Многофотонные процессы в атоме: Методические указания

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я р о сси йско й ф е де р а ци и В о р о не ж ски й г о суда р стве нны й уни ве р си те т Ф и зи ческ и й ф ак у л ьтет К а ф едр а о пт и ки и спект р о ско пи и

М ногоф отонны е пр оцессы в атоме М е то ди че ски е ука за ни я для студе нто в и ма г и стр о в 5 и 6 кур со в ф и зи че ско г о ф а культе та (дне вно г о о тде лени я) Со ста ви те ль Клю е в В .Г.

В ор онеж 2002

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

§1. Гр а ни цы те о р и и 1. Р а ссма тр и ва е тся и зо ли р о ва нны й а то м. Пр и это м не р а ссма тр и ва ю тся: - со уда р е ни я а то мо в; - ма кр о сво йства си сте мы а то мо в; - эф ф е кты , связа нны е с во зде йстви е м на а то м вто р и чно г о и злуче ни я. Та ка я мо де ль мо ж е т б ы ть р е а ли зо ва на в экспе р и ме нте и по зво ляе т на б лю да ть эле ме нта р ны е во зб уж де ни я б е з и ска ж е ни й. 2. Па да ю щ е е на а то м и злуче ни е ха р а кте р и зуе тся следую щ и ми па р а ме тр а ми : - и злуче ни е о дно ча сто тно е ; - р а спр е де ле ни е а мпли туды по ф р о нту р а вно ме р но е ; - во лна пло ска я; - дли на во лны в ди а па зо не 0,1-1 мкм. Ука за нны е па р а ме тр ы о б е спе чи ва ю тся в лазе р но м и злуче ни и , для ко то р о г о р а спр е де лени е а мпли туды по ф р о нту б ли зко к г а уссо во му. 3. Те р ми н “Си льно е по ле ”. По ле счи та е тся си льны м, е сли за вр е мя е г о де йстви я ста но вятся сущ е стве нны ми пр о це ссы с уча сти е м не ско льки х ф о то но в (мно г о ф о то нна я и о ни за ци я). §2. Ха р а кте р и сти ки си льно г о све то во г о по ля Кла сси че ски й ха р а кте р по ля И злуче ни е о пи сы ва е тся ка к электр о ма г ни тно е по ле , т.е . на класси че ско м язы ке , г де Е =Е (x,y,z,t). Р а ссмо тр и м, ко г да та ко й по дхо д во змо ж е н. В ква нто во й те о р и и све та на пр яж е нно сть электр о ма г ни тно г о по ля являе тся ква нто вы м о пе р а то р о м, ко то р ы й пр и о пи са ни и по г ло щ е ни я ф о то на а то мо м в а мпли туде пе р е хо да да е т мно ж и те ль n kr α ,а пр и о пи са ни и и спуска ни я – мно ж и те ль n kr α + 1 , г де n krα - чи сло ф о то но в с во лно вы м ве кто р о м k и да нно й по ляр и за ци е й α . Пр и это м ма тр и чны е эле ме нты пр ямо г о и о б р а тно г о пр о це ссо в счи та е м о ди на ко вы ми . То г да эл.ма г ни тно е по ле мо ж но р а ссма тр и ва ть ка к класси че ско е пр и усло ви и n krα >> 1. О це нки по ка зы ва ю т, что пр и λ=0.5 мкм и ∆λ~10-5 (что ха р а кте р но для ти пи чны х ла зе р о в) это му усло ви ю удо влетво р яе тзна че ни е Е >> 1 В /см. Па р а ме тр ы , ха р а кте р и зую щ и е све то во е по ле 1. Ч а сто та ω . В ука за нно й о б ла сти спе ктр а о на и ме е тпо р ядо к 1015 с-1 (hν~1 эВ ). 2. Сте пе нь по ляр и за ци и . Счи та е м, что све тпо ляр и зо ва н по лно стью , а сте пе нь элли пти чно сти мо ж е тме няться о тли не йно й до кр уг о во й. (В со о тве тствую щ е й вр а щ а ю щ е йся си сте ме ко о р ди на тмо ж но р а зде ли ть вр е ме нны е и пр о стр а нстве нны е пе р е ме нны е , что зна чи те льно упр о щ а е т а на ли з). 3. Н а пр яж е нно сть по ля све то во й во лны . О б ы чно на пр яж е нно сть по ля све то во й во лны ср а вни ва е тся с а то мно й на пр яж е нно стью Е а т=m 2e5h-4 ~

