Домашняя работа по алгебре и началам анализа за 11 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа. 10-11 класс» под ред. А.Н...
10 downloads
373 Views
774KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Домашняя работа по алгебре и началам анализа за 11 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа. 10-11 класс» под ред. А.Н. Колмогорова, -М.: «Просвещение», 2000 г.
Оглавление ГЛАВА III. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ ___ 3 § 7. Первообразная ____________________________________ 3 26. Определение первообразной ________________________ 3 27. Основное свойство первообразной ___________________ 5 28. Три правила нахождения первообразных ______________ 8 § 8. Интеграл ________________________________________ 14 29. Площадь криволинейной трапеции __________________ 14 30. Формула Ньютона – Лейбница _____________________ 16 31. Применение интеграла ____________________________ 25
ГЛАВА IV. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ ___________ 31 § 9. Обобщение понятия степени _______________________ 31 32. Корень n-й степени и его свойства __________________ 31 33. Иррациональные уравнения ________________________ 40 34. Степень с рациональным показателем _______________ 46 § 10. Показательная и логарифмическая функции________ 53 35. Показательная функция ___________________________ 53 36. Решение показательных уравнений и неравенств ______ 61 37. Логарифмы и их свойства__________________________ 68 38. Логарифмическая функция_________________________ 74 39. Решение логарифмических уравнений и неравенств ____ 80 40. Понятие об обратной функции______________________ 92 § 11. Производная показательной и логарифмической функции ____________________________________________ 98 41. Производная показательной и логарифмической функции ___________________________________________________ 98 42. Производная логарифмической функции ____________ 104 43. Степенная функция ______________________________ 108 44. Понятие о дифференциальных уравнениях __________ 113
2
www.5balls.ru
ГЛАВА III. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ § 7. Первообразная 26. Определение первообразной 326. а) F(x) = x5 – первообразная для f(x) = 5x4 на R; б) F(x) = x-3 – первообразная для f(x) = -3x-4 на (0;∞); в) F(x) =
1 7 x – первообразная для f(x) = x6 на R; 7
г) F(x) = −
1 -6 x – первообразная для f(x) = x-7 на (0;∞). 6
327. а) F′(x) = -cosx ≠ cosx, F(x) = 3 – sinx на R; б) F′(x) = (5 – x4)′ = -4x3 для любого x∈R, таким образом F(x) = 5 – x4 является первообразной для f(x) = -4x3 на R; в) F`(x) = (cosx – 4)′ = -sinx для любого x∈R, таким образом F(x) = cosx – 4 является первообразной для f(x) = -sinx на R; г) F′(x) = (x-2 + 2)′ = −
2 x3
для любого x∈(0;∞), таким образом
F(x) = x2 + 2 не является первообразной для f(x) =
1 2x 3
на (0;∞).
328. а) F(x) = 3,5x + 10, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; б) F(x) = sinx + 3, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; в) F(x) = x2 + 2, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; г) F(x) = 8, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R. 329. а) F(x) = cosx + 4, т.к. F`(x) = f(x) для любого x∈R;
3
www.5balls.ru
б) F(x) = 3 –
1 2 x , т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; 2
в) F(x) = 4(5 – x), т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; г) F(x) = 1 – sinx, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R. 330. а) F′(x) = (sin2x)′ = 2sinxcosx = sin2x для любого x∈R, б) F′(x) =
1 1 (cos2x)′ = (-2)sin2x = -sin2x для любого x∈R, 2 2
в) F′(x) = (sin3x)′ = 3cos3x для любого x∈R;
x 2
′
1
г) F′(x) = 3 + tg =
2 cos 2
x 2
для любого x∈(-π;π).
331.
x 2
′
1 2
а) F′(x) = 2x + cos = 2 − sin
x = f ( x ) для любого x∈R. 2
Ответ: да, является.
′
x
б) F′(x) = 4 − x 2 = −
4 − x2
= f ( x ) для любого x∈(-2;2).
Ответ: да, является. ′ 1 2 =− для любого x∈(0;∞). 2 x3 x
в) F′(x) =
Ответ: нет, не является. ′ г) F′(x) = 4(x x ) = 4 x
3 2
′ 1 = 4 ⋅ 3 x 2 = 6 x = f ( x ) для любого x∈(0;∞). 2
Ответ: да, является. 332. а) F(x) =
1 2 x + 2x + 8, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; 2
б) F(x) = x + cos x + 2, т.к.
4
www.5balls.ru
2
f(x) = sin
x x − cos = 1 − sin x на R и F′(x) = 1 – sinx для любого x∈R; 2 2
в) F(x) = x – 12, т.к. f(x) = sin2x + cos2x = 1 на R и F′(x) = f(x) для любого x∈R; г) F(x) = x3 + x = 5, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R. 333. а) F1(x) = x2 + 7 и F2(x) = x2 + 13 – первообразные для f(x) = 2x на R; б) F1(x) = x + cosx + 12 и F2(x) = x + cosx – 1 – первообразные для f(x) = 1 – sinx на R; 1 3
1 3
в) F1(x) = x 3 + 3 и F2(x) = x 3 + 4 – первообразные для f(x) = x2 на R; г) F1(x) = sinx + 2x + 2 и F2(x) = sinx + 2x – 7 – первообразные для f(x) = cosx + 2 на R. 334. а) g(x) = − f′(x) = −
б) f(x) =
2 x3
1 1 – первообразная для f(x) = на (-∞;0) ∪ (0;∞), x x2
= h(x);
x2 – cosx – первообразная для h(x) = x + sinx на R, 2
h′(x) = 1 + cosx = g(x); в) h(x) =
x2 + 2 x – первообразная для g(x) = x + 2 на R, 2
g′(x) = 1 = f(x); г) g(x) = 3x + 2cosx – первообразная для f(x) = 3 – 2sinx на R, f′(x) = -2cosx = h(x). 27. Основное свойство первообразной 335. 1 5
a) f(x) = 2 – x4; F(x) = 2x – x 5 + C б) f(x) = x + cosx; F(x) = в) f(x) = 4x; F(x) = 2x2 + C
1 2 x + sin x + C 2
г) f(x) = -3; F(x) = -3x + C
5
www.5balls.ru
336. а) f(x) = x6; F(x) = 1
в) f(x) = 1 –
x4
1 7 x +C 7
F(x) = x +
б) f(x) = 1 3x 3
+C
1 x
− 2 ; F(x) = −
3
1 2x 2
− 2x + C
1 6
г) f(x) = x5; F(x) = x 6 + C
337. а) f(x) =
1 x
, F(x) = −
2
1 1 + C; F = −2 + C = −12, C = −10; x 2
F(x) = −
1 − 10 ; x
б) f(x) =
π , F( x ) = tgx + C; F = 1 + C = 0, C = −1; 4 cos x 1
2
F(x) = tgx – 1; в) f(x) = x3, F(x) = F( x ) =
x4 1 3 + C; F(−1) = + C = 2, C = 1 ; 4 4 4
3 1 4 x +1 ; 4 4
г) f(x) = sinx, F(x) = -cosx + C; F(-π) = 1 + C, C = -2; F(x) = -cos-2 – первообразная для f(x) = sinx; F(-π) = -1. 338. а) F′(x) = (sinx)′ - (xcosx)′ = cosx – cosx + xsinx = f(x); F(x) = sinx – xcosx + C – общая первообразная;
′
б) F′(x) = x 2 + 1 =
) ( )
(
1
− ′ 1 2 x +1 2 ⋅ x2 = 2
x 2
= f ( x );
x +1
F(x) = x 2 + 1 + C – общая первообразная; в) F′(x) = (cosx)′ + (xsinx)′ = -sinx + sinx + xcosx = xcosx = f(x); F(x) = cosx + xsinx + C – общая первообразная; 1 x
′
г) F′(x) = x ′ − = 1 +
1 x
2
=
1+ x2 x2
= f ( x );
6
www.5balls.ru
F( x ) = x −
1 + C - общая первообразная. x
339. π 2
а) f(x) = 2cosx, F(x) = 2sinx + C; F − = −2 + C = 1, C = 3; F(x) = 2sinx + 3 – искомая первообразная; 1 3
б) f(x) = 1 – x2, F(x) = x – x 3 + C; F(-3) = –3 + 9 + С = 6 + C = 9, C = 3; 1 3
F(x) = x – x 3 + 3 – искомая первообразная; π
π
2π
в) f(x) = sin x + , F( x ) = − cos x + + C; F = − cos π + C = 1 + C = −1, C = −2; 3 3 3 π 3
F(x) = -cos x + − 2 – искомая первообразная;
г) f(x) = F(x) = −
1 x4
, F( x ) = −
1 3x
3
+5
1 3x 3
2 8 1 + C; F = − + C = 3, C = 5 ; 3 3 2
2 – искомая первообразная; 3
340. а) f(x) = 2 – sinx, F1(x) = 2x + cosx и F2(x) = 2x + cosx + C; F2(x) – F1(x) = C = 4; F1(x) = 2x + cosx и F2(x) = 2x + cosx + 4 – две искомые первообразные; б) f(x) = 1 + tg2x =
1 cos 2 x
, F1 ( x ) = tgx + C и F2 ( x ) = tgx; F1(x) – F2(x) = C = 1;
F1(x) = tgx + 1 и F2 = tgx – две искомые первообразные; в) f(x) = sin 2
x x − cos 2 = − cos x , F1 ( x ) = − sin x и F2(x) = -sinx + C; 2 2
F2(x) – F1(x) = C =
1 ; 2
F1(x) = -sinx и F2(x) = -sinx + 0,5 – две искомые первообразные;
7
www.5balls.ru
г) f(x) =
1 x
, F1 ( x ) = 2 x и F2 ( x ) = 2 x + C; F2(x) – F1(x) = C = 2;
F1(x) = 2 x и F2 ( x ) = 2 x + 2 – две искомые первообразные. 341. а) a(t) = -2t, v(t) = -t2 + C1, x(t) = −
t3 + C1t + C 2 ; 3
v(1) = -1 + C1 = 2, C1 = 3; x(t) = −
1 1 t3 + 3t + C 2 , x(1) = − + 3 + C 2 = 4, C 2 = 1 ; 3 3 3
x(t) = −
t3 4 + 3t + ; 3 3
б) a(t) = sint, v(t) = -cost + C1, x(t) = -sint + C1t + C2; ′ π v = C1 = 1; 2 π 2
x(t) = -sint + t + C2, x = −1 + x(t) = -sint + t + 3 -
π π + C 2 = 2, C 2 = 3 − ; 2 2
π ; 2
в) a(t) = 6t, v(t) = 3t2 + C1, x(t) = t3 + C1t + C2; v(0) = C1 = 1; x(t) = t3 + t + C2, x(0) = C2 = 3; x(t) = t3 + t + 3; г) a(t) = cost, v(t) = sint + C1, x(t) = -cost + C1t + C2; v(π) = C1 = 0; x(t) = -cost + C2, x(π) = 1 + C2 = 1, C2 = 0; x(t) = -cost. 28. Три правила нахождения первообразных 342. а) f(x) = 2 – x3 +
1 x3
; поэтому
8
www.5balls.ru
F(x) = 2x –
x4 1 − + C – общий вид первообразных для f(x); 4 2x 2 2
б) f(x) = x – F(x) =
x5
+ cos x;
x2 1 + + sin x + C – общий вид первообразных для f(x); 2 2x 4 1
в) f(x) =
x2
− sin x;
1 + cos x + C – общий вид первообразных для f(x); x
F(x) = −
г) f(x) = 5x2 – 1; 5 3
F(x) = x 3 − x + C – общий вид первообразных для f(x). 343. а) f(x) = (2x – 3)5; 1 1 6 2
F(x) = ⋅ (2x − 3) 6 + C =
1 (2x − 3) 6 + C – общий вид первообразных 12
для f(x); б) f(x) = 3sin2x; 1 2
F(x) = ⋅ (−3) ⋅ cos 2x + C = −1,5 cos 2x + C – общий вид первообразных для f(x); в) f(x) = (4 – 5x)7; 1 1 5 8
F(x) = − ⋅ (4 − 5x ) 8 + C = −
1 (4 − 5x ) 8 + C – общий вид первообразных 40
для f(x); 1 3
x 3
π 4
x
π
г) f(x) = − cos − ; 1
x
π
F(x) = − ⋅ 3 ⋅ sin − + C = − sin − + C – общий вид 3 3 4 3 4
первообразных для f(x). 344.
9
www.5balls.ru
3
а) f(x) =
F(x) = −
(4 − 15x ) 4
;
1 1 ⋅ − 15 (4 − 15x )3
1 +C = + C – общий вид 15 ( 4 15x ) 3 −
первообразных для f(x); б) f(x) =
2 2 π
cos − x 3 π 3
;
F(x) = -2tg − x + C – общий вид первообразных для f(x); в) f(x) =
4 (3x − 1) 2
1
4
;
4
+C = − F(x) = ⋅ − + C – общий вид первообразных 3 (3x − 1) 3(3x − 1)
для f(x); г) f(x) = − F(x)=
1 2x 4
2 x
5
+
1 2
cos (3x − 1)
;
1 + tg(3x − 1) + C – общий вид первообразных для f(x). 3
345. а) f(x) = 4x +
1 x2
2
; F(x) = 2x –
1 + C – общая первообразная; x
F(-1) = 2 + 1 + C = 4, C = 1; F(x) = 2x2 – б) f(x) = x3 + 2; F(x)=
1 + 1 – искомая первообразная; x
x4 + 2 x + C – общая первообразная; 4
F(2) = 4 + 4 + C = 15, C = 7; F(x) =
x4 + 2 x + 7 – искомая первообразная; 4
в) f(x) = 1 – 2x; F(x) = x – x2 + C – общая первообразная; F(3) = 3 – 9 + C = 2, C = 8; F(x) = x – x2 + 8 – искомая первообразная;
10
www.5balls.ru
г) f(x) = F(1) = − F(x) = −
1 x
3
− 10 x 4 + 3; F(x) = −
1 2x 2
− 2 x 5 + 3x + C – общая первообразная;
1 1 – 2 + 3 + C = 5; С = 4 ; 2 2 1
− 2x 5 + 3x + 4,5 – искомая первообразная.
2x 2
346. π 3
а) f(x) = 1 – cos3x + 2sin − x ; π 3
1 3
F(x) = x – sin 3x + 2 cos − x + C – общая первообразная; б) f(x) =
1 sin 2 4 x
1
+
2−x
− 3x 2 ;
1 4
F(x) = − ctg 4x − 2 2 − x − x 3 + C – общая первообразная; в) f(x) =
2 2
cos (3x + 1)
− 3 sin( 4 − x ) + 2 x;
2 3
F(x) = tg (3x + 1) − 3 cos(4 − x ) + x 2 + C – общая первообразная; г) f(x) = F(x) =
1 (3 − 2 x ) 3 1
4(3 − 2 x ) 2
+
+
3 5x − 2
π − 2 cos − x ; 4
6 π 5x − 2 + 2 sin − x + C – общая первообразная. 5 4
347. а) f(x) = 2x + 1; F(x) = x2 + x + C – общая первообразная; F(0) = 0: C = 0; F(x) = x2 + x – искомая первообразная; б) f(x) = 3x2 – 2x; F(x) = x3 – x2 + C – общая первообразная F(1) = 4: 1 – 1 + C = 4, C = 4; F(x) = x3 – x2 + 4 – искомая первообразная; в) f(x) = x + 2; F(x) =
1 2 x + 2x + C – общая первообразная; 2
11
www.5balls.ru
F(1) = 3:
1 1 1 1 + 2 + C = 3, C = ; F(x) = x 2 + 2 x + – искомая первообразная; 2 2 2 2 3 2
1 3
г) f(x) = -x2 + 3x; F(x) = − x 3 + x 2 + C – общая первообразная; 1 3
8 3
F(2) = -1: − + 6 + C = −1, C = −4 ; 3 2
1 3
1 3
F(x) = − x 3 + x 2 − 4 – искомая первообразная. 348. v(t) = t2 + 2t – 1, т.к. v(t) x′(t), то x(t) =
t3 t3 + t 2 − t + C; x(0) = 0: C = 0; x(t) = + t 2 − t – искомая функция. 3 3
349. t 2
v(t) = 2cos ; x(t) = 4sin
t +C ; 2
π t π x = 4 : 4 sin + C = 4, 2 + С = 4, C = 2; x(t) = 4sin + 2 . 6 2 3
350. a(t) = 12t2 + 4; т.к. а(t) = v′(t), то v(t) = 4t3 + 4t + C1; v(1) = 10: 4 + 4 + C1 = 10; С1 = 2; v(t) = 4t3 + 4t + 2; x(t) = t4 + 2t2 + 2t + C2; x(1) = 12: 1 + 2 + 2 + C2 = 12, C2 = 7; x(t) = t4 + 2t2 + 2t + 7 – искомая функция. 351. а) F = ma, т.о. a(t) =
F( t ) 6 − 9 t 3 = = 2 − 3t; v(t) = 2t – t 2 + C1; m 3 2
v(1) = 2 –
3 +C1 = 4; C1 = 3,5; 2
x(t) = t2 −
t3 + 3,5t + C 2 ; x(1) = -5: 1 – 0,5 + 3,5 + C2 = -5, C = -9; 2
12
www.5balls.ru
x(t) = t2 −
t3 + 3,5t − 9 – искомая функция; 2
б) F = ma, т.о. a(t) =
F( t ) 14 sin t = = 2 sin t; v(t) = -2cost + C1; m 7
V(π) = 2 + C1 = 2,C1 = 0; v(t) = -2cost; x(t) = -2sint + C2; x(π) = C2 = 3; x(t) = -2sint + 3 – искомая функция. в) F= ma, т.о. a(t) =
F( t ) 25 cos t = = 5 cos t; m 5
π 2
v(t) = 5sint + C1; v = 5 + C1 = 2, C1 = −3; π 2
v(t) = 5sint – 3; x(t) = -5cost – 3t + C2; x = − x(t) = -5cost – 3t + 4 + г) F = ma, т.о. a(t)=
3π 3π + C 2 = 4, C 2 = 4 + ; 2 2
3π – искомая функция; 2
F( t ) 8t + 8 = = 2 t + 2; m 4
v(t)= t2 + 2t + C1; v(2) = 4 + 4 + C1 = 9, C1= 1; v(t) = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2; x(t) = x(t) =
(t + 1)3 + C 3
2;
x(2) = 9 + C2 = 7, C2 = -2;
(t + 1)3 − 2 – искомая функция. 3
352. а) f(x) = 3x2 – 2x + 4; F(x) = x3 – x2 + 4x + C – общая первообразная F1(-1) = 1: -1 – 1 – 4 + C1 = 1, C1 = 7; F1(x) = x3 – x2 + 4x + 7 – первая первообразная; F2(0) = 3: C2 = 3; F2(x) = x3 – x2 + 4x + 3 – вторая первообразная, F1(x) – F2(x) = 4 – следовательно график F1(x) расположен выше графика F2(x); б) f(x) = 4x – 6x2 + 1; F(x) = 2x2 – 2x3 + x + C – общая первообразная F1(0) = 2: C1 = 2; F1(x) = 2x2 – 2x3 + x + 2 – первая первообразная,
13
www.5balls.ru
F2(1) = 3: 2 – 2 + 1 + C2 = 3, C2 = 2; F2(x) = 2x2 – 2x3 + x + 2 – вторая первообразная т.к. F2(x) – F1(x) = 0 – отсюда следует, что графики F1(x) и F2(x) совпадают; в) f(x) = 4x – x3; F(x) = 2x2 −
x4 + C – общая первообразная; 4
F1(2) = 1: 2⋅4 – 4 + C1 = 1, C1 = -3; F1(x) = 2x2 −
x4 − 3 – первая первообразная; 4
F2(-2) = 3: 2⋅4 – 4 + C2 = 3, C2 = -1; F2(x) = 2x2 −
x4 − 1 – вторая первообразная; 4
F1(x) – F2(x) = -2 – таким образом график F1(x) расположен ниже графика F2(x); г) f(x) = (2x + 1)2; F(x) = F1(-3) = -1: − F1(x) =
(2x + 1)3 + C – общая первообразная; 6
5 125 + C1 = −1, C1 = 19 ; 6 6
(2 x + 1) 3 5 + 19 – первая первообразная; 6 6 5 1 1 27 + C2 = 6 , C2 = 1 ; 6 3 3 6
F2(1) = 6 : F2(x) =
(2 x + 1) 3 5 + 1 – вторая первообразная; 6 6
F1(x) – F2(x) = 18 – отсюда следует, что график F1(x) расположен выше графика F2(x).
§ 8. Интеграл 29. Площадь криволинейной трапеции 353. а) y(x) = x2; y(x) =
x3 33 ; S = y(3) – y(0) = = 9; 3 3
14
www.5balls.ru
б) y = cosx; y =sinx; π 2
π 2
S = y − y(0) = sin − sin 0 = 1; в) y = sinx; y(x) = –cosx; S = y(π) – y(0) = 1 + 1 = 2; г) y(x) = −
1 1 – первообразная для функции y = ; x x2
S = y(2) – y(1) = −
1 1 − (−1) = . 2 2
354. а) y(x) =
x4 3 + x - первообразная для функции y = x + 1; 4
S = y(2) – y(0) =
24 + 2 = 6; 4
б) y(x) = x – 2cosx – первообразная для функции y = 1 + 2sinx; π 2
S = y − y ( 0 ) = в) y(x) = 4x −
π π π − 2 cos + 2 cos 0 = + 2; 2 2 2
x3 – первообразная для функции y = 4 – x2; 3
y = 0 при x = ±2, поэтому S = y(2) – y(-2) = 2 ⋅ 4 ⋅ 2 −
1 2
23 3
= 10 2 ; 3 1 2
г) y(x) = x + sin x – первообразная для функции y = 1 + cos x; π 2
π 2
π 2
1 2
π 2
S = y − y − = 2 + sin = 1 + π. 355. а) y(x) =
( x + 2) 3 – первообразная для функции y = (x + 2)2; 3
y = 0 при x = 2; x = –2 при y = 4, поэтому S = y(0) – y(-2) =
23 8 2 = =2 ; 3 3 3
15
www.5balls.ru
б) y(x) = −
1 1 + x – первообразная для функции y = + 1; x +1 ( x + 1) 2
S = y(2) – y(0) = − в) y(x) = x2 −
2 1 + 2 +1 = 2 ; 3 2 +1
x3 – первообразная для функции y = 2x – x2; функция 3
y = 0 при x = 0, x = 2, поэтому S = y(2) – y(0) = 4 − г) y(x) = −
1 8 =1 ; 3 3
( x − 1) 4 – первообразная для функции y = -(x – 1)3; 4
ограничена на [0;1] → S = y(1) – y(0) =
(−1) 4 1 = . 4 4
356.
y = 3sin x +
3π 3π ; а) y(x) = -3cos x + ; 4 4
3π 3π 3π + 3 cos 0 = 3; = −3 cos − y − 2 4 4
S = y
y = 2cos2x; б) y(x) = sin2; S = y − y − = sin
π π − sin − = 2; 2 2
1 2
1 2
π 4
π 4
y = sin x − ; в) y(x) = -cosx − x ; π π π 5π 5π 5π π − + cos + = 3− ; − y = − cos 6 12 6 12 3 6 6
S = y
y = 1 – cosx; г) y(x) = x – sinx; π 2
π 2
S = y − y − =
π π π π − sin + + sin − = π − 2. 2 2 2 2
30. Формула Ньютона – Лейбница
16
www.5balls.ru
357. 2
x5 2
а) ∫ x 4 dx =
| =
5 −1
−1
3 32 1 33 + = =6 ; 5 5 5 5
π 2
π 2
0
0
б) ∫ cos xdx = sin x | = sin
π − sin 0 = 2
= 1 − 0 = 1; 3
x 4 3 81 1 80 |= − = = 20; 4 1 4 4 4
в) ∫ x 3dx = 1
г)
π 4
π 4
dx
π
∫ cos 2 x = tgx 0| = tg 4 − tg0 =
0
= 1 − 0 = 1.
