Нелинейная теория упругости как физическая теория поля: Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” Кафедра механики сплошных сред

Ю.Н. Радаев, С.А. Лычев

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ КАК ФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ Учебное пособие

Издательство “Универс-групп” 2005

СамГУ

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Самарского государственного университета

УДК 531.01 ББК 22.25 P 15 Научный редактор: д-р физ.-мат. наук, проф. Д.Д. Ивлев Рецензент: д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой строительной механики и сопротивления материалов Самарского государственного архитектурностроительного университета Ю.Э. Сеницкий P 15

Радаев Ю.Н., Лычев С.А. Нелинейная теория упругости как физическая теория поля: учебное пособие / Радаев Ю.Н., Лычев С.А. – Самара: Изд-во “Универс-групп”, 2005. – 60 стр. ISBN 5-467-00056-X Нелинейная теория упругости представлена как физическая теория поля в одном из канонических вариантов. Изложение существенно отличается от характерных для механики сплошных сред и теории упругости способов определения базовых понятий и вывода основных полевых уравнений. Исходя из вариационного принципа минимальности действия для нелинейно упругого поля, даны канонические и естественные определения всех важнейших тензорных полей, необходимых для его описания, в том числе с учетом возможной сингулярности поля, обусловленной материальной неоднородностью среды и наличием повреждений. Систематический вывод законов сохранения нелинейной теории упругости и соответствующих им инвариантных интегралов, которые являются теоретической основой нелинейной механики разрушения и имеют важное прикладное значение, реализован с помощью последовательного проведения принципа двойственности описания деформации. С помощью теории нулевого лагранжиана исследуется также степень определенности тензорных характеристик поля. Теория нулевого лагранжиана развивается также и для того, чтобы распространить канонический формализм до тех естественных пределов, которые устанавливаются указанной выше неопределенностью. С помощью дивергентной формулы, справедливой для звездообразных областей, получено наиболее общее представление нулевого лагранжиана, зависящего от градиентов порядка не выше первого. Изложен алгоритмический метод вывода нулевого лагранжиана для произвольного nмерного пространства. Учебное пособие предназначено для студентов классических университетов, обучающихся по специальности 010500 “Механика”.

УДК 531.01 ББК 22.25 © Радаев Ю.Н., Лычев С.А., 2005

ISBN 5-467-00056-X 2

Введение Вариационная формулировка как средство математического представления физической теории часто рассматривается в качестве самого элегантного и экономичного (в духе принципа экономии мышления Маха (Е. Mach)) представления, по крайней мере, для физических теорий, не претендующих на описание диссипативных процессов. Классическая механика Лагранжа и Гамильтона является великолепным образцом теории, реализованной с помощью вариационного описания. Наконец, следует отметить, что вариационные принципы были положены в основу теории электромагнитного и гравитационного поля в [1]. Механика континуума, являясь классической теорией поля, не может быть исключением: исследование обобщенных симметрии и инвариантных групп для функционала действия есть, по-видимому, не только самое мощное средство проникновения в сущность самой механики континуума, но и регулярный метод вывода инвариантных интегралов нелинейной механики, которые часто (как об этом убедительно свидетельствует опыт механики разрушения) могут иметь и важное прикладное значение. Представленный материал располагается в следующей последовательности: сначала излагаются законы сохранения нелинейной теории упругости в их каноническом варианте [2] и необходимые для дальнейшего элементы теории поля, затем на основании теоремы Нетер (Е. Noether) [3] получена общая форма закона сохранения, соответствующая той или иной вариационной симметрии действия, далее с помощью базовых вариационных симметрий даются канонические определения всех важнейших векторных и тензорных полей нелинейной механики сплошных сред, необходимые для вывода нетривиальных законов сохранения в общем нелинейном случае (в том числе с учетом динамического вклада в функционал действия), и, наконец, обсуждается ограниченный вариант теории вариационных симметрии, развитый в [4]. В качестве дополнения следует рассматривать последний раздел статьи, посвященный лагранжиану пустого пространства. Добавление лагранжиана пустого пространства к лагранжиану физического поля не изменяет условий стационарности действия, хотя и может изменять выражения для канонических тензоров. Понятие о лагранжиане пустого пространства совершенно необходимо для установления степени определенности канонических тензорных полей, входящих в формулировку как классических, так и нетривиальных законов сохранения. В заключительном разделе работы приводится полная теория лагранжиана пустого пространства для n -мерного многообразия (включая четы3

рехмерное пространство–время Минковского). С помощью дивергентного представления лагранжиана пустого пространства для звездообразной области получено его общее выражение, содержащее градиенты поля, порядка не выше первого, в случае произвольного n -мерного многообразия. В целом работу следует рассматривать как компактное, но вполне строгое изложение нелинейной теории упругости с позиций классической теории поля. 1 В то же время в ней освещены и формальные основы нелинейной механики разрушения, которая в значительной мере базируется (в формальном плане) на аппарате инвариантных интегралов, которые по существу представляют собой инвариантную формулировку основных физических законов сохранения в виде интегралов по контуру или поверхности, не зависящих от пути интегрирования (см. [5–8], [10, рp. 58–73], [2, рp. 100–113]). Последовательное изложение затрагиваемого круга проблем заинтересованный читатель может найти также в известной монографии [2]. К сожалению, на русском языке имеется весьма ограниченный набор литературных источников по проблеме применения вариационных симметрий в нелинейной теории упругости. Так, в известной монографии [11] вообще нет никаких указаний на это. По поводу формализма исчисления вариаций для функционалов с переменной областью интегрирования и доказательства теоремы Нетер см. [12–15]. Систематическое изложение теории вариационных симметрий и законов сохранения для систем дифференциальных уравнений в частных производных дано в четвертой главе монографии [4].

1. Канонические законы сохранения Мы будем рассматривать общий нелинейный случай и начнем с краткого анализа основных соотношений кинематики. Обозначения, используемые далее, в основном согласуются со схемой рациональной механики [16]. Компактное изложение теории конечных деформаций читатель может найти в [2] и [17], систематическое — в духе рациональной механики Нолла–Трусделла (W. Noll, С. Truesdell) — в монографии [18].

1

При написании настоящего руководства мы использовали более ранние публикации: Радаев Ю.Н. Нелинейная теория упругости как физическая теория поля // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2000. №4(18). С. 87-113; Радаев Ю.Н., Гудков В.А. О вычислении нулевых Лагранжианов нелинейно упругого поля // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. Специальный выпуск. 2002. С. 39-56; Радаев Ю.Н. Нелинейная теория упругости как физическая теория поля // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. (Под ред. акад. Д.М. Климова.) М.: Физматлит, 2003. С. 658-684.

4

Следуя традиционной схеме рациональной механики, обозначим через x положение (место) в пространстве в момент времени t материальной частицы X . Ясно, что места x составляют актуальную конфигурацию тела K , а места X — отсчетную конфигурацию KR . Деформация тела, развивающаяся с течением времени, представляется как достаточно гладкое отображение x = x(X, t ) (1.1) отсчетной конфигурации на актуальную: KR → K . Это отображение можно обратить и представить, таким образом, деформацию в виде обратного отображения X = X(x, t ) . (1.2) Здесь важно отдавать себе отчет в том, что уже на этом первоначальном этапе проявляется характерная для всей нелинейной механики сплошных сред двойственность: двойственность представления деформации (1.1) и (1.2) (прямое и обратное описания) влияет затем на выбор мер деформации и формулировку законов сохранения. Градиент деформации T F = (∇R ⊗ x) (1.3) является важнейшим конструктивным элементом кинематики континуума. Обратный градиент, естественно, определяется как T (1.4) F−1 = (∇ ⊗ X) , и, следовательно, F ⋅ F−1 = I , где I есть единичный тензор. Вектор скорости определяется как частная производная по времени прямого представления (1.1) при фиксированном месте X : ⎛ ∂x ⎞ (1.5) v = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ . ⎝ ∂t ⎠x Материальная скорость определяется как частная производная по времени обратного представления (1.2) при фиксированном месте x : ⎛ ∂X ⎞ v = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ . (1.6) ⎝ ∂t ⎠x Оба типа скорости связаны соотношением: v = −F−1 ⋅ v . (1.7) Два основных закона сохранения (массы и импульса) можно сформулировать в материальной форме (т.е. по отношению к конфигурации KR ): ⎛ ∂p ⎞⎟ ⎛ ∂ρR ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ − ∇R ⋅ S = 0 , ⎜⎜ (1.8) = 0, ⎟ ⎟ ⎝ ∂t ⎠⎟x ⎝ ∂t ⎠x где

5

⎛ ∂x ⎞ pR = ρR ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ρR v ⎝ ∂t ⎠x

(1.9)

есть физический импульс,

(1.10) ST = JT T F−T , где S — первый тензор напряжений Пиола–Кирхгофа, T — тензор напряжений Коши (тензор истинных напряжений), J = det F . Мы подразумеваем отсутствие поля массовых сил и не учитываем их вклада в баланс импульса. Баланс энтропии также сформулируем в материальной форме: ⎛ ∂s ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ + ∇R ⋅ J = σth + σintr , (1.11) ⎝ ∂t ⎠⎟x где s — плотность (в расчете на единицу объема в отсчетном состоянии) энтропии, J — материальный вектор потока энтропии. Производство энтропии — слагаемые в правой части последнего уравнения — складывается из двух частей: вклад σ th , который обычно называют внешним производством энтропии, обусловлен теплопроводностью и поглощением ”лучистого тепла”, a σintr — внутренним производством энтропии при необратимых изменениях состояния. Процесс теплопроводности описывается материальным уравнением притока тепла: ⎛ ∂s ⎞ ϑ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ∇R ⋅ h = ϑσintr , ⎝ ∂t ⎠x

(1.12)

где ϑ — абсолютная температура, h — материальный вектор потока тепла. Введем две основные функции, необходимые для представления в рамках классической теории поля. Функция Лагранжа L = K −ψ (1.13) представляет собой разность кинетической 1 (1.14) K = ρR v ⋅ v 2 и свободной энергии Гельмгольца (в расчете на единицу объема в отсчетном состоянии) ψ = ψ(F, ϑ, α, ∇R α, X) , (1.15) где переменная α зарезервирована для внутренних (скрытых) переменных состояния, аргумент ∇Rα подразумевает возможность диффузии и локализации физической величины, представляемой скрытой переменной α , аргумент X указывает на возможную материальную неоднородность тела, на его дефектную или поврежденную структуру. Полная энергия (в расчете на единицу объема в отсчетном состоянии) 6

(1.16) H = E +K есть сумма внутренней энергии E и кинетической энергии K . Внутренняя энергия E и свободная энергия ψ связаны соотношением: E = sϑ + ψ . (1.17) Еще одну группу уравнений составляют определяющие уравнения: ∂ψ ∂ψ , , (1.18) s =− ST = ∂F ∂ϑ ∂ψ ∂ψ M= , , (1.19) A =− ∂(∇R α) ∂α ⎛ ∂α ⎞ h = ϑJ , σ th = −J ⋅ (∇R ln ϑ) , ϑσintr = A ⎜⎜ ⎟⎟⎟ , (1.20) ⎝ ∂t ⎠X где δψ (1.21) A = A + ∇R ⋅ M = − δα есть обобщенная термодинамическая сила, сопряженная потоку внутренней переменной состояния α . Канонические уравнения баланса импульса и энергии выводятся из уравнения баланса импульса (1.8) умножением слева соответственно на FT и v : ⎛ ∂P ⎞⎟ ⎜⎜ (1.22) − ∇R ⋅ P − f inh − f th − f α = 0 , ⎟ ⎟ ⎝ ∂t ⎠x ⎛ ∂H ⎞⎟ ⎜⎜ − ∇R ⋅ Γ = 0 . ⎝ ∂t ⎠⎟⎟x

(1.23)

P = −FT ⋅ p

(1.24)

В этих уравнениях — канонический импульс (псевдоимпульс); P = −(LI + S ⋅ F + M ⊗ (∇Rα)) — тензор напряжений Эшелби (J.D. Eshelby); 2 2

(1.25)

Тензор напряжений P (этот же тензор часто называют тензором энергии–импульса) был введен в механику Эшелби [19]. В современной литературе по нелинейной механике сплошных сред встречаются (в рамках одной и той же физической интерпретации) различные определения тензора энергии–импульса (см., например, монографии [2, 18]). С точки зрения интегральных законов сохранения механики тензор напряжений Эшелби играет роль, аналогичную тензору S , при формулировке баланса полной энергии внутри фиксированного контрольного объема в физическом пространстве. В этом случае соответствующий объем в отсчетной конфигурации будет подвижным. С помощью формулы дифференцирования интеграла по подвижному объему нетрудно проверить ([18, рp. 172, 173]), что (мы пренебрегаем здесь внутренними степенями свободы)

7

Γ = γ −h — материальный вектор потока энергии; ⎛ ∂α ⎞ γ = S ⋅ v + M ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ ∂t ⎠x

(1.26) (1.27)

— материальный вектор Умова–Пойнтинга (Н.А. Умов, J.H. Poynting); f th = s(∇R ϑ) (1.28) — термическая материальная сила, обусловленная неоднородностью распределения температуры; f α = A(∇Rα) (1.29) — материальная сила, обусловленная неоднородностью распределения скрытой переменной α ; ⎛ ∂L ⎞ (1.30) f inh = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ ∂X ⎠expl — сила, действующая на материальную неоднородность (сила Эшелби). Заметим также, что H = s ϑ − P ⋅ (F−1 ⋅ v) − L , (1.31)

(C = FT ⋅ F) ,

P = ρRC ⋅ v

(1.32)

1 1 (1.33) ρR v ⋅ C ⋅ v = P ⋅ v , 2 2 ⎛ ∂ψ ⎞⎟ 1 , (1.34) f inh = (v ⋅ v)(∇R ρR ) − ⎜⎜ ⎝ ∂X ⎠⎟⎟expl 2 ∂L ∂L , P= . (1.35) s= ∂v ∂ϑ Следствием канонического уравнения баланса импульса (1.22) является (в квазистатическом приближении) соотношение ∇R ⋅ P = −f inh , (1.36) K =

∂ ∂t

∫ Hdτ

R

=

∫v ( N ⋅ (P ⋅v) − h ⋅ N )d S

R

,

∂

где тензор  = HI − S ⋅ F P

не существенно отличается от тензора напряжений Эшелби P = −LI − S ⋅ F . Тензор P играет главную роль при подсчете скорости освобождения энергии вследствие продвижения края трещины. Отметим также, что в квазистатическом приближении (ср. [18, р. 172]) PT = −J FT ⋅

ψ ( ). ∂F J ∂

тензора напряжений Коши TT = T влечет за собой C ⋅ P = P ⋅ C , где C = FT ⋅ F — правый тензор деформации Коши–Грина. Симметрия T

8

равенство

или в случае материально однородного тела — ∇R ⋅ P = 0 . (1.37) Полученный результат устанавливает инвариантность интеграла

∫v N ⋅ Pd S

R

=0

(1.38)

S

(здесь интегрирование производится по любой замкнутой поверхности S , не содержащей внутри сингулярностей упругого поля; N — единичный вектор внешней нормали) в плане независимости значения интеграла от формы поверхности S в отсчетной конфигурации KR . Впервые инвариантные интегралы появились в классическом трактате Максвелла (J.С. Maxwell) в 1873 г. при определении напряжений в электростатическом поле. 3 В статической линейной упругости аналогичные интегралы, используя метод Максвелла, ввел в 1951 г. Эшелби [19]. Фактически Эшелби использовал инвариантные интегралы для вычисления конфигурационной силы, действующей на упругую неоднородность эллипсоидальной формы. Согласно Эшелби, сила fkinh , которая действует на дефект или включение в упругой среде, может быть вычислена с помощью не зависящего от пути интеграла

fi inh =

∫v n P dΣ , k

ki

Σ

где замкнутая поверхность Σ должна охватывать дефект или включение, Pki — тензор напряжений Эшелби. Позднее инвариантный интеграл был выведен Гюнтером (W. Gunter) [5] на основе вариационной теоремы Нетер (Е. Noether) [3]. Систематический вывод инвариантных интегралов теории упругости с помощью вариационной теоремы Нетер был дан в статье [6]. Наконец следует упомянуть работы [7, 8], где большое количество нетривиальных законов сохранения было получено на базе теории обобщенных групповых симметрий. В 1967 г. Г.П. Черепанов [20] получил инвариантный Г-интеграл механики разрушения непосредственно из закона сохранения энергии. Интенсивное применение инвариантного интеграла ( J -интеграла) в механике разрушения в качестве параметра, характеризующего напряженно– деформированное состояние трещины в упругопластических телах, восходит к 1968 г., когда инвариантный интеграл был сформулирован Райсом (J.R. Rice) [21]. 3

Дж.К. Максвелл. Трактат об электричестве и магнетизме. Т. I. М.: Наука, 1989. 416 с. Речь идет о вычислении силы, действующей на электростатическую систему изза наличия второй электростатической системы (т. I, с. 146–150), в форме интеграла по поверхности, охватывающей всю первую систему, но ни одной части второй системы (уравнение (16) на стр. 148).

9

2. Элементы теории поля Ниже будут даны необходимые сведения (преимущественно формального плана) из современной теории поля. Для понимания излагаемой ниже теории необходимо достаточно свободное владение исчислением вариаций (например, в рамках замечательного курса вариационного исчисления [14]). Компактное изложение имеется в [12, рp. 260–264]. Можно рекомендовать также монографию [2, рp. 96–115]. Рассмотрим функционал типа Гамильтонова действия:

ℑ=

∫

L(ϕk , ∂ βϕk , ∂ γ ∂ βϕk ,..., X β )d 4X ,

(2.1)

D×[t1 ,t2 ]

где ϕ — упорядоченный массив физических полевых величин; X β ( β = 1,2,3,4) — пространственно-временные координаты; 4 X 4 = ct (константа c имеет смысл характерной скорости и ее можно положить равной единице); d 4X — элемент объема; D — область трехмерного пространства, 5 в которой изменяются координаты X 1, X 2, X 3 ; t1, t2 — границы временного k

интервала. Под d 4X мы понимаем ”естественный” элемент объема d 4X = dX 1dX 2dX 3dX 4 . Поэтому L — ”естественная” плотность лагранжиана. Лагранжиан предполагается локальным, т.е. его значение в точке X β определяется значениями динамических переменных ϕ k и конечного числа их частных производных по пространственно-временным координатам, вычисленных в той же самой точке. Инвариантный элемент объема d 4 τ пространственно-временного многообразия, параметризованного координатами X β , определяется на основании d 4τ = g dX 1dX 2dX 3dX 4 , 4

Аналогия между пространством и временем была известна еще древним грекам. Аристотель включал время в число непрерывных величин наряду с линиями, поверхностями и телами. В современной физике равноправие пространственных координат и времени утверждалось в процессе становления теории относительности. Пространственно-временное многообразие — неотъемлемый элемент теории относительности. Геометрия пространства–времени как объект физической теории рассматривается, например, в [22, рp. 457–472]. С точки зрения классической механики сплошных сред переменные X 1, X 2 , X 3 вполне аналогичны координатам Лагранжа, а оперирование с четырехмерным пространственно–временным многообразием исключительно удобно при описании динамических процессов в деформируемых средах. 5 В рамках классической нелинейной механики сплошных сред следует считать, что D = KR ( KR — отсчетная конфигурация тела, деформацию которого обычно описывают, сравнивая отсчетную конфигурацию с актуальной деформированной), либо D — подобласть KR .