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

5•109 В /см, пр и ко то р о й а то м и о ни зи р уе тся за ха р а кте р но е а то мно е вр е мя τа т=2.4 •10-17 с-1. Следуе то тме ти ть, что е ди но г о ко ли че стве нно г о кр и те р и я зде сь не т. О н за ви си то тко нкр е тно г о явле ни я. Н а пр и ме р : а ) р е зо на нсно е пе р е ме ш и ва ни е связа нны х электр о нны х со сто яни й пр и во зни кно ве ни и р е зо на нса ме ж ду ча сто то й вне ш не г о по ля и ча сто то й пе р е хо да ме ж ду двумя а то мны ми ур о внями во зни ка е т пр и на пр яж е нно сти по ля ~ 10 В /см. И это по ле в да нно й за да че пр о являе тся ка к си льно е , б ) а во т ве р о ятно сть двухф о то нно й и о ни за ци и а то ма ста но ви тся ср а вни те льно й с ве р о ятно стью пр и ф о то нно й и о ни за ци и пр и Е ~106 В /см ~ 10-3•Е а т . То е сть во вто р о м пр и ме р е кр и ти че ска я на пр яж е нно сть по ля в 105 р а з б о льш е , че м в пе р во м пр и ме р е . Н а пр а кти ке си льно е све то во е по ле о б е спе чи ва е тся лазе р о м. Пр и нци пи а льны е пр е и мущ е ства лазе р а пе р е д не ко г е р е нтны ми и сто чни ка ми со сто ятв сле дую щ е м: - чр е звы ча йно вы со ка я о дно ча сто тно сть; - р е зка я на пр а вленно сть, о б е спе чи ва ю ща я ма кси ма льно вы со кую яр ко сть ла зе р а ка к и сто чни ка све та ; экви ва ле нтны й ла зе р у мни мы й и сто чни к о че нь б ли зо к к то че чно му, по это му ла зе р ны й луч мо ж но ф о куси р о ва ть до р а зме р о в дли ны во лны . 4. В р е мя уве ли че ни я а мпли туды до ма кси ма льно г о зна че ни я δТ (вр е мя вклю че ни я во змущ е ни я) и Т-вр е мя, в те че ни е ко то р о г о по дде р ж и ва е тся за да нно е зна че ни е а мпли туды (вр е мя де йстви я во змущ е ни я). Д ля и мпульсны х ла зе р о в δТ~Т~10-8 с. Д ля не пр е р ы вны х - δТ<<Т. §3. О б щ и е за ко но ме р но сти вза и мо де йстви я а то ма со све то вы м по лем 1) Д и по льно е пр и б ли ж е ни е Э ле ктр о н а то ма на хо ди тся во вне ш не м по ле , ве кто р ны й по те нци а л ко то р о г о пр о по р ци о на ле н |A|~cos(kr-ω t). Д ля вне ш ни х по ле й о пти че ско й о б ласти ча сто т kr<<1, т.к. в пр е де ла х а то ма и зме не ни е по те нци а ла не зна чи те льно . Е сли р а зло ж и ть А по kr, то пе р во е слаг а е мо е о т kr не за ви си ти о пи сы ва е тди по льно е вза и мо де йстви е све та с а то мны м электр о но м. В ди по льно м пр и б ли ж е ни и ка к А , та к и Е=(-1/с)∂А/∂t не за ви сят о т ко о р ди на ты электр о на r, а за ви сятто лько о твр е ме ни . Д и по льно е пр и б ли ж е ни е спр а ве дли во впло ть до да леко й УФ о б ла сти , т.к. па р а ме тр р а зло ж е ни я kr ~10-3 (r~10-10 м, 1/k~10-7 м). 2) Ф о р ма г а ми льто ни а на ди по льно г о вза и мо де йстви я В о дно электр о нно м пр и б ли ж е ни и г а ми льто ни а н электр о на , на хо дящ е г о ся в по те нци а льно м по ле U(r) а то ма и во вне ш не м электр о ма г ни тно м по ле све то во й во лны с ве кто р ны м по те нци а ло м A(r,t), и ме е тви д: r H=1/2[ p€ +1/cA]2+U, (1.2) r€ г де p =-i∂/∂r, A=A(t) в ди по льно м пр и б ли ж е ни и . В о лно ва я ф ункци я и ме е тви д: ψ(r,t)=exp[-i/cA(t)r]ϕ(r,t)

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

(1.3)

