Математика и компьютерные игры

Ëÿõîâ À.Ô.

Ëÿõîâ Àëåêñàíäð Ôåäîðîâè÷

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ È ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÃÐÛ Áðîñàÿ â âîäó êàìåøêè, ñìîòðè íà êðóãè, èìè îáðàçóåìûå; èíà÷å òàêîå áðîñàíèå áóäåò ïóñòîþ çàáàâîþ Êîçüìà Ïðóòêîâ  íàñòîÿùåå âðåìÿ êîìïüþòåð øè èãðàõ ñ ïîøàãîâîé ñòðàòåãèåé ðîêî âîøåë â íàøó æèçíü. Âñå õîðîøî èãðîê è êîìïüþòåð ñîáëþäàþò î÷åðåäçíàêîìû ñ åãî âû÷èñëèòåëüíûìè âîçìîæíîñòü õîäîâ. Ê ýòèì èãðàì ìîæíî îòíåñòè íîñòÿìè. Íà îäíîì èç ÿçûêîâ (Áåéñèê, øàõìàòû è øàøêè. Òåõíè÷åñêèå âîçìîæÏàñêàëü, Ñè è ò.ä.) ìîãóò áûòü ñîñòàâëåíîñòè êîìïüþòåðà ïîçâîëèëè ââåñòè áîëüøîå ÷èñëî êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûõ «ôèíû ïðîãðàììû. Äëÿ ïðîâåäåíèÿ âû÷èñëåãóð» (â êà÷åñòâå ôèãóðû ìîæåò âûñòóïàòü íèé ìîãóò òàêæå èñïîëüçîâàòüñÿ ïðèêëàäñîëäàò, òàíê, êàâàëåðèñò, êîðàáëü, ñàìîíûå ïàêåòû Excel, Maple, MathCAD. Åùå ëåò èëè öåëîå ïîäðàçäåëåíèå), çàäàâàòü áîëåå øèðîêóþ èçâåñòíîñòü ïîëó÷èëè êîìðàçëè÷íûå ïðàâèëà ïåðåìåùåíèÿ è ðàçïüþòåðíûå èãðû. ×èñëî ýòèõ èãð äîñòèãàíîîáðàçíûå èãðîâûå ïîëÿ. Ïðèìåðîì òàåò íåñêîëüêèõ òûñÿ÷. êèõ èãð ìîãóò ñëóæèòü èãðû Panzer Íà êîìïüþòåðå ðåàëèçîâàíû ïðàêGeneral, Napoleon in Russia, Battle Ground, òè÷åñêè âñå íàñòîëüíûå èãðû, ñîçäàííûå Age of Sail, Êàçàêè. ÷åëîâå÷åñòâîì çà òûñÿ÷åëåòèÿ (øàõìàòû, Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî èãðó øàøêè, ãî, âñå êàðòî÷íûå èãðû è ò.ä.). Panzer General.  ýòîé èãðå îïèñûâàþòñÿ Ñîçäàíû öåëûå êëàññû íîâûõ èãð, íàïðèâñå îñíîâíûå òàíêîâûå ñðàæåíèÿ íåìåöìåð, èãðû òèïà Quest (â èãðàõ ýòîãî âèäà êîé àðìèè âî Âòîðîé ìèðîâîé âîéíå. Èãèãðîê ïðîõîäèò ñëîæíûé ëàáèðèíò, ñðàðîê èìååò âîçìîæíîñòü âûáðàòü ëþáîå æàÿñü ïî ïóòè ñ ðàçëè÷íûìè ìîíñòðàìè, ñîáèðàÿ äðàãîöåííîñòè, îðóæèå è ðàñêðûâàÿ ñåêðåòíûå êëàäû), ïîÿâèëîñü ìíîæåñòâî ëîãè÷åñêèõ èãð ðàçëè÷íîãî óðîâíÿ ñëîæíîñòè. Îñòàíîâèìñÿ íà îäíîì êëàññå èãð, à èìåííî íà ñòðàòåãè÷åñêèõ èãðàõ. Øàõìàòû, øàøêè, ìîðñêîé áîé, ðàçëè÷íûå âèäû èãðû â ñîëäàòèêè ïðè ðåàëèçàöèè íà êîìïüþòåðå ïîëó÷èëè åñòåñòâåííîå ðàçâèòèå. Ìîæíî âûäåëèòü äâà âèäà èãð: èãðû ñ ïîøàãîâîé ñòðàòåãèåé è èãðû Òåõíè÷åñêèå âîçìîæíîñòè êîìïüþòåðà ïîçâîëèëè â ðåàëüíîì âðåìåíè. ââåñòè áîëüøîå ÷èñëî êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûõ «ôèãóð».

62

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 1, 2002 ã.

