Небесная механика. Общий курс

Глава 9. Эллиптические функции Якоби 9.1. Определение функций Якоби В предыдущей главе рассматривались эллиптические функции, зависящие от двух параметров, в качестве которых можно было выбрать либо инварианты g2, g3, либо периоды 2ω1, 2ω3, либо, согласно (8.4.21), два из трех корней γ j ( j = 1,3) характеристического уравнения (8.7.6). Однако исторически первыми были подробно исследованы эллиптические функции, зависящие лишь от одного параметра, а поэтому обладающие меньшей общностью. Рассмотрим эллиптический интеграл первого рода в форме Якоби ϕ

u(ϕ ; k ) = ∫ 0

dϕ

(9.1.1)

1 − k 2 sin 2 ϕ

как функцию верхнего предела ϕ и одного параметра 0 < k < 1. Из определения (9.1.1) очевидно, что функция u(ϕ) определена для любого вещественного значения ϕ. Ее производная du dϕ = (1 − k 2 sin 2 ϕ ) −1/2 при 0 < k < 1 конечна и отлична от нуля, и, поскольку du/dϕ > 0, функция u(ϕ) является монотонно возрастающей. Обратная к u(ϕ) функция (то есть зависимость интервала интегрирования от величины интеграла (9.1.1)) называется амплитудой, и для нее принято следующее обозначение: ϕ (u) = am(u;k) или ϕ = am(u). (9.1.2) Функция ϕ = am(u), являющаяся результатом обращения эллиптического интеграла первого рода (9.1.1), определена для любого значения u, непрерывна и имеет конечную производную dϕ / du = 1 − k 2 sin 2 ϕ . Введем теперь следующие функции: sin ϕ = sin [am( u)], cos ϕ = cos[am( u)],

{

}

ϕ ′( u) = 1 − k 2 sin 2 ϕ = 1 − k 2 sin 2 [a m(u)]

1/ 2

,

(9.1.3)

которые, как нетрудно видеть, являются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми функциями от переменной u. Функции (9.1.3) впервые были введены К. Якоби и называются эллиптическими функциями Якоби. Для этих функций в настоящее время приняты следующие обозначения: sn u = sin[am(u; k )], cn u = cos[am( u; k )], (9.1.4) 2 2 dn u = 1 − k sin [am(u; k )] (читается по буквам: эс эн и т.д.). Из определений (9.1.3) непосредственно следует, что рассматриваемые функции Якоби связаны между собой простыми соотношениями:

Глава 9. Эллиптические функции Якоби 2

2

299 2

2

2

sn u + cn u = 1, dn u + k sn u = 1,

(9.1.5)

так что каждые две из этих функций легко могут быть выражены через третью. Покажем далее, что эллиптические функции Якоби (9.1.4) вещественного аргумента u являются периодическими, причем snu и cnu имеют вещественный период 4K, а функция dnu обладает действительным периодом 2K, где K— полный эллиптический интеграл первого рода вида (8.7.15): π /2

K=

dϕ

∫

1 − k 2 sin 2 ϕ

0

.

Для этого докажем сначала, что при увеличении переменной u на 2K функция амплитуды (9.1.2) ϕ = am(u) возрастает на величину π, то есть что am(u + 2K) = am(u) + π.

(9.1.6)

В самом деле, поскольку подынтегральное выражение (8.7.15) на отрезке 0 ≤ ϕ ≤ π симметрично относительно ϕ = π/ 2, то π

dϕ

2K = ∫

1 − k 2 sin 2 ϕ

0

,

(9.1.7)

поэтому, если в равенстве ϕ

u + 2K = ∫ 0

π

dt ′ 1 − k 2 sin 2 t ′

+∫ 0

dϕ 1 − k 2 sin 2 ϕ

осуществить замену t′ = t − π, тогда будем иметь π +ϕ

u + 2K =

∫ π

π

dt 2 2 1 − k sin t

+∫ 0

dϕ 2 2 1 − k sin ϕ

,

или π +ϕ

u + 2K =

∫ 0

dt 2 2 1 − k sin t

.

Полученное равенство свидетельствует о том, что при увеличении эллиптического интеграла первого рода (9.1.1) на 2K его амплитуда возрастает на π, что и доказывает соотношение (9.1.6). На основании (9.1.6) и (9.1.4) сразу устанавливаем искомые условия периодичности: sn u + 4 K = sin am( u + 4 K ) = sin am(u + 2 K ) + π = sin 2π + am( u) = } cos { } cos { } cos { } cn { (9.1.8) sin sn am( u)} = {u}. = cos { cn И аналогично

300

Часть II. Аппарат специальных функций dn( u + 2 K ) = 1 − k 2 sin 2 [am( u + 2 K )] = 1 − k 2 sin 2 [π + am( u)] = = 1 − k 2 sin 2 [am( u)] = dn( u).

(9.1.9)

Нули функции snu, согласно (9.1.4), определяются из условия

ϕ = am(u) = πn, n = 0, ±1, ..., так что, как следует из (9.1.1), (9.1.7) и (9.1.8), функция Якоби snu от вещественной переменной u обращается в нуль при u = 2nK, n = 0, ±1, ...

(9.1.10)

Функция cnu, как следует из (9.1.4), обращается в нуль, когда

ϕ = am(u) = π/2 + πn, n = 0, ±1, ... Следовательно, нулями функции cnu являются вещественные значения u = (2n − 1)K, n = 0, ±1, ...

(9.1.11)

В то же время при 0 < k <1, как следует из (9.1.4), функция dnu не обращается в нуль ни при каких действительных значениях переменной u. Введенные эллиптические функции Якоби (9.1.4) нетрудно обобщить и на случай комплексного аргумента u. Для этого обратимся к тета-функциям Якоби (см. разделы 8.12, 8.13) и рассмотрим функции вида

f j (z ) =

Θ j [ z (2ω 1 )]

Θ 0 [ z (2ω 1 )]

,

j = 1,3,

(9.1.12)

в которых тета-функции Θ l ( l = 0,3) выражаются в форме (8.12.13), (8.12.14), а за величину ω1 примем значение (Ω1/2) основного полупериода ℘-функции Вейерштрасса при условии, что из трех корней γ m ( m = 1,3) характеристического уравнения (8.7.6) остается независимым только один (то есть когда имеется лишь один независимый параметр — либо один из корней γm, либо период ω1, либо один из инвариантов g2,3). Полагая γ1 − γ3 = 1 (9.1.13) и учитывая выражения (8.7.7), а также первое соотношение (8.4.21) γ1 + γ2 + γ3 =0, в случае действительных инвариантов заключаем, что условию (9.1.13) соответствует вещественность всех корней γ1, γ2 = 1 − 2γ1, γ3 = γ1 − 1, так что дискриминант D характеристического уравнения (8.4.19) положителен. Поэтому из (8.7.16), (8.7.19) и (8.7.20) при выполнении условия (9.1.13) сразу находим

ω1 = K(k), ω3 = iK(k′), i 2 = −1 .

(9.1.14) 2

Здесь по-прежнему K(k) — полный эллиптический интеграл первого рода, k ′ = 1 − k , а согласно (8.7.18) и (9.1.7), k = γ 2 − γ 3 — модуль полного эллиптического интеграла.

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

301

С другой стороны, как следует из (8.12.14), (9.1.13) и первого выражения (8.14.7), для ω1 справедливо также представление

π⎛

2

⎞ ω 1 = Θ ( 0) = ⎜ ∑ q ⎟ , 2 2 ⎝ n =−∞ ⎠

π

2 3

∞

n

2

(9.1.15)

в котором, согласно (8.12.2), q = exp(iπτ), τ = ω3 ⁄ω1, то есть q = exp[ −πK( k ′) / K( k )]. Из вида правой части выражения (9.1.12) и определений (8.12.13), (8.12.14) следует, что нули функции fj от комплексной переменной z совпадают с нулями функции Θ j z j (2ω 1 ) , j = 1,3, которые, согласно (8.12.9), имеют простые (не кратные) нули вида

[

]

z1 = 2nω 1 + 2mω 3 ,

z2 = (2n − 1)ω 1 + 2mω 3 ,

z3 = (2n − 1)ω 1 + (2m − 1)ω 3 , (9.1.16)

где n и m — целые числа, ω1 = K(k), ω3 = iK(k′). Полюса функции fj(z) ( j = 1,3), как нетрудно видеть, совпадают с простыми нулями тета-функции Θ 0 [ z (2ω 1 )], которые определяются равенством (см. (8.12.6))

z = 2nω 1 + (2m − 1)ω 3, или, согласно (9.1.14),

z = 2nK ( k ) + i( 2m − 1) K ( k ′).

(9.1.17)

Здесь также n и m — целые числа. Из (8.12.5), (8.12.7), (9.1.14), а также формул преобразования тета-функций, приведенных в таблице 2, непосредственно следует, что функция f1(z) имеет основные периоды Ω1 = 4ω1 = 4K(k) и Ω2 = 2ω3 = i2K(k′), f2(z) обладает периодами Ω1 = 4K(k) и Ω2 = 2[K(k) + iK(k′)], а f3(z) имеет основные периоды Ω1 = 2ω1 = 2K(k) и Ω2 = 4ω3 = i4K(k′), i 2 = −1 , так что любой другой период рассматриваемых функций fj(z) ( j = 1,3) представляется в виде

Ω = nΩ1 + mΩ 2 ,

(9.1.18)

где n и m — целые числа. При вещественных значениях z = u, как следует из (9.1.8)-(9.1.11) и (9.1.16)(9.1.18), эллиптические функции Якоби snu, cnu, dnu и, соответственно, функции f1(u), f2(u) и f3(u) обладают одинаковыми периодами, нулями (функции dnu и f3[u/(2ω1)] при вещественных значениях аргументов не обращаются в нуль) и не содержат полюсов *) . Аналитически продолжим область определения функций Якоби (9.1.4) на комплексную плоскость так, чтобы нули, полюса и периоды этих функций определялись соответственно выражениями (9.1.16), (9.1.17) и (9.1.18). Тогда, согласно теореме Лиувилля (см. разделы 8.1, 8.2) будем иметь

*)

Согласно (9.1.17) полюса функций f j ( j = 1, 3), определяемых (9.1.12), реализуются лишь при комплексных значениях z = i(2m − 1)K(k′) + 2nK(k); m, n = 0, ±1, ...