Е сли по дста ви тьψ(r,t)= (1.3) в ур а вне ни е Ш р е ди нг е р а i∂ψ/∂t=Hψ , г де Н и ме е тви д (1.2), то по лучи м ур а вне ни е для ф ункци и ϕ : r и ли i∂ϕ/∂t=[1/2 p€ 2-c-1r∂A(t)/∂t+U(r)]ϕ r€ 2 i∂ϕ/∂t=[1/2 p +rE(t)+U]ϕ (1.4) И та к, по те нци а лвза и мо де йстви я с по лем мо ж но за пи са ть в двух ви да х: r V(t)=c-1 p€ A(t)+A 2(t) (1.5) и ли V(t)=rE(t), (1.6) ко то р ы е экви ва ле нтны . 3) А то м в ци р куляр но -по ляр и зо ва нно м по ле В о б ще м случа е пр о б ле ма вза и мо де йстви я а то ма с электр о ма г ни тны м по ле м пр е дста вляе т со б о й не ста ци о на р ную за да чу ква нто во й ме ха ни ки . Е сли в это й за да че не тма лы х па р а ме тр о в, то р е ш и ть е е чр е звы ча йно тр удно , т.к. в ур а вне ни и Ш р е ди нг е р а вр е ме нна я и пр о стр а нстве нна я пе р е ме нны е не р а зде ляю тся. О дна ко , ко г да на а то м де йствуе т ци р куляр но -по ляр и зо ва нно е эл.ма г ни тно е по ле с ве кто р о м Е= const, о н ли ш ь по во р а чи ва е тся в пло ско сти ⊥v. Е сли пе р е йти в си сте му ко о р ди на т, вр а щ а ю щ ую ся вме сте с Е, то вне й на а то м б уде тде йство ва ть Е= const и за да ча сво ди тся к ста ци о на р но й. Пр и это м в г а ми льто ни а не и з-за не и не р ци а льно сти вр а щ а ю щ е йся си сте мы ко о р ди на т по яви тся до по лни те льны й це нтр о б е ж ны й чле н. Пр о це дур а све де ни я р а ссма тр и ва е мо й за да чи к ста ци о на р но й в о б щ е м ви де следую щ а я. Ур а вне ни е Ш р е ди нг е р а , о пи сы ва ю щ е е ψ(r,t) а то мно г о электр о на , на ко то р ы й де йствуе т ци р куляр но -по ляр и зо ва нно е о дно ча сто тно е по ле , и ме е т ви д: i∂ψ/∂t={H0 – E(xcosω t -ysinω t)}ψ, (1.7) г де H0 = -∆/2 + U(r), U(r) – а то мны й по те нци а л, ко то р ы й счи та е тся сф е р и че ски си мме тр и чны м. В о лно ва я ф ункци я пр е дста вляе тся в ви де : ψrot(r,t)=exp(iω t L€ z )ψ(r,t), (1.8) г де L€ z =x∂/∂y-y∂/∂x - о пе р а то р пр о е кци и мо ме нта и мпульса на о сь z, вдо ль

ко то р о й р а спр о стр а няю тся электр о ма г ни тны е во лны . По дста вляя (1.8) в (1.7), по лучи м: i∂tψrot/∂t=H rotψrot , (1.9) г де Hrot=H0 - ω L€ z - Ex . Та ки м о б р а зо м, р а ссма тр и ва е ма я за да ча о ква нто вых пе р е хо да х сво ди тся к ста ци о на р но й за да че для ста ти сти че ско г о по те нци а ла Vrot = -ω L€ z - Ex 4. Те о р е ма Ф ло ке Р а ссмо тр о и м о б щ е е р е ш е ни е ур а вне ни я Ш р е ди нг е р а для ча сти цы в пе р и о ди че ско м эле ктр о ма г ни тно м по ле. Пусть в не ко то р ы й ф и кси р о ва нны й

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

мо ме нт вр е ме ни t си сте ма ф ункци й ΨS(r,t) о б р а зуе т по лны й о р то но р ми р о ва нны й б а зи с. То г да лю б ую ф ункци ю Ψ(r,t) мо ж но р а зло ж и ть по это му б а зи су: Ψ(r,t) = ΣА SΨ S(r,t) (1.10) В си лу пе р и о ди чно сти г а ми льто ни а на б а зи сны е ф ункци и ΨS(r,t+2π/ω), взяты е че р е з пе р и о д, та кж е б удут р е ш е ни ями ур а вне ни я Ш р е ди нг е р а и о б р а зую т но вы й б а зи с. Сле до ва те льно , и и х мо ж но р а зло ж и ть по б а зи су в это тж е мо ме нтвр е ме ни t: ΨS(r, t+2π/ω) =ΣaSNΨN(r,t) (1.11) За пи са в (1.10) для мо ме нта вр е ме ни t+2π/ω, по лучи м: Ψ(r, t+2π/ω) = ΣASΨ S(r, t+2π/ω) (1.12 (1.12) пр е дста вляе т со б о й р а зло ж е ни е во лно во й ф ункци и Ψ(r,t) для мо ме нта t+2π/ω. По дста ви в (1.11) в (1.12), по лучи м р а зло ж е ни е Ψ по но во му б а зи су: Ψ(r, t+2π/ω) = ΣASΣaSNΨN(r,t) (1.13) В ы б е р е м ко эф ф и ци е нты AS в (1.10) та к, что б ы вы по лняло сь со о тно ш е ни е : ΣASaSN = kAN (1.14) То г да , по дста вляя (1.14) в си сте му ур а вне ни й (1.13) и и спо льзуя (1.10), по лучи м: Ψ(r, t+2π/ω) = kΨ(r,t) (1/15) Си сте ма о дно р о дны х ли не йны х ур а вне ни й (1.14) о б ла да е тр е ш е ни ями ≠0 пр и усло ви и : Det=0, т.е . a 11 − k a 12 ... a 1h

a 21 ... a h1

a 22 − k ... a 2h =0, ... ... ... a h2 ... a hh − k

(1.16)

