , < α < 2π и sin β = ,0 < β < , то 5 2 17 2
cos α = 1 −
9 4 = ; 25 5
cos β = 1 −
64 15 ; = 289 17
cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ = 4 ⋅ 15 + 3 ⋅ 8 = 84 ;
5 17 5 17 85 cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ = 4 ⋅ 15 − 3 ⋅ 8 = 36 . 5 17 5 17 85 4 π 489. Если cos α = − , < α < π и sin β = − 12 , π < β < 3π , то 5 2 13 2
sin α = 1 −
16 3 = ; 25 5
144 5 =− ; 169 13
cos β = − 1 −
sin(α – β) = sinαcosβ – sinβcosα = 3 ⋅ − 15 − 4 ⋅ 12 = − 63 . 5 13
5 13
65
490. Вычислить tg(α + β), если 4 π 8 3 sin α = , < α < π и cos β = , π < β < 2π ; 17 2 5 2 cos α = − 1 −
16 3 =− ; 25 5
sin β = − 1 − 4
8
64 15 =− ; 289 17
3 15
⋅ + ⋅ sin α cos β + sin β cos α 77 5 . tg (α + β ) = = 5 17 5 17 = =2 cos α cos β − sin α sin β − 3 ⋅ 8 + 15 ⋅ 4 36 36 5 17
17 5
491. 1) cos(α – β) – cos(α + β) = cosαcosβ + sinαsinβ – cosαcosβ + + sinαsinβ = 2sinαsinβ
136
www.5balls.ru
π π 1 π π 2) cos( + α ) cos( − α ) + sin 2 α = (cos cos α − sin sin α ) × 4 4 2 4 4 1 2 1 1 2 1 1 π π 2 ×(cos cos α + sin sin α) + sin α = cos α − sin α + sin 2 α = cos 2 α ; 4 4 2 2 2 2 2 3) cos 3α + sin α sin 2α = cos(α + 2α ) + sin α sin 2α = cos α cos 2α − − sin α sin 2α + sin α sin 2α = cos α cos 2α ; 4) cos 2α − cos α cos 3α = cos 2α − (cos α cos 3α + sin α sin 3α ) + + sin α sin 3α = cos 2α − cos 2α + sin α sin 3α = sin α sin 3α . sin α cos β
sin β cos α
cos α cos β
cos β cos α
+ sin (α + β ) sin α cos β + sin β cos α cos α cos β cos β cos α tgα + tgβ 492. 1) = = = sin α cos β sin β cos α tgα − tgβ sin (α − β ) sin α cos β − sin β cos α −
, что и треб. док-ть. cos α cos β
+1 cos(α − β ) cos α cos β + sin β sin α ctgαctgβ + 1 sin α sin β , что и 2) = = = cos α cos β cos(α + β ) cos α cos β − sin β sin α − 1 ctgαctgβ − 1 sin α sin β
треб. док-ть 2 π π π 3) cos( + α) = cos cos α − sin sin α = (cos α − sin α ) , что т. д. 4 4 4 2 cos(α + β) cos α cos β − sin α sin β cos β sin α 4) = = − = ctgβ − tgα , что и т. д. cos α sin β cos α sin β sin β cos α 1 1 5) (cos (α + β) − cos (α − β)) = cos α cos β − sin α sin β + cos α cos β + sin α sin β = 2 2 = cos α cos β , ч.т.д. 1 1 6) (cos (α − β) − cos (α + β)) = cos α cos β + sin α sin β − cos α cos β + sin α sin β = 2 2 = sin α sin β , ч.т.д. 493. 1)
2)
3) 4)
tg 29o + tg31o 1 − tg 29o tg31o
(
)
= tg 29o + 31o = tg 60o = 3 ;
7π 3π − tg 16 16 = tg 7 π − 3π = tg π = 1 ; 7 π 3π 4 16 16 1 + tg tg 16 16
tg
1 + tg10o tg55o o
o
tg55 tg10
1 − tg13o tg17o tg17o + tg13o
= =
1 o
o
tg(55 − 10 ) 1 tg(17o + 13o )
= =
1 tg45o 1 tg30o
=1; = 3.
3 494. 1) tg(α + β), если tgα = − , tgβ = 2,4 ; 4
137
www.5balls.ru
3
12
33
4 5
20
tgα + tgβ − 4 + 5 33 tg (α + β ) = ; = = 20 = 1 − tgαtgβ 1 + 3 ⋅ 12 56 56 4 3 2) tg(α – β), если ctgα = , ctgβ = −1 ; tgα = , tgβ = −1 ; 3 4 3
ctg ( α − β ) =
( ) − cos ( ) = sin ( ) + cos ( ) sin
495.
=
1
1 1 + tgαtgβ 1 − 4 4 1 = = = = . tg(α − β) tgα − tgβ 3 + 1 7 7
π +α 6 π +α 6
π +α 3 π +α 3
4
1 cos α + 2 1 cos α + 2
4
3 1 sin α − cos α + 2 2 3 1 sin α + cos α − 2 2
3 sin α 2 = 3 sin α 2
3 sin α = 3tgα . cos α 496. 1) sinαcos(2α)+sin(2α)cosα=sin(α+2α)=sin(3α). 2) sin(5β)cos(3β)-sin(3β)cos(5β)=sin(5β-3β)=sin(2β). 497. 1) cos(6x) cos(5x) + sin(6x) sin(5x) = – 1; cos(6x – 5x) = – 1; cos x=– 1; x = π + 2πk, k∈Z. 2) sin(3x) cos(5x) – sin(5x) cos(3x) = – 1; sin(– 2х) = – 1; sin(2x) = 1 : π π 2 x = + 2πk , x = + πk , k∈Z. 2 4 3)
π 2 cos + x − cos x = 1 ; 4
sin x = 1; sin x = – 1; x = −
2 2 2 cos x − sin x − cos x = 1 ; 2 2
π + 2πk , k∈Z. 2 2 x 2 x x 2 cos − sin + sin = 1 : 2 2 2 2 2
4)
x π x 2 sin − + cos = 1 ; 4 2 2
cos
x x = 1 : = 2πk , x = 4πk , k∈Z. 2 2
498. 1) sin 48o = 2 sin 24o cos 24o ; 2) cos164o = cos 2 82o − sin 2 82o ; 3) tg92o =
2tg 46o 1 − tg 2 46o
;
4) sin
4π 2π 2π = 2 sin ; cos 3 3 3
5π 5π 5π . = cos 2 − sin 2 3 6 6 π π α π α 499. 1) sin + α = 2 sin + sin + ; 2 4 2 4 2 5) cos
138
www.5balls.ru
2) sin π + β = 2 sin π + β cos π + β ;
5) sin α = 2 sin α cos α ;
3) cos π − α = cos 2 π − α − sin 2 π − α ; 2 8 2 8 2
6) cos α = cos 2 α − sin 2 α . 2 2
4
8
2
8
2
2
2
4) cos 3π + α = cos 2 3π + α − sin 2 3π + α ; 2
4
2
4
2
139
www.5balls.ru
500. 1) 2 sin15o cos15o = sin 30o = 3)
2tg15o 1 − tg 215o
= tg30o =
1 ; 2
2) cos2 15o − sin2 15o = cos30o =
3 ; 2
1 3
4) (cos75o − sin 75o )2 = cos 2 75o + sin 2 75o − 2cos 75o sin 75o = 1 − sin150o =
=1−
1 1 = 2 2 π π π 2 cos = sin = ; 8 8 4 2
501. 1) 2 sin
3)
2tg
π 8
= tg
π 1 − tg 8 2
2) 2 cos 2
2 π π π ; − sin 2 = cos = 8 8 4 2
π =1; 4 2
4) =
2 2π π π π π π 2 − sin + cos 2 + 2sin cos = − cos + sin = 2 8 8 2 8 8 8 8
2 2 π 2 = −1 . − 1 + sin = − 1+ 2 4 2 2
502. 1) 2 sin 75o ⋅ cos 75o = sin150o = 3)
6 tg 75o 2
o
1 − tg 75
= 3tg150o = −
3 3
3 1 ; 2) cos2 75o − sin2 75o = cos(150o ) = − ; 2 2
= 3 ; 4)
tg 2 22o30′ − 1 2 =− = −2 . tg 22o30′ tg 45o
3 π 9 4 = − ; sin 2α = 2sin α cos α = 503. 1) sin α = , < α < π;cos α = − 1 − 5 2 25 5 3 4 24 = 2⋅ ⋅− = − ; 5 5 25
4 3π 16 3 = − ;sin 2α = 2sin α cos α = 2) cos α = − , π < α < ;sin α = − 1 − 5 2 25 5 3 4 24 . = 2⋅− ⋅− = 5 5 25 4 16 17 504. 1) cos α = ;cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2cos 2 α − 1 = 2 ⋅ − 1 = 5 25 25 3 5
2) sin α = − ;cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2sin 2 α = 1 − 2 ⋅
9 7 = 25 25
505. Если tgα = 1 : tg2α = 2tgα = 1 = 4 . 2 1 2
1 − tg α
1−
4
3
506. 1) 2cos 40o ⋅ cos50o = 2cos 40o cos(90o − 40o ) = 2cos 40o sin 40o = sin80o ;
140
www.5balls.ru
2) 2sin 25o ⋅ sin 65o = 2sin 25o sin(90o − 25o ) = 2sin 25o cos 25o = sin 50o ; 3) sin 2α + (sin α − cos α )2 = sin 2α + sin 2 α + cos 2 α − 2sin α cos α = = sin 2 α + 1 − sin 2 α = 1 ; 4) cos 4α + sin 2 2α = cos 2 2α − sin 2 2α + sin 2 2α = cos 2 2α . 507. 1)
sin 2α 2
(sin α + cos α) − 1
=
sin 2α 2
2
sin α + cos α + 2sin α cos α − 1
=
sin 2α =1; sin 2α
2
1 + cos 2α 1 + cos α − sin 2 α 2cos 2 α = = = ctg 2α . 1 − cos 2α 1 − cos2 α + sin 2 α 2sin 2 α 508. 1) sin2α = 2sinαcosα = sin2α + 2sinαcosα + cos2α – 1 = (sinα + +cosα)2 – 1, что и треб. док-ть. 2) (sinα – cosα)2 = sin2α + 2sinαcosα + cos2α = 1 – sinα, что и треб. док-ть. 3) cos4α – sin4α = (cos2α – sin2α)(cos2α + sin2α) = cos2α, что и треб. док-ть. 4) 2cos2α–cos2α =2cos2α–cos2α + sin2α=cos2α + sin2α=1, что и треб. док-ть. 1 1 3 2 509. 1) sin α + cos α = ; sin 2α = (sin α + cos α ) − 1 = − 1 = − ; 2 4 4 1 1 8 2 2) sin α − cos α = − ; sin 2α = − (sin α − cos α ) + 1 = − + 1 = . 3 9 9 cos α − sin α )(cos α + sin α ) cos α − sin α cos 2α ( 510. 1) = = = sin α (cos α + sin α ) sin α sin α cos α + sin 2 α
2)
= ctgα − 1 , что и треб. док-ть. 2cos α sin 2α − 2cos α 2cos α (sin α − 1) 2) = −2ctgα , ч.т.д. = = − sin α sin α (1 − sin α ) sin α − sin 2 α 3) tgα (1 + cos 2α ) = tgα(1 + cos2 α − sin 2 α) = 2cos 2 α ⋅
sin α = 2sin α cos α = cos α
= sin 2α , ч.т.д. 4) ⋅
2sin2 α + sin2α 2sin α(cos α + sin α) 1 − cos 2α + sin 2α ⋅ ctgα = ⋅ ⋅ ctgα = 2cos α(cos α + sin α) 1 + cos 2α + sin 2α 2cos2 α + sin2α
cos α = 1 , ч.т.д. sin α (1 − 2cos 2 α)(2sin 2 α − 1)
(− cos 2α)(− cos 2α)
cos2 2α
= ctg 2 2α , ч. т. д. 4sin 2 α cos2 α sin 2 2α sin 2 2α π α π 6) 1 − 2sin 2 − = cos − α = sin α , что и т. д. 4 2 2 sin α + sin 2α sin α (1 + 2 cos α ) sin α (1 + 2cos α ) 7) = = = tgα , ч.т.д. 1 + cos α + cos 2α 2cos 2 α + cos α cos α (1 + 2cos α )
5)
=
=
141
www.5balls.ru
π
2 2 sin(α − ) sin 2 α cos 2 α 4 ; 511. − = cos α(1 + ctgα) sin α(1 + tgα) sin 2α
sin 2 α cos 2 α sin 3 α cos3 α − = − = cos α(1 + ctgα) sin α(1 + tgα) cos α(sin α + cos α) sin α(cos α + sin α ) =
sin 4 α − cos 4 α sin α − cos α = ; sin α(cos α + sin α)cos α sin α cos α π 2 2 − 2 2 ⋅ (sin α ⋅ cos α) sin α − cos α 4 = 2 2 левая и правая =
2 2 sin(α − )
sin 2α 2sin α cos α sin α cos α части совпадают, значит, тождество верно. 512. 1) sin2x – 2cosx = 0; 2cosx(sinx – 1) = 0; cos x = 0 или sin x = 1; π π x = + πk , k∈Z или x = + 2πk , k∈Z (входит в 1-ю серию корней) 2 2 π Ответ: x = + πk , k∈Z. 2 2) cos2x+sin2x=1; cos2x– sin2x+sin2x=1; cos2x=1; cos x=1 или cosx=–1: x=π + 2πk, k∈Z или x = 2πk, k∈Z, обобщая x = 2πk, k∈Z. Ответ: x = 2πk, k∈Z. 3) 4cos x = sin2x; 2cos x(2 – sin x) = 0; cos x = 0 или sin x = 2; π π x = + πk , k∈Z, а во втором случае решения нет. Ответ: x = + πk , k∈Z. 2 2 π 4) sin2x = – cos2x; sin2x = sin2x – cos2x; cos x = 0; x = + πk , k∈Z. 2 π Ответ: x = + πk , k∈Z. 2 π x x 1 5) sin cos + = 0 ; sin x + 1 = 0; sin x = – 1; x = − + 2πk , k∈Z. 2 2 2 2 π Ответ: x = − + 2πk , k∈Z. 2 π x x x x 6) cos 2 = sin 2 ; cos 2 − sin 2 = 0 ; cos x = 0; x = + πk , k∈Z. 2 2 2 2 2 π Ответ: x = + πk , k∈Z. 2
513. 1) sin 2 15o =
1 − cos 30o ; 2 π
π 1 + cos( 2 − 2α) 3) cos 2 − α = ; 2 4
1
2) cos 2
1 1 + cos 2 ; = 4 2 π
π 1 + cos( 2 + 2α) 4) sin 2 + α = ; 2 4
142
www.5balls.ru
514. 1) 2 cos 2 2) 1 + 2sin 2 3)
π π π 2 − 1 = 1 + cos − 1 = cos = ; 8 4 4 2
π π π 3 ; = 1 − 1 − cos = cos = 12 6 6 2
(
)
3 3 3 3 + 2 sin 2 15o = + 1 − cos 30o = +1− = 1; 2 2 2 2 3 3 3 3 + 2 cos 2 15o = − + 1 + cos 30o = − +1+ =1. 2 2 2 2
4) −
3
3 1− 1+ 1 − cos α α 2 + cos α α 5 = 1 5 = 2 ; = 515. 1) sin = ; 2) cos = = 2 2 2 2 2 2 5 5
3
1− α 1 − cos α 5 =1; 3) tg = = 3 2 2 1 + cos α 1+ 5
516. 1) sin 2) cos
3
1+ α 1 + cos α 5 =2. 4) ctg = = 3 2 1 − cos α 1− 5
1+ 1− 1 − cos α 1 + 1 − sin 2 α α = = = 2 2 2 2
9 25
=
3 ; 10
α 1 + cos α 1 − 1 − sin 2 α 1 ; = = = 2 2 2 10 4
3) tg
1+ α 1 − cos α 1 + 1 − sin 2 α 5 =3; = = = 4 2 1 + cos α 1− 1 − 1 − sin 2 α 5 4
4) ctg
1− 1 + cos α 1 − 1 − sin 2 α α 5 =1. = = = 4 3 2 2 1 − cos α 1+ 1 + 1 − sin α 5
3
1− 1 − cos 30o 2 = 517. 1) sin15 = = 2 2 o
2) cos15o =
1 + cos 30o == 2
1 3 ; + 2 4
2
o 1− 2 = 2− 2 = 3) tg22o30′ = 1− cos45 = o
1+ cos45
4) ctg 22 o30′ =
2+ 2
2 1+ 2
1 + cos 45o 1 − cos 45
o
=
1 3 ; − 2 4
2 +1 = 2 −1
2 −1 = 2 +1
(
(
)
2
2 −1 = 3 − 2 2 ;
2 +1
)
2
=
3+ 2 2 ;
143
www.5balls.ru
518. 1) 1 − cos α =
2sin 2
α 2
=
α 2 = tg α 1 ; α 22 cos 2
sin
α α 2 2 α α α 2sin cos sin 2 2 = 2 = tg α ; 2) sin α = α 2α 1 + cos α 2 2cos cos 2 2
sin α
2sin cos
2 2sin α (sin α + cos α ) 3) 1 − cos 2α + sin 2α = 2sin α + 2sin α cos α = = tgα ; 2
1 + cos 2α + sin 2α
4) 1 + cos 4α = sin 4α
2cos α (sin α + cos α )
2cos α + 2sin α cos α
2cos 2 2α cos 2α = = ctg2α ; 2cos 2α sin 2α sin 2α
1 + cos2α + sin 2α 2 sin α cosα + 2 cos2 α 2 cosα(sin α + cosα) = = = 2 cosα ; sin α + cosα sin α + cosα sin α + cosα cos α 6) (1 – cos2)ctgα = 2sin2α⋅ = 2 sin α cos α = sin 2α . sin α
5)
519. 1) 2 cos 2 π − α = 1 + cos π − α = 1 + sin α , ч.т.д. 4 2 2 α π 2) 2sin − = 1 − cos − α = 1 − sin α , ч.т.д. 4 2 2 2π
2
3)
3 − 4cos2α + cos4α 2cos2 2α − 4cos2α + 2 cos 2α − 1 4 = = = tg α , ч.т.д. 3 + 4cos2α + cos4α 2cos2 2α + 4cos2α + 2 cos 2α + 1
4)
1 − sin2α + cos2α 2 cos2 α − 2 cosα sinα 2 cosα(sinα + cosα) = ctgα , ч.т.д. = = 1 + sin2α − cos2α 2 sin2 α + 2sinα cosα 2sinα(sinα + cosα)
1 − cos 2α 2sin 2 α ⋅ cos α ⋅ ctgα = = 1 ,ч.т.д. sin 2α 2sin α cos α sin α sin 2α 2sin α cos α sin α 2) = = = tgα ,ч.т.д. 1 + cos 2α cos α 2cos 2 α
520. 1)
3)
=
1 − 2sin 2 α (cos α − sin α)(cos α + sin α) = = 1 + sin 2α cos 2 α + 2cos α sin α + sin 2 α
(cos α − sin α )(cos α + sin α ) (cos α + sin α ) 2 2
4) =
cos α
sin α
cos α
cos α
cos α − sin α cos α − cos α 1 − tgα , ч.т.д. = = = cos α + sin α cos α + sin α 1 + tgα 2
1 + sin 2α sin α + 2sin α cos α + cos α (sin α + cos α) 2 = = = 2 2 cos 2α (cos α − sin α)(cos α + sin α) cos α − sin α
sin α + cos α 1 + tgα tg45o + tgα π = = = tg 45o + α = tg + α , ч.т.д. cos α − sin α 1 − tgα 1 − tg45o ⋅ tgα 4
(
144
www.5balls.ru
)
521. Т.к. 0 < α < sin
α α π α π , то 0 < < и, следовательно sin > 0,cos > 0, 2 2 2 2 4
α α < cos , значит, sin α + cosα − sin α − cosα = sin α + cosα − sin α + cosα = 2sin α . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
522.
tg2α tg2α − cos4α cos2α sin2α⋅ cos4α⋅ cos2α = = = cos4α . tg4α − tg2α sin4α cos2α − sin2α cos4α sin2α cos2α
x x x x x 523. 1) 1 − cos x = 2sin ; 2sin 2 − 2sin = 0; 2sin sin − 1 = 0; 2 2 2 2 2 x x x x π sin = 0 или sin = 1; = πk , x = 2πk, k∈Z или = + 2πk 2 2 2 2 2 x = π + 4πk, k∈Z. Ответ: x = 2πk, x = π + 4πk, k∈Z. x x x x x 2) 1 + cos x = 2 cos ; 2 cos 2 − 2 cos = 0;2 cos cos − 1 = 0; 2 2 2 2 2 x x x π cos = 0 или cos = 1; = + πk , x = π + 2πk, k∈Z или 2 2 2 2 x = 2πk x = 4πk, k∈Z. Ответ: x = π + 2πk, x = 4πk, k∈Z. 2 x x 3π x 3π 2x 3) 1 + cos = 2sin − − 2sin − = 0; ; 2cos 2 4 2 4 4 2 x 3π x 3π x 3π x 3π 2sin 2 − − 2sin − = 0;2sin − sin − − 1 = 0; 4 2 4 2 4 2 4 2 π
π
π
π
+α+ −α +α− +α π π 3 3 = sin + α + sin − α = 2sin 3 cos 3 3 3 2 2 x 3π x 3π или sin − = 1; − = πk , x = 6π + 4πk, k∈Z 4 2 4 2 или x − 3π = π + 2πk , x = 8π + 8πk, k∈Z. 4
2
2
Ответ: x = 6π + 4πk, x = 8π + 8πk, k∈Z. 4) 1 + cos8x = 2cos4x; 2cos24x – 2cos4x = 0; 2cos4x(cos4x – 1) = 0; π π π cos4x = 0 или cos4x = 1, 4 x = + πk , x = + k , k∈Z или 2 8 4 π π π π Ответ: x = + k , x = k , k∈Z . 4x = 2πk, x = k , k∈Z. 2 8 4 2 x 1 5) 2 sin 2 + sin 2x = 1 ; sin x cos x – cos x = 0; cos x(sin x – 1) = 0; cos x = 0 2 2 π π или sin x = 1, x = + πk , k∈Z или x = + 2πk , k∈Z (вход. в 1 – ю с.к.) 2 2
145
www.5balls.ru
Ответ: x = π + πk , k∈Z .
2 6) 2 cos x − 1 sin 4x = 1 ; cos2x – cos2x sin2x = 0; cos2x(1 – sin2x) = 0; 2 2
cos2x = 0 или sin2x = 1; 2 x = 2x =
π π π + πk , x = + k , k∈Z или 2 4 2
π π + 2πk , x = + πk , k∈Z (входит в первую серию корней) 2 4
Ответ: x = π + π k , k∈Z . 4
2
524. 1) cos 75o = cos(90o − α); α = 15o ; 2) sin150o = sin(90o + α); α = 60o ; 3) sin150o = sin(180o − α); α = 30o ; 4) cos310o = cos(270o + α ); α = 40o ; 5 π π π 3π 6) tg = tg( − α); α = ; 5) sin π = sin(π + α); α = ; 4 4 5 2 10 7) cos 7 π = cos( 3 π + α ); α = π ; 4
2
4
8) ctg 4 π = ctg(2π − α); α = π . 6
6
525. 1) cos150o = cos(180o − 30o ) = − cos 30o = − 2) sin 135o = sin(90o + 45o ) = cos 45o =
3 ; 2
3 ; 2
3) ctg135o = ctg(90o + 45o ) = − tg 45o = −1 ; 4) cos120o = cos(90o + 30o ) = − sin 30o = −
1 ; 2 2 ; 2
5) cos225° = cos(180° + 45°) = – cos45° = – 6) sin210° = sin(180° + 30°) = – sin30° = – 7) ctg240° = ctg(180° + 60°) = ctg60° =
1 3
1 ; 2 ;
2 . 2 7π π π 1 5π π π 526. 1) tg = sin π + = − sin = − ; = tg π + = tg = 1 ; 2) sin 6 6 6 2 4 4 4 8) sin315° = sin(270° + 45°) = – sin45° = –
3) cos
5π π 1 5π π π 1 π ; = cos 2π − = cos = ; 4) ctg = ctg 2π = −ctg = − 3 3 3 3 3 2 3 3
π π 1 13π 5) sin − = sin − 2π − = − sin = − ; 6 6 2 6
146
www.5balls.ru
π π 1 7π 6) cos − = cos − 2π − = cos = ; 3 3 2 3 π π 2π 7) tg − = tg − π + = tg = 3 ; 3 3 3 π π 7π 8) ctg − = ctg − 2π + = ctg = 1 . 4 4 4 ctg
527. 1)
2)
π 2
3π −α 2
cos( π + α )
π 2 3π tg( − α ) 2
sin ( π − α ) + cos( + α ) + ctg ( π − α )
sin
528. 1)
2)
( − α ) − tg (π + α ) + sin (
sin
2
(
3π +α 2
) ⋅ tg (
π +α 2
( π + α ) + sin cos(
( + α)
3π + α) 2
2
− cos α
=
sin α − sin α − ctgα = −1 . ctgα
) = − cos α ⋅ −ctgα = ctgα ;
ctg(2π − α ) sin(π + α ) 2 π
) = tgα − tgα − cos α = 1 ;
− ctgα − sin α
2 2 1 3π sin α + cos α . ⋅ ctg − α = ⋅ tgα = sin α cos α 2
529. 1) cos 750o = cos(720o + 30o ) = cos 30o = 2) sin 1140o = sin(1080o + 60o ) = sin 60o =
3 ; 2
3 ; 2
3) tg 405o = tg (360o + 45o ) = tg 45o = 1 ; 4) cos 840o = cos(720o + 120o ) = cos120o = cos(90o + 30o ) = − sin 30o = −
1 ; 2
47 π π 1 π = sin(8π − ) = − sin = − ; 6 6 6 2 25 π π 27 π π 6) tg π = tg (6π + ) = tg = 1 ; 7) ctg π = ctg (7 π − ) = −ctg = −1 ; 4 4 4 4 4 4
5) sin
8) cos
21 π π 2 . π = cos(5π + ) = − cos = − 4 4 4 2
(
) (
)
530. 1) cos 630o − sin 1470o − ctg1125o = cos 720o − 90o − sin 1440o + 30o − 1 3 − ctg 1080o + 45o = cos 90o − sin 30o − ctg 45o = 0 − − 1 = − ; 2 2
(
)
147
www.5balls.ru
(
)
(
)
2) tg1800o − sin 495o + cos 945o = 0 − sin 540o − 45o + cos 900o + 45o = o
o
= 0 − sin 45 − cos 45 = − 2 ;
(
)
(
)
(
)
3) 3 cos 3660o + sin − 1560o + cos − 450o = 3 cos 3600o + 60o +
(
) ( ) 3 3 3 3 = − sin (90 + 30 )+ 0 = − cos 30 = − ; 2 2 2 2 4) cos 4455 − cos(− 945 )+ tg1035 − ctg (− 1500 ) = cos(4500 − 45 )− − cos(− 900 − 45 )+ tg (1080 − 45 )− ctg (− 1440 − 60 ) = o
o
+ sin − 1440 − 120 + cos − 360 − 90 = 3 cos 60 − sin 120 + cos 90o = o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
= − cos 45o + cos 45o − tg 45o − ctg 60o = −1 − 531. 1) cos
o
o
o
o
o
o
1
3
o
o
o
.