302

Часть II. Аппарат специальных функций snz = A1

Θ 1[ z (2ω 1 )] Θ [ z (2ω 1 )] Θ [ z (2ω 1 )] , , dnz = A3 3 , cnz = A2 2 Θ 0 [ z (2ω 1 )] Θ 0 [ z (2ω 1 )] Θ 0 [ z (2ω 1 )]

(9.1.19)

где A j ( j = 1,3) — постоянные величины. Для нахождения этих постоянных подставим в первое выражение (9.1.19) вещественное значение z = ω1 = K(k), тогда, учитывая (9.1.4) и определение полного эллиптического интеграла первого рода, получим

Θ1 (1 2) . Θ 0 (1 2)

snK = 1 = A1

(9.1.20)

Но, как следует из результатов таблицы 2 раздела 8.12,

Θ 1 (1 2) Θ 2 ( 0) = , Θ 0 (1 2) Θ 3 (0) или, с учетом (8.14.7), (8.7.18) и (9.1.14),

Θ1 (1 2) γ 2 −γ 3 = = k. 2 γ 1 −γ 3 Θ 0 (1 2) 2

(9.1.21)

И поскольку 0 < k < 1, то из (9.1.20) будем иметь

A1 =

Θ 3 (0) 1 = . Θ 2 (0) k

(9.1.22)

Аналогично после подстановки в два последних выражения (9.1.19) z = u = 0, согласно (9.1.4), получим Θ (0) Θ (0) cn 0 = 1 = A2 2 , dn 0 = 1 = A3 3 . Θ 0 (0) Θ 0 (0) Учитывая теперь соотношения (8.14.6), (8.14.7), из которых следует, что

Θ 0 (0) γ 1 −γ 2 γ −γ 3 2 = = 1− 2 = 1 − k = k ′, 2 γ 1 −γ 3 γ 1 −γ 3 Θ 3 (0) 2

Θ 22 (0) [Θ 2 ( 0)] [Θ 3 (0)] = = k k ′, Θ 20 (0) [Θ 0 ( 0)]2 [Θ 3 ( 0)]2 2

2

сразу находим A2 =

Θ 0 ( 0) = Θ 2 ( 0)

k′ , k

A3 =

Θ 0 ( 0) = k ′. Θ 3 ( 0)

(9.1.23)

Таким образом, на основании (9.1.19), (9.1.22) и (9.1.23), для эллиптических (мероморфных двоякопериодических) функций Якоби в комплексной области (в случае комплексного аргумента) будем иметь следующие определения *) *)

Напомним, что мероморфной называется аналитическая функция, не содержащая в конечной части комплексной плоскости других особых точек, кроме полюсов.

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

snz =

1 Θ1[ z (2ω 1 )] , cnz = k Θ 0 [ z (2ω 1 )]

303

Θ [ z (2ω 1 )] k ′ Θ 2 [ z (2ω 1 )] , dnz = k ′ 3 , (9.1.24) Θ 0 [ z (2ω 1 )] k Θ 0 [ z (2ω 1 )]

где, как следует из (9.1.13), (9.1.14), ω1 = K(k), k = γ 2 − γ 3 , k ′ = 1 − k 2 . Так как функция Θ1(θ) является нечетной, а тета-функции Θ0(θ), Θ2(θ) и Θ3(θ) — четные функции (см. (8.12.13) и (8.12.14)), то из (9.1.24) следует, что snz является нечетной функцией от комплексной переменной z, а cnz и dnz — четные функции. Cогласно (9.1.24), (9.1.17) и (9.1.18), эллиптические функции Якоби, как и ℘-функция Вейерштрасса, являются эллиптическими функциями второго порядка (число полюсов в основном параллелограмме периодов Ω1, Ω2 равно двум), но оба полюса (в основном параллелограмме периодов) однопараметрических функций Якоби snz, cnz и dnz от комплексной переменной z являются простыми (не кратными), тогда как двухпараметрическая функция ℘(z) обладает в основном параллелограмме периодов одним двукратным полюсом. На основании (9.1.16)-(9.1.18) в таблице 4 (в которой m и n — целые числа, включая нуль, то есть n, m = 0, ±1, ...) приведены значения нулей, полюсов и периодов эллиптических функций Якоби, определяемых выражениями (9.1.24). Таблица 4 Функции

Нули

Полюсы

snz

2nK(k) + i2mK(k′)

cnz

(2n−1)K(k) + i2mK(k′)

dnz

(2n−1)K(k) + i(2m−1)K(k′)

Периоды 4nK(k) + i2mK(k′)

2nK(k) + i(2m−1)K(k′)

4nK(k) + 2m[K(k)+iK(k′)] 2nK(k) + i4mK(k′)

При этом основными периодами для функции snz являются Ω1 = 4K(k), Ω2 = i2K(k′), для функции cnz — Ω1 = 4K(k), Ω2 = 2(K(k)+iK(k′)), а для dnz — Ω1 = 2K(k), Ω2 = i4K(k′) ( i 2 = −1 ). Далее из формул преобразований тета-функций (таблица 2) нетрудно получить аналогичные соотношения для функций Якоби (9.1.24), которые и представлены в таблице 5. Таблица 5 z* z+K(k) Функции cn z snz* dn z sn z * cnz −k ′ dn z k ′ * dnz dn z

z+iK(k′) z+K(k)+iK(k′) 1 ksn z dn z −i ksn z cn z −i sn z

dn z kcn z k′ −i kcn z sn z ik ′ cn z

z+2K(k)

z+i2K(k′)

z+2(K(k)+iK(k′))

−snz

snz

−snz

−cnz

−cnz

cnz

dnz

−dnz

−dnz

304

Часть II. Аппарат специальных функций

Совершенно аналогично на основании результатов раздела 8.14, в котором были рассмотрены унимодулярные преобразования для тета-функций, получаются соотношения, отвечающие унимодулярным преобразованиям для функций Якоби. В таблице 6 приведены результаты, соответствующие базовым унимодулярным S и Qпреобразованиям для функций Якоби (см. также таблицу 3). Таблица 6 Преобразование

z*

k*

sn(z*; k*)

cn(z*; k*)

dn(z*; k*)

S

k′z

ik k′

Q

− iz

k′

k ′sn z dn z sn z −i cn z

cn z dn z 1 cnz

1 dnz dn z cn z

В частности, для S-преобразования с учетом (9.1.21) и результатов, приведенных в таблице 3 (раздел 8.14), имеем ∗

k =

γ ′2 − γ ′3 γ − γ 3 ik =i 2 = , γ 1′ − γ ′3 γ 1 −γ 2 k′

поскольку, согласно (9.1.13) и (9.1.21)-(9.1.23),

γ 2 − γ 3 = k,

γ 1 − γ 2 = 1− k 2 = k 2 ,

а следовательно, после S-преобразования дополнительный модуль (k′)* будет равен ( k ′) ∗ = 1 − ( k ∗ ) 2 = 1 + ( k k ′) 2 = 1 k ′ .

При этом, так как

⎛ ik ⎞ K⎜ ⎟ = ⎝ k ′⎠

π /2

∫

π /2

dϕ k2 2 1 + 2 sin ϕ k′

0

= k′ ∫ 0

dϕ 1 − k 2 cos 2 ϕ

( k ′ > 0),

или, с учетом замены переменных ϕ = π⁄ 2 − ϕ*, 0

dϕ ∗ ⎛ ik ⎞ K⎜ ⎟ = − k ′ ∫ = k ′K( k ), 2 2 ∗ ⎝ k ′⎠ π / 2 1 − k sin ϕ то (см. также таблицу 3) z 2ω 1

∗

=

k ′z k ′z z = = , 2 k ′K ( k ) 2 K (ik / k ′) 2 K ( k ∗ )

так что унимодулярное S-преобразование для функций Якоби, согласно определениям (9.1.24), отвечает формальному переходу к переменной z* = k′z и новому параметру k* = ik/k′. Поэтому из (9.1.24) и (8.14.24), например, для функции cn(z*;k*) будем иметь

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

∗

305

⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞ Θ2 ⎜ Θ2 ⎜ ;τ + 1⎟ ;τ ⎟ ⎝ 2ω 1 ⎠ exp(iπ / 4) ⎝ 2ω 1 ⎠ (k ′ ) = , ∗ ⎞ ⎞ ⎛ z ⎛ z k ik Θ0 ⎜ Θ0 ⎜ ;τ + 1⎟ ;τ ⎟ ⎠ ⎝ 2ω 1 ⎠ ⎝ 2ω 1 ∗

∗

cn( z ; k ) =

или *) ∗

∗

cn ( z ; k ) =

⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞ Θ2 ⎜ Θ0 ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 2ω 1 ⎠ cnz ⎝ 2ω 1 ⎠ 1 k′ = . k ⎛ z ⎞ dnz ⎛ z ⎞ k′ Θ0 ⎜ Θ3 ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 2ω 1 ⎠ ⎝ 2ω 1 ⎠

Аналогично для Q-преобразования с учетом данных таблицы 3 (раздел 8.14), получим γ ′2 − γ ′3 γ 2 −γ 1 = k ′, = k∗ = γ 1′ − γ ′3 γ 3 −γ 1 и, учитывая, что при этом преобразовании ω 1′ = ω 3 , согласно (9.1.14), будем иметь − iz z z∗ = = = , 2ω 1′ 2iK (k ′ ) 2 K (k ′) 2 K (k ∗ ) z

то есть z* = − iz , k* = k′. Тогда, например, для Q-преобразования из (8.14.25) и (9.1.24), в согласии с таблицей 6, непосредственно следует равенство sn( z ∗ ; k ∗ ) =

1 Θ 1 ( z (2ω 3 );−1 / τ ) 1 Θ 1 ( z (2ω 1 );τ ) = , ∗ Θ z (2ω );−1 / τ ) i k ′ Θ 2 ( z (2ω 1 );τ ) 0( 3 k

то есть

sn ( z ∗ ; k ∗ ) = −

i Θ 1 ( z (2ω 1 )) k Θ 0 ( z (2ω 1 )) snz . = −i cnz k Θ 0 ( z (2ω 1 )) k ′ Θ 2 ( z (2ω 1 ))

(9.1.25)

Полагая в (9.1.25) z* = iu (то есть z = −u, так как для Q-преобразования z* = − iz), мы сразу получаем выражение для функции от мнимого аргумента через функцию от действительного аргумента **) sn( − u) sn(u; k ) =i sn(iu; k ′) = −i , i 2 = −1. (9.1.26) cn ( − u) cn (u; k ) *)

Учитывая, что

k ∗ = + k / k ′ exp(iπ / 4) , то есть

k∗ =

1 2

(1 + i ) k / k ′ , из двух возможных значений

i = {exp(iπ / 4);− exp(iπ / 4)} в выражении для функции cn(z*;k*) следует выбрать первое. **) В (9.1.26) была учтена нечетность функции snu, а также четность cn-функции. С другой стороны, поскольку k′ является дополнительным модулем для модуля k, то равенство (9.1.26) можно представить также в виде sn(u; k ′) sn(iu; k ) = i . cn (u; k ′)

306

Часть II. Аппарат специальных функций

При k2 < 1/2 (k2 = γ2 − γ3) вычисления функций Якоби целесообразно производить непосредственно по выражениям (9.1.24), а в случае k2 > 1/2 необходимо воспользоваться Q-преобразованием, которое, согласно (8.14.25) и (9.1.24), приводит к следующим представлениям (см. разделы 8.14 и 8.15): sn ( z; k ) =

i Θ1 (θ ∗ ; q ∗ ) , cn ( z; k ) = ∗ ∗ k Θ 2 (θ ; q )

Θ 3 (θ ∗ ; q ∗ ) k ′ Θ 0 (θ ∗ ; q ∗ ) ′ z k = k , dn ( ; ) , (9.1.27) k Θ 2 (θ ∗ ; q ∗ ) Θ 2 (θ ∗ ; q ∗ )

⎡ K( k ) ⎤ z ∗ в случае k2 > 1/2, как сле, а для параметра q = exp ⎢−π ⎥ 2ω 3 2iK ( k ′) ⎣ K ( k ′) ⎦ дует из (8.14.10), будет выполняться неравенство q ∗ < exp( −π ) , что обеспечит достаточно быструю сходимость рядов для тета-функций.