358. 2
dx
а) ∫
1 ( 2 x + 1) π
2
=−
2 1 1 1 1 |= − = ; 2(2 x + 1) 1 6 10 15
x 2
б) ∫ 3 cos dx = 6 sin 0
10
в)
dx
∫ x2
=−
1
xπ π | = 6 sin − 6 sin 0 = 6 − 0 = 6; 20 2
1 10 1 | = − + 1 = 0,9; x 1 10
π 2
π
4
4
2 1 1 1 π 1 г) ∫ sin 2xdx = − cos 2x | = − cos π − cos = − (−1) = . 2 2 2 2 2 π π
359. π 4
π
π 4
1 1 4 dx 1 π а) ∫ = tgx | = tg = 1; ∫ dx = x | = 1; т.к. 1 = 1, то ∫ = ∫ dx; 2 2 4 0 0 0 cos x 0 0 0 cos x
dx
π 3
π 3
0
0
π 3
б) ∫ sin xdx = − cos x | = − cos + cos 0 = 1 − 1 4 dx
1 4
1 16
16
∫
1 1 = ; 2 2 π
1
3 4 dx 1 1 1 1 1 1 = , то ∫ sin xdx = ∫ =2 x | =2 −2 = 1 − = ; т.к. ; 2 2 4 16 2 2 x 1 1 x 0 16
17
www.5balls.ru
π 2
π 2
0
0
π
в) ∫ cos xdx = sin x | = sin − sin 0 = 1; 2 π 2
33
0
0
т.к. 1 = 1, то ∫ cos xdx = ∫ x 2 dx; 1
1
2
0
0
0
г) ∫ (2x + 1)dx = x 2 + x | = 2; ∫ ( x 3 − 1)dx = 1
2
0
0
∫ (2x + 1)dx = ∫ ( x
3
2 x4 − x | = 4 − 2 = 2; т.к. 2 = 2, то 4 0
− 1)dx.
360. а) SACODE = SACO + SOED = 2SOED т.к. функция y = x4 четная; 1
SACODE = 2 ∫ x 4 dx = 2 ⋅ 0
x5 1 2 |= ; 5 0 5
б) SAFEO = SACDE – SACOED = 2⋅– =
2 = 5
8 3 =1 ; 5 5
4
4
1 3
в) SAOCDЕ = ∫ ( x 2 − 4x + 5)dx = x 3 − 2x 2 + 5x | = 0
0
1 3
г) SAED = SAOCD – SAOCDE = 20 – 9 =
64 28 1 − 32 + 20 = =9 ; 3 3 3
32 2 = 10 . 3 3
18
www.5balls.ru
361. 1
а) SABO = ∫ (1 − x 3 )dx = x − 0
x4 1 1 3 | = 1− = ; 4 0 4 4
б) SABC = SADEC – SBDEC =2 – = ∫ (2 − x 3 )dx − 2 ⋅ 1 =2x −
1 1 +2– =4–2= 4 4
x4 1 | − 2 = 2; 4 −1
−1
x3
−1
в) S ABCD = ∫ (− x 2 − 4x )dx = − − 2x 2 | = 3 −3 −3 1 1 = − 2 + (−9 + 18) = 7 ; 3 3
г) S ABCDE = S ANMDE − S BNMC = −1
=
∫ (− x
2
− 4 x )dx − 2 = 7
−3
1 1 −2=5 ; 3 3
362. 2π
а)
x
x 2π
∫ sin 3 dx = −3 cos 3 −|π = −3 cos
−π
2π 1 π π − cos = 6 cos = 6 ⋅ = 3; 3 3 2 3
19
www.5balls.ru
2
б)
∫
−2
3π
в)
∫
2x + 5
dx
0 cos 6
г)
∫
−2
2
dx
2 x
= 2 x + 5 | = 9 − 1 = 2; −2
= 9tg
9
π x 3π | = 9 tg = 9 3 ; 9 0 3 6
dx x+3
= 2 x + 3 | = 2( 9 − 1) = 4. −2
363. 2π 3
2π
2π
2 3 x x x x 3 а) ∫ sin + cos dx = ∫ 1 + sin dx = x − 2 cos | = 4 4 2 2 0 0 0
2π 2π π 2π = − 2 cos + 2 cos 0 = −1+ 2 = + 1; 3 3 3 3 2
б) ∫ (1 + 2x ) 3 dx = 0
(1 + 2 x ) 4 2 5 4 1 624 − = = 78; |= 8 8 8 8 0
π 12
π
12 π 1 π π 1 1 в) ∫ (1 + cos 2x )dx = x + sin 2x | = + sin = + ; 2 12 2 6 12 4 0 0
4
г) ∫ x + 1
x x
2 4 dx = x + 2 x | = 16 + 2 4 − 1 − 2 = 19 = 9 1 . 2 2 2 2 2 1
364. а) S AED = S BECD − S ABCD = 2
= 1 ⋅ 8 − ∫ x 3dx = 8 − 1
1 3 x4 2 | = 8−3 = 4 ; 4 4 4 1
20
www.5balls.ru
б) S AED = S ABCDE − S ABCD = π 3
π
3 2π 2π = ∫ 2 cos xdx − 1 ⋅ = 2 sin x | − = 3 π 3 π −
−
3
3
2π ; =2 3− 3
в) x2 – 2x + 4 = 3, x2 – 2x + 1 = 0, (x – 1)2 = 0, x = 1; S ABE = S ACDE − S BCDE = 1
= ∫ ( x 2 − 2 x + 4)dx − 2 ⋅ 3 = −1
=
1 2 2 x3 − x 2 + 4x | − 6 = 8 − 6 = 2 ; 3 3 3 −1
г) S ADE = S ABCDE − S ABCD =
=
5π 6
1 5π π ∫ sin xdx − 2 ⋅ 6 − 6 = π 6 5π 6
= − cos x | − π 6
= 3−
π π 5π π = cos − cos − = 6 3 3 6
π . 3
21
www.5balls.ru
365. а) 4x – x2 = 4 – x; x2 – 5x + 4 = 0; x = 4; x= 1; S ADC = S ABCD − S ABC = 4
= ∫ (4x − x 2 )dx − 1
x3 4 9 3⋅3 =2 x 2 − |− = 3 1 2 2
9 9 1 9 64 = 32 − − 2 − − = 9 − = ; 2 2 3 2 3
б)
16 x2
3
= 2x ; x = 8; x = 2;
SOADC = SOAB + S ABCD = = 4−
2 ⋅ 4 4 16dx +∫ = 2 2 2 x
16 4 | = 4 − 4 + 8 = 8; x 2
S ADE = SOEC − SOADC =
4⋅8 − 8 = 8; 2
в) x2 = 2x при x = 0; 2. SOAB = SOAC − SOBAC =
=4−
2⋅4 2 2 − ∫ x dx = 2 0
1 8 4 x3 2 | = 4− = =1 ; 3 3 3 3 0
22
www.5balls.ru
г) 6 + x – x2 = 6 – 2x; x2 – 3x = 0; x = 0; x = 3. 3
S ABC = SOABC − S AOC = ∫ (6 + x − x 2 )dx − 0
3 ⋅ 6 x 2 x 3 3 9 9 − = 6x + − | − 9 = 18 + − 9 − 9 = . 2 2 3 0 2 2
366. а) x2 – 4x + 4 = 4 – x2 2x2 – 4x = 0; x2 – 2x = 0; x = 2; x = 0. 2
S ACBD = S AOBD − S AOBC = ∫ (4 − x 2 )dx − 0
2
2
0
0
− ∫ ( x 2 − 4 x + 4)dx = ∫ (4 x − 2 x 2 )dx = 2 x 2 −
=8−
2x 3 2 |= 3 0
2 16 8 = =2 . 3 3 3
б) x2 – 2x + 2 = 2 + 6x – x2 2x2 – 8x = 0; x2 – 4x = 0; x = 0; x = 4. S ABCE = SOABCD − SOAECD = = ∫ (8x − 2 x 2 )dx = 4 x 2 −
= 4 ⋅ 16 −
2x 3 4 |= 3 0
1 128 64 = = 21 . 3 3 3
23
www.5balls.ru
в) x2 = 2x – x2 x2 – x = 0; x = 0; x = 1. SOAB = SOABD − SOBD = 1
= ∫ (2x − 2x 2 )dx = x 2 − 0
2x 3 1 2 1 | = 1− = . 3 0 3 3
г) x2 = x3 x2(1 – x) = 0; x = 0; x = 1. 1
1
0
0
SOAB = SOAC − SOCAB = ∫ x 2 dx − ∫ x 3dx = 1 x3 x 4 1 1 1 | = − = 1 . = ∫ ( x 2 − x 3 )dx = − 3 4 0 3 4 12 0
367. y = 8x – 2x2; xв =
−8 = 2 ; yв = 16 – 8 = 8. −2
т.А(2;8). y′(x) = 8 – 4x, y′(2) = 0; y = y(2) + y′(2)(x – 2) = 8 – уравнение касательной 2
SODA = SODAC − SOAC = 2 ⋅ 8 − ∫ (8x − 2 x 2 )dx = 0
2x 3 2 2 ⋅8 1 = 16 − 4 x 2 − | = 16 − 16 + =5 . 3 0 3 3
368. f(x) = 8 – 0,5x2; f′(x) = -x, f′(-2) = 2; f(–2) = 6; f(x) = f(-2) + 2(x + 2) = 2x + 10 – уравнение касательной. f(1) = 2⋅1 + 10 = 12;
24
www.5balls.ru
SCDE = S FCDB − S FCEB = 3 ⋅ 6 +
1 6
3⋅ 6 1 0,5x 3 − ∫ (8 − 0,5x 2 )dx = 27 − 8x − 2 3 −2
1 | = −2
8 6
= 27 − 8 − + − 16 + = 28,5 − 24 = 4,5.
369. b
b
a
a
а) ∫ f ( x )dx = F(b) − F(a ) и ∫ g( x )dx = G (b) − G (a ), где F(x) и G(x) – первообразные на [a;b] для f(x) и g(x) соответственно; b
b
∫ (f (x ) + g(x ))dx = (F(x ) + G(x )) a| = F(b) + G (b) − F(a ) − G(a ) =
a
b
b
a
a
= [F(b) − F(a )] + [G (b) − G (a )] = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx; b
б) k ∫ f ( x )dx = k[F(b) − F(a )], где F(x) – первообразная для f(x) на [a;b]; a
b
b
b
a
a
a
∫ kf ( x )dx = [kf ( x )] | = k[F(b) − F(a )] = k ∫ f ( x )dx, где k – const. 31. Применение интеграла
370.
25
www.5balls.ru
1
1
x5
а) V( x ) = π∫ ( x 2 + 1) 2 dx = π∫ ( x 4 + 2x 2 + 1)dx = π 0
5
0
+
1 2x 3 + x | = 0 3
13 1 2 = π + + 1 = 1 π; 15 5 3 4
б) V( x ) = π ∫ ( x ) 2 dx = π ⋅ 1
1
в) V( x ) = π ∫ ( x ) 2 dx = π ⋅ 0
1 1 x2 4 | = π 8 − = 7 π; 2 2 2 1 x2 1 π |= ; 2 0 2
г) y = 1 – x2 = 0; x2 = 1; x = ±1; 1 1 2x 3 x 5 1 V( x ) = π ∫ (1 − x 2 ) 2 dx = π ∫ (1 − 2x 2 + x 4 )dx = π x − + | = 3 5 −1 −1 −1
= 2π ⋅
1 8 16π = = 1 π. 15 15 15
371. 1 3
1 3
а) V = Vконуса – V0, где Vконуса = πr 2 h = π , т.к. r = h = 1. 1
V0 = π ∫ x 4 dx = π ⋅ 0
1 1 2 x5 1 1 | = x; V = π − π = π. 3 5 15 5 0 5
1
1
1
1
0
0
0
0
б) V = π∫ ( x + 3) 2 dx − π∫ (2x ) 2 dx = π∫ ( x 2 + 6x + 9)dx −π∫ 4x 2 dx =
26
www.5balls.ru
1
1
0
0
= π∫ (6x + 9 − 3x 2 )dx = π(3x 2 + 9 x − x 3 ) | = π(3 ⋅ 1 + 9 − 1) = 11π.
2
2
2
2
0
0
0
0
в) V = π∫ ( x + 2) 2 dx − π ∫ dx = π∫ ( x 2 + 4x + 4)dx − πx | = x3 2 2 8 = π + 2 x 2 + 4 x | − 2π = π + 8 + 8 − 2π = 16 π. 3 0 3 3
1
1
0
0
г) V = π∫ ( x ) 2 dx −π∫ x 2 dx = π ⋅
x3 1 π π π x2 1 |= − = . |− π 3 0 2 3 6 2 0
372.
27
www.5balls.ru
а) Пусть |OB| = x, тогда S(x) = πy2 = π(R2 – x2), S(x) – площшадь сечения шара, x ∈ [R – H; R].
R
∫ π(R
V=
2
R
− x 2 )dx = πR 2 x | − π R −H
R −H
= πR 2 H −
[
[
]
x3 R π | = πR 2 H − R 3 − (R − H) 3 = 3 R −H 3
]
π πH 3 3HR 2 − 3RH 2 + H 3 = πRH 2 − . 3 3
б) Пусть |OD| = x, S(x) – площадь сечения конуса,
x ∈ 0;
HR − r . R
S( x ) = πy 2 = π
R2 H2
(H − x ) 2 . При этом x меняется в пределах 0 ≤ x ≤
H(R − r ) . R
Т.о., H ( R −r ) R
∫
V=
0
π
R2 H2
(H − x ) 2 dx =
H ( R −r ) R
∫
πR 2 dx −
H( R −r ) R 2πR 2
0
∫
0
H
⋅ xdx +
H(R − r ) H(R − r ) H(R − r ) R R R2 2 πR 2 2 R πR 2 x 3 + ⋅ x dx = πRH(R − r ) − x | + | = ∫ 2 2 3 H H H 0 0 0
=
πH 2 (R + Rr + r 2 ). 3
373. F x
F = k⋅x, k = ; при F = 2H x = 0,01 м: k = 0,04
∫ 200xdx = 100x
A=
0
2
2 = 200; 0,01
0,04
| = 0,16 Дж.
0
374. F x
k= ;
28
www.5balls.ru
при F = 4H x = 0,08 м: k = 0,08
∫ 50xdx = 25x
A=
2
4 = 50; 0,08
0,08
0
| = 0,16 Дж.
0
375. F=−
b
γq r
(по закону Кулона). Т.к. работа равна A = ∫ F(r )dr, то
2
b
A = ∫− a
a
γq r2
1 1 a−b dr = γq − = γq ; b a ab
а) a < b, q < 0: A = γq
(a − b) γ q = (b − a ) > 0; ab ab
б) b < a, q > 0: A = γq
(a − b ) > 0. ab
376. Выделим на расстоянии x от верхнего основания плотины полоску толщиной ∆x. Тогда сила давления воды на эту полоску равна ∆P = ρgxy∆x. Т.к. ∆ABF подобен ∆NBM, то AF NM
=
FB MB h
или
x a−b h = , y = b + (a – b) 1 − , y−b h−x h
x
bx 2
+ т.е. P = ∫ ρgx b + (a − b )1 − dx = ρg 2 h 0
(a − b ) x 2 x3 h − (a − b ) | = 2 3h 0
h 2 a h 2 a h 2 b ρgh 2 (a + 2b) = = ρg − + . 3 3 6 2
377.
29
www.5balls.ru
Пусть ∆x =
h – толщина слоя воды, находящегося на расстоянии x от n
нижнего основания. Тогда работа, затрачиваемая на подъем этого слоя, равна ∆А = ρg∆V⋅x = ρg⋅πr2∆x⋅x. Полная работа равна n
h
0
0
A = ∑ ρgπr 2 x∆x. Если n → ∞, то A = ∫ ρgπr 2 xdx = ρgπr 2 ⋅
x 2 h ρgπr 2 h 2 | = . 2 0 2
378. Разобьем шар на n слоев толщиной ∆x =
2R каждый. Выделим один из n
таких слоев, находящийся на расстоянии x от т.А. Тогда работа против сил выталкивания при погружении этого слоя на глубину x есть ∆А = ρg∆V⋅x. Пусть |OB| = a, тогда y2 = R2 – a2 = R2 – (x – R)2 и
∆V ≈ πy2∆x = π R 2 − ( x − R ) 2 ∆x = π⋅x(2R – x)∆x, тогда A=
2R
3
4 2R
4
2x R x 2 3 2 4 16R 4 ∫ ρgπx (2R − x )dx = ρgπ 3 − 4 | = ρgπ 3 ⋅ 8R − 4 = 4 ρgπR . 0 0
379. Разобьем стержень на n равных цилиндров, каждый из которых имеет 1 n
высоту ∆x = .
30
www.5balls.ru
∆E =
mv 2 x + ∆x , где m = ρ∆V = ρS∆x – масса цилиндра, v = ϖ ⋅ – средняя 2 2
линейная скорость точек цилиндра. Так как ∆E ≈ ρS∆x ⋅
∆x → 0, то v ≈ ωx. Т.о. x
l ω2 x 2 ω 2 x 2 ρSω 2 x 3 l ρSω 2 l 3 и E = ∫ ρSdx ⋅ |= . = 2 2 2 3 0 6 0
380. Центр масс кругового конуса лежит на его оси (ОА), объем ∆V, находящийся на расстоянии x от вершины конуса, равен ∆V ≈ πy2⋅∆x. ∆ABO ∼ ∆ANE:
x y r r2 2 = , y = ⋅ x; тогда ∆V ≈ π x ∆x. h r h h2 h
h
Координата ценра масс x`=
0 h
∫ ρdV
0
πr 2 3 x dx 2 0 h
ρ∫
∫ ρxdV =
h
ρ∫
πr 2
0 h
2
h
∫x
dx
= 0 h
dx
3
∫x
= 2
dx
0
x4 h | 4 0 x3 h | 3 0
=
3 h. 4
ГЛАВА IV. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ § 9. Обобщение понятия степени 32. Корень n-й степени и его свойства 381. а) 4 16 = 2, 24 = 16 и 2 > 0;
б) 7 − 1 = −1, (-1)7 = -1;
31
www.5balls.ru
в) 10 1024 = 2, 210 = 1024 и 2 > 0;
г) 5 243 = −3, (-3)5 = -243.
382. а) 17 1 = 1, 117 = 1;
в) 3 − 343 = −7, (-7)3 = -343;
б) 6 64 = 2, 26 = 64 и 2 > 0;
г) 19 0 = 0, 019 = 0.
383. а) 3 − 27 = 3 (−3) 3 = −3;
б) 4 81 = 4 3 4 = 3;
в) 5 − 32 = 5 (−2) 5 = −2;
г) 3 64 = 3 4 3 = 4.
384. 4 б) 4 81 = 4 3 = 3 ;
5 а) 5 1 = 5 1 = 1 ;
32
2
2
625
3
2
5
4 г) 4 81 = 4 3 = 3 .
в) 3 − 27 = 3 − 3 = − 3 ; 8
5
256
2
4
4
385. а) x3 + 4 = 0; x = 3 − 4 = −3 4 ;
б) x6 = 5; x = ± 6 5 ;
в) x3 = 4; x = 3 4 ;
г) x4 = 10; x = ± 4 10 .
386. а) x10 – 15 = 0; x10 = 15;
б) x7 + 128 = 0; x7 = -128;
x = ± 10 15 ;
x = 7 − 128 = −2;
в) x6 – 64 = 0; x6 = 64;
г) x5 = 3; x = 5 3 .
x1,2 = ±2; 387. а) 16x4 – 1 = 0; x4 = x1 = ± 4
1 ; 16
б) 0,01x3 + 10 = 0; x3 = -1000; x = 3 − 1000 = −10;
1 1 =± ; 16 2
32
www.5balls.ru
в) 0,02x6 – 1,28 = 0; x6 = 64;
3 4
3 4
г) 12 − x 2 = 0; x2 = 17;
x = ± 6 64 = −2 ;
x = ± 17 . 388.
( )
3 а) 3 x = −0,6; 3 x = (− 0,6)3 ;
б) 4 x = 3;
(4 x )4 = 34 ; x = 81;
x = -0,216;
в) x = 5;
( x )2 = 52 ; x = 25;
г) 7 x = −1;
(7 x )7 = (− 1)7 ; x = -1.
389.
( )5 = (− 2)5 ⋅ (5 2 )5 = −32 ⋅ 2 = −64; 6 6 г) (− 6 2 ) = (− 1)6 (6 2 ) = 2.
( )4 = (− 1)4 ⋅ (4 11 )4 = 11 3 в) (3 7 ) = 3 7 3 = 7;
б) 25 − 2
а) − 4 11
390. а) 4 16 ⋅ 625 = 4 16 ⋅ 4 625 = 2 ⋅ 5 = 10;
б) 5 32 ⋅ 243 = 5 32 ⋅ 5 243 = 2 ⋅ 3 = 6;
в) 3 8 ⋅ 343 = 3 8 ⋅ 3 343 = 2 ⋅ 7 = 14;
г) 4 0,0001 ⋅ 16 = 4 0,0001 ⋅ 4 16 = 0,1 ⋅ 2 = 0,2.
391. а) 5 160 ⋅ 625 = 5 32 ⋅ 5 55 = 2 ⋅ 5 = 10; б) 3 24 ⋅ 9 = 3 8 ⋅ 27 = 3 8 ⋅ 3 27 = 2 ⋅ 3 = 6; в) 4 48 ⋅ 27 = 4 16 ⋅ 81 = 4 16 ⋅ 4 81 = 2 ⋅ 3 = 6; г) 3 75 ⋅ 45 = 3 125 ⋅ 27 = 3 125 ⋅ 3 27 = 5 ⋅ 3 = 15.
392. а) 3 9 ⋅ 6 9 = 3 9 ⋅ 3 3 = 3 27 = 3; б) 7 16 ⋅ 7 − 8 = 7 − 128 = −2; в) 5 27 ⋅ 5 9 = 5 243 = 3; г) 3 − 25 ⋅ 6 25 = 3 − 25 ⋅ 3 5 = 3 − 125 = −5. 393.