Ìàòåìàòèêà è êîìïüþòåðíûå èãðû êðóïíîå ñðàæåíèå, ñòîðîíó, çà êîòîðóþ îí õî÷åò ñðàæàòüñÿ. Ïðè ýòîì ïðîèñõîäèò âûáîð êàðòû ñîîòâåòñòâóþùåé ìåñòíîñòè è ñèë, êàê ýòî ïðåäñòàâëÿþò àâòîðû èãðû. Âñÿ êàðòà ìåñòíîñòè ðàçáèòà íà øåñòèóãîëüíûå êëåòêè. Ñèëû ñîñòîÿò èç ïåõîòíûõ ÷àñòåé, òàíêîâûõ è àâèàöèîííûõ ñîåäèíåíèé. Ýòè ÷àñòè ïåðåìåùàþòñÿ ïî ìåñòíîñòè ïî îïðåäåëåííûì ïðàâèëàì, îáëàäàþò ðàçëè÷íîé îãíåâîé ìîùíîñòüþ è ïðè ñòîëêíîâåíèè ñ ñèëàìè ïðîòèâíèêà íåñóò ïîòåðè. Èãðà ðàçâèâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èãðîê äåëàåò õîä ñâîèìè ïîäðàçäåëåíèÿìè, à çàòåì ïåðåäàåò óïðàâëåíèå êîìïüþòåðó, êîìïüþòåð, â ñâîþ î÷åðåäü, òàêæå äåëàåò õîä. Åñëè ïðè ýòîì ïðîèñõîäèò ñòîëêíîâåíèå, òî, êàê ïðàâèëî, âêëþ÷àåòñÿ íåáîëüøàÿ âèäåîçàñòàâêà ñ èçîáðàæåíèåì ïîëÿ áîÿ. Çàìåòèì, ÷òî, õîòÿ ýòà èãðà è ïðèâÿçàíà ê èñòîðè÷åñêèì ñîáûòèÿì, îíà íîñèò ïðåäâçÿòûé àíòèèñòîðè÷åñêèé õàðàêòåð. Òàê, àâòîðû, âîïðåêè èñòîðè÷åñêèì ôàêòàì, çàäàþò ïàðàìåòðû íåìåöêîé òåõíèêè âûøå ïàðàìåòðîâ ðóññêîé òåõíèêè, õîòÿ èçâåñòíî, ÷òî òàíê Ò-34 ÿâëÿëñÿ ëó÷øèì òàíêîì Âòîðîé ìèðîâîé âîéíû, ðóññêàÿ àðòèëëåðèÿ êà÷åñòâåííî ïðåâîñõîäèëà íåìåöêóþ (â íåìåöêîé àðìèè íå áûëî àíàëîãîâ òàêèõ àðòèëëåðèéñêèõ ñèñòåì, êàê çíàìåíèòûå «êàòþøè»). Äðóãîé âèä ñòðàòåãè÷åñêèõ èãð – ýòî èãðû, ïðîèñõîäÿùèå â «ðåàëüíîì âðåìåíè». Ëó÷øèå èãðû ýòîé ãðóïïû: Dune-2, WarCraft II, Age of Empire, StarCraft.

Ïðèâåäåì îñíîâíûå îòëè÷èÿ ýòèõ èãð îò èãð ñ ïîøàãîâîé ñòðàòåãèåé. 1.  ñòðàòåãè÷åñêèõ èãðàõ â «ðåàëüíîì âðåìåíè» íåò ÷åòêî ðàñ÷åð÷åííîãî èãðîâîãî ïðîñòðàíñòâà (êëåòêè øàõìàòíîé äîñêè èëè øåñòèóãîëüíûå êëåòêè â Panzer General). «Ôèãóðà» ìîæåò çàíÿòü ëþáîå ìåñòî íà êàðòå.  ëó÷øèõ èãðàõ (WarCraft II) äåéñòâèå ïðîèñõîäèò â íåñêîëüêèõ èçìåðåíèÿõ: íà çåìëå, â âîçäóõå, íà âîäå è ïîä âîäîé. 2.  ýòèõ èãðàõ íåò î÷åðåäíîñòè õîäîâ. Êîìïüþòåð ïîñëåäîâàòåëüíî âûïîëíÿåò êîìàíäû óïðàâëåíèÿ ñèëàìè èãðîêà è õîäèò ñâîèìè «ôèãóðàìè», à ïîñêîëüêó áûñòðîäåéñòâèå êîìïüþòåðà î÷åíü âûñîêî, òî ñîçäàåòñÿ âïå÷àòëåíèå íåïðåðûâíîñòè äâèæåíèÿ. 3.  ýòèõ èãðàõ íåò ñòðîãî çàäàííûõ ñèë. Èãðîê è êîìïüþòåð â ïðîöåññå èãðû èñïîëüçóþò ðåñóðñû îêðóæàþùåé ñðåäû è ñàìè ñîçäàþò ñâîè âîîðóæåííûå ñèëû. 4. Ïðè âûáîðå ñâîåãî õîäà êîìïüþòåð èñïîëüçóåò ãåíåðàòîð ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Ñëåäîâàòåëüíî, èãðó ïðàêòè÷åñêè íåëüçÿ òîæäåñòâåííî ïîâòîðèòü. 5. Ïîñêîëüêó â èãðå ó÷àñòâóåò ìíîãî áîåâûõ åäèíèö, òî èãðîê íå â ñîñòîÿíèè îäíîâðåìåííî óïðàâëÿòü âñåìè ñâîèìè âîéñêàìè.  ýòîì ñëó÷àå êîìïüþòåð áåðåò íà ñåáÿ óïðàâëåíèå ÷àñòüþ ñèë èãðîêà, äëÿ êîòîðûõ íå ïîñòóïèëè ïðÿìûå ïðèêàçû, òî åñòü òåì ñàìûì èìèòèðóåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíîñòü èõ äåéñòâèé. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî â áîþ äàæå ñâîè ñîëäàòû ìîãóò âåñòè ñåáÿ ñàìûì íåîæèäàííûì îáðàçîì. Ñòðàòåãè÷åñêèå èãðû â «ðåàëüíîì âðåìåíè» î÷åíü äèíàìè÷íû è èíòåðåñíû.  ïðîöåññå èãðû âîçíèêàþò ñèòóàöèè, èìåþùèå âûñîêóþ ñòåïåíü íåîïðåäåëåííîñòè, èãðîê íå çíàåò íè ñèë ïðîòèâíèêà, íè åãî ðåñóðñîâ, íè ãäå áóäåò íàíåñåí óäàð, íè â êàêîì íàïðàâëåíèè îí äîëæåí íàñòóïàòü. Èãðàþùèé ôîðìèðóåò ñâîè ñèëû, áîðåòñÿ çà ðåñóðñû è ñòðåìèòñÿ ê äîñòèæåíèþ ïîáåäû, óñëîâèÿ êî ïðîöåññå èãðû âîçíèêàþò ñèòóàöèè, èìåþùèå âûñîêóþ òîðîé ôîðìóëèðóþòñÿ â çàäàíèè. ñòåïåíü íåîïðåäåëåííîñòè.