где θ ∗ =

z

=

9.2. Разложения в ряды Фурье Так как при вещественных значениях аргументов функции Якоби snu, cnu, dnu удовлетворяют условию теоремы Дирихле, то для них могут быть построены соответствующие ряды Фурье *) . 2 K( k ) Рассмотрим сначала функцию snu. Пусть u = x, тогда при изменении x в π интервале от 0 до 2π переменная u будет изменяться в пределах от 0 до 4K(k). Поэтому функция snu, имеющая, как было установлено в разделе 9.1, вещественный период, равный K(k), будет являться по переменной x периодической функций с периодом 2π **) . Поскольку snu является нечетной функций, то ее разложение в ряд Фурье будет иметь вид ∞ ⎛ 2 K( k ) ⎞ x⎟ = ∑ sin( nx). sn ⎜ (9.2.1) ⎝ π ⎠ n =1

Учитывая, что sn[2K(k) − u] = snu (см. предыдущий раздел, таблицу 5), после замены переменной x в (9.2.1) на π − x, получим ∞

⎛ 2 K( k ) ⎞ x⎟ = ∑ ( −1) n+1 Cn sin( nx). sn ⎜ ⎝ π ⎠ n =1

(9.2.2)

Сопоставляя (9.2.1) и (9.2.2), находим, что C2 n = 0 и Функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле в интервале (−l,l), если она или непрерывна в этом промежутке, или имеет конечное число разрывов первого рода (когда пределы “слева и справа” от точки разрыва являются конечными величинами), и если, кроме того, интервал (−l,l) можно разбить на конечное число таких промежутков, в каждом из которых f(x) меняется монотонно. **) В случае комплексного аргумента, учитывая, что второй (чисто мнимый) период Ω2 функции snz ра*)

⎛ 2 K (k ) ~ ⎞ вен Ω2 = i2K(k′), устанавливаем, что функция sn⎜ z ⎟ периодична с периодами ~ z = 2π и ~z = πτ , ⎝ π ⎠

где

τ = iK ( k ′) / K ( k ) ( i 2 = −1 ).

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

307

∞

⎛ 2 K( k ) ⎞ x⎟ = ∑ C2 n−1 sin( 2n − 1) x. sn ⎜ ⎝ π ⎠ n =1

(9.2.3)

При этом для коэффициентов ряда (9.2.3) ввиду ортогональности тригонометрических функций будем иметь следующее выражение:

C2 n−1 =

1

π

⎛ 2 K( k ) ⎞ x⎟ sin(2n − 1) xdx, ⎠ π

sn ⎜ π∫ ⎝ -π

или π

1 C2 n−1 = ∫ f ( x ) dx , πi −π

(9.2.4)

где ⎛ 2 K (k ) ⎞ f ( x ) = sn ⎜ x⎟ exp[i (2n − 1) x ], i 2 = −1. ⎝ π ⎠

Для вычисления коэффициентов (9.2.4) рассмотрим интеграл по замкнутому контуру I = ∫ f ( z) dz,

(9.2.5)

L

в котором в качестве контура L выбран параллелограмм с вершинами в следующих точках комплексной плоскости (см. рис. 35): −π, π, π+πτ и −π+πτ, причем iK ( k ′) . τ = ω3 ω1 = K( k )

π+πτ

−π+πτ πτ/2

−π+πτ/2

−π

π+πτ/2 π

Ο

L

Рис. 35. Ввиду 2π-периодичности функции

⎛ 2 K (k ) ⎞ f ( z ) = sn ⎜ z ⎟ exp[i (2n − 1) z ], очевидно, ⎝ π ⎠

имеем π +πτ

−π

π

− π +πτ

∫ f (z )dz + ∫

f ( z ) dz =

π +πτ

−π

π

− π +πτ

∫ f (z − 2π )dz + ∫

− π +πτ

f ( z ) dz =

∫

−π

−π

f (v) dv +

∫ f (z )dz ≡ 0,

− π +πτ

поэтому интеграл (9.2.5) представим в виде

I=

π

− π +πτ

−π

π +πτ

∫ f (z )dz + ∫ f (z )dz.

(9.2.6)

308

Часть II. Аппарат специальных функций

Заменим теперь во втором интеграле (9.2.6) переменную z на z + πτ. Тогда, поскольку (см. таблицу 5 предыдущего раздела) ⎛ 2 K (k ) ⎞ ⎛ 2 K (k ) ⎞ sn ⎜ z + 2iK (k ′ )⎟ = sn ⎜ z⎟ ⎝ π ⎠ ⎝ π ⎠

и

exp[i (2n − 1)( z + πτ )] = q 2 n−1 exp[i (2n − 1) z ],

где, согласно (9.1.15), q = exp(iπτ), из (9.2.6) получим π

I = (1 − q 2 n−1 ) ∫ f ( z ) dz. −π

Следовательно, искомые коэффициенты C2 n−1 , определяемые (9.2.4), выражаются через интеграл (9.2.5) в виде 1 I (9.2.7) C2 n−1 = , i 2 = −1. 2 n −1 πi 1 − q Интеграл (9.2.5) легко вычисляется на основании теоремы о вычетах, согласно которой интеграл от аналитической функции, взятый по замкнутому контуру, равен произведению 2πi на сумму вычетов всех особых точек, охватываемых этим контуром. Согласно (9.1.17), внутри параллелограмма, образованного на рис. 35 контуром L, функция ⎛ 2 K (k ) ⎞ f ( z ) = sn ⎜ z ⎟ exp[i (2n − 1) z ] ⎝ π ⎠ имеет только два полюса первого порядка *) z1 =

π 2 K( k )

ω3 =

π 2

τ , z2 =

π 2 K( k )

( 2ω 1 + ω 3 ) = π +

π 2

τ,

где τ = i K( k ′) K( k ), i 2 = −1 . Поскольку, как следует из результатов, приведенных в таблице 5, sn( z + iK (k ′ )) =

1 1 , sn( z + 2 K + iK (k ′)) = − , ksnz ksnz

а согласно (9.1.24), (8.12.14) и (8.14.5),

*)

Точка z 3 = −π +

π

τ , как и z2, формально также является полюсом f(z), располагается на границе кон2 тура L и содержит в L “правую” полуокрестность (отмеченную на рис. 35 пунктиром), дополняющую до полной замкнутой ε-окрестности локальную область, выделенную на рис. 35 пунктиром, около точz2 = π +

π

τ . Следовательно, можно считать, что внутри параллелограмма на рис. 35 содержится 2 именно два полюса, имеющих полные замкнутые ε-окрестности, целиком находящиеся внутри рассматриваемого параллелограмма (что необходимо для применения теоремы о вычетах).

ки

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

sn 0 = 0,

dsnz dz

= z=0

1 2ω 1

309

1 Θ 1′ (0) πΘ 2 (0)Θ 3 (0) = , k Θ 0 (0) 2ω 1 k

или, с учетом (8.14.7), (9.1.22) и (9.1.13), dsnz dz

= z=0

πΘ 32 (0) = γ 1 − γ 3 = 1, 2ω 1

то snz ~ z при z → 0. Следовательно, вычеты функции f(z) относительно полюсов z1 и z2 равны ⎧ ∗ ⎡ 2 K( k ) ∗ ⎤⎫ res z1 f ( z) = lim[( z − z1 ) f ( z)] = exp{i( n − 1 / 2)πτ } lim z1 sn ⎢ z1 + iK ( k ′) ⎥ ⎬ = ⎨ ∗ z → z1 z1 → 0 ⎣ π ⎦⎭ ⎩

=

π

2 kK ( k )

q n−1/2 ,

⎧ ∗ ⎡ 2 K( k ) ∗ π ⎤⎫ n−1/ 2 + + 2 ( ) ( ) . res z2 f ( z) = − exp{i( n − 1 / 2)πτ } lim z sn z K k iK k ′ ⎨ 2 2 ⎢ π ⎥ ⎬ = 2 kK ( k ) q z2∗ → 0 ⎣ ⎦⎭ ⎩ Таким образом, на основании теоремы о вычетах получим I=

2π 2 i n−1/2 q , i 2 = −1. kK ( k )

(9.2.8)

Тогда из (9.2.8) для коэффициентов (9.2.7) окончательно будем иметь C2 n−1 =

q n−1/ 2 2π , kK (k ) 1 − q 2 n−1

(9.2.9)

а поэтому искомое разложение (9.2.3) представимо в следующем виде: 2π ∞ q n−1/ 2 ⎛ 2 K (k ) ⎞ sn⎜ x⎟ = sin(2n − 1) x , 2 n−1 ⎠ kK (k ) ∑ ⎝ π n =1 1 − q или snu =

2π ∞ q n−1/ 2 πu sin(2n − 1) . ∑ 2 n −1 kK (k ) n=1 1 − q 2 K (k )

(9.2.10)

Данное разложение в ряд Фурье справедливо и для комплексных величин u = z при усπz ловии, что |Im(z)| < K(k′), или |Im(x) | < πτ/2 при x = , то есть в полосе, где функ2 K( k ) ⎡ 2K ( k ) ⎤ ция snz, или sn ⎢ x ⎥ , не имеет полюсов. Здесь, как и ранее, предполагается, что 0 < ⎣ π ⎦ k < 1. В указанной области совершенно аналогично можно установить справедливость следующих разложений:

310

Часть II. Аппарат специальных функций

2π ∞ q n−1/ 2 πz cnz = cos(2n − 1) , ∑ 2 n −1 kK (k ) n=1 1 + q 2 K (k )

π

2π ∞ q n ⎛ πz ⎞ dnz = + cos⎜ n ⎟. ∑ 2n ⎝ K (k ) ⎠ 2 K ( k ) K ( k ) n =1 1 + q

(9.2.11)

И, наконец, на основании (9.1.3), (9.1.4), для функции амплитуды am(u) находим *) damu = 1 − k 2sn 2 u = dnu, du

то есть u

am u = ∫ dn udu. 0

Следовательно, согласно (9.2.11), будем иметь am z =

πz 2 K( k )