33
www.5balls.ru
а)
в)
3 − 625 3 −5 3 243 3 −9
= 3 125 = 5;
=3−
б)
243 3 = − 27 = −3; 9
г)
4 128 48 6 128 62
=4
128 4 = 16 = 2; 8
=6
128 6 = 64 = 2. 2
394. а) 6 =
6 64 4 625 3 − 100 64 1 3 19 : −3 : ⋅ 4 39 = ⋅ = 3 27 100000000 16 27 6 100000000 4 16
2 3 10000
б) 5 1
⋅
5 3 15 15 ⋅ = =− = −0,015; 2 3 − 100 3 − 1000000 1000
59 5 243 1 11 27 9 5 1 3 1 ⋅ 4,5 − =5 ⋅ − = − = − = 1; 5 288 5 32 16 16 2 32 2 2 2
в) 5 −
243 3 17 5 − 243 3 − 125 − 3 (−5) 5 1 ⋅ −4 = ⋅ = ⋅ = =1 ; 5 1024 3 27 1024 27 4 3 4 4 3 8
1 2
г) 4 3 ⋅ 1 +
45 4 80
=4
4 81 27 ⋅ 3 4 5 1 3 1 + = +4 = + = 2; 4 8⋅2 80 16 2 2 16
395. а) 1 < 4 2 < 2, т.к. 14 < 2 < 24; 1,1 < 4 2 < 1,2, т.к. 1,14 < 2 < 1,24; 1,18 < 4 2 < 1,19, т.к. 1,184 < 2 < 1,194;
4 2 = 1,18...;
б) 1 < 3 5 < 2, т.к. 13 < 5 < 23; 1,7 < 3 5 < 1,8, т.к. 1,73 < 5 < 1,83; 3 3 1,70 < 3 5 < 1,71, т.к. 1,7 < 5 < 1,71 ; 3 5 = 1,70...;
в) 2 < 7 < 3, т.к. 22 < 7 < 32; 2,6 < 7 < 2,7, т.к. 2,62 < 7 < 2,72; 2
2
2,64 < 7 < 2,65, т.к. 2,64 < 7 < 2,65 ;
7 = 2,64...;
г) 1 < 3 3 < 2, т.к. 13 < 3 < 23; 1,4 < 3 3 < 1,5, т.к. 1,43 < 3 < 1,53; 3 3 1,44 < 3 3 < 1,45, т.к. 1,44 < 3 < 1,45 ; 3 3 = 1,44....
396. а) 3 10,17 ≈ 2,17;
б) 71 ≈ 8,43;
в) 13,21 ≈ 3,63;
г) 3 11 ≈ 2,22.
34
www.5balls.ru
397. а) 9 13,7 ≈ 1,34;
б) 6 10 ≈ 1,47;
г) 8 13 ≈ 1,38.
в) 4 2,8 ≈ 1,29;
398. а) 5 0,2 > 0, т.к. 0,2 > 0 и 5 0 = 0;
б) 12 0,4 < 12
в) 7 1,8 > 1, т.к. 1,8 > 1 и 7 1 = 1;
24 25 5 5 , т.к. 0,4 = < = ; 60 60 12 12
г) 8 0,2 < 8 0,3 , т.к. 0,2 < 0,3.
399. 2
2
а)
1 1 1 1 1 1 1 1 13 2 = 3 ⋅ 3 2 = 3 ; 6 = 3 ; 3 < 3 , т.о. 3 2 < 6 ; 2 4 2 2 4 2 8 2 2
б) 18
3 300 301 3 18 < 0,43 , т.к. = < = 0,43; 7 700 700 7
в) 5 2 < 5 3 , т.к. 2 < 3; г) 8 0,8 < 1, т.к. 0,8 < 1 и 1 = 8 1. 400. а) 0,3 = 10 0,35 = 10 0,00243 ;
5 0,05 = 10 0,05 2 = 10 0,0025 ;
10 0,0025 > 10 0,00243 ,
0,3 < 5 0,05 ;
б) 3 4 = 15 4 5 = 15 1024 ; в) 3 7 = 6 7 2 = 6 49 ;
т.о.
5 8 = 15 83 = 15 512 ; 15 1024 > 15 512 ,
6 49 > 6 40 ,
т.о.
т.о.
3 4 > 5 8;
3 7 > 6 40 ;
г) 5 = 8 5 4 = 8 625 ; 8 625 > 8 500 , т.о.
5 > 8 500 .
401. а) 3 − 0,4 = −15 0,4 5 = −15 0,01024 ; 5 − 0,3 = −15 0,33 = −15 0,009 ; 15 0,01024 < 15 0,009 ,−15 0,01024 > −15 0,009 ; т.о. 3 − 0,4 > 5 − 0,3 ;
б) 5 − 5 = −5 5 = −15 53 = −15 125 ;
3 − 3 = −3 3 = −15 35 = −15 243 ;
− 15 125 > 15 243 , т.о. 5 − 5 > 3 − 3 ;
35
www.5balls.ru
в) 3 − 2 = −3 2 > −3 4 = 3 − 4 ; г) 3 − 5 = −15 55 = −15 3125 ;
5 − 3 = −15 33 = −15 27 ;
15 3125 > 15 27 , − 15 3125 < −15 27 , 3 − 5 < 5 − 3 .
402. а) 6 64a 8 b11 = 6 (2ab) 6 ⋅ 6 a 2 b 5 = 2ab6 a 2 b 5 ; б) 5 − 128a 7 = −5 (2a ) 5 ⋅ 5 4a 2 = −2a 5 4a 2 ; в) 4 6a12 b 6 = 4 (a 3 b) 4 ⋅ 4 6b 2 = a 3 b4 6b 2 ; г) 3 54a10 = 3 (3a 3 ) 3 ⋅ 3 2a = 3a 3 3 2a . 403. а) − b 4 3 = −4 b 4 ⋅ 4 3 = − 4 3b 4 ; в) a 4 7 = 4 a 4 ⋅ 4 7 = 4 7a 4 ;
б) ab8
5b 3
5b 3 8 8 = a 8 b8 ⋅ 8 = 5ab11 ; a7 a7
г) − ab3 − 4 = 3 − a 3 b 3 ⋅ 3 − 4 = 3 4a 3 b 3 .
404. а) a 2 = a , a = −a справедливо только при а ≤ 0, т.о.
a 2 = −a при а ≤ 0;
б) 3 a 3 = a при любом а; в) 5 a 5 = a , a = a справедливо только при а ≥ 0, т.о. г) 4 a 4 = a , a = a справедливо только при а ≥ 0, т.о.
5 5
a
4 4
a
= a при а ≥ 0; = a при а ≥ 0.
405. а) 3 a 3 = a прилюбом а, а = -а при а = 0, значит 3 a 3 = −a при а = 0; б) 6 a 6 = a , a = −a при а ≤ 0, значит 6 a 6 = −a при а ≤ 0; в) 4 a 4 = a при любом а;
36
www.5balls.ru
г) 7 a 7 = a при любом а. 406. 3
а)
б)
7− 5 a− 2 a+ 2
6 +1
a − ( 2) =
=
2
2
=
3( 7 + 5 ) ; 2
a2 − 2 2 + 2 a2 − 2
5− 2 ( 5 ) 2 − ( 2 )3
=
;
5− 2 ; 3
( 6 + 1) 2 6 + 1 + 2 6 7 + 2 6 . = = 5 5 5
=
6 −1
( 7 ) − ( 5)
2
5+ 2
г)
2
(a − 2 ) 2
=
1
в)
3( 7 + 5 )
=
407. а)
б)
в)
a 32
=
3
a ⋅ 22
a3 2 ; 2
=
3 3
2
x− x 2 x 4
=
x4 4
x ( x − 1)
=
=
2 x
4
4 43 4 4
=
4 64
x 4
x
=
x −1 ; 2 2 2 ; x
г)
5 35 5
=
5
5 54 5 5
=
5 625
3 5
3
.
408. а)
в)
2 34
3 4 12
=
3
2 42 3 3
4
=
4
=
13 16 ; 2 4
3 ⋅ 2 2 ⋅ 33 4 4 4 4
2 ⋅ 3
=
б)
6 5 27 ⋅ 25
=
5
5
6 ⋅ 32 ⋅ 53
1 34 4 ⋅ 27 = 4 108 ; 2 6
5 5 5 5
3 ⋅ 5
г)
10 58
=
=
6 5 9 ⋅ 125 ; 15 5
10 2 2 5 5
2
=
10 5 4 = 55 4 . 2
409. а) 12 253 = 12 5 6 = 5 ; б) 3
1 1 14 3 14 2 = 0,54 8 ; 2 =34 =4 = 8 2 2 2
37
www.5balls.ru
в) 8
16 3 8 212 ⋅ 3 4 28 4 4 2 = = 6; 2 ⋅3 = 3 81 3 38
г) 4
1 1 12 5 1 12 13 12 = 5 ⋅ 2 6 ⋅ 212 = 12 320 . 5 ⋅ 49 = 5 = 12 2 4 4 4 43
410. а) 3 x − 56 x + 6 = 0;
6 x = t;
t ≥ 0;
2
б) x + 2 x = 2;
4 x = t;
t ≥ 0;
2
t – 5t + 6 = 0; t1 = 2, t2 = 3;
t + t – 2 = 0; t1 = -2, t2 = 1;
6 x = 2, x
= 26 = 64;
4 x = −2
x = 36 = 729.
4 x = 1,
6 x = 3,
в) x − 34 x + 2 = 0;
4 x = t;
t ≥ 0;
- не имеет решений;
x = 1.
г) 3 x − 56 x = 6;
6 x = t;
t ≥ 0;
t2 – 3t + 2 = 0; t1 = 1, t2 = 2;
t2 – 5t – 6 = 0; t1 = -1, t2 = 6;
4 x = 1,
6 x = −1 -
не имеет решений;
6 x = 6, x
= 66 = 46656.
x = 1;
4 x = 2, x
= 24 = 16.
411. а)
+
-
+
−43
б)
11 7
x11 ≥ 7; x = 11 7 ;
[
)
Ответ: − 4 3 ; 4 3 . в)
+
)
Ответ: 11 7 ; ∞ . -
− 10 2
+
г)
-
10 2
) (
+ 35
x10 > 2; x1 = − 10 2 , x2 = 10 2 ;
(
+
43
x4 < 3; x1 = − 4 3 , x2 = 4 3 .
(
-
x3 ≤ 5; x = 3 5 ;
)
]
(
Ответ: − ∞;−10 2 ∪ 10 2 ; ∞ .
Ответ: − ∞;−3 5 .
412. а)
-
+ -343
б)
0
+ 6
38
www.5balls.ru
3 x < −7;
x = (-7)3 = -343;
Ответ: (-∞;-343). в)
-
+
6 x ≥ 2;
x = 64;
Ответ:
[64; ∞ ).
г)
-
8 3 x > 2;
0 4 x ≤ 3;
x = 8; Ответ: (8;∞).
+ 81
x = 81; Ответ: [0; 81].
413. а) 6 a 6 = a = −a , где а ≤ 0;
в) 5 а 5 = a;
б) 4 а 4 = a = a , где а ≥ 0; 414. а) 3 a 3 − a 2 = a − a = a + a = 2a , где а ≤ 0; б) 4 a 4 + 27 a 7 = a + 2a = a + 2a = 3a , где а ≥ 0;
в) 5 a 5 − 6 a 6 = a − a = a − a = 0, где а ≥ 0; г) 3 a 3 + 38 a 8 = a + 3 a = a − 3a = −2a , где а ≤ 0. 415. а) 3 10 + 73 ⋅ 3 10 − 73 = 3 10 2 − ( 73 ) 2 = 3 27 = 3; б)
3 ( 4 + 17 ) 2 3
+ 17 =
4 − 17
3 ( 4 + 17 ) 3 3 4 2 − ( 17 ) 2
(
)
+ 17 = − 4 + 17 + 17 = −4;
в) 4 9 − 65 ⋅ 4 9 + 65 = 4 9 2 − ( 65 ) 2 = 4 16 = 2; г) 3 − 5 ⋅ 3 + 5 = 3 2 − ( 5 ) 2 = 4 = 2. 416. а)
1 3 2 −33
=
3 2
3
2 + 3 2 ⋅ 3 + 32 = −3 4 − 3 6 − 3 9 ; 3 2 − 3 3 3 2 2 + 3 2 ⋅ 3 + 3 3 2
(
)
39
www.5balls.ru
3 2 a 2 + a 3 b + b 2 б) = 3 a −3 b a − 3 b a 2 + a 3 b + b 2 2
)
(
3 2 a 2 + a 3 b + b 2 ; = a3 − b
3 3 2 5 2 − 3 5 ⋅ 7 + 7 2 в) = 35 +37 3 5 + 3 7 3 5 2 − 3 5 ⋅ 7 + 3 7 2 2
г)
)
(
3a 3 2
a
3 − 3 ab + b 2
=
) (
(
=
3 25 − 3 35 + 3 49
6
(
;
)
3a 3 a + 3 b 3a 3 a + 3 b . = a+b 3 2 3 3 a − ab + b 2 3 a + 3 b
)
33. Иррациональные уравнения 417. а) x 4 + 19 = 10 ⇔ x4 + 19 = 100 ⇔ x4 = 81 ⇔ x ±3; б) 3 x 2 − 28 = 2 ⇔ x2 – 28 = 8 ⇔ x2 = 36 ⇔ x = ±6; 2 2 в) 61 − x 2 = 5 ⇔ 61 − x2 ≥ 0, ⇔ x 2 ≤ 61, ⇔ x = ±6;
61 − x = 25;
x = 36
г) 3 x − 9 = −3 ⇔ x − 9 = −27 ⇔ x = −18; 418. x + 1 = ( x − 5) 2 , x 2 − 11x + 24 = 0, x = 3, x ≥ 5, а) x + 1 = x − 5 ⇔ x − 5 ≥ 0, ⇔ ⇔ x = 8; ⇔ x = 8 x ≥ 5; x + 1 ≥ 0; x ≥ −1; x 2 − 14 x + 33 = 0, 2 x + 3 = (6 − x ) 2 , x = 3, x ≤ 6, ⇔ ⇔ x = 11; ⇔ x = 3 б) x + 2x + 3 = 6 ⇔ 6 − x ≥ 0, 3 2 x + 3 ≥ 0; x ≤ 6; x≥− ; 2 x 2 − 6 x + 5 = 0, 2 x − 1 = ( x − 2) 2 , x = 1, x ≥ 2; ⇔ ⇔ x = 5; ⇔ x = 5 в) 2x − 1 = x − 2 ⇔ x − 2 ≥ 0; 1 x ≥ 2; 2x − 1 ≥ 0 x≥ 2
40
www.5balls.ru
x 2 − 9 x + 8 = 0, 3x + 1 = ( x − 3) 2 , x = 1, x ≥ 3, ⇔ ⇔ x = 8; ⇔ x = 8 г) 3 + 3x + 1 = x ⇔ x − 3 ≥ 0, 1 3x + 1 ≥ 0; x ≥ 3; x≥− ; 3
419. 2 2 а) 2x + 1 = x 2 − 2x + 4 ⇔ 2x + 1 = x − 2x + 4, ⇔ x − 4x + 3 = 0, ⇔
2x + 1 ≥ 0;
x ≥ −0,5;
x = 1, x = 1, ⇔ x = 3; ⇔ x = 3; x ≥ −0,5; x = −1, x = x 2 − x − 3, x 2 − 2 x − 3 = 0, x = 3; x ≥ 0, ⇔ б) x = x 2 − x − 3 ⇔ ⇔ x=3 1 + 13 ⇔ x ≥ ; 1 + 13 x 2 − x − 3 ≥ 0; x ≥ ; 2 2
x + 2 = 2 x − 3,
в) x + 2 = 2x − 3 ⇔ x + 2 ≥ 0,
2 x − 3 ≥ 0;
x = 5, ⇔ ⇔ x =5 x ≥ 1,5;
x = −1, 9 − x 2 = 9 + x , x ( x + 1) = 0, x = 0; x = −1, 2 2 г) 9 − x = x + 9 ⇔ 9 − x ≥ 0, ⇔ x ≥ −3, ⇔ x ≥ −3, ⇔ x = 0; x + 9 ≥ 0; x ≤ 3; x ≤ 3;
420. x = 2, x = 4;
а) x = 3 x 3 + x 2 − 6x + 8 ⇔ x 3 + x 2 − 6x + 8 = x 3 ⇔ x 2 − 6x + 8 = 0 ⇔ б) x − 2 = 3 x 2 − 9 ⇔ ( x − 2) 3 = x 2 − 8 ⇔ x 3 − 6x 2 + 12 x − 8 = x 2 − 8 ⇔ x = 0, ⇔ x ( x 2 − 7 x + 12) = 0 ⇔ x = 3, x = 4;
x = −10, x = 2;
в) x = 3 x 3 − x 2 − 8x + 20 ⇔ x 3 = x 3 − x 2 − 8x + 20 ⇔ x 2 + 8x − 20 = 0 ⇔
41
www.5balls.ru
3
г) x + 1 = x 3 + 2x 2 + x ⇔ ( x + 1) 3 = x 3 + 2x 2 + 2 ⇔ x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = = x 3 + 2 x 2 + x ⇔ x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇔ x = −1;
421. 1 3 3 3 x + 23 y = 1, 3 x + 23 y = 1, 3 x + 23 y = 1, y = (1 − x ), ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 3 3 3 3 3 3 x = 3; 7 x = 21; 3 x − y = 10; 6 x − 2 y = 20;
а)
3 y = −1, y = −1, ⇔ ⇔ 3 x = 3; x = 27; 124 x − 34 y = 6 2 , 44 x − 4 y = 2 2 , 4 y = 44 x − 2 2 , ⇔ ⇔ ⇔ 4 4 4 4 144 x = 14 2 ; 2 x + 3 y = 8 2 ; 2 x + 3 y = 8 2 ;
б)
4 y = 44 x − 2 2 , y = 64, ⇔ ⇔ 4 x = 2; x = 4; − 84 x − 44 y = −28, 24 x + 4 y = 7, 4 y = 7 − 24 x , ⇔ ⇔ ⇔ 4 4 4 4 − 114 x = −22; − 3 x + 4 y = 6; 4 y − 3 x = 6;
в)
4 y = 7 − 2 ⋅ 2, y = 81, ⇔ ⇔ 4 x = 2; x = 16; x = 5 5 − 3 y , 2 x + 6 y = 10 5 , x + 3 y = 5 5 , ⇔ ⇔ ⇔ 11 y = 11 5 ; − 2 x + 5 y = 5 ; 5 y − 2 x = 5 ;
г)
x = 5 5 − 3 5 , x = 20, ⇔ ⇔ y = 5; y = 5;
422. ( x + 1)( x + 6) = 36, 2 x = −10, x + 7 x − 30 = 0, ⇔ x = 3; ⇔ x = 3 x + 1 ≥ 0, x ≥ −1; x ≥ −1; x + 6 ≥ 0;
а) x + 1 ⋅ x + 6 = 6 ⇔
б)
( x − 1)(2 x − 1) = ( x + 1) 2 , ( x − 1) ⋅ (2 x − 1) = x + 1, = x +1 ⇔ ⇔ x − 1 ≥ 0, ⇔ x − 1 ≥ 0, 2x − 1 2 x − 1 > 0 ; − > 2 x 1 0 ;
x +1
42
www.5balls.ru
2 x 2 − 3x + 1 = x 2 + 2x + 1, x = 0, x 2 − 5x = 0, ⇔ ⇔ ⇔ x = 5; ⇔ x = 5 x ≥ 1, x ≥ 1; x ≥ 1; x > 0,5;
в)
(3x + 2)( x − 2) = ( x + 6) 2 , 3x + 2 ⋅ x − 2 = x + 6, x − 2 > 0; = 3x + 2 ⇔ 3x + 2 ≥ 0, ⇔ ⇔ x−2 3 x 2 0 + ≥ x 2 0 ; − >
x+6
x = −2, 3x 2 − 4 x − 4 = x 2 + 12x + 36, 2x 2 − 16 x − 40 = 0, ⇔ ⇔ ⇔ x = 10; ⇔ x = 10 x > 2; x > 2; x > 2; x ( 2 − x ) = 4 x 2 , 2x − x 2 = 4x 2 , г) x 2 − x = 2x ⇔ x ≥ 0, ⇔ x ≥ 0, ⇔ 2 − x ≥ 0; x ≤ 2 ;
x = 0, 5x (x − 0,4) = 0, x = 0,4; x = 0, ⇔ ⇔ x ≥ 0, ⇔ x ≥ 0, x = 0,4; x ≤ 2; x ≤ 2;
423. а) 5 + 3 x + 3 = 3, 5 + 3 x + 3 = 9, x + 3 = 64, x = 61. Проверка: 5 + 3 61 + 3 = 3. Итого: x = 61. б)
x 2 − 16 + x = 2,
x 2 − 16 + x = 4, x – 16 = (4 – x) , x – 16 = x – 8x + 16, 2
2
2
2
-8x + 32 = 0, x = 4. Проверка:
4 2 − 16 + 4 = 2. Итого: x = 4.
в) 18 − 3 x + 10 = 4, 18 − 3 x + 10 = 16, x + 10 = 8, x = -2. Проверка: 18 − 3 − 2 + 10 = 4. Итого: x = -2. г) x − x 2 − 5 = 1, x − x 2 − 5 = 1, x2 – 5 = (x – 1)2, 2x – 6 = 0, x = 3.
43
www.5balls.ru
Проверка: 3 − 3 2 − 5 = 1. Итого: x = 3. 424. а) x − 3 = 1 + x − 4 , x − 3 = 1 + 2 x − 4 + x − 4,
x − 4 = 0, x = 4.
Проверка: 4 − 3 = 1 + 4 − 4 . Итого: x = 4. б) x + 2 − x − 6 = 2, x + 2 = 4 + 4 x − 6 + x − 6,
x − 6 = 1, x = 7.
Проверка: 7 + 2 − 7 − 6 = 2. Итого: x = 7. в) 2 + 10 − x = 22 − x , 4 + 4 10 − x + 10 − x = 22 − x, 10 − x = 2, x = 6. Проверка: 2 + 10 − 6 = 22 − 6 . Итого: x = 6. г) 1 − 2x − 3 = 16 + x , 1 − 2x − 6 1 − 2x + 9 = 16 + x, − 6 1 − 2x = 6 + 3x. x = 0, x = −12.
1 – 2x = 0,25x2 + x + 1, x(x + 12) = 0,
Проверка: 1 − 2 ⋅ 0 − 3 ≠ 16 + 0 ; При x = -12: 1 + 2 ⋅ 12 − 3 = 16 − 12 . Итого: x = -12. 425. а) x − 3 − 6 = 4 x − 3 ;
4 x − 3 = t;
t2 – t – 6 = 0; t1 = -2, t2 = 3;
б) 3 x + 1 + 26 x + 1 = 3;
6 x + 1 = t;
t2 + 2t – 3 = 0; t1 = -3; t2 = 1;
при t= -2: 4 x − 3 = −2 - нет решений; при t = -3: 6 x + 1 = −3 - нет решений; при t = 3: 4 x − 3 = 3;
при t = 1: 6 x + 1 = 1; x + 1 = 1; x = 0.
x – 3 = 81; x = 84.
Итого: х = 0.
Итого: х = 84. в) 4 x − 5 = 30 − x − 5 ;
4 x − 5 = t;
2
t + t – 30 = 0; t1 = -6, t2 = 5; при t =
-6: 4 x − 5 = −6
при t = 5: 4 x − 5 = 5; x – 5 = 625; x = 630.
- нет решений;
г) 310 x 2 − 3 + 5 x 2 − 3 = 4;
10 2
x − 3 = t;
2
t + 3t – 4 = 0; t1 = -4, t2 = 1; при t = -4: 10 x 2 − 3 = −4 - нет решений; при t = 1: 10 x 2 − 3 = 1; x2 – 3 = 1; x=±2.
44
www.5balls.ru
Итого: х = ±2.
Итого: х = 630. 426.
2 x − y = 5, y = 2 x − 5, y = 2 x − 5, ⇔ ⇔ ⇔ x (2 x − 5) = 3; 2( x ) 2 − 5 x − 3 = 0; x ⋅ y = 3;
а)
⇔
y = 2 x − 5, 1 x =−2, ⇔ x = 3;
y = −6, x = − 1 ; x = 9, 2 ⇔ т.к. y = 1. y = 1, x = 3;
a ≥ 0.