г де h-р а зме р но сть б а зи са Ψ S . Е сли взять ка ко й-ни б удь ко р е нь ур а вне ни я (1.16) - kα и по стр о и ть ф ункци ю Ψ(r,t) = Ψ(α)(r,t), то о на б уде т р е ш е ни е м ур а вне ни я Ш р е ди нг е р а и б уде т удо влетво р ять (1.15). И з тр е б о ва ни я со хр а не ни я но р ми р о вки во лно во й ф ункци и для лю б о г о мо ме нта t сле дуе т, что : kα =exp(-i(2π/ω)Eα), (1.17) г де Eα – ве щ е стве нно е чи сло . Э то следуе ти з эр ми то во сти ма тр и цы aSN. Ф ункци я, удо влетво р яю щ а я усло ви ю (1.15) и ме е тви д: Ψ(α)(r,t) = exp(-iEαt) φ (α)(r,t), (1.18) (α) г де φ (r,t) – пе р и о ди че ска я ф ункци я вр е ме ни , т.е . φ (α)(r,t+2π/ω) = φ (α)(r,t) (1.19) Со о тно ш е ни я (1.18) и (1.19) со ста вляю тсо де р ж а ни е те о р е мы Ф ло ке : У р авне ни е Ш р е д и нге р а с пе р и од и че с ки м возм ущ е ни е м и м е е т h час т ных р е ше ни й, уд овле т вор яющ и х ус лови ям (1.18) и (1.19)и они взаи м но ор т огональны.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Со сто яни е Ψ (α)(r,t) на зы ва е тся квази эне р ге т и че с ки м с ос т ояни е м , а ве ли чи на Eα – ква зи эне р г и е й это г о со сто яни я. Та к ка к пе р и о ди че скую ф ункци ю Ψ(α)(r,t) мо ж но р а зло ж и ть в р яд Ф ур ье по t, то Ψ(α)(r,t) = exp(-iEαt)ΣCn(α) exp(-inωt) (1.20) Та ки м о б р а зо м, ква зи эне р г е ти че ско е со сто яни е мо ж но пр е дста ви ть в ви де супе р по зи ци и ста ци о на р ны х со сто яни й с эне р г и ями Eα+ nω. Ф и зи че ски ве ли чи на Eα+ nω пр е дста вляе тсо б о й эне р г и ю си сте мы а то м-по ле , со сто ящ ую и з суммы ква зи эне р г и и а то ма Eα и эне р г и и n ква нто в электр о ма г ни тно г о по ля nω. Пр и это м вза и мо де йстви е ме ж ду ни ми о тсутствуе т(вза и мо де йстви е по ля с а то мо м вклю че но в Eα). Та ки м о б р а зо м во зни ка е т ко нце пци я а то ма , ”о де то г о по лем”(dressed-atom). Нестаци онар ная теор и я возму щ ени й . В ква нто во й ме ха ни ке ур а вне ни я дви ж е ни я мо ж но р е ш а ть то лько для не б о льш о г о чи сла си сте м. По это му пр и б ли ж е нны е ме то ды и г р а ю т о че нь ва ж ную р о ль в пр и ло ж е ни ях ква нто во й те о р и и . Ср е ди пр и б ли ж е нны х ме то до в на и б о ле е и зве сте н ме то д те о р и и во змущ е ни й. О сно вна я и де я те о р и и во змущ е ни й со сто и т в то м, что пр и на ло ж е ни и слаб о г о во змущ е ни я со сто яни я и зме няю тся не зна чи те льно . 1. Пе р вы й по р ядо к те о р и и во змущ е ни й Е сли во змущ е ни е явно за ви си то твр е ме ни , то по няти е эне р г е ти че ски х ур о вне й в то м смы сле , в ко то р о м о но и спо льзо ва ло сь для ста ци о на р но г о во змущ е ни я, и сче за е т. За да ча за клю ча е тся в то м, что б ы пр и б ли ж е нно вы чи сли ть во лно вы е ф ункци и , зна я во лно вы е ф ункци и ста ци о на р ны х со сто яни й не во змущ е нно й си сте мы . Си сте ма ур а вне ни й В ы де ли м в во лно во й ф ункци и за ви си мо сть о твр е ме ни : Ψk(0) = Φ k(0) exp(-iEk(0) t) Пр о и зво льно е р е ш е ни е во змущ е нно г о ур а вне ни я Ш р е ди нг е р а iΨ ΄ = [H0+V(t)] Ψ, г де V(t) – во змущ а ю щ и й по те нци а л, б уде м и ска ть в ви де Ψ = ΣakΨk(0) То г да для ко эф ф и ци е нто в ak(t) по луча е тся си сте ма о б ы кно ве нны х ди ф ф е р е нци а льны х ур а вне ни й: ia΄ m(t) = ΣVmkexp(iω mk t) ak, (2.1) (0) (0) г де Vmk = ∫ Φ m V Φ k d (2.2) (0) (0) ω mk = Em - Ek ; q – со во купно сть пе р е ме нны х (кр о ме вр е ме ни ), о тко то р ых за ви си тво лно ва я ф ункци я. В е р о ятно сть о дно ф о то нно г о пе р е хо да Пусть не во змущ е нно й во лно во й ф ункци е й б уде тво лно ва я ф ункци я nг о ста ци о на р но г о со сто яни я. То г да в нулево м пр и б ли ж е ни и по V и ме е м a(0)n=1 a(0)n≠k=0.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Н а йде м ве р о ятно сть пе р е хо да и з со сто яни я n в со сто яни е k. Д ля о пр е де ле ни я пе р во г о пр и б ли ж е ни я и щ е м ak в ви де : ak = ak(0) + ak(1) В со о тве тстви и с о б щ и м пр и нци по м те о р и и во змущ е ни й, во змущ е ни е до лж но б ы ть ма лы м, т.е . ak(1)<<1. Пусть и схо дно е n-е со сто яни е си сте мы пр и на длеж и тди скр е тно му спе ктр у. О б ы чно во змущ е ни е де йствуе тв те че ни е ко не чно г о пр о ме ж утка вр е ме ни , т.е . V(t)=0 пр и t=±∞. То г да ве р о ятно сть пе р е хо да и з на ча льно г о n-г о со сто яни я в ко не чно е k-е со сто яни е ди скр е тно г о спе ктр а и ме е тви д: 2