⎛ πz ⎞ 2q n sin ⎜ n ⎟. 2n ⎝ K( k ) ⎠ n =1 n(1 + q ) ∞

+∑

(9.2.12)

9.3. Связь с функциями Вейерштрасса Обратимся к первому из равенств (9.2.12), которое, с учетом (9.1.22), представим в виде: ⎛ z ⎞ ⎟ Θ1 ⎜⎜ Θ 3 (0) ⎝ 2ω 1 ⎟⎠ snz = , Θ 2 (0) ⎛ z ⎞ ⎟⎟ Θ 0 ⎜⎜ 2 ω 1 ⎠ ⎝ или поскольку, согласно (8.14.5),

Θ 2 (0) =

Θ 1′ ( 0) , πΘ 3 (0)Θ 0 (0)

а из (8.14.7), (9.1.13) и (9.1.14) следует, что πΘ 23 ( 0) = 2 K ( k ), то будем иметь ⎛ z ⎞ ⎟ Θ1 ⎜⎜ 2 K (k ) ⎟⎠ Θ 0 (0) ⎝ snz = 2 K (k ) . Θ1′ (0) ⎛ z ⎞ ⎟⎟ Θ 0 ⎜⎜ ⎝ 2 K (k ) ⎠

(9.3.1)

Учитывая теперь выражение (8.14.1) для ℘-функции Вейерштрасса **) *)

В разделе 9.3 будет показано (см. (9.3.13)-(9.3.15)), что определения (9.1.2)-(9.1.4) справедливы и при комплексных значениях аргумента u = z. **) В правой части (9.3.2) выбран знак плюс ввиду определений (8.12.13), (8.12.14) и положительности величины периода Ω1 = 2ω1 (см. (9.1.14)). При этом в (9.3.2) γ1 − γ3 ≠ 1, так как здесь уже корни γj ( j = 1, 3) являются решениями соответствующего характеристического уравнения, отвечающего двух-

параметрической эллиптической ℘-функции Вейерштрасса, а не sn-функции Якоби.

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

311

⎛ z ⎞ ⎟ Θ 0 ⎜⎜ 2ω 1 ⎟⎠ 1 Θ1′ (0) ⎝ , ℘( z ) − γ 3 = 2ω 1 Θ 0 (0) ⎛ z ⎞ ⎟⎟ Θ1 ⎜⎜ ⎝ 2ω 1 ⎠ где, согласно (8.7.19), 2ω 1 = 2 K( k ) z 2ω 1

=

(9.3.2)

γ 1 − γ 3 , так что

z K( k ) u = , u = z γ 1 − γ 3, 2 K( k ) ω 1 2 K( k )

(9.3.3)

после перехода в выражении для функции Якоби snz от аргумента z к новому аргументу u = z γ 1 − γ 3 и перемножения одноименных частей равенств (9.3.1) и (9.3.2) получим следующее соотношение, связывающее ℘-функцию Вейерштрасса с функцией Якоби snu: γ −γ ℘( z) = γ 3 + 12 3 . (9.3.4) sn ( u; k ) Здесь γ1 и γ3 — параметры ℘-функции Вейерштрасса, и для них, в общем случае, не выполняется условие (9.1.13). Аналогично на основании (9.1.23), (9.1.24) и (8.14.1) могут быть получены еще два соотношения: 2 2 cn ( u; k ) dn ( u; k ) (9.3.5) ℘( z) = γ 1 + (γ 1 − γ 3 ) 2 , ℘( z) = γ 2 + (γ 1 − γ 3 ) 2 , sn ( u; k ) sn ( u; k ) устанавливающие взаимосвязь функций Якоби с ℘-функцией Вейерштрасса. Последние три равенства (9.3.4) и (9.3.5), если исключить из них ℘(z) так же, как и в случае вещественных значений аргументов, позволяют для функций Якоби обнаружить справедливость двух соотношений вида (9.1.5) 2

2

2

2

2

sn z + cn z = 1, dn z + k sn z = 1,

(9.3.6)

в которых, с учетом того, что для функций Якоби уже выполняется условие (9.1.13),

k=

γ 2 −γ 3 = γ 2 −γ3 γ1 −γ 3

и z = u.

В то же время, используя представления (8.13.8) ℘-функций через сигмафункции Вейерштрасса, из (9.3.4) и (9.3.5) непосредственно находим *) σ ( z) sn (u; k ) = − γ 1 − γ 3 σ (ω 3 ) exp(η 2 z ), σ (z − ω3 ) (9.3.7) σ (ω 3 ) σ ( z − ω 1 ) cn (u; k ) = exp[z (η1 − η 2 )]. σ (ω 1 ) σ ( z − ω 3 ) *)

Выбор знаков в правых частях соотношений (9.3.7) обусловлен, согласно (8.4.2), асимптотическим поведением ℘-функции в окрестности z = 0 в виде (+1/z2). При этом было также учтено, что сигмафункция Вейерштрасса является нечетной: σ(−ωi) = −σ(ωi), i =1,3, так что при z → 0, поскольку σ(z) ~ z, имеем cn(0) = 1, sn(z) ~ z (см. также (9.3.16)).

312

Часть II. Аппарат специальных функций

Здесь постоянные η1 и η2 выражаются через дзета-функцию Вейерштрасса в виде

η 1 = ζ (Ω1 / 2) = ζ (ω 1 ), η 2 = ζ (Ω 2 / 2) = ζ (ω 3 ). Учитывая теперь ранее найденные соотношения между функциями Якоби и функциями Вейерштрасса, получим дифференциальные уравнения для функций Якоби. Согласно (8.14.36), (9.3.5) и (9.3.6), в случае положительного значения дискриминанта (D) характеристического уравнения (8.14.19), имеем следующее равенство *)

℘′( z) = −2 ℘( z) − γ 1 ℘( z) − γ 2 ℘( z) − γ 3 = −2(γ 1 − γ 2 ) 3/ 2

cn udn u . 3 sn u

(9.3.8)

С другой стороны, непосредственное дифференцирование по переменной z обеих частей выражения (9.3.4) приводит к следующему равенству:

℘′( z) = −

2(γ 1 − γ 3 ) sn 3u

3/ 2

d (sn u) , du

(9.3.9)

в котором, как следует из (9.3.3), u = z γ 1 − γ 3 . Сопоставляя (9.3.8) и (9.3.9), получим d ( sn u) = cn u dn u. du

Дифференцируя далее по переменной u соотношения вида (9.3.6) 2

2

2

2

2

cn u = 1 − sn u, dn u = 1 − k sn u,

(9.3.10)

найдем всю систему искомых уравнений: d (snu ) = cnu dnu , du

d (cnu ) = −snu dnu , du

d (dnu ) = − k 2 snu cnu , du

(9.3.11)

которую, если воспользоваться соотношениями (9.3.10) и (9.1.14), можно представить в виде 2 2 ⎡ d (cn u) ⎤ ⎡ d (sn u) ⎤ 2 2 2 2 2 2 2 ⎢ du ⎥ = (1 − sn u)(1 − k sn u), ⎢ du ⎥ = (1 − cn u)( k ′ + k cn u), ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (9.3.12) 2 ⎡d ⎤ 2 2 2 ⎢ du (dn u) ⎥ = (dn u − 1)( k ′ − dn u). ⎣ ⎦

Покажем теперь, что выражения (9.1.1)-(9.1.4) оказываются справедливыми и для случая комплексных значений аргумента u = z. В самом деле, пусть комплексная величина ϕ определяется уравнением snz = sinϕ, тогда, согласно дифференциальному уравнению для функции snz, имеем d ( sn z) d ( sin ϕ ) dϕ dϕ = = 1 − sin 2 ϕ = cn z dn z, dz dϕ dz dz *)

При z → 0, как следует из (8.4.3), ℘′(z) ~ −2/z3 и в случае, когда дискриминант D характеристического уравнения (8.14.19) положителен, все величины γj ( j = 1, 3) вещественны.

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

313

или, с учетом (9.3.6), а также (9.1.24), dϕ (9.3.13) = +dn z = 1 − k 2 sn 2 z = 1 − k 2 sin 2ϕ . dz Таким образом, действительно определение функции амплитуды ϕ = am(z;k) в случае комплексных значений z совпадает с (9.1.2)-(9.1.3), так что из (9.3.6) приходим к определениям, аналогичным (9.1.4),

sn z = sin[am( z; k )],

cn z = cos[am( z; k )],

(9.3.14)

dn z = 1 − k sin [am( z; k )]. 2

2

Кроме того, из (9.3.13) имеем ϕ

z(ϕ ; k ) = ∫ 0

dψ 1 − k 2 sin 2 ψ

z

, ϕ = am( z; k ) = ∫ dn zdz.

(9.3.15)

0

Дифференциальные уравнения (9.3.12) позволяют найти ряды Тейлора (Маклорена) и Лорана для функций Якоби. Действительно, из (9.3.11) следует, что производная любого порядка от функций Якоби может быть выражена в виде полинома от всех трех функций Якоби. Так, например,

(

)

(

)

sn ′′u = −snu dn 2 u + k 2 cn 2 u , sn ′′′u = − cnudnu 1+ k 2 − 6k 2sn 2 u , ... Указанное обстоятельство с учетом того, что согласно (9.3.14) и (9.3.15), sn(0) = 0, cn(0) = dn(0) = 1, и позволяет получить следующие тейлоровские разложения *) : u3 u5 + (1 + 14 k 2 + k 4 ) −..., 3! 5! 2 4 u u (9.3.16) + (1 + 4 k 2 ) −..., cn u = 1 − 2! 4! 2 u4 2 u + k 2 ( 4 + k 2 ) −..., dn u = 1 − k 2! 4! каждое из которых, как следует из результатов, представленных в табл. 4 (раздел 9.1), будет сходиться при |u| < K(k′). На основании данных табл. 5 (раздел 9.1), а также представлений (9.3.16), нетрудно получить лорановские разложения в окрестности полюсов функций Якоби. Так, для нечетной функции snz в окрестности особой точки (полюса) z0 = iK(k′) (которая в табл. 4 определяется условиями n = 0, m = 1) из табл. 5 следует равенство 2 sn u = u − (1 + k )

1 , ksn[ z − iK( k ′)] подставляя в которое соответствующее тейлоровское разложение (9.3.16), будем иметь sn z =

*)

При k = 0 в соответствии с определениями (9.3.13)-(9.3.15) первые два ряда (9.3.16) представляют собой тейлоровские разложения для тригонометрических функций sin(u) и cos(u).