6 + x − 3 3y + 4 = −10, 5 6 + x − 15 3y + 4 = −50, ⇔ ⇔ 4 3y + 4 − 5 6 + x = 6; − 5 6 + x + 4 3y + 4 = 6;
б)
6 + x = −10 + 3 3y + 4 , 6 + x = 2, x = −2, ⇔ ⇔ ⇔ 3 y 4 4 ; + = 3y + 4 = 4; y = 4. x + 3 y = 10 x = 10 − 3 y , x = 10 − 3 y , ⇔ ⇔ ⇔ 2 x ⋅ y = 8; y (10 − 3 y ) = 8; 3( y ) − 10 y + 8 = 0;
в)
x = 6, x = 10 − 3 y , y = 4 ; 4 3 ⇔ ⇔ y = , ⇔ 3 x = 4, y = 2; y = 2;
x = 36, 7 y = 1 ; 9 x = 16, y = 4.
2 x − 2 + 5 y + 1 = 8, 4 x − 2 + 2 5 y + 1 = 16, ⇔ ⇔ 3 x − 2 − 2 5 y + 1 = −2; 3 x − 2 − 2 5 y + 1 = −2;
г)
5 y + 1 = 4, y = 3, ⇔ ⇔ x − 2 = 2; x = 6.
427. x + y = 8, x + y = 8, x + y = 8, ⇔ ⇔ ⇔ ( x − y )( x + y ) = 16 ; x − y = 16; x − y = 2;
а)
45
www.5balls.ru
x = 5, x = 25, ⇔ ⇔ y = 3; y = 9.
3 y = 5 − 3 x , 3 y = 5−3 x, 3 y = 5 − 3 x , 3 x + 3 y = 5, ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 3 3 3 3 3 xy = 216; x 5 − x = 6; xy = 6 ; x 2 − 53 x + 6 = 0;
3 y = 5 − 3 x , ⇔ 3 x = 2, ⇔ 3 x = 3;
3 y 3 x 3 y 3 x
)
(
( )
б)
= 3,
y = 27, x = 8; ⇔ y = 8, = 2, x = 27. = 3; = 2;
x − y = 4, x − y = 4, x − y = 4, ⇔ ⇔ ⇔ x − y = 32; x − y x + y = 32; x + y = 8;
)(
(
в)
)
x = 6, x = 36, ⇔ ⇔ y = 2; y = 4. 3 x = 2 + 3 y , 3 x = 2 + 3 y, 3 x = 2 + 3 y , 3 x − 3 y = 2, ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 xy = 27; 3 y 2 + 3 y = 3; 3 xy = 33 ; 3 y 2 + 23 y − 3 = 0;
)
(
( )
г)
3 x = −1, 3 x = 2 + 3 y , 3 y = −3; ⇔ 3 y = −3, ⇔ ⇔ 3 x = 3, 3 = y 1 ; 3 y = 1.
x = −1, y = −27; x = 27, y = 1;
34. Степень с рациональным показателем 428. 6
а) 31,2 = 3 5 = 5 36 = 5 729 ;
б) 5
5
в) 41,25 = 4 4 = 4 4 5 = 4 1024 ;
г) 6
−
2 3 = 3 5− 2 = 3 1 ;
−1
25
1 3 − 2 =6 2 =
6−3 =
1 . 216
429.
46
www.5balls.ru
а) 3 a − 2 = a
−
2 3;
1 7 3b = (3b) 7 ;
б)
в) 13 b − 7 = b
−
7 13 ;
5
8
г) 4 5 = 4 8 ;
430.
( )0,4 = 32 = 9;
а) 2430,4 = 35
5
( )4 = 25 = 32;
1
1
− 8 8 8 8 8 −1 3 = = ; = 3 8 3
27 3 г) 125 6
9 3 = 2 5
5
в) 16 4 = 2 4
−
64 4 б) 38
2
2 99
2
9 3 . = = 625 25
431. 1
3
1
1
а) 8 2 : 8 6 ⋅ 9 2 = 8 2 ⋅ 8
−
1 1 3 3 − − 6 ⋅9 2 = 83 ⋅9 2 = 2 ;
27
5
4
5
2
4
2
5
( )3 ⋅ 15 3 = 3 2 2 ⋅ 52 ⋅ 2 3 ⋅ 5− 3 = 2 3 ⋅ 2 3 ⋅ 5 3 ⋅ 5− 3 = 2 2 ⋅ 5−1 = 45 ;
б) 3 100 ⋅ 2
в) 8
2
8
1 7 3 3 : 810,75 = 8 3 : 81 4 = 2 7 ⋅ 3 −3 = 128 = 4 20 ;
27
г) 1 11 25
−0,5
1
2 − 17 3 6 ⋅4 = 5 27
−0,5
27 −
1
5 3 3 5 3 1 ⋅ = ⋅ = . 3 6 5 2
432. 1
1 1
1
1
1
а) (ax ) 3 + (ay) 3 = a 3 x 3 + y 3 ;
1
1 1
1 1
б) a − a 2 = a 2 a 2 − 1;
1
1 1
1
1
в) 3 + 3 2 = 3 2 3 2 + 1; г) (3x ) 2 − (5x ) 2 = x 2 3 2 − 5 2 .
433. 1 1
1
1
1 1
1
1
1
а) x 3 y 3 − x 3 − y 3 + 1 = x 3 y 3 − 1 − y 3 − 1 = y 3 − 1 x 3 − 1;
47
www.5balls.ru
1
1 1
1
б) c 2 + c 4 = c 4 c 4 + 1; 3 1
1
1 2
1
1 1
1
в) 4 − 4 3 = 4 3 − 4 3 = 4 3 4 3 − 1 = 4 3 4 3 − 1 4 3 + 1;
1
1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
г) a + b 2 + a 2 + a 2 b 2 = a 2 a 2 + 1 + b 2 a 2 + 1 = a 2 + 1 a 2 + b 2 .
434.
а)
б)
a−b 1 1 a2 −b2
1 1 2 2 − a b =
z −8 2 1 z 3 + 2z 3 + 4
1 1 2 2 + a b
1
1
1 1 =a2 +b2;
a2 −b2 1 2 1 3 z − 2 z 3 + 2z 3 + 4 1 = z 3 − 2; =
1
2
1
z 3 + 2z 3 + 4 1
x2 −4 x2 −4 1 = = ; в) 1 x − 16 1 1 2 2 2 x − 4 x + 4 x + 4
г)
a+b 2 1 1 2 a 3 −a 3b3 + b3
1 2 1 1 2 1 3 3 a 3 −a 3b3 + b 3 a + b = 2
1 1
2
1 1 = a3 + b3.
a 3 −a3b3 + b3
435.
48
www.5balls.ru
а)
1 1 1 1 x−y x2y4 +x4y2 = ⋅ 1 1 3 1 1 2 2 4 2 4 x +x y x +y
1 1 1 y 4 x 2 − y 2 = 1
1 1 1 1 1 1 2 2 ⋅x4y4 x 4 + y4 x y + 1 1 1 1 1 x 2 x 2 + y 2 ⋅x 4 + y 4
1 1 2 2 x y −
=
;
x4
б)
1 1 2 1 a − 1 a 2 + 1 1 2 a −1 a +1 + 2a 2 = : ⋅ 1 1 3 a + a 2 +1 a 2 −1 a + a 2 +1
1 1 2 a − 1 a + a 2 + 1 1 a 2 +1
1
+ 2a 2 =
2
1 1 1 1 = a 2 − 1 + 2a 2 = a − 2a 2 + 1 + 2a 2 = a + 1; 1 1 1 1 a 3 − b3 a2 −b2 +a2 +b2 a 3 − b3 + ⋅ = ⋅ = 1 1 1 1 2 2 1 2 a + ab + b 2 a + ab + b 2 2 2 2 2 a−a b a (a − b ) a+a b
в)
1
1
1
=
г)
=
2a 2 1 a 2 (a − b )
⋅
(
(a − b) a 2 + ab + b 2
x +1 x x +x+ x
2
a + ab + b
:
1 2
x − x
( x − 1)(x + 1) + x ( x − 1) x + x +1
x +1
=
=
) = 2a(a − b) = 2; a (a − b)
2
x ( x + x + 1)
⋅
( x − 1)(x + x + 1) x + x +1
x ( x x − 1) x 2 − x + x x − 1 = = 1 x + x +1
= x − 1.
436. 3
19
а) 7 33 = 3 7 < 3 8 , т.к. 3 < 19 ; а 6 > 1; 7
8
49
www.5balls.ru
б) 0,4 − 2,7 = 5
189
2,7
2
5
15
150
5 70 5 7 5 70 , = > = 2 2 2
50
5 т.к. 189 > 150 ; a > 1 ; 70
2
70
51
в) 3 65 = 6 3 = 6 30 < 61,7 = 6 30 , т.к. 50 < 51 ; a 6 > 1; 30
5
5
35
30
15
1 35 15 г) 1 3 = 1 21 < 7 1 = 1 7 = 1 21 , т.к. > , a < 1 . 2
2
32
2
21
2
2
21
437. 1
3
( )
− − а) 81−0,75 + 1 3 − 1 5 = 3 4
125
32
( ) ( ) 1
−
+ 5 −3 3 − 2 −5
−
3 1 26 5 = − 3 = −2 ;
27
27
4 2 1 1 1 −1 − − 2 3 − (−2) − 2 ⋅ 64 3 − 8 3 + 9 0 = 10 − 3 3 − 2 − 2 ⋅ 2 4 − ( 2 3 ) 3 + 1 =
( ) ( )
−
б) 0,001
= 10 − 2 2 − 2 −4 + 1 = 7 − 2
−0,75
1 16
в) 27 3 +
−0,75
15 1 =6 . 16 16
( ) ( ) 2
1 4
г) (−0,5) − 4 − 6250,25 − 2 3
( )
( )
− 0,75 0,5 − 25 0,5 = 33 3 + 2 − 4 − 52 = 3 2 + 2 3 − 5 = 12;
−1
1 2
( ) ( )
4 0,25 + 19(− 3)− 3 = 21 − 5 4 −
3
− − 8 19 19 − (3 2 ) 2 ⋅ 2 − 2 2 − 19 ⋅ 3 − 3 = 2 4 − 5 − 3 − 3 ⋅ 2 3 − = 11 − − = 11 − 1 = 10. 27 27 27
438. а)
a −1 3 1 a4 +a2
⋅
a +4a a +1
1 ⋅ a 4 +1 =
3
1
( a − 1)( a + 1) ⋅ a 4 + a 2 + 1 = 3 1 a4 +a2
a +1
a −1+1 = a ;
50
www.5balls.ru
1
1
2
2 − − 4 3 4 2 1 2 x − x + 1 − x x x + 2x + x 2 x − x 1 + x ⋅ + + + ⋅ = 1 = б) 4 x 1− x 4 x 1− x x x x x
)
(
=x
в)
=
1 − 1 − x + 2 x +1 2 2
x
1 − 2 2
( x + 1)
1
=
1 1 − x2 ⋅x 2
x +1
;
1 1 1 2 1 1 2 a 3 a 3 − 3b 3 a 3 + 3a 3 b 3 + 9b 3 4 1 a 3 − 27a 3 b b 3 : 1 − 33 − a 2 = 2 1 1 2 2 1 1 2 a a 3 + 3a 3 b 3 + 9b 3 a 3 + 3a 3 b 3 + 9b 3
1 a3 ⋅ 1 1 3 3 a − 3b
г)
1
m+ 2
⋅
1 1 1 1 a 3 a 3 − 3b 3 ⋅ a 3 2 2 2 − 3 a2 = − a 3 = a 3 − a 3 = 0; 1 1 a 3 − 3b 3
−
m 2 + 4 m 1 1 m 2 − m 2 + 2 − m 2 − 4 × ⋅ − + = 2 m m + 2 m 2 − m 2 + 2 m 3 + 2 2 2
(
)(
)
)(
(
)
2 m 2 − 2m + 2 = − 2 m+ 2 ⋅ m −m 2 +2 = − 2 . × 2 2m 2m m + 2 m − m 2 + 2 ⋅ 2m
(
)(
)
439. 5
а)
1
3
2
1
3
−2 17 5 3 2 ax = 2 − 3 ⋅ 2 7 ⋅ a 7 ⋅ x 7 = 2 7 a 7 x 7 ; 8 2
1
3
3
1
19
3
2
15
б) 3 a 2 ⋅ 4 a = a 3 ⋅ a 12 = a 4 ; в) 7 b 3 ⋅ 4 b = b 7 ⋅ b 4 = b 28 ; 3
1 3
1
г) ⋅ 4 273 x = 3−1 ⋅ 3 4 ⋅ x 12 = 3
−
1 1 4 ⋅ x 12 .
440. а) 3 ⋅ 5
−
3 5 = 5 35 ⋅ 5 2 − 3 = 5 243 = 5 30 3 ;
8
8
б) a 4 : b 5 = a 20 ⋅ b
−
8 15 20 = 20 a ; 8
b
51
www.5balls.ru
в) 2b
−
2 3 = 3 8 ⋅ 3 b−2 = 3 8 ; 2
1 2
7
5
5
6
г) b 3 c 7 = b 21 ⋅ c 21 = 21 b 7 c 6 .
b
441. 1
5
1
( )− 6 = 3− 12 , 3 3−1 4 13 = 3− 3 ⋅ 3− 12 = 3− 12 ; ( 3 )− 6 = 3 3−1 4 13 ; 5
а) 3
( )
б) 3600 = 36
( )
100
100 = 729100 , 5 400 = 5 4 = 625100 ;
729100 > 625100 , т.о. 3600 > 5 400 ; −
5
5 5 3 − 1 7 7 14 2 ⋅2 = 2 ; =
5
1 в) 7 = 2 7 , 2
( )
г) 7 30 = 7 3
10
3
2 ⋅ 2 14 ;
2
( )
= 34310 , 4 40 = 4 4
10
= 25610 ; 34310 > 25610 , т.о. 7 30 > 4 40.
442. а) не имеет смысла, т.к. a < 0; б) (− 2)−4 =
1
(− 2)
4
=
1 – выражение имеет смысл; 16
2
в) 5 3 = 53 = 125 – выражение имеет смысл; г) не имеет смысл, т.к. x < 0. 443.
3
а) x + 1 > 0 при x > -1, D y = (x + 1)− x = (− 1; ∞ );
3
3
б) x 5 имеет смысл только при x ≥ 0, D y = x 5 = [0; ∞ );
в) x
−
3 4
имеет смысл при x > 0, D y = x
−
3 4 = 0; ∞ ;
(
)
52
www.5balls.ru
2
г) x – 5 ≥ 0 при x ≥ 5, D y = (x − 5) 3 = [5; ∞ ).
444. 1 а) a 6
( )4 = a = −a при а ≤ 0;
6
= a при а ≥ 0;
б) a 4
( )8 = a = 1a при а = ±1;
в) a 8
1
г)
1
10 3 7 7 1 a 0,7 7 = a 10 = a = −a
( )
при а = 0.
§ 10. Показательная и логарифмическая функции 35. Показательная функция 445. а) y = 4x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) возрастает на R; y(0) = 1, y(1) = 4.
б) y = 0,2x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) убывает на R; y(-1) = 5, y(0) = 1;
в) y = 0,7x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) убывает на R;
53
www.5balls.ru
y(0) = 1, y(1) = 0,7.
г) y = 2,5x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) возрастает на R; y(0) = 1, y(1) = 2,5.
446. а) -2x < 0 при x ∈ R: E(y = -2x) = (-∞;0); 1
x
1
x
б) + 1 > 1 при x ∈ R: E y = + 1 = (1; ∞); 3 3
1
x
x 1
в) − < 0 при x ∈ R: E y = − = (−∞;0); 4 4
x
x
г) 5 – 2 > -2 при x ∈ R: E(y = 5 – 2) = (-2;∞). 447. 4 а) 7
б) 3−
5 2
−
12
в) 2,5 −
2
5
5 7 7 2 = > 1 т.к. > 0 и >1; 4 2 4
1 = 3
12
1 < 3
2,8
1 , т.к. 12 > 2,8 и < 1 ; 3
= 0,4 2 < 1, т.к. 2 > 0 и 0,4 < 1 ;
54
www.5balls.ru
5 1 2 6 < 0,3 3 = 0,3 6 , т.к. 5 > 2
г) 0,3
и 0,3 < 1.
448. 2
( ) 2
а) 2
=
в) 8
2
( 2 )2 = 2;
б) 31− 2
3
: 2 3 2 = 2 3 2 : 2 3 2 = 1;
⋅ 91+ 3 = 31− 2 3 ⋅ 3 2 + 2 3 = 33 = 27;
г) 3
58
54
5 = 3 32 = 3 2 = 9.
449. 2 −1
2 1
⋅ a
а) a
в) a
5
5
= a5;
= a 2 ⋅ a 1− 2 = a ;
г) y
б) x π ⋅ 4 x 2 : x 4π = x π ⋅ x
2
2 − 4π 1 4 = x2;
3 ⋅ y1,3 : y 3 2 = y 2 +1,3 − 2 = y1,3 .
450.
а)
=
a 2 2 − b2 3 2 −b 3 a 2a 2 a 2 −b 3
2
2 − b 3 a 2 + b 3 a 2 +b 3 +a 2 −b 3 +1 = a +1 = = 2 2 3 2 − a b 3 −b a
;
2 3 − 1 a 2 3 + a 3 + a 3 3 a 3 a 3 − 1 a 3 + 1 a 2 3 + a 3 + 1 a = б) = a4 3 − a 3 a 3 a 3 3 − 1 3 + 1 a 3 3 − 1 a = a 3 + 1; = a3 3 −1
55
www.5balls.ru
в)
a 5 −b 7 2 5
5
7
2 7
5 7 2 5 5 7 2 7 a 3 − b 3 a 3 + a 3 b 3 + b 3 = 2 5
a 3 +a 3 b 3 +b 3 5
5
7
2 7
=
a 3 +a 3 b 3 +b 3
7
=a 3 −b 3 ;
г)
(x
π
+y
)
π 2
1 − 4 π xy
π
= x 2π − 2 x π y π + y 2 π =
= x 2π + 2 x π y π + y 2π − 4 x π y π =
(x
π
− yπ
)2 = x
π
− yπ .
451. а) 101,41 ≈ 25,7; 101,42 ≈ 26,3;
б) 101,414 ≈ 25,9; 101,415 ≈ 26,0;
в) 102,23 ≈ 169,8; 102,24 ≈ 173,8;
г) 102,236 ≈ 172,2; 102,237 ≈ 172,6.
452. 1 < 2 < 2 ⇒ 10 < 10 2 < 10 2 ; 1,41 < 2 < 1,42 ⇒ 101,41 < 10 2 < 101,42 ; 101,41 ≈ 25,7 и 101,42 ≈ 26,3; 1,414 < 2 < 1,415 ⇒ 101,414 < 10 2 < 101,415 ; 101,414 ≈ 25,9 и 101,415 ≈ 26,0; 10 2 ≈ 25,9 ; 2 < 5 < 3 ⇒ 10 2 < 10 5 < 10 3 ; 2,23 < 5 < 2,24 ⇒ 10 2,23 < 10 5 < 10 2,24 ; 10 2,23 ≈ 169,8 и 10 2,24 ≈ 173,8; 2,236 < 5 < 2,237 ⇒ 10 2,236 < 10 5 < 10 2,237 ; 10 2,236 ≈ 172,2 и 10 2,237 ≈ 172,6; 10 5 ≈ 172,4 .
453.
56
www.5balls.ru
а) 2 > 1 ⇒ y =
( 2 )x возрастает на R; 0 <
x
1 убывает на R; <1⇒ y = 2 2
1
)x
(
б) 0 < 5 − 2 < 1 ⇒ y = 5 − 2 убывает на R; 1 5 −2
>1⇒ y =
1
( 5 − 2)x
возрастает на R;
x
в)
x
π 3 3 π > 1 ⇒ y = возрастает на R; 0 < < 1 ⇒ y = убывает на R; π 3 3 π
)x
(
г) 0 < 3 − 7 < 1 ⇒ y = 3 − 7 убывает на R; 1
>1⇒ y =
3− 7
1
(3 − 7 )x
возрастает на R.
454. а) 3x +1 − 3 = 3(3x − 1), 3x > 0 при x ∈ R ⇒ 3(3x – 1) > -3 при x ∈ R; E(y = 3x+1 – 3) = (-3;∞); x б) y = 2 x − 2 = 2 − x2, x ≥ 1, y(1) = 0. 2 − 2 , x < 1.
y(x) возрастает на [1;∞) и убывает на (-∞;1]; E(y = |2x – 2|) = [0;∞); 1 2
x −1
в)
1 x 1 1 > 2 при x ∈ R; + 2 = 21 + , > 0 при x ∈ R ⇒ 21 + 2 2 2x
x +1 1 E y = + 2 = (2; ∞); 2
г) y = 4
x
4 x , x ≥ 0, = 1 x y(0) = 1. , x < 0; 4
y(x) возрастает на [0;∞) и убывает на (-∞;0];
57
www.5balls.ru
x E y = 4 = [1; ∞ ).
455. sin x
а) y =
1 ; -1 ≤ sinx ≤ 1, откуда 2
⇒ min y( x ) =
1 , max y( x ) = 2; 2 R
1 2
R
б) y = 5 + 3
cos x
; 0 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 3
cos x
sin x
1 ∈ ; 2 ; 2
≤ 3⇒ 6 ≤ 5+3
cos x
≤ 8;
min y( x ) = 6, max y( x ) = 8; R
R
в) y = 4cosx;-1≤cosx≤1 ⇒ 1 3
г) y =
1 1 ≤ 4 cos x ≤ 4 ⇒ min y( x ) = , max y( x ) = 4; 4 4 R R
sin x
− 2;
0 ≤ |sinx| ≤ 1 ⇒
1 1 ≤ 3 3
sin x
≤ 1 ⇒ −1
2 1 ≤ 3 3
sin x
− 2 ≤ −1;
2 min y( x ) = −1 , max y( x ) = −1. 3 R R
456. 1 6
x
1 6
x
а) Т.к. y = убывает и y(x) > 1 при x < 0 ⇒ = 10 при x < 0; б) т.к. y = 0,3x убывает и y(x) < 1 при x > 0 ⇒ 0,3x = 0,1 при x > 0; в) т.к. y = 10x возрастает и y(x) > 1 при x > 0 ⇒ 10x = 4 при x > 0; г) y = 0,7x убывает на R и y(x) > 1 при x < 0 ⇒ 0,7x = 5 при x < 0. 457.
58
www.5balls.ru
а) y = 3x возрастает на R, y = 4 – x убывает на R ⇒ у них не более одной точки пересечения. Очевидно, это точка А(1;3) ⇒ x = 1.
1 2
x
б) y = убывает на R, y = x + 3 возрастает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Из рисунка видно, что это точка В(-1;2), значит x = -1. 1 3
x
в) y = убывает на R, y = x + 1 возрастает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка С(0;1), значит x = 0. г) y = 4x возрастает на R, y = 5 – x убывает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка D(1;4), значит x = 1 единственное решение уравнения 4x = 5 – x. 458. а) y = 31-x убывает на R, y = 2x – 1 возрастает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка А(1;1), значит x = 1.
59
www.5balls.ru
б) y = 4x + 1 возрастает на R, y = 6 – x убывает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка М(1;5), значит x = 1.
в) y = 2x – 2 возрастает на R, y = 1 – x убывает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка B(1;0), значит x = 1.
г) при x ∈ (-∞;0) 3-x > 0, −
3 3 -x > 0 и y = 3 убывает, y = − x x
возрастает; при x ∈ (0;∞) 3-x > 0, − y = 3-x и y = −
3 < 0; следовательно, графики функций x
3 могут иметь не более одной точки пересечения одной x
точки пересечения на (-∞;0). Это точка С(-1;3), значит x = -1.