Wkn = a k(1) (∞) =

2

∞

∫V

kn

exp(iωkn t )dt

(2.3)

−∞

И з (2.3) ви дно , что ве р о ятно сти пе р е хо до в и з со сто яни я n в со сто яни е k и о б р а тно о ди на ко вы . Си мме тр и я пр о це сса по о тно ш е ни ю к за ме не на ча льно г о со сто яни я ко не чны м, а ко не чно г о – на ча льны м являе тся о б щ и м сво йство м, спр а ве дли вы м для ди скр е тны х со сто яни й n и k в лю б о м по р ядке те о р и и во змущ е ни й. В ы р а ж е ни е (2.3) ле г ко о б о б щ а е тся на случа й, ко г да со сто яни е k пр и на дле ж и т не пр е р ы вно му спе ктр у. Д ля это г о (2.3) нуж но умно ж и ть на чи сло со сто яни й dk в и нте р ва ле [k, k+dk]. О дно ча сто тно е во змущ е ни е Р а ссмо тр и м б о ле е по др о б но ва ж ны й случа й о дно ча сто тно г о (1) (1) во змущ е ни я V=V cos ωt. Зде сь V – ф ункци я ко о р ди на тq. Н а пр и ме р , пр и ди по льно м вза и мо де йстви и ли не йно -по ляр и зо ва нно г о све та с а то мны м электр о но м V(1)=zE, г де Е -а мпли туда на пр яж е нно сти эл. по ля во лны . Пр и и нте г р и р о ва ни и нуж но за да ться на ча льны ми усло ви ями . Пусть о дно ча сто тно е во змущ е ни е вклю ча е тся пр и t=-∞ и на р а ста е т по за ко ну exp(αt), г де α-ма ла я по ло ж и те льна я ве ли чи на (а ди а б а ти че ско е вклю че ни е ). То г да Vkn(1) exp[i(ωkn − ω) t + αt ] Vkn(1) exp[i(ωkn + ω) t + αt ] (1) a k (t) = − − (2.4) 2(ωkn + ω − iα) 2(ωkn − ω − iα) Усло ви е

a (k1) ( t ) <<1 тр е б уе т ма ло сти во змуще ни я Vkn(1) , т.е . ма ло сти

на пр яж е нно сти во змущ а ю щ е г о по ля и о тсутстви я пр о ме ж уто чны х р е зо на нсо в, пр и ко то р ы х ω kn =±ω. О б суди м те пе р ь во змущ е ни е со сто яни й не пр е р ы вно г о спе ктр а . Пусть, ка к о б ы чно , не пр е р ы вны й спе ктр на чи на е тся с нулево й эне р г и и . Е сли − E (n0) >ω, то в (2.4) ω kn ± ω ≠ 0 и то г да , со г ла сно кр и те р и ю пр и ме ни мо сти те о р и и во змущ е ни й: a (k1) ( t ) <<1, не о б хо ди мо , что б ы в (2.4) V(1) б ы ло ма ло . Э то т пр и ме р со о тве тствуе т си туа ци и , ко г да ве р о ятно сть о дно ф о то нно й и о ни за ци и р а вна нулю . Бо ле е сло ж е н случа й, ко г да о дно ф о то нна я и о ни за ци я р а зр е ш е на , т.е . ( 0) − E n <ω. Пр и это м о сно вную р о ль и г р а ю тсо сто яни я не пр е р ы вно г о спе ктр а с эне р г и ями Ε (k0 ) , б ли зки ми к р е зо на нсно й эне р г и и Ε (n0 ) + ω . То г да

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

(1) 2 ak =

(1) Vkn exp(2αt ) 4[(ωkn − ω) 2 + α 2 ]

(2.5)

Та к ка к в (2.5) зна ме на те ль ма л, то ф о р ма льно ве ли чи ну a (k1)

2

не льзя

счи та ть не б о льш о й и это на пе р вы й взг ляд не со г ласуе тся с о б щ и ми пр и нци па ми те о р и и во змущ е ни й. Е сли ко не чно е со сто яни е k ∈ не пр е р ы вно му спе ктр у, то ф и зи че ски й смы сли ме е тне ве р о ятно сть пе р е хо да в ф и кси р о ва нно е со сто яни е k, а ве р о ятно сть

∑

k ≤ k i ≤ k + dk

a (k1i)