10

где g — определитель (точнее, его абсолютная величина), составленный из метрических коэффициентов gαβ . Поскольку метрика пространства– времени гиперболична то обычно вместо g пишут −g ибо последнем случае величина под корнем будет положительной. 6   1dX 2dX 3dX 4 — величина четырехмерного Итак, инвариант −gdX объема, измеренного в локальной координатной системе посредством твердых масштабов и часов по принципам специальной теории относительности. Инвариантный элемент объема следует отличать от ”естественного” элемента объема d 4X = dX 1dX 2dX 3dX 4 , так как координатная система пространственно–временного многообразия может быть криволинейной, и в этом случае величина −g отлична от единицы. При использовании криволинейной координатной системы в пространственно–временном многообразии функционал действия следует писать в форме

ℑ=

∫

L(ϕk , ∂ βϕk , ∂ γ ∂ βϕk ,..., X β ) −gd 4X .

D×[t1 ,t2 ]

Ясно поэтому, что часто характер координатной системы можно вообще не специфицировать, но тогда в уравнениях поля под функцией Лагранжа следует понимать не L , а −g L , что и будет предполагаться в дальнейшем изложении и мы, таким образом, возвращаемся к выражению действия в форме (2.1). Следует однако помнить, что L в этом случае будет не плотностью по отношению к инвариантному элементу объема пространственно-временного многообразия, но будет таковой по отношению к ”естественному” элементу объема. Как уже отмечалось величину L можно поэтому называть ”естественной” плотностью лагранжиана. Пространство–время является четырехмерным псевдоевклидовым пространством, 7 метрика которого задается знаконеопределенной квадратичной формой ds 2 = εβ (dX β )2 (β = 1,2, 3, 4) , где ε1 = 1 , ε2 = 1 , ε3 = 1 , ε4 = −1 . Определенное подобным образом 4-пространство обычно называют пространством Минковского (Н. Minkowski).

6

Часто для краткости применяется также обозначение . Геометрия псевдоевклидовых пространств и пространственно-временного многообразия в деталях изложена в книге: Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648 с. 7

11

В пространстве Минковского может быть с помощью замены X → X β введена криволинейная координатная система; метрика в этом случае определяется как ds 2 = g dX αdX β . β

αβ

Через ∂ β здесь и в дальнейшем обозначается оператор частного дифференцирования по пространственно-временным координатам X β . Мы будем использовать этот оператор (вместо более удобной наблы Гамильтона ∇β ) с тем, чтобы изложение было выдержано в духе классического вариационного исчисления. Впрочем, все уравнения исчисления вариаций без труда представляются в прямой инвариантной записи, что позволяет сформулировать их в форме, инвариантной относительно преобразований пространственно-временных координат X β . Прямая тензорная запись уравнений поля часто оказывается неудобной, так как она скрывает природу тензоров: при построении канонических тензоров теории поля заимствуются элементы как пространства–времени (греческий индекс), так и самих физических полей (латинский индекс). Большинство современных физических теорий ограничивается градиентами первого порядка от полей ϕ k . Для классической механики сплошных сред физические поля ϕ k — это закон движения (или деформирования) тела, представленный как зависимости координат Эйлера (т.е. координат в пространстве, которые выбираются наблюдателем для представления положений точек сплошной среды в процессе ее деформации) от координат Лагранжа (координаты Лагранжа, согласно традиционным представлениям механики сплошных сред, индивидуализируют точки континуума, являясь для каждой из них уникальной меткой): x k = x k (X 1, X 2, X 3, X 4 ). Таким образом, в дальнейшем можно считать, что ϕ k есть эйлеровы координаты: ϕk = x k . В принципе деформацию сплошного тела можно описывать обратным отображением (так называемое обратное лагранжево описание): X β = X β (x 1, x 2, x 3, t ) . Тогда роль физических полевых величин будут играть переменные Лагранжа. Ни одно из описаний — прямое лагранжево и обратное лагранжево — не имеет никаких преимуществ по сравнению с другим. Исторически сложилось так, что широкое распространение получило лишь прямое описание. И только в последнее время обратное описание стало проникать в работы по нелинейной теории упругости (см., например, монографию [2]). Отправным пунктом для математического описания физических полей служит принцип Гамильтона (или принцип наименьшего действия), кото12

рый гласит, что поле реализуется таким образом, что действие оказывается экстремальным, т.е. первая вариация действия обращается в нуль: δℑ = 0 . Осознанное манипулирование с вариацией действия ℑ подразумевает ясное и строгое определение различных видов варьирования как самих полей ϕ k , так и пространственно-временных переменных X β . Поэтому мы начнем с базовых понятий и определений. Основным исходным элементом, необходимым для определения понятия вариации, является однопараметрическое семейство (группа) преобразований пространственно-временных координат и физических полей: (2.2) (X β , ϕk ) → (X β , ϕk ) . где X β = X β (X γ , ε) ,

ϕk (X β , ε) = Φk (ϕs (X γ ), X β , ε) ,

причем

X β (X γ , ε) |ε =0 = X β , Φk (ϕs , X β , ε) |ε=0 = ϕk . В частности, можно вести речь только о преобразованиях пространственно-временных координат: (2.3) X β = X β (X γ , ε) , ϕk (X β , ε) = ϕk (X β ) . Величина ε — параметр группы, который может быть скалярным, векторным или тензорным. Исключительный интерес представляют однопараметрические группы преобразований, которые не изменяют величины действия (или изменение действия является бесконечно малой величиной, порядка высшего, чем ε ) любой 4-области пространственно-временного многообразия. Указанные группы обычно называют группами инвариантности действия (или вариационными симметриями действия). Если изменение функционала действия является бесконечно малой величиной, порядка более высокого чем ε , то говорят об инфинитезимальной инвариантности функционала действия относительно группы преобразований (2.2). Ясно, что инвариантность функционала действия влечет его инфинитезимальную инвариантность. Следует обратить внимание на тот факт, что пространственно–временные координаты X β и физические поля ϕk входят в группу преобразований явно не симметрично, ибо закон преобразования (2.2) не допускает трансформацию переменных X β , зависящую от полей ϕ k . Впоследствии мы рассмотрим более широкий спектр преобразований с целью устранения указанной несимметричности.

13

Заметим, что инвариантность функционала действия относительно однопараметрической группы преобразований (2.2) означает, что 8 Ld 4X = Ld 4X , где

 ϕk , ∂  ∂  k ,..., X β ) L = L(ϕk , ∂ β γ βϕ — плотность лагранжиана, выраженная с помощью новых пространственно-временных координат X β и физических полей ϕk , должна совпадать с L:  ϕk , ∂  ∂  k ,..., X β ) = L(ϕk , ∂  ϕk , ∂  ∂  k ,..., X β ) . L(ϕk , ∂ (2.4) β γ βϕ β γ βϕ Ясно, что в результате преобразования группой (2.2), если только величина действия не изменяется, плотность лагранжиана преобразуется (возможно, в случае, когда речь идет об инфинитезимальной инвариантности функционала действия относительно группы преобразований (2.2), с точностью до бесконечно малой величины, порядка высшего чем ε ) как обычная скалярная плотность: ⎛ ∂X β ⎞⎟  ϕk , ∂  ∂  κ ,..., X β ) = L(ϕk , ∂ ϕk , ∂ ∂ ϕκ ,..., X β ) . ⎟ L(ϕk , ∂ det ⎜⎜ (2.5) β γ βϕ β γ β α⎟ ⎜⎝ ∂X ⎠⎟ Инвариантность функционала действия относительно группы преобразований (2.2) дополнительно к (2.5) означает еще, что выполняется (2.4), т.е. ⎛ ∂X β ⎞⎟  ϕk , ∂  ∂  κ ,..., X β ) = L(ϕk , ∂ ϕk , ∂ ∂ ϕκ ,..., X β ) . ⎟ L(ϕk , ∂ det ⎜⎜ (2.6) β γ βϕ β γ β α⎟ ⎜⎝ ∂X ⎠⎟ Инфинитезимальная инвариантность функционала действия относительно группы преобразований (2.2) означает, что условие (2.6) выполняется с точностью до бесконечно малой величины, порядка более высокого чем ε . Условие инфинитезимальной инвариантности функционала действия, к сожалению, не может быть выражено чисто как условие на ”естественную” плотность лагранжиана. Ниже условие инфинитезимальной инвариантности функционала действия будет выражено как условие на вариации ”естественной” плотности лагранжиана и вариации пространственновременных координат. Частичная (т.е. при неварьируемых пространственно-временных координатах X β ) вариация поля ϕ k определяется как

8

Или в случае, когда речь идет об инфинитезимальной инвариантности функционала действия относительно группы преобразований (2.2), приводимое ниже равенство должно удовлетворяться с точностью до бесконечно малой величины, порядка высшего, чем ε .

14

⎛ ∂Φk (ϕs (X γ ), X β , ε)⎞⎟ ⎜ δϕ = ε ⎜ ⎟ . ⎜⎝ ∂ε ⎠⎟ε = 0 Поскольку дифференцирования по пространственно-временным координатам и параметру ε перестановочны, операторы ∂ β и δ также перестановочны: δ∂ β = ∂ β δ . k

Вариациям физических полей ϕ k , исчезающим как на границе пространственной области интегрирования так и на границах временного интервала, отвечает вариация действия ⎪⎧ ∂L ⎪⎫ ∂L k ⎪ 4 δℑ = ∫ ⎨⎪ k δϕk + ∂ ( δϕ ) d X, ⎬ β k ⎪⎪ ∂ϕ ⎪ ∂ ( ∂ ϕ ) β ⎩ ⎭⎪ или

⎧ ⎪ ∂L ∂L ⎫⎪⎪ k 4 ⎪ − ∂ (2.7) ∫ ⎨⎪ ∂ϕk β ∂(∂ βϕk )⎬⎪ δϕ d X . ⎪ ⎪⎭ ⎩ Стационарность действия необходимо влечет уравнения Эйлера– Лагранжа (уравнения поля): δL ∂L ∂L ≡ − ∂ = 0. (2.8) β δϕk ∂ϕk ∂(∂ βϕk ) Обобщение уравнений Эйлера–Лагранжа на тот случай, когда плотность лагранжиана зависит от производных, порядка выше первого, есть: 9 δℑ =

δL ∂L ∂L ∂L ≡ − ∂β + ∂ γ∂β − ... = 0 . (2.9) k k k δϕ ∂ϕ ∂(∂ βϕ ) ∂(∂ γ ∂ βϕk ) Оператор, определенный согласно (2.9), называется оператором Эйлера (или вариационной производной). Вариационная производная есть 1ковариантный пространственный вектор. Уравнения Эйлера–Лагранжа инвариантны относительно группы преобразований (2.3). Действительно, прямой расчет показывает, что ⎛ ∂X β ⎞⎟ δL δL ⎟ = det ⎜⎜ . k ⎜⎝ ∂X α ⎠⎟⎟ δϕk δϕ Полные вариации пространственно-временных координат X β и физических полей ϕ k при их преобразовании согласно (2.2) определены, как это следует ниже:

9

Мы не будем развивать далее теорию поля для лагранжиана, зависящего от градиентов полевых величин ϕk , порядка выше первого. По поводу соответствующего обобщения см., например, [2, рp. 116, 117].

15

⎛ ∂X β (X γ , ε)⎞⎟ δX = ε ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ∂ε ⎠⎟⎟ β

ε =0

,

⎛ ∂Φk (ϕs (X γ ), X β (X γ , ε), ε)⎞⎟ ⎜ ⎟⎟ δϕ = ε ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ∂ε ⎠⎟ k

,

ε=0

где ⎛⎛ ∂Φk ϕs (X γ ), X γ , ε ⎞ ⎞⎟ ⎛ ∂Φk (ϕs (X γ ), X β (X γ , ε), ε)⎞⎟ ( )⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ε ε ⎟ ∂ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠ε =0 ⎝ expl ⎠ ε=0

⎛ ∂Φk (ϕs (X γ ), X γ , ε)⎞⎟ ⎜ + ⎜⎜ ⎟⎟⎟ λ  ⎜⎜ ∂X ⎝ ⎠⎟  γ

X =X γ , ε = 0

⎛ ∂X λ (X μ , ε)⎞⎟ ⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜⎜ ⎟ ε ∂ ⎝ ⎠ε =0

Здесь мы используем обозначение вида ⎛ ∂Φ (⋅, ⋅, ε)⎞⎟ ⎜⎜ ⎜⎝ ∂ε ⎠⎟⎟ expl для производной функции Φ (⋅, ⋅, ε) по аргументу, который выражает ее явную зависимость от той переменной, по которой осуществляется дифференцирование, т.е. для частной производной функции Φ (⋅, ⋅, ε) по аргументу ε , считая при этом фиксированными все остальные аргументы даже несмотря на то, что они могут в свою очередь также зависеть от ε . Полная и частичная вариации ϕ k связаны соотношением ∂ϕk k k δϕ = δϕ + δX α . (2.10) α ∂X Как уже отмечалось, инфинитезимальная инвариантность функционала действия относительно группы преобразований (2.2) означает, что условие (2.6) выполняется с точностью до бесконечно малой величины, порядка высшего, чем ε . Так как ⎛ ∂X β ⎞⎟ ∂δX γ ⎜ ⎟ = 1+ + o(ε) , det ⎜ ⎜⎝ ∂X α ⎠⎟⎟ ∂X γ то условие инфинитезимальной инвариантности функционала действия примет вид ∂δ X γ (2.11) δL + L = 0, ∂X γ где δ L линейная по ε часть приращения  ϕk , ∂  ∂  κ ,..., X β ) − L(ϕk , ∂ ϕk , ∂ ∂ ϕκ ,..., X β ) . L(ϕk , ∂ β γ βϕ β γ β Полное варьирование действия (при условии, что ”естественная” плотность лагранжиана зависит от градиентов поля, порядка не выше первого) по пространственно-временным координатам X β и физическим полям ϕ k приводит к следующему результату [14, р. 176]: 16

⎧ ∂L ⎫ ⎪ ⎪ ∂L ∂ k k β ⎪ 4 ⎪ δϕ + ∂ δϕ + L δ X ( ) ) ∂X β ⎬d X = β( k ∫ ⎨⎪ ∂ϕk ⎪ ∂ ∂ ϕ ( ) β ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ∂L ⎧ ∂L ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ∂L ⎪⎫⎪ k 4 k β⎪ ⎪ L =∫⎪ − ∂ δϕ d X + δϕ δ X + ⎨ k ⎬ ⎬N βdA , (2.12) β ∫v ⎨⎪ ∂ (∂ βϕk ) ⎪⎪ ∂ϕ ⎪ ∂ (∂ βϕk )⎪⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ где N β — единичная внешняя нормаль к трехмерной гиперповерхности, ограничивающей область интегрирования в четырехмерном пространственно-временном многообразии, dA — элемент площади указанной гиперповерхности. Если функционал ℑ инвариантен 10 относительно группы преобразований (2.2), то его первая вариация, соответствующая варьированию координат и полей по закону (2.2), очевидно, будет равна нулю. Условие (2.11) инфинитезимальной инвариантности функционала действия относительно группы преобразований (2.2) может быть заменено более слабым условием (см. Bessel-Hagen E. Uber die Erhaultungssatze der Elektrodynamik // Math. Ann. 1921. V. 84. P. 258-276) ∂δ X γ ∂B γ (2.13) δL + L =ε ∂X γ ∂X γ так, чтобы первая вариация действия, по-прежнему, обращалась в нуль. Здесь 1-контравариантный отсчетный вектор B γ может зависеть от пространственно-временных координат и полей (включая и градиенты поля): B γ = B γ (ϕ k , ∂ βϕ k , ∂ γ ∂ βϕ κ ,..., X β ) . δℑ =

Формула (2.12) остается справедливой и для более широкого класса преобразований, в которые пространственно-временные координаты X β и физические поля ϕk входят совершенно симметрично: k (X β , ε) = Φk (ϕs (X γ ), X β , ε) , X β = X β (ϕs , X γ , ε) , ϕ где по-прежнему X β (ϕs , X γ , ε) ε=0 = X β ,

Φk (ϕs , X β , ε)

ε =0

= ϕk .

Инвариантность функционала действия относительно обобщенных преобразований исследуется ниже, в разделе 5.

3. Теорема Нетер Теорема Нетер (по поводу доказательства см. [14, рp. 176–178]) устанавливает закон сохранения, соответствующий однопараметрической группе преобразований, не изменяющих величину действия (или изменяющих таковую, но на бесконечно малую величину, порядка высшего, 10

Или, делая тем самым более общее предположение, — инфинитезимально инвариантен.

17

чем ε ) любой 4-области пространственно-временного многообразия. Другими словами, инвариантность действия (вариационная симметрия действия) относительно однопараметрической группы преобразований (X β , ϕk ) → (X β , ϕk ) порождает некоторый (иногда весьма нетривиальный) дивергентный закон сохранения 11 . Требование инвариантности действия прежде всего выражает основные свойства пространства–времени, хотя отнюдь и не ограничивается лишь этими последними свойствами. Априори можно указать следующие преобразования пространства Минковского, относительно которых действие инвариантно, а уравнения поля ковариантны: 1. Трансляции начала координат (однородность 4-пространства– времени). 2. Вращения 4-пространства–времени, содержащие как обычные повороты в пространстве, так и преобразования Лоренца (Н.A. Lorentz) в собственном смысле этого слова (изотропия пространства и специальный принцип относительности). 3. Зеркальные отражения (инверсии) и обращение времени. 4. Произвольные точечные преобразования координат в пространстве Минковского, т.е. переход к криволинейным координатам (общий принцип относительности — отсутствие преимущественных систем отсчета). Перечисленным преобразованиям, относительно которых уравнения поля ковариантны, соответствуют фундаментальные законы сохранения, имеющие смысл сохранения импульса, момента импульса и энергии (всего десять законов сохранения). Если удается разыскать иные группы инвариантности действия и получить дополнительный закон сохранения, то его принято называть нетривиальным. 12 Исходным пунктом рассуждений является полученная выше формула для полной вариации действия. Поскольку физические полевые величины ϕ k в любом случае обеспечивают стационарность действия, то уравнения Эйлера–Лагранжа ∂L ∂L − ∂β =0 k ∂ϕ ∂(∂ βϕk ) 11

Общая теория законов сохранения для систем дифференциальных уравнений в частных производных, следующих из вариационного принципа, излагается, например, в [15, рp. 227–261]. 12 Часто оказывается невозможным установить физический смысл нетривиальных законов сохранения. Что касается теории упругости, то уже не поддаются физической интерпретации законы сохранения, следующие из изотропии пространства и возможности преобразования масштаба координатных осей.