60
www.5balls.ru
459. а) нет; б) нет; в) нет; г) нет. 36. Решение показательных уравнений и неравенств 460. а) 4x = 64 ⇔ 4x = 43 ⇔ x = 3. 1 3
x
б) = 27 ⇔ 3− x = 33 ⇔ x = −3. в) 3x = 81 ⇔ 3x = 34 ⇔ x = 4. x
1 2
x
г) =
6
1 1 1 ⇔ = ⇔ x = 6. 64 2 2
461. 2 3
x
9 8
x
x
а) ⋅ =
3
б) 8 x − 3 = 3 4 2 − x ; 2 2 13x = 35; x =
3
27 3 3 ⇔ = ⇔ x = 3. 64 4 4 ( x − 3)
2
= 23
(2 − x )
; 9x − 27 = 8 − 4x ;
35 9 =2 . 13 13 x
в) 2 x ⋅ 3 x = 36 ⇔ 6 x = 36 ⇔ 6 2 = 6 2 ⇔ x = 4. 3 7
г)
3 x +1
7 = 3
5x − 3
7 ⇔ 3
−3x −1
7 = 3
5x − 3
⇔ −3x − 1 = 5x − 3 ⇔ x =
1 . 4
462. а) 36-x = 33x-2 ⇔ 6-x=3x – 2 ⇔ x = 2.
61
www.5balls.ru
1 б) 7
2 x 2 + x − 0,5
7 1 = ⇔ 7 7
x
в) 3 x = 9 ⇔ 3 2 = 3 2 ⇔ г) 2 x
2
+ 2 x − 0,5
2 x 2 + x − 0,5
1
12 = ⇔ 2 x 2 + x − 0,5 = 0,5 ⇔ 7
x = −1, x = 0,5
x = 2 ⇔ x = 4. 2
2 x = −3, = 4 2 ⇔ 2 x + 2 x − 0,5 = 2 2,5 ⇔ x 2 + 2 x − 0,5 = 2,5 ⇔ x = 1.
463. а) 7x+2 + 4⋅7x+1 = 539 ⇔ 11⋅7x+1 = 539 ⇔ 7x+1 = 72 ⇔ x = 1. б) 2⋅3x+1 – 3x = 15 ⇔ 6⋅3x – 3x = 15 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1. в) 4x+1 + 4x = 320 ⇔ 5⋅4x = 320 ⇔ 4x = 43 ⇔ x = 3. г) 3⋅5x+3+ 2⋅5x+1= 77 ⇔ 75⋅5x+1+ 2⋅5x+1= 77 ⇔ 5x+1= 50 ⇔ x = -1. 464. а) 9x – 8⋅3x – 9 = 0 ⇔ 32x – 8⋅3x – 9 = 0 ⇔ t2 – 8t – 9 = 0 t = −1,
3 x = −1 − не подходит, ⇔ ⇔ 3 x = 9 ⇔ x = 2. t = 9; 3 x = 9;
(t = 3x) t > 0 ⇔
б) 100x– 11⋅10x+ 10 = 0 ⇔ 102x– 11⋅10x+ 10 = 0 ⇔ t2– 11t + 10 = 0 10 x = 1, t = 1, x = 0, ⇔ x ⇔ 10 = 10; t = 10; x = 1.
(t = 10x) t > 0 ⇔
в) 36x – 4⋅6x – 12 = 0 ⇔ 62x – 4⋅6x – 12 = 0 ⇔ t2 – 4t – 12 = 0 t = −2, ⇔ t = 6;
(t = 6x) t > 0 ⇔
6 x = −2 − не подходит, ⇔ 6 x = 6 ⇔ x = 1. 6 x = 6;
г) 49x – 8⋅7x + 7 = 0 ⇔ 72x – 8⋅7x + 7 = 0 ⇔ t2 – 8t + 7 = 0 7 x = 1, t = 1, x = 0, ⇔ x ⇔ t = 7 ; 7 = 7 ; x = 1.
(t = 7x) t > 0 ⇔ 465.
2 x+y x+y x + y = 2, x = 2 − y, x = 3, а) 4x + 2 y −=1 16, ⇔ x4+ 2 y −1= 4 ,0 ⇔ ⇔ ⇔
4
= 1;
4
=4 ;
x + 2 y = 1;
y = −1;
y = −1.
62
www.5balls.ru
63x − y = 6 , 63x − y = 6 0,5 , 3x − y = 0,5, y = 3x − 0,5, x = 0, 1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ y − 2x y − 2x − 0,5 = 2 − = − = y 2 x 0 , 5 ; x 0 ; = 2 2 ; y = −0,5. 2
б)
1 2y − x 32 y − x = 3− 4 , 3 = , 2 y − x = −4, y = −3, x = −2, ⇔ ⇔ ⇔ 81 ⇔ x − y + 2 3 = 33 ; x − y + 2 = 3; x = y + 1; y = −3. 3 x − y + 2 = 27;
в)
1 4 x − y = 25, г) 5 ⇔ 9x − y 7 7 ; =
5 y − 4 x = 5 2 , ⇔ 9x − y 7 = 7 0,5 ;
y − 4 x = 2, ⇔ 9 x − y = 0,5;
x = 0,5, 5x = 2,5, ⇔ y 4 x 2 ; = + y = 4.
466. 1 3
x
а) ≥ 27 ⇔ 3− x ≥ 33 ⇔ − x ≥ 3 ⇔ x ≤ −3. x
( )x ≤ 361 ⇔ 6 2 ≤ 6 − 2 ⇔ x2 ≤ −2 ⇔ x ≤ −4.
б) 6
в) 0,2 x ≤
x
2
1 1 1 ⇔ ≤ ⇔ x ≥ 2. Ответ: 25 5 5
г) (1,5)x < 2,25 ⇔ (1,5)x < 1,52 ⇔ x < 2. Ответ: 467. а) 45-2x ≤ 0,25 ⇔ 45-2x ≤ 4-1 ⇔ 5 – 2x ≤ -1 ⇔ x ≥ 3. б) 0,37+4x > 0,027 ⇔ 0,37+4x > 0,33 ⇔ 7 + 4x < 3 ⇔ x < -1. в) 0,42x+1 > 0,16 ⇔ 0,42x+1 > 0,42 ⇔ 2x + 1 < 2 ⇔ x < 0,5. Ответ: (-∞;0,5). г) 32-x < 27 ⇔ 32-x < 33 ⇔ 2 – x < 3 ⇔ x > -1. 468. а) 3x+1 – 2⋅3x-2 = 75 ⇔ 3⋅3x − 1 5
x −1
б)
1 − 5
x +1
7 2 x ⋅3 = 75 ⇔ 2 ⋅ 3 x = 75 ⇔ 3x = 27 ⇔ x = 3. 9 9 x
x
x
x
1 1 4 1 1 1 = 4,8 ⇔ 5 ⋅ − ⋅ = 4,8 ⋅ 4 = 4,8 ⇔ = 1 ⇔ 5 5 5 5 5 5
⇔ x = 0.
63
www.5balls.ru
1 2
x −3
в) 5 ⋅
1 + 2
x +1
x
x
x
1 1 1 = 162 ⇔ 40 ⋅ + 0,5 ⋅ = 162 ⋅ 40,5 = 162 ⇔ 2 2 2
x
1 ⇔ = 4 ⇔ x = −2. 2
г) 5 ⋅ 9 x + 9 x − 2 = 406 ⇔ 5 ⋅ 9 x +
1 x 1 ⋅ 9 = 406 ⇔ 9 x ⋅ 5 = 406 ⇔ 9 x = 81 ⇔ x = 2. 81 81
469. Т.к. функция ах > 0, то мы имеем право делить уравнение на нее. 2 3
а) 2 x − 2 = 3 x − 2 ⇔ 1 3
б)
x −1
1− x
1 = 4
x −2
= 1 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2.
1 ⇔ 3
8 5
в) 5 x +1 = 8 x +1 ⇔
x −1
= 4 x −1 ⇔ 12 x −1 = 1 ⇔ x = 1.
x +1
= 1 ⇔ x = −1 .
г) 7 x − 2 = 4 2 − x ⇔ (28)x − 2 = 1 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2. 470. а) 3 x + 33 − x = 12 ⇔ 3 x + 27 ⋅ 3 − x = 12 ⇔ t 2 − 12t + 27 = 0 ⇔ t = 3, ⇔ ⇔ t = 9;
3 x = 3, ⇔ x 3 = 9;
x = 1, x = 2.
б) 4 x − 2 + 16 = 10 ⋅ 2 x − 2 ⇔ 2 2 x − 2 − 10 ⋅ 2 x − 2 + 16 = 0 ⇔ t 2 − 10t + 16 = 0 t = 2, ⇔ t = 2 x−2 ⇔ t = 8; 1− x
1 5
в)
x
x−2 x − 2 = 1, = 2, 2 ⇔ ⇔ 2 x − 2 = 8; x − 2 = 3;
1 1 − = 4,96 ⇔ 0,2 ⋅ 5 5
−x
x = 3, x = 11.
x
1 − = 4,96 5
x x 2 t = 1 t > 0 ⇔ t 2 + 4,96 t − 0,2 = 0 ⇔ t = −5 − не подходит , ⇔ 1 = 1 ⇔ x = 2. t = 0,04 5 5 5
(
)
г) 4 x − 0,25 x − 2 = 15 ⇔ 4 x − 16 ⋅ 4 − x = 15t t = 4 x ⇔ t > 0 ⇔
64
www.5balls.ru
t = −1 − не подходит, ⇔ t 2 − 15t − 16 = 0 ⇔ ⇔ 4 x = 4 2 ⇔ x = 2. t = 16;
471. 5 x + y = 125,
y = 3 − x, x + y = 3, ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 (2x − 3) − 1 = 0; ( x − y) − 1 = 0;
а)
2 4 (x − y ) −1 = 1;
y = 3 − x, y = 3 − x, ⇔ x = 1, ⇔ ⇔ 2 x − 3 = ±1; x = 2;
x = 1, y = 2; x = 2, y = 1.
y = 5 − x, x + y = 5, y = 5 − x, ⇔ x ⇔ 2x ⇔ x y 5− x x = 80; 4 + 4 = 80; 4 + 4 4 − 80 ⋅ 4 + 1024 = 0;
б)
y = 5 − x, y = 5 − x, x ⇔ 4 = 64, ⇔ x = 3, ⇔ x x = 2; 4 = 16; 3 x + 3 y = 12,
в)
x+y = 216; 6
x = 3, y = 2; x = 2, y = 3.
y = 3 − x , ⇔ x ⇔ 3 + 27 ⋅ 3 − x = 12;
y = 3 − x, y = 3 − x, y = 3 − x , x ⇔ 2x ⇔ 3 = 3, ⇔ x = 1, ⇔ 3 − 12 ⋅ 3 x + 27 = 0; x x = 2; 3 = 9; 4 x + y = 128,
г)
3x − 2 y − 3 = 1; 5
x = 1, y = 2; x = 2, y = 1.
2 2( x + y) = 2 7 , 2 x + 2 y = 7, 2 x + 2 y = 7, x = 2, ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − = = 3 x 2 y 3 ; 5 x 10 ; 3x − 2 y = 3; y = 1,5.
472. 2
1 2
а) 2 x > 1 б) 25
2x
<
2x − 3
( 5)
2 x < −3, ⇔ 2 x > 23 − 2x ⇔ x 2 + 2x − 3 > 0 ⇔ x > 1.
x 2 + 3,75
⇔5
− 4x
x 2 + 3,75 x 2 + 3,75 2 <5 ⇔ −4 x < ⇔
2
65
www.5balls.ru
⇔ x 2 + 8x + 3,75 > 0 . x ∈ (-∞; -7,5) ∪ (-0,5; +∞). x2
в) 3
4x + 3
2 x ≥ −3, 1 2 ⇔ 34x + 3 ≤ 3− x ⇔ x 2 + 4x + 3 ≤ 0 ⇔ ≤ 9 x ≤ −1.
Ответ: [-3;-1]. 10 x
1 4
г)
2 2 −x 2
< 64 3
2
⇔ 4 −10 x > 48 − 3x ⇔ 3x 2 − 10x − 8 > 0 ⇔
2 x<− , 2 ⇔ 3 Ответ: − ∞;− ∪ (4; ∞ ). 3 x > 4.
473. 2 3
x
2 3
x −1
а) +
x
б) 2 2x −1 + 2 2x − 2 + 2 2x − 3 < 448 ⇔ 4 3
в)
x +1
x
2 2 > 2,5 ⇔ 2,5 ⋅ > 2,5 ⇔ > 1 ⇔ x < 0. 3 3
x
7 2x ⋅ 2 < 448 ⇔ 4 x < 64 ⋅ 8 ⇔ 4 x < 4 4,5 ⇔ x < 4,5. 8
x
x
x
3 14 3 9 4 4 4 4 ⇔ > ⇔ > ⇔ > − > 3 16 3 3 16 3 16 3 3
г) 3 x + 2 + 3 x −1 < 28 ⇔
−2
⇔ X > −2.
28 x ⋅ 3 < 28 ⇔ 3 x < 3 ⇔ x < 1. 3
474. а) π x − π 2 x ≥ 0 ⇔ π x (1 − π x ) ≥ 0 , т.к. πх > 0 ⇔ π x ≥ 0, ⇔ π x ≤ 1 ⇔ x ≤ 0. Ответ: (-∞;0]. ⇔ 1 − π x ≥ 0; 1 3
б)
2 x −1
1 − 10 ⋅ 3 − x + 3 < 0 ⇔ 3 ⋅ 3
2x
x
1 − 10 ⋅ + 3 < 0 ⇔ 3
1 x 1 > , x < 1, 3 3 Ответ: (-1;1). ⇔ ⇔ x x > −1. 1 3 < 3;
66
www.5balls.ru
2 x > 4,
в) 4 x − 2 x +1 − 8 > 0 ⇔ 2 2 x − 2 ⋅ 2 x − 8 > 0 ⇔
2 x < −2;
⇔ x > 2.
Ответ: (2;∞). x
1 1 − 5 ⋅ 6− x − 6 ≤ 0 ⇔ 36 6
г)
x
1 1 ⇔ ≤ 6 6
−1
2x
1 x ≥ −1, 6 1 ⇔ − 5⋅ − 6 ≤ 0 ⇔ 6 1 x ≤ 6; 6 x
⇔ x ≥ −1. Ответ: [-1;∞).
475. а) 2x ≤ 3 – x; т.к. y = 2x возрастает, а y = 3 – x убывает, следовательно, у них одна точка пересечения А(1;2), и 2x ≤ 3 – x при x ≤ 1.
1 3
x
1 3
x
б) ≤ 2x + 5; т.к. y = – убывает, а y = 2x + 5 – возрастает, то они 1 3
x
пересекаются только в одной точке В(-1;3), и ≤ 2x + 5 при x ≥ -1.
67
www.5balls.ru
1 4
x
1 4
x
в) ≥ 2x + 1; т.к. y =
– убывает, а y = 2x + 1 – возрастает, то они 1 4
x
пересекаются только в одной точке С(0;1), и ≥ 2x + 1 при x ≤ 0.
г) 3x ≥ 4 – x; т.к. y = 3x – возрастает, а y = 4 – x – убывает, то они пересекаются тоьлько в одной точке D(1;3), 3x ≥ 4 – x при x ≥ 1.
37. Логарифмы и их свойства 476. а) log3 9 = 2;
1 8
б) log2 = -3;
в) log4 16 = 2;
г) log5
1 = -2. 25
477. 1 2
а) log9 3 = ;
б) log7 1 = 0;
1 5
в) log32 2 = ;
1 3
г) log3 = -1.
478. 2 3
а) log27 9 = ;
3 5
б) log32 8 = ;
3 4
в) log81 27 = ;
2 3
г) log125 25 = .
479. а) log3
1 1 = -4, 3-4 = ; 81 81
б) log16 1 = 0, 160 = 1;
68
www.5balls.ru
в) log4 16 = 2, 42 = 16;
г) log5 125 = 3, 53 = 125.
480. а) log5 0,04 = -2, 5-2 = 0,04;
б) log7 343 = 3, 73 = 343;
в) lg 0,01 = -2, 10-2 = 0,01;
г) log3
1 1 = -5, 3-5 = . 243 243
481. а) log
2
8 = 6,
( 2 )6 = 8;
б) log
1 27 = −6, 1 3
−6
= 27;
3
1 в) log 1 9 = −2,
= 9;
3
3
г) log0,5 4 = -2, 0,5-2 = 4.
−2
482. 3 14 14 а) log 2 2 128 = , 2 2 3 = 2 2 3
( )
14
3 = 128;
б) log0,2 0,008 = 3, 0,23 = 0,008; в) log
5
0,2 = −2,
( 5 )−2 = 0,2;
г) log0,2 125 = -3, 0,2-3 = 53 = 125.
483. 1 8
1 2
1 3
а) log5 25 = 2, log 5 1 = −1, log 5 5 = ; б) log8 64 = 2, log8 = −1, log8 2 = ; 5
в) log2 16 = 4, log 2
1 1 1 1 = −2, log 2 2 = ; г) log3 27 = 3, log 3 = −2, log 3 3 = . 4 2 9 2
484.
1 а) log3 x = -1, x = 3-1 = ; 3 2
в) log5 x = 2, x = 5 = 125;
б) log 1 x = −3, x = 1 6
6
−3
= 6 3 = 216;
г) log 7 x = −2, x = 7 −2 = 1 . 49
485.
69
www.5balls.ru
1 ; 64
а) log 4 x = −3, x = 4 −3 =
б) log
1 в) log 1 x = 1, x = 1 = 1 ;
7
7
5
x = 0, x =
( 5 )0 = 1;
г) log 1 x = −3, x = 1
7
−3
= 8.
2
2
486. 2 б) log x 1 = 2, x 2 = 1 , x = 1 ;
а) logx 81 = 4, x4 = 34, x = 3;
16
в) log x 1 = −2, x −2 = 2 −2 , x = 2; 4
4
4
г) logx 27 = 3, x3 = 33, x = 3.
487. 1 2
1
1 2
а) log4 x = 2, x = 42 = 16: log4 16 = 2; log4 x = , x = 4 2 = 2 : log 4 2 = ; log4 x = 1, x = 41 = 4: log4 4 = 1; log4 x = 0, x = 40 = 1: log4 1 = 0; 1 3
1 3
б) log3 x = 3, x = 33 = 27: log3 27 = 3; log3 x = -1, x = 3-1 = : log 3 = −1; 1 log3 x = -3, x = 3-3 = 1 : log 3 = −3; log3 x = 1, x = 31 = 3: log3 3 = 1; 27
27
1 2
1 2
в) log2 x = 3, x = 23 = 8: log2 8 = 3; log2 x = , x = 2 : log 2 2 = ; 1 log2 x = 0, x = 20 = 1: log2 1 = 0; log2 x = -1, x = 2-1 = : log 2 1 = −1; 2
г) log5 x = 1, x = 51 = 5: log5 5 = 1; log5 x = -2, x = 5-2 =
2
1 1 : log 5 = −2; 25 25
log5 x = 0, x = 50 = 1: log5 1 = 0; log5 x = 3, x = 53 = 125: log5 125 = 3. 488. а) 1,7
log1,7 2
= 2;
б) π log π 5,2 = 5,2;
в) 2 log 2 5 = 5;
г) 3,8
log 3,8 11
= 11.
489. а) 51+ log 5 3 = 5 ⋅ 5 log 5 3 = 5 ⋅ 3 = 15;
б) 101− lg 2 =
10 10
lg 2
=
10 = 5; 2
70
www.5balls.ru
1+ log 1 2
1 7
в)
=
7
1 1 ⋅ 7 7
log 1 2 7
=
г) 32 − log 3 18 =
1 2 ⋅2 = ; 7 7
9 3
log 3 18
=
9 1 = . 18 2
490. 2
а) 4 2 log 4 3 = 4 log 4 3 = 32 = 9;
1 в) 2
4 log 1 3 2
1 = 2
log 1 3 4 2
б) 5
− 3 log 5
1 1 log 5 2 2 =5
г) 6 −2 log 6 5 = 6 log 6 5
4
= 3 = 81;
−2
−3
1 = 2 = 5 −2 =
−3
= 8;
1 . 25
491. 2 2 2 5 3 3 а) log 3 a b = log 3 a 5 b 15
=
2 2 2 2 = log 3 a 5 + log 3 b 15 = log 3 a + log 3 b = 5 15
log 3 b 2 ; log 3 a + 3 5
10 a б) log 3 6 b5
(
−0,2
1 = log 3 a − 2 ⋅ b 6
1 1 −2 = log 3 a + log 3 b 6 = −2 log 3 a + log 3 b; 6 1
)
1 5
в) log 3 9a 4 5 b = log 3 9 + log 3 a 4 + log 3 b 5 = 2 + 4 log 3 a + log 3 b; г) log 3
b2 27a 7
= log 3 b 2 − log 3 27 − log 3 a 7 = 2 log 3 b − 3 − 7 log 3 a.
492.
1
3
1
1 2
3 2
1 2
а) lg100 ab 3c = lg100 + lg a 2 + lg b 2 + lg c 2 = 2 + lg a + lg b + lg c = = 2+
1 3 lg(ac) + lg b ; 2 2 1
= lg a 5 − lg 0,1 − lg c 2 − lg b 2 = 5 lg a + 1 − 2 lg c − 1 lg b; 0,1c 2 b 2
б) lg
a5
71
www.5balls.ru
1
в) lg 3 10 a 3 b 4 c
−
1 1 1 1 − 2 = lg 10 3 + lg a 3 + lg b 4 + lg c 2 = 1 + 1 lg a + 4 lg b − 1 lg c;
2
0,01c 3
г) lg
1 a 2 b3
3
2
1
= lg 0,01 + lg c 3 − lg a 2 − lg b 3 = −2 +
3
2
2 1 lg c − lg a − 3 lg b. 3 2
493.
1
1
1 2
а) lg10 3 a 4 b 2 c − 3 = lg10 3 + lg a 4 + lg b 2 + lg c − 3 = 3 + 4 lg a + lg b − 3 lg c;
2
б) lg
b3 10 5 a 6 c 5
2
= lg b 3 − lg 10 5 − lg a 6 − lg c 5 =
2
2 lg b − 5 − 6 lg a − 5 lg c; 3 2
2 3
в) lg10 − 4 a 2 b 5 c 3 = lg 10 − 4 + lg a 2 + lg b 5 + lg c 3 = −4 + 2 lg a + 5 lg b + lg c; 7 4 c г) lg 2 7 3 8 10 a b
2 7 = lg c 4 − lg10 7 − lg a 3 − lg b 8 = 7 lg c − 7 − 2 lg a − 8 lg b. 4 3
494. а) log5 72 = log5 8 + log5 9 = 3 log5 2 + 2log5 3 = 3a + 2b; б) log5 15 = log5 5 + log5 3 = 1 + b; в) log5 12 = log5 22 + log5 3 = 2log5 2 + log5 3 = 2a + b; г) log5 30 = log5 2 + log5 3 + log5 5 = a + b + 1. 495. а) lg8 + lg 125 = lg(8⋅125) = lg 103 = 3; б) log 2 7 − log 2
7 = log 2 2 4 = 4; 16
в) log12 4 + log12 36 = log12 122 = 2; г) lg13 – lg 130 = lg 10-1 = -1.