2

о б на р уж е ни я

си сте мы в со сто яни и с ква нто вы ми чи слами ме ж ду k и k+dk. Э та ве р о ятно сть ма ла, т.к. слаг а е мо е , для ко то р о г о вы по лняе тся то чно е р а ве нство ωkin = ω , пр е дста вле но в ука за нно й сумме с нуле вы м ста ти сти че ски м ве со м, а пр и уда ле ни и о тто чки ωki n = ω зна ме на те ль в (2.5) б ы стр о во зр а ста е т. В е р о ятно сть пе р е хо да в е ди ни цу вр е ме ни о пр е де ляе тся пр о и зво дно й 2 2 ∂ ωkn = a k(1) = 2α a (k1) (2.6) ∂t Э то выр а ж е ни е сле дуе т умно ж и ть на чи сло со сто яни й dk и пр о и нте г р и р о ва ть по ко не чны м со сто яни ям. Пр и α→0 по луча е м: 2 1 π 2 ωkn = 2π Vkn(1) ρ k ωkn =ω = z kn E 2ρ k , (2.7) 2 2 dk г де ρ k = ( 0 ) . Выр аж е ни е (2.7) наз. зо ло т ы м пр а ви ло м Ф ер м и . dE k ρk – и ме е т смы сл эне р г е ти че ско й пло тно сти не во змущ е нны х со сто яни й, z kn - ди по льны й ма тр и чны й эле ме нт. В (2.7) учте но усло ви е Ε (k0 ) − Ε (n0 ) = ω , ко то р о е е сте стве нно на зва ть законом с охр ане ни я эне р ги и пр и поглощ е ни и ф от она час т от ы ω. (2.7) – ве р о ятно сть о дно ф о то нно й и о ни за ци и в е д. вр е ме ни . 2. В то р о й по р ядо к те о р и и во змущ е ни й О б суди м вто р о й член р яда те о р и и не ста ци о на р ны х во змущ е ни й. Э то о б суж де ни е це ле со о б р а зно для р а зви ти я ди а г р а ммно й те хни ки , не о б хо ди мо й для о пи са ни я пр о и зво льны х по р ядко в те о р и и во змущ е ни й. По ве де ни е вто р о г о чле на р яда о со б е нно ва ж но зна ть в те х за да ча х, г де ма тр и чны й элеме нт пе р во г о по р ядка те о р и и во змущ е ни й Vkn(1) по ка ки м-ли б о пр и чи на м р а ве н нулю и ли ма л (на пр и ме р , вследстви е то чно г о и ли ≈0 за пр е та по пр а ви лам о тб о р а и о тсутстви я о дно ф о то нно г о ка на ла выхо да в ко не чно е со сто яни е ). Д ля на г лядно сти , не б уде м р а ссма тр и ва ть случа й пр о и зво льно г о во змущ е ни я V(t), а о г р а ни чи мся о дно ча сто ны м во змущ е ни е м V(1)cosωt. В пе р во м по р ядке те о р и и во змущ е ни й вза и мо де йстви е све та с а то мо м мо ж но о пи са ть в те р ми на х по г ло щ е ни я и и спуска ни я ф о то на ча сто ты ω.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

В о вто р о м по р ядке те о р и и во змущ е ни й во змо ж но по г ло щ е ни е и ли и спуска ни е двух ф о то но в, а та кж е вза и мо де йстви е , не со пр о во ж да ю щ е е ся эти ми пр о це сса ми (упр уг о е р а ссе яни е ). В е р о ятно сть двухф о то нно г о пе р е хо да А на ло г и чно п.1 б уде м счи та ть, что во змущ е ни е вклю ча е тся а ди а б а ти че ски по за ко ну exp(αt), г де α→0. По дста вляя в пр а вую ча сть (2.1) выр а ж е ни е для 1-г о по р ядка те о р и и во змущ е ни й (2.4) и и нте г р и р уя, по луча е м: ( 2) ( 2)  exp(iωkn t + αt ) exp[i (ωkn − 2ω) t + αt )]  a k = Vkn (ω)  + + i 2 i ω − α ω − ω − α  kn kn  , (2.8)  exp[i(ωkn + 2ω) t + αt )] exp(iωkn t + αt )  ( 2) + V ( −ω) +  kn ωkn + 2ω − iα ωkn − iα   г де (1) (1) Vkm Vmn Z Z 1 Vkn( 2) (ω) = ∑ (2.9) = E 2 ∑ km mn ≡ Z (kn2 ) (ω) E 2 4 m ωmn − ω m 4(ω mn − ω) В е ли чи на Vkn( 2) на зы ва е тся двухф о то нны м ма тр и чны м элеме нто м. О н со де р ж и т сумму по пр о ме ж уто чны м со сто яни ям m. В о тли чи е о т эне р г и й на ча льно г о и ко не чно г о со сто яни й, связа нны х за ко но м со хр а не ни я эне р г и и , эне р г и и со сто яни й m мо г ут б ы ть пр о и зво льны ми . Пе р е ход ы n→m и m→k называют с я ви р т уальным и . Со г ласно со о тно ш е ни ю не о пр е де ленно сте й, вр е мя на хо ж де ни я электр о на в ви р туа льно м со сто яни и m по по р ядку ве ли чи ны со ста вляе т ∆t~(ω mn-ω)-1 и вследстви е со о тно ш е ни я ω mn ≠ω и ме е тпо р ядо к ∆t~10-17c, т.е . ма ло по ср а вне ни ю с вр е ме не м пе р е хо да n→k. По это й пр и чи не со сто яни я m на зы ва ю тся ви р туа льны ми . В вы р а ж е ни и (2.8) пе р во е сла г а е мо е о пи сы ва е тпр о це сс с по г ло щ е ни е м и по сле дую щ и м и спуска ни е м ф о то на ча сто ты ω, вто р о е слаг а е мо е – пр о це сс с по г ло щ е ни е м двух ф о то но в, тр е тье – с и спуска ни е м двух ф о то но в, че тве р то е – с и спуска ни е м и по сле дую щи м по г ло щ е ни е м ф о то на . В и дно , что да ж е в сто ль пр о сто м случа е о дно ча сто тно г о во змущ е ни я явно е вы р а ж е ни е для во лно во й ф ункци и во 2-м по р ядке те о р и и во змущ е ни й ста но ви тся ве сьма г р о мо здки м. По это му, для то г о что б ы ста нда р тны м спо со б о м б ы стр о на пи са ть мно г о чи сленны е сла г а е мы е К-г о по р ядка те о р и и во змущ е ни й, р а зви та та к на зы ва е ма я ди а г р а ммна я те хни ка . 3.Д и а г р а ммна я те хни ка для о дно ча сто тно г о во змущ е ни я И з (2.8) ви дно , что уж е во 2-м по р ядке те о р и и во змущ е ни й а мпли туда