Ó×ÅÁÍÀß ÌÀÑÒÅÐÑÊÀß

63

Ëÿõîâ À.Ô. Õîòÿ ÷èñëî ïðåäëàãàåìûõ ñöåíàðèåâ èãðû îãðàíè÷åíî, îäíàêî â ïàêåòàõ èãð WarCraft II, Age of Empire è íåêîòîðûõ äðóãèõ èìåþòñÿ ðåäàêòîðû, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ñîçäàâàòü ñîáñòâåííûå ñöåíàðèè. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ ðåäàêòîðîâ ìîæíî ñîçäàòü ðåëüåô ëþáîé ìåñòíîñòè è ðàññòàâèòü âîîðóæåííûå ñèëû â ñîîòâåòñòâèè ñ æåëàíèåì èãðîêîâ. Ýòî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ýòè èãðû äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ðåàëüíûõ èñòîðè÷åñêèõ ñðàæåíèé. Âîçìîæíîñòü ñîçäàíèÿ èãðîâûõ ïîçèöèé è ìíîãîêðàòíîãî ðàçûãðûâàíèÿ îäíîãî è òîãî æå âàðèàíòà èãðû ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü äëÿ àíàëèçà èãðû ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ èãð. Ïðèâåäåì ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ ýòîé òåîðèè.  èãðå ÷àñòî âîçíèêàåò ïîçèöèÿ, ïðè êîòîðîé èãðîê äîëæåí îáîðîíÿòü íåñêîëüêî ïóíêòîâ îò óäàðîâ ïðîòèâíèêà, ïðè÷åì îí íå çíàåò, ñ êàêîãî íàïðàâëåíèÿ áóäåò íàíåñåí óäàð. Ïåðåä íèì âñòàåò çàäà÷à, ãäå íàäî ðàñïîëîæèòü ðåçåðâ, ÷òîáû íàèáîëåå ýôôåêòèâíî îòðàçèòü íàïàäåíèå. Ñ ïîìîùüþ ðåäàêòîðà Map Editor, âõîäÿùåãî â ïàêåò WarCraft II, ñîçäàäèì ñëåäóþùóþ ïîçèöèþ (Ðèñóíîê 1). Äëÿ óïðîùåíèÿ àíàëèçà ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèëû îáîðîíÿþùèõñÿ è íàïàäàþùèõ ïðèìåðíî ðàâíû è ñîñòîÿò èç îäíèõ ëó÷íèêîâ. Ïîñêîëüêó ïîäõîäû ê ïóíêòó À áîëåå óäîáíû, ÷åì ïîäõîäû ê ïóíêòó Â, òî

Ðèñóíîê 1

64

Òåîðèÿ èãð åãî îáîðîíÿåò áîëüøåå ÷èñëî ëó÷íèêîâ. Ïóíêò À îáîðîíÿþò òðè ëó÷íèêà, à ïóíêò  – äâà ëó÷íèêà, è äâà ëó÷íèêà íàõîäÿòñÿ â ðåçåðâå. Ëó÷íèêîâ ìîæíî âûáðàòü ðàçíîãî öâåòà, íàïðèìåð, êðàñíîãî, îðàíæåâîãî è ðåçåð⠖ áåëîãî öâåòà. Ðàçëè÷èå â îêðàñêå ëó÷íèêîâ ïîçâîëÿåò âèäåòü, êòî ïîíåñ íàèáîëüøèå ïîòåðè â õîäå îòðàæåíèÿ àòàêè. Íàñòóïàòü áóäóò ïÿòü ëó÷íèêîâ ñèíåãî öâåòà. Îñíîâíîé âîïðîñ, êîòîðûé âñòàåò ïåðåä îáîðîíÿþùèìñÿ èãðîêîì, – ýòî âîïðîñ ïðàâèëüíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ðåçåðâà, òî åñòü ãäå äîëæåí áûòü ðàñïîëîæåí ðåçåðâ, ÷òîáû óäàð ñèíèõ ëó÷íèêîâ áûë îòðàæåí, ïðè÷åì îòðàæåí ñ íàèìåíüøèìè ïîòåðÿìè. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðîàíàëèçèðîâàâ ïîçèöèþ ñ ïîìîùüþ òåîðèè èãð. Òåîðèÿ èãð – ýòî ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ìîäåëèðîâàòü êîíôëèêòíûå ñèòóàöèè è íà îñíîâå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ìîäåëè âûðàáàòûâàòü ðåêîìåíäàöèè ïî ïðàâèëüíîìó ïîâåäåíèþ èãðîêîâ. Îò ðåàëüíîãî êîíôëèêòà èãðà îòëè÷àåòñÿ òåì, ÷òî âåäåòñÿ ïî îïðåäåëåííûì ïðàâèëàì, è ýòè ïðàâèëà îïðåäåëÿþò èñõîä èãðû – âûèãðûø èëè ïðîèãðûø êàæäîãî ó÷àñòíèêà â çàâèñèìîñòè îò êîíå÷íîé ñèòóàöèè. Îäíî èç îñíîâíûõ ïðåäïîëîæåíèé òåîðèè èãð ñîñòîèò â òîì, ÷òî êàæäûé èç èãðîêîâ, ó÷àñòâóþùèõ â èãðå, ñòðåìèòñÿ ê âûèãðûøó.

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 1, 2002 ã.

