Об относительном движении брошенной точки

ОБЪ ОТНОСИТЕЛЬНОМЪ ЩШ1

БРОШЕННОЙ ТОЧКИ В.

Я.

ЦИНГЕВА*

(Читано 16-го Марта 1865 года). „

_

щ

При опред^ленш относительныхъ движенш пользуются обыкновенно общими дифференщальными уравнешями, которым получаются изъ уравнешй абсолютнаго движешя чрезъ пре­ образован! е координатъ. Для решетя частныхъ вопросовъ такой пр!емъ въ большинства случаевъ оказывается недоста­ точным^ потому что интегрироваше уравнешй относительнаго движешя р^дко бываетъ доступно. Сложный видъ этихъ уравненШ представляетъ еще то неудобство, что значеше входящихъ въ нихъ разнородныхъ членовъ не всегда бываетъ достаточно ясно; и это обстоятельство легко можетъ быть причиною неточности или неясности изложешя. Но та связь между абсолютными и относительными коор­ динатами, которая выражается формулами* преобразования и которая служитъ для получешя дифференщальныхъ уравнешй, можетъ очевидно привести насъ непосредственно къ интеграламъ относительнаго движешя и именно въ т^хъ случаяхъ, когда абсолютное движеше известно. Въ еамомъ лгЬлЪ, положемъ наоримФръ, что намъ известны три конечныя уравнешя абсолютнаго движешя точки: Л(#1> УР zt> 0 = 0 ; (ft(xl9 у4, zi9 0 = 0 ; ф4(л?4, Vi> « 1 , 0 = 0 (I).

-г. 164. —

рыраженныя помопцю абсолютныхъ координатъ этой точки я?15 yi3 zi и времени t. Этими уравнешями вполне опреде­ ляется движеше относительно неподвижныхъ» осей xi$yl9 zr Такъ какъ координаты х, у, z той же точки относительно ДЗВ'ЕСТНЫМЪ образовгь движущихся осей во всякое время вы­ ражаются ч$е$Т> хх% yl3 zi помощш лирейнщхъ уравнешй: со = а + aixi -f a2lJi + azzi ) У = ß + *4a?i + 62У| + M i . . . . . . Ä = у + cta?f + сгух + CjÄt J

(II)

въ которыхъ коэффищенты еут|> вообще извФстныя функцщ рремени t, то понятно, что вставляя вместо xi3 yl3 zi въ уравнешя (I) ихъ величину, вздтыя из^ уравнешй (II), мы получимъ три у^авнешя движешя точки относительно подрижныхъ осей, т. е. три конечные интеграла относительная движешя: f(x, у, %ч 0 = 0 ; <р(ж, у, *, 0 = 0 ; $(х, у, z, f)=0. И обратно, если намъ известны конечныя уравнешя отно­ сительная движенщ и законъ движешя осей координатъ, то т1> же формулы преобразовашя дадутъ намъ интегралы еоот*вФтствующаго абсолютнаго движешя. Изъ этого, между прочимъ, сл^дуетъ, что интегралы относительнаго движешя не могутъ содержать иныхъ функщй, кромФ т1>хт>, отъ которыхъ зависятъ абсолютное движеше и двищеше осей координатъ. Абсолютное движеше определяется проще всего вт> т^хъ случаяхъ, когда оно совершенно независитъ отъ движешя осей т. е. когда Ьвщкущееся ТЕЛО или то^ка не им1зетъ ни­ какой связи съ подвижными осями координатъ. Сюда отно­ сится всякое, наблюдаемое с^ зещной поверхности, движеше т1>ла не соединеннаго съ землею, какъ наприм^ръ движенш рланетъ, движеше брошенной точки и т. п. Зная въ такому олуча* уравнешя абсолютная движешя, мы на основаши пре­ дыдущая легко можемъ преобразовать ихъ въ уравнешя двщщешш относительнаго. Возьмем^ кзкую нибудь точку 0^