23π 15π π π 11π − sin − ctg − = cos 6π − − sin 4π − − 4 4 4 4 2
π π π π − ctg − 6π + = cos + sin − ctg = 2 ; 2 4 4 2
2) sin
π π 25π 10π 17π − cos − = sin 8π + − cos − 8π − − − tg 3 2 3 3 2
2π π π 2π 3 3 ; − tg 4π − = − 3=− = sin − cos + tg 3 3 2 3 2 2
3) sin (− 7 π ) − 2 cos
π π 31π 7π − tg = 0 − 2 cos10π + − tg 2π − = 3 4 3 4
π π + tg = −1 + 1 = 0 ; 3 4 π 49π 21π 4) cos(− 9) + 2 sin − − ctg − = −1 + 2 sin − 8π − − 6 6 4
= −2 cos
π π π − ctg − 5π − = −1 − 2 sin + ctg = −1 − 1 + 1 = −1 . 4 6 4 π π 532. 1) sin + α − cos − α = 4 4 π π π π π = sin − − α − cos − α = cos − α − cos − α = 0 ; ч.т.д. 4 4 4 2 4 π π 2) cos − α − sin + α = 6 3 π π π π π = cos − α − sin − − α = cos − α − cos − α = 0 ; ч.т.д. 6 6 6 2 6
148
www.5balls.ru
3)
) ⋅ ctg ( + α) = − cos α ⋅ −tgα = − cos αtgα = −sin α ; ч.т.д. tg ( π + α ) tg α − ( ) tgα −ctgα
sin
(
3π −α 2
π 2
3π 2
π π 7π 533. 1) sin + α = sin π + + α = −sin + α ; 6 6 6
2) sin 5π + α = sin 2π − 3π −α = −sin 3π − α ; 4 4 4 π π 2π 3) cos α − = cos −π+ + α = −cos + α ; 3 3 3
2π 4π 4π 4) cos α − = cos − 2π + α + = cos α + ; ч.т.д. 3 3 3
534. Пусть α1α2,α3 — углы треугольника, тогда α1 + α 2 + α3 = 180o и sin (α1 + α 2 ) = sin(180o − α3 ) = sin α3 , ч.т.д. π π 535. 1) cos( − x) = 1;sin x = 1; x = + 2 πk, k ∈ Z . 2 2 3π 2) sin + x = 1; − cos x = 1;cos x = −1; x = π + 2πk, k ∈ Z . 2 π 3) cos ( x − π ) = 0;cos ( π − x ) = 0; − cos x = 0;cos x = 0; x = + πk, k ∈ Z . 2 π π 4) sin(x − ) = 1; − sin( − x) = 1; − cos x = 1;cos x = −1; x = π + 2πk, k ∈ Z . 2 2 3π 5) sin ( 2x + 3π )sin(3x + ) − sin 3x cos 2x = −1; 2 sin 2x cos 3x − sin 3x cos 2x = 0;sin ( − x ) = 0;sin x = 0; x = πk, k ∈ Z . 3π ) cos ( 2x + 4π ) − sin (5x + π ) sin 2x = 0; 2 π π π cos 5x cos 2 x + sin 5x sin 2 x = 0 : cos 3x = 0 : 3x = + πk , x = + k , k ∈ Z . 2 6 3 536. Пусть β – любой угол. Тогда β = πk + α, где k-какое-то целое число, а 0 ≤ α < π . И по формулам приведения sinβ = sinα, если k-четное и sinβ = =–sinα, если k-нечетное, cosβ = cosα, если k-четное и cosβ=–cosα, если k — π π нечетное, а tgβ = tgα и cgβ = ctgα. Тогда α = ± γ , где 0 ≤ γ ≤ . И по 2 2 формулам приведения : sin α = cos γ, cos α = ± sin γ ,
6) sin(5x −
tgα = ± ctgγ, ctgα = ± tgγ . Далее: sin γ = 2 sin γ cos γ , 2
2
149
www.5balls.ru
γ
cos γ = cos 2
γ
2tg 1 − tg 2 γ γ 2 ,ctgγ = 2, − sin 2 , tgγ = γ γ 2 2 1 − tg 2 2tg 2
2
γ π γ т.е. зная значения sin, cos, tg, ctg для угла , где 0 ≤ ≤ , мы можем вы2 2 4 числить значения sin, cos, tg, ctg для угла β. Ч.т.д. π
π
π
π
+α+ −α +α− +α π π 3 3 537. 1) sin + α + sin − α = 2sin 3 cos 3 = 2 2 3 3 π = 2 sin cos α = 3 cos α ; 3 π
π
π
π
−β+ +β −β− −β π π 4 4 2) cos − β − cos + β = −2sin 4 = sin 4 2 2 4 4 π = 2 sin sin β = 2 sin β ; 4
π π π π 3) sin 2 + α − sin 2 − α = sin + α − sin − α × 4 4 4 4 π π π × sin + α + sin − α = 2sin α cos ⋅ 2sin 4 4 4
π cos α = 2sin α cos α = sin 2α ; 4
π π π π 4) cos 2 α − − cos 2 α − = cos α − − cos α + × 4 4 4 4
π π π π × cos α − + cos α + = 2sin α sin ⋅ 2cos α cos = 2sin α cos α = sin 2α . 4 4 4 4
538. 1) cos105o + cos 75o = 2 cos 90o cos15o = 0 ; 2) sin 105o − sin 75o = 2 sin 15o cos 90o = 0 ; 3) cos
π 11π 5π 2π 2 + cos = 2 cos cos = ; 12 12 3 4 2
4) cos
π 11π 5π 2π 6 − cos = −2 sin ; sin = 12 12 3 4 2
5) sin
7π π π π 2 − sin = 2 sin cos = ; 12 12 4 3 2
6) sin105o + sin165o = 2 sin135o cos 30o = −
6 . 2
1 30o + α 30o − α ; 539. 1) 1 + 2sin α = 2( + sin α) = 2(sin30o + sin α) = 4sin cos 2 2 2
150
www.5balls.ru
1 30o − α 30o + α 2) 1 − 2sin α = 2( − sin α) = 2(sin 30o − sin α) = 4sin ; cos 2 2 2 1 60o + α 60o − α 3) 1 + 2cos α = 2( + cos α) = 2(cos60o + cos α) = 4cos ; cos 2 2 2 π +α π −α π 2 4) 1 + sin α = sin + sin α = 2sin 2 cos 2 . 2 2 sin α + sin 3α 2sin 2α cos(−α) 540. 1) = = tg2α , ч.т.д. cos α + cos3 2cos 2α cos(−α)
2)
sin 2α + sin 4α 2sin 3α cos(−α) cos α = = = ctg α , ч.т.д. cos 2α − cos 4α −2sin 3α sin(−α) sin α
541. 1) =
4cos 2α cos α 2cos 2α 2cos 2α ctg 2α = = = ; 2sin α cos α + 2sin 3α cos α sin α + sin 3α 2sin α cos(−α) cos α 2)
=
2(cos α + cos3α) 4cos2α cos(−α) 4cos2α cos α = = = 2sin 2α + sin 4α sin 2α + sin 2α + sin 4α sin 2α + 2sin3α cos(−α)
1 + sin α − cos 2α − sin 3α 2
2 sin α + sin α − 1
=
1 + cos2 α + sin 2 α + sin α − sin 3α 2 sin 2 α + sin α − 1
=
2sin2 α + 2sin(−α)cos2α 2sin α(sin α − cos2α) 2sin α(2sin2 α + sin α −1) = = = 2sin α . 2sin2 α + sin α −1 2sin2 α + sin α −1 2sin2 α + sin α −1
542. 1) cos 4 α − sin 4 α + sin 2α = cos 2α + sin 2α = π π π π = cos 2α + cos − 2α = 2cos cos 2α − = 2 cos 2α − , ч.т.д. 2 4 4 4 2π 2π 2π 2) cos α + cos + α + cos − α = cos α + 2 cos cos α = 3 3 3 = cos α − cos α = 0 , ч.т.д. sin 2α + sin 5α − sin 3α = 3) cos α + 1 − 2sin 2 2α 2sin α cos α + 2sin α cos 4α 2sin α(cos α + cos 4α) = = = 2sin α , ч.т.д. cos α + cos 4α cos α + cos 4α 543. 1) cos22o + cos24o + cos26o + cos28o = 2cos1ocos23o + 2cos1ocos27o = = 2cos1o(cos23o + cos27o) = 4cos1ocos2ocos25o; π π 5π π π π π π 1 2) cos + cos + cos = 2 cos cos − cos = 2 cos cos − = 12 4 6 6 12 6 6 12 2 π π π π π π 5π 5π = 2 cos cos − cos = 4cos sin sin = 2 3 sin sin . 6 24 8 24 8 6 12 3
151
www.5balls.ru
544. tgα + tgβ =
sin α sin β sin α cos β + sin β cos α sin(α + β) + = = , ч.т.д. cos α cos β cos α cos β cos α cos β sin 360o
1) tg267o + tg93o =
=0 cos 267o cos93o 5π 7π sin π 2) tg + tg = =0. 12 12 cos 5π ⋅ cos 7 π 12
12
545. 1) 1 – cosα + sinα = cos0 – cosα + sinα = α α α α α α α = −2 sin sin − + 2 sin cos = 2 sin sin + cos ; 2 2 2 2 2 2 2 2) 1 – 2cosα + cos2α = cos0 + cos2α – 2cosα = 2cosαcos( – α) – 2cosα = = 2cosα(cosα – 1); cos α + sin α cos α − cos 2 α − sin α = cos α cos α(1 − cos α ) − sin α(1 − cos α ) (1 − cos α )(cos α − sin α ) = = = (1 − cos α )(1 − tgα ) ; cos α cos α 1 sin α + cos α 4) 1 + sin α + cos α + tgα = sin α + cos α + = (sin α + cos α)1 + . cos α cos α
3) 1 + sin α − cos α − tgα =
546. 1) cosα, если sin α =
3 π и < α < π ; cos α = − 1 − 1 = − 2 ; 2 3 3 3
5 3π 1 9 2 ; ; tgα = , π<α< −1 = −1 = 2 3 2 5 cos α 5 π 3) sinα, если tgα = 2 2 и 0 < α < ; 2 2) tgα, если cos α = −
sin α = tgα cos α = tgα ⋅
1 2
1 + tg α
=2 2⋅
1 2 2 ; = 9 3
3π ; 2 1 = 2 ⋅− 1 = − 2 . cos α = ctgα ⋅ sin α = ctgα ⋅ − 1 + ctg 2 α 3 3 π π 547. 1) 2 sin (π − α )cos − α + 3 sin 2 − α − 2 = 2 2
4) cosα, если ctgα = 2 и π < α <
= 2 sin α sin α + 3 cos 2 α − 2 = 2 cos 2 α + 3 cos 2 α = cos 2 α ; π 3π sin (π + α )cos − α tg α − 2 2 − sin α(− sin α )(− ctgα ) ctg 2α . 2) = = − sin α ⋅ sin α ⋅ tgα π 3π + α tg (π + α ) cos + α cos 2 2
152
www.5balls.ru
548. 1) sin 47π = sin 8π − π = − sin π = − 1 ; 2) tg 25π = tg 6π + π = tg π = 1 ; 6
6
6
4
2
4
4
3) ctg 27π = ctg 7π − π = −ctg π = −1 ; 4) cos 21π = cos 5π + π = − cos π = − 2 . 4
4
4
4
4
4
2
23π 15π π π π π 549. 1) cos − sin = cos 6π − − sin 4π − = cos + sin = 2 ; 4 4 4 4 4 4
2) sin
25π π π π π 10π 3 ; − tg = sin 8π + − tg 3π + = sin − tg = − 4 3 3 3 3 3 2
3) 3cos3660o + sin(−1560o ) = 3cos(360o ⋅ 10 + 60o ) + sin(−180o ⋅ 9 + 60o ) = = 3 cos 60 o − sin 60 o =
(
)
3− 3 ; 2
(
) (
)
4) cos − 945 o + tg1035 o = cos − 180 o ⋅ 5 − 45 o + tg 360 o ⋅ 3 − 45 o = = − cos 45 o − tg 45 o = −
2 −1 . 2
1 + cos2 α 1 1 + cos2 α − sin2 α sin α ⋅ 550. 1) − sin α tgα = = sin α 2 2 cosα sin α
=
2cos 2 α sin α ⋅ = cos α ; sin α 2cos α
1 + sin2 α cosα 1 + sin 2 α − cos2 α cos α 2sin2 α = 2) ctgα ⋅ = 2sin α. − cosα = cosα sin α sin α cos α cosα
( + α) − cos( + α) = sin 551. 1) sin ( + α) + cos ( + α) sin sin
π 4 π 4
π 4 π 4
π π π π cos α + sin α cos − cos cos α + sin sin α 4 4 4 4 = π π π π cos α + sin α cos + cos cos α − sin sin α 4 4 4 4
2 2 2 2 cos α + sin α − cos α + sin α 2 sin α 2 2 2 2 = = = tgα ; 2 2 2 2 2 cos α cos α + sin α + cos α − sin α 2 2 2 2 π π π π π π sin − α − cos − α sin cos α − sin α cos + cos α cos − sin sin α 4 4 4 4 4 4 2) = = π π π π π π α − α − α − α sin cos sin cos cos cos sin sin sin − α + cos − α 4 4 4 4 4 4
( ) ( ) ( ) ( )
=
2 (cos α − sin α ) 2 sin α
= 1 − ctgα
552. 1) 1 + tgαtgβ = 1 +
sin α sin β cos α cos β + sin α sin β cos(α − β) , ч.т.д. = = cos α cos β cos α cos β cos α cos β
153
www.5balls.ru
2) tgα − tgβ =
sin α sin β sin α cos β − sin β cos α sin(α − β) , ч.т.д. − = = cos α cos β cos α cos β cos α cos β
π π 553. 1) 2 sin 6α cos 2 + 3α − sin 6α = sin 6α 2 cos 2 + 3α − 1 = 4 4
5π 5π π = = sin 6α ⋅ cos + 6α = − sin 2 6α = α = = − sin 2 24 4 2 1 π π = − sin 2 π + = − sin 2 = − ; 4 4 2 π π 2) cos3α + 2cos ( π − 3α ) sin 2 − 1,5α = cos3α 1 − 2sin 2 − 1,5α = 4 4
1 5π 1 5π 1 π = cos3α cos − 3α = cos 3α sin 3α = sin 6α = α = = sin = . 2 36 2 5 4 2
554. 1)
(
3 cos75o − cos15o 1 − 2sin2 15o
) = −2 2sin45o sin30o = −2 cos30o
2⋅ 3 2
2 1 ⋅ 2 2
=−
2 ; 3
π 2 π −1 cos 2 8 4 2 2) . = = = π π π 1+1 4 1 + 8sin 2 cos2 1 + 2sin 2 8 8 4
2cos 2
555. 1)
2 sin 2α − sin 4α 2 sin 2α(1− cos2α) 1− cos2α 2 sin2 α = = = = 2tg 2α , ч.т.д. 2 sin 2α + sin 4α 2 sin 2α(1+ cos2α) 1+ cos2α 2 cos2 α π
(1 − cos( − 2α)) 1 − sin2α 2 cos2α(1− sin 2α) 2 cos2α − sin 4α π 2 2) tg2 ( − α) = , = = = π 4 (1 + cos( + 2α)) 1 + sin2α 2 cos2α(1+ sin 2α) 2 cos2α + sin 4α 2
ч.т.д. 556. 1) sin35o + sin24o = 2sin30ocos5o = cos5o; 2) cos12o – cos48o = – 2sin( – 18o)sin30o = – sin( – 18o) = sin18o. cos β sin β 1 − cos 4α 557. + = ⋅ sin α cos α cos(π − β + α ) =
(cos α cos β + sin α sin β) ⋅
2 sin 2 2α 2 cos(α − β )sin 2 2α = = −4sin 2α . 1 1 − cos(α − β ) sin 2α − sin 2α cos(α − β ) 2 2 7π 7π 7π sin(2α − 3π) + 2 cos + 2α −sin2α + 2cos cos2α − 2sin sin2α 6 6 6 558. 1) = = π π π 2 cos − 2α + 3 cos(2α − 3π) 2cos cos2α + 2sin sin2α − 3cos2α 6 6 6
154
www.5balls.ru
=
=
− sin 2α − 3 cos 2α + sin 2α
− 3 cos 2α = = − 3ctg 2α , ч.т.д. sin 2α 3 cos 2α + sin 2α − 3 cos 2α π 2 cos − 2α − 3 sin(2,5π − 2α) 2cos π cos2α + 2sin π sin 2α − 3cos2α 6 6 6 2) = = π π π sin 2α + 2cos cos2α − 2sin sin 2α cos(4,5π − 2α) + 2 cos + 2α 6 6 6 3 cos 2α + sin 2α − 3 cos 2α sin 2α + 3 cos 2α − sin 2α
559. 1)
2)
=
sin 2α 3 cos 2α
=
tgα 3
, ч.т.д.
1 − cos α + cos 2α 2cos 2 α cos α(2cos α − 1) = = = ctgα , ч.т.д. sin 2α − sin α sin 2α − sin α sin α(2cos α − 1)
sin α + sin
α 2
1 + cos α + cos
α 2
=
α 2
α α α + 1) sin (2cos + 1) α 2 2 2 = = tg , ч.т.д. α α α 2α 2 2cos cos (2cos + 1) + cos 2 2 2 2
sin (2cos
3
1+ π α π 1 − cos α 5 =2 560. < < и tgα = = 3 4 2 2 1 + cos α 1− 5
1 1 1 1 3 561. sin α cos α = − (sin α − cos α )2 + = − + = ; 2 2 8 2 8 1 11
sin 2 α cos2 α sin3 α − cos3 α (sin α − cos α)(1 + sin α cos α) 2 ⋅ 8 11 − = = = = . 3 cos α sin α sin α cos α sin α cos α 6
8 8 ctg 2α − 1 − 9 4 562. ctg2α = = =− ; 2 2ctgα 3 3 4sin 2α 5cos 2α 20 2 + 4− − 4sin 2α + 5cos 2α sin 2α = 4 + 5ctg2α = 3 = 3 =−4 . = sin 2α 2sin 2α − 3cos 2α 2sin 2α − 3cos 2α 2 − 3ctg2α 2 + 12 6 9 sin 2α sin 2α 3
563. 1) sin2(α + β) = (sinαcosβ + sinβcosα)2 = sin2αcos2β + sin2βcos2α + + 2sinαsinβcosαcosβ = sin2α – sin2αsin2β + sin2βsin2α + 2sinαcosαsinβcosβ = = sin2α + sin2β + 2sinαsinβ(cosαcosβ – sinαsinβ) = sin2α + sin2β+2sinαsinβ × ⋅ × cos(α + β), ч.т.д. 2) sinα + 2sin3α + sin5α = 2sin3αcos2α + 2sin3α = 2sin3α(cos2α + 1) = = 4sin3αcos2α, ч.т.д. sin α + sin3α + sin5α 2sin3α cos2α + sin3α 564. = = cos α + cos3α + cos5α 2cos3α cos2α + cos3α sin3α(2cos2α+1) sin3α = = tg3α , ч.т.д. cos3α(2cos2α+1) cos3α
155
www.5balls.ru
565. =
sin α 3
3
sin α + 3cos α
(
)
1 sin α tgα 2 tgα 1 + tg 2α 3 cos α cos α = = = = 3
3
tg α + 3
tg α + 3
3
tg α + 3
2 ⋅ 5 10 = . 8 + 3 11
π π 566. sin 2 α + cos − α cos + α = 3 3 π π π π 2 = sin α + (cos cos α + sin sin α )(cos cos α − sin sin α ) = 3 3 3 3 1 1 1 π π = sin 2 α + cos 2 cos 2 α − sin 2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α = , ч.т.д. 3 3 4 4 4 1 1 1 567. 1) (5 + 3cos 4α ) = (6 cos 2 2α + 2) = (6(cos 2 α − sin 2 α ) 2 + 2) = 8 8 8 1 1 2 2 2 2 2 = (6(sin α + cos α) − 24sin α cos α + 2) = (8 − 24sin 2 α cos 2 α ) = 8 8 = 1 − 3sin 2 α cos 2 α = (sin 2 α + cos 2 α )(sin 2 α + cos 2 α ) − 3sin 2 α cos 2 α =
= sin 4 α + cos 4 α − sin 2 α cos 2 α = (sin 2 α + cos 2 α )(sin 4 α + cos 4 α ) − − sin 2 α cos 2 α (sin 2 α + cos 2 α ) = sin 6 α + cos 6 α + sin 2 α cos 4 α + + sin 4 α cos 2 α − sin 2 α cos 4 α = sin 6 α + cos 6 α , ч.т.д.
2) sin 8 α + cos8 α = (sin 4 α + cos 4 α ) 2 − 2sin 4 α cos 4 α = = ((sin 2 α + cos 2 α ) 2 − 2sin 2 α cos 2 α ) 2 − 2sin 4 α cos 4 α = (1 − 2sin 2 α cos 2 α ) 2 − 1 −2sin 4 α cos 4 α = 1 − 4sin 2 α cos 2 α + 2sin 4 α cos 4α = 1 − sin 2 α + sin 4 2α = 8 1 1 1 1 2 (1 − cos 4α ) = 1 − + cos 4α + = 1 − (1 − cos 4α ) + 2 32 2 2 1 1 1 1 cos 2 4α = cos 2 4α + 14 cos 4α + 17 , ч.т.д. + − cos 4α + 32 16 32 32
(
156
www.5balls.ru
)
Глава VI. Тригонометрические уравнения 568. 1) arccos 0 = 3) arccos
π ; 2
2 π = ; 2 4
2) arccos1 = 0; 4) arccos
1 π = ; 2 3
π 5π 3 3 5) arccos − ; = π − arccos = π− = 2 2 6 6 2 2 = π − π = 3π . 6) arccos − = π − arccos 2 2 4 4 π 569. 1) 2 arccos 0 + 3 arccos 1 = 2 ⋅ + 3 ⋅ 0 = π ; 2 π 2) 3 arccos(− 1) − 2 arccos 0 = 3 ⋅ π − 2 ⋅ = 2π ; 2
3) 12 arccos
3 π 2π 1 − arccos − = 12 ⋅ − 3 ⋅ =0; 2 6 3 2
2 2 3π 2π 4) 4 arccos − − 6 arccos − = 4⋅ −6⋅ = 3π − 4π = −π . 2 2 4 3
3 π π 3 1 1 = < = arccos , т.е. arccos < arccos ; 2 6 3 2 2 2 3 3 2) arccos − < π = arccos(− 1) , т.е. arccos − < arccos(− 1) ; 4 4 570. 1) arccos
2 3π 2π 2 = , т.е. arccos − 2 > arccos − 1 . 3) arccos − > = arccos − 2 2 4 2 3 2
571. 1) cos x = 2) cos x = −
2 ; 2
3 ; 2
x = ± arccos
2 + 2πk ; 2
3 x = ± π − arccos + 2πk ; 2
x=±
π + 2πk , k ∈ Z ; 4
x=±
5π + 2πk , k ∈ Z ; 6
1 3π + 2πk ; x = ± π − arccos x=± + 2πk , k ∈ Z . 4 2 3 3 572. 1) cos x = ; x = ± arccos + 2πk, k ∈ Z ; 4 4 2) cosx = – 0,3; x = ±(π – arccos0,3) + 2πk, k ∈ Z 3) cos x = −
3) cos x = −
1
2
;
3 ; 2
3 ; x = ± π − arccos 2
x=±
5π + 2πk , k ∈ Z . 6
157
www.5balls.ru
π k, k ∈ Z . 2 2) cos2x = – 1; 2x = ±(π – arccos1) + 2πk; 2x = ±π + 2πk; π x = ± + πk, k ∈ Z . 2 x 1 x x 3π 3) 2 cos = −1 ; = ± (− arccos ) + 2πk ; = ± + 2πk ; 4 4 4 4 2 x = ±3π + 8πk, k ∈ Z. 573. 1) cos4x = 1; 4x = ±arccos1 + 2πk; 4x = 2πk; x =
4) 2 cos
x 3 x x π + 2πk ; = ± + 2πk ; = 3 ; = ± arccos 3 2 3 3 6
π + 6πk , k ∈ Z . 2 π π π 5) cos x + = 0 ; x + = ± arccos 0 + 2πk ; x = − + 2πk , k ∈ Z . 3 3 3 x=±
π π π 6) cos 2x − = 0 ; 2 x − = ± arccos 0 + 2πk ; 2 x = + 2πk ; 4 4 4 π x = + πk , k ∈ Z . 8 574. 1) cosxcos3x = sin3xsinx; cosxcos3x – sin3xsinx = 0; π π π cos4x = 0; 4 x = + πk ; x = + k, k ∈ Z . 2 8 4 π 2) cos2xcosx + sin2xsinx = 0; x = + πk , k ∈ Z . 2
(
)
575. 1) arccos 6 − 3 — имеет, т.к.