Ìàòåìàòèêà è êîìïüþòåðíûå èãðû Åñëè â èãðå ó÷àñòâóþò äâå ñòîðîíû, òî èãðà íàçûâàåòñÿ ïàðíîé (èãðîê è êîìïüþòåð). Åñëè ó÷àñòâóåò ìíîãî ñòîðîí, òî èãðà ìíîæåñòâåííàÿ. Íàïðèìåð, åñëè íåñêîëüêî èãðîêîâ èãðàþò ïî ñåòè, òî â ýòîì ñëó÷àå îäíà èç çàäà÷ òåîðèè èãð ñîñòîèò â âûÿâëåíèè ðàçóìíûõ êîàëèöèé è ïðàâèë îáìåíà èíôîðìàöèåé ìåæäó ó÷àñòíèêàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîòèâíèê àòàêóåò ïóíêò À. Ðàçâèòèå èãðû âî âðåìåíè ïðåäñòàâëÿåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õîäîâ ó÷àñòÏðåäïîëîæåíèå îäèíàêîâîé ðàçóìíèêîâ. Õîäîì íàçûâàåòñÿ âûáîð èãðîêîì íîñòè ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíî ñëåäóþùèì îäíîãî èç ïðåäóñìîòðåííûõ ïðàâèëàìè îáðàçîì. Óïðàâëåíèå îáîðîíÿþùèìèñÿ èãðû äåéñòâèé è åãî îñóùåñòâëåíèå. ñèëàìè ïåðåäàäèì êîìïüþòåðó, à äëÿ àòàêóÕîäû ìîãóò áûòü ñîçíàòåëüíî âûáþùèõ ñèë óêàæåì íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ðàíû èãðîêîì ïîñëå àíàëèçà ñèòóàöèè, è íå áóäåì âìåøèâàòüñÿ â èãðó.  ýòîì ëèáî ñëó÷àéíî. Ïðè ñëó÷àéíîì õîäå âûñëó÷àå ïðè ñòîëêíîâåíèè ïðîòèâîáîðñòâóáîð îñóùåñòâëÿåòñÿ êàêèì-òî ìåõàíèçìîì þùèõ ñèë êîìïüþòåð áóäåò óïðàâëÿòü êàê ñëó÷àéíîãî âûáîðà (áðîñàíèå ìîíåòû, èãîáîðîíÿþùèìèñÿ ëó÷íèêàìè, òàê è àòàðàëüíîé êîñòè, âûíèìàíèå êàðòû èç êîëîêóþùèìè. äû è ò.ï.). Íåêîòîðûå èãðû («àçàðòíûå») Ñîñòàâèì ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ñîñòîÿò òîëüêî èç ñëó÷àéíûõ õîäîâ. èãðû. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ðàçëè÷íûå Òåîðèÿ èãð çàíèìàåòñÿ îïòèìèçàöèñëó÷àè ðàñïîëîæåíèÿ ðåçåðâà è àòàêè. åé ïîâåäåíèÿ èãðîêà â èãðå, ãäå, íàðÿäó 1. Ñëó÷àé ðàñïîëîæåíèÿ ðåçåðâà çà ñî ñëó÷àéíûìè õîäàìè, åñòü è õîäû, âûáïóíêòîì À. ðàííûå ñîçíàòåëüíî. Òàêèå èãðû íàçûâàÏðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîòèâíèê àòàêóþòñÿ ñòðàòåãè÷åñêèìè. åò ïóíêò À. Ðåàëèçóåì ýòó àòàêó íà íàøåé  íàøåì ñëó÷àå õîäîì ÿâëÿåòñÿ âûïîçèöèè, à êîãäà áîé çàêîí÷èòñÿ, ïîäñ÷èáîð ðàñïîëîæåíèÿ ðåçåðâà.  çàâèñèìîñòàåì ïîòåðè îáîðîíÿþùèõñÿ, êîòîðûå ñîòè îò ýòîãî âûáîðà áóäóò ïîëó÷àòüñÿ ðàçñòàâÿò, íàïðèìåð, 2 ëó÷íèêà. Åñëè ìû âòîëè÷íûå âàðèàíòû èãðû. Ìû õîòèì îöåðè÷íî çàãðóçèì íàøó èñõîäíóþ ïîçèöèþ è íèòü âëèÿíèå ýòîãî âûáîðà íà âñþ èãðó. ïîâòîðèì àòàêó, òî, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîòåÑòðàòåãèåé èãðîêà íàçûâàåòñÿ ñîâîðè áóäóò äðóãèìè. Ïðîâåäåì àòàêó â òðåêóïíîñòü ïðàâèë, îïðåäåëÿþùèõ âûáîð òèé ðàç è ïîëó÷èì íîâûå ïîòåðè. Åñòåâàðèàíòà äåéñòâèé ïðè êàæäîì õîäå â çàñòâåííî â êà÷åñòâå îæèäàåìûõ ïîòåðü ïðè âèñèìîñòè îò ñëîæèâøåéñÿ ñèòóàöèè. àòàêå ïóíêòà À âçÿòü íåêîòîðóþ ñðåäíþþ Îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé èãðîêà íàâåëè÷èíó, ïîëó÷àåìóþ ïðè íåñêîëüêèõ àòàçûâàåòñÿ òàêàÿ ñòðàòåãèÿ, êîòîðàÿ îáåñêàõ. Îáîçíà÷èì ýòó âåëè÷èíó êàê à11. Àíàïå÷èâàåò ìàêñèìàëüíûé âûèãðûø. Åñëè ëîãè÷íî, ïðè íàïàäåíèè ñèíèõ íà ïóíêò  èãðà ïîâòîðÿåòñÿ íåîäíîêðàòíî è, êðîìå îáîðîíÿþùèåñÿ ïîòåðÿþò à12 ëó÷íèêà. ñîçíàòåëüíî âûáðàííûõ õîäîâ, ñîäåðæèò 2. Ñëó÷àé ðàñïîëîæåíèÿ ðåçåðâà çà ñëó÷àéíûå õîäû, òî îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåïóíêòîì Â. ãèÿ îáåñïå÷èâàåò ìàêñèìàëüíûé ñðåäíèé Àòàêà ïóíêòà À ïðèâåä¸ò ê ïîòåðå âûèãðûø. à21 ëó÷íèêîâ, à àòàêà ïóíêòà  ïðèâåäåò ê Îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè èùóòñÿ â ïîòåðå à22 ëó÷íèêîâ. ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïðîòèâíèê, ïî ìåíüÇàïèøåì ýòè çíà÷åíèÿ â ñëåäóþùóþ øåé ìåðå, òàê æå ðàçóìåí, êàê è ñàì èãòàáëèöó, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ðîê, è ñòðåìèòñÿ äîáèòüñÿ ïîáåäû. èãðû:

Ó×ÅÁÍÀß ÌÀÑÒÅÐÑÊÀß

65

Ëÿõîâ À.Ô. Çàùèò. À

Íàïàä.