(2) со сто и ти з 4-х слаг а е мы х. С р о сто м по р ядка те о р и и во змущ е ни й чи сло k та ки х сла г а е мы х р е зко во зр а ста е т. По это му ж е лате льно и ме ть ста нда р тную пр о це дур у на пи са ни я а мпли туды для лю б о г о по р ядка . a

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

А на ли з 1-г о и 2-г о по р ядко в те о р и и во змущ е ни й по ка зы ва е тудо б ство те р ми но ло г и и и спуска е мы х и по г ло щ а е мы х ф о то но в во змущ е ни я. Та ка я те р ми но ло г и я вво ди тся в ди а г р а ммную те хни ку. Пр и это м ди а г р а ммы класси ф и ци р ую тся по о б щ е му чи слу ф о то но в и вво ди тся р а зли чи е ме ж ду по г ло щ а е мы ми и и спуска е мы ми ф о то на ми . 1-й по р ядо к те о р и и во змущ е ни й Д ля на хо ж де ни я пр о це дур ы по стр о е ни я ди а г р а мм, на чне м с 1-г о по р ядка те о р и и во змущ е ни й. В е р о ятно сть (2.7) пе р е хо да с по г ло щ е ни е м ф о то на ча сто ты ω о пр е де ляе тся ква др а то м мо дуля ма тр и чно г о эле ме нта (1) V , пр е дста вляе мо г о следую щ е й ди а г р а ммо й: kn k ω n Зде сь n и k со о тве тствую тна ча льно е и ко не чно е со сто яни я; • - то чка со о тве тствуе тма тр и чно му элеме нту; - пункти р на я ли ни я слева о б о зна ча е т по г ло щ е ни е о дно г о ф о то на во змущ е ни я ча сто ты ω. А на ло г и чно , ве р о ятно сть о дно ф о то нно г о пе р е хо да с и спуска ни е м ф о то на ча сто ты ω о пр е де ляе тся ква др а то м ма тр и чно г о эле ме нта , пр е дста вляе мо г о ди а г р а ммо й: k

n Пункти р на я ли ни я спр а ва о зна ча е ти злуче ни е о дно г о ф о то на . В р е мя на ди а г р а мма х б уде м счи та ть на пр а вле нны м сле ва на пр а во . За ко н со хр а не ни я эне р г и и , учи ты ва е мы й в (2.7), пр и пе р е но се в ди а г р а ммную те хни ку о зна ча е т, что в пе р во й и з на р и со ва нных ди а г р а мм на ча льно е и ко не чно е со сто яни я и ме ю т эне р г и и , удо влетво р яю щ и е (0) (0) (0) (0) со о тно ш е ни ю : Ε = Εn − ω . = Ε n + ω , а во вто р о й - Ε k k 2-й по р ядо к те о р и и во змущ е ни й М а тр и чны й эле ме нт, со о тве тствую щ и й по г ло щ е ни ю 2-х ф о то но в, мо ж но пр е дста ви ть следую щ е й ди а г р а ммо й: k ω ω

m

n

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Спло ш на я ве р ти ка льна я ли ни я с и нде ксо м m о б о зна ча е т та к на зы ва е мую ф ункци ю Гр и на не во змущ е нно й ча сти цы в эне р г е ти че ско м пр е дста вле ни и , ко то р а я и ме е тви д: (∆m-iα)-1, г де ∆m – эне р г и я m-г о со сто яни я, о тсчи та нна я о т эне р г и и и схо дно г о со сто яни я n, и з ко то р о й вычи та е тся эне р г и я по г ло щ е нно г о ф о то на ча сто ты ω пр и пе р е хо де и з со сто яни я n в m. Та ки м о б р а зо м, и ме е м: ∆m=ωnm-ω. А мпли туда 2-г о по р ядка (2.8) со о тве тствуе т че ты р е м двухф о то нны м ма тр и чны м элеме нта м: k k k k ω ω ω ω m