314

Часть II. Аппарат специальных функций −1

3 ⎫ 1⎧ 2 [ z − iK ( k ′)] snz = ⎨ z − iK( k ′) − (1 + k ) +...⎬ , k⎩ 3! ⎭

или 1 (1 + k 2 ) snz = + [z − iK ( k ′)]+... k [z − iK( k ′)] 6k

(9.3.17)

Таким образом, точка z0 = iK(k′) является полюсом первого порядка функции snz, причем, как и было показано в предыдущем разделе, вычет этой функции относительно указанной точки z0 равен 1/k . Рассмотрим теперь другую особую точку z$0 = 2 K (k ) + iK (k ′), также располагающуюся в основном параллелограмме периодов (см. раздел 9.1). Поскольку справедливо равенство sn z = − sn [ z − 2 K ( k )], то, заменяя в выражении (9.3.17) переменную z на z − 2K(k) и подставляя это выражение в последнее равенство, получим snz = −

1 (1 + k 2 ) − ( z − z$ 0 ) +..., k ( z − z$ 0 ) 6k

(9.3.18)

так что точка z$0 = 2 K (k ) + iK (k ′) является также простым (не кратным) полюсом функции snz. Вычет относительно этого полюса равен ( −1/k). Аналогичным образом находятся лорановские ряды для функций Якоби cnz и dnz. Эти разложения в окрестности особых точек основного параллелограмма периодов (см. табл. 4), имеют вид *) i 1 i (1 − 2k 2 ) cnz = ( z − z$ 0 ) +..., + k z − z$ 0 6k cnz = −

i 1 i (1 − 2k 2 ) ( z − z 0∗ ) +..., − ∗ k z − z0 6k

i i (k 2 − 2) dnz = − − [ z − iK (k ′)]+..., z − iK (k ′) 6 dnz =

(9.3.19)

i i (k 2 − 2) + [ z − 3iK (k ′)]+... z − 3iK ( k ′) 6

Здесь z$ 0 = 2 K ( k ) + iK ( k ′), z0∗ = 4 K ( k ) + iK ( k ′), i 2 = −1 . Из (9.3.17)-(9.3.19) следует, что для каждой из функций Якоби сумма вычетов относительно всех ее полюсов в основном параллелограмме периодов равна нулю.

*)

Ряды (9.3.19) основаны на следующих соотношениях (см. табл. 5 раздела 9.1) cn ( z − z 0 ) i dn ( z − z 0 ) cnz = − , dnz = −i , k sn ( z − z 0 ) sn ( z − z 0 ) в которых z0 = iK(k′), i 2 = −1 .

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

315

9.4. Предельные случаи

Исследуем теперь случаи, когда корни (γ j , j = 1,3) характеристического уравнения (8.7.6) являются кратными, и обратимся к соотношениям (9.3.4)-(9.3.5), связывающим ℘-функцию Вейерштрасса с эллиптическими функциями Якоби. Ранжируя (в случае положительного дискриминанта уравнения (8.7.6)), как и в разделе 8.7, величины γ j ( j = 1,3) так, что γ1 ≥ γ2 ≥ γ3, для кратных корней будем иметь следующие возможные соотношения: γ2 = γ3, либо γ1 = γ2, либо γ1 = γ2 = γ3 = 0 (см. (8.4.21)) *) . Пусть γ2 = γ3= −C, при этом, как следует из (8.4.21), γ1 = −γ2 − γ3 = 2C (C > 0). Тогда, согласно (8.7.18), k = 0, и из (9.3.15) получим ϕ = am(z) ≡ z, так что соотношения (9.3.14) представляются в виде: snz = sinz, cnz = cosz, dnz = 1.

(9.4.1)

Обращаясь далее к выражению (9.3.4), будем иметь ℘( z) = − C +

3C

sin

2

[

3Cz

]

(9.4.2)

,

а следовательно, согласно (8.1.19) и (8.1.27), получим

[

]

ζ ( z) = Cz + 3Cctg 3Cz , σ ( z) =

1 sin 3C

[

]

3Cz exp( Cz 2 / 2).

(9.4.3)

В этом случае, как следует из (8.7.16)-(8.7.20) и (8.14.10), основные периоды ℘функции Вейерштрасса равны 2ω 1 =

π

3C

, 2ω 3 = i∞.

Если γ1 = γ2 = C > 0 (при этом γ3 = −2C), то k =

γ 2 −γ 3 = 1, так что 2ω1 = ∞, γ 1 −γ 3

Из (9.3.14) в данном случае непосредственно следует, что dnz = cnz, поэтому первое уравнение (9.3.11) можно представить в виде d ( sn z) = cn 2 z, dz

или d ( sn z) = dz. 1 − sn 2 dz

Интегрируя это уравнение, получим exp( z ) − exp( − z ) = thz , snz = exp( z ) + exp( − z ) *)

(9.4.4)

В случае комплексных корней, когда, согласно (8.7.7), γ1 = a + ib, γ2 = −2a, γ3 = a − ib (i2 = −1) и b ≠ 0, очевидно, имеем γ1 ≠ γ2 ≠ γ3.

316

Часть II. Аппарат специальных функций

а следовательно,

cn2z = 1 − sn2z = ch−2 z, dn2z = cn2z = ch−2z,

(9.4.5)

так что из (9.3.5) будем иметь ℘( z ) = C +

3C

sh 2

[ 3C z ].

(9.4.6)

Дзета- и сигма-функции Вейерштрасса в данном случае, с учетом определений (8.1.19), (8.1.27), представляются в виде:

[

]

ζ ( z) = − Cz + 3Ccth 3Cz , σ ( z) =

1 sh 3C

[

]

3Cz exp( − Cz 2 / 2).

(9.4.7)

Наконец, при γ1 = γ2 = γ3 = 0 *) , то есть когда, согласно (8.4.21), ℘-функция Вейерштрасса строится по нулевым инвариантам g2 = g3 = 0, на основании (8.7.1) и (8.7.3) получим (см. также (8.4.2), (8.4.6) и (8.4.12)): ℘( z )

z=±

∫

∞

dw , 2w 3 / 2

а следовательно,

℘( z) =

1 1 , ζ ( z) = , σ ( z) = z. 2 z z

(9.4.8)

Таким образом, в рассмотренных предельных случаях, когда корни характеристического уравнения (8.7.6) являются кратными, функции Вейерштрасса (и функции Якоби) выражаются через элементарные функции. 9.5. Теоремы (формулы) сложения Рассмотрим эллиптические функции от комплексной переменной u вида

S(u) = snu sn(u + v), C(u) = cnu cn(u + v), D(u) = dnu dn(u + v),

(9.5.1)

в которых v — некоторое произвольное комплексное число, но такое, что snv ≡/ 0, cnv ≡/ 0, dnv ≡/ 0,

то есть, согласно табл. 4 (раздел 9.1),

v ≡/ {v 0 , v 1 , v 2 },

v 0 = 2nK (k ) + 2miK (k ′),

v 1 = v 0 − K (k ),

v 2 = v 1 − iK (k ′);

n, m = 0,±1,... (i 2 = −1).

(9.5.2)

Из результатов табл. 5 (раздел 9.1) нетрудно видеть, что все функции (9.5.1), в отличии от функций Якоби snu, cnu, dnu, будут уже обладать основными периодами, равными Ω1 = 2K(k) и Ω2 = 2iK(k′). Кроме того, согласно данным табл. 4, в основном параллело-

*)

В случае, когда γ1 = γ2 = γ3 = 0 независимого параметра, по которому строились бы ненулевые функции Якоби, уже нет, и условие (9.1.13) не выполняется.

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

317

грамме периодов (Ω1, Ω2) функции (9.5.1) имеют одни и те же полюсы u = {iK (k ′),− v + iK (k ′)}. Поэтому поскольку *)

S [iK (k ′)] = S [− v + iK (k ′)], C [iK (k ′)] = C[− v + iK (k ′)],

D[iK (k ′)] = D[− v + iK (k ′)],

то выберем постоянные A1 и A2 так, чтобы функции C(u) + A1S(u) и D(u) + A2S(u) вообще не имели полюсов, то есть формально определим эти постоянные в виде A1 = − C[iK ( k ′) ] S[iK ( k ′) ] ,

A2 = − D[iK ( k ′)] S[iK ( k ′) ].

Но, как следует из теоремы Лиувилля (см. раздел 8.1), эллиптические функции, не имеющие полюсов, должны быть тождественно постоянными, так что оказываются справедливыми следующие равенства: cnu cn(u + v ) + A1snusn(u + v ) = A3 , dnu dn(u + v ) + A2 snusn(u + v ) = A4 .

(9.5.3)

Для определения постоянных A1 − A4 учтем, что, согласно (9.3.14)-(9.3.15), cn0 = dn0 = 1, sn0 = 0, поэтому при u = 0 из (9.5.3) будем иметь A3 = cnv, A4 = dnv. Дифференцируя затем по переменной u, с учетом (9.3.11), каждое из равенств (9.5.3) и полагая опять u = 0, получим A1 = dnv, A2 = k2сnv. При этом ввиду предположения (9.5.2), величины A1 − A4 отличны от тождественного нуля **) . Таким образом, выражения (9.5.3) можно представить в следующем виде: cnucn(u + v ) + dnv snusn(u + v ) = cnv , dnudn(u + v ) + k 2 cnv snusn(u + v ) = dnv.

(9.5.4)

Если теперь заменить в (9.5.4) переменную u на (−u), а затем v на v + u , то будем иметь: cn u cnv − dn(u + v) sn u snv = cn(u + v), dn u dnv − k2cn(u + v) sn u snv = dn(u + v). Разрешая последнюю систему относительно cn(u + v) и dn(u + v) и учитывая (9.3.10) и первое из соотношений (9.5.4), получим искомые формулы (теоремы) сложения для эллиптических функций Якоби:

*)

В самом деле, с учетом того, что один из периодов функций (9.5.1) равен Ω2 = i2K(k′), а функции Якоби cnz, dnz — четные, в то время как snz — нечетная функция, то, обозначая для упрощения записи K(k′) через K′, имеем: C(−v+iK′) = cn(−v +iK′) cn(iK′) = cn(−v −iK′) cn(−iK′) = cn(iK′) cn(iK′+ v) = C(iK′), S(−v +iK′) = sn(−v +iK′) sn(iK′) = sn(−v −iK′) sn(−iK′) = sn(iK′) sn(iK′+ v) = S(iK′), D(−v +iK′) = dn(−v +iK′) dn(iK′) = dn(−v −iK′) dn(−iK′) = D(iK′). В случае невыполнения условий (9.5.2) равенства (9.5.3) и приводимые далее равенства обращаются в тривиальные.