6 −3 <1;
( ) 7 −2 <1; 3) arccos(2 − 10 ) — не имеет, т.к. 2 − 10 > 1 ; 4) arccos(1 − 5 ) — не имеет, т.к. 1 − 5 > 1 ; 2) arccos 7 − 2 — имеет, т.к.
1 1 3π π 5) tg(3arccos ) — имеет, т.к. 3 arccos = = π+ . 2 3 2 2 cos22x – sin22x = 1; 576. 1) cos22x = 1 + sin22x; π cos4x = 1; 4x = 2πk; x = k, k ∈ Z . 2 2) 4cos2x = 3;
cos x = ±
3 ; 2
158
www.5balls.ru
π 5π π + 2πk и x = ± + 2πk , k ∈ Z , т.е. x = ± + πk , k ∈ Z . 6 6 6 1 cos2 x − sin 2 x = ; 3) 2cos2x = 1 + 2sin2x; 2 1 π π 2 x = ± + 2πk ; x = ± + πk , k ∈ Z . cos 2 x = ; 2 3 6 x=±
(
)
2 2 cos 2 x − 1 = 1 ; 4) 2 2 cos 2 x = 1 + 2 ; 1 π π cos 2 x = ; 2 x = ± + 2πk ; x = ± + πk , k ∈ Z ; 4 8 2 5) (1 + cosx)(3 – 2cosx) = 0; 3 cos = – 1 и cos x = ; x = π + 2πk, k ∈ Z; во втором случае решений нет. 2 4 6) (1 – cosx)(4 + 3cos2x) = 0; cosx = 1 и cos x = − ; 3 х = 2πk, k ∈ Z; во втором случае решений нет. 1 1 7) (1 + 2cosx)(1 – 3cosx) = 0; cos x = − и cos x = ; 2 3 2π 1 x=± + 2πk и x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z . 3 3 1 2 8) (1 – 2cosx)(2 + 3cosx) = 0 cos x = и cos x = − ; 2 3 2 π x = ± + 2πk и x = ±( π − arccos ) + 2πk, k ∈ Z . 3 3 π 1 2π 577. cos 2 x = − ; 2x = ± + 2πk ; x = ± + πk , k ∈ Z ; 2 3 3 π 5π среди них отрезку − ; принадлежат: 2 2 x1 = −
2π 4π 5π 7π π π . , x2 = , x3 = ,x4 = , x5 = , x6 = 3 3 3 3 3 3
π π π + 2πk ; x = ± + k , k ∈ Z , 4 16 2 π π . x1 = − , x 2 = 16 16 1 7 π π 579. 1) arccos(2x − 3) = ; 2x − 3 = ; x= ; 2 x − 3 = cos ; 3 3 2 4 x +1 x + 1 2π 2π 5 1 ; 2) arccos ; x=− . = cos = x +1 = 3⋅− ; 3 3 3 3 2 2
2 ; 2 π среди них с x < ; 4 578. cos 4 x =
4x = ±
580. arccos a = α, такое, что cosα = a, и 0 ≤ α ≤ π, по определнию.
159
www.5balls.ru
Тогда cos(arccos a) = cosα = a, ч.т.д. 2) cos(arccos(− 2 )) = − 2 ;
1) cos(arccos0,2) = 0,2;
3
3) cos(π + arccos 3 ) = − cos(arccos 3 ) = − 3 ;
4 4 4 π 1 1 1 4) sin( + arccos ) = cos(arccos ) = ; 2 3 3 3
5) sin(arccos 4 ) = 1 − cos 2 (arccos 4 ) = 1 − 16 = 3 , т.к. 5 5 25 5 4 arccos ∈ [0; π] и sinα ≥ 0 для всех α ∈ [0; π]; 5
6) tg (arccos 3 ) = 10
arccos
1 cos 2 (arccos
3 ) 10
−1 =
10 1 − 1 = , т.к. 9 3
π > 0 и tgα > 0, для всех α ∈ 0; . 10 2 3
160
www.5balls.ru
3
581. arccos(cosα) = β, 0 ≤ β ≤ π, что cos β = cosα, так что α = β и arccos(cosα) = α, ч.т.д. π π 2) 3arccos(cos2) = 6; 1) 5arccos(cos ) = ; 10 2 8π π π 6π 3) arccos(cos ) = arccos(− cos ) = π − arccos(cos ) = ; 7 7 7 7 4) arccos(cos4) = arccos( – cos(4 – π)) = π – arccos(cos(4 – π)) = 2π – 4. 1 2 2 1 2 2 582. 1) sin(arccos + arccos ) = sin(arccos ) ⋅ cos(arccos )+ 3 3 3 3 1 2 2 1 2 2 1 8 8 1 + cos(arccos ) ⋅ sin(arccos ) = 1− ⋅ + ⋅ 1− = + = 1 . 3 3 9 3 3 9 9 9
4 3 4 3 2) cos(arccos − arccos ) = cos(arccos ) ⋅ cos(arccos ) + 5 5 5 5 4 3 4 3 16 9 4 3 3 4 24 . + sin(arccos ) ⋅ sin(arccos ) = ⋅ + 1 − = ⋅ + ⋅ = 1− 5 5 5 5 25 25 5 5 5 5 25
583. 1) cos(2arccosa) = 2cos2(arccosa) – 1 = 2a2 – 1; 3π 2) cos( + arcsin a) = sin (arcsin a ) = a . 2 584. 2 arccos 1 + a = arccos a ; 2
2arccos
1+ a 1 + cos(arccos a) 1 = 2arccos = 2arccos(cos( arccos a)) = 2 2 2
1 = 2 ⋅ arccos a = arccos a , ч.т.д. 2
585. 1) cosx = 0,35; x = ±arccos0,35 + 2πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arccos0,35; 2) cosx = – 0,27; x = ±(π – arccos0,27) + 2πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arccos0,27. 586. 1) arcsin0 = 0;
2) arcsin 1 = π ;
3) arcsin 3 = π ;
4) arcsin 1 = π ;
5) arcsin − 2 = − π ; 2 4
6) arcsin − 3 = − π . 2 3
2
2
2
6
3
587. 1) arcsin1 – arcsin(– 1) = 2arcsin1 = π4 2) arcsin 1 + arcsin − 1 = 0 ; 2
2
3) arcsin 1 + arcsin 3 = π + π = π ; 2
4) arcsin − 3 + arcsin − 1 = − π − π = − π .
2 3 2 588. 1) arcsin 1 и arcsin − 1 ; 4 4
6
2
160
www.5balls.ru
2
6
3
2
arcsin
1 1 1 > 0 > − arcsin = arcsin − , т.е. 4 4 4
arcsin
1 1 > arcsin − ; 4 4
2) arcsin − 3 и arcsin( – 1); 4
π 3 arcsin − > − = arcsin(−1) , т.е. 2 4
589. 1) sin x = 3 ;
3 arcsin − > arcsin (− 1) . 4
x = (− 1)k arcsin
2
3 + πk ; 2
2 + πk ; 2
x = (− 1)k
π + πk , k ∈ Z ; 3
π + πk , k ∈ Z ; 4
2) sin x = 2 ;
x = (− 1)k arcsin
3) sin x = − 1 ;
1 π + πk ; x = (− 1)k +1 + πk , k ∈ Z . x = (− 1)k arcsin − 4 2 2 x = (− 1)k arcsin + πk , k ∈ Z ; 7 1 x = (− 1)k +1 arcsin + πk , k ∈ Z ; 4
2
2
590. 1) sin x = 2 ; 7
2) sin x = − 1 ; 4 3) sin x = 5 ;
3x =
591. 1) sin3x = 1; 2) sin2x = – 1; 2 x = − 2 sin
4) 2 sin
5 + πk , k ∈ Z . 3
x = (− 1)k arcsin
3
3)
x = (− 1)k
π + 2πk ; 2
π + 2πk ; 2
x=−
x=
π 2π k, k ∈ Z ; + 6 3
π + πk , k ∈ Z ; 4
x x 1 3π k +1 = −1 ; = ( −1) arcsin + 3πk , k ∈ Z ; + πk; x = (− 1)k +1 3 4 3 2
x = 3; 2
5) sin( x + 3π ) = 0 ;
4 6) sin(2 x + π ) = 0 ; 2
x 3 2π = (− 1)k arcsin + πk ; x = (− 1)k + πk , k ∈ Z ; 3 2 2 3π = 0 + πk ; 4 π 2 x + = πk ; 2
x+
3π + πk , k ∈ Z ; 4 π π x = − + k, k ∈ Z . 4 2
x=−
592. 1) sin4xcos2x = cos4xsin2x; sin4xcos2x – cos4xsin2x = 0;
sin2x = 0;
2x = πk;
x=
π k, k ∈ Z . 2
2) cos2xsin3x = sin2xcos3x; cos2xsin3x – sin2xcos3x = 0; sinx = 0; x = πk, k ∈ Z. 593. 1) arcsin( 5 − 2) — имеет, т.к. 5 − 2 ≤ 1 ; 2) arcsin( 5 − 3) — имеет, т.к. 3) arcsin(3 –
5 −3 ≤1;
17 ) arcsin(3 − 17) — не имеет, т.к. 3 –
17 < – 1;
161
www.5balls.ru
10 ) — не имеет, т.к. 2 – 10 < – 1; 1 1 π 5) tg(6arcsin ) — имеет, т.к. tg(6arcsin ) = tg(6 ⋅ ) = tgπ = 0 ; 2 2 6
4) arcsin(2 –
6) tg(2srcsin
2 ) — не имеет, т.к. tg(2arcsin 2 ) = tg(2 ⋅ π ) = tg π — не су2 2 4 2
ществует. 594. 1) 1 – 4sinxcosx = 0; 2 x = (− 1)k
π + πk ; 6
1 – 2sin2x = 0; x = (− 1)k
3 + 4 sin x cos x = 0 ;
2)
sin 2 x =
1 ; 2
π π + k, k ∈ Z ; 12 2
3 + 2 sin 2 x = 0 ;
3 π π π 2 x = (− 1)k +1 + πk ; x = (− 1)k +1 + k , k ∈ Z ; 3 6 2 2 x x x 1 x 1 + 6 sin cos = 0 ; 1 + 3 sin = 0 ; sin = − ; 2 3 2 4 4 1 1 x = (− 1)k +1 arcsin + 2πk , k ∈ Z ; = (− 1)k +1 arcsin + πk ; 3 3 x x 2x 1 − 8 sin cos = 0 ; 1 − 4 sin = 0; 3 3 3
sin 2 x = − 3) x 2 4)
sin
2x 1 = (− 1)k arcsin + πk ; 3 4
x = (− 1)k
3 1 3 arcsin + πk , k ∈ Z . 2 4 2
595. 1) 1 + cos5xsin4x = cos4xsin5x; cos4xsin5x – cos5xsin4x = 1;
sinx = 1; x = π + 2πk , k ∈ Z ; 2
2) 1 – sinxcos2x = cos2xsinx; π + 2πk ; x = π + 2π k , k ∈ Z . 2 6 3 3 1 596. 1) (4sinx – 3)(2sinx + 1) = 0; sin x = или sin x = − ; 4 2 3 k k +1 π x = (− 1) arcsin + πk или x = (− 1) + πk , k ∈ Z ; 4 6 1 3 2) (4sin3x – 1)(2sinx + 3) = 0; sin 3x = или sin x = − ; 4 2
sinxcos2x – sin2xcosx = 1; sin3x = 1; 3x =
3x = (− 1)k arcsin
1 + πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет, значит, 4
1 1 π arcsin + k , k ∈ Z . 3 4 3 1 π 597. sin 2 x = ; 2 x = (− 1)k + πk ; 2 6 x = (− 1)k
162
www.5balls.ru
x = (− 1)k
π π + k, k ∈ Z ; 12 2
из них промежутку [0; 2π] принадлежат: x1 = π , x 2 = 5π , x 3 = 13π , x 4 = 17π . 12 x k π 2 = ( −1) 3 + πk, k ∈ Z x 3 598. sin 2 = 2 ; x − 4π < π ; log π ( x − 4π ) < 1 x − 4π > 0
Решением системы является x =
12 12 12 x = ( −1)k 2π + 2πk, k ∈ Z 3 . x < 5π x > 4π
14π . 3
599. Пусть arcsina — α, тогда α ∈ − π ; π и sinα = a. Следовательно, 2 2
sin(arcsina) = sinα = a, ч.т.д. 1 1 1 1 1) sin(arcsin ) = ; 2) sin arcsin − = − ; 7 7 5 5 3 3 3 3) sin(π + arcsin ) = − sin(arcsin ) = − ; 4 4 4 3π 1 1 1 4) cos( − arcsin ) = − sin(arcsin ) = − ; 2 3 3 3 4 4 16 3 5) cos(arcsin ) = 1 − sin 2 (arcsin ) = 1 − = ; 5 5 25 5 1
6) tg(arcsin
) (sin arcsin 1 1 1 10 )= = = . 1 3 3 10 ) cos(arcsin 10 ⋅ 10
10
600. Пусть arcsin(sinα)=β, тогда sin α =sinβ и − π ≤ β ≤ π и − π ≤ α ≤ π , 2
2
2
2
т.е. α=β. Значит, arcsin(sinα) = α, ч.т.д. π π 1 1 2) 4arcsin(sin ) = 4 ⋅ = 2 ; 1) 7 arcsin(sin ) = 7 ⋅ = π ; 7 7 2 2 π π 6π 3) arcsin(sin ) = arcsin(sin ) = ; 7 7 7 4) arcsin(sin5) = arcsin(sin(5 – 2π) = 5 – 2π. 601. 1) cos(arcsin 3 ) = 1 − sin 2 (arcsin 3 ) = 1 − 9 = 4 ; 5
5
25
5
2) cos arcsin − 4 = 1 − sin 2 arcsin − 4 = 1 − 16 = 3 ; 25 5 5 5 3) cos arcsin − 1 = 1 − sin 2 arcsin − 1 = 1 − 1 = 2 2 ;
3
3
9
3
163
www.5balls.ru
4) cos(arcsin 1 ) = 1 − sin 2 (arcsin 1 ) = 1 − 1 = 15 . 4
4
16
4
602. 1) sin(arccos 2 ) = 1 − cos2 (arccos 2 ) = 1 − 4 = 5 ; 3 3 9 3 2) sin arccos − 1 = 1 − cos 2 arccos − 1 = 1 − 1 = 3 .
2
2
4
2
603. 1) sin(arcsin 1 + arccos 2 2 ) = sin(arcsin 1 ) ⋅ cos(arccos 2 2 ) + 3
3
3
3
2 2 1 2 2 1 + sin(arccos ) ⋅ cos(arcsin ) = ⋅ + 3 3 3 3 2 2 1 1 2 2 4 2 2 2 1 ; ⋅ + ⋅ = ) ⋅ 1 − sin 2 (arcsin ) = 3 3 3 3 9 2 3 3 4 3 4 3 2) cos(arcsin + arccos ) = cos(arcsin ) ⋅ cos(arccos ) − sin(arcsin ) ⋅ 5 5 5 5 5
+ 1 − cos 2 (arccos
4 4 3 3 4 ⋅ sin(arccos ) = 1 − sin 2 (arcsin ) − 1 − cos 2 (arccos ) = 5 5 5 5 5 −1 ≤ x − 3 ≤ 1 2 ≤ x ≤ 4 2 604. 1) arcsin( x − 3) = π ; ; 2 ; 2 6 x π x = 3+ 1 − 3 = sin 2 2 6 2
2) arcsin(3 − 2x) = −
4 4 3 3 7 . ⋅ − ⋅ = 5 5 5 5 25 4 ≤ x ≤ 8 . Ответ: х = 7. x = 7
π ; 4
−1 ≤ 3 − 2x ≤ 1 −4 ≤ −2x ≤ −2 ; π ; 2 3 − 2x = sin − 4 2x = 3 + 2 605. Т.к. 0≤а≤1, то arcsin a ∈ 0; π 2
( )
1 ≤ x ≤ 2 . 6+ 2 x = 4
Ответ: x =
6+ 2 . 4
и 2arcsina=[0; π], и arccos(1 − 2a 2 ) ∈ [0; π] ;
cos(2arcsina) = 1 – 2sin2(arcsina) = 1 – 2a2 = cos(arccos(1 – 2a2)), т.е. 2arcsina = arccos(1 – 2a2), ч.т.д. 606. 1) sinx = 0,65 x = ( – 1)karcsin0,65 + πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arcsin0,65. 2) sinx = – 0,31 x = ( – 1)k + 1arcsin0,31 + πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arcsin0,31. 607. 1) arctg0 = 0; 2) arctg (− 1) = − π ; 3) arctg − 3 = − π ; 4) arctg 3 = π .
4
3
6
608. 1) 6arctg 3 − 4 arcsin − 1 = 6 ⋅ π − 4 ⋅ − π = 2π + π = 3π ; 2
3
4
2) 2arctg1 +3 arcsin − 1 = 2 ⋅ π + 3 ⋅ − π = π − π = 0 ; 2
4
6
2
2
164
www.5balls.ru
3
( )
3) 5arctg − 3 − 3 arccos − 2 = 5 ⋅ − π − 3 ⋅ 3π = − 5π − 9π = − 47 π .
2
3
4
3
4
12
609. 1) arctg( – 1) и arcsin − 3 ; arctg(− 1) = − π > − π = arcsin − 3 ,
2
4
3
2
т.е. arctg(− 1) > arcsin − 3 ;
2
1 1 1 π ; arctg 3 = = arccos , т.е. arctg 3 = arccos ; 2 2 2 3 3) arctg( – 3) и arctg2; arctg( – 3) < 0 < arctg2, т.е. arctg( – 3) < arctg2; 4) arctg( – 5) и arctg0; arctg( – 5) < 0 < arctg0, т.е. arctg( – 5) < arctg0. 1 1 π ; x = arctg + πk ; 610. 1) tgx = x = + πk , k ∈ Z ; 6 3 3
2) arctg 3 и arccos
2) tgx = 3 ;
x = arctg 3 + πk ;
3) tgx = − 3 ;
x = arctg(− 3) + πk ;
4) tgx = – 1;
x = atctg(– 1) + πk;
5) tgx = 4; 6) tgx = – 5;
x = arctg4 + πk, k ∈ Z; x = arctg(– 5) + πk;
π + πk , k ∈ Z ; 3 π x = − + πk , k ∈ Z ; 3 π x = − + πk , k ∈ Z ; 4 x=
x = – arctg5 + πk, k ∈ Z. π x = k, k ∈ Z ; 611. 1) tg3x = 0; 3x = πk; 3 x x x π 3π 2) 1 + tg = 0 ; tg = −1 ; = − + πk ; x = − + 3πk , k ∈ Z ; 3 3 3 4 4 x x x π 3) 3 + tg = 0 ; tg = − 3 ; = − + πk ; x = – 2π + 6πk, k ∈ Z. 6 6 6 3 612. 1) (tgx − 1)(tgx + 3) = 0 ; tgx = 1 или tgx = − 3 ;
x=
π π + πk или x = − + πk , k ∈ Z ; 4 3
2) ( 3tgx + 1)(tgx − 3) = 0 ; 1 π π tgx = − или tgx = 3 ; x = − + πk или x = + πk , k ∈ Z ; 6 3 3 3) (tgx – 2)(2cosx – 1) = 0; 1 π x = arctg2 + πk или x = ± + 2πk , k ∈ Z ; tgx = 2 или cos x = ; 2 3 4) (tgx – 4,5)(1 + 2sinx) = 0; 1 π tgx = 4,5 или sin x = − ; x = arctg4,5 + πk или x = (− 1)k +1 + πk , k ∈ Z ; 2 6
165
www.5balls.ru
x − 1) = 0 ; 2 x tgx = – 4 или tg = 1 ; 2
5) (tgx + 4)(tg
x = – arctg4 + πk или x =
x = – arctg4 + πk или
x π = + πk , k ∈ Z , т.е. 2 4
π + 2πk , k ∈ Z ; 2
π Последняя серия корней не подходит, т.к. tg( + 2πk) — не существу2 ет, т.е. x = – arctg4 + πk, k ∈ Z; x x 6) ( tg + 1)( tgx − 1) = 0; tg = −1 или tgx = 1; 6 6 х π π = − + πk или x = + πk, k ∈ Z ; 6 4 4 π −3π x= + 6π или x = + πk, k ∈ Z . Первая серия корней не подходит, 4 2 π 3π т.к. tg (− + 6πk) — не существует, значит, х = + πk, k ∈ Z . 2 4 613. tgx =
3 ; 3
x=
π + πk , k ∈ Z ; 6
Наименьший положительный корень x 1 = π , а наибольший отрицатель6
ный x 2 = − 5π . 6 614. 1) arctg(5x − 1) =
π ; 4
5x − 1 = tg
π ; 4
5х = 2;
x=
2 ; 5
3+ 3 π . 5x = 3 + 3 ; x = 3 − 5x = tg − ; 5 3 615. Пусть arctga=α, тогда − π < α < π и tgα=a, т.е. tg(arctga)=tgα=a, ч.т.д. 2 2 2) arctg(3 − 5x ) = −
π ; 3
1) tg(arctg2,1) = 2,1;
2) tg(arctg( – 0,3)) = – 0,3;
3) tg(π – arctg7) = – tg(arctg7) = – 7; 4) ctg( π + arctg6) = − tg(arctg6) = −6 . 2
616. Пусть arctg(tgα) = β, тогда − π < α < π ;− π < β < π и tgβ = tgα, зна2
2
2
2
чит, α = β, т.е. arctg(tgα) = α, ч.т.д. 1) 3arctg(tg π ) = 3 ⋅ π = 3π ;
3) arctg tg 7 π = arctg tg − π = − π ;
2) 4arctg(tg0,5) = 4 ⋅ 0,5 = 2;
4) arctg(tg13) = arctg(tg(13 – 4π))=13 – 4π.