18

должны удовлетворяться и, следовательно, вариацию действия (2.12) можно вычислить в виде ⎧ ∂L ⎫ ⎪ ⎪ k β⎪ ⎪ L δℑ = ∫ δϕ δ X + ⎬ N βdA , v ⎨⎪ ∂ (∂ βϕk ) ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎩ ⎭ или, учитывая связь (2.10) между частичной и полной вариацией поля ϕk , — ⎧⎪ ∂L ⎛ ⎫ ⎪ ⎞ ∂ϕ k α⎟ β⎪ k ⎪ ⎜ L X X δℑ = ∫ δϕ δ δ − + ⎟ ⎨ ⎬ N βdA . ⎜ v ⎪ ∂ (∂ βϕk ) ⎜⎝ α ⎟ ⎪⎪ X ∂ ⎠ ⎪ ∂ ⎩ ⎭ Вводя четырехмерный вектор ⎫⎪ ⎞ 1 ⎧⎪⎪ ∂L ⎛⎜ k ∂ϕk β α⎟ β⎪ J = ⎨ δX ⎟⎟ + LδX ⎬ , ⎜δϕ − ⎪⎪ ε ⎪⎪ ∂ (∂ βϕk ) ⎜⎝ ∂X α ⎠ ⎩ ⎭ вариацию действия можно также представить в форме

δℑ =

∫v J

β

N βdA .

(3.1)

(3.2)

(3.3)

∂

Не составляет труда получить для вектора J β вместо (3.2) следующее выражение: ⎧ ⎫ ⎛ 1 ⎪⎪ ∂L ∂L ⎞⎟⎟ α ⎪⎪ ⎜ β k β k ⎜ J = ⎨ δϕ + ⎜Lδα − (∂ αϕ ) ⎟ δX ⎬ . ⎪⎪ ⎜⎝ ε ⎪⎪ ∂ (∂ βϕk ) ∂ (∂ βϕk )⎠⎟⎟ ⎩⎪ ⎭⎪ Воспользуемся теперь предположением об инвариантности действия относительно однопараметрической группы преобразований (2.2) 13 (X β , ϕk ) → (X β , ϕk ) . Ясно, что δℑ = 0 и соответствующий закон сохранения имеет следующую четырехмерную дивергентную форму: (3.4) ∂ βJ β = 0 . Теорема Нетер в принципе не может дать более общего закона сохранения, чем (3.4), где четырехмерный вектор J β удобно представить в форме 1 −J β = {S⋅βk ⋅δϕk + P⋅αβ ⋅δX α } , ε

13

Достаточно, однако, предположить, что действие не изменяет своей величины с точностью до малых, порядка высшего чем ε .

19

обозначив через S⋅β⋅ и P⋅αβ ⋅ противоположные величины коэффициентов k при вариациях δϕk и δX α соответственно. Таким образом, поток 4-вектора J β через любую поверхность, замкнутую в пространстве–времени, равен нулю:

∫v J

β

N βdA = 0 .

∂

Из каждого такого соотношения может быть получен инвариант поля, существующего в неограниченной среде, не изменяющий своего значения с течением времени. Действительно, рассмотрим четырехмерную область в форме цилиндра, основания которого X 4 = C 1, X 4 = C 2 есть гиперплоскости, перпендикулярные оси времени. Поток 4-вектора J β через границу этой области равен нулю. Если физические поля достаточно быстро затухают на бесконечности, то, удаляя боковую поверхность цилиндра в бесконечность, находим, что

∫

∫

J β N βd 3X +

X 4 =C 1

J β N βd 3X = 0 .

X 4 =C 2

Поскольку на гиперплоскостях X 4 = C 1 , X 4 = C 2 компоненты нормали N 1 = 0 , N 2 = 0 , N 3 = 0 и соответственно N 4 = −1 , N 4 = 1 ,

∫

∫

J 4d 3X =

X 4 =C 1

J 4d 3X ,

X 4 =C 2

т.е. интеграл по неограниченному пространству

∫J d X 4

3

не зависит от времени. Ясно, что полученный только что результат обобщается на случай произвольной гиперповерхности в пространстве Минковского X 4 = X 4 (X 1, X 2, X 3 ) , края которой уходят в бесконечно удаленную точку: интеграл

∫

J β N βdA = 0 .

(3.5)

X 4 =X 4 (X 1 ,X 2 ,X 3 )

не зависит от формы указанной гиперповерхности. Компоненты вектора J β , очевидно, без проблем вычисляются по формуле (3.2), если известна однопараметрическая группа инвариантности функционала действия: 14 14

Т.е. известны функциональные зависимости X β (⋅, ⋅) , Φk (⋅, ⋅, ⋅) .

20

⎛ ∂X β (X μ , ε)⎞⎟ ∂L × J β = L ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎝ ∂ε ⎠⎟ε=0 ∂ (∂ βϕk )

где

(3.6)

⎡⎛ ∂Φk (ϕs (X γ ), X β (X γ , ε), ε)⎞ ⎛ ∂X α (X μ , ε)⎟⎞ ∂ϕk ⎥⎤ ⎟ ⎜ ⎢ ⎜ ⎟ × ⎢⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ − ⎜ ⎥, ∂ε ∂ε ⎠⎟ε=0 ∂X α ⎥ ⎢⎣⎝⎜ ⎠⎟ε=0 ⎜⎝ ⎦ ⎛⎛ ∂Φk ϕs (X γ ), X γ , ε ⎞ ⎞⎟ ⎛ ∂Φk (ϕs (X γ ), X β (X γ , ε), ε)⎞⎟ ( )⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎜⎜⎜ + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ∂ ∂ ⎟ ε ε ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠ε =0 ⎝ expl ⎠ ε=0

⎛ k s γ γ ⎞ ⎜⎜ ∂Φ (ϕ (X ), X , ε)⎟⎟ +⎜ ⎟⎟⎟ ∂X λ ⎜⎝⎜ ⎠ X γ =X γ ,

ε=0

λ μ ⎛ ⎞ ⎜⎜ ∂X (X , ε)⎟⎟ . ⎟ ⎜⎜⎝ ∂ε ⎠⎟ε =0

4. Основные группы инвариантности функционала действия Мы рассмотрим две основные группы инвариантности Гамильтонова действия и формулировку соответствующих законов сохранения. Изложение в формальном плане будет в основном опираться на материал, представленный в [1, 14]. Зафиксируем четыре–индекс α и рассмотрим однопараметрическую группу трансляций пространства–времени вдоль α -оси: (4.1) X β → X β = X β (X γ , ε) = X β + εδαβ . Функционал действия любой 4-области пространственно-временного многообразия, очевидно, инвариантен относительно группы трансляций пространства–времени, если плотность лагранжиана явно не зависит от координат X β , следовательно, для направления α 4-вектор J βα = T⋅αβ ⋅ , где ∂L , (4.2) T⋅αβ ⋅ = Lδαβ − (∂ αϕk ) ∂ (∂ βϕ k ) (

)

и канонический закон сохранения, соответствующий группе трансляций пространства–времени, есть: (4.3) ∂ βT⋅αβ ⋅ = 0 . Полученный канонический закон сохранения может быть найден также с помощью следующего рассуждения. Если лагранжиан явно не зависит от пространственно-временных координат X β , то, вычисляя полную производную, находим 21

∂L ∂L ∂ϕ j ∂L ∂ ∂ϕ s = + ∂X β ∂ϕ j ∂X β ∂ (∂ γϕs ) ∂X β ∂X γ и, заменяя в этом уравнении производную лагранжиана по физической полевой величине согласно уравнениям Эйлера–Лагранжа ∂L ∂ ∂L , = j γ ∂ϕ ∂X ∂ (∂ γϕ j ) приходим к уравнению

∂L ∂ ⎛⎜⎛⎜ ∂ϕ j ⎞⎟ ∂L ⎞⎟⎟ ⎜⎜ = ⎟ ⎟, ∂X β ∂X γ ⎜⎝⎜⎝⎜ ∂X β ⎠⎟ ∂ (∂ γϕ j )⎠⎟⎟

откуда немедленно получаем ∂ ⎛⎜ γ ∂L ⎞⎟⎟ j ⎜ L δ − ( ∂ ϕ ) ⎟ = 0. β β ∂X γ ⎜⎜⎝ ∂ (∂ γϕ j )⎠⎟⎟ Заметим, что тензор T⋅αβ ⋅ не симметричен, однако само его выражение (4.2), обеспечивающее выполнение закона сохранения (4.3), не уникально: трансформируя тензор T⋅αβ ⋅ по формуле T⋅αβ ⋅ + ∂ γT⋅⋅′αγβ ⋅ , где тензор T⋅⋅′αγβ ⋅ антисимметричен при перестановке контравариантных индексов T⋅⋅′αγβ ⋅ = −T⋅⋅′αβγ ⋅ , также получаем закон сохранения ∂ β (T⋅αβ ⋅ + ∂ γT⋅⋅′αγβ ⋅ ) = 0 . Указанную трансформацию тензора T⋅αβ ⋅ можно использовать для построения симметричного тензора, для которого будет справедлив закон сохранения вида (4.3). Если плотность лагранжиана зависит явно от пространственновременных координат X β , то свойство инвариантности потока 4-вектора J βα нарушается: ⎛ ∂L ⎞⎟ . (4.4) ∂ βT⋅αβ ⋅ = ⎜⎜ ⎝ ∂X α ⎠⎟⎟expl (

)

Для доказательства достаточно заметить, что, с одной стороны, δℑ = ε ∫ ∂ βJ βα d 4X , (

)

(4.5)

а с другой — непосредственное вычисление вариации действия приводит к ⎛ ∂L ⎞⎟ (4.6) δℑ = ε ∫ ⎜⎜ d 4X , α⎟ ⎟ ⎝ ∂X ⎠expl Сравнивая (4.5) и (4.6), приходим к (4.4). 22

Компоненты канонического 4-тензора T⋅αβ ⋅ имеют размерность плотности энергии. 15 Тензор T⋅αβ ⋅ часто называют тензором энергии–импульса (см., например, [1, с. 105–109, 345–349]), поскольку канонические уравнения механики сплошных сред (1.23) и (1.22), выражающие баланс энергии ( α = 4) и импульса, являются непосредственным следствием канонического закона сохранения (4.4): ⎛ ∂H ⎞⎟ ⎛ ∂L ⎞⎟ ⎜ ⎜ (4.7) ⋅ = − − ∇ Γ ⎟ R ⎜⎝ ∂t ⎠⎟ ⎜ ∂t ⎠⎟⎟ , ⎝ X expl ⎛ ∂P ⎞⎟ inh ⎜ (4.8) ⎜⎝ ∂t ⎠⎟⎟ − ∇R ⋅ P = f , X где Γ = S ⋅ v , P = − (LI + S ⋅ F) . Действительно, чтобы, например, вывести уравнение (4.8), заметим сначала, что три первых уравнения (4.4) можно представить как ⎛ ∂L ⎞⎟ ∂ 4T⋅α4⋅ − ∂ β P⋅αβ ⋅ = ⎜⎜ (α, β = 1,2, 3) , ⎝ ∂X α ⎠⎟⎟expl где P⋅αβ ⋅ = −T⋅αβ ⋅ (α, β = 1,2, 3) — тензор напряжений Эшелби, определенный согласно (1.25). Затем преобразуем последнее уравнение к виду

−ρR ∂t (vk ∂ αx k ) − ∂ β P⋅αβ⋅ = fαinh

(α, β = 1,2, 3) ,

обозначая при этом v k = ∂ 4ϕk , и на основании определения (1.30) ⎛ ∂L ⎞⎟ fαinh = ⎜⎜ (α = 1,2, 3) . ⎝ ∂X α ⎠⎟⎟expl

Принимая во внимание далее, что (см. уравнение (1.24)) −Pα = ρRvk ∂ αϕk , (4.9) приходим к каноническому уравнению баланса импульса ∂t Pα − ∂ β P⋅αβ ⋅ = fαinh (α, β = 1,2, 3) . Уравнение (4.9) ясно указывает на то, что канонический импульс — 1ковариантный отсчетный вектор. Это уравнение можно также представить в виде Pα = ρRvα , где vα = −vk ∂ αϕk 15

Обратим внимание читателя на тот факт, что, согласно каноническому определению тензора энергии–импульса, его естественное координатное представление — 1контравариантное и 1-ковариантное.

23

есть вектор материальной скорости, который в силу определения представляет собой 1-ковариантный отсчетный вектор. Не следует при этом путать компоненты v k и vα , представляющие различные векторы. Опираясь на результаты, изложенные в разделе 3, заключаем, что 1ковариантный отсчетный вектор

∫

Pβ = −

T⋅βγ ⋅N γdA

X 4 = X 4 (X 1 , X 2 , X 3 )

не зависит от координаты X 4 . Этот вектор обычно называют полным 4импульсом поля (или волновым импульсом поля). Определяя ”естественную” плотность функции Гамильтона как ∂L (4.10) −L, H = (∂ 4ϕ j ) ∂ (∂ 4ϕ j ) для компоненты P4 полного 4-импульса поля находим

P4 = 4

∫

Hd 3X ,

(4.11)

X = const

т.е. эта компонента представляет собой полную энергию поля и, поскольку значение интеграла не зависит от положения гиперповерхности X 4 = const , полная энергия поля сохраняется. Здесь d 3X есть ”естественный” элемент объема трехмерного пространства. На основании (4.10) можно заключить, что T⋅44⋅ = −H . Рассмотрим далее группу бесконечно малых вращений пространственно-временного многообразия X β . Функционал действия должен быть инвариантен относительно этой группы преобразований. Поворот прямоугольной системы координат в 4-пространстве Минковского порождает некоторый псевдоортогональный оператор Λ , представляемый псевдоортогональной матрицей. Признак псевдоортогональности оператора выражается соотношением: ΛT ⋅ E ⋅ Λ = E , или Λναg αλ Λμλ = g νμ . Псевдоединичный оператор E в прямоугольной системе координат пространства Минковского имеет компоненты (по α не суммировать) E αβ = εαδαβ . Итак, конечный поворот пространственно-временного многообразия может быть задан псевдоортогональным тензором второго ранга: X γ → X γ = Λ γ ⋅X ν . ⋅ν

Повороты 4-пространства Минковского образуют группу по умножению, зависящую от шести независимых вещественных параметров. 24

Бесконечно малое вращение пространства Минковского можно задать преобразованиями 4

X β = X β + ∑ ω⋅βα⋅X α ,

(4.12)

α =1

где ω⋅βα⋅ = g αγ ω βγ ,

ω αβ = −ω βα

есть антисимметричный 4-тензор, компоненты которого выступают как параметры группы. Двенадцать величин ω αβ (α ≠ β ) связаны соотношениями ω αβ = −ω βα , следовательно, среди них имеется лишь шесть независимых. Ясно, что вариации пространственно-временных координат вычисляются как 4

δX = ∑ ω⋅βα⋅X α , β

α =1

или

δX β = ∑ ω γα (g αλ X λδγβ − g γμX μδαβ ) . γ <α

Будем считать, что группа Лоренца действует лишь на пространственно-временные координаты (которые мы трактуем как переменные, связанные с отсчетной конфигурацией) и не действует на физические поля ϕ k (координатное представление которых осуществляется в эйлеровой системе координат). Поэтому можно заключить, что δϕk = 0 . Производя необходимые вычисления, находим компоненты 4-вектора β J в виде ∂L ⎡ J β (γα) = (∂ αϕs ) g γλX λ − (∂ γϕs ) g αμX μ ⎤⎦⎥ + s ⎣⎢ ∂ (∂ βϕ ) . (4.13) +L (g αλX λδγβ − g γμX μδαβ )

Определим далее тензор третьего ранга M .βγα⋅⋅ формулами

M.βγα⋅⋅ = J β (γα) .

(4.14)

Тензор M .βγα⋅⋅ называется тензором момента количества движения. Он антисимметричен по индексам γ, α . Заметим, что каноническое определение тензора момента количества движения указывает также и на его естественное координатное представление — 1-контравариантное и 2ковариантное. Заметим, что тензор момента количества движения выражается через тензор энергии–импульса по формуле (4.15) M .βγα⋅⋅ = g αλ X λT⋅γβ ⋅ − g γμX μT⋅αβ ⋅ . 25

Соответствующий группе бесконечно малых вращений пространства– времени закон сохранения есть (4.16) ∂ β M .βγα⋅⋅ = 0 . Группа Лоренца может действовать также и на физические поля ϕ k : (4.17) ϕk (X γ ) = ϕk (X γ ) + ∑ S⋅ks ,⋅,β⋅α⋅ ω⋅βα⋅ϕs (X γ ) , α,s ≠ β

k ⋅,⋅α ⋅s , β ⋅

где тензор четвертого ранга S преобразует антисимметричные тензоры второго ранга снова в антисимметричные. Вычисляя вариации ϕ k , получаем δϕk = ∑ S⋅ks ,⋅,β⋅α⋅ ω⋅βα⋅ϕs (X γ ) . α,s ≠ β

В этом случае 4-вектор J

β

находится в виде

⋅⋅ ϕs −J β (γα) = g γμX μT⋅αβ ⋅ − g αλX λT⋅γβ ⋅ − ∑ S⋅ks ,⋅,γα k ,s

∂L . ∂ (∂ βϕ k )

(4.18)

Величины (4.14) и в этом случае образуют тензор третьего ранга, антисимметричный по индексам γ, α . Соответствующий закон сохранения имеет форму, аналогичную (4.16).

5. Обобщенные группы преобразований. Стандартные, внутренние и внешние вариации Как было отмечено выше, пространственно-временные координаты и физические поля входят в группу преобразований (X β , ϕk ) → (X β , ϕk ) несимметрично. С целью восстановления симметрии расширим определение однопараметрической группы, допуская преобразования вида: (5.1) X β = X β (ϕs , X γ , ε) , ϕk (X β , ε) = Φk (ϕs (X γ ), X β , ε) , где по-прежнему X β (ϕs , X γ , ε) ε=0 = X β ,

Φk (ϕs , X β , ε)

ε=0

= ϕk .