**)

318

Часть II. Аппарат специальных функций

snucnv dnv + cnu dnusnv , 1 − k 2 sn 2 usn 2 v cnucnv - snu dnusnv dnv cn (u + v ) = , 1 − k 2 sn 2 usn 2 v

sn (u + v ) =

dn (u + v ) =

(9.5.5)

dnudnv − k 2 snucnusnv cnv . 1 − k 2 sn 2 usn 2 v

При k = 0, как нетрудно видеть, первые два соотношения (9.5.5), согласно (9.3.14), (9.3.15), представляют собой формулы сложения для тригонометрических функций sin sin cos {u + v} = cos v {u} ± sin v {u}. cos cos sin

Из соотношений (9.5.5) при v = u непосредственно следуют формулы удвоения: 2snucnudnu cn 2 u - sn 2 udn 2 u sn (2u ) = ,cn (2u ) = , 1 − k 2 sn 4 u 1 − k 2 sn 4 u dn 2 u − k 2 sn 2ucn 2u dn (2u ) = . 1 − k 2sn 4u

(9.5.6)

В свою очередь, из (9.5.6) и (9.3.10) имеем 1 − dn ( 2u) = k 2 sn 2 u, 1 + cn( 2u) и, заменяя переменную u на u/2, получаем формулу для “половинного аргумента”: ⎛ u ⎞ 1 1 − dnu (9.5.7) sn 2 ⎜ ⎟ = 2 , (0 < k < 1). ⎝ 2 ⎠ k 1 + cnu Следовательно, согласно (9.3.10), имеем *) 1 (1 − dnu ) (1 + dnu ) 1 − cnu cnu + dnu ⎛u⎞ ⎛u⎞ cn 2 ⎜ ⎟ = 1 − sn 2 ⎜ ⎟ = 1 − 2 , =1− = 1 + dnu 1 + dnu k (1 + cnu )(1 + dnu ) ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛u⎞ ⎛ u ⎞ dnu + cnu dn 2 ⎜ ⎟ = 1 − k 2 sn 2 ⎜ ⎟ = . 1 + cnu ⎝2⎠ ⎝2⎠

(9.5.8)

Так что при u = K(k) на основании данных табл. 5 (раздел 9.1) получим 1 k′ ⎛ K (k ) ⎞ ⎛ K (k ) ⎞ ⎛ K (k ) ⎞ , cn 2 ⎜ , dn 2 ⎜ sn 2 ⎜ ⎟= ⎟= ⎟ = k ′, ⎝ 2 ⎠ 1+ k ′ ⎝ 2 ⎠ 1+ k′ ⎝ 2 ⎠

(9.5.9)

где k и k′ — соответственно модуль и дополнительный модуль полного эллиптического интеграла K(k).

*)

Для эллиптических функций Якоби могут быть получены и другие соотношения, аналогичные тригонометрическим функциям [26, 43].

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

319

Если же воспользоваться первым соотношением (9.3.5) и учесть, что основной полупериод ω1 (для случая положительного значения дискриминанта характеристического уравнения (8.4.19)) ℘-функции Вейерштрасса определяется выражением (8.7.19)

ω 1 = K (k )

γ 1 −γ 3 ,

то сразу получим следующее весьма важное для приложений выражение: cn 2 [ K ( k )] ⎛ω1 ⎞ ℘⎜ ⎟ = γ 1 + (γ 1 − γ 3 ) 2 , ⎝ 2⎠ sn [ K ( k )] или, согласно (9.5.9) и (9.1.22)-(9.1.23), ⎛ω ⎞ ℘⎜ 1 ⎟ = γ 1 + (γ 1 − γ 2 )(γ 1 − γ 3 ). ⎝ 2⎠

(9.5.10)

Аналогично из (9.3.4), учитывая, что согласно (8.7.16), (8.7.20),

Ω2 = ω 3 = iK (k ′) 2

γ 1 −γ 3

2

( i = −1),

будем иметь ⎛ω ⎞ ℘⎜ 3 ⎟ = γ 3 + ⎝ 2⎠

γ 1 −γ 3 ⎡ iK ( k ′) ⎤ sn ⎢ ⎣ 2 ⎥⎦

,

2

или, поскольку, как следует из (9.1.26), (9.5.9) и (9.1.21),

⎤ 2 ⎡ K ( k ′) ; k ′⎥ sn ⎢ ⎡ iK ( k ′) ⎤ ⎣ 2 ⎦ = − 1 = − γ 1 −γ 3 , ;k⎥ = − sn 2 ⎢ k γ 2 −γ 3 ⎡ K ( k ′) ⎤ ⎣ 2 ⎦ ; k ′⎥ cn 2 ⎢ ⎣ 2 ⎦ получим

⎛ω ⎞ ℘⎜ 3 ⎟ = γ 3 + γ 3 − γ 1 γ 3 − γ 2 . ⎝ 2⎠

(9.5.11)

Из теорем (формул) сложения для функций Якоби непосредственно следует формула сложения для эллиптических интегралов первого рода (9.3.15). Действительно, определим, согласно (9.3.13)-(9.3.14), функции амплитуды в виде

ϕ = am(u; k ), ψ = am( v ; k ),

(9.5.12)

так что функции ϕ

u = F (ϕ ; k ) = ∫ 0

ψ

dτ 1 − k sin τ 2

2

,

v = F (ψ ; k ) = ∫ 0

dτ 1 − k 2 sin 2 τ

(9.5.13)

являются эллиптическими интегралами первого рода в форме Якоби. Тогда, определяя величину χ так, чтобы (9.5.14) sn(u + v) = sinχ, cn(u + v) = cosχ,

320

Часть II. Аппарат специальных функций

то есть, согласно (9.3.13)-(9.3.14), χ = am(u + v; k), для эллиптического интеграла χ

F (χ; k ) = ∫ 0

dτ 1 − k 2 sin 2 τ

= u + v,

на основании (9.5.13) с точностью до линейной комбинации периодов 4K(k) и i2K(k′), поскольку, как следует из (9.5.14) и данных, приведенных в табл. 4 раздела 9.1, величина χ инвариантна относительно указанных периодов, будем иметь F(χ; k) = F(ϕ ; k) + F(ψ; k).

(9.5.15)

При этом, согласно (9.3.14), а также формулам сложения (9.5.5), величина χ должна удовлетворять равенствам: (1 − k 2 sin 2 ϕ sin 2 ψ ) sin χ = sin ϕ cosψ 1 − k 2 sin 2 ψ + cos ϕ sin ψ 1 − k 2 sin 2 ϕ , (1 − k 2 sin 2 ϕ sin 2 ψ ) cos χ = cos ϕ cosψ − sin ϕ sin ψ 1 − k 2 sin 2 ϕ 1 − k 2 sin 2 ψ .

(9.5.16)

В частности, если χ = ϕ + iψ ( i 2 = −1 ; ϕ и ψ — вещественные величины), так что χ

z = F (χ ; k ) = ∫ 0

dτ 1 − k 2 sin 2 τ

(9.5.17)

,

то представляя z в виде z = uˆ + ivˆ ,

и учитывая, что, согласно (9.5.17) (см. также (9.3.13)-(9.3.15)), из (9.3.14) получим

χ = ϕ + iψ = am(uˆ + ivˆ ; k ),

(9.5.18)

sin ϕchψ + i cos ϕshψ = sn(uˆ + ivˆ ), cos ϕchψ − i sin ϕshψ = cn(uˆ + ivˆ ).

(9.5.19)

Здесь chψ = cos(iψ), shψ = −isin(iψ) ( i 2 = −1 ) — соответствующие гиперболические функции. Но так как из результатов, приведенных для Q-преобразования в табл. 6 (раздел 9.1), следует, что (см. также (9.1.26)) sn (ivˆ ; k ) =

isn ( vˆ ; k ′) , cn ( vˆ ; k ′)

cn (ivˆ ; k ) =

1 , cn ( vˆ ; k ′)

dn (ivˆ ; k ) =

dn ( vˆ ; k ′) , cn ( vˆ ; k ′)

(9.5.20)

то на основании (9.5.19) с учетом формул сложения (9.5.5), будем иметь R1 (uˆ , vˆ )[sin ϕ chψ + i cos ϕ shψ ] = snuˆdn ( vˆ ; k ′) + icnuˆdnuˆsn ( vˆ ; k ′)cn ( vˆ ; k ′), (9.5.21) R1 (uˆ , vˆ )[cos ϕ chψ − i sin ϕ shψ ] = cnuˆcn ( vˆ ; k ′) − isnuˆdnuˆsn ( vˆ ; k ′)dn ( vˆ ; k ′), где R1 (uˆ, vˆ ) = cn 2 ( vˆ ; k ′) + k 2sn 2uˆsn ( vˆ ; k ′). Вводя далее обозначения

λ = am(uˆ; k ),μ = am( vˆ ; k ′),

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

321

из (9.5.17)-(9.5.18), а также (9.5.21) и (9.3.14) получим искомое равенство F ( χ ; k ) = F (λ ; k ) + iF ( μ ; k ′), i 2 = −1,

(9.5.22)

в котором по-прежнему через F(...) обозначены эллиптические интегралы первого рода, а величины λ и μ определяются из следующих уравнений: sin ϕchψ + i cos ϕshψ =

{

}

= R2 (λ , μ ) sin λ 1 − k ′ 2 sin 2 μ + i cos λ sin μ cos μ 1 − k 2 sin 2 λ , cos ϕchψ − i sin ϕshψ =

{

(9.5.23)

}

= R2 (λ , μ ) cos λ cos μ − i sin λ sin μ (1 − k 2 sin 2 λ )(1 − k ′ 2 sin 2 μ ) . Здесь

{

R2 (λ , μ ) = cos μ + k sin λ sin μ 2

2

2

2

}

−1

.

Приравнивая вещественные и мнимые части каждого из уравнений (9.5.23), окончательно находим tg ϕ = tg λ (1 + k tg μ ), th ψ = sin μ (1 − k sin λ ), 2

2

2

2

2

2

2

2

или tg 2 μ =

1 ⎡ x ⎤ η − 1⎥, 2 ⎢ k ⎣1 − x ⎦

(9.5.24)

а η = ctg2λ — положительный корень уравнения

⎡ (1 − x + k 2 y )

η2 − ⎢ причем x = sin2ϕ, y = sh2ψ.

⎣

x

⎤ 1− x 2 − k ′ 2 ⎥η − k ′ = 0, x ⎦

(9.5.25)

9.6. Обращение ℘-функции Вейерштрасса Как было показано в разделах 8.9. и 8.11 при интегрировании эллиптических функций возникает проблема, связанная с определением значения аргумента ℘-функции Вейерштрасса по величине этой функции. Аналогичная ситуация также возникает и при нахождении постоянных интегрирования по заданным начальным условиям. Поэтому рассмотрим задачу определения значения z из уравнения ℘(z ) = α + iβ , i = −1, 2

(9.6.1)

(то есть проблему обращения ℘-функции Вейерштрасса). Здесь α и β — произвольные вещественные величины. Из свойств ℘-функции (см. разделы 8.7 и 8.11) следует, что решение данной задачи неоднозначно, так что для выбора единственного решения будем также считать, что задана производная ℘-функции: ℘′ (z ) = ε + iδ .