7
7
7
8
166
www.5balls.ru
8
8
617. 1) arctg ctg 5π = arctg tg − π = − π ;
3 2) arctg(ctg 3π ) = arctg(− tg π ) = − π ; 4 4 4
6
3
3) arctg(2sin 5π) = arctg(2 ⋅ 1 ) = arctg1 = π ; 6
2
4
4) arctg(2sin π) = arctg(2 ⋅ 3 ) = arctg 3 = π 3 2 3 618. Т.к. arctga ∈ − π ; π , то cos (arctga ) = 2 2
1 1 + tg 2 (arctga)
=
1 1 + a2
=
1 1 + a2
,
ч.т.д. 619. 1) tgx = 9; x = arctg9 + πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arctg9; 2) tgx = – 7,8; x = – arctg7,8 + πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arctg7,8. 1 1 π 1 620. 1) sin 2 x = ; sin x = или sin x = − ; x = (− 1)k + πk или 4 2 2 6 π k +1 π x = (− 1) + πk , k ∈ Z ; обобщая, получаем x = ± + πk , k ∈ Z ; 6 6 1 1 1 π ; x = ± + 2πk или 2) cos 2 x = ; cos x = или cos x = − 2 4 2 2 3π π π + 2πk , k ∈ Z ; обобщая, получаем x = + k , k ∈ Z ; 4 4 2 1 3) 2sin2x + sinx – 1 = 0; sinx = a; 2a2 + a – 1 = 0; a1 = – 1, a 2 = ; 2 x=±
sinx = – 1 или sin x = 1 ; x = − π + 2πk или x = (− 1)k π + πk , k ∈ Z ; 2
2
6
4) 2cos2x + cosx – 6 = 0; cosx = a; 2a2 + a – 6 = 0; a1 = – 4, a 2 =
3 ; 2
3 ; уравнения решений не имеют. 2 2 621. 1) 2cos x – sinx + 1 = 0; 2(1 – sin2x) – sinx + 1 = 0; 3 3 2sin2x + sinx – 3 = 0; sinx = a; 2a2 + a – 3 = 0; a = − , a = 1; sin x = − , 2 2 π sinx = 1 или x = + 2πk , k ∈ Z ; первое уравнение решений не имеет. 2 3(1 – sin2x) – sinx – 1 = 0; 2) 3cos2x – sinx – 1 = 0; 2 3sin2x + sinx – 2 = 0; sinx = a; 3a2 + a – 2 = 0; a1 = – 1, a 2 = ; 3 2 π 2 sinx = – 1 или sin x = ; x = − + 2πk или x = (− 1)k arcsin + πk, k ∈ Z . 3 2 3 4(1 – cos2x) – cosx – 1 = 0; 3) 4sin2x – cosx – 1 = 0; cosx = – 4 или cos x =
167
www.5balls.ru
4cos2x – cosx – 3 = 0;
cosx = a;
4a2 + a – 3 = 0;
a1 = – 1, a 2 =
3 ; 4
3 3 ; x = π + 2πk или x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z . 4 4 4) 2sin2x + 3cosx = 0; 2(1 – cos2x) + 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx – 2 = 0; 1 1 cosx = a; 2a2 – 3a – 2 = 0; a1 = − , a2 = 2; cos x = − или cosx = 2; 2 2 2π x=± + 2πk , k ∈ Z ; второе уравнение корней не имеет. 3 622. 1) tg2x = 2 tgx = ±2 x = ±arctg2 + πk, k ∈ Z; π 2) tgx = ctgx tg2x = 1 tgx = ±1 x = ± + πk , k ∈ Z ; 4 tgx = a a2 – 3a – 4 = 0 a1 = – 1, a2 = 4; 3)tg2x – 3tgx – 4 = 0 π tgx = – 1 или tgx = 4; x = − + πk или x = arctg4 + πk, k ∈ Z. 4 4) tg2x – tgx + 1 = 0 tgx = a a2 – a + 1 = 0 D < 0, решений нет. 623. 1) 1 + 7cos2x = 3sin2x; tg2x – 6tgx + 8 = 0; sin2x + 8cos2x – 6sinxcosx = 0 | : cos2x; 2 tgx = a; a – 6a + 8 = 0; a1 = 2, a2 = 4; tgx = 2 или tgx = 4; x = arctg2 + πk или x = arctg4 + πk, k ∈ Z. 2) cos2x + cos2x + sinscosx = 0; tg2x – tgx – 2 = 0; 2cos2x – sin2x + sinxcosx = 0 | : cos2x; 2 1 2 tgx = a; a – a – 2 = 0; a = 2, a = – 1; tgx = – 1 или tgx = 2; cosx = – 1 или cos x =
x=−
π + πk или x = arcrtg2 + πk, k ∈ Z. 4
3) 3 + sin2x = 4sin2x; sin2x – 2sinxcosx – 3cos2x = 0 | : cos2x; tg2x – 2tgx – 3 = 0; 2 a1 = – 1, a2 = 3; tgx = – 1 или tgx = 3; tgx = a; a – 2a – 3 = 0; π x = − + πk или x = arctg3 + πk, k ∈ Z. 4 4) 3cos2x + sin2x + 5sinxcosx = 0; 2tg2x – 5tgx – 3 = 0; 3cos2x – 2sin2x + 5sinxcosx = 0 | : cos2x; 1 1 a1 = − , a2 = 3; tgx = − или tgx = 3; tgx = a; 2a2 – 5a – 3 = 0; 2 2 x = −arctg
1 + πk или x = arctg3 + πk, k ∈ Z. 2
624. 1) 3 cos x + sin x = 0 |:cosx; π x = − + πk , k ∈ Z ; 3 2) cosx = sinx |:cosx;
tgx = 1;
3 + tgx = 0 ;
x=
π + πk , k ∈ Z ; 4
168
www.5balls.ru
tgx = − 3 ;
tgx = 2; x = arctg2 + πk, k ∈ Z; 1 4) 2sinx + cosx = 0 |:cosx; 2tgx + 1 = 0; tgx = − ; 2 1 x = −arctg + πk , k ∈ Z . 2 3) sinx = 2cosx |:cosx;
2 2 2 ; − cos x = 2 2 2
625. 1) sinx – cosx = 1 |: 2 ;
sin x ⋅
π π 2 ; − sin cos x = 4 4 2 π π x − = (− 1)k + πk ; 4 4
π 2 ; sin( x − ) = 4 2 π π x = (− 1)k + + πk , k ∈ Z ; 4 4
2) sinx + cosx = 1 |: 2 ;
sin x ⋅
π π 2 ; + sin cos x = 4 4 2 π π x + = (− 1)k + πk ; 4 4
π 2 ; sin( x + ) = 4 2 π π x = (− 1)k − + πk , k ∈ Z ; 4 4
sin x cos
sin x cos
3)
3 1 sin x + cos x = 1 ; 2 2 π sin( x + ) = 1 ; 6 π x = + 2πk , k ∈ Z ; 3
3 sin x + cos x = 2 |:2;
π π sin x + sin cos x = 1 ; 6 6 π π x + = + 2πk ; 6 2
cos
4) sin 3x + cos 3x = 2 |: 2 ; π π sin 3x + cos 3x sin = 1 ; 4 4 π π 3x + = + 2πk ; 4 2 cos
2 2 2 ; + cos x = 2 2 2
2 2 sin 3x + cos 3x = 1 ; 2 2 π sin(3 x + ) = 1 ; 4 π 2π + x= k, k ∈ Z . 12 3
626. 1) cosx = cos3x;
cos3x – cosx = 0; – 2sin2xsinx = 0; sin2x = 0 или π sinx = 0; 2x = πk или x = πk, k ∈ Z; x = k или x = πk (входит в серию 2 π π корней x = k ), k ∈ Z, т.е. x = k , k ∈ Z ; 2 2 2) sin5x = sinx; sin5x – sinx = 0; 2sin2xcos3x = 0; sin2x = 0 или cos3x = 0; π π π π 2x = πk или 3x = + πk , k ∈ Z ; x = k или x = + k , k ∈ Z ; 2 2 6 3 π 3). sin 2x = cos3x; cos3x − sin 2x = 0; sin( + 3x) − sin 2x = 0 ; 2
169
www.5balls.ru
π x π 5x π x π 5x sin + = 0 или cos + 2 sin + cos + =0; =0; 4 2 4 2 4 4 4 2 π π 2π π x π 5x π + = + πk , k ∈ z ; x = − + 2πk или x = k, k ∈ z ; + = πk или + 4 2 4 2 2 2 10 5 4). sin x + cos3x = 0; cos3x + cos( π − x) = 0 ; 2 π π π 2cos( + x) cos( − + 2x) = 0; cos( + x) = 0 или 4 4 4 π π π π π cos(2x − ) = 0; + x = + πk или 2 x − = + πk , 4 4 2 4 2 π 3π π k ∈ z; x = + πk или x = + k, k ∈ z . 4 2 2
627. 1) cos3x – cos5x = sin4x; – 2sin4xsin( – x) = sin4x; sin4x(1–2sinx)=0; 1 π sin4x = 0 или sin x = ; 4x = πk или x = (− 1)k + πk , k ∈ Z ; 6 2 π π x = k или x = (− 1)k + πk , k ∈ Z ; 4 6 2) sin7x – sinx = cos4x; 2sin3xcos4x = cos4x; cos4x(2sin3x – 1) = 0; 1 π π 4 x = + πk или 3x = (− 1)k + πk , k ∈ Z ; cos4x = 0 или sin 3x = ; 2 6 2 π π π π x = + k или x = (− 1)k + k, k ∈ Z ; 18 3 4 2 3) cosx + cos3x = 4cos2x; 2cos2xcos( – x) = 4cos2x; cos2x(4 – 2cosx) = 0; cos2x = 0 или cosx = 2;
2x =
π + πk , k ∈ Z , во втором случае реше2
ний нет, т.е. x = π + π k , k ∈ Z ; 4
2
4) sin2x – cos2x = cos4x; – cos2x = 2cos22x – 1; 2cos22x + cos2x – 1 = 0; 1 1 cos2x = a; 2a2 + a – 1 = 0; a1 = – 1, a 2 = ; cos2x = – 1 или cos 2 x = ; 2 2 π 2x = π + 2πk или 2x = ± π + 2πk , k ∈ Z ; x = + πk или x = ± π + πk , k ∈ Z . 2 6 3 628. 1) (tgx − 3)(2sin x + 1) = 0 ; 12
tgx = 3 или sin x = − 1 ; 12
2
π π x = (− 1)k +1 + πk , k ∈ Z ; x = + πk или 3 12 6 k +1 π x = + πk или x = (− 1) 2π + 12πk , k ∈ Z ; 3
2) (1 − 2 cos x )(1 + 3tgx) = 0 ; 4
cos
x 2 или tgx = − 3 ; = 4 2 3
170
www.5balls.ru
x π π = ± + 2πk или x = − + πk , k ∈ Z ; 4 4 6 π х = ±π + 8πk, k ∈ Z или x = − + πk , k ∈ Z ; 6 3) (2sin( x + π ) − 1)(2tgx + 1) = 0 ;
1 π 1 sin(x + ) = или tgx = − ; 2 6 2
6
x+
1 π π = (− 1)k + πk или x = – arctg + πk, k ∈ Z ; 6 6 2
x = (− 1)k
1 π π − + πk или x = – arctg + πk, k ∈ Z ; 6 6 2 π 2 или tgx = 3; cos(x + ) = − 4 2
4) (1 + 2 cos(x + π ))(tgx − 3) = 0 ; 4
π 3π =± + 2πk или x = arctg3 + πk, k ∈ Z 4 4 π x = + 2πk , x = – π + 2πk или x = arctg3 + πk, k ∈ Z 2
x+
первая серия корней не подходит, т.к. tg( π + 2πk) — не существует, т.е. 2
x = – π + 2πk или x = arctg3 + πk, k ∈ Z 629. 1)
3 sin x cos x = sin 2 x ;
3 − tgx = 0 ; π x = πk или x = + πk , k ∈ Z ; sinx = 0 или tgx = 3 ; 3 2) 2sinxcosx = cosx; cosx(2sinx – 1) = 0; π 1 π x = + πk или x = (− 1)k + πk , k ∈ Z ; cosx = 0 или sinx = ; 6 2 2 2sin2xcos2x + sin22x = 0; 3) sin4x + sin22x = 0; sin2x(2cos2x + sin2x) = 0; sin2x = 0 или 2cos2x + sin2x = 0; sin2x = 0 или 2 + tgx = 0; sin2x = 0 или tg2x = – 2; 2x = πk или 2x = – arctg2 + πk, k ∈ Z; π 1 π x = k или x = − arctg2 + k , k ∈ Z ; 2 2 2 2sinxcosx + 2cos2x = 0; 4) sin2x + 2cos2x = 0; 2cosx(sinx + cosx) = 0; cosx = 0 или sinx + cosx = 0; cosx = 0 или tgx + 1 = 0; cosx = 0 или tgx = – 1; π π x = + πk или x = − + πk , k ∈ Z . 2 4 1 2 2 630. 1) 2 sin x = 1 + sin 4x ; 1 − cos 2 x = 1 + sin 2 x cos 2x ; 3 3 sinx = 0 или
3 cos x − sin x = 0 ;
sin x( 3 cos x − sin x) = 0 ; sinx = 0 или
171
www.5balls.ru
2 3 cos 2 x( sin 2 x + 1) = 0 ; cos2x = 0 или sin 2 x = − ; 2 3 π π π 2 x = + πk , во втором случае решений нет x = + k , k ∈ Z ; 2 4 2 2) 2cos22x – 1 = sin4x; 1 + cos4x – 1 = sin4x |:cos4x; π π π 1 = tg4x; 4 x = + πk ; x= + k, k ∈ Z ; 4 16 4 3 3) 2cos22x + 3cos2x = 2; 2 cos 2 x + (1 + cos 2 x ) = 2 ; 2 cos2x = a; 4cos22x + 3cos2x – 1 = 0; 1 1 cos2x = – 1 или cos 2 x = ; 4a2 + 3a – 1 = 0; a1 = – 1, a 2 = ; 4 4 1 2x = π + 2πk или 2 x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z , т.е. 4 π 1 1 x = + πk или x = ± arccos + πk , k ∈ Z ; 2 2 4 4) (sinx + cosx)2 = 1 + cosx; sin2x + cos2x + 2sinxcosx = 1 + cosx; 1 2sinxcosx = cosx; cosx(2sinx – 1) = 0; cosx = 0 или sin x = ; 2 π k π x = + πk или x = (− 1) + πk , k ∈ Z . 2 6 631. 1) 2sin2x – 3(sinx + cosx) + 2 = 0; 2sin2x – 3(sinx + cosx) + 2(sin2x + cos2x) = 0; 2sin2x – 3(sinx + cosx) + 2(sinx + cosx)2 – 2sin2x = 0; (sinx + cosx)(2sinx + 2cosx – 3) = 0; 3 sinx + cosx = 0 или sin x + cos x = ; tgx + 1 = 0 или sin( x + π ) = 3 ; 2 4 2 2 π tgx = – 1, во втором случае решений нет x = − + πk , k ∈ Z . 4 2) sin2x + 3 = 3sinx + 3cosx; sin2x + cos2x + 2sinxcosx + 2 = 3(sinx + cosx); (sinx + cosx)2 + 2 = 3(sinx + cosx); a = 1, a = 2; sinx + cosx = a; a2 – 3a + 2 = 0; cosx + sinx = 1 или cosx + sinx = 2; π 2 или sin( x + π ) = 2 ; sin( x + ) = 4 4 2
x+
во втором случае решений нет, т.е. x = (− 1)
π π = (−1) k + πk , k ∈ Z ; 4 4
π π − + πk , k ∈ Z . 4 4
3) sin2x + 4(sinx + cosx) + 4 = 0; sin2x + cos2x + 2sinxcosx + 4(sinx + cosx) + 3 = 0; (sinx + cosx)2 + 4(sinx + cosx) + 3 = 0;
172
www.5balls.ru
sinx + cosx = a; a2 + 4a + 3 = 0; sinx + cosx = – 1 или sinx + cosx = – 3; π 1 sin( x + ) = − 4 2
a = – 1, a = – 3;
или sin(x + π ) = − 3 ; x + π = (− 1)k +1 π + πk , k ∈ Z , а во 4
2
втором случае решений нет, т.е. x = (− 1)
k +1
4 4 π π − + πk , k ∈ Z . 4 4
4) sin2x + 5(cosx + sinx + 1) = 0; sin2x + cos2x + sinxcosx + 5(sinx + cosx) + 4 = 0; (sinx + cosx)2 + 5(sinx + cosx) + 4 = 0; sinx + cosx = a; a2 + 5a + 4 = 0; a1 = – 1, a2 = – 4; sinx + cosx = – 1 или sinx + cosx = – 4; π 2 или sin(x + π ) = −2 2 ; x + π = (− 1)k +1 π + πk , k ∈ Z , а во sin(x + ) = − 4 4 4 2 4 π π k 1 + втором случае решений нет, т.е. x = (− 1) − + πk , k ∈ Z . 4 4 632. 1) 1 − cos(π − x ) + sin π + x = 0 ; 2 2
1 + cosx + cosx = 0; 2)
cos x = −
1 2
π 2 2 cos(x − ) = (sin x + cos x ) ; 4
x=±
2(
(cosx + sinx)(1 – (sinx + cosx)) = 0;
2π + 2 πk, k ∈ Z ; 3
2 2 cos x + sin x) = (sin x + cos x) 2 ;; 2 2
sinx + cosx = 0 или sinx + cosx = 1;
tgx + 1 = 0 или sin( x + π ) = 1 ; tgx = – 1 или x + π = (− 1)k π + πk, k ∈ Z ; 4 4 4 2 π π π x = − + πk или x = (− 1)k − + πk , k ∈ Z . 4 4 4 633. 1) 8sinxcosxcos2x = 1; 2sin4x = 1;
1 sin 4 x = ; 2
4sin2xcos2x = 1; 4 x = (− 1)k
π + πk ; 6
x = (− 1)k
π π + k, k ∈ Z ; 24 4
(1 – sin4x) + cos2x = 0; 2) 1 + cos2x = sin4x; 2 2 2 cos2x(1 + sin2x) + cos2x = 0; (1 – sin x)(1 + sin x) + cos x = 0; π cos2x(2 + sin2x) = 0; cosx = 0; x = + πk , k ∈ Z . 2 634. 1) 2cos2x + 3sin4x + 4sin22x = 0 |:cos22x; 4tg22x + 6tg2x + 2 = 0; tg2x = a;
2a2 + 3a + 1 = 0;
a1 = – 1, a 2 = −
1 ; 2
π 1 1 ; 2 x = − + πk или 2 x = −arctg + πk , k ∈ Z ; 4 2 2 π π 1 1 π x = − + k или x = − arctg + k , k ∈ Z ; 8 2 2 2 2 2) 1 – sinxcosx + 2cos2x = 0; sin2x – sinxcosx + 3cos2x = 0 |:cos2x; tg2x – tgx + 3 = 0 tgx = a;
tg2x = – 1 или tg 2x = −
173
www.5balls.ru
a2 – a + 3 = 0;
D < 0 — решений нет
3) 2 sin 2 x + 1 cos3 2 x = 1 ; 4 1 2 cos 2x( cos x − 1) = 0 ; 4
1 − cos 2 x +
1 cos3 2 x = 1 ; 4
cos2x = 0 или cos2x = 4;
во втором случае решений нет, т.е.
x=
2x =
π + πk , k ∈ Z , 4
а
π π + k, k ∈ Z ; 4 2
4) sin22x + cos23x = 1 + 4sinx; sin22x – sin23x = 4sinx; (sin2x – sin3x)(sin3x + sin2x) = 4sinx; − 2 sin
x 5x 5x x x x x x 5x 5x ⋅ 2 sin cos cos = 8 sin cos 2sin cos (4 + 2cos sin ) = 0 ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
sin(4 + sin5x) = 0 sinx = 0 или sin5x = – 4; x = πk, k ∈ Z, а второе уравнение решений не имеет, т.е. x = πk, k ∈ Z. 635. 1) cosxcos2x = sinxsin2x; cosxcos2x = 2sin2xcosx; 2 cosx(1 – 4sin2x) = 0; cosx(cos2x – 2sin x) = 0; 1 π π cosx = 0 или sin x = ± ; x = + πk или x = ± + πk , k ∈ Z ; 2 6 2 2) sin2xcosx = cos2xsinx; 2cos2xsinx = cos2xsinx; sinx(cos2x – 2cos2x) = 0; 2 x = πk, k ∈ Z; sinx = 0, т.к. cos2x – 2cos x = 1, т.е. 3) sin3x = sin2xcosx; sin2xcosx + cos2xsinx = sin2xcosx; sinxcos2x = 0; sinx = 0 или cos2x = 0; π π π x = πk или 2 x = + πk , k ∈ Z , т.е. x = πk или x = + k , k ∈ Z ; 2 4 2 4) cos5xcosx = cos4x; cos5xcosx = cos5xcosx + sin5xsinx; sin5xsinx = 0; sin5x = 0 или sinx = 0 5x = πk или x = πk, k ∈ Z; π x = πk или x = k , k ∈ Z (первая серия корней входит во вторую), т.е. 5 π x = k, k ∈ Z . 5 636. 1) 4sin2x – 5sinxcosx – 6cos2x = 0 |:cos2x; 3 a1 = − , a2 = 2; 4tg2x – 5tgx – 6 = 0; tgx = a; 4a2 – 5a – 6 = 0; 4 3 3 x = −arctg + πk или x = arctg2 + πk, k ∈ Z; tgx = − или tgx = 2; 4 4 2) 3sin2x – 7sinxcosx + 2cos2x = 0 |:cos2x; 1 3tg2x – 7tgx + 2 = 0; tgx = a; 3a2 – 7a + 2 = 0; a1 = , a2 = 2; 3 1 1 x = arctg + πk или x = arctg2 + πk, k ∈ Z; tgx = или tgx = 2; 3 3 3) 1 – 4sinxcosx + 4cos2x = 0; sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 0 |:cos2x; tg2x – 4tgx + 5 = 0;
174
www.5balls.ru
tgx = a; a2 – 4a + 5 = 0; D < 0 — решений нет; 4) 1 + sin2x = 2sinxcosx; 2tg2x – 2tgx + 1 = 0; 2sin2x – 2sinxcosx + cos2x = 0 |:cos2x; 2 tgx = a; 2a – 2a + 1 = 0 D < 0 — решений нет. 637. 1) 4sin3x + sin5x – 2sinxcos2x = 0; 4sin3x + sin5x + sinx – sin3x = 0; 3sin3x + 2sin3xcos2x = 0; sin3x(3 + 2cos2x) = 0;
sin3x = 0 или cos 2x = − 3 ; 2
3x = πk, k ∈ Z, во втором случае решений нет, т.е. x = π k , k ∈ Z ; 3
2) 6cos2xsinx + 7sin2x = 0; 6cos2xsinx + 14sinxcosx = 0; 2sinx(3cos2x + 7cosx) = 0; sinx = 0 или 6cos2x + 7cosx – 3 = 0; cosx = a; 3 1 2 a1 = − ,a 2 = ; sinx = 0 или 6a + 7a – 3 = 0; 2 3 3 1 sinx = 0 или cos 2 x = − или cos 2 x = ; 2 3 1 x = πk или 2 x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет, 3 1 1 т.е. x = πk или x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z . 2 3 638. 1) sin2x + sin22x = sin23x; (sinx – sin3x)(sinx + sin3x) + sin2x ⋅ 2sinxcosx = 0; – 2sinxcos2x ⋅ 2sin2xcosx + sin2x ⋅ 2sinx ⋅ cosx = 0; 2sinx ⋅ cosx ⋅ sin2x(1 – 2cos2x) = 0; sin22x(1 – 2cos2x) = 0; π 1 2x = πk или 2 x = ± + 2πk , k ∈ Z ; sin2x = 0 или cos 2x = ; 3 2 π π x = k или x = ± + πk , k ∈ Z ; 2 6 2) sinx(1 – cosx)2 + cosx(1 – sinx)2 = 2; sinx + cosx + sinxcosx(sinx + cosx) – 4sinxcosx = 2; (sin x + cos x) 2 − 1 ⋅ (sin x + cos x) = 2(sin x + cos x) 2 ; 2 t t 2 sinx + cosx = t; (2 + (t 2 − 1) − 4t) = 0 ; (t − 4t + 1) = 0 ; 2 2 (sin x + cos x) +
t1 = 0 или t 2 = 2 + 3 или t 3 = 2 − 3 ; sinx + cosx = 0 или sin x + cos x = 2 + 3 или sin x + cos x = 2 − 3 ; tgx = – 1 или sin(x + π ) = 2 + 3 или sin(x + π ) = 2 − 3 ; 4
x=−
2
4
2
π 2− 3 π + πk или x = − + (− 1)k arcsin + πk , k ∈ Z , ; 4 4 2
175
www.5balls.ru
а во втором случае решений нет. 639. 1) sin x sin 2x sin 3x = 1 sin 4 x ; 4
sinxsin2xsin3x = sinxcosxcos2x;
sinx(cosxcos2x – sin2xsin3x) = 0;
1 1 1 1 1 1 sin x( cos3x + cos x + cos5x − cos x) = 0 ; sin x( cos3x + cos5x) = 0 ; 2 2 2 2 2 2
sinxcosxcos4x = 0;
sinx = 0 или cosx = 0 или cos4x = 0;
x = πk или x = π + πk или 4 x = π + πk , k ∈ Z ; 2 2 π π π x = πk или x = + πk или x = + k , k ∈ Z ; 8 4 2 1 2) sin 4 x + cos 4 x = sin 2 2x ; (cos2x – sin2x)2 + 2sin2xcos2x = 2sin2xcos2x; 2 π 2 cos x = 0; 2 x = + πk , k ∈ Z ; x = π + π k , k ∈ Z . 4 2 2
640. 1) cos2x + cos22x = cos23x + cos24x; (cos2x – cos23x) + (cos22x – cos24x) = 0; (cosx – cos3x)(cosx + cos3x) + (cos2x – cos4x)(cos2x + cos4x) = 0; 2sinxsin2x ⋅ 2cosxcos2x + 2sinxsin3x ⋅ 2cosxcos3x = 0; sin2xsin4x + sin2xsin6x = 0; sin2x(sin4x + sin6x) = 0; 2sin2x ⋅ sin5xcosx = 0; sin2x = 0 или sin5x = 0 или cosx = 0; π π π 2x = πk или 5x = πk или x = + πk , k ∈ Z ; x = k или x = k или 2 2 5 π π π x = + πk (входит в первую серию корней), т.е. x = k или x = k , k ∈ Z ; 2 2 5 2) sin 6 x + cos6 x = 1 ; (sin 2 x + cos 2 x)3 − 3sin 4 x cos 2 x − 3cos 4 x sin 2 x = 1 ;
4 3 2 3 1 ; sin2x = ±1; − sin 2 x = − 1 − 3sin x cos x(sin x + cos x) = 4 4 4 π π π 2 x = + πk , x = + k , k ∈ Z . 2 4 2 cos2x cosx cos 2x 1 2 641. 1) + = 1; = a ; a + = 1 ; а –а+1=0; D<0 — решений нет. cosx cos2x cos x a 2) sin x + 1 = sin 2 x + 1 ; sinx = a; sin x sin 2 x 1 1 a4 – a3 – a + 1 = 0; a3(a – 1) – (a – 1) = 0; a + = a2 + 2 ; a a π (a3 – 1)(a – 1) = 0; a = 1; sinx = 1; x = + 2πk , k ∈ Z . 2 4
2
2
2
2
642. 1) sinxsin5x = 1; т.к. |sinx| ≤ 1 и |sin5x| ≤ 1, то |sinxsin5x| ≤ 1, а; sinxsin5x = 1, только если sinx = sin5x = 1 или sinx = sin5x = – 1, т.е.