Здесь пространственно-временные координаты X и физические поля ϕs уже симметрично входят в закон преобразования. 16 β

16

Можно построить математическое представление упругого поля с помощью так называемого обратного описания деформации тела, развитого в работах Маженна (G.A. Maugin), которые подытожены в монографии [2] (см. также обзорную статью [23]). Обратное описание деформации сплошной среды и соответствующая вариационная формулировка нелинейной теории упругости (когда действие для упругого тела представлено на основе эйлерова описания и варьированию подвергается обрат-

26

Ясно, что определяемая подобным образом однопараметрическая группа порождает попутно преобразование пространственно-временной 4области. Действительно, подставляя формулу ϕk (X β , ε) = Φk (ϕs (X γ ), X β , ε) в

X β = X β (ϕs , X γ , ε) ,

получим уравнение

(

)

X β = X β Φs (ϕk (X γ ), X β , ε ), X γ , ε ,

неявно определяющее зависимость X β = X β (X γ , ε) . Подставив это последнее уравнение в ϕk = Φk (ϕs (X γ ), X β , ε) , получим соотношение

ϕk = Φk (ϕs (X γ ), X β , ε) , на основании которого преобразованные физические поля ϕs могут быть представлены (правда, уже с помощью иных функций Φk (⋅, ⋅, ⋅) , чего мы не отражаем в обозначениях) через исходные — ϕ k и пространственновременные координаты X β . Подобное перепредставление ведет также к перепредставлению новых пространственно-временных координат X β : X β = X β (ϕs , X γ , ε) . В итоге вместо преобразований вида (5.1) достаточно рассмотреть группу преобразований X β = X β (ϕs , X γ , ε) , ϕk = Φk (ϕs , X γ , ε ) . Действие

ное отображение X β = X β (x k , t ) ) неожиданно оказываются удобными для исследования сингулярного упругого поля и позволяют, в частности, с иных позиций взглянуть на энергетические соотношения нелинейной механики разрушения. Сам автор этого подхода называет обратное описание деформации описанием Пиола (G. Piola) и отмечает, что обратная вариационная формулировка в сущности совпадает с использованной Пиола еще в XIX в. [24] (затем забытой и никогда на деле не применявшейся). Ясно, что и два традиционных способа описания деформации сплошного тела (в духе Лагранжа и Эйлера), и возможность расширения понятия группы инвариантности функционала действия и обобщенного варьирования — следствия универсального принципа двойственности и полной равноправности отсчетной и актуальной конфигураций тела в состоянии его деформации, пронизывающих механику деформируемых тел как единую теорию.

27

ℑ=

∫

L (ϕk , ∂ βϕk , X β )d 4X

D×[t1 ,t2 ]

в результате обобщенного преобразования (X β , ϕk ) → (X β , ϕk ) трансформируется в = ℑ

∫

L (ϕk , ∂ βϕk , X β )d 4X ,

D×⎡⎣t1 ,t2 ⎤⎦

где

L (ϕk , ∂ βϕk , X β ) → L (ϕk , ∂ βϕk , X β )

есть преобразование плотности лагранжиана. Если  ϕk , X β ) = L (ϕk , ∂  ϕk , X β ) , L (ϕk , ∂ β β и кроме того

 = ℑ, ℑ то функционал действия инвариантен относительно обобщенной группы преобразований (5.1) и для оценки изменения действия в результате применения обобщенной группы преобразований имеет место формула  − ℑ = δℑ + o (ε) , o (ε) = ℑ т.е. первая вариация действия равна нулю. Прежде чем вычислять первую вариацию действия, получим ряд необходимых для дальнейшего изложения формул. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что ⎛ ∂L ⎞⎟ ∂L ∂ ⎛⎜ ∂L ⎞⎟⎟ k δL s ⎜(∂ ϕ ) −(∂ αϕ ) k = ⎜⎜ − + ⎟, ⎝ ∂X α ⎠⎟⎟expl ∂X α ∂X β ⎜⎜⎝ α δϕ ∂ (∂ βϕs )⎠⎟⎟ откуда сразу же следует ⎡ ⎤ ⎛ ∂L ⎞⎟ ∂L ∂ ⎛⎜ ∂L ⎞⎟⎟⎥ α α s α k δL ⎢ ⎜ ⎜ δ δ ϕ δ ϕ = + ∂ + ∂ X X ( ) X ( ) k δX α , ⎟ ⎟ α α ⎢ α α⎟ β ⎜ s ⎟⎥ ⎜ ⎝ ∂X ⎠exp l δϕ ∂X ∂ (∂ βϕ )⎠⎟⎥ ⎢⎣ ∂X ⎜⎝ ⎦ и, таким образом, ⎛ ∂L ⎞⎟ ∂L ∂L α ⎜ = δ X δX α + (∂ αϕs )(∂ β δX α ) + α α⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ∂X ⎠expl ∂X ∂ (∂ βϕs ) (5.2) ⎞ ∂ ⎛⎜ ∂L k δL s α α⎟ ⎜(∂ αϕ ) +(∂ αϕ ) k δX + δX ⎟⎟ . β ⎜ s ⎟ ∂X ⎜⎝ δϕ ∂ (∂ βϕ ) ⎠⎟ Вычисляя первую вариацию действия согласно (2.12) и учитывая (5.2), находим 28

⎧ ⎪ ∂L k k ⎪ ∂L ∫ ⎨⎪ ∂ϕk δϕ + ∂ (∂ βϕk ) ∂ β (δϕ ) + ⎪ ⎩ ⎞ δL ∂ ⎛⎜ ∂L k β⎟ ⎜ X +(∂ βϕ k ) k δX β + ( ∂ ϕ ) δ ⎟⎟⎟ + β δϕ ∂X γ ⎜⎝⎜ ∂ (∂ γϕ k ) ⎠⎟ ⎫⎪ ⎛ ⎛ ∂L ⎞⎟ ∂L ⎞⎟⎟ ⎜ β α k β ⎪ 4 ⎜ +⎜ δX + ⎜⎜Lδβ − (∂ βϕ ) ⎟ ∂ α (δX )⎬d X , ⎝ ∂X β ⎠⎟⎟expl ⎪⎪ ⎜⎝ ∂ (∂ αϕk )⎠⎟⎟ ⎪⎭

δℑ =

(5.3)

где ⎛ ∂Φk (ϕs (X γ ), X β , ε)⎞⎟ ⎛ ∂X β (ϕs (X γ ), X α , ε)⎞⎟ k ⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ , δϕ = ε ⎜⎜⎜ δ X = ε ⎜⎜ ⎟ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎜ ∂ε ε ∂ ⎝ ⎠⎟ε = 0 ε=0 — частичные вариации пространственно-временных координат X β и физических полей ϕ k , связанные с соответствующими полными вариациями соотношениями ∂ϕk ∂X β s k k β β δϕ = δϕ + δX γ , δX = δ X + δϕ , (5.4) γ s ∂ϕ ∂X формального различия между которыми (и способами варьирования которых) уже нет. 17 Дополнительно заметим, что с помощью соотношений (5.4) можно получить следующие формулы, связывающие частичные вариации пространственно-временных координат X β и физических полей ϕ k : δ X β + (∂s X β )δϕs = 0 , δϕk + (∂ γϕk )δ X γ = 0 . β

Если предположить, что частичные вариации полей ϕ k и полные вариации пространственно-временных координат X β исчезают на границе рассматриваемой 4-области, то, очевидно, полные вариации δϕk также обращаются в нуль на границе ∂ и, следовательно, последнюю формулу для вариации действия можно также представить в виде ⎧⎛ ⎛ ∂L ⎟⎞⎞⎟ ⎪⎪⎜ ∂L ⎜ ⎪ ⎟⎟⎟⎟ δϕk + ⎜ δℑ = ∫ ⎨⎜ k − ∂ β ⎜⎜ k ⎟ ⎪⎜ ⎜⎝ ∂ (∂ βϕ )⎠⎟⎟⎠⎟ ⎜ ∂ϕ ⎪⎝ ⎪⎩ ⎫ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ∂L ⎞⎟⎟⎟⎟ β ⎪⎪⎪ 4 ⎜⎜⎜ ∂L ⎞⎟ ⎜ α k + ⎜⎜⎜ − ∂ α ⎜⎜Lδβ − (∂ βϕ ) ⎟⎟ δX ⎬d X , β⎟ ⎪⎪ ⎜⎝ ∂ (∂ αϕk )⎠⎟⎟⎟⎠⎟ ⎜⎝⎜⎝ ∂X ⎠⎟expl ⎪⎭ или в следующей замечательной симметричной форме: 17

Иногда используется несколько другая терминология: например, в монографии [2] эти вариации называются соответственно лагранжевой и эйлеровой элементарными вариациями.

29

δℑ =

∫

⎞ ⎞ k ⎛⎛ ∂L ⎞ ⎪⎧⎛ ∂L ⎪⎫ β⋅ ⎟⎟ + (∂ αP⋅βα⋅ )⎟⎟ δX β ⎪⎬d 4X , (5.5) ⎨⎪⎜⎜⎜ k + (∂ βS⋅k )⎟⎟⎟ δϕ + ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎟ ⎪⎪⎝ ∂ϕ ⎪⎪ ⎜⎝⎝ ∂X β ⎠⎟expl ⎠ ⎠⎟ ⎩ ⎭

где −S⋅βk ⋅ =

∂L , ∂ (∂ βϕk )

−P⋅βα⋅ = Lδβα − (∂ βϕk )

(5.6)

∂L . ∂ (∂ αϕ k )

(5.7)

Таким образом можно ввести еще два канонических тензора с естественными 1-контравариантными и 1-ковариантными компонентами. 18 Следует еще раз подчеркнуть, что при выводе формулы (5.5) для вариации действия полные вариации пространственно-временных координат X β и физических полей ϕ k считались нулевыми на границе ∂ , для чего в свою очередь в силу соотношений (5.4) достаточно предполагать, что частичные вариации полей ϕ k и полные вариации пространственновременных координат X β исчезают на границе ∂ . Ясно также, что в применении к классической механике сплошных сред ∂L (v k = ∂tϕk ) , S⋅4k⋅ = = −ρRvk k ∂ (∂tϕ ) P.β4⋅ = (∂ βϕ k )

∂L = ρ Rv k ∂ β ϕ k k ∂ (∂t ϕ )

(β = 1,2, 3) ,

P⋅44⋅ = H ,

где v k — контравариантные компоненты эйлеровой скорости, ρR — плотность среды в отсчетном состоянии, H — ”естественная” плотность гамильтониана. Заметим, что градиент деформации F в рамках классической теории поля определяется каноническим соотношением F⋅βk ⋅ = ∂ βϕk и имеет 1-контравариантные пространственные и 1-ковариантные отсчетные естественные компоненты. Тензор S⋅kβ⋅ (β = 1,2, 3) аналогичен 19 отсчетному тензору напряжений (тензору напряжений Пиола–Кирхгофа) S = JF−1T : ∂L , ST = − ∂F 18

Следует отметить, что канонический тензор S⋅β⋅k 1-контравариантен по ”отсчетному” индексу и 1-ковариантен по ”пространственному”. 19 Под аналогией мы понимаем соответствие того или иного объекта традиционным определениям, известным из механики континуума.

30

а тензор P⋅βα⋅ (α, β = 1,2, 3) — тензору напряжений Эшелби: 20 P = − (LI + S ⋅ F) . Обобщенное преобразование пространственно-временных координат β X и физических полей ϕs : (X β , ϕk ) → (X β , ϕk ) естественно порождает три различных класса преобразований и три класса частичных вариаций, к обсуждению которых мы и переходим. Класс так называемых стандартных однопараметрических преобразований (X β , ϕk ) → (X β , ϕk ) , где

ϕk = ϕk (X β ) + εψk (X β )

и функции ψk = ψk (X β ) исчезают на границе 4-области интегрирования, позволяет ввести стандартные частичные вариации δX β = δ X β = 0 , δϕk = δϕk = εψk . Опираясь на общую формулу вариации действия, нетрудно заметить, что ⎛ ∂L ⎞ (5.8) δℑ = ∫ ⎜⎜ k + (∂ βS⋅βk ⋅ )⎟⎟⎟ δϕkd 4X , ⎝⎜ ∂ϕ ⎠ и на основании стационарности действия, в силу произвольности стандартных вариаций, — получить уравнения Эйлера–Лагранжа

∂L + (∂ βS⋅βk ⋅ ) = 0 , k ∂ϕ которые по существу выражают баланс импульса при отсчетном (т.е. в пространственно-временных координатах X β ) описании физических полей. Рассмотрим далее преобразования вида (k = 1,2, 3)

(X β , ϕk ) → (X β , ϕk ) , где

ϕk = ϕ k + εω k (ϕs , t ) .

Мы по-прежнему предполагаем, что функции ω k (ϕs (X β , t )) исчезают на границе 4-области интегрирования.

20

Дополнительно заметим также, что −P⋅αβ⋅ = T⋅αβ⋅ ,

где T⋅αβ⋅ — тензор энергии–импульса.

31

Частичные вариации пространственно-временных координат X β и физических полей ϕs принято в этом случае называть внешними частичными вариациями:

δX β = δ X β = 0 , δϕk = δϕk = εω k (ϕs , t ) . Введем обозначения x k = ϕk , x 4 = t и будем трактовать x k по аналогии с переменными Эйлера (пространственно-временные координаты X β — переменные Лагранжа). Для внешней частичной вариации, выраженной через переменные Эйлера, зарезервируем обозначение: Δϕk = εωk (x s , x 4 ) . (5.9) 21 Подсчитывая вариацию действия, находим ⎛ ∂L ∂L ⎞⎟⎟ k 4 ⎜ β⋅ ⎜ (β = 1,2, 3) , δℑ = ∫ ⎜ k + (∂ βS⋅k ) − ∂ 4 ⎟ δϕ d X ⎜∂ ∂ (∂ 4ϕk )⎠⎟⎟ ⎝ ϕ или ⎛ ∂L ∂L ⎞⎟⎟ k s ⎜ β⋅ δℑ = ε ∫ ⎜⎜ k + (∂ βS⋅k ) − ∂t ω (ϕ , t )d 4X = k ⎟ ∂ (∂tϕ )⎠⎟⎟ ⎝⎜∂ϕ ⎛ ∂L ⎞⎟⎟ k s 4 4 ⎜ − 1 ∂L l⋅ −1 (5.10) = ε ∫ ⎜⎜J + (∂lT⋅k ) − J ∂ 4 ⎟ ω (x , x )d x = ⎜⎝ ∂x k ∂ (∂ 4ϕk )⎠⎟⎟ ⎛ ∂L ∂L ⎞⎟⎟ = ∫ ⎜⎜⎜J −1 k + (∂lT⋅kl ⋅ ) − J −1∂ 4 Δ ϕ kd 4 X , k ⎟ ⎟ ⎜⎝ ∂x ∂ (∂ 4ϕ )⎠⎟ ( l, k, s = 1,2, 3 ; β = 1,2, 3 ) где J — якобиан преобразования от переменных Лагранжа к переменным Эйлера J = det (∂ βx s ) (β = 1,2, 3) , T⋅kl ⋅ = J −1 (∂ βϕl ) S⋅βk ⋅ = −J −1 (∂ βϕl )

∂L ∂ (∂ βϕk )

(β = 1,2, 3) .

(5.11)

Таким образом может быть найдено каноническое определение еще одного тензора — T⋅kl ⋅ . Ниже будет показано, что 1-контравариантный и 121

В приводимых ниже формулах следует различать операторы ∂ β и ∂l : первый обо-

значает дифференцирование по пространственно-временным координатам X β (β = 1,2, 3) , второй — по эйлеровой координате x l (l = 1,2, 3) . Греческий индекс всегда ассоциируется с пространственно-временными координатами и отсчетным представлением векторных и тензорных полей, латинский — с эйлеровыми координатами и актуальным (пространственным) представлением.

32

ковариантный пространственный канонический тензор T⋅kl ⋅ есть тензор истинных напряжений (тензор напряжений Коши). В силу произвольности выбора внешних частичных вариаций Δϕk внутри 4-области интегрирования получим уравнение −J −1∂ 4

∂L ∂L + J −1 k + ∂lT⋅kl ⋅ = 0 , k ∂x ∂ (∂ 4ϕ )

выражающее баланс импульса в форме Эйлера: ∂L , ρ∂tvk = ∂lT⋅kl ⋅ + ∂s X β ∂x k или ρ∂tv k = ∂lT lk .

(5.12)

(5.13)

Здесь оператор ∂t есть производная по времени при фиксированных первых трех координатах X β , т.е. лагранжева (материальная) производная по времени. Следует также отметить, что в уравнении баланса импульса в ∂L форме Эйлера не следует пренебрегать слагаемым ∂s X β , ∂x k поскольку если пространственное описание ведется в криволинейной координатной сетке x k , то, в частности, кинетическая энергия будет явным образом зависеть от переменных x k , так как метрический тензор g ks явно от них зависит. 22 Формулировка вариационного принципа стационарности действия для нелинейно упругого тела в переменных Эйлера и вывод уравнения баланса импульса из него на основе канонического определения тензора напряжений Коши приводятся в [11, рp. 190–195]. На основании (5.13) нетрудно заключить, что тензор T⋅kl ⋅ вполне аналогичен тензору истинных напряжений Коши: 23 T = J − 1F ⋅ S . Наконец, рассмотрим однопараметрическую группу преобразований

22

Напомним также, что в выражение для ”естественной” плотности лагранжиана входит множитель g . 23

Не следует отождествлять тензоры T⋅kl ⋅ и T⋅αβ⋅ , поскольку это — разные тензоры. Первый из них имеет естественное пространственное представление, а второй — отсчетное: ∂L ∂L T⋅αβ⋅ = Tαβ = Lδαβ − (∂ αϕk ) , T⋅kl⋅ = −J −1 (∂ βϕl ) . k ∂ (∂ β ϕ ) ∂ (∂ βϕk ) В приведенных естественных выражениях ”естественная” плотность лагранжиана L включает множитель g .

33

(X β , ϕk ) → (X β , ϕk ) , где

X β = X β + εX ′ β (X β )

и функции X ′ β = X ′ β (X β ) исчезают на границе 4-области интегрирования. Вариации пространственно-временных координат X β и физических полей ϕs принято в этом случае называть внутренними вариациями:

δX β = εX ′ β (X β ) ,

δϕk = 0 .