— 165 — земной поверхности за начало неподвижныхъ координатъ xt, yi9 »|î направимъ ось zi къ северу параллельно земной оси, ось у% по касательной къ параллельному кругу въ сторону вращешя земли и ось xi по продолжешю рад!уса параллельнаго круга По истеченш времени I точка Ot переместится по параллельному кругу на уголъ Ш, где ш есть постоянная угловая скорость вращенш земли; оси хи yiy zi также прнмутъ новое положеше х, у, z и мы получимъ между абсо­ лютными и относительными координатами следующая соотношешя: х = х{со8Ш + у^гпШ — р(1 -*— cosiùi) \ у = yfiomt — x^imùt — psimüt

J . . . . (Ill)

z = zi

i

въ которыхъ р означаетъ разетояше начала координатъ отъ оси вращешя, т. е. рад!уеъ параллельнаго круга. Если намъ известны выражешя xi9 yu z{ въ функцш времени, то, вста­ вляя ихъ въ эти формулы, мы прямо получаемъ уравнешя относительнаго движешя. При этомъ должно обратить внимаше на еледуюгщя обстоятельства. Если движущееся тело въ начала движешя находилось въ относительномъ покое на земной поверхности, какъ это бываетъ напримеръ въ случае брошеннаго тела, то въ тотъ вюментъ, когда начинается дви­ жете, это ТЕЛО, кром* сообщенной извне скорости, npioбретаетъ еще отъ вращешя земли по оси у± скорость сор, общую со всеми точками той же параллели, и эту скорость необходимо разсматривать при определенш абсолютнаго движенш. Кроме того при изучеши движешй независимыхъ отъ вращешя земли должно очевидно разсматривать только ту со­ ставляющую силы тяжести, которая происходитъ отъ пршяжешя, а не полную силу въ томъ виде, какъ она получает­ ся изъ наблюденШ и которая есть составная изъ притяжешя и силы центробежной; эта последняя сила, зависящая отъ перемещешя начала координатъ, очевидно включена уже ръ формулах^ преобразовашя и потому она можетъ иметь вл!я«

166 — Hie только на кажущееся, т. е. на относительное движете* Понятно, что подобныя же замечашя имеютъ место И при всякомъ другомъ род* относительныхъ движенШ. Какъ приложеше указаннаго способа, изследуемъ движеHie брошенной точки. Прежде всего должно найти для этого случая уравнения абсолютнаго движешя. Допуская шарообразность земли и Ньютоновъ законъ притяжешя, мы можемъ получить точное решеше этого вопроса; оно очевидно приведетъхнаеъ къ известнымъ формуламъ эллиптическаго движешя и орбита, оиисываемая брошенной точкой, будетъ очевидно весьма растя­ нутый эллипсъ, отдаленный фокусъ котораго находится въ центр* земли. Но при обыкновенныхъ обстоятельствахъ можно^довольствоваться прмблизительнымъ решешемъ; неболь­ шую дугу эллипса около вершины, описанную надъ поверностью земли, можно безъ значительной погрешности при­ нимать за дугу параболы; это естественное приближеше со­ ответствуете, какъ известно, допущешю, что сила притяже­ шя остается во все время движешя постоянною по величи­ не и направлешю. Определивши точно или приближенно абсолютное движете, легко преобразовать его въ относи­ тельное помощш формулъ (III). Допустимъ напримеръ, что абсолютное движете брошен­ ной точки есть движете параболическое, т. е. что сила при­ тяжешя земли есть сила постоянная по величине и направлешю. Означимъ чрезъ gt постоянное ускореше, происхо­ дящее отъ притяжешя, и черезъ ~к± уголъ направлешя этой силы съ плоскостью экватора, или параллельнаго круга; ве­ личины gt и Х4 очевидно связаны съ составнымъ ускорешемъ g и широтою места X помощш уравненШ: g^coski— <ùup=zgeosk и glsinki —gsink. Пусть будутъ кроме того ui9 vu wl проложешя начальной скорости брошенной точки на оси координатъ и а, Ь} с ея координаты въ начале движешя. Величина г?4 состоитъ изъ