176
www.5balls.ru
π sin x = 1 х = 2 + 2πk, k ∈ Z ; ; sin 5x = 1 5x = π + 2πn, n ∈ Z 2
x = π + 2πk, k ∈ Z π 2 ; x = + 2πk , k ∈ Z или 2 2 π π x = + n, n ∈ Z 10 5
π π sin x = −1 x = − 2 + 2πk, k ∈ Z x = − 2 + 2πk, k ∈ Z ; ; ; sin 5x = −1 5x = π + 2πn, n ∈ Z x = − π + 2π n, n ∈ Z 2 10 5 π π x = − + 2πk , k ∈ Z , т.е. x = + πk , k ∈ Z ; 2 2
2) sinxcos4x = – 1; возможно, лишь при sinx = 1, а cosx = – 1 или при sinx = – 1, а cos4x = 1, т.е. x = π + 2πk,k ∈ Z x = π + 2 πk, k ∈ Z 2 ; — решений нет, или 2 4x = π + 2 πn, n ∈ Z x = π + π n,n ∈ Z 4 2 x = − π + 2πk, k ∈ Z π sin x = −1 x = − + 2πk, k ∈ Z 2 ; ; ; x = − π + 2πk , k ∈ Z . 2 = cos 4 x 1 2 π 4x = 2πn, n ∈ Z x = n, n ∈ Z 2
sin x = 1 ; cos 4x = −1
5 cos x − cos 2 x = −2 sin x ;
643. 1)
5 cos x − cos 2 x ≥ 0 : sin x ≤ 0 2 5 cos x − cos 2 x = 4 sin x
5 cos x − cos 2 x ≥ 0 ; sin x ≤ 0 2 2 5 cos x − 2 cos x − 1 − 4 + 4 cos x = 0
5 cos x − cos 2 x ≥ 0 ; решаем последнее уравнение в системе, полагая sin x ≤ 0 2 2 cos x + 5 cos x − 5 = 0
cosx = a; cos x =
2a2 + 5a – 5 = 0;
a1 =
−5 + 65 −5 − 65 , т.е. ,a 2 = 4 4
π −5 + 65 −5 − 65 x = − 2 + 2πk, k ∈ Z ; ; , или cos x − 4 4 x = π n, n ∈ Z 2
Подставляем в первое неравенство системы: 5cosx – 2cos2x – 1 ≥ 0 вместо cosx число
65 − 5 ; 4
65 − 5 − 2 ⋅ 90 − 10 65 − 1 = − 74 + 10 65 ≥ 0 , т.е. корни 5⋅ 4 16 4
177
www.5balls.ru
5 cos x − cos 2 x ≥ 0 ; удовлетворяют первому неравенству системы, sin x ≤ 0 2 2 cos x + 5 cos x − 5 = 0
из второго неравенстве следует, что х ∈ III, IV четверти, значит, x = − arccos
2)
65 − 5 + 2πk , k ∈ Z ; 4
cos x + cos 3x = − 2 cos x ;
2 cos x cos 2 x = − 2 cos x ;
2
cos x(2cos x − 1) = − cos x ;
a(2a 2 − 1) = −a ;
cosx = a;
a ≤ 0 2 , т.е. а=0 или a = − 1 ; a(2a − 1) ≥ 0 2 1 a = 0,a = − ,a = 1 2 π 2π + 2πk , k ∈ Z . x = + πk или x = ± 2 3
a ≤ 0 a ≤ 0 2 2 ; ; a(2a − 1) ≥ 0 a(2a − 1) ≥ 0 2 2 2 a(2a − 1) = a a(2a − a − 1) = 0
cosx = 0 или cos x = − 1 ; 2
644. 1) 4|cosx| + 3 = 4sin2x; 4|cosx| + 3 = 4 – 4cos2x; cosx = a;
4cos2x + 4|cosx| – 1 = 0; 4a2 + 4|a| – 1 = 0;
a ≥ 0 −4+4 2 ; , −4 − 4 2 −4 + 4 2 a = 8 ,a 2 = a1 = 8 8 a < 0 a < 0 т.е. a = − 1 + 2 или , 4−4 2 4+ 4 2 2 2 4a 2 − 4a − 1 = 0 a = ,a = 8 8
a ≥ 0 ; 2 4a + 4a − 1 = 0
т.е. a = 1 − 2 т.е. a = ± 1 − 2 ,
2
2
2
2
т.е. cos x = ± 1 − 2 , т.е. x = ± arccos 2 − 1 + 2πk или 2
x = ± ( π − arccos
2) tgx + 1 =
2
2 −1 ) + 2 πk, k ∈ Z , т.е. 2
1 cos2 2x
a) |tgx| = tg22x; tgx = t;
2
x = ± arccos
2 −1 + πk , k ∈ Z ; 2
;
tgx =
4tg 2 x 2
(1 − tg x)
2
;
tgx ≥ 0;
t 4 − 2t 2 − 4t + 1 t =0; (1 − t 2 )2
(1 − tg 2 x) 2 − 4tgx tgx =0; (1 − tg 2 x)2
t = 0, а второе уравнение (t4 – 2t2 – 4t + 1 = 0) не имеет положительных корней, т.е. tgx = 0; x = πk, k ∈ Z;
178
www.5balls.ru
(1 − tg 2 x) 2 + 4tgx tgx = 0; (1 − tg 2 x) 2
б) tgx < 0;
tgx = 0 не удовлетворяет требованию tgx < 0 т.е. x = πk, k ∈ Z. cos(x + y ) = 0 645. 1) ; cos(x − y ) = 1
x + y = π + πk, k ∈ Z ; 2 x − y = 2πn, n ∈ Z
π π π π + k + πn , k ∈ Z, n ∈ Z ; y = + k − πn , k ∈ Z, n ∈ Z ; 4 2 4 2 sin x − sin y = 1 2 2 2) ; sin x + cos y = 1 только при sinx = ±1 и cosy = sin 2 x + cos2 y = 1 x=
= ±1, но при sinx = – 1 получим siny = – 2 (из первого уравнения), значит, sin x = 1, а cos y = ±1 и sin y = = 0 (из первого уравнения), т.е. x=
π + 2πk , k ∈ Z , а y = πn, n ∈ Z. 2
646. 4 – 4cos2x + 2(a – 3)cos x + 3a – 4 = 0; cos x = b; 4b2 – 2(a – 3)b – 3a = 0. 4cos2x – 2(a – 3)cos x – 3a = 0; Уравнение имеет действительные корни, если D ≥ 0; D = 4(a – 3)2 + 16 ⋅ 3a = 4(a + 3)2 ≥ 0 при любом а.;
2(a − 3) − 2(a + 3) и b 2 = 2(a − 3) + 2(a + 3) . 8 8 3 Для любых а один из b = − , другой b = a . 2 2 3 Уравнение cos x = − не имеет корней, а уравнение cos x = a — имеет 2 2 b1 =
корни, только если |a| ≤ 2. Т.е. исходное уравнение имеет корни x = ± arccos a + 2πk , k ∈ Z , только 2
если – 2 ≤ а ≤ 2. 647. (1 – a)sin2x – sin x cos x – (2 + a)cos2x = 0 |: cos2x; (1 – a)tg2x – tg x – (2 + a) = 0; tg x = b; (1 – a)b2 – b – (2 + a) = 0. Уравнение не имеет решений, если D < 0; D = 1 + 4(2 + a)(1 – a) < 0; 1 + 8 – 4a – 4a2 < 0; 4a2 + 4a – 9 > 0, ; т.е. − 1 − 1 10 > a или − 1 + 1 10 < a . 2
2
2
2
Значит, исходное уравнение не имеет корней при a<−
10 + 1 или при a > 10 − 1 . 2 2
648. 1) cos x ≥ 2 ; 2
2) cos x < 3 ; 2
−
π π + 2πk ≤ x ≤ + 2πk , k ∈ Z ; 4 4 π 11π + 2πk < x < + 2πk , k ∈ Z ; 6 6
179
www.5balls.ru
5π 5π + 2πk < x < + 2πk , k ∈ Z ; 6 6
3) cos x > − 3 ;
−
4) cos x ≤ − 2 ;
3π 5π + 2πk ≤ x ≤ + 2πk , k ∈ Z . 4 4
2
2
2) cos x < – 1 — решений нет; 649. 1) cos x ≤ 3 — x ∈ R; 3) cos x ≥ 1 — выполняется только при cos x = 1, т.е. x = 2πk, k ∈ Z; 4) cos x ≤ – 1 — выполняется только при cos x = – 1, т.е.x=π+2πk, k ∈ Z. π 5π + 2πk < x < + 2πk , k ∈ Z ; 6 6
650. 1) sin x > 1 ; 2
2) sin x ≤ 2 ;
−
π 5π + 2πk ≤ x ≤ + 2πk , k ∈ Z ; 4 4
3) sin x ≤ − 2 ;
−
π 3π + 2πk ≤ x ≤ − + 2πk , k ∈ Z ; 4 4
4) sin x > − 3 ;
−
π 4π + 2πk ≤ + 2πk , k ∈ Z . 3 3
2
2
2
651. 1) sin x ≥ − 2 – x ∈ R;
2) sin x > 1 — нет решений;
3) sin x ≤ – 1 — выполняется только при sin x = – 1; x = − π + 2πk , k ∈ Z ;
2 π 4) sin x ≥ 1 — выполняется только при sin x = 1; x = + 2πk , k ∈ Z . 2
652. 1)
2 cos 2 x ≤ 1 ; cos 2 x ≤ 2 ; π + 2πk ≤ 2 x ≤ 7 π + 2πk ;
4 4 2 π 7π + πk ≤ x ≤ + πk , k ∈ Z ; 8 8 2) 2sin3x > – 1; sin 3x > − 1 ; − π + 2πk < 3x < 7 π + 2πk ; 6 6 2 π 2π 7 π 2π − + + k<x< k, k ∈ Z ; 18 3 18 3
3) sin(x + π ) ≤ 2 ; − 5π + 2πk ≤ x + π ≤ π + 2πk ; − 3π + 2πk ≤ x ≤ 2πk , k ∈ Z ; 4
4
2
4
4
2
4) cos(x − π ) ≥ 3 ; − π + 2πk ≤ x − π ≤ π + 2πk ; 2πk ≤ x ≤ π + 2πk , k ∈ Z . 6 6 6 6 2 3 x 1 π π x 653. 1) cos( + 2) ≥ ; − + 2πk ≤ + 2 ≤ + 2πk ; 3 3 3 3 2 π x π ; – π – 6 + 6πk ≤ x ≤ π – 6 + 6πk, k ∈ Z; − − 2 + 2πk ≤ ≤ − 2 + 2πk 3 3 3 2) sin x − 3 < − 2 ; 4
−
2
−
π 3π x + 2πk < − 3 < − + 2πk ; 4 4 4
π 3π x + 3 + 2πk < < − + 3 + 2πk ; – 3π + 12 + 8πk < x < – π + 12 + 8πk, k∈Z. 4 4 4
180
www.5balls.ru
654. 1) sin2x + 2sin x > 0;sin x(sin x + 2) > 0; sin x + 2 > 0 для всех x ∈ R, т.е. sin x > 0; 2πk < x < π + 2πk, k ∈ Z; 2) cos2x – cos x < 0; cos x(cos x – 1) < 0; cos x – 1 ≤ 0 для всех x ∈ R, cos x > 0
т.е.
cos x − 1 ≠ 0
; − π + 2πk < x < 2πk , k ∈ Z и 2πn < x < π + 2πn , n ∈ Z . 2
2
655. 1) 2 arcsin 3 + 3 arcsin − 1 = 2 ⋅ π + 3 ⋅ 2π = 8π ; 2
3 2 π π π 7 2) arcsin ; − 4 arcsin 1 = − 4 ⋅ = − 4 2 4 2
3
3
1
3) arccos − 1 − arcsin 3 = 2π − π = π ; 2
2
3
3
3
4) arccos(− 1) − arcsin (− 1) = π − − π = 3π ; 2 2 5) 2arctg1 + 3arctg − 1 = 2 ⋅ π + 3 − π = 0 ; 3
4
6
6) 4arctg(− 1) + 3arctg 3 = 4 ⋅ − π + 3 ⋅ π = 0 . 4
656. 1) cos(4 − 2x ) = − 1 ; 2 2π ; + 2 πk 2x = 4 ± 3 2) cos(6 + 3x ) = − 2 ; 2
3x = ±
3π − 6 + 2πk ; 4
3
4 − 2x = ± x = 2±
2π + 2πk ; 3
π + πk , k ∈ Z ; 3
3π + 2πk ; 4 π 2π x = ± −2+ k, k ∈ Z ; 4 3
6 + 3x = ±
π π 2 ; 2 cos(2x + ) + 1 = 0 ; cos(2x + ) = − 4 2 4 π π 3π + 2πk , k ∈ Z ; 2x + = ± 2 x = + 2πk или 2x = – π + 2πk, k ∈ Z; 4 4 2 π π x = + πk или x = − + πk , k ∈ Z ; 4 2
3)
π π π 3 ; − 3x = ± + 2πk , k ∈ Z ; cos( − 3x) = 3 6 3 3 2 π 2π π π π 2π ; или x= + k, k ∈ Z . 3x = + + 2πk , k ∈ Z x= + k 3 6 2 3 6 3 π 1 657. 1) 2sin(3x − π ) + 1 = 0 ; sin(3x − ) = − ; 4 4 2 π π π π k +1 π + k 1 + πk ; 3x − = (− 1) + + k, k ∈ Z ; x = (− 1) 18 12 3 4 6
4) 2cos( π − 3x) − 3 = 0 ;
181
www.5balls.ru
x π sin + = 1 ; 2 3 π x π x = + 4πk , k ∈ Z ; = + 2 πk ; 2 6 3 3 sin (2 x + 1) = − ; 4 3 1 π k +1 1 x = (− 1) arcsin − + k , k ∈ Z ; 2 4 2 2 2 sin (2 x − 1) = ; 5 2 1 π k 1 x = (− 1) arcsin + + k , k ∈ Z . 2 5 2 2
2) 1 − sin x + π = 0 ; 2 3 x π π + = + 2πk ; 2 3 2
3) 3 + 4sin(2x + 1) = 0; 2 x + 1 = (− 1)k +1 arcsin
3 + πk ; 4
4) 5sin(2x – 1) – 2 = 0; 2 x − 1 = (− 1)k arcsin
2 + πk 5
658. 1) (1 + 2 cos x)(1 − 4sin x cos x) = 0 ;
(1 + 2 cos x)(1 − 2sin 2x) = 0 ;
2 или sin 2 x = 1 ; x = ± 3π + 2πk или 2 x = (− 1)k π + πk , k ∈ Z ; cos x = − 2 2 4 6 π π 3π k + 2πk или x = (− 1) + k, k ∈ Z ; x=± 4 12 2
2) (1 − 2 cos x)(1 + 2sin 2x cos 2x) = 0 ;
(1 − 2 cos x)(1 + sin 4x) = 0 ;
2 π π или sin4x = – 1; x = ± + 2πk или 4 x = − + 2πk , k ∈ Z ; 2 4 2 π π π или . x = ± + 2πk x = − + k, k ∈ Z 4 8 2 π 659. 1) tg(2x + ) = −1 ; 2 x + π = − π + πk ; x = − π + π k , k ∈ Z ; 4 4 4 4 2 5π π π π 5π π 1 2) tg(3x − ) = ; 3x − = + πk ; 3x = + πk ; x = + k, k ∈ Z ; 4 6 12 36 3 4 3 3) 3 − tg(x − π ) = 0 ; tg(x − π ) = 3 ; x − π = π + πk ; x = 8π + πk , k ∈ Z ; 5 5 5 3 15 π π π π 3π 4) 1 − tg(x + ) = 0 ; tg(x + ) = 1 ; x + = + πk ; x = + πk , k ∈ Z . 28 7 7 7 4 cos x =
660. 1) 2sin2x + sin x = 0;sin x(2sin x + 1) = 0;
x = πk или x = (− 1)k +1 π + πk , k ∈ Z .
sin x = 0 или sin x = − 1 ; 2
2) 3sin2x – 5sin x – 2 = 0; 1 a1 = − , a2 = 2; 3 x = (− 1)k +1 arcsin
6
sin x = a;
sin x = −
3a2 – 5a – 2 = 0;
1 или sin x = 2; 3
1 + πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет. 3
3) cos2x – 2cos x = 0; cos x(cos x – 2) = 0; cos x = 0 или cos x = 2; π x = + πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет. 2 4) 6cos2x + 7cos x – 3 = 0; cos x = a; 6a2 + 7a – 3 = 0;
182
www.5balls.ru
1 3 3 1 cos x = − или cos x = ; a1 = − ,a 2 = ; 3 2 2 3 1 x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z , а в первом случае решений нет. 3
183
www.5balls.ru
661. 1) 6sin2x – cos x + 6 = 0; 6cos2x + cos x – 12 = 0;
6(1 – cos2x) – cos x + 6 = 0;
cos x = a; 6a2 + a – 12 = 0; a1 = − 3 ,a 2 = 4 ; 2
3
4 3 — в обоих случаях решений нет. cos x = − или cos x = 2 3
2) 8cos2x – 12sin x + 7 = 0; 8(1 – sin2x) – 12sin x + 7 = 0; 8sin2x + 12sin x – 15 = 0; sin x = a; 8a2 + 12a – 15 = 0; a=
− 12 − 4 39 − 12 + 4 39 , т.е. sin x = − 3 − 39 или sin x = ,a = 16 16 4
x = (− 1)k arcsin
39 − 3 ; 4
39 − 3 + πk , k ∈ Z , а в первом случае решений нет. 4
662. 1) tg2x + 3tg x = 0; tg x(tg x + 3) = 0; tg x = 0 или tg x = –3; x = πk или x = –arctg3 + πk, k ∈ Z; 2) 2tg2x – tg x – 3 = 0; tg x = a; 2a2 – a – 3 = 0; 3 3 a1 = –1, a 2 = ; tg x = –1 или tgx = ; 2 2 x=−
π 3 + πk или x = arctg + πk , k ∈ Z ; 4 2
3) tg x – 12ctg x + 1 = 0 | ⋅ tg x; tg2x – 12 + tg x = 0; tg x = a; a2 + a – 12 = 0; a1 = –4, a2 = 3; tg x = –4 или tg x = 3; x = –arctg4 + πk или x = arctg3 + πk, k ∈ Z; 4) tg x + ctg x = 2 |⋅tg x; tg2x – 2tg x + 1 = 0; (tg x – 1)2 = 0; tg x = 1; x=
π + πk , k ∈ Z ; 4
663. 1) 2sin2x = 3cos2x |:cos2x; 2 x = arctg
3 + πk ; 2
x=
2tg2x = 3;
tg 2 x =
3 ; 2
1 3 π arctg + k , k ∈ Z ; 2 2 2
2) 4sin3x + 5cos3x = 0 | : cos3x;
4tg3x + 5 = 0;
tg3x = −
5 ; 4
1 5 π x = − arctg + k , k ∈ Z . 3 4 3 664. 1) 5sin x + cos x = 5; 10 sin x cos x + cos 2 x − sin 2 x = 5 sin 2 x + 5 cos 2 x ; 2 2 2 2 2 2 x x x 2 x 2 x 2 x 2 ; 6 sin 6 tg + 4 cos − 10 sin cos = 0 : cos − 10 tgx + 4 = 0 ; 2 2 2 2 2 2 3x = −arctg
tg
x =a; 2
5 + πk ; 4
6a2 – 10a + 4 = 0;
3a2 – 5a + 2 = 0;
a1 =
2 , a2 = 1; 3
x 2 или tg x = 1 ; x = arctg 2 + πk или x = π + πk , k ∈ Z ; = 2 2 3 2 3 2 4 2 π или ; x = 2arctg + 2πk x = + 2πk , k ∈ Z 3 2 tg
183
www.5balls.ru
4 2 6 sin x + cos x = ; 5 5 5
2) 4sin x + 3cos x = 6 |:5; sin (x + α ) =
6 , где α = arccos 4 решений нет. 5 5
665. 1) sin3x = sin5x; 2sin x cos4x = 0;
sin5x – sin3x = 0; sin x = 0 или cos4x = 0;
x = πk или 4 x = π + πk , k ∈ Z ;
x = πk или x = π + π k , k ∈ Z ;
2
8
4
cos3x(cos3x – cos5x) = 0; 2) cos23x – cos3xcos5x = 0; 2cos4x sin x sin4x = 0; cos3x = 0 или sin x = 0 или sin4x = 0; π + πk или x = πk или 4x = πk, k ∈ Z; 2 π π x = + k или x = πk (входит в третью серию корней) или 6 3 π π π π x = + k или x = k , k ∈ Z ; x = k , k ∈ Z , т.е. 6 3 4 4
3x =
3) cos x = cos3x; cos x – cos3x = 0; 2sin x sin2x = 0; sin x = 0 или sin2x = 0; x = πk или 2x = πk, k ∈ Z; π x = k или x = πk (входит в первую серию корней), т.е. x = π k , k ∈ Z ; 2 2 sin5x(sin x – sin5x) = 0; 4) sin x sin5x – sin25x = 0; –2sin5x sin2x sin3x = 0; sin5x = 0 или sin3x = 0 или sin2x = 0; 5x = πk или 2x = πk или 3x = πk, k ∈ Z,
т.е. x = π k или x = π k или x = π k , k ∈ Z . 5
2
3
666. 1) sin(arccos 3 ) = sin π = 1 ; 2) tg(arccos 1 ) = tg π = 3 ; 2
6
2
2
3
3) tg(arccos 2 ) = tg π = 1 . 2 4 667. 1) sin ( 4arcsin1) = sin(4 ⋅ π ) = 0 ;
2) sin(3arccos 3 ) = sin(3 ⋅ π ) = 0 ;
2
2
6 π 4) sin ( 4arcsin1) = sin(4 ⋅ ) = 0 . 2
3) cos(6ar sin1) = cos(6 ⋅ π ) = −1 ; 2
668. 1) sin2x + 2cos2x = 1; 2sin x cos x + 2cos2x – 2sin2x = sin2x + cos2x; 2 2 3sin x – 2sin x cos x – cos x = 0 | : cos2x; 3tg2x – 2tg x – 1 = 0; 1 1 a1 = − , a2 = 1; tgx = − или tg x = 1; tg x = a; 3a2 – 2a – 1 = 0; 3 3 1 π x = −arctg + πk или x = + πk , k ∈ Z . 3 4
2) cos2x + 3sin2x = 3; cos2x – sin2x + 6sin x cos x = 3sin2x + 3cos2x; 4sin2x – 6sin x cos x + 2cos2x = 0 | : 2cos2x; 2tg2x – 3tgx + 1 = 0; tg x = a;
2a2 – 3a + 1 = 0;
a1 =
1 , a2 = 1; 2
184
www.5balls.ru
tgx =
1 или tg x = 1; 2
x = arctg
1 π + πk или x = + πk , k ∈ Z . 4 2
669. 1) 3sin2x + sin x cos x – 2cos2x = 0 | : cos2x; 3tg2x + tg x = 0; 2 2 tg x = a; 3a2 + a – 2 = 0; a1 = –1, a 2 = ; tg x = –1 или tgx = ; 3 3 x=−
π 2 + πk или x = arctg + πk , k ∈ Z ; 4 3
2) 2sin2x + 3sin x cos x – 2cos2x = 0 |:cos2x; tg x = a;
2tg2x + 3tg x – 2 = 0; 1 1 a1 = –2, a 2 = ; tg x = –2 или tgx = ; 2 2
2a2 + 3a – 2 = 0;
x = –arctg2 + πk или x = arctg 1 + πk , k ∈ Z . 2
670. 1) 1 + 2sin x = sin2x + 2cos x; sin2x + cos2x–2sin x cos x=2(cos x – sin x); (cos x – sin x)(cos x – sin x – 1) = 0; (cos x – sin x)2 = 2(cos x – sin x); tg x = 1 или cos(x + π ) = 2 ;
cos x – sin x = 0 или cos x – sin x – 1 = 0;
4
π x = + πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет. 4
2) 1 + 3cos x = sin2x + 3sin x; cos2x + sin2x – 2sin x cos x = 3(sin x – cos x); (sin x – cos x)2 = 3(sin x – cos x); (sin x – cos x)(sin x – cos x – 3) = 0; sin x – cos x = 0 или sin x – cos x = 3;
tg x = 1 или sin(x − π ) = 3 ; 4
2
π x = + πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет. 4 671. 1) sin(x + π ) + cos(x + π ) = 1 + cos 2x ; 6
3
3 1 1 3 sin x + cos x + cos x − sin x = 2 cos 2 x ; 2 2 2 2
cos x = 2cos2x;
cos x = 0 или cos x = 1 ;
cos x(1 – 2cos x) = 0;
2
π π x = + πk или x = ± + 2πk , k ∈ Z . 2 3 π π 2) sin(x − ) + cos(x − ) = sin 2x ; 4 4 2 2 2 2 sin x − cos x + cos x + sin x = 2 sin x cos x ; 2 2 2 2
2 sin x = 2 sin x cos x ; sin x = 0 или cos x =
sin x( 2 − 2cos x) = 0 ; x = πk или x = ± π + 2πk , k ∈ Z .