+ ω

m + ω

m

+ ω

m ω

n n n n В то р о й и з ни х пр и ве де н вы ш е . 1-я и 4-я ди а г р а ммы со о тве тствую тпр и k=n двухф о то нно му упр уг о му р а ссе яни ю , о пи сы ва е мо му вы р а ж е ни е м (2.11), 3-я – двухф о то нно му и спуска ни ю . В со о тве тстви и с (2.10) за ко н со хр а не ни я эне р г и и пр и по г ло щ е ни и 2-х (0) о тли ча ла сь о т ф о то но в тр е б уе т, что б ы эне р г и я ко не чно г о со то яни я Ε k (0) эне р г и и на ча льно г о со сто яни я Ε n на эне р г и ю 2-х по г ло щ е нны х ф о то но в. Пр а ви ла по стр о е ни я ди а г р а мм Те пе р ь мо ж но сф о р мули р о ва ть пр а ви ла по стр о е ни я ди а г р а мм лю б о г о по р ядка те о р и и о дно ча сто тны х во змущ е ни й. Л ю б а я ди а г р а мма для мно г о ф о то нно г о ма тр и чно г о элеме нта пр е дста вляе т со б о й ве р ти ка льную ли ни ю с на ни за нны ми на не е слева и спр а ва в пр о и зво льно м по р ядке пункти р ны ми ли ни ями . Та ка я ди а г р а мма на по ми на е тде р е во . В е твь, вхо дящ а я в ство лде р е ва слева , о б о зна ча е т по г ло щ е ни е ф о то на о дно ча сто тно г о во змущ е ни я, а ве твь, вы хо дящ а я и з ство ла спр а ва , о б о зна ча е ти злуче ни е ф о то на . О тр е зка м ве р ти ка льно й ли ни и (ство ла) ме ж ду со се дни ми ве твями со о тве тствуе т мно ж и те ль в ви де ф ункци и Гр и на не во змущ е нно й си сте мы (∆m-iα)-1, г де ∆m – эне р г и я m-г о со сто яни я си сте мы , о тсчи та нна я о тэне р г и и и схо дно г о со сто яни я n, и з ко то р о й вы чи та е тся эне р г и я по г ло щ е нны х ф о то но в пр и пе р е хо да х и з со сто яни я n в →m и до б а вляе тся эне р г и я и спущ е нны х ф о то но в. В е ли чи на α→+0. То чка ми о тме ча ю т со пр и ко сно ве ни я ве тве й со ство ло м и и м (1) со о тве тствуе тмно ж и те ль Vms /2, ха р а кте р и зую щ и й вза и мо де йстви е си сте мы с вне ш ни м по ле м, пр и че м m и s – это со сто яни я, пр и мы ка ю щ и е к да нно й то чке све р ху и сни зу со о тве тстве нно .

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Э не р г и и на ча льно г о и ко не чно г о со сто яни й о тли ча ю тся др уг о т др уг а на ве ли чи ну, р а вную р а зно сти эне р г и й все х по г ло щ е нны х и и спущ е нны х ф о то но в. Д ля пр о ме ж уто чны х со сто яни й о г р а ни че ни й на эне р г и и не т. О че ви дна во змо ж но сть о б о б щ е ни я ди а г р а мм на случа й, ко г да по г ло щ а ю тся и ли и спуска ю тся ф о то ны и з р а зны х све то вы х пучко в. Та ки е ф о то ны о б о зна ча ю тся по -р а зно му (на пр и ме р , пункти р но й и во лни сто й ли ни е й-ве твью ). Ка ж да я ди а г р а мма на чи на е тся сни зу и з и схо дно г о со сто яни я n и за ка нчи ва е тся вве р ху ко не чны м со сто яни е м k. В К-то м по р ядке все г о и ме е тся 2K р а зли чны х ди а г р а мм. Л и те р а тур а 1. М но г о ф о то нны е пр о це ссы //Ф и зи че ска я энци кло пе ди я. –М .,1992.-Т. 3. С. 168. 2. Б.- Бр уе ви ч А .М ., Хо до во й В .Н . М но г о ф о то нны е пр о це ссы // УФ Н .1965. - Т. 85, вы п. 1. 3. Л о удо н Р . Ква нто ва я те о р и я све та . -М .:М и р , 1976. - 488 с. 4. А па на се ви ч П.А . О сно вы вза и мо де йстви я све та с ве щ е ство м. М и нск, -1977. –495 с. 5. Д е ло не Н .Г., Кр а йно в В .П. А то м в си льно м све то во м по ле . М .:Н а ука , 1984. - 224 с. 6. Д е ло не Н .Г. В за и мо де йстви е ла зе р но г о и злуче ни я с ве щ е ство м. Кур с ле кци й. М .: Н а ука , 1989. - 278 с.

Со ста ви те ль Клю е в В и кто р Гр и г о р ье ви ч Р е да кто р : Ти хо ми р о ва О .А .

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com