Заметим, что для внутренних вариаций будут справедливы соотношения

δX β = δ X β ,

δϕk = −

∂ϕk δXγ. γ ∂X

Варьируя действие, находим ⎛⎛ ∂L ⎞ ⎞ ⎟⎟ + (∂ αP⋅βα⋅ )⎟⎟ δX βd 4X . δℑ = ∫ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎟ β ⎝⎜⎝ ∂X ⎠⎟expl ⎠⎟ Пользуясь произвольностью выбора внутренних частичных вариаций внутри 4-области интегрирования, приходим к уравнениям Эйлера– Лагранжа: ⎛ ∂L ⎞⎟ α⋅ ⎜⎝⎜ ∂X β ⎠⎟⎟ + (∂ αP⋅β ) = 0 , expl

(5.14)

которые представляют собой по сути закон, найденный Эшелби [19].

6. Обобщенные группы инвариантности действия Расширение класса однопараметрических преобразований позволяет установить еще более неочевидные законы сохранения. Мы по-прежнему будем рассматривать обобщенные однопараметрические группы преобразований: X β = X β (ϕs , X γ , ε) , ϕk (X β , ε) = Φk (ϕs (X γ ), X β , ε) , которые, как было показано в разделе 5, порождают также преобразования вида X β = X β (ϕs , X γ , ε) , ϕk = Φk (ϕs , X γ , ε) . Если функционал действия (для любой 4-области пространственновременного многообразия) инвариантен относительно обобщенной однопараметрической группы преобразований 34

 = ℑ, ℑ то такая группа, как указывалось выше, называется обобщенной группой инвариантности действия (или вариационной симметрией действия). 24 Обобщенная инвариантность функционала действия означает, что k k β 4 k k β 4 ∫ L (ϕ , ∂ βϕ , X )d X = ∫ L (ϕ , ∂ βϕ , X )d X , D×⎡⎣t1 ,t2 ⎦⎤

D×[t1 ,t2 ]

где преобразование пространственно-временных координат X β → X β определено неявно уравнением X β = X β Φs (ϕk (X γ ), X β , ε), X γ , ε .

(

)

Покажем, что каждая обобщенная группа инвариантности действия позволяет при условии выполнения уравнений Эйлера–Лагранжа ⎛ ∂L ⎞⎟ ∂L β⋅ ⎜ + ∂ = S 0 , (6.1) + (∂ αP⋅βα⋅ ) = 0 ( ) β ⋅k k β⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ∂X ⎠expl ∂ϕ сформулировать нетривиальный закон сохранения (6.2) ∂ βI β = 0 , где 1 (6.3) I β = (S⋅βk ⋅δϕk + P⋅γβ ⋅δX γ ) . ε Действительно, варьируя действие, находим ⎧⎪ ∂L ⎛ ∂L ⎞⎟ ∂L δL δℑ = ∫ ⎪⎨ k δϕk + δX β + (∂ βϕk ) k δX β + ∂ β (δϕk ) + ⎜⎜ ⎟ β⎟ k ⎝ ∂X ⎠expl ⎪⎪ ∂ϕ δϕ ∂ (∂ βϕ ) ⎩ ⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎪⎫ ∂L ∂L ⎞⎟⎟ ⎜⎜ ⎜ k β⎟ α k β ⎪ 4 δX ⎟ + ⎜⎜Lδβ − (∂ βϕ ) +∂ γ ⎜(∂ βϕ ) ∂ δX )⎬d X = k ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ α ( ⎪⎪ ⎜⎝ ϕ ∂ ∂ ∂ (∂ γϕk ) ( ) α ⎝ ⎠ ⎠ ⎪⎭

⎧⎪ ∂L ⎛ ∂L ⎞ β⋅ β α⋅ β k k ∫ ⎪⎨⎪ ∂ϕk δϕ − S⋅k ∂ β (δϕ ) + ⎜⎜⎝ ∂X β ⎟⎠⎟⎟expl δX − P⋅β ∂α (δX ) + ⎪⎩ ⎛ ⎞⎪⎫ ∂L ⎜⎜ k δL β k β⎟ +(∂ βϕ ) k δX + ∂ γ ⎜(∂ βϕ ) δX ⎟⎟⎬⎪d 4X = 0 . k ⎟⎟⎪ ⎜⎝ δϕ ∂ (∂ γϕ ) ⎠⎪ ⎪⎭ =

В силу произвольности 4-области интегрирования необходимо δL ∂L (∂ βϕk ) k δX β + ∂ γ ((∂ βϕk ) S⋅γk ⋅δX β ) + δϕk − S⋅βk ⋅∂ β (δϕk ) + k ∂ϕ δϕ

24

(6.4)

Достаточно, как всегда, предположить, что изменение действия имеет порядок более высокий, чем ε :  − ℑ = o(ε) . ℑ

35

⎛ ∂L ⎞⎟ + ⎜⎜ δX β − P⋅βα⋅∂ α (δX β ) = 0 . β⎟ ⎟ ⎝ ∂X ⎠expl

Учитывая, что δϕk = δϕk + (∂ βϕk )δX β ,

S⋅βk ⋅∂ β (δϕk ) = ∂ β (S⋅βk ⋅δϕk ) − (δϕk )(∂ βS⋅βk ⋅ ) , P⋅βα⋅∂α (δX β ) = ∂ α (P⋅βα⋅δX β ) − (δX β ) (∂ αP⋅βα⋅ ) , уравнение (6.4) представим в виде

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎜ ∂L + (∂ S β⋅ )⎟⎟ δϕk + ⎜⎜⎛⎜ ∂L ⎞⎟⎟ + (∂ P α⋅ )⎟⎟ δX β − ∂ (S β ⋅δϕk + P β ⋅δX γ ) − β ⋅k α ⋅β ⎟ β ⋅k ⋅γ ⎜⎜⎝⎜⎝ ∂X β ⎠⎟expl ⎜⎝ ∂ϕk ⎠⎟ ⎠⎟ −∂ β ((∂ γϕk )S⋅βk ⋅δX γ ) = 0. Таким образом, если уравнения Эйлера–Лагранжа удовлетворяются, то можно сформулировать дивергентный закон сохранения ∂ β (S⋅βk ⋅δϕk + P⋅γβ⋅δX γ ) = 0 . (6.5) Полученный результат 25 ясно показывает, что тензор напряжений Пиола–Кирхгофа и тензор напряжений Эшелби — основные конструктивные элементы, необходимые для построения обобщенных законов сохранения. Следует также отметить, что можно еще более расширить класс однопараметрических преобразований, допуская их зависимость также и от градиентов первого порядка (или более высоких порядков) физических полевых величин ϕ k : X β = X β (ϕs , ∂ αϕk , X γ , ε) , ϕl = Φl (ϕs , ∂ αϕk , X γ , ε) . Соответствующая теория приводится в книге [14]. Теория обобщенных симметрий для функционалов в деталях изложена также в [4].

25

Приведем также квазистатический аналог: ∇R ⋅ (S ⋅ δ x + P ⋅ δ X) = 0 , где по-прежнему S — тензор напряжений Пиола–Кирхгофа, P — тензор напряжений Эшелби, и соответствующий инвариантный интеграл: ∫v (S ⋅ δx + P ⋅ δX) ⋅ d S = 0 S

для любой замкнутой в отсчетной конфигурации поверхности S , внутри которой упругое поле регулярно.

36

7. Лагранжиан пустого пространства Еще одно обобщение теории вариационных симметрий достигается путем аддитивной трансформации ”естественной” плотности лагранжиана L → L + L′ так, чтобы добавок L′ (ϕk , ∂ βϕk , X β ) не нарушал выполнения уравнений Эйлера–Лагранжа. Другими словами, добавление L′ к лагранжиану L не оказывает влияния на условия стационарности действия, хотя, возможно, и приводит к изменению граничных условий. Эта процедура часто называется калибровкой лагранжиана. Лагранжианы L и L + L′ оказываются физически эквивалентными. Вообще всякая функция

L′ = L′ (ϕk , ∂ βϕk , ∂ γ ∂ βϕk ,..., X β ) , для которой уравнения Эйлера–Лагранжа ∂L′ ∂L′ ∂L′ δ L′ ≡ − ∂β + ∂γ∂β −" = 0 k k k ∂ϕ δϕ ∂ (∂ βϕ ) ∂ (∂ γ ∂ βϕk )

(7.1) (7.2)

тождественно удовлетворяются для любого набора физических полевых величин ϕ k , называется лагранжианом пустого пространства, 26 поскольку любой подобный аддитивный добавок формально не изменяет вариационного представления физических полей и поэтому может быть ассоциирован с пространством, ”вмещающим” поля. Понятие о лагранжиане пустого пространства совершенно необходимо для установления степени определенности канонических тензорных полей, входящих в формулировку как классических, так и нетривиальных законов сохранения. Теория лагранжиана пустого пространства излагается, например, в [18, pp. 224–226]. 7.1. Дивергентное представление нулевого лагранжиана, регулярного в звездообразной области Основной результат развиваемой теории состоит в том, что лагранжиан пустого пространства (7.1) всегда представляется (при предположении о звездообразности области 27 изменения его аргументов) в форме полной дивергенции 26

Или нулевым лагранжианом. Часто употребляется также термин ”калибровочный лагранжиан”. 27 Область многомерного пространства называется звездообразной (или звездной) относительно некоторой своей точки, если любую точку области можно соединить с этой точкой отрезком прямой, целиком расположенным внутри области. Выпуклая область звездообразна относительно любой своей точки. Понятие звездообразности области —

37

L′ (ϕ , ∂ βϕ , ∂ γ ∂ βϕ ,..., X k

k

k

λ

)=

∂Φα (ϕk , ∂ βϕk , ∂ γ ∂ βϕk ,..., X λ )

. (7.3) ∂X a Представимость лагранжиана в форме полной дивергенции (7.3) является необходимым и достаточным условием того, чтобы он был нулевым. Достаточность проверяется прямым вычислением оператора Эйлера в применении к (7.3). Необходимость также без труда обосновывается. Мы приведем доказательство, существенно использующее звездообразную геометрию области определения лагранжиана (см. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М: Мир, 1989. с. 322, 323). Предположим, что лагранжиан L′ (ϕk , ∂ βϕk , ∂ γ ∂ βϕk ,..., X β ) есть лагранжиан пустого пространства, определенный и регулярный в некоторой области изменения аргументов ϕk , ∂ βϕk , ∂ γ ∂ βϕk , ... , звездообразной относительно нулевой точки. Рассмотрим значения лагранжиана на лучах, исходящих из нулевой точки. Для этого введем параметр ε , изменяющийся на отрезке [0,1] . Пользуясь звездообразной геометрией области, можно заключить, что функция от ε L′ (εϕk , ε∂ βϕk , ε∂ γ ∂ βϕk ,..., X β ) корректно определена и регулярна на отрезке [0,1] . Дифференцирование по параметру ε приводит к следующему результату: d ∂L′ k ⎛⎜ ∂L′ ⎞⎟ ⎟(∂ γϕk ) + (7.4) ϕ + ⎜⎜ L′ (εϕk , ε∂ βϕk , ε∂ γ ∂ βϕ k ,..., X β ) = k k ⎟ ⎜⎝ ∂(∂ γϕ )⎠⎟ ∂ϕ dε ⎛ ∂L′ ⎞⎟ ⎟ (∂ γ ∂ βϕk ) + ... . +⎜⎜⎜ k ⎟ ⎜∂ ⎝ (∂ γ ∂ βϕ )⎠⎟

Замечая, что обобщение на многомерный случай требования односвязности плоской области так, чтобы по-прежнему для поля Pγ , удовлетворяющего условиям совместности

∂ β Pγ = ∂ γ Pβ , было справедливо заключение о том, что его циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю:

∫v P dX γ

γ

= 0.

Требование о звездообразной форме области может быть несколько ослаблено. В частности, речь может идти об областях, каждая точка которой достижима из некоторой фиксированной точки области по двузвенной ломанной, целиком расположенной внутри области: одно из звеньев ломанной всегда располагается в некоторой фиксированной гиперплоскости, а второе — перпендикулярно этой гиперплоскости. Вопрос о форме нулевого лагранжиана в областях, отличающихся от звездообразной, нуждается в дополнительном исследовании.

38

⎛ ∂L′ ⎞⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ϕk ∂L′ ⎟⎟ − ϕk ∂ ⎜⎜ ∂L′ ⎟⎟ , ⎟ = ∂ ⎜ (∂ γϕk )⎜⎜⎜ γ⎜ γ⎜ k ⎟ k ⎟ k ⎟ ⎝⎜ ∂(∂ γϕ )⎠⎟ ⎝⎜ ∂(∂ γϕ )⎠⎟ ⎝⎜ ∂(∂ γϕ )⎠⎟ ⎛ ∂L′ ⎞⎟ ⎛ ⎛ ∂L′ ⎞⎟ ∂L′ ⎞⎟ k k ⎜ ⎜ ⎟⎟ − ⎟ ⎟ (∂ γ ∂ βϕ )⎜⎜ = ∂ γ ∂ β ⎜⎜ϕ − ϕ ∂ γ ∂ β ⎜⎜⎜ k ⎟ k ⎟ ⎜⎝ ∂(∂ γ ∂ βϕ )⎠⎟ ⎜⎝ ∂(∂ γ ∂ βϕ )⎠⎟ ⎜⎝ ∂(∂ γ ∂ βϕk )⎠⎟ ⎛ ∂L′ ⎞⎟ ⎟, −2(∂ βϕk )∂ γ ⎜⎜⎜ k ⎟ ⎜∂ ( ) ϕ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎟ γ β а также ⎛ ∂L′ ⎞⎟ ⎛ ⎛ ∂L′ ⎞⎟ ∂L′ ⎞⎟ ⎜ϕk ⎜2ϕk ∂ ⎟⎟ + ⎟ ⎟ (∂ γ ∂ βϕk )⎜⎜⎜ = ∂ ∂ ⎜ − ∂ ⎜ ⎟ ⎟ β γ⎜ β⎜ γ ⎜⎝ ∂(∂ γ ∂ βϕk )⎠⎟ ⎜⎝ ∂(∂ β ∂ γϕk )⎠⎟ ⎜⎝ ∂(∂ γ ∂ βϕk )⎠⎟ k

⎛ ∂L′ ⎞⎟ ⎟ +ϕ ∂ γ ∂ β ⎜⎜⎜ k ⎟ ⎝⎜∂(∂ γ ∂ βϕ )⎠⎟ или, вводя сокращенные обозначения для дифференциальных операторов ∂J = ∂α∂ β ∂ γ ... , (−∂J ) = (−∂ α )(−∂ β )(−∂ γ )... , k

J = (α, β, γ,...) , находим формулу

⎛ ∂L′ ⎞⎟ ⎛ ∂L′ ⎞⎟ k ⎜ ⎟ ⎟ + ∂β Ψ β , = −∂ (∂Jϕk )⎜⎜ ϕ ( ) J ⎜ k ⎟ k ⎟ ⎜⎝ ∂(∂Jϕ )⎠⎟ ⎝⎜ ∂(∂Jϕ )⎠⎟ где Ψ β — некоторое векторное поле, также зависящее от полей ϕ k , их градиентов и пространственно-временных координат X β . Ясно, что оператор Эйлера (вариационная производная лагранжиана L ) вычисляется в форме ⎛ ∂L′ ⎞⎟ δ L′ ⎜ ⎟. = −∂ ( ) ⎜ J ⎜⎝ ∂(∂Jϕk )⎠⎟⎟ δϕk Для производной (7.4), следовательно, находим формулу ⎧ ⎛ ∂L′ ⎞⎟ ⎪ d k k k β k ⎪ ∂L ′ ⎟+ L′ (εϕ , ε∂ βϕ , ε∂ γ ∂ βϕ ,..., X ) = ϕ ⎨ k − ∂ β ⎜⎜⎜ ⎪⎪ ∂ϕ ⎜ ∂(∂ βϕk )⎠⎟⎟ dε ⎝ ⎩ ⎫ ⎛ ∂L′ ⎞⎟ ⎪ ⎪ + ∂ Ψβ . ⎟ ... +∂ γ ∂ β ⎜⎜⎜ − ⎬ β k ⎟ ⎟ ⎪ ⎜∂ ⎝ (∂ γ ∂ βϕ )⎠ ⎪ ⎭ Принимая во внимание, что L′ есть лагранжиан пустого пространства, т.е. для любого поля ϕ k его вариационная производная равна нулю, получим, интегрируя по ε на отрезке [0,1] , β, L′ (ϕk , ∂ γϕk , ∂ γ ∂ αϕk ,..., X λ ) − L′ (0, 0, 0,..., X λ ) = ∂ β Ψ

где 39

 = Ψ β

1

∫ Ψ (εϕ , ε∂ ϕ , ε∂ ∂ ϕ ,..., X )d ε . β

k

k

γ

k

γ

λ

α

0

Выбирая далее поле Ψ β так, чтобы L′ (0, 0, 0,..., X λ ) = ∂ β Ψ β . что заведомо возможно и многими способами, 28 и обозначая  β + Ψβ , Φβ = Ψ приходим к дивергентному представлению лагранжиана пустого пространства: L′ (ϕk , ∂ γϕk , ∂ γ ∂ αϕk ,..., X λ ) = ∂ βΦβ (ϕk , ∂ γϕk , ∂ γ ∂ αϕk ,..., X λ ) . Плотность лагранжиана в 4-пространстве–времени, таким образом, всегда определяется с точностью до аддитивной полной дивергенции 4вектора, зависящего от переменных поля, включая и градиенты поля. 29 Поэтому приходится также учитывать то обстоятельство, что в результате подсчета указанная дивергенция на самом деле может зависеть от градиентов поля, порядка более высокого, чем сам 4-вектор Φ γ . 7.2. Вычисление нулевого лагранжиана нелинейно упругого поля в трехмерном пространстве Вычисление нулевого лагранжиана, зависящего лишь от первых градиентов статического трехкомпонентного поля в трехмерном пространстве, особенно интересно в связи с исследованием нелинейно упругого поля в деформируемом твердом теле. Если размерность пространства X β равна трем и k = 1,2, 3 , то лагранжиан пустого пространства, зависящий от градиентов поля порядка не выше первого, всегда можно разложить в сумму L′ (ϕk , ∂ βϕk , X β ) = A (ϕk , X β ) + Bk⋅β⋅ (ϕk , X β ) ∂ βϕ k + (7.5) +C ⋅kβ⋅ (ϕk , X β )J ∂k X β + D (ϕk , X β )J, где A (ϕk , X β ) , Bk⋅β⋅ (ϕk , X β ) , C ⋅kβ⋅ (ϕk , X β ) , D (ϕk , X β ) — некоторые поля, зависящие от пространственно-временных координат X α и физических полей ϕ k , 30 J — якобиан отображения X β → x k = ϕk : 28

Действительно, поле Ψ α по заданной дивергенции можно разыскивать в безвихревом виде. Для определения потенциала тогда имеется уравнение Пуассона, разрешимость которого гарантирована, если правая часть этого уравнения — непрерывная функция пространственно-временных координат X β . 29 Как следует из (7.3), естественное представление вектора Φβ — 1-контравариантное отсчетное. 30 Выражения для A , Bk⋅β⋅ , C ⋅kβ⋅ , D , как будет показано ниже, не могут быть выбраны произвольно.