72
www.5balls.ru
496. а) lg 8 + lg18 = lg144 = 2 lg12 = 2; 2 lg 2 + lg 3
lg 12
б)
lg 12
log 3 16 2 log 3 4 = = 2; log 3 4 log 3 4
в) log 2 11 − log 2 44 = log 2 1 = −2; 4
г) log 0,3 9 − 2 log 0,3 10 = log 0,3 9 = log 0,3 0,32 = 2. 100
497. а) 3 log 6 2 + 0,5 log 6 25 − 2 log 6 3 = log 6 8 + log 6 5 − log 6 9 = log 6 40 ; 9
log 6 x = log6
б)
40 4 ,x = 4 ; 9 9
1 1 2 ⋅ c4 ( 5 a ) 1 lg 5a − 3 lg b + 4 lg c = lg(5a ) 2 − lg b 3 + lg c 4 = lg 2 b3
1 (5a ) 2 ⋅ c 4 lg x = lg b3
;
1 4 2 , x = (5a ) ⋅ c ; 3 b 2
1
2
5 3 в) 5 lg m + 2 lg n − 1 lg p = lg m 5 + lg n 3 − lg p 4 = lg m ⋅ n ; 1
3
2 5 3 m n lg x = lg 1 4 p
г)
4
p4
2 5 3 m n , x = ; 1 p4
1 log4 216 – 2log4 10 + 4log4 3 = log4 6 – log4 100 + log4 81 = 4 6 ⋅ 81 = log 4 4,86; log4 x = log4 4,86, x = 4,86. 100
= log 4 498.
73
www.5balls.ru
2
1 1 log 3 + 2 log 3 + 1 log 3 3 2 2 1 1 а) log 1 3 + log 3 + 2 = = + log 3 + 2 = 1 1 2 2 log 3 log 3 2 2 2 1 log 3 + 1 2 =− log 3 2
2
< 0 , откуда log 1 3 + log 3 2
б) 4 log 5 7 = 5 log 5 4
log 5 7
= 5 log 5 7
в) log 3 7 + log 7 3 − 2 = log 3 7 + =
(log 3 7 − 1)2 log 3 7
log 5 4
1 < −2; 2
= 7 log 5 4 ;
log 3 3 (log 3 7 )2 − 2 log 3 7 + 1 = −2= log 3 7 log 3 7
> 0 , откуда log 3 7 + log 7 3 > 2;
г) 3log 2 5 = 2 log 2 3
log 2 5
= 2 log 2 5
log 2 3
= 5 log 2 3.
38. Логарифмическая функция 499. а) 10 – 5x > 0 ⇔ x < 2; D(y) = (-∞;2); x > −3, D(y) = (-3;3); x < 3;
б) 9 – x2 > 0 ⇔
в) x – 4 > 0 ⇔ x > 4; D(y) = (4;∞); x > 4, D(y) = (-∞;-4)∪(4;∞). x < −4;
г) x2 – 16 > 0 ⇔ 500.
x > −2, D(y) = (-2; 3); x < 3;
а) 6 + x – x2 > 0 ⇔ б)
+
-2,5
+ 1
X
2x + 5 > 0; D(y ) = (-∞;-2,5)∪(1;∞); x −1
74
www.5balls.ru
в)
+
−
+
2 3
2,5
2 + 3x 2 + 3x 2 >0⇔ < 0; D(y ) = − ;2,5 . 5 − 2x 2x − 5 3 x < −1, D(y ) = (-∞;-1)∪(3;∞). x > 3.
г) x2 – 2x – 3 > 0 ⇔ 501.
а) log2 3,8 < log2 4,7, т.к. 3,8 < 4,7 и 2 > 1; б) log 1 0,15 > log 1 0,2, 3
3
т.к. 0,15 < 0,2 и
1 <1; 3
в) log3 5,1 > log3 4,9, т.к. 5,1 > 4,9 и 3 > 1; г) log0,2 1,8 > log0,2 2,1, т.к. 1,8 < 2,1 и 0,2 < 1. 502. а) log б) log
2 1 3
3 > 1 = log
1,9 > log
2 1
2 т.к. 3 > 2 и 2 > 1 ;
2,5, т.к. 1,9 < 2,5 и
3
1 <1 ; 3
в) logπ 2,9 < 1 = logπ π, т.к. 2,9 < π и π > 1; г) log 0,7 2 < log 0,7 0,3, т.к. 2 > 0,3 и 0,7 < 1. 503. а) log2 10 > log2 8 = 3, log5 30 < log5 125 = 3 ⇒ log2 10 > log5 30; 1 2
б) log0,3 2 < log0,3 0,3 = , log 5 3 > log 5 5 =
1 ⇒ log 0,3 2 < log 5 3; 2
в) log3 5 > log3 3 = 1, log7 4 < log7 7 = 1 ⇒ log3 5 > log7 4;
75
www.5balls.ru
г) log3 10 > log3 9 = 2, log8 57 < log8 64 = 2 ⇒ log3 10 > log8 57. 504. а) y = log3 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) возрастает на (0;∞); y(1) = 0, y(3) = 1, y(9) = 2;
б) y = log 1 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) убывает на (0;∞); 2
1 y = 1, y(1) = 0, y(2) = -1; 2
в) y = log4 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) возрастает на (0;∞); y(1) = 0, y(4) = 1, y(16) = 2;
г) y = log 1 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) убывает на (0;∞); 3
1 y = 1, y(1) = 0, y(3) = -1, y(9) = -2. 3
76
www.5balls.ru
505. а) sinx > 0 при 2πk < x < π + 2πk, k ∈Z; D(y) = (2πk;π + 2πk/k ∈ Z); б) 2x – 1 > 0 ⇔ 2x > 20 ⇔ x > 0; D(y) = (0;∞); в) cos x > 0 при −
π π + 2πn < x < + 2πn , n ∈ Z; 2 2
π π D(y ) = − + 2πn; + 2 πn n∈Z ; 2 2
г) 1 – 3x > 0 ⇔ 3x < 30 ⇔ x < 0; D(y) = (-∞;0). 506. а) log 2 2 sin
π π 2π ; + log 2 cos = log 2 sin 15 15 15
)
(
)
(
(
)
б) log 4 3 7 − 2 3 + log 4 3 49 + 3 21 + 3 9 = log 4 3 7 − 3 3 3 7 2 + 3 7 ⋅ 3 + 3 3 =
= log 4 4 = 1;
в) lg tg4 + lg ctg4 = lg tg4ctg4 = lg 1 = 0;
(
)
(
)
г) log π 5 + 2 6 + log π 5 − 2 6 = log π (25 − 24) = log π 1 = 0; 507. а) y = log3(x – 2);
77
www.5balls.ru
б) y = − log 1 x; 2
в) y = log2 (x + 1);
г) y = log 1 x + 2; 3
508. а) log3 x = 2log9 6 – log9 12 ⇔ log3 x = log9 3 ⇔ log3 x = б) log 1 x = log 0,2 35 − 2 log 0,2 25 7 ⇔ log 1 x = log 0,2 2
2
⇔ log 1 x = log 0,2 0,008 ⇔ log 1 x = 3 ⇔ x = 2
2
1 ⇔ x = 3. 2
35 ⇔ 625 ⋅ 7
1 . 8
1 2
в) log 5 x = log 3 144 + log 3 0,75 ⇔ log 5 x = log 3 (12 ⋅ 0,75) ⇔ log 5 x = 2 ⇔ x = 25. 1 2
г) log π x = 3 log 0,1 4 + 2 log 0,1 1 ⇔ log π x = log 0,1
64 ⋅ 25 1 ⇔ log π x = −2 ⇔ x = . 16 π2
509.
78
www.5balls.ru
В этом номере всегда одна функция возрастает, авторая убывает, вследствии чего они могут пересекаться лишь в одной точке. а) lg x = 1 – x; Графики функций y = lgx и y = 1 – x пересекаются в т.А(1;0), т.о. x = 1.
б) log 1 x = x − 4; Графики функций y = x – 4 и y = log 1 x пересекаются в 3
3
т.В(3,-1), т.о. x = 3.
в) log 1 x = x − 6; 5
Графики функций y = x – 6 и y = log 1 x пересекаются в т.С(5,-1), т.о. x = 5; 5
г) log2 x = 3 – x; Графики функций y = log2 x и y = 3 – x пересекаются в т.D(2;1), т.о. x = 2.
79
www.5balls.ru
510. а) нет; б) нет; в) нет; г) нет. 511. а) f ( x ) = log 1 x убывает на D(f), поэтому max f ( x) = f (1) = 0, min f ( x ) = f (4) = −1; [1;4]
4
[1;4]
б) f(x) = log9 x возрастает на D(f) поэтому 1 min f ( x ) = f = −1, max f ( x ) = f (9) = 1; 1 ;9 9
1 ;9 9
9
в) f(x) = log5 x возрастает на D(f) поэтому 1 min f ( x ) = f = −1, max f ( x ) = f ( x ) = 0; 1 5
1 5 ;1
5 ;1
г) f(x) = log 1 x убывает на D(f) поэтому 2
1 max f ( x ) = f = 1, min f ( x ) = f (4) = −2. 1 2
1 2 ;4
2 ;4
39. Решение логарифмических уравнений и неравенств 512. а) 9x = 0,7 ⇔ log9 9x = log9 0,7 ⇔ x = log9 0,7. б) (0,3)x = 7 ⇔ log0,3 (0,3)x = log0,3 7 ⇔ x = log0,3 7. в) 2x = 10 ⇔ log2 2x = log2 10 ⇔ x = log2 10. г) 10x = π ⇔ lg10x = lgπ ⇔ x = lgπ. 513. а) log5 x = 2 ⇔ x = 52 ⇔ x = 25.
80
www.5balls.ru
б) log0,4 x = -1 ⇔ x = (0,4)-1 ⇔ x = 2,5. 1 2
в) log 9 x = − ⇔ x = 9
−
1 2 ⇔ x = 1.
3
;
г) lgx = 2 ⇔ x = 102 ⇔ x = 100. 514. 1 2
а) log 1 (2x − 4) = −2 ⇔ 2x − 4 = 2
−2
⇔ 2 x − 4 = 4 ⇔ x = 4. x = −3, x = 1.
б) logπ (x2 + 2x + 3) = logπ 6 ⇔ x2 + 2x + 3 = 6 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ в) log0,3(5 + 2x) = 1 ⇔ 5 + 2x = 0,3 ⇔ x = -2,35. г) log2(3 – x) = 0 ⇔ 3 – x = 1 ⇔ x = 2. 515. а) (0,2)4-x = 3 ⇔ 4 – x = log0,2 3 ⇔ x = 4 – log0,2 3. 2
б) 5 x = 7 ⇔ x 2 = log 5 7 ⇔ x = ± log 5 7 . 1 3
в) 32 − 3x = 8 ⇔ 2 − 3x = log 3 8 ⇔ x = (2 − log 3 8). 1 2
г) 7 2 x = 4 ⇔ 2x = log 7 4 ⇔ x = log 7 4. 516. а) log3 x > 2 ⇔ log3 x > log3 9 ⇔ x > 9. x < 25, Итого: (0;25). x > 0.
б) log0,5 x > -2 ⇔ log0,5 x > log0,5 25 ⇔
в) log0,7 x < 1 ⇔ log0,7 x < log0,7 0,7 ⇔ x > 0,7. x < 6,25, Итого: (0;6,25). x > 0.
г) log2,5 x < 2 ⇔ log2,5 x < log2,5 6,25 ⇔ 517.
x − 2 < 16, x < 18, ⇔ − > x 2 0 ; x > 2.
а) log4(x – 2) < 2⇔log4(x – 2) < log416⇔
81
www.5balls.ru
Итого: (2;18). б) log 1 (3 − 2x ) > −1 ; log 1 (3 − 2x ) > log 1 3 ⇔ 3 − 2x < 3 ⇔ x > 0. 3
3
3
в) log5(3x + 1) > 2 ⇔ log5(3x + 1) > log5 25 ⇔ 3x + 1 > 25 ⇔ x > 8. г) log 1 (4x + 1) < −2 ⇔ log 1 (4x + 1) < log 1 49 ⇔ 4x + 1 > 49 ⇔ x > 12. 7
7
7
518. а) loga x = 2loga 3 + loga 5 ⇔ loga x = loga 45 ⇔ x = 45 при a > 0 и a ≠ 1. б) lg(x – 9) + lg(2x – 1) = 2 2x 2 − 19 x − 91 = 0, x = −3,5 − не подходит, ( x − 9)(2 x − 1) = 100, ⇔ ⇔ x = 13. ⇔ > x 9 , − > x 9 0 , x = 13; x > 0,5; 2 x − 1 > 0; x > 9.
в) loga x = loga 10 – loga 2 ⇔ loga x = loga 5 ⇔ x = 5 при a > 0 и a ≠ 1. г) log3(x + 1) + log3(x + 3) = 1 x 2 + 4 x + 3 = 3, ( x + 1)(x + 3) = 3, x ( x + 4) = 0; ⇔ ⇔ ⇔ x > −1, x + 1 > 0, x > −1; x > −3; x + 3 > 0; x = −4 − не подходит, ⇔ x = 0. ⇔ x = 0; x > − 1.
519. 1 2
1 2
а) log 2 ( x − 4) + log 2 (2x − 1) = log 2 3 ⇔ ( x − 4)(2 x − 1) = 9, ⇔ x − 4 > 0, ⇔ 2 x − 1 > 0;
2 x 2 − 9 x − 5 = 0, ⇔ x > 4;
x = −0,5 − не подходит , ⇔ x = 5. x = 5; x > 4;
б) lg(3x2 + 12x + 19) – lg(3x + 4) = 1 ⇔
82
www.5balls.ru
3x 2 + 12 x + 19 = 10, 3x + 4 ⇔ 3x 2 + 12 x + 19 > 0, ⇔ 3x + 4 > 0; x = 7, x = −1; ⇔ ⇔ 4 x > − 3 ;
3x 2 + 12 x + 19 = 30 x + 40, ⇔ 4 x > − ; 3
3x 2 − 18x − 21 = 0, ⇔ 4 x > − ; 3
x = 7, x = − 1.
в) lg(x2 + 2x – 7) – lg(x – 1) = 0 ⇔ x 2 + 2 x − 7 = x − 1, ⇔ ⇔ x 2 + 2 x − 7 > 0, x − 1 > 0;
x 2 + x − 6 = 0, x < −1 − 2 2 , ⇔ x > −1 + 2 2 ; x > 1;
x = −3, x = 2; ⇔ x = 2. x > −1 + 2 2 ;
г) log5(x2 + 8) – log5(x + 1) = 3log5 2 x2 + 8 = 8, ⇔ x +1 ⇔ x + 1 > 0;
x = 0, x 2 − 8x = 0, x = 0, ⇔ x = 8; ⇔ x > −1; x = 8. x > −1;
520. 1 log 4 x = −1,5, x= , ⇔ 8 log 4 x = 1; x = 4.
а) log 24 x + log 4 x − 1,5 = 0 ⇔ log 24 x + 0,5 log 4 x − 1,5 = 0 ⇔
б) lg2 x – lg x2 + 1 = 0 ⇔ lg2 x – 2lg x + 1 = 0 ⇔ (lg x – 1)2 = 0 ⇔ lg x = 1 x = 10. 1 log 5 x = −1, x= , ⇔ 5 log 5 x = 2; x = 25.
в) log 52 x − log 5 x = 2 ⇔ log 52 x − log 5 x − 2 = 0 ⇔
1 log 3 x = −1, x= , ⇔ 3 log 3 x = 3; x = 27.
г) log 32 x − 2 log 3 x − 3 = 0 ⇔ 521.
83
www.5balls.ru
x + y = 7, ⇔ lg x + lg y = 1;
а)
y = 7 − x, ⇔ lg x + lg(7 − x ) = lg 10;
x = 2, y = 7 − x, y = 7 − x, y = 7 − x, 2 y = 5; x (7 − x ) = 10, x − 7 x + 10 = 0, ⇔ ⇔ x = 2, ⇔ ⇔ > x 0 , > x 0 , x = 5; x = 5, x < 7; y = 2; 7 − x > 0;
log ( x + y) = 2, б) 4 ⇔ log 3 x + log 3 y = 2 + log 3 7;
log 4 ( x + y) = log 4 16, log 3 ( xy) = log 3 63, ⇔ x > 0, y > 0;
x + y = 16, xy = 63, ⇔ x > 0, y > 0;
y = 16 − x , x = 7, y = 16 − x , y = 16 − x , 2 x = 7, − = x ( 16 x ) 63 , x − 16 x + 63 = 0, y = 9; ⇔ ⇔ x = 9; ⇔ ⇔ > x 0 , x > 0, x = 9, y > 0; y > 0; x > 0, y = 7. y > 0; y = 34 − x , x + y = 34, log xy = log 2 64, в) ⇔ 2 ⇔ + = log x log y 6 ; 2 2 x > 0, y > 0; y = 34 − x , y = 34 − x , 2 x = 2, x − 34 x + 64 = 0, ⇔ ⇔ ⇔ x > 0, x = 32; y > 0; x > 0, y > 0;
log 4 x − log 4 y = 0,
г)
x 2 − 5y 2 + 4 = 0;
y = 34 − x , log 2 ( x )(34 − x ) = log 2 64, ⇔ x > 0, y > 0;
x = 2, y = 32; x = 32, y = 2.
x = y, y = x, ⇔ x 2 − 5y 2 + 4 = 0, ⇔ 4 − 4x 2 = 0, ⇔ x > 0, y > 0; x > 0, y > 0;
y = x, x = 1, x = −1 − не подходит, ⇔ ⇔ x = 1 ; y = 1. x > 0, y > 0;
522.
84
www.5balls.ru
а)
1 6 lg x + 5 + 6 lg x + 6 − (lg x + 1)(lg x + 5) + =1⇔ =0⇔ lg x + 1 lg x + 5 (lg x + 1)(lg x + 5)
lg x = −2, lg 2 x − lg x − 6 = 0, lg x = 3; lg 2 x − lg x − 6 ⇔ ⇔ lg x ≠ −1, ⇔ = 0 ⇔ lg x ≠ −1, (lg x + 1)(lg x + 5) lg x ≠ −5; lg x ≠ −5;
б) log 2
⇔
x = 4
x = 0,01, x = 1000.
15 15 ⇔ ⇔ log 2 x − 2 = x log 2 x − 4 log 2 − 1 8
(log 2 x − 2)(log 2 x − 4) − 15 = 0 ⇔ log 22 x − 6 log 2 x − 7 = 0 ⇔ log 2 x − 4
log 2 x − 4
log 2 x = −1, log 2 x − 6 log x − 7 = 0, x = 0,5, 2 ⇔ 2 ⇔ log 2 x = 7; ⇔ log 2 x ≠ 4; x = 128. log 2 x ≠ 4;
в)
2 lg x 2 lg x − lg(5x − 4) =1⇔ =0⇔ lg(5x − 4 ) lg(5x − 4)
x2 x2 = 1, lg = 0, x 2 − 5x + 4 = 0, 5x − 4 5x − 4 ⇔ ⇔ x > 0,8; ⇔ lg(5x − 4) ≠ 0, ⇔ x > 0,8; x ≠ 1; x > 0, 5x − 4 ≠ 1; 5x − 4 > 0; x = 1 − не подходит, x = 4; ⇔ x > 0,8, ⇔ x = 4. x ≠ 1;
г)
1 5 lg x + 2 + 5 lg x − 30 − (lg x − 6)(lg x + 2) + =1⇔ =0⇔ (lg x − 6)(lg x + 2) lg x − 6 lg x + 2
85
www.5balls.ru
lg x = 2, lg 2 x − 10 lg x + 16 = 0, lg x = 8; lg 2 x − 10 lg x + 16 ⇔ = 0 ⇔ lg x ≠ 6, ⇔ lg x ≠ 6, ⇔ (lg x − 6)(lg x + 2) lg x ≠ −2; lg x ≠ −2;
x = 100, 8 x = 10 .
523. а) log a x = log log a x = log a
a
2 + log 1 3 ⇔ log a x = log a 4 − log a 3 a
4 4 ⇔x= при a > 0, a ≠ 1. 3 3
б) 3 − 6 log 2 x + 7 log x log 4 2 7 4 4 − log 4 x + = 0, 7 = 0, 6 log x 2 − log 4 x + = 0 ⇔ log 4 x ⇔ ⇔ 6 log 4 x 6 x ≠ 1, x > 0; x ≠ 1, x > 0; 1 log 4 x = − , 3 6 log 2 x − 7 log x − 3 = 0, 4 4 ⇔ ⇔ 3 ⇔ log x = ; x ≠ 1, x > 0; 4 2 x ≠ 1, x > 0;
1 x = 3 , 4 x = 8.
в) log 3 x − 2 log 1 x = 6 ⇔ log 3 x − 2 log 3 x = 6 ; log 3 x = 2 ⇔ x = 9. 3
г) log 25 x + log 5 x = log 1 8 ⇔ log 5 x + 2 log 5 x + 2 log 5 8 ; 5
log 5 x = log 5
1 1 ⇔x= . 2 2
524. а) log2(9 – 2x) = 3 – x ⇔ 23-x = 9 – 2x ⇔ 2x + 8⋅2-x – 9 = 0 ⇔ 2 x = 1,
⇔ 22x – 9⋅2x + 8 = 0 ⇔
2 x = 8;
x = 0, ⇔ x = 3.
б) log2(25x+3 – 1) = 2 + log2(5x+3 + 1) ⇔ log2(52x ⋅56 – 1) = log2(4⋅5x+3 + 4) ⇔
86
www.5balls.ru
3125 ⋅ 5 2 x − 100 ⋅ 5 x − 1 = 0, 15625 ⋅ 5 2 x = 500 ⋅ 5 x + 5, ⇔ ⇔ ⇔ 25 x > 25 − 3 ; 15625 ⋅ 5 2 x > 1; 5 x = −0,008 − не подходит , ⇔ 5 x = 0,04; ⇔ x = −2. x > −3; 2 ⋅ 4 x − 2 − 1 = 4 2 x − 4 ,
в) log4(2⋅4x-2 – 1) = 2x – 4⇔
2 ⋅ 4 x − 2 − 1 > 0;
(
1 1 ⋅ 4 2 x − ⋅ 4 x + 1 = 0, 8 ⇔ 256 ⇔ 2 2( x − 2) > 2 −1 ;
)
2 x 4 x = 4 2 , ⇔ 4 − 16 = 0, ⇔ ⇔ x = 2. x > 1,5; 2x − 4 > −1;
г) log2(4x + 4) = log2 2x + log2(2x+1 – 3) ⇔ log2(4x + 4) = log2(2⋅4x – 3⋅2x) ⇔ 2 2 x − 3 ⋅ 2 x − 4 = 0, 4 x + 4 = 2 ⋅ 4 x − 3 ⋅ 2 x , ⇔ ⇔ ⇔ 3 x 2 x +1 − 3 > 0; 2 > ; 2 2 x = −1 − не подходит, x ⇔ 2 = 4; ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2. x 3 2 > ; 2
525. 2 x − 3 > x + 1,
а) lg(2x – 3) > lg(x + 1) ⇔ 2x − 3 > 0, x + 1 > 0;
x > 4, ⇔ x > 1,5, ⇔ Итого: (4;∞). x > −1;
2x − 4 < x + 1,
б) log0,3(2x – 4) > log0,3(x + 1) ⇔ 2x − 4 > 0, x + 1 > 0;
x < 5, ⇔ x > 2, x > −1;
Итого: (2;5). 3x − 7 > 0, в) lg(3x – 7) ≤ lg(x + 1) ⇔ x + 1 > 0, ⇔ 3x − 7 ≤ x + 1;
1 x > 2 3 , x > −1, ⇔ x ≤ 4;
1 x > 2 , 2 x ≤ 4.