2 ; 2
4
672. 1) cos3 x sin x − sin 3 x cos x = 1 ; sin x cos x(cos 2 x − sin 2 x) = 1 ; 4
4
185
www.5balls.ru
π π π 1 1 1 1 sin 2 x cos 2 x = ; sin 4 x = ; sin4x = 1; 4 x = + 2πk ; x = + k , k ∈ Z ; 8 2 2 4 4 4 2 1 1 3 3 2 2) sin x cos x + cos x sin x = ; sin x cos x(sin x + cos 2 x) = ; 4 4 π π 1 1 1 π + k, k ∈ Z . x = (− 1)k sin 2 x = ; sin 2 x = ; 2 x = (− 1)k + πk ; 12 2 6 2 2 4
673. 1) sin2x + sin22x = 1; 4sin2x cos2x = cos2x; cos2x(1 – 4sin2x) = 0; 1 cos x = 0 или sin x = ± ; x = π + πk или x = ± π + πk, k ∈ Z ; 2 2 6 2) sin2x + cos2x = 1; sin2x + cos2x – sin2x = 1; cos x = ±1; x = πk, k ∈ Z; 3) sin4x = 6cos22x – 4; 2cos2x sin2x = 2cos2x – 4sin22x; 2sin22x + sin2x cos2x – cos22x = 0 |:cos22x; 2tg22x + tg2x – 1 = 0; 1 1 tg2x = a 2a2 + a – 1 = 0; a1 = –1, a1 = ; tg2x = –1 или tg 2 x = ; 2 2 1 π + πk или 2 x = arctg + πk , k ∈ Z ; 2 4 π π 1 1 π или x=− + k x = arctg + k , k ∈ Z ; 8 2 2 2 2
2x = −
4) 2cos23x + sin5x = 1;
cos6x + sin5x = 0;
π 1 π 11 π cos 6x + cos( − 5x) = 0 ; 2cos( + x)cos( − + x) = 0 ; 4 2 4 2 2 π 1 π 1 π π 11 или ; cos( + x) = 0 + x = + πk или cos( − + x) = 0 4 2 2 4 2 4 2 π π 11 π 3π 2π + k, k ∈ Z . ( − + x) = + πk, k ∈ Z x = + 2πk или x = 2 22 11 4 2 2 1 1 674. 1) sin 2 x − cos x cos 3x = 1 ; sin 2 x − (cos 2 x + cos 4 x ) − = 0 ; 4 2 4 1 2 2 2sin x − 1 − (cos 2x + 2cos 2x − 1) − + 1 = 0 ; 2 3 3 2 − cos 2 x − cos 2 x − 2 cos 2 x + = 0 ; 2 cos 2 x + 2 cos 2 x − = 0 ; cos2x = a; 2 2 4a2 + 4a – 3 = 0; a1 = − 3 ,a 2 = 1 ; cos 2 x = − 3 или cos 2x = 1 в первом слу2 2 2 2 π π чае решений нет, а во втором 2x = ± + 2πk ; x = ± + πk, k ∈ Z ; 3 6
2) sin3x = 3sin x; sin3x + sin x = 4sin x; 2sin2x cos x – 4sin x = 0; cos2x sin x – 4sin x = 0; 4sin x(cos2x – 1) = 0; –4sin3x = 0; sin x = 0; x = πk, k ∈ Z; 3) 3cos2x – 7sin x = 4; 3 – 6sin2x – 7sin x = 4; sin x = a 6a2 + 7a + 1 = 0; 1 1 a1 = –1, a 2 = − ; sin x = –1 или sin x = − ; x = − π + 2πk или 6 6 2 x = (− 1)k arcsin
1 + πk , k ∈ Z ; 6
186
www.5balls.ru
4) 1 + cos x + cos2x = 0; cos x(1 + 2cos x) = 0; x=
1 + cos x + 2cos2x – 1 = 0; 1 cos x = 0 или cos x = − ; 2
π 2π + πk или x = ± + 2πk , k ∈ Z ; 2 3
2cos x(5sin x + 2cos2x – 8) = 0; 5) 5sin2x + 4cos3x – 8cos x = 0; 2 –2cos x(2sin2x – 5sin x + 6) = 0; 2cos x(5sin x + 2 – 2sin x – 8) = 0; 2 cos x = 0 или 2sin x – 5sin x + 6 = 0; sin x = a cos x = 0 или 2a2 – 5a + 6 = 0; D < 0; cos x = 0, а во втором случае решений нет, т.к. D < 0, т.е. cos x = 0;
x=
π + πk , k ∈ Z . 2
675. 1) sin x + sin2x + sin3x = 0; sin2x(2cos x + 1) = 0; x=
2sin2x cos x + sin2x = 0; 1 sin2x = 0 или cos x = − ; 2
2π π или x=± + 2πk , k ∈ Z ; k 3 2
2) cos x – cos3x = cos2x – cos4x; 2sin x(sin3x – sin2x) = 0; sin x = 0 или sin
–2sin(–x)sin2x = –2sin(–x)sin3x; 4 sin x sin
x 5x =0; cos 2 2
x 5x = 0 или cos = 0 ; x = πk или 2x = 2πk (входит в 2 2
первую серию корней) или 5x = π + πk , k ∈ Z ; x = πk или x = π + 2π k , k ∈ Z . 2
676. 1) sin(arcsin 1 ) = 1 ; 3 3
5
2
5
2) sin arcsin − 1 = − 1 ; 4 4
3) sin(π − arcsin 3 ) = sin(arcsin 3 ) = 3 4) sin( π + arcsin 2 ) = − sin(arcsin 2 ) = − 2 . 4
4 4 5 5 677. 1) tg(π + arctg ) = tg(arctg ) = 5 ; 4 4 4 678. 1) sin 2 x = 0 ; sin2x = 0; sin x π ,x ≠ πn, k, n ∈ Z, т.е. x= x= k 2 2) sin 3x = 0 ; sin3x = 0; sin x π x= x = k , x ≠ πn, k, n ∈ Z, т.е. 3 3) cos 2x = 0 ; cos2x = 0; cos x π π π x = + k , x ≠ + πn , k , n ∈ Z , т.е. 4 2 2
3 3 3 π 2) ctg( − arctg2) = tg (arctg2 ) = 2 . 2
sin x ≠ 0; π + πk , k ∈ Z ; 2
sin x ≠ 0; π k , k ∈ Z , k ≠ 3n, n ∈ Z; 3
cos x ≠ 0; x=
π π + k, k ∈ Z ; 4 2
187
www.5balls.ru
4) cos 3x = 0 ;
cos x ≠ 0;
cos3x = 0;
cos x 5π π π π π + πk, k ∈ Z ; x = + k , x ≠ + πn , k , n ∈ Z , т.е. x = + πk или x = 6 3 2 6 6
π 5) sin x = 0 ; sin x = 0; sin5x ≠ 0; x = πk, x ≡ n , k, n ∈ Z — нет решений; 5 sin 5x 6) cos x = 0 ; cos x = 0; cos7x ≠ 0; x = π + πk , x ≠ π + π n , k, n ∈ Z — нет cos 7 x
2
14
7
решений. 679. 1) cos x sin5x = –1; возможно, только если cos x = 1, sin5x = –1 или cos x = –1, sin5x = 1, т.е. x = 2πk , k ∈ Z — решений нет, или π 2π x = − 10 + 5 n, n ∈ Z
cos x = 1 ; sin 5 x = −1 cos x = −1 sin 5 x = 1
x = π + 2πk, k ∈ Z — решений нет, т.е. решений нет. π 2π x = − 10 + 5 n, n ∈ Z
2) sin x cos3x = –1 — возможно только при sin x = 1 ; cos 3x = −1 sin x = −1 ; cos 3x = 1
π x = + 2πk , k ∈ Z 2 — решений нет, или x = − π + 2π n , n ∈ Z 3 3
x= x =
π
+ 2πk , k ∈ Z
2 2π n , n ∈ Z 3
— решений нет, т.е. решений нет.
680. 1) 2cos3x = 3sin x + cos x; 2(cos3x + cos x) = 3(sin x + cos x); 4cos2x cos x = 3(sin x + cos x); 4(sin x + cos x)(cos x – sin x)cos x = 3(sin x + cos x); (sin x + cos x)(3 – 4cos2x + 4sin x cos x) = 0; (sin x + cos x)(3sin2x + 4sin x cos x – cos2x) = 0; sin x + cos x = 0 или 3tg2x + 4tg x – 1 = 0; tg x = a; a + 1 = 0 или 3a2 + 4a – 1 = 0; a1 = –1 или a 2 = −2 − 7 или a 3 = −2 + 7 ; 3
3
7 −2 π 2+ 7 + πk , k ∈ Z ; + πk или x = −arctg + πk или x = arctg 3 4 3 2) cos3x – cos2x = sin3x; 4cos2x – 3cos x – cos2x + sin2x = 3sin x – 4sin3x; 4(sin x + cos x)(1 – sin x cos x) = 3(cos x + sin x) + (cos x + sin x)(cos x – sin x); (sin x + cos x)(4 – 4sin x cos x – 3 – (cos x – sin x)) = 0; x=−
(sin x + cos x ) (4 + 4( cos x – sin x = a
(sin x − cos x)2 − 1 ) − 3 − (cos x − sin x)) = 0 ; 2
sin x + cos x = 0 или 2a2 – a – 1 = 0;
188
www.5balls.ru
tg x = –1 или a1 = −
1 или а2 = 1, т.е. 2
tg x = –1 или cos x − sin x = − 1 или cos x − sin x = 1 ;
2 π 1 или sin( x − π ) = 1 ; tg x = –1 или sin( x − ) = 4 4 2 2 2 π π 1 π k π k x = − + πk или x = + (− 1) arcsin + πk , k ∈ Z . + πk или x = − (− 1) 4 4 4 4 2 2
681. 1) sin2x + cos2x = 2tg x + 1; 2sin x cos x + 1 – 2sin2x = 2tg x + 1; 2 sin x (
1 + sin x − cos x ) = 0 ; cos x
2sin x(tg2x + 1 + tg x – 1) = 0;
2 sin x (
1 cos 2 x
+ tgx − 1) = 0 ;
2sin x ⋅ tg x(tg x + 1) = 0;
2 sin 2 x (tgx + 1) = 0 ; sin x = 0 или tg x = –1; x = πk или x = − π + πk, k ∈ Z ; cos x 4
2) sin2x – cos2x = tg x; 2sin x cos2x – cos x(1 – 2sin2x) = sin x; 2 2 2sin x cos x + 2sin x cos x = sin x + cos x; (sin x + cos x)(sin2x – 1) = 0; sin x + cos x = 0 или sin2x = 1; tg x = –1 или sin2x = 1; π π π x = − + πk или x = + πk , k ∈ Z , т.е. x = ± + πk , k ∈ Z . 4 4 4 682. cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x = 3 ;
2 1 1 cos x + cos 2x + cos 3x = (cos 2 x + sin 2 x) + (cos 2 2x + sin 2 2x) + 2 2 2
2
2
1 + (cos 2 3x + sin 2 3x) ; 2 1 1 1 (cos 2 x − sin 2 x) + (cos 2 2x − sin 2 2x) + (cos 2 3x − sin 2 3x) = 0 ; 2 2 2
cos2x + cos4x + cos6x = 0 cos4x(1 + 2cos2x) = 0
2cos4x cos2x + cos4x = 0;
cos4x = 0 или cos 2 x = − 1 ;
2 π π π или x= + k x = ± + πk , k ∈ Z . 8 4 3
2π π + 2πk , k ∈ Z 4 x = + πk или 2 x = ± 3 2
683.
cos x ≤ 0 ; − 4 cos x cos 2 x = 7 sin 2x ; sin 2x ≥ 0 3 7 sin 2x + 4 cos x = 0
Решаем 2–ое уравнение системы: cos x(4sin2x – 14sin x – 4) = 0 cos x = 0 или 4sin2x – 14sin x – 4 = 0; sin x = a; cos x = 0 или 2а2–7а–2=0; cos x = 0 или a1 = 7 − 65 или a 2 = 7 + 65 ; 4
4
189
www.5balls.ru
cos x=0
или
x = (− 1)n +1 arcsin
sin x =
7 − 65 4
или
sin x =
7 + 65 ; 4
x=
π + πn 2
65 − 7 + πn , n ∈ Z , в третьем случае решений нет; 4
cos x ≤ 0 , sin x ≤ 0 или cos x = 0 x = π + πn или x = ( −1)n +1 arcsin 65 −7 + πn,n ∈ Z 2 4
т.е. x = π + πk или x = π + arcsin 65 − 7 + 2πk , k ∈ Z . 2
4
684. |cos x| – cos3x = sin2x; cos x ≥ 0 ; 2 sin x sin 2 x = sin 2x
cos x ≥ 0 ; sin 2x (2 sin x − 1) = 0
cos x ≥ 0 1; sin 2x = 0 или sin x = 2
cos x ≥ 0 π ; x = k или x = π + 2πk , k ∈ Z или π kπ 2 6 = = − + π ∈ x k или x 1 k,k Z ( ) 2 6 cos x < 0 cos x < 0 ; ; − 2 cos 2 x cos x = 2 sin x cos x 2cos x(sin x + cos 2x) = 0 cos x < 0 cos x < 0 ; ; 2 2 sin 2 x − sin x − 1 = 0 2cos x(sin x + 1 − 2sin x) = 0 cos x < 0 cos x < 0 ; ; π 1 k +1 π sin x = − 2 или sin x = 1 x = ( −1) 6 + πk или x = 2 + 2πk, k ∈ Z т.е. x = 7 π + 2πk , k ∈ Z , обощая, x = π k или x = π + πk , k ∈ Z . 6 6 2 π
y = + πk, k ∈ Z sin 2 y = 1 4 ; ; ; sin 2x = −1 π
685. 1) sin y cos y = 2 1
sin 2x + sin 2y = 0
sin x + sin y = 1 2)
cos x − cos y = 3
tg
x−y =− 3 ; 2
x = − + πn, n ∈ Z 4
x+y x−y =1 cos 2 2 −2sin x − y sin x + y = 3 2 2
2sin ;
x−y=−
;
2π + 2πk ; 3
x = y−
2π + 2πk , k ∈ Z ; 3
2π 1 3 1 3 ) + sin y = 1 ; − sin y − cos y + sin y = 1 ; sin y − cos y = 1 ; 2 2 2 2 3 5π π π + 2πn , n ∈ Z , а x = + 2πk + 2πn , k ∈ Z, n ∈ Z . sin(y − ) = 1 ; y = 6 6 3 sin(y −
190
www.5balls.ru
или
sin x 5
sin x = 5
sin x 5
= 686. 1) sin y 3 ; sin y 3 cos x 1 sin( x + y ) =
= ; sin y 3
;
x−y x +3y = 1 2sin cos =0 cos y 3 sin 2y 2 2 Решаем 2–ое уравнение: sin x − y = 0 или cos x + 3y = 0 ; 2 2
x – y = 2πk или x + 3y = π + 2πk, k ∈ Z; а) x = y + 2πk, k ∈ Z ; подставляя в 1–ое уравнение системы: sin(y) 5 — противоречие, значит, решений нет; = sin y 3
б) x = –3y + 2πk + π, k ∈ Z; подставляя в 1–ое уравнение: sin( π − 3y) 5 ; = sin y 3 5 = 4 sin 2 y ; 3
3−
y = ± arcsin
1 3
3 sin y − 4 sin 3 y 5 ; = sin y 3
sin 3y 5 = ; sin y 3 sin 2 y =
1; 3
1 ; 3 1 x = π ± 3 arcsin + πn + 2πk, n, k ∈ Z ; 3 sin y = ±
+ πn, n ∈ Z , а 1
π
x = + πk, k ∈ Z 4 ; ; 1
sin 2x = 1
sin x cos x = 2 ; 2) 1 cos x sin y = − 2
cos x sin y = − 2
± 2 sin y = − 1 2 2
x = π + πk, k ∈ Z x = 3π + 2πk, k ∈ Z x = π + 2πk, k ∈ Z 4 4 4 , т.е. или ; n +1 π 2 y = ( −1) y = ( −1)n π + πn, n ∈ Z sin y = ± + πn,n ∈ Z 4 4 2
687. sin4x + cos4x = a; 1− a =
1 sin 2 2 x ; 2
(sin2x + cos2x)2 – 2sin2x cos2x = a;
sin22x = 2 – 2a.
Уравнение имеет корни при 1 ≤ a ≤ 1 ;
sin 2 x = ± 2 − 2a ;
2
2 x = ± arcsin 2 − 2a + πk , k ∈ Z ; x = ±
1 π 1 arcsin 2 − 2a + k , k ∈ Z , ≤ a ≤ 1 . 2 2 2
5 5 688. sin10x + cos10x = a; (1 − cos 2x) + (1 + cos 2x) = a ;
32
32
32a = 2 + 20cos22x + 10cos42x; 5cos42x + 10cos22x + (1 – 16a) = 0. Обозначим cos22x = b. Исходное уравнение имеет корни, если 0 ≤ b ≤ 1; 5b4 + 10b + (1 – 16a) = 0; D = 100 – 20(1 – 16a); b=
− 10 + D ; b1 = −1 − D , b 2 = −1 + D ; 10 10 10
0 ≤ b1 ≤ 1 или 0 ≤ b2 ≤ 1
10 ≤ D ≤ 20 ;
100 ≤ 100 – 20 + 320a ≤ 400;
191
www.5balls.ru
20 ≤ 320a ≤ 320;
1 ≤ a ≤1. 16
Т.е. исходное уравнение имеет корни при 1 ≤ a ≤ 1 . 16
2
689. sin 2x − 2a 2(sin x + cos x) + 1 − 6a = 0 ; π π cos(2x − ) − 2a 2 ⋅ 2 cos(x − ) + 1 − 6a 2 = 0 ; 2 4 π π π 2 cos(x − ) = b ; 2cos (x − ) − 4a cos(x − ) − 6a 2 = 0 ; 4 4 4
2a ± 4a
b2 – 2ab – 3a2 = 0;
D = 4a2 + 12a2 = 16a2;
b1 = –a, a b2 = 3a;
π π cos(x − ) = −a или cos x − = 3a . 4 4
b1, 2 =
2
;
Уравнение имеет решения только при –1 ≤ –а ≤ 1 или –1 ≤ 3а ≤ 1. В общем, уравнение имеет решение при –1 ≤ а ≤ 1.
π = ± arccos(− a ) + 2πk или 4 π x − = ± arccos(3a ) + 2πk , k ∈ Z . 4 1 1 При − 1 ≤ a < и < a ≤ 1 x − π = ± arccos(− a ) + 2πn , n ∈ Z , т.е. 3 4 3 π 1 1 при − ≤ a ≤ x = ± arccos(− a ) + 2πk или 4 3 3 π x = ± arccos(3a ) + 2πk , k ∈ Z , а 4 1 1 при − 1 ≤ a < − и < a ≤ 1 ; x = π ± arccos(− a ) + 2πn , n ∈ Z . 3 4 3
При − 1 ≤ a ≤ 1 3
x−
3
2 – 2sin2x + sin x – 1 < 0; 690. 1) 2cos2x + sin x – 1 < 0; sin x = a 2a2 – a – 1 > 0; 2sin2x – sin x – 1 > 0;
1 1 или а > 1; sin x < − или sin x > 1; 2 2 5π π − + 2πk < x < − + 2πk , k ∈ Z , а второе неравенство решений не имеет. 6 6
a<−
2 – 2cos2x – 5cos x + 1 > 0; 2) 2sin2x – 5cos x + 1 > 0; 2 2a2 + 5a – 3 < 0; 2cos x + 5cos x – 3 < 0; cos x = a −3 < a <
1 ; 2
− 3 < cos x <
1 ; 2
π 5π + 2πk < x < + 2πk , k ∈ Z . 3 3
192
www.5balls.ru
Глава VII. Тригонометрические функции 691. 1) y = sin2x, x ∈ R;
2) y = cos x , x ∈ R;
3) y = cos 1 , x ≠ 0;
4) y = sin 2 , x ≠ 0;
5) y = sin x , x ≥ 0;
6) y = cos x − 1 , x − 1 ≥ 0 x < –1 и х ≥ 1.
2
x
x
x +1
x +1
692. 1) y = 1 + sin x; –1 ≤ sin x ≤ 1; 0 ≤ 1 + sin x ≤ 2, т.е. 0 ≤ у ≤ 2; 2) y = 1 – cos x; –1 ≤ cos x ≤ 1; 0 ≤ 1 – cos x ≤ 2, т.е. 0 ≤ у ≤ 2; 3) y = 2sin x + 3; –2 ≤ 2sin x ≤ 2; 1 ≤ 2sin x ≤ 5, т.е. 1 ≤ у ≤ 5; 4) y = 1 – 4cos2x; –4 ≤ 4cos2x ≤ 4; –3 ≤ 1 – 4cos2x ≤ 5, т.е. –3 ≤ у ≤ 5; 5) y = sin2xcos2x + 2;
1 sin 4x + 2 ; 2 3 1 5 ≤ sin 4 x + 2 ≤ , т.е. 2 2 2 1 y = sin 2 x − 1 ; 4 5 1 3 − ≤ sin 2 x − 1 ≤ − , т.е. 4 4 4 π cos x ≠ 0; x ≠ + πk , k ∈ Z ; 2 y=
1 1 1 ≤ sin 4 x ≤ ; 2 2 2 1 6) y = sin x cos x − 1 ; 2 1 1 1 − ≤ sin 2 x ≤ ; 4 4 4 1 693. 1) y = ; cos x sin x ≠ 0; 2) y = 2 ; sin x x 3) y = tg x ; cos = ≠ 0 ; 3 3 −
cos5x ≠ 0;
4) y = tg5x;
694. 1) y = sin x + 1 ;
5 3 ≤y≤ ; 2 2
−
5 3 ≤y≤− . 4 4
x ≠ πk, k ∈ Z; x π ≠ + πk ; 3 2 5x ≠
π + πk ; 2
sin x + 1 ≥ 0;
x≠
x≠
3π + 3πk , k ∈ Z ; 2
π π + k, k ∈ Z . 10 5
sin x ≥ –1, x ∈ R;
2) y = cos x − 1 ; cos x – 1 ≥ 0; cos x ≥ 1 x = 2πk, k ∈ Z; 3) y = lg sin x; sin x > 0; 2πk < x < π + 2πk, k ∈ Z; 4) y = 2 cos x − 1 ; 2cos x – 1 ≥ 0 cos x ≥
1 ; 2
−
1 – 2sin x ≥ 0;
5) y = 1 − 2 sin x ;
7π π + 2πk ≤ x ≤ + 2πk , k ∈ Z ; 6 6 π π cos x > 0; − + 2πk < x < + 2πk , k ∈ Z . 2 2
1 sin x ≤ ; 2
−
6) y = ln cos x 695. 1) y =
π π + 2πk ≤ x ≤ + 2πk , k ∈ Z ; 3 3
1 2 sin 2 x − sin x
;
sin x(2sin x – 1) ≠ 0;
193
www.5balls.ru
sin x ≠ 0 и sin x ≠ 1 ; 2
x ≠ πk и x ≠ (− 1)k π + πk , k ∈ Z ;
6 2 ; ; 2) y = y= cos 2 x cos 2 x − sin 2 x π π π cos2x ≠ 0; 2 x ≠ + πk ; x ≠ + k, k ∈ Z ; 2 4 2 1 1 ; ; 3) y = y= 2 sin x cos 2 x sin x − sin 3x sin x ≠ 0 и cos2x ≠ 0; x ≠ πk и x ≠ π + π k , k ∈ Z ; 4 2 1 1 ; y= ; cos x ≠ 0; 4) y = cos3 x + cos x cos x(1 + cos 2 x) 2
x≠
π + πk , k ∈ Z . 2
696. 1) y = 2sin2x – cos2x; y = 2sin2x – (1 – 2sin2x) = 4sin2x–1, т.е. –1≤у≤3; 2) y = 1 – 8cos2x sin2x; y = 1 – 2sin22x, т.е. –1 ≤ у ≤ 1; 2 3) y = 1 + 8 cos x ;
y=
4
4) y = 10 – 9sin23x; 5) y = 1 – 2|cos x|; 6) y = sin x + sin(x + π ) ;
1 9 1 + 2 cos 2 x , т.е. ≤ y ≤ ; 4 4 4
1 ≤ y ≤ 10; –1 ≤ y ≤ 1;
3 π π ; y = 2sin(x + ) cos − 6 6
π y = 3 sin(x + ) , т.е. − 3 ≤ y ≤ 3 . 6 3 4 697. y = 3cos 2x − 4sin 2x = 5( cos 2x − sin 2x) = 5sin (ϕ − 2x ) , где ϕ = arcsin 3 , 5 5 5
т.е. унаим = –5, а унаиб = 5. 698. y = 26( 1 sin x − 5 cos x) = 26 sin ( x − ϕ ) , где ϕ = arcsin 5 , 26
26
26
т.е. − 26 ≤ y ≤ 26 . 699. y = 10cos2x – 6sin x cos x + 2sin2x; y = 4cos2x – 3sin2x + 6;
y = 4(2cos2x – 1) – 3sin2x + 6;
y = 5sin(ϕ – 2x) + 6, где ϕ = arcsin 4 т.е. 1 ≤ у ≤ 11. 5
700. 1) y = cos3x; y(–x) = cos(–3x) = cos3x = y(x) — четная; 2) y = 2sin4x; y(–x) = 2sin(–4x) = –2sin4x = –y(x) — нечетная; 3) y = x tg 2 x ; 2
4) y = x cos x ; 2
x 2 x tg (− x ) = − tg 2 x = − y(x ) — нечетная; 2 2 x x y(− x ) = − x cos − = − x cos = − y(x ) — нечетная; 2 2 y(− x ) = −
5) y = x sin x; y(–x) = –x sin(–x) = x sin x = y(x) — четная; y(–x) = 2sin2(–x) = 2sin2x = y(x) — четная. 6) y = 2sin2x; 701. 1) y = sin x + x; y(–x)=–sin x–x =–(sin x + x) = –y(x) — нечетная;
194
www.5balls.ru
2) y = cos(x − π ) − x 2 ; 2
y = sin x – x2;
y(–x) = –sin x – x2 — не является четной или нечетной; 3) y = 3 − cos( π + x)sin ( π − x ) ; y = 3 + sin2x; y(–x) = 3 + sin2x = y(x) — четная;
2 1 4) y = cos 2x sin( 3 π − 2x) + 3 ; 2 2 1 1 ; y = − cos 3x + 3 y(− x ) = − cos 2 2 x + 3 = y(x ) — четная; 2 2 sin x sin x 5) y = + sin x cos x ; y(− x ) = − sin x cos x — не является четной x x
или нечетной; 6) y = x 2 + 1 + cos x ; 2
y(− x ) = x 2 +
1 + cos x = y(x ) — четная. 2
702. 1) y = cos x – 1; y(x + 2π) = cos(x + 2π) – 1 = cos x – 1 = y(x); 2) y = sin x + 1; y(x + 2π) = sin(x + 2π) + 1 = sin x + 1 = y(x); 3) y = 3sin x; y(x + 2π) = 3sin(x + 2π) = 3sin x = y(x); cos(x + 2π) cos x = = y (x ) ; 2 2 π π 5) y = sin(x − π ) ; y ( x + 2π ) = sin(x − + 2π) = sin(x − ) = y ( x ) ; 4 4 4 6) y = cos(x + 2π ) ; y ( x + 2π ) = sin(x + 2π + 2π) = cos(x + 2π ) = y ( x ) . 3 3 3
4) y = cos x ;
y ( x + 2π ) =
2
703. 1) y = sin2x, T = π; y(x + T) = sin(2(x+π))=sin(2x+2π)=sin2x=y(x); 2) y = cos x , T = 4π; 2
3) y = tg2x, T = π ; 2
x + 4π x x = cos( + 2π) = cos = y ( x ) ; 2 2 2 π y ( x + T ) = tg(2(x + )) = tg ( 2x + π ) = tg2x = y ( x ) ; 2 y ( x + T ) = cos
4x 5 4 5 4x 4x 4) y = sin , T = π ; y ( x + T ) = sin( (x + π)) = sin( + 2π) = sin = y (x ) . 5 2 5 2 5 5
704. 1) y = 1 − cos x ; 1 + cos x
1 − cos x = y(x ) — четная; 1 + cos x
y(− x ) =
sin 2 x = y(x ) — четная; 1 + cos 2x
2 3) y = cos 2 x − x ;
y(− x ) =
cos 2 x − x 2 = − y(x ) — нечетная; − sin x
3 4) y = x + sin 2 x ; cos x
y(− x ) =
− x 3 − sin 2 x = − y(x ) — нечетная; cos x
2) y =
sin 2 x ; 1 + cos 2x
y(− x ) =
cos x
5) y = 3cosx; 6) y = x|sin x|sin3x;
y(–x) = 3cosx = y(x) — четная; y(–x) = –x|sin x| ⋅ (–sin3x) = y(x) — четная.