40

J = det (∂ βϕk ) . Приведенное только что соотношение может быть переписано в прямую тензорную запись: −1 (7.6) L′ = A + tr (B ⋅ (∇X ⊗ ϕ )) + Jtr C ⋅ (∇X ⊗ ϕ ) + JD ,

(

)

где ⋅k

(∇X ⊗ ϕ)β⋅ = ∂ βϕk . Непосредственный расчет показывает, что полная дивергенция трехмерного векторного поля Φ γ , зависящего от трех координат X β , трех компонент поля ϕ k и их градиентов порядка не выше первого, также будет зависеть от градиентов поля порядка не выше первого, только если Φγ (ϕk , ∂ βϕk , X β ) = Lγ (ϕs , X β ) + ε γβλ (∂ βϕk ) K kλ (ϕs , X β ) + (7.7)

+J (∂k X γ ) M k (ϕs , X β ) , где

Lγ = Lγ (ϕk , X β ) , K k β = K k β (ϕk , X α ) , M s = M s (ϕk , X β )

— произвольные поля. Прямая запись уравнения (7.7) есть: × −T Φ = L + ((∇X ⊗ ϕ) ⋅ K) + J (∇X ⊗ ϕ) ⋅ M , где крестом (крест Гиббса (Gibbsian cross)) обозначается векторный инваγ риант тензора второго ранга: (A× ) = ε γβλAβλ . 31 С целью обоснования (7.7) вычислим полную дивергенцию поля γ Φ (ϕk , ∂ βϕk , X β ) как

⎛ ∂Φ γ ⎟⎞ ⎛ ∂Φ γ ⎞⎟ ⎛ ∂Φ γ ⎞⎟ ∂Φ γ k ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ∂ (∂ βϕk ) . (7.8) =⎜ ⎟ + ⎜⎜ k ⎟⎟(∂ γϕ ) + ⎜⎜ k ⎟ γ γ γ⎟ ⎝ ∂X ⎠expl ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎜⎝ ∂(∂ βϕ )⎟⎠ ∂X Полная дивергенция не зависит от частных производных ∂ 2ϕk ∂2ϕk ∂ 2ϕk , , , (∂X 1 )2 (∂X 2 )2 (∂X 3 )2 только если ∂Φ1 ∂Φ2 ∂Φ3 0 , 0 , (7.9) = = =0 (k = 1,2, 3) . ∂(∂1ϕk ) ∂(∂ 2ϕk ) ∂(∂ 3ϕk ) Но это означает, что компонента Φ β не зависит от ∂ βϕk (k = 1,2, 3) . Аналогично должны выполняться условия 31

Заметим, что векторный инвариант диадного произведения двух векторов трехмерного пространства есть векторное произведение векторов, составляющих диаду: (a ⊗ b)× = a × b .

41

∂Φ1 ∂Φ2 + = 0, ∂(∂2ϕk ) ∂(∂1ϕk ) ∂Φ1 ∂Φ3 (7.10) = 0, + ∂(∂ 3ϕk ) ∂(∂1ϕk ) ∂Φ2 ∂Φ3 + = 0, ∂(∂ 3ϕk ) ∂(∂ 2ϕk ) чтобы была исключена зависимость от смешанных частных производных ∂2ϕk ∂2ϕk ∂2ϕk , , . ∂X 1∂X 2 ∂X 1∂X 3 ∂X 2∂X 3 На основании (7.9), (7.10) можно заключить, что компоненты Φ β выражаются через первые градиенты поля как Φ1 = ak ′k ′′ (∂ 2ϕk ′ )(∂ 3ϕk ′′ ) + bk (∂ 2ϕk ) + ck (∂ 3ϕk ) + h 1 , Φ2 = ek ′k ′′ (∂1ϕk ′ )(∂ 3ϕk ′′ ) + fk (∂1ϕ k ) + gk (∂ 3ϕ k ) + h 2 , 3

k′

k ′′

k

k

(7.11)

3

Φ = pk ′k ′′ (∂1ϕ )(∂ 2ϕ ) + qk (∂1ϕ ) + sk (∂ 2ϕ ) + h ,

где ak ′k ′′ (ϕk , X β ) , ek ′k ′′ (ϕk , X β ) , pk ′k ′′ (ϕk , X β ) ,

bk (ϕk , X β ) , fk (ϕk , X β ) , qk (ϕk , X β ) , ck (ϕk , X β ) , gk (ϕk , X β ) , sk (ϕk , X β ) , h k (ϕk , X β ) . Действительно, поскольку, например, компонента Φ 2 не зависит от частных производных ∂ 2ϕ k , а Φ 3 — от ∂ 3ϕk , то два первых уравнения в (7.10) устанавливают, что Φ1 может зависеть от градиента ∂ 2ϕ k только линейно с коэффициентом, линейно зависящим от ∂ 3ϕk , и, наоборот, Φ1 может зависеть от градиента ∂ 3ϕ k только линейно с коэффициентом, линейно зависящим от ∂ 2ϕ k . Учитывая еще, что компонента Φ1 не зависит от градиентов ∂1ϕk , сразу же приходим к представлению (7.11) для Φ1 . Подставляя (7.11) в (7.10), находим, что для любых градиентов поля должны удовлетворяться соотношения (ekk ′′ + akk ′′ )(∂ 3ϕk ′′ ) + fk + bk = 0 , (ak ′′k + pkk ′′ )(∂ 2ϕk ′′ ) + ck + qk = 0 , (ek ′k + pk ′k )(∂1ϕk ′ ) + gk + sk = 0 , откуда следуют равенства ekk ′ = −akk ′ , pkk ′ = −ak ′k , akk ′ = −ak ′k ; fk = −bk , qk = −ck , sk = −gk , пользуясь которыми формулы (7.11) представим в виде Φ1 = ak ′k ′′ (∂ 2ϕk ′ )(∂ 3ϕk ′′ ) + bk (∂ 2ϕk ) + ck (∂ 3ϕk ) + h 1 ,

42

(7.12)

Φ2 = −ak ′k ′′ (∂1ϕk ′ )(∂ 3ϕ k ′′ ) − bk (∂1ϕk ) + gk (∂ 3ϕ k ) + h 2 ,

(7.13)

Φ 3 = ak ′k ′′ (∂1ϕk ′ )(∂ 2ϕk ′′ ) − ck (∂1ϕk ) − gk (∂ 2ϕ k ) + h 3 . Вводя затем аксиальный вектор a s , соответствующий антисимметричному тензору второго ранга a kj согласно 2a s = εskjakj получим Φ1 = a 3 ((∂ 2ϕ1 )(∂ 3ϕ 2 ) − (∂ 2ϕ 2 )(∂ 3ϕ1 )) − a 2 ((∂ 2ϕ1 )(∂ 3ϕ 3 ) − (∂ 2ϕ 3 )(∂ 3ϕ1 ))

+a 1((∂2ϕ 2 )(∂ 3ϕ 3 ) − (∂ 2ϕ 3 )(∂ 3ϕ2 )) + bk (∂ 2ϕk ) + ck (∂ 3ϕk ) + h 1 , Φ2 = −a 3 ((∂1ϕ1 )(∂ 3ϕ 2 ) − (∂1ϕ 2 )(∂ 3ϕ1 )) + a 2 ((∂1ϕ1 )(∂ 3ϕ 3 ) − (∂1ϕ 3 )(∂ 3ϕ1 )) −a 1((∂1ϕ 2 )(∂ 3ϕ 3 ) − (∂1ϕ 3 )(∂ 3ϕ 2 )) − bk (∂1ϕk ) + gk (∂ 3ϕk ) + h 2 , (7.14) Φ3 = a 3 ((∂1ϕ1 )(∂ 2ϕ 2 ) − (∂1ϕ2 )(∂ 2ϕ1 )) − a 2 ((∂1ϕ1 )(∂ 2ϕ 3 ) − (∂1ϕ 3 )(∂ 2ϕ1 )) +a 1((∂1ϕ2 )(∂2ϕ 3 ) − (∂1ϕ 3 )(∂ 2ϕ 2 )) − ck (∂1ϕk ) − gk (∂ 2ϕk ) + h 3 . Наконец, учитывая, что

∂1ϕ1

∂2ϕ1

∂ 3ϕ1

∂1ϕ2

∂2ϕ 2

∂ 3ϕ2

−1

∂1X 1

∂ 2X 1

∂ 3X 1

= ∂1X 2

∂ 2X 2

∂ 3X 2 ,

∂1ϕ 3 ∂2ϕ 3 ∂ 3ϕ 3

∂1X 3 ∂ 2X 3 ∂ 3X 3

т.е. 2J ∂k X γ = ε γαβ εklm (∂ αϕl )(∂ βϕm ) , или в развернутой записи J ∂1X 1 = (∂ 2ϕ 2 )(∂ 3ϕ 3 ) − (∂ 2ϕ 3 )(∂ 3ϕ 2 ) , −J ∂2X 1 = (∂2ϕ1 )(∂ 3ϕ 3 ) − (∂2ϕ 3 )(∂ 3ϕ1 ) , J ∂ 3X 1 = (∂ 2ϕ1 )(∂ 3ϕ 2 ) − (∂ 2ϕ 2 )(∂ 3ϕ1 ) ; −J ∂1X 2 = (∂1ϕ2 )(∂ 3ϕ 3 ) − (∂1ϕ 3 )(∂ 3ϕ 2 ) , J ∂ 2X 2 = (∂1ϕ1 )(∂ 3ϕ 3 ) − (∂1ϕ 3 )(∂ 3ϕ1 ) , −J ∂ 3X 2 = (∂1ϕ1 )(∂ 3ϕ2 ) − (∂1ϕ2 )(∂ 3ϕ1 ) ; J ∂1X 3 = (∂1ϕ2 )(∂2ϕ 3 ) − (∂1ϕ 3 )(∂ 2ϕ 2 ) , −J ∂2X 3 = (∂1ϕ1 )(∂ 2ϕ 3 ) − (∂1ϕ 3 )(∂ 2ϕ1 ) , J ∂ 3X 3 = (∂1ϕ1 )(∂ 2ϕ 2 ) − (∂1ϕ 2 )(∂ 2ϕ1 ) ; и обозначая h γ = Lγ , a s = M s , bk = K k 3 , ck = −K k 2 , gk = K k 1 , формулы (7.14) сразу же приводятся к (7.7). Как следует из проведенных рассуждений Lγ — контравариантный отсчетный вектор, M s — аксиальный пространственный вектор, K k α — 1ковариантный пространственный и 1-ковариантный отсчетный тензор второго ранга.

43

Вычислим далее полную дивергенцию поля Φ γ , определенного согласно (7.7). Прежде всего находим

∂ γΦ γ (ϕk , ∂ βϕk , X β ) = (∂ γ Lγ )expl + (∂k Lγ )(∂ γϕk ) + ε γβλ (∂ βϕk )(∂ γ K kλ )expl + +ε γβλ (∂ βϕk )(∂ γϕl )(∂l K k λ ) + J (∂ k X γ )(∂ γ M k )expl + 1 + ε γαβ εklm (∂n M k )(∂ αϕl )(∂ βϕm )(∂ γϕn ) , 2 Здесь уже учтено, что ε γβλ (∂ γ ∂ βϕ k ) = 0 ,

и в силу 2J ∂k X γ = ε γαβ εklm (∂ αϕl )(∂ βϕm )

также равенство

∂ γ (J ∂k X γ ) = 0 .

Замечая далее, что 32 ε γαβ (∂ γϕ n )(∂ αϕl )(∂ βϕ m ) = J εnlm ,

εnlm εklm = 2δkn , получим 1 γαβ 1 ε εklm (∂n M k )(∂ αϕl )(∂ βϕm )(∂ γϕn ) = εnlm εklmJ (∂n M k ) = J (∂k M k ) . 2 2 На основании (см., например, [25, с. 28]) ε γβλ (∂ βϕk )(∂ γϕl ) = εrlk Δλr , где Δλr — алгебраическое дополнение элемента ∂λϕr в определителе ∂1ϕ1

∂ 2ϕ1

∂ 3ϕ1

∂1ϕ 2

∂ 2ϕ 2

∂ 3ϕ 2 ,

∂1ϕ 3

∂ 2ϕ 3

∂ 3ϕ 3

и, учитывая

Δλr = J (∂r X λ ) , имеем ε γβλ (∂ βϕk )(∂ γϕl ) = εrlkJ (∂r X λ ) ,

следовательно, ε γβλ (∂ βϕk )(∂ γϕl )(∂l K k λ ) = εklp (∂l K pβ )(∂ k X β ) = −εkpl (∂l K pβ )(∂ k X β ) . что сразу же позволяет найти выражение (7.5) для лагранжиана пустого пространства, причем поля A, Bk⋅β⋅ , C ⋅kβ⋅ , D, фигурирующие в этом представлении, определяются в следующем виде: 32

Приводимые ниже формулы читатель может найти, например, в [25, с. 23, 24].

44

⎛ ∂Lγ (x k , X β )⎞⎟ A (x , X ) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ , ⎜⎝ ∂X γ ⎠⎟expl

(7.15)

⎛ ∂M s (x k , X β )⎞⎟ ⎟⎟ , D (x , X ) = ⎜⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ∂x s ⎠⎟expl

(7.16)

β

k

β

k

⋅β k⋅

B

(x , X ) = ε β

s

βαγ

⎛ ∂K (x k , X β )⎞⎟ ⎜⎜ k α ⎟⎟ + (∂k Lβ (x s , X β )) , γ ⎜⎜ ⎟ expl ∂X ⎝ ⎠⎟expl

⎛ ∂K pβ (x s , X γ )⎞⎟ ⎟ C (x , X ) = (∂ β M (x , X ))expl − ε ⎜⎜ ⎜⎝ ∂x l ⎠⎟⎟ k⋅ ⋅β

s

β

k

γ

s

kpl

.

(7.17)

(7.18)

expl

Приведем также прямую запись соотношений (7.15)–(7.18): A = Div expl L , D = divexpl M , B = Rotexpl K + (gradexpl L) , T

C = Gradexpl M − (rotexpl KT )

T

и необходимые для понимания формул определения дифференциальных операторов Div expl L = (∇X ⋅ L)expl , div explM = (∇x ⋅ M)expl , Rotexpl K = (K × ∇X )expl , T , gradexpl L = (L ⊗ ∇x )expl , (rotexpl KT )T = (KT × ∇x )expl Gradexpl M = (M ⊗ ∇X )expl , или в координатной записи Div expl L = (∂ γ Lγ )expl , div explM = (∂k M k )expl , ⋅β

(RotexplK)k ⋅ = ε

((rot

((grad

expl

)

T ⋅γ

expl

L)

В силу тождеств

k⋅

K

)

k⋅ T T

)

⋅β

βαγ

⎛ ∂K (x k , X β )⎞⎟ ⎜⎜ k α ⎟⎟ , γ ⎜⎜ ⎟⎟ ∂X ⎝ ⎠expl

⎛ ∂K pβ (x s , X γ )⎞⎟ ⎟ = ε ⎜⎜ ⎜⎝ ∂x l ⎠⎟⎟ kpl

,

expl

= (∂k Lγ )expl ,

s⋅

(GradexplM)⋅γ = (∂ γM s )expl .

∂k ∂ γ Lγ = ∂ γ ∂k Lγ , ε βαγ ε jks ∂s ∂ γ K k α = ε βαγ ε jks ∂ γ ∂s K k α ,

45

∂ γ ∂ k M k = ∂s ∂ γ M s

находим gradexpl Divexpl L = Divexpl (gradexplL) , T

rotexpl (Rotexpl K)T = (Rotexpl (rotexpl KT )T )T ,

Gradexpl div expl M = div expl (GradexplM) , T

что приводит к соотношениям совместности 33 gradexplA = Div expl B , (7.19) (RotexplC)T = −rotexpl BT , T Grad explD = div explC , где Div expl B = (∇X ⋅ BT )expl , div explCT = (∇x ⋅ C)expl , или для компонент (Div expl B)k = (∂ αBk⋅α⋅ )expl , (div explCT )β = (∂kC ⋅kβ⋅ )expl . Условия совместности (7.19) могут быть получены прямой подстановкой (7.5) в уравнения Эйлера Лагранжа (7.2) и приравниванием нулю сумм коэффициентов при одинаковых степенях градиентов ∂ βϕk . 7.3. Вычисление нулевого лагранжиана 4-мерного пространства– времени Найдем выражение для лагранжиана пустого пространства для случая, когда пространство–время четырехмерно, а число m физических полевых величин ϕ k может быть произвольным. При этом будем считать, что лагранжиан L′ и векторное поле Φ γ в самом общем представлении лагранжиана пустого пространства (7.3) зависят от градиентов полей ϕ k порядка не выше первого. Поскольку L′ (ϕ , ∂ βϕ , X k

k

β

)=

∂Φ γ (ϕk , ∂ βϕk , X β )

, (7.20) ∂X γ то, как и в трехмерном случае, необходимо исследовать условия, когда дивергенция в правой части не будет зависеть от вторых производных (∂ α∂ βϕk ) . 33

Соотношениям совместности необходимо должны удовлетворять поля A, B, C , D в выражении (7.5) для лагранжиана пустого трехмерного пространства.

46

Учитывая, во-первых, что в выражении для лагранжиана пустого пространства L′ коэффициент при второй частной производной (∂ β ∂ βϕk ) (по β не суммировать) должен быть нулевым, можно заключить, что должны выполняться условия: ∂Φ β = 0 (по β не суммировать), ∂(∂ βϕk ) т.е. компонента Φ γ не зависит от (∂ γϕk ) ( k = 1, m ). Во-вторых, лагранжиан пустого пространства L′ не зависит от смешанных частных производных (∂ α∂ βϕk ) ( α ≠ β ) только при условии ∂Φλ ∂Φ μ + =0 ∂(∂ μϕk ) ∂(∂λϕk )

( α ≠ β ).