Â

À

Â

à11

à12

à21

à22

Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ìîäåëèðîâàíèÿ ðåàëüíûõ áîåâûõ ñòîëêíîâåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê ïðîâîäÿòñÿ ìàíåâðû. Íàïðèìåð, òàíêîâûé áàòàëüîí äîëæåí ïðåîäîëåòü íåêîòîðóþ îáîðîíó, òî åñòü âûÿâèòü è ïîðàçèòü ñðåäñòâà îáîðîíû. Ïåðâûé áàòàëüîí ïîðàçèë ÷àñòü öåëåé n1, ïîòîì äðóãîé áàòàëüîí íàñòóïàåò íà ýòó æå âîññòàíîâëåííóþ ëèíèþ îáîðîíû è ïîðàæàåò n2 öåëåé, çàòåì òðåòèé – n3 öåëåé, è ò.ä. Òîãäà îæèäàåìîå ÷èñm

ëî ïîðàæåííûõ öåëåé N = ∑ ni m íàõîi =1

äèòñÿ êàê ñðåäíåàðèôìåòè÷åñêîå ÷èñëî. Ïðè êàæäîé àòàêå íà òàíêîâûé áàòàëüîí áóäóò äåéñòâîâàòü ìíîæåñòâî âíåøíèõ ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ, íàïðèìåð, ïîãîäà, èçíîñ òåõíèêè, ãîòîâíîñòü ýêèïàæåé, ðàçíûå êîìàíäèðû áóäóò âûáèðàòü ðàçëè÷íûå ïóòè ïîäõîäà ê îáîðîíå è î÷åðåäíîñòü öåëåé è ò.ä.  íàøåì ñëó÷àå êîìïüþòåð ïîçâîëÿåò ìíîãîêðàòíî ñìîäåëèðîâàòü àòàêó, êîòîðàÿ òàêæå áóäåò ñîäåðæàòü â ñåáå ñëó÷àéíûå ýëåìåíòû. Ïîñêîëüêó óïðàâëåíèå ñâîäèòñÿ òîëüêî ê óêàçàíèþ íàïðàâëåíèÿ àòàêè, òî åñòü ìû âûäåëÿåì ãðóïïó íàñòóïàþùèõ ñèíèõ ëó÷íèêîâ è óêàçûâàåì èì öåëü àòàêè (ïóíêò À èëè Â), òî íàì íèêîã-

äà íå óäàñòñÿ óêàçàòü îäíî è òî æå ìåñòî äëÿ íàñòóïëåíèÿ (ïîïàñòü êóðñîðîì, óêàçûâàþùèì öåëü, â îäíó è òó æå òî÷êó ýêðàíà). Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäûé ðàç ñðàæåíèå áóäåò ïðîòåêàòü ðàçëè÷íûì îáðàçîì.  òàáëèöå 1 ïðèâîäÿòñÿ ïîòåðè îáîðîíÿþùèõñÿ ïðè ðàçëè÷íîì ðàñïîëîæåíèè ðåçåðâà è ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ àòàêè. Êàæäàÿ àòàêà ïîâòîðÿëàñü ïÿòü ðàç. Ïðè÷åì ó÷èòûâàëèñü òîëüêî ïîãèáøèå ëó÷íèêè (áåçâîçâðàòíûå ïîòåðè). Çàìåòèì, ÷òî â WarCraft II èìååòñÿ âîçìîæíîñòü óòî÷íèòü ïîòåðè, åñëè ó÷èòûâàòü è ñòåïåíü ïîðàæåíèÿ ëó÷íèêîâ, êîòîðûå îñòàþòñÿ ïîñëå áîÿ. Ìàòðèöà èãðû ïðèìåò âèä: Íàïàä.

Çàùèò. À Â

À

Â

2,2 3,2

2,8 1,6

 ïðîöåññå ðåàëüíîé èãðû, âîîáùå ãîâîðÿ, ìû íå çíàåì, êàêîé ïóíêò ïîçèöèè áóäåò àòàêîâàí è ãäå äîëæåí áûòü ðàñïîëîæåí ðåçåðâ. Ïîýòîìó ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðåçåðâ ðàñïîëîæåí çà ïóíêòîì À ñ âåðîÿòíîñòüþ p1 è çà ïóíêòîì  ñ âåðîÿòíîñòüþ p2. Ïîñêîëüêó ïîëíîå ñîáûòèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñèíèå îáÿçàòåëüíî íàïàäóò ëèáî íà ïóíêò À, ëèáî íà ïóíêò Â, òî p1+ p2=1. Åñëè íàïàäåíèå ïðîèçâåäåíî íà ïóíêò À, òî îæèäàåìûå ïîòåðè ìîæíî ïðåä-

Òàáëèöà 1

Íîìåð àòàêè 1 2 3 4 5 ñðåäíèå ïîòåðè

66

Òàáëèöà ïîòåðü â îáîðîíå Ðåçåðâ ðàñïîëîæåí Ðåçåðâ ðàñïîëîæåí çà ïóíêòîì À çà ïóíêòîì Â àòàêà íà À àòàêà íà Â àòàêà íà À àòàêà íà Â 1 3 3 1 3 3 3 1 2 3 2 2 2 2 3 2 3 3 5 2 2,2

2,8

3,2

1,6

à11

a12

a21

a22

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 1, 2002 ã.