(9.6.2)

322

Часть II. Аппарат специальных функций

Предположим далее, что z = u + iv , i 2 = −1,

(9.6.3)

и пусть дискриминант D характеристического уравнения (8.4.19) положителен, то есть D > 0. В этом случае, согласно (9.3.4), для ℘-функции Вейерштрасса справедливо следующее представление: h2 ℘( z ) = γ 3 + 2 , (9.6.4) sn ( s + iν; k ) в котором k = γ 2 −γ 3 h, h = γ1 −γ 3 , а аргументы s и ν связаны с переменными (9.6.3) u , v соотношениями s = hu , ν = hv .

(9.6.5)

Используя затем функцию амплитуды (вида (9.3.15)), определим вещественные величины ϕ и ψ следующим образом:

ϕ + iψ = am(s + iν ; k ), i 2 = −1 .

(9.6.6)

Тогда из (9.6.4) с учетом (9.6.1) и (9.3.14) после несложных преобразований будем иметь sin(ϕ + iψ ) = ± r ± i f , (9.6.7) где h2 h2 r = ( a + l ) l 2 , f = ( l − a) l 2 , l = a 2 + β 2 , a = α − γ 3 . 2 2 Следовательно, вводя, как и в предыдущем разделе (см. (9.5.24), (9.5.25)), обозначения x = sin ϕ , 2

y = sh ψ , 2

(9.6.8)

из (9.6.7) получим для x и y следующую систему уравнений: x (1 + y ) = r ,

из которой находим

(1 − x ) y = f ,

*)

x = b − b2 − r , Здесь b=

y = r + f − x.

(9.6.9)

1+ f + r 1 = 1 + h2 l . 2 2

(

)

Если теперь воспользоваться формулой (теоремой) сложения (9.5.22) для эллиптических интегралов первого рода

*)

При b 2 ≠ r второе возможное значение x = b + b 2 − r , то есть x =

1 (1 + h 2 / l ) + b 2 − r , а следова2

1 2 (h / l − 1) − b 2 − r не удовлетворяет определениям (9.6.8), так как x > 1 при h2/l > 1, а при 2 h2/l ≤ 1 получим y < 0.

тельно, y =

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

323

F (ϕ + iψ ; k ) = F (λ ; k ) + iF (μ ; k ′ ),

то, согласно (9.6.6) и (9.5.17)-(9.5.18), будем иметь s = F (λ ; k ), ν = F (μ ; k ′ ),

(9.6.10)

а следовательно, с учетом (9.6.5), получим λ

dτ 1 u1 = ∫ , h 0 1 − k 2 sin 2 τ

μ

dτ 1 , v1 = ∫ h 0 1 − k ′ 2 sin 2 τ

(9.6.11)

где λ, μ определяются выражениями (9.5.24), (9.5.25), в которых величины x и y находятся из (9.6.9). Решение z1 = u1 + iv1, определяемое (9.6.11), как следует из результатов раздела 8.8, является (если оно располагается в основном параллелограмме периодов) одним из двух возможных решений уравнения (9.6.1) в основном параллелограмме периодов ℘функции Вейерштрасса *) . Другое решение, согласно (8.8.1), имеет вид z2 = 2(ω1 + ω3) − z1, или u 2 = 2ω − u1 , v 2 = 2ω~ − v1 , (9.6.12) где в случае положительного значения дискриминанта D, основные полупериоды ~ ( i 2 = −1 ) определяются соответственно выражениями ℘-функции ω 1 = ω и ω 3 = iω (8.7.19) и (8.7.20). Займемся теперь поиском того решения, которое отвечает условию (9.6.2). Для этого, учитывая, что, согласно (9.1.26), sn 2 (ihv1 ; k ) = −

sn 2 (hv1 ; k ′) , cn 2 (hv1 ; k ′)

вычислим на основании выражений (9.6.4)-(9.6.5), (9.6.11), а также определений (9.3.14) и (9.3.15), значения ℘(u1) и ℘(iv1), которые будем обозначать соответственно через p и q: h2 h2 p =γ3 + = γ + , 3 sin 2 [am(hu1 ; k )] sin 2 λ (9.6.13) h2 2 2 q =γ3 + 2 = γ 3 − h ctg μ. sn [ihv1 ; k ] Затем воспользуемся формулой сложения (8.6.6) для ℘-функций Вейерштрасса, согласно которой 2

1 ⎡℘′(u1 ) − ℘′(iv1 ) ⎤ ℘(u1 + iv1 ) = −℘(u1 ) − ℘(iv1 ) + ⎢ ⎥ . 4 ⎣ ℘(u1 ) − ℘(iv1 ) ⎦ *)

Если решение z1 не находится в основном параллелограмме (прямоугольнике) периодов, то следует перейти к соответствующему решению z1′ = z1 + 2mω 1 + 2nω 3 ;m, n = ±1,±2,...

324

Часть II. Аппарат специальных функций

Дифференцируя по переменной z1 = u1 + iv1 обе части этого уравнения и учитывая выражения (8.4.7) , (8.4.8), после несложных преобразований будем иметь *)

℘′(u1 + iv1 ) = Φ1 ( p, q)℘′(u1 ) + Φ 2 ( p, q)℘′(iv1 ),

(9.6.14)

где Φ 1 ( p , q) = 2

4q 3 − g 2 q − g3 6q 2 − g 2 2 , − (q − p ) 3 (q − p ) 2

Φ 2 ( p , q) = 2

4 p 3 − g 2 p − g3 6 p 2 − g 2 2 . − ( p − q) 3 ( p − q) 2

Поскольку, согласно свойству однородности (8.5.5), ℘′(iv1 ; g 2 , g 3 ) = i℘′( v1 ; g 2 ,− g 3 ), а ℘(u2) и ℘(iv2) (см. (9.6.12)) также определяются соответствующими выражениями (9.6.13), то из (9.6.14) и условия (9.6.2) следует, что b1 = sign℘′(u ) = sign{ε Φ1 ( p, q)}, b2 = sign℘′(iv ) = sign{δ Φ 2 ( p, q)},

(9.6.15)

причем при ℘′ (u ) = 0 на основании (8.4.15) сразу находим u = ω 1 = ω , а в случае ℘′(iv ) = 0 получим iv = ω 3 = iω~ . Учитывая далее результаты раздела 8.8, заключаем, что в случае отрицательного знака b1 при sign(b2) = + из двух возможных решений (9.6.11) и (9.6.12) реализуется то, которое располагается в области 0 ≤ u < ω , 0 ≤ v < ω~ (прямоугольник G1 на рис. 33а, раздел 8.8), а при sign(b2) = − следует выбирать решение, для которого 0 ≤ u < ω , ω~ ≤ v < 2ω~ (прямоугольник G4 на рис. 33а). Если же sign(b1) = +, то при sign(b2) = + искомое решение располагается в области G2 (рис. 33а), то есть когда ω ≤ u < 2ω , 0 ≤ v < ω~ , а при отрицательном знаке b2 истинное решение находится в области ω ≤ u < 2ω , ω~ ≤ v < 2ω~ (прямоугольник G3 на рис. 33а). Пусть теперь дискриминант D характеристического уравнения (8.4.19) отрицателен D < 0 **) . Для нахождения в этом случае взаимосвязи ℘-функции Вейерштрасса с эллиптическими функциями Якоби обратимся (см. раздел 8.7) к эллиптическому интегралу первого рода вида (8.7.3) в форме Вейерштрасса ***) w =℘( z )

z=±

∫

∞

*)

dw 3

4w − g 2 w − g 3

.

(9.6.16)

Как следует из результатов раздела 8.8, в рассматриваемом случае положительного значения дискриминанта D значения p и q не совпадают, то есть p ≠ q, так что Φ1 и Φ2 — конечные величины.

**)

В случае D = 0, как было показано в разделе 9.4, ℘-функция Вейерштрасса выражается через элементарные функции, и ее обращение тривиально [35]. ***) Из (9.6.16), в частности, следует, что абсолютное значение z приведенного эллиптического интеграла является результатом обращения ℘-функции Вейерштрасса w = ℘(z).

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

325

Поскольку при D < 0 (когда γ1,3 = a ± ib, γ2 = −2a)

[

]

4w 3 − g 2 w − g3 = 4( w − γ 1 )( w − γ 2 )( w − γ 3 ) = 4( w − γ 2 ) ( w − a) 2 + b 2 , то, переходя в (9.6.16) от w к новой переменной τ, так что w = γ2 + ρ ctg2(τ/2),

(9.6.17)

причем ρ = 9a 2 + b 2 , после очевидных преобразований получим

2z ρ =

( mτ )

∫ 0

где k =

dτ 1 − k 2 sin 2 τ

,

1 3γ 2 − , γ 2 = −2a. Следовательно, согласно (9.3.13)-(9.3.15) и (9.6.17), будем 2 4ρ

иметь w = ℘(z) = γ 2 + ρ

[ [

] ]

1 + cos am ( 2 ρ z) 1 + cos τ =γ 2 +ρ , 1 − cos τ 1 − cos am (2 ρ z)

или ℘( z) = γ 2 + ρ

1 + cn (s + iν ; k ) . 1 − cn (s + iν ; k)

(9.6.18)

Здесь аргументы s и ν связаны с переменными (9.6.3) u , v соотношениями (9.6.5), в которых следует считать h = 2 ρ . Вводя далее, как и ранее, вещественные величины ϕ и ψ соотношением (9.6.6), из выражений (9.6.1) и (9.6.18) получим cos(ϕ + iψ) = r + if ( i 2 = −1 ), где r = 1 − 2ρ

c , c + β2 2

f = 2ρ

β c +β2 2

(9.6.19)

, c = α − γ 2 + ρ.

Тогда величины x = sin2ϕ, y = sh2ψ, согласно (9.6.19), будут определяться системой уравнений (1 − x)(1 + y) = r2, xy = f 2, решение которой имеет вид: x = d + d2 + f 2 ,

y = x − 2d ,

(9.6.20)

при этом 2

2

d = (1 − r − f ) 2 .