705. 1) y = cos 2 x . Т.к. наименьший период функции cos t равен 2π, и 5
195
www.5balls.ru
y(x + T) = y(x), то cos( 2 (x + T)) = cos( 2 x + 2π) , т.е. Т = 5π. 5
2) y = sin 3 x . 2
5
Т.к. наименьший период функции sin t равен 2π, и
y(x + T) = y(x), то sin( 3 (x + T)) = sin( 3 x + 2π),T = 4π . 2
3) y = tg x . 2
2
3
Т.к. наименьший период функции tg t равен π, и
y(x + T) = y(x), то tg x + T = tg( x + π) , т.е. Т = 2π. 2
2
4) y = |sin x|. Т.к. у(х + π) = |sin(x + π)| = |–sin x| = |sin x| = y(x), то Т = π — наименьший период функции y = |sin x|. 706. 1) y = sin x + cos x. Наименьший положительный период функции sin x равен 2π, и наименьший положительный период функции cos x равен 2π, значит, значения функции будут повторены через 2π единиц. 2) y = sin x + tg x. Наименьший положительный период функции sin x равен 2π, а наименьший положительный период функции tg x равен π, то значения функции будут повторены через 2π единиц. 707. 1) f(x) + f(–x) — четная функция. Пусть F1(x) = f(x) + f(–x); F1(–x) = f(–x) + f(x) = F1(x), ч.т.д. 2) f(x) = f(–x) — нечетная функция. Пусть F2(x) = f(x) – f(–x); F2(–x) = f(–x) – f(x) = –F2(x), ч.т.д. Используя эти функции, представить f(x) в виде суммы четной и нечетной функции. Т.к. F1(x) + F2(x) = f(x) + f(–x) – f(x) – f(–x) = 2f(x), то f ( x ) = F1 (х) + F2 (х) . 2
708. 1) значения, равные 0, 1, –1; 0 при π , 3π , 5π ; 2
2
–1 при π, 3π;
1 при0, 2π;
2
2) положительные значения при x ∈ 0; π , x ∈ 3π ; 5π ;
2
2
2
3) отрицательные значения при x ∈ π ; 3π , x ∈ 5π ;3π . 2 2 2 709. 1) [3π; 4π] — возрастает;
2) [–2π; –π] — убывает;
3) 2π; 5π — убывает; 2
4) − π ;0 — возрастает;
5) [1; 3] — убывает;
6) [–2; –1] — возрастает.
710. 1) π ; 3π ; 2
2) − π ; π ; 2 2
2
2
π — убывает, 2 ; π
3π — возрастает; π; 2
π — возрастает, π — убывает; − 2 ;0 0; 2
196
www.5balls.ru
3) 0; 3π ;
[0; π] — убывает, π; 3π — возрастает;
4) − π; π ; 2
[–π; 0] — возрастает, 0; π — убывает.
2
2
2 π 8π 711. 1) cos и cos . Т.к. функция cos x убывает на [0; π] и π < 8π , 7 9 7 9 π 8π то cos > cos . 7 9 8π 2) cos и cos10π . Т.к. cos x возрастает на [π; 2π] и 8π < 10π , то cos8π < cos10π . 7 7 7 7 7 7 6π π 3) cos − и cos − . Т.к. cos x вохрастает на [–π; 0] и 7 8
6π π 6π π < − , то cos − < cos − . 7 8 7 8 π 8 π 9 4) cos − и cos − . Т.к. cos x убывает на [–2π; –π] и 7 7 8π 9π 8π 9π − >− ≠ , то cos − < cos − . 7 7 7 7
−
5) cos 1 и cos3. Т.к. cos x убывает на [0; π], а 1 < 3, то cos 1 > cos 3. 6) cos4 и cos5. Т.к. cos x возрастает на [π; 2π] и 4 < 5, то cos4 < cos5. у
712. 1) cos x = 1 .
х
2
Построим графики функций y = cos x и y = 1 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в трех 2
точках, абсциссы которых х1, х2 и х3, являются корнями уравнения cos x =
1 ; x1 = π , x 2 = 5π , x 3 = 7 π . 2 3 3 3
у
2) cos x = 2 .
х
2
Построим графики функций y = cos x и 2 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в трех точках, абсцис2
y=
сы которых х1, х2 и х3 являются корнями уравнения x1 =
7π 9π . π , x2 = , x3 = 4 4 4
cos x =
2 ; 2
у
3) cos x = − 2 . 2
Построим графики функций y = cos x
х
197
www.5balls.ru
и y = − 2 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в трех точках, абс2
циссы которых х1, х2 и х3 являются решением уравнения cos x = − 2 ; 2
3π 5π 11π . x1 = , x 2 = , x3 = 4 4 4 4) cos x = − 1 . 2
у х
Построим графики функций y = cos x и y = − 1 . Эти графики пересекаются в трех точках, абсциссы которыех 2
х1, х2 и х3 являются корнями уравнения cos x = 1 ; x1 = 2π , x 2 = 4π , x 3 = 8π . 2
3
3
3
713. 1) cos x ≥ 1 . 2 График функции y = cos x лежит не ниже графика функции y = 1 при 2
х ∈ [0; x1], x ∈ [x2; x3]. Значит, решение неравенства 0; π и 5π ; 7π . 3 3 3 2) cos x ≥ − 1 . 2
График функции y = cos x лежит не ниже графика функции y = − 1 при
2 4π 8π 2π x ∈ [0; x1], x ∈ [x2; x3]. Значит, решение неравенства — 0; и ; . 3 3 3
3) cos x < − 2 . 2
График функции y = cos x лежит ниже графика функции y = − 2 при
2 3π 5π π 11 x ∈ [x1; x2], x ∈ [x2; x3]. Значит, решение неравенства — ; и ;3π . 4 4 4
4) cos x < 3 . 2
График функции y = cos x лежит ниже графика функции y = 3 при
2 π 11 π 13 π и x ∈ [x1; x2], x ∈ [x3; 3π]. Значит, решение неравенства — ; ;3π . 6 6 6 π π π 3π π π 714. 1) cos и sin ; sin = cos − = cos . 5 10 5 5 2 5
198
www.5balls.ru
Т.к. cos x убывает на [0; π], и π < 3π , то cos π > cos 3π , т.е. cos π > sin π .
5 10 5 10 5 5 π 5π π π . sin = cos − = cos 7 14 2 7 Т.к. cos x убывает на [0; π], и π < 5π , то cos π > cos 5π , т.е. cos π > sin π . 7 14 7 14 7 7 3π π 3π π 3π 3 π 3) cos и sin ; sin = cos − = cos . 8 8 8 8 2 8 3π π 3π π 3π 3π . Т.к. cos x убывает на [0; π], и > , то cos < cos , т.е. cos < sin 8 8 8 8 8 8
2) sin π и cos π ; 7 7
3π π и cos ; 5 5
3π π π π = sin + = cos . 5 10 2 10 Т.к. cos x убывает на [0; π], и π > π , то cos π < cos π , т.е. cos π < sin 3π . 5 10 5 5 5 10 5π π π π π 5π 5) cos и sin ; sin = sin − = cos . 14 6 14 7 2 7 π π π Т.к. cos x убывает на [0; π], и > , то cos < cos π , т.е. cos π < sin 5π . 6 7 6 7 6 14 3π π π π 3π π 6) cos и sin ; sin = sin − = cos . 8 10 10 5 2 5 π π π Т.к. cos x убывает на [0; π], и < , то cos > cos π , т.е. cos π > sin 3π . 8 5 8 5 8 10 π 3π 1 715. 1) cos 2x = . Обозначим 2x = t, т.к. − ≤ x ≤ , то – π ≤ 2x = t ≤ 3π. 2 2 2 Построим графики функции y = cos t и y = 1 на отрезке [–π; 3π]. Эти 2
4) sin
sin
графики пересекаются в четырех точках, абсциссы которых t1, t2, t3, t4 являются решением уравнения cos x = 1 .
2 π π 5π 7π , т.е. x1 = − π , x 2 = π , x 3 = 5π , x 4 = 7 π . t1 = − , t 2 = , t 3 = , t4 = 3 3 3 3 6 6 6 6 у
2) cos3x = 3 . 2
t
Обозначим 3x = t, т.к. −
π 3π , то − 3π ≤ 2x ≤ 9π . ≤x≤ 2 2 2 2
Построим графики фукнций y = cos t и y = 1 на отрезке − 3π ; 9π . Эти 2 2 2 графики пересекаются в шести точках t1, t2, t3, t4, t5, t6, абсциссы которых являются решением уравнения cos x = 3 ; 2
199
www.5balls.ru
π π 11π 13π 23π 25π , т.е. t1 = − , t 2 = , t 3 = , t4 = , t5 = , t6 = 6 6 6 6 6 6 π π 11π 13π 23π 25π . x1 = − , x 2 = , x 3 = , x4 = , x5 = , x6 = 18 18 18 18 18 18 у
716. 1) cos 2x < 1 . Обозначим 2x = t, тогда –π ≤ t ≤ 3π. 2
График функции y = cos t лежит ниже графика функции y = 1 при 2
t ∈ [–π; t1) ∪ (t2; t3) ∪ (t4; 3π], т.е. t ∈ −π; − π U π ; 5π U 7π ;3π , 3 3 3 3 π π π 5π 7 π 3π а x ∈ − ; − U ; U ; . 2 6 6 6 6 2 2) cos3x > 3 . Обозначим 3x = t; − 3π ≤ t ≤ 9π . 2
2
2
График функции y = cos t лежит выше графика функции y = 3 при
2 π π 11 π 13 π 23 π 25 π , а t ∈ (t1; t2) ∪ (t3; t4) ∪ (t5; t6), т.е. t ∈ − ; U ; ; U 6 6 6 6 6 6 π π 11π 13π 23π 25π . x ∈ − ; U ; ; U 18 18 18 18 18 18
717. 1) y = 1 + cos x. а) Область определения x ∈ R.; б) Множество значений 0 ≤ у ≤ 2;
у х
в) Функция периодическая с периодом 2π; г) Функция четная; д) принимает наименьшее значение, равное 0, при x = π + 2πk, k ∈ Z; принимает наибольшее значение, равное 2, при x = 2πk, k ∈ Z; функция неотрицательная; е) возрастает при x ∈ [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z; убывает при x ∈ [2πk; π + 2πk], k ∈ Z. 2) y = cos2x. у а) Область определения x ∈ R. x б) множество значений –1 ≤ у ≤ 1. в) периодическая с периодом π. г) четная. д) принимает наименьшее значение, равное –1, при x = π + πk, k ∈ Z ; 2
200
www.5balls.ru
принимает наибольшее значение, равное 1, при x = πk, k ∈ Z принимает по-
ложительные значения при x ∈ ( − π + πk; π + πk), k ∈ Z принимает отрица4
4
тельные значения при x ∈ ( π + πk; 3π + πk), k ∈ Z ; 4
4
е) возрастает при x ∈ π + πk; π + πk ,k ∈ Z ; убывает при x ∈ πk; π + πk , k ∈ Z . 2 2
3) y = 3cos x. а) Область определения x ∈ R; б) множество значений –3 ≤ у ≤ 3; в) периодическая с периодом 2π; г) четная; д) принимает наименьшее значение, равное –3, при x = π + 2πk, k ∈ Z
x
принимает наибольшее значение, равное 3, при x = 2πk, k ∈ Z принимает
положительные значения при x ∈ ( − π + 2πk; π + 2πk), k ∈ Z принимает отри2 2 π 3π цательные значения при x ∈ ( + 2πk; + 2πk), k ∈ Z ; 2 2
е) возрастает при x ∈ [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z убывает при x ∈ [2πk; π + 2πk], k ∈ Z. 718. 1) π ; π . Т.к. cos x убывает на [0; π], то cos π ≤ cos x ≤ cos π для всех 3
3 π 1 x ∈ ; π , т.е. −1 ≤ y ≤ . 3 2
2) 5π ; 7 π . 4
4
Т.к. cos x возрастает на [π; 2π], то cos 5π < cos x < cos 7 π 4
для всех x ∈ 5π ; 7π , т.е. − 4
4
4
2 2 . < y< 2 2
719. 1) y = |cos x|. Т.к. при cos x ≥ 0; y = cos x, а при cos x < 0; y = –cos x, то отразим части графика функции y=cos x, расположен-
у x
ные ниже оси абсцисс в верхнюю часть плоскости. Полученная кривая и будет графиком функции y = |cos x|. у У1 2) y = 3 – 2cos(x – 1). Построим график функции y = 2cos t, в системе координат 0′ty′. Графиком функции y = 2cos(x – 1) является эта же кривая в системе координат 0ху, где x – 1 = t, а y′ = y (т.е. 0 = 0′ – 1). Затем tx зеркально отобразим полученный гра-
201
www.5balls.ru
Фик относительно оси 0х, получим график функции y = –2cos(x – 1). Подняв его на 3 единицы вверх, получим исходный график y = 3 – 2cos(x – 1). 720. 1) Значение, равное 0, 1, –1; 0 при 0, π, 2π, 3π; 1 при π , 5π ;
–1 при 3π ;
2 2
2
2) положительные значения: (0; π), (2π; 3π); 3) отрицательные значения: (π; 2π). 721. 1) 3π ; 5π — возрастает; 2 2 3) −π; − π — убывает; 2
2) π ; π — убывает; 2
4) − 3π ; − π — убывает; 2 2
5) [2; 4] — убывает;
6) [6; 7] — возрастает.
722. 1) [0; π]; 0; π — возрастает, π ; π — убывает; 2 2 2) π ;2π ; π ; 3π — убывает, 3π ;2π — возрастает; 2 2 2 2 3) [–π; 0]; −π; − π — убывает, − π ;0 — возрастает; 2
2
4) [–2π; –π]; −2π; − 3π — возрастает, − 3π ; −π — убывает. 2 2 7π 13π и sin . 723. 1) sin 10 10 Т.к. sin x убывает на π ; 3π и 7 π < 13π , то sin 7π > sin 13π . 10 10 10 10 2 2 2) sin
11π 13π . и sin 7 7
Т.к. sin x возрастает на 3π ; 5π и 13π > 11π , то sin 13π > sin 11π . 2
2
7
7
7
7
3) sin − 8π и sin − 9π . 7 8 Т.к. sinx убывает на − 3π ; − π и − 8π < − 9π , то sin − 8π > sin − 9π . 7 8 2 7 8 2 3 π 5 π 4) sin7 и sin6. Т.к. sin x возрастает на ; и 7 > 6, то sin7 > sin6. 2 2 у
724. 1) sin x = 3 . 2
Построим графики функций y = sin x и y = 3 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в четырех точках, 2
202
www.5balls.ru
абсциссы которых х1, х2, х3, х4 являются корнями уравнения sin x = 3 ; 2
π 2π 7π 8π . x1 = , x 2 = , x3 = , x4 = 3 3 3 3 у
2) sin x = 2 . 2
х
Построим графики функций y = sin x
и y = 2 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в четырех точках, 2
абсциссы которых х1, х2, х3, х4 являются корнями уравнения sin x = 2 ; 2
π 3π 9π 11π . x1 = , x 2 = , x 3 = , x4 = 4 4 4 4
3) sin x = − 2 .
у
2
х
Построим графики функций y = sin x
и y = − 2 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в двух точках, абсцис2
у сы которых х1 и х2 являются корнями уравнения sin x = − 2 ; x1 = 5π , x 2 = 7 π .
2
4
4
4) sin x = − 3 . 2
х
Построим графики функций y = sin x
и y = − 3 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в двух точках, абс2
циссы
которых
х1,
х2
являются
корнями
уравнения
sin x = −
3 ; 2
4π 5π . , x2 = 3 3 725. sin x > 1 . 2
x1 =
График функции y = sin x лежит выше графика функции y = 1 при 2
x ∈ (x1; x2) U (x3; x4), т.е. x ∈ π ; 5π U 13π ; 17 π . 6 6 6 6 у
1) sin x ≤ 2 .
х
2
График функции y = sin x лежит не
203
www.5balls.ru
выше графика функции y = 2 при x ∈ [0; x1] U [x2; x3] U [x4; 3π], т.е. 2 . π 3π 9π 11π x ∈ 0; U ; U ;3π 4 4 4 4 1 2) sin x ≥ − . 2
у х
График функции y = sin x лежит не 1 ниже графика функции y = − при x ∈ [0; x1] U [x2; 3π], т.е. x ∈ 0; 7π U 11π ;3π . 2 6 6 3) sin x < − 3 . 2
График функции y = sin x лежит ниже графика функции y = − 3 при 2
x ∈ (x1; x2), т.е. x ∈ 4π ; 5π . 3 3 726. 1) sin π и cos π ;
cos
9
9
7π ; π π 7π = cos − = sin 9 18 2 18
Т.к. sin x возрастает на 0; π и π < 7 π , то sin π < sin 7 π , т.е. sin π < cos π ; 9 18 9 18 9 9 2 2) sin 9π и cos 9π ; 8
cos
8
9π 11π ; 5π 11π = cos − = sin 8 8 8 2
Т.к. sin x убывает на π ; 3π и 9π < 11π , то sin 9π > sin11π , т.е. sin 9π > cos 9π ; 2 2
3) sin π и cos 5π ; 5
cos
14
8
8
8
8
8
8
5π π π π = cos − = sin ; 14 7 2 7
Т.к. sin x возрастает на 0; π и π > π , то sin π > sin π , т.е. sin π > cos 5π ;
4) sin π и cos 3π ; 10 8
2
5
7
5
5
7
14
3π π π π cos = cos − = sin ; 10 2 5 5
Т.к. sin x возрастает на 0; π и π < π , то sin π < sin π , т.е. sin π < cos 3π .
2
8
5
8
8
5
у
10
1 . 2 Построим графики функций у= sin 2x и 1 у= − на данном отрезке. Эти графики пересекаются в шести точках, 2 абсциссы которых являются корнями уравнения sin 2x = − 1 . На отрезке 2 7π 11π [0; π] имеем два решения: х1= ; х2= . 12 12
727. 1) sin 2x = −
204
www.5balls.ru
Период функции у= sin 2х равен π, поэтому так же будет решением х= 7π + πn и х= 11π +πk; 12 12
n, k ∈Z.
Согласно графику имеем следующие решения: 13π 5π π ; ; х= − 17π ; − − − ; 12 12 12 12
7π ; 12
у
2) sin 3x = 3 .
11π . 12
2
Постройте графики функций у= sin 3x и у= 3 на данном отрезке. Эти гра2
фики пересекаются в восьми точках. Период функции у= sin 3x равен отрезке [0,
π 2π 2π ] имеем два решения: 3х= и 3х= ; 3 3 3
Согласно графику, учитывая период х= −
11π ; 9 8π 9
−
10π ; 9
−
5π ; 9
−
х=
2π . На 3
π 2π и х= . 9 9
2π , получаем все решения: 3
4π ; 9
π ; 9
2π ; 9
у
7π ; 9
205
www.5balls.ru
728. 1) sin 2x ≥ −
1 . 2
Построив графики у= sin 2x и у= − 1 , видим, что график функции 2
у=sin 2x лежит выше графика функции у= − 1
на промежутках
2
17π 3π − 2 ; − 12 ;
5π 13π − 12 ; − 12 ; Значит, − 3π ≤ x ≤ − 17π , 2 12
7π 11π π . − 12 ; 12 ; 12 ; π 7 π , 11π 13π 5π , π − ≤x≤ − ≤x≤− ≤ x ≤π. 12 12 12 12 12 у
2) sin 3x < 3 . 2
Построив графики у=sin 3x и у= 3 , видим, что график функции у=sin 3x 2
лежит ниже графика функции у= 3 на промежутках: 2 5π 4π π 2π 7π 8π , значит, 3π 11π 10π − 2 ; − 9 ; − 9 ; − 9 ; − 9 ; 9 ; 9 ; 9 ; 9 ; π π 2π 7 π 8π 3π 11π , 10π 5π , 4π , < x ≤ π. − ≤x<− − <x<− − <x< , <x< 2 9 9 9 9 9 9 9 9 729. у=1–sin x; 1) область определения — множество R всех действительных чисел; 2. множество значений — [0; 2]; 3. функция у=1–sin x периодическая, Т=2π; 4. функция у=1–sin x не нечетная и не четная; 5. функция у=1–sin x принимает: значение, равное 0, при х= π +2πn, n∈Z; 2
y
наименьшее значение, равное 0, при х= π +2πn, n∈Z;
2 3π наибольшее значение, равное 2, при х= +2πn, n∈Z; 2
положительные значения на всей области определения; отрицательных значений не принимает; возрастает на отрезках [ π +2πn; 3π +2πn], n∈Z;
2 2 π π убывает на отрезках [– +2πn; +2πn], n∈Z. 2 2
2) у = 2 + sin x;
y
205
www.5balls.ru
1. область определения — множество R всех действительных чисел 2. множество значений – [1; 3]; 3. функция у = 2 + sinx периоди-ческая, Т = 2π; 4. функция у = 2 + sinx не нечетная и не четная 5. функция у = 2 + sin x принимает: значение, равное 0, не принимает; наименьшее значение, равное 1, при х= – π +2πn, n∈Z;
2 π наибольшее значение, равное 3, при х= +2πn, n∈Z; 2
положительна на всей области определения; отрицательных значений не принимает; возрастает на отрезке [– π +2πn; π +2πn], n∈Z;
2
2
убывает на отрезке [ π +2πn; 3π +2πn], n∈Z. 2 2 3) у=sin 3x; 1. область определения — множество R всех действительных чисел; 2. множество значений — [–1; 1]; 3. функция у=sin 3x периодическая, Т=
y
2π ; 3 4. функция у=sin 3x нечетная; 5. функция у=sin 3x принимает: значение, равное 0, при х= nπ , n∈Z; 3
наибольшее значение, равное 1, при х= π + 2πn , n∈Z; 6
3 π 2πn наименьшее значение, равное –1, при х= – + , n∈Z; 6 3 положительные значения на отрезках 2πn ; π + 2πn , n∈Z; 3 3 3
отрицательные значения на отрезках π + 2πn ; 2π + 2πn , n∈Z; возрастает на отрезках − π + 2πn ; 3 6 π 2πn π убывает на отрезке + ; + 3 2 6
3 3 3 π 2πn , n∈Z; + 6 3
3
2πn , n∈Z. 3
4) у = 2sin x; 1. область определения — множество R всех действительных чисел; 2. множество значений — [–2; 2]; 206
www.5balls.ru
y
3. функция у = 2sin x периодическая, Т=2π; 4. функция у=2sin x нечетная; 5. функция у=2sin x принимает: значение, равное 0, при х=πn, n∈Z; наибольшее значение, равное 2, при х= π +2πn, n∈Z; 2 наименьшее значение, равное –2, при х= – π +2πn, n∈Z; 2 положительные значения на отрезках [2πn; π+2πn], n∈Z; отрицательные значения на отрезках [–π+2πn, 2πn], n∈Z; возрастает на отрезках [– π +2πn; π +2πn], n∈Z; 2 2 убывает на отрезках [ π +2πn; 3π +2πn], n∈Z. 2 2 730. 1) множество значений [0; 1]; 2) множество значений − 2 ;
731. 1)
2
2 . 2
2)
732. I=A sin (ωt+ϕ); π 1) A=2; ω=1; ϕ= ; I=2 sin (t + π ) ; 4 4 π π 2) A=1; ω=2; ϕ= ; I= sin (2t + ) . 3 3 733. 1) tg x =0 при х=πn, n∈Z;
2) tg x >0 при х∈[πn;
I
I
π +πn], n∈Z; 2
π +πn; πn], n∈Z. 2 734. 1) возрастает; 3) возрастает; 2) возрастает; 4) возрастает. π π π π π π 735. 1) tg x возрастает на [0; ) и 0< < < , следовательно, tg >tg ; 2 5 7 7 5 2 π π 7π 63π 64π 8π 2) tg x возрастает на ( ; π] и < = < = < π следовательно, 2 2 8 8⋅9 8⋅9 9 7π tg > tg 8π ; 9 8 π 3) tg x возрастает на [–π;– ) и 2
3) tg x <0 при х∈[–
207
www.5balls.ru
–π< − 8π = − 64π < − 63π = − 7π < − π 9 8⋅9 8⋅9 8 2
следовательно,
tg − 7 π > 8
tg − 8π ;
9
4) tg x возрастает на (–
π ; 0] и − π < − π < − π < 0 следовательно, 2 2 5 7
tg − π
5) tg x возрастает на (
Аналогично 1) строим графики у=tg x и у= 3 . Имеем три пересечения на заданном промежутке. π Зная, одно решение х= и учитывая периодичность, 3 2 π π 4π . находим решения: х= − ; ; 3 3 3
3) tg x = – 3 . Строим графики у=tg x и у= – 3 . Имеем три пересечения на заданном промежутке. Зная одно π и учитывая периодичность, находим решение х= – 3 решения: х= − π ; 2π ; 5π . 3 3 3
208
www.5balls.ru
4) tg x = –1. Строим графики у=tg x и у= –1. Имеем три пересечения на заданном промежутке. Зная, одно π решение х= – и учитывая периодичность, находим 4 решения: х= − π ; 3π ; 7π . 4 4 4 737. 1) tg x ≥1. Строим графики у=tg x и у=1. Находим решения tg x =1. Они и будут являться точками пересечения. График у=tg x лежит выше у=1 на промежутках π π π 5π 3π . Значит, решением нера 3π − 2 ; − 2 , 4 ; 2 , 4 ; 2 венства будут эти промежутки: −
3π π ≤x<− , 2 2
π π ≤x< , 4 2
5π 3π . ≤x< 4 2
2) tg x < 3 . 3
Строим графики у=tg x и у= 3 . По алгоритму за3
дачи 736 находим решения уравнения tg x = 3 ; 3
х= − 5π ; π ; 7π . График у=tg x лежит ниже у= 3 на 6 6 6 3 5 7 3 π π π π π π промежутках − π; − , − ; , ; , ; 2π . Значит, решением 6 2 6 2 6 2 неравенства будут следующие промежутки. 5π 7π 3π π π π , <x< < x ≤ 2π . −π≤ x < − , − < x < , 6 2 6 2 6 2 3) tg x <–1. Решение tg x = –1 приведено в № 736. График у=tg x лежит ниже у= –1 на промежутках π π 3π 3π 7π , π значит, решением − ; − , ; , ; 4 2 4 2 4 2 неравенства будут следующие промежутки: π π π 3π 3π 7π . − <x<− , <x< <x< , 2 4 2 4 2 4 4) tg x ≥ − 3 .