Ìàòåìàòèêà è êîìïüþòåðíûå èãðû

... âûäåëÿåì ãðóïïó íàñòóïàþùèõ ... ëó÷íèêîâ è óêàçûâàåì èì öåëü àòàêè... ñòàâèòü â âèäå ñóììû âåðîÿòíîñòíûõ ïîòåðü ïðè îáîðîíå ïóíêòà À è  à11⋅p1+a21⋅p2. Åñëè íàïàäåíèå ïðîèçâåäåíî íà ïóíêò Â, òî îæèäàåìûå ïîòåðè áóäóò ðàâíû à12⋅p1+a22⋅p2. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ýòè ïîòåðè ïðè íàïàäåíèè ïðîòèâíèêà íà êàæäûé èç ïóíêòîâ íå ïðåâûøàëè íåêîòîðîé âåëè÷èíû V (à11⋅p1+a12⋅p2
 a11 x1 + a12 x2 ≤ 1,   a21 x1 + a22 x 2 ≤ 1,  x1 ≥ 0,   x2 ≥ 0,  L( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 , èëè, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ, çàïèøåì 2,2 ⋅ x1 + 3,2 ⋅ x2 ≤ 1,  2,8 ⋅ + 1,6 ⋅ x1 x2 ≤ 1,   x1 ≥ 0,   x2 ≥ 0,   L( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 .

2,2 ⋅ x1 + 3,2 ⋅ x2 = 1,  2,8 ⋅ x + 1,6 ⋅ x = 1,  1 2

õ1=0,29, õ2=0,11, ïðè ýòîì L=0,404. Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷èì V=2,47, p1=0,73, p2=0,27. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðèìåðíî â 7 ñëó÷àÿõ èç 10 ñëåäóåò ðàñïîëîæèòü ðåçåðâ çà ïóíêòîì À. Ïðè ýòîì îæèäàåìûå ïîòåðè – 2,5 ëó÷íèêà. Ýòî çíà÷åíèå ìîæíî ïîíèìàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî äâà âîèíà ïîãèáíóò, à ñóììàðíîå ïîðàæåíèå äðóãèõ ñîñòàâèò ïîëîâèíó æèçíåñïîñîáíîñòè îäíîãî ëó÷íèêà. Ìû ïîëó÷èëè îòâåò, êîòîðûé ñîäåðæèò âåðîÿòíîñòè è íå ìîæåò ñëóæèòü íåïîñðåäñòâåííûì óêàçàíèåì äëÿ ðàñïîëîæåíèÿ ðåçåðâà. Êàê æå ìîæåò ïîñòóïàòü èãðîê? Ñ îäíîé ñòîðîíû, îí ìîæåò ïðîñòî ïðèíÿòü

(1)

Ñðåäè ìíîæåñòâà ðåøåíèé ýòîé ñèñòåìû áóäåì èñêàòü òàêîå ðåøåíèå, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ìèíèìàëüíûì ïîòåðÿì, òî åñòü L â ýòîì ñëó÷àå äîëæíî áûòü ìàêñèìàëüíî.

Ó×ÅÁÍÀß ÌÀÑÒÅÐÑÊÀß

Ïîëó÷åííàÿ çàäà÷à (1) ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, è îíà ìîæåò áûòü ðåøåíà ãðàôè÷åñêè. Êàæäîìó íåðàâåíñòâó íà ïëîñêîñòè x1Ox2 ñîîòâåòñòâóåò ïîëóïëîñêîñòü. Ïåðåñå÷åíèå ýòèõ ïîëóïëîñêîñòåé îáðàçóåò ÷åòûðåõóãîëüíèê (ñì. ðèñóíîê 2). Óðàâíåíèå L=õ1+õ2 îïèñûâàåò ïðÿìóþ, ïåðåñåêàþùóþ îñè êîîðäèíàò â òî÷êàõ õ1= L, õ2= L. Èçìåíÿÿ L, ïîëó÷èì öåëîå ñåìåéñòâî ïðÿìûõ. Ïàðàìåòð L ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ. Êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ íàõîäèì èç ñèñòåìû óðàâíåíèé

Ðèñóíîê 2

67

Ëÿõîâ À.Ô.

Âûáîð ðàñïîëîæåíèÿ ðåçåðâà ìîæåò áûòü ñäåëàí ñ ïîìîùüþ ïîäáðàñûâàíèÿ ìîíåòû... ðåøåíèå ðàñïîëîæèòü ðåçåðâ â òîì ïóíêòå, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò áîëüøàÿ âåðîÿòíîñòü. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîïûòàòüñÿ ñìîäåëèðîâàòü ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóåò ïîëó÷åííîé âåðîÿòíîñòè. Íàïðèìåð, ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðîÿòíîñòè ð1= ð2= 0,5.  ýòîì ñëó÷àå âûáîð ðàñïîëîæåíèÿ ðåçåðâà ìîæåò áûòü ñäåëàí ñ ïîìîùüþ ïîäáðàñûâàíèÿ ìîíåòû, ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ îðëà èëè ðåøåòêè ðàâíà îäíîé âòîðîé.  íàøåì ñëó÷àå ãåíåðàòîð ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ, èìåþùåãî çàäàííóþ âåðîÿòíîñòü, ìîæíî ñêîíñòðóèðîâàòü ñ ïîìîùüþ îáûêíîâåííîãî âîë÷êà, êîòîðûé èìååò íåáîëüøóþ ñòðåëêó è ïðè îñòàíîâêå óêàçûâàåò íà òî÷êó îêðóæíîñòè. Ñàìó îêðóæíîñòü ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà ó÷àñòêà, äëèíû êîòîðûõ îòíîñÿòñÿ, êàê ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè, òî åñòü 73/27. Òåïåðü ðàñêðóòèì âîë÷îê è äîæäåìñÿ åãî îñòàíîâêè; åñëè âîë÷îê óêàæåò íà îòðåçîê, ñîîòâåòñòâóþùèé âåðîÿòíîñòè ð1, òî ðåçåðâ ðàñïîëîæèì çà ïóíêòîì À, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå – çà ïóíêòîì Â. Ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è ïîèñêà îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò áûòü èçìåíåíà. Äîïóñòèì, ìû ñîâåðøèëè îøèáêó ïðè âûáîðå ñòðàòåãèè, òî åñòü ðåçåðâ ðàñïîëîæèëè çà îäíèì ïóíêòîì, à íàïàäåíèå áûëî ïðîèçâåäåíî íà äðóãîé ïóíêò. Åñòåñòâåííî ïîñòàâèòü âîïðîñ, ãäå äîëæåí áûòü ðàñïîëîæåí ðåçåðâ, äëÿ òîãî ÷òîáû