— 167 — скорости Vq, сообщенной точке по оси yi извне и изъ ско­ рости 9*р> пршбретаемой BCâtACTBie вращательнаго движе* шя зеши; т. е. t?1==i)0 + w?* Интегралы абсолютнаго дви« жешя будутъ: q.cosk. „

q.sink, щ Подставляя взятыя отсюда величины хх, yif %i въ уравнешя (III), мы получимъ уравнешя соответствующего относительнаго движешя: х = — р (4 — cos Ш) + (а -[~ ^i0 coswf 4" (6 + M ) 9тШ — g{coski

fcosml

у = — р sin tùt -\- (Ь + 'M) c o s w* — (a + Mtf) sin ш£ -Jа.со$"к. » w( . 4-, £i i f sm 1

q.sink*

2

4

Первыя два уравнешя можно представить вт> виде: х + р seТ 2 eos о>* + Т4 sin Ш y = rti cos Ш — T2 sin (ùts ft

PU

ч À.

гд-Ь Т4 = 6 + et*; Т2 = р + о +зд1*— ^~2—* '*• уравнешй находимъ:

, COS (Of =

Т

« (« + Р) + Î.V m 2

sm wr = — T

2

I

f

2

^

2

?

Изъ

этихъ

168 — откуда:

(* + p)2 + y2-T12 + v .

Соединяя это уравнеше, несодержащее першдическихъ функщй, съ выражешемъ z, мы можемъ чрезъ иеключеше времени получить алгебраическое уравнеше между х, у, z; это уравнеше будетъ очевидно четвертой степени. Различныя решешя вопроса объ относительномъ движенш брошенной точки могутъ служить примеромъ техъ неудобствъ, которыя представляются при употреблении общихъ дифференщальныхъ уравнешй. Не смотря на простоту этого во­ проса , интегрироваше уравнешй, отъ которыхъ зависитъ его решеше, считалось еще въ недавнее время настолько затруднительным^ что обыкновенно прибегали къ интегрировашю по приближенно, при чемъ ограничивались первою степенью угловой скорости вращешя земли; но такое решеHie очевидно нельзя считать удовлетворительным^ темъ бо­ лее, что въ данномъ случае не указывалось ни на степень точности результатовъ, ни на самый смыслъ приближешя. Точное и изящное интегрироваше предложено Буромъ въ его известномъ мемуаре «объ относительныхъ движешяхъ»*). Но въ решенш Бура, также какъ и во веехъ другихъ решешяхъ, мы встречаемъ следующее недоразумеше. Сила тя­ жести предполагается въ этихъ решешяхъ постоянною по величин* и направлению; основываясь на общепринятыхъ ношшяхъ, следовало бы ожидать, что здесь дело идетъ о сил*, направлешя которой во все время движешя остаются па­ раллельны между собою; т. е. что определяется относитель­ ное движеше, соответствующее, какъ въ вышеприведенномъ примере, абсолютному параболическому. Но такъ какъ силу полагаютъ постоянною въ дифференщальныхъ уравнешяхъ относительнаго движения, выраженныхъ помощда подвижныхъ координатъ; то законъ действ1я силы въ сущности оказы*) Mémoire sur les mouvements relatifs; par M. E, Bour. — Journal de Mathématiques par Liouville. 1863.

169 — бается совсФмъ другой: выходитъ именно, что сила во все" время движешя действуешь параллельно подвижному отвесу наблюдателя. Не смотря на странность подобнаго закона дМ-^ CTBia силы, мы не находима никакого указан!« на это об­ стоятельство и потому можно предполагать, что на изеледуемое такимъ образомъ движете смотрели, какъ на со­ ответствующее параболическому; тогда какъ на самомъ деле оно соответствуете абсолютному движент совершенно другаго рода. Какъ приближеше, это решеше можетъ быть не менее точно, чемъ указанное вып!е; но для насъ важно то, что отъ допущешя такого рода силы интегрироваше, даже для этой простой задачи, МОГЛО бы оказаться невозможными Чтобы объяснить случайный уенехъ интегрировашя, даннаго Буромъ, мы покажемъ, что въ разсматриваемомъ случае легко найти конечные интегралы абсолютнаго движешя. Изъ нихъ, помощш преобразовашя коррдинатъ, мы получимъ интегралы относительнаго движешя, которые легко приво­ дятся къ той форме, въ какой они даны въ мемуаре Бура. Пусть по прежнему gt и Х4 означаютъ притяжеше земли и уголъ направлешя его съ плоскостью параллельнаго круга. Предполагая, что постоянная сила дл действуетъ на точку по тому направлешю, какое она имеетъ въ подвижномъ на­ чале координата, мы безъ труда найдемъ, что во время t косинусы угловъ этой силы съ неподвижными осями координатъ суть: cos (gif