87
www.5balls.ru
Итого: 2 ;4. 1 3
x > 3, 4x − 7 > x + 2, 3 г) log0,5(4x – 7) < log0,5(x + 2) ⇔ 4x − 7 > 0, ⇔ x > 1 , ⇔ x > 3. 4 x + 2 > 0; x > −2;
526. а) log0,5 x > log2(3 – 2x) ⇔ log 2 1 > log 2 (3 − 2 x ) ⇔ x
0 < x < 0,5, 1 − 3x + 2x 2 1 2( x − 0,5)( x − 1) > 0, > 0, x > 3 − 2x, x > 1; x x ⇔ x > 0, ⇔ x > 0, ⇔ x > 0, ⇔ x > 0, ⇔ 3 − 2x > 0; x < 1,5; x < 1,5; x < 1,5;
0 < x < 0,5, ⇔ 1 < x < 1,5.
Итого: (0;0,5)∪(1;1,5).
б) logπ(x + 1) + logπ x < logπ 2 ⇔ x 2 + x − 2 < 0, log π x ( x + 1) < log π 2, x > −2, x < 1, Итого: (0;1). ⇔ x > −1, ⇔ x < 1, ⇔ ⇔ x + 1 > 0, x > 0. x > 0; x > 0; x > 0; x 2 − x − 6 < 0, lg x ( x − 1) < lg 6, в) lg x + lg(x – 1) < lg6 ⇔ x > 0, ⇔ x > 0, ⇔ x − 1 > 0; x > 1; x > −2, x < 3, ⇔ x < 3, ⇔ x > 1. x > 1;
Итого: (1;3).
x 2 − x − 12 < 8,
г) log2(x2 – x – 12) < 3 ⇔ log2(x2 – x – 12) < log2 8 ⇔
x 2 − x − 12 > 0;
⇔
88
www.5balls.ru
x > −4, x 2 − x − 20 < 0, − 4 < x < −3, x < 5; ⇔ x < −3, ⇔ ⇔ x 3 , < − 4 < x < 5. x > 4; x > 4;
Итого: (-4;-3)∪(4;5). 527. а) log 22 x − log 2 x ≤ 6 ⇔ log 22 x − log 2 x − 6 ≤ 0 ⇔ 1 log x ≥ −2, 1 x ≥ , ⇔ 2 ⇔ 4 Итого: ;8. log x ≤ 3 ; 4 2 x ≤ 8.
б) log 21 3
log 1 x > 2, 3 x−4>0⇔ ⇔ log 1 x < −2; 3
1 1 log 1 x > log 1 9 , x < , 9 3 3 ⇔ > x 9 ; log 1 x < log 1 9; > x 0 . 3 3
1 9
Итого: 0; ∪ (9; ∞ ).
x > 10, lg x > 1, ⇔ x < 0,001; lg x < −3; x > 0.
в) lg2 x + 2 lg x > 3 ⇔ lg2 x +2lg x – 3 > 0 ⇔ Итого: (0;0,001)∪(10;∞).
log 3 x ≤ log 3 27, log x ≤ 3, ⇔ г) log 32 x − 9 ≤ 0 ⇔ 3 ⇔ log 3 x ≥ log 3 1 ; log 3 x ≥ −3;
27
x ≤ 27, 1 , x ≥ 27 x > 0.
1 ;27 . 27
Итого: 528.
sin x x 1 а) log 2 sin < −1 ⇔ log 2 sin < log 2 ⇔ 2 2 2 sin
x 1 < , 2 2 x > 0; 2
89
www.5balls.ru
x π 5π ∈ 2πn; + 2πn ∪ + 2πn; π + 2πn ; 2 6 6 π 5π x ∈ 4πn; + 4πn ∪ + 4πn; 2π + 4πn 3 3 3 − log 2 x < 2, log 2 x > log 2 2, x > 2, ⇔ ⇔ 3 − log x > − 2 ; log x log 32 ; < 2 2 x < 32, 2
б) 3 − log 2 x < 2 ⇔ Итого: (2;32).
1 1 cos 2x < , ⇔ 2 ⇔ 2 cos 2x > 0; 2
в) log 1 cos 2x > 1 ⇔ log 1 cos 2x > log 1 2
2
π π π π − 2 + 2πk < 2 x < − 3 + 2πk , − 4 + πk < x < − 6 + πk , ⇔ π + 2πk < 2 x < π + 2πk , k ∈ Z; π + πk < x < π + πk , k ∈ Z. 3 6 2 4 π π π π + πk;− + πk ∪ + πk; + πk , k ∈ Z. 4 6 6 4
Итого: −
x < 10, 1 lg x < 1, − г) 3 lg x − 1 < 2 ⇔ 3 lg x − 1 < 2, ⇔ 1 ⇔ x > 10 3 , 3 lg x − 1 > −2; x > 0. lg x > − 3 ;
1
Итого:
3 10
;10 .
529. 1 1 2 x = 9 9 , x + y = 9 , 1 log 1 ( x + y) = 2, 8 log 1 ( x + y) = log 1 9 , а) 3 ⇔ 3 ⇔ x − y = 9, ⇔ 2 y = −8 , ⇔ 3 9 log ( x − y) = 2; x + y > 0, 3 log 3 ( x − y) = log 3 9; x + y > 0, x − y > 0; x − y > 0;
5 x = 4 9 , y = −4 4 . 9
90
www.5balls.ru
x = 6, lg(x 2 + y 2 ) = lg 100, x 2 + y 2 = 100, lg(x 2 + y 2 ) = 2, y = 8; б) ⇔ log 48 xy = log 48 48, ⇔ xy = 48, ⇔ log 48 x + log 48 y = 1; x > 0, y > 0; x > 0, y > 0; x = 8, y = 6.
log 1 x + log 1 y = 2,
log 1 x = 3, 1 , x = 3 ⇔ ⇔ 27 log x − log y = 4 ; log y = − 1 ; 1 1 1 y = 3; 3 3 3
в)
3
3
lg(x 2 + y 2 ) = lg 130, x 2 + y 2 = 130, lg(x 2 + y 2 ) = 1 + lg 13, x + y x + y = 8x − 8 y, г) ⇔ ⇔ lg = lg 8, ⇔ lg(x + y) = lg(x − y) + lg 8; x − y x + y > 0, x − y > 0; x + y > 0, x − y > 0; 2 49 2 x 2 = 81, x + 81 x = 130, 7 x = −9, y = −7 − не подходит , y = 7 x, y = x, ⇔ ⇔ ⇔ 9 9 x = 9, y = 7. x + y > 0, x + y > 0, x − y > 0; x − y > 0;
Итого: (9;7). 530. 2x + y = 4, y = 4 − 2x, 32x + y = 34 , 2 2 ⇔ ⇔ + = ⇔ ( x y ) 9 x , (4 − x) = 9x, ⇔ (x + y) 2 2 lg(x + y) − lg x = 2 lg 3; lg x > 0; = lg 9; x > 0; x 3y ⋅ 9x = 81,
а)
y = 4 − 2x, y = 4 − 2x, ⇔ ⇔ x 2 − 17 x + 16 = 0, ⇔ x = 1, x = 16; x > 0;
x = 1, y = 2; x = 16, y = −28.
x + y = 5, x + y = 5, 2 2 2 101+ lg( x + y) = 50, lg(x − y ) = lg 20, x − y 2 = 20, б) ⇔ ⇔ ⇔ lg(x + y) + lg(x − y) = 2 − lg 5; x + y > 0, x + y > 0, x − y > 0; x − y > 0;
91
www.5balls.ru
2x = 9, x + y = 5, − = x y 4 , x = 4,5, 2 y = 1, ⇔ ⇔ ⇔ + > + > x y 0 , x y 0 , y = 0,5. x − y > 0; x − y > 0; 3 x ⋅ 2 y = 576, 3 x ⋅ 2 y = 576, 3 x ⋅ 2 y = 576, в) ⇔ ⇔ y − x = 4, ⇔ − = − = log ( y x ) 4 ; log ( y x ) log 4 ; y − x > 0; 2 2 2 6 x = 36, 3 x ⋅ 2 x + 4 = 576, x = 2, ⇔ ⇔ ⇔ y = 4 + x; y = 4 + x; y = 6. 3 x 13x = 117, 2 x − 3y = 0, lg y = lg 2 , lg x − lg y = lg 15 − 1, x = 9, 13y = 78, 3x + 2 y = 39, ⇔ г) lg(3x + 2 y) ⇔ ⇔ 3x + 2 y = 39; ⇔ 10 = 39; y = 6. x > 0, x > 0, x > 0, y > 0; y > 0; y > 0;
40. Понятие об обратной функции 531. а) f(x) = 2x + 1; D(f) = E(f) = R; y = 2x + 1, x =
y −1 x −1 – обратная ; g( x ) = 2 2
для f(x); D(g) = E(g) = R; 1 2
б) f(x) = x - 1; D(f) = E(f) = R; y =
1 x − 1, x = 2y + 2; 2
g(x) = 2x + 2 – обратная для f(x); D(g) = E(g) = R; в) f(x) = -2x + 1; D(f) = E(f) = R; y = -2x + 1, x = g(x) =
1− y ; 2
1− x – обратная для f(x); D(g) = E(g) = R; 2 1 2
1 2
г) f(x) = − x − 1; D(f) = E(f) = R; y = − x − 1, x = -2y – 2; g(x) = -2x – 2 – обратная для f(x); D(g) = E(g) = R. 532. 1 x
1 x
1 y
а) f ( x ) = − ; D(f) = E(f) = (-∞;0)∪(0;∞); y = − , x = − ;
92
www.5balls.ru
g(x) = −
1 – обратная для f(x); D(g) = E(g) = (-∞;0)∪(0;∞); x
б) f(x) = 2x2(x ≥ 0); D(f) = E(f) = [0;∞); y = 2x2, x =
y ; 2
g(x) =
x – обратная для f(x); D(g) = E(g) = [0;∞); 2
в) f ( x ) =
x 2 =1− ; D(f) = (-∞;-2)∪(-2;∞), E(f) = (-∞;1)∪(1;∞); x+2 x+2
y=
2x 2y x ; g(x) = – обратная для f(x); ,x = 1− x 1− y x+2
D(g) = E(f) = (-∞;1)∪(1;∞), E(g) = D(f) = (-∞;-2)∪(-2;∞); г) f(x) = x + 1; D(f) = [-1;∞), E(f) = [0;∞); y = x + 1, x = y2 – 1; g(x) = x2 – 1 – обратная для f(x); D(g) = E(f) = [0;∞), E(g) = D(f) = [-1;∞). 533. а) f(x) = 2x3 + 1; y = 2x3 + 1, x = 3 g(x ) = 3
y −1 ; 2
x −1 – обратная к f(x). 2
б) f(x) = (x + 1)2, x ∈ (-∞;-1]; y = (x + 1)2, x = -1 – y ; g(x) = -1 – x – обратная к f(x).
93
www.5balls.ru
в) f(x) = -2x3 + 1; y = -2x3 + 1, x = 3 g(x) = 3
1− y ; 2
1− x – обратная к f(x). 2
г) f(x) = (x – 1)2, x ∈ [1;∞); y = (x – 1)2, x = 1 + y ; g(x) = 1 + x – обратная к f(x).
534. а) g(-2) = -4, g(1) = 0,5, g(3) = 1,5.
б) g(-2) = 1, g(1) = -1, g(3) = -3.
D(g) = [-2;8], E(g) = [-4;4].
D(g) = [-6;4], E(g) = [-4;3].
в) g(-2) = -2, g(1) = -0,5, g(3) = 1.
г) g(-2) = 4, g(1) = 0, g(3) = -1.
D(g) = [-6;7], E(g) = [-4;5].
D(g) = [-3;7], E(g) = [-3;5].
94
www.5balls.ru
535. а) f(x) = x2 + 1, x ≤ 0; т.к. f(x) убывает на (-∞;0], то на (-∞; 0] существует g(x), обратная к f(x); y = x2 + 1, x = − y − 1; g ( x ) = − x − 1 , D(g) = [1;∞), E(g) = (-∞;0].
б) f(x) = 2x, (-∞;∞); т.к. f(x) возрастает на R, то на R существует g(x), обратная к f(x); y = 2x, x =
1 y; 2
1 2
g(x) = x, D(g) = E(g) = R.
95
www.5balls.ru
в) f(x) = 4 x , x ≥ 0; т.к. f(x) возрастает на [0;∞), то на [0; +∞) существует g(x), обратная к f(x); y = 4 x , x = y 4 ; g(x) = x4, D(g) = [0,∞), E(g) = [0;∞).
г) f(x) = x3 + 1, (-∞;∞); т.к. f(x) возрастает на R, то на R существует g(x), обратная к f(x); y = x3 + 1, x = 3 y − 1; g(x) = 3 x − 1, D(g) = E(g) = R.
536. π π
π π
π π
а) f(x) = sinx, x ∈ − ; ; т.к. f(x) возрастает на − ; , то на − ; 2 2 2 2 2 2 существует g(x), обратная к f(x); π π
y = sin x, x = arcsin y; g(x) = arcsin x, D(g) = [-1;1], E(g) = − ; . 2 2
96
www.5balls.ru
π π 2 2
π π 2 2
б) f(x) = tgx, x ∈ − ; ; т.к. f(x) возрастает на − ; , то на π π 2 2
x ∈ − ; существует g(x), обратная к f(x); π π 2 2
y = tg x, x = arctg y; g(x) = arctg x, D(g) = R, E(g) = − ; .
в) f(x) = cos x; т.к. f(x) убывает при x ∈ [0;π], то на [0;π] существует g(x), обратная к f(x); y = cos x, x = arccos y; g(x) = arccos x, D(g) = [-1;1], E(g) = [0;π].
г) f(x) = ctgx, x ∈ (0;π); т.к. f(x) убывает на (0;π), то на (0;π) существует g(x), обратная к f(x); y = ctg x, x = arcctg y; g(x) = arcctg x, D(g) = R, E(g) = (0;π).
97
www.5balls.ru
§ 11. Производная показательной и логарифмической функции 41. Производная показательной и логарифмической функции 537. а) ln3 ≈ 1,0986, ln5,6 ≈ 1,7228, ln1,7 ≈ 0,5306; б) ln8 ≈ 2,0794, ln17 ≈ 2,8332, ln1,3 ≈ 0,2624; в) ln2 ≈ 0,6931, ln35 ≈ 3,3551, ln1,4 ≈ 0,3365; г) ln7 ≈ 1,9459, ln23 ≈ 3,1355, ln1,5 ≈ 0,4055. 538.
(
)′
б) y`= (2x + 3e − x )′ = 2 − 3e − x ;
а) y`= 4e x + 5 = 4e x ;
1 2
′
г) y`= (5e − x − x 2 )′ = −5e − x − 2x.
1 2
в) y`= 3 − e x = − e x ;
539. а) y`= (e x cos x )′ = e x (cos x − sin x ); б) y`= (3e x + 2 x )′ = 3e x + 2 x ln 2; в) y`= (3 x − 3x 2 )′ = 3 x ln 3 − 6x; г) y`= ( x 2 e x )′ = xe x (2 + x ). 540. а) f`(x) = (e-x)`= -e-x, f(0) = 1, f`(0) = -1; y = 1 – x; б) f`(x) = (3x)` = 3xln3, f(1) = 3, f`(1) = 3ln3; y = 3 + 3ln3(x – 1) = 3ln3⋅x + 3(1 – ln3); в) f`(x) = (ex)` = ex, f(0) = 1, f`(0) = 1; y = 1 + x; 1 2
г) f`(x) = (2-x)` = -2-xln2, f(1) = , f`(1) = − y=
ln 2 ; 2
1 1 1 1 − ln 2( x − 1) = − ln 2 ⋅ x + (1 + ln 2) . 2 2 2 2
541.
98
www.5balls.ru
а) f(x) = 5ex, F(x) = 5ex + C;
x б) f(x) = 2⋅3x, F(x) = 2 ⋅ 3 + C;
ln 3
в) f(x) = 4x, F(x) =
4x + C; ln 4
г) f ( x ) = 1 e x + 1, F( x ) = 1 e x + x + C. 2
2
542. 1 x 1 а) ∫ 0,5 x dx = 0,5 | = 0,5 − 1
ln 0,5 0
0
ln 0,5
=−
ln 0,5
0,5 1 = ; ln 0,5 2 ln 2
1
1 б) ∫ e 2 x dx = 1 e 2x | = 1 e 2 − 1 = 1 ;
2
0
0
2
2
2
1 x 1 в) ∫ 2 x dx = 2 | = 2 − 1 = 7 ;
ln 2 − 2
−2
ln 2
4 ln 2
4 ln 2
2 x 2 г) ∫ 3 x dx = 3 | = 9 − 1 = 9 3 − 1 . ln 3 1 ln 3 3 ln 3 3 ln 3 1 − −
2
2
543. ′
( )′
′
а) y`= e x sin x = e x sin x ⋅ x 2 + e x cos x ⋅ x = 2xe x sin x + 1 e x cos x = 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2 x 1 x = e x 2x sin + cos 2 2 2
′ x x x ′ 2 1 б) y`= 7 tg3x = 7 2 ln 7 ⋅ x tg3x + 7 2 ⋅ (3x )′ = 2 cos 2 3x x
=
в) y`= e
=
x
x
ln 7 ln 7 2 3 3 ; ⋅ 7 tg3x + ⋅ 7 2 = 7 2 ⋅ tg3x + 2 2 2 cos 2 3x cos 3 x x
′ cos 2x = e x cos 2x ⋅
e x cos 2x 2 x
( x )′ − e
x
sin 2x ⋅ (2x )′ =
cos 2x − 2e x sin 2x = e x − 2e x sin 2x 2 x
99
www.5balls.ru
′
г) y`= 2 − x ctg x = 2 − x ln 2ctg x ⋅ (− x )′ − 2 − x
= −2
−x
3
3
x ln 2ctg − 3
2 −x 3 sin 2
x 3
= −2
′ x ⋅ = x 3 sin 2 3 1
x 1 . ln 2ctg − 3 2 x 3 sin 3
−x
544.
(
)
′ 5 x 6 x x 5 5 x6 = 6 x ⋅ 4 + 5 − x ⋅ 4 ln 4 = 4 ⋅ x (6 − x ln 4) + 30 x ; 2 2 4x + 5 4x + 5 4x + 5
а) y`=
(
(
(
)
)
(
)
)
′ −x 2 −x −x 2 e− x = − e x + 2 − e ⋅ 2x = − e x + 2x + 2 ; 2 2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2
б) y`=
( ) ( ) ′ x x x x x x 3x = 3 ln 3(2 + 5 ) − 3 (2 ln 2 + 5 ln 5) = в) y`= 2 2x + 5x (2 x + 5x ) =
3 x ⋅ 2 x (ln 3 − ln 2) + 3 x ⋅ 5 x (ln 3 − ln 5)
(2
x
+5
)
x 2
( (
=
3 x (2 x ln 1,5 + 5 x ln 0,6) (2 x + 5 x ) 2
;
) )
1 ′ − 0,3 − x ln 0,3 ⋅ x + 0,5 − 0,3 − x ⋅ 0,3 − x 2 x = г) y`= 2 x + 0,5 x + 0,5
545. а) f(x) = xe5x; D(f) = R; f`(x) = e5x + 5xe5x = 5e5x(x+0,2); f`(x) = 0 при x = -0,2, f`(x) < 0 при x ∈ (-∞;-0,2), f′(x) > 0 при x ∈ (-0,2;∞); f(x) убывает на (-∞;-0,2], f(x) возрастает на [-0,2;∞), min f ( x ) = f (−0,2) = − R
1 ; 5e
б) f(x) = x22-x; D(f) = R; f`(x) = 2x⋅2-x + x2⋅ln2⋅(-x)`=2-x⋅x(2 – xln2); f`(x) = 0 при x = 0;
2 ; ln 2
100
www.5balls.ru
-
+ 0
-
X
2 ln 2
f(x) убывает на (-∞;0] и на 2 ; ∞ , f(x) возрастает на 0; 2 ; ln 2
ln 2
x = 0 – min f(x), f(0) = 0; 2
x=
2 – max f(x), f 2 = 4 2 ln 2 ; ln 2 ln 2 ln 2 2
в) f(x) = xe-x; D(f) = R; f`(x) = e-x – xe-x = e-x(1 – x); f`(x) = 0 при x = 1, f(x) возрастает на (-∞;1], f(x) убывает на [1;∞), 1 e
x = 1 – max f ( x ) = f (1) = ; R
г) f(x) = x4⋅0,5x; D(f) = R; f`(x) = 4x3⋅0,5x + x4⋅0,5xln0,5=0,5x⋅x3(4 – xln2); f1(x) = 0 при x = 0; -
4 ; ln 2
+ 0
-
X
4 ln 2
f(x) убывает на (-∞;0] и на 4 ; ∞ , f(x) возрастает на 0; 4 ; ln 2 ln 2
4
x = 0 – min f(x), f(0) = 0; x =
4 4 256 − max f(x); f 0,5 ln 2 . = ln 2 ln 2 ln 4 2
546. 1 2
а) f(x) = e3-2x, F(x) = − e 3 − 2 x + C; б) f(x) = 2⋅0,9x – 5,6-x, F(x) = в) f(x) = 2-10x, F(x) = − 0,1 ⋅
2 ⋅ 0,9 x 5,6 − x + + C; ln 0,9 ln 5,6
2 −10 x + C; ln 2
101
www.5balls.ru
г) f(x) = e3x + 2,31+x = e3x + 2,3⋅2,3x, 1 3
2,31+ x 1 2,3 x + C = e 3x + + C. ln 2,3 3 ln 2,3
1
1
0
0
F(x)= e 3x + 2,3 547.