Аналогично случаю положительного дискриминанта, на основании (9.6.11), с учетом (9.6.20), могут быть затем определены аргументы u1 и v1, представляющие собой одно из решений (z1 = u1 + iv1) уравнения (9.6.1). И, наконец, определяя значения

p = ℘( u1) и q = ℘(iv1), согласно (9.6.18), (9.6.11) и (9.5.20), из выражений

326

Часть II. Аппарат специальных функций p = γ 2 + ρctg 2

λ

, q = γ 2 − ρctg 2

μ

(9.6.21) 2 2 и используя соотношение (9.6.14) для знаков величин ℘′ (u ) и ℘′(iv ) , мы получим представление (9.6.15). Так как в рассматриваемом случае D < 0, основной параллелограмм периодов можно представить в виде четырех треугольников G1 — G4 (см. рис. 34а; раздел 8.8), то, учитывая соотношение (8.6.9) *) (γ − γ 3 )(γ 2 − γ 1 ) ℘(z + ω 2 ) = ℘(z − ω 2 ) = γ 2 + 2 , ℘(z ) − γ 2 или ℘( z + ω1 + ω 3 ) = ℘( z + ω ) = γ 2 +

ρ2 ℘( z ) − γ 2

,

из которого с учетом (8.5.5) при z = iv и вещественных значениях инвариантов g2, g3 следует, что 2

⎞ ⎛ ρ ⎟⎟ ℘′(iv ), ℘′(ω + iv ) = −⎜⎜ ( v g , g ) ; γ ℘ − + 3 2 ⎠ 2 ⎝

то есть

sign[℘′(iv )] = −sign[℘′(ω + iv )],

на основании результатов раздела 8.8 устанавливаем, что при одинаковых знаках b1 и b2 (см. (9.6.15)) искомое решение должно располагаться в треугольнике G1 (в случае отрицательных знаков b1 и b2) и G3, когда sign(b1) = sign(b2) = + (см. рис. 34а). В случае же противоположных знаков b1 и b2 из двух возможных решений z1 = u1 + iv1 и

z 2 = (2ω − u1 ) − iv1 ( i 2 = −1 ) искомые решения будут находиться соответственно в областях G2 и G4 (см. рис. 34а). Таким образом, для нахождения однозначного решения уравнения (9.6.1) достаточна лишь информация о знаках величин ε и δ. Более того, из теоремы (формулы) сложения (8.6.6) и свойств однородности (8.5.5) для ℘-функций Вейерштрасса следует, что (см. также (8.6.11)) ℘′(u )℘′( v ; g 2 ,− g 3 ) Im[℘(u + iv )] = − . 2 2[℘(u ) − ℘(iv )] Поэтому, поскольку ℘′(iv ) = i℘′( v ; g 2 ,− g 3 ), то, согласно (9.6.1)-(9.6.3) и (9.6.15), имеем sign β = −sign(b1b2),

и, значит, учитывая (9.6.15), заключаем, что для однозначного обращения ℘-функции Вейерштрасса достаточно установить только один знак — либо ε, либо δ.

*)

При D < 0, как следует из (8.7.13), основные периоды ℘-функции Вейерштрасса равны 2ω 1 = ω − iω~, 2ω 3 = ω + iω~ (i 2 = −1), так что 2ω 2 = −2ω1 − 2ω 3 = −2ω .

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

327

9.7. Дополнения Идея обращения эллиптических интегралов и введение в рассмотрение в связи с этим эллиптических функций принадлежит К. Гауссу, Н. Абелю и К. Якоби. К. Гаусс, исследуя в 1797 году задачу обращения интеграла r

L = ∫ dt

4

1− t ,

0

представляющего собой длину дуги лемнискаты r2 = sin2ϕ, ввел в рассмотрение две функции (“лемнискатический синус и косинус”), являющиеся частным случаем функций Якоби [36]. Позднее, рассматривая эллиптический интеграл первого рода, Гаусс ввел также обратную функцию, которую он назвал “универсальнейшим лемнискатическим синусом”. В 1827-1829 гг. были опубликованы труды Н. Абеля, посвященные эллиптическим функциям [38]. Исследуя эллиптический интеграл первого рода в форме x dx , y=∫ 2 2 2 2 (1 − a x )(1 + b x ) 0 Абель помимо обратной функции x = ϕ(y) вводит в рассмотрение еще две функции f ( y ) = 1 − a 2 ϕ 2 ( y ) , F ( y ) = 1 + b 2 ϕ 2 ( y ) , также являющиеся эллиптическими. Опреде-

лив эти функции ϕ(y), f(y), F(y) для чисто мнимого аргумента, он на основании теорем сложения распространил далее определения этих функций на область комплексной переменной. В сентябре 1827 года (в том же самом месяце, когда появился первый труд Абеля) была опубликована заметка К. Якоби, посвященная преобразованию эллиптических интегралов [39]. Свой основной труд по теории эллиптических функций, в котором представлена развернутая теория эллиптических функций, К. Якоби опубликовал в 1829 г. [40]. Рассматривая эллиптический интеграл первого рода, Якоби ввел четыре функции вида (9.3.14), (9.3.15), носящие теперь его имя *) . Наряду с этими функциями Якоби можно построить также функцию, аналогичную функции Вейерштрасса ζ(z). Эта якобиева функция Z(z), уже (как и ζ(z)) не эллиптическая — не двоякопериодическая, определяется следующим соотношением: Z ( z) =

⎛ z ⎞⎤ ∂ ⎡ ⎟⎟⎥, ⎢ln Θ 0 ⎜⎜ ∂ z⎣ ⎝ 2 K (k ) ⎠⎦

(9.7.1)

в котором Θ0 — тета-функция Якоби вида (8.12.1), K(k) — полный эллиптический интеграл первого рода. Как следует из определения (9.7.1) и соотношения (8.12.13), функция

*)

Заметим, что общепринятые обозначения для этих функций были предложены Хр. Гудерманом в 1838 г.

328

Часть II. Аппарат специальных функций Z (z ) =

1 Θ ′0 2K ( k ) Θ 0

(9.7.2)

⎛ z ⎞ является нечетной. Поскольку функция Θ 0 ⎜ ⎟ , как очевидно из (9.1.17), имеет ⎝ 2K ( k ) ⎠ простые (не кратные) нули, определяемые равенством

z 0 = 2nK (k ) + i (2m − 1) K (k ′); n, m = 0,±1,..., то в основном параллелограмме периодов (2ω1,2ω3 ), то есть (2K(k), i2K(k′)), функция Z(z) обладает единственным полюсом первого порядка z 0′ = iK (k ′) с вычетом, равным 1 *) . Кроме того, учитывая, что согласно (9.1.14),

τ = ω 3 ω 1 = [ iK (k ′ )] K (k ), из (9.7.1) и табл. 2 (см. раздел 8.12) при z ≠ z0 будем иметь Z ( z + 2K (k )) = Z (z ), Z ( z + 2iK (k ′ )) = Z (z ) −

iπ . K (k )

(9.7.3)

Если воспользоваться далее представлением (8.12.4) для функции Θ0(θ), то из (9.7.1) непосредственно получим ряд Фурье для функции Z(z): Z ( z) =

∞ ⎧⎪⎛ ⎡ iπz ⎤ ⎞⎫⎪⎤ ⎡ iπz ⎤ ⎞⎛ ∂ ⎡ 2 n −1 ⎜ ⎟ 1 exp q − ⎢ln G + ∑ ln ⎨⎜⎜1 − q 2 n−1 exp ⎢ ⎢− K (k ) ⎥ ⎟⎟⎬⎥ = ⎥ ⎟⎜ ( ) ∂z ⎣⎢ K k ⎪ n =1 ⎣ ⎦ ⎠⎪⎭⎦⎥ ⎣ ⎦ ⎠⎝ ⎩⎝

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ 1 1 iπ ∞ ⎪ ⎪ =− − ⎨ ⎬, ∑ K (k ) n=1 ⎪ ⎛ iπz ⎞ ⎛ iπz ⎞ ⎪ 2 n −1 2 n −1 ⎟⎟ 1 − q ⎟⎟ 1− q exp⎜⎜ exp⎜⎜ − ⎪⎩ ⎝ K (k ) ⎠ ⎝ K (k ) ⎠ ⎪⎭

или Z ( z) = − =

⎡ iπz ⎤ ⎡ iπz ⎤ ⎞⎫⎪ iπ ∞ ⎧⎪ ∞ ( 2 n −1) m ⎛ ⎜ exp⎢ m exp − ⎨∑ q ∑ ⎥ ⎢− K (k ) m⎥ ⎟⎟⎬ = ⎜ K (k ) n =1 ⎪⎩ m=1 K k ( ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠⎪⎭ ⎝ 2π ∞ −m ⎛ πzm ⎞ ∞ 2 m q ∑ q sin⎜⎜ K (k ) ⎟⎟∑ K (k ) m=1 ⎠ n=1 ⎝

( )

n

=

⎛ πzm ⎞ 2π ∞ q m ⎟⎟. sin⎜⎜ ∑ 2m K (k ) m=1 1 − q ⎝ K (k ) ⎠

Функцию Z(z), аналогично функции ζ(z) в случае функций Вейерштрасса (см. раздел 8.2), можно использовать для представления любой эллиптической функции, выражающейся через функции Якоби. В качестве примера рассмотрим функцию f(z) = k2 snv snz sn(z + v), *)

Так как для функции f ( z ) = f 1 ( z ) f 2 ( z ) вычет в полюсе z = z 0′ первого порядка определяется выражением f 1 ( z 0′ ) f 2 ( z 0′ ) , то, поскольку, согласно (9.7.2), для функции Z ( z ) = f 1 ( z ) f 2 ( z ) .

Глава 9. Эллиптические функции Якоби

329

где v — некоторое произвольное число (или параметр). Периоды этой функции, как следует из результатов, приведенных в табл. 4 и 5 (раздел 9.1), равны 2K(k) и i2K(k′) ( i 2 = −1 ). В основном параллелограмме периодов функция f(z) имеет простые полюсы в точках z1 = iK(k′) и z2 = iK(k′) − v. При этом, согласно (9.3.17) и табл. 5, вычеты функции f(z) в этих точках z1 и z2 равны соответственно 1 и −1 (аналогично функциям Z(z) и −Z( z + v)). Поэтому на основании теоремы Лиувилля (см. раздел 8.1) будем иметь следующее представление: f ( z ) = Z ( z ) − Z ( z + v ) + C.

(9.7.4)

Полагая в (9.7.4) z = 0, для постоянной C, учитывая, что f(0) = Z(0) = 0, получим C = Z(v). Следовательно, искомое представление рассматриваемой эллиптической функции будет иметь вид: k2 snv snz sn(z + v) = Z(z) − Z( z + v) + Z(v).

(9.7.5)

Если теперь в этом выражении заменить z на −z и сложить одноименные части полученного равенства с (9.7.5), то на основании формулы сложения (9.5.5) для функций Якоби с учетом того, что функция snv — нечетная, а cnv и dnv — четные функции, будем иметь 2k 2sn 2 zsnv cnv dnv Z ( z − v ) − Z ( z + v ) + 2 Z (v ) = 1 − k 2sn 2 zsn 2 v Разделив обе части последнего равенства на 2snv и устремляя v → 0, согласно (9.3.16), в пределе получим d Z ′ (0) − [ Z (z )] = k 2 sn 2 z , dz или, с учетом (9.3.10), d dn 2 z = 1 − Z ′ (0) + [ Z (z )]. dz И, следовательно, на основании функции Z(z) нам удалось проинтегрировать эллиптическую функцию Якоби dn2z: z

∫ dn zdz = [1 − Z ′ (0)]z + Z (z). 2

0

Аналогичным способом удается проинтегрировать любую комбинацию эллиптических функций Якоби.