209
www.5balls.ru
Решение tg x = – 3 см. № 736. График у = tg x лежит выше у=– 3 на промежутках: π π π 2π 3π 5π , значит, реше-нием неравенства −π; − 2 , − 3 ; 2 , 3 ; 2 , 3 ; 2π
будут следующие промежутки: π −π ≤ x < − , 2
−
π π ≤x< , 3 2
2π 3π ≤x< , 3 2
5π ≤ x ≤ 2π . 3
738. 1) tg x <1. Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π . Очевидно, что ре 2 2 шением этого неравенства будет промежуток − π ; π . Учитывая периодич
2
4
π π ность функции tg x, имеем общее решение: х∈ (− + πn; + πn) , n∈Z. 2 4 2) tg x ≥
3.
Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π . Очевидно, что 2 2 решением этого неравенства будет промежуток π ; π . Учитывая перио3 2 дичность функции tg x, имеем общее решение: х∈ π + πn; π + πn , n∈Z. 3
3) tg x ≤ −
2
3 . 3
Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π . Очевидно, что ре 2 2 шением этого неравенства будет промежуток − π ; − π . Учитывая перио-
6 2 дичность функции tg x, имеем общее решение: х∈ − π + πn; − π + πn , n∈Z. 6 2
4) tg x >–1. Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π . Очевидно, что ре 2 2 шением этого неравенства будет промежуток − π ; π . Учитывая периодич-
4 2 ность функции tg x, имеем общее решение: х∈ − π + πn; π + πn , n∈Z. 2 4
739. 1) tg x =3. Построим графики у=tg x и у=3. Имеем три точки пересечения. Одно решение очевидно: х= arctg 3. Из пе210
www.5balls.ru
риодичности функции получим остальные решения: х= arctg 3 +πn, n=0,1,2.
2) tg x = –2. Рассуждения, аналогичные рассуждениям в п.1, приведут к ответу:х= arctg (–2) +πn, n=1,2,3.
740. 1) tg x > 4. Рассмотрим это неравенство на промежутке π π . Решение х∈ (arctg 4, π ). Из периодичности получили: х∈ (arctg − 2 ; 2 2 π 4+πn, +πn), n∈Z. 2 2) tg x < 5. Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π . 2 2 π π Решение х∈ (– ; arctg 5]. Общее решение: х∈ (– +πn, arctg 5+πn], n∈Z. 2 2 3) tg x < –4. Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π . 2 2 π Решение х∈ (– ; arctg (–4)). 2 π Общее решение: х∈ (– +πn, –arctg 4+πn], n∈Z. 2 4) tg x ≥ –5. Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π . 2 2 Решение х∈ [–arctg 5;
π π ). Общее решение: х∈ [ –arctg 5+πn; +πn), n∈Z. 2 2
741. 1) tg x≥3. Построив графики у=tg x и у=3, найдем решения tg x =3 на этом промежутке: х=arctg 3, arctg 3+π, arctg 3+2π. График у=tg x лежит выше у=3 на промежутках
211
www.5balls.ru
arctg 3≤x<
π 5π , arctg 3+π≤x< 3π , arctg 3+2π≤x< . 2 2 2 2) tg x<4. Построив графики у=tg x и у=4, найдем решения tg x =4 на этом промежутке: х=arctg 4, arctg 4+π, arctg 4+2π.. График у=tg x лежит ниже у=4 на промежутках π π <x<arctg 4+π , <x<arctg 4+2π, 0≤x< arctg 4, 2 2 5π <x≤3π. 2
3) tg x≤ –4. Решим уравнение tg x = –4 с учетом, что х∈[0; 3π]: х= –arctg 4+π, –arctg 4+2π, –arctg 4+3π. График у=tg x лежит ниже у= –4 на промежутках π <x≤–arctg 4+π , 3π <x≤–arctg 4+2π, 2 2 5π <x≤–arctg 4+3π. 2 4) tg x> –3. Решим уравнение tg x = –3 с учетом, что х∈[0; 3π]: х= –arctg 3+πn, n=1,2,3. График у=tg x лежит выше у= –3 на промежутках π 5π , 0≤x< , –arctg 3+π <x< 3π , –arctg 3+2π<x< 2 2 2 arctg 3+3π<x≤3π. 742. 1) tg 2х= 3 . Построим графики у=tg 2x и у= 3 . Пересечение состоит из трех точек, значит, три решения. Одно π очевидно — х= . Учитывая периодичность, которая в 6 π данном случае равна T= , получили х= – π , π , 2π . 3 6 3 2 2) tg 3х= –1. Построим графики у=tg 3x и у= –1. Пересечение — пять точек. Одно решение очевидно: х= – π . Учитывая 12 период π , получаем: 3
х= – 5π , π , π , 7π , 11π . 12 12 4 12 12 212
www.5balls.ru
743. 1) tg 2x ≤1.
Решение уравнения tg 2x =1 будет: х= – 3π , π , 5π . График у=tg 2x ле8 8 8 жит ниже у=1 на промежутках − π ;− 3π , − π ; π , π ; 5π , 3π ; π . 2
8 4 8 4
8 4
2) tg 3x <– 3 . Решением уравнения tg 3x = –
3 будет: х= − 4π , − π , 2π , 5π , 8π . 9
9
График у=tg 3x лежит ниже у= – 3 на промежутках π 4π π π π 2π π 5π − <x<− , − <x<− , <x< , <x< , 2 9 6 9 6 9 2 9 π 744. 1) у=tg (х+ ). 4 1. Область определения — все действительные числа, исключая π точки +πn, n∈Z; 4 2. множество значений — (–∞; +∞); π 3. функция у= tg (х+ ) периодична T=π; 4
9
9
9
5π 8π . <x< 6 9
4. функция у= tg (х+ π ) не обладает четностью–нечетностью; 4 π 5. функция у= tg (х+ ) принимает: 4 π значение 0 при х= – +πn, n∈Z; 4
π π +πn, +πn), n∈Z; 4 4 π 3π отрицательные значения на промежутках ( +πn, +πn), n∈Z; 4 4 π возрастает на (– 3π +πn, +πn), n∈Z. 4 4
положительные значения на промежутках (–
2) у=tg х . 2
1. Область определения — все действительные числа, исключая точки π+2πn, n∈Z 2. множество значений — (–∞; +∞) 3. функция у= tg х периодична T=2π 2 x 4. функция у= tg нечетна 2
213
www.5balls.ru
5. функция у= tg x принимает: 2
значение 0 при х=2πn, n∈Z; положительные значения при х∈(2πn, π+2πn), n∈Z; отрицательные значения при х∈(–π+2πn, 2πn), n∈Z; возрастает на (–π+2πn, π+2πn) , n∈Z. 745. 1) [–1; 3 ]; 3) (–∞; 0)∪(0; +∞); 746. 1)
2) (–1; +∞); 4) (–∞; –1)∪(1; +∞). 2)
3)
4)
y = tg ⋅ ctqx
y = ctqx
y=
747. 1)
1 ctq
2) Y
Y
748. 1)
2) y = sin ⋅ ctqx
y = tg(3x– π ) 4
y = ctg(3(x + π )) 6
749. 1) tg 2х <1. Построим график функции tg 2х=у и у=1 на промежутке − π ; π . Видим, две точки 2 2
214
www.5balls.ru
пересечения с абсциссами
π π и – . График у= tg 2х лежит ниже у=1 на 4 4
промежутке − π ; π . Значит, в общем случае решение неравенства — 4 4 промежутки (− π + πn; π + πn) , n∈Z. 4
4
2) tg2 x ≥3. На том же графике построим у=3. Опять на промежутке − π ; π видим, две точки 2 2 π π пересечения с абсциссами – и и график 3 3 у= tg2 x лежит выше у=3 на промежутках − π ; − π и π ; π . Общее ре 2 3 3 2 шение − π + πn; − π + πn и π + πn; π + π , n∈Z. 3 2 2 3 3) ctg x≥–1. Построим графики у=ctg x и у= –1. Рассмотрим промежуток [0,π]. Имеем на нем одно пересечение х= 3π и график у= ctg x лежит выше у= –1 на 4
промежутке (0; 3π ]. Общее решение (πn; 3π +πn], 4
4
n∈Z. 4) ctg x > 3 На том же графике построим у= 3 . На промежутке π [0;π] имеем одно пересечение х= и график функции 6 π у= ctg x лежит выше у= 3 на промежутке (0; ) и 6 π общее решение: (πn, +πn), n∈Z. 6 750. 1) 1 < 2 , 3
1 2 < ; 3 5
10
5 6 < . 15 15
Функция у=arcsin х возрастающая, значит, arcsin 1 <arcsin 3
2) − 2 > − 3 ; 3 4
−
2 10
.
8 9 >− . 12 12
Функция у=arcsin х возрастающая, значит, arcsin −
2 >arcsin − 3 . 3 4
215
www.5balls.ru
751. 1) 1 > 1 . 3 5 Т.к. функция у=arccos х убывающая, то arccos 1 <arccos 1 . 5 3 4 1 12 5 2) − < − , т.к. − < − . 5 3 15 12 Т.к. функция у=arccos х убывающая, то arccos − 4 >arccos − 1 . 3 5 752. 1) 2 3 <3 2 , т.к. 12<18. Т.к. функция у=arctg х возрастающая, то arctg 2 3 <arctg 3 2 . 2) − 1 < − 1 . 2
5
Т.к. функция у=arctg х возрастает, то arctg − 1 <arctg − 1 . 5 2 π π π π π 1 753. 1) arcsin (2–3х)= ; ∈ − ; , следовательно, 2–3х=sin; = ; 6 6 2 2 6 2 1 1 2–3х= х= . 2 2 π π π π π 2 2) arcsin (3–2х)= ; ; ∈ − ; , следовательно, 3–2х=sin = 2 4 4 2 2 4
2 ; х= 6 − 2 . 2 4 π π x−2 3) arcsin = – ; – ∈ − π ; π , следовательно, по определению 4 4 4 2 2
3–2х=
x−2 =sin 4
2; π − = − 2 4
x−2 2 ; х= 2 − 2 2 . =− 4 2
π π π 4) arcsin x + 3 = − π ; – ∈ − ; , следовательно, по определению 2 3 3 2 2 3; x+3 π = sin − = − 2 2 3
754. 1) arccos (2х+3)= 2х+3=cos
π 1 = ; 3 2
2) arccos (3х+1)= 3х+1 =cos
π =0; 2
π ; 2
x +3 3 ; х= − 3 − 3 . =− 2 2
π π ; ∈[0;π], следовательно, по определению 3 3 1 5 2х+3= ; х= − . 2 4 π ∈[0;π], следовательно, по определению 2 3х+1=0; х= − 1 . 3
216
www.5balls.ru
3) arccos x + 1 = 2π ;
3 3 x +1 2π 1 = cos =− ; 3 3 2 2x − 1 =π; 4) arccos 3
π π π 1− x π ∈ − ; , следовательно, по определению = ; 4 3 3 2 2
π 1− x = tg = 3 ; 4 3
2) arctg 1 + 2x = π ; 3 4 π 1 + 2x = tg = 1; 3 4
3) arctg (2х+1)= – 2х+1=tg −
π∈[0;π], следовательно, по определению 2x − 1 = –1; х= –1. 3
2x − 1 =cos π= –1; 3
755. 1) arctg
2π ∈[0;π], следовательно, по определению 3 5 x+3 1 = − ; х= − . 2 2 2
1− x = 3 ; х= 1− 4 3 . 4 π π π ∈ − ; , следовательно, по определению 4 2 2 1 + 2x = 1; х=1. 3
π ; – π ∈ − π ; π , следовательно, по определению 3 3 2 2
π =– 3 ; 3
2х+1= – 3 х= − 3 − 1 .
2 π π π π 4) arctg (2–3х)= – ; – ∈ − ; , следовательно, по определению 4 4 2 2 2–3х= –1; х=1. 2–3х=tg − π = –1; 4
756. 1) –1≤ x − 3 ≤ 1, следовательно, 1≤х≤5. 2
2) –1≤2–3х≤1, следовательно, 1≥x≥ 3) –1≤х2 x –3≤1; 2 4) –1≤ 2x − 5 ≤ 1; 3
1 . 3
1≤ x ≤2; 2
1≤х ≤4
1≤х≤4. 1≤ x ≤ 2 −2 ≤ x ≤ −1 .
757. Проведем параллельный перенос графика у=arccos х на у так, чтобы совпала точка (0, f(x)=arccos х–
π вниз по оси 2
π ) с точкой (0,0). Теперь он имеет вид 2
π 2
217
www.5balls.ru
Рассмотрим f(–x), учитывая, что arccos х + arccos (–х)=π,получим f(–x) = π π π π =arccos (–х)– =π–arccos х – = –arccos х= –(arccos х– )= –f(x). Следова2 2 2 2 π тельно, это функция нечетна и симметрична относительно точки (0, ). 2 758. 1) у=sin x +cos x. Область определения — множество действительных чисел. 2) у=sin x + tg x. Область определения — множество действительных π чисел, исключая точки +πn, n∈Z. 2 3) у = sin x . Область определения — х∈[2πn; π+2πn], n∈Z. π π 4) y = cos x . Область определения — х∈[– +2πn, +2πn], n∈Z. 2 2 5) y =
2x ; 2sin x ≠1. Область определения — множество действи2sin x − 1
тельных чисел, исключая точки 6) y=
cos x 2sin 2 x − sin x
π 5π +2πn, и +2πn, n∈Z. 6 6
sin x (2sin x –1) ≠0;
;
sin x ≠ 0 . 2sin x ≠ 0
Область определения — множество действительных чисел, исключая π 5π +2πn, πn, n∈Z. точки +2πn, и 6 6 759. 1) у=1–2sin2 x; sin x ∈[–1;1]; sin2 x∈[0;1]; 2sin2 x∈[0;2]; 1–2sin2 x∈[–1;1]; 2) y=2cos2 x –1; cos2 x∈[0;1]; 2cos2 x∈[0;2]; 2cos2 x –1∈[–1;1]; 3) у=3– 2sin2 x; 2sin2 x∈[0;2]; 3– 2sin2 x∈[1;3]; 4) y=2cos2 x +5; 2cos2 x∈[0;2]; 2cos2 x +5∈[5;7]; 5) y=cos 3x sin x –sin 3x cos x +4; у=sin (х–3х)+4=4–sin 2x; sin 2x∈[–1;1]; 4–sin 2x ∈[3; 5]; 6) y=cos 2x cos x + sin 2x sin x –3; у=cos (2х–x)–3=cos x –3; cos x ∈[–1;1]; cos x –3∈[–4;–2]. 760. 1) y=x2+ cos x; у(–х)=(–х)2+cos(–х)=х2+cos x = у(х) — четная; 2) у=х3–sin x4 у(–х)=(–х)3–sin (–х) = –х3+sin x = –( х3–sin x)= –у(х) — функция нечетная; 3) у=(1–х2)cos x; у(–х)=(1–(–х2))cos (–х)= (1–х2)cos x=у(х) — четная; 4) у=(1+sin x)sin x; у(–х)=(1+sin (–х))⋅sin (–х)=(1–sin x )⋅(–sin x ); Не является четной и нечетной. 761. 1) у=cos 7x. Период функции у=cos 7x T=2π; cos (7х+2π)=cos 7x = cos 7(x+Т1); 7х+2π=7х+7Т1;
2π=7 Т1;
Т1= 2π . 7
218
www.5balls.ru
2) у=sin x . 7
Период функции у=sin t T=2π; sin ( x +2π)= sin x =sin x + Т1 ; 7
7
2π= Т1 ; T1=14π.
x +2π= x + Т1 ; 7 7 7
7
7
762. 1) 2cos x + 3 =0; cos x = – 3 .
у
2
Построим графики у=cos x и у= – 3 . Рассмотрим 2
их пересечения на промежутке[0;3π]. Точек пересечения три. Два решения 5π 7π . и 6 6 х= 5π , 7 π , 17 π . 6 6 6
очевидны:
3 –sin x =sin x;
2)
Учитывая
периодичность,
получаем
ответ: у
2sin x = 3 ; sin x = 3 . 2
Рассмотрим пересечение графиков у=sin x и у= 3 на промежутке [0; 3π]. 2
Имеем четыре пересечения. Два очевидны и два — из периодичности: х= π ; 2π ; 7π ; 8π . 3
3
3
3
tg x = 3 .
3) 3tg x = 3 ;
3
Рассмотрим пересечение графиков у= tg x и у = 3 на 3
промежутке [0; 3π]. Имеем три пересечения. Одно очевидно, остальные — из периодичности: х= π ; 4π ; 7 π . 3
4) cos x +1=0; у
3
3
cos x = –1. Рассмотрим пересечение графиков у=cos x и у=–1 на промежутке [0; 3π]. Имеем два пересечения. Одно очевидно, остальные — из периодичности:
х=π, 3π. 763. 1) 1+2cos x ≥0;
cos x ≥– 1 . 2
Найдем решение уравнения cos x = – 1 на промежутке [–2π; –π]: х= – 4π .
3 4π 1 ]. На этом промежутке график у=cos x лежит выше у= – при х∈[–2π; – 3 2 2) 1–2sin x <0; sin x > 1 . 2 2
219
www.5balls.ru
Найдем решение уравнения x= 1 на промежутке [–2π; –π]. х= − 11π ; − 7 π .
2 6 1 π π 11 7 График функции у= sin x выше у= на промежутке х∈ − ; − . 2 6 6
6
3) 2+tg x >0; tg x >–2. Рассмотрим решение уравнения tg x = –2 на промежутке [–2π; –π]: х= –arctg 2–π. График у=tg х лежит выше у= –2 на этом промежутке при х∈[–2π; – 3π )∪(–arctg 2–π; –π]. 2
tg x ≥ 1 .
4) 1–2tg x ≤0;
2
Рассмотрим решение уравнения tg x = 1 на промежутке [–2π; –π]:
2 1 х=arctg –2π. График у=tg х лежит выше у= 1 на этом промежутке при 2 2 х∈[arctg 1 –2π; – 3π ). 2 2 764. 1) cos x = х2 — два решения; 2) sin x = х — три решения; 2
y = sinx
765. 1) у=tg (2x + π ). 6
Все действительные числа, исключая 2х+ π = π +πn, n∈Z; 6
2x= π +πn; 3
2
x= π + πn , n∈Z; 6
2
x ≠ π + πn, n ∈ Z 2) y= tg x ; . 2 tg x ≥ 0 Область определения — х∈[πn; π +πn], n∈Z. 2
766. 1) y=cos4 x –sin4 x; cos4 x ∈[0;1]; max (cos4)=1, min (cos4)=0; sin4 x ∈[0;1]; (–sin4 x)∈[–1; 0]; max (–sin4 x)=0, min(–sin4 x)= –1; max y=1+0=1; min y=1+(–1)= –1;
220
www.5balls.ru
2) y=sin (x+ π )sin(x– π )=(sin x ⋅ 2 +cos x ⋅ 2 )⋅(sin x ⋅ 2 – cos x ⋅ 2 ) = 4
4
2
2
2
2
= 1 (sin2x– cos2x); 2
max (sin2x)=1, т.к. sin2x∈[0,1]; max (–cos2x)=0, т.к. cos2x∈[–1;0]; max y= 1 (1+0)= 1 ; 2
min(sin2x)=0; min (–cos2x)= –1;
min y= 1 (0+(–1))= – 1 ;
2
2
2
3) y=1–2|sin 3x|; sin 3x ∈[–1;1]; |sin 3x|∈[0; 1]; 2|sin 3x|∈[0; 2]; –2|sin 3x|∈[–2; 0]; max (–2|sin 3x|)=0 min (–2|sin 3x|)= –2; max y=1+0=1 min y=1+(–2)= –1; 4) y=sin2x–cos2x=1–3cos2x; cos2x∈[0; 1]; 3cos2x∈[0; 3]; – 3cos2x∈[–3; 0]; max(– 3cos2x)=0 min(– 3cos2x)= –3; max y=1+0=1 min y=1+(–3)= –2. 767. 1) y=sin x+tg x; y(–x)=sin(–x)+tg(–x)= –sin x–tg x= –(sin x+tg x)= –y(x) — нечетная; 2) y=sin x⋅tg x; y(–x)=sin(–x)⋅tg(–x)=(–sin x)⋅(–tg x)=sin x⋅tg x= y(x) — четная; 3) y=sin x |cos x|; y(–x)=sin(–x)⋅ |cos (–x)|= –sin x ⋅|cos x|= –(sin x⋅|cos x|)= –y(x) — нечетная. 768. 1) y=2sin (2x+1). Период функци у=sin x; T=2π; sin((2x+1)+2π)=sin(2x+1)=sin(2(x+T1)+1); 2x+1+2π=2x+2T1+1; T1=π; 2) y=3tg 1 (x+1). 4
Период функции у=tg x; T=π;
tg 1 x + 1 + π =tg( 1 x+ 1 )=tg 1 (x+T1+1); 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 x+ +π= x+ T1+ T1=4π. 4 4 4 4 4
769. 1)
2)
Y
Y
y = [x]
y = cosx
y = –|x+1|
770. 1) у=cos2 x –cos x =cos x (cos x –1); либо cos x =0;
х= π +πn, n∈Z; 2
cos x (cos x –1)=0;
либо cos x =1;
х=2πn, n∈Z;
2) y = cos x –cos2x –sin 3x = 2sin 3х sin х –2sin 3х cos 3х = 2
2
2
2
221
www.5balls.ru
либо sin 3x =0; 2 2 2 2 x 3x 2 x= πn, n∈Z; либо sin – cos =0, 3 2 2 x π 3 x тогда sin –sin − =2cos π − 2 x sin 4 x − π =0; 2 4 4 2 2
3x =πn; 2
=2sin 3х (sin х – – cos 3х )=0;
либо cos x π − х =0; 4 2
x= π –4πn, n∈Z; 2
π х − =2πn, n∈Z; 4 2 либо sin(x– π )=0; 4
х π 2πn; = − 2 4 x– π =πn; x= π +πn, n∈Z. 4 4 Y
771. у=1,5–2sin2 х >0; 2
1,5–2sin2 х >0; 2
sin х < 3 ; − 2 4 х∈(– 2π +2πn; 3 2
3 <sin х < 3 . Соответственно графику имеем решение: 2 2 2 2π +2πn), n∈Z. 3
772. у=tg 2x–1; tg 2x–1<0; tg2x <1; Из графика видно, что у=tg2x лежит ниже у=–1 на промежутках х∈ − π + πn ; π + πn , n∈Z. 4
773. 1) y = 2sin(
x 2
2
+
π 3
8
2
2) )–2
2
y = cosx – cos x
774. 1) у=12sin x –5cos x =13⋅sin (x –ϕ);
ϕ=arccos 12 у∈[–13; 13]; 13
1 2) y=cos x – sin x=1– sin x –sin x=–( sin x+ ⋅2⋅sin x+ 1 ) + 5 ⋅ 5 –(sin x+ 1 )2; 2 2 4 5 4 2
2
2
2
–1≤у≤ 5 . 4
775. 1) sin x ≥cos x;
sin x –cos x≥0;
2 (sin x⋅ 2 –cos x⋅ 2 )≥0;
2 2 π π π π 5π 2 sin (x– )≥0; sin(x– )≥0; 2πn≤ x– ≤π+2πn +2πn≤х≤ +2πn,, n∈Z; 4 4 4 4 4 2) tg x>sinx; sin x –sin x>0; sin x (1 − cos x ) >0; tg x(1–cos x)>0 для tg x; cos x cos x
х 222
www.5balls.ru
–π − π 2
0
π 2
π
|cos x|<1;
1 − cos x ≥ 0
при х=2πn, n∈Z;
при х∈(0; π ) и (–π; – π )
; 1 − cos x = 0
значит, tg x (1–cos x )>0
2 2 π или в общем при 2πn <x< +2πn и –π+2πn<x<– π +2πn. 2 2
223
www.5balls.ru