а) S = ∫ e x dx = e x | = e − 1; 1
1
0
0
9x 8 2 2 3 x 1 9 3 1 1 − − − + = − = ; |= ln 9 ln 3 0 ln 9 ln 3 ln 9 ln 3 2 ln 3 ln 3 ln 3
б) S = ∫ 9 x dx − ∫ 3 x dx =
2
−1
2x 2 4 1 7 | = − = ; ln 2 −1 ln 2 2 ln 2 2 ln 2
1
1
в) S = ∫ 2 x dx =
1 2
1
0
1 2 1 e 1 e − e − + 1 = e − 1 + . 2 2 2 2
1
x
г) S = ∫ e 2 x dx − ∫ e x dx = e 2 x − e x | = 0
0
548. 1 3 −1
а) SADE = SABCE − SABCD = 2 ⋅ 3 − ∫ dx = 6 + = 6−
3− x 1 1 3 | = 6+ − = ln 3 −1 3 ln 3 ln 3
8 ; 3 ln 3
102
www.5balls.ru
1
б) SADE = SABCE – SABOD – SDOCK = SABCE – 2SDOCK = 2⋅e – 2 ∫ e x dx = 0
1
= 2e − 2e x | = 2e − 2e + 2 = 2; 0
0
1
x
2 −x 0
1
4
в) S ABE = S ACDE − S BCDE = ∫ dx − 2 ⋅ 1 = − | −2= − + −2= 2 ln 2 − 2 ln 2 ln 2 −2 =
3 − 2; ln 2
0
1
x
1
2 −x 0
г) S AED = S ABCD − S ABOE − SOCDE = 3 ⋅ 4 − ∫ dx − ∫ 4 x dx = 12 + | − ln 2 − 2 2 0 −2 −
4x 1 1 4 4 1 3 3 9 | = 12 + − − + = 12 − − = 12 − . ln 4 0 ln 2 ln 2 ln 4 ln 4 ln 2 2 ln 2 ln 2
103
www.5balls.ru
42. Производная логарифмической функции 549. 1 3 ⋅ (2 + 3x )`= ; 2 + 3x 2 + 3x
а) y`= ((ln(2 + 3x ))`=
б) y`= (log 0,3 x + sin x )`= в) y`= (ln(1 + 5x ))`=
1 + cos x; x ln 0,3
1 5 ⋅ (1 + 5x )`= ; 1 + 5x 1 + 5x
г) y`= (lg x − cos x )`=
1 + sin x. x ln 10
550. а) y`= ( x 2 log 2 x )`=
1 1 x (2 ln x + 1); 2 x ln x + x 2 ⋅ = ln 2 x ln 2
1 ′ ⋅ x − ln x ⋅ x ` 1 − ln x ln x = ; = x x x2 x2
б) y`=
1 в) y`= ( x ln x )`= ln x + x ⋅ = ln x + 1; x
1 ′ ln x − x ⋅ x x = ln x − 1 . г) y`= = ln x ln 2 x ln 2 x
551. а) f ( x ) =
3 3 1 , F( x ) = ln 7 x + 1 + C , x ≠ − ; 7x + 1 7 7
б) f ( x ) =
1 2 − , F( x ) = ln x − 2 ln x + 5 + C , x ≠ -5, x ≠ 0; x x+5
в) f ( x ) =
1 , F( x ) = ln x + 2 + C , x ≠ -2; x+2
104
www.5balls.ru
г) f ( x ) =
4 , F( x ) = 4 ln x + C , x ≠ 0. x
552. а) f `(x ) =
1 , f(0) = ln1 = 0, f(0) = 1; y = x; x +1
б) f `(x ) = (lg x + 2)`= y = 2+
1 1 , f(1) = lg1 + 2 = 2, f `(1) = ; x ln 10 ln 10
1 x 1 ; ( x − 1) = +2− ln 10 ln 10 ln 10
2 в) f `( x ) = (2 ln x )`= 2 , f(e) = 2 lne = 2, f `(e) = ; y = 2 + 2 ( x − e) = 2 x ;
г) f `( x ) = (log 2 ( x − 1))`= y=
e
e
x
e
1 1 ; , f (2) = log 2 1 = 0, f 1( 2) = ln 2 ln 2( x − 1)
1 x 2 . ( x − 2) = − ln 2 ln 2 ln 2
553. 7
7
а) ∫ 2dx = 2 ln x | = 2 ln 7 − 2 ln 1 = 2 ln 7; 1
б)
1
x
1
dx
1
1
1
∫ 3 − 2x = − 2 ln 3 − 2x −|1 = 2 ln 5;
−1
e
3
e
3
в) ∫ dx = ln x | = ln e − ln 1 = 1; г) ∫ dx = 1 ln 3x + 1 | = 1 ln 10 − 1 ln 1 = 1 ln 10. x 3 3 3x + 1 3 1 0 3 1 0 554. а)
(
) ( )
1 ′ ⋅ ( x 2 + 1) ⋅ 3 − ln(5 + 3x ) ⋅ 2 x ln(5 + 3x ) 3 x 2 + 1 − 2 x (5 + 3x ) ln (5 + 3x ) 5 3x + = ; = y`= 2 2 2 x +1 x2 +1 x 2 + 1 (5 + 3x )
(
′ ′ x ln 10 x = = б) y`= lg(1 − 2 x ) ln (1 − 2 x )
)
ln 10 ⋅ ln (1 − 2 x ) 2 x
+
2 ln 10 x 1 − 2x
ln 2 (1 − 2 x )
=
105
www.5balls.ru
=
ln 10((1 − 2 x )ln (1 − 2x ) + 4x ) 2 x (1 − 2 x )ln 2 (1 − 2 x )
; 1
2 ⋅5 2 2x ln 5x − x ⋅ x (2 ln 5x − 1) 5x в) y`= x = ; = 2 2
ln 5x
log x 2 3 x +1
г) y`=
ln 5x
ln 5x
1 ′ (x + 1) − ln x 2 x (1 − ln x ) + 1 2 ln x ′ 2 x = = ⋅ . = ⋅ (ln 3)(x + 1) ln 3 ln 3 x (x + 1)2 (x + 1)2
555. а) f(x) = x ln x; D(f) = (0;∞); f `(x ) =
f `( x ) = 0 при x =
x=
1 e2
ln x 2 x
+
x ln x + 2 = , D(f`) = (0;∞); x 2 x
1 1 , f(x) убывает на 0; , f(x) возрастает на ; ∞ , 2 2 e e e 1
2
1 − min f(x) и f 2 e
2 =− ; e
1 ⋅ x − ln x ln x 1 − ln x = б) f ( x ) = ; D(f) = (0;∞); f `( x ) = x , D(f`) = (0;∞); x x2 x2
f`(x) = 0 при x = e, f(x) возрастает на (0;e], f(x) убывает на [e;∞); x = e – точка max f(x) и f ( e) =
ln e 1 = ; e e
в) y = 2x – lnx; D(f) = (0;∞); f `(x ) = 2 −
1 2( x − 0,5) = , D(f`) = (-∞;0)∪(0;∞); x x
f`(x) = 0 при x = 0,5; f(x) убывает на (0;0,5], f(x) возрастает на [0,5;∞), т. x = 0,5 – min f(x) и f(0,5) = 1 + ln2; г) f(x) = xln x; D(f) = (0;∞); f `(x ) = ln x + x ⋅
1 = ln x + 1; D(f`) = (0;∞); x
1 e
f`(x) = 0 при x = ,
106
www.5balls.ru
1
1
1
1
1
f(x) убывает на 0; , f(x) возрастает на ; ∞ , x = – min f(x) и f = − . e e e e e 556. а) f(x) = xln2x; D(f) = (0;∞); f `(x ) = ln 2 x + 2x ln x ⋅ f`(x) = 0 при x = 1 и x =
f(x) возрастает на 0;
x=
1 e
2
1 e2
1 = ln x (ln x + 2); x
;
1 1 и на [1;∞), f(x) убывает на 2 e2 e
;1;
1 4 = , x = 1 – min f(x) и f(1) = 0; 2 2 e e
– max f(x) и f
б) f ( x ) =
′ 2x ln x − 1 2x = 2 ln 10 ⋅ ; D(f) = (0;1)∪(1;∞); f `( x ) = , lg x lg x ln 2 x
D(f′) = (0;1)∪(1;∞); f`(x) = 0 при x = e,; f(x) убывает на (0,1) и на (1;e], f(x) возрастает на [e;∞), x = e – min f(x) и f(e) = 2eln10;
в) f ( x ) =
ln x x
; D(f) = (0;∞); f `( x ) =
1 1 ln x ⋅ x− x 2 x
( x)
2
1 =
2 x
(2 − ln x ) x
=
2 − ln x 2 x3
,
D(f`) = (0;∞);f`(x) = 0 при x = e2; 2 e
f(x) возрастает на (0;e2], f(x) убывает на [e2;∞), x = e2 – min f(x) и f(e2) = ; г) f ( x ) =
1 1 1 x −1 + = + ln x; D(f) = (0;∞); f `( x ) = − , D(f`) = (-∞;0)∪(0;∞); x x2 x x2
f`(x) = 0 при x = 1; f(x) убывает на (0;1], f(x) возрастает на [1;∞), x = 1 – min f(x) и f(1) = 1. 557. 6
6
а) S ABCD = ∫ 2 + dx = (2x + 4 ln x ) | = 12 + 4 ln 6 − 4 − 4 ln 2 = 8 + 4 ln 3.
2
4 x
2
107
www.5balls.ru
−1
−1
2
∫ − x dx = −2 ln x −|4 = −2(ln1 − ln 4) = 4 ln 2.
б) S ABCD =
−4
2
в) S =
1
1
1 4
−3
г) S =
2
1
1
3
∫ 2x dx = 2 ln x 1| = 2 ln 2 − ln 4 = 2 ln 2. 4
1
−3
∫ 3 − x dx = (3x − ln(−x )) −|6 = −9 − ln 3 + 18 + ln 6 = 9 + ln 2.
−6
43. Степенная функция 558. а) f ( x ) = x
б) f ( x ) = x
−
3 2 ; D(f)
3
5
3 −2 ; 2
= (0;∞); f `(x ) = − x
; D(f) = [0;∞); f `( x ) = 3 x 3 −1 ;
108
www.5balls.ru
2
1
в) f ( x ) = x 3 ; D(f) = [0;∞); f `(x ) =
г) f ( x ) = x −
5
2 −3 x ; 3
; D(f) = (0;∞); f `( x ) = − 5 ⋅ x − 5 −1.
559. а) f(x) = x-e; D(f) = (0;∞); f`(x) = -ex-e-1;
x 3
б) f ( x ) =
− lg 5
1 x ; D(f) = (0;∞); f `( x ) = − lg 5 ⋅ 3 3
− lg 5 −1
;
в) f(x) = xπ; D(f) = [0;∞); f`(x) = πxπ-1;
109
www.5balls.ru
г) f(x) = (2x)ln3; D(f) = [0;∞); f`(x) = 2⋅ln3⋅(2x)ln3-1.
560. 1
1
1 9
1
а) 24 3 = (27 − 3) 3 = 3 ⋅ 1 − 3 ≈ 31 −
1 3 ⋅ 26 8 = 2 ≈ 2,89; = 9⋅3 27 9
б) 4 625 ⋅ 3 = 54 3 = 5 ⋅ 4 1,34 + 0,14 ≈ 5 ⋅ 1,3 ⋅ 1 +
0,14 1 ⋅ ≈ 6,5 ⋅ 1,01 ≈ 6,57; 2,85 4
0,25 ≈ 4,2 ⋅ 1,03 ≈ 4,33; 3 ⋅ 1,4 3
0,14 ≈ 2,6 ⋅ 1,01 ≈ 2,63. 2,85 ⋅ 4
в) 3 81 = 33 3 = 33 1,4 3 + 0,25 ≈ 3 ⋅ 1,4 ⋅ 1 + г) 4 48 = 24 3 = 2 ⋅ 4 1,3 4 + 0,14 ≈ 2 ⋅ 1,31 +
561.
1 9
а) 3 30 = 3 27 + 3 = 3 27 ⋅ 3 1 + ≈ 3 ⋅ 1 +
б) 4 90 = 4 81 + 9 = 4 81 ⋅ 4 1 + в) 9,02 = 9 ⋅ 1 +
1 ≈ 3,11; 3⋅9
1 1 ≈ 3 ⋅ 1 + ≈ 3,08; 9 4⋅9
2 1 ≈ 3 ⋅ 1 + ≈ 3,003; 900 900
г) 5 33 = 5 32 + 1 = 5 32 ⋅ 5 1 +
1 1 ≈ 2 ⋅ 1 + ≈ 2,01. 32 5 ⋅ 32
562.
110
www.5balls.ru
2
а) Т.к. f ( x ) = x 5 возрастает на R, то min f ( x ) = f (1) = 1, max f ( x ) = f (32) = 4;
[1;32]
[1;32]
б) т.к. f ( x ) = x
−
4 3
убывает на R, то
1 1 max f ( x ) = f = 16, min f ( x ) = f (27) = ; 8 81 1 1 8 ;27
8 ;27
в) т.к. f(x) = x-4 убывает на R, то 1 max f ( x ) = f = 16, min f ( x ) = f (1) = 1; 1 2
1 2 ;2
2 ;1
3
г) т.к. f ( x ) = x 4 возрастает на R, то 1 1 min f ( x ) = f = , max f ( x ) = f (81) = 27. 16 8 1
1 16 ;81
16 ;81
563. 1 2
а) f ( x ) = − x −
б) f ( x ) = x 2
3
2
, F( x ) = −
, F( x ) =
x − 2 +1
(
)
2 − 2 +1
x 2 3 +1 2 3 +1
+C=
x 1− 2 2(1 − 2 )
+ C;
+ C;
в) f(x) = 3x-1, F(x) = 3ln|x| + C; г) f ( x ) = x e , F( x ) =
x e +1 + C. e +1
564. 5
7
7
7
(
)
4 4 2 а) ∫ x 2 dx = 2 ⋅ x 2 | = 2 2 2 − 1 2 = 2 ⋅ 2 7 − 1 = 36 2 ; 1
7
1
7
7
7
111
www.5balls.ru
8
2 − +1
)
(
x 3 8 б) ∫ = 4⋅ | = 12 3 8 − 3 1 = 12; 2 2 1 − +1 1 x3 3 4dx
e2
e2
e
e
(
)
в) ∫ 2x −1dx = 2 ln x | = 2 ln e 2 − ln e = 2; 1 +1 1 x 4 81 4 г) ∫ 5x dx = 5 ⋅ | = 1 16 + 1 16 81
4
5 45 4 4 3 4 − 2 4
= 4 ⋅ 211 = 844.
565. 1
а) S = ∫ x
2
dx =
0
x 2 +1 1 |= 2 +1 0
1 2 +1 1
1
;
1
3
б) S ABE = S ACDE − S BCDE = ∫ dx − ∫ x 1x 1 2
=−
1 3 +1
32
− ln
5
1 x
2
2
1 2 − 3 −1 2 − 3 −1 − 1 + = + ln 2; 2 3 +1 3 +1
в) S = ∫ x − 0,8 dx = 1
x 3+ 1 dx = ln x − | = 3 +1 1
(
)
32 x −0,8 +1 32 | = 55 x | = 5 5 32 − 1 = 5; − 0,8 + 1 1 1 5
г) S = ∫ dx = ln x | = ln 5 − ln 3. 3
3
566. 2) 2 ≈ 1,4142, 3 3 ≈ 1,4422,
3 ≈ 1,7321, 4 2,5 ≈ 1,2574, 3 2,5 ≈ 1,3572, 4 3 ≈ 1,3161,
2,5 ≈ 1,5811, 4 2 ≈ 1,1892 .
112
www.5balls.ru
0.04 0,04 ≈ 1,4143; ≈ 1,41 + 1,96 2 ⋅ 1,96
3) 2 = 1,4 2 + 0,04 = 1,4 2 ⋅ 1 +
3 3 = 3 1,4 3 + 0,256 = 3 1,4 3 ⋅ 3 1 + 0,256 ≈ 1,41 + 0,256 ≈ 1,4435;
2,744
3 = 1,3 4 + 0,1439 = 1,3 4 ⋅ 1 +
3 ⋅ 2,744
0,1439 0,1439 ≈ 1,7326; ≈ 1,691 + 2,8561 2 ⋅ 2,8561
4 2,5 = 4 1,25 4 + 15 = 4 1,25 4 ⋅ 4 1 +
256
15 15 ≈ 1,2575; ≈ 1,251 + 256 ⋅ 2,4414 4 ⋅ 256 ⋅ 2,4414
3 2,5 = 3 1,33 + 0,303 = 3 1,33 ⋅ 3 1 + 0,303 ≈ 1,31 + 0,303 ≈ 1,3598;
2,197
3 ⋅ 2,197
4 3 = 4 1,3 4 + 0,1439 = 4 1,3 4 ⋅ 4 1 + 0,1439 ≈ 1,31 + 0,1439 ≈ 1,3164;
2,8561
2,5 = 1,6 2 − 0,06 = 1,6 2 ⋅ 1 −
4 ⋅ 2,8561
0,06 0,06 ≈ 1,5813; ≈ 1,61 − 2,56 2 ⋅ 2,56
4 2 = 4 1,2 4 − 0,0736 = 4 1,2 4 ⋅ 4 1 − 0,0736 ≈ 1,21 − 0,0736 ≈ 1,1787.
2,0736
2 ⋅ 2,0736
567. а) нет; б) нет; в) нет; г) да, т.к. x ≥ 0 и min f ( x ) = f (0) = 0 x ≥0
44. Понятие о дифференциальных уравнениях 568. а) y`(t) = -6sin(2t + π), y``(t) = -12cos(2t + π); -12cos(2t + π) = -12⋅cos(2t + π); 1 2
π 3
1 2
π 3
б) y`( t ) = 2 cos t − , y``( t ) = − sin t − ; π 1 π 1 1 − sin t − = − ⋅ 4 sin t − ; 3 4 3 2 2
в) y`(t) = -8sin4t, y``(t) = -32cos4t; -32cos4t + 32⋅cos4t = 0;
113
www.5balls.ru
г) y`( t ) = −
1 1 cos(0,1t + 1), y``( t ) = − sin(0,1t + 1); 30 300
1 1 1 sin(0,1t + 1) + ⋅ sin(0,1t + 1) = 0 . 300 100 3
569. y`(x) = 15e3x, 15e3x = 3⋅5⋅е3x. 570. y`(x) = -14e-2x, -14e-2x = -2⋅7e-2x. 571. y`(x) = -21e-7x, -21e-7x = -7⋅3e-7x. 572. а) очевидно, что y = Asinkx – решение; y`(x) = A⋅kcoskx, y``(x) = -Ak2sinkx; y`` + 25y = 0 ⇒ -Ak2sinkx + 25Asinkx = 0, sinkx(25 – k2) = 0; k = ±5; y(x) = Asin5x, где А – const; б) очевидно, что y = Asinkx – решение; 1 A y``+4 y = 0 ⇒ − k 2 sin kx + 4A sin kx = 0, sin kx (36 − k 2 ) = 0, k = ±6; 9 9
y(x) = Asin6x, А – const; в) очевидно, что y = Asinkx – решение; 4y`` + 16y = 0 ⇒ -4Ak2sinkx + 16Asinkx = 0, sinkx(4 – k2) = 0, k = ±2; y(x) = Asin2x; А – const; г) очевидно, что y = Asinkx – решение; y``= −
1 1 1 1 y ⇒ −Ak 2 sin kx + A sin kx = 0, sin kx − k 2 = 0, k = ± ; 4 4 2 4
y( x ) = A sin
kx ; A – const. 2
573. а) x` = -4sin(2t – 1), x`` = -8cos(2y – 1); -8cos(2t – 1) + 4⋅2cos(2t – 1) = 0 или x`` + 4x = 0;
114
www.5balls.ru
π 7
π 7
б) x`= −0,64 sin 0,1t + , x``= −0,064 cos 0,1t + ;
π π − 0,064 cos 0,1t + + 0,01 ⋅ 6,4 cos 0,1t + = 0 7 7
или x`` + 0,01x = 0;
π 4
π 4
в) x = 4 sin 3t − ; x ′ = 12 cos 3t − ;
π π π x ``= −36 sin 3t − ; − 36 sin 3t − + 9 ⋅ 4 sin 3t − = 0 4 4 4
или x`` + 9x = 0; г) x` = 0,213cos(0,3t – 0,7), x`` = -0,0639sin(0,3t – 0,7); -0,0639sin(0,3t – 0,7) + 0,09⋅0,071sin(0,3t – 0,7) = 0 или x`` + 0,09x = 0. 574. а) Пусть x(t) = x1(t) + x2(t) = A1cos(ω1t + ϕ1) + A2cos(ω2t + ϕ2) – периодическая функция с наименьшим положительным периодом Т. x(t + T) = A1cos(ω1t + ω1T +ϕ1) + A2cos(ω2t + ω2T + ϕ2) = =A1cos(ω1t + ϕ1) + A2cos(ω2t + ϕ2) = x(t). Если это выполнено при любых t и ϕ, то ω1T = 2πk , ω k ⇒ 1 = = r – рациональное число при n и k ∈ Z. ω2 r ω 2 T = 2πn , n и k ∈ Z;
575. Зависимость массы вещества от времени: m(t) = m0e-kt. По условию n = me-kt, ln Т находим из условия: T=
m 1 = kt , k = (ln m − ln n ); период полураспада радия n t
m = me − kT , 2
ln 2 ln 2 r ln 2 или T = . = 1 k ln m − ln n (ln m − ln n ) t
115
www.5balls.ru
576. m1 = m 0 e − kt ⇒ t =
m ln 2 1 m0 T 3 1 , t= ln ; k= ln 0 = ⋅ ln = 9 мин. T k m1 ln 2 m1 ln 2 0,125
577. m1 = m 0 e − kt , t =
1 m m0 T ln 10 = 3,3 ч.; ⋅ ln 0 ; при = 10, Т = 1 ч.: t = ln 2 ln 2 m1 m1 1000
ln 2
− ln 2 − t m1 m 1500 ≈ 0,64. = e T , если t = 100 лет и Т = 1500 лет, то 1 = e m0 m0
578. T′ = –k(T – T1), T1 = 0. Решение этого уравнения T(t) = T0e-kt, где k > 0 – const. Для первого тела T (1) ( t ) = T0(1) e − k 1t , для второго тела T (1) ( t ) = T0(1) e −k 2 t ; через время t1 температура 1 тела была T1(1) , температура 2 тела T1( 2) : (1)
T1
( 2) (1) T (1) 1 T 1 T (1) = T0 e − k1t 1 , k1t1 = ln 0 , k1 = ln 0 : T1(2) = T0(2) e − k 2 t 1 , k 2 = ln 0 ; (1) ( 1 ) t1 T t 1 T ( 2) T1 1 1
момент времени t, когда температуры тел сравняются, находим из условия ( 2)
(1)
−
T (1) ( t ) = T ( 2) ( t ) : T0(1) e ( 2)
(1)
T t ln 0 t 1 T (1) 1
− ( 2)
= T0 e
T t ln 0 t 1 T ( 2) 1
t − (1) t1 T0 , =e ( 2) T0
(1) T ( 2) T ln 0 − ln 0 (1) T ( 2) T1 1
,
( 2)
T ⋅ T1 T t ⋅ ln 0 = ln 0 , (1) ( 2) (1) t1 T ⋅T T 0
1
0
( 2) T ln 0 (1) T0 t = t1 ; T ( 2) T (1) ln 0 1 T0(1) T1( 2)
при t1 = 10 мин, T0(1) = 200°C, T0( 2) = 100°C, T1( 2) = 80°C, T1(1) = 100°C :
116
www.5balls.ru
1 ln 2 2 t = 10 ⋅ = 10 ≈ 14,75 мин. ln 1,6 1 10 ln ⋅ 2 8 ln
579. См. задачу 578. (1)
−
(1)
T (1) ( t ) = T0 e
T t ln 0 t 1 T (1) 1
( 2)
−
и T ( 2) ( t ) = T0( 2) e (1)
∆T = T (1) ( t ) − T ( 2) ( t ) = e
ln T0 −
T t ln 0 t 1 T ( 2) 1
(1)
T t ln 0 t 1 T (1) 1
( 2)
ln T0
−e
; ( 2)
−
T t ln 0 t 1 T ( 2) 1
;
при ∆T = 25°C, T0(1) = T0(2) = 100°C, T1(1) = 80°C, T1( 2) = 64°C; t1 = 10 мин: −
t
25 = 100e 10
ln
2t
t
10 t 100 t t − ln 8 − 100e 10 64 ; 25 = 100 ⋅ 0,8 10 − 100 ⋅ 0,64 10 ;
(0,8)10 − (0,8)10
( )
(
)
2
t t + 0,25 = 0, (0,8)10 − 0,5 = 0; (0,8)10 = 0,5;
t ln 0,5 = log 0,8 0,5; t = 10 log 0,8 0,5 = 10 ≈ 31,08 мин. 10 ln 0,8
580. 5 3
Т.к. v′( t ) = −kv( t ) = − v( t ) , и v(0) = v0, то 5 − t
км v( t ) = v 0 e 3 ; при v 0 = 30 , t = 3 мин: ч 5
− t м v(3) = 500 ⋅ e 3 = 500e − 5 ≈ 3,4 . мин
117
www.5balls.ru