(7.21)

Положим λ = α1 , μ = α2 и, используя то обстоятельство, что Φα2 от производной (∂ α2 ϕk2 ) не зависит, получим, что Φα1 линейно зависит от производной (∂ α2 ϕk2 ) , т.е. Φα1 = akα21α2 ∂ α2 ϕk2 + b α1

(по α2, k2 не суммировать),

(7.22)

где коэффициенты akα21α2 и b α1 не зависят от производной ∂ α2 ϕ k2 . Затем, подставляя выражение (7.22) для Φα1 в соотношение (7.21) при λ = α1 , μ = α3 , α1 ≠ α3 , получим, что akα21α2 и b α1 линейно зависят от производной (∂ α3 ϕk3 ) . Продолжая рассуждения дальше, заключаем, что поле Φ γ можно представить в виде многочлена по возрастающим степеням градиентов ∂ αϕ k : k1 γα2 ⋅α1 ⋅ k1 k2 1⋅ (7.23) Φ γ = Aγ + B⋅⋅γα k1 (∂ α1ϕ ) + C ⋅⋅k2 ⋅k1 (∂ α1 ϕ )(∂ α2 ϕ ) + k1 k2 k3 3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ +D⋅⋅γα k 3 ⋅k2 ⋅k1 (∂ α1 ϕ )(∂ α2 ϕ )(∂ α3 ϕ ) + ... , γα2 ⋅α1 ⋅ γα3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ 1⋅ где коэффициенты Aγ , B⋅⋅γα могут зависеть от X β , ϕ k , и k1 , C ⋅⋅k2 ⋅k1 , D⋅⋅k 3 ⋅k2 ⋅k1 не выписаны полиномиальные по градиентам слагаемые более высоких степеней. Подставляя (7.23) в (7.21), получим α1γ ⋅ 1⋅ B⋅⋅γα k1 = −B⋅⋅k1 , 1⋅ т.е. коэффициенты B⋅⋅γα антисимметричны по индексам γ , α1 ; аналогично k1 2 ⋅α1 ⋅ заключаем, что коэффициенты C ⋅⋅γα антисимметричны по парам индекk2 ⋅k1 3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ сов γ , α1 и γ , α2 ; коэффициенты D⋅⋅γα антисимметричны по парам k 3 ⋅k2 ⋅k1 индексов γ , α1 ; γ , α2 ; γ , α3 ; и т.д. для всех невыписанных в (7.23) коэффициентов.

47

2 ⋅α1 ⋅ Из антисимметричности коэффициентов C ⋅⋅γα по индексам γ , α1 и k2 ⋅k1 γ , α2 получаются следующие равенства: переставляя γ , α1 : 2 ⋅α1 ⋅ C ⋅⋅γα = −C ⋅⋅αk12α⋅k21⋅γ ⋅ ; k2 ⋅k1

переставляя α1 , α2 : C ⋅⋅αk12α⋅k21⋅γ ⋅ = −C ⋅⋅αk12α⋅k21⋅γ ⋅ ;

переставляя γ , α2 : 1 ⋅α2 ⋅ C ⋅⋅αk22α⋅k11⋅γ ⋅ = −C ⋅⋅γα k2 ⋅k1 . 2 ⋅α1 ⋅ Откуда следует, что коэффициенты C ⋅⋅γα антисимметричны по паре k2 ⋅k1

греческих индексов α1 , α2 . 3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ Аналогично доказывается, что коэффициенты D⋅⋅γα антисимметk 3 ⋅k2 ⋅k1 34 ричны по любой паре греческих индексов, и все остальные коэффициенты в (7.23) также антисимметричны по любой паре греческих индексов. Таким образом, для любого, отличного от нуля, коэффициента в (7.23) все греческие индексы должны быть различны, но у греческих индексов может быть всего четыре различных значения 1,2,3,4, и поэтому более четырех различных верхних индексов у коэффициентов в (7.23) быть не может, т.е. в разложении (7.23) невыписанные слагаемые на самом деле отсутствуют: k1 γα2 ⋅α1 ⋅ k1 k2 1⋅ (7.24) Φ γ = Aγ + B⋅⋅γα k1 (∂ α1ϕ ) + C ⋅⋅k2 ⋅k1 (∂ α1 ϕ )(∂ α2 ϕ ) + k1 k2 k3 3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ +D⋅⋅γα k 3 ⋅k2 ⋅k1 (∂ α1 ϕ )(∂ α2 ϕ )(∂ α3 ϕ ) + ... .

Рассмотрим теперь индивидуальные суммы в (7.24). Переставляя в сумме k1 k2 2 ⋅α1 ⋅ C ⋅⋅γα k2 ⋅k1 (∂ α1 ϕ )(∂ α2 ϕ ) 2 ⋅α1 ⋅ у коэффициентов C ⋅⋅γα индексы α1 , α2 , находим: k2 ⋅k1

k1 k2 γα1 ⋅α2 ⋅ k1 k2 2 ⋅α1 ⋅ C ⋅⋅γα k2 ⋅k1 (∂ α1 ϕ )(∂ α2 ϕ ) = −C ⋅⋅k2 ⋅k1 (∂ α1ϕ )(∂ α2 ϕ ) ,

и переименовывая по схеме α1 → α2 , α2 → α1 , k1 → k2 , k2 → k1 немые латинские и греческие индексы, приходим к следующим равенствам: k1 k2 γα2 ⋅α1 ⋅ k1 k2 γα2 ⋅α1 ⋅ k1 k2 2 ⋅α1 ⋅ C ⋅⋅γα k2 ⋅k1 (∂ α1 ϕ )(∂ α2 ϕ ) = −C ⋅⋅k2 ⋅k1 (∂ α2 ϕ )(∂ α1ϕ ) = −C ⋅⋅k1 ⋅k2 (∂ α1ϕ )(∂ α2 ϕ ) . 2 ⋅α1 ⋅ Следовательно, коэффициенты C ⋅⋅γα антисимметричны по паре лаk2 ⋅k1 тинских индексов k1 , k2 .

34

3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ Последнее означает, что для коэффициентов D⋅⋅γα справедливо также следующее k3 ⋅k2 ⋅k1

представление:

3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ D⋅⋅γα = Dk3k2k1 ε γα3α2α1 , k3 ⋅k2 ⋅k1

где Dk3k2k1 — антисимметричный 3-ковариантный пространственный тензор.

48

3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ Аналогично доказывается, что коэффициенты D⋅⋅γα антисимметk 3 ⋅k2 ⋅k1 ричны по любой паре латинских индексов. 1⋅ Резюмируя сказанное, имеем, что коэффициенты B⋅⋅γα антисимметk1

γα3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ 2 ⋅α1 ⋅ ричны по греческим индексам, коэффициенты C ⋅⋅γα антисимk2 ⋅k1 , D⋅⋅k 3 ⋅k2 ⋅k1 метричны по любой паре греческих и любой паре латинских индексов. Вычисляя дивергенцию Φ γ , после ряда преобразований получим выражение для лагранжиана пустого пространства в случае 4-мерного пространственно-временного многообразия: ⎛ ∂Aα1 ⎛ ∂B γα1 ⋅ ⎞ ⎞⎟ ⎛ ∂Aγ ⎟⎞ ∂Φ γ ⋅⋅k1 ⎟ ⎜ ⎜ L′ = =⎜ ⎟ ⎟⎟ (∂ α1ϕk1 ) + ⎟ + ⎜⎜ k1 + ⎜⎜⎜ γ γ⎟ γ ⎟ ⎝ ∂X ⎠expl ⎜⎝ ∂x ∂X ⎝ ∂X ⎠expl ⎠⎟⎟

⎛ ∂B α2α1 ⋅ ⎛ ∂C γα2 ⋅α1 ⋅ ⎞ ⎞⎟ ⋅⋅k1 ⋅⋅k2 ⋅k1 ⎟ + ⎜⎜⎜ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ (∂ α1ϕk1 )(∂ α2 ϕk2 ) + (7.25) k2 γ ⎝⎜ ∂X ⎠expl ⎠⎟⎟ ⎝⎜ ∂x ⎛ ∂C α3α2 ⋅α1 ⋅ ⎛ ∂D γα3 ⋅α2 ⋅α1⋅ ⎞ ⎞⎟ ⋅⋅k2 ⋅k1 ⋅⋅k3 ⋅k2 ⋅k1 ⎟ ⎜ + ⎜⎜ + ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ (∂ α1ϕk1 )(∂ α2 ϕk2 )(∂ α3 ϕk3 ) + k3 γ ⎟ ⎜ ⎜⎝ ∂x ⎝ ∂X ⎠expl ⎟⎠⎟ 3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ ∂D⋅⋅γα k3 ⋅k2 ⋅k1 (∂α1ϕk1 )(∂ α2 ϕk2 )(∂ α3 ϕk3 )(∂ γϕk4 ) . + k4 ∂x Последнее слагаемое в (7.25) в силу 3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ D⋅⋅γα = Dk3k2k1 ε γα3α2α1 k 3 ⋅k2 ⋅k1 и при условии, что число физических полевых величин также равно четырем, приводится к следующему виду: 3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ ∂D⋅⋅γα k3 ⋅k2 ⋅k1 (∂α1ϕk1 )(∂α2 ϕk2 )(∂α3ϕk3 )(∂ γϕk4 ) = k4 ∂x ∂Dk3k2k1 ∂Dk3k2k1 k4k3k2k1 = (∂α1ϕk1 )(∂α2 ϕk2 )(∂ α3ϕk3 )(∂ γϕk4 )ε γα3α2α1 = ε J , ∂x k4 ∂x k4 где J есть якобиан отображения (X 1, X 2, X 3, X 4 ) → (x 1, x 2, x 3, x 4 ) . С целью оптимизации записи дальнейших рассуждений введем обозначения ⎛ ∂Aγ ⎞⎟ A = ⎜⎜ ⎟ , ⎝ ∂X γ ⎠⎟expl γα ⋅ ∂Aα1 ⎛⎜ ∂B⋅⋅k1 1 ⎞⎟ +⎜ L = ⎟ , ∂x k1 ⎜⎝ ∂X γ ⎠⎟expl 2 ⋅α1 ⋅ ⎞ ∂B⋅⋅αk21α1⋅ ⎛⎜ ∂C ⋅⋅γα k2 ⋅k1 ⎟ α2 ⋅α1 ⋅ + L⋅k2 ⋅k1 = ⎟ ⎜⎜ ∂x k2 ⎝ ∂X γ ⎠⎟ α1 ⋅ ⋅k1

Lα⋅k33⋅⋅αk22⋅⋅kα11⋅ =

∂C

α3α2 ⋅α1 ⋅ ⋅⋅k2 ⋅k1 k3

∂x

49

,

expl γα3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ ⋅⋅k3 ⋅k2 ⋅k1 γ

⎛ ∂D + ⎜⎜ ⎜⎝ ∂X

⎞⎟ ⎟ ⎠⎟

expl

,

α4 ⋅α3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ ⋅k4 ⋅k3 ⋅k2 ⋅k1

L

=

∂D⋅⋅αk43α⋅k32⋅⋅αk21⋅α1⋅

∂x k4 и представим лагранжиан пустого 4-мерного пространственно-временного многообразия в форме L′ = A + Lα⋅k11⋅(∂ α1ϕk1 ) + Lα⋅k22⋅⋅αk11⋅(∂ α1ϕk1 )(∂ α2 ϕk2 ) + +Lα⋅k33⋅⋅αk22⋅⋅kα11⋅(∂ α1ϕk1 )(∂ α2 ϕk2 )(∂ α3 ϕk3 ) +

(7.26)

+Lα⋅k44⋅⋅αk33⋅⋅kα22⋅⋅kα11⋅(∂ α1ϕk1 )(∂ α2 ϕk2 )(∂ α3 ϕk3 )(∂ α4 ϕk4 ). Заметим, что в этом представлении нулевого лагранжиана все коэффициенты могут быть антисимметризованы по нижним латинским индексам, поскольку, как нетрудно проверить, все они Lα⋅k22⋅⋅αk11 ⋅ , Lα⋅k33⋅⋅αk22⋅⋅kα11 ⋅ , Lα⋅k44⋅⋅αk33⋅⋅kα22⋅⋅kα11⋅ антисимметричны по любой паре латинских индексов. Формула (7.26), следовательно, может быть также записана в форме L′ = A + Lα⋅k11⋅(∂ α1ϕk1 ) + Lα⋅[k22⋅α⋅k11⋅](∂ α1ϕk1 )(∂ α2 ϕk2 ) +

+Lα⋅[k33⋅α⋅k22⋅⋅αk11⋅](∂ α1ϕk1 )(∂ α2 ϕk2 )(∂ α3 ϕk3 ) +

(7.27)

+Lα⋅[k44⋅α⋅k33⋅⋅αk22⋅⋅αk11]⋅(∂ α1ϕk1 )(∂ α2 ϕk2 )(∂ α3 ϕk3 )(∂ α4 ϕk4 ), где квадратные скобки применяются для обозначения операции альтернирования по заключенным в них индексам. В дальнейшем можно считать, что Lα⋅k22⋅⋅αk11 ⋅ = Lα⋅[k22⋅α⋅k11⋅] , Lα⋅k33⋅⋅αk22⋅⋅kα11 ⋅ = Lα⋅[k33⋅α⋅k22⋅⋅αk11⋅] , Lα⋅k44⋅⋅αk33⋅⋅kα22⋅⋅kα1 1⋅ = Lα⋅[k44⋅α⋅k33⋅⋅αk22⋅⋅αk11]⋅ . Подставляя (7.26) в уравнение Эйлера—Лагранжа (7.2) и приравнивая нулю последовательно суммы коэффициентов при одинаковых степенях градиентов полевых величин ϕk , можно получить условия совместности для коэффициентов в разложении (7.26). Так, условие равенства нулю суммы коэффициентов при нулевой степени градиентов есть: ⎞ ∂A ⎛ ∂ (7.28) − ⎜⎜ Lα⋅k11⋅ ⎟⎟⎟ = 0 , k1 α1 ⎝ ∂X ⎠expl ∂x

или также

γα ⋅ ∂ ⎛⎜ ∂Aγ ⎞⎟ ∂ ⎛⎜ ∂Aα1 ⎛⎜ ∂B⋅⋅k1 1 ⎞⎟ ⎞⎟⎟ ⎜ +⎜ ⎟ ⎟ = 0. ⎟ − ∂x k1 ⎜⎝ ∂X γ ⎠⎟expl ∂X α1 ⎜⎜⎝ ∂x k1 ⎜⎝ ∂X γ ⎟⎠expl ⎠⎟⎟expl

(7.29)

Ясно, что это условие совместности тождественно удовлетворяется в силу 50

⎛ ∂ ∂Aα1 ⎞⎟ ∂ ⎛⎜ ∂Aγ ⎞⎟ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ k1 ⎜ γ⎟ ⎝ ⎠ ∂x ∂X expl ⎝ ∂X α1 ∂x k1 ⎠⎟expl 1⋅ и, поскольку тензор B⋅⋅γα k1 антисимметричен по верхним индексам, 1⋅ ⎛ ∂ 2B⋅⋅γα ⎞⎟ k1 ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝⎜ ∂X α1 ∂X γ ⎠⎟⎟

= 0.

expl

Следующим в ряду условий совместности будет ∂Lα⋅k11⋅ ∂Lα⋅k12⋅ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ Lα⋅k21⋅⋅αk21 ⋅ ⎟⎟⎟ − ⎜⎜ Lα⋅k22⋅⋅αk11 ⋅ ⎟⎟⎟ = 0 , − + ⎜⎜ α2 α2 k2 k1 ⎝ ∂X ⎠expl ⎝ ∂X ⎠expl ∂x ∂x

(7.30)

или

⎛ ∂Aα1 ⎛ ∂B γα1 ⋅ ⎞ ⎞⎟ ⎛ ∂B α2α1 ⋅ ⎛ ∂C γα2 ⋅α1⋅ ⎞ ⎞⎟ ∂ ⋅⋅k1 ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⋅⋅k1 ⎜ ⎜ ⋅⋅k2 ⋅k1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ∂x k1 + ⎜⎝⎜ ∂X γ ⎠⎟⎟ ⎟⎟⎟ − ∂X α2 ⎜⎜⎜ ∂x k2 + ⎝⎜⎜ ∂X γ ⎟⎟⎠ ⎟⎟⎟ + (7.31) ⎝ ⎝ expl ⎠ expl ⎠expl αα⋅ γα ⋅α ⋅ γα ⋅ ∂ ⎛⎜ ∂B⋅⋅k22 1 ⎛⎜ ∂C ⋅⋅k1⋅2k2 1 ⎞⎟ ⎞⎟⎟ ∂ ⎛⎜ ∂Aα1 ⎛⎜ ∂B⋅⋅k2 1 ⎞⎟ ⎞⎟⎟ ⎜ + +⎜ − k1 ⎜⎜ k2 + ⎜ ⎟ ⎟⎟ = 0 . γ ⎟ ⎟ ⎜⎝ ∂X γ ⎠⎟ ⎟⎠⎟⎟ ⎜ ⎜ x x X ∂X α2 ⎜⎜⎝ ∂x k1 ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ expl expl expl ⎠ Это условие тождественно удовлетворяется в силу перестановочности 2 ⋅α1 ⋅ частного дифференцирования и антисимметрии тензора C ⋅⋅γα по любой k2 ⋅k1 паре греческих индексов. Используя, по-прежнему, квадратные скобки для обозначения операции альтернирования по заключенным в них индексам, условие совместности (7.30) представим в форме ∂Lα⋅[k11⋅ ⎞ ⎛ ∂ (7.32) Lα⋅[k22⋅α⋅k11⋅] ⎟⎟⎟ . = ⎜⎜ α2 k2 ] ⎝ ∂X ⎠expl ∂x ∂ ∂x k2

Аналогично могут быть найдены еще два условия совместности: ∂Lα⋅[k21⋅α⋅k12⋅ ⎛ ∂ α3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ ⎞ ⎟⎟ , ⎜ (7.33) L − = ⎜ ⎝ ∂X α3 ⋅[k3 ⋅k2 ⋅k1 ] ⎠⎟expl ∂x k 3 ] ∂Lα⋅[k31⋅α⋅k22⋅⋅αk13 ⋅ ⎛ ∂ α4 ⋅α3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ ⎞ ⎟ ⎜ (7.34) L − = ⎜⎝ ∂X α4 ⋅[k4 ⋅k3 ⋅k2 ⋅k1 ] ⎠⎟⎟expl . ∂x k 4 ] Приведем также необходимые для понимания формул (7.32)–(7.34) соотношения: ∂Lα⋅k11⋅ ∂Lα⋅[k11⋅ 1 α1 Pk1k2 = = P[kα11k2 ] = (Pkα1k12 − Pkα2k11 ) ; , k2 k2 ] 2 ∂x ∂x α2 ⋅α1 ⋅ α2 ⋅α1 ⋅ ∂ L ∂ L ⋅[k1 ⋅k2 Pkα1k22αk13 = ⋅k1k⋅3k2 , = P[kα12kα2k13 ] , k3 ] ∂x ∂x 1 P[kα12kα2k13 ] = (Pkα1k22αk13 − Pkα2k21αk13 − Pkα3k22αk11 − Pkα1k23αk12 + Pkα2k23αk11 + Pkα3k21αk12 ) ; 3! ∂Lα⋅k31⋅⋅αk22⋅⋅kα31⋅ ∂Lα⋅[k31⋅α⋅k22⋅⋅αk31 ⋅ α3α2α1 Pk1k2k3k4 = = P[kα1k3α2k23αk14 ] , , k4 k4 ] ∂x ∂x 51

P[kα1k3α2k23αk14 ] =

1 α3α2α1 (Pk1k2k3k4 − Pkα3k32αk21αk41 − Pkα1k33αk22αk41 − Pkα2k31αk23αk41 + Pkα2k33αk21αk41 + Pkα3k31αk22αk41 + 4! +Pkα4k32αk21αk31 + Pkα1k34αk22αk31 + Pkα2k31αk24αk31 − Pkα4k31αk22αk31 − Pkα1k32αk24αk31 − Pkα2k34αk21αk31 − −Pkα4k33αk21αk21 − Pkα1k34αk23αk21 − Pkα3k31αk24αk21 + Pkα3k34αk21αk21 + Pkα1k33αk24αk21 + Pkα4k31αk23αk21 + +Pkα4k33αk22αk11 + Pkα2k34αk23αk11 + Pkα3k32αk24αk11 − Pkα3k34αk22αk11 − Pkα2k33αk24αk11 − Pkα4k32αk23αk11 ).