xL) = — cosk^ costot

cos

(9a Vi) ==: — €oskl. sintùt cos (gif zj = — smXf и, следовательно, уравнешя абсолютнаго движешя будут*: —^

=

— gi COS X 4 COS Ш

_^i

=

— gi cos A% sm tot

d*zi

• \

— 170 — Первые интегралы этихъ уравнешй суть: dx. g4 cosk4 . —2- = и. — — stmùt dt ' со dy. dt

gi coski/t со ч

7

и наконецъ: Ö, cosk... x a?4 = а + t*4£ — - 2—!(1—cosiot)

Vi=b

+ Vit^i^K(tiit_sinbit)\

. . . (IV)

При* со = 0 въ этихъ уравнеюяхъ получаются неопределенныя выражешя, которыя легко определяются по общимъ правиламъ, и после этого уравнешя обращаются, какъ это оче­ видно ж должно быть, въ уравнешя нараболическаго движешя. Внося величины xi9 yi9 zi изъ уравнешй (IT) въ фор­ мулы преобразовашя (III), получимъ уравнешя соответствую­ щего относительнаго движенш: х = (а -{- uj) cos Ш + (b -f- vtf) sin Ш -f, q, cosX. — w 2 p / . 4.2* L i(l-eomt) ч со

q. cosk, —— - * 5m Ш

ч

со

^ = (p + t)4£) cos co£ — ( a -f~ w 4 f) sm cot -f" , q, cosk. — co2p . , q. cosk, 4-äLi i Г sm Ш — ^ * t cos Ш со со

g. sink. , Вставляя сюда gicos"kl—co2p=#coA; gisinkl=:gsmk и v t ==*?о+()0Р* получимъ:

— 171 —

у=

£+ (\~

js = c + t(?^

H Ь^СО*— ( в —

2

+ M4f Ыжо*

^- *.

Для приведешя этихъ урарненШ къ форм* интеграловъ Бу­ ра, положимъ въ двухъ первыхъ: qcosk . u^cLtCOsy; vQ—^= cclSmy и

,v (а)

у — at ~ 0;

тогда найдемъ: СО

\

СО

/

лI / дсо$к\ . y=att sinv-f*bco$tot—l a j - IsmioL Помножая сперва первое изъ этихъ уравненш на cosG, вто­ рое на smÔ и складывая; потомъ помножая второе на cosQ, первое на siniï и вычитая, получимъ:

..(Y) ycosb —ix — ^Ц- }sM=bcos4— (a—

~^)** W Y

Для преобразовашя выраженш z напишемъ его въ такомъ вид*: 2е Ъ 2щ_ 2 f——7\t; gsink gsink gsink дополняя во второй части до полнаго квадрата и помножа все уравнеше на со2, найдемъ:

_

2coä /

.

щ*

g sink \

'

2gismÀ

172 —

Л —f /

ff10'-

\gsink

+вУ. ^

J

Оолагая теперь въ уравнешяхъ (Y): bcosy—( a — ^~jf- J smf = С (

gcosk\

bsmt -M a — ^ 5 - J C Ö S Y "

\

(b)

«i(Ti— Y)!

J

й въ посл'вднемъ уравненш относительно z:

мы получимъ окончательно:

yeosô — i x — ~—г" W#9—С

Эти уравнейя тождественны еъ интегралами, данными Бу~ ромъ. Изъ шеста уравненШ (а), (Ь) и (с) определяются шесть йроизвольныхъ шзетоянныжъ а ь а2, у, Tu Тз и С чрезъ начальныя скорости и координаты брошенной точки.