68

äîáèòüñÿ íàèìåíüøåãî óùåðáà îò ýòèõ îøèáîê. Ïóñòü ðåçåðâ ðàñïîëîæåí çà ïóíêòîì À, è ïðîòèâíèê íàïàäàåò íà ýòîò ïóíêò; ïîòåðè ïðè ýòîì à11, è ëèøíèõ ïîòåðü íåò. Åñëè ðåçåðâ ðàñïîëîæåí çà ïóíêòîì Â, òî ëèøíèå ïîòåðè ñîñòàâÿò à21– à11. Åñëè ïðîòèâíèê íàïàäàåò íà ïóíêò  è ðåçåðâ â ïóíêòå Â, òî ïîòåðè áóäóò ðàâíû à22, è ñíîâà íåò ëèøíèõ ïîòåðü. Åñëè â ýòîì ñëó÷àå ðåçåðâ ðàñïîëîæåí çà ïóíêòîì À, òî ëèøíèå ïîòåðè à12– à22. Äëÿ ïðåäëîæåííîé ñòðàòåãèè ìèíèìèçàöèè óùåðáà îò îøèáî÷íîãî ðåøåíèÿ ìàòðèöà èãðû áóäåò èìåòü âèä Íàïàä.

Çàùèò. À Â

À

Â

0 à21– à11

à12– à22 0

À

Â

0 1

1,2 0

Èëè Çàùèò. À Â

Íàïàä.

Âíîâü ñîñòàâèì çàäà÷ó ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ïóñòü U-ëèøíèå ïîòåðè, âûçâàííûå îøèáî÷íûì ðåøåíèåì, òîãäà 1⋅ð1≤ U, 1,2⋅p2≤ U, p1+ p2=1. Ââåäåì ïåðåìåííûå z1= ð1/U, z2= ð2/U, K=1/U. Ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó

z1 ≤ 1,   1,2 ⋅ z2 ≤ 1,   z1 ≥ 0,   z2 ≥ 0,  K ( z1 , z2 ) = z1 + z2 . Ðåøåíèå áóäåì èñêàòü ïðè óñëîâèè, ÷òî âåëè÷èíà U (ëèøíèå ïîòåðè) ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå, òî åñòü K ìàêñèìàëüíî. Ðàññìîòðåâ ýòó ñèñòåìó, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, íà ïëîñêîñòè z1Oz2, ïîëó÷èì, ÷òî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå K=1,833 áóäåò èìåòü ìåñòî ïðè z1=1, z2=1/1,2=0,833. Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷èì U=0,545, p1=0,545, p2=0,455. Ìîæíî âèäåòü, ÷òî âåðîÿòíîñòè èçìåíè-

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 1, 2002 ã.

Ìàòåìàòèêà è êîìïüþòåðíûå èãðû ëèñü, íî ïðè ýòîì ñîõðàíèëîñü íåðàâåíñòâî ð1> p2. Èãðàÿ â ëþáóþ ñòðàòåãè÷åñêóþ èãðó, èãðîê ïûòàåòñÿ ïðåäñòàâèòü ñåáÿ íà ìåñòå ïðîòèâíèêà è îïðåäåëèòü åãî äåéñòâèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â õîäå èãðû, àòàêóÿ íàøó îáîðîíèòåëüíóþ ïîçèöèþ íåñêîëüêî ðàç, ïðîòèâíèê âûÿâèë âåëè÷èíû îæèäàåìûõ ïîòåðü îáîðîíÿþùèõñÿ, òî åñòü åìó èçâåñòíà ìàòðèöà, êîòîðàÿ ââåäåíà íàìè ðàíåå. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî ïðîòèâíèê ñòðåìèòñÿ íàíåñòè ìàêñèìàëüíûé óðîí îáîðîíÿþùèìñÿ W. Âåðîÿòíîñòü íàïàäåíèÿ íà ïóíêò À îáîçíà÷èì ÷åðåç q1, à âåðîÿòíîñòü íàïàäåíèÿ íà ïóíêò  – ÷åðåç q2, ïðè÷åì q1+q2=1. Äëÿ îæèäàåìûõ ïîòåðü ïðè îáîðîíå ïóíêòà À ïîëó÷èì 2,2 ⋅ q1 + 2,8 ⋅ q2 ≥ W , à ïðè îáîðîíå ïóíêòà  – 3,2 ⋅ q1 + 1,6 ⋅ q2 ≥ W . Ââåäåì íîâûå íåèçâåñòíûå y1=q1/W, y2=q2/W, M=1/W. Çàïèøåì çàäà÷ó ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ 2,2 ⋅ y1 + 2,8 ⋅ y2 ≥ 1,   3,2 ⋅ y1 + 1,6 ⋅ y2 ≥ 1,  y1 ≥ 0,   y2 ≥ 0,   M ( y1 , y2 ) = y1 + y2 . Ýòó ñèñòåìó ìîæíî ðåøèòü ãðàôè÷åñêè è àíàëèòè÷åñêè. Âíîâü íåðàâåíñòâà âûäåëÿò íà ïëîñêîñòè îáëàñòü, â êîòîðîé îíè âûïîëíÿþòñÿ, à óðàâíåíèå M(y1,y2)=y1+y2 îïèñûâàåò ñåìåéñòâî ïðÿìûõ. Áóäåì èñêàòü òàêèå çíà÷åíèÿ q1, q2, ïðè êîòîðûõ Ì ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå (W – ìàêñèìàëüíîå). Ýòî áóäåò èìåòü ìåñòî ïðè 2,2 ⋅ y1 + 2,8 ⋅ y2 = 1,  3,2 ⋅ y + 1,6 ⋅ y = 1.  1 2 Îòñþäà ñëåäóåò: y1=0,22, y2=0,18, M=0,40. Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷èì: W=2,47, q1=0,545, q2=0,455. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñèíèõ ïðåäïî÷òèòåëüíåé àòàêîâàòü ïóíêò À. Èç ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ ìîæíî ñäåëàòü äàëåêî èäóùèå âûâîäû. Áîëüøèíñòâî ëþäåé, èãðàÿ â øàõìà-