7.4. Вычисление нулевого лагранжиана пространства произвольной размерности Приведенные рассуждения о форме лагранжиана пустого пространства без труда обобщаются на случай произвольного числа пространственновременных координат X β (β = 1,2,..., n + 1) : векторное поле Φ γ определяется в виде k1 γα2 ⋅α1 ⋅ k1 k2 1⋅ (7.35) Φ γ = Aγ + A⋅⋅γα k1 (∂ α1 ϕ ) + A⋅⋅k2 ⋅k1 (∂ α1ϕ )(∂ α2 ϕ ) + ... + k1 kn −1 n ⋅αn −1 ⋅...α1 ⋅ +A⋅⋅γα )(∂ αn ϕ kn ), kn ⋅kn −1 ...⋅k1 (∂ α1 ϕ )...(∂ αn −1ϕ

где тензоры β s γα2 ⋅α1 ⋅ β s γαn ⋅αn −1 ⋅...α1 ⋅ β s 1⋅ Aγ (X β , x s ) , A⋅⋅γα k1 (X , x ) , A⋅⋅k2 ⋅k1 (X , x ) , … , A⋅⋅kn ⋅kn −1 ...⋅k1 (X , x ) антисимметричны по любой паре латинских и любой паре греческих индексов. 35 Вычисляя дивергенцию поля Φ γ , определенного согласно (7.35), находим выражение для лагранжиана пустого пространства в случае ( n + 1 )мерного пространственно-временного многообразия: ⎛ ∂Aα1 ⎛ ∂Aγα1 ⋅ ⎞ ⎞⎟ ⎛ ∂Aγ ⎟⎞ ∂Φ γ ⋅⋅k1 ⎟ ⎜ ⎜ L′ = =⎜ ⎟ ⎟⎟ (∂ α1ϕk1 ) + ⎟ + ⎜⎜ k1 + ⎜⎜⎜ γ γ⎟ γ ⎟ ⎝ ∂X ⎠expl ⎜⎝ ∂x ∂X ⎝ ∂X ⎠expl ⎠⎟⎟ ⎛ ∂Aα2α1 ⋅ ⎛ ∂Aγα2 ⋅α1 ⋅ ⎞ ⎞⎟ ⋅⋅k1 ⋅⋅k2 ⋅k1 ⎟ (7.36) + ⎜⎜⎜ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟(∂ α1ϕk1 )(∂ α2 ϕk2 ) + ... + k2 γ ⎜⎝ ∂x ⎝⎜ ∂X ⎠expl ⎠⎟⎟ ⎛ ∂Aαn αn −1 ⋅...α1 ⋅ ⎛ ∂Aγαn ⋅αn −1⋅...α1 ⋅ ⎞ ⎞⎟ ⋅⋅kn −1 ...⋅k1 ⋅⋅kn ⋅kn −1 ...⋅k1 ⎟ + ⎜⎜⎜ + ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟(∂ α1ϕk1 )...(∂ αn −1ϕkn −1 )(∂ αn ϕkn ) + kn γ ⎜ ⎜⎝ ∂x ∂X ⎝ ⎠⎟expl ⎠⎟⎟ n ⋅αn −1 ⋅...α1 ⋅ ∂A⋅⋅γα kn ⋅kn −1 ...⋅k1 (∂α1ϕk1 )...(∂ αn −1ϕkn −1 )(∂αn ϕkn )(∂ γϕkn +1 ) . + kn +1 ∂x

35

n ⋅αn −1 ⋅...α1 ⋅ Применительно к тензору A⋅⋅γα антисимметричность по любой паре греческих kn ⋅kn −1 ...⋅k1

индексов означает, что

n ⋅αn −1 ⋅...α1 ⋅ A⋅⋅γα = Aknkn −1 ...k1 ε γαn αn −1 ...α1 , kn ⋅kn −1 ...⋅k1

где Aknkn −1 ...k1 — антисимметричный n -ковариантный пространственный тензор.

52

Здесь последнее слагаемое при условии, что число физических полевых величин в точности равно n + 1 , может быть представлено в форме n ⋅αn −1 ⋅...α1 ⋅ ∂A⋅⋅γα kn ⋅kn −1 ...⋅k1 (∂α1ϕk1 )...(∂αn −1ϕkn −1 )(∂αn ϕkn )(∂ γϕkn +1 ) = kn +1 ∂x ∂Aknkn −1 ...k1 = (∂α1ϕk1 )...(∂ αn −1ϕkn −1 )(∂ αn ϕkn )(∂ γϕkn +1 )ε γαn αn −1 ...α1 = ∂x kn +1 ∂Aknkn −1 ...k1 = J εkn +1knkn −1 ...k1 , ∂x kn +1 где J есть якобиан отображения (X 1, X 2,..., X n +1 ) → (x 1, x 2,..., x n +1 ) . 7.5. Нулевые лагранжианы, инвариантные относительно сдвигов физических полей Поставим далее задачу о разыскании наиболее общей формы лагранжиана пустого пространства, инвариантного относительно сдвигов полевых величин ϕs . Эта проблема особенно интересна в связи с представлением нелинейно упругого поля в поврежденной среде, когда лагранжиан заведомо явно будет зависеть от материальных переменных X β . Сформулированная проблема сразу же решается в случае, когда число пространственно-временных координат X β равно трем и имеется три полевых величины ϕs , которые в применении к нелинейной теории упругости мы, как обычно, отождествим с переменными Эйлера x s . Действительно, скалярные и тензорные поля A , B , C , D в выражении (7.5) для лагранжиана пустого трехмерного пространства необходимо должны удовлетворять соотношениям совместности (7.19) gradexplA = Div expl B , (RotexplC)T = −rotexpl BT , Grad explD = div explCT . Учитывая, что A, B, C не зависят от переменных x s , приходим к уравнениям Div expl B = 0 , RotexplC = 0 , GradexplD = 0 , из которых следует, что лагранжиан пустого трехмерного пространства будет инвариантен относительно сдвигов эйлеровых переменных x s , только если A = A (X β ) , D есть некоторая постоянная, и найдутся 1ковариантное пространственное 1-ковариантное отсчетное тензорное поле Ek α = Ek α (X β ) и контравариантное пространственное векторное поле

Ak = Ak (X β ) такие, что B = Rotexpl E = (E × ∇X )expl , C = GradexplA = (A ⊗ ∇X )expl , (7.37) или в координатной записи 53

⎛ ∂E ⎞ Bk⋅β⋅ = εβαγ ⎜⎜ kγα ⎟⎟⎟ , C ⋅kβ⋅ = ∂ β Ak . ⎝ ∂X ⎠expl

(7.38)

Таким образом, наиболее общая форма лагранжиана пустого трехмерного пространства, инвариантного относительно сдвигов эйлеровых переменных x s , есть 36

∂Ek α (X λ ) ∂ βϕk + (∂ β Ak (X γ ))J ∂k X β + D0J . γ ∂X (7.39) Переходим к нахождению наиболее общей формы лагранжиана пустого четырехмерного пространства, инвариантного относительно сдвигов полевых величин ϕs . Исходя из представления лагранжиана (7.26) и учитывая условия совместности 37 ⎛ ∂ ⎛ ∂ α1 ⋅ ⎞ α2 ⋅α1 ⋅ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ (7.40) ⎜⎝ ∂X α1 L⋅k1 ⎠⎟⎟ = 0 , ⎜⎝ ∂X α2 L⋅[k2 ⋅k1 ] ⎠⎟⎟ = 0 , expl expl ⎛ ∂ ⎛ ∂ α3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ ⎞ α4 ⋅α3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ∂X α3 L⋅[k3 ⋅k2 ⋅k1 ] ⎠⎟⎟ = 0 , ⎜⎝ ∂X α4 L⋅[k4 ⋅k3 ⋅k2 ⋅k1 ] ⎠⎟⎟ = 0 , expl expl сразу же заключаем относительно коэффициентов в разложении (7.26), что ⎛ ∂ ⎞ Lα⋅k11⋅ = ⎜⎜ M ⋅⋅γkα1 1⋅ ⎟⎟⎟ , γ ⎝ ∂X ⎠expl ⎛ ∂ γα2 ⋅α1 ⋅ ⎞ ⎟ , (7.41) Lα⋅k22⋅⋅αk11 ⋅ = ⎜⎜ M ⎝ ∂X γ ⋅⋅k2 ⋅k1 ⎠⎟⎟expl ⎛ ∂ γα3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ ⎞ ⎟ , Lα⋅k33⋅⋅αk22⋅⋅kα11 ⋅ = ⎜⎜ M ⎝ ∂X γ ⋅⋅k3 ⋅k2 ⋅k1 ⎠⎟⎟expl Lα⋅k44⋅⋅αk33⋅⋅kα22⋅⋅kα1 1⋅ = εα4α3α2α1 M k4k3k2k1 , L′(∂ βϕk , X β ) = A(X γ ) + εβαγ

1⋅ где все тензоры не зависят от полей ϕk ; M ⋅⋅γα антисимметричен по верхk1 2 ⋅α1 ⋅ ним индексам; M ⋅⋅γα антисимметричен по парам верхних индексов γ и k2 ⋅k1 3 ⋅α2 ⋅α1 ⋅ антисимα2 , α1 и α2 , 38 и по паре нижних латинских индексов; M ⋅⋅γα k3 ⋅k2 ⋅k1

метричен по паре верхних индексов γ и α3 и любой паре верхних индексов, не содержащей индекс γ , 39 и по любой паре нижних латинских ин-

36

3аметим, что тензор Ek α по существу совпадает с тензором K k α в формуле (7.17). Коэффициент A в (7.26) может, очевидно, зависеть лишь от пространственновременных координат X β . 38 Следовательно, антисимметричен по индексам γ и α1 . 39 Следовательно, антисимметричен по парам индексов γ и α2 , γ и α1 . 37

54

дексов; M k4k3k2k1 — постоянные величины, антисимметричные по любой паре нижних латинских индексов. Полученные результаты позволяют вычислить конфигурационную силу fλinh , обусловленную неоднородностью поля. Если ограничиться силами, пропорциональными первым градиентам поля, то, поскольку ⎛ ∂L′ ⎞⎟ fλinh = ⎜⎜ ⎟ , ⎜ X λ ⎠⎟ ⎝∂ expl

для трех- и четырехмерного пространства соответственно имеем: ∂2Kk α βαγ k inh fλ = ε (∂ βϕ ) , ∂X γ ∂X λ ∂2M ⋅⋅[kγα1 1 ]⋅ k1 inh , fλ = (∂ α1ϕ ) ∂X γ ∂X λ причем все девять компонент K k α независимы, а среди 64 компонент

M⋅⋅[kγα1 1 ]⋅ независимых лишь 24. Квадратичные по градиентам поля конфигурационные силы вычисляются соответственно в форме 1 fλinh = (∂ 2γλAk )ε γαβ εklm (∂ αϕl )(∂ βϕ m ) , 2 inh k1 k2 2 ⋅α1 ]⋅ fλ = (∂2γλM⋅⋅[[γα k2 ⋅k1 ] )(∂ α1ϕ )(∂ α2 ϕ ) .

55

Литература [1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. II. Теория поля. М: Наука, 1973. 504 с. [2] Maugin G.A. Material Inhomogeneities in Elasticity. London: Chapman & Hall, 1993. 276 pp. [3] Noether E. Invariante Variationsprobleme// Kgl. Ges. Wiss. Nachr. Gottingen.Math.–Physik. Kl. 1918. S. 235–257. [4] Qlver P.J. Application of Lie Groupes to Differential Equations. New York: Springer, 1986. [5] Gunter W. Uber einige Randintegrale der Elasto–Mechanik // Abh. Braunschw. Wiss. Ges. 1962. H. 14. S. 53–72. [6] Knowles J.K., Sternberg E. On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics // Arch. Rat. Mech. Anal. 1972. V. 44. P. 187–211. [7] Qlver P.J. Conservation laws in elasticity I. General results // Arch. Rational Mech. Anal. 1984. V. 85. P. 119–129. [8] Qlver P.J. Conservation laws in elasticity II. Linear homogeneous isotropic elastostatics // Arch. Rational Mech. Anal. 1984. V. 85. P. 131–160. [9] Qlver P.J. Symmetry Groops and Path–Independent Integrals/ In: Fundamentals of Deformation and Fracture. Eshelby Memorial Symposium, Sheffield 2–5 April, 1984. Eds. B. A. Bilby et al. Cambridge: Cambridge University Press, 1985. P. 57–71. [10] Bui H.D. Mecanique de la Rupture Fragile. Paris: Masson, 1978. 216 pp. [11] Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с. [12] Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. V. 1. New York: Interscience Publishers, 1953. 562 pp. [13] Полак Л.С. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз, 1960. 600 с. [14] Gelfand I.М., Fomin S.V. Calculus of Variations. Englwood Cliffs, New Jersey: Prentice–Hall, 1963. 232 pp. [15] Ибрагимов H.X. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с. [16] Truesdell С., Toupin R.A. The Classical Field Theories / Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Encyclopedia of Physics, Vol.III/1 (ed. S. Flugge). Berlin: Springer, 1960. P. 226–793. 56

[17] Радаев Ю.H. Теория конечных деформаций сплошных сред. Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 1997. 103 с. [18] Silhavy M. The Mechanics and Thermodynamics of Continuous Media. Berlin, Heidelberg, New York: Springer–Verlag, 1997. 506 pp. [19] Eshelby J.D. The Force on an Elastic Singularity // Phil. Trans. Roy. Soc., London. 1951. V. A244. P. 87–112. [20] Черепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде // Прикл. матем. и механика. 1967. Т. 31. Вып. 3. С. 476–488. [21] Rice J.R. A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain Concentration by Notches and Cracks // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1968. No. 35. P. 379–386. [22] Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. I. Работы по теории относительности. М.: Наука, 1965. 700 с. [23] Maugin G.A. Material forces: Concepts and applications // Applied Mechanics Reviews. 1995. V. 48. P. 213–245. [24] Piola G. Intorno alle equazioni fondamentali del movimento di corpi qualsivoglioni considerati secondo la naturale loro forma e costituva // Mem. Mat. Fis. Soc. Ital. Modena. 1848. V. 24(1). P. 1–186. [25] Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматгиз, 1963. 412 с.

57

NON–LINEAR ELASTICITY AS A FIELD THEORY Y.N. Radayev ([email protected]), S.A. Lychev ([email protected]) Non-linear elasticity is considered from the physical viewpoint as a field theory. First, field equations and constitutive relations of the finite-strain elasticity in their canonical forms are derived in a conventional way. In view of practical application to fracture, special attention is paid to to the construction and immediate consequences of the canonical equations of energy and pseudomomentum balance, thus demonstrating the wealth of the framework, and allowing readily introduce Eshelby's stress tensor, the path-independent integral and Eshelby's force, acting on an elastic inhomogeneity. Then the field-theoretic concept is used in order to define the tensors of non-linear elasticity and reveal their natural co-ordinate representation. The variational formulation and Noether's theorem are chosen to derive conservation laws and additional path-independent integrals. Inverse-motion description and variational symmetries of the Hamiltonian action are shown provide a true field theory of non-linear inhomogeneous elasticity. The null Lagrangian theory for n-dimensional manifold (including 4dimensional Minkowski space-time) is developed in an attempt to extend the canonical formalism of nonlinear field theory. All developments are presented in the frame of finite strains. By the aid of divergence formula for the null Lagrangians regular in n-dimensional star-shaped domains, a general representation of the null Lagrangian depending as maximum on the first order field gradients is obtained. A method of systematic derivation of the null Lagrangians in ndimensional manifold is proposed. It is shown that in the case of nonlinear elastic field in 3-dimensional space the null Lagrangian is represented via 15 arbitrary independent field functions. Null Lagrangians of 4-dimensional material manifold are then analysed. Invariant under actual placement translations null Lagrangians are obtained. Material forces acting on an empty 4-dimensional manifold are finally studied.

58

CОДЕРЖАНИЕ Введение............................................................................................................... 3 1. Канонические законы сохранения................................................................. 4 2. Элементы теории поля.................................................................................. 10 3. Теорема Нетер ............................................................................................... 17 4. Основные группы инвариантности функционала действия ..................... 21 5. Обобщенные группы преобразований. Стандартные, внутренние и внешние вариации ............................................................................................. 26 6. Обобщенные группы инвариантности действия........................................ 34 7. Лагранжиан пустого пространства.............................................................. 37 7.1. Дивергентное представление нулевого лагранжиана, регулярного в звездообразной области.............................................................................. 37 7.2. Вычисление нулевого лагранжиана нелинейно упругого поля в трехмерном пространстве........................................................................... 40 7.3. Вычисление нулевого лагранжиана 4-мерного пространства– времени............................................................................................................ 46 7.4. Вычисление нулевого лагранжиана пространства произвольной размерности .................................................................................................... 52 7.5. Нулевые лагранжианы, инвариантные относительно сдвигов физических полей........................................................................................... 53 Литература ......................................................................................................... 56

59

Печатается в авторской редакции Компьютерная верстка, макет Д.В. Чичеров Подписано в печать 20.09.05. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Усл.-печ. л. 3,49. Уч.-изд. л. 3,75. Гарнитура “Times New Roman”. Тираж 100 экз. Заказ 340. Издательство “Универс-групп”, 443011, г. Самара. ул. Aкад. Павлова, 1. Отпечатано в ООО «Универс-групп». 60