Ó×ÅÁÍÀß ÌÀÑÒÅÐÑÊÀß

òû èëè øàøêè, ïîëàãàþò, ÷òî ìîæíî îáìàíóòü ïðîòèâíèêà, ñäåëàòü íåîæèäàííûé äëÿ íåãî õîä è âûèãðàòü. Îäíàêî ïðè âûáðàííîé öåëåâîé ôóíêöèè èãðû, êàê ïðàâèëî, ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ, à âñå íåñòàíäàðòíûå õîäû ìîãóò ïðèâåñòè ê óñïåõó, åñëè ïðîòèâíèê òîæå îòñòóïàåò îò îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè. Ñëåäîâàòåëüíî, èãðîê, æåëàþùèé âûèãðàòü ñ ìèíèìàëüíûì ðèñêîì íå äîëæåí ðàññ÷èòûâàòü íà òî, ÷òî ïðîòèâíèê ñëàáåå è ïîïàäåò â çàðàíåå ïîäãîòîâëåííóþ ëîâóøêó. Ñîçäàíèå òàêèõ ëîâóøåê îòâëåêàåò ñèëû è âðåìÿ îò âûïîëíåíèÿ îñíîâíîé çàäà÷è. Ðàññìîòðåííûå çàäà÷è èìåþò âñåãî äâà ïàðàìåòðà, ïîýòîìó îíè äîïóñêàþò ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå. Íî ýòîò æå ïîäõîä ñïðàâåäëèâ è â ñëó÷àå áîëüøåãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ. Ïîçèöèÿ, êîòîðàÿ îáîðîíÿåòñÿ, ìîæåò ñîñòîÿòü èç áîëüøåãî ÷èñëà ïóíêòîâ, îáîðîíÿþùèåñÿ è íàñòóïàþùèå ñèëû ìîãóò ñîäåðæàòü â ñâîèõ ðÿäàõ ïåøèõ âîèíîâ, êîííûõ è àðòèëëåðèþ (êàòàïóëüòû). Àíàëèç òàêîé ñèñòåìû ìîæíî ïðîâîäèòü, èñïîëüçóÿ äîâîëüíî ãðîìîçäêóþ ïðîöåäóðó ñèìïëåêñ-ìåòîäà, ñìûñë êîòîðîãî ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ìíîãîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ñòðîèòñÿ ìíîãîãðàííèê (îáëàñòü, óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâàì) è âûáèðàåòñÿ îäíà èç âåðøèí, êîòîðàÿ äàåò íåîáõîäèìîå ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî ýòîò ìåòîä ðåàëèçîâàí â ïàêåòå Excel 7.0.  çàêëþ÷åíèå íåñêîëüêî ñëîâ îá èñòîðèè âîçíèêíîâåíèÿ äàííîé ñòàòüè.

Ñîçäàíèå òàêèõ ëîâóøåê îòâëåêàåò ñèëû è âðåìÿ îò âûïîëíåíèÿ îñíîâíîé çàäà÷è.

69

Ëÿõîâ À.Ô. Àâòîð ðàáîòû â òå÷åíèå íåñêîëüêèõ ëåò ðóêîâîäèò ìàòåìàòè÷åñêèì ñåìèíàðîì øêîëüíèêîâ, ðàáîòàþùèì â ðàìêàõ Íèæåãîðîäñêîãî íàó÷íîãî îáùåñòâà ó÷àùèõñÿ ïðè ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÍÍÃÓ. Îäíà èç ôîðì ðàáîòû ñîñòîèò â òîì, ÷òî ðåáÿòà ãîòîâÿò äîêëàäû ïî íåêîòîðûì çàèíòåðåñîâàâøèì èõ ñòàòüÿì èç æóðíàëà «Êâàíò».  1977 ãîäó â âîñüìîì íîìåðå «Êâàíòà» áûëà îïóáëèêîâàíà î÷åíü èíòåðåñíàÿ ñòàòüÿ Ç.ß. Òüìåëàäçå «Òåîðèÿ èãð».  ýòîé ñòàòüå àâòîð â æàíðå þìîðèñòè÷åñêîãî ôàíòàñòè÷åñêîãî ðàññêàçà ïîêàçûâàåò, êàê ñòðîèòñÿ ìàòðèöà èãðû, ïðèâîäèò ãðàôè÷åñêèå ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷,

ïðèâîäèò ðÿä ïîëîæåíèé òåîðèè èãð è çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ðàññìîòðåâ ýòó ðàáîòó íà íàøåì ñåìèíàðå, ìû óâèäåëè âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ òåîðèè èãð äëÿ àíàëèçà íîâîãî, íåäàâíî âîçíèêøåãî êëàññà êîìïüþòåðíûõ èãð. Äëÿ òåõ, êòî çàèíòåðåñîâàëñÿ òåîðèåé èãð, ïðèâåäåì ññûëêó íà êíèãó Å. Ñ. Âåíòöåëü. Èññëåäîâàíèå îïåðàöèé. Ì.: Íàóêà, 1988, ñ. 208. Ýòà êíèãà, ïî-âèäèìîìó, äîñòàòî÷íî äîñòóïíà, â ñâîå âðåìÿ îíà âûøëà â ñåðèè «Ïðîáëåìû íàóêè è òåõíè÷åñêîãî ïðîãðåññà» òèðàæîì 34000 ýêçåìïëÿðîâ. Ïî ñâîåìó èçëîæåíèþ îíà âïîëíå ïîíÿòíà äëÿ ñòàðøåêëàññíèêîâ è ñîäåðæèò áèáëèîãðàôèþ – 31 íàçâàíèå.

Ëÿõîâ Àëåêñàíäð Ôåäîðîâè÷, äîöåíò êàôåäðû òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Íèæåãîðîäñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî.

70

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 1, 2002 ã.